\section{Weiteres zur Fundamentalgruppe} \subsection{"Aquivariante Fundamentalgruppe} \begin{Bemerkungl} Gegeben $G{\ssearrow} X$ ein wegzusammenh"angender topologischer Raum mit Gruppenoperation und ein Punkt $x\in X$ erkl"aren wir die {\bf "aquivariante Fundamentalgruppe}\index{Fundamentalgruppe!"aquivariante} wie folgt: Wir gehen aus von Tripeln $(g,h,\alpha)$ mit $g,h\in G$ und $\alpha\in\pi_1(X,gx,hx)$ einer Homotopieklasse von Wegen in $X$ von $hx$ nach $gx$. Dann betrachten wir die $G$-Bahnen in dieser Menge von Tripeln. Sie sind die Elemente unserer "aquivarianten Fundamentalgruppe $\pi_1(G{\ssearrow} X;x)$. Die Verkn"upfung ist die Offensichtliche. Ist $X$ zusammenziehbar, so erhalten wir einen nat"urlichen Isomorphismus $G\sira \pi_1(G{\ssearrow} X;x)$. Ist die Operation von $G$ topologisch frei, so erhalten wir einen nat"urlichen Isomorphismus $\pi_1(G{\ssearrow} X;x)\sira \pi_1(G\backslash X;\bar x)$ f"ur $\bar x$ die $G$-Bahn von $X$ aufgefa"st als Punkt des Bahnenraums. \end{Bemerkungl} \section{Schrott zur Fundamentalgruppe} \subsection{Lange exakte Homotopiesequenz} \begin{Definition}\label{exak} Eine Sequenz $(X,x)\ra (Y,y)\ra (Z,z)$ von bepunkteten Mengen hei"st {\bf exakt},\index{exakte Sequenz!von bepunkteten Mengen} wenn das Urbild in $Y$ des ausgezeichneten Punktes $z\in Z$ genau das Bild von $X\ra Y$ ist. Eine l"angere Sequenz von bepunkteten Mengen hei"st exakt, wenn sie an jeder Stelle exakt ist. Eine Gruppe fassen wir in diesem Kontext stets auf als eine bepunktete Menge mit dem neutralen Element als ausgezeichnetem Punkt, so da"s unser neuer Begriff den Begriff der Exaktheit aus \eref{exSG}{LA2} verallgemeinert. Eine Sequenz von bepunkteten Mengen $(X,x)\ra (Y,y)\ra (Z,z)$ hei"st eine {\bf kurze exakte Sequenz},\index{kurze exakte Sequenz!von bepunkteten Mengen} wenn sie exakt ist in der Mitte und wenn au"serdem die erste Abbildung injektiv ist und die Zweite surjektiv. Wir notieren kurze exakte Sequenzen meist $(X,x)\hra (Y,y)\sra (Z,z)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Zuordnung, die jedem topologischen Raum $X$ die Menge $\pi_0(X)$ seiner Wegzusammenhangskomponenten zuordnet, ist ein Funktor\index{p@$\pi_{0}$ Wegzusammenhangskomponenten!als Funktor} $\pi_{0} : \op{Top} \ra \op{Ens}$. Indem wir die Komponente des ausgezeichneten Punktes auszeichnen, erhalten wir ebenso einen Funktor $\pi_{0} : \op{Top}^\ast \ra \op{Ens}^\ast$. F"ur eine diskrete Menge $F$ mit ausgezeichnetem Punkt $\tilde{x}\in F$ haben wir also kanonisch $\pi_0 (F,{\tilde x})\sira (F,{\tilde x})$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Die Fundamentalgruppe einer "Uberlagerung}] Gegeben eine \"{U}berlagerung bepunkteter R\"{a}ume $p:({\tilde X},{\tilde x}) \ra (X,x)$ und die Faser $F=p^{-1}(x)$ "uber\label{OOa} %\label{OO} dem ausgezeichneten Punkt erhalten wir mit $\gamma\mapsto \langle\gamma\rangle ({\tilde x})$ als mittlerer Abbildung und den offensichtlichen Abbildungen vorne und hinten eine exakte Sequenz $$\pi_1 ({\tilde X},{\tilde x})\hra \pi_1 (X,x)\ra \pi_0 (F,{\tilde x})\ra \pi_0 ({\tilde X},{\tilde x}) $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich haben wir eine kanonische Bijektion $(F,{\tilde x})\sira \pi_0 (F,{\tilde x})$. Statt die Injektivit"at des ersten Pfeils durch $\hra$ anzudeuten, h"atten wir die Sequenz auch links durch die triviale Gruppe $\pi_1 (F,{\tilde x})$ erweitern k"onnen. Hat unsere "Uberlagerung zus"atzlich konstante Bl"atterzahl, so k"onnen wir unsere Sequenz dar"uber hinaus durch eine Surjektion auf $\pi_0 (X,x)$ nach rechts erweitern. Sie ist dann das Schlu"sst"uck der sogenannten \glqq langen exakten Homotopiesequenz\grqq\ zu einer sehr speziellen \glqq Faserung\grqq. \end{Bemerkungl} \subsection{Kategorieller Beweis f"ur Seifert-van Kampen*} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorieller Beweis f"ur Seifert-van Kampen}] Der Satz "uber den Faserfunktor erlaubt auch einen besonders transparenten Beweis des Satzes von Seifert von Kampen \ref{SvK} im Fall lokal zusammenziehbarer R"aume, den ich hier kurz skizzieren will. Ist ganz allgemein\label{KSFK} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal A \ar[dr]^F& & \ar[dl]_G\mathcal B\\ &\mathcal C& } \end{displaymath} ein Winkeldiagramm von Kategorien und Funktoren, so konstruiert man eine neue Kategorie \begin{equation*} \mathcal A \times^2_{\mathcal C} \mathcal B \end{equation*} mit Objekten Tripeln $(A, B, i)$ bestehend aus einem Objekt $A \in \mathcal A$, einem Objekt $B \in \mathcal B$ und einem Isomorphismus $i : F(A) \overset{\sim}{\rightarrow} G (B)$. Morphismen in dieser neuen Kategorie von $(A,B, i)$ nach $(A^\prime, B^\prime, i^\prime)$ sind der definitionem Paare von Morphismen $(f,g)$ mit $f: A \rightarrow A^\prime$ und $g: B \rightarrow B^\prime$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ F(A) \ar[r]^-{i}\ar[d]_-{Ff} & G(B) \ar[d]^-{Gg}\\ F(A^\prime)\ar[r]^-{i^\prime}&G(B^\prime) } \end{displaymath} kommutiert. Diese Kategorie hei"st im "ubrigen das {\bf 2-Faserprodukt}\index{Faserprodukt@2-Faserprodukt!von Kategorien} unserer beiden Kategorien $\mathcal A$ und $\mathcal B$ "uber $\mathcal C$ und hat auch eine universelle Eigenschaft, die ich jedoch hier nicht ausformulieren will. Man beachte, da"s es sich nicht einfach nur um ein Faserprodukt in der Kategorie $\op{Cat}$ der Kategorien handelt: Das w"are vielmehr die Kategorie $\mathcal A \times_{\mathcal C} \mathcal B$ mit Objekten Paaren $(A,B)$ mit $F(A)=G(B)$ und den hoffentlich offensichtlichen Morphismen. Ist nun ein topologischer Raum $X$ die Vereinigung von zwei offenen Teilmengen $X = U \cup V$, so liefert das Einschr"anken von "Uberlagerungen wegen der M"oglichkeits des Verklebens von "Uberlagerungen eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} \op{"Ub}_X \overset{\sim}{\rightarrow} \op{"Ub}_U \times^2_{\op{"Ub}_{U \cap V}} \op{"Ub}_V \end{equation*} Sei nun $x \in U \cap V$ fest gew"ahlt. Um das Folgende "ubersichtlich zu halten, lassen wir nun bei der Notation unserer Fundamentalgruppen den Basispunkt $x$ weg und vereinbaren wir nur f"ur diesen Beweis, gegeben eine Gruppe $G$, die Notation $[G]\pdef G\op{-Ens}$ f"ur die Kategorie der $G$-Mengen. Sind nun alle unsere R"aume zusammenh"angend und lokal zusammenziehbar, so liefert nach unserem Satz "uber den Faserfunktor \ref{HaS} das Zur"uckziehen von Gruppenwirkungen ebenfalls eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{equation*} [\pi_1 (X) ] \overset{\sim}{\rightarrow} [\pi_1 (U)] \times^2_{[\pi_1 (U\cap V) ]} [\pi_1 (V)] \end{equation*} Das bedeutet aber genau, da"s gegeben eine Menge $A$ und Gruppenhomomorphismen $ \pi_1 (U) \rightarrow \op{Ens}^\times (A), $ $\pi_1 (V) \rightarrow \op{Ens}^\times (A)$, die nach Vorschalten denselben Gruppenhomomorphismus $\pi_1 (U \cap V) \rightarrow \op{Ens}^\times (A)$ liefern, es genau einen Gruppenhomomorphismus $\pi_1 (X) \rightarrow \op{Ens}^\times (A)$ gibt, von dem sie beide herkommen. Da sich nun jede Gruppe $G$ in die Gruppe der Permutationen einer Menge $A$ einbetten l"a"st -- zum Beispiel durch Linksmultiplikation in die Menge der Permutationen von $G$ selber -- bedeutet das, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \pi_1 (U\cap V) \ar[r] \ar[d]& \pi_1 (U) \ar[d]\\ \pi_1 (V) \ar[r] &\pi_1 (X) } \end{displaymath} kokartesisch sein mu"s. Das aber ist genau die Aussage des Satzes von Seifert und van Kampen. \end{Bemerkungl} \subsection{Varianten zu Seifert-van Kampen*} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Push-out von Kategorien}] Sei ein Kowinkel in der Kategorie $\op{Cat}$ der Kategorien \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal S \ar[r]^-{I_+}\ar[d]_-{I_-} & \mathcal C_+\\ \mathcal C_- &\\ } \end{displaymath} gegeben mit Funktoren,\label{PoKK} die Inklusionen von Teilmengen sind auf den Objektmengen. So kann ein push-out in $\op{Cat}$ konstruiert werden wie folgt: Als Objektmenge nehmen wir $\mathcal C \pdef \mathcal C_+ \cup \mathcal C_-$. Um die Morphismenmengen $\mathcal C (A,B)$ der push-out-Kategorie $\mathcal C$ zu definieren, beginnen wir mit allen Folgen \begin{equation*} (\varphi_1, \epsilon{(1)}), (\varphi_2, \epsilon{(2)}), \ldots , (\varphi_n, \epsilon{(n)}) \end{equation*} mit $n \geq 0$ und $\epsilon(i) \in \{ +, -\}$ und $\varphi_i \in \mathcal C_{\epsilon (i)} (A_{i-1}, A_i)$ f"ur $A_{i-1}, A_i \in \mathcal C_{\epsilon (i)}$ und $A_0 = A$ und $A_n = B$. Mit den leeren Folgen f"ur $A = A_0 = B$ als Identit"aten und dem Hintereinanderh"angen als Verkn"upfung erhalten wir schon mal eine Kategorie $\tilde{\mathcal C}$. Jetzt betrachten wir die kleinste "Aquivalenzrelation $\sim$ auf der Menge aller Morphismen von $\tilde{\mathcal C}$ mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item $((\varphi_1, \epsilon{(1)}), (\varphi_2, \epsilon{(2)})) \sim (\varphi_1 \circ \varphi_2, \epsilon)$ falls $\epsilon (1) = \epsilon (2) = \epsilon$; \item $\varphi \sim \psi \Rightarrow \varphi \circ \alpha \sim \psi \circ \alpha$ und $ \beta \circ \varphi \sim \beta \circ \psi$ f"ur alle entsprechend verkn"upfbaren Morphismen $\alpha, \beta$; \item $(\op{id}_A, \epsilon)$ ist "aquivalent zur leeren Folge zu $A$, wann immer $\epsilon \in \{+, -\}$ ein Vorzeichen ist und $A \in \mathcal C_\epsilon$ ein Objekt; \item $(I_+ (\varphi), +) \sim (I_- (\varphi), -)$ f"ur jeden Morphismus $\varphi$ im Schnitt $\mathcal S$. \end{enumerate} Jetzt nehmen wir als Morphismenmenge $\mathcal C (A,B)$ in $\mathcal C$ die Menge $\tilde{\mathcal C} (A,B) /\! \sim$ der "Aquivalenzklassen unserer Morphismen in $\tilde{\mathcal C}$, und damit ist offensichtlich $\mathcal C$ ein push-out. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition} Seien zwei kokartesische Quadrate von Kategorien gegeben, bei denen alle Funktoren injektiv sind auf den Objektmengen. Sei weiter ein Morphismus zwischen diesen Quadraten gegeben, so da"s insgesamt ein kommutativer W"urfel entsteht. Sind dann die drei Funktoren zwischen den Objekten in den Kowinkeln der jeweiligen kartesischen Quadrate "Aquivalenzen, so auch der vierte Funktor zwischen den Push-outs. \end{Proposition} \begin{proof} Man folgert das leicht aus der expliziten Konstruktion des push-outs in der vorhergehenden Bemerkung \ref{PoKK}, wenn man die eher implizite Definition der "Aquivalenzrelation umschreibt zu einer expliziten Beschreibung der Art, da"s zwei Folgen genau dann "aquivalent sind, wenn man zwischen ihnen in endlich vielen Schritten gewisser Art hin- und hergehen kann. \end{proof} \begin{Korollar} Sei ein kokartesisches Quadrat von Kategorien gegeben, dessen Objektediagramm aus Injektionen besteht. Sei eine Teilmenge von Objekten des push-out gegeben derart, da"s die Einbettungen der jeweils zugeh"origen vollen Unterkategorien an den Kategorien des Kowinkels "Aquivalenzen sind. \end{Korollar} \begin{Korollar} Besitzt ein topologischer Raum eine "Uberdeckung durch zwei einfach wegzusammenh"angende offene Teilmengen, und besteht deren Schnitt aus zwei Wegzusammenhangskomponenten, so ist seine Fundamentalgruppe isomorph zu $\mathbb Z$. \end{Korollar} \begin{proof} Sei $X=U\cup V$ unser Raum mit seiner offenen "Uberdeckung. Nach dem Satz von Seifert-van Kampen f"ur das fundamentale Gruppoid \ref{SvKV} ist das folgende Diagramm von Kategorien kokartesisch: $$\xymatrix{\kokart \mathcal W(U\cap V) \ar[r]\ar[d] & \mathcal W(V) \ar[d]\\ \mathcal W(U) \ar[r] &\mathcal W(X)}$$ W"ahlen wir einen Punkt aus jeder Wegzusammenhangskomponente von $U\cap V$ und betrachten die vollen Unterkategorien mit diesen Objekten, so sind die Einbettungsfunktoren jeweils "Aquivalenzen von Kategorien. Zum so entstehenden Kowinkel ist aber der push-out leicht zu berechnen, \end{proof} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPOKa}\\[4mm] \noindent Obiges Beispiel zeigt, da"s auf die Injektivit"at auf den Objektmengen in unseren kokartesischen Diagrammen nicht verzichtet werden kann. In der Tat ist der gestrichelte Morphismus zwischen kokartesichen Quadraten eine "Aquivalenz in jeder Ecke der bestimmenden Kowinkel, nicht jedoch auf den push-outs. \end{Bild} \subsection{Terminologische Versuche} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Eigenschaft (E) von Morphismen einer Kategorie $\mathcal C$ mit endlichen Produkten hei"se ein Morphismus $\varphi:X\ra Y$ {\bf produktfest} (E)\index{produktfest!produktfest (E), Morphismus} oder ausf"uhrlicher {\bf produktfest} (E) {\bf in $\mathcal C$}, wenn\label{proff} f"ur jedes weitere Objekt $Z$ auch der Morphismus $\varphi\times\op{id}:X\times Z\ra Y\times Z$ die Eigenschaft (E) hat. % Sie steht bis hier identisch in \eref{prof}{KAG} Sagen wir, ein Objekt {\bf habe die Eigenschaft} (E), so ist gemeint, da"s der Morphismus von besagtem Objekt zum finalen Objekt die Eigenschaft (E) hat. Mir schien diese Terminologie bequem, sie ist aber un"ublich. \end{Bemerkungl} \subsection{Reste \"{U}berlagerungen}\label{KlUB} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Tate-Twist}] Ist ganz allgemein $K$ verge"slicher K"orper von komplexen Zahlen im Sinne von \eref{vDC}{LA2} mit seiner nat"urlichen Topologie als endlichdimensionaler $\DR$-Vektorraum, so erkl"aren wir\label{TaTw} $\DZ_K(-1)\pdef\op{ker}(\op{exp}:K\ra K^\times)$ als die Faser bei $1\in K$ der durch die Exponentialabbildung gegebenen "Uberlagerung. Diese Faser ist selbst eine additive Untergruppe von $K$ und operiert durch Addition als die Gruppe von Deckbewegungen unserer "Uberlagerung. Unsere Konstruktionen liefern so einen von der Wahl eines Punktes der Faser unabh"angigen Isomorphismus $$ \pi_1(K^\times)\sira\DZ_K(-1)$$ F"ur unsere "ublichen komplexen Zahlen $K=\DC$ erhalten wir $\DZ_\DC(-1)=2\pi{\op{i}}\DZ$ und unser Isomorphismus spezialisiert zu einem Isomorphismus $\pi_1(\DC^\times)\sira 2\pi{\op{i}}\DZ$, der insofern \glqq nat"urlicher\grqq\ ist als die schlichte Identifikation besagter Fundamentalgruppe mit $\DZ$, als er "aquivariant ist f"ur die offensichtliche Wirkung der komplexen Konjugation auf beiden Seiten. \end{Bemerkunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTF" %%% End: