\section{Koeffizientenwechsel und K"unneth-Formel} \subsection{Homologie mit Koeffizienten} \begin{Bemerkungl}\label{HoKo} Sei $G$ eine abelsche Gruppe. In unseren bisherigen Argumenten k"onnen wir stets $G$ statt $\Bbb{Z}$ schreiben und erhalten so allgemeinere Funktoren von topologischen R"aumen oder Raumpaaren in die abelschen Gruppen. Sie hei"sen die {\bf Homologie}\index{Homologie!mit Koeffizienten} beziehungsweise {\bf relative} beziehungsweise {\bf reduzierte Homologie mit Koeffizienten in $G$}.\index{Homologie!reduzierte!mit Koeffizienten} Genauer definieren wir die $q$-te Homologie $${\op{H}}_{q}(X;G)$$ eines Raums $X$ mit Koeffizienten in $G$, indem wir die Homologie des Komplexes ${\op{S}}(X;G)$ der singul"aren Ketten mit Koeffizienten in $G$ nehmen, wobei ${\op{S}}_{q}(X;G)$ die Menge aller endlichen formalen Ausdr"ucke $\sum n_{\sigma}\sigma$ bezeichnet mit $n_{\sigma} \in G$ und $n_{\sigma}=0$ f"ur alle bis auf endlich viele Simplizes $\sigma : \Delta_{q} \ra X$. Wir schreiben $\tilde{{\op{H}}}_{q}(X;G)$ f"ur die reduzierten Homologiegruppen und ${\op{H}}_{q}(X,A;G)$ f"ur die relativen Homologiegruppen mit Koeffizienten in $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at in den Koeffizienten}] Halten wir den Raum $X$ fest, so wird $G\mapsto {\op{H}}_{q}(X;G)$ ein Funktor von der Kategorie der abelschen Gruppen in sich selber. Unter einer {\bf additiven Struktur}\index{additive Struktur!auf Kategorie} auf einer Kategorie $\mathcal C$ versteht man ganz allgemein die Vorgabe einer Verkn"upfung \glqq Addition\grqq\ auf jeder Morphismenmenge $\mathcal C(X,Y)$ derart, da"s die Morphismenmengen darunter abelsche Gruppen sind und die Verkn"upfung von Morphismen bilinear.\label{FiK} Eine Kategorie mit additiver Struktur nennen wir eine {\bf $\op{Ab}$-Kategorie}.\index{Ab-Kategorie@$\op{Ab}$-Kategorie} Ein Funktor zwischen $\op{Ab}$-Kategorien mit additiver Struktur hei"st ein {\bf $\op{Ab}$-Funktor}\index{Ab-Funktor@$\op{Ab}$-Funktor} wenn er Gruppenhomomorphismen auf den Morphismenr"aumen induziert. In dieser Terminologie tr"agt die Kategorie der abelschen Gruppen eine additive Struktur in nat"urlicher Weise und unsere Funktoren $G\mapsto {\op{H}}_{q}(X;G)$ sind $\op{Ab}$-Funktoren. Ist insbesondere $R$ ein Ring und $G$ ein $R$-Modul, so werden die Homologiegruppen mit Koeffizienten in $G$ in nat"urlicher Weise zu $R$-Moduln. %Bisher hatten wir nur den Spezialfall $G=R$ betrachtet. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die meisten der bisher bewiesenen allgemeinen Aussagen, insbesondere Homotopieinvarianz, lange exakte Homologiesequenz, Ausschneidung, Mayer-Vietoris-Sequenz und Anklebesequenz gelten in der Homologie mit Koeffizienten genauso mit demselben oder fast demselben Beweis. Bei den bisherigen speziellen Resultaten zur Homologie und reduzierten Homologie von Punkten und Sph"aren kann man direkt pr"ufen, da"s alle Argumente ebenso mit Koeffizienten $G$ funktionieren und wir nur im Endresultat jeweils $G$ statt $\Bbb{Z}$ erhalten. Wir werden in \ref{UKT} zeigen, da"s "Ahnliches allgemein gilt, solange die Homologiegruppen mit Koeffizienten in $\Bbb{Z}$ alle frei sind "uber $\Bbb{Z}$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Mit zwei Farben f"arbbare Landkarten}] Wir behaupten, da"s sich eine Landkarte, bei der an jedem \glqq Mehrl"andereck\grqq\ eine gerade Anzahl von Grenzen beginnnt, stets so mit zwei Farben f"arben l"a"st, da"s keine zwei benachbarten Staaten dieselbe Farbe haben, wobei Staaten nicht als benachbart gelten, die nur Grenzsteine gemeinsam haben. Um das zu zeigen, erg"anzen wir die Anschauungsebene durch einen Punkt im Unendlichen zu einer Sph"are und unterteilen unsere Staaten durch zus"atzliche Grenzen aber ohne zus"atzliche Mehrl"anderecken in Bundesl"ander, bis wir eine Triangulierung der Sph"are erhalten. Da"s das m"oglich sein soll, verstehen wir als Teil unserer Definition des Begriffs einer \glqq Landkarte\grqq. Die Summe der Staatsgrenzen ist dann ein simplizialer Einszykel mit $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$-Koeffizienten, der der Rand einer Zweikette sein mu"s. Diese ist die gesuchte F"arbung. \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildGeKa}\\[4mm] \noindent Eine Zweif"arbung einer ebenen \glqq geraden\grqq\ Karte \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=7cm]{SkriptenBilder/BildGeBeKa}\\[4mm] \noindent Eine nicht zweif"arbbare \glqq gerade\grqq\ Karte auf dem Torus \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{NNN} Wie in \ref{orGA} definieren wir f"ur jede $n$-Mannig\-faltigkeit $M$ und jede abelsche Gruppe $G$ die {\bf Orientierungsgarbe $\op{or}_{M}(G)$\index{or@$\op{or}_{M}(G)$ Orientierungsgarbe mit Koeffizienten} mit Koeffizienten in $G$}.\index{Orientierungsgarbe!mit Koeffizienten} Wie in \ref{HHM} zeigen wir auch f"ur jede abgeschlossene Teilmenge $A \As M$, da"s gilt ${\op{H}}_{q}(M,M\backslash A;G)=0$ f"ur $q > n$ und da"s die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$j = j_{A} : {\op{H}}_{n} (M,M\backslash A;G)\sira \Gamma_{!}(A;\op{or}_M(G))$$ induziert, wobei rechts die Schnitte mit kompaktem Tr"ager von $A$ in die Orientierungsgarbe mit Koeffizienten in $G$ zu verstehen sind. Man erkennt ohne Schwierigkeiten, da"s die fragliche Orientierungsgarbe eine "Uberlagerung ist, und f"ur zusammenh"angendes $M$ gerade die "Uberlagerung, die von der Operation der Fundamentalgruppe auf $G$ vermittels der Orientierungsdarstellung aus \ref{OrDar} herkommt. Daraus folgt, da"s f"ur eine kompakte zusammenh"angende $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$ und einen beliebigen Punkt $x\in M$ die kanonische Abbildung $${\op{H}}_{n} (M;G)\ra {\op{H}}_{n} (M,M\backslash x;G)$$ ein Isomorphismus ist f"ur $M$ orientierbar und ein Isomorphismus mit der Gruppe der Fixpunkte der Multiplikation mit $(-1)$ f"ur $M$ nicht orientierbar. Gegeben ein Kring $k$ nennen wir eine $n$-Mannigfaltigkeit {\bf $k$-orientierbar},\index{orientierbar@$k$-orientierbar} wenn $\op{or}_M(k)$ einen globalen Schnitt besitzt, der an jeder Stelle $x\in M$ ein Erzeuger des freien $k$-Moduls ${\op{H}}_{n} (M,M\backslash x;k)$ vom Rang Eins ist. Unter einer {\bf $k$-Orientierung}\index{Orientierung@$k$-Orientierung} von $M$ verstehen wir die Auswahl eines derartigen globalen Schnitts. Ist $M$ kompakt, so hei"st das zugeh"orige Element $$[M]=[M]_k=\omega_M=\omega_M(k)\in {\op{H}}_{n} (M;k)$$ der {\bf Fun\-da\-men\-tal\-zy\-kel\index{Fundamentalzykel@$k$-Fundamentalzykel} mit Koeffizienten in $k$} der $k$-orientierten kompakten $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ verwenden wir im folgenden die Notation $G_{2}\pdef\{a \in G \mid a+a =0\}$ f"ur\label{HPR} die Fixpunkte der Multiplikation mit $(-1)$. Die \emph{\bf Homologie der reell projektiven R"aume} \index{Homologie!von $\DP^{n}\DR $} $\DP^{n}\DR $ mit Koeffizienten in $G$ wird in dieser Notation gegeben durch $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_{q}(\DP^{n}\DR;G) & \cong & \left\{\begin{array}{lll} G & q=0; &\\ G/2 G& 0 n. & \end{array}\right. \end{array}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir k"urzen f"ur diesen Beweis ${\op{H}}_{q}(X;G) = {\op{H}}_{q}X$ und $\DP^{n}\DR =\DP^{n}$ ab. F"ur $n \geq 0$ geht $\DP^{n+1}$ aus $\DP^{n}$ hervor durch Ankleben einer $(n+1)$-Zelle und die verklebende Abbildung ist schlicht die offensichtliche zweifache "Uberlagerung $\pi:S^{n} \ra \DP^{n}$. Wir haben also $\tilde{{\op{H}}}_{q} \DP^{n+1} = \tilde{{\op{H}}}_{q}\DP^{n}$ f"ur $q\neq n+1, n$ und $\tilde{{\op{H}}}_{q} \DP^{n+1} =0 $ f"ur $q>n+1$ sowie eine exakte Sequenz $$ 0 \ra \tilde{{\op{H}}}_{n+1} \DP^{n+1} \ra \tilde{{\op{H}}}_{n} S^{n} \ra \tilde{{\op{H}}}_{n}\DP^{n}\ra \tilde{{\op{H}}}_{n}\DP^{n+1} \ra 0$$ Es reicht zu zeigen, da"s hier der mittlere Pfeil die Nullabbildung ist f"ur $n$ gerade beziehungsweise das Doppelte eines Isomorphismus f"ur $n>0$ ungerade. Der Fall $n=0$ ist eh klar. F"ur $n>0$ betrachten wir nun das kommutative Diagramm aus dem Beweis von \ref{ABGrn} mit Koeffizienten in $G$. Genauer betrachten wir um $p \in \DP^{n}$ eine trivial "uberlagerte offene Umgebung $U$, die hom"oomorph ist zu einem offenen Ball. Wir haben dann $\pi^{-1}(p) = \{p_{1},p_{2}\}$ und $\pi^{-1}(U) = U_{1}\amalg U_{2}$ f"ur offene Umgebungen $U_{i}$ von $p_{i}$ in $S^{n}$. Wir erinnern die Vertr"aglichkeit der relativen Homologie mit Koprodukten \ref{ZHHb}, die Zeilenmatrix $({\op{H}}_{n}\op{in}_1, {\op{H}}_{n}\op{in}_2)$ liefert also einen Isomorphismus $${\op{H}}_{n}(U_1, U_1 \backslash p_1)\oplus {\op{H}}_{n}(U_2, U_2 \backslash p_2)\sira {\op{H}}_{n}(U_1\cup U_2, U_1\backslash p_1\cup U_2\backslash p_2)$$ f"ur die als Spalte verstandenen Eintr"age der direkten Summe. Wir erhalten so ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}_{n}S^{n}& \ra & {\op{H}}_{n}(S^{n},S^{n}\backslash \pi^{-1}(p)) & \overset{\sim} {\leftarrow} & {\op{H}}_{n}(U_1, U_1 \backslash p_1)\oplus {\op{H}}_{n}(U_2, U_2 \backslash p_2)\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ {\op{H}}_{n} \DP^{n} & \hra & {\op{H}}_{n} (\DP^{n},\DP^{n} \backslash p)& \overset{\sim} {\leftarrow} & {\op{H}}_{n}(U,U\backslash p) \end{array}$$ und unten links ist f"ur $n$ ungerade unsere Injektion sogar ein Isomorphismus. Mit $a: S^{n}\ra S^{n}$ der Antipodenabbildung kommutiert nun das Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} {\op{H}}_{n}S^{n} & \sira & {\op{H}}_{n}(S^{n},S^{n}\backslash p_{1}) &\overset{\sim}{\leftarrow}& {\op{H}}_{n} (U_{1},U_{1}\backslash p_{1}) & \sira & {\op{H}}_{n}(U,U\backslash p)\\ \downarrow a & & \downarrow a & &\downarrow a& &\| \\ {\op{H}}_{n}S^{n} & \sira & {\op{H}}_{n}(S^{n},S^{n}\backslash p_{2}) &\overset{\sim}{\leftarrow} & {\op{H}}_{n}(U_{2}, U_{2}\backslash p_{2}) & \sira & {\op{H}}_{n}(U,U\backslash p) \end{array}$$ Da aber nach \ref{HouG} die Antipodenabbildung auf der $n$-ten reduzierten Homologie der Sph"are $S^n$ die Multiplikation mit $(-1)^{n+1}$ induziert, unterscheiden sich die Verkn"upfung in der oberen und in der unteren Horizontale hier um $(-1)^{n+1}$. Die Abbildung im oberen Diagramm von ${\op{H}}_{n}S^{n}$ nach ${\op{H}}_{n}(U,U\backslash p)$ ist nun die Summe der beiden horizontalen Isomorphismen aus dem unteren Diagramm und damit das $(1+ (-1)^{n+1})$-fache eines Isomorphismus. So folgt, da"s f"ur $n$ ungerade auch ${{\op{H}}}_{n} S^{n} \ra {{\op{H}}}_{n}\DP^{n}$ das Doppelte eines Isomorphismus sein mu"s wie gew"unscht. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{BoH} Gegeben eine kurze exakte Sequenz $G'\hra G\sra G'' $ von abelschen Gruppen und ein topologischer Raum $X$ zeige man, wie in nat"urlicher Weise Randoperatoren definiert werden k"onnen derart, da"s eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}_q(X;G')\ra {\op{H}}_q(X;G)\ra {\op{H}}_q(X;G'')\ra {\op{H}}_{q-1}(X;G')\ra\ldots$$ entsteht. Diese Randoperatoren hei"sen die \defind{Bockstein-Homomorphismen}. \end{Ubung} \subsection{Tensorprodukt abelscher Gruppen} \begin{Bemerkungw} Ich bespreche hier nur Tensorprodukte "uber $\DZ$ und die zugeh"orige multilineare Algebra. Allgemeinere Tensorprodukte werden in \eref{TPro}{KAG} diskutiert. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Seien $U,V,W$ abelsche Gruppen. Eine Abbildung $\varphi:U\times V\ra W$ hei"se {\bf biadditiv},\index{biadditiv!Abbildung} wenn gilt $\varphi(u_1+u_2, v)=\varphi(u_1, v)+\varphi(u_2, v)$ und $\varphi(u, v_1+v_2)=\varphi(u, v_1)+\varphi(u, v_2)$ f"ur alle $u,u_1,u_2\in U$ und $v,v_1,v_2\in V$. Gegeben abelsche Gruppen $V_1,\ldots,V_r,W$ nennen wir allgemeiner eine Abbildung $$\varphi:V_1\times\ldots\times V_r \ra W$$ {\bf multiadditiv},\index{multiadditiv!Abbildung} wenn sie in jeder Variablen ein Gruppenhomomorphismus wird, sobald wir die anderen Variablen festhalten. Im Fall $r=0$ ist eine multiadditive Abbildung des leeren Produkts nach $W$ schlicht eine beliebige Abbildung des leeren Produkts alias der einelementigen Menge nach $W$. Die Gesamtheit aller derartigen multiadditiven Abbildungen notieren wir $$\op{Ab}(V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_r, W)$$ und $\op{Ab}(\curlyvee, W)$ im Fall $r=0$. In diesem Fall liefert das Auswerten auf dem einzigen Element des leeren Produkts eine Bijektion $\op{Ab}(\curlyvee, W)\sira W$.\label{muadd} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Die im vorhergehenden eingef"uhrte Terminologie suggeriert, da"s die fraglichen abelschen Gruppen additiv notiert sein sollen. In manchen Kontexten ist das ungl"ucklich. Dann rede ich unverf"anglicher von \glqq Bimorphismen\grqq\ und \glqq Multimorphismen\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Seien $r\geq 0$ eine nat"urliche Zahl und $V_1,\ldots,V_r$ abelsche Gruppen.\label{TeKorMa} So gilt: \begin{enumerate} \item\label{TeKorM1a} Es gibt ein Paar $(T,\tau)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe $T$ und einer multiadditiven Abbildung $\tau\in \op{Ab}(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_r, T)$ derart, da"s f"ur jede weitere abelsche Gruppe $W$ das Vorschalten von $\tau$ eine Bijektion $$(\circ\tau):\op{Ab}(T,W) \;\sira\; \op{Ab}(V_1\curlyvee\ldots\curlyvee V_r, W)$$ zwischen der Menge aller Gruppenhomomorphismen $T\ra W$ und der Menge aller multiadditiven Abbildungen $V_1\times\ldots\times V_r\ra W$ induziert. Wir nennen solch ein $\tau$ eine\index{universell!multiadditive Abbildung} \emph{\bf universelle multiadditive Abbildung}; \item\label{TeKorM2a} Gegeben ein weiteres derartiges Paar $(S,\sigma)$ existiert genau ein Gruppenhomomorphismus $c:T\ra S$ mit $c\circ\tau=\sigma $ und genau ein Gruppenhomomorphismus $d:S\ra T$ mit $ d\circ\sigma=\tau$ und diese Abbildungen sind zueinander inverse Isomorphismen zwischen $T$ und $S$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis der Eindeutigkeit \ref{TeKorMa}.\ref{TeKorM2a}] Die Existenz und Eindeutigkeit von $c$ folgt sofort aus der universellen Eigenschaft von $(T,\tau)$. %in der Notation von eben h"atten wir genauer $c=\hat\sigma$. Die Existenz und Eindeutigkeit von $d$ folgt ebenso aus der universellen Eigenschaft von $(S,\sigma)$. Schlie"slich gilt $(d\circ c)\circ\tau=\tau =\op{id}_T\circ \tau$ und damit folgt $d\circ c=\op{id}_T$ wieder nach der universellen Eigenschaft von $\tau$. Die Identit"at $c\circ d=\op{id}_S$ zeigt man genauso. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{DefTa} Unsere Paare sind nach Teil 2 \glqq eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq, wenn sie denn existieren. Insbesondere kommt es auf die genaue Konstruktion ebensowenig an wie auf die genaue Konstruktion der nat"urlichen oder der reellen Zahlen. Solch ein Paar verdient damit eine eigene Notation und den bestimmten Artikel. Man nennt $T$ das {\bf Tensorprodukt der $V_i$}\index{Tensorprodukt!von Vektorr"aumen} und notiert es im Fall $r>0$ als $$T\pdef V_1\otimes \ldots\otimes V_r$$ und notiert die universelle multiadditive Abbildung $ (v_1,\ldots,v_r)\mapsto v_1\otimes \ldots\otimes v_r$. Im Fall $r=1$ nimmt man meist $T=V_1$ und w"ahlt als universelle multiadditive Abbildung die Identit"at. Im Fall $r=0$ nimmt man meist $T=\DZ$ und w"ahlt als universelle multiadditive alias beliebige Abbildung $\op{ens}\ra \DZ$\label{LeeTa} vom leeren Produkt alias der einelementigen Menge nach $\DZ$ die Abbildung $ \ast \mapsto 1$. Wenn spezifiziert werden mu"s, da"s das Tensorprodukt abelscher Gruppen gemeint ist, schreiben wir genauer $\otimes_{\op{Ab}}$ oder auch $\otimes_\DZ$ im Vorgriff auf die allgemeine Konstruktion $\otimes_k$ des Tensorprodukts "uber einem Ring $k$. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis der Existenz \ref{TeKorMa}.\ref{TeKorM1a}] Der Einfachkeit halber schreibe ich die Details nur f"ur biadditive Abbildungen aus. Wir erinnern aus \ref{fag} die freie abelsche Gruppe $\DZ\Lambda$ "uber einer Menge $\Lambda$ und aus \ref{cag} die Abbildung $\op{can}:\Lambda\ra \DZ\Lambda$. Wir beginnen mit der freien abelschen Gruppe $\DZ( U\times V) $ "uber der Menge $U\times V$. Darin betrachten wir die Untergruppe $R \subset \DZ( U\times V)$, der erzeugt wird von allen Ausdr"ucken $$\begin{array}{l} (u_1 + u_2, v) - (u_1,v) - (u_2,v)\\ (u,v_1+v_2) - (u,v_1) - (u,v_2)\\ \end{array}$$ f"ur $u,u_1,u_2 \in U$ und $v,v_1,v_2$. Schlie"slich definieren wir $T$ als den Quotienten $$T \pdef \DZ( U\times V) /R$$ und erkl"aren $\tau:U\times V\ra T$ als die Abbildung, die jedem Paar $(u,v)$ die Nebenklasse $\tau(u,v)\pdef \op{can}(u,v)+R$ von $ \op{can}(u,v)$ zuordnet. Die Bilinearit"at von $\tau$ folgt dann unmittelbar aus der Definition der herausgeteilten Untergruppe $R$. Um die im Satz behauptete universelle Eigenschaft nachzuweisen, arbeiten wir mit dem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ U \times V\ar[r]\ar[dr]& \DZ( U\times V) \ar[r]\ar[d] & T\ar[dl]\\ & W & } \end{displaymath} F"ur jede Abbildung $b : U \times V \ra W$ gibt es nach der universellen Eigenschaft der freien abelschen Gruppe "uber einer vorgegebenen Menge genau einen Gruppenhomomorphismus $\tilde{b} : \DZ( U\times V) \ra W$ mit $\tilde{b} \circ \op{can} = b$. Ist hier $b$ biadditiv, so gilt offensichtlich $\tilde{b} (R)=0$, also gibt es nach der universellen Eigenschaft des Quotienten genau einen Gruppenhomomorphismus $\hat{b} : T \ra W$ mit $\hat{b}\;\! \tau(v , w) = b(v,w)$. Diese Abbildung $\hat{b}$ ist eindeutig bestimmt durch $b$, da die $\tau(v, w)$ unser $T$ als Gruppe erzeugen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notation f"ur Gruppenhomomorphismen aus Tensorprodukten}] Seien $U,V$ abelsche Gruppen. Die Elemente der Gestalt $u\otimes v$ erzeugen $U\otimes V$ als Gruppe.\label{ezTPa} Geben wir einen Gruppenhomomorphismus $U\otimes V\ra W$ in eine weitere abelsche Gruppe an durch eine Vorschrift der Gestalt $u\otimes v\mapsto b(u,v)$, so ist der Leser implizit gefordert, die Biadditivit"at der Abbildung $b:U\times V \ra W$ zu pr"ufen, und gemeint ist dann eigentlich der durch die universelle Eigenschaft definierte Gruppenhomomorphismus $\hat{b}: U \otimes V \ra W$. Analoge Vereinbarungen treffen wir f"ur Abbildungen aus Tensorprodukten mit einer beliebigen Zahl von Faktoren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sind $f:V\ra V'$ und $g:W\ra W'$ Homomorphismen abelscher Gruppen, so definieren wir einen Gruppenhommorphismus $f\otimes g: V\otimes W\ra V'\otimes W'$ durch die Vorschrift $$(f\otimes g)(v\otimes w)\pdef f(v)\otimes g(w)$$ in unserer Konvention \ref{ezTPa}. Wir nennen $f\otimes g$ das {\bf Tensorprodukt der Gruppenhomomorphismen $f$ und $g$}.\index{Tensorprodukt!von Gruppenhomomorphismen} Analog erkl"aren wir das Tensorprodukt einer beliebigen endlichen Familie von Gruppenhomomorphismen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Universell bedeutet stark universell bei abelschen Gruppen}] Universelle multiadditive Abbildungen $\tau:U_1\times\ldots\times U_r\ra T$ haben sogar die st"arkere universelle Eigenschaft, da"s das Vorschalten von $\tau$ in der entsprechenden Variablen f"ur beliebige abelsche Gruppen $V_1,\ldots, V_s$ und $W$ eine Bijektion $$\op{Ab}(T\curlyvee V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_s,W)\sira \op{Ab}(U_1\curlyvee \ldots\curlyvee U_r\curlyvee V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_s,W)$$ induziert. In der Tat kann man die entsprechende Abbildung in offensichtlicher Weise in ein kommutatives Dreieck einf"ugen mit zwei Isomorphismen in eine dritte Ecke $\op{Ab}(U_1\curlyvee \ldots\curlyvee U_r, \op{Ab}(V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_s,W))$ als weiteren Kanten, in dem $\op{Ab}(V_1\curlyvee \ldots\curlyvee V_s,W)$ mithilfe der Addition auf $W$ selbst als abelsche Gruppe aufgefa"st wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiverkn"upfung multiadditiver Abbildungen}] Gegeben eine multiadditive Abbildung $V_1\times\ldots\times V_s\ra W$ und jeweils multiadditive Abbildungen $U_{i,1}\times\ldots\times U_{i,r(i)}\ra V_i$ erkl"aren wir in hoffentlich offensichtlicher Weise ihre {\bf Multiverkn"upfung},\index{Multiverkn"upfung!von multiadditiven Abbildungen} eine multiadditive Abbildung der Familie aller $U_{i,j}$ nach $W$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Multiverkn"upfung universeller multiadditiver Abbildungen}] Aus der starken Universalit"at universeller multiadditiver Abbildungen folgt ohne weitere Schwierigkeiten, da"s jede Multiverkn"upfung universeller multiadditiver Abbildungen wieder universell ist. Diese Erkenntnis bedeutet eine Art \glqq Assoziativit"at\grqq\ unserer Tensorprodukte. In der Tat erhalten wir etwa einen ausgezeichneten Isomorphismus $(U\otimes V)\otimes W \sira U\otimes (V\otimes W)$ aus der Erkenntnis, da"s die offensichtlichen multiadditiven Abbildungen von $U\times V\times W$ in beide Gruppen universell sind als Multiverkn"upfungen universeller multiadditiver Abildungen. Ebenso erhalten wir einen ausgezeichneten Isomorphismus $U\otimes \DZ \sira U$ mit der impliziten Interpretation von $\DZ$ versehen mit der universellen multiadditiven Abbildung $\ast\mapsto 1$ als dem leeren Tensorprodukt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben abelsche Gruppen $V,W$ verwenden wir von nun an die Notation $V{\Rrightarrow}W$ f"ur die Menge $\op{Ab}(V,W)$ aller Gruppenhomomorphismen mit ihrer offensichtlichen Struktur als abelsche Gruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Adjunktion von Tensor und Hom}] Gegeben abelsche Gruppen $U,V,W$ erhalten wir\label{cEIaa} durch die Vorschrift $f\mapsto \tilde{f}$ mit $\tilde{f}(u\otimes v)=(f(u))(v)$ einen Isomorphismus\label{HaIIaa} $$\op{Ab}(U,V{\Rrightarrow}W)\sira \op{Ab}(U\otimes V,W)$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir k"onnen unseren Isomorphismus is spe zu einem kommutativen Dreieck erg"anzen durch die zus"atzliche Menge $\op{Ab}(U\curlyvee V,W)$ und die zwei offensichtlichen Abbildungen dorthin. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Die Proposition bedeutet in der Terminologie aus \eref{AdFu}{TF}, da"s die Funktoren $\otimes V$ und $(V{\Rrightarrow}\;)$ zueinander adjungiert sind. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Rechtsexaktheit des Tensorprodukts}] Gegeben eine rechtsexakte Sequenz $U''\ra U\sra U'$ von abelschen Gruppen und eine weitere abelsche Gruppe $V$ ist auch die Sequenz $U''\otimes V\ra U\otimes V\sra U'\otimes V$ rechtsexakt. Um das einzusehen, mu"s man nur pr"ufen, da"s eine biadditive Abbildung $U\times V\ra W$ genau dann "uber $U'\times V$ faktorisiert, wenn sie auf $U\times V$ verschwindet. Das aber scheint mir klar. \end{Bemerkungl} \subsection{Torsionsprodukt von abelschen Gruppen} \begin{Definition}[\textbf{Tensorprodukt von Komplexen}] Sind $X,Y$ Komplexe von Rechts- beziehungsweise Linksmoduln\label{TeKo} "uber einem Ring $R$, so bildet man einen Komplex von abelschen Gruppen $X\otimes_{R}Y$, ihr \defnoind{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Komplexen} alias den {\bf Tensorkomplex},\index{Tensorkomplex} durch die Vorschrift $(X\otimes_{R}Y)_{n} \pdef\bigoplus_{p+q=n} X_{p}\otimes_{R} Y_{q}$ mit dem Differential $$\partial (x\otimes y)\pdef \partial x \otimes y + (-1)^{|x|} x \otimes \partial y$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertauschung von Tensorfaktoren}] Sind $X,Y$ Komplexe von Rechts- beziehungsweise Linksmoduln "uber einem Ring $R$, so liefert die Abbildungsvorschrift\label{vert} $ x \otimes y \mapsto (-1)^{|x| |y|} y \otimes x $ einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $v : X \otimes_R Y \ra Y \otimes_{R^{\op{opp}}} X$. Speziell erhalten wir so f"ur $X,Y\in\op{Ket}$ einen ausgezeichneten Isomorphismus $$v:X \otimes Y \sira Y \otimes X$$ Um das alles nachzuweisen, pr"ufen wir die Bedingung $\partial v (x \otimes y) = v \partial (x \otimes y)$ durch die Umformungen $$\begin{array}[b]{ccl} \partial v (x \otimes y)&=&(-1)^{|x| |y|} \partial (y \otimes x)\\ &= &(-1)^{|x||y|} \partial y \otimes x + (-1)^{|x| |y|+|y|} y \otimes \partial x \\ v \partial (x \otimes y)&=&v (\partial x \otimes y)+(-1)^{|x|} v(x \otimes \partial y)\\ &=&(-1)^{|y||x|+|y|} y \otimes \partial x + (-1)^{|x|} (-1)^{|x| |y| + |x|} \partial y \otimes x \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \eref{Ketn}{TSK} f"uhren wir die \glqq Schmelzkategorie der Kettenkomplexe\grqq\ ein als einen formalen Rahmen, in dem derartige Vorzeichenfragen ein f"ur allemal gel"ost werden k"onnen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Ob mit dem Symbol $\otimes$ das Tensorprodukt zweier Moduln oder vielmehr das Tensorprodukt zweier Komplexe gemeint ist, gilt es aus dem Kontext zu erschlie"sen. Da das Tensorprodukt mit direkten Summen vertauscht, kommt es darauf auch nicht wesentlich an. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten des Tensorprodukts von Komplexen}] Offensichtlich ist das Tensorprodukt von Komplexen ein Funktor $$\op{Ket}(\op{Mod-} R)\times \op{Ket}( R\op{-Mod}) \ra \op{Ket}(\op{Ab} )$$ Er geht\label{UTPH} auf die Homotopiekategorien "uber. Sind genauer $f,g : C \ra C^{\prime}$ Kettenhomomorphismen und ist $\delta$ eine Kettenhomotopie zwischen $f$ und $g$, in Formeln $\delta\partial + \partial\delta = f-g$, so ist $\delta \otimes \op{id}$ eine Kettenhomotopie zwischen $f \otimes \op{id}$ und $ g\otimes \op{id}$. Analoges gilt f"ur den zweiten Tensorfaktor. Das Tensorprodukt liefert damit auch einen Funktor $$\op{Hot}(\op{Mod-} R)\times \op{Hot}( R\op{-Mod}) \ra \op{Hot}(\op{Ab} )$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{TDe} Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ betrachten wir die kurze exakte Sequenz \begin{equation*} {\op{K}} M \hookrightarrow \mathbb{Z} M \twoheadrightarrow M \end{equation*} Mit $\DZ M$ meinen wir hier die freie abelsche Gruppe $\DZ M\pdef\DZ\langle_!'M\rangle$ "uber der Menge $M$ und mit ${\op{K}}M$ den Kern der offensichtlichen Surjektion $\mathbb{Z} M \twoheadrightarrow M$. Wir notieren $\cal{P}M$ das Anfangsst"uck dieser kurzen exakten Sequenz, also den Komplex mit $\cal{P}_1 M = {\op{K}}M$ und $ \cal{P}_0 M = \mathbb{Z} M$ und $\cal{P}_q M =0$ f"ur $ q \neq 0,1$. Wir nennen $\cal{P}M$ die {\bf Standardaufl\"osung von} $M$. \index{Standardaufl\"osung} Gegeben zwei abelsche Gruppen $M,N$ erkl"aren wir eine dritte abelsche Gruppe $M \ast N$, ihr {\bf Torsionsprodukt},\index{Torsionsprodukt} als die erste\index{)8a@$*$ Torsionsprodukt} Homologiegruppe des Tensorprodukts ihrer Standardaufl\"osungen, in Formeln \begin{equation*} M \ast N \pdef M \ast_\DZ N \pdef \mathcal{H}_1 (\cal{P}M \otimes_{\mathbb{Z}} \cal{P}N) \end{equation*} Wir erhalten so in offensichtlicher Weise einen Funktor $\ast: \op{Ab}\times \op{Ab} \rightarrow \op{Ab}$. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungw} % In Fortf"uhrung unserer Diskussion von Vorzeichenfragen aus \ref{UKWv} % sei erw"ahnt, da"s wie das Tensorprodukt von % Komplexen auch unser Torsionsprodukt f"ur jede zweielementige Familie % von Komplexen wohlbestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus % und da"s im Fall einer konstanten zweielementigen Familie dar"uber hinaus % das Umindizieren mit der Vertauschung der Indizes die Identit"at ist. %\end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Torsionsprodukt von h"oheren Standpunkten}] Die Definition des Torsionsprodukts mag auf den ersten Blick bizarr wirken. Erst das gleich folgende Beispiel \ref{TtT} und die Anwendung im universellen Koeffiziententheorem \ref{UKT} zeigen ihre Sinnhaftigkeit. Vom h"oheren Standpunkt aus betrachtet ist das Torsionsprodukt unser erstes Beispiel f"ur einen \glqq derivierten Funktor\grqq. Genauer haben wir hier den \glqq ersten derivierten Funktor des Tensorprodukts\grqq\ vor uns, vergleiche \eref{TDFu}{TG}. Von einem noch h"oheren Standpunkt aus f"uhren wir in \eref{DeKaMAG}{TSF} die Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ ein und darin die universelle Verschmelzung $M\curlyvee N\ra M\otimes^{\op{L}}N$. In dieser Sprache haben wir $M\ast N=\mathcal H^1(M\otimes^{\op{L}}N)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine abelsche Gruppe hei"st {\bf torsionsfrei},\index{torsionsfrei!abelsche Gruppe} wenn sie au"ser der Null keine Elemente endlicher Ordnung hat. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachte Berechnung des Torsionsprodukts}] Wir k"urzen im folgenden $\otimes_\DZ=\otimes$ ab. Bezeichne $M$ die Gruppe $M$, aufgefa"st als Komplex mit einem einzigen Eintrag im Grad Null. Wenn Unklarheiten aufkommen, mag man diesen Komplex feiner $M[0]$ notieren. Wir erhalten eine\label{BTOn} offensichtliche surjektive Kettenabbildung $\cal{P}M\sra M$. Wir behaupten, da"s f"ur jedes weitere $N$ die induzierte Abbildung $\cal{P}M\otimes \cal{P}N\sra M\otimes \cal{P}N$ Isomorphismen $$\mathcal{H}_i (\cal{P}M\otimes \cal{P}N)\sira \mathcal{H}_i (M\otimes \cal{P}N)$$ auf der Homologie liefert. In der Tat ist der Kern unserer surjektiven Kettenabbildung $\cal{P}M\sra M$ der Komplex ${\op{K}}^2M$ mit ${\op{K}}M$ in den Graden Null und Eins, der Identit"at dazwischen als Randoperator, und Nullen an allen anderen Stellen. Dieser Komplex ${\op{K}}^2M$ ist nun offensichtlich nullhomotop. Da $\cal{P}N$ aus torsionsfreien Gruppen besteht, erhalten wir mit \eref{Tex}{KAG} eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $${\op{K}}^2M\otimes \cal{P}N\hra \cal{P}M\otimes \cal{P}N\sra M\otimes \cal{P}N$$ Da darin der erste Komplex nullhomotop ist, mu"s nach der langen exakten Homologiesequenz die zweite Abbildung Isomorphismen auf der Homologie liefern. Anders gesagt hat die Abbildung $M\otimes {\op{K}}N \ra M\otimes \DZ N$ also den Kern $M\ast N$ und den Kokern $M\otimes N$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Das Torsionsprodukt mit einer torsionsfreien Gruppe ist Null}] Ist von zwei abelschen Gruppen $M,N$ eine torsionsfrei, so gilt $M\ast N=0$. In der Tat folgt aus unserer vereinfachten Berechnung der Torsionsgruppe nach \ref{BTOn} f"ur $M$ torsionsfrei sofort $$M \ast N = \mathcal{H}_1 (\cal{P} M \otimes \cal{P}N) \sira \mathcal{H}_1 (M \otimes \cal{P}N) =0$$ Hier verwenden wir \eref{Tex}{KAG} f"ur die letzte Gleichung. Den Fall von torsionsfreiem $N$ behandelt man analog. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{kest} Gegeben eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $ M^\prime \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime} $ erh"alt man nach \eref{Tex}{KAG} f"ur alle $N$ eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $ M^\prime \otimes \cal{P}N \hookrightarrow M \otimes \cal{P}N \twoheadrightarrow M^{\prime\prime} \otimes \cal{P}N $ und daraus mit \ref{BTOn} eine exakte Sequenz, die {\bf Torsionssequenz}\index{Torsionssequenz} oder genauer {\bf Torsionssequenz im ersten Eintrag} $$ \begin{array}{ccccccccc}0&\ra& M^{\prime} \ast N& \hra& M \ast N &\ra &M^{\prime\prime} \ast N&\ra& \\ &\ra &M^{\prime}\otimes N &\ra& M \otimes N& \twoheadrightarrow &M^{\prime\prime}\otimes N &\ra& 0 \end{array} $$ die nat"urlich ist in der kurzen exakten Sequenz $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ und in $N$. Analog konstruieren wir die {\bf Torsionssequenz im zweiten Eintrag}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Torsionsprodukt mit zyklischer Gruppe}] F"ur jede abelsche Gruppe $N$ und jede nat"urliche Zahl $m \neq 0$ liefert der Randoperator der Torsionssequenz\label{TtT} zur offensichtlichen kurzen exakten Sequenz $ \mathbb{Z} \overset{m}{\hookrightarrow} \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} $ einen Isomorphismus \begin{equation*} (\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}) \ast N \;\sira\; \{ a \in N \mid m a =0\} \end{equation*} Die Gruppe auf der rechten Seite w"urde man in Worten die \glqq Gruppe aller Elemente von $N$ mit $m$-Torsion\grqq\ nennen, daher wohl auch die Bezeichnung der linken Seite als \glqq Torsionsprodukt\grqq. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Tdsn}%\label{Tds} Man zeige, da"s das Torsionsprodukt mit beliebigen direkten Summen vertauscht. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Das Torsionsprodukt $M \ast N$ von zwei abelschen Gruppen besitzt niemals Elemente unendlicher Ordnung. Hinweis: Man zeige dazu $(M \ast N)\otimes_{\Bbb{Z}} \DQ =0$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{ertor} Man zeige, da"s unser $v : \cal{P}M \otimes \cal{P}N \rightarrow \cal{P}N \otimes \cal{P}M$ aus \ref{vert} Isomorphismen $v_{M,N} : M \ast N \overset{\sim}{\rightarrow} N \ast M$ liefert mit $v_{M,N} \circ v_{N,M} =\op{id}$. Man zeige weiter, da"s f"ur $M^\prime \hookrightarrow M\sra M^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz sogar das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ M^{\prime\prime} \ast N \ar[r]\ar[d] & M^\prime \otimes N \ar[d]\\ N\ast M^{\prime\prime} \ar[r] & N \otimes M^\prime } \end{displaymath} kommutiert mit den Randabbildungen der entsprechenden Torsionssequenzen in den Horizontalen und unseren Vertauschungen in den Vertikalen. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Tensor-Hom-Adjunktion}] Man erinnere unseren Homkomplex \ref{HHKK} und %Zweiverschmelzungen \ref{UKWv} und zeige, da"s f"ur je drei Komplexe $X,Y,Z\in\op{Ket}$ die \glqq offensichtliche\grqq\ Abbildung eine Bijektion\label{ThAD} $$\op{Ket}(X\otimes Y,Z)\sira \op{Ket}(X, Y{\Rrightarrow}Z)$$ liefert. Speziell erhalten wir so eine Adjunktion $(\otimes Y,(Y{\Rrightarrow}\;))$ von Funktoren $\op{Ket}\ra\op{Ket}$ der Kategorie der Komplexe abelscher Gruppen in sich selber. Die Koeinheit dieser Adjunktion $(Y{\Rrightarrow}Z)\otimes Y\ra Z$ hei"st das {\bf Auswerten}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Jeder Morphismus $X\otimes Y\ra Z$ von Komplexen induziert einen Morphismus\label{VKVH} $\mathcal H X\otimes \mathcal HY\ra \mathcal HZ$ ihrer Homologien, hier gedacht als Komplexe mit Differential Null. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{canAd} Seien $A,B$ Ringe und $M \in \op{Ket} (\op{Mod-}A), X \in \op{Ket}(A\op{-Mod-}B)$ und $N \in \op{Ket}(\op{Mod-}B)$ Komplexe. So erhalten wir mit dem $\op{Hom}$ aus \ref{HHKK} einen Isomorphismus von Komplexen $$\op{Hom}_{-B}(M \otimes_{A}X, N) \overset{\sim}{\ra} \op{Hom}_{-A} (M, \op{Hom}_{-B} (X,N))$$ gegeben durch $\varphi \mapsto \tilde{\varphi}$ mit $\tilde{\varphi}(m) (x) = \varphi (m\otimes x)$, und der induzierte Isomorphismus auf den Nullzykeln liefert ein adjungiertes Paar $(\;\otimes_{A} X, \op{Hom}_{-B} (X, \;))$ von Funktoren zwischen $\op{dgMod}_{-A}$ und $\op{dgMod}_{-B}$. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge}\label{AdHT} Arbeiten wir in "Ubung \ref{canAd} statt mit Rechts- mit Linksmoduln $M \in \op{Ket} (A\op{-Mod}), X \in \op{Ket}(B\op{-Mod-}A)$ und $N \in \op{Ket}(B\op{-Mod})$, so haben wir analog $$\op{Hom}_{B}(X\otimes_{A}M , N) \overset{\sim}{\ra} \op{Hom}_{A} (M, \op{Hom}_{B} (X,N))$$ vermittels $\varphi \mapsto \tilde{\varphi}$ mit $\tilde{\varphi}(m) (x) = (-1)^{|m||x|}\varphi (x\otimes m)$. Daraus erhalten wir insbesondere ein adjungiertes Paar $(X\otimes_{A} \;, \op{Hom}_{B} (X, \;))$ von Funktoren zwischen $\op{dgMod}_{A}$ und $\op{dgMod}_{B}$. \end{Bemerkunge} \subsection{Erste Anwendungen in der Homologietheorie} \begin{Proposition}[\textbf{Tensorprodukt und Homologie}] Ist $C\in\op{Ket}$ ein Kettenkomplex von abelschen Gruppen und $A$ eine abelsche Gruppe, so\label{Hex} liefert die Vorschrift $a\otimes [c]\mapsto [a\otimes c]$ Homomorphismen $$A\otimes_{\Bbb{Z}}(\cal{H}_{q}C)\ra \cal{H}_{q}(A\otimes_\Bbb{Z} C) $$ Ist die abelsche Gruppe $A$ \hyperref[flach]{flach} alias torsionsfrei, so sind diese Homomorphismen Isomorphismen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Die offensichtlichen vertikalen Abbildungen liefern ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A\otimes_{\Bbb{Z}}(\cal{B}_qC)\ar[d]\ar[r] &A\otimes_{\Bbb{Z}}(\cal{Z}_qC)\ar[d]\ar@{->>}[r]&A \otimes_{\Bbb{Z}} (\cal{H}_{q}C)\ar@{-->}[d]\\ \cal{B}_q(A\otimes_\Bbb{Z} C) \ar@{^{(}->}[r]& \cal{Z}_q(A\otimes_\Bbb{Z} C)\ar@{->>}[r]& \cal{H}_{q} (A \otimes_{\Bbb{Z}}C) } \end{displaymath} Darin ist auch die obere Horizontale rechtsexakt nach \eref{RAT}{KAG}, deshalb induziert es die behauptete gestrichelt eingezeichnete Abbildung auf der Homologie. Ist $A$ torsionsfrei, so ist die obere Horizontale auch exakt und bei Vertikalen sind Isomorphismen und induzieren deshalb einen Isomorphismus auf der Homologie. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Koeffizientenwechsel}] Ist $X$ ein topologischer Raum und $A$ eine abelsche Gruppe,\label{KWW} so liefert die Vorschrift $a\otimes [c]\mapsto [a\otimes c]$ nat"urliche Homomorphismen $A\otimes_{\Bbb{Z}}\op{H}_{q}(X)\ra \op{H}_{q}(X;A) $. Ist die abelsche Gruppe $A$ \hyperref[flach]{flach} alias torsionsfrei, so sind diese Homomorphismen sogar Isomorphismen $$A\otimes_{\Bbb{Z}}\op{H}_{q}(X)\sira \op{H}_{q}(X;A) $$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die vorhergehende Proposition \ref{Hex} liefert uns schon einmal Homomorphismen $A\otimes_{\Bbb{Z}}\op{H}_{q}(X)\ra \cal{H}_{q}(A\otimes_{\Bbb{Z}}{\op{S}}X)$, $a\otimes [c]\mapsto [a\otimes c]$ und f"ur $A$ flach sind sie Isomorphismen. "Ubung \ref{SKKo} liefert uns weiter die recht offensichtlichen Isomorphismen $\cal{H}_{q}(A\otimes_{\Bbb{Z}}{\op{S}}X)\sira \op{H}_{q} (X;A)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{SKKo} F"ur jede abelsche Gruppe $A$ und jeden topologischen Raum $X$ und jedes $a\in A$ und jede $q$-Kette $c\in {\op{S}}_qX$ erkl"aren wir die $q$-Kette $a\dot\otimes c\in {\op{S}}_q(X;A)$ mit Koeffizienten in $A$ in der hoffentlich offensichtlichen Weise. Dann liefert die Abbildung $a\otimes c\mapsto a\dot\otimes c$ Isomorphismen $A\otimes_{\Bbb{Z}}{\op{S}}_{q}X \sira {\op{S}}_{q}(X;A) $ f"ur alle $q$ und sogar einen Isomorphismus $A\otimes_{\Bbb{Z}}{\op{S}}X \sira {\op{S}} (X;A)$ von Komplexen. \end{Ubung} \subsection{Universelles Koeffiziententheorem} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt k"urzen wir systematisch $\otimes_\DZ=\otimes$ und $\ast_\DZ=\ast$ ab. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Universelles Koeffiziententheorem der Homologie}] Gegeben \index{Universelles Koeffiziententheorem!der Homologie} ein topologischer Raum $X$\label{UKT} und eine abelsche Gruppe $G$ gibt es Isomorphismen $$\op{H}_{q} (X;G)\cong \big(\op{H}_{q} (X) \otimes G\big) \oplus \big(\op{H}_{q-1} (X) \ast G\big)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt f"ur relative Homologie und mit Koeffizienten in einem beliebigen Hauptidealring $R$, f"ur den wir allerdings erst noch das Torsionsprodukt $\ast_R$ einf"uhren m"u"sten. Der Satz behauptet nur die Existenz solcher Isomorphismen. Inwieweit sie nat"urlich sind, wird im Beweis genauer diskutiert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Da $\op{H}_0$ stets frei ist, gilt stets $\op{H}_1(X)\otimes G\sira \op{H}_1(X;G)$ f"ur die erste Homologie. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Nach \ref{HPR} ist die Folge der ${\op{H}}_{q}(\DP^{n}\DR;\DZ)$ f"ur $n\geq 2$ bis auf Isomorphismus $$\DZ,\; \DZ /2\DZ,\;0,\; \DZ /2\DZ,\;0,\;\ldots,\;\DZ /2\DZ,\; \left\{\begin{array}{ll} 0,\; \DZ & n \text{ ungerade};\\ 0& n \text{ gerade}. \end{array}\right. $$ Die Beschreibung \ref{HPR} der Homologie mit Koeffizienten $G$ entsteht daraus nach dem universellen Koeffiziententheorem, indem man $\DZ$ durch $G=G\otimes \DZ$ ersetzt, $\DZ /2\DZ$ durch $G/2G=G\otimes \DZ/2\DZ$ und die Nullen durch $G_2=G\ast \DZ/2\DZ$. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Tensorieren wir die kurze exakte Sequenz $KG \hookrightarrow \Bbb{Z} G \twoheadrightarrow G$ "uber $\Bbb{Z}$ mit dem Komplex von freien abelschen Gruppen ${\op{S}}X$, so erhalten wir mit \ref{SKKo} eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $${\op{S}}X \otimes KG \hookrightarrow {\op{S}} X \otimes \Bbb{Z} G \twoheadrightarrow {\op{S}}( X ; G)$$ Bilden wir die lange exakte Homologiesequenz und beachten die Isomorphismen $(\cal{H}_{q} {\op{S}}X) \otimes \Bbb{Z} G\sira \cal{H}_{q} ({\op{S}}X \otimes \Bbb{Z} G) $ und $(\cal{H}_{q} {\op{S}}X) \otimes KG\sira \cal{H}_{q} ({\op{S}}X \otimes KG) $ nach \ref{Hex}, so ergibt sich mit der Abk"urzung $\op{H}_{q}\pdef \cal{H}_{q}({\op{S}}X) $ die lange exakte Sequenz $$\op{H}_{q}\otimes KG \ra \op{H}_{q}\otimes \Bbb{Z} G \ra \op{H}_{q} (X;G) \ra \op{H}_{q-1} \otimes KG \ra \op{H}_{q-1} \otimes \Bbb{Z} G$$ und dann mit der Rechtsexaktheit von $\otimes$ und der Definition von $\ast$ und \ref{Ergz} eine kurze exakte Sequenz $${\op{H}}_{q} (X) \otimes G \hookrightarrow {\op{H}}_{q} (X;G) \twoheadrightarrow {\op{H}}_{q-1} (X) \ast G$$ Es bleibt zu zeigen, da"s sie spaltet. Aber die kurze exakte Sequenz ${\op{Z}}_{q}X \hookrightarrow {\op{S}}_{q} X \twoheadrightarrow {\op{B}}_{q-1}X$ spaltet, da ${\op{B}}_{q-1}X \subset {\op{S}}_{q-1} X$ frei ist nach \ref{UFF}.Wir finden nach \ref{spalt} also ein Linksinverses ${\op{S}}_{q}X \twoheadrightarrow {\op{Z}}_{q} X$ der Einbettung der Zykel in die Ketten, und das induziert die gesuchte Spaltung ${\op{H}}_{q} (X;G) \ra {\op{H}}_{q}(X) \otimes G$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{NatS} Die Spaltung im vorhergehenden Beweis ist f"ur festes $X$ nat"urlich in $G$. Sie kann aber nicht bei festem $G\neq 0$ nat"urlich in $X$ gew"ahlt werden. Dazu h"atte ich gerne ein gut zug"angliches Beispiel etwa eines Raums $X$ mit einer stetigen Abbildung $f:X\ra X$, die die Identit"at auf ${\op{H}}_1(X)$ und ${\op{H}}_2(X)$ induziert, nicht aber auf ${\op{H}}_2(X;G)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{Ergz} Ist $A\ra B\ra C\ra D\ra E$ eine exakte Sequenz von abelschen Gruppen, so ist $(\op{cok}(A\ra B))\ra C \ra (\op{ker}(D\ra E))$ eine kurze exakte Sequenz. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Freiheit f"ur Homologie von Mannigfaltigkeiten}] Gegeben eine orientierbare $n$-Mannigfaltigkeit $M$ ist ${\op{H}}_{n-1}M$ torsionsfrei. \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Ist $M$ zus"atzlich kompakt, so sind zus"atzlich alle Homologiegruppen endlich erzeugt nach\label{fhm} dem Satz von Wilder \ref{Wilder} und wir folgern, da"s ${\op{H}}_{n-1}M$ eine freie abelsche Gruppe sein mu"s. F"ur $M$ abz"ahlbar basiert zeige ich das in \eref{FrH}{TSF}. Ich wei"s nicht, ob f"ur beliebige nicht notwendig abz"ahlbar basierte orientierbare Mannigfaltigkeiten die Homologie im Grad Eins unter der Dimension eine freie abelsche Gruppe sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach der Variante mit Koeffizienten \ref{NNN} des Satzes "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten ist f"ur jede abelsche Gruppe $G$ die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus ${\op{H}}_{n}(M)\otimes G\sira {\op{H}}_{n}(M;G)$. Aus dem universellen Koeffiziententheorem \ref{UKT} folgt damit ${\op{H}}_{n-1}(M)*G=0$. \end{proof} \begin{Beispiel} Die Sph"are $S^3$ kann mit der Struktur einer topologischen Gruppe versehen werden, indem wir ihre Elemente als Quaterionen der L"ange $1$ auffassen. Die $n$-ten komplexen Einheitswurzeln bilden darin eine zyklische Untergruppe $\mu_n$ und der Quotient $S^3/\mu_n$ hat nach "Uberlagerungstheorie die Fundamentalgruppe $\mu_n\cong \DZ/n\DZ$ und nach dem Satz von Hurewicz \ref{Hu} auch erste Homologie ${\op{H}}_1(S^3/\mu_n)\cong \DZ/n\DZ$. Kompakte orientierbare Mannigfaltigkeiten einer Dimension $>2$ k"onnen also durchaus Torsion in ihrer Homologie haben. \end{Beispiel} \begin{Satz}\label{UFF} Jede Untergruppe einer freien abelschen Gruppe ist frei.\index{frei!Untergruppe} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{UFFnn} Der anschlie"sende Beweis zeigt allgemeiner: Jeder Untermodul eines freien Moduls "uber einem Hauptidealring ist frei. F"ur endlich erzeugte Gruppen folgt das aus \eref{ee}{LA2} in Verbindung mit \eref{ek}{LA2}, f"ur endlich erzeugte Moduln analog aus \eref{NoUI}{KAG} in Verbindung mit \eref{NFF}{KAG}. Die Hauptarbeit besteht darin, auch nicht notwendig endlich erzeugte Gruppen beziehungsweise Moduln zu behandeln. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sei $I$ eine Menge und $U\subset \Bbb{Z} I $ eine Untergruppe. Wir betrachten die Menge aller Paare $(J,B)$ wo $J\subset I$ eine Teilmenge ist und $B$ eine $\Bbb{Z}$-Basis des Schnitts $U \cap \Bbb{Z} J$. Diese Menge ist nicht leer und ist induktiv geordnet. Sie besitzt also nach Zorns Lemma \eref{ZLl}{LA1} ein maximales Element $(J_{\op{m}}, B_{\op{m}})$ und es gilt zu zeigen $J_{\op{m}} =I$. Aber sonst sei $i\in I\backslash J_{\op{m}}$. Das Bild von $U \cap \Bbb{Z} (J_{\op{m}} \cup \{i\})$ in $\Bbb{Z} i$ unter der offensichtlichen Projektion ist von der Form $r \Bbb{Z} i$ f"ur ein $r\in\Bbb{Z}$. Ist $r \neq 0$, so w"ahlen wir ein Urbild $u$ von $r i$ in $U$ und $(J_{\op{m}}\cup \{i\}, B_{\op{m}} \cup \{u\})$ w"are ein gr"o"seres Paar. Ist $r=0$, so w"are schon $(J_{\op{m}}\cup \{i\}, B_{\op{m}})$ ein gr"o"seres Paar. In jedem Fall steht $J_{\op{m}} \neq I$ im Widerspruch zur Maximalit"at von $(J_{\op{m}}, B_{\op{m}})$. \end{proof} \subsection{Singul"are Ketten in Produktr"aumen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur das Kreuzprodukt der Homologie}] Gegeben topologische R"aume $X,Y$ scheint mir anschaulich klar, da"s\label{DKP} man nat"urliche Produktabbildungen $${\op{H}}_{p}(X) \times {\op{H}}_{q}(Y)\ra {\op{H}}_{p+q}(X\times Y)$$ erwarten darf. Suchen wir zum Beispiel das Produkt von zwei Homologieklassen vom Grad $1$, und werden diese Klassen repr"asentiert durch geschlossene Wege in $X$ beziehungsweise $Y$, so liefern unsere beiden Wege zusammen eine Abbildung des $2$-Torus nach $X\times Y$, und jede Triangulierung dieses $2$-Torus liefert einen $2$-Zykel im Produkt, der dann das Produkt unserer beiden $1$-Klassen repr"asentieren soll. Diese Anschauung werden wir im folgenden zur Definition des \glqq Kreuzprodukts der Homologie\grqq\ formalisieren und zeigen, wie uns die \glqq K"unneth-Formel\grqq\ erlaubt, die Homologie eines Produkts aus der Homologie seiner Faktoren zu berechnen. Arbeiten wir zur Vereinfachung mit Koeffizienten in einem K"orper $k$, so liefert nach dieser Formel das Kreuzprodukt sogar Isomorphismen $$ \bigoplus_{p+q=n} {\op{H}}_{p}(X;k) \otimes_{k} {\op{H}}_{q}(Y;k) \;\;\sira\;\; {\op{H}}_{n}(X\times Y;k)$$ Besitzen insbesondere $X$ und $Y$ eine im Sinne von \ref{DEch} wohldefinierte Eulercharakteristik, so auch $X\times Y$ und es gilt $\chi(X\times Y)=\chi(X)\chi(Y)$. Der Fall ganzzahliger Koeffizienten ist nur unwesentlich komplizierter. Nach diesen Vorbemerkungen beginnen wir nun mit der formalen Arbeit. Die formale Definition des Kreuzprodukts werden wir in \ref{KdHo} angeben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Das Kreuzprodukt auf der nullten Homologie}] Im Fall $n=0$ kommen wir noch ohne gr"o"sere Vorarbeiten zum Ziel. Wir erinnern dazu den Funktor $\pi_0:\op{Top}\ra\op{Ens}$ der Wegzusammenhangskomponenten und unseren Isomorphismus $\DZ\pi_0(X)\sira {\op{H}}_0X$ aus \ref{ispH} und erhalten f"ur je zwei topologische R"aume $X,Y$ nat"urliche Isomorphismen\label{offI} $$ {\op{H}}_0 X\otimes {\op{H}}_0 Y \sila \DZ\pi_0X\otimes \DZ\pi_0Y\sira \DZ\pi_0(X\times Y)\sira {\op{H}}_0(X\times Y)$$ Der dritte Isomorphismus kommt dabei von der Vertr"aglichkeit $\pi_0X\times\pi_0Y\sira \pi_0(X\times Y)$ von $\pi_0$ mit endlichen Produkten her. Analoges gilt f"ur die Homologie mit Koeffizienten in einem beliebig vorgegebenen Ring. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal A$ mit \hyperref[additiv]{additiver Struktur} erkl"aren wir in der offensichtlichen Weise die Kategorie $\op{Ket}(\mathcal A)=\op{Ket}_{\mathcal A}$ der Komplexe von Objekten von $\mathcal A$ und ihre Homotopiekategorie\label{Hotadd} $\op{Hot}(\mathcal A)=\op{Hot}_{\mathcal A}$. Gegeben Komplexe $C,D$ bilden wir dann wie in \eref{HHKK}{TS} den Hom-Komplex $\op{Hom}_{\mathcal A}(C,D)\in\op{Ket}(\op{Ab})$ und haben per definitionem $$\op{Hot}_{\mathcal A}(C,D)=\mathcal H_0\op{Hom}_{\mathcal A}(C,D)$$ Im Spezialfall $\mathcal A=R\op{-Mod}$ verwenden wir f"ur den Hom-Komplex auch die Notation\index{Hom@$\op{Hom}_{R}$ Hom-Komplex} $\op{Hom}_{R}(C,D)$.\index{Hom@$\op{Hom}_{\mathcal A}$ Hom-Komplex} Unsere Homotopiekategorie $\op{Hot}_{\mathcal A}$ erbt von $\mathcal A$ in offensichtlicher Weise eine additive Struktur und auch eine $k$-lineare Struktur, wenn $\mathcal A$ eine $k$-lineare Struktur tr"agt. %Allgemeinere Aussagen in dieser Richtung diskutieren wir in \ref{??}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten nun die Funktoren ${\op{S}}\otimes {\op{S}}:(X,Y)\mapsto \op{S}(X\times Y)$ und $\op{S}(\times ):(X,Y)\mapsto {\op{S}}X\otimes_\Bbb{Z} {\op{S}}Y$ von der Kategorie $\op{Top}\times\op{Top}$ %=\op{Top}\times \op{Top}$ der Paare topologischer R"aume in die Kategorie $\op{Ket}$ der Komplexe. Wir k"onnen sie als Komplexe von Funktoren alias Objekte von $\op{Ket}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$ auffassen und wie in \ref{Hotadd} die zugeh"orige Homotopiekategorie $\op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$ bilden. Man beachte, da"s wir f"ur eine beliebige Kategorie $\mathcal C$ einen offensichtlichen Isomorphismus von Kategorien $\op{Ket}(\op{Ab})^{\mathcal C}\sira \op{Ket}(\op{Ab}^{\mathcal C})$ zur Verf"ugung haben und einen offensichtlichen Funktor $$\op{Hot}(\op{Ab}^{\mathcal C})\ra \op{Hot}(\op{Ab})^{\mathcal C}$$ Letzterer Funktor ist jedoch im allgemeinen kein Isomorphismus von Kategorien, ja noch nicht einmal eine "Aquivalenz von Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Eilenberg-Zilber}] In der Homotopiekategorie $\op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$ gibt es zwischen\label{EZ} den beiden Objekten ${\op{S}}\otimes {\op{S}}$ und $\op{S}(\times )$ genau einen Morphismus, der auf der nullten Homologie dieselben Abbildungen induziert wie die offensichtlichen Isomorphismen ${\op{S}}_0X\otimes {\op{S}}_0Y\sira \op{S}_0(X\times Y)$, und dieser ist in besagter Homotopiekategorie ein Isomorphismus $$ {\op{S}}\otimes {\op{S}}\sira \op{S}(\times )$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir beweisen diesen Satz nach einigen Vorbereitungen im Anschlu"s an den Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM}. Unser Satz gilt mit demselben Beweis f"ur jede volle Unterkategorie von $\op{Top}\times\op{Top}$, zu deren Objekten alle Paare $(\Delta_p,\Delta_q)$ von Standardsimplizes geh"oren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einen Repr"asentanten in $\op{Ket}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$ f"ur den im Satz beschriebenen Isomorphismus in $\op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$ beziehungsweise seinen Inversen nennen wir eine {\bf Eilenberg-Zilber-Transformation}\index{Eilenberg-Zilber!Transformation} beziehungsweise eine\index{Alexander-Whitney!Transformation} {\bf Alex\-an\-der-Whit\-ney-Trans\-for\-ma\-tion}. Beispiele f"ur derartige Transformationen werden wir in \ref{AWW} und \ref{EAW} angeben.\label{EZAW} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Der Satz gilt\label{EZvF} analog f"ur eine beliebige endliche Zahl von Faktoren und der Beweis bleibt im wesentlichen derselbe. F"ur diese Allgemeinheit will ich aber die Diskussion von Tensorprodukten mit einer beliebigen endlichen Zahl von Tensorfaktoren abwarten. Mehr dazu in \eref{SKMu}{TSK}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{EZAA} Der vorstehende Satz \ref{EZ} liefert f"ur je zwei topologische R"aume $X,Y$ eine ausgezeichnete Homotopie"aquivalenz $ {\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y\hri \op{S}(X\times Y )$. Wir nennen sie die \defind{Eilenberg-Zilber-"Aquivalenz} und ihre Inverse die \defind{Alexander-Whitney-"Aquivalenz}. Will man ihre anschauliche Bedeutung verstehen, so mag das in \ref{AWW} gegebene explizite Beispiel helfen. Wir wollen den Satz von Eilenberg-Zilber mithilfe der Methode der \glqq azyklischen Modelle\grqq\ beweisen und m"ussen dazu die n"otige Terminologie einf"uhren. Zum Aufw"armen beweisen wir erst einmal eine einfachere verwandte Aussage, das sogenannte \glqq Hauptlemma der homologischen Algebra\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring. Ein $R$-Modul $P$ hei"st {\bf projektiv},\index{projektiv!Modul} wenn jeder surjektive Homomorphismus $A\sra A'' $ von $R$-Moduln auf den\label{proMo} Homomorphismenr"aumen eine Surjektion $\op{Hom}_R(P,A)\sra \op{Hom}_R(P,A'')$ induziert. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $A'\hra A\sra A'' $ eine kurze exakte Sequenz von Moduln "uber einem Ring $R$ und ist $M$ ein weiterer $R$-Modul, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(M,A')\hra \op{Hom}_R(M,A)\ra \op{Hom}_R(M,A'')$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s keineswegs wieder eine Surjektion sein. F"ur die kurze exakte Sequenz $2\DZ\hra \DZ\sra \DZ/2\DZ$ etwa kommt die Identit"at $\DZ/2\DZ\ra \DZ/2\DZ$ nicht von einem Morphismus $\DZ/2\DZ\ra \DZ$ her. Insbesondere ist $\DZ/2\DZ$ nicht projektiv als $\DZ$-Modul. \end{Beispiel} \begin{Beispiele} Gegeben ein Ring $R$ ist jeder freie $R$-Modul projektiv. Insbesondere ist $\DZ/2\DZ$ projektiv als $\DZ/2\DZ$-Modul. Sind $P',P'' $ zwei $R$-Moduln und ist ihre Summe $P'\oplus P'' $ projektiv, so auch die Summanden $P'$ und $P'' $. "Uber einem Ring der Gestalt $R=R'\times R'' $ f"ur zwei Ringe $R',R'' $ ist insbesondere $R'\times 0$ ein projektiver Modul, der jedoch nicht frei ist, falls $R'$ und $R'' $ von Null verschieden sind. \end{Beispiele} \begin{Lemma} Ein Modul "uber einem Ring ist projektiv genau dann, wenn er direkter Summand eines freien Moduls ist.\label{proHR} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nat"urlich ist jeder direkte Summand eines freien Moduls projektiv. Ist umgekehrt $P$ ein projektiver $R$-Modul, so finden wir einen freien Modul $F$ und eine Surjektion $F\sra P$. Nach Annahme induziert diese Surjektion eine Surjektion $\op{Hom}_R(P,F)\sra \op{Hom}_R(P,P)$. Jedes Urbild der Identit"at auf $P$ ist dann eine Spaltung der Surjektion $F\sra P$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Hauptlemma der homologischen Algebra}] Seien gegeben ein Ring $R$, \index{Hauptlemma!der homologischen Algebra!f"ur Moduln} ein Komplex projektiver $R$-Moduln $P$ mit\label{HLHA} $P_q=0$ f"ur $q<0$ und ein Komplex $C$ von $R$-Moduln mit $\cal{H}_q(C)=0$ f"ur $q>0$. So induziert das Bilden der nullten Homologie eine Bijektion $$\op{Hot}_R(P,C)\sira \op{Hom}_R(\cal{H}_0P, \cal{H}_0C)$$ zwischen der Menge aller Homotopieklassen von Kettenabbildungen und der Menge aller $R$-linearen Abbildungen auf der nullten Homologie. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im folgenden Beweis zeigen wir, da"s das sogar unter schw"acheren Voraussetzungen gilt. Genauer ben"otigen wir nur die Exaktheit der Zeilen des gro"sen Diagramms in unserem Beweis und noch genauer sogar nur deren Exaktheit \glqq auf der Diagonale und der ersten oberen Nebendiagonale\grqq\ also bei den $\op{Hom}(P_{i}, C_i)$ und den $\op{Hom}(P_{i+1}, C_i)$. Man mag diese Voraussetzung salopp gesprochen als eine Forderung der Art verstehen, da"s die $P_q$ in geeigneter Weise \glqq relativ zu den $C_q$ projektiv sind\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Beide Seiten bleiben unver"andert, wenn wir beim Komplex $C$ den Anteil $C_0$ im Grad Null durch $\mathcal Z_0C$ ersetzen und die $C_q$ f"ur $q<0$ durch Null. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zus"atzlich annehmen, da"s bereits gilt $q<0\RA C_q=0$. Jetzt betrachten wir das kommutative Diagramm $$\begin{array}{cccccccc} \vdots&&\vdots&&\vdots&&\vdots\\ \op{Hom}(P_2,\mathcal H_0C)&\twoheadleftarrow&\op{Hom}(P_2, C_0)&\leftarrow&\op{Hom}(P_2, C_1)&\leftarrow&\op{Hom}(P_2, C_2)\ldots\\ \ua&&\ua&&\ua&&\ua\\ \op{Hom}(P_1,\mathcal H_0C)&\twoheadleftarrow&\op{Hom}(P_1, C_0)&\leftarrow&\op{Hom}(P_1, C_1)&\leftarrow&\op{Hom}(P_1, C_2)\ldots\\ \ua&&\ua&&\ua&&\ua\\ \op{Hom}(P_0,\mathcal H_0C)&\twoheadleftarrow&\op{Hom}(P_0, C_0)&\leftarrow&\op{Hom}(P_0, C_1)&\leftarrow&\op{Hom}(P_0, C_2)\ldots\\ \cup&&&&&&\\ \op{Hom}(\mathcal H_0 P,\mathcal H_0C)\!\!\!\!\!\!&&&&&& \end{array}$$ Seine Zeilen sind alle exakt und die Kompositionen in den Spalten sind alle Null. Eine Kettenabbildung $f\in \op{Ket}_R(P,C)$ besteht aus einem Tupel von Elementen $f_i\in \op{Hom}(P_{i}, C_i)$ \glqq l"angs der Diagonale\grqq\ derart, da"s das Bild von $f_i$ unter dem Pfeil nach oben mit dem Bild von $f_{i+1}$ unter dem Pfeil nach links zusammenf"allt, also $\partial \circ f_{i+1}=f_i\circ\partial$. Um die Surjektivit"at zu zeigen, klettern wir im Diagramm hoch und benutzen dabei nur die Exaktheit der Zeilen an den Stellen $\op{Hom}(P_{i+1}, C_i)$. Um die Injektivit"at zu zeigen, m"ussen wir zeigen, da"s jede Kettenabbildung $P\ra C$ nullhomotop ist, die die Nullabbildung $\mathcal H_0 P\ra \mathcal H_0 C$ induziert. Eine Kettenhomotopie zwischen $f$ und der Nullabbildung besteht aus einem Tupel von Elementen $s_i\in \op{Hom}(P_{i}, C_{i+1})$ derart, da"s gilt $s_0\mapsto f_0$ und da"s $f_{i+1}$ die Summe des Bildes von $s_i$ unter dem Pfeil nach oben mit dem Bild von $s_{i+1}$ unter dem Pfeil nach links ist, also $f_{i+1}=s_i\circ\partial + \partial\circ s_{i+1}$. Um so eine Kettenhomotopie zu finden, klettern wir wieder in unserem Diagramm hoch und benutzen diesmal nur die Exaktheit der Zeilen an den Stellen $\op{Hom}(P_i, C_i)$. \end{proof} % \begin{proof} % Als erstes zeigen wir die Surjektivit"at. % Sei $\tau: \cal{H}_0P\ra \cal{H}_0C$ gegeben. Wir beginnen unsere Konstruktion % einer Kettenabbildung $f:P\ra C$, indem wir notgedrungen setzen % $f_q=0$ f"ur $q<0$. % Wegen der Projektivit"at von $P_0$ % finden wir $f_0:P_0\ra \cal{Z}_0C$ derart, da"s das Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % P_{0} & \overset{f_{0}}{\ra} & \cal{Z}_{0}C\\ % \downarrow & &\downarrow \\ % \cal{H}_{0} P& \overset{\tau}{\ra} & \cal{H}_{0}C % \end{array}$$ % kommutiert. Dann landet die Verkn"upfung $f_0\partial:P_1\ra \cal{Z}_0C$ % sogar in $\cal{B}_0C$ und wegen der Projektivit"at von $P_1$ finden % wir $f_1:P_1\ra C_1$ mit $\partial f_1=f_0\partial:P_1\ra C_0$. % Haben wir bis zu einem $q\geq 1$ induktiv $f_q$ bereits gefunden % mit $\partial f_q=f_{q-1}\partial$, so % gilt $\partial f_q \partial=0$, wegen $\cal{H}_q C=0$ landet also $ f_q \partial$ % in $\cal{B}_qC$ und wegen der Projektivit"at von $P_{q+1}$ finden wir % $f_{q+1}:P_{q+1}\ra C_{q+1}$ mit $\partial f_{q+1}=f_{q}\partial$ % und die Induktion l"auft. Das zeigt die Surjektivit"at. % Um die Injektivit"at zu zeigen m"ussen wir pr"ufen, da"s der % Kern unserer Surjektion verschwindet, da"s also eine % Kettenabbildung $f:P\ra C$, die auf der nullten Homologie % die Nullabbildung induziert, schon nullhomotop ist. % Wir suchen also unter dieser Voraussetzung $s_q:P_q\ra C_{q+1}$ % mit $f_q=s_{q-1}\partial+\partial s_q$ f"ur alle $q$. % Wieder beginnen wir notgedrungen mit $s_q=0$ f"ur $q<0$. % Da $f_0$ nach Annahme in $\cal{B}_0C$ landet finden wir auch % sofort $s_0$ mit $f_0=\partial s_0$. Haben wir bis zu einem $q\geq 0$ % induktiv $s_q$ bereits gefunden % mit $f_q=\partial s_q+s_{q-1}\partial$, so folgt % $\partial(f_{q+1}- s_q\partial)=(f_q-\partial s_q)\partial=0$ % und $f_{q+1}- s_q\partial$ landet in $\cal{B}_{q+1}C$ als da hei"st, % es gibt $s_{q+1}$ mit $f_{q+1}- s_q\partial=\partial s_{q+1}$. % Das zeigt die Injektivit"at. % \end{proof} \begin{Definition} Sei $\cal{C}$ eine Kategorie. Unter dem {\bf freien Funktor in die Kategorie der abelschen Gruppen $F:\cal{C}\ra\op{Ab}$} "uber einer Familie\label{BFu} $(M_i)_{i\in I}$ von Objekten von $\mathcal C$ verstehen wir den Funktor $$F:Y\mapsto \bigoplus_{i\in I}\DZ\mathcal C(M_i,Y)$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Der Funktor ${\op{S}}_q:\op{Top}\ra \op{Ab}$ der singul"aren $q$-Ketten ist der freie Funktor zur einelementigen Familie $(\Delta_q)$ von topologischen R"aumen. \end{Beispiel} \begin{Proposition} Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $F :\cal{C} \ra \op{Ab}$ der freie Funktor zur Familie $(M_{i})_{i\in I}$ und $G :\cal{C} \ra \op{Ab}$ ein weiterer Funktor. So haben wir eine Bijektion\label{MPF} $$\begin{array}{ccl} \op{Ab}^{\cal{C}} (F, G) & \sira & \bigsqcap_{i \in I} G(M_{i})\\[2mm] \eta & \mapsto & (\eta_{M_{i}}({\op{id}}_{i}))_{i \in I} \end{array}$$ f"ur $\op{id}_i\in F(M_i)=\bigoplus_{j\in I}\DZ\mathcal C(M_j,M_i)$ dem Tupel mit einmal der Identit"at an der $i$-ten Stelle und Nullen an allen Stellen mit Index $j\neq i$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Den Beweis dieser Verallgemeinerung der Variante \ref{YA} des Yonedalemmas "uberlassen wir dem Leser. Wie immer bezeichnet $\op{Ab}^{\cal{C}}$ die Kategorie der Funktoren $\cal{C}\ra\op{Ab}$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BFu} Sei $\cal{C}$ eine Kategorie. Eine {\bf Basis\index{Basis eines Funktors} eines Funktors} $$G:\cal{C} \ra \op{Ab}$$ ist eine Familie $(M_{i},m_{i})_{i\in I}$ von Paaren bestehend aus jeweils einem Objekt $M_{i}\in \cal{C}$ und einem Element $m_{i}\in G(M_{i})$ seines Bildes unter unserem Funktor derart, da"s f"ur jedes $X \in \cal{C}$ die $(Gf) (m_{i})$ mit $i\in I$ und $f\in {\cal{C}} (M_{i},X)$ eine $\Bbb{Z}$-Basis von $G(X)$ bilden. Nach unserer Proposition \ref{MPF} entsprechen die Basen von $G$ zu einer Familie $(M_i)_{i\in I}$ von Objekten eineindeutig den Isotransformationen des freien Funktors "uber besagter Familie nach $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur alle $n \geq 0$ ist die Familie $((\Delta_{q},\Delta_p),\tau_q\otimes\tau_p)_{p+q=n}$ eine Basis des Funktors $\op{Top}\times\op{Top}\ra\op{Ab}$ mit $(X,Y)\mapsto ({\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y)_n$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur alle $n\geq 0$ ist $(\Delta_{n},(\tau_n,\varphi))_{\varphi\in\op{Top}(\Delta_n,[0,1])}$ eine Basis des Funktors $\op{Top}\ra \op{Ab}$ gegeben durch $X\mapsto {\op{S}}_n(X\times [0,1])$.\label{Hoti} \end{Beispiel} \begin{Definition} Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $\cal{M} \subset \op{Ob} (\cal{C})$ eine Teilmenge. Ein Funktor $F:\cal{C} \ra \op{Ab}$ hei"st {\bf frei mit Modellen in $\cal{M}$},\index{frei!Funktor} wenn er eine Basis $(M_{i},m_{i})_{i\in I}$ besitzt derart, da"s alle $M_{i}$ zu $\cal{M}$ geh"oren. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{"uber azyklische Modelle}] Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $F,G\in\op{Ket}(\op{Ab}^{\mathcal C})$ Komplexe von Funktoren mit $F_{q} = 0$ f"ur $q<0$.\index{azyklische Modelle}\label{AzM} Wir nehmen an, da"s es eine Menge $\cal{M}$ von Objekten von $\cal{C}$ gibt derart, da"s die homogenen Komponenten $F_q:\cal{C}\ra \op{Ab}$ von $F$ frei sind mit Modellen in $\cal{M}$ und da"s f"ur alle $M\in \cal{M}$ die Homologie $\cal{H}_q(G M)$ verschwindet f"ur $q> 0$. So induziert der "Ubergang zur nullten Homologie eine Bijektion $${\op{Hot}}\!\left(\op{Ab}^{\mathcal C}\right)(F,G)\sira \op{Ab}^{\mathcal C}(\mathcal H_0 F,\mathcal H_0 G)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Mit $\mathcal H_0 F$ meinen wir den Funktor $X\mapsto \mathcal H_0 (FX)$ alias den Funktor $\mathcal H_0 \circ F$. Wenn Sie bereits mit den sogenannten \glqq abelschen Kategorien\grqq\ vertraut sind, m"ogen Sie erkennen, da"s $\op{Ab}^{\mathcal C}$ selbst eine abelsche Kategorie ist und da"s $\mathcal H_0 F$ gleichbedeutend in diesem begrifflichen Rahmen verstanden werden kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein topologischer Raum, dessen reduzierte Homologie in allen Graden verschwindet, hei"st {\bf azyklisch f"ur die singul"are Homologie}.\index{azyklisch!f"ur singul"are Homologie} "Ubertragen nennt man manchmal auch Komplexe azyklisch, deren Homologie vom Grad Null abgesehen identisch verschwindet. Die wesentliche Voraussetzung des vorhergehenden Satzes l"a"st sich dahingehend formulieren, da"s \glqq $G$ in echt positiven Graden azyklisch ist auf den Modellen von $F$\grqq. Spezialisiert man den Satz "uber azyklische Modelle auf den Fall einer Kategorie $\cal{C}$ mit nur einem Objekt und einem Morphismus, eben der Identit"at dieses einzigen Objekts, so erh"alt man dieselbe Aussage wie bei der Spezialisierung des Hauptlemmas der homologischen Algebra \ref{HLHA} auf den Fall freier $\DZ$-Moduln anstelle projektiver $R$-Moduln. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir wiederholen den Beweis des Hauptlemmas der homologischen Algebra \ref{HLHA} und ersetzen darin "uberall $R\op{-Mod}$ durch $\op{Ab}^{\mathcal C}$. Die Gruppen von Transformationen $\op{Ab}^{\mathcal C}(F_p, G_q)$ k"onnen nach \ref{MPF} identifiziert werden mit Produkten $\bigsqcap_{i\in I(p)}G_q(M_i)$ f"ur geeignete Familien $I(p)\ra \mathcal M$ von Modellen und bilden folglich nach unserer Annahme der \glqq Azyklizit"at der Modelle\grqq\ exakte Zeilen. Damit funktioniert dann unser vorheriger Beweis ohne weitere "Anderungen. \end{proof} % \begin{proof}[Beweis] % 1. % Notgedrungen setzen wir $f_q=0$ f"ur $q<0$. % Um eine Transformation $f_{0} : F_{0} \Rightarrow G_{0}$ % anzugeben reicht es, die Bilder $z_{i} \in G_{0} (M_{i})$ von % $m_{i} \in F_{0} (M_{i})$ unter $f_0$ anzugeben, f"ur $(M_{i},m_{i})$ eine % Basis von $F_{0}$. % Diese Bilder k"onnen wir sicher als Zykel w"ahlen derart, da"s auf % der Homologie gilt $ h : [m_{i}] \mapsto [z_{i}]$. Dann % kommutiert notwendig das Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % F_{0} & \overset{f_{0}}{\Rightarrow} & \cal{Z}_{0}G\\ % \Downarrow & &\Downarrow \\ % \cal{H}_{0} F& \overset{ h }{\Rightarrow} & \cal{H}_{0}G % \end{array}$$ % und dar"uber hinaus gilt $\partial f_{q} = % f_{q-1}\partial $ f"ur alle $q\leq 0$. % Jetzt m"ussen wir nur noch f"ur $q>0$ Transformationen % $f_{q} : F_{q} \Rightarrow G_{q}$ konstruieren derart, da"s gilt $\partial % f_{q} = f_{q-1} \partial$. Das gelingt induktiv. % Ist $(M_{j}, m_{j})$ eine Basis von $F_{q}$, so reicht es aus, % $f_{q} (m_{j}) \in G_{q} (M_{j})$ so festzulegen, da"s % gilt % $$\partial f_{q} m_{j} = f_{q-1} \partial m_{j} \quad \forall j$$ % Im Fall $q=1$ finden wir solche $f_1(m_j)$, da nach Konstruktion % von $f_0$ alias wegen der % Kommutativit"at obigen Diagramms die % Verkn"upfung $f_0\partial:F_1M_j\rightarrow G_0M_j$ faktorisiert % "uber $\cal{B}_0GM_j$. F"ur $q>1$ folgt aus unserer Azyklizit"ats-Annahme % $\cal{H}_{q-1}GM_{j}=0$, so da"s wir solche $f_{q} % (m_{j})$ finden k"onnen, wenn gilt $\partial f_{q-1} \partial m_{j} =0$. % Das folgt aber aus der per Induktion bereits bekannten Formel % $\partial f_{q-1} = f_{q-2} \partial$. % \\[2mm]\noindent % 2. % "Ahnlich wie im Beweis des ersten Teils % konstruieren wir beginnend mit $\delta_{q} % =0$ f"ur $q<0$ induktiv L"osungen $\delta_{q}$ der Gleichungen % $$\partial \delta_{q} = f_{q} - f_{q}^{\prime} - % \delta_{q-1}\partial$$ % Wir finden solche L"osungen f"ur $q =0$, da $f_{0} % -f_{0}^{\prime}$ in den R"andern $\cal{B}_{0} G$ landet, und f"ur $q> % 0$, da wir induktiv haben % \begin{equation*} % \begin{array}[b]{rcl} % \partial (f_{q}-f_{q}^{\prime} - \delta_{q-1}\partial) &=& % (f_{q-1} - f_{q-1}^{\prime} - \partial \delta_{q-1}) \partial \\ % &=& \delta_{q-2}\partial \partial \\ % &=&0 % \end{array}\qedhere % \end{equation*} % \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Eilenberg-Zilber \ref{EZ}] Der Funktor $(X,Y) \mapsto {\op{S}}_{n} (X\times Y)$ hat als Basis die einelementige Familie $((\Delta_{n}, \Delta_{n}), \op{diag})$, wobei $\op{diag} : \Delta_{n} \ra \Delta_{n} \times \Delta_{n}$ die diagonale Einbettung und dann auch den $n$-Zykel $\op{diag} \in {\op{S}}_{n} (\Delta_{n} \times \Delta_{n})$ bezeichnet. Der Funktor $(X,Y) \mapsto ({\op{S}}X \otimes_\Bbb{Z} {\op{S}} Y)_{n}$ hat als Basis die $(n+1)$-elementige Familie $((\Delta_{p},\Delta_{q}), \tau_{p} \otimes \tau_{q})_{p+q =n}$ mit den Tensorprodukten der tautologischen Simplizes als zweiten Eintr"agen. Wir pr"ufen als n"achstes, da"s beide Funktoren auf ihren eigenen Modellen und den Modellen des jeweils anderen Funktors azyklisch sind, da"s also die h"oheren Homologiegruppen der Komplexe $\op{S} (\Delta_{p}\times \Delta_{q})$ und $ {\op{S}} \Delta_{p} \otimes_\Bbb{Z} {\op{S}} \Delta_{q}$ verschwinden. Die erste Aussage folgt daraus, da"s $\Delta_{p} \times \Delta_{q}$ konvex ist. Um die zweite Aussage einzusehen, betrachten wir den Kettenkomplex $\Bbb{Z} [0]$, der nur im Grad Null lebt und dort $\Bbb{Z}$ ist, und bilden die Folge von Kettenabbildungen $\op{S}(\Delta_{p})\ra \op{S}(\op{top}) \overset{\varepsilon}{\rightarrow} \Bbb{Z} [0]$. Man erkennt, da"s alle diese Abbildungen Homotopie"aquivalenzen sind, zum Beispiel mit \ref{kH} f"ur die erste Abbildung und expliziter Rechnung f"ur die Zweite, oder alternativ mit \ref{HKH}. Es folgt eine Homotopie"aquivalenz ${\op{S}}\Delta_{p} \otimes_{\Bbb{Z}} {\op{S}}\Delta_{q} \ra \Bbb{Z} [0] \otimes_{\Bbb{Z}} \Bbb{Z} [0]$ und so die Azyklizit"at dieses Komplexes. Nach dem Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} liefert das Bilden der nullten Homologie also eine Bijektion $$\op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})({\op{S}}\otimes {\op{S}},{\op{S}}(\times))\sira \op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}}(\mathcal H_0 ({\op{S}}\otimes {\op{S}}),\mathcal H_0 {\op{S}}(\times))$$ und ebenso eine Bijektion auf Morphismen in der Gegenrichtung und ebenso Bijektionen in den F"allen, in denen in den Klammern zweimal derselbe Funktor steht. So erhalten wir insgesamt einen Isomorphismus zwischen der vollen Unterkategorie mit zwei Objekten $\{{\op{S}}\otimes {\op{S}},{\op{S}}(\times)\}\subset \op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$ und der vollen Unterkategorie mit zwei Objekten $\{\mathcal H_0 ({\op{S}}\otimes {\op{S}}),\mathcal H_0 {\op{S}}(\times)\}\subset \op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}}$. Nun gilt es nur noch zu zeigen, da"s die offensichtlichen Isomorphismen $\op{S}_0(X\times Y)\sira {\op{S}}_0X\otimes {\op{S}}_0Y $ Isomorphismen ${\op{H}}_0(X\times Y)\sira \mathcal H_0({\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y)$ auf der nullten Homologie induzieren. Es scheint mir jedoch offensichtlich, da"s unsere Isomorphismen der Grad-Null-Anteile unserer Komplexe R"ander zu R"andern machen und da"s die davon auf der nullten Homologie induzierte Abbildung unter der Verkn"upfung mit dem Inversen des von der Variation \eref{ReTe}{KAG} zur Rechtsexaktheit des Tensorprodukts herr"uhrenden Isomorphismus ${\op{H}}_0X\otimes {\op{H}}_0Y\sira \mathcal H_0({\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y)$ genau unseren Isomorphismus \ref{offI} liefert. Der Satz folgt. \end{proof} \subsection{Tensorprodukt und Homologie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homologie von Tensorproduktkomplexen}] Sind $C$, $D$ Komplexe von Rechts- beziehungsweise Linksmoduln "uber einem\label{TKH} Ring $R$, so haben wir offensichtliche Abbildungen\label{TeKon}%\label{TeKo} $$\begin{array}{ccc} \cal{H}_{p}C \otimes_{R} \cal{H}_{q}D & \ra & \cal{H}_{p+q}(C \otimes_{R} D)\\ \; [c] \otimes [d] \; & \mapsto & [c \otimes d] \end{array}$$ Verschwinden unsere beiden Komplexe in allen Graden, die man von Null aus in Richtung der Pfeile erreicht, so liefert die nat"urliche Abbildung sogar einen Isomorphismus $\cal{H}_{0} C \otimes_{R} \cal{H}_{0} D \sira \cal{H}_{0} (C \otimes_{R} D)$ als Konsequenz aus der Rechtsexaktheit des Tensorprodukts \eref{ReTe}{KAG}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben topologische R"aume $X$, $Y$ notieren wir die von der \hyperref[EZAA]{Eilen\-berg-Zilber-\"Aquivalenz} ${\op{S}}X\otimes_\Bbb{Z} {\op{S}}Y \hri \op{S}(X\times Y)$ nach \ref{TKH} induzierten Abbildungen mit dem Symbol $\times$ als $$ \begin{array}{ccc}{\op{H}}_pX\times {\op{H}}_qY&\ra& {\op{H}}_{p+q}(X\times Y)\\ (c,d)&\mapsto &c\times d \end{array}$$ und nennen sie das\label{KdHo} {\bf Kreuzprodukt der Homologie}.\index{Kreuzprodukt!der Homologie}\index{)x@$\times$ Kreuzprodukt!der Homologie} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $R$ ein Ring, so liefert die Vorschrift $(c\otimes d)\otimes r\mapsto c\otimes rd$ Isomorphismen von $R$-Bimoduln $({\op{S}}X\otimes_\Bbb{Z} {\op{S}}Y) \otimes _\Bbb{Z} R\sira \op{S}(X;R)\otimes_R \op{S}(Y;R)$. In der Tat kann man zum Beispiel argumentieren, da"s die so definierte Abbildung eine Basis f"ur die Linksoperation von $R$ in eine ebensolche "uberf"uhrt. Damit liefert die Eilenberg-Zilber-Abbildung wohlbestimmte Homotopie"aquivalenzen $\op{S}(X;R)\otimes_R \op{S}(Y;R)\hri \op{S}(X\times Y;R)$. Die nach \ref{TKH} auf der Homologie induzierten Abbildungen schreibt man in der Form $$ \begin{array}{ccc}{\op{H}}_p(X;R) \times {\op{H}}_q(Y;R)&\ra& {\op{H}}_{p+q}(X\times Y;R)\\ (c,d)&\mapsto &c\times d \end{array}$$ und nennt sie das {\bf Kreuzprodukt der Homologie mit Koeffizienten}.\index{Kreuzprodukt!der Homologie} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Formelsammlung f"ur das Kreuzprodukt}] Das Kreuzprodukt der Homologie hat die folgenden Eigenschaften:\label{FSKP} \begin{description} \item[\textbf{Nat"urlichkeit:}] Gegeben stetige Abbildungen $f : X \ra K$ und $g: Y \ra L$ haben wir f"ur beliebige $a\in {\op{H}}_p X$ und $b\in {\op{H}}_q Y$ in ${\op{H}}_{p+q}(K\times L)$ die Gleichheit $$(f_\ast a) \times (g_\ast b)= (f\times g)_\ast (a \times b)$$ \item[\textbf{Eins:}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $a\in {\op{H}}_p X$ eine Homologieklasse und $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})$ der kanonische Erzeuger der Homologie eines Punktes gilt $$(\op{pr}_X)_*(a\times \delta)=a$$ \item[\textbf{Assoziativit"at:}] Gegeben $X,Y,Z$ topologische R"aume und $a,b,c$ jeweils Homologieklassen und $\op{ass}:(X\times Y)\times Z\sira X\times (Y\times Z)$ die offensichtliche Bijektion gilt $$\op{ass}_*((a\times b)\times c)=a\times (b\times c)$$ \item[\textbf{Graduierte Kommutativit"at:}] Gegeben $\tau : X \times Y \sira Y \times X$ die Vertauschungsabbildung f"ur topologische R"aume $X,Y$ und Homologieklassen $a\in {\op{H}}_pX$ sowie $b \in {\op{H}}_qY$ gilt in ${\op{H}}_{p+q}(Y\times X)$ bei kommutativem Koeffizientenring $R$ die Identit"at $$\tau_\ast (a \times b)= (-1)^{pq} b\times a$$ \end{description} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Wir erkl"aren in \eref{HSchf}{TSK}, inwiefern diese Eigenschaften zusammen mit den Funktorialit"aten $(\op{id}_{X})_*(a)=a$ und $f_*(g_*(a))=(f\circ g)_*(a)$ bedeuten, da"s unsere Homologie als ein \glqq Schmelzfunktor von der kartesischen Schmelzkategorie der topologischen R"aume in die Schmelzkategorie der graduierten Parit"atsgruppen\grqq\ aufgefa"st werden kann. Der kanonische Erzeuger $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})$ ist in diesem Kontext als das \glqq Kreuzprodukt mit "uberhaupt keinem Faktor in der Homologie des kartesischen Produkts "uber die leere Familie topologischer R"aume\grqq\ zu verstehen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Die Nat"urlichkeit folgt sofort aus der Nat"urlichkeit der Eilenberg-Zilber-"Aquivalenz \ref{EZ}. Die graduierte Kommutativit"at folgt daraus, da"s mit der Notation $\eta$ f"ur unsere Eilenberg-Zilber-"Aquivalenz die Komposition $${\op{S}}\otimes {\op{S}}\stackrel{v}{\lra} {\op{S}}\otimes {\op{S}}\stackrel{\eta}{\lra} \op{S}(\times )\stackrel{\tau_*}{\lra}\op{S}(\times )$$ von Morphismen in der Homotopiekategorie $\op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$ mit $v$ der Vertauschung der Tensorfaktoren nach \ref{vert} auch die charakterisierenden Eigenschaften der Eilenberg-Zilber-"Aquivalenz aus \ref{EZ} hat. F"ur die Eins-Eigenschaft betrachten wir die Komposition $${\op{S}}\stackrel{\otimes 1}{\lra} {\op{S}}\otimes {\op{S}}(\op{top})\stackrel{\eta}{\lra} \op{S}(\;\times{\op{top}} )\stackrel{\op{pr}_*}{\lra}\op{S}$$ von Morphismen in der Homotopiekategorie $\op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}})$ und folgern direkt aus dem Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM}, da"s sie die Identit"at sein mu"s. F"ur die Assoziativit"at schlie"slich betrachten wir in $\op{Hot}(\op{Ab}^{\op{Top}^3})$ mit variablen topologischen R"aumen $X,Y,Z$ das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ ({\op{S}}X\otimes{\op{S}}Y)\otimes{\op{S}}Z\ar[d]\ar[r] &{\op{S}}(X\times Y)\otimes{\op{S}}Z\ar[r] &{\op{S}}((X\times Y)\times Z)\ar[d]\\ {\op{S}}X\otimes({\op{S}}Y\otimes{\op{S}}Z)\ar[r]& {\op{S}}X\otimes {\op{S}}(Y\times Z)\ar[r] &{\op{S}}(X\times (Y\times Z)) } \end{displaymath} mit hoffentlich offensichtlichen Morphismen. Es gilt zu zeigen, da"s es kommutiert. Wieder wenden wir den Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} an. Der Ausgangsfunktor ist frei mit Modellen $(\Delta_{p},\Delta_{q},\Delta_{r})$ und der Zielfunktor ist auf diesen Modellen azyklisch. Folglich reicht es zu zeigen, da"s beide Kompositionen dieselbe Abbildung auf der nullten Homologie induzieren. Das ist jedoch klar. \end{proof} \begin{Lemma} Sind $C,D$ Komplexe von Vektorr"aumen "uber einem K"orper $k$, so liefern die nat"urlichen Abbildungen Isomorphismen\label{HTK} $$ \bigoplus_{p+q=n} \cal{H}_{p}(C) \otimes_{k} \cal{H}_{q}(D)\sira \cal{H}_{n}(C\otimes_k D) $$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{HHC} gibt es in der Homotopiekategorie der Komplexe von $k$-Vektorr"aumen eindeutig bestimmte Isomorphismen $ \cal{H}C\sirad C$ und $ \cal{H}D\sirad D$, die auf der Homologie die offensichtlichen Identifikationen induzieren. Mit \ref{UTPH} folgt eine Homotopie"aquivalenz $\cal{H}C\otimes \cal{H}D\sirad C\otimes D$, die dann den gew"unschten Isomorphismus $\cal{H}C\otimes \cal{H}D\sira \cal{H}(C\otimes D)$ induziert. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{K"unneth-Formel mit Koeffizienten in einem K\"orper}] F"ur zwei beliebige topologische R"aume $X,Y$ und Homologie mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ liefert das\index{K"unneth-Formel!mit K\"orperkoeffizienten} Kreuzprodukt der Homologie Isomorphismen\label{KueK} $$ \bigoplus_{p+q=n} {\op{H}}_{p}(X;k) \otimes_{k} {\op{H}}_{q}(Y;k)\sira {\op{H}}_{n}(X\times Y;k) $$\end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur diesen Beweis vereinbaren wir die Abk"urzungen ${\op{H}}X\pdef{\op{H}}(X;k)$ und ${\op{S}}X\pdef\op{S}(X;k)$ sowie $\otimes\pdef\otimes_k$. Unser Lemma \ref{HTK} und die Homotopie"aquivalenz ${\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y\sirad \op{S}(X\times Y)$ liefern dann auf der Homologie Isomorphismen \begin{equation*} \begin{array}[b]{ccc} {\op{H}}X\otimes {\op{H}}Y& &{\op{H}}(X\times Y)\\ \parallel&&\parallel\\ \cal{H}({\op{S}}X)\otimes \cal{H}({\op{S}}Y)& \sira\; \cal{H}({\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y) \;\sira &\cal{H}\op{S}(X\times Y)\end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{K\"unneth-Formel}] Gegeben\index{K"unneth-Formel} topologische R"aume $X$ und $Y$ liefert das Kreuzprodukt der Homologie die erste Abbildung einer\label{kueF} nat"urlichen kurzen exakten Sequenz $$\bigoplus_{p+q=n} ({\op{H}}_{p}X \otimes {\op{H}}_{q}Y) \;\hra {\op{H}}_{n}(X\times Y) \sra \bigoplus_{p+q=n-1}({\op{H}}_{p}X \ast {\op{H}}_{q}Y)$$ Diese Sequenz, deren zweite Abbildung im Beweis explizit angegeben werden wird, spaltet f"ur alle $X$ und $Y$, aber es gibt keine nat"urliche Wahl einer Spaltung f"ur alle $X$ und $Y$. \end{Satz} \begin{Bemerkunge}\label{VHTT} Die von der Vertauschung $X\times Y\ra Y\times X$ auf der Homologie induzierte Abbildung l"a"st sich zu einem Morphismus der entsprechenden K\"unneth-Sequenzen erg"anzen. Wie die zugeh"orige Abbildung auf dem Tensorprodukt der Homologien aussieht, erkl"art die \glqq graduierte Kommutativit"at des Kreuzprodukts\grqq\ nach \eref{EigK}{TSK}. Wie die zugeh"orige Abbildung auf dem Torsionsprodukt der Homologien aussieht, habe ich mir nicht so genau "uberlegt. %Wer hilft? \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Arbeitet man mit Koeffizienten in einem Hauptidealring, so gilt dieselbe Formel mit demselben Beweis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konventionen zum Verschieben von Komplexen}] %Achtung:Konvention [1] ge"andert Ist $C$ ein Komplex,\label{VerKo}\index{)5]@$[1]$ verschobener Komplex} so bezeichnen wir mit $$C[1]$$ den \glqq um Eins gegen die Richtung der Differentiale verschobenen Komplex\grqq, in Formeln $(C[1])_q=C_{q-1}$ beziehungsweise sp"ater einmal bei \glqq Kokettenkomplexen\grqq\ $(C[1])^q=C^{q+1}$. Jedes homogene Element $c\in C$ liefert ein homogenes Element $c[1]\in C[1]$, eben dasselbe Element, nur verschoben im Grad. Entgegen leider "ublichen Konventionen f"uhre ich hier beim Randoperator \emph{kein} Vorzeichen ein. Bezeichnet also $\DZ[1]$ den um Eins gegen die Richtung der Differentiale verschobenen Komplex $\DZ[0]$ und ist $C$ ein Komplex von abelschen Gruppen, so liefert die Abbildung $c\otimes n[1]\mapsto nc[1]$ einen Isomorphismus von Komplexen $C\otimes \DZ[1]\sira C[1]$. Dahingegen bezeichne $$[1]C$$ den um Eins gegen die Richtung der Differentiale verschobenen Komplex, bei dem zus"atzlich der Randoperator $\partial$ durch $-\partial$ ersetzt wird. Jedes homogene Element $c\in C$ liefert auch ein Element $[1]c\in [1]C$ und in diesen Notationen haben wir dann $\partial([1]c)=-[1](\partial c)$. Diesmal liefert $n[1]\otimes c\mapsto [1]nc$ einen Isomorphismus von Komplexen $\DZ[1]\otimes C\sira [1]C$. Die offensichtliche Abbildung induziert dann einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$(C\otimes D)[1]\sira C\otimes (D[1])$$ und die Abbildung $[1]c\mapsto (-1)^{|c|}c[1]$ mit $|c|=q$ f"ur $c\in C_q$ ist ein Isomorphismus $[1]C\sira C[1]$. Salopp gesprochen ist also $[1]$ eine Abk"urzung f"ur $\otimes \DZ[1]\otimes$ bei Komplexen und eine Abk"urzung f"ur $\otimes 1[1]\otimes$ bei homogenen Elementen f"ur $1[1]\in\DZ[1]_1$ das Element $1\in\DZ$ und mit der Konvention, da"s wir freibleibende Tensorsymbole ignorieren. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sicher haben wir eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $${\op{Z}} X \hookrightarrow {\op{S}}X \twoheadrightarrow {\op{B}}X[1]$$ Vorne und hinten stehen hier Komplexe mit Differential Null. Tensorieren wir "uber $\Bbb{Z}$ mit dem aus freien abelschen Gruppen bestehenden Komplex ${\op{S}}Y$, so erhalten wir eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $${\op{Z}}X \otimes {\op{S}}Y \hookrightarrow {\op{S}}X \otimes {\op{S}}Y \twoheadrightarrow {\op{B}}X[1] \otimes {\op{S}}Y$$ Da ${\op{Z}}X$ und ${\op{B}}X$ nach \ref{UFF} auch aus freien abelschen Gruppen bestehen und Differential Null haben, hat die zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz die Gestalt $$ \begin{array}{lllllll} &&&&\ra&({\op{B}}X[1] \otimes {\op{H}}Y)_{n+1} &\ra \\ \ra&({\op{Z}} X \otimes {\op{H}}Y)_{n} &\ra &\cal{H}_{n}({\op{S}}X \otimes {\op{S}}Y)&\ra& ({\op{B}}X[1] \otimes {\op{H}}Y)_{n}&\ra\\ \ra& ({\op{Z}}X \otimes {\op{H}}Y)_{n-1}&\ra \end{array}$$ Man "uberzeugt sich m"uhelos, da"s die Randabbildungen hier schlicht von den Einbettungen der R"ander in die Zykel induziert werden, so da"s sich aufgrund der kurzen exakten Sequenz ${\op{B}}X \hookrightarrow {\op{Z}}X \twoheadrightarrow {\op{H}}X$ und der exakten Tor-Sequenz eine nat"urliche kurze exakte Sequenz der Gestalt $$({\op{H}}X \otimes {\op{H}}Y)_{n} \hookrightarrow {\op{H}}_{n} (X\times Y)\twoheadrightarrow ({\op{H}}X\ast {\op{H}}Y)_{n-1}$$ ergibt. Um eine Spaltung dieser Sequenz anzugeben, w"ahlen wir Linksinverse der Einbettungen ${\op{Z}} X \hookrightarrow {\op{S}}X,{\op{Z}}Y \hookrightarrow {\op{S}}Y$. Solche Linksinversen existieren, da ja die jeweiligen Kokerne ${\op{B}}X,{\op{B}}Y$ nach \ref{UFF} frei sind als Untergruppen der freien abelschen Gruppen ${\op{S}}X,{\op{S}}Y$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} % \begin{Ubung}\label{NHKK} % Man zeige, da"s f"ur je zwei topologische R"aume $X,Y$ % der offensichtliche Isomorphismus % $ {\op{S}}_0X\otimes_\Bbb{Z} {\op{S}}_0Y\sira {\op{S}}_0(X\times Y)$ % einen Isomorphismus $ \cal{H}_0({\op{S}}X\otimes_\Bbb{Z} {\op{S}}Y)\sira % \cal{H}_0{\op{S}}(X\times Y)$ induziert. % \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{WR3} Man zeige: Jede Eilenberg-Zilber-Transformation l"a"st sich auf genau eine Weise zu einer Transformation $${\op{S}} (X,A) \otimes \op{S}(Y,B) \ra {\op{S}} (X \times Y, (X \times B )\cup( A \times Y))$$ zwischen Funktoren auf Paaren von Raumpaaren fortsetzen, die wohlbestimmt ist als Transformation zwischen Funktoren in die Homotopiekategorie der Kettenkomplexe. Wir erhalten so das {\bf Kreuzprodukt der relativen Homologie}\index{Kreuzprodukt!der relativen Homologie} $${\op{H}}_q(X,A) \otimes {\op{H}}_p (Y,B) \ra {\op{H}}_{q+p} (X\times Y, (X \times B )\cup( A \times Y))$$ Man beachte die Identit"at $\big((X \times B )\cup( A \times Y)\big)^{\op{c}}=A^{\op{c}}\times B^{\op{c}}$ von Komplementmengen. Mit der Notation ${\op{H}}^D_q(X)\pdef {\op{H}}_q(X,X\backslash D)$ wird unser relatives Kreuzprodukt also zu einer Abbildung $${\op{H}}_q^D(X) \otimes {\op{H}}_p^E (Y) \ra {\op{H}}_{q+p}^{D\times E} (X\times Y)$$ Der Vorschub gelingt dann f"ur stetige Abbildungen $f:X\ra Y$ mit $f(X\backslash D)\subset (Y\backslash E)$ alias $D\supset f^{-1}(E)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Formelsammlung f"ur das relative Kreuzprodukt}] Das Kreuzprodukt der relativen Homologie hat die folgenden Eigenschaften:\label{FSKPv} \begin{description} \item[\textbf{Nat"urlichkeit:}] Gegeben Morphismen von Raumpaaren $f : (X,A) \ra (K,I)$ und $g: (Y,B) \ra (L,J)$ gilt f"ur $a\in {\op{H}}_p (X,A)$ und $b\in {\op{H}}_q (Y,B)$ die Gleichheit $$(f_\ast a) \times (g_\ast b)= (f\times g)_\ast (a \times b)$$ \item[\textbf{Eins:}] Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ und $a\in {\op{H}}_p (X,A)$ eine Homologieklasse und $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top},\emptyset)$ der kanonische Erzeuger der Homologie eines Punktes gilt $$(\op{pr}_X)_*(a\times \delta)=a$$ \item[\textbf{Assoziativit"at:}] Gegeben $(X,A),(Y,B),(Z,C)$ Raumpaare und $a,b,c$ jeweils relative Homologieklassen und $\op{ass}:(X\times Y)\times Z\sira X\times (Y\times Z)$ die offensichtliche Bijektion gilt $$\op{ass}_*((a\times b)\times c)=a\times (b\times c)$$ \item[\textbf{Graduierte Kommutativit"at:}] Gegeben $\tau : (X,A) \times (Y,B) \sira (Y,B) \times (X,A)$ die Vertauschungsabbildung f"ur Raumpaare $(X,A),(Y,B)$ und Homologieklassen $a\in {\op{H}}_p(X,A)$ sowie $b \in {\op{H}}_q(Y,B)$ gilt bei kommutativem Koeffizientenring $R$ die Identit"at $$\tau_\ast (a \times b)= (-1)^{pq} b\times a$$ \end{description} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Relatives Kreuzprodukt als Isomorphismus}] Gegeben $(X,A),(Y,B)$ Raumpaare mit $A\co X$ und $B\co Y$ oder $A$ beliebig und $B=\emptyset$ liefert unsere relative Eilenberg-Zilber-Transformation aus \ref{WR3} Isomorphismen auf der Homologie. Hinweis: Nach dem Satz "uber feine Ketten \ref{FK} liefert unter diesen Annahmen $${\op{S}}((X\times B)+{\op{S}}(A\times Y)) \ra {\op{S}}((X \times B )\cup( A \times Y))$$ Isomorphismen auf der Homologie. In diesen F"allen ist bei Koeffizienten in einem K"orper $k$ das Kreuzprodukt auf der relativen Homologie also ein Isomorphismus\label{krhI} $${\op{H}}_q(X,A;k) \otimes_k {\op{H}}_p (Y,B;k) \ra {\op{H}}_{q+p} (X\times Y, (X \times B )\cup( A \times Y);k)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nichtexistenz einer Wurzel aus dem $\DR^3$}] F"ur ungerades $n$ kann es keinen topologischen Raum $X$ geben derart, da"s $X\times X$ hom"oomorph ist zu $\DR^n$. Hinweis: Kreuzprodukt als Isomorphismus \ref{krhI}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kreuzprodukt von Fundamentalzykeln}] Gegeben zwei kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten ist das Kreuzprodukt ihrer Fundamentalzykel der Fundamentalzykel ihres Produkts unter einer wohlbestimmten Orientierung, der {\bf Produktorientierung}.\index{Produktorientierung} \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{PDUA} Gegeben ein Ring $A$ und ein $A$-Modul $M$ bezeichne $M^\ast$ den $A$-Rechtsmodul $\op{Hom}_A(M,A)$. Gegeben ein Ring $A$ und ein $A$-Rechts\-modul $N$ bezeichne weiter ${^\ast\! N}$ den $A$-Modul $\op{Hom}_{-A}(N,A)$. Man zeige, da"s das Auswerten Homomorphismen $M\ra {^\ast(M^\ast)}$ und $N\ra {(^\ast\! N)^\ast}$ induziert. Man zeige, da"s diese Homomorphismen f"ur endlich erzeugte projektive Moduln Isomorphismen sind. Bezeichnet $A\op{-pModf}$ die Kategorie der endlich erzeugten projektiven $A$-Moduln und $\op{pModf-}A$ die Kategorie der endlich erzeugten projektiven $A$-Rechtsmoduln, so liefert unser Dualisieren mithin eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{pModf-}A\;\sirra\; A\op{-pModf}^{\op{opp}}$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung} Man berechne die Homologie von $\DP^2\DR\times\DP^2\DR$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verschieben und Hom-Komplexe}] Gegeben Komplexe $X,Y$ liefern die offensichtlichen, ohne alle Vorzeichen erkl"arten Identifikationen Isomorphismen von Komplexen\label{VeHOM} $$ \begin{array}{lll} \op{Hom} (X,Z) & \sira & \op{Hom} (X[1],Z[1])\\ \op{Hom}([1]X,Z) & \sira & \op{Hom} (X,Z)[-1]\\ \op{Hom} (X,[1]Z) & \sira & [1]\op{Hom} (X,Z) \end{array} $$ Sp"ater werden sich diese Isomorphismen als Spezialf"alle von Aussagen "uber das Tensorieren mit Einheiten \eref{ster}{TSK} und \eref{EIIp}{TSK} erweisen, angewandt auf die Einheit $\DZ[1]$ der Schmelzkategorie $\op{Ket}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Exad} Seien $R$ ein Ring und $C$ ein exakter Komplex von $R$-Moduln und $P$ ein Komplex von projektiven $R$-Moduln, der in Richtung der Differentiale beschr"ankt ist, als da hei"st, irgendwann kommen nur noch Nullen. Man zeige, da"s dann der $\op{Hom}$-Komplex $\op{Hom}_R(P,C)$ auch exakt ist. Hinweis: Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{HLHA} und Interpretation der Homologie des $\op{Hom}$-Komplexes als Homotopieklassen \ref{HHKK}. \end{Ubung} \subsection{Eilenberg-Zilber und Alexander-Whitney*} \begin{Bemerkungl}\label{EXEZ} Um zus"atzliche Anschauung bereitzustellen, gebe ich eine m"ogliche Ei\-len\-berg-Zilber-Transformation auch noch explizit an. Wir werden diese explizite Form nicht ben"otigen, deshalb f"uhre ich den Beweis nicht aus. Wir betrachten f"ur $n=p +q$ alle affinen injektiven Abbildungen $$\omega : \Delta_{n} \ra \Delta_{p} \times \Delta_{q}$$ mit der Eigenschaft, da"s sie Ecken auf Paare von Ecken werfen und \glqq in jeder Komponente monoton wachsen auf den Ecken\grqq. So eine Abbildung entspricht eindeutig einer Injektion $$\omega=(\alpha, \beta):\{0, \ldots, n\} \hookrightarrow \{0,\ldots, p\} \times \{ 0,\ldots , q\}$$ mit monoton wachsenden $\alpha$ und $\beta$. Man erkennt, da"s f"ur solch ein $\omega$ notwendig gilt $\omega (0) = (0,0)$, $\omega (n) = (p,q)$ und da"s beim "Ubergang von $i$ zu $i+1$ entweder $\alpha$ oder $\beta$ aber nicht beide um $1$ wachsen. Man kann sich so ein $\omega$ vorstellen als einen Weg von $(0,0)$ nach $(p,q)$, der in jedem von $n$ Zeitschritten entweder eins nach oben oder eins nach rechts gehen darf. Die Fl"ache unterhalb dieses Weges im Quadrat $[0,p] \times [0,q]$ notieren wir $n (\omega)$, in Formeln $$n (\omega) = \sum_{0\leq i < j < p +q} (\beta (i+1) - \beta (i)) (\alpha (j+1)-\alpha (j))$$ Unsere Abbildungen $\omega:\Delta_{n} \ra \Delta_{p} \times \Delta_{q}$ sind die $n$-Simplizes einer Triangulierung von $\Delta_{p} \times \Delta_{q}$, aber diese Erkenntnis ist nur f"ur die Anschauung von Belang. Jetzt definieren wir Homomorphismen \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildEiZ}\\[4mm] \noindent Graphische Darstellung einer unserer in beiden Komponenten monotonen Injektionen $\omega$ im Fall $p=5$, $q=3$. \end{figure} $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}_{p} X \otimes_{\Bbb{Z}} {\op{S}}_{q} Y & \ra & {\op{S}}_{p+q} (X\times Y)\\ \sigma \otimes \tau &\mapsto & \sum_\omega (-1)^{n(\omega)} (\sigma \times \tau) \circ \omega \end{array}$$ und erhalten so eine Transformation von Funktoren von der Kategorie aller Paare topologischer R"aume in die Kategorie der Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Im "ubrigen entsprechen unsere Wege eineindeutig den sogenannten $(p,q)$-Shuffles aus dem Beweis von \eref{DaPr}{AN2}. Des weiteren entsprechen diese Wege auch eineindeutig den Worten, die man durch das Hintereinanderschreiben von $p$ Einsen und $q$ Nullen bilden kann und die wir etwa in \eref{MuMi}{GR} betrachtet hatten. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} Die in \ref{EXEZ} angegebenen Homomorphismen bilden eine \hyperref[EZAW]{Ei\-len\-berg-Zil\-ber-Trans\-for\-ma\-tion}\label{AWW} ${\op{S}} \otimes_{\Bbb{Z}} {\op{S}} \ra \op{S} (\times)$ in $\op{Ket}(\op{Ab}^{\op{Top}\times\op{Top}})$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Unsere Homomorphismen sind offensichtlich funktoriell und tun in der nullten Homologie das Richtige. Nach dem Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} und dem Beweis des Satzes von Eilenberg-Zilber m"ussen also nur pr"ufen, da"s sie f"ur alle $X,Y$ eine Kettenabbildung bilden. Das "uberlassen wir dem Leser. \end{proof} \begin{Definition}\label{VoHi} Die Abbildungen $$\lambda_{p}^{p+q} = \lambda_{p} : \Delta_{p} \ra \Delta_{p+q} \quad\text{und}\quad \rho_{q}^{p+q} = \rho_{q} : \Delta_{q} \ra \Delta_{p+q},$$ die hinten $q$ Nullen anh"angen beziehungsweise vorne $p$ Nullen davorschieben, hei"sen die $p$-\defnoind{Vorderseite} \index{Vorderseite eines Simplex} beziehungsweise die\index{l@$\lambda_{p}$ Vorderseite eines Simplex} $q$-\defnoind{Hinterseite}\index{Hinterseite eines Simplex} unseres Standardsimplex.\index{r@$\rho_{q}$ Hinterseite eines Simplex} Hier steht $\lambda$ f"ur \glqq links\grqq\ und $\rho$ f"ur \glqq rechts\grqq. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{EAW} Gegeben topologische R"aume $X,Y$ schreiben wir einen beliebigen $n$-Simplex $\Delta_{n} \ra X \times Y$ in der Form $(\sigma, \tau)$ mit $\sigma : \Delta_{n} \ra X$, $\tau :\Delta_{n} \ra Y$. In dieser Notation bilden die Abbildungen $$\begin{array}{cccc} A_n:&{\op{S}}_{n} (X \times Y) & \ra & ({\op{S}} X \otimes_{\Bbb{Z}} {\op{S}} Y)_{n}\\ &(\sigma,\tau) & \mapsto & \sum_{p+q =n} \sigma\lambda_{p} \otimes \tau \rho_{q} \end{array}$$ eine Kettenabbildung $A:\op{S} (X\times Y) \ra {\op{S}}X \otimes_{\Bbb{Z}} {\op{S}}Y$, die \emph{\bf Alexander-Whitney-Abbildung}, \index{Alexander-Whitney-Abbildung} und diese Abbildungen bilden in ihrer Gesamtheit eine \hyperref[EZAW]{Alexander-Whitney-Transformation}. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die im Lemma definierte Abbildung ist offensichtlich funktoriell und tut das Richtige in der nullten Homologie. Nach dem Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} und dem Beweis des Satzes von Eilenberg-Zilber m"ussen wir also nur pr"ufen, da"s sie f"ur alle $X,Y$ eine Kettenabbildung ist. Dazu rechnen wir mit der Vereinbarung, die a priori undefinierten Ausdr"ucke $\sigma \lambda_{0} k_{0} $ und $ \tau \rho_{0}k_{0}$ als Null zu verstehen, zun"achst $$\partial A (\sigma,\tau) = \sum_{p+q = n} \left(\sum^{p}_{i=0} (-1)^{i} \sigma \lambda_{p} k_{i} \otimes \tau \rho_{q} + (-1)^{p} \sum^{q}_{j=0} (-1)\sigma \lambda_{p}\otimes \tau \rho_{q} k_{j}\right)$$ Ebenso finden wir auch $$A \partial (\sigma,\tau) = \sum^{n}_{\nu =0} (-1)^{\nu} \sum_{a+b= n-1} \sigma k_{\nu} \lambda_{a} \otimes \tau k_{\nu} \rho_{b}$$ F"ur die entsprechenden Abbildungen mit Werten in $\Delta_{n}$ f"ur $n= a+b+1$ gilt nun $$\begin{array}{l} \begin{array}{lll} k_{\nu} \lambda_{a} &=& \left\{ \begin{array}{ll} \lambda_{a+1}k_{\nu} &\text{falls } 0 \leq \nu \leq a +1;\\ \lambda_{a} & \text{falls } a+1 \leq \nu \leq n; \end{array} \right. \end{array}\\[5mm] \begin{array}{lll} k_{\nu}\rho_{b} &=& \left\{ \begin{array}{ll} \rho_{b} & \text{falls } 0 \leq \nu \leq a;\\ \rho_{b+1} k_{\nu -a} & \text{falls } a \leq \nu \leq n.\end{array} \right. \end{array} \end{array}$$ Damit k"onnen wir $A \partial (\sigma,\tau)$ umschreiben zu $$ \sum_{a+b +1=n} \left((-1)^{\nu} \sum^{a}_{\nu =0} \sigma \lambda_{a+1} k_{\nu} \otimes \tau \rho_{b} + (-1)^{a+1+\mu}\sum_{\mu =0}^{b} \sigma \lambda_{a} \otimes \tau \rho_{b+1} k_{\mu+1}\right) $$ und wenn wir in der ersten Summe $p=a+1$, $ q=b$, $ i = \nu$ substituieren und in der Zweiten $p=a$, $q=b+1$, $ j = \mu +1$ ergibt sich $$ A \partial (\sigma,\tau)= \sum_{p+q =n} \left( \sum^{p-1}_{i=0} (-1)^{i} \sigma \lambda_{p} k_{i}\otimes \tau \rho_{q}+ (-1)^{p} \sum^{q}_{j=1} (-1)^{j} \sigma \lambda_{p}\otimes \tau \rho_{q} k_{j}\right) $$ wobei wir die erste Summe im Fall $p=0$ und die zweite im Fall $q=0$ als Null zu verstehen haben. Es folgt $ \partial A(\sigma,\tau) =A\partial (\sigma,\tau)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Bezeichne $A^n\subset \DR^{n+1}$ die vom Standardsimplex erzeugte affine Hyperebene aller Punkte mit Koordinatensumme Eins. Wir versehen sie mit der durch das angeordnete minimale affine Erzeugendensystem $\op{e}_0,\ldots,\op{e}_n$ gegebenen algebraischen Orientierung \eref{OaRa}{LA1}. Man zeige, da"s f"ur $\omega : \Delta_{n} \ra \Delta_{p} \times \Delta_{q}$ wie in \ref{EXEZ} das Vorzeichen $(-1)^{n(\omega)}$ die Vertr"aglichkeit des induzierten Isomorphismus $\omega: A^n\sira A^p\times A^q$ von affinen R"aumen mit der eben gegebenen Orientierung auf $A^n$ und dem Produkt nach \eref{orQ}{LA1} der eben gegebenen Orientierungen auf $A^p$ und $A^q$ beschreibt.\label{NotFG} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kompatibilit"at der Standarderzeuger mit dem Kreuzprodukt}] F"ur die Standarderzeuger $\eta_n\in {\op{H}}_n(\DR^n,\DR^n\backslash 0)$ aus \ref{WsE} zeige man $\eta_n=\tau^{\times n}$ f"ur $\tau=\eta_1$ wie dort. Hinweis: Man berechne das relative Kreuzprodukt $\tau\times \eta_n$ aus \ref{WR3} mithilfe der Alexander-Whitney-Transformation \ref{EXEZ}. Es ist eine Summe mit Vorzeichen versehener affiner Simplizes und jeder Summand geh"ort zu derselben topologischen Orientierung der Mannigfaltigkeit $\DR^{n+1}$. Hier mag \ref{OrASj} helfen. Diese wenig erfreuliche "Ubung dient dem Pr"ufen der R"uckw"artskompatibilit"aten.\label{tkr} \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTS" %%% End: