\section{Anwendungen der singul"aren Homologie} \subsection{Einbettungen von Sph"aren in Sph"aren} \begin{Satz}[\defnoind{Jordan-Brouwer}\index{Satz von Jordan-Brouwer}] Seien $n,r\geq -1$ und sei $s^{r} \subset S^{n}$ eine Teilmenge der $n$-Sph"are, die hom"oomorph ist zur $r$-Sph"are $S^{r}.$ So haben wir $$\begin{array}{ll} r > n&\text{Unm"oglich;}\\ r = n&\text{Impliziert $S^{n}=s^{r};$}\\ r = n-1&\text{Dann hat $S^{n} -s^{r}$ genau zwei Zusammenhangskomponenten, }\\ & \text{und der Rand jeder dieser beiden Komponenten ist $s^{r};$}\\ r \leq n-2 &\text{Dann ist $S^{n}-s^{r}$ zusammenh"angend.} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Im Rahmen der Garbentheorie werden wir in \ref{JBG} einen k"urzeren Beweis der zentralen Aussage \ref{JBGG} geben k"onnen. Der elementarere Beweis hier wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. Als Vorbereitung auf den Beweis beginnen wir mit einer Diskussion der sogenannten \glqq reduzierten Homologie\grqq. Diese Variante der Homologie hilft auch sonst oft, Sonderbetrachtungen im Grad Null zu vermeiden. \end{Bemerkung} \begin{Definition} F"ur jeden Raum $X$ kann man den Komplex $S X$ der singul"aren Ketten verl"angern zu einem Komplex $\tilde{S}X$ mit $\tilde{S}_{q} X = S_{q}X$ f"ur $q\neq -1$ und $\tilde{S}_{-1}X = R,$ wo $\partial_{0} : \tilde{S}_{0}X \ra \tilde{S}_{-1}X$ gegeben wird durch die sogenannte \defind{Augmentation} $\epsilon:\sum n_{x} x \mapsto \sum n_{x}.$ Offensichtlich erhalten wir so wieder einen Funktor $\tilde{S}:\op{Top} \ra \op{Ket}_R$ und definieren dann die \defnoind{reduzierten Homologiegruppen}\index{reduzierte Homologiegruppen} von $X$ durch die Vorschrift $$\tilde{H}_{q}(X) =\tilde{H}_{q}(X;R) = H_{q} \tilde{S}(X;R)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} F"ur $X\neq \emptyset$ gilt $\tilde{H}_{q}(X)=0$ f"ur $q<0,$ f"ur die leere Menge erhalten wir jedoch $\tilde{H}_{-1}(\emptyset) =R.$ Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ bezeichne ganz allgemein $G[q]$ den Komplex mit $G$ im Grad $q$ und Nullen sonst. Wir haben eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $R[-1]\hookrightarrow \tilde{S}X \twoheadrightarrow SX.$ Mit der zugeh"origen langen Homologiesequenz erhalten wir $H_{q}X = \tilde{H}_{q} X$ f"ur $q>0$ und im Fall $X\neq\emptyset$ eine kurze exakte Sequenz $\tilde{H}_{0}X \hra H_{0} X\sra R,$ mithin nach \ref{fsp} und \ref{spalt} einen (allerdings nicht kanonischen) Isomorphismus $H_{0} X \cong \tilde{H}_{0}X \oplus R.$ Es gilt also $\tilde{H}_{0}X = 0$ genau dann, wenn $X$ leer oder wegzusammenh"angend ist, und die reduzierte Homologie von Sph"aren wird f"ur alle $n\geq -1$ gegeben durch $$\begin{array}{ccl} \tilde{H}_{q}(S^{n})&\cong & \left\{\begin{array}{cl} R & n=q;\\ 0& \text{sonst.} \end{array}\right. \end{array}$$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} F"ur ein Raumpaar $(X,A)$ folgt aus der kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen $\tilde{S}A \hookrightarrow \tilde{S}X \twoheadrightarrow \tilde{S}X/\tilde{S}A$ auch eine lange exakte Sequenz f"ur Raumpaare in der reduzierten Homologie, wobei nat"urlich gilt $\tilde{S}X/\tilde{S}A = SX /SA$ und folglich $\tilde{H}_{q}(X,A) = H_{q}(X,A).$ Homotope Abbildungen $f,g: X \ra Y$ induzieren auch auf der reduzierten Homologie dieselben Abbildungen: Um das zu sehen reicht es, unsere Kettenhomotopie $S f \simeq S g$ durch Null auf $\tilde{S}_{-1} X = R$ fortzusetzen. Die Mayer-Vietoris-Sequenz und ihr Beweis "ubertragen sich ebenso ohne Schwierigkeiten in die reduzierte Homologie. Der folgende Beweis ist eine erste Illustration f"ur die N"utzlicheit der reduzierten Homologie. \end{Bemerkung} \begin{Proposition}\label{FP} Sei $r\geq 0$ und $\varphi :[0,1]^{r} \ra S^{n}$ eine stetige Injektion mit Bild $\op{im}\varphi = \varphi ([0,1]^{r}).$ So gilt $\tilde{H}_{q}(S^{n}-\op{im}\varphi)=0$ f"ur alle $q.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{QHK} ist $\varphi$ ein Hom"oomorphismus auf sein Bild. Da $S^{n}$ nie zusammenziehbar ist, folgt $S^{n}\neq \op{im} \varphi.$ Wir k"onnen uns also auf $q\geq 0$ beschr"anken. Daf"ur machen wir eine Induktion "uber $r$ und geben dazu der Aussage der Proposition den Namen $P (r).$ Nach Konvention ist $[0,1]^{0}$ ein Punkt und $S^{n} -x$ ist zusammenziehbar, ja sogar hom"oomorph zu $\DR^{n}$ f"ur alle $x \in S^{n}.$ Das liefert unsere Induktionsbasis $P (0).$ Sei nun $P(r-1)$ bekannt, sei $\varphi :[0,1]^{r} \ra S^{n}$ eine stetige Injektion und sei $z\in \tilde{S}_{q}(S^{n}-\op{im} \varphi)$ ein (reduzierter) $q$-Zykel, $q\geq 0.$ Es gilt zu zeigen, da"s $z$ ein Rand ist. F"ur $I \subset [0,1]$ setzen wir $$U_{I} = S^{n} -\varphi (I\times [0,1]^{r-1})$$ und k"urzen $U_{\{t\}}=U_{t}$ ab. Nach unserer Induktionsannahme $P(r-1)$ gibt es f"ur alle $t \in [0,1]$ ein $w_{t} \in S_{q+1} U_{t}$ mit $\partial w_{t} = z.$ Mit Kompaktheitsargumenten folgt, da"s sogar gilt $w_{t} \in S_{q+1}U_{B}$ f"ur eine geeignete Umgebung $B$ von $t$ in $[0,1].$ Mit zus"atzlichen Kompaktheitsargumenten gibt es dann eine Folge $0=t_{0} n$ ist unm"oglich, da $\tilde{H}_{q}$ stets verschwindet f"ur $q<-1.$ Im Fall $r=n$ haben wir $S^{n}=s^{r},$ denn $\tilde{H}_{-1} (X) \neq 0$ bedeutet $X = \emptyset.$ Im Fall $r\leq n-2$ haben wir $\tilde{H}_{0} (S^{n}-s^{r}) = 0$ aber $S^{n}-s^{r}\neq\emptyset.$ Es folgt ${H}_{0} (S^{n}-s^{r}) \cong \Bbb{Z},$ und damit hat $S^{n}-s^{r}$ genau eine Wegzusammenhangskomponente, die auch die einzige Zusammenhangskomponente sein mu"s. Im Fall $r=n-1$ haben wir $\tilde{H}_{0} (S^{n}-s^{r}) \cong \Bbb{Z},$ also ${H}_{0} (S^{n}-s^{r}) \cong \Bbb{Z}^2$ und damit hat $S^{n}-s^{r}$ genau zwei Wegzusammenhangskomponenten. Da bei einer offenen Teilmenge von $S^{n}$ jeder Punkt eine wegzusammenh"angende Umgebung hat, sind das auch die Zusammenhangskomponenten von $S^{n}-s^{r}.$ Jetzt m"ussen wir nur noch im Fall $r=n-1$ zus"atzlich zeigen, da"s $s^{n-1}$ im Abschlu"s jeder der beiden Zusammenhangskomponenten von $S^{n}-s^{n-1}$ liegt. F"ur ein beliebiges $x\in s^{n-1}$ und eine beliebige offene Umgebung $U$ von $x$ in $S^{n}$ finden wir eine Teilmenge $A\subset s^{n-1}$ mit $x\in A$ derart, da"s gilt $\bar{A} \subset U$ und $s^{n-1} -A \cong [0,1]^{n-1}.$ Wir setzen $s^{n-1}-A =e.$ Nach \ref{FP} ist $S^{n}-e$ wegzusammenh"angend. Verbinden wir nun zwei Punkte aus verschiedenen Zusammenhangskomponenten von $S^{n}-s^{n-1}$ in $S^{n}-e$ durch einen Weg $\sigma,$ so mu"s $\sigma$ durch $A$ laufen. Ist $\sigma (t)$ bzw.\ $\sigma (s)$ der erste bzw.\ letzte Punkt von $\sigma$ in $\bar{A},$ so liegen f"ur kleines $\epsilon > 0$ notwendig $\sigma (t-\epsilon),$ $\sigma (s+\epsilon)$ in $U,$ aber in verschiedenen Wegzusammenhangskomponenten von $S^{n}-s^{n-1}.$ Jede offene Umgebung $U$ von $x$ trifft also beide Komponenten von $S^{n}- s^{n-1}.$ \end{proof} \begin{Korollar} Sei $n\geq 2$ und sei $s^{n-1}\subset \DR^{n}$ eine Teilmenge, die hom"oo\-morph ist zur $(n-1)$-Sph"are $S^{n-1}.$ So zerf"allt ihr Komplement $\DR^{n}-s^{n-1}$ in zwei Zusammenhangskomponenten, deren Rand jeweils $s^{n-1}$ ist. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Man fasse $\DR^{n}$ auf als das Komplement eines Punktes in $S^{n}.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Der Spezialfall $n=2$ des vorhergehenden Korollars hei"st der \defnoind{Jordan'sche Kurvensatz}\index{Jordan'scher Kurvensatz}. Er besagt grob gesprochen, da"s jede geschlossene Kurve in der Ebene die Ebene in zwei Zusammenhangskomponenten zerlegt. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}[\emph{\bf Invarianz von Gebieten}]\index{Invarianz von Gebieten} Seien $U,V\subset\DR^n$ zwei Teilmengen, die hom"oomorph sind als topologische R"aume. Ist $U$ offen, so ist auch $V$ offen. (In der Funktionentheorie nennt man offene Teilmengen der komplexen Zahlenebene auch Gebiete, daher die Terminologie.) \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Sind $S,S^{\prime} \subset S^{n}$ disjunkte Teilmengen, die hom"oomorph sind zu $S^{p}$ bzw. $S^{q}$ mit $p+q = n-1,$ so kann man ihre \defind{Verschlingungszahl} $v(S,S^{\prime})\in \Bbb{N}$ definieren als den Betrag des Bildes der Eins unter $\Bbb{Z} \cong \tilde{H}_{p} (S;\DZ) \ra \tilde{H}_{p} (S^{n} - S^{\prime};\DZ) \cong \Bbb{Z}.$ Mehr dazu findet man in \cite{StZ}. \end{Bemerkung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%% 8 %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Homologie und Orientierung} \begin{Satz}[Homologie und \defind{Orientierung}] Ist $n\geq 0$ eine nat"urliche Zahl und $g \in \op{GL} (n,\DR)$ eine invertierbare reelle Matrix, so induziert die stetige Abbildung $g:\Bbb{R}^{n}\ra \Bbb{R}^{n}$ auf den reduzierten Homologiegruppen $\tilde{H}_{n-1} ( \Bbb{R}^{n}- 0)$ die Multiplikation mit dem Vorzeichen der Determinante von $g,$ in Formeln $${H}_{n}g=\left(\frac{\op{det}g}{|\op{det}g|}\right): \tilde{H}_{n-1}(\Bbb{R}^{n}- 0)\ra \tilde{H}_{n-1}(\Bbb{R}^{n}- 0) $$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir verwenden hier die Konvention, nach der die Identit"at auf dem Nullvektorraum die Determinante $1$ hat. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wie man in der linearen Algebra zeigt, bilden f"ur $n\geq 1$ die Elemente von $\op{GL}(n,\DR)$ mit positiver bzw.\ negativer Determinate gerade die beiden Wegzusammenhangskomponenten von $\op{GL} (n,\DR).$ Elemente $g,h$ aus derselben Wegzusammenhangskomponente liefern offensichtlich homotope Abbildungen $g,h:(\Bbb{R}^{n}- 0) \ra (\Bbb{R}^{n}- 0).$ Wenn wir also den Satz f"ur {\em ein} $g$ mit $\op{det} g < 0$ zeigen, so folgt er in voller Allgemeinheit. Nun betrachten wir den anschaulichen Rand $\partial \Delta_{n}$ des $n$-ten Standardsimplex wie in \ref{AnRa} und die Homotopie"aquivalenzen $$(\Bbb{R}^{n} - 0) \hookrightarrow (\Bbb{R}^{n+1} - \Bbb{R} (1,1,\ldots , 1)) \hookleftarrow \partial \Delta_{n},$$ wo die linke Einbettung als letzte Koordinate eine Null anf"ugt und in der Mitte die Gerade durch den Nullpunkt mit Richtungsvektor $(1,1,\ldots , 1) $ herausgenommen wird. Nehmen wir $n \geq 2$ an, so h"alt die Vertauschung der ersten beiden Koordinaten unsere beiden Teilr"aume fest. Der Satz folgt so f"ur $n\geq 2$ mit dem kanonischen Isomorphismus $H_{n} (\Delta_{n}, \partial \Delta_{n})\sira \tilde{H}_{n-1}( \partial \Delta_{n})$ aus dem anschlie"senden Lemma. Die F"alle $n=0,1$ "uberlassen wir dem Leser. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $n\geq 2$ und sei $g : \Delta_{n} \ra \Delta_{n}$ die stetige Abbildung, die gegeben wird durch die Vertauschung der beiden ersten Koordinaten. So induziert $g$ auf der relativen Homologie $H_{n} (\Delta_{n}, \partial \Delta_{n})$ die Multiplikation mit $-1,$ in Formeln $$H_{n} g = (-1) : H_{n} (\Delta_{n}, \partial \Delta_{n})\ra H_{n} (\Delta_{n}, \partial \Delta_{n})$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten in $\Delta_{n}$ den singul"aren $(n+1)$-Simplex $$\sigma : \Delta_{n+1} \ra \Delta_{n}$$ der die Ecken von $\Delta_{n+1}$ auf die Ecken von $\Delta_{n}$ abbildet wie im Folgenden angegeben (unter einer Ecke von $\Delta_{n+1}$ steht jeweils ihr Bild) $$\begin{array}{l} \op{e}_{0}, \op{e}_{1}, \op{e}_{2}, \op{e}_{3},\ldots ,\op{e}_{n+1}\\ \op{e}_{0}, \op{e}_{1}, \op{e}_{0}, \op{e}_{2},\ldots , \op{e}_{n} \end{array}$$ und der auf ganz $\Delta_{n+1}$ affin ist. Wir erkennen $$\partial \sigma \in \tau_{n} + (S_{n}g) (\tau_{n}) + S_{n} (\partial \Delta_{n})$$ und folgern $[\tau_{n}] + (H_ng) [\tau_{n}]=0$ in $H_{n} (\Delta_{n}, \partial \Delta_{n}).$ \end{proof} \begin{Korollar}[Vektorfelder auf Sph"aren] Genau dann gibt es auf der $n$-Sph"are $S^{n}$ ein nirgends verschwindendes stetiges Vektorfeld, wenn ihre Dimension $n$ ungerade ist. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Ein Vektorfeld ist f"ur uns eine stetige Abbildung $v : S^{n}\ra \DR^{n+1}$ derart, da"s $v(x)$ senkrecht steht auf $x$ f"ur alle $x,$ in Formeln $x\perp v(x)\;\forall x \in S^{n}.$ Ist $n$ ungerade, so k"onnen wir ein m"ogliches $v$ angeben durch $$v (x_{0}, \ldots,x_{n})= (x_{1},-x_{0},x_{2},-x_{1}, \ldots, x_{n-1},-x_{n})$$ In jedem Fall k"onnen wir ein nirgends verschwindendes Vektorfeld $v$ auf L"ange eins normieren. Es definiert dann eine Familie von Abbildungen $\varphi _{t} : S^{n} \ra S^{n},$ wo $\varphi_{t} (x)$ der Punkt ist, an dem man landet, wenn man von $x$ in Richtung $v(x)$ f"ur die Zeit $t$ auf dem entsprechenden Gro"skreis um die Sph"are l"auft, in Formeln $\varphi_{t} (x) = (\cos t) x + (\sin t) v(x).$ So erhalten wir nun offensichtlich eine Homotopie zwischen der Identit"at und der Antipodenabbildung $a = \varphi_{\pi} : S^{n}\ra S^{n},$ $x \mapsto -x.$ Da aber die Einbettung $S^n\hra (\DR^{n+1}-0)$ eine Homotopie"aquivalenz ist und da folglich gilt $\tilde{H}_{n}(a)=(-1)^{n+1}$ auf $\tilde{H}_{n}(\DR^{n+1}-0;\DZ),$ ist das nur f"ur ungerades $n$ m"oglich. \end{proof} \begin{Ubung} Seien $A,B\co\DR^n$ offene Umgebungen des Ursprungs und $g:A\sira B$ ein Diffeomorphismus mit $g(0)=0.$ So kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} H_n(A,A-0)&\ra &H_n(B,B-0)\\ \da&&\da\\ H_n(\DR^n,\DR^n-0)&\ra &H_n(\DR^n,\DR^n-0) \end{array}$$ mit dem Vorzeichen der Funktionaldeterminante $\det(\op{d}_0 g)$ als unterer Horizontale. (Hinweis: F"ur vom Ursprung verschiedene Punkte $p$ nahe am Ursprung gilt $\|g(p)- (\diff_0 g)(p)\|<\|(\diff_0 g)(p)\|.$) \end{Ubung} \subsection{Orientierung und Fundamentalzykel}\label{OFZ} \begin{Bemerkung} Sei $M$ eine $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit. F"ur jeden Punkt $x \in M$ ist die relative Homologie $H_{n} (M,M-x)$ frei vom Rang 1 nach Ausschneidung \ref{Asch} und den Resultaten \ref{MNH} "uber die Homologie von Sph"aren. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Eine \defind{Orientierung} einer $n$-Mannigfaltigkeit $M$ ist eine Zuordnung $\omega,$ die jedem Punkt $x \in M$ einen Erzeuger $\omega_{x}$ der relativen ganzzahligen Homologie $H_{n}(M,M-x;\DZ)$ zuordnet und zwar so, da"s gilt: F"ur alle $x \in M$ gibt es eine Umgebung $U$ von $x$ und ein Element $\omega_{U} \in H_{n} (M,M-U;\DZ)$ mit $\omega_{U} \mapsto \omega_{y}$ f"ur alle $ y \in U$ unter der nat"urlichen Abbildung $H_{n} (M,M-U;\DZ)\ra H_{n} (M,M-y;\DZ).$ \end{Definition} \begin{Definition} Eine Mannigfaltigkeit, die mindestens eine Orientierung besitzt, hei"st {\bf orientierbar}. Unter einer \defnoind{orientierten Mannigfaltigkeit}\index{orientierte Mannigfaltigkeit} verstehen wir eine Mannigfaltigkeit mit einer ausgezeichneten Orientierung. Eine Orientierung auf $M$ induziert in offensichtlicher Weise eine Orientierung auf jeder offenen Teilmenge von $M.$ \end{Definition} \begin{Lemma}\label{EOr} Stimmen zwei Orientierungen $\omega,\eta$ einer zusammen\-h"ang\-enden Mannigfaltigkeit $M$ "uberein in einem Punkt, so sind sie gleich. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Das folgt auch direkt aus dem anschlie"senden Lemma \ref{OGA}. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei $x \in M$ gegeben mit $\omega_{x} = \eta_{x}.$ Wir zeigen, da"s es eine Umgebung $U$ von $x$ gibt mit $\omega_{y} = \eta_{y} \quad \forall y \in U.$ Sicher d"urfen wir dazu annehmen $M = \DR^{n}.$ Per definitionem gibt es einen offenen Ball $U$ um $x$ und Elemente $\omega_{U},\eta_{U} \in H_{n} (\DR^{n},\DR^{n}-U;\DZ)$ mit $\omega_{U} \mapsto \omega_{y} $ und $\eta_{U}\mapsto \eta_{y}\quad \forall y \in U.$ Da aber f"ur so ein $U$ die Einbettung Isomorphismen $$H_{n}(\DR^{n}, \DR^{n}-U;\DZ) \sira H_{n} (\DR^{n}, \DR^{n}-y;\DZ)$$ induziert f"ur alle $y\in U$ folgt in der Tat $\omega_{y} = \eta_{y} \quad \forall y \in U.$ Die Mengen $M_{\pm}$ aller $x\in M$ mit $\omega_{x} = \pm\eta_{x}$ sind folglich offen. Damit ist $M=M_+\amalg M_{-}$ eine Zerlegung in zwei disjunkte offene Teimengen und da nach Annahme $M_+$ nicht leer ist und $M$ zusammenh"angend folgt $\omega=\eta.$ \end{proof} \begin{Definition} Die \defind{Orientierungsgarbe} {\bf von $M$ mit Koeffizienten in $R$} ist die Menge $$\op{or} = \op{or}_{M} = \op{or}_{M,R} =\coprod_{x \in M} H_{n} (M,M-x;R)$$ versehen mit der Topologie, die erzeugt wird von allen Teilmengen der Gestalt $ {\cal O}(U,\omega_U) = \{ \omega_{x} \mid x \in U\}$ f"ur $U\co M$ und $\omega_U \in H_{n} (M,M-U;R).$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Die offensichtliche Abbildung $\op{or}_M\ra M$ ist eine "Uberlagerung nach dem anschlie"senden Lemma und damit der \'etale Raum einer \glqq Garbe auf $M$\grqq\ in der Terminologie, wie wir sie in \ref{DeGa} einf"uhren. In dieser Terminologie ist die Orientierungsgarbe "ubrigends gerade die \glqq Garbifizierung\grqq\ der \glqq Pr"agarbe\grqq\ $U\mapsto H_n(M,M-U).$ \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{OGA} \begin{enumerate} \item Ist $V \co M$ eine offene Teilmenge, so haben wir mit den offensichtlichen Abbildungen ein kartesisches Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{or}_{V} & \ra &\op{or}_{M}\\ \downarrow & &\downarrow \\ V &\ra &M \end{array}$$ \item Die nat"urliche Projektion $\op{or}_{M}\ra M$ ist eine "Uberlagerungsabbildung. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Zun"achst zeigen wir, da"s die durch die nat"urlichen Abbildungen $H_{n} (V,V-x) \sira H_{n} (M,M-x)$ definierte Injektion $\op{can}:\op{or}_{V} \ra \op{or}_{M}$ stetig ist. Es gilt also zu zeigen, da"s die Urbilder aller $ {\cal O}(U,\omega_U) $ offen sind. In der Tat k"onnen wir das Urbild einer solchen Menge aber schreiben als $$\op{can}^{-1}({\cal O}(U,\omega_U))=\bigcup_{W\co U\cap V,\; \overline{W}\subset V}{\cal O}_V(W,\omega_U|_W)$$ wo wir mit $\omega_U|_W$ das Bild von $\omega_U$ unter $$H_{n} (M,M-U)\ra H_{n} (M,M-W)\overset{\sim}{\leftarrow}H_{n} (V,V-W)$$ meinen und mit ${\cal O}_V(\;,\;)$ die definitionsgem"a"sen Erzeuger der Topologie auf $\op{or}_V$ bezeichnen. "Ahnlich aber einfacher erkennt man, da"s unsere Injektion $\op{can}:\op{or}_{V} \ra \op{or}_{M}$ offen ist. Mithin tr"agt $\op{or}_{V}$ die von $\op{or}_{M}$ induzierte Topologie, und dann folgt ohne weitere Schwierigkeiten, da"s unser Diagramm kartesisch ist. \\[2mm] \noindent 2. Sei $B\subset\DR^n$ der offene Einheitsball und $p:\op{or}_{\DR^n}\ra \DR^n$ die Projektion. Wir versehen $H_n(\DR^n,\DR^n-B)$ mit der diskreten Topologie und sind fertig, sobald wir gezeigt haben, da"s die offensichtliche Abbildung einen Hom"oomorphismus $$H_n(\DR^n,\DR^n-B)\times B\sira p^{-1}(B)$$ definiert. Unsere Abbildung ist offensichtlich bijektiv. Sie ist offen, da f"ur $U\co B$ und $\omega\in H_n(\DR^n,\DR^n-B)$ das Bild von $\{\omega\}\times U$ genau ${\cal O}(U,\omega_U)$ ist, mit $\omega_U$ dem Bild von $\omega$ unter der offensichtlichen Abbildung. Sie ist stetig, da die Topologie auf $p^{-1}(B)$ auch schon erzeugt wird von den Mengen ${\cal O}(U,\omega_U)$ mit $U\co B$ ein in $B$ enthaltener offener Ball und $\omega_U\in H_n(\DR^n,\DR^n-U).$ Dann existiert aber offensichtlich ein $\omega\in H_n(\DR^n,\DR^n-B)$ mit $\omega\mapsto \omega_U.$ \end{proof} \begin{Ubung} Die faserweise Addition $\op{or} \times_{M} \op{or} \ra \op{or}$ sowie das faserweise Negative $\op{or} \ra \op{or}$ sind stetig, und der \defind{Nullschnitt} $M\ra \op{or}$ ist auch stetig. In der Terminologie \ref{??} ist damit die Orientierungsgarbe ein abelsches Gruppenobjekt in der Kategorie $\op{Top}_M$ der topologischen R"aume "uber $M.$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung}\label{OrDar} Arbeiten wir mit Koeffizienten in $\DZ,$ so ist die Teilmenge $\op{or}^{\times} \subset \op{or},$ die gerade aus allen Erzeugern von $H_{n} (M,M-x;\DZ)$ f"ur die verschiedenen $x\in M$ besteht, eine zweibl"attrige "Uberlagerung von $M$ und eine Orientierung von $M$ ist nichts anderes als ein Lift $M \ra \op{or}^{\times}$ der Identit"at auf $M.$ Insbesondere ist $M$ orientierbar genau dann, wenn $\op{or}^{\times} \ra M$ eine triviale "Uberlagerung ist, und \ref{EOr} ist auch eine Konsequenz aus dem Satz \ref{EL} "uber die Eindeutigkeit von Lifts. Ist $M$ zusammenh"angend und $x\in M$ fest gew"ahlt, so liefert diese "Uberlagerung eine Operation der Fundamentalgruppe $\pi_1(M,x)$ auf einer zweielementigen Menge alias einen Homomorphismus $\pi_1(M,x)\ra \{\pm 1\}$ und $M$ ist orientierbar genau dann, wenn diese \defind{Orientierungsdarstellung} konstant ist. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\label{OK2} Die Orientierungsgarbe einer Mannigfaltigkeit $M$ mit Koeffizienten in $\Bbb{F}_2$ ist stets trivial, d.h.\ kanonisch isomorph zu $\Bbb{F}_2\times M.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine einfach zusammenh"angende Mannigfaltigkeit ist stets orientierbar, und sogar allgemeiner jede Mannigfaltigkeit, deren Fundamentalgruppe keinen Normalteiler vom Index zwei besitzt. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur jede Mannigfaltigkeit $M$ ist der Raum $\op{or}^{\times}_{M,\DZ}$ eine orientierbare, ja sogar eine in nat"urlicher Weise orientierte Mannigfaltigkeit. \end{Ubung} \begin{Satz}[\defind{Fundamentalzykel}]\label{FZ} Sei $M$ eine kompakte zusammen\-h"angende orientierbare $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit. So ist die $n$-te Homologiegruppe $H_{n}M$ von $M$ frei vom Rang 1, genauer definiert die offensichtliche Abbildung f"ur alle $x\in M$ Isomorphismen $$H_{n}(M;\DZ)\sira H_{n}(M,M-x;\DZ)$$ \end{Satz} \begin{proof} Um beim Beweis dieses Satzes die n"otige Flexibilit"at zu haben, zeigen wir im folgenden gleich die allgemeinere Aussage \ref{HHM}. \end{proof} \begin{Bemerkung} Ist $(M,\omega)$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit, so gibt es nach dem Satz genau ein $\omega_M\in H_{n}(M;\DZ)$ mit $\omega_M\mapsto \omega_x\quad \forall x\in M.$ Dies $\omega_M$ hei"st der \defind{Fundamentalzykel} der orientierten Mannigfaltigkeit $M,$ obwohl es nat"urlich eigentlich kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Ist eine kompakte orientierbare $n$-Manningfaltigkeit $M$ mit einer Triangulierung $M \cong \Delta (\cal{K})$ versehen und haben wir eine vollst"andige Ordnung auf den Ecken $\cal{K}_0$ von $\cal{K}$ gew"ahlt, so k"onnen wir jedem $n$-Simplex $\sigma\in\cal{K}_n$ ein Vorzeichen $\op{sgn} (\sigma)$ zuordnen derart, da"s $\sum_{\sigma \in \cal{K}_{n}} \op{sgn} (\sigma) \langle \sigma \rangle$ ein Zykel in $S_n(X;\DZ)$ ist. Ist $M$ auch noch zusammenh"angend, so gibt es genau zwei derartige Zykel und ihre Homologieklassen sind genau die beiden Erzeuger von $H_n(M;\DZ).$ \end{Bemerkung} \begin{Definition} Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ und eine Teilmenge $A\subset M$ nennen wir einen Lift $A \ra \op{or}_{M,R}$ der Einbettung $A \hra M$ auch einen (stetigen) \defnoind{Schnitt "uber $A$} der Orientierungsgarbe \index{Schnitt der Orientierungsgarbe}. Die Gruppe der Schnitte "uber $A$ notieren wir $$\Gamma (A; \op{or}) = \Gamma A$$ Der \defind{Tr"ager} eines Schnitts $s \in \Gamma A$ ist die Menge $\op{supp} s \subset A$ aller derjenigen Punkte, an denen er von Null verschieden ist. Dieser Tr"ager ist stets abgeschlossen in $A.$ Wir bezeichnen mit $\Gamma_{c} A\subset\Gamma A$ die Untergruppe aller Schnitte mit kompaktem Tr"ager. \end{Definition} \begin{Satz}["uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten]\label{HHM} Sei $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $A \As M$ eine abgeschlossene Teilmenge. So haben wir $H_{q}(M,M-A;R)=0$ f"ur $q > n$ und f"ur $q=n$ induziert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus zwischen der $n$-ten relativen Homologie des Komplements von $A$ und der Gruppe der Schnitte mit kompaktem Tr"ager von $A$ in die Orientierungsgarbe, in Formeln $$j = j_{A} : H_{n} (M,M-A;R)\sira \Gamma_{c}A$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Speziell ist f"ur $R=Bbb{F}_2$ nach \ref{OK2} f"ur jede $n$-Mannigfaltigkeit $M$ also $ H_{n} (M;Bbb{F}_2)$ kanonisch isomorph zum freien $\Bbb{F}_2$-Modul "uber der Menge aller kompakten Zusammenhangskomponenten von $M.$ Ist $M$ kompakt und zusammenh"angend und trianguliert, so repr"asentiert die Summe aller $n$-Simplizes das einzige nichttriviale Element von $ H_{n} (M;Bbb{F}_2),$ das in diesem Fall auch der \defind{Fundamentalzykel} {\bf mit Koeffizienten in } $\Bbb{F}_2$ hei"st. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Um Schreibarbeit zu sparen k"urzen wir $H_{q}(M,M-A)= H_{q}(-A)$ ab und bemerken zun"achst:\begin{Lemma} Sind $A_{1}, A_{2}$ abgeschlossen in $M$ und gilt der Satz f"ur $A_{1}, A_{2}$ und $A_{1}\cap A_{2},$ so gilt er auch f"ur $A_{1}\cup A_{2}.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt aus dem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{cccccccc} \scriptstyle{\ldots }&\scriptstyle{H_{n+1}(-A_{1}\cap A_{2})}&\scriptstyle{\ra }&\scriptstyle{ H_{n}(-A_{1}\cup A_{2}) }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ H_{n}(-A_{1})\oplus H_{n} (-A_{2})}&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{H_{n}(-A_{1}\cap A_{2})}\\ &\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow}\\ \scriptstyle{ \ldots }&\scriptstyle{ 0 }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ \Gamma_{c}(A_{1}\cup A_{2}) }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{\Gamma_{c}A_{1} \oplus \Gamma_{c}A_{2} }&\scriptstyle{ \rightarrow }&\scriptstyle{ \Gamma_{c}(A_{1}\cap A_{2})} \end{array}$$ mit exakten Zeilen, wo wir oben die relative Mayer-Vietoris-Sequenz \ref{RMVS} benutzt haben. \end{proof} \noindent Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur allgemeinen Situation. \\[2mm] \noindent 1. Ist $M = \DR^{n}$ und $A \subset \DR^{n}$ ein kompakter Quader (dem wir auch Seiten der L"ange Null erlauben), so gilt der Satz ganz offensichtlich, da f"ur jeden Punkt $p \in A$ die Einbettung $\DR^{n} - A \hookrightarrow \DR^{n} - p$ eine Homotopie"aquivalenz ist. \\[2mm] \noindent 2. Ist $M =\DR^{n}$ und $A \subset \DR^{n}$ kompakt, so gilt der Satz. In der Tat, gegeben $z \in S_{q} \DR^{n}$ mit $\partial z \in S_{q} ( \DR^{n}-A)$ finden wir $\epsilon >0$ und $E \subset \DR^{n}$ endlich mit $$A \subset A^{\prime} = \bigcup_{t \in E} t + [0,\epsilon]^{n}$$ und $\partial z \in S_{q} ( \DR^{n}-A^{\prime}).$ Es folgt, da"s $[z] \in H_{q} ( \DR^{n}, \DR^{n}-A)$ das Bild von $[z] \in H_{q} ( \DR^{n}, \DR^{n}-A^{\prime})$ ist. Nun gilt der Satz f"ur unsere \glqq W"urfelmenge\grqq\ $A^{\prime}$ nach 1 und dem Lemma. Das zeigt unsere Behauptung im Fall $q >n.$ Im Fall $q=n$ zeigen wir zun"achst die Injektivit"at $j_{A}[z]=0\RA [z]=0.$ Dazu w"ahlen wir unsere W"urfelmenge $A^{\prime}$ zus"atzlich so klein, da"s jeder W"urfel von $A^{\prime}$ die Menge $A$ trifft. Dann ist die Restriktion $\Gamma A^{\prime} \ra \Gamma A$ injektiv und aus $j_{A}[z]=0$ folgt $j_{A^{\prime}}[z]=0$ und damit $[z]=0$ sogar in $H_{q} ( \DR^{n}, \DR^{n}-A^{\prime}).$ Das zeigt die Injektivit"at von $j_{A}.$ Um die Surjektivit"at von $j_{A}$ zu zeigen, argumentieren wir "ahnlich: Jeder stetige Schnitt $s \in \Gamma A$ ist lokal konstant und gleichm"a"sig stetig, l"a"st sich also stetig auf eine geeignete kompakte W"urfelmenge $A^{\prime}$ ausdehnen und kommt damit sogar von einer Klasse aus $H_{n} ( \DR^{n}, \DR^{n}-A^{\prime})$ her. \\[2mm] \noindent 3. Ist $M$ beliebig und $A$ kompakt, so k"onnen wir $A$ schreiben als eine endliche Vereinigung von Kompakta, die jeweils ganz in einer Karte enthalten sind. Dann sind wir fertig nach 2 und dem Lemma. \\[2mm] \noindent 4. $M$ l"a"st sich einbetten als offene Teilmenge mit kompaktem Abschlu"s in eine gr"o"sere $n$-Mannigfaltigkeit $X,$ in Formeln $M \co X$ mit $\overline{M}$ kompakt, und $A \As M$ ist eine beliebige abgeschlossene Teilmenge von $M.$ Bezeichnen wir den Rand von $M$ in $X$ mit $\partial M = \overline{M} - M,$ betrachten die lange exakte Sequenz des Tripels $$(X,X-\partial M, X -(\partial M \cup A))$$ und beachten, da"s $\partial M$ und $\partial M \cup A$ kompakt sind, so folgt f"ur $q >n$ schon $0 = H_{q} (X-\partial M, X - (\partial M \cup A))$ und durch Ausschneiden von $X - \overline{M}$ auch $0= H_{q} (M, M-A).$ Im Fall $q = n$ erhalten wir mit derselben Ausschneidung ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} \scriptstyle{0 }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{H_{n} (M,M-A) }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{H_{n} (X, X-(\partial M \cup A)) }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ H_{n}(X,X-\partial M)}\\ & & \scriptstyle{\downarrow }&\scriptstyle{ }& \scriptstyle{\downarrow\!\!\wr }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow\! \!\wr }\\ \scriptstyle{0 }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ \Gamma_{c}A }&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{ \Gamma_{c} (\partial M \cup A)}&\scriptstyle{ \ra }&\scriptstyle{\Gamma_{c} (\partial M)} \end{array}$$ mit exakten Zeilen, wo die zweite horizontale Abbildung der unteren Zeile einen Schnitt mit kompaktem Tr"ager fortsetzt durch Null. Die Behauptung folgt mit dem F"unferlemma. \\[2mm] \noindent 5. Der allgemeine Fall. Sei zun"achst $q > n$ und $z \in S_{q}M$ ein Repr"asentant von $\omega \in H_{q} (M,M-A).$ So finden wir $U \co M$ mit $z \in S_{q} U$ und $\overline{U}$ kompakt. Nach dem vorhergehenden Punkt verschwindet die Klasse von $z$ schon in $H_{q} (U,U-A),$ also erst recht in $H_{q}(M,M-A)$ und es folgt $H_{q} (M,M-A) =0$ f"ur $q > n.$ Im Fall $q =n$ beachten wir f"ur $U\co M$ das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccc} H_{n} (U, U-A) & \ra & H_{n} (M,M-A)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \Gamma_{c} (A \cap U) & \ra & \Gamma_{c} A \end{array}$$ wo die untere Horizontale ausdehnt durch Null. Ist $\overline{U}$ kompakt, so ist die linke Vertikale ein Isomorphismus nach dem vorigen Schritt. Aber jedes $\omega \in H_{n} (M,M-A)$ wird repr"asentiert von einem $z \in S_{n} M,$ wir finden dann $U\co M$ mit $\overline{U}$ kompakt und $z \in S_{n} U$ und so kommt $\omega$ schon her von einem $\left[ z \right] \in H_{n} (U,U-A).$ Das zeigt die Injektivit"at von $j_{A}.$ Die Surjektivit"at zeigen wir "ahnlich: F"ur jedes $s \in \Gamma_{c} A$ gibt es $U\co M$ mit $\overline{U}$ kompakt und $s \in \Gamma_{c} (A \cap U)$ und dann kommt $s$ sogar schon her von $H_{n} (U,U-A).$ \end{proof} \begin{Korollar}\label{HMN}%\label{OM} Ist $M$ eine zusammenh"angende aber nicht kompakte oder nicht orientierbare $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit, so gilt $H_{n} (M;\DZ)=0.$ \end{Korollar} \begin{Korollar}\label{Adu} Ist $A \subset \DR^{n}$ kompakt mit $k$ Zusammenhangskomponenten und haben wir $k< \infty,$ so gilt $\tilde{H}_{n-1} (\DR^{n} -A;R) \cong R^{k}.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir haben $H_{n}(\DR^{n}, \DR^{n} -A) \sira \tilde{H}_{n-1} (\DR^{n} -A)$ nach der langen exakten Homologiesequenz und der linke Raum ist isomorph zu $\Gamma_{c} A \cong R^{k}$ nach dem Satz. \end{proof} \begin{Bemerkung} Dies letzte Korollar ist ein Spezialfall der sogenannten \glqq Alexander-Dualit"at\grqq\ \ref{ADu}. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $f: M \ra N$ eine stetige Abbildung von kompakten orientierten zusammenh"angenden $n$-Mannigfaltigkeiten. Seien $\omega_{M} \in H_{n} (M;\DZ)$ und $\omega_N \in H_n (N;\DZ)$ die Fundamentalzykel. Der \defind{Abbildungsgrad} von $f$ ist die ganze Zahl $\op{grad} f \in \Bbb{Z},$ die gegeben wird durch die Gleichung $$f_{\ast} \omega_M = (\op{grad} f) \omega_N$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Insbesondere ist eine Abbildung wie in der Definition mit von Null verschiedenem Abbildungsgrad stets surjektiv, da nach \ref{HMN} gilt $H_n (N-p;\DZ) =0 \quad \forall p \in N$ und da jede Abbildung, deren Bild einen Punkt $p$ nicht enth"alt, faktorisiert als $M\ra (N-p)\hra N.$ Des weiteren haben homotope Abbildungen nach \ref{HIv} denselben Abbildungsgrad. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $f: M \ra N$ eine stetige Abbildung von orientierten $n$-Mannigfal\-tig\-keiten. Ist $q \in M$ ein isolierter Punkt der Faser "uber $f (q),$ d.h.\ gibt es eine offene Umgebung $U \co M$ von $q$ mit $U\cap f^{-1}(f(q))=\{q\},$ so definieren wir den \defnoind{lokalen Grad}\index{lokaler Grad} von $f$ bei $q$ als die ganze Zahl $\op{grad}_{q} f \in \Bbb{Z},$ die gegeben wird durch die Gleichung $$f_{\ast} \omega_{q} = (\op{grad}_{q}f) \omega_{f(q)}$$ f"ur $f_{\ast}: H_{n} (U,U-q;\DZ)\ra H_{n} (N,N-f(q);\DZ),$ wobei es dem Leser "uberlassen sei zu pr"ufen, da"s dieser lokale Grad nicht von der Wahl von $U$ abh"angt. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{"uber den Abbildungsgrad}]\label{ABGr} Sei $f: M \ra N$ eine stetige Abbildung von kompakten orientierten zusammenh"angenden $n$-Mannigfaltig\-kei\-ten. Sei $p \in N$ gegeben mit endlichem Urbild. So gilt $$\op{grad}f = \sum_{q \in f^{-1}(p)} \op{grad}_{q} f$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir nummerieren die Punkte aus der Faser "uber $p$ als $q_{1}, \ldots, q_{r}$ und w"ahlen f"ur sie paarweise disjunkte offene Umgebungen $U_{1}, \ldots , U_{r}.$ Dann betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} H_n (M;\DZ) & \ra & H_n (M,M-\{q_1,\ldots,q_r\};\DZ)& \overset{\sim}{\leftarrow}& \bigoplus_{i} H_{n} (U_i, U_i - q_{i};\DZ)\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ H_n (N;\DZ) & \ra & H_n (N,N-p;\DZ) & = &H_n (N,N-p;\DZ) \end{array}$$ wobei der letzte Isomorphismus der oberen Horizontalen durch Ausschneidung und eine relative Version von \ref{ZH} entsteht. \end{proof} \begin{Ubung} Man bestimme die lokalen Abbildungsgrade der nichtkonstanten Polynomfunktionen $P : \Bbb{C} \ra \Bbb{C}.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ECar} Ist $f:M\ra N$ eine \'etale Abbildung von $n$-Mannigfaltigkeiten und $x\in M$ ein Punkt, so gibt es genau einen Isomorphismus $$H_n(M,M-x;\DZ)\sira H_n(N,N-f(x);\DZ)$$ der f"ur alle Umgebungen $U$ von $x,$ die hom"oomorph auf ihr Bild abgebildet werden, vertr"aglich ist mit den von $f$ induzierten Isomorphismen $H_n(U,U-x;\DZ)\sira H_n(f(U),f(U)-f(x);\DZ).$ Wir erhalten so ein kartesisches Diagramm $$\begin{array}{ccc} \op{or}_{M,\DZ} & \ra &\op{or}_{N,\DZ}\\ \downarrow & &\downarrow \\ M &\ra &N \end{array}$$ Insbesondere l"a"st sich jede Orientierung von $N$ \glqq zur"uckziehen\grqq\ zu einer Orientierung von $M.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Jede Operation einer Gruppe auf einer Mannigfaltigkeit induziert eine Operation auf der Orientierungsgarbe, die vertr"aglich ist mit der faserweisen Addition. Operiert eine Gruppe $D$ topologisch frei auf einer Mannigfaltigkeit $M,$ so ist auch $M/D$ eine Mannigfaltigkeit und die obere Horizontale aus \ref{ECar} induziert einen Hom"oomorphismus $$(\op{or}_{M})/D\sira \op{or}_{(M/D)}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Kugelschalen $S^r$ sind orientierbar f"ur alle $r\geq 0.$ F"ur $r\geq 1$ sind sie auch zusammenh"angend und die Antipodenabbildung $S^r\sira S^r$ bildet einen Fundamentalzykel ab auf sich selber f"ur $r$ ungerade und auf sein Negatives f"ur $r$ gerade. Der reell projektive Raum $\DP^r\DR$ ist orientierbar f"ur $r=0$ und $r\geq 1$ ungerade, jedoch nicht f"ur $r\geq 1$ gerade. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ESph} Eine injektive stetige Abbildung zwischen zusammenh"angenden orientierten kompakten Mannigfaltigkeiten gleicher Dimension kann nie den Abbildungsgrad Null haben und ist folglich stets surjektiv. Mithilfe von Koeffizienten in $\Bbb{F}_2$ zeige man, da"s das auch ohne die Voraussetzung der Orientierbarkeit gilt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur eine kompakte zusammenh"angende $n$-Mannigfaltigkeit $M$ und einen beliebigen Punkt $x\in M$ die kanonische Abbildung $$H_{n} (M;R)\ra H_{n} (M,M-x;R)$$ ein Isomorphismus ist f"ur $M$ orientierbar und eine Injektion mit Bild die Fixpunkte der Multiplikation mit $(-1)$ f"ur $M$ nicht orientierbar. \end{Ubung} \subsection{Homologie von endlichen Zellkomplexen} \begin{Definition} Sei $Y$ ein topologischer Raum, $n\geq 0$ und $ f: S^{n-1} \ra Y$ eine stetige Abbildung. Im Fall $n =0$ verstehen wir $D^{n} =\{0\}$ und $S^{n-1} =\emptyset.$ Wir betrachten auf der disjunkten Vereinigung $D^{n} \amalg Y$ die "Aquivalenzrelation $\sim$ erzeugt von $r \sim f(r) \quad \forall r \in S^{n-1}$ und bilden den Quotienten $$X =(D^{n} \amalg Y) /\sim$$ In dieser Situation sagen wir, der Raum $X$ entstehe aus $Y$ durch \defind{Ankleben einer $n$-Zelle} vermittels $f.$ (Im Fall $n =0$ ist $X$ schlicht die disjunkte Vereinigung von $Y$ mit einem Punkt.) \end{Definition} \begin{Satz}[\defind{Anklebesequenz}] Ist $Y$ Hausdorff und entsteht $X$ aus $Y$ durch Ankleben einer $n$-Zelle vermittels einer stetigen Abbildung $f: S^{n-1}\ra Y,$ so ist $X$ auch Hausdorff und es gibt in der reduzierten Homologie eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra \tilde{H}_{q}S^{n-1}\ra \tilde{H}_{q}Y \ra \tilde{H}_{q}X \ra \tilde{H}_{q-1}S^{n-1}\ra \ldots$$ wobei die erste Abbildung von der Verklebung $f$ induziert wird und die zweite von der Einbettung $Y\hookrightarrow X.$ Insbesondere gilt $\tilde{H}_{q}Y \sira \tilde{H}_{q}X$ f"ur $q\neq n,$ $n-1.$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit einigen Vor"uberlegungen zur mengentheoretischen Topologie von $X.$ Da wir $f$ als stetig annehmen, liefert die Einbettung $Y\hookrightarrow X$ einen Hom"oomorphismus auf ihr Bild. Sicher ist dieses Bild auch abgeschlossen. Weiter pr"uft man leicht, da"s auch $X$ Hausdorff ist. Insbesondere ist das Bild von $D^{n}$ als Kompaktum abgeschlossen in $X.$ Wir betrachten nun den Nullpunkt $0\in D^{n},$ bezeichnen sein Bild in $X$ mit $0\in X$ und behaupten \begin{Lemma} Die Einbettung $Y \hookrightarrow X -0$ ist eine Homotopie"aquivalenz. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir bezeichnen f"ur $y\in Y$ bzw.\ $v\in D^{n}$ mit $[y]$ bzw.\ $[v]$ sein Bild in $X$ und zeigen, da"s die Abbildung $$\begin{array}{rclcll} (X-0)&\times& [0,1]& \ra & X-0 & \\ (\;[y]&,&\tau\;) & \mapsto & [y] & \forall y \in Y\\ (\;[v]&,&\tau\;)& \mapsto & [\tau v / ||v||+ (1-\tau)v] & \forall v \in D^{n} \end{array}$$ wohldefiniert und stetig ist. Nur die Stetigkeit ist hier ein Problem. Nach \ref{aff} reicht es, die Stetigkeit auf $Y\times [0,1]$ und auf dem Bild von $(D^{n}-0)\times [0,1]$ nachzuweisen. Ersteres ist eh klar, f"ur Letzteres m"ussen wir nur Stetigkeit auf dem Bild von $R\times [0,1]$ f"ur alle abgeschlossenen Kreisringe $R=\{1\geq || v || \geq \epsilon\}$ mit $\epsilon >0$ zu zeigen. Diese sind aber kompakt, und da $X$ Hausdorff ist liefert die Einschr"ankung $R \times [0,1]\ra (X-0)\times [0,1]$ eine Quotientenabbildung auf ihr Bild. Die Aussage folgt. \end{proof} \noindent Jetzt betrachten wir den offenen Ball $B^n\subset D^n$ und die offene "Uberdeckung $X=(X-0)\cup B^n.$ Da die reduzierte Homologie von $B^n$ identisch verschwindet, hat die zugeh"orige Mayer-Vietoris-Sequenz der reduzierten Homologie die Gestalt $$\ldots\ra \tilde{H}_{q}(B^n-0) \ra \tilde{H}_{q}(X-0) \ra \tilde{H}_{q}(X)\ra \tilde{H}_{q-1}(B^n-0)\ra \ldots$$ und es bleibt uns nur, im kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} B^n-0&\ra &D^n-0&\leftarrow &S^{n-1}\\ \da&&\da&&\da\\ X-0&\ra &X-0&\leftarrow &Y \end{array}$$ mit Homotopie"aquivalenzen in den Horizontalen zur reduzierten Homologie "uberzugehen und so in unserer Mayer-Vietoris-Sequenz $\tilde{H}_{q}(B^n-0) \ra \tilde{H}_{q}(X-0)$ durch $\tilde{H}_{q}S^{n-1} \ra \tilde{H}_{q}Y$ zu ersetzen. \end{proof} \begin{Korollar}[\defind{Homologie von Zellkomplexen}] Entsteht $X$ aus der leeren Menge durch sukzessives Anheften endlich vieler Zellen und heften wir dabei keine Zellen der Dimension $>d$ an, so gilt $H_{q}X=0$ f"ur $q>d$ und $H_{q}(X;\DZ)$ ist eine endlich erzeugte abelsche Gruppe f"ur alle $q\in \Bbb{Z}.$\end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Man benutze f"ur die zweite Aussage, da"s bei einer kurzen exakten Sequenz abelscher Gruppen $A^{\prime} \hookrightarrow A \twoheadrightarrow A^{\prime \prime}$ die Mitte endlich erzeugt ist genau dann, wenn die Enden es sind. Das Resultat gilt analog auch f"ur Homologie mit Koeffizienten in einem noetherschen Ring. \end{proof}\begin{Beispiel}[\emph{\bf Homologie der komplex projektiven R"aume}]\label{HKPR} Der $\DP^{n}\DC$ ergibt sich aus dem $\DP^{n-1}\DC$ durch Anheften einer $2n$-Zelle. Eine solche Anheftung ist zum Beispiel $$\begin{array}{ccc} F: D^{2n}&\ra &\DP^{n}\DC\\ z = (z_{0},\ldots , z_{n-1})&\mapsto & (z_{0};\ldots ;z_{n-1}; 1-||z|| ) \end{array}$$ Wir erhalten also $$H_{q}(\DP^{n}\DC;R)\cong \left\{\begin{array}{cl} R & q = 0,2,\ldots ,2n;\\ 0& \text{sonst}.\end{array}\right.$$ Entsteht allgemeiner $X$ aus der leeren Menge durch sukzessives Anheften von Zellen gerader Dimension, so verschwindet ${H}_{q}X$ f"ur ungerades $q$ und f"ur gerades $q$ ist ${H}_{q}X$ ein freier $R$-Modul mit einer Basis, deren Kardinalit"at "ubereinstimmt mit der Anzahl der angehefteten $q$-Zellen. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Man bestimme die Homologie der quaternionalen projektiven R"aume. \end{Ubung} \begin{Satz}[Eulercharakteristik von Zellkomplexen] Der Raum $X$ entstehe aus der leeren Menge durch sukzessives Anheften von endlich vielen Zellen. Sei $c_{q}$ die Zahl der verwendeten $q$-Zellen und sei $k$ ein K"orper. So wird die Eulercharakteristik von $X$ gegeben durch die Formel $$\chi (X;k)=\sum (-1)^{q}c_{q} $$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Ist $\ldots \ra A_{i}\overset{\partial_{i}}{\ra}A_{i-1}\ra \ldots$ eine lange exakte Sequenz von endlichdimensionalen Vektorr"aumen und verschwinden von den $A_{i}$ alle bis auf endlich viele, so gilt $$\begin{array}{ccl} \sum(-1)^{i}\dim A_{i}& =& \sum(-1)^{i}(\dim\ker \partial_{i} + \dim \op{im} \partial_{i})\\ &=&\sum (-1)^{i} (\dim \ker \partial_{i} +\dim \ker \partial_{i-1})\\ &=&0 \end{array}$$ Schreiben wir unsere Sequenz um zu $$\ldots \ra D_{q+1} \ra B_{q}\ra C_{q}\ra D_{q}\ra B_{q-1}\ra \ldots$$ so gilt nat"urlich $$\sum (-1)^{q}\dim C_{q}=\sum (-1)^{q}\dim B_{q}+ \sum(-1)^{q}\dim D_{q}$$ Mit unserer Anklebesequenz folgt $\chi(X;k)-1 = \chi (Y;k)-1 + (-1)^{n},$ wenn $X$ aus $Y$ durch Ankleben einer $n$-Zelle entsteht. Der Satz ergibt sich nun mit Induktion. \end{proof} \begin{Satz}[Homologie der reell projektiven R"aume]\label{HPR}Gegeben ein Ring $R$ verwenden wir im folgenden die Notation $R_{2}=\{a \in R \mid a+a =0\}$ f"ur die Fixpunkte der Multiplikation mit $(-1).$ Die Homologie der reell projektiven R"aume $\DP^{n}\DR $ mit Koeffizienten in $R$ wird dann gegeben durch $$\begin{array}{ccc} H_{q}(\DP^{n}\DR;R) & \cong & \left\{\begin{array}{lll} R & q=0; &\\ R/2 R& 0 n. & \end{array}\right. \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir k"urzen f"ur diesen Beweis $H_{q}(X;R) = H_{q}X$ und $\DP^{n}\DR =\DP^{n}$ ab. F"ur $n \geq 0$ geht $\DP^{n+1}$ aus $\DP^{n}$ hervor durch Ankleben einer $(n+1)$-Zelle und die verklebende Abbildung ist schlicht die offensichtliche zweifache "Uberlagerung $S^{n} \ra \DP^{n}.$ Wir haben also $\tilde{H}_{q} \DP^{n+1} = \tilde{H}_{q}\DP^{n}$ f"ur $q\neq n+1, n$ und $\tilde{H}_{q} \DP^{n+1} =0 $ f"ur $q>n+1$ sowie eine exakte Sequenz $$ 0 \ra \tilde{H}_{n+1} \DP^{n+1} \ra \tilde{H}_{n} S^{n} \ra \tilde{H}_{n}\DP^{n}\ra \tilde{H}_{n}\DP^{n+1} \ra 0$$ Es reicht zu zeigen, da"s hier der mittlere Pfeil die Nullabbildung ist f"ur $n$ gerade bzw.\ unter geeigneter Identifikation der Enden die Multiplikationsabbildung $(2\cdot):R\ra R$ f"ur $n>0$ ungerade. Der Fall $n=0$ ist eh klar. F"ur $n>0$ betrachten wir nun das kommutative Diagramm aus dem Beweis von \ref{ABGr} mit Koeffizienten in $R.$ Genauer betrachten wir um $p \in \DP^{n}$ eine trivial "uberlagerte offene Umgebung $U,$ die hom"oomorph ist zu einem offenen Ball. Wir haben dann $\pi^{-1}(p) = \{p_{1},p_{2}\}$ und $\pi^{-1}(U) = U_{1}\amalg U_{2}$ f"ur geeignete offene Umgebungen $U_{i}$ von $p_{i}$ in $S^{n}.$ Wir erhalten also ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {H}_{n}S^{n}& \ra & H_{n}(S^{n},S^{n}- \pi^{-1}(p)) & \overset{\sim} {\leftarrow} & H_{n}(U_1, U_1 - p_1)\oplus H_{n}(U_2, U_2 - p_2)\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ {H}_{n} \DP^{n} & \hra & H_{n} (\DP^{n},\DP^{n} -p)& \overset{\sim} {\leftarrow} & H_{n}(U,U-p) \end{array}$$ Mit $a: S^{n}\ra S^{n}$ der Antipoden-Abbildung kommutiert nun das Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} {H}_{n}S^{n} & \sira & H_{n}(S^{n},S^{n}-p_{1}) &\overset{\sim}{\leftarrow}& H_{n} (U_{1},U_{1}-p_{1}) & \sira & H_{n}(U,U-p)\\ \downarrow a & & \downarrow a & &\downarrow a& &\ || \\ {H}_{n}S^{n} & \sira & H_{n}(S^{n},S^{n}-p_{2}) &\overset{\sim}{\leftarrow} & H_{n}(U_{2}, U_{2}-p_{2}) & \sira & H_{n}(U,U-p) \end{array}$$ Da aber die Antipodenabbildung auf der $n$-ten reduzierten Homologie der Sph"are $S^n$ die Multiplikation mit $(-1)^{n+1}$ induziert, ist die Verkn"upfung ${H}_{n}S^{n}\ra H_{n} (\DP^{n},\DP^{n} -p)$ das $(1+ (-1)^{n+1})$-fache eines Isomorphismus. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: