\section{Unfertiges} \subsection{Versuch} \begin{Bemerkungl} Seien $W$ eine endliche Spiegelungsgruppe, $\mathcal A$ die Menge der Alkoven, $A^+$ ein ausgezeichneter Alkoven und $S\subset W$ die Menge der Spiegelungen an seinen W"anden, so da"s $(W,S)$ ein Coxetersystem ist. Sei $W_K\subset W$ eine von Spiegelungen erzeugte Untergruppe, $\mathcal A_K$ die Menge ihrer Alkoven und $A_K^+\in \mathcal A_K$ der $W_K$-Alkoven mit $A_K^+\supset A^+$. Sei $S_K\subset W_K$ die Menge der Spiegelungen an den W"anden von $A_K^+$. So ist auch $(W_K,S_K)$ ein Coxetersystem, aber $S_K$ wird im allgemeinen keineswegs eine Teilmenge von $S$ sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $W$-Alkoven $B\subset A^+_K$ und $v,w\in W_K$ mit $v\leq_K w$ und $l_k(w)-l_K(v)=r$ gibt es Spiegelungen $t_1,\ldots, t_r\in W_K$ mit $$v<_K t_1v<_K\ldots<_K t_r\ldots t_1v=w$$ Die zu $t_{i+1}$ geh"orige Spiegelebene trennt nicht $t_i\ldots t_1v A_K^+$ von $A_K^+$ und trennt a forteriori auch nicht $t_i\ldots t_1v B$ von $A^+$. So finden wir $$vB< t_1vb<\ldots< t_r\ldots t_1vB=wB$$ in der von der Bruhatordnung auf $W$ induzierten Ordnung auf $\mathcal A$. Das sollte bei meiner Arbeit zur $\mathfrak n$-Kohomologie von Grenzwerten diskreter Serien ein Argument erg"anzen. \end{Bemerkungl} \subsection{Noch zu tun} \begin{Bemerkungl} Sei $(W,S)$ ein Coxetersystem. Wir erkl"aren eine Operation von $W$ auf der Menge $\op{Ens}(T,\{1,-1\})$ durch die Vorschrift \emph{Dann Alkoven etc}. \end{Bemerkungl} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubunge} Jede von Spiegelungen erzeugte Untergruppe einer Coxetergruppe ist auch selbst eine Coxetergruppe. \emph{(Das sollte aus der alkovischen Darstellung unschwer folgen. Im affinen Fall war es \ref{UGAS}. Hier mu"s noch etwas gearbeitet werden. Auch Dyer und Deodhar zitieren, vergleiche Humphreys.)} \end{Ubunge} \begin{Definition} Ein Tripel $(E,C,W)$ bestehend aus einem endlichdimensionalen reellen affinen Raum $E$, einer offenen konvexen Teilmenge $C\co E$ und einer Gruppe $W\subset \op{Aff}^\times(E)$ von Affinit"aten von $E$ hei"st eine {\bf geometrische Spiegelungsgruppe},\index{Spiegelungsgruppe!geometrische} wenn gilt:\label{gSp} \begin{enumerate} \item Die Gruppe $W$ wird von ihren Spiegelungen im Sinne von \ref{DS2aa} erzeugt, also von denjenigen ihrer selbstinversen Elemente, die eine Fixpunktmenge der Kodimension Eins haben; \item Die Menge $C$ ist stabil ist unter $W$, in Formeln $WC=C$; \item Verschiedene Spiegelungen aus $W$ haben verschiedene Spiegel, in Formeln $E^s=E^t\RA s=t$ f"ur Spiegelungen $s,t\in W$; \item Die Spiegel liegen lokal endlich in $C$, als da hei"st, jedes Geradensegment mit Endpunkten in $C$ trifft nur endlich viele Spiegel. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele} Jede reelle affine Spiegelungsgruppe im Sinne von \ref{ASG} ist eine geometrische Spiegelungsgruppe. Die alkovische Darstellung einer beliebigen Coxetergruppe ist mit $C$ der konvexen H"ulle der Vereinigung aller Bilder des fundamentalen Alkoven unter unserer Coxetergruppe eine geometrische Spiegelungsgruppe. Jede von Spiegelungen erzeugte Untergruppe einer geometrischen Spiegelungsgruppe ist eine geometrische Spiegelungsgruppe. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Ich bin mir ziemlich sicher, da"s man die ganze Theorie ziemlich unver"andert f"ur geometrische Spiegelungsgruppen entwickeln kann, beginnend mit \ref{THG} und der davor diskutierten Theorie bis zur Aussage, da"s geometrische Spiegelungsgruppen Coxetergruppen sind mit den Spiegelungen an den W"anden eines festen Alkoven als Coxetererzeugern. Alkoven sind dann gewisse Teilmengen von $C$ et cetera. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Jetzt betrachten wir eine geometrische Spiegelungsgruppe $(E,C,W)$ und eine von Spiegelungen erzeugte Untergruppe $W_\iota\subset W$. Wir halten einen Alkoven $A^+\subset C$ zu $W$ fest und notieren $A_\iota^+\subset C$ den Alkoven zu $W_\iota$ mit $A_\iota^+\supset A^+$. Nach \ref{prol} ist genau dann $x\in W$ k"urzestm"oglich in $W_\iota x$, wenn gilt $xA^+\subset A^+_\iota$. Sei nun $x\in W$ k"urzestm"oglich in $W_\iota x$ und sei $s\in S$ eine einfache Spiegelung. Ich erinnere daran, da"s $ysA^+$ stets der Alkoven ist, der $yA^+$ l"angs der Wand ber"uhrt, die unter $y$ aus der $s$-Wand von $A^+$ entsteht. Entweder gilt nun $xsA^+\subset A^+_\iota$ und dann ist $xs$ auch kleinstm"oglich in $W_\iota xs$ und wir haben $W_\iota x\neq W_\iota xs$. Oder es gilt $xsA^+\subset A^+_\iota$ und dann mu"s es eine Spiegelung $t\in S_\iota$ an einer Wand von $A_\iota^+$ geben mit $xsA^+=txA^+$ alias $W_\iota x= W_\iota xs$ und $xs=tx$ mit $t\in S_\iota$. \end{Bemerkungl} \subsection{Schrotthalde} \begin{proof}[Beweis] Sei also $\varphi : S \ra G$ eine Abbildung unserer Erzeugermenge in eine beliebige Gruppe mit $\varphi (s)^{2} = e $ und $(\varphi (s) \varphi (t))^{\op{ord} (st)} = e$ f"ur alle $s,t \in S$ mit $\op{ord} (st)< \infty$. Um besser den "Uberblick zu behalten, k"urzen wir $\varphi (s) = \bar{s}$ ab. Wir wissen, da"s sich jedes Element $w \in W$ schreiben l"a"st als ein Produkt einfacher Spiegelungen, $w = st \ldots r$ mit $s,t, \ldots, r \in S$. Ist $\tilde{\varphi} : W \ra G$ ein Gruppenhomomorphismus, der $\varphi$ fortsetzt, so mu"s notwendig gelten $\tilde{\varphi} (w) = \bar{s}\bar{t} \ldots \bar{r}$. Das zeigt die Eindeutigkeit von $\tilde{\varphi}$. Um die Existenz zu zeigen, reicht es, wenn wir f"ur zwei beliebige Darstellungen $$s_{1}\ldots s_{q} = w = t_{1} \ldots t_l $$ desselben Elements $w \in W$ als Produkt einfacher Spiegelungen zeigen, da"s gilt $\bar{s}_{1} \ldots \bar{s}_{q} = \bar{t}_{1}\ldots \bar{t}_l $. In der Tat k"onnen wir dann $\tilde{\varphi} (w)$ als diesen gemeinsamen Wert definieren und erhalten so offensichtlich einen Gruppenhomomorphismus $\tilde{\varphi} : W \ra G$. Da nach Annahme gilt $\bar{t}_{i}^{2} = e$, k"onnen wir ebensogut zeigen, da"s aus $s_{1}\ldots s_{q}t_l \ldots t_{1} = e$ folgt $\bar{s}_{1} \ldots \bar{s}_{q} \bar{t}_l \ldots \bar{t}_{1} =e$ Da jede Spiegelung durch eine Abbildung mit der Determinante $(-1)$ operiert, ist eh klar, da"s hier $l+q$ gerade sein mu"s. In anderen Formeln gilt es also zu zeigen, da"s f"ur $s_{1}, \ldots, s_{2r} \in S$ aus $s_{1} \ldots s_{2r}=e$ schon folgt $$\bar{s}_{1} \ldots \bar{s}_{2r} =e$$ Wir zeigen das durch Induktion "uber die lexikographisch angeordnete Menge aller Paare $(m,r)$ f"ur $m$ das Maximum der L"angen $l(s_{1} \ldots s_{i})$ aller abgeschnittenen Ausdr"ucke. $r$ und betrachten zwei F"alle. Haben wir $l(s_{1} \ldots s_{r})0$. Ist ein Produkt von Involutionen in einer Gruppe das neutrale Element, so auch jede zyklische Vertauschung. Wir haben insbesondere $$s_{i} \ldots s_{r} s_{1} \ldots s_{i-1} = e$$ f"ur alle $i$. Nach der Austauschbedingung \ref{aus} angewandt auf $s_{1}=s_{r} \ldots s_{2}$ finden wir ein $j\geq 2$ mit $e= s_{r} \ldots \hat{s}_{j} \ldots s_{2}$ oder, gleichbedeutend, $e=\hat{s}_{1}s_{2} \ldots \hat{s}_{j}\ldots s_{r}$. Kombinieren wir dies Argument mit zyklischem Vertauschen, so sehen wir, da"s es f"ur jedes $i$ ein $j\neq i$ gibt mit $$e= s_{1} \ldots \hat{s}_{i} \ldots \hat{s}_{j} \ldots s_{r}$$ Das ist im "Ubrigen auch anschaulich klar: Kreuzt die Folge von Alkoven $A$, $s_{1}A$, $s_{1}s_{2}A$, $s_{1}s_{2}\ldots s_{r}A=A$ einen Spiegel einmal, so mu"s sie sie auch ein zweites Mal kreuzen, um wieder zur Ausgangsalkove zur"uckzukehren. Liegen sich hier $i$ und $j$ nicht genau gegen"uber, in Formeln $|i-j| \neq r/2$, so haben wir schon gewonnen: Gilt zum Beispiel $0