\section{Zahlen und Ringe} % Wir besprechen einige Grundlagen zum Aufbau % verschiedener Zahlbereiche. % Im Zusammenhang damit werden auch einige zahlentheoretische % Grundlagen wie die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung und % die Konstruktion von Primk"orpern besprochen. \subsection{Konstruktion der nat"urlichen Zahlen*}\label{NatZ}\index{nat"urliche Zahlen} \begin{Bemerkungl}\label{eue} F"uhrt man die Mengenlehre axiomatisch ein, so definiert man eine Menge als {\bf unendlich}\index{unendlich!Menge} genau dann, wenn es eine injektive aber nicht bijektive Abbildung von unserer Menge in sich selbst gibt. Eine Menge hei"st {\bf endlich}\index{endlich!Menge} genau dann, wenn sie nicht unendlich ist. Die Existenz einer unendlichen Menge ist eines der Axiome der Mengenlehre, wir nennen es kurz das {\bf Unendlichkeitsaxiom}.\index{Unendlichkeitsaxiom} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Es ist klar, da"s jede Menge mit einer unendlichen Teilmenge auch selbst unendlich sein mu"s. Es folgt, da"s jede Teilmenge einer endlichen Menge wieder endlich ist. Es ist klar, da"s die Vereinigung einer endlichen Menge mit einer einelementigen Menge wieder endlich ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Die nat"urlichen Zahlen}] \begin{enumerate} \item Es gibt ein Paar $(N,S)$ bestehend aus einer Menge $N$ und einer injektiven Abbildung $S:N\hra N$ derart, da"s $S$ nicht surjektiv ist und da"s jede $S$-stabile Teilmenge $M\subset N$, die nicht im Bild von $S$ enthalten ist, bereits ganz $N$ ist. In Formeln fordern wir f"ur Teilmengen $M\subset N$ also $(S(M)\subset M\not\subset S(N))\RA M=N$; \item Gegeben solch ein Paar $(N,S)$ gibt es genau ein Element $o\in N$, das nicht im Bild von $S$ liegt. Ist dann $(X,x,f)$ ein beliebiges Tripel bestehend aus einer Menge $X$, einem Element $x\in X$ und einer Abbildung $f:X\ra X$, so gibt es genau eine Abbildung $\psi : N \ra X$ mit $\psi (o)=x$ und $\psi S=f\psi$; \item Ein Paar $(N,S)$ wie im ersten Teil ist im Wesentlichen eindeutig bestimmt. Ist pr"aziser $(N',S')$ ein weiteres derartiges Paar, so gibt es genau eine Bijektion $\varphi:N\sira N'$ mit $S'\varphi=\varphi S$. \end{enumerate}\label{EDNC} %\label{NatZz} \end{Satz} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[height=0.6\textheight]{SkriptenBilder/Bildins} \\ \noindent Versuch der graphischen Darstellung einer Menge $N$ mit einer injektiven aber nicht surjektiven Abbildung $S$ in sich selbst. Ich hoffe, da"s so anschaulich wird, warum unter den beiden zus"atzlichen Voraussetzungen (1) \glqq $S$ nicht surjektiv\grqq\ und (2) \glqq jede $S$-stabile Teilmenge $M\subset N$, die nicht im Bild von $S$ enthalten ist, ist bereits ganz $N$\grqq\ jede m"ogliche L"osung wie der Strang ganz rechts aussehen mu"s. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{Nhoc} Sobald der Satz bewiesen ist, halten wir ein derartiges Paar ein f"ur allemal fest, verwenden daf"ur die Notation $(\DN,S)$, erlauben uns aufgrund der Eindeutigkeit den bestimmten Artikel und nennen $\DN$ die Menge der {\bf nat"urlichen Zahlen}.\index{nat"urliche Zahlen} Weiter verwenden wir f"ur das eindeutige Element $o$ aus Teil 2, das kein Nachfolger ist, die Notation $0$\index{$0$!nat"urliche Zahl} und die Bezeichnung {\bf Null}\index{Null} und f"ur die Werte der Abbildung $\psi $ aus Teil 2 die Notation $f^n(x)\pdef \psi (n) $. Gegeben $a\in \DN$ hei"st $S(a)$ der {\bf Nachfolger} oder genauer der {\bf unmittelbare Nachfolger}\index{Nachfolger} von $a$. Die Notation $S$ steht f"ur \glqq successor\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Nhocc} Die in diesem Satz gegebene Charakterisierung und Konstruktion der nat"urlichen Zahlen geht auf einen ber"uhmten Artikel von Richard Dedekind zur"uck mit dem Titel \glqq Was sind und was sollen die Zahlen?\grqq\ Eine alternative Charakterisierung besprechen wir in \eref{WOZ}{AL}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} 1. Nach dem Unendlichkeitsaxiom \ref{eue} finden wir eine Menge $A$ nebst einer injektiven Abbildung $S: A \rightarrow A$ und einem Element $o \in A \backslash S (A)$. Unter allen Teilmengen $M \subset A$ mit $o \in M$ und $S (M) \subset M$ gibt es sicher eine Kleinste $N$, n"amlich den Schnitt aller derartigen Teilmengen, und f"ur diese gilt notwendig $N\subset \{o\}\cup S(N)$. F"ur jede echte Teilmenge $M\subsetneq N$ mit $S(M)\subset M$ folgt erst $o\not\in M$ und dann $M\subset S(N)$. Damit haben wir bereits ein m"ogliches Paar $( N,S)$ gefunden. \\[2mm]\noindent 2. Da"s bei einem derartigen Paar das Komplement $N\backslash S(N)$ genau aus einem einzigen Punkt bestehen mu"s, scheint mir offensichtlich. Gegeben $(X,x,f)$ wie oben betrachten wir nun zun"achst die Gesamtheit aller Teilmengen $G\subset N \times X$ mit $(o,x)\in G$ und $(n,y)\in G\RA (S(n),f(y))\in G$. Sicher gibt es eine kleinste derartige Teilmenge $\Gamma$, n"amlich den Schnitt aller m"oglichen derartigen Teilmengen $G$. Wir zeigen nun, da"s $\Gamma$ der Graph einer Funktion ist. Dazu betrachten wir die Teilmenge $M$ aller $m\in N $ derart, da"s es genau ein $y\in X$ gibt mit $(m,y)\in \Gamma$. Sicher gilt $o\in M$, denn g"abe es $y\in X$ mit $x\neq y$ und $(o,y)\in\Gamma$, so k"onnten wir $(o,y)$ ohne Schaden aus $\Gamma$ entfernen, im Widerspruch zur Minimalit"at von $\Gamma$. Ist "ahnlich $m\in M$, so zeigen wir in derselben Weise $S(m)\in M$. Also gilt $M= N $ und $\Gamma$ ist der Graph einer Funktion $f: N \ra X$ mit den gew"unschten Eigenschaften. Finden wir eine weitere Funk\-tion mit den gew"unschten Eigenschaften, so ist deren Graph auch ein m"ogliches $G$ und wir folgern erst $G\supset \Gamma$ und dann $G=\Gamma$. \\[2mm]\noindent 3. Gegeben ein zweites Paar $(N',S')$ wie in Teil 1 gibt es auch genau ein Element $o'\in N'$, das nicht im Bild von $S'$ liegt. F"ur jede Bijektion $\varphi:N\sira N'$ mit $S'\varphi=\varphi S$ gilt damit $\varphi:o\mapsto o'$ und damit folgt die Eindeutigkeit unserer Bijektion aus Teil 2. Andererseits folgt aus Teil 2 auch die Existenz einer Abbildung $\psi: N\ra N'$ mit $S'\psi=\psi S$ und $\psi:o\mapsto o'$, und wir haben gewonnen, wenn wir zeigen k"onnen, da"s $\psi$ eine Bijektion ist. Wieder nach Teil 2 gibt es aber auch eine Abbildung $\phi: N'\ra N$ mit $S\phi=\phi S'$ und $\phi:o'\mapsto o$. Nochmal nach Teil 2, diesmal der Eindeutigkeitsaussage, gilt $\psi \phi=\op{id}$ und $\phi\psi=\op{id}$. Also ist unser $\psi$ in der Tat eine Bijektion. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Menge $X$ und zwei Abbildungen $\psi, \phi: \DN \ra X$ mit $\psi(0)=\phi(0)$ und $(\psi(b)=\phi(b))\RA (\psi(Sb)=\phi(Sb))$ folgt $\psi=\phi$. Diese Umformulierung von \ref{EDNC} hei"st auch das\index{vollst"andige Induktion} {\bf Prinzip der vollst"andigen Induktion}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Addition nat"urlicher Zahlen}] Sei $(\DN,S)$ die Menge der nat"urlichen Zahlen mit Nachfolgerabbildung aus \ref{Nhoc}. Es gibt genau eine Verkn"upfung $\DN\times\DN\ra\DN$, $(a,b)\mapsto a+b$ mit der Eigenschaft $a+0=a$ und $a+Sb=S(a+b)$ f"ur alle $a,b\in\DN$, und\label{KurZ} mit dieser Verkn"upfung wird $\DN$ ein kommutatives Monoid, in dem die \emph{\bf K"urzungsregel} $(a+b=c+b)\RA(a=c)$ gilt. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Diese Verkn"upfung hei"st die {\bf Addition} auf den nat"urlichen Zahlen.\index{Addition!nat"urlicher Zahlen} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Um die Existenz und Eindeutigkeit unserer Verkn"upfung zu zeigen, wende \ref{EDNC} an auf $(X,x,f)=(\DN,a,S)$. In der Notation aus \ref{Nhoc} k"onnen und m"ussen wir also unsere Verkn"upfung erkl"aren durch die Formel $a+b\pdef S^b(a)$. Dann folgern wir $0+b=b$ mit vollst"andiger Induktion "uber $b$. Ebenso folgern wir $Sa+b=S(a+b)$ mit vollst"andiger Induktion "uber $b$, denn f"ur $b=0$ ist die Aussage klar und wir haben $Sa+Sb=S(Sa+b)=S(S(a+b))=S(a+Sb)$ nach der Definition der Addition. Jetzt folgt $a+b=b+a$ mit Induktion "uber $b$, denn f"ur $b=0$ haben wir das schon gezeigt, und dann finden wir mit unseren Vor"uberlegungen $a+Sb=S(a+b)=S(b+a)=Sb+a$. Schlie"slich folgt $(a+b)+c=a+(b+c)$ mit vollst"andiger Induktion "uber $c$, und was unsere K"urzungsregel angeht, enth"alt f"ur $a\neq c$ die Menge aller $b$ mit $a+b\neq c+b$ sicher $b=0$ und ist stabil unter $S$, enth"alt also alle $b\in\DN$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Anordnung auf den nat"urlichen Zahlen}] Sei $(\DN, S)$ die Menge der nat"urlichen Zahlen mit Nachfolgerabbildung aus \ref{Nhoc}.\label{ONZ} Es gibt genau eine Ordnungsrelation auf $\DN$ mit $(a\leq b)\RA (a\leq Sb)$. F"ur diese Ordnungsrelation ist $0\in\DN$ das kleinste Element, und jede nichtleere Teilmenge von $\DN$ besitzt ein kleinstes Element. \end{Satz} \begin{proof} "Ubung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Multiplikation nat"urlicher Zahlen}] Sei $(\DN, S)$ die Menge der nat"urlichen Zahlen mit Nachfolgerabbildung aus \ref{Nhoc} mit ihrer Addition $+$ aus \ref{KurZ}. Es gibt genau eine Verkn"upfung $\DN\times\DN\ra\DN$, $(a,b)\mapsto ab$ mit der Eigenschaft $a0=0$ und $a(Sb)=ab+a$ f"ur alle $a,b\in\DN$.\label{MnaZ} Mit dieser Verkn"upfung wird $\DN$ ein kommutatives Monoid mit neutralem Element $1\pdef S0$ und es gilt das Distributivgesetz $a(b+c)=ab+ac$ f"ur alle $a,b,c\in\DN$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Diese Verkn"upfung hei"st die {\bf Multiplikation} auf den nat"urlichen Zahlen.\index{Multiplikation!nat"urlicher Zahlen} \end{Bemerkungl} \begin{proof} "Ubung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Teilen mit Rest}] Sei $(\DN,S)$ die Menge der nat"urlichen Zahlen mit Nachfolgerabbildung und Null und Addition, Multiplikation und Anordnung wie in \ref{MnaZ} und \ref{ONZ}.\label{TMR} Gegeben $a,b\in\DN$ mit $b\neq 0$ gibt es eindeutig bestimmte $c,d\in\DN$ mit $a=bc+d$ und $d 0\RA a_r\neq 0$, was wieder dem Leser zur "Ubung "uberlassen sei. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zahldarstellungen}] Gegeben eine beliebige nat"urliche Zahl $b>1$ hat jede nat"urliche Zahl $n$ genau eine Darstellung der Form $$n=a_rb^r+\ldots +a_1b^1+a_0b^0$$ mit $a_0, a_1,\ldots, a_r\in \{0,1,\ldots, b-1\}$ und $r> 0\RA a_r\neq 0$. Wenn wir Symbole alias Ziffern f"ur die Elemente dieser Menge vereinbaren, so k"onnen wir die Sequenz von Ziffern $a_r\ldots a_0$ als Darstellung der Zahl $n$ interpretieren. Wir sagen dann auch, sie {\bf stelle $n$ im $b$-adischen System dar}. \index{Zahldarstellungen} Das $10$-adische Sytem hei"st meist {\bf Dezimalsystem}\index{Dezimalsystem} und man spricht dann auch von der {\bf Dezimaldarstellung}\index{Dezimaldarstellung} einer nat"urlichen Zahl. Bei $b\leq 10$ w"ahlt man als Ziffern meist die ersten $b$ "ublichen Ziffern des Dezimalsystems. Das $2$-adische Sytem hei"st meist {\bf Dualsystem}\index{Dualsystem} und man spricht dann auch von der {\bf Bin"ardarstellung}\index{Bin"ardarstellung} einer nat"urlichen Zahl. So w"are $1010$ die Darstellung im Dualsystem der Zahl, die im Dezimalsystem $2^3+2^1=10$ geschrieben w"urde und die wir Zehn nennen. Gebr"auchlich sind auch Darstellungen im $16$-adischen Sytem alias {\bf Hexadezimalsystem}\index{Hexadezimalsystem} mit den Ziffern $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\mathrm A, \mathrm B,\mathrm C,\mathrm D,\mathrm E,\mathrm F$. Etwa w"are $\mathrm F\mathrm F\mathrm F$ die Darstellung im Hexadezimalsystem der Zahl, die im Dezimalsystem $15\cdot 16+15= 16^2-1=255$ geschrieben w"urde. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gilt $S(a)\neq a$ f"ur alle $a\in \DN$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man f"uhre die Beweise von einigen der S"atze \ref{MnaZ}, \ref{POZ}, \ref{ONZ} und \ref{TMR} aus. \end{Ubung} \subsection{Untergruppen der Gruppe der ganzen Zahlen} \label{UgrZ} % \begin{Definition} % Eine Teilmenge einer Gruppe hei"st eine {\bf Untergruppe}\index{Untergruppe} % genau dann, wenn sie abgeschlossen ist unter % der Verkn"upfung und mit der induzierten Verkn"upfung % selbst wieder eine Gruppe ist. % \end{Definition} \begin{Definition} Eine Teilmenge einer Gruppe hei"st eine {\bf Untergruppe},\index{Untergruppe} wenn sie abgeschlossen ist unter der Verkn"upfung und der Inversenbildung und zus"atzlich das neutrale Element enth"alt. Ist $G$ eine multiplikativ geschriebene Gruppe, so ist eine Teilmenge $U \subset G$ also eine Untergruppe, wenn in Formeln gilt: $a,b \in U \Rightarrow a b \in U$, $a \in U \Rightarrow a^{-1} \in U$ sowie $1\in U$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Nach der reinen Lehre sollte eine Teilmenge einer Gruppe eine \glqq Untergruppe\grqq\ hei"sen, wenn sie so mit der Struktur einer Gruppe versehen werden kann, da"s die Einbettung ein Gruppenhomomorphismus wird. Da diese Definition jedoch f"ur Anwendungen erst aufgeschl"usselt werden mu"s, haben wir gleich die aufgeschl"usselte Fassung als Definition genommen und "uberlassen den Nachweis der "Aquivalenz zur Definition nach der reinen Lehre dem Leser zur "Ubung. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} In jeder Gruppe ist die einelementige Teilmenge, die nur aus dem neutralen Element besteht, eine Untergruppe. Wir nennen sie die \defnoind{triviale Untergruppe}.\index{Untergruppe!triviale} Ebenso ist nat"urlich die ganze Gruppe stets eine Untergruppe von sich selber. Gegeben ein Vektorraum $V$ ist die Menge aller Automorphismen eine Untergruppe $\op{Aut}(V)\subset \op{Ens}^\times(V)$ der Gruppe aller Permutationen der zugrundeliegenden Menge. \end{Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Untergruppen der additiven Gruppe $\DZ$ der ganzen Zahlen}] Jede Untergruppe $H \subset \DZ$ ist von der Form $H=m \DZ$ f"ur genau ein $m \in \DN$.\label{UGZ} Die Abbildungsvorschrift $m\mapsto m \DZ$ liefert mithin eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \DN & \sira & \{H\subset \DZ\mid H \text{ ist Untergruppe von }\DZ\} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Im Fall $H=\{0\}$ ist $m=0$ die einzige nat"urliche Zahl mit $H= m\DZ$. Gilt $H \neq \{0\}$, so enth"alt $H$ echt positive Elemente. Sei dann $m \in H$ das kleinste echt positive Element von $H$. Wir behaupten $H = m\DZ$. Die Inklusion $H \supset m \DZ$ ist hier offensichtlich. Aber g"abe es $n \in H \setminus m\DZ$, so k"onnten wir $n$ mit Rest teilen durch $m$ und also schreiben $n = ms + r$ f"ur geeignete $s,r\in\DZ$ mit $0< r < m$. Es folgte $r = n-ms\in H$ im Widerspruch zur Minimalit"at von $m$. Das zeigt die Surjektivit"at unserer Abbildung. Die Injektivit"at ist offensichtlich. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{EUG} Der Schnitt "uber eine beliebige Familie von Untergruppen einer gegebenen Gruppe ist selbst wieder eine Untergruppe. F"ur eine Teilmenge $T$ einer Gruppe $G$ definieren wir die {\bf von $T$ erzeugte Untergruppe}\index{Untergruppe!erzeugt von Teilmenge} $$\langle T\rangle \subset G$$ als die\index{erzeugt!Untergruppe} kleinste Untergruppe von $G$, die $T$ umfa"st. Nat"urlich gibt es so eine kleinste Untergruppe, n"amlich den Schnitt "uber alle Untergruppen von $G$, die $T$ umfassen. F"ur $T \neq \emptyset$ k"onnen wir $\langle T\rangle$ konkret beschreiben als die Menge aller endlichen Produkte von Elementen aus $T$ und deren Inversen. F"ur $T =\emptyset$ besteht $\langle T\rangle$ dahingegen nur aus dem neutralen Element. Ist $T$ durch einen Ausdruck in Mengenklammern gegeben, so lassen wir diese meist weg und schreiben also zum Beispiel k"urzer $\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$ statt $\langle \{ a_1,\ldots,a_n\}\rangle$. Ob der Ausdruck $\langle T\rangle$ in einem speziellen Fall die von einer Menge $T$ erzeugte Untergruppe oder vielmehr die von der einelementigen Menge mit einzigem Element $T$ erzeugte Untergruppe meint, mu"s der Leser meist selbst aus dem Kontext erschlie"sen. Schreiben wir jedoch $\langle_! T\rangle$, so ist stets zu verstehen, da"s $T$ eine Menge von Erzeugern und nicht einen einzelnen Erzeuger meint. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $V$ ein $k$-Vektorraum und $T\subset V$ eine Teilmenge, so mu"s der Leser von nun an aus dem Kontext erschlie"sen, ob mit $\langle T\rangle$ die von $T$ erzeugte Untergruppe oder der von $T$ erzeugte Untervektorraum gemeint ist. Zur Unterscheidung schreiben wir manchmal $\langle T\rangle_\DZ$ f"ur die von $T$ erzeugte Untergruppe und $\langle T\rangle_k$ f"ur den von $T$ erzeugten Untervektorraum. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{ETUG} Eine endliche nichtleere Teilmenge einer Gruppe, die mit je zwei Elementen auch die Verkn"upfung der beiden enth"alt, ist notwendig bereits eine Untergruppe. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{SM} Sind $H,K \subset G$ zwei Untergruppen einer Gruppe mit $H\cap K =1$, so induziert die Verkn"upfung eine Injektion $H \times K \hookrightarrow G$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wieviele Untergruppen hat die additive Gruppe eines zweidimensionalen Vektorraums "uber dem K"orper mit zwei Elementen? Wieviele Untergruppen hat die additive Gruppe eines $n$-dimensionalen Vektorraums "uber dem K"orper mit zwei Elementen? \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{StaKe} Sei $G$ eine Gruppe und $\varphi:G\ra G$ ein Gruppenhomomorphismus. Man zeige: Gilt f"ur ein $n\in\DN$ die Geichheit $\op{ker}\varphi^n=\op{ker}\varphi^{n+1}$, so folgt $\op{ker}\varphi^n=\op{ker}\varphi^{n+1}=\op{ker}\varphi^{n+2}=\ldots$ %Hinweis: Man mag \eref{BiuB}{GR} erinnern. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{KKGr} Ist $\varphi:G\ra H$ ein Gruppenhomomorphismus, so gilt die Formel $|G|=|\op{im}\varphi|\cdot |\op{ker}\varphi|$. Man bemerke, da"s diese Formel im Fall linearer Abbildungen von Vektorr"aumen "uber endlichen K"orpern "aquivalent ist zur Dimensionsformel. \end{Ubung} \subsection{Primfaktorzerlegung} \begin{Definition} Eine \defind{Primzahl} ist eine nat"urliche Zahl $\geq 2$, die sich nicht als das Produkt von zwei echt kleineren nat"urlichen Zahlen erhalten l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Primzahlen unterhalb von $50$ sind $2$, $3$, $5$, $7$, $11$, $13$, $17$, $19$, $23$, $29$, $31$, $37$, $41$, $43$, $47$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine M"oglichkeit, alle Primzahlen zu finden, ist das sogenannte \defind{Sieb des Eratosthenes}: Man beginnt mit der kleinsten Primzahl, der Zwei. Streicht man alle Vielfachen der Zwei, d.h.\ alle geraden Zahlen, so ist die erste Zahl unter den "Ubrigen die n"achste Primzahl, die Drei. Streicht man nun auch noch alle Vielfachen der Drei, so ist die erste Zahl unter den "Ubrigen die n"achste Primzahl, die F"unf, und so weiter. \glqq Der Erste\grqq\ hei"st auf lateinisch \glqq Primus\grqq\ und auf griechisch "ahnlich und es k"onnte sein, da"s die Bezeichnung \glqq Primzahl\grqq\ daher r"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Existenz einer Primfaktorzerlegung}]\label{EPF} Jede nat"urliche Zahl\index{Primfaktorzerlegung!Existenz} $n \geq 2$ kann als ein Produkt von Primzahlen $n = p_{1} p_{2} \ldots p_{r}$ dargestellt werden. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt in unserer Terminologie auch f"ur die Zahl $n=1$, die eben durch das \glqq leere Produkt\grqq\ mit $r=0$ dargestellt wird. Ebenso gilt er f"ur jede Primzahl $p$, die dabei als Produkt von einem Faktor mit $r=1$ als $p=p_1$ zu verstehen ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Das ist klar mit vollst"andiger Induktion: Ist eine Zahl nicht bereits selbst prim, so kann sie als Produkt echt kleinerer Faktoren geschrieben werden, von denen nach Induktionsannahme bereits bekannt ist, da"s sie Primfaktorzerlegungen besitzen. \end{proof} \begin{Satz}\label{UEPi} Es gibt unendlich viele Primzahlen. \end{Satz} \begin{proof} Durch Widerspruch. G"abe es nur endlich viele Primzahlen, so k"onnten wir deren Produkt betrachten und dazu Eins hinzuz"ahlen. Die so neu entstehende Zahl m"u"ste dann wie jede von Null verschiedene nat"urliche Zahl nach \ref{EPF} eine Primfaktorzerlegung besitzen, aber keine unserer endlich vielen Primzahlen k"ame als Primfaktor in Frage. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[(2016)] Noch offen ist die Frage, ob es auch unendlich viele \defind{Primzahlzwillinge} gibt, d.h.\ Paare von Primzahlen mit der Differenz Zwei, wie zum Beispiel $5,7$ oder $11,13$ oder $17,19$. Ebenso offen ist die Frage, ob jede gerade Zahl $n>2$ die Summe von zwei Primzahlen ist. Die Vermutung, da"s das richtig sein sollte, ist bekannt als \defind{Goldbach-Vermutung}. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung}] Die Darstellung einer nat"urlichen Zahl $n \geq 1$ als ein Produkt von Primzahlen $n = p_{1} p_{2} \ldots p_{r}$ ist eindeutig bis auf die Reihenfolge der Faktoren. Nehmen wir zus"atzlich\label{EPFE} $ p_{1}\leq p_{2}\leq \ldots \leq p_{r}$ an, so ist unsere Darstellung mithin eindeutig. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz ist einer von vielen Gr"unden, aus denen man bei der Definition des Begriffs einer Primzahl die Eins ausschlie"st, obwohl das die Definition verl"angert: H"atten wir der Eins erlaubt, zu unseren Primzahlen dazuzugeh"oren, so w"are der vorhergehende Satz in dieser Formulierung falsch. In obigem Satz ist $r\geq 0$ zu verstehen, genauer ist die Eins das leere Produkt und Primzahlen werden durch ein Produkt mit nur einem Faktor dargestellt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Beweis dieses Satzes braucht einige Vorbereitungen. Ich bitte Sie, gut aufzupassen, da"s wir bei diesen Vorbereitungen den Satz "uber die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nirgends verwenden, bis er dann im Anschlu"s an Lemma \ref{EPf} endlich bewiesen werden kann. \end{proof} \begin{Definition} Seien $a,b \in \DZ$ ganze Zahlen. Wir sagen {\bf $a$ teilt $b$}\index{teilt} oder {\bf $a$ ist ein Teiler von $b$}\index{Teiler} und schreiben $a|b$ genau dann, wenn es $c \in \DZ$ gibt mit $ac=b$. \end{Definition} \begin{Definition} Sind ganze Zahlen $a,b\in\DZ$ nicht beide Null, so gibt es eine gr"o"ste ganze Zahl $c\in\DZ$, die sie beide teilt. Diese Zahl hei"st der {\bf gr"o"ste gemeinsame Teiler}\index{gr"o"ster gemeinsamer Teiler} von $a$ und $b$. Ganze Zahlen $a$ und $b$ hei"sen {\bf teilerfremd}\index{teilerfremd!ganze Zahlen} genau dann, wenn sie au"ser $\pm 1$ keine gemeinsamen Teiler besitzen. Insbesondere sind also $a=0$ und $b=0$ nicht teilerfremd. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{"uber den gr"o"sten gemeinsamen Teiler}] Sind zwei ganze Zahlen $a,b\in \DZ$ nicht beide Null,\label{ggT} so kann ihr gr"o"ster gemeinsamer Teiler $c$ als eine ganzzahlige Linearkombination unserer beiden Zahlen dargestellt werden. Es gibt also in Formeln $r, s \in \DZ$ mit $$c = r a+sb$$ Teilt weiter $d \in \DZ$ sowohl $a$ als auch $b$, so teilt $d$ auch den gr"o"sten gemeinsamen Teiler von $a$ und $b$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der letzte Teil dieses Satzes ist einigerma"sen offensichtlich, wenn man die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung als bekannt voraussetzt. Da wir besagte Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung jedoch erst aus besagtem zweiten Teil ableiten werden, ist es wichtig, auch f"ur den zweiten Teil dieses Satzes einen eigenst"andigen Beweis zu geben. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Man betrachte die Teilmenge $a \DZ + b\DZ= \{ ar+bs\mid r, s \in \DZ\}\subset\DZ$. Sie ist offensichtlich eine von Null verschiedene Untergruppe von $\DZ$. Also ist sie nach unserer Klassifikation \ref{UGZ} der Untergruppen von $\DZ$ von der Form $a \DZ + b\DZ = \hat{c}\DZ$ f"ur genau ein $\hat{c} > 0$ und es gilt: \begin{enumerate} \item[i.] $\hat{c}$ teilt $a$ und $b$. In der Tat haben wir ja $a,b\in \hat{c}\DZ$; \item[ii.] $\hat{c} = r a +sb$ f"ur geeignete $r,s \in \DZ$. In der Tat haben wir ja $\hat{c}\in a \DZ + b\DZ$; \item[iii.] $(d$ teilt $a$ und $b) \Rightarrow (d$ teilt $\hat{c})$. \end{enumerate} Daraus folgt aber sofort, da"s $\hat{c}$ der gr"o"ste gemeinsame Teiler von $a$ und $b$ ist, und damit folgt dann der Satz. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur gr"o"ste gemeinsame Teiler}] Gegeben $a_1,\ldots, a_n\in\DZ$ k"onnen wir mit der Notation \ref{EUG} k"urzer schreiben $$a_1\DZ+\ldots+a_n\DZ=\langle a_1,\ldots,a_n\rangle$$ "Ublich ist hier auch die Notation $(a_1,\ldots,a_n)$, die jedoch oft auch $n$-Tupel von ganzen Zahlen bezeichnet, also Elemente von $\Bbb{Z}^{n}$, und in der Analysis im Fall $n=2$ meist ein offenes Intervall. Es gilt dann aus dem Kontext zu erschlie"sen, was jeweils gemeint ist. Sind $a$ und $b$ nicht beide Null und ist $c$ ihr gr"o"ster gemeinsamer Teiler, so haben wir nach dem Vorhergehenden $\langle a,b\rangle=\langle c\rangle$. Wir benutzen von nun an diese Notation. "Uber die Tintenersparnis hinaus hat sie den Vorteil, auch im Fall $a=b=0$ sinnvoll zu bleiben. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{von Euklid}] Teilt eine Primzahl ein Produkt von zwei ganzen Zahlen, so teilt sie einen der\label{EPf} Faktoren.\index{Euklid!Lemma von} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Dies Lemma findet sich bereits in Euklid's Elementen in Buch VII als Proposition 30. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn wir die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung als bekannt voraussetzen, so ist dies Lemma offensichtlich. Diese Argumentation hilft aber hier nicht weiter, da sie voraussetzt, was wir gerade erst beweisen wollen. Sicher ist Ihnen die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung aus der Schule und ihrer Rechenerfahrung wohlvertraut. Um die Schwierigkeit zu sehen, sollten Sie vielleicht selbst einmal versuchen, einen Beweis daf"ur anzugeben. Im "ubrigen werden wir in \eref{GBGG}{AL} sehen, da"s etwa in $\DZ[\sqrt{-5}]$ das Analogon zur Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung nicht mehr richtig ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $p$ unsere Primzahl und seien $a,b\in\DZ$ gegeben mit $p|ab$. Teilt $p$ nicht $a$, so folgt f"ur den gr"o"sten gemeinsamen Teiler $\langle p, a\rangle=\langle 1\rangle$, denn die Primzahl $p$ hat nur die Teiler $\pm 1$ und $\pm p$. Der gr"o"ste gemeinsame Teiler von $p$ und $a$ kann aber nicht $p$ sein und mu"s folglich $1$ sein. Nach \ref{ggT} gibt es also $r, s \in \DZ$ mit $1=rp +sa$. Es folgt $b = rpb + sab$ und damit $p|b$, denn $p$ teilt nat"urlich $rpb$ und teilt nach Annahme auch $sab$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung \ref{EPFE}] Zun"achst sei bemerkt, da"s aus Lemma \ref{EPf} per Induktion dieselbe Aussage auch f"ur Produkte beliebiger L"ange folgt: Teilt eine Primzahl ein Produkt, so teilt sie einen der Faktoren. Seien $n=p_1p_2\ldots p_r=q_1q_2\ldots q_s$ zwei Primfaktorzerlegungen derselben Zahl $n\geq 1$. Da $p_1$ unser $n$ teilt, mu"s es damit eines der $q_i$ teilen. Da auch dies $q_i$ prim ist, folgt $p_1=q_i$. Wir k"urzen den gemeinsamen Primfaktor und sind fertig per Induktion. \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Aus der Existenz der Primfaktorzerlegung folgt insbesondere, % da"s es unendlich viele Primzahlen geben mu"s: F"ur jede endliche % Menge von % Primzahlen k"onnen wir n"amlich ihr Produkt % bilden. Z"ahlen wir zu diesem Produkt noch 1 hinzu, so kann % keine Primzahl aus unserer endlichen % Menge ein Primfaktor der neu entstandenen Zahl sein. % Also ist jeder Primfaktor der neu entstandenen Zahl eine Primzahl au"serhalb % unserer vorgegebenen endlichen Menge von Primzahlen. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EukA} Ich erkl"are am Beispiel $a=160$, $b= 625$ den sogenannten {\bf euklidischen Algorithmus}, mit dem man den gr"o"sten gemeinsamen Teiler $c$ zweier positiver nat"urlicher Zahlen $a,b$ bestimmen kann nebst einer Darstellung $c=ra+rb$. In unseren Gleichungen wird jeweils geteilt mit Rest. $$\begin{array}{rrrrrrrrrrrrrr} %\swarrow&&\swarrow\\ 160 = 1 \cdot&\! 145 &+& 15 \\ %\swarrow&&\swarrow\\ 145 = 9 \cdot &\! 15 &+& 10 \\ %\swarrow&&\swarrow\\ 15 = 1 \cdot&\! 10 &+& 5 \\ %\swarrow&&\swarrow\\ 10 = 2 \cdot &\! 5 &+&0 & \end{array}$$ Daraus folgt f"ur den gr"o"sten gemeinsamen Teiler $\langle 625,160\rangle =\langle 160,145\rangle =\langle 145,15\rangle =\langle 15,10\rangle =\langle 10,5\rangle =\langle 5,0\rangle =\langle 5\rangle $. Die vorletzte Zeile liefert eine Darstellung $5=x\cdot 10 + y\cdot 15$ unseres gr"o"sten gemeinsamen Teilers $5=\op{ggT}(10,15)$ als ganzzahlige Linearkombination von $10$ und $15$. Die vorvorletzte Zeile eine Darstellung $10=x'\cdot 15 + y'\cdot 145$ und nach Einsetzen in die vorherige Gleichung eine Darstellung $5=x(x'\cdot 15 + y'\cdot 145)+y\cdot 15$ unseres gr"o"sten gemeinsamen Teilers $5=\op{ggT}(15,145)$ als ganzzahlige Linearkombination von $15$ und $145$. Indem wir so induktiv hochsteigen, erhalten wir schlie"slich f"ur den gr"o"sten gemeinsamen Teiler die Darstellung $5=-11 \cdot 625 + 43 \cdot 160 $. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{ABC-Vermutung}] Gegeben eine positive nat"urliche Zahl $n$ bezeichne $\op{rad}(n)$ das Produkt ohne Vielfachheiten aller Primzahlen, die $n$ teilen. Die {\bf ABC-Vermutung}\index{ABC-Vermutung} besagt, da"s es f"ur jedes $\varepsilon >0$ nur endlich viele Tripel von paarweise teilerfremden positiven nat"urlichen Zahlen $a,b,c$ geben soll mit $a+b=c$ und $$c > (\op{rad}(abc))^{1+\varepsilon}$$ Es soll also salopp gesprochen sehr selten sein, da"s f"ur teilerfremde positive nat"urliche Zahlen $a,b$ mit vergleichsweise kleinen Primfaktoren ihre Summe auch nur kleine Primfaktoren hat. Der Status der Vermutung ist zur Zeit (2016) noch ungekl"art. Man kann zeigen, da"s es unendlich viele Tripel von paarweise teilerfremden positiven nat"urlichen Zahlen $a0$ zur"uck. In diesem Fall beginnt man mit der Erkenntnis $\varphi(1\cdot 1)=\varphi(1)=1_R=1_R\cdot 1_R=\varphi(1)\varphi(1)$ und argumentiert von da aus mit vollst"andiger Induktion und dem Distributivgesetz. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ganze Zahlen und allgemeine Ringe}] Gegeben ein Ring $R$ notieren wir den Ringhomomorphismus $\DZ\ra R$ aus \ref{UEZz} manchmal $n\mapsto n_R$ und meist $n\mapsto n$. Ich will kurz diskutieren, warum das ungef"ahrlich ist.\label{GZAR} Gegeben $r\in R$ und $n\in\DZ$ gilt n"amlich stets $nr=n_R r=r n_R$, wobei $nr$ in Bezug auf die Struktur von $R$ als additive abelsche Gruppe verstehen, also $nr=n^+ r= r+r\ldots +r$ mit $n$ Summanden falls $n\geq 1$ und so weiter, wie in der Tabelle \eref{KFt}{GR} und in \eref{naa}{GR} ausgef"uhrt wird. Unsere Gleichung $nr=n_R r=r n_R$ bedeutet dann hinwiederum, da"s es auf den Unterschied zwischen $n_R$ und $n$ meist gar nicht ankommt. Deshalb f"uhrt es auch selten zu Mi"svert"andnissen, wenn wir statt $n_R$ nur kurz $n$ schreiben. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{MSRR} Auf der abelschen Gruppe $\DZ$ gibt es genau zwei Verkn"upfungen, die als Multiplikation genommen die Addition zu einer Ringstruktur erg"anzen. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{Riff} Man zeige, da"s in jedem Ring $R$ gilt $0a =0 \quad \forall a \in R$; $-a = (-1) a \quad \forall a \in R$; $(-1) (-1) =1$; $(-a)(-b)=ab\quad\forall a,b\in R$. \end{Ubung} \subsection{Restklassenringe des Rings der ganzen Zahlen} \begin{Definition} Gegeben $G\supset H$ eine Gruppe mit einer Untergruppe definieren wir den {\bf Quotienten} $G/H$,\index{$/$ Quotient}\index{Quotient} eine Teilmenge $G/H\subset \mathcal P(G)$, durch die Vorschrift $$G/H\pdef\{ L\subset G\mid \exists g\in G\text{ mit }L=gH\}$$ Die Teilmenge $gH\subset G$ hei"st die {\bf $H$-Linksnebenklasse von $g$ in $G$}.\index{Linksnebenklasse} Unser Quotient ist also die Menge aller $H$-Linksnebenklassen in $G$. Jedes Element einer Linksnebenklasse hei"st auch ein {\bf Repr"asentant}\index{Repr"asentant} besagter Linksnebenklasse. Eine Teilmenge $R\subset G$ derart, da"s die Vorschrift $g\mapsto gH$ eine Bijektion $R\sira G/H$ induziert, hei"st ein {\bf Repr"asentantensystem}\index{Repr"asentantensystem} f"ur die Menge der Linksnebenklassen. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Diese Konstruktion wird in \eref{NebK}{LA2} noch sehr viel ausf"uhrlicher diskutiert werden. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Im Fall der additiven Gruppe $\DZ$ mit der Untergruppe $m\DZ$ haben wir speziell $\DZ/m\DZ=\{L\subset \DZ\mid \exists a\in \DZ\text{ mit }L=a+m\DZ\}$. Die Linksnebenklasse von $a$ hei"st in diesem Fall auch die {\bf Restklasse von $a$ modulo $m$},\index{Restklasse} da zumindest im Fall $a \geq 0$ und $m>0$ ihre nichtnegativen Elemente genau alle nat"urlichen Zahlen sind, die beim Teilen durch $m$ denselben Rest lassen wie $a$. Wir notieren diese Restklasse auch $\bar{a}$.\label{Rkr} Nat"urlich ist $\bar{a} = \bar{b}$ gleichbedeutend zu $a -b \in m \mathbb Z$. Geh"oren $a$ und $b$ zur selben Restklasse, in Formeln $a + m\DZ = b + m\DZ$, so nennen wir sie \defnoind{kongruent modulo $m$}\index{kongruent modulo} und schreiben $$a \equiv b \pmod{m}$$ Offensichtlich gibt es f"ur $m>0 $ genau $m$ Restklassen modulo $m$, in Formeln $|\Bbb{Z} / m \Bbb{Z}| = m$, und wir haben genauer $$\Bbb{Z} / m \Bbb{Z}=\{\bar{0},\bar{1},\ldots,\overline{m-1}\}$$ Da in dieser Aufz"ahlung keine Nebenklassen mehrfach genannt werden, ist die Teilmenge $\{0,1,\ldots,m-1\}$ also ein Repr"asentantensystem f"ur die Menge von Nebenklassen $\Bbb{Z} / m \Bbb{Z}$. Ein anderes Repr"asentantensystem w"are $\{1,\ldots,m\}$, ein Drittes $\{1,\ldots,m-1,7m\}$. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Restklassenring}] F"ur alle $m\in\DZ$ gibt es auf der Menge $\Bbb{Z} / m \Bbb{Z}$ genau eine Struktur als Ring derart, da"s die Abbildung $\Bbb{Z}\sra \Bbb{Z} / m \Bbb{Z}$ mit $a\mapsto \bar a$ ein Ringhomomorphismus ist. \end{Satz} \begin{proof} Da"s es h"ochstens eine derartige Ringstruktur gibt, es eh klar. Zu zeigen bleibt nur deren Existenz. Nach \eref{Verk}{GR} induziert jede Verkn"upfung auf einer Menge $A$ eine Verkn"upfung auf ihrer Potenzmenge $\mathcal P(A)$. F"ur die so von der Verkn"upfung $+$ auf $\DZ$ induzierte Verkn"upfung $+$ auf $\mathcal P (\mathbb Z)$ gilt offensichtlich $$\bar{a} + \bar{b} = (a+m\DZ)+ (b+m\DZ)= (a+b)+m\DZ=\overline{a+b} \quad \forall a,b \in \mathbb Z$$ Insbesondere induziert unsere Verkn"upfung $+$ auf $\mathcal P (\mathbb Z)$ eine Verkn"upfung $+$ auf $\mathbb Z / m \mathbb Z$ und $a\mapsto \bar a$ ist f"ur diese Verkn"upfungen ein Morphismus von Magmas alias Mengen mit Verkn"upfung. Ebenso k"onnen wir auf $\mathcal P (\mathbb Z)$ eine Verkn"upfung $\odot=\odot_m$ einf"uhren durch die Vorschrift \begin{equation*} T \odot S \pdef T \cdot S + m \mathbb Z \pdef \{ ab + mr \mid a \in T, b \in S, r \in \mathbb Z \} \end{equation*} Wieder pr"uft man f"ur die so erkl"arte Multiplikation m"uhelos die Formel \begin{equation*} \bar{a} \odot \bar{b} = \overline{ab} \end{equation*} Da"s $\mathbb Z / m \mathbb Z$ mit unseren beiden Verkn"upfungen ein Ring wird und $a\mapsto\bar a$ ein Ringhomomorphismus folgt ohne weitere Schwierigkeiten aus der Surjektivit"at der nat"urlichen Abbildung $\DZ\sra \DZ/m\DZ$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir geben wir die komische Notation $\odot$ nun auch gleich wieder auf und schreiben stattdessen $\bar{a}\cdot \bar{b}$ oder noch k"urzer $\bar{a}\bar{b}$. Auch die Notation $\bar a$ werden wir meist zu $a$ vereinfachen, wie wir es ja in \ref{GZAR} eh schon vereinbart hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Modulo $m=2$ gibt es genau zwei Restklassen: Die Elemente der Restklasse von $0$ bezeichnet man "ublicherweise als {\bf gerade Zahlen},\index{gerade!Zahl}\index{Zahl!gerade} die Elemente der Restklasse von $1$ als {\bf ungerade Zahlen}.\index{ungerade!Zahl}\index{Zahl!ungerade} Der Ring $\DZ/2\DZ$ mit diesen beiden Elementen $\bar{0}$ und $\bar{1}$ ist offensichtlich sogar ein K"orper. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Der Ring $\mathbb Z / 12 \mathbb Z$ der Uhrzeiten}] Den Ring $\mathbb Z / 12 \mathbb Z$ k"onnte man als \glqq Ring von Uhrzeiten\grqq\ ansehen. Er hat die zw"olf Elemente $\{\bar{0}, \bar{1}, \ldots, \overline{11}\}$ und wir haben $\overline{11} + \bar{5} = \overline{16} = \bar{4}$ alias \glqq $5$ Stunden nach $11$ Uhr ist es $4$ Uhr\grqq. Weiter haben wir in $\DZ/12\DZ$ etwa auch $\bar{3} \cdot \bar{8} = \overline{24} = \bar{0}$. In einem Ring kann es also durchaus passieren, da"s ein Produkt von zwei von Null verschiedenen Faktoren Null ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Sei $m\geq 1$ eine nat"urliche Zahl. Eine Restklasse modulo $m$ hei"st eine {\bf prime Restklasse}\index{prim!Restklasse}\index{Restklasse!prime} genau dann, wenn sie aus zu $m$ teilerfremden Zahlen besteht. Wir zeigen in \eref{PZRc}{FT1}, da"s es in jeder primen Restklasse unendlich viele Primzahlen gibt. Im Fall $m=10$ bedeutet das zum Beispiel, da"s es jeweils unendlich viele Primzahlen gibt, deren Dezimaldarstellung mit einer der Ziffern $1,3,7$ und $9$ endet. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition}[\textbf{Teilbarkeitskriterien "uber Quersummen}\index{Quersumme}] Eine nat"urliche Zahl ist genau dann durch Drei beziehungsweise durch Neun teilbar, wenn ihre Quersumme durch Drei beziehungsweise durch Neun teilbar ist. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir erkl"aren das Argument nur an einem Beispiel. Per definitionem gilt $$1258 =1 \cdot 10^{3} + 2\cdot 10^{2} + 5\cdot 10 +8$$ Offensichtlich folgt $$\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;1258 \equiv 1 \cdot 10^{3} + 2\cdot 10^{2} + 5\cdot 10 +8\pmod 3$$ Da $10$ kongruent ist zu $1$ modulo $3$ erhalten wir daraus $$1258 \equiv 1 + 2+ 5 +8 \pmod 3$$ Insbesondere ist die rechte Seite durch drei teilbar genau dann, wenn die linke Seite durch drei teilbar ist. Das Argument f"ur neun statt drei geht genauso. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In $\DZ/12\DZ$ gilt zum Beispiel $\bar{3} \cdot \bar{5} = \bar{3}\cdot\bar{1}$. In allgemeinen Ringen d"urfen wir also nicht k"urzen. Dies Ph"anomen werden wir nun begrifflich fassen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{TeiR} \begin{enumerate} \item Gegeben ein Kring $R$ und Elemente $a,b\in R$ sagen wir, $a$ \defind{teilt} $b$ oder auch $a$ ist ein \defind{Teiler} von $b$ und schreiben $a| b$ genau dann, wenn es $d\in R$ gibt mit $ad=b$; % oder, gleichbedeutend, wenn gilt $\langle a\rangle %\supset\langle b\rangle$ oder auch gleichbedeutend $\langle a\rangle %\ni b$. \item Ein Element $a$ eines Rings $ R$ hei"st ein {\bf Nullteiler}\index{Nullteiler} von $R$ genau dann, wenn es $d \in R\backslash 0$ gibt mit $ad =0$ oder $da=0$. Die Null ist also genau dann ein Nullteiler, wenn unser Ring nicht der Nullring ist; \item Ein Ring hei"st {\bf nullteilerfrei}\index{nullteilerfrei} genau dann, wenn er au"ser der Null keine Nullteiler besitzt, wenn also das Produkt von je zwei von Null verschiedenen Elementen auch wieder von Null verschieden ist; \item Ein Ring hei"st ein {\bf Integrit"atsbereich}\index{Integrit"atsbereich} genau dann, wenn er nullteilerfrei und ausserdem nicht der Nullring ist. \end{enumerate} \end{Definition} % \begin{Ubung} QUATSCH % Ein Nullteiler kann nur im Nullring eine Einheit sein. % \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Manche Autoren fordern von nullteilerfreien Ringen zus"atzlich, da"s sie nicht der Nullring sein d"urfen, benutzen also dieses Wort als Synonym f"ur \glqq Integrit"atsbereich\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Nullteiler in $\DZ/12\DZ$ sind $0,2,3,4,6,8,9,10$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{K"urzen in Ringen}]\index{K"urzen in Ringen} Sei $R$ ein Ring. Ist $a \in R$ kein Nullteiler, so folgt aus $ax =ay$ schon $x=y$. In der Tat haben wir n"amlich\label{KiRi} $ ax = ay \;\Rightarrow \; a(x-y) = 0\;\Rightarrow\; x-y =0\;\Rightarrow\; x=y. $ \end{Bemerkungl} %\subsection{Endliche Primk"orper} \begin{Definition}\label{DeEi} Ein Element $a$ eines Rings $R$ hei"st {\bf invertierbar}\index{invertierbar!in Ring} oder genauer {\bf invertierbar in $R$} oder auch eine {\bf Einheit von $R$}\index{Einheit!von Ring} genau dann, wenn es bez"uglich der Multiplikation invertierbar ist im Sinne von \eref{DeGr}{GR}, wenn es also $b\in R$ gibt mit $ab=ba=1$. Die Menge der invertierbaren Elemente eines Rings bildet unter der Multiplikation eine Gruppe, die man die \defnoind{Gruppe der Einheiten von $R$}\index{Gruppe der Einheiten} nennt und gem"a"s unserer allgemeinen Konventionen \eref{NEM}{GR} mit $R^\times$ bezeichnet. Zwei Elemente eines Krings oder allgemeiner die Elemente einer beliebigen Teilmenge eines Krings hei"sen {\bf teilerfremd}\index{teilerfremd!Elemente eines Krings} genau dann, wenn sie au"ser Einheiten keine gemeinsamen Teiler haben. \end{Definition} \begin{Beispiel} Der Ring der ganzen Zahlen $\DZ$ hat genau zwei Einheiten, n"amlich $1$ und $(-1)$. In Formeln haben wir also $\DZ^\times=\{1, -1\}$. Dahingegen sind die Einheiten im Ring der rationalen Zahlen $\DQ$ genau alle von Null verschiedenen Elemente, in Formeln $\DQ^\times=\DQ\backslash 0$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{EniN} Eine Einheit $a\in R^\times$ eines Rings $R$ kann nie ein Nullteiler sein. In der Tat, gibt es $x\in R$ mit $xa=1$, so folgt aus $ac=0$ bereits $xac=1c=c=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nichtnullteiler endlicher Ringe}] In einem endlichen Ring $R$ sind die Einheiten genau die Nichtnullteiler. In der Tat, ist $a\in R$ kein Nullteiler, so ist die Multiplikation mit $a$ nach \ref{KiRi} eine Injektion\label{Nnnn} $(a\cdot):R\hra R$. Ist aber $R$ endlich, so mu"s sie auch eine Bijektion sein und es gibt folglich $b\in R$ mit $ab=1$. Ebenso finden wir $c\in R$ mit $ca=1$ und dann folgt leicht $b=c$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Einheiten von $\DZ/12\DZ$ sind mithin genau $1,5,7,11$. Man pr"uft unschwer, da"s sogar jedes dieser Elemente sein eigenes Inverses ist. Mithin ist die Einheitengruppe $(\DZ/12\DZ)^\times$ des Uhrzeitenrings gerade unsere Klein'sche Vierergruppe. Im allgemeinen ein Inverses zu $a$ in $\DZ/m\DZ$ zu finden, l"auft auf die L"osung der Gleichung $ax=1+my$ hinaus, von der wir bereits gesehen hatten, da"s der euklidische Algorithmus das leisten kann. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] A priori meint eine Einheit in der Physik das, was ein Mathematiker eine Basis eines eindimensionalen Vektorraums nennen w"urde. So w"are etwa die Sekunde $s$ eine Basis des reellen Vektorraums $\vec{\mathbb T}$ aller Zeitspannen aus \ref{tempp}. In Formeln ausgedr"uckt bedeutet das gerade, da"s das Daranmultiplizieren von $s$ eine Bijektion $\DR\sira \vec{\mathbb T}$ liefert. Mit den Einheiten eines kommutativen Ringes $R$ verh"alt es sich nun genauso: Genau dann ist $u\in R$ eine Einheit, wenn das Daranmultiplizieren von $u$ eine Bijektion $R\sira R$ liefert. Daher r"uhrt dann wohl auch die Terminologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{DK} Ein K"orper kann in dieser Begrifflichkeit definiert werden als ein Kring, der nicht der Nullring ist und in dem jedes von Null verschiedene Element eine Einheit ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Endliche Primk"orper}\index{endliche Primk"orper}]\label{EPK} Sei $m \in \DN$. Genau dann ist der Restklassenring $\DZ/m\DZ$ ein K"orper, wenn $m$ eine Primzahl ist. \end{Proposition} \begin{proof} Sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $m\geq 2$. Ist $m$ keine Primzahl, so gibt es $a,b\in \DN$ mit $a1$ keine Primzahl faktorisieren wir $m = ab$ mit $10$ mit nat"urlichen Zahlen $a1$ und dann $|\alpha|^n>|a_{n-1}\alpha^{n-1}|+\ldots +|a_0|$. Umgekehrt zeige man auch, da"s aus der Absch"atzung $|\alpha|\leq C$ f"ur alle komplexen Wurzeln die Absch"atzung $|a_k|\leq {n\choose k} C^{n-k}$ f"ur die Koeffizienten folgt. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{NKN} Ist $P\in\DR[X]$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten und $\mu\in\DC$ eine komplexe Zahl, so gilt $P(\mu)=0\RA P(\bar{\mu})=0$. Ist also eine komplexe Zahl Nullstelle eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, so ist auch die konjugiert komplexe Zahl eine Nullstelle desselben Polynoms. \end{Ubung} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNKP}\\[4mm] \noindent Die komplexen Nullstellen eines Polynoms mit reellen Koeffizienten, die nicht reell sind, tauchen immer in Paaren aus einer Wurzel und ihrer komplex Konjugierten auf, vergleiche auch "Ubung \ref{NKN}. \end{Bild} \begin{Ubunge} Seien $k, K$ kommutative Ringe, $i: k\ra K$ ein Ringhomomorphismus und $i: k[X]\ra K[X]$ der induzierten Ringhomomorphismus zwischen den zugeh"origen Polynomringen. Man zeige: Ist $\lambda\in k$ eine Nullstelle eines Polynoms $P \in k[X]$, so ist $i(\lambda)\in K$ eine Nullstelle des Polynoms $i(P)$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Ist $K$ ein Integrit"atsbereich, so induziert die kanonische Einbettung $K\hra K[X]$ auf den Einheitengruppen eine Bijektion $K^\times \sira (K[X])^\times$. Im Ring $(\DZ/4\DZ)[X]$ aber ist etwa auch $\bar{1}+\bar{2}X$ eine Einheit. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{QuDr} Man zeige, da"s es in einem endlichen K"orper $\mathbb F$ einer von $2$ verschiedenen Charakteristik genau $(|\mathbb F|+1)/2$ Quadrate gibt, wohingegen in einem endlichen K"orper der Charakteristik $2$ jedes Element das Quadrat eines weiteren Elements ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zerlege das Polynom $X^4+2$ in $\DR[X]$ in der in \ref{FRP} beschriebenen Weise in ein Produkt quadratischer Faktoren ohne Nullstelle. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{MFNr} Ein reelles Polynom hat bei $\lambda\in \DR$ eine mehrfache Nullstelle genau dann, wenn auch seine Ableitung bei $\lambda$ verschwindet. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein reelles Polynom, dessen komplexe Nullstellen bereits s"amtlich reell sind, ist jede Nullstelle seiner Ableitung reell und wenn sie keine Nullstelle der Funktion selbst ist, eine einfache Nullstelle der Ableitung. Hinweis: Zwischen je zwei Nullstellen unserer Funktion mu"s mindestens eine Nullstelle ihrer Ableitung liegen. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Man zeige: Die rationalen Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten $P\in \DZ[X]$ sind bereits alle ganz. In Formeln folgt aus\label{NUQ} $P(\lambda)=0$ f"ur $\lambda\in \DQ$ also bereits $\lambda\in\DZ$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben ein Ring $K$ bilden auch die {\bf formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in $K$}\index{Potenzreihe!formale} der Gestalt $\sum_{n\geq 0}a_n X^n$ mit $a_n\in K$\label{FPR} einen Ring, der meist $K\llbracket X\rrbracket$ notiert\index{()[]@$K\llbracket X\rrbracket$ formale Potenzreihen} wird. Man gebe eine exakte Definition dieses Rings und zeige, da"s seine Einheiten genau diejenigen Potenzreihen sind, deren konstanter Term eine Einheit in $K$ ist, in Formeln $$K\llbracket X\rrbracket^\times=K^\times+XK\llbracket X\rrbracket$$ Man verallgemeinere die Definition und Beschreibung der Einheiten auf Potenzreihenringe $K\llbracket X_1,\ldots,X_n\rrbracket$ in mehreren Variablen und konstruiere einen Ring\-isomorphismus $$(K\llbracket X_1,\ldots,X_n\rrbracket)\llbracket X_{n+1}\rrbracket\sira K\llbracket X_1,\ldots,X_n,X_{n+1} \rrbracket$$ Allgemeiner sei $f=\sum_{n\geq 0}a_n X^n\in K\llbracket X\rrbracket$ eine formale Potenzreihe, f"ur die mindestens ein Koeffizient eine Einheit ist. Man zeige, da"s es dann genau eine Einheit $g\in K\llbracket X\rrbracket^\times$ gibt derart, da"s $fg$ ein normiertes Polynom ist. Man zeige genauer: Ist $m$ minimal mit $a_m\in K^\times$, so gibt es $g\in K\llbracket X\rrbracket^\times$ mit $fg$ normiert vom Grad $m$. Diese Aussage ist ein formales Analogon des {\bf Weierstra"s'schen Vorbereitungssatzes}\index{Weierstra"s!Vorbereitungssatz} insbesondere im Fall, da"s $K$ selbst ein formaler Potenzreihenring in mehreren Variablen ist. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{FRL} Gegeben ein Ring $K$ bilden auch die {\bf formalen Laurentreihen mit Koeffizienten in $K$}\index{Laurentreihe!formale} der Gestalt $\sum_{n\geq -N}a_n X^n$ mit $a_n\in K$ und $N\in\DN$ einen Ring, der meist $K(\!(X)\!)$\index{()@$K(\hspace{-0.8mm}(X)\hspace{-0.8mm})$ formale Laurentreihen} notiert wird. Man gebe eine exakte Definition dieses Rings und zeige, da"s im Fall $K\neq 0$ seine Einheiten genau diejenigen von Null verschiedenen Reihen sind, bei denen der Koeffizient der kleinsten mit von Null verschiedenem Koeffizienten auftauchenden Potenz von $X$ eine Einheit in $K$ ist, in Formeln $$K(\!(X)\!)^\times=\bigcup_{n\in \DZ} X^nK\llbracket X\rrbracket^\times$$ Insbesondere ist im Fall eines K"orpers $K$ auch $K(\!(X)\!)$ ein K"orper. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Wir verwenden hier die Terminologie, nach der bei \emph{formalen} Laurentreihen im Gegensatz zu den urspr"unglichen Laurentreihen der Funktionentheorie nur endlich viele Terme mit negativen Exponenten erlaubt sind. \end{Bemerkunge} \subsection{Polynome als Funktionen*} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildInterpN}\\[4mm] \noindent Das Polynom $P(X)=2X^2-2X-1$ mit reellen Koeffizienten, das die an den St"utzstellen $-1,1,2$ vorgegebenen Werte $3,-1,3$ interpoliert. \end{figure} \begin{Lemma}[\textbf{Interpolation durch Polynome}] Seien $K$ ein K"orper\label{InPo} und $x_0,$ $\ldots, x_n \in K$ paarweise verschiedene \emph{\bf St"utzstellen} und $y_0, \ldots, y_n\in K$ beliebig vorgegebene Werte. So gibt es genau ein Polynom $P \in K [X]$ vom Grad $\leq n$ mit $P (x_0) = y_0, \ldots, P(x_n) = y_n$. \end{Lemma} \begin{proof} Zun"achst ist sicher $(X - x_1) \ldots (X - x_n)\defp A_0 (X)$ ein Polynom vom Grad $n$, das bei $x_1, \ldots, x_n$ verschwindet und an allen anderen Stellen von Null verschieden ist, insbesondere auch bei $x_0$. Dann ist $L_0(X) \pdef A_0 (X) / A_0 (x_0)$ ein Polynom vom Grad $n$, das bei $x_0$ den Wert Eins annimmt und bei $x_1, \ldots, x_n$ verschwindet. In derselben Weise konstruieren wir auch Polynome $L_1 (X), \ldots, L_n (X)$ und erhalten ein m"ogliches Interpolationspolynom als \begin{equation*} P(X) = y_0 L_0 (X) + \ldots + y_n L_n (X) = \sum^n_{i=0} y_i \frac{\prod_{j\neq i} (X-x_j)} {\prod_{j\neq i} (x_i -x_j)} \end{equation*} Das zeigt die Existenz. Ist $Q$ eine weitere L"osung derselben Interpolationsaufgabe vom Grad $\leq n$, so ist $P-Q$ ein Polynom vom Grad $\leq n$ mit $n+1$ Nullstellen, eben bei den St"utzstellen $x_0, \ldots, x_n$. Wegen \ref{ZNPn} mu"s dann aber $P-Q$ das Nullpolynom sein, und das zeigt die Eindeutigkeit. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{PMV} Um die bisher eingef"uhrten algebraischen Konzepte anschaulicher zu machen, will ich sie in Bezug setzen zu geometrischen Konzepten. Ist $K$ ein Kring, so k"onnen wir jedem Polynom $f \in K[X_{1}, \ldots , X_{n}]$ die Funktion $\tilde{f} : K^{n} \ra K$, $(x_{1}, \ldots, x_{n}) \mapsto f(x_{1}, \ldots, x_{n})$ zuordnen. Wir erhalten so einen Ringhomomorphismus $$K[X_{1}, \ldots, X_{n}] \ra \op{Ens} (K^{n},K)$$ Dieser Homomorphismus ist im Allgemeinen weder injektiv noch surjektiv. Schon f"ur $n =1$, $K= \DR$ l"a"st sich ja keineswegs jede Abbildung $\DR \ra\DR$ durch ein Polynom beschreiben, also ist sie in diesem Fall nicht surjektiv. Im Fall eines endlichen K"orpers $K$ kann weiter f"ur $n\geq 1$ unsere $K$-lineare Auswertungsabbildung vom unendlichdimensionalen $K$-Vektorraum $K[X_{1}, \ldots , X_{n}]$ in den endlichdimensionalen $K$-Vektorraum $\op{Ens} (K^{n},K)$ unm"oglich injektiv sein. Wir haben jedoch den folgenden Satz. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Polynome als Funktionen}] \begin{enumerate} \item Ist $K$ ein unendlicher K"orper, ja allgemeiner ein unendlicher nullteilerfreier Kring, so ist f"ur alle $n\in\DN$ die Auswertungsabbildung eine Injektion $K[X_{1}, \ldots , X_{n}] \hra \op{Ens} (K^{n},K)$; \item Ist $K$ ein endlicher K"orper, so ist f"ur alle $n\in\DN$ die Auswertungsabbildung eine Surjektion $K[X_{1}, \ldots, X_{n}] \sra \op{Ens} (K^{n},K)$. Den Kern dieser Surjektion beschreibt "Ubung \eref{KSuR}{LA2}. \end{enumerate}%\label{PAFu} \label{PoFu} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Durch Induktion "uber $n$. Der Fall $n=0$ ist eh klar. F"ur $n =1$ folgt die Behauptung aus der Erkenntnis, das jedes von Null verschiedene Polynom in $K[X]$ nur endlich viele Nullstellen in $K$ haben kann. Der Kern der Abbildung $$K[X] \ra \op{Ens} (K,K)$$ besteht also nur aus dem Nullpolynom. F"ur den Induktionsschritt setzen wir $X_{n} = Y$ und schreiben unser Polynom in der Gestalt $$P = a_{d} Y^{d} + \ldots + a_{1}Y + a_{0}$$ mit $a_{i} \in K [X_{1}, \ldots , X_{n-1}]$. Halten wir $(x_{1}, \ldots , x_{n-1}) = x \in K^{n-1}$ fest, so ist $a_{d} (x) Y^{d} + \ldots + a_{1}(x) Y + a_{0}(x) \in K[Y]$ das Nullpolynom nach dem Fall $n=1$. Also verschwinden $a_{d}(x), \ldots , a_{1} (x),a_{0}(x)$ f"ur alle $x \in K^{n-1}$, mit Induktion sind somit alle $a_{i}$ schon das Nullpolynom und wir haben $P =0$. \\[2mm]\noindent 2. Das bleibt dem Leser "uberlassen. Man mag sich beim Beweis an \ref{InPo} orientieren. Wir folgern in \eref{IP}{AL} eine allgemeinere Aussage aus dem abstrakten chinesischen Restsatz. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s jeder algebraisch abgeschlossene K"orper unendlich ist. Hinweis: Im Fall $1\neq -1$ reicht es, Quadratwurzeln zu suchen.\label{uev} Man zeige, da"s jedes nichtkonstante Polynom $P\in K[X,Y]$ in zwei Ver"anderlichen "uber einem algebraisch abgeschlossenen K"orper unendlich viele Nullstellen in $K^2$ hat. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Nullstellensatz f"ur Hyperebenen}] Sei $K$ ein unendlicher K"orper.\label{HYT} Verschwindet ein Polynom im Polynomring in $d$ Variablen "uber $K$ auf einer affinen Hyperebene in $K^{d}$, so wird es von der, bis auf einen Skalar eindeutig bestimmten, linearen Gleichung besagter Hyperebene geteilt. Hinweis: Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit mag man unsere Hyperebene als eine der Koordinatenhyperebenen annehmen. Man zeige auch allgemeiner: Verschwindet ein Polynom in $d$ Ver"anderlichen "uber einem unendlichen K"orper auf der Vereinigung der paarweise verschiedenen affinen Hyperebenen $H_1, \ldots, H_n\subset K^d$, so wird es vom Produkt der linearen Gleichungen unserer Hyperebenen geteilt. \end{Ubunge} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPyT}\\[4mm] \noindent Wir stellen eine Lampe oben auf den Einheitskreis und bilden jeden von $(0,1)$ verschiedenen Punkt des Einheitskreises ab auf denjenigen Punkt der Parallelen zur $x$-Achse durch $(0,-1)$, auf den sein Schatten f"allt. So entsprechen nach "Ubung \ref{PyS} die Punkte mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis genau den Punkten mit rationalen Koordinaten auf unserer Parallelen. Ein Tripel $a,b,c\in\DZ$ mit $a^2+b^2=c^2$ hei"st ein {\bf pythagoreisches Zahlentripel}.\index{pythagoreische Zahlentripel} Die pythagoreischen Zahlentripel mit gr"o"stem gemeinsamen Teiler $\langle a,b,c\rangle =\langle 1\rangle$ und $c>0$ entsprechen nun offensichtlich eineindeutig den Punkten mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis vermittels der Vorschrift $(a,b,c)\mapsto (a/c,b/c)$. In dieser Weise liefert unser Bild also einen geometrischen Zugang zur Klassifikation der pythagoreischen Zahlentripel. \end{figure} \begin{Ubunge}[\textbf{Pythagoreische Zahlen}] Man zeige: Stellen wir eine Lampe oben auf den Einheitskreis und bilden jeden von $(0,1)$ verschiedenen Punkt des Einheitskreises ab auf denjenigen Punkt der Parallelen zur $x$-Achse durch $(0,-1)$, auf den sein Schatten f"allt, so entsprechen die Punkte mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis genau den Punkten mit rationalen Koordinaten auf unserer Parallelen. Hinweis: Hat ein Polynom in $\DQ[X]$ vom Grad drei zwei rationale Nullstellen, so ist auch seine dritte Nullstelle rational.\label{PyS} \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Unter einem {\bf pythagoreischen Zahlentripel} versteht man ein Tripel $(a,b,c)$ von positiven nat"urlichen Zahlen mit $a^2+b^2=c^2$, die also als Seitenl"angen eines rechtwinkligen Dreiecks auftreten k"onnen. Es scheint mir offensichtlich, da"s die Bestimmung aller pythagoreischen Zahlentripel im wesentlichen "aquivalent ist zur Bestimmung aller Punkte mit rationalen Koordinaten auf dem Einheitskreis, also aller Punkte $(x,y)\in\DQ^2$ mit $x^2+y^2=1$. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Menge der Polynome in $\DQ[X]$, die an allen Punkten aus $\DN$ ganzzahlige Werte annehmen, "ubereinstimmt mit der Menge\label{numPO} aller Linearkombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten der mithilfe der Binomialkoeffizienten gebildeten Polynome $${X \choose k} \pdef \frac{X (X-1) \ldots (X - k+1)} {k(k-1) \ldots 1}\quad\text{ falls $k\geq 1$ und } {X \choose 0} \pdef 1.$$ Hinweis: Man berechne die Werte unserer Polynome bei $X=0,1,2,\ldots$ Die "Ubung zeigt, da"s diejenigen Polynome in $\DQ[X]$, die an allen Punkten aus $\DN$ ganzzahlige Werte annehmen, sogar an allen Punkten aus $\DZ$ ganzzahlige Werte annehmen m"ussen. Sie hei"sen {\bf numerische Polynome}. \index{numerisch!Polynom}\index{Polynom!numerisches} Man zeige weiter f"ur jedes Polynom in $\DQ[X]$ vom Grad $d\geq 0$, das an fast allen Punkten aus $\DN$ ganzzahlige Werte annimmt, da"s es ein numerisches Polynom sein mu"s und da"s das $(d!)$-fache seines Leitkoeffizienten mithin eine ganze Zahl sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die Menge der Polynome in $\DQ[X_1,\ldots,X_r]$, die an allen Punkten aus $\DN^r$ ganzzahlige Werte annehmen, "ubereinstimmt mit der Menge\label{numPOm} aller Linearkombinationen mit ganzzahligen Koeffizienten von Produkten der Gestalt $${X_1 \choose k_1}\ldots {X_r \choose k_r} $$ mit $k_1,\ldots, k_r\geq 0$. Hinweis: Man argumentiere wie in \ref{numPO}. \end{Ubunge} \subsection{"Aquivalenzrelationen} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Relation}\index{Relation!auf einer Menge} $R$ auf einer Menge $X$ verstehen wir wie in \ref{REEb} eine Teilmenge $R \subset X \times X$ des kartesischen Produkts von $X$ mit sich selbst, also eine Menge von Paaren von Elementen von $X$. Statt $(x,y)\in R$ schreiben wir in diesem Zusammenhang meist $xRy$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Relation $R\subset X\times X$ auf einer Menge $X$ hei"st eine\label{deaq} {\bf "Aquivalenzrelation}\index{"Aquivalenzrelation!auf einer Menge} genau dann, wenn f"ur alle Elemente $x,y,z\in X$ gilt: \begin{enumerate} \item {\bf Transitivit"at:} ($xRy$ und $yRz)\RA xRz$; \item {\bf Symmetrie:} $xRy\IFF yRx$;\index{Symmetrie!f"ur Relation} \item {\bf Reflexivit"at:} $xRx$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist eine Relation symmetrisch und transitiv und ist jedes Element in Relation zu mindestens einem weiteren Element, so ist unsere Relation bereits reflexiv. Ein Beispiel f"ur eine Relation, die symmetrisch und transitiv ist, aber nicht reflexiv, w"are etwa die \glqq leere Relation\grqq\ $R=\emptyset$ auf einer nichtleeren Menge $X\neq\emptyset$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine "Aquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $X$ betrachtet man f"ur $x\in X$ die Menge $A(x)\pdef\{z\in X\mid z\sim x\}$ und nennt sie die {\bf "Aquivalenzklasse von}\index{"Aquivalenzklasse} $x$. Eine Teilmenge $A\subset X$ hei"st eine {\bf "Aquivalenzklasse} f"ur unsere "Aquivalenzrelation genau dann, wenn es ein $x\in X$ gibt derart, da"s $A=A(x)$ die "Aquivalenzklasse von $x$ ist. Ein Element einer "Aquivalenzklasse nennt man auch einen {\bf Repr"asentanten}\index{Repr"asentant} der Klasse. Eine Teilmenge $Z\subset X$, die aus jeder "Aquivalenzklasse genau ein Element enth"alt, hei"st ein {\bf Repr"asentantensystem}.\index{Repr"asentantensystem} Aufgrund der Reflexivit"at gilt $x\in A(x)$, und man sieht leicht, da"s f"ur $x,y\in X$ die folgenden drei Aussagen gleichbedeutend sind: \begin{enumerate} \item $x\sim y;$ \item $A(x)=A(y);$ \item $A(x)\cap A(y)\neq\emptyset$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine "Aquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $X$ bezeichnen wir\label{UEAQ} die Menge aller "Aquivalenzklassen, eine Teilmenge der Potenzmenge $\cal{P}(X)$, mit $$(X/{\sim})\pdef\{A(x)\mid x\in X\}$$ und haben eine kanonische Abbildung $\op{can}:X\ra (X/{\sim})$, $x\mapsto A(x)$. Diese kanonische Abbildung ist eine Surjektion und ihre Fasern sind genau die "Aquivalenzklassen unserer "Aquivalenzrelation. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $f:X\ra Z$ eine Abbildung mit $x\sim y\RA f(x)=f(y)$, so gibt es nach der universellen Eigenschaft von Surjektionen \eref{UES}{GR} genau eine Abbildung $\bar{f}:(X/{\sim})\;\ra Z$ mit $f=\bar{f}\circ \op{can}$. Wir zitieren diese Eigenschaft manchmal als die {\bf universelle Eigenschaft des Raums der "Aquivalenzklassen}.\index{Universelle Eigenschaft!des Raums der "Aquivalenzklassen} Sagt man, eine Abbildung $g:(X/{\sim})\;\ra Z$ sei {\bf wohldefiniert}\index{wohldefiniert} durch eine Abbildung $f:X\ra Z$, so ist gemeint, da"s $f$ die Eigenschaft $x\sim y\RA f(x)=f(y)$ hat und da"s man $g=\bar f$ setzt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Restklassen als "Aquivalenzklassen}] Gegeben eine ganze Zahl $m\in \DZ$ ist unser \glqq kongruent modulo $m$\grqq\ aus \ref{Rkr} eine "Aquivalenzrelation $\sim$ auf $\DZ$ und die zugeh"origen "Aquivalenzklassen sind genau unsere Restklassen von dort, so da"s wir also $(\DZ/\sim)=\DZ/m\DZ$ erhalten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Sind $R\subset X\times X$ und $S\subset Y\times Y$ "Aquivalenzrelationen, so auch das Bild von $(R\times S)\subset (X\times X)\times (Y\times Y)$ unter der durch Vertauschen der mittleren Eintr"age gegebenen Identifikation $(X\times X)\times (Y\times Y)\sira (X\times Y)\times (X\times Y)$. Wir notieren diese "Aquivalenzrelation auf dem Produkt kurz $R\times S$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}\label{EzAeq} Gegeben auf einer Menge $X$ eine Relation $R\subset X\times X$ gibt es eine kleinste "Aquivalenzrelation $T\subset X\times X$, die $R$ umfa"st. Man kann diese "Aquivalenzrelation entweder beschreiben als den Schnitt aller "Aquivalenzrelationen, die $R$ umfassen, oder auch als die Menge $T$ aller Paare $(x,y)$ derart, da"s es ein $n\geq 0$ gibt und Elemente $x=x_0, x_1,\ldots ,x_n=y$ von $X$ mit $x_\nu R x_{\nu-1}$ oder $x_{\nu-1} R x_\nu$ f"ur alle $\nu$ mit $1\leq\nu\leq n$. Wir nennen $T$ auch die {\bf von der Relation $R$ erzeugte "Aquivalenzrelation auf $X$}. \index{"Aquivalenzrelation!erzeugt von Relation}\index{erzeugt!"Aquivalenzrelation} Denken wir uns etwa $X$ als die \glqq Menge aller Tiere\grqq\ und $R$ als die Relation \glqq k"onnten im Prinzip miteinander fruchtbaren Nachwuchs zeugen\grqq, so w"aren die "Aquivalenzklassen unter der von dieser Relation erzeugten "Aquivalenzrelation eine mathematische Fassung dessen, was Biologen unter einer \glqq Tierart\grqq\ verstehen w"urden. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Konstruktion von $(\DZ,+)$ aus $(\DN,+)$}] Gegeben eine kommutative nichtleere Halbgruppe $(M,+)$ erkl"art man ihre {\bf einh"ullende Gruppe}\index{einh"ullende Gruppe} $\bar M$ wie folgt:\index{Gruppe!einh"ullende} Man geht aus von der Menge $M \times M$ und erkl"art darauf eine Relation durch die\label{KzN} Vorschrift $$(x,y) \sim (a,b) \Leftrightarrow (\exists c\in M \text{ mit } x + b+c = y +a+c)$$ Man zeige, da"s sie eine "Aquivalenzrelation ist, und da"s die komponentenweise Verkn"upfung auf $M \times M$ eine Verkn"upfung auf der Menge der "Aquivalenzklassen $\bar M \pdef M \times M /\sim$ induziert. Man zeige weiter, da"s mit dieser Verkn"upfung $\bar M$ eine abelsche Gruppe wird. Man zeige weiter, da"s die Abbildung $\op{can}: M \rightarrow \bar M$, $a \mapsto [x, x+a]$ dann unabh"angig von der Wahl von $x \in M$ und ein Halbgruppenhomomorphismus ist. Man zeige, da"s $\op{can}$ genau dann injektiv ist, wenn $M$ die \glqq K"urzungsregel\grqq\ $(a+c=b+c)\RA(a=b)$ erf"ullt. Gegeben eine Gruppe $G$ zeige man schlie"slich, da"s das Vorschalten von $\op{can}:M \rightarrow \bar M$ eine Bijektion \begin{equation*} \op{Grp} (\bar M, G) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Halb} (M,G) \end{equation*} liefert. Ist $M$ ein Monoid, so ist unser $M \rightarrow \bar M$ sogar ein Monoidhomomorphismus. Zum Beispiel kann man die obige Konstruktion verwenden, um aus dem Monoid $(\mathbb N, +)$ oder der Halbgruppe $(\mathbb N_{\geq 1}, +)$ die additive Gruppe $\mathbb Z$ der ganzen Zahlen $\bar{\mathbb N} \defp \mathbb Z$ zu bilden. Aufgrund der K"urzungsregel \ref{KurZ} ist die kanonische Abbildung in diesem Fall eine Injektion $\DN\hra\DZ$. Aus \eref{KZNN}{AN1} folgt dann schlie"slich, da"s sich unsere Multiplikation auf $\DN$ aus \ref{MnaZ} auf eine und nur eine Weise zu einer kommutativen und "uber $+$ distributiven Multiplikation auf $\DZ$ fortsetzen l"a"st. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ist $G$ eine Gruppe und $H\subset G \times G$ eine Untergruppe, die die Diagonale umfa"st, so ist $H$ eine "Aquivalenzrelation. \end{Ubunge} \subsection{Quotientenk"orper und Partialbruchzerlegung}\label{QoK} \begin{Bemerkungl} Die Konstruktion des K"orpers $\DQ$ der Bruchzahlen aus dem Integrit"atsbereich $\DZ$ der ganzen Zahlen hatten wir bisher noch nicht formal besprochen. Hier holen wir das gleich in gr"o"serer Allgemeinheit nach und zeigen, wie man zu jedem Integrit"atsbereich seinen \glqq Quotientenk"orper\grqq\ konstruieren kann. \end{Bemerkungl} %\emph{Das war in der Vorlesung 2008/09 nicht dran.} \begin{Definition}\label{DQok} Gegeben ein kommutativer Integrit"atsbereich $R$ konstruieren wir seinen {\bf Quotientenk"orper}\index{Quot@$\op{Quot}$ Quotientenk"orper} \index{Quotientenk"orper} $$\op{Quot}(R)$$ wie folgt: Wir betrachten die Menge $R\times (R\backslash 0)$ und definieren darauf eine Relation $\sim$ durch die Vorschrift $$(a,s) \sim (b,t)\text{ genau dann, wenn gilt $at= bs$.}$$ Diese Relation ist eine "Aquivalenzrelation, wie man leicht pr"uft. Wir bezeichnen die Menge der "Aquivalenzklassen mit $\op{Quot}(R)$ und die "Aquivalenzklasse von $(a,s)$ mit $\frac{a}{s}$ oder $a/s$. Dann definieren wir auf $\op{Quot}(R)$ Verkn"upfungen $+$ und $\cdot$ durch die Regeln $$\frac{a}{s} + \frac{b}{t} = \frac{at + bs}{st}\;\;\;\text{und}\;\;\; \frac{a}{s}\cdot \frac{b}{t} = \frac{ab}{st}$$ und "uberlassen dem Leser den Nachweis, da"s diese Verkn"upfungen wohldefiniert sind und $\op{Quot}(R)$ zu einem K"orper machen und da"s die Abbildung $\op{can} : R \ra \op{Quot}(R)$, $r \mapsto r/1$ ein injektiver Ringhomomorphismus ist. Er hei"st die {\bf kanonische Einbettung} unseres Integrit"atsbereichs in seinen Quotientenk"orper. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Auf Englisch bezeichnet man den Quotientenk"orper als {\bf fraction field}\index{fraction field} und auf Franz"osisch als {\bf corps de fractions}. Dort verwendet man folgerichtig statt unserer Notation $\op{Quot}(R)$ die Notation $\op{Frac}(R)$.\index{Frac@$\op{Frac}$ Quotientenk"orper} Die noch allgemeinere Konstruktion der \glqq Lokalisierung\grqq\ lernen wir erst in \eref{LokR}{KAG} kennen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Der K"orper der rationalen Zahlen $\DQ$ wird formal definiert als der Quotientenk"orper des Rings der ganzen Zahlen, in Formeln $$\DQ\pdef\op{Quot}\DZ$$ Sicher w"are es unter formalen Aspekten betrachtet eigentlich richtig gewesen, diese Definition schon viel fr"uher zu geben. Es schien mir jedoch didaktisch ungeschickt, gleich am Anfang derart viel Zeit und Formeln auf die exakte Konstruktion einer Struktur zu verwenden, die Ihnen bereits zu Beginn ihres Studiums hinreichend vertraut sein sollte. Wie bereits bei rationalen Zahlen nennt man auch im allgemeinen bei einem Bruch $g/h$ das $g$ den {\bf Z"ahler} und das $h$ den {\bf Nenner} des Bruchs. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Universelle Eigenschaft des Quotientenk"orpers}] Sei $R$ ein kommutativer Integrit"atsbereich.\label{UEQ} Ist $\varphi : R \ra A$ ein Ringhomomorphismus, unter dem jedes von Null verschiedene Element von $R$ auf eine Einheit von $A$ abgebildet wird, so faktorisiert $\varphi$ eindeutig "uber $\op{Quot}R$, es gibt also in Formeln genau einen Ringhomomorphismus $\tilde{\varphi} : \op{Quot}R \ra A$ mit $\varphi(r) = \tilde{\varphi}(r/1)\;\forall r\in R$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur jedes m"ogliche $\tilde{\varphi}$ mu"s gelten $\tilde{\varphi} (r/s)= \varphi (r) \varphi(s)^{-1}$, und das zeigt bereits die Eindeutigkeit von $\tilde{\varphi}$. Um auch seine Existenz zu zeigen, betrachten wir die Abbildung $\hat{\varphi}: R\times(R\backslash 0)\ra A$ gegeben durch $\hat{\varphi} (r,s)= \varphi (r) \varphi(s)^{-1}$ und pr"ufen, da"s sie konstant ist auf "Aquivalenzklassen. Dann mu"s sie nach \ref{UEAQ} eine wohlbestimmte Abbildung $\op{Quot}R \ra A$ induzieren, von der der Leser leicht selbst pr"ufen wird, da"s sie ein Ringhomomorphismus ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Br"uche mit kontrollierten Nennern}] Gegeben ein kommutativer Integrit"atsbereich $R$ und eine Teilmenge $S\subset R\backslash 0$ betrachten wir im Quotientenk"orper von $R$ den Teilring $$S^{-1}R\pdef\left\{(r/s)\in \op{Quot}R\mid s\text{ ist Produkt von Elementen von }S\right\}$$ Hierbei ist die Eins auch als Produkt von Elementen von $S$ zu verstehen, eben als das leere Produkt. Insbesondere erhalten wir eine Einbettung $R\hra S^{-1}R$ durch $r\mapsto (r/1)$. Ist nun $\varphi : R \ra A$ ein Ringhomomorphismus, unter dem jedes Element von $S$ auf eine Einheit von $A$ abgebildet wird, so faktorisiert $\varphi$ mit demselben Beweis wie zuvor eindeutig "uber $S^{-1}R$, es gibt also in Formeln genau einen\label{KoBr} Ringhomomorphismus $\tilde{\varphi} : S^{-1}R \ra A$ mit $\varphi(r) = \tilde{\varphi}(r/1)\;\forall r\in R$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Auswerten rationaler Funktionen}] Ist $K$ ein K"orper, so bezeichnet man den Quotientenk"orper des Polynomrings mit\label{DRF} $ K (X)\pdef \op{Quot} K[X] $\index{()@$K(X)$ rationale Funktionen!in einer Variablen $X$} und nennt ihn den {\bf Funktionenk"orper}\index{Funktionenk"orper} zu $K$ und seine Elemente {\bf rationale Funktionen}.\index{rationale Funktion}\index{Funktion!rationale} Die Terminologie ist leicht irref"uhrend, da die Elemente dieses K"orpers ja eigentlich formale Ausdr"ucke sind und eben gerade keine Funktionen. Inwiefern man sie zumindest f"ur unendliches $K$ doch als Funktionen verstehen darf, soll nun ausgef"uhrt werden. Gegeben $\lambda\in K$ betrachten wir dazu die Menge $S_\lambda\pdef\{P\mid P(\lambda)\neq 0\}$ aller Polynome, die bei $\lambda$ keine Nullstelle haben. Dann ist $$K(X)_\lambda\pdef S_\lambda^{-1} K[X]\subset K(X)$$ der Teilring aller Quotienten von Polynomen, die sich darstellen lassen als ein Bruch, dessen Nenner bei $\lambda$ keine Nullstelle hat. Auf diesem Teilring ist das Auswerten bei $\lambda$ nach \ref{KoBr} ein wohlbestimmter Ringhomomorphismus $K(X)_\lambda\ra K$, den wir notieren als $f\mapsto f(\lambda)$. Er ist der einzige derartige Ringhomomorphismus mit $X\mapsto\lambda$. Gegeben $f\in K(X)$ hei"sen die Punkte $\lambda\in K$ mit $f\not\in K(X)_\lambda$ die {\bf Polstellen von $f$}.\index{Polstelle!von rationaler Funktion} Nat"urlich hat jedes Element $f\in K(X)$ h"ochstens endlich viele Polstellen. F"ur jede rationale Funktion $f \in K (X)$ wird ihr {\bf Definitionsbereich}\index{Definitionsbereich} \index{D@$D (f)$ Definitionsbereich von $f$} $D (f) \subset K$ erkl"art\label{DRFn} als die Menge aller Punkte $a \in K$, die keine Polstellen von $f$ sind. Durch \glqq K"urzen von Nullstellen\grqq\ "uberzeugt man sich auch leicht, da"s jede rationale Funktion so als Quotient $f = g/h$ geschrieben werden kann, da"s Z"ahler und Nenner keine gemeinsamen Nullstellen in $K$ haben, und da"s dann die Polstellen gerade die Nullstellen des Nenners sind. Vereinbart man, da"s $f$ diesen Stellen als Wert ein neues Symbol $\infty$ zuweisen soll, so erh"alt man f"ur jeden unendlichen K"orper $K$ sogar eine wohlbestimmte Injektion $K(X)\hra\op{Ens}(K,K\amalg\{\infty\})$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Es ist sogar richtig, da"s jede rationale Funktion eine eindeutige maximal gek"urzte Darstellung mit normiertem Nenner hat. Um das einzusehen, ben"otigt man jedoch ein Analogon der eindeutigen Primfaktorzerlegung f"ur Polynomringe, das wir erst in \eref{PReF}{AL} zeigen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{EGR} Wir erinnern aus \ref{FPR} und \ref{FRL} die Ringe der Potenzreihen und der Laurentreihen. Gegeben ein K"orper $K$ liefert die Verkn"upfung von Einbettungen $K[X]\hra K\llbracket X\rrbracket\hra K(\!(X)\!)$ offensichtlich einen Ringhomomorphismus und nach der universellen Eigenschaft \ref{UEQ} mithin eine Einbettung $K(X)\hra K(\!(X)\!)$. Das Bild von $(1-X)^{-1}$ unter dieser Einbettung w"are etwa die \glqq formale geometrische Reihe\grqq\ $1+X+X^2+X^3+\ldots$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{LauA} Sei $K$ ein K"orper. Ist $p\in K$ fest gew"ahlt und $K(T)\sira K(X)$ der durch $T\mapsto (X+p)$ gegebene Isomorphismus, so bezeichnet man das Bild von $f\in K(T)$ unter der Komposition $K(T)\sira K(X)\hra K(\!(X)\!)$ auch als die {\bf Laurententwicklung von $f$ um den Entwicklungspunkt $p$}.\index{Laurententwicklung!algebraische} Meist schreibt man in einer Laurententwicklung statt $X$ auch $(T-p)$. So w"are die Laurententwicklung von $f=T^2/(T-1)$ um den Entwicklungspunkt $T=1$ etwa die endliche Laurentreihe $(T-1)^{-1}+2+(T-1)$. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Partialbruchzerlegung}] Ist $K$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so wird eine $K$-Basis des Funktionenk"orpers $K(X)$ gebildet von erstens den Potenzen der Variablen $(X^n)_{n\geq 1}$ mitsamt zweitens den\label{PBZ} Potenzen der Inversen der Linearfaktoren $((X-a)^{-n})_{n\geq 1,\;a\in K }$ zuz"uglich drittens der Eins $1\in K(X)$.\label{pbzx} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Eine Darstellung einer rationalen Funktion als Linearkombination der Elemente dieser Basis nennt man eine {\bf Partialbruchzerlegung}\index{Partialbruchzerlegung} unserer rationalen Funktion. Anschaulich scheint mir zumindest die lineare Unabh"angigkeit der behaupteten Basis recht einsichtig: Polstellen an verschiedenen Punkten k"onnen sich ebensowenig gegenseitig aufheben wie Polstellen verschiedener Ordnung an einem vorgegebenen Punkt. Alle rationalen Funktionen mag man auffassen als Funktionen auf der projektiven Gerade $\DP^1 K$ aus \ref{PrIf} und die $(X^n)_{n\geq 1}$ als Funktionen, die \glqq eine Polstelle der Ordnung $n$ im Unendlichen haben\grqq. Das ist auch der Grund daf"ur, da"s ich die $1$ im Satz oben extra aufgef"uhrt habe und nicht stattdessen einfach k"urzer $(X^n)_{n\geq 0}$ schreibe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $K$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so sind die Polstellen eines Elements $f\in K(X)$ im Sinne von \ref{DRF} genau die Elemente $a\in K$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur ein $n\geq 1$ der Term $((X-a)^{-n})$ mit von Null verschiedenem Koeffizienten in der Partialbruchzerlegung von $f$ auftritt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} In B"uchern zur Analysis findet man oft eine Variante dieses Satzes f"ur den K"orper $K=\DR:$ In diesem Fall werden die im Satz beschriebenen Elemente erg"anzt zu einer Basis durch die Elemente $1/((X-\lambda)(X-\bar{\lambda}))^n$ und die Elemente $X/((X-\lambda)(X-\bar{\lambda}))^n$ f"ur $\lambda\in\DC$ mit positivem Imagin"arteil und $n\geq 1$ beliebig, wie der Leser zur "Ubung selbst zeigen mag. Eine Verallgemeinerung auf den Fall eines beliebigen K"orpers $K$ wird in \eref{pbzz}{AL} diskutiert. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen zun"achst, da"s unsere Familie den Funktionenk"orper als $K$-Vektorraum erzeugt. Sei also $f\in K(X)$ dargestellt als Quotient von zwei Polynomen $f=P/Q$ mit $Q\neq 0$. Wir argumentieren mit Induktion "uber den Grad von $Q$. Ist $Q$ konstant, so haben wir schon gewonnen. Sonst besitzt $Q$ eine Nullstelle $\mu\in K$ und wir k"onnen schreiben $Q(x)=(X-\mu)^m\tilde{Q}(x)$ mit $m\geq 1$ und $\tilde{Q}(\mu) \neq 0$. Dann nehmen wir $c= P(\mu) / \tilde{Q}(\mu)$ und betrachten die Funktion $$\frac{P}{Q} - \frac{c}{(X-\mu)^{m}} = \frac{P-c \tilde{Q}} {(X-\mu)^{m} \tilde{Q}}$$ Aufgrund unserer Wahl von $c$ hat der Z"ahler auf der rechten Seite eine Nullstelle bei $X = \mu$, wir k"onnen im Bruch also $(X - \mu)$ k"urzen, und eine offensichtliche Induktion "uber dem Grad des Polynoms $Q$ beendet den Beweis. Zum Beweis der linearen Unabh"angigkeit betrachten wir eine Linearkombination unserer Basis in spe, die die Nullfunktion darstellt. Sei $c(X-a)^{-n}$ ein Summand darin mit $n\geq 1$ gr"o"stm"oglich f"ur die gew"ahlte Polstelle $a$. So multiplizieren wir mit $(X-a)^{n}$ und werten aus bei $a$ im Sinne von \ref{KoBr} und finden, da"s schon $c=0$ gegolten haben mu"s. So argumentieren wir alle Polstellen weg, und da"s die nichtnegativen Potenzen von $X$ linear unabh"angig sind folgt ja schon aus der Definition des Polynomrings. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung einer Partialbruchzerlegung}] Will man konkret eine Partialbruchzerlegung bestimmen, so rate ich dazu, mit einer\label{PBZe} Polynomdivision zu beginnen und $P=AQ+R$ zu schreiben mit Polynomen $A$ und $R$ derart, da"s der Grad von $R$ echt kleiner ist als der Grad von $Q$. Wir erhalten $P/Q=A+R/Q$, und in der Partialbruchzerlegung von $R/Q$ tritt dann kein polynomialer Summand mehr auf. Die Polstellen-Summanden geh"oren dann alle zu Nullstellen von $Q$ und ihr Grad ist beschr"ankt durch die Vielfachheit der entsprechenden Nullstelle von $Q$. Nun setzen wir die Koeffizienten unserer Linearkombination als Unbestimmte an, f"ur die wir dann ein lineares Gleichungssystem erhalten, das wir mit den "ublichen Verfahren l"osen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BPDa} Wir bestimmen von $(X^4 + 2 X^2) / (X^2+2X +1)$ die Partialbruchzerlegung. Die Polynomdivision haben wir bereits in \ref{BPDaa} durchgef"uhrt und $X^4 + 2X^2 = (X^2 - 2 X +5) (X^2 +2X +1) - 8X -5$ erhalten, so da"s sich unser Bruch vereinfacht zu \begin{displaymath} \frac{X^4 + 2X^2}{X^2+2X+1} = X^2 -2X +5 -\frac{8X +5}{X^2+2X+1} \end{displaymath} Jetzt zerlegen wir den Nenner in Linearfaktoren $X^2 +2X +1 = (X+1)^2$ und d"urfen nach unserem Satz "uber die Partialbruchzerlegung \begin{displaymath} \frac{8X +5}{(X+1)^2} = \frac{a}{X+1} + \frac{b}{(X+1)^2} \end{displaymath} ansetzen, woraus sich ergibt $8X +5 = aX + a + b$ und damit $a =8$ und $b =-3$. Die Partialbruchzerlegung unserer urspr"unglichen Funktion hat also die Gestalt \begin{displaymath} \frac{X^4+2X^2}{X^2 +2X +1} = X^2 -2X +5 - \frac{8}{X+1} + \frac{3}{(X+1)^2} \end{displaymath} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geschlossene Darstellung der Fibonacci-Zahlen}] Wir bilden die sogenannte {\bf erzeugende Funktion}\index{erzeugende Funktion!der Fibonacci-Folge} der Fibonacci-Folge alias die\label{FiAl} formale Potenzreihe $f (x) =\sum_{n \geq 0} f_n x^n$ mit den Fibonacci-Zahlen aus \eref{FiFo}{GR} als Koeffizienten. Die Rekursionsformel f"ur Fibonacci-Zahlen $f_{n+2}=f_{n+1}+ f_n$ liefert unmittelbar $x f (x) + x^2 f(x) = f(x) -x$. Wir folgern $(1-x-x^2) f (x) = x$. Umgekehrt hat jede formale Potenzreihe, die diese Identit"at erf"ullt, die Fibonacci-Zahlen als Koeffizienten. Es gilt also, die Funktion $x/(1-x-x^2)$ in eine Potenzreihe zu entwickeln. Dazu erinnern wir Satz \ref{PBZ} "uber die Partialbruchzerlegung, schreiben $x^2 + x -1 = (x +\alpha) (x+ \beta)$ mit $\alpha = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \sqrt{5}$ und $\beta= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \sqrt{5}$ und d"urfen $x/(1-x-x^2) =a/(x + \alpha) + b/(x+\beta)$ ansetzen. Zur Vereinfachung der weiteren Rechnungen erinnern wir $\alpha \beta =-1$ und variieren unseren Ansatz zu $x/(1-x-x^2) = c/(1-x\alpha ) + d/(1-x\beta )$. Das f"uhrt zu $c + d =0$ alias $c = -d$ und $\alpha c + \beta d =-1$ alias $c = 1 /(\beta - \alpha) = 1/\sqrt{5}$. Die Entwicklung unserer Br"uche in eine geometrische Reihe nach \ref{EGR} liefert damit im Ring der formalen Potenzreihen die Identit"at \begin{equation*} \frac{x}{1-x-x^2} = \sum_{i \geq 0} \frac{( x\alpha)^i}{\sqrt{5}} - \frac{(x\beta )^i}{\sqrt{5}} \end{equation*} und f"ur den Koeffizienten von $x^i$ alias die $i$-te Fibonacci-Zahl $f_i$ ergibt sich wie in \eref{FiFo}{GR} die Darstellung \begin{equation*} f_i = \frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1+ \sqrt{5}}{2} \right)^i -\frac{1}{\sqrt{5}} \left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^i \end{equation*} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{AOQ} Man zeige: Besitzt ein kommutativer Integrit"atsbereich $R$ eine Anordnung $\leq$, unter der er im Sinne von \eref{ARI}{AN1} ein angeordneter Ring wird, so besitzt sein Quotientenk"orper $\op{Quot}R$ genau eine Struktur als angeordneter K"orper, f"ur die die kanonische Einbettung $R\hra\op{Quot}R$ mit der Anordnung vertr"aglich alias monoton wachsend ist. Speziell erhalten wir so die "ubliche Anordnung auf $\DQ=\op{Quot}\DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{PN} Gegeben ein unendlicher K"orper $K$ und eine von Null verschiedene rationale Funktion $f\in K(X)^\times$ sind die Polstellen von $f$ genau die Nullstellen von $(1/f)$, als da hei"st, die Stellen aus dem Definitionsbereich von $(1/f)$, an denen diese Funktion den Wert Null annimmt. Fassen wir genauer $f$ als Abbildung $f:K\ra K\amalg\{\infty\}$ auf, so entspricht $(1/f)$ der Abbildung $a\mapsto f(a)^{-1}$, wenn wir $0^{-1}=\infty$ und $\infty^{-1}=0$ vereinbaren. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{FRFFm} Ist $K$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper, so nimmt eine von Null verschiedene rationale Funktion $f\in K(X)^\times$ auf ihrem Definitionsbereich fast jeden Wert an gleichviel Stellen an, genauer an $n=\op{max}(\op{grad}g,\op{grad}h)$ Stellen f"ur $f=g/h$ eine unk"urzbare Darstellung als Quotient zweier Polynome. In anderen Worten haben unter $f:D(f)\ra K$ fast alle Punkte $a\in K$ genau $n$ Urbilder. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $P\in \DQ(X)$ gegeben. Man zeige: Gibt es eine Folge ganzer Zahlen aus dem Definitionsbereich unserer rationalen Funktion\label{WGP} $a_n\in\DZ\cap D(P)$ mit $a_n\ra\infty$ und $P(a_n)\in\DZ$ f"ur alle $n$, so ist $P$ bereits ein Polynom $P\in \DQ[X]$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $K$ ein K"oper und seien $f,g\in K(X)$ gegeben. Man zeige: Gibt es unendlich viele Punkte aus dem gemeinsamen Definitionsbereich $D(f)\cap D(g)$, an denen $f$ und $g$ denselben Wert annehmen, so gilt bereits $f=g$ in $K(X)$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s im K"orper $\DQ(\!(X)\!)$ jede formale Potenzreihe mit konstantem Koeffizienten Eins eine Quadratwurzel besitzt. Die Quadratwurzel von $(1+X)$ kann sogar durch die binomische Reihe \eref{BiRe}{AN1} explizit angegeben werden, aber das sieht man leichter mit den Methoden der Analysis. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man bestimme die Partialbruchzerlegung von $1/(1+X^4)$ in $\DC(X)$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s bei einem Bruch $P(T)/(T^n(T-1)^m)$ mit Z"ahler $P(T)\in\DZ[T]$\label{PBZG} auch alle Koeffizienten bei der Partialbruchzerlegung ganze Zahlen sind. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bearbeite nocheinmal die "Ubungen \eref{ZSFF}{GR} und \eref{ZSFFv}{GR}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verkn"upfung rationaler Funktionen}] Ist $K$ ein K"orper und $P\in K[X]$ ein von Null verschiedenes Polynom, so liegt jede Nullstelle von $P$ im gr"o"seren K"orper $K(Y) \supset K$\label{VRfu} bereits im Teilk"orper $K$. Gegeben $f\in K(X)$ geh"ort jedes $g\in K(Y)\backslash K$ zum Definitionsbereich von $f$ und wir setzen $$f\circ g\pdef f(g)$$ Man zeige, da"s die $K$-linearen K"orperhomomorphismen $\varphi:K(X)\ra K(Y)$ alle die Gestalt $\varphi:f\mapsto f\circ g$ haben f"ur $g=\varphi(X)\in K(Y)\backslash K$. Sind $f$ und $g$ beide nicht konstant, so ist auch $f\circ g$ nicht konstant. Gegeben $f,g,h\in K(X)\backslash K$ zeige man die Assoziativit"at $(f\circ g)\circ h=f\circ( g\circ h)$. Unsere Abbildung $K(X)\ra \op{Ens}(K,K\sqcup\{\infty\}$ kann zu einer Abbildung $K(X)\ra \op{Ens}(K\sqcup\{\infty\})$ fortgesetzt werden, indem wir f"ur $f=P/Q$ den Wert $f(\infty)$ erkl"aren als den Quotienten $a_n/b_n$ der Leitkoeffizienten, falls $P$ und $Q$ denselben Grad $n$ haben, und $\infty$ falls der Grad von $P$ gr"o"ser ist als der von $Q$, und $0$ falls er kleiner ist. So erhalten wir einen Monoidhomomorphismus $(K(X),\circ)\ra (\op{Ens}(K\sqcup\{\infty\}),\circ)$, der im Fall eines unendlichen K"orpers $K$ injektiv ist. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AALA1" %%% End: