%: --Wichtige Bemerkungen, "Ubungen Etc Von Weniger
%               wichtigen absetzen. 
%             --Notationen anderer Autoren diskutieren,
%               vielleicht in Tutoraten sammeln
%             --sie mag K"astchen
%             --langsamer vorgehen (?)
%             --Zwischenbemerkungen, saloppes Diskutieren immer 
%               willkommen.
%             --immer richtiges Deutsch !

%Ein Bild: width=\textwidth
%Zwei Bilder: height=0.4\textheight ohne Text, 9-8cm mit Text
% \begin{Bild} 
% \includegraphics[height=0.4\textheight oder width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGibtsnet}\\[4mm]
% \noindent BlahBlah\end{Bild}


%tar cfz Docutexh.tar */*/*.tex
%tar xfz Docutexb.tar

%Index Machen: makeindex -g -s german.ist AATOTAL

%Alte Version hervorkramen
%svn merge -r 208:207 svn://vcs.mathematik.uni-freiburg.de/soergel/Skripten

%Bilder Vorbereiten
%B.bb von B.ps Kriegen: for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done
%BILDER EIN BISSEL VERPACKEN
%gzip *.ps
%Alt-x server-start  (f"ur Quelltextsuche bei emacs)
%xdvi -q -editor 'emacsclient --no-wait' AATOTAL.dvi &

%AATOTAL INTERN VER"OFFENTLICHEN: 
%in /Documents/Skripten/Skripten/SkriptenBilder machen:
%for i in *.ps; do grep ^%%BoundingBox $i >$i.bb; done
%gzip *.ps
%in /Documents/Skripten/Skripten machen:
%scp AATOTAL.dvi soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/AATOTALd.dvi
%tar cf SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/*.*ps*
%scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00:/webserver/home/intern/soergel/

%BILDER IN UNI VERPACKEN:
%soergel@soerdell:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/*
%BILDER F"UR DAS HEIMHOLEN AUF DEN WEBSERVER LEGEN:
%scp SkriptenBilder.tar
%soergel@tux00:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar
%BILDER ZUHAUSE VOM SERVER HOLEN:
%scp  soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar SkriptenBilder.tar
%BILDER ZUHAUSE AUSPACKEN:
%soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar xf SkriptenBilder.tar
%soergel@linux:~/Documents/Skripten/Skripten> tar cfz SkriptenBilder.tar SkriptenBilder/BildA.ps.bb
%scp SkriptenBilder.tar soergel@tux00.mathematik.uni-freiburg.de:/webserver/home/soergel/Skripten/SkriptenBilder.tar


%Befehl um auf A5 zu verkleinern: dvips -pp Seitex-Seitex -x 707-ta5 Datei.dvi

%Anleitung xypic
%http://www.uni-koblenz.de/~texadmin/texmf/doc/html/latex/contrib/xypic/xyguide-html/index.html



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\usepackage[hypertex,hyperindex]{hyperref}
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% %--------------------------------------------------
%  WERDEN DIE FOLGENDEN DREI ZEILEN NICHT AUSKOMMENTIERT,
%  SO WERDEN BILDSEITEN NICHT MITGEZAEHLT. FUER DRUCKVORLAGEN
%  TAUGT DAS NICHT, DA DIE SEITEN MIT GERADEN NUMMERN
%  ANDERS GEDRUCKT WERDEN ALS DIE SEITEN MIT UNGERADEN NUMMERN.
%   \usepackage{fancyhdr}
%   \pagestyle{fancy}
%   \fancyfoot[C]{\iffloatpage{\addtocounter{page}{-1}}{\thepage}}
% %--------------------------------------------------


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\makeindex
\begin{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\include{An19Steinbruch}
%\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\title{Mathematische Werkbank}
\author{Wolfgang Soergel}
\maketitle
%\psdraft
\dominitoc

%\addtocontents{toc}{Index}



Im ersten Kapitel habe ich Notationen und Begriffsbildungen
zusammengefa"st, von denen ich mir vorstelle,
da"s sie zu Beginn des Studiums in enger Abstimmung zwischen den
beiden  Grundvorlesungen entwickelt werden k"onnten. Im zweiten Kapitel 
steht allerhand "uber Mathematik, das nicht zum logisch koh"arenten 
Aufbau beitr"agt und teilweise auch stark pers"onlich
gef"arbt ist.  
Die weitere Einteilung in Kapitel 
spiegelt inhaltliche Einheiten wieder, darf aber nicht als 
Einteilung in Vorlesungen mi"sverstanden werden. 
Mir scheint zum Beispiel, da"s der Stoff der   folgenden
Kapitel "uber Funktionen einer und 
mehrerer reellen Ver"anderlichen 
zusammen mit der
H"alfte des ersten Kapitels mit den Grundlagen
in etwa drei vierst"undige
Vorlesungen f"ullen k"onnte. Besonders
w"unschenswert f"ur einen derartigen Grundkurs
schiene mir, zus"atzlich noch die ersten Seiten des Kapitels
"uber Funktionenr"aume und Symmetrien bis 
zur Fouriertransformation zu behandeln
und daf"ur notfalls das eine oder andere wegzulassen.
Ich habe mir aber eigentlich  mit dem Weglassen schon die 
allergr"o"ste M"uhe gegeben und versucht,
an jeder Stelle nur soviel Begrifflichkeit  einzuf"uhren, 
wie gerade eben n"otig ist, um einerseits einen glatten und transparenten
Flu"s der Argumentation zu erm"oglichen und andererseits regelm"a"sig
motivierende Anwendungen geben zu k"onnen. 
Sowohl die Anwendungen als auch der durchsichtige Aufbau der Theorie
erfordern jedoch in meinen Augen eine 
nach M"oglichkeit koordinatenfreie Darstellung und damit den Aufbau
der zugeh"origen Begrifflichkeit, so da"s am Schlu"s  im Vergleich
zu anderen Texten doch eher mehr abstrakte Konzepte eingef"uhrt werden.
Wie Sie noch an verschiedenen Stellen merken werden, will ich 
Sie eben am liebsten davon "uberzeugen, da"s das Abstrakte das eigentlich
Konkrete ist! 






\tableofcontents
%\listoffigures

\newpage
\part{Grundlagen}
\chapter{Allgemeine Grundlagen}
In diesem ersten Kapitel habe ich Notationen und Begriffsbildungen
zusammengefa"st, von denen ich mir vorstelle,
da"s sie zu Beginn des Studiums in enger Abstimmung zwischen den
beiden  Grundvorlesungen erkl"art werden k"onnten.
\minitoc\newpage
\include{An01Grundlagen}\newpage
\include{AlgGrundbegriffe}\newpage

\end{document}

\chapter{Philosophisches und Didaktisches}
In diesem  Kapitel 
steht allerhand "uber Mathematik, das nicht zum logisch koh"arenten 
Aufbau beitr"agt und teilweise auch stark pers"onlich
gef"arbt ist.
\minitoc\newpage
\include{GeschPhil}\newpage


\part{Analysis}%Derzeit 98 Bildseiten in Ana 1-3
\chapter[Funktionen einer Ver"anderlichen]{Funktionen einer reellen   
Ver"anderlichen}%Derzeit 59 Bildseiten in Ana 1
Die hier und im folgenden  gegebene Einteilung in Kapitel 
spiegelt inhaltliche Einheiten wieder und darf  nicht als 
Einteilung in Vorlesungen mi"sverstanden werden. 
Mir scheint etwa, da"s der Stoff der n"achsten beiden
Kapitel "uber Funktionen einer und 
mehrerer reellen Ver"anderlichen 
mit seinen 347 Textseiten zusammen mit der
H"alfte der 29 Textseiten aus dem ersten Kapitel zu den Grundlagen
in etwa drei vierst"undige
Vorlesungen f"ullen k"onnte. Besonders
w"unschenswert f"ur einen derartigen Grundkurs
schiene es mir, zus"atzlich noch die ersten 30 Seiten des Kapitels
"uber Funktionenr"aume und Fouriertransformation zu behandeln,
und daf"ur notfalls das eine oder andere wegzulassen.
\minitoc\newpage
%\include{An00Vortext}\newpage
\include{DiereellenZahlen}\newpage
\include{An03Folgen}\newpage
\include{An04Stetig}\newpage
\include{An05DiffInt}\newpage
\include{An06Reihen}\newpage
\include{An07StetigM}\newpage
\include{An08Trigo}\newpage
%  \thefigs\hspace{3cm}
%  \thefigc
%  \newpage
\chapter{Analysis mit komplexen Zahlen}
In diesem Kapitel diskutieren wir  die
komplexe Exponentialfunktion und 
ihre Bedeutung f"ur die Analysis reeller Funktionen
einer reellen Ver"anderlichen. 
In den meisten Texten zur Analysis werden die komplexen Zahlen
bereits sehr viel fr"uher einbezogen. Da die Diskussion 
der komplexen Exponentialfunktion
jedoch meines Erachtens die
trigonometrischen Funktionen ben"otigt und ich diese hinwiederum 
durch den Begriff der Bogenl"ange motivieren wollte, 
ging es in diesem Text nicht eher.
Vom rein logischen Aufbau 
der Vorlesung aus gesehen k"onnte die Diskussion der komplexen 
Exponentialfunktion
auch noch etwas warten:
Im weiteren
Verlauf der in dieser Vorlesung vorgesehenen Entwicklung
wird zun"achst der Abschnitt "uber die Integration vektorwertiger
Funktionen relevant werden, und zwar 
bei der Diskussion gew"ohnlicher Differentialgleichungen
in \ref{DGLg}. Auch dort w"are es aber nat"urlich w"unschenswert, 
da"s die Studenten die Theorie der Schwingungsgleichungen bereits kennen.
Die Grundlagen zu Fourierreihen werden 
erst in Kapitel \ref{FuSy} wieder relevant.
All diese Inhalte  scheinen mir jedoch  derart 
wichtig, da"s ich es f"ur sinnvoll halte, sie bereits fr"uh
zu diskutieren. 
\minitoc\newpage
\include{An09Komplex}\newpage
\include{An10Four}\newpage

\chapter[Funktionen mehrerer 
Ver"anderlichen]{Funktionen mehrerer reellen  
Ver"anderlichen}%Derzeit 39 Bildseiten
%F"ur Korrekturen und Verbesserungen danke ich .
\minitoc\newpage
\include{An11DiffM}\newpage
\include{An12MInt}\newpage
\include{An13UmkehrMgf}\newpage
\include{An13DGL}\newpage
%\chapter[Lebesgue-Integral und 
%Integrals"atze]{Lebesgue-Integral und 
%Integrals"atze}
%\minitoc\newpage
\include{An15Mass}\newpage

\include{An14DiffStokes}\newpage



\chapter{Funktionenr"aume und Symmetrien}\label{FuSy}
\minitoc\newpage
\include{Fouriereihen}\newpage
\include{An17FourierTransformationen}\newpage
\include{Spektralsatz}\newpage








%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newpage
\chapter{Funktionentheorie}\label{Fukt}
\minitoc\newpage
\include{Funktionentheorie}\newpage
\include{Funktionentheorie2}\newpage


\chapter{Unfertiges zur Analysis}
\minitoc\newpage
\include{Fourieralt}\newpage
\include{An19Steinbruch}\newpage
\include{SchrottMassInt}\newpage



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\part{Algebra}
Die Bezeichnung \glqq Algebra\grqq\  kommt von arabisch
\glqq al-jabr\grqq, das in der Medizin das Wiedereinrenken eines Gelenks
bezeichnete und in der Mathematik f"ur eine Umformung stand, die man
heute das \glqq Her"uberschaffen durch Subtraktion\grqq\  eines Terms von der 
einen auf die andere Seite einer Gleichung nennen w"urde.
In diesem Zusammenhang wurde wohl auch das Rechnen mit negativen Zahlen
entwickelt.
\chapter{Lineare Algebra}
Der im folgenden
vorgestellte Teil der Algebra hei"st  \glqq linear\grqq\  , 
da das einfachste der darin untersuchten 
Gleichungssysteme  dem geometrischen Problem entspricht,
den Schnittpunkt zweier Geraden alias Linien zu bestimmen.
Ich habe mir bei der Darstellung die gr"o"ste M"uhe gegeben, 
die abstrakte Sprache der Mengenlehre und unsere r"aumliche Anschauung
zu einer  Einheit zu f"ugen, ohne dabei die algorithmischen
Aspekte zu kurz kommen zu lassen. F"ur Korrekturen und Verbesserungen danke
ich
Ulrich Derenthal und Veronika Thierfelder, deren fundamentale
allgemeine Ratschl"age zur Darstellung mir sehr geholfen haben.

\minitoc\newpage
\include{Gleichungssysteme}\newpage
\include{RingeundPolynome}\newpage
\include{Eigenwerte}\newpage
\include{Euklidische}\newpage
\include{Bilinearformen}\newpage
\include{Jordan}\newpage
\include{Gruppenwirkungen}\newpage
\include{Universelle}\newpage
\include{KategorienundFunktoren}\newpage %b
%\include{LA}\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Gruppen, Ringe, K"orper}
Die Abschnitte bis zur Galois-Theorie einschlie"slich sollten in etwa den
Standard-Stoff einer Algebra-Vorlesung f"ur das dritte Semester abdecken.
Ich habe mich  besonders darum bem"uht, die Verwendung des Zorn'schen Lemmas
 zu vermeiden, um nicht den falschen Eindruck zu erwecken,
unsere S"atze "uber die Aufl"osbarkeit von 
polynomialen Gleichungen oder die Bestimmung quadratischer Reste 
oder die Konstruierbarkeit
regelm"a"siger Vielecke basierten auf Subtilit"aten der Mengenlehre.
Insbesondere wird der algebraische Abschlu"s in den Beweisen nicht verwendet
und der Begriff eines maximalen Ideals wird gar nicht erst betrachtet.
Ich bedanke mich bei vielen Freiburger Studierenden f"ur Hinweise, die
mir geholfen haben, die Darstellung zu kl"aren und zu gl"atten und 
Fehler zu beheben. Regina Tammler hat durch ihre
fundamentalen didaktischen Anregungen viel zur Lesbarkeit beigetragen.
\minitoc\newpage


\include{Algebra01Gruppen}\newpage
\include{Algebra02Ringe}\newpage
\include{Algebra03Koerper}\newpage
\include{Algebra04Galoisetheorie}\newpage
\include{Algebra05VerallgemeinerungInsUnendliche}\newpage

\chapter{Darstellungen und Moduln}
Hier geht es haupts"achlich um Darstellungen endlicher Gruppen 
und die Verallgemeinerung der Theorie von Vektorr"aumen "uber K"orpern
zur Theorie von Moduln "uber nicht notwendig kommutativen Ringen.
F"ur Verbesserungen danke ich Frau Noemi Joosten, Frau Natascha Moser,
Frau  Bettina Eiche.
\minitoc\newpage

\include{Algebra06DarstellungstheorieVonEndlichenGruppen}\newpage

%\begin{comment}



%\end{comment}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Algebraische Geometrie}
Dies Kapitel ist noch  rudiment"ar.
\minitoc\newpage
\include{RaumeRinge}\newpage
%\include{AlgGeom}\newpage
\include{ZurAlgGeom}\newpage
\include{Alggeom}\newpage
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\chapter{Unfertiges zur Algebra}
\minitoc\newpage
\include{UnfertigesAlgebra}\newpage
\include{WeitDarst}\newpage
\include{Algebra08Vermischtes}\newpage
\include{Algebra09LV}\newpage

%\end{document}

\part{Topologie}

Ausf"uhrlicher sollte  der Titel 
\glqq Von der Topologie zur homologischen Algebra\grqq\ 
hei"sen. Ich will den Versuch unternehmen, 
zusammen mit der algebraischen Topologie
die Sprache der Kategorientheorie und
der abstrakten homologischen Algebra 
im Sinne von Grothendieck zu entwickeln.
Die Entwicklung der Theorie von der Fundamentalgruppe "uber
Homologie und Kohomologie bis hin zur Garbenkohomologie 
soll dabei einhergehen  mit einer Entwicklung der Kategorientheorie
von den Anf"angen bis zu derivierten Kategorien.
Meine Hoffnung ist, da"s 
sich diese beiden Gebiete so gegenseitig st"utzen:
Die algebraische Topologie stellt   Anschauung und 
Motivation bereit, die Kategorientheorie und abstrakte homologische 
Algebra tr"agt einerseits zur Klarheit der  Darstellung bei und erm"oglicht
andererseits den Transfer 
der topologischen
Anschauung in andere Gebiete der
Mathematik.  
In gewisser Weise  will ich damit auch die geschichtliche
Entwicklung nachzeichnen. 

Ich verstehe
mein  Unterfangen als
Teil des allgemeinen Knet- und Reinigungsprozesses,
in dem viele Beteiligte versuchen,
zentrale Gebiete 
 der Mathematik m"oglichst griffig zu pr"asentieren.
Darstellungen von Teilen des Stoffes durch andere Autoren
haben Teile des hier vorliegenden Versuches entscheidend gepr"agt,
und mein Ziel ist es,  an der einen oder anderen Stelle
und insbesondere durch 
die Auswahl und Zusammenstellung des Stoffes noch
etwas N"utzliches beizutragen.
Besonders geholfen haben mir die Darstellungen von
Dold, Ossa, St"ocker-Zieschang, Greenberg-Harper, 
Godement und Kashiwara-Schapira, und in gewisser Weise
ist dieser Text als eine Einf"uhrung zu letzterem Werk gedacht.
 
\chapter[Fundamentalgruppe]{Fundamentalgruppe 
und "Uberlagerungen}
Im folgenden setze ich Grundkenntnisse in mengentheoretischer Topologie 
voraus, wie sie etwa in \ref{GruTo} 
aufbauend auf \ref{Zuw}, \ref{WeHo} und \ref{ToRa} erkl"art werden.
F\"{u}r Korrekturen zu vorl"aufigen Versionen danke ich vielen Freiburger
H"orern und Mitarbeitern, insbesondere Gregor Fritz, Gerald H\"{o}hn, Stephan
Wehrheim, Isolde Adler, Olaf Schn"urer, Matthias Ansorge, David Stotz.  



\minitoc\newpage


\include{To02HomotopieundFundamentalgruppe}\newpage %b

\include{To04BerechnungeinigerFundamentalgruppen}\newpage %b
\include{To05Ueberlagerungstheorie}\newpage %b
\chapter{Singul"are Homologie} 
\minitoc\newpage
\include{To06SingulaereHomologie}\newpage %b
\include{To08Koeffizientenwechsel}\newpage
\include{To10Kohomologie}\newpage
\chapter{Garbenkohomologie} \minitoc\newpage
\include{To11Garbenkohomologie}\newpage
\include{To12BeispielezurGarbenkohomologie}\newpage
%\include{Dualitaet}\newpage
\include{To13AbstrakteHomologischeAlgebra}\newpage

\chapter{Garbenkohounreif} 

F"ur Korrekturen und Vereinfachungen danke ich vielen Freiburger Studenten,
insbesondere  Olaf Schn"urer.  

\minitoc\newpage

\include{DerKat}\newpage
\include{To14AusGarbenkohomologie}\newpage
\include{To15AequivariantederivierteKategorie}\newpage
\include{To16pologieSteinbruch}\newpage
%\include{KoszPos}\newpage
\include{KoszPosneu}\newpage


\part{Lie-Theorie}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\chapter{Mannigfaltigkeiten und Liegruppen}
F"ur Korrekturen und Vereinfachungen danke ich vielen Freiburger Studenten,
insbesondere David Stotz. 
\minitoc\newpage
\include{EinbettLie}\newpage
\include{To01MengentheoretischeTopologie}\newpage
% \section{Mannigfaltigkeiten und Liegruppen}
% In diesem Abschnitt geht es um abstrakte, d.h.\ nicht notwendig eingebettete
%  differenzierbare Mannigfaltigkeiten.
%  Ich definiere sie als spezielle
%   geringte R"aume mit dem Hintergedanken, da"s man mit diesem Formalismus 
% auch ihre algebraischen Verwandten,
% die algebraischen Variet"aten,  effizient behandeln kann.
%   Ich denke aber davon abgesehen auch, da"s dieser  Zugang nicht
%   weniger anschaulich und technisch wenn nicht einfacher, so doch eleganter ist
%   als die "ubliche Vorgehensweise: In der Tat sind in dieser Sprache
% Untermannigfaltigkeiten gerade die Teilmengen, die mit der induzierten
% Struktur eines geringten Raums zu Mannigfaltigkeiten werden, und
% die finale Struktur eines geringten Raums auf 
% Quotienten liefert  unmittelbar die 
%  Struktur besagter Quotienten als Mannigfaltigkeit
%  mitsamt der zugeh"origen universellen Eigenschaft.
% \include*{GeringteRaume}\label{kGer}
% %Das soll auch bei der Algebraischen Geometrie verwendet werden
% \include*{MannigfaltigkeitenRest}\label{kGer}
\include{Mannigfaltigkeiten}\newpage
\include{Felder}\newpage
\include{KompakteLie}\newpage
\include{Lie03Spiegelungsgruppen}\newpage 
\include{Lie03Wurzelsysteme}\newpage 
\include{FunkKLie}\newpage
\include{Lie13Darstellungen}\newpage
\include{Lie14Konvolutionen}\newpage
\include{AbstrakteLie}\newpage
\include{MgfSteinbruch}\newpage 


\chapter{Liealgebren}
F"ur Korrekturen und Vereinfachungen danke ich vielen Freiburger Studenten,
insbesondere Catharina Stroppel, Olaf Schn"urer. 
\minitoc\newpage
\include{Lie01AllgemeineTheorie}\newpage %b
\include{Lie02Komplexe}\newpage %b
\include{Lie04EinfacheEndlichDarstellungen}\newpage %b
%\include{Lie04EinfacheEndlichDarstellungenalt}\newpage
\include{Lie05MehrSpiegelungsgruppen}\newpage

%\begin{comment}
\chapter{Kategorie $\cal{O}$}\minitoc\newpage
\include{Lie06Einhuellende}\newpage
\include{Lie09KategorieO}\newpage
\include{Lie10Verschiebung}\newpage
\include{Lie11Summenformel}\newpage
\include{Lie12HarishChandra}\newpage



\chapter{Chaos zur Darstellungstheorie}\minitoc\newpage
\include{FiebigsZeug}\newpage
\include{Lie15Halde}\newpage
\include{LieKombKipp}\newpage
\include{Dmod}
%\end{comment}
%\include{G2}\newpage
\chapter{Versuch zur positiven Charakteristik}
\include{PosChar}
\part{Zur Koszul-Dualit"at}

\include{Koszul}\newpage

\part{Verschiedenes}
\chapter{Hintergrundmusik}
Hier wird einiges zusammengefa"st, was nirgends anders
so recht seinen Platz gefunden hat, mir aber doch wichtig scheint. 
\minitoc\newpage
\include{Hintergrundmusik}\newpage
\include{Kategorienlok}
%\chapter{Schrott}\include{Schrott}\newpage
%Alte Versionen von Kapiteln, die eigentlich ausgeschlachtet sind, 
%aber sicherheitshalber noch aufgehoben werden.

\chapter{Ideen f"ur Arbeiten}
\section{Kleineres}
\begin{enumerate}
\item
Supply some missing details for 
Styrkas:
Regular representation on the big cell 
and big projective modules in the category $\mathcal O$ (on the archive). 
\item
Besitzt die Koinvariantenalgebra einer Weylgruppe 
verschiedene $\mathbb Z$-Graduierungen,
die dennoch zur "ublichen $\mathbb Z$-Graduierung 
isomorph graduierte Algebren liefern?
Was ist die Automorphismengruppe der Koinvariantenalgebra?
Gehen je zwei Koszul-Graduierungen der Algebra eines Blocks von Kategorie
$\mathcal O$ durch innere Automorphismen auseinander hervor?
Ich denke eher nicht, es sollte durchaus \glqq wesentlich verschiedene\grqq\  
graduierte
Versionen geben d"urfen, vergleiche \cite[Remark vor 4.4]{BGSo}.
\item
Goldie-Rang-Polynome f"ur endlichdimensionale Moduln "uber
W-Algebren?
\item (Vielleicht Bachelor.)
Wer pr"uft mir \ref{Hallf}? Hier soll die Hall-Komultiplikation
m"oglichst nat"urlich formuliert werden.
\item
Wer erkl"art mir \ref{VVV}? Wohl eher keine Arbeit, ich bin nur
zu ungebildet dazu und erwarte, da"s man es schon in der 
Literatur finden kann.
\item (Vielleicht Bachelor.)
   Die Isotropiegruppe des Punktes $\infty$ 
unter M"obiustransformationen besteht 
    aus allen Selbstabbildungen
    von $\DR^n,$ die Hyperebenen in Hyperebenen "uberf"uhren und Winkel
    erhalten. Das mu"s ja wohl das semidirekte Produkt der Gruppe aller
    Bewegungen mit der Gruppe aller Streckungen sein.  Nach Telephonat mit
    Sebastian denken wir beide, da"s diese M"obiusgeometrie wohl ein homogener
    Raum von $\op{Spin}(n+1,1)$ ist und da"s das mit dem sogenannten
      \glqq Traktor-Kalk"ul\grqq\  zusammenh"angen sollte.
\item
Affine Bimoduln und endliche Darstellungen. (Florian Klein?)
\item 
\ref{PDFo}, ganzzahlige Formalit"at von Fahnenmannigfaltigkeiten.
Wie sieht die geometrische Hecke-Algebra "uber komischen Ringen aus?
(Gerrit Begher) 
\item
\ref{DHSy}, deformierte Homomorphismen nach Styrkas. (David Nies?)
\item
\ref{PBeLu}, 
Problem bei unbeschr"ankten "aquivarianten derivierten 
Kategorien. (David Stotz?)
\item
\ref{Aufgabe}, Derivierte Kategorie der Garben auf einem Produkt.
\item
Kann man Bemerkung 6.8 aus meiner Bimodularbeit mit Demazure-Operatoren l"osen?
\item
Erh"alt man neue kanonische Basen f"ur Quantengruppen mit
IC und positive-Charakteristik-Koeffizienten?
\item
Eher Staatsexamen, und noch angucken: Tits-Kegel und analoge
Argumente "uber angeordnetem K"orper formulieren wie \ref{TiKe}.
Mit den Notationen dort sollte $T=W\bar{A}^+\subset V^\ast$ konvex 
sein, und ich w"urde erwarten, da"s jedes in $T$ enthaltene
offene Geradensegment h"ochstens endlich viele Spiegelhyperebenen trifft.
Von da ausgehend mag man die Argumente im Zusammenhang mit
affinen Spiegelungsgruppen wiederholen k"onnen.
\item (Staatsexamen)
Man definiere  f"ur eine endliche Teilmenge $E$ des Raums
ihre \defind{Abst"andezahl} $A(E)$ 
als die Zahl der m"oglichen von Null verschiedenen 
verschiedenen Abst"ande zwischen ihren 
 Elementen. Welche M"oglichkeiten gibt es f"ur Abst"andezahl 
$\leq 3$? Kriegt man im Wesentlichen die platonischen K"orper,
vergleiche \ref{PlK}? Welche M"oglichkeiten bestehen "uberhaupt f"ur
$A(E)<|E|$?
\item
K"ocher f"ur parabolische $G_1T$-Moduln? [Kaneda].
\item (Staatsexamen)
Man verallgemeinere \ref{DuSk} auf h"ohere Dimensionen:
Eine Untergruppe $D\subset \op{GL}(V)$ der Automorphismengruppe 
 eines
endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V,$ 
die einfach transitiv operiert auf der Menge aller 
geeignet definierten \glqq Halbraumfahnen\grqq\  ist bereits die
$\op{SO}(b)$ f"ur ein bis auf eine positive multiplikative Konstante
eindeutig bestimmtes Skalarprodukt $b.$ In welchen Dimensionen geht das gut?
Unter welchen Voraussetzungen kann es "uber allgemeineren 
angeordneten K"orpern  
gezeigt werden?
\item
(Bachelor?) Man diskutiere die Nat"urlichkeit der 
Spaltung im universellen Koeffiziententheorem, siehe \ref{NatS}.
Gibt's aber wohl bereits bei Hatcher.
\item
Man berechne in kleinen F"allen die Projektiven in
der Kategorie $\cal{O}$ mit diagonaler Operation
der Cartan \emph{und} diagonaler Operation des Zentrums.
Gibt es in dieser Kategorie nichttriviale Erweiterungen zwischen
Verma-Moduln? Ist der antidominante Projektive der Duale des 
projektiven Verma?
\item
Kann man die Spektralsequenz der Homologie zeigen,
indem man die \glqq Homologie mit A-B-W"urfeln\grqq\  von
Massey nimmt und den Unterkomplex der Abbildungen
$[0,1]^n\ra E$ in unsere Faserung, bei denen der Basispunkt
nur von den ersten $p$ Koordinaten abh"angt?
\item
Gegeben eine endlichdimensionale $\DZ$-graduierte Ringalgebra
"uber einem K"orper
und dar"uber ein endlichdimensionaler graduierbarer Modul 
w"u"ste ich gerne, ob auch jeder direkte Summand davon
graduierbar ist. Ich wei"s nur, da"s bei einer Summenzerlegung in
einen unzerlegbaren und einen graduierbaren Summanden auch der
unzerlegbare Summand graduierbar sein mu"s. Ich w"are schon gl"ucklich,
zu wissen, ob gegeben ein unzerlegbarer Modul mit der Eigenschaft, 
da"s die Summe
von endlich vielen Kopien graduierbar ist, auch der unzerlegbare Modul
selbst graduierbar sein mu"s.
\item
Shelton leitet Formeln f"ur die Erweiterungen von parabolischen
Verma-Moduln in der  parabolischen Kategorie $\mathcal O$ 
im hermitesch-symmetrischen Fall her.
Welche Dimension haben die graduierten Anteile dieser 
Erweiterungsgruppen, wenn sie in der graduierten Version
der parabolischen Kategorie $\mathcal O$ berechnet werden?

To compute extensions of Verma modules in the BGG-category is an open problem,
to the extend, that there is even no conjectural solution.
If we work however in the parabolic category $\mathcal O$ and our parabolic
has abelian nilradical, i.e. in the so-called hermition symmetric case, a solution
was obtained by B. Shelton \cite{??}.
On the other hand, localization to $D$-modules gives, that extensions of (parabolic) Verma
modules can be described geometrically as the cohomolgy of intersections of a Bruhat
cell with the translated big cell.
The project is to (1) understand Shelton's results geometrically and (2) determine their
analogue in the $\mathbb Z$-graded version of category $\mathcal O$ from \cite{??}.
\end{enumerate}


\newpage

\section{L"angeres}
\subsection{Zu gemischten Hodge-Strukturen}
\emph{ Leider so Quatsch.}
 Sei $V$ ein fester ${\mathbb C}$-Vektorraum endlicher Dimension. 
Die Menge aller Paare $(F,\bar{F})$ von Filtrierungen von jeweils 
fest vorgegebenem Typ auf $V$ ist in Bijektion zum Produkt von zwei 
partiellen Fahnenmannigfaltigkeiten $G/P \times G/Q$ f"ur 
$G = \op{GL}(V)$ und $P$ bzw. $Q$ der Isotropiegruppe 
jeweils einer festen Filtrierung des jeweiligen Typs.
Diese Bijektion ist vertr"aglich mit der Operation von $G$.
Ich w"u"ste nun gerne, da"s das Vergessen der 
Gewichtsfiltrierung eine Faserung mit affinen Fasern
\[ \begin{array}{ccc}
\left\{\begin{array}{c} \mbox{gemischte ${\mathbb C}$-Hodge-}\\ 
\mbox{Strukturen auf $V$} \end{array}\right\} & \ni & (F,\bar{F},W) \\
\downarrow &   & \downarrow \\
G/P \times G/Q &  \ni & (F,\bar{F})
\end{array} \]
liefert und dass die Urbilder der $G$-Bahnen hier wieder $G$-Bahnen sind.
Ist etwa unsere gemischte Hodgestruktur vom Typ

\vspace{3mm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline
${\mathbb C}$ & 0 \\ \hline
${\mathbb C}$ & ${\mathbb C}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{3mm}

\noindent
so bedeutet die Wahl einer Gewichtsfiltrierung die 
Wahl einer Geraden ausserhalb der durch die 
beiden "`diagonalen ${\mathbb C}$"' erzeugten 
Ebene, und das Vergessen der Gewichtsfiltrierung 
ist eine Faserung mit Faser ${\mathbb C}^{2}$. 
Betrachten wir andererseits den Typ

\vspace{3mm}

\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|} \hline
${\mathbb C}$ & ${\mathbb C}$ \\ \hline
0 & ${\mathbb C}$ \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

\vspace{3mm}

\noindent
so bedeutet die Wahl einer Gewichtsfiltrierung eine 
Wahl von zwei Geraden in ${\mathbb C}^{2}$, die von 
einer festen Geraden verschieden sind, und wieder passt es.
Allgemeiner h"atte ich gerne f"ur jede reduktive 
zusammenh"angende algebraische Gruppe einen Morphismus mit affinen Fasern
\[ \mbox{ Grp-Sch}_{{\mathbb C}}(\mbox{Hodge}_{{\mathbb C}},G^\vee ) 
\to \left\{
  \begin{array}{c} \mbox{ABV-Parameter f"ur } G \mbox{ mit} \\  
\mbox{ganzem zentralem Charakter} \end{array}\right\} \]
und derart, dass die Urbilder von $G^\vee $-Bahnen wieder 
$G^\vee $-Bahnen sind.
Das w"are besonders sch"on, da ja $\mbox{Hodge}_{{\mathbb C}}$ die 
Komplexifizierung der Kategorie der gemischten ${\mathbb C}$-Motive 
sein sollte.
Auf der ABV-Seite w"aren dann Parameter f"ur komplexe Gruppen zu 
nehmen. Im Fall reeller Gruppen sollte man stattdessen die 
Komplexifizierung der Kategorie der gemischten ${\mathbb R}$-Motive 
zu betrachten haben.

\begin{Definition}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler komplexer 
Vektorraum. Eine {\bf gemischte Hodge-Struktur}\index{Hodge-Struktur!komlexe}
oder genauer {\bf $\mathbb C$-Hodge-Struktur auf $V$} ist die Vorgabe von drei
Filtrierungen $W^{\leq n}$, $ F^{\geq i}$, $\bar{F}^{\geq j}$ durch komplexe
Teilr"aume derart, da"s gilt 
$$\op{Gr}^p_F \op{Gr}^q_{\bar{F}} \op{Gr}^n_{W}
(V) =0$$ falls $p + q \neq n$ und da"s unsere drei Filtrierungen endlich sind in
dem Sinne, da"s jeweils einer der filtrierenden 
Teilr"aume der Nullraum ist und ein
weiterer der ganze Raum $V$.
\end{Definition}
\begin{Definition}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller 
Vektorraum. Eine 
{\bf reine reelle  Hodge-Struktur 
vom Gewicht $n$ auf $V$}\index{Hodge-Struktur!reelle}
ist die Vorgabe  einer
Zerlegung 
$$V\otimes_\DR\DC=\bigoplus_{p+q=n} V^{p,q}$$
seiner Komplexifizierung 
in Teilr"aume mit der Eigenschaft, da"s die komplexe Konjugation
$ V^{p,q}$ isomorph auf $ V^{q,p}$ abbildet, in Formeln
$$\overline{V^{p,q}}=V^{q,p}$$
Gleichbedeutend ist die Vorgabe 
einer  Filtrierung $ F^{\geq p}$ der Komplexifizierung
$V\otimes_\DR\DC$ durch komplexe
Teilr"aume derart, da"s mit $\bar{F}^{\geq q}$ der komplex konjugierten
Filtrierung gilt 
$$\op{Gr}^p_F \op{Gr}^q_{\bar{F}} 
(V) =0$$ falls $p + q \neq n$ und da"s unsere Filtrierungen endlich sind in
dem Sinne, da"s jeweils einer der filtrierenden 
Teilr"aume der Nullraum ist und ein
weiterer der ganze Raum $V$.
Eine {\bf Polarisierung}\index{Polarisierung!von Hodge-Struktur}
ist eine Bilinearform $Q$ auf $V,$ symmetrisch im Fall von geradem Gewicht
und alternierend im Fall von ungeradem Gewicht,
mit der Eigenschaft, da"s f"ur ihre komplex-bilineare Erweiterung
gilt $Q(V^{p,q},V^{p',q'})=0$ falls $(p,q)\neq(p',q')$ und
${\op{i}}^{p-q} Q(v,\bar{v})>0$ f"ur alle $v\in V^{p,q} \backslash 0.$
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
  Das typische Beispiel einer reinen Hodgestruktur vom Gewicht $n$ ist
die Kohomologie einer kompakten $n$-dimensionalen K"ahler-Variet"at.
Das typische Beispiel einer polarisierten 
reinen Hodgestruktur vom Gewicht $n$ ist der primitive Teil
der Kohomologie einer kompakten $n$-dimensionalen K"ahler-Variet"at,
polarisiert vermittels der Schnittpaarung.
\end{Beispiel}
\begin{Definition}
Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller 
Vektorraum. Eine 
{\bf reelle gemischte Hodge-Struktur auf $V$}\index{Hodge-Struktur!reelle}
ist die Vorgabe von einer
Filtrierung $W^{\leq n}$ durch reelle Teilr"aume
und einer Filtrierung $ F^{\geq p}$ der Komplexifizierung
$V\otimes_\DR\DC$ durch komplexe
Teilr"aume derart, da"s mit $\bar{F}^{\geq q}$ der komplex konjugierten
Filtrierung gilt 
$$\op{Gr}^p_F \op{Gr}^q_{\bar{F}} \op{Gr}^n_{W}
(V) =0$$ falls $p + q \neq n$ und da"s unsere drei Filtrierungen endlich sind in
dem Sinne, da"s jeweils einer der filtrierenden 
Teilr"aume der Nullraum ist und ein
weiterer der ganze Raum $V$.
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein  endlichdimensionaler
reeller Vektorraum $V$ mit einer Bigraduierung seiner Komplexifizierung 
$V\otimes_\DR\DC=\bigoplus_{p,q}I^{p,q}$
derart, da"s 
die komplexen Teilr"aume $W^{\leq n}\pdef \bigoplus_{p+q\leq n}I^{p,q}$ 
bereits alle "uber $\DR$ definiert sind und da"s
dar"uberhinaus die von der komplexen Konjugation auf 
$W^{\leq n}/W^{\leq n-1}$ induzierte schieflineare Involution 
f"ur $p+q=n$ 
stets das Bild von $I^{p,q}$ in diesem Quotienten auf das Bild von
$I^{q, p}$ wirft,
bilden die Filtrierungen 
 $$W^{\leq n}\pdef \bigoplus_{p+q\leq n}I^{p,q}
\quad\text{ und }\quad F^{\geq p}\pdef \bigoplus_{i\geq p}I^{i,j}$$  
 offensichtlich eine
reelle Hodge-Struktur auf $V.$
Es ist auch leicht zu sehen, da"s wir jede reelle Hodge-Struktur auf $V$
aus einer derartigen Bigraduierung erhalten k"onnen: Wir brauchen dazu
nur irgendwelche
Spaltungen der Surjektionen $W^{\leq n}\sra W^{\leq n}/W^{\leq n-1}$
w"ahlen und darunter die Bilder der entsprechenden Teilr"aume von
$ W^{\leq n}/W^{\leq n-1}$ betrachten.
Verschiedene Bigraduierungen k"onnen  dieselbe Hodge-Struktur liefern:
Wenn wir etwa eine derartige Bigraduierung
bewegen mit einem Automorphismus unseres Vektorraums 
der Gestalt $\op{id}+\sum_{i>0,\; i+j<0} f_{i,j}$ mit $f_{i,j}$ vom
Bigrad $(i,j),$  so wird sie dieselbe Hodge-Struktur liefern.
Ich behaupte jedoch, da"s das Bilden der zugeh"origen Hodgestruktur 
wie oben 
f"ur jeden endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ eine Bijektion
\begin{Bild} 
% \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildErlB}
% \includegraphics[width=6cm]{SkriptenBilder/BildWFp}
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWPnn}
\\[4mm]
\noindent 
Links der unter unserer Zusatzbedingung noch erlaubte Bereich f"ur
von Null verschiedene homogene Komponenten von
$\bar{I}^{q,p}.$ Die Projektion auf $I^{p,q}$
liefert einen Isomorphismus $\bar{I}^{q,p}\sira I^{p,q},$
was das doppelt schraffierte K"astchen andeuten soll.
Rechts dann der unter unserer Zusatzbedingung  erlaubte Bereich f"ur
von Null verschiedene homogene Komponenten von
$(W^{\leq p+q}\cap \bar{F}^{\geq q}).$ Die Projektion 
auf die Summe der homogenen Komponenten im 
doppelt schraffierten Teil liefert einen Isomorphismus 
unseres Schnitts mit dem entsprechenden homogenen Teilraum.
Die Summe aller homogenen Komponenten im irgendwie schraffierten
Teil kann beschrieben werden als \glqq die Summe dieses Bildes mit
allen seinen um Eins nach links verschobenen und beliebig weit nach
unten ger"uckten Kopien\grqq, also in Formeln als 
$$\left((W^{\leq p+q}\cap \bar{F}^{\geq q})+\sum_{i\geq 1}(W^{\leq p+q-i}\cap
  \bar{F}^{\geq q-i+1})\right)$$
Wir k"onnen dabei, ohne etwas zu "andern, die Summe auch 
"uber $i\geq 0$ oder $i\geq 2$ laufen lassen.
\end{Bild}
$$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Bigraduierungen }V_\DC=\bigoplus_{p,q}I^{p,q}\\
\text{mit der zus"atzlichen Eigenschaft}\\
\bar{I}^{q,p} \subset I^{p,q} +\sum_{\substack {i<p \\i+j <p +q}} I^{i,j}
 \end{array} \right\} &
\overset{\sim}{\ra} &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Reelle Hodgestrukturen}\\
\text{auf dem Vektorraum $V$}
\end{array} \right\} \\[10mm]
(I^{p,q})&\mapsto&(W^{\leq n}, F^{\geq p})
\end{array}$$
liefert. Hier steht $V_\DC\pdef V\otimes_\DR\DC$ f"ur die Komplexifizierung 
von $V$ und $\bar{I}^{q,p}$ meint das Bild von $I^{q,p}$
unter der  komplexen Konjugation. Um die Surjektivit"at
dieser Abbildung  zu zeigen,
m"ussen wir nur pr"ufen,
da"s die $I^{p,q}$ zu unserer Hodgestruktur 
sogar so gew"ahlt werden k"onnen, da"s 
unsere zus"atzliche Eigenschaft erf"ullt ist.
Das gelingt mit Induktion "uber die Gewichtsfiltrierung:
Haben wir es f"ur $p +q <n$ bereits geschafft, so betrachten wir die
komplexe Konjugation $c : V_{\mathbb C} \rightarrow V_{\mathbb C}$
und die Abbildungen $k^{p,q}: I^{p,q} \rightarrow V_{\mathbb C}$ gegeben
durch die Vorschrift $a \mapsto c(\op{pr}_{q,p} (c(a)))$.
Nach Annahme gilt f"ur deren homogene Komponenten $k^{p,q}_{0,0} =\op{id}$
sowie $k^{p,q}_{i,j} =0$ f"ur
$i+j \geq 0$ aber $(i,j) \neq (0,0)$. Nun ersetzen wir schlicht alle $I^{p,q}$
mit $p+q =n$ durch ihre Bilder unter $\sum_{i \geq 0} k^{p,q}_{i,j}$, und
das leistet den Induktionsschritt.
Um die Injektivit"at zu zeigen, gilt es zu bemerken,
da"s die inverse Abbildung beschrieben werden kann 
vermittels der Vorschrift
$$I^{p,q}\pdef (W^{\leq p+q}\cap F^{\geq p})\cap 
\left((W^{\leq p+q}\cap \bar{F}^{\geq q})+\sum_{i\geq 0}(W^{\leq p+q-i}\cap
  \bar{F}^{\geq q-i+1})\right) $$
Der Inhalt der gro"sen Klammer h"angt hier nicht davon ab, 
ob man die Summe "uber $i\geq 0,$ $i\geq 1$ oder
$i\geq 2$ laufen l"a"st. Die gro"se Klammer "andert sich, liefert aber
immer noch dasselbe $I^{p,q},$ wenn wir alle $i\in\DZ$ erlauben.
Mehr dazu findet man zum Beispiel in \cite{DelH}.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bild} 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildWFNN}\\[4mm]
\noindent 
Der  Bereich der
von Null verschiedenen homogenen Komponenten von
$(W^{\leq p+q}\cap F^{\geq p}).$ Dieser Schnitt ist bereits ein
homogener Teilraum. Schneiden wir das noch mit dem irgendwie schraffierten 
Bereich aus dem vorhergehenden Bild, so ergibt sich wie 
im Beweis behauptet genau 
$I^{p,q}.$
\end{Bild}

\begin{Ubunge}
Gegeben zwei endliche Filtrierungen $F^{\geq i}, \bar{F}^{\geq j}$ auf einem
endlichdimensionalen Vektorraum $V$ gibt es stets eine Bigraduierung
$V = \bigoplus V^{p,q}$ mit $F^{\geq i} = \bigoplus_{p \geq i} V^{p,q}$
und $\bar{F}^{\geq j} = \bigoplus_{q \geq j} V^{p,q}$.
Im Fall von drei Filtrierungen gilt die analoge Aussage nicht.
\end{Ubunge}
% \begin{Beispiel} \emph{Gelernt von J"order.}
% Eine gemischte Hodge-Struktur w"are 
% etwa die folgende: Betrachte auf $V = \mathbb C^2$
% die Bigraduierung mit $e_1$ vom Bigrad $(0,1)$.
% Nimm die zugeh"origen Filtrierungen $F, \bar F$ und nimm als Gewichtsfiltrierung
% $W^{\leq -1} =0, W^{\leq 0} = W^{\leq 1} = \Delta$ die Diagonale, $W^{\leq 2} = V$.
% \end{Beispiel}
\begin{Proposition}
Das Vergessen der Gewichtsfiltrierung $W$ liefert eine Abbildung von
den $\mathbb C$-Hodgestrukturen auf $V$ in die Bifiltrierungen auf $V$,
deren Fasern zusammenziehbar sind. \emph{Gelernt von J"order: Das wollte 
ich gar nicht. Vorschlag: Nimm hier nur 
halbeinfache $\mathbb C$-Hodgestrukturen.}
\end{Proposition}
\begin{proof}
Wir betrachten auf $V$ die Filtrierung 
$\tilde{F}^{\geq n} = \sum_{p+q \geq n} F^{\geq p}\cap
\bar{F}^{\geq q}$.
M"ogliche Gewichtsfiltrierungen sind, so behaupte ich, alle endlichen Filtrierungen
$W^{\leq n}$ mit
$\tilde{F}^{\geq n} = \left(W^{\geq n} \cap \tilde{F}^{\geq n}\right) \oplus
\tilde{F}^{\geq n +1}$
f"ur alle $n$. Die Gesamtheit aller M"oglichkeiten, f"ur einen vorgegebenen
Teilraum eines endlichdimensionalen Raums ein Komplement 
zu finden, sind jedoch ein
affiner Raum, n"amlich ein homogener Raum einer Gruppe der Gestalt
$\left\{ \left( \begin{array}{cc}
\boxed{\ast} &\hspace{-2ex}\boxed{\ast}\\[-0,3ex]
0&\hspace{-2ex}\boxed{\ast} \end{array}\right) \right\}$
mit Isotropiegruppe $\left\{ \left( \begin{array}{cc}
\boxed{\ast} &\hspace{-2ex}0\\[-0,3ex]
0&\hspace{-2ex}\boxed{\ast} \end{array}\right) \right\}$.
\end{proof}



\newpage

\subsection{Zu $W$-Algebren} (Julia Meier vorgeschlagen. 
Gucke neuen Premet [Commutative Quotients of finite W-algebras]
an: Was geht da mit Lokalisierung?).
Sei $\frak{g}$ eine komplexe halbeinfache Lie-Algebra, $e \in \frak{g}$ ein
von Null verschiedenes nilpotentes Element, $(e,h,f)$ ein zugeh"origes 
$\frak{sl}_2$-Tripel,
etwa
\begin{displaymath}
\begin{array}{lcllcl}
\frak{g} &= &\frak{sl} (3; \mathbb{C}), & e &=& \begin{pmatrix} 0 & 0 &1\\
0&0&0\\ 0&0&0
\end{pmatrix} ,\\[5ex]
h &=& \begin{pmatrix} 1&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&-1 \end{pmatrix}, &f&=&
\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0 \\ 1 & 0&0\end{pmatrix}
\end{array} 
\end{displaymath}
Sei $\mathfrak{m}$ wie in [Gan-Ginzburg], dessen Lekt"ure lohnt, etwa
\begin{equation*}
\mathfrak{m} = \left\{ \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ \ast &\ast 
&0 \end{pmatrix}
\right\}
\end{equation*}
und $\chi : \mathfrak{m} \rightarrow \mathbb{C}$ das Killing-Paaren 
mit $e$, wobei
es meines Erachtens auf einen von Null verschiedenen Skalar nicht 
ankommt, nehmen wir also
\begin{equation*}
\chi \begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ x&y&0 \end{pmatrix} = x
\end{equation*}
Jetzt bildet man die Algebra $H = \op{End}_{\mathfrak{g}} 
(U (\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{m})}
\mathbb{C}_{\chi})^{\operatorname{opp}}$ und zeigt, alles nach 
[Gan-Ginzburg], da"s sie eine Quantifizierung
der Poisson-Algebra der polynomialen Funktionen auf dem Bild des 
Slodowy-Schnitts
$e + \op{ker} (\op{ad} f)$ unter der durch die Killing-Form gegebenen 
Identifikation $\mathfrak{g}
\overset{\sim}{\rightarrow}\mathfrak{g}^\ast$ ist.
Die Kategorie der $H$-Moduln kann nach [Skryabin] oder auch 
[Gan-Ginzburg] identifiziert
werden mit der Kategorie
\begin{equation*}
\mathcal{C} = \left\{ M \in \mathfrak{g}\operatorname{-mod} \left|
\begin{array}{c}a -\chi (a) \text{ operiert lokal} \\
\text{nilpotent f"ur alle  } a \in \mathfrak{m} \end{array} \right\}\right.
\end{equation*}
und wir haben genauer eine "Aquivalenz
\begin{equation*}
\mathcal{C}\qquad \begin{array}{c}
\operatorname{Hom}_{\mathfrak{g}} (U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{m})}
\mathbb{C}_{\chi}, \;)\\[-1ex]
\longrightarrow \\[-1ex]
\longleftarrow\\[-1ex]
\left( U(\mathfrak{g}) \otimes_{U(\mathfrak{m})} \mathbb{C}_{\chi}\right) 
\otimes_{H}
\end{array}
\qquad H \operatorname{-mod}
\end{equation*}
wobei der Funktor oben auch geschrieben werden kann als 
$\op{Hom}_{\mathfrak{m}}(\DC_{\chi},\;)$.
Man sollte diese Kategorie der $H$-Moduln vermittels der Lokalisierung
nach Beilinson-Bernstein besser verstehen k"onnen.
Ist $Z \subset U(\frak{g})$ das Zentrum und $Z^+ = \operatorname{Ann}_Z
\mathbb{C}$ der Annullator der trivialen Darstellung, so 
liefert Beilinson-Bernstein
eine "Aquivalenz
\begin{equation*}
\{ (U (\mathfrak{g})/ Z^+ U(\mathfrak{g})) \text{ -Moduln} \} 
\overset{\sim}{\leftarrow} \{\mathcal{D}\text{-Moduln auf der 
Fahnenmannigfaltigkeit}\}
\end{equation*}
und damit auch wie von [Gian-Ginzburg] ganz am Schlu"s erw"ahnt, "Aquivalenzen
\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
H/Z^+ H \operatorname{-Mod}\\
\uparrow \!\!\wr\\
\{M \in \mathcal{C} \mid Z^+ M = 0]\\
\uparrow \!\!\wr\\
\{\text{$\mathcal{D}$-Moduln auf einer 
Fahnenmannigfaltigkeit, die $\mathfrak{m}$-$\chi$-Whittaker sind}\}
\end{array}
\end{displaymath}
Was ist mit $\mathcal{D}$-Moduln auf einer Fahnenmannigfaltigkeit, 
die $\mathfrak{m}$-$\chi$-Whittaker sind,
gemeint? Nun, sei $X$ eine glatte komplexe algebraische Variet"at, etwa
die Fahnenmannigfaltigkeit, lese dazu etwa [Humphreys] oder [Springer], 
Algebraic
groups, oder [Shafarevic], Basic Algebraic Geometry.
Man erkl"art dann auf $X$ die Garbe $\mathcal{D}_X$ der \glqq algebraischen
Differentialoperatoren\grqq\  und darin die Garbe $\mathcal{O}_X$ der \glqq regul"aren
Funktionen\grqq.
Ein $\mathcal{D}$-Modul ist eine Garbe von $\mathcal{D}_X$-Moduln, 
die $\mathcal{O}_X$-quasikoh"arent ist, vergleiche daf"ur etwa 
[Shafarevic] oder [Hartshorne].
Die Lie-Algebra $\mathfrak{m}\subset \mathfrak{g}$ geh"ort zu einer 
algebraischen 
Untergruppe $M \subset G$, f"ur $\mathfrak{g} = 
\operatorname{sl} (3; \mathbb{C})$
etwa $G = \operatorname{SL} (3; \mathbb{C})$ und
\begin{displaymath}
M = \left\{ \begin{pmatrix}1&0&0\\ 0&1&0 \\ \ast &\ast & 1\\
\end{pmatrix} \right\} 
\end{displaymath}
Wir betrachten jetzt nur \glqq $M$-"aquivariante\grqq\  
$\mathcal{D}_X$-Moduln, in unserem Fall w"are
$X$ die Variet"at der Fahnen
\begin{equation*}
X = \{ \mathbb{C}^3 = V^3 \supset V^2 \supset V^1 \supset V^0 = 0
\mid \dim_{\mathbb{C}} V^i=i\}
\end{equation*}
die aber etwas Komisches haben:
Die $\mathfrak{m}$-Operation auf unserem $\mathcal{D}$-Modul, 
die durch Ableiten der $M$-Operation
entsteht, f"allt nicht mit der $\mathfrak{m}$-Operation zusammen, 
die vom Auffassen der
Elemente von $\mathfrak{m}$ als Vektorfelder auf $X$ alias 
Differentialoperatoren herkommt, sondern
beide Operationen unterscheiden sich um den Charakter $\chi : 
\mathfrak{m} \rightarrow \mathbb{C}$.
So was habe ich mit Milicic in einer unver"offentlichten Arbeit 
gemacht, liegt auf meiner
Seite im Netz.
Es ist sinnvoll, sich sowas erst mal f"ur $M = (\mathbb{C},+)$ 
und die Operation durch Addition auf
$X = \mathbb{C}$ klarzumachen.
Nun erwarte ich folgendes Ph"anomen, das ich nur im Fall 
$\operatorname{SL}(3;\mathbb{C})$
einigerma"sen konkret formulieren kann und das Sie pr"ufen 
und ausarbeiten k"onnten:
Unsere Gruppe $M$ ist hier ja schlicht $M \cong \mathbb{C}^2$ 
und wir haben ebenso
$\mathfrak{m} \cong \mathbb{C}^2$ und $\chi : \mathfrak{m} 
\rightarrow \mathbb{C}$,
$(x,y) \mapsto x$.
Die $x$-Komponente ist eine Untergruppe $L$, die auf dem 
Komplement ihrer Fixpuntmenge in der
Fahnenmannigfaltigkeit $U = X \backslash X^L$ frei operiert.
"Ahnlich wie in [Soergel-Milicic] sollte man f"ur 
$i : U \hookrightarrow X$ die Einbettung
zeigen k"onnen
\begin{displaymath}
\begin{array}{ccc}
\left\{
\begin{array}{c}
 \mathcal{D}\text{-Moduln auf } U, \\
\text{die } \mathfrak{m}\text{-}\chi\text{-Whittaker sind}\end{array}
\right\} &
\begin{array}{c}
i_\ast\\ \overset{\sim}{\longrightarrow} \end{array} &
\left\{ \begin{array}{c}
\mathcal{D}\text{-Moduln auf } X, \\
\text{die } \mathfrak{m}\text{-}\chi\text{-Whittaker sind}\end{array}
\right\}
\end{array}
\end{displaymath}
Weiter sollte man zeigen k"onnen
\begin{displaymath}
\begin{array}{c}
\left\{
\mathcal{D}\text{-Moduln auf $U$, die $\mathfrak{m}$-$\chi$-Whittaker sind}
\right\}\\
\downarrow \!\wr\\
\left\{\begin{array}{c}
\mathcal{D}\text{-Moduln oder vielleicht vertwistete $\mathcal{D}$-Moduln 
auf dem}\\
\text{Quotienten $U/L$, die richtig "aquivariant sind unter } M/L
\end{array}
\right\}
\end{array}
\end{displaymath}
Es ergeben sich folgende Fragen: Was ist eigentlich $U/L$ im Fall
$\operatorname{SL} (3;\mathbb{C})$?
Existiert dieser Quotient auch als Variet"at?
Das alles w"urde eine sehr sch"one da geometrische Beschreibung der Moduln
"uber $H/Z^+H$ liefern, also der Moduln "uber einem zentralen Quotienten einer
Quantisierung der Poisson-Algebra zum Slodowy-Schnitt.
Ich w"urde auf ein besseres Verst"andnis der Resultate von
[Brundan und Kleshchev, Representations of shifted Yangians 
and finite $W$-algebras,
Archive 8.5. 2006] hoffen.
\newpage
\chapter{Literaturfragen}

\begin{Bemerkungl}
  Ist jede einfach zusammenh"angende separable topologische Fl"ache
  hom"oomorph zu $S^2$ oder $\DR^2$?
\end{Bemerkungl}



\chapter{Typische Pr"ufungsfragen}
\include{Pruefungsfragen}
\chapter{Witziges}
\section*{"Ubung zum Integrieren}
Gegeben ein ebenes achsenparalleles Rechteck, das eine Unterteilung in 
kleinere achsenparallele Teilrechtecke besitzt, bei der in jedem
Teilrechteck mindestens eine Kantenl"ange ganzzahlig ist, zeige man, da"s
auch bei unserem urspr"unglichen Rechteck 
mindestens eine Kantenl"ange ganzzahlig ist. Hinweis: 
Man integriere $\op{exp}(\2\pi\op{i} (x+y)).$


\section*{Zahlenfriese nach Coxeter und Conway}
Wir beginnen mit einem Streifen Rechenpapier, den wir uns wie
ein Schachbrett gef"arbt denken und von dem wir nur die wei"sen
K"astchen benutzen werden.
Darin zeichnen wir von oben bis unten eine \glqq Schlange von Einsen\grqq\ 
ein und schreiben auch Einsen in alle wei"sen Felder der obersten und
untersten Zeile so da"s ein Bild der folgenden Art entsteht:

Jetzt ist die Behauptung, da"s wir die verbleibenden wei"sen Felder so mit 
positiven nat"urlichen Zahlen f"ullen k"onnen, da"s das Produkt des
oberen und unteren Nachbarn eines schwarzen Feldes stets um Eins 
kleiner ist als das Produkt des rechten und linken Nachbarn, da"s also
f"ur eine Konfiguration
%\begin{figure}%[p]

\begin{center}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/abcd}%\\[4mm]
\end{center}

%\end{figure}

stets gilt $bc = ad +1$.
Des weiteren ist die Behauptung, da"s die so entstehenden Zahlenmuster sich
wiederholen mit einer Periode, die viermal die H"ohe unseres Streifens ist.
In obigem Beispiel erhielten wir etwa das Zahlenmuster
%Bild
%Ein Bild: width=\textwidth
%Zwei Bilder: height=0.4\textheight ohne Text, 9-8cm mit Text
%\begin{figure}[p]\centering\includegraphics[height=0.4\textheight oder width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGibtsnet}\\[4mm]
%\noindent BlahBlah\end{figure}
\begin{figure}[p]
\centering\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Gitter1}\\[4mm]
\end{figure}
\begin{figure}%[p]
\centering\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Gitter2}\\[4mm]
\end{figure}

\pagebreak

Immanuel Herrmann hat mir erkl"art, da"s bei einer Konfiguration
\vspace{0,2cm}
\begin{center}
%\hspace*{1cm}
%\includegraphics[angle=0,width=10cm]
\includegraphics[totalheight=5cm,angle=0]
{SkriptenBilder/Herrmann}
\end{center}

\vspace{0,2cm}
\noindent
aus $bf \equiv -1 \pmod e$ und $bc \equiv 1 \pmod e$ und
$fg \equiv 1 \pmod e$ nat"urlich folgt $c g \equiv -1 \pmod e$,
so da"s die Gleichung $cg + 1 = ex$ mit $x \in \mathbb Z$ l"osbar sein mu"s.



% \subsection{Frage Petukhov}

% Dear Prof. Dr. Wolfgang Soergel,

% Let $\mathfrak g$ be a simple Lie algebra. According to the work A. Joseph there is a bijection between latice of ideals in Ug containing maximal ideal $z\subset Z=Z(Ug)$ corresponding to trivial 1-dimensional g-module and latice of submodules of a trivial Verma module $M_0$. In latice of submodules for $g=sl_n$ one could find several "submaximal" submodules $M'_i$, i.e. such that $M_0/M_i'$ are infinite dimensional and $M_i'$ are maximal with this property.
% They define several submaximal ideals in $Ug/zUg$.

% Let $M$ be a nonzero g-module. Then $L^r\otimes_{Ug}M=(L\otimes M/g(L\otimes M))$ is nonzero for some right Verma module $L^r$. Tensor products with Verma modules are somehow "dual derived" functors with $M\-> M^n$ . Let T$_0^{w\cdot 0}$ be a translation functors T$0_{w\cdot 0}$ for any element w of a Weyl group. Then it seems so (and extremely seems so for simple reflections) that $(L\otimes (T_0^{w\cdot 0}M))/g...$ is equal to $(T_{w\cdot 0}^0L\otimes M)/g...$. Is it true? If it is false is there a way to correct it?

% Have You any ideas how to control this "end" of H^i(n, M) under the action of traslation functors and how it affect annihilators of modules? In particular annihilators mentioned before.

% Thanks in Advance,

% Alexey Petukhov




\chapter{Seminare und Proseminare}
\section{Proseminar zur Algebra SS 2009}
In diesem Proseminar soll das Erkl"aren mathematischer Sachverhalte
ge"ubt werden. Ihr Ziel soll sein, bei Ihrem Vortrag Information auf Ihre 
Komilitonen zu "ubertragen. Sie m"ussen dazu frei an der Tafel vortragen,
von einem Notizzettel an die Tafel abzuschreiben ist
verboten, das hei"st, es sollte in einem Vortrag 
h"ochstens sporadisch vorkommen. Sie d"urfen und sollten sich aber durchaus 
Notizen machen und d"urfen da auch im Vortrag ab und zu hineingucken.
Powerpoint und Overhead sind nur f"ur Graphiken erlaubt.
Ich will unter keinen Umst"anden einem Ping-Pong-Spiel mit
Information zusehen m"ussen, die unverstanden weitergereicht wird.
Die im folgenden vorgeschlagenen Themen sollten au"ser dem Stoff der 
Grundvorlesungen nichts voraussetzen.
Themen mit mehreren Vortr"agen sind f"ur Gruppen gedacht, 
die sich gemeinsam Stoff erarbeiten wollen und sich dann
die Vortr"age teilen. 
Vor Ihrem Vortrag sollten Sie unbedingt einmal zu mir kommen, um
den Aufbau zu besprechen. Sie sollten Ihren Vortrag nicht auf die volle Zeit 
anlegen, es soll ja auch Zeit f"ur Diskussion bleiben, und es darf
sogar vorkommen, da"s wir fr"uher nach Hause gehen.

Wenn Sie gerade nicht selber vortragen, was ja an den meisten Terminen 
so sein wird, haben Sie dennoch eine wichtige Funktion: 
Durch Ihre Fragen dem Vortragenden \glqq R"uckmeldung\grqq\  zu geben. 
Bereits auf Schreibfehler aufmerksam zu machen ist ein Gebot der
H"oflichkeit, und wenn gar nicht gefragt wird, werde ich vermuten, da"s
der Vortrag eher weniger erfolgreich war, indem noch nicht einmal
soviel Verst"andnis erzeugt wurde, da"s sinnvolle Fragen m"oglich waren.

Im Anschlu"s einige Themenvorschl"age. Ich bin aber auch f"ur weitere 
Vorschl"age offen.
\begin{itemize}
\item{} Endliche Untergruppen der Drehgruppe (\ref{EUD}) (Doppelvortrag)
\item{} Quaternionen und Drehgruppe (\ref{Quat},\ref{DQua})
\item{} Symmetrische Polynome (\ref{SyPo}, kann auch als Doppelvortrag bis 
zur Schranke von Bezout \ref{SRB} gehalten werden).
\item{} Primfaktorzerlegung im Ring ${\mathbb Z}[{\op{i}}]$ 
der Gauss'schen Zahlen (\ref{PrGG})
\item{} Konvexgeometrie (\ref{KoGe})
\item{} Einparameteruntergruppen (\ref{EPGL})
\item{} Spiegelungsgruppen (\ref{EnSp} bis \ref{AKF}) (3 Vortr"age)
\item{} Auswahlaxiom und Zorn'sches Lemma (\ref{ZoLe} bis \ref{DiKa}) 
(Doppelvortrag)
\item{} Ordinalzahlen und Multiplikationssatz der Mengenlehre 
(\ref{OZ} bis \ref{MSM})
\item
Herleitung von Skalarprodukten aus Symmetrieprinzipien (Mein Artikel
in den Mathematischen Semesterberichten (2008) 55: 197-202)
\end{itemize}


\cite{RiKo}
\cite{BRM}

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\cleardoublepage
\addcontentsline{toc}{part}{Literaturverzeichnis}
\bibliographystyle{amsalpha}\bibliography{pub}
\cleardoublepage
\addcontentsline{toc}{part}{Index}
\printindex
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\end{document}