%{\pagecolor{lavenderblush} \section{Kategorielle Produktstrukturen} \subsection{Schmelzkategorien}\label{Multik} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Gegeben Vektorr"aume $M,N,L$ "uber einem K"orper $k$ ist es nicht schwer, nat"urliche Isomorphismen\label{MoSS} $L\otimes(M\otimes N)\sira (L\otimes M)\otimes N$ und $M\otimes N\sira N\otimes M$ und $k\otimes M\sira M$ und $M\otimes k\sira M$ und $\op{Hom}(L\otimes M,N)\sira\op{Hom}(L, \op{Hom}(M,N))$ anzugeben. Dasselbe gilt f"ur Moduln "uber einem beliebigen Kring $k$. Dasselbe gilt f"ur Kettenkomplexe und f"ur Komplexe von Moduln "uber einem beliebigen Kring $k$ und f"ur deren Homotopiekategorien und f"ur deren \glqq derivierte Kategorien\grqq, die wir noch gar nicht kennengelernt haben. Um mit diesen ganzen Konstruktionen und vielen weiteren komplizierteren Konstruktionen derselben Bauart rein formal arbeiten zu k"onnen, m"ussen wir auch die Vertr"aglichkeiten zwischen obigen nat"urlichen Isomorphismen formalisieren, etwa die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ & & (M\otimes N)\otimes L\ar[dr]& &\\ L\otimes (M\otimes N) \ar[d]\ar[urr] & & & M\otimes (N \otimes L)\ar[d]\\ (L\otimes M) \otimes N\ar[drr] & & &(N\otimes L)\otimes M\\ & & N\otimes (L\otimes M)\ar[ur] & & } \end{displaymath} In diesem Diagramm sind alle Pfeile abwechselnd als Spezialf"alle unserer nat"urlichen Isomorphismen von eben zu verstehen. Es ist durchaus m"oglich, eine vollst"andige Liste der ben"otigten Vertr"aglichkeiten anzugeben. Das f"uhrt, wenn man das $\op{Hom}$ erst einmal au"sen vor l"a"st, zur Definition der \glqq symmetrischen monoidalen Kategorien\grqq. Die \glqq Vollst"andigkeit\grqq\ der fraglichen Liste von Vertr"aglichkeiten wird dabei formalisiert im \glqq Koh"arenzsatz von MacLane\grqq. Wir w"ahlen im folgenden einen anderen Zugang zu diesem Themenkomplex "uber \glqq Schmelzkategorien\grqq\ alias \glqq Multikategorien\grqq\ alias \glqq gef"arbte Operaden\grqq, der mir flexibler und besser zug"anglich scheint. Das folgende ist ein Versuch, diesem Formalismus zu helfen, insoweit erwachsen zu werden, da"s sich die Formeln um sich selber k"ummern und man ihnen nicht in jedem Einzelfall und f"ur jedes Vorzeichen hinterherrennen mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multilineare Abbildungen als Beispiel}] Gegeben $r\geq 0$ und Vektorr"aume $V_1, \dots,V_r, W$ "uber ein- und demselben K"orper betrachten wir die Menge aller multilinearen Abbildungen $V_1\times\ldots\times V_r\ra W$. Wenn man $r$ spezifizieren will, nennt man sie $r$-lineare Abbildungen. "Ublicherweise hei"sen $1$-lineare Abbildungen linear und $2$-lineare Abbildungen bilinear. Im Fall $r=0$ verstehen wir unter einer $0$-linearen Abbildung einen Vektor aus $W$ und sprechen in diesem Kontext auch von einer {\bf leerlinearen Abbildung}.\index{leerlinear} Gegeben weitere multilineare Abbildungen $U_{i,1}\times \ldots\times U_{i,r(i)}\ra V_i$, wieder mit $r(i)\geq 0$, k"onnen wir in offensichtlicher Weise eine multilineare Abbildung vom Produkt der $U_{i,j}$ nach $W$ erkl"aren, die wir die \glqq Multiverkn"upfung\grqq\ unserer multilinearen Abbildungen nennen. In der folgenden Definition des Begriffs einer \glqq Schmelzkategorie\grqq\ wird diese Struktur formalisiert. Sie ist in der Mathematik allgegenw"artig. Moduln "uber Kringen, Komplexe von abelschen Gruppen, Vektorb"undel auf topologischen R"aumen, glatte Vektorb"undel auf Mannigfaltigkeiten, Darstellungen von Gruppen oder Liealgebren und abelsche Garben auf topologischen R"aumen sind nur eine kleine Auswahl relevanter Schmelzkategorien. Das fundamentale Beispiel ist f"ur uns erst einmal die Schmelzkategorie der Mengen mit Funktionen von mehreren Variablen alias \glqq Multiabbildungen\grqq\ als Verschmelzungen. Wir nennen diese Schmelzkategorie die {\bf kartesische Schmelzkategorie der Mengen} und notieren sie vorerst $$\op{kEns}$$\index{kEns@$\op{kEns}$ kartesische Schmelzkategorie der Mengen} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im weiteren Verlauf \ref{opT} werden wir sehen, da"s unsere kartesische Schmelzkategorie der Mengen so fundamental gar nicht ist, sondern ihrerseits durch \glqq Invertieren\grqq\ aus der noch fundamentaleren und einfacheren \glqq banalen Trennkategorie der Mengen\grqq\ hervorgeht und die Notation $\op{kEns}=(\curlywedge{\op{Ens}})^{\op{s}}$ verdient, aber alles zu seiner Zeit. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Familie} von Elementen einer Menge $\mathcal M$ verstehen wir %wie in \eref{Familie}{LA1} eine Abbildung von einer Menge nach $\mathcal M$. Vielfach verwendet man f"ur eine Familie die Notation $(A_i)_{i\in I}$. Formal meint man damit eine Abbildung $A:I\ra \mathcal M$, $i\mapsto A_i$. Gegeben eine Familie $A:I\ra \mathcal M$ bezeichnen wir im folgenden mit $$\bar A$$ ihren Definitionsbereich alias ihre Indexmenge, also die Menge $I$. Die auf eine Teilmenge $K\subset I$ eingeschr"ankte Familie notieren wir $A|_K$ und unterscheiden f"ur $i\in I$ zwischen der einelementigen\label{ojkf} Familie $A|_{\{i\}}$ und dem Element $A_i$. Eine Familie mit einelementiger Indexmenge hei"se eine {\bf Einsfamilie}.\index{Einsfamilie} Eine Familie mit endlicher Indexmenge hei"se eine {\bf Kleinfamilie}.\index{Kleinfamilie} Ein {\bf $n$-Tupel}\index{Tupel} von Elementen einer Menge f"ur $n\in \DN$ verstehen wir als eine durch $\{1,\ldots,n\}$ indizierte Familie. Tupel notieren wir, indem wir ihre Elemente der Reihe nach hinschreiben. So bezeichnet $(b,a,c)$ etwas das $3$-Tupel von Buchstaben $1\mapsto b, 2\mapsto a, 3\mapsto c$. Die Menge aller $n$-Tupel von Elementen von $\mathcal M$ wird $\mathcal M^n$ notiert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Schmelzkategorie}\index{Schmelzkategorie} ist ein Datum\label{MuC} bestehend aus: \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item Einer Menge $\mathcal M$ von \defind{Objekten}. Endliche Familien von Objekten nennen wir gem"a"s der in \ref{ojkf} eingef"uhrten Terminologie {\bf Objektkleinfamilien};\index{Objektkleinfamilie} \item F"ur jede Objektkleinfamilie $A$ und jedes Objekt $Y$ einer Menge $\mathcal M(A,Y)$ von \defind{Verschmelzungen}; \item F"ur je zwei Objektkleinfamilien $A,B$ und jedes Objekt $Z$ und jede Abbildung $\varphi:\bar A\ra \bar B$ zwischen den Indexmengen unserer Objektkleinfamilien einer Abbildung, der {\bf Multiverkn"upfung\index{Multiverkn"upfung!von Verschmelzungen} von Verschmelzungen l"angs $\varphi$} $$\textstyle\left(\prod_{j\in\bar B}\mathcal M(A|_{\varphi^{-1}(j)},B_j)\right) \times \mathcal M(B,Z)\ra \mathcal M(A,Z)$$ \end{enumerate} derart, da"s unsere Multiverkn"upfungen \glqq multiunit"arassoziativ\grqq\ sind in einem Sinne, f"ur dessen Erkl"arung ich etwas weiter ausholen mu"s. Wir bilden daf"ur einen K"ocher mit Verkn"upfung $$\mathcal M^{\curlyvee}$$ \nichtfinal{im Sinne von \eref{Magoi}{LA2}} mit Objektkleinfamilien aus $\mathcal M$ als Ecken und Pfeilen $A\ra B$ gegeben durch beliebige Paare $(\varphi, (f_j)_{j\in\bar B})$ bestehend aus einer Abbildung $\varphi:\bar A\ra\bar B$ zwischen den Indexmengen und einem Tupel $(f_j)_{j\in\bar B}$ von Verschmelzungen $f_j\in\mathcal M(A|_{\varphi^{-1}(j)}, B_j)$ und der offensichtlichen durch unsere Multiverkn"upfung von Verschmelzungen erkl"arten Verkn"upfung von Pfeilen. Wir fordern schlie"slich als letztes Axiom, da"s dieser K"ocher mit Verkn"upfung $\mathcal M^{\curlyvee}$ eine Kategorie sein soll. Es ist diese Eigenschaft von Multiverkn"upfungen, die ich {\bf multi\-uni\-t"ar\-as\-so\-zia\-tiv}\index{multiunit"arassoziativ} nennen will. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Verschmelzungen, die von einem $r$-Tupel von Objekten ausgehen, nennen wir {\bf $r$-Verschmelzungen}\index{Verschmelzung!$r$-Verschmelzung} und insbesondere {\bf Einsverschmelzungen}\index{Einsverschmelzung} im Fall $r=1$ sowie {\bf Zweiverschmelzungen}\index{Zweiverschmelzung} im Fall $r=2$. Die von der leeren Objektfamilie ausgehenden Verschmelzungen alias $0$-Ver\-schmel\-zun\-gen nennen wir in diesem Zusammenhang {\bf Leerverschmelzungen},\index{Leerverschmelzung} um den Begriff einer \glqq Nullverschmelzung\grqq\ zu vermeiden, der im Fall einer zus"atzlichen \glqq additiven Struktur\grqq\ leicht mi"sverstanden werden k"onnte. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wie bereits erw"ahnt ist das fundamentale Beispiel f"ur uns vorerst die {\bf kartesische Schmelzkategorie der Mengen} $$\op{kEns}$$ mit Funktionen von mehreren Variablen alias \glqq Multiabbildungen\grqq\ als Verschmelzungen. Eine Leerverschmelzung in eine Menge $Z$ ist insbesondere eine Abbildung des leeren Produkts nach $Z$ und kann identifiziert werden mit einem Element von $Z$. In Formeln ist $f\mapsto f(*)$ eine Bijektion $\op{kEns}(\curlyvee,Z)\sira Z$ mit der Notation $\curlyvee$ f"ur die leere Objektfamilie einer Schmelzkategorie. Wenn wir es genau nehmen, m"ussen wir ein Mengensystem $\mathfrak U$ w"ahlen und d"urfen erst dann die Schmelzkategorie $\mathfrak U{\op{kEns}}$ aller Mengen $X\in\mathfrak U$ betrachten, weil nur dann die Gesamtheit der Objekte selbst wieder eine Menge ist. Diese Feinheiten will ich im folgenden in der Notation nicht sichtbar machen und denke mir vorerst ein festes Universum $\mathfrak U$, aus dem die Grundmengen der Objekte unserer konkreten Beispiele jeweils kommen sollen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Unsere n"achsten Beispiele f"ur Schmelzkategorien leiten sich von der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen $\op{kEns}$ ab, indem wir statt Mengen \glqq Mengen mit Zusatzstrukturen\grqq\ betrachten und statt Multiabbildungen \glqq mit diesen Zusatzstrukturen in geeigneter Weise vertr"agliche Multiabbildungen\grqq. So erkl"aren wir etwa die {\bf Schmelzkategorie der Vektorr"aume}, indem wir als Objekte alle Vektorr"aume "uber einem vorgegebenen K"orper $k$ nehmen und als Verschmelzungen alle multilinearen Abbildungen. Insbesondere verstehen wir eine Leerverschmelzung in einen Vektorraum $W$ als ein Element von $W$ oder ganz pedantisch als eine Abbildung von der einpunktigen Menge nach $W$. Die Multiverkn"upfungen sind die von der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen induzierten. Die so entstehende Schmelzkategorie notieren wir\label{VrS} vorerst $${\op{Mod}}_k$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Die Definition einer Schmelzkategorie bliebe sinnvoll, wenn wir darin unendliche Objektfamilien zulie"sen. Diese Allgemeinheit will ich jedoch vermeiden, solange ich keine "uberzeugenden Anwendungen kenne. Um mengentheoretischen Bedenken vorzubeugen, mag man als Indexmengen spezieller nur gewisse endliche Mengen zulassen wollen, etwa nur Elemente des kleinsten Universums\nichtfinal{\,\eref{kUn}{LA2}}, das die leere Menge als Element enth"alt. So genau werden wir es aber in diesem Text nicht nehmen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ nennen wir die in der Definition beschriebene Kategorie $\mathcal M^{\curlyvee}$ die {\bf Familienkategorie}\index{Familienkategorie}\label{FamK} unserer Schmelzkategorie. Im Fall einer Einsfamilie $B$ bestehend aus einem einzigen Objekt $B_*$ werden wir die offensichtlichen Bijektionen $$\mathcal M^{\curlyvee}(A,B)\sira \mathcal M(A,B_*)$$ in Notation und Sprache im weiteren als Gleichheiten betrachten. Wir erkl"aren den {\bf Indexfunktor}\index{Indexfunktor!von Schmelzkategorie} $\mathcal M^{\curlyvee}\ra\op{Ens}$ durch die Vorschrift, da"s er jeder Objektkleinfamilie $A$ ihre \hyperref[efam]{Indexmenge} $\bar A$ zuordnet und jedem Morphismus $f:A\ra B$ die zugeh"orige Abbildung $\bar f\pdef\varphi:\bar A\ra\bar B$ der Indexmengen. Die Menge der Morphismen "uber einer festen Abbildung $\varphi:\bar A\ra\bar B$ notieren wir $\mathcal M^{\curlyvee}_\varphi(A,B)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es gibt in der Familienkategorie $\mathcal M^\curlyvee$ einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ genau einen Morphismus in die leere Objektfamilie, n"amlich die Identit"at auf der leeren Objektfamilie, gegeben durch das einzige $0$-Tupel von Leerverschmelzungen $\op{id}_{\curlyvee}\in \mathcal M^{\curlyvee}(\curlyvee,\curlyvee)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie. Gegeben darin Objektkleinfamilien $A=(A_i)_{i\in I}$ und $B=(B_j)_{j\in J}$ sowie eine Abbildung $\varphi:I\ra J$ und Verschmelzungen $f_j\in \mathcal M(A|_{\varphi^{-1}(j)},B_j)$ notieren wir den zugeh"origen Morphismus $(\varphi, (f_j)_{j\in\bar B})$ der Familienkategorie von nun an $$(\varphi, \curlyvee(f_j))$$ und sagen, er entstehe durch {\bf Vertupeln}\index{Vertupeln}\label{Vertu} oder ausf"uhrlicher {\bf $\curlyvee$-Vertupeln}\index{Vertupeln!$\curlyvee$-Vertupeln} aus den Verschmelzungen $f_j$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie. Eine durch eine einelementige Indexmenge indizierte Objektfamilie nennen wir eine {\bf Einsfamilie}.\index{Einsfamilie} Die Identit"at $\op{id}_A$ in der Familienkategorie auf einer Einsfamilie $A$ entspricht einer Einsverschmelzung $\op{id}_A\in \mathcal M(A,A_*)$. Wir nennen sie die {\bf Identit"atsverschmelzung}.\index{Identit"atsverschmelzung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Identit"aten von Familienkategorien}] Ich will kurz begr"unden, warum die Identit"at in der Familienkategorie auf einer beliebigen Objektkleinfamilie $B$ durch das Vertupeln der Identit"atsverschmelzungen ihrer Objekte gegeben sein mu"s, in Formeln $$\op{id}_B=(\op{id}_{\bar B}, \curlyvee(\op{id}_{B_j})_{j\in\bar B})$$ In der Tat k"onnen wir in der Familienkategorie diejenige Unterkategorie betrachten, bei der wir nur solche Morphismen zulassen, die unter dem Indexfunktor zu Bijektionen werden. In dieser Unterkategorie ist es klar, da"s unser Tupel von Identit"atsverschmelzungen die Identit"at sein mu"s. Damit mu"s unser Tupel aber auch in der urspr"unglichen Kategorie die Identit"at gewesen sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Umindizieren}] Gegeben eine Objektkleinfamilie $B:J\ra \mathcal M$ und eine Bijektion $\varphi:I\sira J$ erhalten wir durch das Vertupeln von Identit"atsverschmelzungen in der Familienkategorie $\mathcal M^\curlyvee$ einen ausgezeichneten Isomorphismus $$\hat\varphi: (B\circ\varphi)\sira B$$ Wir nennen ihn die {\bf Umindizierung mit $\varphi$}.\label{Ui}\index{Umindizierung} F"ur Umindizierungen gelten die Formeln $\hat \varphi \circ \hat \psi= (\varphi \circ \psi)^\wedge$ und $\op{id}^\wedge=\op{id}_B$ und weitere offensichtliche Vertr"aglichkeiten zwischen dem Verkn"upfen und dem Vertupeln, die ich nicht ausschreibe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Permutieren}] Im Spezialfall identischer Indexmengen $J=I$ und unter der Annahme $B= B\circ \varphi$ mu"s unsere Umindizierung $\hat\varphi: B\sira B$, wenn $\varphi:I\sira I$ nicht die Identit"at ist, keineswegs die Identit"at sein. Zum Beispiel mu"s ja eine bilineare Abbildung $b:V\times V\ra W$ keineswegs symmetrisch sein, im allgemeinen gilt mithin $b\neq b\circ \hat \tau$ f"ur $\tau$ die nichttriviale Permutation einer hier nicht explizit notierten zweielementigen Indexmenge. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einfache Kategorie durch Einsverschmelzungen}] Im Fall einer Einsfamilie $A$ von Objekten einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ h"angt die Menge $\mathcal M(A,Y)$ bis auf eindeutige durch das Vorschalten der einzig m"oglichen Umindizierungen gegebene Bijektionen nur vom einzigen Element $A_*$ unserer Einsfamilie ab. Gegeben Objekte $X,Y\in\mathcal M$ notieren wir $$\mathcal M(X,Y)$$ die bis auf eindeutige Bijektion wohlbestimmte Menge aller Verschmelzungen $\mathcal M(A,Y)$ einer und jeder Einsfamilie $A$ mit einzigem Objekt $X$ nach $Y$. Zusammen mit der offensichtlichen Verkn"upfung erhalten wir so eine Kategorie mit Objektmenge $\mathcal M$. Wir nennen sie die {\bf einfache Kategorie}\index{einfache Kategorie!zu Schmelzkategorie} zu unserer Schmelzkategorie und notieren sie $\mathcal M$ oder auch\index{E@${\op{E}}(\mathcal M)$ einfache Kategorie!zu Schmelzkategorie $\mathcal M$} $${\op{E}}(\mathcal M)$$ und nennen ihre Morphismen die {\bf Morphismen\index{Morphismus!von Schmelzkategorie} unserer Schmelzkategorie}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen}] Im Kontext von Schmelzkategorien verwende ich das Symbol $\curlyvee$ als \glqq Tupeltrenner\grqq\ f"ur Objektkleinfamilien und zur Beschreibung von Morphismen der Familienkategorie. Das hat den didaktischen Vorteil, uns daran zu erinnern, da"s wir uns im Kontext einer Schmelzkategorie bewegen. Wir verwenden im Kontext von Schmelzkategorien insbesondere die Notation\label{Tunot} $$X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r$$ f"ur die durch $\{1,\ldots,r\}$ indizierte Objektfamilie, die durch $i\mapsto X_i$ gegeben wird. Auch ohne die Indizes steht $X\curlyvee Y\curlyvee X$ etwa f"ur die durch $\{1,2,3\}$ indizierte Objektfamilie mit $1\mapsto X, 2\mapsto Y$ und $ 3\mapsto X$ und selbst f"ur $X_2\curlyvee X_1$ sei hiermit vereinbart, da"s es als die durch $\{1,2\}$ indizierte Objektfamilie $1\mapsto X_2, 2\mapsto X_1$ zu interpretieren ist. Die leere Objektfamilie einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ notieren wir $\curlyvee=\curlyvee_{\mathcal M}$\index{v@$\curlyvee$ leere Objektfamilie! einer Schmelzkategorie} und die Menge der Leerverschmelzungen in ein Objekt $Y$ dementsprechend $$\mathcal M(\curlyvee,Y)$$ Gegeben eine Objektfamilie $B=B_1\curlyvee\ldots \curlyvee B_r$ und ein Objekt $Y\in \mathcal M$ schreiben wir statt $f\in \mathcal M (B, Y)$ auch $f:B_1\curlyvee\ldots \curlyvee B_r\ra_{\mathcal M} Y$ oder $f:B_1\curlyvee\ldots \curlyvee B_r\ra Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Leerverschmelzungen verallgemeinern Elemente}] F"ur Leerverschmelzungen erlauben wir uns statt $y:\curlyvee \ra_{\mathcal M}Y$ auch die Notationen\index{)0lm@$\in_{\mathcal M}$ Leerverschmelzung} $$y\in_{\mathcal M}Y$$ oder\label{inM} ohne Nennung der Schmelzkategorie $y\in_{\curlyvee}Y$.\index{)0lm@$\in_{\curlyvee}$ Leerverschmelzung} Gegeben $b_i\in_{\curlyvee}B_i$ und eine Verschmelzung $f:B_1\curlyvee\ldots \curlyvee B_r\ra Y$ mag man dann $ f (b_1,\ldots, b_r)$ erkl"aren als $$ f (b_1,\ldots, b_r)\pdef f\circ (b_1\curlyvee\ldots \curlyvee b_r) \in_{\curlyvee}Y$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertupeln von Kleinfamilien}] Manchmal verwenden wir die Notation $B\curlyvee T$ f"ur die \glqq um ein Objekt $T$ erweiterte\grqq\ Objektkleinfamilie $B$. Haben wir etwa $B=(B_j)_{j\in J}$, so vereinbaren wir f"ur $$B\curlyvee T$$ die Indexmenge $(\{1\}\times J)\sqcup \{2\}$ mit $(1,j)\mapsto B_j$ und $2\mapsto T$ als pr"azise Beschreibung der Familie $B\curlyvee T$. Manchmal verwenden wir die Notation $A\curlyvee B$ auch f"ur die \glqq disjunkte Vereinigung\grqq\ zweier Objektkleinfamilien. Haben wir etwa $A=(A_i)_{i\in I}$ und $B=(B_j)_{j\in J}$, so vereinbaren wir f"ur\label{NoDF} $$A\curlyvee B$$ die Indexmenge $(\{1\}\times I)\sqcup (\{2\}\times J)$ mit $(1,i)\mapsto A_i$ und $(2,j)\mapsto B_j$ als pr"azise Beschreibung der Familie $A\curlyvee B$. Der Leser mu"s nicht selten aus dem Kontext erschlie"sen, welches Symbol eine Objektfamilie meint und welches ein Objekt. Vielfach sind die einzelnen Objekte dann die Symbole mit Indizes oder mit Buchstaben aus dem hinteren Teil des Alphabets und Familien werden mit den Buchstaben $A,B,C,D$ bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konventionen zu Indexabbildungen}] Seien $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie und $(\varphi, \curlyvee(f_j)):A\ra B$ ein Morphismus der Familienkategorie $\mathcal M^\curlyvee$. Steht uns eine ausgezeichnete Anordnung der Indexmenge $\bar B$ zur Verf"ugung, haben wir etwa $\bar B=\{1,\ldots,r\}$, so notieren wir den zugeh"origen Morphismus der Familienkategorie auch $$(\varphi,\curlyvee(f_j))=(\varphi, f_1\curlyvee \ldots\curlyvee f_r)$$ Steht uns zus"atzlich auch noch eine ausgezeichnete Anordnung der Indexmenge $\bar A$ zur Verf"ugung, so verwenden wir im Fall einer monoton wachsenden Indexabbildung $\varphi$ die abk"urzende Notation\label{VANN}\index{v@$\curlyvee$ f"ur Verschmelzungen} $$(\varphi, g_1\curlyvee \ldots\curlyvee g_r)=g_1\curlyvee \ldots\curlyvee g_r$$ Von einer $2$-Verschmelzung $m: X\curlyvee X\ra X$ k"onnen wir zum Beispiel die {\bf Assoziativit"at} fordern als die Identit"at $m\circ(m\curlyvee \op{id})=m\circ(\op{id}\curlyvee m)$ von $3$-Verschmelzungen $X\curlyvee X\curlyvee X\ra X$. Die zugrundeliegenden Indexabbildungen sind dabei, da nichts anderes explizit gesagt ist, die einzig m"oglichen passenden monotonen Abbildungen, f"ur $\op{id}\curlyvee m$ etwa die Abbildung $\{1,2,3\}\mapsto \{1,2\}$ mit $1\mapsto 1,2\mapsto 2$ und $3\mapsto 2$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Gegeben $r\in \DN$ verwenden wir die Notation $\llbracket r\rrbracket\pdef\{1,2,\ldots,r\}$. Bei der Diskussion %\ref{nnnk} simplizialer Strukturen verwendet man meist $[r]\pdef\{0,1,2,\ldots,r\}$. Im Zusammenhang mit Schmelzkategorien spielt jedoch auch die leere Familie eine wichtige Rolle. Ich f"uhre die Notation $\llbracket r\rrbracket$ ein, um nicht mit $\emptyset=[-1]$ arbeiten zu m"ussen. \end{Bemerkungl} %\nichtfinal{Bis hier geputzt!} \begin{Bemerkungl} Unter einer\index{Schmelzkategorie!monotone}\index{monoton!Schmelzkategorie} {\bf monotonen Schmelzkategorie}\label{moMU} verstehen wir ein analoges Datum, bei dem wir in den Axiomen die Vorgabe von Verschmelzungen nur f"ur Objektkleinfamilien mit ausgezeichneter Anordnung ihrer Indexmenge fordern und Multiverkn"upfungen nur l"angs monotonen Indexabbildungen erkl"art sind. Wir konstruieren zu jeder Schmelzkategorie $\mathcal M$ in offensichtlicher Weise eine monotone Schmelzkategorie\index{mon@$\mathcal M^{\op{mon}}$ Monotonisierung} $$\mathcal M^{\op{mon}}$$ und nennen sie die {\bf Monotonisierung von $\mathcal M$}.\index{Monotonisierung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologie der Operaden}] Eine Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt nennen wir eine {\bf Operade}\index{Operade!Mengenoperade} oder ausf"uhrlicher {\bf Mengenoperade}.\index{Mengenoperade} Eine monotone Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt nennen wir eine {\bf monotone Mengenoperade}.\index{Operade!Mengenoperade, monotone} In vielen Quellen erkl"art man eine Operade \glqq "uber einem K"orper $k$\grqq\ als das, was wir eine \glqq $k$-lineare Schmelzkategorie mit einem einzigen Objekt\grqq\ nennen werden. Der Begriff der Mengenoperade betont, da"s keine derartigen Zusatzstrukturen implizit mit angenommen werden. Relevante Beispiele f"ur Schmelzkategorien mit nur einem Objekt diskutieren wir in \ref{MeOp} folgende. Andere Quellen nennen unsere Operaden \glqq symmetrische Operaden\grqq\ und unsere monotonen Operaden schlicht \glqq Operaden\grqq. Wieder andere Quellen wie etwa \cite{LuHA} bezeichnen Schmelzkategorien als \glqq gef"arbte Operaden\grqq\ oder\index{Operad!gef"arbtes} \glqq Multikategorien\grqq\ und\index{Multikategorie} unsere Verschmelzungen als \glqq Multimorphismen\grqq.\index{Multimorphismus} Vielfach erkl"art man zuerst den Begriff eines Operads als \glqq monotones Operad\grqq\ und erkl"art dann ein symmetrisches Operad als ein Operad zusammen mit Operationen symmetrischer Gruppen. Sie entsprechen bei uns dem Vorschalten der Permutationsisomorphismen. Der hier gew"ahlte Zugang hat den Vorteil, da"s die Vertr"aglichkeiten, die man sonst von den Operationen der symmetrischen Gruppen zu fordern hat, in unserer Darstelllung bereits implizit durch die Multiunit"arassoziativit"at der Verkn"upfung gesichert sind. Die Arbeit mit \glqq beliebigen endlichen Mengen\grqq\ scheint mir aus didaktischen Gr"unden vorteilhaft, wenn sie auch dem in formaler Mengenlehre vorgebildeten Leser Kopfschmezen bereiten mag. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie. Man zeige, da"s ein Morphismus $(\varphi,f_1\curlyvee\ldots\curlyvee f_r)$ der Familienkategorie ${\mathcal M}^{\curlyvee}$ genau dann ein Isomorphismus ist, wenn die Indexabbildung $\varphi$ eine Bijektion ist und alle $f_i$ Isomorphismen der zugeh"origen einfachen Kategorie sind. \end{Ubung} \subsection{Beispiele f"ur Schmelzkategorien} \begin{Beispiele} Hier eine kleine Auswahl relevanter Schmelzkategorien.\label{bsps} \begin{enumerate} \item Die {\bf kartesische Schmelzkategorie der Mengen} $\op{kEns}$\index{kEns@$\op{kEns}$ kartesische Schmelzkategorie der Mengen} mit Mengen als Objekten und {\bf Multiabbildungen}\index{Multiabbildung|main} %aus \eref{Muabb}{GR} alias Funktionen von mehreren Variablen als Verschmelzungen, wobei wir eine \glqq Funktion in null Variablen\grqq\ als ein Element des Wertebereichs verstehen und so in Formeln eine ausgezeichnete Bijektion $\op{kEns}(\curlyvee,X)\sira X$ erhalten. Allgemeiner und pr"aziser erkl"aren wir in \ref{kpmk} die \glqq kartesische Schmelzkategorie\grqq\ zu jeder Kategorie mit endlichen Produkten; \item Monoide $\op{Mon}$ mit nur solchen $\op{kEns}$-Verschmelzungen als Verschmelzungen, die in jeder Variable bei Festhalten aller anderen Variablen Monoidhomomorphismen sind; \item Abelsche Gruppen $\op{Ab}$ mit multiadditiven Abbildungen; \item Darstellungen von Gruppen oder Liealgebren; \item Teilgeordnete Mengen mit ordnungsvertr"aglichen Multiabbildungen $\varphi$, in Formeln $x_1\leq y_1, \ldots, x_r\leq y_r\;\RA\;\varphi(x_1, \ldots, x_r)\leq \varphi(y_1, \ldots, y_r)$; \item $\DZ$-filtrierte abelsche Gruppen mit solchen multiadditiven Abbildungen, die ein Tupel von Elementen der Filtrierungsstufen $\leq p,\ldots,\leq q$ auf ein Element der Filtrierungsstufe $\leq (p+\ldots+q)$ abbilden; \item $\DZ$-graduierte abelsche Gruppen mit solchen multiadditiven Abbildungen, die ein Tupel von homogenen Elementen der Grade $p,\ldots, q$ auf ein homogenes Element vom Grad $p+\ldots+q$ abbilden; \item Durch ein kommutatives Monoid $(\Gamma,+)$ indizierte Familien von Objekten $(M^\gamma)_{\gamma\in \Gamma}$ einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ bilden ihrerseits einer Schmelzkategorie $\mathcal M^\Gamma$ in nat"urlicher Weise, wie wir im folgenden genauer ausf"uhren. Als Verschmelzungen $\varphi\in \mathcal M^\Gamma(A,Y)$ nehmen wir durch $\alpha\in \op{Ens}(\bar A,\Gamma)$ indizierte Tupel von Verschmelzungen $$\varphi_{\alpha}\in \mathcal M((A_i^{\alpha(i)})_{i\in\bar A}, Y^{\op{sum}(\alpha)})$$ mit der Notation $\op{sum}(\alpha)= \sum_{i\in\bar A}\alpha(i)$. Die $\mathcal M$-Verschmelzung $\varphi_\alpha$ nennen wir den {\bf $\alpha$-Anteil} unserer $\mathcal M^\Gamma$-Verschmelzung $\varphi$. F"ur die Leerverschmelzungen erhalten wir insbesondere $\mathcal M^\Gamma(\curlyvee, (M^\gamma))\pdef \mathcal M(\curlyvee, M^0)$. Die Mul\-ti\-ver\-kn"up\-fung ist die offensichtliche. Unsere Schmelzkategorie der $\DZ$-gra\-du\-ier\-ten abelschen Gruppen erhalten wir zur"uck als $\op{Ab}^\DZ$; \item Abelsche Garben auf topologischen R"aumen; \item Vektorb"undel auf einem vorgegebenen topologischen Raum mit \glqq multilinearen Morphismen von einer Kleinfamilie von B"undeln in ein weiteres B"undel\grqq\ als Verschmelzungen; \item Glatte Vektorb"undel auf einer vorgegebenen Mannigfaltigkeit mit \glqq multilinearen glatten Morphismen von einer Kleinfamilie von B"undeln in ein weiteres B"undel\grqq\ als Verschmelzungen; \item Ringalgebren "uber einem K"orper mit nur solchen Tupeln von Ringalgebrenhomomorphismen als Verschmelzungen, bei denen die Bilder zu verschiedenen Eintr"agen unseres Tupels jeweils kommutieren. \end{enumerate} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Superisierte abelsche Gruppen}] F"ur uns relevant sind insbesondere die Schmelzkategorie $\op{sAb}$ der \glqq superisierten abelschen Gruppen\grqq\ und ihre Varianten $\op{sgAb}$ sowie deren Verwandte $\op{Ket}$ und $\op{Hot}$, die wir in \ref{MudSS} folgende noch ausführlich besprechen. Objekte von $\op{sAb}$ sind $\DZ/2\DZ$-graduierte abelsche Gruppen $$M=M^{\bar 0}\oplus M^{\bar 1}$$ Eine Verschmelzung $\varphi\in\op{sAb}\big((M_i)_{i\in I}, N\big)$ ist eine Vorschrift, die jeder Anordnung $\omega$ von $I$ eine multiadditive Abbildung $\varphi_\omega\in \op{Ab}^{\DZ/2\DZ}\big((M_i)_{i\in I}, N\big)$ zuordnet, die homogen ist vom Grad $\bar 0$, und zwar so, da"s f"ur je zwei Anordnungen $\omega,\eta$ von $I$ und jedes Tupel $(v_i)_{i\in I}$ von homogenen Elementen $v_i\in M_i$ gilt $$\varphi_\omega\big((v_i)_{i\in I}\big)=\pm \varphi_\eta\big((v_i)_{i\in I}\big)$$ mit dem Signum derjenigen Permutation als Vorzeichen, die die vom "Ubergang von $\omega$ zu $\eta$ auf den ungeraden Elementen $v_i\in M_i^{\bar 1}$ induzierte Umordnung beschreibt. Als Multiverkn"upfung nehmen wir die normale Multiverkn"upfung multiadditiver Abbildungen bei \glqq passender Wahl\grqq\ der Anordnungen und verweisen auf \ref{MudSS} f"ur eine genauere Beschreibung und die Diskussion von Fragen der Wohldefiniertheit und Multiunit"arassoziativit"at. Das ist die Stelle, an der die Vorzeichenfragen der homologischen Algebra ein- f"ur allemal erledigt werden. Salopp gesprochen ist eine Verschmelzung von superisierten abelschen Gruppen also ein Etwas, das bei jeder Wahl einer Anordnung der Ausgangsobjekte die Gestalt einer vom Grad Null homogenen multiadditiven Abbildung annimmt und von dem dann noch zus"atzliche Eigenschaften gefordert werden. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Jeder Kategorie $\mathcal C$ ordnen wir\label{bkmk} ihre {\bf banale Schmelzkategorie}\index{banal!Schmelzkategorie} $\curlyvee\mathcal C$\index{)8a@$\curlyvee\mathcal C$ banale Schmelzkategorie} zu, deren Verschmelzungen schlicht Tupel von Morphismen sind, in Formeln $$\curlyvee\mathcal C(B_1\curlyvee\ldots\curlyvee B_r,X)\pdef \bigsqcap_{i=1}^r\mathcal C(B_i,X)$$ Die Multiverkn"upfung von Verschmelzungen ist dabei die offensichtliche. Die Familienkategorie der banalen Schmelzkategorie zu einer Kategorie $\mathcal C$ notiere ich vereinfachend $\mathcal C^\curlyvee$. Umgekehrt nenne ich eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ {\bf banal},\index{banal!Schmelzkategorie} wenn es in jedes Objekt nur genau eine Leerverschmelzung gibt und wir jeweils Bijektionen $$\mathcal M(B, X)\sira \bigsqcap_{j\in\bar B}\mathcal M(B_j, X)$$ erhalten durch geeignetes Vorschalten von Leerverschmelzungen in alle $B_i$ au"ser in $B_j$ an der $j$-ten Stelle. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s die Morphismen einer banalen Schmelzkategorie zwar Tupel sind, da"s sie aber nicht als $\curlyvee$-Tupel mi"sverstanden oder notiert werden d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jede Kategorie $\mathcal C$ k"onnen wir als \glqq Schmelzkategorie mit nur Einsverschmelzungen\grqq\ auffassen, bei der alle Mengen von $r$-Verschmelzungen f"ur $r\neq 1$ leer sind. Das nennen wir die {\bf einfache Schmelzkategorie zu $\mathcal C$}.\index{Schmelzkategorie!einfache}\label{trSC} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Schmelzunterkategorie}\index{Schmelzunterkategorie} einer Schmelzkategorie verstehen wir die Vorgabe einer Teilmenge der Menge der Objektmenge und von Teilmengen der Mengen von Verschmelzungen zwischen diesen Objekten, die stabil sind unter Multiverkn"upfung und alle Identit"atsverschmelzungen zu Objekten aus unserer Teilmenge der Menge der Objekte enthalten. Enth"alt eine Schmelzunterkategorie alle Verschmelzungen der urspr"unglichen Schmelzkategorie zwischen den Objekten der Schmelzunterkategorie, so nennen wir sie eine {\bf volle Schmelzunterkategorie}. \index{voll!Schmelzunterkategorie} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jede Schmelzkategorie hat die Unterschmelzkategorie, bei der wir dieselben Einsverschmelzungen nehmen aber sonst nur leere Verschmelzungsmengen. Jede Schmelzkategorie enth"alt des weiteren als Unterschmelzkategorie auch die Schmelzkategorie, bei der wir dieselben Leerverschmelzungen nehmen aber sonst nur leere Verschmelzungsmengen, oder dieselben Einsverschmelzungen und Leerverschmelzungen aber sonst nur leere Verschmelzungsmengen. Alle diese Unterschmelzkategorien scheinen mir nicht von gro"sem Nutzen zu sein. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Quotienten von Schmelzkategorien}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie und sei auf allen ihren Mengen von Verschmelzungen eine "Aquivalenzrelation $\sim$ gegeben derart, da"s jede Multiverkn"upfung "aquivalenter Verschmelzungen "aquivalente Verschmelzungen liefert, in Formeln\label{QvS} $$\left(f\sim f',g_1\sim g_1',\ldots,g_r\sim g_r'\right)\RA f\circ(\psi,g_1\curlyvee\ldots\curlyvee g_r)\sim f'\circ(\psi,g'_1\curlyvee\ldots\curlyvee g'_r)$$ So erhalten wir eine Schmelzkategorie $\mathcal M/{\sim}$ mit denselben Objekten und "Aquivalenzklassen von Verschmelzungen als neuen Verschmelzungen und der koinduzierten Multiverkn"upfung in offensichtlicher Weise. Wir nennen solch eine "Aquivalenzrelation eine {\bf schmelzvertr"agliche "Aquivalenzrelation}.\index{schmelzvertr"aglich!"Aquivalenzrelation} Offensichtlich ist jeder Schnitt schmelzvertr"aglicher "Aquivalenzrelationen auf einer Schmelzkategorie auch selbst wieder eine schmelzvertr"agliche "Aquivalenzrelation. Insbesondere k"onnen wir, wenn auf jeder Verschmelzungsmenge einer Schmelzkategorie eine Relation gegeben ist, die kleinste schmelzvertr"agliche "Aquivalenzrelation betrachten, die alle diese Relationen erh"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um den Kopf zu entlasten, f"uhre ich zus"atzlich die zu Schmelzkategorien opponierten {\bf Trennkategorien}\index{Trennkategorie} ein. Sie unterscheiden sich nur dadurch, da"s wir Verschmelzungen in der entgegengesetzten Reihenfolge notieren und sie \glqq Trennungen\grqq\ nennen. F"ur eine Trennkategorie $\mathcal T$ und ein Objekt $T\in\mathcal T$ und eine Objektkleinfamilie $B$ aus $\mathcal T$ fordern wir in diesem Fall also die Vorgabe einer Menge von {\bf Trennungen}\index{Trennung} $$\mathcal T(T,B)$$ und f"ur diese Multiverkn"upfungen. Bei Trennkategorien verwenden wir das Symbol $\curlywedge$ als Trenner. Gegeben $T,B_1,\ldots,B_r\in \mathcal T$ verwenden wir auch die Notation $$f:T\ra B_1\curlywedge\ldots\curlywedge B_r$$ f"ur so eine Trennung. Die leere Objektfamilie notieren wir in diesem Kontext $\curlywedge$ und schreiben $\mathcal T(T,\curlywedge)$ f"ur die Menge der von einem Objekt $T$ ausgehenden Leertrennungen. Die zugeh"orige {\bf Familienkategorie} notieren wir $\mathcal T^{\curlywedge}$. Sie wird angeliefert mit einem Funktor $\mathcal T^{\curlywedge}\ra {\op{Ens}}^{\op{opp}}$, den wir wieder den {\bf Indexfunktor}\index{Indexfunktor!von Trennkategorie} nennen. Analog erkl"aren wir {\bf monotone Trennkategorien}.\index{Trennkategorie!monotone} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jeder Kategorie $\mathcal C$ ordnen wir\label{bkmks} ihre {\bf banale Trennkategorie}\index{banal!Trennkategorie} $\curlywedge\mathcal C$\index{)8a@$\curlywedge\mathcal C$ banale Trennkategorie} zu, deren Trennungen schlicht Tupel von Morphismen sind, in Formeln $$\curlywedge\mathcal C(X,B_1\curlywedge\ldots\curlywedge B_r)\pdef \bigsqcap_{i=1}^r\mathcal C(X,B_i)$$ Die Multiverkn"upfung von Trennungen ist dabei die offensichtliche. Die Familienkategorie der banalen Trennkategorie zu einer Kategorie $\mathcal C$ notiere ich vereinfachend $\mathcal C^\curlywedge$. Analog wie bei Schmelzkategorien definieren wir auch {\bf banale Trennkategorien}.\index{banal!Trennkategorie} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Opposition von Schmelzkategorien und Trennkategorien}] Zu jeder Schmelzkategorie $\mathcal M$ erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Trennkategorie $\mathcal M^{\op{opp}}$\index{opp@${\op{opp}}$ opponierte Trennkategorie zu einer Schmelzkategorie} mit \glqq opponierten Verschmelzungen\grqq\ als Trennungen. Zu jeder Trennkategorie $\mathcal T$ erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Schmelzkategorie $\mathcal T^{\op{opp}}$\index{opp@${\op{opp}}$ opponierte Schmelzkategorie zu einer Trennkategorie} mit \glqq opponierten Trennungen\grqq\ als Verschmelzungen. Diese Konstruktionen sind zueinander invers und wir haben f"ur eine beliebige Kategorie $\mathcal C$ offensichtlich $(\curlywedge \mathcal C)^{\op{opp}}=\curlyvee (\mathcal C^{\op{opp}})$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jede Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten k"onnen wir mit der Struktur einer Schmelzkategorie versehen,\label{kpmk} indem wir Verschmelzungen als Morphismen aus Produkten erkl"aren, in Formeln $$\mathcal C(B_1\curlyvee\ldots\curlyvee B_r, X)\pdef \mathcal C(B_1\times\ldots\times B_r, X)$$ Die Multiverkn"upfung ist die Offensichtliche. Ich nenne diese Struktur die {\bf kartesische Schmelzkategorie auf $\mathcal C$}\index{kartesisch!Schmelzkategorie} und verwende daf"ur die Notationen ${\op{k}}\mathcal C=\op{kart}(\mathcal C)$.\index{kart@$\op{kart}(\mathcal C)$ kartesische Schmelzkategorie zu $\mathcal C$}\index{k@${\op{k}}\mathcal C$ kartesische Schmelzkategorie zu $\mathcal C$} Die kartesische Schmelzkategorie der Mengen $\op{kEns}$ hatten wir bereits in \ref{bsps} als Beispiel angef"uhrt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Kartesische Schmelzkategorien durch Invertieren}] Wir werden zu jeder Trennkategorie mit \glqq stabil universellen Trennungen\grqq\ in \ref{opS} ihre \glqq inverse Schmelzkategorie\grqq\ einf"uhren. Es erweist sich in dieser Terminologie, da"s wir die kartesische Schmelzkategorie $\op{kart}(\mathcal C)$ durch Invertieren aus der banalen Trennkategorie $\curlywedge\mathcal C$ erhalten k"onnen, vergleiche \ref{kartDu}. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Produkt von Schmelzkategorien}] Gegeben Schmelzkategorien $\mathcal M,\mathcal N$ erkl"aren wir ihr {\bf Produkt}\index{Produkt!von Schmelzkategorien} $$\mathcal M\times\mathcal N$$ mit Paaren $(M,N)$ als Objekten und Paaren von Verschmelzungen als Verschmelzungen und den offensichtlichen weiteren Daten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Multi"aquivariante Schmelzkategorie der $\Omega$-Mengen}] Gegeben eine Menge $\Omega$ erhalten wir auf der Gesamtheit aller $\Omega$-Mengen eine Struktur als Schmelzkategorie durch die Vorschrift, da"s wir unter einer Verschmelzung $X_1\curlyvee \ldots\curlyvee X_r\ra Y$ eine Abbildung $f:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$ verstehen mit $$f(ax_1,\ldots,x_r)=\ldots=f(x_1,\ldots,ax_r)=af(x_1,\ldots,x_r)$$ f"ur alle $a\in \Omega$ und $x_i\in X_i$ und alle $i$ mit $1\leq i\leq r$, die also in Worten \glqq "aquivariant ist in jeder Variable\grqq. Wir nennen sie die {\bf multi"aquivariante Schmelzkategorie der $\Omega$-Mengen}\index{multi"aquivariant!Schmelzkategorie} und notieren sie $$\op{Ens}_{ \Omega\curlyvee'}=\op{Ens}({ \Omega\curlyvee'})$$ %\nichtfinal{\quad (\text{alt } \op{Ens}_{/{\op{m}}\Omega{\ssearrow}})} Ihre Verschmelzungen nennen wir {\bf multi"aquivariante Multiabbildungen}.\index{multi"aquivariant}\label{kmSK} F"ur ihre Leerverschmelzungen gilt $\op{Ens}_{\Omega\curlyvee'}(\curlyvee,Y)\sira Y$ vermittels $f\mapsto f(*)$. Das kleine Strichlein bei $\curlyvee'$ ist ein \glqq Freiheitsstrichlein\grqq. Wenn wir es weglassen, wird meist $\Omega$ ein Monoid sein und wir betrachten nur solche $\Omega$-Mengen $X$, f"ur die die Abbildung $\Omega\times X\ra X$ eine Operation des Monoids $\Omega$ ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Das geht auch allgemeiner. Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ und ein Objekt $\Omega\in\mathcal M$ erkl"aren wir einen {\bf $\Omega$-Objektmodul} oder abk"urzend {\bf $\Omega$-Modul} als ein Paar $(X,\mu)$ aus einem Objekt $X\in\mathcal M$ mit einer Verschmelzung $\mu=\mu_X:\Omega\curlyvee X\ra X$ und bilden wie zuvor die {\bf Schmelzkategorie der $\Omega$-Moduln}\label{muae} $$\mathcal M_{\Omega\curlyvee'}=\mathcal M({\Omega\curlyvee'})$$ Zweiverschmelzungen $\varphi: X\curlyvee Y\ra Z$ von derartigen $\Omega$-Moduln etwa werden dann Zweiverschmelzungen in $\mathcal M$ derart, da"s die drei offensichtlichen Zweiverschmelzungen $\Omega\curlyvee X\curlyvee Y\ra Z$ "ubereinstimmen, in Formeln $$\varphi\circ (\mu_X\curlyvee \op{id}_Y)=\varphi\circ (\op{id}_X\curlyvee \mu_Y)=\mu_Z\circ (\op{id}_\Omega\curlyvee\varphi)$$ Hier habe ich darauf verzichtet, die zugrundeliegenden Abbildungen der Indexmengen n"aher zu spezifizieren, da wir in diesem Fall die beteiligten Objekte mit paarweise verschiedenen Buchstaben notieren k"onnen und sie deshalb auch so schon offensichtlich sind. Die Bezeichnung als \glqq Objektmodul\grqq\ betont, da"s $\Omega$ nur ein Objekt ist und keine weitere Struktur wie etwa eine eigene Verkn"upfung hat, oder zumindest, da"s keine weitere Vertr"aglichkeiten mit eventuell vorhandenen derartigen Zusatzstrukturen gefordert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine abelsche Gruppe $\Omega$ identifiziert man die Kategorie der $\Omega$-Ob\-jekt\-mo\-duln $\op{Ab}({\Omega\curlyvee'})$ leicht mit der Schmelzkategorie aller Ringmoduln "uber der Tensoralgebra ${\op{T}}\Omega$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Kring $k$ und ein $k$-Modul $\Omega$ ist ein $\Omega$-Objektmo\-dul in unserem Sinne ein Paar $(X,\mu)$ bestehend aus einem $k$-Modul $X$ und einer $k$-bilinearen Abbildung $\Omega\times X\ra X$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In \ref{rOm} f"uhren wir $\Omega$-Moduln in angereicherten Schmelzkategorien $\mathcal M/\mathcal S$ f"ur Objekte $\Omega\in \mathcal S$ der anreichernden Schmelzkategorie ein und diskutieren in \ref{saRm}, inwiefern sie im Fall einer Selbstanreicherung $\mathcal M^{\op{sa}}/\mathcal M$ mit den eben in \ref{muae} erkl"arten $\Omega$-Moduln zusammenfallen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Multi"aquivariante Schmelzkategorien von Moduln "uber Abmonoiden diskutieren wir in \ref{modOk} und "uber Monoiden in \ref{modO} und notieren sie dann ohne das Frei\-heits\-strich\-lein in unserer Notation f"ur Objektmoduln. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} In \ref{SOO} f"uhren wir die Schmelzkategorie $\mathcal M_{C\sacts\!'}=\mathcal M({C\acts\!'})$ der {\bf $C$-Darstellungen} oder ausf"uhrlicher {\bf $C$-Objektdarstellungen} eines Koabmonoids $C$ einer Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ ein. Sie hat dieselben Objekte wie unsere Schmelzkategorie $\mathcal M({C\curlyvee'})$ der $C$-Objektmoduln, hat aber andere Verschmelzungen, bei deren Konstruktion die Koabmonoidstruktur von $C$ mit eingeht. Um auf diese Unterscheidung hinzuweisen nennen wir dieselben Objekte einmal \glqq Moduln\grqq\ und einmal \glqq Darstellungen\grqq. Wollen wir sie besonders betonen, reden wir von der \glqq multi"aquivarianten Schmelzkategorie der Moduln\grqq\ und von der \glqq "aquivarianten Schmelzkategorie der Darstellungen\grqq. \index{multi"aquivariant!Schmelzkategorie} Das\index{Schmelzkategorie!multi"aquivariante} als \glqq Darstellungstheorie endlichdimensionaler Algebren\grqq\ bekannte Gebiet wird in dieser Terminologie die \glqq Theorie der Moduln "uber endlichdimensionalen Algebren\grqq\ und die sogenannten \glqq K"ocherdarstellungen\grqq\ werden \glqq K"ochermoduln\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Trennkategorie $\mathcal T$ und ein Objekt $\Omega\in\mathcal T$ erkl"aren wir opponiert einen {\bf $\Omega$-Objektkomodul von $\mathcal T$} als ein Paar $(X,\Delta)$ aus einem Objekt $X\in\mathcal T$ und einer Trennung $\Delta: X\ra \Omega\curlywedge X$ und betrachten die\index{multi"aquivariant!Trennkategorie}\label{muaet} {\bf multi"aquivariante Trennkategorie der\index{Trennkategorie!multi"aquivariante} $\Omega$-Objektkomoduln} $$\mathcal M_{\Omega\curlywedge'} =\mathcal M({\Omega\curlywedge'})$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} In der Familienkategorie einer banalen Trennkategorie kann jeder Morphismus durch \hyperref[Vertu]{$\curlywedge$-Vertupeln}\label{WKBK} und Verkn"upfen erhalten werden aus Leertrennungen, Einstrennungen und Zweitrennungen der Gestalt $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlywedge X$. Letztere nennen wir {\bf Diagonalzweitrennungen}.\index{Diagonalzweitrennung} \end{Ubung} \begin{Ubung} %\nichtfinal{N"otig?} JA, manchmal praktischer. In der Familienkategorie einer banalen Trennkategorie zu einer Kategorie mit endlichen Produkten kann jeder Morphismus durch $\curlywedge$-Vertupeln\label{WKBK2} und Ver\-kn"up\-fen erhalten werden aus Leertrennungen, Einstrennungen und Zwei\-tren\-nun\-gen der Gestalt $(\op{pr}_X,\op{pr}_Y):X\times Y\ra X\curlywedge Y$. Letztere nennen wir {\bf Projektionszweitrennungen}.\index{Projektionszweitrennung} Diese "Ubung wird sich als ein Spezialfall von \ref{KoVV} erweisen. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Monotone Schmelzkategorie der $\Omega$-Bimengen}] Gegeben eine Menge $\Omega$ verstehen wir unter einer {\bf $\Omega$-Bimenge}\index{Bimenge}\label{Bimenge} eine Menge $X$ mit Abbildungen $\Omega\times X\ra X$ und $X\times \Omega\ra X$, die wir durch Hintereinanderschreiben notieren, so da"s gilt $(\omega x)\eta=\omega(x\eta)$ f"ur alle $\omega,\eta\in \Omega$ und $x\in X$. Die $\Omega$-Bimengen werden zu einer monotonen Schmelzkategorie, wenn wir Verschmelzungen erkl"aren als Abbildungen $$\varphi:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$$ mit $\varphi(x_1,\ldots, x_i\eta, x_{i+1},\ldots,x_r)=\varphi(x_1,\ldots, x_i,\eta x_{i+1},\ldots,x_r)$ f"ur alle $i$ sowie $\varphi(\omega x_1,\ldots,x_r)=\omega\varphi( x_1,\ldots,x_r)$ und $\varphi( x_1,\ldots,x_r\eta)=\varphi( x_1,\ldots,x_r)\eta$ f"ur alle $x_i\in X_i$ und $\omega,\eta\in \Omega$. Leerverschmelzungen sind Abbildungen aus dem leeren Produkt $\{*\}$ alias Elemente $y=\varphi(\ast)\in Y$ mit $\omega y=y\omega$ f"ur alle $\omega\in \Omega$.\end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Monotone Schmelzkategorie der Bimoduln}] Gegeben ein Ring $k$ bilden die $k$-Bimoduln eine\label{biMO} monotone Schmelzkategorie mit den $\DZ$-mul\-ti\-li\-ne\-a\-ren Verschmelzungen von $k$-Bimengen wie in \ref{Bimenge} als Verschmelzungen. Speziell ist eine Leerverschmelzung in einen Bimodul $X$ ein Element $x\in X$ mit $ax=xa\;\forall a\in k$. Eine Leerverschmelzung nach $k$ ist also ein Element des Zentrums von $k$. \end{Ubunge} \subsection{Stabil universelle Verschmelzungen} \begin{Definition} Eine Verschmelzung $\kappa\in \mathcal M(A,T)$ in einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ hei"se {\bf universell},\index{universell!Verschmelzung} wenn f"ur jedes weitere Objekt\label{mkk} $Y\in\mathcal M$ das Vorschalten von $\kappa$ eine Bijektion $$(\circ \kappa):\mathcal M(T,Y) \sira \mathcal M(A ,Y)$$ induziert. Eine universelle Verschmelzung $(\kappa, T)$ ist, wenn sie existiert, durch ihre Ausgangsfamilie $A$ eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Wir sagen, eine Schmelzkategorie {\bf habe universelle Verschmelzungen}, wenn es darin zu jeder Objektkleinfamilie eine universelle Verschmelzung gibt. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Verschmelzung $\kappa\in\mathcal M(A,T)$ in einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ hei"se {\bf stabil universell},\index{universell!stabil}\index{stabil universell} wenn f"ur jede\label{smkk} Objektkleinfamilie $B\in\mathcal M^\curlyvee$ und jedes Objekt $Y\in\mathcal M$ das Vorschalten des Morphismus $\kappa\curlyvee\op{id}$ der Familienkategorie eine Bijektion $$(\circ(\kappa\curlyvee\op{id})):\mathcal M(T\curlyvee B,Y) \sira \mathcal M(A\curlyvee B,Y)$$ zwischen den jeweiligen Mengen von Verschmelzungen induziert. Wir sagen, eine Schmelzkategorie {\bf habe stabil universelle Verschmelzungen}, wenn es darin zu jeder Objektkleinfamilie eine stabil universelle Verschmelzung gibt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das Konzept einer stabil universellen Verschmelzung wird sich im folgenden als der wichtigere Begriff erweisen. Das Konzept einer universellen Verschmelzung sehe ich nur als didaktischen Zwischenschritt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Im Fall einer monotonen Schmelzkategorie mu"s die Eigenschaft \glqq stabil universell\grqq\ sorgf"altiger formuliert werden in der Weise, da"s eine Verschmelzung $B\ra T$ stabil universell ist, wenn f"ur beliebige\label{smkkm} Objektworte $A,C\in$ und jedes Objekt $Y\in\mathcal M$ das Vorschalten des Morphismus $\op{id}\curlyvee\kappa\curlyvee\op{id}$ eine Bijektion $\mathcal M(A\curlyvee T\curlyvee C,Y) \sira \mathcal M(A\curlyvee B\curlyvee C,Y)$ zwischen den jeweiligen Mengen von Verschmelzungen induziert. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Eine universelle aber nicht stabil universelle Verschmelzung}] "Andern wir die Schelzkategorie $\op{Mod}_k$ der multilinearen Abbildungen von Vektorr"aumen "uber einem K"orper $k$ dahingehend ab, da"s wir als Leerverschmelzungen nur die Nullvektoren zulassen, so ist eine universelle Leerverschmelzung in der so entstehenden Schmelzkategorie der Nullvektor im Nullvektorraum, aber diese ist nicht stabil universell.\label{unsu} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften stabil universeller Verschmelzungen}] Offensichtlich ist jede stabil universelle Verschmelzung universell.\label{vkSTU} Offensichtlich ist jede Multiverkn"upfung stabil universeller Verschmelzungen wieder stabil universell. Eine Einsverschmelzung ist genau dann stabil universell, wenn sie in der zugeh"origen einfachen Kategorie zu einem Isomorphismus wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \ref{stMH} lernen wir, da"s in einer Schmelzkategorie mit \glqq Multihom\grqq\ jede universelle Verschmelzung stabil universell ist. In \ref{ustau} d"urfen Sie zeigen, da"s in einer Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen genau dann alle Verschmelzungen stabil universell sind, wenn jede Multiverkn"upfung universeller Verschmelzungen wieder universell ist. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur stabil universelle Verschmelzungen}] Stabil universelle Verschmelzungen einer Objektkleinfamilie $B$ in einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ notieren wir meist $(\kappa, \otimes B)$ und schreiben manchmal $\otimes_{\mathcal M}$ %oder %alternativ $\triangledown=\triangledown_{\mathcal M}$\index{)9@$\triangledown$ stabil universelle Verschmelzung} und f"ur eine explizite Familie $B=(B_i)_{i\in I}$ auch $\bigotimes_{i\in I}B_i$ oder ausf"uhrlicher\index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!in Schmelzkategorie} $$\textstyle \kappa=\kappa_B\in\mathcal M(B,\otimes B) =\mathcal M(B_1\curlyvee \ldots \curlyvee B_r, B_1\otimes\ldots\otimes B_{r} )$$ und nennen sie h"aufig {\bf Tensorprodukte}.\index{Tensorprodukt!in Schmelzkategorie} Jeder Morphismus $\phi\in\mathcal M^{\curlyvee}(C,B)$ der Familienkategorie von $\mathcal M$ induziert, wenn die entsprechenden stabil universellen Verschmelzungen von $B$ und $C$ existieren, in offensichtlicher Weise einen Morphismus $\otimes\phi: \otimes C\ra \otimes B$ in der zugrundeliegenden einfachen Kategorie ${\op{E}}(\mathcal M)$.\index{o@$\otimes$ f"ur Morphismen der Familienkategorie} Hat unsere Schmelzkategorie stabil universelle Verschmelzungen, so liefert diese Konstruktion einen Funktor $\mathcal M^{\curlyvee}\ra {\op{E}}(\mathcal M)$. Schlie"slich liefert jede stabil universelle Verschmelzung in der Wortkategorie durch das Vorschalten von Leerverschmelzungen eine Abbildung $$\mathcal M(\curlyvee,B_1)\times \ldots\times \mathcal M(\curlyvee,B_r)\ra \mathcal M(\curlyvee,B_1\otimes\ldots\otimes B_{r} )$$ Auch diese Abbildung notieren wir meist mit demselben Symbol wir unsere Verschmelzung,\label{NsuV} im vorliegenden Fall also $(b_1,\ldots,b_r)\mapsto b_1\otimes \ldots\otimes b_r$.\index{o@$\otimes$ bei Leerverschmelzungen} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Universelle Verschmelzungen von Vektorr"aumen}] Im Fall der Schmelzkategorie der $k$-Vektorr"aume ist die kanonische multilineare Abbildung $V_1\times\ldots\times V_r\ra V_1\otimes\ldots\otimes V_r$ in das Tensorprodukt aus der linearen Algebra stabil universell und die auf den Leerverschmelzungsmengen induzierte Abbildung ist schlicht ebendieselbe Abbildung aufgefa"st als Abbildung von Mengen, deren Effekt auf Elementen wir bereits in der linearen Algebra $(v_1,\ldots, v_r)\mapsto v_1\otimes\ldots\otimes v_r$ notiert hatten. Eine universelle Leerverschmelzung ist speziell die Abbildung $\{\ast\}\ra k$ mit $\ast\mapsto 1$. Analoges gilt f"ur Moduln "uber einem beliebigen Kring $k$ bis auf das Detail, da"s wir in diesem Fall Tensorprodukte mit mehr als einem Faktor noch nicht eingef"uhrt haben. Das soll in \ref{itKR} nachgeholt werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie. Gegeben $M\in \mathcal M$ und $r\in\DN$ notieren wir\index{)8bb@$V^{\curlyvee r}$ konstantes Wort $V$} $$M^{\curlyvee r}\pdef M\curlyvee M\curlyvee\ldots\curlyvee M$$ die konstante Familie $\{1,\ldots, r\} \ra \mathcal M$. Existiert eine stabil universelle Verschmelzung f"ur diese Familie, so notieren wir sie $M^{\otimes r}\pdef \otimes (M^{\curlyvee r})$ und nennen sie die {\bf $r$-te Tensorpotenz von $M$}\index{Tensorpotenz!in Schmelzkategorie} und erhalten darauf mit Umindizierung nach \ref{Ui} eine Rechtsoperation\label{osyt} der Gruppe $\mathcal S_r$ aller Permutationen von $\{1,\ldots, r\} $. Gegeben eine endliche Menge $I$ und eine konstante Familie $B:I\ra \mathcal M$ erhalten wir allgemeiner durch Umindizierung \ref{Ui} eine Rechtsoperation von $\op{Ens}^\times(I)$ auf $\otimes B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Da nach \ref{vkSTU} Multiverkn"upfungen stabil universeller Verschmelzungen wieder stabil universell sind, ist f"ur beliebige Objekte $X,Y,Z$ einer Schmelzkategorie, f"ur die die entsprechenden stabil universellen Verschmelzungen existieren, auch $\kappa\circ (\kappa\curlyvee \op{id}):X\curlyvee Y\curlyvee Z \ra (X\otimes Y)\otimes Z$ eine stabil universelle Verschmelzung. Dasselbe gilt f"ur $\kappa\circ (\op{id}\curlyvee \kappa)$ und wir erhalten so Isomorphismen\label{Aso} $$(X\otimes Y)\otimes Z\sira X\otimes Y\otimes Z\sira X\otimes (Y\otimes Z)$$ Deren Verkn"upfung hei"st der {\bf Assoziator}.\index{Assoziator} Er wird in manchen Kontexten $\op{ass}=\op{ass}_{X,Y,Z}$\index{ass@$\op{ass}$ Assoziator} notiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Zielobjekt einer stabil universellen Leerverschmelzung, wenn es sie denn gibt, nennen wir das {\bf Eins\-objekt}\index{Einsobjekt}\label{EiOb} oder kurz die {\bf Eins}\index{Eins!Einsobjekt von Schmelzkategorie} unserer Schmelzkategorie. Wir notieren es ${\mathbb I}={\mathbb I}_{\mathcal M}$ und notieren die stabil universelle Leerverschmelzung\index{)0@$1=1_{\mathcal M}$ universelle Leerverschmelzung} $$1=1_{\mathcal M}:\curlyvee \ra {\mathbb I}$$ %\kappa_\curlyvee oder in unserer alternativen Notation f"ur Leerverschmelzungen $1\in_\curlyvee\mathbb I$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jedes Objekt $X$ einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Eins gibt es genau eine Verschmelzung $\kappa:\mathbb I\curlyvee X\ra X$ mit $\op{id}_X=\kappa\circ (1\curlyvee \op{id}_X):X\ra \mathbb I\curlyvee X\ra X$. Diese Verschmelzung ist stabil universell und liefert einen Isomorphismus $\mathbb I\otimes X\sira X$. Er hei"st die {\bf Einsbedingung}.\index{Einsbedingung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Assoziativit"at der Multiverkn"upfung liefert in Schmelzkategorien viele weitere Vertr"aglichkeiten zwischen stabil universellen Verschmelzungen. Ich werde sie vorerst nicht thematisieren. Der Vorteil der Sprache der Schmelzkategorien liegt vielmehr gerade darin, da"s diese Vertr"aglichkeiten bereits in die Axiomatik fest mit eingebaut sind und bei Bedarf abgeleitet werden k"onnen, a priori aber nicht thematisiert werden m"ussen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} In Fall einer \hyperref[bkmk]{banalen Schmelzkategorie} ist jedes endliche Koprodukt eine stabil universelle Verschmelzung.\label{suV} Im Fall der \hyperref[kpmk]{kartesischen Schmelzkategorie} einer Kategorie mit endlichen Produkten ist die \glqq Identit"at auf dem Produkt\grqq\ eine stabil universelle Verschmelzung. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich kann man einen zu unseren universellen beziehungsweise stabil universellen Verschmelzungen opponierten Formalismus auch in der opponierten Situation der Trennkategorien entwickeln. Ich nenne diesen Begriff eine {\bf universelle}\index{Trennung!universelle} beziehungsweise\label{tmkk} {\bf stabil universelle Trennung}.\index{Trennung!stabil universelle} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukte "uber Kringen}] Gegeben ein Kring $k$ und $k$-Moduln $V_1,\ldots, V_n$ konstruieren wir nun eine universelle $k$-multilineare Abbildung\label{itKR} $$\kappa:V_1\times\ldots\times V_n \ra T$$ Wir betrachten dazu den Quotienten $T\pdef k\langle V_1\times\ldots\times V_n\rangle/U$ des freien $k$-Moduls $F$ "uber der Menge $V_1\times\ldots\times V_n$ nach dem kleinsten Untermodul $U$, f"ur den die Abbildung $V_1\times\ldots\times V_n \ra F/U$ multilinear ist. Da"s es einen kleinsten Untermodul $U$ mit dieser Eigenschaft gibt, folgt aus der Tatsache, da"s der Schnitt "uber eine beliebige Familie $(U_i)_{i\in I}$ von Untermoduln mit dieser Eigenschaft stets auch wieder diese Eigenschaft hat. Das hinwiederum folgt aus der Existenz einer $k$-linearen Einbettung $F/(\bigcap U_i)\hra \bigsqcap (F/ U_i)$, "uber das Produkt der multilinearen Abbildungen $V_1\times\ldots\times V_n \ra F/U_i$ ja faktorisieren mu"s. Wir verwenden f"ur unseren universellen Quotienten die Notation $$V_1\otimes_k\ldots\otimes_k V_n \pdef F/U$$ Alternativ h"atten wir den herauszuteilenden Untermodul $U$ auch "ahnlich wie im Fall bilinearer Abbildungen explizit durch Erzeuger beschreiben k"onnen, aber wie schon im alten Rom, variatio delectat. Man pr"uft leicht, da"s auch im Fall der Moduln "uber einem Kring alle universellen Verschmelzungen bereits stabil universell sind. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schmelzkategorie der abelschen Gruppen}] Wir buchstabieren die in \ref{itKR} besprochenen allgemeinen Aussagen nocheinmal im Spezialfall des Krings $\DZ$ aus, dessen Modulkategorie ja schlicht die Kategorie der abelschen Gruppen ist. Die abelschen Gruppen bilden mithin eine Schmelzkategorie $\op{Ab}$\index{Ab@$\op{Ab}$ abelsche Gruppen!Schmelzkategorie}\label{Ab} mit den multilinearen Abbildungen als Verschmelzungen. Hierbei verstehen wir multilineare Abbildungen von der leeren Objektfamilie in eine abelsche Gruppe wie zuvor als Elemente von besagter Gruppe oder genauer und ganz pedantisch als Abbildungen der einpunktigen Menge $\{\ast\}$ dorthin. Die nat"urlichen multilinearen Abbildungen $\kappa:V_1\times\ldots\times V_n \ra V_1\otimes\ldots\otimes V_n$ in die Tensorprodukte "uber $\DZ$ sind dann stabil universell. Eine stabil universelle Leerverschmelzung ist die Abbildung $\{\ast\}\ra \DZ$ mit $\ast\mapsto 1$. Eine alternative universelle Leerverschmelzung w"are die Abbildung $\{\ast\}\ra \DZ$ mit $\ast\mapsto -1$, aber wozu den Teufel am Schwanz ziehen. Um unserer allgemeinen Notation zu folgen, w"are dann eben $-1$ das Element $1\in_\curlyvee\mathbb I$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Die Bimoduln "uber einem beliebigen Ring sind ein Beispiel f"ur eine monotone Schmelzkategorie. Wir f"uhren das hier nicht weiter aus. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Symmetrische Potenzen}] Gegeben ein Objekt $V$ einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ und $r\geq 0$ nennt man $\mathcal S_r$-invariante Verschmelzungen $V^{\curlyvee r}\ra X$ {\bf symmetrisch}. Eine symmetrische Verschmelzung $V^{\curlyvee r}\ra S$ hei"st {\bf universellsymmetrisch}, wenn f"ur jedes Objekt $X$ das Vorschalten eine Bijektion $$\mathcal M(S,X)\sira \mathcal M(V^{\curlyvee r},X)^{\mathcal S_r}$$ induziert. Eine universellsymmetrische Verschmelzung ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus, wenn sie existiert. Sie hei"st {\bf stabil universellsym\-me\-trisch}, wenn sogar f"ur jede weitere Objektkleinfamilie $C$ und jedes Objekt $U$ das Vorschalten eine Bijektion $$\mathcal M(S\curlyvee C,U)\sira\mathcal M(V^{\curlyvee r}\curlyvee C,U)^{\mathcal S_r}$$ induziert. F"ur Schmelzkategorien mit Multihom sind offensichtlich alle universellsymmetrischen Verschmelzungen auch stabil universellsymmetrisch. Wir verwenden $$\alpha_r:V^{\curlyvee r}\ra {\op{S}}^rV$$ als Notation f"ur die bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte stabil universellsymmetrische Verschmelzung, wenn es sie denn gibt,\label{SyPOT} und nennen ${\op{S}}^rV$ die {\bf $r$-te symmetrische Potenz von $V$}.\index{symmetrische Potenz!in Schmelzkategorie} Nat"urlich ist $\alpha_1={\op{id}}:V\ra V$ stets stabil universell $1$-symmetrisch und wenn es ein Einsobjkt gibt, ist auch die universelle Leerverschmelzung $\alpha_0=1:\curlyvee \ra {\mathbb I}$ stabil universell $0$-symmetrisch. Gibt es alle drei beteiligten stabil universellsymmetrischen Verschmelzungen, so liefern die universellen Eigenschaften, da"s $\alpha_{r+t}$ eindeutig faktorisiert in $$V^{\curlyvee(r+t)}\ra{\op{S}}^rV\curlyvee V^{\curlyvee t}\ra{\op{S}}^rV\curlyvee {\op{S}}^tV\ra {\op{S}}^{r+t}V$$ mit $\alpha_r\curlyvee{\op{id}}^{\curlyvee t}$ und ${\op{id}}\curlyvee\alpha_t$ als ersten beiden Morphismen und einer so erkl"arten Zweiverschmelzung $$\beta=\beta_{r,t}: {\op{S}}^rV\curlyvee {\op{S}}^tV\ra {\op{S}}^{r+t}V$$ Klar sind auch die \glqq Kommutativit"at\grqq\ $\beta_{t,r}=\beta_{r,t}\circ\tau$ f"ur $\tau$ die Vertauschung, die \glqq Unitarit"at\grqq\ $\beta_{0,r}\circ (1\curlyvee {\op{id}})={\op{id}}$ sowie die \glqq Assoziativit"at\grqq\ $\beta_{r,s+t}(\op{id}\curlyvee \beta_{s,t})=\beta_{r+s,t}(\beta_{r,s}\curlyvee \op{id})$. In einer sp"ater eingef"uhrten Terminologie kann das dahingehend zusammengefa"st werden, da"s $({\op{S}}^rV)_{r\in\DN}$ mit den $\beta$ ein Abmonoid der Schmelzkategorie $\mathcal M^\DN$ der $\DN$-graduierten Objekte von $\mathcal M$ aus \ref{bsps} wird. In\index{symmetrische Potenz}\index{Potenz!symmetrische} der Schmelzkategorie der Moduln "uber einem Kring $k$ sind die ${\op{S}}^rV$ unsere symmetrischen Potenzen aus der kommutativen Algebra. %\eref{syPOZ}{KAG}. In der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen sind es die Bahnenr"aume $X^r/\mathcal S_r$ unter der Operation der symmetrischen Gruppe. F"ur eine Diskussion der \glqq "au"seren Potenzen\grqq\ verweise ich auf \ref{autPo}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s in einer Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen genau dann alle universellen Verschmelzungen stabil sind, wenn jede\label{ustau} Multiverkn"upfung von universellen Verschmelzungen wieder universell ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s eine Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen f"ur alle Familien aus zwei Objekten und f"ur die leere Objektfamilie auch stabil universelle Verschmelzungen f"ur beliebige Objektkleinfamilien hat. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schmelzkategorien von graduierten abelschen Gruppen}] Gegeben ein abelsches Monoid $\Gamma$ bilden die $\Gamma$-graduierten abelschen Gruppen eine Schmelzkategorie\label{grGR} $\op{Ab}^{\Gamma}$\index{Ab@$\op{Ab}^{\Gamma}$ Schmelzkategorie der $\Gamma$-graduierten abelschen Gruppen} mit den vom Grad Null homogenen multiadditiven Abbildungen als Verschmelzungen. Universelle, ja stabil universelle Verschmelzungen sind die Tensorprodukte mit ihrer nat"urlichen $\Gamma$-Graduierung. Analog erkl"art man die Schmelzkategorie $\op{Mod}_{k}^{\Gamma}$\index{Mod@$\op{Mod}_{k}^{\Gamma}$ Schmelzkategorie der graduierten Moduln} der $\Gamma$-graduierten Moduln "uber einem Kring $k$. Noch allgemeinere Aussagen dieser Art besprechen wir in \ref{grGRf}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Bei einer Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen entsteht jeder Morphismus ihrer Familienkategorie durch $\curlyvee$-Vertupeln und\label{KoVV} Verkn"upfen aus universellen Leerverschmelzungen, universellen Zweiverschmelzungen und beliebigen Einsverschmelzungen. Die Identit"at auf der leeren Objektfamilie erhalten wir dabei als das leere Tupel von Einsverschmelzungen. Wir erhalten \ref{WKBK2} als Spezialfall. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben Ringe $R,S$ sowie Moduln $C\in \op{Mod-}R$, $D\in R\op{-Mod-}S$ und $E\in S\op{-Mod}$ gibt es genau einen Isomorphismus von abelschen Gruppen\label{asss} $$C\otimes_R(D\otimes_S E)\mapsto (C\otimes_R D)\otimes_S E$$ mit der Eigenschaft, da"s mit den offensichtlichen Surjektionen des f"ur die zugrundeliegenden abelschen Gruppen "uber $\DZ$ gebildeten Tensorprodukts $C\otimes D\otimes E$ auf beide Seiten ein kommutatives Dreieck entsteht. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben eine Menge $\Omega$ erhalten wir stabil universelle Verschmelzungen in der multi"aquivarianten Schmelzkategorie der $\Omega$-Mengen durch $X\curlyvee Y\ra (X\times Y)/{\sim}$ mit $\sim$ der durch $(\omega x,y)\sim (x,\omega y)$ erzeugten "Aquivalenzrelation. \end{Ubunge} \subsection{Multihom in Schmelzkategorien} \nichtfinal{Nochmal ganz sorgf"altig, mehr Notationen, soll auch im monotonen Fall richtig bleiben! Vielleicht erst im monotonen Fall machen soweit m"oglich, da nicht f"ur ganze Objektfamilien, sondern erst mal nur einfache Objekte. Im Fall der Bimoduln w"aren eh einseitige Moduln auch ein sinnvoll in die Theorie zu integrierendes Ding.} \begin{Definition} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$, eine Objektkleinfamilie $B\in \mathcal M^\curlyvee$ und ein Objekt $Z\in \mathcal M$ verstehen wir unter einem {\bf Multi-Hom-Objekt}\index{Multi-Hom-Objekt}\index{)4@$\Rrightarrow$ Multihomobjekt}\index{)4@$\Rrightarrow_{\mathcal M}$ Multihomobjekt in $\mathcal M$}\label{Miuh} $$(B{\Rrightarrow} Z)=(B{\Rrightarrow}_{\mathcal M} Z)\in \mathcal M$$ ein Objekt, das den durch $A\mapsto \mathcal M(A\curlyvee B,Z)$ gegebenen Funktor $\mathcal M^\curlyvee\ra \op{Ens}^{\op{opp}}$ darstellt. Ein Multihomobjekt kommt also zusammen mit nat"urlichen Bijektionen\index{mh@$\op{mh}_A$ bei Multihom} $$\op{mh}_r:\mathcal M(A\curlyvee B,Z)\sira \mathcal M(A, B{\Rrightarrow}Z)$$ und ist als derartiges Datum eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus, wenn es existiert. Wir verwenden hier die in \ref{NoDF} eingef"uhrte Notation. Gegeben $A=(A_i)_{i\in I}$ und $B=(B_j)_{j\in J}$ hat also $A\curlyvee B$ die Indexmenge $\overline{A\curlyvee B}=(\{1\}\times I)\sqcup (\{2\}\times J)$. Die offensichtliche Bijektion notieren wir $\tau: \overline{B\curlyvee A}\sira \overline{A\curlyvee B}$ und der zugeh"orige Isomorphismus in der Familienkategorie $\hat\tau: B\curlyvee A = (A\curlyvee B)\circ \tau\sira A\curlyvee B$ liefert durch Vorschalten eine Bijektion $\op{mh}_r\tau:\mathcal M(B\curlyvee A,Z)\sira \mathcal M(A, B{\Rrightarrow}Z)$, wo wir kurz $\tau$ statt $\circ\hat\tau$ schreiben. Wir notieren sie auch $\op{mh}_l\pdef \op{mh}_r\tau$ und haben also $$\op{mh}_l:\mathcal M(B\curlyvee A,Z)\sira \mathcal M(A, B{\Rrightarrow}Z)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Multihomobjekte in einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ werden insbesondere angeliefert mit einer nat"urlichen Bijektion\label{MorEk} $\op{mh}_\curlyvee:\mathcal M(B,Z)\sira \mathcal M(\curlyvee,B{\Rrightarrow} Z)$ zwischen der Menge aller Verschmelzungen von einer Objektkleinfamilie zu einem Objekt und der Menge aller Leerverschmelzungen in das entsprechende Multihomobjekt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir sagen, eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ {\bf habe Multihom}, wenn zu jeder Objektkleinfamilie $B$ und jedem Objekt $Z$ das Multihomobjekt $B{\Rrightarrow}Z$\label{Muhom} existiert. Im Fall einer Objektfamilie $B=X$ aus einem einzigen Buchstaben nennen wir das Multihomobjekt $X{\Rrightarrow} Z$ das {\bf interne Homobjekt} oder kurz {\bf Homobjekt}.\index{Homobjekt} Existieren alle Homobjekte, so existieren auch alle Multihom und k"onnen induktiv konstruiert werden. Zum Beispiel wird der Funktor $A\mapsto \mathcal M(A\curlyvee X\curlyvee Y,Z)$ f"ur feste Objekte $X,Y,Z$ offensichtlich dargestellt durch $ X{\Rrightarrow}( Y{\Rrightarrow}Z)$, wenn denn die fraglichen Hom-Objekte beide existieren.\label{IHOX} Andererseits wird er auch dargestellt durch $(X\otimes Y){\Rrightarrow}Z$, wenn denn die fraglichen universellen Verschmelzungen und internen Hom beide existieren. So erhalten wir unter den entsprechenden Voraussetzungen einen Isomorphismus $$(X\otimes Y){\Rrightarrow}Z\;\sira \; X{\Rrightarrow}( Y{\Rrightarrow}Z)$$ Wir nennen ihn den Isomorphismus der {\bf Adjunktionsformel f"ur internes Hom}.\index{Adjunktionsformel!f"ur internes Hom}\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Existiert f"ur eine Objektkleinfamilie $B$ einer Schmelzkategorie eine stabil universelle\label{stMHn} Verschmelzung $\kappa:B\ra \otimes B$, so ist f"ur jedes weitere Objekt die Existenz von $B{\Rrightarrow}Z$ gleichbedeutend zur Existenz von $(\otimes B){\Rrightarrow}Z$ und diese beiden Objekte sind isomorph. Ausf"uhrlicher gibt es genau einen Morphismus und Isomorphismus $$\op{tv}:(\otimes B){\Rrightarrow}Z \sira B{\Rrightarrow}Z$$ derart, da"s f"ur jede Objektkleinfamilie $A$ das im folgenden gegebene Diagramm kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal M(A,(\otimes B){\Rrightarrow}Z)\ar[r]_-\sim^-{\op{tv}\circ} &\mathcal M(A,B{\Rrightarrow}Z)\\ \mathcal M(A\curlyvee (\otimes B),Z)\ar[r]_-\sim^-{\circ(\op{id}\curlyvee \kappa)}\ar[u]_-\wr^-{\op{mh}_r} &\mathcal M(A\curlyvee B,Z)\ar[u]^-\wr_-{\op{mh}_r} } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw} Unsere Objekte $M{\Rrightarrow}^RN$ aus \eref{dgHot}{TS} in der Situation eines allgemeinen dg-Rings sind im obigen Sinne keine internen Homobjekte. Ich verwende obere Indizes f"ur Varianten von internem Hom \glqq mit Strukturverlust\grqq. \end{Bemerkungw}} \begin{Beispiel}[\textbf{Multihom im Fall von Vektorr"aumen}] Die Vektorr"aume "uber einem vorgegebenen K"orper $k$ bilden, wie bereits in \ref{VrS} besprochen, eine Schmelzkategorie\label{SmVR} $\op{Mod}_k$\index{Mod@$\op{Mod}$ Schmelzkategorie der Moduln} mit multilinearen Abbildungen als Verschmelzungen, also $$\op{Mod}_k(W_1\curlyvee\ldots\curlyvee W_r,V)\pdef \op{Hom}_k^{(r)}(W_1\times\ldots\times W_r,V)$$ %in unserer Notation aus \eref{Mulin}{LA2}. Versehen wir diese Mengen von multilinearen Abbildungen ihrerseits mit ihrer offensichtlichen Struktur als $k$-Vektorraum, so erhalten wir ein Multihom unserer Schmelzkategorie. In der Tat entsprechen $s$-lineare Abbildungen $$U_1\times \ldots \times U_s\ra \op{Hom}_k^{(r)}(W_1\times\ldots\times W_r,V)$$ eineindeutig $(s+r)$-linearen Abbildungen $U_1\times \ldots \times U_s\times W_1\times\ldots\times W_r\ra V$. In der Schmelzkategorie $\op{Ab}$ der abelschen Gruppen erhalten wir "ahnlich ein Multihom, indem wir von der abelschen Gruppe $$\big((V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_r ){\Rrightarrow}W\big) \pdef \op{Hom}^{(r)}(V_1\times\ldots\times V_r,W)$$ aller fraglichen multiadditiven Abbildungen ausgehen und sie um die offensichtlichen zus"atzlichen Daten erg"anzen. Analog erhalten wir Multihom in der Schmelzkategorie der Moduln "uber einem beliebigen Kring. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Im Fall einer monotonen Schmelzkategorie mu"s man unterscheiden zwischen einer \glqq Rechtsversion\grqq\ und einer \glqq Linksversion\grqq\ von Multihom. Unsere Bijektionen $\op{mh}_r$ und $\op{mh}_l=\op{mh}_r\tau$ sind Schatten dieser Komplikationen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Die Konstruktion interner Homobjekte ist offensichtlich ein Funktor von der vollen Unterkategorie aller Paare in $ {\op{E}}(\mathcal M)^{\op{opp}}\times {\op{E}}(\mathcal M)$, f"ur die eben solch ein Objekt existiert, in die Kategorie ${\op{E}}(\mathcal M)$. Er hei"st der {\bf interne Hom-Funktor}.\index{Hom-Funktor} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In der kartesischen Schmelzkategorie $\op{kart}(\op{Ens})$ der Mengen ist das Multi\-hom\-objekt $B{\Rrightarrow}Z$ die Menge $\op{Ens}(B_1\times\ldots\times B_r,Z)$ mit den entsprechenden Zusatzdaten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} In einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom sind offensichtlich alle universellen Verschmelzungen bereits stabil universell.\label{stMH} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multihom aus der leeren Objektfamilie}] F"ur das Multihom aus der leeren Objektfamilie entstehen die Bijektionen $\op{mh}_r:\mathcal M(A,Z)\sira \mathcal M(A,\curlyvee{\Rrightarrow}Z)$ nach dem Yonedalemma durch Nachschalten von $\op{mh}_r(\op{id}_Z)$ gebildet zum Fall $A=Z$ und dieser Morphismus ist ein Isomorphismus $\op{mh}_r(\op{id}_Z):Z\sira (\curlyvee{\Rrightarrow}Z)$. In diesem Fall gilt $\op{mh}_r(\op{id}_Z)=\op{mh}_l(\op{id}_Z)$. Besitzt unsere Schmelzkategorie eine Eins ${\mathbb I}=\otimes \curlyvee$, so erhalten wir durch Nachschalten des Inversen des Isomorphismus $\op{tv}: (\mathbb I\;{\Rrightarrow}Z)\sira(\curlyvee{\Rrightarrow}Z)$ aus \ref{stMHn} einen\label{HvId} Isomorphismus $$Z\sira (\mathbb I\;{\Rrightarrow}Z)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Nat"urlich kann man einen zu Multihom opponierten Formalismus auch in der opponierten Situation der Trennkategorien aufbauen. Darauf verzichte ich, %an dieser Stelle weil es dieses \glqq opponierte Multihom\grqq\ in den im folgenden zu betrachtenden Standardsituationen meist entweder gar nicht gibt oder wir uns bereits in der Situation einer \glqq Trennschmelzkategorie\grqq\ bewegen, in der es vermittels des internen Homs des Schmelzanteils durch die Formel $A{\Rrightarrow}(B_1\otimes\ldots\otimes B_r)$ dargestellt werden kann. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Tensor-Hom-Adjunktion}] Man zeige, da"s eine Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen genau dann Multihom hat, wenn f"ur jedes Objekt $X$ der Funktor $X\otimes$ auf den zugeh"origen einfachen Kategorien einen Rechtsadjungierten besitzt.\label{Muhor} Er wird dann notwendig durch das Bilden des internen Homobjekts $(X{\Rrightarrow}\;)$ gegeben. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Hom-Hom-Adjunktion}] Gibt es f"ur $Z\in \mathcal M$ ein Objekt einer Schmelzkategorie alle internen Homobjekte $X{\Rrightarrow}Z$, so ist auf den zugeh"origen einfachen Kategorien der Funktor $({\Rrightarrow}Z): \mathcal M\ra \mathcal M^{\op{opp}}$ linksadjungiert zu $({\Rrightarrow}Z)^{\op{opp}}: \mathcal M^{\op{opp}}\ra \mathcal M$.\label{HHad} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Einsobjekt und darin ein Objekt $\mathcal F$, f"ur das das Multihom\label{idMH} $\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal F$ existiert, erhalten wir einen Morphismus $$\mathbb I\ra (\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal F)$$ als das Bild der Identit"at $\op{id}\in \mathcal M(\mathcal F,\mathcal F)$ unter den Bijektionen $\mathcal M(\mathcal F,\mathcal F)\sira \mathcal M(\curlyvee,\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal F)\sira \mathcal M(\mathbb I,\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal F)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Multihom von graduierten abelschen Gruppen}] Ist $\Gamma$ ein abelsches Monoid, so erh"alt man internes Hom in der Schmelzkategorie $\op{Ab}^{\Gamma}$ aus \ref{grGR} durch $(M{\Rrightarrow}N)^\gamma=\bigsqcap_{\mu\in\Gamma}\op{Hom}_\DZ(M^\mu, N^{\mu+\gamma})$.\label{gGmh} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schmelzkategorien von graduierten Objekten}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ und ein abelsches Monoid $\Gamma$ bilden wir wie in \ref{bsps} die Schmelzkategorie $\mathcal M^\Gamma$ der $\Gamma$-graduierten Objekte von $\mathcal M$.\label{grGRf} Besitzt $\mathcal M$ stabil universelle Verschmelzungen und Koprodukte zu "uber alle Objektfamilien, die durch Fasern der Verkn"upfung $\Gamma\times\Gamma\ra\Gamma$ indiziert werden, so besitzt auch $\mathcal M^\Gamma$ stabil universelle Verschmelzungen. Besitzt $\mathcal M$ zus"atzlich internes Hom und Produkte "uber alle Objektfamilien, die durch $\Gamma$ indiziert werden, so besitzt auch $\mathcal M^\Gamma$ internes Hom. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Multihom in multi"aquivarianten Schmelzkategorien}] Gegeben eine Menge $\Omega$ gibt es in der multi"aquivarianten Schmelzkategorie der $\Omega$-Mengen im allgemeinen kein Multihom. Ist jedoch $\Omega=G$ ein abelsches Monoid und betrachten wir nur Mengen mit Monoidoperation, so liefert die Menge der multi"aquivarianten Abbildungen mit der durch Nachschalten gegebenen Operation ein Multihom. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Auswerten von internem Hom}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie. Existiert f"ur $X,Y\in \mathcal M$ das interne Homobjekt, so erhalten wir eine Zweiverschmelzung\label{TKoX} $$\op{ev}_l:X\curlyvee (X{\Rrightarrow}Y) \;\ra \; Y$$ per Adjunktion $\op{ev}_l\pdef \op{mh}_l^{-1}(\op{id})$ aus der Identit"at auf $(X{\Rrightarrow}Y)$. Im Spezialfall der Moduln ist obiger Morphismus das Auswerten von linearen Abbildungen. Wir nennen ihn analog auch im allgemeinen das {\bf Auswerten}\index{Auswerten!in Schmelzkategorie} oder gleichbedeutend {\bf Evaluieren}.\index{Evaluieren!in Schmelzkategorie} Durch Anwenden der Adjunktion $\op{mh}_r=\op{mh}_l\tau$ erhalten wir, wenn auch das zweite fragliche interne Homobjekt existiert, einen Morphismus $ \op{a}: X\ra (X{\Rrightarrow}Y ){\Rrightarrow}Y$, der auch das {\bf Auswerten} hei"st und im Fall der Vektorr"aume mit $Y$ dem Grundk"orper zur nat"urlichen Abbildung eines Vektorraums in seinen Bidualraum spezialisiert. Eine zweite prinzipiell m"ogliche Konstruktion f"uhrt zu demselben Ergebnis $\op{mh}_r\op{mh}_l^{-1}(\op{id})=a=\op{mh}_l\op{mh}_r^{-1}(\op{id})$. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge}\label{RMoHoX} Gegeben eine Zweiverschmelzung $ S\curlyvee X \ra Y$ und ein weiteres Objekt $Z$ derart, da"s die internen Hom $X{\Rrightarrow}Z$ und $Y{\Rrightarrow}Z$ existieren, erhalten wir eine Zweiverschmelzung \begin{displaymath} S\curlyvee (Y{\Rrightarrow} Z) \ra (X{\Rrightarrow} Z) \end{displaymath} durch $\op{mh}_r\tau_{23}$ aus der Dreiverschmelzung $S\curlyvee X\curlyvee(Y{\Rrightarrow} Z) \ra Z$, die durch Vorschalten von $S\curlyvee X\ra Y$ aus dem Auswerten $\op{ev}_l:Y\curlyvee(Y{\Rrightarrow} Z) \ra Z$ nach \ref{TKoX} entsteht. Weiter erhalten wir, wenn die entsprechenden internen Hom $Z{\Rrightarrow}X$ und $Z{\Rrightarrow}Y$ existieren, auch eine Zweiverschmelzung \begin{displaymath} S\curlyvee (Z{\Rrightarrow} X) \ra (Z{\Rrightarrow} Y) \end{displaymath} durch $\op{mh}_r\tau_{23}$ aus der Dreiverschmelzung $S\curlyvee Z\curlyvee(Z{\Rrightarrow} X) \ra Y$, die durch Vorschalten des Auswertens $\op{ev}_l: Z\curlyvee(Z{\Rrightarrow} X) \ra X$ nach \ref{TKoX} entsteht. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung} Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie.\label{VMoX} Gegeben Objekte $X,Y,Z$ derart, da"s $X{\Rrightarrow} Y$ und $Y{\Rrightarrow} Z$ existieren, liefert das zweimalige Auswerten $\op{ev}_l$ nach \ref{TKoX} Verschmelzungen $$X\curlyvee (X{\Rrightarrow} Y)\curlyvee(Y{\Rrightarrow} Z)\quad\rightarrow \quad Y\curlyvee(Y{\Rrightarrow} Z)\quad\rightarrow \quad Z$$ Existiert auch $X{\Rrightarrow} Z$, so erhalten wir aus deren Komposition mit $\op{mh}_l$ eine Zweiverschmelzung, das {\bf Verkn"upfen von internem Hom} $$\op{vk}_l: (X{\Rrightarrow} Y)\curlyvee(Y{\Rrightarrow} Z)\ra (X{\Rrightarrow} Z)$$ Wenn die entsprechenden Hom-Objekte existieren, erhalten wir daraus hinwiederum nat"urliche Morphismen $(X{\Rrightarrow} Y)\ra (Y{\Rrightarrow} Z){\Rrightarrow}(X{\Rrightarrow} Z)$ und $(Y{\Rrightarrow} Z)\ra (X{\Rrightarrow} Y){\Rrightarrow}(X{\Rrightarrow} Z)$, die man das {\bf Vorschalten} beziehungsweise {\bf Nachschalten von internem Hom} nennen mag. Gegeben eine Schmelzkatgorie mit Einsobjekt $\mathbb I$ und Objekte $X,Y$ liefert das Verkn"upfen von internem Hom, wenn die fraglichen Homobjekte existieren, einen Morphismus $$X^\vee\curlyvee Y=(X{\Rrightarrow}\mathbb I)\curlyvee(\mathbb I{\Rrightarrow}Y)\ra (X{\Rrightarrow}Y)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tensorieren von internem Hom}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie.\label{TMoX} Wenn die fraglichen Multihom und stabil universellen Verschmelzungen existieren, erhalten wir eine Zweiverschmelzung $$\op{tih}: (W{\Rrightarrow}X) \curlyvee (Y{\Rrightarrow}Z) \;\ra \; (W\otimes Y){\Rrightarrow}( X \otimes Z)$$ aus der Multiverkn"upfung $ W \curlyvee Y\curlyvee (W{\Rrightarrow}X) \curlyvee (Y{\Rrightarrow}Z) \ra X \curlyvee Z\ra X \otimes Z$ mit Auswertungen $(\op{ev}_l\curlywedge \op{ev}_l)\tau_{23}$ vorne durch Faktorisieren "uber eine Dreiverschmelzung mit $ W \otimes Y$ ganz links und Anwenden der Adjunktion $\op{mh}_l$. Im Spezialfall der Vektorr"aume ist der obige kanonische Morphismus das Tensorieren von linearen Abbildungen. Wir nennen ihn auch im allgemeinen das {\bf Tensorieren}.\index{Tensorieren!von internen Homomorphismen in Schmelzkatgorie} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tensorieren mit internem Hom}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie.\label{TMoXb} Wenn die fraglichen Multihom und stabil universellen Verschmelzungen existieren, erhalten wir eine Zweiverschmelzung $$\op{tih}: (W{\Rrightarrow}X) \curlyvee Z \;\ra \; (W\otimes Z){\Rrightarrow}( X \otimes Z)$$ aus der Multiverkn"upfung $ W \curlyvee (W{\Rrightarrow}X) \curlyvee Z \ra X \curlyvee Z\ra X \otimes Z$ von $\op{ev}_l\curlywedge \op{id}$ und einer universellen Zweiverschmelzung durch Anwenden der Adjunktion $\op{mh}_l$. Im Spezialfall der Vektorr"aume ist der obige kanonische Morphismus das Tensorieren linearer Abbildungen mit einem weiteren Vektorraum. Wir nennen ihn auch im allgemeinen das {\bf Tensorieren}.\index{Tensorieren!von internen Homomorphismen in Schmelzkatgorie} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Dualisieren}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie mit Eins $\mathbb I$. Wir nennen ein Objekt $X\in \mathcal M$ {\bf dualisierbar},\index{dualisierbar} wenn das Homobjekt von $X{\Rrightarrow} {\mathbb I}$ zur Eins existiert. Wir setzen dann $$X^\vee\pdef (X{\Rrightarrow}\mathbb I)$$ Im\index{)6vee@$M^\vee$ duales Objekt!in Schmelzkategorie} Fall der Vektorr"aume ist das der Dualraum und wir nennen es auch im allgemeinen das {\bf duale Objekt zu $X$}.\index{Duales!in Schmelzkategorie} Jeder Morphismus $f:X\ra Y$ von dualisierbaren Objekten induziert durch Funktorialit"at einen Morphismus $f^\vee:Y^\vee\ra X^\vee$. Die Eins selbst ist stets dualisierbar und in \ref{HvId} konstruieren wir einen Isomorphismus $c:\mathbb I\sira \mathbb I^\vee$. Sind $X$ und $X^\vee$ dualisierbar, so liefert \ref{TKoX} einen Morphismus $\op{ev}=\op{ev}_X: X\ra X^{\vee\vee}$ und sind zus"atzlich $Y$ und $Y^\vee$ auch dualisierbar, so gilt $\op{ev}_Y\circ f=f^{\vee\vee}\circ\op{ev}_X$ f"ur alle $f:X\ra Y$. Im Fall des Einsobjekts finden wir $\op{ev}_{\mathbb I}=(c^\vee)^{-1}\circ c$. Gegeben eine stabil universelle Verschmelzung $X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r\ra X_1\otimes\ldots\otimes X_r$ dualisierbarer Objekte zu einem dualisierbaren Objekt liefert das Tensorieren von internem Hom $\op{tih}$ aus \ref{TMoX} eine Verschmelzung\label{duo1} $$X_1^\vee\curlyvee\ldots\curlyvee X_r^\vee\ra (X_1\otimes\ldots\otimes X_r)^\vee$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Dualisieren von internem Hom}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie mit Eins $\mathbb I$ und internem Hom. Gegeben Objekte $X,Y$ gehen wir von der Verkn"upfungsverschmelzung\label{dIhh} $\op{vk}_l:(X{\Rrightarrow}Y)\curlyvee(Y{\Rrightarrow}\mathbb I)\ra (X{\Rrightarrow}\mathbb I)$ nach \ref{VMoX} aus und verwandeln sie mit der Adjunktion $\op{mh}_r$ aus der Definition von interem Hom \ref{Miuh} in einen Morphismus $$(X{\Rrightarrow}Y)\ra (Y^\vee{\Rrightarrow}X^\vee)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Differentielle abelsche Gruppen}] Wir f"uhren die Schmelzkategorie $\op{dAb}$\index{dAb@$\op{dAb}$ differentielle abelsche Gruppen} der differentiellen abelschen Gruppen ein. Objekte sind Paare $(A,\partial)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe mit einem Endomorphismus, den wir das {\bf Differential}\index{Differential} nennen. Verschmelzungen $\varphi: A_1\curlyvee \ldots\curlyvee A_r\ra A$ sind multiadditive Abbildungen $\varphi: A_1\times \ldots\times A_r\ra A$ mit $$\partial\varphi(a_1,\ldots,a_r)=\varphi(\partial a_1,\ldots,a_r)+ \ldots+ \varphi(a_1,\ldots,\partial a_r)\quad\forall a_i\in A_i, 1\leq i\leq r$$ Leerverschmelzungen nach $(A,\partial)$ sind insbesondere Elemente des Kerns von $\partial$. Man zeige, da"s diese Schmelzkategorie universelle Veschmelzungen und Multihom hat und da"s das Vergessen des Differentials $\op{dAb}\ra \op{Ab}$ mit universellen Verschmelzungen und Multihom vertr"aglich ist.\label{dABg} In der in \ref{DiHo} eingef"uhrten Terminologie ist das die "aquivariante Schmelzkategorie der Moduln "uber dem $\op{Ab}$-Biabmonoid $\DZ[\partial]$ der dualen Zahlen. \end{Ubung} \subsection{Trennschmelzkategorien} \begin{Bemerkungl} Eine Schmelzkategorie hei"se ein {\bf Schmelzgruppoid},\index{Schmelzgruppoid} wenn alle ihre Verschmelzungen stabil universell sind. Zu jeder Schmelzkategorie $\mathcal M$ erhalten wir ein Schmelzgruppoid\label{Schmg} $\mathcal M^\times$, \index{)x@$\mathcal M^\times$ Schmelzgruppoid von $\mathcal M$} in dem wir nur die stabil universellen Verschmelzungen von $\mathcal M$ als Verschmelzungen zulassen. Analoges gilt f"ur Trennkategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Trennschmelzkategorie}\index{Trennschmelzkategorie} ist ein Datum bestehend aus einer Kategorie $\mathcal M$ mit Erweiterungen der Kategorienstruktur sowohl zu einer Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen als auch zu einer Trennkategorie mit stabil universellen Trennungen und zus"atzlich ausgezeichneten Bijektionen\label{TSK} $$i:\mathcal M^\times(Y, X_1\curlywedge \ldots\curlywedge X_r)\sira \mathcal M^\times(X_1\curlyvee \ldots\curlyvee X_r,Y)$$ zwischen stabil universellen Trennungen und stabil universellen Verschmelzungen in die Gegenrichtung, die vertr"aglich sind mit Multiverkn"upfungen und die auf stabil universellen Einsverschmelzungen zum Invertieren von Isomorphismen spezialisieren. Wenn wir uns auf die zugrundeliegende Trenn- oder Schmelzkategorie konzentrieren wollen, schreiben wir $\mathcal M^{\op{t}}$ beziehungsweise $\mathcal M^{\op{s}}$.\index{)6@$\mathcal M^{\op{t}}$ Trennanteil von $\mathcal M$}\index{t@$\mathcal M^{\op{t}}$ Trennanteil von $\mathcal M$}\index{)6@$\mathcal M^{\op{s}}$ Schmelzanteil von $\mathcal M$}\index{s@$\mathcal M^{\op{s}}$ Schmelzanteil von $\mathcal M$} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Das Konzept einer Trennschmelzkategorie ist der Versuch einer \glqq ganzheitlichen\grqq\ Beschreibung der Struktur, die man in der Literatur meist durch Erzeuger und Relationen beschreibt und eine \glqq symmetrische monoidale Kategorie\grqq\ nennt. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Gegeben eine additive Kategorie ist der nat"urliche Morphismus \eref{naMO}{TG} von endlichen Koprodukten zu endlichen Produkten stets ein Isomorphismus. Wir erkl"aren die {\bf banale Trennschmelzkategorie\index{banal!Trennschmelzkategorie!einer additiven Kategorie} einer additiven Kategorie}, indem wir ihre banalen Strukturen einer Schmelzkategorie und Trennkategorie erg"anzen um die durch diese Isomorphismen gegebenen ausgezeichneten Bijektionen $i$.\label{baTSK} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erg"anzung zu Trennschmelzkategorie}] Jede Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit stabil universellen Verschmelzungen l"a"st sich zu einer Trennschmelzkategorie erg"anzen, indem wir die zugeh"origen Trennungen $Y\ra X_1\curlywedge \ldots\curlywedge X_r$ erkl"aren als Morphismen $Y\ra X_1\otimes \ldots\otimes X_r$. Stabile Trennungen sind dann Isomorphismen $t:Y\sira X_1\otimes \ldots\otimes X_r$. Als $i(t)\pdef t^{-1}\circ \kappa$ nehmen wir die universelle Verschmelzung gefolgt vom Inversen $$X_1\curlywedge \ldots\curlywedge X_r\ra X_1\otimes \ldots\otimes X_r\ra Y$$ Das ist offensichtlich bis auf\label{opS} eindeutigen Isomorphismus die einzige derartige Erg"anzung, genauer haben wir f"ur je zwei Trennschmelzkategorien mit derselben zugrundeliegenden Schmelzkategorie eindeutig bestimmte Bijektionen zwischen ihren Trennungsmengen von einem vorgegebenen Ausgangsobjekt in eine vorgegebene Objektkleinfamilie mit den offensichtlichen Eigenschaften. Es ist deshalb erlaubt, diese bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte Struktur mit einem bestimmten Artikel anzusprechen und ihr eine Notation zuzugestehen. Wir notieren diese Trennschmelzkategorie weiter $\mathcal M$ und schreiben $\mathcal M^{\op{t}}$, wenn wir uns auf ihren Trennanteil konzentrieren wollen. Wir sagen, diese Trennkategorie entstehe durch {\bf Invertieren}\index{Invertieren!von Schmelzkategorie} unserer Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In derselben Weise besitzt jede Trennkategorie $\mathcal T$ mit stabil universellen Trennungen bis auf eindeutigen Isomorphismus genau eine Erg"anzung zu einer Trennschmelzkategorie, die wir auch wieder $\mathcal T$ notieren. Wenn wir uns auf ihren Schmelzanteil konzentrieren wollen, schreiben wir $\mathcal T^{\op{s}}$ und sagen, diese Schmelzkategorie entstehe durch\label{opT} {\bf Invertieren}\index{Invertieren!von Trennkategorie} unserer Trennkategorie mit stabil universellen Trennungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ erkl"aren wir in der offensichtlichen Weise die {\bf opponierte Trennschmelzkategorie}\index{opponiert!Trennschmelzkategorie} $\mathcal M^{\op{opp}}$ und vereinbaren die Abk"urzungen $$\mathcal M^{\op{os}}\pdef (\mathcal M^{\op{opp}})^{\op{s}}\quad \text{ sowie }\quad \mathcal M^{\op{ot}}\pdef (\mathcal M^{\op{opp}})^{\op{t}}$$ Wenn wir von einer Schmelzkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen ausgehen, nennen wir $\mathcal M^{\op{os}}$ die {\bf oppinvertierte Schmelzkategorie}.\index{oppinvertiert!Schmelzkategorie}\label{opi} Ebenso nennen wir f"ur $\mathcal T$ eine Trennkategorie mit stabil universellen Trennungen $\mathcal T^{\op{ot}}$ die {\bf oppinvertierte Trennkategorie}.\index{oppinvertiert!Trennkategorie} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite Konstruktion der oppinvertierten Trennkategorie}] Sei $\mathcal T$ eine Trennkategorie mit stabil universellen Trennungen. Explizit kann man Trennungen der oppinvertierten Trennkategorie als "Aquivalenzklassen von Tripeln beschreiben, ganz "ahnlich wie wir es f"ur Morphismen der oppinvertierten Faserung in \eref{exKO}{TG} skizziert haben. Eine Zweitrennung $\mathcal T^{\op{ot}}(X,Y{\curlywedge} Z)$ wird dann eine "Aquivalenzklasse von Tripeln $(\phi,W,\alpha)$ wie im Diagramm\label{EXSK} $$\xymatrix{W\ar@{^{(}->}[r]^-{\alpha}\ar[d]^\phi&Y{\curlywedge }Z\\ X&}$$ mit $\alpha\in \mathcal T(W,Y{\curlywedge} Z)$ einer universellen Trennung wie durch den Hakenpfeil angedeutet und $\phi\in \mathcal T(W,X)$ einem gew"ohnlichen Morphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \eref{fdoTF}{TSF} diskutieren wir den Begriff einer oppinvertierten Trennfaserung. Jede Faserung kann auch als eine Trennfaserung aufgefa"st werden und jede Trennkategorie mit stabil universellen Verschmelzungen erweist sich als Trennfaserung "uber der finalen Trennkategorie. In diesem Rahmen fallen dann unsere beiden Konstruktionen oppinvertierter Strukturen zusammen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ hat man quasi per definitionem ausgezeichnete Isomorphismen $(\mathcal M^{\op{s}})^{\op{opp}} \sira \mathcal M^{\op{ot}}$ und $(\mathcal M^{\op{t}})^{\op{opp}} \sira \mathcal M^{\op{os}}$ von Trenn- beziehungsweise Schmelzkategorien, die die Objekte festhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Multihom und Opponieren}] Sehr oft arbeiten wir im folgenden in einer Trennschmelzkategorie mit Multihom. Diese Situation ist nicht stabil unter Opponieren, denn man fordert zwar Rechtsadjungierte f"ur $X\otimes$, aber keine Linksadjungierten. Die Symmetrie wird erst wieder hergestellt, wenn wir die Starrheit aller Objekte fordern. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennschmelzkatgorie zu endlichen Produkten}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten hat die zugeh"orige banale Trennkategorie stabil universelle Trennungen und kann mithin als Trennschmelzkategorie aufgefa"st werden. Die zugeh"orige Schmelzkategorie hat dann die Verschmelzungen $$(\curlywedge\mathcal C)(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)=\mathcal C(X_1\times\ldots\times X_r,Y)$$ und erweist sich so als die kartesische Schmelzkategorie $(\curlywedge\mathcal C)^{\op{s}}= \op{kart}(\mathcal C)$ von $\mathcal C$.\label{kartDu} % Die Trennschmelzkategorie einer Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten notieren wir statt $\curlywedge \mathcal C$ % oft vereinfachend $\mathcal C$. \nichtfinal{Keine gute Idee f"urchte ich!} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennschmelzkatgorie zu endlichen Koprodukten}] F"ur eine Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Koprodukten hat die zugeh"orige banale Schmelzkategorie stabil universelle Verschmelzungen und kann mithin als Trennschmelzkategorie aufgefa"st werden. Die zugeh"orige Trennkategorie hat dann die Trennungen\label{ensdu} $$(\curlyvee\mathcal C)(X,Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r)= \mathcal C(X,Y_1\sqcup\ldots\sqcup Y_r)$$ Dieses Beispiel scheint mir eine besonders gute Motivation f"ur die Bezeichnung derartiger Strukturen als Trennkategorie. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komonoide in $\curlyvee{\op{Ens}}$}] Die banale Schmelzkategorie $\curlyvee{\op{Ens}}$ der Kategorie der Mengen hat eindeutige Leerverschmelzungen und die universelle Leerverschmelzung landet in der leeren Menge. Das ist also das Einsobjekt der Schmelzkategorie $\curlyvee{\op{Ens}}$. Eine Koverkn"upfung $\Delta:X\ra X\sqcup X$ der zugeh"origen Trennschmelzkategorie kann also nur dann eine Koeins haben, wenn gilt $X=\emptyset$. Ebenso kann sie nur kokommutativ sein, wenn gilt $X=\emptyset$. Koassoziative Koverkn"upfungen sind auch schnell beschrieben, jedes Element geht eben \glqq nach oben\grqq\ oder \glqq nach unten\grqq\ und notwendig auf ein Element, da"s dann \glqq nach oben auf sich selber\grqq\ beziehungsweise \glqq nach unten auf sich selber\grqq\ abgebildet wird. Die banale Trennkategorie der Mengen liefert viel interessantere Strukturen, hier sind die Monoide Mengen mit unit"arassoziativer Verkn"upfung. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Funktorkategorie als internes Hom}] Gegeben ein Mengensystem ${\mathfrak U}$ betrachten wir die Kategorie ${\mathfrak U}{\op{Cat}}$ nach \eref{KatKat}{TF} aller Kategorien, deren Morphismenmengen und Objektmenge Elemente von $\mathfrak U$ sind, mit Funktoren als Morphismen. Ist unser Mengensystem ${\mathfrak U}$ ein Universum, so hat ${\mathfrak U}{\op{Cat}}$ endliche Produkte alias die zugeh"orige banale Trennkategorie $$\curlywedge {\mathfrak U}{\op{Cat}}$$ stabil universelle Trennungen und kann folglich in im wesentlichen eindeutiger Weise zu einer Trennschmelzkategorie erweitert werden. Sind $\mathfrak U\in\mathfrak V$ Universen, so gibt es f"ur Objekte $\mathcal A,\mathcal B\in{\mathfrak U}{\op{Cat}}$ das interne Hom $\mathcal A{\Rrightarrow}\mathcal B$ in ${\mathfrak V}{\op{Cat}}$ und dies interne Hom ist die Funktorkategorie, mit Funktoren als Objekten und Transformationen als Morphismen.\label{TrKua} Im wesentlichen ist das das Exponentialgesetz f"ur Kategorien aus \ref{ExpKa}\nichtfinal{(\eref{ExpKa}{LA2})}. \end{Ubung} \subsection{Schmelzfunktoren} \begin{Definition} Ein {\bf Schmelzfunktor}\label{MulF}\index{Schmelzfunktor} $p :\mathcal M\ra \mathcal N$ von einer Schmelzkategorie in eine weitere Schmelzkategorie ist ein Datum bestehend aus einer Abbildung $p $ der Objektmengen nebst Abbildungen $$p :\mathcal M(A,Y)\ra \mathcal N(pA,p Y)$$ f"ur jede Objektkleinfamlie $A:I\ra \mathcal M$ und jedes Objekt $Y\in\mathcal M$ zwischen den entsprechenden Mengen von Verschmelzungen, die vertr"aglich sind mit Multiverkn"upfungen und die Identit"aten auf Identit"aten werfen. Ein Schmelzfunktor induziert in offensichtlicher Weise einen Funktor $p^{\curlyvee}:\mathcal M^{\curlyvee}\ra \mathcal N^{\curlyvee}$ auf den Familienkategorien der jeweiligen Schmelzkategorien. Die Menge der Schmelzfunktoren von $\mathcal M$ nach $\mathcal N$ notieren wir $\op{SCat}(\mathcal M,\mathcal N)$.\index{SCat@$\op{SCat}(\mathcal M,\mathcal N)$ Menge von Schmelzfunktoren} Wir nennen einen Schmelzfunktor {\bf treu}\index{treu!bei Schmelzkategorien}, {\bf volltreu}\index{volltreu!bei Schmelzkategorien} beziehungsweise eine {\bf "Aquivalenz}\index{"Aquivalenz!von Schmelzkategorien} oder genauer {\bf Schmelz\-"aqui\-va\-lenz}\index{Schmelz"aquivalenz} oder sogar einen {\bf Isomorphismus von Schmelzkategorien},\index{Isomorphismus!von Schmelzkategorien} wenn der zugeh"orige Funktor auf den Familienkategorien die entsprechende Eigenschaft hat. Analog erkl"aren wir {\bf Trennfunktoren}\index{Trennfunktor} zwischen Trennkategorien und vereinbaren daf"ur eine analoge Terminologie. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kriterium f"ur Schmelzfunktoren}] Um zu pr"ufen, da"s eine gegebene Abbildung $p$ auf den Objektmengen zusammen mit Abbildungen $p$ auf den Verschmelzungsmengen wie eben ein Schmelzfunktor ist, reicht es zu pr"ufen,\label{KritSF} da"s sie (1) Identit"aten auf Identit"aten wirft, da"s sie (2) mit Umindizierungen $\hat \tau$ zu Vertauschungen benachbarter Eintr"age $\tau$ vertr"aglich ist und da"s sie (3) mit Vorschalten eines Morphismus der Familienkategorie der Gestalt $$g\curlyvee\op{id}_B%\curlyvee\ldots\curlyvee\op{id} :Z_1\curlyvee\ldots\curlyvee Z_s\curlyvee B%X_2\curlyvee\ldots\curlyvee X_r \ra X_1\curlyvee B%X_2\curlyvee \ldots\curlyvee X_r $$ f"ur eine beliebige Objektkleinfamilie $B$ vertr"aglich ist. Das wird der Leser leicht selbst einsehen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jeder Funktor $\mathcal C\ra \mathcal B$ induziert einen Trennfunktor $\curlywedge\mathcal C\ra \curlywedge\mathcal B$ zwischen den zugeh"origen banalen Trennkategorien und einen Schmelzfunktor $\curlyvee\mathcal C\ra \curlyvee\mathcal B$ zwischen den zugeh"origen banalen Schmelzkategorien.\label{banTS} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Opponieren von Schmelz- und Trennfunktoren}] Jeder Schmelzfunktor $p:\mathcal M\ra\mathcal N$ induziert einen Trennfunktor\label{opSS} $$p^{\op{opp}}:\mathcal M^{\op{opp}}\ra\mathcal N^{\op{opp}}$$ zwischen den opponierten Trennkategorien. Analoges gilt f"ur Trennfunktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $p,q:\mathcal M\ra \mathcal N$ Schmelzfunktoren verstehen wir unter einer {\bf Transformation von Schmelzfunktoren}\index{Transformation!von Schmelzfunktoren} $\tau:p\RA q$ eine Vorgabe von Einsverschmelzungen $\tau_M:p(M)\ra q(M)$ in $\mathcal N$ f"ur alle $M\in\mathcal M$, deren $\curlyvee$-Vertupeln eine Transformation $p^\curlyvee\RA q^\curlyvee$ zwischen den auf den Familienkategorien induzierten Funktoren\label{TrCat} liefert. Die Gesamtheit aller Schmelzfunktoren $\op{SCat}(\mathcal M,\mathcal N)$ ist mit den Transformationen als Morphismen in nat"urlicher Weise eine Kategorie. Um zu pr"ufen, da"s eine Vorgabe von Einsverschmelzungen $\tau_M:p(M)\ra q(M)$ eine Transformation ist, reicht es f"ur jede durch $\llbracket n\rrbracket$ mit $n\in \DN$ indizierte Kleinfamilie $A$ und jede $\mathcal M$-Verschmelzung $f:A(1)\curlyvee\ldots\curlyvee A(r)\ra Y$ zu pr"ufen, da"s gilt $q(f)\circ \big(\tau_{A(1)}\curlyvee\ldots\curlyvee \tau_{A(r)}\big)= \tau_{Y}\circ p(f):p(A(1))\curlyvee\ldots\curlyvee p(A(r))\ra q(Y)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Gesamtheit aller Schmelzkategorien bildet mit Schmelzfunktoren als Morphismen selbst eine Kategorie\index{SCat@$\op{SCat}$ Gesamtheit aller Schmelzkategorien}\label{SCat} $$\op{SCat}$$ mit der terminalen Schmelzkategorie als finalem Objekt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $K$ ein K"orper oder allgemeiner ein Kring. Wir bilden die {\bf Matrix-Schmelzkategorie} $\op{Mat}_K$\index{Mat@$\op{Mat}$ Matrixmultikategorie} wie folgt: Objekte sind alle nat"urlichen Zahlen. Als Mengen von Verschmelzungen nehmen wir die Mengen von {\bf Multimatrizen}\index{Multimatrix} $$\op{Mat}_K(m_1\curlyvee\ldots\curlyvee m_r,n)\pdef \{T:\llbracket m_1\rrbracket \times\ldots\times \llbracket m_r\rrbracket \times\llbracket n\rrbracket \ra K\} $$ Die Multiverkn"upfungen werden durch Summation "uber gleiche Indizes in der hoffentlich offensichtlichen Weise definiert. Wir erhalten dann einen Schmelzfunktor $\op{Mat}_K\ra \op{Mod}_K$, der auf Objekten durch $\llbracket n\rrbracket \mapsto K^n$ gegeben wird und auf Morphismen leicht vom Leser erraten werden kann. Im Spezialfall $r=1$ h"atten wir $\op{Mat}_K(m,n)=\op{Mat}(n\times n;K)$ in unserer fr"uheren Notation. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Matrix-Schmelzkategorie eines Mengensystems}] Seien $K$ ein K"orper oder allgemeiner ein Kring und $\mathfrak{U}$ ein Mengensystem. Wir bilden %in Verallgemeinerung von \eref{UMat}{LA2} die {\bf Matrixschmelzkategorie} $\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K$ wie folgt: Objekte sind alle Mengen aus $\mathfrak{U}$, in Formeln $\op{Ob} {{\mathfrak{U}\!\op{Mat}}} \pdef \mathfrak{U}$. Wir setzen $$\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)\pdef \left\{ \begin{array}{c}\text{Alle Abbildungen}\\ T: X_1\times\ldots\times X_r\times Y\ra K\\ \text{derart, da"s es f"ur beliebige }x_1,\ldots, x_r\\ \text{h"ochstens endlich viele $y$ gibt mit}\\ \text{mit }T(x_1,\ldots,x_r,y)\neq 0 \end{array} \right\} $$ Wieder sind die Multiverkn"upfungen in der hoffentlich offensichtlichen Weise durch Summation "uber gleiche Indizes erkl"art. Wir erhalten dann einen Schmelzfunktor $\mathfrak{U}\!\op{Mat}_K\ra \op{Mod}_K$, der auf Objekten durch die Konstruktion freier Moduln $X\mapsto \op{Mod}_K\frei X$ "uber den entsprechenden Mengen gegeben wird und auf Morphismen vom Leser erraten werden mag. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differential der Analysis als Schmelzfunktor}] In der Sprache der Ka\-te\-go\-ri\-en\-the\-o\-rie mag man die Kategorie $\mathcal D$ der bepunkteten halboffenen Teilmengen $(A,p)$ normierter reeller R"aume $X$ betrachten mit solchen Abbildungen $f:(A,p)\ra (B,q)$ als Morphismen, die bei $p$ differenzierbar sind und $p$ auf $q$ abbilden. Dann erhalten wir einen Funktor in die Kategorie der reellen Vektorr"aume, indem wir jeder bepunkteten halboffenen Teilmenge den Richtungsraum des umgebenden reellen Raums zuordnen und jedem Morphismus sein Differential am ausgezeichneten Punkt. Man mag weiter $\mathcal D$ zu einer Schmelzkategorie machen mit Zweiverschmelzungen $(A,p)\curlyvee (B,q)\ra (C,r)$ Morphismen $(A\times B,(p,q))\ra (C,r)$ und analog erkl"arten beliebigen Verschmelzungen. Dann wird unser Differential ein Schmelzfunktor $\mathcal D\ra {\curlyvee}{\op{Mod}_\DR}$ in die banale Schmelzkategorie der reellen Vektorr"aume. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Analog zu Schmelzfunktoren erkl"aren wir {\bf monotone Schmelzfunktoren}\index{Schmelzfunktor!monotoner} zwischen monotonen Schmelzkategorien und eine {\bf Transformation zwischen monotonen Schmelzfunktoren}.\index{Transformation!Schmelzfunktoren!monotone} Jeder Schmelzfunktor $p:\mathcal M\ra \mathcal N$ induziert einen monotonen Schmelzfunktor $p=p^{\op{mon}}:\mathcal M^{\op{mon}}\ra \mathcal N^{\op{mon}}$\index{mon@$p^{\op{mon}}$ Monotonisierung von $p$} zwischen den zugeh"origen Monotonisierungen \ref{moMU}, den wir die {\bf Monotonisierung}\index{Monotonisierung!von Schmelzfunktor} unseres Schmelzfunktors nennen, und\label{TmoMU} jede Transformation induziert eine Transformation zwischen den jeweiligen monotonisierten Schmelzfunktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Schmelzfunktor $p$ induzieren die universellen Eigenschaften f"ur jede Objektkleinfamilie $B$, wenn denn die fraglichen stabil universellen\label{kater} Verschmelzungen existieren, einen nat"urlichen Morphismus $\otimes(pB)\ra p(\otimes B)$. Dasselbe gilt f"ur nicht notwendig stabile universelle Verschmelzungen. Unser Morphismus mu"s kein Isomorphismus sein, wie etwa der Schmelzfunktor der Restriktion $\op{Mod}_\DC\ra \op{Mod}_\DR$ zeigt. Ist er doch f"ur alle universellen Verschmelzungen ein Isomorphismus, so sagen wir, unser Schmelzfunktor sei {\bf vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen}.\index{vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen!Schmelzfunktor} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern Trennschmelzkategorien aus \ref{TSK}. Ganz allgemein verstehen wir unter einem {\bf Trennschmelzfunktor}\index{Trennschmelzfunktor} zwischen Trennschmelzkategorien ein Datum bestehend aus einem mit universellen Trennungen vertr"aglichen Trennfunktor und einem mit universellen Verschmelzungen vertr"aglichen Schmelzfunktor, die auf den zugrundeliegenden einfachen Kategorien "ubereinstimmen. Jeder mit universellen Verschmelzungen vertr"agliche Schmelzfunktor zwischen Trennschmelzkategorien und jeder mit universellen Trennungen vertr"agliche Trennfunktor zwischen Trennschmelzkategorien lassen sich offensichtlich auf genau eine Weise zu einem Trennschmelzfunktor fortsetzen. Jeder Schmelzfunktor $p:\mathcal M\ra\mathcal N$ zwischen Schmelzkategorien mit stabil universellen Verschmelzungen, der mit universellen Verschmelzungen vertr"aglich ist, induziert insbesondere einen Trennfunktor\label{opSSt} $$p^{\op{t}}:\mathcal M^{\op{t}}\ra\mathcal N^{\op{t}}$$ zwischen den zugeh"origen Trennkategorien, der seinerseits mit universellen Trennungen vertr"aglich ist. Analoges gilt f"ur Trennfunktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jeder mit endlichen Produkten vertr"agliche Funktor $\mathcal C\ra \mathcal B$ induziert einen mit universellen Trennungen vertr"aglichen alias einen Trennschmelzfunktor $\curlywedge\mathcal C\ra \curlywedge\mathcal B$. Insbesondere induziert der Funktor $\op{iso}:{\mathfrak U}{\op{Cat}}\ra {\mathfrak U}{\op{Ens}}$, der jeder $\mathfrak U_\in$-Kategorie die Menge ihrer Isomorphieklassen zuordnet, einen Trennschmelzfunktor $\op{iso}:\curlywedge{\mathfrak U}{\op{Cat}}\ra \curlywedge{\mathfrak U}{\op{Ens}}$.\label{tsca} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Leerverschmelzungsfunktor}] Gegeben $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie erhalten wir\label{SFNV} stets einen\index{Leerverschmelzungsfunktor} Schmelzfunktor\index{L@${\op{L}}={\op{L}}_{\mathcal M}$ Leerverschmelzungsfunktor} $${\op{L}}={\op{L}}_{\mathcal M}: \mathcal M\ra \op{kEns}$$ in die kartesische Schmelzkategorie der Mengen, indem wir jedem Objekt $X\in \mathcal M$ die Menge $\mathcal M(\curlyvee, X)$ der Leerverschmelzungen nach $X$ zuordnen. Dieser Schmelzfunktor ist nur selten vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen. Gegeben ein Schmelzfunktor $p:\mathcal M\ra \mathcal N$ bilden die durch $p$ gegebenen Abbildungen $p: \mathcal M(\curlyvee, X)\ra \mathcal N(\curlyvee, pX)$ stets eine Transformation von Schmelzfunktoren $$\hat p: \op{L}_{\mathcal M}\RA \op{L}_{\mathcal N}\circ p$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Trennkategorie $\mathcal T$ erkl"aren wir opponiert den {\bf Leertrennungsfunktor}\index{Leertrennungsfunktor} ${\op{L}}_{\mathcal T}:\mathcal T\ra \op{kEns}^{\op{opp}}$.\index{L@${\op{L}}={\op{L}}_{\mathcal T}$ Leertrennungsfunktor} Er hat die entsprechend opponierten Eigenschaften. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir sagen, ein Schmelzfunktor $p:\mathcal M\ra \mathcal N$ sei {\bf volltreu auf Leerverschmelzungen}, wenn er f"ur alle Objekte $X\in \mathcal M$ eine Bijektion $$\mathcal M(\curlyvee, X)\sira \mathcal N(\curlyvee, pX)$$ induziert. Der Vergi"sfunktor $\op{Ab}\ra \op{kEns}$ hat zum Beispiel diese Eigenschaft. Er ist in diesem Fall sogar isomorph zum Leerverschmelzungsfunktor. Allgemeiner ist f"ur jede Schmelzkategorie der Leerverschmelzungsfunktor offensichtlich volltreu auf Leerverschmelzungen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Es gibt eine {\bf terminale Schmelzkategorie}\index{Schmelzkategorie!terminale}\index{scat@$\op{scat}$ terminale Schmelzkategorie} $$\op{scat}$$ mit genau einem\label{scat} Objekt $*$ und einelementigen Mengen von Verschmelzungen. Von jeder Schmelzkategorie gibt es genau einen Schmelzfunktor in diese terminale Schmelzkategorie. Der Indexfunktor der terminalen Schmelzkategorie\label{TeSK} liefert einen Isomorphismus zwischen ihrer Familienkategorie und der Kategorie der endlichen Mengen beziehungsweise derjenigen endlichen Mengen, die wir f"ur die Indizierung erlaubt haben, etwa die Elemente des kleinsten Universums, das die leere Menge als Element enth"alt. Opponiertes gilt f"ur die {\bf terminale Trennkategorie}\index{tcat@$\op{tcat}$ terminale Trennkategorie}\index{Trennkategorie!terminale} $\op{tcat}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere \glqq Strukturen\grqq\ auf Objekten einer Kategorie, wie sie in \ref{ObZuSt} \nichtfinal{(\eref{Stru}{LA2})} diskutiert wurden, und erkl"are deren Verallgemeinerung auf den Fall von Schmelzkategorien. Gegeben ein treuer Schmelzfunktor $w:\mathcal S\ra \mathcal M$ erkl"aren wir eine {\bf $(\mathcal S,w)$-Struktur auf einem Objekt $M\in\mathcal M$} \index{Struktur@$(\mathcal S,w)$-Struktur!auf Objekt} als eine "Aquivalenzklasse von Paaren $(S,\varphi)$ bestehend aus einem Objekt $S\in \mathcal S$ und einem Isomorphismus $\varphi: w(S)\sira M$ mit der Ma"sgabe, da"s $(S,\varphi)$ "aquivalent ist zu $(T,\psi)$, wenn es einen Isomorphismus $i:S\sira T$ gibt mit $\varphi\circ w(i)=\psi$. Gegeben eine Verschmelzung $g:M_1\curlyvee\ldots\curlyvee M_r\ra M$ von Objekten von $\mathcal M$ mit $(\mathcal S,w)$-Strukturen sagen wir, unsere Verschmelzung sei eine {\bf $(\mathcal S,w)$-Verschmelzung}\index{Verschmelzung!$(\mathcal S,w)$-Verschmelzung} oder {\bf vertr"aglich mit den $(\mathcal S,w)$-Strukturen}, wenn sie f"ur beliebige Wahlen von Repr"asentanten $(S_i,\varphi_i)$ und $(S,\varphi)$ der jeweiligen $(\mathcal S,w)$-Strukturen das Bild unter $w$ einer Verschmelzung $\tilde g:S_1\curlyvee\ldots\curlyvee S_r\ra S$ ist,\label{SStr} wenn also f"ur diese Daten gilt $$g\circ (\varphi_1\curlyvee\ldots\curlyvee\varphi_r)=\varphi\circ w(\tilde g)$$ Die so erkl"arte {\bf Schmelzkategorie der Objekte von $\mathcal M$ mit $(\mathcal S,w)$-Struktur} notieren wir $\mathcal M_{(\mathcal S,w)}$ und erhalten eine Schmelz"aquivalenz $$[w]:\mathcal S \sirra \mathcal M_{(\mathcal S,w)}$$ in Gestalt eines Schmelzfunktors, der jedem Objekt $S\in\mathcal S$ die "Aquivalenzklasse des Paars $(S,\op{id}_{w(S)})$ zuordnet. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall des Vergi"sfunktors $v:\op{Ab}\ra \op{kEns}$ ist diese Schmelz\-"aqui\-va\-lenz in Verallgemeinerung von \eref{Qert}{LA2} mit der entsprechenden Sorgfalt in Fragen der Mengenlehre sogar ein Isomorphismus von Schmelzkategorien $$[v]:\mathfrak U{\op{Ab}} \sira \mathfrak U{\op{kEns}}_{(\op{Ab},v)}$$ f"ur jedes vorgegebene Mengensystem $\mathfrak U$. Analoges gilt in den meisten konkreten F"allen, die mir in den Sinn kommen. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein Schmelzfunktor\label{fIH} $F$ liefern die universellen Eigenschaften f"ur je zwei Objekte $X,Y$ unter der Annahme, da"s die fraglichen internen Hom-Objekte existieren, einen nat"urlichen Morphismus $$F(X{\Rrightarrow} Y)\ra (FX{\Rrightarrow} FY)$$ Er mu"s kein Isomorphismus sein, wie unser Schmelzfunktor $\op{Mod}_\DC\ra \op{Mod}_\DR$ zeigt. Ist er stets ein Isomorphismus, so sagen wir, unser Schmelzfunktor sei {\bf vertr"aglich mit internem Hom}.\index{vertr"aglich mit internem Hom!Schmelzfunktor} \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $L:\mathcal M\ra \mathcal N$ und $R:\mathcal N\ra \mathcal M$ Schmelzfunktoren. Unter einer {\bf Adjunktion von Schmelzfunktoren} $\alpha:L\dashv R$\index{)8@$\dashv$ Adjunktion!von Schmelzfunktoren}\index{Adjunktion!von Schmelzfunktoren} verstehen wir eine Familie von Bijektionen\label{AdjSc} $$\alpha_{M_1,\ldots,M_r,N}:\mathcal M(M_1\curlyvee \ldots\curlyvee M_r,RN) \sira \mathcal N(LM_1\curlyvee \ldots\curlyvee LM_r,N)$$ derart, da"s sie in ihrer Gesamtheit eine Adjunktion $(L^\curlyvee,R^\curlyvee)$ der auf den Familienkategorien induzierten Funktoren liefern. Man zeige, da"s f"ur jeden Kringhomomorphismus $k\ra K$ die Restriktion $\op{res}_K^k$ und die Induktion $\op{ind}_k^K=K\otimes_k$ in nat"urlicher Weise ein adjungiertes Paar $(\op{ind},\op{res})$ von Schmelzfunktoren zwischen den Schmelzkategorien der $K$-Moduln beziehungsweise $k$-Moduln bilden. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Schmelzfunktoren und symmetrische Potenzen}] Gegeben ein Schmelzfunktor $F:\mathcal M\ra\mathcal N$ und $V\in \mathcal M$ haben wir, wenn die symmetrischen Potenzen ${\op{S}}^rV$ und ${\op{S}}^r(FV)$ nach \ref{SyPOT} existieren, einen kanonischen Morphismus ${\op{S}}^r(FV)\ra F({\op{S}}^rV)$. Auch wenn $F$ mit universellen Verschmelzungen vertr"aglich ist, mu"s $F$ nicht mit symmetrischen Potenzen vertr"aglich sein, wie das Beispiel des verge"slichen Funktors von der kartesischen Schmelzkategorie der abelschen Gruppen in die kartesische Schmelzkategorie der Mengen zeigt. \end{Ubung} \begin{Beispiel} In der kartesischen Schmelzkategorie mit Multihom der Mengen ist das duale Objekt jeder Menge die einelementige Menge. \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{Dualisieren als Trennfunktor}] Sei $\mathcal M$ eine Trennschmelzkategorie, in der jedes Objekt dualisierbar ist. Man zeige,\label{duOO} da"s das Dualisieren einen Trennfunktor $$\mathcal M^{\op{t}}\ra \mathcal M^{\op{ot}}$$ vom Trennanteil von $\mathcal M$ zum Trennanteil von $\mathcal M^{\op{opp}}$ liefert, wenn wir den Effekt auf Trennungen erkl"aren als die Komposition \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal M^{\op{t}}(Y,X_1\curlywedge\ldots\curlywedge X_r)\ar@{=}[d]&\mathcal M^{\op{ot}}(Y^\vee,X_1^\vee\curlywedge\ldots\curlywedge X_r^\vee)\\ \mathcal M(Y,X_1\otimes\ldots\otimes X_r) \ar[d] & \\ \mathcal M((X_1\otimes\ldots\otimes X_r)^\vee, Y^\vee) \ar[r]&\mathcal M(X_1^\vee\curlyvee\ldots\curlyvee X_r^\vee,Y^\vee)\ar@{=}[uu] } \end{displaymath} mit dem Vorschalten der in \ref{duo1} erkl"arten Verschmelzung als unterer Horizontale. Unser Dualisieren macht eine universelle Trennung nach $X_1\curlywedge \ldots\curlywedge X_r$ genau dann zu einer universellen Trennung, wenn unsere Verschmelzung aus \ref{duo1} universell ist alias einen Isomorphismus $X_1^\vee\otimes \ldots\otimes X_r^\vee\sira (X_1\otimes \ldots\otimes X_r)^\vee$ induziert. In \ref{ster} werden wir sehen, da"s das etwa dann der Fall ist, wenn alle $X_i$ mit h"ochstens einer Ausnahme \glqq starr\grqq\ sind. Nat"urlich induziert unser Dualisieren $\mathcal M^{\op{t}}\ra \mathcal M^{\op{ot}}$ opponiert einen Schmelzfunktor $\mathcal M^{\op{os}}\ra \mathcal M^{\op{s}}$. Im allgemeinen ist unser Dualisieren $\mathcal M^{\op{t}}\ra \mathcal M^{\op{ot}}$ aber nicht mit universellen Trennungen vertr"aglich und $\mathcal M^{\op{os}}\ra \mathcal M^{\op{s}}$ gleichbedeutend nicht mit universellen Verschmelzungen. Im Kontext monotoner Schmelzkategorien diskutieren wir das Dualisieren in \ref{duMO} zumindest in einem Beispielfall. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Morphismus $f:M\ra N$ in einer Trennschmelzkategorie mit Multihom $\mathcal M$ kommutiert mit dem Auswerten $\op{ev}:X\curlyvee X^\vee\ra {\mathbb I}$ aus \ref{TKoX} f"ur $X=M,N$ und den hoffentlich offensichtlichen weiteren Morphismen das Diagramm\label{duDI} $$\begin{array}{ccc} M\curlyvee N^\vee&\ra &M\curlyvee M^\vee\\ \da&&\da\\ N\curlyvee N^\vee&\ra &\mathbb I \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Funktionenraum als Trennfunktor}] Wir erhalten einen Trennfunktor $$\op{Fun}:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$$ von der banalen Trennkategorie der Mengen in die Opponierte der Schmelzkategorie der abelschen Gruppen durch die Vorschrift, da"s wir jeder Menge $X$ die Gruppe $\op{Fun}(X)\pdef\op{Ens}(X,\DZ)$ der $\DZ$-wertigen Funktionen auf $X$ zuordnen und jeder Trennung $X\ra Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r$ gegeben durch ein Tupel von Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ die multilineare Abbildung $(h_1,\ldots,h_r)\mapsto (h_1\circ f_1)\ldots (h_r\circ f_r)$, die einem Tupel von Funktionen das Produkt der auf $X$ zur"uckgeholten Funktionen zuordnet. Der Leertrennung $X\ra\curlywedge$ wird dabei die durch die konstante Funktion Eins gegebene Leertrennung $\op{Fun}(X)\ra\curlywedge$ in der Trennkategorie $\op{Ab}^{\op{opp}}$ zugeordnet.\label{skfu} In derselben Weise oder auch durch Skalarerweiterung erhalten wir f"ur jeden Kring $k$ einen Trennfunktor $$\op{Fun}:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Mod}_k^{\op{opp}}$$ Wenn wir $k$ spezifizieren wollen, schreiben wir auch $\op{Fun}(X)=\op{Fun}(X;k)=\op{Ens}(X,k)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Funktionenraum als Trennfunktor, topologische Variante}] Wir erhalten einen Trennfunktor\label{skfuV} $\curlywedge{\op{Top}}\ra\op{Mod}_\DR^{\op{opp}}$ mit $X\mapsto \op{Top}(X,\DR)$, ja sogar einen Trennfunktor in die Opponierte der Schmelzkategorie der topologischen reellen Vektorr"aume mit stetigen multilinearen Abbildungen als Verschmelzungen, indem wir unsere R"aume von stetigen Funktionen mit ihrer kompakt-offenen Topologie versehen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Raum von Ma"sen als Trennschmelzfunktor}] Wir erhalten einen Trennschmelzfunktor\label{skfh} $$\op{Ma"s}_!:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}$$ von der banalen Trennkategorie der Mengen in die Schmelzkategorie der abelschen Gruppen und genauer zwischen deren Erweiterungen zu Trennschmelzkategorien durch die Vorschrift, da"s wir jeder Menge $X$ die abelsche Gruppe $\op{Ma"s}_!(X)\pdef\DZ X$ der $\DZ$-wertigen Funktionen auf $X$ mit endlichem Tr"ager alias \glqq kompakt getragenen ganzzahligen Ma"se\grqq\ zuordnen und jeder Verschmelzung $X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r\ra Y$ alias Abbildung $v:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$ die multilineare Abbildung \nichtfinal{Notation $v_!$ wie in \ref{adf} besser?} $$(\mu_1,\ldots,\mu_r)\mapsto v_*( \mu_1\boxtimes\ldots\boxtimes \mu_r)$$ mit $v_*$ der \glqq Summa\-tion "uber die Fasern von $v$\grqq\ alias dem \glqq direkten Bild von Ma"sen\grqq. Der universellen Leerverschmelzung, die in der einpunktigen Menge $\op{ens}$ landet, wird insbesondere eine universelle Leerverschmelzung alias ein Isomorphismus $\DZ\sira\op{Ma"s}_!(\op{ens})$ aus dem leeren Tensorprodukt abelscher Gruppen zugeordnet. Das Bild des ausgezeichneten Erzeugers $1\in\DZ$ im leeren Tensorprodukt unter diesem Isomorphismus notieren wir $\delta_*\in \op{Ma"s}_!(\op{ens})$ und nennen es das {\bf Dirac-Ma"s}\index{Dirac-Ma"s!durch Trennfunktor} auf dem einpunktigen Raum $\op{ens}=\{\ast\}$. Einer Leerverschmelzung $\curlyvee\ra Y$ alias einem Punkt $y\in Y$ wird folglich diejenige Leerverschmelzung $\curlyvee\ra \op{Ma"s}_!(Y)$ zugeordnet, die durch die charakteristische Funktion des fraglichen Punktes alias sein Diracma"s $\delta_y\in\op{Ma"s}_!(Y)$ gegeben ist.\label{skfhs} In derselben Weise oder auch durch Skalarerweiterung erhalten wir f"ur jeden Kring $k$ einen Trennschmelzfunktor $$\op{Ma"s}_{!}:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Mod}_k$$ Wenn wir an die Koeffizienten erinnern wollen, schreiben wir in diesem Zusammenhang ausf"uhrlicher $\op{Ma"s}_!(X)=\op{Ma"s}_!(X;k)$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Raum von Ma"sen als Schmelzfunktor}] Bezeichne $\op{Me"s}$\index{Me"s@$\op{Me"s}$ Kategorie der Me"sr"aume} die Kategorie der Me"sr"aume. Wir erhalten dann einen Schmelzfunktor\label{sKfh} $$\op{kart}(\op{Me"s})\ra\op{Mod}_\DR$$ durch die Vorschrift, da"s wir jedem Me"sraum $X$ den Vektorraum $X\mapsto \op{M}(X;\DR)$ seiner reellen Ma"se \nichtfinal{im Sinne von \eref{ArMa}{AN3}} zuordnen und jeder Verschmelzung $X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r\ra Y$ alias me"sbaren Abbildung $v:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$ die multilineare Abbildung $(\mu_1,\ldots,\mu_r)\mapsto v_*( \mu_1\boxtimes\ldots\boxtimes \mu_r)$, die einem Tupel von Ma"sen das Bildma"s des Produktma"ses zuordnet. Er ist jedoch in dieser Allgemeinheit nicht mehr vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen und kann insbesondere nicht mehr zu einem Trennschmelzfunktor erweitert werden. Nach allgemeinen Resultaten der Ma"stheorie \nichtfinal{\eref{PrBS}{AN3}} wird weiter das Bilden der Borel'schen $\sigma$-Algebra $\op{Top}\ra \op{Me"s}$ vertr"aglich mit endlichen kartesischen Produkten, wenn wir es auf die volle unter endlichen Produkten stabile Unterkategorie $\op{Topaz}\subset\op{Topaz}$\index{Topaz@$\op{Topaz}$ Kategorie der abz"ahlbar basierten topologischen R"aume} der abz"ahlbar basierten topologischen R"aume einschr"anken. So erhalten wir einen Schmelzfunktor $\op{kart}(\op{Topaz})\ra\op{Mod}_\DR$, $X\mapsto {\op{M}}(X;\DR)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Raum von Ma"sen als Schmelzfunktor, Variante}] Bezeichne $\op{Me"s}$\index{Me"s@$\op{Me"s}$ Kategorie der Me"sr"aume} die Kategorie der Me"sr"aume. Wir erhalten dann einen Schmelzfunktor\label{sKfhu} $\op{kart}(\op{Me"s})\ra\op{kart}(\op{Ens})$ durch $X\mapsto {\op{M}}(X;[0,\infty])$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Raum von Ma"sen als Schmelzfunktor, topologische Variante}] Die topologischen R"aume, in denen alle Kompakta abz"ahlbar basiert sind, bilden eine volle unter endlichen Produkten abgeschlossene Unterkategorie $\op{Topkaz}\subset\op{Top}$ und wir erhalten einen Schmelzfunktor $$\op{Ma"s}_!:\op{kart}(\op{Topkaz}) \ra\op{Mod}_\DR$$ mit der Eigenschaft, da"s $\op{Ma"s}_!$ jedem Raum den Raum der kompakt getragenen reellen Ma"se zuordnet, also aller Ma"se, die sich als Bildma"se von reellen Ma"sen auf Kompakta darstellen lassen. Daraus erhalten wir unsere kompakt getragenen Ma"se auf diskreten Mengen als Spezialfall zur"uck. Alternativ k"onnen wir auch beliebige lokal kompakte Hausdorffr"aume und kompakt getragene Radonma"se betrachten. Auch diese bilden einen Schmelzfunktor, der kompakt getragene Ma"se auf diskreten Mengen verallgemeinert\nichtfinal{, vergleiche \eref{PRaMc}{TM} f"ur Produktma"se}. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{Funktionen als duale Ma"se}] Unser Trennfunktor der Funktionenr"aume aus \ref{skfu} ist isomorph zur Verkettung von Trennfunktoren\label{dikj} $$\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}^{\op{t}}\ra \op{Ab}^{\op{ot}}$$ mit $\op{Ma"s}_!$ als erstem Pfeil und dem Dualisieren \ref{duOO} als zweitem Pfeil. Genauer erhalten wir eine Isotransformation zwischen den besagten Trennfunktoren durch diejenigen nat"urlichen Isomorphismen $\op{Fun}(X)\sira\op{Ma"s}_!(X)^*$, die von den Paarungen $$\op{Fun}(X)\times\op{Ma"s}_!(X)\ra \DZ$$ vermittels der Vorschrift \glqq multipliziere und summiere die Funktionswerte\grqq\ alias \glqq integriere die Funktion nach dem Ma"s\grqq\ herkommen. Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen Kring. Wir erkl"aren in \ref{MMF}, wie in diesem begrifflichen Rahmen die Struktur auf dem Raum der Ma"se als Modul "uber dem Ring der Funktionen zu einem Spezialfall des \glqq abstrakten cap-Produkts\grqq\ wird. \end{Ubung} \newpage \section{Vorzeichenfragen und Homotopiekomplexe} \subsection{Twist und Superisierung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Ich will alle Vorzeichen der homologischen Algebra unter den Teppich kehren, indem ich eine neue Schmelzkategorie einf"uhre, die Schmelzkategorie $$\op{sgAb}$$ der \glqq supergraduierten abelschen Gruppen\grqq. Die Verschmelzungen h"angen auch hier von der Reihenfolge der verschmolzenen Faktoren nicht ab, sonst w"aren die Axiome einer Schmelzkategorie nicht erf"ullt. Vielmehr erkl"aren wir die Verschmelzungen in $\op{sgAb}$ ihrerseits als Zuordnungen, die jeder Anordnung der Faktoren homogene multiadditive Abbildungen zuordnen derart, da"s sich unsere multiadditiven Abbildungen bei einem Wechsel der Anordnung um gewisse wohlbestimmte Vorzeichen "andern. So eine Verschmelzung wird meist angegeben, indem man eine Reihenfolge der Ausgangsobjekte w"ahlt, "ublicherweise stehen sie bereits der Reihe nach auf dem Papier und man denkt sich die \glqq von links nach rechts wachsende Anordnung\grqq\ als die gew"ahlte Anordnung, und indem man zus"atzlich diejenige multiadditive Abbildung angibt, die unsere Verschmelzung in Bezug auf diese Anordnung realisiert. Die Vertr"aglichkeiten von Vorzeichen, die man "ublicherweise zu pr"ufen hat, werden so in der Aussage kodiert und ein f"ur allemal bewiesen, da"s die Multiverkn"upfung von Verschmelzungen, wie wir sie noch erkl"aren werden, wohldefiniert ist. Komplexe abelscher Gruppen sind in diesem Formalismus Objekte $K\in \op{sgAb}$ mit einer Operation des Hopfbiabmonoids $D\in \op{sgAb}$ der Differentiale und bilden damit wieder eine Trennschmelzkategorie $\op{sgAb}_{D{\ssearrow}}$, wie in den anschlie"senden Abschnitten besprochen werden wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine endliche Menge $I$ mit einer Abbildung $\pi:I\ra \DZ/2\DZ$, die jedem Element eine \glqq Parit"at\grqq\ zuordnet, erkl"aren wir f"ur je zwei Anordnungen $\omega,\eta$ von $I$ ein Vorzeichen\index{sgnu@$\op{sgnu}$ Parit"atssignum}\label{sgnu} $$\op{sgnu}(\omega,\eta)=\op{sgnu}_\pi(\omega,\eta)\in\{1,-1\}$$ als das Signum der Permutation, die den Unterschied der von $\omega$ und $\eta$ auf den ungeraden Elementen von $I$ alias auf $\pi^{-1}(\bar 1)$ induzierten Anordnungen beschreibt. Wir nennen $\op{sgnu}$ das {\bf Parit"atssignum}.\index{Parit"atssignum} Die Menge aller Anordnungen auf $I$ notieren wir $\op{Ord}(I)$.\index{Ord@$\op{Ord}(I)$ Menge der Anordnungen auf $I$} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben die zwei Anordnungen $\omega: 3<4<6<7<9$ und $\eta: 9<4<3<6<7$ auf der f"unfelementigen Menge $\{3,4,6,7,9\}$ mit ihrer offensichtlichen Parit"atsabbildung sind $3<7<9$ und $9<3<7$ die auf den ungeraden Elementen induzierten Anordnungen. Diese unterscheiden sich um eine gerade Permutation, also haben wir $\op{sgnu}(\omega,\eta)=1$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ versehen mit einer Operation der Vorzeichengruppe $\{+,-\}$ auf jeder Verschmelzungsmenge, die wir als das \glqq "Andern des Vorzeichens\grqq\ ansprechen und notieren. Hat diese Operation die Eigenschaft, da"s \glqq jede Multiverkn"upfung ihr Vorzeichen "andert, wenn wir bei genau einer der beteiligten Verschmelzungen das Vorzeichen "andern\grqq, so nennen wir $\mathcal M$ mit diesen Operationen eine {\bf Schmelzkategorie mit Vorzeichen}.\label{SmV} \index{Schmelzkategorie!mit Vorzeichen} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In der in \ref{anS} eingef"uhrten Terminologie ist eine Schmelzkategorie mit Vorzeichen dasselbe wie eine geeignet angereicherte Schmelzkategorie, genauer eine in der multi"aquivarianten Schmelzkategorie $\op{Ens}_{\curlyvee\pm}\pdef \op{Ens}_{\curlyvee\{+,-\}}$ nach \ref{kmSK} der Mengen mit einer Operation der Gruppe $\{+,-\}$ angereicherte Schmelzkategorie. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Abelsche Gruppen als Schmelzkategorie mit Vorzeichen}] Wir k"onnen die Schmelzkategorie $\op{Ab}$ der abelschen Gruppen zu einer Schmelzkategorie mit Vorzeichen machen, indem wir die Operation der Gruppe $\{+,-\}$ auf jeder Verschmelzungsmenge dadurch erkl"aren, da"s das nichttriviale Element durch das Nachschalten von $(-{\op{id}})$ operiert. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Twist einer Schmelzkategorie mit Vorzeichen}] Gegeben eine Schmelzkategorie mit Vorzeichen $\mathcal M$ erkl"aren wir eine weitere Schmelzkategorie, ihre {\bf ge\-twis\-te\-te Verdopplung}\index{getwistete Verdopplung!einer Schmelzkategorie} oder kurz ihren {\bf Twist}\index{Twist!einer Schmelzkategorie}\label{Twist} $${{\op{t}}}\mathcal M$$ Als Objektmenge von ${{\op{t}}}\mathcal M$ nehmen wir die Menge $\DZ/2\DZ\times \mathcal M$ aller Paare bestehend aus einer Parit"at und einem Objekt von $\mathcal M$. Die Projektion auf die erste Komponente notieren wir $\op{par}: \op{Ob}({{\op{t}}}\mathcal M)\ra \DZ/2\DZ$ und nennen sie {\bf Parit"at}. Die Projektion auf die zweite Komponente $\op{Ob}({{\op{t}}}\mathcal M)\ra \op{Ob}(\mathcal M)$ alias das \glqq Vergessen der Parit"at\grqq\ notieren wir gar nicht. Die Elemente von $\DZ/2\DZ$ notieren wir $\bar 0, \bar 1$ und unterscheiden sie so von den Elementen unserer Vorzeichengruppe. Gegeben eine Objektkleinfamilie $A\pdef (A_i)_{i\in \bar A}$ von ${{\op{t}}}\mathcal M$ und ein Objekt $Q\in {{\op{t}}}\mathcal M$ erkl"aren wir die Menge der Verschmelzungen ${{\op{t}}}\mathcal M (A,Q)$ im Twist durch die Vorschrift $${{\op{t}}}\mathcal M(A,Q)= \emptyset\quad\text{falls}\quad \sum_{i\in \bar A}{\op{par}} A_i\neq \!\op{par} Q$$ und andernfalls als die Menge aller Abbildungen $\varphi:\op{Ord}( \bar A)\ra \mathcal M(A,Q)$ notiert $\omega\mapsto \varphi_\omega$ von der Menge aller Anordnungen auf $\bar A$ in die Menge der $\mathcal M$-Verschmelzungen unserer Objekte mit $$\varphi_\omega=\op{sgnu}_{\op{par}\circ A}(\omega,\eta)\varphi_\eta\;\;\forall\omega,\eta\in\op{Ord}( \bar A)$$ Der folgende Satz liefert eine Mul\-ti\-ver\-kn"up\-fung f"ur diese Verschmelzungen, die dann offensichtlich multiunit"arassoziativ ist und unsere Konstruktion der Schmelzkategorie ${{\op{t}}}\mathcal M$ beendet. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Multiverkn"upfung von vertwisteten Verschmelzungen}] Seien $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie mit Vorzeichen und $(A_i)_{i\in \bar A}$ sowie $(B_j)_{j\in \bar B}$ Objektkleinfamilien in ${{\op{t}}}\mathcal M$. Seien $Q\in {{\op{t}}}\mathcal M$ ein Objekt und $f:\bar A\ra \bar B$ eine Abbildung der Indexmengen. Gegeben Verschmelzungen $\psi_j\in{{\op{t}}}\mathcal M(A|_{f^{-1}(j)}, B_j)$ und $\varphi\in{{\op{t}}}\mathcal M(B, Q)$ gibt es genau eine Verschmelzung $\vartheta \in {{\op{t}}}\mathcal M (A, Q)$ mit $$\vartheta_\kappa=\varphi_\omega\circ \prod_{j\in \bar B}(\psi_{j})_{\eta(j)}$$ f"ur jede Wahl einer Anordnung $\omega$ von $\bar B$ sowie je einer Anordnung $\eta(j)$ der Faser ${f^{-1}(j)}$\label{MEPa} mit der Notation $\kappa$ f"ur die induzierte Anordnung von $\bar A$. \end{Satz} \begin{proof} Es gilt zu zeigen, da"s die durch $\vartheta_\kappa$ gegebene Verschmelzung weder von der Wahl der Anordnung $\omega$ auf $\bar B$ noch von der Wahl der Anordnungen $\eta(j)$ auf den Fasern ${f^{-1}(j)}$ von $f$ abh"angt. Im Fall der Wahl der Anordnung auf einer der Fasern ist das eh klar, das Signum einer Permutation einer angeordneten Menge, die nur in einem Intervall etwas bewegt, ist dasselbe wie das Signum ihrer Restriktion auf besagtes Intervall. "Andern wir dahingegen die Anordnung auf $\bar B$, so gilt es zu beachten, da"s das Signum einer Permutation, die aus einer Permutation von Intervallen entsteht, die ihre interne Anordnung behalten, zusammenf"allt mit dem Signum derjenigen Permutation, die die Umordnung der Intervalle ungerader L"ange unter unseren Intervallen beschreibt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen}] Wir werden noch weitere Schmelzkategorien kennenlernen, bei denen eine Verschmelzung $(A_i)_{i\in \bar A}\ra Y$ erkl"art wird als ein Datum, das jeder Anordnung der Indexmenge $\omega\in\op{Ord}( \bar A)$ etwas zuordnet. In diesen F"allen denken wir uns f"ur gew"ohnlich implizit eine als Aufz"ahlung hingeschriebene Familie versehen mit der \glqq Leseanordnung, in der der erste Buchstabe das kleinste Element symbolisiert und der letzte Buchstabe das gr"o"ste\grqq. In unserem Fall einer Schmelzkategorie mit Vorzeichen $\mathcal M$ erhalten wir etwa f"ur $P_1,\ldots,P_r,Q\in \mathcal M$ und $a_1, \ldots, a_r,b\in \DZ/2\DZ$ mit $a_1+ \ldots+ a_r=b$ eine Bijektion $${{\op{t}}}\mathcal M\big((a_1,P_1)\curlyvee\ldots \curlyvee (a_r,P_r), (b,Q)\big)\sira \mathcal M(P_1\curlyvee\ldots\curlyvee P_r, Q)$$ Wir sagen dann, die \glqq $\mathcal M$-Verschmelzung rechts stelle die ${\op{t}}\mathcal M$-Verschmelzung links in der vorgegebenen Anordnung dar\grqq\ und "ahnlich in vergleichbaren Kontexten. Im Zweifelsfall vereinbaren wir, da"s die durch die Schreibreihenfolge gegebene Anordnung gilt und auch Vorrang hat gegen"uber einer eventuell durch eine Nummerierung gegebenen Anordnung, wenn diese nicht wie im vorhergehenden Beispiel eh "ubereinstimmen sollten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten}] Wir betrachten die kartesische Schmelzkategorie der Mengen $\op{kEns}$ und dazu die multi"aquivariante Schmelzkategorie $\op{kEns}_{\curlyvee \pm}$ der Mengen mit einer Operation der Vorzeichengruppe und darin die volle Unterkategorie $$\op{ZEns}\subset \op{kEns}_{\curlyvee \pm}$$ aller zweielementigen Mengen mit transitiver Operation der Vorzeichengruppe. Eine Verschmelzung in $\op{ZEns}$ ist eine Abbildung $f:Y_1\times\ldots\times Y_r\ra X$ mit der Eigenschaft, da"s sich bei jeder "Anderung an genau einem Eintrag im Definitionstupel notwendig auch das Ergebnis "andert. Wir nennen so eine Multiabbildung\label{ZEns} {\bf antikonstant}.\index{antikonstant!Multiabbildung} Alle Mengen von Verschmelzungen in $\op{ZEns}$ haben genau zwei Elemente und das Vertauschen dieser beiden Elemente macht $\op{ZEns}$ zu einer Schmelzkategorie mit Vorzeichen, die sich in \ref{ASs} als die \glqq Selbstanreicherung\grqq\ von $\op{ZEns}$ erweisen wird. Den Twist dieser Schmelzkategorie mit Vorzeichen notieren wir $$\op{Par}\pdef {\op{t}}(\op{ZEns})$$ und nennen ihn die {\bf Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten}.\index{Par@$\op{Par}$ erweiterte Parit"aten} Objekte dieser Schmelzkategorie sind Paare bestehend aus einer Parit"at und einer zweielementigen Menge, die wir als ein \glqq unsere Parit"at erweiterndes Zusatzdatum\grqq\ verstehen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterte Orientierungsmenge als Schmelzfunktor}] Gegeben ein angeordneter K"orper $k$ erinnern wir %aus \eref{KPOjn}{LA1} den Funktor $\op{or}=\op{or}^{\op{alg}}:{\op{Modf}}_k^\times\ra \op{Ens}$ der Orientierungsmenge, der jedem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum die zweielementige Menge seiner beiden Orientierungen zuordnet. Unter einer Orientierung verstehen wir dabei eine Abbildung, die jeder angeordneten Basis ein Vorzeichen in einer Weise zuordnet, die mit dem Vorzeichen der Determinante der Basiswechselmatrizen vertr"aglich ist. Wir erweitern ihn nun zum Schmelzfunktor der {\bf erweiterten Orientierungsmenge} $$ \begin{array}{lclc} \op{or}=\op{or}^{\op{alg}}:&(\curlyvee{\op{Modf}}_k)^\times&\ra& \op{Par}\\ &E&\mapsto&({\op{dim}}E +2\DZ,{\op{or}}E) \end{array} $$ vom Schmelzgruppoid der banalen Schmelzkategorie der endlichdimensionalen $k$-Vek\-tor\-r"au\-me in unsere Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten. Um so einen Schmelzfunktor anzugeben, m"ussen wir jeder universellen Verschmelzung $f:V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_r\ra W$ alias jedem Tupel linearer Abbildungen $f_i:V_i\ra W$, die in ihrer Gesamtheit einen Isomorphismus $V_1\oplus \ldots\oplus V_r\sira W$ liefern, eine antikonstante Multiabbildung $$\op{or}(f): {\op{or}}V_1\times\ldots\times {\op{or}}V_r \ra {\op{or}}W$$ so zuordnen, da"s verschiedene Vertr"aglichkeiten erf"ullt sind. Wir w"ahlen $\op{or}(f)$ als die eindeutige antikonstante Multiabbildung mit $\op{or}(f):(\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_r)\mapsto \varepsilon$ falls es angeordnete Basen $B_i$ von $V_i$ der Orientierung $\varepsilon_i$ gibt und $\varepsilon$ die Orientierung der in der offensichtlichen Weise angeordneten Basis $f_{1}(B_{1})\sqcup\ldots\sqcup f_{r}(B_{r})$ von $W$ ist. Jetzt gilt es, mithilfe des Kriteriums \ref{KritSF} die Vertr"aglichkeit mit Multiverkn"upfungen zu pr"ufen, was wir dem Leser "uberlassen.\label{oralg} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at der Twists}] Ein Schmelzfunktor $F:\mathcal M\ra \mathcal N$ von Schmelzkategorien mit Vorzeichen hei"se {\bf vorzeichenvertr"aglich},\index{vorzeichenvertr"aglich!Schmelzfunktor} wenn die davon auf den Verschmelzungsmengen induzierten Abbildungen "aquivariant sind f"ur die jeweiligen Operationen der Vorzeichengruppe. Unter diesen Voraussetzungen induziert er in offensichtlicher Weise einen Schmelzfunktor der Twists $${\op{t}}F:{\op{t}}\mathcal M\ra {\op{t}}\mathcal N$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation f"ur das Supergraduieren}] Die Schmelzkategorie der abelschen Gruppen $\op{Ab}$ k"onnen wir zu einer Schmelzkategorie mit Vorzeichen machen, indem wir das Nachschalten der Multiplikation mit $(-1)$ als Involution auf den Verschmelzungsmengen auszeichnen. Um die \glqq Schmelzkategorie der Komplexe\grqq\ zu konstruieren, mit der wir in der Homologietheorie bereits ausgiebig gearbeitet haben, gehen wir von einer Variante unserer Twist-Konstruktion aus, die wir das \glqq Supergraduieren\grqq\ nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeines Supergraduieren}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Vorzeichen und ein kommutatives Monoid $(\Gamma,+)$ mit einem ausgezeichneten Homomorphismus $\pi:\Gamma\ra \DZ/2\DZ$ bilden wir eine weitere Schmelzkategorie, die {\bf $(\Gamma,\pi)$-su\-per\-gra\-du\-ier\-te Version} $${\op{s}}\mathcal M^{(\Gamma,\pi)}$$ von $\mathcal M$. Als Objektmenge nehmen wir $\op{Ob}({\op{s}}\mathcal M^{(\Gamma,\pi)})\pdef\op{Ob}(\mathcal M^\Gamma)$. Unsere neuen Objekte sind also Familien $(M^\gamma)_{\gamma\in \Gamma}$ von Objekten von $\mathcal M$ indiziert durch $\gamma\in \Gamma$. Als Verschmelzungen $\varphi\in {\op{s}}\mathcal M^{(\Gamma,\pi)}(A,Y)$ nehmen wir Abbildungen $$\varphi:\op{Ord}(\bar A)\ra \mathcal M^\Gamma(A,Y)\quad \text{ notiert }\omega\mapsto \varphi_\omega$$ von Anordnungen der Indexmenge der Objektkleinfamilie $A$ in die Menge der Verschmelzungen der Schmelzkategorie der $\Gamma$-gra\-du\-ier\-ten Objekte von $\mathcal M$ aus \ref{bsps} derart, da"s f"ur je zwei Anordnungen $\omega,\eta$ und jedes $\alpha:\bar A\ra \Gamma$ gilt $$\varphi_{\omega,\alpha}=\op{sgnu}_{\pi\circ \alpha}(\omega,\eta)\varphi_{\eta,\alpha}$$ mit $\varphi_{\omega,\alpha}\in \mathcal M((A_i^{\alpha(i)})_{i\in\bar A}, Y^{\op{sum}(\alpha)})$ wie in \ref{bsps} dem $\alpha$-Anteil der $\mathcal M^\Gamma$-Ver\-schmelz\-ung $\varphi_{\omega}$. Die Multiverkn"upfungen erkl"aren wir analog zum Fall der ver\-twis\-te\-ten Schmelzkategorien \ref{MEPa} dadurch, da"s sie bei der Darstellung bez"uglich vertr"aglicher Anordnungen mit den Multiverkn"upfungen in $\mathcal M^\Gamma$ zusammenfallen. Die Wohldefiniertheit und Multiunit"arassoziativit"at folgen aus den entsprechenden Eigenschaften im Fall von vertwisteten Schmelzkategorien \ref{MEPa}, angewandt auf die $\varphi_{\omega,\alpha}$.\label{anpp} Hat $\mathcal M^\Gamma$ stabil universelle Verschmelzungen beziehungsweise Multihom, so auch $ {\op{s}}\mathcal M^{(\Gamma,\pi)}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wir k"onnen f"ur jede Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Vorzeichen auch einen verallgemeinerten Twist ${\op{t}}\mathcal M^{(\Gamma,\pi)}$ erkl"aren als die Schmelzkategorie mit Objektmenge $\Gamma\times \mathcal M$ und den offensichtlichen weiteren Daten. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at des Supergraduierens}] Gegeben ein vorzeichenvertr"aglicher Schmelzfunktor $F:\mathcal M\ra \mathcal N$ von Schmelzkategorien mit Vorzeichen und $\pi: \Gamma\ra \DZ/2\DZ$ wie oben erhalten wir in offensichtlicher Weise Schmelzfunktoren zwischen den $(\Gamma,\pi)$-supergraduierten Versionen $${\op{s}}F^{(\Gamma,\pi)}:{\op{s}}\mathcal M^{(\Gamma,\pi)}\ra {\op{s}}\mathcal N^{(\Gamma,\pi)}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall $\pi=0$ erhalten wir die Schmelzkategorie der $\Gamma$-gra\-du\-ier\-ten Objekte zur"uck, in Formeln ${\op{s}}\mathcal M^{(\Gamma,0)}=\mathcal M^{\Gamma}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gew"ohnliches Supergraduieren}] Im Fall $\Gamma=\DZ$ mit $\pi:\DZ\ra \DZ/2\DZ$ der Projektion verwenden wir die abk"urzende Schreibweise\label{gsM} $${\op{sg}}\mathcal M\pdef {\op{s}}\mathcal M^{(\DZ,\pi)}$$ und nennen das die Schmelzkategorie der {\bf supergraduierten Objekte von $\mathcal M$}. Leerverschmelzungen werden per definitionem gegeben durch ${\op{sg}}\mathcal M(\curlywedge,X)=\mathcal M(\curlywedge,X^0)$. Besonders wichtig ist f"ur uns die Schmelzkategorie $\op{sgAb}$, die wir im folgenden noch ausf"uhrlicher diskutieren. Den Effekt des Supergraduierens auf Funktoren notieren wir analog ${\op{sg}}F$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Superisieren}] Im Fall $\Gamma=\DZ/2\DZ$ mit $\pi=\op{id}$ der Identit"at verwenden wir die abk"urzende Schreibweise $${\op{s}}\mathcal M\pdef {\op{s}}\mathcal M^{(\DZ/2\DZ,\op{id})}$$ und nennen ${\op{s}}\mathcal M$ die Schmelzkategorie der {\bf Superobjekte von $\mathcal M$}. Im Fall eines K"orpers $k$ hei"st $\op{sMod}_k$ die {\bf Schmelzkategorie der Supervektorr"aume}\index{Supervektorraum} "uber $k$.\index{sMod@$\op{sMod}_k$ Supervektorr"aume} Objekte sind $\mathbb Z / 2 \mathbb Z$-gra\-du\-ier\-te $k$-Vektorr"aume $W = (W^{\bar {0}},W^{\bar{1}})$.\label{MudSS} Vielfach bezeichnet man in diesem Zusammenhang die direkte Summe $ W^{\bar {0}}\oplus W^{\bar{1}}$ auch mit $W$. Die Schmelzkategorie $${\op{sAb}}$$ nennen wir die {\bf Schmelzkategorie der superisierten abelschen Gruppen}\index{superisiert!abelsche Gruppe}\index{sAb@$\op{sAb}$ superisierte abelsche Gruppen} oder \glqq Super-$\DZ$-Moduln\grqq, weil der Begriff der \glqq Supergruppen\grqq\ schon anderweitig vergeben ist, vergleiche \ref{suGR}. Wir erhalten eine Transformation vom Identit"atsfunktor auf $\op{sAb}$ zu sich selbst, indem wir jedem Objekt $W = (W^{\bar {0}}, W^{\bar{1}})$ seine {\bf Vorzeicheninvolution}\index{Vorzeicheninvolution} $(\op{id},-\op{id})$ zuordnen.\label{VZIN} Die Notation $\DZ^{n|m}$\index{)1@$\DZ^{n|m}$} steht\index{)8bb@$\DZ^{n|m}$} f"ur das Objekt $(\DZ^{n},\DZ^{m})\in \op{sAb}$.\label{spgr} Die Notation $k^{n|m}$\index{)1@$k^{n|m}$ Standardsupermodul} steht\index{)8bb@$k^{n|m}$ Standardsupermodul} allgemeiner f"ur\label{spmo} das Objekt $(k^n,k^m)\in\op{sMod}_k$.\label{SUPV} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In "Ubung \ref{Usab} lernen Sie eine Schmelz"aquivalenz zwischen dem Einheitengruppoid der superisierten abelschen Gruppen und der Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten $\op{U}^\times(\op{sAb})\sirra\op{Par}$ kennen, in der sich die enge Verwandtschaft zwischen Twist und Superisierung konkretisiert. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Supergraduierte abelsche Gruppen}] Wir diskutieren nun die Schmelzkategorie\label{ZgSM} $\op{sgAb}$ der supergraduierten abelschen Gruppen. Ihre Objekte sind Familien $(X^n)_{n\in\DZ}$ von abelschen Gruppen. Einsverschmelzungen $f:X\ra Y$ sind Tupel $f=(f^n)$ von Gruppenhomomorphismen $f^n:X^n\ra Y^n$. Leerverschmelzungen nach $X$ werden beschrieben durch die Bijektion $$\op{sgAb}(\curlyvee,X)\sira X^0$$ gegeben durch $f\mapsto f(*)$ f"ur $*$ das einzige Element des leeren Produkts. Eine universelle Leerverschmelzung ist die Leerverschmelzung in das Objekt $\DZ[0]$ mit $\DZ[0]^0=\DZ$ und $\DZ[0]^n=0$ f"ur $n\neq 0$, die gegeben wird durch das Element $1\in \DZ$. Um eine Zweiverschmelzung zu erkl"aren, betrachten wir eine Objektkleinfamilie $B$ indiziert durch eine Indexmenge $\bar B=\{i,\iota\}=\{\iota,i\}$, deren Notation der Versuchung entgegenwirken soll, sie als mit einer Anordnung versehen zu betrachen. Eine Verschmelzung $f\in\op{sgAb}(B,Y)$ ist dann eine Familie von biadditiven Abbildungen $$f_\omega^{p,q}:B_i^p\times B_\iota^q\ra Y^{p+q}$$ f"ur alle $p,q\in\DZ$ und alle Anordnungen $\omega\in \op{Ord}(\bar B)$ unserer Indexmenge derart, da"s f"ur $\eta,\rho$ die beiden m"oglichen Anordnungen gilt $f_\eta^{p,q}=(-1)^{pq}f_\rho^{p,q}$. Vielfach geben wir so eine Verschmelzung schlicht als ein Tupel von biadditiven Abbildungen $$f^{p,q}:B_i^p\times B_\iota^q\ra Y^{p+q}$$ an und meinen damit $f^{p,q}=f_\omega^{p,q}$ f"ur $\omega$ die \glqq Schreibanordnung\grqq, hier also die Anordnung $i<\iota$. Eine universelle, ja eine stabil universelle Zweiverschmelzung von zwei Objekten $X,Y$ landet mit diesen Konventionen im Objekt $Z$ mit den homogenenen Komponenten $Z^n\pdef \bigoplus_{p+q=n}X^p\otimes Y^q$ und wird in den eben besprochenen Konventionen gegeben durch die biadditiven Abbildungen $u:X^p\times Y^q\ra Z^{p+q}$ mit $u: (x,y)\mapsto x\otimes y$. Ich schlage vor, das Ziel universeller Verschmelzungen in $\op{sgAb}$ und anderen supergraduierten Schmelzkategorien in Zweifelsf"allen \index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!$\bar\otimes$ Supertensorprodukt} $$\botimes=\otimes_{\op{s}}$$ zu notieren und als {\bf Supertensorprodukt}\index{Supertensorprodukt} anzusprechen, so da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} X\otimes Y&\sira &X\botimes Y\\ \da\!{\scriptstyle \wr}&&\da\!{\scriptstyle \wr}\\ Y\otimes X&\sira &Y\botimes X \end{array}$$ keineswegs kommutiert mit denjenigen Isomorphismen in den Vertikalen, die die Eindeutigkeit universeller Verschmelzungen in $\op{Ab}^\DZ$ beziehungsweise $\op{sgAb}$ zum Ausdruck bringen, und den durch die Schreibanordnung ausgezeichneten Isomorphismen in den Horizontalen. Vielmehr m"ussen wir in der linken Vertikale die Abbildung $x\otimes y\mapsto (-1)^{|x||y|}y\otimes x$ nehmen, damit unser Diagramm kommutiert. Ich verwende die Notation $\bar\otimes$ auch f"ur Elemente, um daran zu erinnern, da"s wir ein superisiertes Tensorprodukt vor uns haben und die Darstellung desselben superisierten Tensors in Bezug auf eine andere Wahl der Anordnung der Tensorfaktoren, die in der "ublichen Konvention stillschweigend als die Schreibanordnung angenommen wird, mit Vorzeichen zu versehen ist. Die Schmelzkategorie $\op{sgAb}$ der supergraduierten abelschen Gruppen hat auch Multihom. Um das zu zeigen, brauchen wir nach \ref{Muhor} nur f"ur jedes Objekt $X$ einen Rechtsadjungierten $(X{\Rrightarrow}\;)$ von $(\;\bar\otimes X)$ anzugeben. Dazu erkl"aren wir unseren Funktor durch $$(X{\Rrightarrow}Y)^n\pdef \prod_{i}\op{Hom}_\DZ(X^i, Y^{i+n})$$ und die Adjunktion durch die Bijektionen\label{MuHP} $$\op{sgAb}(Z\bar\otimes X, Y)\sira \op{sgAb}(Z, X{\Rrightarrow}Y)$$ gegeben durch $f=(f^{p,q})\mapsto \bar f$ mit $\bar f^n: Z^n \ra (X{\Rrightarrow}Y)^n$ gegeben durch $(\bar f^n(z))^i\pdef f^{n,i}(z,\;)\in \op{Hom}_\DZ(X^i, Y^{i+n})$. Das Pr"ufen sei dem Leser "uberlassen. Analoges gilt f"ur die Schmelzkategorie $\op{sgMod}_{k}$ der supergraduierten Moduln "uber einem Kring $k$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Maximale "au"sere Potenz als Schmelzfunktor}] Gegeben ein K"orper $k$ liefert die maximale "au"sere Potenz als homogene Komponente im durch die Dimension gegebenen Grad $V\mapsto (\bigwedge^{\op{max}}V)[-\op{dim}V]$ einen Schmelzfunktor $$\textstyle \bigwedge^{\op{max}}: (\curlyvee{\op{Modf}}_k)^\times \ra \op{U}^\times(\op{sgMod}_k)$$ vom Schmelzgruppoid der banalen Schmelzkategorie der endlich erzeugten $k$-Vektorr"aume in das Schmelzgruppoid der eindimensionalen supergraduierten $k$-Vek\-tor\-r"au\-me. Es wird sich als das Einheitengruppoid von $\op{sgMod}_k$ erweisen, deshalb die Notation $\op{U}$ f"ur \glqq unit\'e\grqq. Ist $k$ ein angeordneter K"orper, so konstruieren wir einen weiteren Schmelzfunktor $$\op{U}^\times(\op{sgMod}_k)\ra \op{Par}$$ in die Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten, indem wir jedem eindimensionalen $k$-Vektorraum $L$ konzentriert im Grad $n$ das Paar $\big(\bar n, (L\backslash 0)/k_{>0}\big)$ aus der Parit"at von $n$ und der Menge der beiden \glqq H"alften\grqq\ von $L$ zuordnen. Man pr"uft leicht, da"s die Verkn"upfung unser Schmelzfunktor der erweiterten Orientierungsmenge aus \ref{ZEns} ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeines zu vertr"aglichen Orientierungen}] In der Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten ist das Quadrat jeder Einsverschmelzung von einem Objekt zu sich selber die Identit"at. Gegeben ein endlichdimensionaler\index{Quotientenorientierung} Vektorraum "uber einem K"orper der Charakteristik Null ist andererseits jeder unipotente Endomorphismus ein Quadrat. Gegeben ein K"orper $k$ der Charakteristik Null und ein Schmelzfunktor\label{QOR} $\omega:(\curlyvee{\op{Modf}}_k)^\times\ra \op{Par}$ und eine kurze exakte Sequenz $U\hra V\sra W$ von endlichdimensionalen $k$-Vek\-tor\-r"au\-men liefert folglich f"ur jede Spaltung die Komposition $$\omega(U)\curlyvee\omega(W)\ra\omega(U\oplus W)\sira\omega(V)$$ dieselbe antikonstante Abbildung $\omega(U)\times\omega(W)\ra\omega(V)$. Ist $k$ ein angeordneter K"orper und $\omega= \op{or}$ der durch unsere algebraische Orientierungsmenge gegebene Schmelzfunktor, so erhalten wir auf diese Weise eine Abbildung, die in einer kurzen exakten Sequenz aus einer Orientierung von Untervektorraum und Quotient eine Orientierung der Mitte macht und die man die \glqq zusammengesetzte Orientierung\grqq\ nennen mag. %$(\varepsilon,\eta)\mapsto \varepsilon\eta$ aus \eref{orQ}{LA1}. Auch im allgemeinen nennen wir Elemente $\varepsilon \in\omega(U), \eta \in\omega(W),\theta \in\omega(V)$ {\bf vertr"aglich}, wenn unter unserer Zweiverschmelzung gilt $(\varepsilon,\eta)\mapsto\vartheta$. Nebenbei bemerkt "uberlegt man sich auch leicht, da"s $\omega$ die universelle Leerverschmelzung auf die universelle Leerverschmelzung abbilden mu"s. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Operation \ref{osyt} der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_r$ auf der $r$-ten Tensorpotenz eines eindimensionalen Vektorraums trivial ist. Man zeige, da"s die Operation \ref{osyt} der symmetrischen Gruppe $\mathcal S_r$ auf der $r$-ten Tensorpotenz des eindimensionalen Supervektorraums $\DC^{0|1}$ durch Multiplikation mit dem Signum geschieht. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Einheitengruppoid der superisierten abelschen Gruppen}] Wir betrachten in der Schmelzkategorie der superisierten abelschen Gruppen \ref{MudSS} die volle Schmelzunterkategorie $\op{U}(\op{sAb})$\index{U@$\op{U}$ Einheiten von Schmelzkategorie} der Objekte, die als abelsche Gruppen frei sind vom Rang Eins. All diese Objekte sind also isomorph zu $\DZ^{1|0}$ oder $\DZ^{0|1}$. Sie werden sich in der in \ref{EIIp} eingef"uhrten Terminologie als die \glqq Einheiten\grqq\ unserer Schmelzkategorie $\op{sAb}$ erweisen, deshalb die Notation $\op{U}$ f"ur \glqq unit\'e\grqq. Betrachten wir zu dieser Schmelzkategorie der Einheiten das zugeh"orige Schmelzgruppoid $\op{U}^\times(\op{sAb})$, in dem wir also nur noch die universellen Verschmelzungen von $\op{U}(\op{sAb})$ als Verschmelzungen zulassen, so erhalten wir eine Schmelz"aquivalenz\label{Usab} $$\op{U}^\times(\op{sAb})\sirra\op{Par}$$ mit der Schmelzkategorie der erweiterten Parit"aten, indem wir jeder unserer freien abelschen Gruppen vom Rang Eins ihre Parit"at zusammen mit der zweielementigen Menge ihrer Erzeuger zuordnen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Formeln f"ur supergraduierte abelsche Gruppen}] Wie bereits in \ref{MuHP} erw"ahnt erhalten wir ein internes Hom in $\op{sgAb}$ durch $$(X{\Rrightarrow}Y)^n\pdef \prod_{i\in \DZ}\op{Hom}_\DZ(X^i,Y^{i+n})$$ mit $\alpha:\op{sgAb}(Z\curlyvee X,Y)\sira \op{sgAb}(Z,X{\Rrightarrow}Y)$ gegeben durch $(\alpha f): z\mapsto (x\mapsto f(z,x))$ f"ur beliebige homogene $f,z,x$. Man zeige, da"s die Evaluation $\op{ev}:X\curlyvee (X{\Rrightarrow}Y) \ra Y$ nach \ref{TKoX} unter diesen Identifikationen derjenigen biadditiven Abbildung entspricht, die auf homogenen Elementen gegeben wird durch $(x,f)\mapsto (-1)^{|x||f|}f(x)$. Man zeige weiter, da"s das Tensorieren von internem Hom $ (W{\Rrightarrow}X) \bar\otimes (Y{\Rrightarrow}Z) \ra (W\otimes Y){\Rrightarrow}( X \bar\otimes Z)$ nach \ref{TMoX} unter diesen Identifikationen derjenigen biadditiven Abbildung entspricht, die auf homogenen Elementen gegeben wird durch\label{VZhet} $f\bar\otimes g\mapsto \big(w\bar\otimes y\mapsto (-1)^{|g||w|} f(w)\bar\otimes g(y)\big)$. \end{Ubung} \subsection{Monoide und ihre Moduln} \begin{Definition} Einen Schmelzfunktor von der terminalen Schmelzkategorie in eine beliebige Schmelzkategorie $A:\op{scat}\ra\mathcal M$ nennen wir ein {\bf Abmonoid in $\mathcal M$}\label{Kmon} oder {\bf $\mathcal M$-Abmonoid}. Unter einem {\bf Homomorphismus von Abmonoiden}\index{Homomorphismus!von Abmonoiden} $A\ra B$ verstehen wir eine Transformation der entsprechenden Schmelzfunktoren. % alias einen Morphismus $A(\ast)\ra B(\ast)$ zwischen den jeweiligen Bildern des einzigen % Objekts $\ast\in \op{scat}$ mit gewissen Eigenschaften, die ich sp"ater ausschreibe. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Diese Terminologie hat die Schw"ache, da"s ein Abmonoid im hier eingef"uhrten Sinne nicht dasselbe ist wie ein $\op{Ab}$-Monoid in sp"ater eingef"uhrter Terminologie. Da sich aber erweisen wird, da"s man ein $\op{Ab}$-Monoid auch schlicht einen Ring nennen kann, habe ich mich daf"ur entschieden, diesen terminologischen Konflikt auszuhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abmonoide als Objekte mit Verkn"upfung}] Ein Abmonoid $A:\op{scat}\ra\mathcal M$ wird\label{Abmm} festgelegt durch das Bild $A=A(\ast)$ des einzigen Objekts von $\op{scat}$ und das Bild $$m=m_A: A\curlyvee A\ra A$$ der einzigen Zweiverschmelzung von $\op{scat}$. So ein Datum $(A,m)$ kommt seinerseits genau dann von einem Abmonoid her, wenn die {\bf Assoziativit"at} $m\circ (m\curlyvee\op{id})=m\circ (\op{id}\curlyvee m)$, die Existenz einer {\bf neutralen Leerverschmelzung} $1=1_A:\curlyvee\ra A$ mit $m \circ (1\curlyvee \op{id})=m \circ (\op{id}\curlyvee 1)=\op{id}$ alias $1\in_{\mathcal M}A$ und die {\bf Kommutativit"at} $m\circ\hat\tau=m$ erf"ullt sind. Lassen wir die Forderung der Kommutativit"at fallen, so nennen wir unsere Struktur ein {\bf Monoidobjekt} oder kurz {\bf Monoid}. Ich nenne $1_A$ die {\bf Eins von $A$}.\index{Eins!von Abmonoid} Sie ist auch f"ur Monoide eindeutig bestimmt, wenn sie existiert, wie Sie allgemeiner in \ref{EeE} zeigen sollen. Die Zweiverschmelzung $m$ hei"st die {\bf Verkn"upfung}\index{Verkn"upfung!von Abmonoid} unseres Abmonoids. Ein Morphismus $\varphi:A\ra B$ in $\mathcal M$ ist genau dann ein Morphismus von Abmonoiden, wenn gilt $\varphi\circ m_A= m_B\circ(\varphi\curlyvee \varphi)$ und $\varphi\circ 1_A=1_B$. Im nichtkommutativen Fall nennen wir das einen {\bf Monoidhomomorphismus}. Lassen wir auch die Forderung nach der Existenz einer Eins fallen, so nennen wir unser Datum $(A,m)$ ein {\bf Assoziativobjekt}\index{Assoziativobjekt} und nennen die mit den jeweiligen Verkn"upfungen vertr"aglichen Morphismen {\bf Homomorphismen von Assoziativobjekten}. Mehr dazu wird in \ref{StrS} folgende diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich insistiere darauf, da"s bei der Definition eines Monoids die Notation $A\curlyvee A$ die durch die Menge $\{1,2\}$ indizierte konstante Zweifamilie meint und nicht eine durch irgendeine andere zweielementige Menge indizierte konstante Zweifamilie. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Banale Monoidobjekte}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ k"onnen wir jedes Objekt $A\in \mathcal C$ nur auf genau eine Weise als ein $\curlyvee\mathcal C$-Monoid der zugeh"origen banalen Schmelzkategorie auffassen, indem wir n"amlich die Zweiverschmelzung $(\op{id},\op{id}):A\curlyvee A\ra A$ als Verkn"upfung nehmen. Das folgt daraus, da"s f"ur die Eins nur die einzige Leerverschmelzung $\curlyvee \ra A$ in Betracht kommt.\label{banN} F"ur diese Strukturen auf zwei Objekten $A,B$ ist jeder Morphismus $f:A\ra B$ ein Monoidhomomorphismus. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Monoidmoduln}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ und ein Monoid $(A,m)$ von $\mathcal M$ erkl"aren wir einen {\bf $A$-Modul}\index{Modul!in Schmelzktegorie}\label{modOk} oder ausf"uhrlicher {\bf $A$-Monoidmodul}\index{Monoidmodul} als ein Objekt $M\in\mathcal M$ mitsamt einer Zweiverschmelzung $$m_M:A\curlyvee M\ra M$$ derart, da"s gilt $m_M\circ (m\curlyvee \op{id})=m_M\circ (\op{id}\curlyvee m_M)$ im Raum der Verschmelzungen $ A\curlyvee A\curlyvee M\ra M$ und $m_M\circ (1\curlyvee \op{id})=\op{id}$ im Raum der Verschmelzungen $M\ra M$. Unter einer {\bf Verschmelzung von $A$-Moduln} verstehen wir eine Verschmelzung von $A$-Objektmoduln im Sinne von \ref{muae}. Wir notieren $$\mathcal M_{A\curlyvee}$$ die Schmelzkategorie der $A$-Moduln. Per definitionem bilden unsere $A$-Mo\-no\-id\-mo\-duln eine volle Schmelzunterkategorie $ \mathcal M_{A\curlyvee}\subset \mathcal M_{A\curlyvee'}$ der multi"aquivarianten Schmelzkategorie aller $A$-Ob\-jekt\-mo\-duln im Sinne von \ref{muae}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ein $\op{Ab}$-Abmonoid ist ein Kring und die Schmelzkategorie $\op{Ab}_{k\curlyvee}$ der Moduln "uber einem Kring $k$ ist unsere Schmelzkategorie $\op{Mod}_k$ der $k$-Moduln aus \ref{VrS}, in Formeln $$\op{Ab}_{k\curlyvee }=\op{Mod}_k$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Jetzt wird im Schnelldurchgang alles bisher Gesagte in der opponierten Situation mit der Vorsilbe Ko wiederholt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Einen Trennfunktor $\op{tcat}\ra\mathcal T$ der terminalen Trennkategorie in eine beliebige Trennkategorie $\mathcal T$ nennen wir ein {\bf Koabmonoid in $\mathcal T$} oder auch {\bf $\mathcal T$-Koabmonoid}.\label{Kokm} Unter einem {\bf Homomorphismus von Koabmonoiden}\index{Homomorphismus!von Koabmonoiden} verstehen wir eine Transformation der entsprechenden Trennfunktoren. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Koabmonoide als Objekte mit Koverkn"upfung}] Ein Koabmonoid $C:\op{tcat}\ra\mathcal T$ wird festgelegt durch das Bild $C=C(\ast)$ des einzigen Objekts von $\op{tcat}$ und das Bild $$\Delta=\Delta_C: C\ra C\curlywedge C$$ der einzigen Zweitrennung von $\op{tcat}$. So ein Datum $(C,\Delta)$ kommt seinerseits genau dann von einem Koabmonoid her, wenn die {\bf Koassoziativit"at} $(\Delta\curlywedge\op{id})\circ\Delta =(\op{id}\curlywedge \Delta)\circ \Delta$, die Existenz einer {\bf koneutralen Leertrennung} $\varepsilon=\varepsilon_C:C\ra \curlywedge$ mit $(\varepsilon \curlywedge \op{id})\circ \Delta =(\op{id} \curlywedge\varepsilon )\circ \Delta =\op{id}$ und die {\bf Kokommutativit"at} $\hat\tau\circ\Delta=\Delta$ erf"ullt sind. Lassen wir die Forderung der Kokommutativit"at fallen, so nennen wir unsere Struktur ein {\bf Komonoidobjekt} oder kurz {\bf Komonoid}. Ich nenne $\varepsilon_C$ die {\bf Koeins von $C$}.\index{Koeins!von Komonoid} Sie ist auch f"ur Komonoide eindeutig bestimmt, wenn sie existiert, wie Sie allgemeiner in \ref{EeE} zeigen sollen. Die Zweitrennung $\Delta_C$ hei"st die {\bf Koverkn"upfung von $C$}.\index{Koverkn"upfung!von Komonoid} Ein Morphismus $\varphi:C\ra D$ in $\mathcal M$ ist genau dann ein Morphismus von Koabmonoiden, wenn gilt $\Delta_D\circ \varphi= (\varphi\curlyvee \varphi)\circ\Delta_C$ und $\varepsilon_C =\varepsilon_D\circ \varphi$. Im nichtkommutativen Fall nennen wir das einen {\bf Komonoidhomomorphismus}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Banale Komonoidobjekte}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ k"on\-nen wir jedes Objekt $A\in \mathcal C$ auf genau eine Weise als ein Komonoidobjekt der zugeh"origen banalen Trennkategorie $\curlywedge\mathcal C$ auffassen, indem wir als Koverkn"upfung die {\bf Dia\-go\-nal\-tren\-nung}\index{Diagonaltrennung} $\Delta\pdef (\op{id},\op{id}):C\ra C\curlywedge C $ nehmen. Das folgt daraus, da"s nur die einzige Leertrennung $ C\ra \curlywedge$ als Koeins in Betracht kommt.\label{banT} F"ur diese Strukturen auf Objekten $C,D$ ist jeder Morphismus $f:C\ra D$ ein Komonoidhomomorphismus. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komoduln "uber Komonoiden}] Opponiert zu Moduln "uber Monoiden f"uhren wir {\bf Komoduln "uber Komonoiden} alias {\bf Komonoidmoduln}\index{Komonoidmodul} ein und bezeichnen mit $\mathcal T_{C\curlywedge}$ die Trennkategorie der Komoduln "uber einen Komonoid $C$ einer Trennkategorie $\mathcal T$. Sie ist eine volle Untertrennkategorie $\mathcal T_{C\curlywedge}\subset \mathcal T_{C\curlywedge'}$ der multi"aquivarianten Trennkategorie aller $C$-Objektkomoduln aus \ref{muaet}. \end{Bemerkungl} \subsection{Bimonoide und Darstellungen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Verschmelzungen unter Koabmonoid}] Gegeben $\mathcal M$ eine Trennschmelzkategorie und $C$ ein Koabmonoid in $\mathcal M$ erkl"aren wir die {\bf "aquivariante Schmelzkategorie der $C$-Objektdarstellungen}\label{SOO} $$\mathcal M_{C\sacts\!'}$$ als eine Schmelzkategorie mit denselben Objekten wie im Fall der multi"aquivarianten Schmelzkategorie der $C$-Objektmoduln $\mathcal M_{ C\curlyvee'}$ aus \ref{muae}, aber wir nennen diese Objekte nun {\bf $C$-Ob\-jekt\-dar\-stel\-lun\-gen} und erkl"aren eine Verschmelzung $X_1\curlyvee \ldots\curlyvee X_r\ra Y$ in $\mathcal M_{C\sacts\!'}$ als eine Verschmelzung in $\mathcal M$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ C\otimes X_1\otimes \ldots\otimes X_r \ar[r]\ar[d] & C\otimes Y \ar[dd]\\ C^{\otimes r}\otimes X_1\otimes \ldots\otimes X_r \ar[d]& \\ X_1\otimes \ldots\otimes X_r \ar[r]& Y\\ } \end{displaymath} mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise gegebenen Pfeilen kommutiert. Der Morphismus $C\ra C^{\otimes r}$ ist dabei die iterierte Koverkn"upfung des Koabmonoids $C$ in unserer Trennschmelzkategorie. Dann hat auch $\mathcal M_{ C\sacts\!'}$ stabil universelle Verschmelzungen und das Vergessen der Operation ist ein mit universellen Verschmelzungen vertr"aglicher Schmelzfunktor $$\mathcal M_{ C\sacts\!'}\ra \mathcal M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zum Fall "aquivarianter Schmelzkategorien k"onnen wir "uber die Existenz universeller Verschmelzungen in multi"aquivarianten Schmelzkategorien von Objektmoduln im allgemeinen wenig sagen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Schmelzkategorie der $C$-Mengen}] Jede Menge $C$ tr"agt nach \ref{banT} genau eine Struktur als Koabmonoid der banalen Trennschmelzkategorie $\curlywedge{\op{Ens}}$. Die Komultiplikation ist dabei notwendig die Diagonale $\Delta=(\op{id},\op{id}):C\ra (C,C)$. Die Verschmelzungen der "aquivarianten Schmelzkategorie $\curlywedge{\op{Ens}}_{C{\sacts}\!'}$ der $C$-Objektdarstellungen sind alle Abbildungen $f:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$\label{kmSKe} mit $$f(cx_1,\ldots,cx_r)=cf(x_1,\ldots,x_r)\quad \forall c\in C, r\in\DN, x_i\in X_i $$ Wie nennen sie {\bf $C$-"aquivariante Multiabbildungen}.\index{Multiabbildung!"aquivariante} Die Leerverschmelzungen in $\curlywedge{\op{Ens}}_{C{\ssearrow}\!'}$ entsprechen den $C$-Fixpunkten, genauer induziert f"ur alle $Y\in \curlywedge{\op{Ens}}_{C{\ssearrow}\!'}$ die aus \ref{bsps} bekannte Bijektion $\curlywedge{\op{Ens}}(\curlyvee, Y)\sira Y$ eine Bijektion $$\curlywedge{\op{Ens}}_{C{\sacts}\!'}(\curlyvee, Y)\sira Y^C$$ Die Schmelzkategorie $\curlywedge{\op{Ens}}_{C{\sacts}\!'}$ besitzt stabil universelle Verschmelzungen, weil bereits f"ur $\curlywedge{\op{Ens}}$ stabil universelle Verschmelzungen besitzt. Ihre Trennschmelzkategorie ist als Trennkategorie die banale Trennkategorie zur Kategorie der $C$-Mengen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Darstellungen von Biabmonoiden}] Sei $\mathcal M$ eine Trennschmelzkategorie und sei $C\in \mathcal M$ sowohl mit der Struktur eines Koabmonoids als auch mit der Struktur eines Abmonoids versehen. Wir betrachten in der Schmelzkategorie der $C$-Objektdarstellungen aus \ref{SOO} die volle Unterschmelzkategorie $$\mathcal M_{ C{\sacts}}\subset \mathcal M_{ C{\sacts}\!'}$$ aller der $C$-Objekte, die sogar $C$-Moduln sind. Nehmen wir zus"atzlich an, da"s unsere beiden Strukturen auf $C$ in der Weise miteinander vertr"aglich sind, da"s f"ur alle endlichen Mengen $I,J$ die Diagramme\label{Bikm} $$\begin{array}{ccc} C^{\otimes I}&\ra&C^{\otimes (I\times J)}\\ \da&&\da\\ C&\ra&C^{\otimes J} \end{array}$$ mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise durch die Koabmonoidstruktur gegebenen Horizonalen und durch die Abmonoidstruktur gegebenen Vertikalen kommutieren, so nennen wir $C$ ein {\bf Biabmonoid}.\index{Biabmonoid} Wenn wir die Kommutativit"at unseres Diagramms f"ur $|I|,|J|\leq 2$ zeigen, so folgt sie bereits im allgemeinen. F"ur Darstellungen eines Biabmonoids $C$ sind die Ziele ihrer stabil universellen Verschmelzungen in $\mathcal M_{ C{\sacts}\!'}$ bereits selbst Darstellungen von $C$, geh"oren also in Formeln bereits zu $\mathcal M_{ C{\sacts}}$, und sind dort a forteriori auch universelle, ja stabil universelle Verschmelzungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Objekte mit Operation eines Biabmonoids}] Zusammenfassend erhalten wir so f"ur jedes Biabmonoid $C$ einer Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ eine weitere Trennschmelzkategorie $$\mathcal M_{C{\sacts}}$$ der {\bf $C$-Darstellungen} und das Vergessen der Operation ist vertr"aglich mit stabil universellen Verschmelzungen.\label{OOBI} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multi"aquivariant versus "aquivariant}] Es gilt sorgf"altig zu unterscheiden zwischen der multi"aquivarianten Schmelzkategorie der Moduln "uber einem Abmonoid und der "aquivarianten Schmelzkategorie der Darstellungen eines Biabmonoids. Im Fall eines gew"ohnlichen Monoids in der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen sind die Verschmelzungen im multi"aquivarianten Fall Multiabbildungen, die \glqq "aquivariant sind in jeder Variable\grqq, in Formeln $$\varphi(x_1,\ldots,gx_i,\ldots,x_r)= g\varphi(x_1,\ldots, x_r)\;\forall i,g$$ Im "aquivarianten Fall jedoch sind sie in Bezug auf die einzig m"ogliche Koverkn"upfung alle Multiabbildungen, die \glqq "aquivariant sind f"ur die diagonale Operation\grqq, in Formeln $$\varphi(gx_1,\ldots, gx_r)=g\varphi(x_1,\ldots, x_r)\; \forall g$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Schmelzkategorie der $C$-Mengen}] Jedes Abmonoid $C\in\curlywedge{\op{Ens}}$ wird mit der banalen Struktur als Koabmonoid der banalen Trennkategorie $\curlywedge{\op{Ens}}$ nach \ref{banT} zu einem Biabmonoid. Die zugeh"orige Schmelzkategorie $\op{kEns}_{ C{\sacts}}$ hat als Objekte $C$-Darstellungen alias Mengen mit einer Operation des Monoids $C$ und die universelle Verschmelzung von $X$ und $Y$ ist $X\times Y$ mit der \glqq diagonalen\grqq\ Operation von $C$, gegeben durch $c(x,y)=(cx,cy)$. Da"s das wieder eine Operation des Abmonoids $C$ ist, ist einerseits offensichtlich und andererseits eine formale Konsequenz der Biabmonoidstruktur. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Tensorprodukt von Biabmonoiden}] Gegeben Biabmonoide $A,B$ einer Trennschmelzkategorie ist auch $A\otimes B$ mit der offensichtlichen Ver\-kn"up\-fung und Koverkn"upfung ein Biabmonoid. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie. Den partiellen Linksadjungierten des verge"slichen Funktors $v$ von der Kategorie der Abmonoide in $\mathcal M$ nach $\mathcal M$ notieren wir $\op{S}$. Existiert f"ur $V\in \mathcal M$ das Abmonoid ${\op{S}}V$, so nennen wir es das {\bf freie Abmonoid "uber $V$} und notieren die Einheit der Adjunktion $\eta: V \ra {\op{S}}V$. Man beschreibe das freie Abmonoid "uber einer Menge in $\curlyvee{\op{Ens}}$. Gegeben ein Kring $k$ zeige man, da"s das freie Abmonoid "uber einem $k$-Modul $M\in \op{Ab}_{\curlyvee k}$ die symmetrische Algebra "uber $V$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}[\textbf{"Au"sere Algebra als Biabmonoid}] Seien $k$ ein Kring und $\op{Ab}_{k\curlyvee}$ die Schmelzkategorie der $k$-Moduln und $\op{sg}(\op{Ab}_{k\curlyvee})$ ihre supergraduierte Version. Beide haben stabil universelle Verschmelzungen. Gegeben $V\in \op{Ab}_{k\curlyvee}$ betrachten wir das im Grad $1$ konzentrierte graduierte Objekt $V[-1]\in \op{sg}(\op{Ab}_{k\curlyvee})$ und bilden dar"uber das freie Abmonoid in $\op{sg}(\op{Ab}_{k\curlyvee})$. \nichtfinal{(freies Abmonoid nicht definiert!)} Explizit ist das die "au"sere Algebra $\bigwedge V$ mit dem offensichtlichen Morphismus $V[-1]\ra \bigwedge V$. Der Morphismus $V[-1]\ra \bigwedge V\bar\otimes\bigwedge V$ gegeben durch $v\mapsto v\bar\otimes 1 + 1\bar\otimes v$ induziert einen Morphismus von Abmonoiden $$\textstyle\Delta: \bigwedge V\ra \bigwedge V\bar\otimes\bigwedge V$$ Offensichtlich ist $\Delta$ kokommutativ und koassoziativ und macht zusammen mit der durch die Augentation $\varepsilon: \bigwedge V\ra k$ als Koeinheit unser $\bigwedge V$ zu einem Biabmonoid\label{AuAu} $$\bigwedge V$$ \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Sei $k$ ein Kring und $V$ ein $k$-Modul. Im Biabmonoid $\bigwedge V$ der "au"seren Algebra induziert $v\mapsto -v$ eine Antipode, es ist mithin ein Hopfbiabmonoid. Die Beziehung zu altenierenden Multilinearformen diskutieren wir in \ref{geshE} folgende. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}[\textbf{Komultiplikation der "au"seren Algebra}] Sei $V$ ein Modul "uber einem Kring $k$.\label{shko} Gegeben $n=p+q$ nat"urliche Zahlen gibt es genau eine lineare Abbildung $\Delta^{p,q}=\Delta^{p,q}_n:\bigwedge^nV\ra \bigwedge^pV\otimes \bigwedge^qV$ mit $$v_1\wedge\ldots \wedge v_n\mapsto \sum_{\sigma\in \mathcal S_{p,q}}\op{sgn}(\sigma)(v_{\sigma (1)} \wedge \ldots \wedge v_{\sigma (p)}) \otimes (v_{\sigma(p+1)}\wedge \ldots \wedge v_{\sigma (p+q)}) $$ f"ur $\cal{S}_{p,q} \pdef \{\sigma \in \cal{S}_{p+q} \mid \sigma (1) {<} \ldots {<} \sigma (p),\sigma (p+1) {<} \ldots {<} \sigma (p +q)\}$ die Menge der {\bf $(p,q)$-Shuffles}\index{Shuffle}, also derjenigen Permutationen, die die Reihenfolge der ersten $p$ Eintr"age und die Reihenfolge der letzten $q$ Eintr"age erhalten. Man zeige, da"s die Komultiplikation der "au"seren Algebra aus \ref{AuAu} auf $\bigwedge^n V$ gegeben wird durch $\sum_{p+q=n}\Delta^{p,q}$. Es hei"st auch das {\bf Shuffle-Koprodukt}.\index{Shuffle-Koprodukt} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Differentiale als "au"sere Algebra}] Im Fall $V=\DZ d$ der freie $\DZ$-Modul mit Erzeuger $d$ erhalten wir in $\op{sgMod}_\DZ=\op{sgAb}$ das Biabmonoid der Differentiale $D=\bigwedge \DZ$ aus \ref{bbd}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{"Au"sere Algebra eines Koprodukts}] Gegeben ein Kring $k$ und $k$-Moduln $V,W$ induziert $(v,w)\mapsto v\bar\otimes 1 + 1\bar\otimes w$ einen Isomorphismus von Biabmonoiden\label{AAB} $\bigwedge(V\oplus W)\sira (\bigwedge V)\bar\otimes (\bigwedge W)$. \end{Ubung} \subsection{Schmelzkategorie der Komplexe} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Biabmonoid der Differentiale}] In der Schmelzkategorie der supergraduierten abelschen Gruppen $\op{sgAb}$ aus \ref{ZgSM} betrachten wir das Objekt $D$ mit $D^0=D^1=\DZ$ und $D^q=0$ sonst. Wir versehen $D$ mit der einzig m"oglichen Struktur als Abmonoid, f"ur die $1\in \DZ=D^0$ alias die dadurch gegebene Leerverschmelzung das neutrale Element ist, sowie mit der einzig m"oglichen Struktur als Koabmonoid, f"ur dessen Ko\-ver\-kn"up\-fung mit der Notation $d\pdef 1\in \DZ=D^1$ gilt $1\mapsto 1\otimes 1$ und $d\mapsto d\otimes 1 + 1\otimes d$. Man pr"uft unschwer, da"s wir so ein Biabmonoid erhalten. Die einzige substantielle Rechnung dazu ist der Fall $|I|=|J|=2$ und dabei, da"s $d\otimes d$ auch beim Weg "uber $D^{\otimes(I\times J)}$ in \ref{Bikm} zu Null gemacht wird. Unter der oberen Horizonale finden wir aber $$d\otimes d\mapsto 1\otimes d \otimes 1\otimes d+1\otimes d\otimes d\otimes 1+ d\otimes 1 \otimes 1\otimes d+d\otimes 1\otimes d\otimes 1$$ Darauf die Vertikale anwenden bedeutet, die mittleren Eintr"age zu vertauschen mit Vorzeichen und dann die ersten beiden und die letzten beiden Eintr"age zu multiplizieren. Das liefert eine Null bei ersten und letzten Term und bei den mittleren Termen ebenso $-d\otimes d + d\otimes d=0$ wie gew"unscht.\label{bbd} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren die Schmelzkategorie der {\bf differentiellen graduierten abelschen Gruppen} in der Notation aus \ref{Bikm} als die "aquivariante Schmelzkategorie $$\op{dgAb}\pdef\op{sgAb}_{D{\sacts}}$$ der supergraduierten abelschen Gruppen mit einer Operation des Biabmonoids $D$ der Differentiale aus \ref{bbd}.\label{Ketn} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zwischen beiden Definitionen von Kettenkomplexen}] Einen Komplex $(X^q,d^q)$ im "ublichen Sinne \nichtfinal{nach \eref{Ketd}{TS} oder besser \eref{oui}{TS}} verstehen wir als ein Objekt $X=(X^q)\in \op{sgAb}$ mit derjenigen Operation $\mu_X:D\curlyvee X\ra X$, die f"ur $x\in X^q$ durch $(d,x)\mapsto d^q(x)$ und $(1,x)\mapsto x$ gegeben wird. So erhalten wir einen Isomorphismus von Kategorien\label{KomAG} $$\op{Ket}\sira \op{E}(\op{dgAb})$$ zwischen der "ublichen Kategorie der Kettenkomplexe und der einfachen Kategorie zur in \ref{Ketn} neu erkl"arten Schmelzkategorie $\op{dgAb}$. Man sieht leicht ein, da"s eine Zweiverschmelzung $\varphi:X\curlyvee Y\ra Z$ in $\op{dgAb}$ in Bezug auf die Schreibanordnung repr"asentiert wird durch eine vom Grad Null homogene bilineare Abbildung $$\varphi:X\times Y\ra Z$$ mit $d\varphi(x,y)=\varphi(dx,y)+(-1)^{|x|} \varphi(x,dy)$ f"ur $x$ homogen vom Grad $|x|$. Insbesondere ist die in der Schreibanordnung durch $(x,y)\mapsto x\otimes y$ gegebene Zweiverschmelzung $X\curlyvee Y\ra X\otimes Y$ in den "ublichen Tensorkomplex universell. Ebenso sieht man leicht ein, da"s Leerverschmelzungen $\curlyvee \ra Z$ in $\op{dgAb}$ genau diejenigen Leerverschmelzungen von $\op{sgAb}$ sind, die durch Zykel aus $\mathcal Z^0X=\op{ker}d^0\subset X^0$ gegeben werden, wir haben also in Formeln $$\op{dgAb}(\curlyvee,X)=\mathcal Z^0X$$ Insbesondere ist der Nullzykel $1\in\DZ[0]$ im Komplex ${\mathbb I}\pdef\DZ[0]$ mit ${\mathbb I}^0=\DZ$ und ${\mathbb I}^q=0$ f"ur $q\neq 0$ eine universelle Leerverschmelzung in $\op{dgAb}$. Um zu sehen, da"s unsere universellen Verschmelzungen auch stabil universell sind, mag man etwa pr"ufen, da"s jede Multiverkn"upfung universeller Verschmelzungen universell ist, und das ist nicht schwer, weil man dabei das Differential ignorieren darf. Um zu zeigen, da"s unsere Schmelzkategorie $\op{dgAb}$ internes Hom hat, mag man entweder pr"ufen, da"s \nichtfinal{nach \eref{ThAD}{TS}} unser "ublicher Hom-Komplex so ein internes Hom ist, oder die allgemeine Theorie bem"uhen, die wir in \ref{vHOp} skizzieren und in \ref{JntH} entwickeln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Internes Hom von Komplexen vom h"oheren Standpunkt}] In \ref{JntH} werden wir lernen, da"s gegeben ein Biabmonoid $D$ \glqq mit Antipode\grqq\ in einer Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom auch $\mathcal M_{D{\sacts}}$ eine Trennschmelzkategorie mit Multihom ist. Wenn wir das einmal wissen, m"ussen wir nur noch pr"ufen, da"s unser Biabmonoid der Differentiale eine Antipode besitzt, um zu folgern, da"s $\op{dgAb}$ eine Trennschmelzkategorie mit Multihom ist. Genauer wird sich erweisen, da"s f"ur unser Biabmonoid der Differentiale der durch $1\mapsto 1$ und $d\mapsto -d$ gegebene Morphismus eine Antipode ist und\label{vHOp} da"s Antipoden eindeutig bestimmt sind, wenn sie existieren. \end{Bemerkungw} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw} In \ref{KOMH} konstruieren allgemeiner f"ur eine geeignete Schmelzkategorie $\mathcal M$ die Schmelzkategorie ${\op{dg}}{\mathcal M}$ der Komplexe in $\mathcal M$. Ist etwa $k$ ein Kring, so erh"alt man auf diese Weise aus der Schmelzkategorie $\op{Mod}_k$ der $k$-Moduln die Schmelzkategorie $\op{dgMod}_k$ der Komplexe von Moduln "uber einem vorgegebenen Kring $k$. \end{Bemerkungw}} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein Kringhomomorphismus $A\ra B$ ist die Erweiterung der Skalare ein mit universellen Verschmelzungen vertr"aglicher Schmelzfunktor\label{Koefw} $$B\otimes_A:\op{dgMod}_A\ra \op{dgMod}_B$$ \end{Ubung} \subsection{Angereicherte Schmelzkategorien} \begin{Bemerkungl} Wir besprechen zun"achst additive Strukturen, $k$-Strukturen und ihre Verallgemeinerung zu $(\mathcal S,w)$-Strukturen in Bezug auf eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ mit einem ausgezeichneten treuen Schmelzfunktor $w:\mathcal S\ra\op{kEns}$, bevor wir das noch allgemeinere Konzept einer $\mathcal S$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie einf"uhren.\label{SetZ} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf additiven Struktur}\index{additiv! Struktur auf Schmelzkategorie}\index{Struktur!additive!auf Schmelzkategorie} auf einer Schmelzkategorie verstehen wir die Vorgabe einer Verkn"upfung \glqq Addition\grqq\ auf allen Verschmelzungsmengen derart, da"s alle Multiverkn"upfungen multiadditive Abbildungen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Erste Konstruktion einer additiven Struktur auf $\op{Ab}$}] Wir erhalten eine additive Struktur auf der Schmelzkategorie $\op{Ab}$ der abelschen Gruppen, indem wir alle Mengen $\op{Ab}(B,Y)$ von multiadditiven Abbildungen mit ihrer von der Addition auf $Y$ induzierten Addition versehen.\label{adoff} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ erkl"aren wir eine {\bf $k$-Struktur}\index{Struktur!$k$-Struktur!auf Schmelzkategorie} auf einer Schmelzkategorie die Vorgabe einer Struktur als $k$-Modul auf allen Verschmelzungsmengen derart, da"s alle Multiverkn"upfungen $k$-multilineare Abbildungen werden.\label{Sks} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Offensichtliche $k$-Struktur auf $\op{Ab}_k$}] Gegeben ein Kring $k$ erhalten wir eine $k$-Struktur auf der Schmelzkategorie $\op{Ab}_k$ der $k$-Moduln, indem wir alle Mengen $\op{Ab}(B,Y)$ von multiadditiven Abbildungen mit ihrer von der $k$-Modulstruktur auf $Y$ induzierten $k$-Modulstruktur versehen.\label{adkoff} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkatgorie $\mathcal M$ mit additiver Struktur faktorisiert ihr Leerverschmelzungsfunktor in offensichtlicher Weise als $\op{L}=v\circ \op{L}^+$ "uber den Vergi"sfunktor $v:\op{Ab}\ra\op{kEns}$. Wir machen in diesem Fall meist keinen Unterschied in der Notation zwischen dem Leerverschmelzungsfunktor und dem {\bf additiv angereicherten Leerverschmelzungsfunktor}\index{Leerverschmelzungsfunktor!additiv angereicherter} $\op{L}^{+}:\mathcal M\ra \op{Ab}$. Analoges gilt f"ur Schmelzkategorien mit $k$-Struktur f"ur einen Kring $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Additive Struktur durch Leerverschmelzfaktorisierung}] Gegeben eine Schmelzkategorie mit Multihom $\mathcal M$ und eine Faktorisierung ${\op{L}}=v\circ {\op{A}}$ ihres Leerverschmelzungsfunktors "uber den Vergi"sfunktor $v:\op{Ab}\ra \op{kEns}$ erhalten wir eine additive Struktur auf $\mathcal M$, indem wir Additionen auf den Verschmelzungsmengen dadurch festlegen, da"s die Verkn"upfung der von unserer Faktorisierung herr"uhrenden Bijektionen mit den in \ref{MorEk} erkl"arten Bijektionen $$v{\op{A}}(B{\Rrightarrow}Y)\sira {\op{L}}(B{\Rrightarrow}Y)\sira\mathcal M(B,Y)$$ Isomorphismen von abelschen Gruppen sein sollen.\label{adTL} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Zweite Konstruktion der additiven Struktur auf $\op{Ab}$}] Der Leerverschmelzungsfunktor von $\op{Ab}$ ordnet jeder abelschen Gruppe $X$ die Menge der Abbildungen der einpunktigen Menge in unsere Gruppe zu und faktorisiert in offensichtlicher Weise "uber den Vergi"sfunktor $v:\op{Ab}\ra\op{Ens}$. Die sich dar"uber mit \ref{adTL} ergebende additive Struktur auf der Schmelzkategorie $\op{Ab}$ f"allt mit der offensichtlichen additiven Struktur aus \ref{adoff} zusammen.\label{addAB} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Eindeutigkeit additiver Strukturen}] Wir zeigen in \eref{EaSc}{TSF}, da"s Schmelzkategorien mit universellen Verschmelzungen und Multihom, deren zugrundeliegende einfache Kategorien eine additive Struktur und endliche Produkte oder gleichbedeutend endliche Koprodukte haben, eine eindeutig bestimmte additive Struktur besitzen. \end{Bemerkungw} %\begin{Beispiel}[\textbf{Nocheinmal additive Struktur auf $\op{Ab}$}] Der Leerverschmelzungsfunktor der Schmelzkategorie $\op{Ab}$ ordnet jeder % abelschen Gruppe $X$ die Menge der Abbildungen der einpunktigen Menge % in unsere Gruppe zu. Das Auswerten am einzigen Element liefert % folglich eine Bijektion $\op{Ab}(\curlyvee,X)\sira v(X)$ mit %$v:\op{Ab}\ra\op{kEns}$ dem Vergi"sfunktor. % Gegeben eine Kleinfamilie $B$ von abelschen Gruppen und eine % abelsche Gruppe $Y$ erhalten wir so zusammen mit \ref{MorEk} % Bijektionen\label{addAB} $$v(B{\Rrightarrow}Y)\;\sila\;\op{Ab}(\curlyvee,(B{\Rrightarrow}Y))\;\sira\; \op{Ab}(B,Y)$$ % Indem wir mit diesen Bijektionen die Gruppenstruktur von links nach rechts % "uber\-tra\-gen, erhalten wir auf jeder % Menge $\op{Ab}(B,Y)$ von Verschmelzungen die Struktur einer abelschen Gruppe und insgesamt eine additive Struktur auf der Schmelzkategorie $\op{Ab}$. %\end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein treuer Schmelzfunktor $w:\mathcal S\ra \op{kEns}$ erkl"aren wir eine {\bf $(\mathcal S,w)$-Struktur auf einer Schmelzkategorie $\mathcal M$} als die Vorgabe einer\label{SwStr} $(\mathcal S,w)$-Struktur im Sinne von \ref{SStr} auf jeder Verschmelzungsmenge derart, da"s alle Multi\-ver\-kn"up\-fun\-gen mit den jeweiligen $(\mathcal S,w)$-Strukturen vertr"aglich sind und da"s alle Identit"aten $\op{id}_X\in \mathcal M(X,X)$, aufgefa"st als $\op{kEns}$-Leerverschmelzungen nach $\mathcal M(X,X)$, vertr"aglich sind mit der $(\mathcal S,w)$-Struktur auf $\mathcal M(X,X)$ im Sinne von \ref{SStr}. Der Leerverschmelzungsfunktor einer Schmelzkategorie mit $(\mathcal S,w)$-Struktur faktorisiert in offensichtlicher Weise als ${\op{L}}=v\circ {\op{L}}^{(\mathcal S,w)}$ mit ${\op{L}}^{(\mathcal S,w)}$ einem Schmelzfunktor in die Schmelzkategorie $\op{kEns}_{(\mathcal S,w)}$ der Mengen mit $(\mathcal S,w)$-Struktur aus \ref{SStr} und $v:\op{kEns}_{(\mathcal S,w)}\ra \op{kEns}$ dem Vergi"sfunktor. Wir machen in diesem Fall meist keinen Unterschied in der Notation zwischen dem Leerverschmelzungsfunktor und dem {\bf angereicherten Leerverschmelzungsfunktor} $\op{L}^{(\mathcal S,w)}:\mathcal M\ra \op{kEns}_{(\mathcal S,w)}$ und schreiben meist abk"urzend $\op{L}=\op{L}^{(\mathcal S,w)}$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die additiven Strukturen auf einer Schmelzkategorie sind in offensichtlicher Bijektion zu den $(\op{Ab},v)$-Strukturen auf besagter Schmelzkategorie in derselben Weise, wie additive Strukturen auf einer Menge in Bijektion sind zu $(\op{Ab},v)$-Strukturen auf besagter Menge.\label{adAB} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Abmonoid $(\Gamma,+)$ und $\op{Ab}^\Gamma$ die Schmelzkategorie der $\Gamma$-graduierten abelschen Gruppen betrachten wir den Schmelzfunktor $w: \op{Ab}^\Gamma\ra \op{kEns}$, der einer Familie $M=(M^\gamma)_{\gamma\in \Gamma}$ abelscher Gruppen die ihrer direkten Summe zugrundeliegende Menge $\bigoplus_{\gamma\in \Gamma}M^\gamma$ zuordnet. Er ist treu, aber nicht volltreu. Im Gegensatz zu $v: \op{Ab}\ra \op{kEns}$ ist er nicht einmal volltreu auf Leerverschmelzungen, denn Leerverschmelzungen in $\op{Ab}^\Gamma(\curlyvee,M)$ sind nur die Elemente von $M^0$ f"ur $0\in \Gamma$ das neutrale Element. Eine $(\op{Ab}^\Gamma,w)$-Struktur auf einer Schmelzkategorie ist dann eine Struktur von $\Gamma$-graduierter abelscher Gruppe auf jeder Menge von Verschmelzungen derart, da"s alle Multiverkn"upfungen homogen und multiadditiv werden und alle Identit"aten homogene Elemente vom Grad Null. Letzteres mu"s im Fall $\Gamma=\DZ$ nicht extra gefordert werden, im allgemeinen aber schon, vergleiche \eref{HoEin}{KAG}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom und treuem Leerverschmelzungsfunktor $\op{L}:\mathcal M\ra \op{kEns}$ liefern unsere in \ref{MorEk} eingef"uhrten Bijektionen $\op{L}(B{\Rrightarrow}X)\sira \mathcal M(B,X)$ eine $(\mathcal M,\op{L})$-Struktur auf $\mathcal M$.\label{trLO} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Dritte Konstruktion der additiven Struktur auf $\op{Ab}$}] Die durch \ref{trLO} gegebene $(\op{Ab},v)$-Struktur auf $\op{Ab}$ entspricht unter unserer Bijektion aus \ref{adAB} der in \ref{addAB} erkl"arten additiven Struktur auf $\op{Ab}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Angereicherte Schmelzkategorien}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ erkl"aren wir eine {\bf $\mathcal S$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie}\index{Schmelzkategorie!$\mathcal S$-Schmelzkategorie} $\mathcal M$ als ein Datum bestehend aus einer Menge $\mathcal M$ von Objekten und\label{anS} f"ur jede Objektkleinfamilie $B=(B_j)_{j\in J}$ in $\mathcal M$ und jedes $Y\in\mathcal M$ einem {\bf Verschmelzungsobjekt}\index{Verschmelzungsobjekt} $$\mathcal M(B,Y)\in \mathcal S$$ und f"ur jede weitere Objektkleinfamilie $A=(A_i)_{i\in I}$ und jede Abbildung $\varphi:I\ra J$ einer ausgezeichneten $\mathcal S$-Verschmelzung mit dem Namen {\bf Multiverkn"upfung} $$\big(\mathcal M(A|_{\varphi^{-1}(j)},B_j)\big)_{j\in J} \curlyvee \mathcal M(B,Y)\ra \mathcal M(A,Y)$$ der mit $J\sqcup \{J\}$ indizierten Objektkleinfamilie $ J\sqcup \{J\}\ra \mathcal S$ gegeben durch $j\mapsto \mathcal M(A|_{\varphi^{-1}(j)},B_j)$ und $J\mapsto \mathcal M(B,Y)$ in das $\mathcal S$-Objekt $\mathcal M(A,Y)$.\index{Multiverkn"upfung!im angereicherten Fall} Von diesen Daten fordern wir, da"s das Analogon der Assoziativit"atsbedingung aus unserer Definition \ref{MuC} einer Schmelzkategorie erf"ullt ist und da"s es f"ur jede Einsfamilie $A$ in $\mathcal M$ eine Leerverschmelzung $\op{id}_A\in\mathcal S(\curlyvee, \mathcal M(A,A_*))$ gibt derart, da"s die Verkn"upfung $$\mathcal M(B,A_*) \ra \mathcal M (B,A_*) \curlyvee \mathcal M(A,A_*) \ra \mathcal M (B,A_*)$$ mit dem ersten Pfeil gegeben durch $\op{id}_A$ und dem zweiten Pfeil durch die Multiverkn"upfung in $\mathcal M$ stets die Identit"at auf $\mathcal M (B,A_*)$ ist und da"s umgekehrt auch das entsprechende Vorschalten der $\op{id}_{B_j}$ die Identit"at auf $\mathcal M(B,A_*)$ induziert. Wenn wir $\mathcal S$ nicht spezifizieren wollen, reden wir von einer {\bf angereicherten Schmelzkategorie}.\index{Schmelzkategorie!angereicherte} Wenn wir $\mathcal S$ in der Notation verdeutlichen wollen, schreiben wir $$\mathcal M/\mathcal S$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Eine $\op{kEns}$-Schmelzkategorie ist dasselbe wie eine gew"ohnliche Schmelzkategorie. Eine $\op{Ab}$-Schmelzkategorie ist dasselbe wie eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ versteht man unter einer {\bf $\mathcal S$-Kategorie}\index{Kategorie!$\mathcal S$-Kategorie} oder ausf"uhrlicher einer {\bf in $\mathcal S$ angereicherten Kategorie}\index{Kategorie!angereichert in Schmelzkategorie} ein Datum bestehend aus einer Menge $\mathcal C$ von {\bf Objekten} und f"ur je zwei Objekte $X,Y\in \mathcal C$ einem {\bf Morphismenobjekt} $\mathcal C(X,Y)\in \mathcal S$ und f"ur je drei Objekte $X,Y,Z$ einer {\bf Verkn"upfungsverschmelzung} $$\mathcal C(X,Y)\curlyvee \mathcal C(Y,Z)\ra \mathcal C(X,Z)$$ derart, da"s die Verkn"upfung assoziativ ist und es f"ur jedes Objekt $X$ eine Leerverschmelzung $\op{id}_X\in_{\mathcal S}\mathcal C(X,X)$ gibt, die beim Vor- und Nachschalten Morphismen unver"andert l"a"st.\label{agerK} Diese Leerverschmelzungen sind dann eindeutig bestimmt und das alles gelingt sogar allgemeiner f"ur monotone Schmelzkategorien $\mathcal S$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$ ein treuer Schmelzfunktor. Wir erinnern aus \ref{SStr} die Schmelzkategorie $\op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$ der Mengen mit $(\mathcal S,v)$-Struktur. Eine Schmelzkategorie mit $(\mathcal S,v)$-Struktur ist dasselbe wie eine in $\op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$ angereicherte Schmelzkategorie. Es ist auch im wesentlichen dasselbe wie eine in $\mathcal S$ angereicherte Schmelzkategorie, wie wir in \ref{stSCH} ausf"uhren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich vermeide die Diskussion, was das Analogon der Familienkategorie einer angereicherten Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ sein sollte. Ich verwende im weiteren f"ur $A,B$ Objektkleinfamilien in $\mathcal M$ und $\varphi:\bar A\ra \bar B$ eine Abbildung auf den Indexmengen die Notation $$\mathcal M^\curlyvee_\varphi(A,B)\pdef \big(\mathcal M(A|_{\varphi^{-1}(j)},B_j)\big)_{j\in \bar B} $$ f"ur die entsprechende Kleinfamilie von Objekten von $\mathcal S$, so da"s unsere Multiverkn"upfungen auch notiert werden k"onnen als $\mathcal S$-Verschmelzungen $$\mathcal M^\curlyvee_\varphi(A,B)\curlyvee \mathcal M(B,Y)\ra \mathcal M(A,Y)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Angereicherte Schmelzfunktoren}] Unter einem Schmelzfunktor $F$ von einer $\mathcal S$-Schmelzkategorie $\mathcal M$ in eine $\mathcal T$-Schmelzkategorie $\mathcal N$ "uber einem Schmelzfunktor der anreichernden Schmelzkategorien $\mathcal \varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ verstehen wir ein Datum bestehend aus einer\label{SCAmm} Abbildung $F: \mathcal M\ra \mathcal N$ auf den Objektmengen und $\mathcal T$-Morphismen $F:\varphi(\mathcal M(B,Y))\ra \mathcal N(FB,FY)$, die mit Multiverkn"upfungen vertr"aglich sind in der offensichtlichen Weise. Wir notieren so einen Schmelzfunktor $$F/\varphi: \mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal N/\mathcal T$$ Es ist klar, wie angereicherte Schmelzfunktoren zu verkn"upfen sind. Einigen Spezialf"allen geben wir eigene Namen und Bezeichnungen. \begin{enumerate} \item Angereicherte Schmelzfunktoren, die die Identit"at auf den Objektmengen sind, nennen wir {\bf objektfest};\index{objektfest} \item Angereicherte Schmelzfunktoren, bei denen die induzierten $\mathcal T$-Morphismen s"amtlich Isomorphismen $F:\varphi(\mathcal M(B,Y))\sira \mathcal N(FB,FY)$ sind, nennen wir {\bf $\varphi$-volltreu};\index{volltreu!$\varphi$-volltreu} \item Schmelzfunktoren von $\mathcal S$-Schmelzkategorien "uber $\varphi=\op{id}:\mathcal S\ra \mathcal S$ nennen wir {\bf $\mathcal S$-Schmelzfunktoren}.\index{Schmelzfunktor!$\mathcal S$-Schmelzfunktor} \end{enumerate} \label{SSF} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\mathcal M/\mathcal S$ eine angereicherte Schmelzkategorie erkl"aren wir einen {\bf Anreicherungsfunktor}\index{Anreicherungsfunktor}\label{ARF} $F:\mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal S$ als ein Datum bestehend aus einer Abbildung $F: \mathcal M \ra \mathcal S$ zwischen den jeweiligen Mengen von Objekten zusammen mit der Vorgabe von $\mathcal S$-Verschmelzungen $ \kappa_F(A,Y):F(A)\curlyvee\mathcal M(A,Y)\ra F(Y)$ f"ur jede Objektkleinfamilie $A$ und jedes Objekt $Y$ von $\mathcal M$ mit den offensichtlichen Vertr"aglichkeiten. Jeder Anreicherungsfunktor induziert in offensichtlicher Weise einen angereicherten Schmelzfunktor $$F/{\op{L}}_{\mathcal S}: \mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal S/{\op{kEns}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine $\mathcal S$-Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ erkl"aren wir ihren {\bf angereicherten Leerverschmelzungsfunktor}\index{Leerverschmelzungsfunktor!angereicherter} als den Anreicherungsfunktor $\op{L}=\op{L}_{\mathcal M}=\op{L}^{\mathcal S}_{\mathcal M}: \mathcal M/\mathcal S\ra\mathcal S$ gegeben durch $\op{L}(X)\pdef \mathcal M(\curlyvee,X)$. Dieser Anreicherungsfunktor induziert insbesondere wie in \ref{ARF} besprochen einen angereicherten Schmelzfunktor $$\op{L}={\op{L}}_{\mathcal M}/{\op{L}}_{\mathcal S} :\mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal S/{\op{kEns}}$$ Besitzt $\mathcal S$ Multihom, so induziert er, wie wir in \ref{Arff} besprechen werden, sogar einen angereicherten Schmelzfunktor $$\op{L}={\op{L}}_{\mathcal M}/{\mathcal S} :\mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal S^{\op{sa}}/{\mathcal S}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Umstrukturieren}] Gegeben ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ wird aus jeder $\mathcal S$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M/\mathcal S$ in offensichtlicher Weise eine $\mathcal T$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\varphi(\mathcal M/\mathcal S)$ mit derselben Menge von Objekten. Wir verwenden daf"ur je nach Kontext die Notationen $\varphi(\mathcal M/\mathcal S)=\varphi(\mathcal M)=\mathcal M/\mathcal T$ und nennen diese Konstruktion das {\bf Umstrukturieren von $\mathcal M$ mit $\varphi$}.\label{Umstr}\index{Umstrukturieren!von angereicherter Schmelzkategorie} In dieser Situation ist die Identit"at auf der Menge der Objekte zusammen mit der Identit"at auf $\varphi(S)$ f"ur alle Verschmelzungsobjekte $S$ ein objektfester $\varphi$-volltreuer angereicherter Schmelzfunktor $$U/\varphi: \mathcal M/\mathcal S\ra \mathcal M/ \mathcal T$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein Kring. Wir k"onnen jede in $k$-Moduln angereicherte Schmelzkategorie umstrukturieren zu einer in abelschen Gruppen angereicherten Schmelzkategorie und weiter zu einer in $\op{kEns}$ angereicherten alias gew"ohnlichen Schmelzkategorie, indem wir erst die $k$-Operation und dann auch noch die Gruppenstruktur auf den Verschmelzungsobjekten vergessen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben $(\mathcal S,v)$ eine Schmelzkategorie mit einem treuen Schmelzfunktor $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$\label{stSCH} liefert jede $\mathcal S$-Schmelzkategorie eine Schmelzkategorie mit $(\mathcal S,v)$-Struktur durch Umstrukturieren mit der Schmelz"aquivalenz $\mathcal S\sirra \op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$. Ist unsere Schmelz"aquivalenz ein Isomorphismus $\mathcal S\sira \op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$ von Schmelzkategorien, so k"onnen wir diese Umstrukturierung auch r"uckg"angig machen. Zum Beispiel liefern im Fall der abelschen Gruppen unsere Konstruktionen einen Isomorphismus $\op{Ab}\sira \op{kEns}_{(\op{Ab},v)}$ und in diesem Sinne ist eine in $\op{Ab}$ angereicherte Schmelzkategorie dasselbe wie eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom erhalten wir\label{MlS} eine $\mathcal M$-Schmelzkategorie $\mathcal M^{\op{sa}}/\mathcal M$ mit derselben Objektmenge, mit den fraglichen Multihomobjekten als Verschmelzungsobjekten $$\mathcal M^{\op{sa}}(B,Y)\pdef (B{\Rrightarrow}Y)$$ und mit analog zu \ref{VMoX} erkl"arten Multiverkn"upfungen. Wir nennen diese $\mathcal M$-Schmelzkategorie die {\bf Selbstanreicherung von $\mathcal M$}.\label{ASs} Unsere Bijektionen zwischen der Menge der Leerverschmelzungen in das Multihom und der Verschmelzungsmenge der entsprechenden Objekte $\mathcal M(\curlyvee,B{\Rrightarrow}X)\sira \mathcal M(B,X)$ aus \ref{MorEk} liefern in ihrer Gesamtheit zusammen mit der Identit"at auf der Objektmenge einen objektfesten Isomorphismus $${\op{L}}(\mathcal M^{\op{sa}})\sira \mathcal M$$ zwischen der Umstrukturierung der Selbstanreicherung mit dem Leerverschmelzungsfunktor und der urspr"unglichen Schmelzkategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Besitzt die anreichernde Schmelzkategorie $\mathcal S$ Multihom, so sind Anreicherungsfunktoren $F:\mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal S$ dasselbe wie angereicherte Schmelzfunktoren\label{Arff} $F/\mathcal S:\mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal S^{\op{sa}}/\mathcal S$ in die Selbstanreicherung von $\mathcal S$ nach \ref{ASs}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Selbstanreicherung bei treuem Leerverschmelzungsfunktor}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom und treuem Leerverschmelzungsfunktor notieren wir $\mathcal M/\op{kEns}_{(\mathcal M,\op{L})}$ die Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit der in \ref{trLO} beschriebenen $(\mathcal M,\op{L})$-Struktur. Wir erhalten in diesem Fall einen objektfesten $[\op{L}]$-volltreuen angereicherten Schmelzfunktor $$\mathcal M^{\op{sa}}/\mathcal M\ra \mathcal M/\op{kEns}_{(\mathcal M,\op{L})}$$ "uber der Schmelz"aquivalenz $[\op{L}]:\mathcal M\sirra \op{kEns}_{(\mathcal M,\op{L})}$ nach \ref{SStr}. Unsere beiden angereicherten Schmelzkategorien sind also salopp gesprochen dieselben bis auf die Schmelz"aquivalenz $[\op{L}]$ zwischen den anreichernden Schmelzkategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $F/\varphi,G/\varphi : \mathcal M/\mathcal S \ra \mathcal N/\mathcal T$ angereicherte Schmelzfunktoren im Sinne von \ref{SCAmm} erkl"aren wir eine {\bf Transformation $\tau: F\RA G$ von angereicherten Schmelzfunktoren} als eine Vorschrift, die jedem Objekt $X\in\mathcal M$ eine Leerverschmelzung $\tau_X\in_{\mathcal T}\mathcal N(FX,GX)$ so zuordnet, da"s f"ur jede Kleinfamilie $B$ in $\mathcal M$ und jedes Objekt $Y\in\mathcal M$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc}\varphi\mathcal M(B,Y)&\ra&\mathcal N(FB,FY)\\ \da&&\da\\ \mathcal N(GB,GY)&\ra&\mathcal N(FB,GY) \end{array} $$ kommutiert mit den durch Nachschalten von $\tau_Y$ beziehungsweise Vorschalten des Tupels $\tau_B$ gegebenen Morphismen nach rechts unten. Die Menge aller derartigen Schmelzfunktoren wird mit den Transformationen als Morphismen selbst eine Kategorie. Wir notieren sie\index{SCat@$\op{SCat}_\varphi$ angereicherte Schmelzfunktoren} $$\op{SCat}_\varphi(\mathcal M,\mathcal N)$$ und im Fall $\varphi=\op{id}:\mathcal S\ra\mathcal S$ aussagekr"aftiger $\op{SCat}_{\mathcal S}(\mathcal M,\mathcal N)$\index{SCat@$\op{SCat}_{\mathcal S}$ angereicherte Schmelzfunktoren} und im besonders relevanten Unterfall $\mathcal S=\op{Mod}_k$ abk"urzend $\op{SCat}_{k}(\mathcal M,\mathcal N)$.\label{TAS} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im allgemeinen besitzt eine Kategorie angereicherter Schmelzfunktoren selbst keine nat"urliche Anreicherung. Zum Beispiel ist in der in \ref{frAA} eingef"uhrten Notation $\op{SCat}(\op{scat},\op{Ab})= \op{SCat}_\DZ(\op{Ab}\frei\op{scat},\op{Ab}^{\op{sa}})$ %war ^{\op{as}} die Kategorie $\op{Kring}$ der kommutativen Ringe und es gibt keine nat"urliche Addition von Kringhomomorphismen. Im Fall angereicherter Funktoren gew"ohnlicher angereicherter Kategorien sieht es aber besser aus und wird in \eref{LimS}{TD} folgende diskutiert. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren analog in einer Schmelzkategorie angereicherte Trennkategorien und die zugeh"origen angereicherten Trennfunktoren und dergleichen.\label{AgTr} \end{Bemerkungl} \subsection{Homotopiekategorie der Komplexe} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Additive Struktur der Schmelzkategorie der Komplexe}] Wir erinnern aus \ref{Ketn}, \ref{KomAG} die Schmelzkategorie mit Multihom $\op{dgAb}$. Ihr Leerverschmelzungsfunktor faktorisiert als ${\op{L}}=v\circ \mathcal Z^0$ mit $\mathcal Z^0: \op{dgAb}\ra \op{Ab}$ dem Schmelzfunktor der Nullzykel und $v:\op{Ab}\ra \op{kEns}$ dem Schmelzfunktor des Vergessens der Addition. Diese Faktorisierung macht $\op{dgAb}$ nach \ref{adTL} zu einer $\op{Ab}$-Schmelzkategorie. Die zugeh"orige additive Struktur ist die offensichtliche. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzfunktor der nullten Homologie}] F"ur $X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r\ra Y$ eine Verschmelzung in $\op{dgAb}$ liefert die auf den Nullzykeln induzierte Verschmelzung $\mathcal Z^0X_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal Z^0X_r\ra \mathcal Z^0Y$ von abelschen Gruppen ihrerseits auf der Homologie eine weitere Verschmelzung $\mathcal H^0X_1\curlyvee\ldots\curlyvee \mathcal H^0X_r\ra \mathcal H^0Y$ von abelschen Gruppen. Damit wird die nullte Homologie zu einem Schmelzfunktor $\mathcal H^0: \op{dgAb}\ra\op{Ab}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren die $\op{Ab}$-Schmelzkategorie $\op{Hot}$\index{Hot@$\op{Hot}$ Homotopiekomplexe} der {\bf Homotopiekomplexe}\index{Homotopiekomplexe!Schmelzkategorie} als die \hyperref[Umstr]{Umstrukturierung}\label{MhmM} $$\op{Hot}={\op{Hot}}/{\op{Ab}}\pdef \mathcal H^0(\op{dgAb}^{\op{sa}})$$ der \hyperref[ASs]{Selbstanreicherung} von $\op{dgAb}$ mit dem Schmelzfunktor der nullten Homologie. In Formeln hat $\op{Hot}$ also dieselben Objekte wie $\op{dgAb}$ und Verschmelzungen in $\op{Hot}$ werden erkl"art durch $\op{Hot}(B,Y)\pdef \mathcal H^0(B{\Rrightarrow}_{\op{dgAb}}Y)$. Der Leerverschmelzungsfunktor von $\op{Hot}$ ist der Funktor der nullten Homologie, wir haben genauer offensichtliche Isomorphismen $$\op{Hot}(\curlyvee,Y)=\mathcal H^0(\curlyvee{\Rrightarrow}_{\op{dgAb}}Y)\sira \mathcal H^0Y$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine angereicherte Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ erkl"aren wir eine {\bf angereicherte universelle Verschmelzung}\index{universell!Verschmelzung!im angereicherten Fall}\index{Verschmelzung!universelle!im angereicherten Fall} oder kurz {\bf universelle Verschmelzung} als eine $\mathcal S$-Leerverschmelzung in ein Verschmelzungsobjekt $$u\in\mathcal S(\curlyvee, \mathcal M(X_1\curlyvee\ldots \curlyvee X_r, T))$$ derart, da"s f"ur jedes Objekt $Y$ das Vorschalten von $u$ einen Isomorphismus $$\mathcal M(T,Y)\sira \mathcal M(X_1\curlyvee\ldots \curlyvee X_r, Y)$$ induziert. Weiter erkl"aren wir eine {\bf angereicherte stabil universelle Verschmelzung}\index{stabil universell!Verschmelzung!angereichert}\index{Verschmelzung!stabil universelle!angereicherte} oder kurz {\bf stabil universelle Verschmelzung} als eine $\mathcal S$-Leerverschmelzung $u$ wie zuvor derart, da"s wir f"ur jedes Objekt $Y$ und jede Objektkleinfamilie $B$ einen Isomorphismus $$\mathcal M(T\curlyvee B,Y)\sira \mathcal M(X_1\curlyvee\ldots \curlyvee X_r\curlyvee B, Y)$$ erhalten durch das Vorschalten von $u\curlyvee\op{id}_B$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Universelle Verschmelzungen f"ur Selbstanreicherungen}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit stabil universellen Verschmelzungen und Multihom besitzt ihre Selbstanreicherung $\mathcal M^{\op{sa}}/\mathcal M$ angereicherte stabil universelle Verschmelzungen. Genauer ist das durch eine stabil universelle Verschmelzung $u:X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r\ra X_1\otimes\ldots\otimes X_r$ gegebene Element\label{suvsa} $$u\in \mathcal M(\curlyvee, (X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r\Rrightarrow X_1\otimes\ldots\otimes X_r))$$ eine angereicherte stabil universelle Verschmelzung. Ich skizziere hier nur eine Argumentation daf"ur, da"s $u:\curlyvee\ra (X\curlyvee Y\Rrightarrow X\otimes Y)$ eine angereichert universelle Verschmelzung ist. Es gilt ja zu zeigen, da"s das Vorschalten von $u$ f"ur jedes $Z$ einen Isomorphismus $$ (X\curlyvee Y \Rrightarrow Z) \sira (X\otimes Y \Rrightarrow Z)$$ induziert. Nach dem Yonedalemma reicht es zu zeigen, da"s f"ur jedes $W$ unser Isomorphismus in spe eine Bijektion $$\mathcal M(W, (X\curlyvee Y \Rrightarrow Z)) \sira \mathcal M(W,(X\otimes Y \Rrightarrow Z))$$ liefert. Das hinwiederum k"onnen wir einsehen, indem wir beide Seiten mit der Menge von 3-Verschmelzungen $\mathcal M(W\curlyvee X\curlyvee Y , Z)$ identifizieren. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Umstrukturieren stabil universeller Verschmelzungen}] Gegeben eine angereicherte Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ und ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ werden unter dem Umstrukturieren offensichtlich stabil universelle Verschmelzungen zu stabil universellen Verschmelzungen.\label{subsa} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Stabil universelle Verschmelzungen f"ur Homotopiekomplexe}] Die stabil universellen Verschmelzungen in $\op{dgAb}$ liefern nach \ref{suvsa} stabil universelle Verschmelzungen in der Selbstanreicherung $\op{dgAb}^{\op{sa}}$ und dann nach \ref{subsa} auch stabil universelle Verschmelzungen in der Homotopiekategorie $\op{Hot}$.\label{sukh} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine angereicherte Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ erkl"aren wir f"ur eine Objektkleinfamilie $B$ und ein Objekt $Z$ ein {\bf angereichertes Multihom}\index{Multihom! angereichertes} oder kurz {\bf Multihom} als ein Objekt $B{\Rrightarrow}Z$ zusammen mit Isomorphismen $$i_A: \mathcal M(A\curlyvee B,Z)\sira \mathcal M(A,B{\Rrightarrow}Z)$$ f"ur alle $A\in \mathcal M^\curlyvee$ derart, da"s f"ur jede weitere Objektkleinfamilie $C$ und jede Abbildung der Indexmengen $\bar A\ra \bar C$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \mathcal M^\curlyvee_\varphi(A,C)\curlyvee\mathcal M(C\curlyvee B,Z)&\sira &\mathcal M^\curlyvee_\varphi(A,C)\curlyvee\mathcal M(C,B{\Rrightarrow}Z)\\ \da&&\da\\ \mathcal M(A\curlyvee B,Z)&\sira &\mathcal M(A,B{\Rrightarrow}Z) \end{array}$$ kommutiert mit den von $i_C$ beziehungsweise $i_A$ induzierten Horizontalen und den von den angereicherten Multiverkn"upfungen induzierten Vertikalen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Multihom f"ur Selbstanreicherungen}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom wird dieses Multihom auch ein angereichertes Multihom f"ur\label{mhsa} ihre Selbstanreicherung $\mathcal M^{\op{sa}}/\mathcal M$, wenn wir denjenigen Isomorphismen $$i_A:\mathcal M^{\op{sa}}(A\curlyvee B,Z)\sira \mathcal M^{\op{sa}}(A,B{\Rrightarrow}Z)$$ alias $i_A:((A\curlyvee B){\Rrightarrow} Z)\sira (A{\Rrightarrow} (B{\Rrightarrow}Z))$ auszeichnen, die f"ur jedes Objekt $W$ dieselbe Verschmelzung $\mathcal M(W\curlyvee A\curlyvee B, Z)$ liefern. Ich arbeite das vorerst nicht weiter aus. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Umstrukturieren von Multihom}] Gegeben eine angereicherte Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ und ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ wird unter dem Umstrukturieren offensichtlich angereichertes Multihom zu angereichertem Multihom.\label{usmh} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Multihom f"ur Homotopiekomplexe}] Unser Multihom in $\op{dgAb}$ wird mit \ref{mhsa} ein Multihom in der Selbstanreicherung $\op{dgAb}^{\op{sa}}$ und liefert dann nach \ref{usmh} auch Multihom\label{mhkh} in der Homotopiekategorie $\op{Hot}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} In derselben Weise erkl"aren wir f"ur jeden Kring $k$ die $\op{Mod}_k$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rien der supergraduierten $k$-Moduln $\op{sgMod}_k$, der differentiellen graduierten $k$-Moduln $\op{dgMod}_k=\op{Ket}_k$ und der\label{htkr} Homotopiekomplexe von $k$-Moduln $\op{Hot}_k$ und konstruieren darin angereicherte stabil universelle Verschmelzungen und angereichertes Multihom. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die sogenannte {\bf totale Homologie}\index{Homologie!totale} $\mathcal H\pdef \bigoplus \mathcal H^q$ ist ein Schmelzfunktor $\mathcal H:\op{Hot}\ra \op{sgAb}$ von der Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe in die Schmelzkategorie der supergraduierten abelschen Gruppen.\label{juzt} Er macht universelle Leerverschmelzungen zu universellen Leerverschmelzungen, ist aber im allgemeinen nicht vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen. Ein allgemeinerer Zugang zu diesem Schmelzfunktor wird in \ref{NuVE} erkl"art. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein K"orper $k$ ist das Bilden der totalen Homologie eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien\label{Hkot} $$\mathcal H:\op{Hot}_k\sirra \op{sgMod}_k$$ und induziert mithin einen mit universellen Verschmelzungen und internem Hom vertr"aglichen Funktor $\mathcal H:\op{dgMog}_k\ra \op{sgMod}_k$. \nichtfinal{Hinweis: \eref{CWWk}{TS}.} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine $\op{Ab}$-Schmelzkategorie $\mathcal M$ erhalten wir eine $\op{Ab}^\DZ$-Schmelzkategorie $\mathcal M^\DZ$, indem wir Verschmelzungsobjekte erkl"aren durch $$\mathcal M(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)^n\pdef \prod_{i_1+\ldots+i_r+n=j}\mathcal M(X_1^{i_1}\curlyvee\ldots\curlyvee X_r^{i_r},Y^j)$$ und die Multiverkn"upfungen erkl"aren in der hoffentlich offensichtlichen Weise.\label{MVMZ} \end{Ubung} \newpage \section{Mehr zu Schmelzkategorien} \subsection{Moduln und Komoduln} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{Tunot}, da"s $X\curlyvee Y$ die durch $\{1,2\}$ indizierte Familie $1\mapsto X, 2\mapsto Y$ bezeichnet. Ich insistiere darauf, da"s hier nicht eine durch irgendeine andere zweielementige Menge indizierte Zweifamilie verstanden werden darf. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Verkn"upfung}\index{Verkn"upfung!in monotoner Schmelzkategorie} auf einem Objekt $A$ einer Schmelzkategorie verstehen wir eine Zweiverschmelzung $m=m_A:A\curlyvee A\ra A$. Ein Objekt mit Verkn"upfung nennen wir ein {\bf Magmaobjekt}\index{Magmaobjekt!in Schmelzkategorie} oder kurz {\bf Magma}\index{Magma!in Schmelzkategorie} unserer Schmelzkategorie.\label{StrS} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Verkn"upfung $m:A\curlyvee A\ra A$ auf einem Objekt einer Schmelzkategorie hei"st {\bf assoziativ}, wenn gilt $m\circ(m\curlyvee\op{id})= m\circ(\op{id}\curlyvee m)$. Ein Objekt einer Schmelzkategorie mit assoziativer Verkn"upfung hei"se ein {\bf Assoziativobjekt}.\index{Assoziativobjekt!in Schmelzkategorie} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Eins}\index{Eins!in Magma!von Schmelzkategorie} eines Magmas $A$ verstehen wir eine Leerverschmelzung $1=1_A:\curlyvee\ra A$ mit $m\circ(1\curlyvee\op{id})=\op{id}=m\circ(\op{id} \curlyvee 1)$. Ein Assoziativobjekt mit einer Eins nennen wir ein {\bf Monoidobjekt}\index{Monoidobjekt!in Schmelzkategorie} oder auch kurz ein {\bf Monoid}\index{Monoid!in Schmelzkategorie} unserer Schmelzkategorie. Die Eins ist nach "Ubung \ref{EeE} eindeutig betimmt, wenn es sie denn gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir m"ussen in Zukunft sorgf"altig unterscheiden zwischen der Eins eines Magmaobjekts $A$ und dem Einsobjekt einer Schmelzkategorie $\mathcal M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben zwei Monoide $A,B$ in ein- und derselben Schmelzkategorie verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von Monoidobjekten}\index{Homomorphismus!von Monoidobjekten} oder auch {\bf Monoidhomomorphismus}\index{Monoidhomomorphismus!in Schmelzkategorie} eine Einsverschmelzung $f:A\ra B$ mit den Eigenschaften $f\circ m_A=m_B\circ (f\curlyvee f)$ und $f\circ 1_A=1_B$. Unsere Monoide werden so selbst zu einer Kategorie. Jeder Schmelzfunktor induziert einen Funktor zwischen den jeweiligen Kategorien von Monoiden.\label{FuRO} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} All diese Begriffe verallgemeinern sich in offensichtlicher Weise auf den Fall monotoner Schmelzkategorien. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Eine Verkn"upfung $m:A\curlyvee A\ra A$ in einer Schmelzkategorie\label{StrSk} hei"st {\bf kommutativ}, wenn gilt $m=m\circ \hat\tau$ f"ur $\tau$ die nichttriviale Permutation. Ein Monoid mit kommutativer Verkn"upfung nennen wir wie in \ref{Kmon} ein {\bf Abmonoid}.\index{Abmonoid!in Schmelzkategorie} Unsere Abmonoide bilden eine volle Unterkategorie der Kategorie der Monoide. Jeder Schmelzfunktor induziert einen Funktor zwischen den jeweiligen Kategorien von Abmonoiden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten sind die Magmas, Monoide und Abmonoide der Schmelzkategorie $\op{kart}(\mathcal C)$ im hier erkl"arten Sinne genau unsere Magmas, Monoide und Abmonoide von $\mathcal C$ im "ublichen Sinne\nichtfinal{\;von \eref{VkOO}{AAG}}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die folgende Tabelle fa"st einige besonders wichtige Beispiele f"ur Magmas, Monoide und Abmonoide in Schmelzkategorien zusammen. \begin{center} \begin{tabular}{l|l|l|l} Schmelzkategorie&Magma&Monoid&Abmonoid\\[1mm] \hline &&&\\ $\op{kEns}$&Magma & Monoid&Abmonoid\\[1mm] ${\op{k}}\mathcal C$&Magma in $\mathcal C$& Monoid in $\mathcal C$&Abmonoid in $\mathcal C$\\[1mm] $\op{Ab}$&$\DZ$-Algebra&Ring&Kring\\[1mm] $\op{Mod}_K$&$K$-Algebra&$K$-Ringalgebra&$K$-Kringalgebra\\[1mm] %$\op{dgAb}$&&dg-Ring&dg-Kring\\[1mm] $\op{Ab}^\Gamma$&&$\Gamma$-graduierter Ring&$\Gamma$-graduierter Kring\\[1mm] $\op{sMod}_K$&&Superringalgebra&Superkringalgebra\\[1mm] $\op{filAb}$&&filtrierter Ring&filtrierter Kring\end{tabular} \end{center} Ein Monoidobjekt in der Schmelzkategorie der supergraduierten abelschen Gruppen $\op{sgAb}$ ist immer noch schlicht ein graduierter Ring, aber so ein Monoidobjekt ist kommutativ genau dann, wenn unser graduierter Ring {\bf superkommutativ}\index{superkommutativ} ist in dem Sinne, da"s gilt $ab=(-1)^{|a||b|}ba$ f"ur beliebige homogene Elemente $a,b$.\label{dgRing} \end{Beispiele} \begin{Beispiel}[\textbf{Monaden als Monoide}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ erhalten wir eine monotone Schmelzkategorie $\op{Cat}(\mathcal C)$ mit Funktoren $F:\mathcal C\ra\mathcal C$ als Objekten und der Ma"sgabe, da"s eine Verschmelzung von Endofunktoren in einen weiteren Endofunktor dasselbe sein soll wie eine Transformation der Komposition unserer Endofunktoren in den weiteren Endofunktor, in Formeln $$\op{Cat}(\mathcal C)(F_1\curlyvee\ldots\curlyvee F_r, G) \pdef \op{Cat}(\mathcal C)(F_1\circ\ldots\circ F_r, G)$$ und insbesondere $\op{Cat}(\mathcal C)(\curlyvee, G) \pdef \op{Cat}(\mathcal C)(\op{Id}, G)$ f"ur $\op{Id}$ den Identit"atsfunktor auf $\mathcal C$. Die Multiverkn"upfung wird der Leser leicht selbst erraten. Die Monoidobjekte dieser monotonen Schmelzkategorie hei"sen {\bf Monaden auf $\mathcal C$}.\index{Monade}\label{Monade} Gegeben ein Funktor $L:\mathcal C\ra \mathcal B$ mit Rechtsadjungiertem $R$ wird $F\pdef RL:\mathcal C\ra \mathcal C$ eine Monade mit $\varepsilon: \op{Id}\RA RL$ der Eins und $RL\circ RL=R(LR)L\RA RL$ gegeben durch $R\eta L$ der Verkn"upfung, wie der Leser zur "Ubung nachpr"ufen mag. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die {\bf Giery-Monade}\index{Giery-Monade} auf der Kategorie der Me"sr"aume ist der Funktor $G:\op{Me"s}\ra\op{Me"s}$, der jedem Me"sraum $X=(X,\mathcal A)$ den Me"sraum $\op{G}(X)= (\op{G}(X,\mathcal A),\mathcal B)$ zuordnet mit $\op{G}(X,\mathcal A)$ der Menge der Wahrscheinlichkeitsma"se auf $(X,\mathcal A)$ und $\mathcal B$ der kleinsten $\sigma$-Algebra, f"ur die f"ur alle $A\in \mathcal A$ die Abbildung $\op{ev}_A:\op{G}(X,\mathcal A)\ra [0,1]$, $\nu\mapsto \nu(A)$ me"sbar ist. Die Verkn"upfung $G\curlyvee G\ra G$ alias $G\circ G\RA G$ ordne jedem Wahrscheinlichkeitsma"s $\lambda$ auf $\op{G}(X,\mathcal A)$ seinen Durchschnitt zu, in Formeln das Wahrscheinlichkeitsma"s $A\mapsto \int \nu(A) \lambda\langle \nu\rangle$ auf $X$. Die Eins $u:\curlyvee\ra G$ ist die Transformation $u:\op{Id}\RA G$ gegeben durch $u_X: X\ra {\op{G}}(X)$ gegeben durch $u_X:x\mapsto \delta_x$. Die Unit"arassoziativit"at zeigen wir hier nicht. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Einsobjekte als Abmonoide}] In jeder Schmelzkategorie mit Eins $\mathbb I$ macht die offensichtliche Zweiverschmelzung $\mathbb I\curlyvee \mathbb I\ra\mathbb I$ unser Einsobjekt zu einem Abmonoid.\label{kmI} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Unter Koverkn"upfungen, Komagmas, Koassoziativobjekten, Komonoidobjekten, Koabmonoidobjekten und dergleichen in einer Trennkategorie verstehen wir die entsprechenden Begriffe in der dazu opponierten Schmelzkategorie.\index{Koabmonoid} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ausgeschrieben ist ein Komonoid einer Trennkategorie $\mathcal T$ ein Paar $(A,\mu)$ bestehend aus einem Objekt $A\in\mathcal T$ und einer Zweitrennung $$\mu: A\ra A\curlywedge A$$ mit dem Namen {\bf Komultiplikation}\index{Komultiplikation} derart, da"s gilt $(\mu\curlywedge \op{id})\circ\mu= (\op{id}\curlywedge\mu)\circ\mu: A\ra A\curlywedge A\curlywedge A$ und da"s es eine Leertrennung $\epsilon:A \ra \curlywedge$ gibt mit $ (\epsilon\curlywedge\op{id})\circ\mu=\op{id}= (\op{id}\curlywedge\epsilon)\circ\mu$. Diese Leertrennung ist dann eindeutig bestimmt und hei"st die {\bf Koeinheit}.\index{Koeinheit} Gilt zus"atzlich $\hat\tau\circ \mu=\mu$ f"ur $\tau\in\mathcal S_2$ das nichtneutrale Element, so ist unser Komonoid ein Koabmonoid. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Unter dem Trennfunktor $\op{Fun}:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$ der Funktionenr"aume \ref{skfu} liefert die banale Struktur auf einer Menge $X\in\curlywedge{\op{Ens}}$ als Koabmonoid eine Struktur als Koabmonoid der Trennkategorie $\op{Ab}^{\op{opp}}$ auf ihrem Funktionenraum ${\op{Fun}} (X)$, mithin eine Struktur als Abmonoid der Schmelzkategorie $\op{Ab}$ alias eine Struktur als Kring. So erhalten wir ein weiteres Mal die durch punktweise Multiplikation gegebene Ringstruktur auf $\op{Fun}(X)=\op{Ens}(X,\DZ)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die monotone Schmelzkategorie $\op{Cat}(\mathcal C)$ der Endofunktoren einer Kategorie $\mathcal C$ aus \ref{Monade} hat quasi per definitionem stabil universelle Verschmelzungen gegeben durch die Komposition von Funktoren und wird so eine monotone Trennschmelzkategorie. Die Komonoidabjekte dieser Trennschmelzkategorie hei"sen {\bf Komonaden auf $\mathcal C$}.\index{Komonade} Gleichbedeutend ist eine Komonade auf $\mathcal C$ eine Monade auf $\mathcal C^{\op{opp}}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ und darin ein Monoid $(R,m)$ verstehen wir unter einem {\bf $R$-$\mathcal M$-Monoidmodul}\index{Monoidmodul!in Schmelzkategorie} oder kurz {\bf $R$-Modul}\index{Modul!in Schmelzkategorie}\label{modO} ein Objekt $M\in\mathcal M$ mitsamt einer Zweiverschmelzung $$m_M:R\curlyvee M\ra M$$ mit der Eigenschaft, da"s gilt $m_M\circ (m\curlyvee \op{id})=m_M\circ (\op{id}\curlyvee m_M)$ im Raum der Verschmelzungen $ R\curlyvee R\curlyvee M\ra M$ und $m_M\circ (e\curlyvee \op{id})=\op{id}$ im Raum der Verschmelzungen $M\ra M$ f"ur $e:(\curlyvee)\ra R$ die Eins von $R$. Unsere Zweiverschmelzung $m_M$ hei"st die {\bf Operation von $R$ auf $M$}.\index{Operation!auf Objekt} Jeder Schmelzfunktor $F$ macht $R$-Objekte zu $F(R)$-Objekten. Ausf"uhlicher nennen wir unsere $R$-Moduln auch {\bf $R$-Linksmoduln}\index{Linksmodul!in Schmelzkategorie} und erkl"aren analog {\bf $R$-Rechtsmoduln}\index{Rechtsmodul!in Schmelzkategorie} und {\bf $R$-$S$-Bimoduln}\index{Bimodul!in Schmelzkategorie} f"ur zwei Monoide $R$ und $S$, bei denen wir eben die "ubliche Vertr"aglichkeit von Rechts- und Linksoperation fordern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Wie in \ref{RLMo} ausgef"uhrt kann man $R$-Rechts\-mo\-duln mit $R^{\op{opp}}$-Links\-mo\-duln identifizieren. Bei konkreten Rechnungen erlaubt jedoch die Arbeit mit Rechtsmoduln oft eine "ubersichtlichere Darstellung. Allgemeiner kann man Bimoduln als einen Spezialfall von {\bf Multimoduln}\index{Multimodul} $M$ "uber einer Familie von Monoiden $R_i$ sehen, bei denen eben Modulstrukturen $m_i:R_i\curlyvee M\ra M$ vorgegeben sind und f"ur $i\neq j$ die Vetr"aglichkeit $m_i\circ (\op{id}\curlyvee m_j)=m_j\circ (\op{id}\curlyvee m_i)\circ (\tau\curlyvee\op{id}): R_i\curlyvee R_j\curlyvee M\ra M$ gefordert wird. Bei konkreten Rechnungen erlaubt aber die Arbeit mit Bimoduln oft eine "ubersichtlichere Darstellung. Au"serdem bleiben Bimoduln ein sinnvolles Konzept in monotonen Schmelzkategorien, in denen Multimoduln oder opponierte Monoide nicht mehr sinnvoll erkl"art werden k"onnen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Seltener betrachten wir {\bf Assoziativmoduln}\index{Assoziativmodul} "uber Assoziativobjekten, bei denen wir im Unterschied zu Monoidmoduln keine Forderung an die Operation der Eins stellen, die es ja bei Assoziativobjekten gar nicht geben mu"s. Seltener betrachten wir auch die in \ref{muae} eingef"uhrten Objektmoduln "uber Objekten ohne Verkn"upfung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorien von Moduln}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ und darin ein Monoid $R$ bilden wir die Schmelzkategorien\label{SkMo} $\mathcal M_{R\curlyvee}={_{R\curlyvee}\mathcal M}$ und $\mathcal M_{\curlyvee R}$ der $R$-Linksmoduln beziehungsweise $R$-Rechtsmoduln als volle Schmelz\-un\-ter\-ka\-te\-go\-rien der multi"aquivarianten Schmelzkategorie aller $R$-Objektmoduln $\mathcal M_{R\curlyvee'}$ nach \ref{muae}. Ist $S$ ein weiteren Monoid in $\mathcal M$, so notieren wir die Schmelzkategorie der $R$-$S$-Bimoduln $${_{R\curlyvee}\mathcal M_{\curlyvee S}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Die folgende Tabelle fa"st einige besonders wichtige Beispiele f"ur Monoidmoduln in Schmelzkategorien zusammen. \begin{center} \begin{tabular}{l|l|l} Schmelzkategorie&Monoid&Objekt mit Operation\\[1mm] \hline &&\\ $\op{kEns}$& Monoid $G$& $G$-Menge\\[1mm] ${\op{k}}\mathcal C$& Monoid $G$ in $\mathcal C$&Objekt mit $G$-Operation\\[1mm] $\op{Ab}$&Ring&Modul\\[1mm] $\op{Mod}_K$&$K$-Ringalgebra&Modul\\[1mm] %$\op{dgAb}$&dg-Ring&dg-Modul\\[1mm] $\op{Ab}_\Gamma$&$\Gamma$-graduierter Ring&$\Gamma$-graduierter Modul\\[1mm] $\op{sMod}_K$&Superringalgebra&Supermodul\\[1mm] $\op{filAb}$&filtrierter Ring&filtrierter Modul \end{tabular} \end{center} \end{Beispiele} \begin{Beispiel}[\textbf{Operation durch das Einsobjekt}] In einer Schmelzkategorie mit Einsobjekt $\mathbb I$ ist f"ur jedes Objekt $X$ die offensichtliche Zweiverschmelzung $\mathbb I\curlyvee \op{X}\ra\op{X}$ eine Operation des Abmonoidobjekts $\mathbb I$ aus \ref{kmI}. Zum Beispiel tr"agt jede abelsche Gruppe eine nat"urliche Struktur als $\DZ$-Modul. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Kooperation}\index{Kooperation} eines Komonoids auf einem Objekt einer Trennkategorie verstehen wir eine Operation in der opponierten Schmelzkategorie. Die so erkl"arten Objekte nenn wir {\bf Komonoidkomoduln}\index{Komonoidkomodul} oder kurz {\bf Komoduln}.\index{Komodul} Zum Beispiel hei"st ein Objekt der Trennschmelzkategorie $\op{Mod}_K$ mit der Kooperation einer Koringalgebra ein Komodul im "ublichen Sinne. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein Morphismus $f:Z\ra X$ in einer Kategorie $\mathcal C$ wird $Z$ ein Komodul des banalen Koabmonoids $X\in \curlywedge \mathcal C$ vermittels der Kooperation $(f,\op{id}): Z\ra X\curlywedge Z$. Wir nennen ihn den {\bf banalen Komodul}\index{Komodul!banaler} zu $Z\in \mathcal C_X$.\label{banKo} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Varianten des Modulbegriffs in angereicherten Kategorien}] Gegeben eine angereicherte Kategorie $\mathcal M/\mathcal S$ und ein Monoid $\Omega$ in $\mathcal S$ erkl"aren wir einen {\bf $\Omega$-Monoidmodul}\index{Monoidmodul} als ein Paar $$(X,\mu)$$ aus einem Objekt $X\in \mathcal M/\mathcal S$ und einem Morphismus von $\mathcal S$-Monoiden $\mu:\Omega\ra \mathcal M(X)\pdef \mathcal M(X,X)$.\label{rOm} Ist $\Omega$ ein Assoziativobjekt und $\mu$ nur ein mit der Ver\-kn"up\-fung vertr"aglicher $\mathcal S$-Morphismus, so sprechen wir von einem {\bf $\Omega$-As\-so\-zia\-tiv\-mo\-dul}.\index{Assoziativmodul!$\Omega/\mathcal S$-Assoziativmodul} Ist $\Omega$ nur ein Objekt und $\mu$ nur ein $\mathcal S$-Morphismus, so sprechen wir von einem {\bf $\Omega$-Objektmodul}.\index{Objektmodul!$\Omega/\mathcal S$-Objektmodul} Meist sagen wir kurz {\bf $\Omega$-Modul}\index{Modul!$\Omega$-Modul} und hoffen, da"s aus dem Kontext hervorgeht, was genau gemeint ist. Einen {\bf Homomorphismus von $\Omega$-Moduln} $X\ra Y$ erkl"aren wir als eine Leerverschmelzung $\varphi\in_{\mathcal S}\mathcal M(X,Y)$ derart, da"s die beiden Morphismen $\Omega\ra \mathcal M(X,Y)$ "ubereinstimmen, die wir aus den Verkn"upfungen $\mathcal M(X,Y)\curlyvee \mathcal M(Y,Y)\ra \mathcal M(X,Y)$ beziehungsweise $\mathcal M(X,X)\curlyvee \mathcal M(X,Y)\ra \mathcal M(X,Y)$ erhalten durch Vorschalten von $\varphi\curlyvee \mu_Y$ beziehungsweise $\mu_X\curlyvee \varphi$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine Menge $\Omega$ ist ein $\Omega$-Mengenmodul im Sinne von \eref{OMO}{NAS} in der hier eingef"uhrten Terminologie ein $\Omega$-Objektmodul der trivial angereicherten Kategorie ${\op{Ab}}/{\op{kEns}}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Monoid $G$ und ein Ring $k$ ist eine Darstellung von $G$ "uber $k$ im Sinne von \eref{DMr}{NAS} in der hier eingef"uhrten Terminologie ein $G$-Monoidmodul der trivial angereicherten Schmelzkategorie ${\op{Mod}}_k/{\op{kEns}}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom und $\Omega\in \mathcal M$ sind die Strukturen auf $X\in \mathcal M$ als $\Omega$-Modul im Sinne von \ref{muae} von $\mathcal M$ in Bijektion zu den Strukturen auf\label{saRm} $X$ als $\Omega$-Modul im Sinne von \ref{rOm} in der Selbstanreicherung $\mathcal M^{\op{sa}}/\mathcal M$ vermittels der durch die Definition von internem Hom gegebenen Bijektion $$\mathcal M(\Omega\curlyvee X,X)\sira \mathcal M(\Omega, X{\Rrightarrow}X)$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Ich diskutiere in \eref{rDaSn}{TSF} Annahmen, unter denen unsere Moduln aus \ref{rOm} selbst eine Schmelzkategorie bilden. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine Eins eines Magmas in einer Schmelzkategorie ist eindeutig bestimmt, wenn sie denn existiert.\label{EeE} \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Gesamtheit aller monotonen Schmelzkategorien bildet selbst eine Kategorie\index{MSCat@$\op{MSCat}$ Gesamtheit aller monotonen Schmelzkategorien} $$\op{MSCat}$$ Deren finales Objekt $\op{mscat}$\index{mscat@$\op{mscat}$ finale monotone Schmelzkategorie} ist die monotone Schmelzkategorie mit nur einem Objekt und je einer Verschmelzung von jedem Grad $r\in\DN$. Gegeben eine monotone Schmelzkategorie $\mathcal M$ konstruiere man eine Bijektion zwischen Schmelzfunktoren $R:\op{mscat}\ra \mathcal M$ und Monoiden von $\mathcal M$.\label{MonoMul} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt von Monoidobjekten}] Existiert f"ur zwei Monoidobjekte $A,B$ einer Schmelzkategorie eine stabil universelle Verschmelzung $A\curlyvee B\ra A\otimes B$, so erhalten wir eine Struktur als Monoidobjekt auf $A\otimes B$ in der hoffentlich offensichtlichen Weise. Sind $A$ und $B$ kommutativ, so auch $A\otimes B$.\label{stMMx} Zusammen mit $\kappa\circ (\op{id}\curlyvee 1_B):A\ra A\otimes B$ und $\kappa\circ (1_A\curlyvee\op{id}):B\ra A\otimes B$ wird dann $A\otimes B$ ein Koprodukt in der Kategorie der Abmonoidobjekte unserer Schmelzkategorie. Analoges gilt f"ur Komonoidobjekte beziehungsweise Koabmonoidobjekte einer Trennkategorie. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Das Tensorprodukt zweier Ringalgebren "uber einem K"orper ist wieder eine Ringalgebra "uber besagtem K"orper. Andererseits ist auch das Supertensorprodukt zweier $\DZ/2\DZ$-graduierten Ringalgebren "uber einem K"orper $k$ wieder eine Ringalgebra. Sie hat denselben Vektorraum $A\otimes_k B$ als Grundraum, aber ihr Produkt\label{stMMxb} ist $(a\otimes b)(c\otimes d)=(-1)^{|b||c|}ac\otimes bd$. Wir verwenden daf"ur die Notation $A\bar{\otimes}_k B$ und h"atten sie auch bereits f"ur das Tensorprodukt von Elementen verwenden k"onnen.\index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!$\bar\otimes$ Supertensorprodukt} \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{Endomorphismenobjekte}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie.\label{EndX} Gegeben ein Objekt $X$, f"ur das das Homobjekt $X{\Rrightarrow} X$ existiert, wird es mit der Zweiverschmelzung $(X{\Rrightarrow} X)\curlyvee(X{\Rrightarrow} X)\ra (X{\Rrightarrow} X)$ aus \ref{VMoX} ein Monoidobjekt von $\mathcal M$. Wir nennen dies Monoid das {\bf Endomorphismenobjekt von $X$}\index{Endomorphismenobjekt} und notieren es\index{End@$\op{End}(X)=\op{End}_{\mathcal M}(X)$ Endomorphismenobjekt} $$\op{End}(X)=\op{End}_{\mathcal M}(X)$$ Gegeben eine Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom liefert das Tensorieren von internem Hom \ref{TMoX} f"ur beliebige Objekt $X,Y$ einen Homomorphismus von Monoidobjekten $\op{End}(X)\otimes\op{End}(Y) \ra \op{End}(X\otimes Y)$. Ist $X$ oder $Y$ starr im Sinne von \ref{starr}, so ist er ein Isomorphismus $$\op{End}(X)\otimes\op{End}(Y) \sira \op{End}(X\otimes Y)$$\end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Verkn"upfung $m:A\curlyvee A\ra A$ auf einem Objekt $A$ einer Schmelzkategorie erkl"aren wir die {\bf opponierte Verkn"upfung}\index{opponiert!Verkn"upfung} $m^{\op{opp}}\pdef m\circ \hat\tau$ f"ur $\tau$ die nichttriviale Permutation von zwei Objekten. Unser Objekt $A$ mit dieser Verkn"upfung notieren wir $A^{\op{opp}}$. Ist $A$ ein Monoid, so auch $A^{\op{opp}}$. Genau dann ist $A$ in dieser Situation ein Abmonoid, wenn die Identit"at auf $A$ ein Monoidhomomorphismus $A\ra A^{\op{opp}}$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Rechts- und Linksmoduln}] Gegeben eine Schmelzkategorie mit einem Monoid $R$ erhalten wir einen Isomorphismus von Kategorien zwischen der Kategorie der $R$-Linksmoduln und der $R^{\op{opp}}$-Rechtsmoduln, indem wir jedem $M$ mit Operation $m:R\curlyvee M\ra M$ dasselbe Objekt mit der Rechtsoperation $m\circ\hat\tau: M\curlyvee R\ra M$ zuordnen.\label{RLMo} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Duale Moduln}] Gegeben eine Schmelzkategorie mit Eins und Multihom und darin ein Monoid $R$ und ein $R$-Modul $M$ wird $M^\vee\pdef (M{\Rrightarrow}\mathbb I)$ ein $R$-Rechtsmodul, indem man die Operation $R\curlyvee M\ra M$ umschreibt zu einem Morphismus $R\ra (M{\Rrightarrow}M)$ und dann von der durch Verkn"upfen gegebenen Verschmelzung $(M{\Rrightarrow}M) \curlyvee (M{\Rrightarrow}\mathbb I)\ra (M{\Rrightarrow}\mathbb I)$ ausgeht und sie mit den Definitionen umschreibt zu einem Morphismus $(M{\Rrightarrow}M) \ra (M^\vee{\Rrightarrow}M^\vee)$ und so bei einer Verschmelzung $R\ra (M^\vee{\Rrightarrow}M^\vee)$ landet.\label{dMo} \end{Ubung} \subsection{Formeln f"ur Bimoduln*} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Bei der folgenden Diskussion von cap-Produkten haben wir gewisse Freiheiten in der Wahl unserer Konventionen. Um sie sinnvoll auszuf"ullen, sollte man mit monotonen Schmelzkategorien arbeiten. Dieses Fa"s m"ochte ich jedoch nicht "offnen und motiviere die getroffenen Wahlen deshalb nur mit dem Fall der monotonen Schmelzkategorie\label{duMO} $$\mathcal B$$ der Bimoduln "uber einem nicht notwendig kommutativen Ring $k$, den wir bereits in \ref{biMO} kurz angerissen haben. %\cite{BGS} 2.7. Insbesondere ist eine Leerverschmelzung zu einem Bimodul $X$ ein Element $x\in X$ mit $\lambda x=x\lambda\;\forall \lambda\in k$ und eine universelle Leerverschmelzung $\curlywedge \ra \mathbb I$ das Element $1\in k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtshom und Linkshom}] Sei $k$ ein Ring. Gegeben $k$-Linksmoduln $V,W$ bilden wir ganz allgemein die abelsche Gruppe $\op{Hom}_k(V,W)$. Im Fall von Bimoduln $X,Y$ ist das ein Bimodul $X{\Rrightarrow}_lY$ mit Linksoperation $\lambda f\pdef f\circ (\cdot \lambda)$ und Rechtsoperation $f\mu\pdef (\cdot \mu)\circ f$. Eine kurze Rechnung zeigt, da"s das Exponentialgesetz eine Bijektion $$\op{mh}_l:\mathcal B(X\curlyvee Y,Z)\sira \mathcal B(Y, X{\Rrightarrow}_lZ)$$ induziert. Andererseits betrachten wir den Bimodul $X{\Rrightarrow}_rY\pdef \op{Hom}_{-k}(X,Y)$ mit Linksoperation $\lambda g\pdef (\lambda\cdot)\circ g$ und Rechtsoperation $g\mu\pdef g\circ (\mu\cdot)$ und eine kurze Rechnung zeigt, da"s das Exponentialgesetz diesmal eine Bijektion $$\op{mh}_r:\mathcal B(X\curlyvee Y,Z)\sira \mathcal B(X, Y{\Rrightarrow}_rZ)$$ induziert. Die Identit"at auf unseren internen Homs induziert damit jeweils eine Zweiverschmelzung $$\varepsilon_l:X\curlyvee( X{\Rrightarrow}_lZ)\ra Z\qquad \qquad \varepsilon_r: ( Y{\Rrightarrow}_rZ)\curlyvee Y\ra Z$$ und durch Anwenden der jeweils anderen Adjunktion Morphismen $$X\ra (( X{\Rrightarrow}_lZ){\Rrightarrow}_r Z)\qquad\qquad Y\ra (( Y{\Rrightarrow}_rZ){\Rrightarrow}_lZ)$$ Wir erhalten speziell zwei Varianten $X^*\pdef (X{\Rrightarrow}_l\mathbb I)$ sowie $^*Y\pdef (Y{\Rrightarrow}_r\mathbb I)$ des Duals und Evaluationsverschmelzungen $ \varepsilon_l:X\curlyvee X^*\ra\mathbb I$ sowie $ \varepsilon_r:{^*Y}\curlyvee Y\ra\mathbb I$ und Evaluationen $\op{ev}_{r,X}:X\ra {^*(X^*)}$ sowie $\op{ev}_{l,Y}:Y\ra (^*Y)^*$. Schlie"slich erhalten wir Morphismen $X^*\otimes Y^*\ra (Y\otimes X)^*$ durch $(f\otimes g)(y\otimes x)\pdef g(yf(x))$ und $^*X\otimes {^*Y}\ra {^*(Y\otimes X)}$ durch $(f\otimes g)(y\otimes x)\pdef f(g(y)x)$ und analog f"ur l"angere Tensorprodukte. Auch sie mag man abstrakt erhalten wie im Fall gew"ohnlicher Schmelzkategorien. Die Verkn"upfungsverschmelzungen sind in diesem Fall Zweiverschmelzungen $$\op{vk}_l:(X{\Rrightarrow}_lY)\curlyvee (Y{\Rrightarrow}_lZ)\ra (X{\Rrightarrow}_lZ)\;\; \op{vk}_r:(Y{\Rrightarrow}_rZ)\curlyvee (X{\Rrightarrow}_rY)\ra (X{\Rrightarrow}_rZ)$$ gegeben durch $(f, g)\mapsto g\circ f$ beziehungsweise $(g, f)\mapsto g\circ f$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Endomorphismenmonoide}] Das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (X_2{\Rrightarrow}_rX_3)\curlyvee (X_1{\Rrightarrow}_rX_2)\curlyvee X_1 \ar[d]\ar[r]& (X_2{\Rrightarrow}_rX_3)\curlyvee X_2 \ar[d]\\ (X_1{\Rrightarrow}_rX_3)\curlyvee X_1 \ar[r]& X_3 } \end{displaymath} zeigt, da"s gegeben ein Monoid $B$ eine Verschmelzung $B\curlyvee X\ra X$ genau dann einen Linksmodul liefert, wenn der induzierte Morphismus $B\ra (X{\Rrightarrow}_r X)$ ein Monoidhomomorphismus ist. Das kommutative Diagramm\label{EmHH} \begin{displaymath} \xymatrix{ X_1\curlyvee (X_1{\Rrightarrow}_lX_2)\curlyvee (X_2{\Rrightarrow}_lX_3) \ar[d]\ar[r]& X_2\curlyvee (X_2{\Rrightarrow}_lX_3) \ar[d]\\ X_1\curlyvee (X_1{\Rrightarrow}_lX_3) \ar[r]& X_3 } \end{displaymath} zeigt, da"s gegeben ein Monoid $B$ eine Verschmelzung $X\curlyvee B\ra X$ genau dann einen Rechtsmodul liefert, wenn der induzierte Morphismus $B\ra (X{\Rrightarrow}_l X)$ ein Monoidhomomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisieren}] "Ubertragen wir das Dualisieren von internem Hom \ref{dIhh} in die Welt der Bimoduln, so erhalten wir Morphismen $(X{\Rrightarrow}_rY)\ra ({^*Y} {\Rrightarrow}_l{^*X})$ sowie $(X{\Rrightarrow}_lY)\ra (Y^* {\Rrightarrow}_rX^*)$ und diese passen mit den Ver\-kn"up\-fungs\-mor\-phis\-men in kommutative Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ (X{\Rrightarrow}_lY)\curlyvee (Y{\Rrightarrow}_lZ) \ar[d]\ar[r]& (X{\Rrightarrow}_lZ) \ar[d]\\ (Y^* {\Rrightarrow}_rX^*) \curlyvee (Z^* {\Rrightarrow}_rY^*) \ar[r]& (Z^* {\Rrightarrow}_rX^*) }\end{displaymath} \begin{displaymath} \xymatrix{ (Y{\Rrightarrow}_rZ)\curlyvee (X{\Rrightarrow}_rY) \ar[d]\ar[r]& (X{\Rrightarrow}_rZ) \ar[d]\\ ({^*Z} {\Rrightarrow}_l{^*Y}) \curlyvee ({^*Y} {\Rrightarrow}_l{^*X}) \ar[r]& ({^*Z} {\Rrightarrow}_l{^*X}) } \end{displaymath} Insbesondere induzieren sie Homomorphismen von Monoidobjekten $(X{\Rrightarrow}_lX)\ra (X^* {\Rrightarrow}_rX^*)$ und $(Z{\Rrightarrow}_rZ)\ra ({^*Z} {\Rrightarrow}_l{^*Z})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisieren von Moduln}] Gegeben ein Monoidobjekt $B$ und ein Linksmodul $X$ mit Operation $B\curlyvee X\ra X$ k"onnen wir sie nach \ref{EmHH} umschreiben zu einem Monoidhomomorphismus $B\ra(X{\Rrightarrow}_rX)$. Daraus erhalten wir einen Monoidhomomorphismus $B\ra ({^*X} {\Rrightarrow}_l{^*X})$ und daraus ${^*X}\curlyvee B\ra {^*X}$ und so wird ${^*X}$ nach \ref{EmHH} ein $B$-Rechtsmodul. Gegeben umgekehrt ein $B$-Rechtsmodul $Y$ mit Operation $Y\curlyvee B\ra Y$ k"onnen wir sie umschreiben zu einem Monoidhomomorphismus $B\ra(Y{\Rrightarrow}_lY)$ und erhalten daraus einen Monoidhomomorphismus $B\ra ({Y^*} {\Rrightarrow}_r{Y^*})$ und dann einen Linksmodul $B\curlyvee Y^*\ra Y^*$. Schlie"slich ist $X\ra ({^*X})^*$ ein Homomorphismus von Linksmoduln und $Y\ra {^*(Y^*)}$ ein Homomorphismus von Rechtsmoduln. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisieren eines Komonoids}] Gegeben Bimoduln $X,Y,Z$ "uber einem Ring $k$ liefert jeder Morphismus $Z\ra X\otimes Y$ einen Morphismus $Y^*\otimes X^*\ra (X\otimes Y)^*\ra Z^*$ sowie einen Morphismus $^*Y\otimes{^* X}\ra {^*(X\otimes Y)}\ra {^*Z}$. Gegeben ein Komonoid $(A,\Delta)$ erhalten wir so zwei Monoide $A^*$ und ${^*\!A}$.\label{bmM} Explizit haben wir $(fg)(a)=g(a_{(1)}f(a_{(2)}))$ f"ur $f,g\in A^*$ bei $\Delta(a)=a_{(1)}\otimes a_{(2)}$ mit nicht ausgeschriebener Summe in der Notation von Sweedler und f"ur $f,g\in {^*\!A}$ stattdessen $(fg)(a)=f(g(a_{(1)})a_{(2)})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cap-Produkt f"ur Komoduln}] Seien $k$ ein Ring und $(A,\Delta)$ ein Komonoid in der monotonen Schmelzkategorie $\mathcal B$ der $k$-Bimoduln und $M$ mit der Komultiplikation $\Delta_M: M\ra A\otimes M$ ein $A$-Komodul. So erkl"aren wir das {\bf Cap-Produkt} als die Verschmelzung $^*\!A\curlyvee M\ra M$ gegeben durch die Verkn"upfung $$^*\!A\curlyvee M\ra {^*\!A}\otimes M\ra {^*\!A}\otimes A\otimes M \ra {\mathbb I}\otimes M\ra M$$ mit $\op{id}\otimes\Delta$ gefolgt von $\varepsilon_l\otimes\op{id}$ in der Mitte. Man "uberzeugt sich unschwer, da"s dadurch $M$ ein $^*\!A$-Modul wird. In derselben Weise versehen wir jeden Rechtskomodul $M$ "uber $A$ mit der Struktur eines $A^*$-Rechtsmoduls und nennen auch diese Operation ein Cap-Produkt und notieren alle diese Cap-Produkte $\cap$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cap-Produkte f"ur Komonoide}] Seien $k$ ein Ring und $(A,\Delta)$ ein Komonoid in der monotonen Schmelzkategorie $\mathcal B$ der $k$-Bimoduln. So ist $A$ ein $A$-Komodul von rechts und von links und wird mit den cap-Produkten ein ${}^*\!A$-Linksmodul und ein $A^*$-Rechtsmodul. Man pr"uft leicht, da"s diese Strukturen kommutieren. Damit wird $A$ sogar ein $^*\!A$-$A^*$-Bimodul\label{capMb} $$A\in {_{^*\!A\curlyvee}\mathcal B_{\curlyvee A^*}}$$ Dasselbe gilt f"ur jeden Bikomodul, aber an dieser Stelle will ich die Terminologie der Bikomoduln nicht einf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktionsformeln}] Gegeben ein Ring $k$ und ein Komonoid $(A,\Delta)$ in der monotonen Trennschmelzkategorie $\mathcal B$ der $k$-Bimoduln stimmt die offensichtliche Struktur von $A^*$ als $A^*$-Linksmodul "uberein mit der Struktur, die $A^*$ als Dual des $A^*$-Rechtsmoduls $A$ mit seiner durch das Cap-Produkt gegebenen Rechtsoperation erh"alt. Analoges gilt f"ur $^*\!A$. In Formeln gilt also f"ur $f,g\in {^*\!A}$ und $a\in A$ stets $\varepsilon_r((fg)\curlyvee a)=\varepsilon_r(f\curlyvee (g\cap a))$ und f"ur $f,g\in {A^*}$ ebenso $\varepsilon_l(a\curlyvee(fg))=\varepsilon_l((a\cap f)\curlyvee g)$ und diagrammatisch geschrieben kommutieren die Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ ^*\!A\curlyvee {^*\!A}\curlyvee A\ar[d]\ar[r]& ^*\!A\curlyvee A \ar[d]\\ ^*\!A\curlyvee A \ar[r]& \mathbb I }\qquad \xymatrix{ A\curlyvee A^*\curlyvee A^*\ar[d]\ar[r]& A\curlyvee A^* \ar[d]\\ A\curlyvee A^* \ar[r]& \mathbb I } \end{displaymath} mit $\op{id}\curlyvee \varepsilon_r$ in der oberen Horizontale und $\op{mult}\curlyvee\op{id}$ in der linken Vertikale und analog f"ur die zweite Adjunktionsformel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektionsformeln f"ur Komoduln}] Gegeben ein Komonoidmorphismus $f:A\ra B$ erhalten wir einen Monoidmorphismus ${^*\!f}: {^*\!B}\ra {^*\!A}$. Andererseits l"a"st sich jeder $A$-Komodul $M$ zu einem $B$-Komodul erweitern in offensichtlicher Weise. Das Cap-Produkt des erweiterten Komoduls entsteht dann durch Restriktion aus dem Cap-Produkt des urspr"unglichen Komoduls und analog f"ur einen Rechtskomodul $N$. Wir erhalten so kommutative Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ {^*\!A}\curlyvee M\ar[d]& {^*\!B}\curlyvee M \ar[l]\ar[d]\\ M\ar@{=}[r]&M }\qquad\qquad \xymatrix{ N\curlyvee A^*\ar[d]& N\curlyvee B^* \ar[l]\ar[d]\\ N\ar@{=}[r]&N } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektionsformeln f"ur Komonoide}] Gegeben ein Komonoidmorphismus $f:A\ra B$ k"onnen wir unsere Projektionsformeln f"ur Komoduln zusammensetzen mit der Erkenntnis, da"s der Komonoidmorphismus $f:A\ra B$ auch ein Morphismus von $B$-Komoduln ist. Wir erhalten so kommutative Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ {^*\!A}\curlyvee A\ar[d]& {^*\!B}\curlyvee A\ar[d] \ar[r]\ar[l] & {^*\!B}\curlyvee B\ar[d]\\ A\ar@{=}[r]& A\ar[r] & B }\qquad \xymatrix{ {A}\curlyvee A^*\ar[d]& {A}\curlyvee B^* \ar[r]\ar[l]\ar[d] & {B}\curlyvee B^*\ar[d]\\ A\ar@{=}[r]& A\ar[r] & B } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \subsection{Cap-Produkt} \begin{Bemerkungl} F"ur das folgende nehmen wir den im vorhergehenden Abschnitt diskutierten Fall der monotonen Schmelzkategorie der $k$-Bimoduln f"ur einen Ring $k$ als Modell, spezialisiert auf den Fall, da"s $k$ kommutativ ist und da"s die Rechts- und Linksoperation von $k$ auf unseren Bimoduln "ubereinstimmt. Wir haben dann nur noch ein internes Hom ${\Rrightarrow}$, aber die zwei Varianten der Adjunktion bleiben verschieden und gehen auseinander hervor durch die Beziehung $$\op{mh}_l=\op{mh}_r\tau$$ Entsprechend gilt f"ur die Auswertungen $\varepsilon_l=\varepsilon_r\tau$. Wir finden $^*X=X^\vee=X^*$ und auch hier gilt f"ur die Auswertungen $\varepsilon_l=\varepsilon_r\tau$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cap-Produkt f"ur Komoduln}] Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom sowie ein Komonoid $A\in \mathcal M$ erhalten wir durch das Anwenden des Trennfunktors $\mathcal M^{\op{t}}\ra \mathcal M^{\op{ot}}$ des Dualisierens nach \ref{duOO} ein Komonoid $A^\vee$ in $\mathcal M^{\op{ot}}$ alias ein Monoid $A^\vee\in \mathcal M$. Das dazu opponierte Monoid notieren wir $$A^*\pdef (A^\vee)^{\op{opp}}$$ Gegeben ein $A$-Komodul $M$ erhalten wir auf $M$ eine Struktur als $A^*$-Modul, indem wir die Operation erkl"aren als die Komposition $$A^\vee\curlyvee M\ra A^\vee\otimes M\ra A^\vee\otimes A\otimes M\ra {\mathbb I}\otimes M\ra M$$ mit den offensichtlichen "au"seren Morphismen und $\op{id}\otimes \Delta$ als zweitem Morphismus \nichtfinal{(Echt wahr?)} f"ur $\Delta:M\ra A\otimes M$ die Kooperation sowie $(\op{ev}\tau_{12})\otimes\op{id}$ als drittem Morphismus f"ur $\op{ev}$ die Evaluation aus \ref{TKoX} und und $\tau$ jeweils die Vertauschung der entsprechenden Tensorfaktoren. Gegeben ein $A$-Rechtskomodul $N$ erhalten wir ebenso auf $N$ eine Struktur als $A^*$-Rechtsmodul, indem wir die Operation erkl"aren als die Komposition $$N\curlyvee A^\vee\ra N\otimes A^\vee\ra N\otimes A\otimes A^\vee\ra N\otimes {\mathbb I}\ra N$$ mit den offensichtlichen "au"seren Morphismen und $ \Delta\otimes\op{id}$ als zweitem Morphismus \nichtfinal{(Echt wahr?)} sowie $\op{id}\otimes\op{ev}$ als drittem Morphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cap-Produkte f"ur Komonoid}] Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom sowie ein Komonoid $A\in \mathcal M$ erhalten wir auf $A$ die Struktur eines $A^*$-Bimoduls\label{capM} $$A\in {_{A^*\curlyvee}\mathcal M_{\curlyvee A^*}}$$ durch die eben eingef"uhrten {\bf cap-Produkte}\index{cap-Produkt!abstraktes} $\cap$ von rechts und von links. \nichtfinal{?? Um das einzusehen mag man von \ref{duDI} ausgehen.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man kann denselben Formalismus auch in der opponierten Situation entwickeln. In dieser Situation mu"s dann aber auch das \glqq Opponierte zu Multihom\grqq\ zur Verf"ugung stehen und das ist in den von uns betrachteten Beispielen eher die Ausnahme als die Regel. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Schrott? \begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches zum dualisierten Komonoid}] Mir ist schmerzlich bewu"st, da"s es gute Gr"unde gibt, statt der hier getroffenen Wahl f"ur die Definition des zu einem Komonoid $A$ gebildeten dualen Monoids $A^\vee$ eine andere Wahl zu bevorzugen, bei der $A^\vee$ opponiert w"are zum $A^\vee$ in den hier vereinbarten Konventionen. \end{Bemerkungl}} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cap-Produkte eines kokommutativen Komonoids}] Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom sowie ein kokommutatives Komonoid $A\in \mathcal M$ ist auch $A^\vee$ ein kokommutatives Komonoid in $\mathcal M^{\op{ot}}$ und ein kommutatives Monoid in $\mathcal M$. Die cap-Produkte von links und rechts stimmen dann "uber\-ein im Sinne der Gleichheit $\cap\circ \tau=\cap: A^*\curlyvee A\ra A$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{ Schrott? \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktionsformel und Projektionsformel}] Gegeben $\mathcal M$ eine Trennschmelzkategorie mit Multihom sowie ein Komonoid $A\in \mathcal M$ pr"uft man f"ur das cap-Produkt von links leicht die "Ubereinstimmung der beiden Verschmelzungen $$A^\vee\curlyvee A^\vee\curlyvee A\ra\mathbb I$$ durch \glqq Produkt der vorderen Eintr"age gefolgt vom Auswerten $\op{ev}\circ\hat\tau$\grqq\ und \glqq Produkt der hinteren Eintr"age gefolgt vom Auswerten $\op{ev}\circ\hat\tau$\grqq. Diese Erkenntnis mag man die {\bf abstrakte Adjunktionsformel} nennen. Gegeben ein Komonoidmorphismus $f:A\ra B$ erhalten wir weiter einen Monoidmorphismus $f^\vee: B^\vee\ra A^\vee$ und die {\bf abstrakte Projektionsformel} in Gestalt eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ A^\vee\curlyvee A\ar[d]& B^\vee\curlyvee A \ar[r]\ar[l] & B^\vee\curlyvee B\ar[d]\\ A\ar[rr]& & B } \end{displaymath} \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{ Schrott?\begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternative Interpretation der Adjunktionsformel}] Gegeben $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie mit Multihom und Eins sowie ein Monoid $B\in \mathcal M$ ist $B$ stets ein $B$-Bimodul und $B^\vee$ erbt mit "Ubung \ref{dMo} eine Struktur als $B$-Bimodul $$B^\vee\in {_{B\curlyvee}\mathcal M_{\curlyvee B}}$$ Die Rechtsoperation auf $B^\vee$ kommt dabei von der Linksoperation von $B$ her und umgekehrt. Ist $\mathcal M$ sogar eine Trennschmelzkategorie und $A$ ein Komonoid, so k"onnen wir diese Erkenntnis auf das Monoid $A^\vee$ anwenden und erhalten einen $A^\vee$-Bimodul $A^{\vee\vee}\in {_{A^\vee\curlyvee}\mathcal M_{\curlyvee A^\vee}}$. Jetzt sollte die Adjunktionsformel besagen, da"s $\op{ev}_A:A\ra A^{\vee\vee}$ ein Homomorphismus von $A^\vee$-Bimoduln $$\op{ev}_A\in {_{A^\vee\curlyvee}\mathcal M_{\curlyvee A^\vee}}(A,A^{\vee\vee})$$ ist, zumindest wenn ich alle Wahlen richtig getroffen habe \dots \end{Bemerkungl}} \begin{Beispiel}[\textbf{Koringalgebra als Modul der dualen Ringalgebra}] Gegeben ein Kring $k$ betrachten wir die Trennschmelzkategorie mit Multihom $\op{Mod}_k$. Ein Komonoid $(A,\Delta)$ ist ein $k$-Modul $A$ zusammen mit einer $k$-linearen Abbildung $\Delta:A\ra A\otimes A$, der {\bf Komultiplikation}, die die {\bf Koassoziativit"atsbedingung} $ (\Delta \otimes \op{id}) \circ \Delta = (\op{id} \otimes \Delta) \circ \Delta $ erf"ullt und f"ur die es eine {\bf Koeins} gibt, also einen Kovektor $ \varepsilon:A\ra k$ derart, da"s aus $\Delta(a)=\sum b_i\otimes c_i$ folgt $a= \sum \varepsilon(b_i) c_i= \sum \varepsilon(c_i)b_i$. Gegeben eine Koringalgebra wird nun $A^*$ eine Ringalgebra, wenn wir sie mit der Multiplikation $A^*\otimes A^*\ra A^*$ versehen, die aus der Komultiplikation $\Delta$ durch Dualisieren und Vorschalten des offensichtlichen Homomorphismus $A^*\otimes B^*\ra (A\otimes B)^*$ im Fall $A=B$ entsteht. Das Einselement ist dann $\varepsilon\in A^*$.\label{caKKA} In dieser Situation wird $A$ ein $A^*$-Bimodul $$A\in A^*\op{-Mod-}A^*$$ mit der Linksoperation $f a\pdef \sum f(c_i) b_i$ f"ur $\Delta(a)=\sum b_i\otimes c_i$ und der Rechtsoperation $ af\pdef \sum f(b_i) c_i $. Diese Bimodulstruktur ist ein Beispiel f"ur unser abstraktes cap-Produkt. \end{Beispiel} \nichtfinal{\begin{Beispiel} Wohl Schrott. Um auch noch die Bedeutung der Adjunktionsformel herauszuarbeiten bemerken wir, da"s f"ur jede $k$-Ringalgebra $B$ ihr Dualraum $B^*$ ein $B$-Bimodul $$B^*\in B\op{-Mod-}B$$ wird vermittels der Operationen $b \beta\pdef \beta\circ (\cdot b)$ sowie $\beta b \pdef \beta\circ ( b\cdot)$ f"ur $b\in B$ und $\beta\in B^*$. Insbesondere wird so auch $A^{**}$ ein $A^*$-Bimodul. Die Adjunktionsformel kann verstanden werden als die Aussage, da"s das Auswerten $\op{ev}_A:A\ra A^{**}$ in unserer speziellen Situation ein Homomorphismus von $A^*$-Moduln ist. Sie ist sogar, wie man ebensoleicht erkennt, ein Homomorphismus von $A^*$-Bimoduln $$\op{ev}_A\in \op{Mod}_{A^*-A^*}(A,A^{**})$$ \end{Beispiel}} \begin{Beispiel}[\textbf{Cap-Produkte bei "au"seren Algebren}] Wir erinnern f"ur jeden Kring $k$ und jeden $k$-Modul $V$ das Biabmonoid $\bigwedge V$ in $\op{sgMod}_k$ aus \ref{AAB}. In dieser Situation erhalten wir einen Isomorphismus $\op{Alt}(V)=\bigoplus\op{Alt}^nV \sira (\bigwedge V)^\vee$ von der Ringalgebra der alternierenden Formen mit dem Shuffledachprodukt und der Graduierung mit $\op{Alt}^n(V)$ homogen vom Grad $-n$ nach $(\bigwedge V)^\vee$ durch die Vorschrift, da"s $(\omega, v_1\wedge \ldots \wedge v_n) \mapsto \omega(v_1, \ldots , v_n)$ der vertauschten Auswertung $\op{ev}\circ \tau: (\bigwedge V)^\vee\curlyvee \bigwedge V\ra {\mathbb I}=k$ entsprechen soll mit $\tau$ der Vertauschung der beiden Faktoren. Unser cap-Produkt von links entspricht dann derjenigen Struktur von $\bigwedge V$ als $\op{Alt}(V)$-Modul, unter der die Operation durch\label{geshE} {\bf geshuffeltes partielles Einsetzen}\index{geshuffelt!partielles Einsetzen} $$\omega \cap (v_1\wedge\ldots\wedge v_n) = \sum_{\sigma\in \mathcal S_{p,q}} \op{sgn}(\sigma)\omega (v_{\sigma (1)}, \ldots ,v_{\sigma(p)})\;v_{\sigma (p+1)}\wedge\ldots\wedge v_{\sigma (n)}$$ geschieht. Die Rechtsmodulstruktur kann in diesem Fall durch die Linksmodulstruktur ausgedr"uckt werden vermittels $$(v_1\wedge\ldots\wedge v_n)\cap \omega =(-1)^{pn}\omega \cap (v_1\wedge\ldots\wedge v_n)$$ Diese Formel spezialisiert unsere allgemeine Erkenntnis, da"s im Fall eines kommutativen Komonoids die \glqq cap-Produkte von links und rechts "ubereinstimmen\grqq. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dual eines Bimonoids}] Gegeben ein Bimonoid $A$ einer Trennschmelzkategorie ist $A$ selbst stets ein $A$-Bimodul. Haben wir Multihom, so ist nach \ref{dMo} damit auch $A^\vee$ ein $A$-Bimodul $$A^\vee\in A\op{-Mod-}A$$ Andererseits induziert die Komonoidstruktur auf $A$ eine Monoidstruktur auf $A^\vee$ und mit unseren Cap-Produkten ist auch umgekehrt $A$ ein $A^\vee$-Bimodul $$A\in A^\vee\op{-Mod-}A^\vee$$ Ich habe mir nicht so genau "uberlegt, welche Vertr"aglichkeiten hier im allgemeinen zu erwarten sein sollten. \nichtfinal{Ich hoffe auf Vertr"aglichkeiten wie in \eref{inser}{LA2}.} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{"Au"sere Bialgebra und alternierende Algebra}] Wir erinnern f"ur jeden Kring $k$ und jeden $k$-Modul $V$ das Biabmonoid $A\pdef \bigwedge V$ in $\op{sgMod}_k$ aus \ref{AAB}. Das duale Abmonoid ist $A^\vee = \op{Alt}V$. Dann ist sowohl $\op{Alt}V$ ein $\bigwedge V$-Modul durch partielles Einsetzen als auch $\bigwedge V$ ein $\op{Alt}V$-Modul durch das bereits in \ref{geshE} besprochene geshuffelte partielle Einsetzen. \nichtfinal{Zus"atzlich liefert in dieser speziellen Situation durch die universellen Eigenschaften jeder Morphismus $W\ra V^\top$ einen Ringalgebrenmorphismus $\bigwedge W\ra \op{Alt}V$ und noch spezieller liefert im Fall eines K"orpers $k$ (oder sogar allgemeiner?) jeder injektive Morphismus $W\hra V^\top$ eine Injektion $\bigwedge W\hra \op{Alt}V$ und f"ur endlichdimensionales $V$ erhalten wir so sogar einen Isomorphismus $\bigwedge V^\top\sira \op{Alt}V$. Das ist aber ein ganz besonderes Ph"anomen. Bereits im Fall der symmetrischen Bialgebra alias in $\op{gMod}_k$ gilt die analoge Aussage nur noch f"ur einen K"orper $k$ der Charakteristik Null.} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Symmetrische Bialgebra}] Wir erinnern f"ur jeden Kring $k$ und jeden $k$-Modul $V$ das Biabmonoid $A\pdef {\op{S}} V$ in $\op{gMod}_k$. Die Komultiplikation $\Delta:{\op{S}} V\ra {\op{S}} V\otimes_k {\op{S}} V$ ist dabei der Homomorphismus von $k$-Kringalgebren, der die durch $v\mapsto v\otimes 1 + 1\otimes v$ gegebene $k$-lineare Abbildung $V\ra {\op{S}} V\otimes_k {\op{S}} V$ fortsetzt. Das duale Monoid notieren wir $A^\vee = \op{Symu}V$. Die Notation ist eine Abk"urzung f"ur \glqq symmetrische Multilinearformen\grqq. Seine homogenen Komponenten sind die Moduln $\op{Symu}_{r}V=\op{Symu}^{-r}V=({\op{S}}^rV)^*$ aller multilinearen Abbildungen $V^{\times r}\ra k$, die ihren Wert nicht "andern, wenn man die Eintr"age permutiert. Der offensichtliche Isomorphismus $V^*\sira \op{Symu}_{1}V$ induziert einen nat"urlichen Kringalgebrenhomomorphismus ${\op{S}}(V^*)\ra \op{Symu}V$, aber hier ist die Situation komplizierter als im Fall der "au"seren Algebren und er ist auch im Fall eines endlichdimensionalen Vektorraums $V$ nur ein Isomorphismus im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null und sonst noch nicht einmal injektiv. Das ist gut zu sehen im Fall eines freien $k$-Moduls $V$ vom Rang Eins mit Basisvektor $v$. Dann haben wir $k[T]\sira {\op{S}}V$ vermittels $T\mapsto v$. Andererseits finden wir $$\Delta(T^n)=(T\otimes 1 + 1\otimes T)^n=\sum {n\choose i}T^i\otimes T^{n-i}$$ F"ur die zur Basis der $T^r$ dualen Basisvektoren $(T^r)^*\in \op{Symu}_{r}V$ ergeben sich so die Multiplikationsregeln $(T^r)^* (T^s)^* ={r+s\choose s} (T^{r+s})^*$ und $ (T^*)^r=r!(T^r)^*$ mit $T^*=(T^1)^*$. Es ist in diesem Kontext "ublich, f"ur unsere Basisvektoren die Notation $X^{(r)}\pdef (T^r)^*$ zu verwenden mit einer virtuellen Variablen $X$ und diese als {\bf dividierte Potenzen}\index{dividierte Potenzen} anzusprechen, da "uber $\DQ$ gilt $(T^r)^*=(T^*)^r/r!$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Bourbaki betrachtet in seiner Alg\`ebre, was wir in unserer Terminologie die \glqq cap-Pro\-duk\-te eines Komonoids der Trennschmelzkategorien mit Multihom $\op{gAb}$ und $\op{sgAb}$\grqq\ nennen w"urden, und verwendet daf"ur die Terminologie \glqq produits internes d'une cog\`ebre\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Raum der Ma"se als Modul "uber dem Funktionenring}] Der Trennschmelzfunktor $\op{Ma"s}_!:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}$ aus \ref{skfh} macht jede Menge $X$ mit ihrer banalen Struktur als Koabmonoid von $\curlywedge{\op{Ens}}$ zu einem Koabmonoid $A\pdef \op{Ma"s}_!(X)\in \op{Ab}$. Durch Dualisieren entsteht daraus wie bereits besprochen das Abmonoid $A^\vee=\op{Fun}(X)\in \op{Ab}$ der Funktionen auf $X$. Unser abstraktes cap-Produkt aus \ref{capM} liefert eine Operation $$\op{Fun}(X)\curlyvee \op{Ma"s}_!(X)\ra \op{Ma"s}_!(X)$$ In diesem Fall ist das, wie man unschwer einsieht, schlicht die nat"urliche Struktur der Gruppe der Ma"se als Modul "uber dem Ring der Funktionen.\label{MMF} Die abstrakte Adjunktionsformel spezialisiert in diesem Fall zur einigerma"sen banalen Identit"at $$\int (fg)\mu = \int f(g\mu)$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein langweiliges cap-Produkt}] In der Trennschmelzkategorie $\curlywedge{\op{Ens}}$ k"onnen wir zu jedem Objekt $X$ das banale Koabmonoid betrachten und es zu einem Abmonoid dualisieren. Unter dieser Konstruktion liefert jede Menge das immergleiche Einheitsmonoid. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Variante zum abstrakten cap-Produkt}] Seien eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom gegeben und ein Komonoid $A$ in $\mathcal M$ sowie ein $A$-Rechtskomodul $M\in \mathcal M_{\curlywedge A}$. Dann wird $M$ ein $A^\vee$-Modul in $\mathcal M$,\label{capMm} indem wir die Operation $A^\vee\curlyvee M\ra M$ erkl"aren als die Komposition $$A^\vee\curlyvee M\ra A^\vee\otimes M\ra A^\vee \otimes A\otimes M\ra {\mathbb I}\otimes M\ra M$$ mit den offensichtlichen "au"seren Morphismen und $\op{ev}\otimes \op{id}$ in der rechten Mitte und $\op{id}\otimes \tau \Delta_M $ in der linken Mitte f"ur $\Delta_M:M\ra M\otimes A$ die Kooperation auf $M$ und $\tau$ die Vertauschung der beiden Tensorfaktoren. Im Fall $M=A$ spezialisiert das zu unserem abstrakten cap-Produkt aus \ref{capM}. Wir nennen auch sie ein abstraktes cap-Produkt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Weitere Variante zum abstrakten cap-Produkt}] Seien gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom und ein Komonoid $A$ in $\mathcal M$ sowie ein $A$-Linkskomodul $M\in\mathcal M_{A\curlywedge}$. So erhalten wir eine nat"urliche Zweiverschmelzung $M^\vee\curlyvee M\ra A$ als die Komposition\label{aCV} $$M^\vee\curlyvee M\ra M^\vee \otimes M\ra M^\vee \otimes M\otimes A\ra {\mathbb I}\otimes A\ra A$$ mit $\op{id}\otimes\tau\Delta_M$ in der linken Mitte. Im Fall $M=A$ spezialisiert das zu unserem abstrakten cap-Produkt aus \ref{capM}. Wir nennen auch sie ein abstraktes cap-Produkt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Varianten zum cap-Produkt im Ma"se-Funktionen-Fall}] Ist $f:Z\ra X$ eine Abbildung und $Z$ der zugeh"orige banale Komodul nach \ref{banKo} "uber dem banalen Koabmonoid zu $X\in\curlywedge{\op{Ens}}$, so wird unter dem Trennschmelzfunktor $\op{Ma"s}_!:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}$ aus \ref{skfh} der Raum von Ma"sen $\op{Ma"s}_!(Z)$ ein Komodul zu $\op{Ma"s}_!(X)$. Vermittels des cap-Produkts wird dann $\op{Ma"s}_!(Z)$ ein Modul "uber dem Funktionenring $\op{Fun}(X)$ und man pr"uft unschwer, da"s diese Modulstruktur schlicht die Multiplikation mit der zur"uckgeholten Funktion ist, $\varphi\cap\mu=(\varphi\circ f)\mu$. Unsere zweite Verschmelzung erweist sich als das Bildma"s in $X$ des Produkts einer Funktion auf $Z$ mit einem Ma"s auf $Z$, in Formeln $\psi\cap \mu=f_*(\psi\mu)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Varianten zum cap-Produkt im topologischen Fall}] F"ur jedes Raumpaar ist $(\op{id},\op{id}):(X,\emptyset)\ra(X,A)\curlywedge (X,\emptyset)$ eine Rechtskooperation des banalen Koabmonoids $(X,\emptyset)$ auf $(X,A)$. F"ur $A\co X$ erhalten wir daraus vermittels unseres Trennfunktors der singul"aren Ketten $\op{S}:\op{Top}^{\co}\ra \op{Hot}$ aus \ref{SdRA} eine Rechtskooperation von ${\op{S}}X$ auf ${\op{S}}(X,A)$. F"ur beliebiges $A\subset X$ kann man so eine Rechtskooperation immer noch explizit konstruieren als die Komposition $${\op{S}}X\ra \op{S}(X\times X,A\times X)\sira \op{S}(X,A)\otimes \op{S}(X)$$ des Vorschubs unter der diagonalen Einbettung gefolgt von der von einer und jeder Alexander-Whitney-Transformation induzierten Kettenabbildung. Ebenso erh"alt man auch eine Linkskooperation. Unser abstrakter Formalismus \ref{aCV} macht daraus in $\op{Hot}$ eine Operation von ${\op{S}}^*X$ auf $\op{S}(X,A)$ sowie eine ausgezeichnete Verschmelzung $\op{S}^*(X,A)\curlyvee\op{S}(X,A)\ra {\op{S}}X$. Daraus erhalten wir mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H$ unmittelbar das relative cap-Produkt ${\op{H}}^*(X)\otimes {\op{H}}(X,A)\ra {\op{H}}(X,A)$ aus der singul"aren Homologietheorie,\nichtfinal{\eref{KcaP}{TS}} das ${\op{H}}(X,A)$ zu einem Modul "uber dem Kohomologiering macht, sowie ein weiteres cap-Produkt\label{Capkbv} $${\op{H}}^*(X,A)\otimes {\op{H}}(X,A)\ra {\op{H}}X$$ \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $\mathcal M$ eine Trennschmelzkategorie mit Multihom und darin $f:R\ra S$ Komonoidmorphismus und $M\ra N$ ein Homomorphismus "uber $f$ von einem Komodul "uber $R$ zu einem Komodul "uber $S$ der hoffentlich offensichtlichen Weise. So kommutiert mit dem in \ref{aCV} konstruierten cap-Produkt das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ M^\vee\curlyvee M\ar[d]& N^\vee\curlyvee M \ar[r]\ar[l] & N^\vee\curlyvee N\ar[d]\\ R\ar[rr]& & S} \end{displaymath} Speziell erhalten wir so im topologischen Fall die Vertr"aglichkeit f"ur das Cap-Produkt\nichtfinal{\eref{KcaP}{TS}}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Komonoid $A$ einer Trennschmelzkategorie faktorisiert die Multiplikation auf $A^\vee$ als\label{CapF} $$A^\vee\curlyvee A^\vee \ra (A{\Rrightarrow} A^\vee) = (A{\Rrightarrow}( A{\Rrightarrow}\mathbb I))\sira ((A\otimes A) {\Rrightarrow}\mathbb I)\ra (A {\Rrightarrow}\mathbb I)=A^\vee$$ mit den Morphismen aus \ref{VMoX} und \ref{IHOX} und dem Vorschalten der Komultiplikation. \end{Ubung} \subsection{Bimonoide und Hopfobjekte} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine \hyperref[TSK]{Trennschmelzkategorie}. Ein {\bf Bimonoid\index{Bimonoid} in $\mathcal M$} ist ein Tripel $(B,m,\Delta)$ bestehend aus einem Objekt $B$, einer Verkn"upfung $m:B\curlyvee B\ra B$ und einer Koverkn"upfung $\Delta:B\ra B\curlywedge B$ derart, da"s die folgenden Eigenschaften erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item $(B,m)$ ist ein Monoid; \item $(B,\Delta)$ ist ein Komonoid; \item Der induzierte Morphismus $\Delta:B\ra B\otimes B$ ist ein Monoidhomomorphismus f"ur die Monoidstruktur auf $B\otimes B$ aus \ref{stMMx}. \end{enumerate} Man zeigt dann unschwer \nichtfinal{aber nicht jetzt}, da"s zus"atzlich gilt: \begin{enumerate} \item[4.] Der von $m$ induzierte Morphismus $m: B\otimes B\ra B$ ist ein Komonoidhomomorphismus f"ur die Komonoidstruktur auf $B\otimes B$ aus \ref{stMMx}; \item[5.] Der vom neutralen Element $e:\curlyvee\ra B$ induzierte Morphismus $\mathbb I\ra B$ ist ein Komonoidmorphismus f"ur die Komonoidstruktur auf $\mathbb I$ aus \ref{kmI}; \item[6.] Die Koeins $\eta: B\ra \mathbb I$ von $(B,\Delta)$ ist ein Monoidmorphismus f"ur die Monoidstruktur auf $\mathbb I$ aus \ref{kmI}. \end{enumerate} Ein Bimonoid hei"st kommutativ, wenn das zugrundeliegende Monoid kommutativ ist. Ein Bimonoid hei"st kokommutativ, wenn das zugrundeliegende Komonoid kokommutativ ist. Ein Bimonoid, dessen Verkn"upfung und Koverkn"upfung beide kommutativ sind, ist dasselbe wie ein Biabmonoid im Sinne von \ref{Bikm}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Bimonoid $(B,m,\Delta)$ einer Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ ist die opponierte Struktur $(B,\Delta^\circ,m^\circ)$ ein Bimonoid der opponierten Trennschmelzkategorie $\mathcal M^{\op{opp}}$.\label{biMON} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jedes Monoid $(G,m)$ der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen wird mit der Diagonaltrennung $\Delta\pdef ({\op{id}},{\op{id}}):G\ra G\curlywedge G$ als Ko\-ver\-kn"up\-fung zu einem Bimonoid $(G,m,\Delta)$ der banalen Trennkategorie $\curlywedge {\op{Ens}}$. Dasselbe gilt f"ur jedes Monoid der kartesischen Schmelzkategorie einer beliebigen Kategorie mit endlichen Produkten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ein Bimonoid der Trennschmelzkategorie $\op{Mod}_k$ der Moduln "uber einem Kring $k$ nennen wir eine {\bf $k$-Biringalgebra}.\index{Biringalgebra} Ausgeschrieben ist das ein $k$-Modul $A$ mit einer Multiplikation, die ihn zu einer Ringalgebra macht, sowie einer Komultiplikation, die ihn zu einer Koringalgebra macht derart, da"s die Komultiplikation\label{biria} ein Homomorphismus von Ringalgebren ist f"ur die Multiplikation $$(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$$ auf $A\otimes A$ und die Koeins ein Homomorphismus von Ringalgebren $A\ra k$. In der Literatur hei"st diese Struktur meist k"urzer eine \glqq Bialgebra\grqq,\index{Bialgebra} aber das pa"st nicht zu unserem sehr allgemeinen Verst"andnis des Begriffs einer Algebra als \glqq Magma einer Modulschmelzkategorie\grqq. Gegeben eine endlichdimensionale Biringalgebra "uber einem K"orper ist ihr Dualraum in nat"urlicher Weise wieder eine Biringalgebra. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Jeder Trennschmelzfunktor macht Bimonoide zu Bimonoiden. Insbesondere macht unser Trennschmelzfunktor $\op{Ma"s}_!:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}$ aus \ref{skfh} jedes Monoid $G$ zu einer $\DZ$-Biringalgebra. Die zugeh"orige Ringalgebra ist unser Monoidring $\DZ G$\nichtfinal{\;aus \eref{GruR}{NAS}}. Die Komultiplikation macht $\sum a_g\delta_g$ zu $\sum a_g\delta_g\otimes \delta_g$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ verstehen wir unter einem {\bf Hopf-Objekt\index{Hopf-Objekt} von $\mathcal M$} ein Bimonoid $(H,m,\Delta)$, f"ur das %zus"atzlich ein Morphismus $S:H\ra H$ existiert derart, da"s das Diagramm\label{DeHop} \begin{displaymath} \xymatrix{ & H\otimes H \ar[r]^-{S \otimes \op{id}} & H \otimes H \ar[dr]^-{m}& \\ H \ar[ur]^-{\Delta} \ar[r]^-{\varepsilon} \ar[dr]_-{\Delta} &\mathbb I\ar@{=}[r] &\mathbb I \ar[r]^-1 & H\\ &H \otimes H \ar[r]_-{\op{id \otimes S}} & H \otimes H \ar[ur]_-{m} & } \end{displaymath} kommutiert.\label{hoMON} Solch ein $S$ ist dann eindeutig bestimmt, vergleiche "Ubung \ref{EvAn}, und hei"st auch in dieser Allgemeinheit {\bf Antipode}\index{Antipode}. Ein Biabmonoid mit Antipode nennen wir ein {\bf Hopfbiabmonoid}.\index{Hopfbiabmonoid} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Involutivit"at von Antipoden}] F"ur Antipoden gilt im allgemeinen $S^2\neq \op{id}$, ja eine Antipode muß noch nicht einmal ein Isomorphismus sein. Ist jedoch die Komultiplikation kokommutativ, so gilt das doch und folgt durch Verallgemeinern des Beweises der Involutivit"at des Invertierens im Fall von Monoidobjekten \eref{InvIi}{AAG}. Ist die Multiplikation unseres Hopfobjekts kommutativ, so funktioniert das opponierte Argument und unsere Antipode mu"s auch involutiv sein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Jede Gruppe $(G,m)$ wird zu einem Hopfobjekt $(G,m,\Delta)$ der banalen Trennkategorie $\curlywedge {\op{Ens}}$, indem wir als Koverkn"upfung die Diagonaltrennung $\Delta\pdef ({\op{id}},{\op{id}}):G\ra G\curlywedge G$ erg"anzen.\label{GoHo} Die Antipode ist in diesem Fall das Invertieren $S=\op{inv}:G\ra G$. Dasselbe gilt f"ur jedes Gruppenobjekt einer beliebigen Kategorie mit endlichen Produkten. \nichtfinal{Daf"ur mu"s mal ein Beweis ausgeschrieben werden.} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentiale als Hopfbiabmonoid}] Das Biabmonoid $D$ der Differentiale \ref{bbd} ist ein Hopfobjekt der Schmelzkategorie der supergraduierten abelschen Gruppen $\op{sgAb}$ mit Antipode $S:1\mapsto 1, d\mapsto -d$ alias ein Hopfbiabmonoid dieser Trennschmelzkategorie.\label{DAH} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{"Au"sere Algebra als Hopfbiabmonoid}] F"ur jeden Kring $k$ und jeden $k$-Modul $V$ ist das Biabmonoid $\bigwedge V$ aus \ref{AAB} ein Hopfbiabmonoid von $\op{sgMod}_k$ mit Antipode $S$ gegeben durch\label{AAH} $(-1)^n:\bigwedge^n V\ra \bigwedge^n V$. F"ur $k=\DZ$ und $V=\DZ d$ frei vom Rang eins erhalten wir als Spezialfall das Hopfobjekt der Differentiale \ref{DAH}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Kring $k$ hei"st ein Hopfobjekt der Trennschmelzkategorie $\op{Mod}_k$ eine {\bf Hopf-Algebra}.\index{Hopfalgebra}\label{HoAlg} Gegeben eine endlichdimensionale Hopf\-al\-ge\-bra "uber einem K"orper ist ihr Dualraum in nat"urlicher Weise wieder eine Hopf\-al\-ge\-bra. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Jeder Trennschmelzfunktor macht Hopfobjekte zu Hopfobjekten. Insbesondere macht unser Trennschmelzfunktor $\op{Ma"s}_!:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}$ aus \ref{skfh} jede Gruppe $G$ zu einer $\DZ$-Hopfalgebra. Die zuge"orige Ringalgebra ist unser Gruppenring $\DZ G$, die Komultiplikation macht $\sum a_g\delta_g$ zu $\sum a_g\delta_g\otimes \delta_g$ und die Antipode macht $\sum a_g\delta_g$ zu $\sum a_g\delta_{g^{-1}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Symmetrische Algebra als Hopfalgebra}] Gegeben ein Vektorraum $V$ wird die symmetrische Algebra ${\op{S}}V$ eine Hopf\-al\-ge\-bra mit der Komultiplikation $\Delta:{\op{S}}V\ra {\op{S}}V\otimes {\op{S}}V$ gegeben durch\label{SAH} $v\mapsto v\otimes 1+1\otimes v$ f"ur $v\in V$. Allgemeiner wird f"ur einen beliebigen Modul $V$ "uber einem beliebigen Kring $k$ so die symmetrische Algebra ${\op{S}}V$ eine $k$-Hopfalgebra. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Differentielle abelsche Gruppen als Darstellungen}] Wir erhalten ein $\op{Ab}$-Hopfbiabmonoid, indem wir den Polynomring $\DZ[\partial]$ in einer Variablen mit der Komultiplikation mit $\partial\mapsto \partial\otimes 1 + 1\otimes \partial$ versehen. Die Antipode wird dann beschrieben durch $\partial\mapsto -\partial$. Das ist ein Spezialfall von \ref{SAH}. Die Schmelzkategorie der Darstellungen dieses Hopfbiabmonoids ist unsere Schmelzkategorie der differentiellen abelschen Gruppen \ref{dABg}.\label{DiHo} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Symmetrische Algebra als Hopfobjekt}] Gegeben ein Vektorraum $V$ wird die symmetrische Algebra ${\op{S}}V$ ein Hopfobjekt der Trennschmelzkategorie $\op{gAb}$, wenn wir ${\op{S}}V$ mit der nat"urlichen Graduierung versehen, bei der wir $V$ in den Grad Eins setzen, und mit derselben Komultiplikation wie im ungraduierten Fall \label{SAHg}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}Typische Beispiele f"ur Hopfalgebren sind universelle Einh"ullende von Liealgebren\nichtfinal{ \eref{EihH}{HL}}. Mehr zu Hopfalgebren findet man etwa in \cite{Kassel}. \nichtfinal{Wie isses mit der Tensoralgebra?} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Jetzt mu"s man sich mal "uberlegen, da"s f"ur jeden Kring $k$ und jedes Objekt $V\in \op{sgMod}_k$ die Summe der symmetrischen Potenzen ${\op{S}}V$ ein Hopf\-ob\-jekt ist in nat"urlicher Weise. Das verallgemeinert \ref{AAH} und \ref{SAH} und mu"s seinerseits auf Einh"ullende von Liealgebrenobjekten und noch allgemeinere Schmelzkategorien verallgemeinert werden. Das will ich aber jetzt nicht ausf"uhren. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie topologischer Gruppen}] Jede topologische Gruppe $G$ kann nach \ref{GoHo} als Hopfobjekt der banalen Trennkategorie $\curlywedge {\op{Top}}$ aufgefa"st werden. Ist $k$ ein K"orper und ${\op{H}}^*G\pdef {\op{H}}^*(G;k)$ endlichdimensional, so ist nach der K"unnethformel der Kohomologie\nichtfinal{\;\eref{KFK}{TS}} der Trennfunktor $${\op{H}}^*: \curlywedge {\op{Top}}\ra \op{sgMod}_k^{\op{opp}}$$ vertr"aglich mit universellen Trennungen in endlich viele Kopien von $G$. Insbesondere macht er $G$ zu einem Hopfobjekt ${\op{H}}^*G$ der Trennkategorie $\op{sgMod}_k^{\op{opp}}$ alias der Schmelzkategorie $\op{sgMod}_k$. \nichtfinal{Es folgt, da"s ${\op{H}}^*G$ frei erzeugt ist als superkommutative graduierte $k$-Ringalgebra von endlich vielen Erzeugern in ungeraden Graden. Das war die Motivation von Heinz Hopf, der so weitreichende Einsichten in die Struktur der Kohomologieringe von Liegruppen gewann.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Verschmelzung unter kokommutativem Bimonoid}] Seien $\mathcal M$ eine Trennschmelzkategorie und $C\in \mathcal M$ ein kokommutatives Bimonoid. Wir betrachten in der "aquivarianten Schmelzkategorie der $C$-Objekte aus \ref{SOO} die volle Unterschmelzkategorie $$\mathcal M_{ C{\ssearrow}}\subset \mathcal M_{C{\ssearrow}\!'}$$ aller der $C$-Objekte, die sogar $C$-Moduln sind. So sind in Verallgemeinerung von \ref{Bikm} die Ziele der stabil universellen Verschmelzungen in $\mathcal M_{ C{\ssearrow}\!'}$ bereits selbst Moduln "uber $C$, geh"oren also in Formeln bereits zu $\mathcal M_{ C{\ssearrow}}$,\label{JntH} und sind dort a forteriori universelle, ja stabil universelle Verschmelzungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Internes Hom f"ur Moduln "uber kokommutativem Hopfobjekt}] Seien $\mathcal M$ eine Trennschmelzkategorie und $C\in \mathcal M$ ein kokommutatives Hopfobjekt. Besitzt $\mathcal M$ internes Hom,\label{IntHo} so besitzt auch $\mathcal M_{ C{\ssearrow}}$ internes Hom. Genauer erhalten wir ein internes Hom $X{\Rrightarrow}Y$ f"ur $X,Y\in \mathcal M_{ C{\ssearrow}}$, indem wir das interne Hom in $\mathcal M$ mit einer Modulstruktur $C\curlyvee (X{\Rrightarrow}Y)\ra(X{\Rrightarrow}Y)$ versehen. So eine Verschmelzung entspricht unter Adjunktion einem Morphismus $C\otimes (X{\Rrightarrow}Y)\otimes X\ra Y$. Wir erhalten ihn als die Ver\-kn"up\-fung $$\begin{array}{llll}C\otimes X\otimes (X{\Rrightarrow}Y)&\ra& C\otimes C\otimes X\otimes (X{\Rrightarrow}Y)&\text{mit $(\op{id}\otimes S)\Delta$ vorne,}\\ &\ra & C\otimes X\otimes (X{\Rrightarrow}Y)&\text{mit der Operation auf $X$,}\\ &\ra & C\otimes Y&\text{mit dem Auswerten,}\\ &\ra & Y&\text{mit der Operation auf $Y$.}\\ \end{array}$$ Der Leser mag ausschreiben, da"s das in der Tat auf $X{\Rrightarrow}Y$ eine Struktur als $C$-Modul ist und da"s sich unter der Adjunktion $(\otimes X, X{\Rrightarrow})$ Modulmorphismen entsprechen. Als Spezialfall erhalten wir das interne Hom von Komplexen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Objekte mit Operation eines Hopfbiabmonoids}] Zusammenfassend hat f"ur jedes Hopfbiabmonoid $C$ einer Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ mit Multihom auch unsere Trennschmelzkategorie $$\mathcal M_{C{\sacts}}$$ der \glqq Objekte mit $C$-Operation\grqq\ Multihom und das Vergessen der Operation ist vertr"aglich mit stabil universellen Verschmelzungen und Multihom.\label{OOBImh} Das erg"anzt, was wir bereits aus \ref{OOBI} "uber Objekte mit der Operation eines Biabmonoids wissen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Alles hier Gesagte gilt opponiert genauso f"ur Komoduln "uber einem kommutativen Bimonoid. Allerdings gilt es zu beachten, da"s gegeben eine Trennschmelzkategorie mit internem Hom die opponierte Trennschmelzkategorie keineswegs wieder internes Hom haben mu"s. So braucht etwa die Existenz von internem Hom in der Trennschmelzkategorie der algebraischen Darstellungen einer algebraischen Gruppe zus"atzliche Argumente und folgt nicht wie im Fall von Darstellungen von Liealgebren aus dem allgemeinen Formalismus. \end{Bemerkunge} \nichtfinal{DA IST WAS FALSCH!\begin{Bemerkunge} Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ versteht man unter einer {\bf Frobenius-Algebra in $\mathcal M$}\index{Frobeniusalgebra} ein Objekt mit einer Monoidstruktur und einer Komonoidstruktur $(A,m,\Delta)$ derart, da"s gilt $$(\op{id}\otimes m)\circ (\Delta\otimes \op{id})=\Delta\circ m= ( m\otimes\op{id})\circ(\op{id}\otimes \Delta)$$ Wir diskutieren diese Struktur hier nicht weiter. Ein tytisches Beispiel sind die Gruppenringe endlicher Monoide $G$, in denen alle drei Abbildungen f"ur $g,h\in G$ das Element $\delta_h\otimes\delta_g$ abbilden auf $\delta_{hg}\otimes\delta_g$. \end{Bemerkunge}} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Eindeutigkeit von Antipoden}] Man zeige die in \ref{hoMON} behauptete Eindeutigkeit der Antipode, wenn sie denn existiert. Hinweis: Man orientiere sich am Fall von Gruppenobjekten\nichtfinal{$\;$aus \eref{InvEi}{AAG}} und untersuche f"ur zwei Antipoden $S_1,S_2$ die Verkn"upfung $H\ra H\otimes H\otimes H \ra H\otimes H\otimes H \ra H$ von dreifacher Komultiplikation gefolgt von $S_1\otimes {\op{id}}\otimes S_2$ gefolgt von dreifacher Multiplikation.\label{EvAn} \end{Ubung} \subsection{Starrheit} \begin{Definition} Ein Objekt $X$ einer Schmelzkategorie hei"se {\bf universell tensorierbar},\index{tensorierbar!universell} wenn es mit jedem weiteren Objekt $Y$ eine stabil universelle Zweiverschmelzung $X\curlyvee Y\ra X\otimes Y$ besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit \hyperref[EiOb]{Eins} und die volle Unterkategorie $\mathcal M^{\op{ut}}$ der universell tensorierbaren Objekte erhalten wir durch $X\mapsto (X\otimes\;)$ einen volltreuen Funktor $\mathcal M^{\op{ut}}\vra \op{Cat}(\mathcal M,\mathcal M)$ zwischen den zugrundeliegenden gew"ohnlichen Kategorien. Ich erinnere an unsere Konvention, \glqq bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte Objekte\grqq\ als gleich zu behandeln. In dieser Konvention ist dann auch erst $(X\otimes\;)$ ein wohlbestimmter Funktor.\label{vtrk} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Objekt $X$ einer Schmelzkategorie mit Eins hei"st {\bf starr},\index{starr!in Schmelzkategorie}\label{starr} wenn es universell tensorierbar ist und wenn es dazu ein {\bf Adjunktionsdatum}\index{Adjunktionsdatum} $(X^\ast,\gamma)$ gibt bestehend aus einem weiteren universell tensorierbaren Objekt $X^\ast$ und einer Adjunktion $$\gamma: (X^\ast\otimes\;)\dashv ( X\otimes\;)$$ Ein Adjunktionsdatum $(X^\ast,\gamma)$ zu $X$ ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus aufgrund der Eindeutigkeit von Adjungierten und aufgrund unserer volltreuen Einbettung $X\mapsto(X\otimes\;)$ nach \ref{vtrk}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Eins einer Schmelzkategorie mit Eins ist offensichtlich stets starr. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Starrheitsdatum}\index{Starrheitsdatum} in einer Schmelzkategorie mit Eins ist ein Quadrupel $(X,X^\ast,\alpha,\beta)$ bestehend aus universell tensorierbaren Objekten $X,X^\ast$ und Morphismen $\alpha:\mathbb I\ra X^\ast\otimes X$ sowie $\beta: X\otimes X^\ast\ra \mathbb I$ derart, da"s die Kompositionen\label{StDat} \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[rr]^-{\op{id}_X\otimes\alpha} && X\otimes X^\ast\otimes X \ar[rr]^-{\beta\otimes\op{id}_X} && X \\ X^\ast \ar[rr]^-{\alpha\otimes\op{id}_{X^\ast}} && X^\ast\otimes X\otimes X^\ast \ar[rr]^-{\op{id}_{X^\ast}\otimes\beta} && X^\ast } \end{displaymath} die Identit"at auf $X$ beziehungsweise $X^\ast$ sind. Gegeben ein Adjunktionsdatum $(X^*,\gamma)$ f"ur $X$ in einer Schmelzkategorie mit Eins erhalten wir ein Starrheitsdatum f"ur $X$, indem wir als $\alpha$ die Einheit der Adjunktion ausgewertet auf $\mathbb I$ nehmen gefolgt von der Einsbedingung und als $\beta$ die Koeinheit der Adjunktion mit der invertierten Einsbedingung vorgeschaltet, das alles aufgrund der allgemeinen Beschreibung \nichtfinal{\eref{FADJj}{TF}} einer Adjunktion durch ihre Einheit und Koeinheit. Gegeben ein Starrheitsdatum f"ur $X$ erhalten wir umgekehrt ein Adjunktionsdatum f"ur $X$ wieder nach der allgemeinen Beschreibung \nichtfinal{\eref{FADJj}{TF}} einer Adjunktion durch ihre Einheit und Koeinheit und diese beiden Konstruktionen sind zueinander invers. Ein Objekt $X$ einer Schmelzkategorie mit Eins ist also genau dann starr, wenn es sich zu einem Starrheitsdatum erg"anzen l"a"st, und dieses Starrheitsdatum wird durch $X$ eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erhaltung von Starrheit unter Schmelzfunktoren}] Ein mit stabil universellen Verschmelzungen vertr"aglicher Schmelzfunktor zwischen Schmelzkategorien mit Eins macht offensichtlich jedes\label{ESSC} Starrheitsdatum zu einem Starrheitsdatum und damit starre Objekte zu starren Objekten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es wird sich gleich herausstellen, da"s jedes Starrheitsdatum $(X,X^*,\alpha,\beta)$ die Existenz des internen Homobjekts $(X{\Rrightarrow}{\mathbb I})$ impliziert und einen Isomorphismus $X^\ast\sira X^\vee=(X{\Rrightarrow}{\mathbb I})$ liefert. Sobald das gezeigt ist, geben wir die Notation $X^\ast$ wieder auf. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In einer Schmelzkategorie mit Eins ist mit $X$ ist auch $X^\ast$ starr. Genauer entsteht aus jedem Starrheitsdatum $(X,X^\ast,\alpha,\beta)$ durch das Nachschalten der Vertauschungen $\tau$ ein Starrheitsdatum $(X^\ast,X,\beta\tau, \tau \alpha)$, wie nebenstehende Graphik veranschaulichen mag. Wir erhalten so einen ausgezeichneten Isomorphismus $$X^{\ast\ast}\sira X$$ %Offensichtlich erhalten wir durch zweimaliges %Anwenden dieser Konstruktion unser urspr"ungliches Starrheitsdatum zur"uck. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTKD}\\[4mm] \noindent Versuch einer graphischen Darstellung des Rechenwegs beim Nachweis, da"s aus $(\beta\otimes\op{id}_X)(\op{id}_X\otimes\alpha)=\op{id}_X$ folgt $(\op{id}_X\otimes\beta\tau)(\tau\alpha\otimes\op{id}_X)=\op{id}_X$. \end{Bild} \begin{Beispiele} In der Schmelzkategorie der Vektorr"aume "uber einem vorgegebenen K"orper sind die starren Objekte genau die endlichdimensionalen Vektorr"aume und die durch $X$ bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmten Daten $(X^\ast,\alpha,\beta)$ sind der Dualraum $X^\top$, die Expansion der Identit"at und die Evaluation. Sie entsprechen unter der Identifikation von $X\otimes X^\ast$ mit dem Raum der Endomorphismen von $X$ der durch $\op{id}_X$ gegebenen Einbettung des Grundk"orpers und der Spur\nichtfinal{, vergleiche \eref{kSp}{LA2}}. In der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen ist \glqq die\grqq\ einelementige Menge das einzige starre Objekt. Beides folgt leicht aus dem anschlie"senden Satz. \end{Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Starrheit und Homobjekte}] Ein Objekt $X$ einer Schmelzkategorie mit Eins ist genau dann starr, wenn f"ur alle $Y$ das Homobjekt $X{\Rrightarrow} Y$ und stabil universelle Zweiverschmelzungen $X\otimes Y$ sowie $(X{\Rrightarrow}\mathbb I)\otimes Y$ existieren und wir f"ur jedes $Y$ einen Isomorphismus\label{sIh} $$(X{\Rrightarrow}{\mathbb I})\otimes Y\;\sira\; (X{\Rrightarrow}Y)$$ erhalten durch Anwenden auf $ X\otimes (X{\Rrightarrow}{\mathbb I})\otimes Y\ra {\mathbb I}\otimes Y\sira Y$ der Tensor-Hom-Adjunktion, wobei der erste Pfeil vom Auswerten $X\otimes (X{\Rrightarrow}{\mathbb I})\ra \mathbb I$ herkommt. \end{Satz} % Es gibt noch einen "alteren Beweis in \ref{ABsIh}. \begin{proof} Gegeben $(X,X^\ast,\alpha,\beta)$ ein Starrheitsdatum und $A$ eine Objektkleinfamilie und $Y$ ein Objekt betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \mathcal M(A\curlyvee (X\otimes X^*),Y\otimes X^*)&\ra& \mathcal M(A\curlyvee \mathbb I,Y\otimes X^*)\\ \ua&&\da\wr\\ \mathcal M(A\curlyvee X\curlyvee X^*,Y\otimes X^*)&& \mathcal M(A,Y\otimes X^*)\\ \ua&&\da\\ \mathcal M(A\curlyvee X,Y)&\leftarrow& \mathcal M(A\curlyvee X,Y\otimes X^*\otimes X) \end{array} $$ aus hoffentlich offensichtlichen Abbildungen. Man pr"uft leicht, da"s es zueinander inverse Bijektionen zwischen $\mathcal M(A\curlyvee X,Y)$ und $\mathcal M(A,Y\otimes X^*)$ induziert und da"s $Y\otimes X^*$ zusammen mit diesen Bijektionen ein internes Homobjekt $(X{\Rrightarrow}Y)$ ist. Setzen wir hier $Y=\mathbb I$ ein, so erhalten wir einen ausgezeichneten Isomorpismus $X^*\sira X^\vee$ und die restlichen in der Proposition f"ur starre Objekte behaupteten Aussagen. Gelten umgekehrt diese Aussagen, so liefern sie uns die universelle Tensorierbarkeit des Objekts $X^\vee$ und eine Adjunktion $(X\otimes, X^\vee\otimes)$ und damit ist $X$ starr. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Starre Moduln}] Gegeben sei eine Schmelzkategorie mit Eins und additiver Struktur. Man zeige, da"s jede endliche direkte Summe starrer Objekte auch selbst wieder starr ist.\label{dsST} Man zeige weiter, da"s jeder Summand eines starren Objektes $X$ starr ist, wenn der von dem durch die Projektion gegebenen idempotenten Endomorphismus $e:X\ra X$ induzierte idempotente Endomorphismus $e^*:X^*\ra X^* $ auch spaltet. Das folgt zum Beispiel leicht, wenn unsere Schmelzkategorie universelle Verschmelzungen und internes Hom hat. Gegeben ein Kring $k$ sind also alle endlich erzeugten projektiven $k$-Moduln starr. \nichtfinal{Frage Experten, ob das alle starren Moduln sind.} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige f"ur eine beliebige Schmelzkategorie mit Eins, da"s das Zielobjekt jeder stabil universellen Verschmelzung starrer Objekte auch selbst wieder starr ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Ein selbstbiduales aber nicht starres Objekt}] In der Schmelzkategorie $\op{gMod}_k$ der $\DZ$-graduierten Vektorr"aume "uber einem K"orper $k$ ist das Objekt $X$ bestehend aus einer Kopie von $k$ in jedem Grad nicht starr, aber dennoch ist der nat"urliche Morphismus in das Bidual ein Isomorphismus $X\sira X^{\vee\vee}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein starres Objekt $X$ einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Eins erkl"aren wir die {\bf Spur}\index{Spur!in Schmelzkategorie} $$\op{tr}=\op{tr}_X:(X{\Rrightarrow} X)\ra\mathbb I$$ als den Morphismus, der unter unserem Isomorphismus $(X{\Rrightarrow} \mathbb I)\otimes X\sira (X{\Rrightarrow} X)$ aus \ref{sIh} dem Auswerten $X\otimes (X{\Rrightarrow} \mathbb I)\ra\mathbb I$ entspricht. Dieser Morphismus liefert unter dem Leerverschmelzungsfunktor nach \ref{MorEk} zusammen mit weiteren nat"urlichen Isomorphismen eine ausgezeichnete Abbildung $$\op{tr}:\mathcal M(X,X)\ra \mathcal M(\curlyvee,\mathbb I)$$ und auch diese nennen wir eine {\bf Spur}. Man zeige, da"s das im Fall der Schmelzkategorie der $k$-Vektorr"aume die Spur aus der linearen Algebra $\op{tr}:\op{End}(V)\ra k$ ist und im Fall der Schmelzkategorie der Supervektorr"aume die sogenannte {\bf Superspur}\index{Superspur} $\op{str}:\op{End}(V)\ra k$ gegeben durch $\op{str}(A)\pdef\op{tr}(A_{\bar 0}^{\bar 0})- \op{tr}(A_{\bar 1}^{\bar 1})$ in hoffentlich selbsterkl"arender Notation.\label{Str} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Spur und Schmelzfunktoren}] Sei $F:\mathcal M\ra \mathcal N$ ein Schmelzfunktor von Schmelzkategorien mit Eins, der vertr"aglich ist mit stabil universellen Verschmelzungen. Nach \ref{ESSC} macht $F$ Starrheitsdaten zu Starrheitsdaten.\label{starrH} Nach \ref{sIh} existieren unter diesen Annahmen f"ur starres $X$ und beliebiges $Y$ die internen Homobjekte $X{\Rrightarrow}Y$ und $ FX{\Rrightarrow}FY$. Man zeige, da"s dann auch der nat"urliche Morphismus ein Isomorphismus $F(X{\Rrightarrow}Y)\sira FX{\Rrightarrow}FY$ ist und zeige die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ F(X{\Rrightarrow}X)\ar[d]_{F(\op{tr}_X)}\ar[r]^{\sim}& FX{\Rrightarrow}FX \ar[d]^{\op{tr}_{FX}}\\ F(\mathbb I_{\mathcal M})\ar[r]^{\sim}&\;\;\mathbb I_{\mathcal N} } \end{displaymath} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Negative Tensorpotenzen von Einheiten}] Sei eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit Eins gegeben. Ein Objekt $E$ hei"st eine {\bf Einheit},\index{Einheit!in Schmelzkategorie} wenn es universell tensorierbar ist und es ein universell tensorierbares Objekt $F$ gibt mitsamt einem Isomorphismus $E\otimes F\sira {\mathbb I}$. Man zeige, da"s jede Einheit starr und so nach \ref{sIh} \glqq universell hombar\grqq\ ist und da"s der offensichtliche Morphismus ${\mathbb I}\ra (E{\Rrightarrow}E)$ f"ur jede Einheit $E$ ein Isomorphismus ${\mathbb I}\sira (E{\Rrightarrow}E)$ ist.\label{EIIp} Gegeben eine Einheit $E$ erkl"are man f"ur alle $n\in\DZ$ die Tensorpotenz $E^{\otimes n}$,\index{} indem man f"ur negatives $n$ die Vereinbarung $E^{\otimes n}\pdef (E^\vee)^{\otimes(- n)}$ trifft. Man zeige, da"s es dann genau ein Datum von Isomorphismen $\alpha_{n,m}:E^{\otimes n}\otimes E^{\otimes m}\sira E^{\otimes (n+m)}$ gibt, das f"ur $n,m\geq 0$ aus den offensichtlichen Isomorphismen besteht und die Assoziativit"aten $\alpha_{n,m+l}\circ(\op{id}\otimes \alpha_{m,l}) =\alpha_{n+m,l}\circ(\alpha_{n,m}\otimes \op{id})$ f"ur alle $n,m,l\in\DZ$ gelten. Das kann dahingehend zusammengefa"st werden, da"s $(E^{\otimes n})_{n\in\DZ}$ mit den $\alpha$ ein Abmonoid der Schmelzkategorie $\mathcal M^\DZ$ der $\DZ$-graduierten Objekte von $\mathcal M$ aus \ref{bsps} wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Einheit $E$ einer Schmelzkategorie mit Vorzeichen und Eins hei"se eine {\bf Signumseinheit}\index{Signumseinheit},\label{sgnE} wenn auf $E\otimes E$ die Vertauschung das Negative der Identit"at ist. Ein typisches Beispiel ist das Objekt $\DZ[1]\in\op{Ket}(\op{Ab})$ der Schmelzkategorie der Komplexe abelscher Gruppen. Gegeben eine Signumseinheit zeige man f"ur Morphismen $f: E^{\otimes n}\ra \mathbb I $ und $g: E^{\otimes m}\ra \mathbb I $ die Identit"at $$g\circ (\op{id}\otimes f)=(-1)^{nm}f\circ (\op{id}\otimes g)$$ von in hoffentlich offensichtlicher Weise notierten Morphismen $ E^{\otimes (n+m)}\ra \mathbb I $. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schmelzfunktor der graduierten Leerverschmelzungen}] Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal M$ mit additiver Struktur und Eins und eine \hyperref[sgnE]{Sig\-nums\-ein\-heit} $E\in \mathcal M$ erhalten wir einen Schmelzfunktor $\mathcal M\ra \op{sgAb}$ mit der Notation $[q]X\pdef E^{\otimes q}\otimes X$ durch die Vorschrift\label{NuVE} $$X\mapsto \mathcal M(\curlyvee, [q]X)_{q\in\DZ}$$ Unser Schmelzfunktor $\mathcal H:\op{Hot}\ra \op{sgAb}$ der totalen Homologie aus \ref{juzt} kann als ein Spezialfall dieser allgemeinen Konstruktion verstanden werden. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeiten f"ur das Tensorieren von internem Hom}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom.\label{TMoXn} Man zeige die Kommutativit"at des Diagramms $$\begin{array}{ccc} W^\vee\otimes X\otimes Y^\vee\otimes Z &\ra&(W\otimes Y)^\vee\otimes( X \otimes Z)\\ \da&&\da\\ (W{\Rrightarrow}X) \otimes (Y{\Rrightarrow}Z) &\ra & (W\otimes Y){\Rrightarrow}( X \otimes Z) \end{array} $$ mit dem Tensorieren \ref{TMoX} von internem Hom in der unteren Horizontale und f"ur $W^\vee\otimes Y^\vee\ra (W\otimes Y)^\vee$ und den in \ref{sIh} beschriebenen Morphismen $W^\vee\otimes X\ra (W{\Rrightarrow}X)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Starrheit und Tensorieren von internem Hom}] Sei $\mathcal M$ eine Schmelzkategorie mit Eins. Gegeben Objekte $A,B,X,Y\in \mathcal M$ mit $X,Y$ starr derart, da"s $A{\Rrightarrow}B$ existiert, existiert auch $ (X\otimes A){\Rrightarrow} (Y\otimes B)$ und der in \ref{TMoX} erkl"arte Morphismus ist ein Isomorphismus $$(X{\Rrightarrow} Y)\otimes (A{\Rrightarrow} B)\sira (X\otimes A){\Rrightarrow} (Y\otimes B)$$ Speziell erhalten wir f"ur jede Einheit\label{ster} $E$ nat"urliche Isomorphismen $ E\otimes(A{\Rrightarrow} B)\sira \; A{\Rrightarrow} (E\otimes B)$ und $ E^\vee\otimes(A{\Rrightarrow} B)\sira (E\otimes A){\Rrightarrow} B$. Hinweis: Man gehe von \ref{IHOX} aus. Auch \ref{TMoXn} mag helfen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Starrheit von Homotopiekomplexen}] Man zeige, da"s gegeben ein Morphismus $A\ra B$ von starren Objekten der Schmelzkategorie $\op{Hot}$ auch der Abbildungskegel starr ist.\nichtfinal{$\;$Hinweis: \eref{HKA}{TS}.} Man zeige, da"s ein Objekt der Schmelzkategorie $\op{Hot}$ genau dann starr ist, wenn seine totale Kohomologie eine endlich erzeugte abelsche Gruppe ist. \nichtfinal{F"ur allgemeinere Aussagen in dieser Richtung vergleiche \eref{stri}{TD}.}\end{Ubung} \subsection{Terminologische Experimente*} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Versuch einer Terminologie}] Hier lege ich noch den Versuch einer koh"arenten Terminologie f"ur verschiedene von einer Schmelzkategorie, Trennkategorie oder Trennschmelzkategorie abgeleitete Kategorien nieder.\label{VerTer} \begin{itemize} \item Man beschreibe mit einem der Vokale $\op{e}$, $\op{i}$ oder $\op{o}$ das Verh"altnis von Multiplikation und Komultiplikation, so beide vorhanden sein sollten, und zwar \begin{itemize} \item[$\op{e}$] f"ur den Fall keiner Vertr"aglichkeitsforderung, und auch dann, wenn eine der beiden Strukturen gar nicht gefordert sein sollte; \item[$\op{i}$] f"ur die "ubliche Vertr"aglichkeit; \item[$\op{o}$] f"ur die "ubliche Vertr"aglichkeit und die zus"atzliche Forderung nach der Existenz einer Antipode; \end{itemize} \item Man setze vor beziehungsweise nach diesen Vokal beziehungsweise sowohl als auch einen der Konsonanten $\op{k}$ oder $\op{b}$ zur Beschreibung der Komultiplikation beziehungsweise Multiplikation, und zwar \begin{itemize} \item[$\op{k}$] f"ur den Fall einer kommutativen Verkn"upfung oder Koverkn"upfung; \item[$\op{b}$] f"ur den Fall einer beliebigen Verkn"upfung oder Koverkn"upfung. \item Man verwende a priori die st"arkstm"ogliche Bezeichnung. \end{itemize} \item Verworfene Variante: Man setze vor beziehungsweise nach diesen Ausdruck beziehungsweise sowohl als auch noch ein $\op{u}$, wenn die Komultiplikation beziehungsweise Multiplikation, unit"ar sein soll. \item Verworfene Variante: Man zeige durch ein $\op{s}$ davor oder dahinter an, wenn die jeweilige Verkn"upfung oder Koverkn"upfung assoziativ sein soll. Dann w"aren $\op{eksu}$ Abmonoide und $\op{ebsu}$ Monoide und $\op{eb}$ Magmas und $\op{ebs}$ Assoziativobjekte. \end{itemize} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall einer Schmelzkategorie $\mathcal M$ finden wir als "Ubersetzungstabelle \begin{center} \begin{tabular}{l|l} neue Notation&Bezeichnung in Worten\\[1mm] \hline &\\ $\op{eb}(\mathcal M)$&Monoidobjekte von $\mathcal M$ \\[1mm] $\op{ek}(\mathcal M)$&Abmonoide von $\mathcal M$ \\[1mm] \end{tabular} \end{center} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Im Fall der Trennschmelzkategorie ${\curlywedge}{\op{Ens}}$ zur banalen Trennkategorie der Kategorie der Mengen finden wir als "Ubersetzungstabelle \begin{center} \begin{tabular}{l|l|l} neue Notation&K"urzel&"ubliche Bezeichnung\\[1mm] \hline &\\ $\op{kok}({\curlywedge}{\op{Ens}})$& $\op{Ab}$ &abelsche Gruppen \\[1mm] $\op{kob}({\curlywedge}{\op{Ens}})$& $\op{Grp}$ &beliebige Gruppen \\[1mm] $\op{kik}({\curlywedge}{\op{Ens}})$& $\op{Abmon}$ &abelsche Monoide \\[1mm] $\op{kib}({\curlywedge}{\op{Ens}})$& $\op{Mon}$ &beliebige Monoide \\[1mm] \end{tabular} \end{center} Man erinnere dabei, da"s f"ur $\mathcal C$ eine Kategorie mit endlichen Produkten in der banalen Trennkategorie ${\curlywedge}{\mathcal C}$ aufgefa"st als Trennschmelzkategorie jedes Objekt genau eine Struktur als Komonoid hat und da"s diese kommutativ und funktoriell ist. Abelsche Monoide h"atten wir demnach statt $\op{kik}({\curlywedge}{\op{Ens}})$ auch $\op{ek}({\curlywedge}{\op{Ens}})$ oder $\op{bik}({\curlywedge}{\op{Ens}})$ notieren k"onnen, aber wir hatten ja vereinbart, a priori die st"arkstm"ogliche Bezeichnung verwenden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Im Fall der Trennschmelzkategorie $\op{Ab}$ finden wir als "Ubersetzungstabelle \begin{center} \begin{tabular}{l|l|l} neue Terminologie&K"urzel&"ubliche Terminologie\\[1mm] \hline &\\ $\op{eb}({\op{Ab}})$&$\op{Ring}$& Ringe \\[1mm] $\op{ek}({\op{Ab}})$&$\op{Kring}$& Kringe \\[1mm] $\op{beb}({\op{Ab}})$&&Hopfalgebren "uber $\DZ$ \\[1mm] $\op{bok}({\op{Ab}})$&& affine Gruppenschemata\\[1mm] $\op{kok}({\op{Ab}})$&& abelsche affine Gruppenschemata\\[1mm] $\op{bik}({\op{Ab}})$&& affine Monoidschemata \end{tabular} \end{center} Wir k"onnen das nun ineinander einsetzen, die Kategorie der Ringe w"are dann etwa $$\op{Ring}=\op{eb}({\op{Ab}})=\op{eb}({\op{kok}}(\curlywedge{\op{Ens}}))$$ Affine Supergruppenschemata oder kurz Supergruppen "uber einem K"orper $k$ sind in dieser Terminologie Objekte von $\op{bok}({\op{sMod}}_k)$\label{suGR} f"ur die Trennschmelzkategorie der Supervektorr"aume ${\op{sMod}}_k$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Iteration von $\op{kok}$}] \nichtfinal{Noch ziemlich unausgegoren!} Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ sehe ich zwei M"oglichkeiten, $\op{kok}(\mathcal M)$ zu einer Schmelzkategorie zu machen. Die eine ist die offensichtliche, als Verschmelzungen $A\curlyvee B\ra C$ nehmen wir dabei solche $\mathcal M$-Verschmelzungen, f"ur die $$\begin{array}{ccc} A\curlyvee B\curlyvee A\curlyvee B &\ra & C\curlyvee C\\ \da &&\da\\ A\curlyvee B&\ra& C \end{array} $$ kommutiert, und analog im Fall mehr oder weniger Ausgangsobjekten. In Bezug auf diese Struktur sind die stabil universellen Verschmelzungen die Objekte $A\otimes B$ mit ihrer Struktur als Abmonoid aus \ref{stMMx}. Wie das mit der Antipode klappt, habe ich mir noch nicht so genau "uberlegt. Im Fall $\op{Ab}$ erhalten wir das Produkt abelscher Gruppen und die einzige Leerverschmelzung ist die Null. Ich nenne diese erste M"oglichkeit die {\bf "aquivariante Schmelzkategorie} der Abmonoidobjekte. \\[2mm]\noindent Bei der zweiten M"oglichkeit machen wir $\op{kok}(\mathcal M)$ zu einer Schmelzkategorie, indem wir nur solche $\mathcal M$-Ver\-schmel\-zun\-gen $A\curlyvee B\ra C$ erlauben, f"ur die das Diagramm\label{itkok} $$\begin{array}{ccccc} A\otimes A\otimes B&& \ra&& A\otimes B\\ \da &&&&\da\\ A\otimes A\otimes B\otimes B&\ra& C\otimes C& \ra & C \end{array} $$ kommutiert und dasselbe mit vertauschten Rollen f"ur $A$ und $B$ und analog f"ur Verschmelzungen in mehr oder weniger Ausgangsobjekten. Hier wird oben links jeweils eines der Ausgangsobjekte doppelt genommen und die linke Vertikale wird gegeben durch die Koverkn"upfung auf allen anderen Ausgangsobjekten und die obere Horizontale durch die Verkn"upfung an dieser Ausnahmestelle und die anderen Pfeile sind die offensichtlichen. Die Leerverschmelzungen von Abmonoiden erf"ullen insbesondere alle diese Bedingung. Im Fall $\op{Ab}$ erhalten wir die Schmelzkategorie der abelschen Gruppen mit multiadditiven Abbildungen als Verschmelzungen. Ich nenne das die {\bf multi"aquivariante Schmelzkategorie} der Abmonoidobjekte. \\[2mm]\noindent Es m"u"ste aber einmal gepr"uft werden, da"s auch in dieser Allgemeinheit die Multiverkn"upfung von Verschmelzungen wieder eine Verschmelzung ist. Das k"onnte vielleicht ein Student ausschreiben. Delikater ist die Frage, ob man vern"unftige Annahmen an eine Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ finden kann, unter denen $\op{kok} (\mathcal M)$ wieder eine Trennschmelzkategorie ist und eventuell sogar dieselben vern"unftigen Annahmen erf"ullt, so da"s man iterativ $$\op{kok}^n (\mathcal M)$$ bilden k"onnte. Bisher beobachte ich nur am"usiert, da"s $\op{kok}(\curlywedge{\op{Ens}})=\op{Ab}$ die Schmelzkategorie der abelschen Gruppen ist und $\op{kok}^2(\curlywedge{\op{Ens}})=\op{kok}(\op{Ab})$ etwas Absonderliches: Objekte sind wohl affine abelsche Gruppenschemata, Leerverschmelzungen Elemente des zugrundeliegenden Krings, Einsverschmelzungen Homomorphismen des zugrundeliegenden Krings, Zweiverschmelzungen biadditive Abbildungen $A\times B\ra C$ alias Gruppenhomomorpismen $A\otimes B\ra C$, wir notieren sie etwa $(a,b)\mapsto a\ast b$, mit $a\ast(b_1b_2)=(a_{(1)}\ast b_1)(a_{(2)}\ast b_2)$ und $(a_1a_2)\ast b=(a_1\ast b_{(1)})(a_2\ast b_{(2)})$ mit $a\mapsto \sum a_{(1)}\otimes a_{(2)}$ die "ubliche Notation f"ur eine Koverkn"upfung. Ich frage mich, ob da mehr dahinter steckt und, wenn ja, wie man diese Beobachtung ausnutzen kann. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Man kann sicher simpliziale Objekte in Schmelzkategorien untersuchen. Will ich das, brauch ich das?} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Additive Struktur auf $\op{kok}(\mathcal M)$}] Man zeige, da"s f"ur jede Trennschmelzkategorie $\mathcal M$ die Schmelzkategorie $\op{kok}(\mathcal M)$ eine additive Struktur erh"alt, indem wir f"ur Verschmelzungen $\phi,\psi:X\curlyvee Y\ra Z$ ihre Summe $\phi+\psi$ erkl"aren als die Vern"upfung $$X\curlyvee Y\ra X\curlyvee X\curlyvee Y\curlyvee Y\ra X\curlyvee Y\curlyvee X\curlyvee Y \ra Z\curlyvee Z\ra Z$$ von Koverkn"upfung auf $X$ und $Y$, Umordnen, $(\phi\curlyvee \psi)$ und Verkn"upfung auf $Z$ und analog f"ur Verschmelzungen von beliebigen Objektkleinfamilien.\label{adkok} Der durch das Vergessen der zus"atzlichen Daten gegebene Schmelzfunktor $v:\op{kok}(\mathcal M)\ra \mathcal M$ ist volltreu auf Leerverschmelzungen. \end{Ubung} \newpage \section{Bezug zur Homologietheorie} \subsection{Homologie als Schmelzfunktor} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten die Kategorie $\op{Top}^r$ aller $r$-Tupel topologischer R"aume, bilden dazu die Funktorkategorie $\op{Ab}^{\op{Top}^r}=\op{Cat}(\op{Top}^r,\op{Ab})$ aller von dort ausgehenden Funktoren in die Kategorie der abelschen Gruppen und bilden schlie"slich zu dieser Kategorie mit additiver Struktur die Homotopiekategorie $$\op{Hot}\big(\op{Ab}^{\op{Top}^r}\big)$$ \nichtfinal{im Sinne von \eref{Hotadd}{TS}} mit ihrer induzierten additiven Struktur. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Eilenberg-Zilber, Variante}] F"ur $r\geq 0$ gibt es in der Homotopiekategorie $\op{Hot}\big(\op{Ab}^{\op{Top}^r}\big)$ zwischen den beiden Objekten\label{SKMu} $(\otimes{\op{S}}):(X_1,\ldots,X_r)\mapsto {\op{S}}X_1\otimes\ldots\otimes {\op{S}}X_r$ und $({\op{S}}\times):(X_1,\ldots,X_r)\mapsto \op{S}(X_1\times\ldots\times X_r)$ genau einen Morphismus, der auf der nullten Homologie dieselben Abbildungen induziert wie die offensichtlichen Isomorphismen ${\op{S}}_0X_1\otimes \ldots\otimes{\op{S}}_0X_r\sira \op{S}_0(X_1\times\ldots\times X_r)$, und dieser Morphismus ist in besagter Homotopiekategorie ein Isomorphismus $$ (\otimes{\op{S}})\sira ({\op{S}}\times )$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Umkehrabbildung $ ({\op{S}}\times )\sira (\otimes{\op{S}})$ zu diesem Isomorphismus nennen wir die {\bf Alexander-Whitney-Transformation},\index{Alexander-Whitney-Transformation!in Homotopiekategorien} ihre Effekte im Fall spezieller R"aume\label{WAW} {\bf Alexander-Whitney-Abbildungen}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Man zeigt das genau wie im Fall $r=2$\nichtfinal{$\;$in \eref{EZ}{TS}}. Man beachte, wie die Aussage im Fall $r=0$ zu allgemeinen Erkenntnissen \nichtfinal{ \eref{HPu}{TS}} "uber die Homologie eines Punktes spezialisiert. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Singul"are Ketten als Trennschmelzfunktor}] Wir erhalten einen \label{SKS} \hyperref[opSS]{Trennschmelzfunktor} $$\op{S}:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}$$ von der banalen Trennkategorie der Kategorie der topologischen R"aume in die Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe abelscher Gruppen, genauer zwischen den zugeh"origen Trennschmelzkategorien, indem wir jedem Tupel $v=(v_1,\ldots,v_r)$ stetiger Abbildungen $v_i:X\ra Y_i$ die Komposition\label{SKSv} $$ {\op{S}}X \ra {\op{S}}(Y_1\times\ldots\times Y_r) \sira {\op{S}}Y_1\otimes\ldots\otimes {\op{S}}Y_r$$ von Vorschub und Alexander-Whitney-Abbildung \ref{WAW} zuordnen. \end{Korollar} \begin{proof} Die Gesamtheit der $r$-Trennungen ${\op{S}}v$ aus unserem Korollar f"ur festes $r$ kann nach \ref{SKMu} eindeutig dadurch charakterisiert werden, da"s sie einerseits nat"urlich ist, also f"ur jede Sammlung kommutativer Diagramme $$ \begin{array}{ccc} X&\stackrel{v_i}{\ra}& Y_i\\ \;\;\da {\scriptstyle f}&&\;\;\da {\scriptstyle g_i}\\ X'&\stackrel{v_i'}{\ra}& Y'_i \end{array}$$ von topologischen R"aumen und stetigen Abbildungen ein homotopiekommutatives Diagramm liefert, und da"s andererseits die davon induzierten Abbildungen $ {\op{H}}_0X\ra {\op{H}}_0Y_1\otimes\ldots\otimes {\op{H}}_0Y_r$ von den offensichtlichen Abbildungen $ {\op{S}}_0X\ra{\op{S}}_0(Y_1\times\ldots\times Y_r)\sira {\op{S}}_0Y_1\otimes\ldots\otimes {\op{S}}_0Y_r$ herkommen. Auf die Gesamtheit der Verkn"upfungen f"ur festes $s$ und eine feste Indexabbildung $\bar u: \llbracket r\rrbracket\ra \llbracket s\rrbracket$ einer $s$-Trennung gefolgt von einer Trennung "uber $\bar u$ trifft aber diese Charakterisierung auch zu, weil wir in der Mitte ja auch geeignete Produkte der R"aume am Ende einf"ugen k"onnen. Da"s unser Trennfunktor dann vertr"aglich ist mit universellen Trennungen, ist eh klar. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s in der Situation des Korollars die Bilder der Trennungen zwar auf der nullten Homologie durch die einfache Vorschrift $[x]\mapsto [v_1(x)]\otimes\ldots\otimes [v_r(x)]$ gegeben werden, da"s sie aber aber auf h"oheren Homologien nur im Fall von K"orperkoeffizienten sinnvoll definiert sind und dann eine kompliziertere Beschreibung ben"otigen als \glqq Vorschub l"angs $(v_1,\ldots,v_r);X\ra Y_1\times\ldots\times Y_r$ gefolgt von der Umkehrung der durch das Kreuzprodukt der Homologie gegebenen Isomorphismen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Ketten f"ur diskrete R"aume}] Schr"anken wir unseren Trennschmelzfunktor aus \ref{SKSv} auf diskrete R"aume ein, so f"allt er zusammen mit unserem Trennschmelzfunktor $\op{Ma"s}_!: \curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}$ aus \ref{skfh} gefolgt vom offensichtlichen volltreuen Trennschmelzfunktor $\op{Ab}\vra \op{Hot}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Ketten des einpunktigen Raums}] Der universellen Leertrennung $\op{top}\ra \curlywedge$ in der banalen Trennkategorie $\curlywedge {\op{Top}}$ wird nach \ref{SKS} unter dem Trennfunktor der singul"aren Ketten eine universelle Leertrennung der Trennschmelzkategorie $\op{Hot}$ zugeordnet,\label{SKSep} also ein Isomorphismus ${\op{S}}(\op{top})\sira \DZ[0]$ zur Eins der Homotopiekategorie. Man sieht leicht ein, da"s dieser Isomorphismus durch die Augmentation repr"asentiert wird. \end{Bemerkungl} %\begin{Korollar}[\textbf{Singul"are Ketten als Schmelzfunktor}] % Wir erhalten einen mit universellen\label{SKS} % Verschmelzungen vertr"aglichen Schmelzfunktor %$$\op{S}=\op{S}_{\op{ez}}:\op{kTop}\ra \op{Hot}$$ % von der kartesischen Schmelzkategorie der topologischen R"aume % in die Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe abelscher Gruppen, % indem wir jeder stetigen Abbildung $v:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$ % diejenige Homotopieklasse von multilinearen % Kettenabbildungen ${\op{S}}v: {\op{S}}X_1\times\ldots\times {\op{S}}X_r\ra %{\op{S}}Y$ zuordnen, die durch die Komposition % $$ {\op{S}}X_1\times\ldots\times {\op{S}}X_r \;\ra\; % {\op{S}}X_1\otimes\ldots\otimes {\op{S}}X_r \;\sira\; %{\op{S}}(X_1\times\ldots\times X_r)\;\ra \; {\op{S}}Y % $$ %mit der Eilenberg-Zilber-Abbildung \ref{SKMu} in der Mitte gegeben wird. %\end{Korollar} %\begin{proof} % Die Gesamtheit der Verschmelzungen ${\op{S}}v$ aus unserem Korollar kann % nach \ref{SKMu} eindeutig dadurch charakterisiert werden, da"s sie einerseits %nat"urlich ist, % also f"ur jedes kommutative Diagramm % $$ % \begin{array}{ccc} % X_1\times\ldots\times X_r&\stackrel{v}{\ra}& Y\\ % \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \da{\scriptstyle f_1\times\ldots\times f_r}&&\;\;\da % {\scriptstyle g}\\ % X_1'\times\ldots\times X_r'&\stackrel{v'}{\ra}& Y' % \end{array}$$ % von topologischen R"aumen und stetigen Abbildungen % ein kommutatives Diagramm in der Homotopiekategorie liefert, % und da"s % andererseits die davon induzierten % Abbildungen ${\op{H}}_0X_1\times\ldots\times {\op{H}}_0X_r\ra {\op{H}}_0Y$ von den offensichtlichen Abbildungen ${\op{S}}_0X_1\times\ldots\times {\op{S}}_0X_r\ra {\op{S}}_0Y$ % herkommen. Beide Eigenschaften bleiben aber unter Multiverkn"upfungen % erhalten: F"ur die Zweite ist das offensichtlich, f"ur die Erste % "uberlegt man es sich zuerst f"ur Multiverkn"upfungen % von Verschmelzungen, die "uber universellen % Verschmelzungen in der kartesischen Schmelzkategorie der % topologischen R"aume liegen, und folgert es dann im allgemeinen. % Da"s unser Schmelzfunktor vertr"aglich ist mit universellen % Verschmelzungen, ist eh klar. % \end{proof} % \begin{proof} % Wir bilden eine Kategorie $\mathcal C_r$, % deren Objekte Tupel $(X_1,\ldots, X_r,Y,v)$ sind % aus topologischen R"aumen $X_1,\ldots, X_r,Y$ zusammen mit einer % stetigen Abbildung $v:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$. Auf dieser % Kategorie % betrachten wir die Funktoren $F,G:\mathcal C_r\ra \op{Ket}$ gegeben durch % $F:(X_1,\ldots, X_r,Y,v)\mapsto {\op{S}}X_1\otimes\ldots % \otimes{\op{S}}X_r$ % sowie % $G:(X_1,\ldots, X_r,Y,v)\mapsto{\op{S}}Y$. % Jetzt wenden wir den Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} an. % Alle homogenen Komponenten von $F$ sind frei mit Modellen aus % $(\Delta_{p},\ldots,\Delta_{q}, \Delta_{p}\times\ldots\times\Delta_{q},\op{id})$. Auf diesen Modellen ist $G$ azyklisch, denn Produkte von Simplizes bilden konvexe Teilmengen endlichdimensionaler reeller Vektorr"aume. % Nach dem Satz "uber azyklische Modelle kommt als % jede Transformation % $\mathcal H_0F\RA \mathcal H_0G$ von einer % bis auf Homotopie eindeutigen Transformation $F\RA G$ her. % Diese Eigenschaften bleiben unter Multiverkn"upfungen % erhalten, und so wird klar, da"s wir einen Schmelzfunktor vor uns haben. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homologie als Schmelzfunktor}] Wir erhalten einen Schmelzfunktor $$\op{H}\pdef \mathcal H\circ \op{S}:\op{kart}(\op{Top})\ra \op{sgAb}$$ von der kartesischen Schmelzkategorie der topologischen R"aume in die Schmelzkategorie der supergraduierten abelschen Gruppen, indem wir unseren Trennschmelzfunktor $\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}$ in die Homotopiekomplexe aus \ref{SKSv} mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H: \op{Hot}\ra \op{sgAb}$ der totalen Homologie aus \ref{juzt} verkn"upfen. Da diese Schmelzfunktoren beide universelle Leerverschmelzungen zu universellen Leerverschmelzungen machen, gilt dasselbe f"ur $\op{H}$ und wir erhalten einen ausgezeichneten Isomorphismus $\op{H}(\op{top})\sira \DZ[0]$ in $\op{sgAb}$. Das durch die universelle Leerverschmelzung gegebene Element alias das Urbild von $1\in \DZ$ unter diesem Isomorphismus ist unser kanonischer Erzeuger der nullten Homologie des einpunktigen Raums $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})$\nichtfinal{$\;$aus \eref{HPu}{TS}}, wie der Leser leicht pr"ufen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Kreuzprodukt und seine Eigenschaften}] Per definitionem ordnet unser Schmelzfunktor der Homologie der universellen Zweiverschmelzung $X\curlyvee Y\ra X\times Y$, die durch die Identit"at auf $X\times Y$ gegeben ist, diejenige Zweiverschmelzung ${\op{H}}X\curlyvee {\op{H}}Y\ra {\op{H}}(X\times Y)$ in $\op{sgAb}$ zu, die der durch die Schreibreihenfolge gegebenen Anordnung das Kreuzprodukt der Homologie $${\op{H}}X\times {\op{H}}Y\ra {\op{H}}(X\times Y)$$ \nichtfinal{aus \eref{KdHo}{TS}} zuordnet. Eine Einsverschmelzung $f: X\ra Y$ wird darunter zur auf der Homologie induzierten Abbildung $f_*: {\op{H}}X\ra {\op{H}}Y$ und die universelle Leerverschmelzung $\curlyvee\ra {\op{top}}$ zum kanonischen Erzeuger $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})$. Unser Schmelzfunktor liefert mithin, um nicht zu sagen beinhaltet, was wir in unserer Formelsammlung f"ur das Kreuzprodukt der Homologie\nichtfinal{ \eref{FSKP}{TS}} die Assoziativit"at, Eins, Antikommutativit"at und Nat"urlichkeit genannt hatten.\label{HSchf} Das wird im folgenden ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nat"urlichkeit des Kreuzprodukts}] Ge\-geben zwei stetige Abbildungen $f : X \ra X^{\prime}$ und $g: Y \ra Y^{\prime}$ haben wir f"ur beliebige $c\in {\op{H}}_p X$ und $d\in {\op{H}}_q Y$ in ${\op{H}}_{p+q}(X'\times Y')$ die Gleichheit $$(f_\ast c) \times (g_\ast d)= (f\times g)_\ast (c \times d)$$ Das folgt auch ohne alle Verschmelzung aus der Nat"urlichkeit der Eilenberg-Zilber-Abbildung. In der Sprache der Verschmelzungen entsteht diese Identit"at durch das Anwenden des Schmelzfunktors der Homologie auf das kommutative Diagramm der Familienkategorie $$ \begin{array}{ccc} X\curlyvee Y&\stackrel{\op{u}}{\lra}& X\times Y\\ \;\;\;\;\; \da{\scriptstyle f\curlyvee g}&&\;\;\;\;\da {\scriptstyle f\times g}\\ X'\curlyvee Y'&\stackrel{\op{u}}{\lra}& X'\times Y' \end{array}$$ mit den universellen Zweiverschmelzungen in den Horizontalen, genauer durch das Einsetzen von Elementen oben links und das Verfolgen ihrer Bilder unter beiden Verkn"upfungen nach unten rechts. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einheit des Kreuzprodukts}] F"ur $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})$ den kanonischen Erzeuger der Homologie eines Punktes und $X$ ein beliebiger Raum und $q\in \DN$ und $c\in {\op{H}}_q(X)$ gelten unter Unterdr"uckung der Notation f"ur die von den offensichtlichen Hom"oomorphismen $\op{pr}_1: X\times \op{top}\sira X$ und $\op{pr}_2: \op{top}\times X\sira X$ auf der Homologie induzierten Isomorphismen die Gleichheiten $$\delta\times c= c=c\times \delta$$ Sie entstehen durch das Anwenden des Schmelzfunktors der Homologie auf das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[dr]^{\op{id}}\ar[r]^-{\op{id}\curlyvee {\op{n}}}\ar[d]_{{\op{n}}\curlyvee \op{id}} & X\curlyvee \op{top} \ar[d]^-{\op{pr}_1}\\ \op{top}\curlyvee X\ar[r]_-{\op{pr}_2} & X } \end{displaymath} der Familienkategorie mit ${\op{n}}:\curlyvee\ra \op{top}$ der universellen Leerverschmelzung, genauer durch das Einsetzen von Elementen oben links und Verfolgen ihrer Bilder unter den Verkn"upfungen nach unten rechts. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Assoziativit"at des Kreuzprodukts}] Gegeben topologische R"aume $X,$ $Y,$ $Z$ und zugeh"orige Homologieklassen $a,b,c$ gilt in der Homologie von $X\times Y\times Z$ unter Unterdr"uckung der Notation f"ur die von den nat"urlichen Identifikationen $(X\times Y)\times Z\sira X\times Y\times Z\sira X\times (Y\times Z)$ auf der Homologie induzierten Isomorphismen die Identit"at $$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$$ Sie entsteht durch das Anwenden des Schmelzfunktors der Homologie auf das kommutative Diagramm der Familienkategorie \begin{displaymath} \xymatrix{ X\curlyvee Y\curlyvee Z\ar[r]\ar[d] & X\curlyvee (Y\times Z) \ar[d]\\ (X\times Y)\curlyvee Z\ar[r] & X\times Y\times Z } \end{displaymath} und das Einsetzen von Elementen oben links und das Verfolgen ihrer Bilder unter den Verkn"upfungen nach unten rechts. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Graduierte Kommutativit"at des Kreuzprodukts}] Gegeben topologische R"aume $X,Y$ bezeichne $\tau : X \times Y \sira Y \times X$ die Vertauschung $(x,y)\mapsto (y,x)$. F"ur beliebige homogene Homologieklassen $c\in {\op{H}}X$ und $d \in {\op{H}}Y$ gilt in ${\op{H}}(Y\times X)$ bei kommutativem Koeffizientenring $R$ die Identit"at $$\tau_\ast (c \times d)= (-1)^{|c| |d|} d\times c$$ Sie\label{EigK} bringt zum Ausdruck, da"s eine Zweiverschmelzung in $\op{sgAb}$ eben eine Vorschrift ist, die jeder Anordnung der Faktoren eine bilineare Abbildung zuordnet derart, da"s gewisse Vorzeichenregeln erf"ullt sind, und da"s wir das Kreuzprodukt mit Bezug auf die Schreibreihenfolge im kartesischen Produkt erkl"art hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{K"unnethformel mit K"orperkoeffizienten}] Die Homologie von $X$ mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $M$ kann in unserer neuen Sprache durch die Formel ${\op{H}}(X;M)=\mathcal H({\op{S}}X\otimes_\DZ M)$ ausgedr"uckt werden. F"ur Koeffizienten in einem K"orper $k$ ist der Schmelzfunktor der Homologie sogar vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen als die Komposition $$\op{kart}(\op{Top})\ra\op{Hot}\ra\op{Hot}_k\sirra\op{sgMod}_k$$ von Schmelzfunktoren, die jeweils vertr"aglich sind mit universellen Verschmelzungen nach \ref{SKS}, \ref{Koefw} und \ref{Hkot}. Diese Aussage beinhaltet unsere K"un\-neth\-for\-mel mit K"orperkoeffizienten ${\op{H}}(X;k)\otimes_k {\op{H}}(Y;k)\sira {\op{H}}(X\times Y;k)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Wir konstruieren in \ref{SmeFFE} sogar einen monotonen Schmelzfunktor von monotonen Schmelzkategorien $$\op{S}:\op{kart}(\op{Top})^{\op{mon}}\ra\op{Ket}^{\op{mon}}$$ vermittels der offensichtlichen Verallgemeinerung\label{ELSK} der "ublichen expliziten Ei\-len\-berg-Zil\-ber-Ab\-bil\-dung\nichtfinal{ \eref{EXEZ}{TS}} auf endlich viele Faktoren mit der Eigenschaft, da"s er den von unserem Schmelzfunktor $\op{S}:\op{kart}(\op{Top})\ra\op{Hot}$ aus \ref{SKS} induzierten monotonen Schmelzfunktor liftet. Es ist jedoch nicht m"oglich, unseren urspr"unglichen Schmelzfunktor $\op{S}:\op{kart}(\op{Top})\ra\op{Hot}$ aus \ref{SKS} zu einem Schmelzfunktor $\op{S}:\op{kart}(\op{Top})\ra\op{Ket}$ zu liften. Dem steht die Existenz nichttrivialer sogenannter \glqq Massey-Produkte\grqq\ entgegen, was hier nicht weiter ausgef"uhrt werden soll. \end{Bemerkungw} \nichtfinal{Wohin? \begin{Bemerkungw} Gegeben ein dg-Ring $(A,d)$ und homogene Elemente $x,y,z\in {\op{H}}^*A$ mit $xy=0$ und $yz=0$ erhalten wir f"ur $q\pdef |x|+|y|+|z|$ ein wohlbestimmtes Element $$\langle x,y,z\rangle \in (\op{H}^{q-1}\mathcal A)/\big((\op{H}^{q-1 -|z|}\mathcal A)z + x(\op{H}^{q-1 -|x|}\mathcal A)\big)$$ durch die Vorschrift, da"s wir Repr"asentanten $\tilde x,\tilde y,\tilde z$ w"ahlen und dazu $a,b$ w"ahlen mit $\diff a=\tilde x\tilde y$ und $\diff b=\tilde y\tilde z$. Dann ist $a\tilde z +(-1)^{|x|}\tilde x b$ ein Zykel und und wir bezeichnen mit $\langle x,y,z\rangle$ sein Bild im beschriebenen Quotienten und pr"ufen unschwer die Unabh"angigkeit von allen Wahlen. Gegeben ein Quasiisomorphismus von dg-Ringen sind die auf der Kohomologie induzierten Isomorphismen vertr"aglich mit diesen {\bf Massey-Produkten}.\index{Massey-Produkt} Wenn man also ein von Null verschiedenes Massey-Produkt findet, kann der dg-Ring schon mal nicht quasiisomorph sein zu seiner Homologie. \end{Bemerkungw}} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Topologische Standardorientierungen}] % Unser Kreuzprodukt der relativen Homologie aus \ref{WR3} liefert % f"ur alle $p,q\geq 0$ Isomorphismen\label{STER} % $${\op{H}}_p(\DR^p,\DR^p\backslash 0) \otimes {\op{H}}_q(\DR^q,\DR^q\backslash 0) % \sira {\op{H}}_{p+q}(\DR^{p+q},\DR^{p+q}\backslash 0)$$ % Jede Wahl eines Erzeugers $\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ % liefert so f"ur alle $p\geq 0$ % Erzeuger $\tau^{\times p}\in {\op{H}}_p(\DR^p,\DR^p\backslash 0)$. % Als Standarderzeuger $\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ % zeichnen wir ein- f"ur allemal die Klasse des relativen Eins-Zykels $[-1,1]$ aus, % also der affinen Abbildung $\Delta_1\ra \DR$ mit $\mathrm e_0\mapsto -1$ % und $\mathrm e_1\mapsto 1$.\index{Standarderzeuger!von % ${\op{H}}_p(\DR^p,\DR^p\backslash 0)$} % \end{Bemerkungl} % \begin{Ubung} Gegeben ein $n$-dimensionaler % orientierter $\DR$-Vektorraum $(V,\varepsilon)$ % zeige man, da"s es % genau einen Erzeuger % $\tau_\varepsilon\in{\op{H}}_n(V,V\backslash 0)$ % gibt mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede % angeordnete Basis $\mathcal A$ unter\label{AZIT} % dem zugeh"origen Isomorphismus $\Phi_{\mathcal A}:\DR^n\sira V$ % gilt % $\tau^{\times n}\mapsto \varepsilon(\mathcal A)\tau_\varepsilon$. % \end{Ubung} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Wir erkl"aren die {\bf Trennkategorie der Raumpaare} $\op{Top}^\subset$ durch die Vorschrift, da"s eine Trennung $(X,U)\ra (Y_1,V_1)\curlywedge\ldots\curlywedge (Y_r,V_r) $ ein Tupel von stetigen Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ ist mit $U\subset f_1^{-1}(V_1)\cup\dots\cup f_r^{-1}(V_r)$. Von $(X,U)$ geht mithin genau eine Leertrennung aus im Fall $U=\emptyset$ %$X=\emptyset$ und keine Leertrennung sonst, denn die Vereinigung "uber eine leere Mengenfamilie ist die leere Menge. Universell sind die Trennungen $$(Y_1\times\ldots\times Y_r,U)\ra (Y_1,V_1)\curlywedge\ldots\curlywedge (Y_r,V_r) $$ mit $U\pdef \op{pr}_1^{-1}V_1\cup \ldots\cup \op{pr}_r^{-1}V_r$ der Menge aller Punkte des Produkts, bei denen mindestens eine Koordinate zum entsprechenden $V_i$ geh"ort. Speziell ist die einzige Leertrennung $(\op{top},\emptyset)\ra \curlywedge$ universell und im Fall $(Y_1,V_1)=(Y_2,V_2)=([0,1],\{0,1\})$ geht die universelle Zweitrennung aus von $([0,1]^2,U)$ mit $U$ der Vereinigung der Randkanten des Einheitsquadrats. Unsere universellen Trennungen sind offensichtlich sogar stabil universell, unsere Trennkategorie $\op{Top}^\subset$ ist also eine Trennschmelzkategorie mit Verschmelzungen $(X_1,U_1)\curlyvee\ldots\curlyvee (X_r,U_r)\ra (Y,V)$ allen stetigen Abbildungen $X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$ mit der Eigenschaft, da"s jeder Punkt $(x_1,\ldots,x_r)$ in $V$ landet, bei dem\label{SdRA} mindestens eine der Koordinaten $x_i$ zur entsprechenden Teilmenge $U_i$ geh"ort. Wir nennen sie die {\bf Trennschmelzkategorie der Raumpaare}\index{Top@$\op{Top}^\subset$ Trennschmelzkategorie der Raumpaare} $$\op{Top}^\subset$$ Ein Leerverschmelzung $\curlyvee\ra (Y,V)$ in $\op{Top}^\subset$ ist per definitionem ein Morphismus $(\op{top},\emptyset)\ra (Y,V)$ alias ein Punkt von $Y$. Man zeige, da"s der Schmelzfunktor der singul"aren Ketten einen Schmelzfunktor $${\op{S}}:\op{Top}^\subset\ra \op{Hot}$$ induziert mit $(X,U)\mapsto {\op{S}}(X,U)$. Durch Nachschalten von $\mathcal H$ erhalten wir einen Schmelzfunktor $${\op{H}}:\op{Top}^\subset\ra \op{sgAb}$$ mit $(X,U)\mapsto {\op{H}}(X,U)$, der viele Eigenschaften des Kreuzprodukts der relativen Homologie zusammenfa"st. Unser Schmelzfunktor ${\op{S}}$ ist sogar vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen, wenn wir ihn auf die Schmelzkategorie $\op{Top}^{\co}$ der Raumpaare $(X,U)$ mit offener Teilmenge $U\co X$ einschr"anken\nichtfinal{, vergleiche \eref{WR3}{TS} in Verbindung mit dem Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen \eref{HKH}{TS}}. Insbesondere erhalten wir so einen Trennschmelzfunktor $${\op{S}}:\op{Top}^{\co}\ra \op{Hot}$$ In einer anderen Richtung zeigen unsere Argumente auch, da"s jede stabil universelle Verschmelzung von Raumpaaren unter ${\op{S}}$ stabil universell in $\op{Hot}$ bleibt, wenn bei nur einem der Ausgangs-Raumpaare die ausgezeichnete Teilmenge nicht leer ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Topologische Orientierungsmenge als Schmelzfunktor}] Wir erhalten einen Schmelzfunktor $$\op{or}^{\op{top}}:(\curlyvee{\op{Modf}}_\DR)^\times\ra \op{Par}$$ vom banalen Schmelzgruppoid der endlichdimensionalen reellen Vektorr"aume in unsere erweiterten Parit"aten aus \ref{ZEns} durch die Vorschrift, da"s wir jedem reellen Vektorraum $V$ endlicher Dimension $d$ die Parit"at seiner Dimension zusammen mit der Menge der beiden Erzeuger von ${\op{H}}_{d}(V,V\backslash 0)$ zuordnen und jeder Verschmelzung $V_1\oplus\ldots\oplus V_r\sira W$ diejenige Verschmelzung von erweiterten Zahlen, die %in jeder Anordnung durch die vom Kreuzprodukt auf der relativen Homologie induzierte Abbildung gegeben wird. Zwischen diesem Schmelzfunktor und dem Schmelzfunktor $$\op{or}=\op{or}^{\op{alg}}:(\curlyvee{\op{Modf}}_\DR)^\times\ra \op{Par}$$ der algebraischen Orientierungsmenge aus \ref{oralg} gibt es genau zwei Isotransformationen. Wir zeichnen eine von ihnen als unsere {\bf Standardtransformation}\index{Standardtransformation} $$\op{std}: \op{or}^{\op{alg}}\siRa\op{or}^{\op{top}}$$ dadurch\index{std@$\op{std}$ Standardtransformation} aus, da"s darunter die Standardorientierung von $\DR$ demjenigen Erzeuger $\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ entspricht, der durch die Klasse des relativen Einszykels $[-1,1]$ gegeben wird, also durch die affine Abbildung $\Delta_1\ra \DR$ mit $\mathrm e_0\mapsto -1$ und $\mathrm e_1\mapsto 1$. Das bedeutet, da"s die algebraische Standardorientierung auf $\DR^n$ f"ur alle $n$ unter unserer ausgezeichneten Isotransformation dem Erzeuger $\tau^{\times n}$ von ${\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)$ entspricht.\label{TOS} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben orientierte reelle Vektorr"aume $U\subset V$ endlicher Dimension liefert \ref{QOR} eine ausgezeichnete Orientierung auf dem Quotienten $V/U$ und vermittels des von der Projektion induzierten Isomorphismus $${\op{H}}_d(V,V\backslash U)\sira {\op{H}}_d(V/U,(V/U)\backslash 0)$$ einen ausgezeichneten Erzeuger der linken Seite f"ur $d=\op{dim}_\DR(V/U)$. Er\label{cAnE} stimmt im Fall $\DR^m\times 0^d\subset \DR^n$ mit den jeweiligen Standardorientierungen "uberein mit $1^{\times m}\times \tau^{\times d}$ f"ur $1\in {\op{H}}_0(\DR,\emptyset)$ der nat"urliche Erzeuger und $\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ wie in \ref{TOS}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Formeln f"ur mengenwertige Schmelzfunktoren}] Sei $\mathcal C$ eine Kategorie mit je einem ausgezeichneten Produkt $X\times Y$ f"ur jedes Paar $(X,Y)$ von Objekten und ausgezeichnetem finalen Objekt $\op{fin}$. Jeder Schmelzfunktor $$S:{\op{kart}}(\mathcal C)\ra \op{kart}(\op{Ens})$$ liefert einen gew"ohnlichen Funktor $M:\mathcal C\ra \op{Ens}$, den wir auf Morphismen $M(f)=f_*$ notieren werden, sowie Abbildungen $M(X)\times M(Y)\ra M(X\times Y)$, $(a,b)\mapsto a\boxtimes b$ und ein ausgezeichnetes Element $\delta\in M(\op{fin})$ derart, da"s f"ur dieses Datum $(M,\boxtimes,\delta)$ die folgenden Vertr"aglichkeiten gelten:\label{kSchn} \begin{description} \item[\textbf{Nat"urlichkeit:}] Gegeben Morphismen $f : X \ra Z$ und $g: Y \ra W$ in $\mathcal C$ haben wir f"ur beliebige $a\in M(X)$ und $b\in M( Y)$ in $M(Z\times W)$ die Gleichheit $$(f_\ast a) \boxtimes (g_\ast b)= (f\times g)_\ast (a \boxtimes b)$$ \item[\textbf{Eins:}] Gegeben $X\in\mathcal C$ und $a\in M( X)$ und gilt $$(\op{pr}_X)_*(a\boxtimes \delta)=a$$ \item[\textbf{Assoziativit"at:}] Gegeben Objekte $X,Y,Z\in \mathcal C$ und dazu jeweils Elemente $a,b,c$ von $M(X),M(Y),M(Z)$ sowie $\op{ass}:(X\times Y)\times Z\sira X\times (Y\times Z)$ der offensichtliche Isomorphismus gilt $$\op{ass}_*((a\boxtimes b)\boxtimes c)=a\boxtimes (b\boxtimes c)$$ \item[\textbf{Kommutativit"at:}] Gegeben $\tau : X \times Y \sira Y \times X$ der Vertauschungsmorphismus und $a\in M(X)$ sowie $b\in M(Y)$ gilt $$\tau_\ast (a \boxtimes b)= b\boxtimes a$$ \end{description} Sei nun $\mathcal C$ eine Kategorie mit je einem ausgezeichneten Produkt $X\times Y$ f"ur jedes Paar $(X,Y)$ von Objekten und einem ausgezeichneten finalen Objekt $\op{fin}$. Man zeige, da"s umgekehrt jedes Datum $(M,\boxtimes,\delta)$ wie oben von einem wohlbestimmten Schmelzfunktor $S:{\op{kart}}(\mathcal C)\ra {\op{kart}}(\op{Ens})$ herkommt. In der Praxis verwenden wir f"ur $S$ und $M$ f"ur gew"ohnlich dieselbe Bezeichnung. Analoges gilt f"ur Schmelzfunktoren ${\op{kart}}(\mathcal C)\ra \op{sgAb}$ und ist die Bedeutung unserer Formelsammlung f"ur das Kreuzprodukt der Homologie \ref{HSchf} folgende. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Formeln f"ur allgemeinere Schmelzfunktoren}] Sei $\mathcal C$ eine Kategorie mit je einem ausgezeichneten Produkt $X\times Y$ f"ur jedes Paar $(X,Y)$ von Objekten und ausgezeichnetem finalen Objekt $\op{fin}$. Analoges zu \ref{kSchn} gilt f"ur Schmelzfunktoren ${\op{kart}}(\mathcal C)\ra \mathcal S$ in allgemeine Schmelzkategorien $\mathcal S$ mit einem ausgezeichneten treuen Schmelzfunktor $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$. Sie entsprechen Tupeln $(M,\boxtimes,\delta)$ mit $M:\mathcal C\ra \mathcal S$ einem Funktor der zugrundeliegenden einfachen Kategorien, Zweiverschmelzungen $M(X)\curlyvee M(Y)\ra M(X\times Y)$ und einer Leerverschmelzung $\delta:\curlyvee\ra M(\op{fin})$ derart, da"s die obigen Vertr"aglichkeiten f"ur $vM$ gelten. F"ur einen Schmelzfunktor ${\op{kart}}(\mathcal C)\ra\op{Ab}$ etwa mu"s man nur zus"atzlich fordern, da"s $M$ ein Funktor $M:\mathcal C\ra \op{Ab}$ ist und $\boxtimes$ f"ur alle $X,Y$ eine bilineare Abbildung $M(X)\times M(Y)\ra M(X\times Y)$. Das ist die Bedeutung der Formeln f"ur verschiedene Arten von Ma"sen\nichtfinal{, vergleiche etwa \eref{FSPM}{AN3}}. \end{Ubung} \subsection{Kohomologie als Trennfunktor} \begin{Bemerkungl} Man erinnere aus \ref{skfu} den Trennfunktor $\op{Fun}:\curlywedge{\op{Ens}}\ra \op{Ab}^{\op{ot}}$ der Funktionenr"aume. Im folgenden erweitern wir ihn zu einem Trennfunktor $\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{sgAb}^{\op{ot}}$ von der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume in die Opponierte der Schmelzkategorie der supergraduierten abelschen Gruppen. Im diskreten Fall haben wir bereits in \ref{dikj} diskutiert, wie man den Trennfunktor der Funktionenr"aume durch Dualisieren aus dem Trennschmelzfunktor der R"aume von kompakt getragenen Ma"sen erhalten kann. Dort war das eher ein Umweg zum Ausprobieren der Konzepte. Hier wird es ein Zugang zur Kohomologie, der es mir besonders gut erlaubt, meine Anschauung f"ur Homologie auf die Kohomologie zu "ubertragen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennfunktor der singul"aren Koketten}] Verkn"upfen wir den Trennschmelzfunktor der singul"aren Ketten $\op{S}:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}$ aus \ref{SKS} mit dem \hyperref[duOO]{Dualisieren} $\op{Hot}^{\op{t}}\ra \op{Hot}^{\op{ot}}$, so erhalten wir einen Trennfunktor\label{Duas} $${\op{S}}^\ast: \curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}^{\op{ot}}$$ von der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume in die Opponierte der Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe abelscher Gruppen. Wir nennen diesen Trennfunktor den {\bf Trennfunktor der singul"aren Koketten} und verwenden im folgenden die abk"urzende Notation $ {\op{S}}^\ast\! X={\op{S}}^\vee\! X\pdef ({\op{S}} X)^\vee$. Per definitionem ordnet unser Trennfunktor einer Trennung $X\ra Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r$ in $\curlywedge{\op{Top}}$ alias einem Tupel stetiger Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ als Trennung in $\op{Hot}^{\op{opp}}$ alias Verschmelzung in $\op{Hot}$ die Komposition $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^\vee Y_1\times\ldots\times{\op{S}}^\vee Y_r&&&&{\op{S}}^\vee X\\ \da&&&&\ua\\ {\op{S}}^\vee Y_1\otimes\ldots\otimes{\op{S}}^\vee Y_r& \ra&({\op{S}}Y_1\otimes\ldots\otimes{\op{S}} Y_r)^\vee &\sira& {\op{S}}(Y_1\times\ldots\times Y_r)^\vee\! \end{array} $$ zu mit einem dualisierten Eilenberg-Zilber-Isomorphismus als drittem Morphismus. Nach \ref{duOO} macht unser Trennfunktor dar"uber hinaus eine universelle Trennung in eine Kleinfamilie $Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge Y_r$ topologischer R"aume zu einer universellen Trennung in $\op{Hot}^{\op{ot}}$, wenn die ${\op{S}}Y_i\in \op{Hot}$ mit h"ochstens einer Ausnahme freie Homologiegruppen von endlichem Rang haben, denn dann liefern die "ublichen Argumente \nichtfinal{\eref{CWW}{TS}} Homotopie"aquivalenzen dieser Komplexe mit ihrer Homologie und folglich ist in unserem Diagramm auch der erste Morphismus der unteren Horizontale eine Homotopie"aquivalenz. Insbesondere macht unser Trennfunktor die universelle Leertrennung $\op{top}\ra \curlywedge$ zu einer universellen Leertrennung ${\op{S}}^\ast(\op{top})\ra \curlywedge$ und induziert mithin einen Isomorphismus ${\op{S}}^\ast(\op{top})\sira \DZ[0]$. Dasselbe gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen Kring $k$ und wir erhalten auch in dieser Allgemeinheit einen Trennfunktor $${\op{S}}^\ast_k: \curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}^{\op{ot}}_k$$ Auch er macht eine universelle Trennung in eine Kleinfamilie $Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge Y_r$ topologischer R"aume zu einer universellen Trennung, wenn die ${\op{H}}_n(Y_i;k)$ f"ur alle $i$ mit h"ochstens einer Ausnahme endlich erzeugt und frei oder allgemeiner endlich erzeugt und projektiv sind. Die universelle Leertrennung induziert insbesondere einen Isomorphismus ${\op{S}}^\ast_k(\op{top})\sira k[0]$ von Homotopiekomplexen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Trennfunktor}] Schalten wir hinter unseren Trennfunktor der singul"aren Koketten ${\op{S}}^*:\curlywedge {\op{Top}}\ra \op{Hot}^{\op{ot}}$ aus \ref{Duas} noch den Opponierten des Schmelzfunktors der totalen Homologie $\mathcal H:\op{Hot}\ra \op{sgAb}$ alias den Trennfunktor $\mathcal H^{\op{opp}}$ dahinter, so erhalten wir einen Trennfunktor $${\op{H}}^\ast={\op{H}}^\ast_{\op{sing}}:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{sgAb}^{\op{ot}}$$ Wir nennen ihn die {\bf Kohomologie} oder ausf"uhrlicher {\bf singul"are Kohomologie}\index{Kohomologie!singul"are}.\label{Koho} Noch genauer setzen wir ${\op{H}}^qX\pdef\mathcal H^q({\op{S}}^\ast\! X)$ und nennen diese abelsche Gruppe die {\bf $q$-te Kohomologiegruppe von $X$}. Die von der universellen Zweitrennung $X\times Y\ra X\curlywedge Y$ induzierte Zweiverschmelzung ist das Kreuzprodukt der Kohomologie. \nichtfinal{\eref{KdKo}{TS}} Auch der Trennfunktor der Kohomologie macht universelle Trennungen zu universellen Trennungen, wenn die ${\op{H}}_n(Y_i;k)$ f"ur alle $i$ mit h"ochstens einer Ausnahme endlich erzeugt und frei oder allgemeiner endlich erzeugt und projektiv sind, macht insbesondere die universelle Leertrennung $\op{top}\ra\curlywedge$ zu einer universellen Leertrennung und induziert so einen Isomorphismus ${\op{H}}^*(\op{top})\sira\DZ[0]$. Das Urbild von $1\in\DZ$ nennen wir den {\bf kanonischen Erzeuger} $1\in {\op{H}}^0(\op{top})$. F"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ bezeichnen wir mit $f^*:{\op{H}}^qY\ra {\op{H}}^qX$ die induzierte Abbildung auf der Kohomologie. Sie hei"st das {\bf Zur"uckholen}.\index{Zur"uckholen!der singul"aren Kohomologie} Analoges gilt f"ur Kohomologie ${\op{H}}^q(X;k)\pdef \mathcal H^q \op{S}^\ast(X;k)$ mit Koeffizienten in einem beliebigen Kring $k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are Kohomologie mit K"orperkoeffizienten}] Ich erinnere daran, da"s nach \ref{Hkot} im Fall eines K"orpers $k$ die totale Kohomologie eine "Aquivalenz von Schmelzkategorien $\mathcal H:\op{Hot}_k\sirra \op{sgMod}_k$ liefert. Wir erhalten so f"ur jeden Komplex $S\in \op{Ket}_k$ von $k$-Vektorr"aumen einen nat"urlichen Isomorphismus $\mathcal H^q(S^\vee)\sira (\mathcal H^{-q}S)^\vee$ zwischen der Kohomologie des dualen Komplexes und dem Dualen der Kohomologie. Das bedeutet insbesondere nat"urliche Isomorphismen\label{SkKoe} $${\op{H}}^q(X;k)\sira {\op{H}}_q(X;k)^*$$ zwischen der Kohomologie und dem Dualraum der Homologie. Ich kann mir die h"oheren Kohomologiegruppen ab $q\geq 2$ nur vorstellen als den Dualraum in diesem Sinne der f"ur mich vergleichsweise anschaulichen Homologiegruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{K"unnethformel}] F"ur K"orperkoeffizienten finden wir, da"s der Trennfunktor der Kohomologie ${\op{H}}^*(\;;k):\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{sgMod}_k^{\op{ot}}$ universelle Trennungen zu universellen Trennungen macht, wann immer die Komplexe der singul"aren Ketten mit Koeffizienten in $k$ aller Zielr"aume bis auf h"ochstens eine Ausnahme nur endlichdimensionale Homologievektorr"aume haben. Insbesondere erhalten wir so, wann immer alle ${\op{H}}^m(X;k)$ oder alle ${\op{H}}^n(Y;k)$ endlichdimensionale $k$-Vektorr"aume sind, einen ausgezeichneten Isomorphismus $${\op{H}}^*(X;k)\otimes_k{\op{H}}^*(Y;k)\sira {\op{H}}^{*}(X\times Y;k)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die banale Struktur auf einem topologischen Raum $X\in\op{Top}$ als Ko\-ab\-mo\-no\-id von $\curlywedge{\op{Top}}$ im Sinne von \ref{banT} induziert durch Anwenden des Trennfunktors der Kohomologie \ref{Koho} auf seiner Kohomologie ${\op{H}}^\ast X$ eine Struktur als Koabmonoid von $\op{sgAb}^{\op{ot}}$ alias eine Struktur als Abmonoid von $\op{sgAb}$ alias eine Struktur als superkommutativer graduierter Ring. Dieser Ring ${\op{H}}^\ast X$ hei"st der {\bf Kohomologiering von $X$}.\index{Kohomologiering} Jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ induziert einen Homomorphismus von graduierten Ringen $f^*:{\op{H}}^\ast Y\ra {\op{H}}^\ast X$ in die Gegenrichtung, den {\bf R"uckzug}. Die Multiplikation des Kohomologierings wird oft\index{)ucup@$\cup$ cup-Produkt} $$\cup$$ notiert und das {\bf cup-Produkt}\index{cup-Produkt} genannt. Wir werden den Kohomologiering im folgenden noch genauer studieren und auch explizitere Beschreibungen daf"ur herleiten. Zur "Ubung d"urfen Sie zeigen, da"s im Fall des einpunktigen Raums der kanonische Erzeuger die Eins des Kohomologierings ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennfunktor der Kohomologie und cup-Produkt}] Aus den Definitionen folgt unmittelbar, da"s eine Trennung $(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge\ldots \curlywedge Y_r$ in der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume unter dem Trennfunktor der Kohomologie auf diejenige Trennung von $\op{sgAb}^{\op{ot}}$ abgebildet wird, die derjenigen Verschmelzung ihrer Kohomologien ${\op{H}}^*Y_1\curlyvee \ldots \curlyvee {\op{H}}^*Y_r\ra {\op{H}}^*X$ entspricht, die ein Tupel $(c_1,\ldots,c_r)$ von Kohomologieklassen auf das cup-Produkt $f_1^*c_1\cup \ldots \cup f_r^*c_r$ ihrer jeweiligen R"uckz"uge in ${\op{H}}^*X$ wirft. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Paarung}] Wir erinnern aus \ref{TKoX} im Kontext einer allgemeinen Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom das Auswerten $D^\vee\curlyvee D\ra{\mathbb I}$. Wenden wir es in der Schmelzkategorie $\op{Hot}$ auf den Komplex ${\op{S}} X$ der singul"aren Ketten eines topologischen Raums $X$ an, so erhalten wir eine Zweiverschmelzung ${\op{S}}^*\! X\curlyvee {\op{S}} X\ra \DZ[0]$ in $\op{Hot}$. Diese hinwiederum liefert unter dem Schmelzfunktor $\mathcal H$ der Homologie bilineare Paarungen, die {\bf Kronecker-Paarungen}\index{Kronecker-Paarung}\label{Kron} $$\langle\;,\;\rangle:{\op{H}}^q X\times {\op{H}}_q X\ra\DZ$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Homologie als Modul "uber dem Kohomologiering}] Jeder topologische Raum $X$ ist in banaler Weise ein Koabmonoid in $\curlywedge{\op{Top}}$ und liefert unter dem Trennschmelzfunktor $\op{S}:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}$ der singul"aren Ketten ein Koabmonoid $R\pdef {\op{S}}X\in \op{Hot}$. Durch Dualisieren entsteht daraus wie besprochen ein Abmonoid ${\op{S}}^*X\in \op{Hot}$ und unser abstraktes cap-Produkt aus \ref{capM} spezialisiert zu einer Operation $${\op{S}}^*X\curlyvee {\op{S}}X\ra {\op{S}}X$$ in $\op{Hot}$. Diese Operation in $\op{Hot}$ liefert unter dem Schmelzfunktor $\mathcal H$ eine Operation des Kohomologierings auf der Homologie und das ist das cap-Produkt\nichtfinal{ aus \eref{capT}{TS}}. Die Adjunktionsformel f"ur das topologische cap-Produkt\nichtfinal{ \eref{adjfO}{TS}} entsteht ebenso aus unserer abstrakten Adjunktionsformel \ref{capM} durch Anwenden von $\mathcal H$. Die Projektionsformel f"ur das topologische cap-Produkt\nichtfinal{ \eref{PLI}{TS}} schlie"slich entsteht aus der abstrakten Projektionsformel \ref{capM}, indem wir eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ als Morphismus der zugeh"origen banalen Koabmonoide in $\curlywedge{\op{Top}}$ auffassen, darauf den Trennschmelzfunktor ${\op{S}}$ der singul"aren Ketten anwenden, die abstrakte Projektionsformel zu diesem Koabmonoidmorphismus in $\op{Hot}$ hinschreiben und mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H$ zur Homologie "ubergehen. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Relative Kohomologie als Trennfunktor}] Der Trennschmelzfunktor ${\op{S}}:\op{Top}^{\co}\ra \op{Hot}$ der relativen singul"aren Ketten in Bezug auf eine offene Teilmenge aus \ref{SdRA} ist insbesondere vertr"aglich mit universellen Trennungen. Halten wir den Trennfunktor des Dualisierens dahinter, so erhalten wir einen weiteren Trennfunktor, den Trennfunktor $${\op{S}}^*:\op{Top}^{\co}\ra \op{Hot}^{\op{ot}}$$ der relativen singul"aren Koketten in Bezug auf eine offene Teilmenge. Halten wir zus"atzlich die Homologie $\mathcal H^{\op{opp}}$ dahinter, so erhalten wir wieder einen Trennfunktor, den Trennfunktor $${\op{H}}^*:\op{Top}^{\co}\ra \op{sgAb}^{\op{ot}}$$ der Kohomologie relativ zu einer offenen Teilmenge. Per definitionem ist eine Trennung $(Z,W)\ra (X,U)\curlywedge (Y,V)$ in $\op{Top}^{\co}$ ein Paar von stetigen Abbildungen $f:Z\ra X$ und $g:Z\ra Y$ mit $(f,g)(W)\subset (X\times V)\cup (U\times Y)$. Unser Trennfunktor beinhaltet f"ur $U\co X$ und $V\co Y$ offene Teilmengen topologischer R"aume eine ausgezeichnete Abbildung $${\op{H}}^*(X,U)\otimes {\op{H}}^*(Y,V)\ra {\op{H}}^*(X\times Y,(X\times V)\cup (U\times Y))$$ und f"ur $U,V\co X$ offene Teilmengen ein- und desselben Raums durch Nachschalten des R"uckzugs l"angs der Diagonale eine nat"urliche Abbildung\label{RKS} ${\op{H}}^*(X,U)\otimes {\op{H}}^*(X,V)\ra {\op{H}}^*(X,U\cup V)$. Noch spezieller beinhaltet er f"ur $U\co X$ eine Struktur auf ${\op{H}}^*(X,U)$ als ${\op{H}}^*(X)$-Modul. Auf jedem Paar $(X,U)\in \op{Top}^{\co}$ haben wir zwar eine banale Komultiplikation und diese ist auch assoziativ und kommutativ, aber eine Koeins besitzt dieses Magma nur im Fall $U=\emptyset$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} In \ref{SdRA} hatten wir gesehen, da"s sogar f"ur ein beliebiges Raumpaar $(X,A)$ die Verschmelzung auf den singul"aren Ketten Homotopie"aquivalenzen ${\op{S}}X^{\otimes r}\otimes{\op{S}}(X,A) \hri {\op{S}}(X^{\times (r+1)},X^{\times r}\times A)$ induziert. Man zeige, da"s die durch Dualisieren und R"uckzug l"angs der Diagonale gegebene Abbildung ${\op{S}}^*X\otimes{\op{S}}^*(X,A) \ra {\op{S}}^*(X,A)$ unter "Ubergang zur Kohomologie f"ur ein beliebiges Raumpaar die relative Kohomologie ${\op{H}}^*(X,A)$ zu einem Modul "uber dem Kohomologiering\label{mokkk} ${\op{H}}^*X$ macht. \end{Ubunge} \subsection{Cup und cap f"ur singul"are Ketten*} \begin{Bemerkungl} Im folgenden geben wir noch explizite Konstruktionen f"ur monotone Varianten unserer Alexander-Whitney-Abbildungen als Trennfunktoren und unserer Eilenberg-Zilber-Abbildungen als Schmelzfunktoren, und zwar jeweils auf Kettenniveau. Der Vorteil dieser Konstruktionen liegt darin, da"s sie expliziten Rechnungen besser zug"anglich sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alexander-Whitney als monotoner Trennfunktor}] Wir k"onnen den Funktor der singul"aren Ketten zu einem monotonen Trennfunktor von monotonen Trennkategorien\label{SmeFF} $$\op{S}=\op{S}_{\op{AW}}:\curlywedge{\op{Top}}^{\op{mon}} \ra(\op{Ket}^{\op{t}})^{\op{mon}}$$ erweitern, indem wir jedem Tupel von stetigen Abbildungen $X\ra Y_i$ alias jeder Trennung $\phi:X\ra Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r$ diejenige Trennung $${\op{S}}\phi:{\op{S}}X\ra {\op{S}}Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge {\op{S}}Y_r$$ alias denjenigen Morphismus ${\op{S}}X\ra {\op{S}}Y_1\otimes\ldots\otimes {\op{S}}Y_r$ von Komplexen abelscher Gruppen zuordnen, der einen singul"aren Simplex $\sigma:\Delta_n\ra X$ auf den Tensor $$\sum_{p_1+\ldots+p_r=n}f_1\sigma\kappa_1\otimes\ldots\otimes f_r\sigma\kappa_r$$ wirft mit $\kappa_i=\kappa(i;p_1,\ldots,p_r):\Delta_{p_i}\hra \Delta_n$ anschaulich dem entsprechenden Mittelteil des Standardsimplex und formal der affinen Abbildung, die die Ecken mit den Indizes $0,1,\ldots,p_i$ der Reihe nach auf die Ecken mit den Indizes $(p_1+\ldots+p_{i-1}+0),\ldots,(p_1+\ldots+p_{i-1}+p_{i})$ abbildet. Im Fall $r=2$ kann man diese Trennung auch schreiben als $\sigma \mapsto \sum_{p+q =n} f_1\sigma\lambda_{p} \otimes f_2 \sigma\rho_{q}$ mit $\lambda_p$ der $p$-Vorderseite und $\rho_q$ der $q$-Hinterseite des Standard-$n$-Simplex aus \eref{VoHi}{TS}. Im Fall $X=Y_1\times Y_2$ mit $f_1,f_2$ den Projektionen schlie"slich erhalten wir genau unsere Alexander-Whitney-Abbildung aus \eref{EAW}{TS}. Um zu pr"ufen, da"s ${\op{S}}_{\op{AW}}$ wie behauptet ein Trennfunktor ist, mag man mit dem Nachweis beginnen, da"s unsere Vorschrift einen Trennfunktor in die monotonen Trennschmelzkategorie der $\DZ$-graduierten abelschen Gruppen liefert. Danach kann man sich beim Pr"ufen der Vertr"aglichkeit mit den Differentialen auf den Fall von Zweitrennungen zur"uckziehen, den wir bereits in \eref{EAW}{TS} behandelt hatten. Nat"urlich ist ${\op{S}}\phi$ im Fall einer Einstrennung schlicht das "ubliche Vordr"ucken von singul"aren Ketten und nach \eref{EAW}{TS} wissen wir auch, da"s es im Fall einer Zweitrennung der Gestalt $(\op{pr}_X,\op{pr}_Y): X\times Y\ra X\curlywedge Y$ das Homotopieinverse der Eilenberg-Zilber-Abbildung repr"asentiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cup und cap f"ur singul"are Ketten}] Unter dem in \ref{SmeFF} konstruierten monotonen Trennfunktor $\op{S}:\curlywedge{\op{Top}}^{\op{mon}} \ra(\op{Ket}^{\op{t}})^{\op{mon}}$ wird das banale Komonoid eines topologischen Raums $X$ ein Komonoid ${\op{S}}X$ in $(\op{Ket}^{\op{t}})^{\op{mon}}$ mit der Komultiplikation $ {\op{S}}X\ra {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$ gegeben auf Simplizes durch $$\sigma\mapsto \sum_{p+q =|\sigma|} \sigma \lambda_{p} \otimes \sigma \rho_{q} $$ Dieses Komonoidobjekt in $(\op{Ket}^{\op{t}})^{\op{mon}}$ liefert unter dem Dualisieren aus \ref{duOO} ein Monoidobjekt ${\op{S}}^*X$ in $\op{Ket}^{\op{mon}}$ und mit dem abstrakten cap-Produkt \ref{capM} wird ${\op{S}}X$ ein Linksobjekt "uber ${\op{S}}^*X$. Unter dem "Ubergang $\mathcal H$ zur Homologie liefern diese nach Konstruktion das cup- und das cap-Produkt, wie wir sie bereits konstruiert hatten. Explizit wird f"ur Koketten $a\in {\op{S}}^pX$, $b\in {\op{S}}^qX$ der Wert von $a \cup b$ auf einem Simplex $\sigma : \Delta_{p+q} \ra X$ gegeben durch die Formel\label{Excap} $$\langle a \cup b, \sigma \rangle = (-1)^{pq}\langle a, \sigma \lambda_{p} \rangle \langle b, \sigma \rho_{q} \rangle$$ und das cap-Produkt einer Kokette $b \in {\op{S}}^{q}X$ mit einem Simplex $z = \sigma : \Delta_{p+q} \ra X$ in den Notationen \eref{VoHi}{TS} durch\label{cAP} $$b \cap \sigma= (-1)^{pq}\langle b,\sigma\rho_{q} \rangle \sigma \lambda_{p} $$ und unsere abstrakte Adjunktionsformel spezialisiert zur f"ur beliebige Koketten $a\in{\op{S}}^p X$, $b\in{\op{S}}^q X$ und Ketten $c\in {\op{S}}_{p+q} X$ g"ultigen {\bf Adjunktionsformel}\index{Adjunktionsformel!f"ur cup und cap} $$\langle a\cup b,c\rangle=\langle a, b\cap c\rangle$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur jeden topologischen Raum $X$ macht das cup-Produkt \ref{cAP} den Komplex der singul"aren Koketten mithin zu einem dg-Ring ${\op{S}}^*X$ und unter dem cap-Produkt aus \ref{cAP} wird der Komplex der singul"aren Ketten ${\op{S}}X$ ein dg-Modul "uber diesem dg-Ring. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Varianten zum cap-Produkt}] Ist $X$ ein topologischer Raum und $A \subset X$ eine Teilmenge, so induziert der zur Komultiplikation $\mu$ des Komonoidobjekts ${\op{S}}X\in(\op{Ket}^{\op{t}})^{\op{mon}}$ geh"orige Morphismus $\mu:{\op{S}}X\ra {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$ offensichtlich einen Morphismus ${\op{S}}A\ra {\op{S}}A\otimes {\op{S}}X$ und so auf den Kokernen einen Morphismus $${\op{S}}(X,A)\ra {\op{S}}(X,A)\otimes {\op{S}}X$$ Damit wird ${\op{S}}(X,A)$ ein ${\op{S}}X$-Rechtskoobjekt in $\op{Ket}$ und unsere allgemeinen Konstruktionen aus \ref{capMm} liefern in $\op{Ket}$ auf ${\op{S}}(X,A)$ eine Struktur als ${\op{S}}X$-Links\-ob\-jekt sowie eine ausgezeichnete Kettenabbildung $${\op{S}}^*(X,A)\otimes{\op{S}}(X,A)\ra {\op{S}}^*X$$ Explizit ist der Komplex der relativen Koketten ${\op{S}}^{\ast} (X,A)$ als Kern des Ringhomomorphismus ${\op{S}}^{\ast} X \ra {\op{S}}^{\ast} A$ ein unter dem Korandoperator stabiles graduiertes Ideal von ${\op{S}}^{\ast} X $ und\label{capr} insbesondere ist ${\op{S}}^{\ast} (X,A)$ selbst ein assoziatives Magma in $\op{dgAb}$ mit Operationen von ${\op{S}}^{\ast} X$ von beiden Seiten, die dazu noch kommutieren in einem hoffentlich offensichtlichen Sinn. Mithin ist ${\op{H}}^{\ast} (X,A)$ eine graduierte assoziative $\DZ$-Algebra und ein ${\op{H}}^{\ast}X$-Bimodul. Des weiteren ist ${\op{S}}A \subset {\op{S}}X$ ein dg-Untermodul f"ur die Operation von ${\op{S}}^{\ast} X$ und unter dem cap-Produkt wird folglich auch der Kokern ${\op{S}}(X,A)$ ein ${\op{S}}^{\ast} X$-Modul. Schlie"slich annulliert das dg-Ideal ${\op{S}}^{\ast}(X,A) \subset {\op{S}}^{\ast}X$ den dg-Untermodul ${\op{S}}A \subset {\op{S}}X$ und induziert so die gesuchte Kettenabbildung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eilenberg-Zilber als monotoner Schmelzfunktor*}] Wir k"onnen auch den Funktor der singul"aren Ketten zu einem monotonen Schmelzfunktor von monotonen Schmelzkategorien\label{SmeFFE} $$\op{S}=\op{S}_{\op{EZ}}:\op{kart}(\op{Top})^{\op{mon}}\ra\op{Ket}^{\op{mon}}$$ erweitern, indem wir jeder stetigen Abbildung $f:X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$ alias Verschmelzung $f:X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r\ra Y$ diejenige Verschmelzung $${\op{S}}f:{\op{S}}X_1\curlyvee\ldots\curlyvee {\op{S}}X_r\ra {\op{S}}Y$$ von Komplexen abelscher Gruppen zuordnen, die ein Tupel $(\sigma_1,\ldots,\sigma_r)$ singul"arer Simplizes $\sigma_i:\Delta_{p(i)}\ra X_i$ abbildet auf $$\sum_{\omega}\op{sgn}(\omega) f\circ (\sigma_1\times \ldots\times \sigma_r)\circ \omega$$ mit der Summe "uber alle injektiven und in jeder Komponente monoton wachsenden Abbildungen $\omega:\{0,\ldots,n\}\hra\{0,\ldots,p(1)\}\times\ldots\times \{0,\ldots,p(r)\}$ f"ur $n=p(1)+\ldots+p(r)$ beziehungsweise die davon induzierten affinen Abbildungen $\omega:\Delta_n\ra \Delta_{p(1)}\times\ldots\times \Delta_{p(r)}$ und mit $\op{sgn}(\omega)$ dem Vorzeichen, das die Vertr"aglichkeit dieser letzteren Abbildung mit den nat"urlichen Orientierungen auf beiden Seiten "ahnlich beschreibt, wie das in \eref{NotFG}{TS} im Fall von zwei Faktoren ausgef"uhrt wurde. Um das zu pr"ufen, mag man damit beginnen nachzuweisen, da"s unsere Vorschrift einen Schmelzfunktor in die monotone Schmelzkategorie der $\DZ$-gradierten abelschen Gruppen liefert, und man sich so zum Pr"ufen der Vertr"aglichkeit mit den Differentialen auf den Fall von Zweiverschmelzungen zur"uckziehen, den wir bereits behandelt haben. Wie wir bereits aus \eref{EXEZ}{TS} wissen, induziert ${\op{S}}f$ auf der Homologie die Abbildung, die durch das Kreuzprodukt gefolgt vom Vorschub mit $f$ gegeben wird. \end{Bemerkungl} %\pagecolor{white}} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTSK" %%% End: