\section{Endliches Erzeugen und Nullstellensatz} \subsection{Hilbert'scher Nullstellensatz} \label{ZTOO} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s bei uns jeder Ring eine Eins hat und da"s von jedem\label{RRM} Ringhomomorphismus gefordert wird, da"s er die Eins auf die Eins wirft. Ein Ideal eines Rings ist nach \eref{DefI}{AL} eine Untergruppe seiner additiven Gruppe, die unter der Multiplikation mit beliebigen Elementen unseres Rings von links wie von rechts stabil ist. Einen kommutativen Ring nenne ich auch einen {\bf Kring}.\index{Kring!kommutativer Ring} Seien $k$ ein Kring und $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ der Polynomring "uber $k$ in $n$ Variablen. Das Auswerten liefert eine Abbildung $$ k[T_{1}, \ldots, T_{n}]\times k^n\ra k$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ZaTo} Ist $k$ ein Kring und $E \subset k [T_{1} \ldots, T_{n}]$ eine Teilmenge, so erkl"aren wir die \defind{Nullstellenmenge} oder kurz die \defind{Nullstellen} {\bf von} $E$ als die Menge derjenigen Punkte des $k^{n}$, an denen alle Polynome aus $E$ verschwinden. Wir notieren sie $$%\hspace{15mm} {\mathcal Z}(E) \pdef \{x \in k^{n} \mid f(x) =0 \quad \forall f \in E\}$$ mit ${\mathcal Z}$ wie \glqq zeroes\grqq.\index{Z@${\mathcal Z}(E)$ Nullstellenmenge von $E$} Im Fall $E=\{f_1,\ldots,f_r\}$ k"urzen wir ${\mathcal Z}(\{f_1,\ldots,f_r\})$ ab zu ${\mathcal Z}(f_1,\ldots,f_r)$. Eine Teilmenge $Z\subset k^n$ hei"st {\bf algebraisch}, wenn sie die Nullstellenmenge eines Systems von Polynomen ist, wenn es also in Formeln eine Teilmenge $E \subset k [T_{1} \ldots, T_{n}]$ gibt mit $Z={\mathcal Z}(E)$.\index{algebraisch!Teilmenge von $k^n$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notationen}] Eine andere in der Literatur g"angige Notation ist $\op{V}(E)$ statt ${\mathcal Z}(E)$ mit $\op{V}$ wie \glqq Variet"at\grqq.\index{V@$\op{V}(E)$ Nullstellenmenge von $E$} Wir verwenden jedoch die Bezeichnung als Variet"at nur "uber einem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im ersten Teil dieser Vorlesung geht es um die Untersuchung \glqq geometrischer\grqq\ Eigenschaften algebraischer Teilmengen von $k^n$ f"ur algebraisch abgeschlossene K"orper $k$ und die entsprechenden \glqq algebraischen\grqq\ Aussagen der Theorie kommutativer Ringe. Den tragenden Pfeiler der Br"ucke zwischen der \glqq geometrischen\grqq\ und der \glqq algebraischen\grqq\ Welt bildet der folgende Satz, dessen Beweis mit den n"otigen Vorbereitungen uns bis \ref{MI1} besch"aftigen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert'scher Nullstellensatz}]\index{Nullstellensatz, Hilbert'scher}\index{Hilbert'scher Nullstellensatz} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"or\-per. Ist $f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Polynom in endlich vielen Variablen, das auf der Nullstellenmenge eines Ideals\label{HNb} $\mathfrak a \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ verschwindet, so liegt eine Potenz unseres Polynoms bereits selbst in besagtem Ideal. In Formeln gilt %f"ur $f \in k %[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Element und $I\subset k %[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal also $${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(\mathfrak a)\;\RA\; f^{N} \in \mathfrak a\text{ f"ur }N \gg 0$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Die gemeinsame Nullstellenmenge von $x^2,z^3\in k[x,y,z]$ ist die $y$-Achse. Das Polynom $f\pdef (x+z)y$ verschwindet auf der $y$-Achse und wie vom Nullstellensatz vorhergesagt geh"ort eine Potenz von $f$ zum Ideal $\langle x^2,z^3\rangle$, in unserem Fall genauer die vierte Potenz $$f^4=\big((x^2+4xz+6z^2)y^4\big)x^2 + \big((4x+z)y^4\big)z^3$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur $k$ nicht algebraisch abgeschlossen ist unser Satz falsch. Als Beispiel betrachte man f"ur $k=\DR$ in $\DR[T]$ das Ideal $\mathfrak a=\langle T^2+1\rangle$. Obwohl das konstante Polynom $f=1$ auf der Nullstellenmenge ${\mathcal Z}(\mathfrak a)=\emptyset$ unseres Ideals verschwindet, liegt keine seiner Potenzen $1^N=1$ in besagtem Ideal. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir werden den Hilbert'schen Nullstellensatz erst im Anschlu"s an Lemma \ref{MI1} zeigen k"onnen. Manche Aussagen aus seinem Umfeld sind jedoch sehr einfach zu haben, wie ich im folgenden ausf"uhren will. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $k$ ein Kring und $X\subset k^{n}$ eine Teilmenge, so bilden diejenigen Polynome, die an allen Punkten von $X$ verschwinden, offensichtlich ein Ideal des Polynomrings $k[T_{1},\ldots, T_{n}]$. Es hei"st das {\bf Verschwindungsideal von} $X$\index{Verschwindungsideal} und wir notieren es\index{I@${\mathcal I}(X)$ Verschwindungsideal von $X$} $${\mathcal I} (X) \pdef \{f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}] \mid f(x) =0 \quad \forall x \in X\}$$ \end{Definition} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildZAE}\\[4mm] \noindent Die Kreislinie ist die Nullstellenmenge in $\DR^2$ des Polynoms $X^2+Y^2-1\in\DR[X,Y]$. Das ist also eine Zariski-abgeschlossene Teilmenge der Ebene $\DR^2$. Jeder Punkt $(a,b)\in\DR^2$ ist die simultane Nullstellenmenge in $\DR^2$ der Polynome $X-a$ und $Y-b$ aus $ \DR[X,Y]$. Also ist auch jede einpunktige Menge Zariski-abgeschlossen. Alle Zariski-abgeschlossenen Teilmengen von $\DR^2$ sind offensichtlich auch metrisch abgeschlossen, also abgeschlossen in der nat"urlichen Topologie des $\DR^2$ aus \eref{RAVe}{AN1}, aber das Umgekehrte gilt nicht. Man zeige zur "Ubung, da"s eine echte Zariski-abgeschlossene Teilmenge von $\DR^2$ keine nichtleere metrisch offene Teilmenge von $\DR^2$ umfassen kann. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}\label{OIU} Sei $k$ ein Kring. Offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{E}$ von Teilmengen von $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ die Identit"at $ \bigcap_{E\in \cal{E}} {\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}\left(\bigcup_{E\in \cal{E}} E\right)$ und insbesondere auch $$E \subset F \;\Rightarrow \; {\mathcal Z}(E) \supset {\mathcal Z}(F)$$ Ebenso offensichtlich gilt f"ur ein beliebiges System $\cal{X}$ von Teilmengen des $k^{n}$ die Identit"at ${\mathcal I}\left(\bigcup_{X\in \cal{X}}X\right)= \bigcap_{X\in \cal{X}} {\mathcal I} (X)$ und insbesondere auch $$Y \subset X \; \Rightarrow \; {\mathcal I}(Y) \supset {\mathcal I}(X)$$ Des weiteren gilt sicher $E\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(E))$ f"ur jede Teilmenge $E\subset k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ und $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset k^n$. Es folgt ${\mathcal I}(X) ={\mathcal I}({\mathcal Z}({\mathcal I}(X)))$ f"ur jede Teilmenge $X\subset k^n$, indem wir einerseits ${\mathcal I}$ auf $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ anwenden und andererseits $E\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(E))$ auf $E={\mathcal I}(X)$. Ebenso folgt f"ur jede Teilmenge $E\subset k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ die Identit"at ${\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}({\mathcal I}({\mathcal Z}(E)))$. Insbesondere gilt f"ur jede algebraische Teilmenge $X\subset k^n$ die Identit"at $X={\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$, die offensichtlich auch umgekehrt algebraische Teilmengen charakterisiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{IZDS} Allgemeiner versteht man unter einer {\bf Inzidenzstruktur}\index{Inzidenzstruktur} ein Tripel $(A,B,R)$ bestehend aus zwei Mengen $A$ und $B$ mit einer Teilmenge $R\subset A\times B$ alias einer Relation zwischen $A$ und $B$ im Sinne von \eref{AlRep}{AN1}. Zum Beispiel k"onnen wir die Menge $A=k[T_1,\ldots,T_n]$ der Polynome und die Menge $B=k^n$ der Punkte zu betrachten mit der Relation $(f,x)\in R$ genau dann, wenn gilt $f(x)=0$. F"ur eine beliebige Inzidenzstruktur k"onnen wir in derselben Weise wie in diesem Beispiel Abbildungen ${\mathcal Z}:\cal{P}(B)\ra \cal{P}(A)$ und ${\mathcal I}:\cal{P}(A)\ra \cal{P}(B)$ erkl"aren. Auch in dieser Allgemeinheit verwandeln sich Vereinigungen in Schnitte, Inklusionen kehren sich um und es gilt stets $X\subset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$ sowie ${\mathcal I}(X)={\mathcal I}({\mathcal Z}({\mathcal I}(X)))$ und symmetrisch $E\subset {\mathcal I}({\mathcal Z}(E))$ sowie ${\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}({\mathcal I}({\mathcal Z}(E)))$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Um Sie zu ermuntern, sich in Vorbereitung auf sp"atere Kapitel mit den Grundbegriffen der Topologie auseinanderzusetzen, beginne ich bereits hier mit der Diskussion der sogenannten \glqq Zariski-Topologie\grqq. Ich erinnere zun"achst an einige grundlegende Definitionen aus der Begriffwelt der Topologie, wie sie in \eref{DTRS}{AN1} ausf"uhrlicher eingef"uhrt werden. Eine {\bf Topologie\index{Topologie} ${\cal T}$ auf einer Menge $X$} ist ein System von Teilmengen ${\cal T} \subset {\cal P} (X)$, das stabil ist unter dem Bilden von endlichen Schnitten und beliebigen Vereinigungen. Ein Paar $(X, {\cal T})$ bestehend aus einer Menge mit einer Topologie hei"st ein {\bf topologischer Raum}\index{topologischer Raum}. Die Teilmengen aus ${\cal T}$ hei"sen dann die {\bf offenen Teilmengen}\index{offen} unseres topologischen Raums. Statt $U\in {\cal T}$ schreibe ich auch $U\co X$.\index{)c@$\co$ offen in!topologischem Raum} Die Komplemente der offenen Teilmengen hei"sen die {\bf abgeschlossenen Teilmengen} unseres topologischen Raums. F"ur $A\subset X$ schreiben wir statt $(X\backslash A)\in \cal T$ auch $A\As X$. \index{abgeschlossen} \index{)c@$\As$ abgeschlossen in!topologischem Raum} Das System der abgeschlossenen Teilmengen eines topologischen Raums ist stabil unter endlichen Vereinigungen und beliebigen Schnitten. Jedes Mengensystem in einer Menge $X$ mit diesen Eigenschaften ist auch umgekehrt das System der abgeschlossenen Teilmengen einer wohlbestimmten Topologie auf $X$. Gegeben eine Teilmenge $M\subset X$ eines topologischen Raums wird ihr {\bf Abschlu"s} $\bar M$ erkl"art als die kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$, die $M$ umfa"st, alias der Schnitt aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$, die $M$ umfassen. \index{)6a@$\bar{M}$ Abschlu"s von $M$} \index{Abschlu"s!topologischer} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R"aumen hei"st {\bf stetig},\index{stetig!f"ur topologische R"aume} wenn das Urbild jeder offenen Menge offen ist, oder gleichbedeutend das Urbild jeder abgeschlossenen Menge abgeschlossen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere \eref{IDT}{AN1}. Ist $X$ ein topologischer Raum und $Y\subset X$ eine Teilmenge, so erkl\"{a}rt man die {\bf induzierte Topologie}\index{induzierte Topologie} \index{Topologie!induzierte} oder {\bf Spurtopologie}\index{Spurtopologie} auf $Y$ durch die Vorschrift\label{SpTo} $$U \co Y \Leftrightarrow \exists V \co X\text{ mit }U = V \cap Y$$ In Worten ist also eine Teilmenge von $Y$ offen f"ur die induzierte Topologie genau dann, wenn sie der Schnitt mit $Y$ einer offenen Teilmenge von $X$ ist. Ab jetzt fassen wir stillschweigend jede Teilmenge $Y$ eines topologischen Raums $X$ als topologischen Raum mit der induzierten Topologie auf. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ist $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich, so bilden die algebraischen Teilmengen von $k^n$ die abgeschlossenen Mengen einer Topologie, der \emph{\bf Zariski-Topologie}\index{Zariskitopologie!auf einem $k^n$} \emph{\bf auf dem} $k^{n}$.\label{ZaTo} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Da"s beliebige Schnitte algebraischer Teilmengen wieder algebraisch sind, folgt sofort aus \ref{OIU}. Ist $k$ nicht der Nullring, so gilt weiter ${\mathcal Z}(1)=\emptyset$, und ist $k$ auch noch nullteilerfrei, so gilt zus"atzlich ${\mathcal Z}(E)\cup {\mathcal Z}(F)={\mathcal Z}(EF)$ mit der Notation $EF=\{ef\mid e\in E,\;f\in F\}$. Folglich bilden die ${\mathcal Z}(E)$ das System der abgeschlossenen Mengen einer Topologie auf dem $k^n$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AbVa} Ist $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich, so folgt f"ur den Abschlu"s einer beliebigen Teilmenge $X\subset k^n$ in Bezug auf die eben erkl"arte Zariskitopologie die Formel $$\bar{X}={\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$$ In der Tat ist die rechte Seite eine algebraische alias abgeschlossene Menge, die $X$ umfa"st, und f"ur jede algebraische alias abgeschlossene Teilmenge $Z\supset X$ gilt $Z={\mathcal Z}({\mathcal I}(Z))\supset {\mathcal Z}({\mathcal I}(X))$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Element eines faktoriellen Rings hei"st {\bf quadratfrei},\index{quadratfrei}\label{quf} wenn es von Null verschieden ist und wenn darin kein Primfaktor mehrfach auftritt. Sei nun $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine Teilmenge $Z\subset k^n$ hei"st eine \begin{description} \item[Hyperebene,]\index{Hyperebene!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines linearen Polynoms ist, also eines Polynoms vom Totalgrad $1$; \item[Quadrik,]\index{Quadrik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien quadratischen Polynoms ist; \item[Kubik,]\index{Kubik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien kubischen Polynoms ist; \item[Quartik,]\index{Quartik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien Polynoms vom Totalgrad $4$ ist; \item[Quintik,]\index{Quintik!affine} wenn sie Nullstellenmenge eines quadratfreien Polynoms vom Totalgrad $5$ ist; \end{description} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \ref{BMDnxa}, da"s f"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper auf einer algebraischen Teilmenge $X\As k^n$ jedes Polynom $P\in k[T_1,\ldots, T_n]$, wenn wir es als Abbildung $P:X\ra k$ auffassen, entweder nur endlich viele Werte annimmt oder nur endlich viele Werte nicht annimmt. Unser Beweis dort ist nicht ganz einfach. Ich w"u"ste gerne, wie man das m"oglichst leicht einsehen kann. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Man kann zeigen, da"s f"ur $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $n\geq 1$ jede algebraische Teilmenge von $k^n$ bereits als die Nullstellenmenge von $n$ Polynomen beschrieben werden kann, vergleiche etwa \cite{Kunz}. Im Gegensatz dazu kann keineswegs jedes Ideal des Polynomrings in $n$ Variablen von $n$ Polynomen erzeugt werden. Zum Beispiel ist leicht zu sehen, da"s das Ideal $\langle X^2, XY, Y^2\rangle\subset \DC[X,Y]$ nicht von zwei Elementen erzeugt werden kann. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $k$ ein K"orper, ja ein beliebiger Kring, und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist das Verschwindungsideal dieser einelementigen Menge das Ideal ${\mathcal I}(x)= \langle T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}\rangle \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige, da"s die von ganz $k$ verschiedenen algebraischen Teilmengen von $k$ genau die endlichen Teilmengen sind. Man zeige, da"s die algebraischen Teilmengen von $k^2$ genau die endlichen Teilmengen, die Vereinigungen der Nullstellenmengen einzelner Polynome mit endlichen Teilmengen, sowie ganz $k^2$ sind. Hinweis: Nach \eref{ENu}{AL} haben zwei teilerfremde Polynome in zwei Ver"anderlichen h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen.\label{JGD} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige f"ur jedes Ideal $\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ die Absch"atzung $|\mathcal Z(\mathfrak a)|\leq \op{dim}_kk[T_1,\ldots, T_n]/\mathfrak a$. Insbesondere kann ein Ideal endlicher Kodimension nur h"ochstens endlich viele simultane Nullstellen besitzen. Hinweis: Interpolation in mehreren Variablen \eref{IP}{AL}.\label{EVNN} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KAHz} Unter einem {\bf Hom"oomorphismus}\index{Hom"oomorphismus} versteht man eine bijektive stetige Abbildung zwischen topologischen R"aumen, deren Umkehrung auch stetig ist. Man zeige: Ist $\gamma : k \sira k$ ein K"orperautomorphismus, so induziert $\gamma$ einen Hom"oomorphismus $\gamma : k^{n} \sira k^{n}$, $(x_{1}, \ldots, x_{n}) \mapsto (\gamma (x_{1}), \ldots, \gamma (x_{n}))$ von $k^{n}$ versehen mit der Zariskitopologie auf sich selbst. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine Teilmenge eines topologischen Raums hei"st {\bf dicht}\index{dicht!Teilmenge} genau dann, wenn ihr Abschlu"s der ganze Raum ist. Sei $k$ ein kommutativer Integrit"atsbereich. Man zeige: Jede unendliche Teilmenge von $k$ ist Zariski-dicht. Sind $A\subset k^m$ und \label{ZD}$B\subset k^n$ Zariski-dicht, so gilt dasselbe f"ur $A\times B\subset k^{m+n}$. Jede offene nichtleere Teilmenge von $k^n$ ist Zariski-dicht. Je zwei offene nichtleere Teilmengen von $k^n$ haben nichtleeren Schnitt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jede unendliche Teilmenge der Kreislinie in der reellen Ebene $\{(x,y)\in \DR^2\mid x^2+y^2=1\}$ Zariski-dicht liegt in der Kreislinie mit ihrer Spurtopologie nach \ref{SpTo}. Hinweis: \eref{ENu}{AL}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Verschwindet ein Polynom $P\in\DR[X,Y]$ auf der Kreislinie $\{(x,y)\in \DR^2\mid x^2+y^2=1\}$, so wird es von $X^2+Y^2-1$ geteilt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus dem Hilbertschen Nullstellensatz: Haben zwei irreduzible Polynome in $\DC[T_1,\ldots,T_n]$ dieselben Nullstellen, so ist das eine ein skalares Vielfaches des anderen. Im Fall $n=1$ ist das klar. In Fall $n=2$ folgt es bereits aus Korollar \eref{ENu}{AL}, nach dem zwei teilerfremde Polynome in $\DC[X,Y]$ h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen haben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem K"orper bilden die Einheiten stets eine Zariski-offene Teilmenge.\label{EZO} \end{Ubung} \subsection{Moduln "uber Ringen}\label{LMm} \begin{Definition}\label{LM} Sei $R$ ein Ring. Ein \defnoind{$R$-Modul}\index{Modul!eines Rings} ist Paar bestehend aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$ und einer Abbildung $$\begin{array}{ccl} R\times M &\ra & M\\ (r,m) & \mapsto & rm \end{array}$$ derart, da"s f"ur alle $r, s \in R$ und $m,n \in M$ die folgenden Identit"aten gelten: $$\begin{array}{ccc} r(m+n) &=& (rm) +(rn)\\ (r+s)m &=& (rm)+(sm)\\ r(sm)&=&(rs)m\\ 1m &=&m \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $R$ ein K"orper, so nennt man einen $R$-Modul meist einen $R$-Vektorraum. Der Ring $R$ selbst ist in offensichtlicher Weise ein $R$-Modul. Dasselbe gilt f"ur $R^n$, ja gegeben eine beliebige Menge $X$ f"ur $\op{Ens}(X,R)$ und gegeben zus"atzlich ein beliebiger $R$-Modul $M$ auch f"ur die Menge $\op{Ens}(X,M)$ aller Abbildungen von $X$ nach $M$. Weitere Beispiele kommen sp"ater. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir vereinbaren auch in diesem Kontext die Regel \glqq Punkt vor Strich\grqq. Wie bei Vektorr"aumen zeigt man auch bei Moduln $M$ "uber einem Ring $R$ f"ur alle $m\in M$ die Formel $0m=0$, genauer $0_R m=0_M$, und folgert $(-1)m=-m$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Arbeitet man mit der alternativen Konvention, nach der Ringe nicht notwendig unit"ar zu sein brauchen, so ist die dritte Bedingung nicht mehr sinnvoll und wird weggelassen. Unsere Moduln w"urde man in dieser Konvention als \glqq unit"are Moduln "uber einem unit"aren Ring\grqq\ bezeichnen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ bilden wir wie in \eref{KonsR}{LA1} den Ring $\op{Ab} M=\op{End}M$ aller Gruppenhomomorphismen $\varphi : M \ra M$, den sogenannten {\bf Endomorphismenring von $M$}.\index{Endomorphismenring!von abelscher Gruppe} Seine Addition ist die Addition von Abbildungen, $(\varphi + \psi)(m)\pdef\varphi (m) + \psi (m)$, seine Multiplikation die Verkn"upfung von Abbildungen, $\varphi \psi \pdef \varphi \circ \psi$, und sein Einselement die Identit"at $\op{id} : M \ra M$. \end{Bemerkungl} %% \begin{Lemma}\label{DZ} %% Sei $M$ eine abelsche Gruppe und $R$ ein Ring. %% \begin{enumerate} %% \item %% Ist $\varphi : R \ra \op{Ab} M$ ein Ringhomomorphismus, so macht die %% Vorschrift $rm = (\varphi (r))(m)$ die abelsche Gruppe $M$ zu %% einem $R$-Modul. %% \item %% Ist $M$ ein $R$-Modul, so induziert die Abbildung $\varphi : R \ra %% \op{Ens} M$, $(\varphi (r))(m) =rm$ einen Ringhomomorphismus %% $\varphi : R \ra \op{Ab} M$. %% \end{enumerate} %% \end{Lemma} %% \begin{proof}[Beweis] %% Dem Leser "uberlassen. %% \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abelsche Gruppen als $\DZ$-Moduln}] In obigem Sinne ist eine Struktur als $R$-Modul auf einer abelschen Gruppe $M$ \glqq dasselbe\grqq\ wie ein Ringhomomorphismus $R \ra \op{Ab} M$. \label{AGZZ} F"ur jeden Ring $E$ gibt es nun genau einen Ringhomomorphismus $\DZ \ra E$. Jede abelsche Gruppe $M$ tr"agt also genau eine $\DZ$-Modulstruktur. Wir k"onnen diese Modulstruktur auch explizit beschreiben: F"ur $a \in \DN$ ist notwendig $1m =m$, also $2m = (1+1)m = m+m$, induktiv $(a+1) m = am +m$, und dann auch $(-a)m = (-1)am= -(am)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Sei $\Omega$ eine Menge. Unter einem {\bf $\Omega$-Modul}\index{Modul!"uber Menge} versteht man eine abelsche Gruppe $M$ mitsamt einer Abbildung $\Omega\ra \op{Ab}(M)$ unserer Menge $\Omega$ in den\label{OmeM} Endomorphismenring der abelschen Gruppe $M$. Das ist nun allerdings nichts anderes als ein Modul in unserem bisherigen Sinne "uber dem \glqq nichtkommutativen Polynomring "uber $\DZ$ in durch $\Omega$ indizierten Variablen\grqq, den wir in der Notation aus \eref{FrO}{TF} etwa $\op{Ring}^\ua\Omega$ notieren k"onnten. Insofern bringt uns dieses Konzept nichts Neues und alles, was wir im folgenden zu Moduln "uber allgemeinen Ringen zeigen, gilt a forteriori auch f"ur Moduln "uber Mengen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ist $\varphi : R \ra S$ ein Ringhomomorphismus, so wird jeder $S$-Modul und insbesondere auch $S$ selbst ein $R$-Modul vermittels der Operation $rm = \varphi (r) m$. Dies Verfahren hei"st {\bf Restriktion der Skalare},\index{Restriktion!der Skalare} und zwar selbst dann, wenn der Ringhomomorphismus $\varphi : R \ra S$ nicht die Inklusion eines Teilrings ist. Zum Beispiel ist f"ur jedes Ideal $\frak{a} \subset R$ der Quotient $R/\frak{a}$ aus \eref{RUE}{AL} ein $R$-Modul in nat"urlicher Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Unter dem \defnoind{Zentrum}\index{Zentrum!eines Rings} ${\op{Z}}(R)$ eines Rings $R$ verstehen wir die Menge derjenigen Elemente von $R$, die mit allen anderen Elementen kommutieren, in Formeln $${\op{Z}}(R)=\{ z\in R\mid za=az\;\;\forall a\in R\}$$ Das Zentrum ist stets ein kommutativer Teilring von $R$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{BLOCK} F"ur jede Zerlegung $A = A_1 \oplus \ldots \oplus A_n$ eines Rings in eine Summe zweiseitiger Ideale sind die Summanden $A_i$ unter der induzierten Multiplikation selber Ringe mit Eins-Element $1_r$ f"ur $1 = 1_1 + \ldots +1_n$ die unserer Zerlegung entsprechende Zerlegung der Eins des Rings $A$. Des weiteren liefert dann das Aufaddieren auch einen Ringisomorphismus \begin{equation*} A_1 \times \ldots\times A_n \overset{\sim}{\rightarrow} A \end{equation*} und die $1_i$ liegen im Zentrum von $A$ und haben die Eigenschaft $1_i 1_j = \delta_{ij} 1_i$. Haben wir umgekehrt eine Darstellung $1 =1_1 + \ldots + 1_n$ mit $1_i$ zentral und $1_i1_j = \delta_{ij} 1_i$, so zerf"allt $A$ in das Produkt der Ideale $A_i = \langle 1_i \rangle$. Wir nennen eine solche Darstellung eine {\bf Zerlegung der Eins in paarweise orthogonale zentrale Idempotente}. Fassen wir in einer derartigen Zerlegung einige Summanden zusammen, so sprechen wir von einer {\bf Vergr"oberung} unserer Zerlegung. Nat"urlich haben je zwei derartige Zerlegungen eine gemeinsame Verfeinerung, bestehend aus allen Produkten von einem Idempotenten der einen Zerlegung und einem Idempotenten der anderen Zerlegung. Existiert eine feinste Zerlegung mit von Null verschiedenen Summanden, so ist sie demnach eindeutig. Die zugeh"orige Zerlegung des Rings hei"st dann seine {\bf Block-Zerlegung}\index{Block-Zerlegung!eines Rings} $A = A_1 \times \ldots \times A_n$ und die zugeh"origen Faktoren $A_i$ hei"sen die {\bf Bl"ocke}\index{Block!eines Rings} des Rings $A$. R"uckblickend k"onnen wir festhalten, da"s bei einem Ring, der eine Zerlegung in eine endliche direkte Summe ihrerseits nicht weiter zerlegbarer zweiseitiger Ideale besitzt, die Summanden wohlbestimmt sind und dann eben die Bl"ocke unseres Rings hei"sen. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{DZ} Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein Ring $R$ induziert das Exponentialgesetz $\op{Ens}(R\times M,M)\sira \op{Ens}(R, \op{Ens}(M,M))$ aus \eref{ABBK}{GR} eine Bijektion $$\left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $R$-Modul}\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \end{array}\right\} \;\overset{\sim}{\ra} \; \left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\ R\ra \op{Ab}M \end{array}\right\} $$ Im Fall eines K"orpers war das bereits "Ubung \eref{DZk}{LA1}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{$k[X]$-Moduln als $k$-Vektorr"aume mit Endomorphismus}] Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und ein K"orper $k$ haben wir nat"urliche Bijektionen\label{KX} $$ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c}\text{Strukturen als $k[X]$-Modul}\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M \end{array}\right\} &\overset{\sim}{\ra} & \left\{\begin{array}{c}\text{Ringhomomorphismen}\\ k[X]\ra \op{Ab}M \end{array}\right\}\\[4mm] &&\wr\!\da\\[2mm] \left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\psi,A)$ bestehend aus}\\ \text{einer $k$-Vektorraumstruktur}\\ \psi: k\times M\ra M\\ \text{auf der abelschen Gruppe }M\\ \text{und einem Endomorphismus}\\ A\in \op{End}_k( M) \end{array}\right\} &\overset{\sim}{\ra}& \left\{\begin{array}{c}\text{Paare $(\varphi,A)$ bestehend aus}\\ \text{einem Ringhomomorphismus}\\ \varphi: k\ra \op{Ab}M\\ \text{und einem mit seinem Bild}\\ \text{kommutierenden Element}\\ A\in \op{Ab}M \end{array}\right\} \end{array} $$ Genauer liefert \ref{DZ} die obere horizontale Bijektion und \eref{EiP}{LA1} die vertikale Bijektion. In diesem Sinne ist also ein $k[X]$-Modul \glqq dasselbe\grqq\ wie ein $k$-Vektorraum mit einem $k$-linearen Endomorphismus. F"ur einen beliebigen Ring $k$ gilt Analoges. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Gegeben Ringe $R_1,\ldots,R_n$ mit Produkt $R=R_1\times\ldots\times R_n$ erhalten wir f"ur jede abelsche Gruppe $M$ eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Strukturen auf $M$}\\ \text{als $R$-Modul} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Zerlegungen $M=M_1\oplus\ldots \oplus M_n$ mit}\\ \text{jeweils einer $R_i$-Modulstruktur auf $M_i$} \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} indem wir in $R$ die Elemente $\op{e}_i=(0,\ldots,1, \ldots,0)$ mit einer $1$ an der $i$-ten Stelle und Nullen sonst betrachten und in $M$ die Untergruppen $M_i\pdef {\op{e}}_iM$ nehmen und sie mit der hoffentlich offensichtlichen von der $R$-Modulstruktur auf $M$ induzierten Struktur eines $R_i$-Moduls versehen. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung} Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ring $R$ und ein Element $m\in M$ hei"st die Teilmenge $$\op{Ann}_R(m)\pdef \{r\in R\mid rm=0\}$$ der {\bf Annullator von $m$}.\index{Annullator}\index{Ann@$\op{Ann}$ Annullator} Man zeige, da"s der jedes Elements ein Linksideal ist. Weiter hei"st die Teilmenge $$\op{Ann}_R(M)\pdef \{r\in R\mid rm=0 \;\forall m\in M\}$$ der Annullator des Moduls $M$. Man zeige, da"s der Annullator eines Moduls stets ein zweiseitiges Ideal ist.\label{Annu} \end{Ubung} \subsection{Homomorphismen, Untermoduln, Quotienten}\label{HQU} \begin{Definition} Eine Abbildung $f: M \ra N$ von einem $R$-Modul in einen weiteren $R$-Modul hei"st {\bf $R$-linear}\index{linear} oder ein {\bf $R$-Modulhomomorphismus},\index{Modulhomomorphismus} wenn gilt $f(m+m^{\prime})=f(m) + f(m^{\prime})$ und $f(r m)= rf(m) \quad \forall m, m^{\prime} \in M$, $r \in R$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Die Gesamtheit aller $R$-Moduln "uber einem vorgegebenen Ring $R$ bildet mit den $R$-Modulhomomorphismen als Morphismen eine Kategorie\index{Mod@$\op{Mod}_R=R\op{-Mod}$ Kategorie der $R$-Moduln} $$R\op{-Mod}$$ In der Sprache der Kategorientheorie ist das Vergessen der $\DZ$-Modulstruktur ein Isomorphismus von Kategorien $\DZ\op{-Mod}\sira \op{Ab}$ zwischen der Kategorie der $\DZ$-Moduln und der Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\label{EnZ} Die Menge aller Homomorphismen von einem $R$-Modul $M$ in einen $R$-Modul $N$ schreiben wir auch $\op{Hom}_{R} (M,N)$.\index{Hom@$\op{Hom}_{R}$} Sie bildet eine Untergruppe und f"ur kommutatives $R$ sogar einen $R$-Untermodul von $\op{Ens} (M,N)$. Ein bijektiver Homomorphismus hei"st ein {\bf Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von Moduln} von $R$-Moduln. Gibt es einen Isomorphismus zwischen zwei $R$-Moduln $M$ und $N$, so schreiben wir auch $M\cong M$ und sagen, $M$ und $N$ seien {\bf isomorph}.\index{isomorph!Moduln} Ein Homomorphismus von einem Modul zu sich selbst hei"st ein \defind{Endomorphismus} unseres Moduls. Die Menge aller Endomorphismen des $R$-Moduls $M$ notiert man $\op{End}_R(M)$. Sie bildet einen Ring unter der Verkn"upfung als Multiplikation. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Ich will das Symbol $\op{Hom}$\index{Hom@$\op{Hom}$ ohne Index} ohne Index reservieren f"ur Funktoren, die aus zwei Objekten einer Kategorie ein drittes Objekt derselben Kategorie machen. Nur im Fall von Vektorr"aumen oder kommutativen Ringen darf man dann, wenn man dieser Konvention folgen will, den Grundring aus der Notation weglassen. Die Morphismenmenge in einer beliebigen Kategorie $\mathcal C$ notiere ich $\mathcal C(X,Y)$. Wenn sie mit zus"atzlicher Struktur verstanden werden soll, benutze ich auch $\op{Hom}$, aber dann mit erg"anzenden Indizes. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma}[\textbf{Modulhomomorphismen vom Grundring zu einem Modul}] Die $R$-Modulhomomorphismen von einem Ring $R$, aufgefa"st als $R$-Modul, zu einem beliebigen weiteren $R$-Modul werden parametrisiert durch die Elemente des besagten $R$-Moduls.\label{RHO} F"ur jeden $R$-Modul $M$ liefert genauer die Abbildungsvorschrift $m \mapsto (r \mapsto rm)$ einen Isomorphismus $$\begin{array}{ccc} M & \sira & \op{Hom}_{R} (R,M)\\ m & \mapsto & (r \mapsto rm) \end{array}$$ von abelschen Gruppen mit Inversem $\varphi\mapsto \varphi(1)$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Modul. Eine Teilmenge $N \subset M$ hei"st ein \defind{Untermodul} genau dann, wenn $N$ eine Untergruppe ist und wenn zus"atzlich gilt $m \in N$, $r \in R \RA r m \in N$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Untermoduln eines kommutativen Rings sind genau seine Ideale. Die Untermoduln eines allgemeinen Rings hei"sen seine {\bf Linksideale}. \index{Linksideal} Jeder Schnitt von Untermoduln ist wieder ein Untermodul. Ist $T \subset M$ eine Teilmenge eines Moduls $M$, so hei"st der kleinste Untermodul von $M$, der $T$ enth"alt, auch der {\bf von $T$ erzeugte Untermodul}\index{Untermodul!erzeugt von Teilmenge} und wir bezeichnen ihn mit $_R\langle T\rangle$\index{)5>@$_R\langle T\rangle$ Untermodul-Erzeugnis} oder wenn die genaue Bedeutung eh aus dem Kontext hervorgeht etwas nachl"assig mit $\langle T\rangle_R$ oder auch abk"urzend mit $\langle T\rangle$.\index{)5>@$\langle T\rangle_R$ Untermodul-Erzeugnis}\index{)5>@$\langle T\rangle$ Untermodul-Erzeugnis} Man kann den von $T$ erzeugten Untermodul beschreiben als die Menge aller Linearkombinationen $$\{r_{1}t_{1} + \ldots r_{s}t_{s} \mid s \geq 0,\; r_{i} \in R,\; t_{i} \in T \}$$ Hierbei steht die leere Linearkombination mit $s = 0$ f"ur die Null in $M$. Ein Modul, der von einer endlichen Teilmenge erzeugt wird, hei"st {\bf endlich erzeugt}.\index{endlich erzeugt!Modul} Ein Modul, der von einem einzigen Element erzeugt wird, hei"st {\bf zyklisch}.\index{zyklisch!Modul} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Bild eines Untermoduls unter einem Modulhomomorphismus ist wieder ein Untermodul. Dasselbe gilt f"ur das Urbild eines Untermoduls. Insbesondere sind Bild und Kern eines Modulhomomorphismus stets Untermoduln. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Quotientenmoduln}] Seien $R$ ein Ring, $M$ ein $R$-Modul und $N \subset M$ ein\label{QouM} Untermodul.\index{Quotientenmodul} \begin{enumerate} \item Es gibt genau eine Struktur eines $R$-Moduls auf der Restklassengruppe $M/N$ aus \eref{KdR}{LA2} derart, da"s die Projektion $\op{can} : M \twoheadrightarrow M/N$ ein Homomorphismus von $R$-Moduln ist; \item Jeder Homomorphismus von $R$-Moduln $\varphi : M \ra M^{\prime}$ mit $ \varphi(N)=0$ faktorisiert in eindeutiger Weise "uber $M/N$, es gibt also zu $\varphi$ genau einen $R$-Modul\-ho\-mo\-mor\-phis\-mus $\tilde{\varphi} : M /N \ra M^{\prime} $ mit $ \varphi = \tilde{\varphi} \circ \op{can}$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sehr "ahnlich zum Beweis der entsprechenden Aussagen im Fall von Vektorr"aumen \eref{QVV}{LA2} und dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Definition} Ein \defind{Subquotient} eines Moduls ist ein Quotient eines Untermoduls. \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{MER} Gegeben ein $R$-Modul $M$ wird $M$ ein Modul "uber seinem Endomorphismenring $\op{End}_R(M)$ vermittels der Vorschrift $fm=f(m)$ f"ur alle $f\in \op{End}_R(M)$ und $m\in M$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{RII} Ist $R$ ein Ring und $e\in R$ ein idempotentes Element und $M$ ein $R$-Modul, so induziert das Auswerten bei $e$ eine Bijektion $\op{Hom}_R(Re,M)\sira eM$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} In einem endlich erzeugten Modul umfa"st jedes Erzeugendensystem ein endliches Erzeugendensystem. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{MQR} Sei $R$ ein Ring und $\frak{a}\subset R$ ein Ideal und $M$ ein $R$-Modul. Bezeichne $\frak{a}M\subset M$ den Untermodul, der von allen Elementen $am$ mit $a\in \frak{a}$ und $m\in M$ erzeugt wird, und der bei sorgf"altigerer Notation eigentlich $\langle \frak{a}M\rangle$ notiert werden m"u"ste. Man zeige, da"s die Operation von $R$ auf $M/\frak{a}M$ in nat"urlicher Weise faktorisiert "uber $R/\frak{a}$, so da"s also $M/\frak{a}M$ in nat"urlicher Weise ein $R/\frak{a}$-Modul wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben ein Ring $R$ und ein $R$-Modul $M$ f"ur jedes Linksideal $ I \subset R$ das Auswerten an der Nebenklasse $1_R +I$ eine Bijektion $\op{Hom}_R (R/I,M) \overset{\sim}{\rightarrow} \{ m \in M \mid I m = 0\}$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PHRI} Gegeben Moduln $M_i$ "uber Ringen $R_i$ kann man das Produkt $M$ der $M_i$ in offensichtlicher Weise mit der Struktur eines Moduls "uber dem Produkt $R$ der $R_i$ versehen. Ergibt sich in derselben Weise ein $R$-Modul $N$ als das Produkt gewisser $R_i$-Moduln $N_i$, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $$\op{Hom}_R(M,N)\sira \prod_i \op{Hom}_{R_i}(M_i,N_i)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an exakte Sequenzen im Sinne von \eref{exSG}{LA2}. Eine Sequenz von Gruppen $M'\ra M\ra M'' $ hei"st {\bf linksexakt}\index{linksexakt} genau dann, wenn die erweiterte Sequenz $1\ra M'\ra M\ra M'' $ exakt ist, wenn sie also in anderen Worten bei $M$ exakt ist und $M'\ra M$ injektiv ist. Wir schreiben linksexakte Sequenzen meist $M'\hra M\ra M'' $. Man zeige: Eine Sequenz $M'\ra M\ra M'' $ von Moduln "uber einem Ring $R$ ist linkssexakt genau dann, wenn f"ur jeden weiteren $R$-Modul $N$ die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(N,M')\ra \op{Hom}_R(N,M)\ra \op{Hom}_R(N,M'')$$ linksexakt ist.\label{les} \end{Ubung} \begin{Ubung} Ich erinnere an exakte Sequenzen im Sinne von \eref{exSG}{LA2}. Eine Sequenz von Gruppen $M'\ra M\ra M'' $ hei"st {\bf rechtsexakt}\index{rechtsexakt} genau dann, wenn die erweiterte Sequenz $M'\ra M\ra M'' \ra 1$ exakt ist, wenn sie also in anderen Worten bei $M$ exakt ist und $M\ra M'' $ surjektiv ist. Wir schreiben rechtsexakte Sequenzen meist $M'\ra M\sra M'' $. Man zeige: Eine Sequenz $M'\ra M\ra M'' $ von Moduln "uber einem Ring $R$ ist rechtsexakt genau dann, wenn f"ur jeden weiteren $R$-Modul $N$ die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(M'',N)\ra \op{Hom}_R(M,N)\ra \op{Hom}_R(M',N)$$ linksexakt ist.\label{res} \end{Ubung} \subsection{Summen und Produkte von Moduln}\label{SPM} \begin{Bemerkungl} Die folgenden Konstruktionen verallgemeinern unsere Konstruktionen im Fall von Vektorr"aumen aus \eref{SPV}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ von Moduln "uber einem Ring $R$ bilden wir zwei neue $R$-Moduln, das {\bf Produkt}\index{Produkt!von Moduln} $\prod M_\lambda$ und die {\bf direkte Summe}\index{direkte Summe!von Moduln} oder kurz \defind{Summe} $\bigoplus M_\lambda$ durch die Regeln $$ \begin{array}{ccl} \prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in M_\lambda\}\\[2mm] \bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda&=&\{(m_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}\mid m_\lambda\in M_\lambda,\text{ nur endlich viele $m_\lambda$ sind nicht null}\} \end{array}$$ mit der offensichtlichen komponentenweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren aus $R$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur eine endliche Familie von Moduln $M_{1}, \ldots , M_{s}$ stimmen die direkte Summe und das Produkt "uberein. Wir benutzen dann alternativ die Notationen $$M_{1}\times \ldots \times M_{s}=M_{1}\oplus \ldots \oplus M_{s}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SPMM} Das Produkt beziehungsweise die Summe sind das Produkt beziehungsweise Koprodukt in der Kategorie der $R$-Moduln im Sinne unserer allgemeinen Definitionen \eref{PrKao}{LA2} beziehungsweise \eref{KoPro}{LA2}. Ausformuliert bedeutet das: %haben sie mithin die folgenden Eigenschaften: Die offensichtlichen Einbettungen und Projektionen sind Homomorphismen $$ \op{in}_\lambda: M_\lambda \hra \bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda\qquad\text{ beziehungsweise } \qquad\op{pr}_\lambda:\prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda \sra M_\lambda$$ und\index{in@$\op{in}$, Morphismus in Koprodukt} ist\index{pr@$\op{pr}$, Projektion aus Produkt} $M$ ein weiterer $R$-Modul, so induzieren die durch Vorschalten der $\op{in}_\lambda$ beziehungsweise Nachschalten der $\op{pr}_\lambda$ gegebenen Abbildungen Bijektionen $$\begin{array}{rcc} \op{Hom}_R (\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda, M) & \sira & \prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R (M_{\lambda},M)\\[1mm] f & \mapsto & (f\circ \op{in}_{\lambda})_{\lambda\in \Lambda}\\[4mm] \op{Hom}_R (M, \prod_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda) & \sira & \prod_{\lambda\in\Lambda}\op{Hom}_R (M,M_{\lambda})\\[1mm] f & \mapsto & (\op{pr}_{\lambda}\circ f)_{\lambda\in \Lambda} \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Familie $(M_\lambda)_{\lambda\in \Lambda}$ von Untermoduln eines Moduls $M$ bezeichnet man den von ihrer Vereinigung erzeugten Untermodul von $M$ auch als ihre {\bf Summe}\index{Summe!von Untermoduln} und notiert ihn $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$. Diese Summe kann auch interpretiert werden als das Bild eines nat"urlichen Homomorphismus $\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda\ra M$ von der direkten Summe nach $M$. Ist dieser Homomorphismus injektiv, so sagen wir, die \glqq Summe der Untermoduln $M_\lambda$ sei direkt\grqq\ und schreiben statt $\sum_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$ auch $\bigoplus_{\lambda\in \Lambda} M_\lambda$. Zwei Untermoduln $N_1,N_2\subset M$ hei"sen {\bf komplement"ar}\index{komplement"ar!Untermoduln} genau dann, wenn ihre Einbettungen einen Isomorphismus $N_1\oplus N_2\sira M$ induzieren. Ein Untermodul, der ein Komplement besitzt, hei"st ein {\bf Summand}.\index{Summand!von Modul} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BMoo} Auch bei Moduln "uber Ringen nennt man eine Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ \defind{linear unabh"angig} genau dann, wenn nur die triviale endliche Linearkombination verschwindet, wenn also f"ur eine Familie $(r_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ von Elementen unseres Rings mit nur endlich vielen von Null verschiedenen Mitgliedern gilt $$\sum_{\lambda\in\Lambda} r_\lambda m_\lambda=0\;\;\RA \text{ alle } r_{\lambda} \text{ sind null}$$ Ein linear unabh"angiges Erzeugendensystem hei"st wie bei Vektorr"aumen eine {\bf Basis},\index{Basis!von Modul} und wie dort erkl"aren wir die Begriffsvarianten einer {\bf Basis als Teilmenge},\index{Basis!als Teilmenge!von Modul} einer {\bf Basis als Familie},\index{Basis!als Familie!von Modul} und einer {\bf angeordneten Basis}.\index{Basis!angeordnete!von Modul} Allerdings besitzen keineswegs alle Moduln eine Basis, wie man das von Vektorr"aumen gewohnt ist. Die Moduln, die eine Basis besitzen, nennt man {\bf freie Moduln}.\index{frei!Modul}\index{Modul!freier} Die Moduln, die eine Basis bestehend aus genau einem Element besitzen, nenne ich {\bf frei zyklisch}.\index{frei zyklisch!Modul}\index{Modul!frei zyklischer} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} $\DZ/5\DZ$ ist kein freier $\DZ$-Modul, aber durchaus ein freier Modul "uber dem Ring $\DZ/5\DZ$. Jede Familie von Elementen eines Moduls "uber dem Nullring, der notwendig aus genau einem Element besteht, ist eine Basis. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur jede Menge $\Lambda$ ist der Modul $$R\Lambda\pdef \{f:\Lambda \ra R\mid f(\lambda)=0 \text{ f"ur fast alle }\lambda\}$$ frei, denn die Abbildungen, die an einer Stelle den Wert $1$ annehmen und sonst den Wert Null, bilden eine Basis. Wir nennen $R\Lambda$ den {\bf freien $R$-Modul "uber der Menge $\Lambda$}. \index{)8b@$R\Lambda$ freier $R$-Modul "uber $\Lambda$} Nach unseren Definitionen ist umgekehrt eine Familie $(m_\lambda)_{\lambda\in\Lambda}$ in einem Modul $M$ eine Basis genau dann, wenn die Abbildung $R\Lambda \ra M$ mit $(r_\lambda)\mapsto \sum r_\lambda m_\lambda$ ein Isomorphismus ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ungewohnte Isomorphismen zwischen freien Moduln}] F"ur beliebige Ringe $R$ folgt aus $R^n\cong R^m$ im allgemeinen keineswegs $n=m$.\label{BRNN} Das einfachste Gegenbeispiel ist der Nullring, und das ist nach \ref{ABTR} auch das einzige kommutative Gegenbeispiel. Unter den nicht kommutativen Ringen gibt es jedoch auch interessantere Gegenbeispiele. Betrachten wir etwa zu einem beliebigen K"orper den freien Vektorraum $V$ "uber der Menge $\DN$, so gibt es einen Isomorphismus $V\sira V\oplus V$, und f"ur den Endomorphismenring $R=\op{End} V$ erhalten wir einen Isomorphismus von $R$-Moduln $R\cong R^2$ als die Verkn"upfung $R=\op{End} V \cong \op{Hom} (V\oplus V,V)\cong R\oplus R$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{TREm} Wir erhalten mit \ref{BRNN} auch ein Paar $A\subsetneq B$ bestehend aus einem Ring mit einem echten Teilring und der Eigenschaft, da"s dennoch ein Isomorphismus $A\cong B$ von $A$-Linksmoduln existiert: Betrachten wir $R$ wie in \ref{BRNN} und den Teilring $(R\times R)\subset {\op{Mat}}(2;R)$ der Diagonalmatrizen, haben wir einerseits einen Isomorphismus $(R\times R)^2\cong {\op{Mat}}(2;R)$ von $(R\times R)$-Linksmoduln, soviel gilt sogar f"ur jeden Ring $R$, und andererseits gibt es nach den vorherigen "Uberlegungen auch einen Isomorphismus $(R\times R)\cong (R\times R)^2$ von $(R\times R)$-Linksmoduln. \end{Bemerkunge}\begin{Lemma}[\textbf{Kriterium f"ur die Direktheit einer Summe}] Gegeben eine Familie $(V_i)_{i\in I }$ von Untergruppen einer abelschen Gruppe $V$ ist der nat"urliche\label{Kds} Homomorphismus $\bigoplus_{i\in I } V_i\ra V$ eine Injektion genau dann, wenn f"ur jede endliche Teilmenge $J\subset I$ und jedes $i\in I\backslash J$ gilt $$V_i\cap \sum_{j\in J}V_j=0$$ \end{Lemma} \begin{proof} Ist der nat"urliche Homomorphismus eine Injektion, so folgt aus $i\in I\backslash J$ offensichtlich $V_i\cap \sum_{j\in J}V_j=0$, und das sogar f"ur beliebiges $J\subset I$. Ist der nat"urliche Homomorphismus keine Injektion, so liegt ein von Null verschiedenes Element $v=(v_i)_{i\in I}$ der direkten Summe in seinem Kern. Dieses Element hat nur in endlich vielen Summanden eine von Null verschiedene Komponente, die Menge $K\pdef\{i\mid v_i\neq 0\}$ ist also endlich und wegen $v\neq 0$ auch nicht leer. Per definitionem gilt nun $\sum_{k\in K}v_k=0$. W"ahlen wir $i\in K$ und nehmen $J=K\backslash i$, so folgt $0\neq -v_i=\sum_{j\in J}v_j$ und damit $V_i\cap \sum_{j\in J}V_j\neq 0$. \end{proof} \begin{Satz} F"ur jede freie abelsche Gruppe $F$ ist die offensichtliche Abbildung in das Bidual ein Isomorphismus $F\sira F^{**}$. \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen das nur f"ur $F=\DZ[X]$, der allgemeine Fall geht genauso. Das Dual $F^*$ ist in diesem Fall ein Produkt abz"ahlbar vieler Kopien von $\DZ$ und hei"st die {\bf Baer-Specker-Gruppe}.\index{Baer-Specker-Gruppe} Wir verwenden im folgenden die Inkarnation von $F^*$ als der Potenzreihenring. In Formeln ausgedr"uckt haben wir eine bilineare Abbildung $$\DZ\llbracket X\rrbracket\times \DZ[X]\ra\DZ$$ gegeben durch $(P,Q)\mapsto (\text{der Koeffizient von }X^0\text{ in }P\bar Q)$, wobei $\bar Q$ aus $Q$ entstehe durch Substitution von $X^{-1}$ f"ur $X$. Diese Paarung liefert offensichtlich einen Isomorphismus $\mathbb Z \llbracket X\rrbracket \sira \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z [X], \mathbb Z)$. Es gilt zu zeigen, da"s sie auch einen Isomorphismus $$\mathbb Z [X] \sira \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z \llbracket X\rrbracket, \mathbb Z)$$ induziert. Um das einzusehen, zeigt man zun"achst $$ \op{Hom}_{\mathbb Z} (\mathbb Z \llbracket X\rrbracket/\mathbb Z [X], \mathbb Z)=0$$ Jeder Homomorphismus $f: \mathbb Z \llbracket X\rrbracket / \mathbb Z [X] \rightarrow \mathbb Z$ macht jede Nebenklasse einer Reihe der Gestalt $\sum b_i 3^i X^i$ zu Null, da seine Werte darauf durch jede Potenz von drei teilbar sein m"ussen. Auf der Nebenklasse einer beliebigen Reihe $\sum a_i X^i$ kann $f$ also nur gerade Zahlen als Werte annehmen, da $\sum a_i X^i + \sum_{a_i \text{ ungerade}} 3^i X^i$ stets das Doppelte einer anderen Reihe ist. Das zeigt, da"s $f$ Null sein mu"s. Jeder Gruppenhomomorphismus $\mathbb Z \llbracket X\rrbracket \rightarrow \mathbb Z$ ist also durch seine Restriktion auf $\mathbb Z [X]$ bereits eindeutig festgelegt. Es bleibt zu zeigen, da"s eine Linearform $f: \mathbb Z [X] \rightarrow \mathbb Z$, die nicht auf fast allen $X^i$ Null ist, nicht auf $\mathbb Z \llbracket X\rrbracket$ fortgesetzt werden kann. Ist aber $f$ auf unendlich vielen $X^i$ nicht Null, so finden wir eine monoton wachsende Folge $\alpha (0) \leq \alpha (1) \leq \ldots$ von nat"urlichen Zahlen mit $c_n := | f(X^0) 2^{\alpha (0)}+ \ldots + f (X^n)2^{\alpha (n)}| \rightarrow \infty$ f"ur $n \rightarrow \infty$ und $2^{\alpha (n+1)}> 2c_n$ f"ur alle $n \in \mathbb N$. Werten wir dann unsere Linearform auf der Reihe $\sum_{i=0}^\infty 2^{\alpha(i)}X^i$ aus, so mu"s das Ergebnis im Betrag mindestens $c_n$ sein f"ur alle $n$, wie man durch Aufteilen in einen Anfang und einen Schwanz aus $2^{\alpha (n+1)}\DZ\llbracket X\rrbracket$ sieht, und das ist unm"oglich. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige: Jeder endlich erzeugte Modul "uber einem Schiefk"orper $D$ ist isomorph zu $D^n$ f"ur wohlbestimmtes $n\in\DN$. Hinweis: Man kopiere die Argumentation aus der linearen Algebra.\label{dSKK} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $k$ ein von Null verschiedener Ring. Man gebe ein minimales alias unverk"urzbares Erzeugendensystem des Rings $R\pdef(k\times k)$ als Linksmodul "uber sich selber an, das keine Basis ist. Man gebe eine maximale linear unabh"angige Teilmenge von $\DZ$ als Linksmodul "uber sich selber an, die keine Basis ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{fmDZ} Sei $k$ ein Ring und $k[\varepsilon]\pdef k[T]/\langle T^2\rangle$ mit $\varepsilon=\bar T$ der Ring der {\bf dualen Zahlen "uber $k$}.\index{duale Zahlen} Man zeige: Ein $k[\varepsilon]$-Modul ist frei genau dann, wenn gilt: $M/\varepsilon M$ ist ein freier $k$-Modul und die Multiplikation mit $\varepsilon$ induziert einen Isomorphismus $$M/\varepsilon M\sira \varepsilon M$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QFM} Jeder Modul ist isomorph zu einem Quotient eines freien Moduls. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Moduln $M_1,\ldots,M_m$ und $N_1,\ldots,N_n$ "uber einem Ring $R$ haben wir eine nat"urliche Identifikation\label{SVK} $$\op{Hom}_R(M_1\oplus\ldots\oplus M_m,N_1\oplus\ldots\oplus N_n)\sira \prod_{i,j} \op{Hom}_R(M_j,N_i)$$ Wir werden die Elemente einer endlichen direkten Summe oft als Spaltenvetoren von Elementen der Summanden auffassen und die Homomorphismen zwischen direkten Summen als Matrizen von Homomorphismen zwischen den Summanden. Das erlaubt uns, die Komposition solcher Homomorphismen mit dem Formalismus der Matrixmultiplikation zu berechnen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PVDS} Gegeben eine Familie von Moduln $M_{ij}$ mit $i\in I$, $j\in J$ haben wir stets eine kanonische Injektion $\bigoplus_i(\prod_j M_{ji})\hra \prod_j(\bigoplus_i M_{ji})$, die im allgemeinen aber kein Isomorphismus ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SpM} Das folgende ist eine offensichtliche Verallgemeinerung von \eref{Sp}{LA2}. Sei $R$ ein Ring. Man nennt einen surjektiven Homomorphismus von $R$-Moduln $M\sra M^{\prime\prime} $ {\bf spaltend}, wenn er ein Rechtsinverses besitzt, und nennt solch ein Rechts\-inverses dann eine {\bf Spaltung}.\index{Spaltung!von Modulhomomorphismus} Man zeige: Ist $\varphi : M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ ein surjektiver Homomorphismus, $M^{\prime} \subset M$ sein Kern und $\psi : M^{\prime\prime} \ra M$ eine Spaltung von $\varphi$, so erhalten wir vermittels der Vorschrift $(a^{\prime},a^{\prime\prime}) \mapsto a^{\prime} + \psi (a^{\prime\prime})$ einen Isomorphismus $M^{\prime}\times M^{\prime\prime} \sira M$. Man nennt einen injektiven Modulhomomorphismus $M'\hra M$ {\bf spaltend},\index{spaltend!injektiver Gruppenhomomorphismus} wenn er ein Linksinverses besitzt, und nennt solch ein Links\-inverses auch eine {\bf Spaltung} $\psi$.\index{Spaltung!bei abelschen Gruppen} F"ur $s:M\sra M''$ die Surjektion auf den Kokern unserer Injektion zeige man, da"s $(\psi,s)$ einen Isomorphismus $M\sira M'\times M''$ liefern. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SchSp} Sei $R$ ein Ring. F"ur jeden surjektiven Homomorphismus $f:M\sra F$ von einem $R$-Modul $M$ auf einen freien $R$-Modul $F$ existiert eine Spaltung, als da hei"st ein Homomorphismus $s:F\ra M$ mit $fs=\op{id}_F$. \end{Ubung} \subsection{Rechtsmoduln und Matrizenrechnung} \begin{Definition}\label{ReMo} Sei $R$ ein Ring. Ein \defnoind{$R$-Rechtsmodul}\index{Rechtsmodul} ist ein Paar bestehend aus einer abelschen Gruppe $(M,+)$ mitsamt einer Abbildung $M \times R\ra M$, $(m, r) \mapsto mr$ derart, da"s gilt f"ur alle $m, n \in M$ und $ r, s \in R:$ $$\begin{array}{ccc} (m+n) r &=& mr+nr\\ m(r+s) &=& mr + ms\\ m(rs)&=& (mr)s\\ m 1 &=& m \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Unsere $R$-Moduln aus Definition \ref{LM} nennt man manchmal auch genauer {\bf Linksmoduln}. Um den Unterschied klar zu machen, definieren wir f"ur jeden Ring $R =(R, +, \cdot)$ den {\bf opponierten Ring}\index{opponiert!Ring}\index{Ring!opponierter} $R^{\op{opp}} = (R, + , \cdot)$ als die abelsche Gruppe $R$ mit der \glqq vertauschten\grqq\ Multiplikation $r^\circ s^\circ = sr$ f"ur $r, s \in R$. Wir verwenden dabei die Notation \eref{oppoGR}{GR}, insbesondere meint $r^\circ$ das Element $r$ aufgefa"st als Element des opponierten Rings. Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s ein $R$-Rechtsmodul dasselbe ist wie ein $R^{\op{opp}}$-Linksmodul, alias eine abelsche Gruppe $M$ mitsamt einem Ringhomomorphimus $R^{\op{opp}} \ra \op{End} M$. Insbesondere braucht man bei kommutativen Ringen zwischen Rechtsmoduln und Linksmoduln keinen Unterschied zu machen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring und $M$ ein $R$-Rechtsmodul. Eine Teilmenge $N \subset M$ hei"st ein Untermodul oder ganz pedantisch \defind{Unterrechtsmodul} genau dann, wenn $N$ eine Untergruppe ist und wenn zus"atzlich gilt $m \in N$, $r \in R \RA mr \in N$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{URMo} Die Unterrechtsmoduln eines Rings hei"sen seine {\bf Rechtsideale}. \index{Rechtsideal} Jeder Schnitt von Untermoduln ist wieder ein Untermodul. Ist $T \subset M$ eine Teilmenge eines Moduls $M$, so hei"st der kleinste Untermodul von $M$, der $T$ enth"alt, auch der \defnoind{von $T$ erzeugte Untermodul}\index{Untermodul!erzeugt von Teilmenge} und wir bezeichnen ihn mit $\langle T\rangle_R$ oder auch abk"urzend mit $\langle T\rangle$. \index{)5>@$\langle T\rangle_R$ Unterrechtsmodul-Erzeugnis} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HMRR} F"ur $R$-Rechtsmoduln $M,N$ nennen wir einen Homomorphismus von abelschen Gruppen $f:M\ra N$ mit $f(mr)=f(m)r$ $\forall m\in M,r\in R$ auch einen \defnoind{Homomorphismus von $R$-Rechtsmoduln} und bezeichnen die Menge aller Homomorphimen von $R$-Rechtsmoduln\index{Hom@$\op{Hom}_{-R}$} mit $$\op{Hom}_{-R} (M,N)$$ Genau wie bei K"orpern haben wir auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{-R} (R^{p},R^{q}) & \sira & {\op{Mat}}(q\times p; R)\\ f\;\;\;\; & \mapsto & [f] \end{array}$$ wo die Spalten der Matrix $[f]= (a_{ij})$ die Bilder unter $f$ der Vektoren $\op{e}_{1} , \ldots , \op{e}_{p}$ der Standardbasis des $R^{p}$ sind, in Formeln $f(\op{e}_{j}) = (a_{1j},\ldots , a_{mj})$ f"ur $1 \leq j\leq p$. Die inverse Abbildung ordnet jeder Matrix $A$ die $R$-rechtslineare Abbildung $x \mapsto Ax$ zu, wo wir die Elemente $x \in R^{p}$ beziehungsweise $A x \in R^{q}$ als Spaltenmatrizen auffassen. Wie bei K"orpern entspricht die Matrixmultiplikation der Verkn"upfung von Abbildungen, in Formeln $[f\circ g]= [f]\circ [g]$, und $f$ ist ein Isomorphismus genau dann, wenn seine Matrix $[f]$ invertierbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur die Kategorie der Rechtsmoduln "uber einem Ring $R$ verwenden wir die beiden Notationen\index{Mod@$\op{Mod}_{-R}=\op{Mod-}R$ Rechtsmoduln} $$\op{Mod-}R=\op{Mod}_{-R}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $R$-Rechtsmoduln $M,N$ mit endlichen angeordneten\label{HMRRb} Basen $\mathcal A, \mathcal B$ der Kardinalit"aten $p,q$ erhalten wir genau wie bei K"orpern auch bei Ringen $R$ eine nat"urliche Bijektion $$\begin{array}{ccc} \op{Hom}_{-R} (M,N) & \sira & {\op{Mat}}(q\times p; R)\\ f\;\;\;\; & \mapsto & _{\mathcal B}[f]_{\mathcal A} \end{array}$$ und nennen wieder $_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ die {\bf darstellende Matrix der Abbildung $f$ in Bezug auf die Basen $\mathcal A$ und $\mathcal B$}. \index{darstellende Matrix!bei Moduln} Die Formel ${}_{\mathcal C} [g\circ f]_{\mathcal A} = {}_{\mathcal C}[g]_{\mathcal B} \circ {}_{\mathcal B}[f]_{\mathcal A}$ gilt entsprechend. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Definition der Determinante quadratischer Matrizen mit Eintr"agen in einem Kring durch die Leibnizformel \eref{DefD}{LA1}, an die Multiplikationsformel $\det (AB)=(\det A)( \det B)$ aus \eref{MuDet}{LA1} und daran, da"s eine quadratische Matrix nach \eref{InvD}{LA1} genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante eine Einheit in fraglichen kommutativen Ring ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Leibnizformel ist zwar auch f"ur nichtkommutative Ringe noch sinnvoll, aber die Formel $\det (AB)=(\det A)( \det B)$ ist dann nicht mehr richtig, und deshalb sind Determinanten in der Allgemeinheit nichtkommutativer Ringe nicht mehr von Nutzen. \end{Bemerkunge} % \begin{Definition} % Ist $R$ ein kommutativer Ring, % so bilden wir f"ur quadratische Matrizen $A = % (a_{ij})^{n}_{i,j=1} \in {\op{Mat}}(n\times n; R)$ die {\bf % Determinante}\index{Determinante} durch die Vorschrift % $$\det A = \sum_{\sigma \in \cal{S}_{n}} (\op{sgn} \sigma) a_{1\sigma (1)} % \ldots a_{n\sigma (n)}$$ % falls $n\neq 0$ und $\det A =1$ im Fall $n = 0$. % \end{Definition} % \begin{Proposition}[\defnoind{Multiplikativit"at % der Determinante}\index{Multiplikativit"at!der Determinante}] % Sei $R$ ein kommutativer Ring. % \begin{enumerate} % \item % F"ur je zwei quadratische $n \times n$-Matrizen $A, B \in {\op{Mat}} (n % \times n;R)$ gilt % $$\det (AB) = (\det A) (\det B)$$ % \item % Genau dann ist eine quadratische Matrix $A$ invertierbar in ${\op{Mat}} (n\times n; % R)$, wenn % ihre % Determinante eine Einheit von $R$ ist, wenn also in Formeln % gilt $(\det A) \in R^{\times}$. % \end{enumerate} % \end{Proposition} % \begin{proof}[Beweis] % 1. % Die Multiplikativit"at % der Determinante % ist f"ur Matrizen mit Eintr"agen in einem K"orper \ref{MuDet} % bekannt aus der % linearen % Algebra und der erste unserer beiden Beweise % funktioniert ohne "Anderungen auch in unserer Situation hier. % Alternativ kann man auch wie folgt argumentieren: % Die Multiplikativit"at % der Determinante folgt sicher f"ur Matrizen mit Eintr"agen % im Integrit"atsbereich % $$\DZ [X_{ij}, Y_{ij}]_{1\leq i,j\leq n}$$ % denn der ist ein Teilring seines Quotientenk"orpers. In diese % abstrakte Identit"at k"onnen wir dann f"ur die $X_{ij}$ % und $Y_{ij}$ Elemente % eines beliebigen kommutativen Rings einsetzen, und die Behauptung % folgt. % \\[2mm] % \noindent % 2. % Aus der Multiplikativit"at % der Determinante folgt, da"s die Determinante jeder invertierbaren Matrix eine % Einheit ist. % Um die Umkehrung zu zeigen, erinnern wir uns an feinere Aussagen % des Determinantenkalk"uls. % F"ur eine quadratische Matrix $A \in {\op{Mat}} (n \times n; R)$ bildet man % dort % die adjungierte Matrix % $A^{\#} \in {\op{Mat}} (n \times n; R)$ mit Eintr"agen % $$A^{\#}_{ij} = (-1)^{i+j} \det A^{ji}$$ % wo $A^{ji}$ die $(n -1) \times (n-1)$-Matrix bezeichnet, die aus % $A$ entsteht durch Streichen der $j$-ten Zeile und der $i$-ten % Spalte. % F"ur Koeffizienten in einem K"orper zeigt man in der linearen % Algebra % $$A^{\#} A = (\det A) I$$ % mit $I$ der $(n \times n)$-Einheitsmatrix. % "Ahnlich wie im ersten Teil des Beweises "ubertr"agt man diese % Formel dann auf beliebige kommutative Ringe $R$. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Wohlbestimmtheit des Rangs}] Ist $R$ ein kommutativer Ring und nicht der Nullring, so folgt f"ur $m,n\in\DN$ aus der Existenz eines Isomorphismus von Moduln $R^n\cong R^m$ bereits $n=m$. \label{ABTR} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ein alternativer Beweis wird in "Ubung \ref{NKR} skizziert. Ein Gegenbeispiel f"ur nichtkommutative Ringe erkl"art \ref{BRNN}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ein Isomorphismus $R^n\cong R^m$ wird notwendig beschrieben durch Matrizen $A$ und $B$. W"are $n\neq m$, so w"aren unsere Matrizen nicht quadratisch. Hat ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $A$ mehr Zeilen als Spalten und erg"anzen wir unsere Matrizen durch Nullen zu quadratischen Matrizen $\tilde{A}$ und $\tilde{B}$, so gilt immer noch $\tilde{A}\tilde{B}=I$ mit $I$ der Einheitsmatrix, im Widerspruch zu $\det\tilde{A}=0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $M$ ein endlich erzeugter freier Modul "uber einem kommutativen Ring $R\neq 0$, so hei"st die Zahl $n\in\DN$ mit $M\cong R^n$ der \defnoind{Rang}\index{Rang!von Modul} von $M$. Das Beispiel \ref{BRNN} zeigt, da"s man "uber nichtkommutativen Ringen im allgemeinen nicht mehr sinnvoll vom Rang eines freien Moduls reden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{AP} Es gibt Schiefk"orper $K\subset L$ derart, da"s $L$ "uber $K$ endlich erzeugt ist als Linksmodul, nicht aber als Rechtsmodul. Die Frage nach einem solchen Beispiel war lange als {\bf Artin's Problem}\index{Artin's Problem} bekannt. Eine explizite Konstruktion kann man in \cite{CohnSKF} finden. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{ENRj} Gegeben ein Ring $R$ liefert die durch Rechtsmultiplikation gegebene Abbildung aus \ref{RHO} einen Ringisomorphismus $R^{\op{opp}}\sira \op{End}_R(R)$ und die durch Linksmultiplikation gegebene Abbildung einen Ringisomorphismus $R\sira \op{End}_{-R}(R)$. Hier ist es wichtig zu erinnern, da"s in unseren Konventionen Ringe stets ein Einselement haben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Gegeben ein Kring $R$ und $n\in\DN$ ist jeder surjektive Homomorphismus $R^n\sra R^n$ bereits ein Isomorphismus.\label{FreRU} Hinweis: Man finde ein Halbinverses und rechne mit Matrizen. Weiter zeige man: Ist $S\subset R$ ein Teilring und der $R$-Modul $M$ sowohl "uber $R$ als auch "uber $S$ frei vom Rang $n$, so gilt $S=R$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{UbMo} F"ur jeden Ring $R$ und jede nat"urliche Zahl $n\geq 1$ liefert die Zuordnung $M\mapsto M^n$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$R\op{-Mod} \;\;\sirra\;\; {\op{Mat}} (n; R) \op{-Mod}$$ In anderen Worten ist jeder Modul "uber $S\pdef{\op{Mat}} (n; R)$ isomorph zu einem Modul der Gestalt $M^n$ mit $M\in R\op{-Mod}$ und unsere Zuordnung induziert Bijektionen $\op{Hom}_R(M,N)\sira \op{Hom}_S(M^n,N^n)$. %Etwas allgemeiner ist f"ur jeden freien $R$-Rechtsmodul %$V$ mit Endomorphismenring $E\pdef\op{End}_{-R}(V)$ %die Zuordnung $M\mapsto V\otimes_R M$ %eine "Aquivalenz von Kategorien %$R\op{-Mod} \sirra E \op{-Mod}$. Diese Aussagen sind im "ubrigen Spezialf"alle unserer allgemeinen "Uberlegungen \eref{BMA}{TS} zur Tensor-Hom-Adjunktion und erste Beispiele der sogenannten {\bf Morita-"Aquivalenz}.\index{Morita-"Aquivalenz!Erste Beispiele} \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s jeder endlich erzeugte freie Modul "uber eine endliche Basis besitzt.\label{EBA} \end{Ubung} \subsection{Ganzzahlige symplektische Formen**} \begin{Satz}[\textbf{Symplektische Formen "uber $\mathbb Z$}] Gegeben eine endlich erzeugte freie abelsche Gruppe $\Gamma$ mit einer nichtausgearteten\index{symplektische Form!ganzzahlige} alternierenden Bilinearform\label{GSY} $\omega : \Gamma \times \Gamma \rightarrow \mathbb Z$ existiert stets eine Basis von $\Gamma$, bez"uglich derer die Matrix unserer Form eine Blockmatrix der Gestalt \begin{displaymath} \begin{pmatrix} 0 & D\\ -D &0 \end{pmatrix} \end{displaymath} ist mit $D = \op{diag}(d_1, \ldots, d_r)$ und $d_i > 0$ und $d_i | d_{i+1} $ f"ur alle $ i$. Die $d_i$ sind dabei durch die Form $\omega$ eindeutig bestimmt. \end{Satz} \begin{proof} Wir w"ahlen $\lambda, \mu \in \Gamma$ derart, da"s $\omega (\lambda, \mu)=d$ die kleinstm"ogliche positive Zahl ist, die so dargestellt werden kann. Dann behaupten wir $ \Gamma = \langle \lambda, \mu \rangle \oplus \langle \lambda, \mu \rangle^{\perp}. $ Aus Dimensionsgr"unden gilt das "uber $\mathbb Q$. F"ur jedes $\gamma \in \Gamma$ finden wir also $m \in \mathbb Z_{>0}$ derart, da"s $m \gamma$ eine Darstellung \begin{equation*} m\gamma = a \lambda + b\mu + \kappa \end{equation*} besitzt mit $\kappa \in \langle \lambda, \mu \rangle^\perp.$ Es folgt sofort $ m \omega (\gamma, \mu) = da. $ W"are $m$ kein Teiler von $a$, so w"are $d$ kein Teiler von $\omega (\gamma, \mu)$ und wir k"onnten $x,y \in \mathbb Z$ finden mit $0 < x \omega (\gamma, \mu) +\gamma \omega (\lambda, \mu) = \omega (x \gamma +\gamma \lambda, \mu)n$ beziehungsweise $n-r$ Kopien der exakten Sequenzen $0\ra R \stackrel{\op{id}}{\ra}R \ra 0$ im Fall $n>m$, so erhalten wir mit \eref{PexA}{LA2} die untere Horizontale in einem kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen $$ \xymatrix{ R ^m \ar[r]^{A\circ} & R ^n \ar[d]_{P\circ}^{\wr}\ar[r] & M\ar[r]&0\ar[d]\\ R ^m \ar[u]_{\wr}^{Q\circ} \ar[r]^{D\circ}& R ^n \ar[r] & R /\langle d_1 \rangle \times \ldots \times R /\langle d_r \rangle \times R ^{n-r} \ar[r]&0 }$$ Damit liefert \eref{QRET}{LA2} oder vielmehr eine offensichtliche Variante dieses Resultats f"ur Moduln einen Isomorphismus $M\sira R /\langle d_1 \rangle \times \ldots \times R /\langle d_r \rangle \times R ^{n-r}$. % Dieses Diagramm liefert einen % Isomorphismus zwischen $G$ und dem Quotienten von $\Bbb{Z}^n$ nach dem % Bild der unteren Horizontalen: In der Tat ist ja nach Konstruktion und % \ref{ISa} die Gruppe $G$ isomorph zum Quotienten % von $\Bbb{Z}^n$ nach dem % Bild der oberen Horizontalen, und einen Isomorphismus zwischen % diesen beiden Quotienten liefert etwa \ref{unin}. % Der Quotient nach dem % Bild der unteren Horizontalen % ist nun aber offensichtlich isomorph zu % $$\Bbb{Z}/d_1 \Bbb{Z} \times \ldots \times \Bbb{Z}/d_r \Bbb{Z} \times % \Bbb{Z}^{n-r}$$ Lassen wir von unserer Folge $d_1 | d_2 | \ldots | d_r$ alle Einheiten vorne weg und erg"anzen am Ende $(n-r)$ Nullen und drehen die Nummerierung um, so erhalten wir eine Folge $a_{s}| \ldots| a_{1}$ derart, da"s die von ihren Gliedern erzeugten Ideale eine Kette bilden wie im Satz \ref{KIK} gefordert, und die Existenz dort ist gezeigt. Um die Eindeutigkeit zu zeigen bemerken wir, da"s f"ur jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und jedes irreduzible Element $p$ und alle $n \geq 1$ der Quotient $p^{n-1}M/p^{n} M$ nach \ref{MQR} % und \ref{ee} ein endlichdimensionaler Vektorraum "uber dem Restklassenring $R/\langle p\rangle$ ist, der hinwiederum nach \eref{Ubb}{AL} ein K"orper sein mu"s. Wir notieren seine Dimension $$D^n_p (M)\pdef \op{dim}_{R/\langle p\rangle}(p^{n-1}M/p^{n} M)$$ Man folgert unmittelbar $D^n_p (M\times N)=D^n_p (M)+D^n_p (N)$ f"ur je zwei endlich erzeugte $R$-Moduln $M$ und $N$. F"ur zyklische $R$-Moduln $M \cong R /aR $ behaupten wir nun $$\begin{array}{ccc} D^n_p ( R /a R ) &=& \left\{ \begin{array}{cl} 1 & p^{n} \text{ teilt } a;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array}\right. \end{array}$$ In der Tat ist das klar f"ur $a=p^m$, f"ur $a$ teilerfremd zu $p$ ist es eh klar, und mit dem chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL} folgt es im allgemeinen. F"ur eine Zerlegung $M \cong R/\langle d_{1}\rangle \times \ldots \times R/\langle d_{s}\rangle$ wie in \ref{KIK} finden wir also $$D^n_p ( M )=|\{i\mid p^{n}\text{ teilt }d_i\}|$$ Die Zahl der Nullen unter unseren $d_i$ wird damit f"ur jedes $p$ gegeben durch die Formel $|\{i\mid d_i=0\}|=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M )$, und welche Potenz von jedem irreduziblen Element $p$ in jedem von Null verschiedenen $d_i$ stecken mu"s, kann man an den Zahlen $D^n_p(M)$ auch ablesen. Folglich h"angen die Ideale $\langle d_i\rangle$ nur von $M$ und nicht von der gew"ahlten Zerlegung ab. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis von \ref{zk}] % Die Existenz folgt aus \ref{ek} mit dem Chinesischen Restsatz \ref{CR}. % Die Eindeutigkeit erkennt man, indem man sich "uberlegt, da"s % verschiedene Folgen $a_1 |a_2|\ldots| a_s$ auch zu verschiedenen % Produkten wie in \ref{zk} f"uhren. Genauer kann man $a_1$ beschreiben % als das Produkt der jeweils h"ochsten Primzahlpotenzen f"ur alle % vorkommenden Primzahlen, $a_2$ % als das Produkt der jeweils zweith"ochsten und so weiter, % bis am Ende die Zahl der Nullen gerade die Zahl der Faktoren % $\DZ$ in der Zerlegung \ref{zk} sein mu"s. % \end{proof} \begin{proof} Aus \ref{KIK} folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem wir im Fall $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d_i$ von $\frak{a}_{i}$ als Produkt von paarweise teilerfremden Primpotenzen $d_i = q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und mit dem chinesischen Restsatz zerlegen $$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$ F"ur die Eindeutigkeit argumentieren wir wie im vorhergehenden Beweis: F"ur $M \cong R^{r} \times R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{t}R$ wie in \ref{NFF} finden wir diesmal $$D^n_p ( M )=r+ |\{i\mid p^{n}\text{ teilt }q_i\}|$$ Wenden wir diese Erkenntnis an auf alle irreduziblen Elemente $p$, so folgt die im Satz behauptete Eindeutigkeit ohne weitere Schwierigkeiten: Die Zahl der Primpotenzen $q_i$, die bis auf eine Einheit $p^n$ sind, mu"s n"amlich bei jeder Zerlegung gerade $D^{n}_p ( M )-D^{n+1}_p ( M )$ sein, und den Rang $r$ des freien Anteils k"onnen wir als die auch von allen Wahlen unabh"angige Zahl $r=\lim_{n\ra\infty} D^n_p ( M )$ beschreiben, f"ur jedes irreduzible Element $p$. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis der beiden S"atze] % Wir beginnen mit dem Beweis der Eindeutigkeit im zweiten Satz % und zeigen zun"achst die Eindeutigkeit von $s$. % Sei $Q=\op{Quot} R$ der Quotientenk"orper von $R$. % Wir behaupten % $$ s = \dim_{Q} \op{Hom}_{R} (M,Q),$$ % wo wir f"ur jeden $R$-Modul $M$ den Raum $\op{Hom}_{R} (M,Q)$ % als Untervektorraum auffassen im Raum aller Abbildungen von $M$ nach $Q$. % Nach den allgemeinen Eigenschaften der direkten Summe gilt in der Tat % $$\op{Hom}_{R} (M,Q)=\op{Hom}_{R} (R/q_{1}R,Q) % \times \ldots \times \op{Hom}_{R}(R/q_{t}R,Q) \times % \op{Hom}_{R}(R,Q)^{s}$$ % Nach \ref{RHO} gilt $\op{Hom}_{R}(R,Q)\cong Q$ % und wir m"ussen nur noch zeigen, % da"s gilt % $\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=0$ f"ur jedes % von Null verschiedene Ideal $\frak{a} \subset R$. % In der Tat k"onnen wir aber diesen Raum identifizieren als % $$\op{Hom}_{R} (R/\frak{a}, Q)=\{ f \in \op{Hom}_{R} (R,Q) % \mid f|_\frak{a} =0\}$$ % und da jeder von Null verschiedene $R$-Modulhomomorphismus $f: R % \ra Q$ injektiv ist, kann nur Nullabildung auf einem von Null % verschiedenen Ideal verschwinden. Das zeigt die Eindeutigkeit von $s$. % Um auch die Eindeutigkeit der auftauchenden Primpotenzen zu zeigen, % betrachten wir f"ur $n\geq 1$ und jeden endlich erzeugten $R$-Modul $M$ und % jedes irreduzible Element $p\in R$ den K"orper $R/pR$ und die nat"urlichen % Zahlen % $$d^n_p(M)=\dim_{R/pR} (p^{n-1}M/p^{n}M)$$ % Sie haben die folgenden Eigenschaften: % \begin{enumerate} % \item % $d^n_p(M\oplus N)=d^n_p(M)+d^n_p(N)$ f"ur alle $p$ und $n$ % und $N$ auch endlich erzeugt. % \item % $d^n_p(R)=1$ f"ur alle $p$ und $n$. % \item % Ist $\pi$ ein weiteres irreduzibles Element von $R$, so gilt % $$d^n_p(R/\pi^mR)=\left\{\begin{array}{ll} % 1&\pi\in R^\times p,\;m\leq n;\\ % 0&\text{sonst.}\end{array}\right$. $ % \end{enumerate} % Hier ist die erste Eigenschaft offensichtlich. % F"ur $\pi=p$ induziert die Multiplikation mit $p^{n-1}$ % Isomorphismen $R/pR\sira p^{n-1}R/p^{n}R$, und das % zeigt 2 sowie in 3 alle F"alle mit $\pi\in R^\times p$. % Im verbleibenden Fall $\pi\not\in R^\times p$ % ist die Restklasse von $p$ eine Einheit in $R/\pi^m R$ % und das zeigt $d^n_p(R/\pi^m R)=0$ f"ur alle $m$. % Damit erhalten wir f"ur jedes irreduzible $p \in R$ und $n \geq 1$ % die Formel % $$d^n_p(M) = s +\# \{ i \mid p^{n} \text{ % teilt } q_{i}\},$$ % und das zeigt die Eindeutigkeit der $q_{i}$ bis auf % Reihenfolge und Einheiten. % Als n"achstes zeigen wir die Existenz im ersten Satz. % Sei also $M$ ein endlich erzeugter $R$-Modul. Sicher finden wir % eine Surjektion % $p:R^{m} {\twoheadrightarrow} M$. Da $R$ noethersch ist, % ist $\ker p$ auch endlich erzeugt und wir finden eine Surjektion % $f:R^{n} {\twoheadrightarrow} \ker p$. % Jetzt fassen wir $f$ auf als eine Abbildung $f: R^{n} \ra R^{m}$ % und haben $M \cong R^{m} / \op{im} f$. % Nach Satz \ref{ES} finden wir aber $X,Y$ invertierbar und $D$ % diagonal derart, da"s das Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % R^{n} & \overset{f}{\longrightarrow} & R^{m}\\ % X \uparrow \;\;\;\;& & \;\;\downarrow Y\\ % R^{n} & \overset{D}{\longrightarrow} & R^{m} % \end{array}$$ % kommutiert, und k"onnen f"ur die Diagonaleintr"age von $D$ sogar % $d_{11}|d_{22}|\ldots | d_{rr}$ erreichen mit $r = \min (m,n)$. % Es folgt % $$\begin{array}{ccl} % M & \cong & R^{m}/\op{im} D\\ % & \cong & R/d_{11}R \times \ldots \times R/d_{rr}R \times R^{m-r} % \end{array}$$ % In dieser Darstellung d"urfen wir die Terme mit $d_{ii} \in R^{\times}$ % weglassen und erhalten so die Existenzaussage in Satz \ref{KIK}. % Daraus folgt sofort die Existenzaussage in Satz \ref{NFF}, indem % wir im Fall $\frak{a}_{i} \neq 0$ einen Erzeuger $d$ von $\frak{a}_{i}$ % als Produkt von paarweise teilerfremden Primpotenzen $d = % q_{1} \ldots q_{k}$ schreiben und mit dem chinesischen Restsatz % zerlegen % $$R/\frak{a}_{i} \cong R/q_{1}R \times \ldots \times R/q_{k}R$$ % Umgekehrt zeigt die bereits bewiesene Eindeutigkeit in Satz % \ref{NFF} auch die behauptete Eindeutigkeit in Satz \ref{KIK}, wir % haben notwendig $\frak{a}_{1} = \ldots = \frak{a}_{s} =0$, dann ist % $\frak{a}_{s+1}$ erzeugt vom Produkt der jeweils gr"o"sten unter den $q_{i}$ % vorkommenden Potenzen der verschiedenen Primelemente, und so % weiter. % \end{proof} \begin{Korollar}[\defind{Jordan'sche Normalform}] Seien $k$ ein algebraisch abgeschlossenen K"orper, $V$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum und\label{JNF} $A : V \ra V$ eine lineare Abbildung. So gibt es eine Basis von $V$ derart, da"s die Matrix von $A$ bez"uglich dieser Basis blockdiagonal ist, wobei die Bl"ocke konstant sind auf der Diagonale, konstant Eins auf der ersten oberen Nebendiagonale, und Null an allen anderen Stellen. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Das ist genau unser Satz \eref{JNFa}{LA2} aus der linearen Algebra, der hier also ein weiteres Mal bewiesen wird. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Mithilfe von \ref{KX} fassen wir $V$ als Modul "uber dem Polynomring $k[X]$ auf und mit \ref{NFF} finden wir einen Isomorphismus von $k[X]$-Moduln $$V \cong k [X]/\langle(X-\lambda_{1})^{n_{1}}\rangle \times \ldots \times k[X]/\langle(X-\lambda_{t})^{n_{t}}\rangle$$ W"ahlen wir auf der rechten Seite im Summanden $k [X]/\langle(X-\lambda)^{n}\rangle$ als angeordnete Basis die Nebenklassen von $ {(X-\lambda)}^{n-1}, \ldots, {(X-\lambda)}$ und $1$, so erh"alt man die Matrix der Multiplikation mit $X$, indem man zun"achst die Matrix der Multiplikation mit $(X-\lambda)$ berechnet und dann die Diagonalmatrix $\lambda I$ addiert. So erkennt man dann leicht, da"s die Matrix der Multiplikation mit $X$ die gew"unschte Form hat. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Auf "ahnliche Weise erh"alt man auch Normalformen f"ur die Matrizen von Endomorphismen "uber nicht notwendig algebraisch abgeschlossenen K"orpern, wie in den folgenden "Ubungen ausgef"uhrt wird. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildMNWF}\\[4mm] \noindent Illustration zu \ref{WNF} \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{WNF} Jedes normierte Polynom $P\in k[X]$ ist bis auf Vorzeichen das charakteristische Polynom der $k$-linearen Abbildung $$(X\cdot):k[X]/\langle P\rangle\ra k[X]/\langle P\rangle$$ Hat unser Polynom die Gestalt $P=X^n+a_{n-1}X^{n-1}+\ldots+a_{1}X+a_0$, so bilden die Nebenklassen von $1,X,\ldots,X^{n-1}$ eine angeordnete Basis des Quotienten, und in Bezug auf diese Basis hat die durch Multiplikation mit $X$ gegebene $k$-lineare Abbildung die in nebenstehender Abbildung angegebene Matrix. Hinweis: Eine Methode ist die explizite Berechnung mithilfe der Determinante. Alternativ mag man $k$ algebraisch abgeschlossen annehmen und sich mithilfe des chinesischen Restsatzes auf den Fall zur"uckziehen, da"s $P$ eine Potenz eines linearen Polynoms ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Charakteristisches Polynom eines $K[X]$-Moduls}] Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus\label{KEC} eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Genau dann hat $A$ das charakteristische Polynom $P$, wenn es eine Faktorisierung $P=Q_1\ldots Q_r$ gibt derart, da"s der $(V,A)$ entsprechende $k[X]$-Modul isomorph ist zu $$k[X]/\langle Q_1\rangle\times\ldots\times k[X]/\langle Q_r\rangle$$ Man nutze diese Erkenntnis, um einen alternativen Beweis des Satzes von Cayley-Hamilton \eref{CaHa}{LA1} zu geben. Hinweis: Man verwende \ref{WNF} und \ref{KIK} oder \ref{NFF}. In anderen Worten kann das Aufmultiplizieren einer endlichen Multimenge von Null verschiedener Polynome bis auf eine multiplikative Konstante aus $k^\times$ demnach geschrieben werden als die Verkn"upfung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} _\mu\{ Q_1, \ldots , Q_r\} &\in &\left\{ \begin{array}{c}\text{endliche Multimengen}\\ \text{von Polynomen aus } k [X]\backslash 0 \end{array} \right\}\\ \da&&\da\\ k [X]/ \langle Q_1\rangle \times \ldots \times k [X]/ \langle Q_r \rangle & \in & \left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\ k[X]\text{-Moduln} \end{array} \right\}\\ & & \downarrow\\ (V,A)&\in&\left\{\begin{array}{c}\text{endlichdimensionale}\\ k\text{-Vektorr"aume }V\\ \text{mit Endomorphismus} \end{array} \right\} \\ \da&&\da\\ \chi_A & \in & k [X] \end{array} \end{displaymath} mit unserer Entsprechung $M\mapsto (M,(X\cdot))$ aus \ref{KX} als mittlerem Pfeil. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Genau dann liefert $(V,A)$ einen $ k[X]$-Modul, der isomorph ist zu $k[X]/\langle P\rangle$ f"ur ein Polynom $P\in k[X]$, wenn es einen Vektor $v\in V$ gibt derart, da"s die $A^iv$ den Vektorraum $V$ erzeugen. Ein derartiger Vektor hei"st auch ein {\bf zyklischer Vektor}.\index{zyklisch!Vektor!eines Endomorphismus} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Sei $A:V\ra V$ ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Vektorraums "uber einem K"orper $k$. Man zeige: Kommen im charakteristischen Polynom $\chi_A$ von $A$ keine $k$-irreduziblen Faktoren mehrfach vor, so liefert $(V,A)$ einen $ k[X]$-Modul, der isomorph ist zu $k[X]/\langle \chi_A\rangle$. \end{Ubunge} \subsection{K"orpertheoretischer Nullstellensatz} \begin{Definition} Unter einer {\bf Kringerweiterung}\index{Kringerweiterung} %eines Krings $A$ verstehen wir ein Paar $A\subset B$ bestehend aus einem Kring $B$ mit einem Teilring $A$. Sp"ater verstehen wir darunter auch allgemeiner einen beliebigen injektiven Kringhomomorphismus. \end{Definition} \begin{Definition}\label{defg} Sei $A\subset B$ eine Kringerweiterung. \begin{enumerate} \item Wir sagen, $B$ sei {\bf von endlichem Typ}\index{endlicher Typ!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$ oder {\bf ringendlich}\index{ringendlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$, wenn $B$ als Ring von $A$ zusammen mit endlich vielen weiteren Elementen erzeugt werden kann. \item Wir sagen, $B$ sei {\bf endlich}\index{endlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$ oder genauer {\bf modulendlich}\index{modulendlich!Kringerweiterung} {\bf "uber} $A$, wenn $B$ als $A$-Modul endlich erzeugt ist. \item Ein Element $b\in B$ hei"st {\bf ganz "uber $A$},\index{ganz!Element von Kringerweiterung} wenn es Nullstelle eines normierten Polynoms mit Koeffizienten in $A$ ist, wenn also eine Gleichung der Gestalt $$b^{n}+a_{n-1} b^{n-1} + \ldots + a_{1}b + a_{0}=0$$ gilt mit $n\geq 1$ und $a_{i} \in A$. Im Fall einer K"orpererweiterung $A\subset B$ sagt man stattdessen auch, $b$ sei {\bf algebraisch "uber $A$}. \end{enumerate} Analog verwenden wir diese Begriffe auch f"ur beliebige Kringhomomorphismen $A\ra B$, die nicht notwendig Einbettungen von Teilmengen, ja noch nicht einmal injektiv zu sein brauchen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Fall von K"orpererweiterungen reicht in Teil 3 die Forderung, da"s wir ein von Null verschiedenes Polynom finden. Im Fall von Kringerweiterungen jedoch ist die Forderung wesentlich, da"s das Polynom in Teil 3 normiert sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{zui} Gegeben ein von Null verschiedener Kring $R$ und die Kringerweiterung $R[T]\subset R[T,T^{-1}]$ ist $T^{-1}$ nicht ganz "uber $R[T]$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{HHKEh} Ich erinnere die in \eref{HHKE}{AL} eingef"uhrten Begriffsbildungen und Notationen. Sei $A$ ein Kring. Unter einem {\bf $A$-Kring}\index{Kring!$k$-Kring|main} verstehen wir ein Paar $(B,\varphi)$ bestehend aus einem Kring $B$ und einem Kringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$. Ist $(C,\psi)$ ein weiterer $A$-Kring, so verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von $A$-Kringen}\index{Homomorphismus!von $A$-Kringen} $B\ra C$ einen Kringhomomorphismus ${\eta}:B\ra C$ mit $\eta\circ {\varphi}=\psi$. Alternativ sprechen wir auch von einem {\bf Homomorphismus "uber $A$}.\index{Homomorphismus!"uber Grundkring} Die Menge aller solchen Homomorphismen notieren wir\index{Kring@$\op{Kring}^{A}$} $$\op{Kring}^{A}(B,C)$$ Einen bijektiven Kringhomomorphismus "uber $A$ nennen wir auch einen \defnoind{Isomorphismus von $A$-Kringen} oder einen \defnoind{Isomorphismus "uber $A$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Unser $\op{Kring}^{A}$ ist ebenso wie seine nichtkommutative Variante $\op{Ring}^{A}$ ein Speziallfall der allgemeinen kategorientheoretischen Konstruktion \eref{KaUu}{TF} der Kategorie $\mathcal C^X$ der \glqq Objekte unter $X$\grqq\ zu einer Kategorie $\mathcal C$ mit einem ausgezeichneten Objekt $X$. % Wenn $A$ selbst durch einen gr"o"seren Ausdruck gegeben ist, verwende % ich f"ur diese Kategorien auch die \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ verstehe ich wie in \eref{RAlg}{LA2} unter einer\label{kALL} {\bf $k$-Algebra}\index{Algebra!"uber Kring} einen $k$-Modul $M$ mitsamt einer $k$-bilinearen Abbildung $M\times M\ra M$. Hier bedeutet \glqq bilinear\grqq\ wie im Fall eines K"orpers $k$ die Linearit"at in beiden Eintr"agen. "Ublich ist in diesem Zusammenhang die Konvention, da"s man eine Algebra stets als assoziativ versteht, wenn aus dem Kontext nichts anderes hervorgeht. Ist die bilineare Verkn"upfung assoziativ und besitzt $M$ dazu noch ein neutrales Element, so nenne ich $M$ eine {\bf $k$-Ringalgebra},\index{Ringalgebra!"uber Kring} und ist sie zus"atzlich auch noch kommutativ, eine {\bf $k$-Kringalgebra}.\index{Kringalgebra!"uber Kring} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$k$-Kringe und $k$-Kringalgebren}] In der hier gew"ahlten Terminologie ist f"ur jeden Kring $k$ eine $k$-Kring\-algebra dasselbe wie ein $k$-Kring: Die Multiplikation eines $k$-Krings $(B,\varphi)$ zusammen mit der von $\varphi$ induzierten $k$-Modulstruktur macht jeden $k$-Kring zu einer $k$-Kringalgebra, und umgekehrt wird jede $k$-Kring\-algebra $M$ zu einem $k$-Kring durch den Kringhomomorphismus $\varphi:k\ra M$, $\lambda\mapsto \lambda 1_M$. Ich verwende die Bezeichnung als Kringalgebra insbesondere, wenn ich den Grundring $k$ nicht explizit erw"ahnen will. Viele Autoren, deren Fokus mehr auf der algebraischen Geometrie und kommutativen Algebra liegt, nennen letztere Struktur kurzerhand eine \glqq $k$-Algebra\grqq. Ich verwende diese Terminologie nicht, da bei mir auch nicht-kommutative Algebren und nicht-unit"are Algebren eine wichtige Rolle spielen. Allerdings will ich der Konvention folgen, da"s eine Algebra als assoziativ angenommen sei, wenn aus dem Kontext nichts anderes hervorgeht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringendliche Erweiterungen noetherscher Kringe sind noethersch}] Ist ein Kring $B$ ringendlich "uber einem noetherschen Kring $A$, so ist auch $B$ selbst noethersch. Man folgert das mit\label{KHIB} dem Hilbert'schen Basissatz \ref{HiBaa} zun"achst f"ur einen Polynomring in endlich vielen Variablen "uber $A$ und dann mit \ref{QN} f"ur Quotienten solcher Polynomringe. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Ringendliche K\"{o}rpererweiterungen}] Jede ringendliche K"orper\-erweiterung ist modulendlich.\label{KFa} In anderen Worten ist also jede K"orpererweiterung, die endlich erzeugt ist als Ringerweiterung, bereits endlichdimensional "uber dem Grundk"orper. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wegen seiner engen Verwandtschaft zum Nullstellensatz hei"st dieser Satz in vielen Quellen der {\bf k\"{o}rpertheoretische Nullstellensatz}.\index{Nullstellensatz!k\"{o}rpertheoretischer} Einen alternativen Beweis, der auf dem Noether'schen Normalisierungslemma und Eigenschaften ganzer Ringerweiterungen basiert, diskutieren wir in \ref{AlBN}. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPRiT}\\[4mm] \noindent Sind $A\subset B\subset C$ Kringe und ist $C$ ringendlich "uber $A$, so mu"s $B$ keineswegs ringendlich "uber $A$ sein. Als Gegenbeispiel betrachte man etwa $\DC\subset B\subset \DC[X,Y]$ mit $B$ dem Ring aller Polynomfunktionen, deren Einschr"ankung auf die $y$-Achse konstant ist. Eine $\DC$-Basis von $B$ bildet dann etwa die Eins und alle Monome $X^iY^j$ mit $i>0$, und man sieht leicht, da"s kein Teilring von $B$ von endlichem Typ "uber $\DC$ alle $XY^j$ enthalten kann. Dies Bild illustriert, wie ich mir diesen Ring veranschauliche: Jedes ausgemalte K"astchen mit unterer linker Ecke $(i,j)$ steht f"ur einen Basisvektor $X^iY^j$ von $B$. \end{Bild} \begin{proof}[Beweis im Fall eines "uberabz"ahlbaren Grundk"orpers] Sei $ k\subset L$ unsere K"orper\-erweiterung. Ist $L$ ein endlich erzeugter $k$-Ring, so ist $L$ von abz"ahlbarer Dimension "uber $k$. G"abe es nun ein $t\in L\backslash k$, das transzendent ist "uber $k$, so h"atten wir mit $T\mapsto t$ eine Einbettung $k(T)\hra L$. Der Funktionenk"orper $k(T)$ hat aber "uberabz"ahlbare Dimension "uber $k$, da die Familie der Br"uche $(T-\lambda)^{-1}$ parametrisiert durch $\lambda\in k$ linear unabh"angig ist "uber $k$, vergleiche \eref{pbzz}{AL}. Widerspruch! \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Allgemeinen] Sei $k\subset L$ unsere ringendliche K"orpererweiterung. Seien $e_{1}, \ldots , e_{n}$ Erzeuger des $k$-Krings $L$, in Formeln $L = k [e_{1}, \ldots , e_{n}]$. Wir argumentieren mit Induktion "uber $n$. Der Fall $n=1$ ist unproblematisch, der Polynomring in einer Ver"anderlichen ist eben kein K"orper, und jeder Quotient davon nach einem von Null verschiedenen Ideal ist endlichdimensional als $k$-Vektorraum. F"ur den Induktionsschritt d"urfen wir annehmen, da"s wir bereits wissen, da"s $L$ mo\-dul\-end\-lich ist "uber $K \pdef k(e_1)$. Ist $e_1$ algebraisch "uber $k$, so sind wir wieder fertig. Also d"urfen wir $e_1$ transzendent "uber $k$ annehmen, in Formeln $K \cong k('T)$. Betrachten wir nun den Teilring $A \subset K $, der "uber $k$ von $e_1$ und den Koeffizienten der Minimalpolynome "uber $K $ von $e_2,\ldots, e_n$ erzeugt wird, so ist $A$ per definitionem ringendlich "uber $k$. Wir haben also unseren Funktionenk"orper $K$ eingebettet in ein Sandwich von Kringen $$ k\subset A \subset K\subset L$$ mit $L$ modulendlich "uber $A$ und $A$ ringendlich "uber $k$ und damit nach \ref{KHIB} insbesondere $A$ noethersch. Also mu"s auch $K $ modulendlich sein "uber $A$ und damit ringendlich "uber $k$. Das ist nun der gesuchte Widerspruch, denn ein Funktionenk"orper $K \cong k('T)$ kann nie ringendlich "uber seinem Grundk"orper $k$ sein: Es gibt ja nach \eref{Uevi}{AL} unendlich viele irreduzible Polynome in $k ['T]$, und nur endlich viele davon k"onnten in den Nennern von endlich vielen hypothetischen Erzeugern des $k$-Krings $k('T)$ vorkommen. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Einen alternativen Beweis geben wir im Anschlu"s an \ref{FRE}. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TEZ} Seien $A\subset B\subset C$ Kringerweiterungen. Man zeige: Ist $C$ modul\-endlich "uber $B$ und $B$ modulendlich "uber $A$, so ist $C$ bereits modul\-endlich "uber $A$. Ist $C$ ringendlich "uber $B$ und $B$ ringendlich "uber $A$, so ist $C$ bereits ringendlich "uber $A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle Elemente von $\DQ$, die ganz sind "uber $\DZ$. Sei $k$ ein K"orper. Man bestimme alle Elemente von $k(T_1,\ldots,T_n)$, die ganz sind "uber dem Polynomring $k[T_1,\ldots,T_n]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DC[X,Y]/\langle Y^2-X^3\rangle$ ein Integrit"atsbereich ist, und da"s die "uber diesem Ring ganzen Elemente seines Quotientenk"orpers selbst einen Ring bilden, der isomorph ist zum Polynomring in einer Ver"anderlichen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Zwei} Wird ein $A$-Kring $B$ als $A$-Kring erzeugt von endlich vielen "uber $A$ ganzen Elementen, haben wir also in Formeln $B=A[x_1,\ldots ,x_n]$ mit $x_i$ ganz "uber $A$ f"ur $1\leq i\leq n$, so ist er bereits modulendlich "uber $A$. Hinweis: Man beginne mit dem Fall eines einzigen Erzeugers und verwende dann \ref{TEZ}. \end{Ubung} \subsection{Beweis des Hilbert'schen Nullstellensatzes} \begin{Bemerkungl} In einem unvoreingenommenen Sprachgebrauch hat jeder Ring genau ein maximales Ideal, n"amlich das Ideal, das aus allen Elementen unseres Rings besteht. Ich erinnere jedoch daran, da"s wir in \eref{MaxI}{AL} vereinbart hatten, vielmehr die maximalen echten Ideale eines Rings seine \glqq maximalen Ideale\grqq\ zu nennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Menge der maximalen Ideale eines Rings $A$ notieren wir\index{Max@$\op{Max}A$ Menge der maximalen Ideale von $A$} $$\op{Max}A$$ Statt $\op{Max}A$ findet man f"ur die Menge der maximalen Ideale eines Rings $A$ auch oft Notationen wie $\op{Spec}_{\op{max}}A$\index{Specmax@$\op{Spec}_{\op{max}}A$ {\it Menge der maximalen Ideale von $A$}} oder $\op{Specm}A$\index{Specm@$\op{Specm}A$ {\it Menge der maximalen Ideale von $A$}}, die aber im hier verfolgten Aufbau der Theorie erst in \ref{PrII} verst"andlich werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In vom Nullring verschiedenen noetherschen Ringen ist es offensichtlich, da"s sich jedes Ideal zu einem maximalen Ideal vergr"o"sern l"a"st: Das System aller echten Ideale ist dann nicht leer und besitzt folglich mindestens ein maximales Element. In allgemeinen Ringen folgt das aus dem Zorn'schen Lemma, wie nun gleich gezeigt werden soll. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Existenz von maximalen Idealen}]\label{EMI} In jedem von Null verschiedenen Ring gibt es mindestens ein maximales Ideal. Allgemeiner l"a"st sich in einem beliebigen Ring jedes Ideal, das nicht der ganze Ring ist, vergr"o"sern zu einem maximalen Ideal unseres Rings.\index{maximal!Ideal} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $R$ unser Ring und $\frak{a}\neq R$ unser Ideal. Wir betrachten das System aller Ideale von $R$, die $\frak{a}$ umfassen und nicht ganz $R$ sind oder, gleichbedeutend, nicht die $1$ von $R$ enthalten. Dieses System von Teilmengen ist offensichtlich stabil unter aufsteigenden Vereinigungen. Jetzt folgt der Satz aus dem Zorn'schen Lemma in der Gestalt \eref{KZL}{LA1}. \end{proof} \begin{Bemerkunge} In der Logik wird gezeigt, da"s die Annahme, jedes Ideal eines Krings m"oge sich zu einem maximalen Ideal vergr"o"sern lassen, echt schw"acher ist als das Auswahlaxiom. Der Beweis scheint allerdings nicht ganz einfach zu sein. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{ZHMa} Ist $\varphi : R \twoheadrightarrow S$ ein surjektiver Ringhomomorphismus, so erhalten wir eine Bijektion $$ \left\{ \text{Ideale in } R, \text{ die } \ker \varphi \text{ umfassen} \right\} \sira \{ \text{Ideale in } S \} $$ vermittels der Abbildungen $I \mapsto \varphi (I)$ f"ur $I \subset R$ beziehungsweise in der Gegenrichtung $J \mapsto \varphi^{-1} (J)$ f"ur $J \subset S$. Insbesondere liefert das Zur"uckholen mit einem surjektiven Ringhomomorphismus eine Injektion $\op{Max}S\hra \op{Max}R$, $\frak m\mapsto \varphi^{-1} (\frak m)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{NIi} Ein Kring ist ein K"orper genau dann, wenn in ihm das Nullideal ein maximales Ideal ist. Ein Ideal in einem Kring ist maximal genau dann, wenn der Quotientenring nach besagtem Ideal ein K"orper ist.\label{RMI} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Aussage und damit implizit auch die Erste haben wir bereits als \eref{RMIb}{AL} bewiesen. Hier geben wir noch eine Beweisalternative. In einem K"orper ist nat"urlich das Nullideal maximal. Ist umgekehrt das Nullideal ein maximales Ideal, so gilt $k=\langle 1\rangle \neq \langle 0\rangle $ und damit $1 \neq 0$. Weiter gilt $\langle a\rangle = k$ f"ur jedes $a \neq 0$, also gibt es f"ur jedes $a \neq 0$ ein $b$ mit $ab =1$. Wenden wir nun die Erkenntnis \ref{ZHMa} an auf die Surjektion $R \twoheadrightarrow R/\frak{m}$ f"ur irgendein Ideal $\frak{m}$ von $ R$, so folgt, da"s $\frak{m} \subset R$ ein maximales Ideal ist genau dann, wenn $\langle 0\rangle\subset R/\frak{m}$ ein maximales Ideal ist. Das Nullideal in einem Kring ist aber, wie bereits gezeigt, maximal genau dann, wenn besagter Kring ein K"orper ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die nun folgenden Lemmata \ref{MIi} und \ref{MI1} formulieren einfache Konsequenzen des Nullstellensatzes \ref{HNb}. Da wir uns jedoch beim Beweis des Nullstellensatzes auf diese Lemmata st"utzen wollen, d"urfen wir sie hier nicht aus dem Nullstellensatz herleiten. Stattdessen folgern wir sie aus dem bereits bewiesenen Satz "uber ringendliche K"orpererweiterungen \ref{KFa}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Maximale Ideale in Polynomringen}] %\label{MI} Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so sind die maximalen Ideale im Polynomring in $n$ Variablen $k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ genau die Verschwindungsideale von Punkten des $k^{n}$. In Formeln liefert das Bilden des Verschwindungsideals also eine\label{MIi} Bijektion $$\begin{array}{ccc} k^{n} & \sira &\op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]\\ x & \mapsto &\;{\mathcal I}(x) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Da jeder Punkt des $k^n$ abgeschlossen ist, k"onnen wir die inverse Abbildung beschreiben durch die Abbildungsvorschrift $\frak{m} \mapsto {\mathcal Z}(\frak{m})$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $k$ ein K"orper und $x \in k^{n}$ ein Punkt, so ist ganz offensichtlich ${\mathcal I}(x)= \langle T_{1}-x_{1}, \ldots , T_{n}-x_{n}\rangle \subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal: In der Tat induziert das Auswerten bei $x$ einen Isomorphismus $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]/{\mathcal I}(x) \sira k$. Ist umgekehrt ${\frak m} \subset k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ ein maximales Ideal, so betrachten wir den K"orper $L\pdef k [T_{1}, \ldots, T_{n}]/{\frak m}$. Wir haben nat"urlich einen Ringhomomorphismus $\varphi : k \ra L$ und die Nebenklassen der $T_{i}$ erzeugen $L$ als $k$-Algebra. Mit dem Satz "uber ring\-endliche K"orpererweiterungen \ref{KFa} folgt, da"s $\varphi:k\hra L$ eine algebraische K"orpererweiterung sein mu"s. Aus unserer Annahme $k$ algebraisch abgeschlossen folgt dann weiter, da"s $\varphi$ eine Bijektion sein mu"s. Ist $x_{i}\in k$ das Urbild der Nebenklasse $\bar{T}_{i}\in L$ von $T_i$ unter dieser Bijektion, so folgt $T_{i}-x_{i} \in {\frak m}$. Bezeichnet $x = (x_{1}, \ldots , x_{n})$ den Punkt mit den Koordinaten $x_{i}$, so folgt ${\mathcal I}(x) \subset {\frak m}$ und damit ${\mathcal I}(x) = {\frak m}$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Ideale ohne simultane Nullstellen}] Hat ein Ideal in einem Polynomring in endlich vielen Variablen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper keine Nullstelle, so ist besagtes Ideal schon der ganze\label{MI1} Polynomring. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichnet $k=\bar k$ unseren K"orper und $\mathfrak a\subset k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ unser Ideal, so behauptet unser Lemma in Formeln $${\mathcal Z}(\mathfrak a)=\emptyset\;\;\RA\;\; \mathfrak a=k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$$ Das zeigen wir durch Widerspruch: Ist ein Ideal $\mathfrak a$ nicht der ganze Ring, so gibt es ein maximales Ideal ${\frak m}$ "uber $\mathfrak a$ und wir folgern aus $\mathfrak a\subset{\frak m}$ erst $ {\mathcal Z}(\mathfrak a)\supset {\mathcal Z}({\frak m})$ und dann mit \ref{MIi} weiter $ {\mathcal Z}(\mathfrak a)\neq\emptyset$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Nun erinnern und beweisen wir den bereits in \ref{HNb} angek"undigten Hilbert'schen Nullstellensatz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hilbert'scher Nullstellensatz}]\index{Nullstellensatz, Hilbert'scher}\index{Hilbert'scher Nullstellensatz} Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"or\-per und\label{HN} $\mathfrak a \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal. Ist $f \in k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Polynom, das auf der Nullstellenmenge unseres Ideals verschwindet, so liegt eine Potenz unseres Polynoms bereits selbst in besagtem Ideal, in Formeln $${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(\mathfrak a)\;\RA\; f^{N} \in \mathfrak a\text{ f"ur }N \gg 0$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir verwenden den sogenannten {\bf Rabinovitch-Trick} und betrachten in dem um eine Variable $T$ vergr"o"serten Polynomring $k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]$ das von $\mathfrak a$ und $fT -1$ erzeugte Ideal $\mathfrak b$. Da wir ${\mathcal Z}(f) \supset {\mathcal Z}(\mathfrak a)$ angenommen hatten, besitzt dies Ideal $\mathfrak b$ "uberhaupt keine simultanen Nullstellen. Anschaulich gesprochen entweicht ${\mathcal Z}(fT -1)$ bei jeder Nullstelle von $f$ in Richtung der zus"atzlichen Koordinate $T$ ins Unendliche und die Nullstellenmenge von $\mathfrak a$ im um eine Variable gr"o"seren Polynomring ist das kartesische Produkt von ${\mathcal Z}(\mathfrak a)$ mit der zus"atzlichen Koordinatenachse: Der Schnitt dieser beiden Mengen ist dann offensichtlich leer. Nach \ref{MI1} gilt also in unserem um eine Variable vergr"o"serten Polynomring eine Gleichung der Gestalt $$r_0(fT-1)+r_1 f_1+\ldots +r_m f_m=1$$ mit $f_j\in \mathfrak a$ und $r_j$ Elementen unseres um eine Variable vergr"o"serten Polynomrings. Nun durften wir sicher von Anfang an $f\neq 0$ annehmen. Setzen wir dann in unserer Gleichung f"ur $T$ das Element $f^{-1}$ des Funktionenk"orpers $k (T_{1},\ldots , T_{n})$ ein, wenden also den Ringhomomorphismus $k [T_{1},\ldots , T_{n}, T]\ra k (T_{1},\ldots , T_{n})$ mit $T\mapsto f^{-1}$ an, so ergibt sich in diesem Funktionenk"orper und sogar bereits in seinem Teilring $k [T_{1},\ldots , T_{n},f^{-1}]$ eine Gleichung der Gestalt $$s_1 f_1+\ldots+ s_m f_m=1$$ wo die $s_j\in k [T_{1},\ldots , T_{n},f^{-1}]$ eben aus den $r_j$ hervorgehen durch Einsetzen von $f^{-1}$ f"ur $T$. Nach Multiplikation mit einer geeigneten Potenz $f^N$ von $f$ erhalten wir schlie"slich eine Gleichung in $k [T_{1},\ldots , T_{n}]$ der Gestalt $$c_1 f_1+\ldots+ c_m f_m=f^N$$ mit $c_j=f^N s_j$ Elementen unseres urspr"unglichen Polynomrings $k [T_{1},\ldots , T_{n}]$. Diese Gleichung zeigt dann $f^{N} \in \mathfrak a$. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Ideal $\mathfrak a$ in einem Kring $R$ definiert man sein {\bf Radikal}\index{Radikal!eines Ideals} $\sqrt{\mathfrak a}$ durch die Vorschrift $\sqrt{\mathfrak a}\pdef\{ f\in R\mid f^N\in \mathfrak a\text{ f"ur }N\gg 0\}$. Ein Ideal hei"st ein \defind{Radikalideal}, wenn es sein eigenes Radikal ist.\label{RaId} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In \eref{RaMo}{LieA} f"uhren wir den Begriff des \glqq Radikals eines Moduls\grqq\ ein. Das Radikal eines Ideals im obigen Sinne ist etwas v"ollig anderes als sein Radikal als Modul. Wenn es n"otig sein sollte, werde ich unterscheiden zwischen dem {\bf Potenzradikal}\index{Radikal!Potenzradikal}\index{Potenzradikal} und dem {\bf Modulradikal}\index{Radikal!Modulradikal}\index{Modulradikal} eines Ideals. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abgeschlossene Mengen und Radikalideale}] Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so gilt f"ur jedes Ideal ${\frak a}\subset k[T_1,\ldots,T_n]$ nach dem Nullstellensatz die Formel\label{BRI} ${\mathcal I}({\mathcal Z}({\frak a}))=\sqrt{{\frak a}}$. Andererseits wissen wir schon lange um die Formel ${\mathcal Z}({\mathcal I}(X))=\bar X$ f"ur Teilmengen $X\subset k^n$. Die Vorschriften ${\mathcal Z}$ und ${\mathcal I}$ liefern also zueinander inverse Bijektionen zwischen der Menge aller Zariski-abgeschlossenen Teilmengen des $k^n$ und der Menge aller Radikalideale in $k[T_1,\ldots,T_n]$, in Formeln $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Radikalideale}\\ \mathfrak b\subset k[T_1,\ldots, T_n]\end{array}\!\!\right\} & \begin{array}{c} \mathcal Z\\[-3mm] \lra\\[-4.5mm] {\scriptstyle \sim}\\[-3.5mm] \longleftarrow\\[-2.5mm] \mathcal I \end{array} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Teilmengen}\\ Z\As k^n \end{array} \!\! \right\} %^{\op{opp}} \\[5mm] % X & &\cal{O}(X) \\[1mm] % \varphi \downarrow \;\;\;& \mapsto & \varphi^{\sharp} \uparrow \;\;\;\\[1mm] % Y & & \cal{O}(Y) \end{array} $$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $k$ algebraisch abgeschlossen und $\mathfrak a \subset k [T_{1}, \ldots, T_{n}]$ ein Ideal, so induziert die Bijektion $k^{n} \overset{\sim}{\ra} \op{Max} k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ aus Lemma \ref{MIi} eine Bijektion $\mathcal Z (\mathfrak a) \sira \op{Max} (k [T_{1}, \ldots , T_{n}] /\mathfrak a)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Warum kann man nicht mit demselben Argument wie in \ref{EMI} zeigen, da"s jede Gruppe eine maximale echte Untergruppe besitzt? Man zeige auch, da"s die additive Gruppe $\DQ$ keine maximale echte Untergruppe besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{NKR} Gegeben ein kommutativer von Null verschiedener Ring $R$ folgt aus $R^n\cong R^m$ schon $n=m$. Hinweis: Man benutze \ref{MQR} und w"ahle mit \ref{EMI} ein maximales Ideal $\frak{a}\subset R$, so da"s $R/\frak{a}$ nach \ref{RMI} ein K"orper ist. Ein alternativer Beweis, der ohne das Zorn'sche Lemma auskommt, wird in \ref{ABTR} gegeben. Der hier skizzierte Beweis zeigt jedoch mit \eref{KaBa}{AL} allgemeiner f"ur beliebige Mengen $I,J$, da"s aus der Isomorphie von freien Moduln $RI\cong RJ$ folgt, da"s $I$ und $J$ dieselbe Kardinalit"at haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{JacR} Der Schnitt aller maximalen Ideale eines Krings $R$ kann auch beschrieben werden als die Menge aller Elemente unseres Rings mit der Eigenschaft, da"s die Summe eines beliebigen Vielfachen unseres Elements mit der Eins stets eine Einheit ist, in Formeln $$\bigcap_{\frak{m}\in\op{Max}R}\frak{m}=\{a\in R\mid (ra+1)\in R^\times\;\forall r\in R\}$$ Diese Menge hei"st das {\bf Jacobson-Radikal}\index{Jacobson-Radikal} unseres Krings. Im Fall nichtkommutativer Ringe versteht man unter dem Jacobson-Radikal feiner den Schnitt aller maximalen Links- oder gleichbedeutend aller maximalen Rechtsideale. \end{Ubung} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. In Erweiterung von \ref{EVNN} zeige man, da"s ein Ideal $\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ genau dann\label{Evfg} von endlicher Kodimension ist, wenn es h"ochstens endlich viele simultane Nullstellen besitzt, in Formeln $$|\mathcal Z(\mathfrak a)|<\infty\;\;\IFF \;\; \op{codim}_k(\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n])<\infty$$ \end{Ubung} \begin{Ubunge} Noch allgemeiner als in \ref{Evfg} zeige man f"ur einen beliebigen K"orper $ k$, da"s ein Ideal $\mathfrak a\subset k[T_1,\ldots, T_n]$ genau dann\label{Exvfg} von endlicher Kodimension ist, wenn es nur in endlich vielen maximalen Idealen enthalten ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur ein Ideal $\mathfrak a$ eines Krings $R$ das Radikal $\sqrt{\mathfrak a}$ wieder ein Ideal von $R$ ist und da"s $\sqrt{\mathfrak a}$ sein eigenes Radikal ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HZUU} $(k=\bar k)$. Ist $A$ ein ringendlicher $k$-Kring, so liefert das Bilden des Kerns $\varphi\mapsto \op{ker}\varphi$ eine Bijektion $\op{Kring}^k(A,k) \sira \op{Max}A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $k$ ein K"orper und\label{rkee} $A$ ein ringendlicher $k$-Kring. Man zeige: Ist der Quotient von $A$ nach seinem Nilradikal $A/\sqrt{0}$ endlichdimensional "uber $k$, so ist bereits $A$ selbst endlichdimensional "uber $k$. \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \section{Affine Variet"aten} \subsection{Polynomiale und regul"are Funktionen} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein Kring und $X \subset k^{n}$ eine Teilmenge. Eine $k$-wertige Funktion $f:X\ra k$ auf $X$ hei"st eine {\bf polynomiale Funktion},\index{polynomial!Funktion} wenn es ein Polynom $P\in k[T_1,\ldots, T_n]$ gibt mit $f(x)=P(x)\;\forall x\in X$.\index{Funktion!polynomiale} Die polynomialen Funktionen bilden einen Teilring $$\cal{O}^{\op{pol}}(X)\subset \op{Ens}(X,k)$$ im Ring aller $k$-wertigen Funktionen auf $X$.\index{O@$\cal{O}^{\op{pol}}$ polynomiale Funktionen} Nach dem Isomorphiesatz \eref{ISa}{LA2} liefert die Einschr"ankung von Funktionen einen Isomorphismus von $k$-Kringen $$k [T_{1}, \ldots , T_{n}] / {\mathcal I}(X) \sira \cal{O}^{\op{pol}}(X)$$ zwischen dem Restklassenring des Polynomrings nach dem Verschwindungsideal von $X$ und dem Ring der polynomialen Funktionen auf $X$. \end{Bemerkungl} \newpage \pagecolor{aliceblue} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur Ringe von polynomialen Funktionen}] Viele Autoren verwenden statt $\cal{O}^{\op{pol}}(X)$ die alternative Notation $k[X]$\index{)5]@$k[X]$ {\it Polynomfunktionen auf $X$}} f"ur den $k$-Kring der polynomialen Funktionen auf $X$. Die Aussage, da"s f"ur einen unendlichen Kring $k$ die polynomialen Funktionen auf $X=k$ durch obigen Isomorphismus mit dem Polynomring in einer Ver"anderlichen $T$ identifiziert werden, schreibt sich in dieser Notation $k[T]\sira k[k]$ und in unserer Notation $k[T]\sira \cal{O}^{\op{pol}}(k)$. \end{Bemerkungl} \newpage \pagecolor{white} \begin{Bemerkungl} Sei $k$ ein K"orper. Gegeben eine Teilmenge $X\subset k^n$ hei"st eine Abbildung $f:X\ra k$ eine {\bf regul"are Funktion},\index{Funktion!regul"are}\index{regul"ar!Funktion} wenn sie sich lokal als Quotient von zwei polynomialen Funktionen schreiben l"a"st. In Formeln ausgedr"uckt soll das bedeuten, da"s es f"ur alle $x \in X$ eine offene Umgebung $U \co k^n$ von $x$ gibt und Polynome $g, h \in k [T_{1}, \ldots , T_{n}]$ mit $h(y) \neq 0 \; \forall y \in U$ derart, da"s f"ur alle $ y \in U\cap X$ gilt $f(y) = g(y)/ h(y)$. Offensichtlich sind alle polynomialen Funktionen auch regul"ar und offensichtlich bilden auch die regul"aren Funktionen einen\label{regf} Teilring im Ring aller Funktionen. Wir notieren den Ring der regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)$\index{O@$\cal{O}$ regul"are Funktionen!auf Teilmenge eines $k^n$} und erhalten also in Formeln im Ring aller $k$-wertigen Funktionen die Teilringe $$\cal{O}^{\op{pol}}(X)\subset\cal{O}(X)\subset \op{Ens}(X,k)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Regul"are Funktionen auf algebraischen Mengen}] Gegeben $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $X\As k^n$ eine algebraische Teilmenge sind alle regul"aren Funktionen auf $X$ bereits polynomial, in Formeln\label{rfa} $$\cal{O}^{\op{pol}} (X)=\cal{O}(X) $$ \end{Satz} \newpage \pagecolor{aliceblue} \begin{Bemerkungl} F"ur $k=\bar k$ sind auf algebraischen Teilmengen $X\As k^n$ insbesondere \glqq lokal polynomiale Funktionen bereits global polynomial\grqq, aber die Aussage ist noch viel st"arker: Sogar Funktionen, die sich lokal als Quotienten polyomialer Funktionen schreiben lassen, k"onnen bereits global durch ein einziges Polynom realisiert werden. Die Bedingung $X\As k^n$ ist hier wesentlich. Zum Beispiel w"are auf $K^\times \subset k$ die Funktion $T^{-1}$ regul"ar, aber nicht polynomial. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}[\textbf{Polynomialit"at von Kehrwertfunktionen}] Sei $k$ ein K"orper. Gegeben $X\subset k^n$ und eine regul"are Funktion $f:X\ra k$ ohne Nullstelle ist auch die Funktion $(1/f):X\ra k$ regul"ar. Gegeben $X\subset k^n$ und\label{pRe} $f:X\ra k$ und eine offene "Uberdeckung $X=\bigcup_{U\in \mathcal U} U$ von $X$ ist des weiteren $f$ genau dann regul"ar, wenn alle seine Restriktionen $f|_U$ regul"ar sind. Unter der Annahme $k=\bar k$ gilt das nach unserem Satz \ref{rfa} dann auch f"ur polynomiale Funtionen auf algebraischen Teilmengen $X\As k^n$. Ist insbesondere $k=\bar k$ und $X\As k^n$ und $f:X\ra k$ polynomial ohne Nullstelle, so ist auch $1/f $ polynomial auf $X$. \end{Beispiele} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich gilt $\cal{O}^{\op{pol}}(X) \subset \cal{O}(X) $. Zu zeigen ist die andere Inklusion. Eine Funktion $f\in\cal{O} (X )$ ist per definitionem eine Abbildung $f:X\ra k$, die sich lokal als Quotient von Polynomen $f(x) = {g_{i}(x)}/{h_{i}(x)}$ schreiben l"a"st f"ur geeignete $g_{i},h_{i}\in k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$. Indem wir notfalls die Nenner vergr"o"sern, d"urfen wir sogar annehmen, da"s f"ur alle $i$ gilt $$f(x) = g_{i}(x)/h_{i}(x) \quad \forall x \in X\text{ mit }h_{i} (x) \neq 0.$$ Endlich viele Komplemente von Nullstellenmengen solcher $h_{i}$ "uberdecken aber $X$, sagen wir $\cal Z(h_{1}) \cap \ldots \cap \cal Z(h_{r}) \cap X = \emptyset$. Weiter gilt $\cal Z(h_{i})=\cal Z(h_{i}^{2})$ und $\cal Z(\cal I(X))=X$ und aus dem Nullstellensatz folgt $\langle h^{2}_{1}, \ldots, h^{2}_{r}, \cal I(X)\rangle = \langle 1\rangle$, also eine Relation in $k[T_{1}, \ldots, T_{n}]$ der Gestalt $$c_{1}h_{1}^{2} + \ldots + c_{r}h^{2}_{r} + b =1$$ mit $b\in \cal I(X)$. Es reicht nun zu zeigen, da"s $f$ und $ c_{1}h_{1}g_{1}+ \ldots + c_{r}h_{r}g_{r}$ an jedem Punkt $x \in X$ denselben Wert annehmen. F"ur beliebiges $x\in X$ haben wir mit $S=S(x)=\{ i\mid h_{i}(x)\neq 0\}$ in der Tat \begin{displaymath} \begin{array}[b]{ccl} f(x)&=& \sum^{r}_{i=1} c_{i}(x)h^{2}_{i}(x)f(x)\\[2mm] &=& \sum_{i\in S} c_{i}(x)h^{2}_{i}(x)f(x) \\[2mm] &=&\sum_{i\in S} c_{i}(x)h_{i}(x)g_{i}(x)\\[2mm] &=& \sum^{r}_{i=1} c_{i}(x)h_{i}(x)g_{i}(x) \end{array}\qedhere \end{displaymath} %Der Satz ist bewiesen. \end{proof} \begin{Proposition} $(k=\bar k)$. F"ur $n\geq 2$ liefert die Restriktion von regul"aren Funktionen eine Bijektion zwischen regul"aren Funktionen auf ganz $k^n$ und regul"aren Funktionen auf dem Komplement des Ursprungs\label{FoRF} $$\cal{O}( k^n)\sira \cal{O}( k^n\backslash 0)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Diese Proposition wird sich sp"ater als unmittelbare Konsequenz von Satz \ref{Schnit} "uber Definitionsl"ucken rationaler Funktionen erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Ist $f: k^{n} \backslash 0 \rightarrow k$ eine regul"are Funktion, so ist auch ihre Restriktion auf das Komplement der $i$-ten Koordinatenhyperebene regul"ar und wird nach \ref{ROFF} gegeben durch ein Element der Lokalisierung $k [T_1, \ldots, T_n, T_i^{-1}]$. Die weiteren Restriktionen auf die Komplemente aller Koordinatenhyperebenen stimmen aber "uberein, folglich liegt $f$ im Schnitt der Bilder dieser Lokalisierungen im Ring $k [T_1^{\pm 1}, \ldots, T_n^{\pm 1}]$ der Laurentpolynome. Da der Polynomring $k [T_1, \ldots, T_n]$ aber nach \eref{KPFj}{AL} faktoriell ist, folgt durch das Betrachten einer maximal gek"urzten Darstellung bereits $f\in k [T_1, \ldots, T_n]$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Regul"are Funktionen auf Nullstellenkomplement}] $(k=\bar k)$. Ist $X\As k^n$ eine algebraische Teilmenge und $h\in\mathcal O(X)$ eine regul"are Funktion auf $X$, so wird der Ring\label{ROFF} der regul"aren Funktionen auf $X_h\pdef\{x\in X\mid h(x)\neq 0\}$ als Ring erzeugt von den Restriktionen der regul"aren Funktionen auf $X$ und der Funktion $1/h$, in Formeln $$\cal{O} (X_h)=\cal{O}(X)[h^{-1}] $$ Hinweis: Man wiederholt den obigen Beweis von Satz \ref{rfa} und landet in der Mitte bei der Erkenntnis $\cal Z(h_{1}) \cap \ldots \cap \cal Z(h_{r}) \cap X \subset \mathcal Z(h)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verkleben regul"arer Funktionen}] $(k=\bar k)$. Seien disjunkte und Zariski-abgeschlossene Teilmengen $A,B\As k^n$ gegeben sowie polynomiale Funktionen $f:A\ra k$ und $g:B\ra k$. Man zeige, da"s es eine polynomiale Funktion auf $k^n$ gibt,\label{ABF} die auf $A$ mit $f$ "ubereinstimmt und auf $B$ mit $g$. Hinweis: Man verwende den vorhergehenden Satz \ref{rfa}. Alternative: Nach dem Nullstellensatz ist die Summe der Verschwindungsideale der ganze Polynomring. Nun verwende man den abstrakten chinesischen Restsatz \eref{ACR}{AL}. Insbesondere kann man eine Vorgabe von endlich vielen Funktionswerten an endlich vielen Punkten stets durch eine regul"are Funktion interpolieren, was wir aber eigentlich in diesem Fall schon aus \eref{IP}{AL} wissen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Schwierigkeiten beim Verkleben regul"arer Funktionen}] Gegeben ein algebraisch abgeschlossener K"orper $k=\bar k$ und algebraische Teilmengen $A,B\As k^n$ sowie polynomiale Funktionen $f:A\ra k$ und $g:B\ra k$ mit $f|_{A\cap B}=g|_{A\cap B}$ mu"s es anders als bei stetigen Funktionen keineswegs eine polynomiale Funktion $h: A\cup B\ra k$ geben mit $h|_A=f$ und $h|_B=g$. Als Beispiel untersuche man den $k^2$ mit $A$ dem Achsenkreuz und $B$ einer weiteren Ursprungsgeraden. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Polynomiale Funktionen auf Produkten}] Gegeben ein K"orper $k$ und Teilmengen $X\subset k^n$ und $Y\subset k^m$ ist die durch $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$ erkl"arte Abbildung ein Isomorphismus von $k$-Kringen\label{PAf} $$\cal{O}^{\op{pol}}(X) \otimes_{k} \cal{O}^{\op{pol}}(Y) \sira \cal{O}^{\op{pol}}(X\times Y)$$ Die Multiplikation auf der linken Seite ist dabei die offensichtliche aus \eref{KoPR}{LA2}. Die Surjektivit"at folgt leicht aus der offensichtlichen Surjektivit"at im Fall $X=k^m$, $Y=k^n$. Die Injektivit"at folgt aus der Injektivit"at der Abbildung $\op{Ens}(X,k) \otimes_{k} \op{Ens}(Y,k) \ra \op{Ens}(X\times Y,k)$, $f\otimes g\mapsto f\boxtimes g$, die f"ur beliebige Mengen $X,Y$ in \eref{TeIn}{LA2} diskutiert wird. Im Fall algebraischer Teilmengen und unter der Voraussetzung $k=\bar k$ erhalten wir mit \ref{rfa} insbesondere einen Isomorphismus $$\cal{O}(X) \otimes_{k} \cal{O}(Y) \sira \cal{O}(X\times Y)$$ \end{Bemerkunge} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige: Gegeben nilpotentfreie $k$-Kringe $A,B$ ist auch ihr Tensorprodukt $A\otimes_k B$ nilpotentfrei. Hinweis: \ref{PAf}.\label{TPNF} \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Ist $k$ nicht algebraisch abgeschlossen, so ist die Aussage der vorhergehenden "Ubung im allgemeinen falsch. Ein Gegenbeispiel steht in \eref{PSKe}{AL}. Ist jedoch $\bar k/k$ separabel, so stimmt unsere Aussage doch wieder. Allgemeiner ist f"ur jede Galoiserweiterung $K/k$ und jeden $k$-Kring $A$ seine Erweiterung $A\otimes_kK$ nilpotentfrei genau dann, wenn $A$ nilpotentfrei ist. In der Tat ist das Nilradikal von $A\otimes_k K$ stabil unter der Galoisgruppe, und w"are es nicht Null, so w"are nach \eref{HS90}{AL} auch sein Schnitt mit $A$ nicht Null. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Sei $f: k^{n} \backslash 0 \rightarrow k$ eine regul"are Funktion. % Per definitionem gibt es $U \co k^{n} \backslash 0$ nichtleer und Polynome % $g, h \in k [T_1, \ldots, T_n]$ derart, da"s $h$ keine Nullstelle hat auf % $U$ und da"s gilt $f (x) = g (x) / h(x)$ f"ur alle $x \in U$. % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $g$ und $h$ % teilerfremd annehmen. % Ist nun $p \in k^{n} \backslash 0$ beliebig, so finden wir auf einer offenen % Umgebung $U_p $ von $p$ auch eine Darstellung von $f$ % als Quotient von Polynomen % $f(x) = g_p (x)/ h_p (x) \quad \forall x \in U_p$, wo wieder $h_p$ keine % Nullstelle hat auf $U_p$ und wir wieder $g_p, h_p$ teilerfremd annehmen d"urfen. % Es folgt $g(x) h_p(x) = g_p (x) h(x)$ % f"ur alle $x \in U \cap U_p$ und damit die Identit"at % $gh_p = g_p h$ im Polynomring % $k [T_1, \ldots, T_n]$. % Da dieser Ring nach \eref{KPFj}{AL} faktoriell ist, folgen die % Teilbarkeitsbeziehungen % $g|g_p, h|h_p$ sowie $g_p|g, h|h_p$ % und es gibt mithin eine Konstante $c_p \in k^\times$ mit $g_p = c_p g$ und % $h_p = c_p h$. % Das hinwiederum zeigt, da"s $h$ auf $k^{n} \backslash 0$ % keine Nullstelle haben % kann. Dann ist jedoch $h$ nach \eref{uev}{LA1} konstant % und % der Leser mag selber folgern, da"s gilt % $f(x) = g(x) /h (x)$ f"ur alle $x \in k^{n} \backslash 0$. % Mithin l"a"st sich $f$ in der Tat zu einer % regul"aren Funktion auf ganz % $k^{n}$ fortsetzen. % \end{proof} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. Man zeige, da"s sich f"ur $n\geq 2$ und und $E\subset k^n$ endlich jede regul"are Funktion auf $k^n\backslash E$ zu einer regul"aren Funktion auf ganz $k^n$ fortsetzen l"a"st. \end{Ubung} \begin{Ubung} $(k=\bar k)$. Man zeige, da"s f"ur jede offene Teilmenge $X\co k^n$ der Ring $\mathcal O(X)$ der regul"aren Funktionen auf $X$ ringendlich ist "uber $k$. \end{Ubung} \newpage \pagecolor{white} \subsection{R"aume als Ringe} \begin{Bemerkungl}\label{ABb}%\label{AB} Seien $k$ ein Kring und $X \subset k^{n}$ sowie $Y \subset k^{m}$ Teilmengen. Eine Abbildung $\varphi : X \ra Y$ hei"st \defnoind{polynomial},\index{polynomial!Abbildung} wenn es Polynome $P_{1}, \ldots , P_{m} \in k[T_{1}, \ldots ,T_{n}]$ gibt mit $$\varphi (x) = (P_{1}(x), \ldots, P_{m}(x)) \quad \forall x \in X$$ Ist weiter eine Teilmenge $Z \subset k^{l}$ gegeben und sind $\varphi : X \ra Y$ sowie $\psi : Y \ra Z$ polynomial, so ist offensichtlich auch die Verkn"upfung $\psi \circ \varphi : X \ra Z$ polynomial. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $k$ ein Kring. Jede polynomiale Abbildung $\varphi : X \ra Y$ zwischen Teilmengen $X\subset k^n$ und $Y\subset k^m$ liefert auf den polynomialen Funktionen einen Ringhomomorphismus $\varphi^{\sharp} : \cal{O}^{\op{pol}}(Y) \ra \cal{O}^{\op{pol}}(X)$ in die Gegenrichtung, das {\bf Vorschalten von $\varphi$} alias {\bf Zur"uckholen von Funktionen} $f \mapsto f\circ \varphi$. Ist\index{)6sharp@$\varphi^\sharp$ Komorphismus} $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und sind $X\As k^n$ und $Y\As k^m$ algebraische Teilmengen, so stimmen polynomiale und regul"are Funktionen "uberein und die besagte Abbildung hei"st der zu $\varphi$ geh"orige {\bf Komorphismus}\index{Komorphismus} $$\varphi^{\sharp} : \cal{O}(Y)\ra \cal{O}(X)$$ \end{Definition} \newpage \begin{Definition} Ein Ring hei"st \defind{nilpotentfrei} oder gleichbedeutend {\bf reduziert}\index{reduziert!Kring}, wenn er au"ser der Null keine nilpotenten Elemente hat. Ein nilpotentfreier ring\-end\-li\-cher $k$-Kring zu einem K"orper $k$ hei"st ein \defnoind{affiner $k$-Kring}.\index{affin!$k$-Kring} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur die weitere Entwicklung der algebraischen Geometrie verwenden wir die Sprache der Kategorientheorie in dem Umfang, wie sie etwa in \eref{KFu}{LA2} folgende entwickelt wird, und insbesondere den Begriff einer "Aquivalenz von Kategorien \eref{Eif}{LA2}. In dieser Sprache ausgedr"uckt haben wir in \ref{HHKEh} die Kategorie der $k$-Kringe eingef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{R"aume als Ringe}] $(k=\bar k)$. Betrachten wir die algebraischen Mengen in irgendwelchen $k^n$ als Objekte einer Kategorie mit den polynomialen Abbildungen als Morphismen, so liefert das Bilden des $k$-Krings der regul"aren alias polynomialen Funktionen\label{RaR} eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Mengen}\\ \text{ in irgendwelchen $k^{n}$} \end{array}\!\!\right\} & \sirra & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine $k$-Kringe} \end{array}\!\! \right\}^{\op{opp}} \\[5mm] X & &\cal{O}(X) \\[1mm] \varphi \downarrow \;\;\;& \mapsto & \varphi^{\sharp} \uparrow \;\;\;\\[1mm] Y & & \cal{O}(Y) \end{array}$$ \end{Theorem} \begin{Bild} \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildNei}\\[4mm] \noindent Ein reelles Bild der sogenannten {\bf Neil'schen Parabel}\index{Neil'sche Parabel|main}, der Nullstellenmenge von $x^3=y^2$ in der Ebene.\\[4mm] \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildNoKu}\\[4mm] \noindent Ein reelles Bild der sogenannten {\bf nodalen Kubik}\index{nodale Kubik}, der Nullstellenmenge von $x^3+x^2=y^2$ in der Ebene. \end{Bild} \newpage \pagecolor{aliceblue} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Endlichdimensionale nilpotentfreie $k$-Kringe}]$(k=\bar k)$. Insbesondere liefert das Bilden des $k$-Krings aller $k$-wertigen Funktionen eine "Aquivalenz von Kategorien\label{edRR} $$\begin{array}{ccc} \left\{ \text{Endliche Mengen} \right\} & \sirra & \left\{ \text{Nilpotentfreie $k$-Kringe $A$ mit $\op{dim}_kA<\infty$} \right\}^{\op{opp}} \\[2mm]%[5mm] X & \mapsto &\op{Ens}(X,k) % \\[1mm] % \varphi \downarrow \;\;\;& \mapsto & (\circ \varphi) \uparrow \;\;\;\\[1mm] % Y & & \op{Ens}(Y,k) \end{array}$$ In diesem Fall k"onnen wir aber auch einfacher argumentieren. Gegeben ein endlichdimensionaler nilpotentfreier $k$-Kring $A$ liefert ja die Linksmultiplikation eine Einbettung $A\hra\op{End}A$, $a\mapsto (a\cdot)$, deren Bild nach \ref{ENRj} genau aus allen Endomorphismen besteht, die mit allen Rechtsmultiplikationen $(\cdot b)$ f"ur $b\in A$ kommutieren. Aufgrund der Funktorialit"at der Jordanzerlegung \eref{fJ}{LA2} geh"ort mit $(a\cdot)$ dann auch sein nilpotenter Anteil zum Bild unserer Einbettung, und ist $A$ nilpotentfrei, mu"s der nilpotente Anteil Null und $(a\cdot)$ diagonalisierbar sein. Dann gibt es aber nach \eref{GEZ}{LA2} in $A$ eine Basis, bez"uglich derer alle $(a\cdot)$ durch Diagonalmatrizen dargestellt werden, und aus Dimensionsgr"unden liefert dann unsere Einbettung $A\hra\op{End}A$ einen Isomorphismus von $A$ mit dem Ring der Diagonalmatrizen, also mit $k\times\ldots\times k$. Das zeigt, da"s unser Funktor surjektiv ist auf Isomorphieklassen. Der Rest des Beweises bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} % \begin{Ubunge} % Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $A$ ein % endlichdimensionaler $k$-Vektorraum mit einer $k$-bilinearen % Multiplikation $A\times A\ra A$, die ihn zu einem kommutativen Ring macht. % Wir nehmen an, da"s $A$ au"ser der Null keine nilpotenten Elemente besitzt. % Man zeige, da"s dann $A$ eine $k$-Basis $a_1,\ldots, a_n$ besitzt mit % $a_ia_j=\delta_{ij}a_i$. Man zeige dazu der Reihe nach: % (1) Die Linksmultiplikation liefert eine Einbettung $A\hra\op{End}A$, % $a\mapsto (a\cdot)$, deren Bild nach \ref{ENRj} genau aus allen % Endomorphismen besteht, die mit allen Rechtsmultiplikationen $(\cdot b)$ % f"ur $b\in A$ kommutieren. % \end{Ubunge} \newpage \pagecolor{white} \begin{Beispiele}$(k=\bar k)$. F"ur $n\geq m$ entspricht der Projektion $k^n\sra k^m$ durch Weglassen der letzten Koordinaten hier die Einbettung von Polynomringen durch Hinzuf"ugen von Variablen $k[T_1,\ldots, T_m]\hra k[T_1,\ldots, T_m, T_{m+1},\ldots, T_n]$. Der Einbettung $X\hra k^n$ einer algebraischen Teilmenge entspricht in der Gegenrichtung die Surjektion $k[T_1,\ldots, T_n]\sra k[T_1,\ldots, T_n]/\mathcal I(X)\sira \mathcal O(X)$. Umgekehrt, und jetzt schreiben wir zur Abwechslung und zum Vermeiden von Indizes mal $X,Y$ f"ur Variablen eines Polynomrings, entspricht die Komposition $$k[X,Y]\sra k[X,Y]/\langle X^3-Y^2\rangle \sira \langle 1, T^2, T^3, \ldots \rangle_k=k+\langle T^2\rangle\subset k[T]$$ mit dem mittleren Isomorphismus gegeben durch $X\mapsto T^2$, $Y\mapsto T^3$ der Abbildung, die die Gerade \glqq geknifft\grqq\ in die Ebene legt vermittels $k\ra k^2$, $t\mapsto (t^2,t^3)$. Weiter entspricht die Komposition $$k[X,Y]\sra k[X,Y]/\langle X^3+X^2-Y^2\rangle \sira 1+ \langle T^2-1 \rangle\subset k[T]$$ mit dem mittleren Isomorphismus gegeben durch die Vorschrift\label{BNKK} $X\mapsto (T^2-1)$, $Y\mapsto T(T^2-1)$ der Abbildung, die die Gerade \glqq mit Selbst"uberschneidung\grqq\ in die Ebene legt vermittels $k\ra k^2$, $t\mapsto (t^2-1,t(t^2-1))$. Hier haben alle Fasern h"ochstens einen Punkt mit Ausnahme der Faser "uber dem Ursprung, die aus den beiden Punkten $\pm 1\in k$ besteht und im Fall einer von $2$ verschiedenen Charakteristik zwei Punkte hat. Man beachte, da"s $1+ \langle T^2-1 \rangle\subset k[T]$ der Teilring aller Polynome ist, die bei $T=-1$ und $T=1$ jeweils denselben Wert annehmen. Die mittleren Isomorphismen in den letzten beiden Beispielen sind nicht ganz offensichtlich und sollten vom Leser zur "Ubung bewiesen werden. Die fraglichen Abbildungen $k\ra k^2$ gehen sogar surjektiv auf die Nullstellenmengen der fraglichen Polynome, aber zumindest im letzten Beispiel scheint mir das mit der uns bis jetzt zur Verf"ugung stehenden Theorie gar nicht so leicht einzusehen: Warum sollte sich denn jede L"osung der Gleichung $x^3+x^2 =y^2$ in der Form $(x,y)= (t^2-1,t(t^2-1))$ mit $t\in k$ schreiben lassen? Na gut, mit etwas Rechnen geht das dann schon. In \ref{Goup} werden Sie es auch ohne weitere M"uhen aus dem Going-up-Theorem folgern k"onnen. \end{Beispiele} \newpage \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal zeigen wir, da"s es f"ur jeden affinen $k$-Kring $A$ eine algebraische Teilmenge $X \subset k^{n}$ gibt mitsamt einem Isomorphismus von $k$-Kringen $\cal{O}(X) \sira A$. Sind in der Tat $t_{1}, \ldots , t_{n} \in A$ Erzeuger unseres $k$-Krings, so erhalten wir durch die Vorschrift $T_{i} \mapsto t_{i}$ eine Surjektion $$k[T_{1}, \ldots , T_{n}] \twoheadrightarrow A$$ Bezeichne $\frak{a}$ ihren Kern. Besitzt $A$ au"ser der Null keine nilpotenten Elemente, so ist $\frak{a}$ ein Radikalideal, und ist $k$ algebraisch abgeschlossen, so ist ein Radikalideal im Polynomring das Verschwindungsideal seiner Nullstellenmenge, in Formeln $\frak{a} = {\mathcal I} ({\mathcal Z} (\frak{a}))$. Wir erhalten damit Isomorphismen von $k$-Kringen $$ \cal{O}({\mathcal Z}(\frak{a})) \overset{\sim}{\leftarrow}k[T_{1}, \ldots , T_{n}]/ \frak{a} \overset{\sim}{\ra} A $$ und haben gezeigt, da"s $A$ isomorph ist zum $k$-Kring der polynomialen Funktionen der algebraischen Menge ${\mathcal Z}(\frak{a}) \subset k^n$. \newpage Jetzt m"ussen wir noch zeigen, da"s unsere Vorschrift $\varphi \mapsto \varphi^{\sharp}$ Bijektionen zwischen den Morphismenr"aumen liefert. Wir notieren dazu die Menge der polynomialen Abbildungen zwischen zwei algebraischen Mengen mit $\op{Pol} (X,Y)$. Homomorphismen von $k$-Kringen notieren wir $\op{Kring}^{k} (A,B)$. Dann erinnern wir uns an die Formel $Y = {\mathcal Z} ({\mathcal I}(Y)) \subset k^{m}$ und bilden das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Pol}(X,Y) & \ra &\op{Kring}^{k} (\cal{O}(Y), \cal{O}(X))\\ \downarrow & &\downarrow \\ \op{Pol} (X,k^{m}) & \ra & \op{Kring}^{k} (k[T_{1}, \ldots, T_{m}], \cal{O}(X)) \end{array}$$ Darin seien die Horizontalen durch $\varphi \mapsto \varphi^{\sharp}$ gegeben und die Vertikalen durch $Y \subset k^{m}$ beziehungsweise $k[T_{1}, \ldots, T_{m}] \twoheadrightarrow \cal{O}(Y)$. Nun ist die untere Horizontale offensichtlich eine Bijektion, sind doch beide Seiten in nat"urlicher Bijektion zur Menge $\cal{O}(X)^{m}$ aller $m$-Tupel $(\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{m})$ von polynomialen Funktionen auf $X$. Die obere Horizontale ist dann ebenso ein Bijektion, denn dort sind nun beide Seiten in nat"urlicher Bijektion zu $$\{ (\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m}) \in \cal{O}(X)^{m} \mid f(\varphi_{1}, \ldots, \varphi_{m})=0 \quad \forall f \in {\mathcal I}(Y)\}$$ Hier verwenden wir die Definition des Verschwindungsideals ${\mathcal I} (Y)$ auf der linken Seite und die universelle Eigenschaft des Quotienten $k[T_{1}, \ldots, T_{m}] / {\mathcal I}(Y) \sira \cal{O}(Y)$ auf der rechten Seite. \end{proof} \newpage \pagecolor{aliceblue} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Zur"uckholen regul"arer Funktionen}] Seien $k$ ein K"orper, $X\subset k^n$ und $Y\subset k^m$ Teilmengen und $\varphi:X\ra Y$ eine polynomiale Abbildung. Man zeige: Gegeben eine regul"are Funktion $f\in\mathcal O(Y)$ ist auch die zur"uckgeholte Funktion regul"ar, in Formeln $(f\circ \varphi)\in \mathcal O(X)$.\label{zFRR} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeit polynomialer Abbildungen}] Ich erinnere, da"s nach \eref{SVW}{AN1} eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen stetig hei"st genau dann, wenn das Urbild jeder offenen Menge wieder offen ist. Man zeige: Ist $k$ ein Integrit"atsbereich, so sind polynomiale Abbildungen stetig f"ur die von der Zariskitopologie des $k^n$ auf unseren Teilmengen induzierte Topologie. \end{Ubung} \newpage \pagecolor{white} \subsection{Naive affine Variet"aten} \begin{Definition} Gegeben ein Kring $k$ verstehen wir unter einer {\bf $k$-geringten Menge} ein Paar $(X,\mathcal O(X))$ bestehend aus einer Menge $X$ und einem $k$-Unterring $\mathcal O (X) \subset \op{Ens} (X,k)$ im $k$-Kring aller $k$-wertigen Funktionen auf $X$. Einen {\bf Morphismus von $k$-geringten Mengen} in eine weitere $k$-geringte Menge $(Y,\mathcal O(Y))$ erkl"aren wir als eine Abbildung $$\varphi:X\ra Y$$ mit der Eigenschaft $f\in\mathcal O(Y)\RA f\circ\varphi\in\mathcal O(X)$. Mit diesen Morphismen bilden die $k$-geringten Mengen eine Kategorie $$\op{Ensr}_k$$ Den durch Vorschalten von $\varphi$ erkl"arten Homomorphismus von $k$-Kringen nennen wir den {\bf Komorphismus zu $\varphi$} und notieren ihn $\varphi^\sharp: \mathcal O(Y)\ra\mathcal O(X)$. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper. Eine {\bf naive affine $k$-Variet"at}\index{affin!Variet"at!naive} oder k"urzer {\bf affine $k$-Variet"at} ist eine $k$-geringte Menge $(X, \mathcal O (X))$\label{nAV} derart, da"s $\mathcal O (X)$ ringendlich ist "uber $k$ und da"s wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} X &\sira& \op{Kring}^k (\mathcal O (X), k)\\[2mm] x&\mapsto& \delta_x \end{array}$$ von $X$ mit der Menge der $k$-linearen Ringhomomorphismen $\mathcal O (X) \rightarrow k$ erhalten, indem wir jedem Punkt $x \in X$ den durch das Auswerten bei $x$ gegebenen Ringhomomorphismus $\delta_x : \mathcal O (X) \rightarrow k$, $f \mapsto f (x)$ zuordnen.\index{d@$\delta_x$ Auswerten bei $x$} Die Elemente von $\mathcal O (X)$ hei"sen die {\bf regul"aren Funktionen\index{regul"ar!Funktion!auf naiver affiner Variet"at|main} auf $X$}. Ein {\bf Morphismus}\index{Morphismus!von affinen Variet"aten} von affinen $k$-Variet"aten ist ein Morphismus von $k$-geringten Mengen. Die affinen $k$-Variet"aten bilden damit\index{Varaff@$\op{Varaff}_k$ affine $k$-Variet"aten} eine volle Unterkategorie $$\op{Varaff}_k\subset \op{Ensr}_k$$ in der Kategorie aller $k$-geringten Mengen. Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ notieren wir die Menge aller Morphismen von $X$ nach $Y$ statt $\op{Varaff}_k(X,Y)$ meist k"urzer $\op{Var}_k(X,Y)$\index{Var@$\op{Var}$ Morphismen von Variet"aten} und greifen damit der volltreuen Einbettung $\op{Varaff}_k\vra \op{Var}_k$ in die Kategorie aller $k$-Variet"aten vor, die wir sp"ater kennenlernen werden. Wenn wir hoffen, da"s der Grundk"orper aus dem Kontext hervorgeht, schreiben wir auch kurz $\op{Var}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Affine Variet"aten als Spezialfall allgemeiner Variet"aten}] In \ref{DeVah} f"uhren wir in voller Allgemeinheit den Begriff einer \glqq $k$-Variet"at\grqq\ ein und erkl"aren affine $k$-Variet"aten als spezielle Variet"aten. Es wird sich dann erweisen, da"s der Funktor, der jeder affinen $k$-Variet"at $(X,\mathcal O_X)$ im dortigen Sinne das Paar $(X,\mathcal O_X(X))$ zuordnet, das aus der Menge $X$ mit dem Ring der \glqq globalen regul"aren Funktionen\grqq\ besteht, ein Isomorphismus zwischen der dort erkl"arten Kategorie der \glqq affinen $k$-Variet"aten\grqq\ und der hier erkl"arten Kategorie der naiven affinen $k$-Variet"aten ist. Deshalb ist es unverf"anglich, die Spezifikation \glqq naiv\grqq\ im folgenden f"ur gew"ohnlich wegzulassen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Ich verwende das Wort {\bf Variet"at} nur f"ur eine $k$-Variet"at "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k=\bar k$. Wenn das Wort \glqq Variet"at\grqq\ f"allt, ist also implizit zu verstehen, da"s der zugeh"orige Grundk"orper algebraisch abgeschlossen ist und ich werde das nicht in jedem Fall noch extra erw"ahnen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}$(k=\bar k)$.\label{BAVV} \begin{enumerate} \item Jede endliche Menge $X$ wird mit $\mathcal O (X) \pdef \op{Ens} (X,k)$ eine affine Variet"at. \item Die Menge $X = k^n$ wird mit $\mathcal O (X) \pdef k [T_1, \ldots, T_n]$ eine affine Variet"at. \item Gegeben eine affine Variet"at $X$ und $ I \subset \mathcal O (X)$ wird \begin{equation*} Y = \mathcal Z (I) \pdef \{ x \in X \mid f (x) = 0 \quad \forall f \in I\} \end{equation*} mit $\mathcal O (Y) \pdef \{ f|_Y \mid f \in \mathcal O (X)\}$ eine affine Variet"at. In der Tat kommt jeder $k$-lineare Ringhomomorphismus $\mathcal O (Y) \rightarrow k$ von einem $k$-linearen Ringhomomorphismus $\mathcal O (X) \rightarrow k$ her, der durch Auswerten $\delta_x$ an einem Punkt $x \in X$ gegeben wird, der dann notwendig bereits zu $Y$ geh"ort haben mu"s. \item Gegeben eine affine Variet"at $(X, \mathcal O (X))$ und eine regul"are Funktion $f \in \mathcal O (X)$ wird das Komplement ihrer Nullstellenmenge $$X_f \pdef X \backslash \mathcal Z (f)= \{ x \in X \mid f (x) \neq 0\} $$ eine affine Variet"at mit $ \mathcal O(X_f)\pdef \mathcal O(X) [f^{-1}]\subset\op{Ens} (X_f, k)$ dem von den Restriktionen der regul"aren Funktionen aus $\mathcal O (X)$ zusammen mit der Funktion $1/f$ erzeugten Teilring. In der Tat liefert dann jeder Ringalgebrenhomomorphismus $\mathcal O(X) [f^{-1}]\ra k$ einen Ringalgebrenhomomorphismus $\mathcal O(X) \ra k$, der von der Auswertung an einem Punkt $x\in X$ herkommt, und von diesem Punkt hinwiederm sieht man leicht ein, da"s er bereits zu $X_f$ geh"ort haben mu"s. \end{enumerate} \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Aufl"osung der Doppeldeutigkeit der Notation $ \mathcal O(X_f)$}] F"ur $X\As k^n$ und $f\in\mathcal O(X)$ kann nun $ \mathcal O(X_f)$ sowohl den eben erkl"arten von den Restriktionen der Elemente von $\mathcal O(X)$ und $f^{-1}$ erzeugten Unterring von $\op{Ens} (X_f,k)$ bedeuten als auch den in \ref{regf} erkl"arten Ring der regul"aren, also lokal als Quotienten von polynomialen Funktionen darstellbaren Funktionen auf $X_f$. Zum Gl"uck stimmen diese beiden Ringe nach \ref{ROFF} "uberein.\label{OUVV} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Affine R"aume als affine Variet"aten}] Jeder endlichdimensionale affine Raum $E$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ wird offensichtlich eine affine $k$-Variet"at, wenn wir $\mathcal O(E)\subset \op{Ens}(E,k)$ erkl"aren als die von allen affinen Abbildungen $E\ra k$ erzeugte $k$-Unterringalgebra. Jede affine Abbildung von endlichdimensionalen affinen R"aumen ist in Bezug auf diese Strukturen ein Morphismus von affinen Variet"aten.\label{akV} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Bedeutungen des Wortes \glqq affin\grqq}] Ungl"ucklich ist in diesem Zusammenhang die Verwendung des Wortes \glqq affin\grqq\ in zwei verschiedenen Bedeutungen: Jeder endlichdimensionale affine Raum tr"agt zwar in dieser Weise eine nat"urliche Struktur als affine Variet"at, aber es gibt durchaus auch noch andere affine Variet"aten, ja \glqq die meisten\grqq\ affinen Variet"aten sind keineswegs isomorph zu affinen R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Alle Definitionen und S"atze vom Beginn dieses Abschnitts bis hierher w"urden auch f"ur einen beliebigen Grundk"orper $k$ funktionieren. Allerdings m"u"ste man dann in Kauf nehmen, da"s etwa die reelle Gerade $X=\DR$ mit dem Ring von regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)=\DR[T,(T^2+1)^{-1}]$ auch eine naive affine $\DR$-Variet"at w"are, und das st"unde im Widerspruch zur allgemein "ublichen Terminologie. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kehrwerte nullstellenfreier regul"arer Funktionen}] Gegeben eine affine algebraische Variet"at $X$ und eine regul"are Funktion $f\in \mathcal O(X)$ ohne Nullstelle ist auch $1/f$ eine regul"are Funktion. Das wird bewiesen, indem man die gegenteilige Annahme zum Widerspruch f"uhrt. Ist genauer $f\in\mathcal O(X)$ keine Einheit, so ist das von $f$ erzeugte Ideal nicht der ganze Ring und kann mithin zu einem maximalen Ideal $\mathfrak m$ vergr"o"sert werden. Jetzt sagt der Hilbert'sche Nullstellensatz in seiner k"orpertheoretischen Form \ref{KFa}, da"s die Komposition $k\ra \mathcal O(X)\ra \mathcal O(X)/\mathfrak m$ eine endliche K"orpererweiterung sein mu"s, also wegen $k=\bar k$ ein Isomorphismus. So erhalten wir dann einen Homomorphismus $\mathcal O(X)\ra k$ von $k$-Kringen mit $f\mapsto 0$, und das bedeutet im Lichte unserer Definition \ref{nAV} einer affinen Variet"at, da"s $f$ ein Nullstelle auf $X$ gehabt haben mu"s.\label{Nsdfg} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"uber affine Variet"aten}] $(k=\bar{k})$. Unsere "Aquivalenz von Kategorien aus \ref{RaR} l"a"st sich einbetten in ein kommutatives Diagramm von "Aquivalenzen\label{GAQK} $$\begin{array}{rcl} \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Algebraische Mengen}\\ \text{ in irgendwelchen $k^{n}$} \end{array}\!\!\right\} & \stackrel{\approx}{\longrightarrow} & \left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine $k$-Kringe} \end{array}\!\! \right\}^{\op{opp}} \\[5mm] \scriptstyle{\approx}\searrow&&\nearrow\scriptstyle{\approx}\\ &\left\{ \!\!\begin{array}{c} \text{Affine $k$-Variet"aten} \end{array}\!\! \right\} \end{array}$$ Der Funktor $\searrow$ ordnet dabei jeder algebraische Menge $X\As k^n$ die affine Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ zu und der Funktor $\nearrow$ jeder affinen $k$-Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ den $k$-Kring $\mathcal O(X)$ ihrer globalen regul"aren Funktionen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In meinen Augen ist dieser Satz zentral f"ur das Verst"andnis sowohl der kommutativen Algebra als auch der algebraischen Geometrie. Er stellt in einem besonders einfachen Kontext die Beziehung zwischen eingebetteter Geometrie, koordinatenfreier Geometrie und abstrakter Algebra her, die das ganze Gebiet pr"agt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $X\As k^n$ ist $\mathcal O(X)$ ringendlich "uber $k$ und die $k$-linearen Ringhomomorphismen $\mathcal O(X)\ra k$ sind etwa nach \ref{RaR} genau die Auswertungsabbildungen an Punkten von $X$. Unser Funktor $\searrow$ landet also in der Tat in unserer Kategorie von affinen Variet"aten. Da"s unser funktorielles Diagramm kommutiert, ist offensichtlich. Jede affine Variet"at $X$ ist isomorph zu einer affinen Variet"at vom Typ $\mathcal Z(I)\As k^n$. In der Tat ist nach Annahme $\mathcal O(X) $ ringendlich "uber $k$. Bilden etwa die Funktionen $f_1,\ldots, f_n$ ein Erzeugendensystem, so erhalten wir eine Surjektion $k[T_1,\ldots ,T_n]\sra \mathcal O(X)$ mit $T_i\mapsto f_i$. Die Abbildung $(f_1,\ldots,f_n):X\ra k^n$ induziert dann einen Isomorphismus $X\sira \mathcal Z(I)$ f"ur $I$ den Kern obiger Surjektion. Das zeigt, da"s $\searrow$ eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert. Nach \ref{RaR} induzieren demnach alle drei Funktoren Bijektionen auf Isomorphieklassen von Objekten. Um den Satz zu folgern, m"ussen wir nur noch zeigen, da"s $\nearrow$ Injektionen auf den Morphismenr"aumen induziert. Das ist aber klar. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die regul"aren Funktionen auf einer affinen $k$-Variet"at $X$ sind genau die Morphismen von Variet"aten $X\ra k$, in Formeln haben wir also $\mathcal O(X)=\op{Var}(X,k)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Automorphismen offener Teilmengen der Gerade}] Jeder Isomorphismus von Variet"aten $k\sira k$ hat die Gestalt $t\mapsto at + b$ f"ur $a\in k^\times$ und $b\in k$. Jeder Isomorphismus von Variet"aten $k^\times\sira k^\times$ hat die Gestalt $t\mapsto at^\varepsilon$ f"ur $a\in k^\times$ und $\varepsilon\in \{1,-1\}$. Die Variet"aten $k\backslash E$ f"ur $E\subset k$ endlich mit zwei oder mehr Elementen haben nur endlich viele Automorphismen. Hinweis: \eref{FRFFm}{LA1}.\label{AutoV} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Bijektive Morphismen m"ussen keine Isomorphismen sein}] Es gibt durchaus bijektive Morphismen zwischen affinen Variet"aten,\label{BNIa} deren Umkehrabbildungen nicht polynomial sind. Als Beispiele betrachte man im Fall einer Charakteristik $\op{char}k=p>0$ die Abbildung $k\ra k$, $t\mapsto t^p$ und im Fall $\op{char}k$ beliebig die Abbildung $k\ra {\mathcal Z}(X^3-Y^2)$, $t\mapsto (t^2,t^3)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Frobenius-Twist}] Gegeben eine affine Variet"at $(X,\mathcal O(X))$ "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper $k$ positiver Charakteristik $p>0$ erhalten wir eine weitere affine $k$-Variet"at $X^{[1]}=(X^{[1]},\mathcal O(X^{[1]}))$ durch die Vorschrift $X^{[1]}\pdef X$ und\label{FroTA} $\mathcal O(X^{[1]})\pdef \{f^p\mid f\in \mathcal O(X)\}$. Die Identit"at auf den zugrundeliegenden Mengen ist dann stets ein Morphismus von Variet"aten, der {\bf Frobenius-Morphismus}\index{Frobenius-Morphismus!von affiner Variet"at} $$X\ra X^{[1]}$$ Er ist im allgemeinen kein Isomorphismus, ja die Variet"aten $X$ und $ X^{[1]}$ sind im allgemeinen nicht isomorph. Die Variet"at $X^{[1]}$ hei"st der {\bf Frobenius-Twist von $X$}.\index{Frobenius-Twist!von naiver affiner Variet"at} Jeder Morphismus $X\ra Y$ ist auch ein Morphismus $X^{[1]}\ra Y^{[1]}$. Der Morphismus $F: k^n\ra k^n$ gegeben durch $F:(x_{1},\ldots, x_{n}) \mapsto (x^{p}_{1}, \ldots , x^{p}_{n})$ induziert einen Isomorphismus $(k^n)^{[1]}\sira k^n$ und induziert f"ur jede abgeschlossene Untervariet"at $X\As k^n$ einen Isomorphismus $X^{[1]}\sira F(X)$. Definierende Gleichungen in $k[T_1,\ldots, T_n]$ f"ur $F(X)$ kann man erhalten, indem man in definierenden Gleichungen f"ur $X$ alle Koeffizienten zur $p$-ten Potenz erhebt. In der Sprache der affinen $k$-Kringe entspricht $X\ra X^{[1]}$ dem Frobeniushomomorphismus $A\ra A$ aus \eref{Frob}{LA1}, den wir als einen Homomorphismus von $k$-Kringen $A^{[1]}\ra A$ lesen, indem wir als Ringe $A^{[1]}= A$ setzen, aber den strukturellen Homomorphismus $k\ra A^{[1]}$ definieren als die Komposition $k\ra k\ra A$ des strukturellen Homomorphismus $k\ra A$ mit dem Inversen des Frobenius $k\sira k$. Schlie"slich zeige man, da"s der Funktor $X\mapsto X^{[1]}$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Vielleicht noch nat"urlicher wird diese Konstruktion in der Sprache der Schemata, vergleiche \ref{FrobTS}. \end{Ubung} \subsection{Erweiterung des Nullstellensatzes} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"aume und Ringe als "ubergreifendes Thema}] Ein gro"ser Teil der sogenannten \glqq kommutativen Algebra\grqq\ besteht aus geometrischen Erkenntnissen, die man unter Zuhilfenahme des vorhergehenden Satzes \ref{GAQK} in die Sprache der affinen $k$-Kringe "ubersetzt und von dort auf m"oglichst gro"se Klassen von kommutativen Ringen verallgemeinert. Zu jedem topologischen Raum k"onnen wir auch den Ring der stetigen reellwertigen Funktionen auf unserem Raum bilden, zu jeder $\cal{C}^\infty$-Mannigfaltigkeit den Ring der $\cal{C}^\infty$-Funktionen und zu jeder Riemann'schen Fl"ache den Ring der holomorphen Funktionen. Es zeigt sich, da"s diese Ringe wieder die urspr"unglichen \glqq strukturierten R"aume\grqq\ sehr weitgehend kodieren. F"ur kompakte Hausdorff-R"aume ist das die Aussage des Satzes \eref{SHD}{TM} und in den anderen und vielen weiteren F"allen gelten "ahnliche Aussagen. Man kann sich deshalb durchaus auf den Standpunkt stellen, da"s \glqq Ringe die besseren R"aume\grqq\ sind. Mein Ziel ist im folgenden, diese geometrische Intuition offenzulegen, die gro"sen Teilen der kommutativen Algebra zugrunde liegt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Der \glqq Hauptsatz von Zariski\grqq\ \eref{ZHSSS}{AAG} %\index{Zariski!Hauptsatz von} besagt, da"s in Charakteristik Null die Umkehrabbildung eines bijektiven Morphismus von einer affinen Variet"at in eine \glqq glatte\grqq\ affine Variet"at stets wieder polynomial ist. In positiver Charakteristik mu"s man zus"atzlich voraussetzen, da"s der fragliche bijektive Morphismus auch in jedem Punkt bijektives Differential hat. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nullstellenmengen und Verschwindungsideale f"ur affine Variet"aten}] Unsere bis jetzt entwickelten Notationen und Resultate lassen sich ohne gro"se Schwierigkeiten\label{ZaTo2} von $k^n$ auf beliebige affine Variet"aten $X$ verallgemeinern. Das Auswerten liefert f"ur eine beliebige Teilmenge eine Paarung $$X \times \cal{O}(X) \ra k$$ und wir bilden f"ur $Y \subset X$ beziehungsweise $E \subset \cal{O}(X)$ das Verschwindungsideal beziehungsweise die Nullstellenmenge $$\begin{array}{ccccc} {\mathcal I}(Y) ={\mathcal I}_X(Y) & \pdef&\{f \in \cal{O}(X)&\mid f(x) =0 & \forall x \in Y\}\\ {\mathcal Z}(E)={\mathcal Z}_X(E) &\pdef&\{x \in X &\mid f(x)=0 &\forall f \in E \} \end{array}$$ Wieder kehren $\mathcal I$ beziehungsweise $\mathcal Z$ die Inklusionen um und die ${\mathcal Z}(E)$ bilden eine Topologie auf $X$, die wir die {\bf Zariski-Topologie auf $X$} nennen.\index{Zariskitopologie!auf affiner Variet"at} Jeder Morphismus ist stetig f"ur die Zariskitopologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine affine Variet"at $X$ und wird nach \ref{BAVV} jede abgeschlossene Teilmenge $ Y\As X$ mit $\mathcal O (Y) \pdef \{ f|_Y \mid f \in \mathcal O (X)\}$ eine affine Variet"at. Wir nennen diese Struktur die {\bf induzierte Struktur} auf $Y$. \index{induzierte Struktur!einer naiven affinen Variet"at} Nat"urlich induziert die Restriktion dann einen Isomorphismus $$\cal{O}(X)/{\mathcal I}(Y)\sira \cal{O}(Y)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft der induzierten Struktur}] Gegeben $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge einer affinen Variet"at mit ihrer induzierten Struktur einer affinen Variet"at aus \ref{BAVV} ist die Einbettung offensichtlich ein Morphismus.\label{UEAAa} Ist weiter $\varphi:Z\ra X$ ein Morphismus von affinen Variet"aten mit $\varphi(Z)\subset Y$, so ist offensichtlich auch die induzierte Abbildung $\varphi:Z\ra Y$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. \end{Bemerkungl} % \begin{Ubung}\label{FYX} % Sei $k$ ein Kring. % Gegeben $Y\subset X\subset k^n$ induziert die Einschr"ankung einen % Isomorphismus % $\cal{O}^{\op{pol}}(X)/{\mathcal I}(Y)\sira \cal{O}^{\op{pol}}(Y)$. % Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und sind % $Y\As X\As k^n$ algebraische Teilmengen, so finden wir insbesondere % \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Nullstellensatz f"ur affine Variet"aten}] F"ur jede affine Variet"at $X$ gilt:\label{NstV} \begin{enumerate} \item Ist $\mathfrak a \subset \cal{O}(X)$ ein Ideal und verschwindet $f \in \cal{O}(X)$ auf der Nullstellenmenge von $\mathfrak a $, so liegt eine Potenz von $f$ bereits in $\mathfrak a $. In Formeln ausgedr"uckt gilt also $\mathcal Z(f)\supset \mathcal Z(\mathfrak a ) \;\RA \; f^N\in \mathfrak a \text{ f"ur }N\gg 0$; \item Die Zuordnungen $\mathfrak b \mapsto {\mathcal Z}(\mathfrak b )$ und $Z\mapsto {\mathcal I}(Z)$ liefern zueinander inverse Bijektionen zwischen der Menge aller Radikalideale von $\cal{O}(X)$ und der Menge aller abgeschlossenen Teilmengen von $X$; \item F"ur jede Teilmenge $Y\subset X$ ist die Nullstellenmenge ihres Verschwindungsideals der Abschlu"s von $Y$ in $X$, in Formeln ${\mathcal Z}( {\mathcal I}(Y))=\bar Y$, und f"ur jede Teilmenge $E\subset \mathcal O(X)$ ist das Verschwindungsideal ihrer Nullstellenmenge das Radikal des von $E$ erzeugten Ideals, in Formeln ${\mathcal I}( {\mathcal Z}(E))=\sqrt{\langle E\rangle}$; \item\label{NstV3} Die Zuordnung $\frak m\mapsto {\mathcal Z}(\frak m)$ ist eine Bijektion $\op{Max} \cal{O}(X) \sira X$. Die Zuordnung $x\mapsto {\mathcal I}(x)$ beschreibt ihre Umkehrabbildung. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Das folgt ohne Schwierigkeiten aus den entsprechenden Aussagen im Fall $X=k^n$, die wir als \ref{HN}, \ref{BRI} und \ref{MIi} bereits besprochen haben. Die Details "uberlasse ich dem Leser zur "Ubung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Maximalspektrum}] Sei $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen. Wir notieren $\op{Kring}^k_{\op{re}}$ die Kategorie der ringendlichen $k$-Kringe und konstruieren einen Funktor\label{MaxS} $$\op{Max}:\op{Kring}^k_{\op{re}}\ra \op{Ensr}_k^{\op{opp}}$$ durch die Vorschrift, da"s $\op{Max}(A)$ die Menge der maximalen Ideale von $A$ sein m"oge $\mathcal O(\op{Max}(A))\subset \op{Ens}(\op{Max}A,k)$ das Bild des Homomorphismus von $k$-Kringen $\tau=\tau_A:A\ra \op{Ens}(\op{Max}A,k)$, der dadurch gegeben wird, da"s $(\tau(a))(\mathfrak m)$ und $a$ dasselbe Bild in $A/\mathfrak m$ haben. Diese Definition ist sinnvoll, da ja unter unseren Annahmen die Komposition $k\ra A\sra A/\frak m$ ein Isomorphismus ist. Wir nennen $\op{Max}(A)$ das {\bf Maximalspektrum von $A$}. \index{Maximalspektrum}\index{Max@$\op{Max}$ Maximalspektrum} Ist $\mathfrak n\subset A$ ein aus nilpotenten Elementen bestehendes Ideal, so induziert die Surjektion $A\sra A/\mathfrak n$ offensichtlich einen Isomorphismus $$\op{Max}(A/\mathfrak n)\sira \op{Max}(A)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $k=\bar k$ algebraisch abgeschlossen. Ist $(X,\mathcal O(X))$ eine affine $k$-Variet"at, so ist unsere Bijektion $\eta_X:\op{Max}(\mathcal O(X))\sira X$ aus dem Nullstellensatz \ref{NstV} f"ur Variet"aten offensichtlich sogar ein Isomorphismus von $k$-geringten Mengen f"ur die in \ref{MaxS} auf $\op{Max}(\mathcal O(X))$ erkl"arte Struktur als $k$-geringte Menge. Da jeder affine $k$-Kring $A$ isomorph ist zum Ring der regul"aren Funktionen einer affinen $k$-Variet"at und da jeder ringendliche $k$-Kring ein affiner $k$-Kring wird, wenn wir darin das Ideal aller nilpotenten Elemente herausteilen, ist unser Maximalspektrum sogar ein Funktor $$\op{Max}:\op{Kring}^k_{\op{re}}\ra \op{Varaff}_k^{\op{opp}}$$ Wir zeigen nun, da"s die Einschr"ankung unseres Funktors auf die volle Unterkategorie der affinen alias ringendlichen nilpotentfreien $k$-Kringe $\op{Kring}^k_{\op{renf}}$ eine "Aquivalenz\label{Maxs} von Kategorien $$\op{Max}:\op{Kring}^k_{\op{renf}}\sirra \op{Varaff}_k^{\op{opp}}$$ ist. In der Tat zeigen unsere Isomorphismen $\eta_X:\op{Max}\mathcal O(X)\sira X$, da"s jede affine Variet"at isomorph ist zu einem Objekt im Bild unseres Funktors. Man sieht weiter leicht ein, da"s f"ur jeden Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von affinen Variet"aten das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{Max}\mathcal O(X)&\sira&X\\ {\scriptstyle \op{Max}(\varphi^\sharp)}\da\;\; & &{\scriptstyle \varphi}\da\;\; \\ \op{Max}\mathcal O(Y) &\sira&Y \end{array}$$ mit diesen Isomorphismen in den Horizontalen kommutiert. Mithin ist f"ur beliebige affine Variet"aten $X,Y$ die Verkn"upfung $$\op{Var}(X,Y)\ra \op{Kring}^k(\mathcal O(Y),\mathcal O(X))\ra \op{Var}(\op{Max}\mathcal O(X),\op{Max}\mathcal O(Y))$$ eine Bijektion. Da wir aber bereits wissen, da"s auch die erste Abbildung $\varphi\mapsto\varphi^\sharp$ dieser Verkn"upfung bijektiv ist, mu"s auch die zweite Abbildung $\psi\mapsto \op{Max}\psi$ bijektiv sein. Dann aber mu"s auch $\op{Max}:\op{Kring}^k(B,A)\ra \op{Var}(\op{Max}A,\op{Max}B)$ bijektiv sein f"ur alle $A,B\in \op{Kring}^k_{\op{renf}}$ und wir sind fertig. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das Argument des vorherigen Beweises geh"ort eigentlich zur Kategorientheorie. Ist genauer $F:\mathcal A\sirra\mathcal B$ eine "Aquivalenz von Kategorien und $G:\mathcal B\ra \mathcal A$ ein Funktor und sind Isomorphismen $\eta_X: GFX\sira X$ f"ur alle $X\in\mathcal A$ gegeben derart, da"s f"ur alle $\varphi:X\ra Y$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} GFX&\sira&X\\ {\scriptstyle GF\varphi}\da\;\;&&{\scriptstyle \varphi}\da\;\; \\ GFY&\sira&Y \end{array}$$ mit $\eta_X$ und $\eta_Y$ in den Horizontalen kommutiert, so ist auch $G$ eine "Aquivalenz von Kategorien. Meist liegt so einer Situation eine \glqq Adjunktion\grqq\ zugrunde, so auch in unserem speziellen Fall, aber das soll hier nicht weiter ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt affiner Variet"aten}] Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ wird ihr Produkt $X \times Y$ zu einer affinen Variet"at durch die Vorschrift\index{Produkt!von affinen Variet"aten} \begin{equation*} \mathcal O (X \times Y) \pdef[f \boxtimes g\mid f \in \mathcal O (X), g \in \mathcal O (Y)] \end{equation*} Hier ist $f \boxtimes g$ erkl"art durch $(f \boxtimes g)(x,y) \pdef f (x) g (y)$ und die eckigen Klammern meinen den von all diesen Funktionen in $\op{Ens} (X \times Y, k)$ erzeugten Teilring. In der Tat ist er sicher ringendlich "uber $k$. Nach \eref{TeIn}{LA2} induziert die Abbildung $f \otimes g \mapsto f \boxtimes g$ weiter eine Injektion $\op{Ens} (X, k) \otimes_k \op{Ens} (Y,k) \hookrightarrow \op{Ens} (X \times Y, k)$, und das liefert uns unmittelbar einen Ringisomorphismus $$\mathcal O (X) \otimes_k \mathcal O (Y) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal O (X \times Y)$$ Da aber nun nach \eref{KoPR}{LA2} f"ur zwei beliebige $k$-Kringe $A,B$ jeder Homomorphismus von $k$-Kringen $A \otimes_k B \rightarrow k$ die Form $a \otimes b \mapsto \phi (a) \psi (b)$ hat f"ur wohlbestimmte Homomorphismen $\phi : A \rightarrow k$, $\psi : B \rightarrow k$, folgt auch die Zweite unserer Bedingungen an eine affine Variet"at. Die beiden Projektionen $\op{pr}_X : X\times Y \sra X $ und $\op{pr}_Y : X\times Y \sra Y $ sind dann Morphismen von affinen Variet"aten und $(X \times Y, \op{pr}_X, \op{pr}_Y)$ ist ein Produkt in der Kategorie der affinen Variet"aten im Sinne von \eref{PrKao}{LA2}. Die einpunktige Variet"at ist ein finales Objekt in dieser Kategorie.\label{PnaV} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{AbIM} F"ur einen Morphismus $\varphi:Y\ra X$ von affinen Variet"aten sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Der Morphismus $\varphi$ ist injektiv mit abgeschlossenem Bild und induziert einen Isomorphismus $Y\sira\varphi(Y)$ auf sein Bild mit der induzierten Struktur; \item Der Komorphismus ist eine Surjektion $\varphi^\sharp:\mathcal O(X)\sra \mathcal O(Y)$. \end{enumerate} Der Nachweis dieser "Aquivalenz bleibe dem Leser zur "Ubung. Einen Morphismus mit diesen Eigenschaften nennen wir eine {\bf abgeschlossene Einbettung}.\index{Einbettung!abgeschlossene!f"ur naive affine Variet"aten} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich will auch noch den Begriff der regul"aren Funktionen auf beliebige Teilmengen beliebiger affiner Variet"aten verallgemeinern. Gegeben eine Teilmenge $V\subset X$ einer affinen Variet"at hei"se eine Abbildung $f:V\ra k$ eine {\bf regul"are Funktion}\index{Funktion!regul"are}\index{regul"ar!Funktion} genau dann, wenn sie sich lokal als Quotient von zwei globalen regul"aren Funktionen schreiben l"a"st. In Formeln ausgedr"uckt hei"st das: F"ur alle $x \in V$ gibt es eine offene Umgebung $U \co X$ und $g, h \in \mathcal O(X)$ mit $h(y) \neq 0 \; \forall y \in U$ derart, da"s f"ur alle $ y \in U\cap V$ gilt $f(y) = g(y)/ h(y)$. Die regul"aren Funktionen bilden auch einen\label{regfa} Teilring\index{O@$\cal{O}$ regul"are Funktionen!auf Teilmenge von affiner Variet"at} $$\cal{O}(V)\subset \op{Ens}(V,k)$$ F"ur gewisse Teilmengen affiner Variet"aten $X$ hatten wir schon zuvor erkl"art, was regul"are Funktionen darauf sein sollen, n"amlich f"ur ganz $X$, f"ur abgeschlossene Teilmengen von $X$, und f"ur das Komplement der Nullstellenmenge einer regul"aren Funktion auf ganz $X$. In den ersten beiden F"allen zeigt \ref{rfa}, da"s unsere eben Erkl"arten regul"aren Funktionen mit den zuvor erkl"arten "ubereinstimmen, im Letzten folgt es aus \ref{ROFF}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckholen regul"arer Funktionen}] Seien $X$ und $Y$ affine Variet"aten und $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus. Gegeben $U\subset X$ und eine regul"are Funktion $f$ auf $\varphi(U)$ ist offensichtlich auch die zur"uckgeholte Funktion $f\circ \varphi$ eine regul"are Funktion auf $U$.\label{zFRRn} Das verallgemeinert \ref{zFRR}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universelle Eigenschaft der Nichtnullstelleneinbettung $X_f\hra X$}] Gegeben $X$ eine affine Variet"at und $f\in \mathcal O(X)$ eine regul"are Funktion ist die Einbettung $X_f\hra X$ offensichtlich ein Morphismus.\label{UEAAo} Ist weiter $\varphi:Z\ra X$ ein Morphismus von affinen Variet"aten mit $\varphi(Z)\subset X_f$, so ist auch die induzierte Abbildung $\varphi:Z\ra X_f$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. In der Tat ist $(f^{-1})\circ \varphi$ nach \ref{zFRRn} auch eine regul"are Funktion auf $Z$. \end{Bemerkungl} \begin{table}[p] \begin{tabular}{c|c|l} Affine $k$-Variet"aten $X,Y$&Affine $k$-Kringe $A,B$&Quelle \\[1mm]\hline Produkt&Tensorprodukt&\ref{PnaV}\\ $X\times Y$&$A\otimes_k B$&\\[3mm] Koprodukt&Produkt&\ref{Lopp}\\ $X\amalg Y$&$A\times B$&\\[3mm] abgeschlossene Einbettung&surjektiver Homomorphismus&\ref{AbIM}\\ $X\hra Y$&$B\sra A$&\\[3mm] Einbettung $X_f\hra X$&kanonischer Homomorphismus&\ref{OUVV}\\ f"ur $f\in\mathcal O(X)$ regul"ar& $A\ra A[f^{-1}]$ f"ur $f\in A$\\[3mm] Morphismus $X\ra Y$&injektiver Homomorphismus&\ref{dOO}\\ mit dichtem Bild&$B\hra A$&\\[3mm] Zusammenhangskomponente&Block&\ref{blo}\\[3mm] abgeschlossene&Radikalideal&\ref{NstV}\\ Teilmenge& &\\[3mm] Punkt &maximales Ideal&\ref{NstV}.\ref{NstV3}\\[3mm] irreduzible&Primideal&\ref{PuI}\\ Teilmenge& &\\[3mm] irreduzible& minimales Primideal &\ref{PuI}\\ Komponente& &\\[1mm]\hline \end{tabular} \caption*{ Diese Tabelle fa"st einige Entsprechungen zwischen R"aumen und Ringen zusammen. Ganz rechts ist jeweils die Quelle angegeben, und einige Entsprechungen sind auch noch Zukunftsmusik. Das Tensorprodukt ist dabei im Sinne von \eref{KoPR}{LA2} zu verstehen. } \end{table} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{dOO} Seien $X$ und $Y$ affine Variet"aten. Man zeige, da"s ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ dichtes Bild hat genau dann, wenn der zugeh"orige Komorphismus eine Injektion\index{dominant!Morphismus von affinen Variet"aten} $\varphi^\sharp:\mathcal O(Y) \ra \mathcal O(X)$ induziert. Einen Morphismus mit dichtem Bild von irreduziblen Variet"aten nennt man einen {\bf dominanten} Morphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IDBM} Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. Gegeben eine Teilmenge $I \subset \cal{O}(X)$ ist die Nullstellenmenge ihres Urbilds $(\varphi^{\sharp})^{-1}(I)\subset \cal{O}(Y)$ der Abschlu"s des Bildes ihrer Nullstellenmenge, in Formeln $$\overline{\varphi (\cal Z(I))}=\cal Z((\varphi^{\sharp})^{-1}(I))$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{IDBX} Sei $\varphi:X\ra Y$ ein Morphismus von affinen Variet"aten. Gegeben eine Teilmenge $J \subset \cal{O}(Y)$ ist das Urbild ihrer Nullstellenmenge die Nullstellenmenge ihres Bildes, in Formeln $${\varphi^{-1} (\cal Z(J))}=\cal Z(\varphi^{\sharp}(J))$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Morphismus $X\ra Y$ von affinen Variet"aten zeige man: Ist unter dem Komorphismus $\mathcal O(Y)\ra \mathcal O(X)$ der Ring $\mathcal O(X)$ modulendlich "uber $\mathcal O(Y)$, so hat unser Morphismus endliche Fasern.\label{meR} Hinweis: \ref{EVNN} und \ref{IDBX}. \end{Ubung} % \begin{Ubung}[\textbf{Ort aller Punkte mit endlicher Faser}] % Gegeben ein Morphismus $X\ra Y$ von % affinen Variet"aten % zeige man: Die Menge aller Punkte von $Y$ mit endlicher Faser ist offen. % Hinweis: Zun"achst zeige man, da"s die Faser genau f"ur die $y\in Y$ % endlich ist, f"ur die % gilt $\op{dim}_k(\mathcal O(X)/\mathcal I(y)\mathcal O(X))<\infty$. % \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Koprodukt affiner Variet"aten}] Man zeige: Gegeben affine Variet"aten $X,Y$ wird ihre disjunkte Vereinigung $X \sqcup Y$ zu einer affinen Variet"at durch die Vorschrift\index{Koprodukt!von affinen Variet"aten} \begin{equation*} \mathcal O (X \sqcup Y) \pdef \{ f: X \sqcup Y \rightarrow k \mid f|_X \in \mathcal O (X)\text{ und } f|_Y \in \mathcal O (Y)\} \end{equation*} Die beiden Einbettungen $\op{in}_X : X \hookrightarrow X \sqcup Y$ und $\op{in}_Y : Y \hookrightarrow X \sqcup Y$ sind dann Morphismen von affinen Variet"aten und $(X \sqcup Y, \op{in}_X, \op{in}_Y)$ ist ein Koprodukt in der Kategorie der affinen Variet"aten im Sinne von \eref{KoPro}{LA2}. Die leere Variet"at ist ein initiales Objekt in dieser Kategorie.\label{Lopp} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkt mit $k^n$}] % $(k=\bar k)$. Gegeben eine affine Variet"at $X$ zeige man, da"s wir einen Isomorphismus $\mathcal O(X)[T_1,\ldots, T_n]\sira \mathcal O(X\times k^n)$ erhalten, wenn wir den Kringhomomorphismus betrachten, der auf $\mathcal O(X)$ durch das Zur"uckholen gegeben ist und unter dem der Variablen $T_i$ die Projektion auf $k^n$ gefolgt von der Projektion auf den $i$-ten Eintrag zugeordnet wird.\label{WADn} Dieser Morphismus ist so nat"urlich, da"s wir ihn oft in Sprache und Notation als Gleichheit behandeln werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein {\bf Block}\index{Block!von Kring} eines Krings kann charakterisiert werden als ein unzerlegbarer direkter Summand unseres Krings, betrachtet als Modul "uber sich selber. Mehr zur Blockzerlegung wird in \ref{BLOCK} erkl"art. Man konstruiere eine Bijektion zwischen der Menge der Zusammenhangskomponenten einer affinen Variet"at $X$ und der Menge der Bl"ocke ihres Rings von regul"aren Funktionen $\mathcal O(X)$.\label{blo} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine affine Variet"at liefert das Bilden des Maximalspektrums einen Funktor $$\op{Max}:\op{Kring}_{\op{re}}^{\mathcal O(X)}\ra \op{Varaff}_X^{\op{opp}}$$ mit Rechtsadjungiertem $\mathcal O$. Insbesondere ist $\op{Max}$ vertr"aglich mit endlichen Koprodukten und macht Kogruppenobjekte zu Kogruppenobjekten sowie abelsche Kogruppenobjekte zu abelschen Kogruppenobjekten. Die Einschr"ankung auf affine Kringalgebren ist eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Max}:\op{Kring}_{\op{renf}}^{\mathcal O(X)}\sirra \op{Varaff}_X^{\op{opp}}$$ \end{Ubung} \subsection{Die symmetrische Algebra} \begin{Definition}\label{SyAl} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ erkl"art man die {\bf symmetrische Algebra "uber $V$}\index{symmetrisch!Algebra|main} als den\index{Sym@${\op{Sym}}_kV$ symmetrische Algebra|main} Quotienten\index{S@${\op{S}}_kV$ symmetrische Algebra|main} $${\op{S}}_kV={\op{Sym}}_kV\pdef {\op{T}}_kV/\langle v\otimes w-w\otimes v\rangle $$ der Tensoralgebra aus \eref{TeAl}{LA2} nach dem von allen $v\otimes w-w\otimes v$ mit $v,w\in V$ erzeugten Ideal. Wenn sich der Grundk"orper von selbst versteht, schreiben wir auch k"urzer ${\op{S}}V$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ hat die offensichtliche $k$-lineare Abbildung $\op{can}:V\hra{\op{S}}_kV$ die zu \eref{TeAl}{LA2} analoge {\bf universelle Eigenschaft} f"ur Kringalgebrenhomomorphismen. Ist genauer $A$ ein $k$-Kring und $\varphi : V\ra A$ eine $k$-lineare Abbildung, so gibt es genau einen Homomorphismus von $k$-Kringen $\hat{\varphi} : {\op{S}}_{k} V \ra A$ mit $\varphi = \hat{\varphi} \circ \op{can}$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[r]^-{\op{can}} \ar[dr]_-{\varphi} & {\op{S}}_k V \ar@{-->}[d]^-{\hat{\varphi}}\\ &A } \end{displaymath} Wieder anders gesagt liefert das Vorschalten von $\op{can}$ f"ur jeden $k$-Kring $A$ eine Bijektion $(\circ\op{can}):\op{Kring}^k({\op{S}}V,A)\sira \op{Hom}_k(V,A)$. Ist $B\subset V$ eine Basis von $V$, so erhalten wir mithin durch sukzessives Einschr"anken Bijektionen $$\op{Kring}^k({\op{S}}V,A)\sira \op{Hom}_k(V,A)\sira \op{Ens}(B,A)$$ Daraus folgt mit dem Yoneda-Lemma, da"s die Einbettung $B\hra {\op{S}}V$ einen Isomorphismus von $k$-Kringen $k[_!'B]\sira {\op{S}}V$ zwischen dem Polynomring in der Variablenmenge $B$ und unserer symmetrischen Algebra induziert. Ist insbesondere $v_1,\ldots,v_n$ eine Basis von $V$, so erhalten wir einen Isomorphismus von Kringalgebren $$k[' T_1,\ldots,T_n]\sira {\op{S}}_kV$$ durch die Vorschrift $T_i\mapsto v_i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regul"are Funktionen auf Vektorr"aumen}] Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $V$ liefert die universelle Eigenschaft einen Homomorphismus ${\op{S}}_{k} V\ra \op{Ens}(V^*,k)$ von Kringalgebren in die Kringalgebra aller $k$-wertigen Funktionen auf dem Dualraum von $V$. Ist $k$ ein unendlicher K"orper, so ist dieser Homomorphismus injektiv und induziert einen Isomorphismus zwischen ${\op{S}}_{k} V$ und derjenigen Unterringalgebra von $\op{Ens}(V^*,k)$, die von allen Auswertungen an Vektoren $v\in V$ erzeugt wird. Ist zus"atzlich $V$ endlichdimensional, so erhalten wir auf diese Weise einen Isomorphismus von ${\op{S}}_{k} (V^*)$ mit der von allen Linearformen erzeugten Unterringalgebra von $\op{Ens}(V,k)$. Arbeiten wir "uber einem algebraisch abgeschossenen K"orper $k=\bar k$, so liefert mithin f"ur jeden endlichdimensionalen $k$-Vektorraum $V$ die Einbettung $V^\ast\hra \op{Ens}(V,k)$ einen Ringalgebrenisomorphismus $${\op{S}}(V^\ast)\sira \cal O(V)$$ von der symmetrischen Algebra "uber dem Dualraum $V^\ast$ mit der Algebra der regul"aren Funktionen auf $V$ in Bezug auf seine Struktur als $k$-Variet"at nach \ref{akV}.\label{SWER} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Symmetrische Algebra und symmetrische Tensoren}] Ich finde die allgemein "ubliche\label{SyA} Bezeichnung von ${\op{S}}V$ als \glqq symmetrische Algebra\grqq\ nicht besonders gl"ucklich und w"urde dazu lieber die \glqq universelle Kring\-al\-ge\-bra "uber $V$\grqq\ sagen. Ich will kurz die Herkunft der allgemein "ublichen Bezeichnung erkl"aren. Die symmetrische Gruppe ${\cal{S}_{r}}$ operiert durch Vertauschung der Tensorfaktoren auf $V^{\otimes r}$. Die Invarianten unter dieser Operation, also die Elemente von $(V^{\otimes r})^{\cal{S}_{r}}$, hei"sen die {\bf symmetrischen Tensoren}\index{symmetrischer Tensor}\index{Tensor!symmetrischer} der Stufe $r$. In Charakteristik Null liefert nun f"ur jedes $r \geq 0$ die Projektion $$\op{proj}:V^{\otimes r} \twoheadrightarrow {\op{S}}^{r}V$$ einen Isomorphismus $(V^{\otimes r})^{\cal{S}_{r}}\sira {\op{S}}^{r}V$ zwischen dem Raum der symmetrischen Tensoren der Stufe $r$ und der homogenen Komponente ${\op{S}}^{r}V$ der Algebra ${\op{S}}V$. Daher kommt die Bezeichnung als \glqq symmetrische Algebra\grqq. Das Inverse dieses Isomorphismus hei"st die \defind{Symmetrisierung} und kann auf Monomen beschrieben werden durch die Formel $v_{1} \ldots v_{r} \mapsto \frac{1}{r!} \sum_{\sigma \in \cal{S}_{r}} v_{\sigma (1)} \otimes \ldots \otimes v_{\sigma (r)}$. Um das alles einzusehen f"uhren wir den {\bf Symmetrisator}\index{Symmetrisator} $$\op{sym}:V^{\otimes r}\ra (V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}$$ ein durch die Abbildungsvorschrift $\op{sym}:t\mapsto \frac{1}{r!}\sum_{\sigma\in \cal{S}_r}t^\sigma$. Wir haben offensichtlich $\op{sym}(t)=t$ f"ur jeden symmetrischen Tensor $t$ der Stufe $r$. F"ur die Inklusion $$\op{inkl}: (V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}\hra V^{\otimes r}$$ des Raums der symmetrischen Tensoren gilt in anderen Worten $$ \op{sym}\circ\op{inkl}=\op{id}$$ und $\op{sym}$ ist insbesondere surjektiv. Weiter verschwindet $ \op{sym}$ auf $\op{ker}(\op{proj})= \langle v\otimes w-w\otimes v\rangle\cap V^{\otimes r}$, in Formeln $\op{ker}(\op{proj})\subset \op{ker}(\op{sym})$. % und faktorisiert folglich % "uber eine wohlbestimmte Abbildung %$\overline{\op{sym}}:{\op{S}}^r V\ra (V^{\otimes r})^{\mathcal S_r} $, %in Formeln $\op{sym}=\overline{\op{sym}}\circ\op{proj}$. Andererseits faktorisiert auch die kanonische Projektion $\op{proj}: V^{\otimes r}\sra {\op{S}}^r V$ "uber $\op{sym}$ als $$\op{proj}=\op{proj}\circ \op{inkl}\circ\op{sym}$$ Also gilt auch umgekehrt $\op{ker}(\op{sym})\subset \op{ker}(\op{proj})$. Zusammen folgt $\op{ker}(\op{sym})=\op{ker}(\op{proj})$ und damit mu"s $\op{proj}\circ \op{inkl}$ surjektiv und injektiv sein und damit in der Tat, immer im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null, ein Isomorpismus $$(V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}\sira {\op{S}}^r V$$ % wir % k"onnen die Identit"at auf $(V^{\otimes r})^{\mathcal S_r} $ % darstellen als eine Verkn"upfung % $$(V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}\;\;\hra\;\; V^{\otimes r}\;\;\sra \;\; % {\op{S}}^r V\;\;\sira \;\;(V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}$$ % wobei die mittlere Abbildung die kanonische Projektion ist und % die Komposition der mittleren mit der rechten Abbildung % unser Symmetrisator $\op{sym}$. % Das zeigt dann, % da"s im Fall eines Grundk"orpers der Charakteristik Null % die kanonische Projektion $V^{\otimes r}\sra {\op{S}}^r V$ in der Tat einen % Isomorphismus $(V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}\sira {\op{S}}^r V$ % induziert. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} "Uber K"orpern positiver Charakteristik sind die beiden Funktoren $V\mapsto {\op{S}}^rV$ und $V\mapsto (V^{\otimes r})^{\mathcal S_r}$ im allgemeinen nicht mehr isomorph. Man nennt sie die $r$-te {\bf symmetrische Potenz}\index{symmetrische Potenz}\index{Potenz!symmetrische} \label{syPOZ} und die $r$-te {\bf dividierte Potenz}.\index{dividierte Potenz}\index{Potenz!dividierte} Im endlichdimensionalen Fall ist der eine dieser Funktoren konjugiert zum Anderen unter dem Dualraumfunktor, wie wir gleich in \ref{guht} sehen werden. Die Situation ist im Fall symmetrischer Algebren also delikater als bei den "au"seren Potenzen, die im endlichdimensionalen Fall schlicht mit dem Dualraumfunktor kommutieren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Symmetrische Multilinearformen}] Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ und $r\geq 0$ bezeichnen wir\label{guht} mit\index{Symu@$\op{Symu}$ symmetrische Multilinearformen} $$\op{Symu}^{r} V \pdef \{s : V \times \ldots \times V \ra k \mid s \text{ ist multilinear und symmetrisch}\}$$ die Menge aller symmetrischen $r$-Multilinearformen, als da hei"st aller Multilinearformen, die ihren Wert nicht "andern, wenn man die Eintr"age permutiert. Unter der Identifikation des Raums aller $r$-Multilinearformen mit $(V^{\otimes r})^*$ entspricht $\op{Symu}^{r} V$ dem Bild von $({\op{S}}^rV)^*$ in $(V^{\otimes r})^*$, wir haben also einen kanonischen Isomorphismus $$({\op{S}}^rV)^*\sira \op{Symu}^{r} V$$ Andererseits ist die offensichtliche Einbettung $(V^*)^{\otimes r}\hra (V^{\otimes r})^*$ vertr"aglich mit der Operation der symmetrischen Gruppe und induziert eine kanonische Einbettung $((V^*)^{\otimes r})^{\cal S_r}\hra \op{Symu}^{r} V$, die im endlichdimensionalen Fall sogar ein Isomorphismus ist. Zusammen erhalten wir eine kanonische Einbettung $$((V^*)^{\otimes r})^{\cal S_r}\hra ({\op{S}}^rV)^*$$ und auch diese ist dann im endlichdimensionalen Fall ein Isomorpismus. \end{Bemerkunge} \subsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{KAA} Man zeige: Ist $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $k$, so induziert der durch unsere Konstruktion der "au"seren Algebra in \eref{LaV}{LA2} gegebene Ringalgebrenhomomorphismus ${\op{T}}_kV\sra \bigwedge V$ von der Tensoralgebra aus \eref{TeAl}{LA2} auf die "au"sere Algebra einen Isomorphismus $$\textstyle {\op{T}}_kV/\langle v\otimes v\mid v\in V\rangle \sira \bigwedge V$$ der "au"seren Algebra mit dem Quotienten der Tensoralgebra nach dem von allen $v\otimes v$ mit $v\in V$ erzeugten Ideal. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Bezeichnet ${\op{S}}^r V\subset {\op{S}} V$ das Bild von $V^{\otimes r}\subset {\op{T}}V$, so haben wir eine Zerlegung $${\op{S}} V=\bigoplus_{r\geq 0} {\op{S}}^r V$$ und das Produkt eines Elements von ${\op{S}}^r V$ mit einem Element von ${\op{S}}^p V$ liegt in ${\op{S}}^{r+p} V$. Hier hei"st ${\op{S}}^r V$ die {\bf homogene Komponente vom Grad $r$} der symmetrischen Algebra ${\op{S}} V$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{S2QF} Gegeben ein Vektorraum $V$ "uber einem K"orper $k$ erhalten wir eine Bijektion der zweiten symmetrischen Potenz seines Dualraums ${\op{S}}^2(V^*)$ mit dem Raum der quadratischen Formen auf $V$ nach \eref{QuFo}{LA2}, indem wir der Nebenklasse des Tensors $f_1\otimes g_1+\ldots+f_n\otimes g_n$ die quadratische Form $v\mapsto f_1(v) g_1(v)+\ldots+f_n(v)g_n(v)$ zuordnen. \end{Ubung} \subsection{Symmetrische Algebren "uber Kringen*} \begin{Bemerkungl} Im folgenden wird vorausgesetzt, da"s Sie mit Tensorprodukten "uber Kringen vertraut sind, wie sie etwa in \eref{TPro}{TS} und f"ur iterierte Tensorprodukte in \eref{itKR}{TS} besprochen werden. Weiter wird der Formalismus der adjungierten Funktoren verwendet, wie er etwa in \eref{AdFu}{TF} diskutiert wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf geometrischen Modul}\index{Modul!geometrischer} "uber einer affinen Variet"at $X$ verstehen wir ein abelsches Gruppenobjekt $E\ra X$ in der Kategorie $\op{Varaff}_X$ der affinen Variet"aten "uber $X$ mit einem Morphismus $k\times E\ra E$ "uber $X$ derart, da"s jede Faser $E_x$ mit der induzierten Addition und Operation $k\times E_x\ra E_x$ isomorph ist zu einer Variet"at mit Addition und $k$-Operation, die ihrerseits von einem endlichdimensionalen $k$-Vektorraum herkommt. Die geometrischen Moduln "uber $X$ bilden in offensichtlicher Weise eine Kategorie $$\op{Gmod}_X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Symmetrische Algebra eines Moduls}] Gegeben ein Kring $A$ hat der verge"sliche Funktor $\op{Ralg}_A\ra \op{Mod}_A$ einen Linksadjungierten, den Funktor $ {\op{Ten}}_A$,\index{T@${\op{Ten}}_AM$ Tensoralgebra} der\index{Ten@${\op{Ten}}_AM$ Tensoralgebra} jedem $A$-Modul die {\bf freie Tensoralgebra}\index{Tensoralgebra} wie in \eref{TeAl}{LA2} zuordnet. Gegeben ein Kring $A$ hat weiter auch der verge"sliche Funktor $\op{Kralg}_A\ra \op{Mod}_A$ einen Linksadjungierten, den Funktor ${\op{Sym}}_A$, der\index{S@${\op{S}}_AM$ symmetrische Algebra}\label{SymA} jedem $A$-Modul\index{Sym@${\op{Sym}}_AM$ symmetrische Algebra} die {\bf symmetrische Algebra}\index{symmetrisch!Algebra} $${\op{S}}_AM={\op{Sym}}_AM$$ wie in \ref{SyAl} zuordnet. Man konstruiert auch unschwer einen Linksadjungierten zum verge"slichen Funktor $\op{Komm}:\op{Kralg}_A\ra \op{Ralg}_A$ und findet eine ausgezeichnete Isotransformation $\op{Komm}\circ \op{Ten}\siRa\op{Sym}$. Gegeben ein Kringhomomorphismus $A\ra B$ liefern die Identit"aten $\op{verg}_A\circ\op{res}_B^A=\op{res}_B^A\circ\op{verg}_B$ f"ur die entsprechenden Vergi"sfunktoren Isotransformationen $$\op{prod}_A^B\circ\op{Sym}_A\siRa\op{Sym}_B\circ\op{prod}_A^B$$ alias nat"urliche Isomorphismen $B\otimes_A(\op{Sym}_AM)\sira \op{Sym}_B(B\otimes_AM)$ zwischen $B$-Kringalgebren und "ahnlich f"ur Tensoralgebren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Moduln und Vektorb"undel}] Gegeben eine affine $k$-Variet"at $X$ und ein endlich erzeugter $\mathcal O(X)$-Modul $M$ versehen wir nun die affine $k$-Variet"at $$\op{V}(M)\pdef \op{Max}(\op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M))$$ mit der Struktur eines geometrischen Moduls "uber $X$. Als Morphismus $\op{V}(M)\ra X$ nehmen wir den von\label{vbMO} $\mathcal O(X)\ra \op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M)$ unter $\op{Max}$ induzierten. F"ur die restlichen Zutaten holen wir weiter aus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach \eref{adAGR}{TG} ist in einer additiven Kategorie jedes Objekt auf nat"urliche Weise sowohl ein abelsches Gruppenobjekt als auch a forteriori ein abelsches Kogruppenobjekt. Insbesondere hat f"ur einen Ring $R$ jeder $R$-Modul $M$ eine nat"urliche Struktur als abelsches Kogruppenobjekt. Dessen Verkn"upfung erweist sich als die diagonale Einbettung $\Delta:M\hra M\times M$.\label{akgf} Nach \eref{AdjPO}{TF} vertauschen Linksadjungierte mit Koprodukten. Im Fall eines Krings $A$ macht folglich unser mit Koprodukten vertr"aglicher Funktor $\op{Sym}=\op{Sym}_A$ aus $M\in\op{Mod}_A$ ein abelsches Kogruppenobjekt $\op{Sym}_A(M)$ in $\op{Kralg}_A$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $A=k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $M$ ein endlichdimensionaler $k$-Vektorraum, so entspricht dies Kogruppenobjekt von $\op{Kralg}_k$ vermittels $\op{Sym}_k(M)\sira \mathcal O(M^*)$ dem Kogruppenobjekt der regul"aren Funktionen auf der algebraischen Gruppe $M^*$ mit der Addition als Verkn"upfung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Additive Struktur auf $\op{V}(M)$}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und ein endlich erzeugter $\mathcal O(X)$-Modul $M$ erhalten wir mit \ref{akgf} auf $\op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M)$ eine Struktur als Kogruppenobjekt von $\op{Kralg}_{\mathcal O(X)}^{\op{re}}$. Da $\op{Max}:\op{Kralg}_{\mathcal O(X)}^{\op{re}}\ra \op{Varaff}^{\op{opp}}_X$ als Rechtsadjungierter mit Push\-out vertauscht, erbt $\op{V}(M)$ die Struktur eines abelschen Gruppenobjekts in der Kategorie der affinen Variet"aten "uber $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $A$ und ein $A$-Modul $M$ tr"agt die symmetrische Algebra nach Konstruktion eine nat"urlich $\DN$-Graduierung $$\op{Sym}_A(M)=\bigoplus_{r\in \DN}\op{Sym}^r_A(M)$$ Sie liefert einen Kringhomomorphismus $\op{Sym}_A(M)\ra A[T]\otimes_A\op{Sym}_A(M)$ durch $s\mapsto T^r\otimes s$ f"ur $s$ homogen vom Grad $r$. Nun macht die Komultiplikation $A[T]\ra A[T]\otimes_AA[T]$ gegeben durch $T\mapsto T\otimes T$ den Polynomring $A[T]$ zu einem Komonoid in $\op{Kralg}_A$. Unser Homomorphismus ist dann offensichtlich eine Kooperation dieses Komonoids.\label{amgf} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Operation von $(k,\cdot)$ auf $\op{V}(M)$}] Gegeben eine affine Variet"at $X$ und ein endlich erzeugter $\mathcal O(X)$-Modul $M$ erhalten wir mit \ref{amgf} auf $\op{Sym}_{\mathcal O(X)}(M)$ eine Kooperation des Komoidobjekts $\mathcal O(X)[T]$. Da $\op{Max}:\op{Kralg}_{\mathcal O(X)}^{\op{re}}\ra \op{Varaff}^{\op{opp}}_X$ als Rechtsadjungierter mit Push\-out vertauscht, erbt $\op{V}(M)$ die Operation des \glqq multiplikativen\grqq\ Monoidobjekts $\op{Max}(\mathcal O(X)[T])=X\times k$ in der Kategorie der affinen Variet"aten "uber $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine affine Variet"at. Der Leser mag zur "Ubung pr"ufen, da"s wir, indem wir f"ur jeden endlich erzeugten $\mathcal O(X)$-Modul $M$ unser $\op{V}(M)$ mit den in \ref{akgf} und \ref{amgf} erkl"arten Strukturen versehen, einen Funktor $${\op{V}}:\mathcal O(X)\op{-Modfg}\ra \op{Gmod}_X^{\op{opp}}$$ erhalten, da"s dieser Funktor mit endlichen Koprodukten vertr"aglich ist, und da"s wir in der offensichtlichen Weise einen Isomorphismus von geometrischen Moduln $\op{V}(\mathcal O(X))\sira X\times k$ erhalten. Wir nennen $\op{V}$ den {\bf B"undelfunktor}.\index{B"undelfunktor} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erkl"are nun f"ur jeden geometrischen Modul $E$ "uber einer affinen Variet"at $X$ den $\mathcal O(X)$-Modul $\mathcal D(E)$ seiner {\bf dualen Schnitte} als die Menge der faserweise $k$-linearen regul"aren Funktionen auf $E$, in Formeln $$\mathcal D(E)\pdef \{f\in\mathcal O(E)\mid f|E_x \text{ ist $k$-linear }\forall x\in X\}$$ mit der von $\mathcal O(E)$ induzierten Struktur als $\mathcal O(X)$-Modul. Das f"allt nach unseren Annahmen zusammen mit dem homogenen Anteil $\mathcal D(E)=\mathcal O(E)^1$ vom Grad Eins f"ur die auf $\mathcal O(E)$ durch die Wirkung des multiplikativen Monoids $k$ nach \ref{opMK} gegebenen $\DN$-Graduierung. Da $\mathcal O(E)$ ringendlich ist "uber seinem homogenen Anteil $\mathcal O(X)=\mathcal O(E)^0$ vom Grad Null, mu"s der homogene Anteil vom Grad Eins endlich erzeugt sein als Modul. Wir erhalten so einen Funktor $$\mathcal D: \op{Gmod}_X^{\op{opp}}\ra \mathcal O(X)\op{-Modfg}$$ Die Bezeichnung als \glqq duale Schnitte\grqq\ kommt her von der nat"urlichen Bijektion $\mathcal D(E) \sira \op{Gmod}_X(E,X\times k)$, die im folgenden keine Rolle mehr spielen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktion von B"undelfunktor und dualen Schnitten}] Wir erhalten eine Adjunktion $(V,\mathcal D)$ zwischen unserem B"undelfunktor und dem Funktor der dualen Schnitte, indem wir bemerken, da"s die nat"urlichen Abbildungen $$\op{Gmod}_X^{\op{opp}}(\op{Max}{\op{S}}_kM,E) \hra \op{Kralg}_{\mathcal O(X)}({\op{S}}_kM,\mathcal O(E))\sira \op{Mod}_{\mathcal O(X)}(M,\mathcal O(E))$$ eine Bijektion der linken Seite mit $\op{Mod}_{\mathcal O(X)}(M,\mathcal D(E))$ induzieren. Zur "Ubung pr"ufe man, da"s f"ur $M$ mit nilpotentfreier symmetrischer Algebra die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $M\sira \mathcal D{\op{V}}M$ von $\mathcal O(X)$-Moduln ist. Wir diskutieren nicht weiter, f"ur welche geometrischen Moduln $E$ die Koeinheit der Adjunktion oder genauer deren opponierter Morphismus ein Isomorphismus $E\sira {\op{V}}\mathcal DE$ von geometrischen Moduln ist. Mehr dazu findet man in \cite{EGA2}, wo man auch nachlesen kann, warum das alles f"ur Schemata noch viel besser geht als f"ur Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall eines endlich erzeugten \glqq projektiven\grqq\ $\mathcal O(X)$-Moduls $M$ k"onnen wir uns unser ${\op{V}}M$ als Vektorb"undel vorstellen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Ein Modul $P$ "uber einem Ring $R$ hei"st {\bf projektiv},\index{projektiv!Modul}\label{proM} wenn jeder surjektive Homomorphismus $M\sra P$ von einem weiteren $R$-Modul nach $P$ spaltet. Mehr dazu wird in \eref{proMo}{TS} folgende besprochen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{plFF} Gegeben ein endlich erzeugter projektiver Modul $P$ "uber einem Kring $R$ und ein maximales Ideal $\mathfrak m\subset R$ gibt es $f\in R\backslash \mathfrak m$ derart, da"s die Lokalisierung $P_f$ frei ist "uber $R_f$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ist $P$ ein endlich erzeugter projektiver Modul "uber einem Intergrit"atsbereich $R$, so hat die Lokalisierung $P_f$ offensichtlich f"ur jedes von Null verschiedene $f\in R$, f"ur das $P_f$ frei ist, denselben Rang. Wir nennen ihn dann den {\bf Rang}\index{Rang!von projektivem Modul} unseres projektiven Moduls und notieren ihn $\op{rang}(P)$.\label{raPM} Allgemeiner zeigt man dasselbe unschwer f"ur jeden Kring $R$ mit zusammenh"angendem Spektrum, wenn dieser Begriff einmal zur Verf"ugung steht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem finden wir einen weiteren $R$-Modul $Q$ und einen Isomorphismus $P\oplus Q\sira R^n$. Seien $p_1,\ldots,p_r\in P$ Elemente, deren Nebenklassen eine Basis von $P/\mathfrak m P$ bilden, und $q_1,\ldots,q_s\in Q$ Elemente, deren Nebenklassen eine Basis von $Q/\mathfrak m Q$ bilden. Indem wir diese Elemente als Bilder der Vektoren der Standardbasis nehmen, k"onnen wir unseren Isomorphismus verl"angern zu einer Sequenz $$R^{r+s}\ra P\oplus Q\sira R^n$$ mit $R^r\times 0\ra P$ sowie $0\times R^s \ra Q$. Nach Konstruktion wird die Komposition ein Isomorphismus, wenn wir "uberall die von allen $\mathfrak m$-fachen erzeugten Untermoduln wegteilen. Es folgt $r+s=n$ und wird unsere Abbildung beschrieben durch die Matrix $M\in \op{Mat}(n\times n;R)$, so ist das Bild $\bar M$ unserer Matrix in $\op{Mat}(n\times(r+s);R/\mathfrak m)$ invertierbar. Folglich geh"ort die Determinante $f\pdef \op{det}M$ unserer Matrix nicht zu $\mathfrak m$, und wenn wir nach $f$ lokalisieren, wird unsere Matrix invertierbar. Dann aber mu"s unser Morphismus $R^r\times 0\ra P$ unter der Lokalisierung nach $f$ auch zu einem Isomorphismus werden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ eine affine Variet"at. Ein {\bf Vektorb"undel auf $X$}\index{Vektorb"undel!algebraisches} ist ein geometrischer Modul $p:E\ra X$ "uber $X$ mit der Eigenschaft, da"s jeder Punkt von $X$ eine offene affine Umgebung $U$ hat, auf der $p^{-1}(U)$ mit seiner induzierten Struktur als geometrischer Modul isomorph ist zu $U\times k^n$ f"ur ein $n=n(U)$. Wie aus dem Vorhergehenden folgt, induziert unser B"undelfunktor eine "Aquivalenz von Kategorien\label{VeBue} $$\op{V}:\{\text{endlich erzeugte projektive $\mathcal O(X)$-Moduln}\}\sirra \{\text{Vektorb"undel auf $X$}\}^{\op{opp}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein geometrischer Modul $E\ra X$ "uber einer affinen Variet"at ist die Menge seiner algebraischen Schnitte $\sigma:X\ra E$ in offensichtlicher Weise ein $\mathcal O(X)$-Modul $\mathcal S(E)=\mathcal S_X(E)$. Im allgemeinen wei"s ich nicht, ob er endlich erzeugt sein mu"s. Im Fall eines Vektorb"undels bilden die algebraischen Schnitte jedoch offensichtlich einen endlich erzeugten projektiven $\mathcal O(X)$-Modul, der in nat"urlicher Weise dual ist zum $\mathcal O(X)$-Modul der dualen Schnitte. Insbesondere liefert der Funktor der algebraischen Schnitte eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathcal S:\{\text{Vektorb"undel auf $X$}\}\sirra \{\text{endlich erzeugte projektive $\mathcal O(X)$-Moduln}\}$$ \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: