\section{Kohomologie} %\label{SiKoo} \subsection{Singul"are Kohomologie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Obere und untere Indizes}] Komplexe abelscher Gruppen haben wir bislang stets $(A_q,\partial_q)$ notiert mit $\partial_q:A_q\ra A_{q-1}$. Im folgenden ist es aber oft auch praktisch, sie $(A^q,d^q)$ zu notieren mit $A^q\pdef A_{-q}$ und $d^q\pdef \partial_{-q}:A^q\ra A^{q+1}$. Es ist allgemeine Konvention, da"s bei oberer Stellung des Index das Differential in Richtung wachsender Indizes\label{oui} geht und bei unterer Stellung des Index in Richtung fallender Indizes. Im Kontext von Differentialen in Richtung wachsender Indizes bezeichnet man die R"ander, Zykel und Homologiegruppen meist als \defnoind{Kor"ander}\index{Korand} $\cal{B}^qC$, \defind{Kozykel} $\cal{Z}^qC$ und \defind{Kohomologiegruppen} $\cal{H}^qC$, aber das werden wir im allgemeinen nicht so genau nehmen. Im Kontext der Kohomologiegruppen topologischer R"aume, die wir gleich einf"uhren werden, tr"agt die Stellung des Index jedoch dar"uber hinaus jedoch noch die zus"atzliche Information, da"s eben Kohomologie und nicht Homologie gemeint ist, und da m"ussen wir diese Unterscheidung sehr genau nehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern daran, wie wir in \ref{HHKK} f"ur je zwei Komplexe $C,D\in\op{Ket}$ den Hom-Komplex $C{\Rrightarrow}D$ eingef"uhrt hatten. Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine abelsche Gruppe $M$ erkl"aren wir die {\bf Kohomologiegruppen von $X$ mit Koeffizienten in $M$}\index{Kohomologie!mit Koeffizienten} als die Gruppen $${\op{H}}^{q}(X;M)={\op{H}}^{q}_{\op{sing}}(X;M)\pdef \mathcal H^q({\op{S}}X {\Rrightarrow}M[0]) $$ Sie sind Funktoren $\op{Top}^{\op{opp}}\times\op{Ab}\ra\op{Ab}$. Jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ induziert insbesondere Homomorphismen $f^*:{\op{H}}^{q}(Y;M) \ra {\op{H}}^{q}(X;M)$. Sie hei"sen die {\bf R"uckz"uge der Kohomologie}. Im Spezialfall $M=\DZ$ k"urzen wir unsere Kohomologiegruppen ab zu $${\op{H}}^{q}X\pdef {\op{H}}^{q}(X;\DZ)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homotopieinvarianz der Kohomologie}] Homotope Abbildungen $f,g:X\ra Y$ induzieren nach \ref{kH} kettenhomotope Kettenabbildungen alias dieselben Morphismen ${\op{S}}X\ra {\op{S}}Y$ in $\op{Hot}$ und damit auch dieselben Abbildungen $f^*=g^*:{\op{H}}^qY\ra {\op{H}}^qX$. Insbesondere induziert jede Homotopie"aquivalenz Isomorphismen auf der Kohomologie.\label{HIn} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie eines Punktes}]\index{Kohomologie!eines Punktes} F"ur den einpunktigen Raum zeigt unsere Diskussion \ref{HPu} des Komplexes ${\op{S}}(\op{top})$ unmittelbar, da"s die Kettenabbildung $\DZ[0]\ra {\op{S}}(\op{top})$, die $1\in\DZ$ auf den einzigen singul"aren Nullsimplex abbildet, eine Homotopie"aquivalenz ist. Wenden wir darauf ${\Rrightarrow}M[0]$ an, entsteht wieder eine Homotopie"aquivalenz. Diese liefert dann einen ausgezeichneten Isomorphismus $${\op{H}}^0(\op{top};M)\sira M$$ durch Nachschalten des ausgezeichneten Isomorphismus $\mathcal H^0(\DZ[0]{\Rrightarrow}M[0])\sira M$, der seinerseits gegeben wird durch das Auswerten auf $1\in\DZ$. Das Urbild von $1\in\DZ$ hei"st der {\bf kanonische Erzeuger von ${\op{H}}^0(\op{top})$}. Wir notieren ihn $1=1_{\op{top}}\in {\op{H}}^0(\op{top})$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Das Auswerten $({\op{S}}X {\Rrightarrow}M[0])\curlyvee {\op{S}}X\ra M[0]$ aus \ref{ThAD} induziert auf der Homologie nach \ref{VKVH} bilineare Abbildungen, die {\bf Kronecker-Paarungen}\index{Kronecker-Paarung}\label{KRP} $${\op{H}}^q(X;M)\times {\op{H}}_qX\ra M$$ Wir notieren sie $\langle\;,\;\rangle$ und finden etwa $\langle 1_{\op{top}},\delta\rangle=1$ f"ur $\delta\in {\op{H}}_0(\op{top})$ unseren kanonischen Erzeuger der Homologie des einpunktigen Raums. Man pr"uft leicht, da"s unsere Kroneckerpaarungen Isomorphismen $${\op{H}}^0(X;M)\sira \op{Hom}_\DZ({\op{H}}_0X, M)$$ induzieren. Das \glqq universelle Koeffiziententheorem der Kohomologie\grqq\ \ref{UKh} wird zeigen, da"s sie auch Isomorphismen ${\op{H}}^1(X;M)\sira \op{Hom}_\DZ({\op{H}}_1X,M)$ induzieren, da"s aber f"ur ${\op{H}}^q(X;M)$ mit $q\geq 2$ die analogen Aussagen im allgemeinen nicht mehr gelten und f"ur $M=\DQ$ dann doch wieder. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie mit K"orperkoeffizienten}] Arbeiten wir mit Koeffizienten in einem K"oper $k$, so liefert \ref{CWWk} eindeutig bestimmte Homotopie"aquivalenzen $\mathcal H({\op{S}}(X;k))\sira {\op{S}}(X;k)$ und damit liefern die entsprechnd zur Homologie mit Koeffizienten verallgemeinerten Kroneckerpaarungen Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;k)\sira {\op{H}}_q(X;k)^*$$ Im Fall von K"orperkoeffizienten\label{KKor} ist also salopp gesprochen die Kohomologie schlicht der Dualraum der Homologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich buchstabiere die im obigen Formalismus zusammengefa"sten Definitionen im folgenden auch noch explizit aus. Wir vereinbaren dazu die Notation ${\op{S}}^\ast( X;M)\pdef({\op{S}}X {\Rrightarrow}M[0])$ und haben also per definitionem ${\op{H}}^{q}(X;M)=\mathcal H^q{\op{S}}^{\ast}(X;M)$. Der Komplex ${\op{S}}^\ast( X;M)$ besteht per definitionem aus den Gruppen $${\op{S}}^{q}(X;M) \pdef \op{Hom}_\DZ({\op{S}}_{q}X,M)\sila\op{Ens}(\op{Top}(\Delta_q,X),M)$$ Deren Elemente hei"sen \defnoind{singul"are Koketten von $X$ mit Koeffizienten in $M$}\index{singul"ar!Kokette mit Koeffizienten}. Der Randoperator wird per definitionem gegeben durch $\partial (f) = - (-1)^{|f|} f \circ \partial$. Eine Kokette $c\in {\op{S}}^{q}(X;M)$ nennen wir eine \defind{Kokette vom Grad $q$} und schreiben $|c|=q$. Den Wert einer Kokette $c\in {\op{S}}^{q}(X;M)$ auf einer Kette $z\in {\op{S}}_qX$ notieren wir $\langle c,z\rangle\in M$. Sprechen wir ohne n"ahere Spezifikation von singul"aren Koketten, so meinen wir Koeffizienten in $\Bbb{Z}$. Den Randoperator des Komplexes $\op{Hom}({\op{S}}X,M)= ({\op{S}}X{\Rrightarrow}M[0])$ nennen wir den \defind{Korandoperator}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit der Kohomologie mit Koprodukten}]%\label{ZH} Ist $X = \coprod X_{w}$ eine Zerlegung von $X$ in paarweise disjunkte Teilmengen, die nicht durch Wege verbunden werden k"onnen, und bezeichnet $i_{w}: X_{w} \hookrightarrow X$ die jeweilige Einbettung, so liefern nach \ref{ZHH} die ${\op{S}}i_{w} : {\op{S}}X_{w} \ra {\op{S}} X$ einen Isomorphismus $\bigoplus {\op{S}}X_{w} \sira {\op{S}}X$ und dual liefern auch die ${\op{S}}^*i_{w} : {\op{S}}^* X \ra {\op{S}}^*X_{w}$ einen Isomorphismus ${\op{S}}^* X \ra \prod_w{\op{S}}^*X_{w}$ f"ur das gradweise Produkt von Komplexen und schlie"slich die R"uckz"uge der Kohomologie Isomorphismen $$ {\op{H}}^{q} (X) \sira\prod_w {\op{H}}^{q} (X_{w})$$ In der in \eref{VerPr}{LA2} eingef"uhrten Terminologie sind insbesondere die Funktoren ${\op{H}}^{q}:\op{Top}\ra\op{Ab}^{\op{opp}}$ vertr"aglich mit beliebigen\label{ZHHf} Koprodukten. Dasselbe gilt f"ur Kohomologie mit Koeffizienten mit demselben Beweis. F"ur die nullte Kohomologie erhalten wir so eine Bijektion $${\op{H}}^{0} (X;M)\sira \{f:X\ra M\mid f\text{ ist konstant auf allen Wegen in $X$}\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die erste Kohomologie}] Die erste Kohomologiegruppe mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $M$ kann man sich im Fall eines \glqq lokal zusammenziehbaren\grqq\ Raums als die Menge aller Isomorphieklassen von \glqq $M$-Hauptfaserb"undeln\grqq\ veranschaulichen, wobei $M$ mit der diskreten Topologie zu verstehen ist, so da"s unsere Hauptfaserb"undel topologisch betrachtet "Uberlagerungen sind. Der Wert\label{AKO} einer Isomorphieklasse von Hauptfaserb"undeln auf einem durch einen geschlossenen Weg dargestellten Zykel wird dann berechnet, indem man \glqq den Weg liftet und ihm das Gruppenelement zuordnet, das den Anfangspunkt auf den Endpunkt schiebt\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} F"ur allgemeine topologische R"aume werden wir die Menge aller Isomorphieklassen von $M$-Hauptfaserb"undeln in \eref{ECK}{TG} und \eref{CGa}{TG} mit der \glqq ersten Garbenkohomologie unseres Raums mit Koeffizienten in $M$\grqq\ identifizieren. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Tensorprodukt und Dualisieren}] Gegeben ein Komplex $A\in \op{Ket}$ erkl"aren wir den {\bf dualen Komplex} als $A^*\pdef (A{\Rrightarrow}\DZ[0])$. Gegeben Komplexe $A,B\in \op{Ket}$ erkl"aren wir einen nat"urlichen Homomorphismus\label{TpuD} $$t=t_{A,B}:A^*\otimes B^*\ra (A\otimes B)^*$$ Wir k"onnen ihn explizit angeben durch $(f\otimes g)(a\otimes b)\pdef (-1)^{|g||a|} f(a)g(b)$ f"ur homogene Elemente. Man pr"uft dann leicht, da"s diese nat"urlichen Homomorphismen auch eine Transformation der entsprechenden Funktoren in der Homotopiekategorie $\op{Hot}$ bilden. Konzeptioneller wird das in \eref{duOO}{TSK} erkl"art. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben topologische R"aume $X$, $Y$ betrachten wir in $\op{Hot}$ die Verkn"upfung ${\op{S}}^*X\otimes_\Bbb{Z} {\op{S}}^*Y \ra ({\op{S}}X\otimes_\Bbb{Z} {\op{S}}Y)^* \ra \op{S}^*(X\times Y)$ unserer nat"urlichen Morphismen aus \ref{TpuD} mit der dualisierten Alexander-Whitney-"Aquivalenz aus \ref{EZAA}. Die davon nach \ref{TKH} auf der Kohomologie induzierten Abbildungen notieren wir $$ \begin{array}{ccc}{\op{H}}^pX\times {\op{H}}^qY&\ra& {\op{H}}^{p+q}(X\times Y)\\ (c,d)&\mapsto &c\times d \end{array}$$ und nennen sie das\label{KdKo} {\bf Kreuzprodukt der Kohomologie}.\index{Kreuzprodukt!der Kohomologie}\index{)x@$\times$ Kreuzprodukt!der Kohomologie} Analoge Definitionen vereinbaren wir f"ur Kohomologie mit Koeffizienten in einem Kring. \nichtfinal{Ich w"urde das vielleicht noch lieber $\boxtimes$ notieren, was mit der entsprechenden Notation f"ur Funktionen prima pa"st. Das mu"s aber mal in einer ruhigen Stunde "uberlegt und entschieden werden.} \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Formelsammlung f"ur das Kreuzprodukt}] Das Kreuzprodukt der Kohomologie hat die folgenden Eigenschaften:\label{fskP} \begin{description} \item[\textbf{Nat"urlichkeit:}] Gegeben stetige Abbildungen $f : X \ra K$ und $g: Y \ra L$ haben wir f"ur beliebige $a\in {\op{H}}^p K$ und $b\in {\op{H}}^q L$ in ${\op{H}}^{p+q}(X\times Y)$ die Gleichheit $$(f^\ast a) \times (g^\ast b)= (f\times g)^\ast (a \times b)$$ \item[\textbf{Eins:}] Gegeben $X$ ein topologischer Raum und $a\in {\op{H}}^p X$ eine Kohomologieklasse und $1\in {\op{H}}_0(\op{top})$ der kanonische Erzeuger der Kohomologie eines Punktes und $\op{pr}_X:X\times {\op{top}}\ra X$ die Projektion gilt $$(\op{pr}_X)^*a=(a\times 1)$$ \item[\textbf{Assoziativit"at:}] Gegeben $X,Y,Z$ topologische R"aume und $a,b,c$ jeweils Kohomologieklassen und $\op{ass}:(X\times Y)\times Z\sira X\times (Y\times Z)$ die offensichtliche Bijektion gilt $$\op{ass}^*(a\times (b\times c))=(a\times b)\times c$$ \item[\textbf{Graduierte Kommutativit"at:}] Gegeben $\tau : X \times Y \sira Y \times X$ die Vertauschungsabbildung f"ur topologische R"aume $X,Y$ und Kohomologieklassen $a\in {\op{H}}^pX$ und $b \in {\op{H}}^qY$ gilt in ${\op{H}}^{p+q}(Y\times X)$ die Identit"at $$\tau^\ast (a \times b)= (-1)^{pq} b\times a$$ \end{description} \end{Proposition} \begin{proof} Die Nat"urlichkeit folgt aus der Nat"urlichkeit der Alexander-Whitney-"Aquivalenz \ref{EZAA}. Die graduierte Kommutativit"at folgt sofort, wenn wir ihren Beweis im Fall des Kreuzprodukts der Homologie noch erg"anzen um die Gleichheit $v^*\circ t=t\circ v:A^*\otimes B^*\ra (B\otimes A)^*$, die man sowohl schlicht nachrechnen als auch aus der allgemeinen Theorie der Schmelzkategorien in \eref{MoSS}{TSK} folgende konzeptuell erhalten kann. Die Eins-Eigenschaft folgt "ahnlich, indem wir ihren Beweis im Fall des Kreuzprodukts der Homologie erg"anzen um die Erkenntnis, da"s f"ur jeden Komplex $A$ die Verkn"upfung $$A^*\ra A^*\otimes {\op{I}}\ra A^*\otimes {\op{I}}^*\ra (A\otimes {\op{I}})^*\ra A^*$$ der Morphismen $(\otimes 1)^*\circ t\circ (\op{id}\times \op{can})\circ(\otimes 1)$ die Identit"at ist, f"ur $\op{can}:{\op{I}}\sira {\op{I}}^*$ der offensichtliche Morphismus. Das kann man sowohl schlicht nachrechnen als auch aus der allgemeinen Theorie der Schmelzkategorien in \eref{MoSS}{TSK} folgende konzeptuell erhalten. F"ur die Assoziativit"at schlie"slich erinnern wir aus dem Beweis der Assoziativit"at des Kreuzprodukts der Homologie unsere homotopiekommutativen Diagramme von Homotopie"aquivalenzen und erhalten durch Dualisieren und Invertieren aller horizontalen Pfeile die Mitte eines homotopiekommutativen Diagramms der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ ({\op{S}}^*X\otimes{\op{S}}^*Y)\otimes{\op{S}}^*Z\ar[d] & &\\ ({\op{S}}X\otimes{\op{S}}Y)^*\otimes{\op{S}}^*Z\ar[d]\ar[r] &{\op{S}}(X\times Y)^*\otimes{\op{S}}^*Z\ar[d] &\\ (({\op{S}}X\otimes{\op{S}}Y)\otimes{\op{S}}Z)^*\ar[r] &({\op{S}}(X\times Y)\otimes{\op{S}}Z)^*\ar[r] &{\op{S}}((X\times Y)\times Z))^*\\ ({\op{S}}X\otimes({\op{S}}Y\otimes{\op{S}}Z))^*\ar[u]\ar[r]& ({\op{S}}X\otimes {\op{S}}(Y\times Z))^*\ar[r] &{\op{S}}(X\times (Y\times Z)))^*\ar[u]\\ {\op{S}}^*X\otimes({\op{S}}Y\otimes{\op{S}}Z)^*\ar[r]\ar[u]& {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}^*(Y\times Z)\ar[u] &\\ {\op{S}}^*X\otimes({\op{S}}^*Y\otimes{\op{S}}^*Z)\ar[u]& & } \end{displaymath} Die Morphismen in den Au"senbereichen sind alle irgendwelche $t$ vom Tensorprodukt der Dualen zum Dualen des Tensorprodukts. Die Assoziativit"at folgt nun, sobald wir zeigen, da"s die linke Vertikale zu einem kommutativen Diagramm erg"anzt werden kann durch den offensichtlichen Morphismus von ganz unten nach ganz oben. Das kann man sowohl schlicht nachrechnen als auch aus der allgemeinen Theorie der Schmelzkategorien in \eref{MoSS}{TSK} folgende konzeptuell erhalten. Wenden wir dann $\mathcal H$ an, so ergibt sich die behauptete Assoziativit"at ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Eine geschlossene Darstellung dieser Argumentation und auch der anschlie"senden Diskussion des Kohomologierings im Rahmen der Schmelzkategorien gebe ich in \eref{Duas}{TSK} folgende. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologiering}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ definieren wir das {\bf cup-Produkt}\index{cup-Produkt} auf seiner Kohomologie durch\label{SiK} $$a\cup b\pdef \Delta^*(a\times b)$$ Das cup-Produkt ist also f"ur alle $p,q$ eine biadditive Abbildung $${\op{H}}^pX\times {\op{H}}^qX\ra {\op{H}}^{p+q}X$$ Unsere Formeln f"ur das Kreuzprodukt \ref{fskP} zeigen unmittelbar, da"s ${\op{H}}^*X$ mit dem cup-Produkt ein Ring wird mit Einselement $1_X\pdef\op{fin}^*(1_{\op{top}})\in {\op{H}}^0X$ f"ur $\op{fin}:X\ra\op{top}$ die konstante Abbildung und $1_{\op{top}}\in {\op{H}}^0(\op{top})$ der kanonische Erzeuger. Dieser Ring $${\op{H}}^*X=\bigoplus_{q\geq 0}{\op{H}}^qX$$ hei"st der {\bf Kohomologiering von $X$}.\index{Kohomologiering} Die graduierte Kommutativit"at des Kreuzprodukts zeigt $$a\cup b=(-1)^{|a||b|}b\cup a$$ Man sagt deshalb auch, der Kohomologiering sei {\bf graduiert kommutativ}. Schlie"slich folgt aus unseren Formeln \ref{fskP} f"ur das Kreuzprodukt, da"s der R"uckzug der Kohomologie unter stetigen Abbildungen $f:X\ra Y$ durch Ringhomomorphismen $f^*:{\op{H}}^*Y\ra {\op{H}}^*X$ geschieht. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sind $i_w:X_w\hra X$ die Einbettungen der Wegzusammenhangskomponenten von $X$, so liefern die R"uckz"uge nach \ref{ZHHf} sogar einen Isomorphismus von graduierten Ringen\label{KohoPr} $${\op{H}}^\ast X \sira \prod {\op{H}}^\ast X_w$$ Man beachte hier, da"s hier rechts das Produkt von graduierten Ringen verstanden werden mu"s, das nur aus denjenigen Tupeln des Produktrings besteht, bei denen es eine gemeinsame Schranke f"ur die Grade der von Null verschiedenen homogenen Anteile der Eintr"age unseres Tupels gibt. Das Urbild des Tupels mit einer Eins an der Stelle $w$ und Nullen sonst notiere ich $1_w\in {\op{H}}^0 X$. Diese Kohomologieklassen k"onnen wir auch charakterisieren durch $\langle 1_w,\delta_v\rangle=\delta_{w,v}$ f"ur $\delta_v\in {\op{H}}_0X$ das Bild des zur Wegzusammenhangskomponente $X_v$ geh"origen kanonischen Erzeugers in der Homologie. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{K"unnethformel der Kohomologie}] Sind alle Homologiegruppen eines Raums $X$ endlich erzeugt und frei oder, noch allgemeiner, endlich erzeugt und projektiv "uber dem gew"ahlten\label{KFK} Koeffizientenring, so induziert f"ur jeden weiteren Raum $Y$ das Kreuzprodukt der Kohomologie einen Isomorphismus $${\op{H}}^\ast X\otimes {\op{H}}^\ast Y\sira {\op{H}}^\ast(X\times Y)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ganz ohne Endlichkeitsbedingung kann man hier nicht auskommen, denn schon wenn $X$ und $Y$ unendliche diskrete Mengen sind, ist das Analogon der K"unneth-Formel \ref{KueK} f"ur die Kohomologie selbst mit Koeffizienten in einem K"orper offensichtlich falsch. Ohne Endlichkeitsbedingungen erh"alt man aber im Beweis immer noch $({\op{H}}X\otimes {\op{S}}Y)^\ast \sira ({\op{S}}Y{\Rrightarrow}{\op{H}}^*X)$ und so ausgezeichnete Isomorphismen $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}^q(Y; {\op{H}}^p(X;k))\sira {\op{H}}^n(X\times Y;k)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{CWWk} im Fall von K"orperkoeffizienten oder \ref{CWW} im allgemeinen gibt es genau einen Isomorphismus ${\op{S}}X\hri {\op{H}}X$ in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe, der den offensichtlichen Isomorphismus auf der Homologie induziert. Nehmen wir dann zus"atzlich f"ur den vorletzten Isomorphismus alle Homologiegruppen von $X$ als endlich erzeugt an, so erhalten wir Homotopie"aquivalenzen $${\op{S}}^\ast(X\times Y)\hri ({\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y)^\ast \hri ({\op{H}}X\otimes {\op{S}}Y)^\ast \sira ({\op{H}}X)^\ast\otimes {\op{S}}^\ast Y\sila ({\op{H}}^\ast X\otimes {\op{S}}^\ast Y)$$ Man sieht unschwer ein, da"s der auf der Kohomologie in der Gegenrichtung induzierte Isomorphismus gerade das Kreuzprodukt ist. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine kurze exakte Sequenz $L\hra M\sra N$ von abelschen Gruppen und ein topologischer Raum $X$ zeige man, wie analog zu \ref{BoH}\label{BoHK} in nat"urlicher Weise Randoperatoren definiert werden k"onnen derart, da"s eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}^q(X;L)\ra {\op{H}}^q(X;M)\ra {\op{H}}^q(X;N)\ra {\op{H}}^{q+1}(X;L)\ra\ldots$$ entsteht. Diese Randoperatoren hei"sen wie \defind{Bockstein-Homomorphismen} wie im Fall der Homologie. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kreuzprodukte und Kroneckerpaarung}] Gegeben topologische R"aume $X$, $Y$ und Kohomologieklassen $c\in {\op{H}}^pX, d\in {\op{H}}^qY$ sowie Homologieklassen $\lambda\in {\op{H}}_pX, \mu\in {\op{H}}_qY$ zeige man die Vertr"aglichkeit $$\langle c\times d,\lambda\times\mu\rangle=(-1)^{pq}\langle c,\lambda\rangle\langle d,\mu\rangle$$ der Kreuzprodukte mit der Kroneckerpaarung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Cup-Produkt f"ur Koketten}] Sei $X$ ein topologischer Raum. Mithilfe der Alexander-Whitney-Abbildung \ref{EAW} zeige man, da"s das cup-Produkt induziert wird von der Abbildung $\cup: {\op{S}}^*X\times {\op{S}}^*X\ra {\op{S}}^*X$, die Koketten $a\in {\op{S}}^pX$, $b\in {\op{S}}^qX$ auf diejenige Kokette $a \cup b$ abbildet, die in den Notationen \ref{VoHi} auf einem Simplex $\sigma : \Delta_{p+q} \ra X$ den Wert\label{Excapp} $$\langle a \cup b, \sigma \rangle = (-1)^{pq}\langle a, \sigma \lambda_{p} \rangle \langle b, \sigma \rho_{q} \rangle$$ annimmt. Mehr dazu wird in \eref{Excap}{TSK} diskutiert. \end{Ubung} \subsection{Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen} \begin{Bemerkungl} Viele der f"ur die Homologie bewiesenen Resultate "ubertr"agt man m"uhelos von der Homologie auf die Kohomologie mit Hilfe der in diesem Abschnitt entwickelten Methoden der homologischen Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir nennen einen Komplex \defind{beschr"ankt in Richtung der Differentiale}, wenn wir in Richtung der Differentiale gehend ab einer Stelle nur noch $C_{q} =0$ treffen. \end{Definition} \begin{Definition} Wir nennen eine Kettenabbildung einen \defind{Quasiisomorphismus}, wenn sie Isomorphismen auf allen Homologiegruppen induziert. Wir notieren Quasiisomorphismen $\qri$.\label{qui} \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen}] Seien $R$ ein Ring und $P, Q$\label{HKH} in Richtung der Differentiale beschr"ankte Komplexe von projektiven $R$-Moduln. So ist jeder Quasiisomorphismus $f: Q \qri P$ bereits eine Homotopie"aquivalenz. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt durch zweifaches Anwenden der anschlie"senden technischen Proposition \ref{AABK}. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Spalten von Quasiisomorphismen}] Jeder Quasiisomorpismus $f:C\qri P$ von einem Komplex von Moduln "uber einem Ring zu einem in Richtung der Differentiale beschr"ankten Komplex projektiver Moduln besitzt ein Rechtsinverses in der Homotopiekategorie, es gibt also\label{AABK} $h:P\ra C$ mit $fh\simeq \op{id}_P$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren f"ur eine beliebige Kettenabbildung $f: C \ra P$ einen Komplex $K={\op{K}}(f)=\op{Keg}(f)$,\index{Keg@$\op{Keg}(f)$ Abbildungskegel von $f$} den {\bf Abbildungskegel\index{Abbildungskegel!von Kettenabbildung} von $f$}, wie folgt: Wir setzen $K_{n} = C_{n-1} \oplus P_{n}$, fassen die Elemente dieser Summe als Spaltenvektoren auf und definieren den Randoperator $\partial^{K} :K_{n} \ra K_{n-1}$ durch die Matrix $$ \partial^{K} = \left(\begin{array}{cc}-\partial^{C} & 0\\ f &\partial^{P}\end{array}\right)$$ Man pr"uft m"uhelos $\partial^{K} \circ \partial^{K} =0$. Bezeichnet $[1]C$ wie in \ref{VerKo} den verschobenen Komplex mit $([1]C)_{n} = C_{n-1}$ und Randoperator $\partial^{[1]C} = -\partial^{C}$, so ergibt sich mit den offensichtlichen Abbildungen eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $$P \hookrightarrow {\op{K}}(f) \twoheadrightarrow [1]C $$ Man "uberzeugt sich, da"s der Randoperator der zugeh"origen langen exakten Homologiesequenz gerade $\cal{H}_{n}f : \cal{H}_{n} C \ra \cal{H}_{n} P$ ist. Ist speziell $\cal{H}_{n}f$ ein Isomorphismus f"ur alle $n$, so ist der Abbildungskegel ${\op{K}}(f)$ exakt nach der langen exakten Homologiesequenz. Ist zus"atzlich $P$ ein in Richtung der Differentiale beschr"ankter Komplex von projektiven $R$-Moduln, so ist nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{HLHA} die Kettenabbildung $P \hookrightarrow {\op{K}}(f)$ nullhomotop. Setzen wir so eine Homotopie an als Spaltenmatrix $(h,\delta)^\top$, so ergibt sich die Matrixgleichung $$ \left(\begin{array}{cc}-\partial^{C} & 0\\ f &\partial^{P}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}h\\ \delta\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}h\\ \delta\end{array}\right)\partial^P=\left(\begin{array}{c}0\\ \op{id}_P\end{array}\right)$$ Nach Ausmultiplizieren bedeutet die erste Zeile, da"s $h:P\ra C$ eine Kettenabbildung ist, und die Zweite, da"s $fh$ homotop ist zur Identit"at auf $P$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Beziehung zwischen dem hier eingef"uhrten algebraischen Abbildungskegel und dem topologischen Abbildungskegel aus \ref{Kf} wird in \ref{BTAK} besprochen. Kurz gesagt konstruieren wir dort f"ur jede stetige Abbildung $f:Z\ra X$ eine Homotopie"aquivalenz $$\tilde{\op{S}}(\op{K}(f))\sira \op{Keg}(\tilde{\op{S}}f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kohomologie bei freien Homologiegruppen}] Sind alle Homologiegruppen eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einem Ring $R$ freie\label{KW} Linksmoduln, so induziert die Kroneckerpaarung mit Koeffizienten f"ur jeden $R$-Modul $M$ Isomorphismen $${\op{H}}^{q}(X;M)\sira \op{Mod}_R({\op{H}}_{q}(X;R),M)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Weitere Aussagen in derselben Richtung liefert das \glqq universelle Koeffiziententheorem der Kohomologie\grqq\ \ref{UKh}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{CWW} ist unter unseren Voraussetzungen der Komplex ${\op{S}}(X;R)$ als Komplex von Linksmoduln homotop zu seiner Homologie ${\op{H}}(X;R)$. Also ist auch der Komplex ${\op{S}}^\ast(X;M)=\op{Hom}_R({\op{S}}(X;R),M)$ homotop zum Komplex $\op{Hom}_R({\op{H}}(X;R),M)$. \end{proof} %\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie mit K"orperkoeffizienten}] %F"ur die Kohomologie eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in %einem K"orper $k$ liefert die Kroneckerpaarung insbesondere %einen Isomorphismus $${\op{H}}^{q}(X;k)\sira {\op{H}}_{q}(X;k)^{\ast}$$ %der Kohomologie mit dem Dualraum der Homologie. %Das wissen wir sogar bereits aus \ref{SkKoe}. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie von Sph"aren}] Wenden wir Lemma \ref{KW} an mit $k=\DZ$, so erhalten wir Formeln %f"ur die Kohomologie eines Punktes und f"ur die Kohomologie von Sph"aren, jeweils mit beliebigen Koeffizienten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Jeder stetigen Abbildung $f: S^{2n-1} \ra S^n$ f"ur $n\geq 1$ ordnet man eine ganze Zahl, ihre \defind{Hopf-Invariante}, zu wie folgt: Bezeichnet $X$ den Raum, der aus $S^n$ entsteht durch Ankleben einer $2n$-Zelle vermittels der Abbildung $f$, so erh"alt man aus der analog zu \ref{AKlS} gebildeten \glqq Anklebesequenz der Kohomologie\grqq\ zwei Isomorphismen \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \ldots \ra& {\op{H}}^n X &\sira {\op{H}}^nS^n \ra \ldots\\[2mm] \ldots \ra {\op{H}}^{2n-1} S^{2n-1} \sira &{\op{H}}^{2n} X& \ra \ldots \end{array} \end{displaymath} Nun nimmt man den kanonischen Erzeuger von ${\op{H}}^nS^n$, holt ihn zur"uck nach ${\op{H}}^nX$, quadriert ihn im Kohomologiering des verklebten Raums $X$, betrachtet das Urbild unter dem Korand in ${\op{H}}^{2n-1}S^{2n-1}$ und erh"alt ein Vielfaches des kanonischen Erzeugers. Der Faktor, mit dem hier multipliziert werden mu"s, hei"st dann die {\bf Hopf-Invariante von $f$}. Ihre Konstruktion ist eine erste Illustration f"ur die N"utzlichkeit des cup-Produkts und damit der Kohomologie "uberhaupt. Man kann zeigen, da"s sie nur von der Homotopieklasse von $f$ abh"angt, siehe zum Beispiel \cite{Vick}. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{CWW} Gegeben ein Komplex $C$ von Moduln mit projektiver Homologie wissen wir aus \ref{CWWk}, da"s es in der Homotopiekategorie genau einen Homomorphismus $\cal{H}C\ra C$ gibt, der auf der Homologie den offensichtlichen Isomorphismus $\cal{H}(\cal{H}C)\sira \cal{H}C$ induziert. Man zeige, da"s wenn auch unser Komplex selber aus projektiven Moduln besteht und beschr"ankt ist in Richtung der Differentiale, da"s dann dieser Homomorphismus eine Homotopie"aquivalenz ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Homkomplex, Tensorkomplex und Abbildungskegel}] \nichtfinal{An dieser Stelle ist diese "Ubung unsch"on und unn"otig. Irgendwie mit \eref{itSS}{TD} zusammenf"uhren!} Gegeben eine Kettenabbildung $A\ra B$ und ein Komplex $C$ konstruiere man einen Isomorphismus von Kettenkomplexen, der als mittlerer vertikaler Pfeil das Diagramm\label{HKA} \begin{displaymath} \xymatrix{ ([1]A){\Rrightarrow} C\ar[r]\ar[d]^\wr& \op{Keg}(A\ra B){\Rrightarrow} C \ar[r]\ar[d]^\wr & (B{\Rrightarrow} C)\ar@{=}[d]\\ [-1](A{\Rrightarrow} C)\ar[r]& [-1]\op{Keg}\big((B{\Rrightarrow} C)\ra (A{\Rrightarrow} C)\big) \ar[r] & (B{\Rrightarrow} C) } \end{displaymath} mit der offensichtlichen linken Vertikale nach \ref{VeHOM} oder gleichbedeutend nach \eref{ster}{TSK} zum Kommutieren bringt. Ebenso konstruiere man einen Isomorphismus von Kettenkomplexen, der als mittlerer vertikaler Pfeil das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ C{\Rrightarrow} B\ar[r]\ar@{=}[d]& C{\Rrightarrow}(\op{Keg}(A\ra B)) \ar[r]\ar[d]^\wr & C{\Rrightarrow} ([1]A)\ar[d]^\wr\\ C{\Rrightarrow} B\ar[r]& \op{Keg}((C{\Rrightarrow} A)\ra (C{\Rrightarrow} B)) \ar[r] & [1](C{\Rrightarrow} A) } \end{displaymath} mit der offensichtlichen rechten Vertikale nach \ref{VeHOM} oder gleichbedeutend nach \eref{ster}{TSK} zum Kommutieren bringt. Schlie"slich konstruiere man einen Isomorphismus von Kettenkomplexen, der als mittlerer vertikaler Pfeil das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ C\otimes B\ar[r]\ar@{=}[d]& C\otimes (\op{Keg}(A\ra B)) \ar[r]\ar[d]^\wr & C\otimes ([1]A)\ar[d]^\wr\\ C\otimes B\ar[r]& \op{Keg}((C\otimes A)\ra (C\otimes B)) \ar[r] & [1](C\otimes A) } \end{displaymath} mit der offensichtlichen rechten Vertikale zum Kommutieren bringt. \end{Ubung} \subsection{Relative Kohomologie} \begin{Bemerkungl} Gegeben $X\supset A$ ein topologischer Raum mit einer Teilmenge erinnere ich an den Komplex ${\op{S}}(X,A)$ der relativen Ketten aus \ref{rekL}. Wir definieren die {\bf relative Kohomologie}\index{Kohomologie!relative} mit Koeffizienten in $M$ unseres Paares $(X,A)$ als\index{relative Kohomologie} die Kohomologie des Komplexes ${\op{S}}^{*}(X,A;M)\pdef\big({\op{S}}(X,A){\Rrightarrow} M[0]\big)$ der {\bf relativen Koketten}\index{relative Koketten}\index{Koketten!relative} und erhalten so Funktoren\label{ReKO} $${\op{H}}^{q}: (\op{Top}^\subset)^{{\op{opp}}}\times\op{Ab} \ra \op{Ab}$$ Lemma \ref{KW} zur Kohomologie bei freien Homologiegruppen gilt mit demselben Beweis analog auch f"ur die relative Kohomologie, vergleiche "Ubung \ref{KWr}. Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ liefern die spaltenden kurzen exakten Sequenzen ${\op{S}}_{q}A \hookrightarrow {\op{S}}_{q}X \twoheadrightarrow {\op{S}}_{q} (X,A)$ mittels Dualisierung spaltende kurze exakte Sequenzen ${\op{S}}^{q}A \twoheadleftarrow {\op{S}}^{q}X\hookleftarrow {\op{S}}^{q}(X,A)$. Die kurze exakte Sequenz der Komplexe der singul"aren Koketten liefert wiederum die \defnoind{lange exakte Kohomologiesequenz}\index{lange exakte Sequenz!der Kohomologie} $$0\ra {\op{H}}^{0}(X,A) \ra {\op{H}}^{0}X \ra {\op{H}}^{0}A \ra {\op{H}}^{1}(X,A) \ra \ldots $$ mit einem im Raumpaar $(X,A)$ nat"urlichen Randoperator. Dasselbe gilt auch mit beliebigen Koeffizienten. Wir "ubertragen beispielhaft noch einige weitere Aussagen auf die Kohomologie. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Ausschneidung f"ur die Kohomologie}]\index{Ausschneidung!Kohomologie} Ist $(X,A)$ ein Raumpaar und $V\subset A$ eine Teilmenge mit $\overline{V} \subset A^{{\circ}}$, so liefert die Einbettung von Raumpaaren $i:(X\backslash V, A\backslash V) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den relativen Kohomologiegruppen $${\op{H}}^{q} (X,A)\sira {\op{H}}^{q}(X\backslash V,A\backslash V)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Ausschneidungssatz \ref{Asch} induziert die von der Einbettung herkommende Kettenabbildung ${\op{S}}i: {\op{S}}(X\backslash V, A\backslash V) \rightarrow {\op{S}}(X,A)$ Isomorphismen auf der Homologie und ist mithin nach \ref{HKH} eine Homotopie"aquivalenz. Dann ist auch die transponierte Abbildung ${\op{S}}^\ast i: {\op{S}}^\ast(X,A)\ra {\op{S}}^\ast (X\backslash V, A\backslash V) $ eine Homotopie"aquivalenz und induziert Isomorphismen auf der Kohomologie. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KRMVS} Geht man in der Herleitung der Mayer-Vietoris-Sequenz und der relativen Mayer-Vietoris-Sequenz in \ref{MVS} und \ref{RMVS} aus kurzen exakten Sequenzen von Komplexen freier abelscher Gruppen zuerst zu den dualen Komplexen "uber und bildet erst dann die lange exakte Homologiesequenz, so erh"alt man lange exakte Sequenzen von Kohomologiegruppen, genannt die {\bf Mayer-Vietoris-Sequenz} und die {\bf relative Mayer-Vietoris-Sequenz der\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!relative, der Kohomologie} Kohomologie}.\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!der Kohomologie} Letzteren Fall f"uhren wir beim Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at in \ref{hilL} noch genauer aus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Kohomologie}] Gegeben ein Simplizialkomplex $\cal{K}$ erinnern wir aus dem Beweis der Gleichheit von simplizialer und singul"arer Homologie \ref{SH}\label{KoSi} das kommutative Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}\cal{K} &\leftarrow& {\op{S}}^{\op{s}} \Delta(\cal{K}) &\hookrightarrow& {\op{S}}\Delta(\cal{K}) \\ &\nwarrow&\uparrow&\nearrow&\\ &&{\op{S}}^{\op{os}} \Delta(\cal{K}) && \end{array}$$ aus den Komplexen der Simplizialketten, der simplizialsingul"aren Ketten, der singul"aren Ketten und der ordnungsvertr"aglichen simplizialsingul"aren Ketten in Bezug auf eine Anordnung auf den Ecken unseres Simplizialkomplexes. Nach \ref{SH} induzieren hier alle Pfeile Isomorphismen auf der Homologie. Da alle unsere Komplexe aus freien abelschen Gruppen bestehen, sind nach \ref{HKH} sogar alle Pfeile Homotopie"aquivalenzen. Folglich erhalten wir durch Anwenden von $\op{Hom}(\;,\Bbb{Z})$ wieder ein kommutatives Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, das wir $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^\ast\cal{K} &\rightarrow& {\op{S}}_{\op{s}}^\ast \Delta(\cal{K}) &\leftarrow & {\op{S}}^\ast\Delta(\cal{K}) \\ &\searrow&\downarrow&\swarrow&\\ &&{\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta(\cal{K}) && \end{array}$$ notieren und das Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen dieser Komplexe liefert. Die Elemente von ${\op{S}}^{q}_{\op{os}} \Delta (\cal{K})$ kann man auffassen als unendliche formale Linearkombinationen ordnungsvertr"aglicher simplizialsingul"arer $q$-Sim\-pli\-zes, formal haben wir eine kanonische Bijektion ${\op{S}}^{q}_{\op{os}} \Delta (\cal{K}) \sira \op{Ens} (\cal{K}_{q}, \Bbb{Z})$. Der Korandoperator ordnet einem $q$-Simplex die formale Summe mit geeigneten Vorzeichen aller $(q+1)$-Simplizes zu, die unseren $q$-Simplex enthalten. "Ahnlich kann man die Gruppe der {\bf Simplizialkoketten}\index{Simplizialkokette} ${\op{S}}^q\cal{K}$ identifizieren mit der Gruppe aller Abbildungen $f:\cal{K}_{q}^\leq\ra \Bbb{Z}$ von der Menge aller angeordneten $q$-Simplizes nach $\DZ$ mit der Eigenschaft $f(\sigma\circ \pi)=(\op{sgn}\pi)f(\sigma)$ f"ur alle Permutationen $\pi\in\cal{S}_{q+1}$. Zur "Ubung empfehle ich, diese {\bf simpliziale Kohomologie}\index{Kohomologie!simpliziale} f"ur\index{simplizial!Kohomologie} eine Triangulierung der reellen Zahlengerade explizit zu berechnen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Relative Kohomologie bei freien Homologiegruppen}] Man zeige, da"s Lemma \ref{KW} unver"andert auch f"ur die relative Kohomologie gilt: Sind alle relativen Homologiegruppen eines Raumpaars $(X,A)$ mit Koeffizienten in einem Ring $R$ freie\label{KWr} Linksmoduln, so induziert die Kroneckerpaarung mit Koeffizienten f"ur jeden $R$-Modul $M$ Isomorphismen $${\op{H}}^{q}(X,A;M)\sira \op{Hom}_R\big({\op{H}}_{q}(X,A;R),M\big)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Lokale Kohomologie endlichdimensionaler $\DR$-Vektorr"aume}] F"ur alle $x\in\DR^n$ zeige man ${\op{H}}^{q}(\DR^n,\DR^n\backslash x;M)\cong M$ f"ur $q=n$ und Null sonst. Weiter zeige man f"ur jede konvexe beschr"ankte Teilmenge $C\subset \DR^n$ mit $x\in C$, da"s die Einbettung einen Isomorphismus ${\op{H}}^{q}(\DR^n,\DR^n\backslash x;M)\sira {\op{H}}^{q}(\DR^n,\DR^n\backslash C;M)$ induziert.\label{LKed} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Relative Kroneckerpaarung und Funktorialit"at}] Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ erkl"art man die {\bf Kroneckerpaarung}\index{Kroneckerpaarungen!relative} $$\langle\;,\;\rangle:{\op{H}}^p(X,A)\times {\op{H}}_p(X,A)\ra \DZ$$ als den Effekt der Auswertungsabbildung ${\op{S}}^\ast(X,A)\otimes {\op{S}}(X,A)\ra \DZ[0]$ auf der Homologie.\label{rKPr} Man zeige f"ur $f:(X,A)\ra (Y,B)$ ein Morphismus von Raumpaaren und $b\in {\op{H}}^p(Y,B)$ sowie $c\in {\op{H}}_p(X,A)$ die Identit"at $$\langle f^*b,c\rangle= \langle b,f_* c\rangle$$ \end{Ubung} \subsection{Homologie als Kohomologiemodul} \begin{Bemerkungw} Die im vorhergehenden und im folgenden gegebene Darstellung von cup und cap hat zum Ziel, ohne gro"se Umwege die zur Formulierung und zum Beweis der Poincar\'e-Dualit"at ben"otigten Hilfsmittel bereitzustellen. Ich finde sie wenig befriedigend und ziemlich verwirrend und will kurz den Zugang skizzieren, der in \cite{TSK} entwickelt wird und der mir transparenter scheint. Jedes Objekt $X$ einer Kategorie $\mathcal C$ ist nach \eref{banT}{TSK} in banaler Weise ein Koabmonoid der zugeh"origen banalen Trennkategorie $\curlywedge\mathcal C$ mit der Koverkn"upfung $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlywedge X$. Nach \eref{SKS}{TSK} bilden die simplizialen Ketten einen Trennschmelzfunktor $$\op{S}:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}$$ von der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume in Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe abelscher Gruppen oder vielmehr zwischen den zugeh"origen Trennschmelzkategorien. Aus dem banalen Koabmonoid eines topologischen Raums $X$ wird so ein Koabmonoid ${\op{S}}X$ in $\op{Hot}$ mit der Komultiplikation, die wir als $$\eta\Delta_*: {\op{S}}X\ra {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$$ kennengelernt haben. Unter dem Nachschalten des Dualisierens, einem Trennfunktor $\op{Hot}^{\op{t}}\ra \op{Hot}^{\op{opp}}$, wird daraus der Trennfunktor der singul"aren Koketten $$\op{S}^*:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}^{\op{opp}}$$ und ein Koabmonoid ${\op{S}}^*X$ in $\op{Hot}^{\op{opp}}$ alias Abmonoid ${\op{S}}^*X$ in $\op{Hot}$ mit der entsprechend dualisierten Multiplikation $$ {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}^*X\ra {\op{S}}^*X$$ als Verkn"upfung. Das cap-Produkt ist dann eine Struktur von ${\op{S}}X$ als ${\op{S}}^*X$-Modul, die uns in solchen Situationen immer zur Verf"ugung steht. Arbeiten wir zum Beispiel mit der Trennschmelzkategorie $\op{Mod}_k$ der $k$-Vektorr"aume, so ist ein Koabmonoid $A$ eine kokommutative kounit"are Koalgebra und wir erhalten eine nat"urliche Struktur von $A$ als $A^*$-Modul f"ur die durch Dualisieren entstehende Kringalgebra $A^*$. Die eigentlich grundlegenden Strukturen sind in meinen Augen der Trennfunktor $\op{S}:\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{Hot}$ und die davon abgeleitete Komultiplikation ${\op{S}}X\ra {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$ und werden erst sichtbar, sobald die entsprechende Terminologie zur Verf"ugung steht. Unsere verschiedenen Produkte erweisen sich in diesem Licht als die Schatten, die diese Strukturen in Homologie und Kohomologie werfen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ betrachten wir in der Homotopiekategorie der Komplexe die Sequenz $$ {\op{S}}^\ast\!X\otimes {\op{S}}X\ra {\op{S}}^\ast\!X\otimes {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X\ra \DZ[0]\otimes {\op{S}}X\ra {\op{S}}X$$ mit der Komposition $\eta\Delta_*:{\op{S}}X\ra {\op{S}}(X\times X)\ra {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$ des Vorschubs unter der Diagonale $\Delta:X\ra X\times X$ mit der Alexander-Whitney-"Aquivalenz $\eta$ aus \ref{EZAA} tensoriert von links mit $ {\op{S}}^\ast\!X$ f"ur den ersten Pfeil und dem Auswerten vorne als zweitem Pfeil. Diese Komposition wird meist $\cap$\index{)9cap@$\cap$ cap-Produkt} notiert und hei"st {\bf cap-Produkt}.\index{cap-Produkt!in der Homotopiekategorie} Auf der Kohomologie erhalten wir so bilineare Abbildungen\label{capT} $$\cap: {\op{H}}^pX\times {\op{H}}_qX\ra{\op{H}}_{q-p}X$$ Auch diese hei"sen {\bf cap-Produkte}.\index{cap-Produkt} Salopp gesprochen bedeutet das ein \glqq partielles Auswerten einer Kohomologieklasse auf einer Homologieklasse\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Cap-Produkt mit Koeffizienten in einem K"orper}] Wenn wir mit Koeffizienten in einem K"orper arbeiten, k"onnen wir bereits in der Homologie selbst $\Delta_*c=\sum c_1^i\times c_2^i$ schreiben und erhalten die Identit"at $b\cap c=\sum \langle b,c_1^i\rangle c_2^i$. Im allgemeinen liefert jedoch das Kreuzprodukt keinen Isomorphismus auf die Homologie des Produktraums und wir m"ussen das cap-Produkt zun"achst f"ur Ketten erkl"aren, bevor wir auf die Homologie absteigen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ gilt f"ur alle $b \in {\op{H}}^{p}{Y}$ und $ z\in {\op{H}}_{q} X$ die \emph{\bf Projektionsformel}\index{Projektionsformel!der singul"aren Homologie}\label{PLI} $$f_{\ast} (f^{\ast} b \cap z)= b \cap (f_{\ast} z) $$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Anders und etwas unscharf gesagt kommutiert also das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^*X\times {\op{H}}X\ar[d]& {\op{H}}^*Y\times {\op{H}}X \ar[r]\ar[l] & {\op{H}}^*Y\times {\op{H}}Y\ar[d]\\ {\op{H}}X\ar[rr]& & {\op{H}}Y } \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten das offensichtliche kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}X\ar[d]& {\op{S}}^*Y\otimes {\op{S}}X \ar[d]\ar[r]\ar[l] & {\op{S}}^*Y\otimes {\op{S}}Y\ar[d]\\ {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}(X\times X)\ar[d]& {\op{S}}^*Y\otimes {\op{S}}(X\times X) \ar[r]\ar[l]\ar[d] & {\op{S}}^*Y\otimes {\op{S}}(Y\times Y)\ar[d]\\ {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X\ar[d]& {\op{S}}^*Y\otimes {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X \ar[r]\ar[l] & {\op{S}}^*Y\otimes {\op{S}}Y\otimes {\op{S}}Y\ar[d]\\ {\op{S}}X\ar[rr]& & {\op{S}}Y } \end{displaymath} und gehen zur Homologie "uber. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben ein topologischer Raum $X$ gilt f"ur alle $a\in{\op{H}}^p X$, $b\in{\op{H}}^q X$ und $c\in {\op{H}}_{p+q} X$ die\label{adjfO} \emph{\bf Adjunktionsformel}\index{Adjunktionsformel!f"ur cup und cap} $$\langle a\cup b,c\rangle=\langle a, b\cap c\rangle$$ \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben ein Morphismus von Komplexen $\varphi:A\ra B$ und ein Morphismus von Komplexen $\psi: C\ra B^\ast$ kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} C\otimes A &\ra& B^\ast\otimes A &\ra&A^\ast \otimes A\\ \da&&\da&&\da\\ C\otimes B &\ra& B^\ast\otimes B &\ra& \DZ[0] \end{array}$$ mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise erkl"arten Pfeilen. Jetzt nehmen wir als $\varphi:A\ra B$ die Verkn"upfung $\eta\Delta_*:{\op{S}}X\ra {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$ des Vorschubs unter der Diagonale mit einer Alexander-Whitney-Transformation und als $\psi: C\ra B^\ast$ die Verkn"upfung $tv: {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}^*X\ra ({\op{S}}X\otimes {\op{S}}X)^*$ und erhalten eine Gleichheit von zwei Kettenabbildungen $${\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}^*X \otimes {\op{S}}X \ra \DZ[0]$$ Die davon induzierte Gleichheit von Abbildungen auf der Homologie ist unsere Adjunktionsformel. \end{proof} %\begin{proof} % Wir k"urzen ${\op{S}}\pdef {\op{S}}X$ ab. % Wir arbeiten in der Kategorie der Komplexe % und w"ahlen wir einen Repr"asentanten $\eta$ f"ur die Alexander-Whitney-"Aquivalenz und verwenden f"ur den davon induzierten % Morphismus $\eta\Delta_*:{\op{S}}\ra {\op{S}}\otimes {\op{S}}$ % die Notation $c\mapsto \sum c_{1}^i\otimes c_{2}^i$ oder abk"urzend $c\mapsto c_{(1)}\otimes c_{(2)}$ auf homogenen Ketten. In dieser Notation % wird unsere Verkn"upfung oben gegeben durch $f\otimes c\mapsto % \langle f, c_{(1)}\rangle c_{(2)}$ f"ur eine homogene Kokette $f\in {\op{S}}^*$. Wir erinnern nun an die Konstruktion des % cup-Produkts \ref{SiK} als Effekt auf der Kohomologie der Verkn"upfung % $$\Delta^*\eta^*t v:{\op{S}}^\ast\!X\otimes {\op{S}}^\ast X % \ra( {\op{S}}X\otimes {\op{S}} X)^\ast\ra{\op{S}}^\ast X$$ % Die Vertauschung $v$ habe ich hier zugegeben, um auch auf Kettenniveau Vorzeichen zu vermeiden. % Notieren wir diese Verkn"upfung auf Kettenniveau unter Verwendung unseres % Repr"asentanten $\eta$ auch $\cup$, so haben wir quasi per definitionem % $$\langle a\cup b,c\rangle=\langle b, c_{(1)}\rangle\langle a, c_{(2)}\rangle$$ % f"ur homogene Ketten beziehungsweise Koketten. %Mit diesen Wahlen erhalten wir die % Adjunktionsformel % $\langle a\cup b,c\rangle=\langle a, b\cap c\rangle$ %sogar auf den Ketten selbst. %\end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Homologie als Kohomologiemodul}] Das cap-Produkt macht die Homologie jedes Raums zu einem Modul "uber seinem Kohomologiering. Ist also $X$ ein topologischer Raum, so gelten f"ur alle $a\in{\op{H}}^pX, b\in{\op{H}}^qX, c\in{\op{H}}_rX$ die Identit"aten $$(a\cup b)\cap c= a\cap(b\cap c) \quad\text{und}\quad 1\cap c=c.$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir beginnen mit der ersten Identit"at. Dazu bemerken wir, da"s die obere Horizontale im kommutativen Diagramm aus dem vorhergehenden Beweis der Adjunktionsformel \ref{adjfO} durch das Tensorieren mit $A$ aus einer Sequenz $C\ra B^*\ra A^*$ entsteht. Tensorieren wir unser ganzes Diagramm von rechts mit einem Komplex $\bar A$ und bauen mithilfe irgendeines Morphismus $\tilde A\ra A\otimes \bar A$ noch eine Zeile oben an, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} C\otimes \tilde A&\ra& B^\ast\otimes\tilde A &\ra&A^\ast \otimes \tilde A\\ \da&&\da&&\da\\C\otimes A \otimes \bar A&\ra& B^\ast\otimes A\otimes \bar A &\ra&A^\ast \otimes A\otimes \bar A\\ \da&&\da&&\da\\ C\otimes B\otimes \bar A &\ra& B^\ast\otimes B\otimes \bar A &\ra& \bar A \end{array}$$ Spezialisieren wir das nun wie bei Beweis der Adjunktionsformel \ref{adjfO} und setzen au"serdem $\bar A=\tilde A=A={\op{S}}X$ und nehmen als Morphismus $\tilde A\ra A\otimes \bar A$ ein weiteres Mal $\eta\Delta_*$, so erhalten wir eine Gleichheit von zwei Kettenabbildungen $${\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}^*X \otimes {\op{S}}X \ra {\op{S}}X$$ Die davon induzierte Gleichheit von Abbildungen auf der Homologie ist unsere erste Formel. F"ur die zweite Formel gehen wir aus von einem Spezialfall der rechten H"alfte des ersten kommutativen Diagramms aus dem Beweis der Adjunktionsformel $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}^*{(\op{top})}\otimes {\op{S}}X&\ra& {\op{S}}^*({\op{top}})\otimes {\op{S}}({\op{top}})\\ \da&&\da\\ {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}X&\ra& \DZ[0] \end{array}$$ Tensorieren wir von rechts mit ${\op{S}}X$ und halten noch den Vorschub unter der Diagonale und Alexander-Whitney davor und lassen den einpunktigen Raum $\op{top}$ aus der Notation weg, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} {\op{S}}^*\otimes {\op{S}}X&\ra& {\op{S}}^*\otimes {\op{S}}(X\times X)&\ra& {\op{S}}^*\otimes {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X&\ra& {\op{S}}^*\otimes {\op{S}}\otimes {\op{S}}X\\ \da&& \da&& \da&&\da\\ {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}X&\ra& {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}(X\times X)&\ra& {\op{S}}^*X\otimes {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X&\ra& {\op{S}}X \end{array}$$ F"ur den \glqq oberen Weg\grqq\ gilt dann $1\otimes c\mapsto c$, da ja die diagonale Einbettung gefolgt von der Projektion auf den zweiten Eintrag die Identit"at ist. Dahingegen gilt f"ur den \glqq unteren Weg\grqq\ per definitionem $1\otimes c\mapsto 1\cap c$. Das zeigt, was wir wollten. \end{proof} %\begin{proof} % Wir arbeiten weiter mit den Notationen des vorhergehenden Beweises % der Adjunktionsformel. Aus $\op{pr}_2\circ \Delta=\op{id}_X$ folgt % $\langle 1, c_{(1)}\rangle c_{(2)}=c$ und das war gerade die zweite % Behauptung. Um die erste Behauptung zu zeigen, schreiben wir beide % Seiten aus und erhalten %% $$\begin{array}{l} % (a\cup b)\cap c=\langle a\cup b, c_{(1)}\rangle c_{(2)}= % \langle a, b\cap c_{(1)}\rangle c_{(2)}=\langle a, c_{(1)(2)}\rangle \langle b, c_{(1)(1)}\rangle c_{(2)}\\[2mm] %a\cap(b\cap c)=a\cap(\langle b, c_{(1)}\rangle c_{(2)})= \langle a ,c_{(2)(1)}\rangle\langle b, c_{(1)}\rangle c_{(2)(2)} % \end{array}$$ %Wegen % $(\Delta\times{\op{id}})\Delta=({\op{id}}\times\Delta)\Delta$ repr"asentieren die % Ausdr"ucke $c_{(1)(1)}\otimes c_{(1)(2)}\otimes c_{(2)}$ und % $c_{(1)}\otimes c_{(2)(1)}\otimes c_{(2)(2)}$ %aber dieselbe Homologieklasse in ${\op{S}}X\otimes {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$. % Die Behauptung folgt. %\end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Cap-Produkt und Kronecker-Paarung}] Ist $X$ wegzusammenh"angend und $\delta\in {\op{H}}_0X$ der kanonische Erzeuger, so liefert die Adjunktionsformel angewandt auf $a=1$ und $b\in {\op{H}^p}X$ und $c\in {\op{H}_p}X$ die Beziehung $$b\cap c= \langle b,c\rangle\delta$$ zwischen Kroneckerpaarung und cap-Produkt.\label{kpcp} Ist allgemeiner $i: X_w\hra X$ die Einbettung einer Wegzusammenhangskomponente und $\delta_w\in {\op{H}_0}X_w$ der kanonische Erzeuger und $c=i_{*} c_w$ mit $c_w\in {\op{H}_p}X_w$ beliebig, so finden wir mit der Adjunktionsformel $$b\cap i_{*}c_w= \langle i^*b,c_w\rangle i_{*}\delta_w$$ % Ist % allgemeiner $X=\bigsqcup X_w$ die Zerlegung von $X$ in seine % Wegzusammenhangskomponenten und $i_w:X_w\hra X$ die Einbettung und % $z\in {\op{H}}_qX_w$, so liefert die Projektionsformel zusammen % mit unserer Regel f"ur $1\cap$ unmittelbar % $$ 1_w \cap i_{w*}z= i_{w*}(i_w^*1_w\cap z)=i_{w*}(i_w^*1\cap z)= 1\cap i_{w*}z= i_{w*}z$$ % Wegen $1_v\cup 1_w=0$ f"ur $v\neq w$ sagt das auch $1_v \cap i_{w*}z=0$ f"ur % $v\neq w$. % Im allgemeinen k"onnen wir % $c\in {\op{H}_p}X$ eindeutig schreiben als Summe $c=\sum 1_w\cap c=\sum i_{w*}c_w$ mit % nur endlich vielen von Null verschiedenen Summanden und erhalten % f"ur $b\in {\op{H}^p}X$ mit unseren Erzeugern $\delta_w\in {\op{H}}_0X$ aus \ref{detw} die Identit"at % $$b\cap c= \sum \langle i^*_w b, c_w\rangle \delta_w$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at f"ur kompakte Mannigfaltigkeiten}] F"ur jede kompakte orientierte Man\-nig\-fal\-tig\-keit liefert das cap-Produkt mit ihrem Fundamentalzykel einen\label{PD} Isomorphismus zwischen ihrer Kohomologie und ihrer Homologie.\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!f"ur kompakte Mannigfaltigkeiten} Ist genauer $M$ eine kompakte orientierte $n$-Man\-nig\-faltigkeit so liefert das cap-Produkt mit $\omega$ f"ur alle $p$ einen Isomorphismus\label{SP} $$ \cap[M] : {\op{H}}^{p} M \sira {\op{H}}_{n-p} M$$ Dieser Satz und sein Beweis gelten mit Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0$, so ben"otigt man noch nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. Wir zeigen das alles in \ref{APD}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Schnittpaarung durch Poincar\'e-Dualit"at}] Sei $M$ eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit. Unter den durch Poincar\'e-Dualit"at \ref{PD} im Fall einer kompakten orientierten $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit\label{KSP} gegebenen Isomorphismen $${\op{H}}^pM\sira {\op{H}}_{n-p}M$$ entspricht das cup-Produkt ${\op{H}}^{n-p}M\times {\op{H}}^{p}M\ra {\op{H}}^{n}M$ einer bilinearen Abbildung auf der Homologie, die unter dem Nachschalten der Augmentation ${\op{H}}_0M\ra \DZ$ unsere in \ref{SPoD} gesuchte Schnittpaarung $${\op{H}}_{p}M\times {\op{H}}_{n-p}M\ra \DZ$$ liefert. Da"s diese bilineare Abbildung die in \ref{SPoD} f"ur die Schnittpaarung behauptete anschauliche Eigenschaft hat, wird allerdings erst in \eref{SchnPaa}{TSF} klar werden. Eine erste Anschauung im triangulierbaren Fall mag \ref{GiS} geben. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Sei $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit. Nach der Adjunktionsformel $\langle a\cup b, [M]\rangle= \langle a,b\cap [M]\rangle$ entsprechen sich unter den Identifikationen der Poincar\'e-Dualit"at f"ur einen beliebigen kommutativen Koeffizientenring $k$ per definitionem die cup-Produkt-Paarung, die beiden Kronecker-Paarungen und die Schnittpaarung\label{SPP} $$ \begin{array}{rcrlcc}{\op{H}}^{n-p} (M;k) &\times &{\op{H}}^{p} (M;k)&\ra k, \;\; (a,b)&\mapsto& \langle a\cup b, [M]\rangle\\[2mm] {\op{H}}^{n-p} (M;k)& \times& {\op{H}}_{n-p} (M;k)&\ra k,\;\; (a,\beta)&\mapsto& \langle a,\beta\rangle\\[2mm] {\op{H}}_{p} (M;k)& \times& {\op{H}}^{p} (M;k)&\ra k,\;\; (\alpha,b)&\mapsto& \pm \langle b,\alpha\rangle\\[2mm] {\op{H}}_{p} (M;k) &\times & {\op{H}}_{n-p} (M;k)&\ra k,\;\; (\al,\beta)&\mapsto& \al\odot\beta \end{array}$$ Falls eine dieser Paarungen eine Bijektion des linken Raums auf den Dualraum des rechten Raumes oder das Umgekehrte induziert, so folgt dasselbe f"ur die beiden anderen Paarungen. Haben wir etwa Koeffizienten in einem K"orper oder ist ${\op{H}}_{n-p-1} (M;\Bbb{Z})$ eine freie abelsche Gruppe, so liefert nach %\ref{KPI} oder \ref{UKh} die Paarung in der Mitte eine Bijektion des linken Raums auf den Dualraum des rechten Raumes und dasselbe folgt f"ur die anderen Paarungen. In \ref{nkSPP} diskutieren wir Verallgemeinerungen auf den Fall nicht notwendig kompakter Mannigfaltigkeiten. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Notationen cup und cap}] F"ur das Schnittprodukt schiene mir die Notation $\cap$ naheliegend und das cup-Produkt ist dazu in gewisser Weise dual. Ich vermute hier die Herkunft der Notation $\cup$ f"ur das cup-Produkt, kann das aber nicht belegen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Heuristisches zur Poincar\'e-Dualit"at}] Um einen anschaulichen Beweis der Poincar\'e-Dualit"at zu geben, verallgemeinert man zun"achst unseren Satz \ref{SH} "uber den Zusammenhang von singul"arer und simplizialer Homologie von endlichen Simplizialkomplexen auf R"aume, die statt aus Simplizes in "ahnlicher Art aus komplizierteren kompakten konvexen Polyedern zusammengesetzt sind, wie zum Beispiel die Oberfl"achen der platonischen K"orper. So kann etwa die Homologie der Sph"are mithilfe einer Dodekaeder-Zerlegung berechnet werden durch einen Komplex der Gestalt $\Bbb{Z}^{12} \ra \Bbb{Z}^{30} \ra \Bbb{Z}^{20}$ f"ur die $12$ Fl"achen, $30$ Kanten und $20$ Ecken. Gehen wir nun "uber zur \glqq dualen\grqq\ Zerlegung in kompakte konvexe Polyeder, im Beispiel zur Ikosaeder-Zerlegung der Sph"are in $20$ Fl"achen mit $30$ Kanten und $12$ Ecken, so kann man den Komplex, der urspr"unglich die Homologie berechnet, in nat"urlicher Weise identifizieren mit dem Komplex, der bez"uglich dieser dualen Zerlegung die Kohomologie berechnet. Da aber Homologie und Kohomologie von der Zerlegung g"anzlich unabh"angig sind, ergibt sich ${\op{H}}_{i} M \cong {\op{H}}^{n-i}M$ f"ur jede orientierte kompakte triangulierbare $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist nicht allzu schwer, diese Skizze zu einem richtigen Beweis auszubauen, siehe zum Beispiel \cite{StZi}. Wir werden jedoch einen anderen Weg gehen, der Triangulierbarkeitsvoraussetzungen vermeidet und auch abgesehen davon zu allgemeineren Resultaten f"uhrt. Genauer wollen wir unseren Satz durch eine Art Induktion "uber alle offenen Teilmengen beweisen und werden dazu eine Version formulieren, die auch nichtkompakte Mannigfaltigkeiten einbezieht. Das ben"otigt einige algebraische Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Cap-Produkt f"ur Ketten}] Sei $X$ ein topologischer Raum. Mithilfe der Alexander-Whitney-Abbildung \ref{EAW} zeige man, da"s das cap-Produkt induziert wird von der Abbildung $\cap: {\op{S}}^*X\times {\op{S}}X\ra {\op{S}}X$, die ein Paar $(b,\sigma)$ mit $b \in {\op{S}}^{q}X$ und $ \sigma : \Delta_{p+q} \ra X$ ein Simplex in den Notationen \eref{VoHi}{TS} abbildet auf\label{cAP} $$b \cap \sigma= (-1)^{pq}\langle b,\sigma\rho_{q} \rangle \sigma \lambda_{p} $$ Mehr dazu wird in \eref{Excap}{TSK} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Cap-Produkte f"ur Raumpaare}] F"ur Raumpaare $(X,A)$ induziert jede Alexander-Whitney-Trans\-for\-ma\-tion \ref{EZAA} eine Kettenabbildung\label{ModKk} $$ {\op{S}} (X \times X, X \times A) \sira {\op{S}}X \otimes {\op{S}} (X,A)$$ Man sieht leicht ein, da"s sie Isomorphismen auf der Homologie induziert und deshalb nach dem Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen \ref{HKH} eine Homotopie"aquivalenz sein mu"s. Man sieht auch leicht ein, da"s sie wohlbestimmt ist bis auf Homotopie, denn Alexander-Whitney-Trans\-for\-ma\-tionen sind wohlbestimmt bis auf Homotopie im Sinne von \ref{EZ} und jede Homotopie zwischen zwei Alexander-Whitney-Trans\-for\-ma\-tionen im Sinne von \ref{EZ} geht offensichtlich auf die Quotienten "uber.\label{KcaP} Die zur Konstruktion in \ref{capT} analoge Komposition \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{S}}^\ast\!X\otimes {\op{S}}(X,A)\ar[d]&{\op{S}}(X,A)\\ {\op{S}}^\ast\!X\otimes {\op{S}}(X\times X,X\times A)\ar[r]& {\op{S}}^\ast\!X\otimes {\op{S}}X\otimes {\op{S}}(X,A)\ar[u] }\end{displaymath} liefert eine Verallgemeinerung $$\cap:{\op{H}}^p(X)\times {\op{H}}_{q}(X,A)\ra {\op{H}}_{q-p}(X,A)$$ des cap-Produkts, unter der auch die relative Homologie ${\op{H}}(X,A)$ ein Modul "uber dem Kohomologiering ${\op{H}}^*X$ wird. Man pr"uft das mit denselben Argumenten wie im bereits behandelten nichtrelativen Fall. Die Variante \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{S}}^\ast(X,A)\otimes {\op{S}}(X,A)\ar[d]^{\op{id}\otimes\Delta_\ast}& {\op{S}}X\\ {\op{S}}^\ast\!(X,A)\otimes {\op{S}}(X\times X,A\times X )\ar[r]^-{\op{id}\otimes\eta}& {\op{S}}^\ast\!(X,A)\otimes {\op{S}}(X,A)\otimes {\op{S}} X \ar[u]_{\op{ev}\otimes\op{id}} } \end{displaymath} liefert durch "Ubergang zur Homologie eine weitere Verallgemeinerung des cap-Produkts, diesmal zu einer Abbildung $$\cap: {\op{H}}^p(X,A)\times {\op{H}}_{q}(X,A)\ra {\op{H}}_{q-p}X$$ Man pr"ufe auch in diesem Fall f"ur $X$ wegzusammenh"angend und $p=q$ die Beziehung $$b\cap c=\langle b,c\rangle\delta$$ zwischen cap-Produkt und Kroneckerpaarung. Man zeige weiter f"ur jeden Morphismus von Raumpaaren $(X,A)\ra (Y,B)$ mit den entsprechenden cap-Pro\-duk\-ten in den Vertikalen und den offensichtlichen durch R"uckzug auf der Kohomologie und Vorschub auf der Homologie gegebenen Horizontalen die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^*(X,A)\times {\op{H}}(X,A)\ar[d]& {\op{H}}^*(Y,B)\times {\op{H}}(X,A) \ar[r]\ar[l] & {\op{H}}^*(Y,B)\times {\op{H}}(Y,B)\ar[d]\\ {\op{H}}X\ar[rr]& & {\op{H}}Y } \end{displaymath} \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukt von dg-Moduln}] Gegeben\index{Tensorprodukt!graduierter Moduln} "uber einem $\Bbb{Z}$-graduierten Ring $R$ ein $\Bbb{Z}$-graduierter Rechtsmodul $M$ und ein $\Bbb{Z}$-gra\-du\-ier\-ter Linksmodul $N$ ist der Kern der Surjektion $M \otimes_{\Bbb{Z}} N \twoheadrightarrow M \otimes_{R} N$ stets ein im Sinne von \eref{homog}{KAG}\label{dgTen} homogener Teilraum und $M \otimes_{R} N$ ist folglich in nat"urlicher Weise $\Bbb{Z}$-graduiert. Ist $R$ sogar ein dg-Ring und sind $M$ und $N$ beide dg-Moduln, so induziert das offensichtliche Differential auf $M \otimes_{\Bbb{Z}}N$ ein Differential auf $M \otimes_{R} N$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{dgHot} Gegeben dg-Moduln $M,N$ "uber einem dg-Ring $R$ ist die Menge der mit der Operation von $R$ in hoffentlich offensichtlicher Weise vertr"aglichen Elemente des Hom-Komplexes $(M{\Rrightarrow} N)=\op{Hom} (M,N)$ aus \ref{HHKK} ein Unterkomplex $(M{\Rrightarrow}_R N)=\op{Hom}_{R} (M,N)$. Die Nullzykel dieses Komplexes sind genau die Homomorphismen von dg-Moduln, in Verallgemeinerung von \ref{HHKK} gilt also $$\op{dgMod}_R(M,N)=\cal{Z}^0\op{Hom}_{R} (M,N)$$ Die Nullr"ander $\cal{B}^0\op{Hom}_{R} (M,N)$ dieses Komplexes nennen wir analog \defind{nullhomotope} Homomorphismen von differentiellen graduierten Moduln "uber $R$ und f"uhren die Homotopiekategorie \index{dgHot} $$R\op{-dgHot}=\op{dgHot}_R$$ ein dadurch, da"s ihre Objekte $R$-dg-Moduln sein sollen, die Morphismen jedoch gegeben sein sollen durch $\op{dgHot}_R(M,N)\pdef\cal{H}^0\op{Hom}_{R} (M,N)\index{dgHot}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben dg-Rechtsmoduln $M,N$ "uber einem dg-Ring $R$ ist $\op{Hom}_{-R} (M,N) \subset \op{Hom} (M,N)$ ein Unterkomplex des $\op{Hom}$-Kom\-ple\-xes. Ist $S$ ein weiterer $\op{dg}$-Ring und ist $M$ ein $S$-$R$-dg-Bimodul, so ist unser Unterkomplex ein $S$-dg-Unterrechtsmodul des $\op{Hom}$-Komplexes mit seiner offensichtlichen und in \ref{??} formalisierten $S$-Operation von rechts. Analoges gilt, wenn man Links und Rechts vertauscht. \nichtfinal{Echt hier?} \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{dfg} Gegeben ein dg-Ring $R$ liefert die Multiplikation des Rings von links auf sich selber analog zum Fall gew"ohnlicher Ringe \eref{ENRj}{KAG} einen Isomorphismus von dg-Ringen $R\sira \op{Hom}_{-R}(R,R)$ zwischen $R$ selbst und dem Endomorphismenkomplex von $R$ als dg-Rechtsmodul. \nichtfinal{Echt hier?} \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Hinweis: Diese "Ubung verfeinert \ref{canAd}.\label{VanAd} F"ur die Graduierung auf dem Tensorprodukt beachte \eref{TgM}{KAG}. Gegeben dg-Ringe $A,B$ und ein $A$-$B$-dg-Bimodul $X$ induziert f"ur $M$ beziehungsweise $N$ beliebige dg-Rechtsmoduln "uber $A$ beziehungsweise $B$ die offensichtliche Abbildung Isomorphismen von Komplexen abelscher Gruppen \begin{displaymath} \op{Hom}_{-A} (M, \op{Hom}_{-B} (X,N)) \;\overset{\sim}{\ra}\; \op{Hom}_{-B}(M \otimes_{A} X, N) \end{displaymath} Insbesondere erhalten wir durch "Ubergang zur nullten Homologie nat"urliche Bijektionen $ \op{dgHot}_{-A} (M, \op{Hom}_{-B} (X,N)) \;\overset{\sim}{\ra}\; \op{dgHot}_{-B}(M \otimes_{A} X, N) $. \label{AusKK} Unsere Adjunktion \ref{canAd} liefert als Koeinheit der Adjunktion \eref{FADJj}{TF} weiter nat"urliche Kettenabbildungen von $B$-Rechtsmoduln $\op{Hom}_{-B}(X,M)\otimes_A X\ra M$, die auch explizit als das \glqq Auswerten von Homomorphismen auf Elementen\grqq\ beschrieben werden k"onnen. \nichtfinal{Echt hier?} \end{Ubunge} \subsection{Erweiterungen von abelschen Gruppen} \begin{Bemerkungl}\label{koEW} Um unsere Kohomologiegruppen aus den Homologiegruppen berechnen zu k"onnen, brauchen wir {\bf Erweiterungen}.\index{Erweiterung!von abelschen Gruppen!konkrete} Unter einer Erweiterung einer abelschen Gruppe $M$ durch eine abelsche Gruppe $N$ versteht man zun"achst einmal eine kurze exakte Sequenz $N \hookrightarrow E \twoheadrightarrow M$. Eine zweite solche Erweiterung $N \hookrightarrow E^{\prime} \twoheadrightarrow M$ hei"st {\bf isomorph} oder genauer {\bf erweiterungsisomorph}\index{erweiterungsisomorph} zu unserer ersten Erweiterung, wenn es einen Isomorphismus $E \sira E^{\prime}$ gibt, der das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} N & \hookrightarrow & E &\twoheadrightarrow &M\\ \| & &\downarrow & & \| \\ N & \hookrightarrow & E^{\prime} & \twoheadrightarrow &M \end{array}$$ zum Kommutieren bringt. Wir werden uns im folgenden "uberlegen, da"s die Isomorphieklassen von derartigen Erweiterungen eine Menge, ja sogar in nat"urlicher Weise eine abelsche Gruppe bilden, und wie wir diese Gruppe zu gegebenen $M$ und $N$ effektiv berechnen k"onnen. Die eigentliche Arbeit beginnen wir mit einem etwas k"unstlichen aber formal einfacheren Zugang zu besagter Gruppe. Das Ausarbeiten des Zusammenhangs zum hier nur skizzierten namensgebenden Zugang "uberlasse ich dem Leser als "Ubung \ref{EeXt}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Homomorphismus $f:A\ra B$ von abelschen Gruppen erkl"art man seinen {\bf Kokern}\index{Kokern!bei abelschen Gruppen} \index{cok@$\op{cok}$ Kokern!bei abelschen Gruppen} als die abelsche Gruppe $$\op{cok}f\pdef B/(\op{im}f)$$ \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben zwei abelsche Gruppen $M$ und $N$ erkl"aren wir eine dritte abelsche Gruppe $\op{Ext} (M,N)$ durch die Vorschrift $$\op{Ext} (M,N) \pdef \op{cok} \big(\op{Hom} (\Bbb{Z} M, N) \ra \op{Hom} (K M, N)\big)$$ f"ur $KM\hra\Bbb{Z} M\sra M$ die Standardaufl"osung von $M$ aus \ref{TDe}. Sie hei"st die Gruppe der {\bf Erweiterungen von $M$ durch $N$}. \index{Erweiterung!von abelschen Gruppen!abstrakte} Die Notation r"uhrt her von der\label{deEXT} englischen und franz"osischen Bezeichnung \defind{extension}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von $\op{Ext}$}] Offensichtlich ist $\op{Ext}$ ein\label{ExtF} kovarianter Funktor in der zweiten und ein kontravarianter Funktor in der ersten Variablen. Wir notieren das Anwenden von Morphismen auf Erweiterungen wie eine Verkn"upfung von Morphismen, wobei wir eine Erweiterung als einen \glqq Morphismus von h"oherem Grad\grqq\ auffassen. In Ist $M$ frei, so spaltet die Sequenz $K M \hookrightarrow \Bbb{Z} M \twoheadrightarrow M$ und wir folgern $\op{Ext} (M,N) =0$ f"ur alle $N$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EZE} Wir k"onnen unsere Definition auch dahingehend umschreiben, da"s wir den Komplex $\cal{P}M$ mit $\cal{P}_1 M = KM$ und $ \cal{P}_0 M = \mathbb{Z} M$ und $\cal{P}_q M =0$ f"ur $ q \neq 0,1$ aus \ref{TDe} betrachten und $N=N[0]$ als im Grad Null konzentrierten Komplex auffassen und im Sinne von \ref{HHKK} den Hom-Komplex $\cal{P}M{\Rrightarrow}N[0]$ bilden. Damit erhalten wir dann die Darstellung $$\op{Ext}(M,N)=\cal{H}_{-1}(\cal{P}M{\Rrightarrow}N[0])$$ Andererseits definiert die Surjektion $\DZ M\sra M$ offensichtlich einen Isomorphismus $$\op{Hom}(M,N)\sira \cal{H}_{0}(\cal{P}M{\Rrightarrow}N[0])$$ Da nun nach \ref{UFF} der Komplex $\cal{P}M$ aus freien abelschen Gruppen besteht, liefert jede kurze exakte Sequenz $N^{\prime} \hookrightarrow N \twoheadrightarrow N^{\prime\prime}$ von abelschen Gruppen eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $$(\cal{P}M{\Rrightarrow}N'[0])\hra(\cal{P}M{\Rrightarrow}N[0])\sra (\cal{P}M{\Rrightarrow}N''[0])$$ und die zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz liefert mit den eben angegebenen Identifikationen eine exakte Sequenz $$ \begin{array}{ccccccccc}0&\ra& \op{Hom} (M,N^{\prime})& \hra& \op{Hom} (M,N) &\ra &\op{Hom} (M,N^{\prime\prime})&\ra& \\ &\ra &\op{Ext} (M,N^{\prime})&\ra& \op{Ext} (M,N)& \twoheadrightarrow &\op{Ext} (M, N^{\prime\prime}) &\ra& 0 \end{array} $$ Sie hei"st die lange exakte {\bf Ext-Sequenz im zweiten Eintrag}. \index{Ext-Sequenz!im zweiten Eintrag} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{EeXt} Man zeige, da"s wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Erweiterungen von $M$ durch $N$ im Sinne}\\ \text{ von \ref{koEW}, bis auf Erweiterungsisomorphie} \end{array}\right\} & \sira & \op{Ext} (M,N) \end{array}$$ erhalten, indem wir jeder kurzen exakten Sequenz $N \hookrightarrow E \twoheadrightarrow M$ das Bild in $\op{Ext} (M,N)$ der Identit"at auf $M$ unter dem Randoperator der zugeh"origen $\op{Ext}$-Sequenz im zweiten Eintrag zuordnen. Hinweis: Gegeben $e \in \op{Ext} (M,N)$ w"ahle man einen Repr"asentanten $\tilde{e} : KM \ra N$ und bilde durch pushout in die Mitte im Sinne von \ref{UCKK} ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} KM & \hookrightarrow &\Bbb{Z} M &\twoheadrightarrow &M\\ \downarrow & &\downarrow && \| \\ N & \hookrightarrow &E& \twoheadrightarrow & M \end{array}$$ Man zeige weiter, da"s f"ur $f:M'\ra M$ eine kurze exakte Sequenz $N\hra F\sra M'$ genau dann der Erweiterung $e\circ f\in \op{Ext} (M',N)$ entspricht, wenn es einen vertikalen Isomorphismus in der Mitte gibt, der das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} N & \hookrightarrow &F &\twoheadrightarrow &M'\\ \| & &\downarrow && f \\ N & \hookrightarrow &E& \twoheadrightarrow & M \end{array}$$ kommutativ macht. Da"s wir f"ur vorgegebenes $f$ ein m"ogliches $F$ als pull-back konstruieren k"onnen. Und da"s entsprechendes dual f"ur $g:N\ra N'$ gilt. \end{Ubunge} \subsection{Injektive abelsche Gruppen} \begin{Definition}\label{injM} Ein Modul $I$ "uber einem Ring $R$ hei"st {\bf injektiv},\index{injektiv!Modul} wenn gegeben irgendein weiterer Modul $M$ "uber unserem Ring und darin ein Untermodul $ U\subset M$ sich jeder Modulhomomorphismus $U\ra I$ zu einem Modulhomomorphismus $M\ra I$ ausdehnen l"a"st. In Formeln hei"st das also: F"ur jede Injektion $i:U\hra M$ von $R$-Moduln liefert das Vorschalten von $i$ eine Surjektion $$(\circ i):\op{Mod}_R (M,I) \sra \op{Mod}_R (U, I)$$ \end{Definition} \begin{Beispiele} Ist $k$ ein K"orper, so ist jeder $k$-Modul injektiv als $k$-Modul, aber nat"urlich nicht notwendig als abelsche Gruppe. Einen injektiven $\Bbb{Z}$-Modul nennen wir eine {\bf injektive abelsche Gruppe}.\index{injektiv!abelsche Gruppe} Die abelsche Gruppe $\DQ$ ist injektiv, wie die gleich anschlie"sende Proposition \ref{IAG} zeigt. Alternativ k"onnen wir auch argumentieren, da"s f"ur $S=\DZ\backslash 0$ gilt $\op{Ab} (M,\DQ) = \op{Mod}_{\DQ} (S^{-1} M, \DQ)$ nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung \eref{UECC}{KAG} und da"s die rechte Seite ein exakter Funktor in $M$ ist wegen der Exaktheit der Lokalisierung \eref{EdLo}{KAG}. Wieder anders k"onnen wir auch argumentieren, da"s gilt $\op{Ab} (M,\DQ) = \op{Hom}_{\DQ} (\DQ \otimes_{\Bbb{Z}} M, \DQ)$ nach \eref{F2}{KAG} und da"s die rechte Seite ein exakter Funktor in $M$ ist nach \eref{Tex}{KAG}. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine abelsche Gruppe hei"st {\bf divisibel},\index{divisibel!abelsche Gruppe} wenn f"ur jede von Null verschiedene ganze Zahl der durch die Multiplikation mit dieser Zahl gegebene Endomorphismus unserer Gruppe surjektiv ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Sowohl $\DQ$ als auch $\DQ/\DZ$ sind divisible abelsche Gruppen. \end{Beispiel} \begin{Proposition}\label{IAG} \begin{enumerate} \item Eine abelsche Gruppe $I$ ist injektiv genau dann, wenn gilt $\op{Ext} (M,I) =0$ f"ur alle $M$; \item Eine abelsche Gruppe ist injektiv genau dann, wenn sie divisibel ist; \item Jeder Quotient einer injektiven abelschen Gruppe ist injektiv; \item Jede abelsche Gruppe l"a"st sich in eine Injektive einbetten. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkunge} Der Beweis zeigt genauer, da"s jede abelsche Gruppe $M$ in eine injektive abelsche Gruppe der Kardinalit"at $\leq \op{max}(\op{card}M,\op{card}\DN)$ eingebettet werden kann.\label{krih} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{Uckk} %\label{UCKK} Analoges gilt mit einem analogen Beweis auch f"ur Moduln "uber beliebigen Hauptidealringen. So erhalten wir zum Beispiel, da"s $\DC[t,t^{-1}]/t\DC[t]$ ein injektiver $\DC[t]$-Modul ist, denn die Multiplikation mit $t$ ist offensichtlich surjektiv und die Multiplikationen mit $(t-\alpha)$ sind sogar bijektiv, ja induzieren Automorphismen der von $t^0,\ldots,t^{-n}$ erzeigten Teilr"aume f"ur alle $n$, da sie dort den einzigen Eigenwert $\alpha$ haben. Allgemeiner und mit mehr Kenntnissen aus der kommutativen Algebra erkennt man in derselben Weise, da"s gegeben ein Hauptidealring $R$ mit einem Primelement $p$ der $R$-Modul $R[p^{-1}]/pR$ injektiv ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{UCKK} Der folgende Beweis verwendet die Konstruktion des \glqq push-out in der Kategorie der abelschen Gruppen\grqq\ : Gegeben Homomorphismen abelscher Gruppen $\phi:A\ra B$ und $\psi:A\ra C$ bildet man die abelsche Gruppe $P\pdef(B\oplus C)/\{(\phi(a),-\psi(a))\mid a\in A\}$ mit den durch die Einbettungen induzierten Morphismen $B\ra P$ und $C\ra P$ und erh"alt so ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} A &\rightarrow & B\\ \downarrow && \downarrow \\ C & \rightarrow &P \end{array}$$ von abelschen Gruppen. Die Gruppe $P$ oder genauer die \glqq H"alfte dieses Diagramms unterhalb der Linie durch $B$ und $C$\grqq\ hei"st der {\bf push-out} der H"alfte oberhalb besagter Linie. Im Rahmen der Kategorientheorie in \eref{puou}{TF} mag man die universelle Eigenschaft kennenlernen, die push-outs in beliebigen Kategorien charakterisiert. In unserem speziellen Fall erkennt man leicht, da"s die Injektivit"at eines Ausgangspfeils die Injektivit"at des dazu parallelen Pfeils in den push-out impliziert und da"s die Surjektivit"at eines Ausgangspfeils gleichbedeutend ist zur Surjektivit"at des dazu parallelen Pfeils in den push-out, in Formeln $(A\hra B)\RA (C\hra P)$ und $(A\sra B)\IFF (C\sra P)$. Man vergleiche hierzu auch "Ubung \eref{UCK}{TF}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. F"ur $I$ injektiv folgt $\op{Ext} (M,I) =0$ aus der Definition. Sei umgekehrt $I$ eine abelsche Gruppe mit $\op{Ext} (M,I)=0$ f"ur alle $M$. Gegeben eine Injektion $B^{\prime} \hookrightarrow B$ gilt es, jeden Morphismus $B^{\prime} \ra I$ zu einem Morphismus $B \ra I$ auszudehnen. Dazu bilden wir den push-out $$\begin{array}{ccc} B^{\prime} &\hookrightarrow & B\\ \downarrow && \downarrow \\ I & \hookrightarrow &Y \end{array}$$ mit einer Injektion in der unteren Horizontalen nach \ref{UCKK}. Vervollst"andigen wir diese untere Horizontale zu einer kurzen exakten Sequenz $I \hookrightarrow Y \twoheadrightarrow K$ und bilden dazu die $\op{Ext}$-Sequenz im zweiten Eintrag \ref{EZE} mit $M =K$, so folgt, da"s die Surjektion $Y \twoheadrightarrow K$ spaltet alias ein Rechtsinverses besitzt. Mit \ref{spalt} folgt, da"s dann auch die Injektion $I\hra Y$ spaltet, und ein Linksinverses $Y\ra I$ dazu liefert die gew"unschte Ausdehnung. \\[2mm]\noindent 2. Ist $I$ injektiv, so induziert f"ur alle $n\neq 0$ die Injektion $(n\cdot):\Bbb{Z}\hra\Bbb{Z}$ eine Surjektion $\op{Hom}(\Bbb{Z}, I)\sra \op{Hom}(\Bbb{Z}, I)$ alias $(n\cdot):I\sra I$. Jede injektive abelsche Gruppe ist also divisibel. Die Umkehrung zeigen wir mit dem Zorn'schen Lemma. Sei $I$ divisibel, $A'\subset A$ eine Untergruppe und $\varphi':A'\ra I$ ein Homomorphismus. Es gilt, $\varphi'$ auf ganz $A$ auszudehnen. Wir betrachten dazu die Menge aller Paare $(A_1, \varphi_1)$ mit $ A_1$ einer Untergruppe von $A$ oberhalb von $A'$ und $\varphi_1$ einer Fortsetzung von $\varphi'$ auf $A_1$. Die Menge aller derartigen Paare ist in offensichtlicher Weise induktiv geordnet, wir finden also eine maximale Fortsetzung $(A_{\op{max}}, \varphi_{\op{max}})$. W"are hier nicht $A_{\op{max}}=A$, so k"onnten wir ein $a$ in der Komplementmenge w"ahlen und das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ m\mathbb Z\ar@{^{(}->}[r]\ar@{=}[d] & n\mathbb Z\ar@{->>}[r]\ar[d] &A_{\op{max}} \cap \langle a\rangle\ar[r]\ar[d] & A_{\op{max}}\ar[d]\\ m\mathbb Z\ar@{^{(}->}[r]& \mathbb Z \ar@{->>}[r]^{\cdot a} &\langle a\rangle \ar[r] &A_{\op{max}} +\langle a\rangle } \end{displaymath} bilden. Hier steht rechts ein Pushout, $m\DZ$ sei der Annullator von $a$, und $n\DZ$ das Urbild von $A_{\op{max}} \cap \langle a\rangle$ unter $\DZ\sra \langle a\rangle$, $r\mapsto ra$. Da $I$ divisibel ist, k"onnen wir die Einschr"ankung von $\varphi_{\op{max}}$ l"angs der oberen Horizontale l"angs der Einbettung $n\DZ\hra \DZ$ fortsetzen, und da auch diese Fortsetzung auf $m\DZ$ verschwinden mu"s, induziert sie $\varphi_{a}:\langle a\rangle\ra I$. Dies $\varphi_{\op{max}}$ und $\varphi_{a}$ zusammen liefern dann eine Fortsetzung von $\varphi_{\op{max}}$ auf den pushout. Das aber widerspr"ache der Maximalit"at unserer Fortsetzung. \\[2mm]\noindent 3. Das folgt direkt aus 2, oder auch aus 1 mit der $\op{Ext}$-Sequenz \ref{EZE}. \\[2mm]\noindent 4. Eine derartige Einbettung liefert nach 3 die rechte Vertikale des kokartesischen Dia\-gramms $$\begin{array}[b]{ccc} \Bbb{Z} M & \twoheadrightarrow & M\\ \downarrow & &\downarrow \\ \DQ M & \twoheadrightarrow &I \end{array}$$ Da"s die untere Horizontale eine Surjektion und die rechte Vertikale eine Injektion ist, folgt aus der expliziten Konstruktion des pushout nach \ref{UCKK}. \end{proof} \begin{proof}[Beweisvariante zur Injektivit"at divisibler abelscher Gruppen] Wir k"onnen die Injektivit"at divisibler abelscher Gruppen alternativ auch aus dem anschlie"senden Lemma folgern, das in unserer Terminologie zeigt $\op{Ext}(N,I)=0$ f"ur jede abelsche Gruppe $N$ und jede divisible abelsche Gruppe $I$. Umgekehrt folgt dieses Lemma auch unmittelbar aus der Injektivit"at divisibler abelscher Gruppen. \end{proof} \begin{Lemma} Ist $M$ eine abelsche Gruppe und $I \subset M$ eine divisible Untergruppe, so gibt es eine weitere Untergruppe $D \subset M$ mit $M = I \oplus D$. \end{Lemma} \begin{proof} Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es unter allen Untergruppen von $M$, die $I$ nur in der Null treffen, eine maximale Untergruppe $D$. Es reicht zu zeigen, da"s gilt $I + D =M$. Zun"achst beachten wir, da"s $$D^\prime := \{ v \in M \mid \exists n \in \mathbb Z \backslash 0 \;\text{ mit }\; n v \in D\}$$ auch eine Untergruppe von $M$ ist. Dann beachten wir, da"s aufgrund unserer Annahme an $I$ auch gilt $D^\prime \cap I =0$. Wegen der Maximalit"at von $D$ haben wir also $D^\prime = D$. W"are nun $I + D \neq M$, so k"onnten wir $c\in M$ mit $c \not\in I + D$ finden. Ich behaupte, da"s dann $I \cap (D + \mathbb Z c) = 0$ g"alte im Widerspruch zur Maximalit"at von $D$. In der Tat folgt aus $q = d + n c$ mit $q \in I \backslash 0$ und $d \in D$ bereits $n \neq 0$. Es gibt also $p \in I$ mit $n p = q$ und dann auch $ n ( p -c) = d$. Daraus aber folgt erst $p -c \in D^\prime =D$ und dann $c \in I + D$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{EXEX} Ist $N'\hra N\sra N''$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen und ist $M$ ein weitere abelsche Gruppe, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}(M,N')\hra \op{Hom}(M,N)\ra \op{Hom}(M,N'')$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s keineswegs wieder eine Surjektion sein. Ist jedoch $M$ frei, so ist auch der rechte Pfeil offensichtlich wieder eine Surjektion und unsere Sequenz folglich exakt. Ist "ahnlich $M'\hra M\sra M''$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen und ist $N$ ein weitere abelsche Gruppe, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}(M'',N)\hra \op{Hom}(M,N)\ra \op{Hom}(M',N)$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s ebensowenig eine Surjektion sein. Unsere Erweiterungsgruppen sind in gewisser Weise Korrekturterme f"ur diese Ph"anomene. Im ersten Fall ist das die Bedeutung von \ref{EZE}. Wir zeigen es nun als \ref{KIAa} zweiten Fall. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ext-Sequenz im ersten Eintrag}] Gegeben eine abelsche Gruppe $N$ betrachten wir die kurze exakte Sequenz $N\hra I_N\sra K_N$ mit der im letzten Schritt des\label{KIAa} Beweises von \ref{IAG} als pushout konstruierten Einbettung von $N$ in eine injektive Gruppe $I=I_N$ als erstem Pfeil und dem Kokern dieser Einbettung als zweitem Pfeil. Den Zweischrittkomplex $I_N\sra K_N$ in Graden Null und $(-1)$ notieren wir $\cal{I}N$. Gegeben eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $ M^\prime \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime} $ erh"alt man nun wegen der Injektivit"at der Eintr"age $\cal{I}N$ eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $$(M''[0]{\Rrightarrow}\cal{I}N)\hra (M[0]{\Rrightarrow}\cal{I}N)\sra (M'[0]{\Rrightarrow}\cal{I}N)$$ Die zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz liefert mit den durch die Homologiesequenz im zweiten Eintrag gegebenen Identifikationen eine exakte Sequenz $$ \begin{array}{ccccccccc}0&\ra& \op{Hom} (M'',N)& \hra& \op{Hom} (M,N) &\ra &\op{Hom} (M',N)&\ra& \\ &\ra &\op{Ext} (M'',N)&\ra& \op{Ext} (M,N)& \twoheadrightarrow &\op{Ext} (M', N) &\ra& 0 \end{array} $$ Sie hei"st die {\bf lange exakte Ext-Sequenz im ersten Eintrag}. \index{Ext-Sequenz!im ersten Eintrag} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Oliver Br"aunling hat mir erkl"art, warum f"ur eine abelsche Gruppe $A$ aus $\op{Hom} (A,\DZ)=0=\op{Ext} (A,\DZ)$ folgt $A=0$. Zun"achst folgt $A/pA=0$ f"ur alle Primzahlen $p$ aus der exakten Sequenz zu $\DZ\hra \DZ\sra \mathbb F_p$. Also ist die Multiplikation mit $p$ eine Surjektion und wir erhalten eine weitere kurze exakte Sequenz $\op{ker}(p\cdot)\hra A\sra A$ und folgern $\op{Ext} (\op{ker}(p\cdot),\DZ)=0$ und dann $\op{ker}(p\cdot)=0$. Also ist die Multiplikation mit $p$ eine Bijektion $A\sira A$ f"ur jede Primzahl $p$, also ist $A$ ein $\DQ$-Vektorraum, und dann folgt leicht $A=0$ wegen $\op{Ext}(\DQ,\DZ)\neq 0$ nach "Ubung \ref{euq}. Zentral ist in dieser Argumentation der Basisexistenzsatz f"ur die $\mathbb F_p$-Vektorr"aume $A/pA$ und $\op{ker}(p\cdot)$ sowie am Schlu"s f"ur den $\DQ$-Vektorraum $A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine ber"uhmte {\bf Vermutung von Whitehead}\index{Whitehead!Vermutung von} dahingehend, da"s f"ur abelsche Gruppen $A$ gilt $$\op{Ext}(A,\Bbb{Z})=0\;\;\RA\;\; A\text{ frei}$$ ist von Shelah \cite{Shelah} in ganz absonderlicher Weise \glqq gel"ost\grqq\ worden: Ob die Vermutung stimmt oder nicht, ist im "ublichen Axiomensystem \glqq Zermelo-Fraenkel mit Auswahlaxiom\grqq\ der Mengenlehre nicht entscheidbar! \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} "Ahnlich wie im Fall der Torsionsgruppen zeige man, da"s gegeben abelsche Gruppen $M,N$ die von $\cal{P}M\sra M[0]$ und $N[0]\hra \cal{I}N$ induzierten Kettenabbildungen $$(M[0]{\Rrightarrow}\cal{I}N)\ra(\cal{P}M{\Rrightarrow}\cal{I}N) \leftarrow (\cal{P}M{\Rrightarrow}N[0])$$ auf der Homologie Isomorphismen induzieren. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ExtT} F"ur jede abelsche Gruppe $N$ und jede nat"urliche Zahl $m\neq 0$ liefert der Randoperator der Ext-Sequenz im ersten Eintrag zur kurzen exakten Sequenz $ \mathbb{Z} \overset{m}{\hookrightarrow} \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} $ einen Isomorphismus $$ N/mN\;\sira\;\op{Ext}(\Bbb{Z}/m\Bbb{Z},N)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und eine Familie von abelschen Gruppen $(N_i)$ ist die kanonische Abbildung ein Isomorphismus\label{ExtPi} $$\op{Ext} \left(M,\prod N_i\right)\sira \prod \op{Ext} (M,N_i)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Familie von abelschen Gruppen $(M_i)$ und eine abelsche Gruppe $N$ ist die kanonische Abbildung ein Isomorphismus $$\op{Ext} \left(\bigoplus M_i, N\right)\sira \prod \op{Ext} (M_i,N)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gilt $\op{Ext} (P,N) =0$ f"ur alle $N$, so ist $P$ frei. Im allgemeinen kann $\op{Ext} (M,N)$ durchaus Elemente unendlicher Ordnung enthalten. Hinweis: \ref{ExtPi}. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man zeige, da"s die Gruppe $\op{Ext} (\DQ,\DZ)$ "uberabz"ahlbar ist. Hinweis: $\op{Ab} (\DQ,\DQ)$ ist abz"ahlbar, $\op{Ab} (\DQ,\DQ/\DZ)$ aber "uberabz"ahlbar.\label{euq} \end{Ubunge} \subsection{Koeffizientenwechsel} \begin{Satz}\label{UKTT} Sei $C$ ein Komplex von freien abelschen Gruppen und $G$ eine weitere abelsche Gruppe. So erhalten wir nat"urliche unkanonisch spaltende kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} (\cal{H}_{q-1}C, G) \hookrightarrow \cal{H}^{q} (C{\Rrightarrow}G[0]) \twoheadrightarrow \op{Hom} (\cal{H}_{q}C,G)$$ \end{Satz} \begin{Korollar}[\defnoind{Universelles Koeffiziententheorem der Kohomologie}] \index{Universelles Koeffiziententheorem!der Kohomologie} Ist $X$ ein topologischer Raum\label{UKh} und $G$ eine abelsche Gruppe, so haben wir nat"urliche kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} ({\op{H}}_{q-1}X,G) \hookrightarrow {\op{H}}^{q}(X;G) \twoheadrightarrow \op{Hom} ({\op{H}}_{q}X,G)$$ Diese Sequenzen spalten sogar f"ur jedes $X$, aber es gibt keine Transformation, die so eine Spaltung f"ur alle $X$ liefert. \end{Korollar} \begin{Beispiel} F"ur jeden topologischen Raum $X$ haben wir ${\op{H}}_{-1}X=0$ und ${\op{H}}_{0}X$ ist eine freie abelsche Gruppe. Das universelle Koeffiziententheorem liefert folglich stets Isomorphismen $$ {\op{H}}^{0}(X;G) \sira \op{Hom} ({\op{H}}_{0}X,G)\quad\text{und}\quad {\op{H}}^{1}(X;G) \sira \op{Hom} ({\op{H}}_{1}X,G)$$ Den ersten kennen wir schon aus \ref{KRP}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Universelles Koeffiziententheorem, Anwendung}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $q\in\DZ$. Sind dann ${\op{H}}_{q}X$ und ${\op{H}}_{q-1}X$ endlich ezeugte abelsche Gruppen, so ist auch ${\op{H}}^{q}X$ eine endlich ezeugte abelsche Gruppe, deren Rang mit dem Rang von ${\op{H}}_{q}X$ "ubereinstimmt, wohingegen ihr Torsionsanteil unkanonisch isomorph ist zum Torsionsanteil von ${\op{H}}_{q-1}X$. In Formeln gilt also unter den gegebenen Endlichkeitsannahmen\label{UtOr} $$\op{rang}{\op{H}}^{q}X=\op{rang}{\op{H}}_{q}X \quad \text{ und }\quad {(\op{H}}^{q}X)_{\op{tor}}\cong({\op{H}}_{q-1}X)_{\op{tor}}. $$ Das alles folgt unmittelbar aus dem universellen Koeffiziententheorem in Verbindung mit der Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen \eref{zk}{LA2} und der Beschreibung von $\op{Ext}$ aus \ref{ExtT}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Verallgemeinerung auf erbliche Koeffizienten}] Der Satz gilt allgemeiner nach \ref{UFF} mit demselben Beweis f"ur $k$ ein Hauptidealring oder ganz allgemein f"ur Komplexe $C$ projektiver Moduln und alle Ringe derart, da"s jeder Untermodul eines projektiven Moduls projektiv ist. Derartige Ringe hei"sen \defnoind{erbliche Ringe},\index{erblicher Ring} da sich bei ihnen \glqq die Eigenschaft der Projektivit"at auf Untermoduln vererbt\grqq. Kaplansky hat ein Beispiel f"ur einen erblichen Ring gefunden, dessen opponierter Ring nicht erblich ist. Man m"u"ste also eigentlich genauer von {\bf linkserblichen} und {\bf rechtserblichen Ringen} reden. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Verallgemeinerung auf allgemeinere Koeffizienten}] Will man aus der Homologie eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einem Ring $k$ die Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten in einem $k$-Modul $G$ berechnen, so leistet das eine \glqq Spektralsequenz mit ${\op{E}}_2$-Term $\op{Ext}^i_k({\op{H}}_j(X;k),G)$\grqq. Hier ist stets $\op{Ext}^0_k=\op{Hom}_k$, in unserem speziellen Fall $k=\DZ$ verschwinden dar"uber hinaus alle $\op{Ext}^i_\DZ$ f"ur $i\geq 2$, wir notieren $\op{Ext}^1_\DZ=\op{Ext}$, und besagte Spektralsequenz degeneriert zur Aussage des obigen Korollars. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten die kurze exakte Sequenz $G \hookrightarrow I_G \twoheadrightarrow K_G$ mit injektiven $I_G$ und $K_G$ aus \ref{KIAa}. Unsere Sequenz f"uhrt zu einer kurzen exakten Sequenz von Komplexen $$(C{\Rrightarrow}G[0]) \hookrightarrow (C{\Rrightarrow}I_G[0]) \twoheadrightarrow (C{\Rrightarrow}K_G[0])$$ %Wir vereinfachen nun die Notation und lassen $[0]$ weg. Da $I_G$ und $K_G$ injektiv sind, sind die Funktoren $\op{Hom}(\;,I_G)$ und $\op{Hom}(\;,K_G)$ exakt und \glqq kommutieren\grqq\ folglich mit dem Bilden der Homologie in derselben Weise, wie wir das in \ref{Hex} f"ur das Tensorieren mit torsionsfreien Moduln gesehen hatten. Von der zugeh"origen langen exakten Kohomologiesequenz ist also ein Ausschnitt $$ \begin{array}{ccccccccc} & & & \ra& \op{Hom} ({\mathcal H}_{q-1}C,I_G) &\ra &\op{Hom} ({\mathcal H}_{q-1}C,K_G)&\ra& \\ &\ra &{\mathcal H}^{q} (C{\Rrightarrow} G[0])&\ra& \op{Hom} ({\mathcal H}_{q}C,I_G)& \rightarrow &\op{Hom} ({\mathcal H}_{q}C, K_G) &\ra& \end{array} $$ Die Ext-Sequenz im zweiten Eintrag liefert uns damit wie gew"unscht kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} ({\mathcal H}_{q-1} C,G)\hookrightarrow {\mathcal H}^{q} (C{\Rrightarrow} G[0]) \twoheadrightarrow \op{Hom} ({\mathcal H}_{q}C,G)$$ Es bleibt zu zeigen, da"s unsere Sequenzen spalten. So eine Spaltung folgt aber wie zu Ende des Beweises von \ref{UKT} aus der Existenz einer Spaltung der Einbettung ${\mathcal{Z}}_qC\hra C_q$: Solch eine Spaltung $C_q\sra {\mathcal{Z}}_qC$ induziert n"amlich eine Abbildung $\op{Hom}({\mathcal H}_qC, G)\hra \op{Hom}({\mathcal{Z}}_qC, G)\ra (C{\Rrightarrow} G[0])^q$, die in ${\mathcal{Z}}^q(C{\Rrightarrow} G[0])$ landet. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Bereits f"ur einen unendlichen diskreten Raum $X$ ist der nat"urliche Homomorphismus $\DQ\otimes_\DZ{\op{H}}^{0}(X)\ra {\op{H}}^{0}(X;\DQ)$ kein Isomorphismus. In der Kohomologie ist insbesondere der "Ubergang von Koeffizienten $\DZ$ zu Koeffizienten $\DQ$ nicht so einfach wie in der Homologie, ja ich wei"s noch nicht einmal, wie man ihn "uberhaupt bewerkstelligen sollte. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Das universelle Koeffiziententheorem der Kohomologie gilt mit demselben Beweis auch in der relativen Kohomologie. Was besagt es im Fall der relativen Kohomologie des M"obiusbands relativ zu seinem Randkreis? \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTS" %%% End: