%\chapter{Typische Pr"ufungsfragen} \section{Lineare Algebra} \begin{enumerate} \item Was ist ein K"orper? Wie leitet man die Regel f"ur das Addieren von Br"uchen aus den K"orperaxiomen ab? \item Was ist eine Basis eines Vektorraums? K"onnte es passieren, da"s ich in demselben Vektorraum eine Basis mit $13$ Elementen und eine mit $17$ Elementen finde? Was ist die Dimension eines Vektorraums? Hat jeder Vektorraum eine Basis? Was ist "uberhaupt ein Vektorraum? Wie leitet man $0v=0$ aus den Vektorraumaxiomen ab? \item Warum ist jedes unverk"urzbare Erzeugendensystem eine Basis? Warum ist jede unverl"angerbare linear unabh"angige Teilmenge eine Basis? \item Wie versieht man die Menge der Homomorphismen von einem Vektorraum zu einem anderen mit der Struktur eines Vektorraums? Wie berechnet man die Dimension eines derartigen Raums von Homomorphismen? \item Was ist die Matrix einer ebenen Drehung um $45^\circ$? Was ist ihre Determinante? Ihre Eigenwerte? \item Geben Sie eine $(3\times 3)$-Matrix vom Rang $\ldots$ ohne Nullen an. Was ist deren Determinante? Was ist die L"osungsmenge des zugeh"origen Gleichungssystems? Was sind die Eigenwerte? \item Was ist die Determinante einer Matrix? Wie rechnet man sie aus? Warum hat die transponierte Matrix dieselbe Determinante? Warum ist jede Matrix mit von Null verschiedener Determinante invertierbar? \item Besitzt jede Matrix einen Eigenwert? Ist jede Matrix diagonalisierbar? Beispiel? Gegenbeispiel? Ist jede relle symmetrische Matrix diagonalisierbar? Beweis? \item Was ist ein Eigenwert einer linearen Abbildung? Welche Eigenwerte hat das Ableiten, aufgefa"st als lineare Abbildung vom Raum der beliebig oft differenzierbaren reellen Funktionen auf der reellen Zahlengeraden $\cal{C}_\DR^\infty(\DR)$ in sich selbst? Welche Eigenwerte hat das Ableiten aufgefa"st als lineare Abildung vom Raum der Polynome in sich selbst? Was sind die Eigenr"aume? Und wenn man Koeffizienten in einem K"orper der Charakteristik $\ldots$ nimmt? \item Wieviele Untervektorr"aume hat ein $\ldots$-dimensionaler Vektorraum "uber dem K"orper mit $\ldots$ Elementen? \item Wieviele angeordnete Basen hat ein $\ldots$-dimensionaler Vektorraum "uber dem K"orper mit $\ldots$ Elementen? \item Nimmt die quadratische Form $\ldots$ positive und negative Werte an? Wie findet man so etwas im allgemeinen heraus? \item Berechnen Sie die inverse Matrix zu $\ldots$ \item Was versteht man unter dem Rang einer Matrix? Warum stimmen Zeilenrang und Spaltenrang stets "uberein? \item Wie h"angen die Eigenwerte einer invertierbaren Matrix zusammen mit den Eigenwerten ihrer Inversen? Wie h"angt die Jordan'sche Normalform einer invertierbaren Matrix zusammen mit der Jordan'schen Normalform ihrer Inversen? \end{enumerate} \section{Algebra} \begin{enumerate} \item Gibt es eine Gruppe mit $\ldots$ Elementen? Gibt es eine abelsche Gruppe mit $\ldots$ Elementen? Wie konstruiert man "uberhaupt so eine Restklassengruppe? Was ist das Inverse zu $\ldots$ in $\DZ/a\DZ$? Wieviele paarweise nicht isomorphe abelsche Gruppen gibt es mit $\ldots$ Elementen? Welche? \item Wieviele Gruppenhomomorphismen gibt es von $\DZ/4\DZ$ nach $\DZ/6\DZ$? \item Wieviele Elemente hat $\op{GL}(3;\mathbb{F}_7)$? Wie gr"o"s ist die $7$-Sylow darin? K"onnen Sie eine $7$-Sylow angeben? \item Hat jedes Polynom eine Nullstelle? Kann man den Grundk"orper so vergr"o"sern, da"s es eine kriegt? Wie geht das? \item Gegeben sei das Polynom $\ldots$ Was ist die Summe seiner komplexen Nullstellen? Die Summe der Quadrate seiner komplexen Nullstellen? \item Ist das Polynom $\ldots$ irreduzibel? Was ist ein irreduzibles Polynom? Inwieweit ist die Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Faktoren eindeutig? Warum? Welche Grade k"onnen irreduzible Polynome in $\DR[X]$ haben? Zerlegen Sie $X^4+2$ in $\DR[X]$ in Linearfaktoren. \item Wieviele Nullstellen kann das Polynom $\ldots$ h"ochstens haben? Warum? Gibt es zu vorgegebenen Nullstellen stets ein Polynom, das genau diese Nullstellen hat? Warum-warum nicht? \item Gibt es einen K"orper mit $\ldots$ Elementen? Wie zeigt man das? Wann ist $\DZ/a\DZ$ ein K"orper? Warum ist $\DZ/10\DZ$ kein K"orper? Wie rechnet man in diesem Ring? Besitzt $\ldots$ darin ein multiplikatives Inverses? Und zwar welches? Welche abelsche Gruppe erh"alt man als Einheitengruppe? Welche abelsche Gruppe ist die multiplikative Gruppe des K"orpers mit $\ldots$ Elementen? Welche Kardinalit"at kann ein endlicher K"orper haben? Warum? Sind je zwei K"orper mit $\ldots$ Elementen isomorph? Warum? \item Was ist die Automorphismengruppe des K"orpers mit $\ldots$ Elementen? Wie zeigt man das? \item Ist das regelm"a"sige $\ldots$-Eck konstruierbar mit Zirkel und Lineal? Warum oder warum nicht? Welche regelm"a"sigen $n$-Ecke sind eigentlich konstruierbar? Warum-warum nicht? \item Warum hat in einem K"orper jedes Element h"ochstens zwei Quadratwurzeln? Warum in Charakteristik Zwei h"ochstens eine Quadratwurzel? \item Kann die reelle Zahl $\sqrt[3]2$ Nullstelle eines quadratischen Polynoms mit rationalen Koeffizienten sein? \end{enumerate} \section{Analysis} \begin{enumerate} \item{} Wie bestimmt man die Ableitung des Arcustangens? Was ist "uberhaupt die Ableitung? Was bedeutet darin das Symbol~ $\varinjlim$? Wie entwickelt man arctg in eine Potenzreihe? Warum ist diese Rechnung erlaubt?... \item{} Was ist~$\lim_{x \to \infty} \frac{x+{\op{e}}^x}{\log x + {\op{e}}^x}$? Was bedeutet~$\lim_{x \to \infty} g(x) = b$? Wie ist die Exponentialfunktion definiert? Kennen Sie andere Funktionen, die ihre eigene Ableitung sind? Sind das alle? Warum? \item{} Warum ist jede stetige Funktion auf einem kompakten Intervall beschr"ankt? \item{} Berechnen Sie den Schwerpunkt eines Kuchenst"ucks: Stellen Sie es auf die Spitze und integrieren die H"ohe~$y$ "uber das entsprechende Gebiet. Wie lautet allgemein die Formel zur Transformation von Mehrfachintegralen auf krummlinige Koordinaten? Was ist die Beziehung zur Substitutionsregel? \item{} Finden Sie eine Stammfunktion f"ur den Arcustangens, $\int \arctan$; wie ist "uberhaupt das Integral definiert? Warum kann es mittels Stammfunktionen berechnet werden? \item{} Was bedeutet~$\lim_{n \to \infty} a_n = a$? Schreiben Sie es mit den zugeh"origen "`f"ur alle"' und "`es gibt"' einmal auf. Wie folgt~$\lim_{n \to \infty} 1/n = 0$? \item{} Wie ist die Exponentialfunktion definiert? Warum konvergiert diese Reihe? Wie zeigt man das Quotientenkriterium? Das Majorantenkriterium? \item{} (Falls es dran war) Kennen Sie eine Funktion, die ihre eigene dritte Ableitung ist, $f\grqq\ ' = f$? K"onnen Sie alle derartigen Funktionen~$f \colon {\mathbb R} \to {\mathbb C}$ angeben? K"onnen Sie alle derartigen Funktionen~$f \colon {\mathbb R} \to {\mathbb R}$ angeben? \item{} Wie ist das Integral~$\int_a^b f(x) \diff x$ f"ur~$f \colon [a,b] \to {\mathbb R}$ stetig definiert? Welche Probleme k"onnen f"ur~$f$ unstetig auftreten? Was bedeutet gleichm"a"sig stetig? \item{} Wie ist der Logarithmus definiert? Warum wird jede positive reelle Zahl als Wert der Exponentialfunktion angenommen? Was ist die Ableitung des Logarithmus? Seine Potenzreihenentwicklung? Das Integral? Die Potenzreihenentwicklung um den Punkt~$p = 5$? Der Konvergenzradius daselbst? \item{} Was ist das h"oherdimensionale Analogon der Ableitung? Wie h"angt das totale Differential mit den partiellen Ableitungen zusammen? Wie lautet in dieser Allgemeinheit die Kettenregel? Wie zeigt man sie? \item{} Was ist das Lebesgue-Ma"s? Wie ist das Lebesgue-Integral definiert? Was ist seine Beziehung zu absoluter Konvergenz von Reihen? \item{} Was ist ein Hilbert-Raum? \item{} Was ist die Fourier-Transformation? \end{enumerate} \section{Funktionentheorie} \begin{enumerate} \item Besitzt jede stetige Abbildung $f:\DC\ra \DC$ eine Stammfunktion, gibt es also stets $F:\DC\ra \DC$ holomorph mit $F'=f$? \item Besitzt jede holomorphe Funktion $f:\DC\ra \DC$ eine Stammfunktion, gibt es also stets $F:\DC\ra \DC$ holomorph mit $F'=f$? \item Besitzt jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion? \end{enumerate} \section{Algebraische Geometrie (Staatsexamen)} \begin{enumerate} \item Zwei Polynome in $\DC[X,Y]$ haben dieselben Nullstellen. Sind sie dann gleich? Teilt eins das andere? Und wenn eines irreduzibel ist? Und wenn unsere beiden Polynome nur unendlich viele gemeinsame Nullstellen haben (f"ur die letzte Teilfrage brauche Dimensionstheorie). \item Kann es sein, da"s zwei nichtkonstante Polynome $f,g\in \DC[X,Y]$ "uberhaupt keine gemeinsame Nullstelle haben? Und wenn wir zum projektiven Raum "ubergehen? \item Warum bilden die Nullstellenmengen endlicher Familien von Polynomen die abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf $\DC^n$? \item Was ist eine regul"are Funktion auf einer affinen Variet"at? Sind zwei affine Variet"aten bereits isomorph, wenn die $\DC$-Kringe ihrer regul"aren Funktionen isomorph sind? Kann $\DC[X]/\langle X^2\rangle$ der Ring der regul"aren Funktionen auf einer affinen Variet"at sein? Welche $\DC$-Kringe sind Ringe von regul"aren Funktionen auf affinen Variet"aten? \item Was ist ein maximales Ideal? Warum ist der Quotient nach einem maximalen Ideal stets ein K"orper? Was sind die maximalen Ideale von $\DC[X,Y]$? \end{enumerate} \section{Algebraische Gruppen} \begin{enumerate} \item Was ist eine (affine) algebraische Gruppe? Warum ist jede affine algebraische Gruppe linear? \item Was sind die algebraischen Gruppenhomomorphismen $(\DC,+)\ra (\DC^\times,\cdot)$? \item Was sind die irreduziblen algebraischen Darstellungen von $(\DC^n,+)$? \item Welche eindimensionalen algebraischen Gruppen gibt es? \item Was ist eine Borel'sche Untergruppe? \item Wie konstruiert man Quotientenvariet"aten? \item Was ist eine diagonalisierbare algebraische Gruppe? \item Ist eine Gruppe, deren Elemente s"amtlich halbeinfach sind, diagonalisierbar? Und wenn sie zusammenh"angend ist? \item Was ist die Jordanzerlegung eines Elements von $\DZ/10\DZ,$ aufgefa"st als algebraische Gruppe "uber einem K"orper der Charakteristik $5?$ \item Warum sind je zwei Borel'sche Untergruppen konjugiert? \end{enumerate} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: