\section{Singul\"are Homologie} % Ossa Probleme: Erzeuger der Homologie der Sphären. % Reduzierte Homologie der leeren Menge. \subsection{Simpliziale Homologie}\label{SHo} \begin{Bemerkungl} F"ur jede Menge $\Lambda$ betrachten wir die abelsche Gruppe $$\Bbb{Z} \Lambda$$ aller der Abbildungen $f:\Lambda\ra\Bbb{Z}$, die nur auf endlich vielen Elementen von $\Lambda$ Werte ungleich Null annehmen. Die Elemente von $\Bbb{Z} \Lambda$ fassen wir auf als endliche formale Linearkombinationen von Elementen von $\Lambda$ und schreiben sie $f=\sum a_\lambda \lambda$ mit $a_\lambda=f(\lambda)\in\Bbb{Z}$\label{fag} und $\lambda \in \Lambda$. Die Gruppe $\Bbb{Z}\Lambda$ hei"st die {\bf freie abelsche Gruppe "uber $\Lambda$}. In der in \ref{fag} eingef"uhrten Notation hie"s sie $\op{Ab}\frei \Lambda$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir haben eine offensichtliche Abbildung\label{cag} $\varepsilon:\Lambda\ra \Bbb{Z} \Lambda$, die eben jedem Element die charakteristische Funktion der entsprechenden einelementigen Teilmenge zuordnet und die wir in diesem Kontext in Worten und Formeln behandeln, als ob sie die Einbettung einer Teilmenge sei. Gegeben eine weitere abelsche Gruppe $G$ l"a"st sich jede Abbildung $ \varphi: \Lambda\ra G$ auf genau eine Weise zu einem Gruppenhomomorphismus $\tilde{\varphi}:$ $\Bbb{Z} \Lambda\ra G$ fortsetzen, den wir die {\bf lineare Fortsetzung\index{lineare Fortsetzung} von} $\varphi$ nennen und in diesem Kontext auch meist mit demselben Buchstaben $\varphi$ bezeichnen. In Formeln ausgedr"uckt induziert f"ur jede abelsche Gruppe $G$ das Vorschalten von $\varepsilon$ eine Bijektion $$(\circ \varepsilon):\op{Ab}(\DZ\Lambda,G)\sira \op{Ens}(\Lambda,G)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Definition eines Simplizialkomplexes ${\cal K} = (E,{\cal K})$ aus \eref{SKk}{TF} als einer Menge $E$ von \glqq Ecken\grqq\ mitsamt einem System ${\cal K}\subset {\cal P}(E)$ von nichtleeren endlichen Teilmengen, genannt \glqq kombinatorische Simplizes\grqq\ oder auch kurz \glqq Simplizes\grqq, das unter dem Bilden von nichtleeren Teilmengen stabil ist und alle einelementigen Teilmengen von $E$ enth"alt. Eine geometrische Anschauung f"ur dieses kombinatorische Datum mag seine geometrische Realisierung $\Delta(\cal K)$ nach \eref{PolS}{TF} geben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ketten und Randoperator}] Gegeben ein Simplizialkomplex\label{RvE} ${\cal K} = (E,{\cal K})$ bezeichne ${\cal K}_{q} \pdef\{s\in \cal K \mid|s|=q+1\}$ die Menge seiner {\bf $q$-Simplizes}. Unter einem {\bf durchnumerierten $q$-Simplex} unseres Simplizialkomplexes $(E,\mathcal K)$ verstehen wir eine injektive Abbildung $s:\{0,\ldots,q\}\hra E$, deren Bild ein $q$-Simplex ist. Wir notieren diese Abbildungen in diesem Kontext meist als Tupel $(s_0,\ldots,s_q)$. Die Menge der durchnumerierten $q$-Simplizes von $(E,\mathcal K)$ notieren wir $$\mathcal K_q^{\op{dn}}$$ Gegeben eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken unseres Simplizialkomplexes nennen wir einen numerierten $q$-Simplex $s$ {\bf ordnungsvertr"aglich durchnumeriert}, wenn gilt $s_{0}< \ldots< s_{q}$. Die Menge der ordnungsvertr"aglich durchnumerierten $q$-Simplizes notieren wir $$\mathcal K_{q}^{\op{odn}}\subset \mathcal K_q^{\op{dn}}$$ Das Vergessen der Nummerierung liefert eine Bijektion $\mathcal K_{q}^{\op{odn}}\sira \mathcal K_q$. Nun erkl"aren wir einen Homomorphismus $\partial:\DZ{\cal K}_{q}^{\op{odn}}\ra \DZ {\cal K}_{q-1}^{\op{odn}}$ zwischen den freien abelschen Gruppen "uber den entsprechenden Mengen von ordnungsvertr"aglich durchnumerierten Simplizes als die lineare Fortsetzung der Abbildung $$\partial :(s_{0}, \ldots, s_{q}) \mapsto \sum_{0\leq i \leq q} (-1)^{i} (s_{0}, \ldots , \hat{s}_{i}, \ldots, s_{q})$$ mit einem Hut alias einer \glqq Tarnkappe\grqq\ "uber der wegzulassenden Ecke. Diesen Homomorphismus nennen wir den {\bf Randoperator}. Es ist leicht zu sehen, da"s in der Sequenz $$\ldots\ra\DZ{\cal K}^{\op{odn}}_{2}\ra \DZ {\cal K}^{\op{odn}}_{1}\ra \DZ {\cal K}^{\op{odn}}_{0}\ra 0$$ die Verkn"upfung je zweier aufeinanderfolgender Homomorphismen Null ist, in Formeln $\partial^2=0$. \nichtfinal{Bild, Beispiel f"ur Homologie!} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei nun ${\cal K} = (E,{\cal K})$ ein Simplizialkomplex ohne eine etwaige auf seiner Eckenmenge vorgegebene Anordnung. Gegeben $q\geq 0$ bilden wir die freie abelsche Gruppe $\DZ{\cal K}^{\op{dn}} _{q}$ "uber der Menge der durchnumerierten $q$-Simplizes und deren Quotienten \index{S@${\op{S}}_{q} {\cal K}$ Simplizialkette} $${\op{S}}_{q} {\cal K} \pdef \Bbb{Z}{\cal K}^{\op{dn}}_{q}/ \langle s \circ \pi - (\op{sgn}\pi)s \mid \sigma \in {{\cal K}}^{\op{dn}} _{q},\; \pi \in \cal{S}_{q+1}\rangle$$ In\label{SiKe} diesem Quotienten werden also je zwei durchnumerierte $q$-Sim\-pli\-zes, die sich nur in ihrer Numerierung und in dieser um eine Permutation $\pi$ unterscheiden, bis auf das Signum der fraglichen Permutation $\pi \in \cal{S}_{q+1}$ miteinander identifiziert. Wir nennen unseren Quo\-tienten ${\op{S}}_{q} {\cal K}$ die \defnoind{Gruppe der $q$-Simplizialketten\index{Simplizialkette}\index{Kette!Simplizialkette} von} ${\cal K}$. Die Klasse eines durchnumerierten $q$-Simplex $s\in{\cal K}^{\op{dn}}_{q}$ notiere ich $[s]\in {\op{S}}_{q} {\cal K}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simplizialketten und Simplizes}] Sei ${\cal K} = (E,{\cal K})$ ein Simplizialkomplex.\label{SKSII} Ist eine Anordnung $\leq$ seiner Eckenmenge $E$ gegeben, so ist f"ur jedes $q\geq 0$ die Komposition $\DZ\mathcal K_{q}^{\op{odn}}\hra \DZ\mathcal K_q^{\op{dn}} \sra {\op{S}}_{q} {\cal K}$ ein Isomorphismus $\DZ\mathcal K_q^{\op{odn}}\sira {\op{S}}_{q} {\cal K}$. Die links erkl"arten Randoperatoren lassen sich durch dieselben Formeln auf beliebige durchnumerierte Simplizes fortsetzen und dann gilt, wie man unschwer f"ur Transpositionen $\pi$ benachbarter Indizes pr"uft, $\partial(s\circ\pi - \op{sgn}(\pi)s)=0$. Folglich induzieren sie {\bf Randoperatoren} $$\partial: {\op{S}}_{q} {\cal K}\ra {\op{S}}_{q-1} {\cal K}$$ auf den Simplizialketten. A forteriori gilt auch f"ur diese $\partial^2=0$. Die so entstehende Sequenz von abelschen Gruppen $$\ldots \overset{\partial}{\rightarrow}{\op{S}}_2{\cal K} \overset{\partial}{\rightarrow} {\op{S}}_1{\cal K} \overset{\partial}{\rightarrow} {\op{S}}_0{\cal K} $$ nennen wir den {\bf Komplex der Simplizialketten}.\label{KsKS} Um mit Beschr"ankungen der Indizes keinen "Arger zu kriegen, setzen wir unsere Sequenz ins Negative fort durch Null und vereinbaren ${\op{S}}_{q}{\cal K} =0$ f"ur $q<0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Veranschaulichung von Null-Simplizialketten}] Eine Null-Sim\-pli\-zial\-ket\-te ist eine $\DZ$-wertige Funktion auf der Menge der Ecken, die h"ochstens endlich vielen Ecken einen Wert ungleich Null zuordnet. Bildlich stellen wir so eine Null-Simplizialkette dar, indem wir den Wert an jede Ecke schreiben, soweit er nicht Null ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Veranschaulichung von Eins-Simplizialketten}] Einen durchnumerierten Eins-Simplex $(s_0,s_1)$ zeichne ich als eine Kante mit einem Pfeil von der Ecke $s_0$ zur Ecke $s_1$. Eine Eins-Simplizialkette kann aufgefa"st werden als eine $\DZ$-wertige Funktion auf der Menge aller derart bepfeilten Kanten, die auf der umgekehrt bepfeilten Kante jeweils den negativen Wert annimmt und auf fast allen bepfeilten Kanten den Wert Null. Bildlich stellen wir so eine Eins-Simplizialkette dar, indem wir f"ur jede Kante, auf der der Wert nicht eh null ist, eine Bepfeilung w"ahlen und den Wert f"ur diese Bepfeilung an die Kante schreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Veranschaulichung von Zwei-Simplizialketten}] Die durch einen durchnumerierten Zwei-Simplex $(s_0,s_1,s_2)$ gegebene Zwei-Simplizialkette zeichne ich als Dreiecksfl"ache mit einem Kreispfeil, der andeutet, in welcher Richtung man auf dem Rand herumgehen mu"s, wenn man von der Ecke $s_0$ "uber die Ecke $s_1$ zur Ecke $s_2$ gehen will. Da alle zyklischen Permutationen in $\mathcal S_3$ gerade sind, ist das sinnvoll. Dieselbe Dreiecksfl"ache mit einem Kreispfeil in der Gegenrichtung stellt dann das Negative unserer Zwei-Simplizialkette dar. Eine beliebige Zwei-Sim\-pli\-zial\-ket\-te eines Simplizialkomplexes ist eine $\DZ$-wertige Funktion auf der Menge aller kreisbepfeilten Dreiecksfl"achen, die auf der umgekehrt bepfeilten Dreiecksfl"ache jeweils den negativen Wert annimmt und auf fast allen kreisbepfeilten Dreiecksfl"achen den Wert Null. Bildlich stellen wir so eine Zwei-Simplizialkette dar, indem wir f"ur jede Dreiecksfl"ache, auf der der Wert nicht eh null ist, eine Kreisbepfeilung w"ahlen und den Wert f"ur diese Kreisbepfeilung in die Dreiecksfl"ache schreiben. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BiRaS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Anschauung f"ur den Rand einer 2-Simplizialkette. In der linken Spalte habe ich versucht, zwei Elemente der freien abelschen Gruppe "uber der Menge der numerierten Simplizes graphisch darzustellen, die dieselbe Simplizialkette repr"asentieren, sowie ganz unten besagte Simplizialkette selber. In der rechten Spalte werden die jeweiligen R"ander angedeutet. Die Zahlen an den Ecken stehen f"ur die durch die jeweilige Nummerierung. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Komplex der Simplizialketten}] Anschaulich mag man sich eine $0$-Simplizialkette vorstellen als eine endliche formale Linearkombination von Ecken mit ganzzahligen Koeffizienten; eine $1$-Simplizialkette als eine endliche formale Linearkombination von bepfeilten Kanten, wobei eine umgekehrt bepfeilte Kante mit dem Negativen der urspr"unglichen bepfeilten Kante zu identifizieren ist; den Rand einer bepfeilten Kante als Endpunkt minus Anfangspunkt; eine $2$-Simplizialkette als eine endliche formale Linearkombination von bekreispfeilten Dreiecksfl"achen, wobei die umgekehrt bekreispfeilte Dreiecksfl"ache mit dem Negativen der urspr"unglichen bekreispfeilten Dreiecksfl"ache zu identifizieren ist; und den Rand einer bekreispfeilten Dreiecksfl"ache als die Summe ihrer drei Kanten, jeweils versehen mit der Richtung, f"ur die sie einen Rundweg in der durch den Kreispfeil gegebenen Laufrichtung bilden. Die Herkunft der Bezeichnung $\partial$ f"ur die Randoperatoren wird in \eref{BeDe}{AN2} diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSiKee} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein Simplizialkomplex und darin eingezeichnet eine $1$-Simplizialkette, bestehend aus der formalen Summe der mit einem Pfeil versehenen fetten Kanten mit jeweils dem Koeffizienten $8$. Ebenfalls eingezeichnet der Rand dieser Simplizialkette, die formale Summe der zwei besonders fetten Punkte mit den darangeschriebenen Koeffizienten $\pm 8$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Sei ${\cal K}$ ein Simplizialkomplex. Wir setzen: \begin{description} \item[${\op{Z}}_q{\cal K}$]$ \pdef\ker (\partial_{q}:{\op{S}}_q{\cal K}\ra{\op{S}}_{q-1}{\cal K}) $ die Gruppe der\index{Simplizialzykel}\index{Zykel!simplizialer} \defnoind{$q$-Simplizialzykel};\index{Z@${\op{Z}}_q{\cal K}$ Simplizialzykel} \item[${\op{B}}_q{\cal K}$]$\pdef\op{im} \partial_{q+1}$ die Gruppe der\index{Simplizialrand} \defnoind{$q$-Simplizialr"ander}\index{Rand!simplizialer} (englisch boundaries);\index{B@${\op{B}}_q{\cal K}$ Simplizialr"ander} %\vspace{2mm} \item[${\op{H}}_q{\cal K}$]$\pdef {\op{Z}}_{q}{\cal K}/{\op{B}}_{q}{\cal K}$ die \defnoind{$q$-te simpliziale Homologiegruppe}\index{Homologiegruppe!simpliziale}\index{simplizial!Homologiegruppe} von ${\cal K}$. \index{H@${\op{H}}_q$ simpliziale Homologie} \end{description} In der letzten Zeile ist die Quotientengruppe aus \eref{KdR}{LA2} gemeint. \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSimpH} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Zwei homologe $1$-Simplizialzykel in einem zweidimensionalen Simplizialkomplex. F"ur die Summe aller mit der Orientierung \glqq im Uhrzeigersinn\grqq\ versehenen Zwei-Simplizes ist der Rand dieser $2$-Simplizialkette die Differenz der durch Doppelpfeile beziehungsweise einfache Pfeile angedeuteten $1$-Zykel. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur Homologiegruppen}] Anschaulich beschreiben die verschiedenen Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes ${\cal K}$ verschiedene Arten von L"ochern seiner geometrischen Realisierung $\Delta ({\cal K})$. Zum Beispiel liefert \ref{HPu} in Verbindung mit \ref{SH} einen Isomorphismus zwischen ${\op{H}}_0{\cal K}$ und der freien abelschen Gruppe "uber der Menge der Zusammenhangskomponenten von $\Delta ({\cal K})$, die ja durch eine gewisse Art von L"ochern voneinander getrennt werden; der \glqq Hu\-re\-wicz-Iso\-mor\-phis\-mus\grqq\ \ref{Hu} in Verbindung mit \ref{SH} liefert einen Isomorphismus zwischen ${\op{H}}_1{\cal K}$ und dem maximalen abelschen Quotienten der Fundamentalgruppe von $\Delta ({\cal K})$, der eine andere Art von L"ochern beschreibt; und die \glqq Alexanderdualit"at\grqq\ \eref{ADu}{TG} in Verbindung mit \ref{SH} liefert f"ur jede Einbettung der Realisierung $\Delta ({\cal K})$ eines endlichen Simplizialkomplexes $\cal K$ in $\DR^3$ einen Isomorphismus zwischen ${\op{H}}_2{\cal K}$ und der freien abelschen Gruppe "uber der Menge der beschr"ankten Zusammenhangskomponenten des Komplements von $\Delta ({\cal K})$ alias der freien abelschen Gruppe "uber der Menge der \glqq Kavit"aten\grqq\ unserer Realisierung, die eine wieder andere Art von L"ochern beschreibt. Die h"oheren Homologiegruppen beschreiben "ahnliche Ph"anomene in h"oheren Dimensionen, f"ur die ich keine so konkrete r"aumliche Anschauung mehr anbieten kann. \end{Bemerkungl} \newpage \begin{Beispiel} Ist $E$ eine Menge und $\mathcal M=\mathcal M(E)=(E,\cal{M})$ der maximale Simplizialkomplex mit Eckenmenge $E$, so ist der Komplex der Simplizialketten kanonisch isomorph in positiven Graden zum Komplex aus dem gleich anschlie"senden Lemma \ref{HKHKk}, und zwar f"ur jede Anordnung von $E$. Genauer sind f"ur $q\geq 0$ die $(q+1)$-elementigen Teilmengen von $E$ genau die $q$-Simplizes von $\mathcal M$, wir haben also in der im folgenden eingef"uhrten Notation $\mathcal M_{q}=\mathcal P_{q+1}E$. Davon ausgehend erhalten wir unschwer ein kommutatives Diagramm mit Isomorphismen in den Vertikalen $$\begin{array}{ccccccccccc} 0 & \leftarrow &\Bbb{Z} \cal{P}_{0}E &\leftarrow & \Bbb{Z}\cal{P}_1E &\leftarrow &\Bbb{Z} \cal{P}_2E & \leftarrow &\Bbb{Z} \cal{P}_3E &\leftarrow & \ldots \\ &&\da\wr&&\da\wr&&\da\wr&&\da\wr&&\\ 0 & \leftarrow &\DZ &\leftarrow & \cal{S}_0\mathcal M &\leftarrow &\cal{S}_1\mathcal M & \leftarrow &\cal{S}_2\mathcal M&\leftarrow & \ldots \end{array} $$ Folglich liefert Lemma \ref{HKHKk} f"ur $E\neq \emptyset$ einen Isomorphismus ${\op{H}}_0\cal{M}\cong\DZ$ und zeigt weiter ${\op{H}}_q\cal{M}=0$ f"ur $q>0$. Die geometrische Realisierung $\Delta(\cal{M})$ von $\cal{M}=\cal{M}(E)$ ist f"ur nichtleeres endliches $E$ ein voller Simplex mit $|E|$ Ecken. Unsere Erkenntnis mag man anschaulich dahingehend interpretieren, da"s solch ein voller Simplex \glqq aus einem St"uck besteht und keine L"ocher hat\grqq. \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Azyklizit"at von Simplizes}] F"ur jede nichtleere angeordnete Menge $E\neq\emptyset$ ist der Komplex $$0 \leftarrow \Bbb{Z} \cal{P}_{0}E \leftarrow \Bbb{Z}\cal{P}_1E \leftarrow \Bbb{Z} \cal{P}_2E \leftarrow \Bbb{Z} \cal{P}_3E \leftarrow \ldots $$ exakt,\label{HKHKk} wo $\cal{P}_nE$ das System aller $n$-elementigen Teilmengen von $E$ bezeichnet und der Randoperator $\partial :\Bbb{Z} \cal{P}_{n+1}E\ra \Bbb{Z} \cal{P}_{n}E$ durch die Formel aus \ref{RvE} gegeben wird, so da"s wir f"ur $v_{0}< \ldots< v_{n}$ haben $$\partial:\{v_{0}, \ldots, v_{n}\} \mapsto \sum_{0\leq i \leq n} (-1)^{i} \{v_{0}, \ldots , \hat{v}_{i}, \ldots, v_{n}\}$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Wir verstehen hier Exaktheit im Sinne von \eref{exSG}{LA2}. Ausgeschrieben behaupten wir also, da"s an jeder Stelle der Kern des auslaufenden Pfeils mit dem Bild des einlaufenden Pfeils zusammenf"allt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $E$ endlich annehmen. Ist dann $v \in E$ das kleinste Element und definieren wir Gruppenhomomorphismen $\delta : \Bbb{Z} \cal{P}_nE \ra \Bbb{Z} \cal{P}_{n+1}E$ durch die Vorschrift $\delta \{v_{1}, \dots , v_{n}\} = \{v, v_{1}, \ldots, v_{n}\}$ falls $v\not\in \{v_{1}, \dots , v_{n}\}$ beziehungsweise $\delta \{v_{1}, \dots , v_{n}\} = 0$ sonst, so pr"uft man leicht an jeder Stelle $\partial \delta + \delta \partial = \op{id}$. Also ist in unserem Komplex jeder Zykel ein Rand. \end{proof} \begin{proof}[Beweis mit Tensorkomplexen] Bezeichne $A(E)$ den Komplex in unserem Lemma. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $E$ endlich annehmen. Uns reicht im weiteren sogar die Annahme, da"s $E$ ein kleinstes Element $v$ hat. Der Komplex $\DZ\sira \DZ$ konzentriert in homologischen Graden $1$ und $0$ mit der Identit"at als Differential ist offensichtlich nullhomotop. Ebenso ist auch der Komplex $A(v)$ oder pr"aziser notiert $A(\{v\})$ zur einelementigen Menge $\{v\}$ offensichtlich nullhomotop. Schlie"slich liefern die offensichtlichen Formeln einen Isomorphismus von Komplexen $$A(v)\otimes A(E\backslash v)\sira A(E)$$ Damit ist auch $A(E)$ nullhomotop als Tensorprodukt mit einem nullhomotopen Komplex. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Varianten zur Azyklizit"at von Simplizes}] Fast derselbe Beweis liefert auch die Exaktheit von zwei weiteren Komplexen, n"amlich f"ur jede nichtleere angeordnete Menge $E$ dem Komplex $B(E)$ der freien abelschen Gruppen "uber der Menge aller monotonen statt streng monotonen Abbildungen $\{1,\ldots,n\}\ra E$ alias Symbolen $(v_{1}, \ldots, v_{n})$ mit $v_{1}\leq \ldots\leq v_{n}$, und f"ur jede nichtleere Menge $E$ dem Komplex $C(E)$ der\label{HKHKn} freien abelschen Gruppen "uber der Menge aller Abbildungen $\{1,\ldots,n\}\ra E$ mit dem durch die immer selbe Formel gegebenen Rand\-ope\-ra\-tor. Im ersten Fall zieht man sich wieder auf den endlichen Fall zur"uck und nimmt als $\delta$ das Davorschreiben der kleinsten Ecke. Im zweiten Fall nimmt man als $\delta$ das Davorschreiben einer beliebigen fest gew"ahlten Ecke. Als letzte Variante betrachten wir den Quotientenkomplex $C^{\op{alt}}(E)$ von $C(E)$, bei dem wir jeweils den Quotienten $C^{\op{alt}}(E)_n$ von $C(E)_n$ nach der Untergruppe erzeugt von allen $(v_{1}, \ldots, v_{n})-\op{sgn}(\sigma)(v_{\sigma(1)},\ldots,v_{\sigma(n)})$ sowie allen $(v_{1}, \ldots, v_{n})$ mit zwei gleichen Eintr"agen. Die Komposition $A(E)\hra C(E)\sra C^{\op{alt}}(E)$ ist dann ein Isomorphismus von Kettenkomplexen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} In der in \ref{dHo} eingef"uhrten Terminologie zeigt unser Beweis sogar, da"s alle drei in \ref{HKHKk} und \ref{HKHKn} betrachteten Komplexe nullhomotop sind.\label{nht} In der Sprache der Tensorkomplexe sind die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen $$A(v)\otimes B(E)\sira B(E)\quad\text{und}\quad A(v)\otimes C(E)\sira C(E)$$ f"ur $E$ endlich nichtleer und $v$ das kleinste Element beziehungsweise $v\in E$ beliebig und das liefert wieder einen alternativen Beweis f"ur die Exaktheit unter der Annahme $E\neq\emptyset$. In \eref{AMBM}{TG} zeigen wir allgemeiner, da"s f"ur viele \glqq Koeffizientensysteme\grqq\ $\mathcal M$ die offensichtlichen Kettenabbildungen $A(E;\mathcal M)\ra B(E;\mathcal M) \ra C(E;\mathcal M)$ Isomorphismen auf der Homologie induzieren. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Ist $(E,\cal{K})$ ein Simplizialkomplex mit $3\leq |E|<\infty$ und $\cal{K}$ der Menge aller nichtleeren echten Teilmengen $T\subset E, T\neq E,\emptyset$, so erhalten wir in derselben Weise $\op{H}_0\cal{K}\cong\DZ, \op{H}_n\cal{K}\cong\DZ$ f"ur $n\pdef |E|-2$ und $\op{H}_q\cal{K}=0$ f"ur $q\neq 0,n$. Die Realisierung $\Delta(\cal{K})$ von $\mathcal K$ ist der \glqq anschauliche Rand\grqq\ eines vollen Simplex mit $n+2$ Ecken. Unsere Erkenntnis mag man anschaulich dahingehend interpretieren, da"s solch ein Rand \glqq aus einem St"uck besteht und au"ser einem Loch in Dimension $n$ keine weiteren L"ocher hat\grqq. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Persistente Homologie}] Ein Verfahren der Informatik zur Untersuchung von \glqq Datenwolken\grqq\ alias gro"sen Teilmengen eines $\DR^N$ besteht darin, daraus zun"achst in geeigneter Weise eine aufsteigende Folge von Simplizialkomplexen $$\mathcal K^1\subset \mathcal K^2\subset\ldots\subset \mathcal K^n$$ zu bilden und dann f"ur gegebenes $q$ die Sequenz der Homologiegruppen $${\op{H}}_q(\mathcal K^1;k)\ra {\op{H}}_q(\mathcal K^2;k)\ra\ldots\ra {\op{H}}_q(\mathcal K^n;k)$$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$. Diese Sequenz k"onnen wir als graduierten $k[t]$-Modul auffassen und nach \eref{jhk}{KAG} in eine direkte Summe von unzerlegbaren Moduln zerlegen, bei denen jede homogene Komponente h"ochstens die Dimension Eins hat. Die Multimenge der Isomorphieklassen der Summanden ist nach Krull-Schmid unabh"angig von der Zerlegung, und die \glqq Summanden hoher Dimension\grqq\ liefern dann relevante Informationen "uber unsere Datenwolke. Sie entsprechen Homologieklassen, die erst unter einer vergleichsweise langen Komposition von Morphismen unserer Sequenz sterben, daher die Bezeichnung als \glqq persistente Homologie\grqq. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Zerlegung der Homologie}] Seien $(\mathcal K^w)_{w\in W}$ Simplizialkomplexe und $\mathcal K\pdef \coprod \mathcal K^{w}$ ihre disjunkte Vereinigung. Man konstruiere einen Isomorphismus $\bigoplus_{w\in W} {\op{H}}_{q} \mathcal K^{w} \sira {\op{H}}_{q} \mathcal K$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne die simpliziale Homologie der \glqq Vereinigung der Kanten eines Tetraeders\grqq, also $|E|=4$ und $\cal{K}$ alle Teilmengen mit h"ochstens zwei Elementen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Besitzt ein Simplizialkomplex eine Ecke mit der Eigenschaft, da"s jeder Simplex bei Dazunehmen dieser Ecke ein Simplex bleibt, so verschwinden seine h"oheren simplizialen Homologiegruppen und seine nullte Homologiegruppe ist isomorph zu $\DZ$. Hinweis: \ref{HKHKk}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man berechne die simpliziale Homologie des \glqq Randes eines Quadrats\grqq. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nullte Homologie}] Man zeige, da"s gegeben ein Simplizialkomplex $\cal{K}$ das Bild der offensichtlichen Abbildung $\cal{K}_0\ra {\op{H}}_0\cal{K}$ eine $\DZ$-Basis ist und da"s zwei Ecken aus $\cal{K}_0$ dasselbe Basiselement liefern genau dann, wenn sie durch einen \glqq Kantenweg\grqq\ verbunden werden k"onnen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man f"ugt bei einem Simplizialkomplex eine Kante zwischen zwei bereits existierenden Ecken hinzu. Wie k"onnen sich die Homologiegruppen unseres Simplizialkomplexes dabei "andern? \end{Ubung} \begin{Ubung} Man rechne nach, da"s die zweite simpliziale Homologie eines \glqq hohlen Tetraeders\grqq\ isomorph ist zu $\DZ$. Ich stelle mir hier vor, dass man den Kern der Matrix des Randoperators $\partial_2$ mithilfe der Methoden aus dem Elementarteilersatz bestimmt, wie er in der Algebra oder linearen Algebra \eref{ETS}{LA2} vorgekommen sein sollte. \end{Ubung} \subsection{Singul"are Homologie}\label{DsH} \begin{Bemerkungl} Unser n"achstes Ziel ist zu zeigen, da"s die simplizialen Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes $\cal K$ bis auf Isomorphismus nur vom topologischen Raum $\Delta ({\cal K})$ abh"angen und nicht von der gew"ahlten Triangulierung. Dazu erkl"aren wir ganz allgemein f"ur einen beliebigen topologischen Raum seine \glqq singul"aren Homologiegruppen\grqq\ und konstruieren ganz am Schlu"s dieses Abschnitts in \ref{SH} Isomorphismen zwischen den simplizialen Homologiegruppen eines Simplizialkomplexes und den singul"aren Homologiegruppen seiner Realisierung $\Delta ({\cal K})$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{StaSi} Sei $q\geq 0$. Der topologische Raum $$\Delta_q\pdef\left\{(x_0,\ldots,x_q)\in\DR^{q+1}\;\left|\; 0\leq x_i\leq 1,\;\sum x_i=1\right.\right\}$$ hei"st der \defnoind{$q$-te Standardsimplex}\index{Standardsimplex}. Es ist also $\Delta_0$ ein Punkt, $\Delta_1$ ein Geradensegment, $\Delta_2$ eine Dreiecksfl"ache, $\Delta_3$ ein massiver Tetraeder und so weiter. \end{Definition} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $\sigma:\Delta_q\ra X$ des $q$-ten Standardsimplex $\Delta_{q}$ in einen topologischen Raum $X$ hei"st ein \defnoind{singul"arer $q$-Simplex\index{singul"ar!$q$-Simplex} von}\index{Simplex!singul"arer} $X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Das Adjektiv singul"ar ist hier in dem Sinne zu verstehen, da"s wir au"ser der Stetigkeit keine Forderungen an $\sigma$ stellen. Wir erlauben also auch nicht-injektive, ja sogar konstante Abbildungen $\sigma$ als singul"are Simplizes, so da"s das Adjektiv singul"ar zumindest einen Teil unserer singul"aren Simplizes recht gut beschreibt. Der Buchstabe ${\op{S}}$ bei ${\op{S}}_qX$ steht jedoch f"ur \glqq Simplex\grqq, nicht etwa f"ur \glqq singul"ar\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir bezeichnen mit $${\op{S}}_{q}X\pdef\Bbb{Z}\op{Top} (\Delta_{q},X) =\op{Ab}\frei \op{Top} (\Delta_{q},X)$$ die freie abelsche Gruppe "uber der Menge aller singul"aren $q$-Simplizes von $X$ und nennen ihre Elemente\index{singul"ar!$q$-Kette}\index{Kette!singul"are} {\bf singul"are $q$-Ketten}.\index{S@${\op{S}}_{q}X$ singul"are $q$-Ketten} Um mit Beschr"ankungen der Indizes keinen "Arger zu kriegen, vereinbaren wir zus"atzlich ${\op{S}}_qX=0$ f"ur $q< 0$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Gruppen der singul"aren Ketten sind im allgemeinen riesig. Zum Beispiel liefert die offensichtliche Bijektion $\op{Top} (\Delta_{0},X)\sira X$ Grup\-pen\-iso\-mor\-phis\-men ${\op{S}}_0X\sira \Bbb{Z} X$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSinK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine singul"are $1$-Kette in der Papierebene. Das Bild von $(0,1)\in\Delta_1$ ist jeweils durch eine Pfeilspitze kenntlich gemacht. Die Parametrisierung dieser ganzen W"urmer kann ich nicht darstellen. Es werden im allgemeinen auch welche darunter sein, deren Bild beliebige Kompakta der Papierebene sind, vergleiche \ref{FKHi}. Der Rand ist die formale Summe \glqq Endpunkte minus Anfangspunkte\grqq. \end{minipage} \end{figure} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRaz} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein singul"arer $2$-Simplex mit seinem Rand. Kein sehr gutes Bild, \nichtfinal{Verbessern!} \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition}\label{Kabb} F"ur $q\geq 1$ und $0\leq i\leq q$ erkl"aren wir die {\bf $i$-te Kantenabbildung}\index{Kantenabbildung} $$k_i=k_i^q:\Delta_{q-1}\ra \Delta_q$$ dadurch, da"s sie nach der $i$-ten Stelle die Koordinate Null einf"ugen soll. Dann erkl"aren wir f"ur alle $q$ einen Gruppenhomomorphismus $\partial=\partial_q:{\op{S}}_qX\ra {\op{S}}_{q-1}X$, den sogenannten {\bf Randoperator}: F"ur $q\leq 0$ setzen wir schlicht $\partial_q=0$ und f"ur $q\geq 1$ erkl"aren wir $\partial_q$ durch die Vorschrift, da"s f"ur jeden singul"aren $q$-Simplex $\sigma$ gelten soll $$\partial(\sigma)=\sum_{i=0}^q (-1)^i\sigma\circ k_i$$ Nat"urlich sind die Elemente von ${\op{S}}_qX$ eigentlich formale $\Bbb{Z}$-Linearkom\-bina\-tio\-nen von $q$-Simplizes und gemeint ist die lineare Fortsetzung des durch diese Formel auf den Simplizes erkl"arten Randoperators. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{DD} Es gilt $\partial_{q-1}\circ\partial_q=0$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir m"ussen nur f"ur jeden $q$-Simplex $\sigma$ mit $q\geq 2$ pr"ufen, da"s gilt $\partial_{q-1}\circ\partial_q(\sigma)=0$. Nun pr"uft man sofort, da"s gilt $k_i^{q}\circ k_j^{q-1}=k_{j}^{q}\circ k_{i-1}^{q-1}$ falls $i>j$. Es folgt $$\begin{array}{ll} \partial_{q-1}\circ\partial_q(\sigma) &=\partial_{q-1}\sum_{i=0}^q (-1)^i\sigma\circ k_i\\[2mm] &=\sum_{0\leq i\leq q,\; 0\leq j\leq {q-1}}(-1)^{i+j}\sigma\circ k_i\circ k_j\end{array}$$ und wir sehen, da"s sich in dieser Doppelsumme die Terme mit $i>j$ und die Terme mit $i\leq j$ gegenseitig aufheben. \end{proof} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren: \begin{description} \item[${\op{Z}}_qX$]$\pdef\ker (\partial_{q}:{\op{S}}_qX\ra {\op{S}}_{q-1}X)$, die Gruppe der \defnoind{singul"aren\index{Z@${\op{Z}}_{q}X$ singul"are Zykel} $q$-Zykel};\index{Zykel!singul"arer} \item[${\op{B}}_qX$]$\pdef\op{im} \partial_{q+1}$ die Gruppe der \defnoind{singul"aren $q$-R"ander}\index{Rand!singul"arer} (englisch boundaries);\index{B@${\op{B}}_{q}X$ singul"are R"ander} \vspace{2mm} \item[${\op{H}}_qX$]$\pdef {\op{Z}}_{q}X/{\op{B}}_{q}X$ die \defnoind{$q$-te singul"are Homologiegruppe} \index{Homologiegruppe!singul"are} von $X$. \index{H@${\op{H}}_{q}$ singul"are Homologie} \end{description} \vspace{2mm} \noindent Die Nebenklasse in ${\op{H}}_{q}X$ eines Zykels $c\in {\op{Z}}_{q}X$ hei"st seine \defind{Homologieklasse} und wird mit $[c]\in {\op{H}}_{q}X$ bezeichnet. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Zykel und R"ander sind nat"urlich Untergruppen in der Gruppe aller Ketten, nach \ref{DD} gilt genauer ${\op{B}}_qX\subset {\op{Z}}_qX\subset {\op{S}}_qX$. Deshalb ist es auch "uberhaupt nur m"oglich, die Quotientengruppe ${\op{H}}_qX= {\op{Z}}_{q}X/{\op{B}}_{q}X$ zu bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HomK} Sp"ater werden wir noch andere Homologietheorien kennenlernen. Die hier vorgestellte Theorie hei"st genauer die {\bf singul"are Homologie mit ganzzahligen Koeffizienten}.\index{singul"ar!Homologie} \index{Homologie!singul"are} Wollen wir besonders betonen, da"s wir die singul"are Homologie eines topologischen Raums meinen, schreiben wir statt ${\op{H}}_qX$ genauer ${\op{H}}^{\op{sing}}_qX$. \index{H@${\op{H}}^{\op{sing}}_q$ singul"are Homologie} Statt Koeffizienten in $\mathbb{Z}$ k"onnen wir als Koeffizienten in unseren formalen Linearkombinationen von Simplizes auch Elemente einer beliebigen abelschen Gruppe $G$ zulassen und erhalten dann auf dieselbe Weise weitere abelsche Gruppen, die die {\bf singul"aren Homologiegruppen von $X$ mit Koeffizienten in}\index{singul"aren Homologie! mit Koeffizienten} $G$ hei"sen und ${\op{H}}_q (X;G)$ notiert werden. So erhalten wir sogar in offensichtlicher Weise Funktoren $\op{Top}\times \op{Ab}\ra \op{Ab}$ und insbesondere wird f"ur jeden $k$-Vektorraum $G$ auch ${\op{H}}_q (X;G)$ ein $k$-Vektorraum in nat"urlicher Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf den ersten Blick sehen unsere Homologiegruppen recht unhandlich aus: Es sind Quotienten einer riesigen abelschen Gruppe durch eine fast ebenso riesige Untergruppe. Wir werden aber sehen, da"s unsere ${\op{H}}_{q}$ so sch"one Eigenschaften haben, da"s man sie dennoch f"ur viele interessante R"aume sehr explizit berechnen und verstehen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Homologie eines Punktes}]\index{Homologie!eines Punktes}\label{HPu} F"ur den einpunktigen Raum $X = \op{top} $ gilt ${\op{H}}_{q} (\op{top}) = 0$ f"ur $q \neq 0$. Des weiteren ist der einzige Nullsimplex $\sigma:\Delta_0\ra \op{top}$ ein Zykel und die Vorschrift $1\mapsto [\sigma]$ liefert einen Isomorphismus $$\Bbb{Z}\sira {\op{H}}_{0} (\op{top})$$ In der Tat gibt es f"ur jedes $q \geq 0$ genau einen $q$-Simplex in $\op{top}$, also gilt ${\op{S}}_{q}(\op{top}) \cong \Bbb{Z}$ f"ur alle $q\geq 0$ und die Randabbildung $\partial_{q}$ verschwindet f"ur $q$ ungerade und $q\leq 0$, ist aber ein Isomorphismus f"ur $q\geq 2$ gerade. Wir bezeichnen die Homologieklasse des einzigen Nullsimplex mit $\delta\pdef [\sigma]\in {\op{H}}_{0} (\op{top})$ und nennen sie den {\bf kanonischen Erzeuger}\index{kanonischer Erzeuger!der nullten Homologie des Punktraums} der nullten Homologie des einpunktigen Raums.\index{d@$\delta\in {\op{H}}_{0} (\op{top})$} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Homologie und Wegzusammenhangskomponenten}] Ist $X = \coprod X_{w}$ die Zerlegung eines topologischen Raums $X$ in seine\label{HKoPo} Wegzusammenhangskomponenten, so sind die hoffentlich offensichtlichen Isomorphismen $ \bigoplus {\op{S}}_{q} X_{w}\sira{\op{S}}_{q} X $ vertr"aglich mit den Randoperatoren und induzieren folglich Isomorphismen $$\bigoplus {\op{H}}_{q} X_{w}\;\sira\; {\op{H}}_{q} X $$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Nullte Homologie}] F"ur jeden topologischen Raum $X$ faktorisiert die Abbildung\label{NuHo} $X\ra {\op{H}}_{0}X$, die jedem Punkt $x\in X$ die Homologieklasse $\delta_x$ des konstanten Nullsimplex $\sigma_x$ mit besagtem Punkt als Wert zuordnet, "uber die Menge $\pi_{0}(X)$ der Wegzusammenhangskomponenten von $X$ und induziert einen Isomorphismus $$\Bbb{Z}\pi_{0}(X) \sira {\op{H}}_{0}X$$ zwischen der freien abelschen Gruppe "uber der Menge $\pi_{0}(X)$ der Wegzusammenhangskomponenten von $X$ und der nullten Homologie von $X$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} F"ur eine Wegzusammenhangskomponente $w$ von $X$ bezeichne $\delta_w\in {\op{H}}_{0}X$\index{d@$\delta_w\in {\op{H}}_{0}X$} die Klasse eines und jedes Nullsimplex aus unserer Komponente. Die $\delta_w$ bilden dann also eine Basis von ${\op{H}}_{0}X$.\label{detw} \end{Bemerkungl} \begin{proof} In der Tat reicht es nach dem vorhergehenden Beispiel \ref{HKoPo}, das f"ur $X$ wegzusammenh"angend zu pr"ufen. Wir haben jedoch eine nat"urliche Abbildung, die sogenannte \defnoind{Augmentation}\index{Augmentation!bei singul"aren Ketten} $$ \begin{array}{cccc} \varepsilon :& {\op{S}}_{0} X &\ra &\Bbb{Z}\\ &\sum a_{x} x &\mapsto& \sum a_{x} \end{array} $$ Es reicht sicher, f"ur wegzusammenh"angendes $X$ die Formel $\ker \varepsilon = \op{im} \partial_{1}$ zu zeigen. Nun wird aber $\op{im}\partial_{1}$ erzeugt von allen formalen Summen $x-y$ mit $x,y \in X$, denn je zwei Punkte lassen sich durch einen Weg verbinden. Daraus folgt dann sofort $\ker \varepsilon = \op{im} \partial_{1}$. \end{proof}\begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPris} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein $1$-Simplex $\sigma$ und der daraus durch Anwenden des Prismenoperators zu einem Punkt $p$ entstehende $2$-Simplex ${\op{P}}\sigma$. \nichtfinal{"Andere $p$ zu $s$!} \end{minipage} \end{figure} \begin{Lemma}[\textbf{Homologie konvexer Mengen}]\index{Homologie!konvexer Mengen} Gegeben $K \subset \DR^{n}$ eine konvexe Teilmenge gilt\label{Kon} ${\op{H}}_{q} K=0$ f"ur $q> 0$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $K$ leer, so ist eh nichts zu zeigen. Sonst zeichnen wir einen beliebigen Punkt $s \in K$ aus und definieren f"ur $q \geq 0$ den {\bf Prismen-Operator}\index{Prismen-Operator} $${\op{P}}={\op{P}}^s={\op{P}}_{q}^s: {\op{S}}_{q} K \ra {\op{S}}_{q+1} K$$ der \glqq jeden $q$-Simplex durch Verbinden mit dem ausgezeichneten Punkt $s$ zu einem $(q+1)$-Simplex erweitert\grqq, ganz "ahnlich wie beim Beweis von \ref{HKHKk}. Formal definieren wir ${\op{P}}$ auf Simplizes $\sigma: \Delta_{q} \ra K$ dadurch, da"s ${\op{P}}\sigma$ der Simplex ${\op{P}} \sigma :\Delta_{q+1} \ra K$ sein soll mit $({\op{P}}\sigma) (1-\tau, \tau x_{0}, \ldots, \tau x_{q}) = (1-\tau) s + \tau \sigma (x_{0},\ldots,x_{q})$ f"ur alle $\tau \in [0,1]$. Hier ist ${\op{P}}\sigma$ stetig, da $[0,1] \times \Delta_{q} \ra \Delta_{q+1}$, $(\tau,x_{0}, \ldots,x_{q}) \mapsto (1-\tau, \tau x_{0}, \ldots, \tau x_{q})$ als stetige Surjektion eines Kompaktums auf einen Hausdorffraum nach \eref{IIA}{TM} final ist. Nun setzen wir ${\op{P}}$ linear auf Ketten fort und pr"ufen die Relation $\partial {\op{P}} + {\op{P}} \partial = \op{id} : {\op{S}}_{q}K \ra {\op{S}}_{q} K$ f"ur $q>0$. In der Tat gilt ja $$\begin{array}{rcl} \partial ({\op{P}}\sigma)& =& \sum_{0\leq j\leq q + 1} (-1)^{j} ({\op{P}}\sigma) \circ k_{j}^{q+1}\\[2mm] {\op{P}}(\partial\sigma) & = & \sum_{0\leq j \leq q} (-1)^{j} {\op{P}} (\sigma \circ k_{j}^{q}) \end{array}$$ und pr"uft leicht die Formeln $({\op{P}}\sigma) \circ k_{0}^{q+1} = \sigma$ sowie $({\op{P}}\sigma) \circ k_{j}^{q+1} = {\op{P}}(\sigma \circ k^{q}_{j-1}) $ f"ur $1 \leq j \leq q +1$. Also haben wir in der Tat $\partial {\op{P}} + {\op{P}} \partial = \op{id}$ auf $q$-Ketten mit $q >0$, damit gilt im Fall $q > 0$ f"ur jeden Zykel $z \in {\op{Z}}_{q}K$ schon $\partial {\op{P}} z = z$ und $z$ ist ein Rand. \end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Glatte Variante des Prismenoperators}] Wir k"onnen auch allgemeiner f"ur eine beliebige stetige Abbildung $f:[0,1]\ra [0,1]$ mit $f(0)=0$ und $f(1)=1$ die Variante ${\op{P}}^{s,f}$ des Prismenoperators betrachten, die durch die Vorschrift\label{HgS} $({\op{P}}^{s,f}\sigma) ((1-\tau), \tau x_{0}, \ldots, \tau x_{q}) = (1-f(\tau)) s + f(\tau) \sigma (x_{0},\ldots,x_{q})$ f"ur alle $\tau \in [0,1]$ gegeben wird. Nehmen wir f"ur $f$ insbesondere eine glatte Abbildung, die in einer Umgebung von $\tau=1$ konstant den Wert Eins annimmt, so macht diese Variante des Prismenoperators glatte Simplizes zu glatten Simplizes. Das wird uns insbesondere im Zusammenhang mit dem Beweis des Satzes von de Rham in \eref{sdR}{TG} helfen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Wegintegrale "uber Homologieklassen}] Diese Erg"anzung ist f"ur Leser gedacht,\label{WIH1} die bereits mit den Grundlagen der Funktionentheorie vertraut sind. Gegeben $U\co\DC$ und $f:U\ra\DC$ holomorph und $\sigma:\Delta_1\ra U$ ein $1$-Simplex erkl"aren wir das Integral $\int_\sigma f(z)\diff z$, indem wir $\sigma$ vermittels des durch die Projektion auf die zweite Koordinate gegebenen Hom"oomorphismus $c:\Delta_1\sira[0,1]$ als Weg auffassen und dar"uber integrieren im Sinne von \eref{WilbW}{FT1}. Lineare Fortsetzung liefert unmittelbar ein Integralbegriff f"ur holomorphe Funktionen "uber $1$-Ketten. Aus der Homotopie-Invarianz des Wegintegrals \eref{HiW}{FT1} folgt dann, da"s die Integrale "uber $1$-R"ander verschwinden. Wir erhalten auf diese Weise eine wohlbestimmte $\DZ$-bilineare Paarung $$ \begin{array}{ccc} ({\op{S}}_1(U)/{\op{B}}_1(U))\times \mathcal O^{\op{an}}(U)&\ra& \DC\\[2mm] ([\alpha]\;\;,\;\;f)&\mapsto& \int_\alpha f(z)\diff z \end{array} $$ und insbesondere eine wohlbestimmte $\DZ$-bilineare Paarung zwischen der ersten Homologiegruppe ${\op{H}}_1(U)$ und der additiven Gruppe $\mathcal O^{\op{an}}(U)$ der holomorphen Funktionen auf $U$. Diese Paarungen schreiben wir f"ur jede Klasse $b$ in der Form $(b,f)\mapsto \int_b f(z)\diff z$. \end{Bemerkunge} \begin{Satz*}[\textbf{Homologisch triviale offene Teilmengen der Ebene}] Jede zusammenh"angende offene Teilmenge $U\co \DC$ mit ${\op{H}}_1(U)=0$ ist hom"oomorph zu einer Kreisscheibe.\label{HtOf} \end{Satz*} \begin{Bemerkungl} Ich kenne keinen Beweis dieses Satzes ohne Funktionentheorie. Bereits f"ur zusammenh"angende offene Teilmengen $U\co \DR^3$ folgt aus ${\op{H}}^1(U)=0$ keineswegs die Trivialit"at der Fundamentalgruppe, vergleiche \ref{AhSS}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Da nach \ref{WIH1} das Wegintegral holomorpher Funktionen l"angs geschlossener nullhomologer Integrationswege verschwindet, besitzt bereits unter der Annahme ${\op{H}}^1(U)=0$ jede holomorphe Funktion auf $U$ eine Stammfunktion. F"ur jede holomorphe Funktion $f:U\ra \DC$ ohne Nullstelle gibt es dann nach Lemma \eref{ELog}{FT1} oder vielmehr seinem Beweis $h:U\ra\DC$ holomorph mit $f\op{exp}\circ h$. Gehen wir nun den Beweis des Riemann'schen Abbildungssatzes \eref{RASa}{FT1} durch, so erweist sich, da"s er sogar f"ur jede echte zusammenh"angende offene Teilmenge $U\co \DC$ funktioniert mit der Eigenschaft, da"s jede holomorphe Funktion darauf eine Stammfunktion hat. Der Satz folgt. \end{proof} \subsection{Funktorialit"at der Homologie} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt erkl"aren wir f"ur jede stetige Abbildung $f: X \ra Y$ Gruppenhomomorphismen ${\op{H}}_{q}(f)=f_\ast : {\op{H}}_{q}X \ra {\op{H}}_{q} Y$ derart, da"s unsere Homologiegruppen Funktoren ${\op{H}}_{q} :\op{Top}\ra\op{Ab}$ von der Kategorie der topologischen R"aume in die Kategorie der abelschen Gruppen werden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine stetige Abbildung $f: X \ra Y$ erkl"aren wir Gruppenhomomorphismen ${\op{S}}_{q}f : {\op{S}}_{q}X \ra {\op{S}}_{q}Y$, indem wir jedem Simplex $\sigma : \Delta_{q} \ra X$ den Simplex $f\circ \sigma:\Delta_{q} \ra Y$ zuordnen und diese Abbildung linear auf ${\op{S}}_{q}X$ fortsetzen. \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben $f: X \ra Y$ stetig gilt $\partial_{q} \circ {\op{S}}_{q}f = {\op{S}}_{q-1} f \circ \partial_{q}$, als da hei"st, es kommutieren die Diagramme $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}_{q}X&\stackrel{{\op{S}}_{q}f}{\lra}&{\op{S}}_{q}Y\\[2mm] \partial\da&&\da\partial\\ {\op{S}}_{q-1}X&\stackrel{{\op{S}}_{q-1}f}{\lra}&{\op{S}}_{q-1}Y \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir m"ussen das nur auf jedem $q$-Simplex $\sigma : \Delta_{q}\ra X$ pr"ufen. Es gilt aber in der Tat \begin{equation*} \begin{array}[b]{rcl}% (\partial_{q}\circ {\op{S}}_{q} f) (\sigma)& =&\partial_{q} (f\circ \sigma)\\ &=&\sum (-1)^{i} f\circ \sigma \circ k_{i}^{q} \\ &=& ({\op{S}}_{q-1}f \circ \partial_{q}) (\sigma) \end{array}\qedhere \end{equation*} % \begin{array}[b]{ccl} % \partial ({\op{S}}_{q}i_{1} - {\op{S}}_{q} i_{0} - \delta_{q-1}\partial) &=& % ({\op{S}}_{q-1} i_{1}-{\op{S}}_{q-1} i_{0} - \partial \delta_{q-1}) \partial\\ % &=& \delta_{q-2} \partial \partial\\ % &=& 0 % \end{array}\qedhere % \end{equation*} \end{proof} \begin{Bemerkungl} Das Lemma zeigt, da"s ${\op{S}}_{q} f$ Zykel auf Zykel und R"ander auf R"ander abbildet. F"ur einen $q$-Zykel $z$ in $X$ h"angt also die Homologieklasse seines Bildes $({\op{S}}_{q}f) (z)$ in $Y$ nur von der Homologieklasse von $z$ ab. Wir erhalten somit einen Gruppenhomomorphismus, das {\bf Vorschieben}\index{Vorschieben!in singul"arer Homologie} $$ \begin{array}{cccl} {\op{H}}_{q}f : & {\op{H}}_{q}X &\ra &{\op{H}}_{q}Y\\ &[z] &\mapsto &[({\op{S}}_{q}f ) (z)] \end{array}$$ Man sieht leicht, da"s gilt ${\op{H}}_{q}(f \circ g)= {\op{H}}_{q} (f) \circ {\op{H}}_{q} (g)$ und ${\op{H}}_{q} (\op{id}) = \op{id}$, also erhalten wir f"ur alle $q\in \Bbb{Z}$ einen Funktor ${\op{H}}_{q} :\op{Top}\ra\op{Ab}$. Oft verwenden wir auch die Abk"urzung ${\op{H}}_{q}(f)=f_\ast$. \index{)7ast@$f_*$ Vorschub!singul"are Homologie} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden topologischen Raum $X$ bezeichne $X^{\op{w}}$ die disjunkte Vereinigung seiner Wegzusammenhangskomponenten mit ihrer jeweiligen kofinalen Topologie. Die Identit"at ist dann eine stetige Abbildung $X^{\op{w}}\ra X$ und der zugeh"orige Vorschub induziert auf der Homologie offensichtlich\label{wegzz} einen Isomorphismus $${\op{H}}X^{\op{w}}\sira {\op{H}}X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Funktorialit"at unter simplizialstetigen Abbildungen}] Wir nennen eine Abbildung $f:X\ra Y$ von topologischen R"aumen {\bf simplizialstetig},\index{simplizialstetig} wenn f"ur jedes $q$ und jede stetige Abbildung $\sigma: \Delta_q\ra X$ auch $f\circ\sigma:\Delta_q\ra Y$ stetig ist. Offensichtlich ist jede stetige Abbildung auch simplizialstetig. Unsere singul"aren Ketten ebenso wie die singul"are Homologie sind sogar Funktoren ${\op{H}}_q: \op{Top}^{\Delta}\ra\op{Ab}$ auf der Kategorie $\op{Top}^{\Delta}$\index{Top@$\op{Top}^{\Delta}$} der topologischen R"aume mit simplizialstetigen Abbildungen als Morphismen. Unsere Abbildung aus \ref{wegzz} etwa ist ein Isomorphismus $X^{\op{w}}\sira X$ in $\op{Top}^\Delta$.\label{ssTop} Von dieser Kategorie erh"alt man hinwiederum unschwer einen volltreuen Funktor in die Kategorie der sogenannten \glqq simplizialen Mengen\grqq, der als Definitionsbereich f"ur die simpliziale Homologie besonders nat"urlich w"are, aber ich m"ochte Sie nicht zu Beginn durch allzugro"se Abstraktion allzusehr verwirren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit der Homologie mit Koprodukten}]%\label{ZH} Ist $X = \coprod X_{w}$ eine Zerlegung von $X$ in paarweise disjunkte Teilmengen, die nicht durch Wege verbunden werden k"onnen, und bezeichnet $i_{w}: X_{w} \hookrightarrow X$ die jeweilige Einbettung, so liefern die ${\op{S}}i_{w} : {\op{S}}X_{w} \ra {\op{S}} X$ einen Isomorphismus $\bigoplus {\op{S}}X_{w} \sira {\op{S}}X$ und damit liefern auch die\label{ZHH} ${\op{H}}_{q}(i_{w}) : {\op{H}}_{q} (X_{w}) \ra {\op{H}}_{q} (X)$ einen Isomorphismus $$\bigoplus {\op{H}}_{q} (X_{w}) \sira {\op{H}}_{q} (X)$$ Wir hatten fast dasselbe bereits in \ref{HKoPo} in etwas weniger pr"aziser Sprache bemerkt. In der in \eref{VerPr}{LA2} eingef"uhrten Terminologie sind insbesondere die Funktoren ${\op{H}}_{q}:\op{Top}\ra\op{Ab}$ vertr"aglich mit beliebigen Koprodukten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wiederholen die vorhergehenden Argumente noch einmal in einer ausgefeilten Sprache und f"uhren dazu die Kategorie der \glqq Kettenkomplexe\grqq\ ein. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein \defind{Kettenkomplex} oder {\bf Komplex von abelschen Gruppen}\index{Komplex} ist ein Paar $C= (C, \partial)$ bestehend aus einer Familie $C=(C_{q})_{q\in \Bbb{Z}}$ abelscher Gruppen und einer Familie von Gruppenhomomorphismen $\partial_{q} = \partial_{q}^{C} : C_{q} \ra C_{q-1}$ f"ur $q \in \Bbb{Z}$ derart, da"s gilt $$\partial_{q-1} \circ \partial_{q}=0\quad\text{ f"ur alle }q. $$ Ein Morphismus $s : C \ra D$ von Kettenkomplexen, auch \defind{Kettenabbildung} genannt, ist eine Familie von Gruppenhomomorphismen $s_{q} : C_{q} \ra D_{q}$ derart, da"s gilt $\partial_{q}^{D} \circ s_{q} = s_{q-1} \circ \partial_{q}^{C}$ f"ur alle $q \in \Bbb{Z}$ oder, etwas salopp geschrieben, $\partial \circ s = s \circ \partial$.\label{Ketd} Wir erhalten so die \defnoind{Kategorie $\op{Ket}=\op{Ket}(\op{Ab})$ aller Komplexe von abelschen Gruppen}.\index{Ket@$\op{Ket}$ Kettenkomplexe} Darin gibt es ein finales und kofinales Objekt, den {\bf Nullkomplex}\index{Nullkomplex}, bei dem eben alle Gruppen und Differentiale Null sind. Analog erkl"art man f"ur einen beliebigen Ring $R$ die Kategorie $\op{Ket}(R\op{-Mod})$ aller Komplexe von $R$-Moduln. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{dgad} F"ur diese Struktur ist auch noch eine andere Terminologie "ublich. Ganz allgemein nennt man eine abelsche Gruppe $C$ mit einer Zerlegung $C = \bigoplus_{q \in \Bbb{Z}} C_{q}$ als interne direkte Summe in eine Familie von mit $q\in\DZ$ indizierten Untergruppen eine {\bf graduierte} oder genauer {\bf $\DZ$-graduierte abelsche Gruppe}.\index{graduiert!abelsche Gruppe} Ist zus"atzlich ein Gruppenhomomorphismus $\partial:C\ra C$ gegeben mit $\partial(C_q)\subset C_{q-1}$ und $\partial^2=0$, so nennt man das Paar $(C,\partial)$ eine {\bf differentielle graduierte abelsche Gruppe}\index{differentiell!graduierte abelsche Gruppe} oder kurz eine {\bf dg-Gruppe}\index{dg-Gruppe} mit {\bf Differential} $\partial$. Analog definieren wir die Kategorie der differentiellen graduierten Moduln "uber einem Ring $R$ und notieren sie $\op{dgMod}_R$, \index{dgMod} so da"s also gilt $\op{Ket}(R\op{-Mod})=\op{dgMod}_R$. Manchmal arbeitet man auch allgemeiner mit dem Begriff einer {\bf differentiellen abelschen Gruppe},\index{differentiell!abelsche Gruppe} womit schlicht ein Paar $(A,\partial)$ gemeint ist bestehend aus einer abelschen Gruppe $A$ und einem Gruppenhomomorphismus $\partial:A\ra A$ mit der Eigenschaft $\partial^2=0$. Nat"urlich k"onnte man auch differentielle graduierte abelsche Gruppen betrachten, bei denen das Differential einen anderen \glqq Grad\grqq\ h"atte als in unserer Definition, aber die kommen seltener vor und wir blenden sie deshalb vorerst einmal aus. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist der Komplex der singul"aren Ketten $({\op{S}} X, \partial)$ mit $({\op{S}} X)_q\pdef {\op{S}}_q X$ ein Kettenkomplex. F"ur jede stetige Abbildung $f : X \ra Y$ bilden nach Lemma \ref{DD} die ${\op{S}}_{q} (f)$ eine Kettenabbildung ${\op{S}} f: {\op{S}} X \ra {\op{S}}Y$. Da gilt ${\op{S}} (f\circ g)= {\op{S}}(f) \circ {\op{S}} (g)$ sowie ${\op{S}}(\op{id}) = \op{id}$, erhalten wir so einen Funktor\label{SXKet} $${\op{S}} : \op{Top} \ra \op{Ket}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In \ref{SXsimp} %\label{SXKet} konstruieren wir f"ur jeden topologischen Raum $X$ die \glqq simpliziale Menge\grqq\ ${\op{S}} X$. Was im Einzelfall mit dem Symbol ${\op{S}} X$ gemeint ist, mu"s der Leser dann aus dem Kontext erschlie"sen. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s ${\op{S}} X$ den Komplex und nicht die simpliziale Menge meint, verwenden wir die Notation ${\op{S}}_\ast X$.\index{S@${\op{S}}_\ast X$ singul"are Ketten} \end{Bemerkungw} \begin{Definition} F"ur jedes $q \in \Bbb{Z}$ definieren wir einen Funktor, die \defnoind{$q$-te Homologiegruppe eines\index{H@$\cal{H}_{q}$ Homologie eines Komplexes} Kettenkomplexes}\index{Homologie!eines Kettenkomplexes} $$\begin{array}{cccl} \cal{H}_{q} :& \op{Ket} &\ra& \op{Ab}\\ &C& \mapsto & \cal{H}_{q}(C) \pdef \ker \partial_{q}/\op{im} \partial_{q+1} \end{array}$$ als den Quotienten vom Kern des Differentials nach seinem Bild. Auf den Objekten ist das schon mal in Ordnung und wir m"ussen nur noch erkl"aren, wie ein Morphismus von Kettenkomplexen $s : C \ra D$ Morphismen auf der Homologie $\cal{H}_{q}(s) : \cal{H}_{q}(C)\ra \cal{H}_{q} (D)$ definiert. Aus $\partial^{D}\circ s = s \circ \partial^{C}$ folgt aber $s(\op{im} \partial^{C}) \subset \op{im} \partial^{D}$, $s(\ker \partial^{C}) \subset \ker\partial^{D}$ und damit induziert $s$ Morphismen $\cal{H}_{q} (s) : \cal{H}_{q} (C) \ra \cal{H}_{q}(D)$. Wieder sieht man leicht, da"s gilt $\cal{H}_{q}(s\circ t) = \cal{H}_{q}(s) \circ \cal{H}_{q} (t)$ und $\cal{H}_{q}(\op{id})=\op{id}$, unser $\cal{H}_{q}$ ist also ein Funktor f"ur alle $q \in \Bbb{Z}$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Manchmal betrachten wir auch den Funktor $$\cal{H}: \op{Ket}\ra \op{Ket}$$ der einem Komplex die Gesamtheit seiner Homologiegruppen zuordnet, aufgefa"st als Komplex mit Differential Null. Gegeben eine differentielle abelsche Gruppe $(A,\partial)$ erkl"art man ihre {\bf Homologie}\index{Homologie!von differentieller abelscher Gruppe} als die abelsche Gruppe $\cal{H}A\pdef \ker \partial/\op{im} \partial$,\index{H@$\cal{H}$ Homologie!von differentieller abelscher Gruppe} die in diesem Fall keine Graduierung tr"agt. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Wir erhalten mit diesen Begriffsbildungen und Notationen unsere Funktoren der singul"aren Homologiegruppen ${\op{H}}_{q}: \op{Top} \ra \op{Ab}$ als die Verkn"upfungen ${\op{H}}_{q} ={\op{H}}_{q}^{\op{sing}} = \cal{H}_{q} \circ {\op{S}}$ von Funktoren $$\op{Top}\;\stackrel{{\op{S}}}{\lra}\;\op{Ket}\;\stackrel{\cal{H}_q}{\lra}\;\op{Ab}$$ Wir "ubertragen die Begriffsbildungen {\bf Zykel},\index{Zykel!in Kettenkomplex} {\bf Rand},\index{Rand!in Kettenkomplex} {\bf Homologieklasse}\index{Homologieklasse!in Kettenkomplex} auf beliebige Kettenkomplexe $C$ und schreibt $\cal{Z}_{q}C\pdef \ker\partial_{q} $ f"ur die Zykel, $\cal{B}_{q}C\pdef \op{im} \partial_{q+1} $ f"ur die R"ander und $[c] \in \cal{H}_{q}C$ f"ur die Homologieklasse eines Zykels $c\in \cal{Z}_{q}C$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildTrF}\\[4mm] \noindent Der Transfer eines singul"aren Eins-Simplex unter einer zweibl"attrigen "Uberlagerung der Kreislinie. \end{figure} \begin{Ubung}\label{TFe} Ist $f :X \ra Y$ eine "Uberlagerung mit endlichen Fasern, so erh"alt man eine Kettenabbildung $f^{*}: {\op{S}}Y \ra {\op{S}}X$, indem man jedem singul"aren Simplex die Summe seiner Lifts zuordnet. Man zeige, da"s f"ur die auf der Homologie induzierten \defind{R"uckz"uge} $$f^{*} : {\op{H}}_{q}Y \ra {\op{H}}_{q}X$$ im Fall einer $n$-bl"attrigen "Uberlagerung gilt $({\op{H}}_{q}f)\circ f^{*} = n \cdot \op{id}: {\op{H}}_{q}Y \ra {\op{H}}_{q}Y$.\index{)6@$f^{*}$ Eigr"uckzug!der Homologie} Ist unsere "Uberlagerung normal und ist $G$ ihre Gruppe von Decktransformationen, so zeige man weiter $f^{*} \circ ({\op{H}}_{q}f) =\sum_{g \in G} {\op{H}}_{q}g : {\op{H}}_{q}X \ra {\op{H}}_{q}X$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man erkl"are, wie f"ur einen festen topologischen Raum $X$ die Homologiegruppen mit Koeffizienten aus \ref{HomK} als Funktoren $\op{Ab} \rightarrow \op{Ab}$, $A \mapsto {\op{H}}_q (X;A)$ aufgefa"st werden k"onnen, und wieso damit f"ur jeden Ring $R$ die Gruppen ${\op{H}}_q (X;R)$ in nat"urlicher Weise zu $R$-Moduln werden, was wir ja auch bereits in \ref{HomK} bemerkt hatten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s unsere Isomorphismen $\DZ\pi_0(X)\sira {\op{H}}_0X$ in ihrer Gesamtheit eine Isotransformation $\DZ\pi_0\siRa {\op{H}}_0$ von Funktoren $\op{Top}\ra\op{Ab}$ bilden.\label{ispH} \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben eine Familie $(K_\alpha)_{\alpha\in A}$ von Kettenkomplexen derart, da"s in jedem Grad nur endlich viele von ihnen nicht verschwinden, ist die offensichtliche Kettenabbildung ein Isomorphismus $$\bigsqcup_{\alpha\in A}K_\alpha \sira \bigsqcap_{\alpha\in A}K_\alpha$$ \end{Ubunge} \subsection{Homotopie-Invarianz} \begin{Satz}[\defnoind{Homotopie-Invarianz}] Homotope\index{Homotopie-Invarianz!der Homologie} stetige Abbildungen induzieren dieselbe Abbildung auf der Homologie.\label{HIv} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dieser Satz ist schon ein sehr starkes Hilfsmittel zur Berechnung der singul"aren Homologiegruppen. Er impliziert zum Beispiel, da"s ein zusammenziehbarer Raum dieselbe Homologie hat wie ein Punkt. Wir geben zwei Beweise: Erst einen mehr rechnerischen Beweis, und dann einen mehr konzeptionellen Beweis, der jedoch im Gegensatz zu unserem rechnerischen Beweis auf der Kenntnis der Homologie konvexer Mengen \ref{Kon} aufbaut. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Wir werden das im Folgenden durchgef"uhrte konzeptionelle Beweisverfahren sp"ater formalisieren zum Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} und damit auch die sogenannte \glqq K"unneth-Formel\grqq\ "uber die Homologie von Produkten zeigen. Aus dieser Formel kann die Homotopie-Invarianz im "ubrigen leicht direkt hergeleitet werden. Das ist nur insofern nicht ganz fair, als unser Beweis der K"unnethformel auf der Homotopieinvarianz aufbaut. Will man die Homotopieinvarianz direkt aus dem Satz "uber azyklische Modelle herleiten, mag man bemerken, da"s bei den Funktoren $\op{Top}\ra\op{Ket}$ gegeben durch $X\mapsto {\op{S}}(X)$ und $X\mapsto {\op{S}}(X\times[0,1])$ jeweils alle homogenen Komponenten frei sind mit Modellen in unseren Simplizes, beim zweiten Funktor nach \ref{Hoti}. Damit zeigt dieser Satz unmittelbar, da"s jede Transformation, die auf der nullten Homologie eine Isotransformation induziert, bereits selbst eine Isotransformation zwischen den entsprechenden Funktoren $\op{Top}\ra\op{Hot}$ gewesen sein mu"s. Diese Erkenntnis gilt es dann nur noch anzuwenden auf die Transformation, die von den Projektionen $X\times [0,1]\ra X$ induziert wird. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Erster Beweis] Bezeichnet $f,g:X\ra Y$ unsere homotopen stetigen Abbildungen, so behauptet der Satz f"ur alle $q$ die Gleichheit $ {\op{H}}_{q}(f)={\op{H}}_{q}(g)$ von Abbildungen ${\op{H}}_qX\ra {\op{H}}_q Y$. Es gilt also zu zeigen, da"s f"ur jeden Zykel $z\in {\op{Z}}_{q}X$ die Differenz $({\op{S}}_{q} f) (z) - ({\op{S}}_{q}g)(z)$ ein Rand in $Y$ ist. Anschaulich ist das recht klar: Unsere Differenz ist eben \glqq der Rand des Gebiets, das von besagtem Zykel w"ahrend der Homotopie von $f$ nach $g$ "uberstrichen wird\grqq. Etwas formaler sei $h: X \times [0,1] \ra Y$ eine Homotopie von $f$ nach $g$. \label{HTEx} Bezeichne $\omega_\nu:\Delta_{q+1} \ra \Delta_{q}\times[0,1]$ diejenige affine Abbildung, die die Ecken $\op{e}_0, \ldots, \op{e}_{q+1}$ unseres Standardsimplex der Reihe nach abbildet auf $(\op{e}_0,0), \ldots, (\op{e}_\nu,0),(\op{e}_\nu,1), \ldots,(\op{e}_q,1)$. Bezeichne $\delta_q:{\op{S}}_qX\ra{\op{S}}_{q+1}Y$ die Abbildung, die auf Simplizes gegeben wird durch $$ \delta_q(\sigma) =\sum_{\nu=0}^q(-1)^\nu h\circ(\sigma\times\op{id})\circ\omega_\nu$$ Nun pr"ufen wir f"ur die so gegebenen Abbildungen $ \delta_q$ die Identit"aten $\partial\delta + \delta\partial ={\op{S}}_{q}g-{\op{S}}_{q}f$. Sobald das getan ist, sind wir fertig, denn dann gilt f"ur jeden Zykel $z\in {\op{Z}}_{q}X$ die Formel $({\op{S}}_{q} g) (z) - ({\op{S}}_{q}f)(z)=\partial\delta z$ und unsere Differenz ist in der Tat ein Rand. F"ur den Nachweis unserer Identit"aten k"urzen wir $(\op{e}_\nu,0)=v_\nu$ und $(\op{e}_\nu,1)=w_\nu$ ab und vereinbaren f"ur $q+1$ Punkte $a,b,\ldots,c$ einer konvexen Teilmenge eines reellen Raums die Notationen $[a,b,\ldots,c]$ f"ur die Abbildung von $\Delta_q$ in unsere konvexe Teilmenge, die die Ecken der Reihe nach auf diese Punkte wirft. Dann haben wir also $\omega_\nu=[v_0, \ldots, v_\nu,w_\nu, \ldots,w_q]$ und $$ \begin{array}{lll} \partial\delta_q(\sigma) &=&\sum_{\nu\geq\mu}(-1)^\nu(-1)^\mu h(\sigma\times\op{id})[v_0, \ldots, \hat{v}_\mu,\ldots, v_\nu,w_\nu, \ldots,w_q]\\ &&+\sum_{\nu\leq\mu}(-1)^\nu(-1)^{\mu+1}h(\sigma\times\op{id})[v_0, \ldots, v_\nu,w_\nu, \ldots, \hat{w}_\mu,\ldots,w_q] \end{array} $$ Andererseits ergibt sich $ \partial(\sigma) =\sum_{\mu}(-1)^\mu\sigma [\op{e}_0,\ldots,\hat{\op{e}}_\mu,\ldots, \op{e}_q] $ und damit $$ \begin{array}{lll} \delta_{q-1}\partial(\sigma) &=&\sum_{\nu>\mu}(-1)^\nu(-1)^{\mu+1}h(\sigma\times\op{id})[v_0, \ldots, \hat{v}_\mu,\ldots, v_\nu,w_\nu, \ldots,w_q]\\ &&+\sum_{\nu<\mu}(-1)^\nu(-1)^\mu h(\sigma\times\op{id})[v_0, \ldots, v_\nu,w_\nu, \ldots, \hat{w}_\mu,\ldots,w_q] \end{array} $$ Nach dem Aufaddieren bleiben nur noch die Terme mit $\nu=\mu$ des Ausdrucks f"ur $\partial\delta_{q}(\sigma)$ "ubrig, und auch diese l"oschen sich paarweise aus bis auf den Summanden mit $\nu=\mu=0$ vorne und den Summanden mit $\nu=\mu=q$ hinten. Da nun aber gilt $h(\sigma\times\op{id})[w_0, \ldots,w_q]=g \sigma$ und $h(\sigma\times\op{id})[v_0, \ldots,v_q]=f \sigma$, folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Es mag der Anschauung helfen, sich klarzumachen, da"s die Bilder der $\omega_\nu$ die vollen Simplizes maximaler Dimension einer Triangulierung von $\Delta_{q}\times[0,1]$ sind. F"ur die formale Argumentation ist das jedoch belanglos. Unserem zweiten Beweis schicken wir eine Vorbemerkung voraus. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHoSS}\\[4mm] \noindent Dies Bild zeigt zwei homotope Abbildungen der Kreislinie in die punktierte Ebene und die Bilder desselben aus der formalen Summe von f"unf singul"aren Eins-Simplizes bestehenden Eins-Zykels unter diesen beiden Abbildungen. Des weiteren ist in der Abbildung eine Zweikette in der punktierten Ebene angedeutet, gegeben durch die formale Summe von insgesamt zehn singul"aren Zwei-Simplizes, davon die H"alfte mit dem Koeffizienten $(-1)$, deren Rand gerade die Differenz unserer beiden Eins-Zykel ist. So erkennt man, da"s unsere beiden Eins-Zykel dieselbe Homologieklasse in der punktierten Ebene repr"asentieren. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abstrakte Variante des Yoneda-Lemmas}] Ist $\cal{C}$ eine Kategorie und $\Delta \in \cal{C}$ ein Objekt, so k"onnen wir den Funktor\label{YAN} $\Bbb{Z} {\cal{C}} (\Delta,\;) : \cal{C} \ra \op{Ab} $ betrachten, der jedem Objekt $X$ die freie abelsche Gruppe "uber ${\cal{C}} (\Delta,X)$ zuordnet. Ist dann $G: \cal{C} \ra \op{Ab}$ ein weiterer Funktor, so liefert die Abbildungsvorschrift $\delta \mapsto \delta_{\Delta}(\op{id}_{\Delta})$ eine Bijektion $$ \op{Ab}^{\mathcal C} (\Bbb{Z}{\cal{C}}(\Delta,\;), G) \sira G(\Delta)$$ zwischen der Menge aller Transformationen $\Bbb{Z}{\cal{C}}(\Delta,\;)\RA G$ und der Menge $G(\Delta)$. Man erh"alt eine Umkehrabbildung, indem man einem $g\in G(\Delta)$ diejenige Familie von Gruppenhomomorphismen $\delta_X: \Bbb{Z}{\cal{C}}(\Delta,X)\ra G(X)$ zuordnet, bei der $\delta_X$ dadurch gegeben ist, da"s es jedem Morphismus $\sigma:\Delta\ra X$ das Element $(G\sigma)(g)\in G(X)$ zuordnet.Wir "uberlassen die Details des Beweises dem Leser zur "Ubung, man orientiere sich am Beweis des Yoneda-Lemmas \eref{YL}{LA2}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Variante des Yoneda-Lemmas f"ur Ketten}] F"ur jeden Funktor $G : \op{Top} \ra \op{Ab}$ liefert das Auswerten auf dem tautologischen $q$-Simplex $\tau_q$ eine Bijektion zwischen der Menge der Transformationen von ${\op{S}}_q$ nach $G$\label{YA} und der Menge $G(\Delta_{q})$, in Formeln $ \op{Ab}^{\op{Top}}({\op{S}}_{q},G) \sira G(\Delta_{q})$, $ \delta \mapsto \delta_{\Delta_q} (\tau_{q})$. Der Randoperator $\partial:{\op{S}}_{q}\ra {\op{S}}_{q-1}$ entspricht unter dieser Bijektion etwa der Kette $\partial\tau_{q}\in {\op{S}}_{q-1}(\Delta_q)$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Sei wieder $h: X \times [0,1] \ra Y$ eine Homotopie von $f$ nach $g$. Bezeichnen wir die Inklusionen $X \ra X \times [0,1]$, $ x \mapsto (x,t)$ mit $i_{t}$, so gilt $f = h\circ i_{0}$ und $g = h \circ i_{1}$. Es reicht nun, ${\op{H}}_{q}(i_{0}) = {\op{H}}_{q}(i_{1})$ zu zeigen, denn daraus folgt mit der Funktorialit"at der Homologie schon $${\op{H}}_{q} (f) = {\op{H}}_{q} (h)\circ {\op{H}}_{q}(i_{0})={\op{H}}_{q}(h) \circ {\op{H}}_{q}(i_{1}) = {\op{H}}_{q}(g)$$ Die Formel ${\op{H}}_{q}(i_{0}) = {\op{H}}_{q}(i_{1})$ bedeutet, da"s f"ur jeden Zykel $z\in {\op{Z}}_{q} X$ die Differenz seiner Bilder $ ({\op{S}}_{q} i_{0}) (z) - ({\op{S}}_{q}i_{1})(z)$ ein Rand ist. Um das nachzuweisen reicht es, eine Familie von Morphismen $$\delta = \delta_{q}= \delta^X_{q} : {\op{S}}_{q} X \ra {\op{S}}_{q+1} (X \times [0,1])$$ f"ur $q \in \Bbb{Z}$ zu konstruieren derart, da"s gilt $\partial\delta + \delta\partial ={\op{S}}_{q}i_{1}-{\op{S}}_{q}i_{0}$, denn dann ist $({\op{S}}_{q}i_{1})(z) - ({\op{S}}_{q}i_{0})(z) = \partial\delta z$ ein Rand f"ur jeden Zykel $z\in {\op{Z}}_q X$. Eine M"oglichkeit, derartige Morphismen explizit anzugeben, liefert die explizite Formel $$\delta_{q}\sigma=\sum_{\nu=0}^q(-1)^\nu(\sigma\times\op{id})\omega_\nu$$ in den Notationen unseres ersten Beweises. Ich will jedoch auch noch einen mehr konzeptionellen Zugang erkl"aren. Es ist bequem, solch eine Familie zu konstruieren als Transformation, wo wir beide Seiten auffassen als Funktoren in $X$ von den topologischen R"aumen in die abelschen Gruppen. Dann k"onnen wir uns n"amlich auf die Variante des Yoneda-Lemmas f"ur Ketten \ref{YA} st"utzen. Bezeichne dazu $\tau_{q}\in {\op{S}}_{q}(\Delta_{q})$ den\index{t@$\tau_{q}\in {\op{S}}_{q}(\Delta_{q})$ tautologischer Simplex} \defnoind{tautologischen $q$-Simplex}\index{tautologischer Simplex} $\op{id}:\Delta_{q}\ra \Delta_{q}$. Wir hatten gesehen, da"s wir nur f"ur alle topologischen R"aume $X$ und alle $q\in\DZ$ Morphismen $\delta = \delta_{q} :{\op{S}}_{q}X \ra {\op{S}}_{q+1}(X\times [0,1])$ konstruieren m"ussen derart, da"s gilt \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildVq}\\[4mm] \noindent Eine m"ogliche Wahl von $V_0$, die anders ist als im Beweis vorgeschlagen, und dazu eine m"ogliche Wahl von $V_1$ \end{figure} \begin{equation} \partial \delta_{q} + \delta_{q-1} \partial = {\op{S}}_{q}i_{1} - {\op{S}}_{q}i_{0} \tag*{$(\ast)_{q}$} \end{equation} Wir konstruieren die $\delta_{q}$ als Transformationen $\delta_{q}: {\op{S}}_{q} \Rightarrow F_{q+1}$ in den Funktor $F_{q+1}:X \mapsto {\op{S}}_{q+1} (X\times [0,1])$ von oben. Sie werden dann nach unserer Yoneda-Variante \ref{YA} schon durch die Angabe jeweils eines Elements $\delta_{q}(\tau_{q}) = V_{q} \in {\op{S}}_{q+1}(\Delta_{q}\times[0,1])$ eindeutig festgelegt und wir m"ussen nur unsere $V_{q}$ so w"ahlen, da"s die obigen Gleichungen $(\ast)_{q}$ erf"ullt sind. Da $(\ast)_{q}$ aber eine Gleichung von Transformationen ${\op{S}}_q\Rightarrow F_q$ ist, gilt sie wieder nach unserer Yoneda-Variante \ref{YA} immer, wenn sie nach Auswerten auf dem tautologischen Simplex $\tau_{q} \in {\op{S}}_{q} (\Delta_{q})$ gilt, also genau dann, wenn gilt $$(\partial \delta_{q} + \delta_{q-1}\partial)(\tau_{q})= ({\op{S}}_{q}i_{1} - {\op{S}}_{q}i_{0})(\tau_{q})$$ in ${\op{S}}_{q}(\Delta_{q}\times[0,1])$. F"ur $V_{q}=\delta_{q}(\tau_{q})$ bedeutet das genau $$\partial V_{q} =({\op{S}}_{q}i_{1} - {\op{S}}_{q}i_{0} - \delta_{q-1}\partial) (\tau_{q})$$ Man beachte, da"s hier die rechte Seite von $\delta_{q-1}$, also von $V_{q-1}$ abh"angt. Wir w"ahlen nun m"ogliche $V_{q}$ induktiv und nehmen an, da"s die $V_{\pi}$ f"ur $\pi\leq q-1$ schon konstruiert sind und die Gleichungen $(\ast)_{\pi}$ f"ur $\pi\leq q-1$ gelten. Als Basis der Induktion d"urfen wir $V_{\pi}=0$ f"ur $\pi<0$ nehmen und als $V_{0}$ irgendeinen singul"aren Simplex $\Delta_{1} \ra \Delta_{0} \times [0,1]$, der die Endpunkte des Geradensegments $\Delta_{1}$ \glqq in der richtigen Reihenfolge\grqq\ auf die Endpunkte des Geradensegments $\Delta_{0} \times [0,1]$ abbildet. Da nun nach Lemma \ref{Kon} "uber die Homologie konvexer Mengen f"ur $q>0$ gilt ${\op{H}}_{q}(\Delta_{q}\times [0,1]) =0$, k"onnen wir eine $q$-Kette in $\Delta_{q}\times[0,1]$ f"ur $q >0$ als Rand schreiben genau dann, wenn sie ein Zykel ist. Wir finden f"ur $q>0$ also unser $V_{q}$ wie gew"unscht genau dann, wenn gilt $$ \partial ({\op{S}}_{q}i_{1}-{\op{S}}_{q}i_{0}-\delta_{q-1}\partial)(\tau_{q})=0 $$ Das zeigen wir induktiv, indem wir unter Verwendung von $(\ast)_{q-1}$ rechnen \begin{equation*} \begin{array}[b]{ccl} \partial ({\op{S}}_{q}i_{1} - {\op{S}}_{q} i_{0} - \delta_{q-1}\partial) &=& ({\op{S}}_{q-1} i_{1}-{\op{S}}_{q-1} i_{0} - \partial \delta_{q-1}) \partial\\ &=& \delta_{q-2} \partial \partial\\ &=& 0 \end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Definition} Zwei Kettenabbildungen $f,g: A \ra B$ von Kettenkomplexen hei"sen \defind{kettenhomotop} oder kurz \defind{homotop}, wenn es eine Familie $\delta_{q}:A_{q} \ra B_{q+1}$ von Gruppenhomomorphismen gibt mit $f_{q}-g_{q} = \partial_{q+1} \delta_{q} + \delta_{q-1}\partial_{q}$ f"ur alle $q$. Wir schreiben daf"ur auch manchmal $\delta:f\sim g$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{dHo} Eine Kettenabbildung hei"st {\bf nullhomotop}\index{nullhomotop!Kettenabbildung}, wenn sie homotop ist zur Nullabbildung. Per definitionem sind zwei Kettenabbildungen kettenhomotop, wenn ihre Differenz nullhomotop ist. Ist weiter $g\circ h$ eine Verkn"upfung von Kettenabbildungen und ist eine der beiden nullhomotop, so auch die Verkn"upfung, wie Sie in \ref{VKKH} selbst pr"ufen sollen. Wir k"onnen deshalb die \defnoind{Homotopiekategorie der Kettenkomplexe abelscher Gruppen}\index{Homotopiekategorie!algebraische} einf"uhren, mit Kettenkomplexen von abelschen Gruppen als Objekten und Homotopieklassen von Kettenabbildungen als Morphismen. Wir notieren sie $\op{Hot}(\op{Ab})$\index{Hot@$\op{Hot}$!Homotopiekategorie} oder $\op{Hot}_{\op {Ab}}$ oder auch einfach nur $\op{Hot}$. Morphismen von Komplexen in der Homotopiekategorie notieren wir manchmal $A\ra_{\op{Hot}}B$.\index{)4@$\ra_{\op{Hot}}$ Morphismen in $\op{Hot}$} Analog erkl"art man f"ur einen beliebigen Ring $R$ die Homotopiekategorie $\op{Hot}_R=\op{Hot}(R\op{-Mod})$\index{Hot@$\op{Hot}$!$\op{Hot}_R$} aller Komplexe von $R$-Moduln. Isomorphismen in einer Homotopiekategorie von Komplexen nennen wir auch {\bf Homotopie"aquivalenzen}\index{Homotopie"aquivalenz!algebraische} und notieren sie $\hri$\index{)4@$\hri$ Homotopie"aquivalenz} oder $\sira_{\op{Hot}}$.\index{)4@$\sira_{\op{Hot}}$ Isomorphismen in $\op{Hot}$} Ein Komplex hei"st {\bf nullhomotop},\index{nullhomotop!Komplex} wenn er homotopie"aquivalent ist zum Nullkomplex. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{kH} Unsere Argumente von eben zeigen, da"s die Homologiegruppen ganz allgemein Funktoren $\cal{H}_q:\op{Hot}(\op{Ab})\ra \op{Ab}$ liefern. Weiter haben wir gezeigt, da"s homotope Abbildungen $f, g$ kettenhomotope Abbildungen ${\op{S}}f, {\op{S}}g$ auf den singul"aren Ketten liefern. Genauer erhalten wir f"ur jede Homotopie $h:f\sim g$ eine Kettenhomotopie ${\op{S}}f\sim {\op{S}}g$ als ${\op{S}}h\circ\delta$ mit $\delta$ wie im Beweis von \ref{HIv}. Bezeichnen wir wie bisher mit $\op{Hot}$ die Homotopiekategorie topologischer R"aume, so erhalten wir mithin ein kommutatives Diagramm von Funktoren $$\begin{array}{ccccc} \op{Top}&\overset{{\op{S}}}{\ra} &\op{Ket} (\op{Ab}) & \overset{\cal{H}_{q}}{\ra}&\op{Ab}\\ \da&&\da &&\|\\ \op{hTop}&\overset{{\op{S}}}{\ra} & \op{Hot}(\op{Ab}) & \overset{\cal{H}_{q}}{\ra} & \op{Ab} \end{array}$$ Insbesondere induziert eine Homotopie"aquivalenz stets Isomorphismen auf der Homologie. Nun ist die konstante Abbildung von einem topologischen Raum auf einen Punkt eine Homotopie"aquivalenz genau dann, wenn unser Raum zusammenziehbar ist. Da Funktoren Isomorphismen zu Isomorphismen machen, liefert also f"ur jeden zusammenziehbaren Raum $X$ die konstante Abbildung Isomorphismen von seiner Homologie mit der Homologie eines Punktes. Wir folgern f"ur $X$ zusammenziehbar ${\op{H}}_qX =\DZ$ f"ur $q=0$ und Null sonst. Wenn wir den ersten Beweis f"ur die Homotopieinvarianz nehmen, erhalten wir unser Lemma \ref{Kon} "uber die Homologie konvexer Mengen als Korollar. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} F"ur den einpunktigen Raum $X = \op{top} $ und den konstanten Nullsimplex $\sigma:\Delta_0\ra \op{top}$ liefert die Vorschrift $n\mapsto n\sigma$ eine Homotopie"aquivalenz\label{HPuh} $$\Bbb{Z}[0]\hri {\op{S}} (\op{top})$$ mit der Notation $\Bbb{Z}[0]$ f"ur den Komplex, der $\DZ$ ist im Grad Null und Null sonst. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{VKKH} Man zeige, da"s die Verkn"upfung einer nullhomotopen Kettenabbildung mit einer beliebigen Kettenabbildung wieder nullhomotop ist, und zwar sowohl f"ur das Davorschalten wie auch f"ur das Dahinterschalten. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Hom-Komplex}]\index{Hom-Komplex} Sind $(C,\partial^{C})$ und $(D,\partial^{D})$ Kettenkomplexe, so erkl"aren wir einen Kettenkomplex $(C{\Rrightarrow} D)=\op{Hom} (C,D)$ durch die Vorschrift\label{HHKK}\index{)4@$\Rrightarrow$ Hom-Komplex!bei Kettenkomplexen} $$(C{\Rrightarrow} D)_{i} \pdef\prod_{q} \op{Hom} (C_{q}, D_{q+i})$$ mit Differential $\partial (f) = \partial^{D} \circ f - (-1)^{|f|} f \circ \partial^{C}$ und der Konvention $|f|=i$ f"ur $f \in (C{\Rrightarrow} D)_{i}$. Man zeige, da"s gilt $\partial (\partial (f)) =0$, da"s die Nullzykel des Hom-Komplexes gerade die Kettenabbildungen von $C$ nach $D$ sind, in Formeln $\cal{Z}_{0} (C{\Rrightarrow}D)=\op{Ket} (C,D)$, und da"s diese Gleichheit eine Gleichheit $\cal{H}_{0} (C{\Rrightarrow}D)=\op{Hot} (C,D)$ zwischen der nullten Homologie und dem Raum der Morphismen von $C$ nach $D$ in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe induziert. In dieser Weise erhalten wir nat"urliche Abbildungen $$\cal{H} (C{\Rrightarrow}D)\ra (\cal{H}C{\Rrightarrow}\cal{H}D)$$ \end{Ubung} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Vorzeichen im Hom-Komplex}] Die Wahl der Vorzeichen in unserem Hom-Komplex mag willk"urlich wirken. Sie kann jedoch zur"uckgef"uhrt werden auf unsere Vorzeichenwahl bei der Definition des Tensorkomplexes $\ref{TeKo}$. Genauer bilden nach \ref{canAd} die Isomorphismen\label{adTH} $$\alpha_{Y,Z}:\op{Ket}(Y\otimes X,Z)\sira \op{Ket}(Y,X{\Rrightarrow}Z)$$ gegeben durch $f\mapsto \bar f$ mit $\bar f(y)\pdef (\bar f(y)_i)$ und $\bar f(y)_i:X_i\ra Z_{i+|y|}$ gegeben durch $x\mapsto f_{|y|+|x|}(y\otimes x)$ f"ur homogene $y,x$ eine Adjunktion $(\otimes X, X{\Rrightarrow})$ von Funktoren $\op{Ket}\ra\op{Ket}$ und das Paar $(\alpha,X{\Rrightarrow})$ ist nach \eref{EinAn}{TF} durch $\otimes X$ eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Es gibt auch andere m"ogliche Paare, von denen das hier betrachtete nur dadurch ausgezeichnet ist, da"s ich mir $\alpha$ gut merken kann. Nur in diesem schwachen und sehr menschlichen Sinne werden auch die Vorzeichen im $\op{Hom}$-Komplex durch die Vorzeichen bei der Wahl des Tensorkomplexes bestimmt. Bei der Wahl von $\alpha$ k"onnte man, wenn man den Teufel am Schwanz ziehen will, durchaus noch igendwelche Vorzeichen einbauen und m"u"ste dann die Definition von $\Rrightarrow$ eben entsprechend anpassen. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung}\label{HHC} Sei $C$ ein Komplex von Moduln "uber einem Ring, dessen Homologiegruppen freie oder allgemeiner \glqq projektive\grqq\ Moduln sind. Man zeige, da"s es dann in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe genau einen Homomorphismus $\cal{H}C \ra C$ gibt, der auf der Homologie die offensichtliche Identifikation\label{CWWk} $\cal{H}(\cal{H}C)\sira \cal{H}C$ induziert, und da"s er im Fall von Vektorr"aumen sogar eine Homotopie"aquivalenz ist. In \ref{CWW} verallgemeinern wir die zweite Aussage auf gegen die Pfeile beschr"ankte Komplexe projektiver Moduln. F"ur Moduln "uber Hauptidealringen zeigen wir eine Variante in \eref{DKHa}{TG}. \end{Ubung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGeWe}\\[4mm] \noindent Ein geschlossener, nicht zusammenziehbarer, aber dennoch nullhomologer Weg im Komplement einer zweielementigen Teilmenge der komplexen Zahlenebene. Denken wir uns das Mittelkreuz als Basispunkt und bezeichnet $\alpha$ beziehungsweise $\beta$ in der Fundamentalgruppe das Umrunden gegen den Uhrzeigersinn von $a$ beziehungsweise $b$, so ist unser Fundamentalgruppe nach \eref{fkp}{TF} frei erzeugt von $\alpha$ und $\beta$ und unser Weg repr"asentiert das Element $\alpha^{-1}\beta^{-1}\alpha\beta$ in der Fundamentalgruppe. \end{figure} \subsection{Erste Homologie und Fundamentalgruppe} \begin{Bemerkungl}\label{VNn}%\label{VN} Der Klarheit halber schreiben wir in diesem Abschnitt anders als sonst $\llbracket \gamma\rrbracket $ f"ur die Homotopieklasse mit festen Endpunkten eines Weges und wie "ublich $[z]$ f"ur die Homologieklasse eines Zykels. Bezeichne $c: \Delta_{1} \sira [0,1]$ die Restrik\-tion der Projektion zur zweiten Koordinate auf den Standard-$1$-Simplex $\Delta_{1}=\{(x,y)\in [0,1]^2\mid x+y=1\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} \begin{enumerate} \item F"ur jeden bepunkteten Raum $(X,x)$ gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus $\pi_{1} (X,x) \rightarrow {\op{H}}_{1} X$ von seiner Fundamentalgruppe in seine erste singul"are Homologiegruppe mit $ \llbracket \gamma\rrbracket \mapsto [\gamma \circ c]$ f"ur alle geschlossenen Wege $\gamma\in \Omega (X,x)$; \item F"ur jeden wegzusammenh"angenden bepunkteten Raum induziert der Homomorphismus aus dem ersten Teil einen Isomorphismus zwischen der Abelisierung \eref{Abel}{TF} der Fundamentalgruppe und der ersten singul"aren Homologiegruppe, den sogenannten \emph{\bf Hurewicz-Isomorphismus}\index{Hurewicz-Isomorphismus} $$\pi_{1} (X,x)^{\op{ab}} \sira {\op{H}}_{1} X$$ \end{enumerate} \label{Hu}\end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ein geschlossener Weg, der unter der im Satz beschriebenen Abbildung zum Nullelement der ersten Homologiegruppe wird, hei"st {\bf nullhomolog}.\index{nullhomolog} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Der Hurewicz-Isomorphismus h"angt von der a priori unkanonischen Wahl unserer Bijektion $c: \Delta_{1} \sira [0,1]$ ab. W"ahlen wir hier statt der Projektion auf die zweite Koordinate die Projektion auf die erste Koordinate, so "andert er sein Vorzeichen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] 1. Offensichtlich definiert die Vorschrift $\gamma \mapsto [\gamma \circ c]$ eine Abbildung ${\op{hur}}:\Omega (X,x) \ra {\op{H}}_{1}X$ vom Wegeraum in die erste Homologiegruppe. Um zu zeigen, da"s sie auf Homotopieklassen von Wegen konstant ist, geben wir eine alternative Beschreibung. Bezeichne $\op{Exp} : [0,1] \ra S^{1}$ unsere "ubliche Abbildung $t \mapsto \exp (2\pi \op{i}t)$. Da $\op{Exp}$ nach \eref{IIA}{TM} final ist, gibt es zu jedem geschlossenen Weg $\gamma \in \Omega (X,x)$ eine stetige Abbildung $\tilde{\gamma} : S^{1} \ra X$ mit $\gamma = \tilde{\gamma} \circ \op{Exp}$. Betrachten wir nun in der Kreislinie $S^{1}$ den $1$-Zykel $z = \op{Exp} \circ c \in {\op{Z}}_{1} (S^{1})$, so k"onnen wir unsere Abbildung von $\Omega(X,x)$ nach ${\op{H}}_{1}X$ auch schreiben als $$\gamma\mapsto [\gamma \circ c] = ({\op{H}}_{1}\tilde{\gamma}) [z]$$ Sind nun $\gamma, \beta \in \Omega (X,x)$ homotop mit festen Endpunkten, so sind $\tilde{\gamma}$ und $\tilde{\beta}$ homotope Abbildungen von $S^{1}$ nach $ X$, da wieder nach \eref{IIA}{TM} auch $\op{id}\times\op{Exp} :[0,1]\times [0,1]\ra [0,1]\times S^1$ final ist. Wir erhalten damit \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildHoWe}\\[4mm] \noindent Der tautologische Zwei-Simplex mit seinem Rand sowie der Zwei-Simplex $p:\Delta_2\ra[0,1]$ und sein Rand in ${\op{S}}_1([0,1])$. \end{figure} $$\begin{array}{ccl} \llbracket \gamma\rrbracket = \llbracket \beta\rrbracket & \Rightarrow & \tilde{\gamma} \simeq \tilde{\beta}\\ &\Rightarrow & {\op{H}}_{1}\tilde{\gamma} = {\op{H}}_{1}\tilde{\beta} \text{ nach Homotopieinvarianz \ref{HIv}}\\ &\Rightarrow & ({\op{H}}_{1}\tilde{\gamma})[z] = ({\op{H}}_{1}\tilde{\beta}) [z]\\ &\Rightarrow &[\gamma \circ c] = [\beta \circ c] \end{array}$$ Folglich definiert die Vorschrift $\llbracket \gamma\rrbracket \mapsto [\gamma \circ c]$ in der Tat eine wohlbestimmte Abbildung $\pi_{1} (X,x) \ra {\op{H}}_{1} X$. Wir m"ussen f"ur den ersten Teil nur noch zeigen, da"s sie ein Gruppenhomomorphismus ist. Dazu betrachten wir die affine Abbildung $p : \Delta_{2} \ra [0,1]$ mit $(1,0,0) \mapsto 0$, $(0,1,0) \mapsto 1/2$ und $(0,0,1) \mapsto 1$. Offensichtlich gilt f"ur beliebige $\gamma, \beta \in \Omega (X,x)$, ja sogar f"ur zwei beliebige verkn"upfbare nicht notwendig geschlossene Wege in ${\op{S}}_{1}X$ die Identit"at $$\partial ((\beta \ast \gamma)\circ p) = \gamma \circ c - (\beta \ast \gamma) \circ c + \beta \circ c$$ als da hei"st $ (\beta \ast \gamma) \circ c$ ist homolog zu $ \gamma \circ c + \beta \circ c$, und f"ur $\gamma, \beta \in \Omega (X,x)$ folgt daraus in ${\op{H}}_{1} X$ die Gleichung $[(\beta \ast \gamma)\circ c] = [\gamma \circ c] + [\beta \circ c]$. \\[2mm] \noindent 2. Da ${\op{H}}_{1}X$ abelsch ist, definiert die Abbildung aus Teil 1 nach \eref{UEAb}{TF} einen Gruppenhomomorphismus $$\op{h\acute{u}r} : \pi_{1} (X,x)^{\op{ab}} \ra {\op{H}}_{1}X$$ Wir nehmen nun $X$ wegzusammenh"angend an und w"ahlen f"ur jeden Punkt $y \in X$ einen Weg $\al_{y} \in \Omega (X,y,x)$ von $x$ nach $y$. Dann definieren wir einen Gruppenhomomorphismus $$w:{\op{S}}_{1} X \rightarrow \pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}$$ durch die Vorschrift, da"s er einen $1$-Simplex $\sigma : \Delta_{1} \ra X$ abbilden m"oge auf die Klasse des geschlossenen Weges $w (\sigma)=\bar{\al}_z \ast (\sigma \circ c^{-1}) \ast \al_y$ f"ur $z= {\sigma (0,1)}$ und $y={\sigma (1,0)}$ die Enden unseres $1$-Simplex. Wir zeigen nun, da"s dieser Gruppenhomomorphismus alle R"ander in ${\op{B}}_{1}X$ auf das neutrale Element von $\pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}$ wirft. In der Tat, der Rand eines $2$-Simplex $\tau : \Delta_{2} \ra X$ wird unter unserem Gruppenhomomorphismus abgebildet auf $\llbracket \bar{\alpha}_u \ast (\tau \circ k) \ast \alpha_u\rrbracket $, wo $u={\tau (0,0,1)}$ das Bild einer Ecke von $\Delta_{2}$ ist und $k: [0,1] \ra \Delta_{2}$ den Weg mit Anfangs- und Endpunkt in dieser Ecke bezeichnet, der einmal auf dem Rand von $\Delta_{2}$ uml"auft in einer Richtung, die der Leser sich selber "uberlegen m"oge. Da aber schon $k$ selbst homotop ist zum konstanten Weg, gilt dasselbe f"ur die obige Verkn"upfung. Folglich definiert unsere Vorschrift einen Gruppenhomomorphismus in der umgekehrten Richtung \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRWe}\\[4mm] \noindent Dies Bild soll illustrieren, warum f"ur einen Zwei-Simplex $\tau : \Delta_{2} \ra X$ sein Rand unter unserem Gruppenhomomorphismus abgebildet auf $\llbracket \bar{\alpha}_u \ast (\tau \circ k) \ast \alpha_u\rrbracket$, wo $u={\tau (0,0,1)}$ das Bild einer Ecke von $\Delta_{2}$ ist und $k: [0,1] \ra \Delta_{2}$ den Weg mit Anfangs- und Endpunkt in dieser Ecke bezeichnet, der einmal auf dem Rand von $\Delta_{2}$ uml"auft. \end{figure} $$\overline{w} : {\op{H}}_{1}X \ra \pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}$$ Es bleibt zu zeigen, da"s er invers ist zu dem in Teil 1 konstruierten Homomorphismus $\op{h\acute{u}r}$. Um $\overline{w}\circ \op{h\acute{u}r}=\op{id}$ nachzuweisen, w"ahlen wir einen geschlossenen Weg $\gamma\in\Omega(X,x)$ und erkennen, da"s unter unserer Verkn"upfung seine Klasse abgebildet wird auf die Klasse von $\overline{\alpha}_x \ast \gamma \ast \alpha_x$ in $\pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}$. Das zeigt $\overline{w}\circ \op{h\acute{u}r}=\op{id}$. Um $\op{h\acute{u}r}\circ \overline{w}=\op{id}$ nachzuweisen bemerken wir, da"s f"ur jeden $1$-Simplex $\sigma$ unser $w(\sigma)$ durch den Weg $\bar{\alpha}_{\sigma (1,0)} \ast (\sigma\circ c^{-1}) \ast \alpha_{\sigma (0,1)}$ repr"asentiert wird. Nach dem Schlu"s des vorhergehenden Beweises ist damit $\op{hur} (w(\sigma))$ homolog zur $1$-Kette $ \sigma+\alpha_{\sigma (1,0)} \circ c - \alpha_{\sigma (0,1)} \circ c$. Definieren wir also $\delta : {\op{S}}_{0} X \ra {\op{S}}_{1}X$ durch $y \mapsto \alpha_{y} \circ c$, so ist $\op{hur} (w(\sigma)) - \sigma$ homolog zu $\delta \partial \sigma$ f"ur jeden $1$-Simplex $\sigma$ und nullhomolog f"ur jeden $1$-Zykel $a \in {\op{Z}}_{1}X$, in Formeln $[\op{hur} (w(a))] = [a] \; \forall a \in {\op{Z}}_{1}X$. \end{proof} \begin{Definition} Zwei normierte geschlossene Wege $\alpha,\beta$ in einem topologischen Raum hei"sen {\bf frei homotop},\index{homotop!frei homotop} wenn es eine durch $\tau\in [0,1]$ parametrisierte Familie geschlossener normierter Wege $\gamma_{\tau}$ gibt mit $\gamma_{0}=\alpha$, $\gamma_{1}=\beta$ und so, da"s $(t,\tau)\mapsto \gamma_{\tau}(t)$ stetig ist auf $[0,1]^2$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zur Homotopie mit festen Endpunkten mu"s unsere Abbildung auf $[0,1]^2$ bei einer freien Homotopie also nicht auf der vorderen und hinteren Kante konstant sein, sondern vielmehr auf der vorderen und hinteren Kante denselben Weg darstellen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s je zwei frei homotope geschlossene Wege unter den Hurewicz-Homomorphismen zum jeweiligen Basispunkt auf dieselbe Homologieklasse abgebildet werden. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Hurewicz-Isomorphismen f"ur jeden wegzusammenh"angenden Raum $X$ einen Isomorphismus $\op{hur}_X:\pi_1(X)^{\op{ab}}\sira {\op{H}}_1(X)$ zwischen seiner basispunktfreien abelisierten Fundamentalgruppe \eref{bpfa}{TF} und der ersten Homologiegruppe induzieren und da"s wir so sogar eine Isotransformation\label{hur} $$\op{hur}: \pi_1^{\op{ab}}\siRa {\op{H}}_1$$ von Funktoren von der Kategorie der wegzusammenh"angenden R"aume in die Kategorie der abelschen Gruppen erhalten. \end{Ubung} \subsection{Erste Homologie offener Teilmengen der Ebene} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Umlaufzahlen f"ur Zykel}] Gegeben $w,z \in \mathbb C$ zwei verschiedene Punkte der komplexen Zahlen\-ebene spezialisiert der Hurewitz-Isomorphismus \ref{Hu} zu einem Isomorphismus \begin{equation*} \pi_1 (\mathbb C \backslash w,z)\sira {\op{H}}_1 (\mathbb C \backslash w) \end{equation*} Wir notieren den duch die Umlaufzahl $\gamma \mapsto \op{Um} (\gamma, w)$ aus \eref{HKPE}{TF} gegebenen Isomorphismus $\op{Um}(\;,w) : \pi_1 (\mathbb C \backslash w,z) \sira \mathbb Z$. Man kann leicht zeigen, da"s die auf der Homologie induzierte Abbildung nicht von $z$ abh"angt und folglich mit \begin{equation*} \op{Um}(\;,w) : {\op{H}}_1 (\mathbb C \backslash w) \sira \mathbb Z \end{equation*} bezeichnet werden kann. F"ur eine Homologieklasse $\alpha \in {\op{H}}_1 (\mathbb C \backslash w)$ notieren wir ihr Bild unter dieser Abbildung mit $\op{Um} (\alpha,w)$ und nennen diese Zahl die {\bf Umlaufzahl unserer Klasse} $\alpha$ um den Punkt $w$. F"ur einen $1$-Zykel $\sigma \in {\op{Z}}_1 (\mathbb C \backslash w)$ notieren wir das Bild seiner Homologieklasse unter dieser Abbildung wieder mit $\op{Um} (\sigma,w)\pdef \op{Um} ([\sigma],w)$ und nennen diese Zahl die {\bf Umlaufzahl\index{Umlaufzahl!eines Zykels} des Zykels} $\sigma$ um den Punkt $w$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Bei unserer Definition \ref{WIH1} des Integrals holomorpher Funktionen "uber $1$-Zykel\label{ULZZ} haben wir mit Vorbedacht dieselbe durch die Projektion auf die zweite Koordinate gegebene Identifikation $c:\Delta_1\sira [0,1]$ zugrundegelegt wie bei der Konstruktion des Hurewitz-Isomorphismus. Ist also $\gamma:[0,1]\ra\DC$ ein Weg und $\gamma\circ c: \Delta_1\ra \DC$ der zugeh"orige $1$-Simplex, so gilt $$\int_\gamma f(z)\diff z=\int_{[\gamma\circ c]} f(z)\diff z$$ Der mit den Grundlagen der Funktionentheorie vertrauten Leser wird nun leicht einsehen k"onnen, da"s f"ur jeden Punkt $w\in\DC$ und jede Homologieklasse $\gamma\in {\op{H}}_1( \DC\backslash w)$ ihre Umlaufzahl um den Punkt $w$ auch durch die Formel \begin{displaymath} \op{Um} (\gamma, w) = \frac{1}{2\pi {\op{i}}} \int_{\gamma} \frac{1}{z-w} \diff z \end{displaymath} beschrieben werden kann, mit dem in \ref{WIH1} erkl"arten Integralbegriff. F"ur im Sinne von \ref{WIH1} \glqq geschlossene\grqq\ $1$-Simplizes folgt das unmittelbar aus dem Residuensatz oder auch direkter aus dem Beweis von \eref{UmZ}{FT1}. Im allgemeinen folgt es dann aus der Erkenntnis, da"s jeder $1$-Zykel homolog ist zu einer Linearkombination geschlossener $1$-Simplizes. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Alexander-Dualit"at f"ur offene Teilmengen der Ebene}] Gegeben eine offene Teilmenge $U \co \mathbb C$ der komplexen Zahlenebene liefert die durch das Bilden der Umlaufzahlen gegebene Abbildung\label{HoE} $ {\op{H}}_1(U) \times (\mathbb C\backslash U) \rightarrow \mathbb Z, (\sigma, w) \mapsto \op{Um} (\sigma,w)$ einen Gruppenisomorphismus \begin{equation*} {\op{H}}_1 (U) \sira \mathcal C_! (\mathbb C \backslash U, \mathbb Z) \end{equation*} zwischen der ersten Homologiegruppe von $U$ und der Gruppe der stetigen $\mathbb Z$-wertigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager auf dem Komplement von $U$. \end{Satz} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHOE} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Satz "uber die Homologie offener Teilmengen der Ebene \ref{HoE}. Die Ebene $\DC$ habe ich hier ersetzt durch eine \glqq eif"ormige\grqq\ konvexe offene nichtleere Teilmenge derselben, die ja hom"oomorph ist. Das Komplement von $U$ ist schraffiert eingezeichnet und besteht aus vier Zusammenhangskomponenten, von denen eine nicht kompakt ist. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Die Injektivit"at unserer Abbildung bedeutet in anderen Worten, da"s ein Zykel in einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlen\-ebene in unserer Teilmenge nullhomolog ist genau dann, wenn er keinen Punkt au"serhalb besagter Teilmenge uml"auft. In \ref{Adu} wird erkl"art, wie sich unser Satz auf offene Teilmengen beliebiger endlichdimensionaler Vektorr"aume verallgemeinern l"a"st. Die allgemeine Alexander-Dualit"at diskutieren wir erst in der Garbenkohomologie \eref{ADu}{TG}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}\label{UZIS} Uml"auft ein geschlossener Weg in einer offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene $U\co \DC$ keinen Punkt des Komplements $\DC\backslash U$, so ist er nach unserer Beschreibung \ref{HoE} der ersten Homologie offener Teilmengen der Ebene nullhomolog in $U$. Nach \ref{WIH1} verschwindet folglich das Integral jeder auf unserer Teilmenge holomorphen Funktion "uber besagten Weg. Diese Aussage ist in der Funktionentheorie bekannt als die {\bf Umlaufzahlversion des Integralsatzes von Cauchy}. \index{Integralsatzes von Cauchy!Umlaufzahlversion} \index{Cauchy'scher Integralsatz!Umlaufzahlversion} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Residuensatz, homologische Version}] Seien $U \co \Bbb{C}$ eine offene Teilmenge und $P \subset U$ eine endliche Teilmenge und $f: U \backslash P \ra \Bbb{C}$ holomorph und $\gamma$ ein Zykel in $U \backslash P$, der in $U$ nullhomolog ist. So gilt\label{ReSaH} \begin{displaymath} \int_\gamma f(z) \diff z = 2\pi {\op{i}} \sum_{p \in P} \op{Um} (\gamma, p) \op{Res} (f,p) \end{displaymath} Wir k"onnten das genauso herleiten wie den Residuensatz \eref{ReSa}{FT1}. Stattdessen f"uhren wir hier einen alternativen Beweis vor, der von der Laurententwicklung unabh"angig ist und die N"utzlichkeit unserer neuen Sprache zeigen soll. W"ahlen wir um jede der Singularit"aten $w\in P$ einen Kreisweg $\gamma_w$ mit so kleinem Radius, da"s die ganze abgeschlossene Kreisscheibe innerhalb dieses Weges in $U$ enthalten ist und keine andere Singularit"at enth"alt, so gilt $\op{Um} (\gamma_w, w)=1$ und $\op{Um} (\gamma_w, v)=0$ f"ur alle $v\in P\backslash w$ und f"ur alle $v\in \DC\backslash U$. Die Zykel $\gamma$ und $\sum_{w} \op{Um} (\gamma, w) \gamma_w$ haben also dieselben Umlaufzahlen um alle Punkte des Komplements von $U\backslash P$ in $\Bbb{C}$, als da hei"st, ihre Differenz ist in $U \backslash P$ nullhomolog. Daraus folgt wegen der Homologieinvarianz des Wegintegrals \eref{HiW}{FT1} aber sofort \begin{displaymath} \int_{\gamma} f(z) \diff z = \sum_{w\in P} \op{Um} (\gamma, w) \int_{\gamma_w} f(z) \diff z \end{displaymath} und die Formel aus der Definition des Residuums \eref{DefRe}{FT1} zeigt dann den Residuensatz. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKaZy} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Darstellung zum Beweis von Satz \ref{HoE}. Unser $A_0$ soll in diesem Beispiel die Vereinigung der zwei eng schraffierten St"ucke sein. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis von \ref{HoE}] Jeder Zykel $\sigma \in {\op{Z}}_1 (U)$ wird in ${\op{S}}_1 (\mathbb C)$ ein Rand, $\sigma = \partial \alpha$ f"ur $\alpha \in {\op{S}}_2 (\mathbb C)$. Liegt $w$ auf keinem Simplex von $\alpha$, so gilt sicher $\op{Um} (\sigma,w) =0$. Folglich verschwindet $\op{Um}(\sigma,w)$ bei festem $\sigma$ f"ur alle $w$ au"serhalb eines geeigneten Kompaktums. Da"s $w \mapsto \op{Um} (\sigma,w)$ auch stetig von $w$ abh"angt, also eine lokal konstante Funktion ist, wird sich der Leser leicht selbst "uberlegen k"onnen. Damit liefert unsere Abbildungsvorschrift schon einmal einen Gruppenhomomorphismus \begin{equation*} {\op{H}}_1 (U) \rightarrow \mathcal C_! (\mathbb C \backslash U, \mathbb Z) \end{equation*} und es bleibt, dessen Injektivit"at und Surjektivit"at zu zeigen. Wir beginnen mit der Surjektivit"at. Es reicht sicher zu zeigen, da"s alle Funktionen im Bild liegen, die nur die Werte Null und Eins annehmen. Dann zerf"allt aber das Komplement in die disjunkte Vereinigung $\mathbb C \backslash U = A_0 \amalg A_1$ einer kompakten Teilmenge $A_1$, auf der der Wert Eins ist, und einer in $\mathbb C \backslash U$ und $\mathbb C$ abgeschlossenen Teilmenge, auf der der Wert Null ist. Nach \eref{dK}{AN1} existiert ein $\delta > 0$ mit $|x_1 - x_0 | > \delta \quad \forall x_1 \in A_1, x_0 \in A_0$. Wir k"onnen also auf unsere Ebene ein \glqq Rechenpapier-Raster\grqq\ legen, das so fein ist, da"s keines der Rechenk"astchen sowohl $A_0$ als auch $A_1$ trifft. Zu jedem Rechenk"astchen erkl"aren wir seinen \glqq Kantenzykel\grqq, der anschaulich der Summe seiner vier mit konstanter Geschwindigkeit im Gegenuhrzeigersinn zu durchlaufenden Kanten entspricht, in hoffentlich offensichtlicher Weise. Dann betrachten wir die Summe $\sigma$ aller \glqq Kantenzykel\grqq\ zu Rechenk"astchen, die $A_1$ treffen, und behaupten, da"s dieser Zykel $\sigma$ in $U$ liegt und jeden Punkt von $A_1$ einmal uml"auft, jeden Punkt von $A_0$ dahingegen keinmal. Letzteres scheint mir offensichtlich. Ersteres scheint mir auch offensichtlich f"ur Punkte, die auf keiner Kante eines K"astchens liegen. F"ur Punkte auf Kanten und Ecken unseres Rechenpapiers ist es aber auch leicht zu sehen. Damit ist die Surjektivit"at bewiesen, und es gilt, auch noch die Injektivit"at zu zeigen. Dazu unterbrechen wir den Beweis und zeigen zun"achst einige Hilfsaussagen. \begin{Lemma} Jeder Zykel in einer offenen Teilmenge der Ebene ist in dieser offenen Teilmenge homolog zu einer formalen Summe von Kanten von K"astchen auf einem hinreichend feinen Rechenpapier. \end{Lemma} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKaWe} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein Zykel und eine dazu homologe Summe von Kanten in einer ringf"ormigen offenen Teilmenge der komplexen Zahlenebene. \end{minipage} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Satz von Hurewicz \ref{Hu}, genauer der leicht zu zeigenden Surjektivit"at des Hurewicz-Isomorphismus, ist jeder Zykel in einem wegzusammenh"angenden Raum homolog zu einem geschlossenen Weg oder pr"aziser zu einem Zykel, der durch einen einzigen singul"aren Simplex gegeben wird. Jeder Zykel in einem beliebigen Raum ist folglich homolog zu einer endlichen Linearkombination von derartigen \glqq geschlossenen\grqq\ Simplizes. Jeder geschlossene Weg in einer offenen Teilmenge der Ebene ist weiter homolog, ja nach \eref{PAPr}{AN2} sogar homotop zu einem geschlossenen polygonalen Weg und dann sogar frei homotop zu einem geschlossenen polygonalen Weg mit Ecken aus $\Bbb{Q} + \Bbb{Q}{\op{i}}$. Jedes der Geradensegmente dieser polygonalen Wege ist hinwiederum homotop in unserer offenen Teilmenge zu einem \glqq Treppenweg\grqq\ mit Ecken in $\Bbb{Q} + \Bbb{Q}{\op{i}}$, und der Hauptnenner aller Koordinaten aller Ecken aller dieser Treppenwege gibt uns dann eine m"ogliche Feinheit f"ur unser Rechenpapier. \end{proof}\noindent F"ur den Beweis des Satzes reicht es also zu zeigen, da"s jeder solche \glqq Kantenzykel\grqq, der keinen Punkt au"serhalb unserer offenen Teilmenge uml"auft, bereits in unserer offenen Teilmenge nullhomolog ist. Dazu beachten wir zun"achst, da"s die Umlaufzahl auf dem Komplement der Spur unseres Kantenzykels in der Ebene lokal konstant ist. Liegt also der Abschlu"s eines unserer Rechenk"astchen nicht ganz in unserer offenen Teilmenge, so verschwindet dort die Umlaufzahl an allen Stellen, die nicht gerade zu Kanten unseres Kantenzykels geh"oren, und insbesondere im Innern des besagten K"astchens. Die Umlaufzahl unseres Kantenzykels kann nun nur auf dem Innern von endlich vielen Rechenk"astchen von Null verschieden sein, und diese geh"oren nach dem Vorhergehenden mit ihrem Abschlu"s zu unserer offenen Teilmenge. Wir k"onnen also einen weiteren Kantenzykel in unserer offenen Menge konstruieren, der zu unserem urspr"unglichen Kantenzykel homolog ist und bei dem die Umlaufzahl um jeden Punkt im Innern jedes Rechenk"astchens verschwindet, indem wir bei jedem Rechenk"astchen mit von Null verschiedener Umlaufzahl ein geeignetes Vielfaches seines \glqq Randzykels\grqq\ zu unserem urspr"unglichen Zykel addieren. Auf diese Weise t"oten wir auf dem entsprechenden K"astchen die Umlaufzahl und auf den anderen K"astchen "andert sich nichts und wir erhalten einen zu unserem urspr"unglichen Zykel homologen Kantenzykel, der "uberhaupt keinen Punkt im Innern irgendeines Rechenk"astchens uml"auft. Das anschlie"sende Lemma beendet dann den Beweis. \end{proof} \begin{Lemma} In einem Kantenzykel, der keinen Punkt aus dem Innern irgendeines K"astchens uml"auft, kommt jede Kante gleich oft in beiden Richtungen vor.\label{lLl} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit argumentieren wir nur f"ur senkrechte Kanten. Nehmen wir also an, eine senkrechte Kante k"ame $a$-mal in der Richtung nach oben und $b$-mal in die Gegenrichtung vor. Ziehen wir von unserem Kantenzykel den Randzykel des K"astchens links neben unserer Kante ab, und zwar $a$-mal im Gegenuhrzeigersinn und $b$-mal im Uhrzeigersinn, so erhalten wir einen neuen Kantenzykel mit Umlaufzahl $b-a$ auf diesem K"astchen und Umlaufzahl null auf dem K"astchen rechts daneben. Diese Kante selbst geh"ort aber gar nicht mehr zur Spur unseres Zykels, und weil die Umlaufzahl lokal konstant ist folgt $b-a =0$. \end{proof} \begin{Bemerkunge} F"ur Zykel in nicht notwendig offenen Teilmengen der komplexen Zahlen\-ebene gilt die Aussage von Satz \ref{HoE} im allgemeinen nicht mehr.\label{NHU} Betrachten wir etwa die stetige Funktion \begin{equation*} f : [0,1] \rightarrow \mathbb R \end{equation*} mit $f(x) = x \sin (\pi x^{-1})$ f"ur $x \neq 0$ und $f (x) =0$ f"ur $x =0$. Betrachten wir in der komplexen Zahlenebene $\mathbb C$ die Wege \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildGZy} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ist $U\subset \DC$ nicht offen, so gilt die Aussage von Satz \ref{HoE} im allgemeinen nicht mehr. \end{minipage} \end{figure} \begin{eqnarray*} \gamma_1 &=& t\\ \gamma_2 (t) &=& t+ {\op{i}}f (t)\\ \gamma_3 (t) &=& t + {\op{i}}\sup (f (t), 0)\\ \gamma_4 (t) &=& t + {\op{i}}\inf (f (t), 0) \end{eqnarray*} Der Zykel $\gamma_1 + \gamma_2 - \gamma_3 - \gamma_4$ hat dann Umlaufzahl Null um jeden Punkt im Komplement seiner Spur. Dennoch ist er in seiner Spur nicht nullhomolog, was ich hier nur heuristisch begr"unden will: Wie fein ich eine endliche Zerst"uckelung auch w"ahle, die Situation in der N"ahe des Ursprungs bleibt einfach zu verworren. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Zusammenziehbare offene Teilmengen der Ebene}] Gegeben eine zusammenh"angende offene Teilmenge der Ebene $U\co \DC$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $U$ ist hom"oomorph zu einer offenen Kreisscheibe; \item $U$ ist zusammenziehbar; \item $U$ ist schleifenf"ullend; \item $U$ ist "uberlagerungstrivial; \item $U$ hat triviale erste Homologie; \item Das Komplement von $U$ hat keine kompakte Zusammenhangskomponente; \item Kein geschlossener Weg in $U$ uml"auft einen Punkt au"serhalb von $U$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} 1${\RA}$2 ist klar. 2${\RA}$3 folgt aus der Trivialit"at der Fundamentalgruppe zusammenziehbarer R"aume \eref{HFA}{TF}. 3${\RA}$4 haben wir bereits in \eref{Wezo}{TF} gezeigt, es ist eine Konsequenz der Beziehungen zwischen Fundamentalgruppe und "Uberlagerungsheorie. 4${\RA}$3 folgt aus Wegetrivialit"at der universellen "Uberlagerung lokal wegetrivialer R"aume \eref{EUUU}{TF} und der Tatsache, da"s die Annahme bedeutet, da"s $U$ seine eigene universelle "Uberlagerung ist. 3${\RA}$5 folgt aus dem Hurewicz-Isomorphismus \ref{Hu} zwischen der ersten Homologie und der Abelisierung der Fundamentalgruppe. 5${\RA}$1 folgt aus dem Riemann'schen Abbildungssatz der Funktionentheorie, wie wir in \ref{HtOf} diskutiert haben. 5${\IFF}$6 ist ein Spezialfall der Alexanderdualit"at f"ur offene Teilmengen der Ebene \ref{HoE}. 6${\RA}$7 ist klar. Um 7${\RA}$6 zuzeigen, m"ussen wir nur nocheinmal den Hurewicz-Isomorphismus anwenden und ein nichttriviales Element von ${\op{H}}^1(U)$ als Bild eines geschlossenen Weges schreiben. \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Zugang "uber \'etale R"aume holomorpher Funktionskeime}] Meines Erachten wird die Beziehung zur Funktionentheorie noch klarer, wenn man mit dem \'etalen Raum $\op{\acute{e}t}\mathcal O^{\op{an}}$ der Garbe der holomorphen Funktionskeime aus $\DC$ aus \eref{RFFK}{TG} arbeitet. Gegeben eine holomorphe Funktion $f\in\mathcal O^{\op{an}}(U)$ auf einer zusammenh"angenden offenen Teilmenge $U\co\DC$ bilden in diesem Raum die Keime lokaler Stammfunktionen von $f$ eine "Uberlagerung von $U$. Weiter ist jede Zusammenhangskomponente dieser "Uberlagerung galois und wir erhalten eine Einbettung ihrer Deckbewegungsgruppe nach $(\DC,+)$ indem wir jeder Deckbewegung $\gamma$ diejenige komplexe Zahl $c$ zuordnen mit $\gamma(F)=F+c$ f"ur einen und jeden Stammfunktionskeim $F$ unserer "Uberlagerung. Ist also jede zusammenh"angende Galois"uberlagerung von $U$ mit abelscher Deckbewegungsgruppe trivial, so besitzt jede holomorphe Funktion auf $U$ eine Stammfunktion. Mit dieser Voraussetzung gelingt aber, wie beim Beweis von \ref{HtOf} erkl"art, bereits der Beweis des Riemann'schen Abbildungssatzes. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{efH} Man zeige, da"s eine zusammenh"angende offene Teilmenge der Ebene $\DR^2$ genau dann "uberlagerungstrivial ist, wenn ihre erste Homologiegruppe verschwindet. Hinweis: Man ben"otigt die Argumente der vorhergehenden Beweise und \ref{lLl}. Die analoge Aussage gilt in h"oheren Dimensionen im "ubrigen nicht mehr, das einfachste mir bekannte Gegenbeispiel wird in \ref{AhSS} diskutiert. \end{Ubung} \newpage \section{Relative singul"are Homologie} In diesem Abschnitt f"uhren wir eine Verallgemeinerung unserer singul"aren Homologiegruppen ein, die sogenannten \glqq relativen Homologiegruppen\grqq\ eines topologischen Raums relativ zu einer Teilmenge. Man mag sich fragen, ob es nicht sinnvoller w"are, erst einmal die bisher eingef"uhrten gew"ohnlichen Homologiegruppen so eingehend zu studieren, da"s wir sie f"ur einige elementare Beispiele auch berechnen k"onnten, anstatt gleich zu verallgemeinern. Es erweist sich jedoch, da"s die Verallgemeinerung zur relativen Homologie bei der Berechnung der gew"ohnlichen Homologiegruppen entscheidend hilft, sobald wir (1) die lange exakte Homologiesequenz hergeleitet haben, die die relative mit der gew"ohnlichen Homologie in Beziehung setzt, und (2) den Satz "uber die Ausschneidung gezeigt haben, der sich nur f"ur die relative Homologie "uberhaupt formulieren l"a"st. \subsection{Definition der relativen Homologie} \begin{Definition} Ist $(X,A)$ ein \defind{Raumpaar}, als da hei"st ein topologischer Raum $X$ mit einer Teilmenge $A$, so liefert die Einbettung $A\hra X$ f"ur alle $q\in \Bbb{Z}$ Inklusionen ${\op{S}}_{q}A \hookrightarrow {\op{S}}_{q}X$ auf den Gruppen der singul"aren $q$-Ketten. Die\label{RelK} Quotientengruppe bezeichnen wir mit $${\op{S}}_{q}(X,A)\pdef {\op{S}}_{q}X/{\op{S}}_{q} A $$ und nennen ihre Elemente \defnoind{relative $q$-Ketten}\index{relative Ketten}. Wir geben der Quotientenabbildung ${\op{S}}_{q}X \twoheadrightarrow {\op{S}}_{q}(X,A)$ keinen Namen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Quotientenabbildung liefert einen Isomorphismus zwischen der freien Gruppe "uber der Menge aller der $q$-Simplizes $\sigma : \Delta_{q} \ra X$, deren Bild nicht in $A$ enthalten ist, und der Gruppe der relativen $q$-Ketten ${\op{S}}_{q}(X,A)$. Diese Sichtweise zeigt, da"s auch die relativen Ketten eine freie abelsche Gruppe bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man "uberzeugt sich leicht, da"s es eindeutig bestimmte Gruppenhomomorphismen $\bar{\partial}_{q} : {\op{S}}_{q} (X,A) \ra {\op{S}}_{q-1}(X,A)$ gibt derart, da"s auch das rechte Quadrat im folgenden Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}_{q}A &\hookrightarrow&{\op{S}}_{q}X &\twoheadrightarrow& {\op{S}}_{q}(X,A)\\[2mm] {\partial}_{q}\downarrow& & {\partial}_{q}\downarrow & & \bar{\partial}_{q}\downarrow \\[2mm] {\op{S}}_{q-1} A & \hookrightarrow & {\op{S}}_{q-1}X& \twoheadrightarrow& {\op{S}}_{q-1} (X,A) \end{array}$$ Es ist klar, da"s die ${\op{S}}_q (X,A)$ mit diesem Differential einen Kettenkomplex bilden, da"s in anderen Worten gilt $\bar{\partial}\circ \bar{\partial} = 0$. Wir notieren ihn ${\op{S}} (X,A)$\label{rekL} und definieren die {\bf relativen Homologiegruppen}\index{relative Homologiegruppen} von unserem Raumpaar als die Homologie\index{Homologiegruppe!relative} dieses Kettenkomplexes, in Formeln $${\op{H}}_{q}(X,A) \pdef \cal{H}_{q}({\op{S}}(X,A)) = \ker \bar{\partial}_{q}/\op{im} \bar{\partial}_{q+1}$$ Die Elemente von $\ker \bar{\partial}_{q}$ hei"sen auch die {\bf relativen $q$-Zykel}, die Elemente von $\op{im} \bar{\partial}_{q+1}$ die \defnoind{relativen $q$-R"ander}\index{relative $q$-R"ander} und f"ur einen relativen Zykel $c$ bezeichnet wieder $[c]$ seine Homologieklasse. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildRZy}\\[4mm] \noindent Ein Erzeuger der relativen Homologie ${\op{H}}_{2}(D^2,S^1)\cong \Bbb{Z}$ \end{figure} \begin{Bemerkungw} In \ref{RPQ} wird klar werden, da"s wir unter geeigneten Annahmen an unser Raumpaar $(X,A)$ die relative Homologie ${\op{H}}_q(X,A)$ f"ur $q>0$ identifizieren k"onnen mit der Homologie ${\op{H}}_q(X/A)$ des Raums $X/A$, der aus $X$ entsteht durch die Identifikation der Teilmenge $A$ zu einem Punkt. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Wir haben ${\op{H}}_{1}([a,b],\{a,b\})\cong \Bbb{Z}$, f"ur $a 0$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das ergibt sich aus dem vorhergehenden Korollar \ref{DSS} mit der langen exakten Homologiesequenz des Raumpaars $(D^{n+1},S^{n})$. Einen alternativen und vielleicht anschaulicheren Beweis mithilfe der \glqq Mayer-Vietoris-Sequenz\grqq\ geben wir in \ref{MVSs}. Er hat allerdings den Nachteil, keinen expliziten Erzeuger der Homologie zu liefern. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein punktierter topologischer Raum $(X,x)$ nennt man seine Homologie ${\op{H}}_{q}(X,X\backslash x)$ relativ zum Komplement des ausgezeichneten Punktes auch seine {\bf lokale Homologie}. \index{lokal!Homologie}\index{Homologie!lokale}\label{lokH} \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Lokale Homologie reeller Vektorr"aume}] F"ur $n\geq 0$ und jeden Punkt $x \in \DR^{n}$ gilt\label{MNH} $${\op{H}}_{q}(\DR^{n},\DR^{n}\backslash x) \cong \left\{\begin{array}{cc} \Bbb{Z} & q=n;\\ 0 &\text{sonst}.\end{array}\right.$$ Insbesondere sind $\DR^{n}$ und $\DR^{m}$ f"ur $n \neq m$ nicht hom"oomorph. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $x=0$ annehmen. Die Einbettung $(D^{n},S^{n-1})\ra (\DR^{n},\DR^{n} \backslash 0)$ induziert nun aufgrund der Homotopieinvarianz \ref{FLK} Isomorphismen auf den relativen Homologiegruppen und die Aussage folgt so aus \ref{DSS}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wahl von Erzeugern}] Bis hierher haben wir die Frage offengelassen, wie man sinnvoll Erzeuger von ${\op{H}}_{n}(D^{n},S^{n-1})$, ${\op{H}}_{n}(\DR^{n},\DR^{n}\backslash 0)$ und ${\op{H}}_{n}S^{n}$ auszeichnen kann. In meinen Augen ist es besonders sinnvoll, mit demjenigen Erzeuger $\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ zu beginnen, der durch die Klasse des relativen Einszykels $[-1,1]$ gegeben wird, also durch die affine Abbildung $\Delta_1\ra \DR$ mit $\mathrm e_0\mapsto -1$ und $\mathrm e_1\mapsto 1$. Dann liefert das Kreuzprodukt der relativen Homologie \ref{WR3} einen ausgezeichneten Erzeuger $$\tau^{\times n}\in {\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)$$ f"ur alle $n\geq 0$. Daraus erhalten wir mit dem durch die Einbettung gegebenen Isomorphismus ${\op{H}}_{n}(D^{n},S^{n-1})\sira {\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)$ ausgezeichnete Erzeuger von ${\op{H}}_{n}(D^{n},S^{n-1})$ und mit dem Randoperator ausgezeichnete Erzeuger von $ {\op{H}}_{n}S^{n}$ f"ur $n\geq 1$ und allgemeiner ausgezeichnete Erzeuger der in \ref{AUG} eingef"uhrten reduzierten Homologie $\tilde {\op{H}}_{n}S^{n}$ f"ur $n\geq -1$. Wie nennen sie unsere {\bf Standarderzeuger}.\index{Standarderzeuger!in der Homologietheorie} Damit wir auch hier schon mit diesen Standarderzeugern arbeiten k"onnen, geben wir eine explizite Beschreibung und definieren unsere Standarderzeuger\label{WsE} $$\eta_n\in {\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)$$ vorerst dadurch, das sie durch den affinen $n$-Simplex $[\big(-\sum {\op{e}}_i\big), {\op{e}}_1,\ldots, {\op{e}}_n]$ repr"asentiert werden, eine stetige Abbildung $\Delta_n\ra \DR^n$. Da diese Abbildung eine Homotopie"aqivalenz von Raumpaaren $(\Delta_{n}, \partial \Delta_{n})\hra (\DR^n,\DR^n\backslash 0)$ induziert und da $\eta_n$ das Bild der Klasse des tautologischen $n$-Simplex, die hinwiederum nach \ref{HoS} ein Erzeuger von $[\tau_n]\in {\op{H}}_n(\Delta_{n}, \partial \Delta_{n})$ ist, erhalten wir so in der Tat einen Erzeuger $\eta_n$ der lokalen Homologie des $\DR^n$ am Ursprung. Die Kompatibilit"at mit dem Kreuzprodukt wird in "Ubung \ref{tkr} gezeigt. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Unmöglichkeit der Retraktion eines Balls auf seinen Rand}] Sei $n \geq -1$. Es gibt keine stetige Abbildung $r : D^{n+ 1} \ra S^{n}$ des $(n+1)$-Balls auf seine Randsph"are, deren Einschr"ankung\label{RT} auf die Randsph"are $S^{n}$ die Identit"at ist. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Sei $i : S^{n} \hookrightarrow D^{n+ 1}$ die Einbettung. Aus $r \circ i = \op{id} $ folgt, da"s die Verkn"upfung $$ {\op{H}}_{n}S^{n} \ra {\op{H}}_{n}D^{n+1} \ra {\op{H}}_{n}S^{n} $$ von $\mathrm Hr$ mit $ \mathrm H i$ die Identit"at ist. Die Identit"at auf $\Bbb{Z}$ kann aber nicht "uber $0$ faktorisieren und das erledigt den Fall $n \geq 1$. Im Fall $n=0$ argumentiert man analog, da"s die Identit"at auf $\Bbb{Z}^{2}$ nicht "uber $\Bbb{Z}$ faktorisieren kann. Der Fall $n=-1$ ist eh klar. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Fixpunktsatz von Brouwer}]\index{Brouwer, Fixpunktsatz!allgemeiner}\index{Fixpunktsatz von Brouwer!allgemeiner} Jede stetige Selbstabbildung des abgeschlossenen $n$-Balls besitzt einen Fixpunkt.\label{FBn} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $f: D^{n}\ra D^{n}$ stetig. H"atte $f$ keinen Fixpunkt, so k"onnte man eine stetige Abbildung $r : D^{n} \ra S^{n-1}$ konstruieren durch die Vorschrift, da"s $r (x)$ der Punkt ist, in dem der Strahl, der von $r(x)$ ausgeht und durch $x$ l"auft, die Sph"are $S^{n-1}$ trifft. Das st"unde jedoch im Widerspruch zum vorhergehenden Korollar \ref{RT}. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildUT} \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildUTO}\\[4mm] \noindent Der Effekt der Unterteilungsoperatoren $U_1$ und $U_2$ auf Simplizes. Die Zahlen an den Ecken der Dreiecksfl"achen zeigen wieder, wohin die Vektoren der Standardbasis $\op{e}_1, \op{e}_2, \op{e}_3$ des $\DR^3$, deren konvexe H"ulle ja der Standardsimplex $\Delta_2$ ist, abgebildet werden. \end{figure} \subsection{Beweis des Ausschneidungssatzes} \begin{Bemerkungl} Wir beginnen nun mit den Vorbereitungen zum Beweis des Ausschneidungssatzes. Die zentrale Rolle spielen hier\label{DUO} die \defnoind{Unterteilungsoperatoren}\index{Unterteilungsoperator} ${\op{U}}_{q} : {\op{S}}_{q} X \ra {\op{S}}_{q}X$, die jeden Simplex \glqq baryzentrisch unterteilen\grqq. Wir konstruieren sie als Transformationen ${\op{U}}_{q} : {\op{S}}_{q} \RA {\op{S}}_{q}$. Um solche Transformationen festzulegen, brauchen wir ja nach Lemma \ref{YA} nur das Bild des tautologischen $q$-Simplex ${\op{U}}_{q} (\tau_{q}) \in {\op{S}}_{q}(\Delta_{q})$ anzugeben. F"ur jede konvexe Teilmenge $K$ eines $\DR^{n}$ und jeden Punkt $s\in K$ erinnern wir dazu an den Prismen-Operator ${\op{P}} = {\op{P}}^s: {\op{S}}_{q}K \ra {\op{S}}_{q+1}K$ aus dem Beweis von \ref{Kon}. Dann setzen wir ${\op{U}}_q=0$ f"ur $q<0$ und definieren ${\op{U}}_{q}$ f"ur $q\geq 0$ induktiv vermittels der Vorschrift $ {\op{U}}_{0}(\tau_{0}) \pdef \tau_{0}$ und ${\op{U}}_{q} (\tau_{q})\pdef {\op{P}}^{s(q)} {\op{U}}_{q-1} (\partial \tau_{q})$ f"ur $ q >0 $, wo ${\op{P}}^{s(q)}$ den Prismenoperator bez"uglich des Schwerpunkts $s(q)\pdef \frac{1}{q+1} (1,1, \ldots , 1)$ von $\Delta_{q}$ bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Die Unterteilung\label{UKAn} %\label{UKA} ${\op{U}} :{\op{S}}X \ra {\op{S}}X$ ist eine Kettenabbildung. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen $\partial {\op{U}}_{q} = {\op{U}}_{q-1}\partial$ f"ur alle $q$. Wir zeigen die Gleichheit durch Induktion "uber $q$. Wegen \ref{YA} reicht es, die Gleichheit auf $\tau_{q}$ zu zeigen. Die F"alle $q=0,1$ "uberlassen wir dem Leser. F"ur $q\geq 2$ und ${\op{P}}={\op{P}}^{s(q)}$ haben wir $$\begin{array}{ccl} \partial {\op{U}}_{q}(\tau_{q}) & =& \partial {\op{P}} {\op{U}}_{q-1}\partial (\tau_{q})\\ &=& (-{\op{P}} \partial + \op{id}) {\op{U}}_{q-1}\partial (\tau_{q})\\ &=& {\op{U}}_{q-1}\partial (\tau_{q}) \end{array}$$ Die erste Gleichung nach Definition, die zweite da $\partial {\op{P}}+ {\op{P}}\partial =\op{id}$ auf ${\op{S}}_{q}\Delta_{q}$ f"ur $q\geq 1$, die dritte da $\partial {\op{U}}_{q-1} = {\op{U}}_{q-2}\partial$ nach Induktion. \end{proof} \begin{Lemma}\label{UT} Die Unterteilung ist in nat"urlicher Weise kettenhomotop zur Identit"at, als da hei"st, es gibt Transformationen $$T_{q} : {\op{S}}_{q} \RA {\op{S}}_{q+1} $$ mit $\partial T_{q} + T_{q-1}\partial = {\op{U}}_{q}-\op{id}$ f"ur alle $q$. Insbesondere induziert ${\op{U}}$ die Identit"at auf der Homologie. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Dies Lemma wird sich sp"ater als eine Konsequenz des Satzes "uber azyklische Modelle \ref{AzM} erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir versuchen induktiv m"ogliche Transformationen $T_{q}$ zu finden und m"ussen nur $T_{q}(\tau_{q}) \in {\op{S}}_{q+1} (\Delta_{q})$ angeben. Wir k"onnen mit $T_{-1}= T_{0}=0$ beginnen und m"ussen dann induktiv die Gleichungen $$\partial T_{q}(\tau_{q}) = - T_{q-1}\partial (\tau_{q})+{\op{U}}_{q} (\tau_{q})- \tau_{q}$$ l"osen. Wegen ${\op{H}}_{q}(\Delta_{q}) =0$ f"ur $q\geq 1$ sind diese Gleichungen l"osbar, wenn die rechte Seite ein Zykel ist. Dazu rechnen wir stur mit der Induktionsannahme \begin{equation*} \begin{array}[b]{l} -\partial T_{q-1}(\partial \tau_{q}) + \partial {\op{U}}_{q}(\tau_{q})-\partial \tau_{q} =\\[2mm] \hspace{2.5cm}=(T_{q-2}\partial - {\op{U}}_{q-1} + \op{id})(\partial \tau_{q}) +\partial {\op{U}}_{q}(\tau_{q})-\partial \tau_{q}=0 \end{array} \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein System $\cal{V} \subset \cal{P} (X)$ von Teilmengen eines topologischen Raums $X$ bezeichne ${\op{S}}_{q}^{\cal{V}}X \subset {\op{S}}_{q}X$ die freie Gruppe "uber allen denjenigen Simplizes, die ganz in einem der $V\in \cal{V}$ liegen. Wir nennen $S^{\cal{V}}_{q}X$ die Gruppe der \defnoind{$\cal{V}$-feinen Ketten}\index{feine Ketten}. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{"uber} \defind{feine Ketten}]\label{FK} Sei $\cal{V}$ eine "Uberdeckung eines Raums $X$ derart, da"s selbst die offenen Kerne der Mengen aus $\cal{V}$ schon $X$ "uberdecken, in Formeln $X = \bigcup_{V\in \cal{V}} V^{\circ}$. So induziert die Einbettung ${\op{S}}^{\cal{V}} X \hookrightarrow {\op{S}}X$ vom Komplex der $\cal{V}$-feinen Ketten in den Komplex aller singul"aren Ketten Isomorphismen auf allen Homologiegruppen. \end{Satz} \begin{Bemerkungw}\label{FKHh}%\label{FKH} Mit \ref{HKH} wird aus diesem Resultat folgen, da"s unsere Einbettung sogar eine Homotopie"aquivalenz ${\op{S}}^{\cal{V}} X \hri {\op{S}}X$ ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Mit der langen exakten Homologiesequenz m"ussen wir nur zeigen, da"s die Homologie von ${\op{S}}X/{\op{S}}^{\cal{V}}X$ verschwindet. Nun bilden unsere Abbildungen ${\op{U}}$ und $T$ sicher ${\op{S}}^{\cal{V}}X$ auf sich selber ab und induzieren also Operatoren $\bar{{\op{U}}}$, $\bar{T}$ auf dem Quotienten. Offensichtlich ist auch $\bar{{\op{U}}}$ homotop zur Identit"at vermittels $\bar{T}$ und liefert also die Identit"at auf den Homologiegruppen von ${\op{S}} X/{\op{S}}^{\cal{V}}X$. F"ur jedes $q$ und jede Kette $\gamma \in {\op{S}}_{q}X$ gibt es aber nach dem anschlie"senden Lemma \ref{KlKl} ein $n\gg 0$ mit ${\op{U}}^{n}\gamma \in {\op{S}}^{\cal{V}}_{q} X$, also $\bar{{\op{U}}}^{n}\bar{\gamma} =0$ f"ur $\bar{\gamma} \in {\op{S}}_{q}X/{\op{S}}^{\cal{V}}_{q}X$ die Nebenklasse von $\gamma$. Wir folgern $\cal{H}_{q}({\op{S}} X/{\op{S}}^{\cal{V}}X)=0$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KlKl} Sei $\cal{V}$ eine offene "Uberdeckung eines Raums $X$. F"ur jedes $q$ und jede Kette $\gamma \in {\op{S}}_{q}X$ gibt es dann $n\in \DN$ mit ${\op{U}}^{n}\gamma \in {\op{S}}^{\cal{V}}_{q}X$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dieselbe Aussage folgt unmittelbar, wenn wir statt eine offenen "Uberdeckung zu betrachten wie oben schw"acher nur annehmen, da"s die offenen Kerne der Mengen aus $\cal{V}$ bereits $X$ "uberdecken. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Es reicht sicher, das Lemma f"ur jeden Simplex $\gamma : \Delta_{q}\ra X$ zu zeigen. Nun sieht man, da"s der maximale Durchmesser eines Simplex, der mit von Null verschiedenem Koeffizienten in ${\op{U}}^{n}(\tau_{q})$ vorkommt, f"ur $n\ra \infty$ beliebig klein wird. Insbesondere ist f"ur $n\gg 0$ nach dem "Uberdeckungssatz von Lebesgue jeder solche Simplex ganz in einer der Mengen $\gamma^{-1} (V)$ mit $V \in \cal{V}$ enthalten. Das bedeutet aber gerade ${\op{U}}^{n}\gamma \in {\op{S}}_{q}^{\cal{V}}X$. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung}]\label{Asch} Sei $(X,Z)$ ein Raumpaar und $L\subset Z$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s im Inneren von $Z$ liegt, in Formeln $\op{Cl}_X(L) \subset \op{Inn}_X(Z)$. So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, Z{\backslash} L) \hookrightarrow (X,Z)$ Isomorphismen auf den relativen Homologiegruppen $${\op{H}}_{q}(X{\backslash} L,Z{\backslash} L) \sira {\op{H}}_{q} (X,Z)$$ \end{Satz} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAusS}\\[4mm] \noindent Dieses Bild soll Anschauung f"ur den Ausschneidungsisomorphismus geben. $X$ ist darin die Papierebene, $Z$ alles au"serhalb des kleinen Eis und $L$ alles au"serhalb der Zackenlinie. Das gro"se Dreieck stellt einen singul"aren Zweisimplex in $X$ dar, der relativ zu $Z$ ein Zykel ist, da eben sein Rand in $Z$ liegt. Nach zweimaliger baryzentrischer Unterteilung entsteht diese Art Spinnennetz, eine zu unserem Zweisimplex homologe singul"are Zweikette. Lassen wir aus dieser Zweikette alle Simplizes fort, die nicht in $X\backslash L$ liegen, die also aus unserer Zackenlinie herauspieken, so repr"asentiert der Rest immer noch dieselbe Homologieklasse in der relativen Homologie ${\op{H}}_2(X,Z)$, die folglich herkommt von einer Homologieklasse in ${\op{H}}_2(X\backslash L,Z\backslash L)$. Damit sollte zumindest die Surjektivit"at der von der Einbettung $(X\backslash L,Z\backslash L)\hra (X,Z)$ auf der Homologie induzierten Abbildung anschaulich klar werden. \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten die "Uberdeckung $X = Z \cup (X{\backslash} L)$, geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}(Z{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}Z \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow & {\op{S}}^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}X \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &{\op{S}}X\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}} (X {\backslash} L, Z{\backslash} L) & \ra & {\op{S}}(X,Z) & \ra & {\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt, und da nach dem Satz "uber feine Ketten \ref{FK} die Homologie von ${\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X$ verschwindet, folgt unser Satz aus der langen exakten Homologiesequenz. \end{proof} \begin{Bild} \includegraphics[height=0.8\textheight]{SkriptenBilder/BildMaVi}\\[4mm] \noindent Berechnung der Homologie der Sph"are mithilfe der Mayer-Vietoris-Sequenz. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Sei $X = X_{1}\cup X_{2}$ ein topologischer Raum mit einer "Uberdeckung $\cal{V}$ durch zwei offene Teilmengen.\label{MVS} Wir betrachten die Einbettungen $$(X_{1}\cap X_{2}) \stackrel{i_\nu}{\hra} X_\nu\stackrel{j_\nu}{\hra} X$$ und erhalten eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $${\op{S}}(X_{1}\cap X_{2}) \hookrightarrow {\op{S}} X_{1} \oplus {\op{S}} X_{2} \twoheadrightarrow {\op{S}}^{\cal{V}} X$$ Hier fassen wir die Elemente der direkten Summe als Spaltenvektoren auf, die erste Abbildung wird gegeben durch die Spaltenmatrix $({\op{S}} i_1, {\op{S}} i_2)^\top$, und die zweite durch die Zeilenmatrix $({\op{S}} j_1, -{\op{S}} j_2)$. Nehmen wir dazu die lange exakte Homologiesequenz und verwenden die von der Einbettung ${\op{S}}^{\cal{V}}X\hra {\op{S}}X$ induzierten Identifikationen $\cal{H}_q({\op{S}}^{\cal{V}}X)\sira {\op{H}}_qX$, so erhalten wir die sogenannte {\bf Mayer-Vietoris-Sequenz},\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!der Homologie} eine lange exakte Sequenz der Gestalt $$\ldots {\op{H}}_{q}(X_{1}\cap X_{2}) \ra {\op{H}}_{q}(X_{1})\oplus {\op{H}}_{q}(X_{2}) \ra {\op{H}}_{q}(X)\ra {\op{H}}_{q-1} (X_{1}\cap X_{2}) \ldots$$ Die ersten beiden Abbildungen dieser Sequenz werden gegeben durch die Spaltenmatrix $({\op{H}}_q i_1, {\op{H}}_q i_2)^\top$ und die Zeilenmatrix $({\op{H}}_q j_1, -{\op{H}}_q j_2)$. Die dritte Abbildung ist nicht ganz so leicht explizit anzugeben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Homologie der Sph"aren, Variante}] Mithilfe der Mayer-Vie\-to\-ris-Sequenz \ref{MVS} bestimmen wir ein weiteres Mal die Homologie der Sph"aren. Man schreibt f"ur diesen Beweis die Kugelschale als die Vereinigung zweier\label{MVSs} offener etwas "uber den "Aquator hinaus verdickter Hemisph"aren $S^{n}=U^+ \cup U^- $ und erh"alt nach \ref{MVS} eine lange exakte Sequenz $$ {\op{H}}_{q}(U^+ )\oplus {\op{H}}_{q}(U^- ) \ra {\op{H}}_{q}(S^n)\ra {\op{H}}_{q-1} (U^+ \cap U^- ) \ra {\op{H}}_{q-1}(U^+ )\oplus {\op{H}}_{q-1}(U^- )$$ und so weiter. Der Schnitt $U^+ \cap U^- $ ist homotopie"aquivalent zum "Aquator $S^{n-1}$ und die Hemisph"aren sind beide zusammenziehbar und haben folglich dieselbe Homologie wie ein Punkt. Man sieht nun explizit leicht ein, da"s wir f"ur $n= 0,1$ das behauptete Ergebnis erhalten, und f"ur $n\geq 2$ folgt durch Betrachten der obigen Sequenz $${\op{H}}_{q}(S^n)\sira {\op{H}}_{q-1} (U^+ \cap U^- ) \cong {\op{H}}_{q-1} (S^{n-1})$$ f"ur $q\geq 2$ und ${\op{H}}_{1}(S^n)=0$ und ${\op{H}}_{0}(S^n)\cong \DZ$. Die Homologie der Sph"aren ergibt sich durch vollst"andige Induktion. Diese Herleitung gef"allt mir eigentlich besser als die Herleitung aus \ref{HoS}, sie liefert jedoch nicht unmittelbar die Beschreibung eines Erzeugers der Homologie. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s es nicht m"oglich ist, die Kreislinie durch zwei zusammenziehbare offene Teilmengen mit zusammenh"angendem Schnitt zu "uberdecken. Man zeige, da"s es nicht m"oglich ist, die Sph"are durch zwei zusammenziehbare offene Teilmengen mit einfach wegzusammenh"angendem Schnitt zu "uberdecken. Hinweis: Mayer-Vietoris-Sequenz. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Relative Mayer-Vietoris-Sequenz}\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!relative}] Sei $X$ ein topologischer Raum und seien $U,V \co X$ zwei offene Teilmengen. Betrachten wir die offene "Uberdeckung von $U\cup V$ durch $U$ und $V$ und bilden das Diagramm $$ \begin{array}{ccccc} {\op{S}}(U\cap V) &\hookrightarrow& {\op{S}} U \oplus {\op{S}} V &\twoheadrightarrow& {\op{S}}^{\cal{V}} (U\cup V)\\ \da&&\da&&\da\\ {\op{S}}X &\hookrightarrow& {\op{S}}X \oplus {\op{S}} X &\twoheadrightarrow& {\op{S}} X\\ \da&&\da&&\da\\ {\op{S}}(X, U\cap V) &\hookrightarrow& {\op{S}} (X,U) \oplus {\op{S}} (X,V) &\twoheadrightarrow & {\op{S}} (X)/{\op{S}}^{\cal{V}} (U\cup V) \end{array} $$ mit \glqq diagonalen\grqq\ Abbildungen in den linken Horizontalen und \glqq Differenzen von erstem minus zweitem Term\grqq\ in den rechten Horizontalen, so entsteht in der unteren Zeile eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen. Die nat"urliche Surjektion ${\op{S}} (X)/{\op{S}}^{\cal{V}} (U\cup V)\sra {\op{S}} (X,U\cup V)$ induziert weiter Isomorphismen auf der Homologie, und so erhalten wir eine nat"urliche lange exakte Sequenz\label{RMVS} $$ %{\op{H}}_{q} (X,U\cap V) \ldots \ra {\op{H}}_{q} (X,U) \oplus {\op{H}}_{q} (X,V) \ra {\op{H}}_{q}(X,U\cup V) \ra {\op{H}}_{q-1} (X,U \cap V)\ra\ldots$$ und die Randoperatoren dieser Sequenz bilden mit den Randoperatoren der Mayer-Vietoris-Sequenz und den Randoperatoren der langen exakten Homologiesquenzen nach \ref{kdV} ein bis auf Vorzeichen kommutierendes Viereck. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $(X,Z)$ ein Raumpaar. Bezeichne $X/Z$\index{)1@$X/Z$ bei topologischen R"aumen} den Raum mit Quotiententopologie, der\label{RPQ} entsteht, wenn man $Z$ zu einem Punkt identifiziert. Man zeige: Ist $Z$ abgeschlossen und gibt es $U$ mit $Z\subset U^\circ \subset X$ derart, da"s die Einbettungen $Z \hookrightarrow U$ und $Z/Z \hookrightarrow U/Z$ Homotopie"aquivalenzen sind, so liefert die offensichtliche Abbildung Isomorphismen $${\op{H}}_{q} (X,Z) \sira {\op{H}}_{q} (X/Z , Z/Z)$$ Hinweis: Ausschneidung. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Ausschneidung und Mayer-Vietoris}] Sei $X = U\cup V$ ein topologischer Raum mit einer "Uberdeckung durch zwei offene Teilmengen.\label{VgRO} Man zeige, da"s die Verkn"upfungen $$ {\op{H}}_{q}(X,U)\sila{\op{H}}_{q}(V, U\cap V)\ra {\op{H}}_{q-1}(U\cap V)$$ eines umgedrehten Ausschneidungsisomorphismus mit einem Randoperator zusammen mit den offensichtlichen anderen Vertikalen einen Homomorphismus $$\begin{array}{ccccccccc} \ldots& {\op{H}}_{q}(U\cap V) & \ra& {\op{H}}_{q}U\oplus {\op{H}}_{q}V &\ra& {\op{H}}_{q}X&\ra& {\op{H}}_{q-1} (U\cap V) &\ldots \\ &\ua&&\ua&&\|&&\ua&\\ \ldots& {\op{H}}_{q+1}(X, U) & \ra& {\op{H}}_{q}U &\ra& {\op{H}}_{q}X&\stackrel{-1}{\ra}& {\op{H}}_{q} (X, U) &\ldots \end{array} $$ von der wie angedeutet durch Vorzeichen leicht ver"anderten langen Homologiesequenz des Raumpaars $(X,U)$ zur Mayer-Vietoris-Sequenz liefern. Hinweis: Man mag das als Spezialfall von \ref{NEXu} verstehen, aber eine direkte Argumentation scheint mir eher einfacher. \end{Ubung} \newpage \section{Homologie verklebter R"aume} \subsection{Singul"are Homologie von Simplizialkomplexen} \begin{Bemerkungl} Zu jedem Simplizialkomplex $\cal{K}=(E,\mathcal K)$ haben wir in \eref{PolS}{TF} einen topologischen Raum $\Delta(\cal{K})$ konstruiert, seine {\bf geometrische Realisierung}. Sie besteht aus gewissen Abbildungen $t:E\ra\DR$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Standardsimplex als geometrische Realisierung}] \nichtfinal{Notationen anpassen an vorne!} Wir betrachten den maximalen Simplizialkomplex $\mathcal M([q])=\mathcal M[q]$ mit Eckenmenge $[q]\pdef \{0,1,\ldots,q\}$. Wir erinnern andererseits unseren Standardsimplex $\Delta_q\subset \DR^{q+1}$ aus \ref{StaSi} und erhalten einen Hom"oomorphismus $$\tau=\tau_q:\Delta_q\sira \Delta(\mathcal M_{[q]})$$ zwischen dem Standard-$q$-Simplex und dem vollen Simplex zur Eckenmenge $[q]$ durch $(x_0,\ldots,x_q)\mapsto t$ mit $x_i=t(i)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $\cal{K}$ ein Simplizialkomplex und $\Delta(\cal{K})$ seine geometrische Realisierung. Ein singul"arer Simplex alias eine stetige Abbildung $$\sigma:\Delta_{q} \ra \Delta (\cal{K})$$ hei"se {\bf simplizialsingul"ar}, wenn er\label{sika} durch Vorschalten unseres Hom"oomorphismus $\tau:\Delta_q\sira \Delta(\mathcal M_{[q]})$ aus der geometrischen Realisierung einer simplizialen Abbildung $\tilde\sigma:\mathcal M_{[q]}\ra \mathcal K$ hervorgeht. Im Komplex der singul"aren Ketten der geometrischen Realisierung erkl"aren wir den Unterkomplex der {\bf simplizialsingul"aren Ketten}\index{simplizialsingul"ar!Kette}\index{Kette!simplizialsingul"are} $${\op{S}}^{\op{s}} \Delta(\cal{K})\subset {\op{S}} \Delta(\cal{K})$$ durch die Vorschrift, da"s ${\op{S}}^{\op{s}}_{q}\Delta (\cal{K})$ das Erzeugnis der simplizialsingul"aren $q$-Sim\-pli\-zes sein soll. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Simpliziale Abbildungen brauchen keineswegs injektiv zu sein. Alle singul"aren Simplizes, deren Bild aus einer einzigen Ecke der geometrischen Realisierung unseres Simplizialkomplexes besteht, sind simplizialsingul"ar. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simplizialketten, simplizialsingul"are Ketten und singul"are Ketten}] F"ur einen Simplizialkomplex $\mathcal K$ haben wir damit drei Kettenkomplexe erkl"art, n"amlich den besonders kleinen und anschaulichen Komplex der Simplizialketten ${\op{S}}\mathcal K$ aus \ref{SiKe}, den unglaublich riesigen Komplex aller singul"aren Ketten seiner geometrischen Realisierung ${\op{S}}\Delta(\mathcal K)$ aus \ref{DsH} und darin den Unterkomplex ${\op{S}}^{\op{s}}\Delta(\mathcal K)\subset {\op{S}}\Delta(\mathcal K)$ aller simplizialsingul"aren Ketten aus \ref{sika}. Im folgenden konstruieren wir Kettenabbildungen zwischen diesen Komplexen und zeigen, da"s sie Isomorphismen auf der Homologie induzieren. Diese Isomorphismen sind die haupts"achliche Quelle f"ur meine Anschauung in der singul"aren Homologietheorie, ja in der Homologietheorie "uberhaupt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Von simplizialsingul"aren Ketten zu Simplizialketten}] Sei $\mathcal{K}$ ein Simplizialkomplex. Wir erkl"aren Homomorphismen $$\op{geo}:{\op{S}}^{\op{s}}_q \Delta (\mathcal{K}) \rightarrow {\op{S}}_q\mathcal{K}$$ der {\bf Geometrisierung} von den simplizialsingul"aren Ketten in die Simplizialketten, indem wir zu jedem simplizialsingul"aren Simplex $\sigma:\Delta_q \hra\Delta (\mathcal{K})$ die simpliziale Abbildung $\tilde\sigma:\mathcal M_{[q]}\ra \mathcal K$ betrachen mit $\sigma=\Delta(\tilde \sigma)\circ \tau$ und dann setzen $\op{geo} (\sigma)\pdef[(\tilde\sigma(0),\ldots,\tilde\sigma(q))]$ falls $\tilde\sigma$ injektiv ist und $\op{geo} (\sigma)\pdef 0$ sonst.\label{UAh} Wir pr"ufen, da"s diese Homomorphismen in ihrer Gesamtheit einen Morphismus von Kettenkomplexen $$ \op{geo}:{\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal{K}) \rightarrow {\op{S}} \mathcal{K} $$ bilden. Dazu mu"s man nur die Vertr"aglichkeit mit den Randoperatoren nachzuweisen, das ist nicht schwer und sei dem Leser "uberlassen. Gegeben ein weiterer Simplizialkomplex $\mathcal{L}$ und eine simpliziale Abbildung $\varphi:(E,\mathcal{K})\ra (F,\mathcal{L})$ im Sinne von \eref{SiAb}{TF} erhalten wir mit besagten Abbildungen in den Horizontalen dar"uberhinaus ein kommutatives Quadrat von Kettenabbildungen $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal{K}) &\rightarrow& {\op{S}}\mathcal{K}\\ {\scriptstyle {\op{S}}\Delta(\varphi)}\da\;\;\;\;&&\;\;\;\;\da{\scriptstyle {\op{S}}\varphi}\\ {\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal{L}) &\rightarrow& {\op{S}}\mathcal{L} \end{array}$$ mit derjenigen Abbildung ${\op{S}}\varphi:{\op{S}}\mathcal{K}\ra {\op{S}}\mathcal{L}$ als rechter Vertikale, die die Klasse eines numerierten kombinatorischen Simplex $\sigma:\{0,1,\ldots,q\}\hra E$ auf die Klasse des numerierten kombinatorischen Simplex $\varphi\circ \sigma:\{0,1,\ldots,q\}\hra F$ wirft, falls $\varphi\circ \sigma$ injektiv ist, und auf Null sonst. Der Leser wird unschwer pr"ufen k"onnen, da"s ${\op{S}}\varphi$ in der Tat eine Kettenabbildung ist und da"s damit unser Quadrat kommutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Simpliziale als singul"are Homologie}] F"ur jeden Simpli\-zial\-kom\-plex $\cal{K}$ induzieren die Geometrisierung aus \ref{UAh}\label{SH} sowie die Einbettung der simplizialsingul"aren Ketten in die singul"aren Ketten ${\op{S}}\cal{K} \leftarrow {\op{S}}^{\op{s}} \Delta(\cal{K}) \hookrightarrow {\op{S}}\Delta(\cal{K})$ Isomorphismen auf allen Homologiegruppen $${\op{H}}_q\cal{K} \sila \cal{H}_q( {\op{S}}^{\op{s}}\Delta(\cal{K})) \sira {\op{H}}_q(\Delta(\cal{K}))$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Aus \ref{UAh} folgt mit den Isomorphismen des Satzes f"ur jede simpliziale Abbildung $\varphi:\mathcal K\ra\mathcal L$ die Kommutativit"at des Diagramms $$\begin{array}{ccccc}{\op{H}}_q\cal{K}& \sila& \cal{H}_q( {\op{S}}^{\op{s}}\Delta(\cal{K}))& \sira & {\op{H}}_q(\Delta(\cal{K}))\\ {\scriptstyle {\op{H}}_q\varphi}\da\;\;\;\;&&\da&&\;\;\;\;\da{\scriptstyle {\op{H}}_q\Delta(\varphi)}\\ {\op{H}}_q\cal{L}& \sila& \cal{H}_q( {\op{S}}^{\op{s}}\Delta(\cal{L}))& \sira & {\op{H}}_q(\Delta(\cal{L})) \end{array} $$ mit $ {\op{H}}_q\varphi\pdef \mathcal H_q ({\op{S}}\varphi)$ f"ur die Kettenabbildung ${\op{S}}\varphi$ aus \ref{UAh} als linker Vertikale. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Aus \ref{HKH} und \ref{UAh} wird sogar folgen, da"s die fraglichen Kettenabbildungen Homotopie"aquivalenzen sind. \end{Bemerkungw} \begin{proof} \nichtfinal{Eine wesentliche Schwierigkeit beim folgenden Beweis ist, da"s darin zu viele Dinge als \glqq Simplex\grqq\ angesprochen werden.} Ich erinnere daran, da"s wir unter einem Simplizialkomplex ein Datum $(E,\mathcal K)$ verstehen aus einer Menge $E$ von \glqq Ecken\grqq\ und einem Mengensystem $\mathcal K\subset \mathcal P(E)$ mit gewissen Eigenschaften und da"s wir die Elemente unseres Mengensystems $\mathcal K$ die {\bf kombinatorischen Simplizes} unseres Simplizialkomplexes nennen. Wir w"ahlen nun eine Teilordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\cal{K}$, die auf jedem kombinatorischen Simplex eine Anordnung induziert. So eine Teilordnung nennen wir eine {\bf simpliziale Teilordnung}.\index{simplizial!Teilordnung}\index{Teilordnung!simpliziale} Nach \eref{EAOO}{LA1} ist es sogar stets m"oglich, eine Anordnung der Menge aller Ecken zu finden, und jede solche Anordnung ist a forteriori eine simpliziale Teilordnung. Ein simplizialsingul"arer Simplex $\sigma:\Delta_{q} \ra \Delta (\cal{K})$ hei"se {\bf ordnungsvertr"aglich} f"ur solche eine Teilordnung auf $E$, wenn er durch Vorschalten unseres Hom"oomorphismus $\tau:\Delta_q\sira \Delta(\mathcal M_{[q]})$ aus der geometrischen Realisierung einer simplizialen Abbildung $\tilde\sigma:\mathcal M_{[q]}\ra \mathcal K$ hervorgeht, die ihrerseits streng monoton ist auf den Ecken. Die von den ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Simplizes erzeugte Untergruppe notieren wir $${\op{S}}^{\op{os}}_{q}\Delta(\cal{K})\subset {\op{S}}^{\op{s}}_{q}\Delta(\cal{K})$$ und nennen sie die Gruppe der {\bf ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren $q$-Ketten von}\index{simplizialsingul"ar!Kette!ordnungsvertr"agliche} $\cal{K}$. Offensichtlich bilden die\index{Kette!simplizialsingul"are!ordnungsvertr"agliche} ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten einen Unterkomplex ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta(\cal{K}) \subset {\op{S}}^{\op{s}} \Delta(\cal{K})$ im Komplex aller simplizialsingul"aren Ketten von $\Delta(\cal{K})$ und wir erhalten ein kommutatives Diagramm $$ \begin{array}{ccccc} {\op{S}}\cal{K} &\leftarrow& {\op{S}}^{\op{s}} \Delta(\cal{K}) &\hookrightarrow& {\op{S}}\Delta(\cal{K}) \\ &\nwarrow&\uparrow&\nearrow&\\ &&{\op{S}}^{\op{os}} \Delta(\cal{K}) && \end{array} $$ Der schr"age Pfeil nach links oben ist offensichtlich ein Isomorphismus von Kettenkomplexen. Nun zeigen wir in den anschlie"senden Propositionen \ref{ErTe} und \ref{SSES}, da"s die beiden anderen Pfeile nach oben auch Isomorphismen auf der Homologie induzieren. Daraus folgt dann der Satz. \end{proof} \nichtfinal{Die Wahl einer simplizialen Teilordnung verwenden wir, um jedem kombinatorischen Simplex $s\in\cal{K}_q$ denjenigen numerierten kombinatorischen Simplex $\langle s \rangle=\langle s \rangle^< \in\cal{K}^< _q$, $\langle s \rangle:\{0,\ldots,q\}\hra E$ zuzuordnen, der Bild $s$ hat und streng monoton w"achst. Zu jedem numerierten kombinatorischen Simplex $\sigma \in \cal{K}_{q}^< $ definieren wir weiter in ${\op{S}}_{q}^{\op{s}} \Delta(\cal{K})$ den simplizialsingul"aren $q$-Simplex $$ \sigma =[ \sigma(0),\ldots,\sigma(q)] : \Delta_{q} \rightarrow \Delta(\cal{K})$$ durch die Vorschrift $(x_{0},\ldots,x_{q}) \mapsto x_{0}\sigma(0) +\ldots + x_{q}\sigma(q)$ in den Notationen aus \eref{ESc}{TF} und machen in der Notation keinen Unterschied zwischen einem numerierten kombinatorischen Simplex und der zugeh"origen simplizialsingul"aren Kette. Insbesondere ist f"ur jeden $q$-Simplex $s\in\cal{K}_q$ also $\langle s \rangle$ ein Hom"oomorphismus $\Delta_{q} \sira \Delta (s)$. Die von allen $\langle s \rangle$ mit $s \in \cal{K}_{q}$ erzeugte Untergruppe von ${\op{S}}_{q}^{\op{s}} \Delta(\cal{K})$} \begin{Proposition} F"ur jede simpliziale Teilordnung der Ecken eines Simplizialkomplexes $\cal{K}$ liefert die Einbettung ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta(\cal{K}) \hookrightarrow {\op{S}}\Delta(\cal{K})$ der ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten in die\label{ErTe} singul"aren Ketten Isomorphismen auf allen Homologiegruppen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir schreiben kurz $X\pdef \Delta(\cal{K}) $ und setzen f"ur $k\in\Bbb{Z}$ $$X_{k} \pdef \bigcup_{ s \in \cal{K}_{q},\;q \leq k} \Delta (s)$$ Dieser Raum hei"st das {\bf $k$-Skelett}\index{k-Skelett@$k$-Skelett} von $\cal{K}$. \index{Skelett von Simplizialkomplex} Nun betrachten wir f"ur alle $k$ das kommutative Diagramm von Kettenkomplexen mit kurzen exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^{\op{os}} X_{k}&\hookrightarrow & {\op{S}}^{\op{os}} X_{k+1}& \twoheadrightarrow & {\op{S}}^{\op{os}} X_{k+1}/{\op{S}}^{\op{os}} X_{k}\\ \downarrow & &\downarrow\;\;\; & &\downarrow \\ {\op{S}} X_{k} &\hookrightarrow & {\op{S}} X_{k+1}&\twoheadrightarrow& {\op{S}} X_{k+1} / {\op{S}} X_{k} \end{array}$$ Das zugeh"orige Diagramm von langen exakten Homologiesequenzen schreiben wir $$\begin{array}{cccccccc} \ldots {\op{H}}_{q+1}^{\op{os}} (X_{k+1},X_{k})& \ra & {\op{H}}_{q}^{\op{os}}X_{k}& \ra & {\op{H}}_{q}^{\op{os}} X_{k+1}&{\ra}&{\op{H}}_{q}^{\op{os}}(X_{k+1},X_{k})\ldots\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow & &\downarrow\\ \ldots {{\op{H}}_{q+1}(X_{k+1},X_{k})}&{\ra} &{ {\op{H}}_{q}X_{k}}& {\ra }&{\op{H}}_{q} X_{k+1}&\ra &{{\op{H}}_{q}(X_{k+1}, X_{k})}\ldots \end{array}$$ Wir zeigen nun durch Induktion "uber $k$, da"s ${\op{H}}^{\op{os}}_{q} X_{k} \ra {\op{H}}_{q}X_{k}$ ein Isomorphismus ist f"ur alle $k$ und $q$. F"ur $k<0$ ist das klar. Im anschlie"senden Lemma \ref{ISc} werden wir zeigen, da"s ${\op{H}}_{q}^{\op{os}} (X_{k+1},X_{k}) \ra {\op{H}}_{q}(X_{k+1},X_{k})$ ein Isomorphismus ist f"ur alle $q$ und alle $k$. Der Induktionsschritt besteht dann im Anwenden des F"unferlemmas. Unter der Zusatzannahme $X = X_{k}$ f"ur $k\gg 0$ ist unser Satz damit bereits bewiesen. Im allgemeinen bemerken wir zus"atzlich, da"s nach \eref{CWS}{TF} jede singul"are Kette von $X$ schon in einem $X_{k}$ liegt, und "uberlassen den Rest des Beweises dem Leser zur "Ubung. Sp"ater wird er den Beweis auch mithilfe des Satzes "uber die Exaktheit filtrierender Kolimites \ref{EDL} direkt beenden k"onnen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ISc} Die durch die von den Einbettungen der ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten in alle singul"aren Ketten induzierten Abbildungen auf den relativen Ketten liefern Isomorphismen ${\op{H}}_{q}^{\op{os}} (X_{k+1},X_{k}) \sira {\op{H}}_{q}(X_{k+1},X_{k})$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die linke Seite ist hier die Homologie eines Komplexes, der nur im Grad $q=k+1$ lebt. Genauer ist ${\op{H}}_{k+1}^{\op{os}} (X_{k+1},X_{k})$ frei erzeugt von den Nebenklassen der ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Simplizes, die durch auf den Ecken streng monoton wachsende simpliziale Abbildungen $\tilde\sigma:\mathcal M_{[k+1]}\ra \cal{K}$ gegeben werden. Bei $q \neq k+1$ dahingegen verschwindet unser Komplex mitsamt seiner Homologie. Wir untersuchen nun die rechte Seite ${\op{H}}_{q} (X_{k+1},X_{k})$ und betrachten dazu das \glqq verdickte $k$-Skelett\grqq\ $U_{k}\subset X_{k+1}$, das wir erhalten, indem wir aus $X_{k+1}$ die Schwerpunkte aller $(k+1)$-Simplizes entfernen. Die beiden Einbettungen $$(X_{k+1}, X_{k}) \hookrightarrow (X_{k+1},U_{k})\hookleftarrow (X_{k+1}{\backslash} X_{k}, U_{k}{\backslash} X_{k})$$ induzieren Isomorphismen auf der relativen Homologie: Die linke nach \ref{FLK} und \ref{HIv}, da $X_{k}\hookrightarrow U_{k}$ eine Homotopie"aquivalenz ist, hier verwendet man auch \eref{VPQn}{TM}, nach dem das Produkt einer finalen Surjektion mit dem Einheitsintervall auch wieder final ist, und die rechte mit Ausschneidung des $k$-Skeletts $X_k$. Das Raumpaar rechts ist aber schlicht die disjunkte unzusammenh"angende Vereinigung "uber alle $(k+1)$-Simplizes $s \in \cal{K}_{k+1}$ der Raumpaare $ ({\Delta}^{\circ}(s),{\Delta}^{\circ}(s){\backslash} b(s))$, wo wir ${\Delta}^{\circ} (s)$ f"ur den \glqq offenen vollen Simplex\grqq\ schreiben und mit $b(s)$ den Schwerpunkt von $\Delta (s)$ bezeichnen. Zusammenfassend erhalten wir also mit den offensichtlichen Abbildungen ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccl} {\op{H}}_{q}(X_{k+1}, U_{k}) &\overset{\sim}{\leftarrow}& \bigoplus_{s}{\op{H}}_{q} ({\Delta}^{\circ} (s), {\Delta}^{\circ} (s) {\backslash} b (s))\\ \|&&\da\wr\\ {\op{H}}_{q}(X_{k+1}, U_{k}) &{\leftarrow}& \bigoplus_{s}{\op{H}}_{q} ({\Delta} (s), {\Delta} (s) {\backslash} b (s))\\ \uparrow\wr&&\uparrow\wr\\ {\op{H}}_{q}(X_{k+1}, X_{k}) &{\leftarrow}& \bigoplus_{s}{\op{H}}_{q} ({\Delta} (s), \partial{\Delta} (s)) \end{array}$$ wo die Summen jeweils "uber alle $(k+1)$-Simplizes ${s \in \cal{K}_{k+1}}$ laufen und wir mit $\partial{\Delta} (s)$ "ahnlich wie in \ref{HoS} das $k$-Skelett von ${\Delta} (s)$ bezeichnen. Die mit $\sim$ bezeichneten Pfeile darin sind offensichtlich Isomorphismen und f"ur die "ubrigen Pfeile folgt dasselbe. Nach \ref{HoS} wissen wir aber, da"s ${\op{H}}_{q} ({\Delta} (s), \partial{\Delta} (s))$ verschwindet f"ur $q\neq k+1$ und da"s es f"ur $q= k+1$ frei ist vom Rang $1$ und erzeugt wird von der Klasse desjenigen ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Simplex $\sigma=\Delta(\tilde\sigma)\circ\tau$, f"ur den $\tilde\sigma:\mathcal M_{[k+1]}\ra \mathcal K$ das Bild $s$ hat. Das zeigt das Lemma. \end{proof} \begin{Proposition}\label{SSES} F"ur jede simpliziale Teilordnung der Ecken eines Simplizialkomplexes $\cal{K}$ liefert die Einbettung ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta(\cal{K}) \hookrightarrow {\op{S}}^{\op{s}}\Delta(\cal{K})$ der ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten in alle simplizialsingul"aren Ketten Isomorphismen auf allen Homologiegruppen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Den Fall, da"s unser Simplizialkomplex der maximale Simplizialkomplex $\mathcal M_E$ zu einer vorgegebenen Eckenmenge $E$ ist, erledigen \ref{HKHKk} und \ref{HKHKn}. Den Fall, da"s unser Simplizialkomplex endlich ist, folgern wir induktiv. Bezeichne in der Tat ${\op{H}}^{\op{s}}_{q} \cal{K} = \cal{H}_{q} ({\op{S}}^{\op{s}} \Delta(\cal{K}))$ die Homologie des Komplexes der simplizialsingul"aren Ketten in der Realisierung eines Simplizialkomplexes $\cal{K}$. Ist $\cal{K} =\cal{K}' \cup \cal{K}'' $ eine Darstellung unseres Simplizialkomplexes als Vereinigung zweier Unterkomplexe, so liefert der Beweis der Mayer-Vietoris-Sequenz auch in dieser Situation Mayer-Vietoris-Sequenzen f"ur ${\op{H}}^{\op{os}}$ und ${\op{H}}^{\op{s}}$. Mit dem F"unferlemma und Induktion "uber die Zahl der Simplizes unseres Simplizialkomplexes sehen wir so, da"s die Proposition f"ur endliche Simplizialkomplexe folgt, sobald wir sie f"ur die maximalen Simplizialkomplexe zu einer vorgegebenen Eckenmenge kennen. Der Fall beliebiger Simplizialkomplexe hinwiederum folgt aus dem Fall endlicher Simplizialkomplexe mit etwas Nachdenken oder formal mit der Exaktheit filtrierender Kolimites \ref{EDL}. \end{proof} %\begin{Lemma}[\textbf{Azyklizit"at von Simplizes, Variante}] %F"ur jede nichtleere Menge $E$ ist der Komplex %von freien abelschen Gruppen % $$0 \leftarrow \DZ\leftarrow \Bbb{Z} E \leftarrow \Bbb{Z} E^{2} \leftarrow % \Bbb{Z}E^{3} \leftarrow \ldots $$ % mit Randoperatoren % $\partial (v_{0}, \ldots , v_{q}) = \sum (-1)^{i} (v_{0}, \ldots % \hat{v}_{i}, \ldots , v_{q})$ exakt. %\end{Lemma} %\begin{Bemerkungl} %Dieser Komplex ist kanonisch isomorph zu dem %um die Augmentation nach $\DZ$ %erweiterten Komplex %der simplizialsingul"aren Ketten ${\op{S}}^{\op{s}}\Delta (E)$ %des Simplex $\Delta (E)$ mit Ecken $E$, daher die Bezeichnung. %Die Aussage ist eine Variante von \ref{HKHKk}, wo eine analoge Aussage %f"ur einen augmentierten Komplex von angeordneten simplizialsingul"aren Ketten %gezeigt wird. Eine \glqq duale\grqq\ Aussage \glqq mit Koeffizienten\grqq\ zeigen wir in %\eref{VAK}{TG}. In \ref{VSZ} zeigen wir, da"s unser voller Simplex $\Delta(E)$ %sogar zusammenziehbar ist. %\end{Bemerkungl} %\begin{proof} %Halten wir eine Ecke $v \in E$ fest und definieren %$\delta : \Bbb{Z} E^{q} \ra \Bbb{Z} E^{q+1}$ %durch die Vorschrift %$\delta (v_{0}, \dots , v_{q}) = (v,v_{0}, \ldots v_{q})$, %so pr"uft man leicht %an jeder Stelle $\partial \delta + \delta \partial = \op{id}$. %Also ist unser Komplex sogar nullhomotop. %\end{proof} \begin{Korollar} Ist $\cal{K}$ ein Simplizialkomplex, so ben"otigt man f"ur die $q$-te Homologie seiner Realisierung nicht mehr Erzeuger, als es in unserem Simplizialkomplex $q$-Simplizes gibt. In Formeln kann die Gruppe ${\op{H}}_{q}(\Delta(\cal{K}))$ also stets durch $|\cal{K}_{q}|$ Elemente erzeugt werden. \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} Ist $\cal{K}_{q}$ unendlich, so gilt sogar feiner, da"s die Kardinalit"at von ${\op{H}}_{q}(\Delta(\cal{K}))$ kleinergleich der Kardinalit"at von $\cal{K}_{q}$ ist. Der Beweis bleibt mutatis mutandis derselbe, es werden jedoch Grundkenntnisse zu Kardinalit"aten ben"otigt, wie sie etwa in \eref{DiKa}{AL} ausgef"uhrt werden. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Hierzu braucht man au"ser \ref{SH} nur noch erinnern, da"s man nach \eref{ee}{LA2} f"ur eine Untergruppe einer endlich erzeugten abelschen Gruppe h"ochstens soviel Erzeuger ben"otigt wie f"ur die urspr"ungliche Gruppe. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wenn wir Homologie mit Koeffizienten betrachten wie in \ref{HomK}, so bleiben alle bisherigen Resultate und Beweise mit den hoffentlich offensichtlichen Modifikationen g"ultig, insbesondere auch Satz \ref{SH} "uber die Beziehung zwischen singul"arer und simplizialer Homologie. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DEch} F"ur einen beliebigen topologischen Raum $X$ setzt man $$b_{q}(X) \pdef\dim_{\DQ}{\op{H}}_{q}(X;\DQ)\in \DN \amalg\{\infty\} $$ und nennt diese Zahl die {\bf $q$-te} \defind{Betti-Zahl} von $X$. Sind alle Betti-Zahlen endlich und verschwinden sie f"ur $q\gg 0$, so hei"st ihre alternierende Summe $$\chi (X) \pdef\sum (-1)^{q}b_{q}(X)\in\Bbb{Z}$$ die {\bf Euler-Charakteristik}\index{Eulercharakteristik!eines topologischen Raums} von $X$ und wir sagen, unser Raum \glqq habe eine wohldefinierte Eulercharakteristik\grqq.\index{chi@$\chi (X)$ Eulercharakteristik von $X$} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{EuCh} Wir haben $\chi (X) = |X|$ f"ur jeden endlichen diskreten Raum $X$ mit $|X|$ Punkten. Es ist auch f"ur allgemeinere R"aume oft sinnvoll, $\chi (X)$ als eine Verallgemeinerung der \glqq Zahl der Punkte von $X$\grqq\ aufzufassen. Eine m"ogliche Begr"undung wird in \ref{ADEC} skizziert, eine weitere in \ref{DKP} in Gestalt der Formel $\chi(X\times Y)=\chi(X)\chi(Y)$. Wir schreiben bei einem beliebigen K"orper\index{chi@$\chi (X;k)$ Eulercharakteristik} $$\chi (X;k)\pdef\sum (-1)^{q}\dim_{k}{\op{H}}_{q}(X;k)$$ wann immer dieser Ausdruck sinnvoll ist, als da hei"st, wann immer alle Summanden endlich sind und fast alle Summanden verschwinden. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Eulercharakteristik von Simplizialkomplexen}] Die Euler\-cha\-rak\-teristik der Realisierung eines endlichen Simplizialkomplexes $\cal{K}$ wird f"ur jeden K"orper $k$ gegeben durch die der Zahl der Simplizes gerader Dimension abz"uglich der Zahl der Simplizes ungerader Dimension, in Formeln $$\chi(\Delta(\cal{K});k) = \sum (-1)^{q}|\cal{K}_{q}|$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden das anschlie"sende Lemma \ref{EuK} auf den Komplex ${\op{S}}(\cal{K};k)$ der Simplizialketten mit Koeffizienten in $k$ an, dessen Homologie ja nach \ref{SH} genau die Homologie von $\Delta(\cal{K})$ mit Koeffizienten in $k$ ist. \end{proof} \begin{Lemma}\label{EuK} Ist $A$ ein Komplex endlichdimensionaler $k$-Vektorr"aume und verschwinden von den $A_{i}$ alle bis auf endlich viele, so gilt $$\sum (-1)^{i}\dim_{k}A_{i} = \sum (-1)^{i}\dim_{k} \cal{H}_{i}A$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Man nennt die linke Seite hier auch die {\bf Eulercharakteristik}\index{Eulercharakteristik!eines Kettenkomplexes} des Kettenkomplexes $A$. Die Gleichung besagt damit in Worten, da"s ein Kettenkomplex dieselbe Eulercharakteristik hat wie seine Homologie. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das folgt sofort aus den Gleichungen \begin{equation*} \begin{array}[b]{lll} \dim A_{i}&=&\dim (\ker\partial_{i})+\dim (\op{im} \partial_{i})\\[2mm] \dim \cal{H}_{i}A &=& \dim (\ker\partial_{i})-\dim(\op{im}\partial_{i+1}) \end{array} \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Korollar}[\defind{Euler'scher Polyedersatz}] Ist $\Delta(\cal{F})\sira S^2$ eine Triangulierung der Kugelschale, so gilt $|\cal{F}_0|-|\cal{F}_1|+|\cal{F}_2|=2$ oder salopp gesagt $$|\text{Ecken}|-|\text{Kanten}|+|\text{Fl"achen}|=2$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Da"s die Sph"are nicht zu einem Simplizialkomplex mit Simplizes einer Dimension mehr als Zwei hom"oomorph sein kann, folgt zum Beispiel daraus, da"s in unserer Sph"are das Komplement jeder zweielementigen Teilmenge eine nichttriviale Fundamentalgruppe hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das vorhergehende Resultat von Euler, ein Vorl"aufer der Homologietheorie, hat der Euler-Charakteristik ihren Namen gegeben. Man folgert es auch allgemeiner f"ur in geeigneter Weise definierte \glqq polyedrische\grqq\ Zerlegungen der Kugelschale wie sie etwa die platonischen K"orper liefern, indem man derartige polyedrische Zerlegungen zu Triangulierungen verfeinert. Zum Beispiel hat ein W"urfel $6$ Fl"achen, $12$ Kanten und $8$ Ecken, und in der Tat gilt $6-12+8=2$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{EEHH} Gegeben $K \subset U \co \mathbb R^n$ eine kompakte Teilmenge in einer offenen Teilmenge eines $\DR^n$ zeige man, da"s f"ur alle $q$ das Bild der auf der Homologie induzierten Abbildung $\mathrm H_q K \rightarrow \mathrm H_q U$ endlich erzeugt ist. Ebenso zeige man, da"s das Bild von $\mathrm H_q (\mathbb R^n, \mathbb R^n \backslash U) \rightarrow \mathrm H_q (\mathbb R^n, \mathbb R^n \backslash K)$ endlich erzeugt ist. Hinweis: Indem man einen vollen Simplex, der $K$ umfa"st, hinreichend oft baryzentrisch unterteilt, erh"alt man ein Sandwich $K \subset S \subset U$ mit $S$ hom"oomorph zum Polyeder eines endlichen Simplizialkomplexes. So folgt bereits die erste Aussage. Ein Beweis einer etwas allgemeineren Aussage wird in \ref{EEHHb} skizziert. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Endlichkeitsaussagen f"ur Simplizialkomplexe}] Sei $X$ die Realisierung eines lokal endlichen Simplizialkomplexes. Gegeben $K \subset U \co X$ eine kompakte Teilmenge in einer offenen Teilmenge von $X$\label{EEHHb} zeige man, da"s das Bild der auf der Homologie induzierten Abbildung $\mathrm H_q K \rightarrow \mathrm H_q U$ f"ur alle $q$ endlich erzeugt ist. Ebenso zeige man, da"s das Bild von $\mathrm H_q (X, X \backslash U) \rightarrow \mathrm H_q (X, X \backslash K)$ f"ur alle $q$ endlich erzeugt ist. In der Tat ist nach \eref{CWS}{TF} jedes Kompaktum $K\subset X$ enthalten in einer Vereinigung endlich vieler Simplizes und trifft folglich auch nur endlich viele Simplizes. Auf jedem dieser von $K$ getroffenen Simplizes hat der Schnitt mit unserem Kompaktum einen positiven Abstand zum Schnitt mit dem Komplement von $U$. Indem wir baryzentrisch unterteilen, k"onnen wir also annehmen, da"s es einen Unterkomplex $\mathcal L\subset \mathcal K$ gibt mit $X\backslash K\subset\Delta(\mathcal L)\subset X\backslash U$ und der Eigenschaft, da"s nur h"ochstens endlich viele Simplizes von $\mathcal L$ nicht zu $\mathcal K$ geh"oren. Dann aber zeigt \ref{SH}, da"s die relative Homologie ${\op{H}}_q(\Delta(\mathcal K),\Delta(\mathcal L))$ endlich erzeugt ist f"ur alle $q$. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man bestimme die Eulercharakteristik des Torus $S^1\times S^1$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ADEC} Ein topologischer Raum $X$ werde von zwei offenen Teilmengen "uberdeckt, $X=U\cup V$, und beide sowie ihr Schnitt m"ogen im Sinne von \ref{DEch} eine wohldefinierte Eulercharakteristik besitzen. Man zeige, da"s dann auch der urspr"ungliche Raum eine wohldefinierte Eulercharakteristik besitzt und da"s gilt $$\chi(X)=\chi(U)+\chi(V)-\chi(U\cap V)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Eulercharakteristik einer endlichen "Uberlagerung}] Ist $Y=\Delta(\mathcal K)$ die geometrische Realisierung eines endlichen Simplizialkomplexes und $X\ra Y$ eine endliche "Uberlagerung mit $m$ Bl"attern, so gilt $$\chi(X)=m\chi(Y)$$ \end{Ubung} \subsection{Fixpunkts"atze und simpliziale Approximation} \begin{Lemma}[\textbf{Spur als Spur auf der Homologie}] Seien $k$ ein K"orper, $A$ ein Komplex endlichdimensionaler $k$-Vek\-tor\-r"au\-me und $\varphi:A\ra A$ ein Endomorphismus\label{EuKt} von $A$. Verschwinden von den $A_{i}$ alle bis auf endlich viele, so gilt f"ur die Spuren $$\sum (-1)^{i}\op{tr}(\varphi|A_{i}) = \sum (-1)^{i}\op{tr}(\varphi| \cal{H}_{i}A)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Der "Ubersichtlichkeit halber haben wir die von $\varphi$ auf den $A_i$ und den $\cal{H}_{i}A$ induzierten Abbildungen auch kurzerhand $\varphi$ notiert. Ist $\varphi$ die Identit"at, so erhalten wir zumindest im Fall eines K"orpers $k$ der Charakteristik Null unser Lemma \ref{EuK} als Spezialfall. Ich nenne die alternierende Summe der Spuren des Endomorphismus $\varphi$ eines endlichdimensionalen $\DZ$-graduierten Vektorraums seine {\bf Superspur}\index{Superspur} und notiere sie\index{str@$\op{str}$ Superspur} $$\op{str}(\varphi|A)\pdef \sum (-1)^{i}\op{tr}(\varphi|A_{i}) $$ In \eref{Str}{TSK} erkl"aren wir allgemeiner die Superspur f"ur beliebige, nicht notwendig die Graduierung erhaltende Endomorphismen $\DZ$-graduierter Vektorr"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \eref{Str}{TSK} erkl"aren wir allgemeiner die $\DZ$-wertige Spur von Endomorphismen von Komplexen abelscher Gruppen mit endlich erzeugter totaler Homologie und zeigen in \eref{starrH}{TSK}, da"s sie mit\label{zWs} \glqq derivierter\grqq\ Erweiterung der Skalare vertr"aglich ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Das folgt sofort aus den Gleichungen $$\begin{array}{ll} \op{tr}(\varphi|A_{i})&= \op{tr}(\varphi|\ker\partial_{i})+\op{tr}(\varphi|\op{im} \partial_{i})\\[2mm] \op{tr}(\varphi| \cal{H}_{i}A) &= \op{tr}(\varphi|\ker\partial_{i})-\op{tr}(\varphi|\op{im}\partial_{i+1}) \end{array}$$ Diese hinwiederum folgert man aus der Additivit"at der Spur \eref{trad}{LA2}. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Simplizialer Fixpunktsatz}]\index{Fixpunktsatz!simplizialer} Sei $\varphi : (E, \cal{K}) \rightarrow (E, \cal{K})$ eine simpliziale Selbstabbildung eines endlichen Simplizialkomplexes mit $\varphi (s) \neq s$ f"ur alle Simplizes $s\in\mathcal K$ mit mindesten zwei\label{SfS} Ecken. So gilt f"ur die Zahl der Fixpunkte von $\varphi$ und Homologie mit Koeffizienten in einem beliebigen K"orper die Formel \begin{equation*} | E^\varphi| = \sum (-1)^i \op{tr} ({\op{H}}_i\varphi | {\op{H}}_i \cal{K}) \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Beide Seiten stimmen aufgrund von Lemma \ref{EuKt} und aufgrund unserer Annahmen "uberein mit $\sum (-1)^i \op{tr} ({\op{S}}_i\varphi | {\op{S}}_i \cal{K})$. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Mit der $\DZ$-wertigen Spur \eref{Str}{TSK} gilt die Identit"at aus dem Beweis $| E^\varphi| =\sum (-1)^i \op{tr} ({\op{S}}_i\varphi | {\op{S}}_i \cal{K})$ sogar in $\DZ$.\label{SFS} \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Ich finde an diesem Satz bemerkenswert, da"s er ohne \glqq Fixpunktindizes\grqq\ auskommt. Vielmehr erzwingen die Bedingungen des Satzes, da"s diese Fix\-punkt\-in\-di\-zes im Fall einer kompakten orientierten triangulierten Mannigfaltigkeit und f"ur Abbildungen dieser speziellen Natur alle Eins sein m"ussen. Eine partielle Verallgemeinerung auf den Fall stetiger nicht notwendig simplizialer Abbildungen zeigen wir als \ref{LeFi}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{bUS} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K = (E, \mathcal K)$ %im Sinne von \eref{SKk}{TF} erkl"aren wir zu jedem Element seiner Realisierung $z\in \Delta(\mathcal K)$ dessen {\bf Tr"ager}\index{Tr"ager!bei Simplizialkomplex} $\op{supp}z\in \mathcal K$ als den Tr"ager von $z$ in seiner Eigenschaft als Abbildung $z:E\ra\DR_{\geq 0}$ oder gleichbedeutend als das kleinste $\sigma\in \mathcal K$ mit $z\in\Delta(\sigma)$. Gegeben ein Simplex $\sigma\in \mathcal K$ erkl"aren wir dessen {\bf offenen Stern}\index{Stern, offener} ${\op{St}}(\sigma)\co \Delta(\mathcal K)$ als die Teilmenge $${\op{St}}(\sigma)\pdef \{z\in \Delta(\mathcal K)\mid \sigma \subset \op{supp}z \}$$ Der Leser mag zur "Ubung zeigen, da"s sie in der Tat offen ist. Offensichtlich gilt f"ur beliebiges $z \in \Delta (\mathcal K)$ auch umgekehrt $\op{supp}z = \{q \in \mathcal K_0\mid z \in \op{St}(q)\}$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildbary}\\[4mm] \noindent Ein Simplizialkomplex und gestrichelt eingezeichnet seine baryzentrische Unterteilung. Die Ecken der baryzentrischen Unterteilung mag man sich denken als die Schwerpunkte der nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Simplizialkomplexes, die Simplizes der baryzentrischen Unterteilung entsprechen den endlichen Ketten in der teilgeordneten Menge der urspr"unglichen Simplizes. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{bU} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K = (E, \mathcal K)$ erkl"aren wir einen neuen Simplizialkomplex, seine {\bf baryzentrische Unterteilung}\index{baryzentrische Unterteilung} $${\op{B}}\mathcal K=\check{\mathcal K} = (\check{E}, \check{\mathcal K})$$ Als Ecken nehmen wir alle Simplizes des urspr"unglichen Komplexes, in Formeln $\check{E} \pdef \mathcal K $. Als Simplizes nehmen wir alle endlichen Ketten in der Menge $\check{E}$ f"ur die Inklusionsrelation, also alle bez"uglich Inklusion total geordneten endlichen Teilmengen. Man erh"alt einen ausgezeichneten Hom"oomorphismus zwischen ihren Realisierungen \begin{equation*} u: \Delta (\check{\mathcal K}) \sira \Delta (\mathcal K) \end{equation*} durch die Vorschrift, da"s jede Ecke $s \in \check E\subset \mathcal K$ auf den Schwerpunkt des vollen Simplex $\Delta (s) \subset \Delta (\mathcal K) $ abgebildet wird und jeder volle Simplex von $\Delta (\check K)$ affin in denjenigen vollen Simplex von $\Delta (\mathcal K)$, der seiner gr"o"sten Ecke entspricht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Auf der baryzentrischen Unterteilung $\check{\mathcal K}$ eines Simplizialkomplexes $\mathcal K$ liefert die umgekehrte In\-klu\-sions\-re\-la\-tion von $\mathcal K$ stets eine simpliziale Teilordnung, seine {\bf nat"urliche simpliziale Teilordnung}.\index{simpliziale Teilordnung!nat"urliche} Wir kehren hier die Inklusionsrelation um, damit unsere Unterteilungsoperatoren ${\op{U}}_q:{\op{S}}_q\Delta(\mathcal K)\ra{\op{S}}_q\Delta(\mathcal K)$ aus \ref{DUO} Abbildungen\label{Utos} $${\op{U}}_q:{\op{S}}^{\op{s}}_q\Delta(\mathcal K)\ra {\op{S}}_qu ({\op{S}}^{\op{os}}_q\Delta(\check{\mathcal K}))$$ induzieren f"ur die in Bezug auf die nat"urliche Teilordnung zu verstehenden ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten der baryzentrischen Unterteilung. Das hinwiederum zeigen wir dann durch Induktion "uber $q$. Gegeben ein festes $q$ folgt es offensichtlich f"ur jeden beliebigen Simplizialkomplex, wenn wir es f"ur einen vollen $q$-Simplex zeigen. Unsere induktive Definition der Unterteilungsoperatoren ${\op{U}}_{q} (\tau_{q})= {\op{P}}^{s(q)} {\op{U}}_{q-1} (\partial \tau_{q})$ mit ${\op{P}}^{s(q)}$ dem Prismenoperator bez"uglich des Schwerpunkts zeigt dann induktiv die Behauptung, da ja unser im Beweis von \ref{Kon} erkl"arter Prismenoperator die zus"atzliche Ecke als erste Ecke davorschreibt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Simpliziale Approximation}]\label{SiAp} Seien $\mathcal K , \mathcal L$ endliche Simplizialkomplexe und $f : \Delta (\mathcal K) \rightarrow \Delta (\mathcal L)$ stetig. So gibt es $n \in \mathbb N$ derart, da"s f"ur das Vorschalten des Hom"oomorphismus $u^n: \Delta({\op{B}}^n \mathcal K)\sira \Delta (\mathcal K)$ aus der $n$-fachen baryzentrischen Unterteilung eine simpliziale Abbildung $$\varphi : ({\op{B}}^n \mathcal K)_0 \rightarrow \mathcal L_0$$ existiert mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle $z \in \Delta ({\op{B}}^n \mathcal K)$ die beiden Punkte $f (u^n (z))$ und $(\Delta \varphi)(z)$ in einem gemeinsamen vollen Simplex von $\Delta(\mathcal L)$ liegen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unser $\varphi$ hei"st eine \defind{simpliziale Approximation} von $f$. Offensichtlich ist in dieser Sitution $\Delta (\varphi)$ homotop zu $fu^n$ vermittels der Homotopie \begin{equation*} h (z,t) = t (\Delta\varphi)(z) + (1-t) f (u^n (z)) \end{equation*} Hierbei sind die Formeln auf der rechten Seite zu verstehen in dem gro"sen Vektorraum, in dem wir unsere geometrische Realisierung von $\mathcal L$ als Teilmenge konstruiert hatten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die schmutzige Anschauung}] Die simpliziale Approximation an einen Hom"oomorphismus wird im allgemeinen keineswegs ein Isomorphismus sein, sondern vielmehr salopp gesprochen in etwa so aussehen, da"s einige wenige klitzekleine Simplizes der entsprechenden mehrfachen baryzentrischen Unterteilung bijektiv stark vergr"o"sert auf Simplizes des Zielkomplexes abgebildet werden, wohingegen die meisten dieser klitzekleinen Simplizes zu Simplizes kleinerer Dimension zusammengedr"uckt werden. Ich bitte darum, diese anschauliche Beschreibung eines typischen Falls nicht als mathematische Aussage mi"szuverstehen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Mithilfe des "Uberdeckungssatzes von Lebesgue, angewandt auf das Kompaktum $\Delta(\mathcal K)\subset \DR^{\mathcal K_0}$, finden wir $n \in \mathbb N$ und eine Abbildung auf den Ecken $\varphi : ({\op{B}}^n \mathcal K)_0 \rightarrow \mathcal L_0 $ mit $f (\op{St} (q)) \subset \op{St}(\varphi (q))$ f"ur alle $q \in ({\op{B}}^n \mathcal K)_0$. Wir zeigen, da"s dies $\varphi$ die gesuchte simpliziale Approximation ist. In der Tat gilt f"ur beliebiges $z \in \Delta ({\op{B}}^n\mathcal K)$ ja $\op{supp}z = \{q\in ({\op{B}}^n \mathcal K)_0 \mid z \in \op{St}(q)\}$ und folglich $\varphi (\op{supp} z) \subset \op{supp} f(z) $. Da jeder Simplex von ${\op{B}}^n \mathcal K$ ein $\op{supp} z$ ist, mu"s $\varphi$ simplizial sein und es folgt weiter, da"s f"ur alle $z$ unser $(\Delta \varphi)(z)$ zum vollen Simplex $\Delta (\op{supp} f(z))$ geh"ort. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Erste Ann"aherung an den Lefschetz'schen Fixpunktsatz}] Gegeben ein endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$ und eine fixpunktfreie stetige Selbstabbildung $f$ seiner Realisierung $X \pdef \Delta (\mathcal K)$ gilt\label{LeFi} f"ur jeden Koeffizientenk"orper $k$ die Identit"at \begin{equation*} 0 = \sum_q (-1)^q \op{tr} \big({\op{H}}_q f | {\op{H}}_q (X;k)\big) \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fixpunkte von Selbstabbildungen von Sph"aren}] Nach \ref{LeFi} hat insbesondere jede stetige Selbstabbildung einer Sph"are gerader Dimension, die homotop ist zur Identit"at, mindestens einen Fixpunkt. Induziert eine stetige Selbstabbildung einer $n$-Sph"are $S^n$ positiver Dimension $n>0$ allgemeiner eine von der Multiplikation mit $(-1)^{n+1}$ verschiedene Abbildung auf der $n$-ten Homologiegruppe, hat sie also in einer noch einzuf"uhrenden Terminologie einen von $(-1)^{n+1}$ verschiedenen \glqq Abbildungsgrad\grqq, so hat sie mindestens einen Fixpunkt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Indem wir auf $X$ die von einer Norm auf $ \mathbb R^{\mathcal K_0}$ induzierte Metrik $d$ w"ahlen und dann hinreichend oft baryzentrisch unterteilen, d"urfen wir annehmen, da"s das Minimum von $d(x,f(x))$ gr"o"ser ist als der Durchmesser jedes vollen Simplex. F"ur jede simpliziale Approximation $\varphi : ({\op{B}}^n \mathcal K)_0 \rightarrow \mathcal K_0$ an $f$ gilt dann, da"s $\varphi$ keinen Simplex der $n$-fachen baryzentrischen Unterteilung eines Simplex $\sigma \in \mathcal K$ auf $\sigma$ selbst wirft. Wir d"urfen dabei auch $n\geq 1$ annehmen. Jetzt betrachten wir im Komplex ${\op{S}}X$ der singul"aren Ketten von $X$ den Unterkomplex ${\op{S}}^{\op{s}} X$ der simplizialsingul"aren Ketten und das Bild $${\op{S}}^{\op{os},n} X \subset {\op{S}}X$$ des Komplexes ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\op{B}}^n \mathcal K)$ der orientierungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten der $n$-fachen baryzentrischen Unterteilung unter dem nat"urlichen Ho\-m"oo\-mor\-phis\-mus $u^n:\Delta ({\op{B}}^n \mathcal K) \sira \Delta (\mathcal K)$. So erhalten wir mit unseren Unterteilungsoperatoren ${\op{U}}$ aus \ref{DUO} nach \ref{Utos} ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} {\op{S}}^{\op{os},n} X &{\longrightarrow} & {\op{S}}^{\op{s}} X & \overset{{\op{U}}^n}{\longrightarrow} &{\op{S}}^{\op{os},n} X \\ \bigcap & &\bigcap & &\bigcap\\ {\op{S}}X &\overset{{\op{S}}\varphi}{\longrightarrow} & {\op{S}}X &\overset{{\op{U}}^n}{\longrightarrow }& {\op{S}}X \end{array} \end{displaymath} Seine Vertikalen induzieren nach unserem Vergleichssatz \ref{SH} zusammen mit \ref{SSES} Isomorphismen auf der Homologie. Die Verkn"upfung in der oberen Horizontale hat nun Spur Null in jedem Grad, denn ihre Matrix in der durch die orientierungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Simplizes gegebenen Basis hat nur Eintr"age Null auf der Diagonalen, da unsere simpliziale Approximation keinen Simplex aus der $n$-fachen baryzentrischen Unterteilung eines Simplex $\sigma$ auf $\sigma$ selbst wirft. Nach \ref{EuKt} induziert dann die Verkn"upfung in der oberen Horizontale auch auf der Homologie eine Abbildung mit Superspur Null. Dasselbe folgt erst f"ur die Verkn"upfung in der unteren Horizontale und dann wegen ${\op{H}} {\op{U}}^n = \op{id}$ auch f"ur ${\op{H}}\varphi = {\op{H}} f$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Jede stetige Selbstabbildung der reellen projektiven Ebene hat einen Fixpunkt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man folgere den Fixpunktsatz von Brouwer aus dem Fixpunktsatz von Lefschetz. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nullstellenfreie glatte Vektorfelder und Eulercharakteristik}] Besitzt eine glatte kompakte Mannigfaltigkeit ein glattes nirgends verschwindendes Vektorfeld, so ist ihre Euler-Charakteristik Null. Hinweis: Man verwende, da"s jede glatte kompakte Mannigfaltigkeit triangulierbar ist und f"ur jedes glatte nirgends verschwindende Vektorfeld darauf sein \glqq Flu"s f"ur ein hinreichend kleines positives Zeitintervall\grqq\ eine fixpunktfreie stetige Selbstabbildung ist. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Das gilt genauso f"ur stetige Vektorfelder, mu"s dann aber anders bewiesen werden. \end{Bemerkungw} \subsection{Einbettungen von Sph"aren in Sph"aren} \begin{Bemerkungl} Im folgenden ist die $(-1)$-Sph"are wie in \eref{Grundt}{TF} als die leere Menge zu verstehen, in Formeln $S^{-1}=\emptyset$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Jordan-Brouwer}\index{Jordan-Brouwer!Satz von}] Seien $n,r\geq -1$ und sei $s^{r} \subset S^{n}$ eine Teilmenge der $n$-Sph"are, die\label{JoB} hom"oomorph ist zur $r$-Sph"are $S^{r}$. So haben wir: $$\begin{array}{ll} r > n&\text{Unm"oglich;}\\ r = n&\text{Impliziert $S^{n}=s^{r}$;}\\ r = n-1&\text{Dann hat $S^{n} \backslash s^{r}$ genau zwei Zusammenhangskomponenten, }\\ & \text{und der Rand jeder dieser beiden Komponenten ist $s^{r}$;}\\ r \leq n-2 &\text{Dann ist $S^{n}\backslash s^{r}$ zusammenh"angend.} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw}\label{VVV} Im Rahmen der Garbentheorie werden wir in \eref{JoBn}{TG} einen alternativen Beweis geben, der mir besonders nat"urlich scheint. Der elementarere Beweis hier wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. Im Fall $r=n-1$ induziert f"ur eine zweipunktige Teilmenge $Z$ bestehend aus einem Punkt in jeder Komponente des Komplements $S^{n}\backslash s^{n-1}$ die Einbettung $s^{n-1} \hra S^{n} \backslash Z$ einen Isomorphismus auf der Homologie. Im Fall $n=2$ folgt das etwa aus unseren Erkenntnissen zu Umlaufzahlen kreuzungsfreier Wege in \eref{InWW}{TF}. Im allgemeinen zeigen wir es erst als "Ubung \eref{KGDb}{TG}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}Als Vorbereitung auf den Beweis beginnen wir mit einer Diskussion der sogenannten \glqq reduzierten Homologie\grqq. Diese Variante der Homologie hilft auch sonst oft, Sonderbetrachtungen im Grad Null zu vermeiden. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} F"ur jeden topologischen Raum $X$ kann man den Komplex ${\op{S}} X$ der singul"aren Ketten verl"angern zum sogenannten {\bf augmentierten Komplex}\index{augmentiert!Komplex} $\tilde{{\op{S}}}X$ mit $\tilde{{\op{S}}}_{q} X \pdef{\op{S}}_{q}X$ f"ur $q\neq -1$ und $\tilde{{\op{S}}}_{-1}X \pdef \Bbb{Z}$, wobei der zus"atzlich ben"otigte Rand\-operator $\partial_{0} : \tilde{{\op{S}}}_{0}X \ra \tilde{{\op{S}}}_{-1}X$ gegeben wird durch die sogenannte {\bf Augmentation}\index{Augmentation}\label{AUG} $\partial_{0}=\epsilon:\sum n_{x} x \mapsto \sum n_{x}$. Offensichtlich erhalten wir so wieder einen Funktor $$\tilde{{\op{S}}}:\op{Top} \ra \op{Ket}$$ von der Kategorie der topologischen R"aume in die Kategorie der Kettenkomplexe. Wir definieren dann die {\bf reduzierten Homologiegruppen\index{reduzierte Homologiegruppen} $\tilde{{\op{H}}}_{q}(X)$ von} $X$ als die Homologiegruppen unseres augmentierten Komplexes und setzen also in Formeln\index{H@$\tilde{{\op{H}}}_{q}$ reduzierte Homologiegruppen} $$\tilde{{\op{H}}}_{q}(X) \pdef \cal{H}_{q} (\tilde{{\op{S}}}X)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschiedene Konventionen zur reduzierten Homologie}] Die vorstehende Definition weicht im Fall $X=\emptyset$ von der in der Literatur gebr"auchlichen Konvention ab, bei der, so will es mir scheinen, das Widerstreben gegen"uber Homologie in negativen Graden die Oberhand gewonnen hat "uber das Streben nach Klarheit des Formalismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zwischen gew"ohnlicher und reduzierter Homologie}] F"ur $X\neq \emptyset$ gilt\label{RHSp} $\tilde{{\op{H}}}_{q}(X)=0$ f"ur $q<0$, f"ur die leere Menge erhalten wir jedoch $\tilde{{\op{H}}}_{-1}(\emptyset) =\Bbb{Z}$. Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ bezeichne ganz allgemein $G[q]$ den Komplex mit $G$ im Grad $q$ und Nullen sonst. Speziell meint also $\Bbb{Z} [-1]$ den Komplex mit $\Bbb{Z}$ im Grad $-1$ und Nullen sonst. Wir haben eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $\Bbb{Z} [-1]\hookrightarrow \tilde{{\op{S}}}X \twoheadrightarrow {\op{S}}X$. Mit der zugeh"origen langen Homologiesequenz erhalten wir ${\op{H}}_{q}X = \tilde{{\op{H}}}_{q} X$ f"ur $q>0$ und im Fall $X\neq\emptyset$ eine kurze exakte Sequenz $\tilde{{\op{H}}}_{0}X \hra {\op{H}}_{0} X\sra \Bbb{Z}$, mithin nach \ref{fsp} und \ref{spalt} einen allerdings nicht kanonischen Isomorphismus ${\op{H}}_{0} X \cong \tilde{{\op{H}}}_{0}X \oplus \Bbb{Z}$. Es gilt also $\tilde{{\op{H}}}_{0}X = 0$ genau dann, wenn $X$ leer oder wegzusammenh"angend ist, und die reduzierte Homologie von Sph"aren wird f"ur alle $n\geq -1$ gegeben durch $$\begin{array}{ccl} \tilde{{\op{H}}}_{q}(S^{n})&\cong & \left\{\begin{array}{cl} \Bbb{Z} & n=q;\\ 0& \text{sonst.} \end{array}\right. \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lange exakte Homologiesequenz f"ur die reduzierte Homologie}] F"ur ein Raumpaar $(X,A)$ folgt aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen $\tilde{{\op{S}}}A \hookrightarrow \tilde{{\op{S}}}X \twoheadrightarrow \tilde{{\op{S}}}X/\tilde{{\op{S}}}A$ auch eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra \tilde{\op{H}}_{q+1}(X,A)\ra \tilde{\op{H}}_{q}(A) \ra \tilde{\op{H}}_{q}(X) \ra \tilde{\op{H}}_{q}(X,A) \ra \tilde{\op{H}}_{q-1}(A) \ra \ldots$$ f"ur Raumpaare in der reduzierten Homologie, wobei nat"urlich gilt $\tilde{{\op{S}}}X/\tilde{{\op{S}}}A = {\op{S}}X /{\op{S}}A$ und folglich $\tilde{{\op{H}}}_{q}(X,A) = {\op{H}}_{q}(X,A)$. F"ur jeden Punkt $p\in X$ erhalten wir so insbesondere einen kanonischen Isomorphismus $ \tilde{\op{H}}_{q}(X) \ra {\op{H}}_{q}(X,p)$. Homotope Abbildungen $f,g: X \ra Y$ induzieren auch auf der reduzierten Homologie dieselben Abbildungen: Um das zu sehen reicht es, unsere Kettenhomotopie ${\op{S}} f \simeq {\op{S}} g$ durch Null auf $\tilde{{\op{S}}}_{-1} X = \Bbb{Z}$ fortzusetzen. Die Mayer-Vietoris-Sequenz und ihr Beweis "ubertragen sich ebenso ohne Schwierigkeiten in die reduzierte Homologie. Der folgende Beweis ist eine erste Illustration f"ur die N"utzlicheit der reduzierten Homologie. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben eine stetige Einbettung eines Hyperkubus in eine Sph"are beliebiger\label{FP} Dimension verschwinden die reduzierten Homologiegruppen des Komplements des Bildes in allen Graden. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Seien also in Formeln $r\geq 0$ und $\varphi :[0,1]^{r} \ra S^{n}$ eine stetige Injektion mit Bild $\op{im}\varphi = \varphi ([0,1]^{r})$. Unsere Proposition behauptet $\tilde{{\op{H}}}_{q}(S^{n}\backslash \op{im}\varphi)=0$ f"ur alle $q$. Als stetige Injektion von einem Kompaktum in einen Hausdorffraum ist $\varphi$ nach \eref{QHK}{TM} ein Hom"oomorphismus auf sein Bild. Da $S^{n}$ nie zusammenziehbar ist, folgt $S^{n}\neq \op{im} \varphi$. Wir k"onnen uns also auf $q\geq 0$ beschr"anken. Daf"ur machen wir eine Induktion "uber $r$ und geben dazu der Aussage der Proposition den Namen $P (r)$. Nach Konvention ist $[0,1]^{0}$ ein Punkt und $S^{n} \backslash x$ ist zusammenziehbar, ja sogar hom"oomorph zu $\DR^{n}$ f"ur alle $x \in S^{n}$. Das liefert unsere Induktionsbasis $P (0)$. Sei nun $P(r-1)$ bekannt, sei $\varphi :[0,1]^{r} \ra S^{n}$ eine stetige Injektion und sei $z\in \tilde{{\op{S}}}_{q}(S^{n}\backslash \op{im} \varphi)$ ein $q$-Zykel, $q\geq 0$. Es gilt zu zeigen, da"s $z$ ein Rand ist. F"ur $I \subset [0,1]$ setzen wir $$U_{I}\pdef S^{n} \backslash \varphi (I\times [0,1]^{r-1})$$ und k"urzen $U_{\{t\}}=U_{t}$ ab. Nach unserer Induktionsannahme $P(r-1)$ gibt es f"ur alle $t \in [0,1]$ ein $w_{t} \in {\op{S}}_{q+1} U_{t}$ mit $\partial w_{t} = z$. Mit Kompaktheitsargumenten folgt, da"s sogar gilt $w_{t} \in {\op{S}}_{q+1}U_{B}$ f"ur eine geeignete Umgebung $B$ von $t$ in $[0,1]$. Mit zus"atzlichen Kompaktheitsargumenten gibt es dann eine Folge $0=t_{0} n$ ist unm"oglich, da $\tilde{{\op{H}}}_{q}$ stets verschwindet f"ur $q<-1$. Im Fall $r=n$ haben wir $S^{n}=s^{r}$, denn $\tilde{{\op{H}}}_{-1} (X) \neq 0$ bedeutet $X = \emptyset$. Im Fall $r\leq n-2$ haben wir $\tilde{{\op{H}}}_{0} (S^{n}\backslash s^{r}) = 0$ aber $S^{n}\backslash s^{r}\neq\emptyset$. Es folgt ${\op{H}}_{0} (S^{n}\backslash s^{r}) \cong \Bbb{Z}$, und damit hat $S^{n}\backslash s^{r}$ nach \ref{NuHo} genau eine Wegzusammenhangskomponente, die auch die einzige Zusammenhangskomponente sein mu"s. Im Fall $r=n-1$ haben wir $\tilde{{\op{H}}}_{0} (S^{n}\backslash s^{r}) \cong \Bbb{Z}$, also ${\op{H}}_{0} (S^{n}\backslash s^{r}) \cong \Bbb{Z}^2$ und damit hat $S^{n}\backslash s^{r}$ nach \ref{NuHo} genau zwei Wegzusammenhangskomponenten. Da bei einer offenen Teilmenge von $S^{n}$ jeder Punkt eine wegzusammenh"angende Umgebung hat, sind das nach \eref{WTZ}{TM} auch die Zusammenhangskomponenten von $S^{n}\backslash s^{r}$. Jetzt m"ussen wir nur noch im Fall $r=n-1$ zus"atzlich zeigen, da"s $s^{n-1}$ im Abschlu"s jeder der beiden Zusammenhangskomponenten von $S^{n}\backslash s^{n-1}$ liegt. F"ur jedes $x\in s^{n-1}$ und eine beliebige offene Umgebung $U$ von $x$ in $S^{n}$ finden wir eine Teilmenge $A\subset s^{n-1}$ mit $x\in A$ derart, da"s gilt $\bar{A} \subset U$ und $s^{n-1} \backslash A \cong [0,1]^{n-1}$. Wir setzen $B\pdef s^{n-1}\backslash A$. Nach \ref{FP} ist $S^{n}\backslash B$ wegzusammenh"angend. Verbinden wir nun zwei Punkte aus verschiedenen Zusammenhangskomponenten von $S^{n}\backslash s^{n-1}$ in $S^{n}\backslash B$ durch einen Weg $\sigma$, so mu"s $\sigma$ durch $A$ laufen. Ist $\sigma (t)$ beziehungsweise $\sigma (s)$ der erste beziehungsweise letzte Punkt von $\sigma$ in $\bar{A}$, so liegen f"ur kleines $\epsilon > 0$ notwendig $\sigma (t-\epsilon)$, $\sigma (s+\epsilon)$ in $U$, aber in verschiedenen Wegzusammenhangskomponenten von $S^{n}\backslash s^{n-1}$. Jede offene Umgebung $U$ von $x$ trifft also beide Komponenten von $S^{n}\backslash s^{n-1}$. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $n\geq 2$ und $s^{n-1}\subset \DR^{n}$ eine Teilmenge, die hom"oo\-morph ist zur $(n-1)$-Sph"are $S^{n-1}$. So zerf"allt ihr Komplement $\DR^{n}\backslash s^{n-1}$ in zwei Zusammenhangskomponenten, deren Rand jeweils $s^{n-1}$ ist. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Man fasse $\DR^{n}$ auf als das Komplement eines Punktes in $S^{n}$. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAGS}\\[4mm] \noindent Versuch der Darstellung einer Konstruktionsvorschrift f"ur Alexander's geh"ornte Sph"are. Es gilt, sich dieses Bild in fraktaler Weise immer weiter verkleinert ins Unendliche fortgesetzt zu denken, an jedem der beiden Paaare von dich gegen"uberliegenden Endkugeln teilt sich unser Gebilde also wieder in jeweils zwei Arme, die sich fast wieder treffen, und so weiter. Die hier gezeichneten Dr"ahte sind massiv gemeint und verd"unnen sich entsprechend in die Spitzen hinein, so da"s dieses ganze Drahtgebilde hom"oomorph ist zum Einheitsball im $\DR^3$. Sein Komplement ist nicht einfach wegzusammenh"angend, was wir aber nicht beweisen werden. Alexander's geh"ornte Sph"are ist die Oberfl"ache dieses Gebildes. \end{figure} \begin{Bemerkungl} Der Spezialfall $n=2$ des vorhergehenden Korollars hei"st der {\bf Jordan'sche Kurvensatz}\index{Jordan'scher Kurvensatz}. Er besagt grob gesprochen, da"s jede geschlossene Kurve in der Ebene die Ebene in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt. In diesem Fall sagt der {\bf Satz von Sch"onflies}\index{Sch"onflies!Satz von} sogar st"arker, da"s wir einen Hom"oomorphismus der Ebene mit sich selber finden k"onnen, unter dem unsere geschlossene Kurve dem Einheitskreis entspricht. Im Fall $n=3$ ist {\bf Alexander's geh"ornte Sph"are}\index{Alexander!geh"ornte Sph"are} \index{geh"ornte Sph"are} eine zum kompakten Ball\label{AhSS} $D^3$ hom"oomorphe Teilmenge des Raums $\DR^3$, deren Komplement nicht einfach wegzusammenh"angend ist, oder vielmehr die Randsph"are dieses Balls. Die abelsch gemachte Fundamentalgruppe diese Komplements mu"s aber wieder verschwinden nach dem Satz von Hurewicz \ref{Hu} und unserem Satz \ref{JBGG} "uber die reduzierte Homologie des Komplements. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar*}[\textbf{Invarianz von Gebieten}]\index{Invarianz von Gebieten} Jede stetige Injektion $\DR^n\hra \DR^n$ ist offen.\label{IvG} \end{Korollar*} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Seien $U,V\subset\DR^n$ zwei Teilmengen, die hom"oomorph sind als topologische R"aume. Aus Korollar \ref{IvG} folgt: Ist $U$ offen, so ist auch $V$ offen. In der Funktionentheorie nennt man offene Teilmengen der komplexen Zahlenebene auch \glqq Gebiete\grqq, daher die Terminologie. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es reicht, wenn wir f"ur jede Einbettung $f:E\hra S^n$ der abgeschlossenen Einheitskugel $E\As\DR^n$ in die Sph"are $S^n$ zeigen, da"s ihr Inneres $E^\circ$ offenes Bild $f(E^\circ)\co S^n$ hat. Das Komplement des Bildes der Randsph"are $f(\partial E)$ besteht nach dem Satz von Jordan-Brouwer \ref{JoB} aus zwei Zusammenhangskomponenten $$S^n\backslash f(\partial E)=W_1\amalg W_2$$ Da $S^n$ lokal zusammenh"angend ist, sind diese Zusammenhangskomponenten offene Teilmengen der Sph"are $W_1,W_2\co S^n$. Das Komplement des Bildes $f(E)$ ist auch zusammenh"angend nach \ref{FP}, somit erhalten wir eine weitere disjunkte Zerlegung in zusammenh"angende Teilmengen $$\quad\qquad S^n\backslash f(\partial E)=(S^n\backslash f(E))\amalg f( E^\circ)$$ Nach \eref{ZSKK}{TM} mu"s aber jede zusammenh"angende Teilmenge eines Raums in einer seiner Zusammenhangskomponenten enthalten sein. Da unser Raum genau zwei Zusammenhangskomponenten hat, m"ussen unsere beiden disjunkten zusammenh"angenden Teilmengen also genau diese Zusammenhangskomponenten $W_1,W_2$ sein. Es folgt $f( E^\circ)=W_i\co S^n$ f"ur ein $i$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sind $s,s^{\prime} \subset S^{n}$ disjunkte Teilmengen, die hom"oomorph sind zu $S^{p}$ beziehungsweise $S^{q}$ mit $p+q = n-1$, so kann man ihre \defind{Verschlingungszahl} $v(s,s^{\prime})\in \Bbb{N}$ definieren als den Betrag des Bildes der Eins unter $\Bbb{Z} \cong \tilde{{\op{H}}}_{p} (s) \ra \tilde{{\op{H}}}_{p} (S^{n} \backslash s^{\prime}) \cong \Bbb{Z}$. Der Spezialfall $q=0$ wird in \ref{VVV} diskutiert. Mehr dazu findet man in \cite{StZi}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Einbettungen von Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension}] Eine injektive stetige Abbildung von einer nichtleeren kompakten Mannigfaltigkeit in eine zusammenh"angende Mannigfaltigkeit\label{ESph} derselben Dimension ist stets surjektiv.\label{ESph2} Hinweis: Invarianz von Gebieten \ref{IvG}. \end{Ubung} \subsection{Homologie von endlichen Zellkomplexen} \begin{Definition} Gegeben eine stetige Abbildung $f:Z\ra X$ erkl"art man ihren {\bf Abbildungskegel}\index{Abbildungskegel!von stetiger Abbildung}\label{Kf} als den topologischen Raum\index{K@${\op{K}}(f)$ Abbildungskegel von $f$} $${\op{Keg}}(f)={\op{K}}(f)\pdef\big((Z{\times} [0,1])\;\amalg\;X\; \amalg \;\op{top}\big)/\sim$$ f"ur\index{Keg@${\op{Keg}}(f)$ Abbildungskegel von $f$} $\op{top}=\{\ast\}$ den einpunktigen Raum und die "Aquivalenzrelation $\sim$ erzeugt durch $ (z,0)\sim f(z)$ sowie $(z,1)\sim \ast$ f"ur alle $z\in Z$. Unsere Definition weicht im Fall $Z=\emptyset$ von der in der Literatur "ublichen Definition ab.\end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.20\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildABK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.70\textwidth}\centering Der Abbildungskegel der Abbildung, die eine Kreislinie $Z$ zu einer Acht $X$ zusammenzwickt. Die hier zu sehende Kreislinie in mittlerer H"ohe stellt das Bild von $Z\times\{1/2\}$ im Abbildungskegel dar. \end{minipage} \end{figure} \begin{Beispiel} Ist $n\geq 0$ und $ f: S^{n-1} \ra X$ eine stetige Abbildung, so sagt man auch, der Abbildungskegel ${\op{K}}(f)$ entstehe aus $X$ durch {\bf Ankleben\index{Ankleben einer Zelle} einer $n$-Zelle vermittels} $f$. Im Fall $n =0$ alias $Z=\emptyset$ entsteht ${\op{K}}(f)$ aus $X$ durch die disjunkte Vereinigung mit einem Punkt; im Fall $n=1$ durch das Ankleben einer Kante, wobei man ihre beiden Endpunkte mit den Punkten $f(-1)$ und $f(1)$\label{AKZe} des Ausgangsraums identifiziert; im Fall $n=2$ durch das Ankleben einer Kreisscheibe l"angs ihres Randkreises in der durch $f$ vorgegebenen Weise, und so weiter. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.30\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAKS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.60\textwidth}\centering Zwei F"alle des Anklebens einer Eins-Zelle, hier gezackt eingezeichnet. Im ersten Fall wird ein Eins-Loch geschaffen, im zweiten Fall ein Null-Loch geschlossen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Satz}[\defind{Anklebesequenz}] F"ur jede stetige Abbildung $f:Z\ra X$ gibt es in der reduzierten Homologie eine lange exakte Sequenz\label{AKlS} $$\ldots \ra \tilde{{\op{H}}}_{q}Z\ra \tilde{{\op{H}}}_{q}X \ra \tilde{{\op{H}}}_{q}{\op{K}}(f) \ra \tilde{{\op{H}}}_{q-1}Z\ra \ldots$$ mit der Eigenschaft, da"s die erste Abbildung von $f$ induziert wird und die zweite von der Einbettung von $X$ in den Abbildungskegel ${\op{K}}(f)$. \end{Satz} \begin{Bemerkungw} In \ref{AKlSz} zeigen wir mit mehr M"uhe eine noch feinere Aussage, die sowohl die Beziehung unserer Sequenz zur langen exakten Homologiesequenz des Raumpaars $({\op{K}}(f),X)$ kl"art als auch den Fall \glqq simultaner Abbildungskegel\grqq\ einschlie"st. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Anderung der Homologie beim Ankleben einer Zelle}] Es k"onnen also anschaulich gesprochen beim Ankleben einer $n$-Zelle im wesentlichen zwei Dinge passieren: Entweder die angeklebte Zelle \glqq f"ullt ein $(n-1)$-Loch\grqq, als da hei"st $\tilde{{\op{H}}}_{n-1}S^{n-1}\ra \tilde{{\op{H}}}_{n-1}X$ ist eine Injektion und die $(n-1)$-te Homologie von $X$ wird beim Ankleben entsprechend kleiner; Oder die angeklebte Zelle \glqq schafft ein $n$-Loch\grqq, als da hei"st $\tilde{{\op{H}}}_{n-1}S^{n-1}\ra \tilde{{\op{H}}}_{n-1}X$ ist keine Injektion und die $n$-te Homologie von $X$ wird beim Ankleben entsprechend gr"o"ser. In diesem Fall kann sich nat"urlich die $(n-1)$-te Homologie auch noch etwas verkleinern, es wird eben eine endliche Untergruppe daraus weggeteilt, und das ist dann nicht mehr so leicht anschaulich zu machen. Sie k"onnen etwa versuchen, sich das Beispiel vorzustellen, da"s an die reell projektive Ebene, die ja durch Ankleben einer Zweizelle l"angs des Randes eines M"obiusbandes entsteht, noch eine weitere Zweizelle l"angs der Kreislinie auf der Mitte besagten M"obiusbandes angeklebt wird. In jedem Fall gilt jedoch $\tilde{{\op{H}}}_{q}X \sira \tilde{{\op{H}}}_{q}{\op{K}}(f)$ f"ur $q\neq n, n-1$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Das Bild der ausgezeichneten einpunktigen Menge $\op{top} $ im Abbildungskegel bezeichnen wir wieder mit $\op{top} $ und das Bild von $X$ wieder mit $X$. Wir erhalten so zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen des Abbildungskegels $K\pdef {\op{K}}(f)$, deren Komplemente eine offene "Uberdeckung $K=U\cup V$ bilden. Von diesen offenen Mengen ist $V\pdef K\backslash X$ zusammenziehbar, und der Schnitt unserer beiden offenen Mengen kann identifiziert werden mit $U\cap V=Z\times (0,1)$. Die durch unsere Erkenntnis $\tilde{\op{H}}_{q}V=0$ vereinfachte Mayer-Vietoris-Sequenz der reduzierten Homologie hat dann die Gestalt $$\ldots\ra \tilde{{\op{H}}}_{q}(U\cap V) \ra \tilde{{\op{H}}}_{q}(U) \ra \tilde{{\op{H}}}_{q}(K)\ra \tilde{{\op{H}}}_{q-1}(U\cap V)\ra \ldots$$ Wendet man \ref{VPQ} auf $T\pdef[0,1]$ und die die Topologie des Abbildungskegels definierende finale Abbildung an, so erkennt man leicht, da"s die Einbettung $X\hra U$ eine Homotopie"aquivalenz ist. Wir erhalten sogar ein homotopiekommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} Z&\hra&U\cap V\\ \da&&\da\\ X&\hra&U \end{array}$$ durch $z\mapsto(z,1/2)$ in der oberen Horizontalen mit Homotopie"aquivalenzen in den Horizontalen. Der Satz ist bewiesen. \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Algebraischer und topologischer Abbildungskegel}] Unsere Mayer-Vietoris-Sequenz aus dem vorhergehenden Beweis kommt nach \ref{MVS} her von einer kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen, die wir im folgenden Diagramm in die oberen Horizontale geschrieben haben. Hierbei bedeutet $\mathcal W$ die offene "Uberdeckung $K=U\cup V$.\label{BTAK} $$ \begin{array}{ccccc} \tilde{{\op{S}}}(U\cap V) &\hra& \tilde{{\op{S}}}(U)\oplus \tilde{{\op{S}}}(V) &\sra& \tilde{{\op{S}}}^{\mathcal W}(K)\\ \ua\wr&&\ua\wr&&\\ \tilde{{\op{S}}}(Z) &\ra& \tilde{{\op{S}}}(X) && \end{array} $$ Die untere Horizontale stellt die von $f:Z\ra X$ induzierte Abbildung dar und mit den durch unser homotopiekommutatives Diagramm vom Ende des vorhergehenden Beweises induzierten Vertikalen ensteht ein homotopiekommutatives Diagramm von Komplexen freier abelscher Gruppen. Zusammen mit $\tilde{{\op{S}}}^{\mathcal W}(K)\ra \tilde{{\op{S}}}(K)$ und unseren Erkenntnissen in \eref{Kzu}{TD} liefert das einen ausgezeichneten Isomorphismus $\op{Keg}(\tilde{{\op{S}}}(Z) \ra \tilde{{\op{S}}}(X))\sira \tilde{{\op{S}}}(K)$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ und zusammen mit \eref{derHH}{TD} sogar in der Homotopiekategorie $\op{Hot}(\op{Ab})$. Er rechtfertigt die Bezeichnung als Abbildungskegel f"ur die rein algebraische Konstruktion $\op{Keg}$ aus dem Beweis von \ref{AABK}. \end{Bemerkungw} \begin{Proposition}\label{VPQ} Ist $p: X \ra Y$ final und surjektiv und $T$ lokal kompakt, so ist auch $p\times \op{id} : X \times T \ra Y \times T$ final und surjektiv. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Wir geben in \eref{VPQn}{TM} einen alternativen Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $W \subset Y \times T$ eine Teilmenge mit offenem Urbild $U \co X \times T$. Es gilt zu zeigen, da"s $W$ selbst offen ist. Sei dazu $(y,t) \in W$ ein Punkt und $(x,t)$ eines seiner Urbilder. Sicher gibt es eine kompakte Umgebung $K$ von $t$ mit $\{x\} \times K \subset U$. Man "uberlegt sich leicht, da"s dann $$A\pdef \{a \in X \mid \{a\} \times K \subset U\}$$ offen ist in $X$ und da"s gilt $A= p^{-1}(p(A))$. Folglich ist $p(A)$ offen in $Y$ und wir haben $(y,t) \in p(A) \times K \subset W$. Mithin liegt mit jedem Punkt auch eine ganze offene Umgebung des besagten Punktes in $W$ und $W$ ist offen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Endlichkeit der Homologie von endlichen Zellkomplexen}] Entsteht ein topologischer Raum $X$ aus der leeren Menge durch sukzessives Anheften von endlich vielen Zellen, und heften wir dabei keine Zellen einer Dimension $>d$ an, so gilt ${\op{H}}_{q}X=0$ f"ur $q>d$ und ${\op{H}}_{q}X$ ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe f"ur alle $q\in \Bbb{Z}$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Man benutze f"ur die zweite Aussage, da"s bei einer kurzen exakten Sequenz abelscher Gruppen $A^{\prime} \hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime \prime}$ die Mitte endlich erzeugt ist genau dann, wenn die Enden es sind. \end{proof}\begin{Beispiel}[\textbf{Homologie der komplex projektiven R"aume}] Der $\DP^{n}\DC$ ergibt sich aus dem $\DP^{n-1}\DC$ durch Anheften einer $2n$-Zelle.\label{HKPR} Betrachten wir genauer die Abbildung $F: D^{2n}\ra \DP^{n}\DC$ gegeben durch die Abbildungsvorschrift $$z = (z_{0},\ldots , z_{n-1})\mapsto \langle z_{0},\ldots ,z_{n-1}, 1-\|z\| \rangle$$ und nehmen ihre Restriktion zu $f:S^{2n-1}\ra \DP^{n-1}\DC$ als Anklebeabbildung, so konstruiert man ohne Schwierigkeiten einen Hom"oomorphismus ${\op{K}}(f)\sira \DP^{n}\DC$ zwischen dem Abbildungskegel und $\DP^{n}\DC$, bei dem die Einbettung von $\DP^{n-1}\DC$ in den Abbildungskegel der Einbettung durch das Anf"ugen einer Null in $\DP^{n}\DC$ entspricht. Wir erhalten also $${\op{H}}_{q}(\DP^{n}\DC)\cong \left\{\begin{array}{cl} \Bbb{Z} & q = 0,2,\ldots ,2n;\\ 0& \text{sonst}.\end{array}\right.$$ Wir erhalten weiter, da"s die Einbettungen durch das Anf"ugen einer Null Isomorphismen ${\op{H}}_{q}(\DP^{n-1}\DC)\sira {\op{H}}_{q}(\DP^{n}\DC)$ induzieren f"ur $q0$ und die Multiplikation mit $(-1)$ im Fall $\op{det}(g)<0$.\label{HouG} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden hier die Konvention, nach der die Identit"at auf dem Nullvektorraum die Determinante Eins hat. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $n>0$. Nach \eref{ZKGL}{AN2} hat dann $\op{GL}(n;\DR)$ genau zwei Wegzusammenhangskomponenten, die Matrizen mt positiver Determinante und die Matrizen mit negativer Determinante. Homotopieinvarianz zeigt dann, da"s $g_*$ nur vom Vorzeichen von $\op{det}(g)$ abh"angen kann. Jetzt bette man den Standardsimplex $\Delta_{n}$ so nach $\DR^n$ ein, da"s alle seine Ecken bis auf Zwei in ein- und derselben Koordinatenebene zu liegen kommen, da"s die restlichen beiden Ecken unter der Spiegelung an dieser Koordinatenebene vertauscht werden, und da"s der Ursprung im offenen Kern des Bildes liegt. Diese Einbettung liefert einen Isomorphismus $${\op{H}}_n(\Delta_{n},\partial\Delta_{n})\sira {\op{H}}_{n}(\DR^{n},\DR^{n}\backslash 0)$$ Der Effekt der fraglichen Spiegelung kann auf der simplizialen Homologie der linken Seite leicht berechnet werden und ergibt sich dort zu $(-1)$, da die fragliche Permutation der Ecken von $\Delta_n$ eine Transposition und damit ungerade ist. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis] % Etwa nach \eref{ZKGL}{AN2} bilden f"ur $n\geq 1$ % die Elemente von $\op{GL}(n;\DR)$ % mit positiver beziehungsweise negativer Determinate die beiden % Wegzusammenhangskomponenten von $\op{GL} (n;\DR)$. % Elemente $g,h$ aus derselben Wegzusammenhangskomponente liefern % % homotope Abbildungen $g,h:(\Bbb{R}^{n}\backslash 0) % \ra (\Bbb{R}^{n}\backslash 0)$. % Wenn wir also den Satz auch nur % f"ur ein einziges $g$ mit $\op{det} g < 0$ zeigen, % so folgt er in voller Allgemeinheit. % Nun betrachten wir den anschaulichen Rand $\partial \Delta_{n}$ % des $n$-ten Standardsimplex wie in \ref{AnRa} und die % Homotopie"aquivalenzen % $$(\Bbb{R}^{n} \backslash 0) \hookrightarrow (\Bbb{R}^{n+1} \backslash \Bbb{R} % (1,1,\ldots , 1)) \hookleftarrow \partial \Delta_{n}$$ % Hier sei die linke Einbettung die Abbildung, % die als letzte Koordinate eine Null anf"ugt. % In der Mitte wird die Gerade durch den Nullpunkt mit % Richtungsvektor $(1,1,\ldots , 1) $ herausgenommen. % Nehmen wir $n \geq 2$ an, so h"alt die Vertauschung der ersten % beiden Koordinaten unsere beiden Teilr"aume fest. Der Satz folgt % so f"ur $n\geq 2$ mit dem kanonischen Isomorphismus % ${\op{H}}_{n} (\Delta_{n}, \partial % \Delta_{n})\sira \tilde{{\op{H}}}_{n-1}( \partial % \Delta_{n})$ aus dem anschlie"senden Lemma \ref{LeHH}. Die F"alle $n=0,1$ % "uberlassen wir dem Leser. % \end{proof} % \begin{Lemma}\label{LeHH} % Sei $n\geq 1$ %2$ % und sei $g : % \Delta_{n} \ra \Delta_{n}$ die stetige Abbildung, % die gegeben wird durch die Vertauschung der beiden ersten % Koordinaten. So induziert $g$ auf der relativen Homologie % ${\op{H}}_{n} (\Delta_{n}, \partial % \Delta_{n})$ die % Multiplikation mit $(-1)$, in Formeln % $${\op{H}}_{n} g = (-1) : {\op{H}}_{n} (\Delta_{n}, \partial % \Delta_{n})\ra {\op{H}}_{n} (\Delta_{n}, \partial % \Delta_{n})$$ % \end{Lemma} % \begin{proof}[Beweis] % Wir betrachten in $\Delta_{n}$ den singul"aren $(n+1)$-Simplex % $$\sigma =[\op{e}_{0}, \op{e}_{1}, \op{e}_{0}, % \op{e}_{2},\ldots , \op{e}_{n}]: \Delta_{n+1} \ra \Delta_{n}$$ % Diese Notation meint die Abbildung, die % die Ecken von $\Delta_{n+1}$ in der angegebenen Reihenfolge % auf die Ecken % von $\Delta_{n}$ wirft % und auf ganz $\Delta_{n+1}$ affin ist. % Wir % erinnern, da"s der tautologische Simplex $\tau_{n}=\op{id}$ % unsere relative Homologiegruppe erzeugt, und % erkennen durch explizite Rechnung % $$\partial \sigma \in \tau_{n} + ({\op{S}}_{n}g) % (\tau_{n}) + {\op{S}}_{n} (\partial \Delta_{n})$$ Daraus folgt % $[\tau_{n}] + ({\op{H}}_ng) [\tau_{n}]=0$ in ${\op{H}}_{n} % (\Delta_{n}, \partial \Delta_{n})$. % \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Nullstellenfreie Vektorfelder auf Sph"aren}] Genau dann gibt es %f"ur $n\geq 1$ auf der $n$-Sph"are $S^{n}$ ein nirgends verschwindendes stetiges Vektorfeld,\label{VaSp} wenn ihre Dimension $n$ ungerade ist. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Ein Vektorfeld ist f"ur uns eine stetige Abbildung $v : S^{n}\ra \DR^{n+1}$ derart, da"s $v(x)$ senkrecht steht auf $x$ f"ur alle $x$, in Formeln $x\perp v(x)\;\forall x \in S^{n}$. Ist $n$ ungerade, so k"onnen wir ein m"ogliches $v$ angeben durch $$v (x_{0}, \ldots,x_{n})= (x_{1},-x_{0},x_{2},-x_{1}, \ldots, x_{n-1},-x_{n})$$ In jedem Fall k"onnen wir ein nirgends verschwindendes Vektorfeld $v$ auf L"ange Eins normieren. Es definiert dann eine Familie von Abbildungen $\varphi _{t} : S^{n} \ra S^{n}$, bei der $\varphi_{t} (x)$ der Punkt ist, an dem man landet, wenn man von $x$ in Richtung $v(x)$ f"ur die Zeit $t$ auf dem entsprechenden Gro"skreis um die Sph"are l"auft, in Formeln $\varphi_{t} (x) = (\cos t) x + (\sin t) v(x)$. So erhalten wir nun offensichtlich eine Homotopie zwischen der Identit"at und der Antipodenabbildung $a = \varphi_{\pi} : S^{n}\ra S^{n}$, $x \mapsto -x$ und folgern $\tilde{{\op{H}}}_{n}(a)=\op{id}$ auf $\tilde{{\op{H}}}_{n}(S^{n})$. Da aber die Einbettung $S^n\hra (\DR^{n+1}\backslash 0)$ eine Homotopie"aquivalenz ist und da folglich gilt $\tilde{{\op{H}}}_{n}(a)=(-1)^{n+1}\op{id}$ auf $\tilde{{\op{H}}}_{n}(\DR^{n+1}\backslash 0)$, kann es eine derartige Homotopie nur f"ur ungerades $n$ geben. \end{proof} %\begin{Bemerkungl} % Jede stetige Selbstabbildung einer Sph"are % positiver gerader Dimension hat einen Fixpunkt. % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Algebraische und topologische Orientierung}] % Gegeben ein endlichdimensionaler % reeller Vektorraum $V$ erinnern wir aus \eref{KPmjn}{LA2} % seine Orientierungsmenge $\op{or}(V)$ und erinnern auch, da"s wir genauer % f"ur jedes $n$ einen Funktor % $$\op{or}:\op{Mod}_\DR(n)^\times\ra \op{Ens}$$ % von der Isomorphismenkategorie der $n$-dimensionalen reellen % Vektorr"aume in die Kategorie der Mengen konstruiert hatten, der jedem derartigen Vektorraum die Menge seiner beiden Orientierungen zuordnet. % Einen weiteren derartigen Funktor % $$\op{or}^{\op{top}}:\op{Mod}_\DR(n)^\times\ra \op{Ens}$$ erhalten wir, indem wir % f"ur $V$ von der Dimension $\op{dim}_\DR(V)=n$ die Menge % $\op{or}^{\op{top}}(V)$ erkl"aren als die Menge der beiden Erzeuger von % $\op{H}}_n(V,V\backslash 0)$. % Man mag das die \glqq Menge der topologischen Orientierungen von $V$\grqq\ nennen und $\op{or}(V)$ die \glqq Menge der algebraischen Orientierungen von % % $V$\grqq. % Aus dem Vorhergehenden folgt, da"s es % f"ur jedes $n$ zwischen diesen beiden Funktoren genau % zwei Isotransformationen $\op{or}\siRa \op{or}^{\op{top}}$ gibt. % In \ref{TOS} werden wir diskutieren, wie man sinnvoll f"ur jedes $n$ jeweils eine % dieser beiden Isotransformationen auszeichnen kann. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungw} % In \ref{AZIT} werden wir % f"ur jedes $n$ eine derartige Isotransformation durch eine willk"urliche % Wahl im Fall $n=1$ und die Vertr"aglichkeit mit % Kreuzprodukten auszeichnen. % \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Algebraische und topologische Orientierung}] Jedem endlichdimensionalen Vektorraum $V$ "uber einem angeordneten K"orper $k$ hatten wir in der linearen Algebra eine zweielementige Orientierungsmenge oder ausf"uhrlicher seine {\bf algebraische Orientierungsmenge} $\op{or}(V)=\op{or}^{\op{alg}}(V)$ zugeordnet und sogar einen Funktor $$\op{or}^{\op{alg}}:\op{Modf}_{k}^\times\ra\op{Ens}$$ erkl"art. Eine algebraische Orientierung von $V$ war dort eine Vorschrift $\varepsilon$, die jeder angeordneten Basis $\mathcal A$ von $V$ ein Vorzeichen $\varepsilon(\mathcal A)$ so zuordnet, da"s diese Vorzeichen mit den Vorzeichen der Basiswechselmatrizen vertr"aglich sind. Jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ ordnen wir seine {\bf topologische Orientierungsmenge $\op{or}^{\op{top}}(V)$} zu als die Menge der beiden Erzeuger von ${\op{H}}_n(V,V\backslash 0)$ und erhalten so einen weiteren Funktor $$\op{or}^{\op{top}}:\op{Modf}_{\DR}^\times\ra\op{Ens}$$ Zu jeder angeordneten Basis $\mathcal A=(v_1,\ldots,v_n)$ eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums $V$ betrachten wir nun denjenigen Erzeuger\label{OEH} $\eta_{\mathcal A}\in {\op{H}}_n(V,V\backslash 0)$, der durch den affinen $n$-Simplex $[\big(-\sum v_i\big), v_1,\ldots,v_n]$ repr"asentiert wird, und erkl"aren unsere {\bf Standardtransformation}\index{Standardtransformation} $$\op{std}: \op{or}^{\op{alg}}\siRa \op{or}^{\op{top}}$$ durch die Vorschrift $\op{std}_V:\varepsilon\mapsto \varepsilon(\mathcal A)\eta_{\mathcal A}$. Man zeige, da"s das wohldefiniert ist. Wir zeigen in \eref{TOS}{TSK}, da"s diese Standardtransformation eine von zwei m"oglichen \glqq Transformationen von Schmelzfunktoren\grqq\ ist f"ur die nat"urlichen Erweiterungen von $\op{or}^{\op{alg}}$ und $\op{or}^{\op{top}}$ zu \glqq Schmelzfunktoren\grqq, die wir ebenfalls dort besprechen. Solch eine Schmelztransformation ist dann bereits festgelegt und festlegbar durch die davon induzierte Bijektion $\op{or}^{\op{alg}}(\DR)\sira \op{or}^{\op{top}}(\DR)$. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Im Fall der angeordneten Standardbasis $\mathcal S(n)$ des $\DR^n$ ist $\eta_{\mathcal S(n)}=\eta_n$ unser Standarderzeuger aus \ref{WsE}. \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeiten im Zusammenhang mit Orientierungen}] Man zeige die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{or}^{\op{alg}} \ar@{=>}[d]^-{\op{std}}_-\wr\ar@{=>}[r]^-{\op{std}}_-\sim &\op{or}^{\op{top}}\ar@{=>}[d]^-{\partial}_-\wr\\ \op{dreh}\ar@{=>}[r]^-{\op{hur}}_-\sim &\op{or}_{\op{abs}}^{\op{top}}\\ } \end{displaymath} in $\op{Cat}(\op{Mod}_\DR(2)^\times, \op{Ens})$ von Funktoren und Transformationen mit unten rechts dem Funktor $\op{or}_{\op{abs}}^{\op{top}}$, der jedem zweidimensionalen reellen Vektorraum $V$ die Menge der beiden Erzeuger von ${\op{H}}_1(V\backslash 0)$ zuordnet, mit den Stan\-dard\-iso\-mor\-phis\-men aus der oberen linken Ecke nach rechts aus \ref{OEH} und nach unten zur Menge der beiden Drehsinne aus \eref{Drehs}{TF} und dem Randoperator der langen exakten Homologiesequenz $\partial:{\op{H}}_2(V,V\backslash 0)\sira {\op{H}}_1(V\backslash 0)$ in der rechten Vertikale und dem Hurewicz-Isomorphismus \ref{Hu} in der unteren Horizontale. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein endliches angeordnetes minimales Erzeugendensystem $p_0,p_1,\ldots,p_n$ eines reellen affinen Raums $E$ erinnern wir die zugeh"orige algebraische Orientierung von $\vec E$ aus \eref{OaRa}{LA1} durch die angeordnete Basis $p_1-p_0, \ldots,p_n-p_0$. Sei $s$ der Schwerpunkt der $p_i$.\label{OrASj} Man zeige, da"s die unter unserer Standardidentifikation aus \ref{OEH} zugeh"orige topologische Orientierung alias der zugeh"orige Erzeuger von ${\op{H}}_n(\vec E,\vec E\backslash 0)$ durch den Simplex $\Delta_n\ra \vec E$ mit $\op{e}_i\mapsto p_i-s$ repr"asentiert wird. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Orientierung und Vorzeichen der Funktionaldeterminante}] Gegeben $A,B\co\DR^n$ offene Umgebungen des Ursprungs und $g:A\sira B$ ein Diffeomorphismus mit $g(0)=0$ kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_n(A,A\backslash 0)&\ra &{\op{H}}_n(B,B\backslash 0)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)&\ra &{\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0) \end{array}$$ mit dem Vorzeichen der Funktionaldeterminante $\det(\diff_0 g)$ als unterer Horizontale. Hinweis: F"ur vom Ursprung verschiedene Punkte $p$ nahe am Ursprung\label{BLG} gilt die Absch"atzung $\|g(p)- (\diff_0 g)(p)\|<\|(\diff_0 g)(p)\|$. \end{Ubung} \subsection{Orientierung von Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf topologischen Mannigfaltigkeit}\index{topologisch!Mannigfaltigkeit} {\bf der Dimension $n$} oder kurz {\bf $n$-Mannigfaltigkeit}\index{Mannigfaltigkeit!topologische} verstehen wir wie in \eref{Mgf}{TM} einen Haus\-dorff\-raum $X$ derart, da"s jeder Punkt $p\in X$ eine offene Umgebung besitzt, die hom\"{o}o\-morph ist zu einer offenen Teilmenge des $\DR^n$. Viele Autoren fordern von einer Mannigfaltigkeit zus\"{a}tzlich, da"s sie \glqq parakompakt\grqq\ sein soll oder sogar \glqq abz\"{a}hlbar basiert\grqq. Wir werden solche Bedingungen stets explizit erw\"{a}hnen. Vorerst sind sie f\"{u}r uns belanglos. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $M$ eine $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit. F"ur jeden Punkt $x \in M$ ist die relative Homologie ${\op{H}}_{n} (M,M\backslash x)$ alias die $n$-te lokale Homologie des bepunkteten Raums $(M,x)$ frei vom Rang Eins nach Ausschneidung \ref{Asch} und den Resultaten \ref{MNH} "uber die Homologie von Sph"aren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Orientierung},\index{Orientierung!von topologischer Mannigfaltigkeit} genauer {\bf topologische Orientierung} einer $n$-Mannigfaltigkeit ist eine Zuordnung $\omega$, die jedem Punkt $x \in M$ einen Erzeuger $\omega_{x}$ von ${\op{H}}_{n}(M,M\backslash x)$ zuordnet und zwar so, da"s gilt: F"ur alle $x \in M$ gibt es eine Umgebung $U$ von $x$ und ein Element $\omega_{U} \in {\op{H}}_{n} (M,M\backslash U)$ derart, da"s f"ur alle $ y \in U$ gilt $\omega_{U} \mapsto \omega_{y}$ unter der nat"urlichen Abbildung ${\op{H}}_{n} (M,M\backslash U)\ra {\op{H}}_{n} (M,M\backslash y)$. Wir nennen $\omega_x$ die {\bf lokale Orientierung} zur \glqq globalen Orientierung\grqq\ $\omega$.\index{Orientierung!lokale} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Orientierung aus der linearen Algebra}] Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $V$ liefert die in \ref{OEH} ausgezeichnete Standardbijektion $\op{std}_V$ zwischen $\op{or}(V)$ und der Menge der Erzeuger von ${\op{H}}_{n} (V,V\backslash 0)$ eine Bijektion zwischen der Menge der Orientierungen auf $V$ im Sinne der linearen Algebra und der Menge der topologischen Orientierungen von $V$ als Mannigfaltigkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildOrDD}\\[4mm] \noindent Illustration der Definition einer Orientierung. Die ganzen Punkte $y\in U$ sind nicht beschriftet, erben aber ihre Orientierung von einem gemeinsamen $\omega_U$. Die Homologieklassen habe ich durch Erzeuger angedeutet. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Gegeben R"aume $M\supset A\supset B$ notieren wir die nat"urliche Abbildung ${\op{H}}_{n} (M,M\backslash A)\ra {\op{H}}_{n} (M,M\backslash B)$ im weiteren Verlauf kurz $\eta\mapsto \eta|_B$, so da"s wir etwa eben statt $\omega_{U} \mapsto \omega_{y}$ auch $\omega_{U}|_y = \omega_{y}$ h"atten schreiben d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zur Orientierung aus der Analysis}] In \eref{Orkm}{AN2} hatten wir eine Orientierung einer Mannigfaltigkeit, genauer einer eingebetteten $n$-di\-men\-sio\-na\-len $\cal{C}^1$-Mannigfaltigkeit $M$, erkl"art als eine Vorschrift, die an jedem Punkt dem eine algebraische Orientierung des Tangentialraums auszeichnet derart, da"s noch gewisse zus"atzliche Eigenschaften erf"ullt sind. Zu jeder derartigen {\bf analytischen Orientierung von $M$}\index{Orientierung!analytische} konstruieren wir eine topologische Orientierung, indem wir von $\DR^n$ mit seiner Standardorientierung \eref{OrV}{LA1} ausgehen und mit unserer Standardbijektion \ref{OEH} eine topologische Orientierung von $\DR^n$ konstruieren. Sie wird gegeben durch einen Erzeuger von ${\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)$, den wir den {\bf Standarderzeuger}\index{Standarderzeuger!von ${\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)$} nennen. Durch Verschieben und Ausschneidung erhalten wir daraus Erzeuger der relativen Homologie ${\op{H}}_n(W,W\backslash p)$ f"ur beliebige $p\in W\co \DR^n$. Gegeben eine Karte $(W,\varphi)$ der Orientierung $\varepsilon$ im Sinne von \eref{OK}{AN2} w"ahlen wir dann die Bilder der $\varepsilon$-fachen dieser Erzeuger unter den von $\varphi$ induzierten Abbildungen ${\op{H}}_n(W,W\backslash p)\ra {\op{H}}_n(M,M\backslash \varphi(p))$ als Erzeuger auf der rechten Seite. F"uhren wir das f"ur alle zusammenh"angenden Karten durch, so erhalten wir wegen der Beziehung \ref{BLG} zwischen dem Erhalten der Orientierung und dem Vorzeichen der Funktionaldeterminate eine wohldefinierte topologische Orientierung auf $M$. Offensichtlich erhalten wir so f"ur jede $\mathcal C^1$-Mannigfaltigkeit $M$ eine Bijektion zwischen der Menge der analytischen Orientierungen von $M$ und der Menge der topologischen Orientierungen von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Mannigfaltigkeit, die mindestens eine Orientierung besitzt, hei"st {\bf orientierbar}.\index{orientierbar! Mannigfaltigkeit, topologische} Unter einer \defnoind{orientierten Mannigfaltigkeit}\index{orientiert! Mannigfaltigkeit, topologische} verstehen wir eine Mannigfaltigkeit mit einer ausgezeichneten Orientierung. Eine Orientierung auf $M$ induziert in offensichtlicher Weise eine Orientierung auf jeder offenen Teilmenge von $M$. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Kriterium f"ur die Gleichheit von Orientierungen}] Stimmen zwei Orientierungen einer zusammen\-h"ang\-enden Mannigfaltigkeit in einem Punkt "uberein,\label{EOr} so sind sie gleich. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Seien $M$ unsere zusammen\-h"ang\-ende Mannigfaltigkeit und $\omega,\eta$ unsere beiden Orientierungen. Sei $x \in M$ gegeben mit $\omega_{x} = \eta_{x}$. Wir zeigen, da"s es eine Umgebung $U$ von $x$ gibt mit $\omega_{y} = \eta_{y} \; \forall y \in U$. Sicher d"urfen wir dazu annehmen $M = \DR^{n}$. Per definitionem gibt es einen offenen Ball $U$ um $x$ und Elemente $\omega_{U},\eta_{U} \in {\op{H}}_{n} (\DR^{n},\DR^{n}\backslash U)$ mit $\omega_{U} \mapsto \omega_{y} $ und $\eta_{U}\mapsto \eta_{y}\; \forall y \in U$. Da aber f"ur so ein $U$ die Einbettung Isomorphismen $${\op{H}}_{n}(\DR^{n}, \DR^{n}\backslash U) \sira {\op{H}}_{n} (\DR^{n}, \DR^{n}\backslash y)$$ induziert f"ur alle $y\in U$, folgt aus $\omega_{x} = \eta_{x}$ bereits $\omega_{U} = \eta_{U}$ und dann $\omega_{y} = \eta_{y} \; \forall y \in U$. Die Mengen $M_{\pm}$ aller $x\in M$ mit $\omega_{x} = \pm\eta_{x}$ sind folglich offen. Damit ist $M=M_+\amalg M_{-}$ eine Zerlegung in zwei disjunkte offene Teilmengen. Da nach Annahme $M_+$ nicht leer ist und $M$ zusammenh"angend, folgt $\omega=\eta$. \end{proof} \begin{Definition} Etwas formaler betrachten wir die Menge $$\op{or} = \op{or}_{M} \pdef \coprod_{x \in M} {\op{H}}_{n} (M,M\backslash x)$$ und versehen sie mit der Topologie, die erzeugt wird von allen Teilmengen der Gestalt\label{orGA} $ {\cal O}(U,\omega) = \{ \omega|_{x} \mid x \in U\}$ f"ur $U\co M$ und $\omega \in {\op{H}}_{n} (M,M\backslash U)$. Wir nennen $\op{or}_M$ die \defind{Orientierungsgarbe} von $M$. Die offensichtliche Abbildung $p:\op{or}_M\ra M$ ist stetig, denn das Urbild von $U\co M$ kann beschrieben werden als die Vereinigung aller $ {\cal O}(V,\omega)$ mit $V\co U$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Nach dem anschlie"senden Lemma \ref{AnLe} ist $\op{or}_M\ra M$ eine "Uberlagerung und damit in einer Terminologie, die wir in \eref{DeGa}{TG} einf"uhren, der \glqq \'etale Raum einer abelschen Garbe auf $M$\grqq. In dieser Terminologie bedeutet unsere Konstruktion der Orientierungsgarbe die \glqq Garbifizierung der Pr"agarbe $U\mapsto {\op{H}}_n(M,M\backslash U)$\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Trivialisierung der Orientierungsgarbe von $\DR^n$}] Wir konstruieren einen Hom"oomorphismus $\DZ\times \DR^n\sira \op{or}_{\DR^n}$ oder vielmehr und noch nat"urlicher einen Hom"oomorphismus\label{BUR} $${\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)\times \DR^n\sira \op{or}_{\DR^n}$$ wie folgt: Jedem Paar $(\omega_0,x)$ wird dasjenige $\omega_x\in {\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash x)$ zugeordnet mit der Eigenschaft, da"s es f"ur einen und jeden Ball $B\co \DR^n$ mit Zentrum im Ursprung und $x\in B$ ein $\omega_B\in {\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash B)$ gibt mit $\omega_B|_0=\omega_0$ und $\omega_B|_x=\omega_x$. Wegen der f"ur alle $x\in B$ von der Einbettung induzierten Isomorphismen ${\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash B)\sira{\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash x) $ ist damit $\omega_x$ wohldefiniert, und da"s unsere Abbildung eine Bijektion ist scheint mir offensichtlich. Sie ist stetig, da das Urbild jedes $\cal{O}(U,\omega)$ f"ur einen Ball $U\co \DR^n$ offen ist, und da diese Mengen auch schon die Topologie der Orientierungsgarbe erzeugen. Sie ist offen, da diese Urbilder sogar die Topologie der linken Seite erzeugen, wie der Leser unschwer einsehen wird. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{AnLe} Ist $V \co M$ eine offene Teilmenge, so haben wir mit den offensichtlichen Abbildungen ein kartesisches Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % \op{or}_{V} & \ra &\op{or}_{M}\\ % \downarrow & &\downarrow \\ % V &\ra &M % \end{array}$$ $$\xymatrix{\kart \op{or}_{V} \ar[r]\ar[d] & \op{or}_{M} \ar[d]\\ V \ar[r] &M}$$ In anderen Worten liefert in diesem Diagramm also die obere Horizontale einen Hom"oomorphismus von $\op{or}_{V} $ mit dem Urbild von $V$ in $\op{or}_{M} $. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Insbesondere ist also nach dem vorhergehenden Beispiel \ref{BUR} die nat"urliche Projektion $\op{or}_{M}\ra M$ eine "Uberlagerungsabbildung. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Mit der offensichtlichen Abbildung $\op{or}_{V} \ra \op{or}_{M}$ meinen wir die durch die nat"urlichen Abbildungen ${\op{H}}_{n} (V,V\backslash x) \sira {\op{H}}_{n} (M,M\backslash x)$ erkl"arte Injektion $\op{can}:\op{or}_{V} \hra \op{or}_{M}$. Wir zeigen zun"achst, da"s sie stetig ist. Es gilt also zu zeigen, da"s die Urbilder aller $ {\cal O}(U,\omega_U) $ offen sind. In der Tat k"onnen wir das Urbild einer solchen Menge aber schreiben als $$\op{can}^{-1}({\cal O}(U,\omega_U))=\bigcup_{W\co U\cap V,\; \bar{W}\subset V}{\cal O}_V(W,\omega_U|_W)$$ wo wir mit $\omega_U|_W$ das Bild von $\omega_U$ unter $${\op{H}}_{n} (M,M\backslash U)\ra {\op{H}}_{n} (M,M\backslash W)\sila{\op{H}}_{n} (V,V\backslash W)$$ meinen und mit ${\cal O}_V(\;,\;)$ die definitionsgem"a"sen Erzeuger der Topologie auf $\op{or}_V$ bezeichnen. "Ahnlich aber einfacher erkennt man, da"s unsere Injektion $\op{can}:\op{or}_{V} \ra \op{or}_{M}$ offen ist. Mithin tr"agt $\op{or}_{V}$ die von $\op{or}_{M}$ induzierte Topologie, und dann folgt ohne weitere Schwierigkeiten, da"s unser Diagramm kartesisch ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{OrDar} Die Teilmenge $\op{or}_{M}^{\times} \subset \op{or}_{M}$, die aus allen Erzeugern von ${\op{H}}_{n} (M,M\backslash x)$ f"ur die verschiedenen $x\in M$ besteht, ist eine zweibl"attrige "Uberlagerung von $M$. Wir nennen sie die {\bf Orientierungs"uberlagerung}.\index{Orientierungs"uberlagerung} Eine Orientierung von $M$ ist nichts anderes als ein Lift $M \ra \op{or}_{M}^{\times}$ der Identit"at auf $M$ alias ein stetiger Schnitt dieser "Uberlagerung. Insbesondere ist $M$ orientierbar genau dann, wenn $\op{or}_{M}^{\times} \ra M$ eine triviale "Uberlagerung ist. Damit erweist sich das Kriterium \ref{EOr} f"ur die Gleichheit von Orientierungen als eine Konsequenz aus Satz \eref{EL}{TF} "uber die Eindeutigkeit von Lifts. Ist $M$ zusammenh"angend und $x\in M$ fest gew"ahlt, so liefert diese "Uberlagerung eine Operation der Fundamentalgruppe $\pi_1(M,x)$ auf einer zweielementigen Menge alias einen Homomorphismus $\pi_1(M,x)\ra \{\pm 1\}$ und $M$ ist orientierbar genau dann, wenn diese \defind{Orientierungsdarstellung} konstant ist. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildOrP} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Anschauliche Darstellung der Erkenntnis, da"s die reell projektive Ebene nicht orientierbar ist. Die reell projektive Ebene ist hier aufgeschnitten dargestellt, die beiden Kanten m"ussen so wieder verklebt werden, da"s Pfeilspitze auf Pfeilspitze geht. \end{minipage} \end{figure} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s $\DP^2\DR$ nicht orientierbar ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $M$ eine Mannigfaltigkeit. Man zeige: Die faserweise Addi\-tion $\op{or}_{M} \times_{M} \op{or}_{M} \ra \op{or}_{M}$ sowie das faserweise Negative $\op{or}_{M} \ra \op{or}_{M}$ sind stetig, und der \defind{Nullschnitt} $M\ra \op{or}_{M}$ ist auch stetig. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine einfach wegzusammenh"angende Mannigfaltigkeit ist stets orientierbar. Allgemeiner ist jede Mannigfaltigkeit orientierbar, deren Fundamentalgruppe keinen Normalteiler vom Index Zwei besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jede $n$-Mannigfaltigkeit $M$ ist ihre Orientierungs"uberlagerung $\tilde M\pdef \op{or}^{\times}_M$ auch eine Mannigfaltigkeit. Weiter k"onnen wir auf der Orientierungs"uberlagerung eine Orientierung definieren, indem wir von der Projektion $\pi:\tilde M\sra M$ ausgehen und f"ur jedes $\tilde x\in \tilde M$ mit Bild $x\pdef \pi(\tilde x)$ den durch $\pi$ vermittelten Isomorphismus ${\op{H}}_n(\tilde M,\tilde M\backslash \tilde x) \sira {\op{H}}_n( M, M\backslash x)$ betrachten und jeweils das Urbild von $\tilde x$ unter diesem Isomorphismus auszeichnen. Wir nennen diese Orientierung die {\bf tautologische Orientierung}\index{Orientierung!tautologische} der Orientierungs"uberlagerung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Besitzt eine Mannigfaltigkeit eine "Uberdeckung durch zwei orientierbare offene Teilmengen mit zusammenh"angendem Schnitt, so ist sie auch selbst bereits orientierbar. \end{Ubung} \subsection{Hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten} \begin{Satz}[\textbf{Homologie von Mannigfaltigkeiten im Dimensionsgrad}] Gegeben eine kompakte zusammen\-h"ang\-en\-de orientierbare $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ ist\label{FZ} ihre $n$-te Homologiegruppe ${\op{H}}_{n}M$ frei vom Rang Eins und die offensichtliche Abbildung liefert f"ur alle $x\in M$ Isomorphismen $${\op{H}}_{n}M\sira {\op{H}}_{n}(M,M\backslash x)$$ \end{Satz} \begin{proof} Um beim Beweis dieses Satzes die n"otige Flexibilit"at zu haben, zeigen wir im folgenden gleich die allgemeinere Aussage \ref{HHM}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $(M,\omega)$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, so gibt es nach Satz \ref{FZ} genau ein Element $\omega_M\in {\op{H}}_{n}M$ mit $\omega_M\mapsto \omega_x\; \forall x\in M$.\label{FUZY} Dies Element $\omega_M$ hei"st der \defind{Fundamentalzykel} der kompakten orientierten Mannigfaltigkeit $M$ und wird notiert als $$[M]\pdef \omega_M$$ Manche Autoren nennen $[M]$ die \defind{Fundamentalklasse}, da es sich dabei genau genommen nicht um einen Zykel handelt, sondern vielmehr eine Klasse von Zykeln, eben eine Homologieklasse. Ich halte daf"ur, da"s die Bezeichnung als Fundamentalzykel so viel mehr geometrische Anschauung transportiert, da"s es lohnt, daf"ur diese kleine Inkonsistenz in der Terminologie auszuhalten. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFuZy} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Repr"asentant eines Fundamentalzykels der Kreislinie \end{minipage} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{orGA} die Orientierungsgarbe $\op{or}_M\ra M$ einer Mannigfaltigkeit $M$. Rein topologisch ist das nach \ref{AnLe} eine "Uberlagerung, aber zus"atzlich tr"agt jede Faser noch die Struktur einer abelschen Gruppe, die frei ist vom Rang Eins, und die faserweise Addition ebenso wie das faserweise Inverse induziere stetige Abbildungen $\op{or}_M\times_M\op{or}_M\ra\op{or}_M$ beziehungsweise $\op{or}_M\ra\op{or}_M$. In der feineren Sprache aus \eref{VkOO}{AAG} ist das ein \glqq abelsches Gruppenobjekt in der Kategorie der "Uberlagerungen von $M$\grqq. \end{Bemerkungl} \end{figure}\begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFuZyS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Repr"asentant eines Fundamentalzykels der Sph"are \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition}\label{SOG} Gegeben $M$ eine Mannigfaltigkeit und $A\subset M$ eine Teilmenge nennen wir einen Lift $A \ra \op{or}_M$ der Einbettung $A \hra M$ auch einen {\bf stetigen Schnitt "uber $A$ der\index{G@$\Gamma$ Schnitt!der Orientierungsgarbe} Orientierungsgarbe}.\index{Schnitt!der Orientierungsgarbe} Die Gruppe der stetigen Schnitte "uber $A$ notieren wir $$\Gamma (A; \op{or}_M) = \Gamma A$$ Der {\bf Tr"ager}\index{Tr"ager!von Schnitt!der Orientierungsgarbe} eines Schnitts $s \in \Gamma A$ ist die Menge $\op{supp} s \subset A$ aller derjenigen Punkte, an denen er von Null verschieden ist. Der Tr"ager eines stetigen Schnitts "uber $A$ ist stets abgeschlossen in $A$. Wir notieren die Untergruppe aller stetigen Schnitte mit kompaktem Tr"ager\index{G@$\Gamma_{~!}$ Schnitte mit kompaktem Tr"ager!der Orientierungsgarbe} $$\Gamma_{!} A\subset\Gamma A$$ Die Gruppe der nicht notwendig stetigen Schnitte $A\ra \op{or}_M$ notieren wir %$\Gamma_{\dagger}A$. $\Gamma'A$. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten}] Gegeben eine $n$-Man\-nig\-faltigkeit $M$ und eine abgeschlossene\label{HHM} Teilmenge $A \As M$ gilt f"ur $q > n$ stets ${\op{H}}_{q}(M,M\backslash A)=0$. F"ur $q=n$ dahingegen induziert die offensichtliche Abbildung $j=j_A: {\op{H}}_{n} (M,M\backslash A)\ra \Gamma'A$ einen Isomorphismus zwischen der $n$-ten Homologie von $M$ relativ zum Komplement von $A$ und der Gruppe der stetigen Schnitte mit kompaktem Tr"ager von $A$ in die Orientierungsgarbe, in Formeln einen Isomorphismus $$j : {\op{H}}_{n} (M,M\backslash A)\sira \Gamma_{!}A$$ \end{Satz} \begin{Beispiel} Unser Isomorphismus ${\op{H}}_1 (U) \sira \mathcal C_! (\mathbb C \backslash U, \mathbb Z)$ aus \ref{HoE} f"ur $U\co\DC$ liefert obigen Isomorphismus im Spezialfall $M=\DC$, wenn wir die Randabbildung der langen exakten Homologiesequenz ${\op{H}}_2(\DC,U)\sira {\op{H}}_1 (U)$ vorschalten und die Standardorientierung von $\DC$ w"ahlen und $A=\DC\backslash U$ setzen. \end{Beispiel} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHoMa} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration des Satzes "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten. In der gro"sen offenen Ellipse $M$ betrachten wir die schraffierte abgeschlossene Teilmenge $A\As M$. Der eingezeichnete $1$-Zykel entspricht der charakteristischen Funktion der von ihm umrundeten kompakten Komponente von $A$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungw} Allgemeinere Aussagen in dieser Richtung macht die \glqq starke Poincar\'e-Dualit"at\grqq\ \eref{SP}{TSS}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen zun"achst, da"s $j$ tats"achlich in $\Gamma_!A\subset\Gamma'A$ landet. Sei also $\eta\in {\op{H}}_{n} (M,M\backslash A)$ gegeben. Um zu zeigen, da"s $j(\eta)$ ein stetiger Schnitt der Orientierungsgarbe ist, m"ussen wir zeigen $j(\eta)^{-1}( {\cal O}(U,\omega))\co A$ f"ur alle $U\co M$ und $\omega \in {\op{H}}_{n} (M,M\backslash U)$ mit den $ {\cal O}(U,\omega) \pdef \{ \omega|_{x} \mid x \in U\}$ wie in der Definition der Topologie der Orientierungsgarbe in \ref{orGA}. Nach Einsetzen der Definitionen gilt es zu zeigen, da"s die Menge $$E\pdef \{x\in A\cap U\mid \omega \text{ und }\eta\text{ haben dasselbe Bild in } {\op{H}}_{n} (M,M\backslash x)\}$$ offen ist in $A$. Nehmen wir aber ein $x\in E$ und einen repr"asentierenden singul"aren Zykel $c\in {\op{S}}_nM$ von $\eta$ und eine offene Umgebung $W\co U$ von $x$ mit $\partial c\in {\op{S}}_{n-1}(M\backslash W)$, f"ur die gilt ${\op{H}}_{n} (M,M\backslash W)\sira {\op{H}}_{n} (M,M\backslash y)\;\forall y\in W$, so folgt $W\cap A\subset E$. Also haben wir $E\co A$ und $j(\eta)$ ist ein stetiger Schnitt der Orientierungsgarbe. Schlie"slich gibt es ein Kompaktum $K\subset M$ mit $c\in {\op{S}}_nK$ und dann verschwindet $j(\eta)$ au"serhalb von $K\cap A$. Folglich landet $j$ stets in $\Gamma_{!}A$. Jetzt machen wir uns an den Beweis der restlichen Aussagen. Um Schreibarbeit zu sparen setzen wir ${\op{H}}_{q}(\backslash A)\pdef {\op{H}}_{q}(M,M\backslash A) $ und bemerken zun"achst:\begin{Lemma} Sind $A_{1}, A_{2}$ abgeschlossen in $M$ und gilt der Satz f"ur $A_{1}, A_{2}$ und $A_{1}\cap A_{2}$, so gilt er auch f"ur $A_{1}\cup A_{2}$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit dem F"unferlemma aus dem kommutativen Diagramm %$$\begin{array}{cccccccc} %\scriptstyle{\ldots }&\scriptstyle{{\op{H}}_{n+1}(\backslash %A_{1}\cap A_{2})}&\scriptstyle{\ra %}&\scriptstyle{ {\op{H}}_{n}(\backslash A_{1}\cup A_{2}) }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ %{\op{H}}_{n}(\backslash A_{1})\oplus {\op{H}}_{n} (\backslash A_{2})}&\scriptstyle{ \ra %}&\scriptstyle{{\op{H}}_{n}(\backslash A_{1}\cap A_{2})}\\ % &\scriptstyle{ \downarrow \!\wr}&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow %}&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow \!\wr}&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ %\downarrow\!\wr}\\ %\scriptstyle{ \ldots }&\scriptstyle{ 0 }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ %\Gamma_{!}(A_{1}\cup A_{2}) }&\scriptstyle{ \ra % }&\scriptstyle{\Gamma_{!}A_{1} \oplus \Gamma_{!}A_{2} }&\scriptstyle{ %\rightarrow }&\scriptstyle{ % \Gamma_{!}(A_{1}\cap A_{2})} %\end{array}$$ $$\begin{array}{cccccccc} {0 }&{\ra }&{ {\op{H}}_{n}(\backslash A_{1}\cup A_{2}) }&{ \ra }&{ {\op{H}}_{n}(\backslash A_{1})\oplus {\op{H}}_{n} (\backslash A_{2})}&{ \ra }&{{\op{H}}_{n}(\backslash A_{1}\cap A_{2})}\\ &&{ \downarrow }&{ }&{ \downarrow \!\wr}&{ }&{ \downarrow\!\wr}\\ { 0 }&{ \ra }&{ \Gamma_{!}(A_{1}\cup A_{2}) }&{ \ra }&{\Gamma_{!}A_{1} \oplus \Gamma_{!}A_{2} }&{ \rightarrow }&{ \Gamma_{!}(A_{1}\cap A_{2})} \end{array}$$ mit exakten Zeilen, wo wir oben die relative Mayer-Vietoris-Sequenz \ref{RMVS} benutzt haben und am Anfang unsere Voraussetzung ${{\op{H}}_{n+1}(\backslash A_{1}\cap A_{2})}=0$. \end{proof} \noindent Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur allgemeinen Situation. \\[2mm] \noindent 1. Ist $M = \DR^{n}$ und $A \subset \DR^{n}$ ein kompakter Quader, dem wir auch Seiten der L"ange Null erlauben, so gilt der Satz ganz offensichtlich, da f"ur jeden Punkt $p \in A$ die Einbettung $\DR^{n} \backslash A \hookrightarrow \DR^{n} \backslash p$ eine Homotopie"aquivalenz ist. \\[2mm] \noindent 2. Ist $M =\DR^{n}$ und $A \subset \DR^{n}$ kompakt, so gilt der Satz. In der Tat, gegeben $z \in {\op{S}}_{q} \DR^{n}$ mit $\partial z \in {\op{S}}_{q-1} ( \DR^{n}\backslash A)$ finden wir $\epsilon >0$ und $E \subset \DR^{n}$ endlich mit $$A \subset B \pdef \bigcup_{v \in E} v + [-\epsilon,\epsilon]^{n}$$ und $\partial z \in {\op{S}}_{q-1} ( \DR^{n}\backslash B)$. Es folgt, da"s unser $[z] \in {\op{H}}_{q} ( \DR^{n}, \DR^{n}\backslash A)$ das Bild von $[z] \in {\op{H}}_{q} ( \DR^{n}, \DR^{n}\backslash B)$ ist. Nun gilt der Satz f"ur unsere \glqq W"urfelmenge\grqq\ $B$ nach Schritt 1 und dem Lemma. Das zeigt unsere Behauptung im Fall $q >n$. Im Fall $q=n$ zeigen wir zun"achst die Injektivit"at $j_{A}[z]=0\RA [z]=0$. Dazu w"ahlen wir unsere W"urfelmenge $B$ zus"atzlich so, da"s jeder W"urfel von $B$ die Menge $A$ trifft, etwa indem wir $E\subset A$ w"ahlen. Dann ist die Restriktion $\Gamma B \ra \Gamma A$ injektiv und aus $j_{A}[z]=0$ folgt $j_{B}[z]=0$ und damit $[z]=0$ sogar in ${\op{H}}_{q} ( \DR^{n}, \DR^{n}\backslash B)$. Das zeigt die Injektivit"at von $j_{A}$. Um die Surjektivit"at von $j_{A}$ zu zeigen, argumentieren wir "ahnlich: Jeder stetige Schnitt $s \in \Gamma A$ ist lokal konstant und gleichm"a"sig stetig, l"a"st sich also stetig auf eine geeignete kompakte W"urfelmenge $B$ ausdehnen und kommt damit sogar von einer Klasse aus ${\op{H}}_{n} ( \DR^{n}, \DR^{n}\backslash B)$ her. \\[2mm] \noindent 3. Ist $A$ kompakt und $M$ beliebig, so k"onnen wir $A$ schreiben als eine endliche Vereinigung von Kompakta, die jeweils ganz in einer Karte enthalten sind. Dann sind wir fertig mit Induktion nach Schritt 2 und dem Lemma und Ausschneidung. \\[2mm] \noindent 4. Sei nun $A$ abgeschlossen und $M$ lasse sich einbetten als offene Teilmenge mit kompaktem Abschlu"s in eine gr"o"sere $n$-Mannigfaltigkeit $X$, in Formeln $M \co X$ mit $\bar{M}$ kompakt. So bezeichnen wir den Rand von $M$ in $X$ mit $\partial M = \bar{M} \backslash M$, betrachten die lange exakte Sequenz des Tripels $$(X,X\backslash \partial M, X \backslash (\partial M \cup A))$$ und beachten, da"s $\partial M$ und $\partial M \cup A$ kompakt sind. Mit dem bereits Bewiesenen folgt f"ur $q >n$ schon $0 = {\op{H}}_{q} (X\backslash \partial M, X \backslash (\partial M \cup A))$ und durch Ausschneiden von $X \backslash \bar{M}$ auch $0= {\op{H}}_{q} (M, M\backslash A)$. Im Fall $q = n$ erhalten wir mit derselben Ausschneidung ein kommutatives Diagramm % $$\begin{array}{ccccccc} % \scriptstyle{0 }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{{\op{H}}_{n} (M,M\backslash A) % }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{{\op{H}}_{n} (X, X\backslash (\partial M \cup A)) % }&\scriptstyle{ % \ra }&\scriptstyle{ {\op{H}}_{n}(X,X\backslash \partial M)}\\ % & & \scriptstyle{\downarrow }&\scriptstyle{ }& % \scriptstyle{\downarrow\!\wr % }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow\! \wr }\\ % \scriptstyle{0 }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ \Gamma_{!}A }&\scriptstyle{ % \ra }&\scriptstyle{ \Gamma_{!} (\partial M \cup A)}&\scriptstyle{ \ra % }&\scriptstyle{\Gamma_{!} (\partial M)} % \end{array}$$ $$\begin{array}{ccccc} {{\op{H}}_{n} (M,M\backslash A) }&{ \hra }&{{\op{H}}_{n} (X, X\backslash (\partial M \cup A)) }&{ \ra }&{ {\op{H}}_{n}(X,X\backslash \partial M)}\\ {\downarrow }&{ }& {\downarrow\!\wr }&{ }&{ \downarrow\! \wr }\\ { \Gamma_{!}A }&{ \hra }&{ \Gamma_{!} (\partial M \cup A)}&{ \ra }&{\Gamma_{!} (\partial M)} \end{array}$$ mit exakten Zeilen, wo die zweite horizontale Abbildung der unteren Zeile einen Schnitt mit kompaktem Tr"ager fortsetzt durch Null. Die Behauptung folgt mit dem F"unferlemma. \\[2mm] \noindent 5. Der allgemeine Fall. Sei zun"achst $q > n$ und $z \in {\op{S}}_{q}M$ ein Repr"asentant von $\omega \in {\op{H}}_{q} (M,M\backslash A)$. So finden wir $U \co M$ mit $z \in {\op{S}}_{q} U$ und $\bar{U}$ kompakt. Nach dem vorhergehenden Punkt verschwindet die Klasse von $z$ schon in ${\op{H}}_{q} (U,U\backslash A)$, also erst recht in ${\op{H}}_{q}(M,M\backslash A)$ und es folgt ${\op{H}}_{q} (M,M\backslash A) =0$ f"ur $q > n$. Im Fall $q =n$ beachten wir f"ur $U\co M$ das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_{n} (U, U\backslash A) & \ra & {\op{H}}_{n} (M,M\backslash A)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \Gamma_{!} (A \cap U) & \ra & \Gamma_{!} A \end{array}$$ wo die untere Horizontale ausdehnt durch Null. Ist $\bar{U}$ kompakt, so ist die linke Vertikale ein Isomorphismus nach dem vorigen Schritt. Aber jedes $\omega \in {\op{H}}_{n} (M,M\backslash A)$ wird repr"asentiert von einem $z \in {\op{S}}_{n} M$, wir finden dann $U\co M$ mit $\bar{U}$ kompakt und $z \in {\op{S}}_{n} U$ und so kommt $\omega$ schon her von einem $\left[ z \right] \in {\op{H}}_{n} (U,U\backslash A)$. Das zeigt die Injektivit"at von $j_{A}$. Die Surjektivit"at zeigen wir "ahnlich: F"ur jedes $s \in \Gamma_{!} A$ gibt es $U\co M$ mit $\bar{U}$ kompakt und $s \in \Gamma_{!} (A \cap U)$ und dann kommt $s$ sogar schon her von ${\op{H}}_{n} (U,U\backslash A)$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{HMN}%\label{OM} Ist $M$ eine zusammenh"angende aber nicht kompakte oder nicht orientierbare $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit, so gilt ${\op{H}}_{n} M=0$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir erhalten einen Hom"oomorphismus $M\sqcup(\DN_{\geq 1}\times \op{or}^\times_M)\sira\op{or}_M$ durch die Vorschrift, die auf $M$ der Nullschnitt der Orientierungsgarbe ist und sonst die Multiplikation mit der entsprechenden nat"urlichen Zahl in jeder Faser. Ist also $M$ zusammenh"angend und hat $\op{or}_M\ra M$ einen von Null verschiedenen stetigen Schnitt, so hat der bereits ganz $M$ als Tr"ager und es gibt auch einen stetigen Schnitt von $\op{or}_M^\times$ alias eine Orientierung. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Alexander-Dualit"at in einem Spezialfall}] Ist $A \As \DR^{n}$ abgeschlossen mit endlich vielen kompakten und beliebig vielen sonstigen Zusammenhangskomponenten, so gilt f"ur die Zahl $k$ der kompakten Zusammenhangskomponenten\label{Adu} $$\tilde{{\op{H}}}_{n-1} (\DR^{n} \backslash A) \cong \Bbb{Z}^{k}$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Die Aussage des Korollars ist ein Spezialfall der sogenannten \glqq Alex\-an\-der-Dualit"at\grqq\ \eref{ADu}{TG}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir haben ${\op{H}}_{n}(\DR^{n}, \DR^{n} \backslash A) \sira \tilde{{\op{H}}}_{n-1} (\DR^{n} \backslash A)$ nach der langen exakten Homologiesequenz und der linke Raum ist isomorph zu $\Gamma_{!} A \cong \Bbb{Z}^{k}$ nach unserem Satz \ref{HHM}. Man verwende hierbei, da"s der Abschlu"s von $A$ in der Einpunktkompaktifizierung $S^n$ von $\DR^n$ nur endlich viele Zusammenhangskomponenten hat, so da"s insbesondere alle kompakten Zusammenhangskomponenten offen sind in $A$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Umlaufzahl als Spezialfall der Alexanderdualit"at}] Sind wir im Spezialfall $M=\DC$ und benutzen die durch $(1,{\op{i}})$ gegebene Orientierung von $\DC$, um\label{Aduu} %\label{Adu} $\Gamma_{!}A$ zu identifizieren mit stetigen Abbildungen $A\ra\DZ$ mit kompaktem Tr"ager, so ordnet unser Isomorphismus \begin{displaymath} {\op{H}}_1 (\Bbb{C} \backslash A ; \Bbb{Z} ) \sira \Gamma_{!}A \end{displaymath} der Klasse $[\gamma]$ eines Zykels $\gamma$ diejenige Funktion $A \ra \Bbb{Z}$ zu, deren Wert an einer Stelle $z \in A$ die Umlaufzahl im Sinne von \ref{ULZZ} des Zykels $\gamma$ um den Punkt $z$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte von deformierten offenen Kreisscheiben}] Gegeben zwei offene Teilmengen $U,V\co \DC$ mit ${\op{H}}^1(U)={\op{H}}^1(V)=0$ zeigt die Mayer-Vietoris-Sequenz \ref{MVS} zusammen mit dem Verschwinden von ${\op{H}}^2(U\cup V)$ aus dem Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten das Verschwinden ${\op{H}}^1(U\cap V)=0$. Jede Zusammenhangskomponente von $U\cap V$ ist also hom"oomorph zu einer offenen Kreisscheibe nach \ref{HtOf}. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{AbGG} Sei $f: M \ra N$ eine stetige Abbildung von kompakten orientierten zusammenh"angenden $n$-Mannigfaltigkeiten. Der {\bf Abbildungsgrad}\index{Abbildungsgrad!allgemein} $\op{grad} f$ {\bf von} $f$ ist die ganze Zahl, die angibt, auf welches Vielfache des Fundamentalzykels von $N$ der Fundamentalzykel von $M$ abgebildet wird, in Formeln $$f_{\ast} [M] = (\op{grad} f) [N]$$ \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAbG} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine Abbildung einer Kreislinie auf sich selbst vom Abbildungsgrad Zwei. Die Orientierungen sind durch Pfeilspitzen angedeutet. An den Punkten des Urbilds zweier Punkte sind auch die lokalen Abbildungsgrade eingetragen, unter Verwendung der Abk"urzungen $\pm$ f"ur $\pm 1$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nichtsurjektionen haben Abbildungsgrad Null}] Insbesondere ist eine Abbildung von zusammenh"angenden orientierten kompakten Mannigfaltigkeiten derselben Dimension mit von Null verschiedenem Abbildungsgrad stets surjektiv, da f"ur jeden Punkt $x\in N$ die Mannigfaltigkeit $N\backslash x$ keine kompakte Zusammenhangskomponente hat und da nach \ref{HMN} folglich gilt ${\op{H}}_n (N\backslash x) =0 \; \forall x \in N$. Jede Abbildung, deren Bild einen Punkt $x$ nicht enth"alt, faktorisiert jedoch als $M\ra (N\backslash x)\hra N$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Homotope Abbildungen von zusammenh"angenden orientierten kompakten Mannigfaltigkeiten derselben Dimension haben nach \ref{HIv} denselben Abbildungsgrad. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $f: M \ra N$ eine stetige Abbildung von orientierten $n$-Mannigfal\-tig\-keiten $(M,\omega)$ und $(N,\eta)$. Ist $q \in M$ ein isolierter Punkt der Faser "uber $f (q)$, gibt es in anderen Worten eine offene Umgebung $U \co M$ von $q$ mit $U\cap f^{-1}(f(q))=\{q\}$, so erkl"aren wir den\label{lABG} {\bf lokalen Abbildungsgrad von $f$ bei $q$ }\index{Abbildungsgrad!lokaler} als die ganze Zahl $\op{grad}_{q} f \in \Bbb{Z}$, die gegeben wird durch die Gleichung $$f_{\ast} \omega_{q} = (\op{grad}_{q}f) \eta_{f(q)}$$ f"ur $f_{\ast}: {\op{H}}_{n} (U,U\backslash q)\ra {\op{H}}_{n} (N,N\backslash f(q))$ die auf der Homologie induzierte Abbildung und $ \omega_q$ beziehungsweise $ \eta_{f(q)}$ die entsprechenden lokalen Orientierungen. Diese Abbildung h"angt offensichtlich nicht von der Wahl von $U$ ab. \end{Definition} \begin{Beispiel} In "Ubung \ref{BLG} haben Sie gezeigt, da"s der lokale Grad im Fall eines lokalen Diffeomorphismus zwischen offenen Teilmengen des $\DR^n$ gerade das Vorzeichen der Funktionaldeterminante ist. In "Ubung \ref{lAPP} werden Sie unter anderem zeigen, da"s der lokale Abbildungsgrad am Ursprung der Potenzabbildung $\DC\ra\DC$, $z\mapsto z^n$ genau $n$ ist. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Abbildungsgrad als Summe lokaler Abbildungsgrade}] Gegeben eine stetige Abbildung von kompakten\label{ABGrn} %\label{ABGr} orientierten zusammenh"angenden $n$-Man\-nig\-faltig\-kei\-ten $f: M \ra N$ und ein Punkt $p \in N$ mit endlichem Urbild ist der Abbildungsgrad von $f$ die Summe der lokalen Abbildungsgrade bei den Urbildern unseres Punktes, in Formeln $$\op{grad}f = \sum_{q \in f^{-1}(p)} \op{grad}_{q} f$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir nummerieren die Punkte aus der Faser "uber $p$ als $q_{1}, \ldots, q_{r}$ und w"ahlen f"ur sie paarweise disjunkte offene Umgebungen $U_{1}, \ldots , U_{r}$. Dann betrachten wir f"ur jedes $j$ das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} {\op{H}}_n M & \sira & {\op{H}}_n (M,M\backslash q_j)& \sila& {\op{H}}_{n} (U_j, U_j \backslash q_{j})\\ \| & &\uparrow & &\uparrow \\ {\op{H}}_n M & \ra & {\op{H}}_n (M,M\backslash \{q_1,\ldots,q_r\})& \sila& \bigoplus_{i} {\op{H}}_{n} (U_i, U_i \backslash q_{i})\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{H}}_n N & \sira & {\op{H}}_n (N,N\backslash p) & = &{\op{H}}_n (N,N\backslash p) \end{array}$$ Hier meint der letzte Isomorphismus der mittleren Horizontalen Ausschneidung gefolgt von der relativen Version der Zerlegung der Homologie \ref{ZHHb} Wir erinnern die Vertr"aglichkeit der relativen Homologie mit Koprodukten \ref{ZHHb}, die Zeilenmatrix $({\op{H}}_{n}\op{in}_i)_i$ liefert also einen Isomorphismus $$\textstyle \bigoplus_i {\op{H}}_{n}(U_i, U_i \backslash p_i)\sira {\op{H}}_{n}(\bigcup_iU_i, \bigcup_iU_i\backslash p_i)$$ f"ur die als Spalte verstandenen Eintr"age der direkten Summe. Gehen wir von der Mitte der linken Vertikalen direkt nach unten, so wird der Fundamentalzykel $[M]$ abgebildet auf $(\op{grad}f)[N]$. Gehen wir dahingegen in der mittleren Horizontale nach rechts, so erhalten wir das Tupel der $ \omega_M|_{q_i}$, wie die obere H"alfte des Diagramms zeigt, und gehen wir dann nach unten, so erhalten wir die Summe der lokalen Abbildungsgrade multipliziert mit $\eta_N|_p$. Gehen wir wieder nach links, so folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPoiD} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Schnittpaarung im Torus $M$ mit der durch den kleinen Kreispfeil angedeuteten Orientierung. Wir schneiden zwei orientierte Untermannigfaltigkeiten $X$ und $Y$, dargestellt als bepfeilte Kurven. Die Schnittpunkte sind zweimal mit $+1$ und einmal mit $-1$ zu gewichten, die gesamte Schnittzahl ist $\omega_X\odot\omega_Y=1$. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Schnittpaarung und Poincar\'e-Dualit"at}] Ich kann nun einige Aussagen zumindest formulieren, deren Beweise uns noch lange besch"aftigen werden.\label{SPoD} Gegeben eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltig\-keit $M$ werden wir in \ref{KSP} f"ur alle $q$ mit $0 \leq q \leq n$ eine bilineare Abbildung konstruieren, die sogenannte \glqq Schnittpaarung\grqq\index{)8a@$\odot$ Schnittpaarung} \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathrm H_q M \times \mathrm H_{n-q} M & \rightarrow &\mathbb Z\\ (\zeta\;,\; \xi) \;\;\;& \mapsto & \zeta \odot \xi \end{array} \end{displaymath} Sie ordnet je zwei Homologieklassen komplement"aren Grades ihre {\bf Schnittzahl}\index{Schnittzahl} zu und hat eine anschauliche Bedeutung, zu deren genauer Formulierung ich etwas ausholen mu"s. Gegeben eine orientierte abgeschlossene $q$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $X\As M$, also eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der Spurtopologie zu einer $q$-dimensionalen Mannigfaltigkeit wird und die zus"atzlich mit einer Orientierung versehen ist, erhalten wir ja einen Fundamentalzykel $[X] \in \mathrm H_qX$. Dessen Bild in der Homologie von $M$ notieren wir kurzerhand $[X] \in \mathrm H_q M$. Seien nun $X \As M$ und $Y \As M$ abgeschlossene orientierte Untermannigfaltigkeiten komplement"arer Dimensionen $q$ und $n-q$. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s es um jeden Schnittpunkt $s \in X \cap Y$ eine offene Umgebung $U \co M$ und einen Hom"oomorphismus $U \sira \mathbb R^n$ gibt, unter dem die von $M$ auf $U$ induzierte Orientierung der Standardorientierung des $\DR^n$ entspricht und die Hom"oomorphismen $X \cap U \sira \mathbb R^q \times 0$ sowie $Y \cap U \sira 0\times \mathbb R^{n-q}$ induziert. Erkl"aren wir schlie"slich Vorzeichen $\epsilon (s), \eta (s)$ dadurch, da"s sie angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die vorgegebenen Orientierungen auf $X$ und $ Y$ mit den Standardorientierungen auf $\mathbb R^q$ und $ \mathbb R^{n-q}$ identifizieren oder nicht, so gilt f"ur die Schnittzahl der zu $X$ und $Y$ geh"origen Fundamentalzykel die Identit"at \begin{equation*} [X] \odot [Y] = \sum_{s \in X \cap Y} \epsilon (s) \eta (s) \end{equation*} Wir erkl"aren in \ref{KSP}, wie man die Schnittpaarung aus dem \glqq cup-Produkt der Kohomologie\grqq\ zusammen mit dem \glqq Isomorphismus der Poincar\'e-Dualit"at\grqq\ erhalten kann. Wir zeigen aber erst in \eref{SchnPaa}{TSF}, da"s die auf diesem Wege konstruierte bilineare Abbildung wirklich die hier f"ur unsere Schnittpaarung behauptete anschauliche Eigenschaft hat. Zus"atzlich werden wir zeigen, da"s unsere Schnittpaarung, wenn alle $\mathrm H_q M$ freie abelsche Gruppen sind, Isomorphismen $$\mathrm H_q M \sira\op{Hom}( \mathrm H_{n-q} M,\DZ)$$ induziert, und da"s ihr Analogon f"ur \glqq Koeffizienten in einem K"orper\grqq\ stets nichtausgeartete Paarungen liefert. Diese Aussagen und Verschiedene ihrer Varianten sind bekannt als \glqq Poincar\'e-Dualit"at\grqq. Im n"achsten Abschnitt beginnen wir unsere Arbeit an diesem Themenkomplex mit der Diskussion von \glqq Homologie mit Koeffizienten\grqq. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Fundamentalzykel in der simplizialen Homologie}] Ist eine kompakte orientierbare $n$ Manningfaltigkeit $M$ mit einer Triangulierung $M \cong \Delta (\cal{K})$ versehen, so k"onnen wir jedem $n$-Simplex dieser Triangulierung ein Vorzeichen und eine Anordnung derart zuordnen, da"s die Summe der entsprechenden mit Vorzeichen versehenen simplizialsingul"aren $n$-Simplizes ein Zykel ist. Ist $M$ auch noch zusammenh"angend, so gibt es genau zwei derartige Zykel, und ihre Homologieklassen sind genau die beiden Erzeuger von ${\op{H}}_nM$, also die beiden Fundamentalzykel zu den beiden m"oglichen Orientierungen. Hinweis: Man gehe von \ref{FZ} aus. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{lAPP} Man bestimme die lokalen Abbildungsgrade der nichtkonstanten Polynomfunktionen $P : \Bbb{C} \ra \Bbb{C}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{R"uckzug von Orientierungen}] Ist $f:M\ra N$ eine \'etale Abbildung von $n$-Mannigfaltigkeiten und $x\in M$ ein Punkt, so gibt es genau einen Isomorphismus ${\op{H}}_n(M,M\backslash x)\sira {\op{H}}_n(N,N\backslash f(x))$, \label{ECar} der f"ur alle Umgebungen $U$ von $x$, die hom"oomorph auf ihr Bild abgebildet werden, vertr"aglich ist mit den von $f$ induzierten Isomorphismen ${\op{H}}_n(U,U\backslash x)\sira {\op{H}}_n(f(U),f(U)\backslash f(x))$. Wir erhalten so ein kartesisches Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{or}_{M} & \ra &\op{or}_{N}\\ \downarrow & &\downarrow \\ M &\ra &N \end{array}$$ Insbesondere l"a"st sich jede Orientierung von $N$ \glqq zur"uckziehen\grqq\ zu einer Orientierung von $M$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Orientierungsgarbe auf Quotient nach freier Operation}] Jede Operation einer Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit induziert eine Operation auf der Orientierungsgarbe, die vertr"aglich ist mit der faserweisen Addition. Operiert eine Gruppe $D$ topologisch frei auf einer Mannigfaltigkeit $M$, so ist auch $M/D$ eine Mannigfaltigkeit und die obere Horizontale aus \ref{ECar} induziert einen Hom"oomorphismus $$(\op{or}_{M})/D\sira \op{or}_{(M/D)}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Orientierbarkeit reell projektiver R"aume}] Die Kugelschalen $S^r$ sind orientierbar f"ur alle $r\geq 0$. F"ur $r\geq 1$ sind sie auch zusammenh"angend und die Antipodenabbildung $S^r\sira S^r$ bildet einen Fundamentalzykel ab auf sich selber f"ur $r$ ungerade und auf sein Negatives f"ur $r$ gerade. Der reell projektive Raum $\DP^r\DR$ ist orientierbar f"ur $r=0$ und $r\geq 1$ ungerade, jedoch nicht f"ur $r\geq 1$ gerade. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Fixpunkte von Selbstabbildungen von Sph"aren}] Eine stetige Selbstabbildung einer Sph"are $S^n$ mit von $-(-1)^n$ verschiedenem Abbildungsgrad hat stets einen Fixpunkt. Hinweis: Lefschetz'scher Fixpunktsatz \ref{LeFi}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine nichtkompakte zusammenh"angende Einsmannigfaltigkeit besteht das Komplement jedes Punktes aus zwei Zusammenhangskomponenten.\label{KPEM} Hinweis: Die Schwierigkeit liegt im nicht abz"ahlbar basierten Fall beziehungsweise darin, die Klassifikation im abz"ahlbar basierten Fall zu vermeiden, in dem nach dieser Klassifikation die reelle Zahlengerade das einzige Beispiel ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Einbettung kompakter $n$-Mannigfaltigkeiten in den $\DR^n$}] Eine nichtleere kompakte orientierbare $n$-Mannigfaltigkeit kann nicht in den $\DR^n$ eingebettet werden. Hinweis: Man schalte eine Einbettung $\DR^n\hra S^n$ nach und bemerke, da"s der Abbildungsgrad der Komposition Null sein mu"s. Dasselbe Argument funktioniert f"ur nichtorientierbare Mannigfaltigkeiten, wenn wir Homologie mit Koeffizienten in $\DZ/2\DZ$ betrachten, wie wir sie gleich kennenlernen werden. \end{Ubung} \subsection{Endlichkeitsaussagen f"ur Mannigfaltigkeiten*} \begin{Bemerkungl} Nicht alle kompakten Mannigfaltigkeiten sind triangulierbar alias ho\-m"oo\-morph zur Realisierung eines endlichen Simplizialkomplexes. Im folgenden zeigen wir, da"s ihre Homologiegruppen dennoch stets endlich erzeugt sind. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Wilder}\index{Wilder, Satz von}] Alle Homologiegruppen kompakter Mannigfaltigkeiten sind endlich erzeugt.\label{Wilder} Ist allgemeiner $M$ eine Mannigfaltigkeit und $K \subset M$ eine kompakte Teilmenge, so ist das Bild von ${\op{H}}_{q}K \ra {\op{H}}_{q}M$ endlich erzeugt f"ur alle $q \in \Bbb{Z}$. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Per Induktion "uber $q$ mithilfe des anschlie"senden Lemmas. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{KoWi} Der Satz gilt mit demselben Beweis auch f"ur Mannigfaltigkeiten mit Rand oder mit Ecken, ja mit \ref{EEHHb} f"ur beliebige Hausdorffr"aume, in denen jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge der Realisierung eines lokal endlichen Simplizialkomplexes. Nach \cite{HiPo} gilt er damit insbesondere f"ur separierte komplexe Variet"aten. Weiter gilt er mit demselben Beweis auch f"ur Homologie mit Koeffizienten in einem beliebigen noetherschen Ring. Eine Variante dieses Resultats f"ur relative Homologie wird in \ref{WilderV} gezeigt werden. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} Seien $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $q\geq 0$ eine nat"urliche Zahl. Wir nehmen an, da"s gilt: \begin{enumerate} \item F"ur jedes Paar $M \subset W$ von Teilmengen von $X$ mit $M$ kompakt und $W$ offen in $X$ ist das Bild von ${\op{H}}_{q-1}M \ra {\op{H}}_{q-1} W$ endlich erzeugt; \item Jeder Punkt $x \in X$ besitzt eine Umgebung mit endlich erzeugter $q$-ter Homologie. \end{enumerate} So ist $\op{im} ({\op{H}}_{q}K \ra {\op{H}}_{q}X)$ endlich erzeugt f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten in der Potenzmenge von $X$ die Teilmenge $$ \cal{E}=\cal{E}_q\pdef\left\{ K \subset X \left| \begin{array}{l} \text{ $K$ ist kompakt und besitzt eine offene}\\ \text{ Umgebung $U \co X$ derart, da"s das Bild}\\ \text{ von ${\op{H}}_{q}U \ra {\op{H}}_{q} X$ endlich erzeugt ist.} \end{array} \right\}\right. $$ Nach unseren Annahmen besitzt jeder Punkt von $X$ eine Umgebung aus $ \cal{E}$. Aus $ K \in \cal{E}$ und $L \As K$ folgt ohne Schwierigkeiten $L \in \cal{E}$. K"onnen wir zeigen, da"s mit zwei Kompakta $L$ und $K$ stets auch ihre Vereinigung zu $\cal{E}$ geh"ort, so geh"ort offensichtlich jede kompakte Teilmenge von $X$ zu $\cal{E}$ und wir sind fertig. Seien also $K, L \in \cal{E}$ und $U, V \co X$ offen mit $K\subset U$ und $L\subset V$ und $\op{im} ({\op{H}}_{q}U {\ra} {\op{H}}_{q}X)$ und $\op{im} ({\op{H}}_{q}V {\ra} {\op{H}}_{q}X)$ endlich erzeugt. Da $X$ nach Voraussetzung lokal kompakt ist, finden wir etwa nach \eref{ofuk}{AN3} auch $U_{1}\co U$, $V_{1}\co V$ mit $K \subset U_{1} \subset \bar{U}_{1} \subset U$ und $L \subset V_{1} \subset \bar{V}_{1}\subset V$ und $\bar{U}_{1}, \bar{V}_{1}$ kompakt. Dann betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} & & {\op{H}}_{q}(U_{1}\cup V_{1}) & \ra & {\op{H}}_{q-1}(U_{1}\cap V_{1})\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ {\op{H}}_{q}U \oplus {\op{H}}_{q} V &\ra & {\op{H}}_{q}(U\cup V) & \ra & {\op{H}}_{q-1} (U\cap V)\\ \downarrow & & \downarrow & &\\ {\op{H}}_{q}X \oplus {\op{H}}_{q}X &\ra & {\op{H}}_{q}X & & \end{array}$$ Das Bild der linken Vertikale ist endlich erzeugt nach Wahl von $U$ und $V$. Das Bild der rechten Vertikalen ist endlich erzeugt nach unserer ersten Annahme, angewandt auf $M=\bar{U}_{1}\cap \bar{V}_{1}$ und $W=U \cap V$. Die mittlere Horizontale ist exakt als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz. Dann mu"s aber nach dem anschlie"senden Lemma \ref{GEZZ} auch das Bild der Komposition in der mittleren Vertikalen endlich erzeugt sein und es folgt $L \cup K \in \cal{E}$. \end{proof} \begin{Lemma} Sei gegeben ein kommutatives Diagramm von abelschen Gruppen der Gestalt \label{GEZZ} $$\begin{array}{ccccc} & & A & \ra & B\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ C &\ra & D & \ra & E\\ \downarrow & & \downarrow & &\\ F&\ra & G& & \end{array}$$ Ist das Bild der beiden "au"seren Vertikalen $CF$ und $BE$ endlich erzeugt und ist die mittlere Horizontale exakt bei $D$, so ist auch das Bild der Komposition $AG$ in der mittleren Vertikalen endlich erzeugt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Unter $D\ra E$ geht $\op{im}(AD)$ nach $\op{im}(BE)$. Wir finden also endlich viele $d_1,\ldots, d_s\in \op{im}(AD)$ derart, da"s sich jedes Element aus $\op{im}(A D)$ schreiben l"a"st als $c+r_1d_1+\ldots+r_sd_s$ mit $r_i\in\DZ$ und $c\in \op{im}(C D)$. Der Rest des Arguments bleibe dem Leser "uberlassen. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTS" %%% End: