\section{Singul\"are Homologie} \subsection{Simpliziale Homologie}\label{SHo} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring. F"ur jede Menge $\Lambda$ betrachten wir den $R$-Modul $R \Lambda$ aller Abbildungen $f:\Lambda\ra R,$ die nur auf endlich vielen Elementen von $\Lambda$ Werte ungleich Null annehmen. $R \Lambda$ ist in kategorientheoretischer Sprache der freie $R$-Modul "uber $\Lambda$ aus \ref{FrO}. Die Elemente von $R \Lambda$ fassen wir auf als (endliche) formale Linearkombinationen von Elementen von $\Lambda$ und schreiben sie $f=\sum a_\lambda \lambda$ mit $a_\lambda=f(\lambda)\in R$ und $\lambda \in \Lambda.$ Wir haben eine offensichtliche Abbildung $\Lambda\ra R \Lambda,$ und jede Abbildung $ \varphi: \Lambda\ra M$ von der Menge $\Lambda$ in einen $R$-Modul $M$ l"a"st sich auf genau eine Weise zu einem Gruppenhomomorphismus $\tilde{\varphi}:$ $R \Lambda\ra M$ ausdehnen, den wir die \defind{lineare Fortsetzung} von $\varphi$ nennen. \end{Definition} \begin{Definition} Sei ${\cal K} = (E,{\cal K})$ ein Simplizialkomplex im Sinne von \ref{SK}. Wir betrachten f"ur $q \geq 0$ den freien $R$-Modul $R {\cal K}_{q}$ "uber der Menge der $q$-Simplizes von ${\cal K}.$ W"ahlen wir eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von ${\cal K},$ so k"onnen wir f"ur $q \geq 1$ Homomorphismen $$\partial=\partial_{\leq} : R {\cal K}_{q} \ra R {\cal K}_{q-1}$$ erkl"aren als die linearen Fortsetzungen der Abbildungen ${\cal K}_{q} \ra R {\cal K}_{q-1},$ die auf einem $q$-Simplex gegeben werden, indem wir seine Ecken der Gr"o"se nach durchnummerieren als $e_{0} < e_{1} < \ldots < e_{q}$ und dann setzen $$\{e_{0}, \ldots, e_{q}\} \mapsto \sum_{0\leq i \leq q} (-1)^{i} \{e_{0}, \ldots , \hat{e}_{i}, \ldots, e_{q}\}$$ Wie "ublich bedeutet hier die \glqq Tarnkappe\grqq\ "uber ${e}_{i},$ da"s diese Ecke aus dem Simplex wegzulassen ist. Die Homomorphismen $\partial$ hei"sen die \defind{Rand\-ope\-ra\-to\-ren}. Wir erhalten damit f"ur jede Anordnung $\leq$ der Menge $E$ der Ecken eine Sequenz von $R$-Moduln $$\ldots \overset{\partial}{\rightarrow}R {\cal K}_{2} \overset{\partial}{\rightarrow} R {\cal K}_{1} \overset{\partial}{\rightarrow} R {\cal K}_{0} $$ und man pr"uft leicht $\partial \circ \partial =0$ an jeder Stelle. Um zu zeigen, da"s unsere Sequenz von der gew"ahlten Anordnung von $E$ \glqq im wesentlichen\grqq\ gar nicht abh"angt, bilden wir die Menge $$\tilde{{\cal K}}_{q} =\{\sigma:\{0,\ldots , q\} \hookrightarrow E\mid \{\sigma (0), \ldots, \sigma (q)\} \in {\cal K}_{q}\}$$ aller \glqq $q$-Simplizes mit Anordnung\grqq\ und den Quotienten $$S_{q} {\cal K} =S_{q} ({\cal K};R) = R \tilde{{\cal K}}_{q}/ \langle\sigma \circ \pi - (\op{sgn}\pi)\sigma \mid \sigma \in \tilde{{\cal K}}_{q}, \pi \in \cal{S}_{q+1}\rangle_R$$ in dem zwei $q$-Simplizes mit Anordnung, die sich nur in ihrer Anordnung und da um eine Permutation $\pi$ unterscheiden, bis auf das Vorzeichen dieser Permutation miteinander identifiziert werden. Diesen Quotienten $S_{q} {\cal K}$ nennen wir die \defind{Gruppe der simplizialen $q$-Ketten} {\bf von ${\cal K}$ mit Koeffizienten in $R.$} Dieselbe Formel wie eben induziert auch Randoperatoren $\tilde{{\cal K}}_{q}\ra\tilde{{\cal K}}_{q-1}$ und man pr"uft, da"s diese Randoperatoren Gruppenhomomorphismen $\partial = \partial_q: S_{q} {\cal K} \ra S_{q-1} {\cal K}$ induzieren. Auf diese Weise erhalten wir eine Sequenz von abelschen Gruppen $$\ldots \overset{\partial}{\rightarrow}S_2{\cal K} \overset{\partial}{\rightarrow} S_1{\cal K} \overset{\partial}{\rightarrow} S_0{\cal K}, $$ den {\bf Komplex der simplizialen Ketten}, die kanonisch isomorph ist zur zuvor konstruierten Sequenz und die nicht mehr von der Wahl einer Anordnung auf den Ecken unseres Simplizialkomplexes abh"angt. Um mit Beschr"ankungen der Indizes keinen "Arger zu kriegen, setzen wir unsere Sequenz ins Negative fort durch Null und vereinbaren also $S_{q}{\cal K} =0$ f"ur $q<0.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Anschaulich mag man sich eine $0$-Kette vorstellen als eine endliche formale Linearkombination von Ecken mit Koeffizienten aus $R$; eine $1$-Kette als eine endliche formale Linearkombination von orientierten Kanten, wobei eine Kante mit umgekehrter Orientierung als das Negative der urspr"unglichen Kante aufzufassen ist; den Rand einer orientierten Kante als Anfangspunkt minus Endpunkt; eine $2$-Kette als eine endliche formale Linearkombination von orientierten Dreiecksfl"achen, wobei eine Fl"ache mit umgekehrter Orientierung als das Negative der urspr"unglichen Fl"ache aufzufassen ist; und den Rand einer orientierten Fl"ache als die Summe ihrer drei Kanten versehen mit der Orientierung, f"ur die sie einen Rundweg um die Fl"ache in einer durch die Oientierung der Fl"ache gegebenen Laufrichtung bilden. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Jeder Simplizialkomplex hat genau einen $(-1)$-Simplex, n"amlich die leere Menge, und es mag nat"urlich erscheinen, als $S_{-1}{\cal K}\cong R$ den freien $R$-Modul "uber der Menge der $(-1)$-Simplizes zu nehmen. Diese Variante unserer bisherigen Definitionen werden wir sp"ater noch ausf"uhrlich diskutieren, sie f"uhrt zur sogenannten \glqq reduzierten Homologie\grqq. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei ${\cal K}$ ein Simplizialkomplex. Wir definieren \begin{description} \item[$Z_q{\cal K}$]$=\ker \partial_{q}\;\;\;$ die Gruppe der \defind{simplizialen $q$-Zykel}; \item[$B_q{\cal K}$]$=\op{im} \partial_{q+1}$ die Gruppe der \defind{simplizialen $q$-R"ander} (engl. boundaries); \vspace{2mm} \item[$H_q{\cal K}$]$= Z_{q}{\cal K}/B_{q}{\cal K}$ die \defnoind{$q$-te simpliziale Homologiegruppe}\index{Homologiegruppe!simpliziale} von ${\cal K}.$ \end{description} Wollen wir den Koeffizientenring auch noch explizit machen, so schreiben wir $Z_q({\cal K};R),$ $B_q({\cal K};R)$ und $H_q({\cal K};R).$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Anschaulich \glqq z"ahlen die verschiedenen Homologiegruppen verschiedene Arten von L"ochern im Polyeder $\Delta ({\cal K})$\grqq. Zum Beispiel ist $H_0{\cal K}$ nach \ref{HPu} der freie $R$-Modul "uber der Menge der Zusammenhangskomponenten von $\Delta ({\cal K}),$ die ja durch eine gewisse Art von L"ochern voneinander getrennt werden; $H_1({\cal K};\DZ)$ ist nach \ref{Hu} der maximale abelsche Quotient der Fundamentalgruppe und beschreibt so eine andere Art von L"ochern; $H_2{\cal K}$ schlie"slich ist nach \ref{ADu} f"ur einen endlichen Simplizialkomplex in $\DR^3$ der freie $R$-Modul "uber der Menge der beschr"ankten Zusammenhangskomponenten des Komplements, d.h.\ der freie $R$-Modul "uber der Menge aller \glqq Kavit"aten\grqq\ unseres Polyeders. Die h"oheren Homologiegruppen beschreiben "ahnliche Ph"anomene in h"oheren Dimensionen, f"ur die ich leider keine r"aumliche Anschauung mehr anbieten kann. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Unser Ziel ist zu zeigen, da"s unsere simplizialen Homologiegruppen nur vom topologischen Raum $\Delta ({\cal K})$ abh"angen und nicht von der gew"ahlten Triangulierung. Dazu erkl"aren wir ganz allgemein f"ur einen beliebigen topologischen Raum seine \glqq singul"aren Homologiegruppen\grqq\ und zeigen ganz am Schlu"s dieses Abschnitts in \ref{SH}, da"s sie in der Tat f"ur den Polyeder $\Delta ({\cal K})$ eines endlichen Simplizialkomplexes $\cal{K}$ mit den simplizialen Homologiegruppen von ${\cal K}$ "ubereinstimmen. \end{Bemerkung} \subsection{Definition der singul"aren Homologie} \begin{Definition} Sei $q\geq 0.$ Der topologische Raum $$\Delta_q=\left\{(x_0,\ldots,x_q)\in\DR^{q+1}\;\left|\; 0\leq x_i\leq 1,\;\sum x_i=1\right.\right\}$$ hei"st der \defnoind{$q$-te Standardsimplex}\index{Standardsimplex}. Es ist also $\Delta_0$ ein Punkt, $\Delta_1$ ein Geradensegment, $\Delta_2$ eine Dreiecksfl"ache, $\Delta_3$ ein massiver Tetraeder und so weiter. \end{Definition} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $\sigma:\Delta_q\ra X$ von $\Delta_{q}$ in einen topologischen Raum $X$ hei"st ein \defnoind{singul"arer $q$-Simplex}\index{singul"arer $q$-Simplex}\index{Simplex!singul"arer} von $X.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Das Adjektiv singul"ar ist hier in dem Sinne zu verstehen, da"s wir au"ser der Stetigkeit keine Forderungen an $\sigma$ stellen. Wir erlauben also auch nicht-injektive, ja sogar konstante $\sigma$ als Simplizes, so da"s das Adjektiv singul"ar zumindest auf einem gro"sen Teil unserer singul"aren Simplizes recht gut pa"st. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Wir bezeichnen mit $$S_{q}X=S_{q}(X;R)=R \op{Top} (\Delta_{q},X)$$ den riesigen freien $R$-Modul "uber der Menge aller $q$-Simplizes von $X$ und nennen seine Elemente \defind{singul"are $q$-Ketten} {\bf mit Koeffizienten in $R$.} Zum Beispiel ist der Modul der singul"aren Null-Ketten kanonisch isomorph zum freien $R$-Modul "uber $X,$ in Formeln $S_0X\cong R X .$ Um mit Beschr"ankungen der Indizes keinen "Arger zu kriegen vereinbaren wir dar"uber hinaus $S_qX=0$ f"ur $q< 0.$ \end{Definition} \begin{Definition} F"ur $q\geq 1$ und $0\leq i\leq q$ betrachten wir die {\bf $i$-te Kantenabbildung}\index{Kantenabbildung} $$k^i=k^i_q:\Delta_{q-1}\ra \Delta_q$$ die an der $i$-ten Stelle die Koordinate Null einf"ugt. Dann erkl"aren wir f"ur alle $q$ einen Gruppenhomomorphismus $\partial=\partial_q:S_qX\ra S_{q-1}X,$ den sogenannten {\bf Randoperator}: F"ur $q\leq 0$ setzen wir schlicht $\partial_q=0$ und f"ur $q\geq 1$ erkl"aren wir $\partial_q$ durch die Vorschrift, da"s f"ur jeden singul"aren $q$-Simplex $\sigma$ gelten soll $$\partial(\sigma)=\sum_{i=0}^q (-1)^i\sigma\circ k^i$$ Nat"urlich sind die Elemente von $S_qX$ eigentlich formale $R $-Linearkom\-binationen von $q$-Simplizes und die Definition sagt uns, da"s wir unser auf den Simplizes definiertes $\partial$ linear auf alle Ketten auszudehnen haben. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{DD} Es gilt $\partial_{q-1}\circ\partial_q=0.$\end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir m"ussen nur f"ur jeden $q$-Simplex $\sigma$ mit $q\geq 2$ pr"ufen, da"s gilt $\partial_{q-1}\circ\partial_q(\sigma)=0.$ Nun pr"uft man sofort, da"s gilt $k^i_{q}\circ k^j_{q-1}=k^{j}_{q}\circ k^{i-1}_{q-1}$ falls $i>j.$ Es folgt $$\begin{array}{ll} \partial_{q-1}\circ\partial_q(\sigma) &=\partial_{q-1}\sum_{i=0}^q (-1)^i\sigma\circ k^i\\[2mm] &=\sum_{0\leq i\leq q,\; 0\leq j\leq {q-1}}(-1)^{i+j}\sigma\circ k^i\circ k^j\end{array}$$ und wir sehen, da"s sich in dieser Doppelsumme die Terme mit $i>j$ und die Terme mit $i\leq j$ gegenseitig aufheben. \end{proof} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren \begin{description} \item[$Z_qX$]$=\ker \partial_{q}\;\;\;$ die Gruppe der \defind{singul"aren $q$-Zykel}; \item[$B_qX$]$=\op{im} \partial_{q+1}$ die Gruppe der \defind{singul"aren $q$-R"ander} (engl. boundaries); \vspace{2mm} \item[$H_qX$]$= Z_{q}X/B_{q}X$ die \defnoind{$q$-te singul"are Homologiegruppe} \index{Homologiegruppe!singul"are } von $X.$ \end{description} \vspace{2mm} \noindent Die Nebenklasse in $H_{q}X$ eines Zykels $c\in Z_{q}X$ hei"st seine \defind{Homologieklasse} und wird mit $[c]\in H_{q}X$ bezeichnet. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Die Zykel und R"ander sind nat"urlich Untergruppen in der Gruppe aller Ketten, nach \ref{DD} gilt genauer $B_qX\subset Z_qX\subset S_qX.$ Deshalb ist es auch "uberhaupt nur m"oglich, die Quotientengruppe $H_qX= Z_{q}X/B_{q}X$ zu bilden. Des weiteren sind alle diese Objekte in nat"urlicher Weise Moduln "uber unserem Koeffizientenring $R.$ Wollen wir das besonders betonen, so schreiben wir $Z_q(X;R),$ $H_q(X;R) $ etc.\ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Eigentlich scheint es mir nat"urlicher, statt Koeffizienten in einem Ring $R$ gleich Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe $M$ zuzulassen. Die Definition ist v"ollig analog und die entstehenden abelschen Gruppen $H_q(X;M) $ sind offensichtlich funktoriell in $M,$ so da"s insbesondere jede Modulstruktur auf $M$ zu Modulstrukturen auf allen $H_q(X;M) $ f"uhrt. Diese Allgemeinheit bringt jedoch technische Schwierigkeiten mit sich, zum Beispiel ist \ref{YA} in dieser allgemeineren Situation so nicht mehr g"ultig. Auch ist sie f"ur die ersten Anwendungen unn"otig, weshalb ich es vorgezogen habe, die Theorie zun"achst in der weniger nat"urlichen aber bequemeren Situation von Koeffizienten in einem Ring zu entwickeln. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Sp"ater werden wir noch andere Homologietheorien kennenlernen. Die hier vorgestellte Theorie hei"st genauer die \defind{singul"are Homologie mit Koeffizienten} {\bf in $R$}. Wollen wir besonders betonen, da"s wir die singul"are Homologie meinen, schreiben wir statt $H_qX$ genauer $H^{\op{sing}}_qX.$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Auf den ersten Blick sehen unsere Homologiegruppen sehr unhandlich aus: Es sind Quotienten einer riesigen abelschen Gruppe durch eine fast ebenso riesige Untergruppe. Wir werden aber sehen, da"s unsere $H_{q}$ so sch"one Eigenschaften haben, da"s man sie dennoch f"ur viele interessante R"aume berechnen kann. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel}[{\bf\em Homologie eines Punktes}]\index{Homologie!eines Punktes}\label{HPu} F"ur den einpunktigen Raum $X = \op{pt} $ gilt $H_{0} (\op{pt}) \cong R $ und $H_{q} (\op{pt}) = 0$ f"ur $q \neq 0.$ In der Tat gibt es f"ur jedes $q \geq 0$ genau einen $q$-Simplex in $\op{pt},$ also gilt $S_{q}(\op{pt}) \cong R $ f"ur alle $q\geq 0$ und die Randabbildung $\partial_{q}$ verschwindet f"ur $q$ ungerade und $q\leq 0,$ ist aber ein Isomorphismus f"ur $q\geq 2$ gerade. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $X = \coprod X_{w}$ die Zerlegung von $X$ in seine Wegzusammenhangskomponenten. So haben wir kanonisch $$H_{q} X = \bigoplus H_{q} X_{w}$$ In der Tat gilt $S_{q} X = \bigoplus S_{q} X_{w},$ und der Randoperator $\partial_{q}$ ist mit dieser Zerlegung vertr"aglich. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die \defind{nullte Homologie} $H_{0}X$ eines topologischen Raums $X$ ist der freie Modul "uber der Menge $\pi_{0}(X)$ der Wegzusammenhangskomponenten von $X,$ in Formeln $$H_{0}X = R \pi_{0}(X)$$ In der Tat reicht es nach dem vorhergehenden Beispiel zu pr"ufen, da"s gilt $H_{0} X =R $ f"ur nichtleeres wegzusammenh"angendes $X.$ Wir haben eine nat"urliche Abbildung, die sogenannte \defind{Augmentation} $$\epsilon : S_{0} X \ra R ,\;\; \sum a_{x} x \mapsto \sum a_{x},$$ und es reicht, f"ur wegzusammenh"angendes $X$ die Formel $\ker \epsilon = \op{im} \partial_{1}$ zu zeigen. Nun wird aber $\op{im}\partial_{1}$ erzeugt von allen formalen Summen $x-y$ mit $x,y \in X,$ denn je zwei Punkte lassen sich durch einen Weg verbinden. Daraus folgt dann sofort $\ker \epsilon = \op{im} \partial_{1}.$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\defind{Homologie konvexer Mengen}]\label{Kon} Ist $K \subset \DR^{n}$ eine konvexe Teilmenge, so gilt $H_{q} K=0$ f"ur $q> 0.$\end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ist $K$ leer, so ist eh nichts zu zeigen. Sonst zeichnen wir einen beliebigen Punkt $p \in K$ aus und definieren f"ur $q \geq 0$ den {\bf Prismen-Operator} $$P=P_{q}: S_{q} K \ra S_{q+1} K$$ der \glqq jeden $q$-Simplex durch Verbinden mit dem ausgezeichneten Punkt $p$ zu einem $(q+1)$-Simplex erweitert.\grqq\ Formal definieren wir $P$ auf Simplizes $\sigma: \Delta_{q} \ra K$ dadurch, da"s $P\sigma$ der Simplex $P \sigma :\Delta_{q+1} \ra K$ sein soll mit $(P\sigma) (1-\tau, \tau x_{0}, \ldots, \tau x_{q}) = (1-\tau) p + \tau \sigma (x_{0},\ldots,x_{q})$ f"ur alle $\tau \in [0,1].$ Hier ist $P\sigma$ stetig, da $[0,1] \times \Delta_{q} \ra \Delta_{q+1},$ $(\tau,x_{0}, \ldots,x_{q}) \mapsto (1-\tau, \tau x_{0}, \ldots, \tau x_{q})$ nach \ref{IIA} eine Identifizierung ist. Nun setzen wir $P$ linear auf Ketten fort und pr"ufen die Relation $\partial P + P \partial = \op{id} : S_{q}K \ra S_{q} K$ f"ur $q>0.$ In der Tat gilt ja $$\begin{array}{rcl} \partial (P\sigma)& =& \sum_{0\leq j\leq q + 1} (-1)^{j} (P\sigma) \circ k^{j}_{q+1}\\[2mm] P(\partial\sigma) & = & \sum_{0\leq j \leq q} (-1)^{j} P (\sigma \circ k^{j}_{q}) \end{array}$$ und pr"uft leicht die Formeln $(P\sigma) \circ k^{0}_{q+1} = \sigma$ und $(P\sigma) \circ k^{j}_{q+1} = P(\sigma \circ k_{q}^{j-1}) $ f"ur $1 \leq j \leq q +1.$ Also haben wir in der Tat $\partial P + P \partial = \op{id}$ auf $q$-Ketten mit $q >0,$ damit gilt im Fall $q > 0$ f"ur jeden Zykel $z \in Z_{q}K$ schon $\partial P z = z$ und $z$ ist ein Rand. \end{proof} \subsection{Funktorialit"at der Homologie} \begin{Bemerkung} Wir erkl"aren in diesem Abschnitt f"ur jede stetige Abbildung $f: X \ra Y$ Gruppenhomomorphismen $H_{q}(f)=f_\ast : H_{q}X \ra H_{q} Y$ derart, da"s die $H_q$ Funktoren werden von der Kategorie der topologischen R"aume in die Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Gegeben eine stetige Abbildung $f: X \ra Y$ definieren wir Modulhomomorphismen $S_{q}f : S_{q}X \ra S_{q}Y,$ indem wir jedem Simplex $\sigma : \Delta_{q} \ra X$ den Simplex $f\circ \sigma:\Delta_{q} \ra Y$ zuordnen und dann auf $S_{q}X$ linear fortsetzen. \end{Definition} \begin{Lemma} Gegeben $f: X \ra Y$ stetig und $q\in\DZ$ beliebig gilt $\partial_{q} \circ S_{q}f = S_{q-1} f \circ \partial_{q},$ d.h.\ es kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} S_{q}X&\stackrel{S_{q}f}{\lra}&S_{q}Y\\[2mm] \partial\da&&\da\partial\\ S_{q-1}X&\stackrel{S_{q-1}f}{\lra}&S_{q-1}Y \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir m"ussen das nur auf jedem $q$-Simplex $\sigma : \Delta_{q}\ra X$ pr"ufen. Es gilt aber in der Tat $$\begin{array}[b]{rcl} (\partial_{q}\circ S_{q} f) (\sigma)& =&\partial_{q} (f\circ \sigma)\\ &=&\sum (-1)^{i} f\circ \sigma \circ k^{i}_{q} \\ &=& (S_{q-1}f \circ \partial_{q}) (\sigma) \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Das Lemma zeigt, da"s $S_{q} f$ Zykel auf Zykel und R"ander auf R"ander abbildet. F"ur einen $q$-Zykel $z$ in $X$ h"angt also die Homologieklasse seines Bildes $(S_{q}f) (z)$ in $Y$ nur von der Homologieklasse von $z$ ab. Wir erhalten somit einen Gruppenhomomorphismus $$ \begin{array}{cccl} H_{q}f :& H_{q}X &\ra &H_{q}Y\\ &[z] &\mapsto &[(S_{q}f ) (z)] \end{array}$$ Man sieht leicht, da"s gilt $H_{q}(f \circ g)= H_{q} (f) \circ H_{q} (g)$ und $H_{q} (\op{id}) = \op{id},$ also erhalten wir f"ur alle $q\in \Bbb{Z}$ einen Funktor $H_{q} :\op{Top}\ra\op{Ab}.$ \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\label{ZHH}%\label{ZH} Sei $X = \coprod X_{w}$ eine Zerlegung von $X$ in paarweise disjunkte offene Teilmengen und $i_{w}: X_{w} \hookrightarrow X$ die jeweilige Einbettung. So definieren die $H_{q}(i_{w}) : H_{q} (X_{w}) \ra H_{q} (X)$ einen Isomorphismus $\bigoplus H_{q} (X_{w}) \sira H_{q} (X).$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Wir wiederholen die vorhergehenden Argumente noch einmal in einer ausgefeilten Sprache und f"uhren dazu die Kategorie der \glqq Kettenkomplexe\grqq\ ein. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Ein \defind{Kettenkomplex} oder {\bf Komplex von abelschen Gruppen}\index{Komplex} ist ein Paar $C= (C, \partial),$ wo $C$ eine Familie $(C_{q})_{q\in \Bbb{Z}}$ abelscher Gruppen ist und $\partial$ eine Familie von Gruppenhomomorphismen $\partial_{q} = \partial_{q}^{C} : C_{q} \ra C_{q-1}$ f"ur $q \in \Bbb{Z}$ derart, da"s gilt $$\partial_{q-1} \circ \partial_{q}=0\quad\text{ f"ur alle }q.$$ Ein Morphismus $s : C \ra D$ von Kettenkomplexen, auch \defind{Kettenabbildung} genannt, ist eine Familie von Gruppenhomomorphismen $s_{q} : C_{q} \ra D_{q}$ derart, da"s gilt $\partial_{q}^{D} \circ s_{q} = s_{q-1} \circ \partial_{q}^{C}$ f"ur alle $q \in \Bbb{Z}$ oder, etwas salopp geschrieben, $\partial \circ s = s \circ \partial.$ Wir erhalten so die \defnoind{Kategorie $\op{Ket}=\op{Ket}(\op{Ab})$ aller Komplexe von abelschen Gruppen}. Analog erkl"art man f"ur einen beliebigen Ring $R$ die Kategorie $\op{Ket}(R\op{-Mod})=\op{Ket}_R$ aller Komplexe von $R$-Moduln. \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{dgad} F"ur dieselbe Struktur ist auch noch eine andere Terminologie "ublich. Ganz allgemein nennt man eine abelsche Gruppe $C$ mit einer Zerlegung $C = \bigoplus_{q \in \Bbb{Z}} C_{q}$ eine \defind{graduierte abelsche Gruppe} und ist zus"atzlich ein Gruppenhomomorphismus $\partial:C\ra C$ gegeben mit $\partial(C_q)\subset C_{q-1}$ und $\partial^2=0,$ so nennt man das Paar $(C,\partial)$ eine \defind{differentielle graduierte abelsche Gruppe} oder kurz eine \defind{dg-Gruppe} mit {\bf Differential} $\partial.$ \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Zum Beispiel ist f"ur jeden topologischen Raum $X$ der Komplex der singul"aren Ketten $(S X, \partial)$ ein Kettenkomplex. F"ur jede stetige Abbildung $f : X \ra Y$ bilden nach Lemma \ref{DD} die $S_{q} (f)$ eine Kettenabbildung $S f: S X \ra SY$ und da gilt $S (f\circ g)= S(f) \circ S (g)$ sowie $S(\op{id}) = \op{id}$ erhalten wir so einen Funktor $$S : \op{Top} \ra \op{Ket}_R$$ \end{Beispiel} \begin{Definition} F"ur jedes $q \in \Bbb{Z}$ definieren wir einen Funktor, die \defnoind{$q$-te Homologiegruppe eines Kettenkomplexes}\index{Homologiegruppe!eines Kettenkomplexes} $$\begin{array}{cccl} H_{q} :& \op{Ket}_R &\ra& R\op{-Mod}\\ &C& \mapsto & H_{q}(C) = \ker \partial_{q}/\op{im} \partial_{q+1} \end{array}$$ Auf den Objekten ist das schon mal in Ordnung und wir m"ussen nur noch erkl"aren, wie ein Morphismus von Kettenkomplexen $s : C \ra D$ Morphismen auf der Homologie $H_{q}(s) : H_{q}(C)\ra H_{q} (D)$ definiert. Aus $\partial^{D}\circ s = s \circ \partial^{C}$ folgt aber $s(\op{im} \partial^{C}) \subset \op{im} \partial^{D},$ $s(\ker \partial^{C}) \subset \ker\partial^{D}$ und damit induziert $s$ Morphismen $H_{q} (s) : H_{q} (C) \ra H_{q}(D).$ Wieder sieht man leicht, da"s gilt $H_{q}(s\circ t) = H_{q}(s) \circ H_{q} (t)$ und $H_{q}(\op{id})=\op{id},$ unser $H_{q}$ ist also ein Funktor f"ur alle $q \in \Bbb{Z}.$ Manchmal betrachten wir auch den Funktor $$H: \op{Ket}_R\ra \op{Ket}_R$$ der einem Komplex die Gesamtheit seiner Homologiegruppen zuordnet, aufgefa"st als Komplex mit Differential Null. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Wir erhalten mit diesen Begriffsbildungen und Notationen unsere Funktoren der singul"aren Homologiegruppen $H_{q}: \op{Top} \ra R\op{-Mod}$ als die Verkn"upfungen $H_{q} = H_{q} \circ S$ von Funktoren $$\op{Top}\stackrel{S}{\ra}\op{Ket}_R\stackrel{H_q}{\ra}R\op{-Mod}$$ und k"onnen nur hoffen, da"s die doppelte Bedeutung des Symbols $H_{q}$ den Leser nicht verwirrt. Man "ubertr"agt die Begriffsbildungen \defind{Zykel}, \defind{Rand}, \defind{Homologieklasse} auf beliebige Kettenkomplexe $C$ und schreibt $\ker\partial_{q} = Z_{q}C$ f"ur die Zykel, $\op{im} \partial_{q+1} = B_{q}C$ f"ur die R"ander und $[c] \in H_{q}C$ f"ur die Homologieklasse eines Zykels $c\in Z_{q}C.$ \end{Bemerkung} \subsection{Homotopie-Invarianz} \begin{Bemerkung} Der n"achste Satz ist schon ein sehr starkes Hilfsmittel zur Berechnung der singul"aren Homologiegruppen $H_{q}.$ Er impliziert zum Beispiel, da"s ein zusammenziehbarer Raum dieselbe Homologie hat wie ein Punkt. Die Homologie konvexer Mengen \ref{Kon} k"onnen wir dennoch nicht als Korollar ableiten, da ihre Kenntnis in den hier gegebenen Beweis eingeht. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\defind{Homotopie-Invarianz}]\label{HIv} Homotope stetige Abbildungen induzieren dieselben Abbildungen auf der Homologie. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir werden das im Folgenden durchgef"uhrte Beweisverfahren sp"ater formalisieren zum \glqq Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM}\grqq\ und damit auch eine Verallgemeinerung dieses Satzes zeigen, die sogenannte \glqq K"unneth-Formel\grqq\ "uber die Homologie von Produkten. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Bezeichnet $f,g:X\ra Y$ unsere homotopen stetigen Abbildungen, so behauptet der Satz f"ur alle $q$ die Gleichheit $ H_{q}(f)=H_{q}(g)$ von Abbildungen $H_qX\ra H_q Y.$ Es gilt also zu zeigen, da"s f"ur jeden Zykel $z\in Z^{q}X$ die Differenz $(S_{q} f) (z) - (S_{q}g)(z)$ ein Rand in $Y$ ist. Anschaulich ist das recht klar: Unsere Differenz ist eben \glqq der Rand des Gebiets, das von besagtem Zykel w"ahrend der Homotopie von $f$ nach $g$ "uberstrichen wird\grqq. Etwas formaler sei $h: X \times [0,1] \ra Y$ eine Homotopie von $f$ nach $g.$ Bezeichnen wir die Inklusionen $X \ra X \times [0,1],$ $ x \mapsto (x,t)$ mit $i_{t},$ so gilt $f = h\circ i_{0}$ und $g = h \circ i_{1}.$ Es reicht nun, $H_{q}(i_{0}) = H_{q}(i_{1})$ zu zeigen, denn daraus folgt mit der Funktorialit"at der Homologie schon $$H_{q} (f) = H_{q} (h)\circ H_{q}(i_{0})=H_{q}(h) \circ H_{q}(i_{1}) = H_{q}(g)$$ Die Formel $H_{q}(i_{0}) = H_{q}(i_{1})$ bedeutet, da"s f"ur jeden Zykel $z\in Z^{q} X$ die Differenz seiner Bilder $ (S_{q} i_{0}) (z) - (S_{q}i_{1})(z)$ ein Rand ist. Um das nachzuweisen reicht es, eine Familie von Morphismen $$\delta = \delta_{q}= \delta^X_{q} : S_{q} X \ra S_{q+1} (X \times [0,1])$$ f"ur $q \in \Bbb{Z}$ zu konstruieren derart, da"s gilt $\partial\delta + \delta\partial =S_{q}i_{1}-S_{q}i_{0},$ denn dann ist $(S_{q}i_{1})(z) - (S_{q}i_{0})(z) = \partial\delta z$ ein Rand f"ur jeden Zykel $z\in Z_q X.$ Es ist bequem, solch eine Familie zu konstruieren als Transformation, wo wir beide Seiten auffassen als Funktoren in $X$ von den topologischen R"aumen in die $R$-Moduln. Dann k"onnen wir uns n"amlich st"utzen auf eine Variante des Yoneda-Lemmas. Bezeichne dazu $\tau_{q}\in S_{q}(\Delta_{q})$ den \defnoind{tautologischen $q$-Simplex}\index{tautologischer Simplex} $\op{id}:\Delta_{q}\ra \Delta_{q}.$ \begin{Lemma}\label{YA}%\label{Taut} Sei $G : \op{Top} \ra R\op{-Mod}$ ein Funktor. So liefert das Auswerten auf dem tautologischen $q$-Simplex eine Bijektion zwischen der Menge der nat"urlichen Transformationen von $S_q$ nach $G$ und der Menge $G(\Delta_{q}),$ in Formeln $$\begin{array}{ccc} \op{Trans} (S_{q},G) & \sira & G(\Delta_{q})\\ \delta &\mapsto & \delta_{\Delta_q} (\tau_{q}) \end{array}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das gilt auch viel allgemeiner: Ist $\cal{C}$ eine Kategorie und $\Delta \in \cal{C}$ ein Objekt, so k"onnen wir den Funktor $R {\cal{C}} (\Delta,\;) : \cal{C} \ra R\op{-Mod} $ bilden, und ist $G: \cal{C} \ra R\op{-Mod} $ ein anderer Funktor, so liefert die Abbildungsvorschrift $\delta \mapsto \delta_{\Delta}(\op{id}_{\Delta})$ eine Bijektion $\op{Trans} (R {\cal{C}}(\Delta,\;), G) \sira G(\Delta).$ Wir "uberlassen die Details dem Leser zur "Ubung. \end{proof}\noindent Wir hatten gesehen, da"s wir nur f"ur alle topologischen R"aume $X$ und alle $q\in\DZ$ Morphismen $\delta = \delta_{q} :S_{q}X \ra S_{q+1}(X\times [0,1])$ konstruieren m"ussen derart, da"s gilt \begin{equation} \partial \delta_{q} + \delta_{q-1} \partial = S_{q}i_{1} - S_{q}i_{0} \tag*{$(\ast)_{q}$} \end{equation} Wir konstruieren die $\delta_{q}$ als Transformationen $\delta_{q}: S_{q} \ra F_{q+1},$ mit $F_{q+1}:X \mapsto S_{q+1} (X\times [0,1])$ wie oben. Sie werden dann nach \ref{YA} schon durch die Angabe jeweils eines Elements $\delta_{q}(\tau_{q}) = V_{q} \in S_{q+1}(\Delta_{q}\times[0,1])$ eindeutig festgelegt und wir m"ussen nur unsere $V_{q}$ so w"ahlen, da"s die obigen Gleichungen $(\ast)_{q}$ erf"ullt sind. Da $(\ast)_{q}$ aber eine Gleichung von Transformationen $S_q\ra F_q$ ist, gilt sie wieder nach dem Lemma immer, wenn sie nach Auswerten auf dem tautologischen Simplex $\tau_{q} \in S_{q} (\Delta_{q})$ gilt, also genau dann, wenn gilt $$(\partial \delta_{q} + \delta_{q-1}\partial)(\tau_{q})= (S_{q}i_{1} - S_{q}i_{0})(\tau_{q})$$ in $S_{q}(\Delta_{q}\times[0,1]).$ F"ur $V_{q}=\delta_{q}(\tau_{q})$ bedeutet das genau $$\partial V_{q} =(S_{q}i_{1} - S_{q}i_{0} - \delta_{q-1}\partial) (\tau_{q})$$ Man beachte, da"s hier die rechte Seite von $\delta_{q-1},$ also von $V_{q-1}$ abh"angt. Wir w"ahlen nun m"ogliche $V_{q}$ induktiv und nehmen an, da"s die $V_{i}$ f"ur $i\leq q-1$ schon konstruiert sind und die Gleichungen $(\ast)_{i}$ f"ur $i\leq q-1$ gelten. Als Basis der Induktion d"urfen wir $V_{i}=0$ f"ur $i<0$ nehmen und als $V_{0}$ irgendeinen singul"aren Simplex $\Delta_{1} \ra \Delta_{0} \times [0,1],$ der die Endpunkte des Geradensegments $\Delta_{1}$ \glqq in der richtigen Reihenfolge\grqq\ auf die Endpunkte des Geradensegments $\Delta_{0} \times [0,1]$ abbildet. Da nun nach Lemma \ref{Kon} f"ur $q>0$ gilt $H_{q}(\Delta_{q}\times [0,1]) =0,$ k"onnen wir eine $q$-Kette in $\Delta_{q}\times[0,1]$ f"ur $q >0$ als Rand schreiben genau dann, wenn sie ein Zykel ist. Wir finden f"ur $q>0$ also unser $V_{q}$ wie gew"unscht genau dann, wenn gilt $$ \partial (S_{q}i_{1}-S_{q}i_{0}-\delta_{q-1}\partial)(\tau_{q})=0 $$ Das zeigen wir induktiv, indem wir unter Verwendung von $(\ast)_{q-1}$ rechnen $$\begin{array}[b]{ccl} \partial (S_{q}i_{1} - S_{q} i_{0} - \delta_{q-1}\partial) &=& (S_{q-1} i_{1}-S_{q-1} i_{0} - \partial \delta_{q-1}) \partial\\ &=& \delta_{q-2} \partial \partial\\ &=& 0 \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Der vorhergehende Beweis motiviert die folgende allgemeine Definition. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Zwei Kettenabbildungen $f,g: A \ra B$ von Kettenkomplexen hei"sen \defind{kettenhomotop} oder kurz \defind{homotop} genau dann, wenn es eine Familie $\delta_{q}:A_{q} \ra B_{q+1}$ von Homomorphismen gibt mit $f_{q}-g_{q} = \partial_{q+1} \delta_{q} + \delta_{q-1}\partial_{q}$ f"ur alle $q.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Eine Kettenabbildung hei"st \defind{nullhomotop} genau dann, wenn sie homotop ist zur Nullabbildung. Per definitionem sind zwei Kettenabbildungen kettenhomotop genau dann, wenn ihre Differenz nullhomotop ist. Ist weiter $g\circ h$ eine Verkn"upfung von Kettenabbildungen und ist eine der beiden kettenhomotop ist zur Nullabbildung, so auch die Verkn"upfung. Wir k"onnen deshalb die \defnoind{Homotopiekategorie der Kettenkomplexe von $R$-Moduln} \index{Homotopiekategorie von Komplexen} definieren, mit Kettenkomplexen von $R$-Moduln als Objekten und Homotopieklassen von Kettenabbildungen als Morphismen. Wir notieren sie $\op{Hot}(R\op{-Mod})$ oder $\op{Hot}_{R}$ oder auch einfach nur $\op{Hot},$ wenn aus dem Kontext klar sei sollte, da"s nicht die Homotopiekategorie topologischer R"aume gemeint ist und welchen Koeffizientenring $R$ wir betrachten. Isomorphismen in einer Homotopiekategorie von Komplexen nennen wir auch \defind{Homotopie"aquivalenzen}. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{kH} Unsere Argumente von eben zeigen, da"s die Homologiegruppen ganz allgemein Funktoren $H_q:\op{Hot}_R\ra R\op{-Mod}$ definieren. Weiter haben wir gezeigt, da"s homotope Abbildungen $f,$ $g$ kettenhomotope Abbildungen $Sf,$ $Sg$ auf den singul"aren Ketten liefern. Bezeichnen wir wie bisher mit $\op{Hot}$ die Homotopiekategorie topologischer R"aume, so erhalten wir mithin ein kommutatives Diagramm von Funktoren $$\begin{array}{ccccc} \op{Top}&\overset{S}{\ra} &\op{Ket}_R & \overset{H_{q}}{\ra}&R\op{-Mod}\\ \da&&\da &&\|\\ \op{Hot}&\overset{S}{\ra} & \op{Hot}_R & \overset{H_{q}}{\ra} & R\op{-Mod} \end{array}$$ Insbesondere induziert eine Homotopie"aquivalenz stets Isomorphismen auf der Homologie. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\label{HHKK} Seien $(C,\partial^{C})$ und $(D,\partial^{D})$ Kettenkomplexe. So definieren wir einen Kettenkomplex $\op{Hom} (C,D)$ durch die Vorschrift $$(\op{Hom} (C,D))_{i} =\prod_{q} \op{Hom} (C_{q}, D_{q+i})$$ mit Differential $\partial (f) = \partial^{D} \circ f - (-1)^{|f|} f \circ \partial^{C},$ wo wir $|f|=i$ schreiben falls gilt $f \in (\op{Hom} (C,D))_{i}.$ Man zeige, da"s gilt $\partial (\partial (f)) =0,$ da"s die Nullzykel gerade die Kettenabbildungen von $C$ nach $D$ sind, in Formeln $Z_{0} \op{Hom} (C,D)=\op{Ket} (C,D),$ und da"s die nullte Homologie in nat"urlicher Weise identifiziert werden kann mit dem Raum der Morphismen von $C$ nach $D$ in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe, in Formeln $H_{0} \op{Hom} (C,D)=\op{Hot} (C,D).$ In "ahnlicher Weise erhalten wir nat"urliche Abbildungen $$H \op{Hom} (C,D)=\op{Hom} (HC,HD)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{HHC} Sei $C$ ein Komplex von Vektorr"aumen. Man zeige, da"s es in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe von Vektorr"aumen genau einen Isomorphismus $C \sira HC$ gibt, der auf der Homologie die offensichtliche Identifikation $HC\sira H(HC)$ induziert. \end{Ubung} \subsection{Erste Homologie und Fundamentalgruppe} \begin{Bemerkung}\label{VN} Der Klarheit halber schreiben wir in diesem Abschnitt anders als sonst $[[\gamma]]$ f"ur die Homotopieklasse mit festen Endpunkten eines Weges und wie "ublich $[z]$ f"ur die Homologieklasse eines Zykels. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Hurewicz-Isomorphismus]\label{Hu} Bezeichne $c: \Delta_{1} \sira [0,1]$ die Projektion auf die zweite Koordinate. \begin{enumerate} \item F"ur jeden bepunkteten Raum $(X,x)$ gibt es genau einen Gruppenhomomorphismus von der Fundamentalgruppe in die erste singul"are Homologiegruppe $\pi_{1} (X,x) \rightarrow H_{1} (X;\DZ)$ mit $ [[\gamma]] \mapsto [\gamma \circ c]$ f"ur alle $\gamma\in \Omega (X,x).$ \item F"ur jeden wegzusammenh"angenden bepunkteten Raum induziert dieser Gruppenhomomorphismus einen Isomorphismus zwischen der Abelianisierung der Fundamentalgruppe und der ersten singul"aren Homologiegruppe, den sogenannten \emph{\bf Hurewicz-Isomorphismus}\index{Hurewicz-Isomorphismus} $$\pi_{1} (X,x)^{\op{ab}} \sira H_{1} (X;\DZ)$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] 1. Offensichtlich definiert die Vorschrift $\gamma \mapsto [\gamma \circ c]$ eine Abbildung ${\op{can}}:\Omega (X,x) \ra H_{1}(X;\DZ).$ Um zu zeigen, da"s sie auf Homotopieklassen von Wegen konstant ist, geben wir eine alternative Beschreibung. Bezeichne $\op{Exp} : [0,1] \ra S^{1}$ unsere "ubliche Abbildung $t \mapsto \exp (2\pi \op{i}t).$ Da $\op{Exp}$ eine Identifikationsabbildung ist, gibt es zu jedem geschlossenen Weg $\gamma \in \Omega (X,x)$ eine stetige Abbildung $\tilde{\gamma} : S^{1} \ra X$ mit $\gamma = \tilde{\gamma} \circ \op{Exp}.$ Betrachten wir nun in der Kreislinie $S^{1}$ den 1-Zykel $z = \op{Exp} \circ c \in Z_{1} (S^{1}),$ so k"onnen wir unsere Abbildung von $\Omega(X,x)$ nach $H_{1}(X;\DZ)$ auch schreiben als $$\gamma\mapsto [\gamma \circ c] = (H_{1}\tilde{\gamma}) [z]$$ Sind nun $\gamma, \beta \in \Omega (X,x)$ homotop mit festen Endpunkten, so sind $\tilde{\gamma}$ und $\tilde{\beta}$ homotope Abbildungen von $S^{1}$ nach $ X,$ da auch $\op{Exp}\times \op{id} $ eine Identifizierung ist. Wir erhalten damit $$\begin{array}{ccl} [[\gamma]] = [[\beta]] & \Rightarrow & \tilde{\gamma} \simeq \tilde{\beta}\\ &\Rightarrow & H_{1}\tilde{\gamma} = H_{1}\tilde{\beta} \text{ nach Homotopieinvarianz}\\ &\Rightarrow & (H_{1}\tilde{\gamma})[z] = (H_{1}\tilde{\beta}) [z]\\ &\Rightarrow &[\gamma \circ c] = [\beta \circ c] \end{array}$$ Folglich definiert die Vorschrift $[[\gamma]] \mapsto [\gamma \circ c]$ in der Tat eine wohlbestimmte Abbildung $\pi_{1} (X,x) \ra H_{1} (X;\DZ).$ Wir m"ussen f"ur den ersten Teil nur noch zeigen, da"s sie ein Gruppenhomomorphismus ist. Dazu betrachten wir die affine Abbildung $p : \Delta_{2} \ra [0,1]$ mit $(1,0,0) \mapsto 0,$ $(0,1,0) \mapsto 1/2$ und $(0,0,1) \mapsto 1.$ Offensichtlich gilt f"ur beliebige $\gamma, \beta \in \Omega (X,x),$ ja sogar f"ur zwei beliebige verkn"upfbare nicht notwendig geschlossene Wege in $S_{1}(X;\DZ)$ die Identit"at $$\partial ((\beta \ast \gamma)\circ p) = \gamma \circ c - (\beta \ast \gamma) \circ c + \beta \circ c$$ und daraus folgt in $H_{1} (X;\DZ)$ die Gleichung $[(\beta \ast \gamma)\circ c] = [\gamma \circ c] + [\beta \circ c].$ \\[2mm] \noindent 2. Da $H_{1}(X;\DZ)$ abelsch ist, definiert die Abbildung aus Teil 1 einen Gruppenhomomorphismus $$\overline{\op{can}} : \pi_{1} (X,x)^{\op{ab}} \ra H_{1}(X;\DZ)$$ Wir nehmen nun $X$ wegzusammenh"angend an und w"ahlen f"ur jeden Punkt $y \in X$ einen Weg $\al_{y} \in \Omega (X,y,x)$ von $x$ nach $y.$ Dann definieren wir einen Gruppenhomomorphismus $$S_{1} (X;\DZ) \rightarrow \pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}$$ durch die Vorschrift, da"s er einen $1$-Simplex $\sigma : \Delta_{1} \ra X$ abbilden m"oge auf die Klasse des geschlossenen Weges $w (\sigma)=\bar{\al}_z \ast (\sigma \circ c^{-1}) \ast \al_y$ f"ur $z= {\sigma (0,1)}$ und $y={\sigma (1,0)}$ die Enden unseres 1-Simplex. Wir zeigen nun, da"s dieser Gruppenhomomorphismus alle R"ander in $B_{1}(X;\DZ)$ auf das neutrale Element von $\pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}$ wirft. In der Tat, der Rand eines 2-Simplex $\tau : \Delta_{2} \ra X$ wird unter unserem Gruppenhomomorphismus abgebildet auf $[[\bar{\alpha}_u \ast (\tau \circ k) \ast \alpha_u]],$ wo $u={\tau (0,0,1)}$ das Bild einer Ecke von $\Delta_{2}$ ist und $k: [0,1] \ra \Delta_{2}$ den Weg mit Anfangs- und Endpunkt in dieser Ecke bezeichnet, der einmal auf dem Rand von $\Delta_{2}$ uml"auft in einer Richtung, die der Leser sich selber "uberlegen m"oge. Da aber schon $k$ selber homotop ist zum konstanten Weg, gilt dasselbe f"ur die obige Verkn"upfung. Folglich definiert unsere Vorschrift einen Gruppenhomomorphismus in der umgekehrten Richtung $$\overline{w} : H_{1}(X;\DZ) \ra \pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}$$ Es bleibt zu zeigen, da"s er invers ist zu dem in Teil 1 konstruierten Homomorphismus $\overline{\op{can}}.$ Um $\overline{w}\circ \overline{\op{can}}=\op{id}$ nachzuweisen, w"ahlen wir einen geschlossenen Weg $\gamma\in\Omega(X,x)$ und erkennen, da"s unter unserer Verkn"upfung seine Klasse abgebildet wird auf die Klasse von $\overline{\alpha}_x \ast \gamma \ast \alpha_x$ in $\pi_{1} (X,x)^{\op{ab}}.$ Das zeigt $\overline{w}\circ \overline{\op{can}}=\op{id}.$ Um $\overline{\op{can}}\circ \overline{w}=\op{id}$ nachzuweisen bemerken wir, da"s nach dem Schlu"s des Beweises des ersten Teils gilt $$\op{can} (w(\sigma)) -\sigma \equiv \alpha_{\sigma (1,0)} \circ c - \alpha_{\sigma (0,1)} \circ c\quad\text{ modulo } B_1(X;\DZ).$$ Definieren wir also $\delta : S_{0}( X;\DZ) \ra S_{1}(X;\DZ)$ durch $y \mapsto \alpha_{y} \circ c,$ so ist $\op{can} (w(\sigma)) - \sigma$ homolog zu $\delta \partial \sigma$ f"ur jeden 1-Simplex $\sigma$ und nullhomolog f"ur jeden 1-Zykel $a \in Z_{1}(X;\DZ),$ in Formeln $[\op{can} (w(a))] = [a] \quad \forall a \in Z_{1}(X;\DZ).$ \end{proof} \subsection{Relative Homologie} \begin{Definition} Ist $(X,A)$ ein \defind{Raumpaar}, als da hei"st ein topologischer Raum $X$ mit einer Teilmenge $A,$ so definiert die Einbettung $A\hra X$ Inklusionen $S_{q}A \hookrightarrow S_{q}X$ auf den singul"aren $q$-Ketten, f"ur alle $q\in \Bbb{Z}.$ Den Quotienten bezeichnen wir mit $$S_{q}X/S_{q} A = S_{q}(X,A)$$ und nennen ihre Elemente \defnoind{relative $q$-Ketten}\index{relative Ketten}. Wir geben der Quotientenabbildung $S_{q}X \twoheadrightarrow S_{q}(X,A)$ keinen Namen. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Der $R$-Modul der relativen $q$-Ketten $S_{q}(X,A)=S_{q}(X,A;R)$ mit Koeffizienten in $R$ ist auch in nat"urlicher Weise isomorph zum freien $R$-Modul "uber der Menge aller $q$-Simplizes $\sigma : \Delta_{q} \ra X,$ deren Bild nicht in $A$ enthalten ist. Diese Sichtweise zeigt, da"s auch die relativen Ketten einen freien $R$-Modul bilden. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Man "uberzeugt sich leicht, da"s es eindeutig bestimmte Gruppenhomomorphismen $\bar{\partial}_{q} : S_{q} (X,A) \ra S_{q-1}(X,A)$ gibt derart, da"s auch das rechte Quadrat im folgenden Diagramm kommutiert: $$\begin{array}{ccccc} S_{q}A &\hookrightarrow&S_{q}X &\twoheadrightarrow& S_{q}(X,A)\\[2mm] {\partial}_{q}\downarrow& & {\partial}_{q}\downarrow & & \bar{\partial}_{q}\downarrow \\[2mm] S_{q-1} A & \hookrightarrow & S_{q-1}X& \twoheadrightarrow& S_{q-1} (X,A) \end{array}$$ Es ist klar, da"s $S (X,A)$ mit diesem Differential ein Kettenkomplex wird, d.h.\ es gilt $\bar{\partial}\circ \bar{\partial} = 0$ und wir definieren die relativen Homologiegruppen von unserem Raumpaar als die Homologie dieses Kettenkomplexes, in Formeln $$H_{q}(X,A) = H_{q}(S(X,A)) = \ker \bar{\partial}_{q}/\op{im} \bar{\partial}_{q+1}$$ Die Elemente von $\ker \bar{\partial}_{q}$ hei"sen auch die {\bf relativen $q$-Zykel}, die Elemente von $\op{im} \bar{\partial}_{q+1}$ die \defnoind{relativen $q$-R"ander}\index{relative $q$-R"ander} und f"ur einen relativen Zykel $c$ bezeichnet wieder $[c]$ seine Homologieklasse. \end{Definition} \begin{Beispiel} Wir haben $H_{1}([x,y],\{x,y\})\cong R ,$ f"ur $x 0.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das ergibt sich aus dem vorhergehenden Korollar mit der langen exakten Homologiesequenz des Raumpaars $(D^{n+1},S^{n}).$ \end{proof} \begin{Korollar}\label{MNH} F"ur $n\geq 0$ und jeden Punkt $p \in \DR^{n}$ gilt $$H_{q}(\DR^{n},\DR^{n}-p) \cong \left\{\begin{array}{cc} R & q=n;\\ 0 &\text{sonst}.\end{array}\right.$$ Insbesondere sind $\DR^{n}$ und $\DR^{m}$ f"ur $n \neq m$ nicht hom"oomorph. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $p=0$ annehmen. Die Einbettung $(D^{n},S^{n-1})\ra (\DR^{n},\DR^{n}-0)$ induziert nun aufgrund der Homotopieinvarianz \ref{HIv} und \ref{FLK} Isomorphismen auf den relativen Homologiegruppen. \end{proof} \begin{Korollar}\label{RT} Sei $n \geq -1.$ Es gibt keine stetige Abbildung $r : D^{n+ 1} \ra S^{n},$ deren Einschr"ankung auf $S^{n}$ die Identit"at ist. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir arbeiten mit Keoffizienten in $R=\DZ.$ Sei $i : S^{n} \hookrightarrow D^{n+ 1}$ die Einbettung. Aus $r \circ i = \op{id} $ folgt, da"s die Verkn"upfung $$ H_{n}S^{n} \ra H_{n}D^{n+1} \ra H_{n}S^{n} $$ von $Hr$ mit $ H i$ die Identit"at ist. Die Identit"at auf $\Bbb{Z}$ kann aber nicht "uber $0$ faktorisieren und das erledigt den Fall $n \geq 1.$ Im Fall $n=0$ argumentiert man analog, da"s die Identit"at auf $\Bbb{Z}^{2}$ nicht "uber $\Bbb{Z}$ faktorisieren kann. Der Fall $n=-1$ ist eh klar. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Fixpunktsatz von Brouwer}] Jede stetige Abbildung $f: D^{n}\ra D^{n}$ des abgeschlossenen $n$-Balls auf sich selber besitzt einen Fixpunkt. \begin{proof}[Beweis] Sonst k"onnte man eine stetige Abbildung $r : D^{n} \ra S^{n-1}$ konstruieren durch die Vorschrift, da"s $r (x)$ der Punkt ist, in dem der Strahl, der von $r(x)$ ausgeht und durch $x$ l"auft, die Sph"are $S^{n-1}$ trifft. Das st"ande jedoch im Widerspruch zum vorhergehenden Korollar \ref{RT}. \end{proof} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir beginnen nun mit den Vorbereitungen zum Beweis des Ausschneidungssatzes. Die zentrale Rolle spielen hier die \defind{Unterteilungsoperatoren} $U_{q} : S_{q} X \ra S_{q}X,$ die jeden Simplex \glqq baryzentrisch unterteilen\grqq. Wir konstruieren sie als nat"urliche Transformationen $U_{q} : S_{q} \ra S_{q}.$ Um solche nat"urlichen Transformationen festzulegen, brauchen wir ja nach Lemma \ref{YA} nur $U_{q} (\tau_{q}) \in S_{q}(\Delta_{q})$ anzugeben. F"ur jede konvexe Teilmenge $K$ eines $\DR^{n}$ und jeden Punkt $p\in K$ erinnern wir dazu an den Prismen-Operator $P = P_{p}: S_{q}K \ra S_{q+1}K.$ Dann setzen wir $U_q=0$ f"ur $q<0$ und definieren wir $U_{q}$ f"ur $q\geq 0$ induktiv vermittels der $ U_{0}(\tau_{0}) = \tau_{0}$ und $U_{q} (\tau_{q})= P U_{q-1} (\partial \tau_{q}) \text{ falls } q >0, $ wo $P$ den Prismenoperator bez"uglich des Schwerpunkts $\frac{1}{q+1} (1,1, \ldots , 1)$ von $\Delta_{q}$ bezeichnet. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Die Unterteilung $U :SX \ra SX$ ist eine Kettenabbildung. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen $\partial U_{q} = U_{q-1}\partial$ f"ur alle $q.$ Wir zeigen die Gleichheit durch Induktion "uber $q.$ Nat"urlich reicht es, die Gleichheit auf $\tau_{q}$ zu zeigen. Die F"alle $q=0,1$ "uberlassen wir dem Leser. F"ur $q\geq 2$ haben wir $$\begin{array}{ccl} \partial U_{q}(\tau_{q}) & =& \partial P U_{q-1}\partial (\tau_{q})\\ &=& (-P \partial + \op{id}) U_{q-1}\partial (\tau_{q})\\ &=& U_{q-1}\partial (\tau_{q}) \end{array}$$ die erste Gleichung nach Definition, die Zweite da $\partial P+ P\partial =\op{id}$ auf $S_{q}\Delta_{q}$ f"ur $q\geq 1,$ die Dritte da $\partial U_{q-1} = U_{q-2}\partial$ nach Induktion. \end{proof} \begin{Lemma}\label{UT} Die Unterteilung ist in nat"urlicher Weise kettenhomotop zur Identit"at, es gibt in anderen Worten nat"urliche Transformationen $$T_{q} : S_{q} \ra S_{q+1} $$ mit $\partial T_{q} + T_{q-1}\partial = U_{q}-\op{id}$ f"ur alle $q.$ Insbesondere induziert $U$ die Identit"at auf der Homologie. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Dies Lemma wird sich sp"ater als eine Konsequenz des Satzes "uber azyklische Modelle \ref{AzM} erweisen. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir versuchen induktiv m"ogliche nat"urliche Transformationen $T_{q}$ zu finden und m"ussen nur $T_{q}(\tau_{q}) \in S_{q+1} (\Delta_{q})$ angeben. Wir k"onnen mit $T_{-1}= T_{0}=0$ beginnen und m"ussen dann induktiv die Gleichungen $$\partial T_{q}(\tau_{q})= - T_{q-1}\partial (\tau_{q})+U_{q} (\tau_{q})- \tau_{q}$$ l"osen. Da $H_{q}(\Delta_{q}) =0$ f"ur $q\geq 1$ geht das, wenn die rechte Seite ein Zykel ist. Dazu rechnen wir stur (mit der Induktionsannahme) $$\begin{array}[b]{l} -\partial T_{q-1}(\partial \tau_{q}) + \partial U_{q}(\tau_{q})-\partial \tau_{q} =\\[2mm] \hspace{2.5cm}=(T_{q-2}\partial - U_{q-1} + \op{id})(\partial \tau_{q}) +\partial U_{q}(\tau_{q})-\partial \tau_{q}\\[2mm] \hspace{2.5cm}=0 \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Definition} Gegeben eine (nicht notwendig offene) "Uberdeckung $\cal{V} \subset \cal{P} (X)$ eines topologischen Raums $X$ bezeichne $S_{q}^{\cal{V}}X \subset S_{q}X$ die freie Gruppe "uber allen denjenigen Simplizes, die ganz in einem der $V\in \cal{V}$ liegen. Wir nennen $S^{\cal{V}}_{q}X$ die Gruppe der \defnoind{$\cal{V}$-feinen Ketten}\index{feine Ketten}. \end{Definition} \begin{Satz}["uber \defind{feine Ketten}]\label{FK} Sei $\cal{V}$ eine "Uberdeckung eines Raums $X$ derart, da"s selbst die offenen Kerne der Mengen aus $\cal{V}$ schon $X$ "uberdecken, in Formeln $X = \bigcup_{V\in \cal{V}} V^{\circ}.$ So induziert die Einbettung $S^{\cal{V}} X \hookrightarrow SX$ vom Komplex der $\cal{V}$-feinen Ketten in den Komplex aller singul"aren Ketten Isomorphismen auf allen Homologiegruppen. \end{Satz} \begin{Bemerkung}\label{FKH} Mit \ref{HKH} wird aus diesem Resultat sogar folgen, da"s $S^{\cal{V}} X \ra SX$ eine Homotopie"aquivalenz ist. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Mit der langen exakten Homologiesequenz m"ussen wir nur zeigen, da"s die Homologie von $SX/S^{\cal{V}}X$ verschwindet. Nun bilden unsere Abbildungen $U$ und $T$ sicher $S^{\cal{V}}X$ auf sich selber ab und induzieren also Operatoren $\bar{U},$ $\bar{T}$ auf dem Quotienten. Offensichtlich ist auch $\bar{U}$ homotop zur Identit"at vermittels $\bar{T}$ und liefert also die Identit"at auf den Homologiegruppen von $S X/S^{\cal{V}}X.$ F"ur jedes $q$ und jede Kette $\gamma \in S_{q}X$ gibt es aber nach dem anschlie"senden Lemma \ref{KlKl} ein $n\gg 0$ mit $U^{n}\gamma \in S^{\cal{V}}_{q} X,$ also $\bar{U}^{n}\bar{\gamma} =0$ f"ur $\bar{\gamma} \in S_{q}X/S^{\cal{V}}_{q}X$ die Nebenklasse von $\gamma.$ Wir folgern $H_{q}(S X/S^{\cal{V}}X)= 0.$ \end{proof} \begin{Lemma}\label{KlKl} Sei $\cal{V}$ eine offene "Uberdeckung von $X.$ F"ur jedes $q$ und jede Kette $\gamma \in S_{q}X$ gibt es $n\gg 0$ mit $U^{n}\gamma \in S^{\cal{V}}_{q}X.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es reicht sicher, das Lemma f"ur jeden Simplex $\gamma : \Delta_{q}\ra X$ zu zeigen. Nun sieht man, da"s der maximale Durchmesser eines Simplex, der mit von Null verschiedenem Koeffizienten in $U^{n}(\tau_{q})$ vorkommt, f"ur $n\ra \infty$ beliebig klein wird. Insbesondere ist f"ur $n\gg 0$ nach dem "Uberdeckungssatz von Lebesgue jeder solche Simplex ganz in einer der Mengen $\gamma^{-1} (V)$ mit $V \in \cal{V}$ enthalten. Das bedeutet aber gerade $U^{n}\gamma \in S_{q}^{\cal{V}}X.$ \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung}]\label{Asch} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s im Inneren von $A$ liegt, in Formeln $\bar{L} \subset A^{\circ}.$ So liefert die Einbettung $(X-L, A-L) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den relativen Homologiegruppen, in Formeln $$H_{q}(X-L,A-L) \sira H_{q} (X,A)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten die "Uberdeckung $X = A \cup (X-L),$ geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} S(A-L) & \hookrightarrow & SA \oplus S(X-L) & \twoheadrightarrow & S^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ S(X-L) & \hookrightarrow & SX \oplus S(X-L) & \twoheadrightarrow &SX\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ S (X -L, A-L) & \ra & S(X,A) & \ra & SX / S^{\cal{V}}X \end{array}$$ wo die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y.$ Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt, und da nach \ref{FK} die Homologie von $SX / S^{\cal{V}}X$ verschwindet, folgt unser Satz aus der langen exakten Homologiesequenz. \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{MVS} Sei $X = X_{1}\cup X_{2}$ ein topologischer Raum mit einer "Uberdeckung $\cal{V}$ durch zwei offene Teilmengen. Wir betrachten die Einbettungen $$(X_{1}\cap X_{2}) \stackrel{i_\nu}{\hra} X_\nu\stackrel{j_\nu}{\hra} X$$ und erhalten eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $$S(X_{1}\cap X_{2}) \hookrightarrow S X_{1} \oplus S X_{2} \twoheadrightarrow S^{\cal{V}} X$$ Hier fassen wir die Elemente der direkten Summe als Spaltenvektoren auf, die erste Abbildung wird gegeben durch die Spaltenmatrix $(S i_1, S i_2)^t,$ und die zweite durch die Zeilenmatrix $(S j_1, -S j_2).$ Nehmen wir nun die lange exakte Homologiesequenz und verwenden die von der Einbettung $S^{\cal{V}}X\hra SX$ induzierten Identifikationen $H_q(S^{\cal{V}}X)\sira H_qX,$ so erhalten wir die sogenannte \defind{Mayer-Vietoris-Sequenz}, eine lange exakte Sequenz der Gestalt $$\ldots H_{q}(X_{1}\cap X_{2}) \ra H_{q}(X_{1})\oplus H_{q}(X_{2}) \ra H_{q}(X)\ra H_{q-1} (X_{1}\cap X_{2}) \ldots$$ Die ersten beiden Abbildungen dieser Sequenz werden gegeben durch die Spaltenmatrix $(H_q i_1, H_q i_2)^t$ und die Zeilenmatrix $(H_q j_1, -H_q j_2),$ die dritte Abbildung ist nicht ganz so leicht explizit anzugeben. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}[\emph{\bf Relative Mayer-Vietoris-Sequenz}\index{relative Mayer-Vietoris-Sequenz}]\label{RMVS} Sei $X$ ein topologischer Raum und seien $U,V \co X$ zwei offene Teilmengen. So haben wir eine lange exakte Sequenz $$H_{q} (X,U\cap V) \ra H_{q} (X,U) \oplus H_{q} (X,V) \ra H_{q}(X,U\cup V) \ra H_{q-1} (X,U \cap V)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar. Bezeichne $X/A$ den Raum mit Quotiententopologie, der entsteht, wenn man $A$ zu einem Punkt identifiziert. Man zeige: Gibt es $U$ mit $A\subset U \subset X$ derart, da"s die Einbettungen $A \hookrightarrow U$ und $A/A \hookrightarrow U/A$ Homotopie"aquivalenzen sind, so liefert die offensichtliche Abbildung Isomorphismen $$H_{q} (X,A) \overset{\sim}{\ra} H_{q} (X/A , A/A)$$ \end{Ubung} \subsection{Homologie von Simplizialkomplexen} \begin{Bemerkung} Sei $\cal{K}$ ein Simplizialkomplex und $\Delta(\cal{K})$ der zugeh"orige Polyeder. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ der Menge $E$ der Ecken von $\cal{K}.$ Ist $\sigma \in \cal{K}_{q}$ gegeben als $\sigma =\{e_{0},\ldots,e_{q}\}$ mit $e_{0} k.$ Man zeigt das Lemma durch Induktion "uber $k$ f"ur alle $X_{k}$ und folgert es dann f"ur $X$ selbst. \end{proof} \begin{Satz}[Simpliziale gleich singul"are Homologie, Variante] Sei $X$ ein $\Delta$-Komplex. F"ur jedes $x \in X[q]$ betrachten wir die Abbildung $\Delta_{q} \ra \Delta (X), t \mapsto (x,t)/ \sim.$ Bezeichne $S^{\op{os}}_{q} \Delta (X) \subset S_{q} \Delta (X)$ die von diesen Simplizes erzeugte Untergruppe. So induziert die Einbettung von Kettenkomplexen $S^{\op{os}}_{q} \Delta (X) \hookrightarrow S_{q} \Delta (X)$ Isomorphismen auf der Homologie. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Mutatis mutandis identisch zum Beweis von \ref{SHo} und dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkung} Eine noch gr"o"sere Flexibilit"at als die $\Delta$-Komplexe bieten die sogenannten \defind{simplizialen Mengen}, d.h.\ Funktoren $$\Delta^{\leq} \ra \{ \text{Mengen} \}^{\circ}$$ wo $\Delta^{\leq}$ die Kategorie mit den Objekten $[n]$ f"ur $n \in \Bbb{N} $ bezeichnet und monoton wachsenden Abbildungen als Morphismen. Wir werden diese insbesondere f"ur die kombinatorische Formulierung der Homotopietheorie wichtige Begriffsbildung hier jedoch nicht weiter entwickeln. Eine bemerkenswerte Realisierung solch einer simplizialen Menge $X$ gibt Drinfeld in \cite{DrSi}: Er erweitert $X$ in der kanonischen Weise zu einem Funktor auf beliebigen endlichen angeordneten Mengen und ordnet diesem Funktor die Menge $\varinjlim_F \pi_0([0,1]\setminus F)$ zu, wo der Limes "uber alle endlichen Teilmengen $F\subset [0,1]$ l"auft. \end{Bemerkung} \end{comment} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: