\section{Lokale noethersche Kringe} \label{HPR} \subsection{Filtrierungen von Gruppen}\label{FuG} \begin{Definition}\label{FAGr} Eine {\bf Filtrierung}\index{Filtrierung!auf abelscher Gruppe} auf einer abelschen Gruppe $V$ ist eine Familie von Untergruppen $V^{\leq r}$ f"ur $r \in \DZ$ derart, da"s gilt $V^{\leq r} \subset V^{\leq r+1}$ f"ur alle $r\in\DZ$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Manchmal notieren wir eine Filtrierung auf einer abelschen Gruppe $V$ auch als eine Familie von Untergruppen $V^{\geq r}$ f"ur $r \in \DZ$ derart, da"s gilt $V^{\geq r} \supset V^{\geq r+1}$ f"ur alle $r\in\DZ$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EigFI} \begin{enumerate} \item Eine {\bf aussch"opfende Filtrierung}\index{aussch"opfend!Filtrierung} ist eine Filtrierung, bei der die Vereinigung der filtrierenden Untergruppen die ganze Gruppe ist, in Formeln $\bigcup_r V^{\leq r}=V$. \index{Filtrierung!aussch"opfende} \item Eine {\bf voll endende Filtrierung}\index{Filtrierung!voll endende} ist eine Filtrierung, bei der bereits eine der filtrierenden Untergruppen die ganze Gruppe ist, bei der also in Formeln ein $ r$ existiert mit $V^{\leq r}=V$. \item Eine {\bf Hausdorff'sche} oder auch {\bf separierte Filtrierung}\index{Hausdorff'sch!Filtrierung} \index{Filtrierung!Hausdorff'sche}\index{separiert!Filtrierung} \index{Filtrierung!separierte} ist eine Filtrierung, bei der der Schnitt "uber alle filtrierenden Untergruppen Null ist, in Formeln $\bigcap_r V^{\leq r}=0$. \item Eine {\bf von Null kommende Filtrierung}\index{Filtrierung!von Null kommende} ist eine Filtrierung, bei der bereits eine der filtrierenden Untergruppen Null ist, bei der also in Formeln ein $ r$ existiert mit $V^{\leq r}=0$. \item Eine {\bf endliche Filtrierung}\index{Filtrierung!endliche} ist eine von Null kommende und voll endende Filtrierung. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Manche Autoren fordern auch ganz allgemein von einer Filtrierung noch zus"atzlich implizit eine oder mehrere der oben angegebenen Eigenschaften. Au"serdem mag man statt durch $\DZ$ indizierte Filtrierungen auch noch allgemeinere Filtrierungen betrachten. Unsere Filtrierungen hier nennen wir dann pr"aziser {\bf $\DZ$-Filtrierungen}.\index{Filtrierung!$\DZ$-Filtrierung} \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl} Eine letzte Eigenschaft von Filtrierungen, die oft verwendet wird, ist die {\bf Vollst"andigkeit}.\index{vollst"andig!Filtrierung} Diese Bedingung besagt im Fall einer Hausdorff'schen Filtrierung, da"s $V$ vollst"andig ist f"ur die Metrik $$d(v,w)\pdef\op{inf}\big(\{1\}\sqcup \{2^{r}\mid (v-w)\in V^{\leq r}\}\big)$$ Im Fall einer beliebigen Filtrierung\label{vollF} erkl"art man sie dadurch, da"s der Quotient $V/\bigcap_r V^{\leq r}$ vollst"andig ist in der zuvor beschriebenen Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Kennt man die Terminologie uniformer R"aume \eref{UNIf}{TM} und versieht $V$ mit der durch die Filtrierung gegebenen Struktur als uniformer Raum nach \eref{UstAA}{TM}, so ist $V$ vollst"andig beziehungsweise Hausdorff als topologischer Raum genau dann, wenn unsere Filtrierung vollst"andig beziehungsweise Hausdorff ist im Sinne der vorhergehenden Definitionen. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl} Ein Homomorphismus $\phi: V\ra W$ von filtrierten abelschen Gruppen hei"st {\bf filtrierungsvertr"aglich},\index{filtrierungsvertr"aglich} wenn gilt $\phi(V^{\leq r})\subset W^{\leq r}$ f"ur alle $r\in\DZ$. Die filtrierten abelschen Gruppen werden mit den filtrierungsvertr"aglichen Homomorphismen als Morphismen zu einer Kategorie $\op{filAb}$.\index{filAb@$\op{filAb}$ filtrierte abelsche Gruppen} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Finale Filtrierung}] Gegeben ein Homomorphismus von abelschen Gruppen $\varphi:V\ra W$ und eine Filtrierung auf $V$ erkl"aren wir die zugeh"orige {\bf finale Filtrierung}\index{Filtrierung!finale} auf $W$ durch $W^{\leq r}\pdef \varphi(V^{\leq r})$. Im Fall eines Quotienten nennen wir sie auch die {\bf Quotientenfiltrierung}.\index{Quotientenfiltrierung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Initiale Filtrierung}] Gegeben ein Homomorphismus von abelschen Gruppen $\varphi:V\ra W$ und eine Filtrierung auf $W$ erkl"aren wir die zugeh"orige {\bf initiale Filtrierung}\index{Filtrierung!initiale} auf $V$ durch $V^{\leq r}\pdef \varphi^{-1}(W^{\leq r})$. Im Fall der Einbettung einer Untergruppe nennen wir sie auch die {\bf Untergruppenfiltrierung}.\index{Untergruppenfiltrierung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Untergruppen $ U\subset V\subset W $ einer filtrierten abelschen Gruppe $W$ stimmt auf dem Subquotienten $V/U$ die Untergruppenfiltrierung zur Quotientenfiltrierung auf $W/U$ "uberein mit der Quotientenfiltrierung zur Untergruppenfiltrierung auf $V$. Wir nennen diese Filtrierung die {\bf Subquotientenfiltrierung}.\index{Subquotientenfiltrierung} In \eref{BWMa}{TF} besprechen wir die dieser Erkenntnis zugrundeliegenden Tatsachen, den \glqq Basiswechsel f"ur Untergruppen\grqq, in einem\label{VerFi} gr"o"seren Rahmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Zerlegung $W= U\oplus V $ einer filtrierten abelschen Gruppe $W$ stimmt die Untergruppenfiltrierung auf $U$ f"ur die offensichtliche Einbettung im allgemeinen keineswegs "uberein mit der Quotientenfiltrierung auf $U$ f"ur die offensichtliche Projektion. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungw} Wir erkl"aren eine {\bf $r$-Verschmelzung} von filtrierten abelschen Gruppen als eine multilineare Abbildung $\varphi: V_1\times \ldots \times V_r\ra W$ mit $$\varphi\left( V_1^{\leq n_1}\times \ldots \times V_r^{\leq n_r}\right) \subset W^{\leq (n_1+\ldots +n_r)}$$ und insbesondere eine $0$-Verschmelzung nach $W$ als ein Element von $W^{\leq 0}$. Mit der offensichtlichen Multiverkn"upfung von Verschmelzungen werden die filtrierten abelschen Gruppen dann zu einer Schmelzkategorie im Sinne von \eref{MuC}{TSK}. In unserer Schmelzkategorie erhalten wir stark universelle Verschmelzungen, indem wir das Tensorprodukt mit der {\bf Tensorfiltrierung}\index{Tensorfiltrierung} versehen, die im Fall von zwei Faktoren gegeben wird durch die Vorschrift \begin{equation*} (M \otimes N)^{\leq n} \pdef \langle \op{ten} (M^{\leq i} \times N^{\leq j})\mid {i+j \leq n} \rangle_\DZ \end{equation*} f"ur $\op{ten} : M \times N \rightarrow M \otimes N$ die universelle bilineare Abbildung.\label{TfMM} \end{Bemerkungw} %\newpage \begin{Bemerkungl} Eine Graduierung $V= \bigoplus_r V^{r}$ auf einer abelschen Gruppe liefert eine Filtrierung durch die Vorschrift $V^{\leq r}\pdef \bigoplus_{\nu \leq r} V^{\nu}$. Zu jeder filtrierten abelschen Gruppe k"onnen wir umgekehrt die {\bf assoziierte graduierte Gruppe}\index{assoziiert!graduierte Gruppe} $$\op{gr} V = \bigoplus_{r\in \DZ} V^{\leq r} /V^{\leq r-1}$$ bilden. Wir notieren ihren homogenen Teil vom Grad $r$ auch $(\op{gr} V)^r=\op{gr}^r V=V^{\leq r} /V^{\leq r-1}$. Kommt die Filtrierung auf $V$ schon von einer Graduierung her, so induzieren die Verkn"upfungen $V^r\hra V^{\leq r}\sra V^{\leq r} /V^{\leq r-1}=\op{gr}^r V$ einen kanonischen Isomorphismus $V\sira \op{gr} V$. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl} Jeder filtrierungsvertr"agliche Homomorphismus $V\ra W$ von filtrierten abelschen Gruppen induziert einen Homomorphismus $\op{gr} \phi: \op{gr} V\ra\op{gr} W$ zwischen den assoziierten graduierten Gruppen. Analoges gilt f"ur multilineare Abbildungen. Der "Ubergang zum assoziierten Graduierten ist in der Terminolgie aus \eref{MulF}{TSK} genauer ein Schmelzfunktor, und in der analogen Situation von Vektorr"aumen "uber einem K"orper $k$ ist er sogar vertr"aglich mit universellen Verschmelzungen, die offensichtlichen Abbildungen sind also etwa im Fall von zwei zu verschmelzenden Objekten Isomorphismen \begin{equation*} (\op{gr} M) \otimes_k (\op{gr} N) \sira \op{gr} (M \otimes_k N) \end{equation*} In der Tat finden wir in dieser Situation an unsere Filtrierungen angepa"ste Basen, mit denen wir diese Behauptung leicht explizit pr"ufen k"onnen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{gr} Ist $V$ eine filtrierte abelsche Gruppe und $U\subset V$ eine Untergruppe und betrachten wir auf $U$ und $V/U$ die induzierten Filtrierungen, so erhalten wir mit dem Neunerlemma eine kurze exakte Sequenz $$\op{gr} U\hra \op{gr} V \twoheadrightarrow \op{gr} (V/U)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Igr} Sei $\phi:V\ra W$ ein Homomorphismus filtrierter abelscher Gruppen, der mit den Filtrierungen vertr"aglich ist. Man zeige: \begin{enumerate} \item Ist die Filtrierung auf $W$ bei Null beginnend und aussch"opfend und ist die assoziierte graduierte Abbildung $\op{gr}\phi: \op{gr} V\ra\op{gr} W$ surjektiv, so ist $\phi$ bereits selbst surjektiv. \item Ist die Filtrierung auf $V$ Hausdorff und aussch"opfend und ist die assoziierte graduierte Abbildung $\op{gr}\phi: \op{gr} V\ra\op{gr} W$ injektiv, so ist $\phi$ bereits selbst injektiv. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Igr} Sei $U\ra V\ra W$ eine Sequenz von filtrierten abelschen Gruppen und filtrierungsvertr"aglichen Homomorphismen mit Verkn"upfung Null. Sei die auf den assoziierten graduierten Gruppen induzierte Sequenz eine kurze exakte Sequenz $\op{gr}U\hra \op{gr}V \sra \op{gr}W$. Man zeige, da"s unter jeder der beiden folgenden Annahmen auch die urspr"ungliche Sequenz eine kurze exakte Sequenz $U\hra V\sra W$ von abelschen Gruppen ist: \begin{enumerate} \item Wenn unsere Filtrierungen von Null kommend und aussch"opfend sind; \item Wenn unsere Filtrierungen voll endend, Hausdorff und vollst"andig sind. Hier mag die Mittag-Leffler-Bedingung helfen. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FDGr} Jede von Null kommende und aussch"opfende Filtrierung auf einem Vektorraum kommt von einer Graduierung her. \end{Ubung} %\newpage \subsection{Filtrierungen von Ringen} \begin{Bemerkungl} Benutzt man die oben eingef"uhrten Begriffe f"ur Ringe, so wird stets implizit die Vertr"aglichkeit mit der Multiplikation gefordert. Genauer treffen wir folgende Vereinbarungen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{AFR} Eine {\bf Filtrierung}\index{Filtrierung!auf Ring} eines Rings $A$ ist eine Filtrierung der additiven Gruppe $A$ derart, da"s gilt $A^{\leq r} A^{\leq s} \subset A^{\leq r+s}$ f"ur alle $r,s$ und zus"atzlich $1 \in A^{\leq 0}$. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s wir die Vertr"aglichkeit mit der Ringstruktur fordern, reden wir von einer {\bf Ringfiltrierung}.\index{Ringfiltrierung} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Bedingung $1 \in A^{\leq 0}$ wird ben"otigt, um sicherzustellen, da"s der in \ref{FiRi} erkl"arte assoziierte graduierte Ring auch in der Tat wieder ein Ring in unserem Sinne ist, also ein Einselement hat. Vom kategoriellen Standpunkt aus liefert sie, was wir in \eref{StrS}{TS} ein \glqq Ringobjekt der Schmelzkategorie der filtrierten abelschen Gruppen\grqq\ nennen werden. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl} Sicher ist bei einem filtrierten Ring $A^{\leq 0}$ ein Teilring und alle $A^{\leq n}$ f"ur $n\leq 0$ sind Ideale von $A^{\leq 0}$. Allgemeiner definiert man {\bf filtrierte Moduln}\index{Modul!filtrierter}\index{filtriert!Modul} "uber filtrierten Ringen als Moduln $M$ mit Filtrierung derart, da"s gilt $A^{\leq r}M^{\leq s}\subset M^{\leq r+s}$ f"ur alle $r,s$. Dann sind f"ur jeden filtrierten Modul $M$ alle $M^{\leq n}$ Untermoduln f"ur die Restriktion unseres filtrierten Moduls auf den Teilring $A^{\leq 0}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jeder Quotient eines filtrierten Rings ist f"ur die Quotientenfiltrierung wieder ein filtrierter Ring. Jeder Teilring eines filtrierten Rings ist f"ur die induzierte Filtrierung wieder ein filtrierter Ring. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}\label{FiRi} Eine Graduierung $A= \bigoplus_r A^{r}$ eines Rings liefert eine Filtrierung durch $A^{\leq r}=\bigoplus_{\nu \leq r} A^{\nu}$. Zu jedem filtrierten Ring k"onnen wir umgekehrt den {\bf assoziierten graduierten Ring}\index{assoziiert!graduierter Ring} $$\op{gr} A = \bigoplus_{r\in \DZ} A^{\leq r} /A^{\leq r-1}$$ bilden, die Multiplikation auf $\op{gr} A$ wird in der naheliegenden Weise definiert und die Existenz eines Eins-Elements in $\op{gr} A$ folgt aus unserer Bedingung $1\in A^{\leq 0}$ an einen filtrierten Ring. Kommt die Filtrierung auf dem Ring $A$ schon von einer Graduierung her, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus graduierter Ringe $A\sira \op{gr} A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein Ringhomomorphismus $\phi: A\ra B$ von einem filtrierten Ring $A$ in einen filtrierten Ring $B,$ der mit den Filtrierungen vertr"aglich ist, induziert nat"urlich einen Homomorphismus $\op{gr} \phi: \op{gr} A\ra\op{gr} B$ zwischen den assoziierten graduierten Ringen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Analog definiert man {\bf filtrierte Vektorr"aume}\index{filtriert!Vektorraum} und {\bf filtrierte Algebren}.\index{filtriert!Algebra} Bei der Definition einer {\bf filtrierten Ringalgebra}\index{filtriert!Ringalgebra} fordert man zus"atzlich, da"s die Filtrierung auch im Sinne von \ref{AFR} mit der zugrundeliegenden Ringstruktur vertr"aglich sein soll, da"s also die $1$ im Teilraum zu $\leq 0$ enthalten ist. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Lemma} Ist $A$ ein Ring mit einer Hausdorff'schen aussch"opfenden Filtrierung, so\label{NTGR} gilt $$({\op{gr}} A)\text{ ist Integrit"atsring }\quad\RA\quad A\text{ ist Integrit"atsring}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] In der Tat, seien $a,b\in A\backslash 0$ gegeben. Sind $r,s$ minimal mit $a\in A^{\leq r},$ $b\in A^{\leq s},$ so sind auch die Bilder $\bar{a}\in A^{\leq r}/A^{\leq r-1}$ und $\bar{b}\in A^{\leq s}/A^{\leq s-1}$ von Null verschieden. Ist $\op{gr} A$ ein Integrit"atsring, so folgt $\bar{a}\bar{b}\neq 0$. Dies Produkt ist aber die Nebenklasse von $ab$ in $A^{\leq r+s}/A^{\leq r+s-1},$ und wenn schon die Nebenklasse von $ab$ nicht verschwindet, so ist erst recht $ab$ selbst von Null verschieden. \end{proof} %\newpage \begin{Proposition*}\label{NoeG} Ist $A$ ein filtrierter Ring und $M$ ein filtrierter $A$-Modul mit einer von Null kommenden und aussch"opfenden Filtrierung, so ist mit ${\op{gr}}M$ auch $M$ selbst endlich erzeugt und es gilt sogar $$({\op{gr}} M)\text{ noethersch "uber }({\op{gr}} A) \quad\RA\quad M\text{ noethersch "uber }A$$ \end{Proposition*} \begin{Bemerkungl} Es reicht nicht, die Filtrierung auf $M$ Hausdorff anzunehmen, wie das Beispiel des $\DC[X]$-Moduls $\DC\llbracket X\rrbracket$ zeigt, mit der Filtrierung beider Strukturen durch die von den verschiedenen $X^r$ erzeugten Ideale. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist der assoziierte graduierte Modul ${\op{gr}} M$ endlich erzeugt, so finden wir daf"ur auch ein endliches Erzeugendensystem aus homogenen Elementen. W"ahlen wir Urbilder dieser Elemente in $M$, so erzeugen sie "uber $A$ einen Untermodul $N\subset M$ mit ${\op{gr}} N\sira {\op{gr}} M$. Mit \ref{gr} folgt daraus hinwiederum $\op{gr} (M/N)=0$ und mit unseren Voraussetzungen an die Filtrierung dann $M/N=0,$ als da hei"st unsere Urbilder erzeugen bereits $M.$ Ist schlie"slich ${\op{gr}} M$ noethersch, so ist f"ur jeden Untermodul $N\subset M$ mit der induzierten Filtrierung der assoziierte Graduierte ${\op{gr}} N$ endlich erzeugt als Untermodul von ${\op{gr}} M$, und dann ist auch $N$ selbst endlich erzeugt nach dem, was wir bereits bewiesen haben. \end{proof} \begin{Korollar*}\label{NoeGv} Ist $A$ ein filtrierter Ring mit einer von Null kommenden und aussch"opfenden Filtrierung und ist ${\op{gr}}A$ noethersch, so ist $A$ noethersch. \end{Korollar*} \begin{proof} Noethersch bedeutet ja f"ur Ringe noethersch als Linksmodul und als Rechtsmodul "uber sich selbst. Das Korollar folgt damit offensichtlich aus der vorhergehenden Proposition \ref{NoeG}. \end{proof} \subsection{Durchschnittssatz von Krull} \begin{Satz}[\textbf{Durchschnittssatz von Krull}] \index{Durchschnittssatz von Krull}\index{Krull, Durchschnittssatz} Gegeben $(A,\mathfrak m)$ ein noetherscher lokaler Kring und $M$ ein noetherscher $A$-Modul gilt\label{DSGe} $$\bigcap \frak m^n M=0$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Um zu sehen, da"s Durchschnittssatz f"ur nicht noethersche Kringe im allgemeinen nicht mehr gilt, mag man den Ring $A$ der Keime stetiger reeller Funktionen um den Ursprung der reellen Zahlengeraden im Sinne von \ref{FKei} betrachten. Dieser Ring $A$ ist lokal und sein maximales Ideal $\mathfrak m$ ist nicht Null, aber dennoch gilt $\mathfrak m^2=\mathfrak m$. \end{Beispiel} \begin{proof} Seien zun"achst $R$ ein beliebiger Kring und $\frak a \subset R$ ein beliebiges Ideal. Im Polynomring $R [X]$ bilden die Polynome $\sum r_n X^n$ mit $r_n \in \frak a ^n $ f"ur alle $n\geq 0$ einen Teilring, den {\bf Rees-Ring} $R_{\mathfrak a}[X]$.\index{Rees-Ring} Sind $a_1, \ldots, a_r$ Erzeuger von $\frak a $, so erhalten wir eine Surjektion $$R[Y_1, \ldots, Y_r]\sra R_{\mathfrak a}[X]$$ des Polynomrings auf den Reesring durch die Vorschrift $Y_\nu \mapsto a_\nu X$. Folglich ist mit $R$ auch der Reesring noethersch. Ist weiter $M$ ein $R$-Modul, so ist ist in dem m in offensichtlicher Weise erkl"arten $R [X]$-Modul $M[X]$ die Teilmenge $M_{\mathfrak a}[X]$ aller $\sum m_n X^n$ mit $m_n \in \frak a ^n M$ f"ur alle $n\geq 0$ ein $R_{\mathfrak a}[X]$-Untermodul. Dieser Untermodul $M_{\mathfrak a}[X]$ ist offensichtlich endlich erzeugt "uber dem Reesring, wenn $M$ endlich erzeugt ist "uber $R$. F"ur $$N \pdef \bigcap \frak a ^n M $$ ist weiter $N [X]\subset M_{\mathfrak a}[X]$ auch ein $R_{\mathfrak a}[X]$-Untermodul und ist folglich auch endlich erzeugt, also a forteriori erzeugt von einer Teilmenge der Gestalt $N + N X + \ldots + N X^n$, wenn $R$ nothersch ist und $M$ ein noetherscher $R$-Modul. Das hinwiederum zeigt $$ \frak a N = N$$ Spezialisieren wir $(R,\mathfrak a)$ zu unserem noetherschen lokalen Kring $(A,\mathfrak m)$, so erhalten wir $ \frak m N = N$ und mit der Quelle \ref{lvay} der Nakayama-Lemmata $N=0$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur $\mathfrak a=\langle c\rangle$ ein Hauptideal w"are $\mathfrak a N=cN=N$ offensichtlich, aber im allgemeinen ist ja $\mathfrak a M$ eine Abk"urzung f"ur die Menge der $a_1 m_1+\ldots +a_r m_r$ mit $m_i\in M$ und $a_i\in \mathfrak a$ und dann ist $\mathfrak a N=N$ nicht mehr offensichtlich. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Durchschnittssatz von Krull, Variante}] Gegeben ein noetherscher Kring $R$ mit Jacobsonradikal $J\subset R$ und ein noetherscher $R$-Modul $M$ gilt\label{spMm} $$\bigcap_n J^n M =0$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir spezialisieren $(R,\mathfrak a)$ am Ende des vorhergehenden Beweises von \ref{DSGe} zu $(R,J)$ und erhalten $JN=N$ und mit der Variante \ref{NLJR} des Lemmas von Nakayama $N = 0$. \end{proof} % \begin{Proposition}[\textbf{Durchschnittssatz von Krull, Variante}] Gegeben $\frak a\subset R$ ein Ideal in einem noetherschen Kring und $M$\label{KDSS} ein noetherscher $R$-Modul gilt $$\bigcap \frak a^n M=\{ m\in M\mid \exists a\in \frak a\text{ mit }am=m\}$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Aus dieser Variante folgen leicht die beiden anderen Varianten. Da sie jedoch sowohl in ihrer Aussage wie in ihrem Beweis komplizierter ist und selten ben"otigt wird, habe ich sie dennoch hintangestellt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir spezialisieren $(R,\mathfrak a)$ am Ende des vorhergehenden Beweises von \ref{DSGe} nicht weiter und folgern aus $\mathfrak a N=N$ mit der Variante \ref{LVNnc} des Lemmas von Nakayama die Existenz eines Elements $a\in\frak a$ mit $(1+a)N=0$ alias $am=m\;\forall m\in N$. Das zeigt die Inklusion $\subset$. Die andere Inklusion ist offensichtlich. \end{proof} % % \subsection{Dimensionstheorie lokaler noetherscher Kringe}\label{DTln} \begin{Definition} Gegeben ein Ring $A$ und ein Ideal $\frak a\subset A$ bilden seine Potenzen $\frak a^n$ mit der Konvention $\frak a^n=A$ f"ur $n\leq 0$ eine absteigende Filtrierung des Rings $A$. Den assoziierten graduierten Ring notieren wir \index{gr@$\op{gr}_{\frak a}A$ graduierter Ring!zu Filtrierung durch $\frak a^n$} $$\op{gr}_{\frak a}A\pdef\bigoplus_{i\geq 0} \frak a^i/\frak a^{i+1} =A/\frak a\oplus \frak a/\frak a^2\oplus\frak a^2/\frak a^3\oplus\ldots $$ \end{Definition} %\newpage \begin{Bemerkungl} Gegeben ein noetherscher Kring $A$ und ein Ideal $\frak q\subset A$ mit $\sqrt{\frak q}$ maximal ist $A/\frak q$ von endlicher L"ange. In der Tat ist dann $A/\frak q$ ein Kring der Krulldimension Null und wir k"onnen \ref{NRKO} anwenden. Einfacher k"onnen wir auch den hier einzig relevanten Teil des Beweises erinnern und das Bild von $\sqrt{\frak q}$ mit $\frak m\subset A/\frak q$ notieren und beachten, da"s die Subquotienten der Filtrierung $A/\frak q\supset \frak m\supset \frak m^2\supset \ldots\supset \frak m^r$ als endlich erzeugte Vektorr"aume "uber dem K"orper $A/\mathfrak m$ endliche L"ange haben und da"s gilt $\frak m^r=0$ f"ur $r\gg 0$. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Hilbertpolynome lokaler noetherscher Kringe}] Seien $(A,\mathfrak m)$ ein noetherscher lokaler Kring, $\frak q\subset A$ ein Ideal mit $\sqrt{\frak q}=\mathfrak m$ dem maximalen Ideal und $M$ ein endlich erzeugter\label{HiNoe} $A$-Modul. So gilt: \begin{enumerate} \item\label{HiNoe1} Es gibt genau ein Polynom $P={\op{P}}_M^{\frak q} \in \mathbb Q [t]$, das f"ur gro"se $i$ die L"ange von $M/ \frak q^{ i} M$ berechnet, in Formeln $ \op{l}( M/ \frak q^{ i} M) = P(i) $ f"ur $ i \gg 0 $; \item Der Grad $d_{\frak q}(M)$ dieses Polynoms ist beschr"ankt durch die Kardinalit"at jedes Erzeugendensystems von $\frak q$; \item\label{HiNoe4} Die Polynome ${\op{P}}_M^{\frak q}$ und ${\op{P}}_M^{\frak m}$ haben denselben Grad. Wir nennen ihn die \emph{\bf Hilbert-Dimension von $M$} \index{Hilbert-Dimension} und notieren ihn $$\op{hdim}_AM=\op{hdim}M$$ \end{enumerate} \end{Theorem} \begin{Bemerkunge} Die Hilbertdimension eines endlich erzeugten Moduls $M$ "uber einem lokalen noetherschen Kring $(A,\frak m)$ im Sinne des vorhergehenden Satzes und die Hilbertdimension eines endlich erzeugten graduierten Moduls "uber einem Polynomring im Sinne von \ref{HiPoo} sind mithin verkn"upft durch die Beziehung $\op{hdim}(M)\pdef \op{hdim}(\op{gr}_{\frak m}M)$. Hilbertdimension $-\infty$ hat nur der Nullmodul, in Formeln $$\op{hdim}(M)=-\infty\quad\IFF\quad M=0$$ Hilbertdimension Null haben genau alle von Null verschiedenen $A$-Moduln endlicher L"ange. \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur $k\pdef A/\frak q$ und $x_1,\ldots ,x_n$ ein Erzeugendensystem von $\frak q$ erhalten wir durch $X\mapsto \bar x_i$ eine Surjektion $k[X_1,\ldots,X_n]\sra \op{gr}_{\frak q}A$. Die ersten beiden Behauptungen folgen damit aus dem Satz "uber das Hilbertpolynom \ref{HiPoo}, genauer seiner Erweiterung \ref{HiPoob} angewandt auf den graduierten $\op{gr}_{\frak q}A$-Modul $\op{gr}_{\frak q}M\pdef \bigoplus_{i\geq 0} {\frak q}^iM/{\frak q}^{i+1}M$. Die dritte Aussage folgt, da wegen $\mathfrak q\subset \mathfrak m$ gilt ${\op{P}}_M^{\frak q}(i)\geq {\op{P}}_M^{\frak m}(i)$ f"ur $i\gg 0$ und da es $l$ gibt mit $\frak m^l\subset \frak q$ somit umgekehrt gilt ${\op{P}}_M^{\frak m}(li)\geq {\op{P}}_M^{\frak q}(i)$ f"ur besagtes $l$ und $i\gg 0$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hilbertdimension der Kokerne injektiver Endomorphismen}] Seien $(A,\mathfrak m)$ ein lokaler noetherscher Kring und $M\neq 0$ ein endlich erzeugter von Null verschiedener $A$-Modul.\label{hdcok} Gegeben $f:M\hra M$ ein injektiver Endomorphismus gilt dann $$\op{hdim}(\op{cok}f)<\op{hdim}M$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis dieses zentralen Resultats braucht einige Vorbereitungen und wird erst im Anschlu"s an den Beweis von \ref{HiNoen} gegeben. Man bemerke den Kontrast in der Schwierigkeit zwischen dieser Aussage und ihrem ziemlich elementaren graduierten Analogon \ref{DREF}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $A$ ein Ring und $\frak a\subset A$ ein Ideal. Eine Filtrierung eines $A$-Moduls $M$ hei"st {\bf $\mathfrak a$-stabil},\label{astab}\index{stabil!$\mathfrak a$-stabil, Filtrierung} wenn sie (1) bei $M$ endet, wenn sie (2) mit der Filtrierung von $A$ durch die $\frak a^n$ vertr"aglich ist, in Formeln $\frak a M^{\geq i}\subset M^{\geq i+1}$ f"ur alle $i$, und wenn es (3) ein $d$ gibt derart, da"s f"ur alle $i\geq d$ sogar gilt $\frak a M^{\geq i}=M^{\geq i+1}$. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Vergleich stabiler Filtrierungen}] Gegeben ein Ring $A$ und ein Ideal $\frak a\subset A$ und ein $A$-Modul $M$ sind je zwei \hyperref[astab]{$\mathfrak a$-stabile} Filtrierungen $\Omega$ und $\Gamma$ auf $M$ in der Weise vergleichbar, da"s es $c$ gibt mit\label{VSTF1} $\Gamma ^{\geq i +c} M \subset \Omega^{\geq i} M$ f"ur alle $i$. \end{Lemma} \begin{proof} Es reicht, das unter der Annahme zu zeigen, da"s eine unserer Filtrierungen die offensichtliche Filtrierung durch die $\frak a^i M$ ist. Wir k"onnen also unsere Notation vereinfachen und die andere Filtrierung $M^{\geq i}$ notieren. Nach Annahme gibt es ein $c$ mit $M=M^{\geq -c}$ und dann haben wir notwendig $\frak a^i M\subset M^{\geq -c+i}$ f"ur alle $i$. Nach Annahme gibt es aber auch ein $d$ mit $M^{\geq i+d}=\frak a^iM^{\geq d}$ f"ur alle $i\geq 0$ und somit $M^{\geq i+d} \subset \frak a^i M$ f"ur alle $i$. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Von stabilen Filtrierungen induzierte Filtrierungen}] Seien $A$ ein noetherscher Kring, $\frak a\subset A$ ein Ideal und $M$ ein endlich erzeugter $A$-Modul. So ist die\label{VSTF2} von einer \hyperref[astab]{$\mathfrak a$-stabilen} Filtrierung von $M$ auf einem Untermodul $N\subset M$ induzierte Filtrierung auch selbst wieder $\mathfrak a$-stabil. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Dasselbe gilt mit demselben Beweis f"ur nicht notwendig kommutative Ringe $A$, wenn wir zus"atzlich annehmen, da"s der Reesring $\bigoplus_{n\geq 0} \frak a^n$ noethersch ist. Insbesondere gilt es f"ur $A\pdef {\op{U}}(\mathfrak n)$ die Einh"ullende einer endlichdimensionalen Liealgebra\label{EalC} "uber einem K"orper $k$ und $\mathfrak a\pdef \op{ker}\tilde \chi$ der Kern des von einem Charakter $\chi:\mathfrak n\ra k$ induzierten Ringalgebrenhomomorphismus $\tilde \chi:{\op{U}}(\mathfrak n)\ra k$. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir erinnern aus dem Beweis von \ref{KDSS} die Konstruktion des Reesrings $\bigoplus_{n\geq 0} \frak a^n$ und den Nachweis, da"s dieser Ring im Fall eines Ideals $\frak a$ eines noetherschen Krings wieder noethersch ist. Es ist leicht zu sehen, wie $\bigoplus_{n\in\DZ} M^{\geq n}$ im Fall einer mit der Filtrierung von $A$ durch die $\frak a^i$ vertr"aglichen Filtrierung von $M$ ein Modul "uber dem Reesring wird, und da"s dieser Modul im Fall einer $\frak a$-stabilen Filtrierung von $M$ sogar endlich erzeugt alias noethersch sein mu"s. Dasselbe folgt f"ur den zu seinem Untermodul mit der induzierten Filtrierung $N^{\geq n}\pdef N\cap M^{\geq n}$ gebildeten Modul $\bigoplus_{n\in\DZ} N^{\geq n}$ "uber dem Reesring. Daraus, da"s dieser Modul %f"ur ein $d$ endlich erzeugt ist, folgt dann, da"s die induzierte Filtrierung auch $\mathfrak a$-stabil ist: Ist genauer $g$ der gr"o"ste Grad f"ur ein Element eines homogenen Erzeugendensystems von $\bigoplus_{n\in\DZ} N^{\geq n}$ "uber dem Reesring, so folgt $\frak a N^{\geq i}=N^{\geq i+1}$ f"ur alle $i\geq g$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiplizit"aten im Fall lokaler noetherscher Kringe}] Seien $(A,\mathfrak m)$ ein lokaler noetherscher Kring, $\frak q\subset A$ ein Ideal mit $\sqrt{\frak q}=\mathfrak m$ und $M$ ein endlich erzeugter\label{HiNoen} $A$-Modul. F"ur alle $d\in\DN\sqcup\{-\infty\}$ erkl"aren wir im folgenden einen Wert $\op{mult}^d_{\mathfrak q}(M)\in\DN\sqcup\{\infty\}$. F"ur $d\in\DN$ setzen wir $$\op{mult}^d_{\mathfrak q,A}(M)=\op{mult}^d_{\mathfrak q}(M)\pdef \lim_{i\ra\infty}\op{l}(M/\mathfrak q^{i}M)d!/i^d$$ und folgern aus der entsprechenden Aussage im graduierten Fall \ref{HiPoob}, da"s dieser Grenzwert stets in $\DN\sqcup\{\infty\}$ existiert. F"ur $d=-\infty$ vereinbaren wir erg"anzend $\op{mult}^{-\infty}_{\mathfrak q}(M)=0$ falls $M=0$ und $\op{mult}^{-\infty}_{\mathfrak q}(M)=\infty$ sonst. F"ur $M$ von der Hilbertdimension $h=\op{hdim}M$ mit $a_h$ dem Leitkoeffizienten des Hilbertpolynoms ${\op{P}}_M^{\mathfrak q}$ von $M$ finden wir dann $$\op{mult}^d_{\mathfrak q}(M)=\left\{\begin{array}{ll}0&d>h;\\ h!a_h&d=h\geq 0;\\ 0&d=h=-\infty;\\ \infty&d0$, so ist $\mathfrak m$ kein minimales Primideal von $A$ und nach \ref{MPRI} gibt es nur endlich viele minimale Primideale in $A$ und nach \ref{PiAAn} k"onnen sie $\frak m$ nicht "uberdecken. Es gibt also ein Element $x\in \frak m$, das in keinem minimalen Primideal enthalten ist. Wir setzen $\bar A\pdef A/Ax$ und finden $\delta (\bar A)=\delta(A)-1$ und, da nach \ref{MiPri} jedes Primideal stets ein minimales Primideal umfa"st, auch $\op{kdim}\bar A\leq \op{kdim} A-1$. Die Behauptung folgt mit vollst"andiger Induktion. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Absch"atzung f"ur die Krulldimension lokaler Kringe}] Gegeben ein lokaler noetherscher Kring $A$ mit maximalem Ideal $\frak m$ gilt stets\label{abcd} $$\op{dim}_{A/\frak m}(\frak m/\frak m^2)\geq \op{kdim}A$$ \end{Korollar} \begin{proof} Jedes Repr"asentantensystem eines Erzeugendensystem des $A/\frak m$-Vektor\-raums $\frak m/\frak m^2$ erzeugt nach Nakayama bereits das Ideal $\frak m$ als Ideal von $A$. Damit erweist sich unsere Behauptung als Konsequenz der Aussage $\delta(A)=\op{kdim}A$ aus dem Hauptsatz der Dimensionstheorie \ref{HDiT}. \end{proof} %\newpage \begin{Korollar}[\textbf{Verallgemeinerter Krull'scher Hauptidealsatz}] Gegeben ein noetherscher Kring $R$ gilt f"ur die H"ohe jedes Primideals $\frak p\subset R$, das vorgegebene Elemente $f_1,\ldots, f_s$ von $R$ enth"alt und minimal ist unter allen Primidealen mit dieser Eigenschaft, die Absch"atzung\label{VKHSS} $\op{ht}(\frak p)\leq s$. \end{Korollar} \begin{proof} Im lokalen Kring $R_{\frak p}$ mu"s $\frak p_{\frak p}$ das Radikal des von $ f_1,\ldots, f_s$ erzeugten Ideals sein. Damit erweist sich unsere Behauptung als Konsequenz der Aussage $\delta(A)=\op{kdim}A$ aus dem Hauptsatz der Dimensionstheorie \ref{HDiT}. \end{proof} %\newpage \begin{Definition} Gegeben ein lokaler noetherscher Kring $(A,\mathfrak m)$ versteht man unter einem {\bf Parametersystem von $A$} eine Familie $x_1,\ldots,x_d$ von $d=\op{kdim}A$ Elementen des maximalen\label{ParS} Ideals $\frak m$ mit der Eigenschaft, da"s das Radikal des von ihnen erzeugten Ideals gerade das maximale Ideal $\frak m$ selbst ist.\index{Parametersystem von lokalem Ring} Die Existenz solcher Parametersysteme folgt aus dem Hauptsatz der Dimensionstheorie \ref{HDiT}. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Parametersysteme sind algebraisch unabh"angig}] Besitzt ein lokaler noetherscher Kring $(A,\frak m)$ einen Unterk"orper $k\subset A$ mit $k\sira A/\frak m$ unter der nat"urlichen Abbildung und ist $x_1,\ldots,x_d$ ein Parametersystem von $A$, so sind die $x_i$ algebraisch unabh"angig "uber $k$.\label{PAUU} \end{Proposition} \begin{proof} Ist $\frak q$ das Erzeugnis der $x_i$, so liefern die offensichtlichen Abbildungen Homomorphismen $$k[X_1,\ldots,X_d]\hra (A/\frak q)[X_1,\ldots,X_d]\sra \op{gr}_{\frak q}A$$ von graduierten Ringen. W"are die Komposition nicht injektiv, so g"abe es ein von Null verschiedenes homogenes Polynom in ihrem Kern. Dies Element m"u"ste auch in der Mitte k"urzbar sein, da die erste Abbildung offensichtlich von Null verschiedene Polynome auf k"urzbare Elemente abbildet, und mit Satz \ref{DREF} "uber Kokerne homogener Selbstinjektionen folgte $\op{hdim}A0$ die partiellen Ableitungen $\partial_xf$ und $\partial_yf$ nicht beide identisch verschwinden, sonst g"abe es ein Polynom $g$ mit $f(X,Y)=g(X^p,Y^p)$ und mit Ziehen der $p$-ten Wurzeln aus den Koeffizienten von $g$ auch ein $h$ mit $h^p=f$ im Widerspruch zur Irreduzibilit"at. Gilt ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\partial_xf\neq 0$, so sind $f$ und $\partial_xf$ teilerfremd und haben folglich h"ochstens endlich viele gemeinsame Nullstellen. In derselben Weise zeigt man, da"s in jeder Hyperfl"ache $X\As k^n$ die glatten Punkte dicht liegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Glatte Variet"aten versus Mannigfaltigkeiten}] $(k=\bar k)$. Die Motivation f"ur die Begiffsbildung \glqq glatter\grqq\ algebraischer Teilmengen kommt von der Beschreibung \eref{MN}{AN2} von Untermannigfaltigkeiten des $\DR^n$ als Urbilder her. Die verschiedenen "aquivalenten Beschreibungen von Untermannigfaltigkeiten des $\DR^n$ als Bilder \eref{KKR}{AN2} sowie als \glqq lokal pl"attbare Teilmengen\grqq\ \eref{MFoR}{AN2} haben in der algebraischen Geometrie keine unmittelbaren Analoga, da der Satz "uber implizite Funktionen \eref{igg}{AN2} im Fall der Zariskitopologie f"ur Morphismen von Variet"aten nicht mehr gilt. Bereits in einer Variablen gilt ja der Satz "uber die Umkehrabbildung in dieser Situation nicht mehr, wie das Beispiel der Abbildung $k\ra k$, $x\mapsto x^2$ zeigt. Sp"ater m"ogen Sie lernen, wie es gelingt, diese Schwierigkeiten durch die Einf"uhrung der sogenannten \glqq \'etalen Topologie\grqq, die allerdings im engeren Sinne unserer Definition gar keine Topologie ist, sozusagen \glqq wegzudefinieren\grqq. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion von Varianten der Definition}] $(k=\bar k)$. In der Literatur ist auch eine andere Definition des Begriffs einer extrinsisch glatten Stelle gebr"auchlich. Gegeben $X\As k^n$ hei"st danach eine Stelle $x\in X$ glatt, wenn der von den Gradienten bei $x$ der Funktionen $f\in \mathcal I(X)$, als da hei"st von den Vektoren $(\op{grad}f)(x)\pdef((\partial f/\partial T_i)(x))\in k^n$ f"ur $f\in \mathcal I(X)$ aufgespannte Teilraum die Dimension $n-\op{kdim}\mathcal O_{X,x}$ hat. Die "Aquivalenz zu Definition \ref{extrg} zeigen wir in \ref{IBGl}. Ich ziehe Definition \ref{extrg} vor, weil ich sie anschaulicher finde.\label{Litd} Insbesondere zeigt Definition \ref{extrg} unmittelbar, da"s die glatten Punkte einer "aqui-$d$-dimensionalen algebraischen Teilmenge von $\DC^n$ eine glatte reell $2d$-dimensionale Untermannigfaltigkeit von $\DC^n$ bilden. \end{Bemerkungl} %\newpage % \begin{Ubunge}\label{UVUM} % Man zeige: Ist $X\As \DC^n$ eine algebraische Teilmenge und $x\in X$ ein % regul"arer Punkt, so gibt es eine Zariski-offene Umgebung % $U\co \DC^n$ von $x$ derart, da"s $U\cap X$ eine % Untermannigfaltigkeit der Dimension $d=2\op{kdim}\cal O(X)_{x}$ von % $\DC^n$ ist im Sinne von \eref{MFoR}{AN2}, % ja % sogar eine $\mathcal C^\infty$-Untermannigfaltigkeit % ohne Rand im Sinne von \eref{MFR}{AN3}. Hinweis: \eref{MN}{AN2}. % \end{Ubunge} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Intrinsische Natur der Glattheit}]$(k=\bar k)$. Unser n"achstes Ziel ist zu zeigen, da"s gegeben ein Isomorphismus $\varphi:X\sira Y$ in der Kategorie \ref{RaR} der algebraischen Teilmengen irgendwelcher $k^n$ eine algebraische Teilmenge $X$ glatt ist bei $x\in X$ genau dann, wenn die algebraische Teilmenge $Y$ glatt ist bei $\varphi(x)\in Y$. \end{Bemerkungw} %\newpage \begin{Definition} Ein lokaler Kring $(A,\mathfrak m)$ hei"st {\bf regul"ar},\index{regul"ar!lokaler Kring} wenn er noe\-thersch ist und wenn f"ur sein maximales Ideal $\frak m$ gilt\label{lrl} \begin{equation*} \dim_{A/\frak m} (\frak m /\frak m^2) = \op{kdim} A \end{equation*} Eine Familie von Elementen $x_1, \ldots, x_d\in \frak m$, deren Nebenklassen eine Basis von $\frak m /\frak m^2$ bilden, hei"st dann ein {\bf regul"ares Parametersystem von $A$}.\index{regul"ar!Parametersystem} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Der Begriff \glqq regul"ar\grqq\ wird in mindestens drei verschiedenen Bedeutungen verwendet. Einmal haben wir f"ur jede $k$-Variet"at $X$ erkl"art, welche Funktionen $X\ra k$ \glqq regul"ar\grqq\ hei"sen. Dann haben wir hier erkl"art, welche lokalen Kringe \glqq regul"ar\grqq\ hei"sen. Und schlie"slich vereinbaren wir irgendwo anders, was ein \glqq G-regul"arer Punkt\grqq\ einer Variet"at mit der Operation einer algebraischen Gruppe sein soll. Der Leser mu"s aus dem Kontext erschlie"sen, was jeweils gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur alle Primzahlen $p$ ist die Lokalisierung $\mathbb Z _{\langle p \rangle}$ an dem von $p$ erzeugten Primideal ein regul"arer lokaler Kring. F"ur jeden K"orper $k$ und jeden Punkt $x \in k^n$ ist der lokalisierte Polynomring $k[T_1, \ldots, T_n]_{\mathcal I (x)}$ regul"ar. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften regul"arer lokaler Kringe}] Jeder regul"are lokale Kring ist ein Integrit"atsring und der assoziierte graduierte Ring zu seiner Filtrierung durch die Potenzen des maximalen Ideals ist ein Polynomring mit Koeffizienten im Restklassenk"orper.\label{RRIB} \end{Satz} % \begin{Bemerkunge} % Ein Kring $R$ hei"st \defind{regul"ar} genau dann, wenn f"ur jedes Primideal % $\frak p \in \op{Spec} R$ seine Lokalisierung $R_{\frak p}$ ein regul"arer % lokaler Ring ist. Der Ring $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen etwa ist regul"ar, % und jeder K"orper ist regul"ar. % Mehr Beispiele k"onnen wir hier noch nicht geben, und ich werde diese % Terminologie % auch vorerst nicht verwenden. % \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur jeden regul"aren lokalen Kring $(A,\frak m)$ der Dimension $d$ und jedes regul"are Parametersystem $x_1,\ldots, x_d$ mu"s die offensichtliche durch $X_i\mapsto \bar x_i$ gegebene Surjektion ein Isomorphismus $$(A/\frak m)[X_1,\ldots, X_d]\sira \op{gr}_{\frak m} A$$ sein, denn sonst folgte wie beim Beweis von \ref{PAUU} aus Satz \ref{DREF} zu Kokernen homogener Selbstinjektionen bereits die Absch"atzung $\op{hdim}A}[r]\ar@{_{(}->}[d]& \mathfrak m^2 \ar@{->>}[r] \ar@{_{(}->}[d] & {\bar{\mathfrak m}}^2 \ar@{_{(}->}[d]\\ I\ar@{->>}[d] \ar@{^{(}->}[r]& \mathfrak m \ar@{->>}[d] \ar@{->>}[r] & {\bar{\mathfrak m}}\ar@{->>}[d]\\ I/(I\cap \mathfrak m^2) \ar@{^{(}->}[r] & \mathfrak m/\mathfrak m^2 \ar@{->>}[r]& {\bar{\mathfrak m}}/ {\bar{\mathfrak m}}^2 } \end{displaymath} mit exakten Zeilen und Spalten, bei dem die Exaktheit der unteren Zeile aus dem Neunerlemma folgt. Sei $ { d}$ die Krulldimension von $ { A}$ und $ {\bar d}$ die Krulldimension von $ {\bar A}$ und $s = d- {\bar d}$. Wir finden sicher Elemente $f_1, \ldots, f_s \in I$, deren Bilder den Kern in der unteren Zeile erzeugen. F"ur den Quotienten $\tilde A := A/\langle f_1, \ldots, f_s\rangle$ nach dem von ihnen erzeugten Ideal mit seinem maximalen Ideal $\tilde{\mathfrak m}\pdef\mathfrak m/\langle f_1, \ldots, f_s\rangle$ erhalten wir dann ${\mathfrak m}/{{\mathfrak m}}^2\sra\tilde{\mathfrak m}/{\tilde{\mathfrak m}}^2\sra \bar{\mathfrak m}/{\bar{\mathfrak m}}^2$ und nach Wahl der $f_i$ ist die Zweite dieser Abbildungen ein Isomorphismus und wir erhalten \begin{equation*} \op{kdim} \tilde A \leq \dim_{\tilde A/\tilde{\mathfrak m}} \tilde{\mathfrak m}/{\tilde{\mathfrak m}}^2 = \dim_{\bar A/{\bar{\mathfrak m}}} {\bar{\mathfrak m}}/{ {\bar {\mathfrak m}}}^2 = \op{kdim} {\bar A} \leq \op{kdim} \tilde A \end{equation*} mit ersten Absch"atzung nach Korollar \ref{abcd} des Hauptsatzes der Dimensionstheorie und der letzten aufgrund der Surjektion $\tilde A \twoheadrightarrow {\bar A}$. Zusammen folgt, da"s auch $\tilde A$ regul"ar ist und mithin nach \ref{RRIB} ein Integrit"atsbereich. W"are der Kern von $\tilde A \twoheadrightarrow {\bar A}$ nicht Null, so m"u"ste er ein Primideal ungleich Null sein und unsere Kringe k"onnten nicht dieselbe Krulldimension haben. Das zeigt $\tilde A \sira {\bar A}$ und damit $I = \langle f_1, \ldots, f_s \rangle$. \\[2mm]\noindent $2 \Rightarrow 1$. Sei $f_1,\ldots, f_d\in\frak m$ ein regul"ares Parametersystem. Es gilt zu zeigen, da"s f"ur alle $s$ auch $\bar A\pdef A/\langle f_1,\ldots, f_s\rangle $ ein regul"arer lokaler Kring ist. Nun liefert "Ubung \ref{kdimQ} uns die Identit"at $\op{kdim}(\bar A)=\op{kdim}( A)-s$ und die Identit"at $\dim_{\bar A/\bar{\frak m}} (\bar{\frak m} /\bar{\frak m}^2) = \dim_{A/\frak m} (\frak m /\frak m^2)-s$ ist leicht zu sehen. \end{proof} %\newpage \begin{Definition} Ein Punkt $x$ einer algebraischen Variet"at $X$ hei"st ein {\bf regul"arer Punkt von $X$},\index{regul"ar!Punkt von Variet"at} wenn der Ring $\mathcal O_{X,x} $ der Funk\-tions\-keime bei $x$ ein regul"arer lokaler Kring ist. Ein Punkt, der nicht regul"ar ist, hei"st {\bf singul"ar}.\index{singul"ar!Punkt!von algebraischer Variet"at} \end{Definition} \begin{Korollar}[\textbf{Regularit"at und Glattheit}] $(k = \bar k)$. Eine algebraische Teilmenge $ X \As k^n$ ist genau dann extrinsisch glatt an einer Stelle $p\in X$, wenn der lokale Kring $\mathcal O_{X,p} $ regul"ar ist.\label{IBGl} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s in unserer Terminologie Variet"aten stets "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper definiert sind. In dieser Situation sind nach dem Korollar regul"are Punkte dasselbe wie glatte Punkte. Verallgemeinert man die Definitionen auf den Fall beliebiger Grundk"orper, so ist das Analogon der extrinsischen Glattheit st"arker als die lokale Regularit"at, vergleiche \ref{RGA}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit der in der Literatur "ublichen Definition glatter Stellen, wie sie in \ref{Litd} erkl"art wird, ist dieses Korollar fast eine Tautologie. Wie in \ref{Litd} ausgef"uhrt wird, macht es die in der Literatur "ubliche Definition aber schwerer, die Br"ucke zur Analysis und damit zur Anschauung zu schlagen. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{proof} Wir wenden Satz \ref{RLRH} "uber regul"are Quotienten regul"arer lokaler Kringe an auf die Lokalisierung $A=\mathcal O_{k^n,p}=\mathcal O(k^n)_{\mathcal I(p)}$ des Polynomrings nach allen bei $p$ nicht verschwindenden Polynomen und seinen Quotienten $\mathcal O_{X,p}$ nach der Lokalisierung $I\pdef \mathcal I(X)_{\mathcal I(p)}$ des Verschwindungsideals von $X$. Das maximale Ideal von $\mathcal O_{k^n,p}$ notieren wir $\mathfrak m\subset A=\mathcal O_{k^n,p}$. Das Auswerten $f \mapsto (\op{grad} f) (p)$ des Gradienten an der Stelle $p$ liefert einen Vektorraumisomorphismus $$\mathfrak m/ \mathfrak m^2 \sira k^n$$ Ein regul"ares Parametersystem von $\mathcal O_{k^n,p}$ ist folglich dasselbe wie ein System von Funktionskeimen $f_1, \ldots, f_n \in \mathcal O_{k^n,p}$ mit $f_1 (p) = \ldots = f_n (p) =0$ derart, da"s ihre Gradienten bei $p$ eine Basis des $k^n$ bilden. Ist $\mathcal O_{X,p}=A/I$ regul"ar, so kann $I$ nach \ref{RLRH} erzeugt werden von einem Teil eines regul"aren Parametersystems, also von bei $p$ verschwindenden Funktionskeimen mit linear unabh"angigen Gradienten bei $p$. Beliebig gew"ahlte Repr"asentanten dieser Funktionskeime erzeugen dann auch $\mathcal I(X)_g$ f"ur eine geeignet dazu gew"ahlte Funktion $g\in k[T_1, \ldots, T_n]$ mit $g(p)\neq 0$. Damit ist $X$ extrinsisch glatt bei $p$. %\newpage Ist umgekehrt $X$ extrinsisch glatt bei $p$, so gibt es Funktionen $f_1,\ldots,f_s\in \mathcal O(k^n)$ mit bei $p$ linear unabh"angigen Gradienten und eine weitere regul"are Funktion $g\in \mathcal O(k^n)$ mit $g(p)\neq 0$ und $$X\cap \{g\neq 0\}\;\;=\;\; \mathcal Z(f_1,\ldots, f_s)\cap\{g\neq 0\}$$ Die $f_i$ m"ussen im lokalen Ring $A$ bei $p$ ein Primideal erzeugen, da der Quotient $A/\langle f_1,\ldots,f_s\rangle$ nach \ref{RLRH} ein regul"arer lokaler Ring und folglich nach \ref{RRIB} ein Integrit"atsring ist. Andererseits folgt aus unseren Annahmen $\mathcal I(X)_g=\sqrt{\langle f_1,\ldots, f_s\rangle_g}$ in der Lokalisierung $\mathcal O(k^n)_g$. Da das Bilden des Radikals nach "Ubung \ref{Lnrf} mit Lokalisierung vertauscht und da jedes Primideal sein eigenes Radikal ist, folgt $$ I=\sqrt{\langle f_1,\ldots, f_s\rangle}= \langle f_1,\ldots, f_s\rangle$$ Der Quotient von $A/I$ ist nun isomorph zum lokalen Ring $\mathcal O_{X,p}$ und damit ist dieser lokale Ring nach \ref{RLRH} regul"ar. \end{proof} \begin{Definition} Eine Variet"at hei"st {\bf glatt},\index{glatt!Variet"at} wenn sie an jeder Stelle glatt ist.\label{dglV} \end{Definition} %\newpage \begin{Korollar}[\textbf{Lokale Irreduzibilit"at bei glatten Stellen}] Ist der lokale Ring $\mathcal O_{X,x}$ einer bepunkteten affinen Variet"at $(X,x)$ regul"ar, so geht durch den Punkt $x$ nur genau eine irreduzible Komponente von $X$.\label{lIrr} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist jede glatte Variet"at die disjunkte Vereinigung ihrer irreduziblen Komponenten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ginge mehr als nur eine irreduzible Komponente von $X$ durch den Punkt $x$, so h"atte der lokale Ring $\mathcal O_{X,x}$ mehr als nur ein minimales Primideal. Dann w"are er aber kein Integrit"atsbereich und mithin nach \ref{RRIB} auch nicht regul"ar. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten mit lokalen Koordinaten}] Gegeben eine glatte Stelle $x$ einer affinen $k$-Variet"at $X $ und ein regul"ares Parametersystem $f_1,\ldots, f_d$ ihres lokalen Rings $\mathcal O_{X,x} $ werden die Funktionen $f_i$ bereits alle in einer offenen Umgebung $U\co X$ von $x$ definiert sein und folglich einen Morphismus $\varphi:U\ra k^d$ liefern. Im Gegensatz zur analogen Situation im Fall differenzierbarer Mannigfaltigkeiten wird diese Abbildung jedoch im allgemeinen auf keiner Zariski-offenen Umgebung $U$ von $x$ injektiv sein, und das f"ur jedes System lokaler Parameter. Es ist also im allgemeinen nicht m"oglich, im algebraischen Fall in der Zariskitopologie so etwas wie \glqq lokale Koordinatensysteme\grqq\ zu finden. Salopp gesprochen liegt die Schwierigkeit darin, da"s Zariski-offene Mengen einfach zu gro"s sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Variet"at verstehen wir unter einem {\bf System von Pseudokoordinaten}\index{Pseudokoordinaten} eine Familie von regul"aren Funktionen $f_1, \ldots, f_d$ mit der Eigenschaft, da"s an jeder Stelle $x\in X$ die Funktionen $f_i-f_i(x)$ ein regul"ares Parametersystem bilden. Mit den bis hierher erzielten "aquivalenten extrinsischen und intrinsischen Beschreibungen glatter Punkte sieht man leicht ein, da"s jedes regul"are Parametersystem an einem Punkt durch Restriktion\label{PseK} von einem System von Pseudokoordinaten auf einer irreduziblen offenen affinen Umgebung von besagtem Punkt herkommt. Weiter ist klar, da"s gegeben ein System von Pseudokoordinaten die Nullstellenmenge einer beliebigen Auswahl von $d$ unserer Pseudokoordinaten stets glatt ist und jede irreduzible Komponente eine um $d$ kleinere Dimension hat. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Kodimension von Schnittkomponenten in glatten Variet"aten}] Gegeben irreduzible abgeschlossene Teilmengen\label{KDSg} $X,Y\As W$ einer glatten "aquidimensionalen Variet"at $W$ gilt f"ur jede irreduzible Komponente $Z$ ihres Schnitts $X\cap Y$ die Absch"atzung\label{kfsg} $${\op{kdim}}( Z\subset W)\leq {\op{kdim}} (X\subset W) + {\op{kdim}} (Y\subset W)$$ \end{Satz} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnittkomponenten in singul"aren Variet"aten}] Ist $W$ glatt, so hat etwa jede Komponente des Schnitts zweier verschiedener irreduzibler Hyperfl"achen in $W$ die Kodimension zwei. Betrachten wir zum Beispiel zwei verschiedene affine Hyperebenen in $k^3$, so ist der Schnitt leer oder eine Gerade. Betrachten wir jedoch zwei disjunkte affine Hyperebenen in $k^3$ und w"ahlen aus jeder von ihren einen Punkt und konstruieren $W$ aus $k^3$ durch Verkleben dieser beiden Punkte, so treffen sich die Bilder unserer Hyperebenen nur in diesem einen verklebten Punkt. Das ist ein Gegenbeispiel f"ur $W$ nicht glatt. \end{Beispiel} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s $W$ irreduzibel und affin ist und da"s es darauf ein System $f_1,\ldots, f_n$ von \hyperref[PseK]{Pseudokoordinaten} gibt. Offensichtlich bilden dann die Funktionen $f_i\boxtimes 1-1\boxtimes f_i$ und $f_i\boxtimes 1$ ein System von Pseudokoordinaten auf $W\times W$. Betrachten wir den durch unsere Pseudokoordinaten gegebenen Morphismus $\varphi:W\ra k^n$, so ist das Urbild der Diagonale unter $\varphi\times \varphi:W\times W\ra k^n\times k^n$ glatt und "aqui-$n$-dimensional als Nullstellenmenge der ersten $n$ unserer Pseudokoordinaten. Mithin ist das Urbild der Diagonale die disjunkte Vereinigung seiner irreduziblen Komponenten und die Diagonale $\Delta_W\As W\times W$ ist notwendig eine dieser Komponenten. Nun ist aber $X\cap Y$ isomorph zu $(X\times Y)\cap\Delta_W$ und damit isomorph zu einer irreduziblen Komponente der Nullstellenmenge der $n$ Funktionen $f_i\boxtimes 1-1\boxtimes f_i$ auf $X\times Y$. So folgt die Behauptung aus unserer Absch"atzung \ref{KKHSn}. \end{proof} %\newpage %\newpage \begin{Satz}\label{glno} Jeder regul"are lokale Kring ist ganz abgeschlossen. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Man kann sogar zeigen, da"s jeder regul"are lokale Kring faktoriell ist. Beweise findet man etwa in \cite{Eis}, \cite{Stacks}. F"ur die lokalen Ringe von Variet"aten schreibe ich in \ref{lrvf} einen Beweis aus. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Sei $(A, \mathfrak m)$ unser regul"arer lokaler Kring. Sei $x \in {\op{Frac}} A$ ganz "uber $A$. Es gilt zu zeigen $x \in A$. Dazu schreiben wir $x = r/s$ mit $r, s \in A$ und $s \neq 0$. Da $x$ ganz ist "uber $A$, gibt es $n \in \mathbb N$ mit \begin{equation*} A [x] = A + Ax + \ldots + A x^n \end{equation*} Wir folgern $s^n x^m \in A$ f"ur alle $m \in \mathbb N$ und damit $r^m \in s^{m-n} A$ f"ur alle $m \in \mathbb N$. Nehmen wir zus"atzlich $r \neq 0$ an, so gibt es $i$ maximal mit $r \in \mathfrak m^i$ und wir haben $0 \neq \bar r \in \mathfrak m^i/ \mathfrak m^{i+1}$. Ebenso gibt es $j$ maximal mit $s \in \mathfrak m^j$ und wir haben $0 \neq \bar s \in \mathfrak m^j/ \mathfrak m^{j+1}$ und folgern, da"s $\bar s^{m-n}$ f"ur $m \geq n$ stets ein Teiler von $\bar r^m$ ist in $\op{gr}_{\mathfrak m} A$. Da dieser Ring jedoch nach \ref{RRIB} faktoriell ist, mu"s sogar $\bar s$ ein Teiler von $\bar r$ sein. Wir haben also $i\geq j$ und es gibt $a_1\in\mathfrak m^{i-j}\subset A$ und $r_1\in \mathfrak m^{i+1}$ mit $$r=a_1s+r_1$$ und das gilt sogar ohne die Annahme $r\neq 0$. Dann ist aber $r_1/s$ auch wieder ganz "uber $A$ und wir finden genauso $r_1=a_2s+r_2$ mit $a_2\in A$ und $r_2\in \mathfrak m^{i+2}$ und induktiv folgt \begin{equation*} r \;\in \; \bigcap^\infty_{\nu=1} (As + \mathfrak m^{i+\nu}) \end{equation*} Nach dem Durchschnittssatz von Krull \ref{spMm}, angewandt auf den Restklassenring $A/As$, folgt daraus aber sofort $r \in A s$ alias $x \in A$. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Differentielles Dominanzkriterium f"ur affine R"aume}] Seien $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $f\in k[T_1,\ldots, T_n]$ ein Polynom und $X\pdef k^n\backslash \mathcal Z(f)$ das Komplement seiner Nullstellenmenge und $\varphi :X\ra k^m$ ein Morphismus.\label{DiDoel} Induziert f"ur einen Punkt $x\in X$ der Komorphismus eine Injektion $\mathfrak m_{\varphi(x)} / \mathfrak m_{\varphi(x)}^2 \hookrightarrow \mathfrak m_x / \mathfrak m^2_x$, so umfa"st $\varphi(X)$ eine offene Teilmenge von $k^m$. \end{Satz*} \begin{Bemerkungw} Dieses Kriterium ist insbesondere in der Theorie der Liealgebren hilfreich. Im weiteren Verlauf dieser Vorlesung spielt es dahingegen keine Rolle. In der Sprache der Differentiale aus \eref{klDe}{AAG} besagt unserer Bedingung, da"s das Differential bei $x$ eine Surjektion ${\op{d}}_x \varphi : {\op{T}}_x X \twoheadrightarrow {\op{T}}_{y} Y$ sein soll. Eine Variante in dieser Sprache und in gr"o"serer Allgemeinheit zeigen wir in \eref{DiDo}{AAG}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir setzen $y\pdef \varphi(x)$. Offensichtlich folgt aus unserer Annahme, da"s unser Morphismus $\varphi$ eine Injektion $ {\op{gr}}_{\mathfrak m_{y}} \mathcal O_{Y,y} \hookrightarrow {\op{gr}}_{\mathfrak m_{x}} \mathcal O_{X,x} $ der assozierten graduierten Ringe induziert. Da unsere Filtrierungen aussch"opfend und Hausdorff sind, folgt mit \ref{Igr} die Injektivit"at $\mathcal O_{Y,y} \hookrightarrow \mathcal O_{X,x}$ des Komorphismus und unser Morphismus $\varphi$ ist dominant. Unser Satz folgt damit aus Korollar \ref{BMDnxa} "uber Bilder von Morphismen. \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Regularit"at und Glattheit in gr"o"serer Allgemeinheit}] Arbeitet man nicht mehr "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper, so ist das Analogon von Glattheit st"arker als Regularit"at. Sei genauer $k$ ein Kring.\label{RGA} Ein Kringhomomorphismus $k\ra A$ hei"st {\bf standardglatt}\index{standardglatt!Kringhomomorphismus}, wenn nat"urliche Zahlen $n\geq r\geq 0$ und Polynome $f_1,\ldots f_r\in k[T_1,\ldots,T_n]$ und ein Isomorphismus von $k$-Kringen $$k[T_1,\ldots,T_n]/\langle f_1,\ldots f_r\rangle \sira A$$ existieren derart, da"s das Bild von $\op{det}((\partial_j f_i)_{i,j=1}^r)$ in $A$ eine Einheit ist. Ein Kringhomomorphismus $k\ra A$ hei"st {\bf glatt}\index{glatt!Kringhomomorphismus}, wenn es Erzeuger $s,\ldots,t$ des Einsideals von $A$ gibt derart, da"s die Lokalisierungen $A_s,\ldots, A_t$ jeweils standardglatt sind "uber $k$. Ist $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $X\As k^n$ eine abgeschlossene Teilmenge, so sind nach unserem Korollar \ref{IBGl} "uber Regularit"at und Glattheit gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item Unsere Teilmenge $X\As k^n$ ist extrinsisch glatt an jeder Stelle $x\in X$; \item Alle lokalen Ringe $\mathcal O_{X,x}$ von $X$ sind regul"ar; \item Der Ring $\mathcal O(X)$ der regul"aren Funktionen auf $X$ ist ein glatter $k$-Kring. \end{enumerate} Arbeiten wir "uber nicht vollkommenen K"orpern $k$, so ist jedoch lokale Regularit"at schw"acher als Glattheit. Ist etwa $L/k$ eine endliche inseparable K"orpererweiterung, so ist $L$ ein regul"arer lokaler $k$-Kring, aber der Ringhomomorphismus $k\hra L$ ist nicht glatt. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$.\label{glof} Man zeige, da"s die glatten Stellen einer algebraischen Teilmenge $X\As k^n$ stets eine offene Teilmenge bilden. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Gegeben $p\in X\As k^n$ eine glatte Stelle einer algebraischen Teilmenge zeige man, da"s f"ur jedes System $x_1,\ldots, x_d$ von lokalen Parametern um $p$ der Ringhomomorphismus $k[T_1,\ldots,T_d]\ra \mathcal O_{X,p}$ zum lokalen Ring bei $p$ gegeben durch $T_i\mapsto x_i$ einen Isomorphismus\label{komPl} $$k\llbracket T_1,\ldots,T_d\rrbracket \ra \mathcal O_{X,p}^\wedge$$ zwischen dem Ring der formalen Potenzreihen und der Vervollst"andung des lokalen Rings von $X$ bei $p$ an seinem maximalen Ideal induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Algebraische Teilmengen in $\DC^n$ als Mannigfaltigkeiten}] Man zeige, da"s die glatten Stellen einer irreduziblen algebraischen Teilmenge $X\As \DC^n$ eine orientierbare Untermannigfaltigkeit des $\DC^n$ der Dimension $d=2\op{kdim}X$ von im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} und \eref{rPFf}{AN2} bilden, genauer sogar eine glatte Untermannigfaltigkeit\label{UVUM} im Sinne von \eref{glM}{ML}. Hinweis: \eref{MN}{AN2}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verschwindungsideale glatter Variet"aten}]$(k=\bar k)$. Sei $X\As k^n$ glatt in jedem Punkt und seien Polynome $f_1,\ldots, f_r\in \mathcal I(X)$ gegeben derart, da"s f"ur alle $x\in X$ gilt\label{KIU} $$\op{dim}_k\langle (\op{grad}f_1)(x),\ldots, (\op{grad}f_r)(x) \rangle_k+ \op{kdim}\mathcal O_{X,x}=n$$ So erzeugen die $f_i$ bereits das Verschwindungsideal von $X$, in Formeln ausgedr"uckt gilt also $\langle f_1,\ldots, f_r\rangle=\cal I(X)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}$(k=\bar k)$. Man zeige, da"s die Matrizen $M\in{\op{Mat}}(3;k)$ vom Rang $\leq 1$ eine irreduzible algebraische Teilmenge des $k^{9}$ der Dimension $5$ bilden. Man bestimme Erzeuger ihres Verschwindungsideals. Hinweis: \ref{KIU}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokale Multiplizit"aten}] Sei $(A,\mathfrak m)$ ein regul"arer lokaler Kring einer Krulldimension $d\geq 1$.\label{multth} Gegeben $f\in A\backslash 0$ und $r$ maximal mit $f\in\mathfrak m^{r}$ zeige man $\op{hdim}(A/Af) rs$ und a forteriori $\op{l}(A/\langle f,g\rangle)> rs$. \end{Ubung} \begin{Beispiel}[\textbf{Feinere Aussagen zur Schnittmultiplizit"at}] $(k=\bar k)$. Ist speziell $X=k^2$ die Ebene und $x=0$ der Ursprung und sind $f,g\in k[T,S]\backslash 0$ teilerfremde Polynome und $\bar f,\bar g$ deren von Null verschiedene homogene Komponenten kleinstm"oglichen Grades und\label{fASb} $r$ sowie $s$ deren Grade, so gilt $\op{dim}_k(\mathcal O_{X,x}/\langle f,g\rangle) \geq rs$ mit Gleichheit genau dann, wenn $\bar f$ und $\bar g$ auch ihrerseits teilerfremd sind. \end{Beispiel} \subsection{Birationale "Aquivalenz} \begin{Definition} Zwei irreduzible $k$-Variet"aten, deren Funktionenk"orper als K"or\-per\-er\-wei\-te\-rung\-en von $k$ isomorph sind, hei"sen {\bf birational "aquivalent}.\index{birational!"aquivalent} \end{Definition} \begin{Definition} Ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ von irreduziblen $k$-Variet"aten hei"st {\bf birational},\index{birational!Morphismus} wenn er dominant ist und einen Isomorphismus $\mathcal M(Y)\sira \mathcal M(X)$ induziert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben irreduzible $k$-Variet"aten $X,Y$ und zwischen ihren Funktionenk"orpern ein K"orperisomorphismus $\mathcal M(X)\sira \mathcal M(Y)$ "uber $k$ gibt es nichtleere offene affine Teilmengen $U\co X$ und $V\co Y$ sowie einen Isomorphismus von $k$-Variet"aten $V\sira U$ derart, da"s die zugeh"origen Ringhomomorphismen unseren K"orperisomorphismus erg"anzen zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal O(U)\ar[r]^{\sim}\ar[d] &\mathcal{O}(V)\ar[d] \\ \mathcal M(X)\ar[r]^{\sim} &\mathcal M(Y) } \end{displaymath} In der Tat d"urfen wir $X$ und $Y$ affin annehmen. Bezeichne $A,B\subset \mathcal M\pdef \mathcal M(Y)$ die Bilder von von $\mathcal O(X)$ und $\mathcal O(Y)$. Alle Lokalisierungen dieser Integrit"atsbereiche nach von Null verschiedenen Elementen identifizieren wir stillschweigend mit ihren Bildern in $\mathcal M$. Da $B$ ringendlich ist "uber $k$, gibt es $f\in A\backslash 0$ mit $A[f^{-1}]\supset B$. Ebenso gibt es $g\in B\backslash 0$ mit $B[g^{-1}]\supset A$. Wir haben also $A[f^{-1},g^{-1}]=B[f^{-1},g^{-1}]$ und k"onnen $U=(X_f)_g$ und $V=(Y_g)_f$ nehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Jede irreduzible $k$-Variet"at ist birational "aquivalent zu einer irreduziblen Hyperfl"ache, also zur Nullstellenmenge eines einzigen irreduziblen Polynoms in einem $k^s$.\label{IVHF} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis unter der Annahme $\op{char}k=0$] Sei $X$ unsere Variet"at. Ohne Be\-schr"an\-kung der Allgemeinheit sei $X$ affin. Wir setzen $\mathcal O(X)\pdef A$. Sicher finden wir eine Noether-Normali\-sie\-rung $k['x_1,\ldots, x_n]\subset A$, so da"s also $A$ ganz ist "uber diesem Polynomring. Gehen wir zu den Bruchk"orpern "uber, so erhalten wir eine modulendliche K"orpererweiterung, und diese mu"s nach \eref{PE}{AL} und wegen unserer Annahme der Charakteristik Null ein primitives Element $r\in\op{Frac}\!A$ besitzen. Der Ring $B\pdef k[x_1,\ldots, x_n, r]\subset \op{Frac}\!A$ hat also denselben Bruchk"orper wie $A$. Andererseits ist $B$ ein Integrit"atsbereich und ein Quotient des Polynomrings in $n+1$ Variablen von der Krulldimension $n$, mithin nach \ref{KKHSsds} der Quotient nach dem von einem irreduziblen Polynom erzeugten Hauptideal. \end{proof} \begin{proof}[Beweis im Allgemeinen] Sei $X$ unsere Variet"at. Sei $\mathcal M(X)$ ihr Funktionenk"orper. Da $\mathcal M(X)/k$ k"orperendlich ist und $k$ vollkommen, gibt es nach \eref{DkK}{AAG} algebraisch unabh"angige $x_1,\ldots,x_n\in \mathcal M(X)$ derart, da"s $\mathcal M(X)$ separabel ist "uber $k(x_1,\ldots,x_n)$. Nun kann der Beweis wie zuvor zu Ende gef"uhrt werden. \end{proof} \begin{Proposition} Die glatten Stellen einer algebraischen Teilmenge $X\As k^n$ bilden stets eine offene dichte Teilmenge.\label{gSod} Dasselbe gilt f"ur die glatten Stellen einer beliebigen Variet"at. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Der Beweis basiert auf \ref{IVHF}. Das Argument ist deshalb vorerst nur f"ur $\op{char}k=0$ vollst"andig und ben"otigt im allgemeinen \eref{DkK}{AAG}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $X\As k^n$ irreduzibel. Da"s die Teilmenge der glatten Stellen offen ist, wissen wir schon aus "Ubung \ref{glof}. Es bleibt zu zeigen, da"s sie nicht leer ist. Nach \ref{IVHF} d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $X$ die Nullstellenmenge eines einzigen irreduziblen Polynoms $P$ ist. Verschwindet eine partielle Ableitung $\partial_iP$ unseres Polynoms auf ganz $X$, so mu"s von $P$ geteilt werden und folglich das Nullpolynom sein. Es ist jedoch unm"oglich, da"s alle partiellen $\partial_iP$ Ableitungen Null sind: In Charakteristik Null, da unser Polynom ja nicht konstant sein kann; In Charakteristik $p$, da unser Polynom dann, wenn es nicht konstant w"are, eine $p$-te Potenz eines anderen Polynoms sein m"u"ste und wieder nicht irreduzibel sein k"onnte. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplex-algebraische Mengen als verklebte Mannigfaltigkeiten}] Zusammen mit \ref{glof} liefert \ref{gSod} induktiv, da"s jede algebraische Teilmenge $X\As \DC^n$ eine Folge von Zariski-abgeschlossenen Teilmengen $$X=X_d\supset X_{d-1}\supset\ldots\supset X_0$$ besitzt derart, da"s $X_i\backslash X_{i-1}$ jeweils eine Untermannigfaltigkeit des $\DC^n$ der reellen Dimension $2i$ im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} ist. Genauer k"onnen wir derartige Mengen induktiv finden, indem wir als $X_{i-1}$ die Menge aller nicht regul"aren Stellen von $X_i$ vereinigt mit allen irreduziblen Komponenten von $X_i$ einer Krulldimension $\beta_1r(1)+\ldots +\beta_{n-1}r(n-1)+\beta_n$$ f"ur $1\leq i\beta_{i+1}r(i+1)+\ldots +\beta_{n-1}r(n-1)+\beta_n$. Das k"onnen wir aber leicht erreichen, indem wir zuerst $r(n-1)$ w"ahlen, dann $r(n-2)$ und so weiter. \end{proof} \begin{Satz} Potenzreihenringe in endlich vielen Variablen "uber einem K"orper sind stets faktoriell.\label{tmV} \end{Satz} \begin{proof} Nach \ref{HiBaaR} sind unsere Ringe noethersch, also besitzt mit demselben Argument, wie wir es in \eref{HIRF}{AL} im Fall von Hauptidealringen gegeben haben, jedes Element eine Darstellung als Produkt irreduzibler Elemente. Sei nun $k$ unser Grundk"orper. Mit Induktion d"urfen wir annehmen, da"s wir bereits wissen, da"s der Potenzreihenring $R$ "uber $k$ in allen Variablen au"ser der letzten faktoriell ist. Es bleibt zu zeigen, da"s jede irreduzible %regul"are Potenzreihe $P\in R\llbracket X\rrbracket$ ein Primelement ist. Teile also $P$ ein Produkt $AB$, sagen wir $PQ=AB$. Es gilt zu zeigen, da"s $P$ einen der Faktoren teilt. Wir d"urfen $AB\neq 0$ annehmen und nach \ref{AutPR} d"urfen wir auch annehmen, da"s $AB$ regul"ar ist. Dann sind nach \ref{PrFr} notwendig $P,Q,A,B$ alle regul"ar. Indem wir unsere Potenzreihen um Einheiten ab"andern, d"urfen wir mit \ref{tmU} annehmen, da"s $A,B$ und $P$ Weierstra"spolynome sind. Dann ist aber nach \ref{tmT} auch $Q$ ein Weierstra"spolynom und wir finden $PQ=AB$ mit $P,Q,A,B\in R[X]$. Mit $R$ ist aber nach \eref{PFR}{AL} auch der Polynomring $R[X]$ faktoriell, folglich teilt $P$ entweder $A$ oder $B$. \end{proof} \begin{Proposition} Seien $A\subset \hat A$ noethersche lokale Kringe. F"ur die maximalen Ideale $\mathfrak m , \hat{\mathfrak m}$ gelte $\langle\mathfrak m\hat A\rangle=\hat{\mathfrak m}$ sowie $\hat{\mathfrak m}^n\cap A={\mathfrak m}^n$ und $\hat{\mathfrak m}^n+ A=\hat A$ jeweils f"ur alle $n\in\DN$. Ist unter diesen Annahmen $\hat A$ faktoriell, so auch $A$.\label{vvF} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Hier und im folgenden meint $\langle \;\rangle$ stets das Erzeugnis als additive Untergruppe und Verkn"upfungssymbole zwischen Teilmengen einer Menge mit Verkn"upfung meinen die auf der Potenzmenge induzierte Verkn"upfung. Nur bei Potenzen von Idealen erlauben wir uns die abk"urzende Schreibweise ${\mathfrak b}^n$ f"ur das Ideal, das wir nach obigen Konventionen eigentlich $\langle {\mathfrak b}^n\rangle$ notieren m"u"sten. Produkte von Idealen schreiben wir dahingegen aus als die von allen Produkten $ab$ mit $a\in\mathfrak a$ und $b\in\mathfrak b$ erzeugte additive Untergruppe $\langle\mathfrak a\;\!\mathfrak b\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Aus unseren Annahmen folgt insbesondere $A/\mathfrak m^n\sira \hat A/\hat {\mathfrak m}^n$. Als erstes zeigen wir nun f"ur jedes Ideal $\mathfrak a\subset A$ die Identit"at $$\langle \mathfrak a \hat A\rangle\cap A=\mathfrak a$$ Nur die Inklusion $\langle \mathfrak a \hat A\rangle\cap A\subset \mathfrak a$ ist nicht a priori klar. Aus unseren Annahmen folgt erst $\langle \mathfrak a \hat A\rangle\subset \mathfrak a +\hat{\mathfrak m}^n$ f"ur alle $n$ und dann $\langle \mathfrak a \hat A\rangle\cap A\subset\mathfrak a +\mathfrak m^n$ f"ur alle $n$. Mit dem Krull'schen Durchschnittssatz oder vielmehr seinem Korollar \ref{spMm} folgt dann auch die a priori nicht offensichtliche Inklusion. Insbesondere folgt aus $a=\gamma b$ mit $a,b\in A\backslash 0$ und $\gamma\in \hat A$ bereits $\gamma\in A$. Jetzt m"ussen wir nur noch zeigen, da"s je zwei in $A$ teilerfremde Elemente $a,b\in A\backslash 0$ auch in $\hat A$ teilerfremd bleiben. Daraus zusammen mit der Faktorialit"at von $\hat A$ k"onnen wir n"amlich unschwer ableiten, da"s ein irreduzibles Element von $A$ nur dann ein Produkt teilen kann, wenn es einen der Faktoren teilt. Wir f"uhren dazu die umgekehrte Annahme zum Widerspruch, es gebe $\alpha,\beta,\gamma\in\hat A$ mit $a=\alpha\gamma$ und $b=\beta\gamma$ und $\gamma\not\in \hat A^\times$ und $\alpha,\beta$ teilerfremd. Zun"achst einmal haben wir $\alpha\not\in \hat A^\times$, sonst h"atten wir ja $a|b$ in $\hat A$ und damit auch in $A$. Nach dem dem Krull'schen Durchschnittssatz oder vielmehr seinem Korollar \ref{spMm} finden wir nun $n\geq 1$ mit $\alpha\in \hat{\mathfrak m}^{n-1}\backslash\hat{\mathfrak m}^{n}$. Jetzt finden wir $x, y\in A$ und $\varepsilon,\eta\in \hat{\mathfrak m}^{n}$ mit $\alpha=x+\varepsilon$ und $\beta=y+\eta$. Die Identit"at $a\beta=b\alpha$ liefert $a(y+\eta)=b(x+\varepsilon)$ und damit f"ur $\mathfrak a\pdef \langle a,b\rangle_A$ das von $a$ und $b$ in $A$ erzeugte Ideal $$ay-bx\in \langle\mathfrak a\;\!\hat{\mathfrak m}^n\rangle\cap A= \langle\langle\mathfrak a\;\!{\mathfrak m}^n\rangle\hat A\rangle\cap A=\langle\mathfrak a\;\!{\mathfrak m}^n\rangle$$ Wir finden mithin $s,t\in\mathfrak m^n$ mit $ay-bx=bt-as$ alias $a(y+s)=b(x+t)$ und damit auch $\alpha(y+s)=\beta(x+t)$. Da wir $\alpha,\beta$ teilfremd angenommen hatten, gibt es $\lambda\in\hat A$ mit $\lambda\alpha=(x+t)$. Wir wissen aber aus unseren Konstruktionen, da"s $\alpha$ und $(x+t)$ zu $\hat{\mathfrak m}^{n-1}\backslash\hat{\mathfrak m}^{n}$ geh"oren. Es folgt $\lambda\not\in \hat{\mathfrak m}$ alias $\lambda\in \hat{A}^\times$. Damit aber k"onnen wir unsere Ausgangsgleichung umschreiben zu $a=(\alpha\lambda)(\lambda^{-1}\gamma)$ mit $\alpha\lambda=(x+t)\in A$ und folglich $\lambda^{-1}\gamma\in A$. Dann aber ist $\lambda^{-1}\gamma$ ein gemeinsamer Teiler von $a$ und $b$ in $A$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Korollar} Der lokale Ring einer affinen Variet"at an einem glatten Punkt ist stets faktoriell.\label{lrvf} \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{IBGl} sind unsere lokalen Ringe regul"ar. Aus \ref{RRIB} und folgt, da"s ihre Vervollst"andigungen Ringe von Potenzreihen in endlich vielen Variablen sind und da"s die Einbettungen unserer lokalen Ringe in ihre Vervollst"andigungen die Annahmen in unserer Proposition \ref{vvF} erf"ullen. Nach \ref{tmV} sind diese Potenzreihenringe faktoriell und nach \ref{vvF} erben unsere lokalen Ringe diese Eigenschaft von den Potenzreihenringen. \end{proof} \nichtfinal{Jetzt w"are eine gute Anwendung, "uber Divisoren und Geradenb"undel auf glatten Variet"aten (Pr"avariet"aten?) zu sprechen.} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}%\nichtfinal{Wohl unn"otig.} Gegeben $(R,\mathfrak m)$ ein vollst"andiger Hausdorffscher lokaler Kring\label{tmL} bleibt ein Weierstra"spolynom, das in $R[X]$ irreduzibel ist, irreduzibel in $R\llbracket X\rrbracket$. % \begin{proof} % Sei $P$ ein Weierstra"spolynom. Gegeben eine Faktorisierung % $P=AB$ in $R\llbracket X\rrbracket$ m"ussen $A$ und $B$ zumindest % regul"ar sein. Nun finden wir eine % Einheit $U\in R\llbracket X\rrbracket^\times$ % derart, da"s $AU$ ein Weierstra"spolynom ist. Dann mu"s aber auch % $U^{-1}B$ ein Polynom sein. % \end{proof} \end{Ubunge} \begin{Ubunge}%\nichtfinal{Wohl unn"otig.} Gegeben $(R,\mathfrak m)$ ein kommutativer lokaler Integrit"atsbereich\label{tmN} ist jedes Weierstra"spolynom ein Produkt von irreduziblen Weierstra"spolynomen. % \begin{proof} % Jedes normierte Polynom mit Koeffizienten in einem % kommutativen Integrit"atsbereich ist ein Produkt von % irreduziblen normierten Polynomen. % Wird weiter unser Polynom unter der Reduktion der Koeffizienten % mit $R\ra R/\mathfrak m$ zu einem Polynom der Gestalt $X^n$, so % gilt dasselbe f"ur seine Faktoren. % \end{proof} \end{Ubunge} \newpage \section{Eindimensionale Variet"aten} \subsection{Diskrete Bewertungsringe} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir noethersche Kringe der Krulldimension Null bereits in \ref{NRKO} untersucht hatten und insbesondere wissen, da"s nilpotentfreie derartige Ring endliche Produkte von K"orpern sind und da"s alle Variet"aten der Krulldimension Null endliche Mengen sind mit der diskreten Topologie und allen Funktionen als regul"aren Funktionen. Der Fall von noetherschen Kringen der Krulldimension Eins und Variet"aten der Krulldimension Eins ist schon sehr viel reichhaltiger, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Wir beginnen mit regul"aren lokalen Kringen der Krulldimension Eins. Satz \ref{dBr} wird uns sagen, da"s sie genau die diskreten Bewertungsringe sind, wie sie in \ref{ddBB} eingef"uhrt werden. Aber jetzt f"uhren wir erst einmal die diskreten Bewertungen selber ein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf diskrete Bewertung}\index{diskret!Bewertung}\index{Bewertung!diskrete} %englisch {\bf discrete %valuation},\index{discrete!valuation}\index{valuation!discrete} auf einem K"orper $K$ ist ein surjektiver\label{diBe} Gruppenhomomorphismus $ v : K^\times \sra \mathbb Z $ mit der Eigenschaft, da"s f"ur seine Ausdehnung durch $v (0) \pdef \infty$ zu einer Abbildung $v : K \sra \mathbb Z \amalg \{\infty\}$ gilt \begin{equation*} v (x + y) \geq \op{min} (v (x), v(y))\quad\text{ f"ur alle } x,y \in K. \end{equation*} Ein {\bf diskret bewerteter K"orper $(K,v)$} ist ein K"orper $K$ mit einer ausgezeichneten diskreten Bewertung $v$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Indiskrete Bewertungen}] Allgemein versteht man unter einer {\bf Anordnung einer abelschen Gruppe}\index{Anordnung!einer abelschen Gruppe} $\Gamma$ eine Anordnung der zugrundeliegenden Menge mit der Eigenschaft $a\leq b\RA (a+c)\leq (b+c)$ f"ur alle $a,b,c\in\Gamma$. Dann erkl"art man eine {\bf Bewertung}\index{Bewertung} auf einem K"orper $K$ als einen surjektiven Gruppenhomomorphismus $ v : K^\times \sra \Gamma $ in eine angeordnete abelsche Gruppe mit der Eigenschaft, da"s f"ur seine Ausdehnung durch $v (0) \pdef \infty$ zu einer Abbildung $v : K \sra \Gamma \amalg \{\infty\}$ gilt $v (x + y) \geq \op{min} (v (x), v(y))$ f"ur alle $ x,y \in K$. \end{Bemerkunge} %\newpage \begin{Beispiel}[\textbf{Bewertung von Laurentreihen}] Auf dem K"orper der formalen Laurent\-reihen $ k (\!(t)\!)$ "uber einem beliebigen K"orper $k$ erhalten wir eine diskrete Bewertung durch die Vorschrift\label{BewL} \begin{equation*} v \left(\sum a_n t^n \right) = \inf \{ n \mid a_n \neq 0\} \end{equation*} \end{Beispiel} %\newpage \begin{Beispiel}[\textbf{Bewertungen rationaler Funktionen}] Auf dem K"orper der rationalen Funktionen $ k (T)$ "uber einem beliebigen K"orper $k$ liefert jedes Element $p\in k$ eine diskrete Bewertung $v_p$ vermittels der Vorschrift \begin{equation*} v_p (f) = \op{sup} \{ n\in \mathbb Z \mid (T -p)^{-n} f \text{ hat bei } p \text{ keine Polstelle}\} \end{equation*} Eine positive Bewertung $v_p (f)>0$ bedeutet in diesem Fall also, da"s $f$ bei $p$ eine Nullstelle hat; eine negative Bewertung $v_p (f)<0$, da"s $f$ bei $p$ eine Polstelle hat; und die Bewertung $v_p (f)=\infty$ hat nur die Nullfunktion. F"ur die durch die Entwicklung in eine Laurentreihe um $p$ gegebene Einbettung $\mathbb C (T) \hookrightarrow \mathbb C (\!(t)\!)$ ist diese Bewertung $v_p$ offensichtlich gerade die Einschr"ankung unserer Bewertung $v$ von oben. Auf dem K"orper der rationalen Funktionen $ k (T)$ "uber einem beliebigen K"orper $k$ k"onnen wir zus"atzlich die diskrete Bewertung $v_\infty$ erkl"aren durch die Vorschrift\label{GrB} $$v_\infty(P/Q)=(\op{grad} Q)-(\op{grad} P)$$ f"ur beliebige von Null verschiedene Polynome $P,Q\in k[T]$ und $v_\infty(0)=\infty$. Im Rahmen der algebraischen Geometrie mag man sich $ k (T)$ als Funktionen auf der projektiven Gerade denken, und diese Bewertung $v_\infty$ beschreibt dann die Null- beziehungsweise Polstellenordnung am unendlich fernen Punkt. \end{Beispiel} %\newpage \begin{Bemerkunge}[\textbf{Bewertungen meromorpher Funktionen}] Typisch ist auch das Beispiel \eref{Bew}{FT1} des K"orpers $ \mathcal M^{\op{an}} (X)$ der meromorphen Funktionen auf einer zusammenh"angenden offenen Teilmenge $X \co \mathbb C$ oder allgemeiner einer zusammenh"angenden Riemann'schen Fl"ache $X$. In diesem Fall liefert jeder Punkt $p \in X$ eine diskrete Bewertung $ v_p : \mathcal M^{\op{an}} (X) \rightarrow \mathbb Z $ durch die Vorschrift \begin{equation*} v_p (f) = \op{sup} \{ n\in \mathbb Z \mid (z -p)^{-n} f \text{ ist holomorph bei } p \} \end{equation*} Eine positive Bewertung $v_p (f)>0$ bedeutet in diesem Fall also, da"s $f$ bei $p$ eine Nullstelle hat; eine negative Bewertung $v_p (f)<0$, da"s $f$ bei $p$ eine Polstelle hat; und die Bewertung $v_p (f)=\infty$ hat nur die Nullfunktion. F"ur die durch die Entwicklung in eine Laurentreihe um $p$ gegebene Einbettung $\mathcal M^{\op{an}} (X) \hookrightarrow \mathbb C (\!(t)\!)$ ist diese Bewertung $v_p$ die Einschr"ankung unserer Bewertung $v$ aus dem vorhergehenden Beispiel \ref{BewL}. Unter unserem K"orperisomorphismus $ \mathcal M^{\op{an}} (\DP^1\DC) \sira\mathbb C (T) $ aus \eref{MP1}{FT1} entspricht dann die Bewertung $v_\infty$ links, die die Pol- beziehungsweise Nullstellenordnung einer meromorphen Funktion an der Stelle $\infty\in\DP^1\DC$ angibt, der \glqq Grad-Bewertung\grqq\ $v_\infty$ aus \ref{GrB} auf $\DC(T)$. Im "ubrigen kann man zeigen, da"s f"ur jede zusammenh"angende kompakte Riemann'sche Fl"ache $X$ die Zuordnung $p\mapsto v_p$ eine Bijektion zwischen der Menge aller Punkte von $X$ und der Menge aller diskreten Bewertungen des K"orpers $\mathcal M^{\op{an}} (X)$ liefert, vergleiche etwa \ref{??}. \end{Bemerkunge} %\newpage \begin{Beispiel}[\textbf{Bewertungen rationaler Zahlen}] Typisch ist schlie"slich das Beispiel des K"orpers der rationalen Zahlen $\DQ$. In diesem Fall liefert jede Primzahl $p$ eine diskrete Bewertung $v_p$ auf $\DQ$ durch die Vorschrift, da"s f"ur $a,b\in\DZ\backslash 0$ teilerfremd zu $p$ gilt \begin{equation*} v_p(p^n a/b) = n \end{equation*} In derselben Weise definiert jedes irreduzible Element eines faktoriellen Ringes eine diskrete Bewertung seines Bruchk"orpers. Im Spezialfall des Polynomrings $\DC[T]$ "uber $\DC$ erhalten wir so genau die in \ref{GrB} betrachteten diskreten Bewertungen auf $\DC(T)$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein {\bf diskreter Bewertungsring}\index{diskret!Bewertungsring} ist ein kommutativer Integrit"atsring mit der Eigenschaft, da"s es auf seinem Bruchk"orper eine diskrete Bewertung \ref{diBe} gibt, f"ur die unser\label{ddBB} Integrit"atsring gerade aus allen Elementen mit nichtnegativer Bewertung besteht. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir werden gleich sehen, da"s die fragliche diskrete Bewertung auf dem Bruchk"orper in Definition \ref{ddBB} durch den besagten Integrit"atsring bereits eindeutig bestimmt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Der Ring der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in einem K"orper ist ein diskreter Bewertungsring. Der Ring der Potenzreihen mit komplexen oder auch reellen Koeffizienten und positivem Kovergenzradius ist ein diskreter Bewertungsring. \end{Beispiele} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDBW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Der lokale Ring einer affinen Variet"at an einem Punkt ist genau dann ein diskreter Bewertungsring, wenn durch ihn nur eine Komponente der Variet"at geht, wenn diese Komponente dar"uber hinaus die Dimension Eins hat und wenn schlie"slich unser Punkt darin eine glatte Stelle ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{lrl}, da"s ein lokaler Kring $(A,\mathfrak m)$ regul"ar hei"st, wenn er noe\-thersch ist und wenn gilt $\dim_{A/\frak m} (\frak m /\frak m^2) = \op{kdim} A$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Charakterisierungen diskreter Bewertungsringe}] Gegeben ein Kring sind gleichbedeutend:\label{dBr} \begin{enumerate} \item Unser Kring ist ein diskreter Bewertungsring; \item Unser Kring ist ein Hauptidealring mit genau zwei Primidealen; \item Unser Kring ist lokal und regul"ar von der Krulldimension Eins; \item Unser Kring ist ein ganz abgeschlossener noetherscher lokaler Integrit"atsring der Krulldimension Eins.\label{dBr4} \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Beispiele} Der lokale Ring beim verklebten Punkt derjenigen komplexen algebraischen Variet"at, die aus $\DC$ entsteht durch das Verkleben zweier verschiedener Punkte, ist ein lokaler noetherscher kommutativer Integrit"atsbereich der Krulldimension Eins, ist aber eben nicht ganz abgeschlossen und mithin auch kein diskreter Bewertungsring. Dasselbe gilt f"ur den lokalen Ring der Neil'schen Parabel an ihrer Spitze. \end{Beispiele} \begin{proof} $1 \Rightarrow 2$. Sei $A$ unser Bewertungsring und $v : {\op{Frac}} A \twoheadrightarrow \DZ\sqcup \{\infty\}$ eine diskrete Bewertung mit $A = \{ q \in {\op{Frac}} A \mid v (q) \geq 0\}$. Offensichtlich sind dann die Einheiten $A^\times = \{a \in A \mid v (a) = 0 \}$ genau die Elemente mit der Bewertung Null und das Komplement $\mathfrak m := A \backslash A^\times =\{ a \in A \mid v (a) > 0\}$ ist ein Ideal von $A$, notwendig das einzige maximale Ideal. Da wir $v$ surjektiv annehmen, gibt es $t \in \mathfrak m$ mit $v (t) =1$. F"ur jedes solche $t$ folgt sofort $\mathfrak m = At$. Jedes derartige Element $t$ hei"st im "ubrigen eine {\bf Uniformisierende}\index{Uniformisierende} unseres diskreten Bewertungsrings. Gegeben ein Ideal $\mathfrak a \subset A$ ungleich Null sei $a \in \mathfrak a$ gegeben mit $i = v (a)$ kleinstm"oglich. Es folgt sofort $\mathfrak a = A t^i = \mathfrak m^i$ und $A$ ist in der Tat ein Hauptidealring mit genau einem Primideal ungleich Null. Nebenbei sehen wir auch, da"s f"ur $a \in A$ gilt $v(a) = \sup \{i \mid a \in \mathfrak m^i\}$ und da"s so die Bewertung $v$ schon durch den Teilring $A\subset \op{Frac}A$ eindeutig festgelegt wird. \\[2mm]\noindent $2 \Rightarrow 1$. Nach \eref{HIRF}{AL} ist unser Hauptidealring $A$ faktoriell und hat bis auf Einheiten genau ein irreduzibles Element $t$. Jede Wahl von $t$ liefert also eine Bijektion $A^\times \times \mathbb N \sira A \backslash 0,$ $(u,i) \mapsto ut^i$ und dann auch eine Bijektion $A^\times \times \mathbb Z \sira ({\op{Frac}} A)^\times$, gegeben durch dieselben Formel $(u,i) \mapsto u t^i$. Eine m"ogliche Bewertung wird dann gegeben durch $v (ut^i) =i$ und $v (0) = \infty$. \\[2mm]\noindent $2 \Rightarrow 3$. Das folgt unmittelbar aus den Definitionen. \\[2mm]\noindent $3 \Rightarrow 2$. Gegeben ein regul"arer lokaler Ring $(A,\mathfrak m)$ der Krulldimension Eins wissen wir aus \ref{RRIB} um die Existenz einer Fortsetzung der Identit"at auf $A/\mathfrak m$ zu einem Isomorphismus von graduierten Ringen $$(A/\mathfrak m)[X]\sira \op{gr}_{\mathfrak m}A$$ Insbesondere sind die Subquotienten $\mathfrak m^i/ \mathfrak m^{i+1}$ f"ur alle $i\geq 0$ einfach und es folgt, da"s jeder echte Untermodul von $\mathfrak m^i$ bereits in $\mathfrak m^{i+1}$ enthalten sein mu"s. Nach dem Krull'schen Durchschnittssatz \ref{spMm} sind also die $\mathfrak m^i$ alle von Null verschiedenen Ideale und mit Nakayama sieht mal leicht $\mathfrak m^i=\langle t^i\rangle$ f"ur jeden Erzeuger $t$ von $\mathfrak m$. \\[2mm]\noindent $ 2 \Rightarrow 4$. Das folgt, da jeder Hauptidealring faktoriell und damit ganz abgeschlossen ist. \\[2mm]\noindent $4 \Rightarrow 3$. Es gilt zu zeigen, da"s das das maximale Ideal $\mathfrak m \subset A$ ein Hauptideal ist. Da die Krulldimension Eins ist, kann $\mathfrak m$ nicht das Nullideal sein. Sei nun $a \in \mathfrak m$ mit $a \neq 0$ gew"ahlt. Nach der Beschreibung \ref{SPI}%\ref{PMP} des Radikals eines Ideals als Schnitt der dar"uberliegenden Primideale und da die Krulldimension Eins ist, gilt $\sqrt{\langle a \rangle} = \mathfrak m$. Da $\mathfrak m$ endlich erzeugt ist, folgt $ \mathfrak m^n \subset \langle a \rangle$ f"ur $n \gg 0$. Sei $n \geq 1$ minimal mit $ \mathfrak m^n \subset \langle a \rangle$ und sei $b \in \mathfrak m^{n-1} \backslash \langle a \rangle$. So haben wir $y \pdef b/a \in ({\op{Frac}}A)\backslash A$ und folglich $y \mathfrak m \not\subset \mathfrak m$, da sonst $A[y]$ und damit $y$ nach \ref{EADF} angewandt auf den treuen $A[y]$-Modul $\mathfrak m$ ganz sein m"u"ste "uber $A$. Andererseits gilt nach Konstruktion $b\mathfrak m\subset \mathfrak m^n\subset \langle a\rangle$ und mithin $y \mathfrak m \subset A$, also $y\mathfrak m = A$ als einziges Ideal von $A$, das nicht in $\mathfrak m$ enthalten ist. Damit ist $\mathfrak m $ das Hauptideal erzeugt von $x \pdef y^{-1}$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Bewertungen zu glatten Stellen von Kurven}] Gegeben $X$ eine Kurve "uber $k=\bar k$ und $x\in X$ ein glatter Punkt ist der Ring $\mathcal O_{X,x}$ der regul"aren Funktionskeime ein diskreter Bewertungsring und f"ur die zugeh"orige Bewertung $v=v_x$ gilt $$v_x(f)= \op{dim}_k\mathcal O_{X,x}/\langle f\rangle\quad\forall f\in \mathcal O_{X,x} $$ \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt sofort aus unserer Charakterisierung \ref{dBr} diskreter Bewertungsringe und der "Aquivalenz \ref{IBGl} von Glattheit und Regularit"at f"ur Variet"aten, die ja bei uns stets "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper definiert sind. Diese "Aquivalenz h"atten wir noch nicht einmal gebraucht, wenn wir im Korollar gefordert h"atten, da"s $x$ ein regul"arer Punkt ist, aber diese in unserem Kontext "aquivalente Forderung wirkt weniger geometrisch. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $(X,x)$ ein Kurve mit einem glatten Punkt und $f\in\mathcal O_{X,x}$ nennen wir $v_x(f)$ die {\bf Nullstellenordnung von $f$ an der Stelle $x$}.\index{Nullstellenordnung!an glattem Punkt von Kurve} Ist $X$ irreduzibel, so nennen wir f"ur $f\in\mathcal M(X)\backslash \mathcal O_{X,x}$ das Negative $-v_x(f)$ seiner Bewertung die {\bf Polstellenordnung von $f$ an der Stelle $x$}.\index{Polstellenordnung!an glattem Punkt von Kurve} Es ist klar, da"s im Fall der Gerade $X=k$ die in \eref{Nsto}{LA1} beziehungsweise \eref{DRFn}{LA1} erkl"arte Nullstellenordnung beziehungsweise Polstellenordnung mit den hier erkl"arten Begriffen zusammenf"allt. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition*}[\textbf{Definitionsl"ucken durch Polstellen}] Seien $X$ eine irreduzible $k$-Variet"at,\label{DefLL} $x \in X$ ein Punkt mit ganz abgeschlossenem lokalen Ring $\mathcal{O}_{X,x}$ und $f \in \mathcal{M} (X) \backslash \mathcal{O}_{X,x}$ eine am Punkt $x$ nicht definierte rationale Funktion auf $X$. So liegt $x$ im Abschlu"s der Menge aller Punkte, an denen $f^{-1}$ definiert ist und den Wert Null annimmt. \end{Proposition*} \begin{Bemerkungl} In gewisser Weise ist also im Fall eines ganz abgeschlossenen lokalen Krings \glqq die Nicht-Definiertheit einer rationalen Funktion stets durch das Vorliegen einer Polstelle bedingt\grqq. Um zu sehen, was im Fall eines nicht ganz abgeschlossenen lokalen Rings passieren kann, verklebe man zwei verschiedene Punkte von $\DC^\times$. So entsteht eine $\DC$-Variet"at $X$, bei der am verklebten Punkt $x\in X$ der lokale Ring $\mathcal{O}_{X,x}$ nicht ganz abgeschlossen ist. Die regul"are Funktion $f$ auf $\DC^\times$ gegeben durch $f(z)=z$ liegt dann nicht in $\mathcal{O}_{X,x}$, obwohl $f^{-1}$ au"serhalb von $x$ "uberall definiert ist und keine Nullstelle hat. Dies Beispiel zeigt, da"s man im Lemma auf die Bedingung \glqq ganz abgeschlossen\grqq\ nicht verzichten kann. Salopp gesprochen ist in unserem Gegenbeispiel die Nicht-Definiertheit von $f$ am Verklebepunkt $x$ nicht durch eine \glqq Polstelle\grqq\ bedingt, sondern durch \glqq schlechtes Zusammenpassen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir setzen $A\pdef \mathcal O_{X,x}$. Nach \ref{Schnit} gibt es ein Primideal $\frak{q}\subset A$ der H"ohe Eins mit $f\not\in A_{\frak{q}}$. Nach \ref{dBr}.\ref{dBr4} ist $A_{\frak{q}}$ ein diskreter Bewertungsring. Es folgt unmittelbar $f^{-1}\in \frak{q}_{\frak{q}}$, also $f^{-1}=g/h$ mit $g\in \frak{q}$ und $h\in A\backslash \frak{q}$. Nun d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $X$ affin ist und da"s $g$ und $h$ beide auf ganz $X$ definiert sind. Dann gibt es aber auch ein maximales Ideal $\frak m\supset \frak q\cap \mathcal O(X)$ mit $h\in \mathcal O(X)\backslash \frak{m}$. Das ist dann das Verschwindungsideal eines Punktes $z\in X$, an dem $f^{-1}$ definiert ist und den Wert Null annimmt. L"age $x$ nicht im Abschlu"s der Menge aller derartigen Punkte $z\in X$, so k"onnten wir den fraglichen Abschlu"s aus $X$ entfernen und die so entstehende Variet"at als unser $X$ nehmen und erhielten unmittelbar einen Widerspruch. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Rbw} Gegeben eine algebraische K"orpererweiterung $K\subset L$ und eine diskrete Bewertung $v$ auf $L$ gilt $v(K^\times)\neq 0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es auf einem algebraisch abgeschlossenen K"orper keine diskrete Bewertung geben kann. Man zeige, da"s es auf einem vollkommenen K"orper positiver Charakteristik keine diskrete Bewertung geben kann. Man zeige, da"s es auf dem K"orper der konstruierbaren Zahlen keine diskrete Bewertung gibt.\label{EdiBv} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Maximalit"at diskreter Bewertungsringe}] Seien $K$ ein K"orper und $A\subset K$ ein diskreter Bewertungsring. Man zeige, da"s $K$ nur genau zwei Teilringe besitzt, die $A$ umfassen, n"amlich $A$ und $K$.\label{MBEW} \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $R$ ein noetherscher kommutativer Integrit"atsbereich. Man zeige: \begin{enumerate} \item F"ur jedes Primideal $\frak p \subset R$ der H"ohe Eins und jedes $f \in R\backslash 0$ hat der Quotient $R_{\frak p} / \langle f \rangle$ der Lokalisierung $R_{\frak p}$ endliche L"ange. \item F"ur jedes Primideal $\frak p \subset R$ der H"ohe Eins gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $ v_{\frak p} : ({\op{Frac}} R)^\times \rightarrow \mathbb Z $ mit der Eigenschaft, da"s sein Wert auf allen $f \in R \backslash 0$ die L"ange des Quotienten $R_{\frak p} / \langle f\rangle$ angibt, in Formeln $v_{\frak p} (f) = l (R_{\frak p} / \langle f\rangle)$. \item Ist $R_{\frak p}$ regul"ar, so ist dies $v_{\frak p}$ gerade die Restriktion der diskreten Bewertung auf ${\op{Frac}} R$ mit Bewertungsring $R_{\frak p}$. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Bewertung als lokale Multiplizit"at}] Gegeben ein diskreter Bewertungsring $R$ mit seiner Bewertung $v$ und ein Element $f\in R$ haben wir $v(f)=\op{mult}(f)$ f"ur die in \ref{multth} erkl"arte Multiplizit"at. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $A\subset B$ eine modulendliche Kringerweiterung. Ist $A$ ein diskreter Bewertungsring und $B$ ein Integrit"atsbereich, so spaltet die Einbettung $A\hra B$ als Homomorphismus von $A$-Moduln.\label{frdB} Hinweis: \ref{efs}. \end{Ubung} %\newpage \subsection{Dedekindringe} \begin{Definition} Ein \defind{Dedekind-Ring} ist ein noetherscher ganz abgeschlossener Integrit"atskring der Krulldimension Eins. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Manche Quellen fordern statt der letzten Bedingung von Dedekindringen nur Krulldimension kleinergleich Eins. Damit werden zus"atzlich auch alle K"orper als Dedekindringe zugelassen und viele der im folgenden getroffenen Aussagen m"ussen in komplizierterer Weise formuliert werden. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Proposition}[\textbf{Dedekindringe im geometrischen Fall}] Eine affine Variet"at $X $ ist genau dann glatt, irreduzibel und eindimensional, wenn ihr Ring $\mathcal O (X)$ von regul"aren Funktionen ein Dedekindring ist.\label{DKG} \end{Proposition} \begin{proof} Das folgt daraus, da"s nach \ref{dBr} ein lokaler noetherscher Kring der Krulldimension Eins genau dann ganz abgeschlossen ist, wenn er regul"ar ist. Ist also $\mathcal O _{X,x}$ regul"ar f"ur alle $x \in X$, so ist es auch ganz abgeschlossen f"ur alle $x \in X$. Dasselbe folgt f"ur den Schnitt $\mathcal O (X) = \bigcap_{x \in X} \mathcal O _{X,x}$ in $\op{Frac}( \mathcal O (X))$. Ist umgekehrt $\mathcal O (X)$ ganz abgeschlossen, so nach \ref{GALL} auch seine Lokalisierungen $\mathcal O _{X,x} $ f"ur alle $x \in X$. \end{proof} \begin{Beispiele} Der Ring $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen ist ein Dedekindring. Jeder diskrete Bewertungsring ist ein Dedekindring, ja die diskreten Bewertungsringe sind nach \ref{dBr} genau die lokalen Dedekindringe. Jede Lokalisierung eines De\-de\-kind\-rings an einer Teilmenge, die mindestens ein maximales Ideal nicht trifft, ist wieder ein Dedekindring. Insbesondere ist jede Lokalisierung eines Dedekindrings an einem maximalen Ideal ein diskreter Bewertungsring.\label{ldmd} Jeder Hauptidealring ist ein Dedekindring. \end{Beispiele} \begin{Proposition}[\textbf{Lokale Charakterisierung von Dedekindringen}] Ein kommutativer noetherscher Integrit"atsbereich ist genau dann ein Dedekindring, wenn seine lokalen Ringe an maximalen Idealen s"amtlich diskrete Bewertungsringe sind. \end{Proposition} \begin{proof} Dieser Beweis ist vollst"andig analog zu unserer Diskussion von Dedekindringen im geometrischen Fall. Ist $A$ ein Dedekindring und $\mathfrak m\subset A$ ein maximales Ideal, so ist $A_{\mathfrak m}$ normal, noethersch und von der Krulldimension Eins und nach \ref{dBr} folglich ein diskreter Bewertungsring. Sind umgekehrt die lokalen Ringe an maximalen Idealen $\mathfrak m\subset A$ s"amtlich diskrete Bewertungsringe, so haben nach \ref{dBr} alle $A_{\mathfrak m}$ und damit auch $A$ die Krulldimension Eins. Weiter sind nach \ref{dBr} auch alle $A_{\mathfrak m}$ ganz abgeschlossen und damit nach \ref{SMLO} auch $A=\bigcap A_{\mathfrak m}$. \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Ganzheitsringe sind Dedekindringe}] Ein \defind{Zahlk"orper} ist ein K"orper $K$ der Charakteristik Null, der endlich ist "uber seinem Primk"orper, in Formeln $[K : \mathbb Q]< \infty$. Der \defind{Ring der ganzen Zahlen} oder auch {\bf Ganzheitsring} $\mathfrak o_K \subset K$ unseres Zahlk"orpers $K$ ist per definitionem der ganze Abschlu"s von $\mathbb Z$ in $K$. Nach dem Endlichkeitsresultat \ref{EGAv} f"ur ganze Abschl"usse, das wir im n"achsten Abschnitt beweisen, ist $\mathfrak o_K$ ein endlich erzeugter $\mathbb Z$-Modul, und nach der Stabilit"at der Krulldimension bei ganzen Kringerweiterungen \ref{KDRE} hat $\mathfrak o_K$ wie $\DZ$ die Krulldimension Eins. Ganz abgeschlossen ist $\mathfrak o_K$ als ganzer Abschlu"s eh, also mu"s unser Ganzheitsring $\mathfrak o_K$ ein Dedekindring sein. \end{Bemerkungw} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Bewertungen und maximale Ideale}] Gegeben ein Dedekindring $B$ liefert die Vorschrift, die jedem maximalen Ideal $\mathfrak m$ die durch den diskreten Bewertungsring $B_{\mathfrak m}$ nach \ref{ldmd} gegebene Bewertung auf $ {\op{Frac}} B$ zuweist, eine Bijektion\label{BDeR} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{Max} B & \sira &\left\{ \begin{array}{c} \text{Diskrete Bewertungen auf } {\op{Frac}} B,\\ \text{deren Bewertungsring $B$ umfa"st} \end{array}\right\}\\ \mathfrak m & \mapsto & v_{\mathfrak m} \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof} Die Injektivit"at unserer Abbildung ist klar, es bleibt die Surjektivit"at zu zeigen. Sei dazu $v : {\op{Frac}} B \twoheadrightarrow \mathbb Z \sqcup \{\infty\}$ eine diskrete Bewertung mit Bewertungsring $A \supset B$. Der Schnitt des maximalen Ideals $\mathfrak m_A \subset A$ mit $B$ kann nicht das Nullideal sein, da sonst die Bewertung $v$ auf $({\op{Frac}} B)^\times$ identisch verschwinden m"u"ste. Also ist der Schnitt ein maximales Ideal $\mathfrak m \subset B$. Nat"urlich gilt $B_{\mathfrak m} \subset A$ und aus der Maximalit"at diskreter Bewertungsringe \ref{MBEW} folgt $B_{\mathfrak m} = A$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir bestimmen nun die Ganzheitsringe der Kreisteilungsk"orper und beginnen mit einer allgemeinen Vor"uberlegung. Seien $\frak{a}_{1}, \ldots, \frak{a}_{s} $ Ideale eines Krings $R$. Gilt $\frak{a}_{i} + \frak{a}_{j} =R$ f"ur $i \neq j$, so ist mit einer zweifachen Anwendung des chinesischen Restsatzes \eref{ACR}{AL} die offensichtliche Abbildung\label{ACRi} f"ur alle $n\geq 1$ ein Isomorphismus $$ \langle\frak{a}_{1} \ldots \frak{a}_{s}\rangle/\langle(\frak{a}_{1} \ldots \frak{a}_{s})^n\rangle\sira \frak{a}_{1}/\langle\frak{a}_{1} ^n\rangle\times \ldots \times \frak{a}_{s}/\langle\frak{a}_{s} ^n\rangle$$ Wird die linke Seite von einem einzigen Element erzeugt, so auch jeder der Faktoren auf der rechten Seite. Im Fall $R\pdef \DZ[X]/\langle P\rangle$ f"ur ein normiertes Polynom $P$ gilt f"ur $a\in \DZ$ stets $P(a)\in \langle \bar X-a\rangle\subset R$. Haben wir speziell $P(a)\neq 0$ und ist $P(a)=q_1\ldots q_r$ eine Zerlegung in ein Produkt paarweise teilerfremder Faktoren, so folgern wir in $R$ die Darstellung als Produktideal $$\langle \bar X-a\rangle=\langle \bar X-a, q_1\rangle \ldots\langle \bar X-a, q_r\rangle$$ Hier gilt $\subset$, weil das Produkt nach \eref{ACR}{AL} mit dem Schnitt zusammenf"allt, und $\supset$ wegen $q_1\ldots q_r\in\langle \bar X-a\rangle$. So sehen wir, da"s f"ur $\mathfrak a_i\pdef \langle \bar X-a, q_i\rangle$ die Quotienten $\mathfrak a_i/\mathfrak a_i^2$ jeweils von einem Element erzeugt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Ganzheitsringe von Kreisteilungsk"orpern}] F"ur jede Einheitswurzel $\zeta\in \DC$ ist $\DZ[\zeta]$ ein Dedekindring und damit der Ganzheitsring des Kreisteilungsk"orpers $\DQ(\zeta)$.\label{EWDe} \end{Proposition} \begin{proof} Nach \ref{EKG} ist $\DZ\subset \DZ[\zeta]$ eine ganze und modulendliche Ringerweiterung. Nach \ref{KDRE} haben damit beide Ringe dieselbe Krulldimension und es folgt $\op{kdim}\DZ[\zeta]=1$. Es bleibt also nur zu zeigen, da"s f"ur jedes maximale Ideal $\mathfrak m\subset \DZ[\zeta]$ der Quotient $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ von einem einzigen Element erzeugt wird. Wir behandeln zun"achst den Fall einer primitiven $p^r$-ten Einheitswurzel f"ur $p$ prim. Wir kennen das zugeh"orige Kreisteilungspolynom $\Phi_{p^r}(X)=\Phi_{p}(X^{p^{r-1}})$ aus \eref{KTP}{AL} und folgern insbesondere $\Phi_{p^r}(1)=p$. F"ur den Ring $R\pdef \DZ[X]/\langle \Phi_{p^r}(X)\rangle$ bedeutet das die Beziehung $p\in \langle \bar X-1\rangle$. Das liefert die linke Vertikale eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{R/pR\ar[r]^-\sim\ar@{->>}[d]&\mathbb F_p[X]/\langle \bar\Phi_{p^r}(X)\rangle\ar@{=}[r]&\mathbb F_p[X]/\langle (X-1)^{(p-1)p^{r-1}}\rangle\ar@{->>}[d]&\\ R/\langle \bar X-1\rangle\ar[rr]^-\sim&&\mathbb F_p[X]/\langle X-1\rangle\ar[r]^-\sim& \mathbb F_p} \end{displaymath} "Uber $pR$ liegt also genau ein maximales Ideal von $R$, und das wird von einem einzigen Element erzeugt, n"amlich dem Element $\bar X-1$. Ist andererseits $l$ eine von $p$ verschiedene Primzahl, so ist f"ur $n\geq 1$ teilerfremd zu $l$ das Polynom $X^n-1$ separabel in $\mathbb F_l[X]$ und folglich zerf"allt auch das Bild $\bar\Phi_n$ von $\Phi_n$ in $\mathbb F_l[X]$ in ein Produkt von paarweise teilerfremden irreduziblen Faktoren $\bar\Phi_n=Q_1\ldots Q_s$. F"ur $R\pdef \DZ[X]/\langle \Phi_n(X)\rangle$ gilt demnach $$R/lR\cong \mathbb F_l[X]/\langle \bar\Phi_n(X)\rangle\cong R/\mathfrak m_1\times \ldots \times R/\mathfrak m_s$$ f"ur die paarweise verschiedenen maximalen Ideale $\mathfrak m_i\subset R$, die $l$ enthalten. Es folgt $lR=\langle\mathfrak m_1 \ldots \mathfrak m_s\rangle$ und nach \ref{ACRi} werden dann auch alle $\mathfrak m_i/\langle\mathfrak m_i^2\rangle$ vom jeweiligen Bild von $l$ erzeugt. Das erledigt den Fall einer primitiven $p^r$-ten Einheitswurzel. Es bleibt zu zeigen, da"s auch f"ur $m\geq 1$ teilfremd zu $p$ und eine primitive $mp^r$-te Einheitswurzel $\zeta$ f"ur alle maximalen Ideale $\mathfrak m$ von $\DZ[\zeta]$, die $p$ enthalten, der Quotient $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ von einem einzigen Element erzeugt wird. Da wir bereits wissen, da"s $\DZ[\zeta^m]$ ganz abgeschlossen ist, mu"s das Minimalpolynom $P$ von $\zeta$ "uber $\DQ(\zeta^m)$ Koeffizienten in $R\pdef \DZ[\zeta^m]$ haben und wir finden $$R[Y]/\langle P(Y)\rangle\sira \DZ[\zeta]$$ Als Teiler von $Y^m-\zeta$ bleibt nun $P$ separabel bei Reduktion modulo dem maximalen Ideal $\langle \zeta^m-1\rangle$ von $R$ "uber $p$, denn darunter wird es ein Teiler des Polynoms $Y^m-1\in\mathbb F_p[Y]$. Dasselbe Argument wie zuvor zeigt nun, da"s f"ur alle maximalen Ideale $\mathfrak m$ von $\DZ[\zeta]$ "uber $p$ oder gleichbedeutend "uber $\langle \zeta^m-1\rangle$ der Quotient $\mathfrak m/\langle \mathfrak m^2\rangle$ von $\zeta^m-1$ erzeugt wird. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Ganzheitsringe quadratischer Zahlk"orper}] Eine K"orpererweiterung $K/ \DQ$ vom Grad Zwei hei"st ein {\bf quadratischer Zahlk"orper}.\index{quadratisch!Zahlk"orper} \index{Zahlk"orper!quadratischer} Offensichtlich hat jeder quadratische Zahlk"orper die Gestalt $K=\DQ(\sqrt{d})$ f"ur genau ein $d \in \DZ\backslash\{0 ,1\}$ ohne mehrfachen Primfaktor. Gegeben solch ein $d$ kann der Ring der ganzen Zahlen in der quadratischen Erweiterung $\DQ(\sqrt d)$ beschrieben werden als\label{GQZ} $$\mathfrak o_{\DQ(\sqrt d)}=\left\{\begin{array}{ll} \DZ+\DZ\sqrt d& d\not\in 1+4\DZ,\\ \DZ+\DZ\big((1+\sqrt d)/2\big)&d\in 1+4\DZ. \end{array}\right.$$ Es ist damit klar, da"s $A\pdef \DZ[X]/\langle X^2-5\rangle$ nicht an allen maximalen Idealen einen regul"aren lokalen Ring haben kann. Man zeige speziell, da"s f"ur das maximale Ideal $\mathfrak m\pdef \langle 2, X-1\rangle$ gilt $\op{dim}_{A/\mathfrak m}\mathfrak m/\mathfrak m^2=2$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $B$ ein Dedekindring. Ein von Null verschiedener endlich erzeugter $B$-Untermodul von $ {\op{Frac}} B$ hei"st ein {\bf gebrochenes Ideal\index{gebrochenes Ideal}\index{Ideal!gebrochenes} von $B$}. Wir erhalten eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \text{gebrochene Ideale von }B\right\} & \sira & \mathbb Z \op{Max} B \end{array} \end{displaymath} mit dem freien $\DZ$-Modul "uber $\op{Max} B$, indem wir jedem gebrochenen Ideal $I$ die Funktion $f_I$ zuordnen mit $f_I (\mathfrak m) = \op{inf} \{v_{\mathfrak m} (b) \mid b \in I\}$ f"ur $\mathfrak m\in\op{Max}B$. Erkl"aren wir das Produkt $IJ$ zweier gebrochener Ideale $I,J$ als das von allen Produkten $ab$ von Elementen $a\in I,$ $b\in J$ erzeugte gebrochene Ideal, so wird diese Bijektion sogar ein Gruppenisomorphismus. Nat"urlich induziert sie auch eine Bijektion\label{Ifrg} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \text{Ideale von }B\right\} & \sira & \mathbb N \op{Max} B \end{array} \end{displaymath} mit der Menge aller endlichen Multimengen von maximalen Idealen. Ist spe\-ziell $k = \bar k$ und $X$ eine irreduzible glatte affine Kurve "uber $k$, so entsprechen die gebrochenen Ideale des Rings der regul"aren Funktionen $\mathcal O (X)$ eineindeutig formalen endlichen $\mathbb Z$-Linearkombinationen von Punkten aus $X$, und zwar entspricht $\sum n_x x$ gerade der Menge der rationalen Funktionen $f \in \mathcal M (X)$, die an allen Stellen $x$ mit $n_x \geq 0$ definiert sind, an allen Stellen $x$ mit $n_x > 0$ eine $n_x$-fache Nullstelle haben, und an allen Stellen mit $n_x < 0$ entweder definiert sind oder einen Pol der Ordnung h"ochstens $n_x$ haben. In Formeln ausgedr"uckt haben wir also \begin{equation*} \begin{array}{ccc} \left\{ \text{gebrochene Ideale von }\mathcal O (X)\right\} & \sila %\overset{\sim}{\leftarrow} & \mathbb Z X \\[2mm] \{ f \in \mathcal M (X) \mid v_x (f) \geq n_x \; \forall x \in X\} &\leftmapsto& \sum n_x x \end{array} \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Moduln "uber Dedekindringen}] Jeder endlich erzeugte Modul "uber einem Dedekindring ist isomorph zur direkten Summe eines projektiven Moduls mit einem Torsionsmodul. Hinweis: \ref{loQMO} und die Klassifikation endlich erzeugter Moduln "uber Hauptidealringen.\label{MueD} \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Es ist bekannt, da"s jeder von Null verschiedene endlich erzeugte projektive Modul "uber einem Dedekindring isomorph ist zur direkten Summe eines gebrochenen Ideals mit einem freien Modul und da"s die Klasse des gebrochenen Ideals in der Idealklassengruppe hierbei eindeutig bestimmt ist. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung} Sei $A\subset B$ eine modulendliche Kringerweiterung. Ist $A$ ein Dedekindring und $B$ ein Integrit"atsbereich, so induziert unsere Einbettung f"ur jedes Ideal $\mathfrak a\subset A$ eine Einbettung $A/\mathfrak a\hra B/\mathfrak a B$.\label{DEMO} Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall eines lokalen Dekekindrings $A$ zur"uck und verwende \ref{frdB}. \end{Ubung} %\newpage \subsection{Norm, Spur, Endlichkeit ganzer Abschl"usse*} \begin{Definition}\label{Dns} Gegeben eine endliche K"orpererweiterung $L/K$ erkl"aren wir zwei Abbildungen ${\op{N}},{\op{S}}: L \ra K$, die {\bf Norm}\index{Norm!einer K"orpererweiterung} und die {\bf Spur},\index{Spur!einer K"orpererweiterung} indem wir f"ur $a \in L$ die $K$-lineare Abbildung $(a\cdot): L\ra L$ betrachten und setzen $$\begin{array}{ccccccr} {\op{Norm}} (a) &=&{\op{N}} (a) &=& {\op{N}}^{K}_{L}(a) &\pdef& \op{det}_K((a\cdot)|L)\\ {\op{Spur}}(a) &=&{\op{S}}(a) &=&{\op{S}}^{K}_{L} (a)&\pdef&\op{tr}_K ((a \cdot)|L ) \end{array}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur $a\in K$ haben wir offensichtlich ${\op{N}}^{K}_{L}(a)=a^{[L:K]}$ und ${\op{S}}^{K}_{L}(a)=[L:K]a$. F"ur $\sigma:L\sira M$ ein Isomorphismus von endlichen K"orpererweiterungen von $K$ gilt offensichtlich ${\op{N}}^{K}_{L}(a) = {\op{N}}^{K}_{M}(\sigma(a))$ und ${\op{S}}^{K}_{L}(a) = {\op{S}}^{K}_{M}(\sigma(a))$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Im Fall der K"orpererweiterung $\DC/\DR$ erhalten wir so die Abbildung ${\op{N}}^{\DR}_{\DC}:\DC\ra\DR,$ $z\mapsto z\bar{z}$ und damit gerade das Quadrat der Norm einer komplexen Zahl, wie wir sie in \eref{DNcc}{LA1} erkl"art hatten. Mit dieser terminologischen Kollision m"ussen wir nun weiterleben. Was im Einzelfall genau gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verallgemeinerungen aus Schiefk"orper}] Ist allgemeiner $D$ eine endlichdimensionale Ringalgebra "uber einem K"orper $K$, so findet man auch in dieser Allgemeinheit manchmal die Notation ${\op{N}}_{D}^{K}(a) = \op{det}((a\cdot)|D)$. Im Fall eines Schiefk"orpers $D$ wird aber die Notation ${\op{N}}(a)$ alternativ auch verwendet als Abk"urzung f"ur ${\op{N}}_{K(a)}^{K}(a)$. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Lemma}[\textbf{Transitivit"at von Norm und Spur}] Gegeben $K \subset L \subset M$ endliche K"orpererweiterungen gelten die Formeln\label{TNS} $$\begin{array}{ccc} {\op{N}}^{K}_{M} &=&{\op{N}}^{K}_{L}\circ {\op{N}}^{L}_{M}\\ {\op{S}}^{K}_{M} &=&{\op{S}}^{K}_{L} \circ {\op{S}}^{L}_{M} \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die zweite Formel folgt daraus, da"s sich f"ur eine $(m\times m)$-Matrix von $(n\times n)$-Matrizen die Gesamtspur auch berechnen l"a"st, indem man zun"achst alle $(n\times n)$-Bl"ocke auf der Diagonalen aufaddiert und dann von dieser Summe die Spur nimmt. Die erste Formel folgt daraus, da"s man nach \eref{FBD}{LA1} ganz analog auch die Determinante einer Blockmatrix mit paarweise kommutierenden Bl"ocken berechnen kann als die Determinante der $(n\times n)$-Matrix, die sich als \glqq Blockdeterminante\grqq\ ergibt. Ist etwas genauer $m_{1}, \ldots , m_{r}$ eine $L$-Basis von $M$, so wird die Multiplikation mit $b \in M$ gegeben durch eine $(r \times r)$-Matrix $(a_{ij} ) \in \op{Mat}(r; L)$. Ist weiter $l_{1}, \ldots , l_{s}$ eine $K$-Basis von $L$, so werden die Multiplikationen mit $a_{ij}$ dargestellt durch gewisse $(s \times s)$-Matrizen $$A_{ij} \in \op{Mat}(s ; K)$$ Die Multiplikation mit $b\in M$ wird dann in der $K$-Basis von $M$, die aus den $m_{i}l_{\nu}$ besteht, durch die Blockmatrix $B =(A_{ij})$ dargestellt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Norm und Spur "uber Galoistheorie}] Gegeben $L/K$ eine endliche separable K"orpererweiterung und $M$ eine Vergr"o"serung von $L$ zu einer normalen\label{SGT} Erweiterung von $K$ gilt $${\op{S}}^{K}_{L} (a) = \sum_{\sigma \in \op{Kring}^{K} (L,M)} \sigma (a) \quad\text{ und }\quad {\op{N}}^{K}_{L} (a) = \prod_{\sigma \in \op{Kring}^{K} (L,M)} \sigma (a)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist also speziell $L/K$ eine endliche Galoiserweiterung mit Galoisgruppe $\Gamma$, so gilt ${\op{S}}(a) = \sum_{\gamma \in \Gamma} \gamma (a)$ und ${\op{N}} (a) = \prod_{\gamma \in \Gamma} \gamma (a)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ist $L^{\prime} \subset L$ ein Unterk"orper, der $a$ enth"alt, so gilt wegen der Transitivit"at von Norm und Spur \ref{TNS} und unseren Erkenntnissen \ref{Dns} f"ur Norm und Spur von Elementen des Grundk"orpers offensichtlich ${\op{S}}^{K}_{L} (a) = [L:L^{\prime}]{\op{S}}^{K}_{L^{\prime}}(a)$ und ${\op{N}}^{K}_{L}(a) =({\op{N}}^{K}_{L^{\prime}}(a))^{[L:L^{\prime}]}$. Die rechten Seiten der behaupteten Formeln verhalten sich nun in derselben Weise beim "Ubergang von $L^{\prime}$ zu $L$, so da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $L= K(a)$ annehmen d"urfen. Dann definiert jedoch $X \mapsto a$ einen K"orper\-isomorphismus $$K[X]/ \langle\op{Irr}(a,K)\rangle \sira L$$ Das charakteristische Polynom der $K$-linearen Abbildung $(a\cdot) : L \ra L$ ist mit \eref{cPP}{AL} folglich $\op{det}(X{\op{id}}-(a\cdot)) = \op{Irr}(a,K) =\prod (X-\sigma (a))$. Setzen wir hier $X =0$, so ergibt sich die Formel f"ur die Norm. Vergleichen wir dahingegen die Koeffizienten der zweith"ochsten Potenzen von $X$ auf beiden Seiten, so ergibt sich die Formel f"ur die Spur. \end{proof} %\newpage \begin{Korollar}[\textbf{Spur und Separabilit"at}] Eine endliche K"orpererweiterung ist genau dann separabel, wenn die zugeh"orige Spurabbildung nicht identisch verschwindet.\label{SEN} \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Ist unsere Erweiterung separabel, so kann ihre Spurabbildung nicht identisch verschwinden nach ihrer Darstellung als Summe von Galoiskonjugierten aus \ref{SGT} und dem Satz "uber die lineare Unabh"angigkeit von Charakteren \eref{LUC}{AL}. Ist unsere Erweiterung nicht separabel, so "uberlassen wir das Argument dem Leser mit dem Hinweis, sich vom Beweis von \ref{SGT} inspirieren zu lassen. \end{proof} %\newpage \begin{Bemerkungl} F"ur jede endliche K"orpererweiterung $L/K$ liefert die Spur eine $K$-bi\-li\-ne\-are Paarung, die {\bf Spurform}\index{Spurform!bei K"orpern}\label{SpurP} $$\begin{array}{ccc} L \times L & \ra & K\\ (x,y) &\mapsto & {\op{S}}^{K}_{L} (xy) \end{array}$$ Sie ist offensichtlich invariant unter der Galoisgruppe. F"ur $L/K$ endlich separabel ist diese Paarung nach \ref{SEN} nicht ausgeartet. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Endlichkeit ganzer Abschl"usse}] Seien $A$ ein ganz abgeschlossener noetherscher\label{EGAv} Integrit"atskring und $L/{\op{Frac}} A $ eine endliche separable K"orpererweiterung seines Bruchk"orpers. So ist der ganze Abschlu"s $B$ von $A$ in $L$ mo\-dul\-end\-lich "uber $A$. \end{Satz} \begin{proof} Nach \ref{SEN} liefert f"ur jede endliche separable Erweiterung die Spur ${\op{S}}^K_L:L\ra K$ eine symmetrische nichtausgeartete Bilinearform $$ \begin{array}{ccl} L\times L & \rightarrow & K\\[2mm] (x,y) &\mapsto & {\op{S}}^K_L (xy) \end{array} $$ Aus der Beschreibung der Spur als Summe von Galoiskonjugierten \ref{SGT} folgt, da"s ${\op{S}}^K_L (b)$ ganz ist "uber $A$ f"ur alle $b \in B$. Also gilt nach unseren Annahmen ${\op{S}}^K_L (B) \subset A$. Nun finden wir nach \ref{gazL} sicher $b_1, \ldots, b_n \in B$, die eine Basis von $L$ "uber $K$ bilden. Sie spannen in $L$ einen freien $A$-Modul $V$ vom Rang $n$ auf. Die duale Basis $b_1^\ast, \ldots, b_n^\ast$ in Bezug auf unsere Bilinearform spannt dann in $L$ einen weiteren freien $A$-Modul $V^\ast$ vom Rang $n$ auf, der auch beschrieben werden kann durch die Formel \begin{equation*} V^\ast =\{x \in L \mid {\op{S}}^K_L (xy) \in A \quad \forall y\in V\} \end{equation*} Insbesondere gilt $B \subset V^\ast$. Aus $A$ noethersch folgt dann sofort, da"s $B$ endlich erzeugt ist als $A$-Modul. \end{proof} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Endlichkeit ganzer Abschl"usse im geometrischen Fall}] Seien $A$ ein "uber einem K"orper $k$ ringendlicher Integrit"atskring und $L / {\op{Frac}} A$ eine endliche K"orpererweiterung seines Bruchk"orpers.\label{EgaA} So ist auch der ganze Abschlu"s von $A$ in $L$ ringendlich "uber $k$ und a forteriori modulendlich "uber $A$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist auch der ganze Abschlu"s von $A$ in ${\op{Frac}} A$ ring\-endlich "uber $k$. Im Gegensatz zum vorhergehenden Satz \ref{EGAv} brauchen wir in diesem \glqq geometrischen\grqq\ Fall weder $A$ ganz abgeschlossen noch die Separabilit"at unserer K"orpererweiterung. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Noether's Normalisierungslemma \ref{NoeNo} liefert uns einen Teilring \begin{equation*} k [{}^\prime x_1, \ldots, x_n] \subset A \end{equation*} mit $A$ modulendlich "uber diesem Teilring. Der ganze Abschlu"s von $A$ in $L$ ist also auch der ganze Abschlu"s von $k[{}^\prime x_1, \ldots, x_n]$ in $L$. Ist $L/k({}^\prime x_1, \ldots, x_n)$ separabel, so sind wir fertig mit dem Satz "uber die Endlichkeit ganzer Abschl"usse im Fall ganz abgeschlossener Kringe \ref{EGAv}, da Polynomringe ganz abgeschlossen sind. Sonst vergr"o"sern wir $L$ mit \eref{VNE}{AL} zu einer endlichen normalen Erweiterung $N/k ({}^\prime x_1,\ldots, x_n)$ mit Galoisgruppe $G$ und betrachten die K"orperkette \begin{equation*} k({}^\prime x_1, \ldots, x_n) \subset N^G \subset N \end{equation*} Sie besteht nach \eref{NGre}{AL} aus einer rein inseparablen Erweiterung gefolgt von einer separablen Erweiterung. Nach \eref{reii}{AL} gibt es mithin eine $p$-Potenz $q$, f"ur $p > 0$ die Charakteristik von $k$, mit $f^q \in k ({}^\prime x_1, \dots, x_n)$ f"ur alle $f \in N^G$. Nehmen wir Erzeuger $f_1, \ldots, f_r \in N^G$ der ersten K"orpererweiterung und notieren $h$ eine endliche K"orpererweiterung von $k$, die f"ur alle Koeffizienten der Z"ahler und Nenner der $f^q_i$ geschrieben als Quotienten von Polynomen in $k [{}^\prime x_1, \dots, x_n]$ jeweils $q$-te Wurzeln enth"alt, so erhalten wir eine Einbettung $N^G \subset h ('x_1^{1/q}, \ldots, x^{1/q}_n)$ und f"ur $M$ der Zerf"allungsk"orper dar"uber der Minimalpolynome von Erzeugern von $N$ "uber $N^G$ erhalten wir ein Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} k({}^\prime x_1, \ldots, x_n) &\subset& N^G& \subset&N\\ && \cap & &\cap\\ && h ({}^\prime x_1^{1/q}, \ldots, x_n^{1/q}) &\subset & M \end{array} \end{displaymath} von endlichen K"orpererweiterungen, in dem die untere rechte Inklusion auch separabel ist. Der ganze Abschlu"s des Teilrings $k[{}^\prime x_1, \ldots, x_n]$ in $h ({}^\prime x_1^{1/q},\ldots, x_n^{1/q})$ ist aber offensichtlich $h [{}^\prime x_1^{1/q}, \ldots, x_n^{1/q}]$ und modulendlich "uber $k[{}^\prime x_1, \ldots, x_n]$. Der ganze Abschlu"s in $M$ ist dann mo\-dul\-end\-lich "uber $h [{}^\prime x_1^{1/q},\ldots, x_n^{1/q}]$ nach \ref{EGAv} und die Behauptung folgt. \end{proof} %\newpage \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Sei $L/K$ eine endliche K"orpererweiterung, $V$ ein endlichdimensionaler $L$-Vektorraum und $\varphi:V\ra V$ eine lineare Abbildung. So gilt die Identit"at\label{detNS} $\op{det}_{K}\varphi = {\op{N}}^{K}_{L} (\op{det}_{L} \varphi)$. Hinweis: \eref{FBD}{LA1}. Alternative: Man ziehe sich durch geeignete K"orpererweiterung von $L$ auf den Fall zur"uck, da"s f"ur eine Basis von $V$ die Matrix von $\varphi$ obere Dreiecksgestalt hat, und argumentiere dann mit der Formel f"ur die Determinante block-oberer Dreiecksmatrizen \eref{DOD}{LA1}. \end{Ubunge} \subsection{Bewertungen und K"orpererweiterungen*} \begin{Definition} Ein Homomorphismus von diskret bewerteten K"orpern hei"st {\bf bewertungsvertr"aglich},\index{bewertungsvertr"aglich} wenn seine Verkn"upfung mit der Bewertung des Bildk"orpers ein positives Vielfaches der Bewertung auf dem Ausgangsk"orper ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} F"ur einen bewertungsvertr"aglichen Homomorphismus $\varphi : K \rightarrow L$ von diskret bewerteten K"orpern gibt es demnach per definitionem genau eine positive nat"urliche Zahl $d\in \mathbb N_{> 0}$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ K \ar@{->>}[r]^-{v_{K}} \ar[d]_-{\varphi}&\mathbb Z\ar[d]^-{(d\cdot)}\\ L \ar@{->>}[r]^-{v_{L}} &\mathbb Z } \end{displaymath} kommutiert. Diese nat"urliche Zahl $d$ hei"st der {\bf Verzweigungsgrad}\index{Verzweigungsgrad} unserer bewertungsvertr"aglichen K"orpererweiterung. Auf Englisch sagt man dazu {\bf ramification index},\index{ramification index} auf Franz"osisch {\bf indice de ramification}. Ein bewertungsvertr"aglicher Homomorphismus vom Verzweigungsgrad Eins hei"st {\bf unverzweigt}.\index{unverzweigt!K"orperhomomorphismus} Ein Unterk"orper eines diskret bewerteten K"orpers besitzt genau dann eine vertr"agliche Bewertung, wenn die Bewertung des gro"sen K"orpers auf dem Unterk"orper auch Werte au"serhalb von $\{0,\infty\}$ annimmt. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.5\textheight]{SkriptenBilder/BildQCo}\\[4mm] \noindent Dies Bild erinnert unsere Anschauung f"ur die Abbildung $z\mapsto z^2$ der Einheitskreisscheibe auf sich selbst. Es stellt diese Abbildung dar als die Komposition einer Abbildung der Einheitskreisscheibe auf eine r"aumliche sich selbst durchdringende Fl"ache, gegeben in etwa durch eine Formel der Gestalt $z\mapsto (z^2,\varepsilon(\op{Im}z))$ in $\DC\times \DR\cong \DR^3$ f"ur geeignetes monotones und in einer Umgebung von Null streng monotones $\varepsilon,$ gefolgt von einer senkrechten Projektion auf die ersten beiden Koordinaten. Das Zur"uckholen meromorpher Funktionen unter dieser Abbildung induziert f"ur die Bewertungen nach der Nullstellen- beziehungsweise Polordnung am Ursprung einen Homomorphismus diskret bewerteter K"orper vom Verzweigungsgrad Zwei. \end{figure} \begin{Beispiel} Dieses Beispiel ist f"ur Leser mit Grundkenntnissen in Funktionentheorie gedacht. Die Abbildung $\DC\ra\DC,$ $z\mapsto z^n$ induziert durch Vorschalten eine Einbettung in der Gegenrichtung auf dem K"orper der meromorphen Funktionen $ \mathcal M^{\op{an}} (\DC)\hra\mathcal M^{\op{an}} (\DC) $. Gegeben $p\in\DC$ mit $p^n=q$ ist das zum Beispiel ein bewertungsvertr"aglicher K"orperhomomorphismus $( \mathcal M^{\op{an}} (\DC),v_p)\hra ( \mathcal M^{\op{an}} (\DC),v_q)$ mit Verzweigungsgrad Eins f"ur $p\neq 0\neq q$ und Verzweigungsgrad $n$ f"ur $p=q=0$. Ist allgemeiner $f:X\ra Y$ ein nichtkonstanter Homomorphismus von zusammenh"angenden Riemann'schen Fl"achen und $p\in X$ ein Punkt mit Bild $f(p)=q\in Y,$ so liefert das Zur"uckholen von meromorphen Funktionen einen Homomorphismus von diskret bewerteten K"orpern $$(\mathcal M^{\op{an}} (Y),v_q)\hra(\mathcal M^{\op{an}} (X),v_p)$$ und der zugeh"orige Verzweigungsgrad ist genau der \glqq topologische\grqq\ Verzweigungsgrad im Sinne von \ref{VZGG}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Einbettung $\DC(\!(T)\!)\hra \DC(\!(Y)\!)$ des K"orpers der Laurent\-reihen "uber $\DC$ in sich selber vermittels $T\mapsto Y^n$ f"ur ein fest vorgegebenes $n>0$ ist ein bewertungsvertr"aglicher Morphismus diskret bewerteter K"orper vom Verzweigungsgrad $n$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Einbettung $\DQ(\!(T)\!)\hra \DC(\!(T)\!)$ des K"orpers der Lau\-rent\-rei\-hen "uber $\DQ$ in den K"orper der Lau\-rent\-rei\-hen "uber $\DC$ ist ein bewertungsvertr"aglicher Morphismus diskret bewerteter K"orper vom Verzweigungsgrad Eins. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein Homomorphismus von lokalen Ringen hei"st {\bf lokal}, \index{lokal!Ringhomomorphismus} wenn das Urbild des gr"o"sten echten Ideals das gr"o"ste echte Ideal ist.\label{lokH} \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Verzweigung bei K"orpern und Ringen}] Das Bilden des Teilrings aller Elemente mit nichtnegativer Bewertung liefert eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{diskret bewertete K"orper,}\\ \text{bewertungsvertr"agliche} \\ \text{K"orperhomomorphismen} \end{array} \right\} &\sirra & \left\{ \begin{array}{c} \text{diskrete Bewertungsringe,}\\ \text{lokale Ringhomomorphismen} \end{array} \right\}\\[7mm] (K,v) & \mapsto & {\frak o}_K \pdef \{ x \in K \mid v(x) \geq 0\} \end{array} \end{displaymath} Die Uniformisierenden des diskreten Bewertungsrings ${\frak o}_K$ sind dabei genau die Elemente unseres diskret bewerteten K"orpers mit Bewertung Eins. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Man verwendet diese Entsprechung, um die Begriffe {\bf Verzweigungsgrad}\index{Verzweigungsgrad} und {\bf unverzweigt}\index{unverzweigt} auf den Fall lokaler Ringhomomorphismen diskreter Bewertungsringe zu "ubertragen.\label{VZFG} Im Fall eines lokalen Ringhomomorphismus diskreter Bewertungsringe $(A,\frak m)\ra (B,\frak n)$ ist der Verzweigungsgrad mithin das $d\geq 1$ mit $B\mathfrak m =\mathfrak n^d$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $X$ eine zusammenh"angende Riemann'sche Fl"ache und $x\in X$ ein Punkt. Dem diskret bewerteten K"orper $\cal M^{\op{an}}_x$ der \glqq meromorphen Funktionskeime bei $x$\grqq\ entspricht unter unserer "Aquivalenz der Ring $\cal O^{\op{an}}_x$ der \glqq holomorphen Funktionskeime bei $x$\grqq. Eine Uniformisierende w"are in diesem Fall ein holomorpher Funktionskeim $u$ bei $x$ mit einer einfachen Nullstelle bei $x$. Per definitionem besitzt $x$ eine zusammenh"angende offene Umgebung $U\co X$, auf der sich unser Funktionskeim $u$ realisieren l"a"st und auf der $u$ sogar einen Isomorphismus von bepunkteten Riemann'schen Fl"achen $$u:(U,x)\sira (W,0)$$ mit $W=u(U)\co \DC$ induziert. Man sagt dann auch, die Funktion $u$ liefere eine \glqq Uniformisierung der Riemann'schen Fl"ache $X$ in einer Umgebung von $x$\grqq\ und daher r"uhrt die Bezeichnung \glqq Uniformisierende\grqq\ im Beweis von \ref{dBr}. \end{Beispiel} \begin{proof} Sei $(K,v)$ ein diskret bewerteter K"orper. Offensichtlich ist ${\frak o}_K \subset K$ ein Teilring und seine Einheitengruppe ist $ {\frak o}^\times _K =\{x \in K \mid v(x) =0\}. $ Die Nichteinheiten von ${\frak o}_K$ bilden also ein Ideal $ \mathfrak m_K =\{x \in K \mid v (x) \geq 1\} $, das notwendig das einzige maximale Ideal sein mu"s. Jedes $\pi \in K$ mit $v(\pi) =1$ liefert einen Gruppenisomorphismus $$ \begin{array}{ccc} {\frak o}^\times _K \times \mathbb Z &\sira & K^\times \\ (u,n) &\mapsto &u \pi^n \end{array} $$ Dieselbe Abbildung induziert auch eine Bijektion ${\frak o}^\times_K \times \mathbb N \sira {\frak o}_K \backslash 0$. Die Ideale von ${\frak o}_K$ sind also genau das Nullideal und die Ideale $\langle \pi^n \rangle $ f"ur $n \in \mathbb N$. Das zeigt, da"s unser Ring ${\frak o}_K$ ein Hauptidealring ist und $\pi$ bis auf Einheiten sein einziges irreduzibles Element. Weiter liefert jeder K"orperhomomorphismus $\varphi : K \rightarrow L$ von diskret bewerteten K"orpern mit $v_L (\varphi (x)) \in \mathbb N_{> 0} v_K (x) \; \forall x \in K$ einen Ringhomomorphismus $\varphi :{\frak o}_K\ra {\frak o}_L$ mit $\varphi^{-1}({\frak m}_L)={\frak m}_K$. Damit liefert die Vorschrift aus unserem Lemma in der Tat einen Funktor der beschriebenen Art. Der Rest des Beweises kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Gradformel\index{Gradformel}}] Gegeben eine modulendliche Erweiterung $A\subset B$ von Dedekindringen gilt f"ur jedes maximale Ideal $\frak m\in \op{Max} A$ die Identit"at\label{GrFr} $$[{\op{Frac}}B:{\op{Frac}}A] =\sum_{ \frak n\cap A=\frak m}d(B_{\frak n}/A_{\frak m})\cdot[B/\frak n:A/\frak m] $$ mit der Summe "uber alle $\frak n\in \op{Max}B$ mit $\frak n\cap A=\frak m$ und $d(B_{\frak n}/A_{\frak m})$ dem Verzweigungsgrad im Sinne von \ref{VZFG}. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} In der Zahlentheorie schreibt man diese Identit"at meist mit anderen Symbolen. Ist genauer $L/K$ eine Erweiterung von Zahlk"orpern und $\mathfrak p\subset \mathfrak o_K$ ein maximales Ideal des Ganzheitsrings von $K$, so liest sich unsere Formel in der dort "ublichen Notation $$[L:K] =\sum_{ \mathfrak p|\mathfrak P}e(\mathfrak P/\mathfrak p) f(\mathfrak P/\mathfrak p) $$ Im Fall einer primitiven $p^r$-ten Einheitswurzel $\zeta\in\DC$ und der Erweiterung $\DQ(\zeta)/\DQ$ finden wir mit \ref{EWDe} die Ganzheitsringe $\DZ[\zeta]\supset \DZ$ und "uber dem maximalen Ideal $\langle p\rangle\subset \DZ$ liegt, nun nach dem Beweis von \ref{EWDe}, genau ein maximales Ideal $\langle \zeta-1\rangle\subset\DZ[\zeta]$ und der Verzweigungsgrad ist $e=p^{r-1}(p-1)$ und der Grad der Erweiterung der Restklassenk"orper ist $f=1$. Dahingegen entsprechen f"ur eine Primzahl $l$ und jedes zu $l$ teilerfremde $n\geq 1$ und jede primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta\in \DC$ die "uber dem maximalen Ideal $\mathfrak p=\langle l\rangle\subset \DZ$ liegenden maximalen Ideale von $\DZ[\zeta]$ eineindeutig den irreduziblen Faktoren des Bildes $\bar \Phi_n\in\mathbb F_l[X]$ des $n$-ten Kreisteilungspolynoms $\Phi_n\in\DZ[X]$, und ist genauer $\bar \Phi_n=Q_1\ldots Q_s$ die Zerlegung in irreduzible Faktoren und sind $\mathfrak P_i=\langle l, Q_i\rangle\subset \DZ[\zeta]$ die zugeh"origen maximalen Ideale, so haben wir $e(\mathfrak P_i/\mathfrak p)=1$ und $f(\mathfrak P_i/\mathfrak p)=\op{grad}Q_i$, alles nach dem Beweis von \ref{EWDe}. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Unsere Endlichkeitss"atze von eben liefern zwei typische Situationen, in denen dieser Satz anwendbar ist: Einerseits nach \ref{EGAv} f"ur einen Dedekindring $A$, eine endliche separable Erweiterung $L/{\op{Frac}}A$ und $B$ den ganzen Abschlu"s von $A$ in $L$. Diese Situation trifft man oft in der Zahlentheorie an. Oder nach \ref{EgaA} f"ur einen Dedekindring $A$, der ringendlich ist "uber einem vorgegebenen Grundk"orper, eine beliebige endliche K"orpererweiterung $L/{\op{Frac}}A$ und $B$ den ganzen Abschlu"s von $A$ in $L$. Das ist der \glqq geometrische\grqq\ Fall einer \glqq verzweigten "Uberlagerung von algebraischen Kurven\grqq, der f"ur mich insbesondere im Fall des Grundk"orpers $\DC$ der Anschauung gut zug"anglich ist. Allerdings wird man im Fall eines algebraisch abgeschlossenen Grundk"orpers in der Situation des Satzes stets $[B/\frak n:A/\frak m]=1$ finden, weshalb dieser Faktor meiner Anschauung schlechter zug"anglich ist. Man sieht ihn aber deutlich im Fall der Erweiterung $\DR[T]\subset\DC[T]$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{UBIE} ist unsere Summe endlich. Die Lokalisierung $B_{\frak m}$ von $B$ nach $A\backslash \frak m$ ist modulendlich und torsionsfrei "uber dem Hauptidealring $A_{\frak m}$, also frei vom Rang $[{\op{Frac}}B:{\op{Frac}}A]$. Damit ist auch $\bar B\pdef B/\frak m B$ frei von demselben Rang "uber dem K"orper $\bar A\pdef A/\frak m$ und nach \ref{ZMEL} liefern die Abbildungen in die Lokalisierungen f"ur unseren Kring endlicher L"ange $\bar B$ einen Isomorphismus $$\bar B\sira \prod_{ \frak n\cap A=\frak m}\bar B_{\bar{\frak n}}$$ mit $\bar{\frak n}$ dem Bild von ${\frak n}$ in $\bar B$. Da Lokalisierung nach \ref{LQ} mit Restklassenbildung vertauscht, ist die nat"urliche Abbildung ein Isomorphismus $B_{\frak n}/\frak m B_{\frak n}\sira \bar B_{\bar{\frak n}}$. Per definitionem haben wir $\frak m B_{\frak n}=\frak n_{\frak n}^d$ f"ur $d$ der zugeh"orige Verzweigungsgrad, folglich hat $B_{\frak n}/\frak m B_{\frak n}$ die L"ange alias Dimension $d$ als Modul "uber $B/{\frak n}$ und dann eine entsprechend vervielfachte Dimension als Vektorraum "uber $A/\frak m$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $A\subset B$ eine modulendliche Erweiterung von Dedekindringen, so ist notwendig $B$ der ganze Abschlu"s von $A$ in ${\op{Frac}}(B)$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Galoistheorie f"ur lokale und globale Erweiterungen}] Sei eine modulendliche Erweiterung $A\subset B$ von Dedekindringen gegeben, die eine normale Erweiterung der Bruchk"orper induziert. Sei $G$ deren Galoisgruppe und sei $\mathfrak n\subset B$ ein maximales Ideal mit Bild $\mathfrak m\pdef\mathfrak n\cap A$. So ist die auf den Restklassenk"orpern induzierte Abbildung $\bar A\ra \bar B$ eine normale K"orpererweiterung und die offensichtliche Abbildung eine Surjektion $$G_{\mathfrak n}\sra \op{Gal}(\bar B/\bar A)$$ der Standgruppe $G_{\mathfrak n}$ von $\mathfrak n$, der sogenannten \emph{\bf Zerlegungsgruppe von $\mathfrak n$},\index{Zerlegungsgruppe} auf die Galoisgruppe der Erweiterung der Restklassenk"orper. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Kern des Homomorphismus aus dem Satz hei"st die {\bf Tr"agheitsgruppe von $\mathfrak n$}.\index{Tr"agheitsgruppe} Sind die beteiligten K"orpererweiterungen der Bruchk"orper sowie der Restklassenk"orper auch noch separabel, wie zum Beispiel nach \eref{bser}{AL} im Fall von Zahlk"orpern, so zeigt die Gradformel zusammen mit dem folgenden Beweis, da"s die Kardinalit"at der Tr"agheitsgruppe mit dem Verzweigungsindex "ubereinstimmen mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das Minimalpolynom von $b\in B$ zerf"allt mit Nullstellen in $B$ und folglich mit Koeffizienten in $A$ und kann folglich modulo $\mathfrak m$ reduziert werden. Das zeigt die Normalit"at. Betrachten wir nun den Invariantenring der Standgruppe $C\pdef B^{G_{\mathfrak n}}$, so bilden nach \ref{SpvI} die maximalen Ideale in $B$ "uber $\mathfrak l\pdef C\cap\mathfrak n$ eine $G_{\mathfrak n}$-Bahn, die folglich nur aus dem einzigen Punkt $\mathfrak n$ bestehen kann. Ein Vergleich der Gradformeln \ref{GrFr} f"ur $C\subset B$ und $A\subset B$ zeigt $d(B_{\frak n}/A_{\frak m})=d(B_{\frak n}/C_{\frak l})$ und $ [B/\frak n:C/\frak l]= [B/\frak n:A/\frak m] $. Daraus hinwiederum folgt mit der Notation $\bar C\pdef C/\mathfrak l$, da"s die Einbettung einen Isomorphismus $\bar A\sira\bar C$ liefert. Es reicht also zu zeigen, da"s die offensichtliche Abbildung eine Surjektion $$G_{\mathfrak n}\sra \op{Gal}(\bar B/\bar C)$$ induziert. Nun ist nach \eref{NGre}{AL} der Fixk"orper der Galoisgruppe von $F\subset \bar B$ rein inseparabel "uber $\bar C$. Andererseits gibt es nach dem Satz vom primitiven Element ein $\bar b\in \bar B$ mit $\bar B=F[\bar b]$. Ist $b\in B$ ein Urbild von $\bar b$, so hat das Minimalpolynom von $b$ wie zu Anfang des Beweises besprochen Koeffizienten in $C$ und kann folglich modulo $\mathfrak l$ reduziert werden. Die Operation von $G_{\mathfrak n}$ auf den Nullstellen des Minimalpolynoms von $\bar b$ ist folglich transitiv. Das aber zeigt die behauptete Surjektivit"at. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur $p\in\DN$ eine Primzahl das Ideal $\langle p\rangle$ in $\DZ[\sqrt{-5}]$ zerf"allt als das Produkt der beiden Ideale $\langle p, 1+\sqrt{-5}\rangle$ und $\langle p, 1-\sqrt{-5}\rangle$, wenn $(-5)$ ein Quadrat ist modulo $p$, und da"s andernfalls das Hauptideal $\langle p\rangle$ auch in $\DZ[\sqrt{-5}]$ maximal ist. Im Spezialfall $p=2$ und nur in diesem gilt zus"atzlich $\langle p, 1+\sqrt{-5}\rangle=\langle p, 1-\sqrt{-5}\rangle$. \end{Ubung} \subsection{Spur und Diskriminante*} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ und ein freier endlich erzeugter $k$-Modul $M$ ist die {\bf Spur}\index{Spur!auf freiem Modul} $\op{tr}=\op{tr}_k : \op{End}_k M \rightarrow k$ definiert als die Verkn"upfung von kanonischen Homomorphismen\label{SPPa} \begin{equation*} \op{End}_k M \sila M \otimes_k \op{Hom}_k (M, k) \rightarrow k \end{equation*} Wir k"onnen diese Spur berechnen als die Summe der Diagonaleintr"age einer darstellenden Matrix in Bezug auf eine und jede Basis von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spur auf projektivem Modul}] Die vorhergehende Definition bleibt sinnvoll f"ur einen Kring $k$ und einen projektiven endlich\index{Spur!auf projektivem Modul} erzeugten $k$-Modul $M$ und liefert auch dann eine Spurabbildung $\op{tr} : \op{End}_k M \rightarrow k$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spur und Erweiterung der Skalare}] Die Spur ist vertr"aglich mit der Erweiterung von Skalaren. Ist genauer $\varphi : k\ra K$ ein Kringhomomorphismus und $M$ ein freier oder allgemeiner projektiver endlich erzeugter $k$-Modul und $f\in\op{End}_kM$ ein Endomorphismus und $\op{id}\otimes_k f\in\op{End}_K(K\otimes_kM)$ der entsprechend erweiterte Endomorphismus, so gilt die Identit"at $$\varphi(\op{tr}_k(f))=\op{tr}_K(\op{id}\otimes_k f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spur nilpotenter Endomorphismen}] Jeder nilpotente Endomorphismus hat nilpotente Spur. Um das einzusehen, mag man beachten, da"s wir nach \ref{SPI} nur zu zeigen brauchen, da"s die Spur eines nilpotenten Endomorphismus in jedem Primideal liegt. Mit Erweiterung der Skalare k"onnen wir uns so erst auf den Fall eines Integrit"atsbereichs und dann auf\label{SnE} den Fall eines K"orpers zur"uckziehen, und in letzterem Fall folgt es aus "Ubung \eref{niOD}{LA1}. Ich h"atte gerne ein vergleichbar elementares Argument, das nicht via \ref{SPI} auf dem Zorn'schen Lemma beruht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spur eines Kommutators}] Gegeben freie oder allgemeiner projektive endlich erzeugte Moduln $M,N$ "uber einem Kring $k$ und Homomorphismen $f: M \rightarrow N$ und $ g: N \rightarrow M$ gilt \begin{equation*} \op{tr} (fg) = \op{tr} (gf) \end{equation*} Im Fall freier Moduln pr"uft man das leicht in Matrizen. Im allgemeinen verwenden wir dazu die Notation $M^\ast \pdef \op{Hom}_k (M,k)$ und die Behauptung folgt aus der Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ &N \otimes N^\ast \ar[dr] &\\ M \otimes M^\ast \otimes N \otimes N^\ast \ar[dr]\ar[ur]& & k\\ &M\otimes M^\ast \ar[ur] & } \end{displaymath} mit den durch Evalutionen gegebenen Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Kring $k$ und eine modulendliche $k$-Algebra $A$, die frei oder allgemeiner projektiv ist als $k$-Modul, erhalten wir wie in \eref{SpFFO}{NAS} mit \ref{SPPa} eine $k$-lineare Abbildung \begin{eqnarray*} \op{Tr}= \op{Tr}_k : A & \rightarrow & k\\ a & \mapsto & \op{tr} ((a\cdot) : A \rightarrow A) \end{eqnarray*} und k"onnen so die $k$-bilineare Abbildung $A \times A \rightarrow k$, $(a,b) \mapsto \op{Tr} (ab) = \op{tr} ((ab) \cdot)$ betrachten. Sie hei"st auch in dieser Allgemeinheit die \defind{Spurform}. Wieder gilt $(a,b) = (b,a)$ und $(ax ,b) = (a, xb)$ f"ur alle $a,b,x \in A$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Endliche \'etale "Uberlangerungen eines K"orpers}] Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine modulendliche $k$-Kringalgebra. Genau dann ist $A$ ein Produkt von separablen K"orpererweiterungen von $k$, wenn die Spurform nicht ausgeartet ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Ein Kringhomomorphismus $k\ra A$ hei"st allgemein {\bf modulendlich \'{e}tale}\index{etale@\'etale!modulendlich} oder auch eine {\bf endliche \'{e}tale "Uberlagerung}, wenn\index{etale "Uberlagerung@\'etale "Uberlagerung} $A$ ein endlich erzeugter projektiver $k$-Modul ist und die Spurform $(a,b)\mapsto \op{Tr}_k(ab)$ einen Isomorphismus $A\sira\op{Hom}_k(A,k)$ induziert. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Jedes nilpotente Element von $A$ liegt nach \ref{SnE} im Radikal der Spurform. Wenn sie nicht ausgeartet ist, besitzt demnach $A$ keine nilpotenten Elemente und mit \ref{NRKO} folgt, da"s $A$ ein Produkt von K"orpern ist, die nach dem Separabilit"atskriterium \ref{SEN} alle "uber $k$ separabel sind. Die andere Implikation folgt sofort aus der anderen Implikation in \ref{SEN}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In Charakteristik Null ist unser Satz auch eine direkte Konsequenz des Spurkriteriums f"ur Halbeinfachkeit \eref{SpuK}{NAS}, das sogar f"ur nicht notwendig kommutative $k$-Ringalgebren gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DisEE} Gegeben ein Kring $k$ und eine $k$-Kringalgebra $A$, die frei von endlichem Rang oder zumindest endlich erzeugt und projektiv ist als $k$-Modul, vereinbaren wir f"ur $a_1, \ldots, a_n\in A$ die Notation\index{Dis@$\op{Dis}$ Diskriminante} \begin{equation*} \op{Dis}_{A/k} (a_1, \ldots, a_n)=\op{Dis} (a_1, \ldots, a_n)\pdef\op{det} (\op{Tr} (a_i a_j)^n_{i,j =1}) \end{equation*} Wir nennen dieses Element die {\bf Diskriminante der Elemente $a_1,\ldots,a_n$}. \index{Diskriminante!von Elementen} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"orper $k$ und eine modulendliche $k$-Kringalgebra $A$ ist offensichtlich die Spurform von $A$ genau dann nicht ausgeartet, wenn f"ur eine und jede $k$-Basis $a_1,\ldots, a_n$ von $A$ gilt $$\op{Dis}(a_1,\ldots, a_n)\neq 0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein Kring und $A$ eine freie modulendliche $k$-Kringalgebra. Liegen Elemente $b_1,\ldots,b_n\in A$ im $k$-Spann von weiteren Elementen $a_1,\ldots,a_n\in A$, so gilt offensichtlich $\op{Dis} (b_1, \ldots, b_n)=c^2 \op{Dis} (a_1, \ldots, a_n)$ f"ur ein $c\in k$. F"ur je zwei $k$-Basen von $A$ unterscheiden sich insbesondere diese Elemente h"ochstens um die Multiplikation mit dem Quadrat einer Einheit $c \in k^\times$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $k$ ein Kring und $A$ eine freie oder zumindest projektive mo\-dul\-end\-li\-che $k$-Kringalgebra. Gegeben ein Kringhomomorphismus $\varphi:k\ra K$ und $a_1,\ldots, a_n\in A$ gilt offensichtlich $$\varphi:\op{Dis}_{A/k}(a_1,\ldots, a_n)\mapsto\op{Dis}_{A\otimes_kK/K}(a_1\otimes 1,\ldots, a_n\otimes 1)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Kring $k$ und eine $k$-Algebra $A$, die frei ist von endlichem Rang $n$ oder modulendlich und projektiv als $k$-Modul mit demselben Rang $n$ nach Lokalisierung an jedem Primideal von $k$ nennen wir das von allen $\op{Dis}(a_1,\ldots,a_n)$ mit $a_1,\ldots, a_n\in A$ erzeugte Ideal von $k$ das \defind{Diskriminantenideal} $\op{Dis}_{A/k}$ von $A$. Nach dem Vorhergehenden gilt f"ur ein maximales Ideal $\mathfrak m\in\op{Max}A$ genau dann $\mathfrak m\supset \op{Dis}_{A/k}$, wenn die Spurform der $A/\mathfrak m$-Kringalgebra $A/\mathfrak m A$ ausgeartet ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Diskriminantenideal und Diskriminante}] Gegeben $k$ ein Kring und $P\in k[T]$ ein normiertes Polynom\label{DisA} stimmt f"ur $A \pdef k [T] / \langle P \rangle$ unser Element $ \op{Dis} (1, \bar{T}, \ldots , \bar{T}^{n-1}) $ aus \ref{DisEE} bis auf ein Vorzeichen "uberein mit der Diskriminante des Polynoms $P$ im Sinne von \eref{DeDia}{AL}. Insbesondere wird das Dis\-kri\-mi\-nan\-ten\-ide\-al von $A/k$ erzeugt von der Diskriminante des Polynoms $P$. \end{Satz} \begin{proof} Da beide Seiten mit Erweiterungen von $k$ vertauschen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung annehmen, $k$ sei der Ring der symmetrischen Funktionen $k\pdef \mathbb Z [{}^\prime\zeta_1 , \ldots , \zeta_n]^{\mathcal S_n}$. Bekanntlich gilt $k= \mathbb Z [{}^\prime s_1 , \ldots , s_n]$ f"ur die $s_i \in k$, die durch die Identit"at $P (T) := T^n + s_1 T^{n-1} + \ldots + s_n = (T + \zeta_1) \ldots (T + \zeta_n)$ in $\mathbb Z [{}^\prime\zeta_1 , \ldots , \zeta_n][T]$ gegeben werden. Ich behaupte, da"s f"ur $A \pdef k [T] / \langle P \rangle$ in der Notation aus \ref{DisEE} gilt \begin{equation*} \op{Dis} (1, \bar{T}, \ldots , \bar{T}^{n-1}) = (-1)^{n(n-1)/2} \prod_{i \neq j} (\zeta_i - \zeta_j) \end{equation*} Man zeigt das wie \eref{FoDis}{AL}. Die linke Seite ist per definitionem ein Element von $k$. Unter der Skalarerweiterung $\otimes_\DZ\DQ$ wird die linke Seite ein symmetrisches Polynom in den $\zeta_i$ mit rationalen Koeffizienten. Dies Polynom hat dort Nullstellen, wo $P$ mehrfache Nullstellen hat, da dort $A = k [T] / \langle P \rangle$ zu einem Ring von Null verschiedenen nilpotenten Elementen spezialisiert. Wie in \eref{FoDis}{AL} folgt, da"s die rechte Seite nach "Ubergang zu $\DQ$-Koeffizienten die linke Seite teilt. Mit Gradbetrachtungen und dem Vergleich von Leitkoeffizienten zeigen wir nun auch noch die Gleichheit bis auf Vorzeichen. Die $\DZ$-Graduierung auf $\mathbb Z [{}^\prime\zeta_1 , \ldots , \zeta_n][T]$, in der alle $\zeta_i$ ebenso wie $T$ den Grad Eins haben, induziert eine $\DZ$-Graduierung auf $k[T]$, in der $P$ homogen ist vom Grad $n$ und die Multiplikation mit $\bar T$ homogen vom Grad Eins. Die Leibnizformel zeigt dann, da"s $\op{Dis} (1, \bar{T}, \ldots , \bar{T}^{n-1})$ homogen ist vom Grad $n(n-1)$, so da"s unsere Behauptung bis auf einen Faktor aus $\DQ$ schon mal richtig sein mu"s. Um besagten Faktor zu bestimmen, w"ahlen wir eine primitive $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ und spezialisieren zu $\zeta_i=-\zeta^i$. Dann spezialisiert die rechte Seite nach einer bereits in \eref{FoDis}{AL} ausgef"uhrten Rechnung zu $(-1)^{n-1} n^n$, auf der linken Seite dahingegen ergibt sich $P=T^n-1$ sowie $\op{Tr}(\bar T^a)=n$ falls $n|a$ und Null sonst. Damit folgt durch elementare Rechnung $\op{Dis} (1, \bar{T}, \ldots , \bar{T}^{n-1}) =n^n (-1)^{n-1}(-1)^{n(n-1)/2}$. Der Vergleich dieser Resultate zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein Kringhomomorphismus $k\ra A$ erinnere ich an den Modul der relativen Differentiale $\Omega_{A/k}$. Nach \eref{Daffo}{AAG} liefert f"ur $k$ einen Kring und $P\in k[T]$ ein Polynom und $A = k [T] / \langle P \rangle$ den Quotienten nach $P$ das Multiplizieren mit ${\op{d}}T$ einen Isomorphismus von $A$-Moduln \begin{eqnarray*} k [T] / \langle P, P^\prime \rangle\;\; \sira \;\; \Omega_{A/k} \end{eqnarray*} Es scheint recht klar, da"s das Diskriminantenideal eng mit diesem Modul verwandt ist. Ich erwarte, da"s es genau das Quadrat des Annullatorideals von $\Omega_{A/k}$ ist. \end{Bemerkunge} \begin{Korollar}[\textbf{Diskriminatenideal und Verzweigung}] Sei $A\subset B$ eine modulendliche Erweiterung von Dedekindringen. Die maximalen Ideale $\mathfrak m\in \op{Max}A$ mit $\mathfrak m\supset \op{Dis}_{B/A}$ sind genau die Stellen, "uber denen es ein $\mathfrak n\in \op{Max}B$ gibt, das entweder echt verzweigt, in Formeln $d(B_{\frak n}/A_{\frak m})>1$, oder f"ur das $B/\frak n$ inseparabel ist "uber $A/\frak m$. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Sowohl im Fall von Ganzheitsringen von Zahlk"orpern als auch im geometrischen Fall sind also die maximalen Ideale "uber dem Diskriminatenideal genau die Verzweigungsstellen, da in beiden F"allen $A/\frak m$ vollkommen ist und keine inseparablen Erweiterungen besitzt. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $d\in\DZ\backslash\{0,1\}$ ohne mehrfache Primfaktoren. Aus \ref{GQZ} erinnern wir die Beschreibung der Ganzheitsringe $$\mathfrak o_{\DQ(\sqrt d)}=\left\{\begin{array}{ll} \DZ+\DZ\sqrt d& d\not\in 1+4\DZ,\\ \DZ+\DZ\big((1+\sqrt d)/2\big)&d\in 1+4\DZ. \end{array}\right.$$ Die Minimalpolynome von $\sqrt d$ bezihungsweise $(1+\sqrt d)/2$ sind $T^2-d$ beziehungsweise $T^2-T+ (1-d)/4$. Die Diskriminante dieser Polynome erzeugt das Diskriminantenideal und ergibt sich mit \eref{DQUA}{AL} zu $4d$ beziehungsweise $d$. Im ersten Fall verzweigen also die Zwei und alle Primteiler von $d$, im zweiten Fall nur die Primteiler von $d$. \end{Ubung} %\newpage \subsection{Glatte projektive Kurven*} \label{gPk} \begin{Bemerkungl} Eine "aqui-eindimensionale $k$-Variet"at hei"st eine {\bf Kurve}\index{Kurve!algebraische Variet"at} und eine "aqui-ein\-di\-men\-sio\-na\-le $k$-Pr"avariet"at eine {\bf Pr"akurve}\index{Pr"akurve} Insbesondere verstehen wir eine Kurve stets "uber einem algebraisch abgeschlossenen Grundk"orper. Eine {\bf projektive Kurve}\index{projektive Kurve}\index{Kurve!projektive} ist eine Kurve, f"ur die eine abgeschlossene Einbettung in einen projektiven Raum $\mathbb P^n k$ existiert. Ich betone, da"s wir die Einbettung hier nicht als Teil des Datums sehen, da"s projektive Kurven also durchaus auch dann isomorph sein k"onnen, wenn sie in verschiedenen $\mathbb P^n k$ und $\mathbb P^m k$ liegen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{K"orper und ihre Kurven}] Gegeben $k=\bar k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper liefert das Bilden des K"orpers der rationalen Funktionen eine "Aquivalenz von Kategorien \label{FKKn}\begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Glatte irreduzible}\\ \text{projektive Kurven "uber }k, \\ \text{ nichtkonstante Morphismen} \end{array}\right\} & \overset{\approx}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{K"orperendliche}\\ \text{K"orpererweiterungen von } k \\ \text{vom Transzendenzgrad Eins} \end{array}\right\}^{\op{opp}}\\[8mm] X & \mapsto & \mathcal M (X)\;\;\;\; \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Mir gef"allt die alternative Formulierung noch besser, bei der links die Kategorie aller glatten irreduziblen %separierten \glqq vollst"andigen\grqq\ Kurven steht. Eine Variet"at ist per definitionem \glqq vollst"andig\grqq, wenn ihre Projektion auf einen Punkt eigentlich ist im Sinne von \ref{eiMO}. Der Beweis bleibt fast derselbe, man mu"s nur am Ende statt mit \ref{FosK} mit \eref{FVv}{AAG} argumentieren. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir bezeichnen die Kategorie aller k"orperendlichen K"orpererweiterungen von $k$ vom Transzendenzgrad Eins mit $\mathscr T$. Wir bezeichnen die Kategorie aller glatten irreduziblen projektiven Kurven "uber $k$ mit $\mathscr{E}\!\mathscr{P}$ und die Kategorie aller glatten eindimensionalen irreduziblen Pr"avariet"aten "uber $k$ mit $\mathscr E$, jeweils mit nichtkonstanten Morphismen von Pr"avariet"aten als Morphismen. Der Satz behauptet, da"s der Funktor $\mathcal M:\mathscr E\ra \mathscr T^{\op{opp}}$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathcal M:\mathscr{E}\!\mathscr{P}\sirra \mathscr T^{\op{opp}}$$ induziert. Um das zu zeigen, konstruieren wir einen quasiinversen Funktor $\mathcal{B}$. Das hinwiederum geschieht in mehreren Schritten. \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion der M"ochte-Gern-Kurve $\mathcal{B}(K)$ als Menge}] Ich erinnere an den Begriff einer diskreten Bewertung \ref{diBe} eines K"orpers. Gegeben eine endlich erzeugte K"orpererweiterung $K/k$ vom Transzendenzgrad Eins betrachten wir die Menge \begin{equation*} \mathcal{B}=\mathcal{B}(K) \pdef \{v: K \rightarrow \mathbb Z \sqcup \{\infty\} \mid v \text{ ist diskrete Bewertung}\} \end{equation*} Gegeben ein Homomorphismus $K\hra L$ von endlich erzeugten K"orpererweiterungen von $k$ vom Transzendenzgrad Eins und eine diskrete Bewertung $v:L\sra \DZ\sqcup\{\infty\}$ gilt $v(K^\times)\neq 0$ nach \ref{Rbw}. Folglich existieren eine wohlbestimmte diskrete Bewertung $w:K\sra \DZ\sqcup\{\infty\}$ und ein wohlbestimmtes $d\in\DN_{>0}$ mit $v|_K=dw$ und die Vorschrift $v\mapsto w$ liefert eine Abbildung $ \mathcal{B}(L)\ra \mathcal{B}(K) $. Man erkennt ohne weitere Schwierigkeiten, da"s wir so einen Mengenfunktor konstruiert haben. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion einer Transformation $\op{can}:\op{Vergi"s}\RA \mathcal{B}\circ\mathcal M$}] Bezeichne $\op{Vergi"s}:\mathscr E\ra \op{Ens}$ den offensichtlichen Funktor, der jeder Pr"avariet"at die zugrundeliegende Menge zuordnet. Ist $X$ eine irreduzible glatte eindimensionale Pr"avariet"at "uber $k$, so erhalten wir nach \ref{dBr} eine kanonische\label{oaX} Abbildung $\op{can}_X : X \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal M(X))$, indem wir jedem Punkt $x \in X$ die durch die Null- beziehungsweise Polstellenordnung bei $x$ gegebene Bewertung $v_x : \mathcal M (X) \rightarrow \mathbb Z \sqcup \{\infty\}$ zuordnen. Es ist leicht zu sehen, da"s diese kanonischen Abbildungen eine Transformation von Funktoren $\op{can}:\op{Vergi"s}\RA \mathcal{B}\circ\mathcal M$ bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Uberdeckung von $\mathcal{B}(K)$ durch Maximalspektren}] Wir zeigen, da"s f"ur jede K"orpererweiterung $K\in\mathscr T$ und jede Bewertung $v\in \mathcal{B}(K)$ ein "uber $k$ ring\-end\-li\-cher De\-de\-kind\-ring $A\subset K$\label{UeAff} mit $K=\{a/b\mid a,b\in A, b\neq 0\}$ existiert derart, da"s $v$ im Bild der kanonischen Injektion $$\op{can}:\op{Max}A\hra \mathcal{B}(K)$$ aus \ref{BDeR} liegt und da"s das Komplement des Bildes dieser Einbettung endlich ist. Machen wir uns an die Arbeit. Wir finden sicher $f\in K\backslash k$ mit $v(f)\geq 0$. Nach \ref{EdiBv} gibt es auf einem algebraisch abgeschlossenen K"orper keine diskrete Bewertung, folglich haben wir $v(k^\times)=0$. Der Bewertungsring $\frak o_v$ unserer Bewertung $v$ mu"s demnach $k[f]$ und dann auch seinen ganzen Abschlu"s $ A\subset K$ umfassen. Der Bruchk"orper $\op{Frac}A$ dieses ganzen Abschlusses mu"s nach \ref{GALL} aber als Teilk"orper von $K$ mit dem ganzen Abschlu"s des Bruchk"orpers von $k[f]$ in $K$ zusammenfallen und folglich gilt $K=\{a/b\mid a,b\in A, b\neq 0\}$. Nach \ref{EgaA} ist $A$ ringendlich "uber $k$, also noethersch, und nach \ref{TGFH} gilt $\op{kdim}A=\op{trgr}_k(\op{Frac}A)=1$. Ganz abgeschlossen ist $A$ nach Konstruktion eh, folglich ist $A$ ein Dedekindring und unsere kanonische Abbildung ist nach \ref{BDeR} eine Inklusion $ \op{can}:\op{Max} A \hookrightarrow \mathcal{B}(K) $ und ihr Bild besteht aus allen Bewertungen $v$ mit $v (f) \geq 0 $. Wir folgern, da"s es nur endlich viele Bewertungen $v$ mit $v(f)>0$ geben kann, denn wegen $f\neq 0$ gibt es nur endlich viele maximale Ideale in $A$ "uber $f$ alias Nullstellen von $f$ auf $\op{Max} A$. Das gilt nun aber mit derselben Argumentation f"ur jedes Element $f\in K\backslash k$. Insbesondere ist das Komplement des Bildes unserer Einbettung endlich, besteht es doch aus allen Bewertungen $v$ mit $v (f) < 0 $ alias $v(f^{-1})>0$. Im "ubrigen zeigen unsere Argumente auch, da"s $\mathcal B(K)$ unendlich ist, denn die eindimensionale irreduzible Variet"at $\op{Max}A$ ist bereits unendlich. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die M"ochte-Gern-Kurve $\mathcal{B}(K)$ als topologischer Raum}] Gegeben $K\in\mathscr T$ versehen wir $\mathcal{B}(K)$ mit der koendlichen Topologie. Abgeschlossen sind also nur ganz $\mathcal{B}(K)$ und seine endlichen Teilmengen. Da $\mathcal B(K)$ unendlich ist, ist es dann irreduzibel als topologischer Raum. F"ur jedes $X\in \mathscr E$ ist weiter $\op{can}:X\ra \mathcal{B}(\mathcal M(X))$ stetig, denn diese Abbildung hat endliche Fasern, sie ist\label{MgTR} ja f"ur $X$ affin sogar eine Injektion nach \ref{BDeR}. Ist weiter $K\hra L$ ein Homomorphismus von K"orpererweiterungen, so hat die induzierte Abbildung $\mathcal{B}(L)\ra \mathcal{B}(K)$ endliche Fasern und ist mithin stetig: In der Tat gibt es f"ur $v\in \mathcal{B}(K)$ nach dem vorhergehenden Punkt \ref{UeAff} einen "uber $k$ ringendlichen Dedekindring $A\subset K$ mit $K$ als Bruchk"orper und mit $v$ im Bild von $\op{Max}A\hra \mathcal{B}(K)$. Der ganze Abschlu"s $B$ von $A$ in $L$ ist dann nach \ref{EgaA} auch ein "uber $k$ ringendlicher Dedekindring mit $B\subset L$ mit $L$ als Bruchk"orper, und jede Bewertung von $L$, die auf $A$ nichtnegativ ist, ist auch auf $B$ nichtnegativ, weil $B$ ganz ist "uber $A$. Im kommutativen Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \op{Max}B&\hra &\mathcal{B}(L)\\ \da&&\da\\ \op{Max}A&\hra &\mathcal{B}(K) \end{array} $$ induziert also die obere Horizontale Bijektionen zwischen der Faser "uber einem Punkt und der Faser "uber seinem Bild. Die Fasern links sind aber endlich nach \ref{UBIE}. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die M"ochte-Gern-Kurve $\mathcal{B}(K)$ als Pr"avariet"at "uber $k$}] Gegeben $K\in\mathscr T$ und $v \in X=X_K\pdef \mathcal{B}(K)$ eine diskrete Bewertung und $ K\supset \mathfrak o_v \supset\mathfrak m_v$ der zugeh"orige diskrete Bewertungsring mit seinem maximalem Ideal liefert nach \ref{UeAff} die Einbettung des Grundk"orpers einen Isomorphismus $k \overset{\sim}{\rightarrow} \mathfrak o_v /\mathfrak m_v$. Gegeben $U \co X$ erkl"aren wir nun den Teilring $$\mathcal O_X (U) \subset \op{Ens} (U,k)$$ als die Menge aller Abbildungen $f : U \rightarrow k$, f"ur die ein $a \in K$ existiert derart, da"s f"ur alle $v \in U$ gilt $v (a) \geq 0$ und $f (v) \mapsto \bar a$ unter unserem Isomorphismus $k \sira \mathfrak o_v/\mathfrak m_v$. Gegeben ein "uber $k$ ringendlicher Dedekindring $A\subset K$ mit ${\op{Frac}}A= K$ und $\op{Max} A\sira U$ unter der kanonischen Einbettung induziert dann das Zur"uckholen von Funktionen vermittels der kanonischen Einbettung $$\op{Max} A\sira U\co X$$ einen Isomorphismus $\mathcal O_X (U)\sira A$, wie man aus der Beschreibung \ref{Dfff} von Definitionsbereichen rationaler Funktionen in Termen lokaler Ringe folgert. F"ur $U\neq\emptyset$ kommt also jedes $f\in \mathcal O_X(U)$ von genau einem Element $a\in K$ her. Wir sehen so, da"s die $O_X(U)$ unser $X$ zu einem $k$-geringten Raum machen. Weiter sehen wir, da"s unsere Einbettungen $\op{Max} A\hra X$ offene Einbettungen von $k$-geringten R"aumen sind, so da"s $X$ sogar eine Pr"avariet"at "uber $k$ ist. Das Diagramm am Ende von \ref{MgTR} zeigt, da"s f"ur jeden Homomorphismus von K"orpererweiterungen $K\ra L$ die induzierte Abbildung $\mathcal{B}(L)\ra \mathcal{B}(K)$ ein Morphismus von $k$-geringten R"aumen ist, und aus dem affinen Fall leitet man leicht ab, da"s f"ur alle $X\in \mathscr E$ unsere kanonische Abbildung ein Morphismus $\op{can}:X\ra \mathcal{B}(\mathcal M(X))$ von $k$-geringten R"aumen ist. Umgekehrt erhalten wir nat"urliche Isomorphismen $ \mathcal M(\mathcal{B}(K))\sira K$, indem wir f"ur $U\co \mathcal{B}(K)=X$ nichtleer jedem $f\in \mathcal O_X(U)$ das eindeutig bestimmte $a\in K$ zuordnen, von dem es herkommt. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Kurve $\mathcal{B}(K)$ ist eine projektive $k$-Variet"at}] Wir finden nach dem Vorhergehenden eine endliche offene "Uberdeckung $X\pdef\mathcal{B}(K) = \bigcup^n_{i=1} Y_i$ durch irreduzible affine glatte Kurven. Seien $\bar{Y}_i$ deren projektive Abschl"usse. Nach \ref{FosK} l"a"st sich $Y_i \hookrightarrow \bar{Y}_i$ eindeutig zu $\bar{\varphi}_i : X \rightarrow \bar Y_i$ fortsetzen. Nun betrachte man den durch die $\bar{\varphi}_i$ gegebenen Morphismus \begin{equation*} \bar \varphi : X \rightarrow \prod_{i=1}^n \bar Y_i \end{equation*} und setze $Y := \overline{\bar{\varphi}(X)}$. Wenn wir zeigen k"onnen, da"s unser $\bar\varphi$ einen Isomorphismus $X \sira Y$ induziert, sind wir fertig, denn Produkte projektiver Variet"aten sind projektiv nach \ref{Segre}. Mit $X$ ist auch $Y$ irreduzibel. Weiter ist $\bar \varphi$ birational, induziert also einen Isomorphismus $ \mathcal M (Y) \sira \mathcal M (X) $. Ich behaupte, da"s dieser Isomorphismus f"ur alle $x \in X$ Isomorphismen $\mathcal O_{Y, \bar{\varphi} (x)} \sira \mathcal O_{X,x}$ induziert. In der Tat liegt jedes $x\in X$ in einem der $Y_i$ und wir haben ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &X \ar[dr]^-{\bar{\varphi}} & \\ Y_i\ar@{^{(}->}[ur] \ar@{^{(}->}[dr]& &Y\ar@{->>}[dl]^{\op{pr}_i}\\ &\bar Y_i & } \end{displaymath} Da darin das Zur"uckholen l"angs aller Pfeile Injektionen auf den lokalen Ringen bei $x$ induziert und das Zur"uckholen l"angs $Y_i \hra \bar Y_i$ eine Bijektion, mu"s das Zur"uckholen l"angs aller Pfeile Bijektionen auf den lokalen Ringen bei $x$ liefern. Jetzt zeigen wir, da"s $\bar \varphi$ surjektiv ist. Jedes $y \in Y$ hat ja eine offene affine Umgebung $V \co Y$. Die Einbettung $\mathcal O (V) \hookrightarrow \mathcal O (V)^\sim$ von $\mathcal O (V)$ in seinen ganzen Abschlu"s entspricht einer Surjektion $\op{Max} \mathcal O (V)^\sim \twoheadrightarrow \op{Max} \mathcal O (V)$, unter der unser $y \in Y$ ein Urbild haben mu"s. Wir sehen mit \ref{BDeR}, da"s dies Urbild einer Bewertung $v \in X=\mathcal B(K)$ entspricht mit $v (\mathcal O_{Y,y}) \subset [0,\infty]$. Wir h"atten dann aber nach Konstruktion \begin{displaymath} \mathcal O_{Y, \bar{\varphi} (v)} \supset \mathcal O_{Y,y} \end{displaymath} und daraus folgt $y = \bar\varphi (v) $: In der Tat folgt ja f"ur je zwei Punkte $p,q$ einer irreduziblen Variet"at $Y$, die in einer gemeinsamen offenen affinen Teilmenge liegen, aus der Inklusion $\mathcal O_{Y,p} \supset \mathcal O_{Y,q}$ von Teilmengen von $\mathcal M(Y)$ bereits $p = q$. Je zwei Punkte, ja endlich viele beliebig vorgegebene Punkte einer projektiven Variet"at liegen stets in einer gemeinsamen offenen affinen Teilmenge, da wir ja zu endlich vielen Ursprungsgeraden in einem Vektoraum "uber einem unendlichen K"orper stets eine Hyperebene finden, die keine von ihnen umfa"st. Da $\bar\varphi$ eh injektiv ist, mu"s $\bar\varphi : X \rightarrow Y$ bijektiv sein. Da aber $\bar\varphi$ Isomorphismen auf den lokalen Ringen induziert, und da stets gilt $\mathcal O (U) = \bigcap_{x \in U} \mathcal O_{X,x}$, mu"s damit $\bar\varphi$ schon ein Isomorphismus sein. \end{Bemerkungl} %\newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{F"ur $X\in\mathscr{E}\!\mathscr{P}$ haben wir $\op{can}:X\sira \mathcal{B}(\mathcal M(X))$}] Es bleibt zu zeigen, da"s f"ur jede glatte projektive Kurve $X$ die kanonische Abbildung einen Isomorphismus $X\sira \mathcal{B}(\mathcal M(X))$ liefert. Wir wissen bereits, da"s f"ur jede nichtleere offene affine Teilmenge $V\co X$ die kanonische Abbildung eine offene Einbettung $V\sira U\co \mathcal{B}(\mathcal M(X))$ liefert. Deren Inverse $U\sira V$ l"a"st sich nun aber nach \ref{FosK} auf genau eine Weise zu einem Morphismus $\mathcal{B}(\mathcal M(X))\ra X$ fortsetzen, der dann offensichtlich invers sein mu"s zu unserer kanonischen Abbildung. \end{Bemerkungl}\noindent Bis auf die Aussage \ref{FosK}, deren Beweis gleich nachgeholt wird, beendet das den Beweis von Satz \ref{FKKn} "uber K"orper und ihre Kurven. \end{proof} %\newpage \begin{Satz}[\textbf{Morphismen glatter Kurven in projektive R"aume}] Sei $X$ eine Kurve oder allgemeiner Pr"akurve und $p\in X$ ein regul"arer Punkt. So l"a"st sich jeder Morphismus\label{FosK} $\varphi : X \backslash p \rightarrow \mathbb P^n k$ zu einem Morphismus $\bar \varphi : X \rightarrow \mathbb P^n k$ fortsetzen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das gilt mit demselben Beweis genauso, wenn $X$ eine eindimensionale und "aquidimensionale Variet"at ist mit $\mathcal O_{X,p}$ regul"ar. Die Eindeutigkeit der Fortsetzung folgt hierbei ohne alle Voraussetzungen aus \ref{HEPP}. Da"s die Definitionsl"ucke $p$ ein regul"arer Punkt von $X$ ist, ist wesentlich f"ur die Existenz: Sonst k"onnte man ja eine Einbettung einer affinen Kurve $Z \subset \mathbb P^n k$ betrachten und $X$ konstruieren, indem man zwei Punkte von $Z$ wie in \ref{VeKK} verklebt zu einem Punkt $p$ von $X$. Dann kann das mit dem Fortsetzen nat"urlich nicht mehr funktionieren. In \eref{FVv}{AAG} zeigen wir dieselbe Aussage allgemeiner f"ur Morphismen in eine \glqq vollst"andige\grqq\ Variet"at. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} F"ur h"oherdimensionales $X$ stimmt die analoge Aussage nicht mehr: Man betrachte etwa die Abbildung $\mathbb C^2 \backslash 0 \rightarrow \mathbb C^2 \times \mathbb P^1 \mathbb C$ gegeben durch $v \mapsto (v, \langle v \rangle)$. Sie kann nicht "uber den Ursprung zu einem Morphismus $\mathbb P^2 \mathbb C \times \mathbb P^1 \mathbb C$ fortgesetzt werden. \end{Bemerkunge} %\newpage \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $X$ irreduzibel. Ohne Be\-schr"an\-kung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s das Bild von $\varphi$ in keiner der Hyperfl"achen $x_i =0$ enthalten ist, f"ur $0 \leq i \leq n$, da wir sonst mit Induktion "uber $n$ argumentieren k"onnten. Die Funktionen $(x_i/x_j) \circ \varphi \in \mathcal O (\varphi^{-1} \{ x_j \neq 0\})$ definieren also rationale Funktionen $\varphi_{ij} \in \mathcal M (X)$ auf $X$. Setzen wir $v_p (\varphi_{i0}) = r_i$, so gilt $v_p (\varphi_{ij}) = r_i - r_j$ f"ur alle $i,j$. Ist $r_0$ minimal unter den $r_i$, was wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen d"urfen, so gilt $v_p (\varphi_{i0}) \geq 0$ f"ur alle $i$. Jetzt erkl"aren wir $\bar {\varphi} (p)$ als den Punkt $\bar \varphi (p) = \langle \varphi_{00} (p), \ldots, \varphi_{n0} (p)\rangle$. Nach Konstruktion ist klar, da"s diese Abbildung $\bar \varphi : X \rightarrow \mathbb P^n k$ ein Morphismus ist. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jede glatte eindimensionale irreduzible Variet"at $X$ "uber $k$, in der Notation von eben also jedes Objekt $X\in \mathscr E$, und jede k"orperendliche K"orpererweiterung $K/k$ vom Transzendenzgrad Eins, in der Notation von eben also jedes Objekt $K\in\mathscr T$, das Bilden der rationalen Funktionen im Verein mit unserer kanonischen Bijektion $K\sira \mathcal M(\mathcal{B}(K))$ eine Bijektion $$\op{Var}^{\op{nk}}(X,\mathcal{B}(K))\sira \op{Kring}^k(K,\mathcal M(X))$$ zwischen nichtkonstanten Morphismen und Morphismen von K"orpererweiterungen induziert. In kategorientheoretischer Sprache ist der Funktor $\mathcal M:\mathscr E\ra \mathscr T^{\op{opp}}$ also \glqq linksadjungiert\grqq\ zu unserem Funktor $\mathcal{B}:\mathscr T^{\op{opp}}\ra \mathscr E$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jede glatte eindimensionale irreduzible separierte Variet"at $X$ "uber $k$ die nat"urliche Abbildung aus \ref{oaX} eine offene Einbettung $\op{can}_X : X \hra \mathcal{B}(\mathcal M(X))$ von Variet"aten ist. Man nennt $\mathcal{B}(\mathcal M(X))$ die {\bf Komplettierung}\index{Komplettierung!von glatter Kurve} oder {\bf Vervollst"andigung von $X$}.\index{Vervollst"andigung!von glatter Kurve} Jede glatte eindimensionale irreduzible separierte Variet"at $X$ "uber $k$ entsteht also aus ihrer Vervollst"andigung durch das Weglassen von endlich vielen Punkten. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXKAG" %%% End: