\section{Schrotthalde zur Fundamentalgruppe}
\subsection{Der Satz von Seifert und van Kampen, alte Version}
\begin{Satz}[\defind{Seifert-van Kampen}]\label{SvKALT}
Sei ein topologischer Raum $X$ die Vereinigung zweier offener
Teilmengen $U,V\co X$.
Ist der Schnitt $U\cap V$ wegzusammenh\"{a}ngend, so ist
f\"{u}r jeden Basispunkt $x \in
U \cap V$
das folgende Diagramm von Gruppen kokartesisch:
$$\xymatrix{\kokart
\pi_1(U\cap V,x) \ar[r]\ar[d]
& \pi_1(V,x) \ar[d]\\
\pi_1(U,x) \ar[r] &\pi_1(X,x)}$$
% $$\begin{array}{ccc}
% \pi_1(U\cap V,x) & \rightarrow & \pi_1(V,x)\\
% \downarrow & & \downarrow \\
% \pi_1(U,x) & \rightarrow & \pi_1(X,x)
% \end{array}$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Einen meines Erachtens besonders transparenten Beweis im Fall lokal
zusammenziehbarer R"aume werden wir sp"ater im Rahmen der 
"Uberlagerungstheorie in 
  \ref{KSFK} kennenlernen.
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPAc}\\[4mm]
 \noindent 
Berechnung der Fundamentalgruppe der Figur 8 mit
Seifert-van Kampen. Das Symbol in der Mitte soll andeuten, da"s wir
ein
push-out-Diagramm vor uns haben. Die Formel
$\DZ\ast\DZ$ meint das Koprodukt von Gruppen, wie es in 
\ref{KoPG} noch ausf"uhrlicher besprochen werden wird.   
\end{Bild}
\begin{proof}[Beweis]
Wir \"{u}berlegen uns zuerst, da"s $\pi_1(X,x)$ erzeugt wird von den
Bildern von $\pi_1(U,x)$ und $\pi_1(V,x)$. In der Tat kann man f\"{u}r
jeden Weg $\gamma : [0,1] \ra X$ 
mit $\gamma(0)=\gamma(1)=x$ 
eine Unterteilung $0 = a_{0}< a_{1}
<a_{2} < \ldots <a_{r}=1$ des Einheitsintervalls finden derart,
da"s gilt
$\gamma [a_{i-1},a_{i}] \subset U$ f\"{u}r gerades $i$ und $\gamma [a_{i-1},
a_{i}]
\subset V$ f\"{u}r ungerades $i$.
Das folgt etwa aus dem "Uberdeckungssatz von Lebesgue \ref{UbL} angewandt
auf die offene "Uberdeckung des Kompaktums $[0,1]$ durch
$\gamma^{-1}(U)$ und $\gamma^{-1}(V)$.
F\"{u}r jedes $i$ finden wir dann weiter einen Weg $\beta_{i}$ in
$U\cap V$ von $x$ nach $\gamma (a_{i})$.
W\"{a}hlen wir nun $v_{i} : [0,1] \ra [a_{i-1},a_i]$ stetig mit $v_{i}
(0) = a_{i-1}$, $v_{i} (1) = a_{i}$ und bezeichnen mit $\gamma_{i}=
\gamma \circ v_{i}$ das \glqq $i$-te St\"{u}ck von $\gamma$\grqq, so gilt
$$[\gamma] =[\beta^{-1}_{r}\ast \gamma_{r}\ast \beta_{r-1}]\ldots
[\beta_{1}^{-1}\ast\gamma_{1}\ast \beta_{0}]$$ und $\beta^{-1}_{i} \ast
\gamma_{i} \ast \beta_{i-1}$ liegt in $\Omega (U,x)$ bzw.\ $\Omega (V,x)$
f\"{u}r gerades bzw.\ ungerades $i$.
Also wird $\pi_1(X,x)$ erzeugt von den Bildern von $\pi_1(U,x)$
und $\pi_1(V,x)$.
F\"{u}r den Rest des Beweises verwenden wir eine andere Schreibweise
und setzen $U=U_{+}$ und
$V=U_{-}$.
Sei nun in der Kategorie der Gruppen ein kommutatives Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\pi_1(U_{+}\cap U_{-}, x) & \longrightarrow & \pi_1({U_{-}},x)\\
\downarrow & &\;\;\;\;\downarrow \scriptstyle f_{-} \\
\pi_1(U_{+},x) & \overset{f_{+}}{\longrightarrow} & G\\
\end{array}$$
gegeben. F\"{u}r
$\sigma\in\{+,-\}$ bezeichnen wir  
mit $\pi_\sigma$ den von der Einbettung induzierten
Homomorphismus $\pi_\sigma:\pi_1(U_\sigma,x)\ra\pi_1(X,x)$. 
Da die Bilder der Homomorphismen $\pi_\sigma$ nach dem vorhergehenden 
bereits $\pi_1(X,x)$ erzeugen, gibt es h\"{o}chstens einen
Gruppenhomomorphismus
$u:\pi_1(X,x) \rightarrow G$ mit
$f_{\sigma} = u\circ \pi_{\sigma}$ f\"{u}r $\sigma \in \{+,-\}$.
Es bleibt, die Existenz von $u$ zu zeigen.
Wir brauchen dazu sorgf\"{a}ltige Notationen und schreiben
$[a]_{+}$, $[a]_{-}$, $[a]$ f\"{u}r die
Homotopieklasse mit festen Endpunkten von einem Weg $a$ in
$U_{+}$, $U_{-}$ oder $X$.
Nach dem ersten Teil des Beweises l\"{a}"st sich jedes $c \in \pi_1 (X,x)$
darstellen in der Form $c = [a_{r}] \ldots [a_{1}]$ mit $a_{i}\in \Omega
(U_{\varepsilon_{i}},x)$ f\"{u}r geeignetes $\varepsilon : \{1,\ldots,r\} \ra
\{+,-\}$,
$i\mapsto \varepsilon_{i}$.
Wir w\"{u}rden nat\"{u}rlich gern 
$$u(c) \pdef 
f_{{\varepsilon_{r}}}([a_{r}]_{{\varepsilon_{r}}}) \ldots f_{{\varepsilon_{1}}}
([a_{1}]_{{\varepsilon_{1}}})$$
setzen. 
Das  Problem besteht darin zu zeigen, da"s jede andere Darstellung
$c = [b_{s}] \ldots [b_{1}]$ mit einem m\"{o}glichen $\eta : \{1,\ldots ,s\}
\ra
\{+,-\}$ dasselbe $u(c)$ liefern mu"s.
Betrachten wir also die Menge ${\cal F}$ aller Folgen
$(a_{1},{\varepsilon_{1}})$, $(a_{2}, {\varepsilon_{2}})$,  \ldots
$,(a_{r},{\varepsilon_{r}})$
mit $\varepsilon_{i} \in \{+,-\}$ und $a_{i} \in \Omega (U_{\varepsilon_{i}},x)$
f\"{u}r alle $i \in \{1,\ldots, r\}$ und beliebigen $r\in\DN$ 
sowie die Abbildung
$$\tilde{u} : {\cal F} \ra G, \quad ((a_{1},\varepsilon_{1}),\ldots ,
(a_{r},\varepsilon_{r}))
\mapsto f_{\varepsilon_{1}}(a_{1})\ldots  f_{\varepsilon_{r}}(a_{r})$$
In ${\cal F}$ betrachten wir die Teilmenge ${\cal F}_{c}$ aller Folgen mit
$c=[a_{r}] \ldots [a_{1}]$.
Wir werden uns \"{u}berzeugen, da"s man von jeder Folge aus ${\cal F}_{c}$ zu
jeder
anderen Folge aus ${\cal F}_{c}$ 
\"{u}bergehen kann in endlich vielen Schritten der folgenden vier
Arten:
\begin{enumerate}
\item
Man ersetzt $(a_{i}, \varepsilon_{i})$ durch einen anderen Vertreter
$(\tilde{a}_{i},
\varepsilon_{i})$ seiner Homotopieklasse, $[a_{i}]_{\varepsilon_{i}}
= [\tilde{a}_{i}]_{\varepsilon_{i}}$.
\item
Falls $\varepsilon_{i} = {\varepsilon_{i+1}}$  ersetzt man
die Folgenglieder $(a_{i}, \varepsilon_{i})$,
$(a_{i+1}, {\varepsilon_{i+1}})$ durch ihre Verkn\"{u}pfung $(a_{i+1}\ast a_{i},
\varepsilon_{i})$. Dieser Schritt f\"{u}hrt also zu einer um eins k\"{u}rzeren
Folge.
\item
Man geht Schritt 2 r\"{u}ckw\"{a}rts.
\item
Man ersetzt den Weg
$(a_{i},\varepsilon_{i})$ durch $(a_{i},-\varepsilon_{i})$, falls das Bild von
$a_{i}$ schon in $U_{+}\cap U_{-}$ liegt.
\end{enumerate}
Haben wir das gezeigt, so folgt, da"s  $\tilde{u}$ konstant ist auf
${\cal F}_{c}$, denn es ist sicher gleich auf je zwei 
Elementen von ${\cal F}_{c}$, die nur einen Schritt auseinander sind.
 Damit ist
$u(c)$ wohldefiniert und unser
Satz ist bewiesen.
Seien also $(a_{i}, \varepsilon_{i})^{r}_{i=1}$ und $(b_{j},
\eta_j)^{s}_{j=1}$
zwei Folgen aus ${\cal F}_{c}$. Das bedeutet insbesondere, da"s es in $X$ eine
Homotopie mit festen Endpunkten gibt
$$h:(\ldots ((a_{r}\ast \ldots a_{3})\ast a_{2}) \ast a_{1}) \sira
(\ldots ((b_{s}\ast \ldots b_{3})\ast b_{2}) \ast b_{1})$$
Unterteilen wir $[0,1]\times [0,1]$ in kleine Schachfelder der Seitenl\"{a}nge
$1/N$, so wird 
nach dem "Uberdeckungssatz von Lebesgue  \eref{UbL}{AN1} 
f\"{u}r hinreichend gro"ses $N$ jedes abgeschlossene Schachfeld
unter $H(t,\tau) = h_{\tau}(t)$ ganz nach $U_{+}$ oder ganz nach $U_{-}$
abgebildet.
F\"{u}r jeden Punkt $p$, der eine Ecke mindestens eines Feldes ist, w\"{a}hlen
wir einen Weg $\gamma_{p}$ von $x$ nach $H(p)$, und zwar so, da"s f\"{u}r
$H(p)$ in $U_{+}$, $U_{-}$, $U_{+} \cap U_{-}$ oder $\{x\}$ auch der
ganze Weg $\gamma_{p}$ in dieser Menge verl\"{a}uft.
Sind $p,q$ benachbarte Ecken eines Schachfeldes, so bezeichnen wir mit
$d_{p,q} : [0,1]\ra [0,1]\times [0,1]$ die affine Abbildung mit
$d_{p,q}(0)=q$, $d_{p,q}(1)=p$ und definieren $\langle p, q\rangle \in
\Omega (X,x)$ als
$$\langle p,q\rangle = \gamma^{-1}_{p}\ast
(H\circ d_{p,q})\ast \gamma_{q}$$
Ist $p_{0}$, $p_{1}$, $\ldots$, $p_{2N}$ eine Folge von Ecken, die
man bei einer geeigneten Wanderung 
von $p_{0} = (0,0)$ bis $p_{2N} = (1,1)$ entlang der Kanten der Felder 
der Reihe nach aufsucht,
und sind Vorzeichen $\sigma_{i} \in \{+,-\}$ gegeben derart, da"s die ganze
Kante
$[p_{i-1},p_{i}]$ unter $H$ nach $U_{\sigma_{i}}$ abgebildet wird, so ist
$$(\langle p_{2N},p_{2N-1}\rangle, \sigma_{2N}) \ldots
(\langle p_{1},p_{0}\rangle, \sigma_{1})$$
eine Folge aus ${\cal F}_{c}$.
Folgen dieser Art nennen wir \glqq Schachbrettfolgen\grqq.
Es ist nicht schwer einzusehen, da"s man zwischen je zwei Schachbrettfolgen
in endlich vielen Schritten der vier oben beschriebenen Arten hin- und hergehen
kann.
Der wesentliche Punkt hierbei ist es, zu pr\"{u}fen, da"s f\"{u}r ein von
$H$ ganz nach $U_{\sigma}$ abgebildetes Schachfeld mit Ecken
$${\begin{pmatrix}y&z\\x&w
\end{pmatrix}}$$ die Wege
$\langle z,w \rangle \ast \langle w,x\rangle$ und $\langle z,y\rangle \ast
\langle y,x \rangle$ in $U_{\sigma}$ homotop sind. In der
Tat folgt aber aus \ref{Konvex} sofort $d_{z,w} \ast d_{w,x} \cong d_{z,y} \ast
d_{y,x}$
in $\Omega (\text{Schachfeld},z,x)$.
Nehmen wir nun zus\"{a}tzlich $N = 2^{K}$ an mit $K\geq r,s$ und betrachten
die Folge $p_{0}^{\lrcorner}$, $p_{1}^{\lrcorner}$, $\ldots$,
$p^{\lrcorner}_{2N}$ der Ecken, die man bei einer Wanderung l\"{a}ngs der
unteren und der rechten Kante des ganzen Schachbretts der Reihe nach
aufsucht,
so ergibt sich mit etwas Nachdenken
$$[a_{1}]_{{\varepsilon_{1}}}= [\langle p^{\lrcorner}_{N/2},p^{\lrcorner}_{N/2-1}
\rangle \ast \ldots \ast
\langle p^{\lrcorner}_{1},p^{\lrcorner}_{0}\rangle]_{{\varepsilon_{1}}}$$
und allgemeiner
$$[a_{i}]_{{\varepsilon_{i}}} = [\langle p^{\lrcorner}_{\al_i},
p^{\lrcorner}_{\al_i-1}\rangle \ast \ldots \ast
\langle p^{\lrcorner}_{\al_{i-1}+1},
p^{\lrcorner}_{\al_{i-1}}\rangle]_{{\varepsilon_{i}}}$$
f\"{u}r geeignete $N= \al_r >  \ldots >\al_2 > \al_1 = N/2>\al_0=0$.
F\"{u}r $i> N$ sind die Wege $\langle p^{\lrcorner}_{i},
p^{\lrcorner}_{i-1}\rangle$ eh konstant, wir k\"{o}nnen also in endlich vielen
Schritten von unserer Ausgangsfolge $(a_{i},{\varepsilon_{i}})^{r}_{i=1}$
zu einer Schachbrettfolge der Gestalt $(\langle p^{\lrcorner}_{j},
p^{\lrcorner}_{j-1}
\rangle , \sigma_j)^{2N}_{j=1}$ gelangen.
Ebenso gelangen wir aber auch in endlich vielen Schritten von $(b_{j},
\eta_j)^{s}_{j=1}$ zu einer Schachbrettfolge, und wir wissen ja schon,
da"s wir zwischen je zwei Schachbrettfolgen in endlich vielen Schritten hin-
und hergehen k\"{o}nnen.
\end{proof}
\subsubsection{"Ubungen} 
\begin{Ubung}\label{EFPuA}
Ist $M$ eine zusammenh\"{a}ngende $d$-Mannigfaltigkeit der Dimension
$d\geq 3$ und $E \subset M$ eine endliche Teilmenge,
so induziert die Einbettung $M \backslash E \hookrightarrow M$
einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{FKKkA}
Man zeige, da"s die Fundamentalgruppe des Komplements einer
Kreislinie im $\DR^3$ isomorph ist zu $\DZ$.
Hinweis: Die Fundamentalgruppe "andert sich nach \ref{EFPu} nicht,
wenn wir den $\DR^3$ durch Hinzuf"ugen eines Punktes zur $S^3$ machen.
Dann kann man \ref{GeKr} anwenden.
\end{Ubung}



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "AATOTAL"
%%% End: