\section{Endliches Erzeugen und Nullstellensatz} \subsection{Formulierung des Hilbert'schen Nullstellensatzes} \label{ZTOO} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s bei uns jeder {\bf Ring} eine Eins hat und da"s von jedem\label{RRM} {\bf Ringhomomorphismus} gefordert wird, da"s er die Eins auf die Eins wirft. Ein {\bf Ideal} eines Rings ist nach \eref{DefI}{AL} eine Untergruppe seiner additiven Gruppe, die unter der Multiplikation mit beliebigen Elementen unseres Rings von links wie von rechts stabil ist. Einen kommutativen Ring nenne ich auch einen {\bf Kring}.\index{Kring!kommutativer Ring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein Kring und $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ der Polynomring "uber $k$ in $n$ Variablen. Das Auswerten liefert eine Abbildung $$ k[T_{1}, \ldots, T_{n}]\times k^n\ra k$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ZaTo} Gegeben ein Kring $k$ und eine Teilmenge $E \subset k [T_{1} \ldots, T_{n}]$ des Polynomrings erkl"aren wir die \defind{Nullstellenmenge} oder kurz die \defind{Nullstellen} {\bf von} $E$ als die Menge derjenigen Punkte des $k^{n}$, an denen alle Polynome aus $E$ verschwinden. Wir notieren diese Menge $$%\hspace{15mm} {\mathcal Z}(E) \pdef \{x \in k^{n} \mid f(x) =0 \quad \forall f \in E\}$$ mit ${\mathcal Z}$ wie \glqq zeroes\grqq.\index{Z@${\mathcal Z}(E)$ Nullstellenmenge von $E$} Im Fall $E=\{f_1,\ldots,f_r\}$ verwenden wir die abk"urzende Notation ${\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}(f_1,\ldots,f_r)$. Eine Teilmenge $Z\subset k^n$ hei"st {\bf algebraisch}, wenn sie die Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen ist, wenn es also eine Teilmenge $E \subset k [T_{1} \ldots, T_{n}]$ gibt mit $Z={\mathcal Z}(E)$.\index{algebraisch!Teilmenge von $k^n$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Alternative Notationen und Sprechweisen}] Eine andere in der Literatur g"angige Notation f"ur unser ${\mathcal Z}(E)$ ist $\op{V}(E)$ mit $\op{V}$ wie \glqq Variet"at\grqq.\index{V@$\op{V}(E)$ {\it Nullstellenmenge von} $E$} Wir verwenden jedoch die Bezeichnung als Variet"at nur "uber einem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper $k$ und verwenden die Notation $\op{V}(E)$ "uberhaupt nicht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Im ersten Teil dieser Vorlesung geht es um die Untersuchung \glqq geometrischer\grqq\ Eigenschaften algebraischer Teilmengen von $k^n$ f"ur algebraisch abgeschlossene K"orper $k$ und die entsprechenden \glqq algebraischen\grqq\ Aussagen aus der Theorie der kommutativen Ringe. Den tragenden Pfeiler der Br"ucke zwischen der \glqq geometrischen\grqq\ und der \glqq algebraischen\grqq\ Welt bildet der folgende Satz, dessen Beweis mit den n"otigen Vorbereitungen uns bis \ref{MI1} besch"aftigen wird. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert'scher Nullstellensatz}]\index{Nullstellensatz, Hilbert'scher}\index{Hilbert'scher Nullstellensatz} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"or\-per. Ist $f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Polynom, das auf der Nullstellenmenge eines Ideals\label{HNb} $\mathfrak a \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ verschwindet, so liegt eine Potenz unseres Polynoms bereits selbst in besagtem Ideal. In Formeln gilt also $${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(\mathfrak a)\;\RA\; f^{N} \in \mathfrak a\;\;\text{ f"ur }N \gg 0$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Die gemeinsame Nullstellenmenge von $x^2,z^3\in k[x,y,z]$ ist die $y$-Achse. Das Polynom $f\pdef (x+z)y$ verschwindet auf der $y$-Achse und wie vom Nullstellensatz vorhergesagt geh"ort eine Potenz von $f$ zum Ideal $\langle x^2,z^3\rangle$, in unserem Fall etwa die vierte Potenz $$f^4=\big((x^2+4xz+6z^2)y^4\big)x^2 + \big((4x+z)y^4\big)z^3$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur $k$ nicht algebraisch abgeschlossen gilt der Nullstellensatz nicht. Als Beispiel betrachte man f"ur $k=\DR$ in $\DR[T]$ das Ideal $\mathfrak a=\langle T^2+1\rangle$. Obwohl das konstante Polynom $f=1$ auf der Nullstellenmenge ${\mathcal Z}(\mathfrak a)=\emptyset$ unseres Ideals verschwindet, liegt keine seiner Potenzen $1^N=1$ in besagtem Ideal. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir werden den Nullstellensatz erst im Anschlu"s an Lemma \ref{MI1} zeigen k"onnen. Manche Aussagen aus seinem Umfeld sind jedoch sehr leicht zu haben, wie ich im folgenden ausf"uhren will. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $k$ ein Kring und $X\subset k^{n}$ eine Teilmenge, so bilden diejenigen Polynome, die an allen Punkten von $X$ verschwinden, offensichtlich ein Ideal des Polynomrings $k[T_{1},\ldots, T_{n}]$. Es hei"st das {\bf Verschwindungsideal von} $X$.\index{Verschwindungsideal} Wir notieren es\index{I@${\mathcal I}(X)$ Verschwindungsideal von $X$} $${\mathcal I} (X) \pdef \{f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}] \mid f(x) =0 \quad \forall x \in X\}$$ \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZAE} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Kreislinie ist die Nullstellenmenge in $\DR^2$ des Polynoms $x^2+y^2-1\in\DR[x,y]$, eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge der Ebene $\DR^2$. Jeder Punkt $(a,b)\in\DR^2$ ist die simultane Nullstellenmenge in $\DR^2$ der Polynome $x-a$ und $y-b$ und auch Zariski-abgeschlossen. Alle Zariski-abgeschlossenen Teilmengen von $\DR^2$ sind offensichtlich auch abgeschlossen in der nat"urlichen Topologie des $\DR^2$ aus \eref{RAVe}{AN2}, aber das Umgekehrte gilt nicht. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{OIU} Sei $k$ ein Kring. Offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{E}$ von Teilmengen von $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ die Identit"at $ \bigcap_{E\in \cal{E}} {\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}\left(\bigcup_{E\in \cal{E}} E\right)$ und insbesondere auch $$E \subset F \;\Rightarrow \; {\mathcal Z}(E) \supset {\mathcal Z}(F)$$ Ebenso offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{X}$ von Teilmengen des $k^{n}$ die Identit"at ${\mathcal I}\left(\bigcup_{X\in \cal{X}}X\right)= \bigcap_{X\in \cal{X}} {\mathcal I} (X)$ und insbesondere auch $$Y \subset X \; \Rightarrow \; {\mathcal I}(Y) \supset {\mathcal I}(X)$$ Des weiteren gilt sicher $E\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(E))$ f"ur jede Teilmenge $E\subset k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ und $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset k^n$. Es folgt ${\mathcal I}(X) ={\mathcal I}({\mathcal Z}({\mathcal I}(X)))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset k^n$, indem wir einerseits ${\mathcal I}$ auf $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ anwenden und andererseits $E\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(E))$ auf $E={\mathcal I}(X)$. Ebenso folgt f"ur jede Teilmenge $E\subset k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ die Identit"at ${\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}({\mathcal I}({\mathcal Z}(E)))$. Insbesondere gilt f"ur jede algebraische Teilmenge $X\subset k^n$ die Identit"at $X={\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$. Offensichtlich charakterisiert diese Identit"at auch umgekehrt algebraische Teilmengen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{IZDS} Allgemeiner versteht man unter einer {\bf Inzidenzstruktur}\index{Inzidenzstruktur} ein Tripel $(A,B,R)$ bestehend aus zwei Mengen $A$ und $B$ mit einer Teilmenge $R\subset A\times B$ alias einer {\bf Relation zwischen $A$ und $B$}. %im Sinne von \eref{AlRep}{AN1}. Zum Beispiel k"onnen wir die Menge $A=k[T_1,\ldots,T_n]$ der Polynome und die Menge $B=k^n$ der Punkte betrachten und dazu eine Relation $R$ erkl"aren dadurch, da"s gilt $(f,x)\in R$ genau dann, wenn $f(x)=0$. F"ur eine beliebige Inzidenzstruktur k"onnen wir in derselben Weise wie in diesem Beispiel Abbildungen ${\mathcal Z}:\cal{P}(B)\ra \cal{P}(A)$ und ${\mathcal I}:\cal{P}(A)\ra \cal{P}(B)$ erkl"aren. Auch in dieser Allgemeinheit verwandeln sich Vereinigungen in Schnitte, Inklusionen kehren sich um und es gilt stets $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ sowie ${\mathcal I}(X)={\mathcal I}({\mathcal Z}({\mathcal I}(X)))$ und symmetrisch $E\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(E))$ sowie ${\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}({\mathcal I}({\mathcal Z}(E)))$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Um Sie zu ermuntern, sich in Vorbereitung auf sp"atere Kapitel mit den Grundbegriffen der Topologie auseinanderzusetzen, beginne ich bereits hier mit der Diskussion der sogenannten \glqq Zariski-Topologie\grqq. Ich erinnere zun"achst an einige grundlegende Definitionen aus der Begriffwelt der Topologie, wie sie in \eref{SSToRa}{AN2} ausf"uhrlicher eingef"uhrt werden. Eine {\bf Topologie\index{Topologie} ${\cal T}$ auf einer Menge $X$} ist ein System von Teilmengen ${\cal T} \subset {\cal P} (X)$, das stabil ist unter dem Bilden von endlichen Schnitten und beliebigen Vereinigungen. Ein Paar $(X, {\cal T})$ bestehend aus einer Menge mit einer Topologie hei"st ein {\bf topologischer Raum}\index{topologischer Raum}. Die Teilmengen aus ${\cal T}$ hei"sen dann die {\bf offenen Teilmengen}\index{offen} unseres topologischen Raums. Statt $U\in {\cal T}$ schreibe ich auch $U\co X$.\index{)c@$\co$ offen in!topologischem Raum} Die Komplemente der offenen Teilmengen hei"sen die {\bf abgeschlossenen Teilmengen} unseres topologischen Raums. F"ur $A\subset X$ schreiben wir statt $(X\backslash A)\in \cal T$ auch $A\As X$. \index{abgeschlossen} \index{)c@$\As$ abgeschlossen in!topologischem Raum} Das System der abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raums ist stabil unter endlichen Vereinigungen und beliebigen Schnitten. Jedes Mengensystem in einer Menge $X$ mit diesen Eigenschaften ist auch umgekehrt das System der abgeschlossenen Teilmengen einer wohlbestimmten Topologie auf $X$. Gegeben eine Teilmenge $M\subset X$ eines topologischen Raums wird ihr {\bf Abschlu"s} $\bar M$ erkl"art als die kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, die $M$ umfa"st, alias der Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$, die $M$ umfassen. \index{)6a@$\bar{M}$ Abschlu"s von $M$} \index{Abschlu"s!topologischer} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R"aumen hei"st {\bf stetig},\index{stetig!f"ur topologische R"aume} wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist oder gleichbedeutend das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere \eref{SSIDT}{AN2}. Ist $X$ ein topologischer Raum und $Y\subset X$ eine Teilmenge, so erkl\"{a}rt man die {\bf induzierte Topologie}\index{induzierte Topologie} \index{Topologie!induzierte} oder {\bf Spurtopologie}\index{Spurtopologie} auf $Y$ durch die Vorschrift\label{SpTo} $$U \co Y \quad\Leftrightarrow \quad\exists V \co X\text{ mit }U = V \cap Y$$ In Worten ist also eine Teilmenge von $Y$ offen f"ur die induzierte Topologie genau dann, wenn sie der Schnitt mit $Y$ einer offenen Teilmenge von $X$ ist. Ab jetzt fassen wir stillschweigend jede Teilmenge $Y$ eines topologischen Raums $X$ als topologischen Raum mit der induzierten Topologie auf. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s ein Ring ein {\bf Integrit"atsbereich} hei"st, wenn er genau ein nichtk"urzbares Element hat. Dies Element ist dann notwendig die Null unseres Rings. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ist $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich, so bilden die algebraischen Teilmengen von $k^n$ die abgeschlossenen Mengen einer Topologie, der \emph{\bf Zariski-Topologie}\index{Zariskitopologie!auf einem $k^n$} \emph{\bf auf dem} $k^{n}$.\label{ZaTo} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da"s beliebige Schnitte algebraischer Teilmengen wieder algebraisch sind, ist eh klar, formal nach \ref{OIU}. Wir zeigen, da"s auch endliche Vereinigungen wieder algebraisch sind. Ist $k$ nicht der Nullring, so gilt ${\mathcal Z}(1)=\emptyset$. Die Vereinigung "uber die leere Familie algebraischer Mengen ist damit also algebraisch. Ist $k$ sogar ein Integrit"atsring, so gilt zus"atzlich ${\mathcal Z}(E)\cup {\mathcal Z}(F)={\mathcal Z}(EF)$ mit der Notation $EF=\{ef\mid e\in E,\;f\in F\}$. Die Vereinigung "uber jede endliche nichtleere Familie algebraischer Mengen ist damit auch algebraisch. Folglich bilden die ${\mathcal Z}(E)$ das System der abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf dem $k^n$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AbVa} Ist $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich, so folgt f"ur den Abschlu"s einer beliebigen Teilmenge $X\subset k^n$ in Bezug auf die eben erkl"arte Zariskitopologie die Formel $$\bar{X}={\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$$ In der Tat ist die rechte Seite eine algebraische alias abgeschlossene Menge, die $X$ umfa"st. F"ur jede algebraische alias abgeschlossene Teilmenge $Z\supset X$ gilt andererseits $Z={\mathcal Z}({\mathcal I}(Z))\supset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Element eines faktoriellen Rings hei"st {\bf quadratfrei},\index{quadratfrei}\label{quf} wenn es von Null verschieden ist und sich in einer Darstellung als Produkt von Irreduziblen und einer Einheit keine zwei Faktoren nur um eine Einheit unterscheiden. Zum Beispiel ist $50$ keine quadratfreie ganze Zahl, $51$ aber schon. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine Teilmenge $Z\subset k^n$ hei"st eine \begin{description} \item[Hyperebene,]\index{Hyperebene!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines linearen Polynoms ist, also eines Polynoms vom Totalgrad $1$; \item[Quadrik,]\index{Quadrik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien quadratischen Polynoms ist; \item[Kubik,]\index{Kubik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien kubischen Polynoms ist; \item[Quartik,]\index{Quartik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien Polynoms vom Totalgrad $4$ ist; \item[Quintik,]\index{Quintik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien Polynoms vom Totalgrad $5$ ist; \end{description} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \ref{BMDnxa}, da"s f"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper auf einer algebraischen Teilmenge $X\As k^n$ die durch ein Polynom $P\in k[T_1,\ldots, T_n]$ gegebene Abbildung $P:X\ra k$ entweder nur endlich viele Werte annimmt oder nur endlich viele Werte aus $k$ nicht annimmt. Unser Beweis in \ref{BMDnxa} ist nicht ganz einfach. Ich w"u"ste gerne, wie man diese Aussage m"oglichst leicht einsehen kann. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Man kann zeigen, da"s f"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $n\geq 1$ jede algebraische Teilmenge von $k^n$ bereits als die Nullstellenmenge von $n$ Polynomen beschrieben werden kann, vergleiche etwa \cite{Kunz}. Im Gegensatz dazu kann keineswegs jedes Ideal des Polynomrings in $n$ Variablen von $n$ Polynomen erzeugt werden. Zum Beispiel ist leicht zu sehen, da"s das Ideal $\langle x^2, xy, y^2\rangle\subset \DC[x,y]$ nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige zur "Ubung, da"s eine echte Zariski-abgeschlossene Teilmenge von $\DR^2$ keine nichtleere metrisch offene Teilmenge von $\DR^2$ umfassen kann. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $k$ ein K"orper, ja ein beliebiger Kring, und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist das Verschwindungsideal dieser einelementigen Menge das Ideal ${\mathcal I}(x)= \langle T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}\rangle \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige, da"s die von ganz $k$ verschiedenen algebraischen Teilmengen von $k$ genau die endlichen Teilmengen sind. Man zeige, da"s die algebraischen Teilmengen von $k^2$ genau die endlichen Teilmengen, die Vereinigungen der Nullstellenmengen einzelner Polynome mit endlichen Teilmengen, sowie ganz $k^2$ sind. Hinweis: Nach \eref{ENu}{AL} haben zwei teilerfremde Polynome in zwei Ver"anderlichen h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen.\label{JGD} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige f"ur jedes Ideal $\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ die Absch"atzung $|\mathcal Z(\mathfrak a)|\leq \op{dim}_kk[T_1,\ldots, T_n]/\mathfrak a$. Insbesondere kann ein Ideal endlicher Kodimension nur h"ochstens endlich viele simultane Nullstellen besitzen. Hinweis: Interpolation in mehreren Variablen \eref{IP}{AL}.\label{EVNN} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KAHz} Unter einem {\bf Hom"oomorphismus}\index{Hom"oomorphismus} versteht man eine bijektive stetige Abbildung zwischen topologischen R"aumen, deren Umkehrung auch stetig ist. Man zeige: Ist $\gamma : k \sira k$ ein K"orperautomorphismus, so induziert $\gamma$ einen Hom"oomorphismus $\gamma : k^{n} \sira k^{n}$, $(x_{1}, \ldots, x_{n}) \mapsto (\gamma (x_{1}), \ldots, \gamma (x_{n}))$ von $k^{n}$ versehen mit der Zariskitopologie auf sich selbst. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines topologischen Raums hei"st {\bf dicht},\index{dicht!Teilmenge} wenn ihr Abschlu"s der ganze Raum ist. Sei $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich. Man zeige: Jede unendliche Teilmenge von $k$ ist Zariski-dicht. Sind $A\subset k^m$ und \label{ZD}$B\subset k^n$ Zariski-dicht, so gilt dasselbe f"ur $A\times B\subset k^{m+n}$. Ist zus"atzlich $k$ unendlich, so ist jede offene nichtleere Teilmenge von $k^n$ Zariski-dicht und je zwei offene nichtleere Teilmengen von $k^n$ haben nichtleeren Schnitt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein K"orper $k$ und Matrizen $M,N\in \op{Mat}(n;k)$ haben $MN$ und $NM$ dasselbe charakteristische Polynom. Hinweis: \ref{ZD}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede unendliche Teilmenge der Kreislinie in der reellen Ebene $\{(x,y)\in \DR^2\mid x^2+y^2=1\}$ Zariski-dicht liegt in der Kreislinie mit ihrer Spurtopologie nach \ref{SpTo}. Hinweis: \eref{ENu}{AL}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Verschwindet ein Polynom $P\in\DR[x,y]$ auf der Kreislinie $\{(x,y)\in \DR^2\mid x^2+y^2=1\}$, so wird es von $x^2+y^2-1$ geteilt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus dem Hilbert'schen Nullstellensatz: Haben zwei irreduzible Polynome in $\DC[T_1,\ldots,T_n]$ dieselben Nullstellen, so ist das eine ein skalares Vielfaches des anderen. Im Fall $n=1$ ist das klar. In Fall $n=2$ folgt es bereits aus Korollar \eref{ENu}{AL}, nach dem zwei teilerfremde Polynome in $\DC[x,y]$ h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen haben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede lineare Abbildung $k^m\ra k^n$ stetig ist f"ur die Zariskitopologie. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben auf $A\pdef k^n$ eine $k$-bilineare Multiplikation $A\times A\ra A$, die $A$ zu einem Ring macht, bilden die Einheiten unseres Rings eine Zariski-offene Teilmenge $A^\times\co A$. \end{Ubung} \subsection{Allgemeines zu Moduln}\label{LMm} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur Mengen von Abbildungen}] Ich notiere $\op{Ens}$ die Kategorie der Mengen. Ihre Objekte sind Mengen, ihre Morphismen Abbildungen. Gegeben $M,N\in\op{Ens}$ alias Mengen $M,N$ notiere ich $\op{Ens}(M,N)$ die Menge aller Abbildungen von $M$ nach $N$ und $\op{Ens}(M)\pdef \op{Ens}(M,M)$ die Menge aller Abbildungen von $M$ zu sich selbst. \nichtfinal{Neue Notation $\op{Ens}^\circ(N,M)=\op{Ens}(M,N)$? Und immer $\mathcal C^\circ$ f"ur die opponierte Kategorie?} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur Mengen von Homomorphismen abelscher Gruppen}] Ich notiere $\op{Ab}$ die Kategorie der abelschen Gruppen. Ihre Objekte sind abelsche Gruppen, ihre Morphismen Gruppenhomomorphismen. Gegeben $M,N\in\op{Ab}$ alias abelsche Gruppen $M,N$ notiere ich $\op{Ab}(M,N)\subset \op{Ens}(M,N)$ die Menge aller Gruppenhomomorphismen von $M$ nach $N$ und $\op{Ab}(M)\subset \op{Ens}(M)$ die Menge aller Gruppenhomomorphismen von $M$ zu sich selbst. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Isomorphismen abelscher Gruppen}] Gegeben ein bijektiver Homomorphismus von abelschen Gruppen ist auch seine Umkehrabbildung ein Homomorphismus von abelschen Gruppen. Die Isomorphismen in der Kategorie der abelschen Gruppen sind mithin genau die bijektiven Homomorphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Homomorphismengruppen abelscher Gruppen}] Gegeben abelsche Gruppen $M,N$ ist $\op{Ab}(M,N)\subset \op{Ens}(M,N)$ eine Untergruppe der abelschen Gruppe aller Abbildungen von der Menge $M$ in die abelsche Gruppe $N$. Die Menge $\op{Ab}(M,N)$ mit dieser Struktur als abelsche Gruppe notiere ich $$\op{Hom}(M,N)=(M{\Rrightarrow} N)=(M{\Rrightarrow}_{\op{Ab}} N)$$ und setze $\op{End}(M)\pdef \op{Hom}(M,M)$. Die Verkn"upfung von Morphismen abelscher Gruppen $\op{Ab}(L,M)\times \op{Ab}(M,N)\ra \op{Ab}(L,N)$ wird f"ur diese Strukturen eine biadditive Abbildung $\op{Hom}(L,M)\times \op{Hom}(M,N)\ra \op{Hom}(L,N)$, $ (\psi, \varphi)\mapsto \varphi \circ \psi$. \nichtfinal{Sortieren! Opp-Notation?} Die abelsche Gruppe $$\op{End}(M)$$ der Endomorphismen von $M$ wird mit dieser Verkn"upfung als Multiplikation ein Ring. Den {\bf Endomorphismenring von $M$}\index{Endomorphismenring!von abelscher Gruppe} erkl"aren wir als $\op{End}(M)$ mit der dazu opponierten Multiplikation, in Formeln mit der Verkn"upfung $\varphi \psi \pdef \varphi \circ \psi$. Sein Einselement ist die Identit"at $\op{id} : M \ra M$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Das meiste dar"uber vielleicht weglassen?} \begin{Definition} Sei $\Omega$ eine Menge. Ein {\bf $\Omega$-Mengenmodul}\index{Mengenmodul} oder kurz {\bf $\Omega$-Modul}\index{Modul!"uber einer Menge} ist ein Paar $(M,\sigma)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe $M$ und einer Abbildung $\sigma:\Omega\ra \op{End}(M)$ unserer Menge $\Omega$ in den\label{OmeM} Endomorphismenring der abelschen Gruppe $M$. \end{Definition} \begin{Definition}\label{LM} Sei $R$ ein Ring. Ein {\bf $R$-Ringmodul}\index{Ringmodul} oder kurz {\bf $R$-Modul}\index{Modul!"uber einem Ring} ist ein Paar $(M,\sigma)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe $M$ und einem Ringhomomorphismus $\sigma:R\ra \op{End}(M)$ unseres Rings $R$ in den Endomorphismenring der abelschen Gruppe $M$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich ist jeder Ringmodul auch ein Mengenmodul f"ur die dem fraglichen Ring zugrundeliegenden Menge. Unter dem Exponentialgesetz, also der Bijektion $\op{Ens}(\Omega,\op{Ens}(M,M))\sila \op{Ens}(\Omega\times M,M)$ aus \eref{ABBK}{GR}, entsprechen unsere Strukturen auf einer abelschen Gruppe $(M,+)$ als $\Omega$-Mengenmodul eineindeutig den Abbildungen $\Omega\times M\ra M$, $(\omega,m)\mapsto \omega m$ derart, da"s f"ur alle $ \omega\in \Omega$ und $ m,n\in M$ gilt $$\omega (m+n)=(\omega m)+(\omega n)$$ Weiter entsprechen f"ur einen Ring $R$ unsere Strukturen auf einer abelschen Gruppe $(M,+)$ als $R$-Ringmodul unter dem Exponentialgesetz eineindeutig den Abbildungen $R\times M\ra M$ derart, da"s f"ur alle $r, s \in R$ und $m,n \in M$ gilt\label{DZ} $$\begin{array}{ccc} r(m+n) &=& (rm) +(rn)\\ (r+s)m &=& (rm)+(sm)\\ r(sm)&=&(rs)m\\ 1m &=&m \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion alternativer terminologischer Konventionen}] Arbeitet man mit der alternativen Konvention, nach der Ringe nicht notwendig unit"ar zu sein brauchen, so ist hier die letzte Bedingung $1m =m$ nicht mehr sinnvoll und wird weggelassen. Moduln, wie wir sie in \ref{LM} definiert haben, w"urde man in dieser alternativen Konvention als \glqq unit"are Moduln "uber einem unit"aren Ring\grqq\ bezeichnen. Wir nennen eine abelsche Gruppe $A$ mit einer assoziativen biadditiven Verkn"upfung eine {\bf assoziative $\DZ$-Algebra} und eine abelsche Gruppe $M$ mit einer biadditiven Abbildung $A\times M\ra M$ derart, da"s gilt $a(bm)=(ab)m\;\forall a,b\in A, m\in M$, einen {\bf $A$-Assoziativmodul}.\index{Assoziativmodul} Bei Assoziativmoduln fordern wir also nichts f"ur die Operation eines Einselements, selbst wenn es ein solches geben sollte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir vereinbaren auch in diesem Kontext die Regel \glqq Punkt vor Strich\grqq. Wie bei Vektorr"aumen zeigt man auch bei Ringmoduln $M$ "uber einem Ring $R$ f"ur alle $m\in M$ die Formel $0m=0$, genauer $0_R m=0_M$, und folgert $(-1)m=-m$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergleich von Ringmoduln und Mengenmoduln}] Moduln "uber Ringen k"onnen als spezielle Moduln "uber Mengen aufgefa"st werden. Es gibt offensichtlich im allgemeinen weniger Moduln "uber einem Ring als Mengenmoduln "uber der zugrundeliegenden Menge. Wir k"onnen f"ur Moduln "uber speziellen Ringen entsprechend st"arkere Aussagen erwarten. So sind zum Beispiel die Ringmoduln "uber einem K"orper genau unsere Vektorr"aume aus der linearen Algebra. Umgekehrt k"onnen Moduln "uber einer Menge $\Omega$ auch aufgefa"st werden als Ringmoduln "uber dem \glqq nichtkommutativen Polynomring "uber $\DZ$ in durch $\Omega$ indizierten Variablen\grqq\ alias dem \glqq freien Ring "uber $\Omega$\grqq, den wir in der Notation aus \eref{FrO}{TF} $\op{Ring}\frei\Omega$ notieren w"urden. Insofern sind unsere beiden Begriffsbildungen im Prinzip austauschbar. Ich werde im folgenden allgemeine Aussagen vorzugsweise f"ur Mengenmoduln formulieren, da deren Definition einfacher ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Jeder Ring $R$ ist in offensichtlicher Weise ein $R$-Ringmodul. Dasselbe gilt f"ur $R^n$, ja gegeben eine beliebige Menge $X$ f"ur $\op{Ens}(X,R)$ und gegeben zus"atzlich ein beliebiger $R$-Ringmodul $M$ auch f"ur die Menge $\op{Ens}(X,M)$ aller Abbildungen von $X$ nach $M$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abelsche Gruppen als $\DZ$-Ringmoduln}] Jede abelsche Gruppe $M$ tr"agt genau eine Struktur als $\DZ$-Ringmodul, denn f"ur jeden Ring $E$ gibt es genau einen Ringhomomorphismus $\DZ \ra E$ \label{AGZZ} und das gilt insbesondere auch f"ur $E\pdef\op{End}(M)$. Explizit gelten f"ur diese Modulstruktur zum Beispiel die Identit"aten $0m=0$, $1m =m$, $2m = m+m$, $3m=m+m+m$ und $(-1)m=-m$, $(-2)m=-m-m$. Es mag eine gute "Ubung sein, sie aus den Axiomen herzuleiten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $\varphi : R \ra S$ ein Ringhomomorphismus, so wird jeder $S$-Modul ein $R$-Modul vermittels der Operation $rm \pdef \varphi (r) m$. Dies Verfahren hei"st {\bf Restriktion der Skalare},\index{Restriktion!der Skalare} und zwar\label{resSK} selbst dann, wenn der Ringhomomorphismus $\varphi : R \ra S$ nicht die Inklusion eines Teilrings ist. Wir notieren $$\op{res}_\varphi(M)=\op{res}_S^RM$$ den so aus einem $S$-Modul konstruierten $R$-Modul.\index{res@$\op{res}$ Restriktion der Skalare} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur jedes Ideal eines Rings $\frak{a} \subset R$ ist der Quotient $R/\frak{a}$ aus \eref{RUE}{AL} ein $R$-Modul als Restriktion des $R/\frak{a}$-Moduls $R/\frak{a}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ eine Menge und $x\in X$ ein Punkt und $k$ ein Ring, so liefert das Auswerten an der Stelle $x$ einen Ringhomomorphismus $\delta_x:\op{Ens}(X,k)\ra k$. Den zugeh"origen Modul "uber den Funktionenring $\op{Ens}(X,k)$ nennen wir den {\bf Auswertungsmodul}\index{Auswertungsmodul} und notieren ihn $k_x$.\index{)7@$k_x$ Auswertungsmodul} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} %\begin{Ubung}\label{DZ} %Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein Ring $R$ %induziert das Exponentialgesetz %$\op{Ens}(R\times M,M)\sira \op{Ens}(R, \op{Ens}(M,M))$ %aus \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion %$$\left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $R$-Modul}\\ %%\text{auf der abelschen Gruppe }M % \end{array}\right\} %\;\overset{\sim}{\ra} \; %\left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\ %R\ra \op{Ab}M % \end{array}\right\} %$$ %Im Fall eines K"orpers war das bereits "Ubung \eref{DZk}{LA1}. %\end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{$k[T]$-Moduln als $k$-Vektorr"aume mit Endomorphismus}] Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein K"orper $k$ geben wir Bijektionen\label{KX} $$ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $k[T]$-Modul}\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \end{array}\right\} &\overset{\sim}{\ra} & \left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\ k[T]\ra \op{End}(M) \end{array}\right\}\\[4mm] &&\wr\!\da\\[2mm] \left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\psi,A)$ bestehend aus}\\ \text{einer $k$-Vektorraumstruktur}\\ \psi: k\times M\ra M\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M\\ \text{und einem Endomorphismus}\\ A\in \op{End}_k( M) \end{array}\right\} &\overset{\sim}{\ra}& \left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\varphi,A)$ bestehend aus}\\ \text{einem Ringhomomorphismus}\\ \varphi: k\ra \op{End}(M)\\ \text{und einem mit seinem Bild}\\ \text{kommutierenden Element}\\ A\in \op{End}(M) \end{array}\right\} \end{array} $$ an. Hier liefert \ref{DZ} die obere horizontale Bijektion und \eref{EiP}{LA1} die vertikale Bijektion. Die untere horizontale Bijektion ist die offensichtliche. In diesem Sinne ist also ein $k[T]$-Modul \glqq dasselbe\grqq\ wie ein $k$-Vektorraum mit einem $k$-linearen Endomorphismus. F"ur einen beliebigen Ring $k$ gilt Analoges. \end{Ubung} \subsection{Homomorphismen, Untermoduln, Quotienten}\label{HQU} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt bespreche ich einige sehr allgemeine Begriffsbildungen und Aussagen, die f"ur beliebige Mengenmoduln sinnvoll und richtig sind. Speziellere Aussagen, die nur f"ur Ringmoduln gelten, besprechen wir im darauffolgenden Abschnitt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $\Omega$ eine Menge. Eine Abbildung $f: M \ra N$ von einem $\Omega$-Modul in einen weiteren $\Omega$-Modul hei"st ein {\bf Modulhomomorphismus},\index{Modulhomomorphismus} wenn gilt $$f(m+m^{\prime})=f(m) + f(m^{\prime})\text{ und } f(r m)= rf(m) \quad \forall m, m^{\prime} \in M, r \in \Omega.$$ Die Menge aller Homomorphismen von einem $\Omega$-Modul $M$ in einen $\Omega$-Modul $N$ notieren wir $\op{Mod}_\Omega(M,N)$. Diese Menge bildet eine Untergruppe der abelschen Gruppe $\op{Hom} (M,N)$ und mit dieser Struktur als abelsche Gruppe notieren wir sie\index{Hom@$\op{Hom}_{\Omega}$} $$\op{Hom}_{\Omega} (M,N)\subset \op{Hom} (M,N)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorie der Mengenmoduln}] Die Gesamtheit aller Mengenmoduln "uber einer vorgegebenen Menge $\Omega$ bildet mit den Modulhomomorphismen als Morphismen eine Kategorie\index{Mod@$\op{Mod}_\Omega$ Kategorie der $\Omega$-Mengenmoduln} $$\op{Mod}_\Omega=\op{Mod}'_\Omega$$ Das \glqq Freiheitsstrichlein\grqq\ schreiben wir dazu, wenn besonders betont werden soll, da"s Mengenmoduln gemeint sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Isomorphismen von Moduln}] Sei $\Omega$ eine Menge. Gegeben ein bijektiver Homomorphismus von $\Omega$-Moduln ist auch die Umkehrabbildung ein Homomorphismus von $\Omega$-Moduln. Die bijektiven Homomorphismen sind mithin genau die {\bf Isomorphismen}\index{Isomorphismus!von Moduln} in der Kategorie der $\Omega$-Moduln. \nichtfinal{Ab wann darf ich Kategorie sagen?} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Endomorphismenringe}]%\label{EnZ} Sei $\Omega$ eine Menge. Die Menge aller Endomorphismen eines $\Omega$-Moduls $M$ notiert man $\op{End}_\Omega(M)$. Sie ist offensichtlich ein Teilring $\op{End}_\Omega(M)\subset \op{End}(M)$ des Endomorphismenrings der abelschen Gruppe $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $\Omega$ eine Menge und $M$ ein $\Omega$-Modul. Eine Teilmenge $N \subset M$ hei"st ein \defind{Untermodul}, wenn $N$ eine Untergruppe ist und wenn zus"atzlich gilt $m \in N$, $r \in \Omega \RA r m \in N$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Untermoduln eines Krings mit seiner durch Linksmultiplikation gegebenen Struktur als $R$-Modul sind genau seine Ideale. Die Untermoduln eines allgemeinen Rings mit seiner durch Linksmultiplikation gegebenen Struktur als $R$-Modul hei"sen seine {\bf Linksideale}. \index{Linksideal} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte von Untermoduln und Erzeugung}] Sei $\Omega$ eine Menge. Jeder Schnitt von Untermoduln eines $\Omega$-Moduls $M$ ist wieder ein Untermodul. Ist $T\subset M$ eine Teilmenge eines $\Omega$-Moduls $M$, so hei"st der kleinste Untermodul von $M$, der $T$ enth"alt, der {\bf von $T$ erzeugte Untermodul}\index{Untermodul!erzeugt von Teilmenge} und wir bezeichnen ihn mit $$_\Omega\langle T\rangle\index{)5>@$_\Omega\langle T\rangle$ Untermodul-Erzeugnis}$$ oder, wenn die genaue Bedeutung eh aus dem Kontext hervorgeht, etwas nachl"assig mit $\langle T\rangle_\Omega$ oder auch abk"urzend mit $\langle T\rangle$.\index{)5>@$\langle T\rangle_\Omega$ Untermodul-Erzeugnis}\index{)5>@$\langle T\rangle$ Untermodul-Erzeugnis} Man kann den von $T$ erzeugten $\Omega$-Untermodul alternativ auch als die von $\{r_{1}\ldots r_{s}t \mid s \geq 0,\; r_{i} \in \Omega,\; t \in T \}$ erzeugte Untergruppe beschreiben. Ein Modul, der von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird, hei"st {\bf endlich erzeugt}.\index{endlich erzeugt!Modul} Ein Modul, der von einem einzigen Element erzeugt wird, hei"st {\bf zyklisch}.\index{zyklisch!Modul} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Bild eines Untermoduls unter einem Modulhomomorphismus ist wieder ein Untermodul. Das Urbild eines Untermoduls unter einem Modulhomomorphismus ist wieder ein Untermodul. Insbesondere sind Bild und Kern eines Modulhomomorphismus stets Untermoduln. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Quotientenmoduln}] Seien $\Omega$ eine Menge, $M$ ein $\Omega$-Modul und $L \subset M$ ein\label{QouM} Untermodul.\index{Quotientenmodul} \begin{enumerate} \item Es gibt genau eine Struktur als $\Omega$-Modul auf der Restklassengruppe $M/L$ %aus \eref{KdR}{LA2} derart, da"s die Projektion $\op{can} : M \twoheadrightarrow M/L$ ein Homomorphismus von $\Omega$-Moduln ist; \item Jeder Homomorphismus von $\Omega$-Moduln $\varphi : M \ra N$ mit $ \varphi(L)=0$ faktorisiert in eindeutiger Weise "uber $M/L$, es gibt also zu $\varphi$ genau einen $\Omega$-Modul\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus $\tilde{\varphi} : M /L \ra N $ mit $ \varphi = \tilde{\varphi} \circ \op{can}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sehr "ahnlich zum Beweis der entsprechenden Aussagen im Fall von Vektorr"aumen \eref{QVV}{LA2} und dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Definition} Ein \defind{Subquotient} eines Moduls ist ein Quotient eines Untermoduls. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s in einem endlich erzeugten Modul jedes Erzeugendensystem ein endliches Erzeugendensystem umfa"st. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Jeder Quotient eines endlich erzeugten Moduls ist endlich erzeugt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Untermodul eines endlich erzeugten Moduls mu"s keineswegs endlich erzeugt sein. Betrachten wir zum Beispiel im Polynomring in abz"ahlbar vielen Variablen $R\pdef \DZ[T_n\mid n\geq 1]$ das von den Variablen erzeugte Ideal $I\subset R$, so ist $I$ nicht endlich erzeugt als $R$-Modul. \end{Ubung} \subsection{Ringmoduln} \begin{Lemma}[\textbf{Modulhomomorphismen vom Grundring zu einem Modul}] Gegeben ein Ring $R$\label{RHO} und ein $R$-Ringmodul $M$ liefert die Abbildungsvorschrift $m \mapsto (r \mapsto rm)$ einen Isomorphismus $ M \sira \op{Hom}_{R} (R,M) $ von abelschen Gruppen mit Umkehrabbildung $\varphi\mapsto \varphi(1)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Ring $R$ und ein $R$-Ringmodul $M$ kann man den von einer Teilmenge $T\subset M$ erzeugten Untermodul beschreiben als die Menge aller Linearkombinationen $\{r_{1}t_{1} + \ldots +r_{s}t_{s} \mid s \geq 0,\; r_{i} \in R,\; t_{i} \in T \}$. Hierbei steht die leere Linearkombination mit $s = 0$ f"ur die Null in $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Gesamtheit aller Ringmoduln "uber einem vorgegebenen Ring $R$ bildet mit den Modulhomomorphismen als Morphismen eine Kategorie\index{Mod@$\op{Mod}_R=R\op{-Mod}$ Kategorie der $R$-Moduln} $$\op{Mod}_R$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der Sprache der Kategorientheorie ist das Vergessen der Modulstruktur ein Isomorphismus von Kategorien $\op{Mod}_\DZ\sira \op{Ab}$ zwischen der Kategorie der $\DZ$-Moduln und der Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jeder Untermodul und jeder Quotient eines Ringmoduls "uber einem Ring $R$ ist wieder ein $R$-Ringmodul. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein kommutativer Ring $R$ und $R$-Ringmoduln $M,N$ ist die Untergruppe $\op{Hom}_R(M,N)\subset \op{Hom}(M,N)$ sogar ein $R$-Untermodul in Bezug auf die durch Nachschalten oder gleichbedeutend durch Vorschalten der Multiplikation mit Elementen $r\in R$ gegebenen Struktur als $R$-Modul. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{MER} Gegeben ein $R$-Modul $M$ wird $M$ ein Modul "uber seinem Endomorphismenring $\op{End}_R(M)$ vermittels der Vorschrift $fm=f(m)$ f"ur alle $f\in \op{End}_R(M)$ und $m\in M$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{RII} Ist $R$ ein Ring und $e\in R$ ein idempotentes Element und $M$ ein $R$-Modul, so induziert das Auswerten bei $e$ eine Bijektion $\op{Hom}_R(Re,M)\sira eM$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein surjektiver Ringhomomorphismus $\varphi:R\sra S$ und ein $R$-Modul $M$ mit $(\op{ker}\varphi)M=0$ gibt es auf $M$ genau eine Struktur als $S$-Modul, die unter der Restriktion l"angs $\varphi$ die urspr"ungliche Struktur als $R$-Modul liefert. Wir nennen sie die {\bf faktorisierte Operation}\label{MQR} von $S$ auf $M$. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Gegeben $R$ ein Ring und $\frak{a}\subset R$ ein Ideal und $N$ ein $R$-Modul wird insbesondere $N/\frak{a}N$ stets ein $R/\frak{a}$-Modul mit der faktorisierten Operation. Hier verwenden wir die Abk"urzung $\frak{a}N=\langle \frak{a}N\rangle$ f"ur die von allen $an$ mit $a\in \mathfrak a$ und $n\in N$ erzeugte Untergruppe. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben ein Ring $R$ und ein $R$-Modul $M$ f"ur jedes Linksideal $ I \subset R$ das Auswerten an der Nebenklasse $1_R +I$ eine Bijektion $\op{Hom}_R (R/I,M) \sira \{ m \in M \mid I m = 0\}$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PHRI} Gegeben Moduln $M_i$ "uber Ringen $R_i$ kann man das Produkt $M$ der $M_i$ in offensichtlicher Weise mit der Struktur eines Moduls "uber dem Produkt $R$ der $R_i$ versehen. Ergibt sich in derselben Weise ein $R$-Modul $N$ als das Produkt gewisser $R_i$-Moduln $N_i$, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $$\op{Hom}_R(M,N)\sira \prod_i \op{Hom}_{R_i}(M_i,N_i)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an exakte Sequenzen im Sinne von \eref{exSG}{LA2}. Eine Sequenz von Gruppen $M'\ra M\ra M'' $ hei"st {\bf linksexakt}\index{linksexakt}, wenn die erweiterte Sequenz $1\ra M'\ra M\ra M'' $ exakt ist, wenn sie also in anderen Worten bei $M$ exakt ist und $M'\ra M$ injektiv ist. Wir schreiben linksexakte Sequenzen meist $M'\hra M\ra M'' $. Man zeige: Eine Sequenz $M'\ra M\ra M'' $ von Moduln "uber einem Ring $R$ ist linkssexakt genau dann, wenn f"ur jeden weiteren $R$-Modul $N$ die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(N,M')\ra \op{Hom}_R(N,M)\ra \op{Hom}_R(N,M'')$$ linksexakt ist.\label{les} Analoges gilt f"ur Mengenmoduln. Die Aussage ist etwas delikat vom Standpunkt der Logik, da wir darin "uber alle Moduln quantifizieren. Um dem auszuweichen, mag man dabei ein unter dem Bilden von Teilmengen stabiles Mengensystem $\mathfrak U$ fest w"ahlen und nur solche Moduln betrachten, deren Grundmenge ein Element dieses Mengensystems ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an exakte Sequenzen im Sinne von \eref{exSG}{LA2}. Eine Sequenz von Gruppen $M'\ra M\ra M'' $ hei"st {\bf rechtsexakt}\index{rechtsexakt}, wenn die erweiterte Sequenz $M'\ra M\ra M'' \ra 1$ exakt ist, wenn sie also in anderen Worten bei $M$ exakt ist und $M\ra M'' $ surjektiv ist. Wir schreiben rechtsexakte Sequenzen meist $M'\ra M\sra M'' $. Man zeige: Eine Sequenz $M'\ra M\ra M'' $ von Moduln "uber einem Ring $R$ ist rechtsexakt genau dann, wenn f"ur jeden weiteren $R$-Modul $N$ die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(M'',N)\ra \op{Hom}_R(M,N)\ra \op{Hom}_R(M',N)$$ linksexakt ist.\label{res} Analoges gilt f"ur Mengenmoduln und auch die Probleme der Logik kann man wie in \ref{les} ausr"aumen. \end{Ubung} \subsection{Noethersche Moduln und Ringe}\label{neomo} % \begin{Bemerkungl} % Ich erinnere an den Begriff eines Moduls "uber einem Ring % aus \ref{LM} und an die Begriffsbildungen zu Untermoduln, Quotienten und % Homomorphismen aus \ref{HQU}. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Modul hei"st {\bf noethersch},\index{noethersch!Modul} wenn alle seine Untermoduln endlich erzeugt sind. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir arbeiten hier wieder in der Allgemeinheit der Mengenmoduln. Mit gemeint ist die Forderung, da"s unser Modul selbst endlich erzeugt sein soll. Die Bezeichnung erinnert an die Mathematikerin Emmy Noether, eine Pionierin der abstrakten Algebra j"udischer Herkunft, die in G"ottingen arbeitete bis sie in die Emigration gezwungen wurde. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$ ist noethersch als $k$-Modul genau dann, wenn er endlichdimensional ist. %und jeder Quotient eines noetherschen Rings ist noethersch. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der Polynomring $R = \DZ [T_{1},T_{2}, \ldots]$ in abz"ahlbar vielen Variablen ist kein noetherscher $R$-Modul, denn das von allen $T_i$ erzeugte Ideal ist nicht endlich erzeugt. In der Tat bilden die $\langle T_1\rangle\subsetneq \langle T_1, T_2\rangle\subsetneq\ldots$ eine unendliche echt aufsteigende Folge von Idealen und deren Vereinigung $ \langle T_1, T_2,\ldots\rangle$ kann offensichtlich nicht endlich erzeugt sein. \end{Beispiel} \begin{Proposition}%\label{EN} Jeder Quotient und jeder Untermodul eines noetherschen Moduls ist noethersch. Besitzt ein Modul $M$ einen noetherschen Untermodul $M'$ mit noetherschem Quotient $M/M'$, so ist $M$ bereits selbst noe\-ther\-sch.\label{ENn} \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} F"ur diejenigen Leser, die mit exakten Sequenzen nach \eref{exSG}{LA2} %und \eref{keSS}{LA2} vertraut sind, k"onnen wir die Proposition auch wie folgt formulieren: Ist $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von Moduln "uber einem Ring, so ist $M$ noethersch genau dann, wenn $M^{\prime}$ und $M^{\prime\prime}$ noethersch sind. Leser, die noch nicht mit dieser Terminologie vertraut sind, werden ermuntert, sich damit vertraut zu machen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Der erste Teil bleibt dem Leser "uberlassen. Wir m"ussen im zweiten Teil zeigen, da"s jeder Untermodul $U \subset M $ endlich erzeugt ist. Nach Annahme ist aber sein Bild $\bar{U} \subset M/M'$ endlich erzeugt, wir finden also Elemente $u_{1}, \ldots, u_{r} \in U$, deren Bilder $\bar{U}$ erzeugen. Ganz genauso ist $U \cap M'$ endlich erzeugt, sagen wir von $v_{1}, \ldots, v_{s} \in U$. Dann sieht man leicht, da"s die $u_{1}, \ldots, u_{r}, v_{1}, \ldots , v_{s}$ zusammen ganz $U$ erzeugen. \end{proof} \begin{Definition} Ein Ring hei"st {\bf linksnoethersch}\index{linksnoethersch} beziehungsweise {\bf rechts\-noe\-thersch},\index{rechtsnoethersch} wenn er noethersch ist als Links- beziehungsweise Rechtsmodul "uber sich selbst, und {\bf noethersch},\index{noethersch!Ring} wenn er linksnoethersch und rechtsnoethersch ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ein Ring ist linksnoethersch genau dann, wenn alle seine Linksideale endlich erzeugt sind. Jeder Hauptidealring ist noe\-thersch. \end{Beispiel} \begin{Satz} Ein Modul "uber einem linksnoetherschen Ring ist noethersch genau dann, wenn er endlich erzeugt ist.\label{NoUI} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ein noetherscher Modul ist immer endlich erzeugt. Ist umgekehrt $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul, so ist $M$ ein Quotient von $R^{n}$. F"ur $R$ linksnoethersch ist aber $R^{n}$ noethersch als Modul, wie man induktiv aus \ref{ENn} folgert. \end{proof} \begin{Beispiel} Satz \ref{NoUI} zeigt insbesondere, da"s jede Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe endlich erzeugt ist.\label{BNAB} In der Tat ist ja eine abelsche Gruppe dasselbe wie ein $\DZ$-Modul und $\DZ$ ist ein Hauptidealring, also noethersch. Wir hatten in diesem Fall in \eref{ee}{LA2} sogar gesehen, da"s man f"ur die Untergruppe nicht mehr Erzeuger ben"otigt als f"ur die ganze Gruppe. Das folgt mit demselben Argument sogar allgemeiner f"ur Moduln "uber solchen Ringen, in denen jedes Linksideal ein Hauptideal ist. Im allgemeinen kann es aber durchaus vorkommen, da"s man f"ur einen Untermodul mehr Erzeuger ben"otigt als f"ur den urspr"unglichen Modul. Insbesondere kann es ja vorkommen, da"s man f"ur ein Ideal mehr als einen Erzeuger ben"otigt und damit mehr Erzeuger als f"ur den Ring, der ja als Modul "uber sich selber stets zyklisch ist. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert'scher Basissatz}] Ist\index{Basissatz, Hilbert'scher}\index{Hilbert!Basissatz} $R$ ein linksnoetherscher Ring, so ist auch der Polynomring $R[T]$ mit Koeffizienten in $R$ ein linksnoetherscher Ring. Dasselbe gilt analog f"ur rechtsnoethersch und noethersch.\label{HiBaa} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $I \subset R [T]$ ein Linksideal. Wir betrachten das Linksideal $\frak{a} \subset R$, das erzeugt wird von den Leitkoeffizienten aller Polynome aus $I$. Da $R$ noethersch ist, gibt es endlich viele Polynome $f_{1}, \ldots , f_{t} \in I$, deren Leitkoeffizienten das Linksideal $\frak{a} \subset R$ erzeugen. Sei $m$ das Maximum der Grade der $f_i$. Gegeben $h \in I$ mit $\op{deg} h \geq m$ finden wir offensichtlich $p_{i} \in R [T]$ derart, da"s $$ h - (p_{1} f_{1} + \ldots + p_{t}f_{t})$$ echt kleineren Grad hat als $h$. Induktiv finden wir dann sogar $p_{i}$ derart, da"s diese Differenz echt kleineren Grad hat als $m$. Die Polynome aus $R [T]$ vom Grad $< m$ und, wieder da $R$ linksnoethersch ist, dann auch die Polynome aus $I$ vom Grad $< m$ bilden aber einen endlich erzeugten $R$-Modul. W"ahlen wir Erzeuger $g_{1}, \ldots, g_{r}$ dieses $R$-Moduls, so erzeugen offensichtlich $f_{1}, \ldots , f_{t}, g_{1}, \ldots , g_{r}$ unser Linksideal $I$ "uber $R[T]$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KHB} Aus dem Hilbert'schen Basissatz folgt induktiv, da"s ein Polynomring in endlich vielen Variablen $k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$, ja mit Koeffizienten in einem beliebigen noetherschen Ring ein noetherscher Ring ist. Das zeigt insbesondere, da"s jede algebraische Teilmenge $X\As k^n$ bereits durch endlich viele Gleichungen beschrieben werden kann, denn gegeben eine Teilmenge $T$ des Polynomrings mit $X=\mathcal Z(T)$ gilt auch $X=\mathcal Z(\langle T\rangle)$ f"ur das von $T$ erzeugte Ideal und dann $X=\mathcal Z( f_1,\ldots, f_r)$ f"ur Erzeuger $f_1,\ldots, f_r$ des von $T$ erzeugten Ideals. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Charakterisierungen noetherscher Moduln}] F"ur einen Modul sind gleichbedeutend:\label{KNoe}%\label{KaN} \begin{enumerate} \item Unser Modul ist noethersch, als da hei"st, jeder Untermodul ist endlich erzeugt; \item Jedes nichtleere System von Untermoduln unseres Moduls besitzt ein maximales Element; \item Jede aufsteigende Folge $M_{0} \subset M_{1} \subset \ldots $ von Untermoduln unseres Moduls wird station"ar alias stagniert. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{KaNL} Ein Ring ist insbesondere linksnoethersch genau dann, wenn jede aufsteigende Folge von Linksidealen stagniert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Beim Nachweis der Implikationen (2)$\RA$(3) und (1)$\RA$(3) kommen wir noch ohne Auswahlaxiom aus. Die Beweise der anderen Implikationen ben"otigen jedoch, soweit ich sehen kann, das Auswahlaxiom. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] $(1)\RA (3):$ Sei $M$ unser Modul. Ist jeder Untermodul von $M$ endlich erzeugt, so auch die Vereinigung $\bigcup_{i=0}^{\infty} M_{i}$ "uber unsere aufsteigende Folge von Untermoduln. W"ahlen wir ein endliches Erzeugendensystem f"ur diese Vereinigung, so gibt es mithin ein $j$ derart, da"s alle fraglichen Erzeuger schon in $M_{j}$ liegen, und dann gilt notwendig $M_{j}=M_{j+1} = \ldots=\bigcup_{i=0}^{\infty} M_{i}$. \\[2mm]\noindent $(3)\RA (1):$ Ist ein Untermodul $N \subset M$ nicht endlich erzeugt, so finden wir induktiv eine Folge $m_0, m_1, \ldots$ in $ N$ derart, da"s f"ur jedes $i\geq 0$ das $i$-te Folgenglied $m_{i}$ nicht im Erzeugnis der vorhergehenden $m_{0}, m_{1}, \ldots , m_{i-1}$ liegt. Die $M_{i} = \langle m_{0}, m_{1}, \ldots, m_{i}\rangle$ bilden dann eine aufsteigende Folge von Untermoduln von $M$, die nicht stagniert. \\[2mm]\noindent $(2)\IFF (3):$ Offensichtlich und auch nach "Ubung \eref{noeT}{LA1} besitzt in einer teilgeordneten Menge jede nichtleere Teilmenge ein maximales Element genau dann, wenn jede monoton wachsende Folge in unserer Menge stagniert. Diese Erkenntnis gilt es anzuwenden auf das System alias die Menge aller Untermoduln unseres Moduls. \end{proof} \begin{Bemerkunge} \nichtfinal{Wohin? Tensor gibt es ja hier noch nicht!} Ein Tensorprodukt noe\-ther\-scher Ringe mu"s nicht wieder noe\-thersch sein. Ist etwa $k$ ein K"orper und $K=\op{Quot}k[X_1,X_2,\ldots]$ der Quotientenk"orper des Polynomrings "uber $k$ in unendlich vielen Variablen, so ist $K\otimes_k K$ nicht noethersch: Die Ideale $\langle(X_1-Y_1),(X_2-Y_2),\ldots,(X_n-Y_n)\rangle$ bilden eine unendliche aufsteigende Idealkette, mit den Abk"urzungen $X_i=X_i\otimes 1$ und $Y_i=1\otimes Y_i$. Um das zu sehen, mag man davon ausgehen, da"s $K\otimes_k K$ faktoriell ist als Lokalisierung des faktoriellen Rings $k[X_1,Y_1,X_2,Y_2,\ldots]$. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jeder Quotient eines linksnoetherschen Rings ist linksnoethersch. Jeder Quotient eines rechtsnoetherschen Rings ist rechtsnoethersch. Jeder Quotient eines noetherschen Rings ist noethersch.\label{QN} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Ist $R$ ein linksnoetherscher Ring, so ist auch der Potenzreihenring $R\llbracket T\rrbracket$ mit Koeffizienten in $R$ ein linksnoetherscher Ring. Dasselbe gilt analog f"ur rechtsnoethersch und noethersch.\label{HiBaaR} Hinweis: Man argumentiere wie bei Beweis des Basissatzes, aber betrachte diesmal das von den Koeffizienten der \glqq Anfangsterme\grqq\ erzeugte Linksideal von $R$. Insbesondere sind auch die Potenzreihenringe in mehreren Variablen $R\llbracket T_1,\ldots, T_s\rrbracket$ linksnoethersch, wenn $R$ selbst linksnoethersch ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper oder allgemeiner ein noetherscher Integrit"atsbereich. Gegeben $f\in k[T_1,\ldots, T_n]$ bezeichne $U_f\pdef \{ x\in k^n\mid f(x)\neq 0\}$ das Komplement der Nullstellenmenge von $f$. Man zeige, da"s die offenen Teilmengen von $k^n$ genau alle endlichen Vereinigungen solcher $U_f$ sind. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Jede direkte Summe von injektiven Linksmoduln "uber einem linksnoetherschen Ring ist injektiv. Hinweis: Man verwende das Injektivit"atskriterium "uber Ideale \eref{MoIN}{TG}. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Jedes Monoidideal von $(\DN^r,+)$ ist endlich erzeugt}] Sei $T\subset \DN^r$ eine Teilmenge, die unter der Addition mit beliebigen Elementen von $\DN^r$ stabil ist. Man zeige, da"s es endlich viele $t_1,\ldots, t_l\in T$ gibt mit \label{MoIN} $$T=\bigcup_{i=1}^l (t_i+\DN^r)$$ Man nennt eine Teilmenge $T$ in einem Monoid $(M,\top)$ ein {\bf Monoidideal},\index{Monoidideal} wenn aus $t\in T$ und $m\in M$ folgt $t\top m\in T$ und $m\top t\in T$. In dieser Begrifflichkeit besagt unsere Erkenntnis, da"s jedes Monoidideal von $(\DN^r,+)$ endlich erzeugt ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Jeder surjektive Endomorphismus eines noetherschen Moduls ist ein Isomorphismus. \end{Ubung} \subsection{Ringendliche K"orpererweiterungen} \begin{Definition} Unter einer {\bf Kringerweiterung}\index{Kringerweiterung} %eines Krings $A$ verstehen wir ein Paar $A\subset B$ bestehend aus einem Kring $B$ mit einem Teilring $A$. Je nach Kontext verstehen wir darunter auch allgemeiner einen beliebigen injektiven Kringhomomorphismus. \end{Definition} \begin{Definition}\label{defg} Sei $A\subset B$ eine Kringerweiterung. \begin{enumerate} \item Wir sagen, $B$ sei {\bf ringendlich}\index{ringendlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$, wenn $B$ als Ring von $A$ zusammen mit endlich vielen weiteren Elementen erzeugt werden kann. \item Wir sagen, $B$ {\bf modulendlich}\index{modulendlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$, wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist. \item Ein Element $b\in B$ hei"st {\bf ganz "uber $A$},\index{ganz!Element von Kringerweiterung} wenn es Nullstelle eines \emph{normierten} Polynoms mit Koeffizienten in $A$ ist, wenn es also $n\geq 1$ und $a_{i} \in A$ gibt mit $$b^{n}+a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{1}b + a_{0}=0$$ \end{enumerate} Analog verwenden wir diese Begriffe auch f"ur beliebige Kringhomomorphismen $A\ra B$, die nicht notwendig Einbettungen von Teilmengen, ja noch nicht einmal injektiv zu sein brauchen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Statt ringendlich sagt man in der Literatur meist \glqq von endlichem Typ\grqq.\index{endlicher Typ!Kringerweiterung} Statt modulendlich sagt man in der Literatur meist \glqq endlich\grqq.\index{endlich!Kringerweiterung} Im Fall von K"orpererweiterungen reicht in Teil 3 die Forderung, da"s wir ein von Null verschiedenes Polynom finden, und sagt dann, $b$ sei algebraisch "uber $A$. Im Fall von Kringerweiterungen jedoch ist die Forderung wesentlich, da"s das Polynom in Teil 3 normiert sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{zui} Gegeben ein von Null verschiedener Kring $R$ und die Kringerweiterung $R[T]\subset R[T,T^{-1}]$ ist $T^{-1}$ nicht ganz "uber $R[T]$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{HHKEh} Ich erinnere die in \eref{HHKE}{AL} eingef"uhrten Begriffsbildungen und Notationen. Sei $A$ ein Kring. Unter einem {\bf $A$-Kring}\index{Kring!$k$-Kring|main} verstehen wir ein Paar $(B,\varphi)$ bestehend aus einem Kring $B$ und einem Kringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$. Ist $(C,\psi)$ ein weiterer $A$-Kring, so verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von $A$-Kringen}\index{Homomorphismus!von $A$-Kringen} $B\ra C$ einen Kringhomomorphismus ${\eta}:B\ra C$ mit $\eta\circ {\varphi}=\psi$. Alternativ sprechen wir auch von einem {\bf Homomorphismus "uber $A$}.\index{Homomorphismus!"uber Grundkring} Die Menge aller solchen Homomorphismen notieren wir\index{Kring@$\op{Kring}^{A}$} $$\op{Kring}^{A}(B,C)$$ Einen bijektiven Kringhomomorphismus "uber $A$ nennen wir auch einen \defnoind{Isomorphismus von $A$-Kringen} oder einen \defnoind{Isomorphismus "uber $A$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Unser $\op{Kring}^{A}$ ist ebenso wie seine nichtkommutative Variante $\op{Ring}^{A}$ ein Speziallfall der allgemeinen kategorischen Konstruktion \eref{KaUu}{TF} der Kategorie $\mathcal C^X$ der \glqq Objekte unter $X$\grqq\ zu einer Kategorie $\mathcal C$ mit einem ausgezeichneten Objekt $X$. % Wenn $A$ selbst durch einen gr"o"seren Ausdruck gegeben ist, verwende % ich f"ur diese Kategorien auch die \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ verstehe ich wie in \eref{RAlg}{LA2} unter einer\label{kALL} {\bf $k$-Algebra}\index{Algebra!"uber Kring} einen $k$-Modul $A$ mitsamt einer $k$-bilinearen Abbildung $A\times A\ra A$. Hier bedeutet \glqq bilinear\grqq\ wie im Fall eines K"orpers $k$ die Linearit"at in beiden Eintr"agen. "Ublich ist in diesem Zusammenhang die Konvention, da"s man eine Algebra stets als assoziativ versteht, wenn aus dem Kontext nichts anderes hervorgeht. Ist die bilineare Verkn"upfung assoziativ und besitzt $A$ dazu noch ein neutrales Element, so nenne ich $A$ eine {\bf $k$-Ringalgebra},\index{Ringalgebra!"uber Kring} und ist sie zus"atzlich auch noch kommutativ, eine {\bf $k$-Kringalgebra}.\index{Kringalgebra!"uber Kring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$k$-Kringe und $k$-Kringalgebren}] In der hier gew"ahlten Terminologie ist f"ur jeden Kring $k$ eine $k$-Kring\-algebra dasselbe wie ein $k$-Kring. Die Multiplikation eines $k$-Krings $(B,\varphi)$ zusammen mit der von $\varphi$ induzierten $k$-Modulstruktur macht ja jeden $k$-Kring zu einer $k$-Kringalgebra. Umgekehrt wird auch jede $k$-Kring\-algebra $B$ zu einem $k$-Kring durch den Kringhomomorphismus $\varphi:k\ra B$, $\lambda\mapsto \lambda 1_B$. Ich verwende die Bezeichnung als Kringalgebra insbesondere, wenn ich den Grundring $k$ nicht explizit erw"ahnen will. Viele Autoren, deren Fokus mehr auf der algebraischen Geometrie und kommutativen Algebra liegt, nennen eine $k$-Kringalgebra kurzerhand eine \glqq $k$-Algebra\grqq. Ich verwende diese Terminologie nicht, da bei mir auch nicht-kommutative Algebren und nicht-unit"are Algebren eine wichtige Rolle spielen. Allerdings will ich der Konvention folgen, da"s eine Algebra als assoziativ angenommen sei, wenn aus dem Kontext nichts anderes hervorgeht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringendliche Erweiterungen noetherscher Kringe sind noethersch}] Ist ein Kring $B$ ringendlich "uber einem noetherschen Kring $A$, so ist auch $B$ selbst noethersch. Man folgert das mit\label{KHIB} dem Hilbert'schen Basissatz \ref{HiBaa} zun"achst f"ur einen Polynomring $A[T_1,\ldots, T_n]$ in endlich vielen Variablen "uber $A$ und dann mit \ref{QN} f"ur Quotienten solcher Polynomringe. Nach Annahme gibt es aber einen surjektiven Kringhomomorphismus $A[T_1,\ldots, T_n]\sra B$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Ringendliche K\"{o}rpererweiterungen}] Jede ringendliche K"orper\-erweiterung ist modulendlich.\label{KFa} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In anderen Worten ist also jede K"orpererweiterung, die endlich erzeugt ist als Ringerweiterung, bereits endlichdimensional "uber dem Grundk"orper. Wegen seiner engen Verwandtschaft zum Nullstellensatz hei"st dieser Satz in vielen Quellen der {\bf k\"{o}rpertheoretische Nullstellensatz}.\index{Nullstellensatz!k\"{o}rpertheoretischer} Sein Beweis ist, soweit ich sehen kann, unabh"angig vom Auswahlaxiom. Einen alternativen Beweis, der auf dem Noether'schen Normalisierungslemma und Eigenschaften ganzer Kringerweiterungen basiert, diskutieren wir in \ref{AlBN}. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPRiT} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Sind $A\subset B\subset C$ Kringe mit $C$ ringendlich "uber $A$, so mu"s $B$ keineswegs ringendlich "uber $A$ sein. Als Gegenbeispiel betrachte man etwa $\DC\subset B\subset \DC[x,y]$ mit $B$ dem Ring aller Polynomfunktionen, deren Einschr"ankung auf die $y$-Achse konstant ist. Dies Bild illustriert, wie ich mir diesen Ring veranschauliche: Jedes ausgemalte K"astchen mit unterer linker Ecke $(i,j)$ steht f"ur einen Basisvektor $x^iy^j$ von $B$. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis im Fall eines "uberabz"ahlbaren Grundk"orpers] Sei $ k\subset L$ unsere K"orper\-erweiterung. Ist $L$ ein endlich erzeugter $k$-Ring, so ist $L$ von abz"ahlbarer Dimension "uber $k$. G"abe es nun ein $t\in L\backslash k$, das transzendent ist "uber $k$, so h"atten wir mit $T\mapsto t$ eine Einbettung $k(T)\hra L$. Der Funktionenk"orper $k(T)$ hat aber "uberabz"ahlbare Dimension "uber $k$, da die Familie der Br"uche $(T-\lambda)^{-1}$ parametrisiert durch $\lambda\in k$ linear unabh"angig ist "uber $k$, vergleiche \eref{pbzz}{AL}. Widerspruch! \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Allgemeinen] Sei $k\subset L$ unsere ringendliche K"orpererweiterung. Seien $e_{1}, \ldots , e_{n}$ Erzeuger des $k$-Krings $L$, in Formeln $L = k [e_{1}, \ldots , e_{n}]$ ohne Freiheitsstrichlein. Wir argumentieren mit Induktion "uber $n$. Der Fall $n=1$ ist unproblematisch, der Polynomring in einer Ver"anderlichen ist eben kein K"orper und jeder Quotient davon nach einem von Null verschiedenen Ideal ist endlichdimensional als $k$-Vektorraum. F"ur den Induktionsschritt d"urfen wir annehmen, da"s wir bereits wissen, da"s $L$ mo\-dul\-end\-lich ist "uber dem von $e_1$ und $k$ erzeugten Teilk"orper $K \pdef k(e_1)\subset L$. Ist $e_1$ algebraisch "uber $k$, so sind wir wieder fertig. Also d"urfen wir $e_1$ transzendent "uber $k$ annehmen, in Formeln $K \cong k('T)$. Betrachten wir nun den Teilring $A \subset K $, der von $k$ und $e_1$ und den Koeffizienten der Minimalpolynome "uber $K $ von $e_2,\ldots, e_n$ erzeugt wird, so ist $A$ per definitionem ringendlich "uber $k$. Wir betten so unseren Funktionenk"orper $K$ ein in ein Sandwich von Kringen $$ k\subset A \subset K\subset L$$ mit $L$ modulendlich "uber $A$ als von endlich vielen ganzen Elementen erzeugte Kringerweiterung nach "Ubung \ref{Zwei} und $A$ ringendlich "uber $k$ und damit nach \ref{KHIB} insbesondere $A$ noethersch. Also mu"s auch $K $ modulendlich sein "uber $A$ und damit ringendlich "uber $k$. Das ist nun der gesuchte Widerspruch, denn ein Funktionenk"orper $K \cong k('T)$ kann niemals ringendlich "uber dem Grundk"orper $k$ sein. Es gibt ja nach \eref{Uevi}{AL} unendlich viele irreduzible Polynome in $k ['T]$ und nur endlich viele davon k"onnten in den Nennern von endlich vielen hypothetischen Erzeugern des $k$-Krings $k('T)$ vorkommen. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Einen alternativen Beweis geben wir im Anschlu"s an \ref{FRE}. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TEZ} Seien $A\subset B\subset C$ Kringerweiterungen. Man zeige: Ist $C$ modul\-endlich "uber $B$ und $B$ modulendlich "uber $A$, so ist $C$ bereits modul\-endlich "uber $A$. Ist $C$ ringendlich "uber $B$ und $B$ ringendlich "uber $A$, so ist $C$ bereits ringendlich "uber $A$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Zwei} Wird ein $A$-Kring $B$ als $A$-Kring erzeugt von endlich vielen "uber $A$ ganzen Elementen, haben wir also in Formeln $B=A[x_1,\ldots ,x_n]$ mit $x_i$ ganz "uber $A$ f"ur $1\leq i\leq n$, so ist er bereits modulendlich "uber $A$. Hinweis: Man beginne mit dem Fall eines einzigen Erzeugers und verwende dann \ref{TEZ}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle Elemente von $\DQ$, die ganz sind "uber $\DZ$. Sei $k$ ein K"orper. Man bestimme alle Elemente von $k(T_1,\ldots,T_n)$, die ganz sind "uber dem Polynomring $k[T_1,\ldots,T_n]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DC[x,y]/\langle y^2-x^3\rangle$ ein Integrit"atsbereich ist, und da"s die "uber diesem Ring ganzen Elemente seines Quotientenk"orpers selbst einen Ring bilden, der isomorph ist zum Polynomring in einer Ver"anderlichen. \end{Ubung} \subsection{Beweis des Hilbert'schen Nullstellensatzes} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Maximale Ideale}] In einem unvoreingenommenen Sprachgebrauch h"atte jeder Ring genau ein maximales Ideal, n"amlich das Ideal, das aus allen Elementen unseres Rings besteht. Ich erinnere jedoch daran, da"s wir in \eref{MaxI}{AL} vereinbart hatten, vielmehr die maximalen \emph{echten} Ideale eines Rings seine \glqq maximalen Ideale\grqq\ zu nennen. Die Menge der maximalen Ideale eines Rings $A$ notieren wir\index{Max@$\op{Max}A$ Menge der maximalen Ideale von $A$}\label{mAX} $$\op{Max}A$$ Statt $\op{Max}A$ findet man f"ur die Menge der maximalen Ideale eines Rings $A$ auch Notationen wie $\op{Spec}_{\op{max}}A$\index{Specmax@$\op{Spec}_{\op{max}}A$ {\it Menge der maximalen Ideale von $A$}} oder $\op{Specm}A$\index{Specm@$\op{Specm}A$ {\it Menge der maximalen Ideale von $A$}}, die aber im hier verfolgten Aufbau der Theorie erst in \ref{PrII} verst"andlich werden. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Existenz von maximalen Idealen}]\label{EMI} In jedem von Null verschiedenen Ring gibt es mindestens ein maximales Ideal. Allgemeiner l"a"st sich in einem beliebigen Ring jedes Ideal, das nicht der ganze Ring ist, vergr"o"sern zu einem maximalen Ideal unseres Rings.\index{maximal!Ideal} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $R$ unser Ring und $\frak{a}\neq R$ unser Ideal. Wir betrachten das System aller Ideale von $R$, die $\frak{a}$ umfassen und nicht ganz $R$ sind oder, gleichbedeutend, nicht die $1$ von $R$ enthalten. Dieses System von Teilmengen ist offensichtlich stabil unter aufsteigenden Vereinigungen. Jetzt folgt der Satz aus dem Zorn'schen Lemma in der Gestalt \eref{KZL}{LA1}. \end{proof} \begin{Bemerkunge} In der Logik wird gezeigt, da"s die Annahme, jedes Ideal eines Krings m"oge sich zu einem maximalen Ideal vergr"o"sern lassen, echt schw"acher ist als das Auswahlaxiom. Der Beweis scheint allerdings nicht ganz einfach zu sein. Selbst im Fall noetherscher Ringe scheint es mir im Rahmen der Mengenlehre ohne Auswahlaxiom nicht m"oglich, die Existenz maximaler Ideale zu zeigen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{ZHMa} Ist $\varphi : R \twoheadrightarrow S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus, so erhalten wir eine Bijektion $$ \left\{ \text{Ideale in } R\text{, die } \ker \varphi \text{ umfassen} \right\} \sira \{ \text{Ideale in } S \} $$ vermittels der Abbildungen $I \mapsto \varphi (I)$ f"ur $I \subset R$ beziehungsweise in der Gegenrichtung $J \mapsto \varphi^{-1} (J)$ f"ur $J \subset S$. Insbesondere liefert das Zur"uckholen mit einem surjektiven Ringhomomorphismus eine Injektion $\op{Max}S\hra \op{Max}R$, $\frak m\mapsto \varphi^{-1} (\frak m)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{NIi} Ein Kring ist ein K"orper genau dann, wenn in ihm das Nullideal ein maximales Ideal ist. Ein Ideal in einem Kring ist ein maximales Ideal genau dann, wenn der Quotientenring nach besagtem Ideal ein K"orper ist.\label{RMI} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Aussage und damit implizit auch die Erste haben wir bereits als \eref{RMIb}{AL} bewiesen. Hier geben wir noch eine Beweisalternative. In einem K"orper ist nat"urlich das Nullideal maximal. Ist umgekehrt das Nullideal ein maximales Ideal, so gilt $k=\langle 1\rangle \neq \langle 0\rangle $ und damit $1 \neq 0$. Weiter gilt $\langle a\rangle = k$ f"ur jedes $a \neq 0$, also gibt es f"ur jedes $a \neq 0$ ein $b$ mit $ab =1$. Ist also das Nullideal von $k$ ein maximales Ideal, so ist $k$ ein K"orper. Wenden wir nun die Erkenntnis \ref{ZHMa} an auf die Surjektion $R \twoheadrightarrow R/\frak{m}$ f"ur irgendein Ideal $\frak{m}$ von $ R$, so folgt, da"s $\frak{m} \subset R$ ein maximales Ideal ist genau dann, wenn $\langle 0\rangle\subset R/\frak{m}$ ein maximales Ideal ist. Das Nullideal in einem Kring ist aber, wie bereits gezeigt, maximal genau dann, wenn besagter Kring ein K"orper ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die nun folgenden Lemmata \ref{MIi} und \ref{MI1} formulieren einfache Konsequenzen des Nullstellensatzes \ref{HNb}. Da wir uns jedoch beim Beweis des Nullstellensatzes auf diese Lemmata st"utzen wollen, d"urfen wir sie in unserem Aufbau nicht aus dem Nullstellensatz herleiten. Stattdessen folgern wir sie aus dem bereits bewiesenen Satz "uber ringendliche K"orpererweiterungen \ref{KFa}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Maximale Ideale in Polynomringen}] %\label{MI} Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so sind die maximalen Ideale im Polynomring in $n$ Variablen $k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ genau die Verschwindungsideale von Punkten des $k^{n}$. In Formeln liefert das Bilden des Verschwindungsideals also eine\label{MIi} Bijektion $$\begin{array}{ccc} k^{n} & \sira &\op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]\\ x & \mapsto &\;{\mathcal I}(x) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Da jeder Punkt des $k^n$ abgeschlossen ist, k"onnen wir die inverse Abbildung beschreiben durch die Abbildungsvorschrift $\frak{m} \mapsto {\mathcal Z}(\frak{m})$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $k$ ein K"orper und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist ganz offensichtlich ${\mathcal I}(x)= \langle T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}\rangle \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal. In der Tat induziert das Auswerten $\delta_x$ bei $x$ einen Isomorphismus $ k[T_{1}, \ldots, T_{n}]/{\mathcal I}(x) \sira k$. Ist umgekehrt ${\frak m} \subset k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal, so betrachten wir den K"orper $L\pdef k [T_{1}, \ldots, T_{n}]/{\frak m}$. Wir haben einen nat"urlichen Ringhomomorphismus $\varphi : k \ra L$ und die Nebenklassen der $T_{i}$ erzeugen $L$ als $k$-Kring. Mit dem Satz "uber ring\-end\-li\-che K"orpererweiterungen \ref{KFa} folgt, da"s $\varphi:k\hra L$ eine algebraische, ja eine endliche K"orpererweiterung sein mu"s. Aus unserer Annahme $k$ algebraisch abgeschlossen folgt dann weiter, da"s $\varphi$ eine Bijektion sein mu"s. Ist $x_{i}\in k$ das Urbild der Nebenklasse $\bar{T}_{i}\in L$ von $T_i$ unter dieser Bijektion, so folgt $T_{i}-x_{i} \in {\frak m}$. Bezeichnet $x = (x_{1}, \ldots , x_{n})$ den Punkt mit den Koordinaten $x_{i}$, so folgt ${\mathcal I}(x) \subset {\frak m}$ und damit ${\mathcal I}(x) = {\frak m}$, da beide Ideale maximal sind. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Ideale ohne simultane Nullstellen}] Hat ein Ideal in einem Polynomring in endlich vielen Variablen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper keine Nullstelle, so ist besagtes Ideal schon der ganze\label{MI1} Polynomring. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichnet $k=\bar k$ unseren K"orper und $\mathfrak a\subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ unser Ideal, so behauptet unser Lemma in Formeln $${\mathcal Z}(\mathfrak a)=\emptyset\;\;\RA\;\; \mathfrak a=k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$$ Das zeigen wir durch Widerspruch. Ist ein Ideal $\mathfrak a$ nicht der ganze Ring, so gibt es ein maximales Ideal ${\frak m}$ "uber $\mathfrak a$ und wir folgern aus $\mathfrak a\subset{\frak m}$ erst $ {\mathcal Z}(\mathfrak a)\supset {\mathcal Z}({\frak m})$ und wegen $ {\mathcal Z}({\frak m})\neq\emptyset$ nach \ref{MIi} folgt $ {\mathcal Z}(\mathfrak a)\neq\emptyset$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nun erinnern und beweisen wir den bereits in \ref{HNb} angek"undigten Hilbert'schen Nullstellensatz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert'scher Nullstellensatz}]\index{Nullstellensatz, Hilbert'scher}\index{Hilbert'scher Nullstellensatz} Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"or\-per und\label{HN} $\mathfrak a \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal. Ist $f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Polynom, das auf der Nullstellenmenge unseres Ideals verschwindet, so liegt eine Potenz unseres Polynoms bereits selbst in besagtem Ideal, in Formeln $${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(\mathfrak a)\;\RA\; f^{N} \in \mathfrak a\text{ f"ur }N \gg 0$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir verwenden den sogenannten {\bf Rabinovitch-Trick} und betrachten in dem um eine Variable $T$ vergr"o"serten Polynomring $k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]$ das von $\mathfrak a$ und $fT -1$ erzeugte Ideal $\mathfrak b$. Da wir ${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(\mathfrak a)$ angenommen hatten, besitzt dies Ideal $\mathfrak b$ "uberhaupt keine simultanen Nullstellen. Anschaulich gesprochen entweicht ${\mathcal Z}(fT -1)$ bei jeder Nullstelle von $f$ in Richtung der zus"atzlichen Koordinate $T$ ins Unendliche, die Nullstellenmenge von $\mathfrak a$ im um eine Variable vergr"o"serten Polynomring dahingegen ist das kartesische Produkt von ${\mathcal Z}(\mathfrak a)$ mit der zus"atzlichen Koordinatenachse und der Schnitt dieser beiden Mengen ist offensichtlich leer. Nach \ref{MI1} ist unter unseren Annahmen ein Ideal ohne Nullstelle bereits der ganze vergr"o"serte Polynomring, also gilt in unserem um eine Variable vergr"o"serten Polynomring eine Gleichung der Gestalt $$r_0(fT-1)+r_1 f_1+\ldots +r_m f_m=1$$ mit $f_j\in \mathfrak a$ und $r_j\in k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]$. Nun durften wir sicher von Anfang an $f\neq 0$ annehmen. Setzen wir dann in unserer Gleichung f"ur $T$ das Element $f^{-1}$ des Funktionenk"orpers $k (T_{1},\ldots , T_{n})$ ein, wenden also den Ringhomomorphismus $k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]\ra k (T_{1},\ldots , T_{n})$ mit $T\mapsto f^{-1}$ an, so ergibt sich in diesem Funktionenk"orper und sogar bereits in seinem Teilring $k [T_{1},\ldots , T_{n},f^{-1}]$ eine Gleichung der Gestalt $$s_1 f_1+\ldots+ s_m f_m=1$$ Dabei gehen die $s_j\in k [T_{1},\ldots , T_{n},f^{-1}]$ aus den $r_j$ hervor durch Einsetzen von $f^{-1}$ f"ur $T$. Nach Multiplikation mit einer geeigneten Potenz $f^N$ von $f$ erhalten wir schlie"slich eine Gleichung in $k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ der Gestalt $$c_1 f_1+\ldots+ c_m f_m=f^N$$ mit $c_j=f^N s_j$ Elementen unseres urspr"unglichen Polynomrings $k [T_{1},\ldots , T_{n}]$. Diese Gleichung zeigt schlie"slich wie gew"unscht $f^{N} \in \mathfrak a$. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Ideal $\mathfrak a$ in einem Kring $R$ ist sein {\bf Radikal}\index{Radikal!eines Ideals} $\sqrt{\mathfrak a}$ erkl"art durch die Vorschrift $\sqrt{\mathfrak a}\pdef\{ f\in R\mid f^N\in \mathfrak a\text{ f"ur }N\gg 0\}$. Ein Ideal hei"st ein \defind{Radikalideal}, wenn es sein eigenes Radikal ist.\label{RaId} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In \eref{RaMo}{HL} f"uhren wir den Begriff des \glqq Radikals eines Moduls\grqq\ ein. Das Radikal eines Ideals im obigen Sinne ist etwas v"ollig anderes als sein Radikal als Modul. Wenn es n"otig sein sollte, werde ich im Fall von Idealen unterscheiden zwischen seinem {\bf Potenzradikal}\index{Radikal!Potenzradikal}\index{Potenzradikal} und seinem {\bf Modulradikal}.\index{Radikal!Modulradikal}\index{Modulradikal} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abgeschlossene Mengen und Radikalideale}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ gilt f"ur jedes Ideal ${\frak a}\subset k[T_1,\ldots,T_n]$ nach dem Nullstellensatz \ref{HN} die Identit"at\label{BRI} ${\mathcal I}({\mathcal Z}({\frak a}))=\sqrt{{\frak a}}$. Andererseits wissen wir schon lange um die Identit"at ${\mathcal Z}({\mathcal I}(X))=\bar X$ f"ur Teilmengen $X\subset k^n$. Die Vorschriften ${\mathcal Z}$ und ${\mathcal I}$ liefern also zueinander inverse Bijektionen zwischen der Menge aller Zariski-abgeschlossenen Teilmengen des $k^n$ und der Menge aller Radikalideale in $k[T_1,\ldots,T_n]$, in Formeln $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Radikalideale}\\ \mathfrak b\subset k[T_1,\ldots, T_n]\end{array}\!\!\right\} & \begin{array}{c} \mathcal Z\\[-3mm] \lra\\[-4.5mm] {\scriptstyle \sim}\\[-3.5mm] \longleftarrow\\[-2.5mm] \mathcal I \end{array} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Teilmengen}\\ Z\As k^n \end{array} \!\! \right\} %^{\op{opp}} \\[5mm] % X & &\cal{O}(X) \\[1mm] % \varphi \downarrow \;\;\;& \mapsto & \varphi^{\sharp} \uparrow \;\;\;\\[1mm] % Y & & \cal{O}(Y) \end{array} $$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $k$ algebraisch abgeschlossen und $\mathfrak a \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal, so induziert die Bijektion $k^{n} \overset{\sim}{\ra} \op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ aus Lemma \ref{MIi} eine Bijektion $\mathcal Z (\mathfrak a) \sira \op{Max} (k [T_{1}, \ldots , T_{n}] /\mathfrak a)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Warum kann man nicht mit demselben Argument wie in \ref{EMI} zeigen, da"s jede Gruppe eine maximale echte Untergruppe besitzt? Man zeige auch, da"s die additive Gruppe $\DQ$ keine maximale echte Untergruppe besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NKR} Gegeben ein kommutativer von Null verschiedener Ring $R$ folgt aus $R^n\cong R^m$ schon $n=m$. Hinweis: Man benutze \ref{MQR} und w"ahle mit \ref{EMI} ein maximales Ideal $\frak{a}\subset R$, so da"s $R/\frak{a}$ nach \ref{RMI} ein K"orper ist. Ein alternativer Beweis, der ohne das Zorn'sche Lemma auskommt, wird in \ref{ABTR} gegeben. Der hier skizzierte Beweis zeigt jedoch mit \eref{KaBa}{AL} allgemeiner f"ur beliebige Mengen $I,J$, da"s aus der Isomorphie von freien Moduln $RI\cong RJ$ folgt, da"s $I$ und $J$ dieselbe Kardinalit"at haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{JacR} Der Schnitt aller maximalen Ideale eines Krings $R$ kann auch beschrieben werden als die Menge aller Elemente unseres Rings mit der Eigenschaft, da"s die Summe der Eins mit einem beliebigen Vielfachen unseres Elements stets eine Einheit ist, in Formeln $$\bigcap_{\frak{m}\in\op{Max}R}\frak{m}=\{a\in R\mid (ra+1)\in R^\times\;\forall r\in R\}$$ Diese Menge hei"st das {\bf Jacobson-Radikal}\index{Jacobson-Radikal} unseres Krings. Im Fall nichtkommutativer Ringe versteht man unter dem Jacobson-Radikal feiner den Schnitt aller maximalen Links- oder gleichbedeutend aller maximalen Rechtsideale. \end{Ubung} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. In Erweiterung von \ref{EVNN} zeige man, da"s ein Ideal $\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ genau dann\label{Evfg} von endlicher Kodimension ist, wenn es h"ochstens endlich viele simultane Nullstellen besitzt, in Formeln $$|\mathcal Z(\mathfrak a)|<\infty\;\;\IFF \;\; \op{codim}_k(\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n])<\infty$$ Das verwenden wir bei der Diskussion des Satzes von B\'{e}zout. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Noch allgemeiner als in \ref{Evfg} zeige man f"ur einen beliebigen K"orper $ k$, da"s ein Ideal $\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ genau dann\label{Exvfg} von endlicher Kodimension ist, wenn es nur in endlich vielen maximalen Idealen enthalten ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur ein Ideal $\mathfrak a$ eines Krings $R$ das Radikal $\sqrt{\mathfrak a}$ wieder ein Ideal von $R$ ist und da"s $\sqrt{\mathfrak a}$ sein eigenes Radikal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HZUU} $(k=\bar k)$. Gegeben ein ringendlicher $k$-Kring $A$ liefert das Bilden des Kerns $\varphi\mapsto \op{ker}\varphi$ eine Bijektion $\op{Kring}^k(A,k) \sira \op{Max}A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und\label{rkee} $A$ ein ringendlicher $k$-Kring. Man zeige: Ist der Quotient von $A$ nach seinem Nilradikal $A/\sqrt{0}$ endlichdimensional "uber $k$, so ist bereits $A$ selbst endlichdimensional "uber $k$. \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \section{Mehr zu Moduln} Die Resultate dieses Abschnitts werden erst nach und nach gebraucht. Ich schlage vor, ihn hier zu "uberspringen und dieses eher technische Material erst bei Bedarf nachzuholen. \nichtfinal{Als Appendix?} \subsection{Summen und Produkte von Moduln}\label{SPM} \begin{Bemerkungl} Die folgenden Konstruktionen verallgemeinern unsere Konstruktionen von Summen und Produkten im Fall von Vektorr"aumen aus \eref{SPV}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ von Moduln "uber einem Ring $R$ bilden wir zwei neue $R$-Moduln, das {\bf Produkt}\index{Produkt!von Moduln} $\prod M_\lambda$ und die {\bf direkte Summe}\index{direkte Summe!von Moduln} oder kurz \defind{Summe} $\bigoplus M_\lambda$ durch die Regeln $$ \begin{array}{ccl} \prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in M_\lambda\}\\[2mm] \bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in M_\lambda,\text{ nur endlich viele $m_\lambda$ sind nicht null}\} \end{array}$$ mit der offensichtlichen komponentenweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren aus $R$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur eine endliche Familie von Moduln $M_{1}, \ldots , M_{s}$ stimmen die direkte Summe und das Produkt "uberein. Wir benutzen dann alternativ die Notationen $$M_{1}\times \ldots \times M_{s}=M_{1}\oplus \ldots \oplus M_{s}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SPMM} Das Produkt beziehungsweise die Summe sind das Produkt beziehungsweise Koprodukt in der Kategorie der $R$-Moduln im Sinne unserer allgemeinen Definitionen \eref{PrKao}{LA2} beziehungsweise \eref{KoPro}{LA2}. Ausformuliert bedeutet das: %haben sie mithin die folgenden Eigenschaften: Die offensichtlichen Einbettungen und Projektionen sind Homomorphismen $$ \op{in}_\lambda: M_\lambda \hra \bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda\qquad\text{ beziehungsweise } \qquad\op{pr}_\lambda:\prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda \sra M_\lambda$$ und\index{in@$\op{in}$, Morphismus in Koprodukt} ist\index{pr@$\op{pr}$, Projektion aus Produkt} $M$ ein weiterer $R$-Modul, so induzieren die durch Vorschalten der $\op{in}_\lambda$ beziehungsweise Nachschalten der $\op{pr}_\lambda$ gegebenen Abbildungen Bijektionen $$\begin{array}{rcc} \op{Hom}_R (\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda, M) & \sira & \prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R (M_{\lambda},M)\\[1mm] f & \mapsto & (f\circ \op{in}_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}\\[4mm] \op{Hom}_R (M, \prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda) & \sira & \prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R (M,M_{\lambda})\\[1mm] f & \mapsto & (\op{pr}_{\lambda}\circ f)_{\lambda\in \Lambda} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ von Untermoduln eines Moduls $M$ bezeichnet man den von ihrer Vereinigung erzeugten Untermodul von $M$ auch als ihre {\bf Summe}\index{Summe!von Untermoduln} und notiert ihn $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$. Diese Summe kann auch interpretiert werden als das Bild eines nat"urlichen Homomorphismus $\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda\ra M$ von der direkten Summe nach $M$. Ist dieser Homomorphismus injektiv, so sagen wir, die \glqq Summe der Untermoduln $M_\lambda$ sei direkt\grqq\ und schreiben statt $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$ auch $\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$. Zwei Untermoduln $N_1,N_2\subset M$ hei"sen {\bf komplement"ar}\index{komplement"ar!Untermoduln} genau dann, wenn ihre Einbettungen einen Isomorphismus $N_1\oplus N_2\sira M$ induzieren. Ein Untermodul, der ein Komplement besitzt, hei"st ein {\bf Summand}.\index{Summand!von Modul} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BMoo} Auch bei Moduln "uber Ringen nennt man eine Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ \defind{linear unabh"angig} genau dann, wenn nur die triviale endliche Linearkombination verschwindet, wenn also f"ur eine Familie $(r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ von Elementen unseres Rings mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Mitgliedern gilt $$\sum_{\lambda\in\Lambda} r_\lambda m_\lambda=0\;\;\RA \text{ alle } r_{\lambda} \text{ sind null}$$ Ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem hei"st wie bei Vektorr"aumen eine {\bf Basis},\index{Basis!von Modul} und wie dort erkl"aren wir die Begriffsvarianten einer {\bf Basis als Teilmenge},\index{Basis!als Teilmenge!von Modul} einer {\bf Basis als Familie},\index{Basis!als Familie!von Modul} und einer {\bf angeordneten Basis}.\index{Basis!angeordnete!von Modul} Allerdings besitzen keineswegs alle Moduln eine Basis, wie man das von Vektorr"aumen gewohnt ist. Die Moduln, die eine Basis besitzen, nennt man {\bf freie Moduln}.\index{frei!Modul}\index{Modul!freier} Die Moduln, die eine Basis bestehend aus genau einem Element besitzen, nenne ich {\bf frei zyklisch}.\index{frei zyklisch!Modul}\index{Modul!frei zyklischer} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} $\DZ/5\DZ$ ist kein freier $\DZ$-Modul, aber durchaus ein freier Modul "uber dem Ring $\DZ/5\DZ$. Jede Familie von Elementen eines Moduls "uber dem Nullring, der notwendig aus genau einem Element besteht, ist eine Basis. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur jede Menge $\Lambda$ ist der Modul $$R\Lambda\pdef \{f:\Lambda \ra R\mid f(\lambda)=0 \text{ f"ur fast alle }\lambda\}$$ frei, denn die Abbildungen, die an einer Stelle den Wert $1$ annehmen und sonst den Wert Null, bilden eine Basis. Wir nennen $R\Lambda$ den {\bf freien $R$-Modul "uber der Menge $\Lambda$}. \index{)8b@$R\Lambda$ freier $R$-Modul "uber $\Lambda$} Nach unseren Definitionen ist umgekehrt eine Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ in einem Modul $M$ eine Basis genau dann, wenn die Abbildung $R\Lambda \ra M$ mit $(r_\lambda)\mapsto \sum r_\lambda m_\lambda$ ein Isomorphismus ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ungewohnte Isomorphismen zwischen freien Moduln}] F"ur beliebige Ringe $R$ folgt aus $R^n\cong R^m$ im allgemeinen keineswegs $n=m$.\label{BRNN} Das einfachste Gegenbeispiel ist der Nullring, und das ist nach \ref{ABTR} auch das einzige kommutative Gegenbeispiel. Unter den nicht kommutativen Ringen gibt es jedoch auch interessantere Gegenbeispiele. Betrachten wir etwa zu einem beliebigen K"orper den freien Vektorraum $V$ "uber der Menge $\DN$, so gibt es einen Isomorphismus $V\sira V\oplus V$, und f"ur den Endomorphismenring $R=\op{End} V$ erhalten wir einen Isomorphismus von $R$-Moduln $R\cong R^2$ als die Verkn"upfung $R=\op{End} V \cong \op{Hom} (V\oplus V,V)\cong R\oplus R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{TREm} Wir erhalten mit \ref{BRNN} auch ein Paar $A\subsetneq B$ bestehend aus einem Ring mit einem echten Teilring und der Eigenschaft, da"s dennoch ein Isomorphismus $A\cong B$ von $A$-Linksmoduln existiert: Betrachten wir $R$ wie in \ref{BRNN} und den Teilring $(R\times R)\subset {\op{Mat}}(2;R)$ der Diagonalmatrizen, haben wir einerseits einen Isomorphismus $(R\times R)^2\cong {\op{Mat}}(2;R)$ von $(R\times R)$-Linksmoduln, soviel gilt sogar f"ur jeden Ring $R$, und andererseits gibt es nach den vorherigen "Uberlegungen auch einen Isomorphismus $(R\times R)\cong (R\times R)^2$ von $(R\times R)$-Linksmoduln. \end{Bemerkunge}\begin{Lemma}[\textbf{Kriterium f"ur die Direktheit einer Summe}] Gegeben eine Familie $(V_i)_{i\in I }$ von Untergruppen einer abelschen Gruppe $V$ ist der nat"urliche\label{Kds} Homomorphismus $\bigoplus_{i\in I } V_i\ra V$ eine Injektion genau dann, wenn f"ur jedes $i\in I$ gilt $$V_i\cap \sum_{j\neq i}V_j=0$$ \end{Lemma} \begin{proof} Ist der nat"urliche Homomorphismus eine Injektion, so offensichtlich $V_i\cap \sum_{j\neq i}V_j=0$. Ist der nat"urliche Homomorphismus keine Injektion, so liegt ein von Null verschiedenes Element $v=(v_i)_{i\in I}$ der direkten Summe in seinem Kern. Dieses Element hat eine von Null verschiedene Komponente, die Menge $K\pdef\{i\mid v_i\neq 0\}$ ist also endlich und nicht leer. Per definitionem gilt nun $\sum_{k\in K}v_k=0$. W"ahlen wir $i\in K$, so folgt $0\neq -v_i=\sum_{j\neq i}v_j$ und damit $V_i\cap \sum_{j\neq i}V_j\neq 0$. \end{proof} \begin{Satz*} F"ur jede freie abelsche Gruppe $F$ ist die offensichtliche Abbildung in das Bidual ein Isomorphismus $F\sira F^{**}$. \end{Satz*} \begin{proof} Wir zeigen das nur f"ur $F=\DZ[T]$, der allgemeine Fall geht genauso. Das Dual $F^*$ ist in diesem Fall ein Produkt abz"ahlbar vieler Kopien von $\DZ$ und hei"st die {\bf Baer-Specker-Gruppe}.\index{Baer-Specker-Gruppe} Wir verwenden im folgenden die Inkarnation von $F^*$ als der Potenzreihenring. In Formeln ausgedr"uckt haben wir eine bilineare Abbildung $$\DZ\llbracket T\rrbracket\times \DZ[T]\ra\DZ$$ gegeben durch $(P,Q)\mapsto (\text{der Koeffizient von }T^0\text{ in }P\bar Q)$, wobei $\bar Q$ aus $Q$ entstehe durch Substitution von $T^{-1}$ f"ur $T$. Diese Paarung liefert offensichtlich einen Isomorphismus $\mathbb Z \llbracket T\rrbracket \sira \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z [T], \mathbb Z)$. Es gilt zu zeigen, da"s sie auch einen Isomorphismus $$\mathbb Z [T] \sira \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z \llbracket T\rrbracket, \mathbb Z)$$ induziert. Um das einzusehen, zeigt man zun"achst $$ \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z \llbracket T\rrbracket/\mathbb Z [T], \mathbb Z)=0$$ Jeder Homomorphismus $f: \mathbb Z \llbracket T\rrbracket / \mathbb Z [T] \rightarrow \mathbb Z$ macht jede Nebenklasse einer Reihe der Gestalt $\sum b_i 3^i T^i$ zu Null, da seine Werte darauf durch jede Potenz von drei teilbar sein m"ussen. Auf der Nebenklasse einer beliebigen Reihe $\sum a_i T^i$ kann $f$ also nur gerade Zahlen als Werte annehmen, da $\sum a_i T^i + \sum_{a_i \text{ ungerade}} 3^i T^i$ stets das Doppelte einer anderen Reihe ist. Das zeigt, da"s $f$ Null sein mu"s. Jeder Gruppenhomomorphismus $\mathbb Z \llbracket T\rrbracket \rightarrow \mathbb Z$ ist also durch seine Restriktion auf $\mathbb Z [T]$ bereits eindeutig festgelegt. Es bleibt zu zeigen, da"s eine Linearform $f: \mathbb Z [T] \rightarrow \mathbb Z$, die nicht auf fast allen $T^i$ Null ist, nicht auf $\mathbb Z \llbracket T\rrbracket$ fortgesetzt werden kann. Ist aber $f$ auf unendlich vielen $T^i$ nicht Null, so finden wir eine monoton wachsende Folge $\alpha (0) \leq \alpha (1) \leq \ldots$ von nat"urlichen Zahlen mit $c_n := | f(T^0) 2^{\alpha (0)}+ \ldots + f (T^n)2^{\alpha (n)}| \rightarrow \infty$ f"ur $n \rightarrow \infty$ und $2^{\alpha (n+1)}> 2c_n$ f"ur alle $n \in \mathbb N$. Werten wir dann unsere Linearform auf der Reihe $\sum_{i=0}^\infty 2^{\alpha(i)}T^i$ aus, so mu"s das Ergebnis im Betrag mindestens $c_n$ sein f"ur alle $n$, wie man durch Aufteilen in einen Anfang und einen Schwanz aus $2^{\alpha (n+1)}\DZ\llbracket T\rrbracket$ sieht, und das ist unm"oglich. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige: Jeder endlich erzeugte Modul "uber einem Schiefk"orper $D$ ist isomorph zu $D^n$ f"ur wohlbestimmtes $n\in\DN$. Hinweis: Man kopiere die Argumentation aus der linearen Algebra.\label{dSKK} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein von Null verschiedener Ring. Man gebe ein minimales alias unverk"urzbares Erzeugendensystem des Rings $R\pdef(k\times k)$ als Linksmodul "uber sich selber an, das keine Basis ist. Man gebe eine maximale linear unabh"angige Teilmenge von $\DZ$ als Linksmodul "uber sich selber an, die keine Basis ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{fmDZ} Sei $k$ ein Ring und $k[\varepsilon]\pdef k[T]/\langle T^2\rangle$ mit $\varepsilon=\bar T$ der Ring der {\bf dualen Zahlen "uber $k$}.\index{duale Zahlen} Man zeige: Ein $k[\varepsilon]$-Modul ist frei genau dann, wenn gilt: $M/\varepsilon M$ ist ein freier $k$-Modul und die Multiplikation mit $\varepsilon$ induziert einen Isomorphismus $$M/\varepsilon M\sira \varepsilon M$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QFM} Jeder Modul ist isomorph zu einem Quotient eines freien Moduls. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Moduln $M_1,\ldots,M_m$ und $N_1,\ldots,N_n$ "uber einem Ring $R$ haben wir eine nat"urliche Identifikation\label{SVK} $$\op{Hom}_R(M_1\oplus\ldots\oplus M_m,N_1\oplus\ldots\oplus N_n)\sira \prod_{i,j} \op{Hom}_R(M_j,N_i)$$ Wir werden die Elemente einer endlichen direkten Summe oft als Spaltenvetoren von Elementen der Summanden auffassen und die Homomorphismen zwischen direkten Summen als Matrizen von Homomorphismen zwischen den Summanden. Das erlaubt uns, die Komposition solcher Homomorphismen mit dem Formalismus der Matrixmultiplikation zu berechnen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PVDS} Gegeben eine Familie von Moduln $M_{ij}$ mit $i\in I$, $j\in J$ haben wir stets eine kanonische Injektion $\bigoplus_i(\prod_j M_{ji})\hra \prod_j(\bigoplus_i M_{ji})$, die im allgemeinen aber kein Isomorphismus ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SpM} Das folgende verallgemeinert \eref{Sp}{LA2}. Sei $R$ ein Ring. Man nennt einen Homomorphismus von $R$-Moduln $M\sra M^{\prime\prime} $ {\bf linksspaltend}, wenn er ein Rechtsinverses besitzt, und nennt solch ein Rechts\-inverses dann eine {\bf Spaltung}.\index{Spaltung!von Modulhomomorphismus} Man zeige: Ist $\varphi : M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ ein Homomorphismus, $M^{\prime} \subset M$ sein Kern und $\psi : M^{\prime\prime} \ra M$ ein Rechtsinverses von $\varphi$, so erhalten wir vermittels der Vorschrift $(a^{\prime},a^{\prime\prime}) \mapsto a^{\prime} + \psi (a^{\prime\prime})$ einen Isomorphismus $M^{\prime}\times M^{\prime\prime} \sira M$. Man nennt einen Modulhomomorphismus $M'\hra M$ {\bf rechtsspaltend},\index{rechtsspaltend!Modulhomomorphismus} wenn er ein Linksinverses besitzt, und nennt solch ein Links\-inverses $\psi$ auch eine {\bf Spaltung}.\index{Spaltung!bei abelschen Gruppen} F"ur $s:M\sra M''$ die Surjektion auf den Kokern eines rechtsspaltenden Morphismus zeige man, da"s $(\psi,s)$ einen Isomorphismus $M\sira M'\times M''$ liefern. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine kurze exakte Sequenz von Moduln $A\stackrel{r}{\hra} B\stackrel{s}{\sra} C$ sind gleichbedeutend: (1) $r$ besitzt ein Linksinverses, (2) $s$ besitzt ein Rechtsinverses und (3) es gibt einen Isomorphismus der Gestalt $(\op{id}_A,f,\op{id}_C)$ von unserer Sequenz mit der Sequenz $$A\stackrel{\op{in}_1}{\hra} A\oplus C\stackrel{\op{pr}_2}{\sra} C$$ Das ist eine Umformulierung der "Ubungen \ref{Sp} und \ref{Spi}. Eine kurze exakte Sequenzen mit diesen Eigenschaften hei"st eine {\bf spaltende}\index{spaltend!kurze exakte Sequenz} kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen. Die kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $\DZ\hra \DZ\sra \DZ/2\DZ$ mit der Multiplikation mit Zwei als erster Abbildung spaltet nicht. Das ist eine offensichtliche Verallgemeinerung der entsprechenden Aussagen f"ur abelsche Gruppen \eref{pla}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{SchSp} Sei $R$ ein Ring. F"ur jeden surjektiven Homomorphismus $f:M\sra F$ von einem $R$-Modul $M$ auf einen freien $R$-Modul $F$ existiert eine Spaltung, als da hei"st ein Homomorphismus $s:F\ra M$ mit $fs=\op{id}_F$. \end{Ubung} \subsection{Endliche Produkte von Ringen} \begin{Bemerkungl} Unter dem \defnoind{Zentrum}\index{Zentrum!eines Rings} ${\op{Z}}(R)$ eines Rings $R$ verstehen wir die Menge derjenigen Elemente von $R$, die mit allen anderen Elementen kommutieren, in Formeln $${\op{Z}}(R)=\{ z\in R\mid za=az\;\;\forall a\in R\}$$ Das Zentrum ist stets ein kommutativer Teilring von $R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Familie von Ringen $(A_i)_{i\in I}$ k"onnen wir den Produktring $A\pdef \prod_{i\in I}A_i$ bilden. Die Elemente ${\op{e}}_i$ mit einer $1$ an der $i$-ten Stelle und Nullen sonst liegen im Zentrum des Produktrings und die von den ${\op{e}}_i$ erzeugten zweiseitigen Ideale $A{\op{e}}_iA$ werden unter den Projektionen $\op{pr}_j:A\ra A_j$ bijektiv auf $A_i$ abgebildet im Fall $i=j$ und auf Null sonst. Des weiteren gilt ${\op{e}}_i{\op{e}}_j=0$ f"ur $i\neq j$ und ${\op{e}}_i^2={\op{e}}_i$. Ist unsere Familie endlich, so gilt zus"atzlich $1=\sum_{i\in I}{\op{e}}_i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien umgekehrt ein Ring $A$ gegeben und darin eine endliche Familie von zentralen Idempotenten ${\op{e}}_1,\ldots, {\op{e}}_n$ mit ${\op{e}}_i{\op{e}}_j=0$ falls $i\neq j$ und $$1={\op{e}}_1+\ldots+ {\op{e}}_n$$ Wir nennen eine solche Darstellung eine {\bf Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale zentrale Idempotente}.\label{BLOCK} Sie liefert eine Zerlegung $$A=A{\op{e}}_1\oplus\ldots\oplus A{\op{e}}_n$$ in eine direkte Summe von Idealen, die jeweils selbst Ringe sind mit Einselement ${\op{e}}_i$, und sogar einen Ringisomorphismus $$A{\op{e}}_1\times\ldots\times A{\op{e}}_n\sira A$$ Fassen wir in einer derartigen Zerlegung der Eins einige Summanden zusammen, so sprechen wir von einer {\bf Vergr"oberung} unserer Zerlegung. Nat"urlich haben je zwei derartige Zerlegungen eine gemeinsame Verfeinerung, bestehend aus allen Produkten von einem Idempotenten der einen Zerlegung und einem Idempotenten der anderen Zerlegung. Existiert eine feinste Zerlegung mit von Null verschiedenen Summanden, so ist sie demnach eindeutig. Die zugeh"orige Zerlegung des Rings in eine direkte Summe von Idealen, die ihrerseits mit der induzierten Multiplikation Ringe werden, hei"st dann seine {\bf Block-Zerlegung}\index{Block-Zerlegung!eines Rings} $A = A_1 \oplus \ldots \oplus A_n$ und die zugeh"origen Ideale $A_i$ hei"sen die {\bf Bl"ocke}\index{Block!eines Rings} des Rings $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Gegeben Ringe $R_1,\ldots,R_n$ mit Produkt $R=R_1\times\ldots\times R_n$ erhalten wir f"ur jede abelsche Gruppe $M$ eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Strukturen auf $M$}\\ \text{als $R$-Modul} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Zerlegungen $M=M_1\oplus\ldots \oplus M_n$ mit}\\ \text{jeweils einer $R_i$-Modulstruktur auf $M_i$} \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} indem wir in $R$ die Elemente $\op{e}_i=(0,\ldots,1, \ldots,0)$ mit einer $1$ an der $i$-ten Stelle und Nullen sonst betrachten und in $M$ die Untergruppen $M_i\pdef {\op{e}}_iM$ nehmen und sie mit der hoffentlich offensichtlichen von der $R$-Modulstruktur auf $M$ induzierten Struktur eines $R_i$-Moduls versehen. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung} Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ring $R$ und ein Element $m\in M$ hei"st die Teilmenge $$\op{Ann}_R(m)\pdef \{r\in R\mid rm=0\}$$ der {\bf Annullator von $m$}.\index{Annullator}\index{Ann@$\op{Ann}$ Annullator} Man zeige, da"s der Annullator jedes Elements ein Linksideal ist. Weiter hei"st die Teilmenge $$\op{Ann}_R(M)\pdef \{r\in R\mid rm=0 \;\forall m\in M\}$$ der Annullator des Moduls $M$. Man zeige, da"s der Annullator eines Moduls stets ein zweiseitiges Ideal ist.\label{Annu} \end{Ubung} \subsection{Rechtsmoduln und Matrizenrechnung} \begin{Definition}\label{ReMo} Sei $R$ ein Ring. Ein \defnoind{$R$-Rechtsmodul}\index{Rechtsmodul} ist ein Paar bestehend aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$ mitsamt einer Abbildung $M \times R\ra M$, $(m, r) \mapsto mr$ derart, da"s gilt f"ur alle $m, n \in M$ und $ r, s \in R:$ $$\begin{array}{ccc} (m+n) r &=& mr+nr\\ m(r+s) &=& mr + ms\\ m(rs)&=& (mr)s\\ m 1 &=& m \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Unsere $R$-Moduln aus Definition \ref{LM} nennt man manchmal auch genauer {\bf Linksmoduln}. Um den Unterschied klar zu machen, definieren wir f"ur jeden Ring $R =(R, +, \cdot)$ den {\bf opponierten Ring}\index{opponiert!Ring}\index{Ring!opponierter} $R^{\op{opp}} = (R, + , \cdot)$ als die abelsche Gruppe $R$ mit der \glqq vertauschten\grqq\ Multiplikation $r^\circ s^\circ = sr$ f"ur $r, s \in R$. Wir verwenden dabei die Notation \eref{oppoGR}{GR}, insbesondere meint $r^\circ$ das Element $r$ aufgefa"st als Element des opponierten Rings. Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s ein $R$-Rechtsmodul dasselbe ist wie ein $R^{\op{opp}}$-Linksmodul, alias eine abelsche Gruppe $M$ mitsamt einem Ringhomomorphimus $R^{\op{opp}} \ra \op{End} M$. Insbesondere braucht man bei kommutativen Ringen zwischen Rechtsmoduln und Linksmoduln keinen Unterschied zu machen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Rechtsmodul. Eine Teilmenge $N \subset M$ hei"st ein Untermodul oder ganz pedantisch \defind{Unterrechtsmodul} genau dann, wenn $N$ eine Untergruppe ist und wenn zus"atzlich gilt $m \in N$, $r \in R \RA mr \in N$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Unterrechtsmoduln eines Rings hei"sen seine {\bf Rechtsideale}. \index{Rechtsideal} Jeder Schnitt von Untermoduln\label{URMo} ist wieder ein Untermodul. Ist $T \subset M$ eine Teilmenge eines Moduls $M$, so hei"st der kleinste Untermodul von $M$, der $T$ enth"alt, auch der \defnoind{von $T$ erzeugte Untermodul}\index{Untermodul!erzeugt von Teilmenge} und wir bezeichnen ihn mit $\langle T\rangle_R$ oder auch abk"urzend mit $\langle T\rangle$. \index{)5>@$\langle T\rangle_R$ Unterrechtsmodul-Erzeugnis} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HMRR} F"ur $R$-Rechtsmoduln $M,N$ nennen wir einen Homomorphismus von abelschen Gruppen $f:M\ra N$ mit $f(mr)=f(m)r$ $\forall m\in M,r\in R$ auch einen \defnoind{Homomorphismus von $R$-Rechtsmoduln} und bezeichnen die Menge aller Homomorphimen von $R$-Rechtsmoduln\index{Hom@$\op{Hom}_{-R}$} mit $$\op{Hom}_{-R} (M,N)$$ Genau wie bei K"orpern haben wir auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{-R} (R^{p},R^{q}) & \sira & {\op{Mat}}(q\times p; R)\\ f\;\;\;\; & \mapsto & [f] \end{array}$$ wo die Spalten der Matrix $[f]= (a_{ij})$ die Bilder unter $f$ der Vektoren $\op{e}_{1} , \ldots , \op{e}_{p}$ der Standardbasis des $R^{p}$ sind, in Formeln $f(\op{e}_{j}) = (a_{1j},\ldots , a_{mj})$ f"ur $1 \leq j\leq p$. Die inverse Abbildung ordnet jeder Matrix $A$ die $R$-rechtslineare Abbildung $x \mapsto Ax$ zu, wo wir die Elemente $x \in R^{p}$ beziehungsweise $A x \in R^{q}$ als Spaltenmatrizen auffassen. Wie bei K"orpern entspricht die Matrixmultiplikation der Verkn"upfung von Abbildungen, in Formeln $[f\circ g]= [f]\circ [g]$, und $f$ ist ein Isomorphismus genau dann, wenn seine Matrix $[f]$ invertierbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur die Kategorie der Rechtsmoduln "uber einem Ring $R$ verwenden wir die beiden Notationen\index{Mod@$\op{Mod}_{-R}=\op{Mod-}R$ Rechtsmoduln} $$\op{Mod-}R=\op{Mod}_{-R}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $R$-Rechtsmoduln $M,N$ mit endlichen angeordneten\label{HMRRb} Basen $\mathcal A, \mathcal B$ der Kardinalit"aten $p,q$ erhalten wir genau wie bei K"orpern auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{-R} (M,N) & \sira & {\op{Mat}}(q\times p; R)\\ f\;\;\;\; & \mapsto & _{\mathcal B}[f]_{\mathcal A} \end{array}$$ und nennen wieder $_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ die {\bf darstellende Matrix der Abbildung $f$ in Bezug auf die Basen $\mathcal A$ und $\mathcal B$}. \index{darstellende Matrix!bei Moduln} Die Formel ${}_{\mathcal C} [g\circ f]_{\mathcal A} = {}_{\mathcal C}[g]_{\mathcal B} \circ {}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ gilt entsprechend. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Definition der Determinante quadratischer Matrizen mit Eintr"agen in einem Kring durch die Leibnizformel \eref{DefD}{LA1}, an die Multiplikationsformel $\det (AB)=(\det A)( \det B)$ aus \eref{MuDet}{LA1} und daran, da"s eine quadratische Matrix nach \eref{InvD}{LA1} genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante eine Einheit in fraglichen kommutativen Ring ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Leibnizformel ist zwar auch f"ur nichtkommutative Ringe noch sinnvoll, aber die Formel $\det (AB)=(\det A)( \det B)$ ist dann nicht mehr richtig, und deshalb sind Determinanten in der Allgemeinheit nichtkommutativer Ringe nicht mehr von Nutzen. \end{Bemerkunge} % \begin{Definition} % Ist $R$ ein kommutativer Ring, % so bilden wir f"ur quadratische Matrizen $A = % (a_{ij})^{n}_{i,j=1} \in {\op{Mat}}(n\times n; R)$ die {\bf % Determinante}\index{Determinante} durch die Vorschrift % $$\det A = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{n}} (\op{sgn} \sigma) a_{1\sigma (1)} % \ldots a_{n\sigma (n)}$$ % falls $n\neq 0$ und $\det A =1$ im Fall $n = 0$. % \end{Definition} % \begin{Proposition}[\defnoind{Multiplikativit"at % der Determinante}\index{Multiplikativit"at!der Determinante}] % Sei $R$ ein kommutativer Ring. % \begin{enumerate} % \item % F"ur je zwei quadratische $n \times n$-Matrizen $A, B \in {\op{Mat}} (n % \times n;R)$ gilt % $$\det (AB) = (\det A) (\det B)$$ % \item % Genau dann ist eine quadratische Matrix $A$ invertierbar in ${\op{Mat}} (n\times n; % R)$, wenn % ihre % Determinante eine Einheit von $R$ ist, wenn also in Formeln % gilt $(\det A) \in R^{\times}$. % \end{enumerate} % \end{Proposition} % \begin{proof}[Beweis] % 1. % Die Multiplikativit"at % der Determinante % ist f"ur Matrizen mit Eintr"agen in einem K"orper \ref{MuDet} % bekannt aus der % linearen % Algebra und der erste unserer beiden Beweise % funktioniert ohne "Anderungen auch in unserer Situation hier. % Alternativ kann man auch wie folgt argumentieren: % Die Multiplikativit"at % der Determinante folgt sicher f"ur Matrizen mit Eintr"agen % im Integrit"atsbereich % $$\DZ [X_{ij}, Y_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}$$ % denn der ist ein Teilring seines Quotientenk"orpers. In diese % abstrakte Identit"at k"onnen wir dann f"ur die $X_{ij}$ % und $Y_{ij}$ Elemente % eines beliebigen kommutativen Rings einsetzen, und die Behauptung % folgt. % \\[2mm] % \noindent % 2. % Aus der Multiplikativit"at % der Determinante folgt, da"s die Determinante jeder invertierbaren Matrix eine % Einheit ist. % Um die Umkehrung zu zeigen, erinnern wir uns an feinere Aussagen % des Determinantenkalk"uls. % F"ur eine quadratische Matrix $A \in {\op{Mat}} (n \times n; R)$ bildet man % dort % die adjungierte Matrix % $A^{\#} \in {\op{Mat}} (n \times n; R)$ mit Eintr"agen % $$A^{\#}_{ij} = (-1)^{i+j} \det A^{ji}$$ % wo $A^{ji}$ die $(n -1) \times (n-1)$-Matrix bezeichnet, die aus % $A$ entsteht durch Streichen der $j$-ten Zeile und der $i$-ten % Spalte. % F"ur Koeffizienten in einem K"orper zeigt man in der linearen % Algebra % $$A^{\#} A = (\det A) I$$ % mit $I$ der $(n \times n)$-Einheitsmatrix. % "Ahnlich wie im ersten Teil des Beweises "ubertr"agt man diese % Formel dann auf beliebige kommutative Ringe $R$. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Wohlbestimmtheit des Rangs}] Ist $R$ ein kommutativer Ring und nicht der Nullring, so folgt f"ur $m,n\in\DN$ aus der Existenz eines Isomorphismus von Moduln $R^n\cong R^m$ bereits $n=m$. \label{ABTR} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ein alternativer Beweis wird in "Ubung \ref{NKR} skizziert. Ein Gegenbeispiel f"ur nichtkommutative Ringe erkl"art \ref{BRNN}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ein Isomorphismus $R^n\cong R^m$ wird notwendig beschrieben durch Matrizen $A$ und $B$. W"are hier $n\neq m$, so w"aren unsere Matrizen nicht quadratisch. Hat ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $A$ mehr Zeilen als Spalten und erg"anzen wir unsere Matrizen durch Nullen zu quadratischen Matrizen $\tilde{A}$ und $\tilde{B}$, so gilt immer noch $\tilde{A}\tilde{B}=I$ mit $I$ der Einheitsmatrix, im Widerspruch zu $\det\tilde{A}=0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $M$ ein endlich erzeugter freier Modul "uber einem kommutativen und vom Nullring verschiedenen Ring $R$, so hei"st die Zahl $n\in\DN$ mit $M\cong R^n$ der \defnoind{Rang}\index{Rang!von Modul} von $M$. Wir nennen diese Zahl etwas un"ublich wie im K"orperfall die {\bf Dimension}\index{Dimension!von Modul} unseres Moduls und verwenden daf"ur die Notation\index{dim@$\op{dim}$ Dimension alias Rang eines freien Moduls} $$n=\op{dim}_RM=\op{dim}M$$ Das Beispiel \ref{BRNN} zeigt, da"s man "uber nichtkommutativen Ringen im allgemeinen nicht mehr sinnvoll vom Rang eines freien Moduls reden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{AP} Es gibt Schiefk"orper $K\subset L$ derart, da"s $L$ "uber $K$ endlich erzeugt ist als Linksmodul, nicht aber als Rechtsmodul. Die Frage nach einem solchen Beispiel war lange als {\bf Artin's Problem}\index{Artin's Problem} bekannt. Eine explizite Konstruktion kann man in \cite{CohnSKF} finden. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ENRj} Gegeben ein Ring $R$ liefert die durch Rechtsmultiplikation gegebene Abbildung aus \ref{RHO} einen Ringisomorphismus $R^{\op{opp}}\sira \op{End}_R(R)$ und die durch Linksmultiplikation gegebene Abbildung einen Ringisomorphismus $R\sira \op{End}_{-R}(R)$. Hier ist es wichtig zu erinnern, da"s in unseren Konventionen Ringe stets ein Einselement haben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Element eines Rings $r\in R$ ist genau dann eine Einheit, wenn sowohl die Rechtsmultiplikation als auch die Linksmultiplikation mit $r$ eine Bijektion von $R$ mit sich selbst liefert.\label{EiHe} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben ein Kring $R$ und $n\in\DN$ ist jeder surjektive Homomorphismus $R^n\sra R^n$ bereits ein Isomorphismus.\label{FreRU} Hinweis: Man finde ein Halbinverses und rechne mit Matrizen. Weiter zeige man: Ist $S\subset R$ ein Teilring und der $R$-Modul $M$ sowohl "uber $R$ als auch "uber $S$ frei vom Rang $n$, so gilt $S=R$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{UbMo} F"ur jeden Ring $R$ und jede nat"urliche Zahl $n\geq 1$ liefert die Zuordnung $M\mapsto M^n$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$R\op{-Mod} \;\;\sirra\;\; {\op{Mat}} (n; R) \op{-Mod}$$ In anderen Worten ist jeder Modul "uber $S\pdef{\op{Mat}} (n; R)$ isomorph zu einem Modul der Gestalt $M^n$ mit $M\in R\op{-Mod}$ und unsere Zuordnung induziert Bijektionen $\op{Hom}_R(M,N)\sira \op{Hom}_S(M^n,N^n)$. %Etwas allgemeiner ist f"ur jeden freien $R$-Rechtsmodul %$V$ mit Endomorphismenring $E\pdef\op{End}_{-R}(V)$ %die Zuordnung $M\mapsto V\otimes_R M$ %eine "Aquivalenz von Kategorien %$R\op{-Mod} \sirra E \op{-Mod}$. Diese Aussagen sind im "ubrigen Spezialf"alle unserer allgemeinen "Uberlegungen \eref{BMA}{TS} zur Tensor-Hom-Adjunktion und erste Beispiele der sogenannten {\bf Morita-"Aquivalenz}.\index{Morita-"Aquivalenz!Erste Beispiele} \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jeder endlich erzeugte freie Modul "uber eine endliche Basis besitzt.\label{EBA} \end{Ubung} \subsection{Moduln "uber Hauptidealringen}\label{NFS} \begin{Satz}[\textbf{Elementarteilersatz}] Sei\index{Elementarteilersatz!"uber Hauptidealringen} $f$ ein Homomorphismus zwischen zwei endlich erzeugten freien Moduln "uber einem Hauptidealring.\label{ES} So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt angeordnete Basen $\mathcal A, \mathcal B$ unserer Moduln derart, da"s die darstellende Matrix $D\pdef {_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}}$ unseres Homomorphismus eine Diagomalmatrix ist, deren vordere Diagonaleintr"age jeweils die hinteren teilen, in Formeln $(i\neq j\RA d_{ij}=0)$ und $d_{11}|d_{22}|\ldots |d_{rr}$ f"ur $r$ das Minimum der Kardinalit"aten beider Basen; \item Die Diagonaleintr"age $d_{ii}$ einer derartigen darstellenden Matrix durch die Abbildung $f$ wohlbestimmt bis auf Multiplikation mit Einheiten. \end{enumerate} \end{Satz} % \begin{Satz}[\textbf{Elementarteilersatz}]\label{ES} % Sei\index{Elementarteilersatz!"uber Hauptidealringen} % $f: E \ra F$ ein Homomorphismus % zwischen zwei freien Moduln von endlichen R"angen $m,n$ % "uber einem Kring $R$, in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. % So gibt es eine diagonale Matrix $D \in {\op{Mat}} (n \times m; R)$, deren % Diagonaleintr"age jeweils die folgenden Diagonaleintr"age teilen, % in Formeln $d_{11}|d_{22}|\ldots |d_{rr}$ f"ur $r = \min (n,m)$, und % Isomorphismen % $E \sira R^{m}$, $ F \sira R^{n}$ derart, da"s das folgende % Diagramm kommutiert: % $$\begin{array}{ccc} % E & \overset{f}{\longrightarrow} & F\\ % \da\wr & &\da\wr\\ % R^{m} & \overset{D}{\longrightarrow} & R^{n} % \end{array}$$ % Ist unser Kring $R$ zus"atzlich ein Integrit"atsbereich, % so sind Diagonaleintr"age $d_{ii}$ von $D$ durch die % Abbildung $f$ wohlbestimmt bis auf % Multiplikation mit Einheiten des Rings $R$. % \end{Satz} \begin{Beispiele} Die analoge Aussage im Fall eines K"orpers kennen wir bereits aus \eref{ETSS}{LA1} als Smith-Nor\-mal\-form, den Fall des Hauptidealrings $\DZ$ aus \eref{ETS}{LA2}, den Fall eines Polynomrings aus \eref{SmZe}{LA2} als Smith-Zerlegung. %% Unser Satz gilt nat"urlich %% f"ur Hauptidealringe, er gilt aber etwa auch f"ur Quotienten %% von Hauptidealringen, die ja keine Integrit"atsbereiche mehr sein %% m"ussen und damit keine Hauptidealringe im Sinne unserer %% strengen Definition %% \ref{HIRi}. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{ESW} Nach unserer Definition \eref{HIRi}{AL} ist ein Hauptidealring ein kommutativer Integrit"atsbereich, der kein K"orper ist und in dem jedes Ideal ein Hauptideal ist. Wir k"onnen unseren Satz auch verstehen als die Beschreibung eines Systems von Repr"asentanten f"ur die Bahnen der offensichtlichen Wirkung der Gruppe $\op{GL}(n;R)\times \op{GL}(m;R)$ auf der Menge ${\op{Mat}}(n\times m;R)$ im Fall eines Hauptidealrings $R$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen $E = R^{m}$ und $F = R^{n}$ annehmen. Die Abbildung $f$ wird beschrieben durch eine Matrix $A \in {\op{Mat}} (n \times m; R)$ und es gilt, invertierbare Matrizen $P \in {\op{Mat}} (n \times n; R)$ und $Q \in {\op{Mat}} (m \times m; R)$ zu finden derart, da"s $P AQ = D$ diagonal ist von der gew"unschten Form. F"ur eine Matrix $A$ bezeichne $\langle A\rangle \subset R$ das von den Eintr"agen von $A$ erzeugte Ideal. Sicher gilt $\langle XA\rangle \subset \langle A\rangle $ f"ur jede Matrix $X$, also $\langle XA\rangle = \langle A\rangle $ f"ur $X$ invertierbar. Ebenso gilt $\langle AY\rangle \subset \langle A\rangle $ f"ur jede Matrix $Y$ und $\langle AY\rangle = \langle A\rangle $ f"ur $Y$ invertierbar. Wir geben im folgenden ein Verfahren an, das im Fall $\langle a_{11}\rangle \neq \langle A\rangle $ invertierbare Matrizen $X$ und $Y$ liefert derart, da"s der obere linke Eintrag von $X A Y$ ein echt gr"o"seres Ideal erzeugt als $a_{11}$. Da unser Kring noethersch ist, oder auch mit einer elementaren Argumentation wie beim Beweis von \eref{HIRF}{AL} finden wir dann sogar $\tilde{X}$ und $\tilde{Y}$ invertierbar derart, da"s der obere linke Eintrag von $\tilde{X}A\tilde{Y}$ das Ideal $\langle \tilde{X}A \tilde{Y}\rangle =\langle A\rangle $ erzeugt, als da hei"st, da"s er alle Eintr"age von $\tilde{X}A \tilde{Y}$ teilt. Da nun Zeilen- und Spaltenoperationen auch durch Multiplikation mit invertierbaren Matrizen von links beziehungsweise rechts gegeben werden, finden wir dann sogar invertierbare Matrizen $\hat{X}, \hat{Y}$ derart, da"s $\hat{X} A \hat{Y}$ au"ser einem Eintrag $a_{11}=d_{11}$ in der oberen linken Ecke nur Nullen in der ersten Zeile und erste Spalte stehen hat und da"s zus"atzlich gilt $\langle d_{11}\rangle =\langle A\rangle $. Dann k"onnen wir aber den Beweis beenden mit einer offensichtlichen Induktion. Es bleibt, das versprochene Verfahren anzugeben. Wir unterscheiden drei F"alle. \begin{enumerate} \item[(i)] Falls $a_{11}$ nicht alle Elemente der ersten Zeile teilt, sagen wir $a_{11}$ teilt nicht $a_{12}$, so betrachten wir das Ideal $\langle a_{11}, a_{12}\rangle $ und w"ahlen daf"ur einen Erzeuger $d$. Wir k"onnen nun schreiben $d = x a_{11} + y a_{12}$ sowie zus"atzlich $a_{11} = d \lambda, a_{12} = d\mu$ und folgern $1 = x \lambda + y \mu$. Jetzt beachten wir $$\left(\begin{array}{c|c} \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ \ast & \ast \end{array} &\ast \\ \hline \ast&\ast\end{array}\right) \left(\begin{array}{c|c} \begin{array}{cc} x & -\mu \\ y & \lambda \end{array} &0 \\ \hline 0&I\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c|c} \begin{array}{cc} d & \ast \\ \ast & \ast \end{array} &\ast \\ \hline \ast&\ast\end{array}\right)$$ mit $I$ der Einheitsmatrix und haben schon gewonnen. \item[(ii)] Falls $a_{11}$ nicht alle Elemente der ersten Spalte teilt, gehen wir analog vor. \item[(iii)] Teilt $a_{11}$ alle Elemente der ersten Zeile und der ersten Spalte, so finden wir schon mal invertierbare $X,Y$ derart, da"s $XAY$ au"ser einem Eintrag $a_{11}$ in der oberen linken Ecke nur Nullen in der ersten Zeile und der ersten Spalte stehen hat. Unter der Annahme $\langle a_{11}\rangle \neq \langle A\rangle $ kann aber $a_{11}$ nicht alle Eintr"age von $A$ teilen. Addieren wir nun eine geeignete Zeile zur ersten Zeile, so landen wir im Fall (i) und haben wieder gewonnen. \end{enumerate} Damit haben wir das versprochene Verfahren angegeben und Teil 1 ist gezeigt. \\[2mm]\noindent 2. Wir zeigen nun die Eindeutigkeit der Diagonaleintr"age bis auf Einheiten. Dazu betrachten wir f"ur $i \geq 1$ das von allen Determinanten von $(i\times i)$-Untermatrizen von $A$ erzeugte Ideal $J_{i} (A) $. Ist $X$ eine weitere Matrix, so gilt $J_{i} (XA) \subset J_{i}(A)$, denn die Zeilen von $XA$ sind Linearkombinationen von Zeilen von $A$. Insbesondere gilt also $J_{i} (XA) = J_{i} (A)$ f"ur invertierbares $X$ und ebenso $J_{i} (AY) = J_{i}(A)$ f"ur invertierbares $Y$. Es folgt sofort, da"s $J_{i} (A)$ das vom Produkt $d_{11}d_{22} \cdots d_{ii}$ erzeugte Ideal ist, in Formeln $J_{i} (A) = \langle d_{11}d_{22} \cdots d_{ii}\rangle$. Daraus folgt %daraus dann die Eindeutigkeit der $d_{ii}$ bis auf Einheiten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir geben nun zwei Formen der Klassifikation endlich erzeugter Moduln "uber Hauptidealringen an. Wenden wir diese Klassifikationen an auf den Hauptidealring $\DZ$, so erhalten wir die Klassifikation der endlich erzeugten abelschen Gruppen \eref{ek}{LA2} und \eref{zk}{LA2} vom Beginn der Vorlesung. Wenden wir unsere S"atze an auf einen Polynomring "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper, so ergibt sich die Jordan'sche Normalform \eref{JNFa}{LA2}, wie als Korollar \ref{JNF} ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Klassifikation durch Idealketten}\index{Klassifikation!Moduln "uber Hauptidealringen}] Ist $M$ ein endlich erzeugter\label{KIK} Modul "uber einem Hauptidealring $R$, so gibt es genau eine aufsteigende Kette $\frak{a}_{1} \subset \frak{a}_{2} \subset \ldots\subset \frak{a}_{s} \subset R$ von Idealen von $R$ mit $\frak{a}_s\neq R$ und $$M \cong R/\frak{a}_{1} \times \ldots \times R/\frak{a}_{s}$$ Der Nullmodul wird abgedeckt durch den Fall $s=0$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist $R$ ein faktorieller Ring, so nennen wir die Potenzen irreduzibler Elemente von $R$ auch die {\bf Primpotenzen}\index{Primpotenz!in faktoriellem Ring} von $R$ und die von Eins verschiedenen Potenzen die {\bf echten Primpotenzen} von $R$. Jede echte Primpotenz $q$ hat also die Form $q = p^{e}$ mit $p$ irreduzibel und $e\geq 1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Existenz ist mir auch klar f"ur Kringe, in denen jedes Ideal ein Hauptideal ist. Wie steht es in dieser Allgemeinheit mit der Eindeutigkeit? \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\defnoind{Klassifikation durch Multimengen von Primpotenzen}] Gegeben ein endlich erzeugter Modul $M$ "uber einem Hauptidealring $R$ gibt es $r \in \DN$ und\label{NFF} echte Primpotenzen $q_{1}, \ldots, q_{t} \in R$ derart, da"s gilt $$M \cong R^{r} \times R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{t}R$$ Hier ist $r$ wohlbestimmt und die $q_{i}$ sind wohlbestimmt bis auf Einheiten und Reihenfolge. Der Nullmodul wird abgedeckt durch den Fall $r=t=0$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis beider S"atze ist mutatis mutandis derselbe wie der Beweis ihrer als \eref{ek}{LA2} und \eref{zk}{LA2} diskutierten Spezialisierungen f"ur den Hauptidealring $\DZ$ der ganzen Zahlen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Modul hei"st {\bf torsionsfrei}\index{torsionsfrei!Modul} genau dann, wenn die Multiplikation mit jedem von Null verchiedenen Ringelement eine injektive Abbildung von unserem Modul in sich selber liefert. Nach dem Satz ist insbesondere jeder endlich erzeugte torsionsfreie Modul "uber einem Hauptidealring frei.\label{tfF} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{KIK}] Gegeben ein Erzeugendensystem $g_1 , \ldots , g_n$ von $M$ erkl"aren wir durch die Vorschrift $(a_1,\ldots,a_n)\mapsto a_1g_1+\ldots+a_ng_n$ einen surjektiven Modulhomomorphismus $$R^n \twoheadrightarrow M$$ Dessen Kern ist nach \ref{NoUI} ein endlich erzeugter $R$-Modul $K$, f"ur den wir wieder einen surjektiven Homomorphismus $R^{m} \twoheadrightarrow K$ finden k"onnen. Der Formalismus noetherscher Ringe kann an dieser Stelle noch vermieden werden, man kann ebenso wie in \eref{ee}{LA2} sogar st"arker und unabh"angig zeigen, da"s man f"ur jeden Untermodul eines endlich erzeugten Moduls "uber einem Hauptidealring h"ochstens soviele Erzeuger ben"otigt wie f"ur den gro"sen Modul. Mit der Komposition $R^{m} \sra K\hra R^{n}$ als erster Abbildung entsteht so eine im Sinne von \eref{exSG}{LA2} exakte Sequenz von $R$-Moduln $$R^{m} \ra R^{n} \ra M \ra 0$$ Nach \ref{HMRR} sind die Homomorphismen $R^{m} \ra R^{n}$ genau die Multiplikationen von links mit $(n\times m)$-Matrizen mit Eintr"agen in $R$. Weiter "uberlegt man sich, da"s auch in dieser Situation die Verkn"upfung von Homomorphismen der Multiplikation von Matrizen entspricht. Bezeichnet nun $A$ die Matrix unserer Abbildung $R^{m} \ra R^{n}$ und w"ahlen wir $P$ und $Q$ wie im Elementarteilersatz oder vielmehr dem Beginn seines Beweises, so ergibt sich ein kommutatives Diagramm von $R$-Moduln $$ \xymatrix{ R^m \ar[r]^{A\circ} &R^n \ar[d]_{P\circ}^{\wr}\\ R^m \ar[u]_{\wr}^{Q\circ} \ar[r]^{D\circ}& R^n }$$ f"ur eine nicht notwendigerweise quadratische Diagonalmatrix $D$ mit Eintr"agen $d_1| d_2| \ldots | d_r$ f"ur $r = \op{min} (m,n)$. Bilden wir nun andererseits das Produkt der exakten Sequenzen $R \stackrel{d_i}{\ra}R \ra R /\langle d_i\rangle \ra 0$ f"ur $1\leq i\leq r$ mit $m-r$ Kopien der exakten Sequenzen $R \ra 0\ra 0 \ra 0$ im Fall $m>n$ beziehungsweise $n-r$ Kopien der exakten Sequenzen $0\ra R \stackrel{\op{id}}{\ra}R \ra 0$ im Fall $n>m$, so erhalten wir mit \eref{PexA}{LA2} die untere Horizontale in einem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen $$ \xymatrix{ R ^m \ar[r]^{A\circ} & R ^n \ar[d]_{P\circ}^{\wr}\ar[r] & M\ar[r]&0\ar[d]\\ R ^m \ar[u]_{\wr}^{Q\circ} \ar[r]^{D\circ}& R ^n \ar[r] & R /\langle d_1 \rangle \times \ldots \times R /\langle d_r \rangle \times R ^{n-r} \ar[r]&0 }$$ Damit liefert \eref{QRET}{LA2} oder vielmehr eine offensichtliche Variante dieses Resultats f"ur Moduln einen Isomorphismus $M\sira R /\langle d_1 \rangle \times \ldots \times R /\langle d_r \rangle \times R ^{n-r}$. % Dieses Diagramm liefert einen % Isomorphismus zwischen $G$ und dem Quotienten von $\Bbb{Z}^n$ nach dem % Bild der unteren Horizontalen: In der Tat ist ja nach Konstruktion und % \ref{ISa} die Gruppe $G$ isomorph zum Quotienten % von $\Bbb{Z}^n$ nach dem % Bild der oberen Horizontalen, und einen Isomorphismus zwischen % diesen beiden Quotienten liefert etwa \ref{unin}. % Der Quotient nach dem % Bild der unteren Horizontalen % ist nun aber offensichtlich isomorph zu % $$\Bbb{Z}/d_1 \Bbb{Z} \times \ldots \times \Bbb{Z}/d_r \Bbb{Z} \times % \Bbb{Z}^{n-r}$$ Lassen wir von unserer Folge $d_1 | d_2 | \ldots | d_r$ alle Einheiten vorne weg und erg"anzen am Ende $(n-r)$ Nullen und drehen die Nummerierung um, so erhalten wir eine Folge $a_{s}| \ldots| a_{1}$ derart, da"s die von ihren Gliedern erzeugten Ideale eine Kette bilden wie im Satz \ref{KIK} gefordert, und die Existenz dort ist gezeigt. Um die Eindeutigkeit zu zeigen bemerken wir, da"s f"ur jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und jedes irreduzible Element $p$ und alle $n \geq 1$ der Quotient $p^{n-1}M/p^{n} M$ nach \ref{MQR} % und \ref{ee} ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber dem Restklassenring $R/\langle p\rangle$ ist, der hinwiederum nach \eref{Ubb}{AL} ein K"orper sein mu"s. Wir notieren seine Dimension $$D^n_p (M)\pdef \op{dim}_{R/\langle p\rangle}(p^{n-1}M/p^{n} M)$$ Man folgert unmittelbar $D^n_p (M\times N)=D^n_p (M)+D^n_p (N)$ f"ur je zwei endlich erzeugte $R$-Moduln $M$ und $N$. F"ur zyklische $R$-Moduln $M \cong R /aR $ behaupten wir nun $$\begin{array}{ccc} D^n_p ( R /a R ) &=& \left\{ \begin{array}{cl} 1 & p^{n} \text{ teilt } a;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array}\right. \end{array}$$ In der Tat ist das klar f"ur $a=p^m$, f"ur $a$ teilerfremd zu $p$ ist es eh klar, und mit dem chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL} folgt es im allgemeinen. F"ur eine Zerlegung $M \cong R/\langle d_{1}\rangle \times \ldots \times R/\langle d_{s}\rangle$ wie in \ref{KIK} finden wir also $$D^n_p ( M )=|\{i\mid p^{n}\text{ teilt }d_i\}|$$ Die Zahl der Nullen unter unseren $d_i$ wird damit f"ur jedes $p$ gegeben durch die Formel $|\{i\mid d_i=0\}|=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M )$, und welche Potenz von jedem irreduziblen Element $p$ in jedem von Null verschiedenen $d_i$ stecken mu"s, kann man an den Zahlen $D^n_p(M)$ auch ablesen. Folglich h"angen die Ideale $\langle d_i\rangle$ nur von $M$ und nicht von der gew"ahlten Zerlegung ab. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis von \ref{zk}] % Die Existenz folgt aus \ref{ek} mit dem Chinesischen Restsatz \ref{CR}. % Die Eindeutigkeit erkennt man, indem man sich "uberlegt, da"s % verschiedene Folgen $a_1 |a_2|\ldots| a_s$ auch zu verschiedenen % Produkten wie in \ref{zk} f"uhren. Genauer kann man $a_1$ beschreiben % als das Produkt der jeweils h"ochsten Primzahlpotenzen f"ur alle % vorkommenden Primzahlen, $a_2$ % als das Produkt der jeweils zweith"ochsten und so weiter, % bis am Ende die Zahl der Nullen gerade die Zahl der Faktoren % $\DZ$ in der Zerlegung \ref{zk} sein mu"s. % \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{NFF}] Aus \ref{KIK} folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem wir im Fall $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d_i$ von $\frak{a}_{i}$ als Produkt von paarweise teilerfremden Primpotenzen $d_i = q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und mit dem chinesischen Restsatz zerlegen $$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$ F"ur die Eindeutigkeit argumentieren wir wie im vorhergehenden Beweis: F"ur $M \cong R^{r} \times R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{t}R$ wie in \ref{NFF} finden wir diesmal $$D^n_p ( M )=r+ |\{i\mid p^{n}\text{ teilt }q_i\}|$$ Wenden wir diese Erkenntnis an auf alle irreduziblen Elemente $p$, so folgt die im Satz behauptete Eindeutigkeit ohne weitere Schwierigkeiten: Die Zahl der Primpotenzen $q_i$, die bis auf eine Einheit $p^n$ sind, mu"s n"amlich bei jeder Zerlegung gerade $D^{n}_p ( M )-D^{n+1}_p ( M )$ sein, und den Rang $r$ des freien Anteils k"onnen wir als die auch von allen Wahlen unabh"angige Zahl $r=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M )$ beschreiben, f"ur jedes irreduzible Element $p$. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis der beiden S"atze] % Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit im zweiten Satz % und zeigen zun"achst die Eindeutigkeit von $s$. % Sei $Q=\op{Quot} R$ der Quotientenk"orper von $R$. % Wir behaupten % $$ s = \dim_{Q} \op{Hom}_{R} (M,Q),$$ % wo wir f"ur jeden $R$-Modul $M$ den Raum $\op{Hom}_{R} (M,Q)$ % als Untervektorraum auffassen im Raum aller Abbildungen von $M$ nach $Q$. % Nach den allgemeinen Eigenschaften der direkten Summe gilt in der Tat % $$\op{Hom}_{R} (M,Q)=\op{Hom}_{R} (R/q_{1}R,Q) % \times \ldots \times \op{Hom}_{R}(R/q_{t}R,Q) \times % \op{Hom}_{R}(R,Q)^{s}$$ % Nach \ref{RHO} gilt $\op{Hom}_{R}(R,Q)\cong Q$ % und wir m"ussen nur noch zeigen, % da"s gilt % $\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=0$ f"ur jedes % von Null verschiedene Ideal $\frak{a} \subset R$. % In der Tat k"onnen wir aber diesen Raum identifizieren als % $$\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=\{ f \in \op{Hom}_{R} (R,Q) % \mid f|_\frak{a} =0\}$$ % und da jeder von Null verschiedene $R$-Modulhomomorphismus $f: R % \ra Q$ injektiv ist, kann nur Nullabildung auf einem von Null % verschiedenen Ideal verschwinden. Das zeigt die Eindeutigkeit von $s$. % Um auch die Eindeutigkeit der auftauchenden Primpotenzen zu zeigen, % betrachten wir f"ur $n\geq 1$ und jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und % jedes irreduzible Element $p\in R$ den K"orper $R/pR$ und die nat"urlichen % Zahlen % $$d^n_p(M)=\dim_{R/pR} (p^{n-1}M/p^{n}M)$$ % Sie haben die folgenden Eigenschaften: % \begin{enumerate} % \item % $d^n_p(M\oplus N)=d^n_p(M)+d^n_p(N)$ f"ur alle $p$ und $n$ % und $N$ auch endlich erzeugt. % \item % $d^n_p(R)=1$ f"ur alle $p$ und $n$. % \item % Ist $\pi$ ein weiteres irreduzibles Element von $R$, so gilt % $$d^n_p(R/\pi^mR)=\left\{\begin{array}{ll} % 1&\pi\in R^\times p,\;m\leq n;\\ % 0&\text{sonst.}\end{array}\right$. $ % \end{enumerate} % Hier ist die erste Eigenschaft offensichtlich. % F"ur $\pi=p$ induziert die Multiplikation mit $p^{n-1}$ % Isomorphismen $R/pR\sira p^{n-1}R/p^{n}R$, und das % zeigt 2 sowie in 3 alle F"alle mit $\pi\in R^\times p$. % Im verbleibenden Fall $\pi\not\in R^\times p$ % ist die Restklasse von $p$ eine Einheit in $R/\pi^m R$ % und das zeigt $d^n_p(R/\pi^m R)=0$ f"ur alle $m$. % Damit erhalten wir f"ur jedes irreduzible $p \in R$ und $n \geq 1$ % die Formel % $$d^n_p(M) = s +\# \{ i \mid p^{n} \text{ % teilt } q_{i}\},$$ % und das zeigt die Eindeutigkeit der $q_{i}$ bis auf % Reihenfolge und Einheiten. % Als n"achstes zeigen wir die Existenz im ersten Satz. % Sei also $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Sicher finden wir % eine Surjektion % $p:R^{m} {\twoheadrightarrow} M$. Da $R$ noethersch ist, % ist $\ker p$ auch endlich erzeugt und wir finden eine Surjektion % $f:R^{n} {\twoheadrightarrow} \ker p$. % Jetzt fassen wir $f$ auf als eine Abbildung $f: R^{n} \ra R^{m}$ % und haben $M \cong R^{m} / \op{im} f$. % Nach Satz \ref{ES} finden wir aber $X,Y$ invertierbar und $D$ % diagonal derart, da"s das Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % R^{n} & \overset{f}{\longrightarrow} & R^{m}\\ % X \uparrow \;\;\;\;& & \;\;\downarrow Y\\ % R^{n} & \overset{D}{\longrightarrow} & R^{m} % \end{array}$$ % kommutiert, und k"onnen f"ur die Diagonaleintr"age von $D$ sogar % $d_{11}|d_{22}|\ldots | d_{rr}$ erreichen mit $r = \min (m,n)$. % Es folgt % $$\begin{array}{ccl} % M & \cong & R^{m}/\op{im} D\\ % & \cong & R/d_{11}R \times \ldots \times R/d_{rr}R \times R^{m-r} % \end{array}$$ % In dieser Darstellung d"urfen wir die Terme mit $d_{ii} \in R^{\times}$ % weglassen und erhalten so die Existenzaussage in Satz \ref{KIK}. % Daraus folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem % wir im Fall $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d$ von $\frak{a}_{i}$ % als Produkt von paarweise teilerfremden Primpotenzen $d = % q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und mit dem chinesischen Restsatz % zerlegen % $$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$ % Umgekehrt zeigt die bereits bewiesene Eindeutigkeit in Satz % \ref{NFF} auch die behauptete Eindeutigkeit in Satz \ref{KIK}, wir % haben notwendig $\frak{a}_{1} = \ldots = \frak{a}_{s} =0$, dann ist % $\frak{a}_{s+1}$ erzeugt vom Produkt der jeweils gr"o"sten unter den $q_{i}$ % vorkommenden Potenzen der verschiedenen Primelemente, und so % weiter. % \end{proof} \begin{Korollar}[\defind{Jordan'sche Normalform}] Seien $k$ ein algebraisch abgeschlossenen K"orper, $V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und\label{JNF} $A : V \ra V$ eine lineare Abbildung. So gibt es eine Basis von $V$ derart, da"s die Matrix von $A$ bez"uglich dieser Basis blockdiagonal ist, wobei die Bl"ocke konstant sind auf der Diagonale, konstant Eins auf der ersten oberen Nebendiagonale, und Null an allen anderen Stellen. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Das ist genau unser Satz \eref{JNFa}{LA2} aus der linearen Algebra, der hier also ein weiteres Mal bewiesen wird. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Mithilfe von \ref{KX} fassen wir $V$ als Modul "uber dem Polynomring $k[T]$ auf und mit \ref{NFF} finden wir einen Isomorphismus von $k[T]$-Moduln $$V \cong k [T]/\langle(T-\lambda_{1})^{n_{1}}\rangle \times \ldots \times k[T]/\langle(T-\lambda_{t})^{n_{t}}\rangle$$ W"ahlen wir auf der rechten Seite im Summanden $k [T]/\langle(T-\lambda)^{n}\rangle$ als angeordnete Basis die Nebenklassen von $ {(T-\lambda)}^{n-1}, \ldots, {(T-\lambda)}$ und $1$, so erh"alt man die Matrix der Multiplikation mit $T$, indem man zun"achst die Matrix der Multiplikation mit $(T-\lambda)$ berechnet und dann die Diagonalmatrix $\lambda I$ addiert. So erkennt man dann leicht, da"s die Matrix der Multiplikation mit $T$ die gew"unschte Form hat. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Auf "ahnliche Weise erh"alt man auch Normalformen f"ur die Matrizen von Endomorphismen "uber nicht notwendig algebraisch abgeschlossenen K"orpern, wie in den folgenden "Ubungen ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konjugationsklassen quadratischer Matrizen}] Sei $k$ ein K"orper. Offensichtlich liefert das Einsetzen von Matrizen in Polynome eine Bijektion\label{KqM} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c}\text{Konjugationsklassen}\\ \text{in } \op{Mat}(n;k) \end{array} \right\} &\sira &\left\{ \begin{array}{c}\text{Isomorphieklassen}\\ \text{$n$-dimensionaler $ k [T]$-Moduln} \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} Nach der Klassifikation endlich erzeugter Moduln "uber Hauptidealringen \ref{NFF} werden weiter die Isomorphieklassen endlichdimensionaler $k[T]$-Moduln klassifiziert durch endliche Multimengen von echten Potenzen normierter irreduzibler Polynome in $k[T]$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMNWF}\\[4mm] \noindent Illustration zu \ref{WNF} \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man gebe ein Vertretersystem f"ur die Konjugationsklassen in der Menge der quadratischen reellen Matrizen $\op{Mat}(2;\DR)$ an. Man gebe ein Vertretersystem f"ur die Konjugationsklassen in der Gruppe $\op{SL}(2;\DR)$ an. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{WNF} Jedes normierte Polynom $P\in k[T]$ ist bis auf Vorzeichen das charakteristische Polynom der $k$-linearen Abbildung $$(T\cdot):k[T]/\langle P\rangle\ra k[T]/\langle P\rangle$$ Hat unser Polynom die Gestalt $P=T^n+a_{n-1}T^{n-1}+\ldots+a_{1}T+a_0$, so bilden die Nebenklassen von $1,T,\ldots,T^{n-1}$ eine angeordnete Basis des Quotienten, und in Bezug auf diese Basis hat die durch Multiplikation mit $T$ gegebene $k$-lineare Abbildung die in nebenstehender Abbildung angegebene Matrix. Hinweis: Eine Methode ist die explizite Berechnung mithilfe der Determinante. Alternativ mag man $k$ algebraisch abgeschlossen annehmen und sich mithilfe des chinesischen Restsatzes auf den Fall zur"uckziehen, da"s $P$ eine Potenz eines linearen Polynoms ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Charakteristisches Polynom eines $k[T]$-Moduls}] Sei ein Endomorphismus\label{KEC} $A:V\ra V$ eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem K"orper $k$ gegeben. Man zeige: Genau dann hat $A$ das charakteristische Polynom $P$, wenn es eine Faktorisierung $P=Q_1\ldots Q_r$ gibt derart, da"s der $(V,A)$ entsprechende $k[T]$-Modul isomorph ist zu $$k[T]/\langle Q_1\rangle\times\ldots\times k[T]/\langle Q_r\rangle$$ Man nutze diese Erkenntnis, um einen alternativen Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton \eref{CaHa}{LA1} zu geben. Hinweis: Man verwende \ref{WNF} und \ref{KIK} oder \ref{NFF}. In anderen Worten kann das Aufmultiplizieren einer endlichen Multimenge von normierten Polynomen demnach geschrieben werden als die Verkn"upfung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} _\mu\{ Q_1, \ldots , Q_r\} &\in &\left\{ \begin{array}{c}\text{endliche Multimengen}\\ \text{von Polynomen aus } k [T]\backslash 0 \end{array} \right\}\\ \da&&\da\\ k [T]/ \langle Q_1\rangle \times \ldots \times k [T]/ \langle Q_r \rangle & \in & \left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\ k[T]\text{-Moduln} \end{array} \right\}\\ & & \downarrow\\ (V,A)&\in&\left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\ k\text{-Vektorr"aume }V\\ \text{mit Endomorphismus} \end{array} \right\} \\ \da&&\da\\ (-1)^{\op{dim}V}\chi_A & \in & k [T] \end{array} \end{displaymath} mit unserer Entsprechung $M\mapsto (M,(T\cdot))$ aus \ref{KX} als mittlerem Pfeil. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Genau dann liefert $(V,A)$ einen $ k[T]$-Modul, der isomorph ist zu $k[T]/\langle P\rangle$ f"ur ein Polynom $P\in k[T]$, wenn es einen Vektor $v\in V$ gibt derart, da"s die $A^iv$ den Vektorraum $V$ erzeugen. Ein derartiger Vektor hei"st auch ein {\bf zyklischer Vektor}.\index{zyklisch!Vektor!eines Endomorphismus} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Kommen im charakteristischen Polynom $\chi_A$ von $A$ keine $k$-irreduziblen Faktoren mehrfach vor, so liefert $(V,A)$ einen $ k[T]$-Modul, der isomorph ist zu $k[T]/\langle \chi_A\rangle$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Mit dem Elementarteilersatz zur Jordan'schen Normalform}] Sei $A\in\op{Mat}(n\times n;k)$ eine quadratische Matrix mit Koeffizienten in einem Ring. So liefert die offensichtliche Einbettung $k^n\hra k[T]^n$ gefolgt von der Projektion auf den Kokern von $(A-T{\op{I}})$ einen Isomorphismus von $k$-Rechtsmoduln $$k^n \sira \op{cok}\big((A-T{\op{I}}): k[T]^n\ra k[T]^n\big)$$ und der durch Multiplikation von rechts mit $T$ gegebene $k$-lineare Endomorphismus des Kokerns entspricht unter diesem Isomorphismus dem Morphismus $(A\cdot): k^n\ra k^n$ links. Ist speziell $k$ ein K"orper, so liefern die Elementarteiler der Matrix von Polynomen $(A-T{\op{I}})$ eine Beschreibung des $k[T]$-Moduls $k^n$, der durch Einsetzen von $A$ f"ur $T$ entsteht. Die Bestimmung der Elementarteiler ist algorithmisch gut machbar. Zum Erreichen der Jordan'schen Normalform oder verwandter Normalformen w"are jedoch zus"atzlich die Zerlegung der Elementarteiler in irreduzible Faktoren zu leisten, die im allgemeinen algorithmisch schwierig ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $F\supset U$ ein endlich erzeugter freier Modul "uber einem Hauptidealring $R$ mit einem Untermodul\label{UMH} gibt es stets eine Basis $f_1,\ldots,f_n$ von $F$ und $0\leq r\leq n$ und $d_1|d_2|\ldots |d_r$ in $R$ derart, da"s die $d_if_i$ eine Basis von $U$ bilden. In Worten gibt es also insbesondere eine Basis von $F$ derart, da"s geeignete Vielfache der Basisvektoren unseren Untermodul erzeugen. Ist $F$ nicht endlich erzeugt, so ist das nicht mehr richtig. Zwar ist jeder Untermodul von $F$ frei nach \eref{UFF}{TS}, aber wenn wir eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $U\hra F\sra \DQ$ betrachten mit $F$ und dann auch $U$ frei, so ist klar, da"s $F$ keine derartige Basis haben kann. \end{Ubung} \subsection{Tensorprodukte "uber Kringen} \begin{Bemerkungl} So wie wir es bei Vektorr"aumen alias Moduln "uber K"orpern in \eref{DefT}{LA2} im zweiten Beweis gesehen hatten, erkl"art man auch f"ur Moduln $M_1,\ldots,M_r$ "uber einem Kring $K$ multilineare Abbildungen und universelle multilineare Abbildungen und zeigt, da"s sie im wesentlichen eindeutig sind und existieren. Man verwendet f"ur universelle multilineare Abbildungen die Notation $$\begin{array}{ccc} M_1\times \ldots\times M_r&\ra& M_1\otimes \ldots\otimes M_r\\ (m_1, \ldots, m_r)&\mapsto & m_1\otimes \ldots\otimes m_r \end{array}$$ beziehungsweise im Fall $r=0$ "ublicherweise $\op{ens}\ra K$, $\ast\mapsto 1$. Wenn man den Grundring pr"azisieren will, schreibt man $\otimes_K$.\label{tpK} Wie in \eref{HaII}{LA2} konstruiert man auch einen Isomorphismus von $K$-Moduln $$\op{Hom}(M,\op{Hom}(N,L))\sira \op{Hom}(M\otimes N,L)$$ In der Tat sind beide Seiten in offensichtlicher Weise in Bijektion zur Menge $\op{Hom}^{(2)}(M\times N,L)$ aller $K$-bilinearen Abbildungen $M\times N\ra L$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Es gilt $(\DZ/5\DZ)\otimes_\DZ\DQ=0$, denn wir haben f"ur jeden Tensor $a\otimes q=a\otimes 5(q/5)=5a\otimes(q/5) =0\otimes(q/5)=0$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Um pr"azise zu formulieren, was man salopp die \glqq Asoziativit"at, Kommutativit"at und Unitarit"at des Tensorprodukts "uber einem Kring\grqq\ nennen man, erinnere ich an die Multiverkn"upfung multilinearer Abbildungen, wie wir sie in \eref{MMA}{LA2} im Fall von K"orpern formuliert hatten. Die pr"azise Aussage ist dann, da"s jede Multiverkn"upfung universeller multilinearer Abbildungen auch selbst wieder universell ist. Das hinwiederum folgt leicht, wenn man nachweist, da"s das entsprechende Vorschalten stets eine Bijektion $$\begin{array}{c}\op{Hom}_K^{(1+s)}((M_1\otimes\ldots\otimes M_r)\times N_1\times \ldots\times N_s,L)\\ \da\wr\\ \op{Hom}_K^{(r+s)}(M_1\times\ldots\times M_r\times N_1\times \ldots\times N_s,L) \end{array} $$ induziert. Das aber sehen wir unschwer, indem wir beide Seiten "ahnlich wie zuvor mit $\op{Hom}_K^{(r)}(M_1\times\ldots\times M_r, \op{Hom}_K^{(s)}( N_1\times \ldots\times N_s,L))$ identifizieren. Zum Beispiel entsteht durch Multiverkn"upfung der universellen bilinearen Abbildung $M\times N\ra M\otimes N$ mit der universellen bilinearen Abbildung $(M\otimes N)\times L\ra (M\otimes N)\otimes L$ die trilineare Abbildung $M\times N\times L\ra (M\otimes N)\otimes L$ mit $(m,n,l)\mapsto (m\otimes n)\otimes l$, die nach unseren Erkenntnissen auch wieder universell sein mu"s, so da"s wir einen eindeutig bestimmten Isomorphismus $$M\otimes N\otimes L\sira (M\otimes N)\otimes L$$ erhalten mit der Eigenschaft $m\otimes n\otimes l\mapsto (m\otimes n)\otimes l$. Oder als zweites Beispiel entsteht durch Multiverkn"upfung der universellen bilinearen Abbildung $M\times K\ra M\otimes K$ mit der universellen nulllinearen Abbildung $\op{ens}\ra K$ gegeben durch $\ast\mapsto 1$ die lineare Abbildung $M\ra M\otimes K$ mit $m\mapsto m\otimes 1$. Sie ist folglich auch universell alias ein Isomorphismus\label{TGR} $$M\sira M\otimes K$$ In derselben Weise folgt bei einem etwas sorgf"altigeren Ausformulieren des Konzepts einer Multiverkn"upfung wie in \eref{MuliV}{LA2} oder auch direkt, da"s es genau einen Morphismus $M\otimes N\ra N\otimes M$ gibt mit $m\otimes n\mapsto n\otimes m$ f"ur alle $m\in M, n\in N$ und da"s wir so einen Isomorphismus $$M\otimes N\sira N\otimes M$$ erhalten. Er hei"st der {\bf Vertauschungsisomorphismus}.\index{Vertauschungsisomorphismus} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at des Tensorprodukts}] Sei $K$ ein Kring. Aufgrund der universellen Eigenschaft liefern je zwei $K$-lineare Abbildungen $f : M \ra M^{\prime}$ und $g : N \ra N^{\prime}$ von $K$-Moduln eine $K$-lineare Abbildung $f\otimes g: M\otimes_{K} N \ra M^{\prime}\otimes_{K}N^{\prime}$, $m\otimes n \mapsto f(m) \otimes g(n)$, und wir erhalten so einen Funktor $$\begin{array}{ccc} \op{Mod}_K\times \op{Mod}_K & \ra & \op{Mod}_K\\ (M \quad , \quad N) &\mapsto & M\otimes_{K} N \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Tensorprodukte vertauschen mit Summen}] Gegeben ein Kring $K$ liefert die offensichtliche Abbildung\label{DST} f"ur jeden $K$-Modul $M$ und eine beliebige Familie von $K$-Moduln $(N_i)$ einen Isomorphismus $$M \otimes_{K} \left(\bigoplus N_{i}\right) \sira \bigoplus (M\otimes_{K} N_{i})$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In der Tat haben wir sowohl f"ur die linke als auch f"ur die rechte Seite $S$ offensichtliche bilineare Abbildungen $\op{can}_{i}: M\times N_{i} \ra S$ und diese sind universell: Ist irgendeine abelsche Gruppe $A$ gegeben und eine Familie von bilinearen Abbildungen $b_{i}: M\times N_{i}\ra A$, so gibt es jeweils genau einen Gruppenhomomorphismus $\tilde{b} : S \ra A$ mit $b_{i} = \tilde{b} \circ \op{can}_{i}$. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir haben $(\DZ/5\DZ)\otimes\DZ^7\cong (\DZ/5\DZ)^7$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine Sequenz $A^{\prime} \ra A \ra A^{\prime\prime}$ von abelschen Gruppen hei"st \defind{rechtsexakt}, wenn sie exakt ist bei $A$ und wenn zus"atzlich $A\ra A^{\prime\prime}$ eine Surjektion ist. Wir schreiben rechtsexakte Sequenzen meist $A^{\prime} \ra A \sra A^{\prime\prime}$. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Rechtsexaktheit des Tensorprodukts}] Ist $K$ ein Kring, $M$ ein \label{RAT} $K$-Modul und $N^{\prime} \ra N \twoheadrightarrow N^{\prime\prime}$ eine rechtsexakte Sequenz von $K$-Mo\-duln, so entsteht durch Darantensorieren von $M$ eine rechtsexakte Sequenz von $K$-Moduln $M \otimes_K N^{\prime} \ra M\otimes_K N \twoheadrightarrow M\otimes_K N^{\prime\prime}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da"s hier die Surjektivit"at erhalten bleibt und da"s die Verkn"upfung auch nach dem Tensorieren verschwindet, ist offensichtlich. Wir k"urzen f"ur den weiteren Beweis $\otimes_K=\otimes$ ab und haben also eine Surjektion $$\op{cok} (M\otimes N^{\prime} \ra M \otimes N)\twoheadrightarrow M\otimes N^{\prime\prime}$$ Wir m"ussen zeigen, da"s sie eine Injektion ist. Nun gibt es aber offensichtlich eine wohldefinierte $K$-bilineare Abbildung $M\times N^{\prime\prime} \ra \op{cok}$ mit $(m,\bar{n})\mapsto \overline{m\otimes n} $ f"ur alle $n\in N$. Sie induziert folglich eine Abbildung $M\otimes N^{\prime\prime}\ra \op{cok}$. Man sieht, da"s wir so eine inverse Abbildung zu unserer Surjektion $\op{cok} \twoheadrightarrow M \otimes N^{\prime\prime}$ erhalten. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Aufgrund der Tensor-Hom-Adjunktion \ref{UE0} ist $M\otimes_K$ linksadjungiert zu einem Funktor $\op{Ab}\ra\op{Mod}_K$. Mit \ref{res} folgt die Rechtsexaktheit. \end{proof} \begin{Beispiel} Wir erhalten $(\DZ/2\DZ)\otimes(\DZ/4\DZ) \cong \DZ/2\DZ$, indem wir die Sequenz $\DZ\hra \DZ\sra \DZ/2\DZ$ mit der Multiplikation $(2\cdot)$ als erster Abbildung tensorieren mit $\DZ/4\DZ$ und die Rechtsexaktheit des Tensorprodukts ausnutzen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Das Tensorprodukt ist im allgemeinen nicht linksexakt: Wendet man auf die Multiplikation $(2\cdot):\Bbb{Z} \hookrightarrow \Bbb{Z}$ den Funktor $\otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ an, so erh"alt man die Nullabbildung $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z} \ra \Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{TPFr} Tensorprodukte mit freien Moduln sind sogar exakt, machen also kurze exakte Sequenzen zu kurzen exakten Sequenzen. Das folgt leicht aus dem Vertauschen mir direkten Summen \ref{DST} und den Erkenntnissen zum Tensorieren mit dem Grundring \ref{TGR}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Modul "uber einem Kring hei"st {\bf flach}\index{flach!Modul}\label{flach}, wenn das Tensorieren mit besagtem Modul "uber besagtem Kring ein exakter Funktor ist, und {\bf treuflach}\index{treuflach!Modul}, wenn dar"uberhinaus das Darantensorieren von besagtem Modul keinen von Null verschiedenen Modul zu Null macht. Jeder freie Modul ist flach und jeder von Null verschiedene freie Modul ist treuflach. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Diese Definition ist ungew"ohnlich, weil \glqq alle Moduln\grqq\ gar keine Menge zu bilden brauchen. Da jedoch das Tensorprodukt mit filtierenden Kolimites vertauscht, kann man gleichbedeutend fordern, da"s f"ur jeden Untermodul eines endlich erzeugten Moduls die Einbettung unter dem Darantensorieren eine Injektion bleibt. F"ur diese Bedingung reicht es dann offensichtlich aus, sie auf einer Menge von Paaren aus Modul und Untermodul zu pr"ufen.\label{flnoe} \nichtfinal{(Achtung, hier gibt es noch keine filtrierenden Kolimites!)} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukt und Restklassenbildung}] Ist $K$ ein Kring, $M$ ein $K$-Modul, $\frak{m} \subset K$ ein Ideal alias ein Untermodul des $K$-Moduls $K$, und betrachten wir in $M$ den Untermodul $\frak{m} M \pdef\{\sum a_{i} m_{i} \mid a_{i} \in \frak{m}, m_{i}\in M\}$, so induziert die Multiplikation einen Isomorphismus $$(K/\frak{m}) \otimes_{K} M \sira M/\frak{m} M$$ In der Tat folgt das sofort, wenn wir auf die exakte Sequenz $\frak{m} \hookrightarrow K \twoheadrightarrow K/\frak{m}$ den Funktor $\otimes_{K} M$ anwenden.\label{TuR} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine abelsche Gruppe hei"st {\bf torsionsfrei},\index{torsionsfrei!abelsche Gruppe} wenn die Multiplikation mit jeder von Null verschiedenen ganzen Zahl auf unserer Gruppe eine Injektion induziert. Allgemeiner hei"st ein Modul "uber einem Ring {\bf torsionsfrei},\index{torsionsfrei!Modul} wenn die Multiplikation mit jedem von Null verschiedenen Ringelement auf unserem Modul eine Injektion induziert. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{Tex} Aus einer Injektion $N^{\prime} \hookrightarrow N$ von abelschen Gruppen entsteht durch Darantensorieren einer torsionsfreien abelschen Gruppe $M$ eine Injektion $M\otimes_{\Bbb{Z}}N^{\prime} \hra M\otimes_{\Bbb{Z}}N $. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Einen \hyperref[flach]{flachen} $\DZ$-Modul nenne ich auch eine {\bf flache abelsche Gruppe}.\index{flach!abelsche Gruppe} Jede torsionsfreie abelsche Gruppe ist nach Lemma \ref{Tex} also flach. Eine abelsche Gruppe ist sogar genau dann torsionsfrei, wenn sie flach ist. Ist in der Tat eine abelsche Gruppe $M$ nicht torsionsfrei, gibt es also $m\in M\backslash 0$ und $t\in\DZ$ mit $t\neq 0$ aber $tm=0$, so ist $ (t\cdot): \DZ \ra \DZ $ injektiv aber $(\op{id}_M\otimes (t\cdot)): M\otimes_{\Bbb{Z}}\DZ \ra M\otimes_{\Bbb{Z}}\DZ $ nicht injektiv und folglich ist $M$ nicht flach. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $M$ endlich erzeugt, so ist $M$ frei nach \eref{tt}{LA2} und das Lemma folgt aus \ref{DST}. Wir f"uhren nun den allgemeinen Fall darauf zur"uck. Jedes Element $t\in M\otimes_{\Bbb{Z}}N^{\prime}$ ist ja Bild eines $t_1\in M_1\otimes_{\Bbb{Z}}N^{\prime}$ f"ur eine geeignete endlich erzeugte Untergruppe $M_1\subset M$. Geht $t$ nach Null in $M\otimes_{\Bbb{Z}}N$, so auch in $M_2\otimes_{\Bbb{Z}}N$ f"ur eine geeignete endlich erzeugte Untergruppe $M_2\subset M$ mit $M_1\subset M_2$. Nach dem bereits behandelten Fall verschwindet damit $t_1$ schon in $M_2\otimes_{\Bbb{Z}}N'$ und erst recht in $M\otimes_{\Bbb{Z}}N'$ und es folgt $t=0$. \end{proof} \begin{Bemerkungw} In einer Sprache, die wir sp"ater einf"uhren werden, h"ort sich dieser Beweis so an: F"ur endlich erzeugte torsionsfreie Gruppen gilt das Lemma, da sie frei sind. Eine beliebige torsionsfreie Gruppe ist der filtrierende Kolimes ihrer endlich erzeugten Untergruppen, das Tensorprodukt kommutiert nach \eref{KLT}{TS} mit Kolimites, und filtrierende Kolimites exakter Sequenzen sind exakt nach \eref{EDL}{TS}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wohin?} Gegeben drei Kategorien $\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ mit \hyperref[additiv]{additiver Struktur} nennt man einen Funktor $F:\mathcal A\times \mathcal B\ra \mathcal C$ {\bf biadditiv},\index{biadditiv!Funktor} wenn er bilineare Abbildungen $$\mathcal A(A,A')\times \mathcal B(B,B')\ra \mathcal C(F(A,B),F(A',B'))$$ induziert. Unser Tensorfunktor ist ein typisches Beispiel. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{TBI}\nichtfinal{Wohin?} Sind $S,R$ Ringe, so versteht man unter einem $S$-$R$-\defind{Bimodul} eine abelsche Gruppe $M$ mit einer Struktur als $S$-Linksmodul und einer Struktur als $R$-Rechtsmodul derart, da"s gilt $$(sm)r = s(mr) \quad \forall s \in S, m \in M, r \in R$$ Wir notieren die Kategorie aller $S$-$R$-Bimoduln als $S\op{-Mod-} R$. Aufgrund seiner Funktorialit"at und Biadditivit"at ist das Tensorprodukt automatisch auch ein Funktor $$(S\op{-Mod-} R)\times (R\op{-Mod-} T) \ra (S \op{-Mod-} T)$$ f"ur beliebige Ringe $S,R,T$. Die Operation von $S$ beziehungsweise von $T$ geschieht dabei durch $s(m\otimes n) = (sm)\otimes n$, $(m\otimes n)t= m\otimes (nt)$. Ist speziell $R$ ein kommutativer Ring, so fallen die beiden $R$-Operationen auf dem Tensorprodukt, die von den Operationen von $R$ auf den beiden Tensorfaktoren herkommen, zusammen und das Tensorprodukt von zwei $R$-Moduln ist in nat"urlicher Weise wieder ein $R$-Modul. Diesen Fall lernt man oft zuerst kennen, wir haben ihn auch bereits in \ref{tpK} besprochen. \end{Bemerkungl} \subsection{Allgemeine Tensorprodukte*}\label{TPro} \begin{Definition} Seien $\Omega$ eine Menge und $M, N$ Mengenmoduln "uber $\Omega$ und $L$ eine abelsche Gruppe. Eine Abbildung $b: M\times N \ra L$ hei"se {\bf $\Omega$-balanciert},\index{balanciert!bei Moduln} wenn sie biadditiv ist und wenn gilt $$ b(\omega m ,n)= b(m, \omega n)\quad \forall m \in M, n \in N,\omega \in \Omega$$ F"ur die Menge aller biadditiven $\Omega$-balancierten Abbildungen $M\times N\ra L$ verwenden wir\label{bala} die Notation $\op{Bab}_\Omega(M\times N, L)$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Tensorprodukt von Mengenmoduln}] \begin{enumerate} \item Gegeben eine Menge $\Omega$ und $\Omega$-Moduln $M,N$ existiert ein Paar $(T,\tau)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe $T$ und einer biadditiven $\Omega$-balancierten Abbildung $\tau:M\times N\ra T$ derart, da"s f"ur jede weitere abelsche Gruppe $L$ das Vorschalten von $\tau$ eine Bijektion\label{TeKor1R} $$\op{Ab}(T,L) \;\stackrel{\op{\circ\tau}}{\sira}\; \op{Bab}_\Omega(M\times N, L)$$ zwischen der Menge aller Gruppenhomomorphismen $T\ra L$ und der Menge aller biadditiven $\Omega$-balancierten Abbildungen $M\times N\ra L$ induziert. Wir nennen $\tau$ eine \emph{\bf universelle biadditive $\Omega$-balancierte Abbildung}; \item Gegeben zwei universelle biadditive $\Omega$-balancierte Abbildungen\label{TeKor2R} $\tau:M\times N\ra T$ und $\sigma:M\times N\ra S$ existiert genau ein Gruppenhomomorphismus $c:T\ra S$ mit $c\circ\tau=\sigma $ und genau ein Gruppenhomomorphismus $d:S\ra T$ mit $ d\circ\sigma=\tau$. Des weiteren sind diese Homomorphismen $c$ und $d$ zueinander inverse Isomorphismen zwischen $T$ und $S$. \end{enumerate} \label{UET} \end{Satz} \begin{proof} Die Existenz und Eindeutigkeit des Homomorphismus $c$ in Teil 2 folgt sofort aus der universellen Eigenschaft von $(T,\tau)$, in der Notation von eben h"atten wir genauer $c=\hat\sigma$, und die Existenz und Eindeutigkeit von $d$ folgt ebenso aus der universellen Eigenschaft von $(S,\sigma)$. Schlie"slich gilt $(d\circ c)\circ\tau=\tau =\op{id}_T\circ \tau$ und damit folgt $d\circ c=\op{id}_T$ wieder nach der universellen Eigenschaft von $\tau$. Die Identit"at $c\circ d=\op{id}_S$ zeigt man genauso. Um die Existenz universeller balancierter Abbildungen zu zeigen, gehen wir von der universellen biadditiven Abbildung $M\times N\ra M\otimes_\DZ N$ aus, die wir bereits aus \ref{tpK} kennen, und erkl"aren $M\otimes_\Omega N$ als den Quotienten dieser abelschen Gruppe nach der von allen $\omega m\otimes n-m\otimes \omega n$ erzeugten Untergruppe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{DefTR} Unsere Paare sind nach Teil 2 \glqq eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq, wenn sie existieren. Insbesondere kommt es auf die genaue Konstruktion ebensowenig an wie auf die genaue Konstruktion der nat"urlichen oder der reellen Zahlen. Solch eine universelle biadditive $\Omega$-balancierte Abbildung $\tau: M\times N\ra T$ verdient damit den bestimmten Artikel. Man nennt $T$ das {\bf Tensorprodukt von $M$ und $N$ "uber $\Omega$} und notiert es\index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!von Mengenmoduln} $$T=M\otimes_\Omega N$$ Die universelle biadditive balancierte Abbildung notieren wir $\tau: (m,n)\mapsto m\otimes n$. Aufgrund der universellen Eigenschaft erhalten wir auf diese Weise sogar einen Funktor $$\begin{array}{ccc} \op{Mod}_\Omega\times \op{Mod}_\Omega & \ra & \op{Ab}\\ (M \quad , \quad N) &\mapsto & M\otimes_{\Omega} N \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensor-Hom-Adjunktion}] Gegeben $\Omega$-Mengenmoduln $M,N$ und eine abelsche Gruppe $L$ erhalten wir offensichtliche Bijektionen\label{THAa} $$\op{Ab}(M\otimes_\Omega N,L)\sira \op{Bab}_\Omega (M\times N,L)\sila \op{Hom}_\Omega(M,\op{Hom}_\DZ(N,L))$$ mit der Ma"sgabe, da"s die Operation von $\Omega$ auf der abelschen Gruppe $\op{Hom}_\DZ(N,L)$ die von der Operation auf $N$ induzierte sein soll. Die durch die Verkn"upfung unserer Bijektionen gegebenen Bijektionen bilden eine Adjunktion $$(\otimes_\Omega N, \op{Hom}_\DZ(N,\;))$$ von Funktoren zwischen $\op{Mod}_\Omega$ und $\op{Ab}$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Aufr"aumen. Sollte $\op{Ab}_\Omega$ die Kategorie der $\Omega$-Mengenmoduln bezeichnen? } \begin{Bemerkungl} Als Linksadjungierter vertauscht $\otimes_\Omega N$ mit Koprodukten und ist rechts\-exakt, ja vertauscht mit beliebigen Kolimites. Insbesondere ist er ein additiver Funktor nach \eref{addiF}{TG}. Man kann Beweise f"ur diese Behauptungen in diesem Fall aber auch leicht elementar ausschreiben wie in \ref{DST} und \ref{RAT}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jede spaltende kurze exakte Sequenz von $\Omega$-Moduln $M'\hra M\sra M''$ induziert, da $\otimes_{\Omega}N$ ein additiver Funktor ist, eine spaltende kurze exakte Sequenz\label{spkt} $M'\otimes_{\Omega}N\hra M\otimes_{\Omega}N\sra M''\otimes_{\Omega}N$. Ist speziell $e$ ein idempotenter Endomorphismus des $\Omega$-Moduls $M$, so induziert die offensichtliche Abbildung $(eM)\otimes_\Omega N\ra M\otimes_\Omega N$ einen Isomorphismus $$(eM)\otimes_\Omega N\sira e(M\otimes_\Omega N)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Tensorieren eines Ringmoduls mit seinem Ring}] Ist $R$ ein Ring und $M\in R\op{-Mod}$ ein $R$-Modul, so ist die Multiplikation $\op{mult}: R\times M\ra M$ eine universelle $R$-balancierte Abbildung f"ur die Operation von $R$ auf sich selbst durch Multiplikation von rechts. Ist in der Tat $\varphi:R\times M\ra A$ irgendeine $R$-balancierte Abbildung, so faktorisiert sie als $\varphi=\hat\varphi\circ\op{mult}$ mit $\hat\varphi(m)=\psi(1,m)$ und das ist auch offensichtlich die einzig m"ogliche derartige Faktorisierung. Die Abbildung $m\mapsto 1\otimes m$ induziert also einen Isomorphismus\label{TMG} $$M\sira R\otimes_RM$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Tensorieren bei vielen Idempotenten}] Seien $R$ eine $\DZ$-Algebra und $J\subset R$ eine Menge von paarweise kommutierenden Idempotenten derart, da"s es f"ur jedes $r\in R$ ein $e\in J$ gibt mit $er=r$ und f"ur je zwei $e,f\in J$ ein $g\in J$ gibt mit $e=eg$ und $f=fg$. Ist nun $M$ ein $R$-Assoziativmodul und gibt es f"ur alle $m\in M$ ein $e\in J$ mit $em=m$, so ist die Multiplikation eine universelle balancierte Abbildung $\op{mult}:R\times M\ra M$ in Bezug auf die Rechtsoperation von $R$ auf sich selber und induziert mithin einen Isomorphismus $$R\otimes_R M\sira M$$ Ist in der Tat $\varphi: R\times M\ra A$ eine balancierte Abbildung in eine abelsche Gruppe und ist $m\in M$ gegeben, so folgt f"ur je zwei $e,f\in J$ mit $em=m$ und $fm=m$ durch Wahl eines $g\in J$ mit $eg=e$ und $fg=f$ wegen $m=em=egm=gem=gm$ und analog f"ur $f$ bereits $$\varphi(e, m)= \varphi(g, m)=\varphi(f, m)$$ Diesen gemeinsamen Wert nehmen wir als $\hat\varphi(m)$ und erhalten so $\hat\varphi:M\ra A$. Gegeben $r\in R$ und $m\in M$ finden wir $e\in J$ mit $er=r$ und folgern $$\varphi(r,m)= \varphi(er,m)=\varphi(e,rm)=\hat\varphi(rm)$$ wegen $erm=rm$. Es gilt also $\hat\varphi\circ\op{mult}=\varphi$. Da"s es kein anderes $\hat\varphi$ mit dieser Eigenschaft geben kann, ist eh klar. Mithin ist die Multiplikation $R\times M\ra M$ in die abelsche Gruppe $M$ unter den getroffenen Annahmen in der Tat eine universelle balancierte Abbildung. Nach \ref{spkt} liefert dann die Multiplikation auch f"ur jedes idempotente Element $h\in R$ einen Isomorphismus\label{TvI} $$(hR)\otimes_RM\sira hM$$ Ist $R$ ein Ring, so ist offensichlich $J=\{1\}$ eine Menge von Idempotenten mit den fraglichen Eigenschaften in Bezug auf jeden Modul und wir erhalten das Tensorieren eines Moduls mit seinem Ring \ref{TMG} als Spezialfall. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Tensorieren graduierter Moduln "uber graduierten Ringen}] Seien $\Gamma$ eine abelsche Gruppe und $R$ eine $\Gamma$-graduierte $\DZ$-Algebra und $M, N$ jeweils ein $\Gamma$-graduierter $R$-Assoziativmodul von rechts beziehungsweise von links.\label{TgM} So besitzt das Tensorprodukt $M\otimes_R N$ genau eine $\Gamma$-Graduierung derart, da"s die universelle $R$-balancierte biadditive Abbildung $M\times N\ra M\otimes_R N$ graduierungsvertr"aglich ist. In der Tat ist eine biadditive Abbildung $R$-balanciert genau dann, wenn sie $\Omega$-balanciert ist f"ur $\Omega\subset R$ die Menge der homogenen Elemente von $R$. Die Konstruktion von $M\otimes_{\Omega}N$ zeigt dann, da"s der Kern der Surjektion $M\otimes_\DZ N\sra M\otimes_{\Omega}N$ eine homogene Untergruppe ist. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Genau dann besteht eine abelsche Gruppe $M$ nur aus Elementen endlicher Ordnung, wenn gilt $M\otimes_\DZ\DQ=0$. Im Rahmen der kommutativen Algebra erweist sich das im Lichte der Beschreibung \ref{TenL} der Lokalisierung eines Moduls als Tensorprodukt mit dem lokalisierten Kring als ein Spezialfall der Beschreibung des Kerns \ref{kerLo} der Abbildung eines Moduls in seine Lokalisierung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $\varphi:A\ra B$ ein Kringhomomorphismus und seien $B$-Moduln $M,N$ gegeben. Wird\label{ETT} $B$ als Ring erzeugt vom Bild $\varphi(A)$ von $A$ mitsamt den Inversen der Elemente aus $\varphi(A)\cap B^\times$, so ist der offensichtliche Morphismus %ist in vereinfachter Notation\label{ruTE} ein Isomorphismus $$ M\otimes_{A} N\sira M \otimes_{B} N$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} In der Kategorie der Kringe ist\label{TPRR} \begin{displaymath} \xymatrix{ C\ar[d]\ar[r] &A\ar[d]\\ B \ar[r]& A\otimes_CB } \end{displaymath} f"ur beliebige Kringhomomorphismen $C\ra A$ und $C\ra B$ und die offensichtlichen weiteren Kringhomomorphismen stets ein Pushout. Ist die linke Vertikale flach, so auch die rechte Vertikale in den Pushout. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $N^{\prime} \hookrightarrow N \twoheadrightarrow N^{\prime\prime}$ eine spaltende kurze exakte Sequenz von $\Omega$-Moduln, so bleibt die Sequenz exakt unter $M\otimes_{\Omega}$. Insbesondere ist also das Tensorieren "uber einem K"orper stets exakt. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{eMj} Seien $\varphi:R\ra S$ ein Ringhomomorphismus und $e\in \op{Z}(R)$ ein Element des Zentrums von $R$ mit $\varphi(e)=1$. So liefern f"ur jeden $R$-Modul $M$ die Einbettung $eM\hra M$ und die Multiplikation $(e\cdot):M\sra eM$ zueinander inverse Isomorphismen $S\otimes_ReM\sira S\otimes_RM\sira S\otimes_ReM$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Ringwechsel unter Tensorprodukten}] Gegeben Ringe $A,B$ und $M \in \op{Mod-} A$ und $X \in A \op{-Mod-} B$ und $N \in B \op{-Mod}$ Moduln beziehungsweise Bimoduln.\label{ETT} %\label{ET} So liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$ M\otimes_{A} (X\otimes_{B} N) \sira(M\otimes_{A} X) \otimes_{B} N$$ Ist insbesondere $\varphi:A\ra B$ ein Ringhomomorphismus, so induziert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $M\otimes_{A} N \sira (M \otimes_{A} B)\otimes_{B}N$ alias $$ M\otimes_{A} \op{res}^A_{B} N \sira\op{prod}_A^B M \otimes_{B} N$$ in den Notationen aus \ref{F1} und \ref{F2}. Ist etwa $\mathfrak a\subset A$ ein Ideal und $N$ ein $(A/\mathfrak a)$-Modul, so liefert nach \ref{TuR} die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $M\otimes_{A} N \sira ( M/M\mathfrak a) \otimes_{A/\mathfrak a} N$. Wird zus"atzlich $B$ als Ring erzeugt vom Bild $\varphi(A)$ von $A$ mitsamt den Inversen der Elemente aus $\varphi(A)\cap B^\times$, so ist die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $M\sira \op{prod}_A^B M$ und der offensichtliche Morphismus ist in vereinfachter Notation\label{ruTE} ein Isomorphismus $$ M\otimes_{A} N\sira M \otimes_{B} N$$ Speziell liefert f"ur ein Ideal $ \frak{a}\subset A$ und $M\in \op{Mod-}A/\frak{a}$ sowie $N\in A/\frak{a}\op{-Mod}$ die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $M \otimes_{A} N \sira M\otimes_{A/\frak{a}} N$ und f"ur je zwei $\DQ$-Vektorr"aume $M,N$ liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $M\otimes_\Bbb{Z} N\sira M\otimes_\DQ N$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $S\ra R$ ein Ringhomomorphismus. Ist $M$ ein $S$-Modul und $(m_i)_{i\in I}$ eine Basis von $M$, so bilden die $1\otimes m_i$ eine Basis des $R$-Moduls $R\otimes_S M$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Variante zur Rechtsexaktheit des Tensorprodukts}] Gegeben $M^{\prime} \ra M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ und $N^{\prime} \ra N \twoheadrightarrow N^{\prime\prime}$\label{ReTe} rechtsexakte Sequenzen von Rechts- beziehungsweise Linksmoduln "uber einem Ring $R$, so ist auch die Sequenz $$(M^{\prime}\otimes_R N )\oplus (M\otimes_R N')\ra M\otimes_R N \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}\otimes_R N'' $$ wie durch die Notation bereits angedeutet eine rechtsexakte Sequenz. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Rechtsadjungierter eines Tensorprodukts}] Gegeben ein Ring und ein $R$-Rechtsmodul $M$ erhalten wir aus der universellen Eigenschaft des Tensorprodukts\label{UE0} ein adjungiertes Paar von Funktoren $(M\otimes_R, \op{Ab}(M,\;))$ zwischen den Kategorien $R\op{-Mod}$ und $\op{Ab}$. In gr"o"serer Allgemeinheit wird das in \ref{BMA} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben ein Ring $R$ und $M\in \op{Mod-}R$ und $N\in R\op{-Mod}$ gibt es genau einen Isomorphismus von abelschen Gruppen $M\otimes_R N\sira N\otimes_{R^{\op{opp}}}M$ mit $m\otimes n\mapsto n\otimes m$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige: Gegeben ein Ring $A$ und ein Idempotentes $e \in A$ liefert die Multiplikation einen Isomorphismus $eA \otimes_{A} M \overset{\sim}{\ra} eM$.\label{TEII} \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{TenTe} In dieser "Ubung meint $\otimes$ ohne unteren Index stets $\otimes_\DZ$. Gegeben Ringe $R$ und $S$ wird das Tensorprodukt $R\otimes S$ ein Ring mit der Multiplikation $(r\otimes s)(a\otimes b)\pdef ra\otimes sb$. F"ur den Ringhomomorphismus $R\ra R\otimes S$ mit $r\mapsto r\otimes 1$ und einen $R$-Rechtsmodul $M$ haben wir $\op{prod}_R^{R\otimes S}M\sira M\otimes S$ unter der offensichtlichen Abbildung. Speziell liefert \ref{ETT} f"ur jeden $(R\otimes S)$-Modul $N$ einen Isomorphismus $$M\otimes_R N\sira (M\otimes S)\otimes_{R\otimes S} N$$ Ist insbesondere $N$ flach als $(R\otimes S)$-Modul und $S$ flach als $\DZ$-Modul, so ist $N$ auch flach als $R$-Modul. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Ein Kringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$ hei"st {\bf flach},\index{flach!Kringhomomorphismus} wenn darunter $B$ ein flacher $A$-Modul wird.\label{flRH} Man zeige, da"s die Verkn"upfung zweier flacher Kringhomomorphismen auch wieder flach ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein noetherscher Ring $R$ ist jedes Produkt von Kopien von $R$ ein flacher $R$-Modul. Hinweis: %Man zeige gleichbedeutend, da"s es ein freier %$R$-Rechtsmodul ist. BLOEDSINN! Man zeige zun"achst, da"s f"ur jeden endlich pr"asentierten $R$-Modul $M$ die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $(\prod_IR)\otimes_RM\sira \prod_IM$ ist. Allgemeiner reicht es, statt \glqq $R$ noethersch\grqq\ anzunehmen, da"s jedes endlich erzeugte Ideal von $R$ ein endlich pr"asentierter $R$-Modul ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben ein Ring $R$ und ein endlich pr"asentierter $R$-Modul $M$ und eine beliebige\label{tpep} Menge $I$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$\textstyle\big(\prod_IR\big)\otimes_RM\sira \prod_IM$$ \end{Ubunge} \subsection{Merkw"urdigkeiten bei Tensorprodukten*} \begin{Beispielg} Ist $R$ ein linksnoetherscher Ring, so ist f"ur je zwei Mengen $X,Y$ die offensichtliche Abbildung\label{GMZ} eine Injektion \begin{equation*} \op{Ens} (X, R) \otimes_R \op{Ens} (Y, R) \hra \op{Ens} (X \times Y, R) \end{equation*} In der Tat gehe $a_1 \otimes b_1 + \ldots + a_n \otimes b_n$ nach Null. Die Menge aller $(r_1, \ldots, r_n) \in R^n$ mit $r_1b_1 + \ldots + r_n b_n =0$ in $\op{Ens} (Y,R) $ ist ein Untermodul von $R^n$. Ist $R$ linksnoethersch, so ist dieser Untermodul endlich erzeugt, etwa von $c_1, \ldots, c_k \in R^n$. F"ur alle $x \in X$ gibt es also $r_1(x), \ldots, r_k (x) \in R$ derart, da"s f"ur alle $i$ mit $1\leq i\leq n$ gilt $a_i (x) = r_1 (x) c_{1i} + \ldots + r_k (x) c_{ki}$. Es folgt \begin{equation*} a_1 \otimes b_1 + \ldots + a_n \otimes b_n = \sum_{i,j} r_j c_{ji} \otimes b_i = \sum_{i,j} r_j \otimes c_{ji} b_i = 0 \end{equation*} \end{Beispielg} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Tensorprodukte von Funktionenr"aumen}] Heike Mildenberger und Martin Ziegler haben mir ein Beispiel konstruiert, das zeigt, da"s\label{GMZc} die kanonische Abbildung \begin{equation*} \op{Ens} (\mathbb N, R) \otimes_R \op{Ens} (\mathbb N, R) \rightarrow \op{Ens} (\mathbb N \times \mathbb N, R) \end{equation*} nicht f"ur jeden Ring $R$ injektiv ist. Der Ring $R$ ist dabei der Polynomring in abz"ahlbar vielen Variablen $x_0, x_1, x_2, \ldots, y_0, y_1, y_2, \ldots$ modulo der quadratischen Relationen $x_i y_j = 0 \; \forall i,j$ und $x_i x_j = y_i y_j =0$ falls $|i-j|\neq 1$. % mit Ausnahme der F"alle $i-j|=1$ alias % $\{i,j\} = \{2n, 2n +1\}$ f"ur ein $n \in \mathbb N$. Man betrachte nun die Elemente $a : i \mapsto x_i$ und $b: j \mapsto y_j$ von $\op{Ens} (\mathbb N, R)$. Nat"urlich hat $a \otimes b$ in $\op{Ens} (\mathbb N \times \mathbb N, R)$ das Bild Null. Es reicht zu zeigen, da"s $a \otimes b$ nicht bereits selbst Null ist. Dazu betrachte man % den % sogenannten {\bf Fr\'echet-Filter}\index{Fr\'echet-Filter} % Filter $\mathcal F \subset \mathcal P (\mathbb N)$ der koendlichen Mengen. % Die Menge das Ideal $I \subset \op{Ens} (\mathbb N, R)$ aller Abbildungen mit endlichem Tr"ager und setze $R^\ast\pdef \op{Ens} (\mathbb N, R) / I$. Die Komposition \begin{equation*} R \hookrightarrow \op{Ens} (\mathbb N, R) \twoheadrightarrow R^\ast \end{equation*} mit der Einbettung als konstante Funktionen links ist ein Ringhomomorphismus. Seien $a^\ast, b^\ast \in R^\ast$ die Bilder von $a,b\in\op{Ens} (\mathbb N, R)$. Man zeigt nun, da"s $R^\ast$ einen $R$-linearen Ringautomorphismus $f$ besitzt mit der Eigenschaft $f(a^\ast) b^\ast \neq 0$. Wir betrachten dazu die involutiven Automorphismen $f_{2n} = f_{2n +1} : R \overset{\sim}{\rightarrow} R$ des Rings $R$ mit $f_{2n} (x_{2n}) = y_{2n+1}$ und $f_{2n} (y_{2n}) = x_{2n+1}$. Jedes Element von $R$ wird nur von endlich vielen dieser Automorphismen "uberhaupt bewegt. Zusammen liefern die $f_i$ einen Ringautomorphismus $f: \op{Ens} (\mathbb N, R) \rightarrow \op{Ens} (\mathbb N, R)$ gegeben durch $ (u_i)_{i \in \mathbb N} \mapsto (f_i (u_i))_{i \in \mathbb N}$. Dieser Automorphismus ist nicht $R$-linear, h"alt jedoch das Ideal $I$ fest und der davon induzierte Automorphismus $f : R^\ast \overset{\sim}{\rightarrow} R^\ast$ des Quotienten ist sogar $R$-linear, da eben jedes Element von $R$ nur von endlich vielen unserer Automorphismen $f_i$ "uberhaupt bewegt wird und folglich jede konstante Folge nur an endlich vielen Stellen ver"andert wird. Damit ist $f(a^\ast) b^\ast $ das Bild der Folge $ (y_2 y_1, y_1 y_2, y_4 y_3, y_3 y_4, \ldots) $ in $R^\ast$, und das ist nicht Null. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gibt es einen Kring $R$ und $R$-Moduln $M,N$ und linear unabh"angige $K\subset M$ und $L\subset N$ derart, da"s die $k\otimes l$ mit $k\in K$ und $l\in L$ in $M\otimes_R N$ nicht linear unabh"angig sind "uber $R$? Ich denke schon, kenne aber kein Gegenbeispiel. \end{Bemerkungl} \subsection{Induktion und Koinduktion f"ur Ringe*}\label{InK} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensor-Hom-Adjunktion}] In diesem Abschnitt fasse\label{BMA}\index{Tensorhomadjunktion@Tensor-Hom-Adjunktion} ich einige Allgemeinheiten "uber Tensorprodukte zusammen. F"ur den Fortgang der Vorlesung werden sie erst viel sp"ater ben"otigt werden. Wir setzen neben der Kenntnis allgemeiner Tensorprodukte im Umfang von \ref{TPro} die Begrifflichkeit adjungierter Funktoren im Umfang von \eref{AdFu}{TF} voraus. Seien $\Omega,\Theta$ Mengen und $X$ ein $\Omega$-$\Theta$-{\bf Modul}, als da hei"st eine abelsche Gruppe mit einer Operation von $\Omega$ und einer Operation von $\Theta$, die kommutieren. Ich notiere im folgenden die Operation von $\Omega$ durch davorschreiben und die Operation von $\Theta$ durch dahinterschreiben, so da"s die Bedingung des Kommutierens ausgeschrieben werden kann zu $(\omega x)\theta=\omega(x\theta)\;\forall \omega, x, \theta$. Wir erhalten Funktoren $$\begin{array}{rcc} X \otimes_{\Theta} : \Theta\op{-Mod} &\ra& \Omega\op{-Mod} \\ \op{Hom}_{\Omega}(X, \; ) : \Omega\op{-Mod}&\ra& \Theta\op{-Mod} \end{array}$$ Die Adjunktionsisomorphismen $\op{Ab}(X\otimes_{\Theta}M,N)\sira \op{Hom}_{\Theta}(M,\op{Hom}_\DZ(X,N))$ aus \ref{THAa} induzieren Isomorphismen $$\op{Hom}_{\Omega}(X\otimes_{\Theta}M,N)\sira \op{Hom}_{\Theta}(M,\op{Hom}_{\Omega}(X,N))$$ Diese hinwiederum bilden eine Adjunktion zwischen unseren Funktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{BDDS} Gegeben Ringe $A,B$ versteht man unter einem {\bf $A$-$B$-Bimodul} $X$ eine abelsche Gruppe mit einer Struktur als $A$-Modul und einer Struktur als $B$-Rechtsmodul derart, da"s gilt $(ax)b=a(xb)\;\forall a,x,b$. Dann ist $X^\ast\pdef \op{Hom}_A(X,A)$ stets ein $B$-$A$-Bimodul vermittels der Rechtsoperation von $a\in A$ durch Nachschalten der Rechtsmultiplikation, $fa\pdef (\cdot a)\circ f$ f"ur jeden Homomorphismus $f$. Wir erhalten dann nat"urliche Homomorphismen $X^\ast \otimes_A N\ra \op{Hom}_{A}(X,N)$. Unter der zus"atzlichen Annahme, da"s $X$ als $A$-Modul ein Summand von $A^n$ ist f"ur $n<\infty$ alias endlich erzeugt und projektiv, sind das sogar Isomorphismen $$X^\ast \otimes_A N\sira \op{Hom}_{A}(X,N)$$ \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Eine Morita-"Aquivalenz}] Ist $R$ ein Ring und $X=R^n$ f"ur $n\geq 1$ mit der nat"urlichen Linksoperation von $A=\op{Mat}(n;R)$ und Rechtsoperation von $B=R,$ so liefert unser adjungiertes Paar eine "Aquivalenz von Kategorien\label{MorBs} $$R\op{-Mod} \;\;\sirra\;\; \op{Mat} (n; R) \op{-Mod}$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Eine weitere Morita-"Aquivalenz}] Seien $M_1,\ldots, M_n$ Moduln "uber einem Ring und $r_1,\ldots, r_n$ positive nat"urliche Zahlen. Wir setzen $$\begin{array}{lll} A&\pdef&\op{End}(M_1\oplus\ldots\oplus M_n)\\ B&\pdef&\op{End}(M_1^{\oplus r_1}\oplus\ldots\oplus M_n^{\oplus r_n})\\ X&\pdef& \op{Hom}(M_1\oplus\ldots\oplus M_n, M_1^{\oplus r_1}\oplus\ldots\oplus M_n^{\oplus r_n}) \end{array}$$ So liefert unser adjungiertes Paar eine\label{Morr} "Aquivalenz von Kategorien $$A\op{-Mod} \;\;\sirra\;\; B \op{-Mod}$$ Statt Moduln "uber einem Ring h"atten wir dabei auch Objekte einer beliebigen additiven Kategorie nehmen k"onnen. Das alles ist ein Spezialfall der sogenannten {\bf Morita-"Aquivalenz}.\index{Morita-"Aquivalenz!Spezialfall} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{F1} Gegeben $\varphi : A \ra B$ ein Ringhomomorphismus k"onnen wir speziell $B$ vermittels $\varphi$ auffassen als einen $A$-$B$-Bimodul. Dann wird der erste Funktor nach \ref{TGR} die {\bf Restriktion der Skalare} \index{Restriktion!der Skalare}\index{res@$\op{res}$ Restriktion der Skalare} $\op{res}_{\varphi}=\op{res}^{A}_{B}: B \op{-Mod}\ra A\op{-Mod}$ und der zweite Funktor die sogenannte {\bf Induktion}\index{Induktion!von Moduln} $$\op{ind}_{\varphi}=\op{ind}_{A}^{B}\pdef\op{Hom}_{A}(B,\;): A\op{-Mod}\ra B\op{-Mod}$$ und wir erhalten eine Adjunktion $(\op{res}^{A}_{B}, \op{ind}^{B}_{A})$.\index{ind@$\op{ind}$ Induktion} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Viele Autoren schreiben statt unserem $\op{res}^{A}_{B}$ auch $\op{res}^{B}_{A}$. Ich vermute, da"s dem die Vorstellung zugrundeliegt, da"s Induktion aus Objekten niederer Komplexit"at solche h"oherer Komplexit"at macht und Restriktion umgekehrt aus Objekten h"oherer Komplexit"at solche niederer Komplexit"at. Das ist in den "ublichen Anwendungen sicher richtig, aber in der hier vorgeschlagenen Allgemeinheit gilt es nicht mehr. Ich verfolge stattdessen die Konvention, die \glqq Ausgangskategorie\grqq\ durch einen unteren Index anzudeuten und die \glqq Zielkategorie\grqq\ durch einen oberen Index. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{F2} Umgekehrt k"onnen wir nat"urlich vermittels unseres Ringhomomorphismus $B$ auch auffassen als einen $B$-$A$-Bimodul. Dann wird der zweite Funktor die Restriktion der Skalare und der erste Funktor die sogenannte {\bf Erweiterung der Skalare}\index{Erweiterung der Skalare!bei Moduln} oder {\bf Koinduktion}.\index{Koinduktion!von Moduln} Wir nennen ihn der Symmetrie der Begrifflichkeit halber manchmal auch die \defnoind{Produktion}\index{Produktion} und notieren ihn $$\op{prod}^{B}_{A} \pdef B\otimes_{A} : A\op{-Mod}\ra B\op{-Mod}$$ Damit erhalten wir eine Adjunktion $(\op{prod}_{A}^{B}, \op{res}_{B}^{A})$. F"ur jeden $A$-Modul $M$ und jeden $B$-Modul $N$ liefert insbesondere das Vorschalten von $m\mapsto 1\otimes m$ einen Isomorphismus $$\op{Hom}_B(B\otimes_A M,N)\sira \op{Hom}_A( M,N)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Adjunktionen $(\op{res}, \op{ind})$ und $(\op{prod}, \op{res})$ werden "ublicherweise als\index{Frobenius-Reziprozit"at!allgemeine} {\bf Fro\-be\-nius-Rezi\-pro\-zit"aten} bezeichnet. Gegeben des weiteren Ringhomomorphismen $A\ra B\ra C$ liefert die Gleichheit $\op{res}_{B}^{A}\circ\op{res}_{C}^{B}=\op{res}_{C}^{A}$ vermittels dieser Adjunktionen nach \eref{Kompa}{TF} Isotransformationen $$\op{ind}^{C}_{B}\circ\op{ind}^{B}_{A}\siRa\op{ind}^{C}_{A}\qquad \text{ und }\qquad\op{prod}^{C}_{B}\circ\op{prod}^{B}_{A} \siRa\op{prod}^{C}_{A}.$$ Sie sind gemeint, wenn von der {\bf Transitivit"at}\index{Transitivit"at!der Induktion} der Induktion beziehungsweise Koinduktion die Rede ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur die in \eref{EwSk}{LA2} besprochene Komplexifizierung $V_\DC$ eines reellen Vektorraums $V$ induziert die dort erkl"arte kanonische Einbettung $V\hra V_\DC$ einen Isomorphismus von komplexen Vektorr"aumen $\DC\otimes_\DR V\sira V_\DC$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Hom-Hom-Adjunktion}] Gegeben Ringe~$A,B$ und ein~$A$-$B$-Bimodul~$X$ liefern die\index{Hom-Hom-Adjunktion} offensichtlichen Identifikationen aus dem Exponentialgesetz \eref{ABBK}{GR} Identifikationen\label{HoHoA} $$ \begin{array}{c}\op{Bil}_{A-\DZ-B}(M\times N,X)\\ \wr\da\hspace{2cm}\da\wr\\ \op{Hom}_A(M,\op{Hom}_{-B}(N,X)) \qquad \op{Hom}_{-B}(N,\op{Hom}_A(M,X)) \end{array} $$ Hier bezeichnet in der Mitte $\op{Bil}_{A-\DZ-B}(M\times N,X)$ die Menge aller~$\mathbb Z$-bilinearen Abbildungen~$\varphi \colon M \times N \to X$ mit $ \varphi(am,n) = a\varphi(m,n)$ und $ \varphi(m,nb) = \varphi(m,n)b$ f"ur alle~$m \in M$, $n \in N$, $a \in A$, $b \in B$. Wir k"onnen diese Identifikationen auch als die Adjunktionen eines adjungierten Paars von Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ A \op{-Mod}^{\op{opp}} \ar@<1ex>[rr]^{\op{Hom}_A(\;,X) }&& \op{Mod-} B\ar@<1ex>[ll]^{ \op{Hom}_{-B}(\;,X) } } \end{displaymath} auffassen. Der obere Funktor ist dabei rechtsadjungiert zum unteren Funktor. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Tensorprodukte mit allgemeineren Objekten}] Ist $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $X\in \mathcal A$ ein Objekt und $B$ ein Ring und $B^{\op{opp}}\ra {\mathcal A}(X)$ ein Homomorphismus\label{TAO} in den Endomorphismenring von $X$, so erhalten wir in derselben Weise auch einen Funktor $$ {\mathcal A}(X, \; ) : \mathcal A\ra B\op{-Mod} $$ Er besitzt im allgemeinen keinen Linksadjungierten, aber nat"urlich wie jeder Funktor einen partiellen Linksadjungierten, der eben auf den Objekten $M\in B\op{-Mod}$ erkl"art ist, f"ur die $N\mapsto \op{Hom}_{B}(M,{\mathcal A}(X,N))$ ein darstellbarer Funktor ist. Wir notieren das darstellende Objekt dann wieder\index{)8a@$\otimes$ Tensorprodukt!kategorielles} $$ X\otimes_B M$$ Zur "Ubung mag der Leser zeigen, da"s f"ur jeden endlich pr"asentierten $B$-Modul alias jeden $B$-Modul $M$, der in eine rechtsexakte Sequenz $B^n\ra B^m\sra M$ von $B$-Moduln pa"st mit $n,m\in\DN$, solch ein darstellendes Objekt $X\otimes_B M\in \mathcal A$ tats"achlich existiert und beschrieben werden kann als der Kokern des hoffentlich offensichtlichen Morphismus $X^n\ra X^m$. Unser $ X\otimes_B M$ ist im "ubrigen auch funktoriell in $X$ in der hoffentlich offensichtlichen Weise. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Hom-Funktoren in allgemeinere Objekte}] Ist $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $X\in \mathcal A$ ein Objekt und $B$ ein Ring und $B^{\op{opp}}\ra {\mathcal A}(X)$ ein Homomorphismus in seinen Endomorphismenring, so hat in derselben Weise wie in \ref{TAO} der Funktor $$ {\mathcal A}(\;,X):{\mathcal A^{\op{opp}} \rightarrow} \op{Mod-} B$$ zumindest einen partiellen Rechtsadjungierten. Ist dieser auf~$N \in \op{Mod-} B$ definiert, so notieren wir sein Bild wieder $$\op{Hom}_{-B}(N,X)$$ und erhalten damit ein Objekt von~$\mathcal A$. Ist hier unser $N$ endlich pr"asentierbar, etwa durch~$B^n \to B^m \to N$, so erhalten wir ein m"ogliches solches Objekt als Kern eines Morphismus~$X^m \to X^n$, dessen genaue Definition dem Leser "uberlassen bleiben m"oge. Unser $ \op{Hom}_{-B}(N,X)$ ist sogar auch noch funktoriell in $X$, aber das soll an dieser Stelle nicht weiter ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TDFl} Gegeben ein Kring $k$ und $k$-Moduln $M,N$ konstruiere man nat"urliche Isomorphismen $$\op{Hom}_k(M,\op{Hom}_{k}(N,k))\sila \op{Hom}_k(M\otimes_k N,k)\sira\op{Hom}_k(N,\op{Hom}_{k}(M,k))$$ Im Rahmen unserer Diskussion von \glqq Schmelzkategorien\grqq\ werden wir diese Isomorphismen in einem allgemeineren Kontext wiedersehen. \end{Ubung} \subsection{Ganzzahlige symplektische Formen*} \begin{Satz}[\textbf{Symplektische Formen "uber $\mathbb Z$}] Gegeben eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe $\Gamma$ mit einer nichtausgearteten\index{symplektische Form!ganzzahlige} alternierenden Bilinearform\label{GSY} $\omega : \Gamma \times \Gamma \rightarrow \mathbb Z$ existiert stets eine Basis von $\Gamma$, bez"uglich derer die Matrix unserer Form eine Blockmatrix der Gestalt \begin{displaymath} \begin{pmatrix} 0 & D\\ -D &0 \end{pmatrix} \end{displaymath} ist mit $D = \op{diag}(d_1, \ldots, d_r)$ und $d_i > 0$ und $d_i | d_{i+1} $ f"ur alle $ i$. Die $d_i$ sind dabei durch die Form $\omega$ eindeutig bestimmt. \end{Satz} \begin{proof} Wir w"ahlen $\lambda, \mu \in \Gamma$ derart, da"s $\omega (\lambda, \mu)=d$ die kleinstm"ogliche positive Zahl ist, die so dargestellt werden kann. Dann behaupten wir $ \Gamma = \langle \lambda, \mu \rangle \oplus \langle \lambda, \mu \rangle^{\perp}. $ Aus Dimensionsgr"unden gilt das "uber $\mathbb Q$. F"ur jedes $\gamma \in \Gamma$ finden wir also $m \in \mathbb Z_{>0}$ derart, da"s $m \gamma$ eine Darstellung \begin{equation*} m\gamma = a \lambda + b\mu + \kappa \end{equation*} besitzt mit $\kappa \in \langle \lambda, \mu \rangle^\perp.$ Es folgt sofort $ m \omega (\gamma, \mu) = da. $ W"are $m$ kein Teiler von $a$, so w"are $d$ kein Teiler von $\omega (\gamma, \mu)$ und wir k"onnten $x,y \in \mathbb Z$ finden mit $0 < x \omega (\gamma, \mu) +\gamma \omega (\lambda, \mu) = \omega (x \gamma +\gamma \lambda, \mu)0$ hat nilpotente Elemente. Ist jedoch $\bar k/k$ separabel, so stimmt unsere Aussage doch wieder. Allgemeiner ist f"ur jede Galoiserweiterung $K/k$ und jeden $k$-Kring $A$ seine Erweiterung $A\otimes_kK$ nilpotentfrei genau dann, wenn $A$ nilpotentfrei ist. In der Tat ist das Nilradikal von $A\otimes_k K$ stabil unter der Galoisgruppe, und w"are es nicht Null, so w"are nach \eref{HS90}{AL} auch sein Schnitt mit $A$ nicht Null. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Sei $f: k^{n} \backslash 0 \rightarrow k$ eine regul"are Funktion. % Per definitionem gibt es $U \co k^{n} \backslash 0$ nichtleer und Polynome % $g, h \in k [T_1, \ldots, T_n]$ derart, da"s $h$ keine Nullstelle hat auf % $U$ und da"s gilt $f (x) = g (x) / h(x)$ f"ur alle $x \in U$. % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $g$ und $h$ % teilerfremd annehmen. % Ist nun $p \in k^{n} \backslash 0$ beliebig, so finden wir auf einer offenen % Umgebung $U_p $ von $p$ auch eine Darstellung von $f$ % als Quotient von Polynomen % $f(x) = g_p (x)/ h_p (x) \quad \forall x \in U_p$, wo wieder $h_p$ keine % Nullstelle hat auf $U_p$ und wir wieder $g_p, h_p$ teilerfremd annehmen d"urfen. % Es folgt $g(x) h_p(x) = g_p (x) h(x)$ % f"ur alle $x \in U \cap U_p$ und damit die Identit"at % $gh_p = g_p h$ im Polynomring % $k [T_1, \ldots, T_n]$. % Da dieser Ring nach \eref{KPFj}{AL} faktoriell ist, folgen die % Teilbarkeitsbeziehungen % $g|g_p, h|h_p$ sowie $g_p|g, h|h_p$ % und es gibt mithin eine Konstante $c_p \in k^\times$ mit $g_p = c_p g$ und % $h_p = c_p h$. % Das hinwiederum zeigt, da"s $h$ auf $k^{n} \backslash 0$ % keine Nullstelle haben % kann. Dann ist jedoch $h$ nach \eref{uev}{LA1} konstant % und % der Leser mag selber folgern, da"s gilt % $f(x) = g(x) /h (x)$ f"ur alle $x \in k^{n} \backslash 0$. % Mithin l"a"st sich $f$ in der Tat zu einer % regul"aren Funktion auf ganz % $k^{n}$ fortsetzen. % \end{proof} \begin{Ubung}[\textbf{Disjunktes Verkleben polynomialer Funktionen}] $(k=\bar k)$. Seien disjunkte und Zariski-abgeschlossene Teilmengen $X,Y\As k^n$ gegeben, in Formeln $X\cap Y=\emptyset$, sowie polynomiale Funktionen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$. Man zeige, da"s die Abbildung\label{ABF} $$h:X\cup Y\ra k$$ mit $h|_X=f$ und $h|_Y=g$ dann auch polynomial ist. Hinweis: Nach dem Nullstellensatz ist die Summe der Verschwindungsideale der ganze Polynomring. Nun verwende man den abstrakten chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL}. Insbesondere kann man eine Vorgabe von endlich vielen Funktionswerten an endlich vielen Punkten stets durch eine polynomiale Funktion interpolieren, was wir in diesem Fall auch schon aus \eref{IP}{AL} wissen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kein abgeschlossenes Verkleben polynomialer Funktionen}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und algebraische Teilmengen $X,Y\As k^n$ sowie polynomiale Funktionen $f:X\ra k$ und $g:Y\ra k$ mit $f|_{X\cap Y}=g|_{X\cap Y}$ mu"s die eindeutig bestimmte Abbildung $$h: X\cup Y\ra k$$ mit $h|_X=f$ und $h|_Y=g$ keineswegs polynomial sein. Als Beispiel untersuche man den $k^2$ mit $X$ dem Achsenkreuz und $Y$ einer weiteren Ursprungsgeraden. Mutige zeigen, da"s das Verkleben im allgemeinen genau dann gelingt, wenn $\mathcal I(X)+\mathcal I(Y)$ ein Radikalideal ist. \end{Ubung} \subsection{R"aume als Ringe} \begin{Bemerkungl}\label{ABb}%\label{AB} Seien $k$ ein K"orper und $X \As k^{m}$ sowie $Y \As k^{n}$ algebraische Teilmengen. Eine Abbildung $\varphi : X \ra Y$ hei"st \defnoind{polynomial},\index{polynomial!Abbildung} wenn es Polynome $P_{1}, \ldots , P_{n} \in k[T_{1}, \ldots ,T_{m}]$ gibt mit $$\varphi (x) = (P_{1}(x), \ldots, P_{n}(x)) \quad \forall x \in X$$ Ist zus"atzlich eine algebraische Teilmenge $Z \As k^{l}$ gegeben sowie polynomiale Abbildungen $ \varphi : X \ra Y$ und $\psi : Y \ra Z$, so ist offensichtlich auch deren Verkn"upfung $\psi \circ \varphi : X \ra Z$ polynomial. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $k$ ein K"orper. Jede polynomiale Abbildung $\varphi : X \ra Y$ zwischen algebraischen Teilmengen $X\As k^n$ und $Y\As k^m$ liefert auf den polynomialen Funktionen einen Ringhomomorphismus $$\varphi^{\sharp} : \cal{O}(Y) \ra \cal{O}(X)$$ in die Gegenrichtung, das {\bf Vorschalten von $\varphi$} alias {\bf Zur"uckholen von Funktionen} $f \mapsto f\circ \varphi$.\index{)6sharp@$\varphi^\sharp$ Komorphismus} Wir nennen $\varphi^\sharp$ den zu $\varphi$ geh"origen {\bf Komorphismus}.\index{Komorphismus} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das Zur"uckholen polynomialer Funktionen bleibt sinnvoll f"ur einen beliebigen Kring $k$ und beliebige Teilmengen $X\subset k^m$ und $Y\subset k^n$, nur erlauben wir uns dann nicht die Notation $\mathcal O(X)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Ring hei"st \defind{nilpotentfrei} oder gleichbedeutend {\bf reduziert}\index{reduziert!Kring}, wenn er au"ser der Null keine nilpotenten Elemente hat. %Ein nilpotentfreier ring\-end\-li\-cher %$k$-Kring zu einem K"orper $k$ % hei"st %ein \defnoind{affiner $k$-Kring}.\index{affin!$k$-Kring} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur die weitere Entwicklung der algebraischen Geometrie verwenden wir die Sprache der Kategorientheorie in dem Umfang, wie sie etwa in \eref{KFu}{LA2} folgende entwickelt wird, und insbesondere den Begriff einer "Aquivalenz von Kategorien \eref{Eif}{LA2}. In dieser Sprache ausgedr"uckt haben wir in \ref{HHKEh} die Kategorie der $k$-Kringe eingef"uhrt. \nichtfinal{In Appendix?} \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{R"aume als Ringe}] $(k=\bar k)$. Betrachten wir die algebraischen Mengen in irgendwelchen $k^n$ als die Objekte einer Kategorie mit den \hyperref[ABb]{polynomialen Abbildungen} \ref{ABb} als Morphismen, so liefert das Bilden des $k$-Krings der polynomialen Funktionen\label{RaR} eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Mengen}\\ \text{ in irgendwelchen $k^{n}$} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Nilpotentfreie}\\ \text{ringendliche $k$-Kringe} \end{array}\!\!\right\}^{\op{opp}} \\[5mm] X & &\cal{O}(X) \\[1mm] \varphi \downarrow \;\;\;& \mapsto & \varphi^{\sharp} \uparrow \;\;\;\\[1mm] Y & & \cal{O}(Y) \end{array}$$ \end{Theorem} \begin{Beispiel}$(k=\bar k)$. Eine algebraische Teilmenge $X\As k^n$ ist endlich genau dann, wenn $\mathcal O(X)$ endlichdimensional ist als $k$-Vektorraum. Die nichttriviale Implikation folgt etwa aus "Ubung \ref{EVNN}. Das Bilden des $k$-Krings der polynomialen Funktionen liefert mithin nach Satz \ref{RaR} eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Endliche Teilmengen}\\ \text{in irgendwelchen $k^{n}$} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Nilpotentfreie $k$-Kringe $A$}\\ \text{mit }\op{dim}_kA<\infty \end{array}\!\!\right\}^{\op{opp}}\end{array}$$ In diesem Fall haben wir $\mathcal O(X)=\op{Ens}(X,k)$. Unwesentlich allgemeiner zeigen wir nun explizit, da"s das Bilden des $k$-Krings aller $k$-wertigen Funktionen eine "Aquivalenz von Kategorien\label{edRR} $$\begin{array}{ccc} \left\{ \text{Endliche Mengen} \right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Nilpotentfreie $k$-Kringe $A$}\\ \text{mit }\op{dim}_kA<\infty \end{array}\!\!\right\}^{\op{opp}} \\[4mm]%[5mm] X & \mapsto &\op{Ens}(X,k) \end{array}$$ liefert. Gegeben ein $k$-Kring $A$ liefert ja die Linksmultiplikation eine Einbettung $A\hra\op{End}A$, $a\mapsto (a\cdot)$, deren Bild nach \ref{ENRj} genau aus allen Endomorphismen besteht, die mit allen Rechtsmultiplikationen $(\cdot b)$ f"ur $b\in A$ kommutieren. Aufgrund der Funktorialit"at der Jordanzerlegung \eref{fJ}{LA2} geh"ort im Fall $\op{dim}_kA<\infty$ mit $(a\cdot)$ auch sein nilpotenter Anteil zum Bild unserer Einbettung. Ist $A$ nilpotentfrei, so mu"s der nilpotente Anteil Null und $(a\cdot)$ diagonalisierbar sein. Dann gibt es aber nach \eref{GEZ}{LA2} in $A$ eine Basis, bez"uglich derer alle $(a\cdot)$ durch Diagonalmatrizen dargestellt werden. Aus Dimensionsgr"unden liefert dann unsere Einbettung $A\hra\op{End}A$ einen Isomorphismus von $A$ mit dem Ring der Diagonalmatrizen, also mit $k\times\ldots\times k$. Das zeigt, da"s unser Funktor surjektiv ist auf Isomorphieklassen. Der Rest des Beweises bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNei} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein reelles Bild der sogenannten {\bf Neil'schen Parabel}\index{Neil'sche Parabel|main}, der Nullstellenmenge von $X^3-Y^2$ in der Ebene. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiele}[\textbf{Neil'sche Parabel und nodale Kubik}]$(k=\bar k)$. F"ur $m\geq n$ entspricht der Projektion $k^m\sra k^n$ durch Weglassen der letzten Koordinaten of den polynomialen Funktionen die Einbettung von Polynomringen durch Hinzuf"ugen von Variablen $k[T_1,\ldots, T_n]\hra k[T_1,\ldots, T_n, T_{n+1},\ldots, T_m]$. Der Einbettung $X\hra k^n$ einer algebraischen Teilmenge entspricht in der Gegenrichtung die Surjektion $$k[T_1,\ldots, T_n]\sra k[T_1,\ldots, T_n]/\mathcal I(X)\sira \mathcal O(X)$$ Umgekehrt, und jetzt schreiben wir zur Abwechslung und zum Vermeiden von Indizes mal $X,Y$ f"ur die Variablen eines Polynomrings statt f"ur unsere algebraischen Teilmengen, entspricht die Komposition $$k[X,Y]\sra k[X,Y]/\langle X^3-Y^2\rangle \sira \langle 1, T^2, T^3, \ldots \rangle_k=k+\langle T^2\rangle\subset k[T]$$ mit dem mittleren Isomorphismus gegeben durch $X\mapsto T^2$, $Y\mapsto T^3$ der Abbildung, die die Gerade \glqq geknifft\grqq\ in die Ebene legt vermittels $k\ra k^2$, $t\mapsto (t^2,t^3)$. Weiter entspricht die Komposition $$k[X,Y]\sra k[X,Y]/\langle X^3+X^2-Y^2\rangle \sira 1+ \langle T^2-1 \rangle\subset k[T]$$ mit dem mittleren Isomorphismus gegeben durch die Vorschrift\label{BNKK} $X\mapsto (T^2-1)$, $Y\mapsto T(T^2-1)$ der Abbildung, die die Gerade \glqq mit Selbst"uberschneidung\grqq\ in die Ebene legt vermittels $k\ra k^2$, $t\mapsto (t^2-1,t(t^2-1))$. Hier haben alle Fasern h"ochstens einen Punkt mit Ausnahme der Faser "uber dem Ursprung, die aus den beiden Punkten $\pm 1\in k$ besteht und im Fall einer von $2$ verschiedenen Charakteristik zwei Punkte hat. Man beachte, da"s $1+ \langle T^2-1 \rangle\subset k[T]$ der Teilring aller Polynome ist, die bei $T=-1$ und $T=1$ jeweils denselben Wert annehmen. Die mittleren Isomorphismen in den letzten beiden Beispielen sind nicht ganz offensichtlich und sollten vom Leser zur "Ubung bewiesen werden. Die fraglichen Abbildungen $k\ra k^2$ gehen sogar surjektiv auf die Nullstellenmengen der fraglichen Polynome, aber zumindest im letzten Beispiel scheint mir das mit der uns bis jetzt zur Verf"ugung stehenden Theorie gar nicht so leicht einzusehen. Warum sollte sich auch jede L"osung der Gleichung $x^3+x^2 =y^2$ in der Form $(x,y)= (t^2-1,t(t^2-1))$ mit $t\in k$ schreiben lassen? Na gut, mit etwas Rechnen kann man das schon nachpr"ufen. In \ref{Goup} werden Sie es auch ohne weitere M"uhen aus dem Going-up-Theorem folgern k"onnen. Mehr dazu diskutieren wir in \ref{NKNPw}. \end{Beispiele} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNoKu} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein reelles Bild der sogenannten {\bf nodalen Kubik}\index{nodale Kubik}, der Nullstellenmenge von $x^3+x^2=y^2$ in der Ebene. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal zeigen wir, da"s es f"ur jeden nilpotentfreien ringendlichen $k$-Kring $A$ eine algebraische Teilmenge $X \As k^{n}$ gibt mitsamt einem Isomorphismus von $k$-Kringen $\cal{O}(X) \sira A$. Sind in der Tat $t_{1}, \ldots , t_{n} \in A$ Erzeuger unseres $k$-Krings, so erhalten wir durch die Vorschrift $T_{i} \mapsto t_{i}$ eine Surjektion $$k[T_{1}, \ldots , T_{n}] \twoheadrightarrow A$$ Bezeichne $\frak{a}$ ihren Kern. Besitzt $A$ au"ser der Null keine nilpotenten Elemente, so ist $\frak{a}$ ein Radikalideal, und ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so ist ein Radikalideal im Polynomring das Verschwindungsideal seiner Nullstellenmenge, in Formeln $\frak{a} = {\mathcal I} ({\mathcal Z} (\frak{a}))$. Wir erhalten damit Isomorphismen von $k$-Kringen $$ \cal{O}({\mathcal Z}(\frak{a})) \sila k[T_{1}, \ldots , T_{n}]/ \frak{a} \sira A $$ und haben gezeigt, da"s $A$ isomorph ist zum $k$-Kring der polynomialen Funktionen der algebraischen Menge ${\mathcal Z}(\frak{a}) \subset k^n$. Unser Funktor ist also essentiell surjektiv. Jetzt m"ussen wir noch zeigen, da"s er auch volltreu ist, da"s also unsere Vorschrift $\varphi \mapsto \varphi^{\sharp}$ Bijektionen zwischen den Morphismenr"aumen liefert. Das gilt sogar ohne die Annahme $k=\bar k$. Wir notieren dazu die Menge der polynomialen Abbildungen zwischen zwei algebraischen Mengen mit $\op{Pol} (X,Y)$. Homomorphismen von $k$-Kringen notieren wir $\op{Kring}^{k} (A,B)$. Dann erinnern wir uns an die Formel $Y = {\mathcal Z} ({\mathcal I}(Y)) \subset k^{m}$ f"ur $Y\As k^m$ und bilden das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \op{Pol}(X,Y) && \ra &&\op{Kring}^{k} (\cal{O}(Y), \cal{O}(X))\\ \downarrow & &&&\downarrow \\ \op{Pol} (X,k^{m}) & \sira &\mathcal O(X)^m&\sira& \op{Kring}^{k} (k[T_{1}, \ldots, T_{m}], \cal{O}(X)) \end{array}$$ Darin seien die Horizontalen durch $\varphi \mapsto \varphi^{\sharp}$ gegeben und die Vertikalen durch das Nachschalten von $Y \hra k^{m}$ beziehungsweise das Vorschalten von $k[T_{1}, \ldots, T_{m}] \twoheadrightarrow \cal{O}(Y)$ und die beiden einzelnen Abbildungen in der unteren Horizontale durch das Nachschalten der Projektionen auf die Koordinaten und das Einsetzen von polynomialen Funktionen f"ur die Variablen. Diese beiden Abbildungen sind sicher Bijektionen, folglich ist auch die untere Horizontale insgesamt eine Bijektion. Die obere Horizontale ist dann ebenfalls eine Bijektion, denn sie faktorisiert in eine Bijektion nach und eine Bijektion aus $$\{ (\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}) \in \cal{O}(X)^{m} \mid f(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m})=0 \quad \forall f \in {\mathcal I}(Y)\}$$ Um das zu sehen, verwenden wir die universelle Eigenschaft der Quotientenabbildung $k[T_{1}, \ldots, T_{m}] / {\mathcal I}(Y) \sira \cal{O}(Y)$ auf der rechten Seite und die Definition des Verschwindungsideals ${\mathcal I} (Y)$ auf der linken Seite. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit polynomialer Abbildungen}] Ich erinnere daran, da"s eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen stetig hei"st, wenn das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist. Man zeige: Gegeben ein K"orper $k$ sind polynomiale Abbildungen $X\ra Y$ mit $X\As k^m$ und $Y\As k^n$ stetig f"ur die von der Zariskitopologie auf unseren Teilmengen induzierte Topologie. \end{Ubung} \subsection{Naive affine Variet"aten} \begin{Definition} Gegeben ein K"orper $k$ verstehen wir unter einer {\bf $k$-geringten Menge}\label{kgM} ein Paar $$(X,\mathcal O(X))$$ bestehend aus einer Menge $X$ und einem $k$-Unterring $\mathcal O (X) \subset \op{Ens} (X,k)$ im $k$-Ring aller $k$-wertigen Funktionen auf $X$. Die Elemente von $\mathcal O(X)$ nennen wir die {\bf strukturierenden Funktionen}\index{strukturierend!Funktion}\index{Funktion!strukturierende} unserer $k$-geringten Menge $X$. Ein {\bf Morphismus} von $(X,\mathcal O(X))$ in eine weitere $k$-geringte Menge $(Y,\mathcal O(Y))$ ist eine Abbildung $\varphi:X\ra Y$ derart, da"s gilt $f\in\mathcal O(Y)\RA f\circ\varphi\in\mathcal O(X)$. Mit diesen Morphismen bilden die $k$-geringten Mengen eine Kategorie $$\op{Ensr}_k$$ Den durch Vorschalten von $\varphi$ erkl"arten Homomorphismus von $k$-Kringen nennen wir auch in dieser Allgemeinheit den {\bf Komorphismus zu $\varphi$} und notieren ihn weiter $\varphi^\sharp: \mathcal O(Y)\ra\mathcal O(X)$. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine {\bf naive affine $k$-Variet"at}\index{affin!Variet"at!naive} oder {\bf affine $k$-Variet"at} ist eine \hyperref[kgM]{$k$-geringte Menge} $(X, \mathcal O (X))$\label{nAV} derart, da"s ihr Ring von strukturierenden Funktionen $\mathcal O (X)$ ringendlich ist "uber $k$ und da"s wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} X &\sira& \op{Kring}^k (\mathcal O (X), k)\\[2mm] x&\mapsto& \delta_x \end{array}$$ von $X$ mit der Menge der $k$-linearen Ringhomomorphismen $\mathcal O (X) \rightarrow k$ erhalten, wenn wir jedem Punkt $x \in X$ den durch das Auswerten bei $x$ gegebenen Ringhomomorphismus $\delta_x : \mathcal O (X) \rightarrow k$, $f \mapsto f (x)$ zuordnen.\index{d@$\delta_x$ Auswerten bei $x$} Die strukturierenden Funktionen einer affinen Variet"at nennen wir auch ihre {\bf regul"aren Funktionen}.\index{Funktion!regul"are!auf affiner Variet"at}\index{regul"ar!Funktion!auf affiner Variet"at} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Es wird sich bald erweisen, da"s unsere naiven affinen Variet"aten bis auf Isomorphismus genau unsere $k$-geringten Mengen $(X,\mathcal O(X))$ zu algebraischen Teilmengen $X\As k^n$ sind. Das Adjektiv \glqq affin\grqq\ dient dazu, in der Terminologie Platz zu lassen f"ur allgemeinere Variet"aten wie wir sie in \ref{DeVah} kennenlernen. Das Adjektiv \glqq naiv\grqq\ bringt zum Ausdruck, da"s wir unsere naiven affinen Variet"aten als spezielle $k$-geringte Mengen betrachten und noch nicht, wie im Fall allgemeiner Variet"aten, als spezielle \glqq $k$-geringte R"aume\grqq. Dieser Unterschied wird sich jedoch als unwesentlich erweisen, weshalb wir auf das Adjektiv \glqq naiv\grqq\ im folgenden meist verzichten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf Morphismus\index{Morphismus!von affinen Variet"aten} von affinen $k$-Variet"aten} verstehen wir einen Morphismus von $k$-geringten Mengen. Die affinen $k$-Variet"aten bilden damit\index{Varaff@$\op{Varaff}_k$ affine $k$-Variet"aten} eine volle Unterkategorie\label{varaff} $$\op{Varaff}_k\subset \op{Ensr}_k$$ der Kategorie aller $k$-geringten Mengen. Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ notieren wir die Menge aller Morphismen von $X$ nach $Y$ statt $\op{Varaff}_k(X,Y)$ meist k"urzer $\op{Var}_k(X,Y)$\index{Var@$\op{Var}$ Morphismen von Variet"aten} und greifen damit der volltreuen Einbettung $\op{Varaff}_k\vra \op{Var}_k$ in die Kategorie aller $k$-Variet"aten vor, die wir zusammen mit der Definition allgemeiner $k$-Variet"aten in \ref{DeVah} kennenlernen werden. Wenn wir hoffen, da"s der Grundk"orper aus dem Kontext hervorgeht, schreiben wir auch kurz $\op{Var}$. \end{Bemerkungl} %Genauer wird sich erweisen, da"s der Funktor, der jeder affinen $k$-Variet"at %$(X,\mathcal O_X)$ im dortigen Sinne das Paar $(X,\mathcal O_X(X))$ zuordnet, %das aus der Menge $X$ %mit %dem Ring der \glqq globalen regul"aren Funktionen\grqq\ besteht, ein %Isomorphismus zwischen der dort erkl"arten Kategorie der %\glqq affinen $k$-Variet"aten\grqq\ %und der hier erkl"arten Kategorie der naiven affinen $k$-Variet"aten ist. %Deshalb ist es unverf"anglich, die Spezifikation \glqq naiv\grqq\ %im folgenden f"ur gew"ohnlich wegzulassen. \begin{Bemerkungl} Ich verwende das Wort {\bf Variet"at} nur f"ur $k$-Variet"aten "uber algebraisch abgeschlossenen K"orpern $k=\bar k$. Wenn das Wort \glqq Variet"at\grqq\ f"allt, ist also implizit zu verstehen, da"s der zugeh"orige Grundk"orper algebraisch abgeschlossen ist. Ich werde das nicht immer extra erw"ahnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}$(k=\bar k)$.\label{BAVV} \begin{enumerate} \item Jede endliche Menge $X$ wird mit $\mathcal O (X) \pdef \op{Ens} (X,k)$ eine affine Variet"at. \item Die Menge $X = k^n$ wird mit $\mathcal O (X) \cong k [T_1, \ldots, T_n]$ den polynomialen Funktionen eine affine Variet"at. \item(\textbf{Nullstellenmengen}). Gegeben eine affine Variet"at $X$ und eine Teilmenge $ E \subset \mathcal O (X)$ des Rings der regul"aren Funktionen wird die Menge der gemeinsamen Nullstellen \begin{equation*} Y = \mathcal Z (E) \pdef \{ x \in X \mid f (x) = 0 \quad \forall f \in E\} \end{equation*} mit den Einschr"ankungen $\mathcal O (Y) \pdef \{ f|_Y \mid f \in \mathcal O (X)\}$ regul"arer Funktionen von $X$ als den regul"aren Funktionen von $Y$ eine affine Variet"at. In der Tat kommt jeder $k$-lineare Ringhomomorphismus $\mathcal O (Y) \rightarrow k$ von einem $k$-linearen Ringhomomorphismus $\mathcal O (X) \rightarrow k$ her, der durch Auswerten $\delta_x$ an einem Punkt $x \in X$ gegeben wird, der dann notwendig bereits zu $Y$ geh"ort haben mu"s. Weiter ist $\mathcal O(Y)$ als Quotient des "uber $k$ ringendlichen $k$-Krings $\mathcal O(X)$ auch ringendlich "uber $k$. \item(\textbf{Nichtnullstellenmengen einzelner Funktionen}). Gegeben eine affine Variet"at $(X, \mathcal O (X))$ und eine regul"are Funktion $f \in \mathcal O (X)$ wird ihre Nichtnullstellenmenge $$X_f \pdef X \backslash \mathcal Z (f)= \{ x \in X \mid f (x) \neq 0\} $$ eine affine Variet"at mit $ \mathcal O(X_f)\pdef \overline{\mathcal O(X)} [\bar f^{-1}] \subset\op{Ens} (X_f,k)$ dem Teilring, der von den Restriktionen der regul"aren Funktionen aus $\mathcal O (X)$ zusammen mit der Funktion $1/\bar f$ erzeugt wird, f"ur $\bar f$ die Restriktion von $f$. In der Tat liefern die Homomorphismen von $k$-Kringen $\mathcal O(X)\sra \overline{\mathcal O(X)}\hra \mathcal O(X_f)$ Injektionen $$\op{Kring}^k(\mathcal O(X),k)\hla \op{Kring}^k(\overline{\mathcal O(X)}, k)\hla \op{Kring}^k(\mathcal O(X_f),k)$$ und das Bild der Komposition kann nur solche Homomorphismen enthalten, die $f$ auf eine Einheit abbilden, die also eine Auswertung $\delta_x$ an einer Stelle $x\in X_f$ sind. Da umgekehrt alle diese Auswertungen auch im Bild liegen, ist $(X_f,\mathcal O(X_f))$ in der Tat eine affine Variet"at. \end{enumerate} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungw} Seien $X$ eine affine Variet"at und $f,g\in\mathcal O(X)$. In \ref{UEAAo} zeigen wir, da"s unter der Annahme $X_f\subset X_g$ die Einbettung $X_f\hra X_g$ ein Morphismus von affinen Variet"aten ist.\label{Vorss} Insbesondere haben wir $X_f=X_g\RA \mathcal O(X_f)=\mathcal O(X_g)$. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gegenbeispiele}] Die Menge $X\pdef \DC^\times$ geringt durch $\mathcal O(X)\cong \DC[T]$ den Ring der polynomialen Funktionen ist keine affine Variet"at, da es f"ur den Ringalgebrenhomomorphismus $\DC[T]\ra \DC$ \glqq nimm den konstanten Term\grqq\ keinen Punkt $x\in X$ gibt, f"ur den er der Auswertungshomomorphismus w"are. Die Zahlenebene $X\pdef \DC\sqcup\{\tilde 0\}$ \glqq mit verdoppeltem Nullpunkt\grqq\ geringt durch erweiterte polynomiale Funktionen $\mathcal O(X)\cong \DC[T]$ mit der Ma"sgabe $P(\tilde 0)=P(0)\;\forall P\in \DC[T]$ ist auch keine affine Variet"at, da hier die beiden Punkte $0\neq\tilde 0$ denselben Auswertungshomomorphismus $\delta_0=\delta_{\tilde 0}$ liefern. Die Kreislinie $X\pdef S^1$ geringt durch alle stetigen komplexwertigen Funktionen $\mathcal O(X)\pdef \mathcal C(X)$ ist keine affine Variet"at, da $\mathcal C(X)$ nicht ringendlich ist "uber $\DC$. Man kann das etwa daran sehen, da"s $\mathcal C(X)$ nicht noethersch ist, denn es gibt in der Kreislinie eine absteigende Folge von abgeschlossenen Mengen, die nicht stagniert, und deren Verschwindungsideale bilden dann eine aufsteigende Folge von Idealen von $\mathcal C(X)$, die ebenfalls nicht stagniert. Man beachte in diesem letzten Beispiel, da"s unsere Bedingung $X\sira \op{Kring}^{\DC} (\mathcal O (X), \DC)$ durchaus erf"ullt ist, da ja allgemein f"ur jeden kompakten Hausdorffraum $X$ die Abbildungsvorschrift $x\mapsto \delta_x$ eine Bijektion $X\sira \op{Kring}^{\DC} (\mathcal C (X), \DC)$ liefert, vergleiche \eref{KRS}{TM}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine R"aume als affine Variet"aten}] Jeder endlichdimensionale affine Raum $A$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ wird eine affine $k$-Variet"at, wenn wir $\mathcal O(A)\subset \op{Ens}(A,k)$ erkl"aren als die von allen affinen Abbildungen $A\ra k$ erzeugte $k$-Unterringalgebra. Jede affine Abbildung von endlichdimensionalen affinen R"aumen ist in Bezug auf diese Strukturen ein Morphismus von affinen Variet"aten\label{akV} und im Fall $A=k^n$ erhalten wir wieder unsere aus \ref{BAVV} bekannte affine Variet"at mit $ k[T_1,\ldots, T_n]\sira \mathcal O(k^n)$ zur"uck. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Bedeutungen von \glqq affin\grqq}] Ungl"ucklich ist in diesem Zusammenhang die Verwendung des Wortes \glqq affin\grqq\ in zwei verschiedenen Bedeutungen: Jeder endlichdimensionale affine Raum tr"agt zwar in dieser Weise eine nat"urliche Struktur als affine Variet"at, aber es gibt durchaus auch noch andere affine Variet"aten, ja \glqq die meisten\grqq\ affinen Variet"aten sind keineswegs isomorph zu affinen R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Alle Definitionen und S"atze vom Beginn dieses Abschnitts bis hierher w"urden auch f"ur einen beliebigen unendlichen Grundk"orper $k$ funktionieren, mit etwas mehr Vorsicht sogar f"ur einen beliebigen Grundk"orper $k$. Allerdings m"u"ste man dann in Kauf nehmen, da"s etwa die reelle Gerade $X=\DR$ mit dem Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)=\DR[T,(T^2+1)^{-1}]$ auch eine naive affine $\DR$-Variet"at w"are, und das st"unde im Widerspruch zur allgemein "ublichen Terminologie. Dies Beispiel zeigt auch, da"s die in unserer Vorschau \ref{Vorss} aufgestellten Behauptungen dieser Allgemeinheit nicht mehr richtig w"aren. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{"uber affine Variet"aten}] $(k=\bar{k})$. Unsere "Aquivalenz von Kategorien aus \ref{RaR} l"a"st sich einbetten in ein kommutatives Diagramm von "Aquivalenzen\label{GAQK} $$\begin{array}{rcl} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Mengen}\\ \text{ in irgendwelchen $k^{n}$} \end{array}\!\!\right\} & \stackrel{\approx}{\longrightarrow} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Nilpotentfreie ring-}\\ \text{-endliche $k$-Kringe} \end{array}\!\!\right\}^{\op{opp}} \\[5mm] \scriptstyle{\approx}\searrow&&\nearrow\scriptstyle{\approx}\\ &\left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine $k$-Variet"aten} \end{array}\!\! \right\} \end{array}$$ Der Funktor $\searrow$ ordnet dabei jeder algebraische Menge $X\As k^n$ die affine Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ zu und der Funktor $\nearrow$ jeder affinen $k$-Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ den $k$-Kring $\mathcal O(X)$ ihrer regul"aren Funktionen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In meinen Augen ist dieser Satz zentral f"ur das Verst"andnis sowohl der kommutativen Algebra als auch der algebraischen Geometrie. Er stellt in einem besonders einfachen Kontext die Beziehung zwischen eingebetteter Geometrie, koordinatenfreier Geometrie und abstrakter Algebra her, die das Gebiet pr"agt. Motiviert durch diesen Satz hei"sen ringendliche nilpotentfreie $k$-Kringe "uber algebraisch abgeschlossenen K"orpern auch {\bf affine $k$-Kringe}.\index{affin!$k$-Kring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Verkleben von Punkten in affinen Variet"aten}] In \ref{VeKKn} werden wir lernen, da"s gegeben eine affine Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ und eine surjektive Abbildung $\varphi:X\ra Y$ auf eine Menge $Y$ mit endlichen Fasern und h"ochstens endlich vielen Fasern mit mehr als einem Punkt\label{NKNPw} unsere Menge $Y$ mit dem Funktionenring $\mathcal O(Y)\pdef \{f:Y\ra k\mid f\circ \varphi\in\mathcal O(X)\}$ zu einer affinen Variet"at wird. Weiter werden wir in \ref{NKV} sehen, da"s man die nodale Kubik in dieser Weise durch das Verkleben von zwei verschiedenen Punkten einer Gerade erhalten kann, und werden in \ref{NeiP} auch sehen, inwiefern man beim Verkleben von zwei \glqq infinitesimal benachbarten Punkten\grqq\ die Neil'sche Parabel erh"alt. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Gegeben $X\As k^n$ ist $\mathcal O(X)$ ringendlich "uber $k$ und die $k$-linearen Ringhomomorphismen $\mathcal O(X)\ra k$ sind etwa nach \ref{RaR} genau die Auswertungsabbildungen an Punkten von $X$. Unser Funktor $\searrow$ landet also in der Tat in der Kategorie der affinen Variet"aten. Da"s unser funktorielles Diagramm kommutiert, ist offensichtlich. Jede affine Variet"at $X$ ist isomorph zu einer affinen Variet"at vom Typ $\mathcal Z(I)\As k^n$. In der Tat ist nach Annahme $\mathcal O(X) $ ringendlich "uber $k$. Bilden etwa die Funktionen $f_1,\ldots, f_n$ ein Erzeugendensystem, so erhalten wir eine Surjektion $k[T_1,\ldots ,T_n]\sra \mathcal O(X)$ mit $T_i\mapsto f_i$. Die Abbildung $(f_1,\ldots,f_n):X\ra k^n$ induziert dann einen Isomorphismus $X\sira \mathcal Z(I)$ f"ur $I$ den Kern obiger Surjektion. Das zeigt, da"s $\searrow$ eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert. Nach \ref{RaR} induzieren demnach alle drei Funktoren Bijektionen auf Isomorphieklassen von Objekten. Um den Satz aus \ref{RaR} zu folgern, m"ussen wir nur noch zeigen, da"s $\nearrow$ Injektionen auf den Morphismenr"aumen induziert. Das ist aber klar. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Nullstelleneinbettungen}] Gegeben $X$ eine affine Variet"at und $E\subset \mathcal O(X)$ eine Menge regul"arer Funktionen und $Y\pdef \mathcal Z(E)$ deren simultane Nullstellenmenge ist die Einbettung $Y\hra X$ offensichtlich ein Morphismus.\label{UEAAoa} Ist weiter $\varphi:Z\ra X$ ein Morphismus von affinen Variet"aten mit $\varphi(Z)\subset Y$, so ist auch die induzierte Abbildung $\varphi:Z\ra Y$ offensichtlich ein Morphismus von affinen Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regularit"at der Kehrwerte nullstellenfreier regul"arer Funktionen}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und eine regul"are Funktion $f\in \mathcal O(X)$ ohne Nullstelle ist auch $1/f$ regul"ar. Das zeigen wir, indem wir die gegenteilige Annahme zum Widerspruch f"uhren. Ist $f\in\mathcal O(X)$ keine Einheit, so ist das von $f$ erzeugte Ideal nicht der ganze Ring und kann mithin zu einem maximalen Ideal $\mathfrak m$ vergr"o"sert werden. Jetzt sagt der Hilbert'sche Nullstellensatz in seiner k"orpertheoretischen Form \ref{KFa}, da"s die Komposition $k\ra \mathcal O(X)\ra \mathcal O(X)/\mathfrak m$ eine endliche K"orpererweiterung sein mu"s, also wegen $k=\bar k$ ein Isomorphismus. So erhalten wir einen Homomorphismus $\mathcal O(X)\ra k$ von $k$-Kringen mit $f\mapsto 0$. Das aber bedeutet im Lichte unserer Definition \ref{nAV} einer affinen Variet"at, da"s $f$ eine Nullstelle auf $X$ gehabt haben mu"s.\label{Nsdfg} \end{Bemerkungl}\begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft von Nichtnullstelleneinbettungen}] Gegeben $X$ eine affine Variet"at und $f\in \mathcal O(X)$ eine regul"are Funktion ist die Einbettung $X_f\hra X$ offensichtlich ein Morphismus.\label{UEAAo} Ist weiter $\varphi:Z\ra X$ ein Morphismus von affinen Variet"aten mit $\varphi(Z)\subset X_f$, so ist auch die induzierte Abbildung $\varphi:Z\ra X_f$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. In der Tat ist $ (1/f)\circ \varphi =1/\varphi^\sharp(f)$ nach \ref{Nsdfg} eine regul"are Funktion auf $Z$. Speziell folgt f"ur $f,g\in\mathcal O(X)$ mit $X_g\subset X_f$ sofort $\op{res}(\mathcal O(X_f))\subset \mathcal O(X_g)$. Noch spezieller folgt aus $X_f= X_g$ bereits $\mathcal O(X_g)= \mathcal O(X_f)$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die regul"aren Funktionen einer affinen $k$-Variet"at $X$ sind genau die Morphismen von Variet"aten $X\ra k$, in Formeln $\mathcal O(X)=\op{Var}(X,k)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Automorphismen offener Teilmengen der Gerade}] Jeder Isomorphismus von Variet"aten $k\sira k$ hat die Gestalt $t\mapsto at + b$ f"ur $a\in k^\times$ und $b\in k$. Jeder Isomorphismus von Variet"aten $k^\times\sira k^\times$ hat die Gestalt $t\mapsto at^\varepsilon$ f"ur $a\in k^\times$ und $\varepsilon\in \{1,-1\}$. Die Variet"aten $k\backslash E$ f"ur $E\subset k$ endlich mit zwei oder mehr Elementen haben nur endlich viele Automorphismen. Hinweis: \eref{FRFFm}{AL}.\label{AutoV} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Bijektive Morphismen m"ussen keine Isomorphismen sein}] Es gibt durchaus bijektive Morphismen zwischen affinen Variet"aten,\label{BNIa} die keine Isomorphismen von Variet"aten sind. Als Beispiele betrachte man im Fall einer Charakteristik $\op{char}k=p>0$ die Abbildung $k\ra k$, $t\mapsto t^p$ und im Fall $\op{char}k$ beliebig die Abbildung $k\ra {\mathcal Z}(X^3-Y^2)$, $t\mapsto (t^2,t^3)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Frobeniustwist}] Gegeben eine affine Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ positiver Charakteristik $p>0$ erhalten wir eine weitere affine $k$-Variet"at $X^{[1]}=(X^{[1]},\mathcal O(X^{[1]}))$ durch die Vorschrift $X^{[1]}\pdef X$ und\label{FroTA} $\mathcal O(X^{[1]})\pdef \{f^p\mid f\in \mathcal O(X)\}$. Die Identit"at auf den zugrundeliegenden Mengen ist dann stets ein Morphismus von Variet"aten, der {\bf Frobenius-Morphismus}\index{Frobenius-Morphismus!von affiner Variet"at} $$\op{Fr}:X\ra X^{[1]}$$ Er ist im allgemeinen kein Isomorphismus, ja die Variet"aten $X$ und $ X^{[1]}$ sind im allgemeinen nicht isomorph. Die Variet"at $X^{[1]}$ hei"st der {\bf Frobenius-Twist von $X$}.\index{Frobenius-Twist!von naiver affiner Variet"at} F"ur jeden Morphismus $X\ra Y$ ist die zugrundeliegende Abbildung von Mengen auch ein Morphismus $X^{[1]}\ra Y^{[1]}$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Sobald wir Variet"aten und allgemeiner Schemata "uber beliebigen K"orpern eingef"uhrt haben, k"onnen wir zu jeder $\mathbb F_p$-Variet"at $X_\circ$ eine $k$-Variet"at $X\pdef X_\circ\times_{\mathbb F_p}k$ "uber dem algebraischen Abschlu"s von $k$ erkl"aren zusammen mit einem Isomorphismus $\alpha:X\sira X^{[1]}$ und so den \glqq geometrischen Frobenius\grqq\ $${\op{F}}_{\op{g}}\pdef \alpha^{-1}\op{Fr}: X\ra X$$ bilden, einen veritablen Endomorphismus der $k$-Variet"at $X\pdef X_\circ\times_{\mathbb F_p}k$. Genaueres wird in \ref{gaF} erkl"art. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}[\textbf{Frobeniustwist in Koordinaten}] Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k$ positiver Charakteristik $p>0$. Der Morphismus $F: k^n\ra k^n$ gegeben durch $F:(x_{1},\ldots, x_{n}) \mapsto (x^{p}_{1}, \ldots , x^{p}_{n})$ ist als Abbildung von Mengen eine Bijektion und faktorisiert "uber einen Isomorphismus $(k^n)^{[1]}\sira k^n$. Dieser Isomorphismus induziert f"ur jede abgeschlossene Untervariet"at $X\As k^n$ einen Isomorphismus $$X^{[1]}\sira F(X)$$ Definierende Gleichungen in $k[T_1,\ldots, T_n]$ f"ur $F(X)$ kann man erhalten, indem man in definierenden Gleichungen f"ur $X$ alle Koeffizienten zur $p$-ten Potenz erhebt. In der Sprache der affinen $k$-Kringe entspricht $X\ra X^{[1]}$ dem Frobeniushomomorphismus $A\ra A$ aus \eref{Frob}{LA1}, den wir als einen Homomorphismus von $k$-Kringen $A^{[1]}\ra A$ lesen. Hierzu definieren wir den $k$-Kring $A^{[1]}$, indem wir als zugrundeliegenden Kring $A^{[1]}=A$ setzen, aber den strukturellen Homomorphismus $k\ra A^{[1]}$ definieren als die Komposition $k\ra k\ra A$ des strukturellen Homomorphismus $k\ra A$ mit dem Inversen des Frobenius $k\sira k$. Schlie"slich zeige man, da"s der Funktor $X\mapsto X^{[1]}$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist von der Kategorie der affinen $k$-Variet"aten zu sich selber. Vielleicht noch nat"urlicher wird diese Konstruktion in der Sprache der Schemata, vergleiche \ref{FrobTS}. \end{Ubung} \subsection{Nullstellensatz f"ur affine Variet"aten} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"aume und Ringe als "ubergreifendes Thema}] Ein gro"ser Teil der sogenannten \glqq kommutativen Algebra\grqq\ besteht aus geometrischen Erkenntnissen, die man unter Zuhilfenahme des vorhergehenden Satzes \ref{GAQK} in die Sprache der affinen $k$-Kringe "ubersetzt und von dort auf m"oglichst gro"se Klassen von kommutativen Ringen verallgemeinert. Zu jedem topologischen Raum k"onnen wir auch den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf unserem Raum bilden, zu jeder $\cal{C}^\infty$-Mannigfaltigkeit den Ring der $\cal{C}^\infty$-Funktionen und zu jeder Riemann'schen Fl"ache den Ring der holomorphen Funktionen. Es zeigt sich, da"s diese Ringe wieder die urspr"unglichen \glqq strukturierten R"aume\grqq\ sehr weitgehend kodieren. F"ur kompakte Hausdorff-R"aume ist das die Aussage des Satzes \eref{SHD}{TM} und in den anderen und vielen weiteren F"allen gelten "ahnliche Aussagen. Man kann sich deshalb durchaus auf den Standpunkt stellen, da"s \glqq Ringe die besseren R"aume\grqq\ sind. Mein Ziel ist im folgenden, diese geometrische Intuition offenzulegen, die gro"sen Teilen der kommutativen Algebra zugrunde liegt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Der \glqq Hauptsatz von Zariski\grqq\ \eref{ZHSSS}{AAG} %\index{Zariski!Hauptsatz von} besagt, da"s in Charakteristik Null die Umkehrabbildung eines bijektiven Morphismus von einer affinen Variet"at in eine \glqq glatte\grqq\ affine Variet"at stets wieder ein Morphismus ist. In positiver Charakteristik mu"s man zus"atzlich voraussetzen, da"s der fragliche bijektive Morphismus auch in jedem Punkt bijektives \glqq Differential\grqq\ hat. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nullstellenmengen und Verschwindungsideale f"ur affine Variet"aten}] Unsere bis jetzt entwickelten Notationen und Resultate lassen sich ohne gro"se Schwierigkeiten\label{ZaTo2} von $k^n$ auf beliebige affine Variet"aten $X$ verallgemeinern. Das Auswerten liefert wieder eine Paarung $$X \times \cal{O}(X) \ra k$$ und wir k"onnen f"ur $Y \subset X$ beziehungsweise $E \subset \cal{O}(X)$ das Verschwindungsideal beziehungsweise die Nullstellenmenge $$\begin{array}{ccccc} {\mathcal I}(Y) ={\mathcal I}_X(Y) & \pdef&\{f \in \cal{O}(X)&\mid f(x) =0 & \forall x \in Y\}\\ {\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}_X(E) &\pdef&\{x \in X &\mid f(x)=0 &\forall f \in E \} \end{array}$$ bilden. Wieder kehren $\mathcal I$ beziehungsweise $\mathcal Z$ die Inklusionen um und die ${\mathcal Z}(E)$ bilden eine Topologie auf $X$, die {\bf Zariski-Topologie}.\index{Zariskitopologie!auf affiner Variet"at} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine Variet"at $X$ wird nach \ref{BAVV} jede abgeschlossene Teilmenge $ Y\As X$ mit $\mathcal O (Y) \pdef \{ f|_Y \mid f \in \mathcal O (X)\}$ selbst eine affine Variet"at. Wir nennen diese Struktur die {\bf induzierte Struktur} auf $Y$. \index{induzierte Struktur!einer affinen Variet"at} Nat"urlich induziert die Restriktion dann einen Isomorphismus\label{UEAAa} $$\cal{O}(X)/{\mathcal I}(Y)\sira \cal{O}(Y)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abgeschlossene Einbettungen}] F"ur einen Morphismus $\varphi:Y\ra X$ von affinen Variet"aten sind gleichbedeutend:\label{AbIM} \begin{enumerate} \item Der Morphismus $\varphi$ ist injektiv mit abgeschlossenem Bild und induziert einen Isomorphismus $Y\sira\varphi(Y)$ auf sein Bild mit der induzierten Struktur; \item Der Komorphismus ist eine Surjektion $\varphi^\sharp:\mathcal O(X)\sra \mathcal O(Y)$. \end{enumerate} Der Nachweis dieser "Aquivalenz bleibe dem Leser zur "Ubung. Einen Morphismus mit diesen Eigenschaften nennen wir eine {\bf abgeschlossene Einbettung}.\index{Einbettung!abgeschlossene!f"ur naive affine Variet"aten} \end{Bemerkungl} % \begin{Ubung}\label{FYX} % Sei $k$ ein Kring. % Gegeben $Y\subset X\subset k^n$ induziert die Einschr"ankung einen % Isomorphismus % $\cal{O}^{\op{pol}}(X)/{\mathcal I}(Y)\sira \cal{O}^{\op{pol}}(Y)$. % Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und sind % $Y\As X\As k^n$ algebraische Teilmengen, so finden wir insbesondere % \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Nullstellensatz im Kontext affiner Variet"aten}] F"ur jede affine Variet"at $X$ gilt:\label{NstV} \begin{enumerate} \item Ist $\mathfrak a \subset \cal{O}(X)$ ein Ideal und verschwindet $f \in \cal{O}(X)$ auf der Nullstellenmenge von $\mathfrak a $, so liegt eine Potenz von $f$ bereits in $\mathfrak a $. In Formeln ausgedr"uckt gilt also $\mathcal Z(f)\supset \mathcal Z(\mathfrak a ) \;\RA \; f^N\in \mathfrak a \text{ f"ur }N\gg 0$; \item Die Zuordnungen $\mathfrak b \mapsto {\mathcal Z}(\mathfrak b )$ und $Z\mapsto {\mathcal I}(Z)$ liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen der Menge aller Radikalideale von $\cal{O}(X)$ und der Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$; \item F"ur jede Teilmenge $Y\subset X$ ist die Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals der Abschlu"s von $Y$ in $X$, in Formeln ${\mathcal Z}( {\mathcal I}(Y))=\bar Y$; \item F"ur jede Teilmenge $E\subset \mathcal O(X)$ ist das Verschwindungsideal ihrer Nullstellenmenge das Radikal des von $E$ erzeugten Ideals, in Formeln gilt also ${\mathcal I}( {\mathcal Z}(E))=\sqrt{\langle E\rangle}$; \item\label{NstV3} Die Zuordnung $\frak m\mapsto {\mathcal Z}(\frak m)$ ist eine Bijektion $\op{Max} \cal{O}(X) \sira X$. Die Zuordnung $x\mapsto {\mathcal I}(x)$ beschreibt ihre Umkehrabbildung. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Das folgt ohne Schwierigkeiten aus den entsprechenden Aussagen im Fall $X=k^n$, die wir als \ref{HN}, \ref{BRI} und \ref{MIi} bereits besprochen haben. Die Details "uberlasse ich dem Leser zur "Ubung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Maximalspektrum}] Sei $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen. Wir notieren $\op{Kring}^k_{\op{re}}$ die Kategorie der ringendlichen $k$-Kringe und $\op{Kringo}_k^{\op{re}}$ ihre opponierte Kategorie. Wir konstruieren einen Funktor\label{MaxS} $$\op{Max}:\op{Kringo}_k^{\op{re}}\ra \op{Ensr}_k$$ in die Kategorie der $k$-geringten Mengen durch die Vorschrift, da"s wir einem Kring $A$ die Menge $$\op{Max}(A)$$ der maximalen Ideale von $A$ zuordnen und als Ring der strukturierenden Funktionen $\mathcal O(\op{Max}(A))\subset \op{Ens}(\op{Max}A,k)$ das Bild des Homomorphismus von $k$-Kringen $\tau=\tau_A:A\ra \op{Ens}(\op{Max}A,k)$, der dadurch gegeben wird, da"s $(\tau(a))(\mathfrak m)$ und $a$ dasselbe Bild in $A/\mathfrak m$ haben. Diese Definition ist sinnvoll, da unter unseren Endlichkeitsannahmen die Komposition $k\ra A\sra A/\frak m$ ein Isomorphismus ist. Wir nennen $\op{Max}(A)$ das {\bf Maximalspektrum von $A$}. \index{Maximalspektrum}\index{Max@$\op{Max}$ Maximalspektrum} Ist $\mathfrak n\subset A$ ein aus nilpotenten Elementen bestehendes Ideal, so induziert die Surjektion $A\sra A/\mathfrak n$ offensichtlich einen Isomorphismus $$\op{Max}(A/\mathfrak n)\sira \op{Max}(A)$$ Insbesondere ist f"ur $A\in \op{Kring}^k_{\op{re}}$ nicht nur der Schnitt aller Primideale, sondern auch der Schnitt aller maximalen Ideale das Nilradikal. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen. Ist $(X,\mathcal O(X))$ eine affine $k$-Variet"at, so ist unsere Bijektion $\eta_X:\op{Max}(\mathcal O(X))\sira X$ aus dem Nullstellensatz f"ur Variet"aten \ref{NstV} offensichtlich sogar ein Isomorphismus von $k$-geringten Mengen f"ur die in \ref{MaxS} auf $\op{Max}(\mathcal O(X))$ erkl"arte Struktur als $k$-geringte Menge. Da jeder affine $k$-Kring $A$ isomorph ist zum Ring der regul"aren Funktionen einer affinen $k$-Variet"at und da jeder ringendliche $k$-Kring ein affiner $k$-Kring wird, wenn wir darin das Ideal aller nilpotenten Elemente herausteilen, ist unser Maximalspektrum sogar ein Funktor\label{MaxSS} $$\op{Max}:\op{Kringo}_k^{\op{re}}\ra \op{Varaff}_k$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}$(k=\bar k)$. Die Einschr"ankung unseres Funktors $\op{Max}$ auf die volle Unterkategorie der affinen alias ringendlichen nilpotentfreien $k$-Kringe $\op{Kring}^k_{\op{renf}}$ und genauer ihre opponierte Kategorie ist eine "Aquivalenz\label{Maxs} von Kategorien $$\op{Max}:\op{Kringo}_k^{\op{renf}}\sirra \op{Varaff}_k$$ \end{Satz} \begin{Bemerkunge} In der Sprache der Kategorientheorie ist $\op{Max}$ zusammen mit weiteren Daten ein \glqq quasiinverser Funktor\grqq\ zur "Aquivalenz $\mathcal O$ aus \ref{GAQK}. Das wird in der weiterf"uhrenden "Ubung \ref{AdOMa} ausgef"uhrt, in der wir eine Adjunktion $(\mathcal O,\op{Max})$ angeben. Salopp gesprochen ist \glqq Max\grqq\ der Name eines Geistes, den man anrufen mag, um von der Algebra in die Geometrie versetzt zu werden. Ein noch st"arkerer solcher Geist h"ort auf den Namen \glqq Spec\grqq, wir lernen ihn sp"ater kennen. \end{Bemerkunge} \begin{proof} In der Tat zeigen unsere Isomorphismen $\eta_X:\op{Max}\mathcal O(X)\sira X$, da"s jede affine Variet"at isomorph ist zu einem Objekt im Bild unseres Funktors. Man sieht weiter leicht ein, da"s f"ur jeden Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen Variet"aten das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Max}\mathcal O(X)&\sira&X\\ {\scriptstyle \op{Max}(\varphi^\sharp)}\da\;\; & &{\scriptstyle \varphi}\da\;\; \\ \op{Max}\mathcal O(Y) &\sira&Y \end{array}$$ mit diesen Isomorphismen in den Horizontalen kommutiert. Mithin ist f"ur beliebige affine Variet"aten $X,Y$ die Verkn"upfung $$\op{Var}(X,Y)\ra \op{Kring}^k(\mathcal O(Y),\mathcal O(X))\ra \op{Var}(\op{Max}\mathcal O(X),\op{Max}\mathcal O(Y))$$ eine Bijektion. Da wir aber bereits wissen, da"s auch die erste Abbildung $\varphi\mapsto\varphi^\sharp$ dieser Verkn"upfung bijektiv ist, mu"s auch die zweite Abbildung $\psi\mapsto \op{Max}\psi$ bijektiv sein. Dann aber mu"s auch $\op{Max}:\op{Kring}^k(B,A)\ra \op{Var}(\op{Max}A,\op{Max}B)$ bijektiv sein f"ur alle $A,B\in \op{Kring}^k_{\op{renf}}$ und wir sind fertig. \end{proof} \begin{table}[p] \begin{tabular}{c|c|l} Affine $k$-Variet"aten $X,Y$&Affine $k$-Kringe $A,B$&Quelle \\[1mm]\hline Produkt&Tensorprodukt&\ref{PnaV}\\ $X\times Y$&$A\otimes_k B$&\\[3mm] Koprodukt&Produkt&\ref{Lopp}\\ $X\amalg Y$&$A\times B$&\\[3mm] abgeschlossene Einbettung&surjektiver Homomorphismus&\ref{AbIM}\\ $X\hra Y$&$B\sra A$&\\[3mm] Einbettung $X_f\hra X$&kanonischer Homomorphismus&\ref{LoGOO}\\ f"ur $f\in\mathcal O(X)$ regul"ar& $A\ra A[f^{-1}]$ f"ur $f\in A$\\[3mm] Morphismus $X\ra Y$&injektiver Homomorphismus&\ref{dOO}\\ mit dichtem Bild&$B\hra A$&\\[3mm] Zusammenhangskomponente&Block&\ref{blo}\\[3mm] abgeschlossene&Radikalideal&\ref{NstV}\\ Teilmenge& &\\[3mm] Punkt &maximales Ideal&\ref{NstV}.\ref{NstV3}\\[3mm] irreduzible&Primideal&\ref{PuI}\\ Teilmenge& &\\[3mm] irreduzible& minimales Primideal &\ref{PuI}\\ Komponente& &\\[1mm]\hline \end{tabular} \caption*{ Diese Tabelle fa"st einige Entsprechungen zwischen R"aumen und Ringen zusammen. Ganz rechts ist jeweils die Quelle angegeben und einige Entsprechungen sind noch Zukunftsmusik. Das Tensorprodukt ist im Sinne von \eref{KoPR}{LA2} zu verstehen. } \end{table} \begin{Bemerkungw} Das Argument des vorherigen Beweises folgt einem Muster, das man h"aufig antrifft und dem eine allgemeine Erkenntnis der Kategorientheorie zugrundeliegt. Ist genauer $F:\mathcal A\sirra\mathcal B$ eine "Aquivalenz von Kategorien und $G:\mathcal B\ra \mathcal A$ ein Funktor und sind Isomorphismen $\eta_X: GFX\sira X$ f"ur alle $X\in\mathcal A$ gegeben derart, da"s f"ur alle $\varphi:X\ra Y$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} GFX&\sira&X\\ {\scriptstyle GF\varphi}\da\;\;&&{\scriptstyle \varphi}\da\;\; \\ GFY&\sira&Y \end{array}$$ mit $\eta_X$ und $\eta_Y$ in den Horizontalen kommutiert, so ist auch $G$ eine "Aquivalenz von Kategorien. Meist liegt einer derartigen Situation eine \glqq Adjunktion\grqq\ zugrunde, so auch in unserem speziellen Fall, vergleiche \ref{AdOMa}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt affiner Variet"aten}] Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ wird ihr Produkt $X \times Y$ zu einer affinen Variet"at durch die Vorschrift\index{Produkt!von affinen Variet"aten} \begin{equation*} \mathcal O (X \times Y) \pdef[f \boxtimes g\mid f \in \mathcal O (X), g \in \mathcal O (Y)] \end{equation*} Hier ist $f \boxtimes g$ erkl"art durch $(f \boxtimes g)(x,y) \pdef f (x) g (y)$ und die eckigen Klammern meinen den von all diesen Funktionen in $\op{Ens} (X \times Y, k)$ erzeugten Teilring. In der Tat ist der so erkl"arte Ring $\mathcal O (X \times Y)$ sicher ringendlich "uber $k$. Nach \eref{TeIn}{LA2} induziert die Abbildung $f \otimes g \mapsto f \boxtimes g$ weiter eine Injektion $\op{Ens} (X, k) \otimes_k \op{Ens} (Y,k) \hookrightarrow \op{Ens} (X \times Y, k)$, und das liefert uns unmittelbar einen Ringisomorphismus $$\mathcal O (X) \otimes_k \mathcal O (Y) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal O (X \times Y)$$ Da aber nun nach \eref{KoPR}{LA2} f"ur zwei beliebige $k$-Kringe $A,B$ jeder Homomorphismus von $k$-Kringen $A \otimes_k B \rightarrow k$ die Form $a \otimes b \mapsto \phi (a) \psi (b)$ hat f"ur wohlbestimmte Homomorphismen $\phi : A \rightarrow k$, $\psi : B \rightarrow k$, folgt auch die Zweite unserer Bedingungen an eine affine Variet"at. Die beiden Projektionen $\op{pr}_X : X\times Y \sra X $ und $\op{pr}_Y : X\times Y \sra Y $ sind dann Morphismen von affinen Variet"aten und $(X \times Y, \op{pr}_X, \op{pr}_Y)$ ist ein Produkt in der Kategorie der affinen Variet"aten im Sinne von \eref{PrKao}{LA2}. Die einpunktige Variet"at ist ein finales Objekt in dieser Kategorie.\label{PnaV} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Offenes Verkleben von regul"aren Funktionen}] Seien $X$ eine affine Variet"at und $H\subset\mathcal O(X)$ eine Menge regul"arer Funktionen, deren Nichtnullstellenmengen unsere Variet"at "uberdecken, in Formeln $X=\bigcup_{h\in H}X_h$.\label{vksf} Gegeben eine Funktion $f:X\ra k$ gilt dann $$f\in\mathcal O(X)\quad\IFF\quad f|X_h \in\mathcal O(X_h)\;\forall h\in H$$ \end{Satz} \begin{proof} Da"s die Einbettung $X_h\hra X$ f"ur alle $h\in\mathcal O(X)$ ein Morphismus ist, da"s also regul"are Funktionen zu regul"aren Funktionen auf Nichtnullstellenmengen einschr"anken, das ist Teil unserer Definition in \ref{BAVV} des Rings der regul"aren Funktionen auf Nichtnullstellenmengen. Wenn umgekehrt die Nichtnullstellenmengen $X_h$ f"ur $h\in H$ unser $X$ "uberdecken, so gilt $\mathcal Z(H)=\emptyset$ und aus dem Nullstellensatz f"ur affine Variet"aten \ref{NstV} folgt $\langle H\rangle_{\mathcal O(X)}=\mathcal O(X)$. Wir finden also $a_i\in \mathcal O(X)$ mit $$a_{1}h_{1} + \ldots + a_{r}h_{r} =1$$ Es folgt, da"s bereits gilt $\mathcal Z(h_{1})\cap\ldots \cap \mathcal Z(h_{r})=\emptyset$. Nach Annahme gibt es nun $g_1,\ldots,g_r\in\mathcal O(X)$ und $n\in \DN$ mit $f(x)=g_i(x)/h_i(x)^n\;\forall x\in X\backslash \mathcal Z(h_i)$. Indem wir die $h_i$ durch ihre $n$-ten Potenzen ersetzen, d"urfen wir $n=1$ annehmen. Wir finden, nun f"ur diese neuen $h_i$, auch mit demselben Argument wir zuvor Funktionen $c_i\in \mathcal O(X)$ mit $$c_{1}h_{1}^2 + \ldots + c_{r}h_{r}^2 =1$$ Es reicht zu zeigen, da"s $f$ und $ c_{1}h_{1}g_{1}+ \ldots + c_{r}h_{r}g_{r}$ an jedem Punkt $x \in X$ denselben Wert annehmen, denn die rechte Seite ist offensichtlich eine regul"are Funktion auf $X$. F"ur beliebiges $x\in X$ haben wir jedoch mit $$S=S(x)\pdef\{ i\mid h_{i}(x)\neq 0\}$$ in der Tat \begin{displaymath} \begin{array}[b]{ccl} f(x)&=& \sum^{r}_{i=1} c_{i}(x)h^{2}_{i}(x)f(x)\\[2mm] &=& \sum_{i\in S} c_{i}(x)h^{2}_{i}(x)f(x) \\[2mm] &=&\sum_{i\in S} c_{i}(x)h_{i}(x)g_{i}(x)\\[2mm] &=& \sum^{r}_{i=1} c_{i}(x)h_{i}(x)g_{i}(x) \end{array}\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jeder Morphismus von affinen Variet"aten ist stetig f"ur die Zariskitopologie. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{dOO} Seien $X$ und $Y$ affine Variet"aten. Man zeige, da"s ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ dichtes Bild hat genau dann, wenn der zugeh"orige Komorphismus eine Injektion\index{dominant!Morphismus von affinen Variet"aten} $\varphi^\sharp:\mathcal O(Y) \ra \mathcal O(X)$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IDBM} Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. Gegeben eine Teilmenge $H \subset \cal{O}(X)$ ist die Nullstellenmenge ihres Urbilds $(\varphi^{\sharp})^{-1}(H)\subset \cal{O}(Y)$ der Abschlu"s des Bildes ihrer Nullstellenmenge, in Formeln $$\overline{\varphi (\cal Z(H))}=\cal Z\big((\varphi^{\sharp})^{-1}(H)\big)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IDBX} Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. Gegeben eine Teilmenge $J \subset \cal{O}(Y)$ ist das Urbild ihrer Nullstellenmenge die Nullstellenmenge ihres Bildes, in Formeln $${\varphi^{-1} (\cal Z(J))}=\cal Z\big(\varphi^{\sharp}(J)\big)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Morphismus $X\ra Y$ von affinen Variet"aten zeige man: Ist unter dem Komorphismus $\mathcal O(Y)\ra \mathcal O(X)$ der Ring $\mathcal O(X)$ modulendlich "uber $\mathcal O(Y)$, so hat unser Morphismus endliche Fasern.\label{meR} Hinweis: \ref{EVNN} und \ref{IDBX}. \end{Ubung} % \begin{Ubung}[\textbf{Ort aller Punkte mit endlicher Faser}] % Gegeben ein Morphismus $X\ra Y$ von % affinen Variet"aten % zeige man: Die Menge aller Punkte von $Y$ mit endlicher Faser ist offen. % Hinweis: Zun"achst zeige man, da"s die Faser genau f"ur die $y\in Y$ % endlich ist, f"ur die % gilt $\op{dim}_k(\mathcal O(X)/\mathcal I(y)\mathcal O(X))<\infty$. % \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Koprodukt affiner Variet"aten}] Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ wird ihre disjunkte Vereinigung $X \sqcup Y$ zu einer affinen Variet"at durch die Vorschrift\index{Koprodukt!von affinen Variet"aten} \begin{equation*} \mathcal O (X \sqcup Y) \pdef \{ f: X \sqcup Y \rightarrow k \mid f|_X \in \mathcal O (X)\text{ und } f|_Y \in \mathcal O (Y)\} \end{equation*} Die beiden Einbettungen $\op{in}_X : X \hookrightarrow X \sqcup Y$ und $\op{in}_Y : Y \hookrightarrow X \sqcup Y$ sind dann Morphismen von affinen Variet"aten und $(X \sqcup Y, \op{in}_X, \op{in}_Y)$ ist ein Koprodukt in der Kategorie der affinen Variet"aten im Sinne von \eref{KoPro}{LA2}. Die leere Variet"at ist ein initiales Objekt in dieser Kategorie.\label{Lopp} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Faserprodukt affiner Variet"aten}] Gegeben affine Variet"aten $X,Y,T$ mit Morphismen $a:X\ra T$ und $b:Y\ra T$ ist auch\index{Faserprodukt!affiner Variet"aten}\index{)x@$\times_B$ Faserprodukt!affiner Variet"aten}\label{FPAV} $$X\times_T Y\pdef \{(x,y)\in X\times Y\mid a(x)=b(y)\}$$ eine affine Variet"at mit der als abgeschlossene Teilmenge von $X\times Y$ induzierten Struktur. Wir erhalten so ein Faserprodukt im Sinne der Kategorientheorie von affinen Variet"aten. Die offensichtliche Abbilddung $$\mathcal O(X)\otimes_{\mathcal O(T)} \mathcal O(Y)\ra \mathcal O(X\times_TY)$$ ist eine Surjektion mit dem Nilradikal des Ausgangsrings als Kern. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt mit $k^n$}] % $(k=\bar k)$. Gegeben eine affine Variet"at $X$ zeige man, da"s wir einen Isomorphismus $\mathcal O(X)[T_1,\ldots, T_n]\sira \mathcal O(X\times k^n)$ erhalten, wenn wir den Kringhomomorphismus betrachten, der auf $\mathcal O(X)$ durch das Zur"uckholen gegeben ist und unter dem der Variablen $T_i$ die Projektion auf $k^n$ gefolgt von der Projektion auf den $i$-ten Eintrag zugeordnet wird.\label{WADn} Dieser Morphismus ist so nat"urlich, da"s wir ihn oft in Sprache und Notation als Gleichheit behandeln werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein {\bf Block}\index{Block!von Kring} eines Krings kann charakterisiert werden als ein unzerlegbarer direkter Summand unseres Krings, betrachtet als Modul "uber sich selber. Mehr zur Blockzerlegung wird in \ref{BLOCK} erkl"art. Man konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge der Zusammenhangskomponenten einer affinen Variet"at $X$ und der Menge der Bl"ocke ihres Rings von strukturierenden Funktionen $\mathcal O(X)$.\label{blo} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Adjunktion von Maximalspektrum und Funktionenring}] Wir notieren $\op{Kringo}\pdef \op{Kring}^{\op{opp}}$ die opponierte Kategorie zur Kategorie der Kringe und $\op{Kringo}^{\op{re}}_{k}$ die opponierte Kategorie zur Kategorie zur Kategorie der ringendlichen $k$-Kringe. Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ erinnern wir aus \ref{MaxS} den Funktor $$\op{Max}:\op{Kringo}^{\op{re}}_{k}\ra \op{Varaff}_k$$ von der Opponierten der Kategorie der ringendlichen $k$-Kringe zur Kategorie der affinen $k$-Variet"aten. Gegeben ein ringendlicher $k$-Kring $A$ und eine affine $k$-Variet"at $X$ betrachten wir nun die Menge $\op{AH}=\op{AH}(A,X)$ aller Abbildungen $A\times X\ra k$, die f"ur jedes feste $a\in A$ eine regul"are Funktion $X\ra k$ liefern und f"ur jedes feste $x\in X$ einen Homomorphismus von $k$-Kringen $A\ra k$. Das K"urzel meint \glqq Adjunktionshelfer\grqq. Das Exponentialgesetz f"ur Mengen induziert dann Bijektionen $$\op{Varaff}_k(X,\op{Max}A)\;\sila \; \op{AH}\;\sira\; \op{Kring}^k_{\op{re}}(A,\mathcal O(X))=\op{Kringo}_k^{\op{re}}(\mathcal O(X),A)$$ Genauer betrachten wir $\op{AH}\hra \op{Ens}(X,\op{Kring}^k(A,k))\sira \op{Ens}(X,\op{Max}A)$ mit der ersten Abbildung nach dem Exponentialgesetz und der zweiten durch Nachschalten der Bijektion $\op{Kring}^k(A,k)\sira \op{Max}A$ und pr"ufen, da"s sie die behauptete Bijektion induziert. So erhalten wir eine Adjunktion\label{AdOMa} $$(\mathcal O,\op{Max})$$ Insbesondere ist $\op{Max}$ vertr"aglich mit endlichen Produkten, ja mit beliebigen Limites soweit sie existieren, und macht Gruppenobjekte zu Gruppenobjekten sowie abelsche Gruppenobjekte zu abelschen Gruppenobjekten. \end{Ubung} \begin{Ubungw} Gegeben eine affine Variet"at $X$ liefert das Bilden des Maximalspektrums einen Funktor $$\op{Max}:\op{Kringo}^{\op{re}}_{\mathcal O(X)}\ra \op{Varaff}_X$$ von der zur Kategorie ringendlichen $\mathcal O(X)$-Kringe opponierten Kategorie zur Kategorie der affinen Variet"aten "uber $X$ mit Linksadjungiertem Funktor $\mathcal O$. Insbesondere ist $\op{Max}$ vertr"aglich mit endlichen Produkten und macht Gruppenobjekte zu Gruppenobjekten sowie abelsche Gruppenobjekte zu abelschen Gruppenobjekten. Die Einschr"ankung auf nilpotentfreie Objekte links liefert eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Max}:\op{Kringo}^{\op{renf}}_{\mathcal O(X)}\sirra \op{Varaff}_X$$ \end{Ubungw} \subsection{Die symmetrische Algebra*} \nichtfinal{Als Appendix?} \begin{Definition}\label{SyAl} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ erkl"art man die {\bf symmetrische Algebra "uber $V$}\index{symmetrisch!Algebra|main} als den\index{Sym@${\op{Sym}}_kV$ symmetrische Algebra|main} Quotienten\index{S@${\op{S}}_kV$ symmetrische Algebra|main} $${\op{S}}_kV={\op{Sym}}_kV\pdef {\op{T}}_kV/\langle v\otimes w-w\otimes v\rangle $$ der Tensoralgebra \eref{TeAl}{LA2} nach dem von allen $v\otimes w-w\otimes v$ mit $v,w\in V$ erzeugten Ideal. Die $k$-lineare Abbildung $\eta:V\ra {\op{T}}_k V$ aus \eref{TeAl}{LA2} liefert durch Nachschalten der Projektion auf den Quotienten eine $k$-lineare Abbildung $\eta:V\ra {\op{S}}_k V$. Wenn sich der Grundk"orper von selbst versteht, schreiben wir auch k"urzer ${\op{S}}_kV={\op{S}}V$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft der symmetrischen Algebra}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ hat die $k$-lineare Abbildung $\eta:V\hra{\op{S}}_kV$ die zur universellen Eigenschaft \eref{TeAl}{LA2} der Tensoralgebra analoge universelle Eigenschaft f"ur Kringalgebrenhomomorphismen. Ist genauer $A$ ein $k$-Kring und $\varphi : V\ra A$ eine $k$-lineare Abbildung, so gibt es genau einen Homomorphismus von $k$-Kringen $\hat{\varphi} : {\op{S}}_{k} V \ra A$ mit $\varphi = \hat{\varphi} \circ \eta$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[r]^-{\eta} \ar[dr]_-{\varphi} & {\op{S}}_k V \ar@{-->}[d]^-{\hat{\varphi}}\\ &A } \end{displaymath} Wieder anders gesagt liefert das Vorschalten von $\eta$ f"ur jeden $k$-Kring $A$ eine Bijektion $(\circ\eta):\op{Kring}^k({\op{S}}V,A)\sira \op{Hom}_k(V,A)$. Ist $B\subset V$ eine Basis von $V$, so erhalten wir mithin durch sukzessives Einschr"anken Bijektionen $$\op{Kring}^k({\op{S}}V,A)\sira \op{Hom}_k(V,A)\sira \op{Ens}(B,A)$$ Daraus folgt mit dem Yonedalemma, da"s die Einbettung $B\hra {\op{S}}V$ einen Isomorphismus von $k$-Kringen $k[_!'B]\sira {\op{S}}V$ zwischen dem Polynomring in der Variablenmenge $B$ und unserer symmetrischen Algebra induziert. Ist insbesondere $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$, so erhalten wir durch die Vorschrift $T_i\mapsto v_i$ einen Isomorphismus von Kringalgebren $$k[' T_1,\ldots,T_n]\sira {\op{S}}_kV$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regul"are Funktionen auf Vektorr"aumen}] Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ liefert die universelle Eigenschaft einen Homomorphismus von Kringalgebren ${\op{S}}_{k} V\ra \op{Ens}(V^*,k)$ in die Kringalgebra aller $k$-wertigen Funktionen auf dem Dualraum von $V$. Ist $k$ ein unendlicher K"orper, so ist dieser Homomorphismus injektiv und induziert einen Isomorphismus zwischen ${\op{S}}_{k} V$ und der Unterringalgebra von $\op{Ens}(V^*,k)$, die von allen Auswertungen an Vektoren $v\in V$ erzeugt wird. Ist zus"atzlich $V$ endlichdimensional, so erhalten wir auf diese Weise einen Isomorphismus von ${\op{S}}_{k} (V^*)$ mit der von allen Linearformen erzeugten Unterringalgebra von $\op{Ens}(V,k)$. Arbeiten wir "uber einem algebraisch abgeschossenen K"orper $k=\bar k$, so induziert mithin f"ur jeden endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ die Einbettung $V^\ast\hra \op{Ens}(V,k)$ einen Ringalgebrenisomorphismus $${\op{S}}(V^\ast)\sira \cal O(V)$$ zwischen der symmetrischen Algebra "uber dem Dualraum $V^\ast$ und der Algebra der regul"aren Funktionen auf $V$ in Bezug auf seine Struktur als $k$-Variet"at nach \ref{akV}.\label{SWER} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Symmetrische Tensoren und symmetrische Algebra}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ der Charakteristik $\op{char}k=0$ induziert die Komposition $(V^{\otimes r})^{\cal{S}_{r}}\hra V^{\otimes r}\sra {\op{S}}^{r}V$ von Inklusion und Projektion einen Isomorphismus\label{SyA} $$(V^{\otimes r})^{\cal{S}_{r}}\sira {\op{S}}^{r}V$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Die symmetrische Gruppe ${\cal{S}_{r}}$ operiert durch Vertauschung der Tensorfaktoren auf $V^{\otimes r}$. Die Invarianten unter dieser Operation, also die Elemente von $(V^{\otimes r})^{\cal{S}_{r}}$, hei"sen die {\bf symmetrischen Tensoren\index{symmetrischer Tensor}\index{Tensor!symmetrischer} der Stufe $r$}. Das erkl"art die allgemein "ubliche Bezeichnung von ${\op{S}}V$ als \glqq symmetrische Algebra "uber $V$\grqq. Ich halte diese Bezeichnung nicht f"ur gl"ucklich und w"urde sie lieber die \glqq universelle Kring\-al\-ge\-bra "uber $V$\grqq\ nennen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir f"uhren wir den {\bf Symmetrisator}\index{Symmetrisator} $$\op{sym}:V^{\otimes r}\ra (V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}$$ ein durch die Abbildungsvorschrift $\op{sym}:t\mapsto \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \cal{S}_r}t^\sigma$. Ausgeschrieben wird er gegeben durch $v_{1} \ldots v_{r} \mapsto \frac{1}{r!} \sum_{\sigma \in \cal{S}_{r}} v_{\sigma (1)} \otimes \ldots \otimes v_{\sigma (r)}$. Damit erg"anzen wir das Diagramm aus Proposition \ref{SyA} zu einem Diagramm $$\xymatrix{(V^{\otimes r})^{\cal{S}_{r}}\;\ar@{^{(}->}[r]^-{\op{inkl}}& V^{\otimes r}\ar@{->>}[r]^{\op{proj}}\ar@<1ex>[l]^-{\op{sym}}& {\op{S}}^{r}V}$$ Offensichtlich gilt $ \op{sym}\circ\op{inkl}=\op{id}$ und $\op{sym}$ ist insbesondere surjektiv. Es reicht also, wenn wir zeigen $\op{ker}(\op{sym})=\op{ker}(\op{proj})$. Die Inklusion $\op{ker}(\op{proj})\subset \op{ker}(\op{sym})$ folgt daraus, da"s $ \op{sym}$ auf $\op{ker}(\op{proj})= \langle v\otimes w-w\otimes v\rangle\cap V^{\otimes r}$ verschwindet. Andererseits gilt auch $\op{proj}=\op{proj}\circ \op{inkl}\circ\op{sym}$ und damit umgekehrt $\op{ker}(\op{sym})\subset \op{ker}(\op{proj})$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} "Uber K"orpern positiver Charakteristik sind die beiden Funktoren $V\mapsto {\op{S}}^rV$ und $V\mapsto (V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}$ im allgemeinen nicht mehr isomorph. Man nennt sie dann die $r$-te {\bf symmetrische Potenz}\index{symmetrische Potenz}\index{Potenz!symmetrische} \label{syPOZ} und die $r$-te {\bf dividierte Potenz von $V$}.\index{dividierte Potenz}\index{Potenz!dividierte} Im endlichdimensionalen Fall ist der eine dieser Funktoren konjugiert zum anderen unter dem Dualraumfunktor, wie wir gleich in \ref{guht} sehen werden. Die Situation ist im Fall symmetrischer Algebren also delikater als bei den "au"seren Potenzen, die im endlichdimensionalen Fall schlicht mit dem Dualraumfunktor kommutieren. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Ist $v,w$ eine Basis von $V$, so gibt es im vierdimensionalenRaum $V^{\otimes 2}$ einen dreidimensionalen Teilraum von unter der Vertauschung invarianten Vektoren, der aufgespannt wird von $v\otimes v, w\otimes w$ und $v\otimes w + w\otimes v$. Die von der Projektion induzierte Abbildung $$(V^{\otimes 2})^{\mathcal{S}_2}\ra {\op{S}}^2V$$ ist in Charakteristik $\op{char}k=2$ nicht injektiv, denn der Vektor $v\otimes w + w\otimes v$ geht darunter nach Null. Es kann sogar "uberhaupt keinen nat"urlichen Isomorphismus zwischen diesen R"aumen geben, denn sie sind als Darstellungen von $\op{GL}(V)$ in diesem Fall nicht isomorph. Genauer pr"uft man, da"s der Kern unseres Homomorphismus die einzige einfache Unterdarstellung links ist und das Bild die einzige einfache Unterdarstellung rechts und diese beiden einzigen einfachen Unterdarstellungen haben nicht dieselbe Dimension. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Symmetrische Multilinearformen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ und $r\geq 0$ bezeichnen wir\label{guht} mit\index{Symu@$\op{Symu}$ symmetrische Multilinearformen} $$\op{Symu}^{r} V \pdef \{s : V \times \ldots \times V \ra k \mid s \text{ ist multilinear und symmetrisch}\}$$ den $k$-Vektorraum aller symmetrischen $r$-Multilinearformen, als da hei"st aller Multilinearformen, die ihren Wert nicht "andern, wenn man die Eintr"age permutiert. Wir konstruieren nun die Abbildungen eines Diagramms $$\xymatrix{&\op{Symu}^{r} V\ar[d]^\wr&\\ ({\op{S}}^rV)^*\ar[r]^-\sim& \big((V^{\otimes r})^*\big)^{{\mathcal S}_r}&\big((V^*)^{\otimes r} \big)^{\cal S_r}\ar@{_{(}->}[l]} $$ mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s im Fall $\op{dim}V<\infty$ auch die rechte Inklusion ein Isomorphismus ist. Zun"achst ist die offensichtliche Einbettung $(V^*)^{\otimes r}\hra (V^{\otimes r})^*$ vertr"aglich mit der Operation der symmetrischen Gruppe und ein Isomorphismus im endlichdimensionalen Fall und das liefert die rechte Einbettung. Die "ubliche Identifikation des Raums aller $r$-Multilinearformen mit $(V^{\otimes r})^*$ ist vertr"aglich mit der Operation der symmetrischen Gruppe induziert den vertikalen Isomorphismus. Die Projektion $V^{\otimes r}\sra {\op{S}}^rV$ schlie"slich induziert eine Injektion $({\op{S}}^rV)^*\hra (V^{\otimes r})^*$ und diese den linken Isomorphismus. \end{Bemerkunge} \subsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{KAA} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ induziert der durch unsere Konstruktion der "au"seren Algebra in \eref{LaV}{LA2} gegebene Ringalgebrenhomomorphismus ${\op{T}}_kV\sra \bigwedge V$ von der Tensoralgebra aus \eref{TeAl}{LA2} auf die "au"sere Algebra einen Isomorphismus $$\textstyle {\op{T}}_kV/\langle v\otimes v\mid v\in V\rangle \sira \bigwedge V$$ zwischen der "au"seren Algebra und dem Quotienten der Tensoralgebra nach dem von allen $v\otimes v$ mit $v\in V$ erzeugten Ideal. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Bezeichnet ${\op{S}}^r V\subset {\op{S}} V$ das Bild von $V^{\otimes r}\subset {\op{T}}V$, so haben wir eine Zerlegung $${\op{S}} V=\bigoplus_{r\geq 0} {\op{S}}^r V$$ und das Produkt eines Elements von ${\op{S}}^r V$ mit einem Element von ${\op{S}}^p V$ liegt in ${\op{S}}^{r+p} V$. Der Teilraum ${\op{S}}^r V$ hei"st die {\bf homogene Komponente vom Grad $r$} der symmetrischen Algebra ${\op{S}} V$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{S2QF} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ erhalten wir eine Bijektion der zweiten symmetrischen Potenz seines Dualraums ${\op{S}}^2(V^*)$ mit dem Raum der quadratischen Formen auf $V$ nach \eref{QuFo}{LA2}, indem wir der Nebenklasse des Tensors $f_1\otimes g_1+\ldots+f_n\otimes g_n$ die quadratische Form $v\mapsto f_1(v) g_1(v)+\ldots+f_n(v)g_n(v)$ zuordnen. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: %xdvi -q -linkstyle 2 -editor 'emacsclient --no-wait' XXKAG.dvi & %makeindex -g -s german.ist XXKAG %pdflatex "\PassOptionsToPackage{final}{showkeys}\PassOptionsToPackage{final}{ifdraft}\input{XXKAG}" %scp XXKAG.pdf soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/XXKAG.pdf %scp /home/soergel/Dokumente/Skripten/Skripten/XXKAG.pdf soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/XXKAG.pdf