\section{Homotopie und Fundamentalgruppe} \subsection{Einf\"{u}hrung in die algebraische Topologie}\label{Grundt} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den vertrauten Begriff der Stetigkeit von Funktionen mehrerer reellen Ver\"{a}nderlichen. Weiter bezeichne $\|\; \| : \DR^{n} \ra \DR$ die Skalarproduktnorm, $\|x\|\pdef\sqrt{x_1^2+\ldots+ x_n^2}$ f\"{u}r $x=(x_1,\ldots,x_n)\in\DR^n$, und $$S^{n}\pdef\{x\in\DR^{n+1} \mid \|x\| =1\}$$ die \defnoind{$n$-dimensionale Kugelschale}\index{Kugelschale} oder \defnoind{$n$-Sph\"{a}re}.\index{Sph"are} Es\index{S@$S^{n}$ die $n$-Sph"are} ist also $S^{-1}=\emptyset$, $S^{0}=\{+1,-1\}$, $ S^{1}$ die Kreislinie, $S^2$ die Kugelschale und so weiter. Zur Motivation liste ich nun einige typische Probleme der Topologie auf. \begin{enumerate} \item Man zeige, da"s es f"ur $n\geq 0$ keine stetige Injektion $S^{n}\hra\DR^n$ der $n$-dimensionalen Kugelschale in die $n$-dimensionale Ebene gibt. Als \"{U}bung empfehlen sich die F\"{a}lle $n=0,1$. Der Fall $n=2$ wird in \ref{KBU} erledigt, der allgemeine Fall ergibt sich als Konsequenz aus \eref{ESph}{TS}. \item \glqq Ein Igel l\"{a}\ss t sich nicht k\"{a}mmen ohne Wirbel\grqq. In Formeln zeige man: Es gibt keine stetige Abbildung $\kappa :S^{2}\ra S^{2}$ derart, da\ss\ $\kappa (x)$ senkrecht steht auf $ x$ f\"{u}r alle $x \in S^{2}$. Wir zeigen das in \ref{SavI}. \item Es bezeichne stets $D^{n}=\{x\in \DR^{n} \mid \|x\| \leq 1\}$ die {\bf $n$-dimensionale} \defind{Vollkugel}. Es ist also $D^{0}$ ein Punkt, $D^{1}=[-1,+1]$ ein kompaktes Intervall, $D^{2}$ die abgeschlossene Kreisscheibe und so weiter. Man zeige, da\ss\ jede stetige Abbildung $f:D^{n}\ra D^n$ von einer abgeschlossenen Vollkugel in sich selber einen Fixpunkt hat. Diese Aussage hei"st der {\bf Brouwer'sche Fixpunktsatz}. Als "Ubung empfehlen sich wieder die F"alle $n=0,1$. Der Fall $n=2$ wird in \ref{FB2} behandelt, der allgemeine Fall in \eref{FBn}{TS}. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Teilmengen $A\subset \DR^{n}$ und $B\subset \DR^{m}$ hei"st eine Abbildung $f:A\ra B$ hei\ss t ein {\bf Hom\"{o}omorphismus},\index{Hom"oomorphismus!f"ur Teilmengen des $\DR^n$} wenn sie stetig und bijektiv ist und ihre Inverse $f^{-1}:B\ra A$ auch stetig ist. Des weiteren hei"sen $A$ und $B$ {\bf hom\"{o}omorph}\index{hom"oomorph!f"ur Teilmengen des $\DR^n$}, wenn es einen Hom\"{o}o\-morphismus von $A$ nach $B$ gibt. Wir schreiben kurz $A\cong B$ f\"{u}r die Aussage \glqq $A$ ist hom\"{o}omorph zu $B$\grqq.\index{)8@$\cong$ hom\"{o}omorph} Anschaulich bedeutet $A\cong B$, da"s sich $A$ durch \glqq Verbeulen und Verbiegen\grqq\ aus $B$ erhalten l\"{a}"st. Zum Beispiel sind je zwei offene Intervalle in $\DR$ hom\"{o}omorph, und \glqq Die Oberfl\"{a}che einer Kaffeetasse mit einem Henkel ist hom\"{o}omorph zur Oberfl\"{a}che eines Rettungsrings\grqq. Man bezeichnet die Topologie deshalb auch scherzhaft als \glqq Gummigeometrie\grqq. Zur weiteren Motivation liste ich auch noch einige typische Probleme im Zusammenhang mit dem Hom"oomorphiebegriff auf. \begin{enumerate} \item {\bf Invarianz der Dimension}: Man zeige, da"s f"ur nat"urliche Zahlen $n,m\geq 0$ gilt $\DR^{n}\cong \DR^{m}\Rightarrow n =m$. In Worten sind also endlichdimensionale reelle R"aume verschiedener Dimension, wenn man sie mit ihrer nat"urlichen Topologie versieht, auch nicht hom"oomorph. \item Man zeige, da\ss\ der Rettungsring, auch genannt der zweidimensionale {\bf Torus}\index{Torus!Fl"ache} $S^{1}\times S^{1}$, nicht hom\"{o}omorph ist zur $2$-Sph\"{a}re $S^{2}$. \item Sei $S \subset \DR^{2}$ eine Teilmenge der Ebene, die hom\"{o}omorph ist zur Kreislinie, $S \cong S^{1}$. Man zeige, da"s auch das Komplement von $S$ hom\"{o}omorph ist zum Komplement der Kreislinie, $\DR^{2} \backslash S \cong \DR^{2} \backslash S^{1}$. Der Beweis dieser Aussage gelingt erst unter Zuhilfenahme von Methoden der Analysis. Man kann sie etwa aus \eref{JBGG}{TS} zusammen mit \eref{efH}{TS} und dem \glqq kleinen\grqq\ Riemann'schen Abbildungssatz \eref{RASa}{FT1} der Funktionentheorie recht leicht folgern. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Man kann f"ur $S \subset \DR^{2}$ hom"oomorph zur Kreislinie sogar zeigen, da"s es einen Hom"oomorphismus $f:\DR^2\sira\DR^2$ gibt mit $f(S^1)=S$, aber den Beweis dieses {\bf Satzes von Sch"onflies}\index{Sch"onflies!Satz von} werden wir nicht behandeln. Im "ubrigen erweisen sich die h"oherdimensionalen Analoga der Aussagen des letzten Punktes der vorangehenden Aufz"ahlung s"amtlich als falsch: Zum Beispiel ist die sogenannte {\bf geh"ornte Sph"are von Alexander}\index{Alexander!geh"ornte Sph"are} \index{geh"ornte Sph"are} eine zur Kugelschale $S^2$ hom"oomorphe Teilmenge des Raums $\DR^3$, bei der eine Zusammenhangskomponente des Komplements noch nicht einmal schleifenf"ullend ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} In mathematisch nicht ganz so pr\"{a}ziser Formulierung will ich auch noch die Klassifikation zusammenh\"{a}ngender geschlossener Fl\"{a}chen besprechen. Ich gebe zun\"{a}chst eine Definition, die etwas unbeholfen ist, da sie die Sprache der Topologie noch weitgehend vermeidet. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} \label{DMG} Eine Teilmenge $F\subset \DR^n$ hei"st eine \defnoind{geschlossene topologische in $\DR^n$ eingebettete $d$-Mannigfaltigkeit}\index{geschlossene Mannigfaltigkeit} genau dann, wenn $F$ kompakt ist und es f"ur jeden Punkt $p\in F$ eine offene Teilmenge $U\co \DR^{n}$ gibt mit $p\in U$ und $U\cap F\cong \DR^d$. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKF}\\[4mm] \noindent Die Klein'sche Flasche \end{figure} \begin{Bemerkungl} Beispiele f\"{u}r geschlossene $d$-Mannigfaltigkeiten sind die Sph\"{a}ren $S^d$. Wir zeigen in \eref{KlED}{TM}, da"s jede geschlossene $1$-Mannigfaltigkeit hom\"{o}omorph ist zu einer endlichen disjunkten Vereinigung von Kopien von $S^1$. Eine geschlossene $2$-Mannig\-faltigkeit nennen wir auch eine \defind{geschlossene Fl\"{a}che}. Beipiele f\"{u}r geschlossene Fl\"{a}chen sind die Kugelschale $S^{2}$, der Torus $S^{1}\times S^{1}$, oder auch die Oberfl\"{a}che einer massiven Acht, die hom\"{o}omorph ist zur Oberfl\"{a}che einer dickwandigen Suppentasse mit zwei Henkeln. Ein etwas komplizierteres Beispiel f\"{u}r eine geschlossene Fl\"{a}che ist die sogenannte \defind{Klein'sche Flasche}, die man erh\"{a}lt, indem man bei einer Flasche den Flaschenhals langzieht, umbiegt, ihn von aussen unter Durchdringung der Flaschenwand ins Innere der Flasche schiebt, dann ein kreisrundes Loch in den Boden der Flasche schneidet, und schlie"slich die Flaschen\"{o}ffnung in das Loch unten am Boden einklebt. Genauer erh\"{a}lt man so in der Anschauung noch keine geschlossene Fl\"{a}che in unserem Sinne, da sich unsere Fl\"{a}che selbst \"{u}berschneidet an der Stelle, an der der Flaschenhals in die Flasche eindringt. In der vierten Dimension jedoch kann man diese Selbst\"{u}berschneidung vermeiden. Stellen wir uns dazu die vierte Koordinate als Farbe vor und malen unsere Flasche changierend so an, da"s der Flaschenhals und der Flaschenboden rot, der Flaschenk\"{o}rper aber blau sind. Dann ist klar, da"s unsere Fl\"{a}che ohne Selbst\"{u}berschneidung im vierdimensionalen Raum liegt, und das ist dann wirklich unsere Klein'sche Flasche. Die Klein'sche Flasche ist nicht hom\"{o}omorph zu einer Teilmenge des $\DR^{3}$, wie wir in \ref{ENOr} beweisen werden. Im folgenden Satz brauchen wir noch das ber\"{u}hmte M\"{o}biusband, das man erh\"{a}lt, wenn man einen Papierstreifen einmal verdrillt zu einem Ring verklebt. Der Rand des M\"{o}biusbandes ist eine einzige geschlossene Kreislinie. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Klassifikation der geschlossenen Fl\"{a}chen}] Jede zusam\-men\-h\"{a}ng\-ende geschlossene Fl\"{a}\-che ist ho\-m\"{o}\-o\-morph zu genau\label{KFL} einer der im folgenden beschriebenen Fl\"{a}chen: \begin{itemize} \item Man nehme die Kugelschale $S^{2}$, schneide in diese $2g$ kreisrunde L"ocher hinein und verbinde diese L"ocher paarweise durch $g$ hohle Henkel. F"ur $g=0,1,2,\ldots$ liefert das jeweils eine Fl"ache, die \emph{\bf orientierbare Fl\"{a}che vom Geschlecht $g$};\index{orientierbar!Fl"ache}\index{Geschlecht} \index{Fl"ache!orientierbare} \item Man nehme die Kugelschale $S^{2}$, schneide in diese $g$ kreisrunde L\"{o}cher hinein und klebe M\"{o}biusb\"{a}nder in diese L\"{o}cher ein. F"ur $g=1,2,\ldots$ liefert das jeweils eine Fl"ache, die \emph{\bf nichtorientierbare Fl"ache vom Geschlecht $g$}\index{Fl"ache!nichtorientierbare}. \end{itemize} \end{Satz} %\noindent \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHGE}\\[4mm] \noindent Eine orientierbare kompakte Fl"ache vom Geschlecht zwei \end{figure} \begin{Bemerkungl} Die orientierbaren Fl\"{a}chen vom Geschlecht $g=0,1,2$ sind die Kugelschale, der Torus und die Oberfl\"{a}che einer Kaffeetasse mit zwei Henkeln oder auch eines Abseilachters, wie ihn Bergsteiger verwenden. Die nichtorientierbaren Fl\"{a}chen vom Geschlecht $g=1,2$ sind die reelle projektive Ebene $\Bbb{P}^{2}\Bbb{R}$ aus \eref{PRa}{TM} und die Klein'sche Flasche. Die nicht orientierbaren Fl\"{a}chen zeichnen sich dadurch aus, da\ss\ man bei einem Rundweg als Spazier\-g\"{a}n\-ger auf der Fl\"{a}che unter Umst\"{a}nden \glqq mit dem Kopf nach unten\grqq\ wieder am Ausgangspunkt ankommt. Statt des Einklebens von M"obiusb"andern mag man sich gleichbedeutend auch das Ankleben sogenannter \glqq Kreuzhauben\grqq\ vorstellen, wie sie auf Seite \pageref{KrH} vorgestellt werden. Zum Nachdenken hier noch eine Frage: Welche Fl\"{a}che unserer Liste erh\"{a}lt man, wenn man an die Klein'sche Flasche einen Henkel anklebt? Die Antwort liefert die \glqq Henkelelimination\grqq\ im Beweis des Klassifikationssatzes \ref{KlFF}: Wir erhalten die nichtorientierbare Fl"ache vom Geschlecht $4$. Jetzt gilt es aber zun"achst, einen pr"azisen und effektiven Begriffsapparat f"ur die Behandlung derartiger Fragestellungen aufzubauen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} L"a"st man aus der Kugelschale $S^n$ f"ur $n\geq 0$ einen Punkt weg, so entsteht ein zu $\DR^n$ hom"oomorpher Raum. Hinweis: Stereographische Projektion. \end{Ubung} \subsection{Definition der Fundamentalgruppe} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s wir einen Weg in einem topologischen Raum in \eref{Weg}{AN1} definiert hatten als eine stetige Abbildung eines mehrpunktigen kompakten reellen Intervalls in besagten Raum. Ist unser Intervall das Einheitsintervall $[0,1]$, so reden wir von einem {\bf normierten Weg} oder einfach von einem {\bf Weg} in der Hoffnung, da"s aus dem Kontext heraus klar wird, was gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DHWw}%\label{DHW} Seien $X$ ein topologischer Raum und $x,y \in X$ Punkte. Die Menge aller normierten Wege von $x$ nach $y$ bezeichnen wir mit \index{OZZ@$\Omega (X,x,y)$ Menge von Wegen} $$ \Omega (X,x,y) \pdef \{\al : [0,1] \ra X \mid\al \mbox { ist stetig, } \al (0) = x,\; \al (1) = y \}$$ F\"{u}r zwei Wege $\al \in \Omega (X,x,y)$ und $\gamma \in \Omega (X,y,z)$, von denen der eine da aufh"ort wo der andere anf"angt, erkl"aren wir ihre {\bf Verkn\"{u}pfung}\index{Verkn"upfung!von Wegen} oder auch {\bf Aneinanderh"angung}\index{Aneinanderh"angung!von Wegen} $\gamma \ast \al \in \Omega (X,x,z)$ durch $$\begin{array}{ccl} (\gamma \ast \al)(t)&\pdef&\left\{\begin{array}{ll}\al (2t)& 0\leq t\leq 1/2;\\ \gamma (2t-1)& 1/2\leq t \leq 1.\end{array}\right. \end{array}$$\end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $\gamma \ast \al$ ist stetig nach %\eref{AbgSM}{AN1} oder \eref{affM}{TM}, da es eine "Uberdeckung ihres Definitionsbereichs durch zwei abgeschlossene Mengen gibt derart, da"s die Restriktion darauf jeweils stetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Anschaulich gesprochen entsteht der Weg $\gamma \ast \al$ dadurch, da"s wir erst den Weg $\al$ und dann den Weg $\gamma$ jeweils mit doppelter Geschwindigkeit durchlaufen, so da"s wir insgesamt wieder einen normierten alias durch das Einheitsintervall parametrisierten Weg erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir erkl"aren f"ur $x\in X$ den {\bf konstanten Weg}\index{konstant!Weg}\index{Weg!konstanter} $\varepsilon_x\in \Omega (X,x,x)$ durch $\varepsilon_x(t)=x\;\forall t\in [0,1]$. Wir erkl"aren zu jedem Weg $\al\in \Omega (X,x,y)$ den {\bf umgekehrten Weg}\index{Weg!umgekehrter}\index{umgekehrt!Weg} $\bar{\al}\in\Omega (X,y,x)$ durch die Vorschrift $\bar{\al} (t)\pdef \al (1-t)$. Ein Weg, bei dem Anfangs- und Endpunkt zusammenfallen, hei"st {\bf geschlossen}.\index{geschlossen!Weg} \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DHW} Seien $x,y$ Punkte eines topologischen Raums $X$. Zwei Wege $\al,\beta$ von $x$ nach $y$ hei"sen {\bf homotop}\index{homotop!mit festen Randpunkten} oder pr"aziser {\bf homotop mit festen Randpunkten} und wir schreiben $\al\simeq\beta$, wenn es eine stetige Abbildung $$h:[0,1]^2\ra X$$ des Einheitsquadrats in unseren Raum gibt, die auf der Unter- beziehungsweise Oberkante unseres Quadrats mit $\al$ beziehungsweise $\beta$ "ubereinstimmt und die auf der Vorder- und der Hinterkante konstant ist. In Formeln ausgedr"uckt fordern wir also $ h (t,0) = \al (t)$ und $ h (t,1) = \beta (t) $ f"ur alle $ t \in [0,1]$ sowie $ h(0,\tau)=x$ und $h(1,\tau)=y$ f"ur alle $ \tau \in [0,1]$. Wir schreiben unter diesen Umst"anden auch kurz $$h:\al\simeq\beta$$ \end{Definition} \begin{Definition}Ein geschlossener Weg hei"st {\bf zusammenziehbar},\index{zusammenziehbar!Weg} wenn er homotop ist zu einem konstanten Weg. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Vielleicht anschaulicher kann man Homotopie von Wegen dahingehend interpretieren, da"s es eine durch $\tau\in [0,1]$ parametrisierte Familie $h_\tau$ von normierten Wegen von $x$ nach $y$ geben soll derart, da"s gilt $h_0=\alpha$, $h_1=\beta$ und da"s unsere Familie stetig von $\tau$ abh"angt in dem Sinne, da"s die Abbildung $[0,1]^2\ra X$, $(t,\tau)\mapsto h_\tau(t)$ stetig ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Konvexit"at impliziert Homotopie von Wegen}] Gegeben $X \subset \DR^{n}$ konvex und $x,y \in X$ sind je zwei Wege $\al,\beta \in \Omega (X,x,y)$ homotop\label{Konvex} vermittels $h(t,\tau) =(1-\tau) \al (t) + \tau\beta (t)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Bilder homotoper Wege sind homotop}] Ist genauer eine Abbildung $f:X\ra Y$ stetig,\label{BH} so folgt aus $h:\al\simeq\beta$ schon $f\circ h:f\circ \al\simeq f\circ \beta$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Umparametrisierungen liefern homotope Wege}] Ein Weg ist homotop zu jeder seiner Umparametrisierungen. Ist genauer $v:[0,1]\ra [0,1]$ stetig mit\label{UmPar} $v(0)=0$ und $v(1)=1$ und ist $\gamma:[0,1]\ra X$ ein Weg, so folgt $\gamma\simeq \gamma\circ v$. In der Tat finden wir erst $\op{id}\simeq v$ mit \ref{Konvex}, da das eben beides Wege in der konvexen Teilmenge $[0,1]\subset\DR$ sind, und dann $\gamma\circ \op{id}\simeq \gamma\circ v$, da nach \ref{BH} Bilder homotoper Wege homotop sind. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Homotopie ist eine "Aquivalenzrelation}] F"ur jeden topologischen Raum $X$ und beliebige Punkte $x,y \in X$ ist Homotopie eine \"{A}quivalenzrelation auf\label{HAQq} der Menge $\Omega (X,x,y)$ aller Wege von $x$ nach $y$. \end{Lemma} \begin{proof} Wir m"ussen zeigen, da"s gilt erstens $\al \simeq \al$, zweitens $\al \simeq \beta\RA\beta \simeq \al$, und da"s drittens aus $\al \simeq \beta$ und $\beta \simeq \gamma$ folgt $\al \simeq \gamma$. Wir \"{u}berlassen dem Leser den Beweis der beiden ersten Aussagen und zeigen nur die letzte Aussage. Seien also $h:\al \simeq \beta$ und $g:\beta \simeq \gamma$ Homotopien. Wir definieren $f: [0,1]^2 \ra X$ durch $$f(t,\tau) =\left\{ \begin{array}{ll} h(t,2\tau)& 0\leq \tau\leq 1/2;\\ g(t,2\tau - 1)& 1/2\leq\tau\leq 1. \end{array}\right.$$ Dann ist in der Tat die Abbildung $f$ stetig, denn ihre Restriktionen auf die abgeschlossenen Teilmengen $[0,1]\times [0,1/2]$ und $[0,1]\times [1/2,1]$ des Einheitsquadrats sind es und wir k\"{o}nnen \eref{affM}{TM} %\eref{AbgSM}{AN1} anwenden. Nach Konstruktion ist aber nun $f$ eine Homotopie $f:\al\simeq \gamma$. \end{proof} \begin{Definition} "Aquivalenzklassen von Wegen unter der "Aquivalenzrelation der Homotopie nennen wir {\bf Homotopieklassen von Wegen}. Die Menge aller Homotopieklassen von Wegen von einem Punkt $x$ zu einem Punkt $y$ in einem Raum $X$ notieren wir $\pi_1 (X,x,y)$.\index{p@$\pi_1 (X,x,y)$ Homotopieklassen von Wegen} In Formeln setzen wir also $$\pi_1 (X,x,y)\pdef\Omega (X,x,y)/\!\simeq$$ Die Homotopieklasse eines Weges $\alpha$ notieren wir $[\alpha]$. \end{Definition} \begin{Definition} Ein \defind{bepunkteter Raum} $(X,x)$ ist ein topologischer Raum $X$ mit einem ausgezeichneten Punkt $x \in X$, seinem \defind{Basispunkt}. F"ur einen bepunkteten Raum $(X,x)$ vereinbaren wir die Abk"urzungen $\Omega (X,x)\pdef \Omega (X,x,x)$ f"ur die Menge aller Wege mit unserem ausgezeichneten Punkt $x$ als Anfangs- und Endpunkt sowie $\pi_1 (X,x)\pdef \pi_1 (X,x,x)$ f"ur die Menge aller Homotopieklassen derartiger Wege. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur nennt man einen bepunkteten Raum auch h"aufig einen \glqq punktierten Raum\grqq.\index{punktierter Raum} Ich ziehe es vor, von einem bepunkteten Raum zu reden, da man wieder an anderer Stelle unter einer \glqq punktierten Ebene\grqq\ oder einer \glqq punktierten Kreisscheibe\grqq\ f"ur gew"ohnlich das Komplement eines Punktes in der Ebene oder das Komplement des Ursprungs in der Kreisscheibe versteht. Auf Englisch wird unterschieden zwischen \glqq pointed space\grqq\ und \glqq punctured plane\grqq\ oder auch \glqq punctured disc\grqq. Ich vermute sorglose "Ubersetzung als Grund f"ur die unklare Terminologie im Deutschen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Versehen wir die Menge $\Omega (X,x,y)$ mit der kompakt-offenen Topologie \eref{KOT}{TM} und setzen $h(t,\tau) = h_{\tau}(t)$,\label{WKZu} so ist $h$ nach dem Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} stetig genau dann, wenn die Abbildung $[0,1]\ra \Omega (X,x,y)$, $\tau \mapsto h_{\tau}$ stetig ist. Mit dieser Topologie hei"st $\Omega (X,x,y)$ ein \defind{Wegeraum} und zwei Wege sind homotop genau dann, wenn sie zur selben Wegzusammenhangskomponente des Wegeraums geh"oren. Speziell hei"st $\Omega (X,x)$ ein \defind{Schleifenraum} und $\pi_1(X,x)$ ist die Menge der Wegzusammenhangskomponenten des Schleifenraums. Notieren wir $\pi_0(X)$\index{p@$\pi_0$ Wegzusammenhangskomponenten!als Menge} die Menge der Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raums $X$, so haben wir demnach in Formeln $\pi_1(X,x)=\pi_0(\Omega(X,x))$ und Lemma \ref{HAQq} erweist sich als Spezialfall der allgemeinen Erkenntnis \eref{wvw}{TM}, da"s auf jedem topologischen Raum die Wegverbindbarkeit eine "Aquivalenzrelation ist. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Funda\-men\-tal\-gruppe}] Gegeben ein bepunkteter Raum $(X,x)$ induziert das Verkn\"{u}pfen von Wegen eine Verkn\"{u}pfung auf der Menge $\pi_1(X,x)$ aller Homotopieklassen von Wegen von $x$ nach $x$ und mit dieser Verkn\"{u}pfung wird diese Menge eine Gruppe, die \emph{\bf Funda\-men\-tal\-gruppe\index{Fundamentalgruppe} unseres bepunkteten Raums}\index{p@$\pi_1(X,x)$ Fundamentalgruppe} $$\pi_1(X,x)$$\end{Satz} \begin{Beispiel} Ist $X\subset \DR^n$ eine konvexe Teilmenge, so ist die Fundamentalgruppe von $X$ nach \ref{Konvex} f\"{u}r jeden Basispunkt $x\in X$ trivial. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Die beiden ersten Aussagen des anschlie"senden Lemmas \ref{VKN} sagen uns, da"s die Homotopieklasse der Verkn\"{u}pfung von zwei Wegen nur von den Homotopieklassen der verkn\"{u}pften Wege abh\"{a}ngt. Die weiteren Aussagen liefern das neutrale Element, die Inversen und das Assoziativgesetz. \end{proof} \begin{Lemma} Wann immer die folgenden Verkn\"{u}pfungen von Wegen in einem topologischen Raum $X$ sinnvoll sind in dem Sinne, da"s der eine aufh"ort wo der andere anf"angt,\label{VKN} gilt: \begin{enumerate} \item $\al\simeq \al^{\prime}\Rightarrow \al \ast\beta \simeq \al^{\prime}\ast\beta$ \item $\beta\simeq \beta^{\prime} \Rightarrow \al \ast\beta \simeq \al \ast\beta^{\prime}$ \item $\varepsilon\ast\al\simeq\al\simeq\al\ast\varepsilon$ \item $\al\ast\bar{\al}\simeq\varepsilon$, $\bar{\al}\ast\al\simeq\varepsilon$ \item $\overline{({\al}\ast{\beta})}=\bar{\beta}\ast\bar{\al}$ \item $(\al\ast\beta) \ast\gamma\simeq\al\ast (\beta\ast\gamma)$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen nur beispielhaft die letzte Behauptung. Sicher gilt $$\al\ast (\beta\ast\gamma)=((\al\ast\beta) \ast\gamma)\circ v$$ f"ur eine stetige Umparametrisierung alias eine stetige Abbildung $v:[0,1]\ra [0,1]$ mit $v(0)=0$ und $v(1)=1$. Da nach \ref{UmPar} ein Weg homotop ist zu allen seinen derartigen Umparametrisierungen, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein topologischer Raum hei"st {\bf schleifenf"ullend}\index{schleifenf"ullend}, wenn jeder geschlossene Weg in unserem Raum zusammenziehbar ist. Er hei"st {\bf einfach wegzusammenh"angend}\index{einfach!wegzusammenh"angend},\label{ewzz} wenn\index{wegzusammenh"angend!einfach} er wegzusammenh"angend und schleifenf"ullend ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kriterium f"ur schleifenf"ullende R"aume}] Kann ein topologischer Raum "uberdeckt werden durch zwei schleifenf"ullende offene Teilmengen mit wegzusammenh"angendem Schnitt, so ist er bereits selbst schleifenf"ullend.\label{CK} \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Das Resultat wird sich sp"ater als ein Spezialfall des Satzes von Seifert-van Kampen \ref{SvK} erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Sei $X=U\cup V$ unser Raum mit seiner "Uberdeckung. Nach "Ubung \ref{EFZZ} reicht es zu zeigen, da"s $\pi_1(X,x)$ f"ur $x\in U\cap V$ trivial ist. Sei dazu $\gamma\in\Omega(X,x)$ ein geschlossener Weg. Nach dem \"{U}berdeckungssatz von Lebesgue \eref{UbLq}{TM} gibt es eine Unterteilung des Einheitsintervalls $0=a_00$ % den Teilraum $\langle I\rangle_\DR$ nicht trifft. % \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{KoFun} Sei $G$ ein topologischer Raum mit einer stetigen Verkn"upfung $G\times G\ra G$ und sei $e\in G$ ein neutrales Element. Man zeige, da"s unter diesen Annahmen die Fundamentalgruppe $\pi_1(G,e)$ kommutativ ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge} [\textbf{Endlich erzeugte Fundamentalgruppen}] Man zeige: Die Fundamentalgruppe einer bepunkteten kompakten Mannigfaltigkeit ist stets endlich erzeugt.\label{EEFG} Hinweis: Bezeichne $B= \{v \in \DR^{n} \mid \| v \| <1\}$ den $1$-Ball um den Ursprung und $\bar{B}= \{v \in \DR^{n} \mid \| v \| \leq 1\}$ seinen Abschlu"s. F"ur unsere Mannigfaltigkeit $X$ w"ahle man stetige Karten $\varphi_{1}, \ldots , \varphi_{r} : \DR^{n} \ra X$ derart, da"s die $\varphi_{i}(B)$ schon $X$ "uberdecken. F"ur jedes Paar von Indizes $i,j$ mit $i\neq j$ w"ahle man eine endliche "Uberdeckung des Schnitts $\varphi_{i} (\bar{B}) \cap \varphi_{j}(\bar{B})$ durch zusammenh"angende offene Teilmengen $U_{ij}^{\nu}$ von $\varphi_{i} (\DR^{n}) \cap \varphi_{j}(\DR^{n})$. F"ur jedes $\nu$ w"ahle man einen Weg $\gamma^{\nu}_{ij}$ von $\varphi_{j}(0)$ nach $\varphi_{i} (0)$, der erst innerhalb von $\varphi_{j} (\DR^{n})$ nach $U^{\nu}_{ij}$ l"auft und dann innerhalb von $\varphi_{i}(\DR^{n})$ nach $\varphi_{i}(0)$. Seien $\beta_{i}$ Wege von $p\pdef\varphi_{1}(0)$ nach $\varphi_{i}(0)$ mit der einzigen Einschr"ankung, da"s $\beta_{1}$ der konstante Weg sein soll. So erzeugen die Verkn"upfungen $\bar{\beta}_{i}\ast \gamma^{\nu}_{ij} \ast \beta_{j}$ die Fundamentalgruppe $\pi_{1}(X, p)$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} [\textbf{Abz"ahlbare Fundamentalgruppen}] Man zeige: Die Fundamentalgruppe einer bepunkteten abz"ahlbar basierten Mannigfaltigkeit ist stets abz"ahlbar.\label{AFGR} Hinweis: Man orientiere sich an den Hinweisen zur vorhergehenden "Ubung \ref{EEFG}. \end{Ubunge} \subsection{Fundamentalgruppe der Kreislinie}\label{FdK} \begin{Satz}[\defind{Fundamentalgruppe der Kreislinie}] Die Fundamental\-grup\-pe der Kreislinie $S^{1}\pdef \{z\in\DC\mid |z|=1\}$ ist isomorph zur additiven Gruppe der\label{FuK} ganzen Zahlen. Genauer ist die Abbildung, die jeder ganzen Zahl $n\in\DZ$ die Homotopieklasse des Weges $[0,1]\ra S^1$, $t\mapsto \op{exp}(2\pi {\op{i}} nt)$ zuordnet, ein Isomorphismus $$\begin{array}{cccl} {\op{wind}}:&\DZ&\sira&\pi_1(S^1,1)\\[1mm] &n&\mapsto&[t\mapsto \op{exp}(2\pi {\op{i}} nt)] \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{DU} Unter der {\bf Umlaufzahl}\index{Umlaufzahl!eines Weges!auf der Kreislinie} eines Weges $\gamma\in\Omega(S^1,1)$ versteht man das Urbild seiner Homotopieklasse $[\gamma]$ unter diesem Isomorphismus. In anderen Worten ist also die Umlaufzahl von $\gamma$ diejenige ganze Zahl $n\in\DZ$, f"ur die $\gamma$ homotop ist zum Weg $t\mapsto \op{exp}(2\pi {\op{i}} nt)$. % Genau genommen hatten wir eigentlich % $S^1=\{v\in\DR^2\mid \| v\|=1\}$ vereinbart. % Hier gehen wir implizit von der Identifikation % $\DR^2\sira \DC$, $ (a,b)\mapsto a+b{{\op{i}}}$ aus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Arbeiten wir mit einem K"orper $\DC$ von vergesslichen komplexen Zahlen im Sinne von \rref{vDC}{LA1}, so liefert uns die obige Konstruk\-tion einen kanonischen Isomorphismus $2\pi{\op{i}}\DZ\sira \pi_1(S^1,1)$, der jedem $a\in \op{ker}(\op{exp})=2\pi{\op{i}}\DZ$ eben den normierten Weg $t\mapsto \op{exp}(ta)$ zuordnet. Man notiert diese Gruppe auch $\DZ(1)=\DZ_\DC(1)\pdef \op{ker}(\op{exp})$\index{Z@$\DZ(1)$ Tate-Twist von $\DZ$} und nennt sie den {\bf Tate-Twist von $\DZ$}.\index{Tate-Twist von $\DZ$} \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Zur Vereinfachung betrachten wir die Abbildung\index{Exp@$\op{Exp}(t)\pdef\op{exp}(2\pi {{\op{i}}} t)$} $$\begin{array}{lccl} \op{Exp} :&\DR &\ra& S^{1}\\ &t&\mapsto & \op{cos}(2\pi t) + {{\op{i}}}\op{sin}(2\pi t) \end{array}$$ Mit der Euler'schen Formel k"onnen wir auch schreiben $\op{Exp}(t)= \op{exp}(2\pi {{\op{i}}} t)$. Das erkl"art erstens unsere Notation und zweitens sieht man so leichter, da"s $\op{Exp}$ ein Gruppenhomomorphismus ist von der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der komplexen Zahlen der L"ange $1$. Anschaulich wickelt $\op{Exp}$ die reelle Gerade auf die Kreislinie auf und aufgrund des Faktors $2\pi $ haben wir $\op{Exp}^{-1}(1)=\DZ$. In dieser Notation erh"alt die Abbildungsvorschrift aus unserem Satz die Gestalt $$\op{wind}:n\;\mapsto\;[t\mapsto \op{Exp}( nt)]$$ Als erstes zeigen wir nun, da"s sie einen Gruppenhomomorphismus definiert. Gegeben $m,n\in\DZ$ bezeichnen wir mit $(m+n\cdot)$ den normierten Weg $t\mapsto m+nt$ aus $\Omega(\DR,m,m+n)$. Da je zwei Wege in $\DR$ mit denselben Endpunkten homotop sind, haben wir $$(n+m\cdot)\ast (n\cdot)\simeq ((m+n)\cdot)$$ Diese Homotopie bleibt bestehen, wenn wir beide Seiten mit $\op{Exp}$ verkn"upfen. Dies $\op{Exp}$ d"urfen wir dann auf die beiden Faktoren des $\ast$-Produkts verteilen und wegen $\op{Exp}\circ (n+m\cdot)=\op{Exp}\circ (m\cdot)$ erkennen wir, da"s unsere Abbildungsvorschrift $\op{wind}: n\mapsto[\op{Exp}\circ (n\cdot)]$ in der Tat einen Gruppenhomomorphismus liefert. Um zu zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist, konstruieren wir eine inverse Abbildung. Der erste Schritt dazu ist die folgende Definition. \begin{Definition} Gegeben $Y$ ein topologischer Raum und $f:Y\ra S^1$ eine stetige Abbildung hei"st eine stetige Abbildung $\tilde{f}:Y\ra\DR$ mit $\op{Exp} \circ \tilde{f}=f$ ein \defind{Lift} oder eine \defind{Hochhebung} von $f$. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Eindeutigkeit von Lifts}] Seien $Y$ zusammenh"angend, $f:Y\ra S^1$ eine stetige Abbildung und $\tilde{f},\hat{f}:Y\ra\DR$ zwei Lifts von $f$. So gibt es $k\in \DZ$ mit $\hat{f} (y)=\tilde{f} (y)+ k$ f\"{u}r alle $y \in Y$.\label{Eil} \end{Lemma} \begin{proof} Sicher gilt $\op{Exp}(\tilde{f}(y)-\hat{f}(y))=1$, also $\tilde{f}(y)-\hat{f}(y)\in\DZ$ f\"{u}r alle $y\in Y$. Ist nun $Y$ zusammenh\"{a}ngend, so mu"s $\tilde{f}(y)-\hat{f}(y)$ nach \eref{ZK}{ML} konstant sein. \end{proof} \begin{Lemma}\label{WL} Jede stetige Abbildung $f:[0,1]\ra S^{1}$ besitzt einen Lift. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Unser $\op{Exp}$ liefert Hom\"{o}\-o\-mor\-phis\-men $\op{Exp}_{x}: (x,x+1)\sira S^{1}\backslash\op{Exp} (x)$ f\"{u}r alle $x\in\DR$, siehe "Ubung \eref{ExpH}{ML}. Ist also $f$ nicht surjektiv, liegt sagen wir $\op{Exp} (x)$ nicht in seinem Bild, so ist $\op{Exp}^{-1}_{x} \circ f = \tilde{f}$ ein Lift und wir sind fertig. Weil nun $f$ gleichm\"{a}"sig stetig ist, finden wir $0=a_{0}0}$ und der Eigenschaft, da"s es $a\in (0,1)$ gibt mit $\gamma(a)\in \DR_{<0}$ und $\op{Im}(\gamma(t))\geq 0\;\forall t\in [0,a]$ und $\op{Im}(\gamma(t))\leq 0\;\forall t\in [a,1]$, hat die Umlaufzahl Eins um den Ursprung. \end{Ubung} \subsection{Anwendungen und Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Retraktionen einer Kreisscheibe auf ihren Rand}] Es gibt keine stetige Abbildung\label{unRR} von einer abgeschlossenen Kreisscheibe auf ihren Randkreis, deren Einschr"ankung auf besagten Randkreis die Identit\"{a}t ist. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist $X\supset A$ ein topologischer Raum mit einer Teilmenge, so versteht man ganz allgemein unter einer {\bf Retraktion von $X$ auf $A$}\index{Retraktion} eine stetige Abbildung $r:X\ra A$ mit $r(a)=a$ f"ur alle $a\in A$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $D=\{z\in\DR^2\mid \|z\| \leq 1\}$ die abgeschlossene Einheitskreisscheibe und $S^{1}=\{z\in\DR^2\mid \|z\| = 1\}$ ihren Randkreis. Wir f\"{u}hren den Beweis durch Widerspruch und nehmen an, es g\"{a}be solch eine stetige Abbildung $r:D\ra S^{1}$ mit $r(z) =z$ f\"{u}r alle $z\in S^1$. Bezeichne $i: S^{1} \hookrightarrow D$ die Einbettung. Wir h\"{a}tten also ein kommutatives Diagramm von topologischen R\"{a}umen \begin{displaymath} \xymatrix{ S^1 \ar[r]^i\ar[dr]_{\op{id}} &D \ar[d]^r\\ &S^1 } \end{displaymath} und erhielten nach \ref{FuFu} mit $\pi_1$ ein kommutatives Diagramm von Gruppen \begin{displaymath} \xymatrix{ \pi_1(S^{1},1)\ar^{i_\sharp}[r]\ar[dr]_{\op{id}} &\pi_1 (D,1)\ar^{r_\sharp}[d]\\ &\pi_1 (S^{1},1) } \end{displaymath} Das ist aber unm\"{o}glich, da ja gilt $\pi_1 (D,1) \cong 1$ nach \ref{Konvex} und $\pi_1(S^{1},1)\cong \DZ$ nach \ref{FuK}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Fixpunktsatz von Brouwer f"ur die Kreisscheibe}]\index{Brouwer, Fixpunktsatz!f"ur die Kreisscheibe} \index{Fixpunktsatz von Brouwer!f"ur die Kreisscheibe} Jede stetige Abbildung von der abgeschlossenen Einheitskreisscheibe in sich selbst hat einen Fixpunkt.\label{FB2} \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFPB}\\[4mm]%war BildFSB \noindent Die Retraktion $r$ aus dem Beweis des Fixpunktsatzes von Brouwer \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Sei $f: D \ra D$ unsere stetige Selbstabbildung der Einheitskreisscheibe $D$. W\"{a}re $f:D\ra D$ stetig mit $f(x)\neq x$ f\"{u}r alle $x\in D$, so k\"{o}nnten wir eine Abbildung $r:D\ra S^{1}$ der Einheitskreisscheibe auf ihren Rand $S^{1}$ definieren durch die Vorschrift, da"s sie jedem $x\in D$ denjenigen Punkt $r(x)\in S^1$ zuordnet, \glqq in dem der Strahl, der in $f(x)$ beginnt und durch $x$ l\"{a}uft, die Kreislinie $S^1$ trifft\grqq. Offensichtlich w\"{a}re $r$ stetig und $r(z) =z$ f\"{u}r alle $z\in{S^{1}}$, als da hei"st, $r$ w"are eine Rektraktion der Kreisscheibe auf ihren Rand, im Widerspruch zum vorhergehenden Satz \ref{unRR}. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %Einf\"{u}gung *1 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Satz} [\textbf{vom Igel}]\index{Igel, Satz vom} Es gibt keine stetige Selbstabbbildung der Kugelschale $\kappa : S^{2} \ra S^{2}$ derart, da"s $\kappa (x)$ senkrecht steht auf $x$ f\"{u}r alle $x \in S^{2}$.\label{SavI} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Man stelle sich vor, die Abbildung $\kappa$ ordne jedem Punkt $x$ auf der Au"senfl"ache eines kugelf"ormig zusammengerollten Igels die Richtung $\kappa (x)$ des dort entspringenden Stachels zu. Diese Vorstellung mag auf bei Nachvollziehen des anschlie"senden Beweises hilfreich sein. Die Bedingung \glqq $\kappa (x)$ steht senkrecht auf $x$\grqq\ bedeutet, da"s die Stacheln flach anliegen m\"{u}ssen, und unser Satz sagt, da"s sich ein Igel nicht \glqq wirbelfrei k\"{a}mmen l\"{a}"st\grqq. Man beachte jedoch, da"s sich ein \glqq Igel von der Form eines Rettungsrings\grqq\ durchaus wirbelfrei k\"{a}mmen l\"{a}"st. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Einen eleganteren Beweis einer allgemeineren Aussage werden wir mit singul"arer Homologie in \eref{VaSp}{TS} geben k"onnen. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen das durch Widerspruch und nehmen also an, es g\"{a}be so eine K\"{a}mmung $\kappa$. Bezeichne $S^{2}_{+}$ beziehungsweise $S^{2}_{-}$ die n\"{o}rdliche beziehungsweise s\"{u}dliche abgeschlossene Hemisph\"{a}re und $S^{1}=S^{2}_{+}\cap S^{2}_{-}$ den \"{A}quator. F\"{u}r $p \in S^{2}_{+}$ bezeichne $R^{+}_{p}$ die Rotation mit Rotationsachse in der \"{A}quatorebene, die $p$ auf den Nordpol $(0,0,1)$ dreht. Dann ist $p\mapsto R^{+}_{p} (\kappa(p))$ eine stetige Abbildung $\kappa_{+} : S^{2}_{+} \ra S^{1}$. Analog definieren wir $\kappa_{-} : S^{2}_{-}\ra S^{1}$. Offensichtlich gilt f\"{u}r alle $p$ auf dem \"{A}quator $p\in S^{1}$ die Beziehung $$\kappa_{+} (p) = s_{p}(\kappa_{-}(p)),$$ mit $s_{p}:S^{1} \ra S^{1}$ der Spiegelung an der zu $p$ senkrechten Geraden in der \"{A}quatorebene, die also $p$ auf $-p$ abbildet. Fassen wir $S^{1}\subset \DC$ auf als die komplexen Zahlen der L\"{a}nge $1$, so wird die Abbildung $s :S^{1}\times S^{1} \ra S^{1}$, $(p,x) \mapsto s_{p} (x)$ beschrieben durch die Formel $(p,x)\mapsto -p^{2}x^{-1}$. Wir erhalten also $$-\kappa_{+} (p) \kappa_{-}(p)= p^2\;\;\forall p\in S^1$$ Das ist aber unm\"{o}glich, denn $p\mapsto p^{2}$ induziert auf $\pi_1(S^1,1)$ nach \ref{popo} die Multiplikation mit $2$, wohingegen die linke Seite auf $\pi_1(S^1,1)$ eine konstante Abbildung liefert: In der Tat l\"{a}"st sich die stetige Abbildung $S^1\ra S^1$, $p\mapsto -\kappa_{+} (p) \kappa_{-}(p)$ ja faktorisieren in $$S^1\overset{\Delta}{\lra} (S^2_+\times S^2_-)\overset{\kappa_+ \times \kappa_{-}}{\longrightarrow} (S^1\times S^1)\overset{\operatorname{mult}}{\longrightarrow} S^{1}\overset{(-1)}{\lra} S^{1}$$ mit $\Delta(z)=(z,z)$. Die Fundamentalgruppe von $(S^2_+\times S^2_-)$ ist jedoch trivial, da dieser Raum hom\"{o}omorph ist zur konvexen Teilmenge $D\times D\subset\DR^4$. Dieser Widerspruch beendet den Beweis. \end{proof} % \begin{Satz}[\textbf{Die Fundamentalgruppe von einem Produkt}] % F\"{u}r zwei bepunktete R\"{a}ume $(X,x)$ und $(Y,y)$ induzieren % die beiden Projektionen $\op{pr}_{1}$ und $\op{pr}_{2}$ von $X\times Y$ auf % $X$ und $Y$ % einen Isomorphismus % $$(\pi_1(\op{pr}_{1}),\pi_1(\op{pr}_{2})):\pi_1 (X\times Y,(x,y)) % \sira \pi_1 (X,x)\times\pi_1 % (Y,y)$$ % \end{Satz} % \begin{proof}[Beweis] % Nach der universellen Eigenschaft der Produkttopologie haben wir % schon mal eine Bijektion % $$\begin{array}{ccc} % \Omega (X\times Y, (x,y)) &\lra& % \Omega (X,x) \times \Omega (Y,y)\\ % \al & \mapsto & (\op{pr}_{1}\circ \alpha, \op{pr}_{2} \circ \alpha), % \end{array}$$ % und ebenso nach der universellen Eigenschaft der Produkttopologie % definiert eine Abbildung $H:[0,1]\times[0,1]\ra X\times Y$ % eine Homotopie von Wegen $\al$ und $\beta$ % genau dann, wenn $\op{pr}_i\circ H$ eine % Homotopie von $\op{pr}_i\circ\al$ und % $\op{pr}_i\circ\beta$ definiert f\"{u}r $i=1,2$. % \end{proof} % \begin{Beispiel}\label{ReRi} % Der Rettungsring $S^1\times S^1$ hat also f\"{u}r jeden Basispunkt % die Fundamentalgruppe % $\DZ\times\DZ$. Anschaulich liefert ja auch jeder geschlossene % Weg auf dem Rettungsring zwei % Umlaufzahlen: % \glqq Wie oft der Weg um die Luftkammer l\"{a}uft\grqq\ und % \glqq Wie oft er um den hypothetischen Matrosen im Ring l\"{a}uft\grqq. % \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildIgel}\\[4mm] \noindent Satz vom Igel \includegraphics[height=0.3\textheight]{SkriptenBilder/BildTIgel}\\[4mm] \noindent Wirbelfreie K"ammung eines toroidalen Igels \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Jeder Mensch hat einen Haarwirbel}] Wir gehen dabei davon aus, da"s die Haare am Rand des Haarwuchses alle nach unten wachsen. Man zeige: Es gibt keine stetige Abbildung $\kappa: S^{2}_{+} \ra S^{2}$ von der oberen Hemisph"are in die Sph"are, die den "Aquator in die untere Hemisph"are abbildet und so, da"s $\kappa (x)$ senkrecht steht auf $x$ f"ur alle $x \in S^{2}_{+}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Die Fundamentalgruppe von einem Produkt}] Man zeige: F\"{u}r zwei bepunktete R\"{a}ume $(X,x)$ und $(Y,y)$ induzieren die beiden Projektionen $\op{pr}_{1}$ und $\op{pr}_{2}$ von $X\times Y$ auf $X$ und $Y$ einen Isomorphismus\label{ReRi} $$(\pi_1(\op{pr}_{1}),\pi_1(\op{pr}_{2}))^\top:\pi_1 (X\times Y,(x,y)) \sira \pi_1 (X,x)\times\pi_1 (Y,y)$$ und dessen Inverses wird gegeben durch $(\pi_1(\op{id}_{X},y),\pi_1(x,\op{id}_{Y}))$ mit der Notation $(\op{id}_{X},y)$ f"ur die Abbildung $X\ra X\times Y$ gegeben durch $x\mapsto (x,y)$. Der Rettungsring $S^1\times S^1$ hat also f\"{u}r jeden Basispunkt die Fundamentalgruppe $\DZ\times\DZ$. Anschaulich liefert ja auch jeder geschlossene Weg auf dem Rettungsring zwei Umlaufzahlen: \glqq Wie oft der Weg um die Luftkammer l\"{a}uft\grqq\ und \glqq Wie oft er um den hypothetischen Matrosen im Ring l\"{a}uft\grqq. \end{Ubung} % \begin{proof}[Beweis] % Nach der universellen Eigenschaft der Produkttopologie haben wir % schon mal eine Bijektion % $$\begin{array}{ccc} % \Omega (X\times Y, (x,y)) &\lra& % \Omega (X,x) \times \Omega (Y,y)\\ % \al & \mapsto & (\op{pr}_{1}\circ \alpha, \op{pr}_{2} \circ \alpha), % \end{array}$$ % und ebenso nach der universellen Eigenschaft der Produkttopologie % definiert eine Abbildung $H:[0,1]\times[0,1]\ra X\times Y$ % eine Homotopie von Wegen $\al$ und $\beta$ % genau dann, wenn $\op{pr}_i\circ H$ eine % Homotopie von $\op{pr}_i\circ\al$ und % $\op{pr}_i\circ\beta$ definiert f\"{u}r $i=1,2$. % \end{proof} \subsection{Homotopien zwischen stetigen Abbildungen} \begin{Definition} Seien $f,g :Y\ra X$ stetige Abbildungen. Eine {\bf Homotopie\index{Homotopie!von Abbildungen} von $f$ nach $g$} ist eine stetige Abbildung $$H:Y\times [0,1] \ra X$$ derart, da"s gilt $H(y,0)=f(y)$ und $H(y,1)=g(y)$ f\"{u}r alle $y\in Y$. Man sagt, die Abbildung $f$ sei {\bf homotop\index{homotop} zu} $g$ und schreibt $f\simeq g$, wenn es eine Homotopie von $f$ nach $g$ gibt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Dieser Begriff von Homotopie ist f\"{u}r Wege wesentlich verschieden von unserem Begriff aus \ref{DHW}, den wir deshalb genauer die {\bf Homotopie mit festen Randpunkten} genannt haben.\index{homotop!mit festen Randpunkten} Es gibt jedoch eine gemeinsame Verallgemeinerung, bei der man zus"atzlich eine Teilmenge $Z\subset Y$ festlegt und fordert, da"s $H(z,\tau)$ f"ur $z\in Z$ von $\tau$ unabh"angig sein soll. Zwei Abbildungen $f,g:Y\ra X$, die in dieser Weise homotop sind und die damit auf $Z$ "ubereinstimmen m"ussen, hei"sen {\bf homotop relativ zu $Z$}.\index{Homotopie!relative} F"ur $Y=[0,1]$ und\label{reHO} $Z=\{0,1\}$ erh"alt man dann unsere Homotopie mit festen Randpunkten als Spezialfall. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben topologische R"aume $X,Y$ ist die Relation $\simeq$ eine \"{A}quivalenzrelation auf der Menge $\op{Top} (X,Y)$ aller stetigen Abbildungen von $X$ nach $Y$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir "uberlassen den Nachweis der Symmetrie und Reflexivit"at dem Leser und zeigen nur die Transitivit\"{a}t $ (f\simeq g \mbox{ und } g\simeq h) \Rightarrow f\simeq h$. Gegeben Homotopien $F,G$ von $f$ nach $g$ beziehungsweise von $g$ nach $h$ erh"alt man eine Homotopie ${H}$ von $f$ nach $h$ durch \begin{equation*} \begin{array}[b]{ccl} {H} (x,\tau)&=&\left\{ \begin{array}{ll} F(x,2\tau)& 0\leq \tau \leq 1/2;\\ G(x,2\tau-1)& 1/2\leq\tau\leq 1.\end{array} \right. \end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Definition} Die \"{A}quivalenzklasse einer stetigen Abbildung $f$ unter der \"{A}quivalenzrelation der Homotopie bezeichnen wir mit $[f]$ und nennen sie die {\bf Homotopieklasse von $f$}.\index{Homotopieklasse} Gegeben topologische R"aume $X,Y$ verwenden wir die beiden Notationen $\op{hTop}(X,Y)=[X,Y]$\index{hTop@$\op{hTop}$ Homotopiekategorie!topologische} f"ur die Menge der Homotopieklassen von stetigen Abbildungen von $X$ nach $Y$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Bei dieser Notation ist Vorsicht geboten, denn f\"{u}r Wege $\al$ hat nun das Symbol $[\al]$ zwei verschiedene Bedeutungen. Im Zweifelsfall ist bei Wegen immer die Homotopieklasse von $\al$ unter Homotopie mit festen Randpunkten gemeint. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben $D\subset \DR^{n}$ eine konvexe Teilmenge und $Y$ ein beliebiger topologischer Raum sind je zwei stetige Abbildungen $f,g:Y\ra D$ homotop. In der Tat ist $H(y,\tau) = \tau f(y) + (1-\tau)g(y)$ eine Homotopie. \end{Beispiel} \begin{Proposition} Seien $f,g:Y\ra X$ stetige homotope Abbildungen, in Formeln $f\simeq g$.\label{vhkK} So gilt auch $h\circ f\simeq h\circ g$ f\"{u}r jede stetige Abbildung $h:X\ra Z$ und $f\circ h\simeq g\circ h$ f\"{u}r jede stetige Abbildung $h:Z\ra Y$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ist $H:Y\times [0,1]\ra X$ eine Homotopie von $f$ nach $g$, so ist die Abbildung $h\circ H:Y\times [0,1]\ra Z$ eine Homotopie von $h\circ f$ nach $h\circ g$ und die Abbildung $H\circ (h\times \op{id}):Z\times [0,1]\ra X$ eine Homotopie von $f\circ h$ nach $g\circ h$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{vkht} Da nach Proposition \ref{vhkK} die Homotopieklasse einer Verkn\"{u}pfung von stetigen Abbildungen nur von den Homotopieklassen der verkn\"{u}pften Abbildungen abh\"{a}ngt, k\"{o}nnen wir eine {\bf Verkn\"{u}pfung von Homotopieklassen} definieren durch die Vorschrift $[f]\circ[g]=[f\circ g]$. \end{Bemerkungl} \subsection{Kategorien und Funktoren} \label{KatFu} \begin{Bemerkungl} An dieser Stelle m"ochte ich damit beginnen, in die Sprache der Kategorien und Funktoren einzuf"uhren, die auch in \eref{KFu}{LA2} in gr"o"serer Ausf"uhrlichkeit und vor einem anderen Hintergrund besprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Kategorie} ${\cal C}$ ist ein Datum bestehend aus:\label{KaatT} \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item einer Menge von {\bf Objekten}\index{Objekt einer Kategorie} $\op{Ob} {\cal C};$ \item einer Menge ${{\cal C}}(X,Y)$ von \defnoind{Morphismen}\index{Morphismus!in Kategorie} f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob} {\cal C}$; \item einer Abbildung ${{\cal C}} (X,Y) \times {{\cal C}} (Y,Z) \ra {{\cal C}} (X,Z),\; (f,g) \mapsto g\circ f $ f\"{u}r je drei Objekte $X,Y,Z\in {\cal C}$, genannt die \defnoind{Verkn\"{u}pfung}\index{Verkn"upfung!von Morphismen} von Morphismen,\index{)8a@$\circ$ Verkn"upfung!von Morphismen} \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s folgende Axiome erf\"{u}llt sind: \begin{enumerate} \item Die Morphismenmengen sind paarweise disjunkt; \item Die Verkn"upfung ist {\bf assoziativ}, als da hei"st, es gilt $(f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$ f\"{u}r Morphismen $f,g$ und $h$, wann immer diese Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind; \item F\"{u}r jedes Objekt $X\in \op{Ob} {\cal C}$ gibt es einen Morphismus $\op{id}_{X} \in {{\cal C}} (X,X)$, die \defind{Identit\"{a}t auf $X$}, so da"s gilt $ \op{id}_{X} \circ f =f$ und $g\circ \op{id}_{X} =g $ f\"{u}r Morphismen $f$ und $g$ wann immer diese Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind. Die "ublichen Argumente zeigen, da"s es f"ur jedes $X$ h"ochstens einen derartigen Morphismus geben kann, womit auch die Verwendung des bestimmten Artikels gerechtfertigt w"are. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{NotEnT}%\label{NotE} Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und $X,Y\in\op{Ob} {\cal C}$ Objekte. Statt $f\in {{\cal C}}(X,Y)$ sagen wir auch, $f$ sei ein {\bf Morphismus von $X$ nach $Y$} und schreiben kurz\index{)4@$\ra$ Morphismus in Kategorie} $$f:X \ra Y$$ Statt $\op{id}_{X}$ schreiben wir oft nur $\op{id}$. Statt $X\in \op{Ob} {\cal C}$ schreiben wir oft k\"{u}rzer $X\in{\cal C}$. Statt ${\cal C}(X,X)$ schreibe ich gerne k"urzer ${\cal C}(X)$ und nenne diese Menge mit ihrer Verkn"upfung das {\bf Monoid der Endomorphismen von $X$}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie der topologischen R"aume}] Als erstes Beispiel h"atte ich gerne die Kategorie\label{UTop} ${\cal C}=\op{Top}$ aller topologischen R"aume eingef"uhrt, mit topologischen R"aumen als Objekten und stetigen Abbildungen als Morphismen. Das ist jedoch nicht ohne weiteres m"oglich, da die \glqq Gesamtheit aller Mengen\grqq\ nach \eref{WHK}{GR} nicht als Menge angesehen werden darf, und da wir von unseren Kategorien stets annehmen, da"s ihre Objekte eine Menge bilden sollen. Um diese Untiefen der Logik zu umschiffen, betrachten wir feiner ein Mengensystem alias eine Menge $\mathfrak U$ von Mengen und die Kategorie\index{UTop@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Top}$ topologische R"aume $X\in\mathfrak U$} $$\mathfrak U\!\op{Top}$$ aller topologischen R"aume $X$, die als Menge betrachtet Elemente unseres Mengensystems $\mathfrak U$ sind, in Formeln $X\in \mathfrak U$. Meist wird das Mengensystem $\mathfrak U$ in der Notation dann aber doch weggelassen und nur insgeheim dazugedacht. So wollen wir es im folgenden meist auch halten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen versus Abbildungen}] Das vorhergehende Beispiel ist zwar typisch, aber man lasse sich davon nicht in die Irre f"uhren. Bei einer allgemeinen Kategorie m"ussen die Objekte a priori keineswegs Mengen mit Zusatzstruktur sein und die Morphismen keineswegs strukturerhaltenden Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In vielen Quellen fordert man stattdessen, da"s die Objekte einer Kategorie eine \glqq Klasse\grqq\ bilden sollen. Mir gef"allt die hier gegebene Formulierung besser, da sie im Rahmen der Terminologie der Mengenlehre bleibt. Statt mit \glqq Klassen\grqq\ werden wir zu gegebener Zeit mit \glqq Universen\grqq\ arbeiten. Das hat den zus"atzlichen Vorteil, da"s man, wenn es einmal n"otig sein sollte und man etwa die Kategorie aller Kategorien betrachten will, noch zu h"oheren Universen aufsteigen kann. Es hat den Nachteil, beim Aufbau im Rahmen der Mengenlehre, wie er hier jedenfalls im Hintergrund mitgedacht wird, recht starke zus"atzliche Axiome der Mengenlehre zu ben"otigen, die Existenz sogenannter \glqq unerreichbarer Kardinalzahlen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Homotopiekategorie der topologischen R"aume}] Wir betrachten die Kategorie\label{Hot} $\op{hTop}$ aller topologischen R"aume mit Homotopieklassen stetiger Abbildungen als Morphismen, also $$\op{hTop}(X,Y)\pdef \op{Top}(X,Y)/\simeq$$ Die Verkn"upfung von Abbildungen kommt dabei von \ref{vkht} her. Die Axiome einer Kategorie sind offensichtlich erf"ullt. F"ur die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen zwischen zwei R"aumen ist auch die Notation ${\op{hTop}} (X,Y)=[X,Y]$ gebr"auchlich. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie der Mengen}] Wir betrachten die Kategorie aller Mengen $\op{Ens}$\index{Ens@$\op{Ens}$ Kategorie der Mengen} oder genauer\label{UEnsT} die Kategorie\index{UEns@$\mathfrak U\hspace{-1mm}\op{Ens}$ Mengen $X\in\mathfrak U$} $$\mathfrak U\!\op{Ens}$$ aller Mengen $X\in \mathfrak U$ f"ur ein vorgegebenes Mengensystem $\mathfrak U$. Ihre Objekte sind beliebige Mengen $X\in \mathfrak U$. F\"{u}r zwei Mengen $X,Y\in \mathfrak U$ ist die Morphismenmenge $\op{Ens}(X,Y)$\index{Ens@$\op{Ens}(X,Y)$ Abbildungen $X\ra Y$} die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $Y$. Die Verkn\"{u}pfung ordnet jedem Paar $(f,g)$ von Abbildungen ihre Komposition $g\circ f$ zu, und $\op{id}_{X}\in \op{Ens}(X)$ ist schlicht die identische Abbildung $\op{id}_{X}(x)=x \; \forall x\in X$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kategorie der Gruppen}] Wir betrachten die Kategorie\label{Grup} $\op{Grp}$ aller Gruppen mit Gruppenhomomorphismen als Morphismen. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{KatIT} \begin{enumerate} \item Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie hei"st ein \defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!in Kategorie} oder \defnoind{Iso}\index{Iso!in Kategorie} und als Adjektiv {\bf iso}, wenn es einen Morphismus $g\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ g=\op{id}_{Y}$ und $g\circ f=\op{id}_{X}$. Wir notieren Isomorphismen oft $f:X\sira Y$. \item Zwei Objekte $X$ und $Y$ einer Kategorie hei"sen \defnoind{isomorph},\index{isomorph!in Kategorie} wenn es einen Iso $f:X \sira Y$ gibt. Man schreibt dann auch kurz $X\cong Y$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{Gruppo} Isomorphismen in der Kategorie der Mengen nennt man Bijektionen, Isomorphismen in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume Hom\"{o}o\-morphismen, Isomorphismen in der Kategorie der Gruppen Isomorphismen von Gruppen. Stetige Abbildungen, die Isomorphismen in der Homotopiekategorie der topologischen R"aume repr"asentieren, hei"sen {\bf Homotopie"aquivalenzen}.\index{Homotopie"aquivalenz!topologische} Zwei topologische R\"{a}ume hei"sen {\bf homotopie\"{a}quivalent}, wenn es eine Homotopie"aquivalenz vom einen zum anderen gibt. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} In der Linearen Algebra erkl"art man oft Isomorphismen als \glqq bijektive Homomorphismen\grqq. Das ist in meinen Augen didaktisch verwerflich, da es zwar im Fall der Kategorien der Mengen, Gruppen, Vektorr"aume, Ringe und K"orper eine alternative Beschreibung der Isomorphismen im Sinne der Kategorientheorie liefert, aber die korrekte Definition im Fall allgemeiner Kategorien nicht vorspurt, sondern eher verdeckt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine stetige Abbildung hei"st {\bf nullhomotop},\index{nullhomotop} wenn sie homotop ist zu einer einwertigen Abbildung alias konstanten Abbildung mit nichtleerem Bild, wenn sie also in der Homotopiekategorie "uber den einpunktigen Raum faktorisiert. Ein Raum $X$ hei"st {\bf zusammenziehbar}\index{zusammenziehbar!topologischer Raum}, wenn er homotopie\"{a}quivalent ist zu einem Punkt. Das ist gleichbedeutend dazu, da"s die Identit"at auf $X$ nullhomotop ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ausgeschrieben ist ein topologischer Raum $X$ also zusammenziehbar genau dann, wenn es einen Punkt $x_0\in X$ und eine stetige Abbildung $H:X\times [0,1] \ra X$ gibt mit $H(x,0)=x_{0}$ und $H(x,1)=x $ f\"{u}r alle $x\in X$. Zum Beispiel ist jede konvexe Menge $D\subset \DR^{n}$ zusammenziehbar. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist, hei"st ein {\bf Gruppoid}.\index{Gruppoid} Man erkl"art zu jedem topologischen Raum $X$ das \defnoind{fundamentale Gruppoid}\index{Gruppoid!fundamentales} ${\cal W}={\cal W}_X={\cal W}(X)$.\label{GrupFu} Seine Objekte sind die Punkte von $X$, in Formeln $\op{Ob}(\mathcal W)=X$, und die Morphismenmenge ${\cal W}(x,y)$ besteht aus allen Homotopieklassen von Wegen mit Anfangspunkt $x$ und Endpunkt $y$, in Formeln $${\cal W}(x,y)\pdef\pi_1(X,x,y)$$ Die Verkn\"{u}pfung von Morphismen ist das Aneinanderh\"{a}ngen von Wegen. Man benutzt Lemma \ref{VKN}, um die Axiome einer Kategorie zu pr\"{u}fen. Unsere Fundamentalgruppe $\pi_1(X,x)$ ist damit genau das Monoid der Endomorphismen des Punktes $x$ im fundamentalen Gruppoid, in Formeln $\pi_1(X,x)={\cal W}_X(x)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DefFT} Ein \defind{Funktor} $F:{\cal A} \ra {\cal B}$ von einer Kategorie ${\cal A}$ in eine Kategorie ${\cal B}$ ist ein Datum bestehend aus: \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item einer Abbildung $F:\op{Ob} {\cal A} \ra \op{Ob} {\cal B}$, $X\mapsto FX;$ \item einer Abbildung $F:{{\cal A}} (X,Y) \ra {{\cal B}} (FX,FY)$, $f\mapsto Ff$ f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob} {\cal A}$, \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $F(f\circ g) = (Ff)\circ (Fg)$ f\"{u}r beliebige verkn\"{u}pfbare Morphismen $f$ und $g$ aus der Kategorie ${\cal A};$ \item $ F(\op{id}_{X}) = \op{id}_{FX}$ f\"{u}r jedes Objekt $X\in{\cal A}$. \end{enumerate} Ich nenne in diesem Zusammenhang $\mathcal A$ die {\bf Ausgangskategorie}\index{Ausgangskategorie} und $\mathcal B$ die {\bf Zielkategorie}\index{Zielkategorie} des Funktors $F$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{MeFFT} Man gibt bei einem Funktor $F$ meist nur die Abbildung $X\mapsto FX$ auf den Objekten an in der Hoffnung, da"s dadurch vom Leser erraten werden kann, welche Abbildung $f\mapsto Ff$ auf den Morphismen gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Die Fundamentalgruppe als Funktor}] Man betrachte die Kategorie $\op{Top}^\ast$ der bepunkteten topologischen R"aume alias topologischen R"aume mit einem ausgezeichnetem Punkt, dem {\bf Basispunkt}.\index{Basispunkt} Morphismen sind stetige Abbildungen, die den ausgezeichnetem Punkt in den ausgezeichnetem Punkt "uberf"uhren. Das Bilden der Fundamentalgruppe ist dann ein Funktor $$\pi_1:\op{Top}^*\ra \op{Grp}$$ Jedem bepunkteten Raum $(X,x)\in \op{Top}^\ast$ wird eine Gruppe $\pi_1(X,x)\in \op{Grp}$ zugeordnet und jeder stetigen basispunkterhaltenden Abbildung $f:(X,x)\ra (Y,y)$ ein Gruppenhomomorphismus $f_\sharp=\pi_1(f): \pi_1(X,x)\ra \pi_1(Y,y)$. Da"s diese Daten die Eigenschaften eines Funktors haben, steht in \ref{FuFu}. Jetzt haben wir allerdings den "Arger, da"s f"ur ein beliebig vorgegebenes Mengensystem $\mathfrak U$ die Fundamentalgruppe keineswegs einen Funktor $\pi_1:\mathfrak U\!\op{Top}^*\ra \mathfrak U\!\op{Grp}$ zu induzieren braucht. Diesem "Arger kann man jedoch entgehen, indem man annimmt, da"s das zugrundeliegende Mengensystem ein \glqq Universum\grqq\ im Sinne von \eref{defU}{LA2} sein soll, vergleiche auch \eref{StabU}{LA2}. Im weiteren will ich diese Feinheiten schlicht ignorieren. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Vorschub als Funktor der fundamentalen Gruppoide}] Jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ liefert einen Funktor zwischen den zugeh"origen fundamentalen Gruppoiden $f_\sharp:\mathcal W(X)\ra \mathcal W(Y)$, der ein Objekt $x\in X$ auf das Objekt $f(x)\in Y$ abbildet und einen Morphismus $[\gamma]$ auf den Morphismus $[f\circ \gamma]$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Wegzusammenhangskomponenten als Funktor}] Das Bilden der Menge der Wegzusammenhangskomponenten eines topologischen Raums ist ein Funktor $\pi_0:\op{Top}\ra \op{Ens}$.\index{p@$\pi_{0}$ Wegzusammenhangskomponenten!als Funktor} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ ist dabei $\pi_0(f):\pi_0(X)\ra\pi_0(Y)$ zu verstehen als die Abbildung, die jeder Wegzusammenhangskomponente $Z\in \pi_0(X)$ von $X$ diejenige Wegzusammenhangskomponente $W\in \pi_0(Y)$ von $Y$ zuordnet, f"ur die gilt $f(Z)\subset W$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Man mag die {\bf Homotopiekategorie bepunkteter R"au\-me}\index{Homotopiekategorie!topologische bepunktete} betrachten mit bepunkteten R"aumen als Objekten und Homotopieklassen f"ur basispunkterhaltende Homotopie alias Homotopie relativ zum Basispunkt im Sinne von \ref{reHO} als Morphismen. Wir notieren sie $\op{hTop}^\ast$.\index{hTop@$\op{hTop}$ Homotopiekategorie!$\op{hTop}^\ast$ topologische bepunktete} So wird die Fundamentalgruppe, aufgefa"st als Funktor $\pi_1:\op{hTop}^\ast\ra \op{Ens}$, dargestellt im Sinne von \eref{darFF}{LA2} durch die bepunktete Kreislinie. Die bepunktete Kreislinie kann im "Ubrigen versehen werden mit der Struktur eines \glqq Gruppenobjekts\grqq\ in $(\op{hTop}^\ast)^{\op{opp}}$ im Sinne von \eref{VkOO}{AAG}. Das liefert in diesem Kontext die Gruppenstruktur auf $\pi_1(X,x)$. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie ist ein Isomorphismus genau dann, wenn es Morphismen $g,h\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ g=\op{id}_{Y}$ und $h\circ f=\op{id}_{X}$, und unter diesen Voraussetzungen gilt bereits $g=h$. Wir nennen diesen Morphismus dann den {\bf inversen Morphismus zu $f$}\index{invers!Morphismus} und notieren ihn $f^{-1}$.\index{)6aa@$f^{-1}$ inverser Morphismus} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Morphismen $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ und $g\in {{\cal C}}(Y,X) $ in einer Kategorie derart, da"s $f\circ g$ und $g\circ f$ Isomorphismen sind, m"ussen $f$ und $g$ bereits selbst Isomorphismen sein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $\mathcal C$ eine Kategorie und $f:X\ra Y$ ein Morphismus. Man zeige, da"s $f$ genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Vorschalten von $f$ f"ur jedes weitere Objekt $Z$ eine Bijektion $\mathcal C(Y,Z)\sira \mathcal C(X,Z)$ induziert. Man zeige dual, da"s $f$ genau dann ein Isomorphismus ist, wenn das Nachsschalten von $f$ f"ur jedes weitere Objekt $Z$ eine Bijektion $\mathcal C(Z,X)\sira \mathcal C(Z,Y)$ induziert.\label{AFYT} Genauere Aussagen in dieser Richtung macht das sogenannte Yoneda-Lemma \eref{YL}{LA2}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s eine stetige Abbildung $S^n \ra X$ von einer Sph"are in einen topologischen Raum $X$ genau dann nullhomotop ist, wenn sie sich stetig auf das Innere der Sph"are fortsetzen l"a"st. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HaeFu} Man zeige, da"s eine stetige Abbildung $f: S^1 \ra \DC^\times$ genau dann eine Homotopie"aquivalenz ist, wenn sie einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen $\pi_1(S^1,1)\sira \pi_1(\DC^\times,f(1))$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $Y$ beliebig und $X$ zusammenziehbar, so sind je zwei Abbildungen $f,g:Y\ra X$ homotop. Ist zus\"{a}tzlich $Y$ wegzusammenh\"{a}ngend, so sind auch je zwei Abbildungen $X\ra Y$ homotop. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder zusammenziehbare Raum ist wegzusammenh\"{a}ngend. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EKHo} Die Einbettung $S^n\hra \DR^{n+1}\backslash 0$ ist eine Homotopie"aquivalenz. Allgemeiner zeige man, da"s f"ur jeden Punkt $y\in\DR^{n+1}$ und jedes $r\geq 0$ mit $r+\|y\|< 1$ die Einbettung $S^n\hra \DR^{n+1}\backslash{\op{A}}(y;r)$ eine Homotopie"aquivalenz ist, f"ur ${\op{A}}(y;r)=\{x\mid \|x-y\|\leq r\}$ der abgeschlossene Ball. Ebenso zeige man, da"s f"ur jeden Punkt $y\in\DR^{n+1}$ und jedes $r> 0$ mit $r+\|y\|\leq 1$ die Einbettung $S^n\hra \DR^{n+1}\backslash{\op{B}}(y;r)$ eine Homotopie"aquivalenz ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Funktoren erhalten Isomorphie}] Ein Funktor bildet stets Isomorphismen auf Isomorphismen ab. Insbesondere haben isomorphe Objekte unter einem Funktor stets isomorphe Bilder. \end{Ubung} \begin{Ubung} Homotope Abbildungen $f,g:X\ra Y$ induzieren dieselben Abbildungen auf der Menge der Wegzusammenhangskomponenten, in Formeln\label{hhww} $f\cong g \RA \pi_0(f)=\pi_0(g):\pi_0(X)\ra \pi_0(Y)$. Das Bilden der Menge der Wegzusammenhangskomponenten liefert mithin sogar einen Funktor $$\pi_0:\op{hTop}\ra \op{Ens}$$ \end{Ubung} \subsection{Homotopie und Fundamentalgruppe} \begin{Bemerkungl} Wir untersuchen nun den Zusammenhang zwischen Fundamentalgruppe und Homotopie. Zun\"{a}chst interessieren wir uns daf\"{u}r, wie die Fundamentalgruppe vom Basispunkt abh\"{a}ngt. Falls es keinen Weg von $x$ nach $y$ gibt, haben $\pi_1(X,x)$ und $\pi_1(X,y)$ nichts miteinander zu tun. Gibt es aber einen Weg, so erhalten wir isomorphe Gruppen. Genauer gilt: \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Wechsel des Basispunkts}] Gegeben Punkte $x,y$ eines topologischen Raums $X$ liefert jeder stetige Weg $\gamma$\label{WBP} von $x$ nach $y$ einen Isomorphismus $$\begin{array}{lccl} i_{\gamma}:&\pi_1(X,x)&\sira & \pi_1(X,y)\\ &\left[\al\right]&\mapsto & \left[\gamma\ast\al\ast\bar \gamma\right] \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Hier und im folgenden k\"{u}rzen wir $\al\ast(\beta\ast\gamma)$ mit $\al\ast\beta\ast\gamma$ ab, f\"{u}r verkn\"{u}pfbare Wege $\al$, $\beta$ und $\gamma$. Wann immer wir diese Notation verwenden, wird es eh nicht auf die Klammern ankommen, da wir Wege nur bis auf Homotopie betrachten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] $\al \simeq \al' \Rightarrow \gamma \ast\al\ast\bar\gamma \simeq \gamma\ast\al'\ast\bar\gamma$ nach Lemma \ref{VKN}, also ist $i_{\gamma}$ wohldefiniert. Wegen $\bar\gamma\ast \gamma\simeq \varepsilon_x$ und $\gamma\ast \bar\gamma\simeq \varepsilon_y$ ist $i_{\bar\gamma}$ invers zu $i_\gamma$ und insbesondere $i_\gamma$ eine Bijektion. Um zu pr\"{u}fen, da"s $i_\gamma$ auch ein Gruppenhomomorphismus ist, rechnen wir $$\begin{array}{ccc} i_{\gamma}(\left[\al\right]\ast\left[\beta\right])&=& \left[\gamma\ast(\al\ast\beta)\ast\bar\gamma\right]\\ i_{\gamma}(\left[\al\right])\ast i_{\gamma}(\left[\beta\right])&=& \left[(\gamma\ast\al\ast\bar\gamma) \ast(\gamma\ast\beta\ast\bar\gamma)\right]\end{array}$$ und sehen, da"s auf der rechten Seite in der oberen und unteren Zeile dieselbe Homotopieklasse steht. \end{proof} \begin{proof}[Alternativer Beweis in der Sprache der Kategorien] Ist $\gamma:A\sira B$ ein Isomorphismus zwischen zwei Objekten einer Kategorie $\mathcal C$, so erhalten wir offensichtlich einen Isomorphismus zwischen den Monoiden der Endomorphismen unserer beiden Objekte $$i_\gamma: \mathcal C(A)\sira \mathcal C(B)$$ durch die Vorschrift $i_\gamma:\alpha\mapsto \gamma\alpha\gamma^{-1}$. Unser Satz \ref{WBP} und sein Beweis spezialisieren diese Erkenntnis auf den Fall des fundamentalen Gruppoids eines topologischen Raums. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Homotopie und Fundamentalgruppe}] Seien stetige Abbildungen $f,g:X\ra Y$ gegeben und sei $H$ eine Homotopie von $f$ nach $g$.\label{HuF} Sei $x \in X$ ein fest gew\"{a}hlter Basispunkt und bezeichne $\gamma$ den Weg $\gamma (t) =H(x,t)$ von $f(x)$ nach $g(x)$. So gilt $g_\sharp=i_\gamma\circ f_\sharp$, als da hei"st, es kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \pi_1(X,x) &\overset{f_\sharp}{\lra} & \pi_1 (Y,f(x))\\ \parallel&&\;\;\wr\downarrow i_\gamma\\ \pi_1(X,x) &\overset{g_\sharp}{\lra} & \pi_1 (Y,g(x)) \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Eine noch etwas allgemeinere und nat"urlichere Aussage d"urfen Sie als "Ubung \ref{FGH} selbst zeigen: Jede Homotopie $H:f\cong g$ induziert eine \glqq Isotransformation\grqq\ $H_\sharp:f_\sharp\siRa g_\sharp$ zwischen den auf den fundamentalen Gruppoiden induzierten Funktoren. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen $\bar\gamma\ast(g\circ\al)\ast\gamma\simeq (f\circ\al) $ f\"{u}r alle $\al\in \Omega(X,x)$. Es reicht dazu, eine Homotopie $ \bar\gamma \ast(g\circ\al)\ast\gamma\simeq\varepsilon \ast (f\circ\al)\ast \varepsilon$ anzugeben. Zun"achst ist $H\circ\alpha:[0,1]^2\ra Y$ auf der unteren Kante $f\circ\alpha$, auf der oberen Kante $g\circ\alpha$ und auf der linken und rechten Kante $\gamma$. Weiter ist $[0,1]^2\ra Y$ gegeben durch $(t,\tau)\mapsto \gamma(t\tau)$ auf der oberen und auf der rechten Kante $\gamma$, auf der unteren und linken Kante dahingegen konstant $f(x)$. Schlie"slich ist $[0,1]^2\ra Y$ gegeben durch $(t,\tau)\mapsto \gamma((1-t)\tau)$ auf der der rechten Kante $\gamma$, auf der oberen Kante $\bar\gamma$ und auf der unteren und linken Kante konstant $f(x)$. Setzen wir unsere drei Quadrate richtig nebeneinander, so verkleben unsere Abbildungen l"angs der senkrechten Kanten zu einer stetigen Abbildung $[0,3]\times [0,1]\ra Y$ und Umparametrisieren in $x$-Richtung liefert die gesuchte Homotopie. Unsere Zwischenwege bestehen anschaulich darin, da"s wir erst $\gamma$ ein St\"{u}ck weit gehen, dann das mit der Homotopie deformierte $f\circ\al$ herumgehen und anschlie"send wieder mit $\gamma$ zur\"{u}ckgehen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Fundamentalgruppen homotopie"aquivalenter R"aume}] Jede Homoto\-pie"aquivalenz induziert Isomorphismen auf den Fundamentalgruppen. Jede nullhomotope Abbildung induziert die konstante Abbildung auf den Fundamentalgruppen.\label{HFA} Die Fundamentalgruppe eines zusammenziehbaren Raums ist trivial. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Jede stetige Abbildung $f:X\ra X$, die homotop ist zur Identit"at, induziert die Identit"at auf der Menge der Wegzusammenhangskomponenten. Das folgt formal aus "Ubung \ref{hhww} und ist auch so klar. Sie induziert auch Isomorphismen $f_\sharp: \pi_1(X,x)\sira \pi_1(X,f(x))$ nach unserem Satz \ref{HuF} "uber Homotopie und Fundamentalgruppe. Ist $u:X\ra Y$ eine Homotopie"aquivalenz, so gibt es per definitionem eine Abbildung $v:Y\ra X$ mit $u\circ v\simeq \op{id}$ und $v\circ u\simeq \op{id}$. Also liefern $(u\circ v)_\sharp=u_\sharp\circ v_\sharp$ und $(v\circ u)_\sharp=v_\sharp\circ u_\sharp$ Isomorphismen $\pi_1(X,x)\sira \pi_1(X,v(u(x)))$ und $\pi_1(Y,y)\sira \pi_1(Y,u(v(y)))$. Daraus folgt aber sofort, da"s $v_\sharp:\pi_1(Y,u(x))\ra \pi_1(X,v(u(x)))$ f"ur alle $x\in X$ injektiv und surjektiv, mithin ein Isomorphismus sein mu"s. Ist $y\in Y$ beliebig, so gibt es nach \ref{hhww} einen Punkt $x\in X$ und einen Weg $\gamma$ von $y$ nach $u(x)$ und da offensichtlich gilt $v_\sharp \circ i_{\gamma}= i_{v\circ\gamma}\circ v_\sharp: \pi_1(Y,y)\ra \pi_1(X,v(u(x)))$ mu"s schlie"slich $v_\sharp:\pi_1(Y,y)\ra \pi_1(X,v(y))$ f"ur alle $y\in Y$ ein Isomorphismus sein. Die anderen Aussagen des Korollars sind offensichtlich. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildUlZ}\\[4mm] \noindent In jede Zusammenhangskomponente aus dem Komplement des hier gezeichneten Weges habe ich hier die Umlaufzahl des besagten Weges um einen und jeden Punkt aus besagter Zusammenhangskomponente geschrieben. \end{figure} \begin{Beispiel}[\textbf{Fundamentalgruppe der punktierten Ebene}] Wir k"onnen nun ein weiteres Mal beweisen, da"s die Fundamentalgruppe des Komplements eines Punktes in der\label{HKPE} Ebene zu $\DZ$ isomorph ist: Die Einbettung $S^1\hra\DC^\times$ ist n"amlich nach "Ubung \ref{EKHo} eine Homotopie"aquivalenz und induziert folglich einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen. In derselben Weise folgt, da"s f"ur $x\neq z$ zwei Punkte der komplexen Zahlenebene $\DC$ der Weg $t\mapsto z+x\op{exp}(2\pi{{\op{i}}}t)$ einen Erzeuger von $\pi_1(\DC\backslash z,x)$ repr"asentiert. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\gamma:[0,1]\ra\DC$ ein geschlossener Weg in der komplexen Zahlenebene und $z\in\DC\backslash\gamma([0,1])$ ein Punkt, der nicht auf besagtem Weg liegt, erkl"aren wir die {\bf Umlaufzahl}\index{Umlaufzahl!eines Weges!in der Zahlenebene} $$\op{Um}(\gamma,z)$$ von unserem Weg $\gamma$ um unseren Punkt $z$ als diejenige ganze Zahl $n\in\DZ$, f"ur die $\gamma$ als Weg in $\DC\backslash z$ homotop ist zum Weg $t\mapsto z + (\gamma(0)-z)\op{exp}(2\pi {\op{i}} nt)$. Nach dem vorhergehenden gibt es stets genau eine solche Zahl. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Stetigkeit der Umlaufzahl}] Gegeben ein geschlossener Weg $\gamma:[0,1]\ra\DC$ in der komplexen Zahlenebene\label{SteU} liefert die Umlaufzahl eine stetige Abbildung $\DC\backslash\gamma([0,1])\ra \DZ$, $z\mapsto \op{Um}(\gamma,z)$, die auf der unbeschr"ankten Zusammenhangskomponente von $\DC\backslash\gamma([0,1])$ verschwindet. \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben eine offene Kreischeibe von endlichem Radius $D\co \DC$ und $z\in D$ ist $\DC\backslash D\hra \DC\backslash z$ eine Homotopie"aquivalenz und induziert folglich einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen. Trifft unser geschlossener Weg $\gamma$ die Kreisscheibe $D$ nicht und ist zus"atzlich der Durchmesser von $D$ kleiner als der Abstand von $D$ zu $\gamma(0)$, so kann die Umlaufzahl $\op{Um}(\gamma,z)$ mithin beschrieben werden als diejenige ganze Zahl $n\in\DZ$, f"ur die $\gamma$ als Weg in $\DC\backslash D$ homotop ist zum Weg $t\mapsto z + (\gamma(0)-z)\op{exp}(2\pi {\op{i}} nt)$. Alle diese Wege f"ur verschiedene $z\in D$ sind jedoch offensichtlich zueinander homotop in $\DC\backslash D$. Das zeigt, da"s die Umlaufzahl von $\gamma$ um alle Punkte von $D$ dieselbe sein mu"s. Liegt schlie"slich $z$ au"serhalb einer Kreisscheibe $K$, die das Bild unseres Weges umfa"st, so ist unser Weg in $K$ und erst recht in $\DC\backslash z$ zusammenziehbar und mu"s um $z$ die Umlaufzahl Null haben. \end{proof} \begin{Satz*}[\textbf{Umlaufzahlen kreuzungsfreier Wege in der Ebene}] Ein geschlossener Weg in der punktierten Ebene $\gamma:[0,1]\ra \DC^\times$, der in der Fundamentalgruppe $\pi_1(\DC^\times,1)$ weder das neutrale Element\label{InWW} noch einen Erzeuger repr"asentiert, kann nicht auf $(0,1]$ injektiv sein. \end{Satz*} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUllZ}\\[4mm] \noindent Ein geschlossener Weg in der punktierten Ebene mit Umlaufzahl Drei um den als Kreuz eingezeichneten Punkt, der \glqq so injektiv ist wie irgend m"oglich\grqq. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Einen alternativen Beweis, der auch h"oherdimensionale Analoga unserer Aussage zeigt, geben wir in \eref{KGDb}{TG}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Repr"asentiert ein Weg $\gamma:[0,1]\ra \DC^\times$ das $n$-fache eines Erzeugers der Fundamentalgruppe und gilt $n\neq 0$, so k"onnen wir nach \ref{FuPE} einen Lift $\tilde\gamma:[0,1]\ra \DC$ finden alias eine stetige Abbildung mit $\op{Exp}\circ\tilde\gamma=\gamma$, und dann ist $\alpha:[0,1]\ra \DC^\times$ mit $\alpha(t)=\op{Exp}\circ\tilde\gamma(t/n)$ ein geschlossener Weg mit $\gamma(t)=\alpha(t)^n$ f"ur alle $t$. Induzierte nun $\gamma$ eine Einbettung $\hat{\gamma}:S^1\hra \DC^\times$, so h"atte die von $\alpha$ induzierte Abbildung $\hat{\alpha}:S^1\hra \DC^\times$ die Eigenschaft $z\neq w\RA \hat{\alpha}(z)\neq \zeta \hat{\alpha}(w)$ f"ur jede $n$-te Einheitswurzel $\zeta\neq 1$. Wir erhielten mithin f"ur jede $n$-te Einheitswurzel $\zeta\neq 1$ eine stetige Abbildung $$\varphi=\varphi_\zeta:S^1\times S^1\ra \DC^\times$$ durch die Vorschrift $\varphi(z,w)=\hat{\alpha}(z)-\zeta\hat{\alpha}(w)$. Nun betrachten wir das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ S^1 \ar[dr]^-{(\op{id},1)} & & \\ S^1 \ar[r]^-{(\op{id},\op{id})} & S^1\times S^1 \ar[r]^-{\varphi} &\mathbb C^\times\\ S^1 \ar[ur]_-{(1,\op{id})} & & } \end{displaymath} Ich behaupte, da"s darin alle drei Kompositionen Homotopie"aquivalenzen sind alias, nach "Ubung \ref{HaeFu} gleichbedeutend, da"s sie Isomorphismen auf den Fundamentalgruppen induzieren. Zun"achst induziert nach Konstruktion $\hat \alpha : S^1 \rightarrow \mathbb C^\times $ einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen und ist also eine Homotopie"aquivalenz. Dasselbe gilt f"ur die mittlere Komposition $z \mapsto (1 - \zeta) \hat\alpha (z)$, denn sie ist zu $\hat\alpha$ homotop. Die obere Komposition hinwiederum ist homotop zu $z \mapsto \hat\alpha (z) - \zeta \hat\alpha (w)$ f"ur alle $w \in S^1$. W"ahlen wir $w_0$ mit $| \hat \alpha (w_0)|$ kleinstm"oglich, so liegt $\zeta \hat\alpha (w_0)$ in derselben Komponente von $\mathbb C \backslash \hat\alpha (S^1)$ wie der Ursprung. Aus der Stetigkeit der Umlaufzahl \ref{SteU} folgt $\op{Um} (\alpha, \zeta \hat\alpha (w_0)) = \op{Um} (\alpha, 0) =1$ und damit ist $z \mapsto \hat\alpha (z) - \zeta \hat\alpha (w)$ eine Homotopie"aquivalenz erst f"ur $w = w_0$ und dann f"ur alle $w$, insbesondere auch f"ur $w =1$. F"ur die untere Komposition argumentiert man genauso, also haben wir in der Tat drei Homotopie"aquivalenzen vor uns. Das aber widerspricht der Tatsache, da"s nach \ref{ReRi} f"ur $c \in \pi_1 (S^1, 1)$ gilt \begin{equation*} (\op{id}, 1)_\sharp c + (1, \op{id})_\sharp c = (\op{id},\op{id})_\sharp c \end{equation*} und damit $ \varphi_\sharp (\op{id}, 1)_\sharp c + \varphi_\sharp (1, \op{id})_\sharp c = \varphi_\sharp (\op{id}, \op{id})_\sharp c $ in $\pi_1 (\mathbb C^\times , 1)$ im Widerspruch dazu, da"s f"ur jeden Erzeuger $c $ von $\pi_1 (S^1, 1)$ alle diese drei Elemente nach dem bereits Bewiesenen Erzeuger von $\pi_1 (\mathbb C^\times , 1)$ sein m"ussen. \end{proof} \begin{Proposition*}[\textbf{Schleifenf"ullende Komplemente}] Sei $V$ ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum und $W \subset V$ ein Teilraum der Kodimension zwei.\label{NNNfe} So ist f"ur $I \subsetneq W$ eine echte Teilmenge das Komplement $V \backslash I$ schleifenf"ullend, f"ur alle Punkte $\ast$ unseres Komplements gilt also in Formeln $$\pi_1 (V\backslash I, \ast) = 1$$ \end{Proposition*} \begin{proof} Den Fall $I\As W$ haben Sie bereits in \ref{NNNf} behandelt. Um das im allgemeinen zu sehen, d"urfen wir $V = \mathbb C \times Y$ annehmen mit einem endlichdimensionalen Vektorraum $Y$ und $W=0\times Y$. Es gilt f"ur irgendeinen Basispunkt $\ast$ zu zeigen, da"s gilt $ \pi_1 (V\backslash I, \ast) = 1$, etwa f"ur den Basispunkt $ \ast \pdef(1,0)$. Es reicht zu zeigen, da"s jeder geschlossene Weg von $\ast$ nach $\ast$ homotop ist in $V \backslash W$, denn die Abbildung $\pi_1 (V\backslash W, \ast) \rightarrow \pi_1 (V \backslash I, \ast)$ ist sicher konstant. Es reicht also zu zeigen, da"s jeder Weg $\gamma \in \Omega (V \backslash I, \ast)$, der $W$ trifft, homotop ist zum konstanten Weg. Wir schreiben dazu $\gamma (t) = (z (t), y (t))$. Auf $U \pdef\{ t \in [0,1] \mid z (t) \neq 0\}$ k"onnen wir dann $\varphi : U \rightarrow S^1$ erkl"aren durch $\varphi (t) = z (t) /|z (t)|$. Nun gilt $U \co [0,1]$ und $ 0,1 \in U$, aber nach Annahme $U \neq [0,1]$. Mithin existiert ein stetiger Lift $\tilde \varphi : U \rightarrow {\op{i}} \mathbb R$ mit $\tilde \varphi (0)= \tilde \varphi (1) =0$ und $\varphi (t) = \exp (\tilde\varphi (t))$ f"ur alle $t \in U$. Es gilt also $z (t) = \exp (\tilde\varphi (t)) | z (t)|$ f"ur alle $t \in U$. Jetzt erkl"aren wir $h : [0,1]^2 \rightarrow V \backslash I$ durch die Vorschrift \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} h (t, \tau) &= & \left\{ \begin{array}{cl} (\exp (\tilde\varphi (\tau t)) |z(t)|, y(t)) &\text{falls } t \in U,\\ (0, y(t)) & \text{sonst.} \end{array} \right. \end{array} \end{displaymath} Diese Abbildung ist sicher stetig an allen Stellen $(t, \tau)$ mit $t \in U$. An Stellen $(t, \tau)$ mit $t \not \in U$ kann man die Stetigkeit aber auch zeigen, da in einer Umgebung von $t \not \in U$ unser $|z (t)|$ sehr klein sein mu"s. Damit ist $h (t, \tau)$ eine Homotopie in $V \backslash I$ zwischen unserem Weg $\gamma$ und dem Weg $t \mapsto (|z (t)|, y(t))$, der seinerseits offensichtlich in $V \backslash I$ zusammenziehbar ist. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge} Feiner liefert der Beweis von \ref{InWW} bei Betrachtung aller $n$-ten Einheitwurzeln $\zeta\neq 1$, da"s der in gewisser Weise die Zahl der Selbst"uberkreuzungen messende Ausdruck $\sum_{p\in\gamma[0,1]} (|\gamma^{-1}(p)|-1)$ mindestens so gro"s sein mu"s wie der Betrag der Umlaufzahl. Das mag der Leser zur "Ubung ausarbeiten. \end{Ubunge} \begin{Ubung} F"ur die Basispunktwechselisomorphismen $i_\gamma$ aus \ref{WBP} zeige man: Homotope Wege liefern denselben Isomorphismus, in Formeln $\gamma\simeq \delta\RA i_{\gamma}=i_{\delta}$. Au"serdem gilt $i_{\gamma\ast\delta}=i_{\gamma}\circ i_{\delta}$ f\"{u}r verkn\"{u}pfbare Wege $\gamma,\delta$, f"ur $\gamma$ ein Weg von $x$ zu sich selbst ist $i_{\gamma}=\op{int}\gamma$ die Konjugation mit $\gamma$, und f\"{u}r den konstanten Weg $\varepsilon=\varepsilon_x$ ist speziell $i_{\varepsilon}$ die Identit\"{a}t auf $\pi_1(X,x)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fundamentalgruppe und freie Homotopie}] Gegeben ein bepunkteter wegzusammenh"angender Raum $(X,x)$ zeige man, da"s die Abbildung $\Omega(X,x)\ra \op{hTop}(S^1,X)$, die jedem geschlossenen Weg $\gamma: [0,1]\ra X$ die Homotopieklasse der induzierten Abbildung $\tilde\gamma: S^1\ra X$ zuordnet, eine Bijektion zwischen der Menge der Konjugationsklassen in $\pi_1(X,x)$ und $\op{hTop}(S^1,X)$ induziert.\label{fugz} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fundamentalsatz der Algebra}] Man zeige den Fundamentalsatz der Algebra mit den hier entwickelten\label{FSAT} Methoden. Man zeige also in anderen Worten, da"s jedes nichtkonstante Polynom mit komplexen Koeffizienten eine Nullstelle hat. Hinweis: Hat unsere Polynomfunktion $P:\DC\ra\DC$ keine Nullstelle, so sind die Abbildungen $P_\tau: S^1\ra \DC^\times$, $z\mapsto P(\tau z)$ alle homotop zur konstanten Abbildung $P_0$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GeKr} Man zeige, da"s die Fundamentalgruppe des Komplements einer Gerade im $\DR^3$ isomorph ist zu $\DZ$. Man zeige, da"s die Fundamentalgruppe des Raums, der entsteht, wenn man aus dem $\DR^3$ die $z$-Achse sowie den Einheitskreis in der $xy$-Ebene herausnimmt, isomorph ist zu $\DZ\times\DZ$. Hinweis: \ref{ReRi}. Eventuell ben"otigte Homotopien sollen anschaulich plausibel gemacht werden, eine formelhafte Ausarbeitung ist nicht gefordert. \end{Ubung} \subsection{Abelisierte Fundamentalgruppe*} \begin{Definition} Gegeben eine Gruppe $G$ definiert man ihren {\bf maximalen kommutativen Quotienten}, auch genannt ihre {\bf Abelisierung},\index{Abelisierung}\label{Abel}\index{ab@$G^{\op{ab}}$ Abelisierung} als den Quotienten $$G^{\op{ab}} \pdef G / (G,G)$$ nach dem Normalteiler $(G,G) \subset G$, der von allen {\bf Kommutatoren} \index{Kommutator!in Gruppe} $ghg^{-1}h^{-1}$ mit $g, h \in G$ erzeugt wird. Die Untergruppe $(G,G)$ hei"st im "ubrigen die {\bf derivierte Gruppe}\index{derivierte Gruppe} von $G$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] Die Notation $(G, G)$ geht zur"uck auf die in der Gruppentheorie "ubliche Notation $ghg^{-1}h^{-1} \defp (g,h)$ f"ur den Kommutator. Im Sinne unserer allgemeinen Konvention \eref{Verk}{GR} sollte nat"urlich $(G,G)$ eigentlich nur die Menge aller Kommutatoren aus $G$ bezeichnen und der davon erzeugte Normalteiler sollte $\langle\!\langle( G,G)\rangle\!\rangle$ notiert werden. Da aber letzteres Konzept soviel h"aufiger vorkommt, ist es "ublich, hier eine Ausnahme zu machen und mit $(G,G)$ kurzerhand den von den Kommutatoren erzeugten Normalteiler zu bezeichnen, der nebenbei bemerkt mit der von den Kommutatoren erzeugten Untergruppe "ubereinstimmt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft der Abelisierung}] F"ur jede Gruppe $G$ ist ihre Abelisierung $G^{\op{ab}}$ eine abelsche Gruppe, und jeder Morphismus von $G$ in eine abelsche Gruppe\label{UEAb} faktorisiert "uber $G^{\op{ab}}$. In Formeln liefert also f"ur jede abelsche Gruppe $A$ das Verkn"upfen mit der Projektion $G\sra G^{\op{ab}}$ eine Bijektion $$\op{Grp}(G^{\op{ab}},A)\sira \op{Grp}(G,A)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ ein wegzusammenh"angender Raum und sind $x,y\in X$ Punkte, so liefern nach \ref{WBP} je zwei Wege $\gamma$ von $x$ nach $y$ denselben Isomorphismus $i_\gamma:\pi_1(X,x)^{\op{ab}}\sira \pi_1(X,y)^{\op{ab}}$, den wir dann auch $i_{yx}$ nennen d"urfen, und f"ur je drei Punkte $x,y,z$ gilt $i_{zx}=i_{zy}i_{yx}$. Folglich k"onnen wir f"ur jeden wegzusammenh"angenden Raum $X$ die {\bf basispunktfreie abelisierte Fundamentalgruppe}\index{Fundamentalgruppe!basispunktfreie}\label{bpfa} erkl"aren als die Untergruppe\index{p@$\pi_1(X)^{\op{ab}}$ basispunktfreie Fundamentalgruppe} $$\pi_1(X)^{\op{ab}}\subset\prod_{x\in X}\pi_1(X,x)^{\op{ab}}$$ aller Tupel $(\alpha_x)_{x\in X}$ mit $i_{yx}(\alpha_x)=(\alpha_y)$ f"ur alle $x,y\in X$. Die Projektion auf den entsprechenden Faktor liefert dann f"ur jeden Punkt einen kanonischen Isomorphismus $\pi_1(X)^{\op{ab}}\sira \pi_1(X,x)^{\op{ab}}$. Sind alle Fundamentalgruppen eh abelsch, so schreiben wir statt $\pi_1(X)^{\op{ab}}$ auch k"urzer $\pi_1(X)$. Ist weiter $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung von wegzusammenh"angenden R"aumen, so gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $f_\sharp: \pi_1(X)^{\op{ab}}\ra \pi_1(Y)^{\op{ab}}$, der f"ur alle $x\in X$ mit unseren $f_\sharp: \pi_1(X,x)\ra \pi_1(Y,f(x))$ vertr"aglich ist in der hoffentlich offensichtlichen Weise. Wir erhalten so einen Funktor $X\mapsto \pi_1(X)^{\op{ab}}$ von der Kategorie der wegzusammenh"angenden topologischen R"aume in die Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Umlaufzahl und Orientierung}] Wir betrachten die Kategorie $\op{Mod}_\DR(2)^\times$ mit zweidimensionalen reellen Vektorr"aumen als Objekten und Vektorraumisomorphismen als Morphismen. Wir erhalten einen Funktor $$\op{dreh}:\op{Mod}_\DR(2)^\times\ra \op{Ens}$$ durch die Vorschrift, da"s wir jedem zweidimensionalen reellen Vektorraum $V$ die Menge \index{Drehsinn!als Funktor} der beiden Erzeuger der basispunktfreien abelisierten Fundamentalgruppe $\pi_1(V\backslash 0)^{\op{ab}}$ des Komplements des Ursprungs zuordnen. Andererseits erinnern wir den Funktor $\op{or}:\op{Mod}_\DR(2)^\times\ra \op{Ens}$ aus \eref{KPOjn}{LA1}, der jedem zweidimensionalen reellen Vektorraum die Menge seiner beiden Orientierungen zuordnet. Es gibt nun offensichtlich genau zwei Transformationen $\op{or}\RA\op{dreh}$ und ebenso offensichtlich sind sie beide Isotransformationen. Wir vereinbaren, da"s wir von nun an diejenige dieser beiden Transformationen als die {\bf Standardtransformation}\index{Standardtransformation!$\op{or}\RA\op{dreh}$} $$\op{std}: \op{or}\siRa\op{dreh}$$ auszeichnen, die unserer Standardorientierung von $\DC$ vermittels der angeordneten Basis $(1,{\op{i}})$ den durch $t\mapsto \op{exp}(2\pi{\op{i}}t)$ repr"asentierten Erzeuger der Fundamentalgruppe von $\DC\backslash 0$ zuordnet. Mit dem {\bf durch eine Orientierung gegebenen Drehsinn}\index{Drehsinn!zu einer Orientierung} meinen wir den durch diese Standardtransformation unserer Orientierung zugeordneten Drehsinn.\label{Drehs} \end{Bemerkungw} \subsection{Selbsthomotopien der Kreislinie} \begin{Satz}[\textbf{Selbstabbildungen der Kreislinie bis auf Homotopie}] Man erh"alt eine Bijektion zwischen der Menge der ganzen Zahlen und\label{SAK} der Menge aller Homotopieklassen von Selbstabbildungen der Kreislinie, indem man jeder ganzen Zahl $n\in\DZ$ die Homotopieklasse des $n$-fachen Potenzierens $S^1\ra S^1$, $z\mapsto z^n$ zuordnet. In Formeln haben wir also eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \DZ&\sira &\op{hTop}(S^1,S^1)\\ n&\mapsto&[z\mapsto z^n] \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Mit dem {\bf Abbildungsgrad}\index{Abbildungsgrad!bei Kreislinie} $\op{grad}(f)$ einer stetigen Selbstabbildung der Kreislinie $f:S^1\ra S^1$ meint man das Urbild ihrer Homotopieklasse unter dieser Bijektion. In anderen Worten ist also der Abbildungsgrad einer stetigen Selbstabbildung $f:S^1\ra S^1$ diejenige ganze Zahl $n\in\DZ$, f"ur die $f$ homotop ist zu $z\mapsto z^n$. In \eref{AbGG}{TS} f"uhren wir allgemeiner den Abbildungsgrad stetiger Abbildungen zwischen \glqq kompakten orientierten zusammenh"angenden Mannigfaltigkeiten derselben Dimension\grqq\ ein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine Selbstabbildung der Kreislinie, die nicht surjektiv ist, ist nullhomotop. Eine nicht nullhomotope Selbstabbildung der Kreislinie mu"s also surjektiv sein. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSAK}\\[4mm] \noindent Eine Selbstabbildung der Kreislinie vom Abbildungsgrad $(-3)$. \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort aus "Ubung \ref{fugz} "uber den Zusammenhang zwischen freier Homotopie geschlossener Wege und Fundamentalgruppe. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Wir konstruieren explizit eine Inverse zur Zuordnung aus unserem Satz. Dazu erinnern wir an unsere Abbildung $\op{Exp}:\DR\ra S^1$, $t\mapsto \op{exp}(2\pi {\op{i}} t)$. Sei $f : S^{1}\ra S^{1}$ stetig. Da wir den Begriff des Abbildungsgrads eben schon vergeben haben, erkl"aren wir nur f"ur diesen Beweis die {\bf Gangh"ohe} $\op{gh} (f) \in \DZ$ von $f$ durch die Formel $\op{gh} (f) = \tilde{f}(1) - \tilde{f}(0)$, wo $\tilde{f} :[0,1]\ra \DR$ ein beliebiger Lift von $f\circ \op{Exp}:[0,1]\ra S^1$ ist, als da hei"st eine Abbildung derart, da"s das folgende Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{rcl} [0,1] & \overset{\tilde{f}}{\longrightarrow}&\DR \\ \op{Exp} \downarrow \;& & \downarrow \op{Exp} \\ S^{1} & \overset{f}{\longrightarrow} & S^{1} \end{array}$$ Nach \ref{WL} gibt es stets solch ein $\tilde{f}$ und es ist sogar eindeutig bis auf eine additive Konstante aus $\DZ$. Folglich ist die Gangh"ohe $\op{gh} (f)$ wohldefiniert. \begin{Lemma}\label{tre} Genau dann sind zwei Selbstabbildungen der Kreislinie homotop, wenn sie dieselbe Gangh"ohe haben. \nichtfinal{Besseres Bild, $\op{pr}_1\times\tilde H$ malen!} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Seien $f,g:S^1\ra S^1$ gegeben und sei $H : S^{1} \times [0,1] \ra S^{1}$ eine Homotopie von $f$ nach $g$. Nach unseren Erkenntnissen \ref{HlL} zum Liften von auf dem Einheitsquadrat definierten Abbildungen finden wir $\tilde{H}: [0,1]\times [0,1] \ra \DR$ derart, da"s folgendes Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{ccl} [0,1]\times [0,1] & \overset{\tilde{H}}{\longrightarrow} &\DR\\ \op{Exp} \times \op{id} \downarrow \;\;\;\;& & \downarrow \op{Exp} \\ S^{1} \times [0,1] & \overset{H}{\longrightarrow} &S^{1} \end{array}$$ Es folgt $\tilde{H}(0,\tau) - \tilde{H}(1,\tau) \in \DZ \quad \forall \tau$, mithin ist diese Abbildung konstant und wir erhalten $\op{gh} (f) = \op{gh} (g)$. Also haben homotope Selbstabbildungen der Kreislinie dieselbe Gangh"ohe. Seien umgekehrt $f,g : S^{1} \ra S^{1}$ zwei stetige Selbstabbildungen der Kreislinie mit derselben Gangh"ohe. Es gilt zu zeigen, da"s sie homotop sind. Seien dazu $\tilde{f} , \tilde{g} :[0,1] \ra \DR$ gew"ahlt wie in der Definition der Gangh"ohe. Wir erkl"aren $\tilde{H} : [0,1] \times [0,1] \ra \DR$ durch die Vorschrift $$\tilde{H} (t,\tau) = (1-\tau) \tilde{f}(t) + \tau \tilde{g}(t)$$ Aus $\op{gh} (f) = \op{gh} (g)$ folgt nun $\tilde{H} (0,\tau)+\op{gh} (f)= \tilde{H} (1,\tau) $, also $(\op{Exp} \circ \tilde{H})(0,\tau) =(\op{Exp} \circ \tilde{H})(1,\tau)$ f\"{u}r alle $\tau$. Folglich gibt es eine Abbildung von Mengen $H$ wie in der unteren Zeile des obigen Diagramms derart, da"s das Diagramm kommutiert. Da $\op{Exp} \times \op{id} :[0,1]\times [0,1] \ra S^{1}\times [0,1]$ nach \eref{IIA}{TM} final ist, ist $H$ sogar stetig. Das ist dann die gesuchte Homotopie von $f$ nach $g$. \end{proof}\noindent Nach Lemma \ref{tre} liefert unsere Gangh"ohe eine Injektion $$\op{gh}: \op{hTop}(S^1,S^1)\hra\DZ$$ Aus den Definitionen folgt m"uhelos, da"s $z\mapsto z^n$ die Gangh"ohe $n$ hat. Der Satz ist bewiesen und wir haben zus"atzlich gezeigt, da"s der Abbildungsgrad mit der Gangh"ohe "ubereinstimmt, in Formeln $\op{grad}(f)=\op{gh}(f)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen eine Abbildung $f$ {\bf gerade} beziehungsweise {\bf ungerade}, wenn gilt $f(-x)=f(x)$ beziehungsweise $f(-x)=-f(x)$ f"ur alle $x$, und das in gro"ser Allgemeinheit und einem vors"atzlich offen gelassenen Kontext. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}\label{ug} Jede stetige ungerade Selbstabbildung der Kreislinie hat ungeraden Abbildungsgrad und ist insbesondere nie nullhomotop. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Versuch einer Veranschaulichung}] Sei $f:S^1\ra S^1$ unsere stetige ungerade Selbstabbildung der Kreislinie. Das Urbild $$\tilde\Gamma\pdef \{(x,y)\in\DR^2\mid \op{Exp}(y)=f(\op{Exp}(x))\}$$ des Graphen von $f$ unter $\op{Exp}\times \op{Exp}$ ist dann stabil unter der Verschiebung mit den Vektoren $\pm(1,0)$, $\pm (0,1)$ und $\pm(1/2,1/2)$ und zu jedem $x$ haben je zwei $y,z$ mit $(x,y),(x,z)\in\tilde\Gamma$ ganzzahlige Differenz $y-z\in\DZ$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] In Formeln gilt es zu zeigen, da"s f"ur $f : S^{1} \ra S^{1}$ stetig mit $f(-x) = -f(x) \; \forall x$ der Abbildungsgrad von $f$ notwendig ungerade ist. Nach \ref{WL} finden wir stets $\tilde{f} : \DR \ra \DR$ stetig derart, da"s folgendes Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{ccc} \DR & \overset{\tilde{f}}{\longrightarrow} & \DR \\ \op{Exp} \downarrow \;\;\;\;\;\;\;& &\;\;\;\;\;\;\; \downarrow \op{Exp} \\ S^{1} & \overset{f}{\longrightarrow} & S^{1} \end{array}$$ Aus $f(-x) = -f (x)$ folgt $\tilde{f} (t + {\frac{1}{2}}) \in \tilde{f} (t) + {\frac{1}{2}} + \DZ$ f\"{u}r alle $t$, es gibt also ein $k \in \DZ$ mit $\tilde{f}(t + {\frac{1}{2}})= \tilde{f}(t) + {\frac{1}{2}} +k \; \forall t \in \DR$. Wir erhalten insbesondere $$\begin{array}{ccl} \tilde{f} (1) & =& \tilde{f}(\frac{1}{2}) + {\frac{1}{2}} + k \\ & =& \tilde{f}(0) +1+ 2 k \end{array}$$ und folglich $\op{grad} (f) =\op{gh}( f) = 1 + 2 k$. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Borsuk-Ulam}] Jede stetige ungerade Abbildung von der Kugelschale in die Ebene hat eine Nullstelle.\label{BU} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Versuchen wir einmal, uns das vorzustellen. Eine ungerade Abbildung $f_1:S^2\ra\DR$, die nicht identisch verschwindet, nimmt an einer Stelle einen positiven Wert an und gegen"uber einen negativen Wert. Denken wir uns ihre Nullstellenmenge als die Menge der Punkte auf einem Globus, an denen Land ist und nicht Meer, so k"onnten wir nicht mit einem Schiff vom Norpol zum Südpol segeln. Es ist dann zumindest anschaulich klar, da"s es auf unserer Landmasse zwei ge\-gen\-"uber\-lie\-gen\-de St"adte geben sollte derart, da"s wir trockenen Fu"ses von der einen zur anderen wandern k"onnen, mit beliebig kleiner positiv vorgegebener erlaubter Schrittweite. H"atten wir nun eine zweite ungerade Funktion $f_2$ und h"atten $f_1,f_2$ keine gemeinsame Nullstelle, so k"onnten wir von einer dieser St"adte zur anderen gehen ohne Nullstellen von $f_2$ zu treffen. Das st"unde jedoch im Widerspruch zur Stetigkeit von $f_2$. Ein "ahnliches Resultat wird in \eref{WPR2}{TS} diskutiert. Diese "Uberlegungen m"ogen den Satz anschaulicher machen, d"urfen aber nicht als Beweisskizze geschweige denn als Beweis mi"sverstanden werden. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Gegeben $f : S^{2}\ra \DR^{2}$ stetig mit $f(-x) = -f(x) \; \forall x \in S^{2}$ gilt es zu zeigen, da"s ein $x\in S^2$ existiert mit $f(x)=0$. Sonst w\"{a}re jedoch $x \mapsto f(x) / \|f(x) \|$ eine stetige ungerade Abbildung $g : S^{2} \ra S^{1}$. Die Einschr\"{a}nkung von $g$ auf den \"{A}quator $S^{1} \subset S^{2}$ w\"{a}re also nicht nullhomotop nach Proposition \ref{ug}, aber sie faktorisiert \"{u}ber die zusammenziehbare n\"{o}rdliche Hemisph\"{a}re $S^{2}_{+} \subset S^{2}$. Widerspruch! \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Das Plattdr"ucken einer Kugelschale ist nie injektiv}] F\"{u}r jede stetige Abbildung der Kugelschale in die Ebene gibt es sogar ein Paar von gegen"uberliegenden Punkten der Kugelschale, die auf denselben Punkt der Ebene abgebildet werden.\label{KBU} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Da"s eine stetige Abbildung von der Kugelschale in die Ebene nie injektiv sein kann, ist Ihnen hoffentlich anschaulich sofort klar. Ich kenne jedoch keinen einfacheren Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $h:S^2\ra \DR^2$ unsere stetige Abbildung. G"abe es kein $x\in S^2$ mit $h(x)=h(-x)$, so w\"{a}re $f : S^{2}\ra \DR^{2}$, $f(x)=h(x)-h(-x)$ stetig und ungerade ohne Nullstelle, im Widerspruch zum Satz \ref{BU} Borsuk-Ulam. \end{proof} \begin{Korollar}[\defnoind{Satz vom Butterbrot mit Schinken}]\index{Butterbrot mit Schinken!Satz vom} Gegeben drei kompakte Teilmengen des Raums gibt es stets eine Ebene, die sie alle drei in jeweils zwei volumengleiche Teile teilt. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Ist also ein Butterbrot mit Schinken gegeben und betrachtet man die Mengen der Punkte des Raums, an denen sich Schinken beziehungsweise Butter beziehungsweise Brot befindet, so kann man mit einem Schnitt das Brot so teilen, da"s zwei Hungrige jeweils gleichviel sowohl vom Schinken, als auch von der Butter als auch vom Brot erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Um dieses Korollar zu beweisen, formulieren wir es zun"achst einmal um. Seien $A,B,C\subset\DR^3$ unsere drei Kompakta. Sicher finden wir eine stetige Abbildung $\al : S^{2} \ra \DR$ derart, da"s f\"{u}r alle $x \in S^{2}$ die Ebene durch den Punkt $\al (x) x$ mit Normalenvektor $x$ die Menge $A$ halbiert: Hat $A$ nicht Volumen Null, so ordnen wir zum Beispiel jedem $x$ das maximal m"ogliche $\al (x)$ zu, sonst d"urfen wir $\al (x)$ eh beliebig w"ahlen. Sicher d\"{u}rfen wir weiter sogar $\al$ ungerade annehmen, indem wir sonst $\al$ durch $ (\al (x) -\al (-x))/2$ ersetzen. Ebenso finden wir stetige ungerade $\beta, \gamma : S^{2} \ra \DR$ f\"{u}r $B$ und $C$, und es gilt zu zeigen, da"s wir $x \in S^{2}$ finden mit $\al (x) = \beta (x) =\gamma (x)$. Nach dem Satz \ref{BU} von Borsuk-Ulam hat aber jede stetige ungerade Abbildung von der Kugelschale in die Ebene eine Nullstelle, insbesondere also auch die Abbildung \begin{equation*} \begin{array}[b]{cccl} f:& S^{2} & \ra & \DR^{2}\\ &x & \mapsto & (\al(x)- \beta (x), \beta(x) - \gamma(x)) \end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Korollar*}[\textbf{Lusternik-Schnirelmann}] Gegeben eine "Uberdeckung der\index{Lusternik-Schnirelmann} Kugelschale durch drei abgeschlossene Teilmengen enth"alt mindestens eine unserer drei Mengen ein Paar von gegen"uberliegenden Punkten. \end{Korollar*} \begin{proof}[Beweis] W"are $S^{2} = A_{1} \cup A_{2} \cup A_{3}$ ein Gegenbeispiel, so k"onnten wir stetige ungerade Funktionen $f_{i}:S^{2} \ra \Bbb{R}$ finden mit $f_{i} (x) =1$ f"ur $x \in A_{i}$, zum Beispiel indem wir mit den Funktio\-nen $d(A_{i}, \;)$ spielen, oder indem wir nach Tietze's Erweiterungslemma \eref{TELe}{TM} eine stetige Funktion $g_i$ finden mit $g_i(\pm x)=\pm 1$ f"ur $x\in A_i$ und dann $f_i(y)=(g_i(y)-g_i(-y))/2$ setzen f"ur alle $y$. Dann k"onnten wir den Satz von Borsuk-Ulam \ref{BU} anwenden auf $f=(f_{1},f_{2}): S^{2} \ra \Bbb{R}^{2}$ und f"anden $x \in S^{2}$ mit $\pm x \not\in A_{1}$, $\pm x \not\in A_{2}$, also notwendig $x, -x \in A_{3}$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $f:S^{1} \ra S^{1}$ stetig. F\"{u}r alle $z \in S^{1}$ enth\"{a}lt $f^{-1} (z)$ mindestens $|\op{grad} f|$ Punkte. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $f : S^{1}\ra S^{1}$ stetig, $z \in S^{1}$. So kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \pi_1(S^{1},z) & \overset{f_\sharp}{\longrightarrow}& \pi_1 (S^{1},f(z))\\[2mm] \op{Um} \downarrow \;\;\;\;\;& & \;\;\;\;\;\downarrow \op{Um} \\ \DZ & \overset{(\op{grad} f)\cdot}{\longrightarrow} &\DZ \end{array}$$ wo in der unteren Horizontale die Multiplikation mit $(\op{grad} f)$ gemeint ist. Hinweis: Man ziehe sich auf den Fall $f(z)=z^n$ zur\"{u}ck. \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTF" %%% End: