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\begin{document}

%\vspace{0,5cm}

Liebe Catharina,

\vspace{0,5cm}
\noindent
ich habe etwas "uber Deine Frage nachgedacht, und sie erinnert mich
an meine urspr"ungliche Definition von $\mathbb V$.
Da hatte ich die Kategorie $\mathcal O^\prime_0$ betrachtet ($Z^+$ annuliert,
$\frak h$ operiert nicht notwendig diagonal) und Verschiebungen in die W"ande
betrachtet.
Sie landet in von $\chi$ annullierten Darstellungen, mit $\chi$ der Kern
des singul"aren zentralen Charakters,
und die Operation von $\frak h$ alias $S(\frak h)$ auf dem h"ochsten
Gewichtsraum faktorisiert "uber $S (\frak h) \twoheadrightarrow C$ f"ur
$C$ den \glqq zum Punkt $-\rho$ verschobenen Koinvariantenquotienten\grqq.

Nehmen wir hier ganz naiv den Adjungierten, so isses nat"urlich die Verschiebung
aus den W"anden, aber die landet nicht mehr in $\mathcal O^\prime_0$, sondern
vielmehr in irgend so einem $\tilde{\mathcal O}_0$, bei dem $Z^+$ nicht
mehr t"otet, sondern erst in einer geeigneten Potenz.
Genauer landen wir bei diesem
Verschieben aus der Wand 
in einer Kategorie $\hat{\mathcal O}_0 \subset \tilde{\mathcal O}_0$,
in der die $Z$-Operation faktorisiert "uber
$Z \twoheadrightarrow \tilde C$ f"ur $\tilde C$ ein \glqq Koinvariantenquotient an der
Stelle $Z^+$\grqq\  und die $S(\frak h)$-Operation desgleichen.
Ich meine zu sehen, da"s die Verschiebung aus der Wand das 
projektiv-injektive Objekt
$C$ auf ein projektiv-injektives Objekt von $\hat{\mathcal O}_0$ abbildet, ja
da"s Verschiebungen auf und aus der Wand ein adjungiertes Paar
\begin{equation*}
 \hat{\mathcal O}_0 \leftrightarrow C\operatorname{-Mod}
\end{equation*}
liefern.
Was Dich interessiert, w"are in dieser Sprache wohl die Verkn"upfung
\begin{equation*}
 C\operatorname{-Mod} \rightarrow \hat{\mathcal O}_0 \rightarrow
\mathcal O^\prime_0
\end{equation*}
mit ${\mathbb C \otimes_{\tilde C}}$ als zweitem Funktor,
der also die $Z$-Operation per Dekret diagonal macht,
und die w"urde ich dann berechnen wollen mit einer 
projektiven Aufl"osung des $\tilde C$-Moduls
$\mathbb C$.
Das scheint jedenfalls im $\operatorname{sl}_2$-Fall in Richtung 
Deiner Rechnungen zu gehen.

\vspace{0,5cm}
\noindent Herzliche Gr"u"se, Wolfgang


\vspace{1cm}
\noindent PS: Vermutlich verwandte "Uberlegungen stellen 
Beilinson und Ginzburg in \glqq Wall-crossing
$\ldots$\grqq\  an.

\noindent PPS: Zur"uck im normalen Fall 
w"urde ich mal hoffen/raten, da"s man den Adjungierten analog schreiben kann,
indem man 
$C$-Mod als Kategorie $\mathcal O$ in den W"anden mit bis zu $C$ 
relaxierter Operation der Cartan auffa"st, ganz normal aus der Wand r"uckt,
und dann diagonale Operation der Cartan erzwingt. Aber bevor ich mehr
nachdenke:
Pa"st denn das zu Deinen Beispiel-Rechnungen?



\end{document}