\section{Versuche zu Bimoduln}
\subsection{F"ur Ivan am 11.1.2024: Lokalisierung von Bimoduln}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $x,y,z:V\sira V$ Automorphismen eines Vektorraums $V$.
  Wir setzen $\op{Gr}_x\pdef \{(xv,v)\mid v\in V\}\As V\times V$.
  Wir finden $$\op{Gr}_x\cap\op{Gr}_y=\{(w,v)\mid w=xv=yv\}=\{(xv,v)\mid y^{-1}xv=v\}$$
  und $\op{Gr}_x\cap\op{Gr}_{xz}=\{(xv,v)\mid z^{-1}v=v\}$ und somit
  $\op{pr}_2(\op{Gr}_x\cap\op{Gr}_{xz})= V^z$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Sei nun $V$ eine komplexe spiegelungstreue Darstellung eines Coxetersystems
  $(\mathcal W,\mathcal S)$ wie in \cite{So-Bi} 1.5. Wir erinnern den Isomorphismus $\mathcal O(V)\otimes \mathcal O(V)\sira \mathcal O(V\times V)$
  gegeben durch $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$.
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl} Gegeben $t\in \mathcal W$ eine Spiegelung bezeichne
  $\alpha_t\in \mathcal O(V)$
  eine lineare Gleichung seiner Fixpunktmenge.
Sei $\mathcal S_P\subset \mathcal S$ beliebig und 
  $\mathcal W_P\pdef \langle\mathcal S_P\rangle\subset\mathcal W$ die zugeh"orige Parabolische. Lokalisieren wir 
  nach der Menge $A_P$  aller $1\boxtimes \alpha_t$ mit $t\in \mathcal W\backslash \mathcal W_P$ einer Spiegelung von $\mathcal W$,
  die nicht zu $\mathcal W_P$ geh"ort, so werden mithin alle ersten
  Erweiterungen
  $\op{Ext}^1_{A_P^{-1}\mathcal O(V\times V)}(A_P^{-1}\mathcal O(\op{Gr}_x), A_P^{-1}\mathcal O(\op{Gr}_y))$ verschwinden falls $x\mathcal W_P\neq y\mathcal W_P$. Daf"ur mu"s man nur
  einsehen, da"s es eh nur dann von Null verschiedene Erweiterungen geben kann,
  wenn gilt $x=ys$ mit $s$ einer Spiegelung, vergleiche \cite{So-Bi} 5.8. 
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}
   Gegeben ein spezieller Bimodul $B$ haben wir also eine eindeutige
   Zerlegung $$A_P^{-1}B=\bigoplus_{D\in \mathcal W/\mathcal W_P} B_D$$ mit
   $\op{supp}(B_D)\subset \bigcup_{u\in D}\op{Gr}_u$.
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}\label{Erin} Jetzt meine ich zu erinnern (kannst Du das best"atigen?),
   da"s wir uns "uberlegt oder zitiert hatten, da"s f"ur $s\in \mathcal S$ und
   $D=x\mathcal W_P\in \mathcal W/\mathcal W_P$ mit $x\in D$ kleinstm"oglich 
   die folgende Alternative gilt:
   \begin{enumerate}
   \item
     Entweder haben wir $sD=D$ und $t\pdef xsx^{-1}\in \mathcal W_P$;
   \item
     Oder wir haben $sD\neq D$ und gegeben $y,z\in \mathcal W_P$ gilt
     $y<z\IFF xy<xz\IFF sxy<sxz$.
   \end{enumerate}
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}
   Wir setzen $R\pdef \mathcal O(V)$. Wir schreiben
   $B_D=\mathcal O(\op{Gr}_x)\otimes_R \tilde B_D=R(x)\otimes_R \tilde B_D$
   mit der Notation $R(x)$ aus \cite{So-Bi} 3.3. 
   Wenn wir \ref{Erin} einmal glauben, ergibt sich f"ur $R\otimes_{R^s}B_D$
   die folgende Alternative: 
  \begin{enumerate}
   \item Entweder haben wir $R\otimes_{R^s}B_D=R\otimes_{R^s}R(x)\otimes_R \tilde B_D= R(x)\otimes_R R\otimes_{R^t}\tilde B_D$;
\item Oder $R\otimes_{R^s}B_D=R\otimes_{R^s}R(x)\otimes_R \tilde B_D=R(x)\otimes_R \tilde B_D \oplus R(sx)\otimes_R \tilde B_D$.
  \end{enumerate}
  Induktiv sehen wir so, da"s alle $\tilde B_D$ Lokalisierungen nach $A_P$ von
  speziellen Bimoduln zu $\mathcal W_P$ sein m"ussen. 
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}
   Jetzt liegt die Frage nahe, ob unzerlegbare spezielle Bimoduln
   zu $\mathcal W_P$ unzerlegbar bleiben unter dieser Lokalisierung.
   Ich erwarte, da"s die Fixpunktmenge $F_P$ von $\mathcal W_P$ in $V$
   in keiner Spiegelebene f"ur eine Spiegelung au"serhalb von $\mathcal W_P$
   enthalten ist.  Dann k"onnen wir unsere Lokalisierung
   von rechts spezialisieren zu
   einem Punkt von $F_P$, auf dem kein $\alpha_t$ f"ur eine
   Spiegelung $t\not\in \mathcal W_P$ verschwindet, und erhalten einen
   $R$-Linksmodul, der ein spezieller Modul f"ur $\mathcal W_P$ sein mu"s.
   Da Bimoduln genauso zerfallen wie ihre Spezialisierungen (hoffentlich auch in dieser Allgemeinheit, sollte aus \cite{So-Bi} 5.15 folgen), kann die Lokalisierung dazwischen nicht st"arker zerfallen. 
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}
   Das Obige sehe ich als Analogon von \cite{So-Bi} 6.10 f"ur
   parabolische Untergruppen mit mehr als zwei Elementen.
   Jetzt brauche ich Deine R"uckmeldung als Advocatus Diaboli: Ist das so "uberzeugend? Erinnerst Du dasselbe wie ich? Ist es, was Du wissen wolltest?
   Gruß, Wolfgang
 \end{Bemerkungl}
   
 \newpage

\subsection{Erweiterungen von speziellen Bimoduln f"ur Ivan}
\begin{Bemerkungl}\label{esB} 
  Ich will zeigen, zun"achst nur f"ur endliche Coxetersysteme $(W,S)$
  mit ihrer Standarddarstellung $V$,
  da"s spezielle Bimoduln nicht miteinander erweitern in der
  Kategorie der $\mathcal O(\Gamma(W))$-Moduln f"ur
  $\Gamma(W)\subset V\times V$ die Vereinigung aller Graphen
  von Elementen von $W$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Wir arbeiten dazu mit ungraduierten Moduln.
  Der Funktor $$(R\otimes_{R^s}):\mathcal O(\Gamma(W))\op{-Mod}\ra \mathcal O(\Gamma(W))\op{-Mod}$$ ist selbstadjungiert f"ur alle $s\in S$.
  Er ist also exakt und macht Projektive zu Projektiven und ist damit auch
  selbstadjungiert f"ur h"ohere Ext-Gruppen. So k"onnen wir uns darauf
  einschr"anken, f"ur jeden speziellen Bimodul $B$ das Verschwinden
  $$\op{Ext}^1_{\mathcal O(\Gamma(W))}(B,R)=0$$
  zu zeigen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Jetzt betrachten wir in $\Gamma(W)$ die offenen Teilmengen
  $U^{\leq i}\co \Gamma(W)$ aller Punkte, deren Projektion auf die erste oder
  gleichbedeutend die zweite Kopie von $V$ eine Isotropiegruppe hat zu
  einem Coxetersystem mit h"ochstens $i$ einfachen Spiegelungen.
  Zum Beispiel ist $U^{\leq 0}$ die Menge aller Punkte, die nur auf einem
  einzigen Graphen liegen, $U^{\leq 1}$ die Menge aller Punkte,
  deren Projektion als Isotropiegruppe die triviale oder eine von einer
  Spiegelung erzeugte 
  zweielementige Gruppe hat,  und bei $U^{\leq 2}$ kommen noch alle
  Punkte dazu,
  deren Projektion als Isotropiegruppe  eine von zwei Spiegelungen erzeugte
  Diedergruppe hat. Erweiterungen der
  Restriktionen in den Kategorien quasikoh"arenter Garben
  auf diesen Unterschemata notiere ich 
$$\op{Ext}^1_{U^{\leq i}}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Jetzt will ich begr"unden, warum es ausreicht, $\op{Ext}^1_{U^{\leq 1}}(B,R)=0$
zu zeigen. Eine Erweiterung von $\mathcal O(\Gamma(W))$-Moduln  entspricht ja einer kurzen exakten Sequenz
$R\hra \tilde B\sra B$ und sie ist Null, wenn diese Sequenz spaltet.
So eine Spaltung ist ein Morphismus $B\ra \tilde B$.
Nun hat $\tilde B$ offensichtlich eine $\nabla$-Fahne, also ist
nach [Bimoduln:Hom-Formel] der Raum der
Homomorphismen $\op{Hom}_{R\otimes R}(B,\tilde B)$ ein freier
$R$-Rechtsmodul und ebenso ein  freier
$R$-Linksmodul. Jede Spaltung "uber $U^{\leq 1}$ kommt also von einer
Spaltung von $\mathcal O(\Gamma(W))$-Moduln her. \nichtfinal{Was soll dieser Satz? A forteriori gilt dasselbe
f"ur eine Spaltung "uber $U^{\leq 2}$.} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Es reicht also,  $\op{Ext}^1_{U^{\leq 2}}(B,R)=0$ 
zu zeigen. \nichtfinal{Eigentlich reicht  $\op{Ext}^1_{U^{\leq 1}}(B,R)=0$, aber
  ich mu"s das st"arkere zeigen, sonst funktioniert es nicht.} Mit einem Spektralsequenzargument reicht es zu zeigen,
da"s die  $\op{Ext}^1$-Garbe au"ser Null keine globalen Schnitte hat und
da"s die $\op{Hom}$-Garbe verschwindende erste Kohomologie hat. Nun,
die Hom-Garbe ist eine direkte Summe von endlich vielen Kopien
von $i_*\mathcal O_{\Gamma(e)}$ f"ur $i:\Gamma(e)\hra \Gamma(W)$ die
Einbettung. Wenn ich sie auf $U^{\leq 2}$ einschr"anke und die derivierten
direkten Bilder der Ausdehnung nehme, verschwindet das erste derivierte
direkte Bild, weil das darauf hinausl"auft, eine koh"arente Garbe auf einem
Vektorraum endlicher Dimension einzuschr"anken auf das Komplement einer
abgeschlossenen Teilmenge einer Kodimension mindestens drei und dann
das direkte Bild der Einbettung zu nehmen und da sollte  es keinen
ersten Derivierten geben nach S"atzen von Serre. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Es bleibt zu zeigen, da"s die
  $\op{Ext}^1$-Garbe $\mathcal E{\op{xt}}^1(B,R)$ auf ${U^{\leq 2}}$
  verschwindet. In dieser Situation zerf"allt alles in Dieder-Situationen,
  vergleiche etwa die Dissertation von McDonnell. Da sind also
  die speziellen Bimoduln regul"are Funktionen $\mathcal O (\Gamma(\leq x))$
  und sind hinreichend projektiv, um keine Erweiterungen mit 
$\mathcal O (\Gamma(e))$ zu haben. Das war's dann. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Es w"are nicht schlecht, Analoges auch auf den W"anden zu zeigen,
  oder zumindest auf einer Wand, aber dar"uber habe ich noch nicht nachgedacht. 
\end{Bemerkungl}
\subsection{Ivan April 2023}
\begin{Bemerkungl}
  Jetzt probieren wir dasselbe f"ur unendliches $W$. In diesem Fall ist $\Gamma(W)$ nicht Zariski-abgeschlossen, aber jeder spezielle
  Bimodul $B$ ist ein $\mathcal O(\Gamma(T)$-Modul f"ur eine 
   endliche  Teilmenge $T\subset W$ 
 und wir wollen
  zeigen, da"s f"ur jeden  speziellen Bimoduln $B$ gilt
   $\op{Ext}^1_{\mathcal O(\Gamma(T))}(B,R)=0$
  f"ur jede endliche  Teilmenge $T\subset W$ mit
  $\op{supp}B\subset \Gamma(T)$. Daraus folgt dann wieder
  $$\op{Ext}^1_{\mathcal O(\Gamma(T))}(A,B)=0$$
  f"ur alle  speziellen Bimoduln $A,B$ und jede endliche  Teilmenge
  $T\subset W$ mit $\op{supp}A,\op{supp}B\subset \Gamma(T)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Der Schnitt zweier verschiedener Spiegel hat als Isotropiegruppe stets
  eine Diedergruppe, die im Sinne der Bimodularbeit
  zul"assig dargestellt ist, das hie"s meiner Erinnerung nach
  spiegelungstreu. Das sollte mit Betrachtung der Alkovengeometrie
  im Titskegel folgen. Betrachten wir denjenigen Alkoven  dieser Diedergruppe,
  der den fundamentalen Alkoven der urspr"unglichen Gruppe umfa"st,
  als ihren fundamentalen Alkoven, so induziert die Bruhatordnung
  der gro"sen Gruppe die Bruhatordnung auf dieser Diedergruppe.
  Diese mu"s jedoch keineswegs konjugiert sein zu einer Standardparabolischen. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  \begin{enumerate}
  \item
    Ich betrachte in $\Gamma(T)$ die Menge $\Gamma(T)^{ 0}$ aller Punkte,
  die nur auf einem Graphen $\Gamma(x)$ mit $x\in T$ liegen.
  Sie bilden eine offene Teilmenge, deren Komplement die Kodimension Eins hat.
  \item Ich betrachte  in $\Gamma(T)$ die Menge $\Gamma(T)^{1}$ aller Punkte,
  die auf genau zwei Graphen $\Gamma(x),\Gamma(xs) $ mit $x,xs\in T$ und
  $s$ einer nicht notwendig einfachen Spiegelung liegen. Dann ist
  $\Gamma(T)^{ 0}\cup \Gamma(T)^{1}$ eine offene Teilmenge, deren Komplement
  die Kodimension zwei hat.
\item Ich betrachte in $\Gamma(T)$  
  die Menge $\Gamma(T)^{2}$ aller Punkte $p$,
  die auf drei Graphen $\Gamma(x),\Gamma(xs),\Gamma(xt) $
  liegen mit $x,xs, xt\in T$ und
  $s\neq t$ nicht notwendig einfachen Spiegelungen und derart, da"s
  aus $p\in \Gamma(y)$ f"ur $y\in T$ bereits folgt $\Gamma(y)\supset \Gamma(x)\cap \Gamma(xs)\cap \Gamma(xt)$.
   Dann sollte
  $\Gamma(T)^{ 0}\cup \Gamma(T)^{1}\cup \Gamma(T)^{2}$ eine offene Teilmenge sein, deren Komplement
  die Kodimension drei hat.
  \end{enumerate}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  \begin{enumerate}
  \item
    Ich behaupte, da"s ein spezieller Bimodul $B$ mit Tr"ager in
    $\Gamma(T)$, wenn ich ihn lokalisiere an eine Stelle $p\in \Gamma(T)^{ 0}$
    isomorph ist zu einer direkten Summe von Kopien von $\mathcal O(\Gamma(x))_p$.
  \item  Ich behaupte, da"s ein spezieller Bimodul $B$ mit Tr"ager in
    $\Gamma(T)$, wenn ich ihn lokalisiere an eine Stelle $p\in \Gamma(T)^{1}$
    isomorph ist zu einer direkten Summe von Kopien von $\mathcal O(\Gamma(x))_p$ und $\mathcal O(\Gamma(x,xs))_p$ mit $x<xs$.
\item  Ich behaupte, da"s ein spezieller Bimodul $B$ mit Tr"ager in
    $\Gamma(T)$, wenn ich ihn lokalisiere an eine Stelle $p\in \Gamma(T)^{2}$
  isomorph ist zu einer direkten Summe von Kopien von $\mathcal O(\Gamma(xD_{\leq u}))_p$ f"ur $D$ die Isotropiegruppe von $V^s\cap V^t$ und
  $x$ minimal in $xD$ und $u\in D$.
  \end{enumerate}
  Das mu"s induktiv gezeigt werden.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ich hoffe, da"s das reicht, um dieses alte Argument durchzuziehen.
  Das sollte man zur "Ubung vielleicht erst mal im endlichen Fall
  durchziehen, um zu sehen, da"s es auch wirklich funktioniert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} SCHROTT!  Ich habe probiert a priori zu zeigen, da"s
  sich bei Vergr"o"serung von $T$ die Erweiterungsgruppe
  $\op{Ext}^1_{\mathcal O(\Gamma(T))}(A,B)$ nicht "andern kann,
  und daf"ur wollte ich das per Induktion f"ur alle $\Delta$-Fahnenobjekte
  zeigen. Das ist mir aber nicht gelungen. Na gut, wir brauchen es ja auch nicht unbedingt. 
\end{Bemerkungl}

  
  



\subsection{Skizze für Ivan, wohl Schrott}
\begin{Bemerkungl}
  Ich versuche erst mal was einfacheres, n"amlich zu
  zeigen, da"s spezielle Bimoduln in $\mathcal O(\Gamma(W))\op{-Mod}$
  nicht erweitern k"onnen. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
  Ich will ein Argument skizzieren, das mir plausibel scheint,
  ohne daß ich alle Schritte
  gepr"uft h"atte. Ich schreibe es nur f"ur den Fall
  endlicher Coxtetergruppen aus.
  Wir k"ampfen ja mit dieser Erweiterung von
  $\mathcal O(\Gamma(W))$-Moduln $A,B$, von der
  wir zeigen wollen, da"s sie "uber
  $\mathcal O(\Gamma(W))^{\op{id}\times s}$ spaltet. 
  Ich will argumentieren, warum hier $\op{Ext}^1$
  einen Tr"ager der Kodimension zwei oder gr"o"ser hat.
  Nun, ich w"urde hoffen, da"s die Bilder von
  $\Gamma(x)$ und $\Gamma(y)$ in $\Gamma(W)/{\op{id}\times s}$
  sich nur dann in 
  Kodimension Eins schneiden k"onnen, wenn es eine
  Spiegelung $t$ gibt mit $tx=y$ oder $tx=ys$ aber $x\neq y,ys$. 
  Dann sollte klar sein, da"s wenn
  $x,tx$ beide \glqq zu $A$ geh"oren\grqq, die entsprechenden
  Summanden von $A$ nach Lokalisierung des  
  

  
  \begin{enumerate}
  \item
     $\op{Ext}^1_{\mathcal O(\Gamma(W))^{\op{id}\times s}}(A,B)$ hat einen Tr"ager
    der Kodimension mindestens
    zwei in $\Gamma(W)/{\op{id}\times s}$
    für beliebige spezielle Bimoduln $A,B$;
  \item
     $\op{Ext}^1_{\mathcal O(\Gamma(W))^{\op{id}\times s}}(A,B)$ hat einen Tr"ager
    der Kodimension mindestens
    zwei in $\Gamma(W)/{\op{id}\times s}$ für beliebige spezielle Bmoduln $A,B$
  \end{enumerate}

\end{Bemerkungl}

\ref{rzzz}


\newpage
\subsection{Bimodulgedanken}
\begin{Bemerkungl}
  Ich arbeite in den Notationen von \cite{So-Bi}. Bezeichne $Q$ die
  Lokalisierung von $R$ an allen von Null verschiedenen Linearformen auf
  $V$. Gegeben $M\in \mathcal F_\nabla$ liefern die
  offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen von $R$-Bimoduln
$$Q\otimes_R M\sira Q\otimes_R M\otimes_R Q\sila
M\otimes_R Q$$ Wir nennen diesen $Q$-Bimodul von nun an $M_Q$. Er zerf"allt
als direkte Summe der Untermoduln 
$$M_Q=\bigoplus_{x\in W}\Gamma_x M_Q$$
bestehend aus allen Elementen mit Tr"ager in $\op{Gr}(x)$. 
 Tr"ager sind hier und im folgenden 
stets in Bezug auf die $R$-Bimodulstruktur gemeint.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
 Ein {\bf $\Delta_x [i]$-Vektor} 
eines Bimoduls $M \in \mathcal F_\Delta$
ist ein homogenes Element $f \in M_Q$ mit Tr"ager in $\op{Gr} (x)$
derart, da"s es $g \in \Gamma_{> l (x)} (M_Q)$ gibt mit 
$f + g \in M$ einem homogenen Repr"asentanten eines Erzeugers eines zu
$\Delta_x [i]$  isomorphen
Summanden von $\Gamma_{\geq l (x)} M / \Gamma_{> l (x)} M$.
Per definitionem ist ein $\Delta_x [i]$-Vektor stets homogen vom Grad
$l(x) -i$.
\end{Definition}
\begin{Definition}
 Ein {\bf $\nabla_x [i]$-Vektor} 
eines Bimoduls $M \in \mathcal F_\nabla$
ist ein homogenes Element $f \in M_Q$ mit Tr"ager in $\op{Gr} (x)$
derart, da"s es $g \in \Gamma_{< l (x)} (M_Q)$ gibt mit 
$f + g \in M$ einem homogenen Repr"asentanten eines Erzeugers eines zu
$\nabla_x [i]$  isomorphen
Summanden von $\Gamma_{\leq l (x)} M / \Gamma_{< l (x)} M$.
Per definitionem ist ein $\nabla_x [i]$-Vektor stets homogen vom Grad
$-l(x) -i$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
Sei $M \in \mathcal F_\nabla$.
 Jeder Erzeuger eines zu $\nabla_x [i]$ isomorphen Summanden von
$\Gamma_{\leq l (x) } M /\Gamma_{< l(x)} M$ l"a"st sich auf genau eine Weise
 zu einem $\nabla_x [i]$-Vektor liften: Wir nehmen irgendeinen homogenen
Repr"asentaten in $\Gamma_{\leq l(x)} M$ und davon in 
$\Gamma_{\leq l(x)} M_Q$
den Anteil mit Tr"ager in $\op{Gr} (x)$.
Analoges gilt ebenso mit $\Delta$ statt $\nabla$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
 Zu $M=R \otimes_{R^s} R$ 
betrachten wir in $M_Q$ die Vektoren
\begin{displaymath}
u_e = 1\otimes \alpha + \alpha \otimes 1 \quad \text{ und}\quad 
u_s = 1 \otimes 1 - \alpha \otimes \alpha^{-1}.
\end{displaymath}
Sicher ist $u_e$ 
 ein
$\nabla_e [-2]$-Vektor. Dar"uber hinaus ist 
$u_s $
 ein
$\nabla_s [-1]$-Vektor, da er durch Addition von 
$1\otimes 1 + \alpha \otimes \alpha^{-1}$,
das ja Tr"ager in $\op{Gr} (e)$ hat, zu $2\otimes 1$ 
erg"anzt werden kann, dessen
Nebenklasse  
$R \otimes_{R^s} R / \Gamma_e  (R \otimes_{R^s} R)$ erzeugt.
 Als Funktionen auf dem Kreuz $\{ (x,y) \mid (x+y) (x-y) = 0\}$ ist $u_e$ die
Einschr"ankung einer linearen Gleichung von $\op{Gr} (s)$ und $u_s$ mag gedacht
werden als Funktion, die konstant Zwei ist auf 
$\op{Gr} (s)$, konstant Null auf $\op{Gr}
(e)$, und die auf dem Schnitt nicht definiert ist.
Umgekehrt betrachten wir in $M_Q$  auch die Vektoren
\begin{displaymath}
w_s = 1\otimes \alpha - \alpha \otimes 1 \quad \text{ und}\quad 
w_e = 1 \otimes 1 + \alpha \otimes \alpha^{-1}.
\end{displaymath}
Nun ist  $w_s$ ein $\Delta_s[-1]$-Vektor
und $w_e$ ein $\Delta_e$-Vektor.
\end{Beispiel}


\begin{Lemma}
 Sei $M \in \mathcal F_\nabla$ und $f \in M_Q$ ein 
$\nabla_x [i]$-Vektor 
und $s \in S$ eine einfache Spiegelung.
\begin{enumerate}
\item Gilt $s x > s$, so ist $u_s \otimes f$ ein $\nabla_{sx}[i-1]$-Vektor in
  $R\otimes_{R^s} M_Q$ und $u_e \otimes f$ ein $\nabla_x [i-2]$-Vektor in
  $R\otimes_{R^s} M_Q$.  
\item Gilt
  $sx < x$, so ist $w_s \otimes f$ ein $\nabla_{sx} [i-1]$-Vektor
  in
  $R\otimes_{R^s} M_Q$ und $w_e \otimes f$ ein $\nabla_x [i]$-Vektor in
  $R\otimes_{R^s} M_Q$.
\end{enumerate}

\end{Lemma}
\begin{proof}
 Nach \cite[6.3]{So-Bi}  k"onnen wir zu  jedem
$\nabla_x [i]$-Vektor $f \in M_Q$ sogar $g \in \Gamma_{<x} M_Q$ finden
mit $f +g \in M$.
Der Rest des Beweises kann dem Leser "uberlassen bleiben.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}
  Jede Wahl einer Gleichung $\alpha$ der Spiegelebene einer einfachen
  Spiegelung $s$ liefert wie in \cite[5.10]{So-Bi} beschrieben eine Adjunktion
  des Funktors $R[1]\otimes_{R^s}$ mit sich selbst.  Wir setzen $Q_x :=
  (R_x)_Q$.  Nehmen wir einmal $s x < x$ an.  Jeder Morphismus
  \begin{equation*}
    Q_{sx} \rightarrow R \otimes_{R^s} R \otimes_R Q_x
  \end{equation*}
  mu"s $1_{sx}$ auf ein Produkt $(u_s \otimes 1_x)q$ mit wohlbestimmtem $q \in
  Q$ abbilden.  Jeder Morphismus
  \begin{equation*}
    R \otimes_{R^s} R \otimes_R Q_{sx} \rightarrow Q_x
  \end{equation*}
  bildet umgekehrt $w_e \otimes 1_{sx}$ auf Null ab und $w_s \otimes 1_{sx}$
  auf $1_x \tilde q$ mit wohlbestimmtem $\tilde q \in Q$.  Wenn nun unsere
  Morphismen adjungiert sind, m"ussen $\tilde q$ und $q$ sich gegenseitig
  bestimmen, und ich will nun ausrechnen, auf welche Weise sie das tun.
  Nat"urlich reicht es, unser $q$ f"ur das $f$ mit $\tilde q=1$ auszurechnen.
Es ist nun leicht zu sehen, da"s wir eine Einbettung von Bimoduln $c : R \hookrightarrow
R \otimes_{R^s} R \otimes_{R^s} R$ erhalten durch die Vorschrift
% Lambda oder 1?
$1 \mapsto \alpha \otimes 1 \otimes 1 + 1 \otimes
1 \otimes \alpha$.
Wie etwa in \cite{Libedinski} ausgef"uhrt wird, kann die Adjunktion aus
\cite[5.10]{So-Bi} explizit angegeben werden als die Vorschrift, die $f: R [1] \otimes_{R^s} M \rightarrow N$ abbildet auf die Komposition
\begin{equation*}
 M = R\otimes_{R} M \overset{c \otimes \op{id}}{\longrightarrow} R[1] \otimes_{R^s}
R[1] \otimes_{R^s} R \otimes_R = R[1] \otimes_{R^s} R[1] \otimes_{R^s}
\overset{\op{id} \otimes f}{\longrightarrow} R [1] \otimes_{R^s} N
\end{equation*}
F"ur unser $f : R\otimes_{R^s} Q_{sc} \rightarrow Q_x$ mit $w_e \otimes 1_{sx}
\mapsto 0$ und $w_s \otimes 1_{sx} \mapsto 1_x$
erhalten wir also ausgeschrieben
\begin{equation*}
 1 \otimes 1_{sx} + \alpha \otimes \alpha^{-1} 1_{sx} \mapsto 0
\end{equation*}
und $1 \otimes \alpha 1_{sc} - \alpha \otimes 1_{sx} \mapsto 1_x$.
Multiplizieren wir die erste Gleichung mit $\alpha$, so folgt $\alpha \otimes 1_{sx}
+ 1 \otimes 1_{sx} \mapsto 0$ und durch Addition beziehungsweise Subtraktion
$1 \otimes \alpha 1_{sx} \mapsto 1_x$, $\alpha \otimes 1_{sx}
\mapsto - 1_x$ und $1 \otimes 1_{sx} = 1 \otimes \alpha \alpha^{-1}
1_{sx} = 1 \otimes \alpha 1_{sx} (\alpha^{sx})^{-1} \mapsto
1_x (\alpha^{sx})^{-1} = - \alpha^{-1} 1_x$.
Unter der Adjunktion ergibt sich dann schlie"slich
\begin{equation*}
 1_{sx} \mapsto \alpha \otimes 1 \otimes 1_{sx} + 1 \otimes
1 \otimes \alpha 1_{sx} \mapsto
-\alpha \otimes \alpha^{-1} 1_x + 1 \otimes 1_x = u_s \otimes 1_x
\end{equation*}

\end{Bemerkungl}

\section*{Graduierte Vermafahnen}
Ich w"u"ste gerne, ob in der graduierten Version der Kategorie $\mathcal O$ die Vermafahne eines
projektiven Objekts stets so unsortiert werden kann, da"s alle Vermasubquotienten mit einfachem
Quotienten vom selben Grad beieinanderstehen.
"Ubersetzt man diese Aussage mit Koszuldualit"at in die Geometrie, so kommt folgendes heraus:
Bezeichne $i_{<n}$ die Einbettung aller Zellen einer Dimension $< n$ in die Fahnenmannigfaltigkeit
und $j_n$ die Einbettung aller Zellen der Dimension $n$.
Gegeben ein Schnittkohomologiekomplex $\mathcal I$ bilden wir zun"achst die Komposition
\begin{equation*}
 \bigoplus_n j_{n!} [n] \mathcal H^{-n} j_{n}^! \mathcal I \rightarrow \bigoplus j_{n!} j_n^! \mathcal I
\rightarrow \mathcal I
\end{equation*}
und nennen deren Kokern alias das Dreieck "uber dieser Komposition $\mathcal I^{(1)}$. Bis hierher
passiert noch nicht viel, es wird nur ein Summand nicht Null gewesen sein,
und nur die konstante Garbe
auf dem glatten Teil wird \glqq herausgeschnitten\grqq.
Jetzt nehmen wir uns $\mathcal I^{(1)}$ vor und betrachten die Komposition
\begin{equation*}
 \bigoplus_n j_{n!} [n+1] \mathcal H^{-n-1} j_n^! \mathcal I^{(1)} \rightarrow \bigoplus j_{n!}
j^!_n \mathcal I^{(1)} \rightarrow I^{(1)}
\end{equation*}
und nennen das Dreieck dar"uber $\mathcal I^{(2)}$.
So machen wir induktiv weiter und h"atten zus"atzlich gerne
\begin{equation*}
 \mathcal H^{-n-\nu} j^!_n \mathcal I^{(\nu)} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal H^{-n-\nu} j^\ast_n
\mathcal I^{(\nu)}
\end{equation*}
f"ur alle $\nu$ unter der kanonischen Abbildung.
F"ur $\mathcal I^{(0)} = \mathcal I$ ist das klar.
Fangen wir mal mit $\mathcal I^{(1)}$ an.
Die Dimension des Tr"agers von $\mathcal H^{-n-1} \mathcal I^{(1)}$ ist ja h"ochstens $n$.
Es wirkt vern"unftig, da"s dann gelten sollte $j^\ast_n \mathcal H^{-n-1} \mathcal I^{(1)}=
j_n^! \mathcal H^{-n-1} \mathcal I^{(1)}$.

% An die Arbeit!
%%%%%%%%%%
% Wir gehen aus von
% \begin{eqnarray*}
%  Q_{sx} &\rightarrow & R \otimes_{R^s} Q_x\\
% 1_{sx} &\mapsto& \frac{1}{2} \otimes 1_x - \frac{\alpha}{2} \otimes\alpha^{-1}
% 1_x
% \end{eqnarray*}
% Gem"a"s \cite[5.10]{So-Bi} wandeln wir unseren Morphismus zun"achst um in einen Morphismus
% \begin{eqnarray*}
%  Q_{sx} &\rightarrow & \op{Hom}_{R^s} (R, Q_x)\\
% 1_{sx} &\mapsto & \frac{1}{2} (\alpha^\ast \otimes 1_x - 1^\ast \otimes
% \alpha^{-1} 1_x)
% \end{eqnarray*}
% wobei $\alpha^\ast (f) = \frac{f-sf}{2\alpha}$ und $\Lambda^\ast (f)
% +\frac{f+sf}{2}$ zu verstehen ist. Dann verwenden wir die "ubliche Adjunktion
% und landen beim Morphismus
% \begin{eqnarray*}
%  R \otimes_{R^s} Q_{sx} & \rightarrow & Q_x\\
% r \otimes 1_{sx} & \mapsto & \frac{1}{2} \alpha^\ast (r) 1_x -\frac{1}{2}
% \Lambda^\ast (r) \alpha^{-1} 1_x
% \end{eqnarray*}
% Insbesondere geht unter diesem Morphismus
% \begin{equation*}
%  w_s \otimes 1_{sc} = \frac{1}{2} \otimes \alpha 1_{sx} - \frac{\alpha}{2}
% \otimes 1_{sx} = \frac{1}{2} \otimes 1_{sx} (\alpha^{sx}) - \frac{\alpha}{2}
% \otimes 1_{sx}
% \end{equation*}
% auf $-\frac{1}{4} \alpha^{-1} 1_x \alpha^{sc} - \frac{1}{4} 1_x
% =- \frac{1}{2} 1_{yx}$ und wir erhalten f"ur $q=1$ folglich $\tilde q = -\frac{1}{2}$.





%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXPO"
%%% End: