\section{Schrotthalde zu Ma"s und Integral} \subsection{Me"sbarkeit und $\mu$-Me"sbarkeit} \begin{Lemma}\label{MI} Sei $(X,\cal{M},\mu)$ ein Ma"sraum. F"ur jede $\mu$-me"sbare Funktion $f:X\ra\overline{\Bbb{R}}$ gibt es eine me"sbare Funktion $\tilde{f}:X\ra\overline{\Bbb{R}},$ die au"serhalb einer $\mu$-Nullmenge mit $f$ "ubereinstimmt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{MM} k"onnen wir $f$ schreiben als punktweisen Grenzwert einer Folge von $\mu$-me"sbaren Stufenfunktionen $f(x) = \lim s_{n}(x).$ Dann verkleinern wir die Grundfl"achen aller Stufen von von Null verschiedener H"ohe zu me"sbaren Mengen so, da"s sich das Ma"s der Stufen nicht "andert, und erhalten eine Folge von me"sbaren Stufenfunktionen $\tilde{s}_{n},$ die au"serhalb einer me"sbaren Nullmenge $A$ punktweise gegen $f$ konvergiert. Dann erf"ullt der punktweise Grenzwert $\tilde{f}(x) = \lim_{n\ra \infty} [A](x) \tilde{s}_{n}(x)$ unsere Forderungen. \end{proof} \subsection{Erg"anzungen f"ur nicht $\sigma$-endliche Ma"se} \begin{Bemerkung} Nach \ref{HiBa} und \ref{EHiBa} ist ein beliebiger Hilbertraum isomorph ist zu einem $L^2$-Raum "uber einer Menge mit Z"ahlma"s, die jedoch nicht abz"ahlbar zu sein braucht. Es scheint mir deshalb sinnvoll, den im vorhergehenden entwickelten Formalismus soweit m"oglich auf nicht notwendig $\sigma$-endliche Ma"sr"aume auszudehnen. In der Literatur geht etwa Halmos \cite{Halmos} in diesem Zusammenhang so vor, da"s er den Begriff eines Ma"sraums ab"andert und schw"acher fordert, da"s die me"sbaren Mengen eines Ma"sraums nur einen \glqq $\sigma$-Ring\grqq\ zu bilden brauchen. Mir scheint es jedoch insbesondere f"ur die Diskussion me"sbarer Abbildungen praktischer, konsequent mit $\sigma$-Algebren zu arbeiten und bei der weiteren Entwicklung der Theorie schlicht den Mengen, die nicht zum \glqq $\sigma$-Ring der in nat"urlicher Weise me"sbaren Mengen\grqq\ geh"oren, das Ma"s Unendlich zuzuweisen. Wir verfahren nach diesem Prinzip etwa bei der Diskussion des Satzes von Hahn oder der Diskussion von Produktma"sen. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{von Hahn "uber Ma"serweiterungen}]\label{MHan} Gegeben eine Menge $X,$ ein Mengenring $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ und ein Pr"ama"s $\mu : \cal{A} \ra [0,\infty]$ existiert genau eine Erweiterung von $\mu$ zu einem Ma"s auf der von $\cal{A}$ erzeugten $\sigma$-Algebra $\cal{M} (\cal{A}),$ die allen den Mengen von $\cal{M} (\cal{A})$ das Ma"s Unendlich zuordnet, die nicht in einer abz"ahlbaren Vereinigung von Mengen endlichen Ma"ses aus $\cal{A}$ enthalten sind. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir nennen die in \ref{MHan} charakterisierte Erweiterung eines Pr"ama"ses zu einem Ma"s seine \defind{kanonische Erweiterung}.\index{Erweiterung!kanonische} Der Beweis zeigt, da"s sie beschrieben werden kann durch die Formel $$\mu (M) = \inf \left(\sum^{\infty}_{n=0} \mu (A_{n})\right)$$ wo das Infimum gebildet wird "uber alle Folgen in $\cal{A}$ mit $M\subset \bigcup A_{n}.$ \end{Bemerkung} \begin{proof} Der Existenzbeweis wurde beim Beweis von \ref{MHa} bereits mit gegeben, es gilt nur bei \ref{LHh} zu erinnern, da"s das Infimum der leeren Menge $\infty$ ist. Wir zeigen nun noch die Eindeutigkeit. Sei dazu $\nu$ eine zweite Erweiterung. Es gilt zu zeigen $\mu (Y) = \nu (Y)$ f"ur alle $Y\in\cal{M},$ die sich durch eine Folge von Mengen endlichen Ma"ses aus $\cal{A}$ "uberdecken lassen. Aber sei $(S_{n})$ eine Folge in $\cal{A}$ mit $\bigcup S_{n} \supset Y$ und $\mu (S_{n}) < \infty \quad \forall n.$ Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen $S_{n} \subset S_{n+1} \subset \ldots,$ und m"ussen nur f"ur alle $n$ die Gleichungen $$\mu (Y \cap S_{n})= \nu (Y\cap S_{n})$$ zeigen, dann ergibt sich $\mu (Y )= \nu (Y)$ im Grenzwert $n\ra\infty.$ Nach der Definition von $\mu$ gilt offensichtlich $\nu (Y\cap S_{n}) \leq\mu (Y \cap S_{n}),$ aber ganz genauso auch $\nu (Y^{c}\cap S_{n})\leq\mu (Y^{c} \cap S_{n}),$ und da die Summe dieser Ungleichungen die Gleichung $\nu (S_{n}) = \mu (S_{n})$ liefert, m"ussen unsere Ungleichungen beide schon Gleichungen gewesen sein. \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{IMT} Jede integrierbare Funktion verschwindet au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge. In der Tat m"ussen bei integrierbarem $f$ die Urbilder der Intervalle $[1/n, \infty)$ und $(-\infty, -1/n]$ alle endliches Ma"s haben. \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{PrMan} Gegeben Ma"sr"aume $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ gibt es auf der von allen Produkten $A \times B$ mit $A \in \cal{M}$ und $B \in \cal{N}$ erzeugten \emph{\bf Produkt-$\sigma$-Algebra}\index{Produkt-$\sigma$-Algebra} $\cal{M} \otimes \cal{N} \subset \cal{P} (X\times Y)$ genau ein Ma"s $\mu \otimes \nu,$ das \emph{\bf Produktma"s}\index{Produktma"s}, derart da"s (1) f"ur alle $ A \in \cal{M}$ und $ B \in \cal{N}$ von endlichem Ma"s gilt $$(\mu \otimes \nu)(A \times B) = \mu (A) \nu (B)$$ und da"s (2) allen denjenigen Mengen aus $\cal{M} \otimes \cal{N},$ die sich nicht durch eine abz"ahlbare Vereinigung von Produkten von Mengen endlichen Ma"ses "uberdecken lassen, das Ma"s Unendlich zugeordnet wird. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Im Fall $\mu(A)=\infty$ und $\nu(B)=0$ gilt f"ur das so erkl"arte Produktma"s nur dann $(\mu \otimes \nu)(A \times B) =0,$ wenn $A$ als abz"ahlbare Vereinigung von Mengen endlichen Ma"ses geschrieben werden kann oder wenn $B$ die leere Menge ist. Andernfalls erhalten wir $(\mu \otimes \nu)(A \times B) =\infty.$ Man k"onnte alternativ auch eine konsistente Theorie aufbauen, indem man als Produktma"s die kanonische Erweiterung des im folgenden Beweis betrachteten Pr"ama"ses $\mu \times \nu$ w"ahlt. Im Wesentlichen k"ame man damit zu denselben Resultaten und insbesondere entst"unden isomorphe R"aume von $L^p$-Funktionen auf Produkten. Das in unserem Satz definierte Produktma"s scheint mir jedoch sowohl einfacher in der Beschreibung als auch einfacher in der Handhabung, etwa beim Beweis der S"atze von Fubini. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die Definition des Produkts zweier Ma"sr"aume in dieser un"ublichen Allgemeinheit zu geben scheint mir sinnvoll etwa im Lichte von \ref{TeHi}, wonach f"ur zwei beliebige Ma"sr"aume das komplettierte Tensorprodukt der zugeh"origen R"aume quadratintegrierbarer Funktionen kanonisch isomorph ist zum Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf ihrem Produkt. Wenn man wei"s, da"s jeder Hilbertraum isomorph ist zum Raum der quadratintegrierbaren Funktionen auf einer Menge mit Z"ahlma"s, so liegt es nahe, diesen Satz auch f"ur nicht notwendig abz"ahlbare Mengen mit Z"ahlma"s zu formulieren. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wie im Beweis von \ref{PrMa} bilden wir das Pr"ama"s $\mu \times \nu$ auf $\cal{E}.$ Dieses Pr"ama"s "andern wir nun ab zu einer Abbildung $(\mu \tilde{\times} \nu):\cal{E}\ra [0,\infty],$ indem wir allen den Mengen $C\in \cal{E},$ die sich nicht durch eine abz"ahlbare Vereinigung von Produkten von Mengen endlichen Ma"ses "uberdecken lassen, das Ma"s Unendlich zuordnen, und den "ubrigen $C\in \cal{E}$ den Wert $(\mu \times \nu)(C).$ Man sieht leicht ein, da"s auch $\mu \tilde{\times} \nu$ wieder ein Pr"ama"s auf $\cal{E}$ ist. Unser Satz folgt damit aus dem Satz von Hahn \ref{MHan} "uber Ma"serweiterungen. \end{proof} \begin{Ubung} Seien $(X, \cal{M}, \mu)$ und $(Y,\cal{N},\nu)$ Ma"sr"aume. Wir erhalten denselben Ma"sraum, ob wir den Produktraum vervollst"andigen oder ob wir die einzelnen Ma"sr"aume vervollst"andigen, den Produktraum bilden, und nochmals vervollst"andigen. In Formeln gilt also $$(X\times Y, (\cal{M}^\ast\otimes \cal{N}^\ast)^\ast, (\mu^\ast\otimes \nu^\ast)^\ast) =(X\times Y, (\cal{M}\otimes \cal{N})^\ast, (\mu\otimes \nu)^\ast)$$ \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{positiver Fubini}]\label{pFn} Seien $(X, \mu)$ und $(Y,\nu)$ Ma"s\-r"aume. Gegeben eine me"sbare Funktion $f: X \times Y \ra [0,\infty],$ die au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwindet, ist $x\mapsto f(x,y)$ f"ur alle $y\in Y$ eine me"sbare Funktion $X\ra[0,\infty]$ und das partielle Integral $y \mapsto \int f(x,y) \mu\langle x\rangle$ ist eine me"sbare Funktion $Y\ra[0,\infty]$ und es gilt $$\int_{X\times Y} f(x,y)\;(\mu\otimes\nu)\langle x,y\rangle = \int_{Y} \left( \int_{X} f(x,y)\mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Da"s die Bedingung, die Funktion m"oge au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwinden, hier auch wirklich n"otig ist, zeigt \ref{KoBe}. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Das folgt unter unseren Annamen sofort aus \ref{pF}. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Fubini}]\label{Fuban} Seien $(X,\mu)$ und $(Y,\nu)$ Ma"s\-r"aume. Gegeben eine integrierbare Funktion $f: X\times Y \ra \Bbb{R}$ ist f"ur fast alle $y \in Y$ die Funktion $x\mapsto f(x,y)$ integrierbar und die fast "uberall definierte Funktion $y \mapsto \int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle$ ist auch integrierbar und f"ur ihr Integral gilt $$\int_{Y} \left(\int_{X} f(x,y) \mu\langle x\rangle\right) \nu\langle y\rangle = \int_{X\times Y} f(x,y) \;(\mu\otimes\nu)\langle x, y\rangle $$ \end{Satz} \begin{proof} Man kann den Beweis von \ref{Fuba} "ubernehmen, wenn man mit \ref{pFn} arbeitet und beachtet, da"s eine me"sbare und integrierbare Funktion nach \ref{IMT} notwendig au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwindet. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: