\section{Spektraltheorie in Hilbertr"aumen*} \subsection{Unit"are Darstellungen von ${\Bbb{R}}$} \begin{Definition} Die unit"aren Automorphismen eines Hilbertraums $\cal{H}$ bilden eine Gruppe $\op{U} (\mathcal{H})$. Eine {\bf unit"are Darstellung}\index{Darstellung!unit"are!von $\DR$}\index{unit"ar!Darstellung!von $\DR$} von $\DR$ ist ein Paar $(\mathcal{H},\rho)$ bestehend aus einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ und einem Gruppenhomomorphismus $\rho: \DR\ra \op{U} (\mathcal{H})$ derart, da"s die zugeh"orige Operation $\DR\times \mathcal{H}\ra \mathcal{H}$, $(t,v)\mapsto (\rho(t))(v)$ stetig ist f"ur die Produktmetrik auf $\DR\times \mathcal{H}$. Gleichbedeutend reden wir auch von einer {\bf unit"aren Operation} von $\DR$ auf $\mathcal H$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Allgemeiner definiert man in derselben Weise unit"are Darstellungen einer beliebigen topologischen Gruppe. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} In Formeln fordern wir von unserer Abbildung $\rho$ also $$\rho(s+t)=\rho(s)\circ\rho(t)\quad \forall s,t\in\DR$$ Unit"are Darstellungen von $\DR$ sind in der Quantenmechanik von grundlegender Bedeutung, da die zeitliche Entwicklung jedes quantenmechanischen Systems durch eine unit"are Operation von $\DR$ oder noch pr"aziser von der dazu isomorphen topologischen Gruppe $\vec{\mathbb T}$ der Zeitspannen auf dem Hilbertraum $\mathcal{H}$ seiner Zust"ande modelliert wird. Als erstes Beispiel betrachten wir auf $\DR$ das Lebesgue-Ma"s $\diff t$ und die unit"are Darstellung von $\DR$ auf $\cal{H}=\op{L}^2(\DR;\diff t)$ durch das Verschieben von Funktionen $\rho(t)f=\tau_t f$, deren Stetigkeit in \ref{StVer} gezeigt wurde. Der folgende Satz \ref{UDzy} soll als Leitbild f"ur die Entwicklung der Spektraltheorie dienen, die wir anschlie"send in Angriff nehmen werden. Er stellt eine gro"se Klasse von Beispielen bereit und wirft zugleich Licht auf die allgemeine Struktur. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Man kann $\op{U} (\mathcal{H})$ so mit der Struktur einer topologischen Gruppe versehen, da"s unsere unit"aren Darstellungen gerade die Gruppenwege in $\op{U} (\mathcal{H})$ sind. Das leistet die sogenannte \glqq starke Operatortopologie\grqq,\index{starke Operatortopologie} die definiert ist als die\index{Operatortopologie!starke} \glqq\hyperref[Ito]{Initialtopologie}\grqq\ zu allen Auswertungen an Vektoren $\op{U} (\mathcal{H})\ra \mathcal{H}$, vergleiche \eref{SOPT}{TM}. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Lokale Struktur unit"arer Darstellungen von $\DR$}] Gegeben $\mathcal{H}$ ein Hil\-bert\-raum, $\rho : \Bbb{R} \ra \op{U} (\mathcal{H})$\label{UDzy} eine unit"are Darstellung von $\DR$ und $v \in \mathcal{H}$ ein Vektor gibt es genau ein Paar $(\mu, \varphi)$ bestehend aus einem endlichen nichtnegativen Borelma"s $\mu=\mu_v$ auf $\Bbb{R}$ und einer unit"aren Einbettung $\varphi : \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu) \hra \mathcal{H}$ derart, da"s gilt $\varphi(1)=v$ und $$\rho (t) \circ \varphi = \varphi\circ (\op{e}^{{\op{i}}tx}\cdot)\quad\forall t\in\DR$$ \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUD} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zur Operation von $\DR$ auf $\op{L}^2(\DR;\mu)$. Die eingezeichneten Kreise sind jeweils als $S^1\subset \DC$ zu verstehen und die Multiplikation mit $\op{e}^{{\op{i}}xt}$ f"ur festes $t$ bedeutet das Drehen um geeignet von $x$ abh"angende Winkel in den jeweiligen Ebenen $\{x\}\times \DC$, anschaulich ein Verdrillen des Graphen von $f\in \op{L}^2(\DR;\mu)$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Das Symbol $x$ ist hier in dem Sinne zu verstehen, da"s Elemente $f\in \op{L}^2(\DR;\mu)$ durch Funktionen $f(x)$ repr"asentiert werden. F"ur jedes feste $t\in \DR$ ist also mit $(\op{e}^{{\op{i}}tx}\cdot)$ die Abbildung $(\op{e}^{{\op{i}}tx}\cdot):\op{L}^2(\DR;\mu)\ra \op{L}^2(\DR;\mu)$ gemeint ist, die ein $f\in \op{L}^2(\DR;\mu)$ auf diejenige fast "uberall definierte Funktion abbildet, die an der Stelle $x\in\DR$ den Wert ${\op{e}}^{{\op{i}}tx}f(x)$ annimmt. Die $1$ meint die konstante Funktion $1$ auf $\DR$, die ja in Bezug auf jedes endliche Borelma"s quadratintegrierbar ist. Das W"ortchen \glqq lokal\grqq\ spielt darauf an, da"s die Darstellung in gewisser Weise nur \glqq lokal um den Vektor $v$\grqq\ beschrieben wird. Eine globale Beschreibung werden wir als \glqq Spektralzerlegung\grqq\ in \ref{SUD} kennenlernen und aus dieser Spektralzerlegung leiten wir dann auch erst den obigen Satz "uber die lokale Struktur her. Der besseren "Ubersichtlichkeit halber stelle ich die Abbildungen dieses Satzes auch noch in einem kommutativen Diagramm dar: $$\begin{array}{cccc} (x\mapsto f(x))\in&\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H}\\ \downmapsto\;\;\;\;\;\;&{\scriptstyle (\op{e}^{{\op{i}}tx}\cdot)} \da\;\;\;\;\;\;&&\;\;\;\;\;\; \da {\scriptstyle \rho (t) }\\ (x\mapsto \op{e}^{{\op{i}}tx}f(x))\in&\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H} \\[1mm] &1&\mapsto& v \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich formuliere diesen Satz auch noch im unwesentlich allgemeineren Fall einer \defind{Geradengruppe}, als da hei"st der additiven Gruppe $G$ eines eindimensionalen reellen Vektorraums. Diese Allgemeinheit scheint mir aus mehreren Gr"unden sinnvoll: Erstens hoffe ich, da"s selbst im Fall $G=\DR$ die Aussage "ubersichtlicher wird, wenn in der Notation die drei verschiedenen Bedeutungen von $\DR$ als (1) dargestellte Gruppe, (2) deren Charaktergruppe und (3) auf dem Hilbertraum als Unterk"orper von $\DC$ durch die Multiplikation mit Skalaren operierender K"orper getrennt werden. Zweitens sind Operationen von Geradengruppen auf Hilbertr"aumen in der Quantenmechanik besonders nat"urlich, da die zeitliche Entwicklung jedes quantenmechanischen Systems genau genommen durch eine unit"are Operation der Gruppe $G=\vec{\mathbb{T}}$ aller Zeitspannen auf dem Hilbertraum $\mathcal{H}$ aller Zust"ande des Systems modelliert wird. Und drittens gilt unser Satz in dieser Gestalt unver"andert f"ur die additive Gruppe jedes endlichdimensionalen reellen Vektorraums $G$, etwa auch f"ur die Gruppe $\vec{\mathbb E}$ der Translationen des Anschauungsraums, und mutatis mutandis f"ur $G$ eine beliebige Fouriergruppe oder sogar eine beliebige kommutative \glqq lokal kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppe\grqq. Bezeichne $\hat{G}=\op{Grpto}(G,S^1)$ den Charakterraum unserer Geradengruppe im Sinne von \ref{ChRR}, also die Menge aller stetigen Gruppenhomomorphismen von $G$ in die Kreislinie $S^1\subset\DC^\times$. Auf diesem Charakterraum haben wir in \ref{ChRR} die Struktur eines reellen Vektorraums erkl"art und haben gezeigt, da"s er im Fall einer Geradengruppe die Dimension Eins hat. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lokale Struktur unit"arer Darstellungen von Geradengruppen}] Gegeben $G$ eine Geradengruppe, $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum, $\rho : G \ra \op{U} (\mathcal{H})$ eine unit"are Darstellung und $v \in \mathcal{H}$ ein Vektor gibt es genau ein Paar $(\mu, \varphi)$ bestehend aus einem endlichen Borelma"s $\mu=\mu_v$ auf der Charaktergruppe $\hat{G}$ und einer unit"aren Einbettung $\varphi : \op{L}^2 (\hat{G};\mu) \hra \mathcal{H}$ derart, da"s gilt $\varphi(1)=v$ und $$\rho (g) \circ \varphi = \varphi\circ (g\cdot)\quad\forall g\in G$$ \end{Satz} \nichtfinal{\begin{Satz}[\textbf{Lokale Struktur unit"arer Darstellungen von Geradengruppen}] Gegeben $G$ eine Geradengruppe, $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum, $\rho : G \ra \op{U} (\mathcal{H})$ eine unit"are Darstellung, $v \in \mathcal{H}$ ein Vektor und $s:G\times H\ra S^1$ eine Charakterpaarung gibt es genau ein Paar $(\mu, \varphi)$ bestehend aus einem endlichen Borelma"s $\mu=\mu_v$ auf $H$ und einer unit"aren Einbettung $\varphi : \op{L}^2 (H;\mu) \hra \mathcal{H}$ derart, da"s gilt $\varphi(1)=v$ und $$\rho (g) \circ \varphi = \varphi\circ (\llangle g,\;\rrangle_s\cdot) \quad\forall g\in G$$ \end{Satz}} \nichtfinal{Umschreiben zu Charakterpaarung $s: G\times H\ra S^1$ wie in \ref{exPA}? $$\begin{array}{ccc} \op{L}^2 (H; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H}\\ {\scriptstyle \llangle g,\;\rrangle_s\cdot}\da&& \da {\scriptstyle \rho (g) }\\ \op{L}^2 (H; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H} \\[1mm] 1&\mapsto& v \end{array}$$} \nichtfinal{\begin{Beispiel} Wir betrachten die Charakterpaarung $p:\DR\times\DR\ra S^1$ gegeben durch $p(x,y)\pdef {\op{e}}^{-2\pi{\op{i}}xy}$. Wir erinnern aus \ref{KoDF} in diesem Fall das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \cal{S}(\DR) \ar[d]_-{\op{e}^{2\pi{\op{i}}a x}} \ar[r]^-{\cal{F}_p}&\ar[d]^-{\tau_{ a }} \cal{S}(\DR)\\ \cal{S}(\DR) \ar[r]^-{\cal{F}_p}& \cal{S}(\DR) } \end{displaymath} Durch stetige Fortsetzung erhalten wir unschwer eine Erweiterung zu quadratintegrierbaren Funktionen \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{L}}^2(\DR) \ar[d]_-{\op{e}^{2\pi{\op{i}}a x}} \ar[r]^-{\cal{F}_p}&\ar[d]^-{\tau_{ a }} {\op{L}}^2(\DR)\\ {\op{L}}^2(\DR) \ar[r]^-{\cal{F}_p}& {\op{L}}^2(\DR) } \end{displaymath} Gegeben $f\in {\op{L}}^2(\DR)$ bezeichne $f^\wedge=\cal{F}_{\bar p}(f)$ sein Urbild unter $\cal{F}_p$. Mit $\mu\pdef |f^\wedge(x)|^2\diff x$ k"onnen wir unser Diagramm erg"anzen zu \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{L}}^2(\DR;\mu) \ar[d]_-{\op{e}^{2\pi{\op{i}}a x}} \ar[r]^-{(f^\wedge\cdot)}&{\op{L}}^2(\DR) \ar[d]_-{\op{e}^{2\pi{\op{i}}a x}} \ar[r]^-{\cal{F}_p}&\ar[d]^-{\tau_{ a }} {\op{L}}^2(\DR)\\ {\op{L}}^2(\DR;\mu) \ar[r]^-{(f^\wedge\cdot)}&{\op{L}}^2(\DR) \ar[r]^-{\cal{F}_p}& {\op{L}}^2(\DR)\\ 1\ar[r]&f^\wedge\ar[r]& f } \end{displaymath} \end{Beispiel}} \begin{Bemerkungl}\label{KaEi} Hier ist $(g\cdot)$ zu verstehen als die Multiplikation mit der durch das Auswerten an der Stelle $g$ definierten Funktion $\hat{G}\ra \DC$ auf der Charaktergruppe. Der besseren "Ubersichtlichkeit halber stellen wir die Abbildungen dieses Satzes auch noch in einem kommutativen Diagramm dar: $$\begin{array}{cccc} (\chi\mapsto f(\chi)) &\op{L}^2 (\hat{G}; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H}\\ \downmapsto\;\;\;\;\;\;&{\scriptstyle (g\cdot)}\da&&\;\;\;\;\; \da {\scriptstyle \rho (g) }\\ (\chi\mapsto \chi(g)f(\chi)) &\op{L}^2 (\hat{G}; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H} \\[1mm] &1&\mapsto& v \end{array}$$ Hierbei meint $\chi\in \hat{G}$ einen variablen Charakter und $f(\chi)$ sowie $\chi(g)$ sind nur nur etwas ausf"uhrlichere Darstellungen einer Funktion $f:\hat{G}\ra \DC$ beziehungsweise der durch das Auswerten bei $g\in G$ gegebenen Funktion $\hat{G}\ra \DC$. Ich schlage vor, das Ma"s $\mu$ aus dem obigen Satz das \defind{Frequenzma"s} des Vektors $v$ zu nennen. Im Fall $G=\vec{\mathbb T}$ mi"st es in gewisser und im endlichdimensionalen Fall in \ref{Fqa} pr"azisierter Weise, \glqq wie stark verschiedene Frequenzanteile in $v$ vorkommen\grqq. Die Abbildung $\varphi$ nenne ich die {\bf kanonische Einbettung}\index{Einbettung!kanonische unit"are} zu unserem Vektor $v$. \end{Bemerkungl} %\begin{Ubung} %Man zeige, da"s f"ur zwei Paare $(\mu,\varphi)$ und $(\mu,\varphi')$ %wie im Satz mit demselben Ma"s $\mu$ bereits %$\varphi=\varphi'$ gelten mu"s. %\end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Eine \defnoind{Unterdarstellung}\index{Unterdarstellung!unit"are} einer unit"aren Darstellung $(\cal{H},\rho)$ ist ein abgeschlossenener\label{UUD} Teilraum von $\cal{H}$, der unter allen $\rho(t)$ in sich selber "uberf"uhrt wird. Ein Vektor $v\in \mathcal{H}$ einer Darstellung hei"st ein \defnoind{zyklischer Vektor}\index{zyklisch!Vektor!in unit"arer Darstellung} unserer Darstellung, wenn es au"ser $\cal{H}$ selbst keine Unterdarstellung gibt, die unseren Vektor enth"alt. Ist im vorhergehenden Satz $v$ ein zyklischer Vektor, so ist $\varphi$ ein Isomorphismus und liefert sogar eine explizite Beschreibung der \glqq globalen Struktur\grqq\ unserer Darstellung. Umgekehrt ist in unserem Satz auch die Aussage enthalten, da"s f"ur jedes Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ die Funktion $1$ die unit"are Darstellung $\op{L}^2(\DR;\mu)$ nach \ref{USHT} zyklische Vektoren besitzt, ja sogar, da"s f"ur jedes endliche Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ die konstante Funktion $1\in \op{L}^2(\DR;\mu)$ ein zyklischer Vektor ist, denn andernfalls l"age $1$ in einer echten Unterdarstellung $\cal{H}\subset \op{L}^2(\DR;\mu)$ und wir f"anden dazu neben dem Paar $(\mu,\op{id})$ noch ein weiteres m"ogliches Paar $(\nu,\varphi)$, bei dem $\varphi$ "uber $\cal{H}$ faktorisiert, im Widerspruch zur behaupteten Eindeutigkeit. Im allgemeinen gibt es zwar keinen zyklischen Vektor, aber in jedem Fall ist unser Raum die Hilbertsumme \ref{OSH} von abgeschlossenen Unterdarstellungen, die jeweils einen zyklischen Vektor besitzen. Nat"urlich kann es viele verschiedene derartige Zerlegungen geben und im Fall der Existenz eines zyklischen Vektors auch noch viele andere zyklische Vektoren. Die dadurch erzeugten Mehrdeutigkeiten werden wir in sp"ateren Abschnitten noch sorgf"altig studieren. Jetzt diskutieren wir zun"achst einmal beispielhaft den endlichdimensionalen Fall. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Endlichdimensionale unit"are Darstellungen von $\DR$}] Ist $\rho : \Bbb{R} \rightarrow \op{U} (\mathcal{H})$ eine unit"are Darstellung von $\DR$ durch unit"are Endomorphismen\label{BED} eines Hilbertraums $\cal{H}$ endlicher Dimension, so gibt es eine Orthonormalbasis $v_1, \ldots, v_n$ von $\mathcal{H}$ und reelle Zahlen $x_1,\ldots,x_n$ mit $$\rho(t)v_\nu=\exp ({\op{i}}x_\nu t)v_\nu\quad\text{f"ur alle } t\in\DR\text{ und } 1\leq \nu\leq n.$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} In anderen Worten operiert also bez"uglich einer geeigneten angeordneten Orthonormalbasis $\cal{B}$ jedes $t\in\DR$ durch die diagonale Matrix $$_\cal{B}[\rho(t)]_\cal{B}=\op{diag}(\op{e}^{{\op{i}}x_1 t}, \ldots,\op{e}^{{\op{i}}x_n t} )$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \eref{SUW}{LA2} ist jede unit"are Matrix diagonalisierbar und hat nur Eigenwerte der L"ange Eins. Insbesondere gilt das f"ur alle $\rho (t)$. Nach \eref{GEZ}{LA2} ist weiter jede Familie von paarweise kommutierenden diagonalisierbaren Matrizen simultan diagonalisierbar, wir finden also eine Basis $e_1, \ldots, e_n$ von $\mathcal{H}$ aus simultanen Eigenvektoren aller $\rho(t)$. In Bezug auf diese Basis werden alle $\rho(t)$ durch Diagonalmatrizen dargestellt. Die diagonalen Matrixeintr"age sind dann stetige Gruppenhomomorphismen $\rho_{\nu\nu} : \Bbb{R} \rightarrow S^1$ und damit nach \ref{GHrc} von der Gestalt $\rho_{\nu\nu} (t) = \exp ({\op{i}}x_\nu t)$ f"ur wohlbestimmte $x_\nu \in \Bbb{R}$. Da die Eigenr"aume der unit"aren Automorphismen $\rho(t)$ jeweils paarweise aufeinander senkrecht stehen, gilt \begin{equation*} x_\nu \neq x_\mu \Rightarrow e_\nu \perp e_\mu \end{equation*} Indem wir jeweils im Erzeugnis der $e_\nu$ zu festem $x =x_\nu$ eine Orthonormalbasis w"ahlen, erhalten wir die gesuchte Orthonormalbasis $v_1, \ldots, v_n$ von $\mathcal{H}$ mit $\rho (t) v_\nu = \exp ({\op{i}}x_\nu t) v_\nu$ f"ur alle $t \in \Bbb{R}$. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Mit den Methoden der Lietheorie geht das auch schneller. Nach \eref{EPU}{ML} und \eref{TUn}{ML} ist jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\rho : \Bbb{R} \rightarrow \op{U} (\mathcal{H})$ von der Gestalt $\rho : t\mapsto \op{exp}(tA)$ f"ur genau ein schiefhermitisches alias schiefadjungiertes $A\in \op{End}_\DC (\mathcal{H})$, und damit folgt die Behauptung unmittelbar aus dem Spektralsatz \eref{SSM}{LA2} f"ur selbstadjungierte Abbildungen, angewandt auf die selbstadjungierte Abbildung ${{\op{i}}}A$. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Frequenzma"s im Fall endlicher Dimension}] Gegeben ein Vektor $v = \sum \alpha_\nu v_\nu $ mit seiner Zerlegung in simultane Eigenvektoren in unserer in\label{Fqa} der obigen Proposition \ref{BED} diskutierten endlichdimensionalen Darstellung erhalten wir ein m"ogliches Paar $(\mu,\varphi)$ zu Satz \ref{UDzy}, also eine "aquivariante unit"are Einbettung $$\varphi: {\op{L}}^2(\DR;\mu)\hra \mathcal H$$ mit $1\mapsto v$, indem wir als Borelma"s $\mu$ die Linearkombination von Diracma"sen \begin{equation*} \mu = |\alpha_1|^2 \delta_{x_{1}} + \ldots + |\alpha_n|^2 \delta_{x_{n}} \end{equation*} nehmen und als unit"are Einbettung $\varphi : \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu) \hra \mathcal{H}$ die Abbildung $\varphi :f\mapsto \sum f(x_\nu) \alpha_\nu v_\nu$. Der Nachweis, da"s das in diesem Fall auch das einzige m"ogliche derartige Paar ist, sei dem Leser zur "Ubung "uberlassen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Frequenzma"s in einem Fall unendlicher Dimension}] Wir betrachten auf $\DR$ das Lebesgue-Ma"s $\diff t$ und die unit"are Darstellung von $\DR$ auf $\cal{H}=\op{L}^2(\DR;\diff t)$ durch das Verschieben von Funktionen, $\rho(t)f=\tau_t f$, deren Stetigkeit in \ref{StVer} gezeigt wurde. Eine entsprechend normalisierte Variante der Fouriertransformation induziert in diesem Fall einen unit"aren Isomorphismus von Hilbertr"aumen $$\cal{F}:\op{L}^2(\DR;\diff x/2\pi)\sira \op{L}^2(\DR;\diff t)$$ Durch stetige Fortsetzung von \ref{EFou}.\ref{EFou2} erkennt man, da"s auch f"ur quadratintegrierbare Funktionen $f$ gilt $\cal{F}(\op{e}^{{\op{i}}tx}\cdot h)=\rho(t)(\cal{F}h). $ Betrachten wir nun als $\varphi$ die Ver\-kn"up\-fung dieser Fouriertransformation mit der unit"aren Einbettung $$(f^\wedge\cdot) : \op{L}^2(\DR;(|f^\wedge|^2/2\pi)\diff x)\hra \op{L}^2(\DR;\diff x/2\pi)$$ so ergibt sich zum Vektor $g=(f^\wedge)^\wedge$, also der Funktion $g:x\mapsto f(-x)$, ein m"ogliches Paar $(\mu,\varphi)$ mit $\mu=(|f^\wedge(x)|^2/2\pi)\diff x$ als Frequenzma"s von $g$. Da"s es auch das einzig m"ogliche Paar ist, mu"s jedoch erst noch gezeigt werden. \end{Beispiel} %\nichtfinal{Teilraumwertige Ma"se \ref{TWM}.} \begin{Bemerkungl}\label{BKZV} Um die eben vorgestellten S"atze zu beweisen gilt es, die Theorie weiter zu entwickeln. Ist $(\rho,\cal{H})$ eine unit"are Darstellung von $\DR$, so nennen wir einen Vektor $v \in \mathcal{H}$ \defnoind{differenzierbar}\index{differenzierbar!Vektor}, wenn der Grenzwert \begin{equation*} Sv=\lim_{t\rightarrow 0} \frac{\rho (t)v -v }{t} \end{equation*} existiert. Sicher bilden die differenzierbaren Vektoren einen Teilraum $\mathcal{H}^1\subset \cal{H}$ und $S=S_\rho : \mathcal{H}^1 \rightarrow \mathcal{H}$ ist eine $\Bbb{C}$-lineare Abbildung. Ich will bereits verraten, da"s diese lineare Abbildung der {\bf infinitesimale Erzeuger}\index{infinitesimaler Erzeuger} unserer\index{Erzeuger!infinitesimaler} Darstellung hei"st, obwohl wir noch nicht wissen, in welcher Weise diese Abbildung denn nun unsere Darstellung erzeugt. Man beachte jedoch, da"s weder der Teilraum der differenzierbaren Vektoren abgeschlossen zu sein braucht noch unser infinitesimaler Erzeuger stetig. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine lineare Selbstabbildung eines Hilbertraums hei"st \defind{selbstadjungiert}, wenn sie ihre eigene Adjungierte ist. Ist in Formeln $\cal{H}$ unser Hil\-bert\-raum und $A:\cal{H}\ra \cal{H}$ unsere lineare Abbildung, so hei"st in Formeln ausgedr"uckt $A$ selbstadjungiert, wenn gilt $$\langle Av,w\rangle=\langle v,Aw\rangle\quad \forall v,w\in \cal{H}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine lineare Selbstabbildung eines Hilbertraums hei"st \defind{schiefadjungiert}, wenn sie das Negative ihrer Adjungierten ist. Eine lineare Abbildung $S$ ist demnach schiefadjungiert genau dann, wenn ${\op{i}}S$ selbstadjungiert ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{UDEF} Ist $(\rho,\cal{H})$ eine unit"are Darstellung von $\DR$, in der s"amtliche Vektoren differenzierbar sind, so ist ihr infinitesimaler Erzeuger $S$ schiefadjungiert und stetig und f"ur alle $t\in\DR$ gilt $$\rho (t) = \exp (tS)$$ mit der Exponentialfunktion von Operatoren aus \eref{ExBR}{AN2}. \end{Proposition} \begin{proof} Sicher gilt ganz allgemein f"ur alle differenzierbaren Vektoren $v,w $ unserer Darstellung die Formel \begin{equation*} \langle Sv, w \rangle = \lim_{t \rightarrow 0} \left\langle \frac{\rho (t) v -v}{t}, w \right\rangle = \lim_{t \rightarrow 0} \left\langle v, \frac{\rho (-t) w -w}{t} \right\rangle = - \langle v, S w \rangle \end{equation*} Sind alle Vektoren von $\cal{H}$ differenzierbar, in Formeln $\mathcal{H}^1 =\mathcal{H}$, so ist demnach $S : \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H}$ eine schiefadjungierte lineare Abbildung. Die Stetigkeit von $S$ folgt damit aus der im Anschlu"s bewiesenen Proposition \ref{SadS}, nach der schlicht alle selbstadjungierten und damit nat"urlich auch alle schiefadjungierten Selbstabbildungen eines Hilbertraums stetig sind. Damit folgt dann, da"s f"ur alle $v\in \cal{H}$ die Abbildung $t \mapsto \exp (-tS) \rho (t) v$ differenzierbar ist und die Ableitung Null hat, wie der Leser in der anschlie"senden "Ubung \ref{DBV} selbst ausarbeiten mag. Nach \eref{MWS}{AN2} ist diese Abbildung also konstant und die Proposition ist bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um unit"are Darstellungen von Geradengruppen zu verstehen, gilt es also, schiefadjungierte oder "aquivalent selbstadjungierte Operatoren zu studieren. Damit werden wir uns nun zun"achst besch"aftigen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Besitzt jede endlichdimensionale unit"are Darstellung von $\DR$ einen zyklischen Vektor? Man finde eine dreidimensionale unit"are Darstellung von $\DR$ mit zyklischem Vektor. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DBV} Gegeben ein Hilbertraum $\cal{H}$, eine stetige lineare Abbildung $S:\cal{H}\ra\cal{H}$ und eine differenzierbare Abbildung $f:\DR\ra \cal{H}$ zeige man, da"s auch die Abbildung $t\mapsto \exp(tS)f(t)$ differenzierbar ist mit der Ableitung $S\exp(tS)f(t) +\exp(tS)f'(t)$. Hinweis: Man beachte dazu die Differenzierbarkeit von $\Bbb{R} \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $t \mapsto tS$, von $\exp : \mathcal{B}(\mathcal{H}) \rightarrow \mathcal{B} (\mathcal{H})$ bei Null nach \eref{DEX}{AN2} und von der Operation $\mathcal{B} (\mathcal{H}) \times \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ nach \eref{PRm}{AN2}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jedes Kompaktum $K\subset\DR$ der transla\-tions\-invariante Teilraum $\cal{H}=\op{L}^2(K;\diff x)^\wedge\subset \op{L}^2(\DR;\diff t)$ aller Fouriertransformierten quadratintegrierbarer Funktionen mit Tr"ager in $K$ in Bezug auf die Darstellung von $\DR$ durch Translationen vollst"andig aus differenzierbaren Vektoren besteht und da"s der infinitesimale Erzeuger $S$ in diesem Fall schlicht das negative Ableiten $-\partial$ ist. Welcher Zusammenhang besteht zwischen der Gleichung $\exp(-t\partial)f=\tau_tf$ und der Taylorentwicklung? \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{USHT} Gegeben ein Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ zeige man, da"s die Abbildung $\rho: \DR\ra \op{U}(\op{L}^2(\DR;\mu))$ mit $(\rho(t)f)(x)=\op{e}^{{\op{i}}tx} f(x)$ f"ur $f\in \op{L}^2(\DR;\mu)$ eine unit"are Darstellung ist, da"s jedoch $\rho$ als Abbildung von $\DR$ in den Raum der Operatoren auf unserem Hilbertraum mit seiner Operatornorm im allgemeinen nicht stetig ist: Ist $\mu$ das Lebesguema"s, so gilt sogar $s\neq t \RA \; \|\rho(t)-\rho(s)\|=2$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{FMf} Man zeige unter der Annahme der G"ultigkeit von \ref{UDzy}: Betrachten wir zu einem Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ den Raum $\op{L}^2(\DR;\mu)$ als unit"are Darstellung von $\DR$ wie in \ref{USHT}, so wird f"ur $f\in \op{L}^2(\DR;\mu)$ das zugeh"orige Ma"s $\mu_f$ gegeben durch die Formel $\mu_f=|f|^2\mu$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DbV} Man zeige: Ein Vektor aus einer unit"aren Darstellung von $\Bbb{R}$ ist differenzierbar im Sinne von \ref{BKZV} genau dann, wenn die Funktion $x$ in Bezug auf sein Frequenzma"s quadratintegrierbar ist. Ist weiter $\varphi : \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu) \hookrightarrow \mathcal{H}$ die kanonische Einbettung im Sinne von \ref{KaEi} zu solch einem Vektor $v$, so gilt \begin{equation*} S v = \varphi ({\op{i}}x) \end{equation*} \end{Ubung} \subsection{Selbstadjungierte Operatoren} \begin{Proposition}[\textbf{Hellinger-Toeplitz}] Jede lineare Abbildung\index{Hellinger-Toeplitz} von einem Hil\-bert\-raum in einen weiteren Hil\-bert\-raum, die eine Adjungierte besitzt, ist stetig.\label{SadS} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $A : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'$ unsere lineare Abbildung und $B : \mathcal{H}' \rightarrow \mathcal{H}$ ihre Adjungierte, es gelte also $\langle Av, w\rangle = \langle v, B w\rangle$ f"ur alle $v \in \mathcal{H}$ und $w \in \mathcal{H}'$. Die schieflinearen Abbildungen $$T_{w} : v \mapsto \langle Av, w\rangle$$ sind stetig, da sie auch als $v \mapsto \langle v, Bw\rangle$ geschrieben werden k"onnen. Die Werte der stetigen linearen Abbildungen $T_{w}$ mit $\| w\| =1$ sind auf jedem Vektor $v\in\cal{H}$ beschr"ankt durch $c (v) = \| A (v)\|$. Nach dem Prinzip der gleichm"a"sigen Beschr"anktheit \ref{PGB}, das wir gleich im Anschlu"s diskutieren, gibt es also $C$ mit $\| T_{w}\| \leq C$ f"ur alle $w$ der L"ange Eins alias mit \begin{equation*} \langle Av, w\rangle \leq C \| v\| \| w \| \end{equation*} f"ur alle $v\in \mathcal{H}$ und $w \in \mathcal{H}'$. Das hinwiederum zeigt $\| Av\|^2 \leq C \| v\| \|Av\| $ und damit $\|Av\| \leq C \|v\|$ f"ur alle $v \in \mathcal{H}$. Als auf dem Einheitsball beschr"ankte lineare Abbildung ist damit $A$ stetig nach \eref{SLA}{AN2}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir beginnen die anschlie"sende Diskussion des \glqq Prinzips der gleichm"a"sigen Beschr"anktheit\grqq\ mit einem etwas schw"acheren, aber allgemeineren und anschaulicheren Lemma. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Prinzip der lokalen Beschr"anktheit}\index{lokale Beschr"anktheit, Prinzip der}] Gegeben ein vollst"andiger nichtleerer metrischer Raum $X$ und eine Menge $\mathcal F\subset \mathcal C(X,\DR)$ stetiger reellwertiger Funktionen auf $X$, deren Werte an jedem Punkt nach oben beschr"ankt sind, gibt es eine nichtleere offene Teilmenge, auf der unsere Funktionen gleichm"a"sig nach oben beschr"ankt sind. \end{Lemma} % $U\co X$, in Formeln %$$\op{sup}\{f(x)\mid f\in\mathcal F, x\in U\}<\infty$$ \begin{proof} Unsere Annahme bedeutet $\op{sup}\{f(x)\mid f\in\mathcal F\}<\infty\;\forall x\in X$. Wir betrachten nun in $X$ die abgeschlossenen Teilmengen \begin{equation*} X_n \pdef \{ x \in X \mid f(x) \leq n \; \forall f \in \mathcal{F}\} \end{equation*} Nach Voraussetzung ist $X$ die Vereinigung der abgeschlossenen Teilmengen $X_n$ und nach dem Satz von Baire \ref{Baire}, den wir im Anschlu"s beweisen, besitzt folglich mindestens eines der $X_n$ einen inneren Punkt. \end{proof} \begin{Definition} Seien $X$ ein metrischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge. Ein Element $x\in A$ hei"st ein \defnoind{innerer Punkt}\index{Punkt!innerer}\index{innerer Punkt einer Teilmenge!eines metrischen Raums} {\bf von} $A$ oder genauer ein {\bf innerer Punkt von $A$ in Bezug auf $X$}, wenn $A$ eine Umgebung von $x$ in $X$ ist. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Baire'scher Kategoriensatz}]\index{Baire'scher Kategoriensatz} In vollst"andigen metrischen R"aumen hat jede abz"ahlbare\label{Baire} Vereinigung von abgeschlossenen Teilmengen ohne innere Punkte auch selbst keine inneren Punkte. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Bezeichnung \glqq Baire'scher Kategoriensatz\grqq\ kommt daher, da"s Baire eine Teilmenge \glqq von erster Kategorie\grqq\ nennt, wenn sie eine abz"ahlbare Vereinigung ist von Mengen, deren Abschl"usse jeweils keinen inneren Punkt enthalten. Mit dieser Terminologie kann man den Satz umformulieren zu der Aussage, da"s \glqq in jedem vollst"andigen metrischen Raum eine Menge erster Kategorie keine inneren Punkte hat\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Baire'sche Kategoriensatz gilt mit fast demselben Beweis auch f"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum. Statt der Vollst"andigkeit benutzt man beim Beweis dann "Ubung\label{Bailk} \eref{Skoa}{AN2} "uber nichtleere Schnitte in Kompakta. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBair} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Die Bild soll illustrieren, wie mit der Methode aus dem Beweis des Satzes von Baire \ref{Baire} die Annahme, die Papierebene sei eine abz"ahlbare Vereinigung abgeschlossener Teilmengen ohne innere Punkte, zum Widerspruch gef"uhrt werden kann. Die abgeschlossenen B"alle $B_i$ sollen hier die Kreisscheiben sein, von denen ich nur die R"ander gezeichnet habe. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser vollst"andiger Raum und seien $A_{1}, A_2, \ldots$ abgeschlossene Teilmengen. Wir argumentieren durch Widerspruch. Unter einem Ball verstehen wir stets einen Ball mit positivem Radius. H"atte die Vereinigung $A = \bigcup A_i$ einen inneren Punkt, so enthielte sie einen abgeschlossenen Ball $B_0$. Da $A_1$ keinen inneren Punkt hat, kann der zugeh"orige offene Ball nicht in $A_1$ enthalten sein, und es gibt folglich einen abgeschlossenen Ball $B_1 \subset B_0$ mit $B_1 \cap A_1 = \emptyset$. Wir d"urfen dabei sogar annehmen, da"s der Radius von $B_1$ kleiner als $1$ ist. Da auch $A_2$ keinen inneren Punkt hat, gibt es weiter einen abgeschlossenen Ball $B_2 \subset B_1$ mit $B_2 \cap A_2 = \emptyset$ und wir d"urfen sogar annehmen, da"s der Radius von $B_2$ kleiner als $1/2$ ist. Indem wir immer so weitermachen, finden wir eine absteigende Folge von abgeschlossenen B"allen $B_0 \supset B_1 \supset B_2 \supset \ldots $, deren Radien gegen Null streben und deren Schnitt die Menge $A$ nicht trifft. Wegen $A\supset B_0 $ mu"s der Schnitt dann leer sein. Die Zentren unserer B"alle bilden jedoch eine Cauchy-Folge, und deren Grenzwert liegt notwendig im Schnitt aller unserer B"alle. Dieser Widerspruch beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Definition} Wir nennen eine Menge von stetigen Operatoren zwischen normierten Vektorr"aumen {\bf gleichm"a"sig beschr"ankt}\index{gleichm"a"sig beschr"ankt}\index{beschr"ankt!gleichm"a"sig} oder lateinisierend {\bf uniform beschr"ankt},\index{uniform!beschr"ankt}\index{beschr"ankt!uniform} wenn die Menge ihrer Operatornormen eine reelle obere Schranke besitzt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Es wird hierbei nicht vorausgesetzt, da"s unsere Operatoren alle von demselben Raum ausgehen oder in demselben Raum landen. Wir denken also in Formeln an eine Menge von stetigen Operatoren $T_i:V_i\ra W_i$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Prinzip der gleichm"a"sigen Beschr"anktheit}\index{gleichm"a"sige Beschr"anktheit, Prinzip der}] Eine Familie stetiger Operatoren\index{Banach-Steinhaus} von einem festen Banachraum\label{PGB} in weitere normierte Vektorr"aume ist gleichm"a"sig beschr"ankt genau dann, wenn f"ur jeden Vektor des Ausgangsraums die Normen seiner Bilder unter unseren Operatoren eine beschr"ankte Menge bilden. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieses Resultat wird auch als {\bf Satz von Banach-Steinhaus}\index{Banach-Steinhaus} zitiert. Eine alternative "aquivalente Formulierung lautet: Eine Menge stetiger Operatoren von einem festen Banachraum in weitere normierte Vektorr"aume ist gleichm"a"sig beschr"ankt genau dann, wenn f"ur jede Gerade in unserem Ausgangsraum die Menge der Restriktionen unserer Operatoren auf diese Gerade gleichm"a"sig beschr"ankt ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen nur die nichttriviale Implikation. Sei $V$ unser Ausgangsraum und $\mathcal{T}$ unsere Menge von stetigen Operatoren. Es gilt also, die Implikation $$\left(\sup_{T\in \cal{T}}\| Tv\|<\infty \;\;\forall v\in V\right) \RA \; \sup_{T\in \cal{T}}\| T\|<\infty$$ zu zeigen. Dazu betrachten wir in $V$ die abgeschlossenen Teilmengen \begin{equation*} V_n = \{ v \in V \mid \| Tv\| \leq n \quad \forall T \in \mathcal{T}\} \end{equation*} Nach Voraussetzung ist $V$ die Vereinigung aller $V_n$ und nach dem Satz von Baire \ref{Baire} besitzt folglich mindestens eines der $V_n$ einen inneren Punkt. Nat"urlich gilt $V_n = n V_1$, also hat dann auch $V_1$ einen inneren Punkt und wegen $V_1 + V_1 \subset V_2$ ist damit der Ursprung ein innerer Punkt von $V_2$. Folglich gibt es $\varepsilon > 0$ mit $\op{B} (0;\varepsilon) \subset V_2$ und das zeigt $\|v\| < \varepsilon \Rightarrow \| T v\| \leq 2 \; \forall T \in \mathcal{T}$ alias $\| T\| \leq 2/\varepsilon \; \forall T \in \mathcal{T}$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Hier noch eine witzige wenn auch unwesentliche Anwendung. Es gibt ja eine Funktion $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, die an allen irrationalen Stellen stetig ist und an allen rationalen Stellen unstetig, zum Beispiel \begin{equation*} f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & x \not\in \mathbb Q;\\ {1}/{q} & x = {p}/{q} \text{ unk"urzbarer Bruch mit } q \geq 1. \end{array}\right. \end{equation*} Es gibt jedoch keine Funktion $f : \mathbb R \rightarrow \mathbb R$, die an allen rationalen Stellen stetig ist und an allen irrationalen Stellen unstetig: F"ur jede Funktion $f :\mathbb R \rightarrow \mathbb R$ ist n"amlich \begin{equation*} U_n = \left\{ x \in \mathbb R \left| \begin{array}{c} \text{es gibt eine Umgebung $V$ von $x$ mit}\\ |f(y) - f(z)| \leq {1}/{n}\;\; \forall y,z \in V \end{array} \right\}\right. \end{equation*} offen in $\mathbb R$, und $\bigcap^\infty_{n =1} U_n$ ist genau die Menge der Stetigkeitsstellen von $f$. Also sind die Komplemente $A_n = \mathbb R \backslash U_n$ abgeschlossen und $\bigcup^\infty_{n=1} A_n$ ist die Menge der Unstetigkeitsstellen. W"are diese Vereinigung $\mathbb R \backslash \mathbb Q$, so w"are die Vereinigung $\bigcup^\infty_{n=1} A_n \cup \bigcup_{q \in \mathbb Q} \{q\}$ ganz $\mathbb R$ und nach dem Baire'schen Kategoriensatz \ref{Baire} m"u"ste dann ein $A_n$ oder ein $\{q\}$ einen inneren Punkt haben, im Widerspruch zu $A_n \subset \mathbb R \backslash \mathbb Q$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Ist $\mu$ ein kompakt getragenes Borelma"s auf $\Bbb{R}$ und $T$ die Multiplikation $(x\cdot):\op{L}^2(\DR;\mu)\ra \op{L}^2(\DR;\mu)$ mit der Identit"at auf $\DR$, so ist $T$ selbstadjungiert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lokale Struktur selbstadjungierter Operatoren}] Ist $\cal{H}$ ein Hil\-bert\-raum, $T : \cal{H} \ra \cal{H}$ ein selbstadjungierter Operator und $v \in \cal{H}$ ein Vektor, so gibt es genau ein\label{sazv} Paar $(\mu,\varphi)=(\mu_v,\varphi_v)$ bestehend aus einem kompakt getragenen Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}$ und einer unit"aren Einbettung $\varphi:\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)\hra \cal{H}$ mit $\varphi(1)= v$ und $\varphi (xf)=T( \varphi(f)) \;\forall f\in \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{sazvf} Der Beweis wird im Anschlu"s an \ref{SABBB} gegeben. Wir stellen die Aussage dieses Satzes graphisch dar im Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H}\\ {\scriptstyle (x\cdot)}\da&&\;\;\; \da {\scriptstyle T }\\ \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)&\stackrel{\varphi}{\hra}& \cal{H} \\[1mm] 1&\mapsto& v \end{array}$$ Hier meint $1\in \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$ die konstante Funktion Eins und $(x\cdot)$ das Multiplizieren mit der Funktion $\DR\ra\DR$, $x\mapsto x$. Ich nenne $\varphi_v$ im folgenden die \defind{kanonische Einbettung} {\bf zu} $v$ und $\mu_v$ das \defnoind{Spektralma"s von $v$}.\index{Spektralma"s!eines Vektors} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Quantenmechanik}] In der Quantenmechanik modelliert man ein \glqq physikalisches System\grqq\ als einen Hilbertraum, einen \glqq Zustand\grqq\ des Systems als einen von Null verschiedenen Vektor und die Messung eines reellen Parameters als einen m"oglicherweise unbeschr"ankten selbstadjungierten Operator mit der Ma"sgabe, da"s die Wahrscheinlichkeitsverteilung f"ur das Me"sergebnis bei einem gegebenen Zustand gerade das auf Gesamtmasse Eins normierte Spektralma"s unseres Zustands sein soll. Den Fall unbeschr"ankter selbstadjungierter Operatoren besprechen wir allerdings erst in \ref{usab}. Messungen mit Werten in allgemeineren Me"sr"aumen werden modelliert als Teilungen $\Phi$ der Identit"at im Sinne von \ref{TeiI} und die Wahrscheinlichkeitsverteilung f"ur das Me"sergebnis bei einem gegebenen Zustand $v$ ist dann das auf Gesamtmasse Eins normierte Ma"s $\langle v,\Phi v\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Spektralma"s im endlichdimensionalen Fall}] Gegeben ein endlichdimensionaler Hilbertraum $\cal{H}$ mit einem selbstadjungierten Operator $T$ und ein Vektor $v\in\cal{H}$ k"onnen wir wir sein Spektralma"s $\mu=\mu_v$ und die kanonische Einbettung $\varphi= \varphi_v$ nach \ref{sazv} wie folgt erhalten: Wir schreiben $v=v_1+\ldots+v_n$ als Summe von paarweise orthogonalen Eigenvektoren zu Eigenwerten $x_1,\ldots,x_n$ und nehmen als Spektralma"s von $v$ das Ma"s \begin{equation*} \mu = \|v_1\|^2 \delta_{x_{1}} + \ldots + \|v_n\|^2 \delta_{x_{n}} \end{equation*} und als Einbettung $\varphi : \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu) \hra \mathcal{H}$ die Abbildung $\varphi :f\mapsto \sum f(x_\nu) v_\nu$. Der Nachweis, da"s das in diesem Fall auch das einzige m"ogliche derartige Paar ist, sei dem Leser zur "Ubung "uberlassen. Hinweis: Nach \ref{EDR} kann unser Raum von quadratintegrierbaren Funktionen nur endlichdimensional sein, wenn das Ma"s $\mu$ eine endliche Linearkombination von Diracma"sen ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eine Abbildung von topologischen R"aumen hei"st {\bf offen}\index{offen!Abbildung}, wenn das Bild jeder offenen Menge offen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz*}[\textbf{Satz vom offenen Bild}] Jede stetige surjektive lineare Abbildung von Banachr"aumen ist offen.\label{SOB}\index{offenes Bild, Satz von} Gegeben eine stetige bijektive lineare Abbildung von Banachr"aumen ist insbesondere auch die Umkehrabbildungen stetig.\label{BSU} \end{Satz*} \begin{proof} Sei $f : V \sra W$ unsere surjektive lineare Abbildung und $A \subset V$ der abgeschlossene Einheitsball. Sicher gilt \begin{equation*} W = \bigcup^\infty_{n =1} \overline{f (nA)} \end{equation*} Nach dem Baire'schen Kategoriensatz \ref{Baire} mu"s dann ein $\overline{f (nA)}$ und damit auch $\overline{f (A)}$ selber mindestens einen inneren Punkt besitzen. Da $\overline {f (A)}$ konvex ist und stabil unter der Multiplikation mit $(-1)$, folgt leicht, da"s auch der Nullpunkt ein innerer Punkt von $\overline{f (A)}$ sein mu"s. Sei also $U \co W$ ein offener Ball um den Ursprung mit $U \subset \overline{f (A)}$. Offensichtlich gilt \begin{equation*} \overline{f (A)} \subset f (A) + \frac{1}{2} U \end{equation*} Wegen $U \subset \overline{f (A)}$ finden wir f"ur jedes $w \in \overline{f (A)}$ induktiv eine Folge von Elementen $w_n \in f(A)$ mit $ w = \sum^\infty_{n=0} 2^{-n} w_n$ im Sinne der Konvergenz der Par\-tial\-summen. W"ahlen wir nun Urbilder $v_n \in A$ unserer $w_n$, so gilt offensichtlich $v = \sum^\infty_{n =0} 2^{-n} v_n \in 2 A$ und $f (v) = w$. Es folgt $f (2A) \supset \overline{f (A)} \supset U$, mithin umfa"st $f(2A)$ eine offene Umgebung des Ursprungs. Da"s dann $f$ eine offene Abbildung sein mu"s, folgt ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Satz vom abgeschlossenen Graphen}] Eine lineare Abbildung von Banachr"aumen ist genau dann stetig, wenn ihr Graph abgeschlossen ist. \end{Satz*} \begin{proof} Ganz allgemein hat jede stetige Abbildung von metrischen R"aumen nach "Ubung \eref{GAbg}{AN2} einen abgeschlossenen Graphen. Ist umgekehrt $f : V \rightarrow W$ unsere lineare Abbildung und ist $\Gamma (f) \subset V \times W$ abgeschlossen, so ist $\Gamma (f)$ selbst ein Banachraum mit der von der Produktnorm induzierten Norm und die Projektionen auf beide Faktoren sind stetig. Die Projektion auf den ersten Faktor ist aber sogar eine Bijektion $\Gamma (f) \overset{\sim}{\rightarrow} V$ und hat damit nach \ref{BSU} eine stetige Umkehrung. So erhalten wir $f$ als Verkn"upfung stetiger Abbildungen $V \overset{\sim} {\rightarrow} \Gamma (f) \rightarrow W$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SDT} In einem vollst"andigen metrischen Raum ist der Schnitt einer abz"ahlbaren Familie offener dichter Teilmengen zumindest noch dicht. \end{Ubung} \subsection{Spektren in Banach-Ringalgebren} \begin{Definition} Eine \defind{Banach-Ringalgebra}\label{BRA} ist ein Banachraum $A$ mit einer stetigen bilinearen Verkn"upfung $A \times A \ra A$, die $A$ zu einem Ring macht. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wird nicht explizit das Gegenteil gesagt, nehmen wir $\DC$ als Grundk"orper an. Meinen wir ausnahmsweise den Grundk"orper $\DR$, so sprechen wir von einer \defind{reellen Banachringalgebra}. Wir verwenden in Formeln oft die Abk"urzung $\lambda 1_A=\lambda$ f"ur $\lambda$ aus dem jeweiligen Grundk"orper. In der Literatur wird diese Struktur meist als \defind{Banach-Algebra} bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kanonische Norm}] Auf jeder Banachringalgebra $A$ erh"alt man eine Norm $\|\; \|$, die {\bf kanonische Norm},\index{kanonische Norm!auf Banachringalgebra} indem man den durch Multiplikation gegebenen Ringhomomorphismus $A\hra \cal{B}(A)$, $a\mapsto (a\cdot)$ betrachtet und die Einschr"ankung der Operatornorm bez"uglich der Ursprungsnorm $\| \;\|_{\op{u}}$ nimmt. Die kanonische Norm ist "aquivalent zur Ursprungsnorm, denn es gilt $\| a\|_{\op{u}}\leq \| a\|\|1_A\|_{\op{u}}$ und $\| a\|\leq C\|a\|_{\op{u}}$ falls $\| a b \| _{\op{u}}\leq C \| a \|_{\op{u}} \|b\|_{\op{u}} $. Weiter haben wir f"ur die kanonische Norm offensichtlich $\| ab\|\leq\| a\|\| b\|$ und $\|1_A\|\leq 1$ mit $\|1_A\| =1$ falls $A\neq 0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $A$ eine Banachringalgebra und gelten f"ur ihr Ursprungsnorm $\|\;\|_{\op{u}}$ die Absch"atzungen $\|1_A\|_{\op{u}}\leq 1$ und $\| a b \| _{\op{u}}\leq \| a \|_{\op{u}} \|b\|_{\op{u}} $ f"ur alle $ a,b \in A$, so ist $\|\;\|_{\op{u}}$ offensichtlich bereits die kanonische Norm. Wenn nichts anderes explizit gesagt ist, nehmen wir meist implizit an, da"s eine Banachringalgebra bereits mit ihrer kanonischen Norm versehen ist. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Gegeben eine von Null verschiedene Banachringalgebra $A \neq 0$ gilt stets % $\|1_A\| =1$, denn in diesem %Fall haben wir $\|1_A\| >0$ und %$\|1_A\|\leq \|1_A\|\|1_A\|$. %\end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Alle stetigen linearen Selbstabbildungen eines vorgegebenen Banachraums bilden mit der Operatornorm eine Banachringalgebra, vergleiche \eref{BRH}{AN1} und \eref{SMu}{AN1}, und diese Norm ist auch bereits ihre kanonische Norm. \end{Beispiel} \begin{Definition} Das {\bf Spektrum}\index{Spektrum!bei Banachalgebren} eines Elements $x$ einer Banachringalgebra $A$ ist die Menge $$ \sigma (x) = \sigma_A (x) \pdef \left\{ \lambda \in \Bbb{C} \mid (\lambda -x) \text{ ist nicht invertierbar in } A\right\}$$ Reden wir vom Spektrum eines Operators auf einem Banachraum alias einer stetigen linearen Abbildung $T:E\ra E$ von besagtem Banachraum in sich selbst, so meinen wir sein Spektrum in Bezug auf die Banachringalgebra aller stetigen linearen Selbstabbildungen unseres Banachraums als da hei"st die Menge aller $\lambda\in \Bbb{C}$, f"ur die $(T-\lambda\op{id}):E\ra E$ nicht stetig invertierbar ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Jede Norm auf $\DC^n$ liefert eine Operatornorm auf dem Matrizenring $\op{Mat}(n;\DC)$, der diesen Ring zu einer Banachringalgebra macht. Das Spektrum einer Matrix ist in diesem Fall genau die Menge ihrer Eigenwerte. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} In \ref{SpR} zeigen wir, da"s im Komplexen das Spektrum eines Elements einer von Null verschiedenen Banachringalgebra nie leer sein kann. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Das Spektrum des Schr"odinger-Operators, der ein quantenmechanisches Elektron im elektrischen Potential eines Protons beschreibt, besitzt viele isolierte Punkte. Sie entsprechen genau den Frequenzen, in die das Licht eines angeregten Wasserstoffgases beim Durchgang durch ein Prisma zerf"allt. Unter diesem Blickwinkel ist die von Hilbert gew"ahlte Bezeichnung als \glqq Spektrum\grqq\ besonders passend. \end{Bemerkunge} \begin{Proposition}[\textbf{Spektrum eines Multiplikationsoperators}] Gegeben ein Ma"sraum $(X,\mu)$ und darauf eine\label{SpMM} $\op{L}^\infty$-Funktion $f:X\ra\DC$ im Sinne von \ref{LpLi} und $p\in [0,\infty]$ ist der durch Multiplikation mit unserer Funktion erkl"arte Operator $$(f\cdot): \op{L}^p(X;\mu)\ra \op{L}^p(X;\mu)$$ stetig. Ist unser Ma"sraum $\sigma$-endlich, so ist weiter die Operatornorm unseres Multiplikationsoperators das essentielle Supremum $\|f\|_\infty$ von $f$ aus \ref{Lpaa} und sein Spektrum ist die Menge $$\sigma(f\cdot)=\{\lambda\in \DC\mid \mu(f^{-1}(U))>0\text{ f"ur jede Umgebung }U\text{ von }\lambda\}$$ \end{Proposition} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAEW}\\[4mm] \noindent Eine beschr"ankte stetige Funktion $f:\DR\ra\DR$ und eine me"sbare Funktion alias ein Vektor $g\in \op{L}^p(\DR;\lambda)$, der vom Multiplikationsoperator $(f\cdot)$ sehr viel k"urzer gemacht wird. Indem wir eine geeignete Folge derartiger Vektoren $g_n$ nehmen, die alle dieselbe Norm haben aber immer kleineren Tr"ager, erkennen wir, da"s der Multiplikationsoperator $(f\cdot)$ nicht stetig invertierbar sein kann, als da hei"st, da"s sein Spektrum den Nullpunkt enth"alt. \end{Bild} \begin{proof} Hat $f$ einen Repr"asentanten mit $|f(x)|\leq C$ f"ur alle $x\in X$, so folgt $|f(x)g(x)|\leq C|g(x)|$ f"ur alle $x\in X$. Diese Ungleichung bleibt erhalten beim Potenzieren mit $p$, Integrieren "uber $X$ und Ziehen der $p$-ten Wurzel. Das zeigt $\|(f\cdot)\|\leq \|f\|_\infty$ f"ur $p<\infty$. Ist andererseits $0 \| x \|$ die Differenz $\lambda -x = \lambda (1-\lambda^{-1}x)$ stets invertierbar ist nach \ref{UEe}, und dies Argument liefert auch gleichzeitig die behauptete Schranke. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{AbSp} Der \defind{Spektralradius} eines Elements $x$ einer Banachringalgebra $A$ ist definiert als \begin{displaymath} \rho (x) =\rho_A (x) \pdef \sup \{ |\lambda | \mid \lambda \in \sigma_A (x)\} \end{displaymath} Ist das Spektrum leer, so erhalten wir folglich $-\infty$ als Spektralradius. Wir zeigen in \ref{SpR}, da"s dieser Fall nur bei der Banachringalgebra $A=0$ auftritt. Das vorhergehende Lemma \ref{SPRR} liefert die Absch"atzung $ \rho (x)\leq \| x \| $ f"ur $\|x\|$ die kanonische Norm. Das Beispiel einer von Null verschiedenen nilpotenten Matrix zeigt, da"s hier im Allgemeinen keine Gleichheit gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Polynomialer spektraler Abbildungssatz}] Gegeben ein Element $x$ einer Banachringalgebra $A$ und ein Polynom\label{BiSp} $P \in \Bbb{C} [X]$ ist das Spektrum des Bildes von $x$ unter $P$ das Bild des Spektrums von $x$ unter $P$, in Formeln \begin{displaymath} \sigma_A (P (x)) = P (\sigma_A (x)) \end{displaymath} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $P$ nicht das Nullpolynom. Gegeben $\lambda \in \Bbb{C}$ schreiben wir $P(X) - \lambda$ als Produkt von Linearfaktoren $P(X) - \lambda= \gamma(X - \mu_1) \ldots (X-\mu_r)$. Dann sind die $\mu_i$ genau die Stellen, an denen unser Polynom den Wert $\lambda$ annimmt, in Formeln $ P^{-1} (\lambda) =\{\mu_1, \ldots, \mu_r\} $. Setzen wir nun $x $ ein, so folgt $ P(x) - \lambda = \gamma(x -\mu_1) \ldots (x-\mu_r) $. Hier ist nun die linke Seite nicht invertierbar alias $\lambda \in \sigma_A (P (x))$ genau dann, wenn einer der Faktoren auf der rechten Seite nicht invertierbar ist, wenn also $ \mu \in \sigma_A (x)$ existiert mit $P (\mu) =\lambda$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SpMMv} Gegeben eine beschr"ankte stetige Funktion $f:\DR\ra\DC$ zeige man, da"s das Spektrum des durch Multiplikation mit $f$ erkl"arten Operators auf $\op{L}^p(\DR;\diff x)$ genau der Abschlu"s des Bildes $\overline{f(\DR)}$ ist. Was ist die Operatornorm dieses Operators? Hinweis: \ref{SpMM}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur $a\in \DR$ der durch $(\tau_ a f)(x)=f(x- a )$ gegebene Verschiebungsoperator $\tau_ a:\op{L}^2(\DR;\diff x)\ra \op{L}^2(\DR;\diff x)$ als Spektrum die Einheitskreislinie hat im Fall $a\neq 0$ und die einpunktige Menge $\{1\}$ im Fall $a=0$. Hinweis: \ref{KoDF} und \ref{SpMMv}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man gebe einen Operator mit Spektrum $\{0\}\cup[1,2]$ an. \end{Ubung} \begin{Ubung} Versehen wir $\DN$ mit dem Z"ahlma"s und betrachten den Operator $T$ auf $\op{L}^2(\DN)$ mit $(Tf)(n)=f(n+1)$, so geh"ort die Null zum Spektrum von $T$, ist aber kein Eigenwert von $T$. Genauer zeige man, da"s das Spektrum von $T$ genau die abgeschlossene Einheitskreisscheibe ist. Andererseits zeige man, etwa mit Fouriertheorie, da"s das Spektrum des in derselben Weise auf $\op{L}^2(\DZ)$ erkl"arten Operators der Einheitskreis ist. Anders als im endlichdimensionalen Fall kann das Spektrum eines Operator also gr"o"ser werden, wenn wir ihn auf einen unter unserem Operator stabilen Teilraum einschr"anken. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SpII} Man zeige: Ist $x$ ein invertierbares Element einer Banachringalgebra, so gilt $\sigma(x^{-1})=\{\lambda^{-1}\mid \lambda\in \sigma(x)\}$. Hinweis: $(x-\lambda)(\lambda x)^{-1}=(\lambda^{-1}- x^{-1})$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SUOP} F"ur jeden unit"aren Automorphismus $x$ eines Hilbertraums $\cal{H}$ ist das Spektrum von $x$ als Element der Banachringalgebra $\cal{B}(\cal{H})$ enthalten in der Kreislinie $S^1\subset\DC$. Hinweis: Aus \ref{UEe} folgt leicht, da"s besagtes Spektrum in der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe enthalten sein mu"s. Dann beachte man, da"s dasselbe f"ur das Spektrum von $x^{-1}$ gelten mu"s und wende \ref{SpII} an. \end{Ubung} \subsection{Weitere Eigenschaften des Spektrums*} \begin{Bemerkungl} Mit Funktionentheorie vertraute Leser k"onnen auch noch einige weitere fundamentale Eigenschaften des Spektrums unschwer einsehen. Sie werden jedoch im weiteren Verlauf dieser Vorlesung nicht ben"otigt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktionentheorie f"ur banachwertige Funktionen}] Gro"se Teile der Funktionentheorie lassen sich ohne wesentliche "Anderungen auf Funktionen auf offenen Teilmengen der komplexen Zahlenebene mit Werten in komplexen Ba\-nach\-r"au\-men verallgemeinern. Die komplex differenzierbaren Funktionen nennen wir wieder {\bf holomorph}.\index{holomorph!banachwertige Funktion} F"ur stetige banachwertige Funktionen erkl"aren wir Weg\-in\-te\-gra\-le durch die "ubliche Formel \eref{DCWe}{FT1} mithilfe unseres banachwertigen Integrals \eref{IV}{AN2}. Mutatis mutandis zeigt man auch f"ur holomorphe banachwertige Funktionen den Integralsatz von Cauchy \eref{ISC}{FT1}, die Integralformel von Cauchy \eref{CaIF}{FT1}, den Satz von Liouville \eref{Liou}{FT1}, sowie die S"atze "uber die Potenzreihenentwicklung \eref{CHFu}{FT1} und Laurententwicklung \eref{ELR}{FT1}, bei denen dann eben die Koeffizienten Vektoren unseres Banachraums werden. Vielfach hei"sen unsere holomorphen banachwertigen Funktionen auch {\bf analytisch} oder genauer {\bf komplex-analytisch},\index{analytisch!banachwertige Funktion} da sie sich eben lokal in Potenzreihen entwickeln lassen. Umgekehrt liefern auch alle Potenzreihen auf ihren Konvergenzbereich holomorphe Funktionen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BPRRv} Sei $A$ eine komplexe Banachringalgebra und $x\in A$ ein Element. So ist die Abbildung $\DC\backslash\sigma(A)\ra A$ gegeben durch $\lambda\mapsto (\lambda-x)^{-1}$ holomorph. Halten wir in der Tat ein $\lambda$ fest und setzen $a\pdef \lambda-x$, so gilt $$(a-z)^{-1}=(a(1-a^{-1}z))^{-1}=a^{-1}(1+a^{-1}z+a^{-2}z^2+\ldots)$$ f"ur $|z|<\|a^{-1}\|^{-1}$ und das ist eine Entwicklung in eine Potenzreihe. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Operatornorm und Spektralradius}] In einer von Null verschiedenen komplexen Banachringalgebra $A$ hat jedes Element $x\in A$ nichtleeres Spektrum\label{SpR} und sein Spektralradius kann durch die kanonischen Normen seiner Potenzen ausgedr"uckt werden als \begin{displaymath} \rho (x) = \lim_{n \ra \infty} \sqrt[n]{\|x^n\|} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $n \geq 1$ gilt $\rho (x)^n =\rho (x^n)\leq \|x^n\|$ nach dem polynomialen spektralen Abbildungssatz \ref{BiSp} %\eref{BiSp}{AN3} und der allgemeinen Absch"atzung \ref{AbSp}, %\eref{AbSp}{AN3} also $\rho (x) \leq \sqrt[n]{\|x^n\|} $ f"ur alle $n \geq 1$. Andererseits ist $\lambda \mapsto (\lambda -x)^{-1}$ nach \ref{BPRRv} eine holomorphe $A$-wertige Funktion $\mathbb{C} \backslash \sigma (x) \ra A$. Diese Funk\-tion l"a"st sich sogar holomorph \glqq durch Null nach $\infty$ fortsetzen\grqq. Konkreter und in Formeln l"a"st sich die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \Bbb{C}^\times \backslash \{ \mu \mid \mu^{-1} \in \sigma(x) \} & \ra & A\\ \mu & \mapsto & (\mu^{-1} -x)^{-1} \end{array} \end{displaymath} holomorph auf den Ursprung fortsetzen, indem man $\mu =0$ die Null aus $A$ zuordnet: F"ur hinreichend kleines $\mu$, genauer $|\mu | \cdot \|x \| < 1$ wird diese Abbildung n"amlich dargestellt durch die Potenzreihe \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} (\mu^{-1} - x)^{-1} &=& \mu (1-\mu x)^{-1}\\ & =& \mu + \mu^2 x + \mu^3 x^2 +\mu^4 x^3 + \ldots \end{array} \end{displaymath} Da diese Potenzreihe auf jeder Kreisscheibe um den Ursprung konvergieren mu"s, auf der unsere Funktion holomorph ist, ist f"ur alle $\lambda > \rho (x)$ die Folge $\lambda^{-n} \|x^n\|$ beschr"ankt und wir folgern $\lambda\geq \sqrt[n]{\|x^n\|}$ f"ur fast alle $n\in\DN$. Das zeigt die noch fehlende Absch"atzung. Da"s das Spektrum nicht leer ist, folgt mit der banachwertigen Variante des Satzes von Liouville: Da $(\lambda -x)^{-1}$ beschr"ankt ist, mu"s diese Funktion, wenn sie denn f"ur alle $\lambda$ definiert ist, bereits konstant sein. Eine Konstante hat aber unter der Annahme $A\neq 0$ stets nichtleeres Spektrum. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein Banachraum $V$ und ein abgeschlossener Teilraum $N\As V$ wird $V/N$ ein Banachraum mit der {\bf Quotientennorm}\index{Quotientennorm} $$\|v+N\|\pdef\op{inf}\{\|v+n\|\mid n\in N\}$$ Gegeben eine Banachringalgebra $A$ und ein abgeschlossenes Ideal $I\As A$ ist auch $A/I$ mit der Quotientennorm eine Banachringalgebra. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jedes maximale Ideal einer Banachringalgebra ist abgeschlossen. Hinweis: Die Einheitengruppe einer Banachringalgebra ist offen.\label{miA} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Gelfand-Mazur}] Ist eine Banachringalgebra ein Schiefk"orper, so ist die Einbettung von $\DC$ ein Isomorphismus. Hinweis: Jedes Element hat nichtleeres Spektrum.\label{GeMa} Insbesondere induziert f"ur den Quotienten einer Banachkringalgebra nach einem maximalen Ideal stets die Einbettung von $\DC$ einen Isomorphismus mit $\DC$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $A$ eine Banachkringalgebra und $a\in A$ ein Element. Genau dann geh"ort $\lambda\in\DC$ zu Spektrum von $a$, wenn es einen Ringalgebrenhomomorphismus $\varphi:A\ra\DC$ gibt mit $\varphi(a)=\lambda$. Hinweis: Man konstruiert $\varphi$, indem man ein maximales Ideal $\mathfrak m$ "uber $(a-\lambda 1)$ w"ahlt, das nach \ref{miA} abgeschlossen sein mu"s, und dann folgert, da"s nach Gelfand-Mazur \ref{GeMa} die offensichtlich Einbettung ein Isomorphismus $\DC\sira A/\mathfrak m$ sein mu"s.\label{GMKio} \end{Ubung} \subsection{Spektren selbstadjungierter Operatoren} \begin{Proposition}[\textbf{Spektralradius und Operatornorm}] F"ur jeden selbstadjungierten\label{SRSA} Operator $T$ auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum stimmen Spektralradius und Operatornorm "uberein, in Formeln \begin{displaymath} \rho (T) = \|T\| \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Unsere Formel zeigt zumindest f"ur jeden selbstadjungierten Operator auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum, da"s sein Spektrum nicht leer sein kann. Sp"ater werden wir unsere Formel allgemeiner f"ur \glqq normale\grqq\ Operatoren zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $T: \mathcal{H} \ra \mathcal{H}$ unser Operator. Gegeben ein Vektor $v$ der L"ange Eins gilt $\|Tv\|^2 = \langle Tv, Tv \rangle = \langle v, T^2v\rangle \leq \| v \| \| T^2 v\|= \| T^2 v\| $. Das zeigt $\| T \|^2 \leq \|T^2\|$. Die andere Ungleichung gilt eh, womit wir f"ur jeden selbstadjungierten Operator $T$ folgern $$\| T\|^2 = \| T^2\|$$ Da unser Raum $\mathcal{H}$ nicht Null ist, finden wir in $\mathcal{H}$ eine Folge von Einheitsvektoren $v_n$ mit $ \lim_{n\ra \infty} \| T^2 v_n\| = \| T^2\|. $ Wegen $\| T^2 v_n\|\leq\| T\| \|Tv_n\|\leq\| T\|^2 = \| T^2\|$ folgt $ \lim_{n \ra \infty} \|Tv_n\| = \| T\| $ zumindest falls $\| T\|\neq 0$, und im Fall $\| T\|= 0$ ist das eh klar. Wir setzen nun $c =\|T\|$ und behaupten, da"s $c^2$ zum Spektrum von $T^2$ geh"ort. In der Tat gilt ja \begin{displaymath} \|(T^2 - c^2) v_n \|^2 = \langle v_n, (T^4 - 2 c^2 T^2 + c^4) v_n\rangle= \|T^2v_n\|^2 - 2c^2 \|Tv_n\|^2 + c^4 \end{displaymath} und das strebt f"ur $n \ra \infty$ offensichtlich gegen Null. Damit haben wir per definitionem $c^2 \in \sigma (T^2)$ und es folgt $\| T^2\| \leq \rho (T^2)$ und, da wir die andere Absch"atzung nach \ref{AbSp} bereits kennen, $\|T^2\| = \rho (T^2)$. Der spektrale Abbildungssatz \ref{BiSp} zeigt jedoch $\rho (T^2) = \rho (T)^2$ und wegen $\| T^2\| = \|T\|^2$ folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Spektren selbstadjungierter Operatoren}] Jeder selbstadjungierte Operator $T$ \label{SsO} auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ hat ein rein reelles Spektrum, in Formeln $\sigma (T) \subset \Bbb{R}$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ist $T$ selbstadjungiert, so gilt $\langle v,Tv\rangle = \langle Tv,v\rangle = \overline{\langle v, Tv \rangle } $ f"ur alle $v \in \mathcal{H}$, mithin ist $\langle v,Tv\rangle$ stets reell. F"ur $\lambda \in \Bbb{C}$ erhalten wir so wegen der offensichtlichen Absch"atzung $|\op{Im}z|\leq |z|\;\forall z\in\DC$ von der Mitte ausgehend die Ungleichungen \begin{displaymath} |\op{Im} \lambda| \; \|v\|^2 \leq |\langle (T-\lambda)v,v\rangle| \leq \|(T-\lambda) v \| \; \|v\| \end{displaymath} und damit $|\op{Im} \lambda|\; \|v\| \leq \|(T-\lambda) v \|$. Unter der Annahme $\lambda \not\in \Bbb{R}$ ist demnach die Abbildung $(T-\lambda)$ injektiv und nach \ref{SDBi} hat sie sogar abgeschlossenes Bild und ihre auf diesem Bild definierte Umkehrabbildung ist stetig. Andererseits ist mit demselben Argument auch $(T-\lambda)^\ast=(T-\bar{\lambda})$ injektiv und damit hat $(T-\lambda)$ nach \ref{BIKA} dichtes Bild. Zusammen folgt, da"s $(T-\lambda)$ invertierbar sein mu"s, so da"s $\lambda$ nicht zum Spektrum von $T$ geh"oren kann. \end{proof} \begin{Lemma}\label{SDBia} Eine stetige lineare Abbildung von einem Banachraum in einen normierten Vektorraum, die keinen Vektor verk"urzt, hat abgeschlossenes Bild und ihre auf diesem Bild definierte Umkehrabbildung ist stetig. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\label{SDBi} Dieselbe Aussage folgt offensichtlich auch, wenn es eine positive reelle Zahl gibt derart, da"s unsere Abbildung jeden Vektor h"ochstens um diesen Faktor verk"urzt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist allgemeiner $f: V \rightarrow W$ eine stetige lineare Abbildung von einem Banachraum in einen normierten Vektorraum und existiert eine Konstante $c > 0$ mit $\| f (v)\| \geq c \| v\| \quad \forall v \in V$, so ist das Bild von $f$ abgeschlossen, denn jede konvergente Folge $f(v_0), f(v_1), \ldots$ im Bild $f(V)$ ist Cauchy, also ist auch $v_0, v_1, \ldots$ Cauchy in $V$ und konvergiert gegen ein $v \in V$, und dann mu"s $f(v)$ der Grenzwert der $f(v_i)$ sein, der damit auch in $f(V)$ liegt. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Anwenden stetiger Funktionen auf Operatoren}] Gegeben ein\label{ASFO} selbstadjungierter Operator $T$ auf einem Hilbertraum $\mathcal{H}$ gibt es genau einen stetigen $\Bbb{C}$-linearen Ringhomomorphismus \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{C} (\sigma (T)) & \rightarrow &\mathcal{B} (\mathcal{H})\\ f & \mapsto & f(T) \end{array} \end{displaymath} vom Ring aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf dem Spektrum von $T$ in den Ring aller beschr"ankten Operatoren unseres Hilbertraums, der die Einbettung $\sigma (T) \hra \Bbb{R}$ auf den Operator $T$ wirft, und dieser Ringhomomorphismus wirft konjugierte Funktionen auf adjungierte Operatoren, in Formeln $\bar{f}(T)=f(T)^\ast$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Die Stetigkeit ist hier gemeint in Bezug auf die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz auf $\mathcal{C} (\sigma (T))$ und die Operatornorm auf $\mathcal{B} (\mathcal{H})$. Schreiben wir im folgenden $f(T)$ f"ur eine stetige auf ganz $\DR$ definierte Funktion, so meinen wir, da"s der Operator $T$ im Sinne des vorhergehenden Lemmas in ihre Einschr"ankung $f|_{\sigma(T)}$ eingesetzt werden soll. Ich habe dieser Aussage nur den Status eines Lemmas gegeben, da sie sich als eine direkte Konsequenz aus dem Spektralsatz \ref{SSS} ergeben wird und unter diesem Blickwinkel nur ein Schritt zum Beweis dieses zentralen Resultats ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Der Teilring $\Bbb{C} [t] \subset \mathcal{C} (\sigma (T))$ aller Einschr"ankungen von Polynomfunktionen liegt nach Weierstra"s \eref{SWC}{AN1} dicht im Raum aller stetigen Funktionen bez"uglich der Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. Gegeben ein Polynom $P \in \Bbb{C} [X]$ haben wir nach dem polynomialen spektralen Abbildungssatz $\sigma (P (T))= P (\sigma (T))$, und hat $P$ reelle Koeffizienten, so ist auch $P(T)$ selbstadjungiert und es folgt $\| P (T) \| = \|P|_{\sigma (T)} \|_{\infty}$ wegen der Gleichheit von Norm und Spektralradius bei selbstadjungierten Operatoren \ref{SRSA} auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum. Ist $P$ komplex, so k"onnen wir immer noch $P=A+{\op{i}}B$ schreiben mit reellen Polynomen $A,B$ und folgern $$\| P (T) \|\leq \| A (T) \| + \| B (T) \|\leq \|A|_{\sigma (T)} \|_{\infty} + \|B|_{\sigma (T)} \|_{\infty} \leq 2\|P|_{\sigma (T)} \|_{\infty}$$ Der offensichtliche Ringhomomorphismus $\Bbb{C} [X] \ra \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $P \mapsto P(T)$ faktorisiert also "uber einen stetigen Ringhomomorphismus $\Bbb{C} [t] \ra \mathcal{B}(\mathcal{H})$, und dessen eindeutig bestimmte stetige Ausdehnung auf $\mathcal{C}(\sigma (T))$ nach \ref{ADVM} ist die gesuchte Abbildung und ist wieder ein Ringhomomorphismus aufgrund der Stetigkeit der Multiplikationen. Ist $P \in \Bbb{C}[X]$ ein Polynom, so ist $P(T)$ offensichtlich adjungiert zu $\bar{P}(T)$. Im allgemeinen ist $f(T)$ Grenzwert in Bezug auf die Operatornorm gewisser $P(T)$ und die Behauptung $\bar{f}(T)=f(T)^\ast$ folgt ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Spektraler Abbildungssatz}] Ist $T$ ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum und\label{SABBB} $f: \sigma (T) \ra \Bbb{C}$ stetig, so hat $f(T)$ das Spektrum \begin{displaymath} \sigma (f(T)) = f(\sigma (T)) \end{displaymath} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Geh"ort $\lambda \in \Bbb{C}$ nicht zum Bild von $f$, so ist $f-\lambda $ invertierbar in ${\cal{C}}(\sigma (T))$ und damit $ f (T)-\lambda\op{id}$ invertierbar in $\mathcal{B}(\mathcal{H})$ und wir haben $\lambda \not\in \sigma (f(T))$. Das zeigt von der behaupteten Gleichheit die Inklusion $\subset$. Geh"ort $\lambda \in \Bbb{C}$ zum Bild von $f$, sagen wir $ \lambda=f(x)$ f"ur $x \in \sigma (T)$, so ist $f$ der gleichm"a"sige Grenzwert einer Folge $P_0, P_1, \ldots $ von Polynomen mit $P_n (x) = \lambda $. Also ist $P_n (T)-\lambda \op{id} $ nicht invertierbar f"ur alle $n$ und damit auch $f (T)-\lambda \op{id} $ nicht invertierbar nach \ref{IvO}. Das zeigt die andere Inklusion $\supset$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{sazv}] Gegeben ein Vektor $v \in \mathcal{H}$ betrachten wir die $\Bbb{C}$-lineare Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathcal{C}_{!} (\Bbb{R}) & \rightarrow & \Bbb{C}\\ f & \mapsto & \langle v, f(T)v \rangle \end{array} \end{displaymath} Um den Riesz'schen Darstellungssatz \ref{RiDan} anwenden zu k"onnen, gilt es zu zeigen, da"s unter dieser Abbildung nichtnegative reelle Funktionen nichtnegative reelle Zahlen liefern. Das ist aber klar, da jede nichtnegative reelle Funktion ein Quadrat ist, so da"s wir haben $\langle v, f (T)v\rangle = \| \sqrt{f} (T) v\|^{2}$. Es gibt nach dem Darstellungssatz von Riesz \ref{RiDan} also ein und sogar genau ein Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}$ mit \begin{displaymath} \int f (t) \;\mu \langle t\rangle = \langle v,f (T) v\rangle \end{displaymath} f"ur alle stetigen $f: \Bbb{R} \ra \Bbb{C}$ mit kompaktem Tr"ager. F"ur dieses Ma"s $\mu$ hat die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{cccc} \varphi:&\mathcal{C}_{!} (\Bbb{R}) & \rightarrow & \mathcal{H}\\ &f & \mapsto & f(T)v \end{array} \end{displaymath} dann die Eigenschaft $\|\varphi(f)\|^2=\int |f|^2\mu$. Damit faktorisiert sie erstens "uber das Bild der offensichtlichen Abbildung $\mathcal{C}_{!} (\Bbb{R})\ra \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu)$ und l"a"st sich nach \ref{ADM} zweitens von diesem Bild zu einer unit"aren Einbettung $ \varphi: \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu) \hookrightarrow \mathcal{H} $ erweitern und wir haben ein m"ogliches Paar $(\mu,\varphi)$ gefunden. Um zu sehen, da"s es auch das einzig m"ogliche Paar ist, m"ussen wir nur im Beweis einige Schritte r"uckw"arts gehen: Gegeben ein Paar $(\mu,\varphi)$ haben wir ja f"ur jedes Polynom $P\in\DC[X]$ offensichtlich $\varphi(P)=P(T)v$ und folglich $\int P\mu=\langle v, P(T)v\rangle$. Ein kompakt getragenes Borelma"s auf $\DR$ wird jedoch nach %\ref{SRLF} und dem Riesz'schen Darstellungssatz \ref{RiDan} und dem Approximationssatz von Weierstra"s \eref{AvW}{AN2} durch die Kenntnis der Integrale aller Polynome nach diesem Ma"s bereits eindeutig festgelegt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{ffzy} Wir k"onnen nun den Satz "uber die lokale Struktur unit"arer Darstellungen der reellen Zahlengeraden \ref{UDzy} zeigen im Fall, da"s alle Vektoren unserer Darstellung $(\cal{H},\rho)$ differenzierbar sind. In der Tat ist dann der infinitesimale Erzeuger $S$ unserer Darstellung schiefadjungiert und folglich ${\op{i}}S$ selbstadjungiert. Dann aber finden wir nach \ref{sazv} genau ein Paar $(\mu,\varphi)$ bestehend aus einem kompakt getragenen Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}$ und einer unit"aren Einbettung $\varphi:\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)\hra \cal{H}$ mit $\varphi(1)=v$, die das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)&\hra& \cal{H}\\ {\scriptstyle (x\cdot)}\da&&\;\;\; \da {\scriptstyle {\op{i}}S }\\ \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)&\hra& \cal{H} \end{array}$$ zum Kommutieren bringt. Damit kommutiert das Diagramm auch, wenn wir beide Vertikalen mit $-{\op{i}}t$ multiplizieren und darauf $\op{exp}$ anwenden, und das zeigt die in \ref{UDzy} behauptete Existenz von $(\mu,\varphi)$ in diesem Fall. Der Nachweis der Eindeutigkeit im vorliegenden Fall, also immer noch unter der Annahme, da"s alle Vektoren unserer Darstellung differenzierbar sind, mag dem Leser "uberlassen bleiben. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{sqrT} Gegeben ein positiv semidefiniter selbstadjungierter Operator $T$ auf einem Hilbertraum erkl"aren wir \begin{equation*} \sqrt{T} \end{equation*} als den positiv semidefiniten Operator, der daraus durch Anwenden der Funktion $\mathbb R_{\geq 0} \rightarrow \mathbb R_{\geq 0}$, $ x \mapsto \sqrt{x}$ entsteht. Das ist erlaubt, da nach \ref{pos} f"ur das Spektrum gilt $\sigma (T) \subset \mathbb R_{\geq 0}$. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein beschr"ankter Operator $A$ auf einem Hilbertraum ist $A^\ast A$ selbstadjungiert und positiv semidefinit und wir setzen \begin{equation*} |A| := \sqrt{A^\ast A} \end{equation*} \end{Definition} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Eine stetige Abbildung von einem vollst"andigen metrischen Raum in einen weiteren metrischen Raum, die keinen Abstand verkleinert, ist injektiv mit abgeschlossenem Bild, und die auf dem Bild definierte Umkehrabbildung ist gleichm"a"sig stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{pos} Ein beschr"ankter selbstadjungierter Operator $T$ auf einem Hilbertraum $\mathcal H$ hei"st {\bf positiv semidefinit},\index{positiv semidefinit!Operator} wenn gilt \begin{equation*} \langle T v, v\rangle \geq 0 \quad \quad \forall v \in \mathcal H \end{equation*} Man zeige, da"s das Spektrum eines positiv semidefiniten Operators stets in der nichtnegativen reellen Zahlengeraden enthalten ist. Hinweis: Man orientiere sich am Beweis von \ref{SsO}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SpPu} Genau dann besteht das Spektrum eines selbstadjungierten Operators aus einem einzigen Punkt $\lambda$, wenn unser Operator die Multiplikation mit dem Skalar $\lambda$ auf einem von Null verschiedenen Hilbertraum ist. Hinweis: \ref{SRSA}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PoZZ} Jeder beschr"ankte Operator $A$ auf einem Hilbert\-raum besitzt eine eindeutige Darstellung als Produkt \begin{equation*} A = DP \end{equation*} mit $P$ positiv semidefinit und $D$ einer partiellen Isometrie im Sinne von \eref{ParI}{LA2} mit $\op{ker} D = (\op{im} P)^\perp$. In einer solchen Darstellung gilt stets $P = |A|$. Man nennt diese Darstellung auch die {\bf Polarzerlegung}\index{Polarzerlegung!in Hilbertraum} von $A$. Ebenso besitzt er auch eine eindeutige Darstellung als Produkt $A = P'D'$ mit $P'$ selbstadjungiert positiv semidefinit und $D'$ einer partiellen Isometrie derart, da"s gilt $\op{im}D'=(\op{ker}P')^\perp$. Hinweis: \eref{UNGn}{LA2}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VANN} Gegeben ein Ma"sraum $(X,\mu)$ und eine beschr"ankte me"sbare Funktion $g:X\ra\DR$ ist das Multiplizieren mit $g$ ein selbstadjungierter Operator $T$ auf $\op{L}^2(X;\mu)$. Gegeben $f:\DR\ra\DR$ stetig ist $f(T)$ ist dann das Multiplizieren mit der Funktion $f\circ g$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{kSO} Gegeben ein kommutatives Diagramm von Hilbertr"aumen und stetigen linearen Abbildungen \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{H} \ar[r]^A \ar[d]_T &\mathcal{H}' \ar[d]^{T'}\\ \mathcal{H} \ar[r]^A &\mathcal{H}' } \end{displaymath} mit $T,T'$ selbstadjungiert kommutiert f"ur jede stetige Abbildung $f:\Bbb{R} \rightarrow \Bbb{C}$ auch das entsprechende Diagramm mit $f(T)$, $f(T')$ statt $T,T'$, in Formeln $AT=T'A \;\RA\; Af(T)=f(T')A$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wird ein selbstadjungierter Operator $T:\cal{H}\ra \cal{H}$ auf einem endlichdimensionalen Hilbertraum in einer geeigneten Basis gegeben durch eine Diagonalmatrix $\op{diag}(x_1,\ldots, x_n)$, so wird $f(T)$ in derselben Basis gegeben durch die Diagonalmatrix $\op{diag}(f(x_1),\ldots, f(x_n))$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SPSs} Gegeben ein selbstadjungierter Operator $T$ auf einem Hilbert\-raum $\cal{H}$ verschwindet das Spektralma"s $\mu$ jedes Vektors auf dem Komplement des Spektrums unseres Operators, in Formeln $\mu(\DR\backslash \sigma(T))=0$. In anderen Worten pa"st also unsere kanonische Einbettung in ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \cal{C}_!(\DR)&\ra& \cal{C}(\sigma(T))&\ra&\cal{H}\\ \da&&\da&&\|\\ \op{L}^2(\DR;\mu)&\sira& \op{L}^2(\sigma(T);\mu)&\hra&\cal{H} \end{array}$$ Die obere Horizontale wird dabei durch $f\mapsto f(T)v$ gegeben. \end{Ubung} \subsection{Riesz'scher Darstellungssatz} \begin{Definition}\label{NNL} Seien $X$ ein topologischer Raum und $\cal{C}_{!} (X,\Bbb{R})$ der reelle Vektorraum aller stetigen Abbildungen $f: X \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager. Eine Linearform $\Lambda: \cal{C}_{!}(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ hei"st \defind{nichtnegativ}, wenn sie jeder nichtnegativen Funktion eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Darstellungssatz von Riesz}] Ist $X$ ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum, so liefert das Bilden des Integrals\label{RiDan} eine\index{Riesz'scher Darstellungssatz!Ma"stheorie!auf affinem Raum} Bijektion $$\begin{array}{ccc} \{ \text{Borelma"se auf } X\} &\overset{\sim}{\rightarrow} & \{ \text{Nichtnegative Linearformen auf } \mathcal{C}_! (X,\Bbb{R})\}\\[2mm] \mu&\mapsto&\left( f\mapsto \int f\mu\right) \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Dieser Satz gilt allgemeiner f"ur jeden lokal kompakten abz"ahlbar basierten Hausdorffraum $X$, vergleiche \eref{RiDa}{TM}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Auf der linken Seite sind nichtnegative Borelma"se gemeint, die also durchaus auch den Wert $\infty$ annehmen d"urfen, nur eben nicht auf Kompakta. Statt nichtnegativen reell-linearen Abbildungen $\Lambda: \cal{C}_{!}(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ mag man gleichbedeutend komplexlineare Abbildungen $\Lambda: \cal{C}_{!}(X) \ra \Bbb{C}$ betrachten, die nichtnegativ sind in dem Sinne, da"s sie jeder nichtnegativen reellen Funktion eine nichtnegative reelle Zahl zuordnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SRLF} F"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ in unserem endlichdimensionalen reellen Raum $X$ ist die Einschr"ankung einer nichtnegativen Linearform $\Lambda:\cal{C}_{!}(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ auf den Raum $\cal{C}_{K}(X,\Bbb{R})$ aller stetigen Funktionen mit Tr"ager in $K$ stetig f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. In der Tat gibt es offensichtlich eine stetige nichtnegative Funktion $h\in \cal{C}_{!}(X,\Bbb{R})$, die auf unserem Kompaktum $K$ konstant Eins ist. F"ur $f\in \cal{C}_{K} (X,\Bbb{R})$ gilt dann $-\|f\|_\infty \;h\leq f\leq \|f\|_\infty \;h$ und Anwenden von $\Lambda$ liefert $|\Lambda(f)|\leq \Lambda(h)\; \|f\|_\infty$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $X = \Bbb{R}^n$. Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die Gegenrichtung. Sicher wird die $\sigma$-Algebra der Borelmengen von $\Bbb{R}^n \times \Bbb{R}$ erzeugt durch den Mengenring aller endlichen Vereinigungen von Produkten endlicher Intervalle. Sicher wird sie auch erzeugt durch den Mengenring $\mathcal{D}$, der daraus durch Anwenden eines beliebigen Vektorraumautomorphismus von $\Bbb{R}^n \times \Bbb{R}$ entsteht. W"ahlen wir nun unseren Automorphismus so, da"s er keine der Koordinatenhyperebenen von $\Bbb{R}^n \times \Bbb{R}$ auf eine Koordinatenhyperebene abbildet, dann ist f"ur $D \in \mathcal{D}$ offensichtlich das Integral seiner charakteristischen Funktion $[D]$ nach der letzten Koordinate $\int [D] \diff y$ stetig mit kompaktem Tr"ager auf $\Bbb{R}^n$ und wir k"onnen f"ur jede nichtnegative Linearform $\Lambda$ wie oben die Abbildung \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDSA}\\[4mm] \noindent Eine Menge des Mengenrings $\cal{D}$ von Teilmengen von $\DR\times\DR$, der durch Drehung um $45^\circ$ aus dem Mengenring aller endlichen Vereinigungen von Produkten endlicher Intervalle entsteht. \end{figure} $$ \begin{array}{cccc} \tilde{\mu}=\tilde{\mu}_{\Lambda} :& \mathcal{D} & \rightarrow & [0,\infty)\\[2mm] &D &\mapsto & \Lambda \left(\int [D] \diff y\right) \end{array}$$ betrachten. Nun zeigt der Satz von Dini \eref{Dini}{AN1} zusammen mit \ref{SRLF}, da"s $\tilde{\mu}$ ein Pr"ama"s auf $\mathcal{D}$ ist. Nach dem Ma"serweiterungssatz \ref{MHa} besitzt dies Pr"ama"s genau eine Fortsetzung zu einem Borelma"s $\tilde{\mu}$ auf $X \times \Bbb{R}$. Schlie"slich erkl"aren wir ein Borelma"s $\mu=\mu_{\Lambda}$ auf $X$, indem wir f"ur jede Borelmenge $B \subset X$ setzen \begin{equation*} \mu (B) = \tilde{\mu}(B \times [0,1]) \end{equation*} Damit haben wie eine Abbildung $\Lambda\mapsto \mu$ in die Gegenrichtung konstruiert und m"ussen nur noch zeigen, da"s unsere beiden Abbildungen zueinander invers sind. Wir beginnen mit der Situation $\nu\mapsto \Lambda\mapsto \tilde{\mu}\mapsto \mu$ und zeigen die Gleichheit von Ma"sen $\mu=\nu$. Nach Fubini stimmen die Ma"se $\tilde{\mu}$ und $\nu \boxtimes \diff y $ auf $\cal{D}$ "uberein und nach dem Ma"serweiterungssatz \ref{MHa} sind sie folglich gleich. Damit folgt dann f"ur jede Borelmenge $B\subset X$ sofort $\nu(B)=\tilde{\mu}(B\times [0,1])=\mu(B)$. Nun gehen wir umgekehrt von $\Lambda$ aus, betrachten also die Situation $\Lambda\mapsto \tilde{\mu} \mapsto\mu\mapsto \Gamma$ und zeigen die Gleichheit von Linearformen $\Gamma=\Lambda$. Es reicht zu zeigen, da"s beide Seiten auf allen nichtnegativen Funktionen $f \in \mathcal{C}_! (X,\Bbb{R})$ denselben Wert $\Gamma(f)=\Lambda(f)$ annehmen. Nun l"a"st sich jedoch das offene durch $X \times \{0\}$ und den Graphen von $f$ begrenzte Gebiet \begin{equation*} G = \{ (x,y) \mid 0< y < f (x) \} \end{equation*} als die Vereinigung einer aufsteigenden Folge $D_0 \subset D_1 \subset \ldots $ von Mengen aus $\mathcal{D}$ darstellen. Nach dem Satz von Dini \eref{Dini}{AN2} gilt dann $\int [D_r] \diff y \rightarrow f$ gleichm"a"sig und folglich $\Lambda (\int [D_r] \diff y) \rightarrow \Lambda (f)$ f"ur $r \rightarrow \infty$. Da $\tilde{\mu}$ per definitionem invariant ist unter Verschiebung in der letzten Koordinate, haben wir nach \ref{TIBM} notwendig $\tilde{\mu} = \mu \boxtimes \diff y$. Also strebt $\Lambda (\int [D_r] \diff y)$ auch gegen \begin{equation*} \tilde{\mu}(G)=(\mu \boxtimes \diff y)(G) = \int f(x) \;\mu \langle x \rangle=\Gamma(f) \qedhere \end{equation*} \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SRmA} Sei $X$ ein endlichdimensionaler reeller Raum und sei weiter $\Lambda : \mathcal C_! (X, \mathbb R) \rightarrow \mathbb R$ eine Linearform mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle Kompakta $K \subset X$ ihre Restriktion auf $\mathcal C_K (X, \mathbb R)$ stetig ist f"ur die Norm der gleichm"a"sigen Konvergenz. So ist $\Lambda$ die Differenz zweier nichtnegativer Linearformen. Hinweis: F"ur $f \in \mathcal C_! (X)$ mit $f \geq 0$ setze man $$ \Lambda_+ (f) = \sup \{ \Lambda (g) \mid 0 \leq g \leq f\} $$ und zeige, da"s das endlich ist mit $\Lambda_+ (f+h)= \Lambda_+ (f)+\Lambda_+ (h)$ f"ur $f, h\geq 0$ und $\Lambda_+ (af)=a\Lambda_+ (f)$ f"ur $a\in\DR_{\geq 0}$. Gegeben $f \in \mathcal C_! (X)$ setze man $\Lambda_+ (f) = \Lambda_+ (f_+) - \Lambda_+ (f_{-})$ f"ur $f = f_+ - f_{-}$ die Zerlegung in einen positiven und einen negativen Teil wie in \ref{iIF} und zeige, da"s $\Lambda_+ : \mathcal C_! (X) \rightarrow \mathbb R$ nichtnegativ und linear ist. Schlie"slich zeige man, da"s auch $\Lambda_+ - \Lambda$ nichtnegativ ist. \end{Ubung} \subsection{Spektralsatz f"ur selbstadjungierte Operatoren} \begin{Definition} Seien $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum und $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Ein auf $X$ definiertes {\bf $\cal{H}$-teilraumwertiges Ma"s}\index{Ma"s!teilraumwertiges} ist eine Abbildung $E$,\label{TWM} die jeder me"sbaren Menge $M\in\cal{M}$ einen abgeschlossenen Teilraum $E (M)\As \cal{H}$ zuordnet derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item F"ur je zwei disjunkte Mengen $M, M'$ aus $\cal{M}$ sind die zugeh"origen Teilr"aume orthogonal, in Formeln $M\cap M'=\emptyset\;\RA\; E (M) \perp E (M')$; \item F"ur jede abz"ahlbare Familie $(M_\nu)_{\nu\in N}$ von me"sbaren Mengen mit Vereinigung $M$ ist das Erzeugnis der $E (M_\nu)$ ein dichter Teilraum von $E (M)$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Aus der ersten Bedingung folgt "uber den Fall $M=M'=\emptyset$ insbesondere $E (\emptyset)=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}Das Konzept eines teilraumwertigen Ma"ses scheint mir besonders gut verst"andlich. Bei der expliziten Arbeit erweist sich jedoch das gleichwertige Konzept eines projektorwertigen Ma"ses als praktischer, das wir als n"achstes diskutieren. Die "Aquivalenz beider Konzepte d"urfen sie als "Ubung \ref{AQTP} selbst ausarbeiten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum und $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Eine Abbildung $\Phi:\cal{M}\ra\cal{B}(\cal{H})$ hei"st ein auf $X$ definiertes {\bf projektorwertiges Ma"s},\index{Ma"s!projektorwertiges} wenn die Operatoren $\Phi(M)$ alle selbstadjungiert und idempotent sind, also nach \ref{PrTr} orthogonale Projektoren auf abgeschlossene Teilr"aume, und wenn dar"uber hinaus gilt: \begin{enumerate} \item Aus $M\cap M'=\emptyset$ folgt $\Phi(M)\circ \Phi(M')=0$; \item F"ur jede abz"ahlbare Familie $(M_\nu)_{\nu\in N}$ paarweise disjunkter me"sbarer Mengen mit Vereinigung $M$ und alle $v\in \cal{H}$ gilt $\sum_{\nu\in N}\Phi(M_\nu)v= \Phi(M)v$. \end{enumerate} Ein projektorwertiges Ma"s mit der zus"atzlichen Eigenschaft $\Phi(X)=\op{id}_{\cal{H}}$ nennen wir eine \defind{Teilung der Identit"at}\label{TeiI} {\bf von} $\cal{H}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{SDM} Gegeben ein Me"sraum $(X,\cal{M})$ bezeichne $\cal{L}^{\infty}(X)$ den Vektorraum aller beschr"ankten me"sbaren Abbildungen $X\ra \DC$ mit der Supremumsnorm. Man erkennt leicht, da"s die me"sbaren Stufenfunktionen darin einen dichten Teilraum bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Integration nach projektorwertigen Ma"sen}] Gegeben ein Me"sraum\label{InMa} $(X,\cal{M})$, ein Hilbertraum $\cal{H}$ und ein projektorwertiges Ma"s $\Phi:\cal{M}\ra\cal{B}(\cal{H})$ gibt es genau eine stetige lineare Abbildung $$\begin{array}{ccl} \cal{L}^{\infty}(X)&\ra&\cal{B}(\cal{H})\\[2mm] f &\mapsto& \int f \Phi = \int f (x) \Phi \langle x \rangle \end{array}$$ vom Raum der beschr"ankten me"sbaren Funktionen auf $X$ in den Raum der beschr"ankten Operatoren auf unserem Hilbertraum mit der Eigenschaft, da"s der charakteristischen Funktion jeder me"sbaren Menge der entsprechende Projektor zugeordnet wird, in Formeln $ \int [M] \Phi= \Phi (M)\;\forall M\in \cal{M}$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} In diesem Beweis verwenden wir nur die endliche Additivit"at unseres projektorwertigen Ma"ses alias die zweite Eigenschaft f"ur endliche Familien. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Auf me"sbaren Stufenfunktionen $s:X\ra\DC$ mu"s unsere Abbildung, wenn es sie denn "uberhaupt gibt, gegeben sein durch die Formel $$\int s \Phi = \sum_{z \in \Bbb{C}} z \cdot\Phi (s^{-1} (z))$$ Aus der endlichen Additivit"at folgt, da"s diese Vorschrift eine lineare Abbildung vom Vektorraum der me"sbaren Stufenfunktionen in den Vektorraum der beschr"ankten Operatoren $\mathcal B(\mathcal H)$ liefert. Wir haben gewonnen, sobald wir zeigen k"onnen, da"s mit dieser Regel f"ur jede Stufenfunktion $s$ die Absch"atzung $\|\int s \Phi\|\leq \|s\|_{\infty}$ gilt, da sich unsere Abbildung dann nach der Fortsetzbarkeit \ref{ADM} und deren Linearit"at \ref{ADVM} basierend auf der Dichtheit \ref{SDM} des Raums der me"sbaren Stufenfunktionen auf genau eine Weise stetig und linear vom Raum aller Stufenfunktionen auf den Raum aller beschr"ankten me"sbaren Funktionen fortsetzen l"a"st. Sei also $s$ eine me"sbare Stufenfunktion, die wir $s=c_1[M_1]+ \ldots+ c_n [M_n]$ schreiben k"onnen mit $ M_1 ,\ldots, M_n$ paarweise disjunkt und me"sbar. Es gilt, f"ur alle $v \in \mathcal{H}$ zu zeigen \begin{equation*}\textstyle \left\| \left(\int s \Phi\right) v \right\| \leq \|s\|_{\infty} \| v\| \end{equation*} oder ausgeschrieben \begin{equation*} \| c_1 \Phi (M_1) v + \ldots + c_n \Phi (M_n) v \| \leq \|s\|_{\infty} \| v\| \end{equation*} Nun bilden jedoch f"ur $M\pdef M_1\cup\ldots \cup M_n$ die $v_i \pdef \Phi (M_i) v$ eine Zerlegung $\Phi (M) v=v_1+\ldots+ v_n$ in eine Summe von paarweise orthogonalen Vektoren und es folgt $\|v_1\|^2 + \ldots + \| v_n\|^2=\|\Phi (M) v\|^2\leq \| v\|^2$. Damit finden wir \begin{equation*} \|c_1 v_1\|^2 + \ldots + \|c_n v_n\|^2 \leq \|s\|_{\infty}^2(\|v_1\|^2 + \ldots + \| v_n\|^2)\leq \|s\|_{\infty}^2\| v\|^2 \end{equation*} Nehmen wir auf beiden Seiten die Quadratwurzel, so erhalten wir die gew"unschte Ungleichung. \end{proof} %\nichtfinal{Unit"are Darstellungen \ref{SUD}.} %\begin{Bemerkungl} %Beim Beweis dieses Lemmas haben wir noch nicht %einmal die $\sigma$-Additivit"at von %$\Phi$ verwendet: Es reicht aus, %die einfache Additivit"at $\Phi (M\cup M') = \Phi (M) %+ \Phi (M') $ f"ur $M, M'$ disjunkt und me"sbar vorauszusetzen. %\end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein projektorwertiges Ma"s auf den Borelmengen eines topologischen Raums hei"st {\bf kompakt getragen},\index{kompakt getragen!projektorwertiges Ma"s} wenn es Kompakta gibt, deren Komplement der Nulloperator zugeordnet wird. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Spektralsatz f"ur selbstadjungierte Operatoren}] %$\;$ \begin{enumerate} \item Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ erhalten wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Auf $\DR$ definierte kompakt getragene}\\ \text{Teilungen der Identit"at von $\cal{H}$} \end{array} \right\} & \sira& \left\{ \begin{array}{c} \text{Selbstadjungierte}\\ \text{Operatoren auf } \mathcal{H} \end{array} \right\}\\[5mm] \Phi & \mapsto & \int x\Phi\langle x\rangle \end{array} \end{displaymath} \item F"ur die dem selbstadjungierten Operator $T$ entsprechende Teilung der Identit"at $\Phi_T$ ist das Spektrum $\sigma(T)$ von $T$ das kleinste Kompaktum $K\subset \DR$ mit $\Phi_T(K)=\op{id}_{\cal{H}}$. \item\label{SSS3} Gegeben eine stetige lineare Abbildung von Hilbertr"aumen $A :\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'$ und selbstadjungierte Operatoren $T \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $T' \in \mathcal{B} (\mathcal{H}')$ mit $AT = T'A$ gilt f"ur die zugeh"origen projektorwertigen Ma"se $\Phi, \Phi'$ und jede Borelmenge $M\subset\DR$ die Identit"at $$A\circ \Phi(M) = \Phi'(M)\circ A$$ \end{enumerate}\label{SSS} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In diesem Satz ist $\DR$ mit seiner durch die Borelmengen gegebenen Struktur eines Me"sraums zu verstehen. Die folgende "Ubung \ref{HiBE} zeigt, da"s die durch einen selbstadjungierten Operator definierte Teilung der Identit"at die Zerlegung in Eigenr"aume \eref{SSMu}{LA2} verallgemeinert. Die letzte Aussage \ref{SSS}.\ref{SSS3} verallgemeinert dann unsere Erkenntnis \eref{UHRR}{LA2}, nach der $A$ Eigenr"aume von $T$ in Eigenr"aume von $T'$ zum selben Eigenwert abbilden mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $\mathcal{H}={\op{L}}^2([0,1];\lambda)$ und $T=(x\cdot)$ der Operator $f\mapsto Tf$ mit $(Tf)(x)=xf(x)$. So kann die zugeh"orige Teilung der Identit"at $\Phi=\Phi_T$ beschrieben werden durch die Vorschrift, da"s $\Phi(M)$ die Multiplikation mit der charakteristischen Funktion von $M$ oder besser von $(M\cap [0,1])$ ist, in Formeln $\Phi(M)=(([M]\cap [0,1]) \cdot): {\op{L}}^2([0,1];\lambda)\ra {\op{L}}^2([0,1];\lambda)$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Wir werden sp"ater auch zeigen, da"s dieser Satz immer noch gilt, wenn wir darin \glqq selbstadjungiert\grqq\ durch \glqq unit"ar\grqq\ und $\DR$ durch $S^1$ ersetzen. Noch allgemeiner werden wir \glqq normale\grqq\ Operatoren auf einem Hilbertraum definieren als Operatoren, die mit ihrem Adjungierten kommutieren, und zeigen, da"s der obige Satz auch dann noch gilt, wenn wir darin "uberall \glqq selbstadjungiert\grqq\ durch \glqq normal\grqq\ und $\DR$ durch $\DC$ ersetzen. Und schlie"slich will ich auch noch erw"ahnen, da"s der erste Teil immer noch gilt, wenn man oben links die Forderung \glqq kompakt getragen\grqq\ fallen l"a"st und oben rechts auch sogenannte \glqq unbeschr"ankte Operatoren\grqq\ im Sinne von \ref{usab} zul"a"st. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} Der besonders einfache Fall kompakter selbstadjungierter Operatoren wird in \eref{SksO}{TM} unabh"angig behandelt. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Der Beweis des Spektralsatzes f"ur selbstadjungierte Operatoren wird uns bis zum Ende des anschlie"senden Abschnitts besch"aftigen. Zun"achst einmal zeigt \ref{EigPI} unter anderem, da"s die im Satz erkl"arte Abbildung in der Tat jedem kompakt getragenen projektorwertigen Ma"s auf $\DR$ einen selbstadjungierten Operator zuordnet. Dann konstruieren wir in \ref{KoEn} eine Abbildung $T\mapsto \Phi_T$ in die Gegenrichtung und zeigen in \ref{SS11} und \ref{SS22}, da"s unsere beiden Konstruktionen zueinander invers sind. Der zweite Teil des Satzes folgt aus \ref{SSTT} und der letzte Teil aus \ref{kSOm} mit der in \ref{KoEn} gegebenen Beschreibung von $\Phi_T$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Integration nach projektorwertigem Ma"s, Eigenschaften}] Gegeben $(X,\mathcal{M})$ ein Me"sraum, $f, g\in\cal{L}^{\infty}(X)$ beschr"ankt und me"sbar, $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum und $\Phi:\cal{M}\ra \cal{B}(\cal{H})$ ein\label{EigPI} projektorwertiges Ma"s gilt \begin{enumerate} \item $\int \bar{f} \Phi = (\int f \Phi)^\ast$ \item\label{LTT3} $\int f g \;\Phi = (\int f \Phi)\circ (\int g \Phi)$ \item $\| \int f \Phi \| \leq \| f \|_{\infty}$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Das alles ist f"ur Stufenfunktionen leicht explizit zu sehen und folgt dann durch Grenz"ubergang im allgemeinen. Die Details k"onnen dem Leser "uberlassen bleiben. Man beachte, da"s in Teil \ref{LTT3} das Produkt der Funktionen $f$ und $g$ gemeint ist, nicht etwa ihre Verkn"upfung. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Spektrum eines Integrals}] Ist $\Phi$ eine auf $\DC$ definierte kompakt\label{SSTT} getragene Teilung der Identit"at eines Hilbertraums $\cal{H}$ und $T=\int x\Phi\langle x\rangle$, so ist $\sigma(T)$ das kleinste Kompaktum $K\subset\DC$ mit $\Phi(K)=\op{id}_{\cal{H}}$. \end{Lemma} \begin{proof} Ist $K\subset \DC$ ein Kompaktum mit $\Phi(K)=\op{id}_{\cal{H}}$, so ist nach \ref{EigPI} f"ur $\lambda\not\in K$ der Operator $\int_K (x-\lambda)^{-1}\Phi\langle x\rangle$ invers zu $\int_K (x-\lambda) \Phi\langle x\rangle= T -\lambda$ und es folgt $\lambda\not\in \sigma(T)$. Das zeigt $\sigma(T)\subset K$. Andererseits ist f"ur $\lambda\not\in \sigma(T)$ der Operator $T-\lambda$ invertierbar, folglich existiert $c>0$ derart, da"s $T-\lambda$ von Null verschiedene Vektoren h"ochstens um den Faktor $c$ verk"urzt. Alle von Null verschiedenen Vektoren aus dem Bild von $\Phi(\op{B}(\lambda;c/2))$ werden jedoch von $T-\lambda$ nach \ref{EigPI} mindestens um den Faktor $c/2$ verk"urzt, da die Funktion $(x-\lambda)$ auf $\op{B}(\lambda;c/2)$ eben beschr"ankt ist durch $c/2$, woraus wir sofort $\Phi(\op{B}(\lambda;c/2))=0$ folgern. Damit erhalten wir dann auch leicht $\Phi(H)=0$ f"ur jedes Kompaktum aus dem Komplement von $\sigma(T)$. Da nun dies Komplement wie jede offene Teilmenge der komplexen Zahleneben als eine abz"ahlbare Vereinigung von Kompakta dargestellt werden kann, folgt $\Phi(\DC\backslash \sigma(T))=0$ aus der abz"ahlbaren Additivit"at projektorwertiger Ma"se. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Integral und Grenz"ubergang vertauschen}] Seien $(X,\mathcal{M})$ ein Me"sraum, $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum und $\Phi:\cal{M}\ra \cal{B}(\cal{H})$ ein projektorwertiges Ma"s.\label{WWWW} Konvergiert eine Folge $f_n$ me"sbarer und simultan beschr"ankter Funktionen punktweise gegen eine Funktion $f$, so gilt $\left(\int f_n\Phi\right)v\ra \left(\int f\Phi\right)v$ f"ur alle $v\in \cal{H}$. \end{Lemma} \begin{proof} Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $f=0$ annehmen. Gegeben $\varepsilon >0$ bilden dann die $$X_n=X_n^\varepsilon=\{x\in X\mid |f_\nu(x)|\leq \varepsilon \;\;\;\forall \nu\geq n\}$$ eine aufsteigende Folge me"sbarer Mengen mit Vereinigung $X$. Aus der abz"ahlbaren Additivit"at projektorwertiger Ma"se folgt $\Phi(X_n)v\ra \Phi(X)v$ f"ur alle $v\in\cal{H}$. Nun schreiben wir $$\int_X f_n \Phi=\int_{X_n} f_n \Phi+\int_{X\setminus X_n} f_n \Phi$$ Das erste Integral rechts liefert einen Operator der Operatornorm $\leq \varepsilon$. F"ur $C$ eine simultane Schranke der $\|f_n\|_\infty$ liefert das zweite Integral einen Operator der Operatornorm $\leq C$, der mit $v$ dasselbe tut wie mit $ \Phi(X)v-\Phi(X_n)v$, das ja mit wachsendem $n$ gegen Null strebt. Gegeben $v$ sinkt der Betrag von $(\int_X f_n \Phi)v$ also f"ur hinreichend gro"ses $n$ unter $\varepsilon+\varepsilon\|v\|$. Da das f"ur jedes $\varepsilon>0$ gilt, folgt die Behauptung. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{MMnn} Seien $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum, $\cal{H}$ ein Hilbertraum und $\Phi:\cal{M}\ra\cal{B}(\cal{H})$ ein projektorwertiges Ma"s. Gegeben $v\in \cal{H}$ und $f\in \cal{L}^\infty(X)$ gilt $$\left\langle v,\left(\int f\Phi\right)v\right\rangle= \int f\langle v,\Phi v\rangle$$ f"ur das in \ref{BMPM} definierte Ma"s $\langle v,\Phi v\rangle$ auf $(X,\cal{M})$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at des Integrals}] Ist $A : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'$ eine stetige lineare Abbildung von Hilbertr"aumen und sind auf einem Me"sraum $(X,\mathcal{M})$ projektorwertige Ma"se $\Phi$ in $\mathcal{H}$ und $\Phi'$ in $\mathcal{H}'$ gegeben mit der Eigenschaft $A \circ \Phi (M) = \Phi' (M)\circ A \quad \forall M \in \mathcal{M}$ oder in Kurzschreibweise $A \circ \Phi = \Phi' \circ A $, so gilt f"ur jede beschr"ankte me"sbare Funktion $f : X \rightarrow \Bbb{C}$ die Identit"at \begin{equation*} A \circ \left( \int f \Phi \right) = \left( \int f \Phi'\right) \circ A \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AQTP} Sei $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum und $\cal{H}$ ein Hilbertraum. Wir erhalten zueinander inverse Bijektionen zwischen teilraumwertigen Ma"sen und projektorwertigen Ma"sen vermittels der Zuordnungen $E\mapsto \Phi_E$ mit $\Phi_E(M)$ der orthogonalen Projektion auf $E(M)$ und $\Phi\mapsto E_\Phi$ mit $E_\Phi(M)=\op{im}\Phi(M)$ dem Bild des Projektors $\Phi(M)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BMPM} Ist $(X,\cal{M})$ ein Me"sraum, $\cal{H}$ ein Hilbertraum und $\Phi:\cal{M}\ra\cal{B}(\cal{H})$ ein projektorwertiges Ma"s, so ist f"ur jeden Vektor $v\in \cal{H}$ die Zuordnung $M\mapsto \langle v,\Phi(M) v\rangle$ ein nichtnegatives endliches Ma"s $\langle v,\Phi v\rangle$ auf $(X,\cal{M})$, und stimmen bei zwei projektorwertigen Ma"sen f"ur alle Vektoren $v$ diese nichtnegativen Ma"se "uberein, so stimmen die besagten projektorwertigen Ma"se bereits selbst "uberein. Hinweis: Gegeben ein orthogonaler Projektor alias selbstadjungierter Idempotenter $P$ auf einem Hilbertraum gilt $\op{ker}P=\{v\mid \langle v,Pv\rangle=0\}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{APDA} Man folgere aus dem Spektralsatz: Ist $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum und $\Phi=\Phi_T$ die zugeh"orige Teilung der Identit"at, so gilt f"ur jede stetige Funktion $f:\DR\ra\DC$ die Formel $f(T)=\int f\Phi$. Hinweis: Man beginne mit dem polynomialen Fall. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere aus dem Spektralsatz: Ist $\mu$ ein kompakt getragenes Borelma"s auf $\DR$ und $T$ die Multiplikation mit $x$ auf $\op{L}^2(\DR;\mu)$, so ist der Projektor $\Phi(M)$ der zugeh"origen Teilung $\Phi$ der Identit"at f"ur eine Borelmenge $M\subset \DR$ gerade die Multiplikation mit der charakteristischen Funktion $[M]$ von $M$ und der Operator $\int f\Phi$ f"ur $f\in\cal{L}^\infty(\DR)$ ist schlicht die Multiplikation $(f\cdot):\op{L}^2(\DR;\mu)\ra \op{L}^2(\DR;\mu)$. Hinweis: Man berechne $(\int x\Phi\langle x\rangle)(h)$ f"ur $h$ quadratintegrierbar vermittels einer Approximation der Identit"at auf einem geeigneten Kompaktum von $\DR$ durch immer feinere Stufenfunktionen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Pof} Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ mit einer Teilung $\Phi$ der Identit"at und $f$ beschr"ankt und me"sbar und $P \in \Bbb{C} [X]$ ein Polynom haben wir \begin{equation*} P \left(\int f \Phi\right) = \int (P \circ f) \Phi \end{equation*} \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $(X,\mathcal{M})$ ein Me"sraum, $f\in\cal{L}^{\infty}(X)$ beschr"ankt und me"sbar, $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum und $\Phi:\cal{M}\ra \cal{B}(\cal{H})$ eine Teilung der Identit"at. So gilt f"ur alle $v\in \cal{H}$ die Absch"atzung $$\left\|\left(\int f \Phi\right)v\right\|\geq \left(\op{inf}_{x\in X}|f(x)|\right)\|v\|$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HiBE} Man folgere aus dem Spektralsatz: Ist $T: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbertraum und $(e_i)_{i \in I}$ eine Hilbertbasis von $\mathcal{H}$ aus Eigenvektoren von $T$, sagen wir mit $T{e_{i}} = \lambda_i e_i$, so hat f"ur die im Sinne von \ref{SSS} zugeh"orige Zerlegung $\Phi=\Phi_T$ der Identit"at und jede Borelmenge $M \subset \Bbb{R}$ der zugeh"orige Projektor $\Phi (M)$ als Bild den Abschlu"s der Summe aller Eigenr"aume zu Eigenwerten aus $M$, in Formeln \begin{equation*} \op{im}(\Phi (M)) = \overline{\langle e_i \mid \lambda_i \in M \rangle } \end{equation*} \end{Ubung} \subsection{Beweis des Spektralsatzes}\label{BSSS} \begin{Bemerkungl} Das folgende Diagramm fa"st den Aufbau des sogenannten \glqq Funktionalkalk"uls\grqq\ in der hier gegebenen Darstellung zusammen: \begin{displaymath} \xymatrix{ & &\mathcal{C} (\Bbb{R})\ar[dd] &&\mathcal{C}_!(\Bbb{R})\ar[d] \ar@{_{(}->}[ll] \ar@{^{(}->}[r] &\mathcal{L}^\infty (\Bbb{R})\ar[dd]\ar[dl]\\ &&& &\op{L}^2(\Bbb{R};\mu_v)\ar[dd]&\\ \Bbb{C}[X]\ar@{^{(}->}[uurr] \ar@{->>}[r]\ar@/_1pc/[dddrrr]& \Bbb{C}[t] \ar@/_1pc/[dddrr]\ar@{^{(}->}[r] &\mathcal{C}(\sigma (T))\ar[dddr] \ar@{^{(}->}[rrr]\ar[drr] && & \mathcal{L}^\infty (\sigma (T))\ar[dl]\ar@/^3pc/[dddll]\\ &&& &\op{L}^2(\sigma (T);\mu_v)\ar[d]^{\varphi_v} & \\ &&&& \mathcal{H} &\\ && &\mathcal{B}(\mathcal{H})\ar[ur]_-{\cdot v} & &\\ } \end{displaymath} Wir gehen aus von der Vertikale links au"sen, dem Einsetzen unseres selbstadjungierten Operators $T$ in Polynome aus $\DC[X]$. Nach dem polynomialen spektralen Abbildungssatz und der Gleichheit von Norm und Spektralradius faktorisiert sie "uber den Ring $\DC[t]$ aller polynomialen Funktionen auf dem Spektrum, und zwar durch eine in Bezug auf die sup-Norm stetige Abbildung, die sich von dort mithilfe des Approximationssatzes von Weierstra"s stetig auf den Ring $\cal{C}(\sigma(T))$ aller stetigen Funktionen auf dem Spektrum fortsetzen l"a"st. Gegeben ein Vektor $v\in\cal{H}$ f"uhrt diese Fortsetzung zu einer nichtnegativen Linearform $f\mapsto \langle v,f(T)v\rangle$ auf $\cal{C}_!(\DR)$ und mit dem Riesz'schen Darstellungssatz zum sogenannten Spektralma"s $\mu_v$ unseres Vektors und wieder durch stetige Fortsetzung zur kanonischen Einbettung $\varphi:\op{L}^2(\Bbb{R};\mu_v)\hra \cal{H}$, die im Diagramm durch die Verkn"upfung des mit $\varphi_v$ bezeichneten Pfeils mit dem dar"uberstehenden Pfeil dargestellt ist, der eh einen Isomorphismus darstellt. Diese kanonischen Einbettungen schlie"slich verwenden wir dann, um auch das Einsetzen unseres Operators in me"sbare beschr"ankte Funktionen $f$ zu erkl"aren durch die Vorschrift $f(T)v\pdef\varphi_v(f)$, wie wir im folgenden genauer ausf"uhren werden. \end{Bemerkungl} %\begin{figure}[p]\centering %\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFuKa}\\[4mm] %\noindent %\end{figure} \begin{Definition}[\textbf{Anwenden me"sbarer Funktionen auf Operatoren}] Gegeben ein\label{AWMO} selbstadjungierter Operator $T$ auf einem Hilbert\-raum $\mathcal{H}$ und eine beschr"ankte me"sbare Funktion $f: \sigma(T) \rightarrow \Bbb{C}$ auf seinem Spektrum erkl"aren wir eine Abbildung \begin{equation*} f(T) : \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H} \end{equation*} durch die Vorschrift $f(T) v \pdef \varphi_v (f)$ f"ur $\varphi_v : \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu_v)\hookrightarrow \mathcal{H}$ die kanonische Einbettung zu $v$ im Sinne von \ref{sazvf}. Diese Abbildung ist wohldefiniert, da nach \ref{SPSs} das Spektralma"s $\mu_v$ jedes Vektors $v\in\cal{H}$ auf dem Komplement des Spektrums von $T$ verschwindet. Schreiben wir $f(T)$ f"ur eine me"sbare Abbildung $f:\DR\ra\DC$, so setzen wir implizit voraus, da"s $f|_{\sigma(T)}$ beschr"ankt sein soll, und meinen das Anwenden dieser Einschr"ankung auf $T$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sobald wir den Spektralsatz zur Verf"ugung haben, k"onnen wir $f(T)$ auch als $f(T)=\int f(x)\Phi_T\langle x\rangle$ schreiben, wie in \ref{SS11} ausgef"uhrt wird, und dann die Aussagen des anschlie"senden Lemmas \ref{AMFO} aus \ref{APDA}, \ref{EigPI} und \ref{WWWW} folgern. Das anschlie"sende Lemma ist also nur f"ur den Beweis des Spektralsatzes von Bedeutung. Das Anwenden geeigneter Funktionen auf Operatoren ist auch als {\bf Funktionalkalk"ul} bekannt.\index{Funktionalkalk"ul} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Eigenschaften des Funktionalkalk"uls}] Sei $T$ ein selbstadjungierter Operator auf einem Hilbert\-raum $\mathcal{H}$\label{AMFO} und sei $f:\sigma(T)\ra\DC$ me"sbar und beschr"ankt. So gilt: \begin{enumerate} \item Ist $f$ stetig, so stimmt unser eben in \ref{AWMO} definiertes $f(T)$ mit unserem in \ref{ASFO} durch polynomiale Approximation definierten $f(T)$ "uberein; \item Die Abbildung $f(T)$ ist linear und stetig und f"ur ihre Operatornorm gilt $\|f(T)\|\leq \|f\|_\infty$; \item Die adjungierte Abbildung zu $f(T)$ ist $ f(T)^\ast=\bar{f} (T)$; \item Ist $g: \sigma(T) \rightarrow \Bbb{C}$ eine weitere me"sbare und beschr"ankte Abbildung, so haben wir $(f \cdot g)(T) = f(T) \circ g(T) $; \item\label{AMFO5} Konvergiert eine Folge $f_n$ me"sbarer und simultan beschr"ankter Funktionen punktweise gegen $f$, so gilt $f_n(T)v\ra f(T)v$ f"ur alle $v\in \cal{H}$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} 1. Das folgt sofort aus den Definitionen, wir hatten ja unsere kanonische Einbettung $\varphi$ gerade konstruiert als die stetige Fortsetzung der Abbildung $\cal{C}_!(\DR)\ra \cal{H}$ mit $f\mapsto f(T)v$.\\[2mm]\noindent 2. Die Absch"atzung $\|f(T)v\|\leq \|f\|_{\infty}\|v\|$ folgt auch sofort aus den Definitionen, aber die Linearit"at unserer Abbildung $f(T)$ mu"s noch gezeigt werden. Klar ist immerhin, da"s gegeben eine Folge $f_n$ beschr"ankter me"sbarer Funktionen auf $\sigma (T)$, die f"ur das Spektralma"s $\mu$ eines Vektors $v$ im Hilbertraum $\op{L}^2(\sigma (T);\mu)$ gegen eine weitere beschr"ankte me"sbare Funktion auf $\sigma (T)$ konvergiert, notwendig gilt $$f_n (T) v \rightarrow f(T) v$$ Um nun die Additivit"at $f(T)(v+w)=f(T)v+f(T)w$ zu zeigen, suchen wir eine Folge $f_n \in \mathcal{C} (\sigma (T))$ stetiger Funktionen mit $\|f_n\|_\infty \leq \| f\|_\infty$, die fast "uberall punktweise gegen $f$ konvergiert, und zwar fast "uberall bez"uglich der Summe der Spektralma"se der Vektoren $v,w$ und $v+w$. Die Behauptung folgt dann im Grenzwert aus der Linearit"at der $f_n (T)$ f"ur die stetigen Funktionen $f_n$. In derselben Weise zeigen wir $f(T)(\lambda v)=\lambda f(T)( v)$ und damit die Linearit"at von $f(T)$.\\[2mm]\noindent 3. Es gilt f"ur je zwei Vektoren $v,w$ zu zeigen $\langle f(T)v,w\rangle= \langle v,\bar{f}(T)w\rangle$. F"ur stetige $f$ wissen wir das bereits aus \ref{ASFO}. Um es im allgemeinen zu zeigen, suchen wir eine Folge $f_n \in \mathcal{C} (\sigma (T))$ stetiger Funktionen mit $\|f_n\|_\infty \leq \| f\|_\infty$, die fast "uberall punktweise gegen $f$ konvergiert, und zwar bez"uglich der Summe der Spektralma"se von $v$ und $w$. Es folgt $\langle f_n(T)v,w\rangle= \langle v,\bar{f}_n(T)w\rangle$ f"ur alle $n$ und $f_n (T) v \rightarrow f(T) v$ sowie $\bar{f}_n (T) w \rightarrow \bar{f}(T) w$ und damit die Behauptung. \\[2mm]\noindent 4. Es reicht, f"ur alle $v,w\in\cal{H}$ die Formel $\langle (f\cdot g)(T)v,w\rangle= \langle g(T) v,\bar{f}(T)w\rangle$ zu zeigen. F"ur stetige $f,g$ folgt das aus \ref{ASFO}. Um es im allgemeinen zu zeigen, suchen wir Folgen $f_n, g_n \in \mathcal{C} (\sigma (T))$ von stetigen Funktionen mit $\|f_n\|_\infty \leq \| f\|_\infty$ und $\|g_n\|_\infty \leq \| g\|_\infty$, die fast "uberall punktweise gegen $f$ beziehungsweise $g$ konvergiert, und zwar bez"uglich der Summe der Spektralma"se von $v$ und $w$, und gehen zum Grenzwert "uber. \\[2mm]\noindent 5. Das folgt mit dem Satz "uber dominierte Konvergenz aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Identit"atsteilung zu einem selbstadjungierten Operator}] Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ mit einem selbstadjungierten Operator $T$ sind die Operatoren $[M] (T)$ f"ur Borelmengen\label{KoEn} $M\subset \Bbb{R}$ die Projektoren einer kompakt getragenen Teilung $\Phi_T$ der Identit"at von $\cal{H}$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hier meint $[M]:\DR\ra\DC$ die charakteristische Funktion der Borelmenge $M\subset\DR$ und $[M](T)$ den Operator auf $\cal{H}$, der daraus im Rahmen unseres Funktionalkalk"uls durch Anwenden auf $T$ entsteht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Die charakteristische Funktion $[M]$ von $M$ ist reellwertig und idempotent, in Formeln $[M]^2 = [M]$, folglich ist $[M](T)$ selbstadjungiert und idempotent. Aus $M \cap M' = \emptyset$ folgt weiter $[M] \cdot [M'] =0$ und nach \ref{AMFO} damit $[M](T)\circ [M'] (T) = 0$. Als n"achstes bemerken wir, da"s nach \ref{AMFO}.\ref{AMFO5} f"ur jede aufsteigende Folge $M_0 \subset M_1 \subset \ldots $ von me"sbaren Mengen mit Vereinigung $M$ und f"ur alle $v \in \mathcal{H}$ die Folge der $[M_n] (T) v$ gegen $[M] (T) v$ konvergiert. Schlie"slich bemerken wir noch, da"s die Definition \ref{AWMO} f"ur die konstante Funktion 1 auf dem Spektrum die Gleichung $[\sigma(T)](T)=\op{id}$ liefert und sind fertig. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Rekonstruktion eines Operators aus seiner Identit"atsteilung}] Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ mit einem selbstadjungierten Operator $T$ und\label{SS11} zugeh"origer Teilung der Identit"at $\Phi_T$ im Sinne von \ref{KoEn} haben wir stets $$T=\int x\Phi_T\langle x\rangle$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Der Beweis zeigt sogar allgemeiner f"ur jede me"sbare beschr"ankte Funktion $f:\sigma(T)\ra\DC$ die Identit"at $$f(T)=\int f(x)\Phi_T\langle x\rangle$$ Sobald der Spektralsatz also einmal bewiesen ist, wird das Anwenden me"sbarer Funktionen auf selbstadjungierte Operatoren sehr einfach. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s beide Seiten auf jedem Vektor $v\in \mathcal{H}$ denselben Wert annehmen. Ist $\varphi:\op{L}^2(\DR;\mu)\hra \cal{H}$ die kanonische Einbettung zu $v$, so folgt aus den Definitionen die Gleichung $$\varphi(s)=\left(\int s(x)\Phi_T\langle x\rangle\right)(v)$$ erst f"ur die charakteristische Funktion $s$ jeder Borelmenge, dann f"ur jede me"sbare Stufenfunktion und dann wegen der Stetigkeit beider Seiten in Bezug auf die Supremumsnorm f"ur jede beschr"ankte me"sbare Funktion auf $\sigma(T)$, insbesondere auch f"ur die Funktion $s(x)=x$. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ mit einer kompakt getragenen auf $\DR$ definierten\label{SS22} Teilung $\Phi$ der Identit"at und zugeh"origem selbstadjungierten Operator $T=\int x\Phi\langle x\rangle$ haben wir stets $$\Phi=\Phi_T$$ \end{Lemma} \begin{proof} Es gilt zu zeigen $[M] (T) = \Phi (M)$ f"ur jede Borelmenge $M \subset \Bbb{R}$. Da hier beide Seiten orthogonale Projektionen sind, reicht es zu zeigen \begin{equation*} \langle v, [M] (T) v \rangle = \langle v, \Phi (M)v \rangle \end{equation*} f"ur alle $v \in \mathcal{H}$. Hier sind nun aber beide Seiten kompakt getragene Borelma"se, weshalb wir nach \ref{RiDan} und \ref{SRLF} und \eref{AvW}{AN1} nur zeigen m"ussen, da"s sie f"ur jede Polynomfunktion $P$ dasselbe Integral liefern. Die linke Seite ist per definitionem das Spektralma"s $\mu$ des Vektors $v$ f"ur den Operator $T$, f"ur $\mu$ das Ma"s auf der linken Seite haben wir also \begin{equation*} \int P(t) \mu \langle t \rangle = \langle v, P(T) v\rangle \end{equation*} Das Ma"s $\nu$ auf der rechten Seite hinwiederum hat die Eigenschaft \begin{equation*} \int P(t) \nu \langle t \rangle = \left\langle v,\left(\int P \Phi \right) v \right\rangle \end{equation*} erst einmal f"ur jede me"sbare Stufenfunktion $P$ aber dann wegen der Stetigkeit beider Seiten unter der Norm gleichm"a"siger Konvergenz in $P$ sogar f"ur jede beschr"ankte me"sbare Funktion $P$ und damit auch f"ur jede Polynomfunktion $P$. Damit folgt die Behauptung dann aus \ref{Pof}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at des Funktionalkalk"uls}] Gegeben ein kommutatives Diagramm von Hilbertr"aumen und stetigen linearen Abbildungen\label{kSOm} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{H} \ar[r]^A \ar[d]_T &\mathcal{H}' \ar[d]^{T'}\\ \mathcal{H} \ar[r]^A &\mathcal{H}' } \end{displaymath} mit $T,T'$ selbstadjungiert kommutiert f"ur jede beschr"ankte me"sbare Abbildung $f:\Bbb{R} \rightarrow \Bbb{C}$ auch das entsprechende Diagramm mit $f(T)$, $f(T')$ statt $T,T'$, in Formeln $AT=T'A \;\RA\; Af(T)=f(T')A$. Hinweis: Man erinnere sich an \ref{kSO} und finde f"ur $v\in\cal{H}$ eine Folge stetiger durch $\|f\|_\infty $ beschr"ankter Funktionen, die bez"uglich der Summe der Spektralma"se von $v$ und $Av$ fast "uberall gegen $f$ strebt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BSST} (Vorbereitung f"ur \ref{PFRr}.) Gegeben ein selbstadjungierter Operator $T$ auf einem Hilbert\-raum $\cal{H}$ mit zugeh"origer Teilung der Identit"at $\Phi_T$ kann f"ur jede abgeschlossene Teilmenge $C\As \DR$ das Bild des zugeh"origen Projektors beschrieben werden als $$ \begin{array}{lll} \op{im}\Phi_T(C)&=&\{v\in\cal{H}\mid \inf_{\lambda\in C}\|(T-\lambda)v\|=0\}\\ &=&\{v\in\cal{H}\mid \mu_v(\DR\setminus C)=0\text{ f"ur $\mu_v$ das Spektralma"s von }v\} \end{array}$$ \end{Ubung} \subsection{Spektralzerlegung unit"arer Darstellungen} \begin{Satz}[\textbf{Spektralzerlegung unit"arer Darstellungen}] Gegeben ein Hilbertraum\label{SUD} $\mathcal{H}$ haben wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Auf $\DR$ definierte Teilungen}\\ \text{der Identit"at von $\cal{H}$} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Unit"are Darstellungen}\\ \text{von $\DR$ in $\cal{H}$} \end{array} \right\}\\[5mm] \Phi & \mapsto & \left(\rho :t\mapsto \int \op{e}^{{\op{i}}tx } \Phi \langle x \rangle\right) \end{array} \end{displaymath} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine unit"are Darstellung $(\mathcal{H},\rho )$ von $\Bbb{R}$ gibt es also genau eine Teilung $\Phi=\Phi_\rho$ der Identit"at von $\mathcal{H}$ auf $\Bbb{R}$ mit \begin{equation*} \rho (t) = \int_{x \in \Bbb{R}} \op{e}^{{\op{i}}tx } \Phi \langle x \rangle \qquad\forall t\in\DR \end{equation*} Diese Teilung der Identit"at nennen wir das {\bf zu unserer Darstellung geh"orige projektorwertige Ma"s} und die zugeh"origen $\Phi(M)$ nennen wir {\bf Spektralprojektoren}\index{Spektralprojektor!einer unit"aren Darstellung}. In der Hoffnung, dadurch die zugrundeliegende Struktur deutlicher zu machen, formuliere ich auch noch eine koordinatenfreie Variante des Satzes, deren Beweis dem Leser "uberlassen sei: Gegeben eine Geradengruppe $G$ mit Charaktergruppe $\hat{G}$ und ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ haben wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Auf $\hat{G}$ definierte Teilungen}\\ \text{der Identit"at von $\cal{H}$} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Unit"are Darstellungen}\\ \text{von $G$ in $\cal{H}$} \end{array} \right\}\\[5mm] \Phi & \mapsto & \left(\rho :g\mapsto \int \chi (g) \Phi \langle \chi \rangle\right) \end{array} \end{displaymath} Diese Aussage gilt auch f"ur die additive Gruppe eines beliebigen endlichdimensionalen reellen Vektorraums, ja sogar f"ur die Gruppen $S^1$, $\DZ$ und in voller Allgemeinheit f"ur jede \glqq abz"ahlbar basierte lokal kompakte Hausdorff'sche kommutative topologische Gruppe\grqq, aber in dieser Allgemeinheit werden wir sie nicht beweisen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit dem Nachweis der Surjektivit"at. Sind alle Vektoren unserer Darstellung differenzierbar, so existiert nach \ref{UDEF} ein selbstadjungierter Operator $T:\cal{H}\ra \cal{H}$ mit $\rho(t)=\op{exp}(t{\op{i}}T)$ f"ur alle $t\in\DR$. Ist $\Phi=\Phi_T$ die nach \ref{SSS} zu $T$ geh"orige Teilung der Identit"at, in Formeln $T=\int x\Phi\langle x\rangle$, so folgt mit \ref{APDA} angewandt auf $f(x)= \op{exp}({\op{i}}tx)$ sofort $$\rho(t)=\op{exp}(t{\op{i}}T)=\int \op{e}^{{\op{i}}tx}\Phi\langle x\rangle$$ und wir haben bereits ein m"ogliches $\Phi$ gefunden. Im allgemeinen finden wir mit \ref{ABZF} und dem Bilden sukzessiver orthogonaler Komplemente in unserer Darstellung eine Familie $(\mathcal{H}_{\iota},\rho_\iota)_{\iota \in I}$ von paarweise orthogonalen Unterdarstellungen, deren Summe dicht liegt und in denen jeweils jeder Vektor differenzierbar ist. F"ur jedes $\iota \in I$ finden wir dann nach dem bereits Bewiesenen eine auf $\Bbb{R}$ definierte Teilung $\Phi_\iota$ der Identit"at von $\mathcal{H}_\iota$ mit \begin{equation*} \rho_\iota (t) = \int \op{e}^{{\op{i}}tx } \Phi_\iota \langle x \rangle \end{equation*} Die Summe dieser teilraumwertigen Ma"se im Sinne von \ref{STRM} ist dann eine Teilung $\Phi$ der Identit"at von $\mathcal{H}$ mit \begin{equation*} \rho (t) v = \left(\int \op{e}^{{\op{i}}tx } \Phi \langle x \rangle \right) v \end{equation*} erst f"ur alle $v$ aus einem der $\mathcal{H}_\iota$, aber dann wegen der Linearit"at und Stetigkeit beider Seiten sogar f"ur alle $v \in \mathcal{H}$. Das zeigt die Surjektivit"at. Um die Eindeutigkeit von $\Phi$ zu zeigen, beachten wir zun"achst, da"s die in \ref{BMPM} erkl"arten Ma"se $\langle \Phi v,v\rangle$ f"ur $v\in\cal{H}$ unser $\Phi$ bereits eindeutig festlegen. Nach \ref{MMnn} entspricht aber die Fouriertransformierte des Ma"ses $\langle \Phi v,v \rangle$ unter der Identifikation $\DR\sira \hat{\DR}$, $t\mapsto (x\mapsto \op{e}^{{\op{i}}tx})$ gerade der Funktion $t\mapsto \langle \rho (t) v, w \rangle$, und nach \ref{InFo} wird ein reelles Ma"s durch seine Fouriertransformierte bereits eindeutig festgelegt. \end{proof} \begin{Lemma}\label{STRM} Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$, eine Familie $(\mathcal{H}_\iota)_{\iota \in I}$ von paarweise orthogonalen Teilr"aumen mit dichter Summe und Teilungen $\Phi_\iota$ der Identit"at auf jedem $\mathcal{H}_\iota$ erhalten wir eine Teilung der Identit"at auf $\mathcal{H}$ durch die Vorschrift \begin{equation*} \op{im}\Phi (M) = \overline{\sum_{\iota \in I} \op{im}\Phi_\iota (M)} \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Dem Leser "uberlassen. Man nutze \ref{AQTP}. \end{proof} \begin{Definition} Ein Homomorphismus zwischen Darstellungen $(\mathcal{H},\rho)$ und $(\mathcal{H}',\rho')$, auch genannt ein \defind{Verflechtungsoperator}, ist eine stetige lineare Abbildung $A:\mathcal{H}\ra \mathcal{H}'$ mit $A\rho(t) = \rho'(t)A$ f"ur alle Elemente $t$ der dargestellten Gruppe. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Funktorialit"at der Spektralzerlegung}] Gegeben unit"are Darstellungen von $\DR$ in Hilbertr"aumen\label{FsZ} $\mathcal{H}$ beziehungsweise $ \mathcal{H}'$ sind die Verflechtungsoperatoren $A :\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'$ genau die stetigen linearen Abbildungen mit der Eigenschaft, da"s f"ur die zugeh"origen projektorwertigen Ma"se $\Phi, \Phi'$ und jede Borelmenge $M\subset\DR$ gilt $$A\circ \Phi(M) = \Phi'(M)\circ A$$ \end{Satz} \begin{proof} Da"s alle stetigen linearen Abbildungen mit dieser Eigenschaft Verflechtungsoperatoren sind, scheint mir offensichtlich. Sei nun umgekehrt $A$ ein Verflechtungsoperator und $M\subset\DR$ eine Borelmenge. Nat"urlich reicht es, $A\circ \Phi(M) = \Phi'(M)\circ A$ auf einem dichten Teilraum von $\cal{H}$ zu zeigen. Mithilfe von \ref{ABZF} k"onnen wir uns also auf den Fall beschr"anken, da"s unsere beiden Darstellungen jeweils ganz aus differenzierbaren Vektoren bestehen. Dann gilt jedoch f"ur die infinitesimalen Erzeuger $S,S'$ offensichtlich $A\circ S=S'\circ A$ und die Behauptung folgt aus der Funktorialit"at des Spektralma"ses im Fall selbstadjungierter Operatoren \ref{SSS}.\ref{SSS3}. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{UDzy} zur lokalen Struktur unit"arer Darstellungen] Ge\-ge\-ben eine unit"are Darstellung $(\rho, \mathcal{H})$ von $\DR$ betrachten wir die zugeh"orige Teilung $\Phi$ der Identit"at und zu jedem Vektor $v \in \mathcal{H}$ das Ma"s $\mu = \langle \Phi v, v \rangle$ nach \ref{BMPM} und die Abbildung $$\begin{array}{cccc} \varphi: &\cal{L}^\infty (\Bbb{R}) & \rightarrow & \mathcal{H}\\ &f &\mapsto & \left( \int f \Phi \right) v \end{array}$$ Nach \ref{MMnn} gilt hier $\| \varphi (f)\|^2 = \int |f|^2 \mu$. Folglich faktorisiert $\varphi$ "uber das Bild von $\cal{L}^\infty (\Bbb{R}) \rightarrow \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$ und l"a"st sich nach \ref{ADVM} von diesem Bild stetig zu einer unit"aren Einbettung $\varphi : \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu) \hookrightarrow \mathcal{H}$ ausdehnen. Die Formel $\varphi (\op{e}^{{\op{i}}tx}\cdot f) = \rho (t) ( \varphi(f))$ folgt f"ur alle Funktionen $f$ mit beschr"anktem me"sbaren Repr"asentanten aus \ref{EigPI}.\ref{LTT3} und dann auf ganz $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$ durch stetige Fortsetzung. Damit haben wir die Existenz eines Paars $(\mu,\varphi)$ mit den in \ref{UDzy} behaupteten Eigenschaften nachgewiesen. Um die Eindeutigkeit zu zeigen, gehen wir von einem m"oglichen Paar $(\mu,\varphi)$ aus. Aus \ref{FsZ} und \ref{BpM} folgt $$\Phi(M)\circ \varphi=\varphi\circ ([M]\cdot)$$ und durch Anwenden beider Seiten auf die konstante Funktion $1$ und Bilden des Skalarprodukts mit $v$ weiter $\langle v,\Phi(M)v\rangle=\mu(M)$, womit die Eindeutigkeit von $\mu$ bereits gezeigt w"are. Andererseits zeigt die vorige Gleichung auch $\varphi ([M])=\Phi(M)v$, und das legt $\varphi$ wegen der Linearit"at auf me"sbaren Stufenfunktionen und dann wegen der Stetigkeit auf allen quadratintegrierbaren Funktionen fest. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{BpM} Gegeben ein Borelma"s $\mu$ auf $\DR$ und die unit"are Darstellung von $\DR$ durch Automorphismen von $\op{L}^2(\DR;\mu)$, bei der $t\in\DR$ durch Multiplikation mit $\op{e}^{{\op{i}}tx}$ operiert, ist f"ur das zugeh"orige projektorwertige Ma"s $\Phi$ der einer Borelmenge $M\subset \DR$ zugeordnete Projektor $\Phi(M)$ gerade die Multiplikation mit der charakteristischen Funktion $[M]$ von $M$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Betrachten wir auf $\DR$ das Lebesguema"s $\diff t$ und die unit"are Darstellung von $\DR$ auf $\cal{H}=\op{L}^2(\DR;\diff t)$ durch das Verschieben von Funktionen, $\rho(t)f=\tau_t f$, deren Stetigkeit in \ref{StVer} gezeigt wurde, so hat f"ur das zugeh"orige projektorwertige Ma"s $\Phi$ der einer Borelmenge $M\subset \DR$ zugeordnete Projektor $\Phi(M)$ die Gestalt $\cal{F}\circ ([M]\cdot)\circ \cal{F}^{-1}$ f"ur $\cal{F}$ die wie in \ref{FouD} normalisierte Fouriertransformation. \end{Ubung} \subsection{Operationen von Ma"sen auf Darstellungen} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal{H}$ ein Hilbertraum und $\Phi$ eine auf $\DR$ definierte Teilung der Identit"at von $\cal{H}$ und $\rho :t\mapsto \int \op{e}^{{\op{i}}tx } \Phi \langle x \rangle$ die dazu wie in \ref{SUD} gebildete unit"are Darstellung von $\DR$ in $\cal{H}$. Wenn wir einmal von unserem Satz \ref{SUD} ausgehen, so kann man leicht sehen, da"s f"ur $M \subset \Bbb{R}$ beschr"ankt und me"sbar das Bild des zugeh"origen Projektors $(\op{im}\Phi (M)) \subset \mathcal{H}$ jeweils ganz aus differenzierbaren Funktionen besteht und da"s der infinitesimale Erzeuger dort durch das Integral $\int {\op{i}} t\Phi \langle t \rangle$ beschrieben werden kann. Wir werden nun f"ur jede unit"are Darstellung der Gruppe $\DR$ oder allgemeiner einer Geradengruppe $G$ in einem Hilbertraum $\cal{H}$ und jedes komplexe Ma"s $\mu \in \op{M}(\Bbb{R})$ beziehungsweise $\mu \in \op{M}(G)$ einen beschr"ankten Operator $$\mu\ast: \cal{H}\ra\cal{H}$$ einf"uhren, die \glqq Operation durch Konvolution\grqq, von der wir sp"ater die Formel $ \mu \ast = \int \mu^{\wedge} (x) \Phi \langle x \rangle $ zeigen werden. Die Konvolution mit $\mu$ wird also mit dem Integral seiner Fouriertransformierten $\mu^\wedge \in \mathcal{C}^{\op{b}} (\Bbb{R})$ nach dem zu unserer Darstellung geh"origen projektorwertigen Ma"s "ubereinstimmen. Obwohl das alles noch nicht bewiesen ist, zeigt es uns doch schon eine M"oglichkeit, auch ohne die Existenz von $\Phi$ zu kennen, gewisse Teilr"aume \glqq mit Frequenzbeschr"ankungen\grqq\ zu definieren. Beim Beweis des folgenden technischen Lemmas, das wir bei unserer Herleitung der Spektralzerlegung unit"arer Darstellungen von $\DR$ gebraucht und bereits im Vorgriff verwendet haben, ist dann der wesentliche Punkte der Nachweis, da"s diese Teilr"aume aus differenzierbaren Vektoren bestehen und da"s ihre Vereinigung dicht liegt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{ABZF} Es ist m"oglich, simultan in jeder unit"aren Darstellung $\cal{H}$ von $\DR$ eine aufsteigende Folge von unit"aren Unterdarstellungen $\cal{H}_0\subset \cal{H}_1\subset\ldots$ so zu w"ahlen, da"s (1) in jedem $\cal{H}_i$ jeder Vektor differenzierbar ist, da"s (2) deren Vereinigung dicht liegt, und da"s (3) jeder Verflechtungsoperator $\cal{H}\ra \cal{H}'$ auch $\cal{H}_i$ nach $\cal{H}'_i$ abbildet. \end{Lemma} \begin{proof} In \ref{SpRa} werden wir zu jeder abgeschlossenen Teilmenge $C\As\DR$ eine unit"are Unterdarstellung $\cal{H}_C\subset \cal{H}$ erkl"aren und zwar derart, da"s aus $C\subset D$ folgt $\cal{H}_C\subset \cal{H}_D$ und da"s jeder Verflechtungsoperator $\cal{H}\ra \cal{H}'$ auch $\cal{H}_C$ in $\cal{H}'_C$ abbildet. In \ref{CDD} zeigen wir, da"s f"ur $C$ kompakt $\cal{H}_C$ aus differenzierbaren Vektoren besteht. Aus \ref{DiDi} folgt schlie"slich, da"s die Vereinigung der besagten Unterdarstellungen zu den kompakten Intervallen $[-n,n]$ dicht liegt in unserer urspr"unglichen Darstellung. \end{proof} \begin{Definition}[\textbf{Operationen von Ma"sen auf Darstellungen}] Gegeben eine unit"are Darstellung $(\mathcal{H},\rho)$ einer Geradengruppe $G$ erkl"aren wir f"ur jedes komplexe Ma"s $\mu \in \op{M}(G) $ eine lineare Abbildung\label{OMD} $\mu \ast:\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}, $ $ v \mapsto \mu \ast v$ durch die Vorschrift $$\mu\ast v = \int \rho(t) v \;\mu \langle t \rangle $$ wobei das Integral im Sinne von \ref{IWH} zu verstehen ist, also charakterisiert wird durch $\langle w,\mu\ast v\rangle = \int \langle w,\rho(t) v\rangle \;\mu \langle t \rangle \quad\text{ f"ur alle } w \in \mathcal{H}$. \end{Definition} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw} Wir werden in \ref{IVF} sogar die Integration von Funktionen mit Werten in Banachr"aumen und in noch allgemeineren R"aumen diskutieren und dann erkennen, da"s die Faltung von Ma"sen mit Funktionen aus \ref{FMSF} und \ref{FMSFp} jedenfalls f"ur kompakt getragene Ma"se gerade die analoge Operation von Ma"sen auf den nun nicht mehr unit"aren Darstellungen von $\DR$ durch Verschiebung auf den Funktionenr"aumen $\cal{C}(\DR)$ beziehungsweise $\op{L}^p(\DR)$ ist. \end{Bemerkungw}} \begin{Beispiele} Ist $\mu = \delta_t$ ein Diracma"s, so gilt $\mu \ast v = \rho(t) (v)$. Durch diese Gleichheit motiviert vereinfachen wir unsere Notation und schreiben kurz $$\rho(t)(v)=t\ast v$$ Ist $\mu = a_1 \delta_{t(1)} + \ldots +a_n \delta_{t(n)}$ eine Linearkombination von Diracma"sen, so gilt mit dieser Notation $\mu \ast v = a_1 t(1)\ast v + \ldots + a_n t(n) \ast v$. In der Tat ist unsere Operation von Ma"sen sicher eine bilineare Abbildung $\op{M}(G) \times \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$. \end{Beispiele} \begin{Lemma}[\textbf{Stetigkeit der Konvolution}]\label{KL1S} Gegeben eine unit"are Darstellung $\cal{H}$ einer Geradengruppe $G$ gilt f"ur jedes komplexe Ma"s $\mu \in \op{M}(G)$ und jeden Vektor $v \in \mathcal{H}$ die Absch"atzung \begin{equation*} \| \mu \ast v\| \leq \|\mu\| \cdot \|v\| \end{equation*} mit $\|\mu\|$ der Variationsnorm unseres Ma"ses aus \ref{DCMaa}. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $w \in \mathcal{H}$ haben wir $$ | \langle w,\mu \ast v\rangle | = \left| \int \langle w,t \ast v\rangle \; \mu \langle t \rangle \right| \leq \int | \langle w ,t \ast v\rangle | \;|\mu| \langle t \rangle \leq \|\mu\| \cdot\|v\| \cdot \|w\| $$ Setzen wir hier $w = \mu \ast v$, so ergibt sich die Behauptung sofort. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Assoziativit"at der Konvolution}] Gegeben eine unit"are Darstellung $\cal{H}$ einer Geradengruppe $G$ und Ma"se $\mu, \nu \in \op{M}(G)$ und ein Vektor $v \in \mathcal{H}$ gilt stets \begin{equation*} \mu\ast (\nu \ast v) = (\mu \ast \nu) \ast v \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es reicht zu zeigen, da"s beide Seiten mit jedem Vektor $w \in \mathcal{H}$ dasselbe Skalarprodukt haben. Wir finden nun nach den Definitionen \begin{eqnarray*} \langle w,\mu \ast (\nu\ast v)\rangle & =& \int \langle w,t \ast (\nu\ast v) \rangle \;\mu \langle t \rangle \\ &=&\int \langle (-t) \ast w,\nu \ast v\rangle \;\mu \langle t \rangle\\ &=& \int \left( \int \langle (-t)\ast w,s \ast v\rangle \;\nu \langle s \rangle \right) \;\mu \langle t \rangle\\ \langle w,(\mu \ast \nu) \ast v \rangle &=& \int \langle w ,x \ast v\rangle (\mu \ast \nu) \langle x \rangle \\ &=& \int \langle w,(s +t)\ast v \rangle (\mu \boxtimes \nu) \langle s,t \rangle \end{eqnarray*} und die Behauptung folgt so aus dem Satz von Fubini. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KKKn} Sei $\cal{H}$ eine unit"are Darstellung einer Geradengruppe $G$ und $\mu_n \in \op{M}(G)$ eine Folge von nichtnegativen Ma"sen mit $\mu_n(G)=1$ und der Eigenschaft, da"s f"ur jede offene Umgebung $U$ des neutralen Elements $0\in G$ fast alle unserer Ma"se auf $G\setminus U$ verschwinden. So gilt f"ur jeden Vektor $ v \in \mathcal{H}$ die Formel $$\lim_{n\rightarrow \infty} \mu_n\ast v = v$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] F"ur alle $\varepsilon > 0$ gibt es eine offene Umgebung $U$ des neutralen Elements mit $\| t \ast v - v\| \leq \varepsilon$ f"ur alle $t \in U$. Falls $n$ so gro"s ist, da"s gilt $\mu_n(G\setminus U)$, so haben wir demnach $$ \left| \langle w ,\mu_n \ast v - v\rangle \right| = \left| \int \langle w ,t \ast v - v\rangle \; \mu_n \langle t \rangle \right| \leq \int | \langle w ,t \ast v -v\rangle | \; \mu_n \langle t \rangle \leq \varepsilon\|w\| \qedhere$$ \end{proof} \begin{Definition}\label{SpRa} Gegeben eine Geradengruppe $G$ notieren wir die Inverse der abstrakten Fouriertransformation $\cal{M}(G)\sira \cal{S}(\hat{G})$ von den Schwartzma"sen in die Schwartzfunktionen aus \ref{AFT} als $h\mapsto h^\vee$. Gegeben eine unit"are Darstellung $\mathcal{H} $ von $G$ und eine abgeschlossene Teilmenge $C\As \hat{G}$ setzen wir \begin{equation*} \mathcal{H}_C = \{ v \in \mathcal{H} \mid h^\vee \ast v =0 \text{ f"ur alle } h \in \cal{S}(\hat{G}) \text{ mit } h|_C =0\} \end{equation*} Nach \ref{KL1S} ist das ein abgeschlossener Teilraum und wegen der Kommutativit"at der Konvolution ist er sogar eine Unterdarstellung. Offensichtlich folgt aus $C \subset D$ auch $\mathcal{H}_C \subset \mathcal{H}_D$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im folgenden will ich versuchen klar zu machen, da"s man sich diesen Raum denken kann als die Menge aller Vektoren, die \glqq keine spektralen Anteile zu Charakteren au"serhalb von $C$ besitzen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben $f\in \cal{S}(\hat{G})$ mit Tr"ager in $C$ gilt $f^\vee\ast \mathcal{H}\subset \mathcal{H}_C$. In der Tat haben wir ja $h^\vee \ast(f^\vee\ast v)=(h^\vee \ast f^\vee)\ast v=(h\cdot f)^\vee\ast v =0$ f"ur alle $h\in \cal{S}(\hat{G})$ mit $h\cdot f=0$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{CDD} F"ur jede unit"are Darstellung $\mathcal{H}$ einer Geradengruppe $G$ und jedes Kompaktum $C \subset \hat{G}$ besteht $\mathcal{H}_C$ aus differenzierbaren Vektoren. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir behaupten zun"achst f"ur alle $v\in \cal{H}_C$ und $\varphi\in \cal{S}(\hat{G})$ mit $\varphi|_C=1$ die Formel $$\varphi^\vee\ast v=v$$ Aus den Definitionen folgt schon mal, da"s f"ur jede weitere derartige Funktion $\phi$ gilt $\phi^\vee\ast v=\varphi^\vee\ast v$. Es reicht demnach, unsere Formel f"ur ein derartiges $\varphi$ zu zeigen, das wir konstant Eins auf einem $C$ und den Ursprung umfassenden Intervall annehmen d"urfen, so da"s insbesondere f"ur $r\geq 1$ auch $\varphi_r=\varphi\circ (r^{-1}\cdot)$ auf $C$ konstant Eins ist. Damit h"angt also $\varphi_r^\vee\ast v$ gar nicht von $r\geq 1$ ab. Unsere Formel ist mithin gezeigt, sobald wir nachweisen, da"s $\langle\varphi_r^\vee\ast v,w\rangle$ f"ur alle $w$ bei $r\ra\infty$ gegen $\langle v,w\rangle$ strebt. Ist nun $\lambda$ ein Haarma"s auf $G$ und $\varphi^\vee=\psi\lambda$, so haben wir $\varphi_r^\vee=r(\psi\circ (r\cdot))\lambda$ und $$\langle w,\varphi_r^\vee\ast v\rangle= \int \langle w,t\ast v\rangle r\psi(rt)\;\lambda \langle t\rangle= \int \langle w,(u/r)\ast v\rangle \psi(u)\;\lambda \langle u\rangle $$ und das strebt nach dem Satz "uber dominierte Konvergenz bei $r\ra\infty$ gegen $ \langle v,w\rangle$. Damit ist die oben behauptete Formel bewiesen. Um nun zu zeigen, da"s $v \in \mathcal{H}$ differenzierbar ist, beschr"anken wir uns auf den Fall $G=\DR$. F"ur jede Funktion $\psi$ aus dem Schwartzraum strebt dann $(\tau_t \psi - \psi)/t$ f"ur $t \ra 0$ in der $\op{L}^1$-Norm gegen $\psi'$ und damit ist $\psi\lambda\ast v$ differenzierbar nach \ref{KL1S} mit Ableitung $ \psi'\lambda\ast v$. \end{proof} %\begin{Bemerkungl} %Im Fall einer endlichdimensionalen Darstellung %ist $\mathcal{H}_C$ die Summe aller Eigenr"aume des %infinitesimalen Erzeugers mit Eigenwerten aus ${\op{i}}C$. %\end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{DiDi} Gegeben eine unit"are Darstellung $\mathcal{H}$ einer Geradengruppe $G$ liegt die Vereinigung der $ \mathcal{H}_{C}$ "uber alle Kompakta $C\subset \hat{G}$ dicht in $\mathcal{H}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{KKKn} liegt $\cal{M}(G)\ast \cal{H}$ dicht in $\cal{H}$. Nach \ref{FTL1} liegt $\mathcal{C}^\infty_{!} (\hat{G})^\vee$ dicht in $\cal{M}(G)$ f"ur die Variationsnorm. Nach \ref{KL1S} liegt dann auch $\mathcal{C}^\infty_{!} (\hat{G})^\vee \ast \cal{H}$ dicht in $\cal{H}$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{FTL1} Die Fouriertransformierten glatter Funktionen mit kompaktem Tr"ager auf der reellen Zahlengeraden bilden einen dichten Teilraum im Raum aller integrierbaren Funktionen auf der reellen Zahlengeraden. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal liegt der Schwartzraum dicht im Raum aller integrierbaren Funktionen, es reicht also f"ur jede Funktion des Schwartzraums $f \in \mathcal{S}$ eine Folge $g_n \in \mathcal{C}^\infty_! (\Bbb{R})$ anzugeben mit $\lim_{n\rightarrow \infty} \|g^\wedge_n - f\|_1 =0$. Dazu schreiben wir $f = g^\wedge$ mit $g \in \mathcal{S}$ und w"ahlen $h \in \mathcal{C}_!^\infty (\Bbb{R})$ mit $h |_{[-1,1]} =1$ und betrachten die Funktionen $h_n$ mit $h_n (x) = h(x/n)$ und setzen $g_n=h_ng$. Jetzt behaupte ich \begin{equation*} (g_n )^{(i)} \rightarrow g^{(i)} \end{equation*} in der $\op{L}^2$-Norm f"ur $i =0,1,2$, also f"ur die Funktionen selbst und f"ur ihre erste und zweite Ableitung. Sobald das gezeigt ist, folgern wir $y^i g_n^\wedge \rightarrow y^i g^\wedge$ in der $\op{L}^2$-Norm f"ur $i =0,1,2$ und damit $(1+y^2) g^\wedge_n \rightarrow (1+y^2) g^\wedge$ in der $\op{L}^2$-Norm. Da aber $(1+y^2)^{-1}$ selbst quadratintegrierbar ist, folgt mit \ref{qIq} sofort $g^\wedge_n \rightarrow g^\wedge$ in der $\op{L}^1$-Norm. Warum aber gilt $(h_n g)^{(i)} \rightarrow g^{(i)}$ in der $\op{L}^2$-Norm? Nun, wir finden eine Schranke $C $ f"ur $|h-1|$ und eine Schranke $M$ mit $|g(x)| \leq M x^{-2}$ f"ur $x \geq 1$ und folgern $|h_n g-g| =|h_n -1| \cdot |g| \leq MCx^{-2}$ f"ur $x \geq 1$. F"ur $|x| \leq n$ verschwindet andererseits diese Differenz identisch, und so folgt \begin{equation*} \| h_n g - g\|_2 \leq 2MC \int^\infty_n x^{-2} \diff x \end{equation*} und das strebt f"ur $n \rightarrow \infty$ gegen Null. Die Behauptung f"ur die h"oheren Ableitungen zeigt man "ahnlich. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{qIq} Gegeben ein Ma"sraum $X$ definiert f"ur jede quadratintegrierbare Funktion $g \in \op{L}^2(X)$ das Multiplizieren mit $g$ eine stetige lineare Abbildung $(g\cdot): \op{L}^2 (X) \rightarrow \op{L}^1 (X)$ mit der Operatornorm $\| g\|_2$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VVMK} Gegeben unit"are Darstellungen $(\cal{H},\rho)$ und $(\cal{H}',\rho')$ einer Geradengruppe $G$ und ein Verflechtungsoperator $A:\cal{H}\ra \cal{H}'$ zeige man f"ur jedes komplexe Ma"s $\mu\in \op{M}(G)$ und alle $v\in\cal{H}$ die Formel $\mu\ast (Av)=A(\mu\ast v)$. \end{Ubung} \subsection{Variationen zum Spektralsatz} \begin{Satz}[\textbf{Simultane Spektralzerlegung}] Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ haben\label{SSZ} wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Kompakt getragene auf}\\ \text{$\Bbb{R}^n$ definierte Teilungen}\\ \text{$\Phi$ der Identit"at von } \mathcal{H} \end{array}\right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{$n$-Tupel } (T_1, \ldots, T_n) \text{ von }\\ \text{paarweise kommutierenden}\\ \text{selbstadjungierten Operatoren auf } \mathcal{H} \end{array} \right\} \\[7mm] \Phi & \mapsto & \left(\int x_1 \Phi,\ldots,\int x_n \Phi\right) \end{array}$$ Gegeben eine stetige lineare Abbildung $A :\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'$ von Hilbertr"aumen und paarweise kommutierende selbstadjungierte Operatoren $T_1,\ldots, T_n \in \mathcal{B} (\mathcal{H})$ sowie $T'_1,\ldots, T'_n \in \mathcal{B} (\mathcal{H}')$ mit $AT_\nu = T'_\nu A$ f"ur $1\leq \nu\leq n$ haben wir f"ur die zugeh"origen projektorwertigen Ma"se $\Phi, \Phi'$ und jede Borelmenge $M\subset\DR^n$ weiter die Identit"at $$A\circ \Phi(M) = \Phi'(M)\circ A$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis variiert den Beweis des Spektralsatzes \ref{SSS} und wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. Wir beginnen mit einer sehr groben Absch"atzung f"ur die Operatornorm eines polynomialen Ausdrucks in paarweise kommutierenden selbstadjungierten Operatoren. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{KNNn} Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$, darauf paarweise kommutierende selbstadjungierte Operatoren $T_1, \ldots, T_n$ und ein kompaktes Intervall $[a,b] \subset \Bbb{R}$ mit $\sigma (T_\nu) \subset (a,b) $ f"ur $1\leq \nu\leq n$ gilt f"ur jedes Polynom $P \in \Bbb{C} [X_1, \ldots, X_n]$ die Absch"atzung \begin{equation*} \| P (T_1, \ldots, T_n) \| \leq \sup \{ P(\lambda_1 , \ldots, \lambda_n)\mid \lambda_\nu \in [a,b]\;\forall \nu\} \end{equation*} \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $\Phi_\nu$ die nach dem Spektralsatz \ref{SSS} durch $T_\nu$ definierte Teilung der Identit"at von $\mathcal{H}$. Wir bilden f"ur jedes $r$ die "aquidistante Unterteilung $a = a_0 \leq a_1 \leq \ldots \leq a_r = b$ und betrachten die Intervalle $I_i = (a_{i-1}, a_i]$ und die Operatoren \begin{equation*} S^r_\nu = \sum_{i=1}^r a_i \Phi_\nu (I_i) \end{equation*} Nach dem Spektralsatz gilt in der Operatornorm $S^r_\nu \rightarrow T_\nu$ f"ur $r \rightarrow \infty$ und daraus ergibt sich sofort ebenfalls in der Operatornorm \begin{equation*} P(S_1^r , \ldots , S^r_n) \rightarrow P(T_1, \ldots, T_n)\quad \text{ f"ur }r \ra\infty \end{equation*} Der Operator $P (S_1^r, \ldots , S^r_n)$ kann hinwiederum wie folgt beschrieben werden: Man betrachte f"ur jedes $n$-Tupel $(i{(1)}, i{(2)}, \ldots i{(n)})$ von Indizes aus $\{1, \ldots ,r\}$ den Projektor $\Phi_1 (I_{i(1)}) \circ \ldots \circ \Phi_n (I_{i(n)})$. Die Bilder dieser $r^n$ Projektoren bilden eine Zerlegung unseres Hilbertraums $\mathcal{H}$ in $r^n$ paarweise orthogonale abgeschlossene Teilr"aume und unser Operator $P (S^r_1, \ldots , S^r_n)$ operiert auf dem entsprechenden Teilraum als der Skalar $P(a_{i(1)},a_{i(2)}, \ldots , a_{i(n)})$. Im Fall $n=2$ etwa ist das genau der Wert, den unser Polynom an der oberen linken Ecke des Rechtecks $I_{i(1)}\times I_{i(2)}$ annimmt. Damit ist klar, da"s die Norm von $P(S^r_1, \ldots , S^r_n)$ in der behaupteten Weise abgesch"atzt werden kann, und dasselbe ergibt sich im Grenzwert auch f"ur die Norm von $P(T_1, \ldots, T_n)$. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{SSZ}] Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die Gegenrichtung. Seien $T_1, \ldots, T_n$ paarweise kommutierende selbstadjungierte Operatoren auf einem Hilbertraum $\cal{H}$. Lemma \ref{KNNn} zeigt, da"s es ein Kompaktum $K\subset \DR^n$ gibt derart, da"s f"ur jedes Polynom $P\in \Bbb{C} [X_1, \ldots, X_n]$ gilt \begin{equation*} \| P (T_1, \ldots, T_n) \| \leq \| P|_K \|_\infty \end{equation*} Daraus folgern wir die Existenz und Eindeutigkeit der durch gestrichelte Pfeile angedeuteten stetigen Ringhomomorphismen im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \Bbb{C} [X_1, \ldots, X_n]\ar[dr] \ar@{->>}[r] &\Bbb{C} [x_1,\ldots, x_n] \ar@{^{(}->}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal{C} (K)\ar@{-->}[dl]\\ & \mathcal{B} (\mathcal{H}) & } \end{displaymath} und haben so bereits das Anwenden einer stetigen Funktion auf einen selbstadjungierten Operator verallgemeinert zum Anwenden einer stetigen Funktion $\DR^n\ra \DC$ auf ein $n$-Tupel von paarweise kommutierenden selbstadjungierten Operatoren. Wie beim Beweis von \ref{sazv} im Anschlu"s an \ref{SABBB} folgern wir, da"s es f"ur jeden Vektor $v\in \mathcal{H}$ genau ein Paar $(\mu, \varphi)$ gibt bestehend aus einem kompakt getragenen Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}^n$ und einer unit"aren Einbettung $\varphi : \op{L}^2 (\Bbb{R}^n;\mu)\hookrightarrow \mathcal{H}$ mit $\varphi (1) =v$ und $\varphi \circ (x_i \cdot) = T_i \circ \varphi$ f"ur $1 \leq i \leq n$. Wie in \ref{AWMO} folgende zeigen wir dann, da"s es f"ur $f: \Bbb{R}^n \rightarrow \Bbb{C}$ me"sbar und beschr"ankt genau einen Operator $f (T_1, \ldots, T_n)$ gibt mit $f (T_1, \ldots, T_n)v=\varphi(f)$ f"ur $\varphi$ die kanonische Einbettung zu $v$ wie eben, und da"s wir so eine Teilung der Identit"at mit den gew"unschten Eigenschaften erhalten. Der Rest des Beweises ist vollst"andig analog zum Beweis des Spektralsatzes aus \ref{BSSS} und mag dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Spektralsatz f"ur unit"are Operatoren}] Gegeben ein Hilbert\-raum $\mathcal{H}$ haben wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Auf der Kreislinie } S^1 \text{ definierte }\\ \text{Teilungen $\Phi$ der Identit"at von } \mathcal{H} \end{array} \right\} & \sira &\left\{ \begin{array}{c} \text{Unit"are Automorphismen} \\ \text{des Hilbertraums }\mathcal{H}\end{array}\right\}\\[2ex] \Phi & \mapsto &\int_{S^{1}} z \Phi \langle z \rangle \end{array} \end{displaymath} \end{Korollar} \begin{proof} Nach \ref{EigPI} liefert f"ur jede Teilung der Identit"at auf der Kreislinie besagtes Integral einen unit"aren Automorphismus unseres Hilbertraums. Da"s diese Konstruktion eine Bijektion liefert, folgt mit mit \ref{SUOP} aus dem etwas allgemeineren Fall \ref{SSN} sogenannter \glqq normaler\grqq\ Operatoren. \end{proof} \begin{Definition} Ein Operator auf einem Hilbertraum hei"st {\bf normal},\index{normal!Operator} wenn er mit seinem Adjungierten vertauscht. In Formeln ist also ein Operator $N \in \mathcal{B} (\mathcal{H})$ normal, wenn gilt $NN^\ast = N^\ast N$. Insbesondere ist jeder selbstadjungierte und jeder unit"are Operator normal. Ein Endomorphismus eines endlichdimensionalen Hilbertraums ist normal genau dann, wenn er diagonalisierbar ist mit paarweise aufeinander senkrecht stehenden Eigenr"aumen, und f"ur jedes projektorwertige Ma"s $\Phi$ auf einem Me"sraum und jede beschr"ankte me"sbare komplexwertige Funktion $f$ auf besagtem Raum ist $\int f\Phi$ normal. \end{Definition} \begin{Korollar}[\textbf{Spektralsatz f"ur normale Operatoren}]\label{SSN} $\;$ \begin{enumerate} \item Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ erhalten wir eine Bijektion \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Auf $\DC$ definierte kompakt getragene}\\ \text{Teilungen der Identit"at von $\cal{H}$} \end{array} \right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Normale}\\ \text{Operatoren auf } \mathcal{H} \end{array} \right\}\\[5mm] \Phi & \mapsto & \int z\Phi\langle z\rangle \end{array} \end{displaymath} \item F"ur die einem normalen Operator $N$ entsprechende Teilung der Identit"at $\Phi_N$ ist das Spektrum $\sigma(N)$ von $N$ das kleinste Kompaktum $K\subset \DC$ mit $\Phi_N(K)=\op{id}_{\cal{H}}$ und der adjungierte Operator wird gegeben durch das Integral $$N^\ast=\int \bar{z}\Phi_N\langle z\rangle$$ \item\label{SSS3n} Gegeben eine stetige lineare Abbildung von Hilbertr"aumen $A :\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'$ und normale Operatoren $N \in \mathcal{B}(\mathcal{H})$, $N' \in \mathcal{B} (\mathcal{H}')$ mit $AN = N'A$ gilt f"ur die zugeh"origen projektorwertigen Ma"se $\Phi, \Phi'$ und $M\subset\DC$ eine beliebige Borelmenge $$A\circ \Phi(M) = \Phi'(M)\circ A$$ \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{proof} Jeder normale Operator $N$ l"a"st sich in eindeutiger Weise darstellen als \begin{displaymath} N = R + {\op{i}} I \end{displaymath} mit kommutierenden selbstadjungierten Operatoren $R$ und $ I$, n"amlich mit $R = (N + N^\ast)/2$ und $I = (N-N^\ast)/2{\op{i}}$. Betrachten wir zu $R$ und $ I$ die simultane Spektralzerlegung, d.h. die auf $\DR^2$ definierte kompakt getragene Teilung $\Phi$ der Identit"at von $\mathcal{H}$ mit \begin{displaymath} R =\int x \Phi \langle x,y \rangle \quad\text{ und }\quad I = \int y \Phi \langle x,y \rangle \end{displaymath} Wir erhalten unter der Identifikation $\Bbb{R}^2 \overset{\sim}{\rightarrow} \Bbb{C}$, $ (x,y) \mapsto x + {\op{i}}y$ eine Teilung $\Phi$ der Identit"at auf $\Bbb{C}$ mit \begin{displaymath} N = \int z \Phi \langle z \rangle \end{displaymath} Der Rest des Beweises kann dem Leser "uberlassen bleiben, f"ur Teil \ref{SSS3} benutze man das anschlie"sende Lemma \ref{PFRr}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{PFRr} Gegeben $N :\mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}$ und $N' :\mathcal{H}' \rightarrow \mathcal{H}'$ normale Operatoren auf Hilbertr"aumen und $A: \mathcal{H} \rightarrow \mathcal{H}'$ eine stetige lineare Abbildung mit $AN = N' A$ gilt auch f"ur ihre Adjungierten $A N^\ast = N'^{ \ast} A$. \end{Lemma} \begin{proof} Seien $\Phi_N,\Phi_{N'}$ die zugeh"origen Teilungen der Identit"at auf $\DC$. Zun"achst einmal gilt es, \ref{BSST} auf den Fall normaler Operatoren zu verallgemeinern. Das zeigt dann $A \Phi_N (C) = \Phi_{N'} (C) A$ erst f"ur $C \As \Bbb{C}$ und dann durch die Betrachtung geeigneter Differenzmengen auch allgemeiner f"ur halboffene Rechtecke der Gestalt $C = (a,b] \times {\op{i}}(c,d]$. Jetzt schreiben wir $N^\ast$ und $N'^\ast$ als Grenzwert von Riemannsummen wie im Beweis von \ref{KNNn} und das Lemma folgt. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Poff} Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ mit einer Teilung $\Phi$ der Identit"at und $f$ beschr"ankt und me"sbar und $P \in \Bbb{C} [X]$ ein Polynom haben wir nach \ref{Pof} die Identit"at \begin{equation*} P \left(\int f \Phi\right) = \int (P \circ f) \Phi \end{equation*} Man zeige diese Identit"at nun f"ur beliebige beschr"ankte me"sbare Funktionen $P:\DC\ra\DC$. \end{Ubung} \subsection{Unbeschr"ankte Operatoren} \begin{Bemerkungl} In der Literatur trifft man unit"are Darstellungen von $\DR$ meist in einer mehr traditionellen Tracht als sogenannte \glqq unbeschr"ankte selbstadjungierte Operatoren\grqq\ an. Ich stelle hier dieses Konzept vor und erkl"are in Satz \ref{UDUO} seine Beziehung zu unit"aren Darstellungen, beweise von diesem Satz jedoch nur noch einen Teil. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einer {\bf partiell definierten linearen Abbildung} \index{partiell!definiert, lineare Abbildung} von einem Vektorraum $V$ in einen Vektorraum $W$ verstehen wir ein Paar $(\mathcal{D},T)$ bestehend aus einem Untervektorraum $\mathcal{D} \subset V$ und einer linearen Abbildung $T: \mathcal{D} \rightarrow W$. Wir notieren solch eine partiell definierte\index{)4@$\dashrightarrow$ partiell definierte lineare Abbildung} lineare Abbildung auch $$T:V \dashrightarrow W$$ und schreiben $\mathcal{D} = \mathcal{D}(T)$ und nennen diesen Untervektorraum den {\bf Definitionsbereich von $T$}. Ist $V$ ein normierter Vektorraum und ist $\mathcal{D} \subset V$ dicht, so sprechen wir von einer {\bf dicht definierten}\index{dicht!definiert} linearen Abbildung $V \dashrightarrow W$. \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{AbT} Ein typisches Beispiel f"ur eine dicht definierte lineare Abbildung w"are $V = W = \op{L}^2 (\Bbb{R}; \diff x)$ mit dem Teilraum $ \mathcal{D} = \{ f \in \op{L}^2 (\Bbb{R}; \diff x) \cap \mathcal{C}^1 (\Bbb{R}) \mid f' \in \op{L}^2 (\Bbb{R}; \diff x)\}$ als Definitions\-bereich und dem Ableiten $T f = f'$ als linearer Abbildung. \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben $T: \mathcal{H} \dashrightarrow \mathcal{H}'$ eine dicht definierte lineare Abbildung von Hilbertr"aumen erkl"aren wir eine weitere partiell definierte lineare Abbildung $T^* : \mathcal{H}' \dashrightarrow \mathcal{H}$, ihre \defnoind{adjungierte Abbildung},\index{adjungiert!partiell definierte Abbildung} indem wir den Teilraum $\mathcal{D}(T^*) \pdef \{v' \in \mathcal{H}' \mid v \mapsto \langle v',T v \rangle \text{ ist stetig auf } \mathcal{D} (T)\}$ als ihren Definitionsbereich w"ahlen und dann $T^* : \mathcal{D} (T^*)\rightarrow \mathcal{H}$ unter Verwendung des Satzes von Riesz \ref{DRH} erkl"aren durch die Vorschrift $$\langle T^* v',v\rangle = \langle v',Tv\rangle \quad \forall v \in \mathcal{D} (T), v' \in \mathcal{D} (T^*)$$ \end{Definition} \begin{Definition}\label{usab} Ein {\bf unbeschr"ankter selbstadjungierter Operator} auf einem Hilbertraum\index{unbeschr"ankt!Operator}\index{Operator!unbeschr"ankter} ist eine dicht definierte lineare Abbildung von unserem Hilbertraum in sich selber, die mit ihrer Adjungierten zusammenf"allt, in Formeln $T:\mathcal{H} \dashrightarrow \mathcal{H}$ mit $T^* =T$. Mit gefordert wird hier implizit insbesondere auch die Gleichheit der Definitionsbereiche $\mathcal{D} (T)= \mathcal{D} (T^*)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Mich befriedigt diese Terminologie nicht vollst"andig, da nat"urlich auch alle beschr"ankten selbstadjungierten Operatoren Beispiele f"ur unbeschr"ankte selbstadjungierte Operatoren sind. Stattdessen stets von \glqq nicht notwendig beschr"ankten\grqq\ selbstadjungierten Operatoren zu reden w"are aber auch wieder umst"andlich. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{Bssa} F"ur jedes nichtnegative Borelma"s $\mu$ auf $\Bbb{R}$ ist das Paar $(\mathcal{D},T)$ bestehend aus dem Teilraum $\mathcal{D}\pdef \{f \in \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu) \mid x f \in \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu)\}$ und der Abbildung $T : \mathcal{D} \rightarrow \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu)$, $ f \mapsto xf$ ein unbeschr"ankter selbstadjungierter Operator auf $\op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$. Hierbei meint $x$ die Identit"at auf $\DR$. \end{Lemma} \begin{proof} Per definitionem besteht $\mathcal{D}(T^\ast) $ aus allen $ g \in \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu)$ derart, da"s sich die Abbildung $ f\mapsto \int \bar{g} x f \mu$ stetig von $\mathcal{D}$ auf ganz $\op{L}^2 (\Bbb{R};\mu)$ fortsetzen l"a"st. Die Inklusion $\mathcal{D}(T^\ast) \supset \mathcal{D}$ scheint mir damit offensichtlich. L"a"st sich andererseits f"ur vorgegebenes $g \in \op{L}^2$ unsere Abbildung stetig von $\cal{D}$ nach $\op{L}^2$ fortsetzen, so wird diese Fortsetzung nach \ref{DRH} gegeben durch das Integrieren gegen eine Funktion $h \in \op{L}^2 (\Bbb{R}; \mu)$ als $f \mapsto \int \bar{h} f \mu$. Insbesondere gilt also f"ur jede glatte Funktion $f$ mit kompaktem Tr"ager $\int \bar{g}xf \mu = \int \bar{h}f \mu$ und daraus folgt mit \ref{lID} dann $ \bar{g}x = \bar{h}$ fast "uberall, also $xg \in \op{L}^2 (\Bbb{R};\mu)$ und damit $\mathcal{D}(T^\ast) = \mathcal{D}$. \end{proof} \begin{Beispiel} Ich komme nocheinmal auf das Beispiel \ref{AbT} zur"uck. Gegeben $f,g \in \mathcal{D}$ gilt ja sicher \begin{equation*} \int^b_a \bar{g} f' = \bar{g}f\mid^{b}_{a} -\int^b_a \bar{g}'f \end{equation*} und wegen $\bar{g} f \in \op{L}^1$ finden wir Folgen $a_n, b_n$ mit $a_n \rightarrow -\infty$, $ b_n \rightarrow \infty$ und $(\bar{g}f)(a_n) \rightarrow 0$, $(\bar{g}f) (b_n) \rightarrow 0$. Daraus folgern wir \begin{equation*} \langle g,T f \rangle = -\langle Tg,f\rangle \quad \forall f,g \in \mathcal{D} \end{equation*} Mithin unterscheidet sich in diesem Fall der Operator $({\op{i}}T)^*$ vom Operator ${\op{i}}T$ h"ochstens dadurch, da"s er eventuell einen gr"o"seren Definitionsbereich hat. Und den hat er in unserem Fall in der Tat, zum Beispiel geh"ort zu besagtem Definitionsbereich auch noch jede stetige Funktion, die auf $(-\infty, a]$ und $[a,\infty)$ stetig differenzierbar ist und deren Ableitung dort jeweils quadratintegrierbar ist. Genauer erhalten wir eine Erweiterung unseres Operators zu einem selbstadjungierten Operator, wenn wir $t$ statt $x$ schreiben und den folgenden Satz \ref{UDUO} auf die unit"are Darstellung von $\DR$ auf $\op{L}^2(\DR;\diff t)$ anwenden, bei der $t\in \DR$ durch Verschiebung um $t$ operiert, in Formeln $\rho(t)=\tau_t$. \end{Beispiel} \begin{Satz}\label{UDUO} Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ liefert das Bilden des infinitesimalen Erzeugers $S_\rho$ zu einer unit"aren Darstellung $\rho$ im Sinne von \ref{BKZV} eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Unit"are Darstellungen}\\ \text{von $\Bbb{R}$ in $\mathcal{H}$}\\ \end{array}\right\} & \overset{\sim}{\rightarrow} & \left\{ \begin{array}{c} \text{Unbeschr"ankte selbstadjungierte}\\ \text{Operatoren auf $\mathcal{H}$} \end{array}\right\}\\[5mm] \rho & \mapsto &(\mathcal{H}^1, -{\op{i}}S_{\rho}) \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir zeigen hier nur, da"s wir so eine Abbildung erhalten. Das einzige Problem dabei ist zu zeigen, da"s der adjungierte Operator zu ${\op{i}} S_{\rho}$ auch keinen gr"o"seren Definitionsbereich hat als $\mathcal{H}^1$. Das folgt jedoch sofort aus der lokalen Darstellung \ref{UDzy} in Verbindung mit \ref{Bssa}. Da"s die so konstruierte Abbildung eine Bijektion ist, wird erst sp"ater gezeigt werden. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Hilbertraum $\mathcal{H}$ folgern wir aus dem vorhergehenden Satz \ref{UDUO} in Verbindung mit dem Satz "uber die Spektralzerlegung unit"arer Darstellungen \ref{SUD} sogar ein kommutatives Dreieck von Bijektionen $$\begin{array}{c}\left\{ \begin{array}{c} \text{Unit"are Darstellungen}\\ \text{von $\Bbb{R}$ in $\mathcal{H}$}\\ \end{array}\right\}\\[5mm] \nearrow\sim\qquad\qquad \sim\searrow\end{array}\qquad$$ \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Auf $\DR$ definierte Teilungen}\\ \text{der Identit"at von $\cal{H}$} \end{array} \right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{Unbeschr"ankte selbstadjun-}\\ \text{-gierte Operatoren auf $\mathcal{H}$} \end{array} \right\}\\[5mm] \Phi & \mapsto & \int x \Phi \langle x \rangle \end{array} \end{displaymath} Hier ist der fragliche Operator nur auf den $v\in\cal{H}$ mit $\int |x| \langle v ,\Phi v \rangle<\infty$ definiert, f"ur $\langle v ,\Phi v \rangle$ das in \ref{BMPM} erkl"arte Ma"s, und f"ur diese $v$ ist er definiert durch die Bedingung $$\left\langle w,\left(\int x \Phi \langle x \rangle\right)v\right\rangle=\int x \langle w ,\Phi v\rangle\qquad \forall w\in\cal{H}$$ Weiter meint $\nearrow$ unsere Bijektion aus dem Satz "uber die Spektralzerlegung unit"arer Darstellungen \ref{SUD} und $\searrow$ unsere Bijektion aus dem vorhergehenden Satz \ref{UDUO} und das a priori v"ollig unmotivierte Vorzeichen in \ref{UDUO} habe ich nur eingef"uhrt, damit ein kommutatives Dreieck entsteht, ohne da"s wir irgendwo anders ein noch unnat"urlicheres Vorzeichen einf"uhren m"u"sten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Quantenmechanik}] In der Quantenmechanik modelliert man die Menge aller m"oglichen Zust"ande eines vorgegebenen physikalischen Systems als die Menge $\Bbb{P} \mathcal{H}$ aller eindimensionalen Teilr"aume eines Hilbertraums $\mathcal{H}$. Messungen mit zwei m"oglichen Resultaten, Ja oder Nein, modelliert man als abgeschlossene Teilr"aume $T\As \mathcal{H}$. Wenden wir auf einen Zustand $\Bbb{C} v \in \Bbb{P} \mathcal{H}$ eine Messung $T$ an, so gilt es, den Vektor $v$ auf den vorgegebenen Teilraum $T \subset \mathcal{H}$ zu projizieren vermittels des zugeh"origen orthogonalen Projektors $\op{pr}_T$. Das Verh"altnis von $\|\op{pr}_T (v)\|^2$ zu $\| v\|^2$ wird dann interpretiert als die Wahrscheinlichkeit $P (v)$ f"ur das Me"sergebnis \glqq Ja\grqq, in Formeln \begin{equation*} P (v) = \frac{\|\op{pr}_T (v)\|^{2}}{\|v\|^{2}} \end{equation*} Feinere Messungen, die als Me"sergebnisse etwa beliebige reelle Zahlen liefern k"onnen, modelliert man als Teilungen $\Phi$ der Identit"at von $\mathcal{H}$, die etwa auf der reellen Zahlengeraden definiert sind, und interpretiert dann f"ur jede Borelmenge $M \subset \Bbb{R}$ den Projektor $\Phi (M)$ in der Weise, da"s $\| \Phi (M) v\|^2 / \|v\|^2$ die Wahrscheinlichkeit daf"ur angibt, da"s der Zustand $\Bbb{C}v$ bei unserer Messung ein Resultat aus $M$ liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine partiell definierte lineare Abbildung von Banachr"aumen hei"st ein {\bf abgeschlossener Operator},\index{abgeschlossen!Operator, unbeschr"ankter} wenn ihr Graph abgeschlossen ist im Produktraum. Das ist nicht zu verwechseln mit dem Begriff der Abgeschlossenheit f"ur Abbildungen zwischen topologischen R"aumen. Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s f"ur eine konvergente Folge $v_n$ im Definitionsbereich unseres Operators, f"ur die auch die Folge der Bilder $Tv_n$ konvergiert, der Grenzwert $v$ auch im Definitionsbereich unseres Operators liegt und zus"atzlich gilt $Tv_n\ra Tv$. Man kann zeigen, da"s jeder unbeschr"ankte selbstadjungierte Operator abgeschlossen ist. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $\Phi$ eine kompakte getragene auf $\Bbb{R}$ definierte Teilung der Identit"at eines Hilbertraums $\mathcal{H}$ und $T$ der zugeh"orige selbstadjungierte Operator, so ist $\langle Tv, v\rangle /\|v\|^2$ der Erwartungswert f"ur das Ergebnis, das man erh"alt, wenn man die durch $\Phi$ beschriebene Messung auf den Zustand $\Bbb{C} v$ anwendet. Das ist im "ubrigen genau die Zahl, f"ur die wir im Beweis von \eref{SSM}{LA2} die Bezeichnung als \glqq Raleigh-Quotient\grqq\ eingef"uhrt hatten. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXAN3" %%% End: