\section{M"obius-Geometrie und hyperbolische Ebene} \subsection{M"obius-Geometrie} \begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge $$K\subset \Bbb{R}^2 \amalg \{\infty \}$$ hei"st ein \defind{verallgemeinerter Kreis},\index{Kreis!verallgemeinerter} wenn\index{M"obius-Geometrie}\label{MoGeK} sie entweder ein Kreis in $\Bbb{R}^2$ ist, also $K={\op{K}}(c;r)\pdef\{x\in\DR^2\mid \|x-c\|=r\}$ f"ur $c\in\DR^2$ und $r\in\DR_{>0}$, oder eine affine Gerade disjunkt vereinigt mit der einpunktigen Menge $\{\infty\}$. Jedem verallgemeinerten Kreis $K$ ordnen wir eine Abbildung $$s_K:\Bbb{R}^2 \amalg \{ \infty\} \ra \Bbb{R}^2 \amalg \{ \infty\}$$ zu, die wir die \defnoind{Spiegelung an unserem Kreis}\index{Spiegelung!an Kreis} oder {\bf Kreisspiegelung}\index{Kreisspiegelung} oder auch {\bf Inversion}\index{Inversion} nennen, und zwar die "ubliche Spiegelung $\Bbb{R}^2 \ra \Bbb{R}^2$ mit der Zusatzregel $\infty \mapsto \infty$ im Fall, da"s unsere verallgemeinerte Sph"are eine Hyperebene ist, und die \defind{Inversion} \begin{displaymath} c+\vec v \;\mapsto\; c + ({r}/{\|\vec v\|})^2\vec v \end{displaymath} mit der Zusatzregel $c \mapsto \infty$ und $\infty \mapsto c$ im Fall $K={\op{K}} (c;r)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn wir im folgenden betonen wollen, da"s wir mit einem \glqq Kreis\grqq\ nicht einen verallgemeinerten Kreis meinen, sprechen wir von einem {\bf echten Kreis}.\index{Kreis!echter} Wenn wir dahingegen betonen wollen, da"s ein verallgemeinerter Kreis die Gestalt einer um den Punkt $\infty$ erg"anzten Gerade hat, sprechen wir von einer {\bf erweiterten Gerade}.\index{Gerade!erweiterte} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Statt mit $\DR^2$ zu arbeiten, k"onnten wir genausogut und nat"urlicher von einer beliebigen affinen reellen Skalarproduktebene oder sogar einer beliebigen Kongruenzebene $E$ ausgehen und erkl"aren, welche Teilmengen von $E\sqcup\{\infty\}$ wir verallgemeinerte Kreise nennen wollen, und Kreisspiegelungen an solchen verallgemeinerten Kreisen erkl"aren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Man beachte den fundamentalen Unterschied zwischen der hier betrachteten Menge $\Bbb{R}^2 \amalg \{ \infty\}$ und der projektiven Vervollst"andigung $\mathbb V\DR^2=\DR^2\sqcup \mathbb P^1\DR$ der Ebene $\DR^2$, bei der eine ganze projektive Gerade aus unendlich fernen Punkten mit hinzugenommen wird. Wir werden im weiteren Verlauf sehen, da"s unser $\Bbb{R}^2 \amalg \{ \infty\}$ hier vielmehr eine neue Inkarnation der komplex-projektiven Gerade alias Riemann'schen Zahlenkugel $\mathbb P^1\DC =\DC\sqcup\{\infty\}$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kreisspiegelungen erhalten Kreise}] Jede Kreisspiegelung macht verallgemeinerte Kreise zu verallgemeinerten Kreisen.\label{VAKr} \end{Lemma} \begin{proof} Das war auch bereits die "Ubung \eref{GeIn}{LA1}. Es reicht sicher, es f"ur die Kreispiegelung am Einheitskreis zu zeigen. Unsere verallgemeinerten Kreise sind genau die Nullstellenmengen in $\DR^2$ von Gleichungen der Gestalt $$p\langle x,x\rangle -2\langle x,v\rangle +q$$ f"ur $v\in\DR^2$ und $p,q\in\DR$ mit $\langle v,v\rangle>pq$. Gegeben $x\neq 0$ gilt aber f"ur $y\pdef x/\langle x,x\rangle$ nach kurzer Rechnung \begin{displaymath} p\langle x,x\rangle -2\langle x,v\rangle +q=0\quad \IFF\quad q\langle y,y\rangle -2\langle y,v\rangle +p=0\qedhere \end{displaymath} \end{proof} % \begin{proof}[Alternativer Beweis] WOHIN? WAS SOLL BLEIBEN? % Es reicht sicher, das f"ur die Kreispiegelung am Einheitskreis % zu zeigen und f"ur verallgemeinerte Kreise, die % gew"ohnliche Kreise sind und ihr Zentrum auf der $x$-Achse haben % oder aber die Geraden entsprechen, die auf der $x$-Achse senkrecht stehen. % Unter der Standardidentifikation $\DR^2\sira \DC$ entspricht die % Spiegelung am Einheitskreis der Abbildung $s:z\mapsto 1/\bar z$ erg"anzt durch % die Regeln $0\mapsto \infty$ und $\infty\mapsto 0$. % Ein Kreis mit Zentrum $c\in \DR$ und Radius $r>0$ wird gegeben durch % die Gleichung ${\op{K}}(c;r)=\{z\in\DC\mid (z-c)(\bar z- c)=r^2\}$. % Gegeben $c\in\DR$ sind f"ur $z\in\DC^\times$ gleichbedeutend: % $$\begin{array}{rcl} % s(z)&\in& {\op{K}}(c;r)\\ % ((1/z)-c)((1/\bar z)- c)&=&r^2\\ % 1-cz-c\bar z +c^2z\bar z&=&r^2z\bar z\\ % \end{array}$$ % Im Fall $c^2=r^2$ haben wir $c\neq 0$ und % die Gleichung beschreibt die vertikale Gerade % $1-2c\op{Re}(z)=0$. Im Fall $a\pdef c^2-r^2\neq 0$ k"onnen wir % weiter umformen zu % $$\begin{array}{rcl} % 1/a-(c/a)(z+ \bar z) +z\bar z&=&0\\ % (z-c/a)(\bar z-c/a)&=&c^2/a^2-1/a \;=\;r^2/a^2 % \end{array}$$ % So sehen wir, da"s unter $s$ der Schnitt von $\DC^\times$ mit einem verallgemeinerten Kreis auf den Schnitt von $\DC^\times$ mit einem verallgemeinerten Kreis abgebildet wird. Da"s das mit den Punkten $0$ und $\infty$ auch pa"st, % pr"ufen wir separat. Das Lemma folgt. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kreisspiegelungen mit Zirkel und Lineal}] Gegeben ein Kreis $K$ mit Zentrum $c$ und ein Punkt $p\in\DR^2$ au"serhalb unseres Kreises k"onnen wir sein Bild unter der Kreisspiegelung $s_K$ mit Zirkel und Lineal konstruieren. Wir zeichnen dazu die Gerade $\overline{pc}$ durch $p$ und $c$ und den Kreis $L$ durch $p$ und $c$ mit Zentrum auf $\overline{pc}$, so da"s gilt $\{p,c\}=\overline{pc}\cap L$. Dann ist notwendig $s_K(L)$ die Gerade durch die beiden Punkte von $K\cap L$ und wir haben $\{s_K(p)\}=\overline{pc}\cap s_K(L)$. Indem wir diese Konstruktion umgekehren, erhalten wir auch eine Konstruktion f"ur die Bildpunkte unter $s_K$ von Punkten innerhalb unseres Kreises. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir sagen, da"s sich zwei verallgemeinerte Kreise {\bf ber"uhren},\index{ber"uhren!verallgemeinerte Kreise} wenn sie genau einen Punkt gemeinsam haben. Gegeben ein verallgemeinerter Kreis $K\subset \DR^2\sqcup\{\infty\}$ zerf"allt $\DR^2\backslash K$ in zwei Wegzusammenhangskomponenten. Nehmen wir im Fall $\infty\not\in K$ zur unbeschr"ankten Komponente noch den Punkt $\infty$ hinzu, so erhalten wir f"ur jeden verallgemeinerten Kreis eine Partition $$\DR^2\sqcup\{\infty\}=K\sqcup K^b\sqcup K^u$$ mit $s_K:K^b\sira K^u$. Im Fall eines echten Kreises meint $K^u$ die unbeschr"ankte Komponente $K^b$ die beschr"ankte Komponente. Ansonsten sei die Indizierung willk"urlich gew"ahlt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben zwei verallgemeinerte Kreise $K,L$ sind wir in genau einem der vier folgenden F"alle:\label{KBKZ} \begin{enumerate} \item Es gilt $K\cap L=\emptyset$ und $L$ ist entweder in $K^u$ oder in $K^b$ enthalten. Wir sagen, die Kreise sind {\bf disjunkt}; \item Es gilt $|K\cap L|=1$ und $L$ liegt entweder in $K\cup K^u$ oder in $K\cup K^b$. Wir sagen, die Kreise {\bf ber"uhren sich}; \item Es gilt $|K\cap L|=2$ und $L$ trifft $K$, $K^u$ und $K^b$. Wir sagen, die Kreise {\bf schneiden sich transversal}; \item Es gilt $K=L$. Wir sagen, die Kreise {\bf sind gleich}. \end{enumerate} Insbesondere ist klar, da"s sich zwei verallgemeinerte Kreise genau dann ber"uhren, wenn sich ihre Bilder unter einer beliebigen Kreisspiegelung ber"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Appollonisches Problem}] Es geht erst einmal ganz salopp gesprochen darum, Kreise zu konstruieren, die drei verschiedene vorgegebene Kreise ber"uhren. Manchmal gibt es gar keine L"osung, wenn n"amlich ein Kreis die beiden anderen trennt.\label{Apol} Es kann bis zu acht L"osungen geben. Ich diskutiere nun beispielhaft den Fall, da"s wir drei paarweise disjunkte echte Kreise vor uns haben, von denen keiner in einem anderen enthalten ist. Wir suchen einen verallgemeinerten Kreis, der sie alle ber"uhrt und so, da"s sie alle in derselben Komponente seines Komplements liegen. Indem wie Radien unserer drei Kreise um den Radius des Kleinsten schrumpfen, k"onnen wir uns auf den ausgearteten Fall zur"uckziehen, da"s mindestens einer unserer drei Ausgangskreise ein Punkt ist. Indem wir eine Kreisspiegelung an einem Kreis mit Zentrum in diesem besagten Punkt durchf"uhren, k"onnen wir uns weiter auf das Problem zur"uckziehen, gemeinsame Tangenten an zwei gegebene Kreise zu finden. Das aber ist nun nicht mehr weiter schwierig. \end{Bemerkungl} \subsection{M"obiustransformationen}\label{MoeT} \begin{Bemerkungl} Eine Verkn"upfung von Spiegelungen an verallgemeinerten Kreisen hei"st eine {\bf M"obiustransformation}.\index{M"obiustransformation} Die M"obiustransformationen bilden also eine Untergruppe $$\op{M\ddot{o}b}\subset \op{Ens}^\times(\DR^2\sqcup\{\infty\})$$ Alle M"obiustransformationen machen nach \ref{VAKr} verallgemeinerte Kreise zu verallgemeinerten Kreisen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{M"obiustransformationen, die $\infty$ festhalten}] Die M"obiustransformationen von $\DR^2\sqcup\{\infty\}$, die den Punkt $\infty$ festhalten, sind genau\label{pinhz} alle Fortsetzungen durch $\infty\mapsto\infty$ von "Ahnlichkeiten der Standardkongruenzebene $\DR^2$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der folgende Beweis zeigt allgemeiner: Jede bijektive Selbstabbildung von $\DR^2\sqcup\{\infty\}$ mit Fixpunkt $\infty$, die verallgemeinerte Kreise in verallgemeinerte Kreisen "uberf"uhrt, ist eine Fortsetzung durch $\infty\mapsto\infty$ von "Ahnlichkeiten der Standardkongruenzebene $\DR^2$. Insbesondere sind alle bijektiven Selbstabbildungen von $\DR^2\sqcup\{\infty\}$, die verallgemeinerte Kreise\label{MoeCh} in verallgemeinerte Kreise "uberf"uhren, bereits M"obiustransformationen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Alle \hyperref[Isokm]{\"Ahnlichkeiten} von $\DR^2$ liefern, wenn man sie durch die Vorschrift $\infty\mapsto\infty$ fortsetzt, M"obiustransformationen. In der Tat erh"alt man alle Kongruenzen durch sukzessive Spiegelungen an Geraden und alle Streckungen mit positivem Streckfaktor als Verkn"upfung zweier Kreisspiegelungen an konzentrischen echten Kreisen. Sei umgekehrt $\varphi$ eine M"obiustransformation mit $\varphi(\infty)=\infty$. So "uberf"uhrt die induzierte Abbildung $\varphi:\DR^2\sira \DR^2$ Geraden in Geraden und ist nach \eref{IAGe}{LA1} folglich affin. Wir finden mithin eine "Ahnlichkeit $\psi:\DR^2\sira \DR^2$ derart, da"s $\psi\varphi$ sowohl $(0,0)$ als auch $(1,0)$ festh"alt. Da $\psi\varphi$ affin ist und $(0,0)$ festh"alt, mu"s $\psi\varphi$ linear sein. Da $\psi\varphi$ au"serdem $(1,0)$ festh"alt und echte Kreise in echte Kreise "uberf"uhrt, mu"s $\psi\varphi$ L"angen von Vektoren erhalten und ist damit eine orthogonale Abbildung, ja genauer die Identit"at oder die Spiegelung an der $x$-Achse. \end{proof} \begin{Lemma}\label{TrVK} Je zwei verallgemeinerte Kreise k"onnen durch eine M"obiustransformation ineinander "uberf"uhrt werden. \end{Lemma} \begin{proof} Je zwei erweiterte Geraden k"onnen offensichtlich ineinander "uberf"uhrt werden, und jeder echte Kreis kann in eine erweiterte Gerade "uberf"uhrt werden durch eine Kreisspiegelung an einem echten Kreis mit Zentrum auf unserem echten Kreis. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung von Kreispiegelungen}] Jede M"obius\-transformation, die einen vorgegebenen verallgemeinerten Kreis $K$ punktweise festh"alt, ist die Kreisspiegelung $s_K$ oder die Identit"at.\label{CharKL} \end{Proposition} \begin{proof} Da sich nach \ref{TrVK} je zwei verallgemeinerte Kreise durch eine M"obiustransformation ineinander "uberf"uhren lassen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, unser $K$ sei eine erweiterte Gerade. Nach \ref{pinhz} m"ussen wir also nur zeigen, da"s alle "Ahnlichkeiten, die eine erweiterte Gerade punktweise festhalten, entweder die Identit"at oder die Spiegelung an besagter Gerade sind. Das ist aber klar. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben eine M"obiustransformation $\varphi$ und ein verallgemeinerter Kreis $K$ gilt $\varphi s_K\varphi^{-1}=s_{\varphi(K)}$.\label{KSPO} \end{Korollar} \begin{proof} Beide Seiten sind M"obiustransformationen, die nicht die Identit"at sind und den verallgemeinerten Kreis $\varphi(K)$ punktweise festhalten. Das Korollar folgt so aus der Charakterisierung von Kreispiegelungen \ref{CharKL}. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben eine M"obiustransformation $\varphi$ und ein verallgemeinerter Kreis $K$ ist $\varphi(K)=K$ gleichbedeutend zu $\varphi s_K= s_K\varphi$.\label{juew} \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus dem vorhergehenden Korollar \ref{KSPO}. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben verallgemeinerte Kreise $K,L\subset \DR^2\sqcup\{\infty\}$ sagen wir, {\bf $K$ stehe senkrecht auf $L$}\label{senkK} und schreiben $K\perp L$, wenn gilt $K\neq L $ und $s_Ks_L=s_Ls_K$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Anschauung}] Nach \ref{juew} ist $s_Ks_L=s_Ls_K$ gleichbedeutend zur Bedingung $s_K(L)=L$, die vielleicht besser unserem anschaulichen Begriff von Senkrechtstehen entspricht, aber weniger symmetrich ist. Wenn Sie wissen, welche Teilmengen $M\subset \DR^2$ \glqq eindimensionale $\mathcal C^1$-Un\-ter\-man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten\grqq\ hei"sen und wie f"ur jeden Punkt $p\in M$ solch einer Untermannigfaltigkeit der \glqq Tangentialraum\grqq\ ${\op{T}}_pM\subset \DR^2$ erkl"art wird, so werden Sie unschwer erkennen, da"s die Schnitte unserer verallgemeinerten Kreise mit $\DR^2$ eindimensionale $\mathcal C^1$-Untermannigfaltigkeiten sind und da"s zwei verallgemeinerte Kreise $K,L$ genau dann aufeinander senkrecht stehen im Sinne der obigen Definition, wenn sie genau zwei Schnittpunkte haben und wenn f"ur jeden Punkt $p\in K\cap L$ mit $p\neq\infty$ gilt ${\op{T}}_pK\perp {\op{T}}_pL$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Sind $K,L$ verallgemeinerte Kreise mit $K\perp L$ und ist $\varphi$ eine M"obiustransformation, so gilt auch $\varphi(K)\perp\varphi(L)$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Wenn Sie bereits etwas mit Funktionentheorie vertraut sind, mag Ihnen bekannt sein, da"s alle biholomorphen Abbildungen \glqq winkeltreu\grqq\ sind. Mit den Resultaten des folgenden Abschnitts oder Grundkenntnissen in Differentialgeometrie folgt leicht, da"s auch alle M"obiustransformationen sogar \glqq winkeltreu\grqq\ sind. Ich will aber an dieser Stelle nicht diskutieren, was das nun ganz genau bedeuten soll. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Kommutieren die Kreisspiegelungen $s_K$ und $s_L$, so gilt dasselbe f"ur die Kreisspiegelungen $s_{\varphi(K)}=\varphi s_K\varphi^{-1}$ und $s_{\varphi(L)}=\varphi s_L\varphi^{-1}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben zwei disjunkte verallgemeinerte Kreise $K,L$ verstehen wir unter einer {\bf geschlossenen Kreiskette zwischen $K$ und $L$}\index{Kreiskette} eine Familie $$M_1,\ldots,M_n$$ von verallgemeinerten Kreisen, die alle $K$ und $L$ ber"uhren und so da"s $M_i$ und $M_{i+1}$ sich f"ur $i=1,\ldots,n-1$ jeweils auch untereinander ber"uhren und da"s $M_n$ auch $M_1$ ber"uhrt, da"s aber $M_i$ und $M_j$ sonst disjunkt sind. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kreiskettensatz von Steiner}] Seien zwei disjunkte Kreise gegeben.\label{KvSk} Geh"ort ein Kreis, der sie beide ber"uhrt, zu einer geschlossenen Kreiskette zwischen unseren beiden disjunkten Kreisen, so geh"ort jeder Kreis, der sie beide ber"uhrt, zu einer geschlossenen Kreiskette zwischen unseren beiden disjunkten Kreisen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In diesem Satz und seinem Beweis sind Kreise, wenn nicht explizit etwas anderes gesagt wird, stets im verallgemeinerten Sinne zu verstehen. Wenn man den Satz auf den Fall von zwei echten Kreisen $K,L$ spezialisiert, von denen einer im anderen liegt, in Formeln $L\subset K^b$, so mu"s man das noch nicht einmal dazusagen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das gilt f"ur zwei disjunkte Kreise offensichtlich genau dann, wenn es f"ur ihre Bilder unter irgendeiner M"obiustransformation gilt. Es reicht also zu zeigen, da"s wir f"ur je zwei disjunkte Kreise eine M"obiustransformation finden, die sie in konzentrische echte Kreise "uberf"uhrt. Das schlie"slich leistet das folgende Lemma \ref{Konzz}. \end{proof} \begin{Lemma} Zu je zwei disjunkten verallgemeinerten Kreisen $K,L$ finden wir eine M"obiustransformation,\label{Konzz} die sie in konzentrische echte Kreise "uberf"uhrt. \end{Lemma} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $L$ eine erweiterte Gerade ist. Dann ist notwendig $K$ ein echter Kreis. Nun finden wir sicher eine erweiterte Gerade $A$ mit $A\perp L$ durch das Zentrum von $K$, also mit $A\perp K$. Au"serdem finden wir mit elementaren Konstruktionen einen echten Kreis $B$ mit Zentrum in $A\cap L$, der auf $K$ senkrecht steht. F"ur jede Inversion $s$ an einem Punkt von $A\cap B$ sind dann $s(A)$ und $s(B)$ aufeinander senkrechte erweiterte Geraden, die beide auf $s(K)$ und $s(L)$ senkrecht stehen. Damit aber sind $s(K)$ und $s(L)$ konzentrische echte Kreise. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Bemerkungl} Die folgenden vier "Ubungen \ref{vaKp}, \ref{Mtrzp}, \ref{Mtrzq} und \ref{Mtrzj} werden wir bei unserer Konstruktion \ref{KvP} einer nichteuklidischen Ebene ben"otigen. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Gegeben ein verallgemeinerter Kreis und zwei Punkte gibt es stets einen weiteren verallgemeinerten Kreis,\label{vaKp} der durch unere zwei Punkte geht und auf ersterem verallgemeinerten Kreis senkrecht steht. %Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit ist der erste verallgemeinerte Kreis eine erweiterte Gerade. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben zwei verallgemeinerte Kreise, die aufeinander senkrecht stehen, und zwei Punkte auf dem Zweiten, die nicht auf dem Ersten liegen, gibt es stets eine\label{Mtrzp} M"obiustransformation, die unsere beiden verallgemeinerten Kreise stabilisiert und den einen Punkt auf den anderen abbildet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben zwei verallgemeinerte Kreise, die beide auf einem Dritten senkrecht stehen, gibt es stets eine\label{Mtrzq} M"obiustransformation, die den Dritten stabilisiert und den Ersten auf den Zweiten abbildet. \end{Ubung} \begin{Ubung} Es gibt genau zwei\label{Mtrzj} M"obiustransformationen, die sowohl die erweiterte $x$-Achse als auch das St"uck $\{(0,y)\mid 00\}$$ Unsere "ubliche Identifikation $\DR^2\sira \DC$ induziert eine Bijektion $H^+\sira \mathbb H$ und unsere Operation von $\op{SL}(2;\DR)\langle \tau\gamma\rangle$ auf $H^+$ durch M"obiustransformationen entspricht darunter einer Operation $$\begin{array}{rcc} \op{SL}(2;\DR)\langle \tau\gamma\rangle\times \mathbb H&\ra&\mathbb H\\[2mm] \left({{a\;b}\choose{c\;d}}\;\;\;,\;\;\;z\right)&\mapsto&\frac{c+dz}{a+bz}\\[1mm] \left(\tau\gamma\;\;\;,\;\;\;z\right)&\mapsto&-\bar z \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die in \ref{SLPo} konstruierte Operation von $\op{SL}(2;\DR)$ auf $H^+$ transitiv ist und da"s $\op{SO}(2)$ die Isotropiegruppe von ${\op{e}}_2=(0,1)$ ist. Unsere Operation induziert mithin eine Bijektion\label{SLSO} $$\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)\sira H^+$$ A forteriori induziert die in \ref{SLPo} konstruierte Operation von $\op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle$ auf $H^+$ eine Bijektion $\op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle/\op{SO}(2)\langle\tau \gamma\rangle\sira H^+$ und die Fixpunktmenge von $\tau \gamma$ ist die offene halbe $y$-Achse $(H^+)^{\tau \gamma}= \DR_{>0}{\op{e}}_2$. Im "ubrigen induziert die Operation von $\op{SL}(2;\DR)$ auf ${\op{e}}_2\in H^+$ eine Bijektion der Untergruppe $\{\op{diag}(\lambda,\lambda^{-1})\mid \lambda \in \DR_{>0}\}$ mit unserer Fixpunktmenge $(H^+)^{\tau \gamma}$. \end{Ubung} \subsection{Die hyperbolische Ebene} \begin{Bemerkungl} "Uber zweitausend Jahre wurde die Geometrie nach dem axiomatischen Aufbau gelehrt, den Euklid in seinen \glqq Elementen\grqq\ niedergelegt hat. Dieses Buch war auch ein Modell f"ur den axiomatischen Aufbau einer Theorie "uberhaupt und hat damit eine zentrale Rolle beim Aufbau der modernen Mathematik gespielt. Als Grundlage f"ur die heutige Mathematik reichen aber Euklid's Definitionen wie etwa \glqq Ein Punkt ist, was keine Teile hat\grqq\ oder \glqq Eine Linie ist eine breitenlose L"ange\grqq\ nicht mehr aus. Stattdessen baut die heutige Mathematik auf den Begriffen der Mengenlehre auf. Nat"urlich sind die Grundbegriffe der naiven Mengenlehre "ahnlich vage, aber hier existiert ein grundsolider Unterbau in der Logik, auf den man sich im Notfall st"utzen kann. Eine Formalisierung der \glqq euklidische Ebene\grqq\ in diesem Rahmen sind unsere \glqq Kongruenzebenen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Rahmen der urspr"unglichen Axiome von Euklid war eines der Axiome das sogennante \glqq Parallelenaxiom\grqq, nach dem man zu jeder Geraden durch jeden Punkt au"serhalb besagter Geraden genau eine Parallele ziehen k"onnen sollte. "Uber Jahrhunderte ist versucht worden, das Parallelenaxiom aus den anderen Axiomen von Euklid herzuleiten, bis man im 19.-ten Jahrhundert Geometrien fand, die alle Axiome des Euklid mit Ausnahme des Parallelenaxioms erf"ullen. Sie hei"sen die {\bf nichteuklidischen Geometrien}. Wir geben nun eine unserer Axiomatik f"ur reelle euklidische Ebenen als Kongruenzebenen angepa"ste Pr"azisierung f"ur die Behauptung der Existenz nichteuklidischer Geometrien. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Existenz nichteuklidischer Geometrien}] Es gibt Tripel $(X,Z,K)$ bestehend aus einer \hyperref[IzGG]{Inzidenzgeometrie} $X$ mit \hyperref[GCR]{Zwischenrelation} $Z$ und einer Automorphismengruppe $K$ von $(X,Z)$ mit den folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Unsere Inzidenzgeometrie hat mindestens zwei Geraden; \item Unsere Zwischenrelation hat die \hyperref[GCR]{Supremumseigenschaft}; \end{enumerate} Eine Teilmenge $S\subset X$ hei"se ein \emph{\bf Strahl}, wenn es eine Gerade $g$ gibt und einen Punkt $p\in g$ und eine \hyperref[GCR]{mit unserer Zwischenrelation vertr\"agliche Anordnung} $\leq$ auf $g$\label{NEAx} mit $S=\{q\in g\mid q\geq p\}$. Mit dieser Terminologie fordern wir dann noch: \begin{enumerate} \item[3.] Zu je zwei Strahlen $S,T\subset X$ gibt es genau zwei Kongruenzen $k\in K$ mit $k(S)=T$; \item[4.] Durch einen Punkt au"serhalb einer Gerade gibt es mehr als nur eine Parallele zu besagter Gerade. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Der Beweis besteht in der Konstruktion eines Beispiels, ja einer ganzen Klasse von paarweise isomorphen Beispielen, die unter dem Oberbegriff der {\bf hyperbolischen Ebene}\index{hyperbolisch!Ebene} zusammengefa"st werden. F"ur den Beweis unseres Satzes reicht nat"urlich bereits eines dieser Beispiele aus. Die anderen aber helfen, diese Struktur besser zu verstehen. Die Frage, ob es auch noch andere nichtisomorphe Beispiele gibt, soll hier nicht diskutiert werden. Wir beginnen mit einer Realisierung $(X,Z,K)$ der hyperbolischen Ebene, bei der $X$ die Menge aller Punkte der offenen Einheitskreisscheibe ist, der sogenannten \glqq Kreisscheibe von Poincar\'e\grqq\ \ref{KvP}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Kreisscheibe von Poincar\'e}] Wir konstruieren im folgenden ein Tripel $(X,Z,K)$ mit den vier in \ref{NEAx} von einer nichteuklidischen Geometrie geforderten Eigenschaften.\label{KvP} Als $X$ nehmen wir alle Punkte der offenen Einheitskreisscheibe $$X\pdef \{(x,y)\in\DR^2\mid x^2+y^2<1\}$$ Als Geraden nehmen wir alle Schnitte mit der offenen Einheitskreisscheibe von solchen verallgemeinerten Kreisen, die auf dem Einheitskreis senkrecht stehen. Nach \ref{vaKp} ist das eine Inzidenzgeometrie. Als Zwischenrelation mit Supremumseigenschaft nehmen wir die Offensichtliche und verzichten auf das formale Pr"ufen der Eigenschaften, das keine wesentlichen Schwierigkeiten aufwirft und dem Leser leicht selbst gelingen wird. Als $K$ schlie"slich nehmen wir alle M"obiustransformationen, die die offene Einheitskreisscheibe in sich selber "uberf"uhren. Mit den "Ubungen \ref{Mtrzp} und \ref{Mtrzq} und \ref{Mtrzj} sieht man leicht, da"s es f"ur je zwei Strahlen $S,T$ in $X$ genau zwei Transformationen $h,k\in K$ gibt mit $h(S)=k(S)=T$. Da"s es in dieser Inzidenzgeometrie durch einen Punkt au"serhalb einer Geraden mehr als eine Parallele zu besagter Geraden gibt, ist offensichtlich. Dies ist unser erstes Modell der hyperbolischen Ebene. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Alternative Modelle f"ur die hyperbolischen Ebene}] Die offene Einheitskreisscheibe k"onnen wir mithilfe einer M"obiustransformation bijektiv mit der oberen Halbebene $H^+\pdef \{(x,y)\in\DR^2\mid y>0\}$ identifizieren. Unter einer und jeder solchen Identifikation entsprechen die M"obiustransformationen den M"obiustransformationen, die verallgemeinerten Kreise, die senkrecht auf dem Einheitskreis stehen, den verallgemeinerten Kreisen, die senkrecht auf der erweiterten $x$-Achse stehen, und so weiter. Wir erhalten so ein anderes Modell derselben Struktur, die {\bf obere Halbebene von Poincar\'e}\index{Poincar\'e!obere Halbebene} $$X=H^+$$ Im Bild der Kreisscheibe sind die durch Rotation gegebenen Automorphismen besonders gut zu sehen, im Bild der oberen Halbebene die durch Translation in Richtung der $x$-Achse gegebenen Automorphismen. Das Bild der oberen Halbebene f"uhrt mit unseren Bijektionen aus \ref{SLSO} zum {\bf gruppentheoretischen Modell} $$X\pdef \op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle/\op{SO}(2)\langle\tau \gamma\rangle$$ In diesem Modell ist $K$ das Bild des durch Linksmultiplikation gegebenen Gruppenhomomorphismus $\op{SL}(2;\DR)\langle\tau \gamma\rangle\ra \op{Ens}^\times(X)$, eine Gerade ist die Fixpunktmenge $X^{\tau\gamma}$, und die anderen Geraden sind die Bilder dieser Geraden unter $K$. gut zu sehen, aber die Struktur als Inzidenzgeometrie mit Zwischenrelation ist weniger offensichtlich. Schlie"slich kann man aber $\op{SL}(2;\DR)$ auch durch Konjugation auf dem dreidimensionalen reellen Vektorraum $\mathfrak{sl}(2;\DR)$ der reellen $(2\times 2)$-Matrizen mit Spur Null operieren lassen und feststellen, da"s die Isotropiegruppe von ${\;0\;\;1}\choose{-1\;0}$ gerade $\op{SO}(2)$ ist und die Bahn dieses Elements unter $\op{SL}(2;\DR)$ die Menge aller spurlosen Matrizen $A={{a\;\;\;b}\choose{c\;-a}}$ mit $\op{tr}(A^2)=2(a^2+bc)=-2$ und $b>0$. Diese Bahn ist also ein Hyperboloid und ebenfalls in Bijektion zu $\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)$. Daher mag auch die Bezeichnung als {\bf hyperbolische Ebene}\index{hyperbolische Ebene} r"uhren. In Hyperboloid-Modell kann man die Inzidenzstruktur wieder besser sehen, die Geraden sind in diesem Fall genau alle nichtleeren Schnitte von zweidimensionalen Untervektorr"aumen von $\mathfrak{sl}(2;\DR)$ mit unserem Hyperboloid. Das Hyperboloid-Modell ist jedoch zeichnerisch schlechter zug"anglich, da es sich dabei um eine Fl"ache im dreidimensionalen Raum handelt. F"uhren wir neue Koordinaten ein durch $a=x$, $b=y+z$ und $c=y-z$, so wird unser Hyperboloid gegeben durch die Gleichung $x^2+y^2-z^2=-1$ und die Zusatzbedingung $z>0$, wir haben also in Formeln $$X=\{(x,y,z)\in\DR^3\mid x^2+y^2-z^2=-1,z>0\}$$ Es ist klar, da"s die Zentralprojektion mit Augpunkt im Ursprung auf die affine Ebene $\{(x,y,1)\}$ es bijektiv mit der offenen Kreisscheibe $\{(x,y,1)\mid x^2+y^2<1\}$ identifiziert. Unter dieser Bijektion entsprechen die Geraden unserer Inzidenzstruktur den mehrpunktigen Schnitten von Geraden mit der besagten Kreisscheibe alias den \glqq Sehnen\grqq. Insbesondere ist dies Modell verschieden von der Kreisscheibe von Poincar\'e. Es hei"st das {\bf Klein'sche Modell}\index{Klein'sches Modell} der hyperbolischen Ebene. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} F"ur die ausgezeichnete Automorphismengruppe $K$ im Modell der oberen Halbebene $X=H^+$ liefert \ref{SLPo} einen Gruppenisomorphismus $$\op{PSL}(2;\DR)\sira K^+$$ mit den Notationen $\op{PSL}(2;\DR)\pdef \op{SL}(2;\DR)/{\pm\op{I}}$ und $K^+\pdef K\cap \op{M\ddot{o}b}^+$. \end{Bemerkunge} \subsection{M"obiusgeometrie in beliebigen Dimensionen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spiegelungen an verallgemeinerten Sph"aren}] Wir halten $n\geq 1$ fest. Eine Teilmenge $$K\subset \Bbb{R}^n \amalg \{\infty \}$$ hei"se eine \defind{verallgemeinerte Sph"are},\index{Sph"are!verallgemeinerte} wenn\index{M"obius-Geometrie}\label{MoGe} sie entweder eine Sph"are in $\Bbb{R}^n$ ist, also $K={\op{K}}(c;r)\pdef\{x\in\DR^n\mid \|x-c\|=r\}$ f"ur $c\in\DR^n$ und $r\in\DR_{>0}$ und der Notation $\|\;\|$ f"ur den durch die Skalarproduktnorm gegebenen Abstand, oder aber eine affine Hyperebene disjunkt vereinigt mit der einpunktigen Menge $\{\infty\}$. Im ersten Fall sprechen wir von einer {\bf echten Sph"are},\index{Sph"are!echte} im Zweiten von einer {\bf erweiterten Hyperebene}.\index{Hyperebene!erweiterte} Die Bezeichnung $K$ r"uhrt von der alternativen Bezeichnung einer Sph"are als \glqq Kugelschale\grqq\ her. Jeder verallgemeinerten Sph"are $K$ ordnen wir eine Abbildung $$s_K:\Bbb{R}^n \amalg \{ \infty\} \ra \Bbb{R}^n \amalg \{ \infty\}$$ zu, die wir die \defnoind{Spiegelung an unserer verallgemeinerten Sph"are}\index{Spiegelung!an Sph"are} nennen, und zwar die "ubliche Spiegelung $\Bbb{R}^n \ra \Bbb{R}^n$ mit der Zusatzregel $\infty \mapsto \infty$ im Fall, da"s unsere verallgemeinerte Sph"are eine Hyperebene ist, die Abbildung $ y \mapsto y/\|y\|^{2} $ mit der Zusatzregel $0 \mapsto \infty$ und $\infty \mapsto 0$ im Fall der in Null zentrierten Einheits\-sph"are ${\op{K}}(0;1)$, und allgemeiner die \defind{Inversion} \begin{displaymath} y \mapsto c + \frac{r^2}{\|y-c\|^2} (y-c) \end{displaymath} mit der Zusatzregel $c \mapsto \infty$ und $\infty \mapsto c$ im Fall einer echten Sph"are $K={\op{K}} (c;r)$. Die von Spiegelungen an verallgemeinerten Sph"aren erzeugte Untergruppe von $\op{Ens}^\times(\DR^n\amalg\{\infty\})$ hei"st die \defind{M"obiusgruppe} und ihre Elemente hei"sen {\bf M"obiustransformationen}.\index{M"obiustransformation} Analog erkl"aren wir f"ur jeden reellen affinen Skalarproduktraum, ja f"ur jeden affinen Skalarproduktraum $E$ "uber einem angeordneten K"orper die Gruppe der M"obiustransformationen als Untergruppe von $\op{Ens}^\times(E\amalg\{\infty\})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die von allen Verkn"upfungen von zwei solchen Spiegelungen erzeugte Untergruppe hei"st die Gruppe der {\bf orientierungserhaltenden M"obius\-trans\-for\-ma\-tio\-nen}: Sie besteht n"amlich genau aus denjenigen M"obiustransformationen, deren Differential \eref{DeDii}{AN2} an jeder Stelle des $\DR^n$, die nicht gerade nach $\infty$ abgebildet wird, die Orientierung erh"alt. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{M"obiustransformationen erhalten verallgemeinerte Sph"aren}] M"o\-bius\-transformationen "uberf"uhren verallgemeinerte Sph"aren stets in verallgemeinerte Sph"aren. Im Fall $n=2$ und f"ur die Inversion am Einheitskreis $K(0;1)$ sollten Sie das bereits in \eref{GeIn}{LA1} mithilfe der komplexen Zahlen nachgerechnet haben. Der allgemeine Fall folgt leicht aus dem ebenen Fall, da eine Inversion an einer echten Sph"are offensichtlich mit allen Rotationen um Achsen durch das Zentrum der Sph"are kommutiert, wenn wir diese Rotationen durch $\infty\mapsto\infty$ auf $\Bbb{R}^n \amalg \{ \infty\}$ erweitern. Alternativ kann man auch die Argumentation aus \ref{VAKr} wiederholen. Andererseits zeigt man wie in \ref{TrVK} auch in beliebiger Dimension leicht, da"s sich je zwei verallgemeinerte Sph"aren durch eine M"obiustransformation ineinander "uberf"uhren lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Identifikation von $\DR^{n}\amalg\{\infty\}$ mit einer Sph"are}] Die Spiegelung an der Sph"are\label{iSpp} mit Zentrum im Standardbasisvektor $\op{e}_{n+1}$ und Radius Zwei identifiziert die Einheits\-sph"are $S^n={\op{K}}(0;1)\subset \DR^{n+1}\amalg\{\infty\}$ mit der erweiterten Hyperebene $\{x_{n+1}=-1\}\amalg\{\infty\}$, wie nebenstehendes Bild im Fall $n=1$ illustriert. Halten wir noch eine Verschiebung um $\op{e}_{n+1}$ dahinter, so erhalten wir eine Identifikation $S^n\sira \DR^n\amalg\{\infty\}$. Wir verwenden sie unter anderem, um die rechte Seite und insbesondere auch $\DP^1\DC=\DC\amalg\{\infty\}$ mit einer Topologie zu versehen. Will man an diese Vorstellung appellieren, nennt man $\DP^1\DC$ die {\bf Riemann'sche Zahlenkugel}. \index{Zahlenkugel}\index{Riemann'sche Zahlenkugel} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kreise auf der Riemann'sche Zahlenkugel}] Unter unserer Identifikation $S^2\sira \DR^2\amalg\{\infty\}$ aus \ref{iSpp} entsprechen die anschaulichen Kreise auf der Einheitssph"are genau unseren verallgemeinerten Kreisen in $\DR^2\amalg\{\infty\}$. In der Tat haben wir unsere Identifikation ja als die Restriktion einer M"obiustransformation auf $ \DR^3\amalg\{\infty\}$ konstruiert, und diese mu"s mehrpunktige Schnitte von zwei verallgemeinerten Sph"aren auf ebensolche abbilden. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMoe}\\[4mm] \noindent Der gestrichelte Kreis wird durch die \glqq stereographische Projektion\grqq\ mit der gestrichelten Geraden identifiziert. Demn"achst werden Sie diese Abbildung auch als \glqq Inversion\grqq\ am durchgezogenen Kreis verstehen lernen. Diese Inversion h"alt jeden Punkt auf dem durchgezogenen Kreis fest und wirft sein Zentrum nach $\infty$. Folglich vertauscht die Inversion am durchgezogenen Kreis den gestrichelten Kreis mit der gestrichelten Geraden. Die gezackte Gerade oder vielmehr der zugeh"orige verallgemeinerte Kreis wird von besagter Inversion auf sich selbst geworfen, folglich wirkt unsere Inversion auf den Punkten des gestrichelten Kreises wie die stereographische Projektion. \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Reelle Formen und verallgemeinerte Kreise}] Man zeige: Unter der Komposition $\op{Pot}(\DC^{2})\ra \op{Pot}(\DC^{2}\backslash 0) \ra \op{Pot}(\DC\amalg\{\infty\})\sira \op{Pot}(\DR^2\amalg\{\infty\})$ der offensichtlichen Abbildungen wird das System $\op{ReFo}\subset \op{Pot}(\DC^{2})$ der reellen Formen nach \eref{rFFo}{LA2} von $\DC^{2}$ auf das System $\op{VerKr}\subset \op{Pot}(\DR^2\amalg\{\infty\})$ der verallgemeinerten Kreise abgebildet. Hinweis: Das System der verallgemeinerten Kreise ist die Bahn der erweiterten $x$-Achse in $\op{Pot}(\DR^2\amalg\{\infty\})$ unter der Gruppe der M"obiustransformationen. Unter der so gegebenen Surjektion $\op{ReFo}\sra \op{VerKr}$ oder ausgeschrieben $$\big\{\text{Reelle Formen von }\DC^2\big\}\sra \big\{\text{Verallgemeinerte Kreise in }\DR^2\amalg\{\infty\}\big\}$$ werden zwei reelle Formen genau dann auf denselben verallgemeinerten Kreis abgebildet, wenn sie durch die Multiplikation mit einer von Null verschiedenen komplexen Zahl auseinander hervorgehen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IvKK} Man zeige, da"s Inversionen Winkel erhalten in dem Sinne, da"s ihr Differential an jedem vom Zentrum der Inversion verschiedenen Punkt Winkel erh"alt. Hinweis: Es reicht zu zeigen, da"s \emph{eine} Orthonormalbasis unter dem Differential an jedem festen Punkt eine mit einem festen Faktor skalierte Orthonormalbasis wird. Man betrachte hierzu Orthonormalbasen, bei denen ein Vektor die Richtung vom Zentrum der Inversion zu unserem festen Punkt angibt. Alternativ l"ost das auch \eref{InKo}{AN2} in sogar noch gr"o"serer Allgemeinheit. \end{Ubung} % \begin{figure}[p]\centering % \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMoe}\\[4mm] % \noindent % Die Inversion an dem als durchgezogene Linie % eingezeichneten Kreis h"alt jeden Punkt auf dem Kreis fest und % wirft sein Zentrum nach $\infty$. Folglich vertauscht % diese Inversion den gestrichelten Kreis mit % der gestrichelten Geraden. Die gezackte % Gerade oder vielmehr der zugeh"orige % verallgemeinerte Kreis wird von der Inversion auf sich selbst geworfen, % folglich wirkt unsere Inversion auf den Punkten des % gestrichelten Kreises wie die stereographische Projektion. % \end{figure} \begin{Ubunge}\label{MTFP} Die M"obiustransformationen $\DR^{n}\amalg\{\infty\}\sira \DR^{n}\amalg\{\infty\}$ mit Fixpunkt $\infty$ sind genau die Fortsetzungen der "Ahnlichkeiten auf $\DR^n$ durch die Vorschrift $\infty\mapsto \infty$. Hinweis: Mithilfe von \eref{IAGe}{LA1} folgere man dann, da"s unsere Abbildung auf $\DR^{n}$ affin sein mu"s. Mit \eref{AEH}{LA2} folgere man dann, da"s diese affine Abbildung eine "Ahnlichkeit sein mu"s. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{KMTz} Man zeige, da"s f"ur $n\geq 2$ jede bijektive Abbildung $\DR^{n}\amalg\{\infty\}\sira \DR^{n}\amalg\{\infty\}$ mit der Eigenschaft, da"s das Bild jeder verallgemeinerten Sph"are eine verallgemeinerte Sph"are ist, bereits eine M"obiustransformation sein mu"s. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall zur"uck, da"s $\infty$ ein Fixpunkt unserer Abbildung ist, so da"s man \ref{MTFP} anwenden kann. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{MTEE} Wir betrachten f"ur $n\geq 1$ das Anf"ugen einer Null $\DR^{n}\amalg\{\infty\}\hra \DR^{n+1}\amalg\{\infty\}$. Man zeige, da"s eine Selbstabbildung von $\DR^{n}\amalg\{\infty\}$ eine M"obiustransformation ist genau dann, wenn sie sich zu einer M"obiustransformation auf $\DR^{n+1}\amalg\{\infty\}$ fortsetzen l"a"st. Hinweis: Will man direkte Rechnung vermeiden, mag man mit \ref{KMTz} argumentieren. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{KIUL} H"alt eine M"obiustransformation auf $\DR^{n}\amalg\{\infty\}$ f"ur $n\geq 1$ eine verallgemeinerte Sph"are punktweise fest, so ist sie entweder die Identit"at oder aber die Inversion an besagter verallgemeinerter Sph"are. Hinweis: \ref{MTFP} \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{stPr} Man betrachte die \defind{stereographische Projektion} der Einheitssph"are auf die $xy$-Ebene vermehrt um einen Punkt $\infty$, die jedem Punkt au"ser dem Nordpol $n=(0,0,1)$ den Schnittpunkt mit der $xy$-Ebene der Geraden durch diesem Punkt und den Nordpol zuordnet, und die den Nordpol auf $\infty$ wirft. Sie kann verstanden werden als Restriktion der Inversion an derjenigen Sph"are mit Zentrum im Nordpol, die die $xy$-Ebene im Einheitskreis schneidet. Mit der vorhergehenden "Ubung \ref{IvKK} erkennt man so, da"s unter der stereographischen Projektion Kreise auf der Einheitssph"are als Schnitte der Einheitssph"are mit anderen Sph"aren "ubergehen in verallgemeinerte Kreise in der $xy$-Ebene, und da"s die stereographische Projektion Winkel erh"alt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{M"obiustransformationen als Liegruppe}] Gegeben $p,q \in \mathbb N$ erkl"aren wir $\op{O} (p,q) \subset \op{GL} (p + q; \mathbb R)$\index{O@$\op{O}(p,q)$} als die Gruppe aller derjenigen invertierbaren Matrizen, die die quadratische Form $f = x^2_1 + \ldots + x^2_p - x^2_{p+1} - \ldots -x^2_{p+q}$ auf $\mathbb R^{p+q}$ invariant lassen. Diese Gruppe stabilisiert den sogenannten {\bf Nullkegel}\index{Nullkegel} $N$ aller Vektoren, auf denen unsere quadratische Form verschwindet, und induziert eine Operation auf dem Quotienten $(N \backslash 0) / \mathbb R_{>0}$. Da die Einbettung $S^{p-1} \times S^{q-1} \hookrightarrow \mathbb R^p \times \mathbb R^q$ offensichtlich eine Bijektion $S^{p-1} \times S^{q-1} \sira (N \backslash 0) / \mathbb R_{> 0}$ induziert, erbt die linke Seite ein Operation von $\op{O} (p,q)$.\label{TrKa} Speziell erhalten wir eine Operation von $\op{O} (n +1,1)$ auf $S^n\times S^0$ und dann auch auf $S^n\sira (N \backslash 0) / \mathbb R^\times$. Man zeige, da"s sie unter der stereographischen Projektion $S^n \sira \mathbb R^n \sqcup \{\infty\}$ einen Isomorphismus zwischen $\op{O} (n +1, 1)$ und der Gruppe der M"obiustransformationen auf $\mathbb R^n \sqcup \{\infty\}$ induziert. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben $c,s\in\DR$ mit $c^2-s^2=1$ geh"ort die Matrix ${c\;s\choose s\;c}$ zu $\op{O} (1,1)$ und folglich geh"ort die Matrix $$\begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&c&s\\ 0&s& c \end{pmatrix}$$ zu $\op{O} (2,1)$. Man pr"ufe durch explizite Rechnung, da"s die Operation unserer Matrix auf dem projektivisierten Lichtkegel unter seiner Identifikation mit $S^1$ durch $(x,y)\mapsto \langle x,y,1\rangle$ und der Identifikation $S^1\sira \DR\sqcup\{\infty\}$ mit der stereographischen Projektion gegeben durch $(x,y)\mapsto x/(1-y)$ mit ihrer Inversen $t\mapsto (2t/(1+t^2),(1-t^2)/(1+t^2))$ der Streckung um den Faktor $a=c-s$ entspricht. \end{Ubunge} SPAETENSTENS AB HIER VERLEGEN! \begin{Bemerkunge} Gegeben $p,q \in \mathbb N$ erkl"aren wir $\op{O} (p,q) \subset \op{GL} (p + q; \mathbb R)$\index{O@$\op{O}(p,q)$} als die Gruppe aller derjenigen invertierbaren Matrizen, die die quadratische Form $f = x^2_1 + \ldots + x^2_p - x^2_{p+1} - \ldots -x^2_{p+q}$ auf $\mathbb R^{p+q}$ invariant lassen. Diese Gruppe stabilisiert den sogenannten {\bf Nullkegel}\index{Nullkegel} $N$ aller Vektoren, auf denen unsere quadratische Form verschwindet. Nach dem Satz von Witt \eref{SvW}{LA2} ist diese Operation auf dem Komplement des Ursprungs $N \backslash 0$ transitiv. Die auf dem Quotienten $(N \backslash 0) / \mathbb R_{>0}$ induzierte Operation ist erst recht transitiv, und da die Einbettung $S^{p-1} \times S^{q-1} \hookrightarrow \mathbb R^p \times \mathbb R^q$ offensichtlich eine Bijektion $S^{p-1} \times S^{q-1} \sira (N \backslash 0) / \mathbb R_{> 0}$ induziert, erbt die linke Seite ein transitive Operation von $\op{O} (p,q)$.\label{OOOM} Unter unserer Operation von $\op{O} (p,q)$ auf $S^{p-1} \times S^{q-1}$ ist die pseudoriemannsche Metrik $s \boxtimes (-s)$, die man als externes Produkt der Standardmetrik auf $S^{p-1}$ mit dem Negativen der Standardmetrik auf $S^{q-1}$ erh"alt, konform invariant im Sinne von \eref{InKo}{AN2}. In der Tat ist der Tangentialraum an das Ursprungskomplement des Lichtkegels $ N\backslash 0$ in einem Vektor $v \in N\backslash 0$ genau \begin{equation*} {\op{T}}_v (N \backslash 0) = \op{ker} (\diff_v f) = v^\perp=\{ w \in \mathbb R^{p+q} \mid \langle v,w \rangle =0\} \end{equation*} f"ur $\langle \; , \;\rangle$ die zu unserer quadratischen Form $f$ geh"orige symmetrische Bilinearform. Die Operation unserer Gruppe l"a"st den $2$-Tensor auf $N \backslash 0$ invariant, der durch Restriktion von $\langle \;,\;\rangle$ auf die Tangentialr"aume von $N \backslash 0$ entsteht. Unter dem Differential der radialen Projektion auf $S^{p-1} \times S^{q-1}$ ist dieser $2$-Tensor an jeder Stelle verwandt zu einem Vielfachen von $s \boxtimes (-s)$ am Bild besagter Stelle. So folgt die konforme Invarianz von $s \boxtimes (-s)$ unter $\op{O} (p,q)$. Ebenso erhalten wir die konforme Invarianz unter $\op{O} (p,q)$ des induzierten $2$-Tensors auf der projektiven Quadrik $$(S^{p-1} \times S^{q-1})/(\pm{\op{id}})\;\sira\; (N \backslash 0) / \mathbb R^\times$$ \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein reeller Vektorraum $V$ mit einer nichtausgearteten symmetrischen Bilinearform $\langle\;,\;\rangle$ betrachten wir die durch die Vorschrift $$\varphi:x\mapsto \left(\frac{1-\langle x,x\rangle}{2},x,\frac{1+\langle x,x\rangle}{2}\right)$$ gegebene Abbildung $\varphi: V\ra \DR\oplus V\oplus \DR$. Man pr"uft, da"s sie im Nullkegel $M$ der symmetrischen Bilinearform $\langle(a, x,b),(c,y,d)\rangle\pdef ac+\langle x,y\rangle -bd$ auf $\DR\oplus V\oplus \DR$ landet, also der Nullstellenmenge von $(a,x,b)\mapsto a^2+\langle x,x\rangle -b^2$, und da"s ihr Bild den Urspung vermeidet. Wir erkennen, da"s $\varphi$ eine Injektion $$\bar\varphi: V\hra (M\backslash 0)/\DR^\times\pdef\mathbb P(M)$$ induziert. Gilt weiter $\op{dim}V<\infty$, so pr"uft man auch, da"s das Differential von $\varphi$ an jeder Stelle mit den jeweiligen Bilinearformen vertr"aglich ist, in Formeln $\langle \diff_x\varphi(v),\diff_x\varphi(w)\rangle=\langle v,w\rangle$ f"ur alle $x,v,w$. F"ur die in \ref{OOOM} beschriebene konforme Struktur auf $(M\backslash 0)/\DR^\times$ ist $\bar\varphi$ also eine konforme Einbettung. Man pr"uft, da"s ihr Bild alle Geraden $\langle a,x,b\rangle\in (N\backslash 0)/\DR^\times$ mit $\langle x,x\rangle\neq 0$ enth"alt, denn dann liegt $\lambda( a,x,b)$ f"ur $\lambda=(b-a)/\langle x,x\rangle$ im Bild von $\varphi$. Die Geraden $\langle a,x,b\rangle$ mit $\langle x,x\rangle= 0$ schlie"slich liegen genau dann im Bild von $\bar\varphi$, wenn gilt $a=b\neq 0$. In jedem Fall ist klar, da"s $\bar\varphi$ dichtes Bild hat. JETZT: INVERSIONEN LASSEN SICH NETT FORTSETZEN: ERZEUGEN? Bezeichne nun $N\subset V$ den Nullkegel. Die Inversion $\op{inv}:V\backslash N\ra V\backslash N$ gegeben durch $x\mapsto x/\langle x,x\rangle$ l"a"st sich zu einer Inversion auf $\mathbb P(\DR\oplus V\oplus\DR)$ fortsetzen durch die Vorschrift $\langle a,x,b\rangle\mapsto (-a,x,b)$, und diese Fortsetzung stabilisiert $\mathbb P(M)$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zu L"osungen der Maxwell'schen Gleichungen}] Diese Erg"anzung ist f"ur Leser mit Grundkenntnissen in Differentialgeometrie und Elektromagnetismus gedacht. In \ref{OOOM} erhalten wir speziell eine Operation von $\op{O} (4,2)$ auf $S^3 \times S^1$. Wir finden andererseits eine Einbettung $\mathbb R^{3+1} \hookrightarrow S^3 \times S^1$ als offene dichte Teilmenge, die konform ist f"ur die Minkowski-Metrik (und zwar wie?). Da nach \eref{2F4}{AN2} die Maxwell'schen Gleichungen \eref{MaGee}{AN2} \glqq konform invariant\grqq\ sind, k"onnen wir, wenn wir Definitionsl"ucken in Kauf nehmen, aus jeder L"osung durch Transformation mit $g \in \op{O} (4,2)$ eine weitere L"osung erhalten. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung}[\textbf{Verallgemeinerte Inversionen}] Wir wissen aus \ref{VAKr}, da"s jede Kreisspiegelung verallgemeinerte Kreise zu verallgemeinerten Kreisen macht. Sei allgemeiner $K$ ein K"orper und $V$ ein $K$-Vektorraum und $\langle\;,\;\rangle$ eine symmetrische Bilinearform auf $V$ und $N\pdef \{x\in V\mid \langle x,x\rangle=0\}$ ihr {\bf Nullkegel}\index{Nullkegel} und $\alpha\in K^\times$. Erkl"aren wir die {\bf Inversion}\index{Inversion} $$\op{inv}_\alpha:V\backslash N\ra V\backslash N$$ durch die Vorschrift $x\mapsto \alpha x/\langle x,x\rangle$, so gilt $(\op{inv}_\alpha)^2=\op{id}$ und gegeben $p,q\in K$ sowie $v\in V$ finden wir f"ur $x\in V\backslash N$ mit $y\pdef \op{inv}_\alpha(x)$ nach kurzer Rechnung \begin{displaymath} p\langle x,x\rangle -2\langle x,v\rangle +q=0\quad \IFF\quad \alpha^{-1}q\langle y,y\rangle -2\langle y,v\rangle +\alpha p=0 \end{displaymath} Insbesondere geht jede Teilmenge der Gestalt ${\op{K}}(v;\beta)\pdef \{x\mid \langle x-v,x-v\rangle= \beta\}$ f"ur feste $v\in V$, $\beta\in K^\times$ "uber in, falls der Nullvektor nicht zu unserer Teilmenge geh"ort, eine Teilmenge der Gestalt ${\op{K}}(w;\gamma)$ f"ur feste $w\in V$, $\gamma\in K^\times$, und andernfalls, wenn unsere Bilinearform zus"atzlich nicht ausgeartet ist, in den Schnitt mit $V\backslash N$ einer affinen Hyperebene. Wie in \eref{InKo}{AN2} gezeigt wird, ist im Fall des Grundk"orpers $K=\DR$ jede Inversion auch eine konforme Abbildung in dem Sinne, da"s ihr Differential die vorgegebene Bilinearform bis auf einen von Null verschiedenen Faktor erh"alt. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Wir betrachten auf dem $\DR^3$ die symmetrische Bilinearform $\langle\;,\;\rangle$ mit zugeh"origer quadratischer Form $\langle v,v\rangle=x^2+y^2-z^2$ f"ur $v=(x,y,z)$. Wir wenden nun $\op{inv}_{(-2)}$ an auf das verschobene zweischalige Hyperboloid $H\pdef {\op{e}}_3 + \{v\mid \langle v,v\rangle=1\}$ und finden $\op{inv}_{(-2)}(2{\op{e}}_3)={\op{e}}_3$ im Bild. Wegen $0\in H$ mu"s unser Bild der Schnitt mit $\DR^3\backslash N$ einer affinen Ebene sein, die wie unsere ganze Situation stabil ist unter Rotation um die dritte Koordinatenachse. Diese Ebene ist dann notwendig ${\op{e}}_3+\DR{\op{e}}_1+\DR{\op{e}}_2$ und sie trifft $N$ im Einheitskreis und die von $\op{inv}_{(-2)}$ induzierte Abbildung ist die Zentralprojektion mit Zentrum im Ursprung von $H$ auf diese affine Ebene. Ihr Schnitt mit $N$ ist $\{{\op{e}}_3+x{\op{e}}_1+y{\op{e}}_2\mid x^2+y^2=1\}$. Nach \eref{InKo}{AN2} sind unsere Inversionen konforme Abbildungen und damit induzieren sie konforme Abbildungen zwischen Untermannigfaltigkeiten. \end{Beispiel} % Durch stereographische Projektion erhalten wir % konforme Einbettungen $b:\DR\hra S^1$, $c:\DR^3\hra S^3$ und dazu Funktionen % $\varphi:\DR^3\ra \DR$ mit $c:\varphi g\leadsto s$ f"ur % $g$ die % Standardmetrik auf $\DR^3$ und $s$ die Standardmetrik auf % der Sph"are $S^3$ sowie % $\psi:\DR\ra \DR$ mit $b:\psi g\leadsto s$ f"ur % $g$ die % Standardmetrik auf $\DR$ und $s$ die Standardmetrik auf % der Sph"are $S^1$. % Mithin haben wir % $$(c\times b): (\varphi\boxtimes \psi)(g\boxtimes(-g))\leadsto % % s\boxtimes(-s)$$ % F"ur eine Abbildung $\kappa:\DR^{3,1}\sira \DR^{3,1}$ % der Gestalt $\kappa: (x,t)\mapsto (x,k(x,t))$ % mit $x=(x_1,x_2,x_3)$ haben wir andererseits % $\kappa:\diff x_i\leadsto \diff x_i$ und $\kappa:\diff x_i\leadsto \diff t$ %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXEL" %%% End: