%Ein Bild: width=\textwidth %Zwei Bilder: height=0.4\textheight ohne Text, 9-8cm mit Text %\begin{figure}[p]\centering\includegraphics[height=0.4\textheight oder width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGibtsnet}\\[4mm] %\noindent BlahBlah\end{figure} %tar cfz Docutexh.tar */*/*.tex %tar xfz Docutexb.tar %Index Machen: makeindex -g -s german.ist AATOTAL %BILDER VORBEREITEN %B.bb von B.ps Kriegen: for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done %BILDER EIN BISSEL VERPACKEN %gzip *.ps %Alt-x server-start (f"ur Quelltextsuche bei emacs) %xdvi -editor 'emacsclient --no-wait' AATOTAL.dvi %AATOTAL INTERN VER"OFFENTLICHEN: %in /Documents/Skripten/Skripten/SkriptenBilder machen: %for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done %gzip *.ps %in /Documents/Skripten/Skripten machen: %scp AATOTALd.dvi soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/AATOTALd.dvi %tar cf SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/*.*ps* %scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/ %BILDER IN UNI VERPACKEN: %soergel@soerdell:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/* %BILDER F"UR DAS HEIMHOLEN AUF DEN WEBSERVER LEGEN: %scp SkriptenBilder.tar %soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar %BILDER ZUHAUSE VOM SERVER HOLEN: %scp soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar SkriptenBilder.tar %BILDER ZUHAUSE AUSPACKEN: %soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar xf SkriptenBilder.tar %soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/BildA.ps.bb %scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar %Anleitung xypic %http://www.uni-koblenz.de/~texadmin/texmf/doc/html/latex/contrib/xypic/xyguide-html/index.html \documentclass[12pt,a4paper]{book} \renewcommand{\thepart}{\Alph{part}} \setcounter{tocdepth}{0} \usepackage{minitoc} \renewcommand{\mtctitle}{Inhalt} \usepackage[active]{srcltx}%Alt-X server-start \usepackage{showkeys} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} \usepackage{amscd} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[hypertex]{hyperref} \usepackage{verbatim} \usepackage{changebar} \usepackage{ae} \usepackage{xr} \changebarsep85pt \usepackage{graphicx} \renewcommand{\floatpagefraction}{0.2} \renewcommand{\figurename}{ } \input{xy} \xyoption{all} \input{Querverweisekurz} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} \input{newtheorems} \input{newcommands} \renewenvironment{comment}{\begin{changebar}}{\end{changebar}} \makeindex \begin{document} \title{Mathematische Werkbank} \author{Wolfgang Soergel} \maketitle %\psdraft \dominitoc %\addtocontents{toc}{Index} Im ersten Kapitel habe ich Notationen und Begriffsbildungen zusammengefa"st, von denen ich mir vorstelle, da"s sie zu Beginn des Studiums in enger Abstimmung zwischen den beiden Grundvorlesungen entwickelt werden k"onnten. Im zweiten Kapitel steht allerhand "uber Mathematik, das nicht zum logisch koh"arenten Aufbau beitr"agt und teilweise auch stark pers"onlich gef"arbt ist. Die weitere Einteilung in Kapitel spiegelt inhaltliche Einheiten wieder, darf aber nicht als Einteilung in Vorlesungen mi"sverstanden werden. Mir scheint zum Beispiel, da"s der Stoff der folgenden beiden Kapitel "uber Funktionen einer und mehrerer reellen Ver"anderlichen mit seinen 347 Textseiten zusammen mit der H"alfte der 29 Textseiten aus dem ersten Kapitel mit den Grundlagen in etwa drei vierst"undige Vorlesungen f"ullen k"onnte. Besonders w"unschenswert f"ur einen derartigen Grundkurs schiene mir, zus"atzlich noch die ersten 30 Seiten des Kapitels "uber Funktionenr"aume und Symmetrien bis zur Fouriertransformation zu behandeln und daf"ur notfalls das eine oder andere wegzulassen. \tableofcontents \newpage \part{Grundlagen} \chapter{Allgemeine Grundlagen} In diesem ersten Kapitel habe ich Notationen und Begriffsbildungen zusammengefa"st, von denen ich mir vorstelle, da"s sie zu Beginn des Studiums in enger Abstimmung zwischen den beiden Grundvorlesungen erkl"art werden k"onnten. \minitoc\newpage \include{An01Grundlagen}\newpage \include{AlgGrundbegriffe}\newpage \chapter{Geschichtliches und Philosophisches} In diesem Kapitel steht allerhand "uber Mathematik, das nicht zum logisch koh"arenten Aufbau beitr"agt und teilweise auch stark pers"onlich gef"arbt ist. \minitoc\newpage \include{GeschPhil}\newpage \part{Analysis}%Derzeit 98 Bildseiten in Ana 1-3 \chapter[Funktionen einer Ver"anderlichen]{Funktionen einer reellen Ver"anderlichen}%Derzeit 59 Bildseiten in Ana 1 Die hier und im folgenden gegebene Einteilung in Kapitel spiegelt inhaltliche Einheiten wieder und darf nicht als Einteilung in Vorlesungen mi"sverstanden werden. Mir scheint etwa, da"s der Stoff der n"achsten beiden Kapitel "uber Funktionen einer und mehrerer reellen Ver"anderlichen mit seinen 347 Textseiten zusammen mit der H"alfte der 29 Textseiten aus dem ersten Kapitel zu den Grundlagen in etwa drei vierst"undige Vorlesungen f"ullen k"onnte. Besonders w"unschenswert f"ur einen derartigen Grundkurs schiene mir, zus"atzlich noch die ersten 30 Seiten des Kapitels "uber Funktionenr"aume und Fouriertransformation zu behandeln, und daf"ur notfalls das eine oder andere wegzulassen. \minitoc\newpage %\include{An00Vortext}\newpage \include{DiereellenZahlen}\newpage \include{An03Folgen}\newpage \include{An04Stetig}\newpage \include{An05DiffInt}\newpage \include{An06Reihen}\newpage \include{An07StetigM}\newpage \include{An08Trigo}\newpage \include{An09Komplex}\newpage \include{An10Four}\newpage \chapter[Funktionen mehrerer Ver"anderlichen]{Funktionen mehrerer reellen Ver"anderlichen}%Derzeit 39 Bildseiten \minitoc\newpage \include{An11DiffM}\newpage \include{An12MInt}\newpage \include{An13UmkehrMgf}\newpage %\chapter[Lebesgue-Integral und %Integrals"atze]{Lebesgue-Integral und %Integrals"atze} %\minitoc\newpage \include{An15Mass}\newpage %\include{IntMgf}\newpage \include{An14DiffStokes}\newpage \chapter{Funktionenr"aume und Symmetrien} \minitoc\newpage \include{Fouriereihen}\newpage \include{An17FourierTransformationen}\newpage \include{Spektralsatz}\newpage \include{Fourieralt}\newpage \chapter{Mannigfaltigkeiten und Liegruppen} \minitoc\newpage \include{EinbettLie}\newpage \include{To01MengentheoretischeTopologie}\newpage \include{Mannigfaltigkeiten}\newpage \include{KompakteLie}\newpage \include{Lie03Spiegelungsgruppen}\newpage \include{Lie03Wurzelsysteme}\newpage \include{FunkKLie}\newpage \include{Lie13Darstellungen}\newpage \include{Lie14Konvolutionen}\newpage \include{AbstrakteLie}\newpage \include{MgfSteinbruch}\newpage \chapter{Mist und Versuche} \minitoc\newpage \include{An19Steinbruch}\newpage \include{SchrottMassInt}\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newpage \chapter{Funktionentheorie}\label{Fukt} \minitoc\newpage \include{Funktionentheorie}\newpage \include{Funktionentheorie2}\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \part{Algebra} \chapter{Lineare Algebra} Dieses Kapitel ist noch eher eine chaotische Sammlung einzelner Abschnitte. \minitoc\newpage \include{LA}\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Algebra} Die Bezeichnung kommt von arabisch \glqq al-jabr\grqq, das in der Medizin das Wiedereinrenken eines Gelenks bezeichnete und in der Mathematik f"ur eine Umformung stand, die man heute das \glqq Her"uberschaffen durch Subtraktion\grqq\ eines Terms von der einen auf die andere Seite einer Gleichung nennen w"urde. Die Abschnitte bis zur Galois-Theorie einschlie"slich sollten in etwa den Standard-Stoff einer Algebra-Vorlesung f"ur das dritte Semester abdecken. \minitoc\newpage \include{Algebra01Gruppen}\newpage \include{Algebra02Ringe}\newpage \include{Algebra03Koerper}\newpage \include{Algebra04Galoisetheorie}\newpage \include{Algebra05VerallgemeinerungInsUnendliche}\newpage \include{Algebra06DarstellungstheorieVonEndlichenGruppen}\newpage %\begin{comment} \include{WeitDarst}\newpage \include{Algebra08Vermischtes}\newpage \include{Algebra09LV}\newpage %\end{comment} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \chapter{Algebraische Geometrie} Auch dies Kapitel ist noch sehr rudiment"ar. \minitoc\newpage \include{RaumeRinge}\newpage \include{AlgGeom}\newpage \include{ZurAlgGeom}\newpage \include{Alggeom}\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %\end{document} \part{Topologie} \chapter[Fundamentalgruppe]{Fundamentalgruppe und "Uberlagerungen} Im folgenden setze ich Grundkenntnisse in mengentheoretischer Topologie voraus, wie sie etwa in \ref{GruTo} aufbauend auf \ref{Zuw}, \ref{WeHo} und \ref{ToRa} erkl"art werden. F\"{u}r Korrekturen zu vorl"aufigen Versionen danke ich vielen Freiburger Studentinnen und Studenten, insbesondere Gregor Fritz, Gerald H\"{o}hn, Stephan Wehrheim, Isolde Adler, Olaf Schn"urer, Matthias Ansorge. \minitoc\newpage \include{To02HomotopieundFundamentalgruppe}\newpage %b \include{To03KategorienundFunktoren}\newpage %b \include{To04BerechnungeinigerFundamentalgruppen}\newpage %b \include{To05Ueberlagerungstheorie}\newpage %b \chapter{Singul"are Homologie} \minitoc\newpage \include{To06SingulaereHomologie}\newpage %b \include{To08Koeffizientenwechsel}\newpage \include{To10Kohomologie}\newpage \chapter{Garbenkohomologie} \minitoc\newpage \include{To11Garbenkohomologie}\newpage \include{To12BeispielezurGarbenkohomologie}\newpage %\include{Dualitaet}\newpage \include{To13AbstrakteHomologischeAlgebra}\newpage \chapter{Garbenkohounreif} \minitoc\newpage \include{DerKat}\newpage \include{To14AusGarbenkohomologie}\newpage \include{To15AequivariantederivierteKategorie}\newpage \include{To16pologieSteinbruch}\newpage \part{Lie-Theorie} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% F"ur Korrekturen und Vereinfachungen danke ich vielen Freiburger Studenten, insbesondere Catharina Stroppel, Olaf Schn"urer. \chapter{Liealgebren} \minitoc\newpage \include{Lie01AllgemeineTheorie}\newpage %b \include{Lie02Komplexe}\newpage %b \include{Lie04EinfacheEndlichDarstellungen}\newpage %b %\include{Lie04EinfacheEndlichDarstellungenalt}\newpage \include{Lie05MehrSpiegelungsgruppen}\newpage \begin{comment} \chapter{Kategorie $\cal{O}$}\minitoc\newpage \include{Lie06Einhuellende}\newpage \include{Lie09KategorieO}\newpage \include{Lie10Verschiebung}\newpage \include{Lie11Summenformel}\newpage \include{Lie12HarishChandra}\newpage \chapter{Chaos zur Darstellungstheorie}\minitoc\newpage \include{Lie15Halde}\newpage \include{LieKombKipp}\newpage \include{Dmod} %\end{comment} %\include{G2}\newpage \part{Verschiedenes} \chapter{Hintergrundmusik} Hier wird einiges zusammengefa"st, was nirgends anders so recht seinen Platz gefunden hat, mir aber doch wichtig scheint. \minitoc\newpage \include{Hintergrundmusik}\newpage \include{Kategorienlok} %\chapter{Schrott}\include{Schrott}\newpage %Alte Versionen von Kapiteln, die eigentlich ausgeschlachtet sind, %aber sicherheitshalber noch aufgehoben werden. \begin{comment} \chapter{Ideen f"ur Arbeiten} \section{Kleineres} \begin{enumerate} \item (Vielleicht Bachelor.) Wer pr"uft mir \ref{Hallf}? Hier soll die Hall-Komultiplikation m"oglichst nat"urlich formuliert werden. \item Wer erkl"art mir \ref{VVV}? Wohl eher keine Arbeit, ich bin nur zu ungebildet dazu und erwarte, da"s man es schon in der Literatur finden kann. \item Affine Bimoduln und endliche Darstellungen. (Florian Klein?) \item \ref{PDFo}, ganzzahlige Formalit"at von Fahnenmannigfaltigkeiten. Wie sieht die geometrische Hecke-Algebra "uber komischen Ringen aus? (Gerrit Begher) \item \ref{DHSy}, deformierte Homomorphismen nach Styrkas. (David Nies?) \item \ref{PBeLu}, Problem bei unbeschr"ankten "aquivarianten derivierten Kategorien. (David Stotz?) \item \ref{Aufgabe}, Derivierte Kategorie der Garben auf einem Produkt. \item Kann man Bemerkung 6.8 aus meiner Bimodularbeit mit Demazure-Operatoren l"osen? \item Erh"alt man neue kanonische Basen f"ur Quantengruppen mit IC und positive-Charakteristik-Koeffizienten? \item Eher Staatsexamen, und noch angucken: Tits-Kegel und analoge Argumente "uber angeordnetem K"orper formulieren wie \ref{TiKe}. Mit den Notationen dort sollte $T=W\bar{A}^+\subset V^\ast$ konvex sein, und ich w"urde erwarten, da"s jedes in $T$ enthaltene offene Geradensegment h"ochstens endlich viele Spiegelhyperebenen trifft. Von da ausgehend mag man die Argumente im Zusammenhang mit affinen Spiegelungsgruppen wiederholen k"onnen. \item (Staatsexamen) Man definiere f"ur eine endliche Teilmenge $E$ des Raums ihre \defind{Abst"andezahl} $A(E)$ als die Zahl der m"oglichen von Null verschiedenen verschiedenen Abst"ande zwischen ihren Elementen. Welche M"oglichkeiten gibt es f"ur Abst"andezahl $\leq 3$? Kriegt man im Wesentlichen die platonischen K"orper, vergleiche \ref{PlK}? Welche M"oglichkeiten bestehen "uberhaupt f"ur $A(E)<|E|$? \item K"ocher f"ur parabolische $G_1T$-Moduln? [Kaneda]. \item (Staatsexamen) Man verallgemeinere \ref{DuSk} auf h"ohere Dimensionen: Eine Untergruppe $D\subset \op{GL}(V)$ der Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V,$ die einfach transitiv operiert auf der Menge aller geeignet definierten \glqq Halbraumfahnen\grqq\ ist bereits die $\op{SO}(b)$ f"ur ein bis auf eine positive multiplikative Konstante eindeutig bestimmtes Skalarprodukt $b.$ In welchen Dimensionen geht das gut? Unter welchen Voraussetzungen kann es "uber allgemeineren angeordneten K"orpern gezeigt werden? \item (Bachelor?) Man diskutiere die Nat"urlichkeit der Spaltung im universellen Koeffiziententheorem, siehe \ref{NatS}. \item Man berechne in kleinen F"allen die Projektiven in der Kategorie $\cal{O}$ mit diagonaler Operation der Cartan \emph{und} diagonaler Operation des Zentrums. Gibt es in dieser Kategorie nichttriviale Erweiterungen zwischen Verma-Moduln? Ist der Antidominante Projektive der Duale des projektiven Verma? \end{enumerate} \newpage \section{L"angeres} \subsection{Zu gemischten Hodge-Strukturen} Sei $V$ ein fester ${\mathbb C}$-Vektorraum endlicher Dimension. Die Menge aller Paare $(F,\bar{F})$ von Filtrierungen von jeweils fest vorgegebenem Typ auf $V$ ist in Bijektion zum Produkt von zwei partiellen Fahnenmannigfaltigkeiten $G/P \times G/Q$ f"ur $G = \op{GL}(V)$ und $P$ bzw. $Q$ der Isotropiegruppe jeweils einer festen Filtrierung des jeweiligen Typs. Diese Bijektion ist vertr"aglich mit der Operation von $G$. Ich w"u"ste nun gerne, da"s das Vergessen der Gewichtsfiltrierung eine Faserung mit affinen Fasern \[ \begin{array}{ccc} \left\{\begin{array}{c} \mbox{gemischte ${\mathbb C}$-Hodge-}\\ \mbox{Strukturen auf $V$} \end{array}\right\} & \ni & (F,\bar{F},W) \\ \downarrow & & \downarrow \\ G/P \times G/Q & \ni & (F,\bar{F}) \end{array} \] liefert und dass die Urbilder der $G$-Bahnen hier wieder $G$-Bahnen sind. Ist etwa unsere gemischte Hodgestruktur vom Typ \vspace{3mm} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline ${\mathbb C}$ & 0 \\ \hline ${\mathbb C}$ & ${\mathbb C}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm} \noindent so bedeutet die Wahl einer Gewichtsfiltrierung die Wahl einer Geraden ausserhalb der durch die beiden "`diagonalen ${\mathbb C}$"' erzeugten Ebene, und das Vergessen der Gewichtsfiltrierung ist eine Faserung mit Faser ${\mathbb C}^{2}$. Betrachten wir andererseits den Typ \vspace{3mm} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|} \hline ${\mathbb C}$ & ${\mathbb C}$ \\ \hline 0 & ${\mathbb C}$ \\ \hline \end{tabular} \end{center} \vspace{3mm} \noindent so bedeutet die Wahl einer Gewichtsfiltrierung eine Wahl von zwei Geraden in ${\mathbb C}^{2}$, die von einer festen Geraden verschieden sind, und wieder passt es. Allgemeiner h"atte ich gerne f"ur jede reduktive zusammenh"angende algebraische Gruppe einen Morphismus mit affinen Fasern \[ \mbox{ Grp-Sch}_{{\mathbb C}}(\mbox{Hodge}_{{\mathbb C}},G^\vee ) \to \left\{ \begin{array}{c} \mbox{ABV-Parameter f"ur } G \mbox{ mit} \\ \mbox{ganzem zentralem Charakter} \end{array}\right\} \] und derart, dass die Urbilder von $G^\vee $-Bahnen wieder $G^\vee $-Bahnen sind. Das w"are besonders sch"on, da ja $\mbox{Hodge}_{{\mathbb C}}$ die Komplexifizierung der Kategorie der gemischten ${\mathbb C}$-Motive sein sollte. Auf der ABV-Seite w"aren dann Parameter f"ur komplexe Gruppen zu nehmen. Im Fall reeller Gruppen sollte man stattdessen die Komplexifizierung der Kategorie der gemischten ${\mathbb R}$-Motive zu betrachten haben. \newpage \subsection{Zu $W$-Algebren} (Julia Meier vorgeschlagen). Sei $\frak{g}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, $e \in \frak{g}$ ein von Null verschiedenes nilpotentes Element, $(e,h,f)$ ein zugeh"origes $\frak{sl}_2$-Tripel, etwa \begin{displaymath} \begin{array}{lcllcl} \frak{g} &= &\frak{sl} (3; \mathbb{C}), & e &=& \begin{pmatrix} 0 & 0 &1\\ 0&0&0\\ 0&0&0 \end{pmatrix} ,\\[5ex] h &=& \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}, &f&=& \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0 \\ 1 & 0&0\end{pmatrix} \end{array} \end{displaymath} Sei $\mathfrak{m}$ wie in [Gan-Ginzburg], dessen Lekt"ure lohnt, etwa \begin{equation*} \mathfrak{m} = \left\{ \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ \ast &\ast &0 \end{pmatrix} \right\} \end{equation*} und $\chi : \mathfrak{m} \rightarrow \mathbb{C}$ das Killing-Paaren mit $e$, wobei es meines Erachtens auf einen von Null verschiedenen Skalar nicht ankommt, nehmen wir also \begin{equation*} \chi \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ x&y&0 \end{pmatrix} = x \end{equation*} Jetzt bildet man die Algebra $H = \op{End}_{\mathfrak{g}} (U (\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{m})} \mathbb{C}_{\chi})^{\operatorname{opp}}$ und zeigt, alles nach [Gan-Ginzburg], da"s sie eine Quantifizierung der Poisson-Algebra der polynomialen Funktionen auf dem Bild des Slodowy-Schnitts $e + \op{ker} (\op{ad} f)$ unter der durch die Killing-Form gegebenen Identifikation $\mathfrak{g} \overset{\sim}{\longrightarrow}\mathfrak{g}^\ast$ ist. Die Kategorie der $H$-Moduln kann nach [Skryabin] oder auch [Gan-Ginzburg] identifiziert werden mit der Kategorie \begin{equation*} \mathcal{C} = \left\{ M \in \mathfrak{g}\operatorname{-mod} \left| \begin{array}{c}a -\chi (a) \text{ operiert lokal} \\ \text{nilpotent f"ur alle } a \in \mathfrak{m} \end{array} \right\}\right. \end{equation*} und wir haben genauer eine "Aquivalenz \begin{equation*} \mathcal{C}\qquad \begin{array}{c} \operatorname{Hom}_{\mathfrak{g}} (U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{m})} \mathbb{C}_{\chi}, \;)\\[-1ex] \longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow\\[-1ex] \left( U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{m})} \mathbb{C}_{\chi}\right) \otimes_{H} \end{array} \qquad H \operatorname{-mod} \end{equation*} wobei der Funktor oben auch geschrieben werden kann als $\op{Hom}_{\mathfrak{m}}(\DC_{\chi},\;)$. Man sollte diese Kategorie der $H$-Moduln vermittels der Lokalisierung nach Beilinson-Bernstein besser verstehen k"onnen. Ist $Z \subset U(\frak{g})$ das Zentrum und $Z^+ = \operatorname{Ann}_Z \mathbb{C}$ der Annullator der trivialen Darstellung, so liefert Beilinson-Bernstein eine "Aquivalenz \begin{equation*} \{ (U (\mathfrak{g})/ Z^+ U(\mathfrak{g})) \text{ -Moduln} \} \overset{\sim}{\leftarrow} \{\mathcal{D}\text{-Moduln auf der Fahnenmannigfaltigkeit}\} \end{equation*} und damit auch wie von [Gian-Ginzburg] ganz am Schlu"s erw"ahnt, "Aquivalenzen \begin{displaymath} \begin{array}{c} H/Z^+ H \operatorname{-Mod}\\ \uparrow \!\!\wr\\ \{M \in \mathcal{C} \mid Z^+ M = 0]\\ \uparrow \!\!\wr\\ \{\text{$\mathcal{D}$-Moduln auf einer Fahnenmannigfaltigkeit, die $\mathfrak{m}$-$\chi$-Whittaker sind}\} \end{array} \end{displaymath} Was ist mit $\mathcal{D}$-Moduln auf einer Fahnenmannigfaltigkeit, die $\mathfrak{m}$-$\chi$-Whittaker sind, gemeint? Nun, sei $X$ eine glatte komplexe algebraische Variet"at, etwa die Fahnenmannigfaltigkeit, lese dazu etwa [Humphreys] oder [Springer], Algebraic groups, oder [Shafarevic], Basic Algebraic Geometry. Man erkl"art dann auf $X$ die Garbe $\mathcal{D}_X$ der \glqq algebraischen Differentialoperatoren\grqq\ und darin die Garbe $\mathcal{O}_X$ der \glqq regul"aren Funktionen\grqq. Ein $\mathcal{D}$-Modul ist eine Garbe von $\mathcal{D}_X$-Moduln, die $\mathcal{O}_X$-quasikoh"arent ist, vergleiche daf"ur etwa [Shafarevic] oder [Harthshorne]. Die Lie-Algebra $\mathfrak{m}\subset \mathfrak{g}$ geh"ort zu einer algebraischen Untergruppe $M \subset G$, f"ur $\mathfrak{g} = \operatorname{sl} (3; \mathbb{C})$ etwa $G = \operatorname{SL} (3; \mathbb{C})$ und \begin{displaymath} M = \left\{ \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0 \\ \ast &\ast & 1\\ \end{pmatrix} \right\} \end{displaymath} Wir betrachten jetzt nur \glqq $M$-"aquivariante\grqq\ $\mathcal{D}_X$-Moduln, in unserem Fall w"are $X$ die Variet"at der Fahnen \begin{equation*} X = \{ \mathbb{C}^3 = V^3 \supset V^2 \supset V^1 \supset V^0 = 0 \mid \dim_{\mathbb{C}} V^i=i\} \end{equation*} die aber etwas Komisches haben: Die $\mathfrak{m}$-Operation auf unserem $\mathcal{D}$-Modul, die durch Ableiten der $M$-Operation entsteht, f"allt nicht mit der $\mathfrak{m}$-Operation zusammen, die vom Auffassen der Elemente von $\mathfrak{m}$ als Vektorfelder auf $X$ alias Differentialoperatoren herkommt, sondern beide Operationen unterscheiden sich um den Charakter $\chi : \mathfrak{m} \rightarrow \mathbb{C}$. So was habe ich mit Milicic in einer unver"offentlichten Arbeit gemacht, liegt auf meiner Seite im Netz. Es ist sinnvoll, sich sowas erst mal f"ur $M = (\mathbb{C},+)$ und die Operation durch Addition auf $X = \mathbb{C}$ klarzumachen. Nun erwarte ich folgendes Ph"anomen, das ich nur im Fall $\operatorname{SL}(3;\mathbb{C})$ einigerma"sen konkret formulieren kann und das Sie pr"ufen und ausarbeiten k"onnten: Unsere Gruppe $M$ ist hier ja schlicht $M \cong \mathbb{C}^2$ und wir haben ebenso $\mathfrak{m} \cong \mathbb{C}^2$ und $\chi : \mathfrak{m} \rightarrow \mathbb{C}$, $(x,y) \mapsto x$. Die $x$-Komponente ist eine Untergruppe $L$, die auf dem Komplement ihrer Fixpuntmenge in der Fahnenmannigfaltigkeit $U = X \backslash X^L$ frei operiert. "Ahnlich wie in [Soergel-Milicic] sollte man f"ur $i : U \hookrightarrow X$ die Einbettung zeigen k"onnen \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \mathcal{D}\text{-Moduln auf } U, \\ \text{die } \mathfrak{m}\text{-}\chi\text{-Whittaker sind}\end{array} \right\} & \begin{array}{c} i_\ast\\ \overset{\sim}{\longrightarrow} \end{array} & \left\{ \begin{array}{c} \mathcal{D}\text{-Moduln auf } X, \\ \text{die } \mathfrak{m}\text{-}\chi\text{-Whittaker sind}\end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} Weiter sollte man zeigen k"onnen \begin{displaymath} \begin{array}{c} \left\{ \mathcal{D}\text{-Moduln auf $U$, die $\mathfrak{m}$-$\chi$-Whittaker sind} \right\}\\ \downarrow \!\wr\\ \left\{\begin{array}{c} \mathcal{D}\text{-Moduln oder vielleicht vertwistete $\mathcal{D}$-Moduln auf dem}\\ \text{Quotienten $U/L$, die richtig "aquivariant sind unter } M/L \end{array} \right\} \end{array} \end{displaymath} Es ergeben sich folgende Fragen: Was ist eigentlich $U/L$ im Fall $\operatorname{SL} (3;\mathbb{C})$? Existiert dieser Quotient auch als Variet"at? Das alles w"urde eine sehr sch"one da geometrische Beschreibung der Moduln "uber $H/Z^+H$ liefern, also der Moduln "uber einem zentralen Quotienten einer Quantisierung der Poisson-Algebra zum Slodowy-Schnitt. Ich w"urde auf ein besseres Verst"andnis der Resultate von [Brundan und Kleshchev, Representations of shifted Yangians and finite $W$-algebras, Archive 8.5. 2006] hoffen. \end{comment} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \cleardoublepage \addcontentsline{toc}{part}{Literaturverzeichnis} \bibliographystyle{amsalpha}\bibliography{pub} \cleardoublepage \addcontentsline{toc}{part}{Index} \printindex \end{document}