\section{Beschreibung einiger Fundamentalgruppen}
% Im folgenden werden Grundbegriffe der Kategorientheorie vorausgesetzt, wie sie
% etwa in \eref{KFu}{LA2} entwickelt wurden. Wichtig sind im weiteren
% insbesondere
% die Begriffe einer Kategorie, eines Funktors von einer Kategorie zu einer
% weiteren Kategorie,   
% und von Produkten und Koprodukten. In der Vorlesung sollte man
% sich Zeit nehmen, diese Begriffe zu entwickeln unter besonderer Betonung
% der in der Topologie besonders relevanten Beispiele, insbesondere 
% der Homotopiekategorie topologische R"aume $\op{Hot}$, des
% Funktors der Fundamentalgruppe $\pi_1:\op{Top}^\ast\ra \op{Grp}$, 
% und des Produkts in der Kategorie topologischer R"aume.
% Der Begriff einer Transformation von einem Funktor zu einem
% weiteren Funktor zwischen denselben Kategorien wird erst 
% sp"ater  relevant.

\subsection{Produkte und Koprodukte in Kategorien}
\begin{Definition}\label{PrKaoT} %k"onnte auch \label{PrKaon}
Seien ${\cal C}$ eine Kategorie und $A,B$ 
Objekte von ${\cal C}$. Ein {\bf Produkt}\index{Produkt!in Kategorie!von zwei Objekten} 
von $A$ und $B$ ist ein Datum
$(P, p,q)$ bestehend aus (1) einem Objekt $P \in {\cal C}$
und (2) Morphismen $p : P \ra A$ und $q : P \ra B$, den sogenannten
{\bf Projektionen},\index{Projektion!in Kategorie}
derart da"s gilt:
Ist $T \in {\cal C}$ ein Objekt  und sind $f : T \ra A$, $g : T \ra B$
Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $h: T \ra P$ mit
$p \circ h = f$ und $q \circ h = g$. Wir notieren 
diesen Morphismus dann
$h=(f,g)$ oder, ganz pedantisch und wenn wir
ihn von den Morphismen aus einem Koprodukt absetzen wollen, 
als Spalte $h=(f,g)^\top$.
\end{Definition}

\begin{Beispiele}
In der Kategorie der Mengen ist $P = A\times B$ mit
$p, q$ den "ublichen Projektionsabbildungen 
ein Produkt von $A$ und $B$. Dasselbe gilt in
der Kategorie der topologischen R\"{a}ume, wenn wir $A\times B$
mit der Produkttopologie versehen.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit von Produkten}]
Produkte in Kategorien sind im wesentlichen eindeutig, falls sie
existieren. Sind genauer $(P ,p,q)$ und\label{EPEI} 
$(\tilde{P},\tilde{p},\tilde{q})$ zwei m"ogliche
Produkte der Objekte $A$ und $B$, so gibt es aufgrund der
universellen Eigenschaft von $P$ genau ein $h:
\tilde{P} \ra P$ mit $p \circ h = \tilde{p}$ und 
$q \circ h = \tilde{q}$ und
ebenso genau ein $\tilde h : P \ra \tilde{P}$ mit
$\tilde{p}\circ \tilde d = p$ und $\tilde{q}\circ \tilde h = q$. 
Weiter gibt es auch genau ein $i: P \ra P$ mit $p \circ i =
p$ und $q \circ i =
q$, 
und da sowohl $i = \op{id}$ als auch $i =h \circ  \tilde h$ diese
Bedingung erf"ullen, folgt $h \circ  \tilde h= \op{id}$.
Ebenso erhalten wir $\tilde h \circ  h = \op{id}$, mithin sind $c$
und $d$ zueinander inverse Isomorphismen.
Aufgrund dieser Eindeutigkeit sprechen wir ab jetzt 
meist von \emph{dem} Produkt und notieren es
$$\left(A\times B,\op{pr}_A, \op{pr}_B\right)$$  
Sind schlie"slich Morphismen
$u : A \ra X$, $v : B \ra Y$ gegeben und
existieren die Produkte $A \times B$ und $X \times
Y$, so benutzen wir die Abk"urzung $(u \circ \op{pr}_{A}, v
\circ \op{pr}_{B}) = u \times v$ und nennen diesen Morphismus den
\defind{Produktmorphismus}
$$u \times v : A \times B \ra X \times Y$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Analoge Definitionen sind auch f"ur gr"o"sere Familien von
Objekten ein- und derselben Kategorie sinnvoll, vergleiche \eref{PrKaon}{LA2}.
\end{Bemerkungl}





\begin{Beispiel}
F\"{u}r jede Kategorie ${\cal C}$ bildet man die 
{\bf opponierte Kategorie}\index{opponiert!Kategorie} 
${\cal C}^{\op{opp}}$
wie folgt: Man setzt
$$\op{Ob}{\cal C}^{\op{opp}} \pdef \op{Ob} {\cal C}\qquad\text{ und }\qquad
{\cal C}^{\op{opp}} (A,B) \pdef {{\cal C}} (B,A)$$
und erkl\"{a}rt die Verkn\"{u}pfung von Morphismen in ${\cal C}^{\op{opp}}$
wie folgt: Man notiert einen Morphismus $f$
als
$f^\circ$,\index{)6circ@$f^\circ$ in opponierter Struktur!opponierter Morphismus} 
wenn er in der opponierten Kategorie aufgefa"st werden soll, 
und setzt $g^\circ\circ f^\circ\pdef (f\circ g)^\circ$. 
\end{Beispiel}









%%%%
\begin{Bemerkungl}
Produkte in der opponierten Kategorie hei"sen \glqq Koprodukte\grqq.
Im folgenden sprechen wir  diese Definition gleich 
f"ur Familien explizit  aus.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}\label{KoProT}
Sei ${\cal C}$ eine Kategorie und $(A_{i})_{i \in I}$ eine Familie von
Objekten aus ${\cal C}$.
Ein \defind{Koprodukt} der $A_{i}$ ist ein Datum $(K, (\op{in}_{i})_{i\in
I})$ bestehend aus einem Objekt $K \in {\cal C}$ und Morphismen $\op{in}_{i}:
A_{i} \ra K$ derart, da"s gilt:
Ist $T \in {\cal C}$ ein Objekt und sind $f_{i} : A_{i} \ra T$
Morphismen, so gibt es genau einen Morphismus $f: K \ra T$ mit $f
\circ \op{in}_{i} = f_{i} \quad \forall i \in I$.
Wir notieren diesen Morphismus dann auch $(f_i)_{i\in I}$ und hoffen,
da"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen kann, wann damit ein Morphismus 
aus einem Koprodukt und wann ein Morphismus in ein Produkt gemeint ist.
Wenn es drauf ankommt, mag ein Morphismus in ein Produkt eben als 
Spalte mit einem hochgestellten $\top$ notiert werden und ein
Morphismus aus einem Koprodukt  als Zeile. 
Wir notieren Koprodukte $\coprod_{i \in I} A_{i}$,\index{)ucup@$\sqcup$ Koprodukt!$\coprod$ von Familie}
bei endlich vielen Faktoren auch $A_1\sqcup \ldots\sqcup A_n$.\index{)ucup@$\sqcup$ Koprodukt}
\end{Definition}

\begin{Beispiele}
In der Kategorie der Mengen ist das Koprodukt die disjunkte
Vereinigung $\coprod_{i \in I} A_{i}$, vergleiche \eref{SPVb}{LA2}.
 In der Kategorie der topologischen R\"{a}ume gilt dasselbe.
 Kategorie der bepunkteten topologischen R\"{a}ume ist das Koprodukt
 die \defind{Einpunktverbindung} $\bigvee_{i \in I} A_{i} = \coprod
 A_{i}/\sim$, wo die \"{A}quivalenzrelation $\sim$ dadurch
 erkl\"{a}rt sei, da"s alle  Basispunkte der verschiedenen
 $A_{i}$ unter $\sim$ eine \"{A}quivalenzklasse bilden und die
 anderen \"{A}quivalenzklassen einelementig sind.
\end{Beispiele}

\begin{Definition}\label{VerPr} 
  Ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ 
hei"st {\bf vertr"aglich mit beliebigen
Produkten}\index{vertr"aglich mit Produkten!Funktor} 
genau dann,  wenn f"ur jedes Produkt $(P, (p_{i})_{i \in I})$
einer  Familie $(A_{i})_{i\in I}$ von
Objekten von ${\cal A}$ das Datum $(F(P), (F(p_{i}))_{i \in I})$
ein Produkt  in $\mathcal B$ der  Familie $(F(A_{i}))_{i\in I}$ ist.
Gilt das nur f"ur Produkte endlicher Familien, so sagen wir,
unser Funktor sei  {\bf vertr"aglich mit endlichen Produkten}.
Dual erkl"aren wir die Vertr"aglichkeit mit beliebigen beziehungsweise 
endlichen Koprodukten. 
\end{Definition}
\begin{Beispiel}
Der verge"sliche Funktor $\op{Grp}\ra\op{Ens}$ ist vertr"aglich mit
beliebigen Produkten, aber nicht mit beliebigen, ja noch nicht einmal
mit endlichen Koprodukten.  Der Funktor der Fundamentalgruppe 
$\pi_1:\op{Top}^*\ra\op{Grp}$ ist vertr"aglich mit endlichen Produkten nach 
\ref{ReRi}, ja er ist sogar mit derselben Argumentation vertr"aglich mit
beliebigen Produkten. 
\end{Beispiel}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
  Gegeben Objekte $X, Y, Z$ einer Kategorie derart, da"s das iterierte
  Produkt $(X \times Y) \times Z $ existiert, zeige man, da"s
  es zusammen mit den Abbildungen
  $\op{pr}_1\circ\op{pr}_1$, $\op{pr}_2\circ\op{pr}_1$ und
  $\op{pr}_2$ die universelle Eigenschaft hat, die das Produkt
  $X \times Y \times Z $
charakterisiert.
\end{Ubung}
\begin{Ubung} Sei $k$ ein K"orper. Man zeige
da"s der Dualraumfunktor $\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k^{\op{opp}}$ vertr"aglich ist mit endlichen Produkten aber nicht mit beliebigen Produkten. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung} Man zeige, da"s das Bilden der Fundamentalgruppe $\pi_1:\op{Top}^*\ra \op{Grp}$ vertr"aglich ist mit beliebigen Produkten.
\end{Ubung}
\subsection{Kartesische Diagramme}\label{Kakoo}


\begin{Definition}\label{KaPrr} 
  Ein Diagramm in einer Kategorie ${\cal C}$  der Gestalt
 \begin{displaymath}
 \xymatrix{
P \ar[d]^q\ar[r]^p &A\ar[d]^a\\
B \ar[r]^b &X\\
}
\end{displaymath}
hei"st {\bf kartesisch}\index{kartesisch!Diagramm} oder ein
\defind{pull-back-Diagramm},
wenn es kommutativ ist, in Formeln $ap=bq$, und wenn es f"ur ein beliebiges
Objekt $T\in \mathcal C$  und Morphismen $f:T\ra A$ und $g:T\ra B$ mit $af=bg$
genau einen Morphismus $h:T\ra P$ gibt mit $f=hp$ und $g=hq$, im Diagramm \begin{displaymath}
 \xymatrix{
T\ar[ddr]\ar@{-->}[dr]\ar[drr] & &\\
&P \ar[d]\ar[r] &A\ar[d]\\
&B \ar[r] &X\\
}\qquad\quad
\end{displaymath}
\end{Definition}


\begin{Definition}\label{ObUe}
Gegeben eine Kategorie $\cal{C}$ und ein Objekt $X\in \cal{C}$
erkl"aren wir 
die Kategorie $\cal{C}_X$ der \defnoind{Objekte von $\cal{C}$ "uber $X$}.
Objekte von $\cal{C}_X$ sind Paare $(A,a)$ mit $A\in \cal{C}$ und
$a\in \cal{C}(A,X)$, 
Morphismen in $\cal{C}_X$ von einem Objekt $(A,a)$ 
in ein weiteres Objekt $(B,b)$ sind
Morphismen $f:A\ra B$ in $\cal{C}$ mit $b\circ f=a$,
in Formeln $$\cal{C}_X(A,B)\pdef \{f\in\mathcal C(A,B)\mid bf=a\}$$
mit der abk"urzenden Notation $A,B$ f"ur $(A,a),(B,b)$ auf der linken Seite.
Wir nennen sie auch die \defind{Morphismen "uber $X$}.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kartesische Diagramme als Produkte}] 
  Ein kommtatives Quadrat wie oben ist genau dann kartesisch, wenn
  mit dem diagonalen Morphismus $d=\pdef ap=bq:P\ra X$ das Tripel
  $((P,d),p,q)$ in der Katgorie $\mathcal C_X$ der Objekte "uber $X$
  ein Produkt von $(A,a)$ und $(B,b)$ ist. Das zeigt insbesondere,
  da"s darin $(P,p,q)$ durch $(A,a,B,b,X)$ bereits eindeutig festgelegt
  ist bis auf eindeutigen Isomorphismus in derselben Weise, wie wir es
  f"ur Produkte  ausformuliert hatten.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{KaUu}
Gegeben eine Kategorie $\cal{C}$ und ein Objekt $X\in \cal{C}$
erkl"aren wir opponiert
die Kategorie $\cal{C}^X$ der \defnoind{Objekte von $\cal{C}$ unter $X$}.
Objekte von $\cal{C}^X$ sind Paare $(a,A)$ mit $A\in \cal{C}$ und
$a\in \cal{C}(X,A)$, 
Morphismen in $\cal{C}^X$ von einem Objekt $(a,A)$ 
in ein weiteres Objekt $(b,B)$ sind
Morphismen $f:A\ra B$ in $\cal{C}$ mit $ f\circ a=b$,
in Formeln $$\cal{C}^X(A,B)\pdef \{f\in\mathcal C(A,B)\mid fa=b\}$$
mit der abk"urzenden Notation $A,B$ f"ur $(a,A),(b,B)$ auf der linken Seite.
Wir nennen sie auch die \defind{Morphismen unter $X$}.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Wir erhalten einen Isomorphismus von Kategorien 
  $(\cal{C}^{\op{opp}})_X\sira(\cal{C}^X)^{\op{opp}}$ durch die Vorschrift
  $(A,a^\circ)\mapsto (a,A)$ auf Objekten und $f^\circ\mapsto f$ auf Morphismen.
  Bei der Diskussion allgemeiner Aussagen k"onnen wir uns deshalb meist
  auf einen
  dieser beiden F"alle beschr"anken.   
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
Die Kategorie der bepunkteten topologischen R"aume
$\op{Top}^\ast$ ist die \glqq Kategorie der topologischen R"aume
unter dem einpunktigen Raum\grqq. Die Kategorie der 
K"orpererweiterungen eines K"orpers $k$
ist die \glqq Kategorie aller K"orper unter $k$\grqq.
\end{Beispiele}





\begin{Bemerkungl}
 Da"s ein Diagramm kartesisch ist, mag man auch 
durch das Symbol
$ {\begin{picture}(7,7)
 \put(0,0){\usebox{\kD}}
\end{picture}}\;$\index{)0a@{$\begin{picture}(7,7)
 \put(0,0){\usebox{\kD}}
\end{picture}\;$} kartesisches Diagramm}
 in seiner Mitte notieren, etwa in der Form
$$\xymatrix{\kart
W \ar[r]\ar[d]
& X \ar[d]\\
Z \ar[r] &Y}$$
Dies Symbol deutet an, aus welchen Winkel unser Diagramm durch 
pullback entsteht. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}\label{IWE}
Ein Diagramm der Gestalt
$$\begin{array}{rcl}
& & X\\
   & &\downarrow \; \scriptstyle{f}\\
Z&\overset{p}{\longrightarrow} & Y
\end{array}$$
nennen wir ein \defind{Winkeldiagramm} oder kurz
einen {\bf Winkel}.\index{Winkel!spezielles Diagramm}
In einer beliebigen Kategorie
l\"{a}"st sich nicht jeder Winkel 
zu einem kartesischen Diagramm vervollst\"{a}ndigen,
aber wenn er sich vervollst\"{a}ndigen l\"{a}"st, 
dann ist diese Vervollst\"{a}ndigung 
als
ein Produkt in $\cal{C}_Y$ im wesentlichen eindeutig.
Wir erlauben uns deshalb den bestimmten Artikel,
schreiben\index{)x@$\times_Y$ Faserprodukt} 
$$W=X\times_Y Z$$ und nennen
dieses Objekt das {\bf Faserprodukt}\index{Faserprodukt!in Kategorie}
von $X$ mit $Z$ \"{u}ber $Y$. Vom Morphismus $X\times_Y Z\ra Z$ sagen
wir, er entstehe aus $f$ durch {\bf Zur"uckholen\index{Zur"uckholen!Morphismus}
mit $p$} oder gleichbedeutend  durch {\bf Basiswechsel}\index{Basiswechsel!f"ur Zur"uckholen
mit $p$}.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}]
Ist $f:X\ra Y$ eine
Abbildung und $y\in Y$ ein Punkt, so nennt man 
sein Urbild $X_y=f^{-1}(y)$ vielfach auch  die
\glqq Faser\grqq\   
 \"{u}ber $y$. Das Faserprodukt 
in der Kategorie der Mengen k\"{o}nnen wir nun verstehen als
ein \glqq faserweises Produkt\grqq, in der Kategorie der Mengen ist n\"{a}mlich
$$X\times _Y Z\pdef\{(x,z)\in Y\times Z\mid f(x)=p(z)\}$$
mit den offensichtlichen Projektionen ein
R"uckzug und  wir haben insbesondere $(X\times _Y Z)_y=X_y\times Z_y$
f\"{u}r alle $y\in Y$.
Im Fall einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$
topologischer R"aume denken wir uns die Fasern $X_y$ mit ihrer
induzierten Topologie versehen und verstehen so unsere Abbildung als eine
durch $y\in Y$ indizierte \glqq topologische Familie topologischer R"aume
"uber der  Basis $Y$\grqq. Der "Ubergang zur Abbildung $X\times_YZ\ra Z$
bedeutet in diesem semantischen Umfeld dann einen \glqq Wechsel der Basis\grqq.
\end{Bemerkungl}




\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}[\textbf{Transitivit"at des R"uckzugs}]
Sei in einer Kategorie ein kommutatives Diagramm der Gestalt
\label{EK}
$$\begin{array}{ccccc}
X'&\ra&Y'&\ra&Z'\\
\da& &\da&&\da\\
X&\ra&Y&\ra&Z\end{array}$$ gegeben
mit einem kartesischen Quadrat rechts. Man zeige, da"s dann das 
linke Quadrat genau dann kartesisch ist, wenn das einh\"{u}llende
Rechteck kartesisch ist, mit den 
horizontalen Verkn\"{u}pfungen als horizontalen
Pfeilen. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man zeige: Ist $i:Z\hra X$ die Einbettung eines Teilraums
und  $f:Y\ra X$ eine stetige Abbildung, so ist das folgende Diagramm
kartesisch in der Kategorie der topologischen R\"{a}ume:
$$\begin{array}{ccl}
f^{-1}(Z)& \hra& Y\\
{\scriptstyle{f}}\downarrow\;\;&&\;\downarrow\;\scriptstyle{f}\\
Z&\hra & X
\end{array}$$
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{PrQu}
Gegeben zwei kartesische Quadrate ist auch das \glqq Produktquadrat\grqq,
bei dem an jeder Ecke das Produkt der zugeh"origen Objekte aus
unseren beiden Ausgangsquadraten steht, ein kartesisches Quadrat, wenn
diese vier Produkte alle existieren.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{MKP}
Seien ein kartesisches Diagramm in einer Kategorie 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
Z\ar[d]_{g} \ar[r]^{q} & X \ar[d]^{f}\\
W \ar[r]^{p} & Y\\
}
\end{displaymath}
und
ein  Objekt $V$ gegeben, dessen Produkte mit den Objekten der
unteren Horizontale existieren. So erhalten wir  f"ur jeden Morphismus
$h:X\ra V$ ein weiteres kartesisches Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
Z\ar[d]_{(g,hq)} \ar[r]^{q} & X \ar[d]^{(f,h)}\\
W\times V \ar[r]^{p\times\op{id}} & Y\times V\\
}
\end{displaymath}
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{karTGo} 
  Gegeben ein kartesisches Diagramm in der Kategorie der topologischen R"aume
  zeige man: Ist  eine Ausgangskante offen, so auch die gegen"uberliegende
  Kante aus dem Faserprodukt. Ist eine Ausgangskante surjektiv, so auch die gegen"uberliegende
  Kante aus dem Faserprodukt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{karQG} 
  Gegeben $G\supset H$ eine topologische Gruppe mit einer
  Untergruppe erhalten wir ein kartesisches  Diagramm
von topologischen R"aumen
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
G\times H\ar[d]_-{\op{pr}} \ar[r]^-{\op{mult}} & G \ar[d]\\
G \ar[r] & G/H\\
}
\end{displaymath} 
\end{Ubung}





\subsection{Kokartesische Diagramme} 
\begin{Definition}\label{puou}
Kartesische Diagramme in der opponierten Kategorie
hei"sen {\bf kokartesische Diagramme}\index{kokartesisch!Diagramm} 
oder auch
{\bf push-out-Diagramme}.\index{push-out-Diagramm} 
Ausgeschrieben hei"st ein 
Diagramm der Gestalt
$$\begin{array}{rcl}
X& \overset{a}{\longrightarrow}& Y\\
{\scriptstyle{b}}\downarrow & &\downarrow \scriptstyle{c_{y}}\\
Z&\overset{c_{z}}{\longrightarrow} & W
\end{array}$$
also kokartesisch, wenn es kommutiert und
 wenn es f\"{u}r jedes andere kommutative Diagramm
$$\begin{array}{rcl}
X& \overset{a}{\longrightarrow} &Y\\
{\scriptstyle{b}}\downarrow & & \downarrow {\scriptstyle{f}}\\
Z &\overset{g}{\longrightarrow} & G
\end{array}$$
genau einen Morphismus $u: W \ra G $ gibt  mit $f = u \circ c_{y}$ und
$g = u \circ c_{z}$.
Man mag diese verschiedenen Daten auch zusammenfassen im
Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
X \ar[r]\ar[d] & Y\ar[d]\ar[ddr] &\\
Z\ar[drr] \ar[r] &W\ar@{-->}[dr] &\\
& & G\\
}
\end{displaymath}
Unsere Eindeutigkeitsaussagen \ref{IWE} f"ur kartesische Diagramme gelten 
entsprechend auch f\"{u}r kokartesische Diagramme.
Winkeldiagramme in der opponierten Kategorie nennen wir 
{\bf Kowinkeldiagramme}\index{Kowinkeldiagramm} oder 
kurz {\bf Kowinkel}.\index{Kowinkel}
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Da"s ein Diagramm kokartesisch ist, notiert man auch 
durch das Symbol
 ${\begin{picture}(7,7)
 \put(0,0){\usebox{\ckD}}
\end{picture}}\;$
  in\index{)0a@{$\begin{picture}(7,7)
 \put(0,0){\usebox{\ckD}}
\end{picture}\;$} kokartesisches Diagramm} 
 seiner Mitte, etwa in der Form
$$\xymatrix{\kokart
X \ar[r]\ar[d]
& Y \ar[d]\\
Z \ar[r] &W}$$
Dies Symbol deutet an, aus welchen Kowinkel unser Diagramm durch 
pushout entsteht. 
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
  Man beschreibe den push-out in der Kategorie der Mengen. Hinweis:
  $W=(Z\sqcup Y)/\sim$ f"ur $\sim$ die "Aquivalenzrelation, die von
  $\op{in}_Y( f(x))\sim \op{in}_Z (g(x))$ f"ur $x\in X$ erzeugt wird.
  Ist  $f$ injektiv, so ist diese Relation bereits eine
  "Aquivalenzrelation. Dann k"onnen wir uns den pushout vorstellen
  als den Raum, der entsteht, indem wir $Y$ an $Z$ ankleben l"angs
  $f(X)\subset Y$ in der durch $g\circ f^{-1}: f(X)\ra Z$ spezifizierten
  Weise.
 \end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{KKI}
Ist in einem kartesischen oder kokartesischen Diagramm ein Ursprungspfeil
ein Isomorphismus, so auch der gegen\"{u}berliegende 
Pfeil aus dem pull-back beziehungsweise
in den push-out.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}[\textbf{Mengentheoretischer Basiswechsel}]
In\index{Basiswechsel!mengentheoretischer}  
einem kartesischen  Diagramm 
von Mengen\label{BWM}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
W \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]^f\\
Z \ar[r]_p &Y
}
\end{displaymath}
gilt f"ur jede Teilmenge $A\subset X$ die Gleichheit
$p^{-1}(f(A))=g(q^{-1}(A))$ von Teilmengen von $Z$.
In einem kokartesischen Diagramm gilt das im allgemeinen nicht mehr.
Es gilt jedoch unter der Zusatzannahme, da"s $q$ oder $g$ injektiv sind. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}[\textbf{Pushout und pullback f"ur abelsche Gruppen}]
  In der Kategorie der abelschen Gruppen
  ist ein Diagramm\label{UCK}
  \begin{displaymath}
\xymatrix{
W \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]^f\\
Z \ar[r]_p &Y
}
  \end{displaymath}
  kartesisch beziehungsweise kokartesisch genau dann, wenn
  die Sequenz $W\ra X\oplus Z\ra Y$ mit Morphismen $(q,g)^\top$ und
  $(f,-p)$ linksexakt beziehungsweise rechtsexakt ist.
  Insbesondere
  l"a"st sich 
jeder Winkel  beziehungsweise Kowinkel zu einem kartesischen
beziehungsweise kokartesischen
Diagramm vervollst"andigen. Ist in einem kokartesischen Diagramm 
von abelschen Gruppen von zwei parallelen Pfeilen
einer eine Surjektion, so auch der andere. 
Ist in einem kokartesischen Diagramm 
von abelschen Gruppen
ein Ursprungspfeil eine Injektion, so auch der gegen"uberliegende
Pfeil in den push-out.  Hinweis: Man argumentiere mit einer expliziten
Konstruktion des push-out. 
Wer spickeln will, vergleiche \eref{UCKK}{TS}.
Ein allgemeines Argument wird  in 
\eref{Kepi}{TD} gegeben.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Basiswechsel f"ur Untergruppen}]
Sowohl in\index{Basiswechsel!f"ur Untergruppen}  
einem kartesischen als auch in einem
kokartesischen Diagramm 
von abelschen Gruppen\label{BWMa}
\begin{displaymath}
\xymatrix{
W \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]^f\\
Z \ar[r]_p &Y
}
\end{displaymath}
gilt f"ur jede Untergruppe $A\subset X$ die Gleichheit
$p^{-1}(f(A))=g(q^{-1}(A))$ von Untergruppen von $Z$. Hinweis:
Jedes kartesische Diagramm von abelschen Gruppen ist kartesisch als
Diagramm von Mengen. Jedes kokartesische Diagramm von abelschen Gruppen
wird kartesisch, wenn wir seine obere linke Ecke ersetzen durch ihren
Quotienten nach dem Schnitt der Kerne der von ihr ausgehenden Morphismen.
So kann man sich auf \ref{BWM} zur"uckziehen.
In der gr"o"serer Allgemeinheit der
\glqq abelschen Kategorien\grqq\ diskutieren wir das in  \eref{BuFj}{TG}. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
  Jeder R"uckzug einer offenen 
  Abbildung von topologischen R"aumen ist\label{BiRZ} 
   offen. Hinweise:
  Mengentheoretischer Basiswechsel \ref{BWM}. Produkte offener Abbildungen
  sind offen. Die Einbettung des Definitionsbereichs einer stetigen Abbildung
  in ihren Graphen ist initial.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Pushout von Kringen}]
Die algebraisch Gebildeten unter Ihnen 
m"ogen sich "uberlegen, da"s in der Kategorie\label{KBWM}  
$\op{Kring}$ der kommutativen Ringe alle Diagramme der Gestalt 
$$\begin{array}{rcc}
C& \ra &B\\
\downarrow & & \downarrow \\
 A&\ra & A\otimes_C B
\end{array}$$
kokartesisch sind, 
mit beliebigen Ringhomomorphismen $C\ra A$ und $C\ra B$, 
der hoffentlich offensichtlichen Multiplikation auf dem 
Tensorprodukt, und
den hoffentlich offensichtlichen Ringhomomorphismen in das Tensorprodukt.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
  In der Kategorie der Mengen ist das Faserprodukt zweier
  Objekte "uber ihrem Koprodukt stets das initiale Objekt alias
  die leere Menge. Der Pushout eines Produkts dahingegen ist nur dann das
  finale Objekt alias die einpunktige Menge, wenn keiner der
  beiden Faktoren die leere Menge ist.
\end{Ubunge}
%\begin{Ubung}\label{verfj} 
% FALSCH FUER PRODUKT MIT LEERER MENGE! Gegeben ein kommutatives Quadrat in der Kategorie der Mengen
%  geht die Ausgangsecke surjektiv auf den Pullback
%  genau dann, wenn der Pushout injektiv in die Zielecke geht.
%\end{Ubung}




\subsection{Satz von Seifert und van Kampen}
\begin{Satz}[\defind{Seifert-van Kampen}]\label{SvK}
Sei ein topologischer Raum $X$ die Vereinigung zweier offener
Teilmengen $U,V\co X$.
Ist der Schnitt $U\cap V$ wegzusammenh\"{a}ngend, so bilden
f\"{u}r jeden Basispunkt $x \in
U \cap V$
die Vorsch"ube der Fundamentalgruppen ein kokartesisches  Diagramm von Gruppen
$$\xymatrix{\kokart
\pi_1(U\cap V,x) \ar[r]\ar[d]
& \pi_1(V,x) \ar[d]\\
\pi_1(U,x) \ar[r] &\pi_1(X,x)}$$
\end{Satz}

 \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPAc}\\[4mm]
 \noindent 
Berechnung der Fundamentalgruppe der Figur 8 mit
Seifert-van Kampen. Das Symbol in der Mitte soll andeuten, da"s wir
ein
push-out-Diagramm vor uns haben. Die Formel
$\DZ\ast\DZ$ meint das Koprodukt von Gruppen, wie es in 
\ref{KoPG} noch ausf"uhrlicher besprochen werden wird.
Ich hoffe, es verwirrt nicht zu sehr, da"s die triviale Gruppe
darin multiplikativ notiert ist als $1$, wohingegen die
freie Gruppe mit einem Erzeuger darin
$\DZ$ notiert wird, also in additiver Notation  mit dem neutralen Element $0$. 
\end{Bild}


\begin{Bemerkungl}
 Der Beweis dieses Satzes wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts
 besch"aftigen. In \ref{EPGul} diskutieren wir ganz allgemein,
da"s und wie  sich jeder Kowinkel von Gruppen
zu einem kokartesischen Diagramm erg"anzen l"a"st.
 Wir beginnen mit einigen Vorbereitungen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Kategorie der Kategorien}]
Die Gesamtheit aller Kategorien bildet 
mit Funktoren als Morphismen\label{KatKat}  
selbst eine Kategorie\index{Cat@$\op{Cat}$} 
$$\op{Cat}$$ 
Etwas sorgf"altiger sollte man ein Universum 
$\frak{U}$ festhalten und dann etwa die Kategorie 
$\frak{U}\!\op{Cat}$ aller Kategorien betrachten,
deren Morphismenmengen und Objektmenge  Elemente von $\mathfrak U$ sind, 
aber diese Feinheiten
sind hier nicht relevant.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Wir erinnern aus \ref{GrupFu} das fundamentale Gruppoid 
$\mathcal W_X=\mathcal W(X)$ eines topologischen Raums $X$. 
Jede stetige 
Abbildung $f:X\ra Y$ ist 
die Objekt\-abbildung eines Funktors $f:\mathcal W(X)\ra \mathcal W(Y)$,
dessen Effekt auf Morphismen durch 
$[\alpha]\mapsto [f\circ\alpha]$ gegeben
wird. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\defind{Seifert-van Kampen f"ur das fundamentale
 Gruppoid}]
Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer "Uberdeckung $X=U\cup V$ durch zwei offene
Teilmengen $U,V\co X$\label{SvKV} 
erhalten wir mit den durch die Einbettungen gegebenen Funktoren 
in der Kategorie der Kategorien ein  kokartesisches Diagramm 
$$\xymatrix{\kokart
\mathcal W(U\cap V) \ar[r]\ar[d]
& \mathcal W(V) \ar[d]\\
\mathcal W(U) \ar[r] &\mathcal W(X)}$$
\end{Satz}


\begin{proof}[Beweis]
F\"{u}r den Beweis verwenden wir eine andere Schreibweise
und setzen $U=U_{+}$ und
$V=U_{-}$ und $U_\cap=U_{+}\cap U_{-}$. Jeder Morphismus in 
$\mathcal W(X)$ l"ast sich als Verkn"upfung von 
Morphismen schreiben, die von $\mathcal W(U_+)$
oder von $\mathcal W(U_-)$ herkommen.
In der Tat gibt es f"ur
jeden Weg $\gamma : [0,1] \ra X$ 
eine Unterteilung $0 = a_{0}< a_{1}
<a_{2} < \ldots <a_{r}=1$ des Einheitsintervalls derart,
da"s f"ur  $1\leq \rho\leq r$ gilt
$\gamma [a_{\rho-1},a_{\rho}] \subset U_+$ oder $\gamma [a_{\rho-1},
a_{\rho}]
\subset U_-$.
Das folgt etwa aus dem "Uberdeckungssatz von Lebesgue \eref{UbL}{AN2}
 angewandt
auf die offene "Uberdeckung des Kompaktums $[0,1]$ durch
$\gamma^{-1}(U_+)$ und $\gamma^{-1}(U_-)$.
Ein Funktor $F:\mathcal W(X)\ra \mathcal C$ in eine weitere Kategorie
$\mathcal C$ wird also bereits eindeutig festgelegt durch die 
 Funktoren $F\circ i_+:\mathcal W(U_+)\ra \mathcal C$ und
$F\circ i_-:\mathcal W(U_-)\ra \mathcal C$, wobei
$i_\pm:U_\pm \hra X$ ebenso  die Einbettungen wie 
die zugeh"origen Funktoren
auf den fundamentalen Gruppoiden bezeichnen. 
Es bleibt zu zeigen, da"s es f"ur 
eine weitere Kategorie $\mathcal C$ und Funktoren 
$I_\pm:\mathcal W(U_\pm)\ra \mathcal C$ 
derart, da"s das Diagramm 
$$\xymatrix{
\mathcal W(U_\cap) \ar[r]\ar[d]
& \mathcal W(U_-) \ar^{I_-}[d]\\
\mathcal W(U_+) \ar^{I_+}[r] &\mathcal C}$$
kommutiert, auch in der Tat einen Funktor $F:\mathcal W(X)\ra \mathcal C$
gibt mit $F\circ i_\pm=I_\pm$. 
Konstruieren wir also einen derartigen
Funktor $F$. 
Auf Objekten  ist klar,  welche Abbildungsvorschrift
wir nehmen k"onnen und m"ussen.  Es ist auch klar, da"s der Funktor $F$, wenn es ihn denn
gibt, auf einem Morphismus
$g\in \mathcal W_X(x,y)$ wie folgt berechnet werden kann:
Man w"ahlt einen Weg $\gamma : [0,1] \ra X$ von $x$ nach $y$ mit $g=[\gamma]$,
w"ahlt dazu eine Unterteilung $0 = a_{0}< a_{1}
<a_{2} < \ldots <a_{r}=1$ wie oben, 
w"ahlt f"ur jedes $\rho$ ein 
Vorzeichen $\varepsilon(\rho)$ mit
$\gamma [a_{\rho-1}, a_{\rho}]
\subset U_{\varepsilon(\rho)}$,
bezeichnet mit $\gamma_\rho:[0,1]\ra U_{\varepsilon(\rho)}$ den zugeh"origen
auf das Einheitsintervall umparametrisierten Weg,
bezeichnet mit $[\gamma_\rho]_{\varepsilon(\rho)}$ den zugeh"origen Morphismus
in $\mathcal W(U_{\varepsilon(\rho)})$, und 
hat dann 
$$F(g)=(I_{\varepsilon(r)}[\gamma_r]_{\varepsilon(r)})\circ\ldots\circ
(I_{\varepsilon(2)}[\gamma_2]_{\varepsilon(2)})\circ(I_{\varepsilon(1)}[\gamma_1]_{\varepsilon(1)})$$ 
 Es ist schlie"slich klar, da"s wir einen Funktor $F$ 
mit den gesuchten Eigenschaften durch diese
Vorschrift konstruieren k"onnen, wenn es gelingt zu zeigen,  
da"s $F(g)$ unabh"angig ist von allen diesen Wahlen. 
Da"s es auf die Wahl der jeweiligen Vorzeichen $\varepsilon(\rho)$ nicht
ankommt,
folgt aus unserer Annahme
 der Kommutativit"at des letzten Diagramms. Da"s es auf die Wahl der
 Unterteilung von $\gamma$ nicht ankommt, erkennt man, indem man bei zwei
 Wahlen zu einer gemeinsamen Verfeinerung "ubergeht und 
die Annahme ausnutzt, da"s unsere
$I_\pm$ Funktoren sind. Damit liefert jeder Repr"asentant $\gamma$ von
$g$ schon mal ein wohldefiniertes $F_\gamma(g)$. 
Bleibt zu zeigen, da"s es auch auf die Wahl des Repr"asentanten $\gamma$ der
Homotopieklasse $g$ nicht ankommt. Aber sei sonst $\psi$ ein
weiterer Repr"asentant und 
$h:\gamma\simeq \psi$ eine Homotopie mit festen Endpunkten.
Wieder nach dem  "Uberdeckungssatz von Lebesgue
gibt es Unterteilungen $0 = a_{0}< a_{1}
<a_{2} < \ldots <a_{r}=1$ und 
$0 = b_{0}< b_{1}
<b_{2} < \ldots <b_{s}=1$ derart, da"s
jedes Feld $[a_{\rho-1},a_\rho]\times [b_{\sigma-1},b_{\sigma}]$
unter unserer Homotopie $h$ ganz nach $U_+$ oder ganz 
nach $U_-$ abgebildet wird.  
Sind $p,q$ benachbarte Ecken eines Feldes, so bezeichnen wir mit
$d_{p,q} : [0,1]\ra [0,1]\times [0,1]$ die affine Abbildung mit
$d_{p,q}(0)=q$, $d_{p,q}(1)=p$ und setzen $\gamma_{p,q}=h\circ d_{p,q}$.
F\"{u}r ein von
$h$ ganz nach $U_{\varepsilon}$ abgebildetes Feld mit Ecken
$${\begin{pmatrix}y&z\\x&w
\end{pmatrix}}$$ sind die Wege
$\gamma_{ z,w} \ast \gamma_{ w,x}$ und $ \gamma_{z,y} \ast
 \gamma_{y,x}$ dann in $U_{\varepsilon}$ homotop. In der
Tat folgt aus \ref{Konvex} sofort die Homotopie
$d_{z,w} \ast d_{w,x} \simeq d_{z,y} \ast
d_{y,x}$
in $\Omega (\text{Feld},x,z)$.
Betrachten wir nun irgendeinen Weg $\phi$ im Einheitsquadrat, dem Definitionsbereich unserer Homotopie $h$, 
der mit konstanter absoluter Geschwindigkeit auf den Kanten unserer Felder
von $(0,0)$ nach $(1,1)$ l"auft und dabei immer nach rechts oder nach oben
l"auft.
 Nach dem vorhergehenden ist 
$F_{h\circ \phi}(g)$ unabh"angig von $\phi$. 
Andererseits gilt, jetzt mit der Notation $\varepsilon$
f"ur konstante Wege,  offensichtlich 
$\epsilon\ast\gamma=h\circ \phi_1$ 
f"ur $\phi_1$ das $\phi$, das erst die Unterkante entlangl"auft und dann die
rechte Seite hoch, und $\psi\ast\epsilon=h\circ \phi_2$
f"ur $\phi_2$ das $\phi$, das erst die  limke Seite hochl"auft und dann
die Oberkante entlang. So aber folgt
\begin{displaymath}
  F_\gamma(g)=F_{\epsilon\ast\gamma}(g) =F_{h\circ \phi_1}(g)=F_{h\circ
    \phi_2}(g)= F_{\psi\ast\epsilon}(g)=F_{\psi}(g)
\qedhere
\end{displaymath}
\end{proof} 


\begin{proof}[Beweis von Seifert-van Kampen]
Gegeben ein Monoid $M$ bezeichne $[M]$ die zugeh"orige 
{\bf Ein-Objekt-Kategorie} mit einem einzigen Objekt, dessen 
Monoid von Endomorphismen gerade $M$ ist.
Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ und ein Objekt
$A\in \mathcal C$ haben wir stets einen  tautologischen
Funktor $[\mathcal C(A)]\ra \mathcal C$, der das einzige
Objekt auf das Objekt $A$ abbildet. 
Ein Gruppoid hei"st 
{\bf zusammenh"angend},\index{zusammenh"angend!Gruppoid} 
 wenn es zwischen je zwei seiner Objekte mindestens
einen Morphismus gibt. Ist $\mathcal W$ ein zusammenh"angendes
Gruppoid und w"ahlen wir ein Objekt $x\in \mathcal W$ und
f"ur jedes $y\in\mathcal W$ einen ausgezeichneten Morphismus
$g_y:x\ra y$, so erhalten wir umgekehrt einen Funktor
$ \mathcal W\ra [\mathcal W(x)]$
durch die Vorschrift $f\mapsto g_z^{-1}\circ f\circ g_y$ f"ur alle
Morphismen $f:y\ra z$. Ist dabei speziell $g_x=\op{id}_x$, so ist die
Verkn"upfung
$$[\mathcal  W(x)]\ra \mathcal W\ra [\mathcal  W(x)]$$
unserer beiden eben diskutierten Funktoren der Identit"atsfunktor.
Beim Beweis des Satzes von Seifert-van Kampen d"urfen wir nun ohne 
Beschr"ankung der Allgemeinheit au"ser $U\cap V$ auch
$U$ und $V$ und damit  $X$ wegzusammenh"angend annehmen, indem wir
andernfalls jeweils zur Wegzusammenhangskomponente unseres Basispunkts
 $x$ "ubergehen. Dann k"onnen  wir  f"ur jeden Punkt $y\in X$ einen
Weg von $x$ nach $y$ w"ahlen so, da"s unser Weg der konstante Weg
ist im Fall $y=x$ und ganz in $U$ beziehungsweise $V$ verl"auft,
falls $y$ in $U$  beziehungsweise $V$ liegt. 
Mit diesen Wahlen erhalten wir nach dem vorhergehenden im  Schaubild
 $$\xymatrix{\kokart
\mathcal W(U\cap V) \ar[r]\ar[d]
& \mathcal W(V) \ar[d]\\
\mathcal W(U) \ar[r] &\mathcal W(X)}\qquad\qquad \xymatrix{
[\pi_1(U\cap V,x)] \ar[r]\ar[d]
& [\pi_1(V,x)] \ar[d]\\
[\pi_1(U,x)] \ar[r] &[\pi_1(X,x)]}$$
 Funktoren 
von allen vier Ecken des linken 
in alle vier Ecken des rechten Diagramms. Sie  lassen sogar einen
kommutativen W"urfel entstehen  und 
sind  halbinvers  zu den offensichtlichen Einbettungen. 
Da das linke Diagramm kokartesisch ist, folgt dasselbe f"ur das rechte
Diagramm. Ist genauer $G$ eine Gruppe, so liefert 
jede Erg"anzung des  Kowinkels im
 rechten Diagramm zu einem kommutativen Quadrat
$$\xymatrix{
[\pi_1(U\cap V,x)] \ar[r]\ar[d]
& [\pi_1(V,x)] \ar[d]\\
[\pi_1(U,x)] \ar[r] &[G]}$$ 
eine Erg"anzung des  Kowinkels im linken Diagramm zu einem kommutativen Quadrat
mit $[G]$ als rechter unterer Ecke. Diese Erg"anzung mu"s von einem 
Funktor $\mathcal W(X)\ra [G]$ herkommen, der dann hinwiederum
einen m"oglichen Funktor $[\pi_1(X,x)]\ra [G]$ liefert, der zu dem
urspr"unglichen kommutativen Quadrat f"uhrt. Jeder derartige 
Funktor hinwiederum kommt von  einem eindeutig bestimmten Funktor
$\mathcal W(X)\ra [G]$ her und ist damit auch selbst eindeutig bestimmt.
\end{proof}


\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Ist $M$ eine zusammenh\"{a}ngende $d$-Mannigfaltigkeit der Dimension
$d\geq 3$ und $E \subset M$ eine endliche Teilmenge,
so induziert die Einbettung $M \backslash E \hookrightarrow M$
einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen.\label{EFPu}
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man zeige, da"s die Fundamentalgruppe des Komplements einer
Kreislinie im $\DR^3$ isomorph ist zu $\DZ$.\label{FKKk} 
Hinweis: Die Fundamentalgruppe "andert sich nach \ref{EFPu} nicht,
wenn wir den $\DR^3$ durch Hinzuf"ugen eines Punktes zur $S^3$ machen.
Dann kann man \ref{GeKr} anwenden.
\end{Ubung}



\subsection{Freie Monoide und freie Gruppen}
\begin{Satz}
  \begin{enumerate}
  \item Gegeben eine Menge $X$
existiert ein Paar $(W,\varepsilon)$ bestehend aus einem  Monoid $W$
und einer Abbildung  $\varepsilon:X\ra  W$
derart, da"s f"ur jedes weitere Monoid $M$  das Vorschalten von
 $\varepsilon$ eine
    Bijektion
$$(\circ\varepsilon):\op{Mon}(W,M) 
\sira
\op{Ens}(X, M)$$
zwischen der Menge aller Monoidhomomorphismen $W\ra M$ und der Menge aller 
Abbildungen $X\ra M$ induziert. Wir nennen solch ein 
$\varepsilon$ eine \emph{\bf universelle Mengen-Monoid-Abbildung};
\item
Gegeben zwei universelle Mengen-Monoid-Abbildungen
 $\varepsilon:X\ra W$ und  $\tau:X\ra V$ existiert genau ein
Monoidhomomorphismus $c:W\ra V$ mit $c\circ\varepsilon=\tau $ und genau ein
Monoidhomomorphismus  $d:V\ra W$ mit $ d\circ\tau=\varepsilon$, und  diese
Abbildungen $c$ und $d$ sind zueinander inverse Isomorphismen.
\end{enumerate}
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl}\label{DefTm} 
  Unsere Paare $(W,\varepsilon)$ 
sind nach Teil 2  
 eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus.\label{FrMo} 
Eine universelle Mengen-Monoid-Ab\-bil\-dung 
 $\varepsilon: X\ra W$ 
verdient damit den bestimmten Artikel. Man nennt $(W,\varepsilon)$
 das
{\bf freie Monoid "uber $X$}.\index{Monoid!freies}
Wir verwenden f"ur die universelle\index{Mon@${\op{Mon}}\frei X$ freies Monoid "uber $X$} Mengen-Monoid-Abbildung aus einer Menge $X$ die Notation  $$\varepsilon: X\ra {\op{Mon}}\frei X$$ 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Die charakterisierende Eigenschaft einer universellen
  Men\-gen-Mo\-no\-id-Ab\-bil\-dung $\varepsilon:X\ra W$ bedeutet in anderen Worten:
Ist  $M$ ein Monoid und
$\va:X\ra M$ eine Abbildung von Mengen, so soll es genau einen
Monoidhomomorphismus 
${\hat \varphi} : W\ra M$ geben mit ${\hat \varphi} \circ
\varepsilon =\va$, im Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
X \ar[dr]_-{{\varphi}}
\ar[r]^-{\varepsilon}& W\ar@{-->}[d]^-{{\exists !\hat{\varphi}}}\\
&M\\
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
  F"ur das einelementige Monoid $\{1\}$ ist die Abbildung
  $\emptyset\ra \{1\}$ universell.
  Das freie Monoid "uber der leeren Menge besteht in anderen Worten
  nur aus dem
  neutralen Element.
  F"ur das additive Monoid $(\DN,+)$ ist die Abildung
  $\{*\}\ra \DN$ mit $*\mapsto 1$ universell.
Das freie Monoid "uber der einelementigen Menge ist in anderen Worten
 das additive Monoid der nat"urlichen Zahlen.
\end{Beispiele}
\begin{proof}
  Gegeben eine Menge $X$ konstruieren wir eine universelle
  Abbildung von $X$ in ein Monoid 
$ W $  wie folgt:
F\"{u}r $n=0,1,2,\ldots$ betrachten wir zun"achst die Mengen $W_{n}
\pdef\op{Ens}(\{1,\ldots
, n\}, X)$.
Wir notieren unsere Abbildungen $a:\{1,\ldots
, n\}\ra X$ als $a:i\mapsto a_i$  und  interpretieren
Elemente $a\in W_{n} $ als endliche W\"{o}rter $a_{1}
a_{2}\ldots a_{n}$ aus Elementen von $X$.
Die Menge $W_{0}$ besteht insbesondere nur aus 
einem Wort, dem \glqq leeren\grqq\  Wort, notiert
$e$. 
Wir betrachten dann die \glqq Menge aller W\"{o}rter\grqq\  
$W  \pdef \coprod_{n\geq 0}
W_{n} $
und  erkl\"{a}ren darauf die Verkn\"{u}pfung des
\glqq Hintereinanderschreibens
von W\"{o}rtern\grqq\  $$\begin{array}{ccc}
W  \times W  &\ra &W \\
(a,b) &\mapsto & ab
\end{array}$$
Diese Verkn\"{u}pfung ist offensichtlich assoziativ, die L\"{a}ngen von
W\"{o}rtern
addieren sich beim Verkn"upfen und das leere Wort ist ein neutrales
Element. Die Abbildung $\varepsilon:X\ra  W$, die jedem Element $x\in X$
das Wort $x\in  W_1$ bestehend aus $x$ als
einzigem Buchstaben zuordnet, ist dann offensichtlich eine
universelle Mengen-Monoid-Abbildung.
%In der Linie unserer Konventionen 
%\eref{NfE}{AL} verwenden wir f"ur 
%das freie Monoid "uber $X$ auch die alternativen Notationen  
%${\cal W} X=|X\rangle=|'_!X\rangle=\op{Mon}\frei   X$.
  Die Argumentation ist beim Beweis von Teil 2 sehr "ahnlich wie beim Nachweis
der Eindeutigkeit von Produkten bis auf eindeutigen Isomorphismus
\ref{EPEI} und bleibe dem Leser "uberlassen. Formal sind alle diese
Aussagen Spezialf"alle der Eindeutigkeit darstellender Objekte
 \eref{EDDF}{LA2}.
\end{proof}

\begin{Satz}
  \begin{enumerate}
  \item Gegeben eine Menge $X$
existiert ein Paar $(F,\varepsilon)$ bestehend aus einer  Gruppe $F$
und einer Abbildung  $\varepsilon:X\ra F$
derart, da"s f"ur jede weitere Gruppe $G$  das Vorschalten von
 $\varepsilon$ eine
    Bijektion
$$(\circ\varepsilon):\op{Grp}(F,G) 
\sira
\op{Ens}(X, G)$$
zwischen der Menge aller Gruppenhomomorphismen $F\ra G$ und der Menge aller 
Abbildungen $X\ra G$ induziert. Wir nennen solch ein 
$\varepsilon$ eine \emph{\bf universelle Mengen-Gruppen-Abbildung};
\item
Gegeben zwei universelle Mengen-Gruppen-Abbildungen
 $\varepsilon:X\ra F$ und  $\tau:X\ra H$ existiert genau ein
Gruppenhomomorphismus $c:F\ra H$ mit $c\circ\varepsilon=\tau $ und genau ein
Gruppenhomomorphismus  $d:H\ra F$ mit $ d\circ\tau=\varepsilon$, und  diese
Abbildungen $c$ und $d$ sind zueinander invers.
\end{enumerate}
\end{Satz}


\begin{Bemerkungl}\label{DefTm} 
  Unsere Paare $(F,\varepsilon)$ 
sind nach Teil 2  
\glqq eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq,
wenn sie existieren.
Eine universelle Mengen-Gruppen-Ab\-bil\-dung 
 $\varepsilon: X\ra F$\label{FrGr}   
verdient damit den bestimmten Artikel. Man nennt $(F,\varepsilon)$
 die
{\bf freie Gruppe "uber $X$}.\index{Gruppe!freie}
Wir verwenden f"ur die universelle Mengen-Gruppen-Abbildung aus einer Menge $X$ die Notation\index{Grp@$\op{Grp}\frei X$ freie Gruppe "uber $X$}  $$\varepsilon:X\ra \op{Grp}\frei X$$
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Die charakterisierende Eigenschaft einer universellen
  Mengen-Gruppen-Abbildung $\varepsilon:X\ra F$ bedeutet in anderen Worten:
Ist  $G$ eine Gruppe und
$\va:X\ra G$ eine Abbildung von Mengen, so soll es genau einen
Gruppenhomomorphismus 
${\tilde \varphi} : F\ra G$ geben mit ${\tilde \varphi} \circ
\varepsilon =\va$, im Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
X \ar[dr]_-{{\varphi}}
\ar[r]^-{\varepsilon}& F\ar@{-->}[d]^-{{\exists !\tilde{\varphi}}}\\
&G\\
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
  F"ur die einelementige Gruppe $\{1\}$ ist die Abbildung
  $\emptyset\ra \{1\}$ universell.
  Die freie Gruppe "uber der leeren Menge besteht in anderen Worten
  nur aus dem
  neutralen Element.
  F"ur die additive Gruppe $(\DZ,+)$ ist sowohl die Abbildung
  $\{*\}\ra \DZ$ mit $*\mapsto 1$ als auch die Abbildung $\{*\}\ra \DZ$
  mit $*\mapsto -1$ universell.
\end{Beispiele}
\begin{proof}
  Gegeben eine Menge $X$ konstruieren wir eine universelle
  Mengen-Grup\-pen-Abbildung $\varepsilon:X\ra F$  wie folgt:
Wir beginnen mit dem freien Monoid
$$ W^\pm \pdef \op{Mon}\frei (X\times \{+1,-1\})$$
"uber dem kartesischen Produkt $X\times \{+1,-1\}$.
Wir  interpretieren
Elemente $a$ 
dieses Monoids als endliche W\"{o}rter $a_{1}^{\sigma_1}
a_{2}^{\sigma_2}\ldots a_{n}^{\sigma_n}$ 
mit $a_i\in X$ und $\sigma_i\in \{+1,-1\}$.
Ein typisches Element unseres Monoids w"are etwa das Wort
$xyx^{-1}xy^{-1}$ mit $x,y\in X$.
Sei nun $\sim$ die kleinste \"{A}quivalenzrelation auf $ W^\pm  $ derart,
da"s  mit unserer Notation $e$ f"ur das leere Wort
gilt:
\begin{enumerate}
\item
$xx^{-1} \sim e \sim x^{-1} x \;\; \forall x \in X;$
\item
$a\sim b\;\Rightarrow\; ca\sim cb$ und $ac \sim bc \;\; \forall a,b,c \in  W^\pm $.
\end{enumerate}
Bezeichne $F \pdef  W^\pm  /\!\sim$ die 
Menge der \"{A}quivalenzklassen.
Die Klasse von $a\in  W^\pm $ hei"se $[a]$. Offensichtlich definiert die
Verkn\"{u}pfung auf $ W^\pm $ eine Verkn\"{u}pfung 
auf $F$.  
Das Assoziativgesetz gilt schon in $ W^\pm  $, 
also erst recht in $F$.
Das leere Wort $e$ ist schon neutral in $ W^\pm $, also ist erst recht
$[e]$ neutral in $F$.
Um die Existenz von Inversen nachzuweisen, betrachte man zu 
$a=a_{1}^{\sigma_1}
a_{2}^{\sigma_2}\ldots a_{n}^{\sigma_n}$
das Wort $b=a_{n}^{-\sigma_n}\ldots 
a_{2}^{-\sigma_2}a_{1}^{-\sigma_1}$
oder in Formeln zu $a: \{1,\ldots,n\}\ra (X\times \{+1,-1\})$
das Wort $b$ gegeben durch $b(i) =(a_{n-i},
-\sigma_{n-i})$.
Ist zum Beispiel
$a  = xyx^{-1}yxx$, so nehmen wir
$b  = x^{-1}x^{-1}y^{-1} x y^{-1}x^{-1}$.
Dann gilt offensichtlich $[b][a] =[a][b] =[e]$.
Mithin ist $F$ eine Gruppe. Wir betrachten nun
die Abbildung
$\varepsilon:X\ra F$ gegeben durch $x\mapsto [x]$ und zeigen sie  universell ist. 
Seien dazu $G$ eine Gruppe und
$\va:X\ra G$ eine Abbildung.
Man definiere $\hat{\varphi} :  W^\pm \ra G$ durch
$$\hat{\varphi} (a_{1}^{\sigma_{1}}
\ldots a_{n}^{\sigma_{n}}) =\va (a_{1})^{\sigma_{1}}\ldots \va
(a_{n})^{\sigma_{n}}$$
Betrachten wir auf $ W^\pm $ die \"{A}quivalenz-Relation $a\sim_{\varphi} b
\Leftrightarrow \hat{\varphi}(a)=\hat{\varphi}(b)$, so erf\"{u}llt
$\sim_{\varphi}$ sicher die Bedingungen 1 und 2 an unsere
\"{A}quivalenzrelation
auf $ W^\pm $. Also
ist $\hat{\varphi} $ konstant auf den \"{A}quivalenzklassen zu $\sim$ und
definiert eine Abbildung ${\tilde \varphi} :F\ra G$ 
mit ${\tilde \varphi}
([a]) = \hat{\varphi} (a)$.
Damit ist die Existenz von $\tilde{\varphi}$ gezeigt. Die Eindeutigkeit ist
klar, unsere Abbildung $\varepsilon:X\ra F$ ist also in der Tat universell.
  Die Argumentation ist beim Beweis von Teil 2 sehr "ahnlich wie beim Nachweis
der Eindeutigkeit von Produkten bis auf eindeutigen Isomorphismus
\ref{EPEI} und bleibe dem Leser "uberlassen. Formal sind alle diese
Aussagen Spezialf"alle der Eindeutigkeit darstellender Objekte
 \eref{EDDF}{LA2}.
\end{proof}





\begin{Bemerkungw}
Die Notationen $\op{Mon}\frei   X$ und $\op{Grp}\frei   X$ werden
 in \ref{FrO} verallgemeinert
auf beliebige Kategorien $\cal{C}$ mit einem ausgezeichneten Funktor
in die Kategorie der Mengen $v:\cal{C}\ra \op{Ens}$. Auch in dieser
Situation erkl"aren wir eine \glqq universelle Mengen-$\mathcal C$-Abbildung\grqq\ als eine
Abbildung $\varepsilon: X\ra vC$ mit $X\in\op{Ens}$ und $C\in\mathcal C$
mit der Eigenschaft, da"s das Anwenden
von $v$ und Vorschalten von $\varepsilon$ f"ur alle $D\in\mathcal C$
eine Bijektion
$(\circ\varepsilon):\mathcal C(C,D)\sira \op{Ens}(X,vD)$ liefert. Auch in dieser
Allgemeinheit notieren wir  $C$ dann  gerne $\mathcal C\frei X$. 
\end{Bemerkungw}


\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGeWe}\\[4mm]
\noindent 
Ein geschlossener  nicht zusammenziehbarer  Weg
im Komplement einer zweielementigen Teilmenge der komplexen
Zahlenebene. Denken wir uns das Mittelkreuz als Basispunkt
und bezeichnet $\alpha$ beziehungsweise $\beta$ 
in der Fundamentalgruppe das Umrunden gegen den Uhrzeigersinn
von $a$ beziehungsweise $b$, so ist unser Fundamentalgruppe nach \ref{fkp}
 frei erzeugt von $\alpha$ und $\beta$ 
und unser  Weg repr"asentiert das Element
$\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta$ in der Fundamentalgruppe.
Denken wir uns an den beiden Kreuzen je einen Nagel in die Wand geschlagen, 
bleibt unsere Schnur h"angen, weil sie eben ein nichttriviales Element der
Fundamentalgruppe repr"asentiert. Sobald wir einen der beiden N"agel 
herausziehen, wird jedoch die Fundamentalgruppe des Komplements des 
verbleibenden Nagels kommutativ und die Schnur f"allt herunter.
\end{figure}

\begin{Beispiel}[\textbf{Fundamentalgruppe koendlicher Teilmengen der Ebene}]  
  Gegeben $E\subset\DC$ eine endliche Teilmenge und
  $\ast\in \Bbb{C}\backslash E$ ein Basispunkt derart, 
da"s keine zwei Punkte aus
$E$ mit $*$ kollinear sind,
erhalten wir einen Isomorphismus
$$\op{Grp}\frei   E\; \sira \; \pi_{1} (\Bbb{C}\backslash E, \ast)$$
durch die Vorschrift  $p\mapsto [\alpha_p]$ mit $\alpha_p$ einem Weg,
der erst auf geradem Wege von $\ast$ so nah an $p$ herangeht,
da"s man n"aher bei $p$ ist als bei allen anderen $q\in E$, 
dann einmal im Gegenuhrzeigersinn um $p$ herum,\label{fkp}  und dann wieder auf geradem Wege 
  zu $\ast$ zur"uck\grqq.
  Das folgert man induktiv mit Seifert-van Kampen und \"{U}bung \ref{FGK}
  und der offenen
  "Uberdeckung, die wir erhalten, indem wir erst
  die Ebene von $\ast$ ausgehend so in
  Kuchenst"ucke aufschneiden, da"s in jedem Kuchenst"uck genau ein Punkt von $E$ liegt, und dann diese Kuchenst"ucke etwas aufdicken, indem wir alle Punkte mit einem Abstand $<\varepsilon$ vom gegebenen Kuchenst"uck mit dazunehmen und
  dabei $\varepsilon>0$ so klein w"ahlen, da"s auch in jedem dieser
  aufgedickten Kuchenst"ucke nur genau ein Punkt von $E$ liegt.
  Im Fall eines allgemeinen Basispunktes k"onnen wir uns mit unseren Erkenntnisse zum Wechsel des Basispunktes \ref{WBP} unschwer auf den bereits
  behandelten Fall zur"uckziehen.
\end{Beispiel}




\begin{Bemerkunge} 
Gegeben eine Menge $X$ kann man die abelsche Gruppe $\DZ X$ 
aller derjenigen Abbildungen $X\ra \DZ$ betrachten, die 
an h"ochstens endlich vielen Stellen von Null 
verschiedene Werte annehmen.
Die Abbildung
$\varepsilon:X\ra \DZ X$, die jedem Element 
von $X$ seine charakteristische Funktion zuordnet,
hat dann die universelle Eigenschaft, da"s das Vorschalten dieser
Abbildung f"ur jede abelsche Gruppe $A$ eine Bijektion\label{fag} 
$$(\circ\varepsilon): \op{Ab}(\DZ X, A)\sira \op{Ens}(X,A)$$
zwischen der Menge aller Homomorphismen von abelschen Gruppen 
$\DZ X\ra  A$ und der Menge aller  Abbildungen $X\ra A$ induziert.
Sie ist also eine  universelle Mengen-(abelsche-Gruppen)-Abbildung. 
Aufgrund dieser universellen Eigenschaft hei"st $\DZ X$
 die {\bf freie abelsche Gruppe "uber $X$} und wir
 notieren sie auch $\op{Ab}\frei  X$ und notieren unsere universelle Abbildung
 $\varepsilon:X\ra \op{Ab}\frei  X$. Wieder legt diese universelle
Eigenschaft unser Paar $(\varepsilon, \DZ X)$ bereits bis auf 
eindeutigen Isomorphismus eindeutig fest. So erkennen wir, da"s 
der durch das letztere $\varepsilon$ induzierte 
Gruppenhomomorphismus $\tilde\varepsilon:\op{Grp}\frei  X\ra \op{Ab}\frei  X$
einen Isomorphismus
$$(\op{Grp}\frei  X)^{\op{ab}}\sira \op{Ab}\frei  X$$
von der Abelisierung im Sinne von \ref{Abel} 
der freien  Gruppe "uber $X$ in die freie abelsche Gruppe
"uber $X$ induzieren mu"s. 
Das hinwiederum zeigt, da"s die freien Gruppen "uber 
zwei Mengen $X,Y$ nur dann isomorph sein k"onnen, wenn
gilt $|X|=|Y|$, denn f"ur 
 $A\pdef\op{Ab}\frei X$ k"onnen wir das
 daraus folgern,  da"s $A/2A$ in Bijektion ist zur Menge aller endlichen Teilmengen von $X$. 
Wir nennen die Kardinalit"at von $X$ 
den {\bf Rang}\index{Rang!von freier Gruppe} der freien Gruppe 
$\op{Grp}\frei  X$.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungw}
  Da die Vorschrift $X\mapsto \DZ X$ einen kovarianten Funktor
$\op{Ens}\ra\op{Ab}$ liefert, ist es richtiger, die Elemente von $\DZ X$
als eine Art \glqq kompakt getragener Ma"se\grqq\ auf $X$ aufzufassen.
Wenn wir diesen Gesichtspunkt betonen wollen, verwenden wir die Notation
$\DZ X=\op{Ma"s}_!(X)$ und  $\varepsilon(x)=\delta_x$.
\end{Bemerkungw}

\begin{Bemerkunge}[\textbf{Freie Untergruppen einer Matrixgruppe}] 
Man kann sich mit M"obiusgeometrie anschaulich leicht klar machen,  
da"s die Gruppe $\op{GL}(2;\DC)$, ja selbst
die Gruppe $\op{PGL}(2;\DC)$ freie Untergruppen 
von beliebigem endlichem Rang besitzt. Dazu betrachtet man ihre Operation auf der Zahlenkugel $\mathbb P^1\DC$. F"ur jedes Paar von  abgeschlossenen Kreisscheiben $K,L\subset \mathbb P^1\DC$ mit $K\subset L^\circ$ 
findet man $\gamma\in \op{PGL}(2;\DC)$ mit 
$\gamma(K^\circ)=L^\circ$.
Erinnert  man etwa  $\mathbb P^1\DC=\DC\sqcup\{\infty\}$ und  nimmt zwei
konzentrische Kreisscheiben in $\DC$, so w"are etwa eine geeignete Streckung
ein m"ogliches $\gamma$.
W"ahlt man nun endlich viele  paarweise disjunkte abgeschlossene
Kreisscheiben $K_i\subset L^\circ$ und 
betrachtet das Untergruppenerzeugnis $\Gamma\pdef\langle \gamma_1,
\ldots,\gamma_r\rangle$ der zugeh"origen $\gamma_i$,
so erh"alt man eine freie Gruppe vom Rang $r$. 
In der Tat, betrachtet man die Menge $A$ aller Translate des 
$A\pdef\Gamma(\partial  L)$ des Randkreises von $L$
und die Menge $E\pdef \op{Zus}(A)$ ihrer 
Zusammenhangskomponenten und
verbindet je zwei Elemente  $p,q\in E$
durch eine Kante, wenn die entsprechenden Kreise im
Abschlu"s derselben Zusammenhangskomponente von
$\mathbb P^1\DC\backslash A$ liegen. So erh"alt man einen zykelfreien eindimensionalen
Simplizialkomplex alias Baum, 
bei dem von jeder Ecke $2r$ Kanten ausgehen.
Die induzierte Operation  
von 
$\Gamma$ auf diesem Simplizialkomplex  geschieht in der Weise,
da"s unsere Erzeuger $\gamma_i$ und ihre Inversen 
jede Ecke  $p\in E$ auf alle ihre $2r$ Nachbarn schieben. 
 So kann man zumindest anschaulich gut einsehen, da"s $\Gamma$ eine freie Gruppe vom Rang $r$ sein mu"s. Diese freien Untergruppen von $\op{PGL}(2;\DC)$ hei"sen {\bf Schottky-Gruppen}.\index{Schottky-Gruppe}
\end{Bemerkunge}





\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Freie Gruppe als Menge unk"urzbarer Worte}] 
Sei $X$ eine Menge. Man zeige, da"s jedes Element der freien 
Gruppe $\op{Grp}\frei   X$ "uber $X$ genau einen
Repr\"{a}sentanten k\"{u}rzester L\"{a}nge im\label{GKW} 
freien Monoid $\op{Mon}\frei (X\times\{+1,-1\})$ hat, und da"s diese
Repr\"{a}sentanten  genau die \glqq unk\"{u}rz\-baren Worte\grqq\ 
aus diesem freien Monoid sind. 
Hinweis: Man 
konstruiere eine Operation der Gruppe $\op{Grp}\frei   X$ auf der
Menge aller unk"urzbaren Worte.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Man zeige, da"s $x$ und $a\pdef yxyx^{-1}y^{-1}$ in der
  freien Gruppe "uber den beiden Symbolen $x,y$ eine echte
  Untergruppe erzeugen, die surjektiv auf die Abelianisierung unserer freien Gruppe  abbildet.
  Hinweis: \ref{GKW}. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{FGK}
Jede Abbildung von Mengen $\varphi:X\ra Y$ setzt sich
auf genau eine Weise fort zu einer
Abbildung von Gruppen $\op{Grp}\frei   X\ra \op{Grp}\frei   Y$, und unser $\op{Grp}\frei   $ ist so
in nat\"{u}rlicher Weise ein Funktor von den Mengen in die Gruppen.
Man zeige, da"s dieser Funktor $\op{Grp}\frei   $ 
kokartesische Diagramme von Mengen  zu kokartesischen
Diagrammen von Gruppen 
macht. Das wird sp"ater zu \ref{KoKaR} verallgemeinert.
Sind insbesondere $X$ und $Y$ zwei Mengen,
so ist das folgende Diagramm kokartesisch in der Kategorie der Gruppen:
$$\begin{array}{ccc}
\op{Grp}\frei   (X\cap Y)&\ra&\op{Grp}\frei   X\\
\da&&\da\\
\op{Grp}\frei   Y&\ra&\op{Grp}\frei   (X\cup Y)
\end{array}$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{FBK}
Man zeige, da"s wir
einen
Isomorphismus  
zwischen der freien Gruppe "uber einer endlichen Menge $I$
und der Fundamentalgruppe 
der Einpunktverbindung 
$\bigvee_{i\in I} S^1 $ von Kopien der bepunkteten R"aume $(S^1,1)$ 
erhalten, wenn wir jedem $i\in I$ das \glqq einfache Durchlaufen
der $i$-ten Kreislinie\grqq\  zuordnen.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Verschlungene und nicht verschlungene Kreislinien}]
Die Fundamentalgruppe des Komplements der Vereinigung von zwei 
\glqq nicht ineinander verschlungenen\grqq\ 
Kreislinien in $\DR^3$ ist isomorph zur freien Gruppe in zwei
Erzeugern. Hinweis: \ref{FKKk}.
Die Fundamentalgruppe des Komplements von zwei \glqq ineinander verschlungenen\grqq\ 
Kreislinien in $\DR^3$ ist  isomorph zur 
freien abelschen Gruppe in zwei
Erzeugern. Hinweis: $\DR^3$ mithilfe von \ref{EFPu} 
zu $S^3$ erg"anzen,
\ref{GeKr} anwenden. Es gibt also keinen Hom"oomorphismus des $\DR^3$ mit
sich selber, der ein Paar von verschlungenen Kreislinien zu einem
Paar von nicht verschlungenen Kreislinien macht. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
Man bestimme die Fundamentalgruppe des Komplements einer Acht
in $\DR^3$.
\end{Ubung}

\subsection{Push-out von Gruppen}
\begin{Bemerkungl}
  Schon beim Satz von Seifert und van Kampen wird sich der Leser gefragt haben,
  ob sich jedes Kowinkeldiagramm von Gruppen zu einem
  kokartesischen Diagramm vervollst\"{a}ndigen l\"{a}"st.  Das ist in der Tat
  der Fall und soll nun bewiesen werden.  Wir beginnen mit einem
besonders einfachen Fall. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Koprodukte von Gruppen}]
In der Kategorie der
 Gruppen existiert zu je zwei Gruppen ein  Koprodukt.\label{KoPG}
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
  Man zeigt "ahnlich, da"s f"ur eine beliebige Familie von Gruppen 
 ein Koprodukt in der
  Kategorie der Gruppen existiert.
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}[Beweis]
Das Koprodukt von zwei Gruppen $G_1$ und
$G_2$  hei"st auch das
{\bf freie Produkt}\index{frei!Produkt von Gruppen} der
Gruppen
$G_{1}$ und $G_{2}$ und wird notiert als $$G_{1}\ast G_{2}$$ 
Nach der universellen Eigenschaft der freien Gruppe $\op{Grp}\frei   G$
\"{u}ber der Menge $G$ haben wir f\"{u}r jede Gruppe $G$ genau einen
Gruppenhomomorphismus
 $\eta=\eta_G:\op{Grp}\frei   G\ra
G$, dessen Verkn\"{u}pfung mit $\varepsilon: G\ra \op{Grp}\frei   G$ die Identit\"{a}t auf $G$
ist.
Den
Kern $R  G \subset \op{Grp}\frei   G$  dieses Gruppenhomomorphismus nennen wir die
\glqq Relationen von $G$\grqq.
Wir definieren  die Gruppe $G_{1}\ast G_{2}$ als
den Quotienten der freien Gruppe "uber der disjunkten Vereinigung 
unserer beiden Gruppen nach dem von den Relationen in beiden Gruppen erzeugten
Normalteiler, in Formeln
$$G_{1}\ast G_{2}\pdef\op{Grp}\frei   (G_{1}
\amalg G_{2})/
\langle\!\langle RG_{1}\cup RG_{2}\rangle\!\rangle$$
Hier haben wir der Einfachheit halber das Bild von $RG_i$ unter der von der Inklusion
induzierten Abbildung $\op{Grp}\frei   G_i\ra \op{Grp}\frei   (G_{1}
\amalg G_{2})$ auch mit $RG_i$ bezeichnet.
Wir behaupten nun, da"s diese Gruppe $G_{1}\ast G_{2}$ mit den
offensichtlichen
Abbildungen $\op{can}_{i}:G_i\ra G_{1}\ast G_{2}$ ein Koprodukt ist.
In der Tat, ist irgendeine Gruppe $H$
gegeben mitsamt Abbildungen $f_{1} : G_{1} \ra H$ und $f_{2} : G_{2}\ra H$,
so erhalten wir einen Gruppenhomomorphismus $f:\op{Grp}\frei   (G_{1}
\amalg G_{2}) \ra H$. Ist zus\"{a}tzlich $f_{i}$ ein Gruppenhomomorphismus, so
liegt
$RG_{i}$ im Kern von $f$.
Sind $f_{1}, f_{2}$ Gruppenhomomorphismen, so definiert $f$ mithin einen
Gruppenhomomorphismus $\bar{f}:G_{1}\ast G_{2} \ra H$.
\end{proof}


\begin{Korollar}
Jedes Kowinkeldiagramm von Gruppen\label{EPGul} 
l\"{a}"st sich zu einem push-out-Diagramm vervollst\"{a}ndigen.
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
  Man nennt so einen push-out auch ein \defind{amalgamiertes Produkt} und
  bezeichnet ihn mit $G_1\ast_G G_2$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $$\begin{array}{ccc}
G&\overset{\varphi_{2}}{\ra}&G_{2}\\
{\scriptstyle\varphi_{1}}\downarrow\;\;& & \\
G_{1}& &\end{array}$$
unser Kowinkeldiagramm.
Wir konstruieren dann unseren Pushout als
den Quotienten
$G_{1}\ast G_{2} / \langle\!\langle \varphi_{1}
(x)^{-1}\varphi_{2} (x)\mid x\in G\rangle\! \rangle $
und \"{u}berlassen es dem Leser, die universelle
Eigenschaft zu pr\"{u}fen.
\end{proof}
\subsubsection*{"Ubungen}


\begin{Ubung}
Ist in einem kokartesischen Diagramm 
von Gruppen 
einer der Ausgangspfeile eine Surjektion, so auch der 
parallele Pfeil in den Pushout. Hinweis: 
Sein Bild hat die universelle Eigenschaft.\label{GKWk}
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Explizite Beschreibung des freien Produkts}] 
Seien $G_1,G_2$ Gruppen.
Man zeige, da"s sich jedes Element des freien Produkts  $G_{1}\ast G_{2}$ in
eindeutiger Weise als ein Produkt
$g_1 g_2 \ldots g_n$ schreiben l\"{a}"st 
mit $n\geq 0$ und $g_k\in G_{\varepsilon(k)}$
nicht das neutrale Element
und $\varepsilon(k)\neq \varepsilon(k+1)$ f"ur $1\leq k<n$.
Wie \"{u}blich soll hier das leere Produkt mit $n=0$ das neutrale Element
von $G_{1}\ast G_{2}$ darstellen. Hinweis: Man orientiere sich am
Beweis von "Ubung \ref{GKW}.
\end{Ubung}





\subsection{Simplizialkomplexe und triangulierbare Fl\"{a}chen}
\label{STKk}%\label{STK}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKoh}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Eine endliche Teilmenge der Ebene, dargestellt durch fette Punkte,
und ihre konvexe H"ulle, dargestellt als schraffierter Bereich.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
  Gegeben $V$ ein reeller Raum und $M\subset V$ eine
Teilmenge erkl"art man die {\bf konvexe H"ulle
von} $M$ %wie in \eref{Konvx}{LA1}
als 
als den Schnitt aller konvexen Teilmengen von $V$, die $M$ umfassen. 
Explizit wird die konvexe H"ulle einer nichtleeren Menge 
im Fall eines Vektorraums 
gegeben durch die Vorschrift
 $$\op{konv}(M)\pdef\textstyle\left\{\sum^{n}_{i=0} t_{i}
 p_{i}\;\right| \left. n\geq 0,\;\; p_i\in M,\;\;
t_{i} \geq 0,\;\;\sum^{n}_{i=0}t_{i}=1
\right\}$$
Im Fall eines affinen Raums gilt dieselbe Formel, 
wenn man die Summe  interpretiert als 
$q+\sum^{n}_{i=0} t_{i}
 (p_{i}-q)$ f"ur irgendeinen Punkt $q\in V$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
  Ich erinnere daran, da"s %nach \eref{afu}{LA1}
  eine nichtleere Familie 
$(p_{0},\ldots, p_{n})$ von Punkten eines reellen affinen Raums
{\bf affin unabh\"{a}ngig} hei"st,\index{affin!unabh"angig}
wenn  es keinen
$(n-1)$-di\-men\-sio\-na\-len affinen Teilraum 
gibt, der  alle Punkte unserer Familie enth"alt.
Dann
nennt man ihre konvexe H"ulle $\op{konv} ( p_{0},\ldots, p_{n})$
den {\bf vollen Simplex\index{Simplex!voller} 
mit Ecken $ p_{0},\ldots, p_{n}$}.
\end{Definition}

\begin{Beispiele}[\textbf{Volle Simplizes kleiner Dimensionen}] 
  Ein einzelner Punkt $p$ ist stets affin unabh"angig und
  wir haben $\op{konv} (p) =\{p\}$.
  Ein Zweitupel $(p,q)$ von Punkten ist affin unabh\"{a}ngig genau dann, wenn
  die beiden Punkte
verschieden sind, und
in diesem Fall ist $\op{konv} (p,q)$
das \glqq abgeschlossene Streckenst"uck zwischen $p$ und $q$\grqq,
das wir manchmal auch $[p,q]$ notieren.
Ein Dreitupel $(p,q,r)$ von Punkten  ist affin unabh\"{a}ngig genau dann, wenn die drei Punkte nicht
auf einer affinen Gerade liegen, und
in diesem Fall ist $\op{konv} (p,q,r) $ 
die \glqq abgeschlossene Fl\"{a}che des
Dreiecks
mit den
Ecken $p,q \text{ und } r$\grqq.
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
Die Bezeichnung \glqq Simplex\grqq\  kann wohl zur"uckgef"uhrt werden auf
denselben Wortstamm wie \glqq simpel\grqq. In jedem Fall werden volle 
Simplizes
verwendet als einfachste Grundbausteine bei der Konstruktion
komplizierterer R"aume. Die Konstruktionsvorschrift 
ist dabei ein rein kombinatorisches Datum, das wir gleich
definieren und einen
\glqq Simplizialkomplex\grqq\  nennen werden.
Den zugeh"origen topologischen Raum nennen wir dann seine
\glqq topologische Realisierung\grqq.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}%\label{SK}
Ein \defind{Simplizialkomplex} ${\cal K}=(E,{\cal K})$
ist eine Menge $E$ mitsamt einem System
${\cal K}\subset {\cal P}(E)$ von nichtleeren endlichen Teilmengen von $E$, 
das unter dem Bilden von nichtleeren Teilmengen stabil ist und 
 alle
einelementigen Teilmengen von $E$ enth"alt.\label{SKk} 
In Formeln ausgedr"uckt fordern wir von unserem Mengensystem
 $\mathcal K\subset
\mathcal{P}(E)$ also:
\begin{enumerate}
\item $0<|K|<\infty\;\forall K\in\mathcal K$;
\item $(K\in\mathcal K\text{ und }\emptyset\neq L\subset K)\RA L\in \mathcal K$;
\item $\{e\}\in\mathcal K\;\forall e\in E$.
\end{enumerate}
Wir nennen die Elemente von $E$ die \defind{Ecken} und
die Elemente von ${\cal K}$ die 
{\bf Simplizes}\index{Simplex!von Simplizialkomplex} oder ausf"uhrlicher die 
{\bf kombinatorischen Simplizes}\index{Simplex!kombinatorischer!von Simplizialkomplex}
unseres Simplizialkomplexes.
Die Simplizes der Kardinalit"at $(n+1)$ nennen wir {\bf $n$-Simplizes}
und die Menge aller $n$-Simplizes notieren wir ${\cal K}_n$. 
Wir identifizieren oft
stillschweigend die Menge $E$ der Ecken mit der Menge ${\cal K}_0$ der
$0$-Simplizes. \end{Definition}
\begin{Bemerkungw}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  Wenn in der Literatur von einem Simplizialkomplex
  die Rede ist, ist  auch oft eine \glqq  Menge mit einer
  simplizialen Teilordnung\grqq\  im Sinne von "Ubung \ref{ASi}  gemeint.
  Wir diskutieren dort, inwiefern das \glqq im
  wesentlichen dasselbe Datum\grqq\ ist wie  ein
  Simplizialkomplex im Sinne der vorhergehenden Definition
  \ref{SKk}.
 \end{Bemerkungw}
\begin{Beispiel}
Jede Menge $E$ ist mit dem System $\mathcal K=\mathcal M_E$ 
all ihrer nichtleeren endlichen Teilmengen  ein Simplizialkomplex $\mathcal M_E=(E,\mathcal M_E)$.  
Ich nenne ihn den\index{Simplizialkomplex!maximaler}   
{\bf maximalen Simplizialkomplex mit Eckenmenge $E$}. 
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSiKK}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Versuch der graphischen Darstellung der topologischen Realisierung 
\ref{PolS} eines Simplizialkomplexes mit acht Ecken $E=\{a,b,\ldots,h\}$,
einem $3$-Simplex $\{a,b,c,d\}$, sechs $2$-Simplizes
$\{a,b,c\}$, $ \{a,b,d\}$,  $ \{a,c,d\}$, $ \{b,c,d\}$,
$\{b,d,e\}$, $\{f,g,h\}$, und dreizehn $1$-Simplizes.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Definition}\label{PolS}
Wir ordnen jedem Simplizialkomplex $\cal K=(E,{\cal K})$ 
einen topologischen Raum $\Delta({\cal K})$\index{D@$\Delta({\cal K})$ topologische Realisierung eines Simplizialkomplexes} zu, den 
wir seine {\bf topologische Realisierung}\index{topologische Realisierung!eines Simplizialkomplexes}
oder kurz {\bf Realisierung}\index{Realisierung!eines Simplizialkomplexes}  nennen. 
Als zugrundeliegende
Menge nehmen wir
$$
\Delta({\cal K})\pdef \left\{t: E
\ra
\DR_{\geq 0}\left| 
\begin{array}{c}\text{Es gibt einen kombinatorischen Simplex } \sigma \in {\cal K}
\\\text{mit }(\op{supp} t) = \sigma
\text{ und es gilt } \sum_{e\in E}t(e)=1
\end{array}\right.\right\}$$
Hier verwenden wir  die "ubliche Notation  $\op{supp} t\pdef\{e\in E\mid t(e)\neq 0\}$
f"ur den Tr"ager oder englisch und franz"osisch \glqq support\grqq\  von $t$.
Unsere Menge $\Delta(\mathcal K)$ ist enthalten im Vektorraum
$\DR E$  aller Abbildungen $E\ra \DR$ mit
endlichem Tr"ager.\label{ESc}
F"ur $\sigma\in\cal{K}$ betrachten wir nun die Teilmenge
$\Delta(\sigma)\subset \Delta({\cal K})$
aller $t$ mit Tr"ager in $\sigma$.  
Bezeichnen wir f"ur $e\in E$ mit $[e]=\delta_e\in \DR E$
das zugeh"orige Element der Standardbasis
und besteht $\sigma$ aus den $n+1$ Ecken $e_0,\ldots, e_n\in E$,
so ist $\Delta(\sigma)$ gerade 
die konvexe H"ulle der $[e_i]$, in Formeln
$$\Delta(\sigma)=\op{konv}([e_0],\ldots, [e_n])$$
Unsere topologische Realisierung ist die Vereinigung aller dieser
vollen Simplizes.  
Ist $E$ endlich, so nehmen wir 
als Topologie auf $\Delta({\cal K})$ schlicht die Topologie, 
die induziert wird von der nat"urlichen
Topologie auf dem  endlichdimensionalen reellen Vektorraum
$\DR E$.   Im allgemeinen 
versehen wir $\Delta({\cal K})$ 
mit der
Finaltopologie bez"uglich aller Inklusionen 
$\Delta (\cal{L}) \subset \Delta (\cal{K})$  
von Realisierungen
endlicher Unterkomplexe $\cal{L}\subset \cal{K}$ 
oder gleichbedeutend der Finaltopologie bez"uglich aller Inklusionen 
$\Delta (\sigma) \subset \Delta (\cal{K})$ 
der vollen Simplizes
zu  $\sigma\in\cal{K}$. Da"s im Fall eines endlichen Simplizialkomplexes
diese Initialtopologie und Finialtopologie "ubereinstimmt, folgt leicht aus
der Erkenntnis, da"s jede stetige Surjektion von einem Kompaktum auf einen
Hausdorffraum final ist. 
In "Ubung \ref{CWS} wird erkl"art, warum wir unsere Menge
$\Delta (\cal{K})$ im Fall einer unendlichen Eckenmenge nicht 
mit der  Initialtopologie zur
Familie der Auswertungen an allen Ecken $E$ unseres Komplexes
versehen wollen.
\end{Definition}

\begin{Bemerkunge}
  F"ur die Realisierung eines Simplizialkomplexes $\mathcal K$ ist
  statt $\Delta(\mathcal K)$ auch die
  Notation 
  $|\mathcal K|$\index{)5@${\mid}\;{\mid}$ Polyeder eines Simplizialkomplexes}
  g"angig. Ob im Zweifelsfall die Kardinalit"at der Menge  $\mathcal K$
  oder die Realisierung des Simplizialkomplexes $\mathcal K$ gemeint ist, mu"s
  der Leser dann aus dem Kontext erschlie"sen. 
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkunge}
 Ein grundlegendes und weitgehend ungel"ostes Problem der Topologie
 ist die Klassifikation aller Realisierungen endlicher Simplizialkomplexe
 bis auf 
Homotopie, vergleiche zum Beispiel den Artikel von Baues in \cite{HaAT}.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Sparsame Realisierung von Simplizialkomplexen}] 
Wir k"onnen die Realisierung $\Delta(\cal{K})$ 
eines Simplizialkomplexes $(E,\cal{K})$ oft
auch in affine R"aume $X$ einer Dimension $\op{dim}_\DR X<|E|$ einbetten.
Ist genauer 
$E\ra X$, $e\mapsto \bar{e}$ irgendeine Abbildung
von der Menge der Ecken unseres Simplizialkomplexes in einen 
reellen affinen Raum $X$, so gibt es  genau eine affine
Abbildung $\{t\in \DR E\mid |\op{supp}t|<\infty, \sum t(e)=1\}\ra X$
mit $[e]\mapsto \bar{e}$.
Ist diese Abbildung dar"uber hinaus injektiv auf $\Delta(\cal{K})$ 
und ist $X$ endlichdimensional
und unser
Simplizialkomplex endlich, so 
induziert unsere Abbildung  nach Satz \eref{QHK}{TM} "uber bijektive stetige
Abbildungen von Kompakte zu Hausdorffr"aumen einen
Hom"oomorphismus zwischen der geometrischen
Realisierung unseres Simplizialkomplexes und
ihrem Bild.
Dasselbe gilt mit \eref{lff}{TM}, wenn wir statt $|\mathcal K|<\infty$ schw"acher nur fordern, da"s
die Bilder der vollen Simplizes  eine
lokal endliche "Uberdeckung  des Bildes von $\Delta(\cal{K})$ bilden.
Notwendig und hinreichend f"ur die Injektivit"at ist,
da"s (1) f"ur jeden Simplex $\sigma\in\cal{K}$ die Familie
$(\bar{p})_{p\in\sigma}$  affin unabh"angig ist in $X$
und da"s (2) gegeben zwei Simplizes $\sigma,\tau\in\cal{K}$ 
f"ur die vollen Simplizes $\op{konv}(\bar{\sigma})\subset X$ 
gilt
$\op{konv}(\bar{\sigma})\cap \op{konv}(\bar{\tau})=
\op{konv}(\overline{\sigma\cap\tau})$.
% Unter diesen Voraussetzungen (1) und (2)
% liefert unsere Abbildung also einen Hom"oomorphismus 
% zwischen dem Polyeder $\Delta(\cal{K})$ eines endlichen
% Simplizialkomplexes und der Vereinigung
% von vollen Simplizes $\bigcup_{\sigma\in\cal{K}}\op{konv}(\bar{\sigma})$ im
% endlichdimensionalen Vektorraum $V$.
\end{Bemerkungl}





\begin{Definition}\label{SiAb}
Eine {\bf simpliziale Abbildung}\index{simplizial!Abbildung} 
$\varphi:(E,{\cal K})\ra (F,{\cal L})$ von einem
Simplizialkomplex in einen weiteren 
ist eine Abbildung auf den Ecken $\varphi:E\ra F$
derart, da"s gilt $\sigma\in{\cal K}\RA \varphi(\sigma)\in{\cal L}$.
Jede simpliziale Abbildung liefert eine stetige Abbildung
$\Delta(\varphi):\Delta({\cal K})\ra\Delta({\cal L})$ zwischen den zugeh\"{o}rigen
topologischen R\"{a}umen durch \glqq affine Fortsetzung auf
das Innere der vollen Simplizes\grqq, in Formeln
$\Delta(\varphi):t\mapsto s$ mit $$s(f)\pdef\sum_{\varphi(e)=f}
t(e)\;\;\;\forall f\in F$$
Wir nennen $\Delta(\varphi)$ die {\bf topologische Realisierung}\index{topologische Realisierung!von simplizialer Abbildung}
unserer simplizialen Abbildung und schreiben oft einfacher $\varphi$ statt  $\Delta(\varphi)$. 
\end{Definition}


\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKKF}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Dieser Simplizialkomplex ist keine kombinatorische Fl"ache,
da im \glqq mittleren Punkt\grqq\  die dritte Bedingung unserer Definition
\ref{DKF} verletzt ist.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Definition}\label{DKF}
Eine \defind{kombinatorische Fl\"{a}che} ist ein endlicher Simplizialkomplex
${\cal F} $ derart, da"s gilt:
\begin{enumerate}
\item
Jeder Simplex liegt in einem $2$-Simplex;
\item
Jeder $1$-Simplex liegt in h\"{o}chstens zwei $2$-Simplizes;
\item
Alle $2$-Simplizes, die einen gegebenen $0$-Simplex enthalten, lassen sich
so durchnummerieren als $\sigma_1,\sigma_2,\ldots ,\sigma_r$, da"s
jeweils $\sigma_i $ und $\sigma_{i+1}$ eine Kante gemeinsam haben,
in Formeln $|\sigma_i \cap \sigma_{i+1}|=2$ f\"{u}r $1\leq i<r$.
\end{enumerate}
Diejenigen 
$1$-Simplizes, die nur zu 
einem einzigen $2$-Simplex geh\"{o}ren, nennen wir die
\defnoind{Randkanten}\index{Randkante} unserer kombinatorischen Fl\"{a}che.
Geh\"{o}rt sogar jeder $1$-Simplex  zu  genau zwei $2$-Simplizes,
so nennen wir unseren Simplizialkomplex eine
\defind{geschlossene kombinatorische Fl\"{a}che} oder auch eine
\defind{kombinatorische Fl\"{a}che ohne Rand}.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Es ist leicht zu sehen und auch nicht schwer
 zu beweisen, da"s die topologische Realisierung einer geschlossenen kombinatorischen
 Fl\"{a}che ${\cal F}$
 eine
geschlossene
Fl\"{a}che  $\Delta({\cal F})$ alias eine
kompakte $2$-Mannigfaltigkeit 
im Sinne unserer Definition \ref{DMG} ist.  
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Eine \defind{Triangulierung} einer geschlossenen Fl\"{a}che $X$ 
ist ein Paar bestehend aus einer
geschlossenen kombinatorischen Fl\"{a}che
${\cal F} $ und  einem
Hom\"{o}o\-mor\-phismus $\Delta({\cal F})\sira X$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkunge}
Rado \cite{??,??} hat gezeigt, da"s jede geschlossene Fl\"{a}che
eine Triangulierung besitzt. Der Beweis ist nicht ganz einfach.
In h\"{o}heren Dimensionen gibt es  kompakte
topologische Mannigfaltigkeiten, die nicht hom\"{o}omorph sind 
zur Realisierung eines Simplizialkomplexes, die also
\glqq nicht triangulierbar\grqq\  sind.  
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{CWS}
Die Realisierung $\Delta (\cal{K})$ eines
Simplizialkomplexes $(E,
\cal{K})$ ist stets Hausdorff und jede kompakte Teilmenge $A
\subset \Delta (\cal{K})$ ist schon enthalten in einer Vereinigung
von endlich vielen vollen Simplizes.
Hinweis: Eine Teilmenge von $\Delta (\cal{K})$, die jeden Simplex
in h"ochstens endlich vielen Punkten trifft, ist stets
abgeschlossen und diskret.
Besteht unser Simplizialkomplex aus abz"ahlbar vielen Kanten, die in einen
    zentralen Punkt hereinlaufen, so g"alte diese Aussage nicht
f"ur die von den Auswertungen an
allen Ecken induzierte Initialtopologie.
\end{Ubung}
  
    %  \begin{Kommentar}
%        Ein Fundamentalsystem von Umgebungen des zentralen Punktes in dieser
%        Topologie besteht n"amlich aus allen Punkten, die auf irgendeiner der
%        Kanten im Abstand h"ochstens $1/n$ liegen.  In der von uns gew"ahlten
%        Topologie jedoch ist auch die Menge der Punkte, 
% die auf der $n$-ten Kante
%        im Abstand h"ochstens $1/n$ liegen, eine Umgebung unseres zentralen
%        Punktes.
% \end{Kommentar}
  \begin{Ubung}\label{SLEn}
Ein Simplizialkomplex hei"st 
{\bf lokal endlich},\index{lokal endlich!Simplizialkomplex} 
 wenn jede
seiner Ecken nur zu endlich vielen Simplizes geh"ort.
Man
zeige, da"s ein Simplizialkomplex  genau dann lokal endlich ist, 
wenn seine topologische Realisierung lokal kompakt ist.
Hinweis: \ref{CWS}. %Parakompakt? Kashiwara-Shapira sagt das,
% aber die haben die falsche Topologie, induziert von der
% Produkttopologie. Gut, vielleicht stimmt sie im lokal
% endlichen Fall mit der richtigen Topologie "uberein.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}%Etwas schnell umgearbeitet, hoffentlich so richtig.
Ein Teilordnung $\leq$ auf  Menge $K$ hei"se {\bf simplizial},\label{ASi} 
\index{simplizial!Teilordnung} wenn gilt:
\begin{enumerate}
\item
  $K$ hat ein kleinstes Element; 
\item
  Jede zweielementige Teilmenge von $K$  besitzt eine gr"o"ste untere
   Schranke;
   \item  Die Menge $K_{\leq x}$ aller Elemente 
kleinergleich einem beliebig vorgegebenen Element  $x\in K$ ist
als teilgeordnete Menge  isomorph zum System $\mathcal P(T)$ aller
Teilmengen einer endlichen Menge $T$.
\end{enumerate}
Gegeben ein Simplizialkomplex $(E,\mathcal K)$ setzen wir $\tilde{\mathcal K}\pdef \mathcal K \sqcup \{\emptyset\}$ und nennen diese Menge seine
{\bf Augmentierung}.\index{Augmentierung!von Simplizialkomplex} 
Dann ist f"ur
jeden kombinatorischen
Simplizialkomplex im Sinne von \ref{SKk} die auf seiner Augmentierung 
$K\pdef \tilde{\mathcal K}$   durch die Inklusion gegebenen Teilordnung 
simplizial. Man zeige, da"s  auch umgekehrt
jede Menge mit einer simplizialen Teilordnung  
isomorph ist zur Augmentierung eines bis auf eindeutigen Isomorphismus 
eindeutig bestimmten kombinatorischen 
Simplizialkomplexes im Sinne von \ref{SKk}.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{ZSz}
Gegeben eine  Menge $E$ nennen wir die
topologische Realisierung $\Delta (\mathcal M_E)$ des maximalen Simplizialkomplexes $\mathcal M_E$ mit Eckenmenge $E$
den \defnoind{vollen Simplex mit Eckenmenge $E$}.\index{voll!Simplex}
Man zeige, da"s f"ur $E \neq \emptyset$ der volle Simplex $\Delta
(\mathcal M_E)$ zusammenziehbar ist.
\end{Ubunge}




\subsection{Klassifikation der geschlossenen Fl\"{a}chen}
\begin{Bemerkungl}
Wir werden im folgenden den in \ref{KFL} formulierten Satz 
unter der Zusatzannahme der \glqq Triangulierbarkeit\grqq\  beweisen, 
wir
klassifizieren also
die triangulierbaren geschlossenen Fl\"{a}chen
bis auf Hom\"{o}omorphie. 
Dieser Abschnitt nimmt  insofern eine Sonderstellung ein,
als die Argumentation nicht so weit  in
die formalen Details getrieben wird wie
in den "ubrigen Abschnitten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Sei ${\cal F}$ eine kombinatorische Fl\"{a}che. Eine 
{\bf Zerschneidung\index{Zerschneidung}
von $
{\cal F}$}
ist eine
kombinatorische Fl\"{a}che  ${\cal Z}$ mit einer simplizialen Abbildung
$\varphi
:{\cal Z}
\ra {\cal F}$, die auf den $2$-Simplizes eine Bijektion 
$\varphi : {\cal Z}_{2} \sira {\cal F}_{2}$ induziert.
Umgekehrt sagen wir in dieser Situation auch, $
{\cal F}$ entstehe durch {\bf Verklebung\index{Verklebung!von topologischer
  Fl"ache}
von $
{\cal Z}$}.
\end{Definition}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildaT}\\[4mm]
\noindent 
Dieses Bild zeigt eine Zerschneidung des
Schwimmrings alias Torus zu einem Viereck.
In der demn"achst eingef"uhrten Terminologie wird es
auch die Definition der Fl"ache $F(aba^{-1}b^{-1})$ 
anschaulich machen. Verkleben wir nur l"angs der $b$-Kanten,
so entsteht 
eine Klopapierrolle. Verkleben weiter l"angs der $b$-Kanten, so
entsteht ein Schwimmring alias Torus.
\end{figure}
\begin{Definition}
Eine kombinatorische Fl\"{a}che ${\cal Z}$ hei"se ein \defind{Vieleck}, wenn ihre topologische Realisierung $\Delta({\cal Z})$
hom\"{o}omorph ist zur abgeschlossenen Kreisscheibe $D^2=\{z\in\DC\mid |z|\leq
1\}$.
\end{Definition}
\begin{Lemma}
Ist eine kombinatorische Fl\"{a}che ${\cal Z}$ ein Vieleck 
und $\varphi: D^2 \sira \Delta({\cal Z})$ ein
Hom\"{o}omorphismus,
so ist das Bild der Kreislinie $\varphi(S^1)$ die Vereinigung der
Randkanten von ${\cal Z}$ im Sinne von \ref{DKF}.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Das Komplement von $S^1$ kann man in der Kreisscheibe $D^2$
charakterisieren als die Menge aller Punkte $z$, 
die eine zusammenziehbare
Umgebung $U$  besitzen derart, da"s $U\backslash z$ nichttriviale
Fundamentalgruppe hat. Das Komplement der Vereinigung der Randkanten in
$\Delta({\cal Z})$ kann man genauso charakterisieren.
\end{proof}
\begin{Lemma}
Jede zusammenh\"{a}ngende kombinatorische
Fl\"{a}che besitzt eine Zerschneidung zu einem
Vieleck.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sei ${\cal F}$ unsere kombinatorische Fl\"{a}che.
Sicher gibt es eine Zerschneidung von ${\cal F}$
in eine disjunkte Vereinigung endlich
vieler Vielecke.
Sei ${\cal Z}\ra{\cal F}$ eine solche Zerschneidung mit
der kleinstm\"{o}glichen
Zahl
von Zusammenhangskomponenten.
Nehmen wir einmal an, es g\"{a}be hier mehr als eine Komponente.
Dann k\"{o}nnten wir also $2$-Simplizes $\sigma,\tau\in{\cal F}_2$ finden,
die von verschiedenen Zusammenhangskomponenten von ${\cal Z}$ herkommen.
Da ${\cal F}$ zusammenh\"{a}ngend ist,
k\"{o}nnten wir $\sigma, \tau $ in $\cal{F}$ durch
eine Kette von $2$-Simplizes $\sigma=\sigma_{0},\sigma_{1},\ldots ,\sigma_{r}=
\tau $ verbinden derart, da"s gilt $\sigma_{i}\cap \sigma_{i+1} \neq
\emptyset$.
Aufgrund unserer Annahmen
an eine kombinatorische Fl\"{a}che
k\"{o}nnen wir sogar annehmen, da"s $\sigma_{i} \cap \sigma_{i+1}$
jeweils ein $1$-Simplex ist.
Dann finden wir aber notwendig ein $i$ derart, da"s
$\sigma_{i}$ und $\sigma_{i+1}$ von verschiedenen Zusammenhangskomponenten von
${\cal Z}$ herkommen. Verkleben wir nun diese beiden Zusammenhangskomponenten
entlang der Randkante $\sigma_{i} \cap \sigma_{i+1}$, so erhalten wir eine
Zerschneidung von ${\cal F}$ in weniger Vielecke, im
Widerspruch
zur angenommenen Minimalit\"{a}t.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Seien ${\cal F}$ eine geschlossene kombinatorische Fl\"{a}che
und $\varphi :  {\cal Z} \ra
 {\cal F}$ eine Zerschneidung zu einem Vieleck.
Sicher werden unter $\varphi$ die Randkanten von $ {\cal Z}$ paarweise
identifiziert. Insbesondere ist also die Zahl der Randkanten
unseres Vielecks gerade.
Im folgenden f"uhren wir eine Notation f"ur
m"ogliche  Identifizierungsvorschriften der Randkanten eines Vielecks
mit einer geraden Anzahl von Kanten  ein.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Sei $A$ eine endliche Menge, die wir in diesem Zusammenhang
unser \glqq Alphabet\grqq\ 
nennen,
mit $|A|
= r \geq 0$ Elementen, den \glqq Buchstaben\grqq. Ein \defind{Fl\"{a}chenwort}
im Alphabet $A$ ist eine
Abbildung
$$\begin{array}{ccc}
\{1,2,3, \ldots, 2r\} & \ra & A \times \{1,-1\}\\
i & \mapsto & (a (i), \varepsilon (i))
\end{array}$$
derart, da"s jeder Buchstabe genau zweimal als ein $a(i)$
vorkommt.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Wir schreiben Fl\"{a}chenworte in der Form $a(1)^{\varepsilon (1)}
\ldots a(2r)^{\varepsilon (2r)}$ und nennen
$2r$ die \glqq L\"{a}nge\grqq\  so eines Fl\"{a}chenworts.
Beispiele f\"{u}r Fl\"{a}chenworte im Alphabet  $A = \{
a,b\}$ sind etwa die Ausdr\"{u}cke $aabb^{-1}$ und $ ab
a^{-1}b$.
\end{Bemerkungl}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildaabb}\\[4mm]
\noindent 
Dieses Bild soll die Definition der Fl"ache $F(aabb)$ 
anschaulich machen. Statt die zu jeweils zu verklebenden Randkanten 
mit denselben Buchstaben zu benennen,\label{UKLe}
habe ich sie jeweils mit demselben Typ von
Pfeilen, hier Doppelpfeilen beziehungsweise einfachen Pfeilen, gekennzeichnet.
Verklebt wird eigentlich nur das fett eingezeichnete Viereck.
Ich finde, man erkennt in der Mitte recht gut, wie das Verkleben 
 eine
Fl"ache liefert, 
in der alle vier Eckpunkte unseres Quadrats dasselbe Bild haben.
Es ist jedoch nicht so leicht zu sehen,
da"s diese Fl"ache hom"oomorph ist zur 
Klein'schen Flasche. Um sich das zu "uberlegen, sollte man wohl 
am besten die Klein'sche Flasche zerschneiden: Einmal rund um den Flaschenhals, 
ein zweites Mal in L"angsrichtung Flasche und Hals. 
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein Fl\"{a}chenwort $w$ in $r\geq 2$ Buchstaben
konstruieren wir einen
topologischen Raum $$F(w)$$
wie folgt:
Wir betrachten ein regelm\"{a}"siges $2r$-Eck, mit $2r$ der
L\"{a}nge unseres Fl\"{a}chenworts, und schreiben die
Buchstaben unseres Fl\"{a}chen\-worts der Reihe nach an seine Kanten. Weiter 
versehen jede Kante mit einem Pfeil im Gegenuhrzeigersinn beziehungsweise im
Uhrzeigersinn, je nachdem ob der Exponent ihres Buchstabens $1$ beziehungsweise $-1$
ist.
Dann verkleben wir jeweils die Kanten mit den gleichen Buchstaben so,
da"s die Spitzen der Pfeile  identifiziert werden.  
Im Fall $r=1$ erlauben wir dem $2$-Eck krumme Kanten und erhalten
so zum Beispiel
$F(aa)\cong \DP^2\DR$ und $F(aa^{-1})\cong S^2$. Im Fall $r=0$
setzen wir $F(\;)=S^2$.
\end{Bemerkungl}




\begin{Lemma}[\textbf{Fl\"{a}che zu einem Fl"achenwort}]
Der auf diese Weise zu einem Fl"achenwort $w$ konstruierte
topologische Raum $F(w)$ ist stets eine geschlossene
Fl"ache.   
\end{Lemma}

\begin{proof}
Die gr"o"ste Schwierigkeit scheint mir hierbei der Nachweis,
da"s auch die Bilder der Ecken unseres Vielecks im verklebten
Raum $F(w)$ eine zu einer offenen Kreisscheibe 
hom"oomorphe offene Umgebung besitzen.
Um das zu sehen, mu"s man sich "uberlegen, da"s lokal um das Bild einer
Ecke schlicht \glqq mehrere Winkelsegmente zu einer Kreisscheibe
verklebt werden\grqq. Wir "uberlassen die Details dem Leser.
\end{proof}


\begin{Satz}[\defnoind{Klassifikation der geschlossenen Fl\"{a}chen}]
Jede zusammen\-h"ang\-en\-de triangulierbare
geschlossene Fl\"{a}che ist
hom\"{o}omorph zur Fl\"{a}che $F(w)$ f\"{u}r genau ein Fl\"{a}chenwort $w$
aus\label{KlFF}
der
folgenden Liste:
\begin{enumerate}
\item
$a_{1}b_{1}a_{1}^{-1}b_{1}^{-1}a_{2}b_{2}a_{2}^{-1}b_{2}^{-1}
\ldots a_{g}b_{g}a_{g}^{-1}b_{g}^{-1}$ mit $ g \geq 0$;
\item
$a_{1}a_{1}a_{2}a_{2} \ldots a_{g}a_{g} $ mit $ g\geq 1$.
\end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof} Wir zeigen zun"achst die \glqq Aussch"opfung\grqq, da"s also
  jede zusammen\-h"ang\-en\-de triangulierbare
  geschlossene Fl\"{a}che hom"oomorph ist zu mindestens einer Fl"ache unserer
  Liste. Die \glqq Minimalit"at\grqq\ unserer Liste, da"s also keine zwei
  der gelisteten Fl"achen hom"oomorph sind, zeigen wir erst als letzten Punkt von Abschnitt \ref{FFff}. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Dieser Satz pr"azisiert die in
der Einleitung 
besprochene  Klassifikation 
 der geschlossenen Fl\"{a}chen \ref{KFL}.  Wenn wir den Satz 
von Rado glauben, k"onnen wir hier sogar auf die Annahme der Triangulierbarkeit
verzichten, da nach diesem Satz jede zusammen\-h\"{a}ngende 
 geschlossene Fl\"{a}che triangulierbar ist. 
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.7\textheight]{SkriptenBilder/BildASK}\\[4mm]
\noindent 
Dieses Bild soll die zweite Regel 
$F (u a v z a w)  \cong  F(u z^{-1} b w^{-1} v b)$
zum Aufschneiden und Verkleben 
anschaulich machen. Kleben wir das darin enthaltene
achteckige \glqq Stoppschild\grqq\  zu einer Fl"ache zusammen,
so entsteht dieselbe Fl"ache wie beim
Zusammenkleben des mit gestricheltem Rand gezeichneten
\glqq Schmetterlings\grqq. Hierbei k"onnten wir  etwa 
konkret  an ein Fl"achenwort in vier Buchstaben $a,c,d,e$ denken
und etwa $u=c$, $v=c^{-1}e$, $z=d^{-1}$ und $w=ed$ setzen, 
dieser Fall ist als Beispiel eingezeichnet.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
Zur Vorbereitung des Beweises  listen wir zun"achst  einmal einige fundamentale Operationen auf der
Menge aller Fl\"{a}chenw\"{o}rter auf, die offensichtlich den
Hom\"{o}omorphietyp der zugeh\"{o}rigen Fl\"{a}che nicht \"{a}ndern.
In den folgenden Formeln bedeuten $a,b,c,d$ mit und ohne Hut 
stets Buchstaben unseres Alphabets $A$, dahingegen bedeuten
$u,v,w,z$   Abschnitte von Fl"achenw"ortern.
\begin{enumerate}
\item
\glqq Zyklisches Vertauschen\grqq\  und \glqq von hinten nach vorne Lesen\grqq, in Formeln
$F(vw)\cong F(wv)$ und $F(w)\cong F(w^{-1});$
\item
\glqq Substituieren\grqq\  von $a^{-1}$ f\"{u}r $a$, in Formeln
$F (v a^{\varepsilon} w a^{\eta }z)\cong F (v a^{-\varepsilon}w a^{-\eta}
z)$;
\item
\glqq Aufschneiden des Vielecks l\"{a}ngs der Gerade zwischen zwei
Ecken und Zusammenkleben l\"{a}ngs einer "au"seren Kante\grqq\  wie
im nebenstehenden Bild dargestellt, in Formeln
$$\begin{array}{lll}
F(u a v z a^{-1} w) & \cong & F(u w \hat a^{-1} z v \hat a)\\
F (u a v z a w) & \cong & F(u z^{-1} \hat a w^{-1} v \hat a)\\
\end{array}$$
Bei der Notation versuche ich, das Nachvollziehbarkeit zu erleichtern,
in dem ich dem neu entstehenden Kantenpaar denselben Buchstaben gebe wie der
durch Verkleben verschwundenen Kante, ihn aber mit einem Hut versehe.
Bei der Richtung der neu entstehenden Kanten lege ich mich fest. 
\item
\glqq K"urzen\grqq, in Formeln $F(u a v  a^{-1} )\cong F(u  v  )$
unter der Annahme, da"s die beiden Enden der $a$-Kanten verschiedene Bilder
in der verklebten Fl"ache haben. Sind hier $u$ oder $v$ leer, so haben
die Enden der $a$-Kanten automatisch verschiedene Bilder und
die Formel scheint mir offensichtlich. Sind $u$ und $v$ nicht leer, 
so betrachten wir  
in unserem Vieleck das Viereck  mit den
beiden $a$-Kanten als gegen"uberliegenden Seiten. Sein Bild
in  der verklebten Fl"ache ist ein Zylinder, den wir zu einer
Kreislinie identifizieren k"onnen, ohne den
Hom"oomorphietyp der verklebten Fl"ache zu "andern.
\end{enumerate}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Zu jedem Fl\"{a}chenwort $w$ erkl"aren wir seine \defind{Eckenzahl}
als die Zahl der Punkte in der zugeh\"{o}rigen Fl\"{a}che $F(w)$,
die Bilder von Ecken unseres
Vielecks sind. Kombinatorisch betrachtet man auf der Menge der
Ecken die kleinste "Aquivalenzrelation, unter der je zwei Ecken mit
einer Ausgangskante zum selben Buchstaben oder  
einer Eingangskante zum selben Buchstaben "aquivalent sind, und kann
dann die Eckenzahl verstehen als die Kardinalit"at der 
"Aquivalenzklassen. Die Eckenzahl des leeren Worts sei Eins. 
\end{Bemerkungl}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKue}\\[4mm]
\noindent 
Dieses Bild soll die vierte Regel 
zum \glqq K"urzen\grqq\ 
anschaulich machen. 
\end{figure}



\begin{Lemma}[\defind{Eckenreduktion}]
  F\"{u}r jedes vorgegebene Fl\"{a}chenwort $w$  gibt
  es ein Fl\"{a}chenwort $v$ mit Eckenzahl Eins und\label{EcR} 
$F (w) \cong F(v)$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $w$ ein Fl\"{a}chenwort mit Eckenzahl $\geq 2$ und mehr als einem
Buchstaben.
Wir w\"{a}hlen einen Punkt $P$ in $F(w)$, der das Bild einer Ecke unseres
Vielecks ist, und nennen diejenigen Ecken unseres Vielecks \glqq gut\grqq, die
nach $P$ gehen.
Die \"{u}brigen Ecken nennen wir \glqq schlecht\grqq\  und geben ein Verfahren
an, das entweder die Zahl der Ecken \"{u}berhaupt oder die Zahl der
schlechten Ecken unseres Eckenworts verringert, ohne die zugeh\"{o}rige
Fl\"{a}che
zu \"{a}ndern.
Sei in der Tat $a$ eine Kante von einer guten Ecke zu einer
schlechten Ecke. Zwei F\"{a}lle sind m\"{o}glich:
\\[2mm]
\noindent 1.
Die beiden $a$-Kanten unseres Vielecks  
erscheinen mit demselben Exponenten. In diesem Fall k"onnen sich
nach unserer Annahme die $a$-Kanten nicht ber"uhren.
Wir schneiden dann
zwischen den guten Enden der $a$-Kanten auf und verkleben
l\"{a}ngs der $a$-Kanten. So verringert sich die Zahl der schlechten
Ecken um Eins.
\\[2mm]
\noindent 2.
Die beiden $a$-Kanten unseres Vielecks 
erscheinen mit verschiedenen Exponenten. 
In diesem Fall k\"{o}nnen wir sie k\"{u}rzen und so die Eckenzahl
um Eins verringern.
Das zeigt das Lemma.
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis des Klassifikationssatzes \ref{KlFF}, Aussch"opfung]
Nach der Eckenreduktion \ref{EcR}  ist jede triangulierbare Fl\"{a}che
 hom\"{o}omorph  zu einer
Fl\"{a}che $F(w)$ f\"{u}r ein Fl\"{a}chenwort $w$ mit Eckenzahl $1$.
Wir bemerken f\"{u}r das folgende, da"s sich die Eckenzahl beim Aufschneiden
und
Verkleben nicht \"{a}ndert. Wir k\"{o}nnen  uns also im Weiteren
auf Worte der Eckenzahl $1$ beschr\"{a}nken und werden
von nun an nur noch solche Worte betrachten.
Man beachte nun als Spezialf\"{a}lle des
Aufschneidens und Verklebens
die beiden folgenden Regeln:
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKrH}\\[4mm]
\noindent 
Man erh"alt eine stetige Abbildung des M"obiusbands nach
$\DR^3\cong \DC\times \DR$ vermittels der 
Formel $(t,\tau)\mapsto (\tau \op{e}^{\pi\op{i}t}, \sqrt{
1-\tau^2}\cos^2 \pi t)$.
Anschaulich gesprochen verbindet man je zwei gegen"uberliegende Punkte 
des Einheitskreises durch einen Bogen mit variierender mittlerer H"ohe.
Das Bild ist eine sich selbst durchdringende r"aumliche Fl"ache,
bei der man sich die Selbstdurchdringung leicht wegdenken kann.
Man nennt sie auch die \defind{Kreuzhaube}. \label{KrH}
In dieser Anschauung f"ur das M"obiusband bezahlt man 
in gewisser Weise
 mit der Selbstdurchdringung f"ur die 
gute Sichtbarkeit des Randkreises.  
\end{figure}
\begin{description}
\item[Kreuzhaubennormierung:]
%$F (ub v b w) \cong F (u \hat{b} \hat{b}v^{-1}  w):$
Man findet $F (ub v b w) \cong F (u v^{-1} \hat{b} \hat{b} w)$ 
durch Aufschneiden zwischen den Enden von $b$ und Verkleben l\"{a}ngs
$b$. Die Bezeichnung r"uhrt daher, da"s wir wie auf Seite 
\pageref{KrH} erkl"art
ein M"obiusband auch als eine sogenannte Kreuzhaube realisieren k"onnen.
\item[Henkelnormierung:]
Man findet $F(u a v b w  a^{-1} z b^{-1}x)  \cong F (u\hat a\hat b \hat a^{-1}\hat b^{-1} z w v x)$. In der Tat,
 Aufschneiden zwischen den Enden
 von $a$ und Verkleben l\"{a}ngs $b$
 liefert $u\hat{b}^{-1} z w a^{-1}
 \hat{b} avx$.
Nochmaliges  Aufschneiden zwischen den
Anfangspunkten der Kanten $\hat{b}$ und Verkleben l\"{a}ngs $a$ liefert
das gew"unschte Ergebnis.
\end{description}
Unter Verwendung der ersten Regel normieren wir zun\"{a}chst
Kreuzhauben, bis wir ein Wort erreicht haben, bei dem jeder
Buchstabe entweder als normierte Kreuzhaube $aa$ beziehungsweise
$a^{-1}a^{-1}$ oder in der Form $\ldots a \ldots a^{-1}\ldots$
vorkommt.
Im letzteren Fall finden wir ein $b$ derart,
da"s unser Wort feiner sogar die Form
$$\ldots a \ldots b \ldots a^{-1} \ldots b^{-1} \ldots $$ hat,
denn sonst m\"{u}"sten alle Buchstaben entweder doppelt oder gar nicht
zwischen $a$ und $a^{-1}$ vorkommen, und dann h\"{a}tten
Anfangs- und Endpunkt der $a$-Kanten verschiedene Bilder
in der Fl\"{a}che, im Widerspruch zu unserer
Annahme der Eckenzahl $1$.
Mit sukzessiven Henkelnormierungen landen wir also bei einem Wort, das
eine Verkettung  von Kreuzhauben $cc$ und Henkeln $a b
a^{-1}b^{-1}$ ist.
Henkelnormierung 
r"uckw"arts und dann
mehrfaches Anwenden der Kreuzhaubennormierung liefert aber 
auch die sogenannte \defind{Henkelelimination}, in
Formeln und unter mehrfacher Verwendung der Aufschneidesymbole $\hat a,\hat b$
f"ur unterschiedliche Kanten 
$$\begin{array}{lll}
F (u\hat a\hat b\hat a^{-1}\hat b^{-1}cc x)  &\cong & F (uabca^{-1}cb^{-1} x)\\
&\cong & F (uaba\hat{c}\hat{c}b^{-1} x)\\
&\cong & F (ub^{-1} \hat{a}\hat{a}\hat{c}\hat{c}b^{-1}x)\\
& \cong & F(u(\hat{a}\hat{a}\hat{c}\hat{c})^{-1}\hat{b}\hat{b}x)
\end{array}$$
Folglich liefert  jede Verkettung von Kreuzhauben und Henkeln, in der
mindestens eine Kreuzhaube auftritt, dieselbe Fl\"{a}che  wie
ein reines Produkt von Kreuzhauben.
Damit ist gezeigt, da"s jede triangulierbare Fl\"{a}che
hom\"{o}omorph ist zu
mindestens einer Fl\"{a}che, die durch
ein Fl\"{a}chenwort aus unserer Liste beschrieben wird.
Wir zeigen in \ref{FFff}, da"s diese Fl\"{a}chen paarweise
nicht\-isomorphe Fundamentalgruppen haben.
Daraus folgt, da"s sie paarweise nicht
hom\"{o}omorph sind, und das beendet dann den Beweis
des Klassifikationssatzes.
\end{proof}
\subsection{Gruppen durch Erzeugende und Relationen}
\begin{Bemerkungl}
Ist $G$ eine Gruppe und $T\subset G$ eine Teilmenge, so hatten wir
in \eref{EUG}{LA1}
 den Schnitt \"{u}ber alle Untergruppen von $G$, die $T$ umfassen, 
die \glqq von $T$ erzeugte Untergruppe\grqq\ genannt und mit
$\langle T\rangle$ bezeichnet. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Seien $G$ eine Gruppe und $T\subset G$ eine Teilmenge. 
Der Schnitt \"{u}ber alle Normalteiler von $G$, die $T$ umfassen, hei"st 
der {\bf von $T$ in $G$ erzeugte Normalteiler}\index{Normalteiler erzeugt von}
$\langle\!\langle T\rangle\!\rangle_G =\langle\!\langle T\rangle\!\rangle $.
Er\index{)5@$\llangle\;\rrangle$ Erzeugnis als Normalteiler}
 kann auch beschrieben werden als die Untergruppe
$\langle\!\langle T\rangle\!\rangle =\langle gtg^{-1}\mid
g\in G, t\in T\rangle$, die von der Elementen $t\in T$ und allen ihren
Konjugierten erzeugt wird.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten der Terminologie}] 
  Hier treffen wir auf die semantische Schwierigkeit,
da"s \glqq der von $T$ erzeugte Normalteiler\grqq\  ja auch bedeuten k"onnte, da"s 
wir die von $T$ erzeugte Untergruppe nehmen und da"s diese
zus"atzlich ein Normalteiler ist. In Formelsprache sollte jedoch klar werden,
was jeweils gemeint ist. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}
Seien $\varphi :G\ra G^{\prime}$ ein Gruppenhomomorphismus und $T\subset G$ eine
Teilmenge mit $\varphi
(T) \subset\{e\}$.
So gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus
${\tilde \varphi} :G/\langle\!\langle T\rangle\!\rangle \ra G^{\prime}$ mit
${\tilde \varphi} \circ \pi =\varphi$, im Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
G \ar[dr]
\ar[r]&G/\langle\!\langle T\rangle\!\rangle\ar@{-->}[d]\\
&G'\\
}
\end{displaymath}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Nach Annahme gilt $T\subset \ker\va$. Da $\ker\va$ stets ein
Normalteiler ist, folgt $\langle\!\langle T\rangle\!\rangle \subset \ker\va$.
Jetzt folgt die Aussage aus der universellen Eigenschaft 
der Restklassengruppe \eref{QUE}{LA2}.
\end{proof}
\begin{Definition}
Sei $X$ eine Menge und $R\subset \op{Grp}\frei    X$ 
eine Teilmenge der freien Gruppe
"uber $X$.
Der Quotient $\op{Grp}\frei   X/\langle\!\langle R\rangle\!\rangle$ 
der freien Gruppe "uber $X$ nach dem von $R$ erzeugten Normalteiler
hei"st die
\defnoind{von der Menge $X$ mit
den Relationen $R$ erzeugte Gruppe}.\index{Gruppe!Erzeugende und
Relationen}  Meist werden die Relationen 
in der Form $a_{i}=b_{i}$ mit W"ortern  $a_{i},b_{i} \in
  \op{Mon}\frei X$ angegeben. Gemeint ist  dann $R=\{[a_{i}][b_{i}]^{-1}\}$.
\end{Definition}

  \begin{Beispiel}
Die von zwei Elementen $x$ und $y$ mit der Relation $xy=yx$
    erzeugte Gruppe ist isomorph zu $\DZ\times \DZ$.
 \end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}
Die Darstellung einer Gruppe durch Erzeugende und Relationen ist nicht
\glqq effektiv\grqq\ :
Es gibt nachweislich keinen Algorithmus, der bestimmt, ob so eine Gruppe
  trivial ist, also nur aus einem Element besteht.
\end{Bemerkungl}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Sei eine Menge $X$ die Vereinigung zweier Teilmengen
$X=X_{1}\cup X_{2}$ mit Schnitt $X_{0}=X_{1}\cap X_{2}$.
Seien $R_{i}\subset {\op{Grp}}\frei   X_{i}$ Relationen, $i=0,1,2$.
Gilt zus\"{a}tzlich $R_0\subset
\langle\!\langle R_{i}\rangle\!\rangle$ f\"{u}r $i=1,2$,
so ist das folgende Diagramm ein Pushout:
$$\begin{array}{ccc}
\op{Grp}\frei   X_{0}/\langle\!\langle R_{0}\rangle\!\rangle&\ra&
\op{Grp}\frei   X_{1}/\langle\!\langle R_{1}\rangle\!\rangle\\
\downarrow& &\downarrow\\
\op{Grp}\frei   X_{2}/\langle\!\langle R_{2}\rangle\!\rangle&\ra &
\op{Grp}\frei   X/\langle\!\langle R_{1}\cup R_{2}\rangle\!\rangle
\end{array}$$
\end{Ubung}

\begin{Ubung}\label{GER}
Die symmetrische Gruppe $\cal{S}_n$ kann beschrieben werden
als die Gruppe mit Erzeugern $s_1,\ldots,s_{n-1}$ und den Relationen
$s_i^2=1$, $s_is_j=s_js_i$ f"ur $|i-j|>1$, $(s_i s_{i+1})^3=1$.
Die Tetraedergruppe alias die alternierende Gruppe 
$A_4$ kann beschrieben werden als die Gruppe erzeugt von
zwei Elementen $s,t$ mit Relationen $s^2=t^3=(st)^3=1$. 
Die Ikosaedergruppe alias die die alternierende Gruppe 
$A_5$ kann beschrieben werden als die Gruppe erzeugt von
zwei Elementen $u,v$ mit Relationen $u^2=v^3=(uv)^5=1$. 
%Man findet mehr Hinweise im Artikel von Alain Connes, Symmetries,
%EMS Journal Dezember 2004
\end{Ubung}
% \begin{Definition}
% Gegeben eine Gruppe $G$  definiert man ihren
% \defnoind{maximalen kommutativen Quotienten}, auch genannt
% ihre \defind{Abelisierung},\label{Abel} 
% als den Quotienten $$G^{\op{ab}} \pdef G / (G,G)$$ nach dem
% Normalteiler $(G,G) \subset G$, der von allen \defnoind{Kommutatoren}
% $ghg^{-1}h^{-1}$ mit $g, h \in G$ erzeugt wird. Die Untergruppe
% $(G,G)$ hei"st im "ubrigen
% die \defind{derivierte Gruppe}\index{ab@$G^{\op{ab}}$ derivierte Gruppe} oder auch der \defind{Kommutator} von $G$.  
% \end{Definition}

% \begin{Bemerkung}
% Die Notation $(G, G)$ geht zur"uck auf die in der Gruppentheorie
% "ubliche Notation $ghg^{-1}h^{-1} = (g,h)$ f"ur den Kommutator.
% Im Sinne unserer allgemeinen Konvention \ref{Verk}.\ref{VerkM} 
% sollte nat"urlich
% $(G,G)$ eigentlich nur die Menge aller Kommutatoren aus $G$ bezeichnen
% und der davon erzeugte Normalteiler sollte $\langle\!\langle(
% G,G)\rangle\!\rangle$ notiert werden. Da aber  letzteres Konzept
% soviel h"aufiger vorkommt, ist es "ublich, hier eine Ausnahme zu machen
% und mit $(G,G)$ kurzerhand  den von den Kommutatoren erzeugten Normalteiler
% zu bezeichnen.
% \end{Bemerkung}

% \begin{Lemma}[\textbf{Universelle Eigenschaft der Abelisierung}]
% Gegeben eine Gruppe $G$ 
%  ist ihre Abelisierung $G^{\op{ab}}$  eine abelsche Gruppe, und
% jeder Morphismus von $G$ in eine abelsche Gruppe\label{UEAb} 
% faktorisiert "uber $G^{\op{ab}}$. In Formeln liefert also f"ur jede abelsche
%  Gruppe
% $A$ das Verkn"upfen mit der Projektion $G\sra G^{\op{ab}}$ eine Bijektion
% $$\op{Grp}(G^{\op{ab}},A)\sira \op{Grp}(G,A)$$
% \end{Lemma}
% \begin{proof}[Beweis]
% Dem Leser "uberlassen.
% \end{proof}
\begin{Ubung}
Die Abelisierung der freien Gruppe "uber einer Menge ist
kanonisch isomorph zur
freien abelschen Gruppe "uber besagter Menge.
\end{Ubung}
\subsection{Die Fundamentalgruppen geschlossener Fl\"{a}chen}\label{FFff}
\begin{Satz}[\textbf{Fundamentalgruppen geschlossener Fl\"{a}chen}]
Gegeben ein Fl\"{a}chenwort $w$ im Alphabet $A$ mit Eckenzahl Eins
wird die Fundamentalgruppe der zugeh\"{o}rigen Fl\"{a}che 
$F(w)$
erzeugt von
der Menge $A$ mit dem Fl\"{a}chenwort $w$ als einziger Relation.
Bezeichnet genauer
$\ast\in F(w)$ das Bild der Ecken unseres Vielecks,
so erhalten wir  einen Isomorphismus 
 $$(\op{Grp}\frei  A) 
/ \langle\!\langle w \rangle\!\rangle \;\sira\; \pi_1 (F(w),
\ast) $$
dadurch, da"s wir jedem Buchstaben das Bild der entsprechenden Kante mit der
durch den Exponenten unseres Buchstabens gegebenen Durchlaufrichtung 
zuordnen.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $v:Z\ra F$ die Verklebung unseres Vielecks $Z\subset\DR^2$ zur Fl\"{a}che $F=F(w)$.
Das Bild $v(\partial Z)$ vom Rand unseres Vielecks in unserer Fl\"{a}che $F$
besteht aus $|A|$ Kreislinien, die alle in einem Punkt zusammengeklebt sind.
Solch einen Raum nennt man ein \defind{Bouquet von Kreislinien}.
Bezeichne nun
$Z^{\circ}$ das Innere unseres Vielecks und sei
$z\in Z^{\circ}$ sein Mittelpunkt. Unter der Verklebung
$v$ geht $Z^\circ$ hom"oomorph auf
eine offene Teilmenge unserer Fl"ache $z:Z^\circ \sira v(Z^\circ)\co F$. 
Wir
%betrachten dann f\"{u}r unser Vieleck $Z$ die offene \"{U}berdeckung
%$Z =
%(Z\backslash z) \cup v(Z^{\circ})$
und wenden den Satz von Seifert und van Kampen 
\ref{SvK} an auf die offene
\"{U}berdeckung
$$F = (F\backslash z) \cup
v(Z^{\circ})$$
unserer Fl\"{a}che. % durch die Bilder dieser Mengen.
Nehmen wir   einen
Punkt $e\in Z^\circ$, der auf dem offenen 
Geradensegment von $z$ zur \glqq Ausgangsecke $q$ unseres
Fl"achenworts $w$\grqq\  liegt, und setzen $\bar e\pdef v(e)$, so liefert Seifert-van-Kampen \ref{SvK}
ein kokartesisches Diagramm von Gruppen
$$\begin{array}{ccc}
\pi_1(Z^\circ\backslash z,e) &\ra & \pi_1(Z^\circ,e)\\
\downarrow & & \downarrow \\
\pi_1(F\backslash z,\bar e) & \ra & \pi_1 (F ,\bar e)
\end{array}$$
Nun verwenden wir den Weg,  der radial von $e$ nach $q$
l"auft, und noch genauer sein Bild  in $F$, 
um die Fundamentalgruppen
in der unteren Zeile mit den entsprechenden  Fundamentalgruppen
zum Basispunkt $\ast$ zu identifizieren.
Weiter zeigt das \glqq radial nach au"sen schieben\grqq\  
von Punkten aus $Z\backslash z$, 
da"s die Einbettung  unseres Bouquets
von Kreislinien $p(\partial Z)\hra F\backslash z$
eine Homotopie"aquivalenz ist und folglich 
einen Isomorphismus auf den Fundamentalgruppen 
zum Basispunkt $\ast$ induziert.
Die Fundamentalgruppe solch eines Bouquets haben Sie bereits in
\ref{FBK} mit der freien Gruppe "uber $A$ identifiziert.
Nun mu"s man sich "uberzeugen, da"s unter den beschriebenen
Identifikationen 
$$\pi_1(F\backslash z,\bar e)\sira
\pi_1(F\backslash z,\ast)\sila\pi_1(p(\partial Z),\ast)
\sila  \op{Grp}\frei   A$$
das Bild eines der beiden Erzeuger von $\pi_1(Z^\circ\backslash z,e)$
gerade auf das Wort $w$ geht, aufgefa"st als Element der freien
Gruppe $\op{Grp}\frei   A$. 
So
ergibt sich ein kokartesisches Diagramm von Gruppen
$$\begin{array}{ccc}
\DZ &\ra & 1\\
\downarrow & & \downarrow \\
\op{Grp}\frei   A & \ra & \pi_1 (F ,\ast)
\end{array}$$
Die Abbildung $\DZ \ra \op{Grp}\frei   A$ bildet darin die $1 \in \DZ$
gerade auf das Fl\"{a}chenwort
$w$ unserer Fl\"{a}che in $\op{Grp}\frei   A$ ab und die untere Horizontale unseres Diagramms induziert mithin  den
gesuchten Isomorphismus 
$(\op{Grp}\frei    A) / \langle\!\langle w \rangle\!\rangle\sira \pi_1 (F,\ast)  $, vergleiche "Ubung \ref{quKK}. 
\end{proof}
\begin{proof}[Beweis des Klassifikationssatzes \ref{KlFF}, Minimalit"at]
Sicher wird jedes kokartesische Diagramm in der Kategorie der
Gruppen unter der Abelisierung \ref{Abel} ein kokartesisches Diagramm
in der Kategorie der
abelschen Gruppen und die Abelisierung einer freien Gruppe
$\op{Grp}\frei   A$ ist die freie abelsche 
Gruppe $\op{Ab}\frei   A=\DZ A$ aller
endlichen formalen Linearkombinationen von Elementen von $A$
mit ganzzahligen Koeffizienten.
F\"{u}r den maximalen kommutativen Quotienten $\pi_1^{\op{ab}}$
der Fundamentalgruppe einer der Fl"achen unserer in \ref{KlFF} angegebenen Liste erhalten wir damit
$
\pi_1^{\op{ab}} (F (w)) =
\DZ A\cong \DZ^{2g}$ im Fall von $g$ Henkeln und
$$
\pi_1^{\op{ab}} (F (w)) =
\DZ A/2\DZ(c_1+\ldots +c_g)\cong \DZ / 2\DZ \times \DZ^{g-1} $$ im Fall von
$g$ Kreuzhauben.
Da diese Gruppen paarweise nicht isomorph sind, nach \eref{ek}{LA2} oder auch 
elementar durch 
Z"ahlen der Elemente endlicher Ordnung und Berechnung der 
Dimensionen der Vektorr"aume aller Gruppenhomomorphismen nach $\DQ$, 
sind auch die zugeh\"{o}rigen Fl\"{a}chen paarweise nicht hom\"{o}omorph.
Das beendet den Beweis des Klassifikationssatzes.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Gegeben $X$ eine zusammenh"angende geschlossene Fl"ache vom Geschlecht
$g$ und $E \subset X$ eine endliche nichtleere Teilmenge ist
$\pi_{1} (X\backslash E,\ast)$ frei in $2g + | E |-1$ Erzeugern.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Gegeben eine Gruppe $H$ und ein Element $w\in H$ ist das
 Diagramm von Gruppen\label{quKK} 
$$\begin{array}{ccc}
\DZ &\ra & 1\\
\downarrow & & \downarrow \\
H & \ra & H/\llangle w\rrangle
\end{array}$$
mit $1\mapsto w$ in der linken Vertikale stets kokartesisch.
\end{Ubung}

%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTF"
%%% End: