\section{Schrotthalde} \subsection{Alkovengeometrie} \begin{Definition} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. Eine Teilmenge von $E$ hei"st \defind{konvex} genau dann, wenn sie mit je zwei Punkten auch das ganze dazwischenliegende Geradensegment enth"alt. F"ur jede Hyperebene $H\subset E$ gibt es in $E-H$ genau zwei maximale konvexe Teilmengen, die wir die \defnoind{Halbr"aume}\index{Halbraum} zu $H$ oder die \defnoind{$H$-Halbr"aume}\index{Halbraum} nennen. Ist $A\subset E$ eine konvexe Teilmenge und gilt $A \cap H = \emptyset,$ so liegt $A$ in genau einem Halbraum zu $H.$ Diesen Halbraum bezeichnen wir mit $H^{+}_{A}$ und nennen ihn den \defind{$H$-Halbraum von} $A.$ \end{Definition} \begin{Definition} Sei $\cal{H}$ ein System von Hyperebenen in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper. Die maximalen konvexen Teilmengen des Komplements $E-\bigcup_{H\in\cal{H}} H$ der Vereinigung aller Hyperebenen aus $\cal{H}$ nennen wir auch in diesem allgemeineren Zusammenhang \defind{Alkoven} und bezeichnen die Menge aller Alkoven mit $\cal{A}.$ F"ur jeden Alkoven $A\in\cal{A}$ gilt nat"urlich $$A = \bigcap_{H \in \cal{H}} H^{+}_{A}$$ denn die rechte Seite ist konvex und umfa"st $A.$ Wir betrachten auch die \defnoind{abgeschlossenen Halbr"aume}\index{abgeschlossener Halbraum} $\bar H^+_A=H^+_A\cup H$ und definieren den \defnoind{Abschlu"s}\index{Abschluss} $\bar A$ eines Alkoven $A$ durch die Vorschrift $$\bar A = \bigcap_{H \in \cal{H}} \bar H^{+}_{A}$$ \end{Definition} \begin{Ubung} Haben wir $k=\DR$ und ist unser affiner Raum endlichdimensional und versehen wir ihn mit seiner nat"urlichen Topologie, so stimmt der eben definierte Abschlu"s eines Alkoven "uberein mit seinem Abschlu"s im Sinne der Topologie. \end{Ubung} \begin{Definition} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. Gegeben zwei Punkte $x,y \in E$ definieren wir das \defind{abgeschlossene Geradensegment} durch $$[x,y]=\{ x+t(y-x)\mid 0\leq t\leq 1\}$$ und erkl"aren weiter das \defind{offene Geradensegment} $(x,y)=[x,y]\setminus \{x,y\}$ und die \defind{halboffenen Segmente} $[x,y)=[x,y]\setminus y$ und $(x,y]=[x,y]\setminus x.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{BaAa} Der Abschlu"s eines Alkoven $A$ kann auch beschrieben werden als die Menge aller Punkte $x$ derart, da"s f"ur einen und gleichbedeutend jeden Punkt $y\in A$ das halboffene Segment $(x,y]$ ganz in $A$ enthalten ist. Bilden wir also zu jedem Alkoven $A$ seinen \defind{Rand} $\partial A$ durch die Vorschrift $\partial A=\bar{A}-A,$ so ist $A$ stets eine maximale konvexe Teilmenge des Komplements $E- \partial A$ seines Randes im umgebenden affinen Raum. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Jede nichtleere konvexe Teilmenge von $E-\bigcup_{H\in \cal{H}} H$ liegt in genau einem Alkoven. Insbesondere sind die Alkoven paarweise disjunkt. \end{Ubung} \begin{Definition} Sei $E$ ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper. Ein System $\cal{H}$ von Hyperebenen von $E$ hei"st \defind{lokal endlich} genau dann, wenn jedes Geradensegment $[x,y]$ h"ochstens endlich viele Hyperebenen aus $\cal{H}$ trifft. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{MM} Ein affiner Raum "uber einem angeordneten K"orper kann nicht durch ein lokal endliches System von Hyperebenen "uberdeckt werden. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Jeder Punkt $x$ unseres affinen Raums liegt auf h"ochstens endlich vielen unserer Hyperebenen. Wenn wir nun mithilfe von \ref{EU} einen weiteren Punkt $y$ au"serhalb dieser endlich vielen Hyperebenen w"ahlen, so ist das Segment $[x,y]$ in keiner unserer Hyperebenen enthalten. Da es unendlich viele Punkte hat aber nur endlich viele unserer Hyperebenen trifft und zwar in jeweils nur einem Punkt, gibt es auf $[x,y]$ notwendig Punkte, die in keiner unserer Hyperebenen enthalten sind. \end{proof} \begin{Lemma}\label{AUe} Gegeben eine lokal endliche Menge von Hyperebenen $\cal{H}$ in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper "uberdecken die Abschl"usse der zugeh"origen Alkoven ganz $E.$ In Formeln gilt also $$E=\bigcup_{A\in\cal{A}}\bar{A}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur $p\in E$ finden wir nach Lemma \ref{MM} eine affine Gerade durch $p,$ die in keiner unserer Hyperebenen $H\in\cal{H}$ enthalten ist. Dann gibt es auch einen Punkt $q$ auf unserer Gerade derart, da"s das halboffene Geradensegment $(p,q]$ keine unserer Hyperebenen $H\in\cal{H}$ trifft. Damit liegt aber notwendig $p$ im Abschlu"s des Alkoven von $q.$ \end{proof} \begin{Definition} Sei $\cal{H}$ ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum $E$ "uber einem angeordneten K"orper und sei $A\subset E$ ein Alkoven. Eine Hyperebene $H \in \cal{H}$ hei\ss t eine \defind{Wand} von $A$ genau dann, wenn es einen Punkt $p\in \bar{A}$ aus dem Abschlu"s unseres Alkoven gibt, der zwar auf $H$ liegt, aber auf keiner anderen Hyperebene aus $\cal{H}.$ Wir schreiben $\cal{H}_{A} \subset \cal{H}$ f\"ur die Menge der W\"ande von $A.$ \end{Definition} \begin{Lemma}\label{WAa} Sei $\cal{H}$ ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper. Jede Hyperebene $H \in \cal{H}$ ist Wand von mindestens einem Alkoven, in Formeln $$\cal{H}=\bigcup_{A\in\cal{A}}\cal{H}_A$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur $H\in\cal{H}$ finden wir nach \ref{MM} einen Punkt $q\in H,$ der auf keiner anderen Hyperebene aus $\cal{H}$ liegt. Er liegt nach \ref{AUe} im Abschlu"s eines Alkoven, und unsere Hyperebene ist dann eine Wand dieses Alkoven. \end{proof} \begin{Satz}[Begrenzung eines Alkoven durch seine W"ande]\label{Wand} Ist $\cal{H}$ ein lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper, so ist jeder Alkoven $A$ schon der Schnitt aller $A$ umfassenden Halbr"aume zu W"anden von $A,$ in Formeln $$A = \bigcap_{H \in \cal{H}_{A}} H^{+}_{A}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s jedes Segment $[x,y]$ mit $x\in A$ und $y\not\in A$ mindestens eine Wand von $A$ trifft. Indem wir $y$ ersetzen durch den von $x$ aus ersten Schnittpunkt unseres Segments mit einer Hyperebene $H \in \cal{H}$ d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar $\left[ x,y\right) \subset A$ annehmen. Jetzt betrachten wir das System $$\cal{H}_{y} =\{H \in \cal{H} \mid y \in H \}$$ aller Hyperebenen aus $\cal{H}$ durch $y.$ Es reicht zu zeigen, da"s mindestens ein $H \in \cal{H}_{y}$ eine Wand von $A$ ist. Nach dem anschlie"senden Lemma \ref{HLi} d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar $\cal{H} = \cal{H}_{y}$ annehmen. Jetzt argumentieren wir durch Induktion "uber die Zahl $|\cal{H}|$ von Hyperebenen. Im Fall $|\cal{H}|=1$ ist eh nichts zu zeigen. Sonst betrachten wir den zu einer Hyperebene aus $\cal{H}$ parallelen affinen Teilraum $E^{\prime} \subset E$ durch $x$ und darin das System von Hyperebenen $\cal{H}^{\prime} = \{ E^{\prime} \cap H\mid H \in \cal{H}\text{ mit } E^{\prime} \cap H\neq\emptyset \}.$ Nach Induk\-tionsvoraussetzung ist eine der Hyperebenen $E^{\prime} \cap H$ eine Wand des Alkoven $E^{\prime} \cap A$ bez"uglich $\cal{H}^{\prime},$ und man erkennt sofort, da"s dann $H$ eine Wand von $A$ sein mu"s. \end{proof} \begin{Beispiel} Ist unsere Menge von Hyperebenen nicht lokal endlich, so kann alles m"ogliche passieren. Betrachten wir zum Beispiel in $k^2$ alle Geraden durch den Ursprung, die nicht vertikal sind, so gibt es zwei Alkoven, die beiden offenen vertikalen Halbgeraden, aber keine Hyperebene ist eine Wand irgendeines Alkoven. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{HLi} Sei $\cal{H}$ eine lokal endliches System von Hyperebenen in einem affinen Raum "uber einem angeordneten K"orper. Sei $y \in \bar{A} $ ein Punkt aus dem Abschlu"s eines Alkoven $A$ und $\cal{H}_{y} = \{ H \in \cal{H} \mid y \in H\}$ das System der Hyperebenen durch $y$. Sei $A^{\prime}$ der Alkoven bez"uglich $\cal{H}_{y},$ der $A$ umfa"st. So ist jede Wand von $A^{\prime}$ auch eine Wand von $A$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $H \in \cal{H}_{y}$ eine Wand von $A^{\prime},$ so gibt es $z^{\prime} \in {H} \cap \bar{A^{\prime}}$ derart, da"s $z^{\prime}$ auf keiner anderen Hyperebene durch $y$ liegt. Im halboffenen Segment $\left[z^{\prime},y\right)$ finden wir dann weiter $z$ derart, da"s $\left[ z,y\right)$ au"ser $H$ "uberhaupt keine Hyperebene aus $\cal{H}$ trifft. Gegeben $x \in A$ trifft $\left[ x,y\right)$ keine Hyperebene aus $\cal{H}$ und folglich trifft $[x,z]$ nur die Hyperebene $H,$ d.h.\ wir haben $z \in \bar{A}$ und $H$ ist Wand von $A.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} W"ahlt man f"ur jede Hyperebene $H \in \cal{H}$ eine affine Gleichung $\alpha_{H} : E \ra k$ mit $\alpha_{H}|_A > 0,$ so sind die W"ande von $A$ genau diejenigen $H \in \cal{H},$ f"ur die sich $\alpha_{H}$ nicht als positive Linearkombination gewisser $\alpha_{L}$ mit $L \neq H$ schreiben l"a"st: Da"s f"ur jede Wand $H$ von $A$ die Gleichung $\alpha_{H}$ diese Bedingung erf"ullt, ist klar, da"s nur W"ande unsere Bedingung erf"ullen, ist vielleicht weniger klar, ergibt sich jedoch als eine Konsequenz des Hauptsatzes "uber lineare Ungleichungen \ref{HLU}. \end{Bemerkung} \subsection{Endlich erzeugte abelsche Gruppen, ALT} \begin{Definition} Unter einer \defind{Primzahlpotenz} verstehen wir im folgenden eine nat"urliche Zahl der Gestalt $q=p^r$ f"ur $p$ prim und $r\geq 1.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Gegeben eine Primzahl $p$ werden wir sp"ater eine \glqq $p$-Potenz\grqq\ erkl"aren als eine nat"urliche Zahl der Gestalt $q=p^r$ f"ur $p$ prim und $r\geq 0.$ Man m"oge mir nachsehen, da"s in dieser Terminologie damit nicht alle $p$-Potenzen Primzahlpotenzen sind. Die beiden folgenden S"atze geben zwei {\bf Klassifikationen der endlich erzeugten abelschen Gruppen}. \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{ek} Sei $G$ eine endlich erzeugte abelsche Gruppe. So gibt es genau eine endliche Folge von von $1$ verschiedenen nat"urlichen Zahlen $d_{1}, \ldots, d_{s} \in\{0,2,3,\ldots\}$ mit $d_{i}|d_{i+1}$ f"ur $1\leq i 0$ minimal m"oglich. W"aren in so einer \glqq minimalen\grqq\ Relation mindestens zwei Koeffizienten verschieden von Null, ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $0< a_1 \leq a_2,$ so k"onnten wir zu einem neuen Erzeugendensystem "ubergehen mit $x'_1 =x_1 + x_2$ und $x'_i=x_i$ f"ur $i\geq 2$ und h"atten eine nichttriviale Relation $$0= a_1 x'_{1} + (a_2 - a_1)x'_{2} \ldots + a_r x_{r}$$ im Widerspruch zur Minimalit"at von $\sum_i|a_i|.$ W"are nur ein Koeffizient verschieden von Null, sagen wir $a_1\neq 0$ so folgt mit Torsionsfreiheit $x_1=0,$ und unser Erzeugendensystem hatte doch nicht die kleinstm"ogliche Kardinalit"at. Dieser Widerspruch zeigt das Lemma. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ZT} Sei $G$ eine abelsche Gruppe. \begin{enumerate} \item Die Menge $T=G_{\op{tor}}$ aller Elemente endlicher Ordnung aus $G$ ist eine Untergruppe von $G,$ und der Quotient $G/T$ ist torsionsfrei. \item Ist $G$ zus"atzlich endlich erzeugt, so ist die Untergruppe $T$ aller Elemente endlicher Ordnung endlich, in Formeln $|T|<\infty,$ und wir haben $G/T\cong \DZ^r$ f"ur geeignetes $r\in\DN.$ Des weiteren spaltet die Surjektion $G\sra G/T,$ es gibt also insbesondere einen Isomorphismus $$G\cong T\times \DZ^r$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Teil 1 bleibt dem Leser "uberlassen. Die Endlichkeit von $T$ folgt daraus, da"s f"ur eine endlich erzeugte abelsche Gruppe $G$ auch jede ihrer Untergruppen endlich erzeugt ist, siehe "Ubung \ref{EO}.\ref{ee}. Der Isomorphismus $G/T\cong \DZ^r$ folgt aus \ref{tt}. Die Produktzerlegung in Teil 2 folgt dann aus "Ubung \ref{Sp}.\ref{FSp}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{EA} \begin{enumerate} \item Sei $T$ eine abelsche Gruppe und $p$ eine Primzahl. Alle Elemente von $T,$ deren Ordnung eine Potenz von $p$ ist, bilden eine Untergruppe $T(p)$ von $T,$ deren Ordnung eine $p$-Potenz ist. \item Ist $T$ eine endliche abelsche Gruppe und sind $p_1,\ldots, p_u$ die Primfaktoren der Gruppenordnung $|T|,$ so definiert die Verkn"upfung einen Isomorphismus $$T(p_1)\times\ldots\times T(p_u)\sira T$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis (in multiplikativer Notation)] 1. Die Elemente von $p$-Potenzordnung bilden eine Untergruppe, da in einer kommutativen Gruppe die Ordnung des Produkts zweier Elemente das Produkt ihrer Ordnungen teilt, siehe "Ubung \ref{EO4}. Um zu sehen, da"s eine endliche abelsche Gruppe, deren Elemente s"amtlich $p$-Potenzordnung haben, auch selbst $p$-Potenzordnung hat, bildet man Quotienten nach zyklischen Untergruppen und argumentiert mit vollst"andiger Induktion. \\[2mm]\noindent 2. Hier folgt die Injektivit"at daraus, da"s die beiden Untergruppen $T(p_1)$ und $T(p_2)\ldots T(p_u)$ von $T$ teilerfremde Ordnung haben und damit nach \ref{EOO2} ihr Schnitt nur das neutrale Element enth"alt. Gegeben Elemente $t_i\in T(p_i)$ mit $t_1 t_2\ldots t_u=1$ folgt also $t_1=1$ und genauso allgemeiner $t_i=1$ f"ur alle $i.$ Um in 2 die Surjektivit"at zu zeigen, d"urfen wir uns auf den Fall einer zyklischen Gruppe einschr"anken. In diesem Fall ist die Aussage jedoch klar nach dem Chinesischen Restsatz. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{zk}.\ref{zk1}] Es gilt zu zeigen, da"s sich jede endlich erzeugte abelsche Gruppe zerlegen l"a"st in ein Produkt aus Kopien von $\DZ$ und zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung. Nach Lemma \ref{ZT} k"onnen wir jede endlich erzeugte abelsche Gruppe $G$ schreiben als ein Produkt $G\cong T\times\DZ^r$ f"ur eine geeignete endliche abelsche Gruppe $T=G_{\op{tor}}$ und $r\in\DN.$ Nach Lemma \ref{EA} zerf"allt weiter $T$ in ein Produkt von $p$-Gruppen $T(p),$ wo $p$ die Primteiler der Gruppenordnung $|T|$ durchl"auft. Das anschlie"sende Lemma \ref{kn} zeigt dann, da"s sich diese abelschen $p$-Gruppen jeweils als ein Produkt von zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung schreiben lassen, und das beendet den Beweis der Existenz unserer Zerlegung. \end{proof} \begin{Lemma}\label{kn} Sei $p$ eine Primzahl, $A$ eine endliche abelsche $p$-Gruppe, $a\in A$ ein Element maximaler Ordnung, $\langle a\rangle $ die von $a$ erzeugte Untergruppe und $B\subset A$ maximal unter allen Untergruppen von $A,$ die $\langle a\rangle $ nicht treffen. So definiert die Multiplikation einen Isomorphismus $$B\times \langle a\rangle \sira A$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis (in additiver Notation)] Es reicht zu zeigen, da"s unsere Multiplikation eine Surjektion liefert. Wir argumentieren durch Widerspruch. Ist der Quotient $\bar{A}=A/B$ nicht erzeugt vom Bild $\bar{a}$ von $a,$ so finden wir ein Element ${c}\in \bar{A}$ au"serhalb von $\langle \bar{a} \rangle$ mit $p{c}\in \langle \bar{a} \rangle.$ Da auch die Ordnung von $\bar{a}$ maximal m"oglich ist, haben wir notwendig $\op{ord} p {c} < \op{ord} \bar{a}.$ Nach \ref{EO9} finden wir dann ${d}\in \langle \bar{a} \rangle$ mit $p{c}=p{d}.$ Da nun gilt ${c}-{d}\not\in \langle \bar{a} \rangle$ und da $\langle {c}-{d}\rangle\cong \DZ/p\DZ$ au"ser sich selbst und $0$ keine Untergruppen hat, folgt $\langle {c}-{d}\rangle\cap\langle \bar{a} \rangle=0.$ Das Urbild von $\langle {c}-{d}\rangle$ in $A$ ist dann aber eine Untergruppe von $A,$ die $\langle a\rangle $ nicht trifft und die gr"o"ser ist als $B.$ Das ist der gew"unschte Widerspruch. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{zk}.\ref{zk2} (in additiver Notation)] Es gilt zu zeigen, da"s unsere Zerlegung von geeigneten Gruppen in ein Produkt aus Kopien von $\DZ$ und zyklischen Gruppen von Primpotenzordnung bis zu einem gewissen Grad eindeutig ist. Der Rang ist wohlbestimmt als die Dimension des $\DQ$-Vektor\-raums $r=\dim_\DQ\op{Hom}(G,\DQ)$ aller Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $\Bbb{Q}.$ In der Tat haben wir n"amlich f"ur jedes Produkt von Gruppen einen Isomorphismus von $\DQ$-Vektorr"aumen $$\op{Hom}(G_1\times \cdots \times G_n,\DQ)=\op{Hom}(G_1,\DQ)\times \cdots \times \op{Hom}(G_n,\DQ)$$ Um die Eindeutigkeit der Vielfachheiten der endlichen zyklischen Faktoren zu zeigen d"urfen wir uns auf den Fall einer abelschen $p$-Gruppe $A$ zur"uckziehen. Bezeichne $A_p$ die Untergruppe $A_p=\{x\in A\mid px=0\}$ aller Elemente der Ordnung $p.$ "Ahnliche Argumente wie eben zeigen, da"s die Zahl $z$ der zyklischen Faktoren von $A$ wohlbestimmt ist durch die Formel $p^z=|A_p|.$ Weiter beachte man, da"s f"ur eine Zerlegung $A=A^1\times\cdots\times A^n$ von $A$ in ein Produkt gilt $A_p=A^1_p\times\cdots\times A^n_p$ und $$A/A_p=A^1/A^1_p\times\cdots\times A^n/A^n_p$$ Wir erhalten somit die Eindeutigkeit der Zerlegung von $A$ in zyklische Faktoren induktiv aus der Eindeutigkeit der Zerlegung von $A/A_p.$ \end{proof} \subsection{Beweisrest Charaktere} \begin{proof}[Beweis von \ref{ek}] Um die Existenz nachzuweisen, m"ussen nur die Faktoren aus \ref{zk} geeignet zusammengefa"st werden mithilfe des Chinesischen Restsatzes \ref{CR}. Der Einfachheit der Notation halber zeigen wir nicht genau die Existenz einer Folge $d_{i}$ wie im Satz, sondern vielmehr die Existenz einer analogen Folge mit $d_{i+1}|d_{i} \quad \forall i$ (statt $d_{i}|d_{i+1}$ wie im Satz formuliert). Dazu nehmen wir $d_1=\ldots=d_r=0,$ dann als $d_{r+1}$ das Produkt "uber die jeweils h"ochsten unter den $q_\tau$ auftauchenden Potenzen "uber alle in \ref{zk} vorkommenden Primzahlen, als $d_{r+2}$ das Produkt "uber die jeweils zweith"ochsten Potenzen, etc. Die Herleitung der Eindeutigkeit in \ref{ek} aus der Eindeutigkeit in \ref{zk} bleibt dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis, alt] Die folgende Argumentation f"uhrt direkter zum Charakter, l"a"st sich aber nicht auf stetige Darstellungen kompakter Gruppen verallgemeinern. Offensichtlich gilt f"ur die Spur der Konvolution mit $g$ von links auf dem Gruppenring die Formel $$\begin{array}{ccl} \op{tr} \{g {\ast}: k G \circlearrowleft\} &=& \left\{ \begin{array}{cl} |G| & g=e;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array} \right. \end{array}$$ Ist also $f \in k G$ gegeben und bezeichnet $(f \ast): k G \ra k G$ die Multiplikation, so haben wir $$f(g) = \frac{1}{|G|} \op{tr} \left\{(g^{-1}{\ast}) \circ (f\ast):k G \circlearrowleft\right\}$$ Die rechte Seite dieser Gleichung kann nun auch auf der rechten Seite unseres Fourier-Isomorphismus aus \ref{HSD} ausgewertet werden. In der Tat zerf"allt ja der Gruppenring $kG$ unter der Operation von $G$ durch Linkstranslation in eine direkte Summe, in der jede einfache Darstellung mit der Vielfachheit ihrer Dimension auftaucht. Sind also $L_{1}, \ldots, L_{r}$ die irreduziblen Darstellungen von $G,$ bis auf Isomorphismus, so folgt $$f(g) = \sum^{r}_{i=1} \frac{\dim L_{i}}{|G|} \op{tr} \left\{g^{-1}\circ (f\cdot) : L_{i}\circlearrowleft\right\}$$ f"ur alle $f \in k G$ und wir erhalten so die inverse Abbildung zu unserem Isomorphismus aus \ref{HSD}, die \defind{inverse Fouriertransformation}. Um sie mit der Matrixkoeffizientenabbildung zu identifizieren, gilt es jetzt nur noch zu pr"ufen, da"s f"ur beliebige $\varphi\in L^\ast, $ $v\in L$ und $g:L\ra L$ linear gilt $\varphi(gv)=\op{tr}(g|v\rangle \langle \varphi|),$ und das "uberlassen wir dem Leser. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: