\section{Vorlesung Topologie SS 22}
Es handelte sich um eine vierst"undige Vorlesung, also 4$\times$45
Minuten Vorlesung, mit 2 Stunden "Ubungen. 
\begin{enumerate}
\item[25.4] 
  Topologische R"aume \ref{ToRaM}. Inneres, Abschlu"s,
  Umgebungsbegriff \ref{IAU}. Eindeutigkeit stetiger
  Fortsetzungen in H"aufungspunkten noch nicht bewiesen.
\item[27.4]
  Eindeutigkeit stetiger Fortsetzungen und Grenzwertbegriff.
  Zusammenhang. Topologische Mannigfaltigkeiten. 
\item[2.5] Kompaktheit. Initialtopologie, insbesondere
  Produkttopologie. Hausdorff bedeutet abgeschlossene
  Diagonale. 
\item[4.5]
  Gesamthaft finale Familien und Finaltopologie.
  Reelle projektive Räume. Quotienten nach Gruppen sind offen.
  Anwenden auf einen festen Vektor  ist
  finale Abbildung $\op{GL}(n;\DR)\ra \DR^n\backslash 0$, da es lokal stetige Schnitte gibt.
\item[9.5]
 Topologische Gruppen. Quotient nach abgeschlossener
 Untergruppe Hausdorff. Projektive R"aume Hausdorff und Mannigfaltigkeiten.
 Kompakt-offene Topologie. Exponentialgesetz formuliert.
 Gezeigt, da"s kompakte Haus\-dorff\-r"aume normal sind, ohne den Begriff
 normal einzuf"uhren. Gezeigt, da"s Haus\-dorff\-r"aume, in denen jeder Punkt eine kompakte Umgebung besitzt, lokal kompakt sind.
\item[11.5] Exponentialgesetz bewiesen. Lemma von Urysohn bewiesen.
  Erweiterungslemma von Tietze formuliert, aber mit Beweis nicht fertig
  geworden. Das soll nicht mehr aufgegriffen werden.
\item[16.5] Patimo: Tychonov mit Beweis. Klassifikation kompakter
  Einsmannigfatigkeiten, Beweis nicht ganz fertig gemacht.
\item[18.5] Fundamentalgruppe bis Kriterium f"ur wegweise einfachen Zusammenhang.
\item[23.5] Funktorialit"at der Fundamentalgruppe. Fundamentalgruppe der
  Kreislinie mit Anwendungen bis zum Satz vom Igel einschlie"slich. 
\item[25.5] Homotopie, Kategorientheorie. Eigenschaften von Funktoren,
  "Aquivalenz von Kategorien.
\item[30.5]
 Homotopie und Fundamentalgruppe. Wege in der Ebene ohne Selbst"uberschneidungen. 
\item[1.6]
  Homotopieklassen von Selbstabbildungen der Kreislinie
  mit Anwendungen, insbesondere Unm"oglichkeit des Plattdr"uckens einer
  Kugelschale und Satz vom Butterbrot mit Schinken. Produkte und Koprodukte
  in Kategorien.
\item[13.6]
  Seifert-van Kampen mit Beweis. Kartesische und kokartesische Diagramme.  
\item[15.6]
  Freie Monoide und Gruppen. Koprodukt und Pushout von Gruppen.
  Fundamentalgruppe des Komplements einer endlichen Teilmenge der Ebene.
  Nicht Abelisierung und Rang einer freien Gruppe.
\item[20.6]
  Klassifikation von Fl"achen, Aussage. 
  Simplizialkomplexe und ihre geomerische Realisierung.
  Kombinatorische Fl"achen. Zerschneidbarkeit zu einem
  Vieleck.
\item[22.6]
  Fl"ache eines Fl"achenworts. Umformungen von Fl"achenworten.
  Eckenreduktion, Kreuzhaubennormierung. Henkelnormierung vermurkst.
\item[27.6]
  Klassifikation von Fl"achen. Abelisierung und Rang einer freien Gruppe.
  Beginn der "Uberlagerungstheorie: Definition einer "Uberlagerungsabbildung,
  \'etale Abbildungen, "Uberlagerungsabbildungen sind \'etale.
\item[29.6]
  Bis bepunktet universelle "Uberlagerungen, nur Definition,
  Beispiele dazu, keine S"atze.
  Sonst Quotienten als "Uberlagerungen, Eindeutigkeit
  von Lifts, Deckbewegungen und Decktransformationen. Bl"atterzahl.
  Lemma zu \'etalen Abbildungen.
\item[4.7]
  Quotient einer universellen "Uberlagerung nach ihrer
  Deckbewegungsgruppe. Decktransformationen sind selber
  "Uberlagerungen im Fall einer lokal zusammenh"angenden Basis.
  Einfacher Zusammenhang. Bedeutet, da"s die Identit"at eine universelle
  "Uberlagerung ist. Liften bei einfachem Zusammenhang. Intervalle und
  Einheitsquadrat sind einfach zusammenh"angend. Noch nicht
  Bezug zu wegweise einfach zusammenh"anged.
\item[6.7]
  Statt \glqq einfach zusammenh"angend\grqq\ sage \glqq "uberlagerungstrivial\grqq. 
  Jeder geeignete Raum besitzt eine schleifenf"ullende (neu f"ur einfach wegzusammenh"angend) wegzusammenh"angende "Uberlagerung, die dann notwendig
  auch universell ist. Letzter Teil vom Beweis vermurkst, dabei isses ganz einfach. 
\item[11.7]
Leonardo Patimo vertritt mich.  Ende des Beweises f"ur die Existenz von universellen "Uberlagerungen. Treue Funktoren und "Aquivalenzen von Kategorien. Transformationen von Funktoren. Adjunktion von Funktoren und Konstruktion der Einheit und der Koeinheit (noch ohne Beweis)
\item[13.7]
  Adjunktion und Transformationen, Beispiele.
  Lemma "uber "Aquivalenz von Kategorien durch Adjunktion
  mit Beweis. Eindeutigkeit von Adjungierten und Adjunktion durch
  Einheit und Koeinheit ohne Beweis. 
\item[18.7] Giovanni Zaccanelli vertritt mich und
  erkl"art die "Aquivalenzen von Kategorien zwischen Mengen mit Operation der
  Deckbewegungsgruppe einer universellen "Uberlagerung, Mengen mit Operation der Fundamentalgruppe und "Uberlagerungen. Au"serdem erkl"art er das Beispiel
  einer Deckselbsttransformation einer zusammenh"angenden "Uberlagerung, die
  keine Deckbewegung ist. Nicht diskutiert wurde wie abgesprochen das
  Liftbarkeitskriterium "uber die Fundamentalgruppe. 
\item[20.7] Idem.
\item[25.7] Erzeuger und Relationen f"ur $\op{PSL}(2;\DZ)$. Etwas knapp
  geraten, muß noch mit Bildern angereichert werden.
\item
  [27.7] Klausur.
\end{enumerate}





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