\section{Mengentheoretische Topologie}\label{GruTo}


\subsection{Topologische R"aume}\label{ToRaM}

\begin{Bemerkungl}
  Wir beginnen mit einigen Erinnerungen zur Begriffswelt der 
topologischen R"aume aus \eref{ToRa}{AN1},
wo im wesentlichen derselbe Stoff in  gr"o"serer Ausf"uhrlichkeit und unter
besonderer  Betonung
der Motivation durch Fragen der Analysis entwickelt wurde.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Menge $X$ k"onnen wir 
die Menge $\cal{P}(X)$ aller Teilmengen von
$X$ bilden, die sogenannte Potenzmenge von $X$. 
Weil es mich  verwirrt, "uber
Mengen von Mengen zu reden,  nenne ich wie in \eref{VSMS}{LA1}  Teilmengen
von $\cal{P}(X)$ lieber \defnoind{Systeme von Teilmengen von $X$}
\index{System von Teilmengen} und
spreche im folgenden von \defnoind{Teilsystemen}, \index{Teilsystem}
wenn ich Teilmengen solcher
Mengensysteme meine.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}\label{DTRSn}
  Eine {\bf Topologie\index{Topologie|main} 
 ${\cal T}$ auf einer Menge $X$} ist ein System von
  Teilmengen ${\cal T} \subset {\cal P} (X)$,  das stabil ist unter 
dem Bilden von endlichen
  Schnitten und beliebigen Vereinigungen.  
Ein {\bf topologischer Raum}\index{topologischer Raum|main} ist
  ein Paar $(X,{\cal T})$ bestehend aus einer Menge mitsamt einer Topologie.
  Statt $U \in {\cal T}$ schreiben wir meist 
$$U\co X$$
und\index{)c@$\co$ offen in!topologischem Raum|main}  
nennen $U$ eine
  {\bf offene Teilmenge von}\index{offen!in topologischem Raum|main} $X$.  
Die Notation $\co$ ist in der Literatur nicht "ublich.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  In Formeln ausgedr"uckt fordern wir von einer Topologie $\mathcal T\subset {\cal P} (X)$ auf einer Menge $X$ also:
\begin{enumerate}
\item 
$U_1,\ldots,U_n\in \cal{T}\RA U_1\cap\ldots\cap U_n\in \cal{T}$
f"ur $n\geq 0$ und insbesondere auch  $X\in \cal{T}$ als der Spezialfall 
$n=0$.  Gleichbedeutend dazu sind  die
beiden Forderungen $X\in \cal{T}$ sowie $U,V\in \cal{T}\RA U\cap V\in \cal{T};$
\item 
$\cal{U}\subset{\cal T}\RA\bigcup_{U\in\cal{U}}U\in {\cal T}$ und 
damit insbesondere auch $\emptyset\in{\cal T}$,  da  ja
das leere Mengensystem $\cal{U}=\emptyset$ in jedem 
Mengensystem enthalten ist. 
\end{enumerate}
\end{Bemerkungl}







\begin{Beispiel}
  F"ur jeden metrischen Raum bildet das System seiner 
im Sinne von \eref{metr}{AN1} offenen Teilmengen  eine
  Topologie, die \defind{metrische Topologie}.  
Gegeben ein endlichdimensionaler reeller affiner Raum liefert jede
Norm auf seinem Richtungsraum eine Metrik auf unserem
affinen Raum und diese liefert dann
eine Topologie. Der Satz "uber die "Aquivalenz
von Normen \eref{AQN}{AN1} zeigt nun, da"s diese Topologie gar nicht von 
der gew"ahlten Norm abh"angt, vergleiche \eref{RAVe}{AN1}. Sie hei"st die 
{\bf nat"urliche Topologie}\index{nat"urlich!Topologie} 
auf\index{Topologie!nat"urliche}  
unserem endlichdimensionalen reellen affinen Raum.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
  Auf der Menge $\bar\DR\pdef \DR\sqcup\{-\infty,\infty\}$ der erweiterten
  reellen Zahlen erkl"aren wir eine Topologie, indem wir alle Teilmengen offen nennen, die mit jedem Punkt $x\in \DR$ ein ganzes offenes Intervall um unseren
  Punkt enthalten, mit $\infty$ ein ganzes
  Intervall der Gestalt $(a,\infty]$ f"ur
    $a\in \DR$ und mit $-\infty$ ein  ganzes
  Intervall der Gestalt $[-\infty,b)$ f"ur
    $b\in \DR$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{dTTM}
Auf jeder Menge k"onnen wir die \defind{Klumpentopologie}
betrachten,
die nur aus der ganzen Menge und der leeren Menge besteht,
oder die 
{\bf diskrete Topologie}\index{diskret!Topologie},
bei der wir alle Teilmengen als  offen ansehen.
Einen topologischen Raum mit der diskreten Topologie
nennen wir auch kurz einen \defnoind{diskreten Raum}.
\end{Beispiel}

% \begin{Beispiel}
%  Unter einer \defind{Halbmetrik} $d$  auf einer
% Menge $X$ verstehen wir eine Abbildung $d:X\times X\ra\DR_{\geq 0}$,
% die alle Eigenschaften einer Metrik hat mit Ausnahme der ersten, die wir
% im Fall einer Halbmetrik nur in der abgeschw"achten Form $d(x,x)=0\;\forall x$ 
% fordern.  Auch eine Halbmetrik liefert eine Topologie, wenn man
% die offenen Mengen 
% wieder erkl"art als
%  alle Teilmengen $U\subset X$ mit der Eigenschaft, da"s es f"ur jedes
% $x\in U$ ein $\varepsilon >0$ gibt 
% mit ${\op{B}}(x;\varepsilon)\subset U$ f"ur
% ${\op{B}}(x;\varepsilon)\pdef \{y\in X\mid d(x,y)<\varepsilon\}$. 
% \end{Beispiel}


% \begin{Beispiel}[\textbf{Topologie auf den erweiterten reellen Zahlen}] 
% Auf unserer erweiterten reellen Zahlengeraden 
% $\bar{\DR}$  erkl"aren\label{BspT} 
% wir eine Topologie  durch die Vorschrift, da"s
% eine Menge $U\subset \bar{\DR}$ offen sein m"oge genau dann, wenn 
% sie f"ur jedes ihrer Elemente eine Umgebung im Sinne von \ref{eU} ist,
% wenn sie also mit jedem  Punkt $p$ auch ein ganzes 
% Intervall $[a,b]$ um $p$ umfa"st mit $a<p$ falls $p\neq -\infty$ und
% $p<b$ falls $p\neq \infty$.
% Unsere Umgebungen im Sinne von \ref{eU} 
% sind dann auch genau die Umgebungen
% f"ur diese Topologie im Sinne von \ref{UTRr}, und eine Abbildung 
% $ \bar{\DR}\ra \bar{\DR}$ ist offensichtlich 
% topologisch stetig im Sinne der obigen Definition \ref{MstT}
% genau dann, wenn sie  stetig ist im Sinne unserer  
% Definition  \ref{DeSt}.
% \end{Beispiel}
% \begin{Bemerkungl}
%   Um die Beziehung zu unserem Stetigkeitsbegriff \ref{DeSt} f"ur Abbildungen
%   von einer Teilmenge $D\subset \bar{\DR}$ nach $\bar{\DR}$ zu
%   kl"aren, vereinbaren wir zun"achst, in welcher Weise Teilmengen
%   topologischer R"aume mit einer Topologie versehen werden sollen.
% \end{Bemerkungl}







 \begin{Definition}\label{IDTM}
    Ist $X$ ein topologischer Raum und $Y\subset X$ eine Teilmenge, so 
    erkl\"{a}rt man die {\bf induzierte Topologie} 
\index{induzierte Topologie|main}\index{Topologie!induzierte|main} oder
    {\bf Spurtopologie}\index{Spurtopologie|main} 
auf $Y$ durch die Vorschrift\label{OfOnM}
$$U
\co Y \Leftrightarrow \exists V \co X\text{ mit }U = V \cap Y$$ 
In Worten ist
also eine Teilmenge von $Y$ offen f"ur die induzierte 
Topologie,
wenn sie der Schnitt von $Y$ mit einer offenen Teilmenge von $X$ ist. 
\label{InnnM}     Es ist klar, da"s dieses Mengensystem in $\mathcal P(Y)$ in der Tat eine Topologie auf $Y$ ist.
Ab jetzt fassen wir stillschweigend jede Teilmenge $Y$ eines topologischen
Raums $X$ auf als topologischen Raum mit der induzierten
Topologie.\label{DiTM}
% In gewisser Weise wird damit unsere  Definition 
% \ref{DiTMm} einer diskreten Teilmenge eines topologischen Raums obsolet:
% Das ist halt eine Teilmenge, die diskret ist als topologischer Raum mit 
% der induzierten Topologie.
\end{Definition}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Offen als relativer Begriff}]
Wenn wir eine Menge  einfach nur \glqq offen\grqq\  
 nennen,
so in der Hoffnung, dem
Leser sei klar, in Bezug auf welchen gr"o"seren
Raum $X$  dies \glqq offen\grqq\   gemeint ist. 
Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $M\subset Y\subset X$ Teilmengen,
so meint  $M\co Y$,  da"s $M$ 
offen ist als Teilmenge des Raums $Y$ mit seiner induzierten Topologie.
\end{Bemerkungl}

% \begin{Ubung}\label{SPTZ}
%   Man zeige, da"s auf einer Teilmenge eines metrischen Raums die
% Spurtopologie zur metrischen Topologie mit der
% Topologie zur induzierten Metrik "ubereinstimmt.
% \end{Ubung}
%   \begin{Beispiel}
%     Gegeben eine Teilmenge $D\subset \bar{\DR}$ und eine Abbildung $f:D\ra
%     \bar{\DR}$ ist $f$ stetig an einer Stelle $p\in D$ im Sinne von
%     \ref{DeSt} genau dann, wenn sie stetig ist bei $p$ im topologischen Sinne
%     f"ur die auf $D$ induzierte Topologie.  Desgleichen ist unsere Abbildung
%     stetig im Sinne von \ref{DeSt} genau dann, wenn sie stetig ist im
%     topologischen Sinne.
% \end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}\label{ROfM} 
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ gilt
$V\co U\co X\RA V\co X$. Ist in der Tat $V$ offen in der Spurtopologie, so
gibt
es $W\co X$ mit $V=W\cap U$ und daraus folgt $V\co X$. 
\end{Bemerkungl}








  
    \begin{Definition}
      Eine Abbildung von einem topologischen\label{SATRM}
      Raum in einen weiteren  hei"st
{\bf stetig},\index{stetig!bei topologischen R"aumen} 
       wenn darunter das Urbild jeder offenen Menge offen ist.
    \end{Definition}

  \begin{Satz}\label{SVWM}
    Die Verkn"upfung stetiger Abbildungen ist stetig.
  \end{Satz}

  \begin{proof}
Sind
$f:X \ra Y$ und $g:Y\ra Z$ stetig, so gelten beide
Implikationen der Implikationskette  $V \co Z \Rightarrow g^{-1}(V) \co
    Y \Rightarrow f^{-1}(g^{-1}(V)) \co X$.  Da nun gilt $f^{-1}(g^{-1}(V))=
    (g \circ f)^{-1}(V)$, ist damit auch $(g\circ f)$ stetig.
  \end{proof}

\begin{Beispiele}\label{zte}
Jede konstante Abbildung ist stetig. Die Identit\"{a}t auf einem topologischen
Raum ist immer stetig. Jede Abbildung in einen Raum mit der Klumpentopologie
ist
stetig.
Jede Abbildung aus einem Raum mit der diskreten Topologie ist stetig.
\end{Beispiele} 

\begin{Beispiel}[\textbf{Metrische Stetigkeit als topologische Stetigkeit}]
 Eine Abbildung zwischen metrischen R"aumen ist \glqq metrisch stetig\grqq\
im Sinne von \eref{Mst}{AN1} 
genau dann, wenn sie  \glqq topologisch stetig\grqq\ ist im Sinne 
unserer Definition \ref{SATRM}. In der Tat, sei $f:X\ra Y$ unsere 
Abbildung zwischen metrischen R"aumen. 
Jeder Ball ${\op{B}}(y;\varepsilon)$ im metrischen Raum $Y$ ist offen
nach \eref{BaO}{AN1}. 
Ist $f$ topologisch stetig, so ist demnach sein Urbild
$f^{-1}{\op{B}}(y;\varepsilon)$
offen in $X$. F"ur jedes $x\in X$ mit $f(x)=y$ gibt es 
nach der Definition der metrischen Topologie 
also
$\delta>0$ mit ${\op{B}}(x;\delta)\subset f^{-1}{\op{B}}(y;\varepsilon)$
alias $f({\op{B}}(x;\delta))\subset {\op{B}}(y;\varepsilon)$, und das zeigt die
metrische
Stetigkeit von $f$. Ist umgekehrt $f$ metrisch stetig, 
so ist nach derselben Argumentation das Urbild jedes Balls offen,
und dann nat"urlich auch das Urbild jeder offenen Menge 
als Vereinigung von Urbildern solcher B"alle. 
\end{Beispiel}


\begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft der induzierten Topologie}]
Gegeben $f:X\ra Y$ eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen und $Z\subset
    Y$ eine Teilmenge mit $f(X)\subset Z$ ist $f$ stetig genau dann, wenn
    die induzierte Abbildung $f:X\ra Z$ stetig ist f"ur die auf $Z$ induzierte
    Topologie. %Analoges gilt f"ur Stetigkeit in einem Punkt.
 \end{Lemma}
 \begin{proof}
   Die Einbettung $i:Z\hra Y$ ist offensichtlich stetig.
Ist also $f:X\ra Z$ stetig, so auch $f:X\ra Y$ als Verkn"upfung stetiger
Abbildungen. Sei umgekehrt $f:X\ra Y$ stetig mit $f(X)\subset Z$.
Gegeben $U\co Z$ existiert $V\co Y$ mit $V\cap Z=U$.
Dann ist $f^{-1}(U)=f^{-1}(V)$ offen in $X$ aufgrund der Stetigkeit von 
$f:X\ra Y$.  \end{proof}

 










\begin{Definition}
Eine Teilmenge $M$ eines topologischen Raums $X$ hei\ss t 
\defnoind{abgeschlossen}\index{abgeschlossen!topologisch|main}
oder pr"aziser {\bf abgeschlossen in $X$}  und wir schreiben in
Formeln 
$M \As X$,\index{)c@$\As$ abgeschlossen in!topologischem Raum} 
wenn ihr Komplement $X\backslash M$ offen ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Abgeschlossen als relativer Begriff}]
Wenn wir eine Menge  einfach nur \glqq abgeschlossen\grqq\  nennen,
so in der Hoffnung, dem
Leser sei klar, in Bezug auf welchen gr"o"seren\label{ADFhM} 
Raum $X$  dies  \glqq abgeschlossen\grqq\  gemeint ist. 
Ist $X$ ein topologischer Raum und sind $M\subset Y\subset X$ Teilmengen,
so meint $M\As Y$,   da"s $M$ abgeschlossen  
ist als Teilmenge des Raums $Y$ mit seiner induzierten Topologie \ref{IDTM}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
Jede endliche Vereinigung und  beliebige Schnitte abgeschlossener
Mengen sind abgeschlossen.\label{VA}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Das folgt mit der Definition einer Topologie sofort aus der Formel
$$X\backslash  \bigcap_{M\in \cal{M}} M= \bigcup_{M\in \cal{M}}(X\backslash M)$$
Diese Formel gilt ganz allgemein
 f\"{u}r jedes System $\cal{M}\subset\cal{P}(X)$ 
von Teilmengen einer Menge $X$.
\end{proof}
% \begin{Definition}
% Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine Teilmenge $M\subset X$ 
% gibt es stets eine kleinste abgeschlossene Teilmenge von $X$,  die
% $M$ umfa"st, n"amlich den Schnitt "uber alle\label{ToAbM}  
% abgeschlossenen Teilmengen von $X$, 
% die $M$ umfassen. Wir notieren diesen Schnitt 
% $\op{Cl}_X(M)=\op{Cl}(M)
% =\bar{M}$\index{Cl@$\op{Cl}_X(M)$ Abschlu"s von $M$|main}
% und\index{$\bar{M}$ Abschlu"s von $M$|main}
% nennen sie den 
% {\bf Abschlu"s}\index{Abschlu"s!in topologischem Raum|main} 
% {\bf von $M$} oder genauer
% den  {\bf Abschlu"s von $M$ in $X$}.
% \end{Definition}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stetigkeit und abgeschlossene Mengen}]
Eine Abbildung  ist\label{SOMAM}  
stetig genau dann, wenn darunter das Urbild jeder abgeschlossenen 
Menge\label{UA}
abgeschlossen  ist: 
Das folgt unmittelbar  aus  der Definition  \ref{SATRM}, da das
Urbild des Komplements einer Menge stets das Komplement ihres Urbilds ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}\label{affM}
Sei $f:X\ra Y$ eine Abbildung topologischer R\"{a}ume.
\begin{enumerate}
\item\label{aff1M}
Gegeben $\cal{U}$ eine 
 {\bf\em offene \"{U}berdeckung}\index{offene "Uberdeckung} von $X$
 alias ein System offener Teilmengen von $X$ mit
$X=\bigcup_{U\in\cal{U}} U$ ist $f$ stetig genau dann, wenn $f|_{U}$ stetig ist f\"{u}r alle $U\in
\cal{U}$.  Etwas vage gesprochen ist demnach
\emph{\bf Stetigkeit eine lokale Eigenschaft}. 
\item \label{aff2M}
Gegeben eine  {\bf\em endliche abgeschlossenene \"{U}berdeckung} 
 von $X$, in Formeln
$A_{1},\ldots, A_{n} \As X$ mit $X =
\bigcup^n_{i=1} A_{i}$, ist $f$ stetig genau dann, wenn $f|_{A_{i}}$ stetig ist f\"{u}r alle
$i=1,\ldots n$. 
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungw}
  Etwas allgemeiner gilt das auch noch f"ur eine \glqq lokal endliche abgeschlossene "Uberdeckung\grqq, vergleiche \ref{gfu}.
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $f$ stetig, so sind alle $f|_{U}$ stetig als
Verkn\"{u}pfung von $f$ mit der stetigen Inklusion $U\hookrightarrow X$. 
Sind andererseits alle $f|_{U}$ stetig, so ist f\"{u}r alle $W\co \; Y$
und alle $U\in\cal{U}$ das Urbild
$f^{-1}(W)\cap U$ offen in $U$,  nach \ref{ROfM} ist also
$f^{-1}(W)\cap U$ sogar offen in $X$,  und damit ist dann nat"urlich auch
$f^{-1}(W)=\bigcup_{U\in\cal{U}} f^{-1}(W)\cap U$ offen 
in $X$ als Vereinigung offener
Mengen.
Mithin ist $f$ stetig.
Teil
2 % wurde bereits als \ref{AbgSM} gezeigt.
% \end{proof}\begin{Proposition}\label{AbgSM}
% Sei $f:X\ra Y$ eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen und 
% $X=A_1\cup\ldots\cup A_n$ eine "Uberdeckung von $X$ durch endlich 
% viele abgeschlossene Teilmengen. Sind alle Restriktionen $f_i=f|_{A_i}$ 
% stetig f"ur die jeweils auf $A_i$ induzierte Topologie, 
% so ist auch $f$ selbst stetig.
% \end{Proposition}
% \begin{proof} 
zeigt man "ahnlich:
Nach \ref{SOMAM} mu"s nur gezeigt werden, da"s f"ur jede
abgeschlossene Teilmenge $B\As Y$ von $Y$ ihr Urbild $f^{-1}(B)$ abgeschlossen
ist in $X$.  Da aber gilt 
$f^{-1}(B)=f_1^{-1}(B)\cup\ldots\cup f_n^{-1}(B)$ 
und  $f_i^{-1}(B)\As A_i$ nach Annahme folgt die Proposition
aus "Ubung \ref{ATITM} und den Definitionen. 
\end{proof}
\begin{Definition}
  Eine Abbildung zwischen topologischen R"aumen hei"st ein
  {\bf Ho\-m"o\-o\-mor\-phismus}\index{Hom"oomorphismus|main}
 oder auch eine {\bf topologische Abbildung},\index{topologisch!Abbildung}
  wenn sie stetig und bijektiv ist und zus\"{a}tzlich die inverse
  Abbildung auch stetig ist.  Zwei topologische R"aume hei"sen
  \defind{hom"oomorph}, wenn es zwischen ihnen einen
  Hom\"{o}omophismus gibt.\label{homoe}   
In Formeln schreiben wir dann $X\cong Y$.
\end{Definition}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Auf jeder Menge kann man   die \defind{koendliche Topologie} 
erkl"aren durch die Vorschrift, da"s 
au\ss er der leeren Menge  nur die
  Komplemente endlicher Mengen offen sein sollen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{OrdT}
  Auf jeder teilgeordneten Menge kann man die \defind{Ordnungstopologie},
auch genannt \defind{Alexandroff-Topologie},  
erkl"aren durch die Vorschrift, da"s genau
die Teilmengen offen sein sollen,
  die mit einem Element auch jedes kleinere  Element enthalten.
Genau dann entsteht eine Topologie in dieser Weise aus einer 
Teilordnung, wenn es f"ur jedes Element eine kleinste offene Menge
gibt, die es umfa"st.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Gegeben ein topologischer Raum $X$
mit einer Teilmenge $Y$  zeige man:\label{ATITM}   
$A \As Y \Leftrightarrow \exists B \As X $ mit $A = B
\cap Y$. Weiter zeige man f"ur Teilmengen $B\subset A\subset X$ die
Implikation\label{OfOM}  
$(B\As A\As X)\RA  B\As X$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben ein topologischer Raum $X$
und eine Menge $Y$ und eine Abbildung $f:X\ra Y$
zeige man,\label{Fint}   
da"s $\{V\subset Y\mid f^{-1}(V)\co X\}$ eine Topologie auf $Y$ ist.
Sie  hei"st die {\bf Finaltopologie}\index{Finaltopologie} zu $f$.
Weiter zeige man f"ur jeden weiteren topologischen Raum $Z$,
da"s eine Abbildung $g:Y\ra Z$ genau dann stetig ist, wenn
$g\circ f:X\ra Z$ stetig ist. Diese "Ubung ist im folgenden wichtig,
wenn man die allgemeine Initialtopologie vor der allgemeinen Finaltopologie
behandelt. 
\end{Ubung}



\subsection{Inneres, Abschlu"s, Umgebungsbegriff}

\label{IAU} 



\begin{Definition}\label{RaTo}
Seien $X$ ein topologischer Raum %wie in \eref{ToRa}{AN1}
und $M\subset X$ eine Teilmenge.
\begin{enumerate}
\item Es gibt eine gr\"{o}\ss te offene Teilmenge 
$\op{Inn}_X(M)=\op{Inn}(M)=M^\circ$ von $X$, die in
$M$ enthalten\index{Inn@$\op{Inn}_X(M)$ Inneres von $M$}
ist,\index{)6circ@$M^\circ$ Inneres von $M$} 
n\"{a}mlich
die Vereinigung \"{u}ber alle offenen 
Teilmengen $U$ von $X$, die in $M$
enthalten sind.
$M^\circ$ hei\ss t der \defnoind{offene Kern}\index{offen!Kern} 
oder auch das {\bf Innere},\index{Inneres, in topologischem Raum} 
englisch \defind{interior} 
von $M$ in $X$.
\item Es gibt eine kleinste abgeschlossene Teilmenge 
$\op{Cl}_X(M)=\op{Cl}(M)=\overline{M}$ 
von\index{Cl@$\op{Cl}_X(M)$ Abschlu"s von $M$}
$X$, die $M$
umfa"st, n\"{a}mlich den Schnitt \"{u}ber alle abgeschlossenen Teilmengen $A$
von $X$, die $M$ umfassen. Diese Menge 
$\overline{M}$ hei\ss t  der %wie in \eref{ToAb}{AN1}
{\bf Abschlu"s},\index{Abschlu"s!topologischer}
englisch 
\defind{closure} von $M$ in $X$.
\item Man definiert den {\bf Rand} oder genauer den
{\bf topologischen Rand} \index{Rand!topologischer}
 von $M$ in $X$ als $\partial_X
M=\partial
M\pdef \overline{M} \backslash  M^{\circ}$.
Er ist stets abgeschlossen in $X$. 
\index{d@$\partial M=\partial_X M$!topologischer Rand von $M\subset X$}
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Die Herkunft der Bezeichnung $\partial M$ f"ur den Rand von $M$ wird in
  \eref{BeDe}{AN2} diskutiert. Ich habe die englische Abk"urzung $\op{Cl}$
f"ur den Abschlu"s vorgezogen, weil ich das K"urzel $\op{Ab}$ f"ur 
die \glqq Kategorie der abelschen Gruppen\grqq\ reservieren  will. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
F\"{u}r eine beliebige Teilmenge $M$ der abgeschlossenen Kreisscheibe $D^2
\subset \DR^2$,
die die
offene Kreisscheibe umfa"st, ist der offene Kern von $M$ in $\DR^2$ die offene
Kreisscheibe,
der Abschlu"s $M$ in $\DR^2$ die abgeschlossene Kreisscheibe, und der Rand
$M$ in $\DR^2$ die Kreislinie.
F\"{u}r einen beliebigen topologischen Raum $X$ ist nat"urlich der
offene Kern von $X$ in $X$ ebenso wie der Abschlu"s von $X$ in $X$
schlicht $X$ selber, und der Rand von $X$ in $X$ ist leer.
\end{Beispiele}

\begin{Lemma}\label{bbb}
Seien $X$ ein topologischer Raum und $M, N \subset X$ Teilmengen.
\begin{enumerate}
\item\label{bbb1}
Es gilt $\overline{X\backslash M} = X\backslash  M^{\circ}$
und $ (X\backslash M)^{\circ}=X\backslash \overline{M}$;
\item Es gilt $\overline{M\cup N} = \overline{M} \cup
\overline{N}$ und $(M\cap N)^{\circ}=M^{\circ}\cap N^{\circ}$.
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
1.
Wir rechnen
$$X\backslash M^\circ = X\backslash \bigcup_{\substack{ U\text{ offen}\\ U\subset M}} U
=\bigcap_{\substack{ U\text{ offen}\\ U\subset M}} (X\backslash U)
=\bigcap_{\substack{ A\text{ abgeschlossen}\\ A\supset( X\backslash M)}}
\hspace{-5mm} A\;\;=\overline{X\backslash M}$$
Die
Gleichheit
$(X\backslash M)^{\circ}=X\backslash \overline{M}$ ergibt sich, wenn wir in der schon
bewiesenen Gleichheit auf beiden Seiten das Komplement nehmen und
$M$ durch $X\backslash M$ ersetzen.
\\[2mm]\noindent
2.
$\overline{M\cup N}$ ist abgeschlossen und umfa"st $M$ und $N$, also auch
$\overline{M}$ und $\overline{N}$. Andererseits ist $\overline{M}\cup
\overline{N}$
abgeschlossen und umfa"st $M\cup N$, also auch $\overline{M\cup N}$.
Die Gleichheit $(M\cap N)^{\circ}=M^{\circ}\cap N^{\circ}$ zeigt man analog.
\end{proof}

\begin{Definition}
Seien $X$ ein topologischer Raum, $M\subset X$ eine Teilmenge
und $p\in X$ ein Punkt. So benutzt man die Sprechweisen
$$
\begin{array}{lll}
p \in M^{\circ}&\IFF&p\text{ ist \defnoind{innerer Punkt}
\index{innerer Punkt einer Teilmenge!eines topologischen Raums} von $M$;} \\
p \in \overline{M}&\IFF&p\text{ ist \defind{Ber\"{u}hrungspunkt} von $M$;} \\
p \in \partial M&\IFF&p\text{ ist \defind{Randpunkt} von $M$.}
\end{array}
$$
Hier ist wieder zu beachten, da"s es ganz entscheidend von $X$ abh\"{a}ngt,
welche Punkte nun innere Punkte, Ber\"{u}hrungspunkte oder
Randpunkte von $M$ sind.
\end{Definition}
\begin{Definition} 
Eine Teilmenge 
eines topologischen  Raums hei"st  
{\bf dicht},\index{dicht!Teilmenge|main}  
wenn ihr Abschlu"s der ganze Raum ist.\label{dichtt}  
\end{Definition} 
\begin{Definition}\label{UTRrM}
  Seien $X$ ein topologischer Raum
und $A\subset  X$ eine Teilmenge. Eine Teilmenge $U\subset X $ hei\ss t eine
{\bf Umgebung\index{Umgebung!in topologischem Raum}
von}
$A$, wenn es eine offene Menge $V \co
 X$ gibt mit
$A \subset V \subset U$. Im Fall einer einelementigen Teilmenge 
$A=\{p\}$ sprechen wir auch von einer {\bf Umgebung
von $p$}.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist genau dann
  offen, wenn sie eine Umgebung eines jeden ihrer Punkte ist. In der Tat,
  ist sie eine Umgebung eines jeden ihrer Punkte,
  so ist sie eine Vereinigung von
  offenen Mengen und damit offen. Die andere Implikation ist eh klar.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Gegeben $f:X\ra Y$ eine Abbildung von topologischen R"aumen 
und $p\in X$ ein Punkt hei"st $f$ {\bf stetig bei $p$},
\index{stetig!Abbildung bei Punkt} 
wenn f"ur jede Umgebung $V\subset Y$ von $f(p)$ ihr Urbild 
$f^{-1}(U)\subset X$ eine Umgebung von $p$ ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl} Eine Abbildung von topologischen R"aumen $X\ra Y$
  ist stetig genau dann, wenn sie an jedem Punkt $p\in X$ stetig ist.
  Der Beweis sei dem Leser zur "Ubung "uberlassen. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Lemma}
Gegeben $X$ ein topologischer Raum, $M\subset X$ eine Teilmenge und $p\in X$ ein
Punkt haben wir:
$$\begin{array}{llcl}
1.&p\in M^{\circ} &\Leftrightarrow& M \mbox { ist eine Umgebung von $p;$}\\
2.&p \in \overline{M}& \Leftrightarrow &M\mbox { trifft jede Umgebung von
$p;$}\\
3.&p \in \partial M&\Leftrightarrow &M\mbox { und $X\backslash M$ treffen jede
Umgebung von
$p$.}
\end{array}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
1 ist
klar nach den Definitionen.
F"ur 2 bemerken wir, da"s nach Lemma \ref{bbb}.\ref{bbb1} gilt
$$\begin{array}{ccl}
p \in \overline{M} &\Leftrightarrow &p \notin (X\backslash M)^{\circ}\\
 & \Leftrightarrow& X\backslash M \mbox { ist keine Umgebung von } p\\
 & \Leftrightarrow & \mbox { jede Umgebung von $p$ trifft } M.
\end{array}$$
Sicher gilt weiter $p \in \partial M \Leftrightarrow p \in \overline{M} \cap
\overline{(X \backslash M)}$.
Nun folgt 3 aus der eben unter 2 bewiesenen Aussage.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}
Ein topologischer Raum $X$ hei"st {\bf Hausdorff},\index{Hausdorff} 
 wenn darin je
  zwei verschiedene Punkte disjunkte Umgebungen besitzen.
Gleichbedeutend wird auch die Bezeichnung
 {\bf separiert}\index{separiert!topologischer Raum} 
verwendet.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
Die metrische Topologie einer Metrik ist stets Hausdorff. Die Klumpentopologie auf einer
Menge mit mindestens zwei Elementen ist nicht Hausdorff.
Die koendliche Topologie auf einer unendlichen Menge ist nicht Hausdorff.
\end{Beispiel}


 \begin{Bemerkungl}
 Ein Punkt eines topologischen Raums $X$ hei"st ein 
 {\bf H"aufungspunkt von $X$},\index{H"aufungspunkt!von topologischem Raum} 
  wenn\label{HuTx}   
 die nur aus unserem Punkt bestehende
 Teilmenge nicht offen ist. Man mag  gleichbedeutend von
 einem {\bf nichtoffenen Punkt} reden.\index{nichtoffen!Punkt}
 \end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit  stetiger Fortsetzungen in H"aufungspunkten}]
  Seien $X,Y$ topologische R"aume,
   $p\in X$ ein H"aufungspunkt
und $f: X\backslash p \ra Y$ eine Abbildung. Ist $Y$ Hausdorff,
so gibt es h"ochstens eine Fortsetzung von $f$ zu
einer Abbildung $\tilde f:X\ra Y$, die stetig ist bei $p$.\label{ESFat}
\end{Satz}
\begin{proof}
  W"are sonst $\hat f$ eine weitere bei $p$ stetige Fortsetzung mit
  $\hat f(p)\neq \tilde f(p)$, so f"anden wir disjunkte Umgebungen
  $\hat V$ und $\tilde V$ dieser beiden Bildpunkte  und dazu
  Umgebungen $\hat U$ und $\tilde U$ von $p$ mit
  $\hat f(\hat U)\subset \hat V$ und
  $\tilde f(\tilde U)\subset \tilde V$.
  Daraus folgte aber
  $$ f(\hat U\cap \tilde U \backslash p)\;\subset \;\hat V\cap  \tilde V=\emptyset$$
  im Widerspruch dazu, da"s die Umgebung $\hat U\cap \tilde U $ von $p$
  nicht nur
  aus unserem H"aufungspunkt $p$ selbst bestehen darf.
\end{proof}

\begin{Definition}%\label{GeFu}
  Seien $X,Y$ topologische R"aume mit $Y$ Hausdorff.
  Seien weiter $p\in X$ ein H"aufungspunkt
  und $f: X\backslash p \ra Y$ eine Abbildung.
  Sei schlie"slich $b\in Y$ ein 
Punkt.
Wir sagen, 
{\bf $f(x)$ strebt gegen $b$ f"ur $x\ra p$} und schreiben\label{GeFuAt}
$$\lim_{x\ra p} f(x) = b$$
als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s  
\index{lim@$\lim_{x\ra p}$ Grenzwert von Abbildung}
die Fortsetzung von $f$ zu $\tilde f:X\ra Y$ durch
$\tilde f(p)\pdef b$ stetig ist bei $p$. In diesem Fall nennen wir $b$
den
{\bf Grenzwert}\index{Grenzwert!von Funktion} oder lateinisierend
{\bf Limes}\index{Limes!von Funktion} 
der Funktion $f$ f"ur $x\ra p$. Nach der Eindeutigkeit stetiger Fortsetzungen \ref{ESFat} ist dieser
Grenzwert eindeutig bestimmt, wenn er existiert.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Salopp gesprochen verh"alt es sich demnach so, da"s eine
  Abbildung in einen Hausdorffraum mit 
einer einpunktigen Definitionsl"ucke\label{GSSvt}  
an einem H"aufungspunkt ihres Definitionsbereichs 
 auf h"ochstens eine Weise stetig in diese 
Defini\-tionsl"ucke hinein  fortgesetzt werden kann. 
Der Wert  dieser an besagter Stelle
 stetigen Fortsetzung hei"st dann der Grenzwert
 unserer Abbildung an besagter Stelle. Dieselbe Definition hatten wir
 bereits in der Analysis in \eref{GeFuA}{AN1} gegeben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Grenzwerte von Folgen sind der Spezialfall
   $X\pdef \DN\sqcup\{\infty\}$ mit der von $\bar\DR$ induzierten
  Topologie und dem H"aufungspunkt $p=\infty$.\label{GWF} 
Ausgeschrieben bedeutet 
$\lim_{n\ra\infty}y_n=b$, da"s in jeder Umgebung von $b$ fast alle Glieder unserer
Folge alias alle bis auf h"ochstens endlich viele Ausnahmen liegen.
\end{Bemerkungl}







\begin{Bemerkungl}
Eine Teilmenge $F$ eines topologischen Raums $X$ hei"st 
{\bf folgenabgeschlossen},\index{folgenabgeschlossen} 
wenn sie mit jeder in $X$ konvergierenden Folge auch deren Grenzwerte 
enth"alt. In metrischen R"aumen sind folgenabgeschlossene Teilmengen stets
abgeschlossen. In beliebigen topologischen R"aumen gilt das nicht mehr, wie
das im folgenden diskutierte Beispiel \ref{FANA} zeigt. 
\end{Bemerkungl}




\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
Man zeige, da"s im allgemeinen gilt $\overline{M \cap N} \neq
\overline{M} \cap \overline{N}$.
Welche Inklusion gilt stets?
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  In jedem topologischen Raum ist der Schnitt einer 
  offenen dichten Teilmenge mit einer beliebigen dichten Teilmenge
  wieder dicht.\label{sdoT}
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{Abs}
Eine Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R\"{a}umen ist stetig
genau dann, wenn f\"{u}r alle Teilmengen $M\subset X$ gilt
$f\left(\overline{M}\right)\subset \overline{f(M)}$.
\end{Ubung}\begin{Ubung} 
Man zeige f"ur jeden topologischen Raum:
  Der Schnitt von zwei Umgebungen eines Punktes ist wieder eine Umgebung
  besagten Punktes. Jede Umgebung eines Punktes kann verkleinert 
werden zu einer
offenen Umgebung desselben Punktes.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{UO}
  Eine Teilmenge eines topologischen Raums ist offen genau dann, wenn 
sie f"ur jeden ihrer Punkte eine Umgebung ist.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{UA}
Eine Teilmenge eines topologischen Raums $T\subset X$ ist abgeschlossen
 genau dann, wenn
 jeder Punkt $x\in X$ eine Umgebung $U$ besitzt derart, da"s 
$T\cap U$ abgeschlossen ist in $U$.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}[\textbf{Folgenabgeschlossen hei"st nicht abgeschlossen}]
 Diese "Ubung liefert ein Beispiel f"ur 
eine folgenabgeschlossene aber nicht abgeschlossene
Teilmenge eines Hausdorffraums.
  Wir betrachten auf der Menge\label{FANA} 
$\operatorname{Ens}(\Bbb{R},\Bbb{R})$ aller
  Abbildungen $f:\Bbb{R} \rightarrow \Bbb{R}$ die \glqq Topologie der punktweisen
  Konvergenz\grqq\ : Eine Teilmenge $U\subset \operatorname{Ens} (\Bbb{R},\Bbb{R})$
  ist in Bezug auf diese Topologie offen genau dann, 
wenn es f"ur jedes $f\in U$
  ein $\varepsilon > 0$ und eine endliche Teilmenge 
$E \subset \Bbb{R}$ gibt mit
\begin{equation*}
(|g(x) - f(x) | < \varepsilon \; \forall x \in E )\;\;\Rightarrow \;\;g \in U
\end{equation*}
Man zeige, da"s das in der Tat
eine Topologie ist, da"s in dieser Topologie je zwei verschiedene Funktionen
disjunkte Umgebungen besitzen, und da"s die me"sbaren Funktionen darin eine
unter Konvergenz von Folgen abgeschlossene aber nicht 
topologisch abgeschlossene
Teilmenge bilden.  Unsere
\glqq Topologie der punktweisen Konvergenz\grqq\  wird sich im "ubrigen in 
\ref{PrTo} folgende 
als ein Spezialfall der sogenannten \glqq Produkttopologie\grqq\  erweisen.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{AZUn}
  Unter einer 
{\bf Umgebungsbasis}\index{Umgebungsbasis!in topologischem Raum} 
eines Punktes
in einem topologischen Raum  versteht
  man %wie in \eref{AZU}{AN1} 
ein System von Umgebungen besagten Punktes derart, da"s jede Umgebung
unseres Punktes
  mindestens eine Umgebung unseres Systems umfa"st.
Man zeige: Besitzt in einem topologischen Raum jeder Punkt eine 
abz"ahlbare Umgebungsbasis, so ist jede unter  Konvergenz von Folgen 
abgeschlossene Teilmenge bereits abgeschlossen, und jede
\glqq folgen\-stetige\grqq\  Abbildung in einen weiteren topologischen Raum 
ist bereits stetig.
\end{Ubunge}

\begin{Bemerkunge} Besitzt in einem topologischen Raum jeder Punkt eine 
abz"ahlbare Umgebungsbasis, so sagt man auch, er \glqq gehorche dem {\bf ersten 
Abz"ahlbarkeitsaxiom}\grqq.\index{Abz"ahlbarkeitsaxiom!erstes} 
\end{Bemerkunge}

\begin{Ubung}
 Sind $X,Y,Z$ topologische R"aume und ist $f:X\ra Y$ stetig in $p$ und $g:Y\ra Z$ stetig in $f(p)$, so ist $g\circ f$ stetig in $p$. 
\end{Ubung}

\subsection{Zusammenhang}\label{ZuwM}

% \begin{Bemerkungl}
%   Zun"achst erinnern wir  aus 
% \eref{Zuw}{AN2} Grundlegendes zum Wegzusammenhang.
% \end{Bemerkungl}


\begin{Definition}\label{WegM}
Ist $X$ ein topologischer  Raum und sind $x,y\in X$ Punkte,
so nennen wir eine stetige Abbildung $\gamma:[a,b]\ra X$ von einem 
mehrpunktigen
kompakten
reellen Intervall $[a,b]$ nach $X$ 
mit $\gamma(a)=x$ und $\gamma(b)=y$ einen  {\bf Weg von $x$ nach $y.$}
Ein  topologischer Raum $X$ hei"st 
\defnoind{wegzusammenh"angend}, 
\index{Wegzusammenhang} 
wenn er nicht leer ist und es f"ur je zwei Punkte unseres Raums einen
Weg vom einen zum anderen gibt.
\end{Definition}



\begin{Bemerkungl}
     Das Bild eines wegzusammenh"angenden Raums unter einer stetigen Abbildung
    ist offensichtlich stets wieder wegzusammenh"angend.
\end{Bemerkungl}




\label{TZBo}
\begin{Definition}
Ein 
topologischer Raum hei"st 
{\bf zusammenh"angend},\index{zusammenh"angend!topologischer Raum} 
 wenn
er nicht leer ist und sich nicht als disjunkte Vereinigung\label{DZSH}  
von zwei nichtleeren offenen Teilmengen schreiben l"a"st.
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
Ein diskreter topologischer Raum ist zusammenh"angend genau dann,
wenn er aus genau einem Punkt besteht.\label{dZU} 
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
Gleichbedeutend k\"{o}nnten wir nat\"{u}rlich auch fordern, da"s 
unser Raum nicht leer ist und sich nicht als disjunkte Vereinigung 
von zwei nichtleeren abgeschlossenen Teilmengen schreiben l"a"st. 
Eine Teilmenge  eines topologischen Raums  nennen wir
nach unseren allgemeinen Konventionen zusammen\-h\"{a}ng\-end,
wenn sie zusammenh\"{a}ngend ist als topologischer Raum mit der
induzierten Topologie.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
In der Literatur wird meist auch die leere
Menge zusammenh\"{a}ngend genannt. Mir scheint das 
unnat"urlich, da sich mit
dieser Konvention
jeder zusammenh"angende Raum  in
eine Vereinigung von zwei disjunkten  offenen 
zusammenh"angenden Teilmengen zerlegen lie"se. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Proposition}\label{BZu}
Das Bild eines zusammenh\"{a}ng\-enden Raums unter einer
stetigen Abbildung ist stets zusammenh\"{a}ngend.
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
Es reicht, wenn wir f\"{u}r eine stetige Surjektion
$f:X \ra Y$ aus $Y$ nicht zusammenh\"{a}ng\-end folgern,
da"s auch $X$ nicht zusammenh\"{a}ngend ist.
Ist jedoch $Y =Y_{0}\amalg
Y_{1}$ eine Zerlegung in zwei offene,
disjunkte, nichtleere Teilmengen, so auch $X=f^{-1}(Y_{0})
\amalg
f^{-1}(Y_{1})$. Ist $Y$ leer, so auch $X$.
Die Proposition folgt.
\end{proof}





\begin{Proposition}[\textbf{Charakterisierung zusammenh"angender R"aume}] 
Gegeben ein topologischer\label{ZK} Raum sind gleichbedeutend:
\begin{enumerate}
\item 
Unser Raum ist zusammenh\"{a}ngend;
\item
Jede stetige Abbildung von unserem Raum in einen 
Raum mit der diskreten Topologie
ist einwertig;
\item 
Jede stetige Abbildung von unserem Raum in
einen zweielementigen Raum mit der diskreten Toplogie ist
einwertig.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
Wir verwenden hier unsere Konvention \eref{einw}{GR}, 
nach der eine Abbildung einwertig hei"st,
 wenn ihr Bild aus genau einem Element besteht.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
$1\RA 2$ folgt aus \ref{BZu}, da das Bild 
einer stetigen Abbildung 
unseres zusammenh"angenden Raums in einen diskreten Raum
notwendig zusammenh"angend und diskret ist und damit nach \ref{dZU} aus einem
einzigen Punkt bestehen mu"s.
$2\RA 3$ ist klar. $3\RA 1$ zeigt man durch Widerspruch:
Ist unser Raum  nicht zusammenh"angend, so ist er entweder leer und die
einzige Abbildung  in unseren zweielementigen Raum ist 
nicht einwertig, oder er besitzt eine Zerlegung 
in   zwei disjunkte
nichtleeren offenen Teilmengen. Dann aber k"onnen
wir eine stetige nicht einwertige  Abbildung in unsere
zweielementige Menge angeben durch die Vorschrift, 
da"s sie auf der einen Teilmenge das  eine Element als
Wert annehmen soll und auf der anderen das andere. 
\end{proof}
\begin{Lemma}[\textbf{Zusammenh"angende Teilmengen von $\DR$}]
    Eine Teilmenge der reellen Zahlengerade
 ist zusammenh\"{a}ng\-end genau dann, wenn
    sie ein nichtleeres Intervall ist.\label{IZ}
  \end{Lemma}

  \begin{proof} Ist
      $A \subset \DR$ nicht leer und kein Intervall, so gibt es $p\in
      \DR\backslash A$ mit $A\cap\DR_{<p}\neq\emptyset\neq A\cap\DR_{>p}$, und
      das ist eine Zerlegung von $A$ in zwei nichtleere offene Teilmengen. Umgekehrt ist jedes nichtleere reelle Intervall  zusammenh"angend nach
      Proposition \ref{ZK} und dem Zwischenwertsatz. Man kann auch
      ohne den Zwischenwertsatz argumentieren wie folgt.
Sei sonst $I\subset\DR$ ein nichtleeres
Intervall mit einer Zerlegung $I=I_0\sqcup I_1$ in zwei 
f"ur die Spurtopologie offene nichtleere Teilmengen. Ohne Beschr"ankung der
Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, es gebe  
$a\in I_0$ und $b\in I_1$ mit $a<b$. Ohne Beschr"ankung der
Allgemeinheit d"urfen wir weiter annehmen, es sei sogar $I=[a,b]$.
Nun sind $I_0, I_1$ auch abgeschlossen in $I$ und damit in $\DR$.
F"ur $p=\op{sup}I_0$ folgt $p\in I_0$ und $p<b$
und damit $(p,b]\subset I_1$ und dann auch $p\in I_1$, im Widerspruch
  zu $I_0\cap I_1=\emptyset$. Von dieser Argumentation ausgehend k"onnen wir
  nun sogar den Zwischenwertsatz als Korollar unseres Lemmas erhalten, nach
  \ref{BZu} sind ja Bilder zusammenh"angender R"aume zusammenh"angend und
  damit nach unserem Lemma Bilder nichtleerer reeller Intervalle unter stetigen
  reellwertigen Funktionen wieder nichtleere reelle Intervalle.
   \end{proof}
  

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Wegzusammenh"angende Teilmengen von $\DR$}]
Eine Teilmenge $A \subset \DR$ ist wegzusammenh\"{a}ng\-end
genau dann, wenn $A$ ein nichtleeres Intervall ist.
In der Tat ist jedes nichtleere reelle Intervall offensichtlich 
wegzusammenh"angend.
Ist umgekehrt $A \subset \DR$ nicht leer und kein Intervall,
so gibt es reelle Zahlen $x<p<y$ mit $x,y\in A$ aber $p\not\in A$.
Dann aber kann es nach dem Zwischenwertsatz keinen Weg von
$x$ nach $y$ geben, der ganz in $A$ verl"auft. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{IZ}
Wir sehen insbesondere, da"s die zusammenh\"{a}ngenden Teilmengen von $\DQ$
genau die einelementigen Teilmengen sind. Topologische R\"{a}ume mit
dieser Eigenschaft hei"sen \defind{total unzusammenh\"{a}ngend}.
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}\label{WzZ}
Jeder wegzusammenh"angende Raum ist zusammenh"angend.
\end{Satz}

\begin{proof}
Wir  argumentieren durch Widerspruch.
Sei  $X$ nicht leer und nicht zusammenh"angend,
also die disjunkte Vereinigung $X=U\amalg V$ zweier nichtleerer
offener Teilmengen. 
G"abe es einen Weg $\varphi:[a,b]\ra X$ mit $\varphi(a)\in U$ und
$\varphi(b)\in V$, so w"are $[a,b]= \varphi^{-1}(U)\amalg\varphi^{-1}(V)$
eine disjunkte Zerlegung des Intervalls $[a,b]$ 
in zwei nichtleere  offene Teilmengen,
und das st"unde im Widerspruch zu unserer Erkenntnis, da"s Intervalle 
zusammenh"angend sind. Also kann es keinen solchen Weg geben und 
$X$ ist auch nicht wegzusammenh"angend.
\end{proof}












\begin{Definition}
Auf jedem topologischen Raum $X$ definiert man die Relation $W$
der {\bf Wegverbindbarkeit}\label{wvw}   durch die Vorschrift, da"s gilt 
 $xWy$, 
wenn es in $X$ einen Weg von $x$ nach $y$ gibt. Man zeige,
da"s das eine "Aquivalenzrelation ist. Hinweis:  Die Transitivit"at ergibt sich
durch das \glqq Aneinanderh"angen von Wegen\grqq\  und
die Stetigkeit der so entstehenden Wege folgt mit \ref{affM}.\ref{aff2M}.
Die "Aquivalenzklassen f"ur die "Aquivalenzrelation
 der Wegverbindbarkeit hei"sen die
{\bf Wegzusammenhangskomponenten}\index{Wegzusammenhangskomponente}
unseres Raums.\index{Komponente!Wegzusammenhangskomponente}  Die Menge der Wegzusammenhangskomponenten eines Raums $X$ notieren wir $\pi_0(X)$. 
\end{Definition}


\begin{Lemma}
Besitzt in einem topologischen Raum jeder Punkt eine wegzusammenh"angende
    Umgebung, so sind seine Wegzusammenhangskomponenten offen und unser 
 Raum zusammenh"angend genau dann, wenn er\label{WTZ}
    wegzusammenh"angend ist.
\end{Lemma}
\begin{proof}
Besitzt jeder Punkt eine wegzusammenh"angende Umgebung,
so sind  die
Wegzusammenhangskomponenten sicher offen. Ist unser Raum nicht leer 
und nicht wegzusammenh"angend, so hat er mindestens zwei 
Wegzusammenhangskomponenten, und nehmen wir eine dieser 
Komponenten und die Vereinigung der "Ubrigen, so erhalten
wir eine "Uberdeckung durch zwei nichtleere offene Teilmengen.
Also ist unter diesen Voraussetzungen unser Raum auch nicht 
zusammenh"angend. Da"s umgekehrt jeder 
wegzusammenh"angende Raum auch zusammenh"angend ist,
wissen wir bereits aus  \ref{WzZ}.
\end{proof}


















\begin{Definition}
Eine maximale
zusammenh\"{a}ngende Teilmenge 
eines topologischen Raums 
hei"st 
eine\index{Zusammenhangskomponente!eines topologischen Raums}\label{ZSKK} 
{\bf Zusammenhangskomponente}.
\end{Definition}
\begin{Proposition}[\textbf{Zerlegung in Zusammenhangskomponenten}]
Gegeben ein topologischer Raum $X$ gilt:
\begin{enumerate}
\item 
Jeder Punkt 
liegt in genau einer Zusammenhangskomponente;
\item 
Ist eine Teilmenge unseres Raums  zusammenh\"{a}ngend,
so ist auch ihr Abschlu"s  zusammenh\"{a}ng\-end.
Insbesondere sind  Zusammenhangskomponenten 
stets abgeschlossen;
\item\label{T22}
Ist $\cal{A}\subset\cal{P}(X)$ ein System von zusammenh\"{a}ngenden 
Teilmengen von $X$ mit nichtleerem Schnitt
$\bigcap_{A\in\cal{A}} A\neq
\emptyset$,
so ist auch die Vereinigung $\bigcup_{A\in\cal{A}}A$ zusammenh\"{a}ngend.
\end{enumerate}\label{Z}
\end{Proposition}
\begin{proof}[Beweis]
2. 
Sei $A$ unsere zusammenh"angende Teilmenge.
Da nach Annahme $A$ nicht leer ist, gilt dasselbe f"ur $\bar{A}$.
Ist $\bar{A}$ nicht zusammenh\"{a}ngend,
so zerf\"{a}llt  $\bar{A}$ also  in zwei nichtleere disjunkte
abgeschlossene Teilmengen  $\bar{A}= A_1\amalg A_2$.
Nach der Definition von $\bar{A}$ kann keines der
$A_i$ schon $A$ enthalten, also ist $A= (A_1\cap A)\amalg (A_2\cap A)$
eine disjunkte Zerlegung in zwei nichtleere abgeschlossene Teilmengen,
und damit ist auch $A$ nicht zusammenh\"{a}ngend im Widerspruch zur 
Voraussetzung.
\\[2mm]\noindent
3.
Wir setzen $Y=\bigcup_{A\in\cal{A}}A$.
Sei $Y=U\cup V$ eine Zerlegung von $Y$ in zwei
offene disjunkte Teilmengen. Es gilt zu zeigen, da"s
$U$ oder $V$ schon ganz $Y$ sein mu"s.
Ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit d\"{u}rfen wir
annehmen $U\cap\bigcap_{A\in\cal{A}} A\neq\emptyset$.
Da die $A$ zusammenh\"{a}ngend sind, folgt dann schon $U\supset A$
f\"{u}r alle $A$ und damit $U=Y$.
\\[2mm]\noindent
1.
Nach 3 ist die Vereinigung \"{u}ber alle zusammenh\"{a}ngenden Teilmengen,
die einen gegebenen  Punkt enthalten, selbst zusammenh\"{a}ngend.
\end{proof}




  \begin{Bemerkunge}
Wir geben einen alternativen Beweis f"ur den Satz \ref{WzZ},
nach dem jeder wegzusammenh\"{a}ngende Raum  zusammenh\"{a}ngend ist.
    Sei dazu 
$X$ unser Raum. Als wegzusammenh"angender Raum ist $X$ nicht leer. Ist
    $x\in X$ ein Punkt, so ist $X$ die Vereinigung \"{u}ber die Bilder aller
    Wege $\gamma$ in $X$ mit Anfangspunkt $x$, in Formeln
    $$X = \bigcup_{\gamma(0)=x} \gamma([0,1])$$
    Alle diese Bilder
    $\gamma([0,1])$ sind zusammenh\"{a}ngend als Bilder
    zusammenh\"{a}ng\-ender Mengen und ihr Schnitt ist nicht leer, denn er
    enth\"{a}lt $x$. Nach \ref{Z}.\ref{T22} ist also $X$ zusammenh\"{a}ngend.
\end{Bemerkunge}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%5
%%%%%%%% WZ
\begin{Definition}\label{DiTMmM}
  Eine Teilmenge eines  topologischen 
  Raums hei"st 
{\bf diskret},\index{diskret!Teilmenge von topologischem Raum} 
 wenn sie mit der
\hyperref[InnnM]{Spurtopologie} 
ein \hyperref[dTTM]{diskreter topologischer Raum}  wird.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Der Leser m"oge sich zur "Ubung "uberlegen,  
da"s das gleichbedeutend ist zu unserer Bedingung in \eref{DiTMm}{AN2}, 
da"s jeder  Punkt unserer Teilmenge eine Umgebung besitzt, in der
kein anderer Punkt besagter Teilmenge liegt.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Die Menge aller Br"uche $\{1, 1/2, 1/3,\ldots\}$ mit einer
  Eins im Z"ahler ist eine diskrete Teilmenge der reellen Zahlengeraden.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Andere Autoren verstehen unter einer\label{diskretM} 
\glqq diskreten Teilmenge\grqq\ 
eines topologischen Raums abweichend, was in unserer Terminologie
eine 
 \glqq diskrete abgeschlossene Teilmenge\grqq\ ist.%\index{diskret!relativ}
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Die Sinuskurve des Topologen}]
\index{Sinuskurve des Topologen}
Man betrachte in $\DR^2$ die Vereinigung des Graphen der Funktion
$\DR^\times\ra \DR$, $x\mapsto \sin(1/x)$ 
mit der $y$-Achse. Man zeige zur "Ubung,\label{skt} 
da"s diese Teilmenge von $\DR^2$  zusammenh\"{a}ngend, aber nicht
wegzusammenh\"{a}ngend ist.
\end{Ubung}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildsiT}\\[4mm]
\noindent Ein Teil der Sinuskurve des Topologen, die in der N"ahe der 
$y$-Achse allerdings schwer zu zeichnen ist 
\end{figure}
\begin{Ubung}\label{ZOF}
Besitzt jeder Punkt eines topologischen Raums eine zusam\-men\-h\"{a}ngende
Umgebung,
so sind seine Zusammenhangskomponenten offen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{KDZ}
Das Komplement einer abgeschlossenen diskreten Teilmenge in einer 
zusammenh"angenden offenen Teilmenge eines $\DR^n$ 
ist f"ur $n>1$ zusammenh"angend. Dasselbe gilt im "Ubrigen 
auch ohne die Bedingung \glqq abgeschlossen\grqq, ist dann
aber schwerer zu zeigen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{KDZz}
Ist $U\co\DR^n$ offen und zusammenh"angend und 
$A\subset \DR^n$ ein  affiner Teilraum
einer Dimension $\op{dim}A\leq n-2$ alias einer Kodimension
mindestens Zwei, so ist 
auch $U\backslash A$ zusammenh"angend.
F"ur Teilr"aume $A$ der Kodimension Eins alias affine 
Hyperebenen $A$ gilt das nat"urlich nicht!
\end{Ubung}








\subsection{Topologische Mannigfaltigkeiten*}




\begin{Definition}
Eine stetige Abbildung topologischer 
R"aume hei"st eine  {\bf topologische Einbettung}\index{Einbettung!topologische} 
oder k"urzer {\bf Einbettung},
wenn sie einen Hom"oomorphismus mit ihrem Bild induziert, 
f"ur die
induzierte Topologie auf besagtem Bild.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungw} 
 Ist allgemeiner $\mathcal C$ eine Kategorie mit einem
 ausgezeichneten %treuen
 Funktor $v:\mathcal C\ra \op{Ens}$
  in die Kategorie der Mengen, so nennen wir einen Morphismus
  $i:U\ra X$ in $\mathcal C$ eine {\bf Einbettung}\index{Einbettung} oder
  genauer eine {\bf $v$-Einbettung},\index{Einbettung!$v$-Einbettung} 
  wenn $v(i)$ injektiv ist und wenn au"serdem 
  f"ur alle $Z\in \mathcal C$ das Nachschalten von $i$ eine Bijektion
  $$\mathcal C(Z,U)\sira \{\varphi\in \mathcal C(Z,X)\mid \op{im}(v(\varphi))\subset \op{im}(v (i))\}$$
  induziert. In anderen Worten stehen rechts alle Morphismen $\varphi$,
  f"ur die $v(\varphi)$ "uber $v(i)$ faktorisiert. Etwas allgemeiner steht das in \eref{Eibb}{LA2}. 
  Ist zus"atzlich $v$ ein treuer Funktor,
  so nennen wir in dieser Situation  eine Teilmenge $T\subset v(X)$ ein   {\bf $v$-Unterobjekt}\index{Unterobjekt!$v$-Unterobjekt}
  alias {\bf $v$-Teilobjekt},\index{Teilobjekt!$v$-Teilobjekt}
  wenn es eine Einbettung $i:U\ra X$ gibt mit $\op{im}(v (i))=T$.
  Die Bijektion $v(i): v(U)\sira T$ mag man 
  die  {\bf induzierte $\mathcal C$-Struktur auf $T$} nennen, sie ist
  dann auch in der Tat eine Menge mit $(\mathcal C,v)$-Struktur im Sinne von
  \eref{ObZuSt}{LA2}.
\end{Bemerkungw}

\begin{Definition}
Eine  \defnoind{$d$-Mannigfaltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!topologische} oder ausf"uhrlicher {\bf $d$-dimensionale} 
{\bf topologische Mannigfaltigkeit}\index{topologisch!Mannigfaltigkeit} 
{\bf ohne Rand}
ist ein\label{Mgf} 
topologischer
Hausdorff\-raum $X$, in dem jeder Punkt $p\in X$ eine
offene Umgebung besitzt, die hom\"{o}o\-morph ist zu einer 
offenen Teilmenge des $\DR^d$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Viele Autoren fordern von einer Mannigfaltigkeit zus\"{a}tzlich,
da"s sie \glqq parakompakt\grqq\  sein soll, 
oder sogar noch st\"{a}rker, da"s ihre Topologie
\glqq eine abz\"{a}hlbare Basis\grqq\  haben soll. Wir werden solche Bedingungen stets
explizit erw\"{a}hnen, bis jetzt sind sie f\"{u}r uns belanglos.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Bis jetzt haben wir 
unter \glqq Mannigfaltigkeiten\grqq\  meist 
\glqq eingebettete $\cal{C}^1$-Man\-nig\-fal\-tig\-kei\-ten\grqq\
im Sinne von \eref{MFoR}{AN2} verstanden.
Ich hoffe, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen
kann, welcher Begriff jeweils gemeint ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Genau dann ist ein Hausdorffraum eine $d$-Man\-nig\-faltigkeit,
wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die hom\"{o}omorph ist zu
$\DR^d$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
Jede offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit ist eine Mannigfaltigkeit.
Die Sph\"{a}re $S^d$ ist eine  $d$-Mannigfaltigkeit.
\end{Beispiele}

\begin{Beispiel}\label{RVN}
Welche F\"{a}lle die Bedingung \glqq Hausdorff\grqq\  in der Definition
einer Mannigfaltigkeit ausschlie\ss t, erkennt man
am Beispiel der {\bf Zahlengeraden
mit verdoppeltem Nullpunkt}.
Wir betrachten genauer die disjunkte Vereinigung $\tilde{\DR} = \DR
\amalg \{\tilde{0}\}$ von $\DR$ mit einer einelementigen Menge
$\{\tilde{0}\}$ und die Abbildung $\pi : \tilde{\DR} \ra
\DR$ gegeben durch $\pi (x) = x \; \forall x \in \DR$, $\pi
(\tilde{0}) =0$. Auf $\tilde{\DR}$ erkl\"{a}ren wir eine Topologie durch die
Vorschrift
\glqq $U$ ist offen in $\tilde{\DR}$ genau dann, wenn $\pi(U)$ offen ist in
$\DR$\grqq.
In diesem topologischen Raum haben $0$ und $\tilde{0}$ in $\tilde{\DR}$ keine
disjunkten Umgebungen, aber jeder Punkt besitzt eine zu $\DR$
hom\"{o}omorphe
offene Umgebung.
\end{Beispiel}


\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
Man zeige, da"s die Verkn"upfung von zwei Einbettungen 
stets wieder eine Einbettung ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Ist ein $\DR^{n}$ hom"oomorph zur reellen Geraden $\DR$, so
folgt  $n=1$. In Formeln gilt also
$\DR^{n} \cong \DR \Rightarrow n =1$.
Hinweis: Das Komplement eines beliebigen Punktes in $\DR$ ist nicht 
wegzusammenh"angend.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man zeige: Das Achsenkreuz $\{ (x,y) \in \DR^{2} \mid xy = 0\}$ ist nicht
hom\"{o}omorph zur Zahlengerade $\DR$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{Knh}
Je zwei nichtleere offene konvexe  
Teilmengen des $\DR^n$ sind hom\"{o}morph. Sind unsere Mengen
zus\"{a}tzlich beschr\"{a}nkt, so gibt es sogar einen Hom"oomorphismus 
zwischen ihren Abschl"ussen, der Hom"oomorphismen zwischen
ihren R"andern induziert.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{KDZu}
Das Komplement einer abgeschlossenen diskreten Teilmenge in einer 
zusammenh"angenden topologischen Mannigfaltigkeit
der Dimension mindestens zwei ist zusammenh"angend.
Dasselbe gilt im "Ubrigen auch ohne die Bedingung \glqq abgeschlossen\grqq, ist dann
aber schwerer zu zeigen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{WZKo}
Jede Wegzusammenhangskomponente  einer Mannigfaltigkeit ist
 in unserer Mannigfaltigkeit sowohl
offen als auch abgeschlossen. Eine Mannigfaltigkeit ist insbesondere
wegzusammenh"angend genau dann, wenn sie zusammenh"angend ist.
\end{Ubung}
\subsection{Kompakte R\"{a}ume}\label{KoR}
\begin{Bemerkungl}
Ich erinnere nun an
Grundlagen zum Begriff der Kompaktheit allgemeiner
topologischer R"aume aus \eref{aKoR}{AN3} und beginne mit einer Wiederholung der Definition.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Ein topologischer Raum  hei\ss t 
{\bf kompakt},\index{kompakt!topologischer Raum}
wenn jede offene \"{U}berdeckung unseres Raums\label{DeKom}
eine endliche Teil\"{u}berdeckung besitzt.
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
Ist $X$ unser topologischer Raum, so 
fordern wir also in Formeln ausgedr"uckt, da"s
es f\"{u}r jedes System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von
offenen Teilmengen von $X$ mit $X=\bigcup_{U\in\cal{U}}U$
ein endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{U}$ gibt  mit
$X= \bigcup_{U\in \cal{E}}U$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Die Konventionen sind, was den Begriff 
der Kompaktheit angeht, nicht einheitlich. 
Die hier gew"ahlte Konvention ist im englischen
Sprachraum weit verbreitet.
Bourbaki 
und mit ihm  die meisten franz"osischen und auch viele andere Autoren
nennen die in unserem Sinne kompakten R\"{a}ume nur
\glqq quasikompakt\grqq\ 
und\index{quasikompakt} fordern von kompakten R"aumen zus"atzlich die Hausdorff-Eigenschaft.
Eine Teilmenge eines topologischen Raums, deren Abschlu"s kompakt ist,
nennt man
{\bf relativ kompakt}.\index{relativ!kompakt}\index{kompakt!relativ}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompaktheit metrischer R"aume}]
   Nach \eref{foKO}{AN2} hei"st ein Hausdorffraum {\bf folgenkompakt}, wenn darin
  jede Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Dabei beschr"anken wir uns auf
  Hausdorffr"aume, weil wir die Konvergenz von Folgen in gr"o"serer Allgemeinheit
  betrachtet haben. Wir zeigen in \eref{KO}{AN2},
  da"s ein metrischer Raum folgenkompakt ist
  genau dann, wenn er "uberdeckungskompakt ist alias kompakt f"ur seine
metrische Topologie  im Sinne der obigen 
Definition \ref{DeKom}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}\label{KODI}
Eine Menge mit der diskreten Topologie ist kompakt genau dann, wenn sie
endlich
ist. Eine Menge mit der Klumpentopologie ist stets kompakt.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausformulierung der Kompaktheit in der Spurtopologie}]
Sei $X$ ein topologischer Raum und $A\subset X$ eine Teilmenge.
So sind gleichbedeutend nach unseren Definitionen
(1) die Teilmenge $A$ ist kompakt mit der induzierten Topologie und (2)
f"ur jedes System $\cal{U}\subset\cal{P}(X)$ von
offenen Teilmengen von $X$ mit  $A \subset \bigcup_{U\in\cal{U}}U$
finden wir
ein endliches Teilsystem $\cal{E}\subset \cal{U}$ mit
$A\subset \bigcup_{U\in \cal{E}}U$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompaktheit ist ein absoluter Begriff}] Man beachte, da"s \glqq kompakt\grqq\ im Gegensatz zu \glqq offen\grqq\ oder \glqq abgeschlossen\grqq\  eine Eigenschaft
  topologischer R"aume ist und nicht nur eine Eigenschaft
  von Teilmengen topologischer R"aume.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}\label{AKo}
Eine abgeschlossene Teilmenge eines kompakten Raums ist
stets kompakt.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $X$ unser kompakter Raum und $A\subset X$ abgeschlossen.
Ist $\cal{U}$ ein System von offenen Teilmengen
von $X$, deren Vereinigung $A$ umfa"st, so schlie"sen wir
$$\begin{array}{lcl}
A\subset\bigcup_{U\in \cal{U}}U&\Rightarrow&X=(X\backslash A)\cup\bigcup_{U\in \cal{U}}U
\\
 & \Rightarrow& X= (X\backslash A)\cup U_{{1}}\cup \ldots \cup U_{{k}}  \\
 & \Rightarrow & A\subset U_{{1}} \cup \ldots \cup U_{{k}}
\end{array}$$  f\"{u}r geeignete $U_1, \ldots ,U_k\in \cal{U}$.
\end{proof}




\begin{Satz}\label{BKo}
Das Bild eines kompakten Raums unter einer stetigen Abbildung ist
stets kompakt.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $f: X\ra Y$ stetig und $X$ kompakt.
Es gilt zu zeigen, da"s auch $f(X)$ kompakt ist.
Sei dazu $\cal{U}$ ein System von offenen Teilmengen von
$Y$. So gilt
$$\begin{array}{lcl}
f(X) \subset \bigcup_{U \in \cal{U}} U&\Rightarrow &X =\bigcup_{U \in \cal{U}
}f^{-1}(U)\\
 &\Rightarrow& X= f^{-1}(U_{{1}}) \cup \ldots \cup f^{-1}(U_{{k}})
 \\
 &\Rightarrow & f(X) \subset U_{{1}} \cup \ldots \cup U_{{k}}
 \end{array}$$
f\"{u}r
geeignete $U_1, \ldots ,U_k\in \cal{U}$.
 \end{proof}
\begin{Lemma}\label{KAb}
Eine kompakte Teilmenge eines Hausdorffraums ist stets abgeschlossen.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Durch Widerspruch. Sei $X$ unser 
Hausdorffraum und $A\subset X$ eine kompakte Teilmenge.
Ist $A$ nicht abgeschlossen, so gibt es $x\in \bar{A}\backslash A$.
F\"{u}r jedes $a \in A$ finden wir in $X$ disjunkte 
offene Umgebungen $U_{a}$ und
$V_{a}$
von $a$ und $x$. Nat\"{u}rlich gilt $A\subset \bigcup_{a\in
A}U_{a}$,
also gibt es auch endlich viele $a,\ldots, b \in A$ mit
$A\subset U_{a} \cup \ldots
\cup U_{b}$. 
Als endlicher Schnitt offener Mengen ist dann jedoch auch
$ V_{a}\cap \ldots \cap V_{b}$ offen und nach Konstruktion gilt
$A \cap V_{a}\cap \ldots \cap V_{b} = \emptyset$
im Widerspruch zu unserer Annahme $x\in
\bar{A}$.
\end{proof}

\begin{Definition}
Eine nicht notwendig stetige Abbildung  von topologischen R"aumen
hei"st {\bf abgeschlossen},\index{abgeschlossen!Abbildung} wenn das Bild
 jeder  abgeschlossenen Menge 
wieder  abgeschlossen ist.   
 \end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Hom"oomorphismen durch Kompaktheit}] 
Eine stetige  Abbildung von einem kompakten
Raum in einen Hausdorffraum ist stets abgeschlossen.
Eine stetige bijektive Abbildung von einem kompakten\label{QHK} 
Raum auf einen Hausdorffraum ist stets ein Hom\"{o}omorphismus.
\end{Satz}\begin{proof}[Beweis] 
Seien $X$ kompakt, $Y$
Hausdorff und $f:X \ra Y$ stetig und bijektiv.
Es reicht zu zeigen, da"s $f$ abgeschlossene Mengen auf
abgeschlossene Mengen abbildet. Aber in der Tat gilt ja
$A \As X \Rightarrow A$ kompakt $\Rightarrow f(A)$ kompakt
$\Rightarrow f(A) \As Y$
nach \ref{AKo} und \ref{BKo} und \ref{KAb}.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Hausdorffeigenschaft versus  Kompaktheit}] 
Die Hausdorffeigenschaft  und die Kompaktheit
sind  
An\-ta\-gonisten: Die Hausdorffeigenschaft 
verlangt nach vielen
offenen Mengen und die Kompaktheit nach wenigen. 
Ist beides gleichzeitig erf"ullt, so kann man nach dem
vorhergehenden Satz \ref{QHK} keine
zus"atzlichen Mengen als offen deklarieren, ohne die 
Kompaktheit zu verlieren, und nicht weniger Mengen als offen deklarieren,
ohne die Hausdorffeigenschaft zu verlieren.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Extrema auf Kompakta}]
Eine stetige reellwertige Funktion auf einem nichtleeren kompakten
Raum ist beschr\"{a}nkt und nimmt ihr Maximum\label{MaM} 
und ihr Minimum an.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Ist $X$ kompakt und $f:X\ra \DR$ stetig, so
ist  auch $f(X)\subset \DR$ kompakt nach \ref{BKo}, also beschr\"{a}nkt und abgeschlossen nach Erkenntissen aus der Analysis.
Haben wir zus"atzlich $X\neq\emptyset$, so 
folgt $\sup f(X)$, $\inf f(X)\in f(X)$.
\end{proof}








\begin{Bemerkungw}
Aus der Analysis vertraute Kriterien f\"{u}r Abgeschlossenheit, Stetigkeit,
Kompaktheit und dergleichen 
\"{u}ber Eigenschaften von Folgen \"{u}bertragen sich erst
auf
beliebige topologische R\"{a}ume, wenn man den Begriff der Folge zu dem des
Filters verallgemeinert. 
Wir stellen die Diskussion dieses Begriffs zur\"{u}ck bis zum Beweis des
Satzes von Tychonoff \ref{ST}. Da"s \glqq folgenabgeschlossen\grqq\  keineswegs
\glqq abgeschlossen\grqq\  impliziert, zeigt das Beispiel
\ref{FANA}.
\end{Bemerkungw}
\begin{Lemma}[\textbf{"Uberdeckungssatz von Lebesgue}]
Ist $X$ ein folgenkompakter metrischer Raum und
$\cal{U}$ eine offene "Uberdeckung\label{UbLq}  
von $X$,  so gibt es $\varepsilon > 0$ derart, da"s f"ur alle
Punkte 
$x\in X$ der $\varepsilon$-Ball $\op{B}(x;\varepsilon)$ um $x$ ganz in einer
der "uberdeckenden offenen Mengen $U\in\cal{U}$ enthalten ist.
\end{Lemma}

\begin{proof}
Man betrachte die Funktion
$f:X\ra\DR_{>0}$ gegeben durch die Vorschrift
$$f(x)\pdef\op{sup}\{r\leq 1\mid 
\text{Es gibt $U\in\cal{U}$ mit $\op{B}(x;r)\subset U$}\}$$  
Die Dreiecksungleichung liefert $|f(x)-f(y)|\leq d(x,y)$,   insbesondere
ist $f$ stetig. Sicher d"urfen wir
 $X\neq \emptyset$ annehmen. Dann nimmt  $f$ nach
\ref{MaM}
sein Minimum an
und jede positive Zahl echt
unterhalb dieses Minimums ist ein m"ogliches $\varepsilon$. 
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}\label{ESA}
%anderes {ESA} zu  ausgez. Dreiecke in {ESAa} umbenannt.
Man sagt,
ein System  $\cal{A}\subset\cal{P}(X)$ von Teilmengen einer
Menge $X$ habe \defind{nichtleere endliche Schnitte}, wenn
f\"{u}r jedes endliche Teilsystem $\cal{E} \subset\cal{A} $ der Schnitt
$\bigcap_{A \in\cal{E} } A$ nicht leer ist. Man zeige:
Ein topologischer Raum $X$ ist kompakt genau dann, wenn f\"{u}r
jedes System  $\cal{A}\subset\cal{P}(X)$
von abgeschlossenen Teilmengen von
$X$
mit nichtleeren endlichen Schnitten auch der gesamte Schnitt nicht leer
ist, in Formeln
$\bigcap_{A\in \cal{A}} A \neq \emptyset$.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Disjunkte Umgebungen disjunkter Kompakta}]
Sind $A,B$ disjunkte kompakte Teilmengen eines  Hausdorff\-raums $X$,
so gibt es disjunkte offene Mengen $U,V\co X$ mit $A\subset U $ und 
 $B\subset V$.
Hinweis:\label{FS}
 Man beginne mit dem Fall, da"s $A$ nur aus einem Punkt besteht.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}\label{KLK}
In einem kompakten Hausdorffraum l"a"st sich jede Umgebung eines 
Punktes zu einer abgeschlossenen Umgebung desselben Punktes verkleinern. 
Hinweis: \ref{FS}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{ExpH}
Die Abbildung $(0,2\pi)\ra \DC$, $t\mapsto \exp({\op{i}}t)$ ist ein
Hom"oomorphismus auf ihr Bild.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
 Gegeben ein topologischer Raum $X$ k"onnen wir auf
 $X\sqcup\{\infty\}$ eine Topologie $\mathcal T$ 
erkl"aren durch die Vorschrift\label{EPKo} 
$$\mathcal T\pdef\{U\mid U\co X\}\sqcup \{U\sqcup\{\infty\}\mid U\co X
\text{
 mit
}X\backslash U
\text{ kompakt}\}$$
Man zeige, da"s $X\sqcup\{\infty\}$ mit dieser Topologie
ein kompakter topologischer Raum ist. Er hei"st die
{\bf Ein-Punkt-Kompaktifizierung von $X$}.
\index{Ein-Punkt-Kompaktifizierung}\index{Einpunktkompaktifizierung}
Gegeben irgendeine weitere Menge $Z$ und eine Hausdorff'sche Topologie
auf $X\sqcup Z$, f"ur die $\op{in}_X$ eine offene Einbettung ist, mu"s dann
die Abbildung $X\sqcup Z\ra X\sqcup\{\infty\}$ stetig sein, die auf $X$ die Identit"at
ist und auf $Z$ konstant den Wert $\infty$ annimmt.
\end{Ubung}


\subsection{Initialtopologie}\label{KoTor}
\begin{Bemerkungl} Die Initialtopologie ist eine Verallgemeinerung
  der induzierten Topologie von der Einbettung einer Teilmenge in
  einen topologischen Raum zu Familien von Abbildungen
  einer vorgegebenen Menge in verschiedene topologische R"aume. Wir besprechen im folgenden
  diese Konstruktion und ihre 
   Eigenschaften. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
 Gegeben Topologien 
${\cal T},{\cal S} \subset {\cal P}(X)$
auf derselben Menge $X$ sagt man, 
${\cal T}$ sei {\bf gr"o"sergleich} ${\cal S}$, wenn 
gilt
\index{Topologie!gr"o"sergleich}
$${\cal T}\supset {\cal S}$$
 In diesem  Zusammenhang nennt man eine  
gr"o"sere Topologie auch {\bf feiner}
und eine  kleinere Topologie entsprechend {\bf gr"ober}.
\index{Topologie!feiner}
\index{Topologie!gr"ober}
\index{gr"o"sergleich!Topologie}
\index{gr"ober!Topologie}\index{feiner!Topologie}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitt von Topologien}]
  Sind ${\cal T}_{i}\subset {\cal P}(X)$ Topologien auf ein- und derselben
  Menge $X$, f\"{u}r $i$ aus einer Indexmenge $I$, so ist offensichtlich auch
  ihr Schnitt ${\cal T} \pdef\bigcap_{i\in I}{\cal T}_{i}$ eine Topologie.\label{schT} 
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Ist $X$ eine Menge und ${\cal E} \subset {\cal P}(X)$ ein
System von Teilmengen von $X$, 
so erkl"art man auf $X$ die {\bf von} ${\cal E}$
{\bf erzeugte Topologie}\index{erzeugt!Topologie} 
$\langle {\cal E}\rangle$ 
als den Schnitt in ${\cal P}(X)$
"uber alle Topologien auf $X$, die ${\cal E}$ umfassen, alias die
kleinste Topologie auf $X$, die ${\cal E}$ umfa"st.\label{rezt}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl} In der teilgeordneten
  Menge aller Topologien auf einer vorgegeben
  \glqq Tr"a\-ger\-men\-ge\grqq\ hat 
  jede Menge von Topologien ein Supremum nach \ref{rezt} und ein Infimum nach \ref{schT}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Von 
Mengensystem erzeugte Topologie, explizite Beschreibung}]  
Nat"urlich ist 
$\langle {\cal E}\rangle$ damit die kleinste Topologie auf $X$, die
${\cal E}$ umfa"st.
Wir
k\"{o}nnen $\langle {\cal E}\rangle$ alternativ auch wie folgt beschreiben:
Zun\"{a}chst
bilden wir das Mengensystem
$\tilde{{\cal E}}=\{U\subset X \mid \exists V_{1},\ldots, V_{k} \in {\cal
E}
\mbox { mit } U = V_{1} \cap \ldots\cap V_{k}\}$ aller endlichen
Schnitte von Mengen aus ${\cal E}$, mitgemeint ist hier $X\in\tilde{{\cal E}}$
als der
\glqq Schnitt \"{u}ber gar keine Menge aus ${\cal E}$\grqq, und
anschlie"send bilden wir das Mengensystem
$ \langle{\cal E}\rangle =\{W\subset X | \mbox{ Es gibt } {\cal U}
\subset \tilde{{\cal E}} \mbox { mit } W 
= \bigcup_{U\in {\cal U}} U\}$
aller beliebigen Vereinigungen von Mengen aus $\tilde{{\cal E}}$,
mitgemeint ist hier $\emptyset\in\langle {\cal E}\rangle$ als die 
\glqq Vereinigung \"{u}ber gar keine Menge aus $\tilde{{\cal E}}$\grqq.
In der Tat ist auch das so konstruierte Mengensystem
$\langle {\cal E}\rangle$ eine
Topologie
auf $X$, und f\"{u}r jede Topologie ${\cal T}$ auf $X$ mit ${\cal T}\supset
{\cal E}$
folgt umgekehrt erst ${\cal T} \supset\tilde{{\cal E}}$ und dann ${\cal
T}\supset \langle
{\cal E}\rangle$.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sei $(X,{\cal T})$ ein topologischer Raum. Ein Mengensystem ${\cal E} \subset
{\cal P}(X)$
hei\ss t eine
\defind{Subbasis} der Topologie ${\cal T}$, wenn es die Topologie
erzeugt, in Formeln $\langle {\cal E} \rangle ={\cal T}$.
Es hei\ss t eine
{\bf Basis}\index{Basis einer Topologie} 
der Topologie, wenn die offenen Mengen
unseres topologischen Raums $X$ gerade alle beliebigen Vereinigungen von
Mengen aus ${\cal E}$ sind.\label{BasTop} 
\end{Definition}

 
 

\begin{Beispiel}
  Die "ubliche Topologie aus \eref{BspT}{AN1}
auf der Menge der erweiterten reellen Zahlen 
 $\bar{\DR}=\DR\sqcup\{\pm\infty\}$  k"onnen wir 
in dieser Terminologie 
 beschreiben als die Topologie, die erzeugt wird
von allen Teilmengen der Gestalt $\{x\mid x<a\}$ und 
allen Teilmengen der Gestalt $\{x\mid x>a\}$ f"ur beliebige
$a\in \bar{\DR}$.
\end{Beispiel}


 \begin{Definition}  Eine Familie von stetigen
    Abbildungen $f_i:X \ra Y_i$ hei"st 
{\bf gesamthaft initial},\index{gesamthaft initial!stetige Abbildungen}
wenn f"ur jede Abbildung $e:W\ra X$ von einem weiteren topologischen Raum nach $X$ gilt:\label{gesi} 
$$(f_i \circ e\text{ stetig }\forall i)\RA ( e\text{ stetig})$$
  \end{Definition}
 \begin{Bemerkungl}
   Wir nennen eine stetige Abbildung
$f:X \rightarrow Y$ {\bf initial},\index{initial!stetige Abbildung}
  wenn sie als einelementige Familie gesamthaft initial ist. Zum Beispiel ist die Identit"at auf einem topologischen 
Raum stets initial.\label{Einb}
Eine initiale injektive Abbildung topologischer R"aume
nennen wir  eine {\bf topologische Einbettung}.\index{Einbettung!topologische} 
 \end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
 Gegeben $X$ eine Menge, $Y_{i}$ topologische R\"{a}ume indiziert durch $i\in I$
 und $f_{i}:X\ra Y_{i}$ eine Familie von Abbildungen
 gibt es genau eine Topologie auf $X$ derart, da"s unsere Familie gesamthaft
 initial wird. Sie hei"st die \emph{\bf Initialtopologie}\index{Initialtopologie}\label{Ito}  
 zu unserer Familie.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. Sind $\mathcal T$ und $\mathcal S$ zwei
  Topologien auf $X$, f"ur die unsere Famlie gesamthaft initial wird,
  so sind sowohl $\op{id}:(X,\mathcal S)\ra (X,\mathcal T)$ als auch
  $\op{id}:(X,\mathcal T)\ra (X,\mathcal S)$ stetig. Das zeigt $\mathcal T=\mathcal S$ und die Eindeutigkeit ist bewiesen. 
Nun zeigen wir noch, da"s die kleinste Topologie $\mathcal I$ auf $X$,
f"ur die alle die $f_i$ stetig werden,
die von einer Initialtopologie geforderte Eigenschaft hat.
In der Tat 
ist die \hyperref[Fint]{Finaltopologie}
zu $e$ aus "Ubung \ref{Fint} auch eine Topologie auf $X$, f"ur
die alle $f_i$ stetig sind, und es folgt $\mathcal T\supset \mathcal I$ alias $e$ stetig.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl} 
 Explizit  kann man die Initialtopologie f"ur $(f_i:X\ra Y_i)_{i\in I}$ beschreiben als
 die Topologie auf $X$, die 
von allen $f_i^{-1}(V)$ mit $i \in I$ und  $ V \co Y_{i}$ erzeugt wird.
\end{Bemerkungl}


  \begin{Beispiel}
Ist $Y$ ein topologischer Raum und $X\subset Y $ eine Teilmenge, so
stimmt die auf $X$ induzierte Topologie "uberein mit der Initialtopologie zur
Inklusion
$X \hookrightarrow Y$.
  \end{Beispiel}

 



  

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at gesamthaft initialer Familien}]
 Seien $f_i : X \rightarrow Y_i$ und 
$g_{ji} : Y_i \rightarrow Z_{ji}$ Familien von\label{TFGi} 
 topologischen R"aumen und stetigen Abbildungen.
Ist die Familie der 
 $g_{ji}f_i $ gesamthaft initial, so auch die Familie der $f_i$.
Ist die Familie der  $(g_{ji})_j$ gesamthaft initial f"ur alle $i$ und
die Familie der $f_i$ gesamthaft initial, so ist auch 
die Familie der 
 $g_{ji}f_i $ gesamthaft initial. Das alles folgt unmittelbar aus der Definition. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Die vorhergehende Bemerkung \ref{TFGi}  besagt unter anderem,
da"s die Ver\-kn"up\-fung von zwei initialen Abbildungen stets initial ist 
und da"s eine Verkn\"{u}pfung $g\circ f$ von zwei stetigen Abbildungen 
nur dann initial sein kann, wenn $f$  initial ist. Insbesondere ist jede stetige
    Abbildung initial, die eine stetige Linksinverse besitzt.\label{QQHa} 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungw}
  Gegeben ein treuer Funktor $v:\mathcal S\ra \mathcal C$
  nennen wir ganz allgemein eine Familie 
von Morphismen  $f_i:X \ra Y_i$ in $\mathcal S$
{\bf gesamthaft initial in Bezug auf $v$},\index{gesamthaft initial!stetige Abbildungen} 
wenn f"ur alle $W\in\mathcal S$ gilt\label{gesi} 
$$v: \mathcal S(W,X)\sira \{e\in \mathcal C(vW,vX)\mid vf_i\circ e\in v(\mathcal S(W,Y_i))\;\forall i\}$$ 
Unsere Aussagen zur Transitivit"at gesamthaft initialer Familien gelten
auch in dieser Allgemeinheit. Im Fall  des 
Vergi"sfunktors $v:\mathfrak U{\op{Top}}\ra \mathfrak U{\op{Ens}}$
f"ur geeignete Mengensysteme $\mathfrak U$ erhalten wir die obigen
Resultate zur"uck. Die Initialtopologie kann als Spezialfall
der \glqq initialen $(\mathcal S,v)$-Struktur\grqq\ verstanden werden,
wie wir im Zusammenhang mit sogenannten \glqq $(\mathcal S,v)$-Strukturen 
auf Objekten von $\mathcal C$\grqq\ an anderer Stelle diskutieren.
\end{Bemerkungw}


\begin{Definition}
Gegeben $( X_{i} )_{i \in I}$ eine Familie topologischer R\"{a}ume ist die
{\bf Produkttopologie}\index{Produkttopologie|main}
 auf ihrem kartesischen Produkt $\prod_{i\in I}X_{i}$
definiert als die Initialtopologie zu den Projektionen auf die
Koordinaten\label{PrTo} 
$\op{pr}_j: \prod X_{i} \ra X_{j}$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Abstrakt gefa"st erhalten wir so genau das Produkt  im Sinne der
  Kate\-go\-rientheorie \eref{PrKao}{LA2}
in der Kategorie der
topologischen R"aume. Im Fall von zwei Faktoren erhalten wir unsere
Produkttopologie aus \eref{ProTo}{AN3} zur"uck. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ausformuliert bedeutet diese Definition:
Alle $\op{pr}_{j}$ sind stetig, und eine Abbildung
$e:W\ra \prod X_{i}$  von einem\label{ebprt} 
  topologischen Raum $W$ in das Produkt ist
stetig
genau dann, wenn alle $\op{pr}_{j} e : W \ra X_{j}$ es sind.
Etwas expliziter
liefert die 
Konstruktion der Initialtopologie, da"s die
Produkttopologie auf $\prod X_{i}$ erzeugt wird durch
alle Mengen der Form $\op{pr}_{i}^{-1}(U_{i})$ f\"{u}r $i\in I$ und $U_{i} \co
X_{i}$.
Eine Basis der Topologie wird folglich
gegeben durch alle endlichen Schnitte solcher Mengen alias
die \glqq offenen Quader\grqq\ 
$$U_{i_{1}}\times \ldots \times U_{i_{k}} \times \prod_{i\neq i_{1},\ldots
, i_{k}} X_{i}$$
mit $ U_{i_{\nu}} \co X_{i_{\nu}}$ f\"{u}r paarweise verschiedene $i_{\nu}$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Auf einem endlichen Produkt metrischer R"aume liefert die
Produktmetrik \glqq Maximum der Abst"ande auf den Koordinaten\grqq\ stets die Produkttopologie. Speziell 
stimmt auf dem $\DR^n$ die Produkttopologie "uberein mit der
nat"urlichen Topologie aus \eref{RAVe}{AN1}.\label{APc}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Initalit"at ist  vertr"aglich mit Produkten}]
    Das Produkt einer Familie von stetigen Abbildungen zwischen
    topologischen R"aumen ist eine stetige Abbildung zwischen den Produkten
    der jeweiligen R"aume.\label{PrAA}
   Sind hier alle Abbildungen Einbettungen, so auch
    ihr Produkt. Sind alle Abbildungen initial, so auch ihr Produkt.
 Das alles ist eine einfache 
Anwendung unserer allgemeinen Aussagen zur 
Transitivit"at gesamthaft initialer Familien \ref{TFGi}.
\end{Bemerkungl}



  \begin{Proposition}[\textbf{Abgeschlossenheit der Diagonale hei"st hausdorffsch}]
       Genau dann ist ein topologischer Raum $X$ hausdorffsch, 
wenn die Diagonale
      eine abgeschlossene Teilmenge des Produkts
unseres Raums mit sich selbst  ist, in Formeln\label{HDD}
$$\Delta(X)\As X\times X$$
    \end{Proposition}
    \begin{proof}
      Ist $X$ hausdorffsch, so gibt es f"ur $(x,y)\in (X\times X)\backslash
      \Delta(X)$ disjunkte offene Umgebungen $U, V\co X$ von $x$
      beziehungsweise $y$. Dann ist $(U\times V)\co (X\times X)$
      eine offene Umgebung von $(x,y)$,
      die die Diagonale nicht trifft, also liegt
      $(x,y)$ nicht im Abschlu"s der Diagonale.
      Ist umgekehrt die Diagonale abgeschlossen, so gibt es f"ur $x\neq y$  eine offene Umgebung von $(x,y)$, die die Diagonale nicht trifft.
Diese Umgebung ist eine Vereinigung von Quadern $U\times V$ mit $U,V\co X$ und
$U$ disjunkt zu $V$, und einer
von diesen Quadern mu"s $(x,y)$ enthalten, wir haben also
also $x\in U$ und $y\in V$ und $X$ ist hausdorffsch.
    \end{proof}

   



\begin{Definition}
  Eine 
  Abbildung von topologischen R"aumen hei"st {\bf
    offen}\index{offen!Abbildung topologischer R"aume}, wenn das Bild jeder offenen
    Menge offen ist.  Eine 
  Abbildung von topologischen R"aumen hei"st
 {\bf
    abgeschlossen}\index{abgeschlossen!Abbildung topologischer R"aume}, wenn das Bild jeder abgeschlossenen
 Menge abgeschlossen ist.  Wir fordern von einer offenen oder
 abgeschlossenen Abbildung nicht, da"s sie  stetig sein mu"s.
 \end{Definition}


 \begin{Beispiel}
 Die Projektionen eines Produkts von  topologischen R"aumen
auf seine Faktoren sind stets offen, sie sind jedoch 
im allgemeinen
 nicht abgeschlossen. Zum Beispiel ist 
die sogenannte Hyperbel $\{(x,y)\mid xy=1\}
$ eine abgeschlossene Teilmenge der Ebene $ \DR^{2}$, ihre
Projektion auf die $x$-Achse ist jedoch keine
abgeschlossene Teilmenge der Zahlengerade $\DR$.
 \end{Beispiel}

 \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte offener Abbildungen}] 
   Jedes endliche Produkt von offenen Abbildungen ist offen.  
   Jedes beliebige Produkt von offenen Surjektionen ist eine offene Surjektion.
   Beides folgt leicht aus der expliziten\label{poA} 
   Beschreibung der Produkttopologie \ref{ebprt}.
 \end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Zusammenhang von Produkten}]
Ein Produkt von topologischen R\"{a}umen
ist zusammenh\"{a}ngend genau dann, wenn
alle Faktoren zusammenh\"{a}ngend sind.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Um diesen Satz so pr"agnant formulieren zu k"onnen,
m"ussen wir unsere Konvention zugrundelegen, nach der die leere 
Menge kein zusammenh"angender topologischer Raum ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Ist das Produkt zusammenh\"{a}ngend, so nach \ref{BZu}
auch die Faktoren als die Bilder
der stetigen Projektionen.
F\"{u}r die R\"{u}ckrichtung pr\"{u}fen wir unser Zusammenhangskriterium
\ref{ZK}. Sei $(X_{i})_{i\in I}$ unsere Familie von topologischen R"aumen
und $f: \prod X_{i}\ra \{0,1\}$ stetig.
Wenn $X_{i}$ zusammenh\"{a}ngend ist, so folgt $f(x) = f(y)$, wenn sich $x$
und $y$
nur in der $i$-ten Koordinate unterscheiden.
Daraus folgt induktiv $f(x) = f(y)$, wenn sich $x$
und $y$
nur in endlich vielen Koordinaten unterscheiden.
Gilt nun $f^{-1}(0)\neq
\emptyset$, so folgt $f^{-1}(0) \supset U_{i_{1}}\times \ldots\times
U_{i_{k}}\times
\prod_{i\neq i_{1}, \ldots, i_{k}} X_{i}$ f\"{u}r geeignete 
paarweise verschiedene Indizes $i_{1}, \ldots, i_{k}$ und
geeignete nichtleere offene
Teilmengen  $U_{i_{1}}
\co X_{i_{1}}, \ldots , U_{i_{k}} \co X_{i_{k}}$.
Mit unserer Vor"uberlegung folgt daraus sofort, da"s $f$ konstant sein mu"s.
\end{proof}




\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
  F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist die diagonale Einbettung $X\ra X\times X$  initial. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Ist $f:X\ra Y$ stetig und $Y$ Hausdorff,
so ist der Graph von $f$ eine  abgeschlossene Teilmenge 
$\Gamma (f)\As X\times Y$.\label{GATT}  
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Stimmen zwei stetige Abbildungen von einem topologischen Raum in einen
Hausdorffraum auf einer dichten Teilmenge "uberein, so sind sie
gleich. Hinweis: Zusammen liefern unsere beiden stetigen Abbildungen 
eine Abbildung in das kartesische Produkt, unter der das Urbild der
Diagonale wegen \ref{HDD} abgeschlossen sein mu"s.\label{DWT}
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Ein Produkt von abgeschlossenen Teilmengen ist stets eine 
abgeschlossene Teilmenge des Produkts. Allgemeiner zeige man f"ur
topologische R"aume $X,Y$ und Teilmengen\label{PrAAn}%\label{PrAA} 
$A\subset X$ und $B\subset Y$ die Gleichheit
$\overline{A\times B}=\bar{A}\times \bar{B}$ des Abschlusses des 
Produkts mit dem Produkt der Abschl"usse. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
F\"{u}r beliebige topologische R\"{a}ume $X$, $Y$, $Z$ ist die offensichtliche
Abbildung $X\times Y\times Z\ra (X\times Y)\times Z$ ein Hom\"{o}omorphismus.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Ein beliebiges Produkt von Hausdorffr"aumen ist Hausdorff. 
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Man zeige, da"s die Menge aller 
$(x,y)\in\bar{\DR}\times \bar{\DR}$ mit $x\leq y$ 
abgeschlossen ist. Man folgere, da"s bei Grenzwerten von Funktionen
mit Werten in $\bar{\DR}$ Ungleichungen erhalten bleiben.
Hinweis: \ref{Abs}.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}
Sind $f,g:X\ra\DR^n$ stetige Abbildungen, so ist auch die Abbildung
$
H:X\times[0,1]\ra\DR^n$ mit 
$(x,\tau)\mapsto \tau f(x)+(1-\tau) g(x)$ stetig.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Das Produkt von zwei Mannigfaltigkeiten der Dimensionen $n$  und $m$ ist
eine Mannigfaltigkeit der Dimension $n+m$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Jede kompakte $d$-Mannigfaltigkeit $X$ l\"{a}"st sich stetig in einen
$\DR^{n}$  einbetten. Hinweis: Man
findet f\"{u}r jedes $x \in X$ eine stetige Abbildung $f_{x} : X
\ra \DR^{d}$, die injektiv ist auf einer offenen Umgebung $U_{x}$
von $x$. Endlich viele dieser $U_{x}$ \"{u}berdecken $X$.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
Man zeige: Das Produkt von zwei kompakten R"aumen ist kompakt.
Der Satz von Tychonoff  \ref{ST} wird uns sagen, da"s sogar ein
beliebiges Produkt von kompakten R"aumen kompakt ist.
\end{Ubung}






\begin{Ubunge} 
  Gegeben topologische R"aume $X$ und $Y$ sowie Kompakta $K\subset X$ 
und $L\subset Y$
  sowie $W\co X\times Y$ mit $K\times L\subset W$ gibt es $U\co X$ und $V\co Y$
  mit $K\subset U$ und $L\subset V$ sowie\label{oUKL} 
  $$ U\times V\subset W$$
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
 Man zeige, da"s es keinen topologischen Raum $X$ gibt derart, da"s 
$X\times X$ hom"oomorph ist zu $\DR$. Hinweis: Man zeige,
da"s f"ur $X$
zusammenh"angend mit mehr als einem Punkt  
das Komplement eines Punktes in $X\times X$ 
auch zusammenh"angend ist. Man zeige allgemeiner, da"s 
es keine zwei topologischen R"aume $X,Y$ mit jeweils mindestens zwei
Punkten so gibt, da"s $X\times Y$ hom"oomorph ist zu $\DR$.
H"oherdimensionale Analoga zeigen wir in \eref{WR3}{TS}.
\end{Ubunge}



\begin{Ubunge}\label{pkmR}
Auf dem Produkt  einer abz"ahlbaren Familie metrischer
R"aume existieren stets Metriken, die die  Produkttopologie  
induzieren. 
Weiter zeige man, da"s das Produkt einer abz"ahlbaren Familie 
kompakter metrischer
R"aume kompakt ist. Hinweis: Man mag
sich an \eref{FRo}{AN1} orientieren.  In \ref{ST} zeigen wir  allgemeiner
aber auch m"uhsamer den Satz von Tychonoff, nach dem
 beliebige Produkte kompakter
  R"aume kompakt sind. 
\end{Ubunge}


\begin{Ubung}[\textbf{Charakterisierung von Basen}] 
  Sei $X$ eine Menge.  Ein System von Teilmengen $\mathcal B\subset \mathcal P(X)$ ist genau dann eine Basis einer Topologie, wenn es $X$ "uberdeckt und
  wenn es f"ur beliebige $A,C\in\mathcal B$ und $x\in A\cap C$ ein
  $B\in\mathcal B$ gibt mit $x\in B\subset A\cap C$.
\end{Ubung}




\subsection{Finaltopologie} 
\begin{Bemerkungl} Die Finaltopologie in Bezug auf eine
  Abbildung von einem topologischen Raum in eine Menge
  kennen wir bereits aus \ref{Fint}. Hier besprechen wir eine
  Variante f"ur Familien von Abbildung von topologischen R"aumen in eine
  Menge und Eigenschaften dieser Konstruktion. 
\end{Bemerkungl}



 \begin{Definition}  Eine Familie von stetigen
    Abbildungen $f_i:X_i \ra Y$ hei"st 
{\bf gesamthaft final},\index{gesamthaft final!stetige Abbildungen}
wenn f"ur jede Abbildung $h:Y\ra W$ in einen weiteren\label{KFTf}
topologischen Raum gilt:
$$(hf_i \text{ stetig }\forall i)\RA ( h\text{ stetig})$$
  \end{Definition}
 \begin{Bemerkungl}
   Wir eine stetige Abbildung
$f:X \rightarrow Y$ {\bf final},\index{final!stetige Abbildung}
  wenn sie als einelementige Familie gesamthaft final ist. Zum Beispiel ist die Identit"at auf einem topologischen 
Raum stets final.  Wir sagen, eine Abbildung  $f:X \ra Y$ sei
    {\bf final auf ihr Bild}, wenn die induzierte Abbildung
    $f:X\ra f(X)$ final ist.
 \end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}
  Gegeben $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie topologischer R\"{a}ume,
  $Y$ eine Menge 
 und $f_{i}:X_{i}\ra Y$ eine Familie von Abbildungen
 gibt es genau eine Topologie auf $Y$, f"ur die unsere Familie gesamthaft
 final wird. Sie hei"st die \emph{\bf Finaltopologie}\index{Finaltopologie} 
 zu unserer Familie.\label{FiTo} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Wir beginnen mit der Eindeutigkeit. Sind $\mathcal T$ und $\mathcal S$ zwei
  Topologien auf $Y$, f"ur die unsere Famlie gesamthaft final wird,
  so sind sowohl $\op{id}:(Y,\mathcal S)\ra (Y,\mathcal T)$ als auch
  $\op{id}:(Y,\mathcal T)\ra (Y,\mathcal S)$ stetig. Das zeigt $\mathcal T=\mathcal S$ und so die Eindeutigkeit. 
  Andererseits ist klar, da"s
  $\mathcal T\pdef \{V\subset Y\mid f_i^{-1}(V)\co X_i \;\forall i\}$ 
  eine Topologie ist und  die von einer
Finaltopologie geforderte Eigenschaft hat. 
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at gesamthaft finaler Familien}]
 Seien $e_{ij} : W_{ij} \rightarrow X_i$ und 
$f_i : X_i \rightarrow Y$ Familien von\label{TFG} 
 topologischen R"aumen und stetigen Abbildungen.
Ist die Familie der $f_i e_{ij}$
gesamthaft final, so auch die Familie der $f_i$.
Ist die Familie der  $e_{ij}$ gesamthaft final f"ur alle $i$ und  die
Familie der $f_i$ 
gesamthaft final, so ist auch  die Familie der $f_i e_{ij}$
gesamthaft final. Das alles folgt unmittelbar aus der Definition.\label{QQH} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Die vorhergehende Bemerkung \ref{TFG}  besagt unter anderem,
da"s die Ver\-kn"up\-fung von zwei finalen Abbildungen stets final ist 
und da"s eine Verkn\"{u}pfung $f e$ von zwei stetigen Abbildungen 
nur dann final sein kann, wenn $f$  final ist.   Insbesondere ist jede stetige Abbildung final, die eine stetige
    Rechts\-in\-ver\-se alias einen stetigen {\bf Schnitt}\index{Schnitt!stetiger}
    besitzt. Gibt es in anderen Worten eine stetige Abbildung $s$ mit
    $f\circ s=\op{id}$, so ist $f$ final.
    Insbesondere ist jede Projektion von einem Produkt mit
    nichtleeren Faktoren auf einen der Faktoren final. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
    Ist $f:X \sra Y$ eine Surjektion, so hei\ss t die Finaltopologie auf $Y$
    auch die \defind{Quotiententopologie}. 
 \end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  In unserem abstrakten Kontext aus \ref{gesi} sind
  gesamthaft finale Familien stetiger Abbildungen\label{gesfi}
  genau die gesamthaft initialen Familien
  in Bezug auf den treuen Funktor $v^{\op{opp}}:\mathfrak U{\op{Top}}^{\op{opp}}\ra \mathfrak U{\op{Ens}}^{\op{opp}}$ f"ur jedes Mengensystem $\mathfrak U$, das
  alle beteiligten R"aume $X_i,Y$ enth"alt.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel} Wir konstruieren das \defind{M"obiusband}.
Zu dem Behufe betrachten  wir auf $[0,1] \times [-1,1]$  die \"{A}quivalenzrelation
$\sim$,
die erzeugt wird von $(0,y) \sim (1,-y)$.
Die Menge der \"{A}quivalenzklassen\label{MoeB} 
versehen wir mit der Quotiententopologie, und fertig ist das M\"{o}biusband.
Als \"{U}bung zeige man, da"s unser so konstruiertes M\"{o}biusband kompakt
ist.
\end{Beispiel}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildMob}\\[4mm]
\noindent 
Versuch einer graphischen Darstellung unserer Konstruktion des M"obiusbands.
Der besseren Vorstellung halber habe ich hier das Rechteck
$[0,5] \times [-1,1]$ 
gezeichnet und die Identifikationsvorschrift f"ur die senkrechten
Kanten durch mit $=$ bezeichnete Linien beispielhaft angedeutet.
\end{figure}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildKrH}\\[4mm]%width=\textwidth
\noindent 
Man erh"alt eine stetige Abbildung des M"obiusbands nach
$\DR^3\cong \DC\times \DR$ vermittels der 
Formel $(t,\tau)\mapsto (\tau \op{e}^{\pi\op{i}t}, \sqrt{
1-\tau^2}\cos^2 \pi t)$.
Anschaulich gesprochen verbindet man je zwei gegen"uberliegende Punkte 
des Einheitskreises durch einen Bogen mit variierender mittlerer H"ohe.
Das Bild ist eine sich selbst durchdringende r"aumliche Fl"ache,
bei der man sich die Selbstdurchdringung leicht wegdenken kann.
Man nennt sie auch die \defind{Kreuzhaube}. 
In dieser Anschauung f"ur das M"obiusband bezahlt man 
in gewisser Weise
 mit der Selbstdurchdringung f"ur die 
gute Sichtbarkeit des Randkreises.  
\end{figure}
\begin{Beispiel}[\textbf{Verkleben topologischer R"aume}] 
Wir zeigen, wie man mit unserem Formalismus
zwei topologische\label{Verkl} 
R\"{a}ume $X$ und $Y$ verkleben kann.
Wir brauchen dazu als \glqq Kleber\grqq\  eine Menge $K$
und Abbildungen $f:K\ra X$, $g:K\ra Y$.
Dann betrachten wir auf der disjunkten
Vereinigung $Y\amalg X$ die \"{A}quivalenzrelation $\sim$ erzeugt von
$f(z)\sim g(z)\;\;\forall z\in K$ und nehmen als Topologie auf der Verklebung
$$Y\amalg_K X=(Y\amalg X)/\sim$$ die Finaltopologie zu den beiden
offensichtlichen Abbildungen $X\ra Y\amalg_K X$, $Y\ra Y\amalg_K X$.
\end{Beispiel}


 















\begin{Definition}\label{SuTo}
Gegeben $( X_{i} )_{i \in I}$ eine Familie topologischer R\"{a}ume erkl"art man ihre
{\bf topologische Summe}\index{Summe!topologische} 
als ihre disjunkten Vereinigung $\coprod_{i\in I}X_{i}$
definiert als die finale Topologie zu den Injektionen 
$\op{in}_j: X_{j}\ra \coprod X_{i}$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Abstrakt gefa"st erhalten wir so genau das Koprodukt  im Sinne der
  Kate\-go\-rientheorie \eref{KoPro}{LA2}
in der Kategorie der
topologischen R"aume. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Ausformuliert bedeutet diese Definition:
Alle $\op{in}_{j}$ sind stetig, und eine Abbildung
$g:\coprod X_{i}\ra Z$  vom Koprodukt
 in einen topologischen Raum $Z$  ist
stetig
genau dann, wenn alle $g\circ \op{in}_{j}: X_{j}\ra Z$ es sind.
Etwas expliziter
liefert die 
Konstruktion der Finaltopologie, da"s eine Teilmenge der topologischen Summe
genau dann offen ist, wenn ihr Schnitt mit jedem $X_j$ offen ist in $X_j$.
\end{Bemerkungl}







%\begin{proof}
%  Sei $Z$ ein weiterer topologischer Raum
%und $g:Y\ra Z$ eine Abbildung. Ist $g\circ (f\circ e)=(g\circ f)\circ e$ 
%stetig, so folgt erst $g\circ f$ stetig wegen der Finalit"at von $e$ und dann
%$g$ stetig wegen der Finalit"at von $f$. Also hat auch  $f\circ e$
%die universelle Eigenschaft, die finale Abbildungen charakterisiert,
%und wir haben gezeigt, da"s jede Verkn"upfung finaler Abbildungen final ist.
%Nun zeigen wir die letzte Aussage und nehmen an, $f\circ e$ sei final.
%Ist nun $g\circ f$ stetig, so ist $g\circ (f\circ e)=(g\circ f)\circ e$ stetig
%und dann ist wegen der Finalit"at von $f\circ e$ auch $g$ selbst.
%Also hat dann $f$
%die universelle Eigenschaft, die finale Abbildungen charakterisiert.
%\end{proof}
\begin{Lemma}[\textbf{Finalit"at von Restriktionen}]
   Ist $f:X\ra Y$ eine finale Abbildung von topologischen R"aumen und
   ist
   $V\subset Y$ offen oder abgeschlossen, so ist auch die induzierte Abbildung
   $f:f^{-1}(V)\ra V$ final.\label{FvR}
   Dasselbe gilt analog auch für gesamthaft finale Familien.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl} F"ur beliebiges $V\subset Y$ ist die entsprechende Aussage meines Wissens nicht richtig.
\end{Bemerkungl}
 \begin{proof} Wir zeigen das nur im Fall $V\co Y$, den anderen  Fall
   behandelt man analog. Es gilt f"ur $U\subset V$ zu zeigen
   $U\co V\IFF f^{-1}(U)\co  f^{-1}(V)$. Dazu "uberlegen wir uns
    $U\co V\IFF U\co Y \IFF f^{-1}(U)\co  X\IFF f^{-1}(U)\co  f^{-1}(V)$.
   Die "au"seren Implikationen folgen dabei aus \ref{ROfM}, die mittlere
   aus der
   Finalit"at von $f$.
 \end{proof}
\begin{Lemma}[\textbf{Finalit"at von Surjektionen}]
   Jede stetige offene oder abgeschlossene Surjektion ist final.\label{soSF}
 \end{Lemma}
 
 \begin{proof}
   Gegeben eine Surjektion $f:X\sra Y$ gilt f"ur jede Teilmenge 
$V\subset Y$ bereits $V=f(f^{-1}(V))$. Ist $f$ zus"atzlich offen, so folgt aus
$f^{-1}(V)\co X$ also $V\co Y$ und $f$ ist in der Tat final. Im Fall einer stetigen abgeschlossenen Surjektion argumentiert man genauso. 
 \end{proof}
\begin{Beispiel}\label{IIA}
Jede stetige Surjektion von einem kompakten Raum
auf einen Hausdorffraum ist final nach \ref{soSF}, denn sie ist abgeschlossen nach  \ref{QHK}.
\end{Beispiel}

 
\begin{Bemerkungl}\label{UHGT}
 Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein System $\mathcal A\subset \mathcal P(X)$ 
von Teilmengen von $X$ hei"st 
{\bf lokal endlich},\index{lokal endlich!Mengensystem}
 wenn jeder Punkt $x\in X$ eine Umgebung besitzt, die
nur endlich viele der Teilmengen unseres Systems trifft. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Proposition}[\textbf{Gesamthafte Finalit"at von "Uberdeckungen}] 
  Gegeben eine
offene oder eine
  lokal endliche abgeschlossene "Uberdeckung eines topologischen Raums  bilden die zugeh"origen Einbettungen eine gesamthaft finale
  Familie.\label{gfu}
\end{Proposition}
\begin{proof} 
  Im Fall einer offenen "Uberdeckung  ist das nur  eine Umformulierung unserer Proposition \ref{affM}, nach der Stetigkeit eine lokale Eigenschaft ist.
  Im Fall einer endlichen abgeschlossenen "Uberdeckung folgt das ebenso direkt aus Proposition \ref{affM}. Im Fall einer lokal endlichen abgeschlossenen "Uberdeckung folgt es aus einer Kombination dieser beiden Aussagen oder alternativ, da je eine Abbildung stetig ist, wenn sie stetig ist in jedem Punkt.
\end{proof}


\begin{Beispiel}[\textbf{Finalit"at ist lokal in der Basis}]
  Sei $f:X \ra Y$ eine stetige Abbildung.\label{FEF}   Mit der \glqq Basis\grqq\ ist  der Raum $Y$ gemeint.
  Besitzt diese Basis $Y$ eine offene  "Uberdeckung $\cal{V}$  derart, da"s 
  $f: f^{-1} (V) \ra V$ final ist f"ur alle $V\in\cal{V}$, zum Beispiel weil
  es jeweils einen Schnitt besitzt, so ist auch
  $f$ selbst final. In der Tat bilden  dann nach der  Transitivit"at gesamthaft finaler Familien \ref{TFG}
  und der gesamthaften Finalit"at von "Uberdeckungen \ref{gfu}
  die Abbildungen $f^{-1}(V)\ra Y$ eine gesamthaft finale Familie. Da diese nun 
  "uber $f:X\ra Y$ faktorisiert, ist
  nach der zweiten Aussage in \ref{TFG} auch $f$ final. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl} Allgemein sagen wir, eine Eigenschaft (L) stetiger
  Abbildungen sei {\bf lokal in der Basis},\index{lokal!in
    der Basis}\label{LiB} 
  wenn gegeben $f:X\ra Y$ stetig und $\cal{V}$ eine offene "Uberdeckung
  von $Y$ die Abbildung $f$ die Eigenschaft (L) hat genau dann, wenn
  ihre Einschr"ankungen 
  $f: f^{-1} (V) \ra V$  f"ur alle $V\in\cal{V}$ die Eigenschaft (L) haben.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Die Exponentialabbildung $\op{exp}:\DC\ra \DC^\times$ ist final, da sie lokal
  stetige Schnitte besitzt, zum Beispiel "uber jeder geschlitzten Ebene.
  Eine Funktion $f:\DC^\times\ra \DC$ ist also genau dann stetig, wenn
  $f\circ\op{exp}:\DC\ra \DC$ stetig ist. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Das Potenzieren $\DC\ra \DC, z\mapsto z^n$ ist final f"ur $n\geq 1$.
  In diesem Fall besitzt $\DC$ n"amlich eine endliche "Uberdeckung
  durch abgeschlossene Teilmengen, etwa geeignete abgeschlossene
  Winkelsegmente, auf denen sie jeweils einen stetigen Schnitt besitzt, 
  und man kann \ref{FEFa} anwenden. Alternativ m"ogen sie aus der
  Funktionentheorie wissen, da"s nichtkonstante holomorphe Abbildungen
  mit zusammenh"angendem Definitionsbereich offen sind, und offene stetige
  Surjektionen sind nach \ref{soSF} final. Als drittes Argument m"ogen sie
  nochmal mit \ref{FEFa} argumentieren und eine lokal endliche "Uberdeckung
  durch abgeschlossene Kreisringe konstruieren, auf die zur"uckgezogen unsere Abbildung
  jeweils final ist nach \ref{IIA} als stetige surjektive Abbildung von
  einem Kompaktum auf einen Hausdorffraum.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw}[\textbf{Finalit"at und Produkte}]
Es ist meines Wissens im allgemeinen nicht richtig, 
da"s f"ur $f:X\ra Y$ final und $Z$ ein beliebiger topologischer
Raum auch $f\times {\op{id}}:X\times Z\ra Y\times Z$
final w"are. Wir zeigen jedoch in \ref{VPQn}, da"s gegeben eine finale
Surjektion $f:X\sra Y$ und $Z$ lokal kompakt auch $f\times {\op{id}}:X\times Z\ra Y\times Z$
final ist.
\end{Bemerkungw}


\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung} Gegeben ein diskreter Raum $F$ und ein beliebiger
  Raum $X$ stimmt die Produkttopologie auf $X\times F$ "uberein mit
  der Finaltopologie in Bezug auf die Abbildungen $i_f:X\ra X\times F$
  f"ur alle $f\in F$, die gegeben werden durch
  $x\mapsto (x,f)$. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Eigenschaften stetiger offener Surjektionen}]
  Wir wissen aus \ref{soSF} bereits, da"s stetige offene Surjektionen
  final sind. Man zeige dar"uber hinaus die folgenden Eigenschaften.
  \begin{enumerate}
  \item
    Ist $f:X\ra Y$ eine stetige offene Surjektion und
    $Z$ ein topologischer Raum, so ist auch
    $f\times\op{id}:X\times Z\ra Y\times Z$ eine stetige offene Surjektion;
    \item
    Ist $f:X\ra Y$ eine stetige offene Surjektion und
    $V\subset X$ ein Teilmenge, so ist auch
    $f: f^{-1}(V)\ra V$ eine stetige offene Surjektion;
  \item
    Sind $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ stetige Abbildungen und ist
    $gf:X\ra Z$ eine stetige offene Surjektion, so auch $g$.
    Insbesondere ist jede stetige Abbildung,
    die einen stetigen Schnitt besitzt, eine stetige offene Surjektion;
  \item
    Ist $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $Y=\bigcup_{V\in\mathcal V}V$
    eine offene "Uberdeckung derart, da"s alle $f:f^{-1}(V)\ra V$ stetige
    offene Surjektionen sind, so ist auch $f$ eine 
     stetige
    offene Surjektion.
  \end{enumerate}
  Salopp gesprochen sind stetige offene Surjektionen \glqq die
  besseren finalen Abbildungen\grqq. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit von endlichen Produkten mit Koprodukten}]
  In der Kategorie der Mengen
  kommutieren Koprodukte mit beliebigen Produkten.
   In der Kategorie der topologischen
  R"aume kommutieren Koprodukte mit beliebigen endlichen Produkten.
  In der Kategorie der abelschen Gruppen gilt noch nicht einmal das. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben $X$ ein topologischer Raum, $f:X \ra Y$ eine Abbildung und ${\cal E}
    \subset {\cal P} (Y)$ ein Mengensystem ist $f$ ist stetig f\"{u}r die
    von ${\cal E}$ erzeugte Topologie auf $Y$ genau dann, wenn die Urbilder
    aller $ V \in {\cal E}$ offen sind in $X$.\label{EZT}  Hinweis: Sind die Urbilder aller $ V \in {\cal E}$ offen, so ist 
${\cal E}$ enthalten in der finalen Topologie auf $Y$.
 \end{Ubung}
 \begin{Ubung}[\textbf{Finalit"atskriterium "uber abgeschlossene "Uberdeckungen}]
  Sei $f:X \ra Y$ eine stetige Abbildung.\label{FEFa} 
  Besitzt die Basis $Y$ eine lokal endliche  "Uberdeckung $\cal{V}$
  durch abgeschlossene Teilmengen derart, da"s 
  $f: f^{-1} (V) \ra V$ final ist f"ur alle $V\in\cal{V}$, so ist auch
  $f$ selbst final. Hinweis: Man passe die Argumentation aus \ref{FEF} an. 
\end{Ubung}









 








\begin{Ubung}[\textbf{Finale Abbildungen und Zusammenhang}]
 Ist $f:X\ra Y$ final mit zusammenh"angenden Fasern,
so sind die Zusammenhangskomponenten von $X$ die Urbilder der
Zusammenhangskomponenten von $Y$.\label{fzu}  
Ist insbesondere $Y$
  zusammenh"angend, so auch $X$. 
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{lff} 
 Sei $f:X\sra Y$ eine stetige Surjektion auf einen
Hausdorffraum.  Besitzt $Y$ eine lokal endliche "Uberdeckung 
durch Teilmengen,
deren Urbilder unter $f$ kompakt sind, so ist $f$ final.  
Hinweis: \ref{IIA} und \ref{FEFa}.
\nichtfinal{Nochmal genau angucken! Bin skeptisch!} Besitzt insbesondere
ein Hausdorffraum eine lokal endliche "Uberdeckung durch Kompakta,
so kann man keine offenen Mengen hinzuf"ugen, ohne  die lokal endliche
"Uberdeckbarkeit durch Kompakta zu verlieren. 
\end{Ubunge}




\begin{Ubung}[\textbf{Stetigkeitseigenschaften der Nullstellen von Polynomen}]
Die Vorschrift $(\lambda_1,\ldots,\lambda_n)\mapsto
(T-\lambda_1)\ldots(T-\lambda_n)$  liefert f"ur jedes $n$ eine 
finale Abbildung  $\pi:\DC^n\sra \op{Pol}^n$ in den affinen Raum 
$\op{Pol}$\label{STNS}  
aller normierten komplexen Polynome vom Grad $n$, und die davon  induzierte
Abbildung ist
ein Hom"oomorphismus
$$\DC^n/\mathcal S_n\sira \op{Pol}^n$$
  Hier meint $\DC^n/\mathcal S_n$
den Bahnenraum f"ur die Operation der symmetrischen Gruppe durch Vertauschung
der Koordinaten mit der Quotiententopologie alias den
 Raum der Multimengen komplexer Zahlen der Kardinalit"at $n$.
Auf unserem Raum $\op{Pol}^n$ dahingegen 
betrachten wir die nat"urliche Topologie.  Unser Satz ist ein
topologisches  Analogon des Hauptsatzes "uber symmetrische Polynome
\eref{SyP}{AL},
vergleiche \eref{QSyG}{KAG}. Hinweis: Man mag etwa davon ausgehen,
da"s aufgrund der  Absch"atzung
  \eref{AbNs}{LA1}  Urbilder von Kompakta $K$ unter $\pi$ stets wieder 
kompakt sind.
\end{Ubung}


\begin{Beispiel}
  Ist $f:\DC\ra \DC$ stetig, so ist auch die Abbildung
$\op{Pol}\ra \DC$ gegeben durch $(T-\lambda_1)\ldots(T-\lambda_n)
\mapsto f(\lambda_1)+\ldots +f(\lambda_n)$ stetig. 
\end{Beispiel}

\
%\begin{proof}
%Links ist hier die Operation der symmetrischen Gruppe  durch Vertauschung
%  der Koordinaten gemeint.   
%Aus der Finalit"at von $\pi$ folgen die anderen Aussagen unmittelbar.
%Die Absch"atzung
%  \eref{AbNs}{LA1} zeigt aber, 
%da"s Urbilder von Kompakta $K$ unter $\pi$ stets wieder 
%kompakt sind. Nach 
%\ref{IIA} ist dann $\pi^{-1}(K)\sra K$ final,
%nach \ref{FEF} damit auch $\pi^{-1}(K^\circ )\sra K^\circ$,
%und nach der Lokalit"at der Finalit"at \ref{FEF} 
%damit  auch  unsere Abbildung $\pi$ selbst. 
%\end{proof}

\begin{Ubung}
Man zeige,  da"s im  Raum aller 
normierten reellen Polynome vom Grad $n$ die "uber $\DR$ zerfallenden
Polynome eine abgeschlossene Teilmenge bilden und da"s
darin die offene Teilmenge der Polynome ohne Nullstelle bei Null
in $(n+1)$ Zusammenhangskomponenten zerf"allt, die durch die Zahl der
mit Vielfachheit genommenen 
positiven Nullstellen der in ihnen enthaltenen
 Polynome charakterisiert werden k"onnen.
\end{Ubung}






 
 
\begin{Bemerkungw}
    In der Homotopietheorie arbeitet man oft mit sogenannten
{\bf CW-Komplexen}.\index{CW-Komplex}
Darunter versteht man einen Hausdorffraum $X$ mit 
einer Familie von stetigen Abbildungen $\varphi_\alpha: D^{n(\alpha)}\ra X$
von geschlossenen B"allen $D^n\pdef \{x\in\DR^n\mid \|x\|\leq 1\}$
nach $X$ derart, da"s gilt:
\begin{enumerate}
\item 
Die Restriktionen unserer Abbildungen auf die offenen B"alle sind
Ho\-m"oo\-mor\-phis\-men
auf ihr Bild 
$\varphi_\alpha:(D^{n(\alpha)}\backslash S^{n(\alpha)})\sira
\varphi_\alpha(D^{n(\alpha)}\backslash S^{n(\alpha)})$ und 
unser Raum $X$ ist als Menge die disjunkte Vereinigung der
Bilder der offenen B"alle
$X=\coprod_{\alpha}\varphi_\alpha(D^{n(\alpha)}\backslash S^{n(\alpha)})$. Diese Bilder der offenen B"alle hei"sen die
{\bf Zellen}\index{Zelle!von CW-Komplex} unseres CW-Komplexes;
\item
F"ur jedes $\alpha$ ist $\varphi_\alpha(S^{n(\alpha)})$
enthalten in einer endlichen Vereinigung von Bildern von anderen
$\varphi_\beta$ mit $n(\beta)<n(\alpha)$;
\item
Der Raum $X$ tr"agt die finale Topologie in Bezug auf die Familie der
$\varphi_\alpha:D^{n(\alpha)}\ra X$.
\end{enumerate}
Die zweite Bedingung hei"st auf Englisch \glqq closure finiteness\grqq,
die Dritte \glqq weak topology\grqq, daher die Terminologie.
Gro"se Vorsicht ist bei Produkten angesagt: Das
Produkt von zwei CW-Komplexen mit seiner offensichtlichen Zellstruktur
mu"s keineswegs wieder ein CW-Komplex sein, sondern kann mehr offene Teilmengen
haben als die finale Topologie zur offensichtlichen Zellstruktur. Mehr
Details stehen bei Hatcher.
\end{Bemerkungw}
 \begin{Ubunge}\label{SCW} 
  Gegeben ein  CW-Komplex $X$ ist die Vereinigung
  $X^{\leq n}$ aller Zellen der Dimension $\leq n$ abgeschlossen.
  Sie hei"st das {\bf $n$-Skelett}\index{Skelett} unseres
  CW-Komplexes.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge} 
  Ein Kompaktum in einem CW-Komplex trifft h"ochstens
  endlich viele Zellen.\label{KoCW}
  Hinweis: Eine Teilmenge, die jede Zelle nur
  in endlich vielen Punkten trifft, ist diskret.
\end{Ubunge}
 






\subsection{Abz"ahlbar basierte Einsmannigfaltigkeiten*}
\begin{Bemerkungl}
Dieser Abschnitt ist f"ur das Weitere entbehrlich.
Er dient im Wesentlichen
dazu, den Leser davon zu "uberzeugen, da"s die bisher entwickelten abstrakten
Begriffsbildungen immer noch
eine enge Beziehung zur Anschauung haben.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation kompakter  Einsmannigfaltigkeiten}]
Jede zusammenh\"{a}ngende kompakte topologische
Einsmannigfaltigkeit
ist ho\-m\"{o}o\-morph zur Kreislinie $S^{1}$.\label{KlED} 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Weitere Resultate in dieser Richtung kann man etwa in
\cite[p. 139]{FR} finden.
 Wir schicken dem eigentlichen Beweis ein Lemma voraus. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Lemma}
  L"a"st sich ein zusammenh"angender Hausdorffraum 
schreiben als Vereinigung von
  zwei offenen zu $\mathbb{R}$ hom"oomorphen Teilmengen, so ist er ho\-m"o\-o\-morph
  zur Zahlengeraden $\mathbb{R}$ oder zur Kreislinie $S^1$.\label{LeSr}
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Sei $X$ unser Raum und seien
$\varphi, \psi : \mathbb{R} \hookrightarrow X$
  stetige  offene
  Einbettungen, deren Bilder $X$ "uberdecken.  Da $X$ zusammenh"angend
  ist, haben wir $\varphi (\mathbb{R}) \cap \psi (\mathbb{R}) \neq \emptyset$.
  Sicher ist $\varphi^{-1} (\psi (\mathbb{R}))$ 
offen in $\mathbb{R}$, folglich ist
  jede Zusammenhangskomponente dieser Menge ein offenes Intervall.  W"are solch
  eine Zusammenhangskomponente beschr"ankt, sagen wir
  von der Gestalt $ (a,b)$ mit $a,b \in \mathbb{R}$, so folgte $(\psi^{-1}\circ
  \varphi) ((a,b)) = (\psi^{-1} \circ\varphi) ([a,b])$, 
und da $\varphi ([a,b])$ kompakt
und damit abgeschlossen ist, w"are $(\psi^{-1} \circ \varphi)((a,b))$ sowohl
  offen als auch abgeschlossen und damit ganz $\mathbb{R}$ und es folgte $
  \varphi:\mathbb{R}\sira X$ und wir w"aren fertig.  
Wir d"urfen also annehmen, jede
  Zusammenhangskomponente von $\varphi^{-1} (\psi (\mathbb{R}))$ sei ein
  unbeschr"anktes Intervall. Folglich besitzt dieser Raum und damit auch
  $\varphi (\mathbb{R}) \cap \psi (\mathbb{R})$ entweder eine oder zwei
  Zusammenhangskomponenten. Wir beginnen mit dem Fall einer Komponente. Indem
  wir notfalls $\varphi$ beziehungsweise $\psi$ durch ihre Verkn"upfung mit $t \mapsto -t$
  ersetzen, d"urfen wir annehmen, da"s es $a,b \in \mathbb{R}$ 
gibt derart, da"s
  $\varphi$ und $\psi$ Hom"oomorphismen
\begin{equation*}
(-\infty, a) \;\sira\; \varphi (\mathbb{R}) 
\cap \psi (\mathbb{R}) \;\overset{\sim}{\leftarrow}\; (b, \infty)
\end{equation*}
induzieren. Die Verkn"upfung ist also streng monoton. \begin{figure}[htb] 
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildIlS}\\[4mm]
\centering{Illustration zum Beweis von \ref{LeSr}.}
\end{figure}
W"are sie streng monoton
fallend, so h"atten wir
\begin{equation*}
\lim_{x\nearrow a} \varphi (x) = \varphi (a) = \psi (b) = \lim_{y\searrow b}
\psi (y)
\end{equation*}
im Widerspruch zur Wahl von $a$ und $b$.  Also ist unsere Verkn"upfung streng
monoton wachsend und gegeben $c,d$ mit $\varphi (c) = \psi (d)$ 
haben wir $$X = \psi
((-\infty, d]) \cup \varphi ([c,\infty))$$ wobei $\varphi (c) = \psi (d)$ der
einzige gemeinsame Punkt dieser beiden Mengen ist.  
Sie sind beide abgeschlossen
in $X$, da ihre Urbilder unter $\psi$ und $\varphi$ es 
sind. Daraus folgt dann,
da"s $X$ hom"oomorph ist zu $\mathbb{R}$.  Im Fall zweier Komponenten
argumentieren wir analog.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{KlED}]
  Sei $X = U_1 \cup U_2 \cup \ldots \cup U_r$ eine offene "Uberdeckung durch zu
  $\mathbb{R}$ hom"oomorphe Teilmengen. Wir k"onnen die 
Mengen unserer "Uberdeckung so anordnen, da"s $U_1
  \cup U_2 \cup \ldots \cup U_i$ f"ur jedes $i \geq 1$ zusammenh"angend ist. Ist
  $i$ minimal derart, da"s $U_1 \cup \ldots \cup U_i$ nicht hom"oomorph ist zu
  $\mathbb{R}$, so mu"s nach dem Lemma diese Vereinigung bereits hom"oomorph zu
  $S^1$ sein und damit als nichtleere abgeschlossene und offene Teilmenge mit
  ganz $X$ zusammenfallen.
\end{proof}
\begin{Satz}[\textbf{Klassifikation  abz"ahlbar basierter  Einsmannigfaltigkeiten}]
Jede  abz"ahlbar basierte topologische
Einsmannigfaltigkeit
besitzt abz"ahlbar viele Zusammenhangskomponenten. Diese sind offen  und jede
von ihnen ist hom"oomorph zur Kreislinie $S^{1}$ oder zur reellen Zahlengerade $\DR$.\label{KlEDab} 
\end{Satz}
\begin{proof}
  Es reicht zu zeigen, da"s jede nichtkompakte abz"ahlbar
  basierte zusammenh"angende Einsmannigfaltigkeit $M$
  hom"oomorph zur reellen Zahlengeraden
  $\DR$ ist. Per definitionem besitzt $M$ eine abz"ahlbare "Uberdeckung
  durch zu $\DR$ hom"oomorphe offene Teilmengen $M=\bigcup_{I\in \mathcal I} I$.
  Wir greifen willk"urlich ein $I\in \mathcal I$ heraus und
  nennen es $U_0\pdef I_0$.
  Gilt $U_0=M$, so sind wir fertig und setzen
  nur proForma $U_1\pdef U_0$. Andernfalls
  mu"s es es, da $M$ zusammenh"angend vorausgesetzt war,  $I_1\in\mathcal I$
  geben mit $U_0\cap I_1\neq\emptyset$. Nach \ref{LeSr} ist  $U_0\cup I_1$
  hom"oomorph zu $S^1$ oder zu $\DR$. Im ersteren Fall w"are  $U_0\cup I_1$
  kompakt, also abgeschlossen, also ganz $M$ im Widerspruch zu unserer Annahme.
  Also gilt  $U_0\cup I_1\cong \DR$ und wir setzen
  $U_1\pdef U_0\cup I_1$. So machen wir immer weiter
  und finden eine "Uberdeckung
  $$M=\bigcup_{n=0}^\infty U_n$$
  durch eine Folge von zu $\DR$ hom"oomorphen offenen Teilmengen
  $$U_0\subset U_1\subset\ldots$$
  Offensichtlich finden wir dann eine monoton fallende Folge $a_n$
  und eine monoton wachsende Folge $b_n$ in $\DR$ und
  mit den Einbettungen vertr"agliche Hom"oomorphismen
  $(a_n,b_n)\sira U_n$. Der Satz folgt. 
\end{proof}

\subsection{Topologisches Exponentialgesetz}

\begin{Definition}\label{KOT}
Gegeben topologische R"aume $X,Y$ bezeichne $\op{Top}
(X,Y)$\index{Top@$\op{Top}(X,Y)$   stetige Abbildungen} 
die
Menge aller stetigen Abbildungen von $X$ nach $Y$.
Gegeben Teilmengen $K \subset X$ und $U\subset Y$ bezeichne $$\cal{O} (K,U)
\subset \op{Top} (X,Y)$$ die Menge aller stetigen
Abbildungen $f:X\ra Y$ mit $f(K)
\subset U$.
Die  auf $\op{Top} (X,Y)$
von den Mengen $\cal{O} (K,U)$ f"ur $K\subset X$ kompakt und
$U \co Y$ offen erzeugte Topologie hei"st wie in \eref{KOTv}{AN3} 
die \defind{kompakt-offene Topologie}. 
Wir denken uns 
R"aume stetiger Abbildungen 
im Zweifelsfall
stets mit dieser Topologie versehen und verwenden f"ur  
den so entstehenden topologischen Raum
die  Notation
$$\cal{C}(X,Y)\index{C@$\cal{C}(X,Y)$ Raum stetiger Abbildungen}$$
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
Manche Quellen verwenden die Notation\index{)8bb@$Y^X$!statt $\cal C(X,Y)$}
$Y^X=\cal{C}(X,Y)$. Ich will versuchen, diese exponentielle
Schreibweise zu vermeiden. Sie hat den Nachteil, da"s in wieder anderen Quellen die Notation 
$Y^X$ vielmehr die Menge aller
 Abbildungen $\op{Ens}(X,Y)$ bezeichnet. 
\end{Bemerkungl}
  

\begin{Lemma}[\textbf{Funktorialit"aten}]
    Gegeben stetige Abbildungen $f:X'\ra X$ und $g:Y\ra Y'$ sind auch die
    induzierten Abbildungen $(\circ f):\cal{C}(X,Y)\ra \cal{C}(X',Y)$ und
    $(g\circ):\cal{C}(X,Y)\ra \cal{C}(X,Y')$ stetig.
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Die erste Behauptung folgt aus
$(\circ f)^{-1}\mathcal O(K',U)=\mathcal O(f(K),U)$.
    Die zweite Behauptung folgt aus
$(g\circ)^{-1}\mathcal O(K,U')=\mathcal O(K,g^{-1}(U'))$.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}
  Unter einer {\bf Eigenschaft}\index{Eigenschaft} von Objekten einer
  Kategorie $\mathcal C$ versteht man formal einen Funktor $\mathcal C^\times\ra \{\text{wahr}, \text{falsch}\}$ von der Isomorphismenkategorie von $\mathcal C$
  in die diskrete Kategorie der zweielementigen Menge der Wahrheitswerte.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{lokal}
Sei $(E)$ eine Eigenschaft topologischer R"aume. Sagen wir, ein
topologischer Raum $X$ sei 
{\bf lokal $(E)$}\index{lokal $(E)$, bei topologischem Raum}, 
so meinen wir, da"s
sich jede Umgebung eines beliebigen Punkts von $X$ verkleinern l"a"st zu
einer Umgebung desselben Punktes, die als
topologischer Raum mit der induzierten
Topologie die Eigenschaft $(E)$ hat.
\end{Definition}


\begin{Beispiel}
  Speziell hei"st ein topologischer Raum 
{\bf lokal kompakt},\index{lokal kompakt} 
 wenn sich jede Umgebung eines\label{Dlok} 
jeden seiner Punkte zu einer kompakten Umgebung des besagten Punktes 
verkleinern l"a"st.  Diese Terminologie hatten wir bereits
in  \eref{Loko}{AN3} eingef"uhrt.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
In der Terminologie von Bourbaki wird von einem lokal kompakten
Raum zus"atzlich die Hausdorff-Eigenschaft gefordert.
Ich schlie"se mich dieser Terminologie nicht an, da sie im
Widerspruch steht zu der eben vereinbarten allgemeinen Bedeutung
des Adjektivs
\glqq lokal\grqq. Im Deutschen bringt man diesen Unterschied zumindest in
der alten Rechtschreibung dadurch zum Ausdruck, da"s
man \glqq lokalkompakt\grqq\  zusammenschreibt, wenn die Hausdorff-Beding\-ung
mit gemeint ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma} Besitzt in einem Hausdorffraum 
jeder Punkt eine kompakte Umgebung, so ist
unser Raum bereits lokal kompakt im Sinne von \ref{lokal}.
\end{Lemma}
%Ein kompakter Hausdorff-Raum ist nach \ref{KLK} stets lokal kompakt.
%St"arker zeigen wir:  
\begin{proof} Seien $X$ unser Hausdorffraum und
  $ p\in U\subset K\subset X$  ein Punkt, eine in $X$ offene Menge $U\co X$ und 
ein Kompaktum $K$.
Es gilt,  $V\co X$  zu finden mit $p\in \bar V \subset U$.
Nach \ref{FS} finden wir $V, W \co K$ disjunkt mit 
$K \backslash  U \subset W$ und $p \in V$.
Aus $V \co K$ und $V \subset U$ folgt erst $V \co U$ und dann $V \co X$.
Wir haben $\bar V\pdef \op{Cl}_X(V)=\op{Cl}_K(V)$ und
$V\cap W=\emptyset \RA \op{Cl}_K(V)\cap W=\emptyset \RA \op{Cl}_K(V)\subset U
$ alias $\bar V \subset U$ wie gew"unscht.
\end{proof}



\begin{Satz}[\textbf{Exponentialgesetz,\index{Exponentialgesetz!topologisches  schwaches}
      schwache Form}]
Seien $X,Y,Z$ topologische R"aume. Ist $Y$ lokal kompakt, so
induziert die  Bijektion\label{TKL} aus dem Exponentialgesetz 
$\op{Ens} (X \times Y, Z) \sira \op{Ens} (X, \op{Ens}(Y,Z))$
eine Bijektion zwischen den entsprechenden Teilmengen von stetigen Abbildungen 
$$\op{Top} (X\times Y,Z) \sira \op{Top}
(X,\cal{C}(Y,Z))$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl} Eine Variante f"ur diskretes $Z$ diskutieren wir in
  \eref{topEV}{TSF}.
\end{Bemerkungl}
%Beweis gecheckt am 6.8.04, f"ur gut befunden.
%In der Diplomarbeit von Herbert Breger, Heidelberg 1971,
%steht das auch als bekannt in 2.3.8.
\begin{Bemerkungl}
 In der Terminologie der
Kategorientheorie \eref{AdFu}{TF} 
bedeutet dieser Satz, da"s f"ur lokal kompaktes
$Y$ der Funktor $\cal{C}(Y,\;):\op{Top}\ra\op{Top}$ rechtsadjungiert ist zum
Funktor $\;\times Y$.
In Korollar \ref{TKLs} folgern wir,
da"s die Abbildung im Satz unter der 
zus"atzlichen Annahme, da"s auch $X$ lokal kompakt ist,
sogar einen Hom"oomorphismus  $\cal{C} (X\times Y,Z) \sira 
\cal{C}(X,\cal{C}(Y,Z))$ induziert. Das hei"st dann  eigentlich
erst das Exponentialgesetz aus Gr"unden, die dort erl"autert werden.
In \eref{TKLb}{AN3} formulieren wir bereits das sehr schwache 
Exponentialgesetz, nach dem f"ur beliebige R"aume $X,Y,Z$ 
und $f:X\times Y\ra Z$ stetig auch die induzierte Abbildung
$F : X \ra \cal{C}
(Y,Z)$ stetig ist. Der Beweis wird gleich wiederholt.\label{TKLbb}  
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]
  \centering
   \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildXK}\\[4mm]
\noindent
Illustration zum Beweis von Satz \ref{TKL}. Das Bild kommt von
dem Beweis des Spezialfalls \eref{PII}{AN1}. Das $p$ im Bild 
hei"st in unserem Beweis $x$, das $\eta$ im Bild ist so gew"ahlt, da"s der
$\eta$-Ball um $x$ alias $p$ in $V$ enthalten w"are.
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $f : X \times Y \ra Z$ stetig und $F : X \ra \cal{C}
(Y,Z)$ die induzierte Abbildung. Es ist im folgenden
wichtig zu unterscheiden zwischen der Abbildung $F$ und
der Abbildung $F(x):Y\ra Z$ f"ur festes  $x\in X$. 
Wir wiederholen zun"achst, noch ohne irgendwelche Bedingungen 
an $Y$, den Beweis aus \eref{TKLb}{AN3}, da"s $F$ stetig ist. 
Es reicht, diese Stetigkeit an jeder Stelle $x \in X$ zu zeigen.
Gegeben $K \subset Y$ kompakt und $U \co Z$ offen mit
$F(x) \in \cal{O} (K,U)$ gilt es, eine offene Umgebung $V$
von $x$ zu finden mit $F (V) \subset \cal{O} (K,U)$. In der Tat folgt dann
$F^{-1}(\cal{O} (K,U))\co X$ und mit \ref{EZT} die Stetigkeit von $F$. 
Nun besagt unsere Bedingung gerade $(x \times K)\subset f^{-1}(U)$. 
Wir finden f"ur all $y\in K$ offene Teilmengen 
$V_{y}\co X$ und $ W_{y}\co Y$ mit $$(x,y)\in V_y\times W_y\subset f^{-1}(U)$$
 Wegen der Kompaktheit von $K$ finden wir sogar
$E\subset K$ endlich mit $K\subset \bigcup_{y\in E}W_y$. 
Jetzt setzen wir $V \pdef \bigcap_{y\in E} V_{y}$ und haben
$(V\times K) \subset f^{-1}(U)$ alias $F (V) \subset \cal{O}
(K,U)$ wie gew"unscht.
Sei nun umgekehrt $F: X \ra \cal{C} (Y,Z)$ stetig und sei $f
: X \times Y \ra Z$ die induzierte Abbildung.
Es gilt zu zeigen, da"s $f$ stetig ist an jeder Stelle
$(x,y) \in X \times Y$.
Sei also $U\co Z$ eine offene Umgebung von $f (x,y) =
(F(x))(y)$. Nach Annahme 
ist $F(x) :Y\ra Z$ stetig und $Y$ lokal
kompakt, folglich gibt es eine kompakte Umgebung $K$ von $y$ mit
$(F(x))(K)
\subset U$ alias $F(x) \in \cal{O} (K,U)$.
Da nun auch die Abbildung
$F:X\ra\mathcal C(Y,Z)$  stetig ist bei $x$, 
gibt es dann auch eine Umgebung $V$ von $x$ 
mit $F(V)
\subset \cal{O} (K,U)$, also mit $f (V\times K) \subset U$.
Damit ist $V \times K$ die gesuchte Umgebung von $(x,y)$, die
unter $f$ nach $U$ abgebildet wird.
\end{proof}






\begin{Korollar}[\textbf{Stetigkeit des Auswertens}] 
Ist $Y$ lokal kompakt und $Z$ ein beliebiger topologischer Raum,
so ist das Auswerten\label{LcA} 
$\cal{C} (Y,Z) \times Y \ra Z$ stetig.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Das Auswerten entspricht unter der Bijektion aus unserem Adjunktionssatz
\ref{TKL} der Identit"at auf
$\cal{C} (Y,Z) =X$ rechts.
\end{proof}







\begin{Korollar}
Gegeben ein lokal kompakter topologischer Raum $X$ 
und eine Familie 
topologischer R"aume $(Y_i)$ liefert die offensichtliche Abbildung
einen Hom"oomorphismus\label{KTt} %\label{KT} 
$$\cal{C}\left(X,\prod_i Y_i\right)\sira \prod_i\cal{C}(X,Y_i)$$
\end{Korollar}
\begin{proof}
In kategorieller Sprache ausgedr"uckt besagt unser Lemma, da"s der 
Funktor
$\cal{C}(X,\;) : \op{Top} \ra \op{Top}$
vertr"aglich ist  mit Produkten. Das folgt mit der Adjunktion \ref{TKL}
  unmittelbar aus der allgemeinen 
Erkenntnis \eref{KaAA}{TS}, da"s ein rechtsadjungierter 
Funktor stets mit Limites vertauscht. 
\end{proof}








\begin{Korollar*}[\textbf{Exponentialgesetz\index{Exponentialgesetz!topologisches}}]
Seien $X,Y,Z$ topologische R"aume. Sind $X$ und $Y$ lokal kompakt, so
induziert unser Exponentialgesetz f"ur Mengen\label{TKLs}  
einen Hom"oomorphismus
$$ \cal{C}(X\times Y,Z) \sira \cal{C}
(X,\cal{C}(Y,Z))$$
\end{Korollar*}
\begin{Bemerkunge}
In der anderen Schreibweise liest sich das 
$Z^{X\times Y}\sira (Z^{Y})^X$, daher  die Terminologie.
 Ich benutze diese Aussage
im weiteren nicht und zeige sie nur der Vollst"andigkeit halber.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Die Stetigkeit dieser Abbildung ist nach \ref{TKL} gleichbedeutend 
erst zur Stetigkeit der induzierten Abbildung
$ \cal{C}(X\times Y,Z)\times  X\ra 
\cal{C}(Y,Z)$ und durch erneutes Anwenden von  \ref{TKL} 
auch zur Stetigkeit der induzierten Abbildung
$\cal{C}(X\times Y,Z)\times  X\times Y\ra 
Z$. Diese Stetigkeit folgt jedoch aus \ref{LcA}, da mit
$X$ und $Y$ auch $X\times Y$ lokal kompakt ist.
Also ist die im Korollar betrachtete Bijektion stetig und
es bleibt nur noch,  die Stetigkeit ihrer Umkehrabbildung 
zu zeigen.
Die Stetigkeit dieser Umkehrabbildung ist jedoch nach
\ref{TKL} gleichbedeutend 
zur Stetigkeit der induzierten Abbildung
$\cal{C}
(X,\cal{C}(Y,Z))\times X\times Y\ra Z$, die hinwiederum stetig sein mu"s als 
die Verkn"upfung von zwei nach \ref{TKL} stetigen Abbildungen
$\cal{C}
(X,\cal{C}(Y,Z))\times X\times Y\ra 
\cal{C}(Y,Z)\times Y\ra 
Z$.
\end{proof}



\begin{Proposition}\label{VPQn}
Ist $p: X \ra Y$ final und surjektiv und $Z$
lokal kompakt, so ist auch $p\times \op{id} : X \times Z \ra Y
\times Z$ final und surjektiv.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Wir geben in \eref{VPQ}{TS} 
  noch einen direkteren Beweis f"ur dieselbe Aussage.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Sei $W$ ein topologischer Raum und $g: Y\times Z \ra W$ eine
Abbildung. Ist $g\circ (p\times \op{id}):X\times Z \ra W$ stetig, so nach
 \ref{TKL} auch die induzierte Abbildung 
$X\ra\cal{C}( Z , W)$.  Diese Abbildung faktorisiert jedoch als 
$X\ra Y\ra \cal{C}( Z , W)$ mit $p$ als erstem Pfeil und der
von $g$ induzierten Abbildung als zweitem Pfeil, da wir $p$ surjektiv
vorausgesetzt hatten. 
Ist zus"atzlich $p$ final, so ist folglich mit $g\circ (p\times \op{id})$ 
auch die von $g$ induzierte Abbildung $ Y\ra \cal{C}( Z , W)$
stetig und damit nach \ref{TKL} wiederum  $g$ selbst.
\end{proof}




\begin{Bemerkunge}
Ein 
Raum $Y$  hei"st {\bf kompakt erzeugt}\index{kompakt!erzeugt}, wenn
er Hausdorff ist und wenn die offensichtliche Abbildung
$\coprod_{K \in \mathcal K} K \rightarrow Y$ final ist,
f"ur $\mathcal K \subset \mathcal P (Y)$ das System aller kompakten
Teilr"aume, vergleiche etwa \cite{Steenrod}.
Man kann zeigen, da"s 
es in der Kategorie der kompakt erzeugten R"aume 
Produkte gibt, die allerdings nicht mit den
"ublichen Produkten in der Kategorie aller topologischen R"aume
"ubereinstimmen, da"s das Darankreuzen einen Rechtsadjungierten hat,
 der allerdings nicht mit dem Raum der stetigen Abbildungen
und seiner kompakt-offenen Topologie "ubereinstimmt, 
und da"s in dieser Begrifflichkeit auch
 eine Variante des Exponentialgesetzes gilt.
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
  Ist $X$ ein kompakter topologischer Raum,
  so stimmt die kompakt-offene Topologie auf
    $\cal{C}(X,\DC)$ "uberein mit der von der Supremumsnorm induzierten
    Topologie.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
 Gegeben topologische R"aume $X,Y$  ist diejenige Abbildung
$Y\ra \cal{C}(X,Y)$ stetig, die jedem Punkt $y\in Y$ die 
entsprechende konstante Abbildung zuordnet, 
die eben ganz $X$ auf diesen einen Punkt $y$ wirft.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben topologische R"aume $X,Y$ mit $X$ lokal kompakt ist das
Auswerten eine stetige Abbildung $X\ra\mathcal C(\mathcal C(X,Y),Y)$.
Hinweis: Man verwende die Stetigkeit\label{NGraa}
des Auswertens \ref{LcA} und das sehr
schwache Exponentialgesetz \ref{TKLbb}.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Die stetigen Abbildungen von einem lokal kompakten topologischen Raum in einen
topologischen Vektorraum bilden unter der punktweisen Verkn"upfung
und mit der kompaktoffenen Topologie selbst einen\label{NGru} 
topologischen Vektorraum. Hinweis: \ref{KTt}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Ist $Y\ra Y'$ initial und $X$ ein beliebiger topologischer Raum,
so ist auch $\mathcal C(X,Y)\ra\mathcal C(X,Y')$ initial.\label{Koin} 
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
  Man zeige, da"s f"ur jeden lokal kompakten Raum $Y$
die Verkn"upfung $\cal{C}(X,Y)\times \cal{C}(Y,Z)\ra \cal{C}(X,Z)$
stetig ist. Hinweis: Gegeben $Q\subset V\co Y$ eine kompakte Teilmenge
in einer offenen Teilmenge gibt es unter unseren Annahmen
stets eine kompakte Teilmenge $R \subset Y$\label{btzu} 
und  eine offene Teilmenge $W \co Y$ mit $Q\subset  W\subset R\subset V$.
Sind $X$ und $Y$ lokal kompakt, folgt das auch leicht aus dem schwachen Exponentialgesetz \ref{TKL} und der Stetigkeit des Auswertens \ref{LcA}. 
\end{Ubunge}




\begin{Ubung}\label{UU}
Ich erinnere an unsere Abk"urzung 
$\mathcal C(X,\DC)=\mathcal C(X)$. Man zeige:
Ist $X$ ein lokal kompakter 
%Hausdorff-
Raum 
und $F:\DR\times X\ra\DC$ 
differenzierbar nach der ersten Variablen mit
stetiger partieller Ableitung $\partial F:\DR\times X\ra\DC$, 
so gilt f"ur die Abbildung 
$g : \mathbb{R} \rightarrow \mathcal{C} (X)$,
$t\mapsto F (t,\;)$ im topologischen Vektorraum $\mathcal{C} (X)$ 
 die
Identit"at
\begin{equation*}
\lim_{t \rightarrow 0} \frac{g(t) - g(0)}{t} =
(\partial F) (0,\;)
\end{equation*}
Analoges gilt f"ur Abbildungen $F:\DR\times X\ra V$ in einen beliebigen
normierten reellen Vektorraum. 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
  Jede stetige Surjektion $f:X\sra Y$ auf einen lokal kompakten
  Hausdorffraum derart, da"s alle Urbilder unter $f$ von Kompakta wieder
  kompakt sind, ist final. Hinweis: Finalit"at von Restriktionen \ref{FvR} und
  Lokalit"at von Finalit"at in der Basis \ref{FEF}. 
\end{Ubung}




\newpage

\section{Topologie und algebraische Strukturen} 
\subsection{Topologische Gruppen}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere an die Produkttopologie \ref{PrTo}.
  Im folgenden denken wir uns alle Produkte von topologischen R"aumen
  mit dieser Topologie vershehen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{DTGm}
Ein {\bf topologisches Magma}\index{topologisch!Magma} ist ein
Magma $M$ mit einer Topologie derart, da"s
die Verkn"upfung $M \times M \ra M$  stetig ist.
\end{Definition}
\begin{Definition}\label{DTGmo}
Ein {\bf topologisches Monoid}\index{topologisch!Monoid} ist ein
Monoid $M$ mit einer Topologie derart, da"s
die Verkn"upfung $M \times M \ra M$  stetig ist.
\end{Definition}
\begin{Definition}\label{DTG}
Eine {\bf topologische Gruppe}\index{topologisch!Gruppe} ist eine 
Gruppe $G$ mit einer Topologie derart, da"s
die Verkn"upfung $G \times G \ra G$ und die 
Inversenabbildung $ G \ra G$ stetig sind.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Manche Autoren fordern von ihren topologischen Gruppen
zus"atzlich auch noch die Hausdorff-Eigenschaft, aber ich
schlie"se mich dieser Konvention nicht an
und nenne eine hausdorffsche topologische Gruppe 
 kurz eine {\bf Hausdorffgruppe}.\index{Hausdorffgruppe} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Segal und Nikolov haben gezeigt, da"s eine kompakte 
Hausdorffgruppe keinen surjektiven Gruppenhomomorphismus 
auf eine unendliche aber
endlich erzeugte Gruppe besitzen kann. Gemeint sind hier
Homomorphismen von abstrakten Gruppen, also nach Vergessen der Topologie.  
\end{Bemerkunge}


\begin{Beispiele}
Die Gruppen $\op{GL}(n;\DR)$ sind topologische Gruppen in
der  von der nat"urlichen 
Topologie auf dem endlichdimensionalen reellen Vektorraum 
aller reellen $(n\times n)$-Matrizen induzierten Topologie.
Jeder normierte Vektorraum ist mit der Addition als Verkn"upfung
und der metrischen Topologie eine topologische
Gruppe.
\end{Beispiele}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Stetigkeit von Translationen}] 
Gegeben ein topologisches Magma $M$ ist die 
Linkstranslation $(x\cdot):M \ra M$ stetig als die
Verkn"upfung $$M \overset{(x,\op{id})}{\lra} M \times M \ra M$$
mit 
$x$ der entsprechenden konstanten Abbildung $M \ra M$, die ja stets stetig ist.
In derselben Weise folgt, da"s auch die 
Rechtstranslationen $(\cdot x)$ stetig sind und da"s im Fall einer topologischen Gruppe alle Translationen und ebenso die Konjugationen
$g \mapsto xg x^{-1}$  f"ur alle $x$ Hom"oomorphismen sind.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}\label{OUAU}
Jede offene Untergruppe einer topologischen 
Gruppe ist auch abgeschlossen als das Komplement
der Vereinigung  ihrer nichttrivialen Linksnebenklassen.
\end{Bemerkungl}


  \begin{Lemma}
    Eine zusammenh"angende topologische Gruppe wird von jeder Umgebung ihres
    neutralen Elements erzeugt.\label{EXTO} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
In der Tat erzeugt in jeder topologischen Gruppe 
jede Umgebung des neutralen Elements eine offene
Untergruppe.
Nach \ref{OUAU} ist diese offene Untergruppe auch 
abgeschlossen. Ist unsere Gruppe 
zusammenh"angend, so mu"s sie also bereits mit 
besagter Untergruppe "ubereinstimmen.
\end{proof}








\begin{Bemerkunge}
Ein stetiger Gruppenhomomorphismus von der additiven Gruppe
der reellen Zahlen in eine topologische Gruppe hei"st  ein
{\bf Gruppenweg}\index{Gruppenweg!in topologischer Gruppe} 
in unserer topologischen Gruppe. In der Literatur ist auch die Bezeichnung als {\bf Einparameteruntergruppe}\index{Einparameteruntergruppe!von topologischer Gruppe} gebr"auchlich.
In \eref{SRR}{AN1} folgende bestimmen wir 
die Gruppenwege $(\DR,+), (\DR^\times,\cdot)$ und $S^1$. In \eref{EPU}{ML}  
bestimmen wir die Gruppenwege in Matrixliegruppen.
\end{Bemerkunge}


\begin{Bemerkunge}\label{WU1} %\emph{Wohin? Hier unn"otig!}
Gegeben eine Umgebung $U \subset G$ des neutralen 
Elements einer topologischen Gruppe 
gibt es stets eine weitere Umgebung $V \subset G$ des 
neutralen Elements mit $V^2 \subset U$ alias
$xy \in U \; \forall x, y \in V$.
In der Tat gibt es eine Umgebung von $(1,1)$ 
in $G \times G$, die unter der Verkn"upfung
in $U$ landet, und jede solche Umgebung umfa"st 
eine Umgebung der Gestalt $A \times B$ f"ur
Umgebungen $A, B$ von $1 \in G$. Der Schnitt $A \cap B$ 
ist dann die gesuchte Umgebung $V $ des neutralen Elements.
\end{Bemerkunge}


\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}\label{tozya}
Ist $G$ eine Hausdorffgruppe und $A \subset G$ eine abelsche Untergruppe, 
so ist auch der Abschlu"s
$\bar{A}$ unserer Untergruppe abelsch.
In der Tat folgt aus $aba^{-1}b^{-1} = 1$ f"ur alle $a, b \in A$ 
dasselbe zun"achst f"ur alle
$a \in A, b \in \bar{A}$ und dann f"ur alle $a,b \in \bar{A}$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{SepLi}
Man zeige, da"s eine zusammenh"angende topologische Gruppe 
mit einer abz"ahlbar basierten Umgebung des 
neutralen Elements
stets abz"ahlbar basiert ist. Hinweis:
Gegeben eine offene Teilmenge $U\co G$ ist die Multiplikation 
$U^n\ra G$ stets offen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe 
ist mit der induzierten Topologie
selbst eine topologische Gruppe. Jedes Produkt topologischer Gruppen
ist mit der Produkttopologie wieder eine topologische Gruppe.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
Die Einheiten jeder Banach-Algebra bilden mit der
metrischen Topologie eine topologische Gruppe.
Die unit"aren Automorphismen eines Hilbertraums bilden eine
abgeschlossene Untergruppe in der Einheitengruppe der Banach-Algebra
der beschr"ankten Operatoren auf unserem Hilbertraum.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{SSNe}
Ein Gruppenhomomorphismus von topologischen Gruppen ist stetig
genau dann, wenn er stetig ist beim neutralen Element.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{ABUG}
Gegeben eine Untergruppe einer topologischen Gruppe ist auch ihr 
Abschlu"s eine Untergruppe. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
In jeder topologischen Gruppe ist die Zusammenhangskomponente des 
neutralen Elements eine Untergruppe, ja sogar ein Normalteiler. 
Man nennt sie meist die
{\bf Einszusammenhangskomponente}\index{Einszusammenhangskomponente!einer topologischen Gruppe} oder 
kurz {\bf Einskomponente}.\index{Einskomponente!einer topologischen Gruppe} Die 
Einskomponente einer topologischen Gruppe $G$ 
wird 
$G^\circ$ notiert.\index{)6circ@$G^\circ$ Einskomponente} 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
In einer topologischen Gruppe erzeugt jede zusammenh"angende Umgebung der Eins 
die Einskomponente.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{FRES} 
Jeder diskrete Normalteiler einer zusammenh"angenden topologischen Gruppe 
liegt bereits im Zentrum besagter Gruppe.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
  Sei $G$ eine Gruppe mit einer Topologie. 
Sind die Translationen $(g\cdot):G\ra G$ und $(\cdot g):G\ra G$ stetig
f"ur alle $g\in G$, ist die Inversenbildung stetig
beim neutralen Element $e$, und ist die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ stetig
bei $(e,e)$, so ist $G$ eine topologische Gruppe.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{DTKs}
  Ein {\bf topologischer Schiefk"orper}\index{topologisch!Schiefk"orper}
ist ein 
Schiefk"orper $k$ mit einer Topologie
  derart, da"s die Addition und die Multiplikation 
stetig sind als Abbildungen
  $k \times k \ra k$ sowie, f"ur die auf $k^{\times}$ 
induzierte Topologie, auch
  das Bilden des Inversen $k^{\times} \ra k^{\times}$.
  %vergleiche \ref{DTKn} und \ref{DTK}.
  Man zeige, da"s f"ur einen Hausdorff'schen topologischen Schiefk"orper
  $k$ die Gruppen $\op{GL}(d;k)$ topologische Gruppen sind.
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}\label{TGHR}
Jede topologische Gruppe, die hom"oomorph ist zur additiven
Gruppe $\DR$ der reellen Zahlen, ist bereits als topologische Gruppe
isomorph zur Gruppe $\DR$ der reellen Zahlen. 
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}\label{dOf} 
 Ist $G$ eine  topologische Gruppe und $H\subset G$
  eine diskrete Untergruppe, so gibt es eine Umgebung
  $U\subset G$ des neutralen Elements derart, da"s die Multiplikation
  eine Injektion $H\times U\hra G$ induziert.
  In einer Hausdorffgruppe ist jede
  diskrete Untergruppe abgeschlossen.\label{disa} Hinweis: Man verwende  \ref{WU1} und f"uhre f"ur den zweiten Teil die Annahme $\bar H\neq H$ zum
  Widerspruch.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{SOPT} 
  Seien $\mathcal H$ ein Hilbertraum und ${\op{U}}(\mathcal H)$ die
  Gruppe seiner unit"aren Automorphismen. Man zeige, da"s
  ${\op{U}}(\mathcal H)$ eine topologische Gruppe wird,
  wenn wir sie mit
  der Initialtopologie zu allen Auswertungen an Vektoren $\op{ev}_v:{\op{U}}(\mathcal H)\ra \mathcal H$ f"ur
  $v\in\mathcal H$ versehen, der sogenannten {\bf starken Topologie}.\index{Topologie!starke, auf ${\op{U}}(\mathcal H)$}
  Man zeige weiter:
  Ist $G$ eine topologische Gruppe und $\alpha:G\times \mathcal H\ra \mathcal H$ eine Operation durch unit"are Abbildungen,
  so ist $\alpha$ genau dann stetig, wenn der induzierte Gruppenhomomorphismus 
  $G\ra {\op{U}}(\mathcal H)$ stetig ist f"ur die starke Operatortopologie auf ${\op{U}}(\mathcal H)$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{SOPT} 
  Seien $\mathcal H$ ein Hilbertraum und ${\op{U}}(\mathcal H)$ die
  Gruppe seiner unit"aren Automorphismen. Man zeige, da"s
  auf ${\op{U}}(\mathcal H)$ die starke Topologie
  "ubereinstimmt mit der sogenannten  {\bf schwachen Topologie},\index{Topologie!schwache, auf ${\op{U}}(\mathcal H)$}
 die definiert ist als Initialtopologie zu allen Abbildungen   ${\op{U}}(\mathcal H)\ra \DC$, $A\mapsto \langle w,Av\rangle$ f"ur
  $v, w\in\mathcal H$. Hinweis: Mit $|\langle v,Av\rangle-\langle v,v\rangle|$ ist auch $\| v-Av\|$ klein.
  Man zeige weiter:
  Ist $\mathcal H$ abz"ahlbar basiert, so auch ${\op{U}}(\mathcal H)$ mit seiner starken Topologie. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{NGruw}
Die stetigen Abbildungen von einem lokal kompakten topologischen Raum in eine
topologische Gruppe bilden unter der punktweisen Verkn"upfung
und mit der kompakt-offenen Topologie selbst eine
topologische Gruppe.
 Hinweis: \ref{KTt}.
\end{Ubung}




\subsection{Quotienten nach Gruppenwirkungen}

\begin{Bemerkungl}
  Eine Operation $M\times X\ra X$  eines topologischen
  Monoids auf einem topologischen Raum
  hei"st {\bf stetig},\index{stetig!Operation}\index{Operation!stetige}  wenn
  sie stetig ist in Bezug auf die Produkttopologie auf $M\times X$.
  Denken wir uns hier $M$ mit der diskreten Topologie versehen, so sprechen
  wir von einer  {\bf Operation durch stetige Abbildungen}.\index{Operation!durch stetige Abbildungen} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Stetige Abbildungen $f:X\ra Y$ mit $f\times {\op{id}}:X\times Z\ra Y\times Z$
final f"ur beliebiges $Z$ nennen wir {\bf produktfest final}.\index{final!produktfest final}\index{produktfest!final}  
Jede stetige offene Surjektion ist final\label{kui} 
   nach \ref{soSF} und  bleibt unter dem Darankreuzen beliebiger Identit"aten 
   nach \ref{poA} eine stetige offene Surjektion. 
   Stetige offene Surjektionen sind mithin produktfest final.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}\label{QSU}
Operiert eine Gruppe $G$  auf einem topologischen 
Raum $X$, so versehen wir den {\bf Bahnenraum}\index{Bahnenraum!topologischer}
$X/G$ a priori mit der Quotiententopologie zur 
Projektion $X \twoheadrightarrow X/G$.
\end{Bemerkungl}




\begin{Lemma}[\textbf{Gruppenquotienten}]
Operiert eine Gruppe $G$ durch stetige Abbildungen 
 auf einem topologischen\label{QGW}  
Raum $X$,  so ist die Quotientenabbildung $\pi:X \twoheadrightarrow X/G$ 
eine stetige offene Surjektion und insbesondere produktfest final. Ist $G$
endlich, so ist $\pi$ zus"atzlich abgeschlossen. 
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
 Operiert eine Gruppe $G$ durch stetige Abbildungen 
 auf einem topologischen 
Raum $X$, so ist nach \ref{kui} insbesondere f"ur jeden weiteren  Raum $Y$ 
die induzierte Abbildung
 $Y\times X \twoheadrightarrow Y\times X/G$  final.
 Mithin ist die Identit"at ein Hom"oomorphismus
 $(Y\times X)/G \sira Y\times X/G$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
    Das Urbild des Bildes einer
  Teilmenge $U\subset X$ ist 
die Vereinigung all ihrer mit der Gruppenoperation verschobenen
Kopien, $\pi^{-1}(\pi(U))=\bigcup_{g\in G}gU$. Aus $U\co X$ folgt so
$\pi^{-1}(\pi(U))\co X$ und damit $\pi(U)\co X/G$.
\end{proof}





  
\begin{Beispiel}
  Die offensichtliche Operation von $\op{GL}(n+1;\DR)$ auf
  $\DP^n\DR$ ist stetig f"ur die Topologie auf
  $\DP^n\DR$ als Bahnenraum der Operation von $\DR^\times$ auf
  $\DR^{n+1}\backslash 0$. Um das zu sehen, betrachte man das 
kommutative Diagramm\label{bspRH} 
$$\begin{array}{ccc}
\op{GL}(n+1;\DR) \times \DR^{n+1}\backslash 0 & \ra & \DR^{n+1}\backslash 0 \\
\downarrow & &\downarrow \\
\op{GL}(n+1;\DR) \times \DP^n\DR & \ra & \DP^n\DR
\end{array}$$
Die obere Horizontale ist offensichtlich stetig und die linke Vertikale ist
final nach \ref{kui}, da die Quotientenabbildung 
nach Lemma \ref{QGW} produktfest final ist.
Mithin ist auch die untere Horizontale stetig.
\end{Beispiel}

\begin{Definition}
  Ein topologischer Raum $X$ mit einer stetigen transitiven Operation
  einer topologischen Gruppe $G$ hei"st 
ein {\bf homogener $G$-Raum}.\index{homogener Raum!von topologischer Gruppe} 
\end{Definition}

\begin{Lemma}[\textbf{Quotienten als homogene R"aume}]
Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und eine 
Untergruppe $H \subset G$ ist die Operation\label{SOPQ} 
von $G$ auf $G/H$ stetig. 
\end{Lemma}

\begin{proof}
  Man betrachte das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
G \times G & \ra & G \\
\downarrow & &\downarrow \\
G \times G/H & \ra & G/H
\end{array}$$
und beachte, da"s  die linke Vertikale nach  \ref{QGW}
final ist.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben eine Menge $X$ mit einer transitiven Operation
  einer topologischen Gruppe $G$ 
gibt es offensichtlich genau eine Topologie auf $X$ derart, da"s f"ur jeden
Punkt $x\in X$ das Anwenden $G\ra X$, $g\mapsto gx$ eine finale 
Abbildung ist. Wir nennen sie die \index{Topologie!als homogener Raum}
{\bf feinste Topologie als homogener Raum} auf $X$.
\index{Topologie als homogener Raum!feinste} In der Tat ist f"ur jeden Punkt
$x\in X$ die offensichtliche Bijektion $G/G_x\sira X$ automatisch stetig
und ist genau dann ein Hom"oomorphismus, wenn $X$ die feinste Topologie als homogener Raum tr"agt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Kriterium f"ur feinste Topologie als homogener Raum}]
  Operiert eine abz"ahlbar basierte lokal kompakte
  Hausdorffgruppe $G$ transitiv
  auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$,
  so tr"agt $X$ die feinste Topologie
  als homogener Raum von $G$.
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl} Ich habe das gelernt bei [Milne, Modular functions and modular form, Buch im Netz].
\end{Bemerkungl}
\begin{proof} Gegeben eine nichtleere offene Teilmenge $U\co G$ 
  gibt es eine abz"ahlbare Teilmene $A\subset G$ mit $G=\bigcup_{a\in A}aU$,
  denn jede offene "Uberdeckung eines abz"ahlbar basierten Raums besitzt eine
  abz"ahlbare Teil"uberdeckung. 
  Gegeben eine nichtleere offene Teilmenge $U\co G$ mit kompaktem Abschlu"s
  und $x\in X$ besitzt $g\bar U x$ f"ur mindestens
  ein $g\in G$ einen inneren Punkt, denn f"ur $A\subset G$ wie zuvor
  haben wir 
  $X=\bigcup_{a\in A}a\bar Ux$ und alle $a\bar Ux$ sind kompakt und damit
  abgeschlossen in $X$ und h"atten sie alle keine inneren Punkte, so k"onnte
  auch ihre abz"ahlbare Vereinigung keine inneren Punkte haben nach dem 
  Baire'schen Kategoriensatz f"ur lokal kompakte Hausdorffr"aume 
  \eref{Bailk}{AN3}.
  Gegeben eine nichtleere offene Teilmenge $U\co G$ mit kompaktem Abschlu"s
   gibt es  also f"ur jedes $x \in X$ ein  $\bar u(x)\in \bar U$ mit
  $$\bar u(x) x\in \op{Inn}_X(\bar U x)$$
   F"ur jede Umgebung $W\subset G$ des neutralen Elements
  finden wir nun eine kompakte Umgebung $V\subset G$ des neutralen Elements
  mit $V=V^{-1}$ und $V^2\subset W$. Es gibt nach dem vorhergehenden
  f"ur alle $x\in X$ ein $v(x)\in V$ mit $v(x) x\in \op{Inn}_X(V x)$
  und es folgt $$x\in \op{Inn}_X(W x)\quad\forall x\in X$$
   Daraus ergibt sich die Proposition unmittelbar.
\end{proof}




\begin{Proposition}[\textbf{Quotienten nach abgeschlossenen Untergruppen}]
Eine Untergruppe einer topologischen 
Gruppe  ist abgeschlossen genau dann,\label{QAU} wenn der
Quotient nach unserer Untergruppe  Hausdorff ist. 
\end{Proposition}
\begin{proof}
Seien $G\supset H$ besagte Gruppen.
  Ist der Quotient $G/H$ Hausdorff, so sind seine 
Punkte abgeschlossen und damit
  ist auch $H$ abgeschlossen in $G$ als Urbild 
einer abgeschlossenen Teilmenge
  von $G/H$.  F"ur die Umkehrung gilt es nach \ref{HDD} zu zeigen, 
da"s die Diagonale $\Delta_{G/H}$ in $G/H\times G/H$ 
abgeschlossen ist. Das Produkt der Projektionen $G\times G \ra G/H\times G/H$ 
ist 
als 
 Produkt offener stetiger Surjektionen
auch selbst final. Es reicht also
zu zeigen, da"s das 
Urbild der Diagonale $\Delta_{G/H}$
in $G\times G$ abgeschlossen ist. Dies Urbild kann aber
auch
beschrieben werden als das Urbild von $H$ unter der Abbildung $G\times G \ra
G$,
$(x,y)\mapsto xy^{-1}$ und ist abgeschlossen, wenn $H$ abgeschlossen ist.
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zusammenhangskomponenten von Bahnenr"aumen}]
Operiert eine zusammenh"angende topologische Gruppe $G$ stetig
auf einem topologischen Raum $X$,\label{ZHKQ}
so ist $X$ zusammenh"angend genau dann, wenn $X/G$ zusammenh"angend ist.
Operiert allgemeiner eine zusammenh"angende topologische Gruppe $G$ stetig
auf einem topologischen Raum $X$, so  induziert die Quotientenabbildung
$X\sra X/G$ eine Bijektion zwischen  der Menge 
$\op{Zus}(X)\subset \cal{P}(X)$ der Zusammenhangskomponenten von $X$ und der
Menge $\op{Zus}(X/G)\subset \cal{P}(X/G)$ 
der Zusammenhangskomponenten von $X/G$.\index{Zus@$\op{Zus}(X)$ Menge der
  Zusammenhangskomponenten von $X$} Das alles folgt  sofort aus
"Ubung \ref{fzu} "uber finale Abbildungen und Zusammenhang.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Zusammenhang der speziellen orthogonalen Gruppen}] 
Die Gruppen $\op{SO}(n)$ sind zusammenh"angend.
In der Tat folgt mit\label{zshgG}  
der Finalit"at \ref{IIA} stetiger Surjektionen von kompakten R"aumen auf Hausdorffr"aume, da"s die Operation auf der $n$-Sph"are $S^n$
einen Hom"oomorphismus $\op{SO}(n+1)/\op{SO}(n)\sira S^n$ liefert,
und  mit Induktion "uber $n$ und \ref{ZHKQ} folgt die Behauptung.
In derselben Weise zeigt man, da"s auch die Gruppen $\op{SU}(n)$ 
zusammenh"angend sind.
Ein Beweis mit mehr Algebra und weniger Topologie wird in \eref{ZKGL}{AN2}
skizziert.
\end{Beispiel}



\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
  Ist  $f:X\sra Y$ eine stetige offene Surjektion
von topologischen R"aumen,
die "aquivariant ist f"ur Operationen einer Gruppe $G$ auf
beiden R"aumen, in Formeln $f(gx)=gf(x)$, und
ist  $G$ mit einer Topologie versehen, f"ur die die Operation 
auf $X$ stetig ist, so ist auch die Operation auf $Y$ stetig. Hinweis: \ref{SOPQ}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{BHNa}
Operiert eine kompakte Hausdorffgruppe 
stetig auf einem lokal kompakten Hausdorffraum, so ist auch der Bahnenraum 
Hausdorff. Hinweis: Man beginne mit einem Punkt aus einer von zwei   Bahnen 
und 
w"ahle  dazu eine
kompakte Umgebung, die die andere Bahn nicht trifft.  
Die Aussage gilt im "ubrigen auch ohne die Annahme lokal kompakt
nach \ref{BaHa},
aber dann kenne ich keinen so direkten Beweis.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und eine normale Untergruppe $N \subset
  G$ ist der Quotient $G/N$ mit seiner Quotiententopologie und der induzierten
  Verkn"upfung eine topologische Gruppe.\label{QTGH} 
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
Operiert eine topologische Gruppe $G$ stetig auf einem topologischen Raum
$X$ und ist $N\subset G$ ein Normalteiler, dessen Elemente $X$ punktweise
festhalten, so ist auch die induzierte Operation von $G/N$ auf $X$ stetig.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Gegeben $G\supset H\supset K$ eine topologische Gruppe 
mit zwei Normalteilern ist der Isomorphismus aus dem
noetherschen Isomorphiesatz \eref{NoI}{LA2} ein Hom"oomorphismus 
$G/H\sira (G/K)/(H/K)$.
\end{Ubung}














  \begin{Ubung}
    Man zeige, da"s die Einbettung $\op{U}(n)\hra \op{GL}(n;\DC)$
einen Ho\-m"oo\-morphismus $\op{U}(n)/{\op{O}}(n)
\sira \op{GL}(n;\DC)/{\op{GL}}(n;\DR)$ induziert.
  \end{Ubung}


  \begin{Ubung}
   Der Abschlu"s des neutralen Elements in einer topologischen Gruppe
ist stets ein Normalteiler und der Quotient danach eine 
Hausdorffgruppe
und die Surjektion auf den Quotienten
 nicht nur final, sondern auch initial.\label{HQTG}  
  \end{Ubung}

\begin{Ubung}
 Seien $X$ ein topologischer Raum und $R\subset X \times X$ 
eine "Aquivalenzrelation.
Ist $X/R$ Hausdorff, so ist $R \subset X \times X$ abgeschlossen. 
Ist $R \subset X \times X $
abgeschlossen und $X \twoheadrightarrow X/R$ offen, so ist $X /R$ Hausdorff.
Hinweis: Jede stetige offene Surjektion ist produktfest final.
\end{Ubung}
 
    \begin{Ubung}
      Ist $Y\ra X$ eine initiale
 stetige $G$-"aquivariante Abbildung von topologischen
      R"aumen mit einer stetigen Operation einer  Gruppe $G$, 
so ist auch die induzierte Abbildung $Y/G\ra X/G$
      initial. Hinweis: Es gilt zu zeigen, da"s jede f"ur die
Quotiententopologie auf $Y/G$ offene Menge auch f"ur die Initialtopologie 
offen ist.\label{ItOp} 
    \end{Ubung}

  
\begin{Ubunge}[\textbf{Zusammenhangskomponenten von $\op{SO}(p,1)$}]
Gegeben $p,q\in\DN$  betrachte\label{Komps}  man die Diagonalmatrizen  
mit $p$ Einsen und $q$
Mi\-nus-\-Ein\-sen $J=J_{p,q}\pdef\op{diag}(1,\ldots,1,-1,\ldots,-1)$ 
und\index{O@$\op{O}(p,q)$} 
erkl"are\index{SO@$\op{SO}(p,q)$} 
 Gruppen\index{GO@$\op{GO}(p,q)$} 
$$\op{GO}(p,q)\supset \op{O}(p,q)\supset \op{SO}(p,q)$$
wie folgt: $\op{O}(p,q)\pdef\{A\in\op{GL}(p+q;\DR)\mid A^\top J A=J\}$, 
$\op{SO}(p,q)\pdef\{A\in \op{O}(p,q)\mid \det A=1\}$, 
und $\op{GO}(p,q)\pdef \DR^\times \op{O}(p,q)$. Im Spezialfall $q=1$ 
betrachten wir die Quadrik $Q\pdef \{ v\in\DR^{p+1}\mid  v^\top J v=-1\}$.
Man zeige, da"s sie genau zwei Komponenten hat. 
Wir erkl"aren\index{SO@$\op{SO}(p,1)^+$}  weiter\index{O@$\op{O}(p,1)^+$}  
$$\op{SO}(p,1)^+\subset \op{O}(p,1)^+$$
als die Gruppe  aller Elemente von $\op{SO}(p,1)$
beziehungsweise $\op{O}(p,1)$,
die beide Komponenten von $Q$ 
stabilisieren. Man zeige, da"s $\op{SO}(p,1)^+$ die
Einskomponente von $\op{O}(p,1)$ ist. Hinweis: Der Satz von Witt
\eref{SvW}{LA2} zeigt, da"s $\op{O}(p,1)$ transitiv auf $Q$ operiert.
Etwas Nachdenken zeigt dasselbe f"ur $\op{SO}(p,1)$ unter der Annahme $p>0$.
In diesem Fall zeige man, da"s wir einen surjektiven Gruppenhomomorphismus
$$(\op{det},\op{komp}):\op{O}(p,1)\sra \{\pm 1\}\times \{\pm 1\}$$
erhalten, wo $\op{komp}$ erkl"art sei durch $\op{komp}(g)=1$, wenn
$g$ beide Komponenten von $Q$ stabilisiert.
\end{Ubunge}







\begin{Ubung}
Der Quotient $G/G^\circ$ einer Gruppe nach ihrer Einskomponente
hei"st die {\bf Komponentengruppe}\index{Komponentengruppe} von $G$.
Ist $G^\circ$ offen in $G$, so ist besagte Komponentengruppe diskret.
Ist $G$ au"serdem kompakt, so ist die Komponentengruppe
endlich. Gegeben ein stetiger surjektiver
Gruppenhomomorphismus einer kompakten Gruppe
mit endlicher Komponentengruppe in eine Hausdorffgruppe ist
das Bild der Einskomponente die Einskomponente.\label{sEKg}  
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Realisierung von
 $\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)$ durch Matrizen}]
Wir betrachten die Menge\label{GeoRS}  
$Y\subset \op{Mat}(2;\DR)$ aller
positiv definiten Matrizen mit der Determinante Eins und
fassen sie auf als eine Menge von Skalarprodukten auf $\DR^2$. 
Sie tr"agt  eine transitive 
Wirkung von $\op{SL}(2;\DR)$ durch die Vorschrift $A\cdot S\pdef ASA^\top$
und die Standgruppe der Einheitsmatrix  alias des Standardskalarprodukts
ist $\op{SO}(2)$. Also erhalten wir eine Bijektion
$\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)\sira Y$ durch $A\mapsto AA^\top$. 
Sie besitzt eine stetige Spaltung, die wir etwa erhalten k"onnen, indem
wir jedem Skalarprodukt die Matrix zuordnen, in deren Spalten die Vektoren derjenigen Orthonormalbasis stehen, die in ihm aus
der Standardbasis durch das Gram-Schmidt-Verfahren entsteht. Folglich
ist die von $\op{Mat}(2;\DR)$ induzierte
Topologie auf $Y$ auch in der Tat die feinste Topologie als homogener Raum.
Diese Realisierung ist eng verwandt zur Polarzerlegung \eref{PZC}{LA2}.  Eine alternative Realisierung als obere
Halbebene besprechen wir in \ref{ROHG}. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Gegeben ein K"orper $\mathbb K$  erinnere man aus \eref{BruZ}{LA2}
  die Bruhat-Zerlegung\label{RutT} 
  $$\op{GL} (n;\mathbb K)/B = \coprod_{w \in \cal{S}_n} B w B/B$$
  f"ur $B$ die invertierbaren oberen Dreiecksmatrizen und
  zeige f"ur $\mathbb K=\DR,\DC$ die Existenz von Hom"oomorphismen
  $ B w B/B\cong \mathbb K^{l(w)}$ f"ur $l(w)$ die Zahl der
  Fehlst"ande der Permutation $w$.
\end{Ubung}


\subsection{Projektive R\"{a}ume}\label{PRa}
\begin{Beispiele}
  Die wichtigsten hausdorffschen topologischen Schiefk"orper sind f"ur uns im folgenden
  der K"orper der reellen Zahlen $\DR$, der K"orper der  komplexen Zahlen 
  $\DC$ und der Schiefk"orper der Quaternionen $\mathbb H$.
\end{Beispiele}

\begin{Definition}\label{DTPRO}
Die
\defnoind{projektiven 
R\"{a}ume}\index{projektiver Raum!topologisch}
$\DP^{n} \mathbb K$ f\"{u}r $n\geq 0$ und einen hausdorffschen topologischen Schiefk"orper $\mathbb K$ 
erh\"{a}lt man als die Menge aller
Ursprungsgeraden oder genauer aller von einem von Null verschiedenen
Element erzeugten Rechtsuntermoduln
in $\mathbb K^{n+1}$.  
Wir versehen unsere projektiven R\"{a}ume mit der Quotiententopologie
bez\"{u}glich der offensichtlichen Surjektionen
$$\begin{array}{cccl}
\pi :& \mathbb K^{n+1}\backslash 0 &\sra& \DP^{n} \mathbb K\\
&x&\mapsto&  x\mathbb K\end{array}$$
Die nat"urliche Operation
von $\op{GL}(n+1;\mathbb K)$ auf $\mathbb K^{n+1}$ induziert eine Operation
von $\op{GL}(n+1;\mathbb K)$ auf $\DP^{n} \mathbb K$, von der
man wie in \ref{bspRH} sieht, da"s sie stetig sein mu"s.
\end{Definition}




\begin{Lemma}
Gegeben  ein  hausdorffscher topologischer Schiefk"orper $\mathbb K$ stimmt auf $\mathbb K^d \backslash 0$  die 
von $\mathbb K^d $ induzierte Topologie "uberein mit der
feinsten  Topologie als homogener Raum von $\op{GL} (d; \mathbb K)$.\label{FKTo} 
\end{Lemma}



\begin{proof}
Es reicht zu zeigen, da"s das Anwenden auf  den ersten Vektor der Standardbasis 
$\pi: A\mapsto A\op{e}_1$ eine finale Abbildung $\op{GL} (d; \mathbb K)\ra \mathbb K^d\backslash 0$ ist. 
Da  Finalit"at nach 
\ref{FEF} lokal ist in der Basis,
reicht es, f"ur jeden Vektor $v\neq 0$ eine offene 
Umgebung $U$ zu finden derart, da"s $\pi:\pi^{-1}(U)\ra U$ 
final ist. Nach \ref{QQH} reicht es, besagte offene 
Umgebung $U$ so zu finden, da"s $\pi:\pi^{-1}(U)\ra U$ 
einen stetigen Schnitt besitzt. Dazu w"ahlen wir zu unserem
von Null verschiedenen Vektor $v$ eine 
invertierbare Matrix $A=(v|a_2|\ldots|a_d)$ 
mit erster Spalte $v$ und nehmen als $U\pdef \mathbb K^d \backslash 
\langle a_2,\ldots,a_d\rangle $ das
Komplement des Rechtserzeugnisses ihrer anderen Spalten und als 
stetigen Schnitt auf $U$
die Abbildung
$w\mapsto (w|a_2|\ldots|a_d)$,  die jedem $w\in U$ diejenige
Matrix zuordnet, die
aus $A$ entsteht beim Ersetzen der ersten Spalte durch $w$. Die Hausdorffeigenschaft haben wir dabei implizit verwendet, um zu sehen,
da"s das Erzeugnis $\langle a_2,\ldots,a_d\rangle $ abgeschlossen ist.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl} Alternativ k"onnte man argumentieren, da"s unsere
  Abbildung $\pi$ eine stetige offene Surjektion ist, weil sie
  lokal stetige  Schnitte besitzt. Bei dieser Argumentation braucht man
  weniger Wissen "uber finale Abbildungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz globaler Schnitte}]
 Der Beweis von Lemma \ref{FKTo} beruht auf der Erkenntnis, da"s die Abbildung,
die jeder invertierbaren Matrix ihre erste Spalte zuordnet, lokal
stetige Schnitte besitzt. Im Fall von 
$\op{GL} (2; \Bbb{R}) \ra \Bbb{R}^2 \backslash
0$
ist es auch nicht schwer, einen globalen stetigen Schnitt anzugeben. Im Fall 
von $\op{GL} (3; \Bbb{R}) \ra \Bbb{R}^3 \backslash
0$ hingegen gibt es keinen globalen 
stetigen Schnitt: Aus solch einem Schnitt k"onnte man n"amlich unschwer eine
\glqq K"ammung des Igels\grqq\ konstruieren, und wir werden in \eref{SavI}{TF}
zeigen,
da"s es solch eine K"ammung nicht geben kann.
\end{Bemerkungl}



\begin{Lemma}[\textbf{Projektive R"aume als homogene R"aume}] 
Gegeben  ein  hausdorffscher topologischer Schiefk"orper $\mathbb K$
  stimmt die\label{ToPra}
  Topologie auf dem projektiven Raum $\DP^{n} \mathbb K$ als
  Quotient von $\mathbb K^{n+1}\backslash 0$ "uberein mit der feinsten Topologie 
als homogener Raum in Bezug auf die offensichtliche Operation
von $\op{GL}(n+1;\DK)$. Insbesondere ist
der projektive Raum $\DP^{n} \mathbb K$  Hausdorff.
\end{Lemma}
\begin{proof}  Wir versehen $\Bbb{P}^n \Bbb{K}$ mit seiner Topologie
  als Quotient von $\mathbb K^{n+1}\backslash 0$ und betrachten die Abbildungen 
\begin{displaymath}
\op{GL}(n+1; \Bbb{K}) \;\twoheadrightarrow\;
\Bbb{K}^{n+1} \backslash 0 \;\twoheadrightarrow\; \Bbb{P}^n \Bbb{K}
\end{displaymath}
gegeben  durch das Anwenden auf den ersten Vektor der Standardbasis  $\op{e}_1$
und die offensichtliche Projektion.
Die erste Abbildung ist final nach Lemma \ref{FKTo},
die zweite  nach Annahme.
Also ist nach \ref{QQH} auch ihre Verkn"upfung final.  
Damit stimmt auf $\Bbb{P}^n \Bbb{K}$ die feinste Topologie als homogener Raum 
"uberein mit der Topologie als Quotient von  $\Bbb{K}^{n+1} \backslash 0$ aus \ref{DTPRO}.
Die Hausdorffeigenschaft
folgt dann  aus \ref{QAU}, da die Standgruppen unseres homogenen Raums 
$\Bbb{P}^n \Bbb{K}$ offensichtlich abgeschlossen sind.
\end{proof}
 

\begin{Proposition}[\textbf{Projektive R"aume als
      Mannigfaltigkeiten}]\label{ToPr}
F"ur $\DK=\DR,  \DC$ oder $\Bl{H}$ ist der projektive Raum
$\DP^{n}\DK $ eine kompakte topologische  Mannigfaltigkeit der
Dimen\-sion $ n( \dim_\DR\DK)$.
\end{Proposition}

  \begin{Beispiele} 
 Die reelle projektive Gerade $\DP^1\DR$ 
ist hom\"{o}omorph ist zu einer Kreislinie $S^1$,
  die komplexe projektive Gerade  $\DP^{1}\DC$ 
  zur Kugelschale $S^2$, sie hei"st auch die
  {\bf Riemann'sche Zahlenkugel},\index{Riemann!Zahlenkugel}\index{Zahlenkugel} 
  und die quaternionale projektive Gerade $\DP^{1}\Bl{H}$
    hom\"{o}omorph zur $4$-Sph"are $S^4$.  Weiter ist $\DP^2\DR$
    hom\"{o}omorph ist zu einer Kugelschale, in die man ein kreisrundes Loch
    geschnitten hat, um dort ein M\"{o}biusband einzukleben.\label{MNHn}
All das zu zeigen ist eine gute "Ubung. 
  \end{Beispiele}
 \begin{Bemerkungw} 
   Die offensichtlichen Projektionen von den geeignet
   erkl"arten Einheitssph"aren auf die jeweiligen projektiven R"aume
   $S^2\ra \DP^1\DR\cong S^1$,  $S^3\ra \DP^{1}\Bl{C}\cong S^2$ und  $S^7\ra \DP^{1}\Bl{H}\cong S^4$
   sind Faserb"undel, ja sogar Hauptfaserb"undel mit Fasern $S^0$,
   $S^1$ und $S^3$. Faserb"undel mit Basis, Faser und Totalraum jeweils
   einer Sph"are hei"sen {\bf Hopf-Faserungen}.\index{Hopf-Faserung}
   Mithilfe der Oktonionen kann man auch eine Hopf-Faserung "uber der
   $S^8$ mit Faser $S^7$ und Totalraum $S^{15}$ konstruieren. Man kann
   sogar zeigen,
   da"s es au"serhalb dieser Dimensionen keine Hopf-Faserungen gibt,
   aber das ist f"ur uns  vorerst au"ser Reichweite.
 \end{Bemerkungw}

\begin{proof}[Beweis von \ref{ToPr}]
Identifizieren wir  in $\DR$-linearer Weise $\DK^{n+1}\cong \DR^m$
und bezeichnen mit $S\pdef S^{m-1}\subset \DK^{n+1}$ die Menge aller
Vektoren der L"ange Eins f"ur das Standard-Skalarprodukt des $\DR^m$, 
eine hochdimensionale Sph"are, so erhalten wir eine stetige Surjektion 
$S\sra \Bbb{P}^n \Bbb{K}$. Als Bilder kompakter R"aume sind demnach
unsere projektiven R"aume kompakt.
Somit 
m\"{u}ssen wir nur noch f\"{u}r
jeden Punkt eine zu $\DK^{n}$ hom\"{o}omorphe offene Umgebung
finden. 
Wir betrachten  dazu einen beliebigen endlichdimensionalen
$\mathbb K$-Vektorraum
$W$ und zeigen,
da"s f"ur jede affine Hyperebene $H\subset W$, die den Ursprung vermeidet,
die Injektion $i_H: H\hra \DP W$ gegeben durch $v\mapsto\langle v\rangle$
eine offene Einbettung ist. 
 Ist in der Tat $\vec H\subset W$ der Richtungsraum  
unserer affinen Hyperebene  $H$, so ist $\pi^{-1}(\pi(H))=W\backslash \vec H$
offen in $W\backslash 0$. 
Mithin hat unsere Injektion  $i_H:H\hra \DP W$ offenes Bild.
Nun betrachten wir das kommutative Diagramm
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTOP}\\[4mm]
\noindent 
Illustration zum Beweis von \ref{ToPr}
\end{figure}
\begin{displaymath}
\xymatrix{&W\backslash \vec H\ar@{->>}[rd]^{\pi}\ar@{->>}[ld]&\\
H\ar@{->}[rr]&&i_H(H)}
\end{displaymath}
Der linke schr"age Pfeil ordne jedem Punkt den Schnittpunkt 
mit $H$ der durch ihn verlaufenden Ursprungsgeraden zu.
Er ist stetig, denn
ist  $\lambda_H:W\ra k$ die Linearform, deren Niveaufl"ache
zum Wert Eins gerade $H$ ist, so wird er  gegeben durch
die Formel $w\mapsto w\lambda_H(w)^{-1}$. 
Er ist  nach \ref{QQH} sogar final, 
da er einen Schnitt besitzt, eben die
Einbettung $H\hra W\backslash \vec H$. 
Der rechte schr"age Pfeil ist final
nach \ref{FvR} als Einschr"ankung einer finalen Abbildung
auf eine offene Teilmenge der Basis. Zusammen folgt, da"s die horizontale
Bijektion ein Hom"oomorphismus $H\sira i_H(H)$  sein mu"s.
Damit ist $\DP W$ in der Tat eine Mannigfaltigkeit. 
\end{proof}




\begin{Beispiel}
 Unter einer {\bf vollst"andigen Fahne}\index{Fahne!vollst"andige} 
von Untervektorr"aumen eines endlichdimensionalen Vektorraums
$V$ "uber einem K"orper  $k$
versteht man eine Folge von Untervektorr"aumen\label{FahM} 
\begin{equation*}
V = V_n \supset V_{n-1} \supset \ldots \supset V_1 \supset V_0 =0 
\end{equation*}
mit $\dim V_i =i$. Die Menge aller 
derartigen Fahnen notieren wir $\mathcal F (V)$
und nennen sie die Fahnenmannigfaltigkeit.\index{Fahnenmannigfaltigkeit}
Auf dieser Menge operiert die Gruppe $\op{GL}(V)$ in 
offensichtlicher Weise, und diese Opera\-tion ist
auch sicher transitiv.
Die Standgruppe der Fahne
\begin{equation*}
 k^n = \langle {\op{e}}_1, \ldots, {\op{e}}_n \rangle \supset \langle {\op{e}}_1,\ldots, {\op{e}}_{n-1} \rangle \supset \ldots \supset 
\langle {\op{e}}_1\rangle \supset 0
\end{equation*} ist die Gruppe der oberen Dreiecksmatrizen 
$B \subset \op{GL} (n;k)$.
Wir erhalten so eine
Bijektion
\begin{equation*}
 \op{GL} (n;k) / B \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal F (k^n)
\end{equation*}
Analoges gilt f"ur einen Schiefk"orper $k$, wobei wir vereinbaren,
Vektorr"aume als
Rechtsmoduln verstehen zu wollen.
Arbeiten wir "uber dem K"orper  $\DR$ oder $\DC$ oder dem Schiefk"orper
$\mathbb H$, so ist 
die Fahnenmannigfaltigkeit mit ihrer feinsten Topologie als homogener Raum kompakt 
aufgrund
der Iwasawa-Zerlegung \eref{IWZR}{LA2}, \eref{IWZC}{LA2} und \eref{IZQ}{ML}. 
\end{Beispiel}




\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
  Man pr"ufe die Beschreibungen von $\mathbb P^1\mathbb K$
  f"ur $\mathbb K=\DR,\DC,\mathbb H$ 
  aus \ref{MNHn}.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Man
zeige, da\ss\ $\DP^1\DR$ hom\"{o}omorph ist zu einer Kreislinie $S^1$,
$\DP^{1}\DC$ hom\"{o}omorph  zur Kugelschale $S^2$,
und $\DP^{1}\Bl{H}$ hom\"{o}omorph  zur $4$-Sph"are $S^4$.
Man zeige weiter, da"s
$\DP^2\DR$ hom\"{o}omorph ist zu einer Kugelschale, in die man ein
kreisrundes Loch geschnitten hat, um dort ein M\"{o}biusband
einzukleben.
\end{Ubung}




\begin{Ubung}\label{HRDr}
Sei $V$ ein dreidimensionaler reeller Vektorraum. 
Wir betrachten in $\mathcal{P} (V) \times
\mathcal{P} (V)$ alle Paare bestehend aus einer 
Halbebene und einer Halbgeraden auf ihrem
Rand, also alle Paare $(H,L)$, f"ur die es $v, w \in V$ 
gibt mit $H = \mathbb{R}_{\geq 0}
w + \mathbb{R} v$ und $L = \mathbb{R}_{\geq 0} v$.
Man zeige, da"s die Menge aller derartigen Paare ein homogener Raum f"ur
$\op{GL} (V)$ ist und da"s dieser homogene Raum kompakt ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\index{Zusammenhangskomponente!von $\op{GL}(n;\DR)$}
 Man zeige, da"s die  Gruppe $\op{GL}(n;\DR)^+$ aller reellen 
$(n\times n)$-Matrizen mit positiver Determinante zusammenh"angend ist.
Hinweis: Induktion "uber $n$. Aus \ref{FKTo} folgert man unschwer, da"s
im Fall $n>1$  f"ur den  homogenen Raum $\DR^n\backslash 0$ unserer Gruppe
seine Topologie als homogener Raum mit der offensichtlichen Topologie
"ubereinstimmt, so da"s dieser homogene Raum zusammenh"angend ist.\label{ZKGLl}
Damit m"ussen wir nach \ref{ZHKQ} nur noch zeigen, da"s die
Standgruppe eines Punktes zusammenh"angend ist.
\end{Ubung}
%Nach \"{U}bung \ref{QQH} ist auch die
%Restriktion
%$\pi: S\sra \DP^{n}\DK $ von $\pi$ auf $S$ eine Submersion.
%Sind  $x\neq y$ Punkte in $\DP^{n}\DK$, so sind ihre Urbilder
%$X$ und $Y$ in $S$ ja offensichtlich kompakt (und sogar hom\"{o}omorph
%zur Menge der
%Einheitsvektoren von $\DK$). Nach \"{U}bung \ref{dK} gibt es also
%$\delta>0$ derart, da"s gilt $\|a-b\|>\delta$ f\"{u}r alle $a\in X$, $b\in
%Y$.
%Betrachten wir nun die Menge $U$ bzw.\ $V$ aller Punkte 
%der Sph"are $S$,
%die von mindestens einem Punkt aus $X$ bzw.\ $Y$ einen euklidischen Abstand
%kleiner als $\delta/2$ haben, so sind $U$ und $V$ offen,
%disjunkt und stabil unter der Linksmultiplikation mit
%Einheitsvektoren von $\DK$.
%Die Zuordnung $W\mapsto \pi^{-1}(W)$ ist aber eine Bijektion
%zwischen den offenen Teilmengen von $\DP^{n}\DK$ und denjenigen
%offenen Teilmengen von $S$, die stabil sind unter der Linksmultiplikation mit
%Elementen der Einheitssph\"{a}re von $\DK$.
%Folglich sind $U$ und $V$
%Urbilder von offenen Mengen in $\DP^{n}\DK $, und diese offenen
%Mengen sind unsere gesuchten disjunkten Umgebungen von $x$ und $y$.
%Also ist  $\DP^{n}\DK$ Hausdorff.
\begin{Ubung}\label{FKToS}
Versehen wir $\Bbb{R}^d \backslash 0$ mit der  
von $\Bbb{R}^d $ induzierten Topologie, so liefert 
f"ur $d>1$ das Anwenden auf einen
beliebigen von Null verschiedenen Vektor eine finale Abbildung
$\op{SL} (d; \Bbb{R}) \ra \Bbb{R}^d \backslash 0$. Dasselbe gilt
im Komplexen.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Realisierung von
 $\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)$ als obere Halbebene}]
Wir betrachten die Operation von\label{ROHG}  
$\op{SL}(2;\DR)\subset\op{GL}(2;\DC)$ auf der Riemann'schen Zahlenkugel
$\DP^1\DC$. Sie stabilisiert den "Aquator $\DP^1\DR$ 
und man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s sie au"ser dem
"Aquator nur zwei weitere Bahnen hat, n"amlich 
die \glqq n"ordliche und die s"udliche Hemisph"are\grqq. 
Die Kreislinie $\op{SO}(2)$ operiert durch Rotationen um die Polachse,
aber \glqq mit verdoppelter Geschwindigkeit\grqq. Insbesondere operiert
$(-{\op{I}})$ als die Identit"at und unsere Operation
faktorisiert "uber eine Operation von
$\op{PSL}(2;\DR)\pdef \op{SL}(2;\DR)/\{\pm {\op{I}}\}$.
Die Standgruppe jedes der beiden Pole
unter $\op{SL}(2;\DR)$ ist  $\op{SO}(2)$ und wir
erhalten so je eine Bijektion von $\op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)$ mit jeder
der beiden Hemisph"aren. Unter der nat"urlichen Identifikation
$\DC\sqcup\{\infty\}\sira\DP^1\DC$ mit $z\mapsto\langle 1,z\rangle$
entsprechen unsere beiden  Hemisph"aren 
den beiden Zusammenhangskomponenten von $\DC\backslash\DR$ und
die Pole den Punkten $\pm{\op{i}}$ und die Operation erh"alt die Gestalt
\begin{displaymath}
\begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix} : 
z \mapsto \frac{c+d z}{a + bz}
\end{displaymath}
wie in \eref{FEWR}{LA2}. W"ahlen wir stattdessen
die Identifikation $\DC\sqcup\{\infty\}\sira\DP^1\DC$ mit $z\mapsto\langle z,1\rangle$, so erh"alt unsere Operation die 
den meisten Mathematikern besser vertraute Gestalt
\begin{displaymath}
\begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix} : 
z \mapsto \frac{az+b}{cz+d}
\end{displaymath}
 Man findet leicht eine stetige
Spaltung, explizit hat man etwa auf der oberen Halbebene
die Spaltung
\begin{displaymath}
x+y{\op{i}}\; \mapsto\;  y^{-1/2}\begin{pmatrix} 1 &0 \\ x & y \end{pmatrix} 
\end{displaymath}
Diese Spaltung zeigt, da"s die von $\mathbb P^1\DC$  induzierte Topologie auf unserer Hemisph"are
mit ihrer feinsten Topologie also homogener Raum von $\op{SL}(2;\DR)$ "ubereinstimmt. Sie ist auch eine unmittelbare Konsequenz der
 Iwasawa-Zerlegung \eref{IWZR}{LA2}. 
Diese Spaltungen zeigen im "ubrigen sehr direkt, da"s 
das Urbild jedes Kompaktums 
unter $\op{SL}(2;\DR)\sra \op{SL}(2;\DR)/\op{SO}(2)$ kompakt ist, was
 nach \ref{EWEi} und \ref{GWER} auch  ganz allgemein f"ur Quotienten einer topologischen Gruppe
nach einer kompakten Untergruppe gilt.  Eine alternative Realisierung durch Matrizen haben wir in \ref{GeoRS} besprochen. 
\end{Ubung}





\subsection{Eigentlichkeit und hausdorffsche Quotienten*}

\begin{Definition}\label{DefE}
Eine Abbildung von topologischen R"aumen
$f: X \ra Y$ hei"st
{\bf eigentlich},\index{eigentlich!stetige Abbildung} 
 wenn sie stetig ist und wenn 
dar"uber hinaus f"ur jeden weiteren Raum $Z$ die
Abbildung $ f\times \op{id}: X \times Z \ra Y  \times Z$ abgeschlossen ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Auf Franz"osisch verwendet man f"ur \glqq eigentlich\grqq\ den Begriff \defind{propre},
auf Deutsch sagt man alternativ  auch 
{\bf universell 
abgeschlossen}.\index{abgeschlossen!universell}
In einer hoffentlich selbsterkl"arenden
Terminologie, die ich hier nicht formal einf"uhren will, k"onnte man auch {\bf
  produktfest abgeschlossen}\index{abgeschlossen!produktfest} sagen. 
Die Terminologie ist nicht ganz einheitlich, in der Literatur werden
verschiedene andere Varianten der Definition des Begriffs einer
eigentlichen Abbildung verwendet.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw} Wir zeigen in \ref{SLOK}, da"s\label{koiu}  
eine stetige Abbildung zwischen lokal kompakten Hausdorffr"aumen
eigentlich  ist genau dann, wenn das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist.
Das mag eine erste Anschauung f"ur dieses Konzept geben.
\end{Bemerkungw}
\begin{Lemma}[\textbf{Eigentliche Abbildungen auf einen Punkt}] 
Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, 
wenn die konstante Abbildung von besagtem Raum  
auf den einpunktigen Raum eigentlich ist.\label{KrE} 
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $X$ kompakt und $Z$ beliebig. Ich denke mir $X$ vertikal und $Z$ 
horizontal.
Sei  $A \As X \times Z$ abgeschlossen
und $z \in Z$ gegeben derart, da"s $A$ die vertikale Faser bei $z$ 
nicht trifft, in Formeln 
$A \cap (X \times \{z\}) = \emptyset$.
So gibt es f"ur jedes $x \in X$ offene Umgebungen $U_{x} \co X$
von $x$ und $V_{x} \co Z$ von $z$ mit $A \cap (U_{x} \times
V_{x})=\emptyset$. Endlich viele $U_x$ "uberdecken nun aber $X$ und
der Schnitt der zugeh"origen $V_x$ ist eine 
offene Umgebung von $z$, die die Projektion von $A$ nicht trifft.
Also ist die konstante Abbildung von einem Kompaktum auf einen
einpunktigen Raum eigentlich.
Die Umkehrung ist f"ur uns weniger wichtig. 
Um sie zu zeigen, betrachten irgendein System abgeschlossener
Teilmengen $\cal{A} \subset \cal{P} (X)$ mit nichtleeren endlichen
Schnitten und m"ussen nach 
\ref{ESA} nur zeigen, da"s auch sein
gesamter Schnitt nicht leer ist. Dazu d"urfen wir annehmen, da"s
$\cal{A}$ stabil ist unter endlichen Schnitten, und bilden den Raum
$$Z \pdef X \amalg \{\infty\} $$
mit der Topologie, f"ur die die offenen Teilmengen  alle 
Teilmengen sind, die entweder $\infty$ vermeiden oder $\infty$ enthalten und
mindestens ein
$A \in \cal{A}$ umfassen.
Aufgrund unserer Annahme an $\cal{A}$ liegt $\infty$ im Abschlu"s
von $X \subset Z$.
Betrachten wir die Diagonale $\Delta  \subset X \times Z$, so mu"s
das Bild ihres Abschlusses $\bar{\Delta}$ unter der Projektion auf 
die zweite Koordinate ganz $Z$ sein.
Es gibt also ein $x\in X$ mit $(x,\infty) \in \bar{\Delta}$ und daraus
folgt sofort $x \in \bigcap_{A \in\cal{A}} A$.
\end{proof}

\begin{Proposition}
Operiert eine kompakte topologische Gruppe $G$ auf 
einem Hausdorffraum $X$, so ist auch der
Bahnenraum $X/G$ Hausdorff.\label{BaHa} 
\end{Proposition}
\begin{Bemerkungl}
  Ich h"atte einen Beweis vorgezogen, der das Konzept
  eigentlicher Abbildungen vermeidet, aber mir ist keiner eingefallen. Unter st"arkeren Voraussetzungen wird der Beweis einfacher,
  vergleiche \ref{BHNa}.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Wegen der Kompaktheit von $G$ ist die Projektion 
$G \times X \ra X$ eigentlich. Damit ist auch die
Wirkung eigentlich als Komposition der Projektion mit dem Hom"oomorphismus 
$G  \times X \overset{\sim}{\rightarrow}
 G \times X$, $ (g,x) \mapsto (g,gx)$.
 Damit ist auch das Produkt der Wirkung 
 $G \times X \times X \ra X \times X$ mit der Identit"at auf 
 $X$ eine eigentliche Abbildung.
 Nun ist nach \ref{HDD} die Einbettung der Diagonale $\Delta \hra X\times X$
 abgeschlossen und mithin nach "Ubung \ref{VSU} eigentlich.    
 Schalten wir oben 
$\op{id} \times \Delta$ vor, so erkennen, da"s die Abbildung
 $$\begin{array}{ccc}
 G \times X & \ra & X \times X\\
 (g\;,\;x)& \mapsto & (gx, x)
 \end{array}$$
eigentlich ist nach 
"Ubung \ref{VSU} als Verkn"upfung eigentlicher Abbildungen.
Insbesondere ist ihr Bild $\Gamma \subset X \times X$ 
abgeschlossen und dessen Komplement offen.
Nun ist aber nach \ref{QSU} und \ref{QGW} 
auch das Bild dieses Komplements in $X/G \times X/G $ offen 
und
die Diagonale in $X/G \times X/G$  folglich abgeschlossen.
\end{proof}
\begin{Bemerkunge}
Die Operation einer topologischen Gruppe
$G$ auf einem topologischen Raum $X$\label{QuoE}  hei"st
{\bf eigentlich},\index{eigentlich!Gruppenwirkung}
 wenn die Abbildung $ G \times X  \ra  X \times X$,
$(g,x) \mapsto  (gx, x)$ 
eigentlich ist. Die zweite H"alfte des Beweises von \ref{BaHa} zeigt,
da"s bei einer eigentlichen Operation der Bahnenraum stets 
Hausdorff ist. Die erste H"alfte des Beweises von \ref{BaHa} zeigt,
da"s eine Operation einer kompakten Gruppe stets eigentlich ist.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
Man kann zeigen, da"s eine 
stetige Abbildung eigentlich ist genau dann, 
wenn sie abgeschlossen ist und  alle ihre Fasern kompakt sind.
Bei Bourbaki kann man nachlesen, warum ein beliebiges 
Produkt von eigentlichen Abbildungen wieder eigentlich ist.
Diese Aussage hei"st der 
{\bf Satz von Frolik-Tychonoff}.\index{Frolik-Tychonoff} 
\end{Bemerkunge}




\begin{Definition}\label{Msep}
Eine stetige Abbildung $f: X \ra Y$ hei"st 
{\bf separiert}\index{separiert!stetige Abbildung},
wenn die Diagonale eine abgeschlossene Teilmenge
$X \As X \times_{Y}X$
 ist.
\end{Definition}




\begin{Beispiele}
Die konstante Abbildung von einem topologischen Raum auf einen
Punkt ist nach \ref{HDD} separiert genau dann, wenn der fragliche Raum 
Hausdorff alias separiert ist.\label{ESAA} 
Jede topologische Einbettung ist separiert.
Ist in einem kartesischen Diagramm topologischer R"aume ein
Ursprungspfeil separiert, so auch der gegen"uberliegende Pfeil
aus dem Faserprodukt.
\end{Beispiele}


\begin{Lemma}\label{SaA}
Ist $g \circ f$ eigentlich 
und $g$ separiert, so ist auch $f$ eigentlich.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}
Landet $g$ in einem Punkt, so liefert dieses
Lemma insbesondere die bereits aus \ref{KoR} bekannte Aussage,
da"s das  Bild einer stetigen Abbildung  von einem
Kompaktum  in einen Hausdorffraum 
stets abgeschlossen ist. Bei Bourbaki findet sich unser Lemma
zumindest schon einmal f"ur $g$ injektiv.  
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Seien $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$.
Wir betrachten zum Morphismus $f$ das in $\op{Top}_Z$ kartesische Diagramm
$$\xymatrix{\kart
X\ar[r] \ar[d] &Y\ar[d]\\
X\times_Z Y \ar[r] &Y\times_Z Y
}$$
aus \eref{MKP}{TF} und sehen, da"s mit der 
Diagonale $Y \hookrightarrow Y \times_Z Y$
auch die Abbildung $(\op{id},f) : X \ra X \times_Z Y$ 
eine abgeschlossene
Einbettung ist.
Der Morphismus $f$ ergibt sich als deren Verkn"upfung mit dem
eigentlichen da durch Basiswechsel \nichtfinal{(Gibt es hier schon Basiswechsel?)} aus $X\ra Z$ 
entstehenden  Morphismus $X \times_Z Y \ra Y$.
\end{proof}
\begin{Lemma}
  Eine stetige Abbildung zwischen lokal kompakten Haus\-dorff\-r"au\-men ist
  eigentlich genau dann, wenn das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist.\label{SLOK} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Da"s Urbilder von Kompakta unter eigentlichen Abbildungen stets
  kompakt sind, haben wir bereits in \ref{EWEi}
gesehen.  Da"s eine stetige Abbildung von
  kompakten Hausdorffr"aumen eigentlich ist, folgt aus \ref{SaA} und
aus der Erkenntnis  \ref{KrE}, da"s die
konstante Abbildung eines Kompaktums auf einen Punkt
eigentlich ist. Das Lemma folgt damit aus der Lokalit"at der
Eigentlichkeit in der Basis \ref{Ell}. % und \ref{EWEi}.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}
Eine Teilmenge in einem topologischen Raum hei"st
\defind{relativ Hausdorff}\index{Hausdorff, relativ}, 
wenn je zwei verschiedene Punkte unserer Teilmenge
disjunkte Umgebungen im urspr"unglichen Raum besitzen.\label{RHa}
\end{Bemerkungl}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Eigentlichkeit ist lokal in der Basis}]
Seien $f : X \ra Y$ stetig und $\cal{U} \subset \cal{P} (Y)$ eine
offene "Uberdeckung von $Y$. Genau dann ist $f$ eigentlich, wenn
die induzierten Abbildungen $f^{-1}(U) \ra U$ eigentlich
sind f"ur
alle $U \in \cal{U}$.\label{Ell}
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Permanenzeigenschaften eigentlicher Abbildungen}]
Die Verkn"upfung eigentlicher Abbildungen ist eigentlich. 
Eine Einbettung ist eigentlich genau dann,\label{VSU} %\label{vA}  
wenn sie abgeschlossen ist.
Ist $g \circ f$ eigentlich und $f$ surjektiv, so ist auch $g$
eigentlich. Landet $g$ in einem Punkt, so spezialisiert die
letzte Behauptung zur Aussage,
da"s stetige Bilder von Kompakta stets kompakt sind.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Eigentlichkeit ist stabil unter Basiswechsel}]
Leser, die bereits mit Faserprodukten \eref{IWE}{TF} vertraut sind,
werden leicht zeigen k"onnen,\label{EWEi}  
da"s gegeben eine eigentliche Abbildung  $X \ra Y$ und
eine beliebige stetige Abbildung $Z\ra Y$ auch die erweiterte 
Abbildung $  X \times_Y Z \ra  Z$ eigentlich ist. 
Insbesondere bedeutet das im Fall von einpunktigem $Z$, da"s alle
Fasern einer eigentlichen Abbildung kompakt sind, und im Fall 
einer kompakten Teilmenge $K\subset Y$ 
ergibt sich mit \ref{VSU} und \ref{KrE},
da"s die Urbilder von Kompakta unter eigentlichen Abbildungen kompakt sind.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}
Sind $X\ra Y$ und $X'\ra Y$ eigentlich, so auch
$(X\amalg X')\ra Y$. Ist insbesondere $Z\ra Y$ stetig und sind
Teilr"aume $X,X'\subset Z$\label{VUAa}
gegeben mit  $X\ra Y$ und $X'\ra Y$ eigentlich,
so ist auch $(X\cup X')\ra Y$ eigentlich mit 
der vorhergehenden "Ubung \ref{VSU}.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}
Gegeben eine kompakte Hausdorff'sche Gruppe 
enth"alt jede Umgebung des neutralen\label{KSU} 
Elements eine unter Konjugation stabile offene Umgebung des neutralen
Elements.
\end{Ubung}

\begin{Ubungw}
  Ist $G$ eine topologische Gruppe und $K\subset G$ eine
  kompakte Untergruppe, so ist die Multiplikation
  $G\times K\sra G$ eigentlich. Hinweis: \ref{EWEi}.
  Ist $G$ eine topologische Gruppe und $K\subset G$ eine
  kompakte Untergruppe,\label{GWER}  so ist die Projektion
  $G\sra G/K$ eigentlich. Hinweis: Man verwende das
  kartesische Diagramm zum Quotienten 
  \eref{karQG}{TF} und die Erkenntnis, da"s Quo\-tien\-ten
  nach \ref{QGW} produktfest final sind. 
\end{Ubungw}
\begin{Ubungw} 
  Seien $G$ eine Hausdorffgruppe und $K\subset G$ eine
  kompakte Untergruppe und $\Gamma\subset G$ eine
  diskrete Untergruppe. So besitzt jeder Punkt $x\in G/K$
  eine offene Umgebung $U$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur
  $\gamma\in\Gamma$ gilt\label{OPQG} 
  $$\gamma(U)\cap U\neq\emptyset \;\;\RA \;\; \gamma(x)=x\text{ und }\gamma(U)=U.$$
  Hinweis: Die Untergruppe $\Gamma$ ist abgeschlossen nach \ref{dOf} und f"ur jede Teilmenge $A\subset \Gamma$
  ist dann $AK\As G$ abgeschlossen in $G$ nach \ref{GWER}. 
\end{Ubungw}
\begin{Ubung} 
  Die Quotientenabbildung f"ur die Operation einer endlichen Gruppe
  auf einem topologischen\label{OPeG} Raum ist stets eigentlich. Hinweis:
  Quotienten nach Gruppenoperationen sind produktfest final nach
  \ref{QGW}.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Ist $X\ra Y$ eine eigentliche "aquivariante Abbildung von
  R"aumen mit einer Operation einer Gruppe $G$ durch stetige Abbildungen,
  so ist auch die auf den Bahnenr"aumen induzierte Abbildung
  $X/G\ra Y/G$ eigentlich. Hinweis: Quotientenabbildungen sind produktfest final.  
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Es operiere eine topologische Gruppe $G$ auf einem Raum $X$ und sei
  $P\subset G$ eine Untergruppe mit $G/P$ kompakt. Man zeige, da"s
  die Operation eine eigentliche Abbildung $G\times_{/P}X\ra X$ induziert.
  Hinweis: Man betrachte $G\times X\sira G\times X$ mit $(g,x)\mapsto (g,gx)$.
  Ist weiter $A\As X$ abgeschlossen und $P$-stabil, so ist auch
  $GA$ abgeschlossen in $X$. Hinweis: $G\times_{/P}A\ra G\times_{/P}X$ ist
  eine abgeschlossene Einbettung.\label{abgRR} Diese "Ubung verallgemeinert unsere Erkenntnis \ref{QuoE}, da"s Operationen kompakter Gruppen stets
  eigentlich sind.
 \end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Bruhatzellen sind offen in ihrem Abschlu"s}]
  Wir betrachten $\mathbb K=\DR,\DC$ und betrachten in
  $G\pdef \op{GL}(n;\DK)$ die Untergruppe der oberen Dreiecksmatrizen $B$.
  Wir wollen zeigen, da"s jede Doppelnebenklasse $BwB$ offen in ihrem
  Abschlu"s ist.\label{BrOA} 
 Dazu zeige man der Reihe nach:
  (1) Ist $s$ die Permutationsmatrix einer Permutation 
  mit nur  einem Fehlstand, so ist $P_s\pdef B\sqcup BsB$ eine
  abgeschlossene Untergruppe von $\op{GL}(n;\DK)$ aus
  \glqq Block-oberen Dreiecksmatrizen mit einem $(2\times 2)$-Block und 
  sonst nur $(1\times 1)$-Bl"ocken. (2) Die Quotienten $P_s/B$ sind
  hom"oomorph zu $\DP^1\mathbb K$ und insbesondere kompakt. (3)
  Alle  Produkte der Gestalt
  $P_{r}P_{s}\ldots P_{t}$ sind
  abgeschlossen in $G$ wegen \ref{abgRR}. (4)
  Ist die Zahl $l(x)$ der Fehlst"ande eines Produkts $x=rs\ldots t$ die Zahl seiner Faktoren, so ist das Produkt 
$P_{r}P_{s}\ldots P_{t}$
nach \eref{MuBru}{LA2}  
die Vereinigung der Doppelnebenklasse
$ Brs\ldots tB$ mit Doppelnebenklassen
$ BxB$ f"ur $l(x)<l(rs\ldots t)$. Im "ubrigen zeigen wir f"ur
Bahnen von \glqq algebraischen Gruppen auf algebraischen Variet"aten\grqq\ 
in \eref{BOAA}{AAG} in voller Allgemeinheit, da"s sie offen sind in ihrem Abschlu"s
und das sogar in Bezug auf die \glqq Zariski-Topologie\grqq.
\end{Ubung}
  





\begin{Ubung}
Eine stetige Abbildung ist separiert 
genau dann, wenn alle ihre Fasern relativ
Hausdorff sind im Sinne von \ref{RHa}.
Jede Verkn"upfung separierter Abbildungen ist  separiert.
Das Urbild einer relativ\label{SRH}
Hausdorff'schen Teilmenge unter einer
 separierten Abbildung ist wieder relativ Hausdorff'sch.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Sei $X$ ein topologischer Raum und $Y\subset X$ eine
  relativ Hausdorff'sche Teilmenge. Gegeben zwei zueinander  disjunkte Kompakta $K,L\subset Y$\label{SRHcv} 
  gibt es dann disjunkte offene Mengen $U,V\co X$ mit $K\subset U$ und $L\subset V$.
  %Gerhards
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{SRHnw} %\label{SRH}
Ist $f:X\ra Y$ eigentlich und separiert und 
$i:A\hra X$ eine Einbettung derart, da"s $f\circ i$ eigentlich ist,
so mu"s $i$ eine abgeschlossene Einbettung sein. 
Hinweis: \ref{SaA} und \ref{VSU}.
\end{Ubung}


%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTM"
%%% End: