\section{Endliches Erzeugen und Nullstellensatz} \subsection{Hilbert'scher Nullstellensatz} \label{ZTOO} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s bei uns jeder Ring eine Eins hat und da"s von jedem\label{RRM} Ringhomomorphismus gefordert wird, da"s er die Eins auf die Eins wirft. Ein Ideal eines Rings ist nach \eref{DefI}{AL} eine Untergruppe seiner additiven Gruppe, die unter der Multiplikation mit beliebigen Elementen unseres Rings von links wie von rechts stabil ist. Einen kommutativen Ring nenne ich auch einen {\bf Kring}.\index{Kring!kommutativer Ring} Seien $k$ ein Kring und $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ der Polynomring "uber $k$ in $n$ Variablen. Das Auswerten liefert eine Abbildung $$ k[T_{1}, \ldots, T_{n}]\times k^n\ra k$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ZaTo} Ist $k$ ein Kring und $I \subset k [T_{1} \ldots, T_{n}]$ eine Teilmenge, so erkl"aren wir die \defind{Nullstellenmenge} oder kurz die \defind{Nullstellen} {\bf von} $I$ als die Menge derjenigen Punkte des $k^{n}$, an denen alle Polynome aus $I$ verschwinden. Wir notieren sie $$%\hspace{15mm} {\mathcal Z}(I) \pdef \{x \in k^{n} \mid f(x) =0 \quad \forall f \in I\}$$ mit ${\mathcal Z}$ wie \glqq zeroes\grqq.\index{Z@${\mathcal Z}(I)$ Nullstellenmenge von $I$} Im Fall $I=\{f_1,\ldots,f_r\}$ k"urzen wir ${\mathcal Z}(\{f_1,\ldots,f_r\})$ ab zu ${\mathcal Z}(f_1,\ldots,f_r)$. Eine Teilmenge $Z\subset k^n$ hei"st {\bf algebraisch}, wenn sie die Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen ist, wenn es also in Formeln eine Teilmenge $I \subset k [T_{1} \ldots, T_{n}]$ gibt mit $Z={\mathcal Z}(I)$.\index{algebraisch!Teilmenge von $k^n$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notationen}] Eine andere in der Literatur g"angige Notation ist $\op{V}(I)$ statt ${\mathcal Z}(I)$ mit $\op{V}$ wie \glqq Variet"at\grqq.\index{V@$\op{V}(I)$ Nullstellenmenge von $I$} Wir verwenden jedoch die Bezeichnung als Variet"at nur "uber einem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im ersten Teil dieser Vorlesung geht es um die Untersuchung \glqq geometrischer\grqq\ Eigenschaften algebraischer Teilmengen von $k^n$ f"ur algebraisch abgeschlossene K"orper $k$ und die entsprechenden \glqq algebraischen\grqq\ Aussagen der Theorie kommutativer Ringe. Den tragenden Pfeiler der Br"ucke zwischen der \glqq geometrischen\grqq\ und der \glqq algebraischen\grqq\ Welt bildet der folgende Satz, dessen Beweis mit den n"otigen Vorbereitungen uns bis \ref{MI1} besch"aftigen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert'scher Nullstellensatz}]\index{Nullstellensatz, Hilbert'scher}\index{Hilbert'scher Nullstellensatz} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"or\-per. Ist $f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Polynom in endlich vielen Variablen, das auf der Nullstellenmenge eines Ideals\label{HNb} $I \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ verschwindet, so liegt eine Potenz unseres Polynoms bereits selbst in besagtem Ideal. In Formeln gilt %f"ur $f \in k %[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Element und $I\subset k %[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal also $${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(I)\;\RA\; f^{N} \in I\text{ f"ur }N \gg 0$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Die gemeinsame Nullstellenmenge von $x^2,z^3\in k[x,y,z]$ ist die $y$-Achse. Das Polynom $f\pdef (x+z)y$ verschwindet auf der $y$-Achse und wie vom Nullstellensatz vorhergesagt geh"ort eine Potenz von $f$ zum Ideal $\langle x^2,z^3\rangle$, in unserem Fall genauer die vierte Potenz $$f^4=\big((x^2+4xz+6z^2)y^4\big)x^2 + \big((4x+z)y^4\big)z^3$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur $k$ nicht algebraisch abgeschlossen ist unser Satz falsch. Als Beispiel betrachte man f"ur $k=\DR$ in $\DR[T]$ das Ideal $I=\langle T^2+1\rangle$. Obwohl das konstante Polynom $f=1$ auf der Nullstellenmenge ${\mathcal Z}(I)=\emptyset$ unseres Ideals verschwindet, liegt keine seiner Potenzen $1^N=1$ in besagtem Ideal. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir werden den Hilbert'schen Nullstellensatz erst im Anschlu"s an Lemma \ref{MI1} zeigen k"onnen. Manche Aussagen aus seinem Umfeld sind jedoch sehr einfach zu haben, wie ich im folgenden ausf"uhren will. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $k$ ein Kring und $X\subset k^{n}$ eine Teilmenge, so bilden diejenigen Polynome, die an allen Punkten von $X$ verschwinden, offensichtlich ein Ideal des Polynomrings $k[T_{1},\ldots, T_{n}]$. Es hei"st das {\bf Verschwindungsideal von} $X$.\index{Verschwindungsideal} Wir notieren es\index{I@${\mathcal I}(X)$ Verschwindungsideal von $X$} $${\mathcal I} (X) \pdef \{f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}] \mid f(x) =0 \quad \forall x \in X\}$$ \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildZAE}\\[4mm] \noindent Die Kreislinie ist die Nullstellenmenge in $\DR^2$ des Polynoms $X^2+Y^2-1\in\DR[X,Y]$. Das ist also eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge der Ebene $\DR^2$. Jeder Punkt $(a,b)\in\DR^2$ ist die simultane Nullstellenmenge in $\DR^2$ der Polynome $X-a$ und $Y-b$ aus $ \DR[X,Y]$. Also ist auch jede einpunktige Menge Zariski-abgeschlossen. Alle Zariski-abgeschlossenen Teilmengen von $\DR^2$ sind offensichtlich auch metrisch abgeschlossen, also abgeschlossen in der nat"urlichen Topologie des $\DR^2$ aus \eref{RAVe}{AN1}, aber das Umgekehrte gilt nicht. Man zeige zur "Ubung, da"s eine echte Zariski-abgeschlossene Teilmenge von $\DR^2$ keine nichtleere metrisch offene Teilmenge von $\DR^2$ umfassen kann. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}\label{OIU} Sei $k$ ein beliebiger Kring. Offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{J}$ von Teilmengen von $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ die Identit"at $ \bigcap_{J\in \cal{J}} {\mathcal Z}(J)={\mathcal Z}\left(\bigcup_{J\in \cal{J}} J\right)$ und insbesondere auch $$I \subset J \;\Rightarrow \; {\mathcal Z}(I) \supset {\mathcal Z}(J)$$ Ebenso offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{X}$ von Teilmengen des $k^{n}$ die Identit"at ${\mathcal I}\left(\bigcup_{X\in \cal{X}}X\right)= \bigcap_{X\in \cal{X}} {\mathcal I} (X)$ und insbesondere auch $$Y \subset X \; \Rightarrow \; {\mathcal I}(Y) \supset {\mathcal I}(X)$$ Des weiteren gilt sicher $J\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(J))$ f"ur jede Teilmenge $J\subset k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ und $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset k^n$. Es folgt ${\mathcal I}(X) ={\mathcal I}({\mathcal Z}({\mathcal I}(X)))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset k^n$, indem wir einerseits ${\mathcal I}$ auf $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ anwenden und andererseits $J\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(J))$ auf $J={\mathcal I}(X)$. Ebenso folgt f"ur jede Teilmenge $J\subset k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ die Identit"at ${\mathcal Z}(J)={\mathcal Z}({\mathcal I}({\mathcal Z}(J)))$. Insbesondere gilt f"ur jede algebraische Teilmenge $X\subset k^n$ die Identit"at $X={\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$, die offensichtlich auch umgekehrt algebraische Teilmengen charakterisiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{IZDS} Allgemeiner versteht man unter einer {\bf Inzidenzstruktur}\index{Inzidenzstruktur} ein Tripel $(A,B,R)$ bestehend aus zwei Mengen $A$ und $B$ mit einer Teilmenge $R\subset A\times B$ alias einer Relation zwischen $A$ und $B$ im Sinne von \eref{AlRep}{AN1}. Zum Beispiel k"onnen wir die Menge $A=k[T_1,\ldots,T_n]$ der Polynome und die Menge $B=k^n$ der Punkte zu betrachten mit der Relation $(f,x)\in R$ genau dann, wenn gilt $f(x)=0$. F"ur eine beliebige Inzidenzstruktur k"onnen wir in derselben Weise wie in diesem Beispiel Abbildungen ${\mathcal Z}:\cal{P}(B)\ra \cal{P}(A)$ und ${\mathcal I}:\cal{P}(A)\ra \cal{P}(B)$ erkl"aren. Auch in dieser Allgemeinheit verwandeln sich Vereinigungen in Schnitte, Inklusionen kehren sich um und es gilt stets $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ sowie ${\mathcal I}(X)={\mathcal I}({\mathcal Z}({\mathcal I}(X)))$ und symmetrisch $J\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(J))$ sowie ${\mathcal Z}(J)={\mathcal Z}({\mathcal I}({\mathcal Z}(J)))$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Um Sie zu ermuntern, sich in Vorbereitung auf sp"atere Kapitel mit den Grundbegriffen der Topologie auseinanderzusetzen, beginne ich bereits hier mit der Diskussion der sogenannten \glqq Zariski-Topologie\grqq. Ich erinnere zun"achst an einige grundlegende Definitionen aus der Begriffwelt der Topologie, wie sie in \eref{DTRS}{AN1} ausf"uhrlicher eingef"uhrt werden. Eine {\bf Topologie\index{Topologie} ${\cal T}$ auf einer Menge $X$} ist ein System von Teilmengen ${\cal T} \subset {\cal P} (X)$, das stabil ist unter dem Bilden von endlichen Schnitten und beliebigen Vereinigungen. Ein Paar $(X, {\cal T})$ bestehend aus einer Menge mit einer Topologie hei"st ein {\bf topologischer Raum}\index{topologischer Raum}. Die Teilmengen aus ${\cal T}$ hei"sen dann die {\bf offenen Teilmengen}\index{offen} unseres topologischen Raums. Statt $U\in {\cal T}$ schreibe ich auch $U\co X$.\index{)c@$\co$ offen in!topologischem Raum} Die Komplemente der offenen Teilmengen hei"sen die {\bf abgeschlossenen Teilmengen} unseres topologischen Raums. F"ur $A\subset X$ schreiben wir statt $(X\backslash A)\in \cal T$ auch $A\As X$. \index{abgeschlossen} \index{)c@$\As$ abgeschlossen in!topologischem Raum} Das System der abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raums ist stabil unter endlichen Vereinigungen und beliebigen Schnitten. Jedes Mengensystem in einer Menge $X$ mit diesen Eigenschaften ist auch umgekehrt das System der abgeschlossenen Teilmengen einer wohlbestimmten Topologie auf $X$. Gegeben eine Teilmenge $M\subset X$ eines topologischen Raums wird ihr {\bf Abschlu"s} $\bar M$ erkl"art als die kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, die $M$ umfa"st, alias der Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$, die $M$ umfassen. \index{)6a@$\bar{M}$ Abschlu"s von $M$} \index{Abschlu"s!topologischer} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R"aumen hei"st {\bf stetig},\index{stetig!f"ur topologische R"aume} wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist, oder gleichbedeutend das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere \eref{IDT}{AN1}. Ist $X$ ein topologischer Raum und $Y\subset X$ eine Teilmenge, so erkl\"{a}rt man die {\bf induzierte Topologie}\index{induzierte Topologie} \index{Topologie!induzierte} oder {\bf Spurtopologie}\index{Spurtopologie} auf $Y$ durch die Vorschrift\label{SpTo} $$U \co Y \Leftrightarrow \exists V \co X\text{ mit }U = V \cap Y$$ In Worten ist also eine Teilmenge von $Y$ offen f"ur die induzierte Topologie genau dann, wenn sie der Schnitt mit $Y$ einer offenen Teilmenge von $X$ ist. Ab jetzt fassen wir stillschweigend jede Teilmenge $Y$ eines topologischen Raums $X$ als topologischen Raum mit der induzierten Topologie auf. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ist $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich, so bilden die algebraischen Teilmengen von $k^n$ die abgeschlossenen Mengen einer Topologie, der \emph{\bf Zariski-Topologie}\index{Zariskitopologie!auf einem $k^n$} \emph{\bf auf dem} $k^{n}$.\label{ZaTo} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da"s beliebige Schnitte algebraischer Teilmengen wieder algebraisch sind, folgt sofort aus \ref{OIU}. Ist $k$ nicht der Nullring, so gilt weiter ${\mathcal Z}(1)=\emptyset$, und ist $k$ auch noch nullteilerfrei, so gilt zus"atzlich ${\mathcal Z}(I)\cup {\mathcal Z}(J)={\mathcal Z}(I J)$ mit der Notation $I J=\{fg\mid f\in I,\;g\in J\}$. Folglich bilden die ${\mathcal Z}(I)$ das System der abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf dem $k^n$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AbVa} Ist $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich, so folgt f"ur den Abschlu"s einer beliebigen Teilmenge $X\subset k^n$ in Bezug auf die eben erkl"arte Zariskitopologie die Formel $$\bar{X}={\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$$ In der Tat ist die rechte Seite eine algebraische alias abgeschlossene Menge, die $X$ umfa"st, und f"ur jede algebraische alias abgeschlossene Teilmenge $A\supset X$ gilt $A={\mathcal Z}({\mathcal I}(A))\supset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Element eines faktoriellen Rings hei"st {\bf quadratfrei},\index{quadratfrei}\label{quf} wenn es von Null verschieden ist und wenn darin kein Primfaktor mehrfach auftritt. Sei nun $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine Teilmenge $Z\subset k^n$ hei"st eine \begin{description} \item[Hyperebene,]\index{Hyperebene!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines linearen Polynoms ist, also eines Polynoms vom Totalgrad $1$; \item[Quadrik,]\index{Quadrik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien quadratischen Polynoms ist; \item[Kubik,]\index{Kubik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien kubischen Polynoms ist; \item[Quartik,]\index{Quartik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien Polynoms vom Totalgrad $4$ ist; \item[Quintik,]\index{Quintik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien Polynoms vom Totalgrad $5$ ist; \end{description} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \ref{BMDnxa}, da"s f"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper auf einer algebraischen Teilmenge $X\As k^n$ jedes Polynom $P\in k[T_1,\ldots, T_n]$, wenn wir es als Abbildung $P:X\ra k$ auffassen, entweder nur endlich viele Werte annimmt oder nur endlich viele Werte nicht annimmt. Unser Beweis dort ist nicht ganz einfach. Ich w"u"ste gerne, wie man das m"oglichst leicht einsehen kann. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Man kann zeigen, da"s f"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $n\geq 1$ jede algebraische Teilmenge von $k^n$ bereits als die Nullstellenmenge von $n$ Polynomen beschrieben werden kann, vergleiche etwa \cite{Kunz}. Im Gegensatz dazu kann keineswegs jedes Ideal des Polynomrings in $n$ Variablen von $n$ Polynomen erzeugt werden. Zum Beispiel ist leicht zu sehen, da"s das Ideal $\langle X^2, XY, Y^2\rangle\subset \DC[X,Y]$ nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $k$ ein K"orper, ja ein beliebiger Kring, und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist das Verschwindungsideal dieser einelementigen Menge das Ideal ${\mathcal I}(x)= \langle T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}\rangle \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige, da"s die von ganz $k$ verschiedenen algebraischen Teilmengen von $k$ genau die endlichen Teilmengen sind. Man zeige, da"s die algebraischen Teilmengen von $k^2$ genau die endlichen Teilmengen, die Vereinigungen der Nullstellenmengen einzelner Polynome mit endlichen Teilmengen, sowie ganz $k^2$ sind. Hinweis: Nach \eref{ENu}{AL} haben zwei teilerfremde Polynome in zwei Ver"anderlichen h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen.\label{JGD} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige f"ur jedes Ideal $I\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ die Absch"atzung $|\mathcal Z(I)|\leq \op{dim}_kk[T_1,\ldots, T_n]/I$. Insbesondere kann ein Ideal endlicher Kodimension nur h"ochstens endlich viele simultane Nullstellen besitzen. Hinweis: Interpolation in mehreren Variablen \eref{IP}{AL}.\label{EVNN} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KAHz} Unter einem {\bf Hom"oomorphismus}\index{Hom"oomorphismus} versteht man eine bijektive stetige Abbildung zwischen topologischen R"aumen, deren Umkehrung auch stetig ist. Man zeige: Ist $\gamma : k \sira k$ ein K"orperautomorphismus, so induziert $\gamma$ einen Hom"oomorphismus $\gamma : k^{n} \sira k^{n}$, $(x_{1}, \ldots, x_{n}) \mapsto (\gamma (x_{1}), \ldots, \gamma (x_{n}))$ von $k^{n}$ versehen mit der Zariskitopologie auf sich selbst. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines topologischen Raums hei"st {\bf dicht}\index{dicht!Teilmenge} genau dann, wenn ihr Abschlu"s der ganze Raum ist. Sei $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich. Man zeige: Jede unendliche Teilmenge von $k$ ist Zariski-dicht. Sind $A\subset k^m$ und \label{ZD}$B\subset k^n$ Zariski-dicht, so gilt dasselbe f"ur $A\times B\subset k^{m+n}$. Jede offene nichtleere Teilmenge von $k^n$ ist Zariski-dicht. Je zwei offene nichtleere Teilmengen von $k^n$ haben nichtleeren Schnitt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede unendliche Teilmenge der Kreislinie in der reellen Ebene $\{(x,y)\in \DR^2\mid x^2+y^2=1\}$ Zariski-dicht liegt in der Kreislinie mit ihrer Spurtopologie nach \ref{SpTo}. Hinweis: \eref{ENu}{AL}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Verschwindet ein Polynom $P\in\DR[X,Y]$ auf der Kreislinie $\{(x,y)\in \DR^2\mid x^2+y^2=1\}$, so wird es von $X^2+Y^2-1$ geteilt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus dem Hilbertschen Nullstellensatz: Haben zwei irreduzible Polynome in $\DC[T_1,\ldots,T_n]$ dieselben Nullstellen, so ist das eine ein skalares Vielfaches des anderen. Im Fall $n=1$ ist das klar. In Fall $n=2$ folgt es bereits aus Korollar \eref{ENu}{AL}, nach dem zwei teilerfremde Polynome in $\DC[X,Y]$ h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen haben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem K"orper bilden die Einheiten stets eine Zariski-offene Teilmenge.\label{EZO} \end{Ubung} \subsection{Moduln "uber Ringen}\label{LMm} \begin{Definition}\label{LM} Sei $R$ ein Ring. Ein \defnoind{$R$-Modul}\index{Modul!eines Rings} ist Paar bestehend aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$ und einer Abbildung $$\begin{array}{ccl} R\times M &\ra & M\\ (r,m) & \mapsto & rm \end{array}$$ derart, da"s f"ur alle $r, s \in R$ und $m,n \in M$ die folgenden Identit"aten gelten: $$\begin{array}{ccc} r(m+n) &=& (rm) +(rn)\\ (r+s)m &=& (rm)+(sm)\\ r(sm)&=&(rs)m\\ 1m &=&m \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $R$ ein K"orper, so nennt man einen $R$-Modul meist einen $R$-Vektorraum. Der Ring $R$ selbst ist in offensichtlicher Weise ein $R$-Modul. Dasselbe gilt f"ur $R^n$, ja gegeben eine beliebige Menge $X$ f"ur $\op{Ens}(X,R)$ und gegeben zus"atzlich ein beliebiger $R$-Modul $M$ auch f"ur die Menge $\op{Ens}(X,M)$ aller Abbildungen von $X$ nach $M$. Weitere Beispiele kommen sp"ater. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir vereinbaren auch in diesem Kontext die Regel \glqq Punkt vor Strich\grqq. Wie bei Vektorr"aumen zeigt man auch bei Moduln $M$ "uber einem Ring $R$ f"ur alle $m\in M$ die Formel $0m=0$, genauer $0_R m=0_M$, und folgert $(-1)m=-m$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Arbeitet man mit der alternativen Konvention, nach der Ringe nicht notwendig unit"ar zu sein brauchen, so ist die dritte Bedingung nicht mehr sinnvoll und wird weggelassen. Unsere Moduln w"urde man in dieser Konvention als \glqq unit"are Moduln "uber einem unit"aren Ring\grqq\ bezeichnen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ bilden wir wie in \eref{KonsR}{LA1} den Ring $\op{Ab} M=\op{End}M$ aller Gruppenhomomorphismen $\varphi : M \ra M$, den sogenannten {\bf Endomorphismenring von $M$}.\index{Endomorphismenring!von abelscher Gruppe} Seine Addition ist die Addition von Abbildungen, $(\varphi + \psi)(m)\pdef\varphi (m) + \psi (m)$, seine Multiplikation die Verkn"upfung von Abbildungen, $\varphi \psi \pdef \varphi \circ \psi$, und sein Einselement die Identit"at $\op{id} : M \ra M$. \end{Bemerkungl} %% \begin{Lemma}\label{DZ} %% Sei $M$ eine abelsche Gruppe und $R$ ein Ring. %% \begin{enumerate} %% \item %% Ist $\varphi : R \ra \op{Ab} M$ ein Ringhomomorphismus, so macht die %% Vorschrift $rm = (\varphi (r))(m)$ die abelsche Gruppe $M$ zu %% einem $R$-Modul. %% \item %% Ist $M$ ein $R$-Modul, so induziert die Abbildung $\varphi : R \ra %% \op{Ens} M$, $(\varphi (r))(m) =rm$ einen Ringhomomorphismus %% $\varphi : R \ra \op{Ab} M$. %% \end{enumerate} %% \end{Lemma} %% \begin{proof}[Beweis] %% Dem Leser "uberlassen. %% \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abelsche Gruppen als $\DZ$-Moduln}] In obigem Sinne ist eine Struktur als $R$-Modul auf einer abelschen Gruppe $M$ \glqq dasselbe\grqq\ wie ein Ringhomomorphismus $R \ra \op{Ab} M$. \label{AGZZ} F"ur jeden Ring $E$ gibt es nun genau einen Ringhomomorphismus $\DZ \ra E$. Jede abelsche Gruppe $M$ tr"agt also genau eine $\DZ$-Modulstruktur. Wir k"onnen diese Modulstruktur auch explizit beschreiben: F"ur $a \in \DN$ ist notwendig $1m =m$, also $2m = (1+1)m = m+m$, induktiv $(a+1) m = am +m$, und dann auch $(-a)m = (-1)am= -(am)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Sei $\Omega$ eine Menge. Unter einem {\bf $\Omega$-Modul}\index{Modul!"uber Menge} versteht man eine abelsche Gruppe $M$ mitsamt einer Abbildung $\Omega\ra \op{Ab}(M)$ unserer Menge $\Omega$ in den\label{OmeM} Endomorphismenring der abelschen Gruppe $M$. Das ist nun allerdings nichts anderes als ein Modul in unserem bisherigen Sinne "uber dem \glqq nichtkommutativen Polynomring "uber $\DZ$ in durch $\Omega$ indizierten Variablen\grqq, den wir in der Notation aus \eref{FrO}{TF} etwa $\op{Ring}^\ua\Omega$ notieren k"onnten. Insofern bringt uns dieses Konzept nichts Neues und alles, was wir im folgenden zu Moduln "uber allgemeinen Ringen zeigen, gilt a forteriori auch f"ur Moduln "uber Mengen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ist $\varphi : R \ra S$ ein Ringhomomorphismus, so wird jeder $S$-Modul und insbesondere auch $S$ selbst ein $R$-Modul vermittels der Operation $rm = \varphi (r) m$. Dies Verfahren hei"st {\bf Restriktion der Skalare},\index{Restriktion!der Skalare} und zwar selbst dann, wenn der Ringhomomorphismus $\varphi : R \ra S$ nicht die Inklusion eines Teilrings ist. Zum Beispiel ist f"ur jedes Ideal $\frak{a} \subset R$ der Quotient $R/\frak{a}$ aus \eref{RUE}{AL} ein $R$-Modul in nat"urlicher Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Unter dem \defnoind{Zentrum}\index{Zentrum!eines Rings} ${\op{Z}}(R)$ eines Rings $R$ verstehen wir die Menge derjenigen Elemente von $R$, die mit allen anderen Elementen kommutieren, in Formeln $${\op{Z}}(R)=\{ z\in R\mid za=az\;\;\forall a\in R\}$$ Das Zentrum ist stets ein kommutativer Teilring von $R$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{BLOCK} F"ur jede Zerlegung $A = A_1 \oplus \ldots \oplus A_n$ eines Rings in eine Summe zweiseitiger Ideale sind die Summanden $A_i$ unter der induzierten Multiplikation selber Ringe mit Eins-Element $1_r$ f"ur $1 = 1_1 + \ldots +1_n$ die unserer Zerlegung entsprechende Zerlegung der Eins des Rings $A$. Des weiteren liefert dann das Aufaddieren auch einen Ringisomorphismus \begin{equation*} A_1 \times \ldots\times A_n \overset{\sim}{\rightarrow} A \end{equation*} und die $1_i$ liegen im Zentrum von $A$ und haben die Eigenschaft $1_i 1_j = \delta_{ij} 1_i$. Haben wir umgekehrt eine Darstellung $1 =1_1 + \ldots + 1_n$ mit $1_i$ zentral und $1_i1_j = \delta_{ij} 1_i$, so zerf"allt $A$ in das Produkt der Ideale $A_i = \langle 1_i \rangle$. Wir nennen eine solche Darstellung eine {\bf Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale zentrale Idempotente}. Fassen wir in einer derartigen Zerlegung einige Summanden zusammen, so sprechen wir von einer {\bf Vergr"oberung} unserer Zerlegung. Nat"urlich haben je zwei derartige Zerlegungen eine gemeinsame Verfeinerung, bestehend aus allen Produkten von einem Idempotenten der einen Zerlegung und einem Idempotenten der anderen Zerlegung. Existiert eine feinste Zerlegung mit von Null verschiedenen Summanden, so ist sie demnach eindeutig. Die zugeh"orige Zerlegung des Rings hei"st dann seine {\bf Block-Zerlegung}\index{Block-Zerlegung!eines Rings} $A = A_1 \times \ldots \times A_n$ und die zugeh"origen Faktoren $A_i$ hei"sen die {\bf Bl"ocke}\index{Block!eines Rings} des Rings $A$. R"uckblickend k"onnen wir festhalten, da"s bei einem Ring, der eine Zerlegung in eine endliche direkte Summe ihrerseits nicht weiter zerlegbarer zweiseitiger Ideale besitzt, die Summanden wohlbestimmt sind und dann eben die Bl"ocke unseres Rings hei"sen. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{DZ} Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein Ring $R$ induziert das Exponentialgesetz $\op{Ens}(R\times M,M)\sira \op{Ens}(R, \op{Ens}(M,M))$ aus \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $R$-Modul}\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \end{array}\right\} \;\overset{\sim}{\ra} \; \left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\ R\ra \op{Ab}M \end{array}\right\} $$ Im Fall eines K"orpers war das bereits "Ubung \eref{DZk}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{$k[X]$-Moduln als $k$-Vektorr"aume mit Endomorphismus}] Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein K"orper $k$ haben wir nat"urliche Bijektionen\label{KX} $$ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $k[X]$-Modul}\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \end{array}\right\} &\overset{\sim}{\ra} & \left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\ k[X]\ra \op{Ab}M \end{array}\right\}\\[4mm] &&\wr\!\da\\[2mm] \left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\psi,A)$ bestehend aus}\\ \text{einer $k$-Vektorraumstruktur}\\ \psi: k\times M\ra M\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M\\ \text{und einem Endomorphismus}\\ A\in \op{End}_k( M) \end{array}\right\} &\overset{\sim}{\ra}& \left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\varphi,A)$ bestehend aus}\\ \text{einem Ringhomomorphismus}\\ \varphi: k\ra \op{Ab}M\\ \text{und einem mit seinem Bild}\\ \text{kommutierenden Element}\\ A\in \op{Ab}M \end{array}\right\} \end{array} $$ Genauer liefert \ref{DZ} die obere horizontale Bijektion und \eref{EiP}{LA1} die vertikale Bijektion. In diesem Sinne ist also ein $k[X]$-Modul \glqq dasselbe\grqq\ wie ein $k$-Vektorraum mit einem $k$-linearen Endomorphismus. F"ur einen beliebigen Ring $k$ gilt Analoges. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Gegeben Ringe $R_1,\ldots,R_n$ mit Produkt $R=R_1\times\ldots\times R_n$ erhalten wir f"ur jede abelsche Gruppe $M$ eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Strukturen auf $M$}\\ \text{als $R$-Modul} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Zerlegungen $M=M_1\oplus\ldots \oplus M_n$ mit}\\ \text{jeweils einer $R_i$-Modulstruktur auf $M_i$} \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} indem wir in $R$ die Elemente $\op{e}_i=(0,\ldots,1, \ldots,0)$ mit einer $1$ an der $i$-ten Stelle und Nullen sonst betrachten und in $M$ die Untergruppen $M_i\pdef {\op{e}}_iM$ nehmen und sie mit der hoffentlich offensichtlichen von der $R$-Modulstruktur auf $M$ induzierten Struktur eines $R_i$-Moduls versehen. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung} Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ring $R$ und ein Element $m\in M$ hei"st die Teilmenge $$\op{Ann}_R(m)\pdef \{r\in R\mid rm=0\}$$ der {\bf Annullator von $m$}.\index{Annullator}\index{Ann@$\op{Ann}$ Annullator} Man zeige, da"s der jedes Elements ein Linksideal ist. Weiter hei"st die Teilmenge $$\op{Ann}_R(M)\pdef \{r\in R\mid rm=0 \;\forall m\in M\}$$ der Annullator des Moduls $M$. Man zeige, da"s der Annullator eines Moduls stets ein zweiseitiges Ideal ist.\label{Annu} \end{Ubung} \subsection{Homomorphismen, Untermoduln, Quotienten}\label{HQU} \begin{Definition} Eine Abbildung $f: M \ra N$ von einem $R$-Modul in einen weiteren $R$-Modul hei"st {\bf $R$-linear}\index{linear} oder ein {\bf $R$-Modulhomomorphismus},\index{Modulhomomorphismus} wenn gilt $f(m+m^{\prime})=f(m) + f(m^{\prime})$ und $f(r m)= rf(m) \quad \forall m, m^{\prime} \in M$, $r \in R$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Die Gesamtheit aller $R$-Moduln "uber einem vorgegebenen Ring $R$ bildet mit den $R$-Modulhomomorphismen als Morphismen eine Kategorie\index{Mod@$\op{Mod}_R=R\op{-Mod}$ Kategorie der $R$-Moduln} $$R\op{-Mod}$$ In der Sprache der Kategorientheorie ist das Vergessen der $\DZ$-Modulstruktur ein Isomorphismus von Kategorien $\DZ\op{-Mod}\sira \op{Ab}$ zwischen der Kategorie der $\DZ$-Moduln und der Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\label{EnZ} Die Menge aller Homomorphismen von einem $R$-Modul $M$ in einen $R$-Modul $N$ schreiben wir auch $\op{Hom}_{R} (M,N)$.\index{Hom@$\op{Hom}_{R}$} Sie bildet eine Untergruppe und f"ur kommutatives $R$ sogar einen $R$-Untermodul von $\op{Ens} (M,N)$. Ein bijektiver Homomorphismus hei"st ein {\bf Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von Moduln} von $R$-Moduln. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei $R$-Moduln $M$ und $N$, so schreiben wir auch $M\cong M$ und sagen, $M$ und $N$ seien {\bf isomorph}.\index{isomorph!Moduln} Ein Homomorphismus von einem Modul zu sich selbst hei"st ein \defind{Endomorphismus} unseres Moduls. Die Menge aller Endomorphismen des $R$-Moduls $M$ notiert man $\op{End}_R(M)$. Sie bildet einen Ring unter der Verkn"upfung als Multiplikation. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Ich will das Symbol $\op{Hom}$\index{Hom@$\op{Hom}$ ohne Index} ohne Index reservieren f"ur Funktoren, die aus zwei Objekten einer Kategorie ein drittes Objekt derselben Kategorie machen. Nur im Fall von Vektorr"aumen oder kommutativen Ringen darf man dann, wenn man dieser Konvention folgen will, den Grundring aus der Notation weglassen. Die Morphismenmenge in einer beliebigen Kategorie $\mathcal C$ notiere ich $\mathcal C(X,Y)$. Wenn sie mit zus"atzlicher Struktur verstanden werden soll, benutze ich auch $\op{Hom}$, aber dann mit erg"anzenden Indizes. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Modulhomomorphismen vom Grundring zu einem Modul}] Die $R$-Modulhomomorphismen von einem Ring $R$, aufgefa"st als $R$-Modul, zu einem beliebigen weiteren $R$-Modul werden parametrisiert durch die Elemente des besagten $R$-Moduls.\label{RHO} F"ur jeden $R$-Modul $M$ liefert genauer die Abbildungsvorschrift $m \mapsto (r \mapsto rm)$ einen Isomorphismus $$\begin{array}{ccc} M & \sira & \op{Hom}_{R} (R,M)\\ m & \mapsto & (r \mapsto rm) \end{array}$$ von abelschen Gruppen mit Inversem $\varphi\mapsto \varphi(1)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Teilmenge $N \subset M$ hei"st ein \defind{Untermodul} genau dann, wenn $N$ eine Untergruppe ist und wenn zus"atzlich gilt $m \in N$, $r \in R \RA r m \in N$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Untermoduln eines kommutativen Rings sind genau seine Ideale. Die Untermoduln eines allgemeinen Rings hei"sen seine {\bf Linksideale}. \index{Linksideal} Jeder Schnitt von Untermoduln ist wieder ein Untermodul. Ist $T \subset M$ eine Teilmenge eines Moduls $M$, so hei"st der kleinste Untermodul von $M$, der $T$ enth"alt, auch der {\bf von $T$ erzeugte Untermodul}\index{Untermodul!erzeugt von Teilmenge} und wir bezeichnen ihn mit $_R\langle T\rangle$\index{)5>@$_R\langle T\rangle$ Untermodul-Erzeugnis} oder wenn die genaue Bedeutung eh aus dem Kontext hervorgeht etwas nachl"assig mit $\langle T\rangle_R$ oder auch abk"urzend mit $\langle T\rangle$.\index{)5>@$\langle T\rangle_R$ Untermodul-Erzeugnis}\index{)5>@$\langle T\rangle$ Untermodul-Erzeugnis} Man kann den von $T$ erzeugten Untermodul beschreiben als die Menge aller Linearkombinationen $$\{r_{1}t_{1} + \ldots r_{s}t_{s} \mid s \geq 0,\; r_{i} \in R,\; t_{i} \in T \}$$ Hierbei steht die leere Linearkombination mit $s = 0$ f"ur die Null in $M$. Ein Modul, der von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird, hei"st {\bf endlich erzeugt}.\index{endlich erzeugt!Modul} Ein Modul, der von einem einzigen Element erzeugt wird, hei"st {\bf zyklisch}.\index{zyklisch!Modul} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Bild eines Untermoduls unter einem Modulhomomorphismus ist wieder ein Untermodul. Dasselbe gilt f"ur das Urbild eines Untermoduls. Insbesondere sind Bild und Kern eines Modulhomomorphismus stets Untermoduln. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Quotientenmoduln}] Seien $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul und $N \subset M$ ein\label{QouM} Untermodul.\index{Quotientenmodul} \begin{enumerate} \item Es gibt genau eine Struktur eines $R$-Moduls auf der Restklassengruppe $M/N$ aus \eref{KdR}{LA2} derart, da"s die Projektion $\op{can} : M \twoheadrightarrow M/N$ ein Homomorphismus von $R$-Moduln ist; \item Jeder Homomorphismus von $R$-Moduln $\varphi : M \ra M^{\prime}$ mit $ \varphi(N)=0$ faktorisiert in eindeutiger Weise "uber $M/N$, es gibt also zu $\varphi$ genau einen $R$-Modul\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus $\tilde{\varphi} : M /N \ra M^{\prime} $ mit $ \varphi = \tilde{\varphi} \circ \op{can}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sehr "ahnlich zum Beweis der entsprechenden Aussagen im Fall von Vektorr"aumen \eref{QVV}{LA2} und dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Definition} Ein \defind{Subquotient} eines Moduls ist ein Quotient eines Untermoduls. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{MER} Gegeben ein $R$-Modul $M$ wird $M$ ein Modul "uber seinem Endomorphismenring $\op{End}_R(M)$ vermittels der Vorschrift $fm=f(m)$ f"ur alle $f\in \op{End}_R(M)$ und $m\in M$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{RII} Ist $R$ ein Ring und $e\in R$ ein idempotentes Element und $M$ ein $R$-Modul, so induziert das Auswerten bei $e$ eine Bijektion $\op{Hom}_R(Re,M)\sira eM$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} In einem endlich erzeugten Modul umfa"st jedes Erzeugendensystem ein endliches Erzeugendensystem. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{MQR} Sei $R$ ein Ring und $\frak{a}\subset R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul. Bezeichne $\frak{a}M\subset M$ den Untermodul, der von allen Elementen $am$ mit $a\in \frak{a}$ und $m\in M$ erzeugt wird, und der bei sorgf"altigerer Notation eigentlich $\langle \frak{a}M\rangle$ notiert werden m"u"ste. Man zeige, da"s die Operation von $R$ auf $M/\frak{a}M$ in nat"urlicher Weise faktorisiert "uber $R/\frak{a}$, so da"s also $M/\frak{a}M$ in nat"urlicher Weise ein $R/\frak{a}$-Modul wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben ein Ring $R$ und ein $R$-Modul $M$ f"ur jedes Linksideal $ I \subset R$ das Auswerten an der Nebenklasse $1_R +I$ eine Bijektion $\op{Hom}_R (R/I,M) \overset{\sim}{\rightarrow} \{ m \in M \mid I m = 0\}$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PHRI} Gegeben Moduln $M_i$ "uber Ringen $R_i$ kann man das Produkt $M$ der $M_i$ in offensichtlicher Weise mit der Struktur eines Moduls "uber dem Produkt $R$ der $R_i$ versehen. Ergibt sich in derselben Weise ein $R$-Modul $N$ als das Produkt gewisser $R_i$-Moduln $N_i$, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $$\op{Hom}_R(M,N)\sira \prod_i \op{Hom}_{R_i}(M_i,N_i)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an exakte Sequenzen im Sinne von \eref{exSG}{LA2}. Eine Sequenz von Gruppen $M'\ra M\ra M'' $ hei"st {\bf linksexakt}\index{linksexakt} genau dann, wenn die erweiterte Sequenz $1\ra M'\ra M\ra M'' $ exakt ist, wenn sie also in anderen Worten bei $M$ exakt ist und $M'\ra M$ injektiv ist. Wir schreiben linksexakte Sequenzen meist $M'\hra M\ra M'' $. Man zeige: Eine Sequenz $M'\ra M\ra M'' $ von Moduln "uber einem Ring $R$ ist linkssexakt genau dann, wenn f"ur jeden weiteren $R$-Modul $N$ die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(N,M')\ra \op{Hom}_R(N,M)\ra \op{Hom}_R(N,M'')$$ linksexakt ist.\label{les} \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an exakte Sequenzen im Sinne von \eref{exSG}{LA2}. Eine Sequenz von Gruppen $M'\ra M\ra M'' $ hei"st {\bf rechtsexakt}\index{rechtsexakt} genau dann, wenn die erweiterte Sequenz $M'\ra M\ra M'' \ra 1$ exakt ist, wenn sie also in anderen Worten bei $M$ exakt ist und $M\ra M'' $ surjektiv ist. Wir schreiben rechtsexakte Sequenzen meist $M'\ra M\sra M'' $. Man zeige: Eine Sequenz $M'\ra M\ra M'' $ von Moduln "uber einem Ring $R$ ist rechtsexakt genau dann, wenn f"ur jeden weiteren $R$-Modul $N$ die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(M'',N)\ra \op{Hom}_R(M,N)\ra \op{Hom}_R(M',N)$$ linksexakt ist.\label{res} \end{Ubung} \subsection{Summen und Produkte von Moduln}\label{SPM} \begin{Bemerkungl} Die folgenden Konstruktionen verallgemeinern unsere Konstruktionen im Fall von Vektorr"aumen aus \eref{SPV}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ von Moduln "uber einem Ring $R$ bilden wir zwei neue $R$-Moduln, das {\bf Produkt}\index{Produkt!von Moduln} $\prod M_\lambda$ und die {\bf direkte Summe}\index{direkte Summe!von Moduln} oder kurz \defind{Summe} $\bigoplus M_\lambda$ durch die Regeln $$ \begin{array}{ccl} \prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in M_\lambda\}\\[2mm] \bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in M_\lambda,\text{ nur endlich viele $m_\lambda$ sind nicht null}\} \end{array}$$ mit der offensichtlichen komponentenweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren aus $R$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur eine endliche Familie von Moduln $M_{1}, \ldots , M_{s}$ stimmen die direkte Summe und das Produkt "uberein. Wir benutzen dann alternativ die Notationen $$M_{1}\times \ldots \times M_{s}=M_{1}\oplus \ldots \oplus M_{s}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SPMM} Das Produkt beziehungsweise die Summe sind das Produkt beziehungsweise Koprodukt in der Kategorie der $R$-Moduln im Sinne unserer allgemeinen Definitionen \eref{PrKao}{LA2} beziehungsweise \eref{KoPro}{LA2}. Ausformuliert bedeutet das: %haben sie mithin die folgenden Eigenschaften: Die offensichtlichen Einbettungen und Projektionen sind Homomorphismen $$ \op{in}_\lambda: M_\lambda \hra \bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda\qquad\text{ beziehungsweise } \qquad\op{pr}_\lambda:\prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda \sra M_\lambda$$ und\index{in@$\op{in}$, Morphismus in Koprodukt} ist\index{pr@$\op{pr}$, Projektion aus Produkt} $M$ ein weiterer $R$-Modul, so induzieren die durch Vorschalten der $\op{in}_\lambda$ beziehungsweise Nachschalten der $\op{pr}_\lambda$ gegebenen Abbildungen Bijektionen $$\begin{array}{rcc} \op{Hom}_R (\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda, M) & \sira & \prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R (M_{\lambda},M)\\[1mm] f & \mapsto & (f\circ \op{in}_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}\\[4mm] \op{Hom}_R (M, \prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda) & \sira & \prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R (M,M_{\lambda})\\[1mm] f & \mapsto & (\op{pr}_{\lambda}\circ f)_{\lambda\in \Lambda} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ von Untermoduln eines Moduls $M$ bezeichnet man den von ihrer Vereinigung erzeugten Untermodul von $M$ auch als ihre {\bf Summe}\index{Summe!von Untermoduln} und notiert ihn $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$. Diese Summe kann auch interpretiert werden als das Bild eines nat"urlichen Homomorphismus $\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda\ra M$ von der direkten Summe nach $M$. Ist dieser Homomorphismus injektiv, so sagen wir, die \glqq Summe der Untermoduln $M_\lambda$ sei direkt\grqq\ und schreiben statt $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$ auch $\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$. Zwei Untermoduln $N_1,N_2\subset M$ hei"sen {\bf komplement"ar}\index{komplement"ar!Untermoduln} genau dann, wenn ihre Einbettungen einen Isomorphismus $N_1\oplus N_2\sira M$ induzieren. Ein Untermodul, der ein Komplement besitzt, hei"st ein {\bf Summand}.\index{Summand!von Modul} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BMoo} Auch bei Moduln "uber Ringen nennt man eine Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ \defind{linear unabh"angig} genau dann, wenn nur die triviale endliche Linearkombination verschwindet, wenn also f"ur eine Familie $(r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ von Elementen unseres Rings mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Mitgliedern gilt $$\sum_{\lambda\in\Lambda} r_\lambda m_\lambda=0\;\;\RA \text{ alle } r_{\lambda} \text{ sind null}$$ Ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem hei"st wie bei Vektorr"aumen eine {\bf Basis},\index{Basis!von Modul} und wie dort erkl"aren wir die Begriffsvarianten einer {\bf Basis als Teilmenge},\index{Basis!als Teilmenge!von Modul} einer {\bf Basis als Familie},\index{Basis!als Familie!von Modul} und einer {\bf angeordneten Basis}.\index{Basis!angeordnete!von Modul} Allerdings besitzen keineswegs alle Moduln eine Basis, wie man das von Vektorr"aumen gewohnt ist. Die Moduln, die eine Basis besitzen, nennt man {\bf freie Moduln}.\index{frei!Modul}\index{Modul!freier} Die Moduln, die eine Basis bestehend aus genau einem Element besitzen, nenne ich {\bf frei zyklisch}.\index{frei zyklisch!Modul}\index{Modul!frei zyklischer} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} $\DZ/5\DZ$ ist kein freier $\DZ$-Modul, aber durchaus ein freier Modul "uber dem Ring $\DZ/5\DZ$. Jede Familie von Elementen eines Moduls "uber dem Nullring, der notwendig aus genau einem Element besteht, ist eine Basis. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur jede Menge $\Lambda$ ist der Modul $$R\Lambda\pdef \{f:\Lambda \ra R\mid f(\lambda)=0 \text{ f"ur fast alle }\lambda\}$$ frei, denn die Abbildungen, die an einer Stelle den Wert $1$ annehmen und sonst den Wert Null, bilden eine Basis. Wir nennen $R\Lambda$ den {\bf freien $R$-Modul "uber der Menge $\Lambda$}. \index{)8b@$R\Lambda$ freier $R$-Modul "uber $\Lambda$} Nach unseren Definitionen ist umgekehrt eine Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ in einem Modul $M$ eine Basis genau dann, wenn die Abbildung $R\Lambda \ra M$ mit $(r_\lambda)\mapsto \sum r_\lambda m_\lambda$ ein Isomorphismus ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ungewohnte Isomorphismen zwischen freien Moduln}] F"ur beliebige Ringe $R$ folgt aus $R^n\cong R^m$ im allgemeinen keineswegs $n=m$.\label{BRNN} Das einfachste Gegenbeispiel ist der Nullring, und das ist nach \ref{ABTR} auch das einzige kommutative Gegenbeispiel. Unter den nicht kommutativen Ringen gibt es jedoch auch interessantere Gegenbeispiele. Betrachten wir etwa zu einem beliebigen K"orper den freien Vektorraum $V$ "uber der Menge $\DN$, so gibt es einen Isomorphismus $V\sira V\oplus V$, und f"ur den Endomorphismenring $R=\op{End} V$ erhalten wir einen Isomorphismus von $R$-Moduln $R\cong R^2$ als die Verkn"upfung $R=\op{End} V \cong \op{Hom} (V\oplus V,V)\cong R\oplus R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{TREm} Wir erhalten mit \ref{BRNN} auch ein Paar $A\subsetneq B$ bestehend aus einem Ring mit einem echten Teilring und der Eigenschaft, da"s dennoch ein Isomorphismus $A\cong B$ von $A$-Linksmoduln existiert: Betrachten wir $R$ wie in \ref{BRNN} und den Teilring $(R\times R)\subset {\op{Mat}}(2;R)$ der Diagonalmatrizen, haben wir einerseits einen Isomorphismus $(R\times R)^2\cong {\op{Mat}}(2;R)$ von $(R\times R)$-Linksmoduln, soviel gilt sogar f"ur jeden Ring $R$, und andererseits gibt es nach den vorherigen "Uberlegungen auch einen Isomorphismus $(R\times R)\cong (R\times R)^2$ von $(R\times R)$-Linksmoduln. \end{Bemerkunge}\begin{Lemma}[\textbf{Kriterium f"ur die Direktheit einer Summe}] Gegeben eine Familie $(V_i)_{i\in I }$ von Untergruppen einer abelschen Gruppe $V$ ist der nat"urliche\label{Kds} Homomorphismus $\bigoplus_{i\in I } V_i\ra V$ eine Injektion genau dann, wenn f"ur jede endliche Teilmenge $J\subset I$ und jedes $i\in I\backslash J$ gilt $$V_i\cap \sum_{j\in J}V_j=0$$ \end{Lemma} \begin{proof} Ist der nat"urliche Homomorphismus eine Injektion, so folgt aus $i\in I\backslash J$ offensichtlich $V_i\cap \sum_{j\in J}V_j=0$, und das sogar f"ur beliebiges $J\subset I$. Ist der nat"urliche Homomorphismus keine Injektion, so liegt ein von Null verschiedenes Element $v=(v_i)_{i\in I}$ der direkten Summe in seinem Kern. Dieses Element hat nur in endlich vielen Summanden eine von Null verschiedene Komponente, die Menge $K\pdef\{i\mid v_i\neq 0\}$ ist also endlich und wegen $v\neq 0$ auch nicht leer. Per definitionem gilt nun $\sum_{k\in K}v_k=0$. W"ahlen wir $i\in K$ und nehmen $J=K\backslash i$, so folgt $0\neq -v_i=\sum_{j\in J}v_j$ und damit $V_i\cap \sum_{j\in J}V_j\neq 0$. \end{proof} \begin{Satz} F"ur jede freie abelsche Gruppe $F$ ist die offensichtliche Abbildung in das Bidual ein Isomorphismus $F\sira F^{**}$. \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen das nur f"ur $F=\DZ[X]$, der allgemeine Fall geht genauso. Das Dual $F^*$ ist in diesem Fall ein Produkt abz"ahlbar vieler Kopien von $\DZ$ und hei"st die {\bf Baer-Specker-Gruppe}.\index{Baer-Specker-Gruppe} Wir verwenden im folgenden die Inkarnation von $F^*$ als der Potenzreihenring. In Formeln ausgedr"uckt haben wir eine bilineare Abbildung $$\DZ\llbracket X\rrbracket\times \DZ[X]\ra\DZ$$ gegeben durch $(P,Q)\mapsto (\text{der Koeffizient von }X^0\text{ in }P\bar Q)$, wobei $\bar Q$ aus $Q$ entstehe durch Substitution von $X^{-1}$ f"ur $X$. Diese Paarung liefert offensichtlich einen Isomorphismus $\mathbb Z \llbracket X\rrbracket \sira \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z [X], \mathbb Z)$. Es gilt zu zeigen, da"s sie auch einen Isomorphismus $$\mathbb Z [X] \sira \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z \llbracket X\rrbracket, \mathbb Z)$$ induziert. Um das einzusehen, zeigt man zun"achst $$ \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z \llbracket X\rrbracket/\mathbb Z [X], \mathbb Z)=0$$ Jeder Homomorphismus $f: \mathbb Z \llbracket X\rrbracket / \mathbb Z [X] \rightarrow \mathbb Z$ macht jede Nebenklasse einer Reihe der Gestalt $\sum b_i 3^i X^i$ zu Null, da seine Werte darauf durch jede Potenz von drei teilbar sein m"ussen. Auf der Nebenklasse einer beliebigen Reihe $\sum a_i X^i$ kann $f$ also nur gerade Zahlen als Werte annehmen, da $\sum a_i X^i + \sum_{a_i \text{ ungerade}} 3^i X^i$ stets das Doppelte einer anderen Reihe ist. Das zeigt, da"s $f$ Null sein mu"s. Jeder Gruppenhomomorphismus $\mathbb Z \llbracket X\rrbracket \rightarrow \mathbb Z$ ist also durch seine Restriktion auf $\mathbb Z [X]$ bereits eindeutig festgelegt. Es bleibt zu zeigen, da"s eine Linearform $f: \mathbb Z [X] \rightarrow \mathbb Z$, die nicht auf fast allen $X^i$ Null ist, nicht auf $\mathbb Z \llbracket X\rrbracket$ fortgesetzt werden kann. Ist aber $f$ auf unendlich vielen $X^i$ nicht Null, so finden wir eine monoton wachsende Folge $\alpha (0) \leq \alpha (1) \leq \ldots$ von nat"urlichen Zahlen mit $c_n := | f(X^0) 2^{\alpha (0)}+ \ldots + f (X^n)2^{\alpha (n)}| \rightarrow \infty$ f"ur $n \rightarrow \infty$ und $2^{\alpha (n+1)}> 2c_n$ f"ur alle $n \in \mathbb N$. Werten wir dann unsere Linearform auf der Reihe $\sum_{i=0}^\infty 2^{\alpha(i)}X^i$ aus, so mu"s das Ergebnis im Betrag mindestens $c_n$ sein f"ur alle $n$, wie man durch Aufteilen in einen Anfang und einen Schwanz aus $2^{\alpha (n+1)}\DZ\llbracket X\rrbracket$ sieht, und das ist unm"oglich. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige: Jeder endlich erzeugte Modul "uber einem Schiefk"orper $D$ ist isomorph zu $D^n$ f"ur wohlbestimmtes $n\in\DN$. Hinweis: Man kopiere die Argumentation aus der linearen Algebra.\label{dSKK} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein von Null verschiedener Ring. Man gebe ein minimales alias unverk"urzbares Erzeugendensystem des Rings $R\pdef(k\times k)$ als Linksmodul "uber sich selber an, das keine Basis ist. Man gebe eine maximale linear unabh"angige Teilmenge von $\DZ$ als Linksmodul "uber sich selber an, die keine Basis ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{fmDZ} Sei $k$ ein Ring und $k[\varepsilon]\pdef k[T]/\langle T^2\rangle$ mit $\varepsilon=\bar T$ der Ring der {\bf dualen Zahlen "uber $k$}.\index{duale Zahlen} Man zeige: Ein $k[\varepsilon]$-Modul ist frei genau dann, wenn gilt: $M/\varepsilon M$ ist ein freier $k$-Modul und die Multiplikation mit $\varepsilon$ induziert einen Isomorphismus $$M/\varepsilon M\sira \varepsilon M$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QFM} Jeder Modul ist isomorph zu einem Quotient eines freien Moduls. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Moduln $M_1,\ldots,M_m$ und $N_1,\ldots,N_n$ "uber einem Ring $R$ haben wir eine nat"urliche Identifikation\label{SVK} $$\op{Hom}_R(M_1\oplus\ldots\oplus M_m,N_1\oplus\ldots\oplus N_n)\sira \prod_{i,j} \op{Hom}_R(M_j,N_i)$$ Wir werden die Elemente einer endlichen direkten Summe oft als Spaltenvetoren von Elementen der Summanden auffassen und die Homomorphismen zwischen direkten Summen als Matrizen von Homomorphismen zwischen den Summanden. Das erlaubt uns, die Komposition solcher Homomorphismen mit dem Formalismus der Matrixmultiplikation zu berechnen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PVDS} Gegeben eine Familie von Moduln $M_{ij}$ mit $i\in I$, $j\in J$ haben wir stets eine kanonische Injektion $\bigoplus_i(\prod_j M_{ji})\hra \prod_j(\bigoplus_i M_{ji})$, die im allgemeinen aber kein Isomorphismus ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SpM} Das folgende ist eine offensichtliche Verallgemeinerung von \eref{Sp}{LA2}. Sei $R$ ein Ring. Man nennt einen surjektiven Homomorphismus von $R$-Moduln $M\sra M^{\prime\prime} $ {\bf spaltend}, wenn er ein Rechtsinverses besitzt, und nennt solch ein Rechts\-inverses dann eine {\bf Spaltung}.\index{Spaltung!von Modulhomomorphismus} Man zeige: Ist $\varphi : M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ ein surjektiver Homomorphismus, $M^{\prime} \subset M$ sein Kern und $\psi : M^{\prime\prime} \ra M$ eine Spaltung von $\varphi$, so erhalten wir vermittels der Vorschrift $(a^{\prime},a^{\prime\prime}) \mapsto a^{\prime} + \psi (a^{\prime\prime})$ einen Isomorphismus $M^{\prime}\times M^{\prime\prime} \sira M$. Man nennt einen injektiven Modulhomomorphismus $M'\hra M$ {\bf spaltend},\index{spaltend!injektiver Gruppenhomomorphismus} wenn er ein Linksinverses besitzt, und nennt solch ein Links\-inverses auch eine {\bf Spaltung} $\psi$.\index{Spaltung!bei abelschen Gruppen} F"ur $s:M\sra M''$ die Surjektion auf den Kokern unserer Injektion zeige man, da"s $(\psi,s)$ einen Isomorphismus $M\sira M'\times M''$ liefern. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SchSp} Sei $R$ ein Ring. F"ur jeden surjektiven Homomorphismus $f:M\sra F$ von einem $R$-Modul $M$ auf einen freien $R$-Modul $F$ existiert eine Spaltung, als da hei"st ein Homomorphismus $s:F\ra M$ mit $fs=\op{id}_F$. \end{Ubung} \subsection{Rechtsmoduln und Matrizenrechnung} \begin{Definition}\label{ReMo} Sei $R$ ein Ring. Ein \defnoind{$R$-Rechtsmodul}\index{Rechtsmodul} ist ein Paar bestehend aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$ mitsamt einer Abbildung $M \times R\ra M$, $(m, r) \mapsto mr$ derart, da"s gilt f"ur alle $m, n \in M$ und $ r, s \in R:$ $$\begin{array}{ccc} (m+n) r &=& mr+nr\\ m(r+s) &=& mr + ms\\ m(rs)&=& (mr)s\\ m 1 &=& m \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Unsere $R$-Moduln aus Definition \ref{LM} nennt man manchmal auch genauer {\bf Linksmoduln}. Um den Unterschied klar zu machen, definieren wir f"ur jeden Ring $R =(R, +, \cdot)$ den {\bf opponierten Ring}\index{opponiert!Ring}\index{Ring!opponierter} $R^{\op{opp}} = (R, + , \cdot)$ als die abelsche Gruppe $R$ mit der \glqq vertauschten\grqq\ Multiplikation $r^\circ s^\circ = sr$ f"ur $r, s \in R$. Wir verwenden dabei die Notation \eref{oppoGR}{GR}, insbesondere meint $r^\circ$ das Element $r$ aufgefa"st als Element des opponierten Rings. Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s ein $R$-Rechtsmodul dasselbe ist wie ein $R^{\op{opp}}$-Linksmodul, alias eine abelsche Gruppe $M$ mitsamt einem Ringhomomorphimus $R^{\op{opp}} \ra \op{End} M$. Insbesondere braucht man bei kommutativen Ringen zwischen Rechtsmoduln und Linksmoduln keinen Unterschied zu machen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Rechtsmodul. Eine Teilmenge $N \subset M$ hei"st ein Untermodul oder ganz pedantisch \defind{Unterrechtsmodul} genau dann, wenn $N$ eine Untergruppe ist und wenn zus"atzlich gilt $m \in N$, $r \in R \RA mr \in N$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{URMo} Die Unterrechtsmoduln eines Rings hei"sen seine {\bf Rechtsideale}. \index{Rechtsideal} Jeder Schnitt von Untermoduln ist wieder ein Untermodul. Ist $T \subset M$ eine Teilmenge eines Moduls $M$, so hei"st der kleinste Untermodul von $M$, der $T$ enth"alt, auch der \defnoind{von $T$ erzeugte Untermodul}\index{Untermodul!erzeugt von Teilmenge} und wir bezeichnen ihn mit $\langle T\rangle_R$ oder auch abk"urzend mit $\langle T\rangle$. \index{)5>@$\langle T\rangle_R$ Unterrechtsmodul-Erzeugnis} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HMRR} F"ur $R$-Rechtsmoduln $M,N$ nennen wir einen Homomorphismus von abelschen Gruppen $f:M\ra N$ mit $f(mr)=f(m)r$ $\forall m\in M,r\in R$ auch einen \defnoind{Homomorphismus von $R$-Rechtsmoduln} und bezeichnen die Menge aller Homomorphimen von $R$-Rechtsmoduln\index{Hom@$\op{Hom}_{-R}$} mit $$\op{Hom}_{-R} (M,N)$$ Genau wie bei K"orpern haben wir auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{-R} (R^{p},R^{q}) & \sira & {\op{Mat}}(q\times p; R)\\ f\;\;\;\; & \mapsto & [f] \end{array}$$ wo die Spalten der Matrix $[f]= (a_{ij})$ die Bilder unter $f$ der Vektoren $\op{e}_{1} , \ldots , \op{e}_{p}$ der Standardbasis des $R^{p}$ sind, in Formeln $f(\op{e}_{j}) = (a_{1j},\ldots , a_{mj})$ f"ur $1 \leq j\leq p$. Die inverse Abbildung ordnet jeder Matrix $A$ die $R$-rechtslineare Abbildung $x \mapsto Ax$ zu, wo wir die Elemente $x \in R^{p}$ beziehungsweise $A x \in R^{q}$ als Spaltenmatrizen auffassen. Wie bei K"orpern entspricht die Matrixmultiplikation der Verkn"upfung von Abbildungen, in Formeln $[f\circ g]= [f]\circ [g]$, und $f$ ist ein Isomorphismus genau dann, wenn seine Matrix $[f]$ invertierbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur die Kategorie der Rechtsmoduln "uber einem Ring $R$ verwenden wir die beiden Notationen\index{Mod@$\op{Mod}_{-R}=\op{Mod-}R$ Rechtsmoduln} $$\op{Mod-}R=\op{Mod}_{-R}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $R$-Rechtsmoduln $M,N$ mit endlichen angeordneten\label{HMRRb} Basen $\mathcal A, \mathcal B$ der Kardinalit"aten $p,q$ erhalten wir genau wie bei K"orpern auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{-R} (M,N) & \sira & {\op{Mat}}(q\times p; R)\\ f\;\;\;\; & \mapsto & _{\mathcal B}[f]_{\mathcal A} \end{array}$$ und nennen wieder $_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ die {\bf darstellende Matrix der Abbildung $f$ in Bezug auf die Basen $\mathcal A$ und $\mathcal B$}. \index{darstellende Matrix!bei Moduln} Die Formel ${}_{\mathcal C} [g\circ f]_{\mathcal A} = {}_{\mathcal C}[g]_{\mathcal B} \circ {}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ gilt entsprechend. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Definition der Determinante quadratischer Matrizen mit Eintr"agen in einem Kring durch die Leibnizformel \eref{DefD}{LA1}, an die Multiplikationsformel $\det (AB)=(\det A)( \det B)$ aus \eref{MuDet}{LA1} und daran, da"s eine quadratische Matrix nach \eref{InvD}{LA1} genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante eine Einheit in fraglichen kommutativen Ring ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Leibnizformel ist zwar auch f"ur nichtkommutative Ringe noch sinnvoll, aber die Formel $\det (AB)=(\det A)( \det B)$ ist dann nicht mehr richtig, und deshalb sind Determinanten in der Allgemeinheit nichtkommutativer Ringe nicht mehr von Nutzen. \end{Bemerkunge} % \begin{Definition} % Ist $R$ ein kommutativer Ring, % so bilden wir f"ur quadratische Matrizen $A = % (a_{ij})^{n}_{i,j=1} \in {\op{Mat}}(n\times n; R)$ die {\bf % Determinante}\index{Determinante} durch die Vorschrift % $$\det A = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{n}} (\op{sgn} \sigma) a_{1\sigma (1)} % \ldots a_{n\sigma (n)}$$ % falls $n\neq 0$ und $\det A =1$ im Fall $n = 0$. % \end{Definition} % \begin{Proposition}[\defnoind{Multiplikativit"at % der Determinante}\index{Multiplikativit"at!der Determinante}] % Sei $R$ ein kommutativer Ring. % \begin{enumerate} % \item % F"ur je zwei quadratische $n \times n$-Matrizen $A, B \in {\op{Mat}} (n % \times n;R)$ gilt % $$\det (AB) = (\det A) (\det B)$$ % \item % Genau dann ist eine quadratische Matrix $A$ invertierbar in ${\op{Mat}} (n\times n; % R)$, wenn % ihre % Determinante eine Einheit von $R$ ist, wenn also in Formeln % gilt $(\det A) \in R^{\times}$. % \end{enumerate} % \end{Proposition} % \begin{proof}[Beweis] % 1. % Die Multiplikativit"at % der Determinante % ist f"ur Matrizen mit Eintr"agen in einem K"orper \ref{MuDet} % bekannt aus der % linearen % Algebra und der erste unserer beiden Beweise % funktioniert ohne "Anderungen auch in unserer Situation hier. % Alternativ kann man auch wie folgt argumentieren: % Die Multiplikativit"at % der Determinante folgt sicher f"ur Matrizen mit Eintr"agen % im Integrit"atsbereich % $$\DZ [X_{ij}, Y_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}$$ % denn der ist ein Teilring seines Quotientenk"orpers. In diese % abstrakte Identit"at k"onnen wir dann f"ur die $X_{ij}$ % und $Y_{ij}$ Elemente % eines beliebigen kommutativen Rings einsetzen, und die Behauptung % folgt. % \\[2mm] % \noindent % 2. % Aus der Multiplikativit"at % der Determinante folgt, da"s die Determinante jeder invertierbaren Matrix eine % Einheit ist. % Um die Umkehrung zu zeigen, erinnern wir uns an feinere Aussagen % des Determinantenkalk"uls. % F"ur eine quadratische Matrix $A \in {\op{Mat}} (n \times n; R)$ bildet man % dort % die adjungierte Matrix % $A^{\#} \in {\op{Mat}} (n \times n; R)$ mit Eintr"agen % $$A^{\#}_{ij} = (-1)^{i+j} \det A^{ji}$$ % wo $A^{ji}$ die $(n -1) \times (n-1)$-Matrix bezeichnet, die aus % $A$ entsteht durch Streichen der $j$-ten Zeile und der $i$-ten % Spalte. % F"ur Koeffizienten in einem K"orper zeigt man in der linearen % Algebra % $$A^{\#} A = (\det A) I$$ % mit $I$ der $(n \times n)$-Einheitsmatrix. % "Ahnlich wie im ersten Teil des Beweises "ubertr"agt man diese % Formel dann auf beliebige kommutative Ringe $R$. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Wohlbestimmtheit des Rangs}] Ist $R$ ein kommutativer Ring und nicht der Nullring, so folgt f"ur $m,n\in\DN$ aus der Existenz eines Isomorphismus von Moduln $R^n\cong R^m$ bereits $n=m$. \label{ABTR} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ein alternativer Beweis wird in "Ubung \ref{NKR} skizziert. Ein Gegenbeispiel f"ur nichtkommutative Ringe erkl"art \ref{BRNN}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ein Isomorphismus $R^n\cong R^m$ wird notwendig beschrieben durch Matrizen $A$ und $B$. W"are $n\neq m$, so w"aren unsere Matrizen nicht quadratisch. Hat ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $A$ mehr Zeilen als Spalten und erg"anzen wir unsere Matrizen durch Nullen zu quadratischen Matrizen $\tilde{A}$ und $\tilde{B}$, so gilt immer noch $\tilde{A}\tilde{B}=I$ mit $I$ der Einheitsmatrix, im Widerspruch zu $\det\tilde{A}=0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $M$ ein endlich erzeugter freier Modul "uber einem kommutativen Ring $R\neq 0$, so hei"st die Zahl $n\in\DN$ mit $M\cong R^n$ der \defnoind{Rang}\index{Rang!von Modul} von $M$. Das Beispiel \ref{BRNN} zeigt, da"s man "uber nichtkommutativen Ringen im allgemeinen nicht mehr sinnvoll vom Rang eines freien Moduls reden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{AP} Es gibt Schiefk"orper $K\subset L$ derart, da"s $L$ "uber $K$ endlich erzeugt ist als Linksmodul, nicht aber als Rechtsmodul. Die Frage nach einem solchen Beispiel war lange als {\bf Artin's Problem}\index{Artin's Problem} bekannt. Eine explizite Konstruktion kann man in \cite{CohnSKF} finden. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ENRj} Gegeben ein Ring $R$ liefert die durch Rechtsmultiplikation gegebene Abbildung aus \ref{RHO} einen Ringisomorphismus $R^{\op{opp}}\sira \op{End}_R(R)$ und die durch Linksmultiplikation gegebene Abbildung einen Ringisomorphismus $R\sira \op{End}_{-R}(R)$. Hier ist es wichtig zu erinnern, da"s in unseren Konventionen Ringe stets ein Einselement haben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben ein Kring $R$ und $n\in\DN$ ist jeder surjektive Homomorphismus $R^n\sra R^n$ bereits ein Isomorphismus.\label{FreRU} Hinweis: Man finde ein Halbinverses und rechne mit Matrizen. Weiter zeige man: Ist $S\subset R$ ein Teilring und der $R$-Modul $M$ sowohl "uber $R$ als auch "uber $S$ frei vom Rang $n$, so gilt $S=R$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{UbMo} F"ur jeden Ring $R$ und jede nat"urliche Zahl $n\geq 1$ liefert die Zuordnung $M\mapsto M^n$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$R\op{-Mod} \;\;\sirra\;\; {\op{Mat}} (n; R) \op{-Mod}$$ In anderen Worten ist jeder Modul "uber $S\pdef{\op{Mat}} (n; R)$ isomorph zu einem Modul der Gestalt $M^n$ mit $M\in R\op{-Mod}$ und unsere Zuordnung induziert Bijektionen $\op{Hom}_R(M,N)\sira \op{Hom}_S(M^n,N^n)$. %Etwas allgemeiner ist f"ur jeden freien $R$-Rechtsmodul %$V$ mit Endomorphismenring $E\pdef\op{End}_{-R}(V)$ %die Zuordnung $M\mapsto V\otimes_R M$ %eine "Aquivalenz von Kategorien %$R\op{-Mod} \sirra E \op{-Mod}$. Diese Aussagen sind im "ubrigen Spezialf"alle unserer allgemeinen "Uberlegungen \eref{BMA}{TS} zur Tensor-Hom-Adjunktion und erste Beispiele der sogenannten {\bf Morita-"Aquivalenz}.\index{Morita-"Aquivalenz!Erste Beispiele} \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jeder endlich erzeugte freie Modul "uber eine endliche Basis besitzt.\label{EBA} \end{Ubung} \subsection{Ganzzahlige symplektische Formen**} \begin{Satz}[\textbf{Symplektische Formen "uber $\mathbb Z$}] Gegeben eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe $\Gamma$ mit einer nichtausgearteten\index{symplektische Form!ganzzahlige} alternierenden Bilinearform\label{GSY} $\omega : \Gamma \times \Gamma \rightarrow \mathbb Z$ existiert stets eine Basis von $\Gamma$, bez"uglich derer die Matrix unserer Form eine Blockmatrix der Gestalt \begin{displaymath} \begin{pmatrix} 0 & D\\ -D &0 \end{pmatrix} \end{displaymath} ist mit $D = \op{diag}(d_1, \ldots, d_r)$ und $d_i > 0$ und $d_i | d_{i+1} $ f"ur alle $ i$. Die $d_i$ sind dabei durch die Form $\omega$ eindeutig bestimmt. \end{Satz} \begin{proof} Wir w"ahlen $\lambda, \mu \in \Gamma$ derart, da"s $\omega (\lambda, \mu)=d$ die kleinstm"ogliche positive Zahl ist, die so dargestellt werden kann. Dann behaupten wir $ \Gamma = \langle \lambda, \mu \rangle \oplus \langle \lambda, \mu \rangle^{\perp}. $ Aus Dimensionsgr"unden gilt das "uber $\mathbb Q$. F"ur jedes $\gamma \in \Gamma$ finden wir also $m \in \mathbb Z_{>0}$ derart, da"s $m \gamma$ eine Darstellung \begin{equation*} m\gamma = a \lambda + b\mu + \kappa \end{equation*} besitzt mit $\kappa \in \langle \lambda, \mu \rangle^\perp.$ Es folgt sofort $ m \omega (\gamma, \mu) = da. $ W"are $m$ kein Teiler von $a$, so w"are $d$ kein Teiler von $\omega (\gamma, \mu)$ und wir k"onnten $x,y \in \mathbb Z$ finden mit $0 < x \omega (\gamma, \mu) +\gamma \omega (\lambda, \mu) = \omega (x \gamma +\gamma \lambda, \mu)n$ beziehungsweise $n-r$ Kopien der exakten Sequenzen $0\ra R \stackrel{\op{id}}{\ra}R \ra 0$ im Fall $n>m$, so erhalten wir mit \eref{PexA}{LA2} die untere Horizontale in einem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen $$ \xymatrix{ R ^m \ar[r]^{A\circ} & R ^n \ar[d]_{P\circ}^{\wr}\ar[r] & M\ar[r]&0\ar[d]\\ R ^m \ar[u]_{\wr}^{Q\circ} \ar[r]^{D\circ}& R ^n \ar[r] & R /\langle d_1 \rangle \times \ldots \times R /\langle d_r \rangle \times R ^{n-r} \ar[r]&0 }$$ Damit liefert \eref{QRET}{LA2} oder vielmehr eine offensichtliche Variante dieses Resultats f"ur Moduln einen Isomorphismus $M\sira R /\langle d_1 \rangle \times \ldots \times R /\langle d_r \rangle \times R ^{n-r}$. % Dieses Diagramm liefert einen % Isomorphismus zwischen $G$ und dem Quotienten von $\Bbb{Z}^n$ nach dem % Bild der unteren Horizontalen: In der Tat ist ja nach Konstruktion und % \ref{ISa} die Gruppe $G$ isomorph zum Quotienten % von $\Bbb{Z}^n$ nach dem % Bild der oberen Horizontalen, und einen Isomorphismus zwischen % diesen beiden Quotienten liefert etwa \ref{unin}. % Der Quotient nach dem % Bild der unteren Horizontalen % ist nun aber offensichtlich isomorph zu % $$\Bbb{Z}/d_1 \Bbb{Z} \times \ldots \times \Bbb{Z}/d_r \Bbb{Z} \times % \Bbb{Z}^{n-r}$$ Lassen wir von unserer Folge $d_1 | d_2 | \ldots | d_r$ alle Einheiten vorne weg und erg"anzen am Ende $(n-r)$ Nullen und drehen die Nummerierung um, so erhalten wir eine Folge $a_{s}| \ldots| a_{1}$ derart, da"s die von ihren Gliedern erzeugten Ideale eine Kette bilden wie im Satz \ref{KIK} gefordert, und die Existenz dort ist gezeigt. Um die Eindeutigkeit zu zeigen bemerken wir, da"s f"ur jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und jedes irreduzible Element $p$ und alle $n \geq 1$ der Quotient $p^{n-1}M/p^{n} M$ nach \ref{MQR} % und \ref{ee} ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber dem Restklassenring $R/\langle p\rangle$ ist, der hinwiederum nach \eref{Ubb}{AL} ein K"orper sein mu"s. Wir notieren seine Dimension $$D^n_p (M)\pdef \op{dim}_{R/\langle p\rangle}(p^{n-1}M/p^{n} M)$$ Man folgert unmittelbar $D^n_p (M\times N)=D^n_p (M)+D^n_p (N)$ f"ur je zwei endlich erzeugte $R$-Moduln $M$ und $N$. F"ur zyklische $R$-Moduln $M \cong R /aR $ behaupten wir nun $$\begin{array}{ccc} D^n_p ( R /a R ) &=& \left\{ \begin{array}{cl} 1 & p^{n} \text{ teilt } a;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array}\right. \end{array}$$ In der Tat ist das klar f"ur $a=p^m$, f"ur $a$ teilerfremd zu $p$ ist es eh klar, und mit dem chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL} folgt es im allgemeinen. F"ur eine Zerlegung $M \cong R/\langle d_{1}\rangle \times \ldots \times R/\langle d_{s}\rangle$ wie in \ref{KIK} finden wir also $$D^n_p ( M )=|\{i\mid p^{n}\text{ teilt }d_i\}|$$ Die Zahl der Nullen unter unseren $d_i$ wird damit f"ur jedes $p$ gegeben durch die Formel $|\{i\mid d_i=0\}|=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M )$, und welche Potenz von jedem irreduziblen Element $p$ in jedem von Null verschiedenen $d_i$ stecken mu"s, kann man an den Zahlen $D^n_p(M)$ auch ablesen. Folglich h"angen die Ideale $\langle d_i\rangle$ nur von $M$ und nicht von der gew"ahlten Zerlegung ab. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis von \ref{zk}] % Die Existenz folgt aus \ref{ek} mit dem Chinesischen Restsatz \ref{CR}. % Die Eindeutigkeit erkennt man, indem man sich "uberlegt, da"s % verschiedene Folgen $a_1 |a_2|\ldots| a_s$ auch zu verschiedenen % Produkten wie in \ref{zk} f"uhren. Genauer kann man $a_1$ beschreiben % als das Produkt der jeweils h"ochsten Primzahlpotenzen f"ur alle % vorkommenden Primzahlen, $a_2$ % als das Produkt der jeweils zweith"ochsten und so weiter, % bis am Ende die Zahl der Nullen gerade die Zahl der Faktoren % $\DZ$ in der Zerlegung \ref{zk} sein mu"s. % \end{proof} \begin{proof} Aus \ref{KIK} folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem wir im Fall $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d_i$ von $\frak{a}_{i}$ als Produkt von paarweise teilerfremden Primpotenzen $d_i = q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und mit dem chinesischen Restsatz zerlegen $$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$ F"ur die Eindeutigkeit argumentieren wir wie im vorhergehenden Beweis: F"ur $M \cong R^{r} \times R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{t}R$ wie in \ref{NFF} finden wir diesmal $$D^n_p ( M )=r+ |\{i\mid p^{n}\text{ teilt }q_i\}|$$ Wenden wir diese Erkenntnis an auf alle irreduziblen Elemente $p$, so folgt die im Satz behauptete Eindeutigkeit ohne weitere Schwierigkeiten: Die Zahl der Primpotenzen $q_i$, die bis auf eine Einheit $p^n$ sind, mu"s n"amlich bei jeder Zerlegung gerade $D^{n}_p ( M )-D^{n+1}_p ( M )$ sein, und den Rang $r$ des freien Anteils k"onnen wir als die auch von allen Wahlen unabh"angige Zahl $r=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M )$ beschreiben, f"ur jedes irreduzible Element $p$. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis der beiden S"atze] % Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit im zweiten Satz % und zeigen zun"achst die Eindeutigkeit von $s$. % Sei $Q=\op{Quot} R$ der Quotientenk"orper von $R$. % Wir behaupten % $$ s = \dim_{Q} \op{Hom}_{R} (M,Q),$$ % wo wir f"ur jeden $R$-Modul $M$ den Raum $\op{Hom}_{R} (M,Q)$ % als Untervektorraum auffassen im Raum aller Abbildungen von $M$ nach $Q$. % Nach den allgemeinen Eigenschaften der direkten Summe gilt in der Tat % $$\op{Hom}_{R} (M,Q)=\op{Hom}_{R} (R/q_{1}R,Q) % \times \ldots \times \op{Hom}_{R}(R/q_{t}R,Q) \times % \op{Hom}_{R}(R,Q)^{s}$$ % Nach \ref{RHO} gilt $\op{Hom}_{R}(R,Q)\cong Q$ % und wir m"ussen nur noch zeigen, % da"s gilt % $\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=0$ f"ur jedes % von Null verschiedene Ideal $\frak{a} \subset R$. % In der Tat k"onnen wir aber diesen Raum identifizieren als % $$\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=\{ f \in \op{Hom}_{R} (R,Q) % \mid f|_\frak{a} =0\}$$ % und da jeder von Null verschiedene $R$-Modulhomomorphismus $f: R % \ra Q$ injektiv ist, kann nur Nullabildung auf einem von Null % verschiedenen Ideal verschwinden. Das zeigt die Eindeutigkeit von $s$. % Um auch die Eindeutigkeit der auftauchenden Primpotenzen zu zeigen, % betrachten wir f"ur $n\geq 1$ und jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und % jedes irreduzible Element $p\in R$ den K"orper $R/pR$ und die nat"urlichen % Zahlen % $$d^n_p(M)=\dim_{R/pR} (p^{n-1}M/p^{n}M)$$ % Sie haben die folgenden Eigenschaften: % \begin{enumerate} % \item % $d^n_p(M\oplus N)=d^n_p(M)+d^n_p(N)$ f"ur alle $p$ und $n$ % und $N$ auch endlich erzeugt. % \item % $d^n_p(R)=1$ f"ur alle $p$ und $n$. % \item % Ist $\pi$ ein weiteres irreduzibles Element von $R$, so gilt % $$d^n_p(R/\pi^mR)=\left\{\begin{array}{ll} % 1&\pi\in R^\times p,\;m\leq n;\\ % 0&\text{sonst.}\end{array}\right$. $ % \end{enumerate} % Hier ist die erste Eigenschaft offensichtlich. % F"ur $\pi=p$ induziert die Multiplikation mit $p^{n-1}$ % Isomorphismen $R/pR\sira p^{n-1}R/p^{n}R$, und das % zeigt 2 sowie in 3 alle F"alle mit $\pi\in R^\times p$. % Im verbleibenden Fall $\pi\not\in R^\times p$ % ist die Restklasse von $p$ eine Einheit in $R/\pi^m R$ % und das zeigt $d^n_p(R/\pi^m R)=0$ f"ur alle $m$. % Damit erhalten wir f"ur jedes irreduzible $p \in R$ und $n \geq 1$ % die Formel % $$d^n_p(M) = s +\# \{ i \mid p^{n} \text{ % teilt } q_{i}\},$$ % und das zeigt die Eindeutigkeit der $q_{i}$ bis auf % Reihenfolge und Einheiten. % Als n"achstes zeigen wir die Existenz im ersten Satz. % Sei also $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Sicher finden wir % eine Surjektion % $p:R^{m} {\twoheadrightarrow} M$. Da $R$ noethersch ist, % ist $\ker p$ auch endlich erzeugt und wir finden eine Surjektion % $f:R^{n} {\twoheadrightarrow} \ker p$. % Jetzt fassen wir $f$ auf als eine Abbildung $f: R^{n} \ra R^{m}$ % und haben $M \cong R^{m} / \op{im} f$. % Nach Satz \ref{ES} finden wir aber $X,Y$ invertierbar und $D$ % diagonal derart, da"s das Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % R^{n} & \overset{f}{\longrightarrow} & R^{m}\\ % X \uparrow \;\;\;\;& & \;\;\downarrow Y\\ % R^{n} & \overset{D}{\longrightarrow} & R^{m} % \end{array}$$ % kommutiert, und k"onnen f"ur die Diagonaleintr"age von $D$ sogar % $d_{11}|d_{22}|\ldots | d_{rr}$ erreichen mit $r = \min (m,n)$. % Es folgt % $$\begin{array}{ccl} % M & \cong & R^{m}/\op{im} D\\ % & \cong & R/d_{11}R \times \ldots \times R/d_{rr}R \times R^{m-r} % \end{array}$$ % In dieser Darstellung d"urfen wir die Terme mit $d_{ii} \in R^{\times}$ % weglassen und erhalten so die Existenzaussage in Satz \ref{KIK}. % Daraus folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem % wir im Fall $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d$ von $\frak{a}_{i}$ % als Produkt von paarweise teilerfremden Primpotenzen $d = % q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und mit dem chinesischen Restsatz % zerlegen % $$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$ % Umgekehrt zeigt die bereits bewiesene Eindeutigkeit in Satz % \ref{NFF} auch die behauptete Eindeutigkeit in Satz \ref{KIK}, wir % haben notwendig $\frak{a}_{1} = \ldots = \frak{a}_{s} =0$, dann ist % $\frak{a}_{s+1}$ erzeugt vom Produkt der jeweils gr"o"sten unter den $q_{i}$ % vorkommenden Potenzen der verschiedenen Primelemente, und so % weiter. % \end{proof} \begin{Korollar}[\defind{Jordan'sche Normalform}] Seien $k$ ein algebraisch abgeschlossenen K"orper, $V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und\label{JNF} $A : V \ra V$ eine lineare Abbildung. So gibt es eine Basis von $V$ derart, da"s die Matrix von $A$ bez"uglich dieser Basis blockdiagonal ist, wobei die Bl"ocke konstant sind auf der Diagonale, konstant Eins auf der ersten oberen Nebendiagonale, und Null an allen anderen Stellen. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Das ist genau unser Satz \eref{JNFa}{LA2} aus der linearen Algebra, der hier also ein weiteres Mal bewiesen wird. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Mithilfe von \ref{KX} fassen wir $V$ als Modul "uber dem Polynomring $k[X]$ auf und mit \ref{NFF} finden wir einen Isomorphismus von $k[X]$-Moduln $$V \cong k [X]/\langle(X-\lambda_{1})^{n_{1}}\rangle \times \ldots \times k[X]/\langle(X-\lambda_{t})^{n_{t}}\rangle$$ W"ahlen wir auf der rechten Seite im Summanden $k [X]/\langle(X-\lambda)^{n}\rangle$ als angeordnete Basis die Nebenklassen von $ {(X-\lambda)}^{n-1}, \ldots, {(X-\lambda)}$ und $1$, so erh"alt man die Matrix der Multiplikation mit $X$, indem man zun"achst die Matrix der Multiplikation mit $(X-\lambda)$ berechnet und dann die Diagonalmatrix $\lambda I$ addiert. So erkennt man dann leicht, da"s die Matrix der Multiplikation mit $X$ die gew"unschte Form hat. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Auf "ahnliche Weise erh"alt man auch Normalformen f"ur die Matrizen von Endomorphismen "uber nicht notwendig algebraisch abgeschlossenen K"orpern, wie in den folgenden "Ubungen ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMNWF}\\[4mm] \noindent Illustration zu \ref{WNF} \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{WNF} Jedes normierte Polynom $P\in k[X]$ ist bis auf Vorzeichen das charakteristische Polynom der $k$-linearen Abbildung $$(X\cdot):k[X]/\langle P\rangle\ra k[X]/\langle P\rangle$$ Hat unser Polynom die Gestalt $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_0$, so bilden die Nebenklassen von $1,X,\ldots,X^{n-1}$ eine angeordnete Basis des Quotienten, und in Bezug auf diese Basis hat die durch Multiplikation mit $X$ gegebene $k$-lineare Abbildung die in nebenstehender Abbildung angegebene Matrix. Hinweis: Eine Methode ist die explizite Berechnung mithilfe der Determinante. Alternativ mag man $k$ algebraisch abgeschlossen annehmen und sich mithilfe des chinesischen Restsatzes auf den Fall zur"uckziehen, da"s $P$ eine Potenz eines linearen Polynoms ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Charakteristisches Polynom eines $K[X]$-Moduls}] Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus\label{KEC} eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Genau dann hat $A$ das charakteristische Polynom $P$, wenn es eine Faktorisierung $P=Q_1\ldots Q_r$ gibt derart, da"s der $(V,A)$ entsprechende $k[X]$-Modul isomorph ist zu $$k[X]/\langle Q_1\rangle\times\ldots\times k[X]/\langle Q_r\rangle$$ Man nutze diese Erkenntnis, um einen alternativen Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton \eref{CaHa}{LA1} zu geben. Hinweis: Man verwende \ref{WNF} und \ref{KIK} oder \ref{NFF}. In anderen Worten kann das Aufmultiplizieren einer endlichen Multimenge von Null verschiedener Polynome bis auf eine multiplikative Konstante aus $k^\times$ demnach geschrieben werden als die Verkn"upfung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} _\mu\{ Q_1, \ldots , Q_r\} &\in &\left\{ \begin{array}{c}\text{endliche Multimengen}\\ \text{von Polynomen aus } k [X]\backslash 0 \end{array} \right\}\\ \da&&\da\\ k [X]/ \langle Q_1\rangle \times \ldots \times k [X]/ \langle Q_r \rangle & \in & \left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\ k[X]\text{-Moduln} \end{array} \right\}\\ & & \downarrow\\ (V,A)&\in&\left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\ k\text{-Vektorr"aume }V\\ \text{mit Endomorphismus} \end{array} \right\} \\ \da&&\da\\ \chi_A & \in & k [X] \end{array} \end{displaymath} mit unserer Entsprechung $M\mapsto (M,(X\cdot))$ aus \ref{KX} als mittlerem Pfeil. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Genau dann liefert $(V,A)$ einen $ k[X]$-Modul, der isomorph ist zu $k[X]/\langle P\rangle$ f"ur ein Polynom $P\in k[X]$, wenn es einen Vektor $v\in V$ gibt derart, da"s die $A^iv$ den Vektorraum $V$ erzeugen. Ein derartiger Vektor hei"st auch ein {\bf zyklischer Vektor}.\index{zyklisch!Vektor!eines Endomorphismus} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Kommen im charakteristischen Polynom $\chi_A$ von $A$ keine $k$-irreduziblen Faktoren mehrfach vor, so liefert $(V,A)$ einen $ k[X]$-Modul, der isomorph ist zu $k[X]/\langle \chi_A\rangle$. \end{Ubunge} \subsection{K"orpertheoretischer Nullstellensatz} \begin{Definition} Unter einer {\bf Kringerweiterung}\index{Kringerweiterung} %eines Krings $A$ verstehen wir ein Paar $A\subset B$ bestehend aus einem Kring $B$ mit einem Teilring $A$. Sp"ater verstehen wir darunter auch allgemeiner einen beliebigen injektiven Kringhomomorphismus. \end{Definition} \begin{Definition}\label{defg} Sei $A\subset B$ eine Kringerweiterung. \begin{enumerate} \item Wir sagen, $B$ sei {\bf von endlichem Typ}\index{endlicher Typ!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$ oder {\bf ringendlich}\index{ringendlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$, wenn $B$ als Ring von $A$ zusammen mit endlich vielen weiteren Elementen erzeugt werden kann. \item Wir sagen, $B$ sei {\bf endlich}\index{endlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$ oder genauer {\bf modulendlich}\index{modulendlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$, wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist. \item Ein Element $b\in B$ hei"st {\bf ganz "uber $A$},\index{ganz!Element von Kringerweiterung} wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in $A$ ist, wenn also eine Gleichung der Gestalt $$b^{n}+a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{1}b + a_{0}=0$$ gilt mit $n\geq 1$ und $a_{i} \in A$. Im Fall einer K"orpererweiterung $A\subset B$ sagt man stattdessen auch, $b$ sei {\bf algebraisch "uber $A$}. \end{enumerate} Analog verwenden wir diese Begriffe auch f"ur beliebige Kringhomomorphismen $A\ra B$, die nicht notwendig Einbettungen von Teilmengen, ja noch nicht einmal injektiv zu sein brauchen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Fall von K"orpererweiterungen reicht in Teil 3 die Forderung, da"s wir ein von Null verschiedenes Polynom finden. Im Fall von Kringerweiterungen jedoch ist die Forderung wesentlich, da"s das Polynom in Teil 3 normiert sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{zui} Gegeben ein von Null verschiedener Kring $R$ und die Kringerweiterung $R[T]\subset R[T,T^{-1}]$ ist $T^{-1}$ nicht ganz "uber $R[T]$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{HHKEh} Ich erinnere die in \eref{HHKE}{AL} eingef"uhrten Begriffsbildungen und Notationen. Sei $A$ ein Kring. Unter einem {\bf $A$-Kring}\index{Kring!$k$-Kring|main} verstehen wir ein Paar $(B,\varphi)$ bestehend aus einem Kring $B$ und einem Kringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$. Ist $(C,\psi)$ ein weiterer $A$-Kring, so verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von $A$-Kringen}\index{Homomorphismus!von $A$-Kringen} $B\ra C$ einen Kringhomomorphismus ${\eta}:B\ra C$ mit $\eta\circ {\varphi}=\psi$. Alternativ sprechen wir auch von einem {\bf Homomorphismus "uber $A$}.\index{Homomorphismus!"uber Grundkring} Die Menge aller solchen Homomorphismen notieren wir\index{Kring@$\op{Kring}^{A}$} $$\op{Kring}^{A}(B,C)$$ Einen bijektiven Kringhomomorphismus "uber $A$ nennen wir auch einen \defnoind{Isomorphismus von $A$-Kringen} oder einen \defnoind{Isomorphismus "uber $A$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Unser $\op{Kring}^{A}$ ist ebenso wie seine nichtkommutative Variante $\op{Ring}^{A}$ ein Speziallfall der allgemeinen kategorientheoretischen Konstruktion \eref{KaUu}{TF} der Kategorie $\mathcal C^X$ der \glqq Objekte unter $X$\grqq\ zu einer Kategorie $\mathcal C$ mit einem ausgezeichneten Objekt $X$. % Wenn $A$ selbst durch einen gr"o"seren Ausdruck gegeben ist, verwende % ich f"ur diese Kategorien auch die \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ verstehe ich wie in \eref{RAlg}{LA2} unter einer\label{kALL} {\bf $k$-Algebra}\index{Algebra!"uber Kring} einen $k$-Modul $M$ mitsamt einer $k$-bilinearen Abbildung $M\times M\ra M$. Hier bedeutet \glqq bilinear\grqq\ wie im Fall eines K"orpers $k$ die Linearit"at in beiden Eintr"agen. "Ublich ist in diesem Zusammenhang die Konvention, da"s man eine Algebra stets als assoziativ versteht, wenn aus dem Kontext nichts anderes hervorgeht. Ist die bilineare Verkn"upfung assoziativ und besitzt $M$ dazu noch ein neutrales Element, so nenne ich $M$ eine {\bf $k$-Ringalgebra},\index{Ringalgebra!"uber Kring} und ist sie zus"atzlich auch noch kommutativ, eine {\bf $k$-Kringalgebra}.\index{Kringalgebra!"uber Kring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der hier gew"ahlten Terminologie ist f"ur jeden Kring $k$ eine $k$-Kring\-algebra \glqq dasselbe\grqq\ wie ein $k$-Kring: Die Multiplikation eines $k$-Krings $(B,\varphi)$ zusammen mit der von $\varphi$ induzierten $k$-Modulstruktur macht jeden $k$-Kring zu einer $k$-Kringalgebra, und umgekehrt wird jede $k$-Kring\-algebra $M$ zu einem $k$-Kring durch den Kringhomomorphismus $\varphi:k\ra M$, $\lambda\mapsto \lambda 1_M$. Viele Autoren, deren Fokus mehr auf der algebraischen Geometrie und kommutativen Algebra liegt, nennen letztere Struktur kurzerhand eine \glqq $k$-Algebra\grqq. Ich verwende diese Terminologie nicht, da bei mir auch nicht-kommutative Algebren und nicht-unit"are Algebren eine wichtige Rolle spielen. Allerdings will ich der Konvention folgen, da"s eine Algebra als assoziativ angenommen sei, wenn aus dem Kontext nichts anderes hervorgeht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringendliche Erweiterungen noetherscher Kringe sind noethersch}] Ist ein Kring $B$ ringendlich "uber einem noetherschen Kring $A$, so ist auch $B$ selbst noethersch. Man folgert das mit\label{KHIB} dem Hilbert'schen Basissatz \ref{HiBaa} zun"achst f"ur einen Polynomring in endlich vielen Variablen "uber $A$ und dann mit \ref{QN} f"ur Quotienten solcher Polynomringe. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Ringendliche K\"{o}rpererweiterungen}] Jede ringendliche K"orper\-erweiterung ist modulendlich.\label{KFa} In anderen Worten ist also jede K"orpererweiterung, die endlich erzeugt ist als Ringerweiterung, bereits endlichdimensional "uber dem Grundk"orper. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wegen seiner engen Verwandtschaft zum Nullstellensatz hei"st dieser Satz in vielen Quellen der {\bf k\"{o}rpertheoretische Nullstellensatz}.\index{Nullstellensatz!k\"{o}rpertheoretischer} Einen alternativen Beweis, der auf dem Noether'schen Normalisierungslemma und Eigenschaften ganzer Ringerweiterungen basiert, diskutieren wir in \ref{AlBN}. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPRiT}\\[4mm] \noindent Sind $A\subset B\subset C$ Kringe und ist $C$ ringendlich "uber $A$, so mu"s $B$ keineswegs von ringendlich "uber $A$ sein. Als Gegenbeispiel betrachte man etwa $\DC\subset B\subset \DC[X,Y]$ mit $B$ dem Ring aller Polynomfunktionen, deren Einschr"ankung auf die $y$-Achse konstant ist. Eine $\DC$-Basis von $B$ bildet dann etwa die Eins und alle Monome $X^iY^j$ mit $i>0$, und man sieht leicht, da"s kein Teilring von $B$ von endlichem Typ "uber $\DC$ alle $XY^j$ enthalten kann. Dies Bild illustriert, wie ich mir diesen Ring veranschauliche: Jedes ausgemalte K"astchen mit unterer linker Ecke $(i,j)$ steht f"ur einen Basisvektor $X^iY^j$ von $B$. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis im Fall eines "uberabz"ahlbaren Grundk"orpers] Sei $ k\subset L$ unsere K"orper\-erweiterung. Ist $L$ ein endlich erzeugter $k$-Ring, so ist $L$ von abz"ahlbarer Dimension "uber $k$. G"abe es nun ein $t\in L\backslash k$, das transzendent ist "uber $k$, so h"atten wir mit $T\mapsto t$ eine Einbettung $k(T)\hra L$. Der Funktionenk"orper $k(T)$ hat aber "uberabz"ahlbare Dimension "uber $k$, da die Familie der Br"uche $(T-\lambda)^{-1}$ parametrisiert durch $\lambda\in k$ linear unabh"angig ist "uber $k$, vergleiche \eref{pbzz}{AL}. Widerspruch! \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Allgemeinen] Sei $k\subset L$ unsere ringendliche K"orpererweiterung. Seien $e_{1}, \ldots , e_{n}$ Erzeuger des $k$-Krings $L$, in Formeln $L = k [e_{1}, \ldots , e_{n}]$. Wir argumentieren mit Induktion "uber $n$. Der Fall $n=1$ ist unproblematisch, der Polynomring in einer Ver"anderlichen ist eben kein K"orper, und jeder Quotient davon nach einem von Null verschiedenen Ideal ist endlichdimensional als $k$-Vektorraum. F"ur den Induktionsschritt d"urfen wir annehmen, da"s wir bereits wissen, da"s $L$ mo\-dul\-end\-lich ist "uber $K \pdef k(e_1)$. Ist $e_1$ algebraisch "uber $k$, so sind wir wieder fertig. Also d"urfen wir $e_1$ transzendent "uber $k$ annehmen, in Formeln $K \cong k('T)$. Betrachten wir nun den Teilring $A \subset K $, der "uber $k$ von $e_1$ und den Koeffizienten der Minimalpolynome "uber $K $ von $e_2,\ldots, e_n$ erzeugt wird, so ist $A$ per definitionem ringendlich "uber $k$. Wir haben also unseren Funktionenk"orper $K$ eingebettet in ein Sandwich von Kringen $$ k\subset A \subset K\subset L$$ mit $L$ modulendlich "uber $A$ und $A$ ringendlich "uber $k$ und damit nach \ref{KHIB} insbesondere $A$ noethersch. Also mu"s auch $K $ modulendlich sein "uber $A$ und damit ringendlich "uber $k$. Das ist nun der gesuchte Widerspruch, denn ein Funktionenk"orper $K \cong k('T)$ kann nie ringendlich "uber seinem Grundk"orper $k$ sein: Es gibt ja nach \eref{Uevi}{AL} unendlich viele irreduzible Polynome in $k ['T]$, und nur endlich viele davon k"onnten in den Nennern von endlich vielen hypothetischen Erzeugern des $k$-Krings $k('T)$ vorkommen. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Einen alternativen Beweis geben wir im Anschlu"s an \ref{FRE}. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TEZ} Seien $A\subset B\subset C$ Kringerweiterungen. Man zeige: Ist $C$ modul\-endlich "uber $B$ und $B$ modulendlich "uber $A$, so ist $C$ bereits modul\-endlich "uber $A$. Ist $C$ ringendlich "uber $B$ und $B$ ringendlich "uber $A$, so ist $C$ bereits ringendlich "uber $A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle Elemente von $\DQ$, die ganz sind "uber $\DZ$. Sei $k$ ein K"orper. Man bestimme alle Elemente von $k(T_1,\ldots,T_n)$, die ganz sind "uber dem Polynomring $k[T_1,\ldots,T_n]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DC[X,Y]/\langle Y^2-X^3\rangle$ ein Integrit"atsbereich ist, und da"s die "uber diesem Ring ganzen Elemente seines Quotientenk"orpers selbst einen Ring bilden, der isomorph ist zum Polynomring in einer Ver"anderlichen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Zwei} Wird ein $A$-Kring $B$ als $A$-Kring erzeugt von endlich vielen "uber $A$ ganzen Elementen, haben wir also in Formeln $B=A[x_1,\ldots ,x_n]$ mit $x_i$ ganz "uber $A$ f"ur $1\leq i\leq n$, so ist er bereits modulendlich "uber $A$. Hinweis: Man beginne mit dem Fall eines einzigen Erzeugers und verwende dann \ref{TEZ}. \end{Ubung} \subsection{Beweis des Hilbert'schen Nullstellensatzes} \begin{Bemerkungl} In einem unvoreingenommenen Sprachgebrauch hat jeder Ring genau ein maximales Ideal, n"amlich das Ideal, das aus allen Elementen unseres Rings besteht. Ich erinnere jedoch daran, da"s wir in \eref{MaxI}{AL} vereinbart hatten, vielmehr die maximalen echten Ideale eines Rings seine \glqq maximalen Ideale\grqq\ zu nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Menge der maximalen Ideale eines Rings $A$ notieren wir\index{Max@$\op{Max}A$ Menge der maximalen Ideale von $A$} $$\op{Max}A$$ Statt $\op{Max}A$ findet man f"ur die Menge der maximalen Ideale eines Rings $A$ auch oft Notationen wie $\op{Spec}_{\op{max}}A$\index{Specmax@$\op{Spec}_{\op{max}}A$ {\it Menge der maximalen Ideale von $A$}} oder $\op{Specm}A$\index{Specm@$\op{Specm}A$ {\it Menge der maximalen Ideale von $A$}}, die aber im hier verfolgten Aufbau der Theorie erst in \ref{PrII} verst"andlich werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In vom Nullring verschiedenen noetherschen Ringen ist es offensichtlich, da"s sich jedes Ideal zu einem maximalen Ideal vergr"o"sern l"a"st: Das System aller echten Ideale ist dann nicht leer und besitzt folglich mindestens ein maximales Element. In allgemeinen Ringen folgt das aus dem Zorn'schen Lemma, wie nun gleich gezeigt werden soll. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Existenz von maximalen Idealen}]\label{EMI} In jedem von Null verschiedenen Ring gibt es mindestens ein maximales Ideal. Allgemeiner l"a"st sich in einem beliebigen Ring jedes Ideal, das nicht der ganze Ring ist, vergr"o"sern zu einem maximalen Ideal unseres Rings.\index{maximal!Ideal} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $R$ unser Ring und $\frak{a}\neq R$ unser Ideal. Wir betrachten das System aller Ideale von $R$, die $\frak{a}$ umfassen und nicht ganz $R$ sind oder, gleichbedeutend, nicht die $1$ von $R$ enthalten. Dieses System von Teilmengen ist offensichtlich stabil unter aufsteigenden Vereinigungen. Jetzt folgt der Satz aus dem Zorn'schen Lemma in der Gestalt \eref{KZL}{LA1}. \end{proof} \begin{Bemerkunge} In der Logik wird gezeigt, da"s die Annahme, jedes Ideal eines Krings m"oge sich zu einem maximalen Ideal vergr"o"sern lassen, echt schw"acher ist als das Auswahlaxiom. Der Beweis scheint allerdings nicht ganz einfach zu sein. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{ZHMa} Ist $\varphi : R \twoheadrightarrow S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus, so erhalten wir eine Bijektion $$ \left\{ \text{Ideale in } R, \text{ die } \ker \varphi \text{ umfassen} \right\} \sira \{ \text{Ideale in } S \} $$ vermittels der Abbildungen $I \mapsto \varphi (I)$ f"ur $I \subset R$ beziehungsweise in der Gegenrichtung $J \mapsto \varphi^{-1} (J)$ f"ur $J \subset S$. Insbesondere liefert das Zur"uckholen mit einem surjektiven Ringhomomorphismus eine Injektion $\op{Max}S\hra \op{Max}R$, $\frak m\mapsto \varphi^{-1} (\frak m)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{NIi} Ein Kring ist ein K"orper genau dann, wenn in ihm das Nullideal ein maximales Ideal ist. Ein Ideal in einem Kring ist maximal genau dann, wenn der Quotientenring nach besagtem Ideal ein K"orper ist.\label{RMI} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Aussage und damit implizit auch die Erste haben wir bereits als \eref{RMIb}{AL} bewiesen. Hier geben wir noch eine Beweisalternative. In einem K"orper ist nat"urlich das Nullideal maximal. Ist umgekehrt das Nullideal ein maximales Ideal, so gilt $k=\langle 1\rangle \neq \langle 0\rangle $ und damit $1 \neq 0$. Weiter gilt $\langle a\rangle = k$ f"ur jedes $a \neq 0$, also gibt es f"ur jedes $a \neq 0$ ein $b$ mit $ab =1$. Wenden wir nun die Erkenntnis \ref{ZHMa} an auf die Surjektion $R \twoheadrightarrow R/\frak{m}$ f"ur irgendein Ideal $\frak{m}$ von $ R$, so folgt, da"s $\frak{m} \subset R$ ein maximales Ideal ist genau dann, wenn $\langle 0\rangle\subset R/\frak{m}$ ein maximales Ideal ist. Das Nullideal in einem Kring ist aber, wie bereits gezeigt, maximal genau dann, wenn besagter Kring ein K"orper ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die nun folgenden Lemmata \ref{MIi} und \ref{MI1} formulieren einfache Konsequenzen des Nullstellensatzes \ref{HNb}. Da wir uns jedoch beim Beweis des Nullstellensatzes auf diese Lemmata st"utzen wollen, d"urfen wir sie hier nicht aus dem Nullstellensatz herleiten. Stattdessen folgern wir sie aus dem bereits bewiesenen Satz "uber ringendliche K"orpererweiterungen \ref{KFa}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Maximale Ideale in Polynomringen}] %\label{MI} Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so sind die maximalen Ideale im Polynomring in $n$ Variablen $k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ genau die Verschwindungsideale von Punkten des $k^{n}$. In Formeln liefert das Bilden des Verschwindungsideals also eine\label{MIi} Bijektion $$\begin{array}{ccc} k^{n} & \sira &\op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]\\ x & \mapsto &\;{\mathcal I}(x) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Da jeder Punkt des $k^n$ abgeschlossen ist, k"onnen wir die inverse Abbildung beschreiben durch die Abbildungsvorschrift $\frak{m} \mapsto {\mathcal Z}(\frak{m})$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $k$ ein K"orper und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist ganz offensichtlich ${\mathcal I}(x)= \langle T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}\rangle \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal: In der Tat induziert das Auswerten bei $x$ einen Isomorphismus $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]/{\mathcal I}(x) \sira k$. Ist umgekehrt ${\frak m} \subset k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal, so betrachten wir den K"orper $L\pdef k [T_{1}, \ldots, T_{n}]/{\frak m}$. Wir haben nat"urlich einen Ringhomomorphismus $\varphi : k \ra L$ und die Nebenklassen der $T_{i}$ erzeugen $L$ als $k$-Algebra. Mit dem Satz "uber ring\-endliche K"orpererweiterungen \ref{KFa} folgt, da"s $\varphi:k\hra L$ eine algebraische K"orpererweiterung sein mu"s. Aus unserer Annahme $k$ algebraisch abgeschlossen folgt dann weiter, da"s $\varphi$ eine Bijektion sein mu"s. Ist $x_{i}\in k$ das Urbild der Nebenklasse $\bar{T}_{i}\in L$ von $T_i$ unter dieser Bijektion, so folgt $T_{i}-x_{i} \in {\frak m}$. Bezeichnet $x = (x_{1}, \ldots , x_{n})$ den Punkt mit den Koordinaten $x_{i}$, so folgt ${\mathcal I}(x) \subset {\frak m}$ und damit ${\mathcal I}(x) = {\frak m}$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Ideale ohne simultane Nullstellen}] Hat ein Ideal in einem Polynomring in endlich vielen Variablen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper keine Nullstelle, so ist besagtes Ideal schon der ganze\label{MI1} Polynomring. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichnet $k=\bar k$ unseren K"orper und $I\subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ unser Ideal, so behauptet unser Lemma in Formeln $${\mathcal Z}(I)=\emptyset\;\;\RA\;\; I=k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$$ Das zeigen wir durch Widerspruch: Ist ein Ideal $I$ nicht der ganze Ring, so gibt es ein maximales Ideal ${\frak m}$ "uber $I$ und wir folgern aus $I\subset{\frak m}$ erst $ {\mathcal Z}(I)\supset {\mathcal Z}({\frak m})$ und dann mit \ref{MIi} weiter $ {\mathcal Z}(I)\neq\emptyset$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nun erinnern und beweisen wir den bereits in \ref{HNb} angek"undigten Hilbert'schen Nullstellensatz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert'scher Nullstellensatz}]\index{Nullstellensatz, Hilbert'scher}\index{Hilbert'scher Nullstellensatz} Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"or\-per und\label{HN} $I \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal. Ist $f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Polynom, das auf der Nullstellenmenge unseres Ideals verschwindet, so liegt eine Potenz unseres Polynoms bereits selbst in besagtem Ideal, in Formeln $${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(I)\;\RA\; f^{N} \in I\text{ f"ur }N \gg 0$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir verwenden den sogenannten {\bf Rabinovitch-Trick} und betrachten in dem um eine Variable $T$ vergr"o"serten Polynomring $k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]$ das von $I$ und $fT -1$ erzeugte Ideal $J$. Da wir ${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(I)$ angenommen hatten, besitzt dies Ideal $J$ "uberhaupt keine simultanen Nullstellen. Anschaulich gesprochen entweicht ${\mathcal Z}(fT -1)$ bei jeder Nullstelle von $f$ in Richtung der zus"atzlichen Koordinate $T$ ins Unendliche und die Nullstellenmenge von $I$ im um eine Variable gr"o"seren Polynomring ist das kartesische Produkt von ${\mathcal Z}(I)$ mit der zus"atzlichen Koordinatenachse: Der Schnitt dieser beiden Mengen ist dann offensichtlich leer. Nach \ref{MI1} gilt also in unserem um eine Variable vergr"o"serten Polynomring eine Gleichung der Gestalt $$a_0(fT-1)+a_1 f_1+\ldots +a_m f_m=1$$ mit $f_j\in I$ und $a_j$ Elementen unseres um eine Variable vergr"o"serten Polynomrings. Nun durften wir sicher von Anfang an $f\neq 0$ annehmen. Setzen wir dann in unserer Gleichung f"ur $T$ das Element $f^{-1}$ des Funktionenk"orpers $k (T_{1},\ldots , T_{n})$ ein, wenden also den Ringhomomorphismus $k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]\ra k (T_{1},\ldots , T_{n})$ mit $T\mapsto f^{-1}$ an, so ergibt sich in diesem Funktionenk"orper und sogar bereits in seinem Teilring $k [T_{1},\ldots , T_{n},f^{-1}]$ eine Gleichung der Gestalt $$b_1 f_1+\ldots+ b_m f_m=1$$ wo die $b_j\in k [T_{1},\ldots , T_{n},f^{-1}]$ eben aus den $a_j$ hervorgehen durch Einsetzen von $f^{-1}$ f"ur $T$. Nach Multiplikation mit einer geeigneten Potenz $f^N$ von $f$ erhalten wir schlie"slich eine Gleichung in $k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ der Gestalt $$c_1 f_1+\ldots+ c_m f_m=f^N$$ mit $c_j=f^N b_j$ Elementen unseres urspr"unglichen Polynomrings $k [T_{1},\ldots , T_{n}]$. Diese Gleichung zeigt dann $f^{N} \in I$. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Ideal $I$ in einem Ring $R$ definiert man sein {\bf Radikal}\index{Radikal!eines Ideals} $\sqrt{I}$ durch die Vorschrift $\sqrt{I}\pdef\{ f\in R\mid f^N\in I\text{ f"ur }N\gg 0\}$. Ein Ideal hei"st ein \defind{Radikalideal} genau dann, wenn es sein eigenes Radikal ist.\label{RaId} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In \eref{RaMo}{LieA} f"uhren wir den Begriff des \glqq Radikals eines Moduls\grqq\ ein, und das Radikal eines Ideals im obigen Sinne ist etwas v"ollig anderes als sein Radikal als Modul. Wenn es n"otig sein sollte, werde ich unterscheiden zwischen dem {\bf Modulradikal}\index{Radikal!Modulradikal}\index{Modulradikal} und dem {\bf Potenzradikal}\index{Radikal!Potenzradikal}\index{Potenzradikal} eines Ideals. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abgeschlossene Mengen und Radikalideale}] Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so gilt f"ur jedes Ideal ${\frak a}\subset k[T_1,\ldots,T_n]$ nach dem Nullstellensatz die Formel\label{BRI} ${\mathcal I}({\mathcal Z}({\frak a}))=\sqrt{{\frak a}}$ und die Vorschriften ${\mathcal Z}$ und ${\mathcal I}$ liefern inverse Bijektionen zwischen der Menge aller Zariski-abgeschlossenen Teilmengen des $k^n$ und der Menge aller Radikalideale in $k[T_1,\ldots,T_n]$, in Formeln $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Radikalideale}\\ I\subset k[T_1,\ldots, T_n]\end{array}\!\!\right\} & \begin{array}{c} \mathcal Z\\[-3mm] \lra\\[-4.5mm] {\scriptstyle \sim}\\[-3.5mm] \longleftarrow\\[-2.5mm] \mathcal I \end{array} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Teilmengen}\\ Y\As k^n \end{array} \!\! \right\} %^{\op{opp}} \\[5mm] % X & &\cal{O}(X) \\[1mm] % \varphi \downarrow \;\;\;& \mapsto & \varphi^{\sharp} \uparrow \;\;\;\\[1mm] % Y & & \cal{O}(Y) \end{array} $$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $k$ algebraisch abgeschlossen und $I \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal, so induziert die Bijektion $k^{n} \overset{\sim}{\ra} \op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ aus Lemma \ref{MIi} eine Bijektion $\mathcal Z (I) \overset{\sim}{\ra} \op{Max} (k [T_{1}, \ldots , T_{n}] /I)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Warum kann man nicht mit demselben Argument wie in \ref{EMI} zeigen, da"s jede Gruppe eine maximale echte Untergruppe besitzt? Man zeige auch, da"s die additive Gruppe $\DQ$ keine maximale echte Untergruppe besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NKR} Gegeben ein kommutativer von Null verschiedener Ring $R$ folgt aus $R^n\cong R^m$ schon $n=m$. Hinweis: Man benutze \ref{MQR} und w"ahle mit \ref{EMI} ein maximales Ideal $\frak{a}\subset R$, so da"s $R/\frak{a}$ nach \ref{RMI} ein K"orper ist. Ein alternativer Beweis, der ohne das Zorn'sche Lemma auskommt, wird in \ref{ABTR} gegeben. Der hier skizzierte Beweis zeigt jedoch mit \eref{KaBa}{AL} allgemeiner f"ur beliebige Mengen $I,J$, da"s aus der Isomorphie von freien Moduln $RI\cong RJ$ folgt, da"s $I$ und $J$ dieselbe Kardinalit"at haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{JacR} Der Schnitt aller maximalen Ideale eines Krings $R$ kann auch beschrieben werden als die Menge aller Elemente unseres Rings mit der Eigenschaft, da"s die Summe eines beliebigen Vielfachen unseres Elements mit der Eins stets eine Einheit ist, in Formeln $$\bigcap_{\frak{m}\in\op{Max}R}\frak{m}=\{a\in R\mid (ra+1)\in R^\times\;\forall r\in R\}$$ Diese Menge hei"st das {\bf Jacobson-Radikal}\index{Jacobson-Radikal} unseres Krings. Im Fall nichtkommutativer Ringe versteht man unter dem Jacobson-Radikal feiner den Schnitt aller maximalen Links- oder gleichbedeutend aller maximalen Rechtsideale. \end{Ubung} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. In Erweiterung von \ref{EVNN} zeige man, da"s ein Ideal $I\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ genau dann\label{Evfg} von endlicher Kodimension ist, wenn es h"ochstens endlich viele simultane Nullstellen besitzt, in Formeln $$|\mathcal Z(I)|<\infty\;\;\IFF \;\; \op{codim}_k(I\subset k[T_1,\ldots, T_n])<\infty$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge} Noch allgemeiner als in \ref{Evfg} zeige man f"ur einen beliebigen K"orper $ k$, da"s ein Ideal $I\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ genau dann\label{Exvfg} von endlicher Kodimension ist, wenn es nur in endlich vielen maximalen Idealen enthalten ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur ein Ideal $I$ eines Krings $R$ das Radikal $\sqrt{I}$ wieder ein Ideal von $R$ ist, und da"s $\sqrt{I}$ sein eigenes Radikal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HZUU} $(k=\bar k)$. Ist $A$ ein ringendlicher $k$-Kring, so liefert das Bilden des Kerns $\varphi\mapsto \op{ker}\varphi$ eine Bijektion $\op{Kring}^k(A,k) \sira \op{Max}A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und\label{rkee} $A$ eine ringendliche $k$-Kringalgebra. Man zeige: Ist der Quotient von $A$ nach seinem Nilradikal $A/\sqrt{0}$ endlichdimensional "uber $k$, so ist bereits $A$ selbst endlichdimensional "uber $k$. \end{Ubung}