\section{Derivierte Kategorien und dg-Ringoide, "Alteres*}

\subsection{Abelsche Schmelzkategorien, ALT}
\nichtfinal{Fehlschlag. Was ist der richtige Begriff? Was braucht man und wozu? Es sollte so sein, da"s sich etwa "ausere Algebren und symmetrische Algebren sinnvoll definieren lassen und sinnvolle Eigenschaften haben. } 
\begin{Bemerkungl} 
  Wir nennen ein Objekt einer Schmelzkategorie\label{scnf} 
  {\bf schmelzfinal},\index{schmelzfinal} wenn es in dieses Objekt
  von jeder  Objektkleinfamilie genau eine Verschmelzung gibt.
  Wir nennen ein Objekt einer Schmelzkategorie
  {\bf schmelzinitial},\index{schmelzinitial} wenn es 
  von jeder  Objektkleinfamilie, in der es vorkommt,
  in jedes weitere Objekt nur genau eine Verschmelzung gibt.
  Ein Objekt, das schmelzfinal und schmelzinitial ist,
  nennen wir eine {\bf Schmelznull}. Alle derartigen Objekte
  sind eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus.
  Gegeben  eine Schmelzkategorie mit
  Schmelznull hei"st eine Verschmelzung eine
  {\bf Nullverschmelzung}, wenn sie "uber die Schmelznull
  faktorisiert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} 
  Gegeben eine Verschmelzung $f:B\ra Y$ in einer
  Schmelzkategorie mit Schmelznull nennen wir einen Morphismus
  $g:Y\ra K$ einen {\bf Schmelzkokern\index{Schmelzkokern}
  von $f$}, wenn jede Verschmelzung $Y\curlyvee Y_1\curlyvee \ldots \curlyvee Y_r\ra Z$ mit $r\geq 0$, die unter Vorschalten von $f\curlyvee {\op{id}}\curlyvee \ldots \curlyvee{\op{id}}$ zu Null wird, eindeutig "uber
  $g\curlyvee {\op{id}}\curlyvee \ldots \curlyvee{\op{id}}$ faktorisiert.
  Ein Schmelzkokern ist eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus, wenn er existiert.
  Wir notieren ihn $Y\ra \op{cok}f$. \nichtfinal{N"otig? Wozu sinnvoll?} 
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
  Betrachten wir etwa die Schmelzkategorie der abelschen Gruppen
  und erlauben nur solche $r$-Verschmelzungen f"ur $r\geq 2$, bei denen
  das Bild der fraglichen multiadditiven Abbildung endlich erzeugt ist,
  so ist die zugrundeliegende einfache Kategorie abelsch, aber es gibt \nichtfinal{N"otig? Wozu sinnvoll?} 
\end{Beispiel}



\subsection{"Au"sere Algebra*}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein Morphismus $f:V\ra W$ einer $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal A$
  hei"st 
  ein Morphismus $g:K\ra V$ ein {\bf Kern von $f$},\label{keab} wenn f"ur alle
  Objekte $L$ das Nachschalten von $g$ eine Bijektion
  $$(g\circ ):\mathcal A(L,K)\sira \{h\in \mathcal A(L,V)\mid f\circ h=0\}$$
  induziert. Ein Kern ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus als
  Objekt von $\mathcal A_V$,
  wenn er existiert. Wir notieren ihn $\op{ker}(f)$.\nichtfinal{Eine Variante dieses
  Begriffs f"ur \glqq Kategorien mit Nullobjekt\grqq\ diskutieren
  wir in \eref{KEKO}{TG}.} Jede $\op{Ab}$-Katgorie k"on\-nen wir um ein
  Nullobjekt erg"anzen, wenn sie keines haben sollte, und nach dieser Erg"anzung fallen dann unsere beiden Begriffe eines Kerns zusammen. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkunge}[\textbf{"Au"sere Potenzen}]
  Gegeben eine $\op{Ab}$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M$
  mit stabil universellen
  Verschmelzungen sowie
  $V\in\mathcal M$ und $r\in\DN$
  mag man f"ur jede Transposition $\tau\in \mathcal S_r$
  den Endomorphismus $\tau-\op{id}\in \mathcal M(V^{\otimes r})$ betrachten.
  Hat $\tau-\op{id}$ einen Kern im Sinne von \ref{keab}, so nennen wir eine Verschmelzung\label{autPo} 
  $$\alpha\in \mathcal M(V^{\curlyvee r}, W)$$
       {\bf alternierend},\index{alternierend!Verschmelzung} wenn
       der induzierte Morphismus $\bar\alpha\in \mathcal M(V^{\otimes r}, W)$
       f"ur jede Transposition $\tau$ auf $\op{ker}(\tau-\op{id})$
       verschwindet. Die Menge der alternierenden $r$-Ver\-schmel\-zun\-gen
       notieren wir $\op{Alt}^r(V,W)$. Eine Veschmelzung $\alpha:\mathcal M(V^{\curlyvee r},\Lambda)$ hei"se weiter
       {\bf universell-alternierend},\index{universell-alternierend!Verschmelzung}
       wenn f"ur jedes
  Objekt $X$ das Vorschalten von $\alpha$ eine Bijektion
  $$\mathcal M(\Lambda,X)\sira \op{Alt}^r(V^{\curlyvee r},X)$$
  induziert. Eine universellalternierende Verschmelzung ist
  in offensichtlicher Weise eindeutig bis auf
  eindeutigen Isomorphismus, wenn sie existiert. Sie hei"st
  {\bf stabil universellalternierend}, wenn sogar f"ur jede weitere Objektkleinfamilie $C$
  und jedes Objekt $U$ das Vorschalten eine Bijektion
  $$\mathcal M(\Lambda\curlyvee  C,U)\sira\op{Alt}^r(V^{\curlyvee r}\curlyvee  C,U)$$
 ist,  mit der sich hoffentlich von selbst verstehenden erweiterten Bedeutung
  von $\op{Alt}^r$ auf der rechten Seite. 
 F"ur Schmelzkategorien mit Multihom sind offensichtlich
 alle universellalternierenden Verschmelzungen auch stabil universellalternierend.
 Wir verwenden $$\textstyle\alpha_r:V^{\curlyvee r}\ra \bigwedge^rV$$ als Notation
 f"ur die bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte stabil universellalternierende Verschmelzung,
 wenn es sie gibt,\label{SyPOTa} und nennen
  $\bigwedge^rV$ die {\bf $r$-te "au"sere Potenz von $V$}.\index{"au"sere Potenz!in Schmelzkategorie} 
  Nat"urlich haben wir $\alpha_0=\kappa_\curlyvee:\curlyvee \ra {\mathbb I}$ und $\alpha_1={\op{id}}:V\ra V$. 
  Gibt es alle drei beteiligten  stabil universellalternierenden Verschmelzungen,
  so liefern die universellen Eigenschaften, da"s $\alpha_{r+t}$ eindeutig faktorisiert in
  $$\textstyle V^{\curlyvee(r+t)}\ra\bigwedge^rV\curlyvee V^{\curlyvee t}\ra\bigwedge^rV\curlyvee \bigwedge^tV\ra \bigwedge^{r+t}V$$
  mit $\alpha_r\curlyvee{\op{id}}^{\curlyvee t}$  und ${\op{id}}\curlyvee\alpha_t$
  als ersten beiden Morphismen und einer so
  erkl"arten Zweiverschmelzung
  $$\textstyle \beta=\beta_{r,t}: \bigwedge^rV\curlyvee \bigwedge^tV\ra \bigwedge^{r+t}V$$
  Klar sind auch die \glqq Antikommutativit"at\grqq\
  $\beta_{t,r}=(-1)^{rt}\beta_{r,t}\circ\tau$ f"ur $\tau$ die Vertauschung, die
   \glqq Assoziativit"at\grqq\ $\beta_{r,s+t}(\op{id}\curlyvee \beta_{s,t})=\beta_{r+s,t}(\beta_{r,s}\curlyvee \op{id})$  sowie die \glqq Unitarit"at\grqq\ 
  $\beta_{0,r}\circ (\kappa_\curlyvee\curlyvee {\op{id}})={\op{id}}$.
   In einer sp"ater eingef"uhrten Terminologie kann das dahingehend
  zusammengefa"st werden, da"s $(\bigwedge^rV)_{r\in\DN}$ mit den $\beta$ ein
  Monoid der Schmelzkategorie $\mathcal M^\DN$ der $\DN$-graduierten Objekte von $\mathcal M$ aus \ref{bsps} wird, ja ein Abmonoid der
  graduiert superisierten Schmelzkategorie
  ${\op{s}}\mathcal M^\DN$ aus \ref{gsM}.  
  In\index{"au"sere Potenz}\index{Potenz!"au"sere}
  der Schmelzkategorie der Moduln "uber einem Kring $k$ sind die
  $\bigwedge^rV$ unsere
  "au"seren Potenzen\nichtfinal{$\;$aus \eref{syPOZ}{KAG}}. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{"Au"sere Potenzen als symmetrische Potenzen}]
  Gegeben eine in $\DZ[1/2]$-Moduln angereicherte Schmelzkategorie
  sollte die $r$-te "au"sere Potenz eines Objekts zusammenfallen mit
  der $r$-ten symmetrischen Potenz desselben Objekts mit ungerader
  Parit"at in der zugeh"origen Schmelzkategorie von Superobjekten \ref{MudSS}.
  Genaueres mag einmal ein Student ausarbeiten. 
\end{Bemerkunge}


\subsection{M"ull?} 


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Kategorie zu dg-Ringoid}] 
  \nichtfinal{Hier n"otig oder sinnvoll? Noch alte Terminologie,
    endazyklisch hei"st nun endentfaltet, azyklische Komplexe hei"sen exakt,
    $F$-azyklische Objekte hei"sen $F$-entfaltet, azyklische R"aume gibt es
  aber weiterhin.}
  Man f"uhrt auch f"ur jedes dg-Ringoid $(R,I)$ die derivierte Kategorie
  der dg-Ringoidmoduln
  $$\op{dgRDer}_R$$
  ein als den Verdierquotienten von $\op{dgRHot}_R$ nach dem Verdiersystem
  aller azyklischen Ringoidmoduln, bei denen also der zugrundeliegende
  Komplex exakt ist. Man erkennt unschwer $\op{dgRHot}_R(Ri,N)=0$ f"ur
  azyklisches $N$, so da"s der Lokalisierungsfunktor $\op{dgRHot}_R\ra \op{dgRDer}_R$ volltreu ist auf der vollen Unterkategorie mit Objekten $Ri$.
  Insbesondere induziert der Lokalisierungsfunktor eine triangulierte
  "Aquivalenz\label{dKdg} 
  $$\op{dgRHot}_R\supset \langle Ri\mid i\in I\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra 
  \langle Ri\mid i\in I\rangle_\Delta^{\op{Der}}\subset\op{dgRDer}_R$$
  Salopp gesprochen d"urfen wir also $\op{RFrot}_R$ gleichbedeutend statt in der Homotopiekategorie auch in der derivierten Kategorie interpretieren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Hier n"otig oder sinnvoll?}
  Ist $(H,I)$ ein Ringoid, aufgefa"st als ein dg-Ringoid konzentriert im
  Grad  Null $H=H^0$, so erhalten wir sogar
  eine triangulierte "Aquivalenz
  $$\op{RFrot}_{-H}=\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})\sirra
  \langle iH\mid i\in I\rangle_\Delta^{\op{Der}}\subset \op{Der}^{\op{b}}(\op{RModf}_{-H})$$
  und die rechte Inklusion ist f"ur \glqq kleines $H$\grqq\ nicht selten eine
  Gleichheit. Wir d"urfen ganz rechts im "ubrigen
  auch $\op{Der}(\op{RMod}_{-H})$ schreiben.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Kippen mit Kippobjekt}]
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. 
  Ein Objekt $K \in \mathcal{A}$  hei"st ein \defind{Kippobjekt}, englisch
  \defind{tilting object}, franz"osisch \defind{objet basculant}, 
 wenn alle seine h"oheren
  Selbsterweiterungen verschwinden, wenn also in Formeln  gilt
$$\mathcal{A}^{[n]} (K,K)=0 \quad\text{f"ur }n>0.$$
Jedes Kippobjekt liefert unter der "ublichen Einbettung $\mathcal{A}
\hookrightarrow \op{Ket}_\mathcal{A}$ 
einen end\-azyklischen 
Komplex. Das  zugeh"orige dg-Ringoid  ist  
der Endomorphismenring $H=H^0= \op{End}_{\mathcal A}K$ 
unseres Kippobjekts konzentriert im Grad Null mit der Eins als
einzigem ausgezeichneten Idempotenten. Unsere triangulierten "Aquivalenzen
aus \ref{TEK} und der dg-Ubiquit"at \ref{Uhtf} spezialisieren 
also zu  triangulierten "Aquivalenzen
$$\begin{array}{ccccccc}
  \langle K\rangle_\Delta^{\op{Der}}&\silla&\langle K\rangle_\Delta^{\op{Hot}}&\sirra
  &\langle H\rangle_\Delta^{\op{Hot}}&\sirra
  &\langle H\rangle_\Delta^{\op{Der}}\\
  \cap&&\cap&&\cap&&\cap\\
\op{Der}_{\mathcal A}
  &\leftarrow& \op{Hot}_{\mathcal A}&\ra&
 \op{Hot}_{-H}&\ra&\op{Der}_{-H}
\end{array}
$$
\end{Beispiel}

  
\begin{Beispiel}[\textbf{Kippen mit Kippfamilie}]
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. 
  Eine Menge von Objekten $\mathcal K \subset \mathcal{A}$  hei"st eine \defind{Kippfamilie}, 
 wenn alle h"oheren
  Erweiterungen zwischen Objekten aus $\mathcal K$ verschwinden, wenn also in Formeln  gilt
$$\mathcal{A}^{[n]} (K,L)=0 \quad\text{f"ur }n>0\text{ und alle }K,L\in\mathcal K.$$
Jede Kippfamilie liefert unter der "ublichen Einbettung $\mathcal{A}
\hookrightarrow \op{Ket}_\mathcal{A}$  eine end\-azyklische Menge 
von  
Komplexen. Das  zu $\mathcal K$ geh"orige dg-Ringoid $H\pdef \op{R}(\mathcal K)$ ist   konzentriert im Grad Null mit 
ausgezeichneten Idempotenten $i_K$ zu $K\in \mathcal K$.
Unsere triangulierte "Aquivalenz
aus \ref{TEK} und die dg-Ubiquit"at \ref{Uhtf}
spezialisieren
also zu  triangulierten "Aquivalenzen
$$\begin{array}{ccccccc}
  \langle_!\mathcal K\rangle_\Delta^{\op{Der}}&\silla&\langle_!\mathcal  K\rangle_\Delta^{\op{Hot}}&\sirra
  &\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})&=
  &\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})\\
  \cap&&\cap&&\cap&&\cap\\
\op{Der}_{\mathcal A}
  &\leftarrow& \op{Hot}_{\mathcal A}&\ra&
 \op{Hot}(\op{RMod}_{-H})&\ra&\op{Der}(\op{RMod}_{-H})
\end{array}
$$ Ganz rechts bettet die Homotopiekategorie auch volltreu in die
derivierte Kategorie ein, da ihre Objekte endazyklische Komplexe sind. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Kippen mit Kippkomplexfamilie}]
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. 
Eine Menge von Objekten $\mathcal K \subset \op{Ket}_{\mathcal{A}}$  hei"st eine \defind{Kippkomplexfamilie}, wenn sie endazyklisch ist und wenn zus"atzlich
gilt
$$\op{Hot}_{\mathcal{A}} (K,[n]L)=\op{Der}_{\mathcal{A}} (K,[n]L) =0 \quad\text{f"ur }n\neq 0\text{ und alle }K,L\in\mathcal K.$$
Das h"atten wir genau genommen nur noch in der Homotopiekategorie ode
in der derivierten Kategorie fordern m"ussen, aber sei's drum. 
 Das  zu unserer Kippkomplexfamilie $\mathcal K$ geh"orige dg-Ringoid $R\pdef \op{R}(\mathcal K)$  mit 
 ausgezeichneten Idempotenten $i_K$ zu $K\in \mathcal K$ hat dann die Eigenschaft $n\neq 0\RA \mathcal H^n(R)=0$.
 
Unsere triangulierte "Aquivalenz
aus \ref{TEK} und die dg-Ubiquit"at \ref{Uhtf}
spezialisieren
also zu  triangulierten "Aquivalenzen
$$\begin{array}{ccccccc}
  \langle_!\mathcal K\rangle_\Delta^{\op{Der}}&\silla&\langle_!\mathcal  K\rangle_\Delta^{\op{Hot}}&\sirra
  &\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})&=
  &\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})\\
  \cap&&\cap&&\cap&&\cap\\
\op{Der}_{\mathcal A}
  &\leftarrow& \op{Hot}_{\mathcal A}&\ra&
 \op{Hot}(\op{RMod}_{-H})&\ra&\op{Der}(\op{RMod}_{-H})
\end{array}
$$ Ganz rechts bettet die Homotopiekategorie auch volltreu in die
derivierte Kategorie ein, da ihre Objekte endazyklische Komplexe sind. 
\end{Beispiel}  



\nichtfinal{Jetzt Kippen, Realisierungsfunktor, Gewichtskomplex konkret!} 


\begin{Satz}[\textbf{Derivierte Kategorien und dg-Ringoide}]
Seien ${\cal{A}}$ eine abelsche Kategorie,\label{KyR} $T=(T_i)_{i\in I}$
eine endazyklische Familie in 
$ \op{Ket}_{\cal{A}}$  und
 $E $  das  dg-Ringoid
"uber $I$ mit Morphismen $iEj\pdef (T_j{\Rrightarrow}T_i)$.
So liefert der Funktor $(T{\Rrightarrow}\;): A\mapsto M$ mit 
$iM =(T_i{\Rrightarrow}_{\mathcal A}A)$
eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien
$$ \langle T_i| i\in I\rangle_\Delta\sirra 
\op{dgFrei}_{-E}
$$
Hierbei wird $T_i$ auf den $E$-dg-Rechtsmodul $iE$ abgebildet und das 
 Erzeugnis 
$ \langle T_i| i\in I\rangle_\Delta$ darf  gleichbedeutend 
entweder in
$ \op{Der}_{\cal{A}}$ oder in $ \op{Hot}_{\cal{A}}$ verstanden werden.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Die Endzyklizit"at zusammen mit  d\'evissage \ref{VTTr}  zeigt, da"s die Lokalisierung 
eine "Aquivalenz $
\langle T_i| i\in I \rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra
\langle T_i| i\in I \rangle_\Delta^{\op{Der}}$ zwischen dem von den $T_i$ 
in der Homotopiekategorie und in der derivierten Kategorie 
jeweils erzeugten \hyperref[VerdSt]{triangulierten System}
 liefert. Damit folgt der Satz aus der analogen Aussage \ref{KyRh} f"ur die Homotopiekategorie.
\end{proof}

\subsection{Kippfunktoren}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Restriktionsfunktor}]
  Gegeben ein Morphismus von dg-Ringoiden $A\ra B$ induziert
  der Restriktionsfunktor $\op{res}_B^A:\op{dgMod}^{\op{dg}}_B\ra\op{dgMod}^{\op{dg}}_A$
  einen triangulierten\label{refu} 
  Funktor $\op{res}_B^A:\op{dgHot}_B\ra\op{dgHot}_A$. Dieser Funktor macht
  offensichtlich azyklische Objekte zu azyklischen Objekten und induziert
  folglich einen triangulierten Funktor 
$$\op{res}_B^A:\op{dgDer}_B\ra\op{dgDer}_A$$
\end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
  Ein {\bf Quasiisomorphismus von dg-Ringoiden}\index{Quasiisomorphismus!von dg-Ringoiden}  ist ein Homomorphismus $A\qri B$, der eine Bijektion auf
  den Objekten induziert, wir nehmen sie der Einfachkeit halber
  in unserer Notation als die Identit"at an,
  und Quasiisomorphismen $iAj\qri iBj$ f"ur alle $i,j\in I$. 
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Quasiisomorphismen liefern Quasi"aquivalenzen}]   Gegeben ein Quasiisomorphismus von dg-Ringoiden $\varphi:A\qri B$ induziert
  der Restriktionsfunktor eine "Aquivalenz\label{qiqae} 
  $$\op{res}_B^A:\op{dgFrei}_B\sirra\op{dgFrei}_A$$
  In der Tat liefert $\varphi$ quasi per definitionem 
  Quasiisomorphismen $Ai\qri Bi$ alias Isomorphismen
  $Ai\sira \op{res}_B^ABi$ in $\op{dgDer}_A$ und Isomorphismen
  $$\op{dgDer}_B(Bi,[n]Bj)\sira \op{dgDer}_A(\op{res}_B^ABi,\op{res}_B^A[n]Bj)$$ 
  von abelschen Gruppen "uber die Identifikation der linken Seite mit
  $\mathcal H^n(iBj)$ und die Identifikation der rechten Seite mit
  $\mathcal H^n(iAj)$. Der behauptete Quasiisomorphismus ergibt sich mit
  d\'{e}vissage.
  \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierungsfunktor und Gewichtskomplexe im Abstrakten}] \nichtfinal{Achtung: Restriktion mu"s nicht frei zu frei machen!
    Aber Skalarerweiterung schon...}
    Gegeben ein dg-Ringoid $E$ haben wir  stets
    Morphismen von dg-Ringoiden
    $$E\leftarrow (\mathcal Z^0E\oplus E^{<0})\ra \mathcal H^0E$$
    und diese sind auf den Objekten die Identit"at. Ganz rechts steht
    ein dg-Ringoid, das im Grad Null konzentriert ist, also ein gew"ohnliches
    Ringoid. 
    Gilt $n>0\RA \mathcal H^nE=0$, so ist der erste unserer Morphismen
    ein Quasiisomorphismus und die Restriktionen liefern  nach \ref{refu} beziehungsweise \ref{qiqae} triangulierte Funktoren
    beziehungsweise "Aquivalenzen 
    $$\op{dgFrei}(E)\sirra \op{dgFrei}(\mathcal Z^0E\oplus E^{<0})
    \leftarrow \op{dgFrei}(\mathcal H^0E)$$
    Gilt $n<0\RA \mathcal H^nE=0$, so ist der zweite unserer Morphismen
    ein Quasiisomorphismus und die Restriktionen liefern nach \ref{refu} beziehungsweise \ref{qiqae} triangulierte
    Funktoren
    beziehungsweise  "Aquivalenzen 
    $$\op{dgFrei}(E)\ra \op{dgFrei}(\mathcal Z^0E\oplus E^{<0})
    \silla \op{dgFrei}(\mathcal H^0E)$$
    Im ersten Fall erhalten wir also durch Wahl eines Quasiinversen
    der "Aquivalenz
    einen triangulierten Funktor $\op{dgFrei}(\mathcal H^0E)\ra \op{dgFrei}(E)$
    und im zweiten Fall einen triangulierten Funktor $\op{dgFrei}(E)\ra \op{dgFrei}(\mathcal H^0E)$. Gilt schlie"slich beides, also
    $n\neq 0\RA \mathcal H^nE=0$, so erhalten wir triangulierte "Aquivalenzen
     $$\op{dgFrei}(E)\sirra \op{dgFrei}(\mathcal Z^0E\oplus E^{<0})
    \silla \op{dgFrei}(\mathcal H^0E)$$
    und unsere triangulierten Funktoren von eben sind zueinander quasiinvers.
  \end{Bemerkungl}
  \begin{Definition}
    Sei ${\cal{A}}$ eine abelsche Kategorie. 
Eine Familie $T=(T_i)_{i\in I}$ in $ \op{Ket}_{\cal{A}}$
hei"st eine {\bf Kippfamilie},\index{Kippfamilie}
wenn sie  endazyklisch ist im Sinne von \ref{EAZv} und wenn au"serdem gilt
$
\op{Hot}_{\mathcal{A}} (T_i,[n]T_j ) 
= \op{Der}_{\mathcal{A}}
(T_i,[n]T_j)=0$ falls  $n\neq 0$.
 \end{Definition}

  
\begin{Satz}[\textbf{Kippen mit Kippfamilie}]
Seien ${\cal{A}}$ eine abelsche Kategorie,\label{KiyR} $T=(T_i)_{i\in I}$
eine Kippfamilie in 
$ \op{Ket}_{\cal{A}}$  und
 $H$  das  Ringoid
"uber $I$ mit Morphismen $iHj\pdef \op{Der}_{\cal{A}}(T_j,T_i)$.
So erhalten wir 
eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien
$$ \op{Der}(\mathcal A)\supset \langle T_i| i\in I\rangle_\Delta\sirra 
\langle iH| i\in I\rangle_\Delta\subset \op{Der}(\op{Mod}_{-H})
$$
mit $T_i\mapsto  iH$ durch die im Beweis angegebene Konstruktion.
\end{Satz}


  
\subsection{Sp"ater machen!}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kippen mit Kippfamilie}]
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie.
  Eine Familie  $(K_i)_{i\in I}$ von
Objekten von $\mathcal{A}$  hei"st eine \defind{Kippfamilie},
 wenn alle  h"oheren
  Erweiterungen zwischen Objekten unserer
Familie verschwinden, wenn also in Formeln  gilt
$$\mathcal{A}^{[n]} (K_i,K_j)=0 \quad
\text{f"ur }n>0 \text{ und alle }i,j\in I.$$
Bezeichne nun $E$ das Ringoid "uber $I$ der Homomorphismen 
zwischen unseren Kippmoduln.
Ich meine hier wirklich das Ringoid, nicht etwa ein dg-Ringoid.
Unser Satz  liefert dann "Aquivalenzen  von triangulierten Kategorien 
$$ \langle K_i|i\in I\rangle_\Delta
\sirra \langle iE|i\in I\rangle_\Delta\subset \op{Der}(\op{Mod-}E)$$
Hierbei meint 
$\langle K_i|i\in I\rangle_\Delta\subset \op{Der}_{\mathcal A}$ die von den 
$K_i$ erzeugte triangulierte Unterkategorie
und $\langle iE|i\in I\rangle_\Delta\subset \op{Der}(\op{Mod-}E)$
die von den $iE$ erzeugte triangulierte Unterkategorie. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie.
Eine Teilmenge 
$\mathcal T \subset \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ 
hei"se eine {\bf additive Kippfamilie},\index{Kippfamilie!additive}
wenn ihre Objekte 
eine Kippfamilie 
bilden und wenn sie zus"atzlich mit jeder endlichen Familie von Objekten auch
ein Koprodukt dieser Familie enth"alt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Kippen mit additiver Kippfamilie}]
Seien $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und 
$\mathcal T \subset \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ 
 ein additive Kippfamilie. So l"a"st sich die  Einbettung
 $\mathcal T\subset \op{Der}_{\mathcal A}$ als volle Unterkategorie
 fortsetzen zu einem
volltreuen triangulierten Funktor 
$$\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal T)\stackrel{\sim}{\hra}
 \op{Der}_{\mathcal A}$$ 
\end{Satz}

\begin{proof}
  Bezeichne $E\pdef \op{End}_{\mathcal A}\mathcal T$ das
  dg-Ringoid mit Objektmenge $\mathcal T$ und
  den jeweiligen Homkomplexen als dg-Gruppen von Morphismen. 
So induziert unser Satz \ref{KyR} 
eine "Aquivalenz  von triangulierten Kategorien 
\begin{displaymath}
\langle \mathcal T \rangle_\Delta \sirra \op{dgFrei-} E
\end{displaymath} 
 In diesem Fall ist jedoch zus"atzlich die
Kohomologie von $E=\op{End}_{\mathcal A}T$ im Grad Null konzentriert.
Jetzt k"onnen wir argumentieren wie im Fall eines
einzigen Kippkomplexes. \nichtfinal{(und das kommt sp"ater, umstellen!)}
\end{proof}





\subsection{Triangulierte Kategorien und dg-Moduln}






\begin{Bemerkungl}\label{trFF} %Ich habe sie noch nicht gemacht!
  Gegeben dg-Ringe $A,B$ und ein $A$-$B$-dg-Bimodul  $X$ 
liefern die Konstruktionen aus \eref{dgTen}{TS} und \eref{dgHot}{TS},
wenn wir sie in der offensichtlichen 
 Weise durch $\DZ$-Strukturen erg"anzen,
wie der Leser   unschwer selbst pr"ufen kann,
 triangulierte 
Funktoren 
$$\otimes_A X: \op{dgHot}_{-A}\ra \op{dgHot}_{-B}$$
$$\op{Hom}_A(X,\;): \op{dgHot}_A\ra \op{dgHot}_B$$
$$\op{Hom}_{A}(\;,X): \op{dgHot}_{A}\ra \op{dgHot}_{B}^{\op{opp}}$$
$$X\otimes_B: \op{dgHot}_B\ra \op{dgHot}_A$$
$$\op{Hom}_{-B}(X,\;): \op{dgHot}_{-B}\ra \op{dgHot}_{-A}$$
$$\op{Hom}_{-B}(\;,X): \op{dgHot}_{-B}\ra \op{dgHot}_{-A}^{\op{opp}}$$
\end{Bemerkungl}







\begin{Definition}
Gegeben ein dg-Ring $E$ nennen wir das von $E$ in  $\op{dgHot}_{E}$
erzeugte   
triangulierte System  die
  \defind{freie triangulierte Kategorie} {\bf zu} $E$ und notieren es\label{trFrei} 
  $$\langle E\rangle_\Delta=
E \op{-dgFrei}= \op{dgFrei}_E\index{dgFrei}$$
Diese Terminologie befriedigt mich nicht vollst"andig, da es sich
bei den Objekten  eher um eine Art \glqq freie und endlich erzeugte Objekte\grqq\ 
handelt, aber mir ist nichts Besseres eingefallen.
Das von $E$ in  $\op{dgHot}_{E}$
erzeugte   
Verdiersystem
nennen wir  die
 {\bf perfekte triangulierte 
Kategorie zu}\index{perfekt!triangulierte Kategorie} $E$ und notieren es\label{trPerv} 
  $$\langle  E\rangle_{\Delta\ominus}=
E \op{-dgPer}= \op{dgPer}_E\index{dgPer}$$
Die Objekte der perfekten triangulierten Kategorie hei"sen
{\bf perfekte Komplexe}\index{perfekt!Komplex}
Analog bilden wir die freie und die perfekte triangulierte Kategorie zum
opponierten Ring und notieren sie alternativ 
$\langle  E\rangle_{\Delta}=\op{dgFrei-}E=\op{dgFrei}_{-E}$
beziehungsweise $\langle  E\rangle_{\Delta\ominus}=\op{dgPer-}E=\op{dgPer}_{-E}$.
\end{Definition}



\begin{Proposition}[\textbf{Triangulierte Kategorien und dg-Moduln}]
  Seien $\mathcal{P}$ eine additive Kategorie,\label{HVTr} 
$T \in \op{Ket}_{\mathcal{P}}$ ein
  Komplex, $E \pdef\op{End}_{\mathcal{P}} T$ der
Endomorphismenkomplex von $T$ mit seiner
  nat"urlichen Struktur als dg-Ring und $\langle T \rangle_\Delta^{\op{Hot}}$
das von $T$ in $\op{Hot}_{\mathcal{P}}$ erzeugte triangulierte System.  
So induziert der Funktor
  $\op{Hom}_{\mathcal{P}} (T,\;)$ eine "Aquivalenz 
von triangulierten Kategorien
\begin{displaymath}
\langle T \rangle_\Delta^{\op{Hot}} \sirra \op{dgFrei-} E
\end{displaymath}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} Wenden wir das auf die zu $\mathcal P$ opponierte Kategorie 
an, so ergibt sich, da"s  $\op{Hom}_{\mathcal{P}} (\;,T)$ eine "Aquivalenz 
von triangulierten Kategorien
$
\langle T \rangle_\Delta^{\op{Hot}} \sirra  E\op{-dgFrei}^{\op{opp}}
$ induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ich sehe diese Proposition als  Analogon zu "Ubung \ref{ADTT}, 
die eine "ahnliche
Aussage f"ur additive Kategorien bereitstellt.
Arbeiten wir allgemeiner mit dg-Ringoiden im Sinne von
\ref{dgRR}, so k"onnen wir unsere
Proposition ohne Schwierigkeiten zu einer Beschreibung des von
einer beliebigen Menge von Komplexen erzeugten triangulierten Systems 
ausbauen. In \ref{Kdg} folgern wir eine analoge Aussage f"ur die sogenannten
\glqq derivierten Kategorien\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Der Funktor
$
\op{Hom}_{\mathcal{P}} (T,\;) : \op{Ket}_{\mathcal{P}} \ra \op{dgMod-} E
$
induziert  einen triangulierten 
Funktor $\op{Hot}_{\mathcal{P}}
\rightarrow \op{dgHot-}E$ mit $T \mapsto E$.
Besonders transparent sieht man das in der Notation der
\glqq opponierten Hom-R"aume\grqq\  aus \eref{Hgri}{TS} mit \eref{TeHo2}{TS}.
Dieser Funktor induziert  Bijektionen
$$\op{Hot}_{\mathcal{P}} (T,[n]T) 
\sira \op{dgHot}_{-E} (E,[n]E)$$
f"ur alle $n$, da beide Seiten mit $\cal{H}^n E$ 
identifiziert werden k"onnen in
nat"urlicher und vertr"aglicher Weise, vergleiche \eref{dfg}{TS}.
Nach  d\'{e}vissage \ref{VTTr} induziert er folglich eine "Aquivalenz 
von triangulierten Kategorien
wie behauptet.
\end{proof} 


\begin{Bemerkungl} 
  Seien $\mathcal{P}$ eine additive Kategorie
und $T \in \op{Ket}_{\mathcal{P}}$ ein
  Komplex mit der Eigenschaft\label{HVTdr} 
  $\op{Hot}_{\mathcal{P}}(T,[n]T)=0$ f"ur $n<0$. 
Wir nennen ein $T$ mit dieser Eigenschaft 
{\bf nichtnegativ erweiternd}\index{nichtnegativ erweiternd} 
und erkl"aren  
f"ur $\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}}\subset \op{Hot}_{\mathcal P}$ die von
$T$ erzeugte volle additive Unterkategorie 
den {\bf Doppelkomplexfunktor}\index{Doppelkomplexfunktor} 
$$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\ra \op{Hot}_{\mathcal P}$$
als die  Verkn"upfung der im Anschlu"s erkl"arten 
triangulierten Funktoren
$$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\sirra
\op{Hot}^{\op{b}}(\langle {\op{-}}H\rangle_\oplus^{\op{Hot}})
\stackrel{\approx}{\leftarrow}
\op{dgFrei-}Z \ra \op{dgFrei-}E\stackrel{\approx}{\leftarrow}
\langle T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\stackrel{\sim}{\hra} \op{Hot}_{\mathcal P}$$
Genau genommen ist unser Doppelkomplexfunktor also
nur definiert bis auf eindeutige
Isotransformation von Funktoren, da ja bei seiner Definition 
"Aquivalenzen von Kategorien zu invertieren sind.
In unserer Sequenz bezeichnet $E\pdef \op{End}_{\mathcal{P}} T$ 
den Endomorphismenkomplex von $T$ mit seiner
  nat"urlichen Struktur als dg-Ring und der zweite Funktor von rechts
kommt von \ref{HVTr} her. Weiter setzen wir
$Z\pdef \mathcal Z^0E\oplus  E^{<0}$ 
und der n"achste Funktor von rechts ist die Erweiterung der Skalare
$\otimes_Z E$. \nichtfinal{(Wir k"onnten auch die Restriktion der Skalare nehmen, gibt Funktor in die Gegenrichtung. Wir k"onnten auch alles irgendwie dual machen, denke ich zumindest. Kriegen wir so den weight complex functor
  von Bondarko?)} Dann setzen wir 
$H\pdef \mathcal H^0E$ und die offensichtliche Surjektion
 $Z\sra H$ ist nach Annahme ein Quasiisomorphismus, so da"s nach "Ubung 
\ref{HtRE} die
Erweiterung der Skalare
$\otimes_Z H$ eine "Aquivalenz $\op{dgFrei-}Z \sirra\op{dgFrei-}H$ induziert.
Schlie"slich verwenden wir noch die offensichtlichen
 "Aquivalenzen $\op{dgFrei-}H=\op{Hot}^{\op{b}}(\langle {\op{-}}H\rangle_\oplus)
\sirra \op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})$
mit der Notation ${\op{-}}H$ f"ur den $H$-Rechtsmodul $H$
und $\langle {\op{-}}H\rangle_\oplus\subset \op{Mod-}H$ die
volle Unterkategorie aller endlichen direkten Summen von 
Kopien von ${\op{-}}H$. 
Hat unser Komplex $T$  st"arker die Eigenschaft  
$\op{Hot}_{\mathcal{P}}(T,[n]T)=0$ f"ur $n\neq 0$, so ist auch die
Einbettung $Z\hra E$ ein Quasiisomorphismus und unser 
Doppelkomplexfunktor induziert mit
einer nochmaligen Anwendung von \ref{HtRE}
eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien
$$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\sirra 
\langle T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}$$ 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite 
Beschreibung des Doppelkomplexfunktors}]\nichtfinal{Verarztet zu \ref{ebKa}.}
Sei $Z$ ein dg-Ring, dessen homogene Anteile
 in positiven Graden verschwinden und dessen Homologie\label{ebK} 
in Grad Null konzentriert ist. Sei $Z\sra H$ seine Surjektion auf die Homologie.
Wir wollen zun"achst Urbilder unter unserer "Aquivalenz
$$(\otimes_ZH): \op{dgFrei-}Z\sirra \op{dgFrei-}H
=\op{Hot}^{\op{b}}(\langle {\op{-}}H\rangle_\oplus))$$
 expliziter beschreiben. 
Indem wir einen  beschr"ankten Komplex 
$$\ldots\ra 0 \ra H^{\oplus n(r)}\ra \ldots\ra H^{\oplus n(s)}\ra 0\ra \ldots$$
von freien 
Rechtsmoduln als iterierten Abbildungskegel verstehen, erkennen wir, da"s 
er von einem Objekt in $\op{dgFrei-}Z$ herkommen mu"s, das
als $Z$-Rechtsmodul schlicht 
$$\bigoplus_{i=r}^s [-i]Z^{\oplus n(i)}$$
ist und das als Differential eine bei richtiger
Anordnung der Summanden obere Block-Dreiecksmatrix hat mit
$(-1)^i \partial^{\oplus n(i)}$ in der Diagonalen, Elementen vom
Grad Null in der ersten Nebendiagonalen, und Elementen von
immer negativeren Graden in den h"oheren Nebendiagonalen. 
Wir erhalten so eine etwas direktere Beschreibung des Doppelkomplexfunktors \ref{HVTdr}:
Gegeben ein nichtnegativ erweiternder Komplex 
$T$ in einer additiven Kategorie $\mathcal P$ 
und ein Komplex  
$$\ldots\ra 0 \ra T^{\oplus n(r)}\ra \ldots\ra T^{\oplus n(s)}\ra 0\ra \ldots$$
in $\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})$ 
betrachten wir in $\mathcal P$ 
das graduierte Objekt alias die Folge von Objekten gegeben durch 
$$\bigoplus_{i=r}^s [-i]T^{\oplus n(i)}$$
und versehen es mit einem Differential durch
block-obere Dreiecksmatrizen  mit
$(-1)^i \partial^{\oplus n(i)}$ in der Diagonalen, Hochhebungen unserer
Homologieklassen zu Kettenabbildungen in der ersten Nebendiagonale, und dann
in den h"oheren Nebendiagonalen irgendwie so, da"s wir insgesamt ein Differential
erhalten. Unsere "Uberlegungen von oben sagen
  uns, da"s das m"oglich ist, und da"s 
der entstehende Komplex ein wohldefiniertes Objekt 
von $\op{Hot}_{\mathcal P}$ ist
und das Bild des urspr"unglichen Komplexes unter dem Doppelkomplexfunktor.
Ebenso sagt uns unser Satz, da"s jeder Morphismus in 
$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})$ von einer bis auf Homotopie 
wohlbestimmten Kettenabbildung zwischen zwei beliebigen
in dieser Weise erhaltenen Komplexen aus $\op{Hot}_{\mathcal P}$
herkommen mu"s.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Seien $\mathcal P,\mathcal Q$ additive Kategorien und
$F: \mathcal P\ra \mathcal Q$ ein additiver
Funktor und $T\in \op{Ket}_{\mathcal P}$
ein nichtnegativ erweiternder Komplex, dessen
Bild $FT$ ein nichtnegativ erweiternder Komplex in 
$\op{Ket}_{\mathcal Q}$ ist. So kann das Diagramm\label{HotVT} 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\ar[d]^{F} \ar[r] & \op{Hot}_{\mathcal P}\ar[d]^{F}\ar@{=>}[dl]_{\sim}\\
\op{Hot}^{\op{b}}(\langle FT\rangle_\oplus^{\op{Hot}}) \ar[r] & \op{Hot}_{\mathcal Q}}
\end{displaymath}
mit unseren  Doppelkomplexfunktoren \ref{HVTdr} 
in den Horizontalen durch  eine Iso\-transformation 
gef"ullt werden,
die man  an der in \ref{ebK} gegebenen Beschreibung 
unschwer ablesen kann.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Seien $\mathcal P,\mathcal Q,\mathcal R$ additive Kategorien.
Wir nehmen an, da"s $\mathcal R$ abz"ahlbare 
direkte Summen besitzt. Sei
$\otimes: \mathcal P\times \mathcal Q\ra \mathcal R$ ein 
{\bf biadditiver},\index{biadditiv!Funktor} 
als da hei"st auf Morphismenr"aumen bilinearer,  
Funktor und seien $P\in \op{Ket}_{\mathcal P}$, $Q\in \op{Ket}_{\mathcal Q}$
nichtnegativ erweiternde Komplexe derart, da"s
 $P\otimes Q$ ein nichtnegativ erweiternder Komplex in 
$\op{Ket}_{\mathcal R}$ ist. So kann das Diagramm\label{HotVTp} 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\op{Hot}^{\op{b}}(\langle P\rangle_\oplus^{\op{Hot}})
\times \op{Hot}^{\op{b}}(\langle Q\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\ar[d]^{\otimes} \ar[r] & \op{Hot}_{\mathcal P}\times \op{Hot}_{\mathcal Q}\ar[d]^{\otimes}\ar@{=>}[dl]_{\sim}\\
\op{Hot}^{\op{b}}(\langle P\otimes Q\rangle_\oplus^{\op{Hot}}) \ar[r] & \op{Hot}_{\mathcal R}}
\end{displaymath}
mit unseren  Doppelkomplexfunktoren \ref{HVTdr} 
in den Horizontalen durch  eine Iso\-transformation 
gef"ullt werden,
die man  an der in \ref{ebK} gegebenen Beschreibung 
unschwer ablesen kann. Analoges gilt auch ohne die Annahme
der Existenz abz"ahlbarer direkter Summen, wenn wir 
$P$ und $Q$ beide in Richtung der Pfeile beschr"ankt
oder alternativ in Richtung gegen die Pfeile beschr"ankt
annehmen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Vergleich verschiedener Hom-Funktoren}]
  Sei $\mathcal A$ eine additive Kategorie und seien $P, I \in \op{Ket}
  _{\mathcal A}$\label{PIAA} Komplexe. Wir betrachten die $\op{dg}$-Ringe $F =
  \op{End}_{\mathcal A} I$ und $E =
  \op{End}_{\mathcal A} P$ und den $F$-$E$-dg-Bimodul $X =
  \op{Hom}_{\mathcal A} (P,I)$.  So erhalten wir eine vertr"agliche
  Transformation $\tau$ 
von $\mathbb Z$-Funktoren wie im Diagramm als Doppelpfeil
  angedeutet
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{Ket}_{\mathcal A} \ar[d]_-{\op{Hom}_{\mathcal A} (\;, I)}\ar@{=}[rr] &&
      \op{Ket}_{\mathcal A} \ar[d]^-{\op{Hom}_{\mathcal A}
        (P,\;)}\ar@{=>}[dll]_\tau \\
      \op{dgMod}^{\op{opp}}_{F} \ar[rr]_-{\op{Hom}_F(\;, X)} && \op{dgMod}_{-E}
    }
  \end{displaymath}
  durch die Morphismen
  $\tau_A:
    \op{Hom}_{\mathcal A} (P,A) \rightarrow 
\op{Hom}_{F} (\op{Hom}_{\mathcal A} (A,I),X)
  $
  mit $\tau_A:\varphi \mapsto (\circ \varphi)$.  Im Fall $A =I$ ist
  $\tau_I$ sogar ein Isomorphismus. Des weiteren steigt unser Diagramm zu den
  Homotopie-Kategorien ab und unser $\tau$ liefert auch eine vertr"agliche
  Transformation $\tilde\tau$ von $\mathbb Z$-Funktoren wie im folgenden
  Diagramm als Doppelpfeil angedeutet:
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{Hot} _{\mathcal A} \ar[d]_-{\op{Hom}_{\mathcal A} (\;, I)} 
\ar@{=}[rr] &&
      \op{Hot} _{\mathcal A} 
\ar[d]^-{\op{Hom}_{\mathcal A} (P,\;)}\ar@{=>}[dll]_{\tilde \tau}\\
      \op{dgHot}^{\op{opp}}_{F} \ar[rr]_-{\op{Hom}_F(\;, X)} && \op{dgHot}_{-E}
    }
  \end{displaymath}
  Diese Transformation $\tilde\tau$ liefert dann sogar Isomorphismen $\tilde
  \tau_{A}$ f"ur alle Objekte $A$ im triangulierten Erzeugnis $\langle
  I\rangle_\Delta \subset \op{Hot} _{\mathcal A}$ von $I$ und damit eine
  Isotransformation wie im folgenden Diagramm durch einen Doppelpfeil
  angedeutet:
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \langle I\rangle_{\Delta}
\ar[d]_-{\op{Hom}_{\mathcal A}(\;, I)}^-{\vapprox}  \ar@{^{(}->}^\sim[rr] &&
      \op{Hot}_{\mathcal A}
\ar[d]^-{\op{Hom}_{\mathcal A} (P,\;)}\ar@{=>}[dll]_-{\sim}\\
      \op{dgFrei}^{\op{opp}}_{F} 
\ar[rr]_-{\op{Hom}_F(\;, X)} && \op{dgHot}_{-E}
    }
  \end{displaymath}
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Vergleich verschiedener Hom-Funktoren, Variante}]
  Sei $\mathcal A$ eine additive Kategorie und seien $P, T \in \op{Ket}
  _{\mathcal A}$ Komplexe. Wir betrachten die $\op{dg}$-Ringe $F =
  \op{End}_{\mathcal A} T$ und $E =
  \op{End}_{\mathcal A} P$ und den $F$-$E$-dg-Bimodul $X =
  \op{Hom}_{\mathcal A} (P,T)$.  So erhalten wir eine vertr"agliche
  Transformation $\tau$ 
von $\mathbb Z$-Funktoren wie im Diagramm als Doppelpfeil
  angedeutet
   \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{Ket}_{\mathcal A} \ar[d]_-{\op{Hom}_{\mathcal A} (T,\; )}\ar@{=}[rr] &&
      \op{Ket}_{\mathcal A} \ar[d]^-{\op{Hom}_{\mathcal A}
        (P,\;)} \\
      \op{dgMod}_{-F} \ar@{=>}[urr]^\tau\ar[rr]_-{\otimes_F X} && \op{dgMod}_{-E}
    }
  \end{displaymath}
 durch die Morphismen
  $\tau_A:\varphi \otimes x\mapsto \varphi\circ x$.  Im Fall $A =T$ ist
  $\tau_T$ sogar ein Isomorphismus. Des weiteren steigt unser Diagramm zu den
  Homotopie-Kategorien ab und unser $\tau$ liefert auch eine vertr"agliche
  Transformation $\tilde\tau$ von $\mathbb Z$-Funktoren wie im folgenden
  Diagramm als Doppelpfeil angedeutet:
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \op{Hot}_{\mathcal A} \ar[d]_-{\op{Hom}_{\mathcal A} (T,\; )}\ar@{=}[rr] &&
      \op{Hot}_{\mathcal A} \ar[d]^-{\op{Hom}_{\mathcal A}
        (P,\;)} \\
      \op{dgHot}_{-F} \ar@{=>}[urr]^{\tilde \tau}\ar[rr]_-{\otimes_F X} && \op{dgHot}_{-E}
    }
  \end{displaymath}
  Diese Transformation $\tilde\tau$ liefert dann sogar Isomorphismen $\tilde
  \tau_{A}$ f"ur alle Objekte $A$ im triangulierten Erzeugnis $\langle
  T\rangle_\Delta \subset \op{Hot} _{\mathcal A}$ von $T$ und damit eine
  Isotransformation wie im folgenden Diagramm durch einen Doppelpfeil
  angedeutet:\label{NatTRi} 
  \begin{displaymath}
    \xymatrix{
      \langle T\rangle_\Delta \ar[d]_-{\op{Hom}_{\mathcal A} (T,\; )}^\vapprox\ar@{^{(}->}^\sim[rr] &&
      \op{Hot}_{\mathcal A} \ar[d]^-{\op{Hom}_{\mathcal A}
        (P,\;)} \\
      \op{dgFrei}_{-F} \ar@{=>}[urr]^{\sim}\ar[rr]_-{\otimes_F X} && \op{dgHot}_{-E}
    }
  \end{displaymath}
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Gegeben ein Quasiisomorphismus $A\qri B$ von dg-Ringen induziert
der  Funktor  $\otimes_AB$ eine "Aquivalenz von
triangulierten Kategorien\label{HtRE} 
$$(\;\otimes_AB):\op{dgFrei-}A\sirra \op{dgFrei-}B$$
Analoges gilt f"ur Linksmoduln.
\end{Ubung}

\subsection{Derivierte Kategorien als dg-Modulkategorien}

%\nichtfinal{Das gibt es alles ein zweites Mal unter 24. Aufr"aumen!
%  Ganz am Schlu"s wird auch f"ur den Beweis 24 zitiert, das scheint die
%eigentliche Quelle.}


\begin{Definition}
Ist $A$ ein dg-Ring und $\frak{U}$ ein Universum mit $A\in \frak{U},$ so bilden
wir die triangulierte Kategorie
$$A\op{-dgDer} =\op{dgDer}_A = \op{dgHot}_A/ (\text{exakte dg-Moduln})$$
und analog $\op{dgDer-}A=\op{dgDer}_{-A}\index{dgDer}$ f"ur dg-Rechtsmoduln 
und nennen sie die \defind{derivierte Kategorie der dg-Moduln}
beziehungsweise  {\bf  dg-Rechtsmoduln "uber $A$ in $\frak{U}$}.\index{dgDer}
Das fragliche Universum notieren wir nicht mit, um die Notation
nicht zu "uberladen.
Ist unser dg-Ring ein Ring $A$ konzentriert im Grad Null,
so haben wir  mit unseren  Definitionen also
\begin{displaymath}
\;\;\op{dgDer}_A = \op{Der} (A\op{-Mod})= \op{Der}_{A}
\end{displaymath}
\begin{displaymath}
\op{dgDer}_{-A} = \op{Der} (\op{Mod-}A) = \op{Der}_{-A}
\end{displaymath}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Genau wie in \ref{Kzu} konstruieren wir f"ur jeden dg-Ring $A$ einen
  Funktor, der jeder kurzen exakten Sequenz $X\hra Y\sra Z$ von
  $A$-dg-Moduln ein ausgezeichnetes Dreieck $X\ra Y\ra Z\ra [1]X$
  in $A\op{-dgDer}$ zuordnet.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. Ein Komplex
$T\in \op{Ket} (\mathcal{A})$ hei"se
{\bf end\-azyklisch},\index{endazyklisch} wenn\label{EAZ}  f"ur alle 
 $n\in\DZ$ die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus
\begin{displaymath}
\op{Hot}_{\mathcal{A}} (T,[n]T ) 
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{\mathcal{A}}
(T,[n]T)
\end{displaymath}
zwischen Morphismen in der Homotopiekategorie und
Morphismen in der derivierten Kategorie liefert.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
Jeder gegen die Pfeile 
beschr"ankte Komplex injektiver Objekte ist endazyklisch.
Jeder mit den Pfeilen 
beschr"ankte Komplex projektiver Objekte
 ist endazyklisch. 
\end{Beispiele}

\begin{Satz}[\textbf{"uber endazyklische Komplexe}]
Seien $\mathcal{A}$ eine abelsche\label{Kdg} 
Kategorie, $T \in \op{Ket} (\mathcal{A})$ ein
endazyklischer Komplex und $E =\op{End}_{\mathcal{A}} T$ 
sein Endomorphismenkomplex
mit der nat"urlichen Struktur als dg-Ring. 
So induzieren die Lokalisierung und der Funktor $\op{Hom}_{\mathcal{A}}
(T,\;)$   "Aquivalenzen von
triangulierten Kategorien 
\begin{displaymath}
\langle T \rangle_\Delta^{\op{Der}}\stackrel{\approx}{\leftarrow}
\langle T \rangle_\Delta^{\op{Hot}} \sirra \op{dgFrei-} E
\end{displaymath} 
\end{Satz}
\begin{proof}
D\'evissage \ref{VTTr} zeigt schon einmal, da"s die Lokalisierung 
eine "Aquivalenz $
\langle T \rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra
\langle T \rangle_\Delta^{\op{Der}}$ zwischen dem von $T$ 
in der Homotopiekategorie und in der derivierten Kategorie 
jeweils erzeugten \hyperref[VerdSt]{triangulierten System}
 liefert.
 Die zweite "Aquivalenz folgt mit einer
anderen Variante  \ref{HVTr} von d\'evissage.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kippen mit Kippobjekten}]\nichtfinal{Verarztet!}
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. 
  Ein Objekt $K \in \mathcal{A}$  hei"st ein \defind{Kippobjekt}, englisch
  \defind{tilting object}, franz"osisch \defind{objet basculant}, 
 wenn alle seine h"oheren
  Selbsterweiterungen verschwinden, wenn also in Formeln  gilt
$$\mathcal{A}^{[n]} (K,K)=0 \quad\text{f"ur }n>0.$$
Jedes Kippobjekt liefert unter der "ublichen Einbettung $\mathcal{A}
\hookrightarrow \op{Ket}(\mathcal{A})$ offensichtlich 
einen end\-azyklischen 
Komplex. Bezeichnet also $E\pdef \op{End}_{\mathcal A}K$ den Endomorphismenring
unseres Kippobjekts, der in diesem Fall ein ganz gew"ohnlicher Ring ist,
so spezialisieren die Aussagen unseres Satzes \ref{Kdg} 
"uber endazyklische Komplexe zu  "Aquivalenzen
  von triangulierten Kategorien 
$$\langle K \rangle_\Delta^{\op{Der}}\stackrel{\approx}{\leftarrow}
 \langle K\rangle_\Delta^{\op{Hot}} 
\sirra \langle E\rangle_\Delta^{\op{Hot}} 
\sirra \langle E\rangle_\Delta^{\op{Der}} 
\subset \op{Der}(\op{Mod-}E)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie.
  Ein Komplex $T \in \op{Ket}(\mathcal{A})$  hei"st ein \defind{Kippkomplex},  
 wenn er endazyklisch ist und wenn zus"atzlich gilt
$$\op{Der}_\mathcal{A}(T,[n]T) =0 \quad\text{f"ur }n\neq 0.$$
Gilt das nur f"ur $n<0$, so nennen wir unseren Komplex
{\bf halbkippend}.\index{halbkippender Komplex} 
\end{Definition}
% % \begin{Definition}
% Gegeben eine additive Kategorie $\mathcal I$
% und ein Objekt $T\in \mathcal I$  bezeichne $\op{add}(T)\subset \mathcal I$ 
% die von
% $T$ erzeugte additive Unterkategorie, deren Objekte also  alle
% endlichen direkten Summen von Kopien von $T$ sind. 
% \end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Kippen mit Kippkomplexen}]
Seien $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und $T \in \op{Ket}(\mathcal{A})$ 
 ein Kippkomplex. So l"a"st sich die  Einbettung
$\langle T\rangle_\oplus^{\op{Der}}\subset \op{Der}_{\mathcal A}$ fortsetzen zu einem
volltreuen triangulierten Funktor\label{KmK}  
$$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Der}})\vra
 \op{Der}_{\mathcal A}$$ 
Im Beweis konstruieren wir genauer eine bis auf eindeutige Isotransformation
eindeutige derartige 
Fortsetzung, den \emph{\bf Kippfunktor}.\index{Kippfunktor} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Ist $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie und sind
$T_1,\ldots,T_r \in \op{Ket}(\mathcal{A})$ gegeben derart, 
da"s $T_1\oplus\ldots\oplus T_r$  ein Kippkomplex ist, so  erh"alt man "ahnlich
einen volltreuen triangulierten Funktor 
$$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T_1,\ldots,T_r\rangle_\oplus)\stackrel{\sim}{\hra}
 \op{Der}_{\mathcal A}$$ 
Ist unser Komplex nur halbkippend, so gelingt die im folgenden Beweis
erkl"arte Konstruktion eines
Kippfunktors immer noch, aber er mu"s nicht mehr volltreu sein.   
Analoges gilt unter den entsprechenden Annahmen 
auch f"ur unendliche  Familien von Komplexen
 und wird im n"achsten Abschnitt ausgef"uhrt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Unser Doppelkomplexfunktor aus \ref{HVTdr} liefert schon mal eine triangulierte
"Aquivalenz $\op{Hot}^{\op{b}}(\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}})\sirra 
\langle T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}$. Unsere Annahmen liefern  zus"atzliche
"Aquivalenzen  
$\langle T\rangle_\oplus^{\op{Hot}}\sirra \langle T\rangle_\oplus^{\op{Der}}$
und $\langle T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra \langle T\rangle_\Delta^{\op{Der}}$.
Der Satz folgt.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{dgFR}
F"ur jeden dg-Ring $A$ ist der Quotientenfunktor 
$A\op{-dgHot}\ra A\op{-dgDer}$ volltreu auf $A\op{-dgPer}$.
Wir k"onnen $A\op{-dgPer}$ also auch als das von $A$ in $A\op{-dgDer}$
erzeugte Verdiersystem auffassen. 
Ebenso induziert der Lokalisierungsfunktor 
eine "Aquivalenz von $A\op{-dgFrei}$ mit dem von $A$ in
$A\op{-dgDer}$ erzeugten triangulierten System.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{dgFO}
  Ist $A\qri B$ ein Quasiisomorphismus von dg-Ringen 
im Sinne von \eref{QuaI}{TS}, 
so induziert der durch Restriktion l"angs unseres Quasiisomorphismus 
gegebene Funktor
%$B\op{-dgHot}\ra A\op{-dgHot}$ oder besser 
$B\op{-dgDer}\ra A\op{-dgDer}$ eine "Aquivalenz von
triangulierten Kategorien $B\op{-dgFrei}\sirra A\op{-dgFrei}$.
Hinweis: \ref{dgFR}. In \ref{QuA} konstruieren wir im "ubrigen eine
Adjunktion zu unserer "Aquivalenz $B\otimes_A$  aus 
\ref{HtRE} in die Gegenrichtung.
\end{Ubung}
\subsection{Lokalisierung unter Orebedingungen, alt links}
\begin{Bemerkungl}
Mit zus"atzlichen Bedingungen an das System der
zu invertierenden Morphismen erh"alt man
feinere Aussagen "uber die Lokalisierung,
wie wir im folgenden  ausf"uhren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Eine Menge von Morphismen einer Kategorie hei"st 
  {\bf multiplikativ}\index{multiplikativ!in Kategorie} oder
  ein {\bf multiplikatives System},\index{multiplikatives System!in Kategorie}
  wenn\label{aLRmSM} sie stabil ist unter Verkn"upfung und alle
  Identit"aten enth"alt.
  %Isomorphismen 25.9.17 geaendert, die st"oren bei Lokalisierung von Faserungen
 %(ACHTUNG, BEDINGUNG ALLE ISOS DABEI WEGGELASSEN!
% PRUEFE KONSEQUENZEN!)
\end{Definition}


\nichtfinal{Umschreiben: Unser Standard ist hier rechts!} 

\begin{Definition}\label{aLRmS}
Eine Menge $S$ von Morphismen einer Kategorie $\cal{C}$ hei"st 
ein \defind{Links-Ore-System},
 wenn sie  multiplikativ ist und
 zus"atzlich die beiden folgenden 
Eigenschaften hat:
\begin{enumerate}
\item
Gegeben $X \overset{g}{\rightarrow} C
\overset{s}{\leftarrow} Y$ mit $s\in S$
gibt es $X \overset{t}{\leftarrow} D
\overset{h}{\rightarrow} Y$ mit $t\in S$
und $sh=gt$;
\item
Gegeben $f,g \in \cal{C} (X,Y)$ 
und $s \in S$ mit $sf = sg$  gibt 
es  $t \in S$ mit $ft =gt$.
\end{enumerate}
  Eine Menge $S$ von Morphismen einer Kategorie $\cal{C}$ hei"st 
ein \defind{Rechts-Ore-System},
 wenn sie ein Links-Ore-System in der opponierten Kategorie
ist. Ein \defind{Ore-System} 
in einer Kategorie ist ein System von Morphismen,\label{aLMuSy}
das sowohl Links-Ore als auch Rechts-Ore ist.
\end{Definition}

\begin{Bemerkunge}
Hat unsere Kategorie nur ein Objekt und ist die Verkn"upfung von
Morphismen die Multiplikation einer Ringstruktur auf
diesem Objekt, so sind diese Bedingungen  
 die bei der Lokalisierung nichtkommutativer
Ringe  "ublichen  {\bf Ore-Bedingungen}.\index{Ore-Bedingung}
\end{Bemerkunge}



\begin{Lemma}
  Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ mit einem Linksoresystem $S$
  und ein Objekt $X\in\mathcal C$ bilden die  $S$-Morphismen
  nach $X$ mit ihrer Struktur als volle Unterkategorie
  von $\mathcal C_X$ 
  eine \hyperref[FiDe]{kofiltrierende} Kategorie $S_X$.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere sind im Fall der Lokalisierung
  nach einem Linksoresystem nach \eref{fdl}{TS}
  zwei Linksbr"uche genau dann "aquivalent, wenn
  es einen weiteren Linksbruch gibt, aus dem sie
  beide durch K"urzen entstehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Gegeben Objekte $i,j \in S_X$ gilt es zun"achst, ein weiteres Objekt
  $k$ zu finden mit Morphismen $\alpha:k\ra i$ und $\beta:k\ra j$. Gegeben
  $S$-Morphismen $i:D_i\ra X$ und $j:D_j\ra X$ gilt es also,
  einen $S$-Morphismus $k:D_k\ra X$ zu finden und $\mathcal C$-Morphismen
  $\alpha:D_k\ra D_i$ mit $i\circ \alpha=k$ sowie
  $\beta:D_k\ra D_j$ mit $j\circ \beta=k$.
  Das  gelingt m"uhelos mit der ersten Orebedingung.
  Gegeben Objekte $i,j \in S_X$
  und Morphismen $\phi,\psi:j\ra i$ gilt es weiter, ein Objekt $k$ und
  einen Morphismus $\zeta:k\ra j$ zu finden mit $\phi\zeta=\psi\zeta$. 
  Gegeben $\mathcal C$-Morphismen $\phi,\psi:D_j\ra D_i$ mit
  $i\circ \phi=j=i\circ\psi$ gilt es also,
einen $S$-Morphismus $k:D_k\ra X$ und 
  einen $\mathcal C$-Morphismus
  $\zeta:D_k\ra D_j$ zu finden mit $j\circ \zeta=k$ und $\phi\circ \zeta=\psi\circ \zeta$. Das  gelingt m"uhelos mit der zweiten Orebedingung.
  Da"s schlie"slich $S_X$ nicht leer ist, folgt aus $\op{id}_X\in S$.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}\label{aLBrKK}
Seien $\cal{C}$ eine  Kategorie und
$S$ ein Linksoresystem von Morphismen von $\cal{C}$.
Wir betrachten f"ur $X,Y \in \cal{C}$ die 
Menge $\cal{B} (X,Y)$ aller   Diagramme $D=(s,D,f)$  der
Gestalt $$X \overset{s}{\leftarrow} D \overset{f}{\rightarrow} Y$$ 
mit $s \in S$ und nennen derartige Diagramme \defind{Br"uche} oder
genauer  \defind{Linksbr"uche}
{\bf von $X$ nach $Y$}.
Wir sagen, ein Bruch $(s,D,f)$ gehe hervor aus 
einem weiteren Bruch $(s^{\prime}, D^{\prime}, f^{\prime})\in \cal{B} (X,Y)$ 
durch \defind{K"urzen}, 
 wenn es einen Morphismus $h:D^{\prime} \ra D$ gibt 
mit $s'=sh$ und $f'=fh$. Wir notieren diese Aussage $$ D^{\prime}
\dashrightarrow D$$
Bezeichne $\bar{\cal{B}}(X,Y)$ die Menge aller "Aquivalenzklassen
von Br"uchen von $X$ nach $Y$ unter der 
"Aquivalenzrelation, die gegeben wird durch die Vorschrift,
da"s gilt $(s,D,f)\sim (s',D',f')$ genau dann, wenn es
einen weiteren Bruch $(s'',D'',f'')$ gibt mit $D'\dashleftarrow D''\dashrightarrow D$. 
Bezeichne $[s,D,f]$ die "Aquivalenzklasse des Bruches $(s,D,f)$.
Per definitionem haben wir dann
$$\bar{\cal{B}}(X,Y)=\op{colf}_{D\stackrel{S}{\ra} X}\mathcal C(D,Y)$$
mit dem Kolimes "uber die Kategorie $S_X$ aller
$S$-Morphismen nach $X$, aufgefa"st als volle Unterkategorie
von $\mathcal C_X$, oder genauer 
mit dem Kolimes des Funktors
$S_X^{\op{opp}}\ra\op{Ens}$, $(D\ra X)\mapsto \mathcal C(D,Y)$ 
"uber deren opponierte Kategorie $S_X^{\op{opp}}$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ich komme mit Rechts und Links in diesem Zusammenhang leicht
durcheinander. Als Eselsbr"ucke mag man sich einen Linksbruch als eine
Komposition der Form
$ f\circ s^{-1}$ denken, bei der der Z"ahler eben links steht.
Der erste Teil der Linksorebedingung sagt dann, salopp gesprochen, da"s man
jeden Rechtsbruch zu einem Linksbruch umschreiben kann.
Der zweite Teil der Linksorebedingung besagt, ebenso salopp gesprochen, da"s zwei Br"uche mit einer
Eins im Nenner, die durch Erweiterung zu einem Linksbruch gleich
gemacht werden k"onnen, auch durch Erweiterung zu einem Rechtsbruch gleich
gemacht werden k"onnen.
\end{Bemerkungl}









\begin{Proposition}[\textbf{Kategorien von Br"uchen
als Lokalisierung}]
Gegeben eine   Kategorie  $\cal{C}$ und  ein Linksoresystem $S$ 
von Morphismen von $\cal{C}$\label{aLKaBr} 
 liefert die offensichtliche Abbildung  eine Bijektion
$$\bar{\cal{B}} (X,Y) \sira \cal{C}_{S}(X,Y)$$
zwischen der Menge der
"Aquivalenzklassen von Linksbr"uchen und der Menge  der Morphismen in der
lokalisierten Kategorie.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungw}
  F"ur Leser, die bereits die Kategorie der \glqq Pro-Objekte\grqq\
  einer vorgegebenen Kategorie \ref{MPOk}
  kennen, sei bemerkt, da"s die  ersten Zeilen des
 folgenden Beweises eine Bijektion zwischen
   $\bar{\mathcal B}(X,Y)$
  und der Menge der Morphismen vom Pro-Objekt der $S$-Morphismen nach $X$ in
  das Pro-Objekt der $S$-Morphismen nach $Y$ liefert.
  In diesem Rahmen ist es dann offensichtlich, wie wir
  "Aquivalenzklassen von Br"uchen zu verkn"upfen haben und da"s wir
  so eine Kategorie erhalten, genauer eine volle Unterkategorie der
  Kategorie der Pro-Objekte.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}
  Zun"achst "uberlegen wir uns, da"s das Nachschalten eines $S$-Morphismus
  $E\ra Y$  eine Bijektion 
  $\bar{\cal{B}} (X,E)\sira \bar{\cal{B}} (X,Y)$ induzieren mu"s.
  Die Surjektivit"at dieser Abbildung folgt leicht aus der
  ersten Orebedingung. Die Injektivit"at folgt ebenso leicht aus
  der zweiten Orebedingung.
Dann  erkl"aren wir eine 
Verkn"upfung
$\bar{\cal{B}} (X,Y) \times {\cal{B}} (Y,Z) \ra 
\bar{\cal{B}} (X,Z)$  dadurch, da"s
$([s,D,f], (t,E,g))$ abgebildet wird auf die "Aquivalenzklasse eines 
Bruches der Gestalt
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
& & F \ar[dl]\ar[dr] & & \\
&D\ar[dl]\ar[dr] & & E \ar[dl]\ar[dr] & \\
X& & Y & & Z
}
\end{displaymath}
mit $F\ra D$ aus $S$ und kommutierendem schiefen Quadrat.
Die so gebildete "Aquivalenzklasse
ist unabh"angig von der Wahl von $F$ und  $D$, 
denn wir k"onnen sie auch dadurch beschreiben, da"s wir unserem $[s,D,f]$ erst sein Urbild in $\bar{\cal{B}} (X,E)$
zuordnen und dann dessen Bild unter dem Nachschalten von $E\ra Z$ nehmen.
Des weiteren erhalten wir dieselbe "Aquivalenzklasse, wenn wir
$(t,E,g)$ durch einen gek"urzten Bruch $(t',E',g')$ ersetzen, denn
das Nachschalten von $E'\ra Y$ liefert auch eine Bijektion
 $\bar{\cal{B}} (X,E')\sira \bar{\cal{B}} (X,Y)$ 
und damit liefert das Nachschalten von $E\ra E'$ eine 
 Bijektion
 $\bar{\cal{B}} (X,E)\sira \bar{\cal{B}} (X,E')$.
Unsere Verkn"upfung induziert mithin  eine Verkn"upfung
$\bar{\cal{B}}(X,Y) \times \bar{\cal{B}} (Y,Z) 
\ra \bar{\cal{B}}(X,Z)$. 
Nun zeigen wir, da"s die Objekte von $\cal{C}$ 
mit den Morphismenmengen
$\bar{\cal{B}} (X,Y)$ und der eben eingef"uhrten 
Verkn"upfung eine Kategorie
bilden. Die Identit"atsmorphismen sind hier unproblematisch, 
und die Assoziativit"at
der Verkn"upfung scheint mir auch recht offensichtlich durch Rechnen mit
Repr"asentanten.
Aus der Konstruktion wird jedoch zus"atzlich klar, da"s f"ur
die eben konstruierte Kategorie
$\bar{\cal{B}}$ der Funktor
$\cal{C}\ra \bar{\cal{B}}$, der die Identit"at ist auf Objekten und
jeden Morphismus $f:X\ra Y$ auf die "Aquivalenzklasse $[\op{id}_X,X,f]$
abbildet, 
dieselbe universelle Eigenschaft 
hat wie unsere Lokalisierung $\cal{C}\ra \cal{C}_{\cal{S}}$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen in einer Orelokalisierung}]
  Seien $\cal{C}$ eine   Kategorie und $S$ ein 
  Rechtsoresystem 
von Morphismen von $\cal{C}$.
In der Terminologie aus \eref{KfK}{TS} liefert 
nach \ref{KaBr} die offensichtliche 
Abbildung 
eine Bijektion 
$$ \op{colf} \cal{C}(X,C)
\sira \cal{C}_{S}(QX,QY)$$
mit dem filtrierenden Kolimes\label{aLmoOO} 
%\emph{(Ist doch gar nicht filtrierend? Doch, ist ok!)}
"uber das 
 System $S^Y$ aller 
  $S$-Morphismen  $s:Y\ra C$, die von $Y$ ausgehen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen in einer Orelokalisierung}]
  Seien $\cal{C}$ eine   Kategorie und $S$ ein %ges"attigtes
  Linksoresystem 
von Morphismen von $\cal{C}$.
In der Terminologie aus \eref{KfK}{TS} liefert 
nach \ref{KaBr} die offensichtliche 
Abbildung 
eine Bijektion 
$$ \op{colf} \cal{C}(D,Y)
\sira \cal{C}_{S}(QX,QY)$$
mit dem filtrierenden Kolimes
%\emph{(Ist doch gar nicht filtrierend? Doch, ist ok!)}
"uber das 
 System $S_X^{\op{opp}}$ aller 
  $S$-Morphismen  $s:D\ra X$  in das Objekt $X$.
Ist hier $S$ ein Oresystem, so erhalten wir
sogar ein kommutatives Diagramm\label{aLMoLL} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 &\cal{C}_{S}(QX,QY)
 &  \\
\op{colf} \cal{C}(D,Y) \ar_-{\sim}[ur]&&\op{colf} \cal{C}(X,C) 
 \ar^-{\sim}[ul] \\
&\op{colf} \cal{C}(D,C)\ar^-{\sim}[ul]\ar_-{\sim}[ur]&
}
\end{displaymath}
mit den filtrierenden Kolimites "uber das 
 System aller 
$S$-Morphismen  $s:D\ra X$  in das Objekt $X$,
  das 
 System aller 
 $S$-Morphismen  $s:Y\ra C$  aus dem Objekt $Y$
 und das System aller Paare derartiger Morphismen.
 Um das zu sehen, verwendet man die Transitivit"at von Kolimites
 \eref{coco}{TS} zusammen mit der Erkenntnis, da"s der zweite Kolimes
 auf dem Weg nach unten jeweils "uber ein konstantes System
 gebildet wird.
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}
Ist $F:\mathcal C\ra\mathcal D$ ein
Funktor mit einem  volltreuen Rechtsadjungierten, so ist
das System $S$  der Morphismen in $\mathcal C$,
  die unter $F$ zu Isomorphismen werden, ein
  Rechtsoresystem. \nichtfinal{(H"atte lieber Linksoresystem!)} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Man mag sich als $F$ den Funktor der
  Vervollst"andigung von der Kategorie der metrischen R"aume in die
  Kategorie der vollst"andigen metrischen R"aume denken. In diesem Fall ist $S$ die Menge aller
  Isometrien mit dichtem Bild.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Nach \ref{AdLl} hat jedes Objekt von $\mathcal C$ eine $F$-Rechtsentfaltung.
  In unserem Beispielfall w"are so eine Rechtsentfaltung eine
  Isometrie mit dichtem Bild in einen vollst"andigen metrischen Raum.
  Gegeben die durchgezogenen Pfeile
  im Diagramm
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
  C\ar[r]^f\ar[d]_s&Y\ar@{-->}[d]^t\\
 X\ar@{-->}[r]^g&D}
  \end{displaymath}
  mit $s\in S$  finden wir $D$ und die gestrichelten Pfeile mit $t\in S$,
  indem wir f"ur $t:Y\ra D$ eine Rechtsentfaltung von $Y$ nehmen.
 Morphismen nach $D$ sind dann dieselben
in $\mathcal C$ und in $\mathcal C_S$ und in $\mathcal C_S$ finden wir
offensichtlich ein $g$, da"s unser Diagramm zum Kommutieren bringt.
Das zeigt die erste Orebedingung. 
 Gegeben  $f,g \in \cal{C} (X,Y)$ 
und $s \in S$ mit $fs = gs$  gilt 
 weiter f"ur jede Rechtsentfaltung 
$t:Y\ra D$ bereits $tf =tg$. In der Tat gilt
offensichtlich $$fs=gs\RA Q(fs)=Q(gs)\RA Q(f)=Q(g) \RA Q(tf)=Q(tg) \RA tf=tg$$
mit dem letzten Schritt, da  Morphismen nach $D$  dieselben
sind in $\mathcal C$ und in $\mathcal C_S$. Das zeigt die zweite Orebedingung. 
\end{proof}



%\begin{proof}  Nach \ref{AdLl} sei ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit  $F=L:\mathcal C\ra\mathcal C_S$ die Lokalisierung und $R$ ihr Rechtsadjungierter. F"ur volltreues $R$ ist
%  die Koeinheit der Adjunktion eine Isotransformation 
%  $\eta: LR\siRa \op{Id}$ und wegen der Dreiecksidentit"at
%  $\eta_{LX}\circ L\varepsilon_X=\op{id}_{LX}$ ist dann auch $L\varepsilon_X$ ein Isomorphismus. F"ur $f:LX\ra LY$ liefert die Adjunktion ein $h:X\ra RLY$ mit $\eta_{LY}\circ Lh=f$ alias $ Lh=L\varepsilon_Y\circ f$. 
%Gegeben $X \overset{s}{\leftarrow} C
%\overset{g}{\rightarrow} Y$ mit $s\in S$ erhalten wir einen Morphismus
%$f\pdef Lg\circ (Ls)^{-1}:LX\ra LY$ und k"onnen ihn schreiben als
%$f= (L\varepsilon_Y)^{-1}\circ Lh :LX\ra LY$. Es folgt
%$L\varepsilon_Y\circ Lg=Lh\circ Ls:LC\ra LRLY$ und damit
%$ Lg=\eta_{LY}\circ L(h\circ s):LC\ra LY$ und durch "Ubergang zu den
%adjungierten Morphismen $ \varepsilon_Y\circ g=h\circ s:C\ra RLY$.
%Hier m"ogen die Formeln aus \eref{abcAd}{TF} helfen. Das zeigt die erste Orebedingung.\label{aLliO} 
%Sind weiter $a,b:X\ra Y$ gegeben und ein $S$-Morphismus $t$ mit $at=bt$, so
%folgt $La=Lb:LX\ra LY$. Nennen wir diesen Morphismus $f$ und den
%durch "Ubergang zum Adjungierten entstehenden Morphismus $h:X\ra RLY$,
%so finden wir 
%$\varepsilon_Y\circ a= h=\varepsilon_Y\circ b$ und das zeigt die zweite
%Orebedingung.
%\end{proof}

\begin{Definition}
 Ein multiplikatives System $S$ von Morphismen einer
  Kategorie $\mathcal C$ hei"st 
{\bf ges"attigt},\index{ges"attigt!multiplikatives System} 
wenn f"ur einen beliebigen Morphismus $f$ gilt: Gibt es Morphismen $g,h$ mit
$fg\in S$ und $hf\in S$, so folgt $f\in S$.\label{aLsaet}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Der Begriff eines ges"attigten Oresystems scheint mir
  f"ur die Diskussion triangulierter Kategorien praktisch.
  F"ur einzelne der im folgenden diskutierten Konsequenzen
  dieser Eigenschaft sind jedoch auch schw"achere Bedingungen ausreichend.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Das System aller Isomorphismen einer Kategorie ist ges"attigt.
  Das Urbild eines ges"attigten multiplikativen Systems unter einem
  Funktor ist stets wieder ein ges"attigtes multiplikatives System.
\end{Beispiel}
\begin{Lemma}
Gegeben ein ges"attigtes Oresystem $S$ von Morphismen einer
  Kategorie $\mathcal C$  ist $S$ genau die
  Menge aller Morphismen von $\mathcal C$, die unter dem
  Lokalisierungsfunktor $\mathcal C\ra\mathcal C_S$ 
  Isomorphismen werden.\label{aLIsoL} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Gibt es f"ur den Linksbruch $f \op{id}^{-1}$ einen
Linksbruch $g s^{-1}$ mit der Eigenschaft $f \op{id}^{-1}g s^{-1}=\op{id}$ in der
Kategorie $\bar{\mathcal B}$, so gibt es $r\in S$ mit
  $sr=fgr$. Argumentiert man analog mit Rechtsbr"uchen, so erkennt
man, da"s f"ur jedes $f$, das in der Lokalisierung ein Isomorphisus wird,
mit unserer S"attigungsbedingung bereits $f\in S$ folgt.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Lemma \ref{IsoL} impliziert insbesondere, da"s
  jedes ges"attigte Oresystem $S$ die {\bf Zwei-aus-Drei-Eigenschaft}\index{Zwei-aus-Drei-Eigenschaft}\label{aLZaD}
 hat:
 Sind Morphismen $f,g,h$ gegeben mit $fg=h$ und geh"oren zwei 
 der drei Morphismen $f,g,h$ zu $S$, so auch der Dritte.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Orelokalisierung und volltreue Einbettungen}]
Sei $\cal{C}$ eine   Kategorie mit einem \hyperref[RmS]{Linksoresystem}\label{aLLUK}   
 $S$. Ist $\cal{C}'\subset\cal{C}$ 
eine volle Unterkategorie und $S'\subset S$ ein Linksoresystem
 von Morphismen von $\cal{C}'$ mit der Eigenschaft, da"s es f"ur alle
$s\in S$ mit
Ziel in $\cal{C}'$ einen Morphismus $h$ in $\mathcal C$ gibt mit $s\circ h\in S',$ so ist 
der offensichtliche Funktor $\cal{C}'_{S'}\ra \cal{C}_S$ volltreu.
\end{Satz}
\begin{proof}
Das erkennt man sofort an der Realisierung \ref{KaBr} der lokalisierten
Kategorie als Kategorie von Br"uchen.
Formal kommt es von unserer Erkenntnis her,
da"s filtrierende Kolimites sich nicht "andern, wenn wir zu einem
konfinalen Teilsystem "ubergehen.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
  Ist $\cal{C}$ eine   Kategorie mit einem Linksoresystem 
von Morphismen $S$,\label{aLaHb} 
 so lassen sich zwei Br"uche $(r,E,f) \in \cal{B}(X,Y)$ und $ (t,F,g) \in \cal{B}
(X,Z)$ stets {\bf auf einen Hauptnenner bringen}.
In der Tat finden wir Morphismen von Objekten
$E \leftarrow D\ra F$ so, da"s $D\ra E$ zu $S$ geh"ort und da"s %\label{aLLUK}  
beide denselbem Pfeil $s:D\ra X$ liefern, der dann notwendig auch zu $S$ 
geh"ort. Damit entstehen unsere beiden Br"uche durch 
K"urzen aus Br"uchen der Gestalt $(s,D,f')$ und $(s,D,g')$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubertragung additiver Strukturen auf Ore-Lokalisierungen}]  
  Seien $\cal{C}$ eine   Kategorie und $S$ ein Linksoresystem.
  Gegeben eine additive Struktur auf $\cal{C}$
im Sinne von \eref{adS}{TG} gibt es genau eine\label{aLAdSt}  
additive Struktur auf $\cal{C}_{S}$, f"ur die der Lokalisierungsfunktor mit
der additiven Struktur vertr"aglich ist. Man addiert dazu eben Br"uche,
indem man sie auf einen Hauptnenner bringt, anders geht es auch nicht,
und pr"uft, da"s die Verkn"upfung biadditiv bleibt.
Besitzt $\cal{C}$ nur ein Objekt, so ist diese Konstruktion
die sogenannte {\bf Ore\-lo\-ka\-li\-sie\-rung}\index{Orelokalisierung} 
von nicht notwendig
kommutativen Ringen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Produkte in Orelokalisierungen}]
Gegeben $\cal{C}$ eine  Kategorie und $S$ ein 
Linksoresystem von\label{aLPLL} 
Morphismen von $\cal{C}$
 vertauscht der Funktor $\cal{C} \ra \cal{C}_{S}$  
mit dem Bilden von endlichen Produkten und 
Egalisatoren \eref{Egal}{TS}, ja mit dem Bilden von Limites "uber beliebige endliche Diagramme
  alias Darstellungen endlicher K"ocher.
\end{Proposition}

  
\begin{proof}[Beweis]
  Seien $\mathcal I$ ein endlicher K"ocher und
  $C\in\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)$ ein Diagramm dieser
  Gestalt in $\mathcal C$.
  Gegeben $X\in\mathcal C$ bezeichne $\op{konst}(X)\in\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)$ das zugeh"orige 
   konstante Diagramm.
  Ich behaupte, da"s die offensichtliche Abbildung eine Bijektion
  $$\op{colf}_{D\stackrel{S}{\ra}X}\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)(\op{konst}(D),C)
  \;\sira\; \op{Car}(\mathcal I,\mathcal C_S)(\op{konst}(X),C)$$
  induziert. Die Surjektivit"at zeigt man, indem man
  Br"uche von $X$ in die $C_i$ auf einen Hauptnenner bringt und den noch
  f"ur alle Pfeile in $\mathcal I$ hinreichend  vergr"o"sert. 
  Die Injektivit"at ist eh klar und die Proposition folgt unmittelbar.
\end{proof}





\begin{Proposition}[\textbf{Orelokalisierung additiver Kategorien}] 
Ist $\cal{C}$ eine\label{aLLAdK}  
additive Kategorie und $S$ ein Linksoresystem
von Morphismen,
so ist auch $\cal{C}_{S}$ eine   additive Kategorie und
 $Q:\cal{C}\ra\cal{C}_{S}$ ist additiv.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
  Das folgt sofort aus der Existenz einer additiven Struktur \ref{AdSt}  in der Lokalisierung, die mit dem Lokalisierungsfunktor vertr"aglich ist,
  und der Existenz endlicher Produkte in der Lokalisierung sowie der Vertr"aglichkeit des Lokalisierungsfunktors mit endlichen Produkten \ref{PLL}. 
\end{proof}




\subsubsection{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Entfaltung und Spaltung, Variante}]
  Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ ein Rechtsoresystem.
  Genau dann ist 
  $I\in \mathcal C$ ein $S$-rechtsentfaltetes Objekt, wenn es
  f"ur jeden $S$-Morphismus 
  $s:I\ra C$ einen Morphismus $g:C\ra I$ gibt
  mit $gf=\op{id}_I$.\label{aLurenx} Hinweis: Da"s Rechtsentfaltung Spaltungen liefert, wissen  wir bereits aus \ref{uren}. Unter der Annahme der Spaltungen
  ist umgekehrt $\op{id}_I$ konfinal in $S^I$ und die Beschreibung
  \ref{moOO} von Morphismen in $\mathcal C_S$ als Kolimes zeigt de andere
  Richtung. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
\nichtfinal{Rechts vor Links!}  Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ ein
  Linksoresystem von Morphismen von $\mathcal C$.
  Genau dann liefern Morphismen\label{aLghto} 
  $f,g:X\ra Y$ aus $\mathcal C$ denselben Morphismus in $\mathcal C_S$,
  wenn es $s\in S$ gibt mit $fs=gs$. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Liften kommutativer Quadrate}] 
  Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ ein Linksoresystem
   von
  Morphismen. Gegeben ein kommutatives 
  Quadrat $fq=pg$  in $\mathcal C_S$ mit den horizontalen
  Morphismen $p,q$ in $\mathcal C$
  finden wir stets Darstellungen $f=s^{-1}\phi$ und $g=t^{-1}\psi$
  mit $s,t\in S$ und Morphismen  $r,\phi,\psi$ in $\mathcal C$
  mit $\phi r=p \psi $ und $qt=sr$, also im Diagramm\label{aLlkQ}
 \begin{displaymath}
 \xymatrix{
X \ar@/_2pc/[dd]_g\ar[r]^-{q} &Y\ar@/^2pc/[dd]^f\\
D \ar@{..>}[u]^t\ar@{-->}[d]_-{\psi}\ar@{-->}[r]^-{r} & E\ar@{..>}[u]^s \ar@{-->}[d]^-\phi\\
X'  \ar[r]^-{p} & Y'
}
\end{displaymath}
  Das wird gebraucht f"ur das Bilden von Quotienten triangulierter Kategorien. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Oresysteme in Produktkategorien}] 
  Gegeben Kategorien $\mathcal C,\mathcal D$ mit multiplikativen Systemen
  $S,T$ ist auch $S\times T$ ein multiplikatives System in
  $\mathcal C\times \mathcal D$. Sind $S$ und $T$ linksore beziehungsweise
  rechtsore, so auch $S\times T$. Sind $S$ und $T$ ges"attigt,
  so auch $S\times T$.\label{aLOrePr}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Wir betrachten in der Kategorie  $\op{Ab}$
  der abelschen Gruppen die Menge $S\pdef\{n\op{id}_A\mid A\in\op{Ab}, n\in \DZ\backslash 0\}$ aller Vielfachen von Identit"atsmorphismen mit von Null
  verschiedenen ganzen Zahlen.
Man betrachte andererseits die Kategorie $\op{Ab}\otimes_\DZ\DQ$ mit abelschen Gruppen als Objekten und Morphismen
  $(\op{Ab}\otimes_\DZ\DQ)(A,B)\pdef \op{Ab}(A,B)\otimes_\DZ\DQ$ und der
hoffentlich offensichtlichen Verkn"upfung von Morphismen.
Man zeige, da"s der offensichtliche Funktor ein Isomorphimus von Kategorien 
$\op{Ab}_S\sira \op{Ab}\otimes_\DZ\DQ$
ist. 
\end{Ubung}


\section{Derivierte Kategorien und dg-Ringoide* NEU}
\subsection{Ringoide und ihre Moduln}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Assoziativobjekt einer abelschen Kategorie}] 
  Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal A$ k"onnen wir in $\op{Ab}$
  in offensichtlicher Weise das Assoziativobjekt
  $$[\mathcal A]\pdef \bigoplus_{X,Y\in\mathcal A}\mathcal A(X,Y)$$
  bilden. Ihm fehlt zum Ring im allgemeinen die Eins,
  aber jedem Objekt $X\in\mathcal A$ k"onnen wir ein Idempotentes
  $i_X\in [\mathcal A]$ zuordnen als das Tupel, das an der Stelle
  $(X,X)$ den Eintrag $\op{id}_X$ hat und sonst nur Nullen als Eintr"age.
  Dann gilt $i_X i_Y=0$ falls $X\neq Y$ und wir haben
  $$[\mathcal A]= \bigoplus_{X,Y\in\mathcal A}i_Y[\mathcal A]i_X$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Assoziativmodul eines Anreicherungsfunktors}] 
  Gegeben eine $\op{Ab}$-Ka\-te\-go\-rie $\mathcal A$ und ein
  Anreicherungsfunktor $F: \mathcal A\ra \op{Ab}$ im Sinne von \eref{ARF}{TSK} 
  haben wir als Teil der Daten Verschmelzungen alias bilineare Abbildungen $F(X)\curlyvee\mathcal A(X,Y)\ra F(Y)$ und k"onnen in $\op{Ab}$
  in offensichtlicher Weise den Assoziativmodul 
  $$[F]\pdef \bigoplus_{X\in\mathcal A} F(X)$$
  "uber $[\mathcal A]$ bilden. Er hat die Eigenschaft 
  $$[F]= \bigoplus_{X\in\mathcal A}[F]i_X$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal A$ und Anreicherungsfunktoren
  $F,G:\mathcal A\ra\op{Ab}$ erkl"aren wir eine
  {\bf Transformation} $F\RA G$ als eine Vorgabe von Morphismen
  $\tau_X\in \op{Ab}(F(X),G(X))$ f"ur alle $X\in\mathcal A$ derart, da"s
  alle Diagramme
  $$\begin{array}{ccc}
    F(X)\curlyvee\mathcal A(X,Y)&\ra &F(Y)\\
    \da\;\;\;\;&&\da\\
    G(X)\curlyvee\mathcal A(X,Y)&\ra& G(Y)
  \end{array}$$
  mit den durch $\tau_X,\tau_Y$ gegebenen Vertikalen kommutieren.
  Diese Transformationen bilden ihrerseits eine Untergruppe von
  $\prod_{X\in\mathcal A}\op{Ab}(F(X),G(X))$ und wir erhalten in
  offensichtlicher Weise einen Gruppenisomorphismus
  $$\op{Arf}_{\op{Ab}}(F,G)\sira \op{Mod}_{[\mathcal A]}([F],[G])$$
  zwischen Transformationen von Anreicherungsfunktoren und
  Homomorphismen der zugeh"origen $[\mathcal A]$-Moduln.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Hier Rechts-Links-Verwirrung!}
  Wir w"ahlen nun ein Universum $\mathfrak U$ und verstehen
  $\mathfrak U{\op{Ab}}$ als die Kategorie der
  abelschen Gruppen, deren zugrundeliegende Menge
  ein Element unseres Universums
  ist.
  Gegeben eine $\mathfrak U{\op{Ab}}$-Kategorie $\mathcal A$ bezeichne $\op{Arf}_{\mathfrak U{\op{Ab}}}(\mathcal A)$ die Kategorie ihrer Anreicherungsfunktoren.
  Jeder
  $\mathfrak U{\op{Ab}}$-Funktor $\varphi:\mathcal A\ra \mathcal B$ induziert
  durch Vorschalten einen  $\mathfrak U{\op{Ab}}$-Funktor
  $$\op{res}_{\varphi}:\op{Arf}_{\mathfrak U{\op{Ab}}}(\mathcal B)\ra \op{Arf}_{\mathfrak U{\op{Ab}}}(\mathcal A)$$
  Wir suchen einen Linksadjungierten $\op{prod}_\varphi$.
  Dazu nehmen wir an, da"s auch
  die Mengen der Objekte von $\mathcal A$ und $\mathcal B$ Elemente
  unseres Universums $\mathfrak U$ sind, in Formeln $\op{Ob}(\mathcal A),\op{Ob}(\mathcal B)\in\mathfrak U$, so da"s $[\mathcal A]$ und $[\mathcal B]$
  Assoziativobjekte von $\mathfrak U{\op{Ab}}$ sind.
  Dann liefert $F\mapsto [F]$ eine "Aquivalenz von Kategorien
  $$\op{Arf}_{\mathfrak U{\op{Ab}}}(\mathcal A) \;\sirra \; \mathfrak U{\op{Ab}}_{\curlyvee [\mathcal A]}$$
  in die Kategorie der Assoziativrechtsmoduln $M$ aus
  $\mathfrak U{\op{Ab}}$ "uber unserem
  Assoziativobjekt $[\mathcal A]$
  mit $M=\bigoplus_{X\in \mathcal A} Mi_X$. Quasiinvers ist der
  Funktor $M\mapsto F$ mit $F(X)\pdef Mi_X$.
  Der Funktor $\varphi$ seinerseits
  induziert einen Homomorphismus $[\mathcal A]\ra [\mathcal B]$
  von Assoziativobjekten. Ich behaupte nun, da"s modulo unserer
  "Aquivalenzen die \glqq Erweiterung der Skalare\grqq\
  $$\otimes_{[\mathcal A]}[\mathcal B]: \mathfrak U{\op{Ab}}_{\curlyvee [\mathcal A]}
  \ra \mathfrak U{\op{Ab}}_{\curlyvee [\mathcal B]}$$
  der gesuchte Linksadjungierte $\op{prod}_\varphi$ ist mit
  dem Tensorprodukt 
  wie in \eref{DefTR}{KAG}. Wegen
  $[\mathcal B]=\bigoplus_{Y\in\mathcal B}[\mathcal B]i_Y$  ist klar,
  da"s unser Funktor in  $\mathfrak U{\op{Ab}}_{\curlyvee [\mathcal B]}$ landet.
  Ist nun eine $\op{Ab}$-Transformation $G\ra F\circ \varphi$ gegeben,
  so erhalten wir f"ur alle $X\in\mathcal A$ und $Y\in\mathcal B$
  ein biadditive Abbildung $G(X)\curlyvee \mathcal B(\varphi(X),Y)\ra F(Y)$
  aus  $G(X)\ra F(\varphi(X))$ und der Funktorialit"at von $F$.
  Unter der Abbildung
  $$[G]\otimes_{\DZ}[\mathcal B]\sra [G]\otimes_{[\mathcal A]}[\mathcal B]$$
  gehen nun alle Summanden $[G]i_X \otimes_{\DZ} i_Y[\mathcal B]$ mit
  $Y\neq \varphi(X)$ eh nach Null wegen $i_Xi_Y=0$. Wir erhalten also eine Surjektion  $$\bigoplus_{X\in\mathcal A}[G]i_X\otimes_{\DZ}i_{\varphi(X)}[\mathcal B]\sra [G]\otimes_{[\mathcal A]}[\mathcal B]$$
  und deren Kern wird erzeugt von allen $ma\otimes n - m\otimes \varphi(a)n$
  mit $m\in [G]i_X$ und $a\in \mathcal A(X,Z)$ und $n\in i_{\varphi(Z)}[\mathcal B]$. Dieser Kern geht nun aber nach Null unter der Gesamtheit der
  $G(X)\otimes \mathcal B(\varphi(X),Y)\ra F(Y)$ und so erhalten wir
  einen Homomorphismus $[G]\otimes_{[\mathcal A]}[\mathcal B]\ra [F]$.
  \nichtfinal{Jetzt bin ich etwas m"ude und der Rest wird schon stimmen und
    vermutlich geht es noch eleganter.} 
\end{Bemerkungl}

\subsection{Angereicherte Transformationen} 



\begin{Definition}
  Ein Limes in einer Schmelzkategorie hei"se ein
  {\bf Schmelzlimes}\index{Schmelzlimes} und
  werde\index{slim@$\op{slim}$ Schmelzlimes}
  $$\op{slim}$$ notiert, wenn er
  auch in der Familienkategorie ein Limes ist. Besitzt unsere
  Schmelzkategorie stabil universelle Verschmelzungen, so ist jeder
  Limes auch ein Schmelzlimes.\label{LimS}  
\end{Definition}

\nichtfinal{\begin{Bemerkungl} (WOANDERS? SCHEINT UNN"OTIG HIER, WO EH MULTIHOM GEBRAUCHT WIRD!) Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ und
  eine $\mathcal S$-Kategorie $\mathcal A$ erinnern wir die Kategorie der Anreicherungsfunktoren $F:\mathcal A/\mathcal S\ra \mathcal S$ aus  \eref{ARF}{TSK}.
Ein {\bf Anreicherungsfunktor}\index{Anreicherungsfunktor}\label{yARF}  
 $F:\mathcal A/\mathcal S \ra \mathcal S$ 
ist in diesem Kontext der einfachen $\mathcal S$-Kategorien
eine Vorgabe von
  Abbildungen $F: \mathcal A \ra \mathcal S$ auf Objekten
  zusammen mit $\mathcal S$-Verschmelzungen $\kappa_F(X,Y): F(X)\curlyvee\mathcal A(X,Y)\ra F(Y)$ f"ur je zwei Objekte $X,Y\in\mathcal A$
  mit den offensichtlichen Vertr"aglichkeiten.
 Gegeben Anreicherungsfunktoren
  $F,G$ erkl"aren wir eine {\bf Transformation}\index{Transformation!von Anreicherungsfunktoren} $$\tau:F\RA G$$ als eine Vorschrift,
  die jedem Objekt $X\in \mathcal A$  ein $\tau_X\in_{\mathcal S}\mathcal S(F(X),G(X))$ so zuordnet, da"s die offensichtlichen Vertr"aglichkeiten erf"ullt sind. 
\end{Bemerkungl}}
\begin{Bemerkungl} Gegeben  eine Schmelzkategorie mit Multihom $\mathcal S$
  und eine $\mathcal S$-Kategorie $\mathcal A/\mathcal S$
  k"onnen wir unter zus"atzlichen Annahmen sogar eine $\mathcal S$-Kategorie 
  $\op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal A)$ konstruieren. 
  Ihre Objekte sind angereicherte Funktoren $F:\mathcal A\ra \mathcal S$,
  also die Objekte von
  $\op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal A, \mathcal S^{\op{sa}})$.
  Als  Morphismenobjekte nehmen wir die  Schmelzlimites
  $$(F{\Rrightarrow}G)\pdef \op{slim}\left( \begin{array}{c}
\big( F(X)\curlyvee \mathcal A(X,Y)\big){\Rrightarrow}G(Y)\\
 \ua{\scriptstyle(\kappa_G\circ)}\qquad\qquad\scriptstyle(\circ\kappa_F)\ua\\
  F(X){\Rrightarrow}G(X) \qquad F(Y){\Rrightarrow}G(Y)
  \end{array}\right)
  $$
 Das gelingt allerdings nur unter der Annahme, da"s die fraglichen Schmelzlimites in $\mathcal S$
 auch tats"achlich existieren. Wenn das so ist, sagen wir,
   da"s {\bf die Transformationsobjekte existieren}.\index{Transformationsobjekt}\label{ToE} 
 Die Limites gehen hier "uber eine Darstellung des K"ochers mit Punkten
  indiziert durch $\mathcal A\sqcup\mathcal A^{\times 2}$ und je einem Pfeil von
  $(X,Y)$ nach $X$ und nach $Y$.
  Der rechte vertikale Pfeil ist das Vorschalten
  des $\mathcal S$-Morphismus
  $\kappa_F(X,Y):F(X)\curlyvee \mathcal A(X,Y)\ra F(Y)$, der in der
  Gestalt ausgezeichneter $\mathcal S$-Morphismen
  $\kappa_F(X,Y):\mathcal A(X,Y)\ra \big(F(X){\Rrightarrow}F(Y)\big)$
  zu den Daten des angereicherten Funktors $F$ geh"ort.
  Der linke vertikale Pfeil
  ist das Nachschalten des aus $\kappa_G(X,Y)$
  entstehenden Morphismus $G(X)\ra (\mathcal A(X,Y){\Rrightarrow}G(Y))$
  gefolgt vom Zur"uck"ubersetzen mit der universellen Eigenschaft von
  internem Hom. Die Verkn"upfung von Transformationen alias
  Verschmelzung von Transformationsobjekten erkl"aren wir in \ref{VvTT}.
\end{Bemerkungl}
\nichtfinal{Ich wei"s nicht,
   ob von Schmelzlimites noch mehr zu fordern sein sollte, mal sehen! Es k"onnte praktisch sein, wenn Multihom in den Limes Limes der Multihom w"are, aber vielleicht ist das
   unn"otig und vielleicht ist es auch automatisch.}

\begin{Beispiel}[\textbf{Rechtsmoduln als anreicherte Funktoren}]  Eine $\op{Ab}$-Ka\-te\-go\-rie $\mathcal A$
  mit einem einzigen Objekt ist ein Ring $A\pdef \mathcal A(*)$.
  Ein Anreicherungsfunktor $F: \mathcal A\ra \op{Ab}$ ist ein $A$-Rechtsmodul
  $F(*)$. 
  Die Transformationsobjekte sind die abelschen Gruppen der
  Rechtsmodulhomomorphismen. Die angereicherte Kategorie der Transformationen wird die $\op{Ab}$-Kategorie der $A$-Rechtsmoduln werden. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Existenz von Transformationsobjekten}] Wir
  betrachten eine $\op{Ab}$-Ka\-te\-go\-rie $\mathcal A$ mit 
  $X\neq Y\RA \mathcal A(X,Y)=0$.
  Ein angereicherter Funktor $F: \mathcal A\ra \op{Ab}$ ist
  dann \glqq dasselbe\grqq\ wie die Vorgabe eines $\mathcal A(X)$-Rechtsmoduls
  $F(X)$ f"ur alle $X\in \mathcal A$.
  Als  Transformationsobjekte finden wir, wenn es sie denn gibt,
  $$(F{\Rrightarrow}G)=\prod_{X\in\mathcal A}\op{Hom}_{-\mathcal A(X)}(F(X),G(X))$$
  Jetzt kommt es darauf an,
  wie gro"s die Menge der Objekte von $\mathcal A$ ist und welches Universum
  wir implizit bei der Definition von $\op{Ab}$ zugrundelegen. Je nachdem
  existiert das Transformationsobjekt oder eben auch nicht. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{dg-Rechtsmoduln als anreichererte Funktoren}] Eine $\op{dgAb}$-Ka\-te\-go\-rie $\mathcal A$
  mit einem einzigen Objekt ist ein dg-Ring $A\pdef \mathcal A(*)$.
  Ein Anreicherungsfunktor $F: \mathcal A\ra \op{dgAb}$ ist ein $A$-dg-Rechtsmodul
  $F(*)$. 
  Die Transformationsobjekte sind die differentiellen graduierten
  abelschen Gruppen der
  $A$-Rechts\-mo\-dul\-ho\-mo\-mor\-phis\-men. Die angereicherte Kategorie der Transformationen wird die $\op{dgAb}$-Kategorie der $A$-dg-Rechtsmoduln werden. 
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
  Unsere Transformationen $\tau:F\RA G$ aus \eref{TAS}{TSK} sind genau die
  Leerverschmelzungen in das Transformationsobjekt $\tau\in_{\mathcal S}(F{\Rrightarrow}G)$.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkn"upfung von Transformationen}]  Gegeben  eine Schmelzkategorie mit Multihom $\mathcal S$
  und eine einfache $\mathcal S$-Kategorie\label{VvTT} $\mathcal A/\mathcal S$
  und $F,G,H\in \op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal A)$
  derart, da"s die fraglichen Transformationsobjekte existieren,
  zeigen wir nun, da"s die  Gesamtheit der Verschmelzungen 
    $$(F{\Rrightarrow}G)\curlyvee (G{\Rrightarrow}H)\ra (F(X){\Rrightarrow}H(X))$$
  gegeben durch  $(F(X){\Rrightarrow}G(X))\curlyvee (G(X){\Rrightarrow}H(X)) \ra (F(X){\Rrightarrow}H(X))$ f"ur alle Objekte  $X$ 
  "uber $F{\Rrightarrow}H$ faktorisiert. Dazu gilt es zu zeigen, da"s
  $$\begin{array}{c}
\big( F(X)\curlyvee \mathcal A(X,Y)\big){\Rrightarrow}H(Y)\\
    \ua\qquad\qquad\qquad\ua\\
    F(X){\Rrightarrow}H(X) \qquad F(Y){\Rrightarrow}H(Y)\\
    \ua\qquad\qquad\ua\\
    (F{\Rrightarrow}G)\curlyvee (G{\Rrightarrow}H)
  \end{array}$$
  kommutiert f"ur alle Objekte $X,Y$.
  Nun haben wir aber sogar drei Morphismen von unten nach oben,
  die symbolisch geschrieben  $\alpha\curlyvee\beta$ abbilden auf
  $\beta\circ\alpha\circ \kappa_H$, $\beta\circ\kappa_G\circ \alpha$ und
  $\kappa_H\circ \alpha\circ\beta$.
  Die beiden ersten sind gleich, da $\alpha$ eine Transformation ist.
  Die beiden zweiten sind gleich, da $\beta$ eine Transformation ist. Die
  Behauptung folgt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$
  und eine $\mathcal S$-Kategorie $\mathcal A$ erkl"aren wir die
  {\bf opponierte  $\mathcal S$-Kategorie $\mathcal A^{\op{opp}}$} in der
  offensichtlichen Weise.
\end{Definition}
\begin{Definition} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ mit stabil universellen Verschmelzungen 
  und  $\mathcal S$-Kategorien $\mathcal A, \mathcal B$ erkl"aren wir
  ihr die {\bf Produktkategorie}\index{Produktkategorie!angereicherte}
  $$\mathcal A\times\mathcal B$$
  als die Kategorie mit Objekten Paaren von Objekten der
  Ausgangskategorien und Morphismenobjekten den $\otimes_{\mathcal S}$ der
  jeweiligen Morphismenobjekte in $\mathcal A$ beziehungsweise $\mathcal B$
  und den offensichtlichen Verkn"upfungsverschmelzungen. 
\end{Definition}

\begin{Definition} Gegeben eine Schmelzkategorie mit stabil universellen
  Verschmelzungen  $\mathcal S$
  und $\mathcal S$-Kategorien $\mathcal A,\mathcal B$ sowie $\mathcal S$-Funktoren  $L:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $R:\mathcal B\ra \mathcal A$
  erkl"aren wir eine
  {\bf $\mathcal S$-Adjunktion}\index{Adjunktion!angereicherte}  
  als einen Isomorphismus  $\alpha$ von $\mathcal S$-Funktoren
  $$\mathcal A^{\op{opp}}\times \mathcal B\;\ra\;\mathcal S$$
  gegeben durch $(A,B)\mapsto \mathcal A(LA,B)$ beziehungsweise
  $(A,B)\mapsto \mathcal B(A,RB)$. Das ist
  eine Sammlung von $\mathcal S$-Isomorphismen
  $\alpha_{(A,B)}:  \mathcal A(LA,B)\sira  \mathcal B(A,RB)$,
  die geeignete
  Vertr"aglichkeiten erf"ullen. Schreibt man sie aus,so erkennt man, da"s
  der Begriff einer Adjunktion sogar f"ur
  Anreicherungen in einer  beliebigen Schmelzkategorie
  $\mathcal S$ sinnvoll definiert ist. 
\end{Definition}

\begin{Definition}\label{KolimS}
Gegeben ein K"ocher $\cal{I}$ und eine Schmelzkategorie 
$\cal{S}$ ist die Vorschrift, die
 jedem Objekt die
entsprechende {\bf konstante Darstellung} unseres K"o\-chers
zuordnet,  ein 
Funktor
$$\op{konst}:\mathcal S\ra \op{Car}(\cal{I},\mathcal S^\curlyvee)$$
Wenn der partielle Linksadjungierte dieses Funktors auf einer
K"ocherdarstellung $D:\cal{I}\ra \mathcal S^\curlyvee$
in der Familienkategorie definiert ist, so nennen wir
seinen Wert  den {\bf Schmelzkolimes}\index{Schmelzkolimes} 
unserer K"ocherdarstellung und notieren ihn
$\op{sc\tilde{o}l}_{i\in\mathcal I}D_i$. Ist zus"atzlich f"ur jede Objektkleinfamilie
$A$ und jedes Objekt $Y$ die offensichtliche Abbildung eine Bijektion 
$\op{lim}_{i\in\mathcal I^{\op{opp}}}\mathcal S(D_i\curlyvee A,Y)\sira \mathcal S((\op{sc\tilde{o}l}_{i\in\mathcal I}D_i)\curlyvee A,Y)$, so
nennen wir unseren Schmelzkolimes einen {\bf stabilen Schmelzkolimes}\index{Schmelzkolimes!stabiler} und notieren ihn\index{scol@$\op{scol}$ stabiler Schmelzkolimes} 
$$\op{scol}_{i\in\mathcal I}D_i$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  In einer Schmelzkategorie mit Multihom ist jeder Schmelzkolimes stabil.
  Weiter haben wir dann f"ur jede Familie $A\in\mathcal S^\curlyvee$  eine Bijektion\label{scols}  
  $$\op{lim}_{i\in\mathcal I^{\op{opp}}}\mathcal S( A,(D_i{\Rrightarrow}Y))\sira \mathcal S(A, (\op{scol}_{i\in\mathcal I}D_i){\Rrightarrow}Y)$$
  und folglich $$\op{slim}_{i\in\mathcal I}(D_i{\Rrightarrow}Y) \sira  \big((\op{scol}_{i\in\mathcal I}D_i){\Rrightarrow}Y\big)$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel} Ein Schmelzkolimes "uber die Darstellung $X\curlyvee Y$
  des K"ochers mit einem Punkt und keinem Pfeil ist eine universelle
  Verschmelzung von $X\curlyvee Y$.
  So ein Schmelzkolimes  ist genau dann stabil, wenn diese universelle
  Verschmelzung eine stabil universelle Verschmelzung ist.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl} Seien $\mathcal S$ eine Schmelzkategorie mit Multihom 
  und $\varphi/\mathcal S:\mathcal A/\mathcal S\ra \mathcal B/\mathcal S$ ein $\mathcal S$-Funktor. Wir nehmen an, da"s alle fraglichen Transformationsobjekte nach \ref{ToE} existieren, so da"s wir die $\mathcal S$-Kategorien $\op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal B),  \op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal A)$ bilden k"onnen. 
   So hat die Restriktion  $\op{res}_{\varphi}:\op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal B)\ra
  \op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal A)$ einen angereicherten
  Linksadjungierten $\op{prod}_\varphi$,
  wenn die  stabilen Schmelzkolimites
  $$(\op{prod}_\varphi F)(Y)=\op{scol}\left(
  \begin{array}{c} F(X)\curlyvee \mathcal B(\varphi(X),Y)\quad  F(Z)\curlyvee \mathcal B(\varphi(Z),Y)\\
    \ua\qquad\qquad\qquad\ua\\
    F(Z)\curlyvee \mathcal A(Z,X)\curlyvee \mathcal B(\varphi(X),Y)
  \end{array}\right)
  $$
   in $\mathcal S$ existieren,
  und wird dann durch besagte Schmelzkolimites gegeben. Der Schmelzkolimes wird hier gebildet "uber einen K"ocher mit Ecken
  $\mathcal A\sqcup \mathcal A^{\times 2}$ und je einem
  Pfeil von $(X,Z)$ nach $X$ und nach $Z$.
  Um die fraglichen Isomorphismen
  $$\op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal B)(\op{prod}_\varphi F,G)\sira \op{Cat}_{\mathcal S}(\mathcal A)( F,\op{res}_\varphi G)$$
 anzugeben, beginnen wir mit der Beschreibung 
 $(\op{prod}_\varphi F)(Y){\Rrightarrow}G(Y)$ nach \ref{scols}
 als Schmelzlimes 
  $$\op{slim}\left(
  \begin{array}{c}\big( F(Z)\curlyvee \mathcal A(Z,X)\curlyvee \mathcal B(\varphi(X),Y)\big){\Rrightarrow}G(Y)\\
    \ua\qquad\qquad\qquad\ua\\
  \big( F(X)\curlyvee \mathcal B(\varphi(X),Y)\big){\Rrightarrow}G(Y)\quad  \big(F(Z)\curlyvee \mathcal B(\varphi(Z),Y)\big){\Rrightarrow}G(Y) 
  \end{array}\right)$$ \nichtfinal{etc}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterung der Skalare}] 
  Haben $\mathcal A$ und $\mathcal B$ jeweils nur ein Objekt $*$  und ist
  $\mathcal S=\op{Ab}$ die Schmelzkategorie der abelschen Gruppen,
  so haben wir Ringe $A\pdef \mathcal A(*)$ und $B\pdef \mathcal B(*)$
  und einen Ringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$.
  Unsere Kategorien von Anreicherungsfunktoren sind schlicht Modulkategorien
  und der Linksadjungierte von $\op{res}_{\varphi}:\op{Mod}_B\ra \op{Mod}_A$
  ist die Erweiterung der Skalare
  $\op{prod}_{\varphi}=B\otimes_A: \op{Mod}_A\ra\op{Mod}_B$, die wir auch schreiben k"onnen als Schmelzkolimes von abelschen Gruppen 
  $$B\otimes_AM=\op{scol}\left(
  \begin{array}{c} B\curlyvee M\quad  B\curlyvee M\\
    \ua\qquad\ua\\
    B\curlyvee A\curlyvee M
  \end{array}\right)
  $$
  mit
  den Pfeilen $b\curlyvee a\curlyvee m\mapsto b\varphi(a)\curlyvee m$ beziehungsweise
  $b\curlyvee am$. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterung der Skalare f"ur dg-Moduln}] Haben $\mathcal A$ und $\mathcal B$ jeweils nur ein Objekt $*$  und ist
  $\mathcal S=\op{dgAb}$ die Schmelzkategorie der differentiellen graduierten abelschen Gruppen,
  so haben wir dg-Ringe $A\pdef \mathcal A(*)$ und $B\pdef \mathcal B(*)$
  und einen Homomorphismus $\varphi:A\ra B$ von dg-Ringen.
  Unsere Anreicherungskategorien sind Kategorien von dg-Moduln und
  der Linksadjungierte von $\op{res}_{\varphi}:\op{dgMod}_B\ra \op{dgMod}_A$
  ist die "ubliche Erweiterung der Skalare
  $$\op{prod}_{\varphi}=B\otimes_A: \op{dgMod}_A\ra\op{dgMod}_B$$ mit der
  offensichtlichen Graduierung und dem
 offensichtlichen Differential auf $B\otimes_AM$.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterung mit dem operierenden Monoid}] 
  Gegeben ein Monoid $A$ einer Schmelzkategorie und ein $A$-Modul $M$
  induziert die Operation einen Isomorphismus  $A\otimes_AM\sira M$.
  Um das zu sehen gilt es, den Schmelzkolimes  $$A\otimes_AM=\op{scol}\left(
  \begin{array}{c} A\curlyvee M\quad  A\curlyvee M\\
    \ua\qquad\ua\\
    A\curlyvee A\curlyvee M
  \end{array}\right)
  $$
  zu bestimmen. Um das zu zeigen, verwenden wir eine Notation
  \glqq als ob wir in der kartesischen Schmelzkategorie der Mengen w"aren\grqq.
  Haben wir Zweiverschmelzungen $p,q:A\curlyvee M\ra N$, die
  mit den gegebenen Zweiverschmelzungen ein kommutatives Quadrat bilden,
  so folgt durch Vorschalten der Eins in der Mitte unten $p=q$ wegen 
  $p(a,m)=p(a1,m)=q(a,1m)=q(a,m)$.  
  Durch Vorschalten der Eins links unten folgt $p(a,m)=q(1,am)$ wegen
  $p(a,m)=p(1a,m)=q(1a,m)=q(1,am)$. Jede Vorgabe von $p,q$ wie
  oben faktorisiert also eindeutig "uber die durch
  $\bar p(a,m)=\bar q (a,m)=am$
  gegebenen Zweiverschmelzungen nach $M$ vermittels $f:M\ra N$
  gegeben durch $f(m)= p(1,m)=q(1,m)$,
  wir haben in anderen Worten  $p=f\bar p$ und $q=f\bar q$ und
  $f:M\ra N$ ist auch der einzige Morphismus mit dieser Eigenschaft.
\end{Beispiel}

   \subsection{"Alteres} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Yonedalemma f"ur angereicherte Kategorien}]
  Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ und eine $\mathcal S$-Kategorie
  $\mathcal A$ erhalten wir einen volltreuen Funktor
  $$\mathcal A\vra \op{Arf}_{\mathcal S}(\mathcal A^{\op{opp}})$$
  durch die Vorschrift $X\mapsto $

  
  Gegeben ein Ringoid $(A,I)$  erhalten wir
  einen volltreuen $\op{Ab}$-Funktor $$[A,I]\vra \op{RMod}_{-A}$$
  von der Ringoidkategorie in die Kategorie der Rechtsmoduln unseres Ringoids
  durch $i\mapsto iA$ auf Objekten und  durch die Multiplikation von links $jAi\sira \op{Hom}_{-A}(iA,jA)$
   auf Morphismen.\label{vtab} 
  Diese volltreue Einbettung ist der Grund, aus dem wir 
  im folgenden Rechtsmoduln bevorzugen. Im Fall $|I|=1$ spezialisiert sie 
  zur wohlbekannten
  Bijektion $A\sira \op{Hom}_{-A}(A,A)$ durch Linksmultiplikation mit
  Umkehrabbildung $\varphi\mapsto \varphi(1)$. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ringoidmoduln als Funktoren auf der Ringoidkategorie}]
  Gegeben ein Ringoid $(A,I)$ erhalten wir zu jedem Ringoidmodul $M$ einen
  $\op{Ab}$-Funktor $[M]: [A,I]\ra \op{Ab}$ durch $i\mapsto iM$.
  Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie  $\mathcal T$ und ein
  $\op{Ab}$-Funktor $F: \mathcal T\ra \op{Ab}$
  erhalten wir umgekehrt einen Ringoidmodul 
  $$\op{M}(F)\pdef \bigoplus_{T\in\mathcal T}F(T)$$
  "uber dem Ringoid $\op{R}(\mathcal T)$. Diese beiden Konstruktionen sind 
  zueinander quasiinverse Isomorphismen von Kategorien
  zwischen $\op{RMod}_A$ und $\op{Cat}_{\op{Ab}}([A,I],\op{Ab})$.
  Die rechte Seite meint in Worten die Kategorie der mit den jeweiligen additiven Strukturen vertr"aglichen Funktoren $[A,I]\ra\op{Ab}$. 
\end{Bemerkungl}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ubiquit"at der freien endlich erzeugten Ringoidmoduln}] 
   Gegeben $\mathcal C\supset \mathcal T$  eine $\op{Ab}$-Kategorie
   mit einer vollen Unterkategorie 
   betrachten wir das  Ringoid $(A,I)\pdef (\op{R}(\mathcal T),\op{I}(\mathcal T))$ nach \ref{RRAb} und erhalten  einen
    $\op{Ab}$-Funktor
   $$\mathcal C\ra \op{RMod}_{-A}$$
   durch die Vorschrift $X\mapsto \bigoplus_{T\in\mathcal T}\mathcal C(T,X)$. 
   Jedes  Objekt
   $T\in\mathcal T$ wird dabei auf 
   auf $i_TA$ abgebildet mit $i_T\in A$ dem zu $T$
   geh"origen Idempotenten. Nach  \ref{vtab} ist unser Funktor volltreu auf $\mathcal T$, wir haben also in Formeln $\mathcal T\vra \op{RMod}_{-A}$. 
   Ist $\mathcal C$ additiv, so folgern wir eine "Aquivalenz\label{frRio} 
   $$\langle \mathcal T\rangle_{\oplus}\sirra \op{RFrei}_{-A}$$
   f"ur $\op{RFrei}_{-A}\pdef\langle iA\mid i\in I\rangle_{\oplus}\subset \op{RMod}_{-A}$\index{RFrei@$\op{RFrei}_{-A}$ freie endlich erzeugte Ringoidmoduln} 
   die volle Unterkategorie aller endlichen direkten Summen von Objekten $iA$ mit $i\in I$. Wir nennen sie {\bf freie  Ringoidmoduln}\index{frei!Ringoidmodul} oder ausf"uhrlicher  {\bf freie  endlich erzeugte Ringoidmoduln}. 
 \end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
  Gegeben Ringoide $(A,I)$ und $(B,J)$ ist ein
  {\bf Ringoidbimodul}\index{Ringoidbimodul} eine
  abelsche Gruppe $X$ mit einer Struktur als $A$-Ringoidmodul
  und einer Struktur als $B$-Ringoidrechtsmodul derart, da"s gilt
  $(ax)b=a(xb)\;\forall a\in A, b\in B, x\in X$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktoren zu Ringoidbimoduln}] 
  Gegeben Ringoide $(A,I)$ und $(B,J)$ und ein $A$-$B$-Ringoidbimodul $X$ konstruieren wir ein adjungiertes
  Paar von Funktoren\label{tbimo}
  $$(X\otimes_{(B,J)}, X{\Rrightarrow}_{\!(A,I)})$$%\nichtfinal{\quad  (X\otimes_B, \op{RiHom}_A(X,\;))}$$ zwischen
  $\op{RMod}_B$ und $\op{RMod}_A$.
  Dazu gehen wir von der Tensor-Hom-Adjunktion in der Gestalt
  \eref{THAa}{KAG}
  aus, also vom Fall $A=\DZ$. Wir hatten sie erhalten
  als die Komposition
  $$\op{Ab}(X\otimes_B M,N)\sira \op{Bal}_B (X\times M,N)\sila
  \op{Hom}_B(M,\op{Hom}_\DZ(X,N))$$
  von $\op{Ab}$-Isomorphismen, wobei die Wirkung von $b\in B$ auf
  $\op{Hom}_\DZ(X,N)$ durch Vorschalten von $(\cdot b):X\ra X$ zu verstehen
  ist. Sie schr"ankt ein zu einer Bijektion
  $$\op{Hom}_A(X\otimes_B M,N)\sira 
  \op{Hom}_B(M,\op{Hom}_A(X,N))$$
  Da"s in unserer Situation
  $X\otimes_B M$ ein $A$-Ringoidmodul ist, erkennt man unschwer
  sogar f"ur einen beliebigen $B$-Assoziativmodul $M$, vergleiche \eref{spkt}{KAG}. Dahingegen mu"s $\op{Hom}_A(X,N)$ im allgemeinen
  kein $B$-Ringoidmodul sein. Alles pa"st aber mit
  $$(X{\Rrightarrow}_{\!(A,I)}N)\pdef \sum_{j\in J}j\op{Hom}_A(X,N)$$%\nichtfinal{\op{RiHom}_A(X,N)}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Skalarerweiterung bei Ringoidmoduln}]
  Seien $(A,I)$ und $(B,J)$ Ringoide und
  $\varphi:A\ra B$ ein Homomorphismus von $\DZ$-Algebren,
der eine Surjektion $\varphi:\pi(I)\sqcup\{0\}\sra \pi(J)\sqcup\{0\}$ induziert
f"ur $\pi(I)\subset A$ und $\pi(J)\subset B$ die jeweiligen Bilder.
  So wird $B$ ein $B$-$A$-Ringoidbimodul f"ur 
  Operation durch Linksmultiplikation von $B$
  und die Rechtsoperation von $A$ gegeben durch Multiplikation von rechts
  mit dem Bild unter $\varphi$ und wir erhalten einen Funktor,
  die {\bf Skalarerweiterung} 
  $$B\otimes_A=B\otimes_{(A,I)}: \op{RMod}_A\ra \op{RMod}_B$$
  Weiter erhalten wir in dieser
  Situation einen Isomorphismus\label{ndgt}
  $B\otimes_A Ai\sira B\varphi(\pi(i))$ durch
  die Abbildung $b\otimes a\mapsto b\varphi(a)$. Das folgt aus
  allgemeinen Resultaten zum Tensorieren "uber nichtunit"aren Ringen bei
  vielen Idempotenten, vergleiche \eref{TvI}{KAG}, das wir hier anwenden auf
  die Menge aller endlichen Summen unserer
  $\pi(i)$. Insbesondere induziert unsere
  Skalarerweiterung einen Funktor
  $$B\otimes_A: \op{RFrei}_A\ra \op{RFrei}_B$$
  von der Kategorie der freien endlich erzeugten Ringoidmoduln "uber $A$
  in die entsprechende Kategorie zu $B$. 
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubunge}
  Seien $\mathcal B$ eine abelsche Kategorie und $(A,I)$ ein Ringoid,
  aufgefa"st als
  eine $\op{Ab}$-Kategorie. Gegeben ein $\op{Ab}$-Funktor
  $\varphi:(A,I)\ra\mathcal B$ erhalten wir einen linksexakten
  Funktor $$\op{res}_\varphi: \mathcal B \ra \op{RMod-}(A,I)$$
  gegeben auf Objekten durch  $X\mapsto M$ mit $Mi\pdef \mathcal B(\varphi(i),X)$. Dieser Funktor verallgemeinert den
  in \eref{TAO}{KAG} beschriebenen Funktor vom Fall von Ringen auf den Fall
  von Ringoiden. Seinen partiellen Linksadjungierten notieren wir
  $\otimes_{(A,I)} \mathcal B$. Er ist definiert auf $iA$ und nimmt dort den Wert
  $\varphi(i)$ an. 
\end{Ubunge}


\subsection{Differentielle graduierte Ringoide und Moduln}
\begin{Bemerkungl}
  Die Schmelzkategorie der differentiellen graduierten abelschen Gruppen
  mit den entsprechenden multilinearen Abbildungen als Verschmelzungen
  notieren wir $\op{dgAb}$. Eine $\op{dgAb}$-Kategorie
  nennen wir  kurz eine  dg-Kategorie. Das interne Hom der
  Schmelzkategorie $\op{dgAb}$
  alias den Homomorphismenkomplex notieren wir im folgenden
  ${\Rrightarrow}_{\op{dg}}$ statt ausf"uhrlicher ${\Rrightarrow}_{\op{dgAb}}$.\label{dgetc}  Ebenso
  schreiben wir $\otimes_{\op{dg}}$ statt $\otimes_{\op{dgAb}}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
  Ein {\bf differentielles graduiertes Ringoid}
oder\index{Ringoid!differentielles graduiertes}  kurz 
{\bf dg-Ringoid}\index{dg-Ringoid} 
ist\index{differentiell!graduiertes Ringoid} ein Paar $(A,I)$ bestehend aus 
einem Assoziativobjekt $A\in \op{dgAb}$ zusammen mit einer\label{dgRRn} 
 Menge  $I$ und einer Abbildung  $\pi: I\ra \mathcal Z^0A $ derart,
 da"s gilt $i^2=i$ und  $i\neq j\RA ij=0$ und
 $A=\sum_{i,j\in I} iAj$ mit der abk"urzenden Notation $i=\pi(i)$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Struktureller aber unkonventioneller mag man
 $\mathcal Z^0A=\op{dgAb}(\curlyvee,A)$ erinnern und eine
 Abbildung $\pi: I\ra \op{dgAb}(\curlyvee,A)$ mit den entsprechenden
 Eigenschaften als Teil der Daten eines dg-Ringoids nehmen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{dg-Ringoide und dg-Kategorien}] 
  Gegeben ein dg-Ringoid $(A,I)$ erhalten wir
  eine dg-Kategorie $[A,I]^{\op{dg}}$,
  seine {\bf dg-Ringoidkategorie},\index{dg-Ringoidkategorie}
  indem wir $I$ als Menge der Objekte nehmen und $iAj$  als die
  differentielle abelsche Gruppe der
  Morphismen von $j$ nach $i$. Gegeben eine
  dg-Kategorie $\mathcal T$\label{dgRAb} 
  erhalten wir ein dg-Ringoid
  $(\op{R}(\mathcal T),\op{I}(\mathcal T))$,
  indem wir
  $$\op{R}(\mathcal T)\pdef \bigoplus_{S,T\in\mathcal T }\mathcal T(S,T)$$
  setzen und  $\op{I}(\mathcal T)\pdef\mathcal T$ nehmen
  und als Abbildung $\pi: \mathcal T\ra \mathcal Z^0(\op{R}(\mathcal T))$ 
  die Abbildung $T\mapsto i_T$ f"ur $i_T$ das Tupel mit $\op{id}_T$ an der Stelle mit Index $(T,T)$ und Null an allen
  anderen Stellen.
 Diese beiden Konstruktionen sind salopp gesprochen invers zueinander,
  aber ich f"uhre das nicht in voller Pr"azision aus.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Einen {\bf dg-Ringoidmodul}\index{dg-Ringoidmodul} "uber einem dg-Ringoid
  $(A,I)$ erkl"aren wir als einen  $A$-$\op{dgAb}$-Assoziativmodul
  $M$ mit $M=\sum_{i\in I} iM$. Analog erkl"aren wir
  einen {\bf dg-Ringoidrechtsmodul}.\index{dg-Ringoidrechtsmodul}
  Diese bilden, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll, dg-Kategorien $\op{RMod}_{A}^{\op{dg}}$ beziehungsweise
  $\op{RMod}_{-A}^{\op{dg}}$\index{RModdg@$\op{RMod}^{\op{dg}}$ dg-Ringoidmoduln}. Wir beginnen unsere Diskussion mit
  Rechtsmoduln. Gegeben dg-Rechtsmoduln $M,N$  nehmen wir als 
   Morphismenobjekte die Unterkomplexe 
  $$\op{RMod}_{-A}^{\op{dg}}(M,N)\subset (M{\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)$$
   aus allen  $f\in (M{\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)^n$
  mit $f\circ (\cdot a)= (\cdot a)\circ f$
  f"ur alle homogenen $a\in A$.
 Um zu pr"ufen, da"s wir so wirklich einen Unterkomplex erhalten,
  beschreiben wir ihn alternativ als den Egalisator der beiden
  Morphismen $$(M{\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)\ra  ((M\otimes_{\op{dg}} A){\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)$$ gegeben
  durch das Vorschalten der Operation $M\otimes_{\op{dg}} A\ra M$
  und das Darantensorieren der Identit"at auf $A$ gefolgt vom Nachschalten der
  Operation $N\otimes_{\op{dg}} A\ra N$.
  Im Fall von Linksmoduln nehmen wir als Morphismenobjekte die Unterkomplexe 
  $$\op{RMod}_{A}^{\op{dg}}(M,N)\subset (M{\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)$$
   aus allen  $f\in (M{\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)^n$
  mit $f\circ (a\cdot)=(-1)^{|f||a|} (a\cdot)\circ f$
  f"ur alle homogenen $a\in A$ mit der "ublichen Konvention $|f|=n$.
 Um zu pr"ufen, da"s wir so wirklich einen Unterkomplex erhalten,
  beschreiben wir ihn analog als den Egalisator der beiden
  Morphismen $(M{\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)\ra  ((A\otimes_{\op{dg}} M){\Rrightarrow}_{\op{dg}}N)$ gegeben
  durch das Vorschalten der Operation $A\otimes_{\op{dg}} M\ra M$
  und das Darantensorieren der Identit"at auf $A$ gefolgt vom Nachschalten der
  Operation $A\otimes_{\op{dg}} N\ra N$ und erinnern die Vorzeichenregel \eref{VZhet}{TSK}
  f"ur das Tensorieren von internem Hom. \nichtfinal{W"are $M{\Rrightarrow}_RN$
    beziehungsweise  $M{\Rrightarrow}_{-R}N$ eine gute Notation?} 
 % Wir rechnen nach, da"s $df$ dann dieselbe Bedingung erf"ullt, so da"s
 %wir wirklich einen Unterkomplex definiert haben.
 % Wir m"ussen also zeigen
 % $(df)\circ (\cdot r)=(\cdot r)\circ(df)$.
 % Per definitionem gilt $(df)=\partial f - (-1)^{|f|}f \partial$ und
 % in jedem dg-Ringoidrechtsmodul
 % gilt andererseits $\partial (m r)=(\partial m)r + (-1)^{|m|}m (\partial r)$
 % mit der Notation $\partial$ f"ur das Differential auf $R,M,N$. 
 % Und jetzt rechnen wir eben tapfer
% $$\begin{array}{lll}
 %   (df)(mr)&=&\partial (f (mr)) - (-1)^{|f|}f (\partial (mr))\\[2mm]
%    &=&\partial ((f m)r) - (-1)^{|f|}f ((\partial m)r)   - (-1)^{|f|+|m|}(f   (m(\partial r))\\[2mm]
 %   &=&(\partial (f m))r +(-1)^{|f|+|m|}(f m)(\partial r)\\[1mm]
 %   &&- (-1)^{|f|}(f (\partial m))r   - (-1)^{|f|+|m|}(f   m)(\partial r)\\[2mm]
 %   &=& ((df)m)r
 % \end{array}
  % $$
%  Wir rechnen nach, da"s $df$ dann dieselbe Bedingung erf"ullt, so da"s
%  wir wirklich einen Unterkomplex definiert haben. Wir m"ussen also zeigen
%  $(df)\circ (r\cdot)=(-1)^{(|f|+1)|r|}(r\cdot)\circ(df)$.
 % Per definitionem gilt $(df)=\partial f - (-1)^{|f|}f \partial$ und
%  in jedem dg-Ringoidmodul gilt andererseits $\partial (r\cdot)=(\partial(r)\cdot) + (-1)^{|r|}(r\cdot) \partial$
%  mit der Notation $\partial$ f"ur das Differential auf $R,M,N$. 
%  Und jetzt rechnen wir noch tapferer  
 %  $$\begin{array}{lll}
%    (df)\circ (r\cdot)&=&\partial f (r\cdot) - (-1)^{|f|}f \partial (r\cdot)\\[2mm]
 %   &=&(-1)^{|f||r|}\partial (r\cdot)  f - (-1)^{|f|}f (\partial(r)\cdot)
 %   - (-1)^{|f|+|r|}f(r\cdot) \partial\\[2mm]
 %   &=&(-1)^{|f||r|} (\partial(r)\cdot)  f
%+ (-1)^{|f||r|+|r|} (r\cdot)\partial  f\\[1mm]
 %  && - (-1)^{|f|}(-1)^{|f|(|r|+1)} (\partial(r)\cdot)f
%- (-1)^{|f|+|r|}(-1)^{|f||r|}(r\cdot) f \partial\\[2mm]
%&=&(-1)^{(|f|+1)|r|}\big( (r\cdot)\partial  f- (-1)^{|f|}(r\cdot) f \partial\big)\\[2mm]
%&=&(-1)^{(|f|+1)|r|}(r\cdot)\circ (df)
%  \end{array}
%  $$
%\nichtfinal{N"otig? Wir erhalten die  Kategorie der dg-Moduln mit ihrer additiven Struktur  durch
%  Umstrukturierung  im Sinne von \eref{Umstr}{TS} mit dem Schmelzfunktor
%  $\mathcal Z^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$, in Formeln  
% $\op{dgRMod}_{R}=\mathcal Z^0(\op{dgRMod}_{R}^{\op{dg}})$. 
  %  Analoges gilt f"ur Rechtsmoduln.}
%  Der besseren "Uberichtlichkeit halber
%  vereinbaren wir f"ur
%  die Mor\-phis\-men\-ob\-jek\-te im Fall von Links- beziehungweise Rechtsringoidmoduln
%  die abk"urzenden Notationen\index{)4@$\Rrightarrow_R$ Hom-Komplex!bei dg-Ringoidmoduln} $$(M{\Rrightarrow}_RN)\pdef\op{RMod}_{R}^{\op{dg}}(M,N)\text{ sowie }(M{\Rrightarrow}_{-R}N)\pdef\op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}(M,N).$$
\end{Bemerkungl}

\nichtfinal{Bis hierher scheint alles f"ur eine beliebige Schmelzkatgorie
  $\mathcal S$ zu
  funktionieren, die Egalisatoren von Paaren von Pfeilen besitzt, als da hei"st:
  Angereicherte Kategorien alias Ringoide, aber das besser ohne
  diese riesigen direkten Summen. Freie Moduln brauchen noch nicht viel. Skalarerweiterung braucht }

\begin{Bemerkungl}[\textbf{dg-Ringoidkategorie als Teil der  dg-Ringoidmodulkategorie}]
  Gegeben ein dg-Ringoid $(A,I)$  erhalten wir
  einen \hyperref[anS]{volltreuen $\op{dg}$-Funk\-tor}\label{vtdg}
  $$[A,I]^{\op{dg}}\vra \op{RMod}_{-A}^{\op{dg}}$$
 von der zugeh"origen dg-Ringoidkategorie \ref{dgRAb} in die Kategorie seiner dg-Rechts\-mo\-duln durch $i\mapsto iA$ auf Objekten und $jAi\sira \op{RMod}_{-A}^{\op{dg}}(iA,jA)$
  durch Multiplikation von links auf Morphismen.
 \end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{dg-Ringoidmoduln als dg-Funktoren auf der dg-Ringoidkategorie}] 
  Gegeben ein dg-Ringoid $(A,I)$ erhalten wir zu jedem dg-Ringoidmodul $M$
  "uber $A$ einen
  $\op{dg}$-Funktor $[M]: [A,I]^{\op{dg}}\ra \op{dgAb}$ durch $i\mapsto iM$.
  Gegeben eine $\op{dg}$-Kategorie  $\mathcal T$ und ein
  $\op{dg}$-Funktor $F: \mathcal T\ra \op{dgAb}$
  erhalten wir einen dg-Ringoidmodul 
  $$\op{M}(F)\pdef \bigoplus_{T\in\mathcal T}F(T)$$
 Diese beiden Konstruktionen sind 
  zueinander quasiinverse "Aquivalenzen von dg-Kategorien
  zwischen $\op{RMod}_R^{\op{dg}}$ und $\op{Cat}_{\op{dgAb}}([M,I]^{\op{dg}},\op{dgAb})$.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Homotopiekategorie der dg-Moduln}]
  Die Umstrukturierung  der
  dg-Ka\-te\-go\-rie der dg-Ring\-oid\-mo\-duln "uber einem dg-Ringoid $(A,I)$
  mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H^0:\op{dgAb}\ra\op{Ab}$ bezeichnen wir mit 
  $\op{RHot}_A\pdef \mathcal H^0(\op{RMod}_{A}^{\op{dg}})$\index{RHot@$\op{RHot}$}
  und setzen also 
  $$\op{RHot}_A(M,N)\pdef \mathcal H^0(\op{RMod}_A^{\op{dg}}(M,N))$$
  f"ur dg-Ringoidmoduln
  $M,N$ "uber $A$.
   Ebenso erkl"aren wir  "uber einem dg-Ringoid
  $A$ auch die
   Homotopiekategorie der dg-Ringoidrechtsmoduln $\op{RHot}_{-A}$.
   Darauf ebenso wie bei Linksmoduln
   ist das Verschieben von Komplexen mit dem
Negativmachen der Differentiale\label{dgrMV}  
$M\mapsto [1]M$ aus \eref{VerKo}{TS} eine $\DZ$-Operation.  
Die Homotopiekategorie $\op{RHot}_{-A}$  
aller dg-Rechts\-ring\-oid\-mo\-duln "uber einem
dg-Ring\-oid $A$ wird eine triangulierte Kategorie, wenn wir sie mit der 
von $\op{RMod}_{-A}$ induzierten $\DZ$-Ope\-ra\-tion
versehen und diejenigen Dreiecke auszeichnen, die isomorph sind zu 
Dreiecken der Gestalt
\begin{displaymath}
M \overset{f}{\rightarrow} N \ra \op{Keg}(f) \ra [1]M
\end{displaymath}
mit $\op{Keg}(f)$ dem Abbildungskegel, den wir 
mit seiner
offensichtlichen Struktur als dg-Rechtsringoidmodul
versehen. 
Um die Axiome einer triangulierten
Kategorie zu pr"ufen, m"ussen wir \glqq nur\grqq\  den Beweis
von Satz \ref{Hottr} durchgehen und pr"ufen, da"s alle Kettenabbildungen 
und Homotopien daraus unter unseren zus"atzlichen Voraussetzungen 
mit der Rechtsoperation von $A$ vertr"aglich
sind. 
F"ur Linksmoduln gilt Entsprechendes.\label{dglMV} 
Hier  erkl"aren wir die $\DZ$-Operation, 
indem wir von unserer $\DZ$-Operation $M\mapsto [1]M$ auf Komplexen
aus \eref{VerKo}{TS} ausgehen und die $A$-Operation erkl"aren durch
die Vorschrift
$$a([1]m)\pdef (-1)^{|a|} [1](am)$$
f"ur homogene $a\in A$.
Das Vorzeichen ist n"otig, damit unser $[1]M$  aus \eref{VerKo}{TS}
mit seinem 
negativ gemachten Differential wieder ein dg-Modul ist.  
Weiter m"ussen wir 
auf dem Abbildungskegel die nicht ganz so offensichtliche
$A$-Operation betrachten, bei der ein homogenes $a\in A$ 
in den Notationen von \eref{AABK}{TS}  durch die Diagonalmatrix 
$\op{diag}((-1)^{|a|}a,a)$ operiert. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkunge}
  Ich habe davon Abstand genommen, die zuvor erkl"arten Konstruktionen
  in einen noch gr"o"seren Rahmen zu stellen, weil ich erstens nicht so
  genau wei"s, wie das zu machen w"are, und zweitens f"urchte, da"s  ein 
  noch gr"o"serer Rahmen
  das in dieser Darstellung entwickelte Bild erdr"ucken k"onnte. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}
Fassen wir ein Ringoid $(A,I)$  als dg-Ringoid auf, indem
  wir es mit der trivialen Graduierung $A=A^0$
  und dem Differential $d=0$ versehen, so erhalten wir $\op{RHot}_A=\op{Hot}(\op{RMod}_A)$.
\end{Bemerkungl}

 \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie von Komplexen als dg-Kategorie}] 
    Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal P$  bilden die
    Komplexe $\op{Ket}_{\mathcal P}$ eine \hyperref[dgRR]{dg-Kategorie} in offensichtlicher Weise.
    Wir notieren diese dg-Kategorie\index{Ketdg@$\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$ dg-Kategorie der Komplexe} 
    $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$.
    Die 
    urspr"ungliche $\op{Ab}$-Kategorie der Komplexe
    erhalten wir
    daraus zur"uck durch Umstrukturieren \eref{Umstr}{TSK} 
    mit dem Schmelzfunktor $\mathcal Z^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$ der Nullzykel, in
    Formeln $\op{Ket}_{\mathcal P}=\mathcal Z^0(\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}})$. 
    Die Homotopiekategorie  mit ihrer additiven Struktur erhalten wir
    "ahnlich durch Umstrukturieren \eref{Umstr}{TSK} 
    mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$ der nullten Homologie, in
    Formeln $\op{Hot}_{\mathcal P}=\mathcal H^0(\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}})$.
% Der besseren "Uberichtlichkeit halber
 % vereinbaren wir f"ur
%  die Morphismenobjekte alias Morphismenkomplexe 
%  die abk"urzende Notation\index{)4@$\Rrightarrow_{\mathcal P}$ Morphismenkomplex!von Komplexen in $\mathcal P$} $(X{\Rrightarrow}_{\mathcal P}Y)\pdef\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}(X,Y)$.
 \end{Beispiel}


 \begin{Bemerkungl}
   Gegeben eine $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal P$ und eine volle
   Unterkategorie  $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ 
   bezeichnen wir mit $\mathcal T^{\op{dg}}\subset \op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$
die volle dg-Unterkategorie mit denselben Objekten 
   und
   betrachten  das  zugeh"orige dg-Ringoid
   $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ nach \ref{dgRAb} und erhalten einen
    dg-Funktor
   $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}\ra \op{Rmod}_{-R}^{\op{dg}}$
    durch die Vorschrift
$$X\mapsto \bigoplus_{T\in\mathcal T}\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}(T,X)$$
   Jedes  Objekt
   $X\in\mathcal T$ wird dabei auf 
   auf $i_XR$ abgebildet mit $i_X\in R$ dem zu $X$
   geh"origen Idempotenten. Nach  \ref{vtdg} ist unser dg-Funktor volltreu auf $\mathcal T^{\op{dg}}$, wir haben also in Formeln $$\mathcal T^{\op{dg}}\vra \op{RMod}_{-R}^{\op{dg}}$$
  Umstrukturieren unseres dg-Funktors
  $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}\ra \op{Rmod}_{-R}^{\op{dg}}$
  mit $\mathcal H^0$ liefert einen
    $\op{Ab}$-Funktor\label{vgah} 
  $$\op{Hot}_{\mathcal P}\ra \op{RHot}_{-R}$$
 Ist $\mathcal P$ additiv, so ist  er  sogar trianguliert, denn
nach einer Variante von \eref{HKA}{TS}  wissen wir,
    da"s das \glqq Bilden des Hom-Komplexes\grqq\
   f"ur alle $Z\in \op{Ket}_{\mathcal P} $
   ein
   triangulierter Funktor
   $\op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}(Z,\;):\op{Hot}_{\mathcal P}\ra \op{Hot}$
   ist. Daraus folgt unsere Behauptung dann ohne gro"se M"uhe. 
Weiter ist unser Funktor auch  volltreu  auf der vollen Unterkategorie $\mathcal T^{\op{hot}}\pdef\mathcal H^0(\mathcal T^{\op{dg}})\subset \op{Hot}_{\mathcal P}$ der Homotopiekategorie mit  Objekten $\mathcal T$, in Formeln
   $\mathcal T^{\op{hot}}\vra \op{RHot}_{-R}$ mit $X\mapsto i_XR$. 
\end{Bemerkungl}



 
 \begin{Bemerkungl}
   Gegeben ein dg-Ringoid $(R,I)$ betrachten wir in der zugeh"origen
   Homotopiekategorie $\op{RHot}_R$ die von allen $Ri$ mit $i\in I$ erzeugte
   triangulierte Unterkategorie und notieren sie
   $$\op{RFrot}_R\pdef \langle Ri\mid i\in I\rangle_\Delta\subset \op{RHot}_R$$
   Ihre Objekte nennen wir {\bf homotopiefreie endlich erzeugte  dg-Ringoidmoduln}.\index{homotopiefrei!dg-Ringoidmodul} 
   In derselben Weise  erkl"aren wir die  triangulierte Kategorie
   der\index{homotopiefrei!dg-Ringoidrechtsmodul} 
   {\bf homotopiefreien  dg-Ringo\-id\-rechts\-mo\-duln}\label{hgtfp}  
   $$\op{RFrot}_{-R}\pdef \langle iR\mid i\in I\rangle_\Delta\subset \op{RHot}_{-R}$$
    \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Fassen wir ein Ringoid $(A,I)$  als dg-Ringoid auf, indem
  wir es mit der trivialen Graduierung $A=A^0$
  und dem Differential $d=0$ versehen, so erhalten wir  $\op{RFrot}_A=\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_A)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ubiquit"at der homotopiefreien dg-Ringoidmoduln}]
    Gegeben eine additive Kategorie $\mathcal P$ und eine volle
   Unterkategorie  $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ 
   und die volle dg-Unterkategorie $\mathcal T^{\op{dg}}\subset \op{Ket}_{\mathcal P}^{\op{dg}}$
 mit denselben Objekten 
 und das  zugeh"orige dg-Ringoid $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ nach \ref{dgRAb} induziert unser Funktor
 $\op{Hot}_{\mathcal P}\ra \op{RHot}_{-R}$ aus \ref{vgah}, der ja wie oben erw"ahnt volltreu ist auf der Unterkategorie $\mathcal T^{\op{hot}}$ mit Objektmenge $\mathcal T$,
 vermittels d\'evissage \ref{VTTr} 
 eine "Aquivalenz von triangulierten Kategorien\label{Uhtf} 
 $$\langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra \op{RFrot}_{-R}$$
 Die linke Seite meint hier die von den Objekten von $\mathcal T$ in $\op{Hot}_{\mathcal P}$ erzeugte triangulierte Unterkategorie. Ein Objekt $T\in \mathcal T$ wird dabei auf den dg-$R$-Rechtsmodul $i_TR$ abgebildet. 
 \end{Bemerkungl}


 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung triangulierter Erzeugnisse in Homotopiekategorien}]
 Sei $\mathcal P$ eine additive Kategorie.
   Gegeben  Komplexe 
 $X_\alpha=(X_\alpha^n)_{n\in\DZ}$ in $\op{Ket}_{\mathcal P}$ indiziert durch $1\leq\alpha\leq a$  finden wir, da"s die iterierten Abbildungskegel
 gegeben durch $K_{a+1}=0$ und $K_\alpha\pdef\op{K}(f_\alpha: [-1]X_\alpha\ra K_{\alpha+1})$ f"ur
beliebige Kettenabbildungen $f_\alpha$ beschrieben  werden k"onnen
 als die Komplexe mit homogenen Anteilen\label{bte}  
 $$K_\alpha^n=X_\alpha^{n}\oplus X_{\alpha+1}^{n}\oplus \ldots \oplus X_{a}^{n}$$
und mit Differentialen $d^n:K_\alpha^n\ra K_\alpha^{n+1}$ in Bezug auf die Darstellung unserer direkten Summen als
 Spaltenvektoren gegeben durch untere Dreiecksmatrizen wie etwa \begin{displaymath}
d^n=\left(
\begin{array}{ccc}
\partial^n  &0 &0  \\
*&\partial^n  &0  \\
*&*&\partial^n \\
\end{array}
\right)
 \end{displaymath}
 im Fall von drei Summanden  
 mit den
 Differentialen der $X_\beta$  f"ur $\alpha\leq \beta\leq a$ auf der Diagonalen und beliebige $X_\beta^n\ra X_\gamma^{n+1}$
 f"ur $\alpha\leq \beta<\gamma\leq a$ unterhalb der Diagonalen mit der einzigen Ma"sgabe, da"s
 stets gilt $d^{n+1}\circ d^n=0$. Gegeben zwei derartige iterierte
 Abbildungskegel $K,L$ und eine Kettenabbildung $f:[-1]K\ra L$ ist auch
 $\op{Keg}([-1]K\ra L)$ wieder von derselben Gestalt. Damit haben wir
 eine Beschreibung aller Objekte in der von einer Menge von Komplexen
 erzeugten triangulierten Unterkategorie von $\op{Hot}_{\mathcal P}$ gewonnen.
 Die Verschiebungen $[-1]$ sind hierbei unerheblich und dienten nur dem
 Zweck, die Diagonale von Vorzeichen zu befreien.  
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beschreibung homotopiefreier dg-Ringoidmoduln}]
   Sei $(R,I)$ ein dg-Ringoid. Alle homotopiefreien dg-Ringoidrechtsmoduln
   sind isomorph zu $R$-Rechtsmoduln $M= [\nu_1]i_1 R\oplus[\nu_2]i_2 R\oplus \ldots \oplus[\nu_a]i_a R$   f"ur beliebig vorgegebene $\nu_\alpha\in \DZ$ und
   $i_\alpha\in I$ und $1\leq\alpha\leq a$ mit homogenen Anteilen
   $$
   M^n = i_1 R^{n+\nu_1}\oplus i_2 R^{n+\nu_2}\oplus \ldots \oplus
   i_a R^{n+\nu_a}$$
   und  mit einem Differential $d:M^n\ra M^{n+1}$
   in Gestalt des Davormultiplizierens einer unteren Dreiecksmatrix wie etwa
\begin{displaymath}
d=\left(
\begin{array}{ccc}
(-1)^{\nu_1}\partial  &0 &0  \\
*&(-1)^{\nu_2}\partial  &0  \\
*&*&(-1)^{\nu_3}\partial \\
\end{array}
\right)
 \end{displaymath}
 im Fall von drei Summanden,  
   mit Eintr"agen
   $(-1)^{\nu_\alpha}\partial_R$ an der $\alpha$-Stelle 
   auf der Diagonalen und Eintr"agen
   aus $(i_\beta R i_\gamma)^{\nu_\beta-\nu_\gamma +1}$ homogen
   vom Grad $\nu_\beta-\nu_\gamma+1$ f"ur $\beta<\gamma$
   als Matrixeintrag $d_{\gamma\beta}$ an den entsprechenden Stellen
   unterhalb der Diagonalen. Wieder ist die einzige zus"atzliche Einschr"ankung
   an die Eintr"age unserer Matrix  $d^2=0$.
   Das sieht man genauso wie bei der in \ref{bte}
    ausgef"uhrten Variante.\label{htFF}  
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Von dg-Ringoidmoduln zu Komplexen}]
     Gegeben eine additive Kategorie $\mathcal P$ und eine volle
   Unterkategorie  $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ 
   und  das  zugeh"orige dg-Ringoid $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$
 k"onnen wir nun auch ein Quasiinverses der "Aquivalenz von triangulierten Kategorien 
 $\langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra \op{RFrot}_{-R}$ nach unserer dg-Ubiquit"at \ref{Uhtf}
 explizit angeben. Geh"oren etwa die ausgezeichneten Idempotenten
 $i_1, i_2, i_3$ zu den Komplexen $T_1, T_2, T_3\in \mathcal T$, so w"urde unserem Beispielobjekt aus \ref{htFF} der Komplex
 $K$ mit homogenen Anteilen
 $K^n=T_1^{n+\nu_1} \oplus T_2^{n+\nu_2}\oplus T_3^{n+\nu_3}$
 zugeordnet und mit dem durch die Matrix\label{RiKo}
 \begin{displaymath}
d=\left(
\begin{array}{ccc}
(-1)^{\nu_1}\partial_1  &0 &0  \\
*&(-1)^{\nu_2}\partial_2  &0  \\
*&*&(-1)^{\nu_3}\partial_3 \\
\end{array}
\right)
 \end{displaymath}
 beschriebenen Differential, wobei nun $\partial_i$ das Differential von $T_i$
 meint und wir erinnern, da"s jedes Element $\ast\in (i_\beta R i_\gamma)^{\nu_\beta-\nu_\gamma +1}$
f"ur eine ganze Familie von $\mathcal P$-Mor\-phis\-men
 $T_\gamma^{n+\nu_\gamma} \ra T_\beta^{n+\nu_\beta+1}$ steht.
 \end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homotopiefreie dg-Ringoidmoduln spezieller dg-Ringoide}]
   Sei nun speziell $(H,I)$ ein dg-Ringoid, das konzentriert ist im Grad Null,
   so da"s insbesondere auch sein Differential verschwindet. 
   Ist dann in \ref{htFF} sagen wir $\nu_\gamma$ kleinstm"oglich unter
   allen $\nu_\alpha$, so mu"s die $\gamma$-Zeile der das Differential
   beschreibenden Matrix verschwinden und wir erhalten wieder eine
   obere Dreiecksmatrix, wenn wir erst die $\gamma$-Zeile nach ganz oben schieben und dann die $\gamma$-Spalte nach ganz vorn. So sehen wir, da"s wir
   jeden homotopiefreien $H$-dg-Ringoidrechtsmodul auch darstellen k"onnen
   nach dem in \ref{htFF} beschriebenen Schema mit der zus"atzlichen Eigenschaft  $\nu_1\leq \ldots \leq \nu_a$ und da"s dabei das Differential
   durch eine Block-untere Dreiecksmatrix gegeben wird  mit der durch die
   Gleichheiten zwischen unseren
   $\nu_\alpha$ gegebenen Blockstruktur und von Null
   verschiedenen Eintr"agen nur auf der ersten unteren Block-Nebendiagonalen, wie etwa
   die Matrix
   $$\left(\begin{matrix}0 & 0 &0&0\\
     *& 0 &0&0\\
     *& 0 &0&0\\
0& *& *&0 \end{matrix}\right)$$
   im Fall $\nu_1<\nu_2=\nu_3<\nu_4$, wobei die Sternchen nur dann alle
   von Null
   verschieden sein k"onnen, wenn  $<$ jedes mal ein Wachsen um Eins bedeutet. 
   Das alles illustriert nocheinmal unsere Identit"at  $\op{RFrot}_{-H}=\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})$ aus \ref{hgtfp},
   die Nebendiagonalbl"ocke links entspechen den Differentialen des Komplexes rechts. Ist etwas allgemeiner $(Z,I)$ ein dg-Ringoid, das konzentriert ist in nichtpositiven Graden, so k"onnen wir immer noch zu
   $\nu_1\leq \ldots \leq \nu_a$ umsortieren, aber die Differentiale sind nun
   Block-untere Dreiecksmatrizen mit Diagonalmatrizen mit
   von Null verschiedenen  Eintr"agen $\pm\partial$ auf der  Blockdiagonalen
   und Eintr"agen von immer negativeren Graden in den tieferen Block-Nebendiagonalen, also etwa
     $$\left(\begin{matrix}\partial & 0 &0&0\\
     *^0& -\partial &0&0\\
     *^0& 0 &-\partial&0\\
     *^{-1}& *^0& *^0&\partial \end{matrix}\right)$$
   im Fall $(\nu_1, \nu_2,\nu_3,\nu_4)=(2,3,3,4)$ mit oberen Indizes an den Sternchen, um die Grade der entsprechenden Elemente von $Z$ anzudeuten. 
 \end{Bemerkungl}




 
 \subsection{Kippen, Realisierung, Gewichtskomplex}
 
 \begin{Definition}
  Gegeben dg-Ringoide $(A,I)$ und $(B,J)$ erkl"aren wir einen
  {\bf dg-Ringoid\-bimodul}\index{dg-Ringoidbimodul} als eine
  dg-Gruppe $X$ mit einer Struktur als $A$-dg-Ringoid\-modul
  und einer Struktur als $B$-dg-Ringoid\-rechts\-modul derart, da"s gilt
  $(ax)b=a(xb)\;\forall a\in A, b\in B, x\in X$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein $A$-$B$-dg-Ringoidbimodul $X$ erhalten wir einen
  dg-Funktor
  $$\otimes_AX: \op{RMod}_{-A}^{\op{dg}}\ra \op{RMod}_{-B}^{\op{dg}}$$ in recht offensichtlicher Weise durch Erg"anzung des
  in \ref{tbimo} diskutierten Funktors
  um Graduierung und Differential. \nichtfinal{Vielleicht hilft eine
    Interpretation als Koegalisator von
    zwei Morphismen $(M\otimes A\otimes X)\ra (M\otimes X)$ im allgemeinen.} Auf die Diskussion des Rechtsadjungierten
  verzichten wir vorerst, das mag einmal ein Student ausarbeiten. 
  Unser Funktor induziert  auf den Homotopiekategorien
  einen triangulierten Funktor\label{trFsk} 
  $$\otimes_AX: \op{RHot}_{-A}\ra \op{RHot}_{-B}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Skalarerweiterung bei dg-Ringoidmoduln}]
  Seien $(A,I)$ und $(B,J)$ dg-Ringoide und
  $\varphi:A\ra B$ ein Homomorphismus von $\op{dgAb}$-Magmas,
  der eine Surjektion $\varphi:I\sqcup\{0\}\sra J\sqcup\{0\}$ induziert.
  So wird $B$ ein $A$-$B$-dg-Ringoidbimodul f"ur die
  offensichtliche Rechtsoperation von $B$
  und die  Linksoperation von $A$ gegeben durch Multiplikation 
  mit dem Bild unter $\varphi$ und wir erhalten
  mit \ref{trFsk} einen triangulierten Funktor, die 
  {\bf Skalarerweiterung}
  $$\otimes_AB: \op{RHot}_{-A}\ra \op{RHot}_{-B}$$ 
   Weiter erhalten wir in dieser
  Situation einen Isomorphismus
  $iA\otimes_A B\sira \varphi(i)B$ durch
  die Abbildung $a\otimes b\mapsto \varphi(a)b$. Das folgt aus
  der bereits in \ref{ndgt} besprochenen analogen Aussage in der
  \glqq nicht-dg-Situation\grqq, die wir dort f"ur Linksmoduln
  ausformuliert hatten. Insbesondere induziert unsere Skalarerweiterung
  einen triangulierten Funktor 
  $$\otimes_AB:\op{RFrot}_{-A}\ra \op{RFrot}_{-B}$$
  In der in \ref{htFF} besprochenen Beschreibung der homotopiefreien
  Rechtsmoduln  bedeutet die Skalarerweiterung 
  das Anwenden von $\varphi$ auf alle Matrixeintr"age unterhalb der Diagonalen
  und das Ersetzen der Differentiale von $A$ durch die Differentiale von $B$.  
 Ist zus"atzlich $\varphi$ ein Quasiisomorphismus,
  so ist unsere   Erweiterung der Skalare
 volltreu auf der vollen Unterkategorie aller $iA$ mit $i\in I$  und
  mit d\'evissage auch auf ihrem triangulierten Erzeugnis und 
  induziert mithin
  eine
  "Aquivalenz von triangulierten Kategorien\label{Skadg} 
  $$\otimes_AB:\op{RFrot}_{-A}\sirra \op{RFrot}_{-B}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierung,  Gewichtskomplex und Kippen im Abstrakten}] 
    Gegeben ein dg-Ringoid $(R,I)$ haben wir  stets
    Morphismen  $\op{dgAb}$-Magmas
    $$\mathcal H^0R\;\leftarrow\; (\mathcal Z^0R\oplus R^{<0})\;\ra\; R$$
    Zeichnen wir in der Mitte dieselbe Menge $I$ von Idempotenten aus
    wie in $R$ und in $\mathcal H^0R$ deren Bilder,
    so sind alle drei $\op{dgAb}$-Magmas Ringoide und
    unsere Ska\-lar\-er\-wei\-te\-run\-gen aus \ref{Skadg} liefern
     triangulierte
    Funktoren  $$\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})=\op{RFrot}_{-\mathcal H^0R}\;\leftarrow\; \op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}}
    \;\ra\; \op{RFrot}_{-R}$$
    Jetzt unterscheiden wir drei F"alle.\label{RGK} 
    \\[2mm]\noindent(1)   Gilt $n<0\RA \mathcal H^nR=0$, so ist der erste unserer Morphismen
    ein Quasiisomorphismus und
    die Skalarerweiterung liefert  nach \ref{Skadg} eine "Aquivalenz
  $\op{RFrot}_{-\mathcal H^0R}
    \silla \op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}}$.  Durch Invertieren dieser "Aquivalenz 
     erhalten wir einen triangulierten Funktor,  den
    {\bf abstrakten Realisierungsfunktor}
      $$ \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})\ra \op{RFrot}_{-R}
    $$
  (2)
      Gilt $n>0\RA \mathcal H^nR=0$, so ist der zweite unserer Morphismen
     ein Quasiisomorphismus
   und die Skalarerweiterung  liefert  nach \ref{Skadg} eine "Aquivalenz
   $\op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}}\sirra \op{RFrot}_{-R}$.
   Durch Invertieren dieser "Aquivalenz 
    erhalten wir einen triangulierten Funktor, den
    {\bf abstrakten Gewichtskomplexfunktor}   $$\op{RFrot}_{-R}
    \ra \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})$$
(3)  Gilt 
    $n\neq 0\RA \mathcal H^nR=0$, so werden die beiden
    zuvor besprochenen  Funktoren zueinander
    quasiinverse "Aquivalenzen von triangulierten Kategorien
    und wir erhalten die
    {\bf abstrakte Kipp"aquivalenz}   $$\op{RFrot}_{-R}
    \sirra \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})$$
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierung,  Gewichtskomplex und Kippen
      f"ur Komplexe}]
  Seien $\mathcal P$ eine additive Kategorie und $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ eine Menge von Komplexen
  und  $R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$ das zugeh"orige
  dg-Ringoid.\label{ebKa} 
     In diesem Fall liefert unsere Ubiquit"at \ref{frRio} eine "Aquivalenz   $\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}\sirra \op{RFrei}_{-\mathcal H^0R}$
     f"ur $\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}\subset
     \op{Hot}_{\mathcal P}$ die von $\mathcal T$ in
     $\op{Hot}_{\mathcal P}$ erzeugte additive Unterkategorie
     und zusammen mit der
     dg-Ubiquit"at \ref{Uhtf} als rechter Vertikale erhalten wir
    ein Diagramm triangulierter Funktoren 
    $$\begin{array}{ccccc}
      \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})&\leftarrow& \op{RFrot}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}}&\ra &\op{RFrot}_{-R}\\
      \ua{\scriptstyle \wr\wr}&&&&\ua{\scriptstyle \wr\wr}\\
     \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) &&&&\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}
    \end{array}
    $$
  Auch hier unterscheiden wir drei F"alle.\label{RGKk} 
    \\[2mm]\noindent(1)     Gilt $n<0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$, so erhalten wir $n<0\RA\mathcal H^nR=0$ und damit einen
    triangulierten {\bf Realisierungsfunktor}
$$\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) \;\ra \;\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$$
      \noindent(2)     Gilt $n>0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$, so erhalten wir $n>0\RA\mathcal H^nR=0$ und damit einen
    triangulierten {\bf Gewichtskomplexfunktor}
    $$\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}} \;\ra\; \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}})$$
       \noindent(3)     Gilt $n\neq 0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$, so erhalten wir $n\neq 0\RA\mathcal H^nR=0$ und unsere beiden 
       triangulierten Funktoren werden zu quasiinversen
       "Aquivalenzen, den {\bf Kipp"aquivalenzen}
       $$\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}} \;\sirla\; \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}})
        \;\sirla\;\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}\label{EAZv}
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. Eine Menge von Komplexen
$\mathcal{T}\subset \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ hei"se
\defind{quisendentfaltet}, 
wenn f"ur alle 
$T,T^{\prime} \in \mathcal{T}$
und alle $n\in\DZ$ die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus
\begin{displaymath}
\op{Hot}_{\mathcal{A}} (T,[n]T^{\prime} ) 
\overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{\mathcal{A}}
(T,[n]T^{\prime})
\end{displaymath}
zwischen Morphismen in der Homotopiekategorie und
Morphismen in der derivierten Kategorie liefert.
\end{Definition}

\begin{Beispiele}
Das von einer quisendentfalteten Menge von Komplexen erzeugte 
Verdiersystem ist offensichtlich auch selbst wieder quisendentfaltet.
Die Mengen aller gegen die Pfeile 
beschr"ankten Komplexe injektiver Objekte
und aller mit den Pfeilen 
beschr"ankten Komplexe projektiver Objekte
sind quisendentfaltet. 
Allgemeiner sind die Mengen aller quisrechtsentfalteten Komplexe nach \ref{hiKo} 
und aller analog definierten quislinksentfalteten 
Komplexe beide  quisendentfaltet. 
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Triangulierte Erzeugnisse quisendentfalteter Komplexmengen}] 
  Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal T \subset \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ eine quisendentfaltete Menge von Komplexen.
  So induziert nach d\'evissage der Lokalisierungsfunktor eine
  "Aquivalenz von triangulierten Kategorien\label{TEK} 
  $$\langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\sirra \langle_!\mathcal T\rangle_\Delta^{\op{Der}}$$
  zwischen ihren jeweiligen triangulierten Erzegnissen in
  der Homotopiekategorie $\op{Hot}_{\mathcal A}$ und in der
  derivierten Kategorie $\op{Der}_{\mathcal A}$.
\end{Bemerkungl}
 
  
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Realisierung als
        verallgemeinerter Totalkomplex}]
  Seien $\mathcal P$ eine additive Kategorie und $\mathcal T\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ eine Menge von Komplexen\label{ebKaa}
mit $n<0\RA \op{Hot}_{\mathcal P}(X,[n]Y)=0$ f"ur beliebige $X,Y\in \mathcal T$.
Wir wollen den Realisierungsfunktor  $\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) \ra \langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$ expliziter
  beschreiben.
Sei also 
$R\pdef \op{R}(\mathcal T^{\op{dg}})$  das zuheh"orige dg-Ringoid,
f"ur das folglich gilt $n<0\RA\mathcal H^nR=0$.
Wir hatten  unseren Realisierungsfunktor definiert  als die  Komposition  
    $$\begin{array}{ccccc}
      \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal H^0R})&\silla& \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-\mathcal Z^0R\oplus R^{<0}})&\ra &\op{RFrot}_{-R}\\
      \ua{\scriptstyle \wr\wr}&&&&\da{\scriptstyle \wr\wr}\\
     \op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}) &&&&\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}
    \end{array}
    $$
    Mithilfe unserer expliziten Formeln \ref{RiKo} wollen wir die Komposition
    unserer Funktoren nun expliziter beschreiben. Das Ausgangsobjekt  $T\in\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}})$ ist ein beschr"ankter Komplex $ h_p: T^p\ra T^{p+1} $ aus  Objekten der Homotopiekategorie $T^p\in \langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}}\subset \op{Hot}_{\mathcal P}$.
    Diese sind ihrerseits
    Komplexe  $\partial: T^{p,q}\ra T^{p,q+1}$ aus Objekten von $\mathcal P$. Wir denken uns das ganze Datum notiert in der Form eines Doppelkomplexes  mit dem Komplex $T^p$ in der Vertikalen bei $p$.
    Im Gegensatz zu einem richtigen Doppelkomplex haben wir
    aber in den Horizontalen
    keine richtigen Morphismen $T^{p,q}\ra T^{p+1,q}$, sondern nur
    Homotopieklassen von Kettenabbildungen $T^{p,*}\ra T^{p+1,*}$ derart, da"s  die Verkn"upfung $ h^{p+1}\circ  h^p$  stets nullhomotop ist.
    Unsere Theorie sagt nun, da"s wir Repr"asentanten $u_1^p$ 
    unserer Homotopieklassen $h^p$ bestehend aus Morphismen
    $u_1^{p,q}:T^{p,q}\ra T^{p+1,q} $, ja aus Kettenabbildungen
    $u_1^{p,*}:T^{p,*}\ra T^{p+1,*} $
    sowie weitere Morphismen $u_r^{p,q}: T^{p,q}\ra T^{p+r,q-r+1}$ f"ur $r\geq 2$ so finden
    k"onnen, da"s der \glqq verallgemeinerte Totalkomplex\grqq\
    mit homogenen Anteilen $$K^n\pdef \bigoplus_{p+q=n}T^{p,q}$$ und Randoperatoren
    $K^n\ra K^{n+1}$ gegeben durch $(-1)^p\partial+ \sum_{r\geq 1}  u_r^{p,q}$
    in der Tat ein Komplex ist. Unsere Theorie sagt au"serdem, da"s der so entstehende Komplex
    in der Homotopiekategorie $K\in\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$ von den
    getroffenen Wahlen unabh"angig ist 
    bis auf eindeutigen Isomorphismus und das Bild unseres Ausgangsobjekts
    beschreibt. Ich will nun nicht bis ins Letzte ausschreiben,
    wie unter unserer neuen Interpretation des 
    Realisierungsfunktors allgemeine Morphismen abgebildet werden,
    aber in manchen F"allen ist das auch direkt klar, n"amlich etwa dann, wenn
    wir beide Objekte durch echte Doppelkomplexe
    repr"asentieren k"onnen und den fraglichen Morphismus durch einen
    Morphismus von Doppelkomplexen, 
    dann n"amlich ist sein Bild schlicht der induzierte
    Morphismus auf dem Totalkomplex. In Formeln ist also zumindest
    die Komposition 
 $$\op{Ket}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Ket}}) \;\ra\;\op{Hot}^{\op{b}}(\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Hot}})\;\ra\;\langle_! \mathcal T\rangle_{\Delta}^{\op{Hot}}$$
    der Totalkomplexfunktor, wo
    $\langle_! \mathcal T\rangle_{\oplus}^{\op{Ket}}\subset \op{Ket}_{\mathcal P}$ die
    von $\mathcal T$ in $\op{Ket}_{\mathcal P}$ erzeugte additive Unterkategorie bezeichnet.
   \end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}[\textbf{Realisierungsfunktor f"ur perverse Garben}]
Hier will ich erkl"aren, wie man den Realisierungsfunktor aus 
\cite{BBD} als Anwendung unseres abstrakten Realisierungsfunktors
verstehen kann. 
  Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven
  und sei auf $\op{Der}_{\mathcal A}^{\op{+}}$ alias $\op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$  eine Abschneidestruktur gegeben.
  Das  Herz der Abschneidestruktur notiere ich
  $\mathcal C\subset \op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$ und unser
  Realisierungsfunktor \ref{ebKa} spezialisiert zu 
  einem triangulierten Funktor 
  $$\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal C)\ra \op{Hot}^+_{i{\mathcal A}}
  $$
  Gegeben ein beschr"ankter exakter Komplex $(T^*,\partial)$
  in einer abelschen Kategorie $\mathcal C$ haben wir nun kurze exakte
  Sequenzen 
  $\mathcal Z^p(T)\hra T^p\sra \mathcal Z^{p+1}(T)$ und die R"ander
  $T^p\ra  T^{p+1}$ sind die Verkn"upfungen $$T^p\sra \mathcal Z^{p+1}(T)\hra  T^{p+1}$$ 
  Kurze exakte Sequenzen von perversen Garben sind jedoch
  dasselbe wie ausgezeichnete Dreiecke ohne den Morphismus vom Grad Eins
  und sind folglich f"ur in $\op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$ vorgegebenes
  Anfangs- und Endobjekt isomorph mit der Identit"at vorne und hinten
  zu einer kurzen exakten Sequenz in $\op{Ket}_{\mathcal A}^+$
  bestehend aus Objekten von $\mathcal C\subset \op{Hot}_{i{\mathcal A}}^+$.
  So finden wir von jedem exakten Komplex in $\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal C)$
  einen Isomorphismus zu einem weiteren Objekt
  von $\op{Hot}^{\op{b}}(\mathcal C)$, das durch einen Komplex in $\op{Ket}^{\op{b}}(\op{Ket}_{i{\mathcal A}}^+)$ alias einen echten
  Doppelkomplex repr"asentiert wird, der dar"uber hinaus exakte Zeilen hat,
  also ein exakter Komplex von Komplexen ist. 
  Dann ist aber auch sein Totalkomplex exakt und wir finden mit \ref{ebKaa}, da"s unser
  Funktor "uber einen triangulierten Funktor
  $$\op{Der}^{\op{b}}(\mathcal C)\ra \op{Hot}^+_{i{\mathcal A}}$$
  faktorisiert. Dieser Funktor ist offensichtlich auf $\mathcal C$
  eingeschr"ankt die Einbettung $\mathcal C\vra  \op{Hot}^+_{i{\mathcal A}}$.
  Das ist im Grunde dieselbe  Konstruktion wie in \cite{BBD}, ich habe
  sie
  nur in einem anderen Dialekt ausformuliert.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
  Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie mit genug Projektiven und sei
   $\mathcal S\subset \op{Der}_{\mathcal A}^-$ eine Menge von
   Objekten
   mit $$n\neq 0\RA \op{Der}_{\mathcal A}(X,Y[n])=0\;\forall X,Y\in \mathcal S$$
   Wir sagen dann auch, $\mathcal S$ sei eine Menge von {\bf paarweise nicht erweiternden} Objekten.\index{paarweise nicht erweiternd}  
  Sei $H\pdef {\op{R}}(\mathcal S)$ das Ringoid der vollen Unterkategorie
  $\mathcal S\subset \op{Der}_{\mathcal A}$ im Sinne von \ref{RRAb}.
  So liefert die Kipp"aquivalenz \ref{RGKk} zusammen mit der
  Wahl  einer
  projektiven Aufl"osung $\tilde X\in \op{Hot}_{{\op{p}}\mathcal A}^-$
  f"ur jeder $X\in\mathcal S$ eine Kette von
  "Aquivalenzen von triangulierten Kategorien\label{pnE} 
  $$\langle_! \mathcal S\rangle_\Delta^{\op{Der}}\;\silla\;
  \langle \tilde X\mid X\in \mathcal S\rangle_\Delta^{\op{Hot}}\;\sirra\; \op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})$$
\end{Beispiel}
  

\begin{Beispiel}
    Wir betrachten einen $K$-Vektorraum $V$ und dessen symmetrische Algebra
    $S\pdef {\op{S}}V$ 
  mit ihrer offensichtlichen $\DZ$-Graduierung sowie die abelsche Kategorie
  $\mathcal A\pdef \op{Mod}_S^\DZ$ der $\DZ$-graduierten $S$-Moduln und
  deren derivierte Kategorie $\op{Der}(\op{Mod}_S^\DZ)$. Darin bilden die
  Ein-Objekt-Komplexe $K(i)[i]$, die sowohl in der homologischen Graduierung
  als auch in der internen Graduierung im Grad $i$ konzentriert sind,
  eine Menge von paarweise nichterweiternden Objekten.
  Man erkennt das zum Beispiel am Beweis  der Formel \ref{SESV} f"ur die
  Erweiterungen, die auch zeigt, wie man Erweiterungen in $\op{Mod}_S^\DZ$
  bestimmen kann. Wir erhalten so Isomorphismen
  $\op{Alt}^{j-i}(V)\sira\op{Der}(\op{Mod}_S^\DZ)(K(i)[i], K(j)[j])=1_jH1_i$
  f"ur unser Erweiterungsringoid $H$ aus \ref{pnE} mit der neuen Notation $1_j=i_X$
  f"ur den Idempotenten in $H$ zum Objekt $K(j)[j]=X$.
 In diesem Fall erh"alt man zus"atzlich einen
  Isomorphismus $$\op{RMod}_{-H}\sirra \op{Mod}_{\op{Alt}(V)}^\DZ$$
  dadurch, da"s man jedem Ringoidmodul $M$ den graduierten Modul mit
  $M1_i$ als homogenen Anteil im Grad $i$ zuordnet, und folgert insbesondere
  eine "Aquivalenz von $\op{RFrei}_{-H}$ mit der Kategorie der
  graduiert freien endlich erzeugten graduierten $\op{Alt}(V)$-Moduln.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}[\textbf{Die Mutter aller Koszul-Dualit"aten}] 
  Sei $V$ ein Vektorraum "uber einem K"orper $K$.
  Der Koszulkomplex aus \eref{KKKF}{TG} ist ein bigraduierter
  $K$-Vektorraum mit homogenen Anteilen ${\op{S}}^iV\otimes \bigwedge^jV$ und
  einem Differential $d$ vom Bigrad $(1,-1)$, das die $(i,j)$-Kom\-po\-nen\-te
  in die $(i+1,j-1)$-Komponente schiebt.
  Dar"uberhinaus kommutiert unser Differential mit der Linksoperation
  von ${\op{S}}V$ und der Rechtsoperation von $\op{Alt}(V)$ durch das
  cap-Produkt von rechts, wie wir bereits in 
  \ref{SESV} diskutiert hatten. Bisher hatten wir $j$ als den
  \glqq homologischen Grad\grqq\ betrachtet und diese Struktur als
  eine Linksaufl"osung des im internen
  Grad Null graduierten ${\op{S}}V$-Moduls $K$
  durch den Komplex der graduiert freien ${\op{S}}V$-Moduln ${\op{S}}^iV\otimes \bigwedge^jV$ aufgefa"st, wo eigentlich der homologische
  Index $j$ nach unten geh"orte, da das Differential ihn erniedrigt.
  Wir k"onnen aber auch $i$ als den \glqq homologischen Grad\grqq\ betrachten
  und erhalten dann eine Rechtsaufl"osung des graduierten $\op{Alt}(V)$-Rechtsmoduls $K$ konzentriert im internen Grad Null durch
  den Komplex der graduiert freien $\op{Alt}(V)$-Rechtsmoduln ${\op{S}}^iV\otimes \bigwedge V$. Unter der Annahme $\op{dim}V<\infty$
  sind diese Rechtsmoduln injektiv und unsere Aufl"osung liefert
  einen Isomorphismus
  $${\op{S}}V\sira \op{Ext}^*_{-\op{Alt}(V)}(K,K)$$ und
  f"ur die Kategorie
  $\mathcal B\pdef \op{Mod}_{-\op{Alt}V}^\DZ$ der $\DZ$-graduierten $(\op{Alt}V)$-Rechtsmoduln folgern wir wieder, da"s  die
  Ein-Objekt-Komplexe $K(i)[i]\in \op{Der}_{\mathcal B}$, die sowohl in der homologischen Graduierung
  wie in der internen Graduierung im Grad $i$ konzentriert sind,
  eine Menge von paarweise nichterweiternden Objekten bilden.  In diesem Fall erh"alt man analog wie zuvor einen
  Isomorphismus $$\op{RMod}_{-H}\sirra \op{Mod}_{-{\op{S}}V}^\DZ$$
  und folgert insbesondere eine "Aquivalenz von $\op{RFrei}_{-H}$ mit der
  Kategorie der graduiert freien endlich erzeugten  graduierten  ${\op{S}}V$-Rechtsmoduln und so eine triangulierte "Aquivalenz
  $\op{Hot}^{\op{b}}(\op{RFrei}_{-H})\sirra \op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{S}}V})$. Andererseits ist das triangulierte
  Erzeugnis unserer Menge von paarweise nichterweiternden Objekten
  gerade $\op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{Alt}}V})$. Zusammenfassend spezialisiert \ref{pnE} in unserem Fall
  also zu einer "Aquivalenz von triangulierten Kategorien
  $$\op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{Alt}}V})\;\sirra\; \op{Der}^{\op{b}}(\op{Modf}^\DZ_{-{\op{S}}V})$$
  \nichtfinal{Nochmal sorgf"altig Rechts-Links-Moduln sortieren. Kategorie der graduiert freien endlich erzeugten  graduierten  ${\op{S}}V$-Rechtsmoduln
    vielleicht eine Notation g"onnen. $\op{Frei}_R^\DZ$ w"urde gut zu
    $\op{RFrei}_R$ passen.} 
\end{Beispiel}
\section{Schrott zu derivierten Funktoren}


\subsection{Ringoide ALT, Karoubi-Zeug}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Kategorie der dg-Moduln}]
\nichtfinal{Wohin?}   Gegeben ein dg-Ringoid $E$ bilden diejenigen dg-Moduln
  $M\in\op{dgMod}_E$, f"ur die alle Komplexe $iM$ exakt sind,
  ein Verdiersystem in der Homotopiekategorie $\op{dgHot}_E$.
  Wir nennen es das Verdiersystem der {\bf azyklischen dg-Moduln}.
  Den Verdierquotienten nach diesem Verdiersystem nennen wir die
  {\bf derivierte Kategorie von dg-Moduln "uber $E$}\index{dgDer@$\op{dgDer}$}
  und notieren sie
  $$\op{dgDer}_E$$ Diese derivierte Kategorie
  erbt wie jeder Verdierquotient eine Triangulierung, in unserem Fall von der Homotopiekategorie. Analoges gilt f"ur
  Rechtsmoduln.
\end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Freie und perfekte derivierte Kategorie der dg-Moduln}]\nichtfinal{Wohin?}  
    Gegeben ein dg-Ringoid $E$ und darin ein Objekt alias ein ausgezeichnetes
    Idempotentes $i$
    folgt aus \ref{proDg} unschwer, da"s f"ur jeden azyklischen dg-Modul
    $N$ gilt
    $$\op{dgHot}_E(Ei,N)=0$$
    Bezeichne $\op{dgFrei}_E \subset\op{dgPer}_E\subset  \op{dgHot}_{E}$
    oder\index{dgFrei@$\op{dgFrei}$}\index{dgPer@$\op{dgPer}$}
    je nach Kontext auch  $\op{dgFrei}(E) \subset\op{dgPer}(E)\subset  \op{dgHot}(E)$ das
    triangulierte Erzeugnis beziehungsweise das Verdiererzeugnis
    aller dg-Moduln $Ei$ f"ur Objekte $i$ unseres
    Ringoids $E$. Mit \ref{LAdQ} folgt, da"s der Quotientenfunktor
    $\op{dgHot}_{E}\ra \op{dgDer}_{E}$ volltreu ist auf $\op{dgPer}_E$
    und a forteriori auf $\op{dgFrei}_E$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Eine  Kategorie mit einer additiven Struktur 
im Sinne von \eref{adS}{TG} alias eine $\op{Ab}$-Kategorie im Sinne von
\eref{agerK}{TS} nennen wir  ein
\defind{Ringoid}. Ist $I$ die Menge der Objekte besagter Kategorie, so sprechen wir auch von
einem  {\bf Ringoid "uber $I$}.\index{Ringoid!"uber Menge}
Ein {\bf Homomorphismus 
von Ringoiden}\index{Homomorphismus!von Ringoiden} ist 
ein Funktor, der vertr"aglich ist mit den
jeweiligen additiven Strukturen. \nichtfinal{und Bijektionen au Idempotenten alias Objekten? vielleicht richtiger!} 
\end{Definition}

  

\begin{Bemerkungl}
  Die opponierte Kategorie zu einem Ringoid $A$ ist auch ein Ringoid in
  nat"urlicher Weise.  Wir bezeichnen es mit  $A^{\op{opp}}$
  und nennen es das {\bf opponierte Ringoid}.\index{Ringoid!opponiertes}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
Es mag merkw"urdig scheinen,  die
 neue Terminologie der Ringoide einzuf"uhren, wo wir doch schlicht
von Kategorien mit additiver Struktur  sprechen k"onnten.
Der Grund ist rein didaktischer Natur: Es scheint mir 
 "ubersichtlicher, mit der Kategorie aller Moduln
"uber einem Ringoid zu arbeiten statt mit der
Kategorie aller Moduln "uber einer 
Kategorie mit additiver Struktur,
"ahnlich wie es mir  "ubersichtlicher scheint, 
mit  Systemen
von Teilmengen zu arbeiten statt mit Mengen von Teilmengen.
Ich habe in der Literatur auch noch andere Verwendungen des Begriffs 
Ringoid gesehen: Manche Autoren verwenden ihn als Synonym f"ur
\glqq kleine additive Kategorie\grqq, andere als \glqq Menge mit zwei 
assoziativen und in geeigneter Weise distributiven Verkn"upfungen\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Ringoide mit endlich vielen Objekten}] 
Ein Ringoid mit nur einem Objekt ist 
die Ein-Objekt-Kategorie des multiplikativen Monoids
eines Rings mit der durch die Addition des Rings gegebenen additiven Struktur.
Gegeben ein Ring $R$ mit einer Zerlegung $1 = e_1 + \ldots +e_n$ der Eins
in eine Summe von paarweise 
orthogonalen Idempotenten $e_i e_j = \delta_{ij}e_i$
erhalten wir  
ein Ringoid $\tilde{R}$ mit Objekten $1, \ldots, n$ durch die
Vorschrift $\tilde{R} (i,j) \pdef e_j Re_i.$
So ergibt sich eine im wesentlichen eineindeutige Entsprechung zwischen
Ringoiden mit endlich vielen Objekten und Ringen mit einer Zerlegung
der Eins in eine Summe von paarweise orthogonalen Idempotenten.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Motiviert durch das vorhergehende Beispiel 
verwenden wir auch bei einem beliebigen Ringoid $R$ mit
Objekten $i,j$ die Notation $$jRi\pdef R(i,j)$$ f"ur den Raum
der Morphismen von $i$ nach $j,$ bezeichnen die 
Verkn"upfung von Morphismen als 
{\bf Multiplikation}\index{Multiplikation!bei Ringoiden}
und bezeichnen die Objekte des Ringoids als seine 
{\bf ausgezeichneten Idempotenten}\index{Idempotente!ausgezeichnete}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}\label{Roz}
Ein Ringoid mit einer Operation einer Gruppe $G,$ die frei und transitiv
ist auf den Objekten, ist im wesentlichen dasselbe wie ein $G$-graduierter
Ring. Der Leser mag das selbst genauer ausf"uhren.
\end{Beispiel}


\begin{Definition}
 Ein \defnoind{Modul}\index{Modul!eines Ringoids} 
"uber einem Ringoid ist ein Ringoidhomomorphismus von unserem Ringoid 
in die Kategorie mit additiver Struktur der\label{mRi} 
  abelschen Gruppen.
Gegeben ein Modul $M$ "uber einem Ringoid $R$ und ein Objekt
alias ausgezeichnetes Idempotentes
$i$ von $R$ setzen wir $iM\pdef M(i)$, so da"s die Modulstruktur
aus bilinearen Abbildungen $$jRi\times iM\ra jM$$ besteht, die
in der offensichtlichen Weise mit der Ringoidstruktur vertr"aglich sind.
Ein {\bf Homomorphismus von Moduln}
ist eine Transformation von Funktoren.
Die Kategorie aller Moduln "uber einem Ringoid $R$ notieren wir $R\op{-Mod}=\op{Mod}_R$.
  Sie ist eine abelsche Kategorie.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
  Gegeben ein Ringoid $R$ und darin ein Objekt $i$ k"onnen wir den
$R$-Modul $Ri$ betrachten, der durch die Vorschrift $(Ri)(j)\pdef jRi$
  erkl"art wird.\label{proDg}
  Er ist ein projektives Objekt von $R\op{-Mod}$, denn
  das Auswerten auf der Identit"at von $i$ liefert einen Isomorphismus
  $\op{Mod}_R(Ri,M)\sira iM$ nach dem Yoneda-Lemma. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$
 erkl"aren wir ihre\index{Kar@$\op{Kar}(\mathcal C)$ Karoubikategorie} {\bf Karoubikategorie}\index{Karoubikategorie}\label{spH} 
$$\op{Kar}(\mathcal C)$$ 
  Objekte sind alle  Paare
  $(A,e)$ bestehend aus einem Objekt $A\in\mathcal C$ mit einem idempotenten Endomorphismus $e:A\ra A$. Morphismen $(A,e)\ra (B,f)$ sind alle Elemente
  von $f\mathcal C(A,B)e$. Die 
  Verkn"upfung von Morphismen ist die Offensichtliche. Die Vorschrift
  $A\mapsto (A,\op{id})$ liefert eine volltreue Einbettung
  $\mathcal C\vra \op{Kar}(\mathcal C)$. Jeder Funktor $\mathcal A\ra\mathcal B$ induziert einen Funktor $\op{Kar}(\mathcal A)\ra\op{Kar}(\mathcal B)$ auf den Karoubikategorien.
  \end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Ein Endomorphismus $e\in \mathcal C(A)$ eines Objekts $A$ einer Kategorie
  $\mathcal C$ hei"st {\bf karoubisch},
  wenn es ein Objekt $B$ sowie Morphismen $p:A\ra B$ und $t:B\ra A$ gibt mit
  $pt=\op{id}_B$ und $tp=e$. Jeder karoubische Endomorphismus ist offensichtlich
  idempotent. Wenn umgekehrt jeder idempotente Endomorphismus
  in einer Kategorie karoubisch\label{Kaki} 
  ist, so sagt man, unsere Kategorie  habe die
  {\bf Karoubi-Eigenschaft}\index{Karoubi-Eigenschaft} oder sei
  {\bf karoubisch}.\index{karoubisch}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Eine Kategorie $\mathcal C$ ist genau dann karoubisch, wenn
  der durch $A\mapsto (A,{\op{id}})$
    gegebene Funktor eine "Aquivalenz\label{Kaki}
    $\mathcal C\sirra \op{Kar}(\mathcal C)$ ist.
   \end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Jede abelsche Kategorie ist karoubisch.
  Die \hyperref[spH]{Karoubikategorie} jeder
  Kategorie ist karoubisch. 
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathcal C$  eine Kategorie und\label{vtES}  
  $\mathcal S\subset \op{Kar}(\mathcal C)$ eine Menge von
  karoubischen Idempotenten. Geben wir f"ur jedes $(A,e)\in\mathcal S$
  ein Objekt $C_e\in \mathcal C$ an sowie Morphismen $p_e:A\ra C_e$ und
  $t_e:C_e\ra A$ mit $t_e p_e=e$ und $p_et_e=\op{id}$, so erhalten wir einen
  volltreuen Funktor
  $$\mathcal S\vra \mathcal C$$
  von unserer vollen Unterkategorie $\mathcal S$ der Karoubikategorie
  in unsere urspr"ungliche Kategorie vermittels der Vorschrift
  $(A,e)\mapsto C_e$ auf Objekten und $(p_f\!\circ\;\circ t_e)$ auf Morphismen.
  Sind alle Idempotente unserer Kategorie karoubisch, so liefert diese
  Konstruktion f"ur $\mathcal S=\op{Kar}(\mathcal C)$ einen Quasiinversen unserer "Aquivalenz aus \ref{Kaki}.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Funktoren in karoubische Kategorien}]
  Sei
  $\iota:\mathcal A\vra \mathcal B$ ein volltreuer Funktor derart,
  da"s es f"ur jedes Objekt $B\in \mathcal B$ ein Objekt $A\in \mathcal A$
  sowie Morphismen $p:\iota A\ra B$ und $t:B\ra \iota A$ gibt mit
  $pt=\op{id}_B$. So ist $\iota$ 
  volldicht im Sinne von \ref{EGLoN}, induziert also f"ur jede Kategorie $\mathcal C$  einen volltreuen Funktor
  $\mathcal C^{\mathcal B}\vra
  \mathcal C^{\mathcal A}$. Ist zus"atzlich $\mathcal C$ karoubisch,
  so induziert $\iota$ sogar eine "Aquivalenz\label{FKKou} 
  $$\mathcal C^{\mathcal B}\sirra
  \mathcal C^{\mathcal A}$$
\end{Proposition}
\begin{proof}
  In der Tat, ist $\varphi:F \RA G $ eine
  Transformation von Funktoren links, so mu"s gelten
  $\varphi_B=G(p)\circ \varphi_{\iota A}\circ F(t)$ und damit wird $\varphi$
  bereits durch $\varphi\iota$ eindeutig festgelegt, als da hei"st,
  der auf den Funktorkategorien induzierte Funktor ist treu.
  Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir f"ur das weitere
  annehmen, da"s
  $\mathcal B$ eine volle Unterkatgorie
  $\mathcal B\subset \op{Kar}(\mathcal A)$ ist,
die das Bild der kanonischen Einbettung $\mathcal A\ra \op{Kar}(\mathcal A)$
umfa"st, und da"s unser Funktor $\iota$ 
der von dieser Einbettung induzierte ist.  
In diesem Fall pr"uft man leicht, da"s  die oben angegebene
  Formel jede Transformation von Funktoren $F\iota \RA G\iota$ zu einer
  Transformation von Funktoren $F \RA G$ erg"anzt. Um schlie"slich zu zeigen, da"s wir f"ur karoubisches $\mathcal C$ sogar eine "Aquivalenz erhalten, m"ussen wir nur erinnern, da"s wir ja jeden Funktor zu einem Funktor zwischen den jeweiligen Karoubikategorien fortsetzen k"onnen. 
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein  Ringoidhomomorphismus $A\ra B$  
liefert das Vorschalten desselben auf den
Modulkategorien einen exakten Funktor,
 die Restriktion
$$\op{res}_B^A: B\op{-Mod}\ra A\op{-Mod}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
\begin{enumerate}
\item Ist $A\ra B$ ein volltreuer Ringoidhomomorphismus und ist
  jedes Objekt von $B$ 
isomorph ist zu einem endlichen Produkt von Bildern von Objekten von $A$, so
induziert die Restriktion eine "Aquivalenz von Kategorien
$$\op{res}_B^A: B\op{-Mod}\sirra A\op{-Mod}$$
\item Ist $A\ra B$ ein volltreuer Ringoidhomomorphismus
  und gibt es von jedem Objekt von $B$ einen rechtsspaltenden  
Morphismus zum Bild eines Objekts von $A$, so
induziert die Restriktion eine "Aquivalenz von Kategorien
$$\op{res}_B^A: B\op{-Mod}\sirra A\op{-Mod}$$
\end{enumerate}\label{FGTl}
\end{Lemma}

\begin{proof}
  Jeder Morphismus von Ringoiden ist nach \eref{ASDe}{TG}
  vertr"aglich mit endlichen Produkten und das zeigt bereits Teil 1. 
  Teil 2 folgt sofort aus unseren allgemeinen Erkenntnissen
  \ref{FKKou} zu Funktoren in karoubische Kategorien.
  Wir m"ussen nur zus"atzlich pr"ufen, da"s
  unter unserer "Aquivalenz $\mathcal C^{\mathcal B}\sirra
  \mathcal C^{\mathcal A}$ dort im Fall eines
  Ringoidhomomorphismus und eines
  karoubischen Ringoids $\mathcal C$
  jedes Urbild eines mit den additiven Strukturen
  vertr"aglichen Funktors auch seinerseits mit den additiven Strukturen vertr"aglich ist. 
  Das mag dem Leser "uberlassen bleiben. Wenden wir diese Erkenntnis auf
  $\mathcal C=\op{Ab}$ an, so folgt die Behauptung.
\end{proof}



\begin{Beispiel}
Jede  Kategorie $\tilde R$ von endlich erzeugten freien Moduln 
"uber einem Ring $R$, die nicht nur aus Nullobjekten besteht, hat
aufgefa"st als Ringoid eine
zu $R\op{-Mod}$ "aquivalente Modulkategorie.
Diese Erkenntnis verallgemeinert  unsere "Aquivalenz von Kategorien
$R\op{-Mod} \sirra {\op{Mat}} (n; R) \op{-Mod}$ aus \eref{UbMo}{KAG},
die sich als der Spezialfall der Einobjektkategorie $\tilde R=[R^n]$ erweist.
\end{Beispiel}


\section{Wohl zu derivierten Funktoren legen} 

\begin{Bemerkungl} DUAL
Analog setzen wir ${}^{\perp}\!\mathcal{N} \pdef \{P \in \mathcal{T} \mid
\mathcal{T} (P,N) = 0 \quad \forall N \in \mathcal{N}\}$ und
bezeichnen die Objekte von ${}^{\perp}\!\mathcal N$ als
{\bf $\mathcal N$-projektiv}.\index{projektiv!$\mathcal N$-projektiv}
\index{)6perp@${}^{\perp}\hspace{-1mm}\mathcal{N}$ relativ Projektive}  
Offensichtlich ist ${}^{\perp}\mathcal{N}$  stets ein
  \hyperref[VerdS]{Verdiersystem}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Ist $\cal{N}$ die Menge  aller exakten Komplexe 
in der  Homotopiekategorie zu einer
abelschen Kategorie, so bezeichnen wir\label{hihp}  
die Objekte von $\mathcal{N}^\perp$ als \defind{homotopieinjektiv}
und die Objekte von ${}^{\perp}\!\mathcal{N}$ als \defind{homotopieprojektiv}.
Ist $\cal{N}$ die Menge  aller exakten  dg-Moduln
in der  Homotopiekategorie  einem dg-Ring, so bezeichnen wir wieder
die Objekte von $\mathcal{N}^\perp$ als \defind{homotopieinjektiv}
und die Objekte von ${}^{\perp}\!\mathcal{N}$ als \defind{homotopieprojektiv}.
Mehr dazu diskutieren wir in \ref{HoPro}.
\end{Bemerkungl}







\begin{Korollar}[\textbf{Derivierte Kategorien "uber projektive Aufl"osungen}]
  Gegeben eine  abelsche Kategorie $\cal{A}$ und
  $p\cal{A}\subset \cal{A}$\index{p@$p\cal{A}$ Projektive von $\mathcal A$} 
die Unterkategorie aller projektiven Objekte schr"ankt
  dual der Quotientenfunktor ein zu einem volltreuen Funktor
  $$Q: \op{Hot}^-(p\cal{A})\stackrel{\sim}{\hra} \op{Der}(\cal{A})$$
und der inverse Funktor auf seinem  Bild ist partiell
linksadjungiert zum  Quotientenfunktor\label{dkPA}  
$Q:\op{Hot}(\cal{A})\ra \op{Der}(\cal{A})$.
\end{Korollar}

\begin{proof}
 Dual zum Beweis von \ref{DEIA}. 
\end{proof}
\subsection{Aufl"osungen unbeschr"ankter Komplexe*}
\begin{Bemerkungl}\label{HoPro}
  Ich erinnere unsere Definition aus \ref{hihp}.
Sei $\mathcal{A}$ eine abelsche Kategorie. Ein Komplex 
$P \in \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ hei"st
\defind{homotopieprojektiv}, wenn  f"ur 
jeden azyklischen Komplex $N\in \op{Ket}_{\mathcal{A}}$
gilt $\op{Hot}_{\mathcal{A}} (P,N) =0$.
Ein Komplex $I \in \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ hei"st des weiteren 
\defind{homotopieinjektiv}, wenn f"ur jeden
azyklischen Komplex $N\in \op{Ket}_{\mathcal{A}}$ 
gilt $\op{Hot}_{\mathcal{A}} (N,I) =0$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}\label{BGGa}
Nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU} ist jeder gegen die 
Richtung der Pfeile beschr"ankte Komplex von injektiven Objekten
homotopieinjektiv und jeder in Richtung der Pfeile beschr"ankte 
Komplex von projektiven
Objekten homotopieprojektiv.
F"ur 
unbeschr"ankte Komplexe ist das im allgemeinen nicht mehr richtig:
Der Komplex von freien und damit insbesondere
projektiven 
$\Bbb{Z} / 4\Bbb{Z}$-Moduln
\begin{displaymath}
\ldots \ra \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \overset{2\cdot}{\rightarrow} \Bbb{Z}/4\Bbb{Z}
\overset{2\cdot}{\rightarrow} \Bbb{Z}/4\Bbb{Z} \ra \ldots
\end{displaymath}
ist nicht homotopieprojektiv, denn als exakter 
Komplex m"u"ste er sonst nach \eref{HHKK}{TS} nullhomotop
sein im Widerspruch dazu, da"s er unter dem Tensorieren 
mit $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ nicht
exakt bleibt.
\end{Beispiel}
Um genug unbeschr"ankte homotopieprojektive
Komplexe zu konstruieren, betrachtet man geeignete Limites.

\begin{Lemma}\label{SbSbn}
  \begin{enumerate}
  \item Existiert f"ur ein 
inverses durch die nat"urlichen Zahlen indiziertes System
    homotopieinjektiver Komplexe aus einer abelschen Kategorie 
mit surjektiven und gradweise  spaltenden
    Systemmorphismen   
der  Limes, so ist auch er homotopieinjektiv;
    \item  
    Existiert f"ur ein direktes durch die nat"urlichen Zahlen indiziertes
    System homotopieprojektiver Komplexe  aus einer abelschen Kategorie 
mit injektiven und 
gradweise spaltenden
    Systemmorphismen  
der Kolimes, so ist auch dieser Kolimes homotopieprojektiv.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}\label{GWH}
Das gilt mit demselben Beweis auch, wenn man statt
homotopieinjektiven beziehungsweise 
homotopieprojektiven Komplexen in einer abelschen Kategorie
homotopieinjektive beziehungsweise 
homotopieprojektive dg-Moduln "uber einem dg-Ringoid betrachtet. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wir beginnen mit dem ersten Fall. Sei $\cal{A}$ unsere abelsche Kategorie.
Sei $I_0 \twoheadleftarrow I_1\twoheadleftarrow I_2 \twoheadleftarrow \ldots$
unser inverses System
und $N$ ein exakter Komplex.
Da der Limes mit den 
Produkten aus der Definition der
Hom-Komplexe vertauscht,
haben wir f"ur den $\op{Hom}$-Komplex von $N$ 
zum Limes  einen nat"urlichen
Isomorphismus
\begin{displaymath}
\op{Hom}_{\mathcal{A}} (N, \op{limf} I_{\nu}) 
\sira \op{limf} 
\op{Hom}_{\mathcal{A}} (N,I_\nu)
\end{displaymath}
Rechts steht hier ein inverses System von exakten 
Komplexen abelscher Gruppen. Wegen unserer
Annahme, da"s die Kettenabbildungen 
$I_\nu \twoheadrightarrow I_{\nu -1}$ gradweise spalten sollen,
sind die Morphismen dieses inversen 
Systems von exakten Komplexen surjektiv.
Mit "Ubung \eref{AzAg}{TS} zur Exaktheit inverser Limites
bei abelschen Gruppen folgt dann, da"s auch 
der  Limes dieses Systems exakt ist.
Im zweiten Fall beachten wir den nat"urlichen Isomorphismus
$$
\op{Hom}_{\mathcal{A}} (\op{colf} P_{\nu}, N) 
\sira \op{limf} \op{Hom}_{\mathcal{A}}
(P_{\nu}, N)
$$
und argumentieren analog.
\end{proof}









\begin{Definition}
Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie. Eine Menge $\mathcal Q \subset \op{Ket}_{\mathcal A}$
von Komplexen hei"se {\bf linksaufl"osend},\index{linksaufl"osend}
wenn es f"ur alle Komplexe $A \in \op{Ket}_{\mathcal A}$
mit im Grad Null konzentrierter Homologie $\mathcal H^qA\neq 0\RA q=0$ einen
Quasiisomorphismus $Q \qri A$ gibt mit
$Q \in \mathcal Q$.
\end{Definition}
\begin{Proposition}\label{AUFL}
Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $\mathcal Q \subset \op{Ket}_{\mathcal A}$
eine linksaufl"osende Menge von Komplexen und $A \in \op{Ket}_{\mathcal A}$ beliebig.
So l"asst sich jeder Quasiisomorphismus $P_0 \qri \tau^{\leq 0}A$
zu einem kommutativen Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
P_1 \ar[r] & \tau^{\leq 1}A\\
P_0 \ar[u]\ar[r] & \tau^{\leq 0}A\ar[u]
}
\end{displaymath}
in $\op{Ket}_{\mathcal A}$ vervollst"andigen derart, da"s auch die obere Horizontale
ein Quasiisomorphismus ist und die linke Vertikale
$P_0 \rightarrow P_1$ gradweise eine spaltende Injektion mit 
Kokern in $[-1]\mathcal Q$.
\end{Proposition}
\begin{proof}
Wir argumentieren anhand des Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
              &                                &Q \ar[d]\ar[dr]_-g \ar@{-->}[drr]^-0 & &\\
P_0 \ar[r]^-f & \tau^{\leq 1} A \ar[r] & \op{Keg}(f) \ar[r] &[1]P_0 \ar[r] \ar[dr]& [1]\tau^{\leq 1} A\\
 & & & &\op{Keg}(g) \ar@{-->}[u]\\
}
\end{displaymath}
Nach Annahme finden wir einen Quasiisomorphismus $Q \qri
\op{Keg}$
mit $[1] Q \in \mathcal Q$.
Dann bilden wir $g$ als Komposition und dar"uber den Kegel.
Die gestrichelte Null in der Homotopiekategorie $\op{Hot}_{\mathcal A}$ zeigt die Existenz
von $\op{Keg}(g) \dashrightarrow [1] \tau^{\leq 1} A$, das das rechteste Dreieck in der
Homotopiekategorie kommutieren l"a"st, und das Oktaederaxiom zeigt, da"s jede solche Kettenbildung ein 
Quasiisomorphismus sein mu"s.
Eine explizite Kettenabbildung, die das rechte Dreieck kommutieren l"a"st, erh"alt man als die
Zeilenmatrix $(h,f)$ mit $h$ der zweiten Komponente von $Q \rightarrow \op{Keg}(f)$.
Das gilt sogar allgemeiner f"ur eine beliebige Situation der Gestalt
\begin{displaymath}
\xymatrix{
              &                                &Q \ar[d]\ar[dr]^-g  & &\\
P \ar[r]^-f & A \ar[r] & \op{Keg} (f) \ar[r] &[1]P\ar[r] \ar[dr]& [1] A\\
 & & & &\op{Keg}(g) \ar@{-->}[u]\\
}
\end{displaymath}
und auch wenn $Q \rightarrow \op{Keg} (f)$ kein Quasiisomorphismus ist und kann leicht explizit nachgerechnet werden.
\end{proof}
\begin{Korollar}
In einer abelschen Kategorie endlicher homologischer Dimension mit genug Projektiven besitzt
jeder Komplex eine homotopieprojektive Linksaufl"osung.\label{hepo} 
\end{Korollar}
\begin{proof}
Sei $A$ unser Komplex.
Nach \ref{EIA} gibt es schon mal einen Quasiisomorphismus
$P_0 \rightarrow \tau^{\leq 0} A$ mit $P_0 \in \op{Hot}^-_\mathcal A$ ein
mit den Pfeilen beschr"ankter Komplex aus projektiven Objekten, der folglich 
homotopieprojektiv ist.
Mit \ref{AUFL} erg"anzen wir zu einem Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\vdots & \vdots\\
  P_1 \ar[u]\ar[r] & \tau^{\leq 1} A \ar[u]\\
  P_0 \ar[u] \ar[r] &\tau^{\leq 0} A \ar[u]
}
\end{displaymath}
mit der Eigenschaft, da"s die Horizontalen Quasiisomorphismen sind und die linken Vertikalen gradweise
spaltende Inklusionen,
wobei der Kokern von $P_{i-1} \hookrightarrow P_i$ ein Komplex
von projektiven Objekten ist, der nur in Graden $i, i-1, \ldots , i -r$ nicht Null ist,
f"ur $r$ die homologische Dimension unserer Kategorie.
Aufgrund dieser Endlichkeit existiert der Kolimes $\op{colf} P_i$ und geht
quasiisomorph auf $A$. Wegen \ref{SbSbn} ist er
auch homotopieprojektiv.
\end{proof}
\begin{Korollar}
  In einer abelschen Kategorie  mit genug Projektiven und
  $\DN$-Kolimites, in der
  $\DN$-Kolimites exakt sind, besitzt
jeder Komplex eine homotopieprojektive Linksaufl"osung.\label{Lia}
\end{Korollar}

\begin{proof}
  Unter einem {\bf $\DN$-Kolimes}\index{Kolimes!$\DN$-Kolimes} verstehe ich einen Kolimes
  "uber ein durch $\DN$ indiziertes  System.
  Wir argumentieren beim Beweis wie in \ref{hepo} und m"ussen nur am Schlu"s
  die Existenz und Exaktheit von $\DN$-Kolimites verwenden.
\end{proof}
\begin{Korollar}
  In der Kategorie der Moduln "uber einem Ring besitzt\label{hLL}
  jeder Komplex eine homotopieprojektive Linksaufl"osung
  und eine homotopieinjektive Rechtsaufl"osung.\label{hRR}
 \end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
 Wir geben noch ein alternatives Argument in \ref{Qii}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Die erste Aussage ist ein Spezialfall von Korollar \ref{Lia}. F"ur die
  zweite Aussage 
  argumentieren wie genauso. Zwar sind $\DN$-Limites von
  abelschen Gruppen 
  im allgemeinen nicht mehr exakt, aber in unserer speziellen Situation
  kommen wir mit dem Exaktheitskriterium aus \eref{QIL}{TS} durch. 
\end{proof}


\subsection{Iteriertes Tor}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben Ringalgebren  $A,B$ "uber einem K"orper $k$
  sowie Moduln $M\in\op{Mod}_A$ und $X\in {_A{\op{Mod}}_B}$ und $N\in{_B\op{Mod}}$ mag man $(M\ast_A^i X)\ast_B^jN$ vergleichen wollen mit
    $M\ast_A^i (X\ast_B^jN)$. Hier meine ich in der Mitte eigentlich 
    Dazu sollte man projektive Aufl"osungen $P^\rhd\ra M$ und $Q^\rhd\ra N$ und
    $Z^\rhd\ra X$ w"ahlen. Multitor, etc.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} \nichtfinal{In der Allgemeinheit noch nicht n"otig!} 
  Ein {\bf $\Lambda$-facher Multikomplex
    von abelschen Gruppen}\index{Multikomplex} f"ur eine
  endliche Menge $\Lambda$ ist eine $\op{Ens}(\Lambda,\DZ)$-graduierte
  abelsche Gruppe
  $A$  zusammen mit
  je einem Differential $\partial_\lambda$ vom Multigrad $\delta_\lambda$ derart,
  da"s diese Differentiale paarweise kommutieren. Wir erkl"aren
   $\op{sum}:\op{Ens}(\Lambda,\DZ)\ra\DZ$ als die Summe der Werte unserer Funktion. 
  Das {\bf Summentotal}\index{Summentotal!von Multikomplex}
  erkl"aren wir f"ur jede Anordnung $\omega:\{1,\ldots,r\}\sira \Lambda$
  als $$\op{Tot}^n=\op{Tot}_\omega^\oplus(A)^n\pdef \bigoplus_{\op{sum}(\alpha)=n}A^\alpha$$
  mit dem Differential $\sum_{i=1}^r(-1)^{\alpha(\omega(1))+\ldots + \alpha(\omega(i-1))}\partial_{\omega(i)}$ als Abbildung $A^\alpha\ra \op{Tot}^{n+1}$.
\end{Bemerkungl}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTOP"
%%% End: