\section{Unausgegorenes zur hyperbolischen Ebene} 1;rgb:3838/0c0c/2a2a\subsection{Zur Eindeutigkeit nichteuklidischer Geometrien} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Literatur}] Die Eindeutigkeit wird in \cite{KSW} 30.9 bewiesen. Ich h"atte gerne einen Auszug des Beweises, der etwas "ubersichtlicher ist. Aus \cite{Efi1} zitiere ich die letzten Worte von IV§5: \glqq Durch analoge "Uberlegungen kann man die Vollst"andigkeit des Axiomensystems der Lobatschewskischen Geometrie nachweisen, wenn vorher, ausgehend von den Axiomen, grundlegende S"atze bewiesen werden\grqq. Dazu keine Zitate, fertig. Das scheint \cite{Pogo} etwas zu knapp gewesen zu sein, der seine Vorlesung auf \cite{Efi1} aufbaut und dazu sehr viel mehr sagt. Ich scheitere jedoch in \cite{Pogo} IV§4 beim Beweis von Lemma 11. Warum hat ein Kreissegment endliche L"ange? Warum kann seine L"ange abgesch"atzt werden wie im ersten Absatz des Beweises behauptet? Pogorelov schreibt im zweiten Absatz von IV§4: \glqq The length of a circumference is the limit of the lengths of all the polygonal arcs inscribed in it under the condition that the links of the polygonal arcs decrease indefinitively. We shall not repeat the well-known line of reasoning which establishes the existence of the length of a circumference in this sense\grqq. Das ist nun mir wieder zu kurz. Wege in metrischen R"aumen m"ussen ja im allgemeinen nicht rektifizierbar sein. \nichtfinal{Ich denke aber, die Bedingungen einer lokalen $\mathcal C^{1,1}$-Verkn"upfung wie im Buch von Tao "uber das f"unfte Hilbertproblem sollten vergleichsweise leicht zu pr"ufen sein.} \end{Bemerkungl} \label{Ednuk} \begin{Lemma} Gegeben eine fasteuklidische Geometrie $(X,K)$ gibt es in der Isotropiegruppe\label{PuPu} $K_p$ eines Punktes $p$ genau ein Element $r_p\in K_p$ mit $r_p^2=\op{id}$ ohne Fixpunkt au"ser $p$. Wir nennen es die \emph{\bf Punktspiegelung an $p$}. \end{Lemma} \begin{proof} Die Existenz ist schnell gezeigt, wir nehmen eine Gerade $g$ durch $p$ und die Kongruenz $r$, die die eine Halbgerade in $g$ mit Endpunkt $p$ auf die andere abbildet und die Halbebenen zu $g$ vertauscht. Diese Kongruenz mu"s jede Gerade durch $p$ stabilisieren, denn sonst m"u"ste sie zwei Halbgeraden $A,B$ vertauschen die nicht auf einer Gerade liegen. W"ahlen wir $x\in A\backslash p$ und $y=r(x)\in B\backslash p$, so w"are der Mittelpunkt des Segments $[x,y]$ ein von $p$ veschiedener Fixpunkt von $r$ im Widerspruch zu unseren Annahmen. So sehen wir, da"s $r$ durch $p$ bereits eindeutig festgelegt wird. Offensichtlich ist $r_p$ auch zentral in $K_p$. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben eine fasteuklidische Geometrie gibt es in der Isotropiegruppe $K_p$ eines Punktes $p$ genau zwei Elemente $d$ mit $d^2=r_p$.\label{WuPu} Wir nennen sie die \emph{\bf Vierteldrehungen um $p$}. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Zusammenfassend k"onnen wir diese beiden Elemente $d\in K_p$ charakterisieren durch die Bedingungen $d^2\neq\op{id}, d^4=\op{id}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Existenz ist schnell gezeigt, wir nehmen zwei Geraden $g,h$ durch $p$ mit $g\perp h$ und von $p$ ausgehende Halbgeraden $A$ und $B$ auf $g$ beziehungsweise $h$. Beide Kongruenzen $d,k$ mit $d(A)=k(A)=B$ vertauschen $g$ und $h$. Mit der Notation $-A\pdef (g\backslash A)\cup\{p\}$ bilden $d$ und $k$ folglich $B$ auf $A$ oder auf $-A$ ab. Im Fall $k(B)=A$ haben wir $d=s_Bk$ und $d(B)=-A$ und dann offensichtlich $d(-B)=A$ und $d^2=r_p$. Gegeben ein zweites Element $f\in K_p$ mit $f^2=r_p$ zeigen wir nun $f=d^{\pm 1}$. Sonst h"atten wir $f(A)\not\in \{\pm A,\pm B\}$ und ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $f(A)$ in derselben $h$-Halbebene liegt wie $A$. Es folgt, da"s $f^2(A)$ in derselben $f(h)$-Halbebene liegen mu"s wie $f(A)$. Das aber steht im Widerspruch zu $f^2(A)=-A$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zentralisatoren von Vierteldrehungen}] Sei $(X,K)$ eine fasteuklidische Geometrie. F"ur alle $k\in K_p$ und jede Vierteldrehung $d\in K_p$ gilt nach den vorhergehenden Lemmata \ref{PuPu} und \ref{WuPu} notwendig $kdk^{-1}=d^{\pm 1}$. Wir sehen explizit $s_g d s_g=d^{-1}$ f"ur alle Geraden $g$ durch $p$ und folgern, da"s der Zentralisator von $d$ eine Untergruppe vom Index Zwei\label{zvD} $$D_p\subset K_p$$ sein mu"s, die frei und transitiv auf der Menge der von $p$ ausgehenden Halbgeraden operiert. Die Elemente von $D_p$ nennen wir {\bf Drehungen um $p$}.\index{Drehung!in fasteuklidischer Geometrie} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein Punkt $p$ einer fasteuklidischen Geometrie $(X,K)$ sind alle Elemente von $K_p\backslash D_p$ Spiegelungen.\label{SpiD} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} In einer fasteuklidischen Geometrie gibt es nach \ref{zvD} f"ur je zwei Halbgeraden $A,B$ mit demselben Endpunkt genau eine Drehung $r$ mit $r(A)=B$. Die andere Kongruenz $k$ mit $k(A)=B$ mu"s nach \ref{SpiD} also eine Spiegelung sein und mu"s unsere zwei Halbgeraden vertauschen. In anderen Worten gibt es f"ur je zwei Halbgeraden mit demselben Endpunkt genau eine Spiegelung, die sie vertauscht.\label{SpiegV} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben in einer fasteuklidischen Geometrie zwei Halbgeraden $A,B$ mit demselben Endpunkt $p$ und $A\neq \pm B$ betrachten wir denjenigen Winkelalkoven $\op{W}(A,B)\subset X$ der zugeh"origen Geraden, dessen Vereinigung mit $A$ und $B$ konvex ist, und nennen diese Vereinigung das {\bf Winkelsegment} $\bar{\op{W}}(A,B)$ zu unseren Halbgeraden $A,B$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Jede Vierteldrehung $d\in K_p$ liefert eine Zuordnung $\varphi_d$, die jeder von $p$ ausgehenden Halbgerade $A$ eine der beiden Halbebenen der Gerade von $A$ zuordnet, n"amlich diejenige Halbebene $\varphi_d(A)$, die $d(A)$ umfa"st. Wir nennen sie die {\bf $d$-Halbebene zu $A$}. Liegen von $p$ ausgehende Halbgeraden $A$ und $B$ nicht auf einer Geraden, so liegt $B$ offensichtlich in der $d$-Halbebene zu $A$ genau dann, wenn $A$ nicht in der $d$-Halbebene zu $B$ liegt. Gegeben $r\in D_p$ gilt offensichtlich $$r(\varphi_d(A))=\varphi_d(rA)$$ f"ur alle von $p$ ausgehenden Halbgeraden $A$. Gegeben $s\in K_p\backslash D_p$ gilt folglich $$s(\varphi_d(A))\neq \varphi_d(sA)$$ f"ur alle von $p$ ausgehenden Halbgeraden $A$. Sei nun $s\in K_p\backslash D_p$ gegeben. Stabilisiert $s$ eine Gerade $g$ durch $p$ und sind $A,-A$ die zugeh"origen Halbgeraden mit Endpunkt $p$, so gilt $s(A)=A$ oder $s(A)=-A$. Im ersten Fall folgt aus $s\neq\op{id}$ bereits $s=s_A$, im zweiten Fall folgt aus $s\neq r_p$ bereits $s=s_h$ f"ur $h$ das Lot auf $g$ in $p$. Stabilisiert $s$ keine Gerade, so sei $A$ irgendeine von $p$ ausgehende Halbgerade. Nach Annahme gilt $s(A)\not\in \{A,-A\}$. Aus $A\subset \varphi_d(sA)$ folgt wie besprochen $sA\not \subset \varphi_d(s^2A)$ und damit $s^2A\subset \varphi_d(sA)$. Zusammenfassend liegen also $A$ und $s^2A$ stets in derselben Halbebene zu $sA$. Nach \ref{zvD} haben wir $s^2\in D_p$. Gilt $A=s^2A$, so haben wir $s^2=\op{id}$ wieder nach \ref{zvD}. Dann finden einen von $p$ verschiedenen Fixpunkt von $s$, indem wir $x\in A$ w"ahlen mit $x\neq p$ und den Mittelpunkt von $[x,s(x)]$ betrachten. Also ist im Fall $s^2A=A$ unser $s$ eine Spiegelung. Gilt dagingegen $s^2A\neq A$, so d"urfen wir annehmen, indem wir andernfalls zu $s^{-1}$ "ubergehen, da"s $s^2A$ im Winkelsegment zu $A$ und $sA$ enthalten ist. Induktiv folgt, da"s $s^{i+2}A$ im Winkelsegment zu $s^iA$ und $s^{i+1}A$ enthalten sein mu"s. W"ahlen wir also eine beliebige Gerade $h$, die nicht durch $p$ geht und $A$ sowie $sA$ trifft, so trifft $h$ alle $s^iA$, sagen wir in $x_i$, und in einer unserer beiden mit der Zwischenordnung vertr"aglichen Anordnungen auf $h$ gilt $$x_0 d(p,q)$$ In der Tat, die Winkelhalbierende $C$ steht senkrecht auf $\overline{pq}$ und schneide diese Gerade in $r$ und die Gerade $\overline{xy}$ in $z$. Da"s sie "uberhaupt schneidet, zeigt die Variante \ref{LeV} von Pasch angewandt auf die Dreiecke $(x,p,q)$ und $(x,q,y)$. Es reicht zu zeigen $d(x,z)> d(p,r)$. Winkel"uberlegungen zeigen jedoch, da"s der Winkel zwischen $[p,r]$ und $[p,x]$ gr"o"ser ist als ein rechter Winkel und die Senkrechte zu $\overline{pq}$ in $p$ folglich $[x,z]$ trifft, sagen wir in $a$. Nach \ref{Azwe} gilt aber bereits $d(a,z)\geq d(p,r)$.\label{laeW} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstand eines Punktes von den Punkten einer Geraden}] Seien $g$ eine Gerade und $x\in X\backslash g$ ein Punkt. Sei $p\in g$ der Fu"spunkt des Lots von $p$ auf $g$. Wir w"ahlen einen Punkt $q\in g$ mit $d(p,q)=1$ und bezeichnen mit $v$ die Verschiebung mit $v(p)=q$. Jetzt erkl"aren wir eine Funktion $f:\DR\ra \DR$ durch $$f(\lambda)\pdef d(x, (\lambda v)(p))$$ Aus der Dreiecksungleichung folgt $|\lambda|\leq f(\lambda)\leq |\lambda|+ d(x,p)$ und $$|f(\lambda)-f(\mu)|\leq |\lambda -\mu|$$ Insbsondere ist $f$ stetig. Des weiteren nimmt $f$ nach \ref{Azwe} sein Minimum bei $\lambda=0$ an. Da dem gr"o"seren Winkel die l"angere Seite gegen"uberliegt, ist $f$ nach \ref{MonTT} streng monoton wachsend auf $[0,\infty)$ und streng monoton fallend auf $(-\infty,0]$. Insbsondere nimmt $f$ jeden Wert oberhalb seines Minimums genau\label{Abpg} zweimal an. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben reelle Zahlen mit $2a>b>0$ gibt es stets ein Dreieck mit den Seitenl"angen $a,a,b$. In der Tat finden wir nach \ref{Abpg} ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathete $b/2$ und Hypothenuse $a$.\label{egD} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Jede fasteuklidische Geometrie ist mit ihrer metrischen Topologie in Bezug auf eine und jede nat"urliche Metrik hom"oomorph zu $\DR^2$ und die Operation von $\DR/\DZ$ durch Drehungen um einen beliebigen Punkt ist stetig. \end{Proposition} \nichtfinal{Bis hier ganz vollst"andig!} \begin{proof} Seien $(X,K)$ unsere fasteuklidische Geometrie und $p\neq q$ zwei verschiedene Punkte und $d\in K_p$ eine Vierteldrehung um $p$. Wir betrachten die Abbildung $$P: \DR/\DZ \times \DR_{\geq 0}\ra X$$ gegeben durch $(u,\lambda)\mapsto \big(w_d(u)\circ \lambda(q\leftarrow p)\big)(p)$. Anschaulich gesprochen verschieben wir also zun"achst $p$ in Richtung $q$ um das $\lambda$-fache des Abstands von $p$ zu $q$ und wenden auf den so erhaltenen Punkt die Drehung $w_d(u)$ an. Sobald wir gezeigt haben, da"s diese Abbildung stetig ist, so mu"s sie nach \eref{lff}{TM} final sein, denn $X$ ist Hausdorff und besitzt eine lokal endliche "Uberdeckung durch Teilmengen mit kompakten Urbildern, etwa eine "Uberdeckung durch geeignete Kreisringe. Dann ist der Beweis fertig, denn die Polarkoordinatenabbildung $ \DR/\DZ \times \DR_{\geq 0}\ra \DR^2$ ist final aus denselben Gr"unden und hat dieselben Fasern. Die Stetigkeit unserer Abbildung an allen Punkten $(u,0)$ mit zweiter Koordinate Null ist offensichtlich. An den anderen Punkten $x$ geben wir uns $\varepsilon>0$ vor und gehen von unserem Punkt $\varepsilon/2$ nach au"sen und dann senkrecht dazu $\varepsilon/2$ nach beiden Seiten und erhalten Punkte $x_r, x_l$. Diese Punkte begrenzen ein Winkelsegment, und die Punkte dieses Winkelsegments, deren Abstand von $p$ weniger als $\varepsilon/2$ vom Abstand von $x$ und $p$ abweicht, liegen alle im $\varepsilon$-Ball um $x$. \nichtfinal{Vielleicht noch etwas kurz!} \end{proof} \begin{Proposition} Sei $(X,d)$ eine fasteuklidische Geometrie mit einer nat"urlichen Metrik. Gegeben $r>0, R\geq 0$ gibt es f"ur alle $\varepsilon>0$ ein $\eta>0$ derart, da"s jede Drehung, die Punkte mit Abstand $r$ vom Drehzentrum h"ochstens um $ \eta$ bewegt, Punkte mit Abstand $\leq R$ vom Drehzentrum h"ochstens um $ \varepsilon$ bewegt.\label{AbDrehv} \end{Proposition} \begin{proof} Variante zum folgenden. \end{proof} \begin{Proposition} Sei $X$ eine fasteuklidische Geometrie mit einer invarianten Metrik $d$. Gegeben $r,R>0$ gibt es f"ur alle $\varepsilon>0$ ein $\eta>0$ derart, da"s f"ur $p,x\in X$ mit $d(x,p)=r$ und $k\in D_p$ mit $d(x,k(x))<\eta$ gilt\label{AbDreh} $$d(p,y)\leq R \RA d(y,k(y))<\varepsilon$$ \end{Proposition} \begin{proof} Klar aus dem vorhergehenden. \end{proof} \begin{Proposition} Sei $(X,d)$ eine fasteuklidische Geometrie mit einer nat"urlichen Metrik. Gegeben $M>0$ gibt es f"ur alle $\varepsilon>0$ ein $\eta>0$ derart, da"s jede Verschiebung l"angs einer Geraden, die Punkte auf der Geraden\label{AbVmv} h"ochstens um $\eta $ bewegt, Punkte mit Abstand $\leq M$ von unserer Geraden h"ochstens um $\varepsilon$ bewegt. \end{Proposition} \begin{proof} Variante zum folgenden. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben eine Verschiebung $v$ l"angs einer Gerade $g$ in einer fasteuklidischen Geometrie $X$ und ein Punkt $p\in X$ gibt es f"ur jedes $\varepsilon>0$ ein $\eta>0$ derart, da"s f"ur $\lambda\in [0,\eta]$ und $x$ h"ochstens so weit von $g$ wie $p$ gilt\label{AbVm} $$d(x,(\lambda v)(x))<\varepsilon$$ \end{Proposition} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit gelte $p\not\in g$. Wir w"ahlen einen Punkt $q$ au"serhalb der Senkrechten $h$ zu $g$ durch $p$ mit $d(p,q)<\varepsilon$ und $[p,q]\cap g=\emptyset$. Die orthogonale Projektion $\pi$ auf $g$ liefert eine Bijektion $\pi:[p,q]\sira [\pi p, \pi q]$, die Abst"ande nicht vergr"o"sert, da der minimale Abstand zweier Geraden mit gemeinsamer Senkrechten l"angs dieser Senkrechten angenommen wird. Inbesondere finden wir $$d(p, \pi p)-2\varepsilon \leq d(x, \pi x)\leq d(p, \pi p)+2\varepsilon\;\;\forall x\in [p,q]$$ Ist also $v$ die Verschiebung mit $v(\pi p)=\pi q$, so finden wir $d(p, (\lambda v)(p))\leq 3\varepsilon$ f"ur alle $\lambda\in [0,1]$, denn $(\lambda v)(p)$ liegt auf einer Gerade mit $x$ und $\pi x$ f"ur ein $x\in [p,q]$ und hat den Abstand $d(p, \pi p)$ von $\pi x$ und liegt auf derselben Seite von $g$ wie $p$. Jetzt folgt der Rest aus dem anschlie"senden Lemma. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $p\neq q$ Punkte einer fasteuklidischen Geometrie und $g$ die Gerade durch $p$ und $q$. Wir halten eine Halbebene $H$ zu $g$ fest und bezeichnen f"ur $\lambda >0$ mit $p(\lambda), q(\lambda)\in H$ die eindeutig bestimmten Punkte, deren Lot auf $g$ in $p,q$ fu"st und die den Abstand $\lambda$ von $p,q$ haben. So w"achst $d(p(\lambda), q(\lambda))$ monoton mit $\lambda$. \end{Lemma} \nichtfinal{"Ahnliche Aussage in Efimov: Lote von einer Geraden auf eine andere haben haben entweder alle dieselbe L"ange oder die L"angenfunktion nimmt an h"ochstens einer Stelle ein Minimum an und ist sonst streng monoton. Das erledigt unsere L"angen in Winkeln und das vorhergehende Lemma in einem Aufwasch.} \begin{proof} Der Winkel nach au"sen der Lote mit der Geraden durch $p(\lambda)$ und $q(\lambda)$ ist kleinstenfalls ein rechter Winkel. Nehmen wir die Lote in $p(\lambda)$ und $q(\lambda)$ auf dieser Geraden und ist $\mu>\lambda$, so schneiden sie die Strecke $[p(\mu), q(\mu)]$ in einer Strecke, die f"ur sich betrachtet bereits l"anger ist als $[p(\lambda), q(\lambda)]$, denn das ist das Lot. Au"sen wird aber noch etwas hinzugef"ugt! \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $(X,d)$ eine fasteuklidische Geometrie mit nat"urlicher Metrik $d$ und ein gleichseitiges Dreieck $(a,b,c)$ und $R,\varepsilon>0$ gibt es $\eta>0$ derart, da"s jede Kongruenz $k$, die $a,b,c$ jeweils h"ochstens um $\eta$ bewegt, jeden Punkt mit Abstand $\leq R$ von $a$ h"ochstens um $\varepsilon$ bewegt.\label{kBw} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $r$ die Seitenl"ange unseres gleichseitigen Dreiecks und $R$ der Abstand von $p$ zu $a$. Wir finden zun"achst $\eta_1>0$ zu $\varepsilon/2$ wie in \ref{AbDrehv}, so da"s also Drehungen, die Punkte mit Abstand $r$ vom Drehzentrum h"ochstens um $\eta_1$ bewegen, Punkte mit Abstand h"ochstens $R$ vom Drehzentrum h"ochstens um $\varepsilon/2$ bewegen. Dann finden wir mit \ref{AbVmv} ein $\eta_2>0$ derart, da"s sich bei einer Verschiebung von $a$ l"angs einer Gerade durch $a$ um h"ochstens $\eta_2$ die Punkte $b,c$ jeweils h"ochstens um $\eta_1/2$ bewegen und $p$ h"ochstens um $\epsilon/2$. Jetzt nehmen wir $$\eta=\op{min}(\eta_1/2,\eta_2)$$ Unter der Verschiebung $v$ von $a$ nach $k(a)$ l"angs der Gerade durch diese beiden Punkte bewegen sich $b,c$ also h"ochstens um $\eta_1/2$ und $p$ h"ochstens um $\varepsilon/2$. Damit hat $v(b)$ von $k(b)$ h"ochstens den Abstand $\eta_1$ und beide haben den Abstand $r$ von $k(a)$, so da"s die Drehung $w$ um $k(a)$ mit $w:v(b)\mapsto k(b)$ den Punkt $v(p)$ h"ochstens um $\varepsilon/2$ bewegt. Indem wir eventuell $\eta$ noch verkleinern, k"onnen wir durch die zus"atzliche Bedingung, da"s $k$ auch $c$ h"ochstens um $\eta$ bewegt, zus"atzlich sicherstellen, da"s gilt $wv=k$. Damit bewegt dann in der Tat $k$ unseren Punkt $p$ h"ochstens um $\varepsilon$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine fasteuklidische Geometrie mit invarianter Metrik $d$. Wir betrachten die abgeschlossene Teilmenge $D\subset X^3$ aller gleichseitigen Dreiecke mit der Seitenl"ange $1$. Auf dieser Menge operiert die Kongruenzgruppe $K$ frei und transitiv durch stetige Abbildungen. Es gibt folglich genau eine Topologie auf $K$ derart, da"s f"ur alle Dreieck $\Delta\in D$ das Anwenden auf $\Delta$ einen Hom"oomorphismus $K\sira D$ induziert. Wir nennen sie die {\bf Dreieckstopologie}. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Sei $X$ eine fasteuklidische Geometrie mit invarianter Metrik $d$. So stimmt die Dreieckstopologie auf der Kongruenzgruppe "uberein mit der von der kompaktoffenen Topologie auf $\mathcal C(X,X)$ nach \eref{KOT}{TM} induzierten Topologie. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist die Kongruenzgruppe nach \eref{btzu}{TM} mit $\mathcal C(X,X)$ ein topologisches Monoid und die Topologie auf der Kongruenzgruppe ist mit der Topologie auf $D\As X^3$ lokal kompakt Hausdorff.\label{hjg} Des weiteren ist nach \eref{LcA}{TM} die Operation von $K$ auf $X$ stetig. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In der Tat ist offensichtlich jede Umgebung im Sinne der Dreieckstopologie auch eine Umgebung im Sinne der kompaktoffenen Topologie. Gegeben umgekehrt $C\subset X$ kompakt und $U\co X$ offen und $k\in K$ mit $k(C)\subset U$ gibt es $\varepsilon >0$ derart, da"s jeder Punkt von $k(C)$ Abstand $>\varepsilon$ von $X\backslash U$ hat. Gegeben ein gleichseitiges Dreieck der Seitenl"ange Eins mit ausgezeichneter Ecke $a$ gibt es in Maximum $R$ der Abst"ande von Punkten von $k(C)$ zu $a$ und dann liefert \ref{kBw} eine Umgebung unserer Kongruenz $k$ im Sinne der Dreieckstopologie, die in $\mathcal O(C,U)$ enthalten ist. \end{proof} \begin{Satz} Die Kongruenzgruppe einer fasteuklidischen Geometrie ist eine lokal kompakte Hausdorffgruppe mit h"ochstens zwei Zusammenhangskomponenten. \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen zun"achst, da"s das Invertieren stetig ist. Es reicht zu zeigen, da"s es stetig ist bei der Identit"at. Gegeben $p\in X$ und $R>0$ bilden aber die $$\op{U}(R,\varepsilon)\pdef \{k\in K\mid d(p,x)\leq R\RA d(x,kx)<\varepsilon\}$$ "uber alle $\varepsilon>0$ genommen ein Fundamentalsystem von Umgebungen des neutralen Elements und wir finden $\op{inv}(\op{U}(R+\varepsilon,\varepsilon))\subset \op{U}(R,\varepsilon)$, denn jedes $k\in K$ l"a"st die Abst"ande invariant und ist eine Bijektion, so da"s f"ur $k\in \op{U}(R+\varepsilon,\varepsilon)$ bereits gelten mu"s $$k(\op{B}(p;R+\varepsilon))=\op{B}(kp;R+\varepsilon)\supset \op{B}(p;R)$$ Also ist das Invertieren stetig und zusammen mit den bereits in \ref{hjg} gewonnenen Erkenntnissen zeigt das, da"s $K$ eine lokal kompakte Hausdorffgruppe sein mu"s. Es ist auch leicht zu sehen, da"s es f"ur jeden Punkt $p\in X$ einen stetigen surjektiven Gruppenhomomorphismus $\DR\sra D_p$ gibt und da"s die von den Drehungen $D_p$ erzeugte Untergruppe transitiv auf der Menge der Halbgeraden operiert. Mithin hat $K$ h"ochstens zwei Zusammenhangskomponenten. \end{proof} \begin{Satz} Die kompaktoffene Topologie auf Kongruenzgruppe einer fasteuklidischen Geometrie kann zur Struktur einer Liegruppe erweitert werden. \end{Satz} \begin{proof} Nach Hilbert 5 m"ussen wir nur zeigen, da"s unsere Kongruenzgruppe oder gleichbedeutend der Raum aller gleichseitigen Dreiecke der Seitenl"ange Eins lokal euklidisch ist. Das ist aber klar, die Abbildung $$\DZ/2\DZ\times \DR/\DZ\times X\ra D$$ gegeben f"ur die Wahl eines festen Dreiecks $(a,b,c)$ durch $$(\sigma, \alpha, x)\mapsto (x\leftarrow a)\circ w_a(\alpha)\circ s^{\sigma}_{\overline{ab}}$$ ist stetig \nichtfinal{(noch ausf"uhren)} und bijektiv und entsprechende Kreisringe in $X$ liefern eine lokal endliche "Uberdeckung von $K$ durch Teilmengen kompakten Urbildern. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir w"ahlen $a\in X$ und nichttriviale Verschiebungen $u,v$ l"angs verschiedener Geraden durch $a$. Der Einfachkeit halber sei $d$ eine Vierteldrehung um $a$ und $u=d^{-1}vd$. Wir betrachten die Abbildung $\phi: \DR^3\ra K$ gegeben durch $$(\alpha,\lambda,\mu)\mapsto \lambda u\circ \mu v \circ w_a(\alpha)$$ Wir m"ussen zeigen, da"s sie einen Hom"oomorphismus einer offenen Umgebung $U$ des Ursprungs mit einer offenen Umgebung der Identit"at induziert und da"s wir eine Umgebung des Ursprungs $V\co U$ finden k"onnen mit $V+V\subset U$ und $\phi^{-1}(\phi(x)\phi(y))= x+y +{\op{O}}(|x||y|)$ f"ur $x,y\in V$. Ausgeschrieben hei"st das, da"s wir $V$ und eine Konstante $C$ finden mit $$|\phi^{-1}\big(\phi(x)\phi(y)\big)- (x+y)|\leq C|x||y|$$ f"ur alle $x,y\in V$ mit $|\;|$ der durch das Maximum der Absolutbetr"age gegebenen Norm auf $\DR^3$. Dann greifen die "Ubungen zu Beginn des Buches von Tao. Pogorelov studieren! \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Von hier ausgehend kann man wie in \eref{EbGe}{ML} zum Ziel gelangen, denn zusammenh"angende dreidimensionale Liegruppen, die eine Kopie von ${\op{SO}}(2)$ umfassen derart, da"s die adjungierte Darstellung unter ${\op{SO}}(2)\cong {\op{U}}(1)$ isomorph ist zu $\DR\oplus \DC$ mit der trivialen Operation auf $\DR$ und der Standardoperation auf $\DC$ sind leicht zu verstehen. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Bis hierher leidlich gepflegt. Das wichtige ist zu pr"ufen, da"s Verschiebungen von Dreiecken zu hinreichend benachbarten Punkten hinreichend benachbarte Dreiecke liefern.} \subsection{"Alterer Kruscht} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine fasteuklidische Geometrie nennen wir die von allen Halbebenenalkoven erzeugte Topologie ihre {\bf nat"urliche Topologie}. \nichtfinal{Jede fasteuklidische Geometrie denken wir uns im folgenden mit dieser Topologie versehen. Achtung, alternative Definition "uber Metrik in \ref{DreE}. Vergleichen!} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur die Geraden in einer fasteuklidischen Geometrie stimmt die von der nat"urlichen Topologie induzierte Topologie "uberein mit ihrer nat"urlichen Topologie als eindimensionaler reeller affiner Raum. Das folgt leicht daraus, da"s alle Halbebenenalkoven konvex sind, vergleiche \ref{KiI}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sollt doch wohl f"ur jeden Punkt $x\in X$ die Abbildung $S^1\times \DR\sra X$ final sein nach Metrik, lokal endliche abgeschlossene "Uberdeckung durch Kreisringe, deren Urbilder sind kompakt, wende \eref{FEFa}{TM} an. Daraus sollte folgen, da"s $X$ hom"oomorph ist zu $\DR^2$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hoffe mal: Die Operation der Gruppe $B^+$ aus \ref{SGHi} auf $X$ ist stetig. Wende nochmals \eref{FEFa}{TM} an, irgendwie geschickt, und zeige, da"s $B^+$ topologisch frei auf $X$ operiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hoffe mal: Die Multiplikation $B^+\times S^1\sira K^+$ ist ein Hom"oomorphismus f"ur eine Struktur von topologischer Gruppe auf $K^+$. Dann fertig mit Hilbert 5, denn dann ist $K^+$ eine Liegruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Jede fasteuklidischen Geometrie ist hom"oomorph zu $\DR^2$. \end{Lemma} \begin{proof}[Vielleicht Beweisversuch] Wir w"ahlen einen Punkt $p$ und eine Gerade $g$ durch $p$ und eine mit der Zwischenrelation vertr"agliche Anordnung auf $g$ und mit \ref{Bemr} einen Isomorphismus von angeordneten Gruppen $\varphi:\DR\sira \vec g$ und den zugeh"origen Isomorphismus von angeordneten Mengen $\varphi_g:\DR\sira g$ mit $\varphi_g(\lambda)=(\varphi(\lambda))(p)$. Wir w"ahlen weiter eine Wurzel $d=d_p$ der Punktspiegelung an $p$ und betrachten die zu $g$ in $p$ senkrechte Gerade $h\pdef d(g)$ und die Bijektion $\varphi_h\pdef d\circ \varphi_g:\DR\sira h$. Zusammen erhalten wir eine Bijektion $$X\sira \DR^2$$ durch die Vorschift, da"s jedem Punkt $q$ das Paar $(x,y)$ von reellen Zahlen zugeordnet wird, f"ur das das Lot von $q$ auf $g$ gerade $\varphi_g(x)$ ist und das Lot von $q$ auf $h$ gerade $\varphi_h(y)$. Nach Konstruktion entsprechen die Verschiebungen $V$ von $X$ genau den durch Addition von Vektoren gegebenen Selbstabbildungen von $\DR^2$. Weiter entsprechen nach Konstruktion die Koordinatenachsen von $\DR^2$ Geraden in $X$, n"amlich unseren beiden Geraden $g$ und $h$. Nun zeige ich, da"s wenn zwei verschiedene Ursprungsgeraden in $\DR^2$ echten Geraden in $X$ entsprechen, da"s das dann auch f"ur ihre beiden Winkelhalbierenden gilt. In der Tat, seien $v,w\in V$ Richtungsvektoren unserer beiden Ursprungsgeraden und es gebe eine Spiegelung $s\in K_p$, die $v$ und $w$ vertauscht. Dann gilt $s(\lambda v+\mu w)=\mu v+\lambda w$ und die Fixpunktmenge ist eine Gerade in $\DR^2$. Unter unserer Bijektion entsprechen alle Geraden in $\DC$, deren Schnitt mit der Kreisgruppe eine $2^n$-te Einheitswurzel ist, Geraden in $X$. Die restlichen Geraden erhalten wir als Schnitte von Winkelsegmenten etc. So haben wir schon mal dieselben Geraden. Die Konstruktion zeigt, da"s wir auch dieselben Spiegelungen haben an allen Ursprungsgeraden in $\DC$, deren Schnitt mit der Kreisgruppe eine $2^n$-te Einheitswurzel ist. \nichtfinal{Sp"ater im nichteuklidischen Fall Winkel bei $q$, Funktion auf $\DR^2$, studiere deren Eigenschaften!} \end{proof} \nichtfinal{Vielleicht Gruppe der Kongruenzen mit kompaktoffener Topologie lokal hom"oomorph zu $\DR^3$. Dann nach S"atzen gucken, die zeigen, da"s sie eine Liegruppe sein mu"s.} \subsection{Versuch mit Geradenpinseln} \begin{Bemerkungw} Maximilian Gerhards hat das halb ausgearbeitet. Im Modell der oberen Halbebene nimmt man alle vertikalen Geraden, abstrakt einen Pinsel grenzparalleler Geraden. Ich meditiere dar"uber, ob man grenzparallele Geraden erkl"aren k"onnte als parallele Geraden ohne gemeinsames Lot. In der von den Spiegelungen an diesen Geraden erzeugten Untergruppe der Kongruenzgruppe findet man die Verschiebungen parallel zur reellen Achse als Untergruppe und zeigt, da"s sie zwei zueinander opponierte nat"urliche Anordnungen tr"agt und damit isomorph ist zur angeordneten Gruppe $(\DR,+)$. Dann zeigt man, da"s sie zusammen mit den Verschiebungen in Richtung der $y$-Achse, also den $z\mapsto az$ f"ur $a\in\DR_{>0}$ eine Gruppe von Kongruenzen bildet, die frei und transitiv operiert. Schlie"slich mu"s man nur noch zeigen, da"s die Geraden genau die Richtigen sind \dots \end{Bemerkungw} \begin{Vermutung} Die Kongruenzgruppe $K$ einer fasteuklidischen Geometrie $X$ mit der Topologie erzeugt von $U(x,r)$ f"ur $x\in X$ und $r\in \DR_{>0}$ gegeben durch $$U(x,r)\pdef\{k\in K\mid d(x,kx)0}$ sein mu"s, wobei die halben Vertikalen bei $x=\pm a$ Grenzparallelen an $h$ sind. Herumeiern mit Abst"anden sollte zeigen, da"s $f$ stetig ist. Jede Gerade au"serhalb eines vorgegebenen Pinsels sollte genau zwei Grenzparallelen in besagtem Pinsel haben und durch diese eindeutig bestimmt sein. Das zeigt, da"s die Bilder von $h$ unter den Elementen von $K_P^+$ genau alle Geraden von $X$ sind, die nicht zum Pinsel der Vertikalen geh"oren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erhalten einen Pinsel, indem wir die Vertikale bei $a$ betrachen, alle Streckungen mit positivem Streckfaktor und Zentrum in $(a,0)$ von $h$ und deren Bilder unter der Spiegelung an der Vertikale bei $(a,0)$. Da die Vereinigung aller Geraden dieses Pinsels ganz $X$ sein mu"s, ist Null das Infimum der Werte von $f$. Wir folgern $\liminf_{x\ra a}f(x)=0$. Weil alle Streckungen mit Streckzentrum auf der $x$-Achse und alle horizontalen Verschiebungen von Geraden wieder Geraden sind und sich zwei verschiedene Geraden in h"ochstens einem Punkt treffen d"urfen, ist unsere Funktion $f$ strikt konvex. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unsere Funktion $f$ hat vertikale Asymptoten an den R"andern ihres Definitionsintervalls, in Formeln $\op{lim}_{x\ra a}f(x)/(a-x)=\infty$, sonst k"onnte der Geradenpinsel zu $a$ nicht die ganze Ebene "uberdecken. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation $X$ und darin zwei parallele Geraden $g,h$ und Punkte $x\neq z$ auf $g$ sowie $p\in h$ und ein von $x,z$ verschiedener Punkt $y\in[x,z]$ gilt f"ur jeden Punkt $q\in h\backslash p$ entweder $[y,q]\cap [x,p]\neq \emptyset$ oder $[y,q]\cap [z,p]\neq \emptyset$, aber nicht beides. Genau dann gilt f"ur $q_x$ ersteres und f"ur $q_z$ letzteres, wenn wir haben $p\in [q_x,q_z]$. Im Endeffekt hoffe ich, da"s man zeigen kann, da"s wir f"ur jede vertr"agliche Anordnung auf $g$ genau eine vertr"agliche Anordnung auf $h$ finden derart, da"s aus $x0$ und $\varepsilon >0$ gibt es einen Winkel $\alpha>0$ derart, da"s bei einer Drehung $D$ mit Zentrum in $p$ um einen Winkel $\leq \alpha$ gilt $$d(x,p)0$ und $d\geq 0$ gibt es stets $\eta>0$ derart, da"s f"ur jeden Punkt $q$ mit $d(p,q)\leq\eta$ und jeden Radius $r\geq\rho$ und jede Drehung $D$ mit $D(p)=q$ um ein Zentrum $z$ mit $d(p,z)=r=d(q,z)$ und jeden Punkt $a$ mit $d(a,p)\leq d$ gilt $d(a,D(a))\leq \varepsilon$. In der Tat finden wir ein gleichschenkliges Dreieck $(x,y,z)$ mit Seitenl"angen $d(x,y)=\varepsilon, d(x,z)=d(y,z)=\rho+d$ und Punkte $p,q$ auf seinen von $z$ ausgehenden Seiten mit $d(z,p)=d(z,q)=\rho$ und k"onnen dann $\eta=d(p,q)$ nehmen. \nichtfinal{Hier mu"s noch ausf"uhrlicher argumentiert werden!} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jedes Kreissegment ist rektifizierbar. In der Tat k"onnen wir bei gegebenem Radius einen von Null verschiedenen Winkel finden und je einen Punkt $x,y$ auf jedem seiner Schenkel derart, da"s jeder Punkt der Strecke $[x,y]$ gr"o"seren Abstand vom Zentrum hat als unser Radius. Mit \ref{laeW} folgt, da"s $d(x,y)$ eine obere Schranke ist f"ur die L"ange aller in unser Kreissegment einbeschriebenen Polygonz"uge. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine fasteuklidische Geometrie gibt es hoffentlich ein wohlbestimmtes Borelma"s, das jeder Dreiecksfl"ache ihren Winkeldefekt zuordnet. Man sollte es konstruieren k"onnen, indem man lokal ein Koordinatensystem aus echten Geraden nimmt und dann wie bei Stiefelma"sen mit Caratheodory vorgeht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Definiere auf Viereck mit drei rechten Winkeln eine Funktion, den Winkeldefekt. Um wieviel kleiner ist der letzte Winkel als $\pi/2$. Zeige stetig. Liefert Ma"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ma"s von beliebigem Dreieck im Koordinatenbereich ist sein Winkeldefekt. Erst f"ur Dreiecke mit zwei Kanten Koordinatenachsen, dann f"ur Dreiecke mit einer Kante Koordinatenachse ("uber H"ohe), dann f"ur Dreiecke mit keiner Kante Koordinatenachse (Nimm Ecke mit mittlerer $y$-Koordinate und zeige, da"s die $x$-Achse dadurch die gegen"uberliegende Kante trifft). \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Kann die Ma"se der verschiedenen Koordinatenbereiche so verkleben, da"s das Ma"s jedes Dreiecks sein Winkeldefekt ist. Unser Ma"s hat eine Dichtefunktion in Koordinaten. \end{Bemerkungl} \subsection{Restlicher Schrott} \begin{Bemerkungl} In einer Inzidenzgeometrie nennt man eine Menge von mindestens zwei Geraden durch einen festen Punkt $p$ ein {\bf Geradenb"uschel}\index{Geradenb"uschel} und nennt $p$ den {\bf B"uschelpunkt}.\index{B"uschelpunkt} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Geradenb"uschel in einer Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation betrachten wir die gr"obste Partition von $X$, die die Halbebenenpartitionen $X=H\sqcup g \sqcup L$ in eine Gerade und zwei Halbebenen f"ur alle unsere $n$ Geraden verfeinert, und nennen sie die {\bf B"uschelpartition}.\index{B"uschelpartition} Sie besteht aus konvexen Teilmengen. Einige davon sind die einelementige Menge, die nur aus dem B"uschelpunkt $p$ besteht, sowie die Halbgeraden mit Endpunkt $p$ zu den Geraden unseres B"uschels, aus denen aber jeweils der B"uschelpunkt entfernt ist. Die restlichen Teilmengen unserer B"uschelpartition nennen wir die {\bf Winkelsegmente}\index{Winkelsegment} unseres Geradenb"uschels. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Geometrie von B"uschelpartitionen}] Sei ein endliches B"uschel aus $n\geq 2$ Geraden in einer Inzidenzgeometrie $X$ mit Zwischenrelation, Dreieck und unendlichen Halbgeraden gegeben. So gilt: \begin{enumerate} \item Die zugeh"orige B"uschelpartition hat $2n$ Winkelsegmente; \item Der kombinatorische Graph im Sinne von \eref{komG}{LA2} mit den St"ucken unserer B"uschelpartition als Ecken und jeweils einer Kante zwischen zwei St"ucken, deren Vereinigung auch ihrerseits konvex ist, hat die Gestalt eines \glqq Rades mit $4n$ Speichen\grqq, die den B"uschelpunkt abwechselnd verbinden mit einer Halbgerade ohne Endpunkt und einem Winkelsegment; \item Genau dann liegt eine Halbgerade mit Endpunkt $p$ bis auf den Endpunkt in einem St"uck der B"uschelpartition, wenn die gegen"uberliegende in dem \glqq im Graphen gegen"uberliegenden\grqq\ St"uck der B"uschelpartition liegt; \item Jedes Winkelsegment ist der Schnitt von Halbebenen zu Geraden der beiden im Graphen benachbart liegenden Halbgeraden, und das im Graphen gegen"uberliegende Winkelsegment ist der Schnitt der jeweils anderen Halbebenen zu unseren zwei Geraden. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Wir zeigen das durch Induktion "uber $n$. Im Fall $n=2$ scheint es mir schlicht klar. F"ur den Induktionsschritt nehmen wir eine weitere Gerade hinzu. Die beiden zugeh"origen Halbgeraden ohne Endpunkt sind konvex und m"ussen folglich jeweils ganz in einem Winkelsegment liegen. Der Rest ist klar. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In einer Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation, Dreieck und Kongruenzen erkl"aren wir ein {\bf Diedersystem}\index{Diedersystem} als ein endliches Geradenb"uschel derart, da"s die Spiegelung an jeder dieser Geraden das ganze System stabilisiert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Erweiterung von Diedersystemen}] In einer Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation, Dreieck und Kongruenzen l"a"st sich jedes Diedersystem zu einem Diedersystem mit doppelt sovielen Geraden erweitern. \end{Satz} \begin{proof} Es ist klar, wie die von den Spiegelungen an den Geraden eines Diedersystems erzeugte Gruppe auf dem kombinatorischen Graphen operieren mu"s, und da"s wir so genau die H"alfte aller Automorphismen unseres Graphen erhalten. Seien nun $A,B$ zwei benachbarte Halbgeraden aus unserem Diedersystem. Es gibt eine Kongruenz $k$ mit $k(A)=B$. Die Halbgerade \end{proof} Verwende Mittelpunkte um zu Vertauschung benachbarter Halbgeraden Fixpunkt zu finden. Dann: Jede Winkelsegmentschachtelung hat als Schnitt eine Halbgerade mit Endpunkt $p$ ohne Endpunkt. Denn jeder Schnitt einer Winkelsegmentschachtelung ist nicht leer (Intervallschachtelung auf Quergerade) und umfa"st eine Halbgerade ohne Ende (klar) aber kann keinen zus"atzlichen Punkt haben (sonst zwei Halbgeraden, ganzes Winkelsegment wo kommt der Widerspruch? Alle m"u"sten echt Winkelsegmente sein! Aber kompaktes Intervall quer dazu, H"aufungspunkt, geht net! \begin{Bemerkungl} In einer affinen Inzidenzebene $X$ mit Zwischenrelation und Kongruenzen betrachten wir eine Gerade $g$ und die nichttriviale Kongruenz $s=s_g$, die sie punktweise festh"alt. Gegeben ein Punkt $x\in X\backslash g$ betrachten wir die Gerade $h\pdef \overline{xs_g(x)}$ und ihren Schnittpunkt $p$ mit $g$. Die beiden Halbgeraden $A,B\subset h$ mit Endpunkt $p$ werden dann von $s_g$ vertauscht. Wir "uberlegen uns, da"s die Halbebenen zu $h$ von $s_g$ stabilisiert werden und folgern $s_gs_hs_g=s_h$, da beides nichttriviale Kongruenzen sind, die die beiden Halbgeraden $A$ und $B$ festhalten. Es folgt $s_h s_g s_h= s_g$. Bezeichnet $C,D$ die Halbgeraden in $g$ mit Endpunkt $p$, so h"alt $s_g$ also sowohl $C$ als auch $s_h(C)$ punktweise fest. Mit etwas Herumeiern folgt $s_h(C)=D$. Nun gibt es eine Kongruenz $w$, die $A$ in $C$ "uberf"uhrt. Indem wir notfalls $s_g$ nachschalten, k"onnen wir sogar eine Kongruenz $w$ finden, die $A$ und $C$ vertauscht. Es ist klar, da"s sie die Diagonale im durch $A$ und $C$ und deren Identifikation gegebenen Koordinatensystem punktweise festhalten mu"s. Es ist klar, da"s sie auch die Halbgerade mit Endpunkt $p$ durch irgendeinen weiteren Punkt dieser Diagonale punktweise festhalten mu"s. So "uberlegen wir uns, da"s unsere Diagonale schon selber eine Gerade ist und da"s die offensichtliche Anordnung darauf mit unserer Zwischenbeziehung vertr"aglich sein mu"s. So "ahnlich machen wir weiter und zeigen, da"s alle \glqq Koordinatengeraden, die wir aus dem rechten Winkel durch sukzessive Winkelhalbierung erhalten k"onnen\grqq, auch Geraden unserer Inzidenzstruktur sind. Dann zeigen wir mit der Zwischenrelation, da"s sogar alle Koordinatengeraden bereits Geraden sein m"ussen. Und dann ist fertig und wir zeigen den fogenden Satz! \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Jede affine Inzidenzebene mit Zwischenrelation und Kongruenzen und der Supremumseigenschaft ist isomorph zur euklidischen Ebene. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In seinem Buch \glqq Die euklidische Ebene und ihre Verwandten\grqq\ zeigt Heinz L"uneburg, da"s jede affine Inzidenzebene mit Zwischenrelation, Mittelpunktsrelation und Vollst"andigkeit f"ur dyadische Intervallschachtelungen bereits isomorph zu $\DR^2$ ist. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{ Zwischen je zwei verschiedenen Punkten $x\neq z$ liegt ein weiterer Punkt, der von ihnen beiden verschieden ist. Seien in der Tat $g$ eine Parallele zu $\overline{xz}$ und $a,b,c\in g$ darauf drei paarweise verschiedene Punkte mit $(a,b,c)\in Z$. Gilt $\overline{ax}\parallel \overline{cz}$, so schneidet die Parallele zu diesen beiden Geraden durch $b$ die Gerade $\overline{xz}$ in einem Punkt zwischen $x$ und $z$. Schneiden sich $\overline{ax}$ und $\overline{cz}$ in einem weiteren Punkt $p\in [a,x]$, so liegt der Schnittpunkt von $\overline{pb}$ mit $\overline{xz}$ zwischen $x$ und $z$. } \begin{Lemma} Seien in einer affinen Inzidenzebene $X$ mit Kongruenzen zwei Halbgeraden $A,B$ mit demselben Anfangspunkt $p$ gegeben, die nicht auf einer Geraden liegen, und sei $k$ eine Kongruenz, die sie vertauscht. So ist $k$ die Spiegelung an einer Geraden $k=s_g$. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $a,b$ die Geraden zu $A,B$. Wir erhalten eine Bijektion $a\times b\sira X$, indem wir $(x,y)$ den Schnittpunkt der zu $b$ parallelen oder gleichen Gerade durch $x$ mit der zu $a$ parallelen oder gleichen Gerade durch $y$ zuordnen. Unter dieser Bijektion entspricht unser $k$ der Abbildung $(x,y)\mapsto (ky,kx)$ und die Fixpunktmenge $X^k$ entspricht dem Graphen von $k:a\sira b$. Andererseits wird jede von $p$ ausgehende Halbgerade $G$ durch einen weiteren Fixpunkt von $k$ offensichtlich injektiv und damit auch bijektiv in sich selber abgebildet und wir folgern $k=s_g$ f"ur die zu $G$ geh"orige Gerade. \end{proof} \nichtfinal{ W"ahlen wir auf unserer Gerade eine mit der Zwischenrelation vertr"agliche Anordnung, so ist er streng monoton wachsend oder streng monoton fallend. Nehmen wir ihn zun"achst streng monoton fallend an. Nun betrachten wir die Partition $g=g^>\sqcup g^a\sqcup g^<$ mit $g^>\pdef\{x\in g\mid a(x)>x\}$ und $g^a\pdef\{x\in g\mid a(x)=x\}$ und $g^<\pdef\{x\in g\mid a(x)\sira g^<$. Ist $a$ streng monoton fallend, so enth"alt $g^>$ mit einem Element auch jedes Kleinere. Wenn wir $g^a=\emptyset$ h"atten, so folgte f"ur $s\pdef \op{sup}g^>$ die Alternative $s\in g^>$ oder $s\in g^<$ und dann f"ur $i\pdef \op{inf}g^<$ wegen $i=a(s)$ notwendig $i\in g^<$ beziehungsweise $i\in g^>$. Andererseits gilt aber offensichtlich $i\geq s$ und so folgt $i\in g^<$ alias $a(i)=s0$ falls $x\in H$ und $\mu<0$ andernfalls. So werde unsere Abbildung gegeben durch $\kappa:x\mapsto (\lambda,\mu)$. Sie ist offensichtlich eine Bijektion $$\kappa: X\sira \DR^2$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt mu"s ich rumeiern und zeigen, da"s das ein Hom"oomorphismus ist. Das wird schon gehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt will ich die Kongruenzgruppe topologisieren. Klein sollen Elemente sein, die endlich viele Punkte nur um einen kleinen Abstand bewegen. Man mu"s zeigen, da"s gleichbedeutend nur drei Punkte nur um einen sehr kleinen Abstand bewegt werden. Damit erbt $K$ eine Topologie von $X^3$ durch Wahl eines Tripels von paarweise verschiedenen Punkten. Menge der angeordneten gleichseitigen Dreiecke mit Seitenl"ange Eins? Das w"are super, denn das ist eine abgeschlossene Teilmenge, also wird unsere Gruppe lokal kompakt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt Hilbert 5 oder expliziter: Menge der Einparameteruntergruppen mit Addition versehen, bildet hoffentlich Vektorraum. Auch noch mit Lieklammer, bildet hoffentlich Liealgebra. Kriege Homomorphismus von Liegruppe auf Kongruenzgruppe? \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXEL" %%% End: