\section{Unfertiges zur Analysis} \subsection{Schwartzraum als topologischer Vektorraum} \nichtfinal{Definition topologischer Vektorraum. Differenzierbarkeit und Differential f"ur $f:X\supset A\ra Y$ mit $X$ normierter reeller affiner Raum und $Y$ topologischer hausdorffscher reeller affiner Raum. Geht alles wie in \eref{DeDii}{AN2} folgende. Brauche hier nur reelle Zahlengerade in Schwartzraum.} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Topologie auf dem Schwartzraum}] Sei $G$ eine Fouriergruppe. Gegeben Gruppenwege $\kappa_1, \ldots , \kappa_r : \mathbb R \rightarrow G$ und Imagin"arkoordinaten $\xi_1, \ldots, \xi_s : G\ra {\op{i}}\mathbb R $ erkl"aren wir die zugeh"orige Halbnorm auf dem Schwartzraum $\mathcal S(G)$ durch die Vorschrift $$\|f\|\pdef \|\xi_1 \ldots \xi_s \partial_{\kappa_1} \ldots \partial_{\kappa_r} f\|_\infty$$ Wir versehen den Schwartzraum mit der von allen Topologien zu diesen Halbnormen erzeugten Topologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dann sind quasi per definitionem die Addition $\mathcal S(G)\times \mathcal S(G)\ra \mathcal S(G)$ und die Multiplikation mit Skalaren $\DC\times \mathcal S(G)\ra \mathcal S(G)$ stetig. Weiter sind quasi per definitionem auch die Multiplikationsabbildungen und die partiellen Ableitungen $(\xi\cdot),\partial_\kappa: \mathcal S(G)\ra \mathcal S(G)$ stetig, f"ur $\xi$ und $\kappa$ wie oben. Wir erkl"aren eine Topologie auf dem Raum $\mathcal M(G)$ der Schwartzma"se durch die Vorschrift, da"s das Produkt mit einem und jedem Haarma"s ein Hom"oomorphismus $\mathcal S(G)\sira \mathcal M(G)$ sein soll. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Konvergenz einer Folge von Schwartzfunktionen impliziert insbesondere die gleichm"a"sige Konvergenz der Funktionen und aller ihrer partiellen Ableitungen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben eine Fouriergruppe mit Haarma"s $(G,\lambda)$ induziert die Fouriertransformation auf dem Schwartzraum einen Hom"oomorphismus $$\mathcal F\circ (\cdot\lambda): \mathcal S(G)\sira \mathcal S(\hat G)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Aufgrund der Inversionsformel \ref{IvFou} reicht es, die Stetigkeit zu zeigen. Wir konzentrieren uns auf den Fall $G=\DR$ mit der Charakterpaarung $a(x,y)\pdef {\op{e}}^{-{\op{i}}xy}$. In diesem Fall erzeugen bereits die Halbnormen $$\|f\|_{s,r}\pdef \|x^s\partial^rf\|_\infty$$ f"ur $s,r\in \DN$ die Topologie. Alternativ erzeugen auch die Halbnormen $$\|f\|_{(r,s)}\pdef \|\partial^r x^sf\|_\infty$$ unsere Topologie, wie der Leser leicht selbst einsehen kann. Nun ist $1/(1+x^2)$ integrierbar und bezeichnet $C$ das Integral, so finden wir von der Mitte ausgehend $$\begin{array}{lll} \big( \|f\|_{0,0}\leq A/2 \text{ und } \|f\|_{2,0}\leq A/2\big) &\RA& \|(1+x^2)f\|_{\infty}\leq A \\ &\RA& |f|\leq A/(1+x^2)\\ &\RA& \|\mathcal F f\|_\infty=\|\mathcal F f\|_{0,0} \leq AC \end{array} $$ und mit \ref{brevexi} und \ref{pAp} ebenso $$ \big( \|f\|_{(r,s)}\leq A/2 \text{ und } \|f\|_{(r,s+2)}\leq A/2\big) \; \RA \; \|\mathcal F f\|_{s,r} \leq AC $$ Im allgemeinen argumentiert man analog. \end{proof} \begin{Proposition} \nichtfinal{(Hier noch unn"otig!} Gegeben eine Fouriergruppe mit Haarma"s $(G,\lambda)$ und eine weitere Fouriergruppe $H$ induziert die partielle Fouriertransformation auf dem Schwartzraum einen Hom"oomorphismus $$\mathcal F\circ (\cdot\lambda): \mathcal S(G\times H)\sira \mathcal S(\hat G\times H)$$ \end{Proposition} \subsection{Versuch zur Wellengleichung} \begin{Beispiel} Wir betrachten die Charakterpaarung $s:\DR^n\times \DR^n\ra S^1$ gegeben durch $s: (x,y)\mapsto {\op{e}}^{-\op{i}x\cdot y}$ und die durch $f\mapsto f(x)\diff^n x$ gegebene Einbettung $ {\op{L}}^1(\DR^n)\hra \op{M}(\DR^n)$. Die Ver\-kn"up\-fung \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{L}}^1(\DR^n) \ar[r]^-{ \diff^n x}& \op{M}(\DR^n)\ar[r]^-{\mathcal F_s} &\mathcal C^{\op{b}} ({\DR}^n) } \end{displaymath} der abstrakten Fouriertransformation zur Charakterpaarung $s$ mit der durch das Lebesguema"s gegebenen Einbettung des Raums der integrierbaren Funktionen in den Raum der komplexen Ma"se ist eine Variante der Fouriertransformation. Wir verwenden im folgenden oft die Abk"urzung $\mathcal F(f)\pdef \mathcal F(f\diff^n x)$. Damit gilt f"ur jede Funktion $f\in\mathcal S(\DR^n)$ des Schwartzraums $\mathcal F(\partial_\nu f) ={\op{i}}y_\nu\mathcal F( f)$. \end{Beispiel} \nichtfinal{Jetzt w"urde ich gerne dasselbe f"ur L"osungen $q:\DR\ra \mathcal S^{-\infty}(\DR)$ zeigen k"onnen. Meine Erwartung w"are, da"s so eine L"osung unter Konvolution mit immer spitzeren kompakt getragenen Dingern normale L"osungen liefert, die gegen die $\mathcal S^{-\infty}(\DR)$-L"osung konvergieren, und das w"are es dann. Es m"u"ste also gezeigt werden, da"s die Konvolution gewisse Stetigkeiten besitzt. Dann w"urde ich gerne die L"osungen in $\mathcal S^{-\infty}(\DR^2)$ verstehen und erkennen, da"s sie \glqq dieselben\grqq\ sind.} \begin{Bemerkungl} Jetzt versuchen wir dasselbe in $\DR^n$. Wir machen alles ganz genauso und finden $$\hat u(y,t)= (\cos |y|t)\hat u(y,0) + \big((\sin |y|t)/|y|\big)\hat u_t(y,0)$$ mit der Notation $|y|=\|y\|_2$ f"ur die euklidische Norm von $y\in\DR^n$. Unser einziges Problem ist, da"s wir Ma"se auf dem $\DR^n$ br"auchten, deren Fouriertransformierte eben die Funktionen $ (\cos |y|t)$ beziehungsweise $(\sin |y|t)/|y|$ sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir diskutieren das nur im Fall $n=3$. Wir betrachten die Einbettung $K:S^2\hra \DR^3$ der Einheitssph"are und das Bildma"s $K_*\sigma\in \op{M}(\DR^3)$ ihres Oberfl"achenma"ses. Seine Fouriertransformierte $\mathcal F(K_*\sigma)$ ist offensichtlich und formal nach \ref{fOu} rotationssymmetrisch alias eine Funktion des Radius $r=r(y_1,y_2,y_3)$. Genauer finden wir in Formeln $$(\mathcal FK_*\sigma)(r{\op{e}}_3)=\int_{S^2} {\op{e}}^{-{\op{i}}x_3r}\sigma= 2\pi\int_{-1}^1 {\op{e}}^{-{\op{i}}zr}\diff z= 2(\sin r)/r$$ Hier haben wir im vorletzten Schritt die Erkenntnis $p_*\sigma=2\pi\chi_{[-1,1]}\diff z$ aus \ref{OFRv} angewandt f"ur das Bildma"s des Oberfl"achenma"ses der Einheitskugel unter der Projektion auf eine Koordinatenachse. Im letzten Schritt verwenden wir die Formel f"ur die Fouriertransformierte einer Rechtecksfunktion aus \ref{Hakk} in derselben Variante wie in \ref{Haj}. Betrachten wir stattdessen f"ur $t\in\DR$ die Einbettung gefolgt von der Multiplikation $tK: S^2\hra \DR^3$, so folgt aus der Nat"urlichkeit $$(\mathcal F(tK)_*\sigma)(r{\op{e}}_3)= 2(\sin t r)/tr\quad \text{alias} \quad \mathcal F\big( t(tK)_*\sigma\big)(y)= 2(\sin t |y|)/|y|$$ und wir haben im Fall $n=3$ das zweite unserer gesuchten Ma"se gefunden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit dem ersten Ma"s ist es schwieriger, genauer gesagt unm"oglich. Statt einem Ma"s suchen wir deshalb allgemeiner eine sogenannte \glqq temperierte Distribution\grqq\ alias stetige Linearform auf $\mathcal S(\DR^3)$ mit der entsprechenden Eigenschaft. Wir versuchen unser Gl"uck f"ur $s\in\DR$ mit $D_s$ gegeben durch $$\langle D_s|\varphi\rangle \pdef \left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=s} \langle t(tK_*)\sigma|\varphi\rangle$$ mit einer abgek"urzten Schreibweise f"ur das Integral "uber das angegebene Ma"s rechts. Die Fouriertransformierte unserer Distribution wird dann definiert durch $$\langle \mathcal F D_s|\psi\rangle\pdef \langle D_s|\hat{\mathcal F}\psi\rangle$$ f"ur jedes Schwartzma"s $\psi$ in den $y$-Koordinaten. Das ist eine sinnvolle Definition, da sie f"ur komplexe Ma"se dasselbe liefert wie unsere eigentliche Definition. Nun rechnen wir tapfer $$\begin{array}{lll} \langle D_s|\hat{\mathcal F}\psi\rangle &=&\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=s} \langle t(tK_*)\sigma|\hat{\mathcal F}\psi\rangle\\[2mm] &=&\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=s} \langle \mathcal F(t(tK_*)\sigma)|\psi\rangle\\[2mm] &=&\left.\frac{\diff }{\diff t}\right|_{t=s} \int \big((\sin |y|t)/|y|\big)\psi\langle y\rangle\\[2mm] &=& \int (\cos |y|s)\psi\langle y\rangle\\[2mm] &=& \langle (\cos |y|s)|\psi\rangle \end{array} $$ \nichtfinal{Aber wird $D_s$ wirklich $\delta_0$ f"ur $s=0$?} Insbesondere bildet die Fouriertransformation in der Tat unsere Distribution $D_s$ auf die Funktion $\cos(|y|s)$ ab und wir finden f"ur unsere L"osungen die Beschreibung $$ u(x,t)= D_t\ast u(x,0) + t(tK_*)\sigma\ast u_t(x,0)$$ Nun haben wir uns allerdings aus unserem begrifflichen Rahmen herausgerechnet und m"ussen zusehen, einerseits mit der Begrifflichkeit hinterherzukommen und andererseits eine Anschauung zu entwickeln. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} \nichtfinal{Net so klar!} Eine Abbildung $q:\DR\supset I\ra \mathcal S(\DR)$ von einem mehrpunktigen reellen Intervall $I$ in den Schwartzraum ist stetig differenzierbar genau dann, wenn die zugeh"orige Abbildung $\tilde q:I\times\DR\ra \DR, (t,x)\mapsto (q(t))(x)$ stetig partiell differenzierbar ist nach $t$ mit $(\partial_t\tilde q)|_{t=t_0}$ im Schwartzraum f"ur alle $t_0\in I$. \end{Ubung} \newpage \subsection{Versuch zur Fouriertheorie} \begin{Bemerkunge} Im Fall einer endlichen kommutativen Gruppe $G$ und einem Spaltungsk"orper nichtteilender Charakteristik $k$ erinnern wir \eref{SYF}{NAS}. Wir erkl"aren eine {\bf Charakterpaarung} endlicher kommutativer Gruppen als einen Bimorphismus $a:G\times H\ra k^\times$ notiert $\llangle g,h\rrangle_a$, der Bijektionen $G\sira \op{Ab}(H,k^\times)$ und $H\sira \op{Ab}(G,k^\times)$ induziert. Dann erkl"aren wir die {\bf Fouriertransformation} $$\mathcal F_a:\op{Ma"s}_!(G;k)\ra \op{Ens}(H,k)$$ durch die Vorschrift $(\mathcal F_a\mu)(h)=\int_G\llangle g,h\rrangle_a\mu[ g] =\sum_{g\in G} \llangle g,h\rrangle_a\mu[ g]$. Erkl"aren wir nun die {\bf duale Charakterpaarung} $b:H\times G\ra k^\times$ durch die Vorschrift $b(h,g)\pdef a(g,h)^{-1}$, so spezialisiert unser Diagramm zu einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Ma"s}_!(G;k)\ar[r]^-{\mathcal F_a}_-\sim &\op{Ens}(H,k)\ar[d]^{\cdot \beta}_\wr\\ \op{Ens}(G,k)\ar[u]_{\cdot \alpha}^\wr & \op{Ma"s}_!(H;k) \ar[l]_-{\mathcal F_b}^-\sim } \end{displaymath} mit $\alpha\pdef |G|^{-1}\zeta_G$ und $\beta\pdef \zeta_H$ geeigneten Vielfachen der jeweiligen Z"ahlma"se $\zeta_G,\zeta_H$. Auch hier ist \glqq einmal im Kreis herumgehen\grqq\ an jeder Stelle die Identit"at. Das Integrieren von Funktionen "uber Ma"se liefert eine nichtausgeartete Paarung $\op{Ma"s}_!(G;k)\times \op{Ens}(G;k)\ra k$ und so Isomorphismen des einen Raums mit dem Dualraum des anderen. Wenn wir in unserem Diagramm zu den Dualr"aumen und transponierten Abbildungen "ubergehen und an der Horizontale spiegeln ergibt sich fast dasselbe Diagramm und wir erhalten ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\op{Ens}(G,k)^\ttop\ar[rrr]^{\op{inv}\circ\mathcal{F}_{b}^\top}_-\sim &&& \op{Ma"s}_!(H;k)^\ttop\ar[ddd]^{(\cdot \beta)^\top}_\wr\\ &\op{Ma"s}_!(G;k)\ar[r]^{\mathcal{F}_a}_-\sim\ar[ul]_\sim &\op{Ens}(H,k)\ar[d]^{\cdot \beta}_\wr\ar[ur]^\sim&\\ &\op{Ens}(G,k)\ar[dl]_\sim\ar[u]^{\cdot \alpha}_\wr & \op{Ma"s}_!(H;k) \ar[l]_{{\mathcal{F}_{b}}}^-\sim\ar[dr]^\sim&\\ \op{Ma"s}_!(G;k)^\ttop\ar[uuu]^{(\cdot \alpha)^\top}_\wr &&& \op{Ens}(H,k)^\ttop\ar[lll]_{{\op{inv}\circ\mathcal{F}_{ a}^\top}}^-\sim} \end{displaymath} mit der Notation $\op{inv}$ f"ur die vom Invertieren in $G$ beziehungsweise $H$ auf den jeweiligen R"aumen induzierte Abbildung. \nichtfinal{Rest anpassen!} \end{Bemerkunge} \begin{Definition} Gegeben eine Fouriergruppe $G$ erkl"aren wir den Vektorraum der {\bf Fourierma"se auf $G$}\index{Fourierma"s} als den komplexen Vektorraum $$\mathcal M^{-\infty}(G)$$ aller stetigen schieflinearen Abbildungen $\mathcal S(G)\ra \DC$ mit der durch Nachschalten erkl"arten Operation von komplexen Skalaren. \nichtfinal{Nicht besser lineare Abbildungen und davon komplex konjugierter Vektorraum? Ich denke doch! Nee, weiter unten komisch? Dann ist das Auswerten $\mathcal M^{-\infty}(G)\times \mathcal S(G)\ra \DC$ schieflinear in der ersten Variablen und linear in der zweiten und das kam mir alles sehr geschickt vor im Zusammenspiel mit der dualen Charakterpaarung! Jetzt ist dahingegen das Auswerten dahintergeschrieben $ \mathcal S(G)\times \mathcal M^{-\infty}(G)\ra \DC$ schieflinear in der ersten Variablen und linear in der zweiten.} \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine Fouriergruppe $G$ erkl"aren wir den Vektorraum der {\bf Fourierfunktionen auf $G$}\index{Fourierfunktion} als den komplexen Vektorraum $$\mathcal S^{-\infty}(G)$$ aller stetigen schieflinearen Abbildungen $\mathcal M(G)\ra \DC$ mit der durch Nachschalten erkl"arten Operation von komplexen Skalaren. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In der Literatur ist es "ublich, von \glqq temperierten Distributionen\grqq\ oder\index{Distribution!temperierte} \glqq temperierten verallgemeinerten Funktionen\grqq\ zu\index{Funktion!verallgemeinerte temperierte} reden. Oft wird man auch mit einem festen Haarma"s zu arbeiten und zwischen diesen beiden Begriffen nicht so genau unterscheiden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Bis hier und auch noch etwas l"anger h"atten wir uns die Topologie auf dem Schwartzraum sparen k"onnen und statt stetiger Schieflinearformen beliebige Schieflinearformen betrachten k"onnen. Erst bei der Konstruktion "au"serer Produkte $f\boxtimes g\in \mathcal S^{-\infty}(G\times H)$ f"ur $f\in \mathcal S^{-\infty}(G)$ und $g\in \mathcal S^{-\infty}( H)$ wird im hier verfolgten Aufbau der Theorie die Topologie und die Stetigkeit unserer Schieflinearformen ben"otigt. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Ma"se als Fourierma"se}] Gegeben eine Fouriergruppe $G$ erhalten wir eine Injektion von komplexen Vektorr"aumen\label{MfM} ${\op{M}}(G)\hra \mathcal M^{-\infty}(G)$ durch die Vorschrift $\mu\mapsto (\varphi\mapsto \int\bar\varphi\mu)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Funktionen als Fourierfunktionen}] Gegeben eine Fouriergruppe $G$ erhalten wir eine Injektion von komplexen Vektorr"aumen\label{SfS} $\mathcal C^{\op{b}}(G)\hra \mathcal S^{-\infty}(G)$ durch die Vorschrift $f\mapsto (\tau\mapsto \int f\bar\tau)$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Charakterpaarung $a:G\times \hat G\ra S^1$ von Fouriergruppen und ein Paar $(\lambda,\hat\lambda)$ von dualen Haarma"sen und $\hat a:\hat G\times G\ra S^1$ die duale Charakterpaarung liefert die Inversionsformel \ref{IvFou} das erste der folgenden zwei Diagramme von Isomorphismen \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}(G)\ar[r]^{\mathcal{F}_a}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G)\ar[d]^{\cdot \hat\lambda}_\wr\\ \mathcal{S}(G)\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr & \mathcal{M}(\hat G) \ar[l]_{{\mathcal{F}_{\hat a}}}^-\sim} \qquad \xymatrix{ \mathcal{S}^{-\infty}(G) \ar[d]_{(\cdot \lambda)^\top}^\wr &\mathcal{M}^{-\infty}(\hat G)\ar[l]_{\mathcal{F}_a^\top}^-\sim\\ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[r]^{{\mathcal{F}_{\hat a}^\top}}_-\sim & \mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)\ar[u]_{(\cdot \hat\lambda)^\top}^\wr} \end{displaymath} Das zweite Diagramm entsteht daraus durch stetiges Dualisieren, genauer den "Ubergang zu den R"aumen stetiger Schieflinearformen. Nach der Inversionsformel liefert im ersten Diagramm das \glqq einmal im Kreis herumgehen\grqq\ an jeder Stelle die Identit"at. Dieselbe Eigenschaft folgt unmittelbar f"ur das zweite Diagramm. Ein grundlegende Erkenntnis ist f"ur das folgende, da"s wir das erste und das an der Horizontalen gespiegelte zweite Diagramm mit den zuvor erkl"arten Einbettungen von Ma"sen in Fourierma"se und von Funktionen in Fourierfunktionen zusammenf"ugen k"onnen zu einem kommutativen Diagramm\label{zut} \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[rrr]^{{\mathcal{F}_{\hat a}^\top}}_-\sim &&& \mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)\ar[ddd]^{(\cdot \hat\lambda)^\top}_\wr\\ &\mathcal{M}(G)\ar[r]^{\mathcal{F}_a}_-\sim\ar@{_{(}->}[ul] &\mathcal{S}(\hat G)\ar[d]^{\cdot \hat\lambda}_\wr\ar@{_{(}->}[ur]&\\ &\mathcal{S}(G)\ar@{_{(}->}[dl]\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr & \mathcal{M}(\hat G) \ar[l]_{{\mathcal{F}_{\hat a}}}^-\sim\ar@{_{(}->}[dr]&\\ \mathcal{S}^{-\infty}(G)\ar[uuu]^{(\cdot \lambda)^\top}_\wr &&& \mathcal{M}^{-\infty}(\hat G)\ar[lll]_{{\mathcal{F}_{ a}^\top}}^-\sim} \end{displaymath} Die Kommutativit"at im rechten und linken Trapez pr"ufen wir in Lemma \ref{lkj}, die Kommutativit"at im oberen und unteren Trapez in Lemma \ref{VNAT} und zeigen dabei sogar noch st"arker, da"s die durch die hier gegebene Erweiterung der Fouriertransformation auf Fourierma"se unsere bisherige Fouriertransformation nicht nur vom Raum der Schwartzma"se, sondern sogar vom Raum aller komplexen Ma"se fortsetzt. So k"onnen wir unser Diagramm dann noch erg"anzen zu dem in \ref{GDF} gegebenen Diagramm. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine Charakterpaarung $a:G\times \hat G\ra S^1$ von Fouriergruppen mit dualer Paarung $\hat a$ kommutiert das Diagramm\label{VNAT} \begin{displaymath} \xymatrix{ \cal{M}^{-\infty}(G) \ar[rrr]^-{\mathcal F^\top_{\hat a}}_-{\sim} &&& \cal{S}^{-\infty}(\hat G) \\ &\ar@{_{(}->}[ul]\op{M}(G) \ar[r]^-{\mathcal F_a} & \cal{C}^{\op{b}}(\hat G)\ar@{_{(}->}[ur]& } \end{displaymath} mit den durch \ref{MfM} und \ref{SfS} gegebenen Vertikalen und der durch das Vorschalten von $\mathcal F_{\hat a}:\mathcal M(\hat G)\sira \mathcal S( G) $ gegebenen oberen Horizontale. \end{Lemma} \begin{proof} Ein Ma"s $\mu\in\op{M}(G)$ wird obenherum erst auf $(\varphi\mapsto \int \bar\varphi\mu)$ abgebildet und dann auf $(\tau\mapsto \int (\overline{\mathcal F_{\hat a}\tau})\mu)$. Untenherum dahingegen geht es auf $(\tau\mapsto \int (\mathcal F_{ a}\mu)\bar\tau)$. Wir schreiben $\tau= \psi\hat\lambda $ f"ur ein Haarma"s $\hat\lambda $ auf $\hat G$ und eine Schwartzfunktion $\psi$ auf $\hat G$ und m"ussen also pr"ufen, da"s gilt $$\int (\overline{\mathcal F_{\hat a}\psi\hat\lambda })\mu\stackrel{?}{=}\int (\mathcal F_{ a}\mu)\bar\psi\hat\lambda $$ Indem wir die Definition \ref{AFT} der Fouriertransformationen einsetzen, k"onnen wir wir das auschreiben zur Behauptung $$\int_{g\in G} \left(\overline{\int_{h\in \hat G}\hat a(h,g)\psi(h)\hat\lambda \langle h\rangle}\right) \mu\langle g\rangle\stackrel{?}{=}\int_{h\in \hat G} \left(\int_{g\in G}a(g,h)\mu\langle g\rangle\right)\bar\psi(h)\hat\lambda \langle h\rangle$$ Das aber ist offensichtlich nach Fubini und unseren Konventionen zu $\hat a$. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben eine Fouriergruppe mit Haarma"s $(G,\lambda)$ kommutiert mit den durch \ref{MfM} und \ref{SfS} gegebenen schr"agen Einbettungen\label{lkj} das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal{M}^{-\infty}(G) &\\ &\mathcal{M}(G)\ar@{_{(}->}[ul] \\ &\mathcal{S}(G)\ar@{_{(}->}[dl]\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr \\ \mathcal{S}^{-\infty}(G)\ar[uuu]^{(\cdot \lambda)^\top}_\wr &} \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ich notiere die linke Vertikale in Zukunft vereinfacht $f\mapsto f\lambda$ wie die rechte Vertikale. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Eine Schwarzfunktion $\varphi\in \cal{S}(G)$ geht obenrum erst auf $(\tau\mapsto \int\varphi\bar\tau)$ und dann auf $(\psi\mapsto \int\varphi\bar\psi\lambda)$. Sie geht untenrum erst auf $\varphi\lambda$ und dann auf $(\psi\mapsto \int\bar\psi\varphi\lambda)$ und das ist dasselbe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erweiterung der Fouriertransformation auf Fourierma"se}] Gegeben eine Charakterpaarung $a:G\times \hat G\ra S^1$ von Fouriergruppen und ein Paar $(\lambda,\hat\lambda)$ von dualen Haarma"sen und $\hat a:\hat G\times G\ra S^1$ die duale Charakterpaarung l"a"st sich unser Diagramm der Inversionsformel \ref{IvFou} "uber das bereits in \ref{zut} diskutierte innere und "au"sere Quadrat hinaus erweitern zu einem kommutativen Diagramm\label{GDF} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[rrrrr]^{\mathcal{F}_{\hat a}^\top}_-\sim &&&&&\mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)\ar[ddddd]^{(\cdot \hat\lambda)^\top}_\wr\\ & \op{M}(G)\ar@{_{(}->}[ul]\ar[rrr]^{\mathcal{F}_a} &&&\mathcal{C}^{\op{b}}(\hat G)\ar@{_{(}->}[ur]&\\ &&\mathcal{M}(G)\ar@{_{(}->}[ul]\ar[r]^{\mathcal{F}_a}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G)\ar@{_{(}->}[ur]\ar[d]^{\cdot \hat\lambda}_\wr&&\\ &&\mathcal{S}(G)\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr \ar@{_{(}->}[dl]& \mathcal{M}(\hat G)\ar@{_{(}->}[dr] \ar[l]_{{\mathcal{F}_{\hat a}}}^-\sim&&\\ &\mathcal{C}^{\op{b}}(G)\ar@{_{(}->}[dl] &&& \op{M}(\hat G)\ar@{_{(}->}[dr] \ar[lll]_{{\mathcal{F}_{\hat a}}}&\\ \mathcal{S}^{-\infty}(G)\ar[uuuuu]^{(\cdot \lambda)^\top}_\wr &&&&& \mathcal{M}^{-\infty}(\hat G) \ar[lllll]_{{\mathcal{F}_{a}^\top}}^-\sim} \end{displaymath} Wie bereits in \ref{zut} bemerkt ist zus"atzlich das \glqq einmal im Kreis herumgehen\grqq\ im "au"seren und inneren Quadrat an jeder Stelle die Identit"at. Dies Diagramm rechtfertigt die Bezeichnung der obersten und untersten Horizontale als Erweiterung der Fouriertransformation auf temperierte Distributionen alias Fourierma"se. Wir benennen in diesem Sinne das "au"sere Quadrat um und schreiben suggestiver \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[r]^{\mathcal{F}_a}_-\sim &\mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)\ar[d]^{\cdot \hat\lambda}_\wr\\ \mathcal{S}^{-\infty}(G)\ar[u]^{\cdot \lambda}_\wr & \mathcal{M}^{-\infty}(\hat G) \ar[l]_{{\mathcal{F}_{\hat a}}}^-\sim} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ich brauche auch so ein Diagramm mit $L^2$-Funktionen. Dann folgt f"ur $f$ quadratintegrierbar mit $xf$ quadratintegrierbar erst mal im Unendlichen $(1/x) (xf)=f$ integrierbar als Produkt von zwei quadratintegrierbaren Funktionen, und das quadratintegrierbar lokal die st"arkere Bedingung ist folgt $f$ integrierbar. Also ist $\hat f$ stetig und beschr"ankt. Gilt nun zus"atzlich $y\hat f$ quadratintegrierbar, so ist wie zuvor argumentiert auf $\hat f$ integrierbar. Jetzt hoffentlich Fourier r"uckw"arts m"oglich und liefert dieselbe Funktion zur"uck (warum?) und dann was wei"s ich. } \begin{Beispiel}[\textbf{Fouriertransformierte eines Haarma"ses}] Das Diracma"s am neutralen Element $\delta_0\in {\op{M}}(\hat G)$ geht auf die konstante Funktion $1\in {\mathcal{C}}^{\op{b}}(G)$ unten links und weiter auf das Haarma"s $\lambda$ oben links, aufgefa"st als die Schieflinearform $(\varphi\mapsto\int\bar\varphi\lambda)\in \mathcal M^{-\infty}( G)$. Unter der oberen Horizontale finden wir so $$\lambda\mapsto \delta_0/\hat\lambda$$ Salopp gesprochen ist mithin die Fouriertransformierte eines Haarma"ses der Quotient des Diracma"ses am neutralen Element nach dem dualen Haarma"s. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} [\textbf{Fouriertransformierte des Lebesguema"ses}] Gegeben die Charakterpaarung $a:\DR\times \DR\ra S^1, (x,y)\mapsto {\op{e}}^{-{\op{i}}xy}$ ist $(\diff x,\diff y/2\pi)$ ein Paar dualer Haarma"se. Salopp gesprochen erwarten wir also, wenn denn beide Seiten sinnvoll definiert w"aren, eine Identit"at von Funktionen von $y$ der Gestalt $$\int {\op{e}}^{-{\op{i}xy}}\diff x=\frac{\delta_0}{2\pi\diff y}(y)$$ Sie sind nun zwar erst in $\mathcal S^{-\infty}(\DR)$ sinnvoll definiert. Wenn wir jedoch auf beiden Seiten noch eine Schwartzfunktion $\psi(y)$ daranmultiplizieren und das $\diff y$ hochmultiplizieren und zus"atzlich "uber $y$ integrieren, so verwandelt sich unsere Formel in die immer noch sinnlose Formel\label{FLeM} $$\int\int \psi(y){\op{e}}^{-{\op{i}xy}}\diff x\diff y=\frac{\psi(0)}{2\pi}$$ Wenn wir aber nun auf der linken Seite zuerst das Integral "uber $y$ auswerten und dann das Integral "uber $x$, so sind unsere Integrale sinnvoll definiert und wir erhalten nach der Inversionsformel eine Gleichheit in $\DC$. Unsere Formel in $\mathcal S^{-\infty}(\DR)$ kann in diesem Fall verstanden werden als eine abgek"urzte Schreibweise f"ur die Aussage, da"s diese Identit"at f"ur alle Schwartzfunktionen $\psi(y)$ gilt. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wie bereits in \ref{kouJ} diskutiert liefern die Propositionen \ref{brevexi} und \ref{pAp} f"ur $a:G\times \hat G\ra S^1$ eine Charakterpaarung von Fouriergruppen, $\lambda$ ein Haarma"s auf $G$, $\kappa : \mathbb R \rightarrow G$ ein Gruppenweg und $\xi:G\ra {\op{i}}\DR$ eine Imagin"arkoordinate jeweils ein kommutatives Diagramm mit dem rechten und mit dem linken vertikalen Pfeil \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal{M}(G)\ar[d]_{\partial_{\kappa}}^{\xi\cdot}\ar[r]^-{\mathcal{F}_{ a}}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G) \ar[d]_{\hat\kappa\cdot }^{\partial_{\hat\xi}}\\ \mathcal{M}(G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}_{ a}}}_-\sim & \mathcal{S}(\hat G) } \end{displaymath} Durch "Ubergang zu den R"aumen stetiger Schieflinearformen erhalten wir die beiden kommutativen Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal{S}^{-\infty}(G) &\mathcal{M}^{-\infty}(\hat G)\ar[l]_-{\mathcal{F}_{ a}^\top}^-\sim \\ \mathcal{S}^{-\infty}(G)\ar[u]^{\partial_{\kappa}^\top}_{(\xi\cdot)^\top} & \mathcal{M}^{-\infty}(\hat G) \ar[u]^{(\hat\kappa\cdot)^\top }_{\partial_{\hat\xi}^\top}\ar[l]_-{{\mathcal{F}_{ a}^\top}}^-\sim } \end{displaymath} Drehen wir sie um $180^\circ$, gehen zur dualen Charakterpaarung "uber und nehmen statt $\kappa$ den Gruppenweg $\hat\xi$ und statt $\xi$ die Imagin"arkoordinate $\hat\kappa$, so erhalten wir die beiden kommutativen Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[d]^{(\xi\cdot)^\top}_{\partial_{\kappa}^\top} \ar[r]^-{\mathcal{F}_{\hat a}^\top}_-\sim &\mathcal{S}^{-\infty}(\hat G) \ar[d]^{\partial_{\hat\xi}^\top }_{(\hat\kappa\cdot)^\top}\\ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}_{\hat a}^\top}}_-\sim & \mathcal{S}^{-\infty}(\hat G) } \end{displaymath} Wir zeigen nun, da"s wir die obersten Diagramme mit den untersten Diagrammen, nachdem wir in letzteren die Vertikalen durch ihre Negativen ersetzt haben, zusammensetzen k"onnen zu kommutativen Diagrammen der Gestalt \begin{displaymath}\xymatrix{\mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[d]^{(-\xi\cdot)^\top}_{-\partial_{\kappa}^\top}\ar@/^1cm/[rrr]^-{\mathcal{F}_{ \hat a}^\top}_-\sim &\mathcal{M}(G)\ar@{_{(}->}[l]\ar[d]^{(\xi\cdot)}_{\partial_{\kappa}}\ar[r]^-{\mathcal{F}_{ a}}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G)\ar@{^{(}->}[r] \ar[d]_{\hat\kappa\cdot }^{\partial_{\hat\xi}}&\mathcal{S}^{-\infty}(\hat G) \ar[d]_{(-\hat\kappa\cdot)^\top}^{-\partial_{\hat\xi}^\top}\\ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar@/_1cm/[rrr]^-{{\mathcal{F}_{ \hat a}^\top}}_-\sim&\mathcal{M}(G)\ar@{_{(}->}[l]\ar[r]^-{{\mathcal{F}_{ a}}}_-\sim & \mathcal{S}(\hat G)\ar@{^{(}->}[r]& \mathcal{S}^{-\infty}(\hat G) } \end{displaymath} mit den Einbettungen aus \ref{MfM} und \ref{SfS} als zus"atzlichen Pfeilen. Hier mu"s nur das Kommutieren des linken und rechten Quadrats noch gezeigt werden und zwar in beiden Varianten. Sie unterscheiden sich nur um Produkte mit Haarma"sen, die an der Kommutativit"at nichts "andern. Es reicht also, die Kommutativit"at der beiden Diagramme \begin{displaymath}\xymatrix{\mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[d]^{(-\xi\cdot)^\top}_{-\partial_{\kappa}^\top} &\mathcal{M}(G)\ar@{_{(}->}[l]\ar[d]^{(\xi\cdot)}_{\partial_{\kappa}}\\ \mathcal{M}^{-\infty}(G)&\mathcal{M}(G)\ar@{_{(}->}[l] } \end{displaymath} zu zeigen. Verfolgen wir also $\tau\in\mathcal M(G)$ auf seinem Weg nach links unten. Untenrum geht es auf $(\varphi\mapsto \int_G\bar\varphi \xi \;\tau)$. Obenrum geht es auf $(\varphi\mapsto \int_G\overline{(-\xi)\varphi} \;\tau)$ und das ist dasselbe, da in unseren Konventionen die Imagin"arkoordinate $\xi$ nur rein imagin"are Werte annimmt. Jetzt nochmal dasselbe f"ur das zweite Diagramm. Dazu schreiben wir $\tau=\psi\lambda$ f"ur ein Haarma"s $\lambda$. Diesmal geht das untenrum auf $(\varphi\mapsto \int_G\bar\varphi (\partial_\kappa\psi) \lambda)$ und obenrum aus $(\varphi\mapsto \int_G -\overline{\partial_\kappa\varphi} \psi \lambda)$. Nun haben wir aber $0=\int_G\partial_\kappa(\bar\varphi\psi)\lambda$, weil das Haarma"s $\lambda$ verschiebungsinvariant ist. Die Produktregel zeigt dann unsere Behauptung. Die Morphismen der "au"seren Vertikalen sind also Erweiterungen der partiellen Ableitungen beziehungsweise Produkte mit Imagin"arkoordinaten auf Fourierma"se beziehungsweise Fourierfunktionen und wir benennen sie entsprechend um und schreiben unsere kommutativen Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[d]_{\partial_{\kappa}}^{\xi\cdot}\ar[r]^-{\mathcal{F}_{ a}}_-\sim &\mathcal{S}^{-\infty}(\hat G) \ar[d]_{\hat\kappa\cdot }^{\partial_{\hat\xi}}\\ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}_{ a}}}_-\sim & \mathcal{S}^{-\infty}(\hat G) } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} [\textbf{Fouriertransformierte des Ma"ses $x\diff x$}] Gegeben die Charakterpaarung $a:\DR\times \DR\ra S^1, (x,y)\mapsto {\op{e}}^{-{\op{i}}xy}$ ist $(\diff x,\diff y/2\pi)$ ein Paar dualer Haarma"se. Nach \ref{FLeM} haben wir $\mathcal F_a: \diff x\mapsto \delta_0/2\pi\diff y$. Salopp gesprochen erwarten wir also, wenn denn beide Seiten sinnvoll definiert w"aren, eine Identit"at von Funktionen von $y$ der Gestalt $$\int {\op{e}}^{-{\op{i}xy}}\diff x=\frac{\delta_0}{2\pi\diff y}(y)$$ Sie sind nun zwar erst in $\mathcal S^{-\infty}(\DR)$ sinnvoll definiert. Wenn wir jedoch auf beiden Seiten noch eine Schwartzfunktion $\psi(y)$ daranmultiplizieren und das $\diff y$ hochmultiplizieren und zus"atzlich "uber $y$ integrieren, so verwandelt sich unsere Formel in die immer noch sinnlose Formel $$\int\int \psi(y){\op{e}}^{-{\op{i}xy}}\diff x\diff y=\frac{\psi(0)}{2\pi}$$ Wenn wir aber nun auf der linken Seite zuerst das Integral "uber $y$ auswerten und dann das Integral "uber $x$, so sind unsere Integrale sinnvoll definiert und wir erhalten nach der Inversionsformel eine Gleichheit in $\DC$. Unsere Formel in $\mathcal S^{-\infty}(\DR)$ kann in diesem Fall verstanden werden als eine abgek"urzte Schreibweise f"ur die Aussage, da"s diese Identit"at f"ur alle Schwartzfunktionen $\psi(y)$ gilt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir versuchen uns nocheinmal an einer L"osung der Wellengleichung $\partial_t^2u=\partial_x^2u$ und suchen L"osungen $u\in \mathcal S^{-\infty}(\DR^2)$ f"ur $x,t$ die Koordinaten von $\DR^2$. Sei $\lambda$ das Lebesguema"s auf $\DR^2$. Unsere Gleichung ist "aquivalent zu $\partial_t^2u\lambda=\partial_x^2u\lambda$. Wir nehmen einen zweiten $\DR^2$ mit Koordinaten $(s,y)$ \end{Beispiel} \begin{Proposition} Gegeben eine Fouriergruppe $G$ mit einem Gruppenweg $\xi:\DR\ra G$ und der zugeh"origen Imagin"arkoordinate $\breve\xi:\hat G\ra\DR$ nach \ref{KgW} l"a"st sich das kommutative Diagramm aus \ref{brevexi} mit der Notation $\op{M}^{\xi}(G)$ f"ur die Menge aller Ma"se der Gestalt $f\mu$ mit $\mu$ einem Haarma"s und $f\in\mathcal L^1(G,\mu)$ partiell stetig differenzierbar nach $\xi$ mit $\partial_\xi f\in\mathcal L^1(G,\mu)$ erweitern zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[ddddd]^{-\partial_\xi^\top} \ar[rrrrr]^-{\mathcal F_{\bar a}^\top}_-\sim &&&&&\mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)\ar[ddddd]^{ ({\op{i}}\breve\xi\cdot)^\top}\\ & \op{M}^{\xi}(G)\ar@{_{(}->}[ul]\ar[rrr]^{\mathcal{F}}\ar[ddd]^{\partial_\xi} &&&\mathcal{C}^{\op{b},\breve\xi}(\hat G)\ar@{^{(}->}[ur]\ar[ddd]^{-{\op{i}}\breve\xi\cdot }&\\ &&\mathcal{M}(G)\ar[d]^{\partial_\xi}\ar@{_{(}->}[ul]\ar[r]^-{\mathcal{F}}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G)\ar@{^{(}->}[ur] \ar[d]^{-{\op{i}}\breve\xi\cdot }&&\\ &&\mathcal{M}(G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}}}_-\sim \ar@{^{(}->}[dl]& \mathcal{S}(\hat G)\ar@{_{(}->}[dr] &&\\ &\op{M}(G)\ar@{^{(}->}[dl]\ar[rrr]^{{\mathcal{F}}} &&& \mathcal{C}^{\op{b}}(\hat G)\ar@{_{(}->}[dr] &\\ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[rrrrr]^-{\mathcal F_{\bar a}^\top}_-{\sim} &&&&& \mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)} \end{displaymath} mit der Notation $\mathcal C^{{\op{b}}}_{\breve \xi}(\hat G)$ f"ur die Menge aller $h\in \mathcal C^{{\op{b}}}(\hat G)$ mit $|\breve \xi\cdot h|$ beschr"ankt. \end{Proposition} \begin{proof} Wir wissen bereits aus \ref{brevexi}, da"s die Fouriertransformation $\op{M}^{\xi}(G)$ nach $\mathcal C^{{\op{b}},\breve \xi}(\hat G)$ abbildet und da"s das Diagramm ohne das "au"sere Quadrat kommutiert. Auch das Kommutieren des obersten und untersten Trapezes haben wir bereits gepr"uft. Es geht also nur noch um die Trapeze ganz links und ganz rechts und das "au"sere Quadrat. Wir beginnen mit dem Trapez links und betrachten $f\in \mathcal L^1(G,\mu)$ stetig partiell differenzierbar nach $\xi$ mit $\partial_\xi f\in\mathcal L^1(G,\mu)$ und vergleichen die Bilder von $f\mu$ in $\mathcal M^{-\infty}(G)$ unter beiden Wegen nach unten links. Der innere Weg bildet $f\mu$ ab auf $\varphi\mapsto \int_G \bar\varphi (\partial_\xi f) \mu$. Der "au"sere Weg bildet $f\mu$ ab auf $\varphi\mapsto \int_G (-\partial_\xi\bar\varphi) f \mu$. Es gilt zu zeigen $$0=\int_G \left((\partial_\xi\bar\varphi) f + \bar\varphi (\partial_\xi f)\right) \mu$$ Nun haben wir $\left((\partial_\xi\bar\varphi) f + \bar\varphi (\partial_\xi f)\right)=\partial_\xi(\bar\varphi f)$ und finden $$\int_0^a\left(\partial_\xi(\bar\varphi f)\right)(\xi(t)+g)\diff t= (\bar\varphi f)(\xi(a)+g)-(\bar\varphi f)(g)$$ $$\int_G\int_0^a\left(\partial_\xi(\bar\varphi f)\right)(\xi(t)+g)\diff t\boxtimes \mu= \int_G\big((\bar\varphi f)(\xi(a)+g)-(\bar\varphi f)(g)\big)\mu\langle g\rangle$$ Da aber $\mu$ ein Haarma"s ist, verschwindet die rechte Seite, und da wir links die Integrationsreihenfolge vertauschen d"urfen und da $\mu$ auch dort ein Haarma"s ist, erhalten wir $$\int_0^a\left(\int_G\left(\partial_\xi(\bar\varphi f)\right)(g) \mu\langle g\rangle\right)\diff t= 0$$ und damit verschwindet das innere Integral wie gew"unscht. Das Kommutieren des rechten "au"seren Trapezes ist offensichtlich und so bleibt uns nur noch, das Kommutieren des "au"seren Quadrats zu zeigen. Es entsteht aus dem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}(\hat G)\ar[d]^{\breve\xi\cdot}\ar[r]^-{\mathcal{F}_{\bar a}}_-\sim &\mathcal{S}( G) \ar[d]^{{\op{i}}\partial_{\xi} }\\ \mathcal{M}(\hat G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}}_{\bar a}}_-\sim & \mathcal{S}(G) } \end{displaymath} nach \ref{pAp} und \ref{Grko}, wenn wir darin beide Vertikalen mit $\op{i}$ multiplizieren und zu den R"aumen stetiger Schieflinearformen "ubergehen. \end{proof} \begin{Proposition} \nichtfinal{Hier ist was ungeputzt.} Gegeben eine Fouriergruppe $G$ mit einer Imagin"arkoordinate $\psi:G\ra {\op{i}}\DR$ und dem zugeh"origen Gruppenweg $\breve\psi:\DR\ra\hat G$ nach \ref{KgWW} l"a"st sich das kommutative Diagramm aus \ref{pAp} mit der Notation $\op{M}_\psi(G)$ f"ur die Menge aller Ma"se $\mu\in\op{M}(G)$ mit $\psi\in \mathcal L^1(G,\mu)$ erweitern zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[ddddd]^{(\psi\cdot)^\top} \ar[rrrrr]^-{\mathcal F_{\bar a}^\top}_-\sim &&&&&\mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)\ar[ddddd]^{ (-{\op{i}}\partial_{\breve\psi})^\top}\\ & \op{M}_{\psi}(G)\ar@{_{(}->}[ul]\ar[rrr]^{\mathcal{F}}\ar[ddd]^{\psi\cdot} &&&\mathcal{C}^{\op{b},\breve\psi}(\hat G)\ar@{^{(}->}[ur]\ar[ddd]^{-{\op{i}}\partial_{\breve\psi }}&\\ &&\mathcal{M}(G)\ar[d]^{\psi\cdot}\ar@{_{(}->}[ul]\ar[r]^-{\mathcal{F}}_-\sim &\mathcal{S}(\hat G)\ar@{^{(}->}[ur] \ar[d]^{-{\op{i}}\partial_{\breve\psi} }&&\\ &&\mathcal{M}(G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}}}_-\sim \ar@{^{(}->}[dl]& \mathcal{S}(\hat G)\ar@{_{(}->}[dr] &&\\ &\op{M}(G)\ar@{^{(}->}[dl]\ar[rrr]^{{\mathcal{F}}} &&& \mathcal{C}^{\op{b}}(\hat G)\ar@{_{(}->}[dr] &\\ \mathcal{M}^{-\infty}(G)\ar[rrrrr]^-{\mathcal F_{\bar a}^\top}_-{\sim} &&&&& \mathcal{S}^{-\infty}(\hat G)} \end{displaymath} mit der Notation $\mathcal C^{{\op{b}},\breve \psi}(\hat G)$ f"ur die Menge aller $h\in \mathcal C^{{\op{b}}}(\hat G)$, die partiell nach $\breve\psi$ differenzierbar sind mit $\partial_{\breve \psi} h\in \mathcal C^{{\op{b}}}(\hat G)$. \end{Proposition} \begin{proof} Wieder sind nur die Kommutativit"at der beiden Trapeze ganz links und ganz rechts sowie des "au"seren Quadrats noch zu zeigen. Die Kommutativit"at im linken Trapez ist offensichtlich. F"ur die Kommutativit"at im rechten Trapez gehen wir aus von $f\in \mathcal{C}^{\op{b},\breve\psi}(\hat G)$. Auf dem unteren Weg wird es abgebildet auf $\varphi\lambda\mapsto \int_{\hat G} -{\op{i}}\bar\varphi \partial_{\breve \psi}f\lambda$ f"ur irgendein Haarma"s $\lambda$ auf $\hat G$. Auf dem oberen Weg wird es abgebildet erst auf $\theta\lambda\mapsto \int_{\hat G} \bar\theta f\lambda$ und dann auf $\varphi\lambda\mapsto \int_{\hat G} (\overline{-{\op{i}}\partial_{\breve \psi}\varphi}) f\lambda$. Es gilt also zu zeigen $$0=\int_{\hat G} \big((\partial_{\breve \psi}\bar{\varphi}) f + \bar\varphi (\partial_{\breve \psi}f)\big)\lambda$$ Hier integrieren wir aber die Ableitung $\partial_{\breve \psi}(\bar{\varphi}f)$ einer stetig partiell differenzierbaren Funktion und integrierbaren Funktion nach einem Haarma"s und das verschwindet mit derselben Argumentation wie beim vorhergehenden Beweis. So bleibt uns nur noch, das Kommutieren des "au"seren Quadrats zu zeigen. Es entsteht aus dem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{M}(\hat G)\ar[d]^{\partial_{\breve \psi}}\ar[r]^-{\mathcal{F}_{\bar a}}_-\sim &\mathcal{S}(G) \ar[d]^{{\op{i}}\psi\cdot }&&\\ \mathcal{M}(\hat G)\ar[r]^-{{\mathcal{F}_{\bar a}}}_-\sim & \mathcal{S}(G) } \end{displaymath} nach \ref{brevexi} und \ref{Grko}, wenn wir darin beide Vertikalen mit $(-\op{i})$ multiplizieren und zu den R"aumen stetiger Schieflinearformen "ubergehen. \end{proof} \nichtfinal{Jetzt partielles Vordr"ucken f"ur $G$ beliebig!} \begin{Bemerkungl} Sei $\pi: V\ra W$ eine lineare Abbildung von endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen. Eine temperierte Distribution $\mu\in \mathcal M^{-\infty}(V)=\mathcal S'(V)$, also ein Element des stetigen Dualraums des Raums der Schwartzfunktionen auf $V$, hei"se {\bf vorschiebbar unter $\pi$}, wenn f"ur alle $\varphi\in \mathcal S(W)$ der Grenzwert $$\langle \varphi|\pi_*\mu \rangle \pdef \lim_{q\ra 0}\langle {\op{e}}^{-q}\cdot(\pi^*\varphi)|\mu \rangle$$ "uber alle positiv definiten quadratischen Formen $q$ auf $W$ existiert und als Linearform eine temperierte Distribution $\pi_*\mu\in \mathcal M^{-\infty}(W)$ ist. Die Funktionen ${\op{e}}^{-q}: x\mapsto {\op{e}}^{-q(x)}$ sind hier Gau"s'sche Glockenkurven mit Wert Eins am Ursprung, die f"ur $q\ra 0$ immer breiter werden. Die Funktionen $\pi^*\varphi=\varphi\circ\pi$ m"ussen keineswegs Schwartzfunktionen sein, aber ihre Produkte mit den Gau"s'schen Glockenkurven sind notwendig Schwartzfunktionen, auf die wir dann $\mu$ anwenden k"onnen. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Ich sollte das f"ur jede Fouriergruppe machen. Produkt von immer breiter werdenden Glockenkurven, eingeschr"anken Glockenkurven und der konstanten Funktion $1$ auf den kompakten Faktoren. Zeige, da"s es nicht genauer drauf ankommt. Umgekehrt zum Einschr"anken. Hier surjektive Homomorphismen nach $\DR^n$ mit kompaktem Kern und Standard-Glockenkurve zur"uckziehen. \end{Bemerkungl}} \begin{Beispiele} Jedes komplexe Ma"s auf $V$ sollte vorschiebbar sein mit dem Bildma"s als Vorschub. Jede Distribution mit kompaktem Tr"ager sollte vorschiebbar sein mit dem "ublichen Vorschub. F"ur $\pi$ injektiv sollte insbesondere jede temperierte Distribution vorschiebbar sein. Jede temperierte Distribution $\mu$ mit $\pi:\op{supp}\mu\ra W$ eigentlich oder vielleicht st"arker mit faserweise beschr"anktem Ma"s oder sowas sollte vorschiebbar sein. Ein Haarma"s sollte nur dann vorschiebbar sein, wenn $\pi$ injektiv ist. \end{Beispiele} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Hier injektive Homomorphismen von $\DR^n$ mit diskretem Kokern und vom Standard-Glockenkurvenma"s Bild nehmen. \end{Bemerkungl}} \begin{Bemerkungl} Sei $\psi: A\ra B$ eine lineare Abbildung von endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen. Eine temperierte verallgemeinerte Funktion $f\in \mathcal S^{-\infty}(B)=\mathcal M'(B)$, also ein Element des stetigen Dualraums des Raums der Schwartzma"se auf $B$, hei"se {\bf zur"uckziehbar unter $\psi$}, wenn f"ur alle $\tau\in \mathcal M(A)$ der Grenzwert $$\langle \tau| \psi^*f\rangle \pdef \lim_{p\ra \infty}\langle G_p\ast \psi_*\tau| f\rangle$$ "uber alle positiv definiten quadratischen Formen $p$ auf $V$ existiert und eine temperierte verallgemeinerte Funktion $\psi^*f\in \mathcal S^{-\infty}(A)$ liefert. Die Schwartzma"se $G_p$ sind dabei definiert als $G_p\pdef {\op{e}}^{-p(y)}\mu_p$ mit einem Haarma"s $\mu_p$, das normalisiert wird durch die Bedingung, da"s die Gesamtmasse von $B$ unter dem Ma"s $G_p$ Eins sein soll. Die $G_p$ sind also Standardnormalverteilungen, die sich f"ur $p\ra \infty$ immer st"arker am Ursprung konzentrieren. Gro"s ist eine Form dabei, wenn sie gr"o"ser ist als ein gro"ses Vielfaches einer festen Form. Welche feste Form wir dabei nehmen, ist unerheblich. Die Bildma"se $\psi_*\tau$ m"ussen keine Schwartzma"se sein, aber die Konvolutionen $G_p\ast \psi_*\tau$ sind notwendig wieder Schwartzma"se, etwa da sie durch Fouriertransformation zu Schwarzfunktionen werden, und wir k"onnen sie folglich mit unserer verallgemeinerten Funktion $f$ paaren. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Zu einem Haarma"s $\mu$ auf $B$ k"onnen wir die verallgemeinerte Funktion $f\pdef \delta_0/\mu$ bilden, die gegeben wird durch $\langle \varphi\mu| f\rangle= \overline{\varphi(0)}$ f"ur jede Schwartzfunktion $\varphi$. Wir wollen sie zur"uckziehen unter der Einbettung des Nullvektorraums $A=0$. In diesem Fall gibt es nur einen eindimensionalen Raum von Testma"sen mit Basis $\tau=\delta$ das Diracma"s auf dem einpunktigen Raum. Wir wollen also setzen $$\langle \tau| \psi^*f\rangle=\lim_{p\ra 0} \langle G_p| f\rangle$$ Speziell f"ur $f=\delta_0/\mu$ finden wir $\langle G_p| \delta_0/\mu\rangle=\langle {\op{e}}^{-p(y)}\mu C_p| \delta_0/\mu\rangle= C_p$ mit einer Konstante $C_p$, die f"ur $p\ra \infty$ ihrerseits gegen Unendlich strebt. Die verallgemeinerte Funktion $f\pdef \delta_0/\mu$ kann mithin nicht auf den Ursprung zur"uckgezogen werden. Jede stetige Funktion $f$ auf $B$ von h"ochstens polynomialem Wachstum kann jedoch auf den Ursprung zur"uckgezogen werden und liefert dann die konstante Funktion mit dem Wert $f(0)$. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Erweiterte Nat"urlichkeit der Fouriertransformation}] \nichtfinal{F"ur Fouriergruppen machen!} Gegeben eine lineare Abbildung $\pi:V\ra W$ von endlichdimensionalen reellen Vektorr"aumen ist $\mu\in \mathcal M^{-\infty}(V)$ vorschiebbar unter $\pi$ genau dann, wenn $\mathcal F\mu \in \mathcal S^{-\infty}(\hat V)$ zur"uckziehbar ist unter $\hat\pi$, und unter diesen Annahmen\label{ENF} gilt in $\mathcal S^{-\infty}(\hat W)$ die Gleichheit $$\mathcal F\pi_*\mu= \hat\pi^* \mathcal F\mu$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir f"uhren eine Hilfsterminologie ein und sagen \glqq schwach vorschiebbar\grqq\ beziehungsweise \glqq schwach zur"uckziehbar\grqq, wenn die fraglichen Limites f"ur alle $\varphi$ beziehungsweise alle $\tau$ existieren, wir jedoch nicht die Stetigkeit der dadurch gegebenen Schieflinearform auf $\varphi\in \mathcal S(W)$ beziehungsweise $\tau \in \mathcal M(\hat W)$ forden. Nun gehen wir in mehreren Schritten vor. \\[2mm]\noindent 1. Genau dann ist $\mathcal F\mu$ schwach zur"uckziehbar unter $\hat\pi$, wenn es eine Schieflinearform $P$ auf $\mathcal M(\hat W)$ gibt derart, da"s f"ur alle $\tau\in \mathcal M(\hat W)$ gilt $$ \langle \tau| P\rangle= \lim_{p\ra \infty}\langle G_p\ast \hat\pi_*\tau|\mathcal F \mu\rangle $$ Genau dann ist $\mathcal F\mu$ zur"uckziehbar unter $\hat\pi$, wenn $P$ au"serdem stetig ist, und dann haben wir per definitionem $\hat\pi^*\mathcal F\mu\pdef P$. \\[2mm]\noindent 2. Genau dann ist $\mu$ schwach vorschiebbar ist unter $\pi$, wenn es eine Schieflinearform $Q$ auf $\mathcal S(W)$ gibt derart, da"s f"ur alle $\varphi\in \mathcal S( W)$ gilt $$\begin{array}{lll} \langle \varphi| Q\rangle &=& \lim_{q\ra 0}\langle {\op{e}}^{-q}\cdot \pi^*\varphi| \mu\rangle \end{array} $$ Genau dann ist $\mu$ vorschiebbar, wenn $Q$ au"serdem stetig ist, und dann haben wir per definitionem $\pi_*\mu\pdef Q$. \\[2mm]\noindent 3. F"ur $\hat{\mathcal F}(G_p)={\op{e}}^{-q}$ beachten wir, da"s die gro"sen $p$ den kleinen $q$ entsprechen und da"s gilt $$ \langle G_p\ast \hat\pi_*\tau|\mathcal F \mu\rangle = \langle \hat{\mathcal F}(G_p\ast \hat\pi_*\tau)| \mu\rangle= \langle {\op{e}}^{-q}\cdot \hat{\mathcal F}\hat\pi_*\tau| \mu\rangle= \langle {\op{e}}^{-q}\cdot \pi^*\hat{\mathcal F}\tau| \mu\rangle $$ Da $\hat{\mathcal F}$ einen Isomorphismus $\hat{\mathcal F} : \mathcal M(\hat W)\sira \mathcal S( W)$ liefert, ist $\mu$ schwach vorschiebbar genau dann, wenn $\mathcal F\mu$ schwach zur"uckziehbar ist, und dann gilt zus"atzlich $\langle \hat{\mathcal F}\tau|Q\rangle=\langle\tau|P\rangle$. Da $\hat{\mathcal F}$ sogar ein Isomorphismus von topologischen Vektorr"aumen ist, ist weiter $P$ stetig genau dann wenn $Q$ stetig ist und die Behauptung folgt aus der Definition von $\mathcal F: \mathcal M^{-\infty}(W)\ra \mathcal S^{-\infty}(\hat W)$. \end{proof} \nichtfinal{\begin{Proposition} Gegeben $\psi:U\ra V$ und $\pi:V\ra W$ und $\mu\in \mathcal M^{-\infty}(U)$ vorschiebbar unter $\psi$ sowie $\psi_*\mu$ vorschiebbar unter $\pi$ ist $\mu$ auch vorschiebbar unnter $\pi\circ\psi$ und es gilt $$(\pi\circ\psi)_*\mu=\pi_*(\psi_*\mu)$$ Analog mit Zur"uckziehen. Habe noch nicht "uberlegt, ob es wirklich stimmt. Soll Assoziativit"at der Faltung liefern. Die stimmt aber gar nicht nach Rudin $(1*\delta')*H =0\neq 1=1*(\delta'* H)$ f"ur $H$ die Heavyside-Funktion, also ist da irgendwo ein ernstes Problem und vielleicht wenn es alle Vorschiebereien gibt, sind sie gleich, aber sonst nicht notwendig. \end{Proposition}} \begin{Beispiel} \nichtfinal{(Geraten!)} Ist $\mu$ ein Haarma"s auf $V$, so finden wir $\mathcal F\mu=\delta_0/\hat\mu$ mit $\hat\mu$ dem Plancherelma"s zu $\mu$. Ist $\pi:V\hra W$ eine Injektion, so finden wir $\mathcal F\pi_*\mu=\pi^*(\delta_0/\hat\mu)$ und das ist ja wohl ein Ding, das jedem Schwartzma"s $\tau\in\mathcal M(\hat W)$ alias $\tau= f\nu$ f"ur $\nu$ ein Haarma"s von $\hat W$ und $f\in \mathcal S(\hat W)$ das Integral von $\bar f$ "uber den Kern von $\hat\pi: \hat W\sra \hat V$ zuordnet "uber dasjenige Haarma"s auf dem Kern, das $\hat \mu$ zu $\nu$ erg"anzt in noch genauer auszuschreibender Weise. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit mit "au"seren Produkten}] Gegeben $(G,\lambda)$ und $(H,\mu)$ Fouriergruppen mit Haarma"s erhalten wir eine offensichtliche Charakterpaarung $G\times H\times \hat G\times \hat H\ra S^1$ und darunter ist $\hat\lambda\boxtimes\hat\mu$ das Plancherelma"s zu $\lambda\boxtimes\mu$ und wir haben bilineare Abbildungen $\boxtimes: \mathcal{M}^{-\infty}( G)\times \mathcal{M}^{-\infty}( H)\ra \mathcal{M}^{-\infty}( G\times H)$ und analog an allen anderen Ecken unseres Diagramms, die vertr"aglich sind mit allen Pfeilen, also $\mathcal F(\alpha\boxtimes\beta)=\mathcal F(\alpha)\boxtimes\mathcal F(\beta) \;\forall \alpha \in \mathcal{M}^{-\infty}( G),\beta \in \mathcal{M}^{-\infty}( H)$ et cetera. Des weiteren: Sind $\phi:G\ra G'$ und $\psi:H\ra H'$ setige Gruppenhomomorphismen und sind $\alpha$ und $\beta$ vorschiebbar, so ist auch $\alpha\boxtimes\beta$ vorschiebbar und es gilt $$(\phi\times\psi)_*(\alpha\boxtimes\beta) =(\phi_*\alpha)\boxtimes(\psi_*\beta)$$ et cetera. \nichtfinal{Die Konstruktion der "au"seren Produkte ist nichttrivial und Arbeit, wie bei gew"ohnlichen Distributionen auch.} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Erweiterte Faltung und Multiplikation}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. \begin{enumerate}\item Temperierte Distributionen $\mu,\nu\in \mathcal M^{-\infty}(V)$ hei"sen {\bf faltbar}, \index{faltbar!Distributionen} wenn $\mu\boxtimes\nu$ vorschiebbar ist unter der Addition. Dann schreiben wir $$\mu\ast \nu\pdef \op{add}_*(\mu\boxtimes\nu)$$ \item Temperierte verallgemeinerte Funktionen $f,g\in \mathcal S^{-\infty}(V)$ hei"sen {\bf multiplizierbar}, \index{multiplizierbar!verallgemeinerte Funktionen} wenn $f\boxtimes g$ zur"uckziehbar ist unter der diagonalen Einbettung. Dann schreiben wir $$f\cdot g\pdef \Delta^*(f\boxtimes g)$$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Falten mit einem kompakt getragenen Fourierma"s geht immer. Falten mit Schwartzma"s sollte auch immer gehen. Produkt mit Schwartzfunktion sollte immer gehen. Produkt mit unseren $\breve \xi$ sollte immer gehen, da das ja Konvolution mit kompakt getragenem Fourierma"s entspricht. Vielleicht ein Teil dieser Aussagen sp"ater. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fouriertransformation und Faltung}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum. Genau dann sind $\mu,\nu\in \mathcal M^{-\infty}(V)$ faltbar, wenn $\mathcal F\mu,\mathcal F\nu\in \mathcal S^{-\infty}(\hat V)$ multiplizierbar sind, und dann gilt in $\mathcal S^{-\infty}(\hat V)$ die Identit"at $$\mathcal F(\mu\ast \nu)=(\mathcal F \mu)\cdot (\mathcal F \nu)$$ Das folgt unmittelbar aus der Nat"urlichkeit der erweiterten Fouriertransformation \ref{ENF} und den Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} \nichtfinal{(Geraten!)} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ und ein Vektor $v\in V$ gibt es $\delta_0{\op{D}}_v\in \mathcal M^{-\infty}(V)$ gegeben durch $(\delta_0{\op{D}}_v)(f)= \delta_0({\op{D}}_v f)$ der Richtungsableitung der Schwartzfunktion $f$ im Ursprung. Die Konvolution mit $(\delta_0{\op{D}}_v)$ ist dann immer definiert und wirkt als eine partielle Ableitung. Die Fouriertransformierte von $(\delta_0{\op{D}}_v)$ ist die Funktion $\breve v$, die jedem Charakter aus $\hat V$ seine Richtungsableitung im Ursprung zuordnet. \nichtfinal{(Da hatte ich doch eine sch"one Notation? $\breve \xi$ aus \ref{brevexi}?)} Also finden wir recht allgemein, da"s Richtungsableitungen unter der Fouriertransformation der Multiplikation mit linearen Funktionen entsprechen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Tapfer rechnen: Kann doch wohl Ma"s mit Funktion falten, jedenfalls manchmal, indem eben mit Haarma"s verwandelt wird und wieder zur"uck. Das sollte die Funktion ableiten, indem man das abgeleitete Diracma"s drankonvolutiert. Wie vetr"agt sich dieses Ableiten mit dem Produkt mit Funktionen? Da gibt es vielleicht Konstanten zu beachten, aber nachher operiert die Weylalgebra wie "ublich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Tapfer rechnen: Kann doch wohl Funktion vorschieben, jedenfalls manchmal, indem eben mit Haarma"s verwandelt wird und wieder zur"uck. Zum Beispiel kann Funktion stets ausdehnen durch Null. Dehne ich Funktion auf Punkt so aus, erhalte ich so ungef"ahr das Diracma"s am Ursprung geteilt durch das Haarma"s. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Fourierma"se $\kappa\in \mathcal M^{-\infty}(\DR^2)$ mit $(\partial_x^2-\partial_t^2)\kappa=0$ sind in Bijektion zu Fourierfunktionen $f\in \mathcal S^{-\infty}(\DR^2)$ mit $(\xi^2 -\tau^2)f=0$. Ich gehe hier aus von der Charakterpaarung $\DR^2\times \DR^2\ra S^1$ gegeben durch $((x,t),(\xi,\tau))\mapsto \exp(-{\op{i}}(x\xi +t\tau))$. Unsere Bedingung bedeutet $(\xi -\tau)(\xi +\tau)f=0$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Jetzt erst mal auf einer Gerade zeigen, da"s $x\cdot f=0$ bedeutet $f\in \DC \delta_0/\lambda$ f"ur Haarma"s $\lambda$. Dann liefert Produktvertr"aglichkeit und Koordinatenwechsel, da"s $(\xi +\tau)f=0$ bedeutet, da"s $f$ der Vorschub einer Fourierfunktion auf der Gerade mit der Gleichung $\xi+\tau=0$ ist. Dann "uberlegen, da"s $(\xi -\tau)(\xi +\tau)f=0$ bedeutet, da"s da"s $f$ Summe von Vorsch"uben von zwei Fourierfunktionen ist, eine weitere auf der Gerade mit der Gleichung $\xi-\tau=0$, und da"s nur die Vielfachen der Deltafunktion am Ursprung in beiden Bildern ist. Das sollte eine Art Koszulkomplex sein. Jetzt k"onnen wir in verschiedenen Weisen alle L"osungen angeben. \begin{enumerate} \item Entweder wir nehmen die konstante Funktion Eins auf der einen Geraden, ausgedehnt durch Null. Multipliziert mit irgendeiner Fourierfunktion in $\xi$ kriegen wir alle Fourierfunktionen auf der einen Geraden. Zur"ucktransformiert ist das ein Punktteilchen, das sich in eine Richtung bewegt. Gefaltet mit irgendeinem Fourierma"s kriegen wir eine Welle, die sich in eine Richtung bewegt. Dasselbe mit der anderen Geraden gibt eine Welle in die andere Richtung. Die konstanten Funktionen kriegen wir doppelt. \item Alternativ k"onnen wir die Summe der konstanten Funktionen Eins auf den beiden Achsen nehmen und die Differenz der konstanten Funktionen Eins auf den beiden Achsen. Zur"ucktransformiert sind das zwei Punktteilchen, die von rechts und links kommen und sich zum Zeitpunkt Null im Ursprung treffen und dann wieder auseinanderlaufen, wobei im zweiten Fall das eine Teilchen formal das Negative des anderen ist. Konvolutiert mit einer r"aumlichen Fourierfunktion, so gibt das eine alle Wellen, die gleich aussehen, wenn man die Zeit r"uckw"arts laufen l"a"st, und das andere alle Wellen, die wie das Negative aussehen, wenn man die Zeit r"uckw"arts laufen l"a"st. Zusammen kriegt man also jede Welle genau einmal. \end{enumerate} \end{Beispiel} \nichtfinal{Es ist eigentlich sinnvoller, L"osungen zu suchen, die in r"aumlicher Richtung kompakten Tr"ager haben und so, da"s sie eine Basis sind f"ur den Raum aller in r"aumlicher Richtung kompakten L"osungen unter der r"aumlichen Konvolution mit kompakt getragenen Fourierfunktionen. Insbesondere k"onnen wir dann alle L"osungen, die in r"aumlicher Richtung Schwartzfunktionen sind, eindeutig schreiben als Summe r"aumlicher Konvolutionen mit Schwartzfunktionen unserer Basisl"osungen. F"ur die eindimensionale Wellengleichung sind solche Basisl"osungen die beiden Teilchen, die von rechts und links kommend sich zum Zeitpunkt Null im Ursprung kreuzen, sowie eine weitere L"osung, die beschrieben werden kann als eine lokal integrierbare Funktion, die konstant Eins ist auf dem kausalen Teil des Zeitkegels, konstant $-1$ auf dem antikausalen Teil des Zeitkegels und die Nullfunktion auf dem Rest unserer zweidimensionalen Raumzeit. Anschaulich bedeutet sie eine Rechteckfunktion alias ein Plateau mit senkrecht zu Null abfallenden R"andern, das sich mit der Zeit nach beiden Seiten immer mehr verbreitert, das aber in Richtung negativer Zeiten im Zeitpunkt Null in eine Vertiefung umschl"agt, die sich dann ebenfalls immer weiter ausdehnt.} \begin{Bemerkungl} Bei H"ormander lernt man, da"s es eine analytische Abbildung $\DC\ra \mathcal S^{-\infty}(\DR)$ notiert $a\mapsto \chi_+^{a}$ gibt mit $$\chi_+^{a}(\varphi)=\frac{1}{\Gamma(a+1)}\int_{0}^\infty x^a \varphi(x)\diff x$$ f"ur $\op{Re}(a)>-1$. \nichtfinal{Ich mu"s noch sehen, ob das vielleicht besser in $\mathcal M^{-\infty}(\DR)$ leben sollte.} Man beachte dabei, da"s die Gammafunktion nach \eref{ga12}{FT1} keine Nullstellen hat. Insbesondere ist $\chi_+^{0}$ die Heavyside-Funktion. Weiter zeigt er, da"s das Ableiten $\chi_+^{a}$ zu $\chi_+^{a-1}$ macht, so da"s $\chi_+^{-1}=\delta_0$ Dirac am Ursprung ist. Schlie"slich zeigt er, da"s das $\chi_+^{a}$ unter Fouriertransformation in ein Vielfaches von $(\xi-{\op{i}}0)^{-a-1}$ "ubergeht, so einen Grenzwert von Integralen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} \nichtfinal{(Superdoll geraten!)} Verallgemeinerte Funktionen, die die Differentialgleichung $\partial_x^2+\partial_y^2+\partial_z^2-\partial_t^2$ l"osen, entsprechen also mehr oder weniger allgemeinen Funktionen mit $(x^2 +y^2 + z^2-t^2) f=0$. Wenn unsere Funktionen auch noch eingeschr"ankt auf eine geeignete Hyperebene ein Diracdelta sein sollen, m"u"ste die Fouriertransformierte vorgeschoben auf den Quotienten nach einer geeigneten Gerade konstant sein. Also sollten wir so in etwa konstante Funktionen auf dem Kegel kriegen, ausgedehnt durch Null. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Riemann'sche $\zeta$-Funktion}] Wir haben $1/n^s= \op{e}^{-2\pi{\op{i}}(\log n)y}$ f"ur $s=2\pi{\op{i}}y$ alias $y=-{\op{i}}s/2\pi$ und f"ur die Distribution $D\pdef \sum_{n\geq 1}\delta_{\log n}$ gilt zumindest formal $$\zeta(s)=D^\wedge(-{\op{i}}s/2\pi)$$ Ich w"u"ste gerne, ob $D$ temperiert ist oder zumindest eine temperierte Hyperfunktion, so da"s die Fouriertransformierte sinnvoll definiert ist. Sollte mal A.Weil \glqq Fonctions zeta et distributions\grqq\ zu Tate's thesis angucken, S\'eminaire Bourbaki 312, Juin 1966, Benjamin N.Y. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gammafunktion}] Die Gammafunktion $\Gamma(z)\pdef \int_0^\infty{\op{e}}^{-t}t^{z-1}\diff t$ aus \eref{GaF}{FT1} scheint die Fouriertransformierte des Ma"ses ${\op{e}}^{-t}t^{-1}\diff t$ unter der Charakterpaarung $p:\DR_{>0}\times \DR\ra S^1, (t,y)\mapsto {t}^{{\op{i}}y}$ aus \ref{BsCH}, genauer gilt bis auf Konvergenzprobleme $$\Gamma({\op{i}}y)=\int_0^\infty t^{{\op{i}}y}{\op{e}}^{-t}t^{-1}\diff t=\mathcal F_p({\op{e}}^{-t}t^{-1}\diff t)$$ Zus"atzlich mag man bemerken, da"s $t^{-1}\diff t$ ein Haarma"s auf $\DR_{>0}$ ist. Die Funktion $t\mapsto {\op{e}}^{-t}$ auf der multiplikativen Gruppe zu betrachten ist allerdings absonderlich, denn a priori ist das ein Isomorphismus von der additiven Gruppe zur Einskomponente der multiplikativen Gruppe, und diese Funktion hinwiederum auf die Einskomponente der multiplikativen Gruppe als Teilmenge der additiven Gruppe einzuschr"anken ist erst einmal merkw"urdig. Wir haben weiter $1=\mathcal F_p(\delta_1)$, weil das Diracma"s beim neutralen Element stets in die konstante Funktion Eins transformiert wird. Nach \ref{brevexi} ist $\hat\kappa\pdef {\op{i}}y$ die adjungierte Imagin"arkoordinate zum Gruppenweg $\kappa:s\mapsto {\op{e}}^{\pm s}$ (oder jedenfalls fast) und mit \ref{brevexi} finden wir ${\op{i}}y=\mathcal F_p(\delta'_1)$ f"ur die Ableitung des Diracma"ses beim neutralen Element. \end{Bemerkungl} \subsection{Kompakte R\"{a}ume, hier n"otig?}\label{aKoR} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Nicht mehr zutreffend!} In diesen Vorlesungen haben wir bis hierher vom Begriff der Kompaktheit allgemeiner topologischer R"aume wenig mehr als die Definition \eref{koTO}{AN1} kennengelernt. Um aber im folgenden den Satz "uber die Regularit"at von Borelma"sen \ref{ReBor} in der ihm angemessenen Allgemeinheit zeigen zu k"onnen, m"ussen wir nun etwas mehr "uber dieses Konzept lernen. Der Begriff der Kompaktheit mit seinen Eigenschaften ist ein zentrales Konzept der Mathematik. Er wird Ihnen im weiteren Verlauf des Studiums noch oft begegnen. Ich beginne mit einer Wiederholung der Definition. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein topologischer Raum hei\ss t {\bf kompakt},\index{kompakt!topologischer Raum} wenn jede offene \"{U}berdeckung unseres Raums\label{aDeKom} eine endliche Teil\"{u}berdeckung besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ unser topologischer Raum, so fordern wir also in Formeln ausgedr"uckt, da"s es f\"{u}r jedes System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von offenen Teilmengen von $X$ mit $X=\bigcup_{U\in\cal{U}}U$ ein endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{U}$ gibt mit $X= \bigcup_{U\in \cal{E}}U$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die Konventionen sind, was den Begriff der Kompaktheit angeht, nicht ganz einheitlich. Die hier gew"ahlte Konvention ist im englischen Sprachraum weit verbreitet. Bourbaki und mit ihm die meisten franz"osischen und auch viele andere Autoren nennen die in unserem Sinne kompakten R\"{a}ume nur {\bf quasikompakt}\index{quasikompakt} und fordern von kompakten R"aumen zus"atzlich die Hausdorff-Eigenschaft. Eine Teilmenge eines topologischen Raums, deren Abschlu"s kompakt ist, nennt man {\bf relativ kompakt}.\index{relativ!kompakt}\index{kompakt!relativ} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kompaktheit metrischer R"aume}] Nach \eref{KO}{AN2} ist ein metrischer Raum \glqq folgenkompakt\grqq, als da hei"st kompakt im Sinne von \eref{DMK}{AN2} genau dann, wenn er f"ur seine metrische Topologie kompakt ist im Sinne unserer abstrakten Definition \ref{aDeKom}. \end{Beispiel} \begin{Beispiele}\label{aKODI} Eine Menge mit der diskreten Topologie ist kompakt genau dann, wenn sie endlich ist. Eine Menge mit der Klumpentopologie ist stets kompakt. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausformulierung der Kompaktheit f"ur die Spurtopologie}] Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge. So sind gleichbedeutend nach unseren Definitionen (1) $A$ ist kompakt mit der induzierten Topologie und (2) f"ur jedes System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von offenen Teilmengen von $X$ mit $A \subset \bigcup_{U\in\cal{U}}U$ finden wir ein endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{U}$ mit $A\subset \bigcup_{U\in \cal{E}}U$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{aKAb} Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist stets abgeschlossen. \nichtfinal{War schon \eref{HKA}{AN2}!}\end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Durch Widerspruch. Sei $X$ unser Hausdorffraum und $A\subset X$ eine kompakte Teilmenge. Ist $A$ nicht abgeschlossen, so gibt es $x\in \bar{A}\backslash A$. F\"{u}r jedes $a \in A$ finden wir dann in $X$ disjunkte offene Umgebungen $U_{a}$ und $V_{a}$ von $a$ und $x$. Nat\"{u}rlich gilt $A\subset \bigcup_{a\in A}U_{a}$, also gibt es auch endlich viele $a,\ldots, b \in A$ mit $A\subset U_{a} \cup \ldots \cup U_{b}$. Als endlicher Schnitt offener Mengen ist dann jedoch auch $ V_{a}\cap \ldots \cap V_{b}$ offen und nach Konstruktion gilt $A \cap V_{a}\cap \ldots \cap V_{b} = \emptyset$ im Widerspruch zu unserer Annahme $x\in \bar{A}$. \end{proof} \begin{Satz}\label{aBKo} Das Bild eines kompakten Raums unter einer stetigen Abbildung ist stets kompakt. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $f: X\ra Y$ stetig und $X$ kompakt. Es gilt zu zeigen, da"s auch $f(X)$ kompakt ist. Sei dazu $\cal{U}$ ein System von offenen Teilmengen von $Y$. So gilt $$\begin{array}{lcl} f(X) \subset \bigcup_{U \in \cal{U}} U&\Rightarrow &X =\bigcup_{U \in \cal{U} }f^{-1}(U)\\ &\Rightarrow& X= f^{-1}(U_{{1}}) \cup \ldots \cup f^{-1}(U_{{k}}) \\ &\Rightarrow & f(X) \subset U_{{1}} \cup \ldots \cup U_{{k}} \end{array}$$ f\"{u}r geeignete $U_1, \ldots ,U_k\in \cal{U}$. \end{proof} \begin{Definition} Eine nicht notwendig stetige Abbildung von topologischen R"aumen hei"st {\bf abgeschlossen}\index{abgeschlossen!Abbildung}, wenn das Bild jeder abgeschlossenen Menge wieder abgeschlossen ist. \end{Definition} \begin{Satz}\label{aQHK} Eine stetige Abbildung von einem kompakten Raum in einen Hausdorffraum ist stets abgeschlossen. Eine stetige surjektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum ist stets \hyperref[final]{final}. Eine stetige bijektive Abbildung von einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum ist stets ein Hom\"{o}omorphismus. \end{Satz}\begin{proof}[Beweis] Sei $X$ kompakt, $Y$ Hausdorff und $f:X \ra Y$ stetig und bijektiv. Es reicht zu zeigen, da"s $f$ abgeschlossene Mengen auf abgeschlossene Mengen abbildet. Aber in der Tat gilt ja $A \As X \Rightarrow A$ kompakt $\Rightarrow f(A)$ kompakt $\Rightarrow f(A) \As Y$ nach \ref{aAKo} und \ref{aBKo} und \ref{aKAb}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Hausdorff-Eigenschaft versus Kompaktheit}] Die Haus\-dorff\-ei\-gen\-schaft und die Kompaktheit sind An\-ta\-gonisten: Die Hausdorff-Ei\-gen\-schaft verlangt nach vielen offenen Mengen und die Kompaktheit nach wenigen. Ist beides gleichzeitig erf"ullt, so kann man nach dem vorhergehenden Satz \ref{aQHK} keine zus"atzlichen Mengen als offen deklarieren, ohne die Kompaktheit zu verlieren, und nicht weniger Mengen als offen deklarieren, ohne die Hausdorff-Eigenschaft zu verlieren. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Extrema auf Kompakta}] Eine stetige reellwertige Funktion auf einem nichtleeren kompakten Raum ist beschr\"{a}nkt und nimmt ihr Maximum\label{aMaM} und ihr Minimum an. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ist $X$ kompakt und $f:X\ra \DR$ stetig, so ist $f(X)\subset \DR$ auch kompakt, also beschr\"{a}nkt und abgeschlossen. Haben wir zus"atzlich $X\neq\emptyset$, so folgt $\sup f(X)$, $\inf f(X)\in f(X)$. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Aus der Analysis vertraute Kriterien f\"{u}r Abgeschlossenheit, Stetigkeit, Kompaktheit und dergleichen \"{u}ber Eigenschaften von Folgen \"{u}bertragen sich erst auf beliebige topologische R\"{a}ume, wenn man den Begriff der Folge zu dem des Filters verallgemeinert. Wir stellen die Diskussion dieses Begriffs zur\"{u}ck bis zum Beweis des Satzes von Tychonoff \eref{ST}{TM}. Da"s \glqq folgenabgeschlossen\grqq\ keineswegs \glqq abgeschlossen\grqq\ impliziert, zeigt das Beispiel \eref{FANA}{TM}. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sind $A$ und $B$ disjunkte kompakte Teilmengen eines Hausdorff\-raums $X$, so gibt es disjunkte offene Mengen $U,V\co X$ mit $A\subset U $ und $B\subset V$. Hinweis:\label{aFS} Man beginne mit dem Fall, da"s $A$ nur aus einem Punkt besteht. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{aKLK} In einem kompakten Hausdorffraum l"a"st sich jede Umgebung eines Punktes zu einer abgeschlossenen Umgebung desselben Punktes verkleinern. Hinweis: \ref{aFS}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{aExpH} Die Abbildung $(0,2\pi)\ra \DC$, $t\mapsto \exp({\op{i}}t)$ ist ein Hom"oomorphismus auf ihr Bild. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PKR} Man zeige, da"s das Produkt von zwei kompakten R"aumen stets wieder kompakt ist. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Gegeben beliebige, nicht notwendig $\sigma$-endliche Ma"sr"aume $(X,\mathcal M,\mu)$ und $(Y,\mathcal N,\nu)$ erkl"aren wir das {\bf Produktma"s}\index{Produktma"s} $\mu \boxtimes \nu$\index{)xbox@$\boxtimes$ "au"seres Produkt!von Ma"sen} als das gr"o"ste Ma"s auf der Produkt-$\sigma$-Algebra mit $(\mu \boxtimes \nu)(A \times B) = \mu (A) \nu (B)$ f"ur alle me"sbaren Mengen $A,B$ endlichen Ma"ses. Solch ein gr"o"stes Ma"s existiert\label{gMPo} als die gr"o"ste Ma"sfortsetzung nach \ref{KaEw} des eindeutig bestimmten Pr"ama"ses $\mu\times\nu$ auf dem Mengenring $[\mathcal M\times \mathcal N]^{<\infty}$ aller endlichen disjunkten Vereinigungen von Quadern $A \times B$ mit $A \in \cal{M}$ und $B \in \cal{N}$ jeweils von endlichem Ma"s mit $(\mu\times\nu):(A\times B)\mapsto \mu(A)\nu(B)$. Da"s es genau ein derartiges Pr"ama"s gibt, zeigt man wie im $\sigma$-endlichen Fall beim Beweis von \ref{PrMa}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bezeichnet $\tau:X\times Y\ra Y\times X$ das Vertauschen der Komponenten in einem Produkt, so haben wir auch in dieser Allgemeinheit offensichtlich eine Verwandschaft von Ma"sen $\tau:\mu\boxtimes\nu\leadsto \nu\boxtimes\mu$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der positive Fubini \ref{pF} gilt auch f"ur nicht notwenig $\sigma$-endliche Ma"sr"aume, wenn wir von unserer me"sbaren Funktion zus"atzlich fordern, da"s sie au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Teilmenge des Produkts verschwindet. Jede $\sigma$-endliche Teilmenge f"ur unser neues Produktma"s liegt n"amlich bereits in einem Produkt von $\sigma$-endlichen Teilmengen der Faktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Korollar \ref{IFG} zum Integral als Fl"ache unter einem Graphen gilt weiter, auch wenn $X$ nicht $\sigma$-endlich ist. Wenn $f$ au"serhalb einer $\sigma$-endlichen Menge verschwindet, bleibt der Beweis derselbe.\label{flug} Sonst betrachten wir die Mengen $f^{-1}\big((1/(n+1), 1/n]\big)$ mit $n\geq 1$ und $f^{-1}((1, \infty])$ und sehen, da"s mindestens eine von ihnen unendliches Ma"s haben mu"s. Damit sind dann beide Seiten unendlich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz von Fubini \ref{Fuba} gilt auch ohne die Annahme irgendwelcher $\sigma$-Endlichkeiten. Hat $f$ n"amlich nicht $\sigma$-endlichen Tr"ager, so kann $f$ nicht integrierbar sein mit demselben Argument wie f"ur die Erweiterung der Diskussion der Fl"ache unter einem Graphen \ref{flug}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine injektive Abbildung $i:X\ra Y$ von Me"sr"aumen nennen wir {\bf vorw"artsme"sbar},\index{vorw"artsme"sbar} wenn das Bild jeder me"sbaren Menge me"sbar ist,\label{vwmI} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine vorw"artsme"sbare injektive Abbildung $i:X\ra Y$ von Me"sr"aumen k"onnen wir zu jedem Ma"s $\nu$ auf $Y$ seine {\bf Einschr"ankung} $i^!\nu$ zu einem Ma"s auf $X$ erkl"aren durch\label{EiMa} $$(i^!\nu)(A)\pdef \nu(i(A))$$ Jede Verkn"upfung vorw"artsme"sbarer Injektionen $i,j$ ist eine vorw"artsme"sbare Injektion $i\circ j$ und es gilt $j^!\circ i^!=(i\circ j)^!$. Weiter gilt f"ur die Identit"at auf einem Me"sraum offensichtlich $\op{id}^!\nu=\nu$ f"ur jedes Ma"s $\nu$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine me"sbare und vorw"artsme"sbare injektive Abbildung $i:X\ra Y$ von Me"sr"aumen gilt f"ur jedes Ma"s $\mu$ auf $X$ die Identit"at $$i^!(i_*\mu)=\mu$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertauschen von Einschr"ankung und Vorschub}] Gegeben ein kommutatives Diagramm $$\xymatrix{ W\ar[r]^{q}\ar[d]_{g} & X\ar[d]^{f}\\ Z \ar[r]^{p} & Y }$$ von Me"sr"aumen mit $p,q$ me"sbar und $f,g$ vorw"artsme"sbaren Injektionen, bei dem das zugrundeliegenden Diagramm von Mengen kartesisch ist, gilt offensichtlich die Identit"at $q_*g^!=f^!p_*$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung von Produktma"sen}] Gegeben vorw"artsme"sbare Injektionen $f_i:X_i\ra Y_i$ und Ma"se $\nu_i$ auf $Y_i$ f"ur $1\leq i\leq r$ und $r\geq 0$ gilt $$(f_1\times\ldots\times f_r)^!(\nu_1\boxtimes\ldots\boxtimes \nu_r)= (f_1^!\nu_1)\boxtimes\ldots\boxtimes (f_r^!\nu_r)$$ In der Tat nehmen beide Seiten auf den Erzeugern $A_1\times\ldots\times A_r$ mit $A_i\subset X_i$ me"sbar der Produkt-$\sigma$-Algebra dieselben Werte an und ordnen jeder me"sbaren Menge das Ma"s $\infty$ zu, die keine abz"ahlbare "Uberdeckung durch derartige Quader endlichen Ma"ses besitzt, sind also beide die gr"o"ste Ausdehnung nach \ref{KaEw} desselben Pr"ama"ses. STOPP: DAS IST KEINESWEGS KLAR. F"UR EINBETTUNG MESSBARER TEILMENGEN SCHON, ABER SONST NETTE. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Abbildung $f:X\ra Y$ und eine Funktion $a:X\ra [0,\infty]$ setzen wir $$(f_!a)(y)\pdef \sum_{f(x)=y}a(x)$$ und nennen diese Konstruktion die {\bf Summation "uber die Fasern}. Wir vereinbaren f"ur unsere Summe dabei die Interpretation nach \eref{BAKo}{AN1}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigenschaften der Summation "uber die Fasern}] Es gilt stets $\op{id}_!a=a$. Gegeben Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ haben wir $g_!(f_!a)=(g\circ f)_!a$. Weiter gilt stets $f_!(a+b)=(f_!a)+ (f_!b)$ und $f_!(\lambda a)=\lambda (f_! a)\;\forall \lambda\in [0,\infty]$ mit der "ublichen Konvention $0\cdot\infty=0=\infty\cdot 0$. Wir haben auch $a\leq b\RA (f_!a)\leq (f_!b)$. Schlie"slich vertauscht die Summation "uber die Fasern mit monotoner Approximation, gilt also genauer $a_0\leq a_1\leq\ldots$ und $\lim a_n(x)=a(x)\;\forall x\in X$, so folgt $\lim (f_!a_n)(y)=(f_!a)(y)\;\forall y\in Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir nennen eine Abbildung $f:X\ra Y$ von Me"sr"aumen ganz allgemein {\bf vorw"artsme"sbar},\index{vorw"artsme"sbar} wenn f"ur jede me"sbare Teilmenge $A\subset X$ die Summation "uber die Fasern $f_![A]$ ihrer charakteristischen Funktion $[A]$ wieder me"sbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine vorw"artsme"sbare Abbildung $f:X\ra Y$ von Me"sr"aumen und ein Ma"s $\nu$ auf $Y$ erkl"aren wir das {\bf zur"uckgezogene Ma"s}\index{Ma"s!zur"uckgezogenes} $f^!\nu$ auf $X$ durch $$(f^!\nu)(A)\pdef \int_Y f_![A]\;\nu$$ Die $\sigma$-Additivit"at des zur"uckgezogenen Ma"ses folgt hierbei aus dem Satz "uber monotone Konvergenz. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckw"artskompatibilit"at}] Eine injektive Abbildung von Me"sr"aumen ist genau dann vorw"artsme"sbar, wenn sie eine vorw"artsme"sbare Injektion im Sinne von \ref{vwmI} ist, wenn also das Bild jeder me"sbaren Menge wieder me"sbar ist. Unser zur"uckgezogenes Ma"s hier verallgemeinert das eingeschr"ankte Ma"s aus \ref{EiMa}. \end{Beispiel} \begin{Proposition} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von Me"sr"aumen ist genau dann vorw"artsme"sbar,\index{vorw"artsme"sbar} wenn f"ur jede me"sbare Funktion $a: X\ra [0,\infty]$ die Summation "uber die Fasern $f_!a$ wieder me"sbar ist, und dann gilt f"ur jedes Ma"s $\nu$ auf $Y$ die Identit"at\label{vztu} $$\int_X a\;f^!\nu=\int_Y f_!a\;\nu$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir zeigen nur die nichttriviale Implikation. Ist $f:X\ra Y$ vorw"artsme"sbar, so ist offensichtlich f"ur jede me"sbare Stufenfunktion $s:X\ra [0,\infty]$ auch $f_!s$ me"sbar. Da aber jede me"sbare Funktion $a:X\ra [0,\infty]$ nach \ref{MM} eine monotone Approximation durch me"sbare Stufenfunktionen besitzt und da Summation "uber die Fasern mit monotoner Approximation vertauscht und punktweise Grenzwerte me"sbarer Funktionen nach \ref{MG3} wieder me"sbar sind, folgt die Me"sbarkeit von $f_!a$. Die Gleichheit von Integralen folgt erst f"ur me"sbare Stufenfunktionen und dann mit dem Satz "uber monotone Konvergenz im allgemeinen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben vorw"artsme"sbare Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ ist nach \ref{vztu} auch $g\circ f$ vorw"artsme"sbar und f"ur jedes Ma"s $\rho$ auf $Z$ gilt $$f^! (g^! \rho)=(g\circ f)^!\rho$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Pr"ufen der Vorw"artsme"sbarkeit auf Erzeugern}] Sei $f:(X,\mathcal M)\ra (Y,\mathcal N)$ eine Abbildung von Me"sr"aumen mit endlichen Fasern. Wir nehmen an, da"s $f_![X]$ me"sbar ist und da"s es ein zweischnittstabiles Erzeugendensystem $\mathcal E$ der $\sigma$-Algebra $\mathcal M$ gibt mit $f_![E]$ me"sbar f"ur alle $E\in \mathcal E$. So ist $f$ vorw"artsme"sbar.\label{pVwm} \end{Proposition} \begin{proof} Das System aller $A\subset X$ mit $f_![A]$ me"sbar ist offensichtlich stabil unter Komplementmengenbildung, wenn $f$ endliche Fasern hat und $f_![X]$ me"sbar ist. Es ist dann sogar offensichtlich monoton im Sinne von \ref{MOSY}. Umfa"st es ein unter endlichen Schnitten stabiles Erzeugendensystem, so mithin auch die davon erzeugte Mengenalgebra und dann nach \ref{Mosy} auch die davon erzeugte $\sigma$-Algebra. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Endliche "Uberlagerungen sind vorw"artsme"sbar}] Jede "Uberlagerung von abz"ahlbar basierten topologischen R"aumen mit endlichen Fasern ist vorw"artsme"sbar in Bezug auf die Borelmengen. In der Tat bilden die Bilder von Schnitten auf offenen Teilmengen der Basis ein zweischnittstabiles Erzeugendensystem der borelschen $\sigma$-Algebra und nach Proposition \ref{pVwm} reicht es, die Vorw"artsme"sbarkeit auf diesem Erzeugendensystem zu pr"ufen. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Produkte vorw"artsme"sbarer Abbildungen}] Gegeben vorw"artsme"sbare Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:W\ra Z$ mit endlichen Fasern ist auch $(f\times g): X\times W\ra Y\times Z$ vorw"artsme"sbar und f"ur $\sigma$-endliche Ma"se $\mu,\nu$ gilt $$(f\times g)^!(\mu\boxtimes\nu)=(f^!\mu)\boxtimes(g^!\nu)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Sicher gilt f"ur beliebige Abbildungen $a:X\ra [0,\infty]$ und $b:W\ra[0,\infty]$ die Identit"at $(f\times g)_!(a\boxtimes b)=(f_! a)\boxtimes(g_! b)$. Sie zeigt, da"s f"ur $A\subset X$ me"sbar und $B\subset Y$ me"sbar auch $(f\times g)_![A\times B]=(f_! [A])\boxtimes(g_! [B])$ me"sbar ist. Nach Proposition \ref{pVwm} reicht es jedoch, die Vorw"artsme"sbarkeit auf diesem Erzeugendensystem zu pr"ufen, und damit ist $f\times g$ schon mal vorw"artsme"sbar. Nun sind nach "Ubung \ref{rzSE} die zu vergleichenden Ma"se beide $\sigma$-endlich. Es reicht also zu zeigen, da"s sie auf dem zweischnittstabilen Erzeugendensystem aller $A\times B$ mit $A,B$ me"sbar "ubereinstimmen. Das aber folgt aus dem positiven Fubini mit der Rechnung \begin{displaymath}\begin{array}[b]{lll} \big((f\times g)^!(\mu\boxtimes\nu)\big)(A\times B)&=& \int (f\times g)_![A\times B]\;\mu\boxtimes\nu\\[2mm] &=& \int(f_! [A]\boxtimes g_! [B]) \;\mu\boxtimes\nu\\[2mm] &=& \left(\int(f_! [A])\;\mu\right)\left(\int(g_! [B]) \nu\right)\\[2mm] &=& \big((f^!\mu)(A)\big)\big((g^!\nu)(B)\big)\\[2mm] &=& \big((f^!\mu)\boxtimes(g^!\nu)\big)(A\times B)\end{array}\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben $f:X\ra Y$ vorw"artsme"sbar mit endlichen Fasern und ein $\sigma$-endliches Ma"s $\nu$ auf $Y$ liefert der R"uckzug ein $\sigma$-endliches Ma"s $f^!\nu$ auf $X$.\label{rzSE} \end{Ubung} \subsection{Lipschitzstetigkeit des Flusses} \begin{Proposition}\label{FLLSA} Gegeben ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums hat sein Flu"s offenen Definitionsbereich und ist lokal lipschitzstetig. \end{Proposition} \begin{proof} Sei $X$ unser endlichdimensionaler reeller Raum, $U \co X$ unsere offene Teilmenge und $A : U \rightarrow \vec{X}$ unser lokal lipschitzstetiges Vektorfeld. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, unser Vektorfeld sei lipschitzstetig mit Lipschitz-Konstante $L$ und die L"angen seiner Vektoren seien beschr"ankt durch eine Konstante $M.$ Sind $\gamma_p, \gamma_q :[0,\varepsilon] \rightarrow U$ Integralkurven zu Anfangswerten $p, q \in U$, so finden wir f"ur alle $t \in [0,\varepsilon]$ die Absch"atzung \begin{eqnarray*} \| \gamma_p (t) - \gamma_q (t) \| &=& \left\| p+ \int^t_0 A (\gamma_p (\tau) ) \diff \tau \;-q - \int^t_0 A (\gamma_q (\tau)) \diff \tau \right\|\\ &\leq & \| p-q\| + L \int^t_0 \| \gamma_p (\tau)- \gamma_q (\tau)\| \diff \tau \end{eqnarray*} und das Lemma von Gronwall \eref{Gronwall}{AN2} liefert f"ur alle $t \in [0,\varepsilon]$ die Absch"atzung \begin{equation*} \| \gamma_p (t) - \gamma_q (t)\| \leq \| p-q\| \op{e}^{Lt} \leq \| p-q\| \op{e}^{L\varepsilon} \end{equation*} Dasselbe Argument liefert dieselbe Absch"atzung in Richtung negativer Zeiten, und zusammen mit der Absch"atzung $\|\gamma (s) - \gamma (t)\| \leq M \cdot |s-t|$, die f"ur jede Integralkurve sofort aus dem Mittelwertsatz \eref{MWS}{AN1} folgt, erkennen wir, da"s unser Flu"s lokal lipschitzstetig sein mu"s. Um schlie"slich nachzuweisen, da"s sein Definitionsbereich $\tilde{U}$ offen ist, gehen wir aus von einer Integralkurve $\gamma_p : [0,\varepsilon] \rightarrow U$ zum Anfangswert $p$. Sicher gibt es $r > 0$ derart, da"s alle Punkte mit Abstand h"ochstens $r$ vom Bild dieser Integralkurve ein in $U$ enthaltenes Kompaktum $K\subset U$ bilden. F"ur $q \in U$ mit $\|p-q\| \op{e}^{L\varepsilon} \leq r$ mu"s nach unserer Absch"atzung die maximale Integralkurve $\gamma_q$ zum Anfangswert $q$ das Intervall $I_q \cap [0,\varepsilon]$ nach $K$ abbilden. Mit \eref{PiLi}{AN2} folgt $[0,\varepsilon] \subset I_q$ f"ur alle $q \in U$ mit $\| p-q\| \op{e}^{L\varepsilon} \leq r$. Dasselbe Argument funktioniert auch f"ur negative Zeiten und zeigt, da"s $\tilde{U}$ offen ist in $\Bbb{R} \times U$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen besagt unsere Absch"atzung aus dem vorhergehenden Beweis, da"s zwei Integralkurven in einem lipschitzstetigen Vektorfeld \glqq h"ochstens exponentiell auseinanderlaufen k"onnen\grqq. Man mag das Argument vom Schlu"s des Beweises des Satzes "uber homogene lineare Differentialgleichungen etwas vergr"obernd dahingehend zusammenfassen, da"s sich eine beliebige L"osung h"ochstens exponentiell von der Null-L"osung entfernt und folglich nicht in endlicher Zeit ins Unendliche entweichen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben $p\in\DN$ verstehen wir unter einer Abbildung {\bf der Klasse $\cal{L}\cal{C}^p$} zwischen offenen Teilmengen endlichdimensionaler reeller R"aume eine $\cal{C}^p$-Abbildung mit lokal lipschitzstetiger $p$-ter Ableitung. \end{Definition} \begin{Ubung} Die Verkn"upfung von Abbildungen der Klasse $\cal{L}\cal{C}^p$ hat stets wieder diese Eigenschaft. Eine Abbildung in einen $\DR^n$ ist von der Klasse $\cal{L}\cal{C}^p$ genau dann, wenn das f"ur alle ihre Komponenten zutrifft. Eine Abbildung $\DR^m\ra\DR $ ist von der Klasse $\cal{L}\cal{C}^p$ genau dann, wenn alle ihre partiellen Ableitungen bis zur Ordnung $p$ existieren und lokal lipschitzstetig sind. Dasselbe gilt, wenn unsere Abbildung nur auf einer offenen Teilmenge eines $\DR^m$ definiert ist. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} F"ur das weitere f"uhren wir eine spezielle Notation ein, um die Darstellung einigerma"sen transparent zu halten: Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$ und eine differenzierbare Abbildung $f: X \rightarrow X$ bezeichnen wir mit $f' :X \rightarrow \op{End} (\vec{X})$ die Abbildung $p \mapsto \diff_p f$, und das auch dann, wenn $f$ noch von weiteren Parametern abh"angt und nur auf einer offenen Teilmenge von $X$ definiert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{EXEDCA} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Raum $X$, eine offene Teilmenge $U\co X$ und ein Vektorfeld $A : U \rightarrow \vec{X}$ der Klasse $\cal{L}\cal{C}^1$ ist auch sein Flu"s $\Phi$ von der Klasse $\cal{L}\cal{C}^1$ und die Ableitung $\Phi'$ des Flusses nach dem Ort erf"ullt die Differentialgleichung \begin{equation*} \frac{\partial (\Phi')}{\partial t} (t,x) = A' (\Phi (t,x))\Phi^\prime (t,x) \end{equation*} mit der Anfangsbedingung $\Phi^\prime (0,x)=\op{id}.$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Die Gleichung aus dem Lemma hei"st auch die \defind{Variationsgleichung}. Sie ist f"ur feste $t$ und $x$ als eine Gleichung in $\op{End}(\vec{X})$ zu verstehen. Insbesondere ist rechts das Produkt zweier Endomorphismen gemeint. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen und werden unser Vektorfeld als lipschitzstetig mit Lipschitzkonstante $L$ annehmen. Ist der Flu"s $\Phi$ unseres Feldes f"ur jedes feste $t$ stetig differenzierbar nach $x$, so folgt aus der definierenden Gleichung $$\frac{\partial\Phi}{\partial t} (t,x) = A (\Phi (t,x))$$ durch Festhalten von $t$ die Differenzierbarkeit der $t$-Ableitung des Flusses nach $x$ und durch Bilden des Differentials erhalten wir die zweite H"alfte der Gleichungskette \begin{equation*} \frac{\partial (\Phi')}{\partial t} (t,x) = \left( \frac{\partial \Phi}{\partial t} \right)^\prime (t,x) = A' (\Phi (t,x))\Phi^\prime (t,x) \end{equation*} Die Differenzierbarkeit von $\Phi^\prime$ nach $t$ und die erste Gleichung folgt dann aus \eref{VPAb}{AN2}, da wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X = \Bbb{R}^n$ annehmen d"urfen und uns dann $\Phi^\prime$ schlicht als eine Matrix von partiellen Ableitungen denken k"onnen. Um nun umgekehrt zu zeigen, da"s unser Flu"s f"ur jedes $t$ differenzierbar ist nach $x$ an einer Stelle $p$, nehmen wir an, da"s unser Flu"s etwa auf $[0,b]\times W$ definiert sei mit $W \co U$ einer Umgebung von $p \in U$ und $b >0$ und gehen wir aus von einer L"osung $\Lambda : [0,b] \rightarrow \op{End} \vec{X}$ der linearen Differentialgleichung \begin{equation*} \frac{\partial \Lambda}{\partial t} (t) = A' (\Phi (t,p)) \Lambda (t) \end{equation*} mit Anfangswert $\Lambda (0) =\op{id}$, die ja nach \eref{LLD}{AN2} und \ref{FLLS} existiert und eindeutig bestimmt ist. F"ur diese L"osung zeigen wir \begin{equation*} \Phi (t,p+h)-\Phi (t,p) -\Lambda (t)h = \| h\| \cdot \eta_t (h) \end{equation*} mit $\lim_{h\rightarrow 0} \eta_t (h)=0$ f"ur alle $t$, und das zeigt dann, da"s f"ur alle $t$ die Abbildung $x\mapsto \Phi (t,x)$ bei $x=p$ differenzierbar ist. Um nun die behauptete Absch"atzung f"ur die L"osung zu erhalten, setzen wir $\Delta(t,h) = \Phi (t,p+h)-\Phi (t,p)$ und bezeichnen die linke Seite der eben einzeln geschriebenen Gleichung mit $D (t,h) = \Delta (t,h) -\Lambda (t)h$ und finden \begin{eqnarray*} \frac{\partial D}{\partial t} (t,h)&=& A(\Phi (t,p+h)) - A (\Phi (t,p)) -A'(\Phi (t,p)) \Lambda(t)h\\[1mm] &=&A'(\Phi (t,p)) \Delta(t,h)+\|\Delta(t,h)\| R (\Delta(t,h))-A'(\Phi(t,p)) \Lambda (t)h\\[2mm] &=& A'(\Phi (t,p)) D(t,h) + \| \Delta(t,h)\| R (\Delta(t,h)) \end{eqnarray*} f"ur stetiges $R$ mit $R (0) =0$. Beachten wir $D(0,h) =0$, so folgt mit Integration \begin{equation*} D (t,h) = \int^t_{0} A' (\Phi (\tau,p)) D (\tau,h) + \|\Delta (\tau,h)\| R (\Delta (\tau,h)) \diff \tau \end{equation*} Aus dem Beweis von \ref{FLLS} wissen wir bereits, da"s Integralkurven in lipschitzstetigen Vektorfeldern h"ochstens exponentiell auseinanderlaufen und da"s genauer in Formeln gilt $\| \Delta(t,h) \| \leq \| h\| \op{e}^{Lt}$. Weiter gibt es f"ur alle $\varepsilon >0$ ein $r_\varepsilon > 0$ mit $\|v\| 0$ auf $I \cap J\cap [-\eta,\eta]$ "uberein. \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten f"ur ein halboffenes kompaktes reelles Intervall $K \subset \Bbb{R}$ mit $0\in K$ den Raum $$\mathcal{C}^1_p (K,X)$$ aller stetig differenzierbaren Wege $\gamma : K \rightarrow X$ mit $\gamma (0) =p$ und versehen seinen Richtungsraum $\mathcal{C}^1_0 (K,\vec{X})$ mit der Norm $ \|\varphi \|_\infty + \| \dot{\varphi}\|_\infty$ der gleichm"a"sigen Konvergenz von Funktion und erster Ableitung. Nach \eref{VSWnn}{AN1} erhalten wir so einen vollst"andigen normierten Vektorraum. Nun betrachten wir in unserem affinen Raum die offene Teilmenge $\mathcal{C}^1_p (K,U)$ aller in $U$ verlaufenden Wege und die Abbildung $$\begin{array}{cccc} F:& \Bbb{R}\times \mathcal{C}^1_p (K,U) & \rightarrow &\mathcal{C}(K,\vec{X})\\ &(\tau\;,\; \gamma) \;\;\;&\mapsto & \dot{\gamma} - \tau (A\circ \gamma) \end{array}$$ Unter dieser Abbildung geht offensichtlich $(\tau, \gamma)$ nach Null genau dann, wenn $\gamma : K\rightarrow U$ eine Integralkurve des reskalierten Feldes $\tau A$ ist. Bezeichnet $\kappa$ den konstanten Weg bei $p$, so gilt insbesondere $(0,\kappa) \mapsto 0$. Wir wenden nun den Satz "uber implizite Funktionen \eref{IFBR}{AN2} an. Das Differential von $F$ ergibt sich mit Summenregel \eref{SuRe}{AN2}, %\ref{ALLA}???????? Produktregel \eref{PRm}{AN2} und der anschlie"senden "Ubung \ref{DBRa} zu \begin{equation*} (\diff_{(\tau, \gamma)} F) (h,\alpha) = \dot{\alpha} - h (A \circ \gamma) -\tau (\diff A \circ (\gamma, \alpha)) \end{equation*} wo wir $\diff A : U \times \vec{X} \rightarrow \vec{X}$, $(x,v) \mapsto (\diff_x A) (v)$ meinen. Insbesondere haben wir $(\diff_{(0,\kappa)} F) (0,\alpha) =\dot{\alpha}$. Nun ist $\mathcal{C}^1_0 (K, \vec{X})\rightarrow \mathcal{C} (K,\vec{X})$, $\alpha \mapsto \dot{\alpha}$ eine stetige lineare Bijektion mit stetiger Umkehrung, eben dem Integrieren. Die Bedingungen des Satzes "uber implizite Funktionen \eref{IFBR}{AN2} sind also erf"ullt und liefern uns die Existenz eines Paars $(A_1, B_1)$ mit $0 \in A_1 \co \Bbb{R}$ und $\kappa \in B_1 \co \mathcal{C}^1_p (K,U)$ derart, da"s es f"ur alle $\tau \in A_1$ genau ein $\gamma_\tau \in B_1$ gibt mit $F (\tau,\gamma_\tau) =0$ alias mit $\gamma_\tau$ einer Integralkurve des reskalierten Vektorfelds $\tau A.$ Gehen wir nun etwa von $K=[-1,1]$ aus und w"ahlen $\tau\neq 0$ in $A_1$, so ist $\gamma(t)=\gamma_\tau(\tau^{-1}t)$ eine auf $(-\tau,\tau)$ definierte Integralkurve des Vektorfelds $A$ zu $p$ und die Existenzaussage des Lemmas ist gezeigt. Seien andererseits $\gamma : I \rightarrow U$ und $\phi : J \ra U$ Integralkurven mit demselben Anfangswert. Besteht $I\cap J$ nur aus dem Nullpunkt ist die Behauptung eh klar. Sonst ist $I\cap J$ auch halboffen und f"ur alle $\tau\in[0,1]$ sind die Abbildungen $t\mapsto \gamma(\tau t)$ und $t\mapsto \phi(\tau t)$ auf $I\cap J$ definierte Integralkurven zu $p$ des reskalierten Vektorfeld $\tau A.$ F"ur hinreichend kleines $\tau>0$ gibt es aber nach dem, was wir gezeigt haben, nur eine derartige Integralkurve und damit folgt auch die zweite Behauptung des Lemmas. \end{proof} \begin{Lemma}\label{HlLlaA} Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum, $U \co X$ offen und $A: U \rightarrow \vec{X}$ ein lipschitzstetiges Vektorfeld, so gibt es zu jedem Punkt $p\in U$ Integralkurven mit offenem Definitionsbereich, und je zwei Integralkurven $\gamma_1 : I_1 \rightarrow U$ und $\gamma_2 : I_2 \ra U$ mit demselben Anfangswert stimmen f"ur hinreichend kleines $\eta>0$ auf $I_1 \cap I_2\cap [-\eta,\eta]$ "uberein. \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] F"ur jedes halboffene Intervall $I$ mit $0\in I$ und jeden Weg $\gamma : I \rightarrow U$ bilden wir den \glqq korrigierten\grqq\ Weg $\hat{\gamma} : I\rightarrow X$ durch die Vorschrift \begin{equation*} \hat{\gamma}(t) = p + \int^t_0 A (\gamma (\tau)) \diff\tau \end{equation*} so da"s also gilt $\dot{\hat{\gamma}}(t)=A (\gamma (t))$ f"ur alle Zeiten $t\in I.$ Bezeichnet $\cal{C} (I, Y)$ die Menge aller stetigen Abbildungen von $I$ in einen metrischen Raum $Y$, so ist das Korrigieren eine Abbildung $$\begin{array}{cccc} k_p :& \cal{C} (I, U) &\rightarrow &\cal{C} (I,X)\\ &\gamma & \mapsto & \hat{\gamma} \end{array}$$ Von hier an nehmen wir zus"atzlich $I$ kompakt an. Dann k"onnen wir unseren Wegeraum $\cal{C}(I,X)$ mit der Metrik $d$ der gleichm"a"sigen Konvergenz versehen und erhalten die Absch"atzung \begin{eqnarray*} \| \hat{\gamma} (t) - \hat{\psi} (t)\| & =& \left\|\int^t_0 A (\gamma (\tau)) - A (\psi (\tau)) \diff \tau \right\|\\[2mm] & \leq & \left| \int^t_0 \| A (\gamma (\tau)) - A (\psi (\tau))\| \diff\tau \right| \\[2mm] & \leq & |t| \cdot L \cdot d (\gamma, \psi) \end{eqnarray*} falls $A$ lipschitzstetig ist auf $U$ mit Lipschitz-Konstante $L.$ Bezeichnet $\|I\|$ das Supremum der Betr"age der Elemente von $I$, so folgt sofort $$ d (\hat{\gamma},\hat{\psi}) \leq \|I\|\cdot L\cdot d (\gamma, \psi) $$ Nun w"ahlen wir erst $R > 0$ mit $\bar{\op{B}}(p;R) \subset U$ und dann dazu $I$ so klein, da"s f"ur den konstant bei $p$ verweilenden Weg $\kappa: I\rightarrow U$ das Bild von $\hat{\kappa}$ in $\bar{\op{B}} (p;R/2)$ liegt, da"s also gilt $d (\hat{\kappa}, \kappa) \leq R/2$, und dar"uber hinaus auch noch so kurz, da"s gilt $\|I\|\cdot L \leq 1/2.$ F"ur derartige $R$ und $I$ behaupten wir nun, da"s das Korrigieren von Wegen $\gamma \mapsto \hat{\gamma}$ eine kontrahierende Selbstabbildung auf \begin{equation*} \cal{C} (I, \bar{\op{B}} (p;R)) = \bar{\op{B}} (\kappa;R) \end{equation*} induziert, wo die rechte Seite den abgeschlossenen Ball mit Radius $R$ im Wegeraum meint, der sein Zentrum im konstant bei $p$ verweilenden Weg $\kappa$ hat. In der Tat folgt ja aus unserer zweiten Annahme an $I$ sofort $d(\hat{\gamma}, \hat{\psi}) \leq d(\gamma, \psi)/2$ und f"ur einen Weg $\gamma \in \bar{\op{B}} (\kappa; R)$ folgt insbesondere $d (\hat{\gamma},\hat{\kappa}) \leq d (\gamma, \kappa) /2 \leq R/2.$ Wegen $d (\hat{\kappa},\kappa ) \leq R/2$ folgt mit der Dreiecksungleichung dann aber auch $d (\hat{\gamma}, \kappa) \leq R$ alias $\hat{\gamma} \in \bar{\op{B}} (\kappa; R)$. Nun ist unser Wegeraum $\bar{\op{B}} (\kappa; R)$ jedoch nach \eref{VSW}{AN1} vollst"andig f"ur die Metrik der gleichm"a"sigen Konvergenz. Nach dem Banach'schen Fixpunktsatz \eref{BFS}{AN2} gibt es also genau ein $\gamma \in \bar{\op{B}}(\kappa; R)$ alias genau eine stetige Abbildung $\gamma : I \rightarrow \bar{\op{B}} (p;R)$ mit $\hat{\gamma} = \gamma$, als da hei"st mit \begin{equation*} \gamma (t) = p + \int^t_0 A (\gamma (\tau)) \diff\tau\qquad \forall t\in I \end{equation*} Insbesondere gibt es also f"ur hinreichend kleines $\varepsilon$ eine auf $[-\varepsilon,\varepsilon]$ definierte Integralkurve unseres Vektorfelds mit Anfangswert $p$, und die Existenz ist gezeigt. Seien nun $\gamma_1 : I_1 \rightarrow U$ und $\gamma_2 : I_2 \rightarrow U$ zwei Integralkurven zu $p.$ Wir wollen zeigen, da"s sie f"ur hinreichend kleines $\eta>0$ auf $I_1\cap I_2\cap[-\eta,\eta]$ "ubereinstimmen. Nur im Fall $I_1\cap I_2\neq 0$ ist noch etwas zu zeigen. F"ur hinreichend kleines $\eta>0$ ist aber dann sicher $I_1\cap I_2\cap[-\eta,\eta]$ ein halboffenes kompaktes Intervall, das unter beiden Integralkurven nach $ \bar{\op{B}} (p;R)$ abgebildet wird, und nehmen wir zus"atzlich $\eta>0$ so klein, da"s gilt $\eta \cdot L \leq 1/2$, so zeigt die Eindeutigkeitsaussage aus dem Banach'schen Fixpunktsatz, da"s unsere beiden Integralkurven auf $I_1\cap I_2\cap[-\eta,\eta]$ "ubereinstimmen m"ussen. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Wir betrachten f"ur ein halboffenes kompaktes reelles Intervall $I \subset \Bbb{R}$ mit $0\in I$ den Raum $$\mathcal{C}^1_p (I,X)$$ aller stetig differenzierbaren Wege $\gamma : I \rightarrow X$ mit $\gamma (0) =p$ und versehen seinen Richtungsraum $\mathcal{C}^1_0 (I,\vec{X})$ mit der Norm $\| \varphi \|_1 = \|\varphi \|_\infty + \| \dot{\varphi}\|_\infty$ der gleichm"a"sigen Konvergenz von Funktion und erster Ableitung. Nach \eref{VSWnn}{AN1} erhalten wir so einen vollst"andigen normierten Vektorraum. Nun betrachten wir in unserem affinen Raum die offene Teilmenge $\mathcal{C}^1_p (I,U)$ aller in $U$ verlaufenden Wege und die Abbildung $$\begin{array}{cccc} F:& \Bbb{R}\times \mathcal{C}^1_p (I,U) & \rightarrow &\mathcal{C}(I,\vec{X})\\ &(\tau\;,\; \gamma) \;\;\;&\mapsto & \dot{\gamma} - \tau (A\circ \gamma) \end{array}$$ Unter dieser Abbildung geht offensichtlich $(\tau, \gamma)$ nach Null genau dann, wenn $\gamma : I\rightarrow U$ eine Integralkurve des reskalierten Feldes $\tau A$ ist. Bezeichnet $\kappa$ den konstanten Weg bei $p$, so gilt insbesondere $(0,\kappa) \mapsto 0$. Wir wenden nun den Satz "uber implizite Funktionen \eref{IFBR}{AN2} an. Das Differential von $F$ ergibt sich mit Summenregel \eref{SuRe}{AN2}, %\ref{ALLA}???????? Produktregel \eref{PRm}{AN2} und der anschlie"senden "Ubung \ref{DBRa} zu \begin{equation*} (\diff_{(\tau, \gamma)} F) (h,\alpha) = \dot{\alpha} - h (A \circ \gamma) -\tau (\diff A \circ (\gamma, \alpha)) \end{equation*} wo wir $\diff A : U \times \vec{X} \rightarrow \vec{X}$, $(x,v) \mapsto (\diff_x A) (v)$ meinen. Insbesondere haben wir $(\diff_{(0,\kappa)} F) (0,\alpha) =\dot{\alpha}$. Nun ist $\mathcal{C}^1_0 (I, \vec{X})\rightarrow \mathcal{C} (I,\vec{X})$, $\alpha \mapsto \dot{\alpha}$ eine stetige lineare Bijektion mit stetiger Umkehrung, eben dem Integrieren. Die Bedingungen des Satzes "uber implizite Funktionen sind also erf"ullt und liefern uns die Existenz eines Paars $(A_1, B_1)$ mit $0 \in A_1 \co \Bbb{R}$, $\kappa \in B_1 \co \mathcal{C}^1_p (I,U)$ derart, da"s es f"ur alle $\tau \in A_1$ genau ein $\gamma_\tau \in B_1$ gibt mit $F (\tau,\gamma_\tau) =0$ alias mit $\gamma_\tau$ einer Integralkurve des reskalierten Vektorfelds $\tau A.$ Daraus folgert man leicht die Aussage des Lemmas. \end{proof} \begin{Ubung}\label{DBRaA} Gegeben reelle normierte R"aume $X,Y$ und eine offene Teilmenge $U \co X$ und eine stetig differenzierbare Abbildung $A:U \rightarrow Y$ ist f"ur jeden kompakten Raum $I$ auch die induzierte Abbildung $(A\circ) : \mathcal{C} (I,U) \rightarrow \mathcal{C}(I,Y)$ stetig differenzierbar und ihr Differential an einer Stelle $\gamma \in \mathcal{C}(I,U)$ wird gegeben durch $$ \begin{array}{cccc} \diff_\gamma (A\circ) : &\mathcal{C} (I,\vec{X}) & \rightarrow & \mathcal{C} (I,\vec{Y})\\ &\alpha &\mapsto & (\diff A)\circ (\gamma,\alpha) \end{array} $$ Hier meint $\diff A$ die Abbildung $(x,v)\mapsto (\diff_x A)(v)$ von $U\times\vec{X}$ nach $ \vec{Y}$ und wir verwenden die offensichtliche Identifikation des Raums $\mathcal{C} (I,\vec{X})$ mit dem Richtungsraum des affinen Raums $\mathcal{C} (I,X).$ Des weiteren verwenden wir auf unseren R"aumen von Abbildungen die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Picard-Lindel"of, lokal lipschitzstetiger Fall}] Gegeben ein lokal lipschitzstetiges Vektorfeld\label{PiLinA} auf einer offenen Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums gibt es zu jedem Anfangswert eine gr"o"ste Integralkurve. Sie hat als Definitionsbereich ein offenes Intervall, und ist dieses Intervall nach oben beschr"ankt, so verl"a"st die fragliche Integralkurve f"ur positive Zeiten jedes Kompaktum aus unserer offenen Teilmenge irgendwann einmal endg"ultig. \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIK}\\[4mm] \noindent Eine maximale Integralkurve, deren Definitionsbereich nach oben beschr"ankt ist und die so jedes Kompaktum wie etwa $K$ oder $L$ irgendwann einmal eng"ultig verl"a"st. In diesem Fall w"are der Definitionsbereich nach unten unbeschr"ankt und unsere Integralkurve w"urde f"ur negative Zeiten gegen eine Nullstelle unseres Vektorfeldes konvergieren, die im Zentrum der Spirale liegt. \end{figure} \begin{proof} Zun"achst zeigen wir, da"s je zwei Integralkurven $\gamma,\psi$ zu demselben Punkt $p$ mit demselben Definitionsintervall $I$ "ubereinstimmen. Wir zeigen dazu, da"s sie auf $I\cap [0,\infty)$ "ubereinstimmen, f"ur $I\cap (-\infty,0]$ argumentiert man analog. Stimmen aber unsere Wege auf $I\cap [0,\infty)$ nicht "uberein, so w"are das Supremum $s$ "uber alle $t\in I$ mit $\gamma|[0,t]=\psi|[0,t]$ nicht das Supremum von $I.$ Wegen der Stetigkeit g"alte $\gamma(s)=\psi(s)$, und nach der Eindeutigkeitsaussage im Lemma mu"s dann auch gelten $\gamma|[0,t+\eta]=\psi|[0,t+\eta]$ f"ur ein positives $\eta$ im Widerspruch zur Wahl von $s.$ Folglich stimmen je zwei Integralkurven zu $p$ auf dem Schnitt ihrer Definitionsbereiche "uberein und es gibt genau eine gr"o"ste Integralkurve zu $p$, deren Definitionsbereich eben die Vereinigung der Definitionsbereiche aller Integralkurven zu $p$ ist. W"are dieser Definitionsbereich nicht offen, so enthielte er sein Supremum oder sein Infimum. Dann k"onnten wir jedoch um die Bilder dieser Grenzpunkte auch wieder Integralkurven mit offenem Definitionsbereich finden und ankleben und unsere Integralkurve w"are nicht maximal gewesen. Bezeichne schlie"slich $A$ unser Vektorfeld und $U$ seinen Definitionsbereich. Ist $\gamma : [0,b) \rightarrow U$ w"are eine Integralkurve von $A$, deren Bild in einem Kompaktum $K \subset U$ landet, so ist wegen $\dot{\gamma} (t) = A(\gamma (t))$ ihre Geschwindigkeit $\| \dot{\gamma} (t)\|$ beschr"ankt auf $[0,b)$, mithin w"are $\gamma$ lipschitzstetig und bes"a"se nach \eref{GSFo}{AN1} oder \eref{ADM}{AN3} eine stetige Fortsetzung $\widetilde{\gamma} : [0,b] \rightarrow K$. Die Integralform unserer Differentialgleichung zeigt dann sofort, da"s auch $\tilde{\gamma}$ eine Integralkurve von $A$ sein mu"s, mithin kann eine Integralkurve, die ganz in einem Kompaktum $K\subset U$ verl"auft, schon einmal nicht maximal sein. Wir zeigen nun noch, da"s eine maximale Integralkurve ab einem gewissen Zeitpunkt auch nicht mehr in besagtes Kompaktum zur"uckkehren wird. Dazu w"ahlen wir $\varepsilon>0$ derart, da"s die Menge $L$ aller Punkte von $X$ mit Abstand $\leq \varepsilon$ zu einem Punkt von $K$ auch noch in $U$ enthalten ist. Da auch $L$ kompakt ist, hat unsere Integralkurve dann auch an allen Stellen aus $L$, die sie durchl"auft, eine gleichm"a"sig beschr"ankte Geschwindigkeit. Wann immer unsere maximale Integralkurve einen Punkt aus $K$ durchl"auft, mu"s sie also noch f"ur eine gewisse von diesem Punkt unabh"angige Zeitspanne innerhalb von $L$ weiterlaufen, da sie ja auch $L$ irgendwann einmal verl"assen mu"s und das nicht beliebig schnell tun kann. Sind wir n"aher als diese Zeitspanne am oberen Ende des Definitionsbereichs unserer maximalen Integralkurve, so kann unsere Integralkurve demnach keine Punkte aus $K$ mehr durchlaufen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Homogene lineare Differentialgleichungen}]\label{LLDaA} Sei $I\subset \Bbb{R}$ ein halboffenes Intervall, $ V $ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $M: I \rightarrow \op{End} V $ lokal lipschitzstetig. So bilden die differenzierbaren Abbildungen $\gamma : I \rightarrow V $ mit \begin{equation*} \dot{\gamma} (t) = M(t) \gamma (t) \quad \forall t \in I \end{equation*} einen Untervektorraum $\mathcal{L} \subset \op{Ens} (I, V )$, den \emph{\bf L"osungsraum}\index{L"osungsraum} unserer Differentialgleichung, und f"ur jedes $t_0 \in I$ definiert das Auswerten einen Isomorphismus $\mathcal{L} \overset{\sim} {\rightarrow} V $, $ \gamma \mapsto \gamma (t_0)$, den \emph{\bf Anfangswertisomorphismus}.\index{Anfangswertisomorphismus} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Diese Aussage gilt sogar unter der schw"acheren Bedingung $M$ stetig, aber dann wird der Beweis technischer. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Da"s unser L"osungsraum $\mathcal{L} \subset \op{Ens} (I, V )$ ein Untervektorraum ist und da"s das Auswerten bei $t_0$ linear ist, scheint mir beides offensichtlich. Es bleibt nur, Injektivit"at und Surjektivit"at des Auswertens zu zeigen. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir dazu $t_0 =0$ annehmen. Falls $I$ nicht offen ist, w"ahlen wir eine lokal lipschitzstetige Fortsetzung von $M$ auf eine offenes Intervall $J\supset I.$ Nun erf"ullt $\gamma : I\rightarrow V $ nach \eref{DGSF}{AN2} unsere Differentialgleichung genau dann, wenn $(\op{id}, \gamma) : I \rightarrow J \times V $ eine Integralkurve des Vektorfelds $(z,v) \mapsto (1, M(z) v)$ auf $J \times V $ ist. Dies Vektorfeld ist lokal lipschitzstetig, also besitzt es nach \eref{PiLin}{AN2} zu jedem Anfangswert h"ochstens eine auf $I$ definierte Integralkurve, und das zeigt die Injektivit"at. F"ur den Beweis der Surjektivit"at reicht es zu zeigen, da"s jede maximale Integralkurve des Vektorfelds $(z,v)\mapsto (1, M (z) v)$ mit Anfangswert $(0,v_0)$ auf ganz $J$ definiert ist. Sicher reicht es zu zeigen, da"s sie bis zum oberen Ende von $J$ definiert ist. Sonst g"abe es aber $b \in J$ derart, da"s die L"osung nicht in positiver Richtung "uber $[0,b)$ hinaus definiert werden k"onnte, und mit \eref{PiLin}{AN2} folgt, da"s $\gamma : [0,b) \rightarrow V $ unbeschr"ankt w"are. Nun gibt es jedoch $L$ mit $\| M(t)\| \leq L$ f"ur alle $t \in [0,b]$ und es folgt \begin{equation*} \| \gamma (t)\| = \left\| v_0 + \int_0^t M (\tau) \gamma (\tau) \diff \tau \right\| \leq \| v_0\| + L \int^t_0 \|\gamma (\tau)\| \diff\tau \end{equation*} und dann dem Lemma von Gronwall \eref{Gronwall}{AN2} sofort $\| \gamma (t)\| \leq \| v_0\| \op{e}^{Lt}$ und das w"are doch beschr"ankt, n"amlich durch $\|v_0\| \op{e}^{Lb}.$ \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Gronwall}]\label{GronwallA} Ist $b \in \Bbb{R}_{\geq 0}$ und $f :[0,b]\rightarrow [0,\infty)$ stetig und gibt es nichtnegative Konstanten $L,C$ mit \begin{equation*} f(t) \leq L \int^t_0 f(\tau) \diff \tau + C \end{equation*} f"ur alle $t \geq 0$, so erf"ullt $f$ die Absch"atzung $ f(t) \leq C \op{e}^{Lt} .$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Es scheint mir von der Anschauung her ziemlich klar, da"s eine differenzierbare Funktion $f$ mit der Eigenschaft $f'\leq f$ h"ochstens exponentiell wachsen kann. Das Lemma von Gronwall pr"azisiert und verallgemeinert diese Intuition. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $L$ und $C$ positiv annehmen. Bezeichnet $F (t)$ den Wert des obigen Integrals, so folgern wir erst \begin{equation*} \frac{F'(t)}{LF(t) +C} \leq 1 \end{equation*} und dann durch Integrieren von $0$ bis $t$ mithilfe der Substitutionsregel weiter $ L^{-1}\log (LF (t) +C) - L^{-1} \log C \leq t $ alias $ \log (LF (t)+C) \leq Lt + \log C $ und durch Exponentieren und das Erinnern unserer Voraussetzungen schlie"slich \begin{equation*} f (t) \leq LF (t) + C \leq C\op{e}^{Lt} \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Der inhomogene lineare Fall}]\label{LLDA} Sei $I\subset \Bbb{R}$ ein halboffenes Intervall, $ V $ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum, $M: I \rightarrow \op{End} V $ lokal lipschitzstetig und $f:I\ra V$ stetig. So bilden die differenzierbaren Abbildungen $\gamma : I \rightarrow V $ mit \begin{equation*} \dot{\gamma} (t) = M(t) \gamma (t) +f(t)\quad \forall t \in I \end{equation*} einen affinen Teilraum $\mathcal{L}_{\op{i}}\subset \op{Ens} (I, V )$ mit dem L"osungsraum der zugeh"origen linearen Gleichung als Raum von Richtungsvektoren und f"ur jedes $t_0 \in I$ definiert das Auswerten eine Bijektion $\mathcal{L}_{\op{i}} \overset{\sim}{\rightarrow} V $, $ \gamma \mapsto \gamma (t_0)$, den \emph{\bf Anfangswertisomorphismus}.\index{Anfangswertisomorphismus} \end{Korollar} \begin{proof} Die Differenz von je zwei L"osungen der inhomogenen Gleichung ist offensichtlich eine L"osung der zugeh"origen homogenen Gleichung, und die Summe einer L"osungen der homogenen und einer L"osung der inhomogenen Gleichung ist offensichtlich eine L"osung der inhomogenen Gleichung. Damit bleibt nur zu zeigen, da"s die inhomogene Gleichung "uberhaupt eine L"osung besitzt. Ist $f$ lipschitzstetig, so folgt das "ahnlich wie zuvor aus unseren allgemeinen Prinzipien. Wir geben nun aber sogar eine L"osungsmethode an, die Methode der \defind{Variation der Konstanten}. Dazu w"ahlen wir eine Basis $ \gamma_1,\ldots ,\gamma_n$ des L"osungsraums der homogenen Gleichung und fassen sie zusammen zu einer L"osung $X: I\ra V^n=\op{Hom}(\DR^n,V)$ der homogenen linearen Differentialgleichung $$\dot{X} (t) = M(t) X (t)$$ f"ur Funktionen $I\ra \op{Hom}(\DR^n,V).$ Da die Werte von $ \gamma_1,\ldots ,\gamma_n$ an jeder Stelle eine Basis von $V$ bilden, ist $X (t)$ an jeder Stelle ein Vektorraumisomorphismus. Nun machen wir f"ur die L"osung unserer inhomogenen Gleichung den Ansatz $\gamma(t)=X (t)c(t)$ mit $c:I\ra \DR^n$ differenzierbar und finden $$ \begin{array}{lll} \dot{\gamma} (t) &= &\dot{X} (t)c(t)+X (t)\dot{c}(t)\\[2mm] &= & M(t) X (t)c(t) +X (t)\dot{c}(t)\\[2mm] &= &M(t)\gamma (t) +X (t)\dot{c}(t) \end{array} $$ Unser Ansatz f"uhrt also zu einer L"osung der inhomogenen Gleichung genau dann, wenn gilt $X (t)\dot{c}(t)=f(t)$ alias $\dot{c}(t)=X^{-1} (t)f(t).$ Ein $c$ mit dieser Eigenschaft existiert aber ganz offensichtlich, eben das Integral der rechten Seite. \end{proof} \begin{Ubung} Man berechne die Entwicklung um den Nullpunkt bis zu den Termen dritten Grades einschlie"slich f"ur die L"osung mit Anfangswert ?? der Differentialgleichung ??. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AuCCA}\emph{Scheint unn"otig.} Gegeben $I\subset\DR$ ein halboffenes kompaktes reelles Intervall, $X$ ein normierter Raum und $\cal{C}^k(I,X)$ der Raum aller Abbildungen von der Klasse $\cal{C}^k$ mit der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz der Funktionen und aller Ableitungen bis zur $k$-ten einschlie"slich ist das Auswerten eine $\cal{C}^k$-Abbildung $$I\times \cal{C}^k(I,X)\ra X$$ \end{Ubung} \subsection{Alter Beweis Umkehrsatz} \begin{proof}[Alter Beweis] Wir w"ahlen je eine Norm $\|\;\|$ auf den zugeh"origen Richtungsr"aumen. Bezeichne $L=\diff_pf : \vec{X} \sira \vec{Y}$ die lineare Approximation an $f$ in $p.$ F"ur $y\in Y$ betrachten wir die Abbildung $$\begin{array}{cccl} k_{y} :& U &\ra &X\\ &x & \mapsto & x + L^{-1} (y-f(x)) \end{array}$$ Es sollte anschaulich klar sein, da"s f"ur $x \in U$ mit $f(x)$ nahe bei $y$ das Bild $f(k_y(x))$ von $k_y(x)$ sogar noch n"aher bei $y$ liegen mu"s. Zun"achst gilt es aber zu diskutieren, unter welchen Annahmen $k_{y}(x)$ wieder in $U$ liegt. Um das zu kl"aren beachten wir, da"s das Differential von $k_y$ gar nicht von $y$ abh"angt und bei $x=p$ verschwindet. Da $\diff _u k_y$ stetig von $u\in U$ abh"angt, gibt es $\delta >0$ so da"s gilt $\|u-p\|\leq\delta\RA\|\diff _u k_y\|\leq (1/2).$ Indem wir $\delta$ eventuell noch weiter verkleinern d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s f"ur den abgeschlossenen Ball um $p$ mit Radius $\delta$ gilt $\bar{\op{B}}(p;\delta)\subset U.$ Insbesondere folgt dann mit \eref{Asc}{AN2} aus $x,z \in \bar{\op{B}}(p;\delta)$ f"ur alle $y\in Y$ schon $$\|k_y(x) - k_y(z)\| \leq (1/2) \|x-z\|$$ Weiter haben wir $k_{y}(p) = p+ L^{-1}(y-f(p))$, und da $L^{-1}$ stetig ist, finden wir $\eta >0$ derart, da"s gilt $\|y-f(p)\| < \eta\RA\|k_{y}(p)- p\| < ( \delta/2).$ F"ur $\|y-f(p)\| < \eta$ haben wir also $$\|x-p\| \leq \delta\;\RA\;\|k_{y}(x) - k_{y}(p)\| \leq (\delta/2)\;\RA \;\|k_{y}(x)-p\| < {\delta}$$ und folglich bildet f"ur $\| y\|<\eta$ unser $k_{y}$ den abgeschlossenen Ball $\bar{\op{B}}(p;\delta)$ in sich selber, ja sogar in den offenen Ball $\op{B}(p;\delta)$ ab. Wir wissen zus"atzlich schon, da"s $k_{y}$ kontrahierend ist. F"ur $\|y-f(p)\| < \eta$ hat also $k_{y}$ in $\bar{\op{B}}(p;\delta)$ genau einen Fixpunkt, und dieser Fixpunkt liegt bereits im offenen Ball $\op{B}(p;\delta).$ Die Fixpunkte von $k_{y}:U\ra X$ sind aber genau die $x\in U$ mit $f(x) =y.$ Zusammenfassend haben wir also $\delta>0$ und $\eta >0$ gefunden derart, da"s $\op{B} (p;\delta)$ in $U$ enthalten ist und da"s es f"ur jedes $y \in \op{B}(f(p);\eta)$ genau ein $x \in \op{B} (p;\delta)$ gibt mit $f(x) =y.$ Setzen wir nun $B = \op{B} (f(p);\eta)$ und $A = f^{-1} (B) \cap \op{B} (p;\delta)$, so liefert $f$ in der Tat eine Bijektion $A\sira B.$ \end{proof} \begin{Lemma}\label{HPP2A} Seien $X$ und $Y$ endlichdimensionale reelle R"au\-me, $A \co X$ offen und $f: A \hra Y$ eine stetig differenzierbare Injektion, deren Differential an jeder Stelle ein Isomorphismus ist. So ist $f(A)$ offen in $Y$ und die Umkehrabbildung $f^{-1}$ ist differenzierbar und hat bei $f(p)$ das Differential $(\diff _p f)^{-1}.$ \end{Lemma} \begin{proof} Als erstes zeigen wir, da"s $f(A)$ offen und $f^{-1}:f(A)\ra A$ stetig ist. Dazu m"ussen wir nach \eref{SATR}{AN1} nur nachweisen, da"s $f:A\hra Y$ offene Mengen zu offenen Mengen macht. Sei dazu $D\co A$ offen in $A.$ F"ur jedes $p\in D$ finden wir nach \ref{HPP} eine offene Teilmenge $A_p\co D$ mit $p\in A_p$ und $f(A_p)$ offen. Dann mu"s auch $f(D)$ offen sein als Vereinigung solcher $f(A_p)$ und $f^{-1}:f(A) \ra A$ ist in der Tat stetig. Um die Differenzierbarkeit von $f^{-1}$ an einer Stelle $f(p)$ zu zeigen, d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere R"aume Vektorr"aume sind und da"s gilt $p=0$ und $f(p)=0$ annehmen. Wir setzen $L=\diff_0 f$ und schreiben $$f(x) = L(x) + \|x\| \varepsilon (x) $$ f"ur eine geeignete Abbildung $\varepsilon:A\ra Y$, die stetig ist bei $0$ und die dort den Wert Null annimmt. Setzen wir hier $x = f^{-1} (y)$ ein mit $y\in f(A)$ und wenden auf beiden Seiten $L^{-1}$ an, so ergibt sich $$L^{-1}(y) = f^{-1} (y) + \| f^{-1}(y)\| \;L^{-1}(\varepsilon (f^{-1}(y)))$$ Nun betrachten die Abbildung $k: A\ra X$, $g(x) = x - L^{-1} (f(x))$ mit $\diff _0 k =0$, und da $\diff _u k$ stetig von $u\in U$ abh"angt, finden wir wieder $\delta >0$ mit $\op{B}(0;\delta)\subset A$ und $\|\diff _u k\|\leq (1/2)$ f"ur alle $u\in \op{B}(0;\delta).$ Mit \eref{Asc}{AN2} folgt f"ur $x\in \op{B}(0;\delta)$ die Absch"atzung $$\|x\|/2\; \geq \; \|k(x)\| \;= \;\|x-L^{-1}(f(x))\| \;\geq \;\|x\| -\|L^{-1}f(x)\|$$ Daraus folgt $\|L^{-1}\| \cdot \|f(x)\| \geq \|x\|/2$, und w"ahlen wir nun $\eta>0$ mit $\op{B}(0;\eta)\subset f(A)$ und $f^{-1}(\op{B}(0;\eta))\subset \op{B}(0;\delta)$, so ergibt sich f"ur $y\in\op{B}(0;\eta)$ die Absch"atzung $$ 2 \|L^{-1}\| \|y\|\geq \|f^{-1}(y)\| $$ Damit folgt, da"s oben auch der Quotient $\| f^{-1}(y)\| \;L^{-1}(\varepsilon (f^{-1}(y)))/\|y\|$ des zweiten Summanden durch $\|y\|$ mit $y$ gegen Null strebt, da"s also die Umkehrabbildung $f^{-1}:f(A)\ra A$ differenzierbar ist beim Ursprung von $Y$ mit Differential $\diff _0(f^{-1})=L^{-1}.$ \end{proof} \subsection{Landau-Symbole} \begin{Bemerkung} Gegeben ein metrischer Raum $X$, ein Punkt $p \in X$, und eine Abbildung in einen normierten Vektorraum $f ; X \rightarrow V$ und eine reellwertige Abbildung $g: X \rightarrow \Bbb{R}$ sagt man, $f$ sei \glqq ein gro"ses O von $g$ f"ur $x \rightarrow p$\grqq\ und schreibt \begin{equation*} f = O (g) \text{ f"ur } x \rightarrow p \end{equation*} falls es eine Umgebung $U$ von $p$ und eine Konstante $C$ gibt mit \begin{equation*} \| f(x)\| \leq C \cdot | g(x)| \text{ f"ur alle } x \in U. \end{equation*} Weiter sagt man, $\frak{h} $ sei ein \glqq kleines o von $g$ f"ur $x \rightarrow p$\grqq\ und schreibt \begin{equation*} f = o (g) \text{ f"ur } x \rightarrow p \end{equation*} falls es eine Umbebung $U$ von $p$ und eine Abbildung $\eta :U \rightarrow \Bbb{R}$ gibt mit $\eta$ stetig bei $p$, $\eta (p) =0$ und \begin{equation*} \| f (x) \\ = \eta (x) \cdot |g (x)| \quad \forall x \in U \end{equation*} Diese Symbole O und o hei"sen die \defind{Landau-Symbole}. \end{Bemerkung} \subsection{Konvergenzbegriffe f"ur Zufallsvariablen} \begin{Definition} Seien $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum, $(f_n)_{n \in \Bbb{N}}$ eine Folge me"sbarer reeller Funktionen auf $X$ und $f$ eine me"sbare reelle Funktion auf $X$. \begin{enumerate} \item Man sagt, die Folge der $f_n$ {\bf konvergiere stochastisch}\index{Konvergenz!stochastische} gegen\index{stochastisch!Konvergenz} $f$, wenn f"ur alle $\varepsilon >0$ gilt $ \lim_{n \rightarrow \infty} \mu(|f_n - f|>\varepsilon ) = 0 .$ \item Man sagt, die Folge der $f_n$ {\bf konvergiere fast "uberall}\index{Konvergenz!fast "uberall} gegen $f$, wenn gilt $f_n (x) \rightarrow f (x)$ f"ur fast alle $x \in X$. Im Fall eines Wahrscheinlichkeitsraums nennt man das auch {\bf fast sichere Konvergenz}.\index{Konvergenz!fast sichere} \item Man sagt, die Folge der $f_n$ {\bf konvergiere im Mittel}\index{Konvergenz!im Mittel} gegen $f$, wenn alle Differenzen $f_n-f$ integrierbar sind und es gilt $\int |f_n-f|\ra 0$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Beziehung zwischen diesen Begriffen fa"st folgendes Diagramm zusammen: $$\text{im Mittel}\;\;\RA \;\;\text{stochastisch}\;\;\Leftarrow \;\; \text{fast "uberall}$$ Hier sei $\RA$ eine "Ubung, und um $\Leftarrow$ zu zeigen betrachten wir f"ur $\varepsilon >0$ die Mengen $ X_n (\varepsilon)= \{ x \in X \mid |f_m (x) - f(x)| \leq \varepsilon \text{ f"ur alle } m \geq n\} $ und folgern aus Konvergenz fast "uberall, da"s das Komplement von $\bigcup X_n(\varepsilon)$ in $X$ eine Nullmenge ist. Andere Implikationen zwischen unseren Begriffen existieren nicht. Um das zu zeigen m"ussen wir nur Beispiele angeben, in denen eine der "au"seren Eigenschaften erf"ullt ist aber nicht die andere. Ein Beispiel f"ur eine im Mittel aber nicht fast "uberall konvergierende Folge gibt \eref{IMnf}{AN3}. Ein Beispiel f"ur eine fast "uberall aber nicht im Mittel konvergierende Folge auf $(X, \mathcal{M}, \mu)=([0,1], \mathcal{B}, \lambda)$ bildet die Folge der Produkte mit $n$ der charakteristischen Funktionen der Intervalle $[0,1/n].$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Bei allen drei Arten von Grenzwerten sind die Grenzwerte wohlbestimmt als fast "uberall definierte Funktionen, wenn sie denn existieren. Das ist nur im Fall stochastischer Konvergenz nicht offensichtlich. Konvergiert jedoch eine Folge stochastisch sowohl gegen $f$ als auch gegen $g$, so stimmen $f$ und $g$ fast "uberall "uberein, da ja gilt $$\mu (|f-g| > 2\varepsilon) \;\leq\; \mu (|f-f_n| > \varepsilon) + \mu(|g-f_n| >\varepsilon)$$ f"ur alle $n \in \Bbb{N}$ und $\varepsilon >0$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{stoko} Sei $(X, \mathcal{M}, \mu)$ ein Ma"sraum. Konvergiert eine Folge me"sbarer reeller Funktionen $(f_n)_{n \in \Bbb{N}}$ auf $X$ stochastisch gegen eine me"sbare reelle Funktion $f$, so konvergiert eine geeignete Teilfolge fast "uberall gegen $f.$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir finden %sicher nat"urliche Zahlen $n(1) 1/i)<2^{-i}.$ Setzen wir $$A_i=\{x\in X\mid |f_{n(i)}(x) - f(x)|> 1/i\}$$ so gilt also $\mu(A_i)<2^{-i}$ und die Vereinigung $A_{> i}=A_{i+1}\cup A_{i+2}\cup\ldots$ hat ein Ma"s $\mu(A_{> i})<2^{-i}.$ Die Folge der $f_{n(i)}$ konvergiert nun aber offensichtlich punktweise au"serhalb des Schnittes aller $\mu(A_{> i})$ und damit au"serhalb einer Nullmenge. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Satz "uber stochastische dominierte Konvergenz}] Der\index{dominierte Konvergenz!stochastische} Satz "uber dominierte Konvergenz \eref{DoKo}{AN3} bleibt g"ultig, wenn wir statt punktweiser Konvergenz\label{stod} allgemeiner nur stochastische Konvergenz fordern. Haben wir etwa $f_n\ra f$ stochastisch und ist $g$ eine dominierende Funktion und $\varepsilon>0$ gegeben, so finden wir mit \eref{UAII}{AN3} ein $\alpha=\alpha_\varepsilon>0$ mit der Eigenschaft $\mu(A)<\alpha\;\RA \;\int_Ag\mu<\varepsilon$ f"ur me"sbares $A.$ Weiter finden wir mit \eref{UAIy}{AN3} ein $\beta=\beta_\varepsilon>0$ mit der Eigenschaft $\int\inf(g,\beta)\mu<\varepsilon.$ Ist $n$ so gro"s, da"s gilt $\mu(|f_n-f|>\beta)<\alpha$, und bezeichnen wir diese \glqq Ausnahmemenge\grqq\ mit $A$, so folgt $$\int_X|f_n-f|\;\mu\leq \int_{X\setminus A}|f_n-f|\;\mu+2\int_Ag\mu \leq 3\varepsilon$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung} \begin{Bemerkungl} Ich beginne mit einigen Erinnerungen. Unter einem \hyperref[WahR]{Wahrscheinlichkeitsraum} ein Tripel $(\Omega,\mathcal A,P)$ versteht aus einer Menge $\Omega$, einer $\sigma$-Algebra von Teilmengen von $\Omega$ und einem Wahrscheinlichkeitsma"s $P$ auf dem Me"sraum $(\Omega,\mathcal A)$. Eine me"sbare Teilmenge eines Wahrscheinlichkeitsraums nennt man ein \hyperref[WahR]{Ereignis}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei unser Wahrscheinlichkeitsraum die Menge $\{1,\ldots, 6\}^{10}$ mit dem auf Gesamtmasse Eins normierten Z"ahlma"s. Er modelliert das zehnmalige W"urfeln mit einem gerechten W"urfel. Ein Ereignis w"are etwa, da"s man beim dritten und vierten Wurf jeweils eine Eins w"urfelt, oder auch, da"s bei unseren zehn W"urfen der Durchschnitt der Augenzahlen $3\frac{1}{2}$ ist. \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Unabh"angigkeit von Ereignissen}] Sei $(\Omega,\cal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Eine Familie von Ereignissen $(A_i)_{i \in I}$ hei"st {\bf stochastisch unabh"angig}, \index{stochastisch!unabh"angig!Ereignisse} wenn f"ur jede endliche Teilmenge $E \subset I$ gilt\label{sto} \begin{equation*} P\left(\bigcap_{i\in E} A_i\right) = \prod_{i \in E} P(A_i) \end{equation*} \end{Definition} \begin{Beispiel} Wir betrachten im Fall des sechsmaligen W"urfelns mit einem gerechten W"urfel die drei Ereignisse \begin{description} \item[$A_1:$] Beim ersten Wurf erhalten wir eine Eins; \item[$A_2:$] Beim zweiten Wurf erhalten wir eine Eins; \item[$A_3:$] Jede Augenzahl kommt bei unseren W"urfen einmal vor. \end{description} Diese Ereignisse sind zwar paarweise unabh"angig, die Familie aller dieser drei Ereignisse ist jedoch nicht unabh"angig. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine me"sbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Me"sraum hei"st eine {\bf "uberall definierte Zufallsvariable}\index{Zufallsvariable!"uberall definierte} auf unserem Wahrscheinlichkeitsraum mit Werten in unserem Me"sraum. Eine fast "uberall definierte me"sbare Abbildung von einem Wahrscheinlichkeitsraum in einen Me"sraum hei"st eine {\bf fast "uberall definierte Zufallsvariable}.\index{Zufallsvariable!fast "uberall definierte} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wenn man einfach nur von Zufallsvariablen spricht, sind meist fast "uberall definierte Zufallsvariablen gemeint, und meist kommt es darauf auch gar nicht an. Wenn man keinen Wertebereich spezifiziert, sind meist reellwertige Zufallsvariablen gemeint, also Zufallsvariablen mit Werten in der reellen Zahlengeraden, versehen mit ihrer Borel'schen $\sigma$-Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei unser Wahrscheinlichkeitsraum das Einheitsquadrat $[0,1]^2$ mit dem Lebesguema"s. Er modelliert die \glqq zuf"allige Wahl eines Punktes aus dem Einheitsquadrat\grqq. Eine Zufallsvariable auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum w"are etwa die Zuordnung, die jedem Punkt seine $x$-Koordinate zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Unabh"angigkeit von Zufallsvariablen}] Eine Familie $(X_i)_{i\in I}$ von Zufallsvariablen $X_i :\Omega \dashrightarrow \Omega_i$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega$ hei"st {\bf stochastisch unabh"angig}, wenn\index{stochastisch unabh"angig!Zufallsvariablen} f"ur jede Wahl me"sbarer Teilmengen $A_i \subset \Omega_i$ die Familie von Ereignissen $X_i^{-1} (A_i)$ stochastisch unabh"angig ist im Sinne von \ref{sto}. Insbesondere ist unsere Familie genau dann stochastisch unabh"angig, wenn das f"ur jede endliche Teilfamilie gilt. \end{Definition} \begin{Beispiel} Auf dem Wahrscheinlichkeitsraum des sechsmaligen W"urfelns oder irgendeiner Verfeinerung desselben betrachten wir die drei Zufallsvariablen \begin{description} \item[$X_1:$] Ausgang des ersten Wurfs; \item[$X_2:$] Ausgang des zweiten Wurfs; \item[$X_3:$] Wieviele Zahlen wurden mindestens zweimal gew"urfelt? \end{description} Die ersten beiden Zufallsvariablen nehmen Werte in $\{1,\ldots, 6\}$ an, die dritte Werte in $\{0,1,2,3\}$. Je zwei dieser Zufallsvariablen sind stochastisch unabh"angig, als Gesamtheit sind sie jedoch nicht stochastisch unabh"angig. \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben ein Wahrscheinlichkeitsraum $(\Omega, \mathcal{A},P)$ und eine Zufallsvariable $X : \Omega \rightarrow \Lambda$ hei"st das Bildma"s\index{P@$P^{X}$ Verteilung der Zufallsvariable $X$} $$P^{X}\pdef X_\ast P $$ von $P$ unter $X$ die {\bf Verteilung der Zufallsvariable}. \index{Verteilung!einer Zufallsvariable} Diese Verteilung ist also ein Wahrscheinlichkeitsma"s auf dem Me"sraum $\Lambda$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben der Wahrscheinlichkeitsraum $[0,1]^2$ eines zuf"alligen Punktes aus dem Einheitsquadrat und die reellwertige Zufallsvariable \begin{equation*} X : (a,b) \mapsto a+b \end{equation*} ist ihre Verteilung das Produkt des Lebesguema"ses mit der \glqq D"achle-Funktion\grqq, die Tr"ager $[0,2]$ hat, bei $1$ den Wert Eins annimmt, an den Intervallgrenzen verschwindet, und linear verl"auft auf jedem der beiden Teilintervalle $[0,1]$ und $[1,2]$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben "uberall definierte Zufallsvariablen $X_i : \Omega \rightarrow \Omega_i$ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega$ mag man die {\bf zusammengefa"ste Zufallsvariable}\index{Zufallsvariable!zusammengefa"ste} \begin{equation*} X = (X_i)_{i\in I} : \Omega \rightarrow \prod_{i \in I} \Omega_i \end{equation*} bilden, wobei der Produktraum rechts mit der Produkt-$\sigma$-Algebra zu verstehen ist. Die Me"sbarkeit dieser Abbildung folgt aus \ref{UEPS}. Der Leser mu"s dabei aus dem Zusammenhang erschlie"sen, ob die Notation $(X_i)_{i\in I}$ im Einzelfall eine Familie von Zufallsvariablen oder vielmehr deren Zusammenfassung meint. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Gegeben eine stochastisch unabh"angige Familie von Zufallsvariablen $(X_i)_{i\in I}$ und eine Partition $I=\coprod_{k\in K} I(k)$ ist auch die durch $k\in K$ indizierte Familie der entsprechend zusammengefa"sten Zufallsvariablen $Y_k\pdef(X_i)_{i\in I(k)}$ stochastisch unabh"angig. \end{Ubung} \begin{Proposition}[\textbf{Verteilung unabh"angiger Zufallsvariablen}] Eine endliche Familie $(X_i)_{1\leq i \leq n}$ von Zufallsvariablen ist stochastisch unabh"angig genau dann, wenn die\label{VuZ} Verteilung ihrer Zusammenfassung $X\pdef(X_i)_{1\leq i \leq n}$ das Produkt der Verteilungen der einzelnen Komponenten ist, in Formeln $$P^{X} = P^{X_1}\boxtimes \ldots \boxtimes P^{X_n}$$ \end{Proposition} \begin{proof} Es bezeichne $\mathcal A_i$ die jeweilige $\sigma$-Algebra der me"sbaren Teilmengen von $\Omega_i$. Gegeben $A_i\in \mathcal{A}_i$ gilt per definitionem $X_1^{-1}(A_1)\cap\ldots\cap X_n^{-1}(A_n) =X^{-1}(A_1\times\ldots\times A_n)$. Ist die Verteilung der Zusammenfassung das Produkt der Verteilungen, so gilt $$ \begin{array}{ccc} P^{X}(A_1\times\ldots\times A_n) &=& P^{X_1}(A_1)\ldots P^{X_n}(A_n)\\ \|&&\|\\ P(X^{-1}(A_1\times\ldots\times A_n))&& P(X_1^{-1}(A_1))\ldots P(X_n^{-1}(A_n)) \\ \|&&\\ P(X_1^{-1}(A_1)\cap\ldots\cap X_n^{-1}(A_n)) \end{array} $$ und damit steht schon die stochastische Unabh"angigkeit da. Umgekehrt folgt aus der stochastischen Unabh"angigkeit die Gleichheit der untersten Terme in unseren beiden Gleichungst"urmen und damit die Gleichheit in der Mitte, f"ur alle $A_i\in \mathcal{A}_i$. Unsere beiden Ma"se im Lemma stimmen also auf allen me"sbaren Quadern "uberein. Mit dem Ma"sfortsetzungssatz \ref{MHa} folgt daraus unmittelbar, da"s sie gleich sind. \end{proof} \begin{Definition} Sei $(\Omega, \mathcal A, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Gegeben eine reelle integrierbare Zufallsvariable $X$ alias ein Element $X \in {\mathcal{L}}^1_{\mathbb R} (\Omega)$ ist ihr \defind{Erwartungswert} $\op{E}(X) \in \mathbb R$ definiert als das Integral \begin{equation*} \op{E}(X) \pdef \int X \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mithilfe der Verteilung $P^X$ unserer Zufallsvariable k"onnen wir den Erwartungswert auch schreiben als $\op{E}(X)=\int_\DR xP^X$, denn unter $X:\Omega\ra\DR$ ist die Funktion $X$ per definitionem verwandt zur Funktion $x=\op{id}:\DR\ra\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben %stochastisch unabh"angige integrierbare Zufallsvariablen $X_1,\ldots, X_n$ ist der Erwartungswert ihrer Summe die Summe ihrer Erwartungswerte, in Formeln $$\op{E}(X_1+\ldots+ X_n)=\op{E}(X_1)+\ldots+ \op{E}(X_n)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Das ist klar. % Unter unserer zusammengefa"sten Zufallsvariable % $(X_1,\ldots,X_n):\Omega\ra\DR^n$ gilt nach \ref{VuZ} die Verwandtschaft % von Ma"sen $(X_1,\ldots,X_n):P\leadsto P^{X_1}\boxtimes \ldots \boxtimes % P^{X_n}$. % Wir folgern % $$ % \begin{array}{lll} % \int_\Omega (X_1+\ldots+ X_n)P&=& % \int_{\DR^n} (x_1+\ldots+ x_n)P^{X_1}\boxtimes \ldots \boxtimes % P^{X_n}\\ % % &=&\int_{\DR^n} (x_1+\ldots+ x_n)P^{X_1}\boxtimes \ldots \boxtimes % % P^{X_n}\\ % &=&\int_{\DR} x_1P^{X_1} + \ldots % +\int_{\DR} x_nP^{X_n}=\int_\Omega (X_1+\ldots+ X_n)P % \end{array} % $$ \end{proof} \begin{Definition} Sei $(\Omega, \mathcal A, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum. Gegeben eine quadratintegrierbare Zufallsvariable $X$ alias ein Element $X \in {\mathcal{L}}^2_{\mathbb R} (\Omega)$ ist ihre \defind{Varianz} $\op{Var} (X) \in \mathbb R_{\geq 0}$ erkl"art als das Integral \begin{equation*} \op{Var} (X) \pdef \int (X - \op{E}(X))^2 \end{equation*} Weiter erkl"art man die \defind{Standardabweichung} $\sigma (X)\in \mathbb R_{\geq 0}$ einer quadratintegrierbaren Zufallsvariablen $X \in {\mathcal{L}}^2_{\mathbb R} (\Omega)$ als die Wurzel aus der Varianz \begin{equation*} \sigma (X) \pdef \sqrt{\op{Var}(X)} \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Geometrische Bedeutung der Standardabweichung}] Der Begriff der Standardabweichung hat den Vorteil, da"s f"ur reelles $\lambda\geq 0$ gilt $\sigma (\lambda X)=\lambda\sigma ( X)$. So hat etwa die verdoppelte Zufallsvariable die vierfache Varianz aber die doppelte Standardabweichung. Geometrisch mag man die durch $X - \op{E}(X)$ gegebene fast "uberall definierte Funktion interpretieren als das Bild von $X \in {\op{L}}^2_{\mathbb R} (\Omega)$ unter der orthogonalen Projektion auf die Hyperebene aller quadratintegrierbaren Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null: In der Tat steht die Gerade der konstanten reellen Zufallsvariablen n"amlich auf dieser Hyperebene senkrecht und der Erwartungswert einer quadratintegrierbaren Zufallsvariablen ist nichts anderes als ihr Skalarprodukt mit der konstanten Zufallsvariablen Eins. Damit bedeutet die Standardabweichung einer quadratintegrierbaren Zufallsvariablen geometrisch die L"ange ihrer orthogonalen Projektion auf die Hyperebene aller quadratintegrierbaren Zufallsvariablen mit Erwartungswert Null. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben zwei quadratintegrierbare Zufallsvariablen $X, Y \in {\op{L}}^2_{\mathbb R} (\Omega)$ bezeichnet man schlie"slich das Skalarprodukt der besagten Projektionen unserer Zufallsvariablen als ihre \defind{Kovarianz} \begin{equation*} \op{Kov} (X,Y) \pdef \langle X - \op{E}(X), Y- \op{E}(Y)\rangle = \op{E}(XY) - \op{E}(X) \op{E}(Y) \end{equation*} F"ur von Null verschiedene Varianzen bezeichnet man schlie"slich den Cosinus des von unseren Projektionen eingeschlossenen Winkels als den \defind{Korrelationskoeffizienten} $\rho$ unserer beiden Zufallsvariablen, in Formeln \begin{equation*} \rho (X,Y) \pdef \frac{\op{Kov} (X,Y)}{\sigma (X) \sigma(Y)} \end{equation*} Ist besagter Korrelationskoeffizient oder sogar noch etwas allgemeiner die Kovarianz Null, so hei"sen unsere Zufallsvariablen {\bf unkorreliert}.\index{unkorreliert!Zufallsvariablen} \end{Definition} \begin{Korollar}[\textbf{Unabh"angige Zufallsvariablen sind unkorreliert}] Sind zwei quadratintegrierbare relle Zufallsvariablen stochastisch unabh"angig, so sind sie unkorreliert. \end{Korollar} \begin{proof} Seien $X,Y$ unsere beiden Zufallsvariablen. Unter der zusammengefa"sten Zufallsvariablen $(X,Y) : \Omega \rightarrow \mathbb R^2$ haben wir die Verwandtschaft von Funktionen $XY \rightsquigarrow xy$ und nach \ref{VuZ} die Verwandtschaft von Ma"sen $P \rightsquigarrow P^X \boxtimes P^Y$. Es folgt mit Fubini \begin{displaymath} \begin{array}[b]{lllll} \op{E}(XY) &= &\int_\Omega XY P& = &\int_{\mathbb R^2} xy (P^X \boxtimes P^Y) \\[2mm] & && =& \left( \int_{\mathbb R} x P^X \right) \left(\int_{\mathbb R} y P^Y \right) = \op{E}(X) \op{E}(Y) \end{array} \qedhere\end{displaymath} \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine stochastisch unabh"angige Familie von Zufallsvariablen $X_i:\Omega \rightarrow \Omega_i$ und me"sbare Abbildungen $f_i:\Omega_i\ra \Lambda_i$ ist auch die Familie der Zufallsvaribalen $f_i\circ X_i$ stochastisch unabh"angig. \end{Ubung} \subsection{Brown'sche Bewegung} \begin{Bemerkungl} Wir modellieren die Erfolgsaussichten einer Handelsstrategie an der B"orse durch ein einfaches Spiel: Es werde wiederholt eine M"unze geworfen. Vor jedem Wurf darf unser Spieler einen Einsatz wagen. Kommt Wappen, so verliert er seinen Einsatz. Kommt Zahl dahingegen, so erh"alt er das Doppelte seines Einsatzes ausgezahlt. Nun mag unser Spieler verschiedene Strategien verfolgen. Naheliegend w"are es etwa, zun"achst einmal mit einem Einsatz von einem Euro zu beginnen und dann bei jedem Verlust den Einsatz zu verdoppeln, bei jedem Gewinn jedoch wieder mit einem Einsatz von einem Euro zu beginnen. Auch andere Strategien w"aren denkbar. Die Frage ist nun, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein gegebene Strategie nach einer gegebenen Zahl von W"urfen zu einem gegebenen Gewinn oder Verlust f"uhrt. Formal betrachten wir dazu den Raum $\Omega = \op{Ens} (\Bbb{N}, \{W,Z\})$ aller Folgen von Buchstaben $W$ f"ur Wappen und $Z$ f"ur Zahl und darauf die die Gleichverteilung im Sinne von \ref{GVF}. F"ur $\omega \in \Omega$ meint also $\omega (0)$ das Resultat des ersten Wurfes, $\omega (1)$ das Resultat des zweiten Wurfes etc. Auf diesem Raum betrachten wir die aufsteigende Folge von $\sigma$-Algebren $\mathcal{F}_0 \subset \mathcal{F}_1 \subset \mathcal{F}_2 \subset \ldots$ mit $\mathcal{F}_n = \varphi^\ast_n \mathcal{P} (\{W,Z\}^n)$ f"ur $\varphi_n : \Omega \rightarrow \{ W,Z\}^n$ die Projektion, die jeder Folge ihre $n$ ersten Werte zuordnet. Eine Strategie $H$ ist nun eine Abbildung \begin{equation*} H: \Bbb{N} \times \Omega \rightarrow \Bbb{R} \end{equation*} mit der Eigenschaft, da"s $H_n : \Omega \rightarrow \Bbb{R}$, $\omega \mapsto H(n,\omega)$ jeweils me"sbar ist bez"uglich $\mathcal{F}_n$. Anschaulich bedeutet die Me"sbarkeit hier, da"s unsere Strategie f"ur die Wahl des Einsatzes $H (n,\omega)$ vor dem $(n+1)$-ten M"unzwurf nur von den Ausg"angen $(\omega (0),\ldots,\omega (n-1))$ der vorhergehenden $n$ W"urfe abh"angen darf. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir denken uns nun weiter die zuf"allige Wanderung in $\Bbb{Z}$, die bei Null beginnt und die bei \glqq Zahl\grqq\ einen Schritt in die positive Richtung geht, bei \glqq Wappen\grqq\ jedoch einen Schritt in die negative Richtung. Da das ein diskretes Analogon der Brown'schen Bewegung ist, verwenden wir daf"ur die Notation $$ \begin{array}{cccc} B :& \Bbb{N} \times \Omega &\rightarrow &\Bbb{Z}\\ &(n \;,\; \omega) & \mapsto & \sum^{n-1}_{i=0} w (\omega (i)) \end{array} $$ mit $w (W) =-1$ und $w (Z) =1$. Nat"urlich k"onnen wir auch $B$ auffassen als eine Abbildung $ B : \Bbb{N} \times \Omega \rightarrow \Bbb{R} $ und wieder ist $B_n$ jeweils me"sbar bez"uglich $\mathcal{F}_n$. Der Gewinn beziehungsweise Verlust bei einer Handelsstrategie $H$ nach dem $n$-ten Wurf ist nun \begin{equation*} G_n (\omega) = \sum^{n-1}_{i=0} H_i (\omega)(B_{i+1} (\omega) - B_i (\omega)) \end{equation*} als Funktion der Folge $\omega$ und ist nat"urlich me"sbar in Bezug auf $\mathcal{F}_n$. Das Bildma"s unseres Wahrscheinlichkeitsma"ses auf $\Omega$ unter $G_n$ alias die Verteilung der Zufallsvariable $G_n$ ist dann ein Wahrscheinlichkeitsma"s auf $\Bbb{R}$, das uns die Wahrscheinlichkeit gegebener Gewinne oder Verluste f"ur unsere Handelstrategie $H$ angibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Fall unserer vorne erw"ahnten Strategie, also: verdopple Einsatz bei Verlust, beginne wieder mit einem Euro Einsatz bei Gewinn, w"urden wir etwa mit gro"ser Wahrscheinlichkeit kleine Gewinne machen und mit kleiner Wahrscheinlichkeit gro"se Verluste. F"ur B"orsenh"andler, die von Gewinnen anteilig profitieren und gro"se Verluste eh nicht selber tragen k"onnen, mag eine solche Strategie durchaus sinnvoll sein, insbesondere wenn die vergleichsweise kleinen Gewinne doch so gro"s sind, da"s ihre Gewinnbeteiligung ein bequemes Leben garantiert: Wenn ich mit 99\% Wahrscheinlichkeit ein sch"ones Haus kaufen kann, und mit 1\% ins Gef"angnis komme, so liegt doch von moralischen Bedenken abgesehen die Entscheidung recht nahe. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $\Omega$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $Y$ ein Me"sraum. Ein \defind{stochastischer Prozess} auf $\Omega$ mit Werten in $Y$ ist eine me"sbare Abbildung \begin{equation*} X : \Bbb{R}_{\geq 0} \times \Omega \rightarrow Y \end{equation*} F"ur jedes $\omega \in \Omega$ hei"st die Abbildung $\Bbb{R}_{\geq 0} \rightarrow Y$, $ t\mapsto X (t, \omega)$ ein \defind{Pfad} unseres Prozesses. F"ur jedes $t \geq 0$ ist $X_t : \Omega \rightarrow Y$, $\omega \mapsto X (t,\omega)$ eine Zufallsvariable. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Brown'sche Bewegung}]\index{Brown'sche Bewegung} Auf der Menge aller vom Ursprung ausgehenden Pfade $\Omega = \{ \gamma: \Bbb{R}_{\geq 0} \rightarrow \Bbb{R} \mid \gamma \text{ stetig, } \gamma (0) =0\}$ mit ihrer kompakt-offenen Topologie und der zugeh"origen Borel'schen $\sigma$-Algebra gibt es genau ein Wahrscheinlichkeitsma"s, das \emph{\bf Wiener-Ma"s},\index{Wiener-Ma"s} derart da"s f"ur den stochastischen Prozess $ B : \Bbb{R}_{\geq 0} \times \Omega \rightarrow \Bbb{R}, $ $ (t, \gamma) \mapsto \gamma (t) $ gilt: \begin{enumerate} \item F"ur alle $t>s\geq 0$ ist $B_t - B_s$ eine normalverteilte Zufallsvariable auf dem Pfadraum $\Omega$ mit Erwartungswert Null und Varianz $t-s$; \item Gegeben Zeitpunkte $0\leq t(0) < t(1) < t(2) < \ldots < t(n)$ ist die Familie von Zufallsvariablen $(B_{t(i)} - B_{t(i-1)})_{1 \leq i \leq n}$ stochastisch unabh"angig. \end{enumerate} %Lerche sagt, das stimmt so. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Borel'sche $\sigma$-Algebra zur kompakt-offenen Topologie auf dem Pfadraum $\Omega$ kann auch beschrieben werden als die kleinste $\sigma$-Algebra, f"ur die alle Auswertungen $B_t:\Omega\ra\DR$ me"sbar sind. In der Tat sind alle Auswertungen in der kompakt-offenen Topologie sogar stetig. Andererseits wird die $\sigma$-Algebra zur kompakt-offenen Topologie auch erzeugt von dem Mengen $$\Omega(K,A)\pdef \{\gamma\mid \gamma(K)\subset A\}$$ f"ur $K\subset \DR_{\geq 0}$ kompakt und $A\As \DR$ abgeschlossen. W"ahlen wir nun aber in $K$ eine abz"ahlbare dichte Teilmenge $N$, so gilt $\Omega(K,A)=\bigcap_{t\in N} B_t^{-1}(A)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $E\subset \DR_{\geq 0}$ eine endliche Menge von Zeitpunkten und eine Teilmenge $A\subset \op{Ens}(E,\DR)$ aus dem von allen Produkten von $|E|$ Intervallen erzeugten Mengenring betrachten wir die Menge aller Pfade $$\Omega(E;A)\pdef \{\gamma\in\Omega\mid \gamma|_E\in A\}$$ mit durch $A$ vorgeschriebenem Verhalten auf $E$. Die $\Omega(E;A)$ bilden in $\Omega$ einen Mengenring und es ist nicht schwer zu sehen, welchen Wert jedes Wienerma"s jedem $\Omega(E;A)$ zuordnen mu"s. Da fraglicher Mengenring bereits die Borel'sche $\sigma$-Algebra auf dem Pfadraum erzeugt, zeigt der Ma"sfortsetzungssatz von Caratheodory \eref{MHa}{AN3} damit bereits die Eindeutigkeitsaussage aus unserem Satz, und um auch die Existenz eines Wienerma"ses zu zeigen, reicht es nachzuweisen, da"s unsere Formeln bereits ein Pr"ama"s liefern. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die Eindeutigkeit Noch zu schreiben. \end{proof} Von hier ab isses unausgegoren. \begin{Definition} Sei $(\Omega, \mathcal A, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $I \subset \mathbb{R}$ ein Intervall und $\mathcal F = (\mathcal F_t)_{t \in I}$ eine durch $I$ induzierte Familie von $\sigma$-Algebren $\mathcal F_t \subset \mathcal A$ mit $t \leq s \Rightarrow \mathcal F_t \subset \mathcal F_s$. Bezeichne $\mathcal L^2 (\Omega \times I; \mathcal F) \subset \mathcal L^2 (\Omega \times I)$ die Menge aller quadratintegrierbaren Funktionen $f$ mit der Eigenschaft, da"s $f_t : \omega \mapsto f (\omega, t)$ me"sbar ist bez"uglich $\mathcal F_t$ f"ur alle $t \in I$. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{SFuu} Gegeben $c \in I$ und $f_c \in \mathcal L^2 (\Omega; \mathcal F_c)$ eine quadratintegrierbare $\mathcal F_c$-me"sbare Funktion geh"ort f"ur jedes $d \in I$ mit $d \geq c$ die Funktion $(\omega, t) \mapsto f_c (\omega) \chi_{[c,d)} (t)$ zu $\mathcal L^2 (\Omega \times I; \mathcal F)$. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Das Bild ${\op{L}}^2 (\Omega \times I; \mathcal F)$ von $\mathcal L^2 (\Omega \times I; \mathcal F)$ in ${\op{L}}^2 (\Omega \times I)$ ist ein abgeschlossener Teilraum, und die Funktionen der im vorhergehenden Beispiel \ref{SFuu} erkl"arten Art erzeugen darin einen dichten Teilraum. \end{Lemma} \begin{proof} ?? \end{proof} \subsection{Bedingte Erwartung} \begin{Definition} Seien $\Omega=(\Omega,\cal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\cal{F}\subset \cal{A}$ eine Unter-$\sigma$-Algebra. Gegeben eine Zufallsvariable $X\in \op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{A},P)$ erkl"aren wir ihre {\bf durch $\cal{F}$ bedingte Erwartung}\index{Erwartung!bedingte} als diejenige $\cal{F}$-me"sbare $\op{L}^1$-Funktion $Y\in \op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{F},P)$, die der Bedingung $$\int_F Y=\int_F X\qquad\text{ f"ur alle }F\in \cal{F}$$ gen"ugt. Beide Integrale sind hier in Bezug auf das Wahrscheinlichkeitsma"s $P$ zu verstehen. Da die rechte Seite dieser Gleichung ein zu $P$ stetiges signiertes Ma"s auf $\cal{F}$ definiert, folgt die Existenz und Eindeutigkeit unserer bedingten Erwartung aus dem Satz von Radon-Nikodym \ref{RaNi}. Man notiert sie $$Y=\op{E}(X|\cal{F})$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Sei $\Omega$ die Menge aller Menschen und $P$ die Gleichverteilung und $X:\Omega\ra\DR$ die Abbildung, die jedem Menschen seine Gr"o"se in Zentimetern zuordnet. Bezeichnet $\cal{F}$ die von den Teilmengen aller Menschen eines beliebigen aber festen Jahrgangs erzeugte Unter-$\sigma$-Algebra, so ist die bedingte Erwartung $\op{E}(X|\cal{F})$ diejenige Funktion, die jedem Menschen die durchschnittliche Gr"o"se aller Menschen seines Jahrgangs zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Ubung}\label{DBEB} Ist $\Omega=(\Omega,\cal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und sind darauf Unter-$\sigma$-Algebren $\cal{G}\subset\cal{F}\subset \cal{A}$ gegeben, so gilt f"ur jede Zufallsvariable $X\in \op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{A},P)$ die Identit"at $$ \op{E}(X|\cal{G})=\op{E}(\op{E}(X|\cal{F})|\cal{G})$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BDEW} Ist $\Omega=(\Omega,\cal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und $\cal{F}\subset \cal{A}$ eine Unter-$\sigma$-Algebra, so ist f"ur jede Zufallsvariable $X\in \op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{A},P)$ die bedingte Erwartung ihres Betrages mindestens so gro"s wie der Betrag ihrer bedingten Erwartung, in Formeln $$\op{E}(|X|\;|\cal{F})\geq |\op{E}(X|\cal{F})\;|$$ \end{Ubung} \begin{Definition} Sei ein Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega=(\Omega,\cal{A},P)$ gegeben. Ein {\bf diskretes Martingal}\index{diskret!Martingal}\index{Martingal!diskretes} auf $\Omega$ ist eine Folge $(\cal{F}_n,X_n)$ von Paaren bestehend aus einer $\sigma$-Algebra $\cal{F}_n\subset \cal{A}$ und einer integrierbaren reellen Zufallsvariable $X_n\in \op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{F}_n,P)$ derart, da"s unsere $\sigma$-Algebren eine aufsteigende Folge $\cal{F}_0\subset\cal{F}_1\subset \ldots\subset \cal{A}$ bilden und da"s f"ur die jeweils durch die kleinere $\sigma$-Algebra bedingten Erwartungen gilt $$X_n=\op{E}(X_{n+1}|\cal{F}_n)\qquad\forall n\geq 0$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Die Herkunft der Bezeichnung als \glqq Martingal\grqq\ scheint nicht gekl"art zu sein. Urspr"unglich bezeichnet dieses Wort einen Teil des Zaumzeugs beim Springreiten. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel}\label{BMKo} Ist $\Omega=(\Omega,\cal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und darauf $\cal{F}_0\subset\cal{F}_1\subset \ldots\subset \cal{A}$ eine aufsteigende Folge von $\sigma$-Algebren und $X\in \op{L}_\DR^1(\Omega)$ eine integrierbare Zufallsvariable und bilden wir die zugeh"origen bedingten Erwartungen $X_n=\op{E}(X|\cal{F}_n)$, so bildet die Folge der $(\cal{F}_n, X_n)$ wegen \ref{DBEB} ein diskretes Martingal. Die Zufallsvariablen $X_n$ derartiger Martingale sind stets gleichgradig integrierbar im Sinne der folgenden Definition \ref{ggi}, und umgekehrt ist auch jedes gleichgradig integrierbare Martingal von dieser Gestalt, wie der bald folgende \glqq Konvergenzsatz f"ur Martingale\grqq\ \ref{KOm} ausf"uhrt. Der anschlie"sende Satz zeigt uns bereits, in welcher Weise unser $X$ in dieser Situation der Grenzwert der $X_n$ sein mu"s. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{von Levy}] Ist $\Omega=(\Omega,\cal{A},P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum,\index{Levy!Satz von} $\cal{F}_0\subset\cal{F}_1\subset\ldots\subset \cal{A} $ eine Folge von $\sigma$-Algebren, $\cal{F}_\infty=\sigma\left(\bigcup \cal{F}_n\right)$ das $\sigma$-Erzeugnis ihrer Vereinigung und $X \in\op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{F}_\infty,P)$ eine integrierbare $\cal{F}_\infty$-me"sbare Funktion, so streben deren durch $\cal{F}_n$ bedingte Erwartungen sowohl im Mittel als auch punktweise fast "uberall gegen die urspr"ungliche Funktion, in Formeln $$\op{E}(X|\cal{F}_n)\ra X$$ \end{Satz} \begin{proof} Sicher ist die Menge aller $X \in {\op{L}}^1$, f"ur die die Aussage des Satzes gilt, ein Untervektorraum $U \subset {\op{L}}^1$. Sicher enth"alt dieser Untervektorraum die charakteristischen Funktionen $[A]$ von allen $A \in \mathcal F_n$ f"ur alle $n\geq 0$. Nach \ref{dSF} erzeugen diese Funktionen einen dichten Teilraum im Raum aller $\mathcal F_\infty$-me"sbaren integrierbaren Funktionen. Wir m"ussen also nur noch zeigen, da"s unser Untervektorraum $U$ abgeschlossen ist. Sei dazu $X^0, X^1, \ldots$ eine Folge in $U$ mit \begin{equation*} X^i \rightarrow X \end{equation*} im ${\op{L}}^1$-Sinne f"ur eine Grenzfunktion $X \in {\op{L}}^1$. F"ur jedes $\varepsilon > 0$ gibt es insbesondere ein $i$ mit $\|X^i -X \|_1 \leq \varepsilon$. Wir setzen $\op{E}(X^i|\cal{F}_n)= X^i_n.$ Aus \ref{BDEW} folgt sofort $ \| X^i_n - X_n\|_1 \leq \varepsilon$ f"ur alle $n \geq 0. $ F"ur alle hinreichend gro"sen $n$ gilt wegen $X^i \in U$ aber $\| X^i_n - X^i\|_1 \leq \varepsilon$ und f"ur dieselben $n$ gilt dann auch $\|X_n - X\|_1 \leq 3 \varepsilon$. Das zeigt bereits die Konvergenz im Mittel. Um punktweise Konvergenz fast "uberall zu zeigen, bemerken wir zun"achst, da"s nach \eref{VoLp}{AN3} unsere Folge $X^i$ sogar so gew"ahlt werden kann, da"s sie fast "uberall gegen $X$ konvergiert. Gegeben $\alpha > 0$ und $\varepsilon > 0$ finden wir also ein $i =i(\alpha, \varepsilon)\geq 0$ und $\Omega=\Omega (\alpha, \varepsilon)$ me"sbar vom Ma"s $P \Omega (\alpha, \varepsilon) \geq 1- \alpha$ derart, da"s gilt \begin{equation*} |X^i (\omega)- X (\omega) | \leq \varepsilon \qquad \forall \omega \in \Omega \end{equation*} Wegen $X^i_n \rightarrow X^i$ punktweise f"ur unser festes $i$ finden wir dann weiter $N = N (\alpha, \varepsilon,i)$ und $\Omega'=\Omega^\prime (\alpha, \varepsilon,i)$ vom Ma"s $P \Omega^\prime \geq 1 -\alpha$ derart, da"s gilt \begin{equation*} |X^i_n (\omega) - X^i (\omega) | \leq \varepsilon \qquad \forall \omega \in \Omega^\prime (\alpha, \varepsilon,i)\text{ und } n \geq N (\alpha, \varepsilon,i). \end{equation*} In $\Omega (\alpha,\varepsilon)$ finden wir auch ein $\Omega^{\prime\prime} (\alpha, \varepsilon)$ aus $\bigcup \mathcal F_k$ mit $ P \Omega^{\prime\prime}(\alpha, \varepsilon) \geq 1-2 \alpha$. Gilt hier etwa $\Omega^{\prime\prime} (\alpha,\varepsilon) \in \mathcal F_k$ f"ur ein spezielles $k$, so folgt \begin{equation*} |X_n (\omega) - X_n^i (\omega) | \leq \varepsilon \qquad \forall \omega \in \Omega^{\prime\prime} (\alpha, \varepsilon,i) \text{ und } n \geq k. \end{equation*} Zusammenfassend haben wir also \begin{equation*} |X_n (\omega) - X (\omega) | \leq 3\varepsilon \qquad \forall \omega \in \Omega^{\prime}\cap \Omega^{\prime\prime} \text{ und } n \geq \op{sup} (N (\alpha,\varepsilon,i),k). \end{equation*} F"ur alle $\varepsilon > 0$ und alle $\alpha > 0$ gibt es demnach $\Omega^{\prime\prime\prime} (\alpha, \varepsilon)$ vom Ma"s $\geq 1-3 \alpha$ und $N^{\prime\prime\prime} (\alpha,\varepsilon) \geq 0$ mit \begin{equation*} |X_n (\omega) - X (\omega) | \leq \varepsilon \qquad \forall \omega \in \Omega^{\prime\prime\prime} \text{ und } n \geq N^{\prime\prime\prime}. \end{equation*} Daraus folgt unschwer punktweise Konvergenz $X_n \rightarrow X$ fast "uberall. \end{proof} %\subsection{Gleichgradige Integrierbarkeit} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildglit}\\[4mm] \noindent Darstellung einer Funktion $f$, einer hier st"uckweise linearen Funktion $g=g_\varepsilon\geq 0$ und der Funktion $-g$ sowie als fett durchgezogene Linie der Funktion $f^\varepsilon =\sup(-g,\inf(g,f)).$ Die schraffiert eingezeichnete Fl"ache soll h"ochstens $\varepsilon$ sein f"ur alle Funktionen $f$ unserer gleichgradig stetigen Familie. \end{figure} \begin{Definition}\label{ggi} Sei $X$ ein Ma"sraum. Eine Teilmenge $\mathcal F \subset \mathcal {\op{L}}^1 (X)$ hei"st \defind{gleichgradig integrierbar}\index{integrierbar!gleichgradig integrierbar} oder auch {\bf uniform integrierbar} \index{uniform integrierbar}\index{integrierbar!uniform integrierbar} genau dann, wenn es f"ur jedes $\varepsilon > 0$ eine integrierbare Funktion $g_\varepsilon \geq 0$ gibt mit \begin{equation*} \int (|f| - g_\varepsilon)^+ \leq \varepsilon \quad \forall f \in \mathcal F \end{equation*} Hier meint $h^+$ wie in \eref{iIF}{AN3} den positiven Teil einer Funktion $h.$ \end{Definition} \begin{Proposition}\label{glgrd} Ist $X$ ein Ma"sraum und $f_0, f_1, \ldots$ eine gleichgradig integrierbare Folge integrierbarer reeller Funktionen, die stochastisch konvergiert, so konvergiert unsere Folge auch im Mittel alias in $\op{L}^1$. \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Stochastische Konvergenz ist eine schw"achere Forderung als punktweise Konvergenz fast "uberall, und gleichgradige Integrierbarkeit eine schw"achere Forderung als betragsm"a"sig durch eine integrierbare Funktion beschr"ankt zu sein. Unter diesen abgeschw"achten Voraussetzungen erhalten wir also immer noch $\int f_n \rightarrow \int f$, die Proposition beinhaltet demnach insbesondere eine noch "uber \ref{stod} hinausgehende Verst"arkung des Satzes "uber dominierte Konvergenz. \end{Bemerkung} \begin{proof} Gegeben $\varepsilon > 0$ w"ahlen wir $g_\varepsilon$ wie in der Definition \ref{ggi} der gleichgradigen Integrierbarkeit und schreiben $f_n = f_n^\varepsilon + r^\varepsilon_n$ f"ur \begin{equation*} f^\varepsilon_n = \sup (-g_\varepsilon, \inf (g_\varepsilon, f_n)) \end{equation*} und einen Rest $r^\varepsilon_n$. Nach Konstruktion gilt $|f^\varepsilon_n| \leq g_\varepsilon$ und nach Annahme $\| r^\varepsilon_n \|_1 \leq \varepsilon$, jeweils f"ur alle $n$. Sicher gilt $f^\varepsilon_n \rightarrow f^\varepsilon$ stochastisch f"ur $f$ den stochastischen Grenzwert der $f_n$ und ein analog zu $f_n^\varepsilon$ gebildetes $f^\varepsilon$. Aus dem Satz "uber dominierte Konvergenz oder vielmehr seiner stochastischen Variante \ref{stod} folgt $f^\varepsilon_n \rightarrow f^\varepsilon$ in $\op{L}^1$. Damit erkennen wir m"uhelos, da"s die $f_n$ in $\op{L}^1$ ein Cauchyfolge bilden, und daraus folgt dann die Proposition mit \eref{VoLp}{AN3}. \end{proof} \begin{Bemerkung} Umgekehrt ist jede Cauchyfolge $f_n$ aus $\op{L}^1$ auch gleichgradig integrierbar: Zum Beispiel k"onnen wir $g_\varepsilon = |f_0| + |f_1| + \ldots + |f_N|$ nehmen, falls gilt $\| f_n - f_m\|_1 \leq \varepsilon$ f"ur alle $n,m \geq N$. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{Martingal-Konvergenzsatz}] Ist $(\cal{F}_n,X_n)$ ein Martingal auf einem Wahrscheinlichkeitsraum $\Omega=(\Omega,\cal{A},P)$ und sind die $X_n$ gleichgradig integrierbar\label{KOm}, so gibt es genau eine Zufallsvariable $X\in\op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{F}_\infty,P)$, die me"sbar ist in Bezug auf die von den $\cal{F}_n$ erzeugte $\sigma$-Algebra $\cal{F}_\infty$ und f"ur die gilt $X_n\ra X$ in $\op{L}^1.$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Gegeben $A\in\cal{F}_n$ haben wir dann nat"urlich $\int_A X_n=\int_A X_{n+1}=\ldots =\int_A X$ und folglich gilt f"ur alle $n$ die Identit"at $$\op{E}(X|\cal{F}_n)=X_n$$ Gilt umgekehrt f"ur ein $X\in\op{L}_\DR^1(\Omega;\cal{F}_\infty,P)$ und alle $n$ die fragliche Identit"at, so ist das Ma"s $XP$ auf $\cal{F}_\infty$ nach \eref{MHa}{AN3} bereits eindeutig festgelegt, und dasselbe gilt nach Radon-Nikodym \ref{RaNi} f"ur die $\op{L}^1$-Funktion $X.$ H"atten wir dann nicht $X_n\ra X$ in $\op{L}^1$, so g"alte auch nicht $X_n\ra X$ stochastisch. Es g"abe also $\varepsilon>0$ derart, da"s $P(|X_n-X|\geq \varepsilon)$ nicht gegen Null strebte alias nach "Ubergang zu einer Teilfolge stets oberhalb einer Schranke $\alpha>0$ bliebe. \emph{Na und dann? Da fehlt ja wohl noch was!} \end{Bemerkungl} \begin{proof}\emph{Nicht ganz vollst"andig.} Gegeben ein Martingal $(X_n, \mathcal{F}_n)$ erf"ullt sein positiver Teil $X^+_n$ die Absch"atzung \begin{equation*} \op{E}(X^+_{n+1} | \mathcal{F}_n) \geq X^+_n \end{equation*} In der Tat reicht es dazu nach \ref{RaNp} zu zeigen, da"s f"ur alle $A\in \mathcal{F}_n$ gilt $\int_AX^+_{n+1}\geq \int_AX^+_{n}$, und das erkennen wir, indem wir $A$ zerlegen in einen Teil mit $X^+_{n}=X_n$ und einen Teil mit $X^+_{n}=0.$ % Man sagt auch, $X^+_N$ sei ein \defind{Submartingal}. Jetzt betrachten wir die Mengenalgebra $\bigcup \mathcal F_n$ und darauf die Funktion \begin{equation*} \mu^+ : A \mapsto \lim_{n \rightarrow \infty} \int_A X^+_n \end{equation*} Dieser Grenzwert existiert, da unsere Folge ab dem $n$ mit $A \in \mathcal F_n$ wie gerade gezeigt monoton w"achst, und er ist endlich, da die $X^+_n$ gleichgradig integrierbar sind. Ich behaupte, da"s $\mu^+$ ein Pr"ama"s auf $\bigcup \mathcal F_n$ ist. Gegeben eine disjunkte Zerlegung in eine Folge $A = A_0 \cup A_1 \cup \ldots$ m"ussen wir dazu zeigen \begin{equation*} \mu^+ (A) = \sum \mu^+ (A_i) \end{equation*} F"ur die Ungleichung $\geq$ reicht es zu zeigen, da"s $\mu^+ (A)$ eine obere Schranke f"ur alle endlichen Teilsummen ist, und das scheint mir offensichtlich. F"ur die Ungleichung $\leq$ reicht es, wenn wir f"ur alle $\varepsilon > 0$ die Absch"atzung \begin{equation*} \mu^+ (A) \leq \varepsilon + \sum^\infty_{i=0} \mu^+(A_i) \end{equation*} zeigen. Dazu verwenden wir die gleichgradige Integrierbarkeit der $X^+_n$ und w"ahlen zun"achst eine integrierbare Funktion $g_\varepsilon \geq 0$ mit $X^+_n \leq g_\varepsilon + r_n$ f"ur geeignetes $r_n$ mit $\| r_n\|_1 \leq \varepsilon$. Nach dem Satz "uber monotone Konvergenz haben wir \begin{equation*} \int_A g_\varepsilon = \sum^\infty_{i=0} \int_{A_{i}} g_\varepsilon \end{equation*} und es gibt folglich ein $n$ mit $\sum^\infty_{i=n+1} \int_{A_{i}} g_\varepsilon \leq \varepsilon $ alias $ \int_{A _{> n}} g_\varepsilon \leq \varepsilon$ f"ur die Vereinigung $A_{> n} = A_{n+1} \cup A_{n+2} \cup \ldots$ Damit finden wir $\mu^+ (A_{>n}) \leq 2 \varepsilon$ und $\mu^+ (A) \leq \mu^+ (A_0) + \ldots + \mu^+ (A_{n}) + 2 \varepsilon$ und das zeigt die andere Absch"atzung, zwar nur mit $2\varepsilon$ statt mit $\varepsilon$, aber darauf kommt es nicht an. Der Ma"serweiterungssatz von Caratheodory \eref{MHa}{AN3} liefert uns eine Fortsetzung von $\mu^+$ zu einem Ma"s $\mu^+$ auf der von $\bigcup \mathcal F_n$ erzeugten $\sigma$-Algebra $\mathcal F_\infty$. Wir zeigen als n"achstes, da"s es stetig ist zum Wahrscheinlichkeitsma"s $P.$ Gegeben $A\in \mathcal F_\infty$ mit $P(A)=0$ zeigen wir dazu $\mu^+(A)<\varepsilon$ f"ur alle $\varepsilon>0.$ Gegeben $\varepsilon>0$ finden wir ja zun"achst $g_\varepsilon$ wie in der Definition der gleichgradigen Integrierbarkeit. Dann finden wir nach \ref{UAII} ein $\alpha>0$ mit $P(B)<\alpha\;\RA\; \int_B g_\varepsilon<\varepsilon.$ Schlie"slich finden wir nach \eref{MHa}{AN3} f"ur dies $\alpha$ eine Folge paarweise disjunkter Mengen $A_i\in \bigcup \mathcal F_n$ mit $A\subset \bigcup A_i$ und $ \sum P(A_i)<\alpha.$ Zusammen folgt $$\mu^+(A)\leq\sum_i\mu^+(A_i)\leq\sum_{i=0}^N\mu^+(A_i)+\varepsilon= \mu^+(B)+\varepsilon\leq \int_B g_\varepsilon +2\varepsilon\leq 3\varepsilon$$ f"ur hinreichend gro"ses $N$ und $B=\bigcup_{i=0}^N A_i.$ Nach Radon-Nikodym \ref{RaNi} haben wir also $\mu^+ = X^+ P$ f"ur eine integrierbare Funktion $X^+.$ F"ur alle $A \in \mathcal F_n$ gilt nat"urlich $\int_A X^+ \geq \int_A X^+_n$ und nach \ref{BMKo} bilden folglich die Differenzen $Y_n=\op{E}(X^+ | \mathcal F_n) - X_n$ ein Martingal bez"uglich der $\mathcal F_n$, das aus gleichgradig integrierbaren nichtnegativen $\op{L}^1$-Funktionen besteht. F"uhren wir nun dieselbe Konstruktion nocheinmal mit den $Y_n=Y_n^+$ durch, so erhalten wir eine integrierbare und $\cal{F}_\infty$-me"sbare Funktion $Y$ mit $\int_AY=\int_AY_n=\int_A(X^+ - X_n)$ f"ur alle $A\in \cal{F}_n$ und alle $n.$ Insbesondere ist $X=X^+-Y$ eine Funktion derart, wie sie der Konvergenzsatz f"ur Martingale fordert. \end{proof} \begin{Ubung}\label{dSF} Gegeben eine Menge $X$, ein Mengenring $\mathcal A \subset \mathcal P (X)$ und ein $\sigma$-endliches Pr"ama"s $\mu : \mathcal A \rightarrow [0,\infty]$ erzeugen die charakteristischen Funktionen $[A]$ der Mengen $A \in \mathcal A$ von endlichem Pr"ama"s einen dichten Teilraum im Raum der integrierbaren Funktionen \begin{equation*} {\op{L}}^1 (X; \sigma (\mathcal A), \mu) \end{equation*} auf dem durch Ma"serweiterung nach \eref{MHa}{AN3} definierten Ma"sraum. Dasselbe gilt allgemeiner f"ur ${\op{L}}^p$-R"aume mit $1\leq p <\infty$. Hinweis: Nach \eref{USs}{AN3} liegen die integrierbaren Stufenfunktionen dicht. Man verwendet nun die explizite Beschreibung der Ma"serweiterung nach \eref{KaEw}{AN3}. \end{Ubung} \subsection{Borel-Cantelli} \begin{Satz}[\textbf{Borel-Cantelli}] Gegeben eine abz"ahlbare Familie von stochastisch unabh"angigen Ereignissen ist die Wahrscheinlichkeit daf"ur, da"s unendlich viele dieser Ereignisse eintreten, stets entweder Null oder Eins. Seien genauer $(\Omega, \mathcal A, P)$ ein Wahrscheinlichkeitsraum, $A_0, A_1, \ldots \in \mathcal A$ eine Folge me"sbarer Mengen und $A^\ast$ ihr \hyperref[lss]{Limes superior}, in Formeln $$ A^\ast \pdef \{ x \in \Omega \mid x \text{ liegt in } A_i \text{ f"ur unendlich viele Indizes } i\}$$ So ist $A^*$ auch me"sbar alias ein Ereignis und wir haben die Alternative \begin{enumerate} \item Gilt $\sum P (A_i) < \infty$, so folgt $P (A^\ast)=0$ sogar ohne die Forderung der stochastischen Unabh"angigkeit; \item Gilt $\sum P (A_i) = \infty$ und ist die Familie von Ereignissen $(A_i)_{i\in\DN}$ stochastisch unabh"angig, so folgt $P (A^\ast) =1$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Beispiel} Nehmen wir als Grundraum $\Omega$ die Menge aller m"oglichen Resultate beim abz"ahlbar unendlich oft W"urfeln. Sei $A_i\subset \Omega$ die Teilmenge aller Elementarereignisse, bei denen im $i$-ten Wurf eine Sechs herauskommt. So gilt $P(A_i)=1/6$ und und wir sind im zweiten Fall und die Wahrscheinlichkeit, mit einem W"urfel bei unendlich vielen W"urfen unendlich oft die Sechs zu W"urfeln, ist Eins. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Nehmen wir als Grundraum $\Omega$ die Menge aller m"oglichen Resultate bei einem einmaligen W"urfeln. Sei $A\subset \Omega$ die Teilmenge aller Elementarereignisse, bei denen in diesem Wurf eine Sechs herauskommt. So gilt $P(A)=1/6$ und betrachten wir die konstante Folge $A_i=A\;\forall i$, so sind wir weder im ersten Fall wegen $\sum P(A_i)=\infty$ noch im zweiten Fall, da die $A_i$ nicht stochastisch unabh"angig sind. Wir finden $A^*=A$ und $P(A^*)=P(A)=1/6$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Nehmen wir als Grundraum das Intervall $[0,1)$ und als Wahrscheinlichkeitsma"s die Gleichverteilung. Bezeichne $\op{Nachkomma}: \DR_{\geq 0}\ra [0,1)$ die Abbildung, die jeder nichtnegativen reellen Zahl $x$ die Differenz $x-\lfloor x\rfloor$ zuordnet, f"ur $\lfloor x\rfloor$ die gr"o"ste nat"urliche Zahl $\leq x$. Bezeichne $S_i$ die $i$-te Partialsumme der harmonischen Reihe und $A_i\pdef \op{Nachkomma}[S_i,S_{i+1})\subset [0,1)$. Dann ist offensichtlich $A^*=[0,1)$ und $P(A^*)=1$. Das zeigt, da"s es in der ersten Aussage nicht ausreicht zu fordern, da"s die $P(A_i)$ eine Nullfolge bilden. \end{Beispiel} \begin{proof} 1. Wir schreiben \begin{equation*} A^\ast = \bigcap^\infty_{m =0} \left( \bigcup^\infty_{n=m} A_n \right) \end{equation*} und folgern $P (A^\ast) \leq \sum^\infty_{n = m} P(A_n)$ f"ur alle $m$. Die rechte Seite strebt aber gegen Null f"ur $m \rightarrow \infty$. \\[2mm]\noindent 2. Wir schreiben $\Omega \backslash A^\ast = \bigcup^\infty_{m =0} \left( \bigcap^\infty_{n=m} \Omega \backslash A_n \right)$ und \begin{displaymath} \begin{array}{lll} P(\Omega \backslash A^\ast) &\leq & \lim_{n \rightarrow \infty} \prod^\infty_{n = m} (1-P(A_n))\\[2mm] &=& \lim_{m \ra \infty} \exp \big(\sum^\infty_{n=m} \log (1- P(A_n))\big)\\[2mm] &\leq& \lim_{m \ra \infty} \exp \big( \sum^\infty_{n =m} - P(A_n)\big) =0 \end{array} \end{displaymath} Die letzte Absch"atzung folgt dabei aus der Absch"atzung $\log (1-x) \leq -x$ f"ur $x \in [0,1]$ mit der Konvention $\log (0) = - \infty$. \end{proof} \subsection{Altes Beispiel Integral 2-Form} \begin{Beispiel}\label{BI2F} Wir integrieren die 2-Form $\omega = y \diff x \wedge \diff z$ "uber die Hemisph"are $H = \{(x,y,z)\in \Bbb{R}^3\mid x^2+y^2+z^2=1 , z > 0\}$ mit einer noch festzulegenden Orientierung. In \eref{VFDF}{AN3} werden wir erkl"aren, warum dies Integral auch als der Flu"s des Vektorfelds $(x,y,z)\mapsto (0,-y,0)$ durch unsere Hemisph"are verstanden werden kann. Als Karte nehmen wir $(W,\varphi)$ mit $W$ der offenen Einheitskreisscheibe $W=\{(x,y) \mid x^2+y^2 < 1\}$ und $\varphi (x,y) = (x,y,\sqrt{1-x^2-y^2})$ und erkl"aren die Orientierung durch die Bedingung, da"s $(W,\varphi)$ eine positiv orientierte Karte sein m"oge. Wir finden $\varphi^\ast (\diff x) = \op{d} (x \circ \varphi) = \diff x$ und $$\varphi^\ast (\diff z) = \op{d}(z \circ \varphi) =\op{d}(\sqrt{1-x^2-y^2})= \frac{-x\diff x}{\sqrt{1-x^2-y^2}} + \frac{-y\diff y}{\sqrt{1-x^2-y^2}} $$ Zusammen ergibt sich also $\varphi^\ast \omega = \frac{-y^2}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \diff x \wedge \diff y$ und mit \eref{I2F}{AN3} weiter \begin{equation*} \int_{\vec{H}} \omega = \int_W \frac{-y^2}{\sqrt{1-x^2-y^2}} \diff x \diff y \end{equation*} Um dieses Integral auszuwerten gehen wir zu Polarkoordinaten "uber und erhalten $$ \int_{\vec{H}} \omega =\int^{2\pi}_0 \int_0^1 \frac{-r^2\sin^2\vartheta} {\sqrt{1-r^2}} r \diff r \diff\vartheta= \left( \int^{2\pi}_0 \sin^2 \vartheta \diff\vartheta \right) \left(\int^1_0 \frac{-r^3}{\sqrt{1-r^2}} \diff r\right) $$ Das erste Integral in diesem Produkt l"osen wir mithilfe der Formel $\sin^2 (\vartheta) = \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \cos (2\vartheta)$ und erhalten \begin{equation*} \int_0^{2\pi} \sin^2 (\vartheta) \diff\vartheta = \left.\frac{1}{2} \vartheta - \frac{1}{4} \sin (2\vartheta) \right|^{2\pi}_0 = \pi \end{equation*} Um das zweite Integral zu l"osen erinnern wir uns daran, da"s die Ableitung von $\sqrt{1-r^2}$ gerade $-r/\sqrt{1-r^2}$ liefert, und erhalten mit partieller Integration \begin{eqnarray*} \int^1_0 r^2 \cdot \frac{-r}{\sqrt{1-r^2}} \diff r = \left. r^2 \sqrt{1-r^2} \right|^1_0 -\int^1_0 2r \sqrt{1-r^2} \diff r\\[2mm] = - \int^1_0 \sqrt{1-u} \diff u = -\int^1_0 \sqrt{v} \diff v = -\frac{2}{3} \end{eqnarray*} so da"s sich unser Integral insgesamt ergibt zu $$\int_{\vec{H}} \omega = - \frac{2}{3} \pi$$ Alternativ h"atten wir auch aus der oberen Hemisph"are einen L"angengrad samt Nordpol herausnehmen k"onnen und f"ur den Rest die Karte $\psi : (0,1) \times (0,2\pi) \rightarrow H$ mit $\psi (r,\vartheta) = (r \cos \vartheta, r \sin \vartheta, \sqrt{1-r^2})$ w"ahlen k"onnen. Der Kartenwechsel $\varphi^{-1} \circ \psi$ ist genau die Polarkoordinatenabbildung und hat positive Funktionaldeterminante, also ist $\psi$ auch eine positiv orientierte Karte von $\vec{H}$. Wir finden $\psi^* \diff x = \op{d} (r \cos \vartheta) = \cos \vartheta \diff r - r \sin \vartheta \diff \vartheta$, $\psi^* \diff z = \op{d} (\sqrt{1-r^2}) = \frac{-r}{\sqrt{1-r^2}} \diff r$, $$\psi^* \omega = (r \sin \vartheta) \cdot \frac{r}{\sqrt{1-r^2}} \cdot (-r \sin \vartheta)\diff r\wedge \diff \vartheta$$ und landen auf einem anderen Weg bei demselben Integral wie zuvor. \end{Beispiel} \newpage \subsection{Versuch zur Statistik} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf statistisches Modell} ist ein\label{StM} Datum $(\mathcal X, ({\op{P}}_\theta)_{\theta\in \Theta})$ bestehend aus einem Me"sraum $\mathcal X$, dem {\bf Stichprobenraum} unseres Modells, und einer Familie $({\op{P}}_\theta)_{\theta\in \Theta}$ von Wahrscheinlichkeitsma"sen auf $\mathcal X$ indiziert durch eine Menge $\Theta$ von {\bf Parametern}. Die Menge $\Theta$ hei"st der {\bf Parameterraum} unseres Modells. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Siebenfacher M"unzwurf}] Wir denken uns eine m"oglicherweise unfaire M"unze. Eine Stichprobe sei das Resultat eines siebenmaligen Werfens der M"unze. Der Stichprobenraum ist $\mathcal X\pdef\{W,Z\}^7$ mit $W$ f"ur \glqq Wappen\grqq\ und $Z$ f"ur \glqq Zahl\grqq. Er ist in diesem Fall endlich. Ein Wahrscheinlichkeitsma"s ${\op{P}}$ darauf anzugeben bedeutet, eine Abbildung ${\op{P}}:\mathcal X\ra [0,1]$ anzugeben derart, da"s die Summe der Funktionswerte alias Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Elemente Eins ist, in Formeln $\sum_{x\in\mathcal X}{\op{P}}(x)=1$. Wir nehmen $\Theta\pdef [0,1]$ und erkl"aren ${\op{P}}_\theta$ dadurch, da"s ${\op{P}}_\theta(x)$ die Wahrscheinlichkeit f"ur den Ausgang $x$ unseres siebenfachen M"unzwurfs ist unter der Annahme, da"s $\theta$ die Wahrscheinlichkeit ist,\label{Muzw} bei einmal Werfen eine Zahl zu erhalten. F"ur das Element $x=(W,W,Z,W,W,Z,Z)$ unseres Stichprobenraums haben wir damit etwa $${\op{P}}_\theta(x)=\theta^3(1-\theta)^4$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Mich verwirrt im folgenden immer die Notation $\hat\theta$ f"ur Sch"atzer, weil ein Sch"atzer ja etwas v"ollig anderes ist als ein Element des Parameterraums. Ich will mal die Notation $S=\hat\theta$ probieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Sch"atzer} f"ur ein statistisches Modell mit diskretem Stichprobenraum $\mathcal X$ ist eine Abbildung $S=\hat\theta: \mathcal X\ra\Theta$ vom Stichprobenraum in den Parameterraum unseres Modells. Ein {\bf Maximum-Likelihood-Sch"atzer} ist ein Sch"atzer $S=\hat\theta$, der jeder Stichprobe $x\in \mathcal X$ einen Parameter $S(x)=\hat\theta(x)\in \Theta$ so zuordnet, da"s die Wahrscheinlichkeit ${\op{P}}_\theta(x)$ als Funktion von $\theta$ ihren maximalen Wert bei $\theta=\hat\theta(x)=S(x)$ annimmt, in Formeln $${\op{P}}_{S(x)}(x)={\op{P}}_{\hat\theta(x)}(x)\geq {\op{P}}_\theta(x)\quad\forall \theta\in \Theta, x\in \mathcal X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wenn der Stichprobenraum $\mathcal X$ nicht diskret ist, macht ${\op{P}}_\theta(x)$ wenig Sinn. Ich wei"s nicht, wie man es dann formulieren mu"s und wei"s selbst nicht so recht, ob dann der Begriff eines Sch"atzers wie oben sinnvoll ist. Zumindest mu"s man ja dann wohl $\Theta$ ein Me"sraum und $S$ me"sbar annehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Maximum-Likelihood-Sch"atzer f"ur siebenfachen M"unzwurf}] Wir f"uhren unser Beispiel \ref{Muzw} fort und untersuchen, was gegeben ein Ma\-xi\-mum-Like\-li\-hood-Sch"atzer $\hat\theta$ sein Wert $\hat\theta(x)$ sein k"onnte an der Stelle der Stichprobe $x=(W,W,Z,W,W,Z,Z)$. Es gilt also, die Stellen zu bestimmen, an denen die Funktion $\theta\mapsto {\op{P}}_{\theta}(x)=\theta^3(1-\theta)^4$ auf dem Parameterraum $\Theta=[0,1]$ ihr Maximum annimmt. Die Ableitung ist $$ 3\theta^2(1-\theta)^4-\theta^34(1-\theta)^3 = \theta^2(1-\theta)^3 (3 -7\theta)$$ und verschwindet bei $\theta\in \{0,1,3/7\}$. Unsere Funktion nimmt bei $\theta\in \{0,1\}$ den Wert Null an und bei $\theta=3/7$ ihr Maximum und wir finden, da"s es nur einen m"oglichen Wert f"ur einen Maximum-Likelihood-Sch"atzer $\hat\theta$ auf unserer Stichprobe $x$ gibt, n"amlich den Wert $\hat\theta(x)=3/7$. Unsere obige Stichprobe legt mithin salopp gesprochen nahe, da"s unsere M"unze nicht fair ist, sondern vielmehr etwas seltener Zahl als Wappen zeigt. Analog "uberlegt man sich, da"s es f"ur den siebenfachen M"unzwurf nur einen Maximum-Likelihood-Sch"atzer $\hat \theta$ gibt und da"s dieser gegeben wird durch $$\hat\theta(x)=(\text{Anzahl der $Z$ in $x$})/7$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein statistisches Modell mit Parameterraum $\DR$ oder allgemeiner einem Me"sraum als Parameterraum nennen wir einen Sch"atzer $S=\hat\theta$ {\bf me"sbar}, wenn er eine me"sbare Abbildung $S=\hat\theta:\mathcal X\ra \DR$ beziehungsweise $S=\hat\theta:\mathcal X\ra \Theta$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein statistisches Modell mit Parameterraum $\DR$ oder allgemeiner $\DR^n$ nennen wir einen Sch"atzer $S=\hat\theta$ {\bf integrierbar}, wenn me"sbar ist und wenn f"ur alle Parameter $\theta\in \DR$ die Funktion $S=\hat\theta:\mathcal X\ra \DR$ integrierbar ist. Gegeben ein integrierbarer Sch"atzer nennen wir $${\mathbf E}_\theta(\hat\theta)\pdef \int_{\mathcal X}\hat\theta(x){\op{P}}_\theta\langle x\rangle \quad\text{neu}\quad {\mathbf E}_\theta(S)\pdef \int_{\mathcal X}S(x){\op{P}}_\theta\langle x\rangle$$ seinen {\bf Erwartungswert bei $\theta$}. Salopp gesprochen ist das der Wert, der im Grenzwert herauskommen sollte, wenn man ganz viele Stichproben $x_1,\ldots,x_n\in \mathcal X$ zieht und den Durchschnitt der $S(x_i)=\hat\theta(x_i)$ nimmt unter der Annahme, unser Wahrscheinlichkeitsma"s sei ${\op{P}}_\theta$. Ein Sch"atzer $\hat\theta=S$ hei"st {\bf erwartungstreu}, wenn gilt $${\mathbf E}_\theta(S)={\mathbf E}_\theta(\hat\theta)=\theta\quad\forall\theta\in \DR$$ Allgemein hei"st $|{\mathbf E}_\theta(S)-\theta|$ die {\bf Verzerrung} oder der {\bf Bias} des Sch"atzers $S$ bei $\vartheta$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein statistisches Modell mit Parameterraum $\DR$ erkl"art man den {\bf quadratischen Fehler} oder die {\bf Varianz (?)} eines me"sbaren Sch"atzers $S$ bei einem Parameter $\theta\in \Theta=\DR$ als $${\op{Var}}_\theta(S)\pdef \int_{\mathcal X}(S(x)-\theta)^2{\op{P}}_\theta\langle x\rangle$$ Wenn diese Funktion nicht integrierbar ist, kommt eben $\infty$ heraus. Salopp gesprochen ist bedeutet kleine Varianz bei $\theta$, da"s schon f"ur wenige Stichproben $x_1,\ldots,x_n$ die Werte $S(x_1),\ldots,S(x_n)$ nur ganz wenig um $\vartheta$ streuen, wenn denn $\vartheta$ der richtige Parameter ist. Es k"onnte aber sein, da"s sie zwar tendenziell nur ganz wenig streuen, aber tendenziell eher kleiner sind als der richtige Parameter $\theta$. Dann haben wir zwar kleinen quadratischen Fehler aber Verzerrung bein $\theta$. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Versuch f"ur Dorian} Ich versuche, Abschnitt 2 "uber Point spread functions zu interpretieren. Ich stelle mir dazu die Menge $M$ der m"oglichen Modelle und die Menge $D$ der m"oglichen Daten jeweils als endlichdimensionale reelle Vektorr"aume vor sowie eine Abbildung $S:M\ra D$, die aus einem Modell synthetisch zur"uckrechnet, was f"ur Daten es h"atte liefern sollen. Ich lasse das eigentlich gew"unschte $I:D\ra M$ dabei au"sen vor und nehme an da"s die Parametrisierungen so gew"ahlt sind, da"s das Nullmodell die Nulldaten liefert, also $S(\mathbf{ 0})=\mathbf{ 0}$. Gegeben ein Satz $\mathbf{ a}_0\in D$ von Ausgangsdaten h"atte man gerne ein m"oglichst gut dazu passendes Modell $\mathbf{ m}_0\in M$. Gegeben ein beliebiges Modell $\mathbf{ m}$ k"onnte man dazu $$\mathbf{ d}=\mathbf{ d}(\mathbf{ m})\pdef \mathbf{ a}_0-S(\mathbf{ m})$$ betrachten, also die Differenz zwischen den aus dem Modell synthetisch berechneten Daten und den Ausgangsdaten. In dieser Interpretation st"unde also ${\mathbf d}$ f"ur \glqq Differenz\grqq\ und Gleichung (1) macht f"ur mich Sinn. Die Matrix $C_d$ enth"alt etwa Informationen dar"uber, wie ernst wir einzelne Messungen nehmen wollen, und die Matrix $C_m$ Informationen dar"uber, als wie vern"unftig wir verschiedene Modelle ansehen, und das Modell $\mathbf{m}_0$ mit dem kleinsten Mi"sfit $\chi(\mathbf{m}_0)$ ist das, was dann am besten zu den Ausgangsdaten $\mathbf{ a}_0$ und der Vernunft pa"st. Jetzt benennen wir unser bestes Modell $\mathbf{m}_0$ um in $\mathbf{m}$ und untersuchen das Wackeln der Mi"sfits bei kleinem Wackeln am Modell durch Taylorentwicklung, die ja mit quadratischen Termen beginnen mu"s, da wir um ein Minimum entwickeln, also Gleichung (2). Nichtinvertierbares $\mathbf{H}$ bedeutet dann, da"s wir in zweiter Ordnung gar kein isoliertes Minimum bei $\mathbf{m}$ haben und manche benachbarte Modelle genausogut w"aren wie $\mathbf{m}$ selber. Nicht verstehe ich die Bemerkung nach (3), da"s $\mathbf{H}$ abh"angig von $\mathbf{m}$ sein k"onnte: Gehen wir nicht schon von einem festen besten Modell $\mathbf{m}$ aus? %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN3" %%% End: