\section{\"{U}berlagerungstheorie}
\subsection{\"{U}berlagerungen}
\begin{figure}[htbp]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUSKK}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Eine zweifache "Uberlagerung 
der  Kreislinie.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Definition}
Eine stetige Abbildung $p:\tilde{U}\ra U$ hei"st eine 
{\bf triviale \"{U}berlagerung},\index{trivial!"Uberlagerung} 
 wenn\index{"Uberlagerung!triviale}  $U$ nicht leer ist und 
 es einen diskreten Raum $D$ mitsamt\label{Due} 
einem Hom"oomorphismus $\tau:D\times U\sira \tilde{U}$ gibt derart,
da"s das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
D\times U  \ar[r]^-{\tau}_-{\sim}\ar[d]_{\op{pr}_2}
&\tilde{U}\ar[d]^{p}\\
U\ar@{=}[r]& U
}
\end{displaymath}
kommutiert.
Solch ein  Hom"oomorphismus hei"st dann eine 
{\bf Trivialisierung}\index{Trivialisierung!von "Uberlagerung}
unserer trivialen "Uberlagerung.
\end{Definition}
\begin{Definition}
  Eine stetige Abbildung $p:\tilde{X} \ra X$ hei"st eine
{\bf "Uberlagerung},\index{"Uberlagerung|main}
 wenn jeder Punkt $x \in X$ eine 
Umgebung $U $ besitzt\label{Defue} 
derart,
da"s die induzierte Abbildung $p:p^{-1}(U) \ra U$ eine triviale
\"{U}berlagerung ist.
Wir nennen $U$ dann eine {\bf trivial "uberlagerte Umgebung von
$x$}. Der Definitionsbereich $\tilde{X}$ von $p$ 
hei"st der {\bf Totalraum}\index{Totalraum!von "Uberlagerung} 
unserer "Uberlagerung, der Wertebereich $X$ ihre {\bf Basis}.\index{Basis!von "Uberlagerung}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s
  gegeben eine Abbildung $f:X\ra Y$ und ein Punkt $y\in Y$ sein
  Urbild $f^{-1}(y)$ die {\bf Faser von $f$ "uber $y$} hei"st.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
Wir fordern 
 nicht, da"s eine "Uberlagerung  surjektiv sein mu"s. Insbesondere
ist f\"{u}r uns $\emptyset \ra X$ stets eine \"{U}berlagerung.
Wir fordern auch  nicht, da"s die Fasern einer "Uberlagerung konstante
Kardinalit"at haben m"ussen. Eine "Uberlagerung mit dieser Eigenschaft
nennen wir eine {\bf Faserung mit diskreter Faser}.
In der Funktionentheorie arbeitet man oft mit einem
etwas allgemeineren "Uberlagerungsbegriff, 
in dem etwa die Abbildung $\DC\ra\DC$, $z\mapsto z^2$ noch als
eine 
\glqq im Ursprung verzweigte "Uberlagerung\grqq\  durchgehen w"urde.
Die "Uberlagerungen 
im Sinne der obigen Definition hei"sen in der 
in der Funktionentheorie "ublichen Terminologie
{\bf unverzweigte "Uberlagerungen}.\index{"Uberlagerung!unverzweigte} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele} Die Abbildung
$\op{Exp}:\DR \ra S^{1}$, $t\mapsto \op{exp}(2\pi {\op{i}} t)=
\op{cos}(2\pi t) + {\op{i}}\op{sin}(2\pi t)
$ aus dem Beweis von \ref{FuK}, die die Zahlengerade 
auf den Einheitskreis aufwickelt, ist eine \"{U}berlagerung.
Ebenso sind
$\op{exp} : \DC \ra  \DC^{\times}$ und die Projektion $ S^{n}\ra \DP^{n}\DR$
\"{U}berlagerungen und f\"{u}r jeden diskreten Raum $F$ ist die Projektion
$\op{pr}_{2}:F\times X
\ra X $ eine \"{U}berlagerung.
Als weiteres Beispiel betrachte man
$\op{Exp}\times\op{Exp} :\DR^{2} \ra S^{1}\times S^{1}$.
Sind allgemeiner $f:{\tilde X} \ra X $ und $g:{\tilde Y} \ra Y $
\"{U}berlagerungen, so
auch $f\times g: {\tilde X} \times {\tilde Y} \ra X\times Y$.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalkonstanz der Faserkardinalit"at}] 
Ist\label{KF} $p:\tilde{X} \ra X$ eine 
\"{U}berlagerung, so ist die Kardinalit\"{a}t der
Fasern $p^{-1}(x)$ konstant auf den Zusammenhangskomponenten von $X$.
Genauer sind f\"{u}r jede Menge $E$ die Mengen $\{x\in X \mid |p^{-1}(x)|=
|E|\}$ beziehungsweise $\{x\in X\mid |p^{-1}(x)|\neq |E|\}$ aller Punkte $x\in X$,
deren
Fasern $p^{-1}(x)$ dieselbe beziehungsweise nicht dieselbe Kardinalit\"{a}t wie $E$
haben,
offen in $X$, da sie mit jedem Punkt auch jede trivial
\"{u}berlagerte Umgebung des besagten Punktes umfassen.
Ist $X$ zusammenh\"{a}ngend, so nennt man die Zahl der Elemente einer
und gleichbedeutend jeder Faser die 
{\bf Bl"atterzahl}\index{Bl"atterzahl}  
der
\"{U}berlagerung.
\end{Bemerkungl}

\begin{Lemma}[\textbf{Komponenten von "Uberlagerungen}]
Die Einschr"ankung 
einer "Uberlagerung eines lokal zusammenh"angenden Raums auf eine Zusammenhangskomponente ihres
Totalraums ist auch selbst wieder eine "Uberlagerung.\label{LZu} 
\end{Lemma}
\begin{Beispiel} Die Menge $\DQ$ mit ihrer von $\DR$ induzierten Topologie
  ist nicht lokal zusammenh"angend und f"ur die "Uberlagerung $\op{id}:\DQ\ra\DQ$ sind die Einschr"ankungen auf Zusammenhangskomponenten
  von $\DQ$ alias Punkte keine "Uberlagerungen mehr. Ein Beispiel mit zusammenh"angender Basis ist $\DR\times \DZ_p\ra (\DR\times \DZ_p)/\DZ$
  f"ur $p$ prim und  $\DZ_p$ die sogenannten \glqq $p$-adischen Zahlen\grqq\
  und die diagonale $\DZ$-Operation.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungw}
 Es wird sich im folgenden mehr und mehr erweisen, da"s die "Uberlagerungstheorie  eigentlich eine Theorie der "Uberlagerungen lokal zusammenh"angender
  R"aume ist.  Ich erinnere daran, da"s ein lokal zusammenh"angender Raum in unserer Terminologie ein Raum ist, bei dem sich jede Umgebung eines jeden Punktes zu einer zusammenh"angenden Umgebung desselben Punktes verkleinern l"a"st.  
\end{Bemerkungw}
\begin{proof}
  Sei $p:\tilde X \ra X$ unsere "Uberlagerung und $Z\subset \tilde X$
  eine Zusammenhangskomponente. Gegeben $z\in Z$ finden wir
eine 
trivial "uberlagerte zusammenh"angende Umgebung $U\subset X$ von $p(z)$.
Gegeben
  eine Trivialisierung $\tau: D\times U\sira p^{-1}(U)$ unserer "Uberlagerung
  "uber $U$
  sind die $\tau(\{d\}\times U)$ f"ur $d\in D$ zusammenh"angend. Jede
  dieser Mengen ist damit entweder enthalten in $Z$ oder disjunkt
  zu $Z$. Das zeigt, da"s auch $Z\ra X$ eine "Uberlagerung ist. 
\end{proof}

\begin{Definition}\label{etale}
Eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ hei"st
\defnoind{\'etale},\index{etale@\'etale!stetige Abbildung} 
 wenn
jeder Punkt $x \in X$ eine offene Umgebung
$U \co X$ besitzt derart, da"s die Restriktion $f:U\ra Y$ eine offene Einbettung  ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Das Wort \glqq \'etale\grqq\  kommt  aus dem Fran\-z"osischen
und bedeutet \glqq ausgebreitet\grqq.
Jede \'etale Abbildung ist offen, jede 
surjektive \'etale Abbildung ist nach \eref{soSF}{TM} also
final.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere daran, da"s in unserer Terminologie eine  Einbettung
  eine stetige Abbildung ist, die einen Hom"oomorphismus mit ihrem Bild induziert.
  Weiter hei"st eine Abbildung offen, wenn sie  offene Mengen zu offenen Mengen macht. F"ur Einbettungen ist letztere Bedingung   gleichbedeutend dazu, offenes
  Bild zu haben.
\end{Bemerkungl}
  
\begin{Beispiele} 
Jede "Uberlagerungsabbildung ist \'etale.
Die Projektion unserer Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt
$\Bbb{R}\amalg \{\tilde{0}\}$ aus \eref{RVN}{TM} auf die
Gerade $\Bbb{R}$ ist \'etale.\label{vket} 
Jede Einbettung einer offenen Teilmenge ist \'etale. Jede
Verkn"upfung \'etaler Abbildungen ist \'etale. Eine Abbildung auf einen
Punkt ist genau dann \'etale, wenn sie von einem Raum mit diskreter
Topologie ausgeht.  
\end{Beispiele}

\begin{Lemma}
Sind $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$  stetige Abbildungen und
sind $g$ und $gf$ \'etale, so ist auch $f$ \'etale.\label{VE}   
\end{Lemma}
\begin{proof}
  Sei $x\in X$ gegeben. 
Nach Annahme besitzt $f(x)$ eine offene Umgebung $V\co Y$ derart, da"s
$g:V\ra Z$ eine offene Einbettung ist.
Nach Annahme besitzt $x$ eine offene Umgebung $U\co X$ derart, da"s
$gf:U\ra Z$ eine offene Einbettung ist. Indem wir andernfalls $U$ ersetzen durch
$U\cap f^{-1}(V)$ d"urfen wir $f(U)\subset V$ annehmen. 
F"ur  die von
$f$ und $g$ induzierten Abbildungen $U\ra V\ra Z$ sind damit sowohl $gf:U\ra Z$
als auch $g:V\ra Z$ offene Einbettungen. 
Dann aber ist notwendig  $f:U\ra V$ initial mit offenem Bild $f(U)=g^{-1}((gf)(U))$ alias eine offene Einbettung und damit
auch $f:U\ra Y$.
\end{proof}

 \begin{Definition}
Ein Raum hei"se 
{\bf "uberlagerungstrivial},\index{"uberlagerungstrivial|main} 
wenn
 jede "Uberlagerung\label{EfZ} 
 unseres Raums \hyperref[Due]{trivial} ist.
\end{Definition}
 
\begin{Bemerkungl}\label{EZU}
Jeder "uberlagerungstriviale Raum ist 
zusammenh\"{a}ngend, da eine disjunkte Vereinigung zweier 
nichtleerer offener Teilmengen  stets  nichttriviale
"Uberlagerungen besitzt. Der leere Raum  ist nicht
"uberlagerungstrivial, da "Uberlagerungen der
leeren Menge in unserer Terminologie keine  
trivialen "Uberlagerungen sind. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}[\textbf{Das Einheitsintervall ist "uberlagerungstrivial}] Ist in der Tat
  $p:\tilde X\ra [0,1]$ eine "Uberlagerung, so finden wir mit dem
  "Uberdeckungssatz von Lebesgue Punkte $0=a_0<a_1<\ldots<a_r=1$ derart, da"s
  $[a_{i-1},a_i]$ jeweils trivial "uberlagert ist. Wir finden also
  Trivialisierungen\label{IEZ1} $$\tau_i: [a_{i-1},a_i]\times D_i \sira p^{-1}([a_{i-1},a_i])$$
  Diese induzieren f"ur $2\leq i\leq r$ Bijektionen $D_i\sira p^{-1}(a_{i-1})\sira D_{i-1}$, die wir verwenden k"onnen, um  alle $D_i$ so
  mit einer
  festen Menge $D$ zu identifizieren, da"s unsere Trivialisierungen
  zu einer Bijektion $$\tau: [0,1]\times D\sira \tilde X$$
  verkleben. Diese ist stetig, da sie aus endlich vielen
  stetigen Abbildungen auf abgeschlossenen Teilmengen zusammengeklebt ist.
  Sie ist offen und sogar \'etale nach Lemma \ref{VE} und folglich ein Hom"oomorphismus alias eine
  Trivialisierung unserer "Uberlagerung $\tilde X\ra [0,1]$.
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw}
 In \ref{UeP} zeigen wir, da"s  das Produkt zweier 
"uberlagerungstrivialer R"aume wieder "uberlagerungstrivial sein mu"s,
falls einer
der Faktoren zus"atzlich lokal zusammenh"angend ist.
\end{Bemerkungw}

\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}
  Das Einheitsquadrat $[0,1]^2$ ist "uberlagerungstrivial.\label{IEZ2}
  Das ist im weiteren fundamental f"ur das Liften von Homotopien von Wegen
  und f"ur den Beweis von Satz \ref{WEZo}, nach dem  jeder zusammenh"angende,
  schleifenf"ullende und lokal wegzusammenh"angende Raum
  "uberlagerungstrivial ist.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{R"uckzug von \'etalen Abbildungen}]
Ist $X\ra Y$ \'etale  und $Z\ra Y$ eine 
stetige Abbildung,
so
ist auch\label{REEn} 
der R"uckzug $X\times_Y Z\ra Z$ \'etale.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Pullback von "Uberlagerungen}]
Ist ${\tilde X}\ra X$  eine "Uberlagerung und $Y\ra X$ eine 
stetige Abbildung,
so
ist auch 
der pullback ${\tilde X}\times_X Y\ra Y$ eine "Uberlagerung.\label{PBU}
Das wird in \ref{LEZ} f"ur die Existenz von Lifts gebraucht. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Sind ${\tilde X}\ra X$ und ${\hat X}\ra X$ "Uberlagerungen, so auch ihr
Faserprodukt ${\tilde X}\times_X{\hat X}\ra X$.\label{FPUb} Des weiteren
hat die Diagonale  ${\tilde X}\ra {\tilde X}\times_X{\tilde X}$ abgeschlossenes Bild.
Das brauchen wir beim Beweis von \ref{EL}. In der Terminologie
aus \eref{Msep}{TM} bedeutet die zweite Aussage,
da"s jede "Uberlagerung separiert ist. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}
  Sind $p:X\ra Y$ und $q:Y\ra Z$ "Uberlagerungen und
besitzt jeder Punkt $z\in Z$ eine  "uberlagerungstriviale Umgebung, so ist auch
$q\circ p$
eine \"{U}berlagerung.\label{UokZu} 
\end{Ubung}
\begin{Bemerkunge}
  Dasselbe kann man f"ur beliebiges $Z$ zeigen, wenn die Fasern von
$q$ endlich sind, aber diese Variante ist f"ur uns im folgenden nebens"achlich. 
\end{Bemerkunge}
\begin{Ubunge}
  Jede  \'etale Abbildung von einem kompakten Haus\-dorff\-raum in einen
Haus\-dorff\-raum ist eine "Uberlagerung. Besonders Mutige\label{etue} 
zeigen: Eine 
eigentliche separierte \'etale Abbildung ist dasselbe wie eine
"Uberlagerung mit endlichen Fasern. 
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}\label{etuL}
Gegeben $f:X\ra Y$ eine "Uberlagerung mit endlichen Fasern und
$X=U\sqcup V$ eine Zerlegung von $X$ in zwei offene Teilmengen
sind auch die Restriktionen von $f$ auf $U$ und $V$ "Uberlagerungen.
\end{Ubunge}
  

\subsection{Kategorien von Mengen mit Operation}\label{OGMM}
\begin{Bemerkungl}
Wir gehen nun davon aus, da"s der Leser mit den 
grundlegenden Begriffsbildungen zu Operationen von Gruppen und allgemeiner
von Monoiden vertraut ist, wie
sie zum Beispiel in \eref{GWi}{LA2} entwickelt werden.
\end{Bemerkungl}
%\eref{gAQm}{TG} $\op{Ens}_{/G {\ssearrow} X}$
\begin{Definition}\label{OGM}
Sei  $G$ ein Monoid. Eine Abbildung
$\phi:X\ra Y$ von einer $G$-Menge $X$ in eine $G$-Menge $Y$ 
hei"st ein \defnoind{$G$-Morphismus}\index{Morphismus!$G$-Morphismus} oder auch
\defnoind{$G$-\"{a}quivariant},\index{"aquivariant!Abbildung}
 wenn gilt $\phi(gx)=g\phi(x)\;\forall g\in G, x\in X$.
Mit den \"{a}quivarianten Abbildungen als Morphismen bilden die
$G$-Mengen eine Kategorie, die wir  mit  $G\op{-Ens}$ oder 
$\op{Ens}_{G{\ssearrow}}$ bezeichnen. 
In derselben Weise bilden auch die $G$-Rechtsmengen eine
Kategorie, die wir  mit $\op{Ens-}G$ oder $\op{Ens}_{{\sswarrow}G}$ bezeichnen.
\end{Definition}






\begin{Bemerkunge}
  Im Rahmen der Kategorientheorie k"onnen wir die Kategorie
  der $G$-Mengen auch
 beschreiben als die Kategorie
$G\op{-Ens}=\op{Cat}([G],\op{Ens})$ 
aller Funktoren von der Ein-Objekt-Kategorie $[G]$ aus 
\eref{MOKA}{LA2}  in die
Kategorie der Mengen.
\end{Bemerkunge}
\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubunge}\label{GTh1}
Ich erinnere daran, da"s wir unter einem \glqq homogenen Raum\grqq\  f"ur eine
vorgegebene Gruppe eine Menge mit 
einer transitiven Wirkung unserer Gruppe verstehen. Man zeige: 
Genau dann stimmen  f"ur einen  
gegebenen homogenen Raum alle Standgruppen 
"uberein, wenn er isomorph ist zum Quotienten der
Gruppe nach einem Normalteiler.
Wir sagen dann auch, der homogene Raum sei 
{\bf normal}\index{normal!homogener Raum}. Hinweis: \eref{BF}{LA2}.
\end{Ubunge}



\begin{Ubung}\label{GTh2}
Jede Gruppe operiert auf der Menge aller ihrer Untergruppen durch
Konjugation. Die Bahnen dieser Operation nennt man
\defnoind{Konjuga\-tions\-klassen von 
Untergruppen}.\index{Konjugationsklassen!von Untergruppen}
Man zeige, 
da"s f"ur jede Gruppe $G$ das Bilden der Gesamtheit aller Standgruppen 
eine Bijektion liefert
$$\begin{array}{ccc}
\left\{ \begin{array}{c}\text{Transitive $G$-Mengen,}\\
\text{bis auf Isomorphismus} \end{array}\right\} &
\sira &
\left\{ \begin{array}{c}
\text{Konjugationsklassen von}\\ \text{Untergruppen von $G$} \end{array}
\right\}\\[5mm]
X&\mapsto&\{G_x\mid x\in X\}
\end{array}$$
Im "ubrigen ist das schlicht die von der "Aquivalenz von Kategorien
\ref{UgrK} auf Isomorphieklassen von Objekten induzierte Bijektion. 
\end{Ubung}



%\begin{Definition}
% Sei $X$ eine Menge und $G$ eine Gruppe. 
% Eine \defind{Rechtsoperation} von $G$ auf
% $X$
% ist
% eine Abbildung
% $$\begin{array}{ccc}
% X\times G&\ra & X\\ (x,g)&\mapsto &xg \end{array}$$
% derart, da"s  $x(gh)=(xg)h$ f\"{u}r alle $ g,h \in G$, $ x \in X$,
% und da"s gilt $x e=x$ f\"{u}r
% das neutrale Element $e\in G$ und alle $x\in X$. Eine Menge mit einer
% Rechtsoperation
% einer Gruppe $G$ nennt man auch eine
% $G$-\defind{Rechtsmenge}.
%\end{Definition}

% \begin{Bemerkung}
% Jede $G$-Rechtsmenge $X$ wird zu einer $G$-Menge durch die Operation
% $gx=xg^{-1}$, die Begriffsbildung einer
% $G$-Rechts\-men\-ge ist also in gewisser Weise obsolet. 
% Sie dient
% im wesentlichen dem Zweck, 
% in manchen Situationen suggestivere Notationen
% zu erm"oglichen. 
% \end{Bemerkung}



\begin{Ubung}\label{AuRM} 
Man zeige, da"s die Linksoperation eines Monoids $G$ auf sich selbst
einen Isomorphismus induziert zwischen dem Monoid $G$ und
dem Monoid der Endomorphismen  der $G$-Rechtsmenge $G$, in Formeln
also einen Isomorphismus $G\sira (\op{Ens-}G)(G)$, $g\mapsto (g\cdot )$.
Ebenso induziert die Rechtsoperation eines Monoids $G$ auf sich selbst einen Isomorphismus  $G^{\op{opp}}\sira (G\op{-Ens})(G)$, $g^\circ\mapsto (\cdot g)$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{GTh4}
Der {\bf Normalisator}\index{Normalisator!von Untergruppe|main} 
einer Untergruppe $H$ in einer
Gruppe $G$ ist definiert als
die Untergruppe
${\op{N}}_{G} (H) \pdef\{g \in G \mid gHg^{-1} =
H\}$ von $G$.
Man zeige, da"s die Zuordnung 
$g\mapsto (\cdot g^{-1})$, die also jedem $g\in G$ die
Multiplikation von rechts mit $g^{-1}$ zuordnet, einen
Isomorphismus $${\op{N}}_{G} (H)/H\sira (G\op{-Ens})^\times(G/H)$$
induziert zwischen der Quotientengruppe  ${\op{N}}_{G} (H)/H$ und der
Automorphismengruppe der $G$-Menge $G/H$. 
In derselben Weise erh"alt man durch die Abbildung $g\mapsto
(\cdot g)$, immer noch f"ur $G\supset H$ eine
Gruppe mit einer Untergruppe einen Isomorphismus
$$\left(\{g \in G \mid Hg \subset
gH\}/H\right)^{\op{opp}}\sira (G\op{-Ens})(G/H)$$
von Monoiden. Betrachtet man in $G=\op{SL}(2;\DQ)$
 die Untergruppe  $H$ aller oberen Dreiecksmatrizen 
mit Einsen auf der Diagonale und einem ganzzahligen Eintrag in
der oberen rechten Ecke, und nimmt als $g$ eine geeignete Diagonalmatrix,
so erh"alt man ein Beispiel mit $Hg \subsetneq
gH$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Die Untergruppenkategorie}] 
  Sei $G$ eine Gruppe. Wir machen die Menge $\op{UGr}_G$ aller Untergruppen
  von
$G$ zu einer Kategorie durch die Vorschrift
$$\op{UGr}_G(H,K)\pdef \{gK\in G/K\mid HgK=gK\}$$
mit der Verkn"upfung $\op{UGr}_G(H,K)\times \op{UGr}_G(K,M)
\ra  \op{UGr}_G(H,M)$ gegeben durch\label{UgrK} 
$(gK,fM)\mapsto gKfM=gfM$. Man zeige, da"s wir eine 
"Aquivalenz von Kategorien
 $$
\op{UGr}_G\sirra
\left\{ \text{Transitive $G$-Mengen}
\right\}$$
erhalten, indem wir jeder Untergruppe $H\subset G$ den homogenen Raum
$G/H$ zuordnen und jedem Morphismus 
$gK\in \op{UGr}_G(H,K)$ die $G$-"aquivariante Abbildung 
$G/H\ra G/K$, $aH\mapsto aHgK=agK$. Diese "Ubung ist wichtig f"ur gewisse
Formulierungen der "Uberlagerungstheorie. 
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}\label{Th4}
Gegeben Gruppen $H$, $G$ bezeichne $H\op{-Ens-}G$
die Kategorie aller Mengen $X$ mit einer Linksoperation von $H$ und einer
Rechtsoperation von $G$ derart, da"s gilt $(hx)g=h(xg)$ f"ur alle
$h\in H$, $x\in X$ und $g\in G$.
Man erkl"are, 
in welcher Weise diejenigen Objekte dieser
Kategorie, auf denen die Rechtsoperation von $G$ 
 frei und transitiv ist, klassifiziert werden durch
$G$-Konjugationsklassen von Gruppenhomomorphismen $H \ra G$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
Ist ${\cal C}$ eine Kategorie, $A\in {\cal C}$ ein Objekt und $G =
{{\cal C}}(A)$
das Monoid seiner Endomorphismen, so erhalten wir stets einen Funktor
$ {{\cal C}}(A, \;):{\cal C} \ra \op{Ens-}G$,
indem wir setzen $fg = f\circ g$ f\"{u}r $B\in{\cal C}$, $f \in
{{\cal
C}} (A,B)$ und
$g \in {{\cal C}}(A)$.
\end{Ubung}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{Quotientenabbildungen als \"{U}berlagerungen}
\begin{Definition}
 Unter einer {\bf Operation eines Monoids auf einem Objekt einer
Kategorie} versteht man einen Homomorphismus von
besagtem Monoid in das Monoid der Endomorphismen von
besagtem Objekt. 
\end{Definition}


\begin{Bemerkungl}
Eine
Operation eines Monoids $M$ auf einem topologischen Raum $X$
ist also ein Monoidhomomorphismus $\varphi:M\ra \op{Top}(X)$.
Unter der durch das Exponentialgesetz gegebenen Bijektion
$$\op{Ens}(M,\op{Ens} (X,X))\sira \op{Ens}(M\times X,X)$$
entsprechen die Monoidhomoorphismen $\varphi: M\ra \op{Top}(X,X)$
denjenigen Abbildungen $\tilde \varphi: M\times X\ra X$, f"ur die
mit der vereinfachenden Notation $gx\pdef \tilde\varphi(g,x)$
und der
durch Hintereinanderschreiben notierten Verkn"upfung in $M$ und $1\in M$ dem neutralen Element gilt
$(hg)x=h(gx)\;\forall h,g\in M, x\in X$ sowie $1x=x\;\forall  x\in X$ und f"ur die $x\mapsto gx$ f"ur alle $g\in M$
eine stetige Abbildung $X\ra X$ ist. Oft versteht man unter einer {\bf Operation eines Monoids $M$ auf einem topologischen Raum $X$} auch direkt
eine Abbildung $$M\times X\ra X$$
mit den eben aufgef"uhrten Eigenschaften. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere daran, da"s eine Operation einer Gruppe
auf einer Menge {\bf frei} hei"st, wenn 
au"ser dem neutralen Element kein Element unserer Gruppe irgendeinen
Punkt unserer Menge festh"alt.  
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
Eine Operation einer 
Gruppe $G$ auf einem topologischen Raum $X$
hei"st 
{\bf topologisch frei},\index{topologisch!frei, Operation!von diskreter Gruppe}
\index{frei!Operation} 
 wenn 
jeder Punkt $x\in X$ eine Umgebung $U$ besitzt, f"ur die die Operation
eine Injektion $G\times U\hra X$ liefert.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Terminologisches}] 
  In der Literatur hei"sen unsere topologisch freien
Operationen meist 
{\bf freie eigentlich diskontinuierliche Operationen}.
\index{eigentlich diskontinuierlich}
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
Die Gruppe $\DZ^n$ operiert topologisch frei
durch Addition auf $\DR^n$. Die Gruppe $\{+1,-1\}$ operiert
topologisch frei durch Multiplikation auf
$S^n$ und $\DR^{n}\backslash 0$.
F\"{u}r festes $k$ operiert die Gruppe $\{ z\in \DC^\times\mid z^k=1\}$ der $k$-ten Einheitswurzeln
topologisch frei auf $\DC^n\backslash 0$.
Die Operation von $\DQ$ auf $\DR$ durch Addition ist frei, aber nicht 
topologisch frei.
\end{Beispiele}

\begin{Bemerkunge}
  Ist $G$ eine  topologische Gruppe und $H\subset G$
  eine diskrete Untergruppe, so ist die Operation von $H$ auf $G$
  durch Linkstranslation topologisch frei.
  Dasselbe gilt  dann nat"urlich auch f"ur die Operation
  durch Rechtstranslation. Sie durften das im Zusammenhang mit topologischen Gruppen als "Ubung \eref{dOf}{TM} zeigen.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge} 
  Seien $G$ eine Hausdorffgruppe und $K\subset G$ eine
  kompakte Untergruppe und $\Gamma\subset G$ eine
  diskrete Untergruppe. So bilden nach
  \eref{OPQG}{TM} die Punkte 
  $\bar x\in G/K$ des Quotienten mit
  trivialer Standgruppe $\Gamma_{\bar x}=1$
  eine offene Teilmenge $V\co  G/K$, auf der $\Gamma$
  topologisch frei operiert.\label{TFQP}
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Bahnenraum}]
Ist $X$ ein topologischer  Raum mit einer Operation einer
Gruppe $G$, so geben wir dem Bahnenraum $X/G$ die
Quotiententopologie bez\"{u}glich\label{GrQu} der Surjektion $X\twoheadrightarrow X/G$. 
Wie wir in \eref{QGW}{TM} gesehen haben, 
ist in diesem Fall sogar  f"ur
einen beliebigen weiteren Raum $Y$ 
die Abbildung $Y\times X\sra  Y\times (X/G)$ final, 
die offensichtliche Abbildung liefert mithin einen
Hom"oomorphismus $(Y\times X)/G\sira Y\times (X/G)$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\defnoind{Quotientenabbildungen als
\"{U}berlagerungen}]
Ist $X$ ein topologischer Raum mit einer topologisch freien
Operation einer Gruppe\label{QUe} 
$G$,
so ist die Surjektion auf den 
Bahnenraum $p:X\twoheadrightarrow X/G$,  $x\mapsto Gx$
eine \"{U}berlagerung.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Gegeben $x\in X$ und $U$ eine offene 
Umgebung von $x$ mit $G\times U
\hra X$
sind sowohl $p:U\ra p(U)$ als auch
$
G\times U\ra p^{-1}(p(U))$
Hom\"{o}omorphismen, da diese Abbildungen beide bijektiv, offen und stetig
sind. Folglich ist $p(U)$ eine trivial \"{u}berlagerte
Umgebung von $Gx$. 
\end{proof}


\begin{Beispiel}\label{KLFQ}
Die Klein'sche Flasche kann realisiert werden
als der Quotient der
Ebene nach einer topologisch frei operierenden
Gruppe, wie nebenstehendes Bild illustriert. 
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildaabbN}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Dieses Bild  der Fl"ache $F(aabb)$ 
von Seite \pageref{UKLe}
 kann gelesen werden als 
eine Darstellung der Klein'schen Flasche als der Quotient der
Ebene nach einer topologisch frei operierenden
Gruppe, die von zwei Gleitspiegelungen mit parallelen Achsen 
und demselben Verschiebungsvektor erzeugt wird.  Die Gleitspiegelachsen 
zweier erzeugender Gleitspiegelungen sind hier gestrichelt eingezeichnet.
\end{minipage}
\end{figure}

\subsubsection*{"Ubungen} 
\begin{Ubung}
Jede freie Operation einer endlichen Gruppe
auf einem Haus\-dorffraum ist topologisch frei.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Quotient einer "Uberlagerung}] 
  Ist $p:X\ra Y$ eine "Uberlagerung eines lokal zusammenh"angenden Raums $Y$
  und operiert eine Gruppe $G$ topologisch
    frei auf $X$ und stabilisiert die Fasern von $p$,\label{GHH} so
ist auch $X/G \ra Y$ eine \"{U}berlagerung. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung} Seien $G$ eine Gruppe und
  $f:X\ra Y$ eine stetige $G$-"aquivariante Abbildung
  von topologischen R"aumen mit $G$-Operation.
  Man zeige: Operiert $G$ topologisch frei auf $Y$, so auch auf $X$.
  Operiert $G$ topologisch frei auf $Y$ und ist $ {\mathfrak U}$
  ein Universum mit $G,X,Y\in {\mathfrak U}$, 
  so liefert das Bilden des Bahnenraums
  eine "Aquivalenz von Kategorien\label{topGY} 
  $$ {\mathfrak U}\!\op{Top}^G_Y\sirra  {\mathfrak U}\!\op{Top}_{Y/G}$$
  zwischen der Kategorie der topologischen R"aume "uber $Y$ mit
  einer "aquivarianten $G$-Operation und der Kategorie der
  topologischen R"aume "uber $Y/G$. Hinweis: Man mag einen
  Quasiinversen konstruieren als das Faserprodukt mit $Y$ "uber
  $Y/G$. Unter diesen zueinander inversen "Aquivalenzen bleiben alle
  Eigenschaften erhalten, die lokal sind in der Basis.
\end{Ubung}



\subsection{Lifts und Decktransformationen}
\begin{Definition} Seien
 $p:{\tilde X}\ra X$ und $f:Y\ra X$
stetige Abbildungen.
Eine stetige 
Abbildung $h:Y\ra {\tilde X}$ mit $p\circ h =f$ hei"st
ein \defind{Lift} oder  eine \defind{Hochhebung} von $f$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  In der Kategorientheorie hatten wir so einen Lift 
einen \glqq Morphismus "uber $X$\grqq\  genannt. Der Begriff Lift
ist insbesondere dann gebr"auchlich, wenn $p:{\tilde X}\ra X$ eine 
"Uberlagerung ist.
Man mag  sich  einen Lift  durch das folgende kommutative
Diagramm veranschaulichen, das gleichzeitig auch die Terminologie erkl"art:
\begin{displaymath}
\xymatrix{
 &\tilde{X}\ar[d]^p\\
Y\ar[ur]^{h} \ar[r]^{f} &X
}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Sind $p:{\tilde X}\ra X$ und $q:\hat{X}\ra X$ 
\"{U}berlagerungen eines 
topologischen Raums $X$, so hei"st ein Lift von $q$
alias eine stetige Abbildung $h:\hat{X}\ra{\tilde X}
$
mit\label{DeBew}
$p\circ h=q$ eine 
{\bf Decktransformation}\index{Decktransformation|main}
zwischen unseren \"{U}berlagerungen. Wir erhalten so die Kategorie 
$$\op{"Ub}_X$$
der \"{U}berlagerungen von $X$ mit \"{U}berlagerungen als Objekten und
Decktransformationen als Morphismen.
Wir bezeichnen die Menge aller Decktransformationen zwischen zwei
\"{U}ber\-lagerungen
$\hat{X}$ und ${\tilde X}$ eines Raums $X$
nach unseren Konventionen mit $\op{Top}_{X}(\hat{X},{\tilde
X})$.
Die Automorphismen einer \"{U}berlagerung hei"sen auch ihre
{\bf Deckbewegungen}\index{Deckbewegung}.
Wir schreiben nach unseren Konventionen $\op{Top}_{X}^\times ({\tilde X})$ 
f\"{u}r die Gruppe der
Deckbewegungen von ${\tilde X}$ \"{u}ber $X$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiele}
Die Deckbewegungen
unserer \"{U}berlagerung $\op{Exp}:\DR\ra S^1$
sind genau die Abbildungen $\DR\ra\DR, $ $x\mapsto x+n$ f\"{u}r $n\in\DZ$.
Ist allgemeiner $X$ zusammenh\"{a}ngend und operiert die Gruppe $G$
topologisch frei auf $X$, so sind die Abbildungen $x \mapsto gx$ f\"{u}r
$g \in G$ genau die Deckbewegungen der \"{U}berlagerung $X \ra
G\backslash X$. Das folgt unmittelbar aus der
Eindeutigkeit von Lifts auf zusammenh"angenden R"aumen \ref{EL}.
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}\label{DO}
Da jede "Uberlagerungsabbildung  
\'etale ist, mu"s nach  \ref{VE} 
auch jede Decktransformation \'etale sein. 
Insbesondere ist also jede Decktransformation offen und 
jede bijektive Decktransformation
ein Isomorphismus von \"{U}berlagerungen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Decktransformationen als "Uberlagerungen}]
  Jede Decktransformation zwischen "Uberlagerungen eines lokal zusammenh"angenden\label{zuTR} 
  Raums ist bereits selbst eine "Uberlagerungsabbildung.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Insbesondere hat jede Decktransformation zwischen "Uberlagerungen eines lokal zusammenh"angenden\label{sert} 
  Raums offenes und abgeschlossenes Bild, denn nach der Lokalkonstanz der
  Faserkardinalit"at \ref{KF} gilt das f"ur jede "Uberlagerungsabbildung.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Seien  $q:\hat X\ra X$ und $ p:\tilde X\ra X$ unsere "Uberlagerungen und 
  $h:\hat X\ra \tilde X$ unsere Decktransformation.
  Gegeben $\tilde x\in \tilde X$ hat sein Bild $x\in X$ eine
  zusammenh"angende Umgebung $U$, auf der unsere beiden "Uberlagerungen
  Trivialisierungen
 $\kappa: U\times \hat D\sira q^{-1}(U)$
und 
  $\tau: U\times \tilde D\sira  p^{-1}(U)$
besitzen.
  Wir d"urfen weiter annehmen, da"s $\tilde D=\tilde p^{-1}(x)$  die Faser
  "uber $x$ ist und da"s gilt $ \tau(x,\tilde d)=\tilde d$ f"ur alle
  $\tilde d\in \tilde D$ und entsprechend f"ur die erste "Uberlagerung.
  Dann gilt notwendig $h(\kappa(z,\hat d))= \tau(z,h(\hat d))$ und das zeigt, da"s auch $h$ eine "Uberlagerung ist.
\end{proof}

\begin{Bemerkunge}
Mir ist nicht klar, ob im Fall einer beliebigen Basis  jede Decktransformation
bereits selbst eine "Uberlagerungsabbildung sein mu"s. Ich erwarte eher ein Gegenbeispiel.
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}\label{Deck} 
Eine Decktransformation  einer "Uberlagerung
 auf sich selber
 mu"s keine Deckbewegung sein. Man findet leicht Gegenbeispiele
 mit unzusammenh"angendem Totalram. Es gibt sogar Gegenbeispiele
 mit zusammenh"angendem Totalram
 f"ur absolut vern"unftige R"aume,  vergleiche  \ref{KUEE}. Eine "Uberlagerung
 mu"s auch durchaus nicht der Quotient nach einer Gruppenwirkung sein.
 Wir sehen bald absolut vern"unftige Gegenbeispiele.
 \end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit von Lifts}]
Seien $p:{\tilde X} \ra X$ eine \"{U}berlagerung 
und $f: Y\ra X$ stetig\label{EL}
und $g,h:Y\ra\tilde X$ zwei Lifts von $f$.
Ist $Y$ zusammenh\"{a}ngend und gibt es $y\in Y$ mit $g(y)= h
(y)$, so
gilt
$g =h$.
\end{Satz}


\begin{proof}
  Nach "Ubung \ref{FPUb} ist $\tilde X\times_X\tilde X$ eine
  "Uberlagerung von $X$ und die
  Diagonale $\Delta: \tilde X\hra \tilde X\times_X\tilde X$
  hat abgeschlossenes Bild. Da $\Delta$ eine Decktransformation ist,
  mu"s aber das Bild auch offen sein. 
  Die Abbildung $(g, h): Y\ra \tilde X\times_X\tilde X$
  ist nun stetig und das Urbild der Diagonale unter dieser Abbildung ist
  folglich offen und abgeschlossen in $Y$. F"ur $Y$ zusammenh"angend 
  mu"s dies Urbild also entweder leer sein oder ganz $Y$. Da es $y$ enth"alt, ist es nicht leer und es folgt $g= h$.
\end{proof}

\begin{proof}[Elementarer Beweis]
Wir zeigen, da"s die Mengen $Y_{1} \pdef\{z\in Y\mid g (z)=h(z)\}$ und
$Y_{2} \pdef\{ z\in Y \mid g (z) \neq h (z)\}$ 
beide offen sind. Aus $y\in Y_{1}$ und $Y$ zusammenh\"{a}ngend folgt dann
$Y_{2} = \emptyset$.
Sei also $z\in Y$ ein Punkt.
Man w\"{a}hle eine trivial "uberlagerte Umgebung $U$ von $f(z)$ und
eine
Trivialisierung $\tau:p^{-1}(U) \sira D\times U$ von $p$ auf $U$.
Gilt $\tau g(z)\in \{d\}\times U$, so besitzt $z$ eine Umgebung
$V$ mit $g( V)\subset p^{-1}(U)$ und sogar
$\tau g( V)\subset\{d\}\times U$. Analoges gilt f"ur $h$. Also sind
$Y_{1}$ und $Y_{2}$ beide offen. 
\end{proof}
%Dann ist $(\op{pr}_F\tau \tilde{f},\op{pr}_F\tau \hat{f}): f^{-1}(U)\ra F\times F$  stetig und das Urbild jeder Teilmenge von $F\times F$ offen, insbesondere das Urbild der Diagonale ebenso wie das Urbild ihres Komplements.


\begin{Satz}[\textbf{Eindeutigkeit von Lifts, Variante}]
  Sei $f:X\ra Y$ \'etale und separiert. Gegeben $(Z,z)$ ein
  zusammenh"angender bepunkteter Raum und stetige Abbildungen  $g,h:Z\ra X$ mit
  $fg=fh$ und $g(z)=h(z)$ gilt $g=h$.\label{EvlV} 
\end{Satz}
\begin{proof}
  Nach "Ubung \ref{REEn} ist $\op{pr}_2:X\times_Y X\ra X$ \'etale
  und als Verkn"upfung \'etaler Abbildungen ist nach \ref{vket} dann
  auch $X\times_Y X\ra Y$ \'etale. 
  Aufgrund der Separiertheit  hat die Diagonale $\Delta:  X\ra  X\times_Y X$
  abgeschlossenes Bild. Da die Diagonale $\Delta$ durch Nachschalten einer
  \'etalen Abbildung \'etale wird, nach \ref{VE} also selbst  \'etale ist,
  mu"s  dies Bild aber auch offen sein. 
  Die Abbildung $$(g, h): Z\ra  X\times_Y X$$ 
  ist nun stetig und das Urbild der Diagonale $\Delta(X)$
  unter dieser Abbildung ist
  folglich offen und abgeschlossen in $Z$. F"ur $Z$ zusammenh"angend 
  mu"s dies Urbild also entweder leer sein oder ganz $Z$. Da es $z$ enth"alt,
  ist es nicht leer. So folgt $(g,h)(Z)\subset\Delta(X)$  und damit $g= h$.
\end{proof}






\begin{Bemerkungl}
  Ein {\bf bepunkteter Raum} ist ein Paar $(X,x)$ aus einem
  topologischen Raum $X$ und einem Punkt $x\in X$, dem {\bf Basispunkt} unseres
  bepunkteten Raums. Von einer stetigen Abbildung $f:(X,x)\ra (Y,y)$
  bepunkteter R"aume fordern wir stets implizit $f(x)=y$.
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{Existenz von Lifts}]
Seien $f:(Y,y)\ra(X,x)$ eine stetige Abbildung\label{LEZ}
und  $(\hat{X},\hat{x})\ra (X,x)$ eine \"{U}ber\-lagerung.
Ist $Y$ "uberlagerungstrivial,
so besitzt $f$ genau einen Lift $\hat{f}:(Y,y)\ra(\hat{X},\hat{x})$.
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Die Eindeutigkeit folgt aus dem Satz \ref{EL} \"{u}ber die Eindeutigkeit
von Lifts, da ja $Y$ zusammenh\"{a}ngend ist nach  \ref{EZU}.
Die wesentliche neue Aussage betrifft die Existenz.
Wir betrachten dazu das pull-back-Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
Y\times_X\hat{X}& \ra& \hat{X}\\
\downarrow & &\downarrow \\
Y&\ra & X
\end{array}$$
Nach "Ubung \ref{PBU} ist auch die linke Vertikale eine "Uberlagerung. 
Wenn $Y$ "uberlagerungstrivial ist,
mu"s die linke Vertikale eine triviale \"{U}berlagerung sein.
Wir finden also eine stetige Abbildung $Y\ra Y\times_X\hat{X}$
mit $y\mapsto (y,\hat{x})$.
Verkn\"{u}pfen  mit der oberen Horizontale gibt den gesuchten Lift.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}
  Wir nennen einen topologischen Raum {\bf wegetrivial},\index{wegetrivial}
  wenn er zusammenh"angend, schleifenf"ullend und lokal wegzusammenh"angend ist.\label{wetr} 
\end{Bemerkungl}


 \begin{Satz}[\textbf{Wegetrivial impliziert "uberlagerungstrivial}]
  Jeder wegetriviale Raum
  ist "uberlagerungstrivial.\label{WEZo} 
\end{Satz}
 \begin{Beispiel}
Insbesondere ist jede zusammenh"angende
   schleifenf"ullende offene Teilmenge der komplexen Zahlenebene
   "uberlagerungstrivial.\label{Wezo} Diese Erkenntnis wird in der
   Funktionentheorie meist implizit verwendet und in den jeweils
   ben"otigten Spezialf"allen
    separat bewiesen.
 \end{Beispiel}
   
\begin{Beispiel}
  Ersetzen wir im Rand des Quadrats $[-1,1]\times [0,2]$ das
  St"uck $(0,\pi^{-1}]$ durch ein St"uck der Sinuskurve des Topologen \eref{skt}{TM}, genauer durch
  den  Graphen von $(0,\pi^{-1}]\ra \DR$, $x\mapsto \sin(1/x)$,
    so erhalten wir einen schleifenf"ullenden zusammenh"angenden Raum,
    der  nicht
    "uberlagerungstrivial ist. Er ist aber
    nicht lokal wegzusammenh"angend, deshalb liefert er kein Gegenbeispiel 
    zu unserem Satz.
\end{Beispiel}


\begin{proof}
  Sei $X$ unser Raum.
  W"are $X$ nicht "uberlagerungstrivial, so h"atte $X$ eine
   nichttriviale "Uberlagerung. Deren
  Zusammenhangskomponenten w"aren nach \ref{LZu}, da unser Raum lokal zusammenh"angend ist,  auch "Uberlagerungen
  und insbesondere offene Teilmengen und w"aren nach \eref{WTZ}{TM} sogar wegzusammenh"angend. Mindestens eine von ihnen m"u"ste  eine
   nichttriviale "Uberlagerung
  $p:\tilde X\ra X$
  sein, sonst w"are unsere "Uberlagerung ja trivial. Es g"abe also $x\in X$ und zwei verschiedene Punkte $\tilde x_0\neq \tilde x_1$ der Faser "uber $x$ und einen Weg $\tilde\gamma$ von $\tilde x_0$ nach  $\tilde x_1$. Der geschlossene Weg $\gamma\pdef p\circ \tilde\gamma$ in $X$ kann dann nicht
  zusammenziehbar alias nullhomotop sein, da man nach "Ubung \ref{IEZ2} den Lift $\tilde \gamma$ von $\gamma$ zu einem Lift der 
  ganzen Homotopie erweitern k"onnte und da dieser Lift
  konstant sein m"u"ste auf
  drei Kanten des Quadrats $[0,1]^2$, womit $\tilde\gamma$ doch geschlossen
  w"are. 
\end{proof}  
\begin{Beispiel}
  Ist $U\subset \DC$ "uberlagerungstrivial und 
$f:U\ra\DC$ stetig ohne Nullstelle, so gibt es 
f"ur jedes $n\in\DZ\backslash 0$ eine stetige Funktion $g:U\ra\DC^\times $ mit
$g(z)^n=f(z)$ f"ur alle $z\in U$. Weiter gibt es $g:U\ra\DC $
stetig mit $\op{exp}(g(z))=f(z)$ f"ur alle $z\in U$.
Beide Behauptungen bedeuten ja nur die Existenz eines Lifts in Bezug
auf die "Uberlagerung $\DC^\times\ra \DC^\times$, $z\mapsto z^n$ beziehungsweise
die "Uberlagerung  $\op{exp}:\DC\ra \DC^\times$. 
Sind wir in der 
Funktionentheorie und ist $U$ zus"atzlich offen, so zeigt der Umkehrsatz f"ur holomorphe Funktionen
\eref{uks}{FT1},
da"s mit $f$ auch $g$ holomorph sein mu"s. 
\end{Beispiel}





\begin{Proposition}[\textbf{Freiheit der Operation der Deckbewegungsgruppe}]
Gegeben eine \"{U}berlagerung  mit zusammenh"angendem 
Totalraum operiert ihre Deckbewegungsgruppe stets 
topologisch frei auf dem Totalraum.\label{FTn}  
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Sei $p:\tilde X\ra X$ unsere "Uberlagerung und $\tilde x\in \tilde X$
  ein Punkt und $x\in X$ sein Bild. Es hat eine trivial "uberlagerte
  offene Umgebung
  $U\co X$ und gegeben eine Trivialisierung $\tau:U\times D\sira p^{-1}(U)$
  gibt es ein $d\in D$ mit $\tau(x,d)=\tilde x$. Ich behaupte, da"s dann die
  Operation eine Injektion
  $G\times \tau(U\times\{d\})\hra \tilde X$ induziert. In der Tat folgt
  aus $g\tau(u,d)=h\tau(v,d)$ durch Anwenden von $p$ sofort $u=v$ und daraus
  $\tau(u,d)=\tau(v,d)$ und mit dem Satz "uber die Eindeutigkeit von Lifts
  schlie"slich $g=h$ wie gew"unscht.
\end{proof}

 
\begin{Definition}
Eine zusammen\-h\"{a}n\-gende \"{U}berlagerung $p:{\tilde X}\ra X$
derart, da"s f"ur jeden Punkt $x\in X$  die Gruppe der Deckbewegungen transitiv auf der Faser\label{noue} 
$p^{-1}(x)$ operiert, nennen wir eine
{\bf Galois-"Uberlagerung} oder 
{\bf galois}.\index{galois!"Uberlagerung} 
\end{Definition}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUPK}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Versuch der bildlichen Darstellung einer\label{DBLn}
dreibl"attrigen "Uberlagerung der Acht, die keine nichttrivialen
Decktransformationen zul"a"st. Diese \"{U}berlagerung ist also nicht
galois.
\end{minipage}
\end{figure}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
Statt \glqq galois\grqq\ sagt man auch {\bf normal}\index{normal!"Uberlagerung} oder {\bf regul"ar}.\index{regul"ar!"Uberlagerung}
 Ich ziehe galois vor, denn normalerweise hat eine "Uberlagerung
keineswegs diese Eigenschaft, das ist vielmehr etwas ganz besonderes.  
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen} 





\begin{Ubung}[\textbf{Normale H"ulle}]
Man zeige, da"s jede endliche zu\-sam\-men\-h"ang\-en\-de 
lokal zusammenh"angende surjektive  "Uberlagerung\label{NorH} 
selbst eine endliche "Uberlagerung besitzt derart, da"s die
Verkn"upfung der beiden "Uberlagerungsabbildungen eine 
normale "Uberlagerung ist. Hinweis: Man bilde "uber der Basis
das Faserprodukt einiger Kopien unserer "Uberlagerung mit sich selbst
und nehme darin eine geeignete Zusammenhangskomponente.  
Man zeige auch, da"s es zu je zwei  endlichen zusammen\-h"angenden 
lokal zusammenh"angenden surjektiven  "Uberlagerungen eine 
weitere endlichen zu\-sam\-men\-h"an\-gen\-de "Uberlagerung gibt, die "uber beide
als "Uberlagerungsabbildung faktorisiert.
\end{Ubung}

\subsection{Initiale und universelle "Uberlagerungen}


\begin{Definition}
Eine bepunktete "Uberlagerung $(\tilde{X},\tilde{x})\ra (X,x)$ 
hei"st  {\bf initial} oder ausf"uhrlich\label{ubp}  
eine {\bf initiale bepunktete "Uberlagerung}, wenn 
 es f"ur jede weitere bepunktete "Uberlagerung  $(\hat{X},\hat{x})\ra (X,x)$ 
ihrer Basis
genau eine ba\-sis\-punkt\-er\-hal\-ten\-de
Decktransformation  $(\tilde{X},\tilde{x})\ra(\hat{X},\hat{x})$ gibt.
\end{Definition}
\begin{Beispiele}[\textbf{Initialit"at bei "uberlagerungstrivialem Totalraum}] 
  Nach unseren S"atzen \ref{EL} und insbesondere \ref{LEZ} "uber die Existenz und Eindeutigkeit von Lifts ist jede "Uberlagerung durch einen
  "uberlagerungstrivialen Raum bepunktet initial f"ur jede m"ogliche Bepunktung. Da nach \ref{WEZo} jeder wegetriviale Raum bereits   "uberlagerungstrivial sein mu"s, ist etwa $\op{exp}:(\DR,x)\ra (S^1,\op{exp}(x))$ eine initiale bepunktete "Uberlagerung  f"ur alle $x\in \DR$.\label{expU}  
\end{Beispiele}
\begin{Bemerkungl}
  Eine initiale bepunktete "Uberlagerung ist stets
  zusammenh"angend.\label{ltzuu}
  In der Tat, w"are andernfalls $\tilde X=\tilde X_1\sqcup\tilde X_2$
  eine Zerlegung in zwei nichtleere offene Teilmengen, so k"onnten wir
  leicht zwei verschiedene Decktransformationen
  $\tilde X \ra \tilde X\sqcup\tilde X$ angeben, unter denen $\tilde x$
  dasselbe Bild hat. Das Bild $p(\tilde X)\subset X$ ist also zusammenh"angend
  und nach unseren Erkenntnissen zur Kardinalit"at der Fasern einer "Uberlagerung 
  \ref{KF} ist es auch offen und abgeschlossen in $X$. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit initialer
      bepunkteter "Uberlagerungen}] 
In der Terminologie der Kategorientheorie  ist eine 
initiale bepunktete "Uberlagerung eines bepunkteten Raums
 ein initiales
Objekt in der Kategorie aller seiner bepunkteten
"Uberlagerungen.
Insbesondere ist sie
eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus,
weshalb wir guten Gewissens mit einem  bestimmten Artikel
von  der  initialen bepunkteten "Uberlagerung reden
d"urfen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften initialer bepunkteter "Uberlagerungen}]  Gegeben eine initiale bepunktete "Uberlagerung  $u:(\tilde{X},\tilde{x})\ra (X,x)$ eines zusammenh"angenden lokal zusammenh"angenden Raums gilt:\label{FTt} 
  \begin{enumerate}
  \item Jede Decktransformation von $\tilde X$ zu sich selbst  ist bereits eine Deckbewegung, in Formeln $\op{Top}_X^\times(\tilde X)=\op{Top}_X(\tilde X)$;
    \item
      Die Deckbewegungsgruppe $G\pdef \op{Top}_X^\times(\tilde X)$  operiert topologisch frei auf dem Totalraum $\tilde X$;
    \item Unsere "Uberlagerungsabbildung induziert
  einen Hom"oomorphismus
  $$\tilde X/G\sira X$$
\item
  F"ur jeden  Punkt $\tilde z\in \tilde X$ ist auch $u:(\tilde{X},\tilde{z})\ra (X,u(\tilde{z}))$ eine initiale bepunktete
  "Uberlagerung.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof}
1. Jede Decktransformation $\varphi:\tilde X\ra \tilde X$ ist surjektiv nach 
\ref{zuTR}, weil wir unsere Basis lokal zusammenh"angend angenommen hatten.
Es gibt also $\hat x\in \tilde X$ mit $\varphi(\hat x)=\tilde x$.
Aufgrund der Initialit"at gibt es dann auch eine Decktransformation
$\psi:\tilde X\ra \tilde X$ mit $\psi(\tilde x)=\hat x$. Sowohl
$\psi\varphi$ als auch $\varphi\psi$ sind Decktransformationen, die einen
Punkt festhalten, also nach der Eindeutigkeit von Lifts die Identit"at. Also ist jede Decktransformation eine
Deckbewegung. \\[2mm]\noindent
2. Da jede initiale bepunktete "Uberlagerung  $\tilde X$ zusammenh"angend ist, operiert nach  \ref{FTn} 
die Deckbewegungsgruppe topologisch frei auf $\tilde X$.
\\[2mm]\noindent
3.
Da $X$ lokal zusammenh"angend angenommen war, mu"s
$\tilde X/G\ra X$ nach "Ubung \ref{GHH} ebenfalls eine "Uberlagerung sein. Nun besteht
aber bei letzterer "Uberlagerung die Faser "uber unserem Basispunkt
$x$ nur aus einem Punkt,
da nach dem ersten Teil alle Decktransformationen bereits Deckbewegungen sind und
die Deckbewegungsgruppe  mithin und aufgrund der Initialit"at transitiv auf $p^{-1}(x)$ operiert.
Da nach \ref{KF} die Faserkardinalit"at lokal konstant ist 
und $X$ zusammenh"angend angenommen war, mu"s diese "Uberlagerung einbl"attrig und damit ein 
  Hom"oomorphismus $\tilde X/G\sira X$
  sein. 
\\[2mm]\noindent
4. Sei $(\hat X,\hat z)\ra  (X,u(\tilde{z}))$ eine bepunktete
"Uberlagerung.  Nach \ref{KF} ist sie surjektiv.
Wir m"ussen zeigen, da"s es genau eine bepunktete 
Decktransformation  $(\tilde X,\tilde z)\ra (\hat X,\hat z)$ gibt.
Die Eindeutigkeit folgt aus der Eindeutigkeit von Lifts. Um die Existenz
zu zeigen, d"urfen wir $\hat X$ durch die Zusammenhangskomponente von $\hat z$ ersetzen, die nach \ref{LZu} unter unseren Annahmen
auch eine "Uberlagerung von $X$ sein mu"s,
und d"urfen damit $\hat X$ zusammenh"angend annehmen.  Aufgrund der Initialit"at von $\tilde X$ gibt es damit eine Decktransformation $d:\tilde X\ra \hat X$ und diese ist nach \ref{sert} surjektiv und wir finden
$\breve{z}\in \tilde X$ mit $d(\breve{z})=\hat z$. Wegen $u(\breve{z})=u(\tilde z)$ gibt es aber nach Teil 3 ein $g\in G$ mit $g(\tilde z)=\breve z$ und dann
ist $dg$ die gesuchte Decktransformation mit $\tilde z\mapsto\hat z$. 
\end{proof}








\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUSA}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Versuch der graphischen Darstellung einer universellen "Uberlagerung 
einer bepunkteten Kreislinie. Gemeint ist eine nach oben und unten
unendliche Spirale, die vertikal auf die Kreislinie projiziert wird.
\end{minipage}
\end{figure}


\begin{Definition}
Eine "Uberlagerung $p:\tilde{X}\ra X$ eines zusammenh"angenden Raums hei"st 
eine {\bf universelle "Uberlagerung},\label{uniueb} 
 wenn $\tilde X$  nicht leer ist und wenn f"ur 
alle $\tilde{x}\in \tilde{X}$ die "Uberlagerung von bepunkteten R"aumen
$(\tilde{X},\tilde{x})\ra (X,p(\tilde{x}))$ bepunktet initial ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
 Jede initiale bepunktete\label{Unjl} 
  "Uberlagerung eines zusammenh"angenden und lokal zusammenh"angenden
 Raums ist nach \ref{FTt} universell. Die Bezeichnung \glqq universell\grqq\
 bezieht sich auf die \glqq universelle Eigenschaft\grqq, die wir \glqq bepunktet initial\grqq\ genannt hatten und die wir bei universellen "Uberlagerungen st"arker sogar f"ur alle Punkte des Totalraums fordern.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit universeller "Uberlagerungen}] 
  Universelle "Uberlagerungen haben  keine
vern"unftige universelle Eigenschaft und sind im allgemeinen nur eindeutig
bis auf nichteindeutigen Isomorphismus, was man leicht aus
der Eindeutigkeit im bepunkteten Fall folgert. Wir erlauben uns dennoch 
auch in dieser Situation den bestimmten Artikel.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Die "Uberlagerung $\op{Exp}:\DR\ra S^1$ ist universell,
  da sie  nach \ref{expU} in Bezug auf jeden Punkt bepunktet initial ist. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Deckbewegungen  universeller "Uberlagerungen}]  Gegeben  eine  universelle "Uberlagerung  $\tilde X\ra X$  ist jede Decktransformation  $\tilde X\ra \tilde X$ bereits eine Deckbewegung, 
  die Deckbewegungsgruppe $G$ operiert topologisch frei auf $\tilde X$ und die "Uberlagerungsabbildung  induziert einen Hom"oomorphismus\label{FTtu} 
  $\tilde X/G\sira X$. 
  Das alles folgt genau wie im bepunkteten Fall \ref{FTt}, nur da"s wir die Bedingung
  \glqq lokal zusammenh"angend\grqq\ aufgrund der st"arkeren Annahmen 
  nicht mehr ben"otigen. 
\end{Bemerkungl}








\begin{Lemma}\label{KEZ}
Ein  Raum  ist "uberlagerungstrivial genau dann, wenn die Identit"at 
auf unserem Raum eine
universelle "Uberlagerung ist.  
\end{Lemma}
\begin{proof}
Da"s die Identit"at auf jedem "uberlagerungstrivialen Raum 
eine universelle "Uberlagerung ist, folgt sofort aus der Existenz und
Eindeutigkeit von Lifts \ref{LEZ}. 
Ist umgekehrt
die Identit"at auf einem Raum $Y$ eine universelle "Uberlagerung,
so ist nach unseren Definitionen $Y$ nicht leer. W"ahlen wir also $y\in Y$.
Ist dann
$p:\hat{Y}\ra Y$ eine  "Uberlagerung, so finden wir f"ur jedes
$\hat y\in p^{-1}(y)$ genau einen Lift $s_{\hat y}:(Y,y)\ra (\hat{Y},\hat y)$ 
von $p$ und in ihrer Gesamtheit liefern diese Lifts eine stetige
Abbildung
$$\tau: Y\times p^{-1}(y) \ra \hat Y$$
gegeben durch $(z,\hat y)\mapsto s_{\hat y}(z)$. 
Als 
Decktransformation ist $\tau$ nach \ref{DO}
auch offen, ja sogar \'etale.
Wenden wir die Annahme des Lemmas auf die anderen Punkte
von $Y$ an, so erkennen wir unschwer, da"s unsere Abbildung zus"atzlich
injektiv und surjektiv ist und damit die
 "Uberlagerung $\hat{Y}\ra Y$ trivialisiert.
\end{proof}

\begin{Beispiel}[\textbf{Universelle "Uberlagerung der Figur 8}]
  Will man nicht nur Bilder malen, mu"s man zun"achst spezifizieren,
  was die Figur 8 sein soll.  Wir definieren sie hier noch etwas unbeholfen
  als die geometrische Realisierung des Simplizialkomplexes $\mathcal K(8)$
  mit f"unf Ecken $\mathcal K(8)_0\pdef \{a,b,c,d,e\}$
  und sechs Kanten  $\mathcal K(8)_1\pdef
  \{\{c,a\},\{c,b\},\{a,b\},\{c,d\},\{c,e\},\{d,e\}\}$.
  Die universelle "Uberlagerung k"onnen wir dann "ahnlich als
  geometrische Realisierung eines unendlichen
  Simplizialkomplexes konstruieren.  
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUbAcht}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Graphische Darstellung eines Teils einer universellen "Uberlagerung 
der Figur 8. Jede  vertikale Kante dieses Bildes geht 
unter der "Uberlagerungsabbildung hom"oomorph
auf die obere Schlaufe der 8,
jede horizontale Kante 
auf die untere Schlaufe der 8,
und zwar soll das Durlaufen von unten nach oben beziehungsweise von
rechts nach links dabei jeweils dem Durchlaufen
im Uhrzeigersinn entsprechen.
% Es gilt also salopp gesagt, \glqq sich alle Kanten
%dieses
%Bildes gleich lang zu denken\grqq. Die Kreuzungspunkte sind nach
%\ref{AuP} in Bijektion zu den Elementen der freien Gruppe in zwei Erzeugern
%$x$ und $y$,
%indem man etwa von der Mitte ausgehend jedes $x$ interpretiert als
%\glqq gehe nach rechts zum n"achsten Kreuzungspunkt\grqq, 
%jedes $x^{-1}$ als \glqq gehe nach links\grqq, jedes $y$ als \glqq gehe nach oben\grqq\ 
%und $y^{-1}$ als \glqq gehe nach unten\grqq. 
\end{minipage}
\end{figure}
%\begin{figure}[p]\centering
%\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUbAcht}\\[4mm]
%\noindent 
%\end{figure}
\begin{Bemerkungw}
  Man k"onnte die Figur 8 auch sparsamer
  als die \glqq geometrische Realisierung\grqq\  einer \glqq
  semisimplizialen Menge\grqq\ definieren, etwa der bis auf
  Isomorphisms einzigen semisimplizialen Menge mit einem 
  Nullsimplex und  zwei Einssimplizes und keinen weiteren Simplizes,
  aber alles zu seiner Zeit.
\end{Bemerkungw}
\begin{Satz}[\textbf{"Uberlagerungen mit "uberlagerungstrivialem Totalraum}] 
Eine  "Uberlagerung eines zusammenh"angenden\label{uUez} lokal "uberlagerungstrivialen Raums ist genau dann universell,
 wenn sie einen  "uberlagerungstrivialen Totalraum hat.\label{UuE}
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
  Ich erinnere daran, da"s nach unseren allgemeinen Konventionen
  \glqq lokal "uberlagerungstrivial\grqq\ bedeutet, da"s jede Umgebung jedes Punktes verkleinert werden kann zu einer "uberlagerungstrivialen Umgebung desselben Punktes. Ich wei"s nicht, ob 
jede universelle "Uberlagerung eines beliebigen Raums 
 einen "uberlagerungstrivialen Totalraum
haben mu"s.
  \end{Bemerkunge}
\begin{proof}
Das Liften bei "uberlagerungstrivialem
Definitionsbereich \ref{LEZ} zeigt, da"s eine "Uberlagerung eines
zusammenh"angenden Raums durch einen "uberlagerungstrivialen Raum stets universell ist. F"ur den Beweis der
anderen Implikation sei $X$ unser Raum
  und $p:\tilde X\ra X$ eine universelle "Uberlagerung. 
  Ist $q:\hat X\ra \tilde X$ eine  "Uberlagerung dieser universellen "Uberlagerung, so ist nach "Ubung \ref{UokZu} 
  auch die
  Verkn"upfung $pq:\hat X\ra X$ eine "Uberlagerung.
  Gegeben $\hat x\in \hat X$ mit Bild 
  $\tilde x\in \tilde X$ gibt es mithin genau eine Decktransformation
  $d: (\tilde X,\tilde x)\ra (\hat X,\hat x)$ "uber $X$. Wegen $qd(\tilde x)=\tilde x$ gilt nach der Eindeutigkeit von Lifts $qd=\op{id}_{\tilde X}$ und $q$ ist sogar eine  Decktransformation "uber $\tilde X$. Wir sehen so,
  da"s die Identit"at auf $\tilde X$ eine universelle "Uberlagerung von $\tilde X$ ist.
  Damit aber ist $\tilde X$ "uberlagerungstrivial nach \ref{KEZ} . 
\end{proof}



 \begin{Beispiel}
    Die Klein'sche Flasche hat nach \ref{KLFQ} als universelle 
    "Uberlagerung die Ebene, denn diese ist "uberlagerungstrivial nach
   dem Schleifenkriterium  \ref{WEZo}. Dasselbe gilt im "Ubrigen f"ur alle 
unsere kompakten zusammenh"angenden Fl"achen mit Ausnahme 
der Kugelschale $S^2$ und des zweidimensionalen reell-projektiven
Raums $\DP^2\DR$.
  \end{Beispiel}


\subsection{Existenz universeller "Uberlagerungen} 
\begin{Satz}[\textbf{Universelle "Uberlagerung lokal "uberlagerungstrivialer R"aume}]
Jeder zusammenh"angende lokal "uberlagerungstriviale Raum
    besitzt  eine "uberlagerungstriviale  universelle  "Uberlagerung.\label{EuU} 
\end{Satz}

\begin{proof}
  Jede initiale bepunktete "Uberlagerung
  $(\tilde X,\tilde x)\ra (X,x)$  eines zusammenh"angenden und lokal zusammenh"angenden Raums ist
 nach Satz \ref{FTt}
 bereits eine universelle "Uberlagerung und jede
universelle "Uberlagerung eines zusammenh"angenden lokal "uberlagerungstrivialen Raums ist nach \ref{UuE} "uberlagerungstrivial.
Es  reicht demnach zu zeigen, da"s unser Raum $X$ f"ur einen Punkt $x\in X$ eine initiale bepunktete "Uberlagerung besitzt.
Wir beginnen damit, eine obere Absch"atzung f"ur die Kardinalit"at  $|\tilde X|$   einer zusammenh"angenden bepunkteten "Uberlagerung  $p:(\tilde X,\tilde x)\ra (X,x)$  herzuleiten.
     Wir w"ahlen dazu f"ur jeden Punkt $y\in X$ eine "uberlagerungstriviale 
    Umgebung $U(y)$. Zu jedem Punkt $\tilde y\in\tilde X$ und jeder Folge $p(\tilde y)=x_0, z_0, x_1, z_1, \ldots, x_r$ in $X$
    mit  $z_i\in U(x_i)\cap U(x_{i+1})$ erhalten wir eine
    wohlbestimmte Folge $\tilde x_0, \tilde z_0, \tilde x_1, \tilde z_1, \ldots,\tilde x_r$ in $\tilde X$ mit $\tilde x_0=\tilde y$, die unter $p$ auf unsere
    urspr"ungliche Folge abgebildet wird und so, da"s $\tilde z_i$
    in derselben
    Zusammenhangskomponente von $p^{-1}(U(x_i))$ liegt wie $\tilde x_i$ und 
    in derselben
    Zusammenhangskomponente von $p^{-1}(U(x_{i+1}))$ wie $\tilde x_{i+1}$ falls $i\neq r$. Es ist klar, da"s alle $\tilde x_r$, die wir auf diese Weise f"ur irgendein $r\geq 0$ erhalten, eine offene zusammenh"angende Teilmenge $Z(\tilde y)\co \tilde X$ bilden, die $\tilde y$ enth"alt. Es ist auch klar, da"s diese $Z(\tilde y)$ eine Partition
    von $\tilde X$ bilden. Ist also $\tilde X$ zusammenh"angend, so
    folgt $\tilde X=Z(\tilde x)$ und das liefert uns die gew"unschte
    obere Schranke
    f"ur die Kardinalit"at einer zusammenh"angenden bepunkteten
    "Uberlagerung von $(X,x)$.
    Sei nun $\Omega$ eine Menge echt gr"o"serer Kardinalit"at. Wir betrachten
    die Gesamtheit $I$ aller Quadrupel $(Z,z,\tau,q)$ mit $Z\subset \Omega$ einer Teilmenge, $z\in Z$ einem Punkt,
    $\tau\subset \op{Pot}(Z)$ einer Topologie auf
    $Z$ und $q:Z\ra X$ einer in Bezug auf die Topologie
    $\tau$ stetigen Abbildung, unter der
    $(Z,z)$ eine  bepunktete "Uberlagerung von $(X,x)$
    wird. Das durch $i\in I$ gegebene Quadrupel notieren wir
    $(Z_i,z_i,\tau_i,q_i)$. Wir betrachten weiter die Menge
    $$T\subset \prod_{i\in I} Z_i$$
    aller Tupel $t=(t_i)$ derart, da"s f"ur jede Decktransformation
    von bepunkteten "Uberlagerungen
    $d:(Z_i,z_i)\ra (Z_j,z_j)$  gilt $d(t_i)=t_j$. Die Menge $T$ 
    besitzt einen ausgezeichneten Punkt $z\pdef (z_i)$ und eine
    offensichtliche ausgezeichnete Abbildung von bepunkteten Mengen
    $\op{pr}:(T,z)\ra (X,x)$ mit $q_i\circ \op{pr}_i=\op{pr}\;\forall i\in I$. 
    Unsere Menge $T$ versehen wir nun mit einer Topologie, indem wir
    ein
    Fundamentalsystem von Umgebungen f"ur jeden Punkt $t\in T$ angeben derart,
    da"s die davon erzeugten Filter die in \eref{FiTio}{TM}
    gegebenen Axiome erf"ullen.
    Gegeben $U\subset V\subset X$ eine
    zusammenh"angende Umgebung $U$ von $\op{pr}(t)$, die in einer "uberlagerungstrivialen Teilmenge $V$ von $X$ liegt,  besitzt ja  jede "Uberlagerung $q_i:Z_i\ra X$ genau einen
    stetigen Schnitt $s_i: V\ra Z_i$, dessen Bild $t_i$ enth"alt,
    und a forteriori genau einen stetigen Schnitt  $s_i: U\ra Z_i$, dessen Bild $t_i$ enth"alt. Diese Schnitte liefern in ihrer Gesamtheit eine
    Abbildung $s:U\ra T$  mit $s(\op{pr}(t))=t$ und die so erhaltenen Teilmengen
    $s(U)\subset T$ nehmen wir als unsere
    Fundamentalsysteme von Umgebungen von
    $t\in T$.
   Es ist klar, da"s wir so eine Topologie auf $T$ erhalten
    und da"s  $\op{pr}:(T,z)\ra (X,x)$ eine
    bepunktete "Uberlagerung ist.
  Die Zusammenhangskomponente $\tilde X\subset T$ von $z$ ist dann
  nach \ref{LZu} auch eine bepunktete "Uberlagerung von $(X,x)$
  und ist  initial nach Konstruktion. 
    \end{proof}
  
\begin{Bemerkungl}
  Man erinnere aus \ref{wetr}, da"s wir einen topologischen Raum
   {\bf wegetrivial}\index{wegetrivial} nennen,
  wenn er zusammenh"angend, schleifenf"ullend und lokal wegzusammenh"angend ist.
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Universelle \"{U}berlagerung lokal wegetrivialer R"aume}]
Jeder zu\-sam\-men\-h\"{a}ng\-ende  lokal wegetriviale\label{EUUU} Raum
besitzt eine wegetriviale  universelle \"{U}berlagerung.
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Wir w\"{a}hlen $x\in X$ fest und betrachten
die Menge  ${\tilde X} $
aller Homotopieklassen von Wegen mit Anfangspunkt $x$ unter 
Homotopie  mit festen Randpunkten,
in Formeln,
$${\tilde X} \pdef\{\ga : [0,1] \ra X\mid \ga \text { ist stetig, }
\ga (0) =x \} /\simeq$$
"Aquivalent und vielleicht suggestiver aber 
komplizierter k"onnten wir $\tilde X$
auch 
erkl"aren als die Menge aller Paare $(g,y)$ bestehend aus einem Punkt $y\in X$ 
und einer Homotopieklasse von Wegen
$g\in \mathcal W(x,y)$. 
Die Homotopieklasse eines Weges $\ga$ hei"se wieder $[\ga]$.
Insbesondere haben wir also eine Abbildung
$u:{\tilde X}\ra X $, $[\ga] \mapsto  \ga(1)$, die jeder Homotopieklasse von
Wegen ihren gemeinsamen Endpunkt
zuordnet. Sie ist surjektiv, da $X$ wegzusammenh"angend ist.
Wir erkl\"{a}ren nun auf ${\tilde X}$ eine Topologie. F\"{u}r jeden stetigen
Weg
$\ga$ mit Anfangspunkt $x$ und jede offene Umgebung $V$ seines Endpunktes
$\ga (1)$ setzen wir dazu
$$U (\ga,V) \pdef \{[\beta\ast\ga]\mid \beta:[0,1]\ra V \text {  ist stetig
mit }
\beta (0) =\ga (1)\}$$
und betrachten auf ${\tilde X}$ die von allen $U (\ga,V)$ erzeugte Topologie.
Offensichtlich ist $u:{\tilde X} \ra X$ stetig, das Urbild von $V$ ist ja
gerade
die Vereinigung der $U (\ga,V)$ \"{u}ber alle Wege $\gamma$ mit Endpunkt in
$V$.
Wir m\"{u}ssen zeigen, da"s $u$ eine \"{U}berlagerung ist.
F\"{u}r $z\in X$ w\"{a}hlen wir dazu eine offene 
wegzusammenh"angende 
Umgebung
$V$ von $z$, die ganz in einer schleifenf"ullenden Umgebung enthalten ist.
%Es w"are  auch in Ordnung, hier schlicht eine offene 
%schleifenf"ullende Umgebung von $z$
%zu nehmen,  aber die Existenz einer Umgebung mit diesen
%beiden Eigenschaften wird von unseren Bedingungen 
%nicht sichergestellt.
Wir betrachten nun die Abbildung
$$\Phi : u^{-1}(z) \times  V \ra {\tilde X},\quad ([\ga], v) \mapsto
[\beta\ast\ga]$$
Hier meint $\beta :[0,1] \ra V$ irgendeinen Weg von $z$ nach $v$, der
ganz in $V$ verl\"{a}uft.
Aufgrund unserer Voraussetzungen an  $V$
ist $\Phi$ wohldefiniert und
eine Injektion mit Bild $u^{-1} (V)$.
Wir zeigen, da"s $\Phi$ ein Hom\"{o}omorphismus auf sein Bild ist.
\begin{enumerate}
\item
$\Phi$ ist stetig. In der Tat, liegt $\Phi ([\ga],v) $ in $U(\al,W)$,
so auch $\Phi (\{[\ga]\}\times V_{1})$ f\"{u}r jede offene
wegzusammenh\"{a}ngende
Umgebung $V_{1}$ von $v$ in $V\cap W$;
\item
$\Phi$ ist offen. In der Tat, f\"{u}r wegzusammenh\"{a}ngendes offenes
$V_{1}\subset V$ gilt $\Phi (\{[\ga]\} \times V_{1}) =U(\beta\ast\ga,
V_{1})$ f\"{u}r jeden Weg $\beta :[0,1]\ra V$ mit $\beta (0) =z$,
$ \beta (1) \in V_{1}$.
\end{enumerate}
Also ist $u:{\tilde X}\ra X$ eine \"{U}berlagerung und wir m\"{u}ssen nur noch
zeigen,
da"s  ${\tilde X}$ wegzusammenh"angend und schleifenf"ullend ist.
Bezeichne ${\tilde x} \in {\tilde X}$ die Klasse des konstanten Weges $x$.
Jeder Weg $\omega: ([0,1],0)\ra (X,x)$ mit Anfangspunkt $x$ hat als Lift zum
Anfangspunkt $\tilde x$ den
Weg
$\tilde{\omega} :
([0,1],0)\ra ({\tilde X},{\tilde x})$
gegeben durch $\tilde{\omega} (s)=[\omega_{s}]$ mit $\omega_{s}(t)
=\omega(st)$.
Die Wege $\omega_{s}:[0,1] \ra X$ sind also Anfangsst\"{u}cke von
$\omega$, die so langsam durchlaufen werden, da"s gilt $\omega_{s} (1) =
\omega(s)$.
Offensichtlich hat $\tilde{\omega} $ den Endpunkt $[\omega]$.
Mit $X$ ist also auch ${\tilde X}$ wegzusammenh\"{a}ngend.
Jeder geschlossene Weg $\tilde\alpha\in \Omega(\tilde X, \tilde x)$
von unserem Punkt $\tilde x$ zu sich selber schlie"slich
ist umgekehrt der Lift seines Bildes $\alpha \in \Omega( X, x)$
zum Anfangspunkt $\tilde x$ und hat nach dem vorhergehenden
folglich den Endpunkt
$[\alpha]$. Aus $[\alpha]=\tilde x$ folgt aber, da"s es eine
Homotopie $h: \alpha\simeq \varepsilon_x$ zum konstanten Weg gibt.
Diese k"onnen wir liften nach \ref{LEZ}, da $[0,1]^2$ "uberlagerungstrivial 
ist, und erhalten so $\tilde h: \tilde \alpha\simeq \tilde \varepsilon_x=\varepsilon_{\tilde x}$. Also ist jeder geschlossene Weg in $\tilde X$ zusammenziehbar und $\tilde X$ ist eine wegetriviale "Uberlagerung. Dann
ist sie aber  nach \ref{WEZo} auch "uberlagerungstrivial sowie  lokal "uberlagerungstrivial und nach
\ref{UuE} eine universelle "Uberlagerung.
\end{proof}


%\begin{Satz}[\textbf{Einfacher Wegzusammenhang und Universalit"at}] 
 % Jede surjektive "Uberlagerung durch einen\label{zwsz}  
%  einfach wegzusammenh"angenden und lokal wegzusammenh"angenden
 % Totalraum ist universell.
%Die universelle "Uberlagerung\label{UEW}  eines zusammen\-h\"{a}ng\-enden und  lokal zusammenziehbaren Raums hat stets einfach wegzusammenh"angenden Totalraum. 
%\end{Satz}

%\begin{proof}
 % Die erste Aussage folgt aus der Universalit"at
%    durch einfachen Zusammenhang \ref{UuE}, da unsere Bedingung nach
%    \ref{WEZo} einfachen Zusammenhang impliziert.
 %   Die zweite Aussage folgt daraus, da"s  unter den angegebenen
 %   Voraussetzungen nach \ref{EUUU}
 %   eine einfach
%wegzusammenh"angende "Uberlagerung existiert, die nach \ref{WEZo}
%bereits einfach zusammenh"angend und damit nach
%\ref{UuE} 
%die universelle "Uberlagerung sein mu"s. 
%\end{proof}


 

\subsubsection*{"Ubungen}



\begin{Ubung}\label{KrRa}
F\"{u}r $n \geq 1$ betrachte man den Kreis $K_{n} \subset
\DR^{2}$ mit Radius $1/n$, der rechts von der $y$-Achse liegt und
diese im Ursprung ber\"{u}hrt. Man zeige, da"s der
Raum $X = \bigcup_{n \geq
1} K_{n}$ keine einfach wegzusammenh"angende \"{U}berlagerung besitzt.
Dieser sogenannte \defind{Kreisraum}
dient oft als Gegenbeispiel.
\end{Ubung}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKr}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Versuch der graphischen Darstellung des Kreisraums.
Man mu"s sich dabei allerdings noch unendlich viele immer 
kleinere Kreise hinzudenken.
\end{minipage}
\end{figure}

\newpage
\section{"Uberlagerungen und Gruppenwirkungen} 

\subsection{Eigenschaften von Funktoren}
\begin{Bemerkungl}
  Ich erinnere einige Begriffe zu Funktoren aus \eref{Eif}{LA2}.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{Eift}
\begin{enumerate}
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st  
\defnoind{treu},\index{treu!Funktor}
 wenn
er  auf den Morphismen Injektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime})
\hra {{\cal B}} (FA,\, FA^{\prime})$
induziert, f"ur alle $A,A'\in\cal{A}$;
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st 
\defnoind{volltreu}\index{volltreu, Funktor}, wenn
er  auf den Morphismen Bijektionen $F:{{\cal A}}(A,A^{\prime})
\sira {{\cal B}} (FA,\, FA^{\prime})$ induziert.
Ich notiere volltreue Funktoren $\vra$;\index{)4@$\vra$ volltreuer Funktor} 
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st eine \defnoind{"Aquivalenz von
Kategorien},\index{"Aquivalenz!von Kategorien}
 wenn er volltreu ist und zus"atzlich
eine Surjektion auf Isomorphieklassen von Objekten induziert, wenn
es also in Formeln 
f\"{u}r alle $B \in {\cal B}$ ein  $A\in {\cal A}$ gibt mit $FA \cong B$.
Ich notiere "Aquivalenzen von
Kategorien $\sirra$. Die doppelte Schlange soll andeuten, 
da"s dieser Begriff schw"acher ist als der
Begriff eines Isomorphismus von Kategorien,
wie\index{)4@$\sirra$ "Aquivalenz von Kategorien}  er im Anschlu"s eingef"uhrt wird;
\item
Ein Funktor $F:{\cal A} \ra {\cal B} $ hei"st ein {\bf Isomorphismus von
Kategorien},\index{Isomorphismus!von Kategorien}
 wenn er bijektiv ist auf Objekten und auf Morphismen,
wenn er also ein Isomorphismus ist in der Kategorie der 
Kategorien aus \ref{KatKat}. 
Ich notiere Isomorphismen von Kategorien $\sira$.
\index{)4@$\sira$ Isomorphismus!von Kategorien} 
\end{enumerate}
\end{Definition}
\begin{Beispiel}\label{MKkt}%\label{MK}
Sei $k$ ein K"orper.
Wir betrachten die Kategorie
$\op{Modf}_k$\index{Modf@$\op{Modf}_k$ Vektorr"aume, endlich erzeugte} aller endlichdimensionalen 
alias endlich erzeugten 
$k$-Vektor\-r\"{a}u\-me
mit linearen Abbildungen als Morphismen.
Das K"urzel steht f"ur  \glqq finitely generated $k$-Module\grqq, eine andere
Bezeichnung f"ur dasselbe Objekt.  
Weiter betrachten wir, und zwar sogar f"ur einen beliebigen Ring $k$,
die {\bf Matrixkategorie}\index{Matrixkategorie}
 ${{\op{Mat}}}={{\op{Mat}}}_k$ mit Objekten
$\op{Ob} ({\op{Mat}})\pdef \DN$ und Matrizen mit Eintr\"{a}gen in $k$ 
des entsprechenden Formats
als 
Morphismen, in
Formeln\index{Mat@$\op{Mat}$ Matrixkategorie} 
${{{\op{Mat}}}} (m,n) \pdef {\op{Mat}}(n \times m; k)$.
Die Verkn\"{u}pfung von Morphismen
in
${{\op{Mat}}}$ schlie"slich sei die
Matrixmultiplikation.
Im Fall eines K"orpers $k$  
ist dann der offensichtliche Funktor   $n\mapsto k^{n}$ eine
\"{A}quivalenz  von Kategorien $${{\op{Mat}}}_k\sirra
\op{Modf}_k$$ % $$R:{{\op{Mat}}}_k\sira
% \op{Modf}_k$$
zwischen unserer Matrixkategorie
  ${\op{Mat}}_k$ und der Kategorie der 
endlich erzeugten 
$k$-Vektorr\"{a}ume,
aber  nat"urlich kein
Isomorphismus von Kategorien. 
Diese Aussage 
fa"st eine Vielzahl von Aussagen % des ersten Abschnitts \ref{GLSY}
% dieser Vorlesung "uber
der linearen Algebra
zusammen und illustriert meines Erachtens recht gut die Kraft und Eleganz 
der  Sprache der Kategorientheorie. 
Wenn unser Ring $k$ selbst durch einen 
gr"o"seren Ausdruck gegeben ist, schreiben wir f"ur unsere Matrixkategorie
 statt ${\op{Mat}}_k$ auch manchmal
${\op{Mat}}(k)$.
\end{Beispiel}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Jede \"{A}quivalenz von Kategorien induziert eine
Bijektion zwischen den zugeh"origen Isomorphieklassen von Objekten.
Zum Beispiel werden die endlichdimensionalen $k$-Vektorr\"{a}ume
klassifiziert durch ihre Dimension, alias durch Elemente von $\DN$,
alias durch Isomorphieklassen der Matrixkategorie.
\end{Ubung}

 

\subsection{Transformationen}
\begin{Bemerkungl}
Ich erinnere nun an das Konzept einer Transformation 
von Funktoren, wie es in \eref{Traffo}{LA2} 
ausf"uhrlicher besprochen wird. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
Seien ${\cal A}, {\cal B}$ Kategorien und $F,G : {\cal A} \ra {\cal B}$ 
Funktoren. Eine
{\bf Transformation}\index{Transformation!von Funktoren}
$\tau : F \Rightarrow G$\index{)4@$\Rightarrow$ Transformation}
ist  eine Vorschrift, 
die jedem Objekt $X\in {\cal A}$ einen
Morphismus $\tau_{X}\in {{\cal B}}(FX,GX) $ zuordnet derart, da"s
f\"{u}r jeden
Morphismus $f: X \ra Y$ in ${\cal A}$ das folgende Diagramm in ${\cal B}$
kommutiert:
$$\begin{array}{ccc}
F X &\overset{\textstyle{\tau_{X}}}{\longrightarrow}& GX\\
Ff\downarrow \;\;& &\;\;\downarrow Gf\\
 FY &\overset{\textstyle{\tau_{Y}}}{\longrightarrow}& GY
\end{array}$$
In Formeln meint dies \glqq Kommutieren\grqq\  die Gleichheit 
$(Gf)\circ \tau_X=\tau_Y\circ (Ff)$ in der
Morphismenmenge $\mathcal B(FX, GY)$.
Ob ein Doppelpfeil eine Transformation von Funktoren oder vielmehr eine
Implikation meint, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. 
Sind alle $\tau_{X}$ Isomorphismen, so 
nenne ich $\tau$ eine \defind{Isotransformation} und notiere sie
$\siRa$.\index{)4@$\siRa$ Isotransformation} 
Gibt es zwischen zwei Funktoren eine Isotransformation, so hei"sen sie 
{\bf isomorph}.\index{isomorph!Funktoren}
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
In der Literatur hei"sen unsere Transformationen meist
\glqq nat"urliche Transformationen\grqq. Diese Terminologie schien mir
jedoch unn"otig umst"andlich und entspricht auch nicht meinem Sprachempfinden:
Ich m"ochte zum Beispiel unter der \glqq nat"urlichen\grqq\  Transformation
des Identit"atsfunktors auf der Kategorie aller $\DR$-Vektorr"aume
in den Bidualraumfunktor gerne die in \ref{BDRt} gegebene Transformation
verstehen, die zwar keineswegs die einzige Transformation zwischen
diesen Funktoren ist, aber vielleicht schon die \glqq nat"urlichste\grqq.
 In der Literatur
hei"sen unsere Isotransformationen auch und sogar meist 
{\bf Isomorphismen von Funktoren}\index{Isomorphismus!von Funktoren} 
oder
{\bf \"{A}quivalenzen von Funktoren}.\index{"Aquivalenz!von Funktoren}
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}[\textbf{Bidualraum und Identit"atsfunktor}]
Seien $k$ ein K\"{o}rper und $B:\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$ der Funktor,
der jedem $k$-Vektorraum $V$ seinen Bidualraum $BV\pdef V^{\top\top}$
zuordnet. So liefern die Evaluationen $\op{ev}_V:V\ra V^{\top\top}$,
$v\mapsto (f\mapsto f(v))$ eine  Transformation
$\op{ev}:\op{Id}\Rightarrow B$ und eine  Isotransformation zwischen den
Restriktionen
dieser Funktoren auf die Kategorie der endlichdimensionalen
$k$-Vektorr\"{a}ume, vergleiche \eref{dana}{LA1}. 
Oft formalisiert man Situationen dieser Art nicht bis ins Letzte aus
und spricht etwa 
von {\bf kanonischen Abbildungen}\index{kanonisch!Abbildung|main}
oder  {\bf kanonischen 
Isomorphismen},\index{kanonisch!Isomorphismus|main} 
wenn bei formaler
Betrachtung Abbildungen oder Isomorphismen\label{BDRt}  
$\tau_X:FX\ra GX$ gemeint sind,
die in ihrer Gesamtheit  eine Transformation beziehungsweise Isotransformation
von Funktoren $\tau:F\stackrel{\sim}{\RA} G$ bilden.    
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Dualraum und Transponieren}] 
Sei $k$ ein K\"{o}rper. Wir betrachten den Dualraumfunktor  $D:\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k^{\op{opp}}$, der jedem Raum seinen Dualraum zuordnet.
Sei  $T:{\op{Mat}}_k\ra {\op{Mat}}_k^{\op{opp}}$ der Funktor auf der
 Matrizenkategorie ${\op{Mat}}_k$ aus
\ref{MKkt}, der
die Objekte festh"alt und 
Matrizen transponiert. 
Sei schlie"slich noch $R:{\op{Mat}}_k\ra \op{Mod}_k$ unser  Realisierungsfunktor 
 $n\mapsto k^n$ aus 
\ref{MKkt}. 
So erhalten wir eine Isotransformation
$$\tau:R^{\op{opp}}T\stackrel{\sim}{\RA} DR$$
dadurch, da"s wir jeder nat"urlichen Zahl 
alias jedem Objekt $n\in {\op{Mat}}_k$ den offensichtlichen
Isomorphismus  $\tau_n:k^n\sira (k^n)^\top$  zuordnen.
Es kann hilfreich sein, 
durch Doppelpfeile
in  Diagrammen von Kategorien 
und Funktoren klarzumachen, 
zwischen welchen Funktoren eine Transformation 
gemeint ist. So w"are etwa in diesem Beispiel 
unser $\tau$ ein m"oglicher
Doppelpfeil im Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{Mat}}_k\ar[d]_R \ar[r]^T 
&\ar@{=>}[dl]_{\tau} {\op{Mat}}_k^{\op{opp}}\ar[d]^{R^{\op{opp}}}\\
\op{Mod}_k \ar[r]^{D} & \op{Mod}_k^{\op{opp}}
}
\end{displaymath}
In diesem Fall k"onnten wir zus"atzlich unseren Doppelpfeil noch mit einer
Schlange versehen, da er ja einen Isomorphismus von Funktoren darstellt. 
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{FuKKt}
Sind $\tau : F \Rightarrow G$ und $\sigma : G \Rightarrow H$  Transformationen,
so ist auch $\sigma \circ \tau : F \Rightarrow H$ 
gegeben durch $(\sigma \circ \tau)_X\pdef \sigma_{FX} \circ \tau_X$ 
f"ur jedes Objekt $X$ der Ausgangskategorie von $F$ eine 
Transformation. Des weiteren gibt es f"ur jeden Funktor $F$   
die \defind{identische  Transformation}
$\op{id}=\op{id}_F$ von besagtem Funktor zu sich selber,
gegeben durch $(\op{id}_F)_X\pdef \op{id}_{FX}$ f"ur jedes Objekt $X$ der
Ausgangskategorie unseres Funktors. 
Sind $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien, so bilden 
die Funktoren $\cal{A}\ra \cal{B}$ selbst eine Kategorie, mit Funktoren als
Objekten und Transformationen als Morphismen. 
Ich verwende f"ur diese 
{\bf Funktorkategorie}\index{Funktorkategorie}  die beiden Notation 
$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})={\cal B}^{\cal A}$,\index{Cat@$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})$}\index{)8bb@${\cal B}^{\cal A}$ Funktorkategorie} 
so da"s etwa f"ur Funktoren 
$F,G: \cal{A}\ra\cal{B}$
die Menge der Transformationen 
$$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})(F,G)={\cal B}^{\cal A}(F,G)$$
notiert werden kann. Werden die Kategorien selber durch gr"o"sere
Ausdr"ucke gegeben, so sind  f"ur die Menge der Transformationen auch
abk"urzende Notationen wie etwa $\op{Trans} (F,G)$\index{Trans@$\op{Trans}$
Transformationen}  sinnvoll und "ublich.
Unsere Isotransformationen sind genau die Isomorphismen der Funktorkategorie.
\end{Beispiel}







\begin{Beispiel}\label{NTrt}
Seien $F,G:\cal{A}\ra\cal{B}$ Funktoren
und $\tau:F\Rightarrow G$ eine  Transformation. Gegeben
ein weiterer Funktor
$H:\cal{B}\ra\cal{C}$  
erhalten wir  eine  Transformation
$H\tau: HF\Rightarrow HG$ durch $(H\tau)_X\pdef H(\tau_X)$. Gegeben
ein weiterer Funktor $K:\cal{D}\ra\cal{A}$ erhalten wir   
 eine  Transforma\-tion
$\tau K: FK\Rightarrow GK$ durch $(\tau K)_W\pdef \tau_{KW}$. Offensichtlich liefern diese Konstruktionen
 ihrerseits Funktoren
$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\ra \op{Cat}({\cal A},{\cal C})$
und $\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\ra \op{Cat}({\cal D},{\cal B})$ zwischen
den
entsprechenden Funktorkategorien,
die wir als das {\bf Nachschalten von $H$} beziehungsweise {\bf Vorschalten von $K$} 
bezeichnen.
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwierigkeiten der Notation}] 
  Die Notationen $\tau K$ und $H\tau$ f"uhren leicht zu Verwirrung, sobald
  nicht aus der Art der Symbole klar ist, welche Symbole Funktoren und welche
  Transformationen darstellen. Ich kenne keine generelle L"osung f"ur diese
  Schwierigkeiten der Notation. Hier versuche ich, eine gewisse
  "Ubersichtlichkeit dadurch zu erreichen, da"s ich systematisch lateinische
  Gro"sbuchstaben f"ur Funktoren und kleine griechische Buchstaben f"ur
  Transformationen verwende.
\end{Bemerkungl}





\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Homotopie und fundamentales Gruppoid}] 
  Gegeben stetige Abbildungen $f,g:X\ra Y$ liefert jede Homotopie
  $H:f\simeq g$ eine Isotransformation $H_\sharp:f_\sharp\siRa g_\sharp$
  zwischen den auf den Wegekategorien induzierten Funktoren\label{FGH} 
  $f_\sharp, g_\sharp:\mathcal W_X\ra \mathcal W_Y$ vermittels der
  Isomorphismen $(H_\sharp)_x=[H(x,t)]\in \mathcal W_Y(f(x),g(x))$. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung} 
Sind zwei Funktoren  isomorph und ist der eine
eine \"{A}quiva\-lenz von Kategorien, so auch der andere.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Sei $G$ ein Monoid.
Die $G$-Mengen mit den "aquivarianten 
Abbildungen als Morphismen bilden dann 
eine Kategorie\label{HTZRt}  $G\op{-Ens}$.
 Bilden  wir zu unserem  Monoid $G$ 
die Ein-Objekt-Kategorie $[G]$,
so\label{ZUTRt} 
liefert der hoffentlich offensichtliche Funktor einen
Isomorphismus von Kategorien 
$$G\op{-Ens}\sira \op{Cat}([G],\op{Ens})$$
\end{Ubung}








\begin{Ubung}\label{qiFFt} 
Man zeige:  Ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ist genau dann eine
"Aquivalenz von Kategorien, wenn es eine "Aquivalenz von Kategorien
in die Gegenrichtung $G:\mathcal B\ra \mathcal A$
gibt nebst einer Isotransformation
$\tau:\op{Id}_{\mathcal A}\siRa GF$.
Die "Aquivalenz $G$ oder genauer das Paar $(G,\tau)$ hei"st dann
ein {\bf quasiinverser Funktor zu $F$}.\index{quasiinverser Funktor}  
Man\index{Funktor!quasiinverser}  
 zeige weiter: Zu jedem Paar $(G,\tau)$ wie eben 
gibt es genau eine  Isotransformation
$\eta:FG\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}_{\mathcal A}$ 
 mit $(\eta F)\circ (F\tau)=\op{id}_F$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung} 
Man zeige: Genau dann ist ein Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ 
eine \"{A}quiva\-lenz von Kategorien, wenn es einen Funktor 
$G:\mathcal B\ra \mathcal A$ gibt derart, da"s $FG$ isomorph ist zum
Identit"atsfunktor auf $\mathcal B$ und $GF$ isomorph  zum
Identit"atsfunktor auf $\mathcal A$.
\end{Ubung}
\begin{Ubung} 
Man zeige: Gegeben eine "Aquivalenz von Kategorien
 $F:\mathcal A\sirra \mathcal B$ 
und ein Funktor\label{quaiit}  
$G:\mathcal B\ra \mathcal A$ nebst einer Isotransformation 
$\tau:FG\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}_{\mathcal A}$ ist auch
$G$ eine "Aquivalenz von Kategorien und $(G,\tau)$ quasiinvers zu $F$. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{"Aquivalenzen von Funktorkategorien}] 
 Sind ${\cal A}, {\cal B}$  Kategorien und ist\label{fuKAt}  
 $K: {\cal A}'\sirra {\cal A}$ eine "Aquivalenz von Kategorien, so liefert
das Vorschalten von $K$  eine "Aquivalenz von Funktorkategorien
$$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Cat}({\cal A}',{\cal B}) $$
Ist "ahnlich  $H: {\cal B}\sirra {\cal B}'$ eine "Aquivalenz von Kategorien, 
so liefert
das Nachschalten von $H$  eine "Aquivalenz von Funktorkategorien
$$\op{Cat}({\cal A},{\cal B})\sirra\op{Cat}({\cal A},{\cal B}') $$
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}[\textbf{Exponentialgesetz f"ur Kategorien}] 
\nichtfinal{(Echt n"otig hier? Nicht besser bei Schmelzkategorien \eref{ZwKa}{TSK} enth"alt ja eigentlich alles?)} Man zeige, da"s man f"ur je drei Kategorien $\mathcal A, \mathcal B, \mathcal C$ einen
Isomorphismus von Kategorien\label{expKK} 
\begin{equation*}
 \op{Cat} (\mathcal A, \op{Cat} (\mathcal B, \mathcal C)) \sira \op{Cat}
(\mathcal A \times \mathcal B, \mathcal C)
\end{equation*}
erh"alt durch die Vorschrift
$
 F \mapsto \tilde F$ mit $\tilde F (A,B) = (F(A)) (B)
$
auf Objekten und eine vom Leser zu spezifizierende Vorschrift auf Morphismen.
\end{Ubunge}







\subsection{Adjungierte Funktoren}\label{AdFu}
\begin{Bemerkungl}
Das Konzept adjungierter Funktoren geh"ort zu den
Grundbegriffen der Kategorientheorie. 
Die Terminologie kommt vermutlich vom Fall der
Restriktions- und Induktionsfunktoren aus der Darstellungstheorie endlicher 
Gruppen her, die ein Paar von adjungierten Funktionen bilden und deren Effekte auf Charakteren \nichtfinal{nach \eref{CiD}{NAS}}  
 adjungierte lineare Abbildungen
im Sinne der linearen Algebra sind. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Definition}
Seien $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien und $L : \cal{A}\ra \cal{B}$
sowie $R :\cal{B} \ra \cal{A}$ Funktoren.
Eine\label{AdFuu}  
{\bf Adjunktion $\alpha$ von 
$L $ mit $R$}\index{Adjunktion!von Funktoren} 
oder in Kurzschreibweise $\alpha:L\dashv R$\index{)8@$\dashv$ Adjunktion}
ist eine
Isotransformation
$$\alpha : {\cal{B}} (L \;,\;) \siRa
{\cal{A}} (\;,R\;)$$
von Funktoren $\cal{A}^{\op{opp}} \times \cal{B} \ra \op{Ens}$.
Ausgeschrieben ist das eine
Familie von Bijektionen
$\alpha_{A,B} : {\cal{B}} (L A,B) \sira
{\cal{A}} (A,R B)$ f"ur $(A,B)\in \cal{A}\times\cal{B}$ mit gewissen Nat"urlichkeitseigenschaften,
genauer mit $\alpha(\varphi\circ Lf)=\alpha(\varphi)\circ f$
sowie  $\alpha(g\circ \varphi)=Rg\circ \alpha(\varphi)$ f"ur $f:A'\ra A$ und 
$\varphi:LA\ra B$ und $g:B\ra B'$.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}[\textbf{Freie Gruppen als adjungierter Funktor}]
Der Vergi"sfunktor von den Gruppen in die Mengen hat als
Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge die freie
Gruppe
"uber besagter Menge zuordnet, wie sie 
in \ref{FrGr} eingef"uhrt wird. 
Mit der Notation $v:\op{Grp}\ra\op{Ens}$ f"ur den verge"slichen Funktor
 haben wir f"ur jede Gruppe $G$ und jede Menge $X$ eine nat"urliche Bijektion
$$\op{Grp}(\op{Grp}\frei X,G)\sira \op{Ens}(X,vG)$$
Der Vergi"sfunktor von den abelschen Gruppen in die Mengen hat "ahnlich als
Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge die freie
abelsche Gruppe
"uber besagter Menge zuordnet, f"ur die wir
die Notationen ${\op{Ab}}\frei X=\DZ X$ verwenden. 
\end{Beispiel}



\begin{Beispiel}[\textbf{Das Exponentialgesetz als Adjunktion}]   
Gegeben eine Menge $Z$ ist   der Funktor $(Z\times):\op{Ens}\ra\op{Ens}$
linksadjungiert zum Funktor $\op{Ens}(Z,\;):\op{Ens}\ra\op{Ens}$ vermittels
der kanonischen Bijektionen
$$\op{Ens}(Z\times X,Y)\sira  \op{Ens}(X,\op{Ens}( Z,Y))$$ aus dem Exponentialgesetz \eref{ABBK}{GR}. 
Weiter ist der Funktor 
$\op{Ens}(\;,Z):\op{Ens}\ra\op{Ens}^{\op{opp}}$
linksadjungiert zum Funktor $\op{Ens}(\;,Z)^{\op{opp}}:\op{Ens}^{\op{opp}}\ra\op{Ens}$
 vermittels
der in derselben Weise konstruierten kanonischen Bijektionen
$$
\op{Ens}^{\op{opp}}(\op{Ens}( X,Z),Y)=
\op{Ens}(Y,\op{Ens}( X,Z))\sira \op{Ens}(X,\op{Ens}( Y,Z))$$ 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiele}[\textbf{Adjunktionen mit $\op{Hom}$ und $\otimes$}] 
Gegeben ein K"orper $k$ und ein $k$-Vektorraum $E$ ist
der Funktor $E\otimes_k:\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$
linksadjungiert zu $\op{Hom}_k(E,\;):\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k$
und der Funktor $\op{Hom}_k(\; ,E):\op{Mod}_k\ra \op{Mod}_k^{\op{opp}}$
hat als Rechtsadjungierten den Funktor
$\op{Hom}_k(\;, E)^{\op{opp}}:\op{Mod}_k^{\op{opp}}\ra \op{Mod}_k$. 
Ausgezeichnete derartige Adjunktionen werden 
 in \eref{HaII}{LA2} und \eref{BLH}{LA1} 
 angegeben. Sie sind als Spezialf"alle der Adjunktionen \eref{Muhor}{TSK}
 und \eref{HHad}{TSK} in Schmelzkategorien.
\end{Beispiele}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Einheit und Koeinheit einer Adjunktion}]
  Seien $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien und $L : \cal{A}\ra \cal{B}$
  sowie $R :\cal{B} \ra \cal{A}$ Funktoren.\label{FDJj} 
   Gegeben eine   Adjunktion $\alpha: L\dashv R$ von Funktoren erhalten wir
    Transformationen $\hat\alpha: \op{Id}_{\mathcal A}\RA RL$ und $\check\alpha: LR\RA \op{Id}_{\mathcal B}$ durch $\hat\alpha_A\pdef \alpha(\op{id}_{LA})$ und
    $\check\alpha_B\pdef \alpha^{-1}(\op{id}_{RB})$. Sie hei"sen die {\bf Einheit} und
    {\bf Koeinheit} der Adjunktion. Oft versteht sich
    die zugrundeliegende Adjunktion
    $\alpha$ von selbst und wir brauchen daf"ur gar keine Notation
    vorzusehen. Dann notieren wir die Einheit und Koeinheit
    meist $\eta_A:A\ra RLA$ und $\varepsilon_B:LRB\ra B$. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}[\textbf{Einheit und Koeinheit im Fall freier Gruppen}]
Unsere Adjunktion
$\op{Grp}(\op{Grp}\frei  X,G)\sira \op{Ens}(X,vG)$
hat als Einheit die kanonischen Abbildungen $\eta_X:X\ra v\op{Grp}\frei  X$
 und als Koeinheit die  kanonischen Gruppenhomomorphismen 
$\varepsilon_G:\op{Grp}\frei  (vG)\ra G$ aus dem Beweis von \ref{KoPG}.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Der Funktor $\op{Spek}:\op{Ralg}^{\op{opp}}_\DC\ra\op{Top}$ aus \eref{TRR}{TM}
ist rechtsadjungiert
zum Funktor $\cal{C}:\op{Top}\ra\op{Ralg}^{\op{opp}}_\DC$. Diese Aussage ist
der Kern der Argumentation in \eref{SHD}{TM}.
\end{Beispiel}


\begin{Lemma}[\textbf{"Aquivalenz durch Adjunktion}] 
Seien  $L :{\cal A}\ra {\cal B}$
und $R :{\cal B}\ra {\cal A}$ Funktoren  
und $\alpha:L \dashv R $ eine Adjunktion.\label{EQK}  
\begin{enumerate}
\item Genau dann besteht die Einheit  
der Adjunktion  $\hat{\alpha}$ aus Isomorphismen $\hat{\alpha}_X:
X\sira R L X$, 
wenn der Funktor $L $ volltreu ist;
\item Genau dann besteht die Koeinheit  der Adjunktion  $\check{\alpha}$ 
aus Isomorphismen
$\check{\alpha}_Y:L R Y
  \sira Y$, 
wenn der Funktor $R $ volltreu ist;  
\item
Genau dann bestehen
  $\hat{\alpha}$ und $\check{\alpha}$ beide  aus Isomorphismen, wenn
   $L $ und $R $ \"{A}qui\-va\-len\-zen von Kategorien sind.  
Man nennt $L $ und $R $
  dann zueinander 
{\bf\em quasiinverse Funktoren}\index{quasiinverser Funktor}
und versteht dabei die Adjunktion als einen Teil des Datums.
In diesem Fall liefern $\hat{\alpha}^{-1}$ und $\check{\alpha}^{-1}$
auch eine Adjunktion $(R,L)$. 
\end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Aus unseren Erkenntnissen zu Einheiten und Koeinheiten von
Adjunktionen \ref{FADJj} folgt die Kommutativit"at des
 Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\cal{A}( X,Y) \ar[r]^-{L}\ar[d]_{\hat\alpha_Y\circ} 
&\cal{B}( L X,L Y)\ar[d]^{\alpha_{X,LY}}_\wr\\
\cal{A}( X,R L Y) \ar@{=}[r] & \cal{A}( X,R L Y)
}
\end{displaymath}
Das zeigt die erste Aussage.
Die zweite Aussage zeigt man genauso. 
F"ur die dritte Aussage bemerkt man, da"s
unter der Annahme
$\check \alpha_B: L R B\sira B$  jedes
$B\in {\cal B}$  isomorph ist zu einem Objekt der Gestalt $L X$.
\end{proof}


\begin{Beispiel}[\textbf{Der Dualraumfunktor als sein eigener Adjungierter}] 
Der Rechtsadjungierte des Dualraumfunktors 
$D:k\op{-Mod}\ra k\op{-Mod}^{\op{opp}}$ ist der Funktor 
$D^{\op{opp}}:k\op{-Mod}^{\op{opp}}\ra k\op{-Mod}$, 
der durch dieselbe Abbildungsvorschrift gegeben wird,
vermittels der  Adjunktion, die gegeben wird
durch die kanonischen Identifikationen\label{DrEA} 
$$\op{Hom}_k(V,DW)\sila
 \op{Hom}^{(2)}_k(V,W;k) \sira \op{Hom}_k(DW,V)$$
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkungw}
  Mehr zu adjungierten Funktoren diskutieren wir in \ref{mehrad}.
\end{Bemerkungw}
\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Besitzt ein Funktor einen Rechtsadjungierten, 
so vertauscht er mit Koprodukten und macht  kokartesische Diagramme zu kokartesischen 
Diagrammen. Besitzt ein Funktor einen Linksadjungierten, 
so  vertauscht er mit  Produkten und macht er kartesische Diagramme zu kartesischen\label{KoKaR}  
Diagrammen.
  St"arker zeigen Sie etwa in \eref{KaAA}{TS}, da"s Linksadjungierte mit \glqq Kolimites\grqq\
  vertauschen und Rechtsadjungierte mit \glqq Limites\grqq. 
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}[\textbf{Adjunktionen auf Funktorkategorien}]
  Seien Kategorien $\mathcal A,\mathcal B,\mathcal C$ gegeben.
Man zeige,  da"s jedes Paar $(L,R)$ 
von adjungierten Funktoren
$L:\mathcal A\ra\mathcal B$ und $R:\mathcal B\ra\mathcal A$ auch  ein
 Paar  $(L\circ,R\circ)$ von adjungierten Funktoren zwischen 
den Funktorkategorien\label{adjFK}  
$(L\circ):\mathcal A^{\mathcal C}\ra\mathcal B^{\mathcal C}$ und 
$(R\circ):\mathcal B^{\mathcal C}\ra\mathcal A^{\mathcal C}$ liefert. 
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}[\textbf{Opponierte Adjunktionen}]
Seien $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien und $L : \cal{A}\ra \cal{B}$
sowie $R :\cal{B} \ra \cal{A}$ Funktoren.\label{Adopp} 
Jede Adjunktion $\alpha:L\dashv R$
kann auch als Adjunktion $\alpha^{\op{opp}}:R^{\op{opp}}\dashv L^{\op{opp}}$
der zugeh"origen Funktoren $L^{\op{opp}} : \cal{A}^{\op{opp}}\ra \cal{B}^{\op{opp}}$
und $R^{\op{opp}} :\cal{B}^{\op{opp}} \ra \cal{A}^{\op{opp}}$ zwischen den
jeweiligen opponierten Kategorien aufgefa"st werden.
 Ich nenne $\alpha^{\op{opp}}$ die\index{Adjunktion!opponierte} 
{\bf opponierte Adjunktion}.\index{opponiert!Adjunktion}
\end{Ubung}



\subsection{"Uberlagerungen und Gruppenwirkungen}\label{AF}
\begin{Bemerkungl}
%Wir wollen nun unsere \"{U}berlagerungstheorie unter einem
% abstrakteren Blickwinkel verstehen,
%einerseits als Modellfall und Anwendungsbeispiel
%f\"{u}r kategorientheoretische Methoden,
%andererseits um
%die Verwandschaft zur
%Galoistheorie herauszuarbeiten.
Gegeben ${\cal C}$ eine Kategorie, $A\in {\cal C}$ ein Objekt und $G \pdef
{{\cal C}}(A)$
das Monoid seiner Endomorphismen erhalten wir stets einen 
Funktor in die Kategorie der $G$-Rechtsmengen
$$ {{\cal C}}(A, \;):{\cal C} \;\ra\; \op{Ens-}G$$
Wir setzen dazu  $fg \pdef f\circ g$ f\"{u}r alle $B\in{\cal C}$, $f \in
{{\cal
C}} (A,B)$ und
$g \in {{\cal C}}(A)$.
Man beachte f"ur das Folgende, 
da"s das Monoid der Endomorphismen einer universellen "Uberlagerung
nach \ref{FTt} stets eine Gruppe ist.
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{"Uberlagerungen und Gruppenwirkungen}]
Sei $\mathfrak U$ ein Universum. Gegeben  eine
  \hyperref[uniueb]{universelle \"{U}berlagerung} $u : \tilde{X} \ra X$ 
  mit Deckbewegungsgruppe $G \pdef \op{Top}_{X}^\times (\tilde{X})$
  und  $\tilde X,X\in \mathfrak U$
  liefert\label{KUE} der Funktor $T\pdef\op{Top}_{X}({\tilde X},\;)$ 
eine \"{A}quivalenz zwischen
der Kategorie der "Uberlagerungen von $X$ und der Kategorie der 
$G$-Rechtsmengen
$$ T : 
\mathfrak U\!\op{"Ub}_X \;\sirra\; \mathfrak U\!\op{Ens}_{{\sswarrow}G}$$
\end{Satz}
\begin{Beispiel}
  Man "uberlege sich die Bedeutung des Satzes zun"achst im
  Fall der universellen "Uberlagerung $\op{Exp}:\DR\ra S^1$ der Kreislinie.
  In diesem Fall erhalten wir f"ur die Deckbewegungsgruppe einen Isomorphismus
  $G\sira \DZ$ durch $g\mapsto g(0)$.
\end{Beispiel}
\begin{proof}[Beweis]
Wir konstruieren zun\"{a}chst einen Funktor in die R\"{u}ckrich\-tung.
Gegeben eine $G$-Rechtsmenge $M$ konstruieren wir
eine stetige Abbildung
$$M \times_{/G} \tilde{X} \ra X$$
 Wir betrachten dazu auf $M\times \tilde{X}$ die Operation
 von $G$ gegeben durch $g(m,\tilde{x}) = (mg^{-1},g\tilde{x})$.
 Die Bahn von $(m,\tilde x)$ notieren wir $[m,\tilde x]$.  
Da $G$ 
topologisch frei operiert auf ${\tilde X}$ nach \ref{FTn}, operiert es erst recht topologisch frei auf 
$M\times{\tilde X}$.
Nach \ref{GHH} ist also der Bahnenraum $M \times_{/G} \tilde{X}$
eine \"{U}berlagerung von $X$.
Den in dieser Weise  konstruierten Funktor in die R\"{u}ckrichtung bezeichnen
wir
mit $A$, in Formeln
$$ A \pdef (\;\times_{/G} \tilde{X}): \op{Ens}_{{\sswarrow}G}\;   \ra \;  \op{"Ub}_X$$
Als n"achstes erkl"aren wir eine Adjunktion $A\dashv T$.
Gegeben eine $G$-Rechtsmenge $M$ und eine "Uberlagerung
$\hat{p}:\hat{X}\ra X$ gilt es, eine nat"urliche Bijektion
$$\op{Ens}_{{\sswarrow}G}(M, \op{Top}_X(\tilde{X},\hat{X}))
\sira
\op{Top}_X(M \times_{/G} \tilde{X}, \hat{X})$$
zwischen der Menge der  $G$-"aquivarianten Abbildungen links
und der Menge der stetigen Abbildungen "uber $X$ rechts  
anzugeben. Man erh"alt sie durch Einschr"anken der offensichtlichen
Bijektion
$$\op{Ens}(M, \op{Top}(\tilde{X},\hat{X}))
\sira
\op{Top}(M \times \tilde{X}, \hat{X})$$
auf die Fixpunkte einer geeigneten $G$-Operation auf beiden Seiten.
Jetzt m"ussen wir nach \ref{EQK} nur noch zeigen, da"s 
die durch unsere Adjunktion definierten 
Transformationen $\op{Id}\RA TA$ und $AT\RA \op{Id}$
Isotransformationen sind.
Die Erste spezialisiert auf einer $G$-Menge $M$ zur
Abbildung $M\ra \op{Top}_X(\tilde X, M\times_{/G}\tilde X)$ gegeben durch
$m\mapsto (z\mapsto [m,z])$ und ist eine Bijektion aufgrund der universellen
Eigenschaft der universellen "Uberlagerung. Die Zweite  
spezialisiert auf einer "Uberlagerung $\hat X$ zur
Abbildung $\op{Top}_X(\tilde X, \hat X)\times_{/G}\tilde X\ra \hat X$
gegeben durch $[d,z]\mapsto d(z)$ und ist ebenfalls
bijektiv aufgrund der universellen
Eigenschaft der universellen "Uberlagerung. Als bijektive 
Decktransformation mu"s sie dann sogar ein Hom"oomorphismus sein.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zusammenh"angende "Uberlagerungen und Untergruppen}] 
  Gegeben eine universelle "Uberlagerung $\tilde X\ra X$ ist $\tilde X$
  nach \ref{Unjl} stets zusammenh"angend.
  F"ur die Gruppe $G$ der Decktransformationen und eine $G$-Rechtsmenge
  $M$ ist also $M\times_{/G} \tilde X$ genau dann zusammenh"angend, wenn
  $M$ eine transitive $G$-Menge ist. In Worten induziert also unser
  Funktor $T\pdef\op{Top}_{X}({\tilde X},\;)$ aus \ref{KUE}
  auch eine "Aquivalenz
$$
\{\hat X \in\mathfrak U\!\op{"Ub}_X\mid \hat X \text{ zusammenh"angend}\} \;\sirra\; \{M\in \mathfrak U\!\op{Ens}_{{\sswarrow}G}\mid M\text{ transitiv}\}$$
  zwischen der Kategorie der zusammenh"angenden
  "Uberlagerungen von $X$ und der
  Kategorie der transitiven $G$-Rechtsmengen.\label{KUEE}  
  Nach \ref{GTh2} werden also die zusammenh"angenden "Uberlagerungen von $X$ klassifiziert durch Konjugationsklassen von Untergruppen von $G$
und man pr"uft leicht, da"s dabei die Klasse der Unterguppe $H\subset G$ auf die Isomorphieklasse der "Uberlagerung $\tilde X/H \ra X$ geht.
Genauer erhalten wir mit \ref{UgrK}
eine "Aquivalenz  zwischen der Kategorie der zusammenh"angenden
  "Uberlagerungen von $X$ und der opponierten Untergruppenkategorie zu $G$ aus \ref{UgrK}. 
\end{Bemerkungl}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAchtu}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Graphische Darstellung  einer  "Uberlagerung mit zusammenh"angendem
Totalraum, bei der nicht jede Decktransformation eine Deckbewegung ist.
"Uberlagert wird die Figur einer Acht.
\end{minipage}
\end{figure}



\begin{Bemerkunge}[\textbf{Bezug zur Galoistheorie}] 
Die hier vorgestellte Theorie ist strukturell eng verwandt zur
Galoistheorie. Ist\label{UbGal} 
${\tilde K}/K$  eine endliche Galoiserweiterung,
so
kann man den Hauptsatz der Galoistheorie \eref{GK}{AL} n"amlich 
dahingehend interpretieren, 
da"s der Funktor $\op{Kring}^{K}(\;,{\tilde K})$ der
$K$-linearen K\"{o}rperhomomorphismen nach ${\tilde K}$ eine \"{A}quivalenz
von
Kategorien 
$$
\left\{ \begin{array}{c}\text{K"orpererweiterungen von }K,\\
\text{die sich in ${\tilde K}$ einbetten lassen } \end{array}\right\}^{\op{opp}}
\sirra  \;\;\;
\{\text{transitive }\operatorname{Gal}({\tilde K}/K)\text{-Mengen}\}
$$
liefert,
f"ur $\op{Gal}({\tilde K}/K)=(\op{Kring}^{K})^\times({\tilde K})$ 
die Galoisgruppe.
Die Kategorie der zusammenh\"{a}ngenden \"{U}berlagerungen
kann im Licht von \ref{KUE} also
aufgefa"st werden als ein geometrisches Analogon zur
opponierten Kategorie unserer
Kategorie von K\"{o}rpererweiterungen.
Noch besser w"urde die Analogie, wenn wir auch nur alle zusammenh\"{a}ngenden 
"Uberlagerungen
betrachten w"urden, die eine Decktransformation von einer
fest gew"ahlten Galois-"Uberlagerung empfangen k"onnen.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Die Kategorie der $G$-Mengen 
bestimmt die Gruppe $G$}] 
Gegeben eine Gruppe $G$ kennt die Kategorie
der $G$-Mengen bereits die Gruppe $G$ bis auf
Isomorphismus. Wir betrachten 
genauer eine Menge  $\mathcal C$ von
$G$-Mengen,  die die Gruppe $G$ selbst enth"alt
und mindestens je eine einelementige und eine  zweielementige Menge 
 mit der trivialen $G$-Operation,
und betrachten die Kategorie  $\mathcal C$ all dieser $G$-Mengen. 
 Darin gibt es nach
unseren Annahmen ein finales Objekt
$\op{pt}$ und ein Koprodukt $\op{pt}\sqcup \op{pt}$ dieses 
finalen Objekts mit sich selbst. 
Sicher ist unsere Kategorie $\mathcal C$ eine $\mathfrak V$-Kategorie
f"ur ein geeignetes Mengensystem $\mathfrak V$. Man "uberzeugt sich leicht, 
da"s ein Objekt $X\in\mathcal C$ genau dann ein homogener Raum ist,
wenn  f"ur den dadurch dargestellten 
Funktor $F\pdef \mathcal C(X,\;): \mathcal C
\ra\mathfrak V\!\op{Ens}$
 die kanonische Abbildung eine Bijektion
  $$F(\op{pt})\sqcup F(\op{pt})\sira F(\op{pt}\sqcup \op{pt})$$
 liefert. Weiter ist die $G$-Operation auf einem homogenen Raum
 $X$ genau dann frei,
 gilt $\mathcal C(X,G)\neq\emptyset$ alias wenn es
 von $X$ zu jedem Objekt von $\mathcal C$ einen Morphismus gibt. Die $G$-Torsoren k"onnen somit 
als Objekte der Kategorie $\mathcal C$ unter alleiniger Verwendung der
Struktur dieser Kategorie
charakterisiert werden. Die Gruppe $G$ erh"alt man dann 
bis auf Isomorphismus als die Opponierte der
Automorphismengruppe eines jeden solchen $G$-Torsors. 
\end{Bemerkunge}


\subsection{"Uberlagerungen und Fundamentalgruppe}

\begin{Definition}
Seien $p:{\tilde X} \ra X$ eine \"{U}berlagerung und $\gamma\in\Omega(X,x,y)$ ein
Weg.\label{TWL} 
Der {\bf Transport durch Wegeliften}\index{Transport durch Wegeliften} 
$$\langle{\gamma}\rangle : p^{-1}(x) \ra   p^{-1} (y)$$
l"angs des Weges $\gamma$ von der Faser bei $x$ in die
Faser bei $y$ wird  erkl"art als diejenige Abbildung, 
die jedem Punkt $\tilde x\in p^{-1} (x)$ den Endpunkt desjenigen 
Lifts ${\tilde \gamma}_{\tilde x}$ unseres Weges $\ga$ zuordnet, der
bei $\tilde x$ beginnt, in Formeln 
$\langle{\ga}\rangle(\tilde x)\pdef{\tilde \gamma}_{\tilde x}(1)$.
Hier verwenden wir, da"s  nach \ref{IEZ1}
das Intervall $[0,1]$ "uberlagerungstrivial ist und da"s damit nach 
 \ref{LEZ} unser Weg genau einen Lift hat mit Anfangspunkt $\tilde x$. 
\end{Definition}

\begin{Lemma}[\textbf{Eigenschaften des  Transports durch Wegeliften}]
Sei $p:{\tilde X} \ra X$ eine \"{U}berlagerung.\label{HLL}
\begin{description}
\item[{\bf Homotopieinvarianz:}]
Homotope Wege in der Basis liefern denselben Transport durch Wegeliften auf den Fasern,
in Formeln $\ga\simeq\beta\RA \langle{\ga}\rangle=\langle{\beta}\rangle$. 
Insbesondere ist auch f\"{u}r jede Homotopieklasse $\ga$ von Wegen
 die Abbildung $\langle{\ga}\rangle$ wohldefiniert; 
\item[{\bf Funktorialit"at:}]
Der Transport durch Wegeliften l"angs des konstanten Weges $\varepsilon_x$ bei $x\in X$ ist 
die identische Abbildung $\langle{\varepsilon}_x\rangle=\op{id}$ auf der Faser
$p^{-1}(x)$.
Sind $\beta$ und $\ga$ verkn\"{u}pfbare Wege in $X$, 
so gilt
$\langle{\beta}\rangle\circ\langle{\ga}\rangle=\langle{\beta}\ast{\ga}\rangle$;
\item[{\bf Nat"urlichkeit:}]
Ist $q:\tilde Y\ra Y$ eine weitere "Uberlagerung und 
sind $f:X\ra Y$ sowie $\tilde f: \tilde X\ra \tilde Y$ stetige Abbildungen mit
$q\circ\tilde f=f\circ p$ und ist $\ga$ ein Weg in $X$, so gilt
 $\tilde f\circ \langle{\ga}\rangle=\langle{f\ga}\rangle\circ\tilde f$.  
\end{description}
\end{Lemma}
\begin{Bemerkunge}
  Man mag den zweiten Punkt dahingehend zusammenfassen, da"s
jede "Uberlagerung $p:\tilde X\ra X$ 
einen Funktor $[\tilde X]:
\mathcal W_X\ra\op{Ens}$ 
des fundamentalen Gruppoids von $X$ in die Kategorie der Mengen
liefert vermittels der Vorschrift $x\mapsto p^{-1}(x)$ auf Objekten
und $\gamma\mapsto \langle \gamma\rangle$ auf Morphismen.
Der letzte Punkt besagt in dieser Sprache, da"s die von
$\tilde f$ auf den Fasern induzierte Abbildung eine Transformation 
unseres Funktors $[ \tilde Y]:\mathcal W_Y\ra\op{Ens}$ zur
Verkn"upfung des Funktors 
Funktor $ f_\sharp:\mathcal W_Y\ra\mathcal W_X$ mit dem Funktor
$[ \tilde
X]: \mathcal W_X\ra\op{Ens}$ ist, in Formeln
also eine Transformation $[ \tilde Y]\RA [ \tilde
X]\circ f_\sharp$.  
\end{Bemerkunge}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUPKn}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Eine dreibl"attrige "Uberlagerung der Acht, ein Punkt unten und
die drei Punkte der Faser dar"uber, ein geschlossener Weg unten und 
die zugeh"orige Operation auf der Faser am Beispiel
des \glqq untersten\grqq\  Punktes der Faser, der in diesem
Fall auf den \glqq obersten\grqq\  Punkt der Faser geschoben wird.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{proof}[Beweis]
Wir zeigen nur die Homotopieinvarianz, die anderen Eigenschaften sind klar
nach den Definitionen.
Sei $h:[0,1]^2\ra X$ eine Homotopie mit festen Endpunkten
zwischen unseren Wegen. Auf der vorderen beziehungsweise hinteren Kante
unseres Quadrats haben wir also
$h(0,t)=\ga(t)$ beziehungsweise $h(1,t)=\beta(t)$, und  auf
der oberen und der unteren Kante ist $H$ konstant.
Da unser Quadrat nach \ref{IEZ2} "uberlagerungstrivial 
ist, gibt es f\"{u}r alle $\tilde x\in p^{-1} (x)$ einen Lift
$\tilde{h}:[0,1]^2\ra {\tilde X}$ von $h$ mit $\tilde{h}(0,0)=\tilde x$.
Nach dem Satz \"{u}ber die Eindeutigkeit von Lifts
ist dieser Lift konstant $\tilde x$ auf der unteren Kante,
folglich ist er auf der vorderen beziehungsweise
hinteren Kante der Lift mit Anfangspunkt $\tilde x$ von
$\ga$ beziehungsweise $\beta$.
Da aber unser Lift auch konstant sein mu"s auf der oberen Kante, folgt
$\langle{\ga}\rangle(\tilde x)=\langle{\beta}\rangle(\tilde x)$.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine Menge $F$ bezeichnen wir die Gruppe
aller Permutationen von $F$ mit $\op{Ens}^\times( F)$.
\index{Ens@$\op{Ens}^\times( Z)$ Bijektionen $Z\sira Z$} 
Das ist auch  die Menge der invertierbaren Elemente des Monoids 
 $\op{Ens}(F)$ aller Abbildungen von $F$ in sich selber. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}
\begin{enumerate}
\item
Ist $p:{\tilde X}\ra X$ eine \"{U}berlagerung und $x\in X$
ein Punkt,
so liefert der Wegeliftungstransport  eine Operation der Fundamentalgruppe $\pi_1(X,x)$ auf der
Faser $p^{-1}(x)$,
die \emph{\bf Wegeliftungsoperation};\index{Wegeliftungsoperation} 
\item
Ist $q:\hat{X}\ra X$ eine weitere \"{U}berlagerung und
$d:{\tilde X}\ra \hat{X}$ eine Decktransformation, so ist deren
Einschr\"{a}nkung $d:p^{-1}(x)\ra q^{-1}(x)$ auf die Fasern  eine
$\pi_1(X,x)$-\"{a}quivariante Abbildung.
\end{enumerate}\label{DT}
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Das folgt alles sofort aus den im vorhergehenden Lemma \ref{HLL} gezeigten Eigenschaften des Transports durch Wegeliften.
\end{proof}
\begin{Bemerkungl}
F\"{u}r jeden bepunkteten topologischen Raum $(X,x)$
erhalten wir damit einen Funktor von der Kategorie 
seiner \"{U}berlagerungen
in die Kategorie der Mengen mit Operation der Fundamentalgruppe,
indem wir jeder \"{U}berlagerung von $X$ ihre Faser
bei $x$ zuordnen. Dieser sogenannte 
\defnoind{Faserfunktor}\index{Faserfunktor!bei "Uberlagerung} $F=F_x$
wird in Formeln gegeben durch die Vorschrift
$$\begin{array}{rcl}
F: \op{"Ub}_X&\ra&\pi_1(X,x)\op{-Ens}\\
p\;\;\;&\mapsto&\;\;\; p^{-1}(x)\end{array}$$
\end{Bemerkungl}




\begin{Satz}[\textbf{Fundamentalgruppe einer "Uberlagerung}]
  \leavevmode
\begin{enumerate}
\item
Jede "Uber\-la\-ge\-rung
bepunkteter R\"{a}ume  $p:({\tilde X},{\tilde x}) \ra (X,x)$ 
induziert eine Injektion  $p_\sharp: 
\pi_1({\tilde X},{\tilde x}) \hra \pi_1(X,x)$
auf den Fundamentalgruppen
 und das Bild dieser Injektion ist die Standgruppe
von $\tilde x$ unter der Wegeliftungsoperation, in Formeln 
$$\op{im}p_\sharp=\{\gamma\in \pi_1( X, x)\mid 
\langle\gamma\rangle(\tilde x)=\tilde x\}$$
\item
Ist zus"atzlich unsere "Uberlagerung 
$\tilde X$ wegzusammenh"angend, so operiert 
die Fundamentalgruppe $\pi_1(X,x)$ transitiv auf der Faser 
"uber dem Basispunkt  $p^{-1}(x)$.
\end{enumerate}
\label{OOb}
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Seien $\tilde{x}, \tilde{y} \in \tilde{X}$ beliebig und $x, y \in X$ ihre
Bilder. So liefert nach unseren Definitionen und 
wegen der Eindeutigkeit von Lifts \ref{EL} das Nachschalten von 
$p$ eine Bijektion
$$\Omega (\tilde{X},\tilde{x}, \tilde{y}) \sira \{ \gamma \in \Omega (X,x,y)
\mid
\langle \gamma \rangle (\tilde{x}) = \tilde{y} \}$$
Diese Bijektion induziert dann eine Bijektion auf Homotopieklassen.
Setzen wir $\tilde{y} = \tilde{x} $, so ergibt sich der erste Teil.
L"a"st sich jeder Punkt $\tilde{y}$ aus der Faser $p^{-1}(x)$  in
$\tilde{X}$ durch einen Weg $\alpha$ 
mit $\tilde{x}$ verbinden, so liegt die Homotopieklasse von
$\gamma=p\circ \alpha$
in $\pi_1 (X,x)$ und wir haben $\tilde{y}=\langle\gamma\rangle(\tilde{x})$.
%Haben wir umgekehrt $\tilde{y}=\langle\gamma\rangle(\tilde{x})$ f"ur
%ein $\gamma\in \pi_1 (X,x)$, so verbindet der entsprechende Lift von $\gamma$
%auch unsere beiden Punkte in $\tilde{X}$. Das zeigt die Exaktheit 
%unserer Sequenz an der Stelle $\pi_0 (F,\tilde{x})$.
\end{proof}










\begin{Proposition}
Gegeben $X$ ein Raum mit einer topologisch freien Operation einer Gruppe $G$ erhalten wir f"ur jeden Punkt $x\in X$  durch die 
Vorschrift $c_x(\gamma)^{-1}x=\langle \gamma \rangle x$ einen Gruppenhomomorphismus, den \emph{\bf Faserwirkungsvergleich}\index{Faserwirkungsvergleich} \label{Fwv}  
$$c_x:\pi_1(X/G,\bar x)\ra G$$
\end{Proposition}



\begin{proof}[Beweis]
  Bezeichne $p:X\ra X/G$ die Quotientenabbildung. 
Nach \ref{QUe} ist sie eine "Uberlagerung.
Per definitionem operiert $G$ frei und transitiv auf der Faser
$p^{-1}(\bar{x})$ "uber $\bar x\pdef p(x)$ und 
nach \ref{DT} kommutiert diese  Operation mit der Operation von
$\pi_1(X/G,\bar{x})$ durch Wegeliften.
Das anschlie"sende algebraische Lemma \ref{kf} 
beendet den Beweis.
\end{proof}

\begin{Lemma}[\textbf{Homomorphismen durch Torsoren}] 
Sei $F$ eine Menge mit einer\label{kf} 
Linksoperation einer Gruppe $H$ und einer freien transitiven 
Rechtsoperation einer Gruppe $G$, die in dem Sinne kommutieren,
da"s gilt $(hf)g=h(fg)\;\forall
h\in H$, $f\in F$, $g\in G$. So liefert jedes Element $f\in F$ einen 
Gruppenhomomorphismus 
$$c_f: H\ra G$$
durch die Vorschrift $hf=fc_f(h)$.
Ist die Operation von $H$ frei, so ist $c_f$ injektiv.
Ist die Operation von $H$ transitiv, so ist $c_f$ surjektiv. 
\end{Lemma}

\begin{Bemerkunge}
Analoges gilt f"ur Monoide, wenn wir zus"atzlich  $f$ so w"ahlen,
da"s die Operation von $G$ eine Bijektion $G\sira X$, $g\mapsto fg$ liefert. 
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}[Beweis]
Wir \"{u}berlassen die formale Rechnung dem Leser und versuchen stattdessen
eher informell, die Aussage transparent zu machen.
Da $G$ frei und transitiv operiert, ist die Abbildung
$$\begin{array}{ccc}
G&\ra&F\\ g&\mapsto& fg\end{array}$$
eine $G$-\"{a}qui\-variante Bijektion. 
Die $G$-\"{a}qui\-varianten Abbildungen $\phi:G\ra G$, also die Abbildungen
$\phi$ mit $\phi(xg)=\phi(x)g\;\;\forall x,g\in G$, sind nun genau die
Linksmultiplikationen mit Elementen $c\in G$ und entsprechen unter unserer
Bijektion $G\sira F$ den Abbildungen $fg\mapsto fcg$. Insbesondere gilt das
f"ur die Abbildungen $\phi=(h\cdot)$.  
Das ist der strukturelle Grund f"ur unser Lemma, das sich so als 
unmittelbare Konsequenz der "Ubung \ref{AuRM} erweist.
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fundamentalgruppe von Bahnenr"aumen}]
Operiert eine  Gruppe $G$ 
topologisch frei auf einem
wegzusammenh\"{a}ngenden schleifenf"ullenden Raum $X$,\label{GF} 
so ist der Faserwirkungsvergleich \ref{Fwv} f"ur alle $x\in X$
ein Isomorphismus
$$c_x: \pi_1(X/G,\bar{x})\sira G$$ 
In der Tat operiert nach \ref{OOb} 
die Fundamentalgruppe 
$\pi_1(X/G,\bar{x})$  frei und transitiv auf
der Faser "uber $\bar x$ und dasselbe gilt per definitionem f"ur $G$
und die Behauptung folgt damit aus unserem algebraischen Lemma \ref{kf}.
Die Faser ist in in diesem Fall der "aquivariante Torsor,
der den Isomorphismus liefert.  
 Eine Variante f"ur allgemeine R"aume $X$ 
wird in "Ubung \ref{FBVk} besprochen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}\label{Z1}
Aus  \ref{GF} folgt insbesondere
$\pi_1(\DP^{n}\DR) = \pi_1(S^{n}/\{\pm 1\}) =\{\pm 1\}$
f\"{u}r $n\geq 2$
und
$\pi_1(S^{1})\cong \pi_1(\DR/\DZ ) =\DZ$.  
\end{Beispiele}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKrH}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Man mag sich $\DP^{2}\DR$ vorstellen als Kugelschale, in die
ein Kreisrundes Loch geschnitten wurde, um dort ein
M"obiusband alias eine Kreuzhabe einzukleben, wie ich sie hier 
gezeichnet habe. 
\end{minipage}
\end{figure}


  
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Fundamentalgruppe als Deckbewegungsgruppe}]
Hat  ein Raum $X$ eine universelle "Uberlagerung
$p:\tilde X\ra X$ und ist diese wegzusammenh"angend und schleifenf"ullend,\label{GFb} 
so ist der Faserwirkungsvergleich \ref{Fwv} f"ur alle $x\in X$ und
$\tilde x\in p^{-1}(x)$
ein Isomorphismus
$$c_{\tilde x}: \pi_1(X,x)\sira G$$
In der Tat operiert nach \ref{FTtu} die Deckbewegungsgruppe $G$
jeder universellen "Uberlagerung %eines lokal wegzusammenh"angenden Raums 
topologisch frei und die "Uberlagerungsabbildung induziert einen
Hom"oomorphismus $\tilde X/G\sira X$, 
so da"s wir \ref{GF} anwenden k"onnen. Ich erinnere  daran,
da"s nach \ref{EUUU} jeder zusammenh"angende 
lokal wegetriviale Raum  eine wegetriviale universelle "Uberlagerung besitzt,
die damit insbesondere wegzusammenh"angend und schleifenf"ullend ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{\"{u}ber den Faserfunktor}]
  Sei $\mathfrak U$ ein Universum mit $\DR\in\mathfrak U$.
  Gegeben ein zusammenh"angender lokal wegetrivialer\label{HaS}
bepunkteter Raum  $(X,x)$ mit $X\in\mathfrak U$ liefert  der
Faserfunktor $F=F_x:p\mapsto p^{-1}(x)$ eine \"{A}quivalenz 
zwischen der Kategorie
der "Uberlagerungen von $X$ und der Kategorie der $\pi_1 (X,x)$-Mengen
$$F:\mathfrak U\!\op{"Ub}_X \;\sirra \;\pi_1 (X,x)\op{-}\mathfrak U\!\op{Ens}$$
\end{Satz}
\begin{proof}
  Ich erinnere aus \ref{KUE} die "Aquivalenz von Kategorien
  $$T:\mathfrak U\!\op{"Ub}_X \;\sirra \;\mathfrak U\!\op{Ens-}G$$
  f"ur $T=\op{Top}_X(\tilde X,\;)$ und $p:\tilde X\ra X$ eine universelle
  "Uberlagerung und $G$ ihre Deckbewegungsgruppe. Ich erinnere weiter aus
  \ref{GFb} den Faserwirkungsvergleich $c_{\tilde x}: \pi_1(X,x)\sira G$
  f"ur $\tilde x\in p^{-1}(x)$.  Er liefert eine "Aquivalenz
  $$C=C_{\tilde x}:\mathfrak U\!\op{Ens-}G\sirra \pi_1 (X,x)\op{-}\mathfrak U\!\op{Ens}$$ vermittels
  der Vorschrift, da"s wir erst  die
$G$-Rechtsoperation durch Inversenbildung in eine
Linksoperation verwandeln und diese $G$-Linksoperation
dann mithilfe von
$c_{{\tilde x}}$  in eine Linksoperation
von $\pi_1 (X,x)$. Wir erhalten  nun eine Isotransformation
$\tau=\tau_{\tilde{x}}: CT\siRa F$ wie im Doppelpfeil des Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{"Ub}_X \ar[r]^-{T} \ar@{=}[d] & \op{Ens-}G \ar[d]^-{C}
\ar@{=>}[dl]^{\sim}_\tau\\
\op{"Ub}_X\ar[r]^-{F} &\pi_1 (X,x)\op{-Ens}
}
\end{displaymath}
angedeutet durch die Isomorphismen
$\tau_{\hat{X}}: CT\hat{X} \sira F\hat{X}$, $d\mapsto  d({\tilde x})$ von
Mengen mit $\pi_1 (X,x)$-Operation, wie der Leser leicht pr"ufen kann. Da $C$ und $T$
"Aquivalenzen von Kategorien sind, mu"s  auch $F$ eine "Aquivalenz von
Kategorien sein. 
\end{proof}




\begin{Beispiel}\label{UEU}
Das nebenstehende Bild zeigt eine "Uberlagerung der 
Figur 8. Die Fundamentalgruppe dieser  "Uberlagerung 
ist offensichtlich eine nicht endlich erzeugte Untergruppe der
  Fundamentalgruppe der Figur 8, die ihrerseits durchaus endlich erzeugt
ist.
\end{Beispiel}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAcht}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Eine "Uberlagerung der 
Figur 8 mit nicht endlich erzeugter Fundamentalgruppe
\end{minipage}
\end{figure}






\begin{Satz*}[\defind{Liftbarkeitskriterium}]
Seien $p:({\tilde X},{\tilde x}) \ra (X,x)$ eine \"{U}ber\-lagerung, $(Y,y)$ ein
zusammenh\"{a}ngender und
lokal wegzusammenh"angender bepunkteter Raum und $f:(Y,y)\ra (X,x)$
stetig.
Genau dann existiert ein Lift ${\tilde f}$\label{KHP} 
von $f$, wenn
in  $\pi_1(X,x)$ die Inklusion
$\op{im}f_\sharp  \subset \op{im} p_\sharp $ gilt.
\end{Satz*}


\begin{proof}[Beweis]
Wir veranschaulichen uns die Situation mit dem Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&(\tilde{X}, \tilde{x})\ar[d]^p\\
(Y,y)\ar[ur]^-{\tilde{f}} \ar[r]^-{f} & (X,x)
}
\end{displaymath}
Existiert ein Lift ${\tilde f}$, so folgt $p_\sharp \circ
{\tilde f}_\sharp =f_\sharp $ und damit $\op{im}f_\sharp  \subset \op{im}
p_\sharp $.
Um die andere Richtung zu zeigen, bilden wir das
kartesische Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
({\tilde Y},{\tilde y})\ar[r]^-{\tilde{f}} \ar[d]_-q & ({\tilde X},{\tilde x})\ar[d]^-p\\
(Y,y)\ar[r]^-{f} & (X,x)
}
\end{displaymath}
und behaupten, da"s unter unseren Annahmen
$q_\sharp :\pi_1({\tilde Y},{\tilde y})\ra\pi_1(Y,y)$
surjektiv ist. Sonst g\"{a}be es n"amlich nach unserer Beschreibung \ref{OOb} 
der Fundamentalgruppe einer "Uberlagerung als Standgruppe
einen geschlossenen Weg
$\gamma\in \Omega(Y,y)$ mit $\langle \gamma\rangle({\tilde y})\neq {\tilde y}$.
Es folgte $\langle f\circ\gamma\rangle({\tilde x})\neq {\tilde x}$,
da ja die obere Horizontale in unserem Quadrat eine Bijektion
$q^{-1}(y)\sira p^{-1}(x)$ induziert, nochmal nach \ref{OOb} also
$[f\circ\gamma]\not\in \op{im} p_\sharp $ im Widerspruch zur Annahme.
Da wir $Y$ lokal wegzusammenh"angend angenommen hatten,
folgt andererseits 
mit \ref{LZu},
da"s die Zusammenhangskomponenten von ${\tilde Y}$ 
selbst schon \"{U}berlagerungen von $Y$  und  dar"uberhinaus
wegzusammenh\"{a}ngend
sind. Nach
\ref{OOb}
bildet dann die Zusammenhangskomponente von ${\tilde y}$ in ${\tilde
Y}$ eine
einbl\"{a}ttrige \"{U}berlagerung von $Y$, und die schenkt uns 
dann schlie"slich den gesuchten
Lift.
\end{proof}










\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Klassifikation bepunkteter \"{U}berlagerungen, Variante}]
Gegeben ein zusammenh"angender lokal wegetrivialer 
bepunkteter Raum $(X,x)$\label{ZS}  erhalten eine Bijektion zwischen der Menge der Isomorphieklassen
  zusammenh\"{a}ngender bepunkteter \"{U}berlagerungen
  $p:(\tilde{X},\tilde{x})\ra (X,x)$  und 
der Menge der
  Untergruppen von $\pi_1(X,x)$ vermittels der
  Zuordnung $$p \;\;\mapsto\;\; \op{im} \left(p_\sharp
  :\pi_1(\tilde{X},\tilde{x})\ra \pi_1(X,x)\right) $$ 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Klassifikation von \"{U}berlagerungen, Variante}]
Gegeben ein zusammenh"angender lokal wegetrivialer
bepunkteter Raum $(X,x)$ induziert die Umkehrabildung unserer Bijektion aus \ref{ZS}\label{ZS2}  eine Bijektion zwischen der Menge der Konjugationsklassen von
  Untergruppen von $\pi_1(X,x)$ und der Menge der Isomorphieklassen
  zusammenh\"{a}ngender  \"{U}berlagerungen
 von $X$.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
Man erkl"are die Operation der Fundamentalgruppe auf den Fasern
im Fall der auf Seite \pageref{DBLn} dargestellten "Uberlagerung der Acht.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Fundamentalgruppe eines Bahnenraums, Variante}]
Operiert eine  Gruppe $G$ 
topologisch frei auf einem
 Raum $X$, so
 erhalten 
wir eine linksexakte Sequenz 
$$\pi_1(X , x)\hra \pi_1(X/G , \bar{x})\ra G$$
mit dem Faserwirkungsvergleich \ref{Fwv} als zweiter Abbildung. Ist $y\in X$ ein
weiterer Punkt derselben Faser und ist $\beta\in \pi_1(X/G , \bar{x})$
ein Weg mit $\langle \beta\rangle( x)=y$, so gilt
$c_x=c_y\circ \op{int}(\beta)$ alias $c_x(\gamma)=c_y(\beta\gamma\beta^{-1})
$.\label{FBVk} 
Ist  $X$ wegzusammenh\"{a}ngend, so ist der Faserwirkungsvergleich
sogar surjektiv und unsere Sequenz  eine kurze exakte Sequenz
$$\pi_1(X , x)\hra \pi_1(X/G , \bar{x})\sra G$$ 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at des Faserwirkungsvergleichs}] 
Seien $X$ ein  Raum mit einer topologisch freien 
Operation einer Gruppe $G$ und 
 $Y$ ein weiterer Raum mit einer topologisch freien 
Operation einer Gruppe $H$. Sei weiter $(f,\varphi)$ ein Paar bestehend
aus einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ und einem Gruppenhomomorphismus
$\varphi:G\ra H$ mit $f(gx)=\varphi(g)f(x)$ f"ur alle $x\in X$ und $g\in G$.
So kommutiert f"ur jedes  $x\in X$ mit Bild $y\pdef f(x)$ das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\pi_1(X/G , \bar{x})\ar[r]^-{f_{\sharp}}\ar[d]_{c_{x}} 
&\pi_1(Y/H , \bar{y})\ar[d]^{c_{y}}\\
G \ar[r]^-\varphi & H
}
\end{displaymath}
f"ur die durch Faserwirkungsvergleich erkl"arten 
Gruppenhomomorphismen in den Vertikalen. 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}
  Gegeben eine zusammenh\"{a}ngende \"{U}berlagerung
  $(\hat{X},\hat{x}) \ra(X,x)$   eines zusammenh"angenden
lokal wegetrivialen Raums $X$ ist die Gruppe der
Deckbewegungen $\op{Top}_X^\times (\hat{X})$ isomorph zu 
$N/\pi_1(\hat{X},\hat{x})$ mit
$N \subset \pi_1(X,x)$ dem Normalisator von $\pi_1(\hat{X},
\hat{x})$ in $\pi_1(X,x)$. Hinweis: \ref{GTh4}.
\end{Ubung}

\begin{Ubungw} Seien $F$ und $X$ topologische R"aume.
Ein {\bf Faserb"undel mit Faser $F$ auf $X$}\index{Faserb"undel}  ist ein topologischer Raum
$p:E\ra X$ "uber $X$\label{FaBue}  
derart, da"s jeder Punkt von $X$ eine Umgebung $U$ besitzt,
f"ur die $p:p^{-1}(U)\ra U$ als topologischer Raum "uber $U$
isomorph ist zu $\op{pr}_U:U\times F\ra U$.  Unser Raum $X$ hei"st dann die
{\bf Basis} des Faserb"undels.\index{Basis!von Faserb"undel}
Ein derartiger Isomorphismus
hei"st eine {\bf B"undelkarte auf $U$}.\index{B"undelkarte}
Ein System von B"undelkarten auf offenen Teilmengen der Basis, die eine "Uberdeckung unserer
Basis bilden, hei"st ein {\bf B"undelatlas}\index{B"undelatlas}
 unseres Faserb"undels.
Ein Faserb"undel mit diskreter endlicher Faser $F$ der 
Kardinalit"at $n$ ist dasselbe
wie eine $n$-bl"attrige "Uberlagerung.\label{FFas} 
  Seien nun $f:E\ra X$ ein Faserb"undel und  $e\in E$ ein
  Punkt mit Bild $x\pdef f(e)\in X$.
  Ist die Faser $F=f^{-1}(x)$ wegzusammenh"angend, so folgt aus
  $\pi_1(E,e)=1$ bereits $\pi_1(X,x)=1$. Sp"ater werden Sie diese
  Aussage als Spezialfall der sogenannten \glqq langen exakten Homotopiesequenz\grqq\ verstehen lernen.
\end{Ubungw}

\begin{Ubung}
  Je zwei nicht nullhomotope Abbildungen $S^1\ra \mathbb P^2\DR$
  haben mindestens einen Bildpunkt gemeinsam. Hinweis: Man ziehe sich
  darauf zur"uck zu zeigen, da"s je zwei schiefsymmetrische Abbildungen
  $S^1\ra S^2$ einen gemeinsamen Bildpunkt haben.
  %Idee: Gegeben ein Punkt im Komplement des Bildes einr unserer
  %Abbildungen kann man die Umlaufzahl in Bezug auf seinen Antipodenpunkt
  %im Unendlichen erkl"aren. Sie ist nicht Null und wird negativ,
  %wenn man den Punkt durch seine Antipodenpunkt ersetzt.  
\end{Ubung}

\subsection{Erzeuger und Relationen f"ur $\op{PSL}(2;\DZ)$*} 


\begin{Bemerkungl} 
Wir erinnern aus \eref{ROHG}{TM}  
die Operation von $\op{SL}(2;\DR)$ auf\label{FBOK} 
der offenen oberen komplexen Halbebene $\mathbb H\pdef\{z\in\DC\mid \op{Im}(z)>0\}$ durch 
\begin{displaymath}
g\pdef\begin{pmatrix} a &b \\ c & d \end{pmatrix} : 
z \mapsto gz\pdef \frac{az+b}{cz+d}
\end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{Fundamentalbereiche in der oberen Halbebene}]\leavevmode
  \begin{enumerate}
  \item
    Unter der Operation von
  $\op{SL}(2;\DZ)$ auf 
  $\mathbb H$ trifft jede Bahn
    die Menge  $D\pdef\{z\in\mathbb H\mid -1/2\leq \op{Re}(z)\leq 1/2\text{ und }|z|\geq 1\}$;
   \item Genau dann geh"oren zwei verschiedene Punkte von $D$ zur selben
    Bahn, wenn sie \glqq auf dem Rand von $D$ liegen\grqq\ und durch Spiegelung an der imagin"aren Achse auseinander
    hervorgehen;
  \item
    Die Gruppe $\op{SL}(2;\DZ)$ wird erzeugt von $s\pdef (^{1}_{0}\; {^{\;\;0}_{-1}})$ und $t\pdef  (^{1}_{0}\; {^{1}_{1}})$;
 \item
  Die einzigen Elemente von $D$ mit nichttrivialer Standgruppe in $\op{PSL}(2;\DZ)$
sind die beiden \glqq unteren Spitzen\grqq\
$\exp(2\pi{\op{i}}/6)$ und $\exp(4\pi{\op{i}}/6)$ sowie $\op{i}$;
  \item
Die Menge $\mathbb H_{\op{sing}}$ der Punkte mit nichttrivialer Standgruppe
von  $\mathbb H$ ist diskret und abgeschlossen;
\item Der Quotient $\mathbb H_{\op{reg}}/\op{PSL}(2;\DZ)$ des Komplements
$\mathbb H_{\op{reg}}\pdef\mathbb H\backslash H_{\op{sing}}$ ist hom"oomorph zum
  Komplement von zwei Punkten in der Ebene.
  \end{enumerate}
\end{Lemma}
\begin{proof} 1.
Jeder Punkt der oberen Halbebene, 
der in der  Einheitskreisscheibe liegt,
wird durch die Transformation $S: z\mapsto -(1/z)$ auf einen  Punkt
mit echt gr"o"serem Imagin"arteil abgebildet, und jeder 
Punkt au"serhalb des Streifens $\{z\in\DC\mid -1/2\leq \op{Re}(z)\leq 1/2\}$
kann durch Addieren einer ganzen Zahl in diesen Streifen verschoben werden.
Bezeichnet $T$ die Translation $T:z\mapsto (z+1)$, 
so kann demnach jeder Punkt sogar durch Anwenden eines Elements
der von $S$ und $T$ erzeugten Untergruppe auf ein Element
von $D$ abgebildet werden: Andernfalls
erhielten wir n"amlich  in einer Bahn besagter Untergruppe eine Folge von 
Elementen des besagten Streifens
mit Betrag kleiner als Eins und streng monoton wachsendem Imagin"arteil 
und das widerspricht der Formel
$\op{Im}(gz)=\op{Im}(z)/|cz+d|^2$, da $|cz+d|^2$ bei festem $z$
nur endlich viele Werte $<1$ annehmen kann.
\\[2mm]\noindent 2.
F"ur $z\in D$ folgt aus $gz\in D$ sofort
$|c|\leq 1$. Dann mu"s man die verschiedenen F"alle durchgehen.
\\[2mm]\noindent 3. F"ur $z\in \mathbb H$ gilt $sz=S(z)$ und $tz=T(z)$.
Da $\op{PSL}(2;\DZ)$ treu auf $\mathbb H$ operiert, folgt aus dem
vorhergehenden bereits $\op{PSL}(2;\DZ)=\langle \bar s, \bar t\rangle$.
Aus $s^2=-{\op{I}}$ folgt dann die Behauptung.
\\[2mm]\noindent 4.- 6. k"onnen dem Leser "uberlassen werden.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl} 
Auf $X\pdef \mathbb H_{\op{reg}}$\label{ERSL} 
operiert  $G\pdef \op{PSL}(2;\DZ)$ nach \ref{TFQP} topologisch frei 
und der Quotientenraum $X/G$ ist nach \ref{FBOK} hom"oomorph zum
Komplement von zwei Punkten in der Ebene.
Wenden wir auf diese Situation die kurze exakte Sequenz
$\pi_1(X , x)\hra \pi_1(X/G , \bar{x})\sra G$ aus "Ubung \ref{FBVk} an
mit irgendeinem Punkt $x=z\in D^\circ$, so 
erhalten wir eine kurze exakte Sequenz
$$\pi_1(\mathbb H_{\op{reg}} , z)\hra \DZ\ast \DZ \sra \op{PSL}(2;\DZ)$$
Hier vereinbaren wir, da"s der Erzeuger $1$ des ersten $\DZ$ in der Mitte
einmal das Bild von $\op{i}$ in $\mathbb H/\op{PSL}(2;\DZ)$
uml"auft und der Erzeuger $1$ des zweiten $\DZ$ einmal das Bild von $\exp(4\pi{\op{i}}/6)$ und zwar \glqq im positiven Drehsinn\grqq\ f"ur die
\glqq offensichtliche\grqq\ Orientierung. In $\op{PSL}(2;\DZ)$ gehen
unsere Erzeuger also auf $\bar s$
und $\bar s\bar t$. Das Bild von  $\pi_1(\mathbb H_{\op{reg}} , z)$
ist nun der vom Quadrat des ersten Erzeugers und der dritten Potenz des
zweiten Erzeugers erzeugte Normalteiler und so erhalten wir den behaupteten  Grup\-pen\-iso\-morp\-his\-mus \nichtfinal{Noch etwas kurz, Bilder malen!} 
$$(\DZ/2\DZ)\ast(\DZ/3\DZ)\sira \op{PSL}(2;\DZ)$$
\end{Bemerkungl}


\subsection{Das Yoneda-Lemma*}
\begin{Bemerkungl}
  Manchmal ist es wichtig, die verwendeten Universen zu spezifizieren.
  Wir deuten durch ein vorgestelltes $\mathfrak U_\in$ beziehungsweise
  $\mathfrak U_\subset$ um an, da"s die Menge der Objekte ein
  Element beziehungsweise eine Teilmenge eines vorgegebenen Mengensystems
  $\mathfrak U$ ist.  Wir deuten "ahnlich durch ein vorgestelltes $\vec{\mathfrak U}_\in$ beziehungsweise\label{KatKat} 
  $\vec{\mathfrak U}_\subset$ an, da"s die Menge der Morphismen
  zwische zwei beliebig vorgegebenen Objekten ein
  Element beziehungsweise eine Teilmenge eines vorgegebenen Mengensystems
  $\mathfrak U$ ist. Gegeben Mengensysteme $\mathfrak U, \mathfrak V$ ist etwa eine {\bf $\vec{\mathfrak V}_\in$-Kategorie}  eine Kategorie $\mathcal C$ mit $\mathcal C(X,Y) \in \mathfrak V$ f"ur alle $X,Y\in\mathcal C$ und von einer {\bf $\mathfrak U_\subset$-$\vec{\mathfrak V}_\in$-Kategorie} fordern wir zus"atzlich 
  $\op{Ob}(\mathcal C) \subset \mathfrak U$.\index{Kategorie!$\vec{\mathfrak V}_\in$-Kategorie}\index{Kategorie! $\mathfrak U_\subset$-$\vec{\mathfrak V}_\in$-Kategorie} 
\end{Bemerkungl}
\nichtfinal{Abgleichen mit \eref{KatKa}{LA2}!} 

\begin{Bemerkungl}\label{YLlt}
Ich wiederhole \eref{YLl}{LA2} folgende.
Einen Funktor von einer Kategorie $\cal{C}$ in eine
Kategorie von Mengen nennen wir kurz einen
\defind{Mengenfunktor} {\bf auf} $\cal{C}$. 
Jedes Objekt $X\in \mathcal C$ liefert einen derartigen Mengenfunktor 
$\check X:Y\mapsto \mathcal C(X,Y)$.
Gegeben ein Mengensystem $\frak U$ und 
eine Kategorie $\cal{C}$
 bildet die Menge  aller Funktoren
$\cal{C}\ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ mit den  Transformationen als 
Morphismen wieder eine Kategorie $
\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens})$. 
%ACHTUNG! Notation gewechselt!
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Yoneda-Lemma}]
Seien $\mathfrak U$ ein Mengensystem,
$\cal{C}$ eine $\vec{\mathfrak U}_\in$-Kate\-go\-rie, ${{X}} \in \cal{C}$ ein
Objekt und $F : \cal{C} \ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ ein Mengenfunktor
auf $ \cal{C}$. 
So liefert die Abbildungsvorschrift\label{YLt} 
$\tau  \mapsto  \tau_{{{X}}} (\op{id}_{{{X}}})$
eine Bijektion
$$
\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens}) (\check X,F) \sira  F({{X}})
$$
% $$
% \op{Trans}_\cal{C} ({\cal{C}} ({{X}},\;),F) \sira  F({{X}})
% $$
zwischen der Menge aller Transformationen $\check X \RA F$
und der Menge $F({{X}})$. 
\end{Proposition}


\begin{Bemerkungl}
Sei $\mathfrak U$ ein Mengensystem. Die zur Kategorie 
dieser Mengenfunktoren auf einer  $\vec{\mathfrak U}_\in$-Kategorie
$\cal{C}$ opponierte 
Kategorie\index{)6vee@$\cal{C}^\vee$ Funktorkategorie}
$$\cal{C}^\vee=\cal{C}_{\mathfrak U}^\vee 
\pdef\op{Cat}(\cal{C},\mathfrak U\!\op{Ens})^{\op{opp}}$$
 kann man 
als eine Art 
\glqq Vervollst"andigung\grqq\  
von $\cal{C}$ 
interpretieren.
In der Tat liest sich unser Yoneda-Lemma in dieser 
geschickt abgek"urzten Notation als eine Bijektion
$\mathcal C^\vee(F, \check X)\sira F(X)$.
 Spezialisieren  wir  zu
$F=\check Y$, so erhalten wir eine Bijektion
$\mathcal C^\vee(\check Y, \check X)\sira \mathcal C( Y, X)$, von der
 man leicht zeigt, da"s sie die
Inverse zur offensichtlichen Abbildung $ \mathcal C( Y, X)
\ra \mathcal C^\vee(\check Y, \check X)$ ist.
So folgt, da"s die Vorschrift $X\mapsto \check X$ einen  volltreuen
Funktor
$\mathcal C\vra \mathcal C^\vee$
induziert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}
  Die hier verwendeten Notationen $\cal{C}^\vee$ und das sp"ater eingef"uhrte
$\cal{C}^\wedge$ sind genau umgekehrt wie in \cite{KS}.
Daf"ur stimmt die Notation $\cal{C}^\wedge$ dann  mit
der in \cite{SGA4} verwendeten Notation "uberein.  
\end{Bemerkunge}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Yoneda-Lema im 
Fall einer Ein-Objekt-Kategorie}] 
  Im Spezialfall einer Ein-Objekt-Ka\-tegorie $\cal{C}=[G]$ 
mit  einzigem Objekt $X$
ist diese Aussage besonders leicht einzusehen: Sie besagt dann 
im Lichte von \ref{HTZRt}, da"s die  
"aquivarianten Abbildungen von einem
Monoid $G$ in eine beliebige 
$G$-Menge $F$ festgelegt und festlegbar sind durch das
Bild des neutralen Elements.
Im weiteren lassen wir das Mengensystem $\mathfrak U$ wieder in den
Hintergrund treten und ignorieren es meist in unserer Notation.
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}[Beweis]
Wir konstruieren zun"achst eine Abbildung in die andere Richtung.
F"ur beliebiges $a\in F({{X}})$
betrachten wir dazu die Abbildungen
$$\begin{array}{cccl}
\tau_{Y}:& {\cal{C}} ({{X}},Y) & \ra & F(Y)\\
&f& \mapsto & (Ff) (a)
\end{array}$$
Man pr"uft ohne Schwierigkeiten, da"s sie
eine  Transformation
$\tau : \check X \Rightarrow F $ bilden,
die wir mit $\hat{\tau}(a)$ bezeichnen.
Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, da"s die Abbildung $a\mapsto \hat{\tau}(a)$
invers ist zu unserer Abbildung $\tau\mapsto \hat{a}(\tau)\pdef\tau_{{{X}}}
(\op{id}_{{{X}}})$
aus der Proposition. Daf"ur m"ussen wir also pr"ufen, da"s gilt
$a=\hat{a}(\hat{\tau}(a))$ f"ur alle $a\in F({{X}})$ 
und $\tau=\hat{\tau}(\hat{a}(\tau))$
f"ur alle  Transformationen $\tau:\check X\Rightarrow F$.
Das "uberlassen wir dem Leser.
\end{proof}




\begin{Definition}
  Diejenigen Mengenfunktoren auf $\cal{C}$, die isomorph sind zu
  Mengenfunktoren im Bild von $\cal{C}\ra \cal{C}^\vee$, hei"sen
  \defnoind{darstellbare Funktoren}.\index{darstellbarer Funktor}
  Ist\index{Funktor!darstellbarer} ein Mengenfunktor $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$
  isomorph zu $\check X={\cal{C}} ({X},\;)$ 
f"ur ein $X\in\cal{C}$, so sagen wir, der
  {\bf Funktor $F$ werde dargestellt durch das Objekt $X$}.  
Ist noch genauer $F:\cal{C}\ra\op{Ens}$ ein Mengenfunktor und\label{darFFt} 
$X\in \cal{C}$ ein Objekt und $a\in F(X)$ ein Element,
das unter der Bijektion aus dem Yoneda-Lemma
einer Isotransformation ${\cal{C}} ({X},\;)\stackrel{\sim}{\RA} F$
entspricht, so sagen wir, der 
{\bf Funktor $F$ werde strikt dargestellt
durch das  Paar $(X,a)$}. 
Ausgeschrieben bedeutet das, da"s die Vorschrift 
$f\mapsto (Ff)(a)$ f"ur alle $Y\in \mathcal C$ eine Bijektion
$\mathcal C(X,Y)\sira F(Y)$ liefert.
Oft lassen wir das \glqq strikt\grqq\  aber auch weg.
\end{Definition}

\begin{Beispiel}
 Der Vergi"sfunktor $\op{Mod}_k\ra\op{Ens}$ 
von den $k$-Vektorr"aumen in die Mengen wird 
dargestellt durch
 das Paar   $(k,1)$
oder auch durch jeden anderen eindimensionalen Vektorraum zusammen
mit einem beliebigen von Null
verschiedenen Element.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}
 Der Vergi"sfunktor  $\op{Grp}\ra\op{Ens}$ von den Gruppen in die
  Mengen wird dargestellt durch das Paar  $(\DZ,1)$ 
oder auch durch jedes andere Paar $(Z,e)$ bestehend aus einer
unendlich zyklischen Gruppe und einem Erzeuger.
\end{Beispiel}




\begin{Bemerkungl}\label{DFTot}
In derselben Weise kann man 
f"ur jede $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorie $\cal{C}$ 
auch die Kategorie\index{)6@$\cal{C}^\wedge$ Funktorkategorie} 
$$\cal{C}^\wedge=\cal{C}^\wedge_{\mathfrak U}
\pdef\op{Cat}(\cal{C}^{\op{opp}},\mathfrak U\!\op{Ens})$$ 
aller kontravarianten Funktoren $\cal{C}\ra\mathfrak U\!\op{Ens}$
betrachten und erh"alt mit $X\mapsto \hat X\pdef \cal{C}(\;,X)$ eine
volltreue Einbettung $\cal{C}\stackrel{\sim}{\hra} \cal{C}^\wedge$.
Wieder hei"sen die Funktoren im Bild dieser Einbettung {\bf darstellbare
  Funktoren}.\index{darstellbarer Funktor}\index{Funktor!darstellbarer}
Die Objekte von $\cal{C}^\wedge$ werden Ihnen sehr viel sp"ater 
vielleicht einmal unter der Bezeichnung als \glqq mengenwertige Pr"agarben auf 
$\mathcal C$\grqq\  wieder begegnen. 
  Diesmal liefert das Auswerten
 auf $\op{id}_X$ eine Bijektion
$\mathcal C^\wedge(\hat X, F)\sira F(X)$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkunge}
Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$  kann man leicht Isomorphismen von
Kategorien $(\mathcal C^\vee)^{\op{opp}}\sira(\mathcal C^{\op{opp}})^\wedge$
und 
$(\mathcal C^\wedge)^{\op{opp}}\sira (\mathcal C^{\op{opp}})^\vee$ angeben.
In diesem Sinne sind  unsere beiden Konzepte  zueinander opponiert.
\end{Bemerkunge}

\subsection{Mehr zu adjungierten Funktoren*}\label{mehrad} 



\begin{Satz}[\textbf{Adjunktion durch Einheit und Koeinheit}]
  Seien $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien und $L : \cal{A}\ra \cal{B}$
  sowie $R :\cal{B} \ra \cal{A}$ Funktoren und $\alpha: L\dashv R$ eine Adjunktion.\label{FADJj} 
  \begin{enumerate}
 \item
    Die Einheit und Koeinheit unserer Adjunktion \ref{FDJj} erf"ullen die
    \emph{\bf Drei\-ecks\-iden\-ti\-t"a\-ten} $\check\alpha L\circ L\hat\alpha =\op{id}_L$
    sowie $R\check\alpha \circ \hat\alpha R=\op{id}_R$ von Transformationen
    $L\RA LRL\RA L$ beziehungsweise $R\RA RLR\RA R$;
  \item
    Gegeben Transformationen $\eta: \op{Id}_{\mathcal A}\RA RL$ und $\varepsilon: LR\RA \op{Id}_{\mathcal B}$, die die Dreiecksidentit"aten $\varepsilon L\circ L\eta =\op{id}_L$
    und $R\varepsilon \circ \eta R=\op{id}_R$ erf"ullen, gibt es genau
    eine Adjunktion $\alpha: L\dashv R$ mit Einheit $\hat\alpha=\eta$ und
    Koeinheit $\check\alpha=\varepsilon$. 
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{proof} Wir beginnen mit einem Lemma und f"uhren danach den Beweis.
\end{proof}
\begin{Lemma}
Gegeben $\cal{A},\cal{B}$ Kategorien und $L : \cal{A}\ra \cal{B}$
 sowie  $R :\cal{B} \ra \cal{A}$ Funktoren erhalten 
  wir eine Bijektion
  $$\op{Cat}(\mathcal A^{\op{opp}}\times\mathcal B,\op{Ens})\big({\cal{B}} (L \;,\;),{\cal{A}} (\;,R\;)\big)\sira \op{Cat}(\mathcal A,\mathcal A)( {\op{Id}}_\mathcal A, RL)$$
  durch die Vorschrift $\alpha\mapsto \eta^\alpha$ mit
  $\eta^\alpha_A\pdef \alpha(\op{id}_{LA}): A\ra RLA$   mit Umkehrabbildung $\eta\mapsto \alpha^\eta$ gegeben durch
  $\alpha^\eta_{A,B}(h)\pdef (Rh)\circ \eta_A: A\ra RB$ f"ur
  $h:LA\ra B$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis des Lemmas]
  Da ist eine ganze Menge zu pr"ufen. Als erstes zeigen wir,
  da"s f"ur fest vorgegebenes $\alpha$ unser $\eta^\alpha$ in der
  Tat eine Transformation ist, da"s also f"ur jeden Morphismus
  $f:X\ra A$ in $\mathcal A$ gilt
  $\eta^\alpha_A\circ f=RL(f)\circ \eta^\alpha_X$.
  Der Trick ist zu zeigen, da"s beide Seiten gleich sind zu $\alpha_{X,LA}(Lf)$,
  und das kann dem Leser "uberlassen bleiben. Damit haben wir zumindest gezeigt,
  da"s die Abbildung sinnvoll definiert ist, von der wir behaupten, da"s sie
  eine Bijektion sein soll. Als n"achstes zeigen wir,  da"s f"ur fest vorgegebenes $\eta$ unser $\alpha^\eta$ in der
  Tat eine Transformation ist, da"s also f"ur jeden Morphismus
  $f:X\ra A$ in $\mathcal A$ und beliebige Morphismen $g:B\ra Y$ 
 sowie $h:LA\ra B$ in $\mathcal B$ gilt
 $$Rg \circ \alpha^\eta_{A,B}(h)\circ f= \alpha^\eta_{X,Y}(g\circ h\circ Lf)$$ Ausgeschrieben gilt es zu zeigen
  $Rg \circ Rh\circ \eta_{A}\circ f= R(g\circ h\circ Lf)\circ \eta_X$ und das folgt sofort aus  $\eta_A\circ f=RL(f)\circ \eta_X$. Damit ist auch die behauptete Umkehrabbildung sinnvoll definiert und es bleibt nur zu zeigen $\eta=\eta^{\alpha^\eta}$ und $\alpha=\alpha^{\eta^\alpha}$, was wir  dem Leser zur "Ubung "uberlassen. 
\end{proof}




\begin{proof}[Beweis des Satzes]
  Um die erste Dreiecksidentit"at zu zeigen, also
  $\check\alpha_{LX}\circ L(\hat\alpha_{X})=\op{id}_{LX}$ f"ur alle $X\in\mathcal A$, setzen wir in die Definitionen ein und m"ussen zeigen
  $\alpha^{-1}(\op{id}_{RLX}) \circ L(\alpha(\op{id}_{LX}))=\op{id}_{LX}$.
  Wenden wir darauf $\alpha$ an und verwenden die Nat"urlichkeit nach \ref{AdFuu}, so
  ist gleichbedeutend $\op{id}_{RLX} \circ \alpha(\op{id}_{LX})=\alpha(\op{id}_{LX})$ und das ist klar. Die andere Dreiecksidentit"at zeigt man ebenso. 
  Um den dritten Teil zu zeigen, m"ussen wir nur pr"ufen, da"s unter der Annahme
  der Dreiecksidentit"aten die aus dem Lemma entstehenden Transformationen
  $\alpha=\alpha^\eta$ und die durch "Ubergang zu den opponierten
  Kategorien entstehende Transformation $\beta=\beta^\varepsilon$ in die Gegenrichtung zueinander invers sind. Diese Rechnung sei wieder dem Leser "uberlassen. 
\end{proof}






\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit der Adjungierten}] 
    Gegeben Kategorien $\mathcal A,\mathcal B$
    erhalten wir mit der kategoriellen Fassung des Exponentialgesetzes
    \ref{expKK} f"ur die obere
    Horizontale und den
    Yondeda-Einbettungen ${\op{Y}}={\op{Y}}_{\mathcal C}:\mathcal C^{\op{opp}}\vra \op{Cat}(\mathcal C,\op{Ens})$ f"ur die Vertikalen  ein Diagramm 
    von Kategorien
    $$\xymatrix{\op{Cat}(\mathcal A,\op{Cat}(\mathcal B,\op{Ens}))
      \ar[r]_-\sim^-{\op{can}_1}& \op{Cat}(\mathcal A\times \mathcal B,\op{Ens})& \ar[l]^-\sim_-{\op{can}_2}\op{Cat}(\mathcal B,\op{Cat}(\mathcal A,\op{Ens}))\\
   \op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B^{\op{opp}})\ar@{^(->}[u]^-\wr&&\ar@{^(->}[u]^-\wr\op{Cat}(\mathcal B,\mathcal A^{\op{opp}}) 
  }
    $$
    mit volltreuen Funktoren als Vertikalen.
    Eine Adjunktion $\alpha: L\dashv R$ zwischen einem Funktor
    $L:\mathcal A\ra \mathcal B^{\op{opp}}$ und
    einem Funktor
    $R:\mathcal B^{\op{opp}}\ra \mathcal A$ ist eine Isotransformation
    $\alpha: \op{can_1}({\op{Y}}L)\siRa \op{can_2}({\op{Y}}R^{\op{opp}})$.
   Das Diagramm zeigt, da"s gegeben $L$ ein Paar $(\alpha, R)$ bestehend aus einem Funktor in die Gegenrichtung und einer Adjunktion $\alpha:L\dashv R$ eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus.\label{EinAn}  
Man benutzt deshalb meist den bestimmten Artikel und
nennt $R $  den  
{\bf rechtsadjungierten Funktor}\index{rechtsadjungierter Funktor}
 zu\index{Funktor!rechtsadjungierter} $L $,
wobei eigentlich nicht nur der Funktor $R $ gemeint ist,
sondern das Paar $(\alpha, R )$.
Ebenso wird auch das Paar $(\alpha, L )$ durch $R $ im wesentlichen
eindeutig festgelegt und man nennt
$L $  den {\bf 
linksadjungierten Funktor}\index{linksadjungierter Funktor}
\index{Funktor!linksadjungierter} zu $R $.
Spricht man von einem \defnoind{adjungierten 
Paar}\index{adjungiert!Funktor}  $L\dashv R$,\index{)8@$\dashv$ Adjunktion}
so ist
der Leser gefordert, die vom Autor
gemeinte Adjunktion $\alpha$ von $L $
und $R $ aus dem Kontext zu erschlie"sen. \end{Bemerkungl}

%\begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit der Adjungierten}] 
%Gegeben Funktoren $L $ und $R $ kann es durchaus verschiedene 
%Adjunktionen $\alpha$ von $L $ mit $R $ im Sinne unserer Definition \ref{AdFuu}
%geben.\label{EinAn}  
%Gegeben zwei Adjunktionen $\alpha: L \dashv R $ und $\alpha^{\prime}: L \dashv
%R ^{\prime}$ wie oben mit demselben $L $ gibt es jedoch nach dem
%Yoneda-Lemma \ref{YLt} stets genau eine Isotransformation $R 
%\overset{\sim}{\RA} R ^{\prime}$ derart, da"s das Diagramm
%$$\begin{array}{ccc}
%{\cal{B}} (L  X, Y) & \overset{\alpha}{\ra} &
%{\cal{A}} (X, R Y) \\
%\| & &\downarrow \\
%{\cal{B}} (L X,Y) & \overset{\alpha^{\prime}}{\ra} &
%{\cal{A}} (X, R ^{\prime}Y)
%\end{array}$$
%mit der durch diese Isotransformation induzierten 
%rechten Vertikale kommutiert. 
%In der Tat, fassen wir f"ur festes $Y$ unser Diagramm auf als
%Diagramm von Funktoren in $X$, so sagt uns das
%Yoneda-Lemma \ref{YLt} gerade, da"s die 
%a priori durch die Kommutativit"at des Diagramms erkl"arte
%Transformation von Mengenfunktoren in der rechten Vertikale
%bereits von einem eindeutig bestimmten Morphismus $R Y 
%\overset{\sim}{\ra} R ^{\prime}Y$ herkommen mu"s,
%und da"s diese eindeutig bestimmten Morphismen
%eine Isotransformation $R 
%\overset{\sim}{\Rightarrow} R ^{\prime}$ liefern, ist dann
%nicht mehr schwer zu sehen.
%Das Paar $(\alpha, R )$ ist also, wenn es denn existiert, 
%durch den Funktor $L $ im wesentlichen eindeutig bestimmt.
%\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ist $\mathfrak U$ ein Mengensystem
  und sind $\mathcal A,\mathcal B$ beide $\mathfrak U_\in\uvec$-Kategorien, so k"onnen wir zu jedem Funktor $L:\mathcal A\ra\mathcal B$  den
{\bf maximalen 
partiellen rechtsadjungierten Funktor}\index{rechtsadjungiert!maximal partiell} 
$R$ bilden, der eben nur auf der vollen Unterkategorie\label{pad}  
$\mathcal B_0\subset \mathcal B$ derjenigen Objekte $B\in\mathcal B$ erkl"art ist, f"ur die der
Mengenfunktor $ \mathcal A^{\op{opp}}\ra \mathfrak U\!\op{Ens}$, $X\mapsto \mathcal B(LX,B)$ 
darstellbar ist im Sinne von \ref{DFTot}. Wieder ist das Paar $(\alpha,R)$
bestehend aus dem Funktor $R:\mathcal B_0\ra\mathcal A$ und der
Isotransformation
$$\alpha\in\op{Cat}(\mathcal A^{\op{opp}}\times \mathcal B_0,\op{Ens})
\big(\mathcal B(L\;,\;), \mathcal A(\;,R\;)\big)$$
eindeutig bestimmt
bis auf eindeutigen Isomorphismus.
Wir sagen dann auch, 
der \glqq rechtsadjungierte Funktor sei bei $B$ definiert\grqq.
Wollen wir speziell betonen, da"s ein rechtsadjungierter Funktor "uberall
definiert ist, so sprechen wir von 
einem {\bf globalen Rechtsadjungierten}.\index{rechtsadjungiert!global} 
Jede Restriktion eines maximalen 
partiellen Rechtsadjungierten nennen wir einen {\bf partiellen
  Rechtsadjungierten}. 
Analoge Begriffsbildungen vereinbaren wir f"ur 
Linksadjungierte.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathcal A,\mathcal B$ Kategorien. Unter einem
  {\bf partiell definierten Funktor}\index{partiell definiert!Funktor}
  \index{Funktor!partiell definierter} verstehe\label{pdef} 
  ich einen Funktor von
  einer vollen Unterkategorie von $\mathcal A$ nach $\mathcal B$.
  Ich notiere partiell definierte Funktoren auch
  $F:\mathcal A\dashrightarrow \mathcal B$. Zum Beispiel ist der
  maximale partielle Rechtsadjungierte eines beliebigen Funktors
  $F:\mathcal A \ra \mathcal B$ ein partiell definierter Funktor
  $\mathcal B\dashrightarrow\mathcal A$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungw}
Betrachten wir wie in \ref{DFTot} die Yoneda-Einbettung
$\cal{C}\vra \cal{C}^\wedge
\pdef\op{Cat}(\cal{C}^{\op{opp}},\op{Ens})$.
Ein Funktor im Bild hei"st ein \glqq darstellbarer Funktor\grqq.
Auch wenn ein Funktor $F\in \cal{C}^\wedge$
nicht darstellbar ist, kann immerhin
 der Rechtsadjungierte der Einbettung $\cal{C}\hra \cal{C}^\wedge$
bei $F$ definiert sein. Das entsprechende Objekt $R(F)\in \mathcal C$ mag man
dann als eine \glqq bestm"ogliche 
Approximation an ein darstellendes Objekt\grqq\ 
verstehen. Ein Beispiel f"ur solche Konstruktionen sind die
sogenannten 
{\bf groben Modulr"aume}.\index{grober Modulraum}\index{Modulraum!grober}
\end{Bemerkungw}


\begin{Definition}
Ist allgemein $\cal{C}$ eine Kategorie
mit einem ausgezeichneten
Funktor $v:\mathcal C\ra \op{Ens}$
in die Kategorie der Mengen, als da hei"st eine
Kategorie "uber $\op{Ens}$,   so nennen wir\label{FrO} 
den Wert des m"oglicherweise partiellen
Linksadjungierten auf einer Menge $X$ das
{\bf freie Objekt von $\cal{C}$ "uber $X$}\index{frei!Objekt "uber Menge} 
 und notieren dies freie
Objekt im allgemeinen
\index{)8b@$\cal{C}\frei  X$ freies Objekt von $\cal{C}$ "uber $X$} 
\index{)4@$\cal{C}\frei  X$ freies Objekt von $\cal{C}$ "uber $X$} $$\cal{C}\frei  X$$ und notieren  $\eta: X\ra v(\cal{C}\frei  X)$
die durch Einheit der Adjunktion gegebene
Abbildung.
\end{Definition}
\begin{Beispiel}[\textbf{Freie Gruppen und freie abelsche Gruppen}]
Der Vergi"sfunktor von den Gruppen in die Mengen hat als
Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge die freie
Gruppe
"uber besagter Menge zuordnet, wie sie 
in \ref{FrGr} eingef"uhrt wird.
Der Vergi"sfunktor von den abelschen Gruppen in die Mengen hat als
Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge die freie
abelsche Gruppe
"uber besagter Menge zuordnet. F"ur diese Gruppe verwenden wir
die Notation ${\op{Ab}}\frei  X=\DZ X$. 
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}[\textbf{Es gibt keine freien K"orper}]
  Der Vergi"sfunktor von den K"or\-pern in die Mengen hat
keinen Linksadjungierten. Es gibt also salopp gesprochen
keine sinnvolle Definition 
eines \glqq freien K"orpers "uber einer vorgegebenen Menge\grqq.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}
Der Vergi"sfunktor von den $k$-Vektorr"aumen in die Mengen hat als
Linksadjungierten den Funktor, der jeder Menge $X$ den 
freien\label{FrOV} 
$k$-Vektorraum 
"uber der Menge $X$ zuordnet,
also den Vektorraum aller Abbildungen $X\ra k$, die nur an endlich
vielen Stellen $x\in X$ verschieden sind von Null.
Wir verwenden f"ur diesen Vektorraum die abk"urzende Notation
$$k\op{-Mod}\frei X=k\langle X\rangle$$
Ist allgemeiner $k$ ein Ring, so verwenden wir dieselbe Notation 
auch f"ur
den freien $k$-Modul "uber $X$.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel} 
Gegeben ein kommutativer Ring $k$ ist der freie $k$-Kring
"uber einer Menge von Ver"anderlichen schlicht der Polynomring
in diesen Ver"anderlichen,
in Formeln gilt also zum Beispiel
$$(\op{Kring}^{k})\frei \{ T_1,\ldots,T_n\}=k[T_1,\ldots,T_n]$$
mit derjenigen Abbildung
$\eta: \{ T_1,\ldots,T_n\}\ra k[T_1,\ldots,T_n]$ als universeller
Mengen-$k$-Kringalgebren-Abbildung, die eben $T_i$ auf $T_i$ abbildet.
\end{Beispiel}







\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubunge}[\textbf{Partielle Dreiecksidentit"aten}]
Sei $L :{\cal A}\ra {\cal B}$ ein Funktor. 
Man zeige: Gegeben ein Objekt\label{EPA}  
$A\in \mathcal A$ derart, da"s der partielle Rechtsadjungierte 
$R$ bei $LA$ definiert ist,
ist  die Verkn"upfung
$LA\ra LRLA\ra LA$ der von der Einheit $A\ra RLA$ und der 
Identit"at $RLA\ra RLA$ herr"uhrenden Morphismen die Identit"at auf $LA$.
Gegeben ein Objekt
$B\in \mathcal B$ derart, da"s der partielle Rechtsadjungierte 
$R$ bei $B$ und $LRB$ definiert ist,
ist weiter die entsprechende Verkn"upfung
$RB\ra RLRB\ra RB$ die Identit"at auf $RB$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung} Gegeben $L:\mathcal A\ra \mathcal B$ und $R:\mathcal B\ra \mathcal A$ ein Paar $(L,R)$ adjungierter Funktoren gilt f"ur den Isomorpismus
  $\mathcal B(LA,B)\sira \mathcal A(A,RB)$ stets $f\mapsto Rf\circ \eta_A$ und f"ur seine Umkehrabbildung gilt
  $g\mapsto \varepsilon_B \circ Lg$. Des weiteren k"onnen wir\label{abcAd} 
  $\mathcal B(LA,LA_1)\sira \mathcal A(A,RLA_1)$ beschreiben durch
  die Vorschrift $f\mapsto Rf\circ \eta_A$ und  $\mathcal A(RB_1,RB)\sira \mathcal B(LRB_1,B)$  durch
  die Vorschrift $g\mapsto \varepsilon_B\circ Lg$. F"ur letzere Aussagen m"ogen
  die Dreiecksidentit"aten helfen. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{RRAA} 
 Gegeben $L:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein Funktor und $R$ sein
Rechtsadjungierter ist die Restriktion von $R$ auf die volle
Unterkategorie $L(\mathcal A)\subset \mathcal B$ der Rechtsadjungierte
von $L:\mathcal A\ra L(\mathcal A)$. Analoges gilt f"ur Linksadjungierte.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Lokale Adjungierte}]  
  Genau dann besitzt ein Funktor
  $L:\mathcal A\ra \mathcal B$ einen partiellen
  Rechtsadjungierten bei $B\in \mathcal B$,
  wenn es ein Paar $(A_0,\varepsilon_B)$ gibt aus einem Objekt 
  $A_0\in \mathcal A$ und einem Morphismus\label{RRAl} 
  $\varepsilon_B:LA_0\ra B$ derart, da"s $f\mapsto \varepsilon_B\circ Lf$
  einen Isomorphismus
  $$\mathcal A(A,A_0)\sira \mathcal B(LA,B)$$
  induziert. Das Paar $(A_0,\varepsilon_B)$ ist dann durch $B$
  eindeutig bestimmt
  bis auf eindeutigen Isomorphismus und wir notieren es $(RB,\varepsilon_B)$
  und nennen es einen
  {\bf lokalen Rechtsadjungierten bei $B$}.\index{Rechtsadjungierter!lokaler}
  Die Abbildung $\varepsilon_B$ hei"st wie zuvor die
  Koeinheit der Adjunktion oder genauer der partiellen Adjunktion
  und oft eine {\bf Spurabbildung}\index{Spurabbildung} nach dem Fall,
  in dem $L\pdef V\otimes$ das Tensorieren mit einem
  endlichdimensionalen Vektorraum ist, $R=\op{Hom}(X,\;)$ sein
  Rechtsadjungierter und $\varepsilon_k:LR(k)\ra k$ unter der offensichtlichen
  Identifikation $LR(k)\sira \op{End}X$ der Spur entspricht.
   Analoge Definitionen vereinbaren wir f"ur Linksadjungierte.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{"Aquivalenz durch Adjunktion}] 
Gegeben ein Funktor $L: \mathcal A \rightarrow \mathcal B$ 
 betrachte man seinen partiellen Rechtsadjungierten $R$ 
und die vollen 
Unterkategorien\label{AduA} 
\begin{displaymath}
\begin{array}{lll}
\mathcal A_0 &\pdef&\{ A \in \mathcal A \mid  
\text{$RLA$ ist definiert und die Einheit ist ein Iso } A \sira RLA\}\\
\mathcal B_0 &\pdef& \{ B \in \mathcal B \mid \text{$RB$  ist
definiert und die Koeinheit ist ein Iso } LRB \sira B \}
\end{array}
\end{displaymath}
Man zeige, da"s $L$  eine 
"Aquivalenz von Kategorien $\mathcal A_0
\sirra \mathcal B_0$ mit Quasiinversem  $R$ induziert. Hinweis: \ref{EPA}.
\end{Ubung}

\begin{Ubunge}[\textbf{Volltreuheit von Adjungierten}] 
  Besitzt ein Funktor $F$ einen volltreuen Linksadjungierten
$L$, so ist f"ur jedes Objekt $Y$, auf dem der partielle
Rechtsadjungierte von $F$ definiert ist, die Koeinheit der 
Adjunktion ein Isomorphismus $\varepsilon:FRY\sira Y$
und der partielle
Rechtsadjungierte von $F$ ist ebenfalls volltreu.\label{VTAd} 
Hinweis: F"ur $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ beachte man die
kanonischen Isomorphismen 
$$\mathcal B(X,FRY)\sira \mathcal A(LX,RY)\sira \mathcal B(FLX,Y)\sira
\mathcal B(X,Y)$$
In \eref{AdLl}{TD} werden wir diese Aussage als
Konsequenz einer gr"o"seren Theorie verstehen k"onnen:
Jeder Funktor mit  einem volltreuen Linksadjungierten
oder volltreuen Rechtsadjungierten ist ein \glqq Lokalisierungsfunktor\grqq\ 
und die beiden partiellen Adjungierten eines Lokalisierungsfunktors sind stets
volltreu.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}[\textbf{Adjungierte zur Restriktion von Gruppenwirkungen}] 
Ist $\varphi : H \ra G$ ein Gruppenhomomorphismus,
so besitzt der offensichtliche Funktor
$\op{res}_G^H: G\op{-Ens} \ra H\op{-Ens}$ einen Linksadjungierten, den wir
$\op{prod}^{G}_{H}$ notieren und der einer $H$-Menge $X$ die $G$-Menge
$$G \times_{/H} X$$
aller $H$-Bahnen in $G \times X$ 
unter der Operation $h(g,x)=(gh^{-1},hx) $ zuordnet.
Ebenso besitzt er einen Rechtsadjungierten
$\op{ind}_H^G: X \mapsto \op{Ens}_{H{\ssearrow}}(G,X)$.
\end{Ubung}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
In der Literatur hei"st\label{baP}  
$G \times_{/H} X$  
meist \index{)x@$\times_{/H}$ balanciertes Produkt}
die \glqq von $X$ induzierte $G$-Menge\grqq. Wir werden
jedoch von der  {\bf von $X$} 
\defnoind{koinduzierten $G$-Menge}\index{koinduziert!$G$-Menge}
reden, um mit anderen Begriffsbildungen kompatibel
zu bleiben. 
Ist etwas allgemeiner $H$ eine Gruppe und $X$ eine $H$-Menge und
$Y$ eine $H$-Rechtsmenge, so erkl"art man analog ihr 
{\bf balanciertes
Produkt} $$Y\times_{/H} X$$ als die Menge aller $H$-Bahnen in $Y \times X$ 
unter\index{balanciertes Produkt}\index{Produkt!balanciertes}
der Operation $h(y,x)=(yh^{-1},hx) $.
Die Bahn von $(y,x)$ notieren wir $[y,x]$. 
Oft werden balancierte Produkte statt $Y \times_{/H} X$
einfacher  $Y \times_{H} X$ notiert. Das kann leider
auch ein Faserprodukt bedeuten und der Leser mu"s
aus dem Kontext erschlie"sen,
welche Bedeutung jeweils gemeint ist.
\end{Bemerkungl}
\begin{Ubung}\label{SVF}
Ist $G$ eine Gruppe mit Untergruppen $H,K$ und ist
$S=H\cap K$ ihr Schnitt, so induziert die
Multiplikation eine Bijektion $H\times_{/S} K\sira HK$.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}
  Ist $G$ eine Gruppe und $H\subset G$ eine Untergruppe und
$y\in G$ ein Element und $S=H\cap yHy^{-1}$, so erhalten wir einen
Isomorphismus $H\times_S H\sira HyH$ von $(H\times H)$-Mengen
mit der Rechtsoperation von $s\in S$ auf $H$ durch Rechtsmultiplikation
und der Linksoperation von $s\in S$ auf $H$ durch Linksmultiplikation
mit $y^{-1}sy$ vermittels der Abbildung $[h,k]\mapsto hyk$. Hinweis:
Man wende \ref{SVF} an mit $K=yHy^{-1}$.
\end{Ubunge}
\begin{Ubunge}
Sei $\varphi : H \ra G$ ein Homomorphismus topologischer Gruppen.
Bezeichnet $\op{Top}^{G}$ die Kategorie der topologischen R"aume
mit einer stetigen $G$-Operation,
so besitzt der offensichtliche Funktor
$\op{Top}^{G} \ra \op{Top}^{H}$ einen Linksadjungierten, den wir
$\op{prod}^{G}_{H}$ notieren und der einem $H$-Raum $X$ den $G$-Raum
$G \times_{/H} X$ mit seiner Quotiententopologie zuordnet. 
Die Stetigkeit der Operation von $G$ folgt hier zum
Beispiel mit  \ref{GrQu}.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}[\textbf{Adjungierter einer Verkn"upfung}]
Der Adjungierte einer Verkn"upfung ist die Verkn"upfung der
Adjungierten, als da hei"st:\label{Kompa} 
Gegeben Funktoren $R_*:\cal{A}\ra \cal{B}$ und $S_*:\cal{B}\ra\cal{C}$
mit Linksadjungierten $R^*$ und $S^*$ erhalten wir eine Adjunktion 
$(R^*\circ S^*)\dashv (S_*\circ R_*)$
in kanonischer Weise.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Transformationen zwischen Adjungierten}] 
Jede Transformation von einem Funktor
zu einem weiteren Funktor induziert ein nat"urlicher Weise eine\label{ADGe} 
Transformation in der Gegenrichtung zwischen ihren Links- beziehungsweise
ihren Rechtsadjungierten, soweit diese existieren. Hinweis: Yonedalemma. 
\end{Ubung}
%\begin{Ubung}[\textbf{Transformationen zwischen Adjungierten, Variante}]
%\nichtfinal{Vermutlich Quatsch!}  Gegeben adjungierte Paare $(L,R)$ und $(L',R')$ von Funktoren
 % zwischen Kategorien $\mathcal A,\mathcal B$ beziehungsweise
%  $\mathcal A',\mathcal B'$ und Funktoren
 % $F:\mathcal A\ra \mathcal A'$ sowie $G:\mathcal B\ra \mathcal B'$ konstruiere man eine nat"urliche Bijektion\label{ADGeV} 
 % $$\op{Cat}(\mathcal A,\mathcal B')(L'F,GL)
 % \sira \op{Cat}(\mathcal B,\mathcal A')(FR,R'G)$$
%\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Kompatibilit"aten}]
  Sei $F$ ein Funktor mit Linksadjungiertem $E$ und Rechtsadjungiertem $G$,
  so da"s wir adjungierte Paare $(E,F)$ und $(F,G)$ haben. Die
  Einheit der Adjunktion $\eta:\op{Id}\RA FE$ induziert durch "Ubergang
  zu den Rechtsadjungierten mit \ref{Kompa} und \ref{ADGe}
  eine Transformation $FG \RA \op{Id}$. Man zeige, da"s sie mit der Koeinheit
  der Adjunktion $(F,G)$ zusammenf"allt.\label{EKOI} 
\end{Ubung}

  
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Adjunktionen einiger Funktoren von $G$-Mengen}] 
Gegeben  $H\subset G$ eine Untergruppe und 
$X$ eine $H$-Menge bezeichne $[g,x]\in G \times_{/H} X$
die Bahn von $(g,x)$. 
Ist\label{TIc}  
$X$ die Restriktion einer $G$-Menge,
so definiert die Abbildung
$[g,x] \mapsto (gH,gx)$ eine $G$-"aquivariante Bijektion
$$G\times_{/H} X \overset{\sim}{\ra} (G/H) \times X$$  
Hier ist auf der rechten Seite das Produkt des $G$-Mengen 
$(G/H)$ und $ X$ in der Kategorie der $G$-Mengen gemeint, also
mit der \glqq diagonalen\grqq\  $G$-Operation. Allgemeiner 
 ist f"ur jede
 $G$-Menge $E$   der Funktor $(E\times):G\op{-Ens}\ra G\op{-Ens}$
linksadjungiert zum Funktor $\op{Ens}(E,\;):G\op{-Ens}\ra G\op{-Ens}$ vermittels
der kanonischen Bijektionen aus \eref{ABBK}{GR}, wenn wir
die $G$-Operation auf einem Raum von Abbildungen $\op{Ens}(E,M)$ 
erkl"aren durch die
Konjugation, so da"s in Formeln $gf$ erkl"art sei durch 
$(gf)(x)=g(f(g^{-1}x)$.  %\label{EGI}
Gegeben  $M \in H \op{-Ens}$ und $E \in G\op{-Ens}$ 
haben wir kanonische  Isomorphismen von 
$G$-Mengen 
$$
\begin{array}{lcl}
\op{prod}^{G}_{H }
(E\times  M) &\overset{\sim}{\ra}& E \times 
(\op{prod}^{G}_{H } M)\\[2mm]
\op{ind}^{G}_{H} \op{Ens}  (E,M) &\overset{\sim}{\ra}&
\op{Ens}  (E, \op{ind}^{G}_{H} M)\\[2mm]
\op{ind}^{G}_{H} \op{Ens}  (M,E) &\overset{\sim}{\ra}&
\op{Ens}  (\op{prod}^{G}_{H} M,E)
\end{array}$$
Ganz allgemein ist nach \ref{Kompa} der Adjungierte
einer Verkn"upfung von Funktoren die Verkn"upfung der Adjungierten,
wenn sie existieren. 
Diese Erkenntnis gilt es nun anzuwenden auf die kommutativen Diagramme
von Funktoren
$$
\begin{array}{ccc}
G\op{-Ens}&\stackrel{E\times}{\lra}&G\op{-Ens}\\
\da&&\da\\
H\op{-Ens}&\stackrel{E\times}{\lra}&H\op{-Ens}\\
\end{array}\hspace{5mm}
\begin{array}{ccc}
G\op{-Ens}&\stackrel{\op{Ens}(E,\;)}{\lra}&G\op{-Ens}\\
\da&&\da\\
H\op{-Ens}&\stackrel{\op{Ens}(E,\;)}{\lra}&H\op{-Ens}\\
\end{array}$$
$$\begin{array}{ccc}
G\op{-Ens}&\stackrel{\op{Ens}(\;,E)}{\lra}&G\op{-Ens}^{\op{opp}}\\
\da&&\da\\
H\op{-Ens}&\stackrel{\op{Ens}(\;,E)}{\lra}&H\op{-Ens}^{\op{opp}}\\
\end{array}$$
mit den Restriktionen als Vertikalen
und der Adjunktion $(E\times, \op{Ens}(E,\;))$ beziehungsweise
der Tatsache, da"s der Rechtsadjungierte der Horizontalen 
$\op{Ens}(\;,E)$ im Diagramm ganz rechts wieder $\op{Ens}(\;,E)$ ist,
nur diesmal aufgefa"st als Funktor in der Gegenrichtung, also pr"aziser
der Funktor $\op{Ens}(\;,E)^{\op{opp}}$.
\end{Bemerkunge}







\newpage 



\section{Weiterf"uhrende Resultate} 





\subsection{Die Zopfgruppe}
\begin{Definition}
Sei $X_{n}$ die Menge aller Teilmengen von $\DC$ mit genau $n$ Elementen.
Wir geben $X_n$ die Finaltopologie f"ur die die Reihenfolge vergessende
Abbildung 
$\DC^{n}\backslash\Delta \sra X_n$
mit $\Delta \subset \DC^{n}$ der 
{\bf gro"sen Diagonale}\index{gro"sen Diagonale} alias
der Menge aller $n$-Tupel komplexer
Zahlen, in denen mindestens eine Zahl doppelt vorkommt.
Die Fundamentalgruppe von $X_{n}$ hei"st die \defind{Zopfgruppe}
{\bf in $n$ Str\"{a}ngen}, englisch
\defind{braid group}, franz"osisch \defind{groupe de tresses}.
Als Basispunkt nehmen wir meist $\ast=\{1,2, \ldots , n\}$.  
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Die Elemente der Zopfgruppe kann man durch Bilder darstellen wie
etwa das nebenstehende 
Bild
f\"{u}r ein Element $\gamma \in \pi_1(X_{3})$.
Dies Bild stellt im Raum $\DC\times\DR\sira\DR^3$ die Menge
$\{(z,t)\mid z\in\gamma(t)\}$ dar, mit $t$ als senkrechter Koordinate
und mit der Konvention, da"s Punkte mit gr"o"serem Imagin"arteil
weiter hinten liegen m"ogen.
Die Verkn\"{u}pfung in unserer
Zopfgruppe
bedeutet in dieser Anschauung  das \glqq Aneinanderh\"{a}ngen\grqq\ 
solcher
\glqq Z\"{o}pfe\grqq.
\end{Bemerkungl}
\begin{Notation}
Bezeichne $s_\nu\in \pi_1(X_{n},\ast)$ f"ur $1\leq \nu\leq n-1$
die Klasse des Weges,
unter dem der Punkt $\nu$
durch die untere Halbebene nach $\nu+1$ wandert und 
gleichzeitig der Punkt $\nu+1$
durch die obere Halbebene nach $\nu$. Alle anderen 
Punkte sollen unter $s_\nu$ auf
ihren Pl"atzen bleiben.  
Ein Repr"asentant dieser Klasse w"are etwa der Weg
 $$s_\nu(t)=
\{1,\ldots,\nu-1,\; (\nu+1/2-\op{e}^{\pi \op{i} t}/2),\; (\nu+1/2+\op{e}^{\pi \op{i}
t}/2),\; \nu+2,\ldots,n\}$$
\end{Notation}



\begin{Satz}[\textbf{Erzeuger und Relationen der Zopfgruppe}]
Die Zopfgruppe in $n$ Str"angen wird dargestellt durch die Erzeuger
$s_{1}, \ldots , s_{n-1}$ mit den sogenannten\label{ERZo} 
{\bf\em Zopfrelationen}\index{Zopfrelation}
$$\begin{array}{cl}
s_{i}s_{j}=s_{j}s_{i}&\text{ falls }|i-j|>1;\\
s_{i}s_{j}s_{i}=s_{j}s_{i}s_{j}&\text{ falls }|i-j|=1.
\end{array}$$
\end{Satz}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZoR}\\[4mm]
\noindent 
Illustration der Zopfrelation $s_{1}s_{2}s_{1}=s_{2}s_{1}s_{2}$.
In der Tat geht bei beiden Bildern der Faden von links oben
nach rechts unten \glqq auf der obersten Ebene\grqq,
der Faden von rechts oben
nach links  unten \glqq auf der untersten Ebene\grqq, und der 
Faden von der Mitte zur Mitte auf einer \glqq mittleren Ebene\grqq.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}
In der Anschauung \"{u}berzeugt man sich leicht, da"s
die $s_i$ die Zopfgruppe erzeugen und
die Zopfrelationen erf"ullen.
Hier verstellt das formale Argument eher den Blick.
Das eigentliche Problem besteht darin, zu zeigen, da"s nicht noch
weitere Relationen ben\"{o}tigt werden.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis des Satzes]
Wir beginnen mit dem Fall $n=3$ und berechnen zun"achst die
Fundamentalgruppe $\pi_1(\Bbb{C}^{3} \backslash \Delta)$ einer
"Uberlagerung von $X_{3}$. Wir interpretieren Elemente
von $\Bbb{C}^{3}  \backslash \Delta$
als die Angabe von drei paarweise verschiedenen Punkten
in der Ebene $\DC$, wobei wir jedoch im Unterschied zu $X_3$ noch
wissen, welcher Punkt hier der Erste beziehungsweise der Zweite beziehungsweise der Dritte ist.
Wir "andern die Fundamentalgruppe von $\Bbb{C}^{3}  \backslash \Delta$ nicht,
wenn wir
den zweiten
Punkt festhalten, formal ist genauer die Einbettung
$$\begin{array}{rcc}
\{(x,y) \in (\Bbb{C}^{\times})^{2} \mid x \neq y\} & \hookrightarrow &
\Bbb{C}^{3} \backslash \Delta \\
(x,y) \;& \mapsto & (x,0,y)
\end{array}$$
eine Homotopie"aquivalenz.
Wir geben der linken Seite den Namen $M$ und betrachten die
"Uberdeckung $M = M_{+} \cup M_{-}$ durch die offenen Teilmengen
$$\begin{array}{ccc}
M_{+} & \pdef& M\backslash \{(x,\lambda x) \mid 0<\lambda <1\}\\
M_{-} &\pdef& M\backslash \{(\lambda y, y) \mid 0 < \lambda < 1\}
\end{array}$$
mit Schnitt
$M_{+}\cap M_{-} =\{(x,y) \in M\mid \Bbb{R}_{>0} x \neq
\Bbb{R}_{>0}y\}$.
Stellen wir uns den festen Punkt als die Sonne vor und $x$ beziehungsweise $y$ 
als die Erde beziehungsweise den Mond, die sich jedoch in einer Ebene v"ollig
unabh"angig voneinander bewegen d"urfen,
so ist $M_+$ die Menge aller Konstellationen
\glqq ohne Sonnenfinsternis\grqq\  und $M_-$ die Menge aller Konstellationen
\glqq ohne Mondfinsternis\grqq.
Jetzt haben wir Homotopie"aquivalenzen
$$\begin{array}{cccccc}
S^{1}\times S^{1} &\ra &M_{+},&\;\;(z,w) & \mapsto & (z, 2w)\\
S^{1} \times S^{1} &\ra & M_{-}, &\;\;(z,w) & \mapsto & (2z,w)\\
S^{1} &\ra & M_{+}\cap M_{-}, &\;\; z &\mapsto & (-z,z)
\end{array}$$
Wenn wir Basispunkte $1 \in S^{1}$, $(1,1) \in S^{1}\times
S^{1}$ und $(-1,1) \in M$ w"ahlen, erhalten wir
mit etwas komplizierteren Ausdr"ucken
auch basispunkterhaltende Homotopie"aquivalenzen, indem \glqq wir 
Erde un Mond  um geeignete Punkte $p$ auf der reellen Achse
kreisen lassen\grqq, in Formeln
$$\begin{array}{cccccrr}
S^{1}\times S^{1}& \ra & M_{+},&\;\; (z,w) & \mapsto &(-p-z(1-p), & -p+w
(1+p))\\
S^{1}\times S^{1} &\ra & M_{-},&\;\; (z,w) &\mapsto & (\;\; p-z(1+p),&p + w
(1-p))
\end{array}$$
f"ur beliebig fest gew"ahltes $p$ mit $0<p< 1/2$. 
Unsere dritte Homotopie"aquivalenz $S^{1} \ra
M_{+} \cap M_{-}$ von oben erh"alt schon die Basispunkte.
Wie man anschaulich schnell einsieht und unschwer formalisiert,
kommutieren mit unserer Wahl von Basispunkten nun die beiden
nur durch ein Vorzeichen unterschiedenen Diagramme
% \begin{displaymath}
% \begin{array}{ccccc}
% \pi_1 (S^{1})& & \sira & &\pi_1(M_{+} \cap M_{-})\\
% {\scriptstyle\op{diag}}\downarrow\;\;\;\;
% & & & &\downarrow\\
% \pi_1(S^{1}) \times \pi_1 (S^{1})&\overset{\sim}{\leftarrow} &
% \pi_1 (S^{1}\times S^{1})&\sira & \pi_1 (M_{\pm})
% \end{array}$$
% und wir erhalten isomorphe pushout-Diagramme
% $$\begin{array}{ccc}
% \begin{array}{ccc}
% \pi_1 (M_{+}\cap M_{-}) &\ra & \pi_1(M_{+})\\
% \downarrow & & \downarrow \\
% \pi_1 (M_{-}) & \ra & \pi_1 (M)\end{array} &
% &\begin{array}{ccc}
% \Bbb{Z} & \overset{\op{diag}}{\ra} & \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}\\
% {\scriptstyle\op{diag}} \downarrow\;\;\;\;\;\; & & \downarrow \\
% \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z} & \ra & \pi_1(\Bbb{C}^{3} \backslash
% \Delta)
% \end{array} \end{array}
% \end{displaymath}

% \vspace{2cm}
% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\pi_1 (S^{1})\ar[rr]^-\sim \ar[d]_-{\op{diag}} &&\pi_1(M_{+} \cap M_{-})\ar[d]\\
\pi_1(S^{1}) \times \pi_1 (S^{1}) &\ar[l]_-\sim \pi_1 (S^{1}\times S^{1}) \ar[r]^-\sim & \pi_1 (M_{\pm})
}
\end{displaymath}
und wir erhalten isomorphe pushout-Diagramme
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
\pi_1 (M_{+}\cap M_{-})\ar[r]\ar[d] & \pi_1(M_{+})\ar[d] & \mathbb Z \ar[d]_-{\op{diag}}\ar[r]^-{\op{diag}} & \mathbb Z \oplus \mathbb Z \ar[d]\\
\pi_1 (M_{-})\ar[r] & \pi_1 (M) & \mathbb Z \oplus \mathbb Z \ar[r]& \pi_1(\Bbb{C}^{3} \backslash
\Delta)
}
\end{displaymath}
% $$\begin{array}{ccccc}
% \pi_1 (S^{1})& & \sira & &\pi_1(M_{+} \cap M_{-})\\
% {\scriptstyle\op{diag}}\downarrow\;\;\;\;
% & & & &\downarrow\\
% \pi_1(S^{1}) \times \pi_1 (S^{1})&\overset{\sim}{\leftarrow} &
% \pi_1 (S^{1}\times S^{1})&\sira & \pi_1 (M_{\pm})
% \end{array}$$
% und wir erhalten isomorphe pushout-Diagramme
% $$\begin{array}{ccc}
% \begin{array}{ccc}
% \pi_1 (M_{+}\cap M_{-}) &\ra & \pi_1(M_{+})\\
% \downarrow & & \downarrow \\
% \pi_1 (M_{-}) & \ra & \pi_1 (M)\end{array} &
% &\begin{array}{ccc}
% \Bbb{Z} & \overset{\op{diag}}{\ra} & \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}\\
% {\scriptstyle\op{diag}} \downarrow\;\;\;\;\;\; & & \downarrow \\
% \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z} & \ra & \pi_1(\Bbb{C}^{3} \backslash
% \Delta)
% \end{array} \end{array}$$
Man sieht so, da"s $\pi_1(\Bbb{C}^{3}\backslash \Delta)$ erzeugt
wird von den Klassen $g,u_{+},u_{-}$ der drei Wege
$$\begin{array}{llccccc}
\tilde{g} :& t\mapsto &(&-{\op{e}}^{2\pi {\op{i}}t}&,\; 0,& {\op{e}}^{2\pi {\op{i}}t}&)\\
\tilde{u}_{+}:&t \mapsto &(&-1&,\; 0,&p + (1-p){\op{e}}^{2\pi{\op{i}}t}&)\\
\tilde{u} _{-}:& t \mapsto &(&-p-(1-p){\op{e}}^{2\pi {\op{i}}t}&,\; 0,&1&)
\end{array}$$
f"ur beliebiges festes $p$ mit $0<p<1/2$, wo wir nur
die beiden Kommutationsrelationen 
$gu_{+}=u_{+}g$ und $gu_{-} = u_{-}g$ fordern m"ussen.
Wir behaupten, da"s die Bilder unserer drei Wege in der Zopfgruppe
$\pi_1 (X_{3})$ gegeben werden durch
$$\begin{array}{lcl}
u_{+} &\mapsto & s^{2}_{1}\\
u_{-} & \mapsto & s^{2}_{2}\\
g& \mapsto &(s_{1}s_{2})^{3}= (s_{2}s_{1})^{3}
\end{array}$$
Das scheint mir anschaulich evident. Formal kann man zum Beispiel
in $\Bbb{C}^{3} \backslash \Delta$ den Weg $\tilde{g}_{1/2}$ von
$(-1,0,1)$ nach $(1,0,-1)$ betrachten mit $\tilde{g}_{1/2}(t)=\tilde{g}(2t)$
sowie die Wege $\tilde{s}_{1}$ und $\tilde{s}_{2}$ gegeben durch
$$\begin{array}{ccccccrccc}
\tilde{s}_{1}:&t&\mapsto &
(&-1/2-\op{e}^{\pi {\op{i}} t}/2&,& -1/2+\op{e}^{\pi {\op{i}}
t}/2&,&1&)\\
\tilde{s}_{2}:&t&\mapsto &
(&-1&,&1/2-\op{e}^{\pi {\op{i}} t}/2&,& 1/2+\op{e}^{\pi {\op{i}}
t}/2&)
\end{array}
$$
und linear
interpolieren zwischen den Wegen $\tilde{g}_{1/2}$ und
$(\tau\circ \tilde{s}_{1}) \ast (\sigma\circ\tilde{s}_{2})\ast
\tilde{s}_{1}$
f"ur Permutationen $\sigma,\tau\in{\cal{S}}_3$ der drei
Koordinaten derart, da"s die Wege verkn"upfbar sind.
Dasselbe gilt symmetrisch, wenn wir die Indizes $1$ und $2$
vertauschen. Dr"ucken wir diese linearen Homotopien dann herunter
auf $X_3$ und verkn"upfen, so ergibt sich die Dritte und komplizierteste
der obigen Behauptungen, d.h. $g\mapsto (s_{1}s_{2})^{3}=(s_{2}s_{1})^{3}$.
Jetzt betrachten wir formal die Gruppe $B_{3}$, die erzeugt wird
von zwei Elementen $s$ und $t$ mit den Relationen $st s = tst$, und
nenne sie f"ur die Dauer dieses Beweises die {\bf abstrakte Zopfgruppe}. 
Es\index{Zopfgruppe!abstrakte} 
 tut mir leid, den Buchstaben $t$ erst als Parameter eines
Weges und nun gleich darauf in dieser v"ollig anderen Bedeutung
zu verwenden. Beide Notationen sind jedoch derart gebr"auchlich, da"s
diese Kollision mir ein kleineres "Ubel scheint,
als es eine g"anzlich un"ubliche Wahl der Bezeichnungen
w"are.
Mit unseren Erkenntnissen zur Fundamentalgruppe von Bahnenr"aumen
\ref{FBVk} 
und den Formeln $t^2 (st)^3=(st)^3t^2$ und $s^2 (st)^3=(st)^3s^2$
in der abstrakten Zopfgruppe $B_3$  
 erhalten wir ein kommutatives Diagramm von Gruppen
$$\begin{array}{ccccc}
\pi_1 (\DC^{3}\backslash\Delta) &\ra & {B}_{3} &\twoheadrightarrow
&{\cal S}_{3}\\
\| & & \downarrow & &\| \\
\pi_1 (\DC^{3}\backslash\Delta) & \hookrightarrow & \pi_1(X_3) &
\twoheadrightarrow & {\cal S}_{3}
\end{array}$$
mit $s\mapsto s_1$ und $t\mapsto s_2$
in der mittleren Vertikale und hoffentlich
sonst offensichtlichen Morphismen.
Als erstes folgt, da"s die Horizontale oben links eine Injektion
ist.
Weiter ist klar, da"s die Verkn"upfung in der oberen Horizontale trivial ist.
 Als n\"{a}chstes \"{u}berlegt man sich explizit, da"s 
in der oberen Horizontale das  Bild des linken Pfeils 
genau der Kern von ${B}_{3} \twoheadrightarrow {\cal S}_{3}$ ist.
Um zu erkennen, ob die Klasse eines Gruppenworts in $\ker
({B}_{3} \sra {\cal S}_{3})$ liegt, m\"{u}ssen wir nur alle Potenzen
$s^{m}$ f\"{u}r $m \in \DZ$ reduzieren zu $s$ beziehungsweise $e$ falls $m \in
2\DZ$ beziehungsweise $m \not\in 2\DZ$ und analog f\"{u}r $t$, bis wir bei einem
Wort ankommen, bei dem keine negativen Potenzen auftreten und bei dem die
Buchstaben $s$ und $t$ alternieren.
Unser urspr\"{u}ngliches Wort war im Kern genau dann, wenn dieses
alternierende Wort eine durch $6$ teilbare L\"{a}nge hat.
Nun zeigen wir erst einmal, da"s unser Bild normal ist.
 Dazu reicht es zu zeigen, da"s die Konjugierten von Erzeugers des
Bildes unter Erzeugern der abstrakten Zopfgruppe wieder im Bild liegen. 
Das hinwiederum zeigen  die Identit\"{a}ten
$$t s^{2}t^{-1} = (st)^{3}s^{-2}t^{-2}\quad \text{und}\quad
t (st)^{3}t^{-1}= (ts)^3=(st)^3 $$
und ihre Varianten mit $s$ und $t$ vertauscht.
Also ist das Bild normal.
Jetzt beachten wir, da"s f\"{u}r einen Normalteiler
$N$ einer Gruppe $G$ und 
$a,b \in G$, $x \in N$ gilt $$axb \in N
\IFF  axa^{-1} ab \in N \IFF
ab \in N
$$
Unsere
Beschreibung des Kerns zeigt dann, da eben das Bild normal ist, 
die schwierige Inklusion $\supset$ und damit die Gleichheit
$$\pi_1 (\DC^{3}\backslash\Delta) = \ker ({B}_{3} \ra {\cal S}_{3})$$
So folgt durch Diagrammjagd in der Tat ${B}_{3} \sira
\pi_1(X_{3})$ und der Fall $n=3$ ist erledigt.
Jetzt unterbrechen wir den Beweis durch einige allgemeine
\"{U}berlegungen zu Fundamentalgruppen von Mannigfaltigkeiten,
die im Fall von allgemeinem $n$ ben"otigt werden.
\end{proof}





\begin{Definition}
Seien $n\leq d$ nat"urliche Zahlen.
Eine Teilmenge $N$ einer $d$-Mannigfaltigkeit $M$ hei"st eine {\bf
$n$-dimensionale Untermannigfaltigkeit} genau dann, wenn es f"ur
jeden Punkt $y \in N$ eine offene Umgebung $U \co M$ gibt und
einen Hom"oomorphismus $U \sira \DR^{d}$ mit $U \cap N \sira
\Bbb{R}^{n} \times 0$.
Ein derartige offene Menge $U$ nennen wir  eine
{\bf pl"attbare Ball-Umgebung} von $y
\in N$. Die Differenz $d-n$ hei"st  die 
{\bf Kodimension}\index{Kodimension!einer Untermannigfaltigkeit} der
Untermannigfaltigkeit $N$ in $M$.
\end{Definition}

\begin{Satz}[\textbf{Fundamentalgruppe von Mannigfaltigkeitskomplement}]
Seien $M\lAs N \lAs A$ eine 
Man\-nig\-faltigkeit mit einer\label{FMK} 
abgeschlossenen Unter\-man\-nig\-faltigkeit einer Kodimension $\geq 3$
und einer abgeschlossenen Teilmenge derselben.
So induziert f"ur beliebiges $p \in M \backslash A$ die Einbettung einen
Isomorphismus
$$\pi_1 (M \backslash A, p) \sira \pi_1 (M,p)$$
Im Fall einer abgeschlossenen Unter\-man\-nig\-faltigkeit 
$N\As M$ der Kodimension $2$
ist diese
Abbildung zumindest noch eine Surjektion $\pi_1 (M \backslash A, p)
\sra \pi_1 (M,p)$.
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
St"utzt man sich beim Beweis statt auf \ref{NNNf}
auf die etwas allgemeinere aber m"uhsamer zu beweisende Aussage \ref{NNNfe},
so zeigt der hier gegebene Beweis die Behauptung des Satzes sogar f"ur
$A\subset N$ eine beliebige Teilmenge unserer 
abgeschlossenen Unter\-man\-nig\-faltigkeit. 
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}[Beweis]
Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit k"onnen
wir unsere Mannigfaltigkeit $M$ zusammen\-h"angend annehmen.
Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung.
Seien $A \As N$ eine abgeschlossene Teilmenge, $U \co M$
eine pl"attbare Ball-Umge\-bung eines Punktes von $N$
und $p\in U\backslash A$.
Nach Seifert-van-Kampen \ref{SvK}  haben wir 
ein kokartesisches Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\pi_1(U\backslash A, p) &\ra & \pi_1 (U,p)\\
\downarrow  & & \downarrow \\
\pi_1 (M\backslash A,p) & \ra & 
\pi_1((M\backslash A) \cup U,
p)
\end{array}$$
Da nach \ref{NNNf} die obere Horizontale ein Isomorphismus 
beziehungsweise im Fall der Kodimension $2$ eine Surjektion ist,
mu"s dasselbe
nach \ref{KKI} beziehungsweise 
\ref{GKWk} auch f"ur die untere Horizontale gelten. Da unsere R"aume 
wegzusammenh"angend sind, gilt das dann auch f"ur einen 
beliebigen Basispunkt $p$ aus 
$M\backslash A$. Man beachte f"ur das folgende auch,
da"s gilt $(M\backslash A)\cup U=M\backslash B$ f"ur $B\As N$ die Teilmenge
$B=N\backslash U$. 
Jetzt zeigen wir die Surjektivit"at von $\pi_1 (M\backslash A,
p) \ra \pi_1 (M,p)$ im allgemeinen. Ist in der Tat $\gamma \in
\Omega (M,p)$ ein Weg, so wird $\gamma [0,1] \cap N$ "uberdeckt
von endlich vielen pl"attbaren Ball-Umgebungen $U_{1}, \ldots , U_{r}$. 
%,von denen wir dar"uberhinaus annehmen d"urfen, da"s sie $p$ nicht enthalten.
Nach unserer Vor"uberlegung haben wir dann f"ur $p\in M \backslash A$ eine
Surjektion 
$$\pi_1 (M \backslash A, p) \sra \pi_1 ((M \backslash A) \cup
U_{1} \cup\ldots \cup U_{r}, p)$$
Unser $[\gamma]\in \pi_1
(M,p)$ liegt aber sicher im Bild der rechten Seite unter 
der von der Inklusion induzierten Abbildung der Fundamentalgruppen. Also
liegt $[\gamma]$ auch im Bild von $\pi_1 (M \backslash A, p)$.
"Ahnlich zeigen wir die Injektivit"at im Fall einer 
Kodimension $\geq 3$. Dann ist ja unsere Surjektion sogar ein 
Isomorphismus. Ist nun $\gamma \in \Omega (M
\backslash A, p)$ nullhomotop in $M$, sagen wir vermittels $h:
[0,1] \times [0,1] \ra M$, so l"a"st sich eine Homotopie mit dem
konstanten Weg sicher
in einem geeigneten $(M\backslash A) \cup U_{1} \cup \ldots \cup U_{r}$
realisieren, mit pl"attbaren Ball-Umgebungen $U_i$ von Punkten von $N$, 
und dann ist $\gamma$ 
nach unserem Isomorphismus sogar nullhomotop in $M \backslash A$.
\end{proof}














\begin{proof}[Beweis des Satzes "uber Zopfgruppen \ref{ERZo}]
Wir halten nun $n$ fest, schreiben kurz $X_n=X$, und betrachten die Abbildung
$$\begin{array}{cccl}
k : &X & \ra & \Bbb{N}\\
&E & \mapsto & n- |\op{Re} (E)|
\end{array}$$
f"ur $|\op{Re} (E) |$ die Kardinalit"at der Projektion von $E$
auf die reelle Achse. In $X$ betrachten wir
die Teilmengen $Z_{\nu} = k^{-1} (\nu)$ sowie
$Z_{\leq \nu} = k^{-1}(\{0,1, \ldots, \nu\})$.
Zum Beispiel besteht $Z_{0}$ aus allen $n$-elementigen Teilmengen
von $\Bbb C$ derart, da"s die Realteile ihrer Elemente paarweise verschieden
sind, und $Z_{1}$ besteht aus allen $n$-elementigen Teilmengen, in
denen es genau zwei Punkte gibt mit demselben Realteil.
Offensichtlich ist $Z_{0}$ zusammenziehbar, alle $Z_{\leq \nu}$
sind offen, und $Z_{\nu}$ ist eine
abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Kodimension $\nu$ in
$ Z_{\leq \nu}$.
Proposition \ref{FMK}  liefert uns damit
f"ur einen beliebigen Basispunkt in $Z_0$ eine Surjektion und viele
Isomorphismen
$$\pi_1 (Z_{\leq 1}) \twoheadrightarrow \pi_1 (Z_{\leq 2})
\sira \ldots \sira \pi_1 (Z_{\leq n-1}) = \pi_1 (X)$$
Wir untersuchen nun zun"achst $\pi_1 (Z_{\leq 1})$.
Sicher zerf"allt $Z_{1}$ in Zusammenhangskomponenten
$$Z_{1} = Z_{1}^{1} \sqcup Z^{2}_{1} \sqcup \ldots \sqcup Z_{1}^{n-1}$$
mit $Z^{i}_{1}$ dem System aller $n$-elementigen Teilmengen $E \in
Z_1$  derart, da"s bei einer
Aufz"ahlung  $x_{1}, \ldots, x_{n}$ von $E$ mit wachsenden Realteilen
gilt
$\op{Re}(x_{i}) = \op{Re} (x_{i+1})$.
Bezeichnen wir ganz allgemein mit $X_{n}^{[a,b]}$ den Raum aller
$n$-elementi\-gen
Teilmengen von $\{z \in \Bbb{C} \mid a \leq \op{Re}(z) \leq b\}$, so
haben wir offensichtlich Homotopie"aquivalenzen
$$\begin{array}{ccccl}
X_{2} &\hookleftarrow& X_{2}^{[i,i+1]}& \hookrightarrow &Z_{0} \cup
Z_{1}^{i}\\
&&\{x,y\} & \mapsto &  \{1,\ldots , i-1, x, y, i+2,\ldots , n \}
\end{array}$$
Folglich ist $\pi_1 (Z_{0}\cup Z^{i}_{1})$ frei erzeugt von
$s_{i}$.
Mit Induktion und dem Satz von Seifert-van-Kampen folgt, da"s f"ur
jede Teilmenge $T \subset \{1, \ldots , n -1\}$ die
Fundamentalgruppe $\pi_1 (Z_{0} \cup \bigcup_{i\in T}
Z^{i}_{1})$ frei erzeugt ist von den $s_{i}$ mit $i \in T$.
Insbesondere erzeugen die $s_{i}$ schon mal unsere Zopfgruppe, und
wir m"ussen uns nur noch um die Relationen k"ummern.
Sicher zerf"allt auch $Z_{2}$ in Zusammenhangskomponenten
$$Z_{2} = \coprod_{1\leq i <j <n} Z^{i,j}_{2}$$
mit $Z^{i,j}_{2}$ dem System aller $n$-elementigen Teilmengen $E \in
Z_2$ derart, da"s bei einer
Aufz"ahlung  $x_{1}, \ldots, x_{n}$ von $E$ mit wachsenden Realteilen
gilt
 $\op{Re} (x_{i}) = \op{Re} (x_{i+1}) $ und $ \op{Re}(x_{j})=
\op{Re} (x_{j+1})$.
Wir setzen $Z^{i,j}_{\leq 2} = Z_{0} \cup Z_{1}^{i} \cup Z^{j}_{1}
\cup Z^{i,j}_{2}$ und bemerken, da"s diese Menge offen ist in
$X_{n}$.
Im Fall $i<j-1$ haben wir eine Homotopie"aquivalenz
$$\begin{array}{ccl}
X_{2}^{[i,i+1]} \times X_{2}^{[j,j+1]} &\hookrightarrow
&
Z^{i,j}_{\leq 2}\\[2mm]
(\{x,y\} , \{z,w\}) & \mapsto & \{1,2, \ldots, i-1,x,
y, \ldots,j-1 , z, w, \ldots, n\}
\end{array}$$
Sie zeigt, da"s $\pi_1 (Z_{\leq 2}^{i,j})$ erzeugt wird von
$s_{i}$ und $s_{j}$ mit der einzigen Relation $s_{i}s_{j} =
s_{j}s_{i}$.
Im Fall $i = j -1$ haben wir Homotopie"aquivalenzen
$$\begin{array}{ccccl}
X_{3} &\hookleftarrow &X_{3}^{[i,i+2]} & \hookrightarrow & Z_{\leq
2}^{i,i+1} \\[2mm]
&&\{x,y,z\} & \mapsto & \{1, \ldots, i-1, x,y,z,i+3,
\ldots , n \} \hspace{1.6cm}
\end{array}$$
Mit dem bereits behandelten Fall
$n=3$ zeigen sie, da"s $\pi_1 (Z^{i,i+1}_{\leq 2})$ erzeugt wird von
$s_{i}$ und $s_{i+1}$ mit der einzigen Relation $s_{i}s_{i+1}s_{i}
= s_{i+1} s_{i} s_{i+1}$.
Sei nun  eine beliebige
Teilmenge $R \subset \{(i,j) \mid 1 \leq i < j <n \}$ gegeben. 
Wir behaupten, da"s
$\pi_1 (Z_{\leq 1} \cup \bigcup_{(i,j)\in R} Z_{2}^{i,j})$
erzeugt ist von $s_{1}, \ldots , s_{n-1}$ mit den Zopfrelationen
f"ur alle $(i,j) \in R$.
In der Tat folgt das nun mit Seifert-van-Kampen \ref{SvK}
und vollst"andiger
Induktion "uber $|R|$.
Der Satz ergibt sich, wenn wir $R$ maximal m"oglich w"ahlen.
\end{proof}

%\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Bemerkunge}
  "Ahnlich "uberlegt man sich, wie die Fundamentalgruppe
des Raums aller $n$-elementigen Teilmengen von $\DC^\times$ 
durch Erzeuger und Relationen dargestellt werden kann.
Hier ist der Trick, zun"achst die stetige Abbildung nach $\DC^\times$ zu
betrachten, die durch Aufmultiplizieren unserer Punkte gegeben wird,
und den Kern der von ihr auf der Fundamentalgruppe induzierten Abbildung.
Die Fundamentalgruppe selber stellt man dann als semidirektes Produkt 
dieses Kerns mit $\DZ$ dar. 
\end{Bemerkunge}


\subsection{"Uberlagerungen topologischer Gruppen*}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt universeller "Uberlagerungen}]
 Jedes endliche Produkt lokal zusammenh"angender  \hyperref[uetr]{"uberlagerungstrivialer}
  R"aume ist nach \ref{UeP} auch selbst "uberlagerungstrivial. 
  Gegeben $\tilde X\ra X$ und $\tilde Y\ra Y$ universelle "Uberlagerungen
  zusammenh"angender lokal "uberlagerungstrivialer R"aume $X,Y$ ist mithin  auch $\tilde X\times\tilde Y
  \ra X\times Y$ eine universelle "Uberlagerung.\label{PuU} 
  Besonders leicht sieht man das im Fall lokal wegetrivialer R"aume, denn 
  jedes endliche Produkt \hyperref[wetr]{wegetrivialer}
  R"aume ist offensichtlich
  wieder wegetrivial.
\end{Bemerkungl}



\begin{Proposition}
Sei $p:\tilde G\ra G$ die universelle "Uberlagerung einer\label{uutg} 
zusammenh"angenden lokal "uberlagerungstrivialen Gruppe $G$. So gilt:
\begin{enumerate}
  \item Es
  gibt  f"ur jeden Punkt $\tilde e\in \tilde G$ "uber dem neutralen
  Element $e\in G$ genau einen Lift der Ver\-kn"up\-fung mit $\tilde e$
  als neutralem Element und diese Ver\-kn"up\-fung macht $\tilde G$
  zu einer topologischen Gruppe;
\item
F"ur jede Gruppenstruktur auf $\tilde G$ nach Teil 1 ist der Kern der "Uberlagerungsabbildung $K\pdef \op{ker}p$  ein diskreter
  kommutativer Normalteiler von $\tilde G$ und wir erhalten einen
  Isomorphismus
  $$K\sira \op{Top}_G^\times \tilde G$$
  zwischen $K$ und der Deckbewegungsgruppe durch dir Vorschrift
  $k\mapsto (k\cdot)$;
\item
 F"ur jede Gruppenstruktur auf $\tilde G$ nach Teil 1 induziert die  "Uberlagerungsabbildung  einen Isomorphismus von topologischen
  Gruppen $\tilde G/K\sira G$.
\end{enumerate}
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Die erste Aussage folgt sofort daraus, da"s nach \ref{PuU}  auch die
  Abbildungen $\tilde G^{\times n}\ra G^{\times n}$
  universelle "Uberlagerungen sind. F"ur die zweite Aussage bemerken wir,
  da"s f"ur $k\in K$ sowohl $(k\cdot)$ als auch $(\cdot k)$ die eindeutig
  bestimmte Deckbewegung mit $\tilde e\mapsto k$ sein m"ussen, und damit folgt
  auch sie sofort. Die dritte Aussage folgt aus der Erkenntnis \ref{FTtu},
  da"s bei jeder universellen "Uberlagerung die Basis der Quotient des
  Totalraums nach der Gruppe der Deckbewegungen ist.
\end{proof}
  

\begin{Korollar}[\textbf{Gruppenstruktur auf zusammenh"angenden "Uberlagerungen}]
  Gegeben eine zusammenh"angende lokal "uberlagerungstriviale
  topologische Gruppe $G$ besitzt jede zusammenh"angende bepunktete
  "Uberlagerung $q:(\hat G,\hat e)\ra (G,e)$ genau eine stetige
  Verkn"upfung mit $\hat e$ als neutralem Element, f"ur die $q$ ein
  Gruppenhomomorphismus ist. 
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Die Eindeutigkeit der Verkn"upfung folgt aus unserem Satz "uber die
  Eindeutigkeit von Lifts. Die Existenz folgt daraus, da"s $(G,e)$ ja nach \ref{EuU} eine universelle "Uberlagerung $p:(\tilde G,\tilde e)\ra (G,e)$ besitzt,
  von der es dann eine Decktransformation 
  $q:(\tilde G,\tilde e)\ra (\hat G,\hat e)$ geben mu"s.
  Nun hat $\tilde G$ nach \ref{uutg} genau eine Gruppenstruktur mit
  neutralem Element $\tilde e$, f"ur die $p$ ein Gruppenhomomorphismus ist,
  deren Kern $K$ ist ein kommutativer Normalteiler und die Linksmultiplikationen mit Elementen von $K$ sind genau die Deckbewegungen.
  Nach \ref{KUEE} gibt es also eine Untergruppe $H\subset K$ derart, da"s
  $q$ einen Hom"oomorphismus $\tilde G/H\sira \hat G$ induziert. Das
  Korollar folgt. 
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{"Uberlagerungen topologischer Gruppen, Klassifikation}]
  Gegeben eine zusammenh"angende lokal "uberlagerungstriviale
  topologische Gruppe $(G,e)$ und $p:(\tilde G,\tilde e)\ra (G,e)$ ihre universelle "Uberlagerung und $K\pdef \op{ker}p$ deren Kern erhalten wir
  durch die Vorschrift $H\mapsto \tilde G/H$ eine
  "Aquivalenz von Kategorien
  $$
  \left\{ \begin{array}{c}\text{Untergruppen von $K$ mit} \\
    \text{Inklusionen als Morphismen}
  \end{array}
 \right\}
\sirra  
\left\{ \begin{array}{c}\text{Zusammenh"angende topologische}\\
\text{Gruppen"uberlagerungen von $G$} \end{array}\right\}^{\op{opp}}
$$
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Das folgt unmittelbar aus dem vorhergehenden.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{"Uberlagerungen lokal wegetrivialer Gruppen}]
  Gegeben eine zusammenh"angende lokal wegetriviale\label{wtrG} 
  topologische Gruppe $(G,e)$ erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien 
  $$
\left\{ \begin{array}{c}\text{Zusammenh"angende topologische}\\
\text{Gruppen"uberlagerungen von $G$} \end{array}\right\}^{\op{opp}}
\!\!\!\!\!\sirra  
  \left\{ \begin{array}{c}\text{Untergruppen von $\pi_1(G,e)$ mit} \\
    \text{Inklusionen als Morphismen}
  \end{array}
 \right\}
 $$
 durch die Vorschrift $(p:(\hat G,\hat e)\mapsto (G,e))\mapsto \op{im}(p_\sharp: \pi_1(\hat G,\hat e)\mapsto \pi_1(G,e))$.
\end{Korollar}
\begin{proof}
  Das folgt unmittelbar aus dem vorhergehenden zusammen mit der Identifikation
  von Fundamentalgruppe und Deckbewegungsgruppe der universellen "Uberlagerung im Fall zusammenh"angender lokal wegetrivialer R"aume.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubunge} 
Jede topologische Gruppe, die hom"oomorph ist zur 
Kreislinie $S^1$, ist bereits als topologische Gruppe
isomorph zur multiplikativen\label{TGHS}  
Gruppe $S^1$ aller komplexen Zahlen vom Betrag Eins. Hinweis: \eref{TGHR}{TM}. 
\end{Ubunge}

\subsection{"Uberlagerungen und Homotopie*}
\begin{Satz}[\textbf{\"{U}berlagerungen von Produkten}]
Seien $X,Z$ topologisch R"aume mit $Z$ "uberlagerungstrivial und lokal zusammenh\"{a}ngend.\label{PUe}
So ist das Bilden des Produkts mit $Z$ eine "Aquivalenz von Kategorien 
$$(\times Z): \op{"Ub}_X\sirra \op{"Ub}_{X\times Z}$$
zwischen der Kategorie der 
 \"{U}berlagerungen von $X$ und der Kategorie der
\"{U}berlagerungen von  $X\times Z$.
\end{Satz}

\begin{proof}[Beweis]
Sei $p :{\tilde X}_Z \ra X \times Z$ eine \"{U}berlagerung des Produkts. F\"{u}r
jedes $z \in Z$ setzen wir ${\tilde X}_{z} = p^{-1} (X \times \{z\})$ und
erhalten so  eine \"{U}berlagerung von ${\tilde X}_{z}\ra X$. Ist $Z$ 
"uberlagerungstrivial, so erkl"aren wir f\"{u}r beliebige $z, w \in Z$
Abbildungen $f_{wz} : {\tilde X}_{z} \ra {\tilde X}_{w}$ durch die Bedingung, 
da"s
$\tilde{x}$ und $f_{wz}(\tilde{x})$ im Bild desselben Lifts von $Z
\ra X \times Z$, $z \mapsto (p(\tilde{x}), z)$ liegen sollen.
Nat\"{u}rlich gilt $f_{vw} \circ f_{wz} = f_{vz}$ und $f_{zz}=\op{id}$ f\"{u}r 
alle 
$z,w,v\in Z$.
Der Satz folgt nun, sobald wir zeigen, da"s die Abbildung
$$f:{\tilde X}_{z}
\times Z \ra {\tilde X}_Z, \;\;\;\;\; (\tilde{x},w)\mapsto f_{wz} 
(\tilde{x})$$ ein
Isomorphismus von \"{U}berlagerungen ist.
Sie ist sicher bijektiv. Zeigen wir auch
noch die Stetigkeit von $f$, so ist $f$ eine bijektive Decktransformation,
also ein Isomorphismus von \"{U}berlagerungen.
F\"{u}r jedes $\tilde{x}\in {\tilde X}_Z$ finden wir eine trivial 
\"{u}berlagerte
Umgebung von $(x,w)\pdef p(\tilde{x})$ der Form $U\times W$ mit $W$
zusammenh\"{a}ngend. Die eingeschr"ankte "Uberlagerung notieren wir $p:\tilde U_W\ra U\times W$ und setzen $\tilde U_w\pdef p^{-1}(U\times \{w\})$ analog wie
zuvor. 
Dann induziert offensichtlich die Abbildung
$(\tilde{x},v) \mapsto f_{vw}(\tilde{x})$ einen Hom\"{o}omorphismus
$$\tilde U_w \times W \sira \tilde U_W$$
F\"{u}r festes $z\in Z$ und
$\tilde{x} \in {\tilde X}_{z}$ betrachten wir nun in $Z$ die
Teilmengen $Z_{s}, Z_{u}$ aller $w \in Y$ derart, da"s $f_{wz}:\tilde X_z\ra \tilde X_w$ bei
$\tilde{x}$ stetig beziehungsweise unstetig ist.
Nach dem Vorhergehenden sind sowohl $Z_{s}$ als auch $Z_{u}$
offen. Also gilt $Z=Z_{s}$ und alle $f_{wz}$ sind stetig. Daraus
folgt aber unter nochmaliger Verwendung unserer
Hom\"{o}omorphismen von eben, da"s $f$ selbst stetig ist.
\end{proof}

\begin{Korollar}\label{UeP}
Sind $X$ und $Z$ "uberlagerungstrivial und ist $Z$ zus\"{a}tzlich
lokal zusammenh\"{a}ngend, so ist auch $X \times Z$ "uberlagerungstrivial.
\end{Korollar}
\begin{proof}[Beweis]
Nach dem Satz ist  jede \"{U}berlagerung von $X \times Z$ das Produkt
einer \"{U}berlagerung von $X$ mit $Z$.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Liften von Homotopien\index{Liften!von Homotopien}}]
Seien $p:{\tilde X} \ra X$ eine \"{U}berlagerung, $Y$ ein topologischer Raum und
$H:Y\times [0,1] \ra X$ stetig.
So l\"{a}"st sich jeder Lift ${\tilde H}_{0}$ von $H_0\pdef H|_{Y\times
\{0\}}$\index{Homotopie!Liftung von}
auf genau eine Weise
zu einem Lift ${\tilde H}$ von $H$ fortsetzen.\label{LvHH} 
\end{Korollar}
\begin{Bemerkungl}
  Zum besseren Verst\"{a}ndnis des Satzes stelle ich die R\"{a}ume und
  Abbildungen, die darin vorkommen, nochmal in einem Diagramm dar.
$$\begin{array}{ccc}
  Y\times \{0\}& \overset{{\tilde H}_{0}}{\ra}&{\tilde X}\\
  \;\;\downarrow &\overset{{\tilde H}}{\nearrow}& \downarrow \\
  Y\times [0,1] &\overset{H}{\ra} &X
\end{array}$$
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}[Beweis mit \ref{PUe}]
Die Eindeutigkeit von $\tilde{H}$ ist klar nach dem 
Satz \"{u}ber Eindeutigkeit
von Lifts: Man wende ihn an auf die 
zusammenh\"{a}ngenden Teilr\"{a}ume $\{y\} \times [0,1]$.
Wir zeigen die Existenz von $\tilde{H}$. 
Der pull-back der \"{U}berlagerung $p:{\tilde X}\ra X$ mit $H$ ist eine 
\"{U}berlagerung
$Z\ra Y\times [0,1]$. Wenden wir auf diese \"{U}berlagerung Satz \ref{PUe} an,
so finden wir eine \"{U}berlagerung $q : \tilde{Y} \ra Y$
und  einen Isomorphismus 
$\tilde{Y} \times [ 0,1] \simeq Z$ 
von \"{U}berlagerungen von $Y \times [0,1]$. 
Folglich gibt es eine Abbildung $f: \tilde{Y} \times [0,1] \ra \tilde{X}$
derart, da"s das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\tilde{Y} \times [0,1] & \overset{f}{\longrightarrow} &
\tilde{X}\\
q\times\op{id} \downarrow & &\;\;\downarrow p\\
Y \times [0,1] & \overset{H}{\longrightarrow} & X
\end{array}$$
kartesisch ist. Dann definiert $\tilde{H}_{0}$ ein Rechtsinverses
$l:Y \ra \tilde{Y}$ der \"{U}berlagerung $q$ und wir erhalten
$\tilde{H}$ als $\tilde{H} = f\circ (l\times \op{id})$.
\end{proof}

\begin{proof}[Beweis ohne \ref{PUe}]
Die Eindeutigkeit von $\tilde{H}$ ist klar nach dem 
Satz \"{u}ber Eindeutigkeit
von Lifts: Man wende ihn an auf die 
zusammenh\"{a}ngenden Teilr\"{a}ume $\{y\} \times [0,1]$.
Wir zeigen die Existenz von $\tilde{H}$ in mehreren Schritten.
\\[2mm]\noindent
1. 
Der Satz gilt, falls $X$ trivial \"{u}berlagert ist, also ohne der 
Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit 
${\tilde X}= X\times F$ und $p=\op{pr}_1$.
In der Tat
ist in diesem 
Fall ${\tilde H} (y,t)=(H (y,t),\op{pr}_{2}\circ{\tilde H}_{0} (y))$ 
ein Lift von $H$ mit den gew\"{u}nschten Eigenschaften.
\\[2mm]\noindent
2.
Im allgemeinen reicht es zu zeigen, da"s jedes $y\in Y$ eine offene
Umgebung $W$ besitzt derart, da"s ${\tilde H}_{0}|_{{W\times\{0\}}}$ sich
zu einem Lift ${\tilde H}$ von $H|_{{W\times [0,1]}}$ fortsetzen l\"{a}"st.
Aufgrund der Eindeutigkeit m\"{u}ssen diese Lifts n"amlich auf den
Schnitten $(W\cap V) \times [0,1]$ zusammenfallen, und wir definieren
dann durch Verkleben den gesuchten Lift ${\tilde H} : Y\times [0,1] \ra 
{\tilde X}$.
\\[2mm]\noindent
3.
Sei nun $y\in Y$ fest. F\"{u}r jedes $t\in [0,1]$ besitzt $H(y,t)$ eine
trivial \"{u}berlagerte Umgebung, mithin gibt es offene Umgebungen $W_{t}$ 
von $y$
und $I_{t}$ von $t$ derart, da"s $H(W_{t} \times I_{t})$ in einer trivial
\"{u}berlagerten offenen Menge liegt. Hier ist ohne Beschr\"{a}nkung der
Allgemeinheit $I_{t}$ ein Intervall.
Die $I_{t}$ f\"{u}r endlich viele $t$ bedecken $[0,1]$.
Sei $W=W_{y}$ der Schnitt der zugeh\"{o}rigen $W_{t}$. 
So ist $W$ eine offene Umgebung
von $y$, und es gibt $0=t_{0}< t_{1} < t_{2} <\ldots
< t_{n} =1$ derart, da"s $H(W\times [t_{i-1},t_{i}])$ f\"{u}r alle
$i$ ganz in einer trivial \"{u}berlagerten offenen Menge in $X$ liegt.
Setzen wir induktiv vorraus, da"s ein partieller Lift 
${\tilde H} : W\times [0,t_{i}] \ra {\tilde X}$
schon konstruiert ist, so liefert uns Schritt 1 ein ${\tilde H} :W \times
[t_{i},t_{i+1}]\ra {\tilde X}$, das auf $W\times \{t_{i}\} $ mit dem vorigen 
partiellen
Lift
${\tilde H}$ \"{u}bereinstimmt und $H$ liftet, also verkleben diese beiden 
${\tilde H}$
zu einem Lift ${\tilde H} : W\times [0,t_{i+1}]\ra {\tilde X}$ und wir sind 
fertig
per Induktion.
\end{proof}







\begin{Satz}
Gegeben $Z$ "uberlagerungstrivial lokal zusammenh\"{a}ngend und  
$X$ ein beliebiger topologischer Raum\label{PUgg}
 ist das Bilden des Produkts mit $Z$ eine "Aquivalenz von Kategorien 
$$(\times Z): \op{\acute{e}tTop}_{X}\sirra 
\{p\in \op{\acute{e}tTop}_{X\times Z}\mid (p^{-1}(x\times Z)\ra Z)\in 
\op{"Ub}_Z\;\forall x\in X\}$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Da"s sich unter dieser "Aquivalenz
 die "Uberlagerungen auf beiden Seiten
 entsprechen, war die Aussage von \ref{PUe}. Der Beweis verallgemeinert
 den Beweis dort.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $p :{\tilde X}_Z \ra X \times Z$ eine \'{e}tale
Abbildung, deren Restriktion auf $x\times Z$ f"ur alle $x\in X$ eine
"Uberlagerung ist. F\"{u}r
$z \in Z$ setzen wir ${\tilde X}_{z} \pdef p^{-1} (X \times \{z\})$ und
erhalten so f\"{u}r jedes $z\in Z$ eine \'{e}tale
Abbildung nach $X$. Ist $Z$ 
"uberlagerungstrivial, so k"onnen wir f\"{u}r beliebige $z, w \in Z$
Abbildungen $f_{wz} : {\tilde X}_{z} \ra {\tilde X}_{w}$ erkl"aren 
durch die Bedingung, 
da"s
$\tilde{x}$ und $f_{wz}(\tilde{x})$ im Bild desselben Lifts von $Z
\ra X \times Z$, $z \mapsto (p(\tilde{x}), z)$ liegen sollen.
Nat\"{u}rlich gilt $f_{vw} \circ f_{wz} = f_{vz}$ und $f_{zz}=\op{id}$ f\"{u}r 
alle 
$z,w,v\in Z$.
Es reicht nun zu zeigen,
da"s f\"{u}r jedes $z\in Z$ die offensichtliche Abbildung $$f:{\tilde X}_{z}
\times Z \ra {\tilde X}_Z, \;\;\;\;\; (\tilde{x},w)\mapsto f_{wz} 
(\tilde{x})$$ ein
Hom"oomorphismus ist.
Diese Abbildung ist sicher bijektiv. K"onnen wir zeigen, da"s sie
stetig ist, so mu"s sie aufgrund der Eigenschaften \'etaler
Abbildungen \ref{VE} offen und damit ein Hom"oomorphismus sein.
F\"{u}r jedes $\tilde{x}\in {\tilde X}_Z$ finden wir eine 
Umgebung $Q_W$, die hom"oomorph auf
eine  Umgebung 
 von $p(\tilde{x})\pdef (x,w)$ 
der Form $U\times W$ abgebildet wird mit $W$
zusammenh\"{a}ngend.
Wir setzen $Q_w\pdef Q\cap( p^{-1}(U\times w))$. 
Dann induziert offensichtlich die Abbildung
$(\tilde{x},v) \mapsto f_{vw}(\tilde{x})$ einen Hom\"{o}omorphismus
$$Q_w \times W \sira Q_W$$
F\"{u}r festes $z\in Z$ und $\tilde{x} \in {\tilde X}_{z}$ betrachten wir nun in $Z$ die
Teilmengen $Z_{s}, Z_{u}$ aller $w \in Z$ derart, da"s $f_{wz}$ bei
$\tilde{x}$ stetig beziehungsweise unstetig ist.
Nach dem Vorhergehenden sind sowohl $Z_{s}$ als auch $Z_{u}$
offen. Also gilt $Z=Z_{s}$ und alle $f_{wz}$ sind stetig. Daraus
folgt aber unter nochmaliger Verwendung unserer
Hom\"{o}omorphismen von eben, da"s $f$ selbst stetig ist.
\end{proof}

\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}\label{HTZU}
 Sind zwei R\"{a}ume homotopie\"{a}quivalent, so ist der eine
"uberlagerungstrivial genau dann, wenn der andere "uberlagerungstrivial
ist.
Ist allgemeiner $X\ra Y$ eine Homotopie\"{a}quivalenz,
so liefert der pull-back eine
\"{A}quivalenz von Kategorien $\op{"Ub}_Y\sirra \op{"Ub}_X$.
\end{Ubung}




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