%Pfeilsymbole: \index{)4@ } %Klammersymbole: \index{)5@ } %Obere Indizes: \index{)6@ } %Untere Indizes: \index{)7@ } %Aequivalenzrelationen: \index{)8@ } % makeindex -g -s german.ist AATOTAL % xdvi -linkstyle 2 -q -editor 'emacsclient --no-wait' AATOTAL.dvi & %: --Wichtige Bemerkungen, "Ubungen Etc Von Weniger % wichtigen absetzen. % --Notationen anderer Autoren diskutieren, % vielleicht in Tutoraten sammeln % --sie mag K"astchen % --langsamer vorgehen (?) % --Zwischenbemerkungen, saloppes Diskutieren immer % willkommen. % --immer richtiges Deutsch ! %Ein Bild: width=\textwidth %Zwei Bilder: height=0.4\textheight ohne Text, 9-8cm mit Text % \begin{Bild} % \includegraphics[height=0.4\textheight oder width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGibtsnet}\\[4mm] % \noindent BlahBlah\end{Bild} %tar cfz Docutexh.tar */*/*.tex %tar xfz Docutexb.tar %Index Machen: makeindex -g -s german.ist AATOTAL %Alte Version hervorkramen %svn merge -r 208:207 svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten %svn copy -r 483 svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten/Skripten/AATOTAL.tex AAA.tex %Bilder Vorbereiten %B.bb von B.ps Kriegen: for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done %BILDER EIN BISSEL VERPACKEN %gzip *.ps %Alt-x server-start (f"ur Quelltextsuche bei emacs) %xdvi -q -editor 'emacsclient --no-wait' AATOTAL.dvi & %AATOTAL INTERN VER"OFFENTLICHEN: %in /Documents/Skripten/Skripten/SkriptenBilder machen: %for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done %gzip *.ps %in /Documents/Skripten/Skripten machen: %scp AATOTAL.dvi soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/AATOTALd.dvi %tar cf SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/*.*ps* %scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/ %BILDER IN UNI VERPACKEN: %soergel@soerdell:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/* %BILDER F"UR DAS HEIMHOLEN AUF DEN WEBSERVER LEGEN: %scp SkriptenBilder.tar %soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar %BILDER ZUHAUSE VOM SERVER HOLEN: %scp soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar SkriptenBilder.tar %BILDER ZUHAUSE AUSPACKEN: %soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar xf SkriptenBilder.tar %soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/BildA.ps.bb %scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar %Befehl um auf A5 zu verkleinern: dvips -pp Seitex-Seitex -x 707-ta5 Datei.dvi %Anleitung xypic %http://www.uni-koblenz.de/~texadmin/texmf/doc/html/latex/contrib/xypic/xyguide-html/index.html %nice -n 20 ./XX \documentclass[12pt,a4paper]{book} \renewcommand{\thepart}{\Alph{part}} \setcounter{tocdepth}{0} \usepackage{minitoc} \renewcommand{\mtctitle}{Inhalt} \usepackage[active]{srcltx}%Alt-X server-start \usepackage{showkeys} \usepackage{young} \usepackage{makeidx} \usepackage{newlfont} \usepackage{amsmath} \usepackage{amssymb} \usepackage{amsxtra} \usepackage{amsfonts} %\usepackage{txfonts}%zerst"ort abgeschlossene Teilmenge \usepackage{amscd} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{stmaryrd} \usepackage[ngerman]{babel} \usepackage[hypertex,hyperindex]{hyperref} \usepackage{verbatim} \usepackage{changebar} \usepackage{ae} \usepackage{xr} \changebarsep85pt \usepackage{graphicx} \renewcommand{\floatpagefraction}{0.2} \renewcommand{\figurename}{ } % %-------------------------------------------------- % WERDEN DIE FOLGENDEN DREI ZEILEN NICHT AUSKOMMENTIERT, % SO WERDEN BILDSEITEN NICHT MITGEZAEHLT. FUER DRUCKVORLAGEN % TAUGT DAS NICHT, DA DIE SEITEN MIT GERADEN NUMMERN % ANDERS GEDRUCKT WERDEN ALS DIE SEITEN MIT UNGERADEN NUMMERN. % \usepackage{fancyhdr} % \pagestyle{fancy} % \fancyfoot[C]{\iffloatpage{\addtocounter{page}{-1}}{\thepage}} % %-------------------------------------------------- \input{xy} \xyoption{all} \frenchspacing \usepackage{amsthm} \usepackage{epsfig} \usepackage{alltt} \input{newtheorems} \input{newcommands} \renewcommand{\eref}[2]{\cite{#2} \ref{#1}} \renewcommand{\rref}[2]{\cite{#2} \ref{#1}} \renewenvironment{comment}{\begin{changebar}}{\end{changebar}} \usepackage[T1]{fontenc} \newcommand{\changefont}[3]{ \fontfamily{#1} \fontseries{#2} \fontshape{#3} \selectfont} \renewcommand{\familydefault}{ptm} \makeindex \begin{document} \title{Schrotthalde} \author{Wolfgang Soergel} \maketitle \dominitoc \tableofcontents \newpage \chapter{Garbenschrott} \minitoc \newpage %\include{An01Grundlagen}\newpage \subsection{Approximieren durch azyklische Aufl"osungen} \begin{Bemerkungl} Der folgende Satz liefert Konstruktionen derivierter Funktoren in allgemeineren F"allen, wenn es etwa in einer abelschen Kategorie nicht genug Injektive gibt, oder wenn wir nicht nur f"ur die gegen die Pfeile beschr"ankten derivierten Kategorien derivierte Funktoren konstruieren wollen, oder wenn wir an den derivierten Funktoren im Fall der derivierten Kategorie zu einem differentiellen graduierten Ring interessiert sind, die wir bisher noch gar nicht definiert haben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Rechtsapproximieren durch azyklische Aufl"osungen}] Seien $\mathcal{T} $ und $\mathcal{T}^{\prime}$ triangulierte Kategorien, $F: \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ ein triangulierter Funktor\label{DdaZ} und $\mathcal{N} \subset \mathcal{T}$ ein Verdiersystem. Es gebe weiter ein Verdiersystem $\mathcal{A} \subset \mathcal{T}$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Der Schnitt $\mathcal{A} \cap \mathcal{N}$ geht unter $F$ nach Null; \item Zu jedem Objekt $X \in \mathcal{T}$ finden wir mindestens ein ausgezeichnetes Dreieck $N \ra X \ra A \ra$ mit $A \in \mathcal{A}$ und $N \in \mathcal{N}$. \end{enumerate} So besitzt $F$ eine initiale Rechtsapproximation $(\bar{F},\tau)$ mit $\bar{F}:\mathcal{T}/\mathcal{N}\ra \mathcal{T}'$ und f"ur jede initiale Rechtsapproximation $(\bar{F},\tau)$ gilt $\tau :FA \overset{\sim}{\ra} \bar{F} Q A$ f"ur alle $A\in \cal{A}$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir behaupten zun"achst, da"s der offensichtliche Funktor eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{displaymath} J:\mathcal{A}/\mathcal{A} \cap \mathcal{N} \sirra \mathcal{T}/\mathcal{N} \end{displaymath} induziert. In der Tat ist nach der zweiten Bedingung jedes Objekt von $\mathcal{T}/\mathcal{N}$ isomorph zu einem Objekt aus dem Bild unseres Funktors, und wir m"ussen nach \ref{LUK} oder vielmehr seiner opponierten Version nur pr"ufen, da"s sich jeder Morphismus von einem Objekt $B \in \mathcal{A}$ in ein Objekt $X \in \mathcal{T}$ mit Abbildungskegel in $\mathcal{N}$ verl"angern l"a"st zu einer Komposition $B \ra X \ra A$ mit $A \in \mathcal{A}$ derart, da"s der Abbildungskegel dieser Komposition auch in $\mathcal{N}$ liegt. Das ist jedoch klar nach unserer zweiten Annahme. Somit k"onnen wir schon einmal einen triangulierten Funktor $\bar{F} : \mathcal{T} / \mathcal{N} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ konstruieren, indem wir zu unserer "Aquivalenz $J $ einen Rechtsadjungierten alias Quasiinversen $R : \mathcal{T} / \mathcal{N} \ra \mathcal{A} / \mathcal{A} \cap \mathcal{N}$ w"ahlen und den aufgrund der ersten Annahme von $F$ induzierten Funktor $\hat{F}:\mathcal{A}/\mathcal{A}\cap \mathcal{N} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ dahinterh"angen, in Formeln $\bar{F} =\hat{F}R$. Wir bezeichnen den Quotientenfunktor $\mathcal{A}\ra \mathcal{A}/\mathcal{A}\cap \mathcal{N}$ mit $P$ und erhalten so die in folgendem Diagramm "uberblicksartig dargestellten Kategorien und Funktoren: \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{A}\ar[d]_{P } \ar[r]^I &\mathcal{T}\ar[d]^Q \ar[r]^F &\mathcal{T}^\prime\\ \mathcal{A}/\mathcal{A}\cap \mathcal{N}\ar@{-->}[urr]^(.3){\hat{F}} \ar[r]^-{J}_-{\approx} & \ar@/^1.2pc/ @{->}[l]^R_\approx\mathcal{T}/ \mathcal{N} & } \end{displaymath} Als n"achstes konstruieren wir eine Transformation $\tau: F \Rightarrow \bar{F} Q$ und zeigen, dass $(\bar{F}, \tau)$ eine initiale Rechtsapproximation ist. Sicher k"onnen wir eine Transformation, ja sogar eine Isotransformation $\hat{\tau} : FI \Rightarrow \bar{F} Q I$ erkl"aren als die Komposition \begin{equation*} FI = \hat{F} P \Rightarrow \hat{F} R J P = \hat{F} RQI \end{equation*} mit der Adjunktionstransformation in der Mitte. Nun kommt aber diese Transformation $\hat{\tau} :F I \Rightarrow \bar{F} QI$ von genau einer Transformation $\tau$ her durch Vorschalten von $I$: In der Tat erhalten wir f"ur jede Transformation $\tau :F \Rightarrow \bar{F} Q$ mit $\tau I=\hat{\tau}$ und alle Objekte $X \in \mathcal{T}$ und jeden Morphismus $X \rightarrow A_X$ mit Kegel aus $\mathcal{N}$ in ein Objekt von $\mathcal{A}$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ FX \ar[r] \ar[d]_{\tau} & FA_X \ar[d]^{\hat{\tau}}\\ \bar{F}QX \ar[r]^\sim & \bar{F} QA_X } \end{displaymath} und da hier die rechte Vertikale ein Isomorphismus ist, wird $\tau$ durch die Bedingung $\tau I = \hat{\tau}$ schon eindeutig festgelegt. Umgekehrt zeigen wir nun, da"s die so zu $X \rightarrow A_X$ gebildeten $\tau_X$ von der Wahl des Morphismus $X \rightarrow A_X$ nicht abh"angen und eine Transformation $\tau : F \Rightarrow \bar{F}Q$ definieren. Sei also $X \rightarrow Y$ ein Morphismus in $\mathcal{T}$ und $Y \rightarrow A_Y$ ein Morphismus mit Kegel in $\mathcal{N}$ in ein Objekt $A_Y \in \mathcal{A}$. Es gilt, die Kommutativit"at des "au"seren Quadrats zu zeigen im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ FX\ar[ddddd]_{\tau_X} \ar[dr]\ar[rrrr] & & &&FY\ar[ddddd]^{\tau_Y} \ar[dl]\\ & FA_X \ar[ddd]_\wr \ar[dr] & & FA_Y\ar[dl]^-{\sim}\ar[ddd]^{\wr} & \\ && FE \ar[d]^\wr&&\\ && \bar{F}QE &&\\ &\bar{F}QA_X \ar[ur] \ar@{-->}[rr] &&\bar{F}QA_Y \ar[ul]^\sim & \\ \bar{F}QX \ar[ur]_\sim\ar[rrrr] &&&& \bar{F}QY \ar[ul]^\sim } \end{displaymath} Die Kommutativit"at des linken und rechten Trapezes definiert $\tau_X$ und $\tau_Y$ und ist unproblematisch. Der gestrichelte Pfeil meint den Effekt von $\bar{F}$ auf dem Morphismus in $\mathcal{T}/\mathcal{N}$, der durch die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ & QA_X \ar@{-->}[r] &QA_Y &\\ QX \ar[ur]_\sim \ar[rrr] &&& QY\ar[ul]^\sim } \end{displaymath} definiert wird. Wir k"onnen ihn als Bruch $A_X \rightarrow D \leftarrow A_Y$ schreiben und unseren Bruch so erweitern, da"s wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[dr]\ar[rrrr] &&&& Y\ar[dl]\\ &A_X\ar[dr] & &A_Y\ar[dl] &\\ & &E && } \end{displaymath} in $\mathcal{T}$ erhalten, wobei also der Kegel von $A_Y \rightarrow E$ in $\mathcal{N}$ liegen soll und wir durch eine weitere Erweiterung sogar zus"atzlich $E \in \mathcal{A}$ annehmen d"urfen. So entsteht dann das gesamte obige mehrzellige Diagramm, bei dem die Kommutativit"at s"amtlicher Zellen offensichtlich ist. Die Kommutativit"at des "au"seren Quadrats folgt ohne Schwierigkeiten, und damit haben wir dann schon einmal eine Transformation $\tau:F\RA \bar{F}Q$ konstruiert und es bleibt nur noch, die Universalit"at des Paars $( \bar{F},\tau)$ zu zeigen. Ist dazu $G : \mathcal{T} /\mathcal{N} \rightarrow \mathcal{T}^\prime$ ein weiterer triangulierter Funktor, so erhalten wir sicher ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Trans} (\bar{F}, G) \ar[d]^\wr\ar[r]^\sim &\op{Trans} (\bar{F} QI, GQI)\ar[dd]_\wr\\ \op{Trans} (\bar{F}Q, GQ)\ar[d] & \\ \op{Trans} (F,GQ) \ar[r]& \op{Trans} (FI, GQ I) } \end{displaymath} wobei die rechte Vertikale eine Bijektion ist wegen $\tau I : FI \overset{\sim}{\Rightarrow} \bar{F} QI$ und die beiden Pfeile aus der oberen linken Ecke nach \ref{AdLl}, da n"amlich $Q$ und $QI$ Lokalisierungsfunktoren sind. Nun ist jedoch auch die untere Horizontale injektiv, da wir f"ur $ X \rightarrow A_X$ wie zuvor und $\sigma : F \Rightarrow GQ$ eine Transformation ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ FX\ar[d] \ar[r] & GQX\ar[d]^\wr \\ FA_X \ar[r]& GQA_X } \end{displaymath} erhalten, dessen obere Horizontale bereits durch die untere festgelegt wird. Mithin besteht unser Diagramm aus Bijektionen. Dasselbe folgt, wenn wir an jeder Stelle die Teilmenge der vertr"aglichen Transformationen betrachten, und daraus folgt dann die behauptete Universalit"at von $(\bar{F},\tau)$. \end{proof} \begin{Beispiel} Sei $F:\cal{B}\ra \cal{C}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und $\cal{I}\subset \cal{B}$ eine unter endlichen direkten Summen stabile Unterkategorie derart, da"s (1) kurze exakte Sequenzen von Objekten aus $\cal{I}$ exakt bleiben unter $F,$ da"s (2) der Kokern eines Monomorphismus zwischen je zwei Objekten von $\cal{I}$ wieder zu $\cal{I}$ geh"ort, und da"s (3) jedes Objekt von $\cal{B}$ in ein Objekt von $\cal{I}$ eingebettet werden kann. So hat $\op{Hot}^+(\cal{I})\subset \op{Hot}^+(\cal{B})$ die in \ref{DdaZ} geforderten Eigenschaften: Es gilt hier nur, die Argumente aus dem Beweis von \ref{EIA} zu wiederholen. Folglich besitzt $F$ einen Rechtsderivierten ${\op{R}}F:\op{Der}^+(\cal{B})\ra\op{Der}^+(\cal{C})$ und auf Objekten $I$ aus $\op{Hot}^+(\cal{I})$ liefert die Transformation aus der Definition des Rechtsderivierten Isomorphismen $$FI\qri {\op{R}}F(I)$$ \end{Beispiel} \subsection{Linksderivierte Funktoren} \begin{Bemerkungl} Die Definitionen und Resultate dieses Abschnitts sind dual zu denen des vorhergehenden Abschnitts, weshalb ich auf s"amtliche Beweise verzichte. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{KiA} Sei $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien und sei $\mathcal{N} \subset \mathcal{T}$ eine Menge von Objekten. Eine \defind{Linksapproximation} an $F$ auf $\mathcal{T}/\mathcal{N}$ ist ein Paar $(H,\rho)$ bestehend aus einem triangulierten Funktor $H$ nebst einer vertr"aglichen Transformation $\rho$ wie im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{T} \ar[ddr]_{\op{can}}\ar[rr]^{F} && \mathcal{T}^{\prime}\\ & &\\ &\mathcal{T}/\mathcal{N} \ar[uur]_{H}\ar@2{->}_{\rho}[uu] & } \end{displaymath} angedeutet, und erkl"aren eine \defind{finale Linksapproximation} als eine Linksapproximation $(\underline{F},\tau)$ derart, da"s f"ur alle triangulierten Funktoren $G:\mathcal{T}/\mathcal{N} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ die Abbildung $\alpha \Rightarrow \tau \circ (\alpha Q)$ eine Bijektion zwischen den entsprechenden R"aumen von vertr"aglichen Transformationen induziert, in Formeln eine Bijektion \begin{displaymath} \op{Trans}^{\DZ} (G, \underline{F}) \overset{\sim}{\ra} \op{Trans}^{\DZ} (G Q, F) \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{HTAF} Sei $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien und sei $\mathcal{N} \subset \mathcal{T}$ eine Menge von Objekten. Besitzt der Quotientenfunktor $Q:\cal{T}\ra \mathcal{T}/\mathcal{N}$ einen Linksadjungierten $L,$ so ist $FL$ mit der durch die Adjunktion induzierten Transformation $FLQ\Rightarrow F$ eine triangulierte finale Linksapproximation an $F$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $F : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ ein rechtsexakter Funktor zwischen abelschen Kategorien. Die finale Linksapproximation auf $\op{Der}^- (\mathcal{B})$ an die Verkn"upfung $ \op{Hot}^- (\mathcal{B}) \rightarrow \op{Hot}^- (\mathcal{C}) \rightarrow \op{Der}^- (\mathcal{C}) $ hei"st, falls sie existiert, der \defind{linksderivierte Funktor} zu $F$ und wird notiert \begin{displaymath} {\op{L}}\!F : \op{Der}^- (\mathcal{B}) \rightarrow \op{Der}^- (\mathcal{C}) \end{displaymath} Genau genommen geh"ort zu $LF$ also noch eine vertr"agliche Transformation, die ich im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot}^-(\mathcal{B})\ar[d] \ar[r]^F &\op{Hot}^-(\mathcal{C})\ar[d]\\ \op{Der}^- (\mathcal{B}) \ar[r]^{{\op{L}}\!F}\ar@{=>}[ur] & \op{Der}^-(\mathcal{C}) } \end{displaymath} durch einen Doppelpfeil angedeutet habe, und das Paar bestehend aus dem derivierten Funktor und besagter Transformation ist eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Linksapproximieren durch azyklische Aufl"osungen}] Seien $\mathcal{T} $ und $\mathcal{T}^{\prime}$ triangulierte\label{DdaZl} Kategorien, $F: \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ ein triangulierter Funktor und $\mathcal{N} \subset \mathcal{T}$ ein Verdiersystem. Es gebe weiter ein Verdiersystem $\mathcal{A} \subset \mathcal{T}$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Der Schnitt $\mathcal{A} \cap \mathcal{N}$ geht unter $F$ nach Null; \item Zu jedem Objekt $X \in \mathcal{T}$ finden wir mindestens ein ausgezeichnetes Dreieck $A \ra X \ra N \ra$ mit $A \in \mathcal{A}$ und $N \in \mathcal{N}$. \end{enumerate} So besitzt $F$ eine finale Linksapproximation, und gegeben eine finale Linksapproximation $(\underline{F},\tau)$ gilt $\tau :\underline{F} Q A\overset{\sim}{\ra} FA $ f"ur alle $A\in \cal{A}$. \end{Satz} \begin{Beispiel} Sei $F:\cal{B}\ra \cal{C}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und $\cal{P}\subset \cal{B}$ eine unter endlichen direkten Summen stabile Unterkategorie derart, da"s (1) kurze exakte Sequenzen von Objekten aus $\cal{P}$ exakt bleiben unter $F,$ da"s (2) der Kern eines Epimorphismus zwischen je zwei Objekten von $\cal{P}$ wieder zu $\cal{P}$ geh"ort, und da"s (3) jedes Objekt von $\cal{B}$ Quotient eines Objekt von $\cal{P}$ ist. So hat $\op{Hot}^-(\cal{P})\subset \op{Hot}^-(\cal{B})$ die in \ref{DdaZl} geforderten Eigenschaften, es gilt hier die Argumente aus dem Beweis von \ref{EIA} zu wiederholen, und $F$ besitzt folglich einen Linksderivierten ${\op{L}}F:\op{Der}^-(\cal{B})\ra\op{Der}^-(\cal{C})$ und auf Objekten aus $\op{Hot}^-(\cal{P})$ liefert die Transformation aus der Definition des Linksderivierten Isomorphismen. Besitzt $\cal{B}$ gen"ugend Projektive, so besitzt folglich jeder additive Funktor einen Linksderivierten, und dieser kann durch \glqq projektive Aufl"osungen\grqq\ berechnet werden. \end{Beispiel} \subsection{Wohl nicht hier} \begin{Proposition}\label{VTDK} Sei $\mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie mit zwei Verdiersystemen $\mathcal{U}$ und $\mathcal{N}$. Faktorisiert jeder Morphismus $U \ra N$ mit $U \in \mathcal{U}$ und $N \in \mathcal{N}$ "uber ein Objekt von $\mathcal{U} \cap \mathcal{N}$, so definiert der offensichtliche Funktor eine volltreue Einbettung \begin{displaymath} \mathcal{U}/\mathcal{U} \cap \mathcal{N} \hookrightarrow \mathcal{T}/\mathcal{N} \end{displaymath} Dasselbe gilt, wenn jeder Morphismus $N \ra U$ mit $ N \in \mathcal{N} $ und $U\in \mathcal{U}$ "uber ein Objekt von $\mathcal{N} \cap \mathcal{U}$ faktorisiert. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ich bin noch nicht sicher, ob diese Proposition wirklich hilfreich ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wenden \ref{LUK} an und m"ussen nur zeigen, da"s es f"ur jeden Morphismus $s ; X \ra U$ mit Abbildungskegel in $\mathcal{N}$ und $X \in \mathcal{T}, U \in \mathcal{U}$ einen Morphismus $h : V \ra X$ gibt mit $V \in \mathcal{U}$ und dem Abbildungskegel von $s \circ h$ in $\mathcal{N}$. Dazu betrachten wir das ausgezeichnete Dreieck \begin{displaymath} X \ra U \ra N \ra \end{displaymath} und faktorisieren den zweiten Pfeil als $U \ra M \ra N$ mit $N \in \mathcal{U} \cap \mathcal{N}$ in den Annahmen unserer Proposition. Bilden wir zu dieser Komposition den Oktaeder \begin{displaymath} \xymatrix{ & &&[1]V\ar[dr]& &\\ &M\ar[urr] \ar[dr]& &&[1]X \ar[ddr]&\\ && N \ar[urr] \ar[drrr]&&&\\ U\ar[uur]\ar[urr] &&& & &Z } \end{displaymath} so haben wir sicher $V \in \mathcal{U}$ und der Abbildungskegel "uber $h : V \ra X$ ist $[-1]M$, woraus sofort folgt, da"s auch der Abbildungskegel von $s \circ h$ in $\mathcal{N} $ liegt. \end{proof} \subsection{Derivierte Kategorien, ALT} \begin{Definition} Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie mit gen"ugend Injektiven. So definieren wir die \defnoind{gegen die Pfeile beschr"ankte derivierte Kategorie}\index{derivierte Kategorie} $\op{Der}^{+}(\cal{A})$ (oder $\op{Der}^{+}_\cal{A}$ und in der Literatur meist $D^{+}\cal{A}$) wie folgt: Als Objekte von $\op{Der}^{+}(\cal{A})$ nehmen wir die Objekte von $\op{Hot}^{+}(\cal{A})$. Die Morphismen $A^{\ast} \ra B^{\ast}$ sind formal abh"angig von der Wahl einer injektiven Aufl"osung $I^\ast(A^\ast)$ f"ur jeden Komplex $A^{\ast} \in \op{Hot}^{+}(\cal{A})$ und werden gegeben durch die Vorschrift $$\op{Der}^{+}_\cal{A} (A^{\ast},B^{\ast}) = {\op{Hot}^{+}_\cal{A}} (I^{\ast}(A^{\ast}), I^{\ast}(B^{\ast}))$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungen} \begin{enumerate} \item Ist $A^{\ast}\ra J^{\ast}(A^{\ast})$ eine andere Wahl von injektiven Aufl"osungen, so liefert die Identit"at auf $A^{\ast}$ in der Homotopiekategorie wohlbestimmte Isomorphismen $I^{\ast}(A^{\ast}) \overset{\sim}{\ra} J^{\ast}(A^{\ast})$. Das zeigt, da"s die Morphismen in unserer derivierten Kategorie im Wesentlichen nicht von der Wahl der injektiven Aufl"osungen abh"angen. \item Eine konzeptionell vielleicht befriedigendere, aber technisch m"uhsamere Alternative zur obigen Definition ist, auf der disjunkten Vereinigung der ${\op{Hot}^{+}_\cal{A}} (I^{\ast},J^{\ast})$ "uber alle injektiven Aufl"osungen $A \ra I^{\ast},$ $B \ra J^{\ast}$ eine geeignete "Aquivalenzrelation einzuf"uhren und die Homomorphismenmengen in $\op{Der}^{+}(\cal{A})$ als "Aquivalenzklassen zu erkl"aren. Diese Vorgehensweise h"atte jedoch den Nachteil, uns in Randgebiete der Mengenlehre zu locken. \item F"ur eine beliebige abelsche Kategorie $\cal A$ definiert man die derivierten Kategorien $\op{Der}(\cal{A})$ bzw.\ $\op{Der}^{+}(\cal{A}),$ indem man in den Homotopiekategorien $\op{Hot}(\cal{A})$ bzw.\ $\op{Hot}^{+}(\cal{A})$ alle Quasiisomorphismen \glqq formal invertiert\grqq, "ahnlich wie beim "Ubergang von $\DZ$ zu $\DQ$ alle von Null verschiedenen ganzen Zahlen formal invertiert werden. Im Kontext der Ringtheorie hat sich f"ur Konstruktionen dieser Art die Bezeichnung \glqq Lokalisierung\grqq\ eingeb"urgert, und in Anlehnung daran spricht man dann auch von der \glqq Lokalisierung der Homotopiekategorie nach allen Quasiisomorphismen\grqq. \end{enumerate} \end{Bemerkungen} Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie mit gen"ugend Injektiven. Bezeichnet $\cal{I}$ die additive Kategorie der injektiven Objekte von $\cal{A},$ so haben wir per definitionem eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Hot}^{+}(\cal{I})\overset{\sim}{\ra} \op{Der}^{+}(\cal{A})$$ Wir nennen ein Dreieck in $\op{Der}^{+}(\cal{A})$ \defnoind{ausgezeichnet}\index{ausgezeichnetes Dreieck} genau dann, wenn es zu einem ausgezeichneten Dreieck aus $\op{Hot}^{+}(\cal{I})$ isomorph ist. Lemma \ref{FIA} liefert uns einen additiven Funktor $$\op{Hot}^{+}(\cal{A}) \ra \op{Der}^{+}(\cal{A})$$ der ausgezeichnete Dreiecke zu ausgezeichneten Dreiecken macht und der nach \ref{IuA} volltreu ist auf der Unterkategorie $\cal{A} \hookrightarrow \op{Hot}^{+}(\cal{A})$ der in Grad Null konzentrierten Komplexe. Die Homologiefunktoren $\cal{H}^{i}:\op{Hot}^{+}(\cal{A}) \ra \cal{A}$ faktorisieren per definitionem "uber Funktoren $\cal{H}^{i}:\op{Der}^{+}(\cal{A}) \ra \cal{A}$ und jedes ausgezeichnete Dreieck in $\op{Der}^{+}(\cal{A})$ liefert so eine lange exakte Homologiesequenz in $\cal{A}$. \subsection{Pr"aschrott} \begin{Bemerkunge}\emph{Wohl "uberfl"ussig!} Gegeben $A,B\in \mathcal A_F$ gibt es Entfaltungen $A\ra X$ und $B\ra Y$ und jeder Morphismus $QA\ra QB$ l"a"st sich damit schreiben als Komposition $QA\ra QX \leftarrow QZ\ra QY \leftarrow QB$ von Morphismen und Inversen von Morphismen, die von Morphismen $A\ra X \leftarrow Z\ra Y \leftarrow B$ in $\mathcal A_F$ herkommen. Das zeigt mit \ref{VoTrz}, da"s $Q: \mathcal{A}_F\ra \mathcal{A}\lfloor S^{-1}\rfloor_F$ ein volldichter Funktor ist. Gegeben Funktoren $R,P:\mathcal{A}\lfloor S^{-1}\rfloor_F\ra \mathcal D$ induziert also das Vorschalten von $Q$ eine Bijektion $$\op{Cat}(\mathcal{A}\lfloor S^{-1}\rfloor_F,\mathcal D)(P,R) \;\sira\;\op{Cat}(\mathcal{A}_F,\mathcal D)(PQ,RQ)$$ \end{Bemerkunge} \section{Altes Zeug, wohl Schrott} \subsection{Alter Beweis von Cech gleich Garben} \begin{proof}[Alter Beweis von \ref{CGa}] Bezeichne $\cal{C}$ den Pr"agarbenkokern der Abbildung $\cal{F}\hookrightarrow \cal{G}\cal{F}$ von $\cal{F}$ in die Garbe der unstetigen Schnitte von $\cal{F}$ und bezeichne $\cal{C}^{+}$ seine Garbifizierung. Wir haben eine kurze exakte Sequenz von Pr"agarben $\cal{F}\hookrightarrow \cal{G}\cal{F}\sra\cal{C}$ und eine kurze exakte Sequenz von Garben $\cal{F}\hookrightarrow \cal{G}\cal{F}\sra\cal{C}^+$. Wir haben dann $\check{\op{H}}^{1}(X;\cal{G}\cal{F})=0,$ nach \ref{CW} und \ref{PCW} verschwinden ja f"ur ein Produkt von Wolkenkratzergarben sogar alle h"oheren \v{C}ech-Kohomologiegruppen bez"uglich jeder offenen "Uberdeckung. Des weiteren liefert eine kurze exakte Sequenz von Pr"agarben uns eine lange exakte Sequenz in der \v{C}ech-Kohomologie, zun"achst bez"uglich jeder offenen "Uberdeckung und dann auch im Limes. Das liefert Exaktheit der oberen Horizontale im Diagramm $$\begin{array}{lllllllllll} 0&\ra & \check{\op{H}}^{0}(X;\cal{F})&\ra& \check{\op{H}}^{0}(X;\cal{G}\cal{F})& \ra & \check{\op{H}}^{0}(X;\cal{C})&\ra& \check{\op{H}}^{1}(X;\cal{F})&\ra&0\\ &&\hspace{1cm}\da&&\hspace{1cm}\da&&\hspace{1cm}\da&& && \\ 0&\ra & \op{H}^{0}(X;\cal{F}) & \ra &\op{H}^{0}(X;\cal{G}\cal{F}) &\ra& \op{H}^{0}(X;\cal{C}^{+})&\ra & \op{H}^{1}(X;\cal{F})&\ra & 0 \end{array}$$ Die untere Zeile ist exakt als Teil einer langen exakten Garbenkohomologie-Sequenz, es gilt n"amlich $\op{H}^{1}(X;\cal{G} \cal{F})=0$ nach \ref{WeAZ}, da $\cal{G} \cal{F}$ stets welk ist. Nach \ref{COG2} sind in unserem Diagramm die beiden linken Vertikalen Isomorphismen. Sobald wir das auch f"ur die dritte Vertikale gezeigt haben, sind wir fertig. Das ben"otigt jedoch einige Vorbereitungen. Unter einer {\bf lokalen Pr"agarbe}\index{lokale Pr"agarbe}\index{Pr"agarbe!lokale} von Mengen auf einem topologischen Raum $X$ verstehen wir eine Pr"agarbe von Mengen $\cal{C}$ derart, da"s f"ur jede Familie $\cal{U}$ von offenen Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $V=\bigcup_{U\in \cal{U}}U$ die Restriktionsabbildungen eine Injektion $$\cal{C} (V) \hookrightarrow \prod_{U\in \cal{U}} \cal{C} (U)$$ liefern, da"s also \glqq Schnitte durch ihre Einschr"ankungen auf die Mengen einer offenen "Uberdeckung bereits eindeutig festgelegt werden\grqq. Setzen wir $\cal{U} = \emptyset,$ so erkennen wir insbesondere, da"s f"ur eine abelsche lokale Pr"agarbe stets gilt $\cal{C} (\emptyset) = 0$. Das anschlie"sende Lemma \ref{PGC} zeigt uns nun, da"s unser Pr"agarbenkokern $\cal{C}$ von $\cal{F} \hookrightarrow \cal{G}\cal{F}$ eine lokale Pr"agarbe ist, und das daran anschlie"sende Lemma \ref{CKGa} etabliert dann f"ur lokale Pr"agarben $\cal{C}$ den gew"unschten Isomorphismus $\check{\op{H}}^{0} (X;\cal{C})\overset{\sim}{\ra} \op{H}^{0} (X;\cal{C}^{+})$ als Komposition eines Isomorphismus in die globalen Schnitte $\Gamma\cal{C}^+$ mit der kanonischen Identifikation aus \ref{HoC} und beendet damit den Beweis des Satzes. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PGC} Ist $\cal{E} \hookrightarrow \cal{F}$ ein injektiver Homomorphismus von abelschen Garben, so ist sein Pr"agarbenkokern $\cal C$ eine lokale Pr"agarbe. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $\cal{U}$ ein System offener Teilmengen und $V = \bigcup_{U \in \cal{U}} U$ seine Vereinigung. Wir betrachten das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \cal{E} (V) & \hookrightarrow &\cal{F}(V) & \twoheadrightarrow & \cal{C}(V)\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow\\ \prod \cal{E}(U) &\hookrightarrow &\prod \cal{F}(U)&\twoheadrightarrow & \prod \cal{C}(U)\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow\\ \prod \cal{E}(U\cap U^{\prime})&\hookrightarrow & \prod \cal{F}(U\cap U^{\prime}) & \twoheadrightarrow &\prod \cal{C} (U\cap U^{\prime}) \end{array}$$ als eine kurze exakte Sequenz von (senkrechten) Kettenkomplexen und benutzen die lange exakte Homologiesequenz. \end{proof} \begin{Lemma}\label{CKGa} Ist $X$ ein topologischer Raum und $\cal{C}$ eine lokale Pr"agarbe auf $X,$ so liefert die kanonische Abbildung einen Isomorphismus zwischen der nullten \v{C}ech-Kohomologie der Pr"agarbe $\cal{C}$ und den globalen Schnitten ihrer Garbifizierung $\cal{C}^+,$ in Formeln $$\check{\op{H}}^{0}(X;\cal{C}) \overset{\sim}{\ra} \Gamma\cal{C}^{+}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst bemerken wir f"ur eine lokale Pr"agarbe ${\cal C}$ und beliebige offene Teilmengen $U\subset X$ die Inklusionen $\cal{C} (U) \hookrightarrow \prod_{x\in U} \cal{C}_{x}$. Wir folgern Inklusionen $\check{\op{H}}^{0}(\cal{U};\cal{C})\hookrightarrow \Gamma \cal{C}^{+}$ und durch "Ubergang zum direkten Limes die Injektivit"at der kanonischen Abbildung. Um die Surjektivit"at zu zeigen, m"ussen wir zu jedem $s \in \Gamma \cal{C}^{+}$ ein Urbild finden. Nach \ref{SG} gibt es aber eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ und f"ur jedes $U\in \cal{U}$ ein $s_{U} \in \cal{C} (U)$ mit $\tilde{s}_{U}=s|_U,$ und da $\cal{C}$ lokal ist haben wir $s_{U}|_{U\cap V} = s_{V}|_{U\cap V} \; \forall U,V \in \cal{U}$. Folglich liefern die $(s_{U})_{U \in \cal{U}}$ ein Element in $\check{\op{H}}^{0} (\cal{U};\cal{C})$. Wir d"urfen jedoch unsere "Uberdeckung $\cal{U}$ ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit ges"attigt annehmen und erhalten so in der Tat das gesuchte Urbild von $s$ in $\check{\op{H}}^{0}(X;\cal{C})$. \end{proof} \subsection{Kohomologie und azyklische Aufl"osungen (ALT)} \begin{Definition}\label{injG} Eine abelsche Garbe $\cal{I}$ auf einem Raum $X$ hei"st {\bf injektiv}\index{injektiv!abelsche Garbe} genau dann, wenn f"ur jeden Monomorphismus $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F}$ von abelschen Garben auf $X$ die induzierte Abbildung $\op{Ab}_{/X} (\cal{F},\cal{I}) \ra \op{Ab}_{/X} (\cal{F}',\cal{I})$ surjektiv ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s der Funktor der Homomorphismen in unsere Garbe $\op{Ab}_{/X}(\;,\cal{I}):\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}^{\circ}$ exakt ist im Sinne von \ref{eFu}. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Jedes Produkt von injektiven abelschen Garben ist wieder eine injektive abelsche Garbe. \end{Ubung} \begin{Satz}[\defnoind{Hauptlemma der homologischen Algebra, Variante}] Seien \label{HLHAG} $\cal{I},\cal{A}$ Komplexe abelscher Garben auf einem Raum $X$ derart, da"s alle $\cal{I}^q$ injektiv sind und da"s gilt $\cal{I}^q=0$ f"ur $q<0$ sowie $\cal{H}^q(\cal{A})=0$ f"ur $q>0$. So induziert das Bilden der nullten Homologie eine Bijektion zwischen Homotopieklassen von Morphismen von Komplexen abelscher Garben und Garbenhomomorphismen zwischen den nullten Kohomologiegarben $$\op{dgHot}_{\op{Ab}/X}(\cal{A},\cal{I} ) \sira \op{Ab}_{/X}(\cal{H}^0 \cal{A}, \cal{H}^0\cal{I})$$ \end{Satz} \begin{proof} Man kopiere mutatis mutandis den Beweis von \ref{HLHA}. \end{proof} \begin{Definition} Unter einer \defind{Aufl"osung} einer abelschen Garbe $\cal{F}$ verstehen wir einen exakten Komplex $\cal F\hra \cal{A}^0\ra \cal{A}^1\ra\cal{A}^2\ra\ldots$ von abelschen Garben. Eine Aufl"osung hei"st {\bf azyklisch}\index{azyklische Aufl"osung} genau dann, wenn alle $\cal{A}^i$ azyklisch sind. Eine Aufl"osung hei"st {\bf injektiv}\index{injektive Aufl"osung} genau dann, wenn alle $\cal{A}^i$ injektiv sind. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Besonders wichtig ist f"ur uns im Folgenden ein Spezialfall von \ref{HLHAG}: Ist $\cal{F}$ eine Garbe auf einem topologischen Raum, $\cal{F}\hra \cal{A}^\ast$ eine Aufl"osung und $\cal{F}\hra \cal{I}^\ast$ eine injektive Aufl"osung, so gibt es eine Kettenabbildung $\cal{A}^\ast\ra \cal{I}^\ast,$ die die Identit"at auf $\cal{F}$ fortsetzt, und je zwei derartige Kettenabbildungen sind homotop. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{KaMo} Seien $X$ ein topologischer Raum, $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{G}^* \mathcal{F}$ die Godement-Aufl"osung von $\mathcal{F}$. \begin{enumerate} \item \label{GKIA1} Ist $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{I}^*$ eine injektive Aufl"osung von $\mathcal{F},$ so induziert jede Erweiterung der Identit"at von $\mathcal{F}$ zu einem Morphismus von Komplexen $\mathcal{G}^* \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{I}^*$ dieselben Isomorphismen \begin{equation*} \op{H}^q (X;\mathcal{F})= \mathcal{H}^q \Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal{H}^q \Gamma \mathcal{I}^* \end{equation*} \item \label{GKIA2} Ist $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{A}^*$ irgendeine Aufl"osung von $\mathcal{F}$, so erhalten wir wohlbestimmte Morphismen, die \emph{\bf kanonischen Morphismen}\index{Morphismen!kanonische} \begin{equation*} \op{can} : \mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{A}^* \rightarrow \op{H}^q (X;\mathcal{F}) \end{equation*} indem wir f"ur eine beliebige injektive Aufl"osung $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{I}^*$ und beliebige Lifts $\mathcal{A}^* \rightarrow \mathcal{I}^* \leftarrow \mathcal{G}^* \mathcal{F}$ der Identit"at von $\mathcal{F}$ die durch Teil 1 erm"oglichte Komposition $\mathcal{H}^q \Gamma \mathcal{A}^* \rightarrow \mathcal{H}^q \Gamma \mathcal{I}^* \overset{\sim}{\leftarrow} \mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{F}= \op{H}^q (X;\mathcal{F})$ bilden. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Satz}[\textbf{Garbenkohomologie durch azyklische Aufl"osungen}] Ist $\mathcal{F}$ eine\label{GKIA} abelsche Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{A}^* $ eine azyklische Aufl"osung, so liefern die kanonischen Morphismen aus \ref{KaMo} Isomorphismen \begin{equation*} \op{can} : \mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{A}^* \sira \op{H}^q (X;\mathcal{F}) \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis von \ref{KaMo} und \ref{GKIA}] Wir beginnen mit \ref{KaMo}.\ref{GKIA1}. Da"s die fraglichen Abbildungen $\mathcal{H}^q \Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{I}^*$ nicht von der Wahl der Erweiterung der Identit"at abh"angen ist klar, da bereits diese Erweiterung selbst nach \ref{HLHAG} wohlbestimmt ist bis auf Homotopie. Um zu zeigen, da"s sie Isomorphismen sind, w"ahlen wir zun"achst mithilfe von \ref{GDF} eine welke injektive Aufl"osung $\mathcal{F} \rightarrow \mathcal{J}^*$ von $\mathcal{F}$. Dieser Umweg ist nur n"otig, da wir noch nicht wissen, da"s jede injektive Garbe welk ist. Dann betrachten wir auch eine Fortsetzung der Identit"at auf $\mathcal{F}$ zu einem Morphismus von Kettenkomplexen $\mathcal{I}^* \rightarrow \mathcal{J}^*$, der ja nach \ref{HLHAG} eine Homotopie"aquivalenz sein mu"s und folglich Isomorphismen auf $\mathcal{H}^q \Gamma$ induziert. Es reicht also zu zeigen, da"s jede Fortsetzung $\mathcal{G}^* \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{J}^*$ von $\op{id}_{\mathcal{F}}$ Isomorphismen auf $\mathcal{H}^q \Gamma$ induziert f"ur $\mathcal{J}^*$ eine welke injektive Aufl"osung von $\mathcal{F}$. Dazu betrachten wir den Morphismus von Doppelkomplexen im ersten Quadranten \begin{equation*} \Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{G}^*\mathcal{F} \rightarrow \Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{J}^* \end{equation*} Er induziert einen Isomorphismus auf den senkrechten Kernkomplexen, die ja beide mit $\Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{F}$ identifiziert werden k"onnen. Die Zeilen unserer Doppelkomplexe sind von der ersten Stelle abgesehen exakt nach \ref{EPr}, nach \ref{EAS} induziert unser Morphismus von Doppelkomplexen also Isomorphismen auf der Kohomologie der Totalkomplexe. Nun sind jedoch auch alle Spalten unserer Doppelkomplexe exakt abgesehen vom untersten Eintrag, nach \ref{EAS} induziert also auch die Abbildung zwischen den horizontalen Kernkomplexen $\Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{F} \rightarrow \Gamma \mathcal{I}^*$ Isomorphismen auf der Kohomologie. Der Beweis des anderen Teils des Lemmas und des Satzes verl"auft sehr "ahnlich und m"oge dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Ubung}\label{NTH} Sind $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{A}^*$ und $\mathcal{G} \hookrightarrow \mathcal{B}^*$ Aufl"osungen von $\mathcal{F}$ und $\mathcal{G}$ und ist $\mathcal{A}^*\ra \mathcal{B}^*$ ein Morphismus von Komplexen von Garben etc etc so erhalten wir wohlbestimmte Morphismen, die {\bf kanonischen Morphismen}\index{Morphismen!kanonische} \begin{equation*} \op{can} : \mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{A}^* \rightarrow \op{H}^q (X;\mathcal{F}) \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Wir wissen seit \ref{WeAZ}, da"s welke Garben azyklisch sind. Statt der Godement-Aufl"osung k"onnen wir also jede welke Aufl"osung nehmen, um die Garbenkohomologie zu berechnen. Unser n"achstes Ziel ist Satz \ref{waz}, nach dem \glqq weiche\grqq\ Garben azyklisch sind auf \glqq parakompakten\grqq\ R"aumen. Der Satz von de Rham wird dann daraus folgen, da"s f"ur verschiedene weiche Aufl"osungen der konstanten Garbe der Komplex der globalen Schnitte stets die Garbenkohomologie der konstanten Garbe liefern muss. \end{Bemerkung} \subsection{Morphismen von Kategorienfaserungen, Versuch} \begin{Definition} Seien $\mathcal C$ und $\mathcal C^\prime$ Kategorienfaserungen "uber einer Kategorie $\mathcal B$. Ein {\bf Morphismus von Kategorienfaserungen}\index{Morphismus!von Kategorienfaserungen} $\varphi$ ist die Vorgabe von Funktoren $\varphi_{ B} : \mathcal C_{ B} \rightarrow \mathcal C^\prime_{ B}$ f"ur alle $B\in\cal{B}$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jeden Morphismus $f: A \rightarrow B$ aus $\mathcal B$ das Diagramm von Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal C_B \ar[d]_{\varphi_B} \ar[r]^{f^\ast} &\mathcal C_A \ar[d]^{\varphi_A}\\ \mathcal C^\prime_B \ar[r]^{f^\ast} & \mathcal C^\prime_A } \end{displaymath} kommutiert. Hier ist striktes Kommutieren gemeint, nicht nur \glqq kommutieren bis auf eine Transformation\grqq. Eine {\bf Transformation von Morphismen von Kategorienfaserungen} $\tau : \varphi \Rightarrow \varphi^\prime$ ist die Vorgabe von Transformationen $\tau_B : \varphi_B \Rightarrow \varphi^\prime_B$ derart, da"s f"ur alle Morphismen $f: A \rightarrow B$ in $\mathcal B$ die Gleichheit $\tau_A f^\ast = f^\ast \tau_B$ von Transformationen von $\varphi_A f^\ast = f^\ast \varphi_B$ nach $\varphi^\prime_A f^\ast = f^\ast \varphi_B^\prime$ erf"ullt ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Man zeigt, da"s die Gesamtheit aller Kategorienfaserungen "uber einer festen Basiskategorie $\mathcal B$ mit diesen Morphismen und Transformationen und den hoffentlich offensichtlichen Verkn"upfungen eine 2-Kategorie bildet. Wir notieren sie $\op{Catfas}_{\mathcal B}$. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{Variante des Yoneda-Lemmas}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal B$ und eine strikte Kategorienfaserung $\mathcal C$ "uber $\mathcal B$ erhalten wir einen Isomorphismus von Kategorien (oder vielleicht doch nur eine "Aquivalenz?) \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{Catfas}_{\mathcal B} (\widetilde{X}, \mathcal C) &\overset{\sim}{\rightarrow} &\mathcal C_{X}\\ \varphi &\mapsto &\varphi_{X} (\op{id}_{X}) \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Hierbei steht $\widetilde{X}$ f"ur die Kategorienfaserung durch die diskreten Kategorien $\widetilde{X}_B = \mathcal B (B, X)$. \end{Bemerkung} \begin{proof} Ich behaupte, da"s wir einen inversen Funktor erhalten durch die Vorschrift \begin{equation*} C \mapsto [C] \end{equation*} mit $[C]_B : \widetilde{X}_B \rightarrow \mathcal C_B$ gegeben durch $(f : B \rightarrow X) \mapsto f^\ast C$ auf Objekten und eine vom Leser zu erratende Vorschrift auf Morphismen. \end{proof} \subsection{Rechtsderivierte Funktoren, ALT} \begin{Definition}\label{iA} Seien $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien und $\mathcal{N} \subset \mathcal{T}$ eine Menge von Objekten. Unter einer \defnoind{Rechtsapproximation} oder genauer einer {\bf triangulierten Rechtsapproximation an $F$ auf $\mathcal{T}/\cal{N}$}\index{Rechtsapproximation!triangulierte} verstehen wir ein Paar $(G,\sigma)$ bestehend aus einem triangulierten Funktor $G: \cal{T}/\mathcal{N} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ nebst einer vertr"aglichen Transformation $\sigma : F \Rightarrow G Q$, im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{T} \ar[rr]^{F} \ar[ddr]_{Q} &\ar@2{->}[dd]_{\sigma} &\mathcal{T}^{\prime}\\ & &\\ & \mathcal{T}/ \mathcal{N} \ar[uur]_{G}& } \end{displaymath} Unter einer \defnoind{initialen Rechtsapproximation} oder genauer einer \defnoind{triangulierten initialen Rechtsapproximation} verstehen wir eine Rechtsapproximation $(\bar{F} ,\tau)$ derart, da"s f"ur alle triangulierten Funktoren $G : \mathcal{T}/\mathcal{N} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ die Abbildung $\alpha \mapsto (\alpha Q) \circ \tau$ eine Bijektion zwischen den entsprechenden R"aumen von vertr"aglichen Transformationen induziert, in Formeln eine Bijektion \begin{displaymath} \op{Trans}^{\DZ} (\bar{F}, G) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Trans}^{\DZ} (F, G Q) \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{AdRD} Verstehen wir die Menge der Rechtsapproximationen an $F$ auf $\mathcal{T}/\mathcal{N}$ in geeigneter Weise als eine Kategorie, so ist eine initiale Rechtsapproximation ein initiales Objekt dieser Kategorie. So weit will ich jedoch nicht gehen, da es mir auch so schon klar scheint, da"s eine initiale Rechtsapproximation eindeutig ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, falls sie existiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Rechtsapproximation durch Rechtsadjungierte}] Sei $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten\label{UNIV} Kategorien und sei $\mathcal{N} \subset \mathcal{T}$ eine Menge von Objekten. Besitzt der Quotientenfunktor $Q:\cal{T}\ra \mathcal{T}/\mathcal{N}$ einen Rechtsadjungierten $R,$ so ist $FR$ mit der durch die Adjunktion induzierten Transformation $F\Rightarrow FRQ$ eine triangulierte initiale Rechtsapproximation an $F$. In der Tat ist $R$ trianguliert nach \ref{LAdQ}. Um die universelle Eigenschaft zu zeigen, begeben wir uns in eine noch gr"o"sere Allgemeinheit, betrachten beliebige Kategorien $\mathcal{T},$ $\mathcal{T}^{\prime},$ $\cal{Q}$ und Funktoren $F:\mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ sowie $Q:\mathcal{T} \ra \mathcal{Q}$ und zeigen, da"s f"ur jeden Rechtsadjungierten $R$ von $Q$ die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $\op{Trans} (FR, G)\sira \op{Trans} (F,GQ)$ definiert. Dazu betrachte man das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &\op{Trans} (FR, GQR)\ar[dl] &\\ \op{Trans} (FR, G) \ar[dr] & &\op{Trans} (F,GQ)\ar[ul]\\ &\op{Trans} (FRQ, GQ) \ar[ur] & } \end{displaymath} mit hoffentlich offensichtlichen Abbildungen und "uberlege sich mithilfe von \eref{CanA}{TF}, da"s darin die Wege \glqq untenherum\grqq\ und \glqq obenherum\grqq\ zueinander inverse Bijektionen zwischen der linken Ecke und der rechten Ecke liefern. Dasselbe gilt dann auch f"ur die Teilr"aume der vertr"aglichen Transformationen und unser Beispiel ist etabliert. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Man kann auch in der gr"o"seren Allgemeinheit des vorhergehenden Beispiels in der hoffentlich offensichtlichen Weise Rechtsapproximationen und initiale Rechtsapproximationen erkl"aren und die Letzteren als eine Verallgemeinerung von Rechtsadjungierten ansehen, die dann ihrerseits als \glqq Rechtsapproximationen der Identit"at\grqq\ verstanden werden k"onnen. Ich rede von triangulierten Rechtsapproximationen, wenn ich hervorheben will, da"s diese Allgemeinheit nicht gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $F : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien. Die initiale Rechtsapproximation auf $\op{Der}^+ (\mathcal{B})$ an die Verkn"upfung $ \op{Hot}^+ (\mathcal{B}) \rightarrow \op{Hot}^+ (\mathcal{C} )\rightarrow \op{Der}^+ (\mathcal{C}) $ hei"st, falls sie existiert, der \defind{rechtsderivierte Funktor} zu $F$ und wird notiert \begin{displaymath} {\op{R}}\!F : \op{Der}^+ (\mathcal{B} )\rightarrow \op{Der}^+ (\mathcal{C}) \end{displaymath} Genau genommen geh"ort zu ${\op{R}}\!F$ also noch eine vertr"agliche Transformation wie ich sie im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot}^+(\mathcal{B})\ar[d] \ar[r]^F &\ar@{=>}[dl] \op{Hot}^+(\mathcal{C})\ar[d]\\ \op{Der}^+ (\mathcal{B}) \ar[r]^{{\op{R}}\!F} & \op{Der}^+(\mathcal{C}) } \end{displaymath} durch einen Doppelpfeil angedeutet habe, und erst dieses Paar bestehend aus dem Funktor ${\op{R}}\!F$ und besagter Transformation ist dann eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wenn wir es ganz genau nehmen wollen, h"atten wir unseren derivierten Funktor von eben vielleicht ${\op{R}}^{++}\!F $ nennen sollen, denn nat"urlich mag man in derselben Weise auch Funktoren ${\op{R}}\!F : \op{Der} (\mathcal{B} )\rightarrow \op{Der} (\mathcal{C})$ oder ${\op{R}}^{+b}\!F : \op{Der}^b (\mathcal{B} ) \rightarrow \op{Der}^+ (\mathcal{C})$ und dergleichen mehr definieren, und es scheint mir im allgemeinen keineswegs offensichtlich, inwieweit hier die einen mit den Einschr"ankungen der anderen zusammenfallen, sofern alle schon mal "uberhaupt existieren. Bei der konkreten Arbeit mit Garben erweisen sich jedoch die gegen die Pfeile beschr"ankten derivierten Kategorien als technisch geschickter Rahmen, und ich schneide die Definitionen deshalb auf diesen Fall zu. Der Fall der vollen derivierten Kategorien im Fall von Moduln "uber Ringen wird in \ref{DGTX} mit behandelt. \end{Bemerkungl} \emph{Es gibt auch eine Definition bei Deligne in SGA4. Guck da nochmal nach!} \begin{Beispiel}[\textbf{Derivieren mit injektiven Aufl"osungen}] Ist $F:\cal{B}\ra\cal{C}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien und hat $\cal{B}$ gen"ugend Injektive, so ist f"ur jedes Quasiinverse $R$ der "Aquivalenz\label{DAAF1} $Q:\op{Hot}^+(i\cal{B})\ra\op{Der}^+(\cal{B})$ die Verkn"upfung $${\op{R}}\!F: \op{Der}^+(\cal{B})\stackrel{R}{\ra}\op{Hot}^+(i\cal{B})\stackrel{F}{\ra} \op{Hot}^+(\cal{C})\stackrel{Q}{\ra}\op{Der}^+(\cal{C})$$ ein Rechtsderivierter von $F,$ wobei wir alle Quotientenfunktoren mit demselben Buchstaben $Q$ bezeichnen und die Transformation $QF\Rightarrow QFRQ$ daraus erhalten, da"s wir erst wie in \ref{DEIA} die Adjunktion $(Q,R)$ aus der Definition des Quasiinversen zu einer Adjunktion $(Q,R)$ mit $Q:\op{Hot}^+(\cal{B})\ra\op{Der}^+(\cal{B})$ fortsetzen und dann die von $\op{Id}\Rightarrow RQ$ induzierte Transformation nehmen. In der Tat folgt diese Behauptung sofort aus \ref{UNIV}. Insbesondere k"onnen wir unsere \glqq h"oheren derivierten Funktoren\grqq\ aus \ref{DefDe} in unserer neuen Terminologie beschreiben als $$({\op{R}}^iF)(A)=\cal{H}^i{\op{R}}F(A)$$ Die lange exakte Sequenz der h"oheren derivierten Funktoren \ref{EDF} zu einer kurzen exakten Sequenz erhalten wir in unserem neuen Formalismus, indem wir unsere kurze exakte Sequenz als kurze exakte Sequenz von im Grad Null konzentrierten Komplexen lesen, dazu im Sinne von \ref{Kzu} das zugeh"orige ausgezeichnete Dreieck in $\op{Der}^+(\cal{B})$ bilden, darauf ${\op{R}}F$ anwenden, und zu dem so entstehenden ausgezeichneten Dreieck in $\op{Der}^+(\cal{C})$ die lange exakte Homologiesequenz im Sinne von \ref{leHO} betrachten. Die kanonischen Morphismen $\cal{H}^{i}FJ^{\ast} \ra {\op{R}}^{i}F(A)$ aus \ref{AZOn} f"ur eine beliebige Aufl"osung $A\qri J^\ast$ schlie"slich erhalten wir nun durch Anwenden der $\cal{H}^i$ auf den Effekt der Transformation $QF\RA ({\op{R}}F)Q$ auf $J^\ast$ unter Beachtung von $QA\sira QJ^\ast$ in der derivierten Kategorie. Ist weiter $B^\ast \in \op{Hot}^+ (\mathcal{B})$ ein Komplex $F$-azyklischer Objekte, so induziert die Transformation $F \Rightarrow {\op{R}}F \circ Q$ einen Isomorphismus \begin{equation*} F B^\ast \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{R}}\!F (QB^\ast) \end{equation*} Ist in der Tat $B^\ast \qri I^\ast$ eine injektive Aufl"osung, so ist der Abbildungskegel $K^\ast$ azyklisch und besteht aus $F$-azyklischen Objekten. Nach \ref{DAZO} ist dann auch $FK^\ast$ azyklisch und das ausgezeichnete Dreieck $FB^\ast \rightarrow F I^\ast \rightarrow FK^\ast \rightarrow $ in $ \op{Hot}^+ (\mathcal{C})$ liefert $F B^\ast \qri FI^\ast $ in $ \op{Der}^+ (\mathcal{C})$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und der linksexakte Funktor der globalen Schnitte $\Gamma: \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ liefert uns unsere Theorie einen rechtsderivierten Funktor ${\op{R}}\Gamma:\op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}^+(\op{Ab})$. Gegeben ein gegen die Pfeile beschr"ankter Komplex $\mathcal F$ von abelschen Garben setzt man\index{H@$\mathbb H^i$ Hyperkohomologie} $$\mathcal H^i({\op{R}}\Gamma)\mathcal F\defp \mathbb H^i(X;\mathcal F)$$ und nennt diese Gruppe die {\bf $i$-te Hyperkohomologiegruppe von $X$ mit Koeffizienten in $\mathcal F$}.\index{Hyperkohomologie} Besteht der Komplex $\mathcal F$ aus einer Garbe $\mathcal F^0$ im Grad Null und Nullen in allen anderen Graden, so erhalten wir unsere Garbenkohomologie zur"uck, in Formeln $\mathbb H^i(X;\mathcal F)={\op{H}}^i(X;\mathcal F^0)$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Adjunktionen derivierter Funktoren}] Seien $\mathcal A, \mathcal B$ abelsche\label{AddF} Kategorien und $(F, G) $ ein Paar von adjungierten Funktoren \begin{equation*} \mathcal A \begin{array}{c}\scriptstyle F\\[-1ex]\rightleftarrows \\[-1ex] \scriptstyle G \end{array}\mathcal B \end{equation*} Ist $F$ exakt und besitzt $\mathcal B$ genug Injektive, so erhalten wir beim Derivieren wieder ein Paar $(F, {\op{R}}G)$ von adjungierten Funktoren \begin{equation*} \op{Der}^+ \mathcal A \begin{array}{c}\scriptstyle F\\[-1ex]\rightleftarrows \\[-1ex]\scriptstyle{{\op{R}}G} \end{array} \op{Der}^+ \mathcal B \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Da $F$ exakt ist, macht $G$ Injektive zu Injektiven. Gegeben ein beliebiger Komplex $A \in \op{Ket}^+ \mathcal A$ und ein injektiver Komplex $I \in \op{Ket}^+ i \mathcal B$ liefert unsere Adjunktion $(F,G)$ dann nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*} \op{Hot}_{\mathcal A} (A, GI) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hot}_{\mathcal B} (FB, I) \end{equation*} aus denen die Behauptung unmittelbar folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{DTrr} Seien abelsche Kategorien $\mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ gegeben und additive Funktoren $F: \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ und $G : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$. Haben $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ genug Injektive, so k"onnen wir jeweils rechtsderivierte Funktoren bilden wie im folgenden Diagramm angedeutet: \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot}^+ (\mathcal{B}) \ar[d] \ar[r]^F & \op{Hot}^+(\mathcal{C})\ar[d]\ar[r]^G\ar@{=>}[dl]& \op{Hot}^+ (\mathcal{D}) \ar[d]\ar@{=>}[dl] \\ \op{Der}^+(\mathcal{B}) \ar[r]_{{\op{R}}\!F}& \op{Der}^+(\mathcal{C}) \ar[r]_{{\op{R}}\!G}& \op{Der}^+ (\mathcal{D}) } \end{displaymath} Andererseits k"onnen wir nat"urlich auch den derivierten Funktor der Vekn"upfung ${\op{R}}\!(G \circ F)$ betrachten, und da er eine initiale Rechtsapproximation ist, erhalten wir eine durch die zu unseren Derivierten ${\op{R}}G$ und ${\op{R}} F$ geh"origen Transformationen wohldefinierte Transformation \begin{equation*} {\op{R}}( G \circ F)\Rightarrow {\op{R}}G \circ {\op{R}}F \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Grothendieck's Spektralsequenz}] Macht in den Notationen der vorhergehenden\label{GsPP} Bemerkung unser Funktor $F$ injektive Objekte zu $G$-azyklischen Objekten, so ist die in \ref{DTrr} erkl"arte Transformation eine Isotransformation \begin{equation*} {\op{R}}(G \circ F) \overset{\sim}{\Rightarrow} {\op{R}}G \circ {\op{R}}F \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Gegeben $I^{\ast} \in \op{Hot}^+ (i\mathcal{B})$ haben wir $FI^\ast \qri {\op{R}}F (Q I^\ast)$ nach der Konstruktion des Rechtsderivierten und dann \begin{equation*} G (FI^\ast ) \qri {\op{R}}G ({\op{R}}F (QI^\ast)) \end{equation*} nach \ref{DAAF1}, da ja $FI^\ast$ nach Annahme ein Komplex von $G$-azyklischen Objekten ist. Andererseits haben wir aber auch $G (FI^\ast ) \qri {\op{R}}(G \circ F) (QI^\ast)$. \end{proof} \subsection{Rechtsderivierte Funktoren, ALTER NEUER VERSUCH} % \begin{Definition} % Seien $\mathfrak A$ ein Universum, $\mathcal C$ eine $\mathfrak A$-Kategorie, % und $\vartheta$ ein Universum mit $\mathfrak A \subset \vartheta$. % Ein Objekt $F \in \mathcal C_\vartheta^\wedge$ alias ein Funktor $F : \mathcal C^{\op{opp}} \rightarrow % \vartheta \op{Ens}$ hei"st ein \defind{Ind-Objekt von $\mathcal C$} genau dann, wenn es isomorph % ist zu einem Kolimes in $\mathcal C^\wedge_\vartheta$ "uber ein filtrierendes System von Funktoren zu % Objekten von $\mathcal C$. % Sind $(X_i)_{i \in \mathcal I}$ und $(Y_j)_{j \in \mathcal J}$ zwei Ind-Objekte einer Kategorie % $\mathcal C$, so ist die Menge der Morphismen % \begin{equation*} % \varprojlim_{i \in \mathcal I} \varinjlim_{j \in \mathcal J} \mathcal C (X_i, Y_j) % \end{equation*} % \end{Definition} \begin{Definition} Unter einem {\bf Ind-Objekt}\index{Ind-Objekt} einer Kategorie $\mathcal C$ versteht man einen Funktor $\mathcal I\ra\mathcal C$ von einer filtrierenden Kategorie nach $\mathcal C$. Jedes Ind-Objekt liefert f"ur ein in Abh"angigkeit von $\mathcal I$ und $\mathcal C$ hinreichend gro"ses Universum $\mathfrak U$ einen Funktor $\cal{C}^{\op{opp}}\ra \mathfrak U\!\op{Ens}$, als den Kolimes-Funktor $$Y\mapsto \op{col}_{i\in\mathcal I}\mathcal C(Y,X_i)$$ Die Gesamtheit aller derartigen Funktoren bildet selber eine Kategorie $\cal{C}^\wedge=\cal{C}^\wedge_{\mathfrak U} \pdef\op{Cat}(\cal{C}^{\op{opp}},\mathfrak U\!\op{Ens})$ und unser Funktor kann nach \ref{KLPG} auch als Kolimes in $\cal{C}^\wedge$ verstanden werden. Wir verwenden in diesem Sinne f"ur unseren Funktor die Notation $\op{c\hat{o}l}_{i\in\mathcal I}X_i$, wo der Hut bei $\op{c\hat{o}l}$ uns daran erinnert, da"s der Kolimes in $\cal{C}^\wedge$ zu bilden ist und nicht in $\cal{C}$. Morphismen zwischen Ind-Objekten sind definiert als Morphismen der zugeh"origen Kolimes-Funktoren. Sind $(X_i)_{i \in \mathcal I}$ und $(Y_j)_{j \in \mathcal J}$ zwei Ind-Objekte, so "uberlegt man sich, da"s die Menge der Morphismen identifiziert werden kann mit \begin{equation*} \cal{C}^\wedge(\op{c\hat{o}l}_{i\in\mathcal I}X_i, \op{c\hat{o}l}_{j\in\mathcal J}Y_j)= \varprojlim_{i \in \mathcal I} \varinjlim_{j \in \mathcal J} \mathcal C (X_i, Y_j) \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal C$ eine Kategorie und $S$ ein rechtsmultiplikatives System von Morphismen im Sinne von \ref{RmS}. Zus"atzlich gelte, dass f"ur verkn"upfbare Morphismen $s, h$ mit $s h \in S$ und $s \in S$ auch gilt $h \in S$. Wir sagen dann, unser System sei {\bf rechtsges"attigt}. \index{rechtsges"attigt} Gegeben $C \in \mathcal C$ ist dann die volle Unterkategorie $$C^-\subset \mathcal C_C$$ aller Morphismen $s : A \rightarrow C$ mit $s \in S$ kofiltrierend und definiert mithin ein Pro-Objekt $C^-$ von $\mathcal C$. Gegeben ein weiteres Objekt $D \in \mathcal C$ pr"uft man weiter, da"s die offensichtliche Abbildung eine Bijektion \begin{equation*} \mathcal C_S (C, D) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal C^\vee (C^-, D^-) \end{equation*} induziert, so da"s wir insgesamt eine volltreue Einbettung $\mathcal C_S \hookrightarrow \mathcal C^\vee$ erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist ein multiplikatives System von Morphismen einer Kategorie rechtsges"attigt und linksges"attigt, so sagen wir auch, es sei {\bf ges"attigt}.\index{ges"attigt} Gegeben eine triangulierte Kategorie $\mathcal T$ mit einem Verdiersystem $\mathcal N$ ist die Menge $S(\mathcal N)$ aller Morphismen mit Kegel in $\mathcal N$ multiplikativ und ges"attigt, wie der Leser leicht pr"ufen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein triangulierter Funktor $F : \mathcal T \rightarrow \mathcal T^\prime$ zwischen triangulierten Kategorien und ein Verdiersystem $\mathcal N\subset \mathcal T$ sagen wir, unser Funktor sei {\bf linksderivierbar auf einem Objekt $ T \in \mathcal T/\mathcal N$} genau dann, wenn das Pro-Objekt $F(T^-)$ von $\mathcal D$ durch ein Objekt von $\mathcal D$ dargestellt wird. Dies bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmte Objekt von $\mathcal D$ notieren wir dann \begin{equation*} ({\op{L}}F)(T) \end{equation*} Wir erhalten so einen Funktor ${\op{L}}F$ der vollen Unterkategorie in $\mathcal T/\mathcal N$ der linksderivierbaren Objekte nach $\mathcal D$ und nat"urliche Morphismen $({\op{L}}F)(T)\ra F(T)$. \end{Definition} \subsection{Rechtsderivierte Funktoren, AUCH ALT} \begin{Definition} Sei $F: \mathcal T \rightarrow \mathcal D$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien, $\mathcal V \subset \mathcal T$ ein Verdiersystem, $Q: \mathcal T \rightarrow \mathcal T/\mathcal V$ der Quotientenfunktor und $A \in \mathcal T$ ein Objekt. \begin{enumerate} \item Der Funktor hei"st {\bf rechtsderivierbar bei $A$} genau dann, wenn der Mengenfunktor $\mathcal D \rightarrow \op{Ens}$ gegeben durch \begin{equation*} M \mapsto \varinjlim_{A \rightarrow X \rightarrow \mathcal V} \mathcal D (M, FX) \end{equation*} darstellbar ist im Sinne von \eref{DFTo}{LA2}. Der Kolimes ist hier wie angedeutet "uber alle Morphismen $A \rightarrow X$ in $\mathcal T$ mit Kegel in $\mathcal V$ zu verstehen; \item Der {\bf rechtsderivierte Funktor ${\op{R}}F$}\index{rechtsderiviert!Funktor} von $F$ ist dadurch erkl"art, da"s er jedem rechtsderivierbaren Objekt $A \in \mathcal T$ alias $A \in \mathcal T/\mathcal V$ ein darstellendes Objekt $({\op{R}}F)(A)$ des in Teil 1 erkl"arten Mengenfunktors zuordnet und jedem Morphismus $\varphi\in(\mathcal T/\mathcal V)(A , B)$ von rechtsderivierbaren Objekten den Morphismus, der nach \ref{ffi} dadurch wohldefiniert ist, da"s f"ur jedes Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[r]_{\mathcal V}\ar@{-->}[d]_\varphi &X \ar[d] \\ B \ar[r]_{\mathcal V} & Y } \end{displaymath} mit durchgezogenen Pfeilen Morphismen in $\mathcal T$ und durchgezogenen mit $\mathcal V$ beschrifteten Pfeilen Morphismen in $\mathcal T$ mit Kegel in $\mathcal V$, das den Morphismus $\varphi$ darstellt, und alle Objekte $M\in\mathcal D$ das folgende Diagramm mit offensichtlichen Abbildungen kommutiert: \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal D(M,X) \ar[r] \ar[d] &\mathcal D(M,({\op{R}}F)(A)) \ar[d] \\ \mathcal D(M,Y) \ar[r] & \mathcal D(M,({\op{R}}F)(B)) } \end{displaymath} Insbesondere haben wir nat"urliche Morphismen $FA \rightarrow ({\op{R}}F)(A)$ alias eine nat"urliche Transformation $F \RA {\op{R}}F\circ Q$ f"ur die Restriktion auf die volle Unterkategorie der unter $F$ rechtsderivierbaren Objekte. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Diese Definition kommt aus \cite{SGA4}, ist jedoch so umformuliert, da"s das Konzept eines Ind-Objekts mit seinen in den Grundlagen der Mengenlehre wurzelnden Schwierigkeiten vermieden wird. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{ffi} Die Wohldefiniertheit in obiger Definition sieht man wie folgt ein: Zun"achst findet man f"ur $A \rightarrow X$ eine Erg"anzung zu einem Diagramm der beschriebenen Art, da ja Morphismen in $\mathcal T/\mathcal V$ durch Br"uche dargestellt werden k"onnen. Verschiedene Wahlen solcher Erg"anzungen liefern dieselben Abbildungen $\mathcal D(M,X) \ra \mathcal D(M,({\op{R}}F)(B))$, da es f"ur je zwei Wahlen \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar@{-->}[d]_\varphi \ar[r]_{\mathcal V}& X\ar[d] & A \ar[r]_{\mathcal V}\ar@{-->}[d]_\varphi & X \ar[d] \\ B \ar[r]_{\mathcal V} & Y & B \ar[r]_{\mathcal V} & Z } \end{displaymath} zun"achst mal ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &Z \ar[dr]^{\mathcal V}&\\ B \ar[dr]_{\mathcal V}\ar[ur]^{\mathcal V} & &U\\ &Y \ar[ur]_{\mathcal V} & } \end{displaymath} gibt mit allen Pfeilen in $S (\mathcal V)$. Die Verkn"upfungen $A\ra X\ra Y\ra U$ und $A\ra X\ra Z\ra U$ beschreiben dann denselben Morphismus in $\mathcal T/\mathcal V$, nach Dahinterh"angen eines geeigneten Morphismus $U \rightarrow V$ aus $S (\mathcal V)$ ergibt sich also derselbe Morphismus in $\mathcal T$, und nach Dahinterh"angen eines weiteren geeigneten Morphismus $V \rightarrow W$ aus $S (\mathcal V)$ ergeben die entsprechenden Verkn"upfungen auch denselben Morphismus $X\ra W$ in $\mathcal T$. Verschiedene Wahlen von Erg"anzungen liefern also in der Tat dieselben Abbildungen $\mathcal D(M,X) \ra \mathcal D(M,({\op{R}}F)(B))$. Da"s diese Abbildungen zusammen eine Abbildung $ \mathcal D (M, ({\op{R}}F)(A)) \rightarrow \mathcal D (M, ({\op{R}}F)(B)) $ auf dem direkten Limes induzieren, folgt dann aus ihrer Vertr"aglichkeit, die man "ahnlich aber einfacher einsehen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{iA} Seien $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien und $\mathcal{V} \subset \mathcal{T}$ ein Verdiersystem. \begin{enumerate} \item Eine {\bf $\mathcal V$-Linksaufl"osung} eines Objekts $A\in\mathcal T$ ist ein Morphismus $A\ra X$ mit Kegel in $\mathcal V$; \item Ein Objekt $X\in \mathcal T$ hei"se {\bf $F$-azyklisch} oder genauer {\bf $F$-$\mathcal V$-linksazyklisch} genau dann, wenn es f"ur jede $\mathcal V$-Aufl"osung $ X\ra B$ von $X$ eine $\mathcal V$-Auf\-l"o\-sung $ B\ra Y$ von $B$ gibt derart, da"s die Komposition einen Isomorphismus $FX\sira FY$ induziert. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Derivieren durch azyklische Aufl"osungen}] Gegeben ein triangulierter Funktor $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ zwischen triangulierten\label{DAZy} Kategorien und ein Verdiersystem $\mathcal{V} \subset \mathcal{T}$ ist jedes $F$-linksazyklische Objekt $X\in\mathcal T$ rechtsderivierbar und der nat"urliche Morphismus ist ein Isomorphismus $$F(X)\sira ({\op{R}}F)(X)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Hat ein Objekt $A\in \mathcal T$ eine $F$-azyklische $\mathcal V$-Linksaufl"osung $A\ra X$, so ist insbesondere der Rechtsderivierte darauf definiert und wir erhalten nat"urliche Isomorphismen $F(X)\sira({\op{R}}F)(X)\stackrel{\sim}{\leftarrow} ({\op{R}}F)(A)$. Wir k"onnen demnach \glqq derivierte Funktoren durch azyklische Aufl"osungen berechnen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $Y\in \mathcal T$ ist die Kategorie aller $\mathcal V$-Linksaufl"osungen $Y\ra U$ von $Y$ filtierend, wie schon in Bemerkung \ref{ffi} implizit gezeigt wurde. F"ur azyklisches $Y$ besitzt sie per definitionem eine finale Unterkategorie, die $Y$ enth"alt und auf der der Mengenfunktor $\mathcal{T}'(M,FU)$ jedem Morphismus einen Isomorphismus zuordnet. Dann wird aber unser Mengenfunktor bereits durch $FY$ selbst dargestellt. \end{proof} % \begin{Definition} % Unter einer % \defnoind{Rechtsapproximation} % oder genauer einer {\bf triangulierten Rechtsapproximation % an $F$ auf $\mathcal{T}/\cal{N}$}\index{Rechtsapproximation!triangulierte} % verstehen wir ein Paar $(G,\sigma)$ % bestehend aus einem triangulierten Funktor $G: \cal{T}/\mathcal{V} % \ra \mathcal{T}^{\prime}$ % nebst einer vertr"aglichen Transformation $\sigma : F \Rightarrow G Q$, % im Diagramm % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % \mathcal{T} \ar[rr]^{F} \ar[ddr]_{Q} % &\ar@2{->}[dd]_{\sigma} &\mathcal{T}^{\prime}\\ % & &\\ % & \mathcal{T}/ \mathcal{V} \ar[uur]_{G}& % } % \end{displaymath} % Unter einer \defnoind{initialen Rechtsapproximation} % oder genauer einer \defnoind{triangulierten % initialen Rechtsapproximation} % verstehen wir eine Rechtsapproximation % $(\bar{F} ,\tau)$ derart, da"s f"ur alle triangulierten % Funktoren $G : \mathcal{T}/\mathcal{V} % \ra \mathcal{T}^{\prime}$ die Abbildung % $\alpha \mapsto (\alpha Q) \circ \tau$ eine % Bijektion % zwischen den entsprechenden R"aumen von vertr"aglichen Transformationen % induziert, in Formeln eine Bijektion % \begin{displaymath} % \op{Trans}^{\DZ} (\bar{F}, G) \overset{\sim}{\rightarrow} % \op{Trans}^{\DZ} (F, % G Q) % \end{displaymath} % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl}\label{AdRD} % Verstehen wir die Menge der Rechtsapproximationen an $F$ auf % $\mathcal{T}/\mathcal{V}$ in geeigneter % Weise als eine Kategorie, so ist eine initiale Rechtsapproximation % ein initiales Objekt dieser Kategorie. % So weit will ich jedoch nicht gehen, da es mir auch % so schon klar scheint, da"s eine initiale Rechtsapproximation % eindeutig ist bis auf eindeutigen Isomorphismus, falls sie existiert. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Azyklische Aufl"osung durch Rechtsadjungierte}] Seien $ \mathcal{T}$ eine triangulierte Kategorie\label{UNIV} und $\mathcal{V} \subset \mathcal{T}$ ein Verdiersystem. Besitzt der Quotientenfunktor $Q:\cal{T}\ra \mathcal{T}/\mathcal{V}$ bei $A$ einen partiellen Rechtsadjungierten $R$, so ist die nat"urliche Abbildung $A\ra RQA$ eine $F$-azyklische Aufl"osung f"ur jeden triangulierten Funktor $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{T}^{\prime}$ in eine weitere triangulierte Kategorie. Ist in der Tat $RQA\ra B$ eine $\mathcal V$-Aufl"osung, so kommt sie her von einem Isomorphismus $QA\sira QB$, und der Inverse dazu liefert einen Morphismus $B\ra RQA$ mit der Eigenschaft, da"s die Verkn"upfung die Identit"at auf $RQA$ ist. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $F : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien. Der partiell definierte rechtsderivierte Funktor auf $\op{Der} (\mathcal{B})$ an die Verkn"upfung $Q\circ\op{Hot}(F): \op{Hot} (\mathcal{B}) \rightarrow \op{Hot} (\mathcal{C} )\rightarrow \op{Der} (\mathcal{C}) $ hei"st auch der \defind{rechtsderivierte Funktor zu} $F$ und wird auch ${\op{R}}F$ notiert. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Derivieren mit injektiven Aufl"osungen}] Ist $F : \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ ein additiver Funktor zwischen abelschen Kategorien, so ist auf den gegen die Pfeile beschr"ankten Komplexen $I\in\op{Hot}^+(i\mathcal B)$ von injektiven Objekten von $\mathcal B$ der rechtsderivierte Funktor ${\op{R}}F$ definiert und die kanonische Abbildung ist ein Isomorphismus $FI\sira ({\op{R}}F)(I)$. In der Tat ist nach \ref{DEIA} der partielle Rechtsadjungierte von $Q:\op{Hot}(\mathcal B)\ra\op{Der}(\mathcal B)$ definiert auf dem Bild von $\op{Hot}^+(i\mathcal B)$ und ist dort schlicht der Quasiinverse des Lokalisierungsfunktors. Nach \ref{UNIV} liefert nun das Anwenden des Rechtsinversen eine $F$-azyklische Aufl"osung f"ur jeden additiven Funktor $F$,\label{DAAF11} %\label{DAAF1} und nach \ref{DAZy} kann man folglich den derivierten Funktor damit berechnen. \end{Beispiel} \begin{Proposition}\label{FAZl} Seien $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{D}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien und $\mathcal{V} \subset \mathcal{T}$ ein Verdiersystem. Sind zwei Ecken eines ausgezeichneten Dreiecks $F$-azyklisch, so auch die Dritte. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Das Argument f"ur die st"arkere Aussage in \cite[XVII,1.2.2(ii)]{SGA4} schien mir implizit doch die $F$-azyklische Aufl"osbarkeit der beteiligten Objekte vorauszusetzen, da dort die Existenz von Spaltungen $a^{\prime\prime}, a^\prime$ angenommen wird. Vielleicht ist es in diesem Sinne das vern"unftigste, dem derivierten Funktor die Menge der azyklisch Aufl"osbaren Objekte als Definitionsbereich zu geben. Dann ist er auch trianguliert, was ich sonst nicht zeigen kann. Diese Restriktion mag zus"atzlich die Darstellung vereinfachen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir argumentieren anhand des folgenden kommutativen Diagramms: \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[d]_-{\mathcal V} \ar[r] & B \ar[d]_-{\mathcal V}^-{1} \ar[r] & C \ar[r]^-{[1]}\ar[d]_-{\mathcal V}^-{2}&\\ X\ar@{=}[d] \ar[r]_-{1} & Y\ar[d]_-{\mathcal V}^-{3} \ar[r]_-{2} & Z \ar[d]_-{\mathcal V}^-{4} \ar[r]^-{[1]} _-{2}& \\ X \ar[d]_-{\mathcal V}^-{6}\ar[r]_-{3} & Y^\prime \ar@{=}[d] \ar[r]_-{4} & Z^\prime \ar[d]_-{\mathcal V}^-{5} \ar[r]^-{[1]}_-{4}&\\ X^{\prime\prime} \ar[r]_-{6} & Y^\prime \ar[r]_-{5} & Z^{\prime\prime} \ar[r]_-{6}^-{[1]} & } \end{displaymath} Wir gehen aus von einem ausgezeichneten Dreieck in der obersten Horizontale, in dem wir $B$ und $C$ als $F$-azyklisch annehmen, und von einem beliebigen Morphismus $A \rightarrow X$ mit Kegel in $\mathcal V$. Sicher k"onnen wir in einem ersten Schritt (1) den Kowinkel oben links durch die Morphismen so kommutativ erg"anzen, da"s wie angedeutet auch $B\ra Y$ Kegel in $\mathcal V$ hat. Dann vervollst"andigen wir in Schritt (2) die zweite Horizontale zu einem ausgezeichneten Dreieck und erg"anzen die beiden linken Vertikalen zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken durch einen Morphismus $C \rightarrow Z$, dessen Kegel nach \ref{123N} wie angedeutet in $\mathcal V$ liegen mu"s. In Schritt (3) w"ahlen wir $Y \rightarrow Y^\prime$ mit Kegel in $\mathcal V$ so, da"s die Komposition $FB \rightarrow FY \rightarrow FY^\prime$ ein Isomorphismus ist. In Schritt (4) erg"anzen wir wieder zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken. In Schritt (5) w"ahlen wir $Z^\prime \rightarrow Z^{\prime\prime}$ mit Kegel in $\mathcal V$ so, da"s die Komposition $FC \rightarrow FZ \rightarrow FZ^\prime \rightarrow FZ^{\prime\prime}$ ein Isomorphismus ist. In Schritt (6) erg"anzen wir ein letztes Mal zu einem Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken. Lassen wir nun $F$ auf das ganze Diagramm los, so werden beide Kompositionen der mittleren und rechten Vertikalen Isomorphismen, also auch die Komposition in der linken Vertikale. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Derivierte Funktoren sind meist trianguliert}] Seien $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{D}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien und $\mathcal{V} \subset \mathcal{T}$ ein Verdiersystem. Besitzen zwei Objekte eines ausgezeichneten Dreiecks in $\mathcal{T}$ eine $F$-azyklische Aufl"osung, so auch das Dritte, und unser Dreieck wird unter ${\op{R}}F$ wieder ein ausgezeichnetes Dreieck. \end{Satz} \begin{proof} Wir argumentieren anhand des folgenden kommutativen Diagramms: \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar@{=}[d] \ar[r] & B \ar[d]_-{\mathcal V}^-{1} \ar[r] & C \ar[r]^-{[1]}\ar[d]_-{\mathcal V}^-{2}&\\ A\ar[d]_-{\mathcal V}^-{4} \ar[r]_-{1} & X\ar@{=}[d] \ar[r]_-{2} & Y \ar[d]_-{\mathcal V}^-{3} \ar[r]^-{[1]}_-{2} & \\ Z \ar[r]_-{4} & X\ar[r]_-{3} & Y^\prime \ar[r]_-{4}^-{[1]} & } \end{displaymath} Hier w"ahlen wir im Schritt (1) eine $F$-azyklische Aufl"osung von $B$, bilden im Schritt (2) das ausgezeichnete Dreieck, w"ahlen in Schritt (3) mithilfe von \ref{AZAZ} eine $F$-azyklische Aufl"osung von $Y$ und bilden in Schritt (4) wieder das Dreieck. Nach \ref{FAZl} besteht dann das unterste Dreieck aus $F$-azyklischen Objekten und wir haben einen Isomorphismus von Dreiecken \begin{displaymath} \xymatrix{ ({\op{R}}F)(A) \ar[d]_-{\wr} \ar[r] & ({\op{R}}F)(B) \ar[r]\ar[d]_-{\wr} & ({\op{R}}F)(C) \ar[d]_-{\wr} \ar[r]^-{[1]} &\\ FZ \ar[r] & FX \ar[r] & FY^\prime \ar[r]^-{[1]} & } \end{displaymath} Das zeigt, da"s auch das obere Dreieck ausgezeichnet sein muss. \end{proof} \begin{Ubung}\label{AZAZ} Seien $F : \mathcal{T} \ra \mathcal{D}$ ein triangulierter Funktor zwischen triangulierten Kategorien und $\mathcal{V} \subset \mathcal{T}$ ein Verdiersystem. Man zeige: \begin{enumerate} \item Ist $A$ ein $F$-azyklisches Objekt und $A \rightarrow B$ ein Morphismus mit Kegel in $\mathcal V$ und $FA \overset{\sim}{\rightarrow} FB$, so ist auch $B$ ein $F$-azyklisches Objekt. \item Besitzt $X$ eine $F$-azyklische Aufl"osung und ist $X \rightarrow Y$ ein Morphismus mit Kegel in $\mathcal V$, so besitzt auch $Y$ eine $F$-azyklische Aufl"osung. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Beispiel}[\textbf{Bezug zu h"oheren derivierten Funktoren}] % Ist $F:\cal{B}\ra\cal{C}$ ein additiver Funktor zwischen % abelschen Kategorien und hat $\cal{B}$ gen"ugend Injektive, % so ist f"ur jedes Quasiinverse $R$ der "Aquivalenz % $Q:\op{Hot}^+(i\cal{B})\ra\op{Der}(\cal{B})$ die Verkn"upfung % $${\op{R}}\!F: % \op{Der}^+(\cal{B})\stackrel{R}{\ra}\op{Hot}^+(i\cal{B})\stackrel{F}{\ra} % \op{Hot}^+(\cal{C})\stackrel{Q}{\ra}\op{Der}^+(\cal{C})$$ % ein Rechtsderivierter von $F,$ % wobei wir alle Quotientenfunktoren mit demselben Buchstaben $Q$ % bezeichnen und die Transformation $QF\Rightarrow QFRQ$ daraus erhalten, % da"s wir erst wie in \ref{DEIA} die Adjunktion % $(Q,R)$ aus der Definition des Quasiinversen % zu einer Adjunktion $(Q,R)$ mit % $Q:\op{Hot}^+(\cal{B})\ra\op{Der}^+(\cal{B})$ fortsetzen % und dann die von $\op{Id}\Rightarrow RQ$ induzierte Transformation nehmen. % In der Tat folgt diese Behauptung sofort aus \ref{UNIV}. Gegeben eine abelsche Kategorie $\cal A$ mit gen"ugend Injektiven und ein linksexakter Funktor $F:\cal{A} \ra \cal{B}$ in eine weitere abelsche Kategorie haben wir in \ref{DefDe} f"ur jedes $i\in\DN$ seinen $i$-ten rechtsderivierten Funktor ${\op{R}}^i F:\cal{A} \ra \cal{B}$ erkl"art. In unserer neuen Terminologie k"onnen wir ihn beschreiben als $$({\op{R}}^iF)(A)=\cal{H}^i{\op{R}}F(A)$$ Die lange exakte Sequenz der h"oheren derivierten Funktoren \ref{EDF} zu einer kurzen exakten Sequenz erhalten wir in unserem neuen Formalismus, indem wir unsere kurze exakte Sequenz als kurze exakte Sequenz von im Grad Null konzentrierten Komplexen lesen, dazu im Sinne von \ref{Kzu} das zugeh"orige ausgezeichnete Dreieck in $\op{Der}^+(\cal{B})$ bilden, darauf ${\op{R}}F$ anwenden, und zu dem so entstehenden ausgezeichneten Dreieck in $\op{Der}^+(\cal{C})$ die lange exakte Homologiesequenz im Sinne von \ref{leHO} betrachten. Die kanonischen Morphismen $\cal{H}^{i}FJ^{\ast} \ra {\op{R}}^{i}F(A)$ aus \ref{AZOn} f"ur eine beliebige Aufl"osung $A\qri J^\ast$ schlie"slich erhalten wir nun durch Anwenden der $\cal{H}^i$ auf den Effekt der Transformation $QF\RA ({\op{R}}F)Q$ auf $J^\ast$ unter Beachtung von $QA\sira QJ^\ast$ in der derivierten Kategorie. Ist weiter $B^\ast \in \op{Hot}^+ (\mathcal{B})$ ein Komplex $F$-azyklischer Objekte, so induziert die Transformation $F \Rightarrow {\op{R}}F \circ Q$ einen Isomorphismus \begin{equation*} F B^\ast \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{R}}\!F (QB^\ast) \end{equation*} Ist in der Tat $B^\ast \qri I^\ast$ eine injektive Aufl"osung, so ist der Abbildungskegel $K^\ast$ azyklisch und besteht aus $F$-azyklischen Objekten. Nach \ref{DAZO} ist dann auch $FK^\ast$ azyklisch und das ausgezeichnete Dreieck $FB^\ast \rightarrow F I^\ast \rightarrow FK^\ast \rightarrow $ in $ \op{Hot}^+ (\mathcal{C})$ liefert $F B^\ast \qri FI^\ast $ in $ \op{Der}^+ (\mathcal{C})$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und der linksexakte Funktor der globalen Schnitte $\Gamma: \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ liefert uns unsere Theorie einen rechtsderivierten Funktor ${\op{R}}\Gamma:\op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Der}^+(\op{Ab})$. Gegeben ein gegen die Pfeile beschr"ankter Komplex $\mathcal F$ von abelschen Garben setzt man\index{H@$\mathbb H^i$ Hyperkohomologie} $$\mathcal H^i({\op{R}}\Gamma)\mathcal F\defp \mathbb H^i(X;\mathcal F)$$ und nennt diese Gruppe die {\bf $i$-te Hyperkohomologiegruppe von $X$ mit Koeffizienten in $\mathcal F$}.\index{Hyperkohomologie} Besteht der Komplex $\mathcal F$ aus einer Garbe $\mathcal F^0$ im Grad Null und Nullen in allen anderen Graden, so erhalten wir unsere Garbenkohomologie zur"uck, in Formeln $\mathbb H^i(X;\mathcal F)={\op{H}}^i(X;\mathcal F^0)$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Adjunktionen derivierter Funktoren}] Seien $\mathcal A, \mathcal B$ abelsche\label{AddF} Kategorien und $(F, G) $ ein Paar von adjungierten Funktoren \begin{equation*} \mathcal A \begin{array}{c}\scriptstyle F\\[-1ex]\rightleftarrows \\[-1ex] \scriptstyle G \end{array}\mathcal B \end{equation*} Ist $F$ exakt und besitzt $\mathcal B$ genug Injektive, so erhalten wir beim Derivieren wieder ein Paar $(F, {\op{R}}G)$ von adjungierten Funktoren \begin{equation*} \op{Der}^+ \mathcal A \begin{array}{c}\scriptstyle F\\[-1ex]\rightleftarrows \\[-1ex]\scriptstyle{{\op{R}}G} \end{array} \op{Der}^+ \mathcal B \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Da $F$ exakt ist, macht $G$ Injektive zu Injektiven. Gegeben ein beliebiger Komplex $A \in \op{Ket}^+ \mathcal A$ und ein injektiver Komplex $I \in \op{Ket}^+ i \mathcal B$ liefert unsere Adjunktion $(F,G)$ dann nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*} \op{Hot}_{\mathcal A} (A, GI) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hot}_{\mathcal B} (FB, I) \end{equation*} aus denen die Behauptung unmittelbar folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{DTrr} Seien abelsche Kategorien $\mathcal{B}, \mathcal{C}, \mathcal{D}$ gegeben und additive Funktoren $F: \mathcal{B} \rightarrow \mathcal{C}$ und $G : \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$. Haben $\mathcal{B}$ und $\mathcal{C}$ genug Injektive, so k"onnen wir jeweils rechtsderivierte Funktoren bilden wie im folgenden Diagramm angedeutet: \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hot}^+ (\mathcal{B}) \ar[d] \ar[r]^F & \op{Hot}^+(\mathcal{C})\ar[d]\ar[r]^G\ar@{=>}[dl]& \op{Hot}^+ (\mathcal{D}) \ar[d]\ar@{=>}[dl] \\ \op{Der}^+(\mathcal{B}) \ar[r]_{{\op{R}}\!F}& \op{Der}^+(\mathcal{C}) \ar[r]_{{\op{R}}\!G}& \op{Der}^+ (\mathcal{D}) } \end{displaymath} Andererseits k"onnen wir nat"urlich auch den derivierten Funktor der Vekn"upfung ${\op{R}}\!(G \circ F)$ betrachten, und da er eine initiale Rechtsapproximation ist, erhalten wir eine durch die zu unseren Derivierten ${\op{R}}G$ und ${\op{R}} F$ geh"origen Transformationen wohldefinierte Transformation \begin{equation*} {\op{R}}( G \circ F)\Rightarrow {\op{R}}G \circ {\op{R}}F \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Grothendieck's Spektralsequenz}] Macht in den Notationen der vorhergehenden\label{GsPP} Bemerkung unser Funktor $F$ injektive Objekte zu $G$-azyklischen Objekten, so ist die in \ref{DTrr} erkl"arte Transformation eine Isotransformation \begin{equation*} {\op{R}}(G \circ F) \overset{\sim}{\Rightarrow} {\op{R}}G \circ {\op{R}}F \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Gegeben $I^{\ast} \in \op{Hot}^+ (i\mathcal{B})$ haben wir $FI^\ast \qri {\op{R}}F (Q I^\ast)$ nach der Konstruktion des Rechtsderivierten und dann \begin{equation*} G (FI^\ast ) \qri {\op{R}}G ({\op{R}}F (QI^\ast)) \end{equation*} nach \ref{DAAF1}, da ja $FI^\ast$ nach Annahme ein Komplex von $G$-azyklischen Objekten ist. Andererseits haben wir aber auch $G (FI^\ast ) \qri {\op{R}}(G \circ F) (QI^\ast)$. \end{proof} \include{KoszPosneu}\newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \cleardoublepage \phantomsection \addcontentsline{toc}{part}{Literaturverzeichnis} \bibliographystyle{amsalpha}\bibliography{pub,Skr} \cleardoublepage \phantomsection \addcontentsline{toc}{part}{Index} \printindex %\pageimagestats \end{document}