\section{M"obiusgeometrie und hyperbolische Ebene} \subsection{Kreisspiegelungen}\label{ksp} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf euklidischen Ebene} verstehen wir wie in \eref{Eukl}{LA2} ein Paar $E=(E,S)$ bestehend aus einem zweidimensionalen reellen affinen Raum $E$ und einer $\DR_{>0}$-Bahn $S$ von Skalarprodukten auf seinem Richtungsraum. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir hatten in \eref{Laenge}{LA2} jedem euklidischen Vektorraum $(V,S)$ einen orientierten eindimensionalen reellen Vektorraum $\mathbb L=\mathbb L(V)$ zugeordnet und ihn seine {\bf L"angengerade} genannt. Weiter hatten wir eine {\bf L"angenabbildung} $$\|\;\|:V\ra \mathbb L$$ erkl"art. Unter dem Nachschalten eines beliebigen orientierungserhaltenden Isomorphismus $\mathbb L\sira \mathbb \DR$ wird diese Abbildung zur Norm eines Skalarprodukts der euklidischen Struktur $S$. Im Fall des Richtungsraums $\vec E$ unserer euklidischen Ebene nennen wir $\mathbb L=\mathbb L(\vec E)$ die {\bf L"angengerade unserer euklidischen Ebene}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $E$ eine euklidische Ebene und $\mathbb L$ ihre L"angengerade. Wir setzen $$\hat E\pdef E \amalg \{\infty \}$$ und nennen diese Menge die {\bf erweiterte Ebene}.\index{Ebene!erweiterte} Eine Teilmenge $K\subset \hat E$ hei"st ein \defind{verallgemeinerter Kreis},\index{Kreis!verallgemeinerter} wenn\index{M"obiusgeometrie}\label{MoGeK} sie entweder ein Kreis in $E$ ist, also von der Gestalt $$K={\op{K}}(c;r)\pdef\{x\in E\mid \|x-c\|=r\}$$ f"ur $c\in E$ und $r\in\mathbb L_{>0}$, oder eine affine Gerade $g$ disjunkt vereinigt mit der einpunktigen Menge $\{\infty\}$. Im ersten Fall sprechen wir von einem {\bf echten Kreis}.\index{Kreis!echter} Im zweiten Fall sprechen wir von einer {\bf erweiterten Gerade}\index{Gerade!erweiterte} und verwenden daf"ur die Notation $K=\hat g\pdef g\sqcup\{\infty\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $E$ eine euklidische Ebene. Jedem verallgemeinerten Kreis $K\subset \hat E$ ordnen wir eine Abbildung $$s_K:\hat E \ra \hat E $$ der erweiterten Ebene in sich selber zu, die wir die \defnoind{Spiegelung an unserem Kreis}\index{Spiegelung!an Kreis} oder {\bf Kreisspiegelung}\index{Kreisspiegelung} oder auch {\bf Inversion}\index{Inversion} nennen, und zwar die "ubliche orthogonale Spiegelung $E \ra E$ an der Geraden mit der Zusatzregel $\infty \mapsto \infty$ im Fall, da"s unser verallgemeinerter Kreis eine erweiterte Gerade $\hat g$ ist, und die \defind{Inversion} \begin{displaymath} c+\vec v \;\;\mapsto\;\; c + ({r}/{\|\vec v\|})^2\vec v \quad\text{f"ur }\vec v\neq 0 \end{displaymath} mit der Zusatzregel $c \mapsto \infty$ und $\infty \mapsto c$ im Fall eines echten Kreises $K={\op{K}} (c;r)$. Es ist leicht zu sehen, da"s auch im Fall eines echten Kreises $K$ Zentrum und Radius und damit auch die Kreisspiegelung $s_K$ bereits durch die Teilmenge $K\subset E$ eindeutig festgelegt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Offensichtlich gibt es f"ur je zwei verschiedene Punkte einer erweiterten euklidischen Ebene eine Kreisspiegelung, die sie vertauscht.\label{vtKK} \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildMoeBB}\\[4mm] \noindent Eine Kreisspiegelung sowie einige verallemeinerte Kreise und ihre Bilder unter besagter Kreisspiegelung \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Man beachte den fundamentalen Unterschied zwischen der hier betrachteten erweiterten Ebene $\hat E=E \amalg \{ \infty\}$ und der projektiven Vervollst"andigung $\mathbb V E$ von $E$ aus \ref{PrVi}, bei der eine ganze projektive Gerade aus unendlich fernen Punkten zu $E$ mit hinzugenommen wird. Wir werden im weiteren Verlauf sehen, da"s unsere erweiterte Ebene $\hat E$ hier vielmehr eine Variante der komplex-projektiven Gerade alias Riemann'schen Zahlenkugel $\mathbb P^1\DC =\hat\DC=\DC\sqcup\{\infty\}$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kreisspiegelungen erhalten Kreise}] Jede Kreisspiegelung auf einer erweiterten euklidischen Ebene macht verallgemeinerte Kreise zu verallgemeinerten Kreisen.\label{VAKr} \end{Lemma} \begin{proof} Das war bereits "Ubung \eref{GeIn}{LA1}. Es reicht, es f"ur die Kreispiegelung am Einheitskreis im Fall $E=\DR^2$ zu zeigen. Die Schnitte unserer verallgemeinerten Kreise mit $\DR^2$ sind die Nullstellenmengen in $\DR^2$ von Gleichungen der Gestalt $$p\langle x,x\rangle -2\langle x,v\rangle +q$$ f"ur $v\in\DR^2$ und $p,q\in\DR$ mit $\langle v,v\rangle>pq$. Gegeben $x\neq 0$ gilt aber f"ur $y\pdef x/\langle x,x\rangle$ nach kurzer Rechnung \begin{displaymath} p\langle x,x\rangle -2\langle x,v\rangle +q=0\quad \IFF\quad q\langle y,y\rangle -2\langle y,v\rangle +p=0 \end{displaymath} Da"s das mit den Punkten $0$ und $\infty$ auch pa"st, pr"uft man leicht explizit. \end{proof} \begin{Beispiel} Eine Kreisspiegelung an einem echten Kreis macht jeden verallgemeinerten Kreis, der durch sein Zentrum geht, zu einem verallgemeinerten Kreis, der durch $\infty $ geht, mithin zu einer erweiterten Geraden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kreisspiegelungen mit Zirkel und Lineal}] Sei $E$ eine euklidische Ebene. Gegeben ein Kreis $K$ mit Zentrum $c$ und ein Punkt $p\in E$ au"serhalb unseres Kreises k"onnen wir sein Bild unter der Kreisspiegelung $s_K$ mit Zirkel und Lineal konstruieren. Wir zeichnen dazu die Gerade $\overline{pc}$ durch $p$ und $c$ und den Kreis $L$ durch $p$ und $c$ mit Zentrum auf $\overline{pc}$, so da"s gilt $\{p,c\}=\overline{pc}\cap L$. Dann ist notwendig $s_K(L)$ die Gerade durch die beiden Punkte von $K\cap L$ und wir haben $\{s_K(p)\}=\overline{pc}\cap s_K(L)$. Indem wir diese Konstruktion umgekehren, erhalten wir auch eine Konstruktion f"ur die Bildpunkte unter $s_K$ von Punkten innerhalb unseres Kreises. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} % Sei $E$ eine euklidische Ebene. % Wir sagen, da"s sich zwei verallgemeinerte Kreise aus $\hat E$ % {\bf ber"uhren},\index{ber"uhren!verallgemeinerte Kreise} % wenn sie genau einen Punkt gemeinsam haben. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $E$ eine euklidische Ebene. Gegeben ein verallgemeinerter Kreis $K\subset \hat E$ zerf"allt $E\backslash K$ in zwei Wegzusammenhangskomponenten. Nehmen wir im Fall $\infty\not\in K$ zur unbeschr"ankten Komponente noch den Punkt $\infty$ hinzu, so erhalten wir f"ur jeden verallgemeinerten Kreis $K\subset \hat E$ eine Partition $$\hat E=K\sqcup K^b\sqcup K^u$$ mit $s_K:K^b\sira K^u$. Im Fall eines echten Kreises meint $K^u$ die unbeschr"ankte Komponente zusammen mit dem Punkt $\infty$ und $K^b$ die beschr"ankte Komponente. Ansonsten sei die Indizierung willk"urlich gew"ahlt. Es w"are nat"urlicher, f"ur jeden verallgemeinerten Kreis $K\subset \hat E$ und jeden Punkt $p\in\hat E\backslash K$ gleich die disjunkte Zerlegung $\hat E=K\sqcup K^{\ni p}\sqcup K^{\not\ni p}$ einzuf"uhren, aber so weit will ich hier nicht gehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $E$ eine euklidische Ebene. Gegeben verallgemeinerte Kreise $K,L\subset \hat E$ sind wir in genau einem der folgenden vier F"alle:\label{KBKZ} \begin{enumerate} \item Es gilt $K\cap L=\emptyset$ und $L$ ist entweder in $K^u$ oder in $K^b$ enthalten. Wir sagen, die Kreise sind {\bf disjunkt}; \item Es gilt $|K\cap L|=1$ und $L$ liegt entweder in $K\cup K^u$ oder in $K\cup K^b$. Wir sagen, die Kreise {\bf ber"uhren sich}; \item Es gilt $|K\cap L|=2$ und $L$ trifft $K$, $K^u$ und $K^b$. Wir sagen, die Kreise {\bf schneiden sich transversal}; \item Es gilt $K=L$. Wir sagen, die Kreise {\bf sind gleich}. \end{enumerate} Insbesondere ist klar, da"s sich zwei verallgemeinerte Kreise genau dann ber"uhren, wenn sich ihre Bilder unter einer beliebigen Kreisspiegelung ber"uhren. Ich verzichte auf einen formalen Beweis der in der obigen Fallunterscheidung enthaltenen Behauptungen in der Erwartung, da"s sich der Leser davon leicht selbst in der von ihm gew"unschten Ausf"uhrlichkeit und Exaktheit wird "uberzeugen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKrSch}\\[4mm] \noindent Kreisschrumpfung zur L"osung des Appollonischen Problems \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Apollonisches Problem}] Es geht erst einmal ganz salopp gesprochen darum, Kreise zu konstruieren, die drei verschiedene vorgegebene Kreise ber"uhren. Manchmal gibt es gar keine L"osung, wenn n"amlich ein Kreis die beiden anderen trennt.\label{Apol} Es kann bis zu acht L"osungen geben. Ich diskutiere nun beispielhaft den Fall, da"s wir drei paarweise disjunkte echte Kreise vor uns haben, von denen keiner in einem anderen enthalten ist. Wir suchen einen verallgemeinerten Kreis, der sie alle ber"uhrt und so, da"s sie alle in derselben Komponente seines Komplements liegen. Indem wir die Radien unserer drei vorgegebenen Kreise um den Radius des kleinsten schrumpfen, k"onnen wir uns auf den ausgearteten Fall zur"uckziehen, da"s mindestens einer unserer drei Ausgangskreise ein Punkt ist. Indem wir eine Kreisspiegelung an einem Kreis mit Zentrum in diesem besagten Punkt durchf"uhren, wird der gesuchte Kreis eine zu suchende Gerade und wir k"onnen uns weiter auf das Problem zur"uckziehen, gemeinsame Tangenten an zwei vorgegebene Kreise zu finden. Das aber ist nun nicht mehr weiter schwierig. \end{Bemerkungl} \subsection{M"obiustransformationen}\label{MoeT} \begin{Bemerkungl} Sei $E$ eine euklidische Ebene. Wir erinnern an ihre Vervollst"andigung $\hat E\pdef E\sqcup \{\infty\}$ und an verallgemeinerte Kreise $K\subset \hat E$ und an die Spiegelung an einem verallgemeinerten Kreis $s_K:\hat E\ra \hat E$. Eine Verkn"upfung von Spiegelungen an verallgemeinerten Kreisen hei"st eine {\bf M"obiustransformation}.\index{M"obiustransformation} Die M"obiustransformationen bilden eine Untergruppe $$\op{M\ddot{o}b}=\op{M\ddot{o}b}(\hat E)\subset \op{Ens}^\times(\hat E)$$ der Gruppe der Permutationen der erweiterten Ebene $\hat E=E\sqcup\{\infty\}$. Alle M"obiustransformationen machen nach \ref{VAKr} verallgemeinerte Kreise zu verallgemeinerten Kreisen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{M"obiustransformationen, die den Punkt $\infty$ festhalten}] Sei $E$ eine euklidische Ebene. Die M"obiustransformationen von $\hat E$, die den Punkt $\infty$ festhalten, sind genau\label{pinhz} alle Fortsetzungen durch $\infty\mapsto\infty$ von "Ahnlichkeiten von $E$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der folgende Beweis zeigt allgemeiner f"ur eine euklidische Ebene $E$, da"s jede bijektive Selbstabbildung von $\hat E$ mit Fixpunkt $\infty$, die verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreisen "uberf"uhrt, eine Fortsetzung durch $\infty\mapsto\infty$ einer "Ahnlichkeit von $E$ sein mu"s. Insbesondere sind mit \ref{vtKK} alle bijektiven Selbstabbildungen von $\hat E$, die verallgemeinerte Kreise\label{MoeCh} in verallgemeinerte Kreise "uberf"uhren, bereits M"obiustransformationen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $E=\DR^2$. Alle \hyperref[Isokm]{\"Ahnlichkeiten} von $\DR^2$ liefern, wenn man sie durch die Vorschrift $\infty\mapsto\infty$ fortsetzt, M"obiustransformationen. In der Tat erh"alt man alle Kongruenzen durch sukzessive Spiegelungen an Geraden und alle Streckungen mit positivem Streckfaktor als Verkn"upfung der Kreisspiegelungen an zwei konzentrischen echten Kreisen. Sei nun umgekehrt $\varphi$ eine M"obiustransformation mit $\varphi(\infty)=\infty$. So "uberf"uhrt die induzierte Abbildung $\varphi:\DR^2\sira \DR^2$ Geraden in Geraden und ist damit nach \eref{IAGe}{LA1} schon einmal affin. Wir finden andererseits eine "Ahnlichkeit $\psi:\DR^2\sira \DR^2$ derart, da"s $\psi\varphi$ sowohl $(0,0)$ als auch $(1,0)$ festh"alt. Da dann $\psi\varphi$ affin ist und $(0,0)$ festh"alt, mu"s $\psi\varphi$ linear sein. Da $\psi\varphi$ au"serdem $(1,0)$ festh"alt und echte Kreise in echte Kreise "uberf"uhrt, mu"s $\psi\varphi$ L"angen von Vektoren erhalten und ist damit eine orthogonale Abbildung, genauer die Identit"at oder die Spiegelung an der $x$-Achse. Also ist auch $\varphi$ eine "Ahnlichkeit. \end{proof} \begin{Lemma}\label{TrVK} Je zwei verallgemeinerte Kreise k"onnen durch eine M"obiustransformation ineinander "uberf"uhrt werden. \end{Lemma} \begin{proof} Je zwei erweiterte Geraden k"onnen offensichtlich ineinander "uberf"uhrt werden, und jeder echte Kreis kann in eine erweiterte Gerade "uberf"uhrt werden durch eine Kreisspiegelung an einem echten Kreis mit Zentrum auf unserem echten Kreis. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung von Kreispiegelungen}] Jede M"obius\-transformation, die einen vorgegebenen verallgemeinerten Kreis $K$ punktweise festh"alt, ist die Kreisspiegelung $s_K$ an besagtem Kreis oder die Identit"at.\label{CharKL} \end{Proposition} \begin{proof} Da sich nach \ref{TrVK} je zwei verallgemeinerte Kreise durch eine M"obiustransformation ineinander "uberf"uhren lassen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, unser $K$ sei eine erweiterte Gerade. Nach \ref{pinhz} m"ussen wir also nur zeigen, da"s alle "Ahnlichkeiten, die eine erweiterte Gerade punktweise festhalten, entweder die Identit"at oder die Spiegelung an besagter Gerade sind. Das ist aber klar. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben eine M"obiustransformation $\varphi$ und ein verallgemeinerter Kreis $K$ gilt $\varphi s_K\varphi^{-1}=s_{\varphi(K)}$.\label{KSPO} \end{Korollar} \begin{proof} Beide Seiten sind M"obiustransformationen, die nicht die Identit"at sind und den verallgemeinerten Kreis $\varphi(K)$ punktweise festhalten. Das Korollar folgt so aus der Charakterisierung von Kreispiegelungen \ref{CharKL}. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben eine M"obiustransformation $\varphi$ und ein verallgemeinerter Kreis $K$ ist $\varphi(K)=K$ gleichbedeutend zu $\varphi s_K= s_K\varphi$.\label{juew} \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus dem vorhergehenden Korollar \ref{KSPO}. \end{proof} \begin{Definition} Sei $E$ eine euklidische Ebene. Gegeben verallgemeinerte Kreise $K,L\subset \hat E$ sagen wir, {\bf $K$ stehe senkrecht auf $L$}\label{senkK} und schreiben $K\perp L$, wenn gilt $K\neq L $ und $s_Ks_L=s_Ls_K$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Anschauung}] Nach \ref{juew} ist $s_Ks_L=s_Ls_K$ gleichbedeutend zur Bedingung $s_K(L)=L$, die vielleicht besser unserem anschaulichen Begriff von Senkrechtstehen entspricht, die aber weniger symmetrisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Differentialgeometrie}] Wenn Sie etwa aus \eref{MFoR}{AN2} wissen, welche Teilmengen $M\subset E$ \glqq eindimensionale $\mathcal C^1$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten\grqq\ hei"sen, und etwa aus \eref{TaBu}{AN2}, wie f"ur jeden Punkt $p\in M$ solch einer Untermannigfaltigkeit der \glqq Tangentialraum\grqq\ ${\op{T}}_pM\subset \vec E$ erkl"art wird, so werden Sie unschwer erkennen, da"s die Schnitte unserer verallgemeinerten Kreise mit $E$ eindimensionale $\mathcal C^1$-Untermannigfaltigkeiten sind und da"s zwei verallgemeinerte Kreise $K,L$ genau dann aufeinander senkrecht stehen im Sinne der obigen Definition, wenn sie mindestens einen Schnittpunkt in $E$ haben und wenn f"ur jeden Punkt $p\in K\cap L$ mit $p\neq\infty$ gilt ${\op{T}}_pK\perp {\op{T}}_pL$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Sei $E$ eine euklidische Ebene. Sind $K,L\subset\hat E$ verallgemeinerte Kreise mit $K\perp L$ und ist $\varphi$ eine M"obiustransformation, so gilt auch $\varphi(K)\perp\varphi(L)$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Wenn Sie bereits etwas mit den Anf"angen der Funktionentheorie vertraut sind, mag Ihnen bekannt sein, da"s alle biholomorphen Abbildungen \glqq winkeltreu\grqq\ sind. Mit den Resultaten des folgenden Abschnitts oder Grundkenntnissen in Differentialgeometrie folgt leicht, da"s auch alle M"obiustransformationen \glqq winkeltreu\grqq\ sind. Ich will aber an dieser Stelle nicht diskutieren, was das nun ganz genau bedeuten soll. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Kommutieren die Kreisspiegelungen $s_K$ und $s_L$, so gilt dasselbe f"ur die Kreisspiegelungen $s_{\varphi(K)}=\varphi s_K\varphi^{-1}$ und $s_{\varphi(L)}=\varphi s_L\varphi^{-1}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben zwei disjunkte verallgemeinerte Kreise $K,L$ verstehen wir unter einer {\bf geschlossenen Kreiskette zwischen $K$ und $L$}\index{Kreiskette} eine Familie $$M_1,\ldots,M_n$$ von verallgemeinerten Kreisen, die alle $K$ und $L$ ber"uhren und so, da"s $M_i$ und $M_{i+1}$ sich f"ur $i=1,\ldots,n-1$ jeweils auch untereinander ber"uhren und da"s $M_n$ auch $M_1$ ber"uhrt, da"s aber $M_i$ und $M_j$ sonst disjunkt sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKKSt}\\[4mm] \noindent Illustration zum Kreiskettensatz. Da sich die durchgezogen eingezeichnete Kreiskette schlie"st, mu"s sich auch die nur teilweise und gestrichelt eingezeichnete Kreiskette schlie"sen und mu"s dann ebenfalls aus acht Kreisen bestehen. \end{Bild} \begin{Satz}[\textbf{Kreiskettensatz von Steiner}] Seien zwei disjunkte Kreise gegeben.\label{KvSk} Geh"ort ein Kreis, der sie beide ber"uhrt, zu einer geschlossenen Kreiskette zwischen unseren beiden disjunkten Kreisen, so geh"ort jeder Kreis, der sie beide ber"uhrt, zu einer geschlossenen Kreiskette zwischen unseren beiden disjunkten Kreisen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In diesem Satz und seinem Beweis sind Kreise, wenn nicht explizit etwas anderes gesagt wird, stets im verallgemeinerten Sinne zu verstehen. Wenn man den Satz auf den Fall von zwei echten Kreisen $K,L$ spezialisiert, von denen einer im anderen liegt, in Formeln $L\subset K^b$, so mu"s man das noch nicht einmal dazusagen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} F"ur zwei disjunkte konzentrische echte Kreise ist das klar. F"ur zwei beliebige disjunkte Kreise gilt es offensichtlich genau dann, wenn es f"ur ihre Bilder unter irgendeiner M"obiustransformation gilt. Es reicht also zu zeigen, da"s wir f"ur je zwei disjunkte Kreise eine M"obiustransformation finden, die sie in konzentrische echte Kreise "uberf"uhrt. Das schlie"slich leistet das folgende Lemma \ref{Konzz}. \end{proof} \begin{Lemma} Zu je zwei disjunkten verallgemeinerten Kreisen $K,L$ finden wir eine M"obiustransformation,\label{Konzz} die sie in konzentrische echte Kreise "uberf"uhrt. \end{Lemma} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $L$ eine erweiterte Gerade ist. Dann ist notwendig $K$ ein echter Kreis. Nun finden wir sicher eine erweiterte Gerade $A$ mit $A\perp L$ durch das Zentrum von $K$, also mit $A\perp K$. Au"serdem finden wir mit elementaren Konstruktionen einen echten Kreis $B$ mit Zentrum in $A\cap L$, der auf $K$ senkrecht steht. F"ur jede Inversion $s$ an einem Punkt von $A\cap B$ sind dann $s(A)$ und $s(B)$ aufeinander senkrechte erweiterte Geraden, die beide auf $s(K)$ und $s(L)$ senkrecht stehen. Damit aber sind $s(K)$ und $s(L)$ konzentrische echte Kreise. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Bemerkungl} Die folgenden vier "Ubungen \ref{vaKp}, \ref{Mtrzp}, \ref{Mtrzq} und \ref{Mtrzj} werden wir bei unserer Konstruktion \ref{KvP} einer nichteuklidischen Ebene ben"otigen. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Gegeben ein verallgemeinerter Kreis $L$ und zwei Punkte $p,q$ gibt es stets einen verallgemeinerten Kreis $K$,\label{vaKp} der durch unsere beiden Punkte geht und auf $L$ senkrecht steht. %Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit ist der erste verallgemeinerte Kreis eine erweiterte Gerade. Unter der Annahme $p\neq q, s_L(q)$ ist $K$ eindeutig bestimmt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben zwei verallgemeinerte Kreise $K\perp L$ und zwei Punkte $p,q\in L\backslash K$ gibt es stets eine\label{Mtrzp} M"obiustransformation, die unsere beiden verallgemeinerten Kreise stabilisiert und den einen Punkt auf den anderen abbildet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben zwei verallgemeinerte Kreise, die beide auf einem Dritten senkrecht stehen, gibt es stets eine\label{Mtrzq} M"obiustransformation, die den Dritten stabilisiert und den Ersten auf den Zweiten abbildet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Es gibt genau zwei\label{Mtrzj} M"obiustransformationen von $\DR^2\sqcup\{\infty\}$, die sowohl die erweiterte $x$-Achse als auch das St"uck $\{(0,y)\mid 00\}\subset \DC$ die durch die reelle Achse begrenzte offene obere Halbebene und $\op{M\ddot{o}b}_{\mathbb H}(\hat\DC)$ die Gruppe aller M"obiustransformationen, die diese offene Halbebene stabilisieren. Wir setzen $\tau\pdef \op{diag}(1,-1)$. Man zeige, da"s unser surjektiver Gruppenhomomorphismus $\op{GL}(2;\DR)\langle\gamma\rangle \sra\op{M\ddot{o}b}_{\hat\DR}(\hat\DC)$ aus \ref{bdeh} einen surjektiven Gruppenhomomorphismus\label{SLPo} $$\op{SL}(2;\DR)\langle \tau\gamma\rangle \sra\op{M\ddot{o}b}_{\mathbb H}(\hat\DC)$$ mit Kern $\pm\op{I}$ induziert, wobei das Bild von $\op{SL}(2;\DR)$ gerade $\op{M\ddot{o}b}_{\mathbb H}(\hat\DC)\cap \op{M\ddot{o}b}^+(\hat\DC)$ ist und $ \tau\gamma$ der Spiegelung an der imagin"aren Achse $\DR {\op{i}}$ entspricht. Explizit wird diese Operation von $\op{SL}(2;\DR)\langle \tau\gamma\rangle$ auf $\mathbb H$ gegeben durch die Formeln $$ {{a\;b}\choose{c\;d}}z=\frac{c+dz}{a+bz}\qquad\text{und}\qquad (\tau\gamma)z=-\bar z. $$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Die Hemisph"are als homogener Raum}] Man zeige, da"s die in \ref{SLPo} konstruierte Operation von $\op{SL}(2;\DR)$ auf $\mathbb H$ transitiv ist und da"s $\op{SO}(2)$ die Standgruppe von ${\op{i}}$ ist. Unsere Operation induziert mithin eine Bijektion\label{SLSO} $$\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)\sira \mathbb H$$ A forteriori induziert die in \ref{SLPo} konstruierte Operation von $\op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle$ auf $\mathbb H$ eine Bijektion $\op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle/\op{SO}(2)\langle\tau \gamma\rangle\sira \mathbb H$ und die Fixpunktmenge von $\tau \gamma$ ist die offene halbe imagin"are Achse $\mathbb H^{\tau \gamma}= {\op{i}}\DR_{>0}$. Im "ubrigen induziert die Operation von $\op{SL}(2;\DR)$ auf ${\op{i}}\in \mathbb H$ eine Bijektion der Untergruppe $\{\op{diag}(\lambda,\lambda^{-1})\mid \lambda \in \DR_{>0}\}$ mit unserer Fixpunktmenge $\mathbb H^{\tau \gamma}$. \end{Ubung} \subsection{Die hyperbolische Ebene} \begin{Bemerkungl} "Uber zweitausend Jahre lang wurde die Geometrie nach einem axiomatischen Aufbau gelehrt, den Euklid in seinen \glqq Elementen\grqq\ niedergelegt hat. Dieses Buch war auch ein Modell f"ur den axiomatischen Aufbau einer Theorie "uberhaupt und spielte damit eine zentrale Rolle beim Aufbau der modernen Mathematik. Als Grundlage f"ur die heutige Mathematik reichen jedoch Euklid's Definitionen wie etwa \glqq Ein Punkt ist, was keine Teile hat\grqq\ oder \glqq Eine Linie ist eine breitenlose L"ange\grqq\ nicht mehr aus. Stattdessen bauen wir die heutige Mathematik seit Cantor auf den Begriffen der Mengenlehre auf. Nat"urlich sind die Grundbegriffe der naiven Mengenlehre "ahnlich vage, aber hier existiert mittlerweile in der Logik ein solider Unterbau, auf den man sich im Notfall st"utzen kann. Eine Formalisierung der Ebene des Euklid im Rahmen der Mengenlehre sind unsere fasteuklidischen Ebenen mit Parallelenaxiom aus \ref{CeEx}. Wir haben dort auch gezeigt, da"s und wie die Strukturen auf einer Menge $X$ als fasteuklidische Ebene mit Parallelenaxiom eineindeutig den Strukturen auf derselben Menge $X$ als euklidische Ebene im Sinne der linearen Algebra \eref{Eukl}{LA2} entsprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} "Uber Jahrhunderte ist versucht worden, das Parallelenaxiom aus den anderen Axiomen von Euklid herzuleiten, bis man im 19.-ten Jahrhundert Geometrien fand, die alle Axiome von Euklid mit Ausnahme des Parallelenaxioms erf"ullen. Sie hei"sen die {\bf nichteuklidischen Geometrien}.\index{nichteuklidisch!Geometrie} Wir geben nun eine unserer Axiomatik angepa"ste Pr"azisierung f"ur die Behauptung der Existenz nichteuklidischer Geometrien. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Nichteuklidische Geometrien}] Es gibt \hyperref[supP]{fasteuklidische Geometrien}, in denen das Parallelenaxiom nicht gilt.\label{EnG} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis besteht in der Konstruktion eines Beispiels, ja einer ganzen Klasse von paarweise isomorphen Beispielen, die unter dem Oberbegriff der {\bf hyperbolischen Ebene}\index{hyperbolische Ebene} zusammengefa"st werden. F"ur den Beweis unseres Satzes reicht nat"urlich eines dieser Beispiele bereits aus. Die anderen Beispiele aber helfen, diese Struktur besser zu verstehen. \nichtfinal{Man kann sogar zeigen, da"s es bis auf Isomorphismus "uberhaupt nur ein einziges Beispiel gibt, aber das w"urde den Rahmen dieser Vorlesung sprengen.} \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPKrSch}\\[4mm] \noindent Kreisscheibe von Poincar\'e mit einer Gerade $g$ und einem Punkt $p$ au"serhalb dieser Gerade und zwei verschiedenen Parallelen zu $g$ durch den Punkt $p$ \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kreisscheibenmodell der hyperbolischen Ebene}] Als Punktmenge $X$ nehmen wir alle Punkte der offenen Einheitskreisscheibe $$X\pdef \{x+{\op{i}}y\in\DC\mid x^2+y^2<1\}$$ Als Geraden nehmen wir alle Schnitte mit der offenen Einheitskreisscheibe von\label{KvP} solchen verallgemeinerten Kreisen alias gew"ohnlichen Kreisen oder Geraden, die auf dem Einheitskreis senkrecht stehen. Nach \ref{vaKp} ist das eine Inzidenzgeometrie. Als Zwischenrelation nehmen wir die offensichtliche und verzichten auf das formale Pr"ufen der Eigenschaften, das keine wesentlichen Schwierigkeiten aufwirft und dem Leser leicht selbst gelingen wird. Als Gruppe $K$ von Kongruenzen schlie"slich nehmen wir die Gruppe aller M"obiustransformationen, die die offene Einheitskreisscheibe in sich selber "uberf"uhren. Mit den "Ubungen \ref{Mtrzp} und \ref{Mtrzq} und \ref{Mtrzj} sieht man leicht, da"s es f"ur je zwei Halbgeraden $A,B$ in $X$ genau zwei Transformationen $h,k\in K$ gibt mit $h(A)=k(A)=B$. Da"s es in dieser Inzidenzgeometrie durch einen Punkt au"serhalb einer Geraden mehr als eine Parallele zu besagter Geraden gibt, ist offensichtlich. Dieses Modell der hyperbolischen Ebene hei"st die {\bf Kreisscheibe von Poincar\'e}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halbebenenmodell der hyperbolischen Ebene}] Die offene Einheitskreisscheibe k"onnen wir mithilfe einer M"obiustransformation bijektiv mit der oberen Halbebene $\mathbb H\pdef \{x+{\op{i}}y\in\DC\mid y>0\}$ identifizieren. Unter einer und jeder solchen Identifikation entsprechen die M"obiustransformationen den M"obiustransformationen. Weiter entsprechen die verallgemeinerten Kreise, die senkrecht auf dem Einheitskreis stehen, den verallgemeinerten Kreisen, die senkrecht auf der erweiterten reellen Achse stehen. Wir erhalten so ein weiteres Modell derselben Struktur, die {\bf obere Halbebene von Poincar\'e}\index{Poincar\'e!obere Halbebene} $$X=\mathbb H$$ Im Bild der Kreisscheibe sind die durch Rotation gegebenen Automorphismen besonders gut zu sehen, im Bild der oberen Halbebene die durch Translation in Richtung der reellen Achse gegebenen Automorphismen. F"ur die Kongruenzgruppe $K$ liefert \ref{SLPo} in diesem Modell einen Gruppenisomorphismus $\op{PSL}(2;\DR)\sira K^+$ mit den Notationen $\op{PSL}(2;\DR)\pdef \op{SL}(2;\DR)/{\pm{\op{I}}}$ und $K^+\pdef K\cap \op{M\ddot{o}b}^+(\hat\DC)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppentheoretisches Modell der hyperbolischen Ebene}] Das Modell der oberen Halbebene f"uhrt mit unseren Bijektionen aus \ref{SLSO} zum {\bf gruppentheoretischen Modell} als die Nebenklassenmenge $$X\pdef \op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)$$ oder "aquivalent $X\pdef \op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle/\op{SO}(2)\langle\tau \gamma\rangle$. In diesem Modell ist unsere Kongruenzgruppe $K$ das Bild des durch Linksmultiplikation gegebenen Gruppenhomomorphismus $\op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle\ra \op{Ens}^\times(X)$. Eine erste Gerade ist die Fixpunktmenge $X^{\tau\gamma}$, die anderen Geraden sind die Bilder dieser Gerade unter $K$. In diesem Modell sind alle Automorphismen gut zu sehen, aber die Struktur als Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation ist weniger offensichtlich und ich kann sie von unserem Kenntnisstand aus nur "uber die Isomorphie mit den anderen Modellen begr"unden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Hyperboloidmodell der hyperbolischen Ebene}] Die Gruppe $\op{SL}(2;\DR)$ operiert durch Konjugation auf dem reellen Vektorraum $\mathfrak{sl}(2;\DR)$ aller reellen $(2\times 2)$-Matrizen mit Spur Null. Man pr"uft unschwer, da"s die Standgruppe von ${\;\;0\;\;\;1}\choose{-1\;\;0}$ gerade $\op{SO}(2)$ ist und die Bahn dieses Elements unter $\op{SL}(2;\DR)$ die Menge aller spurlosen Matrizen $A$ der Gestalt $ {a\;\;\;\;b}\choose{c\;-a}$ mit $\op{tr}(A^2)=2(a^2+bc)=-2$ und $b>0$. Diese Bahn ist also ein Hyperboloid und ebenfalls in Bijektion zu $\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)$. Daher mag auch die Bezeichnung als {\bf hyperbolische Ebene}\index{hyperbolische Ebene} r"uhren. In Hyperboloidmodell kann man die Inzidenzstruktur gut sehen, die Geraden sind in diesem Fall genau alle nichtleeren Schnitte von zweidimensionalen Untervektorr"aumen von $\mathfrak{sl}(2;\DR)$ mit unserem Hyperboloid. Das Hyperboloidmodell ist jedoch schwer zu zeichnen, da es sich um eine Fl"ache im dreidimensionalen Raum handelt. F"uhren wir neue Koordinaten ein durch $a=x$, $b=y+z$ und $c=y-z$, so wird unser Hyperboloid gegeben durch die Gleichung $x^2+y^2-z^2=-1$ und die Zusatzbedingung $z>0$, wir haben also in Formeln $$X=\{(x,y,z)\in\DR^3\mid x^2+y^2-z^2=-1,z>0\}$$ Diese Definition verallgemeinern wir in \eref{hypR}{DIFF} zur Definition des \glqq $n$-dimensionalen hyperbolischen Raums\grqq, einer speziellen \glqq riemannschen Mannigfaltigkeit\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klein'sches Modell der hyperbolischen Ebene}] Es ist klar, da"s die Zentralprojektion mit Augpunkt im Ursprung auf die affine Ebene $\{(x,y,1)\}$ unser Hyperboloid bijektiv mit der offenen Kreisscheibe $\{(x,y,1)\mid x^2+y^2<1\}$ identifiziert. Unter dieser Bijektion entsprechen die Geraden unserer Inzidenzstruktur den mehrpunktigen Schnitten von Geraden mit der besagten Kreisscheibe alias den \glqq Sehnen\grqq. Insbesondere ist dies Modell verschieden von der Kreisscheibe von Poincar\'e. Es hei"st das {\bf Klein'sche Modell}\index{Klein'sches Modell} der hyperbolischen Ebene. In diesem Modell ist die Inzidenzstruktur mit Zwischenrelation besonders gut zu sehen, aber die meisten Kongruenzen sind eher schwer zu sehen. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Sind die Automorphismen der hyperbolischen Ebene \glqq als Inzidenzgeometrie\grqq\ auch nur genau die M"obiustransformationen?} \subsection{M"obiusgeometrie in beliebigen Dimensionen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spiegelungen an verallgemeinerten Sph"aren}] Sei $E$ ein endlichdimensionaler euklidischer Raum mit L"angengerade $\mathbb L$. Wir setzen $\hat E\pdef E\amalg \{\infty \}$. Eine Teilmenge $$K\subset \hat E$$ hei"se eine \defind{verallgemeinerte Sph"are},\index{Sph"are!verallgemeinerte} wenn\index{M"obiusgeometrie}\label{MoGe} sie entweder eine Sph"are in $E$ ist, also $K={\op{K}}(c;r)\pdef\{x\in E\mid \|x-c\|=r\}$ f"ur $c\in E$ und $r\in\mathbb L_{>0}$, oder aber eine affine Hyperebene disjunkt vereinigt mit der einpunktigen Menge $\{\infty\}$. Im ersten Fall sprechen wir von einer {\bf echten Sph"are},\index{Sph"are!echte} im Zweiten von einer {\bf erweiterten Hyperebene}.\index{Hyperebene!erweiterte} Die Bezeichnung $K$ r"uhrt von der alternativen Bezeichnung einer Sph"are als \glqq Kugelschale\grqq\ her. Jeder verallgemeinerten Sph"are $K$ ordnen wir eine Abbildung $$s_K:\hat E \ra \hat E$$ zu, die wir die \defnoind{Spiegelung an unserer verallgemeinerten Sph"are}\index{Spiegelung!an Sph"are} nennen, und zwar die "ubliche Spiegelung $E \ra E$ mit der Zusatzregel $\infty \mapsto \infty$ im Fall, da"s unsere verallgemeinerte Sph"are eine Hyperebene ist, und die \defind{Inversion} \begin{displaymath} y \mapsto c + \frac{r^2}{\|y-c\|^2} (y-c) \end{displaymath} mit der Zusatzregel $c \mapsto \infty$ und $\infty \mapsto c$ im Fall einer echten Sph"are $K={\op{K}} (c;r)$. Die von Spiegelungen an verallgemeinerten Sph"aren erzeugte Untergruppe von $\op{Ens}^\times(\hat E)$ hei"st die \defind{M"obiusgruppe} $\op{M\ddot{o}b}(\hat E)$ und ihre Elemente hei"sen {\bf M"obiustransformationen}.\index{M"obiustransformation} Die von allen Verkn"upfungen von zwei solchen Spiegelungen erzeugte Untergruppe hei"st die Gruppe der {\bf orientierungserhaltenden M"obius\-trans\-for\-ma\-tio\-nen}. Sie besteht genau aus denjenigen M"obiustransformationen, deren Differential \eref{DeDii}{AN2} an jeder Stelle von $E$, die nicht gerade nach $\infty$ abgebildet wird, die Orientierung erh"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{M"obiustransformationen erhalten verallgemeinerte Sph"aren}] M"o\-bius\-transformationen "uberf"uhren verallgemeinerte Sph"aren stets in verallgemeinerte Sph"aren. Man erkennt das, indem man die Argumentation aus \ref{VAKr} wiederholt. Andererseits zeigt man wie in \ref{TrVK} auch in beliebiger Dimension leicht, da"s sich je zwei verallgemeinerte Sph"aren durch eine M"obiustransformation ineinander "uberf"uhren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Identifikation der erweiterten Ebene mit einer Sph"are}] Gegeben ein euklidischer Raum mit einer Hyperebene $ E\supset H $ induziert die Inversion an jeder echten Sph"are $K\subset E$, deren Mittelpunkt nicht auf $H$ liegt, eine Bijektion\label{iSpp} $$\hat H\sira L$$ von der erweiterten Hyperebene $\hat H=H\sqcup\{\infty\}$ mit einer echten Sph"are $L\subset E$. Man pr"uft unschwer, da"s es genau eine Topologie auf $\hat H$ gibt, f"ur die alle diese Bijektionen Hom"oomorphismen sind. So versehen wir unsere erweiterten R"aume und insbesondere auch $\DP^1\DC=\DC\amalg\{\infty\}$ mit einer Topologie. Will man an diese Vorstellung appellieren, so nennt man $\DP^1\DC$ die {\bf Riemann'sche Zahlenkugel}. \index{Zahlenkugel}\index{Riemann'sche Zahlenkugel} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kreise auf der Riemann'sche Zahlenkugel}] Unter jeder der Identifikationen $S^2\sira \DR^2\amalg\{\infty\}$ aus \ref{iSpp} entsprechen die anschaulichen Kreise auf der Einheitssph"are genau unseren verallgemeinerten Kreisen in $\DR^2\amalg\{\infty\}$. In der Tat haben wir unsere Identifikation ja als die Restriktion einer M"obiustransformation auf $ \DR^3\amalg\{\infty\}$ konstruiert, und diese mu"s mehrpunktige Schnitte von zwei verallgemeinerten Sph"aren auf ebensolche abbilden. \end{Bemerkungl} \begin{figure}\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMoe}\\[4mm] \noindent Der gestrichelte Kreis wird durch die \glqq stereographische Projektion\grqq\ mit der gestrichelten Geraden identifiziert. Demn"achst werden Sie diese Abbildung auch als \glqq Inversion\grqq\ am durchgezogenen Kreis verstehen lernen. Diese Inversion h"alt jeden Punkt auf dem durchgezogenen Kreis fest und wirft sein Zentrum nach $\infty$. Folglich vertauscht die Inversion am durchgezogenen Kreis den gestrichelten Kreis mit der gestrichelten Geraden. Die gezackte Gerade oder vielmehr der zugeh"orige verallgemeinerte Kreis wird von besagter Inversion auf sich selbst geworfen, folglich wirkt unsere Inversion auf den Punkten des gestrichelten Kreises wie die stereographische Projektion. \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Reelle Formen und verallgemeinerte Kreise}] Man zeige: Unter der Komposition $\op{Pot}(\DC^{2})\ra \op{Pot}(\DC^{2}\backslash 0) \ra \op{Pot}(\DC\amalg\{\infty\})\sira \op{Pot}(\DR^2\amalg\{\infty\})$ der offensichtlichen Abbildungen wird das System $\op{ReFo}\subset \op{Pot}(\DC^{2})$ der reellen Formen nach \eref{rFFo}{LA2} von $\DC^{2}$ auf das System $\op{VerKr}\subset \op{Pot}(\DR^2\amalg\{\infty\})$ der verallgemeinerten Kreise abgebildet. Hinweis: Das System der verallgemeinerten Kreise ist die Bahn der erweiterten $x$-Achse in $\op{Pot}(\DR^2\amalg\{\infty\})$ unter der Gruppe der M"obiustransformationen. Unter der so gegebenen Surjektion $\op{ReFo}\sra \op{VerKr}$ oder ausgeschrieben $$\big\{\text{Reelle Formen von }\DC^2\big\}\sra \big\{\text{Verallgemeinerte Kreise in }\DR^2\amalg\{\infty\}\big\}$$ werden zwei reelle Formen genau dann auf denselben verallgemeinerten Kreis abgebildet, wenn sie durch die Multiplikation mit einer von Null verschiedenen komplexen Zahl auseinander hervorgehen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IvKK} Man zeige, da"s Inversionen Winkel erhalten in dem Sinne, da"s ihr Differential an jedem vom Zentrum der Inversion verschiedenen Punkt Winkel erh"alt. Hinweis: Es reicht zu zeigen, da"s \emph{eine} Orthonormalbasis unter dem Differential an jedem festen Punkt eine mit einem festen Faktor skalierte Orthonormalbasis wird. Man betrachte hierzu Orthonormalbasen, bei denen ein Vektor die Richtung vom Zentrum der Inversion zu unserem festen Punkt angibt. Alternativ l"ost das auch \eref{InKo}{AN2} in sogar noch gr"o"serer Allgemeinheit. \end{Ubung} % \begin{figure}[p]\centering % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMoe}\\[4mm] % \noindent % Die Inversion an dem als durchgezogene Linie % eingezeichneten Kreis h"alt jeden Punkt auf dem Kreis fest und % wirft sein Zentrum nach $\infty$. Folglich vertauscht % diese Inversion den gestrichelten Kreis mit % der gestrichelten Geraden. Die gezackte % Gerade oder vielmehr der zugeh"orige % verallgemeinerte Kreis wird von der Inversion auf sich selbst geworfen, % folglich wirkt unsere Inversion auf den Punkten des % gestrichelten Kreises wie die stereographische Projektion. % \end{figure} \begin{Ubunge}\label{MTFP} Sei $E$ ein endlichdimensionaler euklidischer Raum. Die M"obiustransformationen $\hat E\ra\hat E$ mit Fixpunkt $\infty$ sind genau die Fortsetzungen der "Ahnlichkeiten von $E$ durch die Vorschrift $\infty\mapsto \infty$. Hinweis: Mithilfe von \eref{IAGe}{LA1} folgere man dann, da"s unsere Abbildung auf $E$ affin sein mu"s. Mit \eref{AEH}{LA2} folgere man dann, da"s diese affine Abbildung eine "Ahnlichkeit sein mu"s. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{KMTz} Sei $E$ ein endlichdimensionaler euklidischer Raum einer Dimension $\dim E\geq 2$. Man zeige, da"s jede bijektive Abbildung $\hat E\sira \hat E$ mit der Eigenschaft, da"s das Bild jeder verallgemeinerten Sph"are eine verallgemeinerte Sph"are ist, bereits eine M"obiustransformation sein mu"s. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall zur"uck, da"s $\infty$ ein Fixpunkt unserer Abbildung ist, so da"s man \ref{MTFP} anwenden kann. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{MTEE} Wir betrachten f"ur $n\geq 1$ das Anf"ugen einer Null $\DR^{n}\amalg\{\infty\}\hra \DR^{n+1}\amalg\{\infty\}$. Man zeige, da"s eine Selbstabbildung von $\DR^{n}\amalg\{\infty\}$ eine M"obiustransformation ist genau dann, wenn sie sich zu einer M"obiustransformation auf $\DR^{n+1}\amalg\{\infty\}$ fortsetzen l"a"st. Hinweis: Will man direkte Rechnung vermeiden, mag man mit \ref{KMTz} argumentieren. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{KIUL} H"alt eine M"obiustransformation auf $\DR^{n}\amalg\{\infty\}$ f"ur $n\geq 1$ eine verallgemeinerte Sph"are punktweise fest, so ist sie entweder die Identit"at oder aber die Inversion an besagter verallgemeinerter Sph"are. Hinweis: \ref{MTFP} \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{stPr} Man betrachte die \defind{stereographische Projektion} der Einheitssph"are auf die $xy$-Ebene vermehrt um einen Punkt $\infty$, die jedem Punkt au"ser dem Nordpol $n=(0,0,1)$ den Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene der Geraden durch diesem Punkt und den Nordpol zuordnet, und die den Nordpol auf $\infty$ wirft. Sie kann verstanden werden als Restriktion der Inversion an derjenigen Sph"are mit Zentrum im Nordpol, die die $xy$-Ebene im Einheitskreis schneidet. Mit der vorhergehenden "Ubung \ref{IvKK} erkennt man so, da"s unter der stereographischen Projektion Kreise auf der Einheitssph"are als Schnitte der Einheitssph"are mit anderen Sph"aren "ubergehen in verallgemeinerte Kreise in der $xy$-Ebene, und da"s die stereographische Projektion Winkel erh"alt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{M"obiustransformationen als Liegruppe}] Gegeben $p,q \in \mathbb N$ erkl"aren wir $\op{O} (p,q) \subset \op{GL} (p + q; \mathbb R)$\index{O@$\op{O}(p,q)$} als die Gruppe aller derjenigen Matrizen, die die quadratische Form $f = x^2_1 + \ldots + x^2_p - x^2_{p+1} - \ldots -x^2_{p+q}$ auf $\mathbb R^{p+q}$ invariant lassen. Den Spezialfall $\op{O} (1,1)$ haben wir bereits in \eref{Opq}{LA2} recht explizit beschrieben. Die Gruppe $\op{O}(p,q)$ stabilisiert den {\bf Nullkegel}\index{Nullkegel} $N$ aller Vektoren, auf denen unsere quadratische Form verschwindet, und induziert eine Operation auf dem {\bf semiprojektivisierten Nullkegel}\index{Nullkegel!semiprojektivisierter} $(N \backslash 0) / \mathbb R_{>0}$ ebenso wie auf dem {\bf projektivisierten Nullkegel}\index{Nullkegel!projektivisierter} $(N \backslash 0) / \mathbb R^\times$. Da die Einbettung $S^{p-1} \times S^{q-1} \hookrightarrow \mathbb R^p \times \mathbb R^q$ offensichtlich eine Bijektion $S^{p-1} \times S^{q-1} \sira (N \backslash 0) / \mathbb R_{> 0}$ induziert, erbt die linke Seite eine Operation von $\op{O} (p,q)$.\label{TrKa} Unsere Bijektion ist sogar ein Hom"oomorphismus, denn der Ausgangsraum ist kompakt und der Zielraum Hausdorff. Speziell erhalten wir eine Operation der Gruppe $\op{O} (n,1)$ auf $S^{n-1}\times S^0$ und vermittels der Bijektion $S^{n-1}\sira (N \backslash 0) / \mathbb R^\times$ durch das Anf"ugen einer Koordinate Eins auch eine Operation der Gruppe $\op{O} (n,1)$ auf $S^{n-1}$. H"alt ein Element $g\in \op{O} (p,q)$ den projektivisierten Nullkegel punktweise fest, so mu"s jeder von Null verschiedene Vektor des Nullkegels ein Eigenvektor von $g$ sein. Kommen dabei verschiedene Eigenwerte vor, so mu"s der projektivisierte Nullkegel entlang der zugeh"origen Eigenr"aume zerfallen in paarweise disjunkte abgeschlossene Teilr"aume und kann weder leer noch zusammenh"angend sein. Wir erkennen, da"s das nur f"ur $p=q=1$ m"oglich ist. Im Fall $p,q\geq 1$ ist nun $(N \backslash 0)$ eine nichtleere Untermannigfaltigkeit der Kodimension Eins in $\DR^{p+q}$. Im Fall $p=q=1$ besteht der Nullkegel aus zwei Geraden, in den anderen F"allen stimmen nicht alle eingebetteten Tangentialr"aume "uberein, und wir sehen so, da"s f"ur $p,q\geq 1$ der Nullkegel ganz $\DR^{p+q}$ erzeugt. F"ur $p,q\geq 1$ und $p\geq 2$ oder $q\geq 2$ h"alt also $g\in \op{O} (p,q)$ den projektivisierten Nullkegel punktweise fest genau dann, wenn es ein skalares Vielfaches der Identit"at ist, also $g=\pm{\op{I}}$. Unter der Annahme $n\geq 2$ operiert also die Untergruppe $\op{O} (n,1)^+$ die Untergruppe der Matrizen, die beide Komponenten von $S^{n-1}\times S^0$ stabilisieren, treu auf $S^{n-1}$. Man erinnere die stereographische Projektion $\op{ster}:S^n \sira \mathbb R^n \sqcup \{\infty\}$ und zeige, da"s wir einen Isomorphismus $$\varphi:\op{O} (n +1, 1)^+\sira \op{M\ddot{o}b}(\mathbb R^n \sqcup \{\infty\})$$ angeben k"onnen durch die Vorschrift $\op{ster}(g x)=\varphi(g)\op{ster}( x)$. Vergleiche auch \eref{Komps}{TM}. Unsere Gruppe $\op{O} (n +1,1)^+$ operiert im "ubrigen auch auf dem Komplement des Nullkegels und stabilisiert darin die Teilmenge $I\pdef\{x\mid f(x)<0, x_{n+2}>0\}$ und den zugeh"origen Quotienten $I/\DR_{>0}$, der mit dem \glqq $(n+1)$-dimensionalen hyperbolischen Raum\grqq\ aus \eref{hypR}{DIFF} identifiziert werden kann. Genauer liefert die Einbettung eine Bijektion $\{x \mid f(x)=-1, x_{n+2}>0\}$ \end{Ubunge} \nichtfinal{Zusammenf"ugen mit der konformen Vervollst"andigung \ref{KonFo} in der Differentialgeometrie.} \begin{Ubunge} Gegeben $c,s\in\DR$ mit $c^2-s^2=1$ geh"ort die Matrix ${c\;s\choose s\;c}$ zu $\op{O} (1,1)$ und folglich geh"ort die Matrix $$\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&c&s\\ 0&s& c \end{pmatrix}$$ zu $\op{O} (2,1)$. Man pr"ufe durch explizite Rechnung, da"s die Operation unserer Matrix auf dem projektivisierten Lichtkegel unter seiner Identifikation mit $S^1$ durch $(x,y)\mapsto \langle x,y,1\rangle$ und der Identifikation $S^1\sira \DR\sqcup\{\infty\}$ mit der stereographischen Projektion gegeben durch $(x,y)\mapsto x/(1-y)$ mit ihrer Inversen $t\mapsto (2t/(1+t^2),(1-t^2)/(1+t^2))$ der Streckung um den Faktor $a=c-s$ entspricht. \end{Ubunge} % Durch stereographische Projektion erhalten wir % konforme Einbettungen $b:\DR\hra S^1$, $c:\DR^3\hra S^3$ und dazu Funktionen % $\varphi:\DR^3\ra \DR$ mit $c:\varphi g\leadsto s$ f"ur % $g$ die % Standardmetrik auf $\DR^3$ und $s$ die Standardmetrik auf % der Sph"are $S^3$ sowie % $\psi:\DR\ra \DR$ mit $b:\psi g\leadsto s$ f"ur % $g$ die % Standardmetrik auf $\DR$ und $s$ die Standardmetrik auf % der Sph"are $S^1$. % Mithin haben wir % $$(c\times b): (\varphi\boxtimes \psi)(g\boxtimes(-g))\leadsto % % s\boxtimes(-s)$$ % F"ur eine Abbildung $\kappa:\DR^{3,1}\sira \DR^{3,1}$ % der Gestalt $\kappa: (x,t)\mapsto (x,k(x,t))$ % mit $x=(x_1,x_2,x_3)$ haben wir andererseits % $\kappa:\diff x_i\leadsto \diff x_i$ und $\kappa:\diff x_i\leadsto \diff t$ %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXEL" %%% End: