\section{Kategorien und Funktoren}\label{KFu} \subsection{Kategorien} \begin{Bemerkungl} Wir nutzen den Homotopie-Begriff als motivierendes Beispiel, um in die Sprache der Kategorien und Funktoren einzuf\"{u}hren. Diese Sprache ist \"{a}hnlich ausdrucksstark, grundlegend und elegant wie die Mengenlehre und geh\"{o}rt meines Erachtens in den Rucksack jeder Mathematikerin und jedes Mathematikers. Ich bin sogar der Ansicht, da"s die \glqq naive Mengenlehre\grqq\ aus den Grundvorlesungen am besten durch eine axiomatische Beschreibung der \glqq Kategorie aller Mengen\grqq\ wie etwa in \cite{LaR} formalisiert wird. So formal will ich bei der hier gegebenen Darstellung jedoch nicht werden und arbeite deshalb weiter auf der Grundlage der naiven Mengenlehre. Da die \glqq Gesamtheit aller Mengen\grqq\ nach \ref{WHK} nicht als Menge angesehen werden darf, verlassen wir kurzzeitig den Rahmen der naiven Mengenlehre und betrachten die \glqq Klasse\grqq\ aller Mengen. Bis auf weiteres ist dieser naive Zugang f"ur unsere Bed"urfnisse ausreichend. Sobald kompliziertere Konstruktionen anstehen, erl"are ich dann, wie man sich mit dem Kunstgriff der Wahl eines \glqq Universums\grqq\ doch wieder in den Rahmen der naiven Mengenlehre retten kann. Eine ausf"uhrlichere Behandlung der Kategorientheorie findet man zum Beispiel in \cite{MaC}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Kategorie} ${\cal C}$ besteht aus\label{Kaat} \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item einer Klasse von \defnoind{Objekten}\index{Objekt} $\op{Ob} {\cal C};$ \item einer Menge ${{\cal C}}(X,Y)$ von \defnoind{Morphismen}\index{Morphismus} f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob} {\cal C}$; \item einer Abbildung ${{\cal C}} (X,Y) \times {{\cal C}} (Y,Z) \ra {{\cal C}} (X,Z),\; (f,g) \mapsto g\circ f $ f\"{u}r je drei Objekte $X,Y,Z\in {\cal C},$ genannt die \defnoind{Verkn\"{u}pfung}\index{Verkn"upfung!von Morphismen} von Morphismen,\index{$\circ$!Verkn"upfung von Morphismen} \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s folgende Axiome erf\"{u}llt sind: \begin{enumerate} \item Die Verkn"upfung ist {\bf assoziativ}, d.h.\ es gilt $(f\circ g)\circ h= f\circ (g\circ h)$ f\"{u}r Morphismen $f,g$ und $h$ wann immer diese Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind; \item F\"{u}r jedes Objekt $X\in \op{Ob} {\cal C}$ gibt es einen Morphismus $\op{id}_{X} \in {{\cal C}} (X,X),$ die \defind{Identit\"{a}t auf $X$}, so da"s gilt $ \op{id}_{X} \circ f =f$ und $g\circ \op{id}_{X} =g $ f\"{u}r Morphismen $f,g$ wann immer diese Verkn\"{u}pfungen sinnvoll sind. Die "ublichen Argumente zeigen, da"s es f"ur jedes $X$ h"ochstens einen derartigen Morphismus geben kann, womit auch die Verwendung des bestimmten Artikels gerechtfertigt ist. \item Die Morphismenmengen sind paarweise disjunkt. \end{enumerate} Eine Kategorie, deren Objekte eine Menge bilden, hei"st eine \defind{kleine Kategorie}. \end{Definition} \begin{Beispiel} Unser erstes Beispiel ist die Kategorie ${\cal C}=\op{Ens}$ aller Mengen. Ihre Objekte sind beliebige Mengen. F\"{u}r zwei Mengen $X,Y$ ist $\op{Ens} (X,Y)$ die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $Y.$ Die Verkn\"{u}pfung ordnet jedem Paar $(f,g)$ von Abbildungen ihre Komposition $g\circ f$ zu, und $\op{id}_{X}\in \op{Ens}(X,X)$ ist schlicht die \glqq identische\grqq\ Abbildung $\op{id}_{X}(x)=x \; \forall x\in X.$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{NotEn}%\label{NotE} Sei ${\cal C}$ eine Kategorie und seien in $X,Y\in\op{Ob} {\cal C}$ Objekte von ${\cal C}.$ Statt $f\in {{\cal C}}(X,Y)$ sagen wir auch \glqq $f$ ist ein Morphismus von $X$ nach $Y$\grqq\ und schreiben kurz $f:X \ra Y.$ Statt $\op{id}_{X}$ schreiben wir oft nur $\op{id}.$ Statt $X\in \op{Ob} {\cal C}$ schreiben wir oft k\"{u}rzer $X\in{\cal C}.$ Die Morphismen von $X$ zu sich selber nennen wir die \defind{Endomorphismen} von $X$ und k"urzen sie ab mit $\cal{C}(X,X)=\cal{C}(X).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{NotK} Hier kommen einige Beispiele von Kategorien. Als Verkn\"{u}pf\-ung von Morphismen ist f\"{u}r die Kategorien dieser Liste stets die Komposition von Abbildungen gemeint. \vspace{0.5cm} \begin{tabular}[t]{lll} Kategorie & Morphismen & K"urzel\\ & \\ \{Mengen\} & alle Abbildungen & $\op{Ens}$\index{Ens@$\op{Ens}$!Kategorie der Mengen}\\ \{Monoide\} & Morphismen von Monoiden & $\op{Mon}$\index{Mon@$\op{Mon}$ Kategorie der Monoide}\\ \{Gruppen\} & Gruppenhomomorphismen & $\op{Grp}$\index{Grp@$\op{Grp}$ Kategorie der Gruppen} \\ \{abelsche Gruppen\} & Gruppenhomomorphismen & $\op{Ab}$\index{Ab@$\op{Ab}$ Kategorie der abelschen Gruppen}\\ \{topologische R\"{a}ume\} & stetige Abbildungen & $\op{Top}$\index{Top@$\op{Top}$ Kategorie der topologischen R"aume}\\ \{bepunktete Mengen\}& Abbildungen,& $\op{Ens}^\ast$\index{Ens@$\op{Ens}^\ast$ Kategorie bepunkteter Mengen}\\ &die den Basispunkt erhalten&\\ \{bepunktete R"aume\}& stetige Abbildungen,& $\op{Top}^\ast$\index{Top@$\op{Top}^\ast$ Kategorie bepunkteter topologischen R"aume}\\ &die den Basispunkt erhalten&\\ \{$k$-Vektorr\"{a}ume\}& $k$-lineare Abbildungen &$k\op{-Mod},$ $\op{Mod}_k$\\ \{Affine R\"{a}ume "uber $k$\}& affine Abbildungen &$k\op{-Aff},$ $\op{Aff}_k$\\ \{nicht unit"are Ringe\}& Rng-Homomorphismen &$\op{Rng}$\index{Rng@$\op{Rng}$ Kategorie der nicht unit"aren Ringe}\\ \{Ringe\}& Ringhomomorphismen &$\op{Ring}$\index{Ring@$\op{Ring}$ Kategorie der Ringe}\\ \{kommutative Ringe\}& Ringhomomorphismen &$\op{Kring}$\index{Kring@$\op{Kring}$!Kategorie der Kringe}\\ \{$k$-Algebren\}& $k$-Algebren-Homomorphismen &$k\op{-Alg},$ $\op{Alg}_k$\index{Alg@$\op{Alg}$ Kategorie der Algebren}\\ \end{tabular}\\[4mm] \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer \defind{Unterkategorie} einer Kategorie versteht man ein Paar bestehend aus einer Teilklasse von Objekten nebst Teilmengen der Morphismenr"aume f"ur je zwei Objekte unserer Teilklasse derart, da"s die offensichtlichen Bedingungen erf"ullt sind. Eine Unterkategorie hei"st \defnoind{voll}\index{voll!Unterkategorie} genau dann, wenn die fraglichen Teilmengen der Morphismenr"aume jeweils aus allen Morphismen in der urspr"unglichen Kategorie bestehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Morphismen von $k$-Vektorr"aumen $V,W$ notiert man statt $\op{Mod}_k(V,W)$ meist $\op{Hom}_k(V,W)$ und f"ur Endomorphismen ist die Notation $\op{Mod}_k(V)=\op{End}_kV$ "ublich. Das Symbol \glqq $\op{Hom}$\grqq\ f"ur Morphismenr"aume versuche ich jedoch im allgemeinen zu vermeiden. Ich will es reservieren f"ur die sogenannten \glqq internen Hom-R"aume\grqq, unter denen man Vorschriften versteht, die zwei Objekten einer Kategorie ein drittes zuordnen, im Fall der Vektorr"aume etwa die Morphismenmenge mit ihrer nat"urlichen Vektorraumstruktur. Das K"urzel \glqq $\op{Mod}$\grqq\ mit etwelchen oberen und unteren Indizes wird stets stehen f"ur abelsche Gruppen mit Zusatzstrukturen, meist Operationen von Ringen oder Gruppen. Gehen diese Zusatzstrukturen aus dem Kontext hervor, so lassen wir die entsprechenden Indizes auch manchmal weg. F"ur abelsche Gruppen ohne Zusatzstrukturen benutzen wir stets das K"urzel \glqq $\op{Ab}$\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ein etwas komplizierteres Beispiel f"ur eine Kategorie ist die sogenannte {\bf Homotopiekategorie}\index{Homotopiekategorie!topologische} topologischer R\"{a}ume $\op{ Hot}.$\index{Hot@$\op{ Hot}$!topologische Homotopiekategorie} Ihre Objekte sind topologische R\"{a}ume, als Morphismen von einem Raum in einen anderen nehmen wir jedoch die Menge ${\op{Hot}} (X,Y)$ aller Homotopieklassen von stetigen Abbildungen und erkl\"{a}ren ihre Verkn\"{u}pfung in der offensichtlichen Weise durch $[f]\circ [g] = [f\circ g].$ F"ur die Menge der Homotopieklassen von Abbildungen zwischen zwei R"aumen ist auch die Notation ${\op{Hot}} (X,Y)=[X,Y]$ gebr"auchlich. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{poKa} Jede partiell geordnete Menge $(A,\leq)$ kann als Kategorie aufgefa"st werden wie folgt: Objekte sind die Elemente, Morphismen gibt es jeweils einen von einem Element zu jedem kleineren und zu sich selber, die Verkn"upfung von Morphismen ist die offensichtliche und einzig m"ogliche. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Ein andersartiges Beispiel ist das \defnoind{fundamentale Gruppoid}\index{Gruppoid!fundamentales} ${\cal W}={\cal W}_X$ eines topologischen Raums $X.$ Seine Objekte sind die Punkte von $X,$ die Morphismenmenge ${\cal W}(x,y)$ besteht aus allen Homotopieklassen von Wegen mit Anfangspunkt $x$ und Endpunkt $y,$ in Formeln $${\cal W}(x,y)=\pi_1(X,y,x)$$ und die Verkn\"{u}pfung von Morphismen ist das Hintereinanderh\"{a}ngen von Wegen. Man benutzt Lemma \ref{VKN}, um die Axiome einer Kategorie zu pr\"{u}fen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F\"{u}r jede Kategorie ${\cal C}$ bildet man die \defind{opponierte Kategorie} ${\cal C}^{\circ}={\cal C}^{\op{opp}}$ wie folgt: Man setzt $$\op{Ob}{\cal C}^{\circ} = \op{Ob} {\cal C}\text{ und } {{\cal C}^{\circ}} (X,Y) = {{\cal C}} (Y,X)$$ und erkl\"{a}rt die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in ${\cal C}^{\circ}$ in der offensichtlichen Weise. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{PvKa} F\"{u}r Kategorien ${\cal A},$ $\cal{B}$ bildet man die {\bf Produkt-Kategorie}\index{Produkt!von Kategorien} ${\cal A}\times\cal{B}$\index{x@$\times$!Produkt von Kategorien} wie folgt: Man setzt $\op{Ob}({\cal A}\times\cal{B}) = \op{Ob} {\cal A}\times\op{Ob} {\cal B} ,$ erkl"art Morphismen in der Produktkategorie als Paare von Morphismen in den Ausgangskategorien und erkl\"{a}rt die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in der Produktkategorie in der offensichtlichen Weise. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{KatI} \begin{enumerate} \item Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie hei"st ein \defnoind{Isomorphismus}\index{Isomorphismus!in Kategorie} oder \defnoind{Iso}\index{Iso!in Kategorie} und als Adjektiv {\bf iso} genau dann, wenn es einen Morphismus $g\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ g=\op{id}_{Y}$ und $g\circ f=\op{id}_{X}.$ Wir notieren die Menge aller Isomorphismen von $X$ nach $Y$ auch ${\cal C}^\times (X,Y) $ und\index{$\cal{C}^\times$ Isomorphismen in $\cal{C}$} notieren Isomorphismen oft $f:X\sira Y.$ \item Zwei Objekte $X$ und $Y$ einer Kategorie hei"sen \defnoind{isomorph}\index{isomorph!in Kategorie} genau dann, wenn es einen Iso $f:X \sira Y$ gibt. Man schreibt dann auch kurz $X\cong Y.$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Ubung} Ein Morphismus $f \in {{\cal C}} (X,Y) $ in einer Kategorie ist ein Isomorphismus genau dann, wenn es Morphismen $g,h\in {{\cal C}}(Y,X) $ gibt mit $f\circ g=\op{id}_{Y}$ und einen $h\circ f=\op{id}_{X}.$ \end{Ubung} \begin{Beispiele}\label{Gruppo} Isomorphismen in der Kategorie der Mengen nennt man Bijektionen, Isomorphismen in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume Hom\"{o}o\-morphismen, Isomorphismen in der Homotopiekategorie Homotopie\"{a}quiva\-len\-zen. Kategorien, in denen alle Morphismen Isomorphismen sind, hei"sen auch \defnoind{Gruppoide}\index{Gruppoid}. Kategorien, in denen es au"ser den Identit"aten keine Morphismen gibt, hei"sen {\bf diskret}.\index{diskret!Kategorie}\index{Kategorie!diskrete} Nat"urlich ist jede diskrete Kategorie ein Gruppoid. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Viele mathematische Fragestellungen lassen sich in der Sprache der Kategorien dahingehend formulieren, da"s man einen \"{U}berblick \"{u}ber alle Objekte einer Kategorie gewinnen will, wobei man zwischen isomorphen Objekten nicht unterscheidet. Man spricht dann auch von \defnoind{Isomorphieklassen}\index{Isomorphieklasse} von Objekten und Fragestellungen dieser Art hei"sen \defind{Klassifikationsprobleme}. Zum Beispiel werden die endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume klassifiziert durch ihre Dimension, in der Einleitung hatten wir eine Klassifikation der zusammenh\"{a}ngenden geschlossenen Fl\"{a}chen angegeben, und die Isomorphieklassen des fundamentalen Gruppoids eines topologischen Raums sind schlicht seine Wegzusammenhangskomponenten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Isomorphismen von einem Objekt $X$ einer Kategorie auf sich selber hei"sen die {\bf Automorphismen}\index{Automorphismus!in Kategorie} von $X.$ Sie bilden stets eine Gruppe, die {\bf Automorphismengruppe} ${{\cal C}}^\times(X)$ von $X.$ Unsere Fundamentalgruppe $\pi_1(X,x)$ ist genau die Automorphismengruppe des Punktes $x$ in seinem fundamentalen Gruppoid, in Formeln $\pi_1(X,x)={\cal W}_X^\times(x).$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Objekt $F$ einer Kategorie ${\cal C}$ hei"st \defind{final} genau dann, wenn es f"ur alle $Y \in {\cal C}$ genau einen Morphismus von $Y$ nach $F$ gibt, in Formeln $$|{{\cal C}} (Y,F)|=1\quad\forall Y\in\cal C$$ \end{Definition} \begin{Definition} Ein Objekt $K$ einer Kategorie ${\cal C}$ hei"st \defind{kofinal} genau dann, wenn es f"ur alle $Y \in {\cal C}$ genau einen Morphismus von $K$ nach $Y$ gibt, in Formeln $$|{{\cal C}} (K,Y)|=1\quad\forall Y\in\cal C$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Zwischen je zwei finalen (bzw.\ kofinalen) Objekten gibt es offensichtlich genau einen Isomorphismus. Wir reden deshalb meist etwas lax von {\em dem} finalen bzw.\ kofinalen Objekt und bezeichnen \glqq das\grqq\ finale Objekt gerne mit $\op{pt}=\op{pt}(\cal{C})$\index{pt@$\op{pt}=\op{pt}(\cal{C})$ finales Objekt von $\cal{C}$} f"ur \glqq Punkt\grqq\ und Morphismen dahin mit $c$ f"ur \glqq konstant\grqq. Manchmal verwenden wir als Bezeichnung des finalen Objekts auch die kleingeschriebene Bezeichnung der Kategorie, etwa $\op{top}$ \index{top@$\op{top}$ einelementiger Raum} f"ur den einelementigen topologischen Raum oder $\op{ens}$ \index{ens@$\op{ens}$ einelementige Menge} f"ur die einelementige Menge. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} In der Kategorie der Mengen sind die einpunktigen Mengen die finalen Objekte und die leere Menge ist das einzige kofinale Objekt. \end{Beispiele} \begin{Ubung} Man finde finale und kofinale Objekte in den Kategorien der Gruppen, Ringe, topologischen R\"{a}ume. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Gibt es in einer Kategorie eine Menge von Objekten derart, da"s jedes Objekt isomorph ist zu einem Objekt aus besagter Menge, so nennt man die Kategorie \defind{svelte}. Insbesondere ist jede kleine Kategorie svelte. \end{Bemerkunge} \subsection{Funktoren} \begin{Definition}\label{DefF} Ein \defind{Funktor} $F:{\cal A} \ra {\cal B}$ von einer Kategorie ${\cal A}$ in eine Kategorie ${\cal B}$ besteht aus \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item einer Abbildung $F:\op{Ob} {\cal A} \ra \op{Ob} {\cal B},$ $X\mapsto FX;$ \item einer Abbildung $F:{{\cal A}} (X,Y) \ra {{\cal B}} (FX,FY),$ $f\mapsto Ff$ f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob} {\cal A},$ \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s gilt \begin{enumerate} \item $F(f\circ g) = (Ff)\circ (Fg)$ f\"{u}r beliebige verkn\"{u}pfbare Morphismen $f$ und $g$ aus der Kategorie ${\cal A};$ \item $ F(\op{id}_{X}) = \op{id}_{FX}$ f\"{u}r jedes Objekt $X\in{\cal A}.$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man gibt bei einem Funktor $F$ meist nur die Abbildung $X\mapsto FX$ auf den Objekten an in der Hoffnung, da"s dadurch schon klar wird, welche Abbildung $f\mapsto Ff$ auf den Morphismen gemeint ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Unsere Fundamentalgruppe ist ein Funktor $\pi_1 : \op{Top}^\ast \ra \op {Grp}$ von den bepunkteten topologischen R"aumen in die Gruppen. Das \glqq Vergessen der Gruppenstruktur\grqq\ definiert einen Funktor $\op{Grp} \ra \op{Ens}$ von den Gruppen in die Mengen. Nat"urlich gibt es noch viele andere solche \defnoind{Vergiss-Funktoren}\index{Vergiss-Funktor}. Die Zuordnung, die jedem topologischen Raum $X$ die Menge $\pi_0(X)$ seiner Wegzusammenhangskomponenten zuordnet, ist ein Funktor $\pi_{0} : \op{Top} \ra \op{Ens}.$ Indem wir die Komponente des ausgezeichneten Punktes auszeichnen, erhalten wir ebenso einen Funktor $\pi_{0} : \op{Top}^\ast \ra \op{Ens}^\ast.$ Ist ${\cal C}$ eine Kategorie und $X \in {\cal C}$ ein Objekt, so ist die Zuordnung $$\begin{array}{cccl} {{\cal C}} (X,\;) :& {\cal C}& \ra& \op{Ens}\\ & Y &\mapsto& {\cal{C}} (X,Y) \end{array}$$ stets ein Funktor. Sind $F: {\cal A} \ra {\cal B}$ und $G: {\cal B} \ra {\cal C}$ Funktoren, so ist auch $G\circ F : {\cal A} \ra {\cal C}$ ein Funktor. Und schlie"slich haben wir f"ur jede Kategorie ${\cal C}$ den \defind{Identit"atsfunktor} $\op{Id}=\op{Id}_{\cal C}$\index{Id@$\op{Id}$ Identit"atsfunktor} von besagter Kategorie in sich selber. Jeder Funktor $F:\cal{A}\ra\cal{B}$ liefert in offensichtlicher Weise einen Funktor $F:\cal{A}^\circ\ra\cal{B}^\circ$ zwischen den zugeh"origen opponierten Kategorien. \end{Beispiele} \begin{Lemma} Ein Funktor bildet stets Isomorphismen auf Isomorphismen ab. Insbesondere haben isomorphe Objekte unter einem Funktor stets isomorphe Bilder. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $F$ unser Funktor. Wir schlie"sen: $$\begin{array}[b]{ll} f \text{ ist Isomorphismus }&\Rightarrow \text{ Es gibt $g$ mit $ f\circ g = \op{id}$ und $g\circ f =\op{id}$}\\ &\Rightarrow (Ff)\circ (Fg) =\op{id} \text{ und }(Fg)\circ (Ff)=\op{id}\\ &\Rightarrow Ff \text{ ist Isomorphismus.} \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Definition} Ein Funktor $F:{\cal A}\ra {\cal B}^{\circ}$ hei"st auch ein \defind{kontravarianter Funktor} von ${\cal A}$ nach ${\cal B}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ausgeschrieben besteht ein kontravarianter Funktor von ${\cal A}$ nach ${\cal B}$ aus einer Abbildung $ F:\op{Ob} {\cal A} \ra \op{Ob} {\cal B}$ sowie f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y\in{\cal A}$ einer Abbildung $F:{{\cal A}} (X,Y) \ra {{\cal B}} (FY,FX)$ derart, da"s gilt $F(\op{id})= \op{id}$ und $F(f\circ g) = Fg \circ Ff$ f\"{u}r alle verkn\"{u}pfbaren Morphismen $f,g.$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Zuordnung $D,$ die jedem Vektorraum $V$ "uber einem K"or\-per $k$ seinen Dualraum $V^{\ast}=\op{Hom}_{k} (V,k)$ zuordnet, ist ein kontravarianter Funktor $ D:\op{Mod}_k\ra\op{Mod}_k,$ $V \mapsto V^{\ast}.$ Nat"urlich h"atten wir hier statt $\op{Hom}_{k} (V,k)$ ebensogut $\op{Mod}_{k} (V,k)$ schreiben k"onnen, aber die Notation $\op{Hom}$ betont, da"s wir uns besonders f"ur die Vektorraumstruktur auf besagter Menge von Morphismen interessieren. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben eine Kategorie ${\cal C}$ und ein Objekt $X\in{\cal C}$ ist die Zuordnung ${{\cal C}} (\;,X) : {\cal C} \ra \op{Ens}$ stets ein kontravarianter Funktor. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{Eif} \begin{enumerate} \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st \defnoind{treu}\index{treu!Funktor} genau dann, wenn er Injektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime}) \hra {{\cal B}} (FA,\, FA^{\prime})$ auf den Morphismen induziert, f"ur alle $A,A'\in\cal{A}.$ \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st eine \defnoind{volltreu}\index{volltreu!Funktor} genau dann, wenn er Bijektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime}) \sira {{\cal B}} (FA,\, FA^{\prime})$ auf den Morphismen induziert. \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st eine \defnoind{"Aquivalenz von Kategorien}\index{"Aquivalenz!von Kategorien} genau dann, wenn er volltreu ist und zus"atzlich eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert, wenn es also in Formeln f\"{u}r alle $B \in {\cal B}$ ein $A\in {\cal A}$ gibt mit $FA \cong B.$ \item Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st ein {\bf Isomorphismus von Kategorien}\index{Isomorphismus!von Kategorien} genau dann, wenn er bijektiv ist auf Objekten und auf Morphismen. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel}\label{MKk}%\label{MK} Sei $k$ ein K"orper. Wir betrachten die Kategorie $\op{Modfg}_k$ aller endlichdimensionalen alias endlich erzeugten alias \glqq finitely generated\grqq\ $k$-Vektorr\"{a}ume mit linearen Abbildungen als Morphismen. Weiter betrachten wir, und zwar sogar f"ur einen beliebigen Ring $k,$ die Kategorie ${\cal M}={\cal M}_k$ mit Objekten $\op{Ob} {\cal M} = \DN$ und als Morphismen Matrizen mit Eintr\"{a}gen in $k,$ in Formeln\index{M@$\mathcal M$ Matrixkategorie} $${{\cal M}} (m,n) = \op{M}(n \times m; k)$$ Die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in ${\cal M}$ sei die Matrixmultiplikation. Im Fall eines K"orpers $k$ ist dann der offensichtliche Funktor $n\mapsto k^{n}$ eine \"{A}quivalenz $R:{\cal M}_k\sira \op{Modfg}_k,$ aber nat"urlich kein Isomorphismus von Kategorien. Wenn unser Ring $k$ selbst durch einen gr"o"seren Ausdruck gegeben ist, schreiben wir f"ur die Matrixkategorie statt $\mathcal M_k$ auch manchmal $\mathcal M(k)$. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Jede \"{A}quivalenz von Kategorien induziert eine Bijektion zwischen den zugeh"origen Isomorphieklassen von Objekten. Zum Beispiel werden die endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume klassifiziert durch ihre Dimension, d.h.\ durch Elemente von $\DN.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Verkn\"{u}pfung von zwei \"{A}quivalenzen von Kategorien ist wieder eine \"{A}quivalenz von Kategorien. \end{Ubung} \subsection{Transformationen} \begin{Bemerkungl} Bis hierher hat sich unsere Theorie in vertrauten Bahnen bewegt: Wir haben nur eine neue Art von Strukturen erkl"art, die Kategorien, und strukturerhaltende Abbildungen alias Morphismen dazwischen betrachtet, die Funktoren. Insoweit pa"st alles noch in den strukturellen Rahmen, an den man seit der linaren Algebra durch das Studium von Vektorr"aumen und linearen Abbildungen gew"ohnt worden ist. Das Neue bei der Kategorientheorie ist nun, da"s es auch \glqq Morphismen von Morphismen\grqq\ gibt. Sie hei"sen \glqq Transformationen von Funktoren\grqq\ und sind das Thema dieses Abschnitts. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien ${\cal A}, {\cal B}$ Kategorien und $F,G : {\cal A} \ra {\cal B}$ Funktoren. Eine {\bf Transformation}\index{Transformation!von Funktoren} $\tau : F \Rightarrow G$\index{$\Rightarrow$ Transformation} ist\index{$\Leftarrow$ Transformation} eine Vorschrift, die jedem Objekt $X\in {\cal A}$ einen Morphismus $\tau_{X}\in {{\cal B}}(FX,GX) $ zuordnet derart, da"s f\"{u}r jeden Morphismus $f: X \ra Y$ in ${\cal A}$ das folgende Diagramm in ${\cal B}$ kommutiert: $$\begin{array}{ccc} F X &\overset{\textstyle{\tau_{X}}}{\longrightarrow}& GX\\ Ff\downarrow \;\;& &\;\;\downarrow Gf\\ FY &\overset{\textstyle{\tau_{Y}}}{\longrightarrow}& GY \end{array}$$ Ob ein Doppelpfeil eine Transformation von Funktoren oder vielmehr eine Implikation meint mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. Sind alle $\tau_{X}$ Isomorphismen, so nenne ich $\tau$ eine \defind{Isotransformation}, aber diese Terminologie ist nicht gebr"auchlich. In der Literatur spricht man eher von einem {\bf Isomorphismus}\index{Isomorphismus!von Funktoren} oder auch einer {\bf \"{A}quivalenz von Funktoren}.\index{"Aquivalenz!von Funktoren} Die Klasse aller Transformationen von $F$ nach $G$ bezeichnen wir mit $\op{Trans} (F,G)$ oder, wenn zus"atzliche Information wichtig ist, auch ausf"uhrlicher mit $\op{Trans}_\cal{A} (F,G)$ oder sogar $\op{Trans}_{\cal{A}\ra\cal{B}} (F,G).$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In der Literatur hei"sen unsere Transformationen meist \glqq nat"urliche Transformationen\grqq. Diese Terminologie schien mir jedoch unn"otig umst"andlich und entspricht auch nicht meinem Sprachempfinden: Ich m"ochte zum Beispiel unter der \glqq nat"urlichen\grqq\ Transformation des Identit"atsfunktors auf der Kategorie aller $\DR$-Vektorr"aume in den Bidualraumfunktor gerne die in \ref{BDR} gegebene Transformation verstehen, die zwar keineswegs die einzige Transformation zwischen diesen Funktoren ist, aber wohl schon die \glqq nat"urlichste\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind ${\cal A}, {\cal B}$ Kategorien und ist ${\cal A}$ klein, so erhalten wir eine weitere Kategorie\index{Fun@$\op{Fun}$ Funktorkategorie} $\op{Fun}({\cal A}, {\cal B})$ mit den Funktoren von ${\cal A}$ nach $ {\cal B}$ als Objekten und den Transformationen von Funktoren als Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{BDR} Sei $k$ ein K\"{o}rper und $B:\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$ der Funktor, der jedem $k$-Vektorraum $V$ seinen Bidualraum $BV=V^{\ast\ast}$ zuordnet. So liefern die Evaluationen $\tau_V:V\ra V^{\ast\ast},$ $v\mapsto (f\mapsto f(v))$ eine Transformation $\op{Id}\Rightarrow B$ sowie eine Isotransformation zwischen den Restriktionen dieser Funktoren auf die Kategorie der endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein K\"{o}rper und $D:\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k^\circ$ der Funktor, der jedem Raum seinen Dualraum zuordnet. Sei weiter $\cal{M}=\cal{M}(k)$ die Matrizenkategorie aus \ref{MKk} und $T:\cal{M}\ra \cal{M}^\circ$ der Funktor, der Matrizen transponiert. Sei schlie"slich $R:\cal{M}\ra \op{Mod}_k$ unser Funktor aus \ref{MKk} und bezeichne $R$ auch den entsprechenden Funktor zwischen den jeweils opponierten Kategorien. So erhalten wir eine Isotransformation $$\tau:RT\Rightarrow DR$$ indem wir jeder nat"urlichen Zahl alias jedem Objekt $n\in \cal{M}$ den offensichtlichen Isomorphismus $\tau_n:k^n\sira (k^n)^\ast$ zuordnen. Es kann hilfreich sein, durch Doppelpfeile in Diagrammen von Kategorien und Funktoren klarzumachen, zwischen welchen Funktoren eine Transformation gemeint ist. So w"are etwa unser $\tau$ ein m"oglicher Doppelpfeil im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \cal{M}\ar[d]_R \ar[r]^T &\ar@{=>}[dl] \cal{M}^\circ\ar[d]^R\\ \op{Mod}_k \ar[r]^{D} & \op{Mod}_k^\circ } \end{displaymath} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein K\"{o}rper. Gegeben zwei $k$-Vektorr"aume $V,W$ k"onnen wir die Menge $\op{Mod}_k(V,W)$ versehen mit der Struktur eines $k$-Vektorraums. Wollen wir besonders betonen, da"s wir diese Struktur meinen, so schreiben wir $\op{Hom}_k(V,W).$ Mit dieser Notation definieren die nat"urlichen Abbildungen $$V^\ast \otimes_k W\ra \op{Hom}_k(V,W)$$ f"ur $k$-Vektorr\"{a}ume $V,W$ eine Transformation zwischen den durch diese Vorschriften gegebenen Funktoren $$\op{Mod}_k^\circ\times \op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$$ und eine "Aquivalenz, wenn wir uns im ersten Faktor auf endlichdimensionale R"aume beschr"anken. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur jeden Funktor gibt es die \defind{identische Transformation} $\op{id}$ von besagtem Funktor zu sich selber. Sind $\tau : F \Rightarrow G$ und $\sigma : G \Rightarrow H$ Transformationen, so ist auch $\sigma \circ \tau : F \Rightarrow H$ eine Transformation. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{NTr} Seien $F,G:\cal{A}\ra\cal{B}$ Funktoren und $\tau:F\Rightarrow G$ eine Transformation. Gegeben ein weiterer Funktor $H:\cal{B}\ra\cal{C}$ erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Transformation $H\tau: HF\Rightarrow HG.$ Gegeben ein weiterer Funktor $H:\cal{C}\ra\cal{A}$ erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Transformation $\tau H: FH\Rightarrow GH.$ \end{Beispiel} \begin{Ubung}\label{KoA} Gegeben Funktoren $F,F':\cal{A}\ra\cal{B}$ und $G,G':\cal{B}\ra\cal{C}$ und Transformationen $\alpha:F\Rightarrow F'$ sowie $\beta:G\Rightarrow G'$ gilt die Gleichheit $\beta F'\circ G\alpha=G'\alpha\circ \beta F$ von Transformationen $GF\Rightarrow G'F'.$ \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}\label{YLl} Einen Funktor von einer Kategorie $\cal{C}$ in die Kategorie der Mengen nennen wir kurz einen \defind{Mengenfunktor} {\bf auf} $\cal{C}.$ Gegeben eine kleine Kategorie $\cal{C}$ bildet die Klasse aller Mengenfunktoren $\cal{C}\ra\op{Ens}$ mit den Transformationen als Morphismen wieder eine Kategorie. Die zur Kategorie der Mengenfunktoren auf $\cal{C}$ opponierte Kategorie $\cal{C}^\wedge =\op{Fun}(\cal{C},\op{Ens})^\circ$ kann man als eine Art \glqq Vervollst"andigung\grqq\ von $\cal{C}$ interpretieren, da n"amlich, wie das gleich anschlie"sende Yoneda-Lemma \ref{YL} zeigt, die Vorschrift $X\mapsto {\cal{C}} ({X},\;)$ einen volltreuen Funktor $$\cal{C}\ra \cal{C}^\wedge$$ definiert. Diejenigen Mengenfunktoren auf $\cal{C},$ die "aquivalent sind zu Mengenfunktoren im Bild von $\cal{C}\ra \cal{C}^\wedge,$ hei"sen \defnoind{darstellbare Funktoren}.\index{darstellbarer Funktor} Ist ein Mengenfunktor $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$ "aquivalent zu ${\cal{C}} ({X},\;)$ f"ur ein $X\in\cal{C},$ so sagen wir, der {\bf Funktor $F$ werde dargestellt durch das Objekt $X.$} Zum Beispiel wird der Vergi"sfunktor von den $k$-Vektorr"aumen in die Mengen dargestellt durch den eindimensionalen Vektorraum $k,$ der Vergi"sfunktor von den Gruppen in die Mengen durch die Gruppe $\DZ,$ und der Funktor $\pi_0:\op{Hot}\ra\op{Ens},$ der jedem Raum die Menge seiner Wegzusammenhangskomponenten zuordnet, durch den einpunktigen Raum. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\defind{Yoneda-Lemma}]\label{YL} Sei $\cal{C}$ eine Kategorie, ${{X}} \in \cal{C}$ ein Objekt und $F : \cal{C} \ra\op{Ens}$ ein Mengenfunktor auf $ \cal{C}.$ So liefert die Abbildungsvorschrift $\tau \mapsto \tau_{{{X}}} (\op{id}_{{{X}}})$ eine Bijektion $$ \op{Trans}_\cal{C} ({\cal{C}} ({{X}},\;),F) \sira F({{X}}) $$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die andere Richtung. F"ur beliebiges $a\in F({{X}})$ betrachten wir dazu die Abbildungen $$\begin{array}{cccl} \tau_{Y}:& {\cal{C}} ({{X}},Y) & \ra & F(Y)\\ &f& \mapsto & (Ff) (a) \end{array}$$ Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s sie eine Transformation $\tau : {\cal{C}} ({{X}},\;) \Rightarrow F $ bilden, die wir mit $\hat{\tau}(a)$ bezeichnen. Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, da"s die Abbildung $a\mapsto \hat{\tau}(a)$ invers ist zu unserer Abbildung $\tau\mapsto \hat{a}(\tau)=\tau_{{{X}}} (\op{id}_{{{X}}})$ aus dem Theorem. Daf"ur m"ussen wir also pr"ufen, da"s gilt $a=\hat{a}(\hat{\tau}(a))$ f"ur alle $a\in F({{X}})$ und $\tau=\hat{\tau}(\hat{a}(\tau))$ f"ur alle Transformationen $\tau:{\cal C}({{X}},\;)\Rightarrow F.$ Das "uberlassen wir dem Leser. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Dual zu $\cal{C}^\wedge$ kann man nat"urlich f"ur jede kleine Kategorie $\cal{C}$ auch die Kategorie $\cal{C}^\vee$ aller kontravarianten Funktoren $\cal{C}\ra\op{Ens}$ betrachten und erh"alt mit $X\mapsto \cal{C}(\;,X)$ eine volltreue Einbettung $\cal{C}\ra \cal{C}^\vee.$ \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper und $\op{Id}: \op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$ der Identit"atsfunktor. Man bestimme alle Transformationen von diesem Funktor zu sich selber. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man betrachte die {\bf Homotopiekategorie bepunkteter R"au\-me} \index{Homotopiekategorie!topologische bepunktete} $\op{Hot}^\ast$\index{Hot@$\op{Hot}^\ast$!Homotopiekategorie, topologische bepunktete} mit bepunkteten R"aumen als Objekten und Homotopieklassen f"ur basispunkterhaltende Homotopie als Morphismen. So wird die Fundamentalgruppe, aufgefa"st als Funktor $\pi_1:\op{Hot}^\ast\ra \op{Ens},$ dargestellt durch die bepunktete Kreislinie. Die bepunktete Kreislinie kann im "Ubrigen versehen werden mit der Struktur eines Gruppenobjekts in $(\op{Hot}^\ast)^\circ,$ und das liefert in diesem Kontext die Gruppenstruktur auf $\pi_1(X,x).$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind zwei Funktoren \"{a}quivalent und ist der Eine eine \"{A}quiva\-lenz von Kategorien, so auch der Andere. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Ein Zugang zu der von Grothendieck konstruierten Kategorie der \defnoind{Schemata}\index{Schema} ist es, diese Kategorie zu realisieren als volle Unterkategorie der Kategorie $\op{Kring}^\wedge,$ die wir erhalten, wenn wir die Kategorie der kommutativen Ringe mit der n"otigen Sorgfalt bei Fragen der Mengenlehre in der oben erkl"arten Weise vervollst"andigen. Der affine Raum der Dimension $n$ wird dann zum Beispiel definiert als der Funktor, der jedem kommutativen Ring $R$ die Menge $R^n$ zuordnet, und der projektive Raum der Dimension $n$ als der Funktor, der jedem kommutativen Ring $R$ die Menge derjenigen direkten Summanden $D$ des $R$-Moduls $R^{n+1}$ zuordnet, die \glqq vom Rang Eins\grqq\ sind in dem Sinne, da"s bei jedem Primideal $\frak{p}\subset R$ ihre Lokalisierung $D_\frak{p}$ ein freier $R_\frak{p}$-Modul vom Rang Eins ist. Man kann mit Schemata so effizient und geometrisch arbeiten, da"s sie mittlerweile zum eigentlichen Arbeitspferd der algebraischen Geometrie geworden sind. \end{Bemerkungl} \subsection{Produkte in Kategorien} \begin{Definition} Sei ${\cal C}$ eine Kategorie und $(X_{i})_{i\in I}$ eine Familie von Objekten von ${\cal C}.$ Ein {\bf Produkt}\index{Produkt!in Kategorie} der $X_{i}$ ist ein Datum $(P, (p_{i})_{i \in I})$ bestehend aus (1) einem Objekt $P \in {\cal C}$ und (2) Morphismen $p_{i} : P \ra X_{i},$ den sogenannten {\bf Projektionen},\index{Projektion!in Kategorie} derart da"s gilt: Ist $Y \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $q_{i} : Y \ra X_{i}$ Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $q: Y \ra P$ mit $p_{i} \circ q = q_{i} \quad \forall i \in I.$ Wir notieren diesen Morphismus dann $q=(q_i)_{i\in I}.$ \end{Definition} \begin{Beispiele} In der Kategorie der Mengen ist $P = \prod_{i\in I} X_{i}$ mit $p_{i}$ den "ublichen Projektionsabbildungen ein Produkt der $X_{i}.$ Dasselbe gilt in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume, wenn wir $P$ mit der Produkttopologie im Sinne von \ref{PrTo} versehen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie existieren. Sind genauer $(P ,(p_{i}))$ und $(\tilde{P},(\tilde{p}_{i}))$ zwei m"ogliche Produkte der Objekte $X_i,$ so gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft von $P$ genau ein $\tilde{p}: \tilde{P} \ra P$ mit $p_i \circ \tilde{p} = \tilde{p}_i$ und ebenso genau ein ${p} : P \ra \tilde{P}$ mit $\tilde{p}_{i}\circ {p} = p_i.$ Weiter gibt es auch genau ein $f: P \ra P$ mit $p_i \circ f = p_i,$ und da sowohl $f = \op{id}$ als auch $f =\tilde{p} \circ p$ diese Bedingung erf"ullen, folgt $\tilde{p} \circ p= \op{id}.$ Ebenso erhalten wir $p \circ \tilde{p} = \op{id},$ mithin sind $p$ und $\tilde{p}$ zueinander inverse Isomorphismen. Aufgrund dieser Eindeutigkeit sprechen wir ab jetzt meist von {\bf dem} Produkt und notieren es $$\left(\prod_{i\in I} X_{i},(\op{pr}_i)_{i\in I}\right)$$ oder im Fall endlicher Familien $X_{1} \times \ldots \times X_{n}$ und\index{P@$\prod$!Produkt in Kategorie}\index{$\prod$!Produkt in Kategorie} benutzen\index{x@$\times$!Produkt in Kategorie} f"ur die Projektionen manchmal auch die Notation $\op{pr}_{X_i}$.\index{pr@$\op{pr}$ Projektion aus Produkt} Morphismen in das Produkt schreiben wir im Fall endlicher Familien auch $(q_1,\ldots,q_n).$ Sind schlie"slich Morphismen $f : X \ra X^{\prime},$ $g : Y \ra Y^{\prime}$ gegeben und existieren die Produkte $X \times Y$ und $X^{\prime} \times Y^{\prime},$ so benutzen wir die Abk"urzung $(f \circ \op{pr}_{X}, g \circ \op{pr}_{Y}) = f \times g$ und nennen diesen Morphismus den \defind{Produktmorphismus} $$f \times g : X \times Y \ra X^{\prime} \times Y^{\prime}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Das Produkt "uber eine leere Familie von Mengen erkl"art man als \glqq die\grqq\ einpunktige Menge, damit das Bilden von Produkten von Mengen \glqq assoziativ\grqq\ wird in der Weise, da"s wir bei einer Familie $(I_j)_{j\in J}$ von Indexmengen mit disjunkter Vereinigung $I=\coprod_j I_j$ stets eine kanonische Bijektion $$\prod_{i\in I}X_i\sira \prod_{j\in J}\left(\prod_{i\in I_j}X_i\right)$$ haben. Das Produkt "uber eine leere Familie in einer beliebigen Kategorie $\cal{C}$ verstehen wir analog als \glqq das\grqq\ finale Objekt, da dann die offensichtliche Abbildung auch in diesem Fall Bijektionen $\cal{C}(Y,\prod_{i\in I}X_i)\sira\prod_{i\in I}\cal{C}(Y,X_i)$ liefert. Wenn wir sagen, eine Kategorie {\bf habe Produkte} oder auch nur endliche Produkte, so fordern wir insbesondere implizit die Existenz eines finalen Objekts. \end{Beispiele} \begin{Ubung} Man pr\"{a}zisiere und zeige die \glqq Assoziativit\"{a}t\grqq\ von Produkten, die die Formel $(X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z)$ andeutet. \end{Ubung} %%%% \begin{Bemerkungl} Produkte in der opponierten Kategorie hei"sen \glqq Koprodukte\grqq. Im folgenden sprechen wir diese Definition explizit aus. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei ${\cal C}$ eine Kategorie und $(X_{i})_{i \in I}$ eine Familie von Objekten aus ${\cal C}.$ Ein \defind{Koprodukt} der $X_{i}$ ist ein Datum $(K, (\op{in}_{i})_{i\in I})$ bestehend aus einem Objekt $K \in {\cal C}$ und Morphismen $\op{in}_{i}: X_{i} \ra K$ derart, da"s gilt: Ist $Z \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $f_{i} : X_{i} \ra Z$ Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $f: K \ra Z$ mit $f \circ \op{in}_{i} = f_{i} \quad \forall i \in I.$ Wir notieren diesen Morphismus dann auch $(f_i)_{i\in I}$ und hoffen, da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, wann damit ein Morphismus aus einem Koprodukt und wann ein Morphismus in ein Produkt gemeint ist. Wir notieren Koprodukte $\coprod_{i \in I} X_{i}.$\index{$\coprod$ Koprodukt} \end{Definition} \begin{Beispiele} In der Kategorie der Mengen ist das Koprodukt die disjunkte Vereinigung $\coprod_{i \in I} X_{i}.$ In der Kategorie der topologischen R\"{a}ume gilt dasselbe. In der Kategorie der bepunkteten topologischen R\"{a}ume ist das Koprodukt die \defind{Einpunktverbindung} $\bigvee_{i \in I} X_{i} = \coprod X_{i}/\sim,$ wo die \"{A}quivalenzrelation $\sim$ dadurch erkl\"{a}rt sei, da"s alle Basispunkte der verschiedenen $X_{i}$ unter $\sim$ eine \"{A}quivalenzklasse bilden und die anderen \"{A}quivalenzklassen einelementig sind. In der Kategorie der abelschen Gruppen ist das Koprodukt die direkte Summe. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{TPRR} F"ur die algebraisch Gebildeten unter Ihnen sei bemerkt, da"s in der Kategorie $\op{Kring}$ der kommutativen Ringe das Tensorprodukt "uber $\DZ$ im Sinne von \ref{TPro} ein Koprodukt ist, sofern die Multiplikation auf $A\otimes B$ durch $(a\otimes b)(a'\otimes b')=aa'\otimes bb'$ erkl"art wird und die kanonischen Morphismen durch $a\mapsto a\otimes 1$ und $b\mapsto 1\otimes b.$ \end{Bemerkungl} \subsection{Kartesische und kokartesische Diagramme} \begin{Definition}\label{ObUe} Gegeben eine Kategorie $\cal{C}$ und ein Objekt $X\in \cal{C}$ definieren wir ganz allgemein die Kategorie $\cal{C}_X$ der \defnoind{Objekte von $\cal{C}$ "uber $X$}\index{Objekte "uber} wie folgt: Objekte von $\cal{C}_X$ sind Paare $(Y,p)$ mit $Y\in \cal{C}$ und $p\in \cal{C}(Y,X),$ Morphismen in $\cal{C}_X$ von einem Objekt $(Y,p)$ in ein weiteres Objekt $(Z,q)$ sind Morphismen $f:Y\ra Z$ in $\cal{C}$ mit $q\circ f=p.$ Wir nennen sie auch die \defind{Morphismen "uber $X$}. \end{Definition} \begin{Definition}\label{KaUu} Dual definieren wir die Kategorie $\cal{C}^X$ der \defnoind{Objekte von $\cal{C}$ unter $X$}\index{Objekte unter} wie folgt: Objekte von $\cal{C}^X$ sind Morphismen $p:X\ra Y$ von $X$ zu einem Objekt von $\cal{C}$ und Morphismen sind was der Leser sich denkt, so da"s wir haben $(\cal{C}^\circ)_X=(\cal{C}^X)^\circ.$ \end{Definition} \begin{Beispiele} Zum Beispiel ist die Kategorie der bepunkteten topologischen R"aume $\op{Top}^\ast$ die \glqq Kategorie der topologischen R"aume unter dem einpunktigen Raum\grqq, und die Kategorie der Erweiterungen eines K"orpers $K$ ist die \glqq Kategorie aller K"orper unter $K.$\grqq\ \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Wir werden Kategorien auch f"ur andere Bedeutungen mit oberen und unteren Indizes versehen und k"onnen nur hoffen, da"s aus dem Kontext klar wird, welche Bedeutung jeweils gemeint ist. Zum Beispiel bezeichnet $\op{Mod}_k$ stets die Kategorie aller $k$-Vektorr"aume und nie die Kategorie aller Objekte einer Kategorie $\op{Mod}$ "uber ihrem Objekt $k.$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Diagramm der Gestalt $$\begin{array}{rcl} W& \overset{c_y}{\longrightarrow}& Y\\ {\scriptstyle{c_z}}\downarrow & &\downarrow \scriptstyle{a}\\ Z&\overset{b}{\longrightarrow} & X \end{array}$$ in einer Kategorie ${\cal C}$ hei"st \defind{kartesisch} oder ein \defind{pull-back-Diagramm} genau dann, wenn es kommutativ ist und $(W,c_y,c_z)$ ein Produkt ist in der Kategorie $\cal{C}_X$ der Objekte von $\cal{C}$ "uber $X,$ wobei wir $W$ vermittels $b\circ c_z=a\circ c_y$ als Objekt von $\cal{C}_X$ aufzufassen haben. Ausformuliert bedeutet das: F\"{u}r jedes weitere kommutative Diagramm in ${\cal C}$ der Gestalt $$\begin{array}{rcl} T& \overset{f}{\longrightarrow}& Y\\ {\scriptstyle{g}}\downarrow & &\downarrow \scriptstyle{a}\\ Z&\overset{b}{\longrightarrow} & X \end{array}$$ gibt es genau einen Morphismus $u: T \ra W $ mit $f = c_{y}\circ u$ und $g = c_{z}\circ u.$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{IWE} Ein Diagramm der Gestalt $$\begin{array}{rcl} & & Y\\ & &\downarrow \; \scriptstyle{a}\\ Z&\overset{b}{\longrightarrow} & X \end{array}$$ nennen wir ein \defind{Winkeldiagramm} oder kurz einen {\bf Winkel}.\index{Winkel!spezielles Diagramm} In einer beliebigen Kategorie l\"{a}"st sich nicht jeder Winkel zu einem kartesischen Diagramm vervollst\"{a}ndigen, aber wenn es sich vervollst\"{a}ndigen l\"{a}"st, dann ist diese Vervollst\"{a}ndigung als ein Produkt in $\cal{C}_X$ im wesentlichen eindeutig. Wir erlauben uns deshalb den bestimmten Artikel, schreiben\index{x@$\times_X$ Faserprodukt} $$W=Y\times_X Z$$ und nennen dieses Objekt {\bf den} \defind{R"uckzug} oder den \defind{pull-back} {\bf das} \defind{Faserprodukt} von $Y$ mit $Z$ \"{u}ber $X.$ Diese Terminologie hat den folgenden Hintergrund: Ist $f:Y\ra X$ eine Abbildung und $x\in X$ ein Punkt, so nennt man ja sein Urbild $Y_x=f^{-1}(x)$ auch die Faser%\index{Faser!einer Abbildung} von $f$ \"{u}ber $x.$ Den pull-back in der Kategorie der Mengen k\"{o}nnen wir nun verstehen als ein \glqq faserweises Produkt\grqq, in der Kategorie der Mengen gilt n\"{a}mlich $$Y\times _X Z=\{(y,z)\in Y\times Z\mid a(y)=b(z)\}$$ und insbesondere haben wir $(Y\times _X Z)_x=Y_x\times Z_x$ f\"{u}r alle $x\in X.$ \"{A}hnlich erhalten wir auch das Faserprodukt in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume, hierzu m\"{u}ssen wir nur die Menge $Y\times _X Z$ versehen mit der von der Produkttopologie auf $Y\times Z$ induzierten Topologie. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{EK} Sei in einer Kategorie ein kommutatives Diagramm der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} X'&\ra&Y'&\ra&Z'\\ \da& &\da&&\da\\ X&\ra&Y&\ra&Z\end{array}$$ gegeben. Sind die zwei Quadrate kartesisch, so ist auch das einh\"{u}llende Rechteck kartesisch, mit den horizontalen Verkn\"{u}pfungen als horizontalen Pfeilen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $i:Z\hra X$ die Einbettung eines Teilraums und $f:Y\ra X$ eine stetige Abbildung, so ist das folgende Diagramm kartesisch in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume: $$\begin{array}{ccl} f^{-1}(Z)& \hra& Y\\ {\scriptstyle{f}}\downarrow\;\;&&\;\downarrow\;\scriptstyle{f}\\ Z&\hra & X \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{PrQu} Gegeben zwei kartesische Quadrate ist auch das \glqq Produktquadrat\grqq, bei dem an jeder Ecke das Produkt der zugeh"origen Objekte aus unseren beiden Ausgangsquadraten steht, ein kartesisches Quadrat, wenn diese vier Produkte alle existieren. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{MKP} Seien $X,Z$ Objekte einer Kategorie derart, da"s die Produkte $Z\times X$ und $X\times X$ existieren. F\"{u}r jeden Morphismus $g:Z\ra X$ ist dann das folgende Diagramm mit den Morphismen $g,$ $g\times \op{id}$ in den Horizontalen und $(\op{id},g),$ $\Delta=(\op{id},\op{id})$ in den Vertikalen kartesisch: $$\begin{array}{ccc} Z& \ra& X\\ \downarrow & &\downarrow \\ Z\times X&\ra & X\times X \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Definition}\label{puou} Kartesische Diagramme in der opponierten Kategorie hei"sen {\bf kokartesische Diagramme}\index{kokartesisch!Diagramm} oder auch {\bf push-out-Diagramme}.\index{push-out-Diagramm} Ausgeschrieben ist ein Diagramm der Gestalt $$\begin{array}{rcl} X& \overset{a}{\longrightarrow}& Y\\ {\scriptstyle{b}}\downarrow & &\downarrow \scriptstyle{c_{y}}\\ Z&\overset{c_{z}}{\longrightarrow} & W \end{array}$$ also kokartesisch genau dann, wenn es kommutiert und wenn es f\"{u}r jedes andere kommutative Diagramm $$\begin{array}{rcl} X& \overset{a}{\longrightarrow} &Y\\ {\scriptstyle{b}}\downarrow & & \downarrow {\scriptstyle{f}}\\ Z &\overset{g}{\longrightarrow} & G \end{array}$$ genau einen Morphismus $u: W \ra G $ gibt mit $f = u \circ c_{y}$ und $g = u \circ c_{z}.$ Unsere Eindeutigkeitsaussagen \ref{IWE} f"ur kartesische Diagramme gelten entsprechend auch f\"{u}r kokartesische Diagramme. Winkeldiagramme in der opponierten Kategorie nennen wir {\bf Kowinkeldiagramme}\index{Kowinkeldiagramm} oder kurz {\bf Kowinkel}.\index{Kowinkel} \end{Definition} \begin{Ubung} Der push-out in der Kategorie der Mengen bzw.\ der topologischen R"aume ist genau die Verklebung aus \ref{Verkl}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KKI} Ist in einem kartesischen oder kokartesischen Diagramm ein Ursprungspfeil ein Isomorphismus, so auch der gegen\"{u}berliegende Pfeil aus dem pull-back bzw.\ in den push-out. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{UCK} In der Kategorie der abelschen Gruppen l"a"st sich jeder Winkel bzw.\ Kowinkel zu einem kartesischen bzw.\ kokartesischen Diagramm vervollst"andigen. Ist in einem kokartesischen Diagramm von abelschen Gruppen von zwei parallelen Pfeilen einer eine Surjektion, so auch der andere. Ist in einem kokartesischen Diagramm von abelschen Gruppen ein Ursprungspfeil eine Injektion, so auch der gegen"uberliegende Pfeil in den push-out. Hinweis: Man argumentiere mit einer expliziten Konstruktion des push-out. Wer spicken will, vergleiche \ref{UCKK}. Ein allgemeines Argument wird in \ref{Kepi} gegeben. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{BWM} In einem kartesischen Diagramm von Mengen $$\begin{array}{rcl} X& \overset{q}{\longrightarrow} &Y\\ {\scriptstyle{g}}\downarrow & & \downarrow {\scriptstyle{f}}\\ Z &\overset{p}{\longrightarrow} & W \end{array}$$ gilt f"ur jede Teilmenge $A\subset Y$ die Gleichheit $p^{-1}(f(A))=g(q^{-1}(A))$ von Teilmengen von $Z.$ \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{KBWM} Die algebraisch Gebildeten unter Ihnen m"ogen sich "uberlegen, da"s in der Kategorie $\op{Kring}$ der kommutativen Ringe alle Diagramme der Gestalt $$\begin{array}{rcc} C& \overset{q}{\longrightarrow} &B\;\;\;\\ {\scriptstyle{g}}\downarrow & & \downarrow {\scriptstyle{f}}\\ A&\overset{p}{\longrightarrow} & A\otimes_C B \end{array}$$ kokartesisch sind, mit beliebigen Ringhomomorphismen $C\ra A$ und $C\ra B,$ der hoffentlich offensichtlichen Multiplikation auf dem Tensorprodukt, und den hoffentlich offensichtlichen Ringhomomorphismen in das Tensorprodukt. \end{Ubunge} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: