\section{Schrotthalde}


\subsection{Kompakte Hausdorffgruppen und Liegruppen}
\begin{Bemerkungl}
  Wir wissen bereits aus \ref{EDDI}, da"s es auf einer
  topologischen Gruppe h"ochstens eine Struktur als glatte
  Mannigfaltigkeit gibt, die sie zu einer Liegruppe macht. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}\label{KKHa} 
  F"ur eine kompakte Hausdorffgruppe sind gleichbedeutend:
  \begin{enumerate}
  \item
    Unsere topologische Gruppe ist eine kompakte Liegruppe;
  \item
    Jede absteigende Folge abgeschlossener Untergruppen
    stagniert;
  \item
    Unsere Gruppe besitzt eine stetige treue endlichdimensionale Darstellung;
    \item
    Die $\DC$-Kringalgebra der darstellenden Funktionen
    ist ringendlich "uber $\DC$.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Vergleiche auch \eref{KLTZ}{ML}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
 1$\RA$2. Eine kompakte Untergruppe einer kompakten Liegruppe hat entweder
 weniger Komponenten oder eine kleinere Dimension.\\[2mm]\noindent
 2$\RA$3. Die Matrixkoeffizienten
 der stetigen endlichdimensionalen Darstellungen liegen dicht
 im Raum aller
 stetigen Funktionen nach dem Satz von Peter und Weyl.
 Gegeben verschiedene Elemente unserer Gruppe gibt es folglich einen
 Matrixkoeffizienten, der auf ihnen verschiedene Werte annimmt.
 Eine endlichdimensionale Darstellung mit kleinstm"oglichem Kern mu"s
 es nun nach Annahme geben, und dann mu"s sie sogar trivialen Kern haben,
 also treu sein.\\[2mm]\noindent
 3$\RA$4. Die von den Matrixkoeffizienten einer treuen Darstellung $V$ und
 ihren komplex Konjugierten erzeugte Kringalgebra liegt nach Stone-Weierstra"s
 bereits dicht im Raum aller stetigen Funktionen. Diese Kringalgebra
 besteht aus allen Matrixkoeffizienten von irreduziblen Darstellungen,
 die als Summanden der Darstellungen
 $V^{\otimes n}\otimes \bar V^{\otimes m}$ realisiert werden k"onnen.
 Die Matrixkoeffizienten etwaiger zus"atzlicher
 irreduzibler Darstellungen m"u"sten auf allen diesen senkrecht stehen, m"u"sten
 also auf allen stetigen Funktionen senkrecht stehen,
 und das kann nicht sein.\\[2mm]\noindent
 3$\RA$1. Wir wissen bereits, da"s jede abgeschlossene Untergruppe der
 Automorphismengruppe eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums
 eine Liegruppe ist.
 \\[2mm]\noindent
 4$\RA$3. Endlich viele  Erzeuger der Kringalgebra aller Matrixkoeffizienten
 geh"oren zu endlich vielen endlichdimensionalen Darstellungen.
 Deren direkte Summe ist dann eine treue Darstellung. 
\end{proof}

\begin{Korollar}\label{KESL} 
  Sei $N\hra G\sra H$ eine Sequenz von
  kompakten Hausdorffgruppen und stetigen Homomorphismen,
  die nach Vergessen der Topologie eine kurze exakte Sequenz ist.
  Sind $N$ und $H$ Liegruppen, so ist auch $G$ eine Liegruppe.
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Aus unseren Annahmen folgt
  offensichtlich, da"s
  jede Folge abgeschlossener Untergruppen in $G$ stagniert.
  Die Behauptung folgt damit aus \ref{KKHa}.
\end{proof}
\begin{Korollar}\label{S1Fas} 
  Sei $S^1\hra G\sra \DR$ eine kurze exakte Sequenz von
  Hausdorffgruppen und stetigen Gruppenhomomorphismen derart, da"s
  $G$ ein topologisches $S^1$-Hauptfaserb"undel auf $\DR$ wird.
  Sei weiter $S^1$ zentral. So ist  $G$ eine abelsche Liegruppe und unsere
  Sequenz besitzt eine Spaltung durch einen glatten Gruppenhomomorphismus
  $\DR\ra G$.
\end{Korollar}
\begin{Beispiel}
  Gegeben ein endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum $V$ und
  eine bilineare Abbildung $\omega:V\times V\ra\DR$ k"onnen wir
  $S^1\times V$ zu einer Liegruppe machen mit
  der Verkn"upfung $$(z,v)(c,w)\pdef (zc\op{exp}({\op{i}}\omega(v,w)),v+w)$$
  Ist $\omega$ nicht symmetrisch, so ist diese Liegruppe nicht
  kommutativ, aber $S^1\times 0$ ist eine zentrale Untergruppe. Insbesondere
  gibt es in diesem Fall keine Spaltung der Projektion auf $V$ durch einen Gruppenhomomorphismus. 
\end{Beispiel}
\begin{proof}
  F"ur jedes $g\in G$ ist das Erzeugnis von $S^1$ und $g$ eine
  kommutative Untergruppe von $G$. Die Urbilder aller
  Untergruppen $\alpha\DZ\subset \DR$ sind also kommutativ.
  Dann aber ist auch das Urbild von $\DQ\subset \DR$ kommutativ.
  Da es dicht liegt und der Kommutator stetig ist, mu"s
  $G$ kommutativ sein. Es folgt, da"s f"ur $g\in G$ ein Urbild
  von $1\in\DR$ die Untergruppe $\langle g\rangle\subset G$
  ein Normalteiler ist. Sie ist sicher diskret und
  folglich nach \eref{disa}{TM}
  auch abgeschlossen. Wir  erhalten so eine Sequenz 
  $N\hra  G/\langle g\rangle\sra \DR/\DZ$. Mit
  \ref{KESL} folgt, da"s  $G/\langle g\rangle$ eine Liegruppe
  sein mu"s. Nun ist aber $G\sra G/\langle g\rangle$ topologisch eine
  "Uberlagerung mit abz"ahlbarer Bl"atterzahl, und das
  zeigt, da"s $G$ auch eine Liegruppe sein mu"s. Jede $\DR$-lineare Spaltung
  der Surjektion $\op{Lie}G\sra \op{Lie}\DR$ liefert dann "uber eine
  geeignete Einparameteruntergruppe eine glatte Spaltung unserer Sequenz.
\end{proof}

\begin{Lemma}
F"ur jeden von Null verschiedenen Hilbertraum $\mathcal H \neq 0$ und die starke Operatortopologie auf ${\op{U}} (\mathcal H)$
ist die Quotientenabbildung ${\op{U}} (\mathcal H) \twoheadrightarrow {\op{U}} (\mathcal H) / S^1$ ein topologisches
$S^1$-Hauptfaserb"undel.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Gegeben $ v  \in \mathcal H$ mit $ \|  v  \| = 1$ erhalten wir eine offene Teilmenge $\mathcal E \co {\op{U}} (\mathcal H)$
durch die Vorschrift
\begin{equation*}
\mathcal E \pdef\{ A \in {\op{U}} (\mathcal H) \mid\langle  v , A  v  \rangle \neq 0\}
\end{equation*}
Dann ist $\psi : \mathcal E \rightarrow S^1, A \mapsto \langle  v , A  v  \rangle / | \langle  v , A  v  \rangle |$
stetig und die Multiplikation ist ein Hom"oomorphismus $\psi^{-1} (1) \times S^1 \sira \mathcal E$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
NOCH UNFERTIG!  Sei $G$ eine Hausdorffgruppe und $\mathcal H$ ein Hilbertraum und $\rho : G \rightarrow {\op{U}} (\mathcal H) / S^1$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus
f"ur die starke Operatortopologie auf ${\op{U}} (\mathcal H)$ alias eine stetige unit"are projektive Darstellung von $G$.
So liefert das pullback-Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
S^1 \ar[r]\ar@{=}[d] & \hat{G} \ar[d]_{\hat{\rho}} \ar@{->>}[r] & G \ar[d]^{\rho}\\
S^1 \ar[r] & {\op{U}}(\mathcal H) \ar@{->>}[r]& {\op{U}}(\mathcal H)/S^1
}
\end{displaymath}
eine stetige unit"are Darstellung einer topologischen Gruppe $\hat{G}$ mit abgeschlossener normaler Untergruppe $S^1 \As \hat{G}$
derart, da"s $\hat G \twoheadrightarrow G$ ein topologisches $S^1$-Hauptfaserb"undel ist.
Aus \ref{S1Fas} folgt, da"s sich jede Einparameteruntergruppe von $G$
zu einer Einparameteruntergruppe von $\hat G$ hochheben l"a"st.
Hier bin ich jedoch in einer Sackgasse und sehe nicht,
wie ich folgern soll, da"s $\hat{G}$ eine Liegruppe ist.
Varadarajan erkl"art jedoch, wie man zu jedem
Borel-me"sbaren Kozykel lokal einen glatten
Kozykel finden kann, und wie  unsere Frage so zu einer
Frage der Kohomologie von Liealgebren wird und sich l"osen l"a"st.
Eine andere Quelle ist van den Ban, Lecture Notes.
Eine andere L"osung mag in einem Skript von Milicic stehen, wenn man sehen
koennte, dass unsere Gruppe keine kleinen Untergruppen hat.
\end{Bemerkungl}


\subsection{Konstruktion des Dynkindiagramms}
\begin{Bemerkungl}\label{CaM}
Gegeben eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl
$W \looparrowright X \supset R$ bilden wir
 eine quadratische Matrix
mit ganzzahligen Eintr"agen, die {\bf Cartan-Matrix},
wie folgt:\index{Cartan-Matrix!}  
Sei $A \subset X_{\mathbb{R}}$ ein Alkoven 
und $S = S(A) \subset R$ die Menge 
aller $\alpha \in R$
derart, da"s 
gilt $\alpha^\vee (A) \subset \mathbb{R}_{>0}$ und da"s die zugeh"orige
Spiegelebene $\op{ker} \alpha^\vee$ eine {\bf Wand} 
von $A$ ist in dem Sinne, da"s der Schnitt
$(\op{ker} \alpha^\vee) \cap \bar{A}$ bereits 
$\op{ker} \alpha^\vee$ erzeugt.
Die Wurzeln aus $S$ hei"sen auch die {\bf in Bezug auf $A$ einfachen Wurzeln}
oder englisch {\bf simple roots}, deshalb der Buchstabe $S$.
Unsere Cartan-Matrix ist dann die ganzzahlige $(S\times S)$-Matrix 
alias Abbildung $S\times S \rightarrow \mathbb{Z}$ mit 
Eintr"agen
\begin{equation*}
\left( \langle \alpha, \beta^\vee \rangle \right)_{\alpha, \beta \in S}
\end{equation*}
Da nach \ref{WLA} 
je zwei Alkoven konjugiert sind unter der Weylgruppe, ist diese Matrix
unabh"angig von der Wahl des Alkoven $A$.
Als $(r\times  r)$-Matrix mit $r = |S|$ ist 
sie nat"urlich nur wohldefiniert bis auf
Konjugation mit einer Permutationsmatrix alias 
simultane Umnummerierung aller Zeilen
und Spalten. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Die Cartan-Matrix im Fall unit"arer Gruppen}] 
Wir setzen die  Diskussion\label{GLNB} 
des Falls $K=\op{U}(n)$ aus \ref{FSGL} fort.
Die $\varepsilon_1,\ldots,\varepsilon_n$ 
liefern unter $\op{can}$   eine
Basis von 
$\frak{X}(T)_\DR$, deren Elemente wir mit denselben
Symbolen bezeichnen. Die Elemente der Weylgruppe 
permutieren die Vektoren dieser Basis und wir erhalten
so einen Isomorphismus der Weylgruppe mit der Gruppe aller
Permutationen unserer Basis. 
Die Spiegelebene zur Transposition $(i,j)$ ist die Menge
aller $\sum a_k\varepsilon_k$  mit $a_i=a_j$ und ein Alkoven
ist etwa die Menge $A$ aller $\sum a_k\varepsilon_k$ mit
$a_1<a_2<\ldots <a_n$. Sein Abschlu"s ist die Menge 
$\bar{A}$ aller $\sum a_k\varepsilon_k$ mit
$a_1\leq a_2\leq\ldots \leq a_n$. Die W"ande dieses Alkoven
sind die  Spiegelebenen der Transpositionen $(i,i+1)$
benachbarter Indizes, und die zugeh"origen einfachen Wurzeln
sind die $\varepsilon_{i+1}-\varepsilon_{i}$ f"ur $1\leq i\leq (n-1)$.
Die Cartanmatrix schlie"slich hat f"ur diese Anordnung der einfachen Wurzeln
Zweier auf der Diagonale, $(-1)$ auf beiden Nebendiagonalen, und sonst
sind alle Eintr"age Null. All das kann man in diesem Fall noch
direkt einsehen. Wie man im Fall allgemeinerer kompakter Gruppen vorgeht,
wird in \ref{WrzS} besprochen. 
\end{Beispiel}

\begin{Lemma}[\textbf{Paare von Wurzeln}]
Sei eine endliche Gitterspiegelungsgruppe mit stabiler Wurzelwahl $R$ gegeben.
So gilt f"ur je zwei nichtproportionale Wurzeln $\al,\beta $ die Absch"atzung
$0 \leq \langle \al,
\beta^{\vee} \rangle\langle \beta ,\al^{\vee} \rangle <4$.
Genauer wird der Winkel\label{PvW}
zwischen je zwei nichtproportionalen Wurzeln $\al$ und $\beta$
bez"uglich jedes spiegelungsgruppeninvarianten
Skalarprodukts $(\;,\;)$ auf $\langle R\rangle_\DQ$ gegeben durch
$$4 \cos^{2}( \text{\em Winkel zwischen $\al$ und $\beta$}) = 
\langle \al, \beta^{\vee}
\rangle \langle \beta, \al^{\vee}\rangle
\in\{0,1,2,3\}
$$ und je zwei nichtorthogonale Wurzeln haben das L"angenverh"altnis
 $$\frac{\|\al\|^{2}}{\|\beta\|^{2}}
=\frac{\langle \al, \beta^{\vee}\rangle}{\langle \beta,\al^{\vee}\rangle}$$
\end{Lemma}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLW}\\[4mm]
\noindent 
Diese Bilder deuten die M"oglichkeiten f"ur die Lage zweier 
nicht linear abh"angiger Wurzeln $\alpha,\beta$ an, und zwar 
der Reihe nach f"ur die 
F"alle  $\langle \al, \beta^{\vee}
\rangle \langle \beta, \al^{\vee}\rangle=0, 1, 2, 3$.
Da"s die gezeigten Winkel die einzig m"oglichen sind,
folgert man leicht aus der in  \eref{WeSi}{AN2} gegebenen Wertetabelle
f"ur den Cosinus. 
In den F"allen 2 beziehungsweise 3 sind dabei nur Paare von Wurzeln 
verschiedener L"ange aus den linken beziehungsweise 
rechten unteren Bild gemeint, und im oben links dargestellten Fall 0
 m"ussen unsere Wurzeln, anders als das Bild suggerieren mag, 
nicht notwendig dieselbe L"ange haben. 
Die Gesamtheit der jeweils dargestellten Vektoren stellt jeweils
alle Wurzeln dar, die aus $\alpha$ oder $\beta$ durch sukzessives
Anwenden der zugeh"origen Spiegelungen $s_\alpha$ und $s_\beta$ hervorgehen.
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Beides folgt sofort aus der Formel
$\langle \al , \beta^{\vee}\rangle =
2(\al,\beta)/(\beta,\beta)$, die man f"ur jedes spiegelungsgruppeninvariante
Skalarprodukt $(\;,\;)$ auf $\langle R\rangle_\DQ$
daraus folgert, da"s die Abbildung 
$\lambda\mapsto \lambda-2((\lambda,\beta)/(\beta,\beta))\beta$
die Wurzel $\beta$ auf ihr Negatives wirft 
und  das orthogonale Komplement von
$\beta$ punktweise festh"alt: Also mu"s sie mit unserer Spiegelung
$s_\beta: \lambda\mapsto \lambda-\langle\lambda,\beta^\vee\rangle\beta$
"ubereinstimmen.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
Die in \ref{CaM} erkl"arten Cartan-Matrizen endlicher Gitterspiegelungsgruppen 
mit stabiler Wurzelwahl  
haben typischerweise nur
sehr wenige von Null verschiedene Eintr"age, auf der Diagonalen
stehen nur Zweier, au"serhalb der Diagonalen sind alle Eintr"age
nichtpositiv, und es gilt
$$0 \leq \langle \alpha, \beta^{\vee} \rangle \langle \beta,
\alpha^{\vee} \rangle <4 $$
sowie $\langle \alpha, \beta^{\vee}\rangle = 0 \Leftrightarrow
\langle\beta , \alpha^{\vee}\rangle =0$.
Es ist deshalb sehr viel "ubersichtlicher, die in der Cartan-Matrix 
enthaltene Information 
graphisch darzustellen im
sogenannten \defind{Dynkin-Diagramm}, das wie folgt gebildet wird:
Man malt zun"achst 
f"ur jede  
Wurzel $\alpha \in S(A)$ einen dicken Punkt. Dann verbindet man
je zwei verschiedene Punkte $\alpha \neq \beta$ durch einen
$(\langle\alpha, \beta^{\vee}\rangle \langle\beta^{\vee},
\alpha\rangle)$-fachen Strich beziehungsweise gar nicht, falls gilt $(\langle
\alpha, \beta^{\vee} \rangle  \langle \beta, \alpha^{\vee}\rangle)
=0$. Schlie"slich versieht man die $2$-fachen und $3$-fachen Striche mit einem
Pfeil in
Richtung der Wurzel $\alpha$ mit $\langle \alpha,
\beta^{\vee}\rangle = -1$, d.h.\  in Richtung der k"urzeren 
Wurzel bez"uglich eines und damit jedes
unter der Weylgruppe invarianten Skalarprodukts. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
Das Dynkindiagramm zur Gruppe $\op{U}(n)$ w"are etwa 
das Diagramm $A_{n-1}$ in nebenstehendem Bild.
\end{Beispiel}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDy}\\[4mm]
\noindent 
Als  Dynkin-Diagramme kompakter 
zusammenh"angender Liegruppen kommen genau alle
endlichen disjunkten Vereinigungen der in diesem Bild 
dargestellen Diagramme vor, wie wir im folgenden zeigen
werden. Da"s jedenfalls keine anderen Diagramme in Betracht kommen,
werden wir in  \eref{MDyD}{SPW} sehen.
Die Zahl $n$ meint jeweils die Zahl der Knoten.
Die unteren Schranken an $n$ 
dienen nur dazu, Verdopplungen zu vermeiden. So w"are etwa
$D_3=A_3$ und $E_5=D_5$ und $D_2$ w"are gar nicht zusammenh"angend und 
fiele mit $A_1\amalg A_1$ zusammen.\label{Dyd}
\end{figure}




\subsection{Pr"aschrott}
  \begin{Lemma}[\textbf{Beziehung verschiedener Charaktergruppen}] 
 Sei $K\supset T$ eine zusammenh"angende 
kompakte Liegruppe mit einem maximalen Torus. 
So gilt:
\begin{enumerate}
\item Nach Skalarerweiterung zu   $\DQ$ zerf"allt das Charaktergitter in die 
direkte Summe des Erzeugnisses der Wurzeln 
und des Raums der Weylgruppeninvarianten   
$$ \mathfrak X(T)_\DQ=\langle R\rangle_\DQ\oplus \mathfrak X(T)_\DQ^W$$
\item 
Die Restriktion  $\mathfrak X(T)\sra \mathfrak X((K,K)\cap T)$ verschwindet auf
dem zweiten Summanden und induziert einen Isomorphismus 
$\langle R\rangle_\DQ\sira \mathfrak X((K,K)\cap T)_\DQ$ auf dem Ersten;
\item
Der Kern der Restriktion $\mathfrak X( {\op{Z}}(K))\sra 
\mathfrak X( {\op{Z}}(K)^\circ)$ besteht genau aus den Elementen
endlicher Ordnung.
\end{enumerate}\label{BezV} 
  \end{Lemma}

\begin{proof}
Die Herleitung des ersten Teils aus \ref{CHEX} mag dem Leser
"uberlasssen bleiben. Wir konzentrieren uns
auf den Beweis des zweiten Teils.
Wir  haben sicher eine kurze exakte Sequenz
$${\op{Z}}(K,K)\cap {\op{Z}}(K)^\circ\;\hra\; ((K,K)\cap T)\times {\op{Z}}(K)^\circ\;\sra\; T$$
 mit $z\mapsto (z,z^{-1})$ links und der Multiplikation
rechts. Mit \ref{CHEX} ergibt sich die mittlere 
horizontale kurze exakte Sequenz
eines kommutativen Diagramms mit kurzen exakten Zeilen
$$\begin{array}{ccccc}
\op{cok}
&\twoheadleftarrow&\mathfrak X((K,K)\cap T)
&\hookleftarrow&\langle R\rangle_\DQ\cap \mathfrak X(T)\\[2mm]
\da&&\da\op{in}_1&&\da\\[2mm]
\mathfrak X({\op{Z}}(K,K)\cap {\op{Z}}(K)^\circ)&\twoheadleftarrow&
 \mathfrak X((K,K)\cap T)\times \mathfrak X({\op{Z}}(K)^\circ)
&\hookleftarrow& \mathfrak X(T)\\[2mm]
\da&&\da\op{pr}_2&&\da\\[2mm]
0&\twoheadleftarrow&
  \mathfrak X({\op{Z}}(K)^\circ)
&=&  \mathfrak X({\op{Z}}(K)^\circ)\\[2mm]
\end{array}$$
Dessen rechte Vertikale ist kurz exakt nach  \ref{ZeDi} und die 
mittlere  Vertikale ist eh kurz exakt. Also ist auch die linke Vertikale 
kurz exakt nach dem Neunerlemma, 
als da hei"st, ihr nichttrivialer Pfeil ist ein Isomorphismus. 
Damit folgt unsere Behauptung unmittelbar. 
\end{proof}




\begin{proof}
Seien  $K,L$ zusammenh"angende kompakte Liegruppen
mit maximalen Tori $T_K, T_L$ und sei
$\varphi:\mathfrak X(T_K)\sira \mathfrak X(T_L)$
ein Isomorphismus , der eine Bijektion 
zwischen den Wurzelwahlen
induziert  und unter dem jede Wurzelspiegelung $s_\alpha$ der
Wurzelspiegelung $s_{\varphi(\alpha)}$ entspricht.
Wir
folgern  zun"achst mit \ref{BezV} aus \ref{KkoL}, da"s es einen Isomorphismus 
von kompakten Liegruppen $\varphi:(K,K)/{\op{Z}}(K,K)\sira (L,L)/{\op{Z}}(L,L)$
gibt, der das Bild von $T_K\cap (K,K)$ in das Bild von
$T_L\cap (L,L)$ "uberf"uhrt und die Wurzeln in derselben 
Weise identifiziert wie $\varphi$.  Dann folgern  wir  mit \ref{BezV}
aus der Klassifikation von "Uberlagerungen 
im Spezialfall topologischer Gruppen \eref{UTGrR}{TF}, 
da"s sich dieser Isomorphismus zu einem Isomorphismus 
von kompakten Liegruppen $\varphi:(K,K)\sira (L,L)$ hochheben l"a"st.
Dieser Isomorphismus hinwiederum l"a"st sich so zu einem Isomorphismus 
von kompakten Liegruppen 
$$\varphi:(K,K)\times{\op{Z}}(K) \sira (L,L)\times{\op{Z}}(L)$$ erweitern,
da"s er auch auf den Charaktergruppen der zweiten Komponenten
genau die von $\varphi$ induzierte Abbildung liefert.
  Und dann mu"s er wieder nach  \ref{BezV} die diagonal
eingebetteten Untergruppen ${\op{Z}}(K,K)$ und  ${\op{Z}}(L,L)$
identifizieren und so auf dem Quotient einen Isomorphismus 
$K\sira L$ liefern.  
\end{proof}



\begin{proof}[Beweis, verbesserte Version, noch unfertig]
F"ur jede zusammenh"angende kompakte Liegruppe $K$ mit maximalem Torus $T$ 
haben wir kommutative Diagramme mit kurzen exakten Zeilen 
$$\begin{array}{ccccc}
{\op{Z}}(K,K)\cap {\op{Z}}(K)^\circ&\hra& ((K,K)\cap T)\times {\op{Z}}(K)^\circ&\sra& T\\
\parallel&&\cap&&\cap\\
{\op{Z}}(K,K)\cap {\op{Z}}(K)^\circ&\hra& (K,K)\times {\op{Z}}(K)^\circ&\sra& K
\end{array}
$$  
\vspace{5mm}
$$\begin{array}{ccccc}
{\op{Z}}(K,K)&\hra& (K,K)\cap T&\sra&\bar T\\
\parallel&&\cap&&\cap\\
{\op{Z}}(K,K)&\hra& (K,K)&\sra&(K,K)/{\op{Z}}(K,K)
\end{array}
$$
Alle vier vertikalen Inklusionssymbole $\cap$ sind dabei maximale Tori.
Jetzt k"onnen wir erkl"aren, wie eine zusammenh"angende kompakte Liegruppe
durch das Datum $R\subset X\looparrowleft W$ beschrieben werden kann und mu"s.
Wir beginnen mit der Zerlegung 
$  X_\DQ=\langle R\rangle_\DQ\oplus X_\DQ^W$
und betrachten die Bilder $\bar R\subset \bar X\subset \langle R\rangle_\DQ$
von $R$ und $X$ unter der Projektion von $X_\DQ$ auf den ersten Summanden. 
Dann ist $\bar R\subset \langle R\rangle_\DQ$ ein Wurzelsystem 
und $\bar X$ liegt im Gitter $\bar P\subset \langle R\rangle_\DQ$ der ganzen
Gewichte des Wurzelsystems $\bar R\subset \langle R\rangle_\DQ$.
Wir finden nach \ref{??} eine zusammenh"angende 
kompakte Liegruppe mit trivialem Zentrum und maximalem Torus $\bar L\supset \bar S$
und einem Isomorphismus $\mathfrak X(\bar S)\sira \langle R\rangle_\DQ$, der
eine Bijektion ${\op{R}}(\bar L, \bar S)\sira \bar R$ induziert.
Geh"ort unser Datum zu $K\supset T$, so finden wir nach \ref{??} weiter einen 
Isomorphismus 


\end{proof}

Gegeben ein maximaler Torus $T\subset K$ ist auch
$T\cap (K,K)$ ein maximaler Torus
der derivierten Gruppe, und die derivierte Gruppe hat das  Zentrum
 ${\op{Z}}(K,K)={\op{Z}}(K)\cap(K,K)$.

2. Nach \ref{HoWe} ist das Urbild von $T$ unter der Surjektion aus Teil 1
ein maximaler Torus. Nach \ref{ZSTo} haben wir 
${\op{Z}}(K)^\circ\subset {\op{Z}}(K)\subset T$. 
So folgt, da"s unser Urbild
genau $((K,K)\cap T)\times {\op{Z}}(K)^\circ$ sein mu"s, und damit
ist notwendig $(K,K)\cap T$ ein maximaler Torus von $(K,K)$.
Nach \ref{UBZh} ist weiter das Urbild des Zentrums unter unserer
Abbildung aus Teil 1 das Zentrum der Gruppe, von der sie ausging. 
Daraus folgt dann 
die letzte Behauptung.
\subsection{Regul"are Operationen}
\begin{Bemerkungl} WOHIN?
Gegeben ein  Monoid  $G$ betrachten wir, wie in
\eref{RRO}{NAS} ausf"uhrlicher diskutiert, die  Operation des
Monoids $G\times G^{\op{opp}}$ auf der Menge 
$G$ vermittels der Vorschrift $(x,y^\circ)z\pdef xzy$.
Gegeben eine Menge $E$ erhalten wir dann auch eine
Operation von $G\times G^{\op{opp}}$ auf $\op{Ens}(G,E)$ durch die Vorschrift
 $((y,x^\circ)f)(z)\pdef
f(xzy)$.\label{PROn} 
Gegeben eine Funktion $f:G\ra E$  schreibe ich $yf$ f"ur
die
Funktion, die gegeben wird durch 
$(yf)(z)=f(zy)$. Das hei"st die 
{\bf rechtsregul"are Operation}\index{rechtsregul"are Operation} von
$G$ auf unserem Funktionenraum. 
Weiter schreibe ich  $x^\circ f=fx$ f"ur
die
Funktion, die gegeben wird  durch 
 $(x^\circ f)(z)=(fx)(z)=f(xz)$. Insbesondere erhalten wir damit
  $u^\circ(x^\circ f)=(u^\circ x^\circ) f= (xu)^\circ f$, was
im Sinne unserer Notation \eref{oppoGR}{GR} auch vern"unftig ist.
Ist unser Monoid 
$G$ eine Gruppe, so setzen wir $ (x^{-1})^\circ f\pdef x^\minuso f$, 
also ausgeschieben\index{)6@$x^\minuso$ linksregul"are Operation} 
$$(x^\minuso f)(z)=f(x^{-1}z)$$
Dann gilt $x^\minuso (y^\minuso f)=(xy)^\minuso f$, so da"s wir wieder
eine Operation unserer urspr"unglichen Gruppe  erhalten. Sie hei"st die
{\bf linksregul"are Operation}.\index{linksregul"are Operation} 
\end{Bemerkungl}
%Am 5.8.2004 durchgesehen, scheint gut.

\begin{Bemerkungl}WOHIN?
%Wir erinnern zun"achst an einige der 
%in \eref{RRO}{NAS} eingef"uhrten Notationen.
Jede Gruppe $G$ tr"agt eine nat"urliche Operation der
Gruppe $G\times G$ vermittels der Vorschrift $(x,y)z=xzy^{-1}.$
Diese Operation spezialisiert zu drei Operationen von $G$ auf
sich selbst durch (1) Linksmultiplikation, (2) Rechtsmultiplikation
mit dem Inversen und (3) Konjugation.
Gegeben eine Menge $E$ erhalten wir so auch eine
Operation von $G\times G$ auf $\op{Ens}(G,E)$ durch die Vorschrift
 $((x,y)f)(z)=f(x^{-1}zy),$ die spezialisiert zu drei Operationen von $G$ auf
diesem Raum. Wir nennen sie die 
{\bf linksregul"are Operation},\index{linksregul"are Operation} 
die
{\bf rechtsregul"are Operation}\index{rechtsregul"are Operation}  
und 
die 
{\bf Operation durch Konjugation}\index{Operation durch Konjugation} 
und verwenden daf"ur die abk"urzenden Notationen
$$(\acute{x}f)(z)\pdef f(x^{-1}z),\quad (\grave{x}f)(z)\pdef f(zx)
\quad\text{und}\quad (\hat{x}f)(z)\pdef f(x^{-1}zx).$$
\end{Bemerkungl}


\subsection{Differentialformen und Integration}\label{DiffMg} 
\begin{Bemerkungl}
  Wir verallgemeinern nun den Formalismus der
  Differentialformen, wie er in \eref{GHB}{AN2} folgende
  entwickelt wurde, auf abstrakte Mannigfaltigkeiten.
  Gleichzeitig besprechen wir  auch
  allgemeinere Felder.  Wir verwenden im folgenden
 die Sprache der Kategorientheorie \eref{KFu}{LA2}. 
\end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkungl}
Sei  $ A : \op{Modf}_\DR \rightarrow \op{Modf}_\DR^{\op{opp}}$
ein Opfunktor von der Kategorie der endlichdimensionalen reellen
Vektorr"aume in sich selbst. Solch ein Opfunktor $A$  hei"st 
{\bf glatt},\index{glatt!Opfunktor}
wenn die Abbildungen 
$A:\op{Hom}(V,W)\ra\op{Hom}(A(W),A(V))$  glatt sind.
Ausf"uhrlicher reden wir dann von einem {\bf reellen glatten Opfunktor}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ausformuliert ist solch ein Opfunktor eine Zuordnung,
die jedem endlichdimensionalen  $\DR$-Vektorraum $V$ 
einen endlichdimensionalen  $\DR$-Vek\-tor\-raum
$A(V)$ zuordnet und  jedem 
Vektorraumhomomorphismus $f: V \ra W$
einen Vektorraumhomomorphismus 
$A(f) : A(W) \sira A(V)$ in die Gegenrichtung derart, da"s f"ur jeden 
endlichdimen\-sio\-na\-len $\DR$-Vektorraum $V$ gilt
$A(\op{id}_{V}) = \op{id}_{A(V)}$ 
und,  wann immer
$f,g$ verkn"upfbare Homomorphismen sind, $A (f \circ g) = A (g) \circ A (f)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}\label{BpGi}
F"ur jede nat"urliche Zahl
 $n\in\DN$ ist die Vorschrift 
$V \mapsto V^\ast$, $f \mapsto f^\top$, 
die jedem endlichdimen\-sio\-na\-len
Raum seinen Dualraum zuordnet und jedem Isomorphismus die transponierte
Abbildung, ein glatter Opfunktor. 
Allgemeiner ist f"ur $r \geq 0$ 
die Vorschrift
 $V \mapsto
\op{Alt}^{ r}V$ aus \eref{BAD}{AN2} oder auch \eref{Altt}{LA2} mit
der Vorschrift $f \mapsto f^{ \top}$ 
auf Morphismen in der Notation \eref{ZHd}{AN2}  ein glatter Opfunktor.
Auch die Vorschriften $\op{Bil}$ und $\op{SBil}$,
die jedem Vektorraum den Raum seiner 
Bilinearformen beziehungsweise symmetrischen Bilinearformen
zuordnen, sind glatte Opfunktoren. 
\end{Beispiele}


  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anwenden glatter 
Opfunktoren auf Vektorb"undel}]
    Gegeben eine glatte Mannigfaltigkeit $M$ 
und ein glatter\label{gfbd} 
    Opfunktor $A$
und ein glattes
     Vektorb"undel $p:E\ra M$ im Sinne von
\ref{DVB}.\ref{DVBe}  gibt es auf der disjunkten
    Vereinigung
$$A(E)\pdef \coprod_{x\in M} A(E_x)$$
genau eine Struktur als glattes  Vektorb"undel auf $M$
derart, da"s f"ur jede B"undelkarte $f: U\times V\ra E$ mit $U\co M$ und
$V$ ein reeller Vektorraum der entsprechenden Dimension
die Abbildung $U\times A(V)\hra A(E)$ gegeben durch
$(x,v)\mapsto (A(f_x)^{-1})(v)$ eine B"undelkarte von $A(E)$ ist.
Hierbei verstehen wir $f_x$ als den Isomorphismus 
$f_x:V\sira E_x$ gegeben durch  $f:(x,v)\mapsto f_x(v).$
Um das einzusehen, mu"s man nur pr"ufen, da"s die Kartenwechsel 
der so erkl"arten B"undelkarten glatt 
sind, und das folgt unmittelbar aus der Glattheit des
Opfunktors $A$. Offensichtlich ist
dies 
$A:E\mapsto A(E)$ dann ein Opfunktor von der 
Kategorie der glatten Vektorb"undel auf $M$ in
sich selbst und f"ur endlichdimensionale Vektorr"aume $V$ 
haben wir  nat"urliche B"undelisomorphimen $M\times A(V)\sira A(M\times V)$. 

  \end{Bemerkungl}
  \begin{Bemerkunge}
    Zum Anwenden auf Vektorb"undel w"are es nat"urlicher gewesen,
    statt mit \glqq glatten Opfunktoren\grqq\  mit  \glqq glatten Funktoren von der Isomorphismenkategorie der
    endlichdimensionalen reellen Vektorr"aume in sich selber\grqq\ zu arbeiten.
    Der Kontext der Opfunktoren erlaubt jedoch das Zur"uckziehen der
    zugeh"origen Felder unter beliebigen glatten Abbildungen und ist deshalb
    der Diskussion von Differentialformen besonders gut angepa"st.
  \end{Bemerkunge}
  \begin{Bemerkungl}
    Wir k"onnen zu jedem glatten Vektorraumb"undel $E$
insbesondere durch Anwenden des Dualraumfunktors
das {\bf duale B"undel} $E^\ast$ und 
allgemeiner die B"undel $\op{Alt}^r(E)$ bilden. \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Seien $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit und $A$ ein glatter Opfunktor.
Unter einem {\bf $A$-Feld\index{Feld} auf $M$} verstehen wir einen Schnitt
$\sigma:M\ra A({\op{T}}M)$ des B"undels $ A({\op{T}}M)$ und schreiben meist
$\sigma(x)=\sigma_x$.
Ist unsere Mannigfaltigkeit eine offene Teilmenge $M\co X$
eines reellen affinen Raums, so haben wir einen nat"urlichen Isomorphismus
$M\times\vec X\sira {\op{T}}M$ von glatten Vektorb"undeln und damit
auch einen nat"urlichen  Isomorphismus $A({\op{T}}M)\sira M\times A(\vec X)$.
Unter diesem Isomorphismus  entspricht ein $A$-Feld $\sigma$ 
einer Abbildung
$$\sigma: M\ra A(\vec X)$$ 
Wenn wir den glatten Opfunktor nicht explizit machen wollen,
reden wir von einem {\bf Opfunktorfeld}.\index{Opfunktorfeld} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Das duale B"undel des Tangentialb"undels einer glatten
Mannigfaltigkeit $M$ 
hei"st das {\bf Kotangentialb"undel} ${\op{T}}^\ast M$. 
Die Schnitte des Kotangentialb"undels hei"sen
 {\bf Kovektorfelder}.\index{Kovektorfeld} Auf einer offenen 
 Teilmenge $M\co X$\label{koF}
eines reellen affinen Raums $X$ k"onnen wir insbesondere ein Kovektorfeld
identifizieren mit einer Abbildung $M\ra\vec X^\ast$ und unser
neuer Begriff erweitert unseren Begriff eines
Kovektorfelds aus \eref{FKF}{AN2}.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Sei $M$ eine glatte Mannigfaltigkeit.  
Schnitte des B"undels $\op{Alt}^r({\op{T}}M)$ zum Opfunktor
$\op{Alt}^r$ der alternierenden\label{diffF} $r$-Multilinearformen hei"sen
 {\bf $r$-Formen} und, wenn man 
$r$ im Unbestimmten lassen will,
{\bf Differentialformen auf $M$}.\index{Differentialform} 
Eine $n$-Form auf einer $n$-Mannigfaltigkeit hei"st auch eine
{\bf Volumenform}.\index{Volumenform}  
Auf einer offenen  Teilmenge $M\co X$
eines reellen affinen Raums  $X$ k"onnen wir insbesondere eine $r$-Form
identifizieren mit einer Abbildung $M\ra\op{Alt}^r(\vec X)$. Unser
neuer Begriff erweitert damit unseren Begriff von
Differentialform aus \eref{FvpF}{AN2}. 
Den Raum der glatten $r$-For\-men auf $M$ notieren wir 
$\Omega^r(M)$.\index{O@$\Omega^r(M)$ glatte $r$-Formen auf $M$} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Dachprodukt}] 
Gegeben Differentialformen $\omega,\eta$ auf einer Mannigfaltigkeit $M$ 
erkl"aren wir ihr {\bf Dachprodukt} punktweise, in Formeln
$(\omega\wedge\eta)_x\pdef \omega_x\wedge\eta_x$ f"ur alle $x\in M$.
Man erkennt m"uhelos, da"s das Dachprodukt glatter Formen wieder glatt ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zu den Differentialformen aus der Analysis}]  
  Eine relative Differentialform im Sinne von \eref{GHB}{AN2} auf einer
  Untermannigfaltigkeit $M\subset X$ positiver Kodimension alias eine
  Abbildung $M\ra \op{Alt}^r \vec{X}$ ist nicht dasselbe wie eine
  Differentialform im hier erkl"arten Sinne: Salopp gesprochen liegt der
  Unterschied darin, da"s unsere $r$-Formen hier an jeder 
Stelle $p\in M$ nur je $r$ Tangentialvektoren
  aus ${\op{T}}_pM$ eine Zahl zuordnen, im Gegensatz zu unseren
relativen Differentialformen im Sinne von \eref{GHB}{AN2}, 
die sogar je $r$ beliebigen Vektoren des Richtungsraums $\vec{X}$
des umgebenden affinen Raums $X$ eine Zahl zuordneten. Allerdings liefert jede relative Differentialform
auf einer Untermannigfaltigkeit durch Einschr"ankung auch eine \glqq absolute\grqq\ 
Differentialform auf besagter Untermannigfaltigkeit. Hier ist vielleicht 
auch der richtige Moment f"ur das Eingest"andnis, da"s das Konzept einer
relativen Differentialform vom h"oheren Standpunkt aus gesehen
ziemlich sinnlos ist und 
nur als Etappe beim 
 didaktischen
Aufbau der Theorie eine gewisse Berechtigung haben mag.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}[\textbf{Verwandtschaft von 
Opfunktorfeldern}]\index{verwandt!Opfunktorfelder}
  Seien $\phi:M\ra N$ eine glatte Abbildung von Mannigfaltigkeiten
und $A$ ein glatter Opfunktor.
Zwei $A$-Felder  $\sigma:M\ra A({\op{T}}M)$ und 
$\tau:N\ra A({\op{T}}N)$ hei"sen {\bf verwandt unter $\phi$} und
wir schreiben $\phi:\sigma\leadsto\tau$, wenn
f"ur alle $ x\in M$ in Vektorraum $A({\op{T}}_xM)$ 
gilt
$$\sigma_x=(A(\diff_x\phi))(\tau_{\phi(x)})$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Nat"urlich hat jedes Opfunktorfeld  genau einen
R"uckw"artsverwandten. Ist unsere Abbildung ein 
Diffeomorphismus, so hat es auch genau einen
Vorw"artsverwandten.\label{VerwFn}
Verwandtschaft von Opfunktorfeldern ist 
transitiv im Sinne von \eref{VerT}{AN2}.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
 Nach \ref{VerwFn} liefert  jede glatte Abbildung 
$\phi: M\ra N$ von Mannigfaltigkeiten lineare  Abbildungen
$\phi^\ast:\Omega^r(N)\ra \Omega^r(M)$ in die Gegenrichtung, 
die man das {\bf Zur"uckholen von Differentialformen} 
nennt.\index{Zur"uckholen!von Differentialformen} 
Sie verallgemeinern unseren R"uckzug von Differentialformen aus 
\eref{vfDF}{AN2},
erf"ullen die bei Verwandtschaftsbeziehungen  "ublichen
Identit"aten $\op{id}^\ast(\omega)=\omega$ und $\phi^\ast\circ \psi^\ast=
(\psi\circ\phi)^\ast$, und sind vertr"aglich mit dem Dachprodukt,
in Formeln 
$$ \phi^\ast(\omega\wedge\eta)=(\phi^\ast\omega)\wedge(\phi^\ast\eta)$$
Um eine Differentialform auf einer Mannigfaltigkeit anzugeben, 
reicht es aus, einen Atlas zu w"ahlen und den R"uckzug unserer 
Form unter jeder Karte anzugeben. Haben wir umgekehrt   Differentialformen
auf den Definitionsbereichen aller Karten gegeben und passen diese zusammen
unter dem R"uckzug l"angs Kartenwechseln, so kommen sie von einer wohlbestimmten
Differentialform auf unserer Mannigfaltigkeit her. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{"Au"sere Ableitung}]
 Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ gibt es genau eine 
Abbildung\label{AADF}   
$$d:\Omega^k(M)\ra \Omega^{k+1}(M)$$
mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Karte $\varphi: W\ra M$ 
und alle $\omega\in \Omega^k(M)$ gilt 
$\varphi^\ast (d\omega)=d(\varphi^\ast \omega)$ mit
unserer "au"seren Ableitung aus \eref{daAb}{AN2} auf der rechten Seite.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungw}
  Diese Abbildung hei"st wieder die {\bf "au"sere Ableitung}.\index{"au"sere Ableitung!aif Mannigfaltigkeiten}
  Eine koordinatenfreie Beschreibung der "au"seren Ableitung wird in
\eref{AAVF}{DIFF} gegeben. 
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}
  Die Eindeutigkeit ist offensichtlich, da unsere Mannigfaltigkeit ja durch
Bilder von  Karten
 "uberdeckt wird. Die Existenz folgt aus \eref{RAAb}{AN2}, das uns sagt, 
da"s es nicht darauf ankommt, in welcher Karte wir lokal die
"au"sere Ableitung unserer Differentialform berechnen.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Differentiale von Funktionen}]
 Auch auf Mannigfaltigkeiten\label{dIFF}
 sind Nullformen  Funktionen und
Einsformen Kovektorfelder. Jeder glatten  Funktion 
$f:M\ra \DR$ auf einer Mannigfaltigkeit
ordnet die "au"sere Ableitung nach \ref{AADF} also ein Kovektorfeld $df$ zu. 
Dieses Kovektorfeld ist dadurch definiert, da"s
f"ur jede Karte $\varphi:W\ra M$ gilt
$\varphi^\ast(df)=d(f\circ \varphi)$. Es kann aber alternativ auch 
wie folgt beschrieben werden: Eine differenzierbare Abbildung $f:M\ra \DR$ 
hat ja in jedem Punkt $p\in M$ nach \ref{UHZ} ein Differential
$\diff_p f: {\op{T}}_pM\ra {\op{T}}_{f(p)}\DR$. Mithilfe der nat"urlichen
Identifikation ${\op{T}}_{f(p)}\DR\sira \DR$ k"onnen wir unser 
Differential mithin als Linearform
auf dem Dualraum $\diff_p f\in  {\op{T}}^\ast_pM$ auffassen und die Zuordnung
$M\ra{\op{T}}^\ast M$, $p\mapsto \diff_p f$ als ein Kovektorfeld.
Dieses Kovektorfeld notieren wir auch $ \diff f$ und "uberlassen dem
Leser den Nachweis, da"s es mit unserem vermittels \ref{AADF} 
erkl"arten Kovektorfeld $df$ "ubereinstimmt. 
In diesem Fall kommt es also nicht darauf an, ob wir das gerade $\op{d}$ oder
das kursive $d$ verwenden.
Wir nennen dieses 
Kovektorfeld $df$ das 
{\bf Differential 
von} $f$.\index{Differential!von Funktion!als Kovektorfeld}
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Rechnen mit der "au"seren Ableitung}]
Gegeben eine glatte Mannigfaltigkeit $M$ gilt:\label{RAAbm} 
\begin{enumerate}
\item
Die "au"sere Ableitung $d:\Omega^r(M)\ra \Omega^{r+1}(M)$, $\omega\mapsto d\omega$ ist $\DR$-linear f"ur alle $r\in\DN$;
\item
F"ur Nullformen alias Funktionen $f$ gilt
$df=\diff f$;
\item
  F"ur das Differential eines Dach-Produkts glatter Differentialformen
  gilt die 
\emph{\bf Leibniz-Regel}\index{Leibniz-Regel!f"ur 
Differentialformen}
$$d(\omega \wedge \eta)= (d\omega)\wedge \eta + (-1)^{|\omega|}
\omega \wedge d\eta$$
\item 
Gegeben ein glatter Morphismus $\phi:M\ra N$ 
von Mannigfaltigkeiten haben wir die
\emph{\bf Verwandtschaftsvertr"aglichkeit der "au"seren Ableitung} 
$$d(\phi^{\ast}\omega) 
= \phi^{\ast}(d\omega)$$
\item
F"ur jede Differentialform auf $M$ gilt $d(d\omega)= 0$.
\end{enumerate}
\end{Satz}

\begin{proof}
Das folgt unmittelbar aus der Definition der
"au"seren Ableitung in \ref{AADF} und ihren bereits bewiesenen 
Analoga \eref{RAAb}{AN2} im Fall
offener Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  Die Existenz einer "au"seren Ableitung  von Differentialformen
mit den im Satz formulierten  bemerkenswerten
Eigenschaften ist eine Besonderheit, die  f"ur
allgemeinere Felder keine Entsprechung hat. Der Kalk"ul der Differentialformen
wird dadurch ein au"serordentlich bequemer und n"utzlicher Formalismus.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Mannig\-fal\-tig\-keit  $M$
 und $k\geq 0$ 
bezeichne $\mathcal C_!\Omega^k(M)$ 
den reellen Vektorraum aller
stetigen  $k$-Formen auf $M$ mit kompaktem Tr"ager. Den Begriff der
{\bf Orientierung}\index{Orientierung!allgemeiner Mannigfaltigkeiten}
einer abstrakten Mannigfaltigkeit definieren wir 
wie im eingebetteten Fall in \eref{Orkm}{AN2}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Integration  von Volumenformen}]
F"ur jede orientierte $k$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$
 gibt es genau eine Linearform\label{IiItM}  
$\int:\mathcal C_!\Omega^k(M)\ra\DR$ 
mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede 
Karte 
$\varphi:W\ra M$ der Orientierung $\varepsilon$ 
und jede kompakt getragene Volumenform
$\omega\in \mathcal C_!\Omega^k(M)$ mit Tr"ager im Bild
dieser Karte $\op{supp}\omega\subset \varphi(W)$  
gilt 
$$\int_{\vec M}\omega=
\varepsilon\int_W(\varphi^\ast\omega)(\op{e}_1,\ldots,\op{e}_k)$$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Das geht genau wie der einfache Teil des Beweises von \eref{IiIt}{AN2}.
  Man w"ahlt eine "Uberdeckung des Tr"agers der Volumenform durch die Bilder
 endlich vieler  orientierter Karten und dazu eine Teilung der Eins
  genau wie in \eref{TEL}{AN2}
  und schreibt so unsere Volumenform als Summe von Formen, die jeweils
  nur Tr"ager im Bild einer Karte haben. Damit ist dann
  die Eindeutigkeit bereits gezeigt. Um die Existenz zu zeigen, mu"s
  man nur nachweisen, da"s das Ergebnis dieser Konstruktion von allen Wahlen
  unabh"angig ist, und das folgert man aus der Transformationsformel.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Invariante Volumenformen auf Liegruppen}] 
  F"ur jede Liegruppe $G$ und jeden glatten Opfunktor $A$
  liefert unser  in \ref{PTL} konstruierter Isomorphismus von Vektorb"undeln
$
G \times  {\op{T}}_e G \sira  {\op{T}}G$ gegeben durch  
$(g, B)  \mapsto  (\diff_e (g\cdot))(B)$
 einen Isomorphismus $$A({\op{T}}G)\sira
  G \times  A({\op{T}}_e G)$$ Es ist leicht zu sehen, da"s
  f"ur $\omega\in A({\op{T}}_e G)$ der zugeh"orige konstante Schnitt
  $p\mapsto (p,\omega)$ rechts\label{IVL} 
  einem $A$-Feld links entspricht, da"s unter allen Linkstranslationen zu
  sich selbst verwandt ist. Insbesondere finden wir auf jeder Liegruppe
  eine von Null verschiedene unter allen Linkstranslationen zu
  sich selbst verwandte stetige Volumenform $\omega^G$.
  Mit $|\omega^G|$ finden wir dann auch eine unter allen Linkstranslationen zu
  sich selbst verwandte \hyperref[psD]{stetige positive Dichte}
  alias ein \hyperref[HAMAN]{Haarma\ss} oder genauer ein
  linksinvariantes Haar'sches Borelma"s im Sinne von \eref{HBMM}{TM}.
\end{Bemerkungl}





\subsection{Altes Zeug} 
  \begin{Bemerkungl}
Jetzt brauche einfache Wurzeln $\Phi\subset R^+$ und
$s_\alpha(R^+)=R^+\backslash\{\alpha\}\cup \{-\alpha\}$
f"ur $\alpha\in \Phi$ und einfache Spiegelungen erzeugen die Weylgruppe,
in Formeln $W=\langle s_\alpha\mid\alpha\in\Phi\rangle$.
 Au"serdem dominante Weylkammer Fundamentalbereich.
   Hier sp"atestens \ref{AKF}!
  \end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der einfachen Darstellungen}]
Seien $K \supset T$ eine zusammenh"angende kompakte\label{KeDalt} 
Liegruppe mit  einem maximalen Torus, $\frak{X}(T)$ dessen Charaktergitter
und $W\pdef{\op{W}}(K,T)$ die Weylgruppe. %  und sei auf dem Charaktergitter
% $\frak{X}(T)$  eine positiv definite $W$-invariante $\DZ$-wertige
% Bilinearform gew"ahlt
So liefert das Ausw"ahlen der l"angsten Gewichte eine  Bijektion
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{einfache endlichdimensionale}\\
\text{stetige komplexe}\\
\text{Darstellungen von } K \end{array}\right\} & 
\overset{\sim}{\rightarrow} &
\frak{X}(T) / W \\
V & \mapsto & \left\{ \begin{array}{c}
\text{die Menge der}\\
\text{l"angsten Gewichte von } V \end{array} \right\}
\end{array}
\end{displaymath}
 Die l"angsten Gewichte sind dabei als die 
Gewichte im Sinne von \ref{ISTT} zu
verstehen, 
die unter einer und gleichbedeutend jeder
positiv definiten $W$-invarianten $\DZ$-wertigen
Bilinearform auf dem Charaktergitter die gr"o"ste L"ange haben.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Wir folgern diesen Satz aus der Weyl'schen Integrationsformel,
die wir gleich im Anschlu"s formulieren, aber erst zu Ende dieses
Abschnitts beweisen.
\end{Bemerkungl}






%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXML"
%%% End: