\section{Kohomologie} %\emph{Leider noch chaotisch!} F"ur eine orientierte kompakte $n$-Mannigfaltigkeit ohne Rand $M$ darf man erwarten, da"s sich der anschauliche Schnitt zweier Zykel formalisieren l"a"st zu einer bilinearen Paarung $${\op{H}}_{n-p} M \times {\op{H}}_{n-q} M \ra {\op{H}}_{n-(p+q)} M$$ Das ist auch in der Tat der Fall, aber die Konstruktion dieses sogenannten \glqq Schnittprodukts\grqq\ und insbesondere deren anschauliche Rechtfertigung ist nicht einfach und wird uns lange besch"aftigen. %erst in \ref{GiS} gelingen. Wir konstruieren zun"achst einmal den Kohomologiering, den man f"ur einen beliebigen topologischen Raum zwar recht m"uhelos definiert, f"ur den ich jedoch im allgemeinen keine Anschauung anbieten kann. F"ur kompakte orientierbare Mannigfaltigkeiten entspricht die Multiplikation im Kohomologiering unter der \glqq Poincar\'{e}-Dualit"at\grqq\ dem oben anschaulich erkl"arten Schnittprodukt, aber diesen Zusammenhang kann ich vorerst nur im Fall von Zykeln komplement"arer Dimension klar machen und mu"s den allgemeinen Fall verschieben, bis wir die Garbenkohomologie weit genug entwickelt haben. Eine interessante Quelle zur Entwicklung der Theorie ist \cite{HTM}. \subsection{Singul"are Kohomologiegruppen} \begin{Definition} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine abelsche Gruppe $G$ setzen wir ganz allgemein $${\op{S}}^{q}(X;G) \pdef \op{Hom}({\op{S}}_{q}X,G)\cong\op{Ens}(\op{Top}(\Delta_q,X),G)$$ f"ur ${\op{S}}_{q}X={\op{S}}_{q}(X;\DZ)$ und nennen die Elemente dieser Gruppe \defnoind{singul"are Koketten von $X$ mit Koeffizienten in $G$}\index{singul"ar!Kokette mit Koeffizienten}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen ${\op{S}}^{q}(X;G)$ also auch interpretieren als die Gruppe aller Abbildungen von der Menge der $q$-Simplizes nach $G$. Die Gruppe der singul"aren Ketten ${\op{S}}_{q}(X;G)$ mit Koeffizienten in $G$ besteht im Gegensatz dazu nur aus allen auf fast allen singul"aren Simplizes verschwindenden solchen Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KEE} Per definitionem ist ${\op{S}}^{q}(X;G)$ gerade die homogene Komponente vom Grad $(-q)$ im Komplex $\op{Hom}({\op{S}}X,G)= \op{Hom}({\op{S}}X,G[0])$ wie er in \ref{HHKK} definiert wird. Er hat den Randoperator $\partial (f) = - (-1)^{|f|} f \circ \partial$. Wir vereinbaren die Konvention, nach der obere Indizes bei einem Komplex bedeuten sollen, da"s ein Differential in Richtung wachsender Indizes gemeint ist. Im allgemeinen kann man diese Regel $C^q=C_{-q}$ schreiben, aber in konkreten Situationen wie zum Beispiel hier tr"agt die Stellung des Index zus"atzliche Information. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Kokette $c\in {\op{S}}^{q}(X;G)$ nennen wir eine \defind{Kokette vom Grad $q$} und schreiben $|c|=q$. Den Wert einer Kokette $c\in {\op{S}}^{q}(X;G)$ auf einer Kette $z\in {\op{S}}_qX$ notieren wir $\langle c,z\rangle\in G$. Sprechen wir ohne n"ahere Spezifikation von singul"aren Koketten, so meinen wir Koeffizienten in $\Bbb{Z}$. Den Randoperator des Komplexes ${\op{S}}^\ast( X;G)\pdef\op{Hom}({\op{S}}X,G)$ nennen wir den \defind{Korandoperator}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{duKC} Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ definieren wir ganz allgemein einen Funktor $ \op{Ab} \ra \op{Ab}^{{\op{opp}}}$, $ A\mapsto \op{Hom}(A,G) $. Das Bild eines Morphismus $f:A\ra B$ unter diesem Funktor nennen wir das \glqq Vorschalten von $f$\grqq\ alias die {\bf transponierte Abbildung}\index{transponiert!Abbildung!bei abelschen Gruppen} $f^\top:\op{Hom}(B,G)\ra \op{Hom}(A,G)$. Explizit wird unser Korandoperator nach \ref{HHKK} also gegeben durch die Vorschrift $\delta=-(-1)^q\partial^\top: {\op{S}}^{q}(X;G)\ra {\op{S}}^{q+1}(X;G)$ und noch expliziter durch die Vorschrift $\langle \delta c, z\rangle=-(-1)^{|c|}\langle c,\partial z\rangle$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir haben nun kontravariante Funktoren konstruiert von den topologischen R"aumen in die Komplexe abelscher Gruppen als die Komposition $$\op{Top}\ra\op{Ket}\ra\op{Ket}^{\op{opp}} $$ wo der erste Funktor gegeben ist durch $X\mapsto {\op{S}}X$ und der zweite durch $C\mapsto \op{Hom}(C,G)$. Im Fall $G=\DZ$ notieren wir die Komposition ${\op{S}}^\ast$, also $X\mapsto {\op{S}}^\ast X$ auf Objekten und $f\mapsto {\op{S}}^\ast f$ auf Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Kontext von Morphismen in Richtung wachsender Indizes bezeichnet man die R"ander, Zykel und Homologiegruppen meist als \defnoind{Kor"ander}\index{Korand} $\cal{B}^qC$, \defind{Kozykel} $\cal{Z}^qC$ und \defind{Kohomologiegruppen} $\cal{H}^qC$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{RzS} Die Kohomologiegruppen unseres Komplexes ${\op{S}}^{\ast}(X;G)$ der singul"aren Koketten von $X$ mit Koeffizienten in $G$ hei"sen die {\bf singul"aren Kohomologiegruppen von $X$ mit Koeffizienten in $G$}\index{Kohomologie!singul"are} und werden bezeichnet mit $$\cal{H}^{q}({\op{S}}^\ast(X;G))\pdef{\op{H}}^{q}_{\op{sing}}(X;G) = {\op{H}}^{q} (X;G)$$ Die\index{H@$\op{H}^{q}_{\op{sing}}$ singul"are Kohomologie} Notation ${\op{H}}^{q}(X;G)$ kann sp"ater auch Garbenkohomologie bedeuten und der Leser mu"s die genaue Bedeutung jeweils aus dem Kontext erschlie"sen. Offensichtlich erhalten wir so kontravariante Funktoren von den topologischen R"aumen in die abelschen Gruppen $ {\op{H}}^q(\;;G):\op{Top} \ra \op{Ab}^{{\op{opp}}} $. Das Bild einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ unter einem derartigen Funktor notieren wir ${\op{H}}^qf=f^\ast: {\op{H}}^qY\ra {\op{H}}^qX$\index{$f^\ast$ R"uckzug!f"ur singul"are Kohomologie} und haben also $(f\circ g)^{\ast} = g^{\ast}\circ f^{\ast}$. Man bezeichnet die Abbildung $f^\ast$ auch als den {\bf R"uckzug unter $f$}.\index{R"uckzug!f"ur singul"are Kohomologie} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir k"onnen auch die Zuordnung $G\mapsto {\op{H}}^q(X;G)$ f"ur festes $X$ auffassen als einen Funktor von den abelschen Gruppen in sich selber. Ist insbesondere $G$ ein Modul "uber einem Ring $R$, so erbt ${\op{H}}^q(X;G)$ diese Struktur. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KPI} Wenden wir die Identifikation ${\cal{H}}\op{Hom}(C,D)\ra \op{Hom}({\cal{H}}C,{\cal{H}}D)$ aus \ref{HHKK} an mit $C={\op{S}}X$ und $D$ dem Komplex, der nur im Grad Null lebt und dort $G$ ist, so erhalten wir eine Abbildung ${\op{H}}^{q}(X;G)\ra \op{Hom}({\op{H}}_{q}X,G)$ alias eine $\DZ$-bilineare Abbildung, die \defind{Kronecker-Paarung} $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^{q}(X;G)\times {\op{H}}_{q}X &\ra& G\\ (c \; , \; z) & \mapsto & \langle c,z\rangle \end{array}$$ Ist $G$ ein Modul "uber einem Ring $k$, so erhalten wir analog einen nat"urlichen Homomorphismus ${\op{H}}^{q}(X;G)\ra\op{Hom}_k( {\op{H}}_{q}(X;k), G)$ von Linksmoduln "uber $k$, wobei die $k$-Operation auf dem $\op{Hom}$-Raum herkommt von der Rechtsoperation von $k$ auf ${\op{H}}_{q}(X;k)$. Arbeiten wir mit Koeffizienten in einem K"orper $k$, so ist nach \ref{HHC} die Kohomologie schlicht der Dualraum der Homologie, die Kronecker-Paarung definiert genauer Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;k)\sira \op{Hom}({\op{H}}_q(X;k), k)$$ Ich kann mir die h"oheren Kohomologiegruppen ab $q\geq 2$ nur vorstellen als den Dualraum in diesem Sinne der f"ur mich vergleichsweise anschaulichen Homologiegruppen. Im Fall $q=1$ erkl"are ich eine weitere m"ogliche Anschauung in der anschlie"senden Bemerkung \ref{AKO}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die nullte Kohomologiegruppe}] Die nullte Kohomologiegruppe eines Raums $X$ mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $G$ kann man in nat"urlicher Weise identifizieren mit der Menge aller Abbildungen $X\ra G$, die auf jeder Wegzusammenhangskomponente konstant sind. Im Fall eines \glqq lokal zusammenziehbaren\grqq\ Raums sind das schlicht alle stetigen Abbildungen f"ur die diskrete Topologie auf $G$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur die erste Kohomologiegruppe}] Die erste Kohomologiegruppe mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $G$ kann man sich im Fall eines \glqq lokal zusammenziehbaren\grqq\ Raums als die Menge aller Isomorphieklassen von \glqq $G$-Hauptfaserb"undeln\grqq\ veranschaulichen, wobei $G$ mit der diskreten Topologie zu verstehen ist, so da"s unsere Hauptfaserb"undel "Uberlagerungen sind. Der Wert\label{AKO} einer Isomorphieklasse von Hauptfaserb"undeln auf einem durch einen geschlossenen Weg dargestellten Zykel wird dann berechnet, indem man \glqq den Weg liftet und ihm das Gruppenelement zuordnet, das den Anfangspunkt auf den Endpunkt schiebt\grqq. F"ur allgemeine topologische R"aume werden wir die Menge aller Isomorphieklassen von $G$-Hauptfaserb"undeln in \eref{ECK}{TG} und \eref{CGa}{TG} mit der \glqq ersten Garbenkohomologiegruppe unseres Raums mit Koeffizienten in $G$\grqq\ identifizieren. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine kurze exakte Sequenz $G'\hra G\sra G''$ von abelschen Gruppen und ein topologischer Raum $X$ zeige man, wie analog zu \ref{BoH}\label{BoHK} in nat"urlicher Weise Randoperatoren definiert werden k"onnen so, da"s eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}^q(X;G')\ra {\op{H}}^q(X;G)\ra {\op{H}}^q(X;G\grqq)\ra {\op{H}}^{q+1}(X;G')\ra\ldots$$ entsteht. Diese Randoperatoren hei"sen \defind{Bockstein-Homomorphismen}. \end{Ubung} \subsection{Der Kohomologiering} \begin{Definition}\label{TeVo} Gegeben ein Komplex von abelschen Gruppen $A \in \op{Ket}$ erkl"aren wir den \defind{dualen Komplex} als den Komplex $A^\ast \pdef \op{Hom} (A, \mathbb{Z}) \in \op{Ket}$ der Homomorphismen in den im Grad Null konzentrierten Komplex $\mathbb{Z}$ wie er in \ref{HHKK} definiert wird. Er hat insbesondere den Randoperator $\partial (f) = - (-1)^{|f|} f \circ \partial$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Das Dualisieren ist in offensichtlicher Weise ein Funktor $\op{Ket} \rightarrow \op{Ket}^{\op{opp}}$ und wir erhalten nat"urliche Kettenabbildungen \begin{equation*} t = t_{A,B}: A^\ast \otimes B^\ast \rightarrow (A \otimes B)^\ast \end{equation*} durch die Vorschrift $(t (f \otimes g))(a \otimes b)= (-1)^{|g||a|} f (a)g (b)$ f"ur homogene Elemente $f \in A^\ast, g \in B^\ast, a \in A$ und $b \in B$. Ich werde in \ref{TeHo1} kurz diskutieren, warum wir bei der Konstruktion dieser Kettenabbildungen $t$ in Wirklichkeit gar keine Vorzeichenwahl treffen und sie vielmehr durch die Daten in \ref{GKTT} bereits festgelegt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Ist $k$ ein beliebiger kommutativer Ring und lesen wir im Vorhergehenden wie im Folgenden $ {\op{H}}^\ast X={\op{H}}^\ast (X;k)$ und $\otimes = \otimes_k$ und $\op{Hom} = \op{Hom}_k$ und $A^\ast=\op{Hom} (A,k) $, so behalten alle Aussagen bis \ref{EigHO} weiter ihre G"ultigkeit. \end{Bemerkunge} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % \begin{Bemerkungl} % Sei allgemeiner $R$ ein beliebiger % kommutativer Koeffizientenring. % Der "Ubersichtlichkeit halber %k"urzen wir ${\op{H}}^\ast(X;R)={\op{H}}^\ast % X$ und $\otimes_R=\otimes$ und $\op{Hom}_R=\op{Hom}$ % und $\op{Hom}(A,R)=A^\ast$ ab. % \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DCP} Gegeben ein topologischer Raum $X$ betrachten wir die bis auf Homotopie wohlbestimmte Komposition von Kettenabbildungen $${\op{S}}X\ra {\op{S}}(X\times X)\ra {\op{S}}X\otimes{\op{S}}X$$ mit der von der diagonalen Einbettung $\Delta:X\hra X\times X$ induzierten Abbildung vorne und einer Homotopieinversen einer Eilenberg-Zilber-Abbildung \ref{EZAA} hinten. Durch Dualisieren und Vorschalten der kanonischen Abbildung vom Tensorprodukt der dualen Komplexe in das Duale des Tensorprodukts aus \ref{TeVo} erhalten wir daraus eine bis auf Homotopie wohlbestimmte Komposition von Kettenabbildungen $${\op{S}}^\ast X\leftarrow ({\op{S}}X\otimes{\op{S}}X)^\ast \leftarrow {\op{S}}^\ast X\otimes {\op{S}}^\ast X$$ Durch Bilden der Kohomologie und Vorschalten der kanonischen Abbildung vom Tensorprodukt der Kohomologien in die Kohomologie des Tensorprodukts aus \ref{TeKon} erhalten wir weiter eine wohlbestimmte Abbildung $${\op{H}}^\ast X\leftarrow \cal{H}^\ast({\op{S}}^\ast X\otimes {\op{S}}^\ast X) \leftarrow {\op{H}}^\ast X\otimes {\op{H}}^\ast X$$ Sie beinhaltet lauter bilineare Abbildungen ${\op{H}}^p X\times {\op{H}}^q X\ra {\op{H}}^{p+q} X$. Man notiert diese Abbildungen $(a,b)\mapsto a\cup b$ und bezeichnet sie nach der tassenf"ormigen Gestalt des Verkn"upfungssymbols als {\bf cup-Produkt}.\index{cup-Produkt} Wie bereits erw"ahnt kann ich f"ur dieses Produkt in der Allgemeinheit beliebiger topologischer R"aume zu meinem Leidwesen keinerlei Anschauung bereitstellen. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Notation}] Die Notation $\cup$ f"ur die Multiplikation im Kohomologiering scheint auf Whitney zur"uckzugehen. Seine Motivation war vermutlich, da"s diese Multiplikation f"ur jede kompakte orientierte Mannigfaltigkeit unter dem Isomorphismus der Poincar\'e-Dualit"at dem \glqq Schnittprodukt\grqq\ auf der Homologie entspricht, f"ur das die Notation $\cap$ nahe liegt. Wir werden das in \ref{SPP} noch ausf"uhren. Allerdings hat sich mittlerweile f"ur das Schnittprodukt die Notation $\cdot$ durchgesetzt, und zu allem "Uberflu"s hat man dem Symbol $\cap$ in der algebraischen Topologie daraufhin eine andere Bedeutung zugewiesen, wodurch der Ursprung der Notation $\cup$ v"ollig versch"uttet worden ist. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkungl} % Unser n"achstes Ziel ist zu zeigen, da"s % f"ur jeden topologischen Raum $X$ % die totale Kohomologie ${\op{H}}^\ast X=\bigoplus_q{\op{H}}^q X$ % mit dem cup-Produkt als Multiplikation zu einem Ring wird, % und da"s in diesem Ring zus"atzlich gilt % $$a\cup b=(-1)^{|a||b|}b\cup a$$ % f"ur \glqq homogene\grqq\ Elemente $a,b$ der Grade $|a|,|b|$, % also % $a\in {\op{H}}^p X$ % und % $b\in {\op{H}}^q X$ % f"ur geeignete $p,q$, die wir % $|a|=p$ und $|b|=q$ notieren. % Ich werde sogar zwei verschiedene Wege % aufzeigen, die zu diesem % Resultat f"uhren: Zun"achst erkl"are ich einen mehr % rechnerischen Zugang, der allerdings die letzte Formel % nicht liefert. Anschlie"send einen mehr konzeptionellen Zugang. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schierigkeiten mit Koprodukten auf der Homologie}] Wenn man mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ arbeitet, kann man gleich zu Beginn der Argumentationskette aus \ref{DCP} zur Homologie "ubergehen und so eine nat"urliche Abbildung ${\op{H}}(X;k)\ra {\op{H}}(X;k)\otimes_k{\op{H}}(X;k) $ erhalten, aus der dann das cup-Produkt auf der Kohomologie mit Koeffizienten in $k$ durch Dualisieren entsteht. Bei der Arbeit mit ganzzahligen Koeffizienten erhalten wir jedoch auf diese Weise nur kanonische Abbildungen $${\op{H}}X\ra \cal{H}({\op{S}}X\otimes{\op{S}}X) \leftarrow{\op{H}}X\otimes{\op{H}}X $$ Eine \glqq Komultiplikation\grqq\ auf der ganzzahligen Homologie ergibt sich nur unter der zus"atzlichen Annahme, da"s der rechte Pfeil ein Isomorphismus ist, also etwa f"ur R"aume mit torsionsfreier Homologie. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologiering}] F"ur jeden topologischen Raum $X$ wird die totale Kohomologie ${\op{H}}^\ast X = \bigoplus_q {\op{H}}^q X$ mit dem cup-Produkt als Multiplikation zu einem Ring, dem \emph{\bf singul"aren Kohomologiering} von\index{singul"ar!Kohomologiering}\index{Kohomologiering!singul"arer} $X$, und in diesem Ring gilt \begin{equation*} a \cup b = (-1)^{|a||b|} b \cup a \end{equation*} F"ur jede stetige Abbildung $f : X \rightarrow Y$ ist weiter das Zur"uckholen ein Ringhomomorphismus $f^\ast : {\op{H}}^\ast Y \rightarrow {\op{H}}^\ast X$.\label{KoRi} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir st"utzen uns beim Beweis auf das \glqq Kreuzprodukt der Kohomologie\grqq\ und seine Eigenschaften, die wir dazu erst einmal diskutieren m"ussen. Der eigentliche Beweis unseres Satzes folgt dann im Anschlu"s an den Beweis der Proposition \ref{EgK} zu den Eigenschaften des Kreuzprodukts. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben topologische R"aume $X,Y$ definieren wir das {\bf Kreuzprodukt der Kohomologie}\index{Kreuzprodukt!der Kohomologie}\index{$\times$ Kreuzprodukt!der Kohomologie} $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^{p}X \otimes {\op{H}}^{q}Y& \ra &{\op{H}}^{p+q}(X\times Y)\\ a \otimes b &\mapsto & a\times b \end{array}$$ wie folgt: Wir betrachten den Effekt der Komposition $${\op{S}}^{\ast}X \otimes {\op{S}}^{\ast}Y \ra ({\op{S}}X \otimes {\op{S}}Y)^{\ast} \ra {\op{S}}^{\ast}(X\times Y)$$ auf der Kohomologie, mit der Transponierten einer Eilenberg-Zilber-Ab\-bildung als Abbildung rechts und der in \ref{TeVo} erkl"arten Kettenabbildung links, und schalten dann noch die Abbildung ${\op{H}}^{\ast} X \otimes {\op{H}}^{\ast}Y \ra \cal{H}^{\ast}({\op{S}}^{\ast}X \otimes {\op{S}}^{\ast} Y)$ aus \ref{TKH} von dem Tensorprodukt der Homologie zweier Komplexe zur Homologie ihres Tensorprodukts davor. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{ck} Ist $X$ ein topologischer Raum und $\Delta:X\ra X\times X$, $x\mapsto (x,x)$ die Diagonale, so gilt nach unserer Definition \ref{DCP} f"ur beliebige $a,b\in {\op{H}}^\ast X$ die Formel $$a\cup b=\Delta^{\ast}(a\times b)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Eigenschaften des Kreuzprodukts}]\label{EgK} \ \begin{description} \item[\defind{Nat"urlichkeit}:] Gegeben stetige Abbildungen $f : X \ra X^{\prime}$ und $g: Y \ra Y^{\prime}$ gilt f"ur beliebige $c\in {\op{H}}^p X'$ und $d\in {\op{H}}^q Y'$ in der Kohomologie der Produktraums ${\op{H}}^{p+q}(X\times Y)$ die Identit"at $$(f^\ast c) \times (g^\ast d)= (f\times g)^\ast (c \times d)$$ \item[Einheit:] Bezeichnet $1\in {\op{H}}^0(\op{pt})$ den kanonischen Erzeuger der Homologie eines Punktes, so gelten unter Unterdr"uckung der Notation f"ur die von den Identifikationen $\op{pt}\times X\cong X\cong X\times \op{pt}$ auf der Kohomologie induzierten Isomorphismen die Gleichungen $$1\times c= c=c\times 1$$ \item[Assoziativit"at:] Gegeben $X,Y,Z$ topologische R"aume und $a,b,c$ zugeh"orige Kohomologieklassen gilt unter Unterdr"uckung der Notation f"ur die von den Identifikationen $(X\times Y)\times Z\cong X\times Y\times Z\cong X\times (Y\times Z)$ auf der Kohomologie induzierten Isomorphismen in der Kohomologie von $X\times Y\times Z$ die Gleichung $$(a\times b)\times c=a\times (b\times c)$$ \item[\defind{Graduierte Kommutativit"at}:] Gegeben topologische R"aume $X,Y$ bezeichne $\tau : X \times Y \ra Y \times X$ die Vertauschung der Faktoren $(x,y)\mapsto (y,x)$. F"ur beliebige homogene Kohomologieklassen $c\in {\op{H}}^\ast X$ und $d \in {\op{H}}^\ast Y$ gilt dann in ${\op{H}}^\ast(Y\times X)$ die Identit"at $$\tau^\ast (c \times d)= (-1)^{|c| |d|} d\times c$$ \end{description} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Um das zu zeigen, gilt es zun"achst, alle Diagramme aus dem entsprechenden Beweis im Fall des Kreuzprodukts der Homologie \ref{EigK} zu dualisieren. Dann gilt es jedoch weiter, die Kommutativit"at einiger Diagramme von abstrakten Kettenkomplexen zu pr"ufen, die wir im folgenden ohne Beweis angeben. \\[2mm]\noindent {\em Nat"urlichkeit}: Gegeben $C \ra C_{1}$, $D \ra D_{1}$ Kettenabbildungen kommutiert mit den durch \ref{TeVo} gegebenen Horizontalen, wie bereits in \ref{TeVo} behauptet, das Diagramm \begin{equation*}\begin{CD} C^{\ast}\otimes D^{\ast}@>>> (C \otimes D)^{\ast}\\ @VVV @VVV \\ C^{\ast}_{1} \otimes D_{1}^{\ast}@ >>> (C_{1}\otimes D_{1})^{\ast} \end{CD}\end{equation*} \\[2mm]\noindent {\em Einheit}: Hier ist nichts zus"atzlich zu pr"ufen. \\[2mm]\noindent {\em Assoziativit"at}: Wir betrachten das Diagramm mit hoffentlich offensichtlichen Morphismen $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^{\ast} X \otimes {\op{S}}^{\ast}Y \otimes {\op{S}}^{\ast}Z &\ra &({\op{S}}X \otimes {\op{S}}Y)^{\ast}\otimes {\op{S}}^{\ast}Z & \ra & ({\op{S}}X \otimes {\op{S}}Y\otimes {\op{S}}Z)^{\ast}\\ & & \downarrow & &\downarrow \\ & & {\op{S}}^{\ast} (X \times Y)\otimes {\op{S}}^{\ast}Z & \ra & ({\op{S}}(X\times Y) \otimes {\op{S}}Z)^{\ast}\\ & & & & \downarrow\\ & & & & {\op{S}}^{\ast}(X \times Y \times Z) \end{array}$$ Das bereits im Beweis der Nat"urlichkeit benutzte Diagramm alias die in \ref{TeVo} behauptete Nat"urlichkeit der Morphismen $t$ zeigt, da"s auch dies Diagramm kommutiert. Setzen wir oben links ein Tensorprodukt $\tilde{a} \otimes \tilde{b} \otimes \tilde{c}$ von Repr"asentanten der jeweiligen Kohomologieklassen ein, so kommt unten rechts ein Repr"asentant von $(a \times b)\times c$ heraus. Nun ist die rechte Vertikale unseres Diagramms gerade einer der beiden m"oglichen Wege im Diagramm aus dem Beweis der Assoziativit"at f"ur das Kreuzprodukt der Homologie, dualisiert. Malen wir dasselbe Diagramm f"ur die andere Klammerung, so sind also die rechten Vertikalen in beiden Diagrammen homotopie"aquivalent. Um den Beweis zu beenden ben"otigen wir dann nur noch die Information, da"s auch die obere Horizontale unseres Diagramms nicht von der Wahl der Klammerung abh"angt, also die Kommutativit"at von $$\begin{array}{ccccc} & & (A\otimes B)^{\ast} \otimes C^{\ast} & & \\ & \nearrow & &\searrow &\\ A^{\ast} \otimes B^{\ast} \otimes C^{\ast} & & & &(A\otimes B \otimes C)^{\ast} \\ & \searrow & &\nearrow & \\ & & A^{\ast}\otimes (B \otimes C)^{\ast} & & \end{array}$$ Deren Nachweis "uberlassen wir dem Leser. \\[2mm]\noindent {\em Graduierte Kommutativit"at}: Hierzu ben"otigen wir zus"atzlich nur noch die Kommutativit"at von \begin{equation*}\begin{CD} A^{\ast} \otimes B^{\ast} @>>> (A \otimes B)^{\ast}\\ @VVV @VVV \\ B^{\ast} \otimes A^{\ast} @>>> (B\otimes A)^{\ast} \end{CD} \end{equation*} mit $t$-Abbildungen in den Horizontalen und von Vertauschungen induzierten Abbildungen in den Vertikalen. Den Nachweis dieser Kommutativit"at "uberlassen wir wieder dem Leser. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{KoRi}] Wir st"utzen uns auf die Darstellung $a \cup b = \Delta^\ast (a \times b)$ des cup-Produkts aus \ref{ck}. Dann haben wir \begin{eqnarray*} (a\cup b) \cup c &=& \Delta^\ast ((a\cup b)\times c)\\ &=&\Delta^\ast ((\Delta^\ast (a \times b)) \times c)\\ &=&\Delta^\ast (\Delta \times \op{id})^\ast (( a\times b)\times c)\\ &=& \Delta^\ast_3 (( a \times b)\times c) \end{eqnarray*} Hier haben wir im dritten Schritt die Nat"urlichkeit des Kreuzprodukts und die Identit"at $c = \op{id}^\ast c$ benutzt, und im vierten Schritt meint $\Delta_3 = \Delta (\Delta \times \op{id})$ die Abbildung $X \rightarrow (X \times X) \times X$, $x \mapsto ((x,x),x)$. Die Assoziativit"at des cup-Produkts folgt nun unmittelbar aus der Assoziativit"at des Kreuzprodukts. Als n"achstes behaupten wir, da"s $1_X = p^\ast 1 \in {\op{H}}^0 X$ f"ur $p : X \rightarrow \op{pt}$ die konstante Abbildung ein neutrales Element f"ur das cup-Produkt ist. In der Tat gilt \begin{eqnarray*} a \cup 1_X &=& \Delta^\ast (a \times 1_X)\\ &=&\Delta^\ast (\op{id} \times p)^\ast (a\times 1)\\ &=& \op{id}^\ast (a)\\ &=&a \end{eqnarray*} unter Verwendung unserer Erkenntnisse "uber die Einheit beim Kreuzprodukt, und $1_X \cup a = a$ zeigt man genauso. Die Formel $a \cup b = (-1)^{|a| |b|} b \cup a$ folgt aus der graduierten Kommutativit"at des Kreuzprodukts, indem man f"ur die Vertauschung der Faktoren $\tau:X\times X\ra X\times X$ die Formel $\tau\circ\Delta=\Delta$ beachtet. Damit erhalten wir dann wie gew"unscht \begin{eqnarray*} %\begin{equation*} %\begin{array}[b]{lll} a\cup b&=&\Delta^\ast(a\times b)\\ &=&\Delta^\ast\tau^\ast(a\times b)\\ &=&(-1)^{|a| |b|}\Delta^\ast(b\times a)\\ &=&(-1)^{|a| |b|}b\cup a \end{eqnarray*} Die Nat"urlichkeit des cup-Produkts folgt unmittelbar aus der Nat"urlichkeit des Kreuzprodukts. \end{proof} \subsection{Cup-Produkt von singul"aren Koketten} %% \begin{Satz}[\textbf{Cup-Produkt durch Kreuzprodukt}] %% Ist $X$ ein topologischer Raum und $\Delta:X\ra X\times X$, $x\mapsto (x,x)$ %% die Diagonale, so gilt f"ur beliebige\label{ck} %% $a,b\in {\op{H}}^\ast X$ die Formel %% $$a\cup b=\Delta^\ast(a\times b)$$ %% \end{Satz} %% \begin{proof}[Beweis] %% Das folgt, wenn wir das Kreuzprodukt %% auf der Kohomologie mithilfe der %% Alexander-Whitney-Abbildung aus \ref{EAW} berechnen. %% Genauer betrachten wir die Kettenabbildungen %% $${\op{S}}^{\ast}X \otimes {\op{S}}^{\ast}X %% \ra ({\op{S}}X \otimes {\op{S}}X)^{\ast}\ra %% {\op{S}}^\ast(X \times X)\stackrel{\Delta^\ast}{\ra} {\op{S}}^\ast X$$ %% mit der Transponierten der in \ref{EAW} erkl"arten %% Alexander-Whitney-Abbildung an der vorletzten Stelle %% und pr"ufen, da"s diese Komposition gerade unser %% $\cup$-Produkt auf den Koketten ist. %% \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Komultiplikation von Ketten}] F"ur jeden topologischen Raum $X$ betrachte man die Abbildung\label{CoM} $\Delta : {\op{S}}X \ra {\op{S}}X \otimes {\op{S}}X$, die auf Simplizes in der Notation \ref{VoHi} gegeben wird durch die Vorschrift $$\sigma \mapsto \sum_{p+q =|\sigma|} \sigma \lambda_{p} \otimes \sigma \rho_{q} $$ Sie ist ein Homomorphismus von Kettenkomplexen und erf"ullt die Bedingung der \emph{\bf Koassoziativit"at}\index{Koassoziativit"at} $(\Delta \otimes \op{id}) \circ \Delta = (\op{id} \otimes \Delta)\circ \Delta : {\op{S}}X \ra {\op{S}}X \otimes {\op{S}}X \otimes {\op{S}}X$. \end{Proposition} \begin{proof} Die fragliche Abbildung erh"alt man als die Verkn"upfung ${\op{S}}X\ra {\op{S}}(X\times X)\ra {\op{S}}X\otimes {\op{S}}X$ des direkten Bildes unter der Diagonale mit der Alexander-Whitney-Abbildung aus \ref{EAW}. Das ist auch der Grund, aus dem sie $\Delta$ notiert wird. Als eine Verkn"upfung von Kettenabbildungen ist unsere Abbildung eine Kettenabbildung. Die Koassoziativit"at ist offensichtlich. \end{proof} \begin{Definition}\label{SiK} Sei $X$ ein topologischer Raum. Die Verkn"upfung $${\op{S}}^{\ast} X \otimes {\op{S}}^{\ast} X \ra ({\op{S}} X \otimes {\op{S}}X)^{\ast} \ra {\op{S}}^{\ast}X$$ unserer kanonischen Abbildung aus \ref{TeVo} mit der Transponierten unserer Komultiplikation $\Delta$ aus \ref{CoM} wird auch notiert in der Form $$a \otimes b \mapsto a \cup b$$ und hei"st das \defind{cup-Produkt} {\bf auf den singul"aren Koketten}. Explizit wird f"ur Koketten $a\in {\op{S}}^pX$, $b\in {\op{S}}^qX$ der Wert von $a \cup b$ auf einem Simplex $\sigma : \Delta_{p+q} \ra X$ gegeben durch die Formel $$\langle a \cup b, \sigma \rangle = (-1)^{pq}\langle a, \sigma \circ \lambda_{p} \rangle \langle b, \sigma \circ \rho_{q} \rangle$$ Die Koassoziativit"at von $\Delta$ liefert mit "ahnlichen Argumenten wie beim Beweis von \ref{EgK} die Assoziativit"at des cup-Produkts auf den singul"aren Koketten, und da"s die Augmentation $\varepsilon\in {\op{S}}^0X$ f"ur diese Verkn"upfung ein neutrales Element ist, sieht man auch sofort ein. Da"s unsere Verkn"upfung eine Kettenabbildung ist, bedeutet explizit die \glqq graduierte Leibniz-Regel\grqq\ $$\delta (a\cup b)=(\delta a)\cup b+ (-1)^{|a|}a\cup(\delta b)$$ aus der hinwiederum folgt, da"s die Zykel einen Teilring ${\op{Z}}^\ast X\subset {\op{S}}^\ast X$ bilden und darin die Bilder ein Ideal ${\op{B}}^\ast X\subset {\op{Z}}^\ast X$. Die Homologie erbt folglich die Struktur eines graduierten Rings im Sinne von \ref{GrR}, dessen Multiplikation per definitionem gerade unser cup-Produkt aus \ref{DCP} ist. Das zeigt ein weiteres Mal, da"s die Kohomologie mit dem Cup-Produkt zu einem Ring wird, und liefert somit einen alternativen Beweis f"ur einen Teil von Satz \ref{KoRi}. Die \glqq graduierte Kommutativit"at\grqq\ des Kohomologierings ist jedoch auf diesem Weg nicht so leicht zu sehen. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Jeder stetigen Abbildung $f: S^{2n-1} \ra S^n$ f"ur $n\geq 1$ ordnet man eine ganze Zahl, ihre \defind{Hopf-Invariante}, zu wie folgt: Bezeichnet $X$ den Raum, der aus $S^n$ entsteht durch Ankleben einer $2n$-Zelle vermittels der Abbildung $f$, so erh"alt man aus der analog zu \ref{AKlS} gebildeten \glqq Anklebesequenz der Kohomologie\grqq\ zwei Isomorphismen \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \ldots \ra& {\op{H}}^n X &\overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^nS^n \ra \ldots\\[2mm] \ldots \ra {\op{H}}^{2n-1} S^{2n-1} \overset{\sim}{\rightarrow} &{\op{H}}^{2n} X& \ra \ldots \end{array} \end{displaymath} Nun nimmt man den kanonischen Erzeuger von ${\op{H}}^nS^n$, holt ihn zur"uck nach ${\op{H}}^nX$, quadriert ihn im Kohomologiering des verklebten Raums $X$, betrachtet das Urbild unter dem Korand in ${\op{H}}^{2n-1}S^{2n-1}$ und erh"alt ein Vielfaches des kanonischen Erzeugers. Der Faktor, mit dem hier multipliziert werden mu"s, hei"st dann die Hopf-Invariante von $f$. Man kann zeigen, da"s sie nur von der Homotopieklasse von $f$ abh"angt, siehe zum Beispiel \cite{Vick}. \end{Bemerkunge} \subsection{Differentielle graduierte Algebra} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{GKTT} das Tensorprodukt von Kettenkomplexen mit seinen Assoziatoren und Kommutatoren und deren Vertr"aglichkeiten. \end{Bemerkungl} %\emph{Noch nicht ganz glatt. Man erinnere \ref{GKTT}.} \begin{Definition} Ein {\bf differentieller graduierter Ring} \index{differentiell!graduierter Ring} oder kurz \defind{dg-Ring} eine dg-Gruppe $R$ mitsamt einer Kettenabbildung $R\otimes R\ra R$ derart, da"s die induzierte Abbildung $R\times R\ra R$ die abelsche Gruppe $R$ zu einem Ring macht. Ein {\bf Morphismus von differentiellen graduierten Ringen} ist ein Ringhomomorphismus, der gleichzeitig eine Kettenabbildung ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{GrR} Einen Ring $R$ mit einer Graduierung der zugrundeliegenden additiven Gruppe und der Eigenschaft $R_{i}R_{j} \subset R_{i+j} \quad \forall i,j \in \Bbb{Z}$ nennt man einen {\bf graduierten Ring}\index{graduiert!Ring}. Nach unserer Definition ist das dasselbe wie ein dg-Ring mit Differential Null. Ein dg-Ring ist ausgeschrieben ein graduierter Ring $R$ mit einem Differential $d : R \ra R$ auf der zugrundeliegenden graduierten abelschen Gruppe derart, da"s die graduierte Leibniz-Regel $d(ab)=(da)b+(-1)^{|a|}a(db)$ gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} In einem graduierten Ring gilt stets $1 \in R_{0}$. In einem dg-Ring gilt stets $d(1)=0$. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Etwas allgemeiner mag man einen beliebigen kommutativen Grundring $k$ fixieren. Eine {\bf differentielle graduierte $k$-Ringalgebra} ist dann ein differentieller graduierter $k$-Modul $R$ mit einer Kettenabbildung $R\otimes_k R\ra R$ derart, da"s die induzierte Abbildung $R\times R\ra R$ den $k$-Modul $R$ zu einer $k$-Ringalgebra macht. Ich werde mich im folgenden auf den Fall $k=\DZ$ der dg-Ringe konzentrieren und die offensichtlichen Verallgemeinerungen dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} %\subsection{Versuch zur Verbesserung der Notation} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Notation}] Leider pa"st die in \eref{KkA}{GR} erkl"arte Notation f"ur Verkn"upfungen mit unserer Notation \eref{EnSS}{GR} f"ur\label{vVN} Abbildungen partout nicht zusammen: Gegeben Mengen $X,Y,Z$ liefert das Verkn"upfen von Abbildungen eine Abbildung, die man in unseren Notationen entweder notieren kann als $$\begin{array}{ccc} \op{Ens}(X,Y)\times \op{Ens}(Y,Z) &\ra &\op{Ens}(X,Z)\\[2mm] (f,g)&\mapsto &g\circ f \end{array}$$ oder als $$\begin{array}{ccc} \op{Ens}(Y,Z)\times \op{Ens}(X,Y) &\ra &\op{Ens}(X,Z)\\[2mm] (g,f)&\mapsto &g\circ f \end{array}$$ Beides sieht nicht sch"on aus und f"uhrt bei komplizierteren Formeln leicht zu unn"otiger Verwirrung. Mir scheint das nachgerade die Erbs"unde der "ublichen mathematischen Notation. Ein Ausweg ist schwer zu finden, da beide Notationen die gesamte mathematische Literatur durchdringen. Ich schlage vor, wenn es sp"ater einmal darauf ankommt, zus"atzlich die mit $\circ$ besser vertr"agliche Notation $\Enso$\index{Ens@$\Enso$ umgedrehte Abbildungen} einzuf"uhren durch die Vorschrift $\Enso(Y,X)\pdef\op{Ens}(X,Y)$. In dieser Notation nehmen unsere Formeln die sch"onere Gestalt $$\begin{array}{ccc} \Enso(Z,Y)\times \Enso(Y,X) &\ra &\Enso(Z,X)\\[2mm] (g,f)&\mapsto & g\circ f \end{array}$$ an. Sie hat dar"uber hinaus den Vorteil, da"s man dabei an \glqq opponierte Kategorien\grqq\ denken kann. Ein anderer Ausweg best"unde darin, die Notationen $x|f\pdef f(x)$ und $f|g\pdef g\circ f$ mit dem aus der Programmierung vertrauten \glqq pipe\grqq\ -Zeichen $|$ zu verwenden, das so etwa bedeutet \glqq verf"uttere das Resultat von dem, was davorsteht, an das, was dahintersteht\grqq. Diese Notation w"are ihrerseits gut mit der "ublichen Notation $\op{Ens}(X,Y)$ vertr"aglich, hat jedoch den Nachteil, da"s das Symbol $|$ in der Mathematik bereits vielf"altig in anderer Weise verwendet wird. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{Hgri} In Anlehnung an \ref{vVN} schlage ich vor, die Notation $\Homo$\index{Hom@$\Homo$ umgedrehte Hom-R"aume} einzuf"uhren durch die Vorschrift $\Homo(Y,X)\pdef\op{Hom}(X,Y)$ f"ur Kettenkomplexe $X,Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Homologie eines dg-Rings tr"agt nach \ref{TKH} stets in nat"urlicher Weise die Struktur eines graduierten Rings. Genauer bilden die Kozykel einen graduierten Teilring und die Kor"ander ein graduiertes beidseitiges Ideal im Sinne von \eref{DefI}{AL} im Ring der Kozykel, so da"s der Quotient wie in \eref{RUE}{AL} eine Ringstruktur erbt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein \defind{differentieller graduierter Modul} \index{differentiell!graduierter Modul} oder kurz \defind{dg-Modul} "uber einem dg-Ring $A$ ist eine abelsche dg-Gruppe $M$ mitsamt einem Homomorphismus von dg-Ringen $A\ra \op{End}M$. Ein Homomorphismus von dg-Moduln ist eine $A$-lineare Kettenabbildung. Wir notieren die Kategorie der dg-Moduln als $A\op{-dgMod}$\index{dgMod} oder $\op{dgMod}_A$. Lebt der dg-Ring $A$ nur im Grad Null, so erhalten wir unsere alte Kategorie von Komplexen von $A$-Moduln. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Homomorphismen von dg-Gruppen $A\ra \op{End}M$ k"onnen wir nach \ref{canAd} identifizieren mit Homomorphismen von dg-Gruppen $A\otimes M\ra M$, und unser urspr"unglicher Homomorphismus ist ein Ringhomomorphismus genau dann, wenn der so gebildete Homomorphismus die Bedingungen erf"ullt, die man "ublicherweise von der Operation eines Rings auf einem Modul fordert. Ausgeschrieben bedeutet das, da"s $M$ ein graduierter $A$-Modul ist und da"s f"ur alle homogenen $a\in A$ und $m\in M$ die \glqq graduierte Leibniz-Regel\grqq\ gilt, die da lautet $$d(am)=(da)m+(-1)^{|a|}a(dm)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ist $(A,d)$ ein dg-Ring, so definiert man den {\bf opponierten dg-Ring}\index{opponiert!dg-Ring} $A^{\op{opp}}$, indem man dieselbe dg-Gruppe zugrunde legt und nur die Multiplikation in der Weise ab"andert, da"s man die Abbildung $v:A\otimes A\ra A\otimes A$ aus \ref{vert} davorschaltet. Manchmal verwende ich statt $A^{\op{opp}}$ auch die k"urzere Notation $A^\circ$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{GrKO} Explizit wird demnach die neue Multiplikation gegeben durch die Vorschrift $a^\circ b^\circ\pdef (-1)^{|a||b|}ba$. Die analoge Regel $a^\circ m^\circ\pdef(-1)^{|a||m|}ma$ identifiziert dann dg-Moduln "uber $A^{\op{opp}}$ mit \glqq dg-Rechtsmoduln\grqq\ "uber $A$, deren Definition hoffentlich offensichtlich ist. Ist die Identit"at auf einem dg-Ring ein Isomorphismus $A\sira A^{\op{opp}}, $ d.h.\ gilt f"ur alle homogenen $a,b\in A$ die Regel $a b=(-1)^{|a||b|}ba$, so hei"st unser dg-Ring {\bf graduiert kommutativ}\index{graduiert!kommutativ} oder auch {\bf superkommutativ}.\index{superkommutativ} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{TeHo2} Gegeben Komplexe $C,D,E$ von Moduln "uber einem beliebigen Ring liefert das Verkn"upfen eine Kettenabbildung $$\Homo(E,D)\otimes \Homo(D,C) \ra\Homo(E,C)$$ Insbesondere ist f"ur jede dg-Gruppe $(M,d)$ der Endomorphismenkomplex $\op{End} M = \op{Hom} (M,M)$ mit der Verkn"upfung als Multiplikation ein dg-Ring. In gr"o"serer Allgemeinheit wird das in \eref{TKo}{TG} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukt graduierter Moduln}] Gegeben\index{Tensorprodukt!graduierter Moduln} "uber einem $\Bbb{Z}$-graduierten Ring $R$ ein $\Bbb{Z}$-graduierter Rechtsmodul $M$ und ein $\Bbb{Z}$-graduierter Linksmodul $N$ ist der Kern der Surjektion $M \otimes_{\Bbb{Z}} N \twoheadrightarrow M \otimes_{R} N$ stets ein im Sinne von \eref{homog}{KAG}\label{dgTen} homogener Teilraum und folglich ist $M \otimes_{R} N$ in nat"urlicher Weise $\Bbb{Z}$-graduiert. Ist $R$ sogar ein dg-Ring und sind $M$ und $N$ beide dg-Moduln, so induziert das offensichtliche Differential auf $M \otimes_{\Bbb{Z}}N$ ein Differential auf $M \otimes_{R} N$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{dgHot} Gegeben dg-Moduln $M,N$ "uber einem dg-Ring $R$ ist die Menge der mit der Operation von $R$ in hoffentlich offensichtlicher Weise vertr"aglichen Elemente des Hom-Komplexes $\op{Hom} (M,N)$ aus \ref{HHKK} ein Unterkomplex $\op{Hom}_{R} (M,N)$. Die Nullzykel dieses Komplexes sind genau die Homomorphismen von dg-Moduln, in Verallgemeinerung von \ref{HHKK} gilt also $$\op{dgMod}_R(M,N)=\cal{Z}^0\op{Hom}_{R} (M,N)$$ Die Nullr"ander $\cal{B}^0\op{Hom}_{R} (M,N)$ dieses Komplexes nennen wir analog \defind{nullhomotope} Homomorphismen von differentiellen graduierten Moduln "uber $R$ und f"uhren die Homotopiekategorie \index{dgHot} $$R\op{-dgHot}=\op{dgHot}_R$$ ein dadurch, da"s ihre Objekte $R$-dg-Moduln sein sollen, die Morphismen jedoch gegeben sein sollen durch $\op{dgHot}_R(M,N)\pdef\cal{H}^0\op{Hom}_{R} (M,N)\index{dgHot}$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge} Gegeben dg-Rechtsmoduln $M,N$ "uber einem dg-Ring $R$ ist $\op{Hom}_{-R} (M,N) \subset \op{Hom} (M,N)$ ein Unterkomplex des $\op{Hom}$-Kom\-ple\-xes. Ist $S$ ein weiterer $\op{dg}$-Ring und ist $M$ ein $S$-$R$-dg-Bimodul, so ist unser Unterkomplex ein $S$-dg-Unterrechtsmodul des $\op{Hom}$-Komplexes mit seiner offensichtlichen und in \eref{RMoHo}{TG} formalisierten $S$-Operation von rechts. Analoges gilt, wenn man Links und Rechts vertauscht. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{dfg} Gegeben ein dg-Ring $R$ liefert die Multiplikation des Rings von links auf sich selber analog zum Fall normaler Ringe \eref{ENRj}{KAG} einen Isomorphismus von dg-Ringen $R\sira \op{Hom}_{-R}(R,R)$ zwischen $R$ selbst und dem Endomorphismenkomplex von $R$ als dg-Rechtsmodul. \end{Ubunge} \begin{Bemerkungl}\label{AusKK} Unsere Adjunktion \ref{canAd} liefert nach \eref{CanA}{TF} insbesondere nat"urliche Kettenabbildungen von $B$-Rechtsmoduln $\op{Hom}_{-B}(X,M)\otimes_A X\ra M$, die auch explizit als das \glqq Auswerten von Homomorphismen auf Elementen\grqq\ beschrieben werden k"onnen. Insbesondere erhalten wir so aus den Daten \ref{GKTT} f"ur $X,M\in\op{Ket}$ nat"urliche Kettenabbildungen $$\op{Hom}(X,M)\otimes X\ra M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{TeHo1} Gegeben Komplexe $C,C',D,D'$ von Moduln "uber einem kommutativen Ring erhalten wir eine Kettenabbildung $$ \gamma:\op{Hom}(C,C')\otimes \op{Hom}(D,D')\ra\op{Hom}(C\otimes D,C'\otimes D')$$ durch die Vorschrift $(\gamma(f\otimes g))(x\otimes y)=(-1)^{|g||x|}(fx)\otimes (gy)$, wobei das Tensorprodukt "uber besagtem Ring zu verstehen ist. Diese Kettenabbildung entsteht aus den Daten nach \ref{GKTT} durch das Anwenden der Adjunktion auf die durch zweimaliges Auswerten nach \ref{AusKK} gegebene Kettenabbildung $$ C\otimes D \otimes\op{Hom}(C,C')\otimes \op{Hom}(D,D')\ra C'\otimes D'$$ wobei wir verschiedene Assoziatoren und Kommutatoren unterschlagen haben. Sie wird sich in \eref{TMo}{TG} als Spezialfall einer allgemeinen Konstruktion im Rahmen von Tensorkategorien erweisen. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Hinweis: Diese "Ubung verfeinert \ref{canAd}.\label{VanAd} Gegeben dg-Ringe $A,B$ und ein $A$-$B$-dg-Bimodul $X$ induziert f"ur $M$ bzw.\ $N$ beliebige dg-Rechtsmoduln "uber $A$ bzw.\ $B$ die offensichtliche Abbildung Isomorphismen von Komplexen abelscher Gruppen \begin{displaymath} \op{Hom}_{-A} (M, \op{Hom}_{-B} (X,N)) \;\overset{\sim}{\ra}\; \op{Hom}_{-B}(M \otimes_{A} X, N) \end{displaymath} Insbesondere erhalten wir durch "Ubergang zur nullten Homologie nat"urliche Bijektionen $ \op{dgHot}_{-A} (M, \op{Hom}_{-B} (X,N)) \;\overset{\sim}{\ra}\; \op{dgHot}_{-B}(M \otimes_{A} X, N) $. \end{Ubunge} \begin{Bemerkunge} Nadler und Ben Zvi nennen einen dg-Ring \defind{connectiv} genau dann, wenn seine Kohomologie in negativen Graden verschwindet. Ich verstehe das nur halb, der dg-Ring der simplizialen Koketten eines zusammenh"angenden Raums hat ja dar"uber hinaus die Eigenschaft, im Grad Null frei vom Rang Eins zu sein. \end{Bemerkunge} \subsection{Die Homologie als Modul \"{u}ber der Kohomologie} \begin{Definition}\label{cAP} Gegeben ein topologischer Raum $X$ betrachten wir die Verkn"upfung von Kettenabbildungen $${\op{S}}^{\ast} X \otimes {\op{S}}X \ra {\op{S}}^{\ast}X \otimes {\op{S}}X \otimes {\op{S}}X \ra {\op{S}}X$$ wobei der erste Morphismus gegeben wird durch $\op{id} \otimes v \Delta$ mit $\Delta$ der Komultiplikation auf den singul"aren Ketten aus \ref{CoM} und $v$ der Vertauschung der Tensorfaktoren \ref{vert}, der zweite Morphismus dahingegen durch das Auswerten ${\op{S}}^{\ast} X \otimes {\op{S}}X \ra \DZ$ aus \ref{AusKK} auf den ersten beiden Tensorfaktoren. Diese Verkn"upfung notieren wir $$b \otimes z \mapsto b \cap z$$ und nennen sie das {\bf cap-Produkt}\index{cap-Produkt!von Ketten} {\bf einer Kokette mit einer Kette}. Die Bezeichnung \glqq cap\grqq\ f"ur englisch \glqq M"utze\grqq\ erinnert wieder an die Form des Symbols. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Algebraisch betrachtet ist also das cap-Produkt eine Art partieller Auswertung einer Kokette auf einer Kette. Ich kann f"ur diese Konstruktion leider keinerlei Anschauung anbieten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein dg-Ring $R$ hei"st eine differentielle graduierte Gruppe $M$ mit einer Kettenabbildung $R\otimes_\DZ M\ra M$, die sie zu einem $R$-Modul macht, ein {\bf differentieller graduierter Modul} \index{differentiell!graduierter Modul "uber dg-Ring} oder kurz {\bf dg-Modul}\index{dg-Modul!"uber dg-Ring} "uber unserem dg-Ring. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{Excap} Das cap-Produkt macht ${\op{S}}X$ zu einem dg-Modul "uber ${\op{S}}^{\ast}X$. Das pr"uft man zum Beispiel mit Hilfe der {\bf Adjunktionsformel}\index{Adjunktionsformel!f"ur $\cup$ und $\cap$} $$\langle a , b \cap z\rangle = \langle a \cup b ,z \rangle \quad \forall z \in {\op{S}} X,\; a, b \in {\op{S}}^\ast X,$$ die ihrerseits leicht aus der Definition folgt. Explizit wird das cap-Produkt einer Kokette $b \in {\op{S}}^{q}X$ mit einem Simplex $z = \sigma : \Delta_{p+q} \ra X$ in den Notationen \ref{VoHi} gegeben durch $$b \cap \sigma= (-1)^{pq}\langle b,\sigma \rho^{q} \rangle \sigma \lambda^{p}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ganz allgemein versteht man unter einem {\bf graduierten Modul}\index{graduiert!Modul} "uber einem graduierten Ring $R$ einen $R$-Modul $M$ mitsamt einer Graduierung $M=\bigoplus_{i \in \Bbb{Z}} M^i$ derart, da"s gilt $R^i M^j\subset M^{i+j}$ f"ur alle $i,j\in\Bbb{Z}$. Nach unserer Definition ist das dasselbe wie ein dg-Modul mit Differential Null "uber $R$ aufgefa"st als dg-Ring mit Differential Null. Ein dg-Modul "uber einem beliebigen dg-Ring $(R,d)$ ist ausgeschrieben ein graduierter $R$-Modul $M$ mit Differential $d$ derart, da"s gilt $d(am)=(da)m+(-1)^{|a|}a(dm)$ f"ur alle homogenen $a\in R$ und alle $m\in M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{HMM} Nach \ref{TKH} ist die Kohomologie $\cal{H}M$ eines dg-Moduls $M$ "uber einem dg-Ring $R$ in nat"urlicher Weise ein graduierter Modul "uber der Kohomologie $\cal{H}R$ von $R$. Konkret bilden die Zykel $\cal{Z}M=\ker d$ von $M$ einen Modul "uber dem Ring $\cal{Z}R$ der Zykel von $R$, die Bilder $\cal{B}M=d(M)$ bilden darin einen Untermodul, und auf dem Quotienten $\cal{H}M=\cal{Z}M/\cal{B}M$ operiert das Ideal der Bilder $\cal{B}R\subset \cal{Z}R$ durch Null, so da"s die Operation von $\cal{Z}R$ faktorisiert "uber die behauptete Operation von $\cal{H}R$ auf $\cal{H}M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{PLIx} Unter unserem cap-Produkt wird ${\op{S}}X$, aufgefa"st als differentielle graduierte Gruppe vermittels $({\op{S}}_qX)=({\op{S}}X)^{-q}$ und Differential $\partial$, ein dg-Modul "uber ${\op{S}}^\ast X$. Speziell wird also nach \ref{HMM} f"ur jeden topologischen Raum $X$ die \defind{totale Homologie} ${\op{H}}X =\bigoplus_q {\op{H}}_q X$ ein Modul "uber dem Kohomologiering ${\op{H}}^\ast X$. Wir notieren diese Operation auch mit $\cap$ und erhalten so das {\bf cap-Produkt} {\bf auf der Homologie}\index{cap-Produkt!auf der Homologie} $$\cap :{\op{H}}^{p} X \times {\op{H}}_{p+q} X \ra {\op{H}}_{q} X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{capr} Ist $A \subset X$ eine Teilmenge, so ist ${\op{S}}^{\ast} (X,A)$ als Kern des Ringhomomorphismus ${\op{S}}^{\ast} X \ra {\op{S}}^{\ast} A$ ein unter dem Korandoperator stabiles graduiertes Ideal von ${\op{S}}^{\ast} X $ und somit ist ${\op{H}}^{\ast} (X,A)$ eine graduierte assoziative $\DZ$-Algebra, d.h. ein \glqq nicht notwendig unit"arer Ring\grqq, sowie ein ${\op{H}}^{\ast}X$-Modul von rechts und links. Des weiteren ist ${\op{S}}A \subset {\op{S}}X$ ein dg-Untermodul f"ur die Operation von ${\op{S}}^{\ast} X$ und das cap-Produkt definiert somit eine Operation auf dem Kokern ${\op{S}}(X,A)$, in Formeln $\cap :{\op{H}}^{p}X \times {\op{H}}_{p+q} (X, A) \ra {\op{H}}_{q} (X,A)$. Das Merkw"urdigste ist jedoch die Variante $$\cap : {\op{H}}^{p} (X,A) \times {\op{H}}_{p+q} (X,A)\ra {\op{H}}_{q} X$$ Um sie zu erhalten gilt es zu bemerken, da"s das dg-Ideal ${\op{S}}^{\ast}(X,A) \subset {\op{S}}^{\ast}X$ den dg-Untermodul ${\op{S}}A \subset {\op{S}}X$ annulliert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at}] F"ur jede kompakte orientierte Man\-nig\-fal\-tig\-keit liefert das cap-Produkt mit dem Fundamentalzykel einen\label{PD} Isomorphismus von ihrer Kohomologie mit ihrer Homologie.\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!f"ur kompakte Mannigfaltigkeiten} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist also in Formeln $M$ eine kompakte orientierte $n$-Man\-nig\-faltigkeit und $\omega \in {\op{H}}_{n}M$ ihr Fundamentalzykel, so liefert das cap-Produkt mit $\omega$ f"ur alle $p$ einen Isomorphismus $$ \cap\omega : {\op{H}}^{p} M \sira {\op{H}}_{n-p} M$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SP} Dieser Satz und sein Beweis gelten mit Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0$, so ben"otigt man noch nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SPP} F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in {\op{H}}_{p} M$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-p} M$ einer orientierten kompakten $n$-Mannigfaltigkeit ist hoffentlich anschaulich klar, was ihre \glqq Schnittzahl\grqq\ $\al\cdot \beta\in\Bbb{Z}$ sein sollte, die die Schnittpunkte von repr"asentierenden Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\ mit geeigneten, von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen z"ahlt. Der Isomorphismus aus dem obigen Satz \ref{PD} liefert eine Definition solcher Schnittzahlen: Wir suchen $a \in {\op{H}}^{n-p}M$, $b \in {\op{H}}^{p}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M}$, $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen $$\al\cdot \beta =\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$ Wir werden unsere geometrische Interpretation der so definierten Schnittzahlen in \ref{GiS} rechtfertigen. Ebenso zeigt die graduierte Kommutativit"at des cup-Produkts nach \ref{KoRi}, da"s f"ur die Schnittzahlen in einer $n$-Mannigfaltigkeit gilt $\al\cdot \beta=(-1)^{(n-|\al|)(n-|\beta|)}\beta\cdot\al$. Nach der Adjunktionsformel $\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle= \langle a,b\cap \omega_{M}\rangle$ und unseren Definitionen entsprechen sich unter den Identifikationen der Poincar\'e-Dualit"at f"ur einen beliebigen kommutativen Koeffizientenring die drei Paarungen $$ \begin{array}{rcrlcc}{\op{H}}_{p} (M;k) &\times & {\op{H}}_{n-p} (M;k)&\ra k,\;\; (\al,\beta)&\mapsto& \al\cdot\beta\\[2mm] {\op{H}}^{n-p} (M;k)& \times& {\op{H}}_{n-p} (M;k)&\ra k,\;\; (a,\beta)&\mapsto& \langle a,\beta\rangle\\[2mm] {\op{H}}^{n-p} (M;k) &\times &{\op{H}}^{p} (M;k)&\ra k, \;\; (a,b)&\mapsto& \langle a\cup b, \omega_{M}\rangle \end{array}$$ Falls eine dieser Paarungen eine Bijektion des linken Raums auf den Dualraum des rechten Raumes oder das Umgekehrte induziert, so folgt dasselbe f"ur die beiden anderen Paarungen. Haben wir etwa Koeffizienten in einem K"orper oder ist ${\op{H}}_{n-p-1} (M;\Bbb{Z})$ eine freie abelsche Gruppe, so liefert nach \ref{KPI} oder \ref{UKh} die Paarung in der Mitte eine Bijektion des linken Raums auf den Dualraum des rechten Raumes, und dasselbe folgt f"ur die beiden anderen Paarungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz liefert uns auch allgemeiner eine Definition des Schnittprodukts auf der Homologie von $M$: Man "ubertr"agt schlicht das cup-Produkt auf der Kohomologie mithilfe der Isomorphismen aus dem Satz in die Homologie. Allerdings sind wir hier noch nicht in der Lage, die Br"ucke von dieser Definition bis zur Anschauung zu schlagen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um einen anschaulichen Beweis der Poincar\'e-Dualit"at zu geben, verallgemeinert man zun"achst unseren Satz \ref{SH} "uber den Zusammenhang von singul"arer und simplizialer Homologie von endlichen Simplizialkomplexen auf R"aume, die statt aus Simplizes in "ahnlicher Art aus komplizierten kompakten konvexen Polyedern zusammengesetzt sind, wie zum Beispiel die Oberfl"achen der platonischen K"orper. So kann etwa die Homologie der Sph"are mithilfe einer Dodekaeder-Zerlegung berechnet werden durch einen Komplex der Gestalt $\Bbb{Z}^{12} \ra \Bbb{Z}^{30} \ra \Bbb{Z}^{20}$ f"ur die $12$ Fl"achen, $30$ Kanten und $20$ Ecken. Gehen wir nun "uber zur \glqq dualen\grqq\ Zerlegung in kompakte konvexe Polyeder, im Beispiel zur Ikosaeder-Zerlegung der Sph"are in $20$ Fl"achen mit $30$ Kanten und $12$ Ecken, so kann man den Komplex, der urspr"unglich die Homologie berechnet, in nat"urlicher Weise identifizieren mit dem Komplex, der bez"uglich dieser dualen Zerlegung die Kohomologie berechnet. Da aber Homologie und Kohomologie von der Zerlegung g"anzlich unabh"angig sind, ergibt sich ${\op{H}}_{i} M \cong {\op{H}}^{n-i}M$ f"ur jede orientierte kompakte triangulierbare $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist nicht allzu schwer, diese Skizze zu einem richtigen Beweis auszubauen, siehe zum Beispiel \cite{StZi}. Wir werden jedoch einen anderen Weg gehen, der Triangulierbarkeitsvoraussetzungen vermeidet und auch abgesehen davon zu allgemeineren Resultaten f"uhrt. Genauer wollen wir unseren Satz durch eine Art Induktion "uber alle offenen Teilmengen beweisen und werden dazu eine Version formulieren, die auch nichtkompakte Mannigfaltigkeiten einbezieht. Das ben"otigt einige algebraische Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{PLI} Ist $f: X \ra Y$ stetig, $b \in {\op{H}}^{p}{Y}$ und $ z\in {\op{H}}_{p+q} X$, so gilt die {\bf Projektionsformel}\index{Projektionsformel!der Homologie} $f_{\ast} (f^{\ast} b \cap z)= b \cap (f_{\ast} z) $. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $ z \in {\op{H}}_{p+q} (X,A)$ kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^{p}(X,A) & \ra & {\op{H}}^{p} X\\ \cap z\downarrow & & \downarrow \cap z\\ {\op{H}}_{q} X & \ra & {\op{H}}_{q} (X,A) \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{cpq} Gegeben $X\supset A\supset B$ und $ z \in {\op{H}}_{p+q} (X,B)$ mit Bild $ \bar{z} \in {\op{H}}_{p+q} (X,A)$ kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^{p}(X,A) & \ra & {\op{H}}^{p} (X,B)\\ \cap \bar{z}\downarrow & & \downarrow \cap z\\ {\op{H}}_{q} X & = & {\op{H}}_{q} X \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $f : Y \rightarrow X$ eine stetige Abbildung von orientierten kompakten Mannigfaltigkeiten der Dimension $m,n$ und $[Y] \in {\op{H}}_m (Y)$ der Fundamentalzykel und $c_Y \in {\op{H}}^{n-m} (X)$ das Poincar\'e-Duale von $f_\ast [Y] \in {\op{H}}_m (X)$, also $c_Y \cap [X] = f_\ast [Y]$, so kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^\nu Y \ar[d]^-{\cap [Y]} &{\op{H}}^\nu X \ar[l]_-{f^\ast} \ar[r]^-{\cup c_Y} & {\op{H}}^{\nu + n-m} X \ar[d]^-{\cap [X]}\\ {\op{H}}_{m - \nu} Y \ar[rr]^-{f_\ast} && {\op{H}}_{m-\nu} X } \end{displaymath} % \begin{displaymath} % \xymatrix{ % {\op{H}}^\nu X \ar[d]^-{f^\ast} \ar[r]^-{\cup c_Y} % & {\op{H}}^{\nu + n-m} X \ar[dd]^-{\cap [X]}\\ % {\op{H}}^\nu Y \ar[d]^-{\cap [Y]}& \\ % {\op{H}}_{m - \nu} Y \ar[r]^-{f_\ast} & {\op{H}}_{m-\nu} X % } % \end{displaymath} Hinweis: \ref{PLIx} und \ref{PLI}. Das Daranmultiplizieren des Poincar\'e-Dualen des Fundamentalzykels einer Untermannigfaltigkeit kann also ausgedr"uckt werden durch R"uckzug auf der Kohomologie, Poinca\'e-Dualit"at auf der Untermannigfaltigkeit und Bild auf der Homologie. \end{Ubung} \subsection{Ein Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen} \begin{Bemerkungl} Um bequem unsere bisher bewiesenen Resultate von der Homologie auf die Kohomologie "ubertragen zu k"onnen, entwickeln wir in diesem Abschnitt zun"achst weitere Methoden der homologischen Algebra. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Wir nennen einen Komplex \defind{beschr"ankt in Richtung der Pfeile} genau dann, wenn wir in Richtung der Pfeile gehend ab einer Stelle nur noch $C_{q} =0$ treffen. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen}] Sei $R$ ein Ring und seien $P, Q$ zwei\label{HKH} in Richtung der Pfeile beschr"ankte Komplexe von projektiven $R$-Moduln. Induziert eine Kettenabbildung $f: Q \ra P$ Isomorphismen auf allen Homologiegruppen, so ist sie bereits eine Homotopie"aquivalenz. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt durch zweifaches Anwenden der anschlie"senden technischen Proposition \ref{AABK}. \end{proof} \begin{Proposition}\label{AABK} Sei $R$ ein Ring, $P$ ein in Richtung der Pfeile beschr"ankter Komplex von projektiven $R$-Moduln und $C$ ein beliebiger Komplex von $R$-Moduln. Induziert eine Kettenabbildung $f: C \ra P$ Isomorphismen auf allen Homologiegruppen, so besitzt sie ein Rechtsinverses in der Homotopiekategorie, d.h.\ es gibt $h:P\ra C$ mit $fh\simeq \op{id}_P$. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren f"ur eine beliebige Kettenabbildung $f: C \ra P$ einen Komplex $K=K (f)$, den sogenannten \defnoind{Abbildungskegel}\index{Abbildungskegel!von Kettenabbildung} von $f$ wie folgt: Wir setzen $K_{n} = C_{n-1} \oplus P_{n}$, fassen die Elemente dieser Summe als Spaltenvektoren auf und definieren den Randoperator $\partial^{K} :K_{n} \ra K_{n-1}$ durch die Matrix $$ \partial^{K} = \left(\begin{array}{cc}-\partial^{C} & 0\\ f &\partial^{P}\end{array}\right)$$ Man pr"uft m"uhelos $\partial^{K} \circ \partial^{K} =0$. Bezeichnet $[1]C$ wie in \ref{VerKo} den verschobenen Komplex mit $([1]C)_{n} = C_{n-1}$ und Randoperator $\partial^{[1]C} = -\partial^{C}$, so ergibt sich mit den offensichtlichen Abbildungen eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $$P \hookrightarrow K(f) \twoheadrightarrow [1]C $$ und man "uberzeugt sich, da"s der Randoperator der zugeh"origen langen exakten Homologiesequenz gerade $\cal{H}_{n}f : \cal{H}_{n} C \ra \cal{H}_{n} P$ ist. Ist speziell $\cal{H}_{n}f$ ein Isomorphismus f"ur alle $n$, so ist der Abbildungskegel $K(f)$ exakt nach der langen exakten Homologiesequenz, und ist zus"atzlich $P$ ein in Richtung der Pfeile beschr"ankter Komplex von projektiven $R$-Moduln, so ist nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{HLHA} die Kettenabbildung $P \hookrightarrow K(f)$ nullhomotop. Setzen wir so eine Homotopie an als Spaltenmatrix $(h,\delta)^\top$, so ergibt sich die Matrixgleichung $$ \left(\begin{array}{cc}-\partial^{C} & 0\\ f &\partial^{P}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}h\\ \delta\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}h\\ \delta\end{array}\right)\partial^P=\left(\begin{array}{c}0\\ \op{id}_P\end{array}\right)$$ Nach Ausmultiplizieren bedeutet die erste Zeile, da"s $h:P\ra C$ eine Kettenabbildung ist, und die zweite, da"s $fh$ homotop ist zur Identit"at auf $P$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{CWW} Hat ein in Richtung der Pfeile beschr"ankter Komplex $C$ von projektiven $R$-Moduln projektive Homologie, so ist er homotopie"aquivalent zu seiner Homologie. Fassen wir genauer die Homologie $\cal{H}C$ wie auch anderweitig auf als Komplex mit trivialen Differentialen, so gibt es in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe genau einen Isomorphismus $\cal{H}C\hri C$, der auf der Homologie die offensichtliche Identifikation $\cal{H}(\cal{H}C)\sira \cal{H}C$ induziert. \end{Ubung} \subsection{Eigenschaften der Kohomologie} \label{EigHO} \begin{Satz}[\textbf{Homotopie-Invarianz der Kohomologie}] Homotope\index{Homotopie-Invarianz!der Kohomologie} Abbildungen zwischen topologischen R"aumen induzieren dieselbe Abbildung\label{HIn} auf der Kohomologie. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sind $f$ und $g$ homotop, $f\simeq g$, so sind nach \ref{kH} die induzierten Abbildungen ${\op{S}}f$ und ${\op{S}}g$ kettenhomotop, ${\op{S}}f\simeq {\op{S}}g$. Dasselbe gilt dann auch f"ur die transponierten Abbildungen auf den Koketten, ${\op{S}}^\ast f\simeq {\op{S}}^\ast g$, und so erhalten wir wie gew"unscht ${\op{H}}^{q}(f)={\op{H}}^{q}(g)$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KW} Sind alle Homologiegruppen eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einem Ring $k$ freie Linksmoduln "uber $k$, so induziert die Kronecker-Paarung mit Koeffizienten f"ur jeden $k$-Modul $G$ Isomorphismen $${\op{H}}^{q}(X;G)\sira \op{Mod}_k({\op{H}}_{q}(X;k),G)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{CWW} ist unter unseren Voraussetzungen der Komplex ${\op{S}}(X;k)$ als Komplex von Linksmoduln homotop zu seiner Homologie ${\op{H}}(X;k)$. Also ist nat"urlich auch der Komplex ${\op{S}}^\ast(X;G)=\op{Hom}_k({\op{S}}(X;k),G)$ homotop zum Komplex $\op{Hom}_k({\op{H}}(X;k),G)$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie mit K"orperkoeffizienten}] Die Kohomologie eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ ist insbesondere schlicht der Dualraum der Homologie, in Formeln ${\op{H}}^{q}(X;k)={\op{H}}_{q}(X;k)^{\ast}$. Wenden wir das Lemma an mit $k=\DZ$, so erhalten wir insbesondere Formeln f"ur die Kohomologie eines Punktes und die Kohomologie von Sph"aren mit beliebigen Koeffizienten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{K"unneth-Formel der Kohomologie}] Schon wenn $X$ und $Y$ unendliche diskrete Mengen sind, ist das Analogon der K"unneth-Formel \ref{KueK} f"ur die Kohomologie falsch, selbst\index{K"unneth-Formel!der Kohomologie} mit Koeffizienten in einem K"orper. Nehmen wir jedoch an, alle Homologie-Gruppen des Raums $X$ seien frei oder, noch allgemeiner, projektiv "uber dem gew"ahlten Koeffizientenring, so haben wir ja nach \ref{CWW} einen kanonischen Isomorphismus ${\op{S}}X\hri {\op{H}}X$ in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe. Nehmen wir dann zus"atzlich f"ur den vorletzten Isomorphismus alle Homologiegruppen von $X$ als endlich erzeugt an, so erhalten wir Homotopie"aquivalenzen $${\op{S}}^\ast(X\times Y)\hri ({\op{S}}X\otimes {\op{S}}Y)^\ast \hri ({\op{H}}X\otimes {\op{S}}Y)^\ast \sira ({\op{H}}X)^\ast\otimes {\op{S}}^\ast Y\stackrel{\sim}{\leftarrow} ({\op{H}}^\ast X\otimes {\op{S}}^\ast Y)$$ Man sieht unschwer ein, da"s der auf der Kohomologie in der Gegenrichtung induzierte Isomorphismus ${\op{H}}^\ast X\otimes {\op{H}}^\ast Y\sira {\op{H}}^\ast(X\times Y)$ gerade das Kreuzprodukt sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $X\supset A$ ein topologischer Raum mit einer Teilmenge erinnere ich an den Komplex ${\op{S}}_{q}(X,A)$ der relativen Ketten aus \ref{RelK}. Wir definieren die {\bf relative Kohomologie}\index{Kohomologie!relative} eines Paares als\index{relative Kohomologie} die Kohomologie des Komplexes ${\op{S}}^{q}(X,A;G)\pdef\op{Ab}({\op{S}}_{q}(X,A),G)$ der {\bf relativen Koketten}\index{relative Koketten}\index{Koketten!relative} und erhalten so einen Funktor $${\op{H}}^{q}: \{\text{Raumpaare}\} \ra \{\text{Abelsche Gruppen}\}^{{\op{opp}}}$$ Lemma \ref{KW} gilt mit demselben Beweis auch f"ur die relative Kohomologie. Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ liefern die (spaltenden) kurzen exakten Sequenzen ${\op{S}}_{q}A \hookrightarrow {\op{S}}_{q}X \twoheadrightarrow {\op{S}}_{q} (X,A)$ mittels Dualisierung kurze exakte Sequenzen ${\op{S}}^{q}A \twoheadleftarrow {\op{S}}^{q}X\hookleftarrow {\op{S}}^{q}(X,A)$. Die kurze exakte Sequenz der Komplexe der singul"aren Koketten liefert wiederum die \defnoind{lange exakte Kohomologiesequenz}\index{lange exakte Sequenz!der Kohomologie} $$0\ra {\op{H}}^{0}(X,A) \ra {\op{H}}^{0}X \ra {\op{H}}^{0}A \ra {\op{H}}^{1}(X,A) \ra \ldots $$ mit einem im Raumpaar $(X,A)$ nat"urlichen Randoperator. Dasselbe gilt auch mit beliebigen Koeffizienten. Wir "ubertragen beispielhaft noch einige weitere Aussagen auf die Kohomologie. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defnoind{Ausschneidung f"ur die Kohomologie}]\index{Ausschneidung!Kohomologie} Ist $(X,A)$ ein Raumpaar und $V\subset A$ eine Teilmenge mit $\overline{V} \subset A^{{\circ}}$, so liefert die Einbettung von Raumpaaren $i:(X\backslash V, A\backslash V) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den relativen Kohomologiegruppen $${\op{H}}^{q} (X,A)\sira {\op{H}}^{q}(X\backslash V,A\backslash V)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Ausschneidungssatz \ref{Asch} induziert die von der Einbettung herkommende Kettenabbildung ${\op{S}}i: {\op{S}}(X\backslash V, A\backslash V) \rightarrow {\op{S}}(X,A)$ Isomorphismen auf der Homologie und ist mithin nach \ref{HKH} eine Homotopie"aquivalenz. Dann ist nat"urlich auch die transponierte Abbildung ${\op{S}}^\ast i: {\op{S}}^\ast(X,A)\ra {\op{S}}^\ast (X\backslash V, A\backslash V) $ eine Homotopie"aquivalenz und induziert Isomorphismen auf der Kohomologie. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{KRMVS} Geht man in der Herleitung der Mayer-Vietoris-Sequenz und der relativen Mayer-Vietoris-Sequenz in \ref{MVS} und \ref{RMVS} aus kurzen exakten Sequenzen von komplexen freier abelscher Gruppen zuerst zu den dualen Kettenkomplexen "uber und bildet erst dann die lange exakte Homologiesequenz, so erh"alt man lange exakte Sequenzen von Kohomologiegruppen, genannt die {\bf Mayer-Vietoris-Sequenz} und die {\bf relative Mayer-Vietoris-Sequenz der\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!relative, der Kohomologie} Kohomologie}.\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!der Kohomologie} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KoSi} Ist $\cal{K}$ ein Simplizialkomplex, so besteht die obere Zeile des Diagramms $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}\cal{K} &\leftarrow& {\op{S}}^{\op{s}} \Delta(\cal{K}) &\hookrightarrow& {\op{S}}\Delta(\cal{K}) \\ &\nwarrow&\uparrow&\nearrow&\\ &&{\op{S}}^{\op{os}} \Delta(\cal{K}) && \end{array}$$ aus \ref{SH} nach \ref{HKH} aus Homotopie"aquivalenzen, und w"ahlen wir zus"atzlich eine Anordnung auf den Ecken, so ist auch der Komplex ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta(\cal{K})$ der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten definiert und das ganze Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Folglich erhalten wir durch Anwenden von $\op{Hom}(\;,\Bbb{Z})$ wieder ein kommutatives Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, das wir $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^\ast\cal{K} &\rightarrow& {\op{S}}_{\op{s}}^\ast \Delta(\cal{K}) &\leftarrow & {\op{S}}^\ast\Delta(\cal{K}) \\ &\searrow&\downarrow&\swarrow&\\ &&{\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta(\cal{K}) && \end{array}$$ notieren und das Isomorphismen zwischen den Kohomologiegruppen dieser Komplexe liefert. Die Elemente von ${\op{S}}^{q}_{\op{os}} \Delta (\cal{K})$ kann man auffassen als unendliche formale Linearkombinationen von ordnungsvertr"aglichen $q$-Simplizes, formal haben wir eine kanonische Bijektion ${\op{S}}^{q}_{\op{os}} \Delta (\cal{K}) \overset{\sim}{\ra} \op{Ens} (\cal{K}_{q}, \Bbb{Z})$. Der Korandoperator ordnet einem $q$-Simplex die formale Summe mit geeigneten Vorzeichen aller $(q+1)$-Simplizes zu, die unseren $q$-Simplex enthalten. "Ahnlich kann man die Gruppe der {\bf Simplizialkoketten}\index{Simplizialkokette} ${\op{S}}^q\cal{K}$ identifizieren mit der Gruppe aller Abbildungen $f:\cal{K}_{q}^\leq\ra \Bbb{Z}$ von der Menge aller angeordneten $q$-Simplizes nach $\DZ$ mit der Eigenschaft $f(\sigma\circ \pi)=(\op{sgn}\pi)f(\sigma)$ f"ur alle Permutationen $\pi\in\cal{S}_{q+1}$. Zur "Ubung empfehle ich, diese {\bf simpliziale Kohomologie}\index{Kohomologie!simpliziale} f"ur\index{simplizial!Kohomologie} eine Triangulierung der reellen Zahlengerade explizit zu berechnen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} In dieser "Ubung ist $ {\op{H}}^{q}(X)$ eine Abk"urzung f"ur ${\op{H}}^{q}(X;G)$ mit beliebigen aber festen Koeffizienten $G$. Sei $X = \coprod X_{w}$ eine Zerlegung von $X$ in paarweise disjunkte offene Teilmengen und $i_{w}: X_{w} \hookrightarrow X$ die jeweilige Einbettung. So definieren die ${\op{H}}^{q}(i_{w}) : {\op{H}}^{q} (X) \ra {\op{H}}^{q} (X_{w})$ einen Isomorphismus $ {\op{H}}^{q} (X) \sira \prod {\op{H}}^{q} (X_{w})$. Dasselbe gilt allgemeiner, wenn wir nur fordern, da"s es f"ur $v\neq w$ keinen Weg von einem Punkt aus $X_v$ zu einem Punkt aus $X_{w}$ gibt. \end{Ubung} \subsection{Erweiterungen von abelschen Gruppen} \begin{Bemerkungl}\label{koEW} Um unsere Kohomologiegruppen aus den Homologiegruppen berechnen zu k"onnen, brauchen wir {\bf Erweiterungen}.\index{Erweiterung!von abelschen Gruppen!konkrete} Unter einer Erweiterung einer abelschen Gruppe $M$ durch eine abelsche Gruppe $N$ versteht man zun"achst einmal eine kurze exakte Sequenz $N \hookrightarrow E \twoheadrightarrow M$. Eine zweite solche Erweiterung $N \hookrightarrow E^{\prime} \twoheadrightarrow M$ hei"st {\bf isomorph} oder genauer {\bf erweiterungsisomorph}\index{erweiterungsisomorph} zu unserer ersten Erweiterung genau dann, wenn es einen Isomorphismus $E \sira E^{\prime}$ gibt, der das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} N & \hookrightarrow & E &\twoheadrightarrow &M\\ \| & &\downarrow & & \| \\ N & \hookrightarrow & E^{\prime} & \twoheadrightarrow &M \end{array}$$ zum Kommutieren bringt. Wir werden uns im folgenden "uberlegen, da"s die Isomorphieklassen von derartigen Erweiterungen eine Menge, ja sogar in nat"urlicher Weise eine abelsche Gruppe bilden, und wie wir diese Gruppe zu gegebenen $M$ und $N$ effektiv berechnen k"onnen. Die eigentliche Arbeit beginnen wir mit einem etwas k"unstlichen aber formal einfacheren Zugang zu besagter Gruppe. Das Ausarbeiten des Zusammenhangs zum hier nur skizzierten namensgebenden Zugang "uberlasse ich dem Leser als "Ubung \ref{EeXt}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Homomorphismus von abelschen Gruppen $f:A\ra B$ definiert man seinen {\bf Kokern}\index{Kokern!bei abelschen Gruppen} \index{cok@$\op{cok}$ Kokern!bei abelschen Gruppen} als die abelsche Gruppe $$\op{cok}f=B/(\op{im}f)$$ \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben zwei abelsche Gruppen $M$ und $N$ erkl"aren wir eine dritte abelsche Gruppe $\op{Ext} (M,N)$ % die Gruppe aller % {\bf Erweiterungen von $M$ durch $N$}\index{Erweiterung!von abelschen Gruppen} durch die Vorschrift $$\op{Ext} (M,N) \pdef \op{cok} (\op{Hom} (\Bbb{Z} M, N) \ra \op{Hom} (K M, N))$$ f"ur $KM\hra\Bbb{Z} M\sra M$ die Standardaufl"osung von $M$ aus \ref{TDe}. Sie hei"st die Gruppe der {\bf Erweiterungen von $M$ durch $N$}. \index{Erweiterung!von abelschen Gruppen!abstrakte} Die Notation r"uhrt her von der englischen und franz"osischen Bezeichnung \glqq \defind{extension}\grqq. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von $\op{Ext}$}] Offensichtlich ist $\op{Ext}$ ein\label{ExtF} kovarianter Funktor in der zweiten und ein kontravarianter Funktor in der ersten Variablen. Wir notieren das Anwenden von Morphismen auf Erweiterungen wie eine Verkn"upfung von Morphismen, wobei wir eine Erweiterung als einen \glqq Morphismus von h"oherem Grad\grqq\ auffassen. In Ist $M$ frei, so spaltet die Sequenz $K M \hookrightarrow \Bbb{Z} M \twoheadrightarrow M$ und wir folgern $\op{Ext} (M,N) =0$ f"ur alle $N$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{EZE} Wir k"onnen unsere Definition auch dahingehend umschreiben, da"s wir den Komplex $\cal{P}M$ mit $\cal{P}_1 M = KM$ und $ \cal{P}_0 M = \mathbb{Z} M$ und $\cal{P}_q M =0$ f"ur $ q \neq 0,1$ aus \ref{TDe} betrachten und $N=N[0]$ als im Grad Null konzentrierten Komplex auffassen und im Sinne von \ref{HHKK} den Hom-Komplex $\op{Hom}(\cal{P}M,N[0])$ bilden. Damit erhalten wir dann die Darstellung $$\op{Ext}(M,N)=\cal{H}_{-1}\op{Hom}(\cal{P}M,N[0])$$ Andererseits definiert die Surjektion $\DZ M\sra M$ offensichtlich einen Isomorphismus $$\op{Hom}(M,N)\sira \cal{H}_{0}\op{Hom}(\cal{P}M,N[0])$$ Da nun nach \ref{UFF} der Komplex $\cal{P}M$ aus freien abelschen Gruppen besteht, liefert jede kurze exakte Sequenz $N^{\prime} \hookrightarrow N \twoheadrightarrow N^{\prime\prime}$ von abelschen Gruppen eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $$\op{Hom}(\cal{P}M,N'[0])\hra\op{Hom}(\cal{P}M,N[0])\sra \op{Hom}(\cal{P}M,N''[0])$$ und die zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz liefert mit den eben angegebenen Identifikationen eine exakte Sequenz $$ \begin{array}{ccccccccc}0&\ra& \op{Hom} (M,N^{\prime})& \hra& \op{Hom} (M,N) &\ra &\op{Hom} (M,N^{\prime\prime})&\ra& \\ &\ra &\op{Ext} (M,N^{\prime})&\ra& \op{Ext} (M,N)& \twoheadrightarrow &\op{Ext} (M, N^{\prime\prime}) &\ra& 0 \end{array} $$ Sie hei"st die lange exakte {\bf Ext-Sequenz im zweiten Eintrag}. \index{Ext-Sequenz!im zweiten Eintrag} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubunge}\label{EeXt} Man zeige, da"s wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Erweiterungen von $M$ durch $N$ im Sinne}\\ \text{ von \ref{koEW}, bis auf Erweiterungsisomorphie} \end{array}\right\} & \sira & \op{Ext} (M,N) \end{array}$$ erhalten, indem wir jeder kurzen exakten Sequenz $N \hookrightarrow E \twoheadrightarrow M$ das Bild in $\op{Ext} (M,N)$ der Identit"at auf $M$ unter dem Randoperator der zugeh"origen $\op{Ext}$-Sequenz im zweiten Eintrag zuordnen. Hinweis: Gegeben $e \in \op{Ext} (M,N)$ w"ahle man einen Repr"asentanten $\tilde{e} : KM \ra N$ und bilde durch pushout in die Mitte im Sinne von \ref{UCKK} ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} KM & \hookrightarrow &\Bbb{Z} M &\twoheadrightarrow &M\\ \downarrow & &\downarrow && \| \\ N & \hookrightarrow &E& \twoheadrightarrow & M \end{array}$$ Man zeige weiter, da"s f"ur $f:M'\ra M$ eine kurze exakte Sequenz $N\hra F\sra M'$ genau dann der Erweiterung $e\circ f\in \op{Ext} (M',N)$ entspricht, wenn es einen vertikalen Isomorphismus in der Mitte gibt, der das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} N & \hookrightarrow &F &\twoheadrightarrow &M'\\ \| & &\downarrow && f \\ N & \hookrightarrow &E& \twoheadrightarrow & M \end{array}$$ kommutativ macht. Da"s wir f"ur vorgegebenes $f$ ein m"ogliches $F$ als pull-back konstruieren k"onnen. Und da"s entsprechendes dual f"ur $g:N\ra N'$ gilt. \end{Ubunge} \subsection{Injektive abelsche Gruppen} \begin{Definition}\label{injM} Ein Modul $I$ "uber einem Ring $R$ hei"st {\bf injektiv}\index{injektiv!Modul} genau dann, wenn gegeben irgendein weiterer Modul $M$ "uber unserem Ring und darin ein Untermodul $ U\subset M$ sich jeder Modulhomomorphismus $U\ra I$ zu einem Modulhomomorphismus $M\ra I$ ausdehnen l"a"st. In Formeln hei"st das also: F"ur jede Injektion $i:U\hra M$ von $R$-Moduln liefert das Vorschalten eine Surjektion $$(\circ i):\op{Mod}_R (M,I) \sra \op{Mod}_R (U, I)$$ \end{Definition} \begin{Beispiele} Ist $k$ ein K"orper, so ist jeder $k$-Modul injektiv als $k$-Modul, aber nat"urlich nicht notwendig als abelsche Gruppe. Einen injektiven $\Bbb{Z}$-Modul nennen wir eine {\bf injektive abelsche Gruppe}.\index{injektiv!abelsche Gruppe} Die abelsche Gruppe $\DQ$ ist injektiv, wie die gleich anschlie"sende Proposition \ref{IAG} zeigt. Alternativ k"onnen wir auch argumentieren, da"s f"ur $S=\DZ\backslash 0$ gilt $\op{Ab} (M,\DQ) = \op{Mod}_{\DQ} (S^{-1} M, \DQ)$ nach der universellen Eigenschaft der Lokalisierung \eref{UECC}{KAG} und da"s die rechte Seite ein exakter Funktor in $M$ ist wegen der Exaktheit der Lokalisierung \eref{EdLo}{KAG}. Wieder anders k"onnen wir auch argumentieren, da"s gilt $\op{Ab} (M,\DQ) = \op{Mod}_{\DQ} (\DQ \otimes_{\Bbb{Z}} M, \DQ)$ nach \ref{F2} und da"s die rechte Seite ein exakter Funktor in $M$ ist nach \ref{Tex}. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine abelsche Gruppe hei"st {\bf divisibel}\index{divisibel!abelsche Gruppe} genau dann, wenn f"ur jede von Null verschiedene ganze Zahl der durch die Multiplikation mit dieser Zahl gegebene Endomorphismus unserer Gruppe surjektiv ist. \end{Definition} \begin{Beispiel} Sowohl $\DQ$ als auch $\DQ/\DZ$ sind divisible abelsche Gruppen. \end{Beispiel} \begin{Proposition}\label{IAG} \begin{enumerate} \item Eine abelsche Gruppe $I$ ist injektiv genau dann, wenn gilt $\op{Ext} (M,I) =0$ f"ur alle $M$; \item Eine abelsche Gruppe ist injektiv genau dann, wenn sie divisibel ist; \item Jeder Quotient einer injektiven abelschen Gruppe ist injektiv; \item Jede abelsche Gruppe l"a"st sich in eine Injektive einbetten. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}\label{UCKK} Analoges gilt mit einem analogen Beweis auch f"ur Moduln "uber beliebigen Hauptidealringen. Der folgende Beweis verwendet die Konstruktion des \glqq push-out in der Kategorie der abelschen Gruppen\grqq\ : Gegeben Homomorphismen abelscher Gruppen $\phi:A\ra B$ und $\psi:A\ra C$ bildet man die abelsche Gruppe $P=(B\oplus C)/\{(\phi(a),-\psi(a))\mid a\in A\}$ mit den durch die Einbettungen induzierten Morphismen $B\ra P$ und $C\ra P$ und erh"alt so ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} A &\rightarrow & B\\ \downarrow && \downarrow \\ C & \rightarrow &P \end{array}$$ von abelschen Gruppen. Die Gruppe $P$ oder genauer die \glqq H"alfte dieses Diagramms unterhalb der Linie durch $B$ und $C$\grqq\ hei"st der {\bf push-out} der H"alfte oberhalb besagter Linie. Im Rahmen der Kategorientheorie in \eref{puou}{TF} mag man die universelle Eigenschaft kennenlernen, die push-outs in beliebigen Kategorien charakterisiert. In unserem speziellen Fall erkennt man leicht, da"s die Injektivit"at eines Ausgangspfeils die Injektivit"at des dazu parallelen Pfeils in den push-out impliziert und da"s die Surjektivit"at eines Ausgangspfeils gleichbedeutend ist zur Surjektivit"at des dazu parallelen Pfeils in den push-out, in Formeln $(A\hra B)\RA (C\hra P)$ und $(A\sra B)\IFF (C\sra P)$. Man vergleiche hierzu auch "Ubung \eref{UCK}{TF}. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] 1. F"ur $I$ injektiv folgt $\op{Ext} (M,I) =0$ aus der Definition. Sei umgekehrt $I$ eine abelsche Gruppe mit $\op{Ext} (M,I)=0$ f"ur alle $M$. Gegeben eine Injektion $B^{\prime} \hookrightarrow B$ gilt es, jeden Morphismus $B^{\prime} \ra I$ zu einem Morphismus $B \ra I$ auszudehnen. Dazu bilden wir den push-out $$\begin{array}{ccc} B^{\prime} &\hookrightarrow & B\\ \downarrow && \downarrow \\ I & \hookrightarrow &Y \end{array}$$ mit einer Injektion in der unteren Horizontalen nach \ref{UCKK}. Vervollst"andigen wir diese untere Horizontale zu einer kurzen exakten Sequenz $I \hookrightarrow Y \twoheadrightarrow K$ und bilden dazu die $\op{Ext}$-Sequenz im zweiten Eintrag \ref{EZE} mit $M =K$, so folgt, da"s die Surjektion $Y \twoheadrightarrow K$ spaltet alias ein Rechtsinverses besitzt. Mit \ref{spalt} folgt, da"s dann auch die Injektion $I\hra Y$ spaltet, und ein Linksinverses $Y\ra I$ dazu liefert die gew"unschte Ausdehnung. \\[2mm]\noindent 2. Ist $I$ injektiv, so induziert f"ur alle $n\neq 0$ die Injektion $(n\cdot):\Bbb{Z}\hra\Bbb{Z}$ eine Surjektion $\op{Hom}(\Bbb{Z}, I)\sra \op{Hom}(\Bbb{Z}, I)$ alias $(n\cdot):I\sra I$. Jede injektive abelsche Gruppe ist also divisibel. Die Umkehrung zeigen wir mit dem Zorn'schen Lemma. Sei $I$ divisibel, $A'\subset A$ eine Untergruppe und $\varphi':A'\ra I$ ein Homomorphismus. Es gilt, $\varphi'$ auf ganz $A$ auszudehnen. Wir betrachten dazu die Menge aller Paare $(A_1, \varphi_1)$ mit $ A_1$ einer Untergruppe von $A$ oberhalb von $A'$ und $\varphi_1$ einer Fortsetzung von $\varphi'$ auf $A_1$. Die Menge aller derartigen Paare ist in offensichtlicher Weise induktiv geordnet, wir finden also eine maximale Ausdehnung $(A_{\op{max}}, \varphi_{\op{max}})$. W"are hier nicht $A_{\op{max}}=A$, so k"onnten wir ein $a$ im Komplement w"ahlen und das pushout-Diagramm $$\begin{array}{ccc} A_{\op{max}} \cap \langle a\rangle &\hookrightarrow & \langle a\rangle \\ \downarrow && \downarrow \\ A_{\op{max}} & \hookrightarrow &A_{\op{max}} +\langle a\rangle \end{array}$$ bilden. Da $I$ divisibel ist, k"onnen wir die Einschr"ankung von $\varphi_{\op{max}}$ l"angs der linken Vertikale ausdehnen l"angs der oberen Horizontale zu sagen wir $\varphi_{a}:\langle a\rangle\ra I$, und $\varphi_{\op{max}}$ und $\varphi_{a}$ zusammen liefern dann eine Ausdehung von $\varphi_{\op{max}}$ auf den pushout. Das aber widerspr"ache der Maximalit"at unserer Ausdehnung. \\[2mm]\noindent 3. Das folgt direkt aus 2, oder auch aus 1 mit der $\op{Ext}$-Sequenz \ref{EZE}. \\[2mm]\noindent 4. Eine derartige Einbettung liefert nach 3 die rechte Vertikale des kokartesischen Dia\-gramms $$\begin{array}[b]{ccc} \Bbb{Z} M & \twoheadrightarrow & M\\ \downarrow & &\downarrow \\ \DQ M & \twoheadrightarrow &I \end{array}$$ Da"s die untere Horizontale eine Surjektion und die rechte Vertikale eine Injektion ist, folgt aus der expliziten Konstruktion des pushout nach \ref{UCKK}. \end{proof} \begin{proof}[Beweisvariante zur Injektivit"at divisibler abelscher Gruppen] Wir k"onnen die Injektivit"at divisibler abelscher Gruppen alternativ auch aus dem anschlie"senden Lemma folgern, das in unserer Terminologie zeigt $\op{Ext}(N,I)=0$ f"ur jede abelsche Gruppe $N$ und jede divisible abelsche Gruppe $I$. Umgekehrt folgt dieses Lemma auch unmittelbar aus der Injektivit"at divisibler abelscher Gruppen. \end{proof} \begin{Lemma} Ist $M$ eine abelsche Gruppe und $I \subset M$ eine divisible Untergruppe, so gibt es eine weitere Untergruppe $D \subset M$ mit $M = I \oplus D$. \end{Lemma} \begin{proof} Nach dem Zorn'schen Lemma gibt es unter allen Untergruppen von $M$, die $I$ nur in der Null treffen, eine maximale Untergruppe $D$. Es reicht zu zeigen, da"s gilt $I + D =M$. Zun"achst beachten wir, da"s $$D^\prime := \{ v \in M \mid \exists n \in \mathbb Z \backslash 0 \;\text{ mit }\; n v \in D\}$$ auch eine Untergruppe von $M$ ist. Dann beachten wir, da"s aufgrund unserer Annahme an $I$ auch gilt $D^\prime \cap I =0$. Wegen der Maximalit"at von $D$ haben wir also $D^\prime = D$. W"are nun $I + D \neq M$, so k"onnten wir $c\in M$ mit $c \not\in I + D$ finden. Ich behaupte, da"s dann $I \cap (D + \mathbb Z c) = 0$ g"alte im Widerspruch zur Maximalit"at von $D$. In der Tat folgt aus $q = d + n c$ mit $q \in I \backslash 0$ und $d \in D$ bereits $n \neq 0$. Es gibt also $p \in I$ mit $n p = q$ und dann auch $ n ( p -c) = d$. Daraus aber folgt erst $p -c \in D^\prime =D$ und dann $c \in I + D$ im Widerspruch zu unserer Annahme. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{EXEX} Ist $N'\hra N\sra N''$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen und ist $M$ ein weitere abelsche Gruppe, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}(M,N')\hra \op{Hom}(M,N)\ra \op{Hom}(M,N'')$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s keineswegs wieder eine Surjektion sein. Ist jedoch $M$ frei, so ist auch der rechte Pfeil offensichtlich wieder eine Surjektion und unsere Sequenz folglich exakt. Ist "ahnlich $M'\hra M\sra M''$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen und ist $N$ ein weitere abelsche Gruppe, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}(M'',N)\hra \op{Hom}(M,N)\ra \op{Hom}(M',N)$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s ebensowenig eine Surjektion sein. Unsere Erweiterungsgruppen sind in gewisser Weise Korrekturterme f"ur diese Ph"anomene. Im ersten Fall ist das die Bedeutung von \ref{EZE}. Wir zeigen es nun als \ref{KIAa} zweiten Fall. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ext-Sequenz im ersten Eintrag}] Gegeben eine abelsche Gruppe $N$ betrachten wir die kurze exakte Sequenz $N\hra I_N\sra C_N$ mit der im letzten Schritt des\label{KIAa} Beweises von \ref{IAG} als pushout konstruierten Einbettung von $N$ in eine injektive Gruppe $I=I_N$ als erstem Pfeil und dem Kokern dieser Einbettung als zweitem Pfeil. Den Zweischrittkomplex $I_N\sra C_N$ in Graden Null und $(-1)$ notieren wir $\cal{I}N$. Gegeben eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen $ M^\prime \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime} $ erh"alt man nun wegen der Injektivit"at der Eintr"age $\cal{I}N$ eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $$\op{Hom}(M'',\cal{I}N)\hra \op{Hom}(M,\cal{I}N)\sra \op{Hom}(M',\cal{I}N)$$ Die zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz liefert mit den durch die Homologiesequenz im zweiten Eintrag gegebenen Identifikationen eine exakte Sequenz $$ \begin{array}{ccccccccc}0&\ra& \op{Hom} (M'',N)& \hra& \op{Hom} (M,N) &\ra &\op{Hom} (M',N)&\ra& \\ &\ra &\op{Ext} (M'',N)&\ra& \op{Ext} (M,N)& \twoheadrightarrow &\op{Ext} (M', N) &\ra& 0 \end{array} $$ Sie hei"st die {\bf lange exakte Ext-Sequenz im ersten Eintrag}. \index{Ext-Sequenz!im ersten Eintrag} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine ber"uhmte {\bf Vermutung von Whitehead}\index{Whitehead!Vermutung von} dahingehend, da"s f"ur abelsche Gruppen $A$ gilt $$\op{Ext}(A,\Bbb{Z})=0\;\;\RA\;\; A\text{ frei}$$ ist von Shelah \cite{Shelah} in ganz absonderlicher Weise \glqq gel"ost\grqq\ worden: Ob die Vermutung stimmt oder nicht, h"angt von den Axiomen der Mengenlehre ab, die man zugrundelegt! \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} "Ahnlich wie im Fall der Torsionsgruppen zeige man, da"s gegeben abelsche Gruppen $M,N$ die von $\cal{P}M\sra M[0]$ und $N[0]\hra \cal{I}N$ induzierten Kettenabbildungen $$\op{Hom}(M[0],\cal{I}N)\ra\op{Hom}(\cal{P}M,\cal{I}N) \leftarrow \op{Hom}(\cal{P}M,N[0])$$ auf der Homologie Isomorphismen induzieren. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ExtT} F"ur jede abelsche Gruppe $N$ und jede nat"urliche Zahl $m\neq 0$ liefert der Randoperator der Ext-Sequenz im ersten Eintrag zur kurzen exakten Sequenz $ \mathbb{Z} \overset{m}{\hookrightarrow} \mathbb{Z} \twoheadrightarrow \mathbb{Z}/m \mathbb{Z} $ einen Isomorphismus $$ N/mN\;\sira\;\op{Ext}(\Bbb{Z}/m\Bbb{Z},N)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und eine Familie von abelschen Gruppen $(N_i)$ ist die kanonische Abbildung ein Isomorphismus $$\op{Ext} \left(M,\prod N_i\right)\sira \prod \op{Ext} (M,N_i)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Familie von abelschen Gruppen $(M_i)$ und eine abelsche Gruppe $N$ ist die kanonische Abbildung ein Isomorphismus $$\op{Ext} \left(\bigoplus M_i, N\right)\sira \prod \op{Ext} (M_i,N)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gilt $\op{Ext} (P,N) =0$ f"ur alle $N$, so ist $P$ frei. Kann im allgemeinen $\op{Ext} (M,N)$ Elemente unendlicher Ordnung enthalten? \end{Ubung} \subsection{Koeffizientenwechsel in der Kohomologie} \begin{Satz}[\defnoind{Universelles Koeffiziententheorem der Kohomologie}] \index{Universelles Koeffiziententheorem!der Kohomologie} Ist $X$ ein topologischer Raum\label{UKh} und $G$ eine abelsche Gruppe, so haben wir nat"urliche kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} ({\op{H}}_{q-1}X,G) \hookrightarrow {\op{H}}^{q}(X;G) \twoheadrightarrow \op{Hom} ({\op{H}}_{q}X,G)$$ Diese Sequenzen spalten sogar f"ur jedes $X$, aber nicht in nat"urlicher Weise. \end{Satz} \begin{Beispiel}[\textbf{Universelles Koeffiziententheorem, Anwendung}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $q\in\DZ$. Sind dann ${\op{H}}_{q}X$ und ${\op{H}}_{q-1}X$ endlich ezeugte abelsche Gruppen, so ist auch ${\op{H}}^{q}X$ eine endlich ezeugte abelsche Gruppe, deren Rang mit dem Rang von ${\op{H}}_{q}X$ "ubereinstimmt, wohingegen ihr Torsionsanteil unkanonisch isomorph ist zum Torsionsanteil von ${\op{H}}_{q-1}X$. In Formeln gilt also unter den gegebenen Endlichkeitsannahmen $$\op{rang}{\op{H}}^{q}X=\op{rang}{\op{H}}_{q}X \quad \text{ und }\quad {(\op{H}}^{q}X)_{\op{tor}}\cong({\op{H}}_{q-1}X)_{\op{tor}}. $$ Das alles folgt unmittelbar aus dem universellen Koeffiziententheorem in Verbindung mit der Strukturtheorie endlich erzeugter abelscher Gruppen \eref{zk}{LA2} und der Beschreibung von $\op{Ext}$ aus \ref{ExtT}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Verallgemeinerung auf allgemeinere Koeffizienten}] Will man aus Homologie eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einem Ring $k$ die Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten in einem $k$-Modul $G$ berechnen, so leistet das im allgemeinen eine \glqq Spektralsequenz mit ${\op{E}}_2$-Term $\op{Ext}^i_k({\op{H}}_j(X;k),G)$\grqq. In unserem speziellen Fall $k=\DZ$ verschwinden alle Erweiterungen ab Grad Zwei, wir notieren $\op{Ext}^1_\DZ=\op{Ext}$, und besagte Spektralsequenz degeneriert zur Aussage des obigen Satzes. Das gilt allgemeiner nach \ref{UFF} f"ur $k$ einen Hauptidealring oder ganz allgemein f"ur alle Ringe derart, da"s jeder Untermodul eines projektiven Moduls projektiv ist. Derartige Ringe hei"sen \defnoind{erbliche Ringe},\index{erblicher Ring} da sich bei ihnen \glqq die Eigenschaft der Projektivit"at auf Untermoduln vererbt\grqq. Kaplansky hat ein Beispiel f"ur einen erblichen Ring gefunden, dessen opponierter Ring nicht erblich ist. Man m"u"ste also eigentlich genauer von {\bf linkserblichen} und {\bf rechtserblichen Ringen} reden. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten die kurze exakte Sequenz $G \hookrightarrow I_G \twoheadrightarrow C_G$ mit injektiven $I_G$ und $C_G$ aus \ref{KIAa}. Sie f"uhrt zu einer kurzen exakten Sequenz von Komplexen $$\op{Hom} ({\op{S}}X,G) \hookrightarrow \op{Hom} ({\op{S}}X,I_G) \twoheadrightarrow \op{Hom} ({\op{S}}X,C_G)$$ Da $I_G$ und $C_G$ injektiv sind, sind die Funktoren $\op{Hom}(\;,I_G)$ und $\op{Hom}(\;,C_G)$ exakt und \glqq kommutieren\grqq\ folglich mit dem Bilden der Homologie in derselben Weise, wie wir das in \ref{Hex} f"ur das Tensorieren mit torsionsfreien Moduln gesehen hatten. Von der zugeh"origen langen exakten Kohomologiesequenz ist also ein Ausschnitt $$ \begin{array}{ccccccccc} & & & \ra& \op{Hom} ({\op{H}}_{q-1}X,I_G) &\ra &\op{Hom} ({\op{H}}_{q-1}X,C_G)&\ra& \\ &\ra &{\op{H}}^{q} (X;G)&\ra& \op{Hom} ({\op{H}}_{q}X,I_G)& \rightarrow &\op{Hom} ({\op{H}}_{q}X, C_G) &\ra& \end{array} $$ Die Ext-Sequenz im zweiten Eintrag liefert uns damit wie gew"unscht kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} ({\op{H}}_{q-1} X,G)\hookrightarrow {\op{H}}^{q} (X;G) \twoheadrightarrow \op{Hom} ({\op{H}}_{q}X,G)$$ Es bleibt zu zeigen, da"s unsere Sequenzen spalten. So eine Spaltung folgt aber wie zu Ende des Beweises von \ref{UKT} aus der Existenz einer Spaltung der Einbettung ${\op{Z}}_qX\hra {\op{S}}_qX:$ Solch eine Spaltung ${\op{S}}_qX\sra {\op{Z}}_qX$ induziert n"amlich eine Abbildung $\op{Hom}({\op{H}}_qX, G)\hra \op{Hom}({\op{Z}}_qX, G)\ra {\op{S}}^q(X;G)$, die in ${\op{Z}}^q(X;G)$ landet. \end{proof} \begin{Bemerkunge}\label{UKTT} Sei allgemeiner $C_{\ast}$ irgendein Komplex von freien abelschen Gruppen und $G$ eine weitere abelsche Gruppe. So liefert dasselbe Argument unkanonisch spaltende kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} (\cal{H}_{q-1}C_{\ast}, G) \hookrightarrow \cal{H}^{q} \op{Hom}(C_{\ast},G) \twoheadrightarrow \op{Hom} (\cal{H}_{q}C_{\ast},G)$$ \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Das universelle Koeffiziententheorem der Kohomologie gilt mit demselben Beweis auch in der relativen Kohomologie. Man pr"ufe es explizit im Fall der relativen Kohomologie des M"obiusbands relativ zu seinem Randkreis. Hinweis: \ref{MBDK}. \end{Ubung} \newpage \section{Poincar\'e-Dualit"at und Schnittpaarung} \subsection{Limites und Kolimites} %, NEUER VERSUCH} \label{LKiL} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKolim}\\[4mm] \noindent Illustration zum Kolimes\end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildLimm}\\[4mm] \noindent Illustration zum Limes\end{figure} \begin{Definition}\label{Kolim} Gegeben ein K"ocher $\cal{I}$ und eine Kategorie $\cal{C}$ ist die Vorschrift, die jedem Objekt die entsprechende {\bf konstante Darstellung} unseres K"ochers zuordnet, ein Funktor $$\op{const}:\mathcal C\ra \op{Car}(\cal{I},\mathcal C)$$ Wenn der partielle Linksadjungierte dieses Funktors auf einer K"ocherdarstellung $D:\cal{I}\ra \mathcal C$ definiert ist, so nennen wir seinen Wert \glqq den\grqq\ {\bf Kolimes}\index{Kolimes} unserer K"ocherdarstellung. Ist unsere K"ocherdarstellung $D$ gegeben durch $D:i\mapsto D_i$ und $D:\mathcal I(i,j)\ra \mathcal C(D_i,D_j)$, so notieren wir den Kolimes \index{col@$\col$ Kolimes} $$ \col_{i\in\mathcal I} D_{i} %=\varinjlim _{i\in\mathcal I}D_i $$ Er ist in der "ublichen Weise eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus, wenn er denn existiert. Die Bilder der Pfeile unter einer K"ocherdarstellung k"urzen wir gerne mit demselben Symbol $D(p)=p$ ab. Wenn der partielle Rechtsadjungierte unseres Funktors $\op{const}$ auf einer K"ocherdarstellung definiert ist, so nennen wir seinen Wert \glqq den\grqq\ {\bf Limes}\index{Limes} unserer K"ocherdarstellung und notieren ihn\label{Limes}\index{Limes!in Kategorie} $$\lim_{i\in\mathcal I}D_i%=\varprojlim _{i\in\mathcal I}D_i $$ \end{Definition} % Ich habe hier meine Notation September 2014 etwas geaendert! \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] % In \cite[I.2]{SGA4} hei"st unser Kolimes $\varinjlim $ ein % {\bf induktiver Limes} % \index{Limes!induktiver}\index{induktiv!Limes} und wird $\varinjlim$ % notiert.\index{lim@$\varinjlim$ induktiver Limes} % Weiter hei"st unser Limes% $\varprojlim $ ein % {\bf projektiver Limes} % \index{Limes!projektiver}\index{projektiv!Limes} und wird $\varprojlim$ % notiert.\index{lim@$\varprojlim$ projektiver Limes} F"ur unseren Kolimes findet man in der Literatur auch die Bezeichnungen als {\bf induktiver Limes}\index{Limes!induktiver} und {\bf direkter Limes}.\index{Limes!direkter} F"ur unseren Limes findet man in der Literatur auch die Bezeichnungen als {\bf projektiver Limes}\index{Limes!projektiver} und {\bf inverser Limes}. \index{Limes!inverser} Meist geht man spezieller von einer Kategorie $\mathcal I$ aus und betrachtet nur Kolimites von Funktoren $F\in \op{Cat}(\cal{I},\mathcal C)\subset \op{Car}(\cal{I},\mathcal C)$. Die Einschr"ankung auf diesen Spezialfall schien mir jedoch wenig sinnvoll. Oft geht man auch noch spezieller von einer partiell geordneten Indexmenge $\mathcal I$ aus, dann ist die Kategorie mit je einem Morphismus von kleineren zu gr"o"seren Elementen gemeint. Im allgemeinen nenne ich eine Darstellung eines K"ochers in einer Kategorie $\mathcal C$ auch gerne ein {\bf System in $\mathcal C$}. Meist findet man f"ur den Kolimes die ausf"uhrlichere Notation $\colim$.\index{colim@$\colim$ Kolimes} Oft verwendet man auch statt $\col$ und $\lim$ die Notationen $\varinjlim $ und $\varprojlim $. Ich erlaube mir das jedoch nur im Fall filtrierender bzw. kofiltrierender Systeme, wie sie in \ref{FiDe} eingf"uhrt werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ausgeschrieben besteht unser Kolimes aus einem Objekt $K=\col D_i$ mitsamt Morphismen $\op{in}_i: D_i\ra K$ derart, da"s gilt $ \op{in}_j\circ D(p)=\op{in}_i$ f"ur alle Pfeile $ p\in \mathcal I(i,j)$ und da"s folgende {\bf universelle Eigenschaft} erf"ullt ist: Gegeben ein Objekt $N\in \mathcal C$ mitsamt Morphismen $\psi_i: D_i\ra N$ derart, da"s gilt $\psi_j\circ D( p) =\psi_i$ f"ur alle Pfeile $ p\in \mathcal I(i,j)$, existiert genau einen Morphismus $\psi: K\ra N$ mit $\psi\circ\op{in}_i=\psi_i$ f"ur alle $i$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Kolimes einer Darstellung $F:\mathcal I\ra \mathcal C$ eines K"ochers f"allt zusammen mit dem Limes der Darstellung $F^\circ:\mathcal I^{\op{opp}} \ra \mathcal C^{\op{opp}}$ des opponierten K"ochers in der opponierten Kategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ausgeschrieben besteht unser Limes aus einem Objekt $L=\lim D_i$ mitsamt Morphismen $\op{pr}_i: L\ra D_i $ derart, da"s gilt $ D( p)\circ \op{pr}_i =\op{pr}_j$ f"ur alle Pfeile $ p\in \mathcal I(i,j)$, und da"s folgende {\bf universelle Eigenschaft} erf"ullt ist: Gegeben ein Objekt $M\in \mathcal C$ mitsamt Morphismen $\psi_i: M\ra D_i$ derart, da"s gilt $ D( p)\circ \psi_i =\psi_j$ f"ur alle Pfeile $ p\in \mathcal I(i,j)$, existiert genau ein Morphismus $\psi: M\ra L$ mit $\op{pr}_i\circ\psi=\psi_i$ f"ur alle $i$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}[\textbf{Kolimes spezialisiert zu Koprodukt und Pushout}] Im Fall eines K"ochers ohne Pfeile spezialisiert unser Kolimes zum Koprodukt. Im Fall eines Kowinkeldiagramms spezialisiert unser Kolimes zum Pushout. \end{Beispiele} \begin{Beispiele}[\textbf{Limes spezialisiert zu Produkt, Pullback und Egalisator}] Im Fall eines K"ochers ohne Pfeile spezialisiert unser Limes zum Produkt. Im Fall eines Winkeldiagramms spezialisiert unser Limes zum Pullback. Bezeichne schlie"slich $\begin{array}{c} \rightarrow\\[-2ex] \rightarrow \end{array}$ den K"ocher mit zwei Punkten und zwei Pfeilen, von dem ich der Einfachkeit halber\label{Egal} nur die Pfeile angedeutet habe. Der Limes einer Darstellung dieses K"ochers hei"st, wenn er existiert, auch der {\bf Egalisator}\index{Egalisator} der beiden Morphismen, die den Pfeilen unseres K"ochers zugordnet werden. Sind zum Beispiel $f,g:X\ra Y$ zwei Abbildungen von Mengen, so ist ihr Egalisator die Menge $\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}$ mit ihrer Einbettung nach $X$. \end{Beispiele} \begin{Beispiel}[\textbf{Kolimites von Mengen}] In der Kategorie der Mengen existieren alle Kolimites: Unser universelles Problem wird gel"ost von der Menge der "Aquivalenzklassen in der disjunkten Vereinigung $\coprod_{i\in \mathcal I}M_{i}$ unter der "Aquivalenzrelation $\sim$, die erzeugt wird wird durch die "Aquivalenzen\label{KolM} $$\op{in}_i(a_i)\sim \op{in}_j( p(a_i)) \text{ f"ur alle }i, j\in \mathcal I \text{ und alle } p\in \mathcal I(i,j)\text{ und alle }a_i\in M_i.$$ Wir nennen diese Menge von "Aquivalenzklassen {\em den} Kolimes $\col M_{i}$ der $M_{i}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kolimes als aufsteigende Vereinigung}] Gegeben sei ein Diagramm von Mengen mit Injektionen $M_0\hra M_1\hra M_2\hra \ldots$. Sind sie alle Teilmengen einer gro"sen Menge $M$ und sind unsere Injektionen Inklusionen von Teilmengen, so liefert die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$ \col _{i\in\DN}M_i\;\sira\;\bigcup_{i\in\DN}M_i$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} In der Kategorie der abelschen Gruppen existieren Kolimites: Der Quotient der direkten Summe $\bigoplus_{i\in \mathcal I}M_{i}$ nach der Untergruppe, die erzeugt wird von allen $\op{in}_i(m) - \op{in}_j(p (m))$ f"ur $i,j \in I$, $p\in\mathcal I(i,j)$ und $m \in M_{i}$, l"ost unser universelles Problem. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{FiDe} Eine Kategorie $\mathcal I$ hei"st {\bf filtrierend}\index{filtrierend!Kategorie} genau dann, wenn sie (1) nicht leer ist, wenn es (2) f"ur je zwei Objekte $i,j \in \mathcal I$ ein Objekt $k \in \mathcal I$ mit Morphismen $i \rightarrow k$, $j \rightarrow k$ gibt und wenn es (3) f"ur je zwei Morphismen $\varphi , \psi : i \rightarrow j$ einen Morphismus $\zeta : j \rightarrow k$ gibt mit $ \zeta \circ \varphi = \zeta \circ \psi$. Eine Kategorie $\mathcal I$ hei"st {\bf kofiltrierend}\index{kofiltrierend!Kategorie} genau dann, wenn die opponierte Kategorie filtrierend ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein Kolimes "uber eine filtrierende Kategorie hei"st auch ein {\bf filtrierender Kolimes}\index{filtrierend!Kolimes}\index{Kolimes!filtrierender} und wir notieren ihn $\varinjcol$\index{col@$\varinjcol$ filtrierender Kolimes} oder meist,\label{KfK} leicht irref"uhrend aber der Tradition gehorchend, $\varinjlim$.\index{lim@$\varinjlim$ filtrierender Kolimes} Ein Limes "uber eine kofiltrierende Kategorie hei"st auch ein {\bf kofiltrierender Limes}\index{kofiltrierend!Limes}\index{Limes!kofiltrierender} und wir notieren ihn $\varprojlim$.\index{lim@$\varprojlim$ kofiltrierender Limes} Schreiben wir $\varinjlim_{n\in \DN}X_n$, so gehen wir stets implizit von einem System der Gestalt $X_0\ra X_1\ra\ldots$ aus, "uber das der Kolimes zu bilden ist. Schreiben wir $\varprojlim_{n\in \DN}X_n$, so gehen wir stets implizit von einem System der Gestalt $\ldots\ra X_1\ra X_0$ aus, "uber das der Limes zu bilden ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Filtrierende Kolimites von Mengen}] Im Fall eines mengenwertigen Funktors $M \in\op{Cat}( \mathcal I, \op{Ens})$ auf einer filtrierenden Kategorie $\mathcal I$ kann\label{fdl} man die "Aquivalenzrelation $\sim$ auf der disjunkten Vereinigung $\coprod M_i$ aus \ref{KolM} mit $$\varinjlim M=\left.\left(\coprod_{i \in \mathcal I} M_i\right)\right/ \sim$$ sehr viel expliziter beschreiben: Genau dann gilt unter dieser Annahme $a_i \sim a_j$, wenn es Morphismen $\varphi : i \rightarrow k$ und $\psi : j \rightarrow k$ gibt mit $ \varphi(a_i) = \psi(a_j)$ in $M_k$. In der Tat liefert f"ur filtrierendes $\mathcal I$ diese Vorschrift eine "Aquivalenzrelation, von der man leicht zeigt, da"s sie mit der in \ref{KolM} beschriebenen "Aquivalenzrelation "ubereinstimmen mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $\mathcal I$ ein K"ocher. Eine Sequenz $F\ra G\ra H$ in der Kategorie $\op{Car}(\mathcal I,\op{Ens}^*)$ der Darstellungen von $\mathcal I$ durch bepunktete Mengen hei"st {\bf exakt}\index{exakt Sequenz!von K"ocherdarstellungen} genau dann, wenn f"ur jedes $i\in \mathcal I$ die Sequenz $F_i\ra G_i\ra H_i$ \hyperref[exak]{exakt} ist. \end{Definition} \begin{Lemma}[\textbf{Exaktheit von filtrierenden Kolimites f"ur Mengen}] Ist $\mathcal I$ eine filtrierende Kategorie, so macht das Bilden des Kolimes\label{EDL} \begin{equation*} \varinjlim : \op{Cat} (\mathcal I, \op{Ens}^*) \rightarrow \op{Ens}^* \end{equation*} aus exakten Sequenzen wieder exakte Sequenzen. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exaktheit von filtrierenden Kolimites f"ur Gruppen}] F"ur ein filtrierendes System von Gruppen erhalten wir auf ihrem Kolimes als Mengen aus \ref{fdl} in offensichtlicher Weise eine Struktur als Gruppe und es ist auch klar, da"s wir so den Kolimes in der Kategorie der Gruppen konstruieren k"onnen. Unser Lemma gilt also analog\label{EDLG} auch f"ur Gruppen. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkunge} % Das gilt auch etwas allgemeiner im Fall einer sogenannten % {\bf pseudofiltrierenden Kategorie}\index{pseudofiltrierend!Kategorie} % $\mathcal I$, % von der man nur fordert, da"s sich jeder Winkel zu einem % kommutativen Quadrat erg"anzen l"a"st und da"s es % f"ur je zwei Morphismen % $\varphi , \psi : i \rightarrow j$ einen Morphismus % $\zeta : j \rightarrow k$ gibt mit $ \zeta % \circ \varphi = \zeta \circ \psi$. Diese Allgemeinheit hat den % Vorteil, da"s sich auch die % Exaktheit direkter Summen unmittelbar als Spezialfall ergibt. % \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Sei $F\ra G\ra H$ unsere Sequenz. Bezeichne $(\varphi_i),(\psi_i)$ die Morphismen unserer Sequenz und $\varphi,\psi$ ihre Kolimites. Sicher ist die Verkn"upfung auch im Kolimes konstant. Ist andererseits $\op{in}_{i} (g_{i})\in \varinjlim G$ ein Element im Kolimes der Mitte, das auf $*\in \varinjlim H$ geht, so folgt $\op{in}_{i} \psi_{i}(g_{i})=*$, nach \ref{fdl} also $\zeta \psi_{i}(g_{i}) =*$ f"ur geeignetes $\zeta:i\ra j$, also $\psi_{j} \zeta(g_{i})=*$ und folglich gilt $\zeta (g_{i})=\varphi_{j}(f_{j})$ und $\op{in}_{i}(g_{i}) = \varphi \op{in}_{j} (f_{j})$. \end{proof} % \begin{Satz}[\textbf{Exaktheit von filtrierenden Kolimites}] % Gegeben % eine exakte Sequenz $(M'_i)\ra(M_i)\ra(M''_i)$ % von induktiven Systemen abelscher Gruppen\label{EDL} % erhalten wir auch im direkten Limes eine exakte Sequenz % $$\varinjlim M^{\prime}_{i} \rightarrow % \varinjlim M_{i} \ra \varinjlim % M_{i}^{\prime\prime}$$ % \end{Satz} % \begin{Definition}\label{Filtr} % Eine partiell geordnete Menge hei"st % {\bf filtrierend}\index{filtrierend!partiell geordnete Menge} % genau % dann, wenn darin % jede endliche Teilmenge eine obere Schranke besitzt. % Ein Kolimes "uber ein filtrierendes System hei"st ein % {\bf filtrierender Kolimes}.\index{Kolimes!filtrierender} % % ein Limes "uber ein filtrierendes System ein % % {\bf filtrierender Limes}.\index{Limes!filtrierender} % \end{Definition} % \begin{Bemerkungl} % In der Literatur wird meist % eine andere Definition verwendet, nach der man % eine partiell geordnete Menge filtrierend nennt genau % dann, wenn % es f"ur je zwei Elemente aus $I$ ein Drittes gibt, % da"s gr"o"ser ist als alle beide. % Mit dieser Definition w"are auch % die leere Menge filtrierend, was mir % unnat"urlich scheint und was ich in diesem Text nicht zulassen will. % Das ist der einzige Unterschied der Definition dieses % Textes zur in der Literatur "ublichen Definition. % \end{Bemerkungl} % Ein System "uber einer filtrierenden Menge hei"st % in der Literatur oft auch ein {\bf direktes} oder % \index{System!direktes} {\bf induktives % System}.\index{System!induktives} % \begin{Bemerkungl} Ein filtierender Kolimes % hei"st in der Literatur % auch oft ein {\bf direkter Kolimes} oder\index{Kolimes!direkter} % {\bf induktiver % % Kolimes}\index{Kolimes!induktiver} % oder in milder Begriffsverwirrung % ein {\bf direkter % Limes}.\index{Limes!direkter} % \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Unterkategorie $\mathcal K \subset \mathcal I$ einer filtrierenden Kategorie hei"st {\bf konfinal}\index{konfinal!in filtrierender Kategorie} genau dann, wenn sie voll ist und wenn es f"ur jedes $i\in \mathcal I$ einen Morphismus zu einem Objekt $k \in \mathcal K$ gibt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] In der Literatur hei"st diese Eigenschaft meist \glqq kofinal\grqq.\index{kofinal!in filtrierender Kategorie} Da die Vorsilbe \glqq ko\grqq\ aber in diesem Zusammenhang mit der Bedeutung \glqq dasselbe f"ur opponierte Kategorien\grqq\ belastet ist, habe ich die Terminologie variiert. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{"Ubergang zu konfinalen Teilsystemen}]\label{KFin} Seien $\mathcal I$ eine filtrierende Kategorie, $\mathcal K \subset \mathcal I$ konfinal und $M:\mathcal I\ra \mathcal C$ ein Funktor. Genau dann existiert der Kolimes von $M$ "uber $\mathcal I$, wenn der Kolimes "uber $\mathcal K$ existiert, und dann ist der offensichtliche Morphismus ist ein Isomorphismus $$\varinjlim _{k\in \mathcal K} M_{k}\;\sira\;\varinjlim _{i\in \mathcal I} M_{i}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Beide Seiten haben dieselbe universelle Eigenschaft. Man "uberzeuge sich davon zun"achst im Spezialfall, da"s $\mathcal I$ ein finales Objekt besitzt und da"s $\mathcal K$ nur aus diesem einen finalen Objekt besteht. \end{proof} % \begin{Bemerkungl}\label{Limes} % Systeme in der opponierten Kategorie nennen wir % {\bf Systeme}\index{System} % und der % Kolimes hei"st dann % {\bf Limes}\index{Limes}.\index{Limes!in Kategorie} % Ausgeschrieben ist also ein System in einer Kategorie $\cal{C}$ % "uber einer % partiell geordneten Menge $(I,\geq)$ % eine % Familie $\{M_{i}\}_{i \in I}$ von Objekten mitsamt Morphismen % $ \varphi_{ ij} : M_{j} \ra M_{i}$ f"ur alle $j \geq i$ derart, da"s % gilt $\varphi_{ k j} \circ \varphi_{ j i }= \varphi_{ k i}$ wann immer % $k \geq j \geq i$ und $\varphi_{ii} = % \op{id} $ f"ur alle $i$, und ein Limes % "uber ein solches System ist % ein Objekt $L$ mitsamt Morphismen $\op{can}_{i} : L % \ra M_{i}$ derart, da"s eine gewisse universelle Eigenschaft erf"ullt ist, die % der Leser nun erraten kann. % Man notiert Limites\index{lim@$\varprojlim $ Limes in Kategorie} meist % $$L=\varprojlim M_{i}$$ % Im Fall einer partiell geordneten % Menge, in der je zwei verschiedene Objekte unvergleichbar sind, % spezialisiert unser Limes % zum Produkt. Im Fall einer partiell geordneten Menge mit % drei Elementen, von denen eines kleiner ist als die beiden anderen, % diese beiden jedoch unvergleichbar sind, spezialisiert % unsere Definition zum Pullback alias Faserprodukt. % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % In \cite[I.2]{SGA4} hei"st unser Limes $\varprojlim $ ein {\bf projektiver Limes} % \index{Limes!projektiver}\index{projektiv!Limes} und wird $\varprojlim$ % notiert.\index{lim@$\varprojlim$ projektiver Limes} % \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkung}[\textbf{Konventionen zur Indizierung}] % Sicher k"onnen Systeme identifiziert werden mit % Systemen, die durch die opponierte partiell % geordnete Menge indiziert werden. Wir k"onnen in diesem Sinne % sowohl unsere Limites als auch unsere Kolimites jeweils % sowohl "uber Systemen als auch "uber Systemen % erkl"aren, aber das w"urde zu zus"atzlicher Verwirrung f"uhren. % Die Indizierung ist so gew"ahlt, da"s weder der Limes % noch der Kolimes % sich "andern, wenn man Elemente unserer % partiell geordneten Mengen wegl"a"st, die nicht maximal sind. % St"arkere Aussagen in dieser Richtung formuliert \ref{KFin}. % \end{Bemerkung} % \begin{Bemerkungl} % Ein System "uber einer filtrierenden Menge hei"st % in der Literatur meist ein {\bf inverses % System},\index{System!inverses} und ein Limes "uber ein derartiges System % hei"st dann ein {\bf inverser} oder\index{Limes!inverser} {\bf projektiver % Limes}\index{Limes!projektiver} und wird statt $\varprojlim $ meist % $\varprojlim$\index{lim@$\varprojlim$ inverser Limes in Kategorie} notiert. % \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Limites von Mengen}] In der Kategorie der Mengen existieren Limites: Die Teilmenge des Produkts $\prod_{i\in \mathcal I}M_{i}$, die besteht aus allen Tupeln $(m_i)$ mit $p(m_i)=m_j \text{ f"ur alle Pfeile }p:i\ra j $, l"ost unser universelles Problem. Wir nennen diese Teilmenge des Produkts ab jetzt {\em den} Limes $\lim M_{i}$ der $M_{i}$. %{\sf lim} \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Leere Limites nichtleerer Mengen}] Der Limes eines kofiltrierenden Systems nichtleerer endlicher Mengen ist nicht leer: Das folgt aus dem Satz von Tychonov \eref{ST}{ML} mit "Ubung \eref{Skoa}{AN1} zu nichtleeren Schnittmengen von Familien abgeschlossener Teilmengen in Kompakta. Die Mengen $\DZ_{\leq n}$ mit den Inklusionen als Morphismen bilden ein kofiltrierendes System nichtleerer unendlicher Mengen mit leerem Limes. Sogar bei einem kofiltrierenden System nichtleerer Mengen mit \emph{surjektiven} Morphismen kann es verbl"uffenderweise vorkommen, da"s der Limes leer ist. Mehr dazu findet man in der \glqq Th\'eorie des Ensembles\grqq\ von Bourbaki. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Formale Potenzreihen als Limes}] Zum Beispiel k"onnen wir den Ring $k\llbracket X\rrbracket$ der formalen Potenzreihen mit Koeffizienten in einem Ring $k$ aus \eref{FPR}{LA1} beschreiben als Limes des Systems aller \glqq abgeschnittenen Polynomringe\grqq, genauer liefert die universelle Eigenschaft einen Isomorphismus $k\llbracket X\rrbracket \sira \varprojlim_n k[X]/\langle X^n\rangle$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\label{KFinl} Als Konsequenz unseres Resultats f"ur Kolimites in \ref{KFin} bleiben nat"urlich auch Limites unver"andert bei der Restriktion zu einer Unterkategorie, deren opponierte Kategorie konfinal ist in der opponierten der Indexkategorie des urspr"unglichen Systems. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben ein System von Gruppen (oder abelschen Gruppen, oder Ringen, oder Moduln) tr"agt sein Limes als System von Mengen in nat"urlicher Weise die Struktur einer Gruppe (oder einer abelschen Gruppe, oder eines Rings, oder eines Moduls) und wird mit dieser Struktur ein Limes in der jeweiligen Kategorie. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Linkssadjungierte vertauschen mit Kolimites}] Seien $L:\mathcal B\ra \mathcal C$ ein Funktor und $\mathcal I$ ein K"ocher und\label{KaAA} $X:\mathcal I\ra \mathcal B$ eine Darstellung. Existiert der Kolimes $\col X(i)$ und besitzt $L$ einen Rechtsadjungierten, so machen auch die offensichtlichen Morphismen $L(X(i))\ra L(\col X(i))$ die rechte Seite zu einem Kolimes der Darstellung $LX:\mathcal I\ra \mathcal C$. Ebenso vertauschen Rechtsadjungierte mit Limites. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Transitivit"at von Kolimites}] Seien $\mathcal I$ und $\mathcal J$ K"ocher und\label{coco} sei $\mathcal B$ eine weitere Kategorie und $X: \mathcal I\times\mathcal J\ra\mathcal B$ eine Darstellung. So ist, immer unter der Voraussetzung der Existenz unserer Kolimites, der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $$\col _{\mathcal I\times\mathcal J}X(i,j)\sira \col_{\mathcal I}\left(\col _{\mathcal J}X(i,j)\right)$$ Analoges gilt f"ur Limites.\end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tensorprodukte vertauschen mit Kolimites}] In Formeln liefert also die kanonische Abbildung einen Isomorphismus\label{KLT} $$\col (M_{i}\otimes_{R} N) \sira (\col M_{i})\otimes_{R} N$$ Hinweis: Man beachte, da"s $\otimes_R N$ einen Rechtsadjungierten besitzt, und wende \ref{KaAA} an. \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{VIKM} Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ und $n\in \DN$ betrachte man die Kategorie mit Objekten $\op{Ab}(\DZ^n,G)$ und Morphismen $\zeta:\varphi\ra\psi$ allen Gruppenhomomorphismen $\zeta: \DZ^n\ra \DZ^n$ mit $\psi\circ\zeta=\varphi$. Man zeige: F"ur $n\geq 2$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$\varinjlim_{\varphi \in \op{Ab}(\DZ^n,G)} \DZ^n\sira G$$ Man zeige weiter, da"s das f"ur $n\leq 1$ nicht mehr stimmt. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}\label{dLs} Gegeben ein filtrierendes System $(M_i)$ von Gruppen, dessen s"amtliche Morphismen Surjektionen sind, kann man den direkten Limes auch beschreiben, indem man ein $i$ festh"alt und $M_i$ teilt durch die Vereinigung der Kerne aller $p:i\ra j$. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukt "uber einem Kolimes}] Mithilfe von \ref{dLs} zeige man: Gegeben ein filtrierendes System von Ringen\label{dLt} $R_i$ mit Kolimes $R$ und einen $R$-Rechtsmodul $M$ sowie einen $R$-Linksmodul $N$ induziert die kanonische Abbildung einen Isomorphismus $$\col_i (M\otimes_{R_i}N) \sira M\otimes_{R}N$$ \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{LH} Sei der topologische Raum $X$ eine aufsteigende oder allgemeiner eine filtrierende Vereinigung offener Teilmengen, in Formeln $X=\bigcup_{i\in I} U_i$ und f"ur je zwei Indizes $i,j\in I$ existiert ein Index $k\in I$ mit $U_i\subset U_k$ und $U_j\subset U_k$. So gilt ${\op{H}}_q(X)=\varinjlim {\op{H}}_q(U_{i})$ und $\pi_1(X,x)=\varinjlim_i \pi_1(U_i,x)$, wo der zweite Kolimes nur "uber alle $i$ mit $x\in U_i$ l"auft. \end{Ubung} % \begin{Ubung}[\textbf{Rechtsadjungierte vertauschen mit Limites}] % Seien $R:\mathcal B\ra \mathcal C$ ein Funktor und % $\mathcal I$ ein K"ocher und\label{KaAAn} % $X:\mathcal I\ra \mathcal B$ % eine Darstellung. Existiert der Limes $\varprojlim X(i)$ und % besitzt $R$ einen % Linksadjungierten, so machen auch die offensichtlichen Morphismen % $R(\varprojlim X(i))\ra R(X(i))$ % die rechte Seite zu einem Limes der Darstellung $RX:\mathcal I\ra \mathcal C$. % \end{Ubung} \begin{Ubunge}\label{BPRR} Algebraisch Gebildete m"ogen zeigen, da"s in der Kategorie $\op{Kring}$ der kommutativen Ringe beliebige Produkte existieren. Hinweis: Man bilde den Limes "uber alle endlichen Teilprodukte, deren Existenz durch \ref{TPRR} bereits gesichert ist. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{MiLe} Ist $M^\prime_i \hookrightarrow M_i \rightarrow M^{\prime\prime}_i$ eine linksexakte Sequenz von Systemen abelscher Gruppen, so ist die Sequenz \begin{equation*} \lim M^\prime_i \hookrightarrow \lim M_i \rightarrow \lim M_i^{\prime\prime} \end{equation*} der Limites auch linksexakt. Sind unsere Systeme indiziert durch $n\in \DN$ und besteht die Sequenz aus kurzen exakten Sequenzen $M^\prime_n \hookrightarrow M_n \sra M^{\prime\prime}_n$ und sind alle Morphismen des linken Systems Surjektionen $M^\prime_n \sra M^\prime_m$, so bilden die inversen Limites sogar eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} \varprojlim_{ n} M^\prime_n \hookrightarrow \varprojlim_{ n} M_n \twoheadrightarrow \varprojlim_{ n} M_n^{\prime\prime} \end{equation*} Man kann das auch noch allgemeiner zeigen unter der noch schw"acheren sogenannten {\bf Mittag-Leffler-Bedingung},\index{Mittag-Leffler!Bedingung von} da"s in jedem $M'_n$ die absteigende Folge der Bilder der $M'_j$ mit $j>n$ nach endlich vielen Schritten konstant wird, etwa beim Bild von $M'_{j(n)}$. Hinweis: Gegeben ein Element des inversen Limes $(m''_n)$ w"ahle man zun"achst in der Mitte jeweils Urbilder $m_n$ und davon ausgehend \glqq bessere\grqq\ Urbilder als die Bilder $\tilde{m}_n\in M_n$ der $m_{j(n)}$, und "andere die $m_{j(n)}$ dann induktiv so ab, da"s die $\tilde{m}_n$ ein Element des inversen Limes werden. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Die kurzen exakten Sequenzen $ p^n\DZ\hra \DZ \sra \DZ/ p^n\DZ$ f"ur $p\neq 0$ liefern im inversen Limes keine kurze exakte Sequenz: Die kanonische Abbildung $\DZ\ra \DZ_p$ von $\DZ$ in die $p$-adischen Zahlen ist nicht surjektiv. \end{Beispiel} \begin{Ubung}[\textbf{"Ubergang zu den Schnitten der Bilder}] Gegeben ein System $M_i$ abelscher Gruppen "uber einem K"ocher $\mathcal I$ betrachten wir das Untersystem der {\bf Schnitte der Bilder} gegeben durch\label{SchBB} $$S_i\pdef \bigcap_{j\ra i}\op{im}(M_j\ra M_i)$$ Man zeige, da"s die Einbettung dieses Untersystems auf den Limites einen Isomorphismus $\lim S_i\sira \lim M_i$ induziert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{"Ubergang zum bidualen System}] Gegeben ein System $M_i$ von Vektorr"aumen "uber einem K"ocher $\mathcal I$ zeige man:\label{UBDS} Besteht das Untersystem der Schnitte aller Bilder nach \ref{SchBB} aus endlichdimensionalen Untervektorr"aumen, gilt also in Formeln $\dim\bigcap_{j\ra i}\op{im}(M_j\ra M_i)<\infty$ f"ur alle $i$, so induziert die Einbettung unseres Systems in sein eigenes Biduales einen Isomorphismus $\lim M_i\sira \lim M_i^{\ast\ast}$. Hinweis: \ref{SchBB}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AzAg} Sei ein durch die nat"urlichen Zahlen indiziertes inverses System von exakten Komplexen abelscher Gruppen gegeben. Sind alle Morphismen unseres Systems surjektiv, so ist auch der inverse Limes exakt. Hinweis: Die Bilder fallen einerseits mit den Zykeln zusammen und bilden andererseits auch ein inverses System mit surjektiven Morphismen. Nun wende man das Mittag-Leffler-Kriterium \ref{MiLe} an. \end{Ubung} % \begin{proof}[Beweis] % Das ist eine elementare Diagrammjagd. % Sei $\ldots\ra S_i^{n-1}\ra S_i^{n}\ra\ldots$ der $i$-te Komplex. % Gegeben f"ur % festes $n$ ein % Element $(s^n_i)_{i\in\Bbb{N}}$ des inversen Limes aus dem Kern des % Randoperators konstruieren wir ein Urbild % $(s^{n-1}_i)_{i\in\Bbb{N}}$, indem wir beginnend mit $i=0$ % induktiv % Urbilder $s^{n-1}_i$ der % $s^n_i$ vertr"aglich w"ahlen. % \end{proof} \begin{Ubung}\label{AKIL} Gegeben ein Morphismus von Systemen von Kettenkomplexen ist der Limes der zugeh"origen Abbildungskegel der Abbildungskegel des auf den Limites induzierten Morphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QIL} Sei gegeben ein Morphismus $u: X \rightarrow Y$ von durch $\mathbb N$ indizierten inversen Systemen von Kettenkomplexen. Im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \;&\;\ar@{.}[d] & \; \ar@{..}[d]&\; \\ \;\ar@{..}[r]& X_n^1 \ar[r]^{\partial}\ar[d] & X_{n-1}^1 \ar[d]\ar@{..}[r] &\;\\ \;\ar@{..}[r]& X_n^0 \ar[r]^{\partial} &X^0_{n-1}\ar@{..}[r]&\; } \end{displaymath} deuten die vertikalen Pfeile die Morphismen des inversen Systems $X$ an. Induziert $u^i :X^i\rightarrow Y^i$ f"ur alle $i\in \mathbb N$ Isomorphismen auf der Homologie und sind alle Morphismen unserer inversen Systeme Surjektionen $X^i \twoheadrightarrow X^{i-1}$, $Y^i \twoheadrightarrow Y^{i-1}$, so induziert auch die im inversen Limes erhaltene Kettenabbildung \begin{equation*} \varprojlim X^i \rightarrow \varprojlim Y^i \end{equation*} Isomorphismen auf der Homologie. Hinweis: Es reicht, die Exaktheit des Abbildungskegels zu zeigen. Das gelingt mit \ref{AKIL} und \ref{AzAg}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{QILcc} Seien $R$ ein Ring und $X $ ein durch $\mathbb N$ indiziertes inverses System $\ldots\sra X^1\sra X^0$ von Komplexen von $R$-Moduln mit surjektiven Systemmorphismen und $q\in\DZ$ fest. Sind die $(q+1)$-ten Homologiegruppen unserer Komplexe alle artinsch, zum Beispiel endlichdimensionale Vektorr"aume oder endliche abelsche Gruppen, so liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$\mathcal H_q(\varprojlim X^i)\sira \varprojlim \mathcal H_q(X^i)$$ Allgemeiner reicht es hier sogar zu fordern, da"s f"ur jedes feste $i$ die Bilder von $\mathcal H_q(X^{j+i})\ra \mathcal H_q(X^i)$ f"ur hinreichend gro"ses $j$ artinsch sind. Hinweis: Unter unserer Annahme erf"ullen die projektiven Systeme der $(q+1)$-Zykel die Mittag-Leffler-Bedingung. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Limites in Funktorkategorien}] Gegeben seien ein K"ocher $\mathcal I$ und Kategorien\label{KLPG} $ \mathcal A , \mathcal D$ und eine Darstellung $\mathcal I \rightarrow \op{Cat} (\mathcal A, \mathcal D)$, $i \mapsto F_i$. Existiert f"ur alle $A \in \mathcal A$ der Kolimes $\col F_i (A)$ in $\mathcal D$, so erhalten wir einen Kolimes der $F_i$ in $\op{Cat} (\mathcal A, \mathcal D)$ durch die Vorschrift $$(\col F_i) (A) \pdef \col (F_i (A))$$ Dasselbe gilt, wenn wir $\col $ durch $\lim $ ersetzen, und kann auch formal durch "Ubergang zu opponierten Strukturen gefolgert werden. Insbesondere existiert f"ur jede Kategorie $\mathcal C$ und jedes Universum $\mathfrak U$ in unserer Kategorie $\cal{C}^\wedge=\cal{C}^\wedge_{\mathfrak U} \pdef\op{Cat}(\cal{C}^{\op{opp}},\mathfrak U\!\op{Ens})$ aller kontravarianten Funktoren $\cal{C}\ra\mathfrak U\!\op{Ens}$ aus \eref{DFTo}{LA2} der Kolimes f"ur jede Darstellung in $\cal{C}^\wedge$ eines K"ochers, dessen Punktemenge ein Element von $\mathfrak U$ ist. Wir nennen so einen K"ocher auch einen {\bf $\mathfrak U$-kleinen K"ocher}. Weiter erhalten wir auch eine recht explizite Beschreibung dieser Limites, \index{U-klein@$\mathfrak U$-kleiner K"ocher} \index{K"ocher!$\mathfrak U$-kleiner} der wir ansehen k"onnen, da"s f"ur ein System $(C_i)$ aus $\op{Car}(\mathcal I,\mathcal C)$, dessen Limes in $\mathcal C$ existiert, der Limes in $\mathcal C$ unter dem offensichtlichen Morphismus isomorph auf den Limes des Bildsystems in $\mathcal C^\wedge$ geht, in Formeln $$(\lim C_i)^\wedge\sira \lim \hat C_i$$ In der Tat nehmen beide Funktoren auf $Y\in\mathcal C$ denselben Wert $\lim \mathcal C(Y,X_i)$ an, vergleiche etwa \cite[I.3.2]{SGA4}. Man beachte, da"s f"ur Kolimites alias \glqq induktive Limites\grqq\ keine derartige Aussage gilt. Man verwendet manchmal die Notation ``$\varinjlim$''\index{lim@``$\varinjlim$''} mit Anf"uhrungsstrichlein f"ur in der Kategorie $\mathcal C^\wedge$ zu verstehende Kolimites. Ich schlage stattdessen die Notation\index{lim@$\limh$ Kolimes in Funktorkategorie} $$\colh$$ und im filtrierenden Fall die Notation $\limh$ oder besser $\colhu$ vor. Dual verwendet man manchmal die Notation ``$\varprojlim$''\index{lim@``$\varprojlim$''} f"ur in der Kategorie $\mathcal C^\vee$ zu verstehende Kolimites. Ich schlage stattdessen die Notation $\limc$ \index{lim@$\limc$ Limes in Funktorkategorie} und im kofiltrierenden Fall die Notation $\limcu$ vor. \end{Ubunge} \subsection{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} \begin{Bemerkungl}\label{KKTk}%frueher KKT Wir wollen im n"achsten Abschnitt den Dualit"atssatz \ref{PD} von Poincar\'{e} durch eine Art \glqq Induktion "uber die offenen Teilmengen\grqq\ beweisen und m"ussen dazu eine Version dieses Satzes f"ur nicht notwendig kompakte Mannigfaltigkeiten formulieren. F"ur jeden topologischen Raum $X$ definieren wir dazu seine {\bf singul"are Kohomologie mit kompaktem Tr"ager}\index{Kohomologie!singul"are!mit kompaktem Tr"ager} als den direkten Limes $${\op{H}}^{q}_{!} X \pdef \varinjlim_K {\op{H}}^{q}(X,X\backslash K)$$ seiner relativen\index{H@${\op{H}}^{q}_{~!}$ Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} Kohomologiegruppen in Bezug auf die Komplemente kompakter Teilmengen. Der Limes ist zu verstehen "uber alle Kompakta $K\subset X$. Die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager hat nur f"ur lokal kompakte Hausdorffr"aume so gute Eigenschaften, da"s sie zu etwas nutze ist. Ich will jedoch versuchen, im folgenden die jeweils ben"otigten Eigenschaften der beteiligten R"aume jeweils explizit dazuzuschreiben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] "Ublich ist f"ur Kohomologie mit kompaktem Tr"ager\index{H@${\op{H}}^{q}_{c}$ Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} die Notation ${\op{H}}^{q}_{c} X$, aber bei ihrer Verallgemeinerung zum \glqq direkten Bild mit kompaktem Tr"ager\grqq\ hat sich schon lange die $!$-Notation durchgesetzt und beim unteren Index $c$ liegt auch immer die Fehlinterpretation als $c$-te Homologie nahe, weshalb ich die $!$-Notation bevorzuge. Nat"urlich kann Kohomologie mit kompaktem Tr"ager auch mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $G$ definiert werden. Wir schreiben dann ${\op{H}}^{q}_{!} (X;G)$ und, wenn wir besonders betonen wollen, da"s die singul"are Kohomologie gemeint ist, genauer ${\op{H}}^{q}_{!} (X;G)_{\op{sing}}$. \index{H@${\op{H}}^{q}_{~!} (X;G)_{\op{sing}}$ Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager des $\DR^n$ gilt $${\op{H}}^{q}_!(\DR^{n})\cong \left\{\begin{array}{ll} \Bbb{Z} & q=n;\\ 0 & \text{sonst}. \end{array}\right. $$ In der Tat bilden immer gr"o"sere B"alle um den Ursprung ein finales System im System aller kompakten Teilmengen des $\DR^n$, und f"ur dieses System ist der fragliche Limes aus \ref{KKTk} leicht zu berechnen. Man beachte, da"s die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager insbesondere keine Homotopieinvariante ist. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} F"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ eines Hausdorffraums erhalten wir eine Abbildung, die {\bf Ausdehnung durch Null}\index{Ausdehnung durch Null!in der singul"aren Theorie} $${\op{H}}^{q}_{!} U \ra {\op{H}}^{q}_{!}X$$ als Kolimes der Abbildungen ${\op{H}}^{q}(U,U\backslash K) \sira {\op{H}}^{q}(X,X\backslash K)\ra {\op{H}}^{q}_{!} X$, wo die ersten Abbildungen die Inversen zu den Ausschneidungsisomorphismen meinen und der Limes "uber alle Kompakta aus $U$ zu bilden ist. Die Hausdorff-Eigenschaft wird ben"otigt, um sicherzustellen, da"s unser Kompaktum $K$ auch abgeschlossen ist in $X$ und wir somit die Ausschneidungsisomorphismen zur Verf"ugung haben. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNc}\\[4mm] \noindent Dieses Bild soll anhand der simplizialen Interpretation veranschaulichen, da"s nur die zweite Kohomologie mit kompaktem Tr"ager der Ebene nicht verschwindet und da"s sie frei ist vom Rang Eins "uber dem Koeffizientenring. Der Korand eines Punktes ist die formale Summe aller \glqq orientierten aus ihm herauslaufenden Kanten\grqq. Es ist damit klar, da"s es au"ser der Null keinen Null-Simplizialkozykel gibt. Der Korand eines orientierten Segments ist die Summe aller $2$-Simplizes, in deren Rand es liegt, mit einer durch die Orientierung unseres Segments bestimmten Orientierung. Man kann sich etwa mithilfe der dualen Zellenzerlegung klarmachen, da"s alle Eins-Simplizialkozykel R"ander sind. Schlie"slich sind alle $2$-Simplizialkoketten auch $2$-Kozykel und zwei $2$-Koketten sind kohomolog genau dann, wenn die \glqq Zahl der darin vorkommenden orientierten $2$-Simplizes gleich ist, wobei $2$-Simplizes mit entgegengesetztem Drehsinn negativ zu z"ahlen sind\grqq. \end{figure} \begin{Bemerkungl} [\textbf{Mayer-Vietoris-Sequenz f"ur ${\op{H}}^\ast_{!}$}] Ist ein Hausdorff\-raum $X$ Vereinigung von\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!f"ur ${\op{H}}^\ast_{~!}$} zwei offenen Teilmengen $X = U \cup V$ und sind $K\subset U$ und $L\subset V$ kompakt, so haben wir in \ref{KRMVS} eine lange exakte Sequenz $${\op{H}}^{q}(X,X\backslash (K\cap L)) \ra {\op{H}}^{q}(X,X\backslash K) \oplus {\op{H}}^{q}(X,X\backslash L) \ra {\op{H}}^{q}(X,X\backslash (K\cup L))$$ konstruiert. Mit Ausschneidung und "Ubergang zum direkten Limes "uber alle $K$ und $L$ ergibt sich daraus eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (U) \oplus {\op{H}}^{q}_{!}(V)\ra {\op{H}}^{q}_{!}(X) \ra {\op{H}}^{q+1}_{!}(U\cap V)\ra\ldots$$ Sie hei"st die {\bf Mayer-Vietoris-Sequenz} der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager.\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!der Kohomologie!mit kompaktem Tr"ager} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ erkl"aren wir den Komplex der {\bf singul"aren Koketten mit kompaktem Tr"ager}\index{singul"ar!Koketten mit kompaktem Tr"ager} als\index{Koketten!singul"are mit kompaktem Tr"ager} direkten Limes\label{HUZT} "uber alle Kompakta \begin{equation*} {\op{S}}^\ast_! X \pdef \varinjlim_K {\op{S}}^\ast (X,X\backslash K) \end{equation*} der relativen Koketten alias den Komplex aller Koketten, f"ur die es ein Kompaktum gibt derart, da"s sie auf allen Simplizes verschwinden, die besagtes Kompaktum nicht treffen. Wegen der Exaktheit filtrierender direkter Limites berechnet dieser Komplex in der Tat die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager im Sinne von \ref{KKTk}, wir haben also kanonische Isomorphismen \begin{equation*} \mathcal H^q {\op{S}}^\ast_! X \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^q_! X \end{equation*} Man beachte, da"s unser Komplex von singul"aren Koketten mit kompaktem Tr"ager verschieden ist vom Dualen des Komplexes der lokal endlichen Ketten $\mathrm S^!X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Kohomologie mit kompaktem Tr"ager}] Die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager ist nur im Fall lokal kompakter Hausdorffr"aume von Bedeutung. Im Fall noch allgemeinerer R"aume hat sie zu wenig gute Eigenschaften. Um Anschauung f"ur die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager bereitzustellen, erkl"are ich die simpliziale Bedeutung dieses Konzepts. Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\cal{K}$ wie in \ref{KocSi} k"onnen wir im Komplex der Simplizialkoketten aus \ref{KoSi} einen Unterkomplex ${\op{S}}^{\ast}_{!} \cal{K}\subset {\op{S}}^{\ast} \cal{K}$\index{S@${\op{S}}^{\ast}_{~!} \cal{K}$ Simplizialkoketten mit kompaktem Tr"ager} bilden, indem wir nur solche Abbildungen $f:\cal{K}_{q}^\leq\ra \Bbb{Z}$ zulassen, die auf fast allen angeordneten $q$-Simplizes verschwinden. Wir nennen ihn den Komplex der {\bf Simplizialkoketten mit kompaktem Tr"ager}\index{Simplizialkokette!mit kompaktem Tr"ager} und behaupten, da"s er bereits die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager ${\op{H}}^{\ast}_{!} \Delta (\cal{K})$ berechnet. Nach \ref{KFin} k"onnen wir ja bei der Definition der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager den direkten Limes ebenso gut "uber alle Teilmengen $K$ mit kompaktem Abschlu"s laufen lassen. Wieder nach \ref{KFin} haben wir in unserem speziellen Fall auch $${\op{H}}^{\ast}_{!}\Delta (\cal{K}) \sira \varinjlim_\cal{L} {\op{H}}^{\ast} (\Delta (\cal{K}), \Delta (\cal{L}))$$ wo $\cal{L}$ "uber alle Unterkomplexe $\cal{L} \subset \cal{K}$ l"auft mit $|\cal{K} \backslash \cal{L}| < \infty$. Nach \ref{KoSi} in Verbindung mit dem F"unferlemma wird nun aber die relative Kohomologie ${\op{H}}^{\ast} (\Delta (\cal{K}), \Delta (\cal{L}))$ berechnet durch den Komplex ${\op{S}}^{\ast}(\cal{K}, \cal{L})$ der relativen Simpli\-zialkoketten, den wir erkl"aren als den Kern der offensichtlichen Kettenabbildung ${\op{S}}^{\ast} \cal{K} \twoheadrightarrow {\op{S}}^{\ast}\cal{L}$. Bilden wir den direkten Limes dieser Kerne, so erhalten wir gerade unseren Komplex ${\op{S}}^{\ast}_{!} \cal{K}$, und wegen der Exaktheit filtrierender direkter Limites erhalten wir schlie"slich kanonische Isomorphismen $$\begin{array}{ccl} \cal{H}^{q} \;{\op{S}}^{\ast}_{!} \cal{K} & \sira & \cal{H}^{q} \varinjlim_\cal{L} {\op{S}}^{\ast} (\cal{K},\cal{L})\\[2mm] &\sira & \varinjlim_\cal{L} \cal{H}^{q} \;{\op{S}}^{\ast} (\cal{K},\cal{L})\\[2mm] &\sira & \varinjlim_\cal{L} {\op{H}}^{q} (\Delta (\cal{K}), \Delta (\cal{L}))\\[2mm] &\sira & {\op{H}}^{q}_{!} \Delta (\cal{K}) \end{array}$$ \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{LHC} Ist ein Hausdorffraum $X$ Vereinigung eines Systems offener Teilmengen $\cal{U}$ derart, da"s es f"ur je zwei Mengen aus $\cal{U}$ eine weitere Menge aus $\cal{U}$ gibt, die sie beide umfa"st, so induzieren die eben erkl"arten Abbildungen einen Isomorphismus $\varinjlim_{U\in\cal{U}} {\op{H}}^q_{!}(U)\sira {\op{H}}^q_{!}(X)$. \end{Ubung} \subsection{Borel-Moore-Homologie*} \begin{Bemerkungl} Um zus"atzliche Anschauung f"ur diese \glqq Kohomologie mit kompaktem Tr"ager\grqq\ bereitzustellen, will ich nun erkl"aren, in welcher Weise ihr Dualraum in vielen F"allen als \glqq Borel-Moore-Homologie\grqq\ interpretiert werden kann. Zumindest ich kann mir diese Homologie sehr viel besser vorstellen. Man beachte, da"s es sich in diesem Fall andersherum verh"alt als bei gew"ohnlicher Homologie und Kohomologie: Die Borel-Moore-Homologie ist zwar f"ur lokal kompakte Simplizialkomplexe und K"orperkoeffizienten der Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager, die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager ist jedoch nur dann auch umgekehrt der Dualraum der Borel-Moore-Homologie, wenn sie endlichdimensional ist. In diesem Sinne scheint die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager "ahnlich grundlegend zu sein wie die Homologie. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein topologischer Raum $X$ erkl"aren wir die Gruppe $ {\op{S}}_q^! X $ der\label{DBMo} {\bf lokal endlichen singul"aren $q$-Ketten} als\index{lokal endlich!singul"are Kette} die\index{singul"are Kette!lokal endliche} Gruppe aller Abbildungen $\op{Top} (\Delta_q, X) \rightarrow \mathbb Z$ mit der Eigenschaft, da"s jeder Punkt $x \in X$ eine Umgebung $U$ besitzt derart, da"s nur endlich vielen singul"aren Simplizes $\sigma : \Delta_q \rightarrow X$ mit $\sigma (\Delta_q) \cap U \neq \emptyset$ eine von Null verschiedene Zahl zugeordnet wird. Der Zusatz \glqq lokal endlich\grqq\ wirkt in diesem Fall also begriffserweiternd. Man "uberlegt sich leicht, da"s wir wie bei der Definition der Homologie Randoperatoren $$\partial : {\op{S}}^!_q X \rightarrow {\op{S}}^!_{q-1}X$$ erkl"aren k"onnen: Die lokale Endlichkeit unserer Ketten sorgt daf"ur, da"s beim Bilden der R"ander keine unendlichen Summen von Koeffizienten auftreten. Die Homologiegruppen des Komplexes ${\op{S}}^! X$ der lokal endlichen singul"aren Ketten nennen wir die {\bf Borel-Moore-Homologie} oder genauer die {\bf singul"are Borel-Moore-Homologie von} $X$\index{Borel-Moore-Homologie!singul"are} und notieren sie \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBMSt}\\[4mm] \noindent Ein lokal endlicher Eins-Zykel im \glqq Mercedes-Stern\grqq, also dem topologischen Raum, der aus drei ins Unendliche laufenden Halbgeraden besteht. Die erste Borel-Moore-Homologie ist frei vom Rang Zwei und wird erzeugt von dem hier gezeichneten Zykel zusammen mit seinen beiden gedrehten Varianten. Die einzige Relation ist, da"s die Summe dieser drei Erzeuger verschwindet. \end{Bild} \begin{equation*} \mathcal H_q {\op{S}}^! X \defp {\op{H}}^!_q X={\op{H}}^!_q (X)_{\op{sing}} \end{equation*} Nat"urlich k"onnen wir diese Konstruktionen auch analog mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe $G$ durchf"uhren. Wir erhalten so Kettenkomplexe ${\op{S}}^! (X; G)$, notieren deren Homologie $ \mathcal H_q {\op{S}}^! (X;G)\defp{\op{H}}^!_q (X;G) $ und nennen sie die {\bf Borel-Moore-Homologie von $X$ mit Koeffizienten in} $G$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In der Literatur findet man meist andere Definitionen, vergleiche etwa \cite{BoMo}, die zwar nicht immer, aber doch in allen mir bekannten Anwendungsf"allen dieselben Gruppen liefern. Die Notation ${\op{H}}^!_qX$ ist un"ublich, sie scheint mir jedoch praktisch und ich kenne auch keine allgemein "ubliche Notation. Die obige Definition liefert im allgemeinen eine Theorie mit ziemlich schlechten formalen Eigenschaften. Sie ist jedoch zumindest meiner Anschauung sehr gut zug"anglich und kann in interessanten Anwendungsf"allen mit anderen Theorien identifiziert werden, die vielleicht weniger anschaulich sind, daf"ur aber bessere formale Eigenschaften haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation der Borel-Moore-Homologie}] Gegeben ein lokal endlicher\label{Sibo} Simplizialkomplex $\mathcal K$ k"onnen wir\label{KocSi} den {\bf Komplex der lokal endlichen Simplizialketten} ${\op{S}}^!\mathcal K$ ganz analog bilden wie den Komplex der Simplizialketten\index{Simplizialkette!lokal endliche} ${\op{S}}\mathcal K$ aus \ref{SiKe}, indem wir eben auch unendliche formale Linearkombinationen von angeordneten Simplizes zulassen. Die Homologie dieses Komplexes nennen wir die {\bf simpliziale Borel-Moore-Homologie}\index{Borel-Moore-Homologie!simpliziale } unseres lokal endlichen Simplizialkomplexes und notieren sie $${\op{H}}_q^! \mathcal K\pdef \mathcal H_q {\op{S}}^! \mathcal K $$ Analog wie in \ref{sika} definieren wir auch den Komplex der lokal endlichen simplizialen Ketten ${\op{S}}^{!\op{s}} \Delta (\mathcal K) \subset {\op{S}}^!\Delta (\mathcal K)$ und analog wie in \ref{UAh} die Kettenabbildung $ {\op{S}}^{!\op{s}} \Delta (\mathcal K) \rightarrow {\op{S}}^! \mathcal K $ von den lokal endlichen simplizialen Ketten in die lokal endlichen Simplizialketten. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Simpliziale als singul"are Borel-Moore-Homologie}] F"ur jeden lokal endlichen\label{SiIB} Simplizialkomplex $\mathcal K$ induzieren die in \ref{Sibo} eingef"uhrten Kettenabbildungen ${\op{S}}^! \mathcal K \leftarrow {\op{S}}^{!\op{s}} \Delta (\mathcal K) \hookrightarrow {\op{S}}^! \Delta (\mathcal K)$ Isomorphismen auf der Homologie \begin{equation*} {\op{H}}^!_q \mathcal K \overset{\sim}{\leftarrow} \mathcal H_q {\op{S}}^{!\op{s}} \Delta (\mathcal K) \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^!_q \Delta (\mathcal K) \end{equation*} \end{Satz} \begin{proof} Alle in diesem Satz auftauchenden Gruppen, Komplexe etc. zerfallen in ein Produkt "uber die Zusammenhangskomponenten unseres Simplizialkomplexes, den wir deshalb ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zusammenh"angend und damit abz"ahlbar annehmen d"urfen. Wir k"onnen unseren Simplizialkomplex dann als Vereinigung einer aufsteigenden Folge $\mathcal K_0 \subset \mathcal K_1 \subset \ldots $ endlicher Teilkomplexe schreiben derart, da"s $\mathcal K_{n+1}$ jeweils alle Simplizes umfa"st, die Simplizes aus $\mathcal K_n$ treffen. Wir betrachten nun die Unterkomplexe $\mathcal L_n$ aller Simplizes von $\mathcal K$, die keinen Simplex von $\mathcal K_n$ treffen, und bilden das kommutative Diagramm mit exakten Spalten \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{S}}\mathcal L_n \ar@{^{(}->}[d] &\ar[l]{\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal L_n)\ar@{^{(}->}[d] \ar@{^{(}->}[r]& {\op{S}}\Delta (\mathcal L_n) \ar@{^{(}->}[d]\\ {\op{S}}\mathcal K \ar@{->>}[d] & {\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal K) \ar@{->>}[d] \ar[l] \ar@{^{(}->}[r] & {\op{S}}\Delta (\mathcal K) \ar@{->>}[d]\\ {\op{S}} \mathcal K / {\op{S}} \mathcal L_n & {\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal K)/{\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal L_n) \ar[l]\ar[r] & {\op{S}}(\Delta (\mathcal K), \Delta (\mathcal L_n)) } \end{displaymath} Nach \ref{SH} induzieren die Horizontalen oben und in der Mitte Isomorphismen auf der Homologie, nach dem F"unferlemma und der langen exakten Homologiesequenz gilt das also auch f"ur die Horizontalen unten. Gehen wir in der unteren Horizontale zum inversen Limes "uber, so erhalten wir gerade die Morphismen von Komplexen \begin{equation*} {\op{S}}^! \mathcal K \leftarrow {\op{S}}^{!\op{s}} \Delta (\mathcal K) \rightarrow {\op{S}}^! \Delta (\mathcal K) \end{equation*} aus unserem Satz, denn die Komplemente der $\Delta (\mathcal L_n) $ sind final im System aller Teilmengen von $\Delta (\mathcal K)$ mit kompaktem Abschlu"s. Da alle System-Morphismen der fraglichen inversen Systeme Surjektionen sind, folgt die Behauptung nun aus \ref{QIL}. \end{proof} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNcneu}\\[4mm] \noindent Graphische Darstellung derjenigen Simplizialkette, die f"ur die ebenfalls dargestellte Triangulierung der Ebene den Fundamentalzykel in Bezug auf eine geeignete Orientierung repr"asentiert. Man mache sich auch anschaulich klar, da"s die Borel-Moore-Homologie der Ebene in allen von Zwei verschiedenen Graden verschwindet. \end{figure} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Borel-Moore-Homologie als Dualraum}] Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$ erhalten wir unmittelbar einen Isomorphismus von Kettenkomplexen \begin{equation*} {\op{S}}^! \mathcal K \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hom}({\op{S}}^\ast_! \mathcal K,\DZ) \end{equation*} des Komplexes der lokal endlichen Simplizialketten aus \ref{Sibo} mit dem Dualen des Komplexes der Simplizialkoketten mit kompaktem Tr"ager, der also in gewisser Weise das fundamentalere Objekt ist. Das zeigt insbesondere, da"s im Fall von K"orperkoeffizienten die Borel-Moore-Homologie lokal endlicher Simplizialkomplexe der Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager ist. In \ref{BMHD} zeigen wir eine analoge Aussage f"ur etwas allgemeinere R"aume. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zwischen Borel-Moore- und gew"ohnlicher Homologie}] Wir haben stets kanonische Kettenabbildungen ${\op{S}} X \rightarrow {\op{S}}^!X$ und davon induzierte Gruppenhomomorphismen ${\op{H}}_q X \rightarrow {\op{H}}^!_{q}X$, und f"ur $X$ kompakt sind diese Abbildungen Isomorphismen.\label{BMHH} F"ur %jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ und jedes Kompaktum $K\subset X$ haben wir weiter eine offensichtliche Kettenabbildung ${\op{S}}^! X \rightarrow {\op{S}} (X,X \backslash K)$ und damit kanonische Abbildungen auf der Homologie $${\op{H}}^!_q X\ra {\op{H}}_q (X,X \backslash K)$$ Schalten wir unsere kanonischen Abbildungen ${\op{H}}_q X \rightarrow {\op{H}}^!_{q}X$ davor, so ergeben sich die "ublichen Abbildungen ${\op{H}}_q X \rightarrow{\op{H}}_q (X,X \backslash K)$, die demnach f"ur kompaktes $K$ "uber die Borel-Moore-Homologie faktorisieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BMLL} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen ${\op{S}}^! X \rightarrow {\op{S}} (X,X \backslash K)$ aus \ref{BMHH} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. In der Tat k"onnen in diesem Fall die lokal endlichen Ketten auch beschrieben werden als Abbildungen $\op{Top} (\Delta_q, X) \rightarrow \mathbb Z$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ nur endlich vielen der $\sigma : \Delta_q \rightarrow X$ mit $\sigma (\Delta_q) \cap K\neq \emptyset$ eine von Null verschiedene Zahl zugeordnet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Borel-Moore-Homologie}] Die Borel-Moore-Ho\-mologie ist keineswegs homotopieinvariant, ja noch nicht einmal in dem von der Homologie gewohnten Sinne funktoriell. Vielmehr erh"alt man nur f"ur eigentliche Abbildungen von lokal kompakten Hausdorffr"aumen, nach \eref{SLOK}{ML} also den Abbildungen $f: X \rightarrow Y$, bei denen das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist, auch Abbildungen $f_\ast: {\op{S}}^! X\rightarrow {\op{S}}^! Y$ auf den lokal endlichen Ketten und Abbildungen $f_\ast : {\op{H}}^!_q X \rightarrow {\op{H}}^!_q Y$ auf der Borel-Moore-Homologie. Die wesentliche Bedeutung der Borel-Moore-Homologie liegt darin, da"s in ihr auch f"ur nicht kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten \glqq Fundamentalzykel\grqq\ erkl"art werden k"onnen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Noch st"arker gelingt das sogar f"ur \glqq Pseudomannigfaltigkeiten, bei denen die Singularit"aten erst in Kodimension Zwei beginnen\grqq, und damit insbesondere f"ur mit ihrer analytischen Topologie versehene komplexe algebraische Variet"aten. Das besprechen wir aber hier nicht weiter. \end{Bemerkungl} % \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalzykel in der Borel-Moore-Homo\-lo\-gie}] % Gegeben eine \emph{separable} zusammen\-h"ang\-en\-de orientierbare % $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ ist\label{FZbm} % ihre $n$-te Borel-Moore-Homo\-lo\-gie ${\op{H}}^!_{n}M$ % frei vom Rang Eins % und die kanonische Abbildung nach \ref{BMHH} % liefert f"ur alle $x\in M$ einen Isomorphismus % $${\op{H}}^!_{n}M\sira {\op{H}}_{n}(M,M\backslash x)$$ % \end{Satz} % \begin{proof} % Dieser Satz folgt unmittelbar aus der % anschlie"senden genaueren Proposition \ref{GBM}. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Borel-Moore-Homologie und Fundamentalzykel}] Gegeben eine separable $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ liefern\label{GBM} die Abbildungen aus \ref{BMHH} einen Isomorphismus $${\op{H}}^!_{n}M\sira \Gamma M$$ zwischen ihrer $n$-ten Borel-Moore-Homo\-lo\-gie und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe nach \ref{SOG}. \end{Proposition} \begin{Definition} Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit,\label{FuBM} so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse in ihrer Borel-Moore-Homologie. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist allgemeiner $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der induzierten Topologie eine separable orientierbare $q$-Mannigfaltigkeit wird, und w"ahlen wir eine Orientierung auf $Y$, so liefert der push-forward des Fundamentalzykels unter der abgeschlossenen Einbettung $i:Y\hra X$, einer eigentlichen Abbildung, eine Klasse $i_\ast\omega_Y\in {\op{H}}^!_{q}X$ in der Borel-Moore-Homologie, die auch als der {\bf Fundamentalzykel von $Y$} angesprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Separabilit"at ist hier wesentlich. Um das zu sehen, betrachte man die Alexandroff'sche Halbgerade $A$ mit ihrer Anordnung nach \eref{AlHg}{AL} und nehme als $M$ das Komplement ihres kleinsten Elements. Ich will kurz skizzieren, wie die Annahme der Existenz eines lokal endlichen Fundamentalzykels in diesem Fall einer nicht separablen Mannigfaltigkeit zum Widerspruch f"uhrt. In der Tat ist $A$ nach \eref{FKNU}{AL} folgenkompakt, als da hei"st, jede unendliche Teilmenge hat einen H"aufungspunkt. Die Endpunkte aller $1$-Simplizes, die mit von Null verschiedenem Koeffizienten in einem lokal endlichen Fundamentalzykel vorkommen, bilden nun sicher eine Teilmenge von $M$ ohne obere Schranke in $M$. Es gibt also zu einem festen Punkt $x\in M$ unendliche viele solcher Endpunkte, die gr"o"ser sind. Diese m"ussen dann einen H"aufungspunkt in $M$ haben, im Widerspruch zur lokalen Endlichkeit unseres Zykels. \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen aus \ref{BMHH} nach \ref{BMLL} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. Nehmen wir zus"atzlich $X$ separabel an, so existiert sogar eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, haben wir ebenso \begin{equation*} {\op{S}}_q^! X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Dieses inverse System besteht offensichtlich aus Surjektionen, und dasselbe gilt a forteriori f"ur das System von R"andern ${\op{B}}_{q-1} (X, X\backslash \bar{U}_i)$. Ist nun zus"atzlich $X =M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so liefert Satz \ref{HHM} "uber die hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten ${\op{H}}_{n+1} (M, M\backslash \bar{U}_i) =0$, folglich haben wir ${\op{B}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) = {\op{Z}}_{n+1} (M,M \backslash \bar{U}_i)$ und die $(n+1)$-Zykel bilden auch ein inverses System aus Surjektionen. Mit dem Mittag-Leffler-Kriterium \ref{MiLe} f"ur die Exaktheit inverser Limites folgt sowohl die Surjektivit"at der offensichtlichen Abbildung \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{S}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) \twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{B}}_n (M, M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} als auch die Exaktheit von \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{B}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \hookrightarrow \varprojlim_i {\op{Z}}_n (M, M /\bar{U}_i )\twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Unsere erste Surjektivit"at erlaubt uns die Identifikation der ersten Gruppe dieser kurzen exakten Sequenz mit $\cal{B}_n{\op{S}}^! M$ und die Linksexaktheit inverser Limites erlaubt die Identifikation der Mitte unserer Sequenz mit $\cal{Z}_n{\op{S}}^! M$, so da"s wir schlie"slich f"ur jede separable $n$-Mannigfaltigkeit einen Isomorphismus \begin{equation*} {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} erhalten. Bis hierher war das im wesentlichen die L"osung von "Ubung \ref{QILcc} in unserem Spezialfall. Beachten wir nun die Isomorphismen $ {\op{H}}_n (M,M \backslash A) \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma A $ f"ur $A \subset M$ kompakt aus dem Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir den gew"unschten Isomorphismus $ {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma M $ wegen $\Gamma M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i \Gamma \bar{U}_i$. Diese letzte Identit"at sieht man zum Beispiel ein, indem man sich "uberlegt, da"s sowohl die $\bar{U}_i$ als auch die ${U}_i$ final sind im System aller Teilmengen von $X$ mit kompaktem Abschlu"s. \end{proof} % \begin{Definition}\label{FuBMn}%\label{FuBM} % Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit, % so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ % mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. % Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} % der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} % orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen % eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse % in der Borel-Moore-Homologie. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation des Fundamentalzykels}] Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Der Fundamentalzykel von $\Delta ({\mathcal K})$ im Sinne von \ref{FuBM} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in der Gruppe der Borel-Moore-$n$-Simplizialketten. F"ur $n\geq 1$ kann dieser Repr"asentant beschrieben werden als die formale Summe "uber alle $n$-Simplizes, jeweils mit\label{FuZY} einer Anordnung versehen, die mit der gew"ahlten Orientierung in der Weise vertr"aglich ist, da"s eben $\omega|_x \in {\op{H}}_n (\Delta (\mathcal K), \Delta (\mathcal K)\backslash x)$ an jeder Stelle $x$ die vorgegebene Orientierung liefert. Im Fall $n= 0$ einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit ist dieser Repr"asentant dahingegen die formale Summe aller ihrer Punkte mit den durch die Orientierung gegebenen Vorzeichen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Raum $X$ hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} f"ur\index{kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} eine nat"urliche Zahl $q\geq 0$ genau dann, wenn f"ur jedes Paar $K\subset W\co X$ von Teilmengen mit $K$ kompakt und $W$ offen das Bild von\label{vern} $$ \mathrm H_q (X, X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X, X\backslash K) $$ endlich erzeugt ist. Er hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch endlich} genau dann, wenn er homologisch kompaktrelativ $q$-endlich ist f"ur alle $q$. Es gibt auch offensichtliche Varianten dieses Begriffs f"ur beliebige Koeffizientenringe, die wir jedoch in diesem Zusammenhang stets als kommutativ und noethersch voraussetzen wollen. \end{Definition} \begin{Beispiele} F"ur alle $n$ ist der $\DR^n$ nach \ref{EEHH} kompaktrelativ homologisch endlich. Allgemeiner ist nach \ref{EEHHb} der Polyeder eines lokal endlichen Simplizialkomplexes stets kompaktrelativ homologisch endlich. Jede offene Teilmenge eines kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Raums ist auch selbst wieder kompaktrelativ homologisch $q$-endlich. \end{Beispiele} \begin{Satz}\label{krLO} Jeder lokal kompakte Hausdorffraum, der eine "Uberdeckung durch offene kompaktrelativ homologisch endliche Teilmengen besitzt, ist bereits selbst kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Satz} \begin{proof} Jedes Kompaktum kann durch endlich viele offene Teilmengen "uberdeckt werden. Der Satz folgt so leicht aus dem anschlie"senden Lemma \ref{verK}. \end{proof} % \begin{Lemma} % Sei $q\geq 0$ gegeben. % Ist ein lokal kompakter % Hausdorffraum kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich und besitzt darin % jeder Punkt eine offene kompaktrelativ homologisch $q$-endliche % Umgebung, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch % $q$-endlich.\label{verK} % \end{Lemma} \begin{Lemma} Sei $q\geq 0$ gegeben. Ist ein lokal kompakter Hausdorffraum "uberdeckt von zwei offenen kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Teilmengen mit kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlichem Schnitt, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch $q$-endlich.\label{verK} \end{Lemma} \begin{proof} % Es reicht zu zeigen, da"s unter den gegebenen Voraussetzungen % die Vereinigung je zweier offener kompaktrelativ homologisch $q$-endlicher Teilmengen wieder kompaktrelativ % homologisch $q$-endlich ist. Sei $X$ unser Raum und seien $V_1, V_2 \co X$ zwei kompaktrelativ homologisch $q$-endliche offene Teilmengen mit Vereinigung $V_1 \cup V_2 =X$. Seien $K \subset W \co X$ gegeben mit $K$ kompakt. Es gilt zu zeigen, da"s das Bild von \begin{equation*} \mathrm H_q (X,X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X,X\backslash K) \end{equation*} endlich erzeugt ist. Jeder Punkt von $K$ besitzt eine kompakte Umgebung, die entweder ganz in $V_1 \cap W$ oder ganz in $V_2 \cap W$ liegt. Wir finden also Kompakta $K_i \subset V_i \cap W$ mit $K = K_1 \cup K_2$. Offensichtlich finden wir weiter $U_i \co X$ mit \begin{equation*} K_i \subset U_i \subset \bar{U}_i \subset V_i \cap W \end{equation*} und $\bar{U}_i$ kompakt. Mit der Abk"urzung $\mathrm H_q(\backslash Y)\pdef \mathrm H_q(X,X\backslash Y)$ f"ur Teilmengen $Y\subset X$ erhalten wir nun ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &{\mathrm H_q(\backslash K_1 \cup K_2) }&\ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash K_1 \cap K_2)}\\ {\mathrm H_q ( \backslash \bar{U}_1) \oplus \mathrm H_q(\backslash \bar{U}_2)}&\ar[l] \ar[u] {\mathrm H_q (\backslash\bar U_1 \cup \bar U_2)} & \ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash \bar U_1 \cap \bar U_2)}\ar[u]\\ \ar[u]{ \mathrm H_q ( \backslash W \cap V_1) \oplus \mathrm H_q ( \backslash W\cap V_2)} &\ar[u]\ar[l] {\mathrm H_q ( \backslash W)} } \end{displaymath} Da $V_1$ und $V_2$ als kompaktrelativ homologisch $q$-endlich angenommen waren, ist das Bild der linken Vertikale endlich erzeugt. Da $V_1\cap V_2$ kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich angenommen war, ist auch das Bild der rechten Vertikale endlich erzeugt. Als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz ist die mittlere Horizontale exakt. Mit \ref{GEZZ} folgt dann, da"s auch die Verkn"upfung in der mittleren Vertikale endlich erzeugtes Bild hat. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{ Variante zum Satz von Wilder}\index{Wilder, Satz von!lokale Variante}] Jede Mannigfaltigkeit ist kompaktrelativ homologisch endlich.\label{WilderV} Allgemeiner ist ein Hausdorffraum, in denen jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines lokal endlichen Simplizialkomplexes, stets kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Korollar} \begin{Bemerkunge}\label{vkrt} Nach \cite{HiPo} sind damit insbesondere separierte komplexe Variet"aten kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Das folgt mit \ref{EEHH} beziehungsweise \ref{EEHHb} leicht aus % Satz \ref{krLO} % \end{proof} % \begin{Bemerkunge}\label{KoWiV} % Dasselbe gilt mit demselben Beweis auch f"ur Mannigfaltigkeiten % mit Rand oder mit Ecken, ja mit \ref{EEHHb} % f"ur beliebige Hausdorffr"aume, in denen jeder Punkt eine % offene Umgebung besitzt, die % hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines % lokal endlichen % Simplizialkomplexes. % \end{Bemerkunge} % \begin{proof}[Beweis] % Per Induktion "uber $q$ von oben % mithilfe des anschlie"senden Lemmas. Die Induktionsbasis liefert der % Satz "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten \ref{HHM}. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Paarung f"ur lokal endliche Ketten}] Das Auswerten von Koketten auf Ketten induziert f"ur jeden topologischen Raum $X$ eine Kettenabbildung \begin{equation*} \mathrm S_!^\ast X \otimes \mathrm S^! X \rightarrow \mathbb Z [0] \end{equation*} In der Tat, gegeben eine Kokette mit kompaktem Tr"ager gibt es ein Kompaktum $K \subset X$ derart, dass unsere Kokette nur auf solchen Simplizes von Null verschieden ist, die $K$ treffen. Gegeben eine lokal endliche Kette besitzt aber jeder Punkt von $K$ eine Umgebung derart, dass nur endlich viele Simplizes, die diese Umgebung treffen, in unserer Kette mit Null verschiedenem Koeffizienten auftauchen. Endlich viele dieser Umgebungen "uberdecken $K$, weshalb unser Auswerten oben nur zu endlichen Summen f"uhrt. % Unsere Paarung liefert nat"urlich einen % Homomorphismus $\mathrm S^\ast_! X \rightarrow (\mathrm S^! X)^\ast$ % und folglich Homomorphismen % \begin{equation*} % \mathrm H^q_! (X) \rightarrow \mathrm H^!_q (X)^\ast % \end{equation*} % von der Kohomologie mit % kompaktem Tr"ager in den Dualraum der Borel-Moore-Homologie. Unsere Paarung f"uhrt wie in \ref{KPI} zu Paarungen \begin{equation*} \mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ \end{equation*} von der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit der Borel-Moore-Homologie.\label{kpV} Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Borel-Moore-Homologie als Dualraum}] Ist $k$ ein K"orper und $X$ eine separable Mannigfaltigkeit, so liefern die eben konstruierten Abbildungen Isomorphismen\label{BMHD} \begin{equation*} \mathrm H^!_q (X;k) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm H_!^q (X;k)^\ast \end{equation*} zwischen der Borel-Moore-Homologie und dem Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt mit demselben Beweis f"ur jeden separablen lokal kompakten Hausdorffraum, der kompaktrelativ homologisch endlich ist im Sinne von \ref{vern}. Insbesondere gilt er nach \ref{vkrt} also f"ur separierte komplexe Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In diesem Beweis meinen wir stets K"orperkoeffizienten, ohne das in den Notationen nochmals besonders hervorzuheben. F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sind nach \ref{BMLL} unsere nat"urlichen Abbildungen Isomorphismen $ \mathrm S^! X \sira\varprojlim\mathrm S (X, X \backslash K) $, wobei der inverse Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$ zu bilden ist. Wie beim Beweis von \ref{GBM} finden wir eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} {\op{S}}^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i {\op{S}} (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} von Komplexen. Nun hat das inverse System von Komplexen rechts surjektive Sys\-tem\-morphismen. Unsere Variante zum Satz von Wilder \ref{WilderV} zeigt, da"s die von ${\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \sra {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ auf der Homologie induzierten Abbildungen endlich erzeugte Bilder haben. Da wir hier mit Koeffizienten in einem K"orper arbeiten, zeigt dann \ref{QILcc}, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*} \mathrm H_q^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} induzieren. Nun sind die Bilder von ${\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \ra {\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ wie bereits erw"ahnt endlichdimensional. Wir nennen sie $I_{q,i}$. Es ist klar, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*}\varprojlim_i I_{q,i} \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Nun identifiziert man die Bilder von ${\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i}) \ra {\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})$ leicht mit den Dualr"aumen $I_{q,i}^\ast$ und erkennt unschwer, da"s die offensichtlichen Abbildungen auch Isomorphismen \begin{equation*}\varinjlim_i I_{q,i}^\ast \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varinjlim_i \mathrm H^q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Die rechte Seite kann hier in nat"urlicher Weise mit der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager $\mathrm H^q_! X$ identifiziert werden. So erhalten wir schlie"slich nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*}(\mathrm H^q_! X)^\ast \;\sira \;(\varinjlim_i I_{q,i}^\ast)^\ast\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}^{\ast\ast}\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}\;\sira \;\mathrm H_q^! X \end{equation*} Das etwas unangenehme Pr"ufen der Tatsache, da"s diese Verkn"upfung von Isomorphismen genau die Abbildung aus dem Satz ist, bleibe dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager und Orientierung}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert die im Beweis konstruierte Abbildung einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum ihrer $n$-ten Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit rationalen Koeffizienten und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe\label{KKTM} $$ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})^*\sira \Gamma(X;\op{or}_X(\DQ))$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sp"ater werden wir allgemeinere Aussagen in dieser Richtung als Verdier-Dualit"at kennenlernen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem gilt $ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})= \varinjlim_K{\op{H}}^{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})$ mit dem Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$. Wir folgern Isomorphismen $$ \begin{array}[b]{lll} {\op{H}}^{n-1}_!(X;\Bbb{Q})^*&\sira&\varprojlim_K {\op{H}}^{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})^\ast\\ &\sira&\varprojlim_K {\op{H}}_{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})\text{ nach \ref{UBDS} und \ref{WilderV}}\\ &\sira&\varprojlim_K \Gamma(K;\op{or}_X(\DQ))\text{ nach \ref{NNN}}\\ &\sira& \Gamma (X;\op{or}_X(\DQ))\end{array} \qedhere$$ \end{proof} \subsection{Poincar\'{e}-Dualit"at}\label{PDD} \begin{Bemerkungl}\label{COr} Ist $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine Orientierung auf $M$, so definiert $\omega$ nach \ref{HHM} f"ur alle kompakten Teilmengen $K \subset M$ ein Element $\omega_{K} \in {\op{H}}_{n}(M,M\backslash K)$, das cap-Produkt mit $\omega_{K}$ liefert nach \ref{capr} Abbildungen $\cap\omega_{K} :{\op{H}}^{q} (M,M\backslash K) \ra {\op{H}}_{n-q} M$, und durch "Ubergang zum direkten Limes mithilfe von \ref{cpq} erhalten wir Abbildungen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!} M \ra {\op{H}}_{n-q} M$$ Wir nennen sie das {\bf partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel}. Sie sind vertr"aglich sind mit dem "Ubergang zu offenen Teilmengen von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at mit lokal endlichen Ketten}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ liefert unsere Formel \ref{Excap} f"ur das cap-Produkt auch eine Kettenabbildung $${\op{S}}_!^{\ast} X \otimes {\op{S}}^!X \ra {\op{S}}X$$ Wir notieren auch diese Verkn"upfung $b \otimes z \mapsto b \cap z$ und nennen sie ein {\bf cap-Produkt}.\index{cap-Produkt!mit lokal endlicher Kette} Ist\label{SiPoi} $(M,\omega)$ eine separable orientierte $n$-Mannigfaltigkeit, so k"onnen wir das Auswerten auf dem Fundamentalzykel im Sinne von \ref{COr}, das nach \ref{APD} den Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at liefert, als den Effekt auf der Kohomologie einer und jeder Kettenabbildung $$\cap\omega:{\op{S}}_!^{\ast} M [n]\ra {\op{S}}M$$ interpretieren, die mit diesen Begriffsbildungen nun in der Tat durch das Darancappen eines und jedes Repr"asentanten $\omega\in {\op{S}}^!M$ des Fundamentalzykels gegeben wird. Die Wahl eines anderen Repr"asentanten f"uhrt offensichtlich zu einer homotopen Kettenabbildung und liefert folglich dieselbe Abbildung auf der Kohomologie. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Allgemeine Poincar\'{e}-Dualit"at}] Gegeben\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!allgemeine} eine orientierte $n$-Man\-nig\-faltig\-keit $M$ mit Orientierung $\omega$\label{APD} induziert das partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\cap\omega $ aus \ref{COr} f"ur alle $q$ Isomorphismen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!}M \sira {\op{H}}_{n-q}M$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{SPD} Dieser Satz gilt mit demselben Beweis f"ur Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0$, so ben"otigt man noch nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. Betrachten wir den Fall rationaler Koeffizienten und nehmen $q=n$ und gehen auf beiden Seiten zum Dualraum "uber, so erhalten wir einen Spezialfall unseres Isomorphismus \ref{KKTM}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Schnittpaarung und Poincar\'e-Dualit"at, Variante}] Der Isomorphismus der allgemeinen Poincar\'e-Dualit"at ist meiner Anschauung kaum zug"anglich. Er liefert jedoch im Verbund mit unserer Variante der Kronecker-Paarung $\mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ$ aus \ref{kpV} eine wohlbestimmte Paarung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathrm H_{n-q}(M) \times \mathrm H^!_q(M)& \rightarrow &\mathbb Z\\ (\zeta\;,\; \xi) \;\;\;& \mapsto & \zeta \cdot \xi \end{array} \end{displaymath} Diese Paarung oder vielmehr ihr Analogon mit K"orperkoeffizienten liefert im Fall einer separablen Mannigfaltigkeit nach \ref{BMHD} einen Isomorphismus der Borel-Moore-Homologie mit dem Dualraum der Homologie im komplement"aren Grad und kann anschaulich in Verallgemeinerung von \ref{SPoD} wieder als Schnittpaarung interpretiert werden. Genauer kann man folgendes zeigen: Gegeben eine orientierte abgeschlossene $q$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $X\As M$, also eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der Spurtopologie eine $q$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist und die als solche mit einer Orientierung versehen ist, erhalten wir ja nach \ref{FuBM} einen Fundamentalzykel $\omega_X \in \mathrm H^!_qX$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir kurzerhand $\omega_X \in \mathrm H^!_q M$ notieren. Gegeben eine orientierte kompakte $(n-q)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ erhalten wir bereits nach \ref{FZ} einen Fundamentalzykel $\omega_Y \in \mathrm H_{n-q}Y$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir $\omega_Y\in \mathrm H_{n-q} M$ notieren. Es m"ogen nun $X \As M$ und $Y \subset M$ endlichen Schnitt $|X \cap Y| < \infty$ haben. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s es um jeden Punkt $s \in X \cap Y$ eine offene Umgebung $U \co M$ und einen Hom"oomorphismus $U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^n$ gibt, unter dem die von $M$ auf $U$ induzierte Orientierung der Standardorientierung des $\DR^n$ entspricht, und Hom"oomorphismen $X \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^q \times 0$ und $Y \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} 0\times \mathbb R^{n-q}$ induziert. Erkl"aren wir schlie"slich die Vorzeichen $\epsilon (s), \eta (s)$ dadurch, da"s sie angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die vorgegebenen Orientierungen auf $X, Y$ mit den Standardorientierungen auf $\mathbb R^q, \mathbb R^{n-q}$ identifizieren oder nicht, so gilt f"ur die Paarung der zu $X$ und $Y$ geh"origen Fundamentalzykel $\omega_X$ und $\omega_Y$ die Formel \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPoA}\\[4mm] \noindent Ein Zykel und ein Borel-Moore-Zykel in einer offenen Teilmenge der Ebene. Je nach Wahl der Orientierung der Ebene ist in diesem Fall die Schnittzahl $\pm 1$. \end{Bild} \begin{equation*} \omega_X \cdot \omega_Y = \sum_{s \in X \cap Y} \epsilon (s) \eta (s) \end{equation*} Die durch diese Eigenschaft ausgezeichnete Paarung hei"st wieder eine {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}. Der Nachweis der hier aufgestellten Behauptungen wird uns allerdings noch lange besch"aftigen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma. \begin{Lemma} Sind $U, V \subset M$ offen und gilt der Satz f"ur die $n$-Mannig\-fal\-tig\-keiten\label{hilL} $U, V$ und $U\cap V$, so gilt er auch f"ur $U \cup V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort mit dem F"unferlemma aus dem Diagramm $$\begin{array}{cccccccc} \scriptstyle{\ldots \ra} &\scriptstyle{ {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V)}& \scriptstyle{\ra} &\scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!} U\oplus {\op{H}}^{q}_{!}V} &\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!}(U\cup V) }&\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q+1}_{!} (U\cap V)\ra}\\ & \scriptstyle{\downarrow} & &\scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} \\ \scriptstyle{\ldots \ra} & \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cap V)}& \scriptstyle{\ra }&\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q}U\oplus {\op{H}}_{n-q}V} & \scriptstyle{\ra }& \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cup V)} & \ra &\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q-1}(U\cap V)} \scriptstyle{\ra } \end{array}$$ sobald wir zeigen k"onnen, da"s dies Diagramm kommutativ ist. Es reicht, f"ur beliebige kompakte $K \subset U$ und $L\subset V$ die Kommutativit"at des Diagramms zu zeigen, das man erh"alt, wenn man die obere Zeile durch die entsprechende relative Mayer-Vietoris-Sequenz ersetzt. Wir k"urzen $U \cup V=X$ ab und bezeichnen die offene "Uberdeckung $X \backslash (K\cap L)= (X \backslash K) \cup (X\backslash L)$ mit $\cal{V}$. Die kurze exakte Sequenz auf den singul"aren Ketten $${\op{S}}(X\backslash K \cup L) \hookrightarrow {\op{S}} (X \backslash K) \oplus {\op{S}} (X\backslash L) \twoheadrightarrow {\op{S}}^{\cal{V}} (X \backslash K \cap L)$$ liefert durch Dualisieren die oberste Horizontale im folgenden gro"sen kommutativen Diagramm: $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{{\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X \backslash K\cap L)}&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X\backslash K)\oplus {\op{S}}^{\ast}(X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X \oplus {\op{S}}^{\ast} X }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X, X \backslash K \cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X , X \backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash K\cup L)} \end{array}$$ Darin sind alle Vertikalen kurze exakte Sequenzen, die untere linke Ecke ist durch die Exaktheit der vertikalen Sequenz definiert, und die untere Zeile exakt ist nach dem Neunerlemma. Die lange exakte Kohomologiesequenz dieser untersten Zeile ist bis auf einige Identifikationen gerade unsere relative Mayer-Vietoris-Sequenz der Kohomologie. W"ahlen wir nun f"ur $\omega_{K\cup L}$ einen Repr"asentanten in ${\op{S}}_{n} X$, der fein ist bez"uglich der offenen "Uberdeckung $X = (V\backslash K) \cup (U\backslash L) \cup (U\cap V)$, und fassen die Kettenkomplexe der singul"aren Ketten auf als Kokettenkomplexe, die nur in Indizes $\leq0$ leben, so definiert das cap-Produkt mit so einem Repr"asentanten die vertikalen Morphismen eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X,X\backslash K\cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash L) }&\scriptstyle{\twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow } \\ \scriptstyle{ S(U\cap V) }&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ S U \oplus SV}&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{{\op{S}}^{\cal{W}} (U \cup V)} \end{array}$$ f"ur $\cal{W}$ die "Uberdeckung $X = U \cup V$ von $X$. Das liefert dann das gesuchte kommutative Diagramm von langen exakten Sequenzen. \end{proof}\noindent Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur allgemeinen Situation. \\[2mm]\noindent 1. Der Satz gilt f"ur $M = \Bbb{R}^{n} $. Dann bilden ja die abgeschlossenen B"alle $D_{r}$ schon ein finales System unter allen kompakten Teilmengen von $\Bbb{R}^{n}$ und $\cap \omega : {\op{H}}^{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n} \backslash D_{r}) \ra {\op{H}}_{0}(\Bbb{R}^{n}) = \Bbb{Z}$ ist schlicht das Auswerten einer Kohomologieklasse auf der Homologieklasse $\omega \in {\op{H}}_{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n}\backslash D_{r})$, also ein Isomorphismus f"ur $0 n$ ist eh nichts zu zeigen. Im Fall $p+q = m < n$ verwendet man den nach \ref{HKPR} und \ref{KW} surjektiven Ringhomomorphismus ${\op{H}}^{\ast} \DP^{n} \DC \twoheadrightarrow {\op{H}}^{\ast} \DP^{m} \DC$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man definiere f"ur jeden Hausdorffraum ein cup-Produkt auf seiner Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. F"ur eine Mannigfaltigkeit entspricht es nebenbei bemerkt unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at dem anschaulichen Schnittprodukt auf der Homologie. \end{Ubung} \subsection{Schnittzahlen} \begin{Bemerkungl}\label{DSZa} Sei $M$ eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit. F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in {\op{H}}_{q} M$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ ist hoffentlich anschaulich in etwa klar, was ihre \glqq Schnittzahl\grqq\ sein sollte, die die Schnittpunkte von repr"asentierenden Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\ mit geeigneten, von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen z"ahlt. Mit dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD} k"onnen wir unseren Homologieklassen sicher formal korrekt eine Zahl $\al\cdot \beta\in\Bbb{Z}$ zuordnen wie folgt: Wir suchen einfach $a \in {\op{H}}^{n-q}M$ und $b \in {\op{H}}^{q}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M}$ und $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen $$\al\cdot \beta =\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$ Dies sei unsere Definition der {\bf Schnittzahl}\index{Schnittzahl} der beiden Homologieklassen. Der bald folgende Satz \ref{GiS} soll plausibel machen, da"s die so definierte Zahl die oben beschriebene geometrische Bedeutung hat. Dazu braucht es jedoch einige Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildbary}\\[4mm] \noindent Ein Simplizialkomplex und gestrichelt eingezeichnet seine baryzentrische Unterteilung. Die Ecken der baryzentrischen Unterteilung mag man sich denken als die Schwerpunkte der nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Simplizialkomplexes, die Simplizes der baryzentrischen Unterteilung entsprechen den endlichen Ketten in der partiell geordneten Menge der urspr"unglichen Simplizes. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{bU} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K = (E, \mathcal K)$ im Sinne von \eref{SKk}{TF} erkl"aren wir wie folgt einen neuen Simplizialkomplex, seine {\bf baryzentrische Unterteilung}\index{baryzentrische Unterteilung} $\check{\mathcal K} = (\check{E}, \check{\mathcal K})$: Als Ecken nehmen wir alle nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Komplexes, in Formeln $\check{E} = \{ s \in \mathcal K \mid s \neq \emptyset\}$. Als Simplizes nehmen wir alle endlichen Ketten in der Menge $\check{E}$, die ja durch die Inklusionsrelation partiell geordnet ist, also alle bez"uglich dieser partiellen Ordnung total geordneten endlichen Teilmengen. Man erh"alt einen Hom"oomorphismus zwischen den zugeh"origen Polyedern \begin{equation*} \Delta (\check{\mathcal K}) \overset{\sim}{\rightarrow} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} durch die Vorschrift, da"s jede Ecke $s \in \check E\subset \mathcal K$ auf den Schwerpunkt des vollen Simplex $\Delta (s) \subset \Delta (\mathcal K) $ abgebildet wird und jeder volle Simplex von $\Delta (\check K)$ affin in denjenigen vollen Simplex von $\Delta (\mathcal K)$, der seiner gr"o"sten Ecke entspricht. Jeder Simplex von $\check{\mathcal K}$ hat bereits eine offensichtliche Anordnung, in Bezug auf die wir von nun an den Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ verstehen wollen, und die hoffentlich offensichtlichen Kettenabbildungen liefern Homotopie"aquivalenzen \begin{equation*} {\op{S}} \check{\mathcal K} \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\hri {\op{S}} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} Im Beweis von \ref{SH} hatten wir zwar ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten nur in Bezug auf eine totale Ordnung auf der Menge aller Ecken eingef"uhrt, aber mit einer partiellen Ordnung, die auf allen Simplizes eine totale Ordnung induziert, geht es genauso. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ffuzy} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ hat genau einen Repr"asentanten in den $n$-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen $n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat unser Fundamentalzykel die Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$, wobei $\langle s \rangle$ wie im Beweis von \ref{SH} den zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddz}\\[4mm] \noindent Ein Ausschnitt einer triangulierten $2$-Mannigfaltigkeit. Die Nummerierung der Ecken legt ihre Anordnung fest. Der Kreispfeil daneben deutet die Orientierung an, der Fundamentalzykel hat also die Gestalt $$\omega=\ldots +\langle\{ 1,2,3\}\rangle -\langle\{ 1,2,7\}\rangle +\ldots$$ Die duale Zelle zum $1$-Simplex $t=\{1,2\}$ besteht aus den beiden Summanden $\check{u}=\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ und $\check{v}=\{\{1,2\},\{1,2,7\}\}$ und deren Vorzeichen sind $\eta(\check{u})=-1$ und $\eta(\check{v})=1$, so da"s sich die duale Zelle zu $c(t)=\check{v}-\check{u}$ ergibt. Im Bild habe ich die den ordnungsvertr"aglichen $1$-Ketten $\langle t \rangle $ und $c(t)$ entsprechenden Simplizialketten fett eingezeichnet. \\[2mm] Weiter besteht die duale Zelle zum $0$-Simplex $\{6\}$ aus $10$ Summanden, und ich habe im Bild auch die der dualen Zelle zu dieser Ecke alias der ordnungsvertr"aglichen $2$-Kette $c(\{6\})$ entsprechende Simplizialkette durch Kreispfeile eingezeichnet. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{duze} Gegeben ein $(n-q)$-Simplex $t\in \cal{K}_{n-q}$ definieren wir die zugeh"orige {\bf duale Zelle}\index{duale Zelle} $c(t)\in \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ als die Summe $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ "uber alle $q$-Simplizes $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. Einen $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ schreiben wir dazu als echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von nichtleeren Simplizes von $\mathcal K$, und wir summieren "uber alle Ketten, die mit dem $(n-q)$-Simplex $t$ beginnen. Die $\eta(\check{u})=\pm 1$ sind gewisse Vorzeichen, die wie folgt gegeben seien: Man betrachte die Ecken $u_1,\dots,u_q \in E$ des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $(s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $\check{u}_q$ und $(t_0,\ldots,t_{n-q})$ die angeordnete Darstellung des $(n-q)$-Simplex $t=\check{u}_0$ und $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ die Permutation mit $$ \begin{array}{lcl} s_{\tau(0)}&=&t_0\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n-q)}&=&t_{n-q}\\ s_{\tau(n-q+1)} &=& u_1\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n)} &=& u_q \end{array}$$ So sei das fragliche Vorzeichen gegeben als $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diese dualen Zellen m"ogen mit ihren ganzen Vorzeichen unanschaulich wirken. Der erste Teil des folgenden Satzes sollte hier jedoch der Anschauung helfen, zeigt er doch, da"s die Vorzeichen jedenfalls stets so zusammenpassen, da"s der Rand einer dualen Zelle eine Linearkombination dualer Zellen ist. Das hat im Bild der Simplizialketten unter anderem die anschauliche Bedeutung, da"s \glqq die einzelnen Simplizes einer dualen Zelle gerade so orientiert sind, da"s sich die internen R"ander gegenseitig wegheben\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Interpretation der Schnittzahlen}] Sei der Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltig\-keit $M$.\label{GiS} Sei auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$ eine Anordnung gew"ahlt. So gilt: \begin{enumerate} \item Die von den dualen Zellen im Sinne von \ref{duze} erzeugten Untergruppen ${\op{C}}_q\subset \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ bilden einen Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ im Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten der baryzentrischen Unterteilung $\check{{\mathcal K}}$ von $\mathcal K$, und die Einbettung dieses Unterkomplexes induziert auf allen Homologiegruppen Isomorphismen $\cal{H}_q{\op{C}}\sira {\op{H}}_qM$. \item Wird %eine Homologieklasse $\alpha\in {\op{H}}_q M$ repr"asentiert durch einen \glqq simplizialen\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-p}}\alpha_t \langle t\rangle \in %% {\op{S}}^{\op{os}}\Delta %% ({\mathcal K})$ $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\alpha_t \langle t\rangle \in {\op{S}}^{\op{os}}\Delta ({\mathcal K})$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ durch einen \glqq zellul"aren\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_q$, $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_{n-q}$, so gilt f"ur ihre Schnittzahl $$\alpha\cdot\beta=\sum_t \alpha_t \beta_t$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal erinnern wir die Definition der Schnittzahl: Wir hatten dazu ja das $a\in {\op{H}}^{n-q} M$ bzw. $b\in {\op{H}}^{q} M$ genommen mit $a\cap\omega_M=\alpha$ bzw. $b\cap\omega_M=\beta$ und dann unsere Schnittzahl als Kronecker-Paarung des cup-Produkts dieser Kohomologieklassen mit dem Fundamentalzykel definiert, in Formeln $\alpha\cdot\beta=\langle a\cup b, \omega_M\rangle$. Mit der Adjunktionsformel \ref{Excap} erhalten wir daraus auch die alternative Darstellung $\alpha\cdot\beta=\langle a, \beta\rangle$. Es reicht also, das Urbild $a$ von $\alpha$ unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at hinreichend explizit zu beschreiben. Dazu m"ussen wir etwas weiter ausholen. Gegeben ein Simplizialkomplex ${\mathcal K}$ liefert das baryzentrische Unterteilen ganz allgemein eine Homotopie"aquivalenz $ {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K} $ zwischen den entsprechenden Komplexen von Simplizialketten. Genauer erh"alt man eine Injektion von der Menge ${\cal K}_{q}^\leq$ aller angeordneten $q$-Simplizes von $\mathcal K$ in die Menge $\check{\mathcal K}_q^\leq$ aller %ordnungsvertr"aglichen angeordneten $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, indem man $\sigma : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow E$ abbildet auf $\sigma^\vee : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow \check{E}$ gegeben durch $ \sigma^\vee(i)= \{ \sigma (0), \ldots, \sigma (i)\}. $ Anschaulich gesprochen erhalten wir so \glqq alle $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, die in $q$-Simplizes von $\mathcal K$ liegen\grqq, und die Abbildung ${\cal K}^\leq_{q}\ra {\op{S}}_{q} \check{\mathcal K}$ gegeben durch \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildbAr}\\[4mm] \noindent Ein angeordneter $3$-Simplex $\sigma$ und die sechs angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ mit Vorzeichen, deren Summe seine baryzentrische Unterteilung $b(\sigma)$ im Sinne des Beweises von \ref{GiS} repr"asentiert. Die Kreispfeile sind eigentlich "uberfl"ussig und betonen nur die Reihenfolge der Ecken in den angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ und die Beziehung zum Signum der zugeh"origen Permutationen $\pi$. \end{figure} \begin{equation*} \sigma \mapsto \sum_{\pi \in \mathcal {\cal{S}}_{q+1}} \op{sgn} (\pi) (\sigma \circ \pi)^\vee \end{equation*} induziert eine Homotopie"aquivalenz $ b : {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K}, $ die wir wieder die {\bf baryzentrische Unterteilung} nennen. Wenden wir auf unseren Fundamentalzykel aus \ref{ffuzy} die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen von einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast [n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{ \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Der Komplex ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ der ordnungsvertr"agliche simplizialen Koketten mitsamt einem Isomorphismus von Komplexen ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\sira {\op{S}}^\ast \check{\mathcal K}$ ist in derselben Weise erkl"art wie der Komplex der ordnungsvertr"agliche simplizialen Ketten in \ref{bU}. Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at aus \ref{APD}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \!\!\!\!\sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \!\!\!\!\varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um auch das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast$ von ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast [n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ unter Verwendung unserer Konvention \ref{KEE}. Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD}, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast $ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Gehen wir nun in dieser linken Vertikale zu den dualen Komplexen "uber, so erhalten wir offensichtlich genau den Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ aus dem ersten Teil unseres Satzes \ref{GiS}, und damit ist auch dieser erste Teil bereits bewiesen. Des weiteren sehen wir, da"s f"ur $t\in \cal{K}_{n-q}$ und $\langle t\rangle$ der zugeh"orige angeordnete Simplex seine baryzentrische Unterteilung $b(\langle t\rangle)$ genau ein Urbild hat unter $\cap\check{\omega}$, und da"s dieses Urbild auf der dualen Zelle $c(t)$ den Wert Eins annimmt und auf allen anderen dualen Zellen den Wert Null. Daraus folgt dann auch der zweite Teil des Satzes. \end{proof} \subsection{Anschauung im nichtkompakten Fall}\label{AbHp} \begin{Bemerkungl}\emph{Sp"ater!} In derselben Weise erkl"aren wir die Komplexe ${\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ mitsamt Isomorphismen von Komplexen nach ${\op{S}}^{!} \check{\mathcal K}$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!} \check{\mathcal K}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ im Sinne von \ref{FZbm} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in den Borel-Moore-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{!\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der in hoffentlich offensichtlicher Weise definierten Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Borel-Moore-$n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat er Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $\langle s \rangle$ dem zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex wie im Beweis von \ref{SH}. Wenden wir darauf die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen vom Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at auf singul"aren Ketten aus \ref{SiPoi}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneqq \check{u}_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{!\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ von ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Um nun endlich zur anschaulichen Bedeutung vorzudringen, betrachten wir in der linken Vertikalen die dualen Komplexe und erhalten so eine Homotopie"aquivalenz $${\op{C}}^{!} \Delta (\check{\mathcal K}) \hra {\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$$ wo der $q$-te Teil ${\op{C}}^{!}_q \Delta (\check{\mathcal K})$ unseres Teilkomplexes aus allen \glqq unendlichen formalen Linearkombinationen\grqq\ "uber $t\in\cal{K}_{n-q}$ gewisser Ausdr"ucke $c(t)$ besteht, die ihrerseits gegeben werden als $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ summiert "uber alle $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzy}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzz}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzo}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \subsection{Versuch} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ definieren wir den {\bf Komplex der grenzfeinen Ketten}\index{grenzfein!Kette} als den direkten Limes $$\op{GS}(X)=\varinjlim(\op{S}(X)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} $U$. Alle kanonischen Abbildungen $\op{S}(X)\ra\op{GS}(X)$ in diesen direkten Limes induzieren nach \ref{UT} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie kommt, wie auch alle anderen, sogar von einer Transformation $\op{S}\RA\op{GS}$ von Funktoren $\op{Top}\ra \op{Ket}$ her. Wir definieren weiter auch f"ur $X\supset A$ einen Raum mit einer Teilmenge den {\bf Komplex der relativen grenzfeinen Ketten} als den direkten Limes $$\op{GS}(X,A)=\varinjlim(\op{S}(X,A)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X,A) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung f"ur grenzfeine Ketten}]\label{Aschg} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s im Inneren von $A$ liegt. So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, A{\backslash} L) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den Komplexen von relativen grenzfeinen Ketten $${\op{GS}}(X{\backslash} L,A{\backslash} L) \sira {\op{GS}} (X,A)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wie beim Beweis der Ausschneidung \ref{Asch} betrachten die "Uberdeckung $X = A \cup (X{\backslash} L)$, geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}(A{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}A \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow & {\op{S}}^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}X \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &{\op{S}}X\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}} (X {\backslash} L, A{\backslash} L) & \ra & {\op{S}}(X,A) & \ra & {\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt. Jetzt gehen wir zum direkten Limes unter den Unterteilungsoperatoren "uber und m"ussen nur zeigen, da"s dieser Limes bei ${\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X$ verschwindet. In der Tat wird aber nach \ref{KlKl} jedes Element dieses Quotienten von einer hinreichend hohen Potenz des Unterteilungsoperators annulliert. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BMLL} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen ${\op{S}}^! X \rightarrow {\op{S}} (X,X \backslash K)$ aus \ref{BMHH} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. In der Tat k"onnen in diesem Fall die lokal endlichen Ketten auch beschrieben werden als Abbildungen $\op{Top} (\Delta_q, X) \rightarrow \mathbb Z$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ nur endlich vielen der $\sigma : \Delta_q \rightarrow X$ mit $\sigma (\Delta_q) \cap K\neq \emptyset$ eine von Null verschiedene Zahl zugeordnet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Borel-Moore-Homologie}] Die Borel-Moore-Ho\-mologie ist keineswegs homotopieinvariant, ja noch nicht einmal in dem von der Homologie gewohnten Sinne funktoriell. Vielmehr erh"alt man nur f"ur eigentliche Abbildungen von lokal kompakten Hausdorffr"aumen, nach \eref{SLOK}{ML} also den Abbildungen $f: X \rightarrow Y$, bei denen das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist, auch Abbildungen $f_\ast: {\op{S}}^! X\rightarrow {\op{S}}^! Y$ auf den lokal endlichen Ketten und Abbildungen $f_\ast : {\op{H}}^!_q X \rightarrow {\op{H}}^!_q Y$ auf der Borel-Moore-Homologie. Die wesentliche Bedeutung der Borel-Moore-Homologie liegt darin, da"s in ihr auch f"ur nicht kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten \glqq Fundamentalzykel\grqq\ erkl"art werden k"onnen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Noch st"arker gelingt das sogar f"ur \glqq Pseudomannigfaltigkeiten, bei denen die Singularit"aten erst in Kodimension Zwei beginnen\grqq, und damit insbesondere f"ur mit ihrer analytischen Topologie versehene komplexe algebraische Variet"aten. Das besprechen wir aber hier nicht weiter. \end{Bemerkungl} % \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalzykel in der Borel-Moore-Homo\-lo\-gie}] % Gegeben eine \emph{separable} zusammen\-h"ang\-en\-de orientierbare % $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ ist\label{FZbm} % ihre $n$-te Borel-Moore-Homo\-lo\-gie ${\op{H}}^!_{n}M$ % frei vom Rang Eins % und die kanonische Abbildung nach \ref{BMHH} % liefert f"ur alle $x\in M$ einen Isomorphismus % $${\op{H}}^!_{n}M\sira {\op{H}}_{n}(M,M\backslash x)$$ % \end{Satz} % \begin{proof} % Dieser Satz folgt unmittelbar aus der % anschlie"senden genaueren Proposition \ref{GBM}. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Borel-Moore-Homologie und Fundamentalzykel}] Gegeben eine separable $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ liefern\label{GBM} die Abbildungen aus \ref{BMHH} einen Isomorphismus $${\op{H}}^!_{n}M\sira \Gamma M$$ zwischen ihrer $n$-ten Borel-Moore-Homo\-lo\-gie und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe nach \ref{SOG}. \end{Proposition} \begin{Definition} Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit,\label{FuBM} so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse in ihrer Borel-Moore-Homologie. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist allgemeiner $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der induzierten Topologie eine separable orientierbare $q$-Mannigfaltigkeit wird, und w"ahlen wir eine Orientierung auf $Y$, so liefert der push-forward des Fundamentalzykels unter der abgeschlossenen Einbettung $i:Y\hra X$, einer eigentlichen Abbildung, eine Klasse $i_\ast\omega_Y\in {\op{H}}^!_{q}X$ in der Borel-Moore-Homologie, die auch als der {\bf Fundamentalzykel von $Y$} angesprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Separabilit"at ist hier wesentlich. Um das zu sehen, betrachte man die Alexandroff'sche Halbgerade $A$ mit ihrer Anordnung nach \eref{AlHg}{AL} und nehme als $M$ das Komplement ihres kleinsten Elements. Ich will kurz skizzieren, wie die Annahme der Existenz eines lokal endlichen Fundamentalzykels in diesem Fall einer nicht separablen Mannigfaltigkeit zum Widerspruch f"uhrt. In der Tat ist $A$ nach \eref{FKNU}{AL} folgenkompakt, als da hei"st, jede unendliche Teilmenge hat einen H"aufungspunkt. Die Endpunkte aller $1$-Simplizes, die mit von Null verschiedenem Koeffizienten in einem lokal endlichen Fundamentalzykel vorkommen, bilden nun sicher eine Teilmenge von $M$ ohne obere Schranke in $M$. Es gibt also zu einem festen Punkt $x\in M$ unendliche viele solcher Endpunkte, die gr"o"ser sind. Diese m"ussen dann einen H"aufungspunkt in $M$ haben, im Widerspruch zur lokalen Endlichkeit unseres Zykels. \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen aus \ref{BMHH} nach \ref{BMLL} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. Nehmen wir zus"atzlich $X$ separabel an, so existiert sogar eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, haben wir ebenso \begin{equation*} {\op{S}}_q^! X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Dieses inverse System besteht offensichtlich aus Surjektionen, und dasselbe gilt a forteriori f"ur das System von R"andern ${\op{B}}_{q-1} (X, X\backslash \bar{U}_i)$. Ist nun zus"atzlich $X =M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so liefert Satz \ref{HHM} "uber die hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten ${\op{H}}_{n+1} (M, M\backslash \bar{U}_i) =0$, folglich haben wir ${\op{B}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) = {\op{Z}}_{n+1} (M,M \backslash \bar{U}_i)$ und die $(n+1)$-Zykel bilden auch ein inverses System aus Surjektionen. Mit dem Mittag-Leffler-Kriterium \ref{MiLe} f"ur die Exaktheit inverser Limites folgt sowohl die Surjektivit"at der offensichtlichen Abbildung \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{S}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) \twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{B}}_n (M, M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} als auch die Exaktheit von \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{B}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \hookrightarrow \varprojlim_i {\op{Z}}_n (M, M /\bar{U}_i )\twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Unsere erste Surjektivit"at erlaubt uns die Identifikation der ersten Gruppe dieser kurzen exakten Sequenz mit $\cal{B}_n{\op{S}}^! M$ und die Linksexaktheit inverser Limites erlaubt die Identifikation der Mitte unserer Sequenz mit $\cal{Z}_n{\op{S}}^! M$, so da"s wir schlie"slich f"ur jede separable $n$-Mannigfaltigkeit einen Isomorphismus \begin{equation*} {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} erhalten. Bis hierher war das im wesentlichen die L"osung von "Ubung \ref{QILcc} in unserem Spezialfall. Beachten wir nun die Isomorphismen $ {\op{H}}_n (M,M \backslash A) \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma A $ f"ur $A \subset M$ kompakt aus dem Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir den gew"unschten Isomorphismus $ {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma M $ wegen $\Gamma M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i \Gamma \bar{U}_i$. Diese letzte Identit"at sieht man zum Beispiel ein, indem man sich "uberlegt, da"s sowohl die $\bar{U}_i$ als auch die ${U}_i$ final sind im System aller Teilmengen von $X$ mit kompaktem Abschlu"s. \end{proof} % \begin{Definition}\label{FuBMn}%\label{FuBM} % Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit, % so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ % mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. % Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} % der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} % orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen % eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse % in der Borel-Moore-Homologie. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation des Fundamentalzykels}] Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Der Fundamentalzykel von $\Delta ({\mathcal K})$ im Sinne von \ref{FuBM} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in der Gruppe der Borel-Moore-$n$-Simplizialketten. F"ur $n\geq 1$ kann dieser Repr"asentant beschrieben werden als die formale Summe "uber alle $n$-Simplizes, jeweils mit\label{FuZY} einer Anordnung versehen, die mit der gew"ahlten Orientierung in der Weise vertr"aglich ist, da"s eben $\omega|_x \in {\op{H}}_n (\Delta (\mathcal K), \Delta (\mathcal K)\backslash x)$ an jeder Stelle $x$ die vorgegebene Orientierung liefert. Im Fall $n= 0$ einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit ist dieser Repr"asentant dahingegen die formale Summe aller ihrer Punkte mit den durch die Orientierung gegebenen Vorzeichen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Raum $X$ hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} f"ur\index{kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} eine nat"urliche Zahl $q\geq 0$ genau dann, wenn f"ur jedes Paar $K\subset W\co X$ von Teilmengen mit $K$ kompakt und $W$ offen das Bild von\label{vern} $$ \mathrm H_q (X, X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X, X\backslash K) $$ endlich erzeugt ist. Er hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch endlich} genau dann, wenn er homologisch kompaktrelativ $q$-endlich ist f"ur alle $q$. Es gibt auch offensichtliche Varianten dieses Begriffs f"ur beliebige Koeffizientenringe, die wir jedoch in diesem Zusammenhang stets als kommutativ und noethersch voraussetzen wollen. \end{Definition} \begin{Beispiele} F"ur alle $n$ ist der $\DR^n$ nach \ref{EEHH} kompaktrelativ homologisch endlich. Allgemeiner ist nach \ref{EEHHb} der Polyeder eines lokal endlichen Simplizialkomplexes stets kompaktrelativ homologisch endlich. Jede offene Teilmenge eines kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Raums ist auch selbst wieder kompaktrelativ homologisch $q$-endlich. \end{Beispiele} \begin{Satz}\label{krLO} Jeder lokal kompakte Hausdorffraum, der eine "Uberdeckung durch offene kompaktrelativ homologisch endliche Teilmengen besitzt, ist bereits selbst kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Satz} \begin{proof} Jedes Kompaktum kann durch endlich viele offene Teilmengen "uberdeckt werden. Der Satz folgt so leicht aus dem anschlie"senden Lemma \ref{verK}. \end{proof} % \begin{Lemma} % Sei $q\geq 0$ gegeben. % Ist ein lokal kompakter % Hausdorffraum kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich und besitzt darin % jeder Punkt eine offene kompaktrelativ homologisch $q$-endliche % Umgebung, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch % $q$-endlich.\label{verK} % \end{Lemma} \begin{Lemma} Sei $q\geq 0$ gegeben. Ist ein lokal kompakter Hausdorffraum "uberdeckt von zwei offenen kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Teilmengen mit kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlichem Schnitt, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch $q$-endlich.\label{verK} \end{Lemma} \begin{proof} % Es reicht zu zeigen, da"s unter den gegebenen Voraussetzungen % die Vereinigung je zweier offener kompaktrelativ homologisch $q$-endlicher Teilmengen wieder kompaktrelativ % homologisch $q$-endlich ist. Sei $X$ unser Raum und seien $V_1, V_2 \co X$ zwei kompaktrelativ homologisch $q$-endliche offene Teilmengen mit Vereinigung $V_1 \cup V_2 =X$. Seien $K \subset W \co X$ gegeben mit $K$ kompakt. Es gilt zu zeigen, da"s das Bild von \begin{equation*} \mathrm H_q (X,X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X,X\backslash K) \end{equation*} endlich erzeugt ist. Jeder Punkt von $K$ besitzt eine kompakte Umgebung, die entweder ganz in $V_1 \cap W$ oder ganz in $V_2 \cap W$ liegt. Wir finden also Kompakta $K_i \subset V_i \cap W$ mit $K = K_1 \cup K_2$. Offensichtlich finden wir weiter $U_i \co X$ mit \begin{equation*} K_i \subset U_i \subset \bar{U}_i \subset V_i \cap W \end{equation*} und $\bar{U}_i$ kompakt. Mit der Abk"urzung $\mathrm H_q(\backslash Y)\pdef \mathrm H_q(X,X\backslash Y)$ f"ur Teilmengen $Y\subset X$ erhalten wir nun ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &{\mathrm H_q(\backslash K_1 \cup K_2) }&\ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash K_1 \cap K_2)}\\ {\mathrm H_q ( \backslash \bar{U}_1) \oplus \mathrm H_q(\backslash \bar{U}_2)}&\ar[l] \ar[u] {\mathrm H_q (\backslash\bar U_1 \cup \bar U_2)} & \ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash \bar U_1 \cap \bar U_2)}\ar[u]\\ \ar[u]{ \mathrm H_q ( \backslash W \cap V_1) \oplus \mathrm H_q ( \backslash W\cap V_2)} &\ar[u]\ar[l] {\mathrm H_q ( \backslash W)} } \end{displaymath} Da $V_1$ und $V_2$ als kompaktrelativ homologisch $q$-endlich angenommen waren, ist das Bild der linken Vertikale endlich erzeugt. Da $V_1\cap V_2$ kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich angenommen war, ist auch das Bild der rechten Vertikale endlich erzeugt. Als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz ist die mittlere Horizontale exakt. Mit \ref{GEZZ} folgt dann, da"s auch die Verkn"upfung in der mittleren Vertikale endlich erzeugtes Bild hat. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{ Variante zum Satz von Wilder}\index{Wilder, Satz von!lokale Variante}] Jede Mannigfaltigkeit ist kompaktrelativ homologisch endlich.\label{WilderV} Allgemeiner ist ein Hausdorffraum, in denen jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines lokal endlichen Simplizialkomplexes, stets kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Korollar} \begin{Bemerkunge}\label{vkrt} Nach \cite{HiPo} sind damit insbesondere separierte komplexe Variet"aten kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Das folgt mit \ref{EEHH} beziehungsweise \ref{EEHHb} leicht aus % Satz \ref{krLO} % \end{proof} % \begin{Bemerkunge}\label{KoWiV} % Dasselbe gilt mit demselben Beweis auch f"ur Mannigfaltigkeiten % mit Rand oder mit Ecken, ja mit \ref{EEHHb} % f"ur beliebige Hausdorffr"aume, in denen jeder Punkt eine % offene Umgebung besitzt, die % hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines % lokal endlichen % Simplizialkomplexes. % \end{Bemerkunge} % \begin{proof}[Beweis] % Per Induktion "uber $q$ von oben % mithilfe des anschlie"senden Lemmas. Die Induktionsbasis liefert der % Satz "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten \ref{HHM}. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Paarung f"ur lokal endliche Ketten}] Das Auswerten von Koketten auf Ketten induziert f"ur jeden topologischen Raum $X$ eine Kettenabbildung \begin{equation*} \mathrm S_!^\ast X \otimes \mathrm S^! X \rightarrow \mathbb Z [0] \end{equation*} In der Tat, gegeben eine Kokette mit kompaktem Tr"ager gibt es ein Kompaktum $K \subset X$ derart, dass unsere Kokette nur auf solchen Simplizes von Null verschieden ist, die $K$ treffen. Gegeben eine lokal endliche Kette besitzt aber jeder Punkt von $K$ eine Umgebung derart, dass nur endlich viele Simplizes, die diese Umgebung treffen, in unserer Kette mit Null verschiedenem Koeffizienten auftauchen. Endlich viele dieser Umgebungen "uberdecken $K$, weshalb unser Auswerten oben nur zu endlichen Summen f"uhrt. % Unsere Paarung liefert nat"urlich einen % Homomorphismus $\mathrm S^\ast_! X \rightarrow (\mathrm S^! X)^\ast$ % und folglich Homomorphismen % \begin{equation*} % \mathrm H^q_! (X) \rightarrow \mathrm H^!_q (X)^\ast % \end{equation*} % von der Kohomologie mit % kompaktem Tr"ager in den Dualraum der Borel-Moore-Homologie. Unsere Paarung f"uhrt wie in \ref{KPI} zu Paarungen \begin{equation*} \mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ \end{equation*} von der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit der Borel-Moore-Homologie.\label{kpV} Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Borel-Moore-Homologie als Dualraum}] Ist $k$ ein K"orper und $X$ eine separable Mannigfaltigkeit, so liefern die eben konstruierten Abbildungen Isomorphismen\label{BMHD} \begin{equation*} \mathrm H^!_q (X;k) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm H_!^q (X;k)^\ast \end{equation*} zwischen der Borel-Moore-Homologie und dem Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt mit demselben Beweis f"ur jeden separablen lokal kompakten Hausdorffraum, der kompaktrelativ homologisch endlich ist im Sinne von \ref{vern}. Insbesondere gilt er nach \ref{vkrt} also f"ur separierte komplexe Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In diesem Beweis meinen wir stets K"orperkoeffizienten, ohne das in den Notationen nochmals besonders hervorzuheben. F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sind nach \ref{BMLL} unsere nat"urlichen Abbildungen Isomorphismen $ \mathrm S^! X \sira\varprojlim\mathrm S (X, X \backslash K) $, wobei der inverse Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$ zu bilden ist. Wie beim Beweis von \ref{GBM} finden wir eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} {\op{S}}^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i {\op{S}} (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} von Komplexen. Nun hat das inverse System von Komplexen rechts surjektive Sys\-tem\-morphismen. Unsere Variante zum Satz von Wilder \ref{WilderV} zeigt, da"s die von ${\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \sra {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ auf der Homologie induzierten Abbildungen endlich erzeugte Bilder haben. Da wir hier mit Koeffizienten in einem K"orper arbeiten, zeigt dann \ref{QILcc}, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*} \mathrm H_q^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} induzieren. Nun sind die Bilder von ${\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \ra {\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ wie bereits erw"ahnt endlichdimensional. Wir nennen sie $I_{q,i}$. Es ist klar, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*}\varprojlim_i I_{q,i} \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Nun identifiziert man die Bilder von ${\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i}) \ra {\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})$ leicht mit den Dualr"aumen $I_{q,i}^\ast$ und erkennt unschwer, da"s die offensichtlichen Abbildungen auch Isomorphismen \begin{equation*}\varinjlim_i I_{q,i}^\ast \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varinjlim_i \mathrm H^q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Die rechte Seite kann hier in nat"urlicher Weise mit der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager $\mathrm H^q_! X$ identifiziert werden. So erhalten wir schlie"slich nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*}(\mathrm H^q_! X)^\ast \;\sira \;(\varinjlim_i I_{q,i}^\ast)^\ast\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}^{\ast\ast}\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}\;\sira \;\mathrm H_q^! X \end{equation*} Das etwas unangenehme Pr"ufen der Tatsache, da"s diese Verkn"upfung von Isomorphismen genau die Abbildung aus dem Satz ist, bleibe dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager und Orientierung}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert die im Beweis konstruierte Abbildung einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum ihrer $n$-ten Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit rationalen Koeffizienten und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe\label{KKTM} $$ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})^*\sira \Gamma(X;\op{or}_X(\DQ))$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sp"ater werden wir allgemeinere Aussagen in dieser Richtung als Verdier-Dualit"at kennenlernen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem gilt $ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})= \varinjlim_K{\op{H}}^{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})$ mit dem Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$. Wir folgern Isomorphismen $$ \begin{array}[b]{lll} {\op{H}}^{n-1}_!(X;\Bbb{Q})^*&\sira&\varprojlim_K {\op{H}}^{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})^\ast\\ &\sira&\varprojlim_K {\op{H}}_{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})\text{ nach \ref{UBDS} und \ref{WilderV}}\\ &\sira&\varprojlim_K \Gamma(K;\op{or}_X(\DQ))\text{ nach \ref{NNN}}\\ &\sira& \Gamma (X;\op{or}_X(\DQ))\end{array} \qedhere$$ \end{proof} \subsection{Poincar\'{e}-Dualit"at}\label{PDD} \begin{Bemerkungl}\label{COr} Ist $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine Orientierung auf $M$, so definiert $\omega$ nach \ref{HHM} f"ur alle kompakten Teilmengen $K \subset M$ ein Element $\omega_{K} \in {\op{H}}_{n}(M,M\backslash K)$, das cap-Produkt mit $\omega_{K}$ liefert nach \ref{capr} Abbildungen $\cap\omega_{K} :{\op{H}}^{q} (M,M\backslash K) \ra {\op{H}}_{n-q} M$, und durch "Ubergang zum direkten Limes mithilfe von \ref{cpq} erhalten wir Abbildungen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!} M \ra {\op{H}}_{n-q} M$$ Wir nennen sie das {\bf partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel}. Sie sind vertr"aglich sind mit dem "Ubergang zu offenen Teilmengen von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at mit lokal endlichen Ketten}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ liefert unsere Formel \ref{Excap} f"ur das cap-Produkt auch eine Kettenabbildung $${\op{S}}_!^{\ast} X \otimes {\op{S}}^!X \ra {\op{S}}X$$ Wir notieren auch diese Verkn"upfung $b \otimes z \mapsto b \cap z$ und nennen sie ein {\bf cap-Produkt}.\index{cap-Produkt!mit lokal endlicher Kette} Ist\label{SiPoi} $(M,\omega)$ eine separable orientierte $n$-Mannigfaltigkeit, so k"onnen wir das Auswerten auf dem Fundamentalzykel im Sinne von \ref{COr}, das nach \ref{APD} den Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at liefert, als den Effekt auf der Kohomologie einer und jeder Kettenabbildung $$\cap\omega:{\op{S}}_!^{\ast} M [n]\ra {\op{S}}M$$ interpretieren, die mit diesen Begriffsbildungen nun in der Tat durch das Darancappen eines und jedes Repr"asentanten $\omega\in {\op{S}}^!M$ des Fundamentalzykels gegeben wird. Die Wahl eines anderen Repr"asentanten f"uhrt offensichtlich zu einer homotopen Kettenabbildung und liefert folglich dieselbe Abbildung auf der Kohomologie. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Allgemeine Poincar\'{e}-Dualit"at}] Gegeben\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!allgemeine} eine orientierte $n$-Man\-nig\-faltig\-keit $M$ mit Orientierung $\omega$\label{APD} induziert das partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\cap\omega $ aus \ref{COr} f"ur alle $q$ Isomorphismen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!}M \sira {\op{H}}_{n-q}M$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{SPD} Dieser Satz gilt mit demselben Beweis f"ur Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0$, so ben"otigt man noch nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. Betrachten wir den Fall rationaler Koeffizienten und nehmen $q=n$ und gehen auf beiden Seiten zum Dualraum "uber, so erhalten wir einen Spezialfall unseres Isomorphismus \ref{KKTM}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Schnittpaarung und Poincar\'e-Dualit"at, Variante}] Der Isomorphismus der allgemeinen Poincar\'e-Dualit"at ist meiner Anschauung kaum zug"anglich. Er liefert jedoch im Verbund mit unserer Variante der Kronecker-Paarung $\mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ$ aus \ref{kpV} eine wohlbestimmte Paarung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathrm H_{n-q}(M) \times \mathrm H^!_q(M)& \rightarrow &\mathbb Z\\ (\zeta\;,\; \xi) \;\;\;& \mapsto & \zeta \cdot \xi \end{array} \end{displaymath} Diese Paarung oder vielmehr ihr Analogon mit K"orperkoeffizienten liefert im Fall einer separablen Mannigfaltigkeit nach \ref{BMHD} einen Isomorphismus der Borel-Moore-Homologie mit dem Dualraum der Homologie im komplement"aren Grad und kann anschaulich in Verallgemeinerung von \ref{SPoD} wieder als Schnittpaarung interpretiert werden. Genauer kann man folgendes zeigen: Gegeben eine orientierte abgeschlossene $q$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $X\As M$, also eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der Spurtopologie eine $q$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist und die als solche mit einer Orientierung versehen ist, erhalten wir ja nach \ref{FuBM} einen Fundamentalzykel $\omega_X \in \mathrm H^!_qX$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir kurzerhand $\omega_X \in \mathrm H^!_q M$ notieren. Gegeben eine orientierte kompakte $(n-q)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ erhalten wir bereits nach \ref{FZ} einen Fundamentalzykel $\omega_Y \in \mathrm H_{n-q}Y$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir $\omega_Y\in \mathrm H_{n-q} M$ notieren. Es m"ogen nun $X \As M$ und $Y \subset M$ endlichen Schnitt $|X \cap Y| < \infty$ haben. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s es um jeden Punkt $s \in X \cap Y$ eine offene Umgebung $U \co M$ und einen Hom"oomorphismus $U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^n$ gibt, unter dem die von $M$ auf $U$ induzierte Orientierung der Standardorientierung des $\DR^n$ entspricht, und Hom"oomorphismen $X \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^q \times 0$ und $Y \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} 0\times \mathbb R^{n-q}$ induziert. Erkl"aren wir schlie"slich die Vorzeichen $\epsilon (s), \eta (s)$ dadurch, da"s sie angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die vorgegebenen Orientierungen auf $X, Y$ mit den Standardorientierungen auf $\mathbb R^q, \mathbb R^{n-q}$ identifizieren oder nicht, so gilt f"ur die Paarung der zu $X$ und $Y$ geh"origen Fundamentalzykel $\omega_X$ und $\omega_Y$ die Formel \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPoA}\\[4mm] \noindent Ein Zykel und ein Borel-Moore-Zykel in einer offenen Teilmenge der Ebene. Je nach Wahl der Orientierung der Ebene ist in diesem Fall die Schnittzahl $\pm 1$. \end{Bild} \begin{equation*} \omega_X \cdot \omega_Y = \sum_{s \in X \cap Y} \epsilon (s) \eta (s) \end{equation*} Die durch diese Eigenschaft ausgezeichnete Paarung hei"st wieder eine {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}. Der Nachweis der hier aufgestellten Behauptungen wird uns allerdings noch lange besch"aftigen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma. \begin{Lemma} Sind $U, V \subset M$ offen und gilt der Satz f"ur die $n$-Mannig\-fal\-tig\-keiten\label{hilL} $U, V$ und $U\cap V$, so gilt er auch f"ur $U \cup V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort mit dem F"unferlemma aus dem Diagramm $$\begin{array}{cccccccc} \scriptstyle{\ldots \ra} &\scriptstyle{ {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V)}& \scriptstyle{\ra} &\scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!} U\oplus {\op{H}}^{q}_{!}V} &\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!}(U\cup V) }&\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q+1}_{!} (U\cap V)\ra}\\ & \scriptstyle{\downarrow} & &\scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} \\ \scriptstyle{\ldots \ra} & \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cap V)}& \scriptstyle{\ra }&\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q}U\oplus {\op{H}}_{n-q}V} & \scriptstyle{\ra }& \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cup V)} & \ra &\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q-1}(U\cap V)} \scriptstyle{\ra } \end{array}$$ sobald wir zeigen k"onnen, da"s dies Diagramm kommutativ ist. Es reicht, f"ur beliebige kompakte $K \subset U$ und $L\subset V$ die Kommutativit"at des Diagramms zu zeigen, das man erh"alt, wenn man die obere Zeile durch die entsprechende relative Mayer-Vietoris-Sequenz ersetzt. Wir k"urzen $U \cup V=X$ ab und bezeichnen die offene "Uberdeckung $X \backslash (K\cap L)= (X \backslash K) \cup (X\backslash L)$ mit $\cal{V}$. Die kurze exakte Sequenz auf den singul"aren Ketten $${\op{S}}(X\backslash K \cup L) \hookrightarrow {\op{S}} (X \backslash K) \oplus {\op{S}} (X\backslash L) \twoheadrightarrow {\op{S}}^{\cal{V}} (X \backslash K \cap L)$$ liefert durch Dualisieren die oberste Horizontale im folgenden gro"sen kommutativen Diagramm: $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{{\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X \backslash K\cap L)}&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X\backslash K)\oplus {\op{S}}^{\ast}(X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X \oplus {\op{S}}^{\ast} X }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X, X \backslash K \cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X , X \backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash K\cup L)} \end{array}$$ Darin sind alle Vertikalen kurze exakte Sequenzen, die untere linke Ecke ist durch die Exaktheit der vertikalen Sequenz definiert, und die untere Zeile exakt ist nach dem Neunerlemma. Die lange exakte Kohomologiesequenz dieser untersten Zeile ist bis auf einige Identifikationen gerade unsere relative Mayer-Vietoris-Sequenz der Kohomologie. W"ahlen wir nun f"ur $\omega_{K\cup L}$ einen Repr"asentanten in ${\op{S}}_{n} X$, der fein ist bez"uglich der offenen "Uberdeckung $X = (V\backslash K) \cup (U\backslash L) \cup (U\cap V)$, und fassen die Kettenkomplexe der singul"aren Ketten auf als Kokettenkomplexe, die nur in Indizes $\leq0$ leben, so definiert das cap-Produkt mit so einem Repr"asentanten die vertikalen Morphismen eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X,X\backslash K\cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash L) }&\scriptstyle{\twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow } \\ \scriptstyle{ S(U\cap V) }&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ S U \oplus SV}&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{{\op{S}}^{\cal{W}} (U \cup V)} \end{array}$$ f"ur $\cal{W}$ die "Uberdeckung $X = U \cup V$ von $X$. Das liefert dann das gesuchte kommutative Diagramm von langen exakten Sequenzen. \end{proof}\noindent Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur allgemeinen Situation. \\[2mm]\noindent 1. Der Satz gilt f"ur $M = \Bbb{R}^{n} $. Dann bilden ja die abgeschlossenen B"alle $D_{r}$ schon ein finales System unter allen kompakten Teilmengen von $\Bbb{R}^{n}$ und $\cap \omega : {\op{H}}^{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n} \backslash D_{r}) \ra {\op{H}}_{0}(\Bbb{R}^{n}) = \Bbb{Z}$ ist schlicht das Auswerten einer Kohomologieklasse auf der Homologieklasse $\omega \in {\op{H}}_{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n}\backslash D_{r})$, also ein Isomorphismus f"ur $0 n$ ist eh nichts zu zeigen. Im Fall $p+q = m < n$ verwendet man den nach \ref{HKPR} und \ref{KW} surjektiven Ringhomomorphismus ${\op{H}}^{\ast} \DP^{n} \DC \twoheadrightarrow {\op{H}}^{\ast} \DP^{m} \DC$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man definiere f"ur jeden Hausdorffraum ein cup-Produkt auf seiner Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. F"ur eine Mannigfaltigkeit entspricht es nebenbei bemerkt unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at dem anschaulichen Schnittprodukt auf der Homologie. \end{Ubung} \subsection{Schnittzahlen} \begin{Bemerkungl}\label{DSZa} Sei $M$ eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit. F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in {\op{H}}_{q} M$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ ist hoffentlich anschaulich in etwa klar, was ihre \glqq Schnittzahl\grqq\ sein sollte, die die Schnittpunkte von repr"asentierenden Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\ mit geeigneten, von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen z"ahlt. Mit dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD} k"onnen wir unseren Homologieklassen sicher formal korrekt eine Zahl $\al\cdot \beta\in\Bbb{Z}$ zuordnen wie folgt: Wir suchen einfach $a \in {\op{H}}^{n-q}M$ und $b \in {\op{H}}^{q}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M}$ und $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen $$\al\cdot \beta =\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$ Dies sei unsere Definition der {\bf Schnittzahl}\index{Schnittzahl} der beiden Homologieklassen. Der bald folgende Satz \ref{GiS} soll plausibel machen, da"s die so definierte Zahl die oben beschriebene geometrische Bedeutung hat. Dazu braucht es jedoch einige Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildbary}\\[4mm] \noindent Ein Simplizialkomplex und gestrichelt eingezeichnet seine baryzentrische Unterteilung. Die Ecken der baryzentrischen Unterteilung mag man sich denken als die Schwerpunkte der nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Simplizialkomplexes, die Simplizes der baryzentrischen Unterteilung entsprechen den endlichen Ketten in der partiell geordneten Menge der urspr"unglichen Simplizes. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{bU} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K = (E, \mathcal K)$ im Sinne von \eref{SKk}{TF} erkl"aren wir wie folgt einen neuen Simplizialkomplex, seine {\bf baryzentrische Unterteilung}\index{baryzentrische Unterteilung} $\check{\mathcal K} = (\check{E}, \check{\mathcal K})$: Als Ecken nehmen wir alle nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Komplexes, in Formeln $\check{E} = \{ s \in \mathcal K \mid s \neq \emptyset\}$. Als Simplizes nehmen wir alle endlichen Ketten in der Menge $\check{E}$, die ja durch die Inklusionsrelation partiell geordnet ist, also alle bez"uglich dieser partiellen Ordnung total geordneten endlichen Teilmengen. Man erh"alt einen Hom"oomorphismus zwischen den zugeh"origen Polyedern \begin{equation*} \Delta (\check{\mathcal K}) \overset{\sim}{\rightarrow} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} durch die Vorschrift, da"s jede Ecke $s \in \check E\subset \mathcal K$ auf den Schwerpunkt des vollen Simplex $\Delta (s) \subset \Delta (\mathcal K) $ abgebildet wird und jeder volle Simplex von $\Delta (\check K)$ affin in denjenigen vollen Simplex von $\Delta (\mathcal K)$, der seiner gr"o"sten Ecke entspricht. Jeder Simplex von $\check{\mathcal K}$ hat bereits eine offensichtliche Anordnung, in Bezug auf die wir von nun an den Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ verstehen wollen, und die hoffentlich offensichtlichen Kettenabbildungen liefern Homotopie"aquivalenzen \begin{equation*} {\op{S}} \check{\mathcal K} \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\hri {\op{S}} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} Im Beweis von \ref{SH} hatten wir zwar ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten nur in Bezug auf eine totale Ordnung auf der Menge aller Ecken eingef"uhrt, aber mit einer partiellen Ordnung, die auf allen Simplizes eine totale Ordnung induziert, geht es genauso. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ffuzy} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ hat genau einen Repr"asentanten in den $n$-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen $n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat unser Fundamentalzykel die Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$, wobei $\langle s \rangle$ wie im Beweis von \ref{SH} den zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddz}\\[4mm] \noindent Ein Ausschnitt einer triangulierten $2$-Mannigfaltigkeit. Die Nummerierung der Ecken legt ihre Anordnung fest. Der Kreispfeil daneben deutet die Orientierung an, der Fundamentalzykel hat also die Gestalt $$\omega=\ldots +\langle\{ 1,2,3\}\rangle -\langle\{ 1,2,7\}\rangle +\ldots$$ Die duale Zelle zum $1$-Simplex $t=\{1,2\}$ besteht aus den beiden Summanden $\check{u}=\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ und $\check{v}=\{\{1,2\},\{1,2,7\}\}$ und deren Vorzeichen sind $\eta(\check{u})=-1$ und $\eta(\check{v})=1$, so da"s sich die duale Zelle zu $c(t)=\check{v}-\check{u}$ ergibt. Im Bild habe ich die den ordnungsvertr"aglichen $1$-Ketten $\langle t \rangle $ und $c(t)$ entsprechenden Simplizialketten fett eingezeichnet. \\[2mm] Weiter besteht die duale Zelle zum $0$-Simplex $\{6\}$ aus $10$ Summanden, und ich habe im Bild auch die der dualen Zelle zu dieser Ecke alias der ordnungsvertr"aglichen $2$-Kette $c(\{6\})$ entsprechende Simplizialkette durch Kreispfeile eingezeichnet. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{duze} Gegeben ein $(n-q)$-Simplex $t\in \cal{K}_{n-q}$ definieren wir die zugeh"orige {\bf duale Zelle}\index{duale Zelle} $c(t)\in \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ als die Summe $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ "uber alle $q$-Simplizes $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. Einen $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ schreiben wir dazu als echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von nichtleeren Simplizes von $\mathcal K$, und wir summieren "uber alle Ketten, die mit dem $(n-q)$-Simplex $t$ beginnen. Die $\eta(\check{u})=\pm 1$ sind gewisse Vorzeichen, die wie folgt gegeben seien: Man betrachte die Ecken $u_1,\dots,u_q \in E$ des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $(s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $\check{u}_q$ und $(t_0,\ldots,t_{n-q})$ die angeordnete Darstellung des $(n-q)$-Simplex $t=\check{u}_0$ und $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ die Permutation mit $$ \begin{array}{lcl} s_{\tau(0)}&=&t_0\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n-q)}&=&t_{n-q}\\ s_{\tau(n-q+1)} &=& u_1\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n)} &=& u_q \end{array}$$ So sei das fragliche Vorzeichen gegeben als $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diese dualen Zellen m"ogen mit ihren ganzen Vorzeichen unanschaulich wirken. Der erste Teil des folgenden Satzes sollte hier jedoch der Anschauung helfen, zeigt er doch, da"s die Vorzeichen jedenfalls stets so zusammenpassen, da"s der Rand einer dualen Zelle eine Linearkombination dualer Zellen ist. Das hat im Bild der Simplizialketten unter anderem die anschauliche Bedeutung, da"s \glqq die einzelnen Simplizes einer dualen Zelle gerade so orientiert sind, da"s sich die internen R"ander gegenseitig wegheben\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Interpretation der Schnittzahlen}] Sei der Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltig\-keit $M$.\label{GiS} Sei auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$ eine Anordnung gew"ahlt. So gilt: \begin{enumerate} \item Die von den dualen Zellen im Sinne von \ref{duze} erzeugten Untergruppen ${\op{C}}_q\subset \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ bilden einen Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ im Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten der baryzentrischen Unterteilung $\check{{\mathcal K}}$ von $\mathcal K$, und die Einbettung dieses Unterkomplexes induziert auf allen Homologiegruppen Isomorphismen $\cal{H}_q{\op{C}}\sira {\op{H}}_qM$. \item Wird %eine Homologieklasse $\alpha\in {\op{H}}_q M$ repr"asentiert durch einen \glqq simplizialen\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-p}}\alpha_t \langle t\rangle \in %% {\op{S}}^{\op{os}}\Delta %% ({\mathcal K})$ $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\alpha_t \langle t\rangle \in {\op{S}}^{\op{os}}\Delta ({\mathcal K})$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ durch einen \glqq zellul"aren\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_q$, $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_{n-q}$, so gilt f"ur ihre Schnittzahl $$\alpha\cdot\beta=\sum_t \alpha_t \beta_t$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal erinnern wir die Definition der Schnittzahl: Wir hatten dazu ja das $a\in {\op{H}}^{n-q} M$ bzw. $b\in {\op{H}}^{q} M$ genommen mit $a\cap\omega_M=\alpha$ bzw. $b\cap\omega_M=\beta$ und dann unsere Schnittzahl als Kronecker-Paarung des cup-Produkts dieser Kohomologieklassen mit dem Fundamentalzykel definiert, in Formeln $\alpha\cdot\beta=\langle a\cup b, \omega_M\rangle$. Mit der Adjunktionsformel \ref{Excap} erhalten wir daraus auch die alternative Darstellung $\alpha\cdot\beta=\langle a, \beta\rangle$. Es reicht also, das Urbild $a$ von $\alpha$ unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at hinreichend explizit zu beschreiben. Dazu m"ussen wir etwas weiter ausholen. Gegeben ein Simplizialkomplex ${\mathcal K}$ liefert das baryzentrische Unterteilen ganz allgemein eine Homotopie"aquivalenz $ {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K} $ zwischen den entsprechenden Komplexen von Simplizialketten. Genauer erh"alt man eine Injektion von der Menge ${\cal K}_{q}^\leq$ aller angeordneten $q$-Simplizes von $\mathcal K$ in die Menge $\check{\mathcal K}_q^\leq$ aller %ordnungsvertr"aglichen angeordneten $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, indem man $\sigma : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow E$ abbildet auf $\sigma^\vee : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow \check{E}$ gegeben durch $ \sigma^\vee(i)= \{ \sigma (0), \ldots, \sigma (i)\}. $ Anschaulich gesprochen erhalten wir so \glqq alle $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, die in $q$-Simplizes von $\mathcal K$ liegen\grqq, und die Abbildung ${\cal K}^\leq_{q}\ra {\op{S}}_{q} \check{\mathcal K}$ gegeben durch \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildbAr}\\[4mm] \noindent Ein angeordneter $3$-Simplex $\sigma$ und die sechs angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ mit Vorzeichen, deren Summe seine baryzentrische Unterteilung $b(\sigma)$ im Sinne des Beweises von \ref{GiS} repr"asentiert. Die Kreispfeile sind eigentlich "uberfl"ussig und betonen nur die Reihenfolge der Ecken in den angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ und die Beziehung zum Signum der zugeh"origen Permutationen $\pi$. \end{figure} \begin{equation*} \sigma \mapsto \sum_{\pi \in \mathcal {\cal{S}}_{q+1}} \op{sgn} (\pi) (\sigma \circ \pi)^\vee \end{equation*} induziert eine Homotopie"aquivalenz $ b : {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K}, $ die wir wieder die {\bf baryzentrische Unterteilung} nennen. Wenden wir auf unseren Fundamentalzykel aus \ref{ffuzy} die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen von einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast [n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{ \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Der Komplex ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ der ordnungsvertr"agliche simplizialen Koketten mitsamt einem Isomorphismus von Komplexen ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\sira {\op{S}}^\ast \check{\mathcal K}$ ist in derselben Weise erkl"art wie der Komplex der ordnungsvertr"agliche simplizialen Ketten in \ref{bU}. Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at aus \ref{APD}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \!\!\!\!\sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \!\!\!\!\varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um auch das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast$ von ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast [n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ unter Verwendung unserer Konvention \ref{KEE}. Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD}, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast $ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Gehen wir nun in dieser linken Vertikale zu den dualen Komplexen "uber, so erhalten wir offensichtlich genau den Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ aus dem ersten Teil unseres Satzes \ref{GiS}, und damit ist auch dieser erste Teil bereits bewiesen. Des weiteren sehen wir, da"s f"ur $t\in \cal{K}_{n-q}$ und $\langle t\rangle$ der zugeh"orige angeordnete Simplex seine baryzentrische Unterteilung $b(\langle t\rangle)$ genau ein Urbild hat unter $\cap\check{\omega}$, und da"s dieses Urbild auf der dualen Zelle $c(t)$ den Wert Eins annimmt und auf allen anderen dualen Zellen den Wert Null. Daraus folgt dann auch der zweite Teil des Satzes. \end{proof} \subsection{Anschauung im nichtkompakten Fall}\label{AbHp} \begin{Bemerkungl}\emph{Sp"ater!} In derselben Weise erkl"aren wir die Komplexe ${\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ mitsamt Isomorphismen von Komplexen nach ${\op{S}}^{!} \check{\mathcal K}$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!} \check{\mathcal K}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ im Sinne von \ref{FZbm} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in den Borel-Moore-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{!\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der in hoffentlich offensichtlicher Weise definierten Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Borel-Moore-$n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat er Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $\langle s \rangle$ dem zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex wie im Beweis von \ref{SH}. Wenden wir darauf die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen vom Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at auf singul"aren Ketten aus \ref{SiPoi}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneqq \check{u}_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{!\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ von ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Um nun endlich zur anschaulichen Bedeutung vorzudringen, betrachten wir in der linken Vertikalen die dualen Komplexe und erhalten so eine Homotopie"aquivalenz $${\op{C}}^{!} \Delta (\check{\mathcal K}) \hra {\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$$ wo der $q$-te Teil ${\op{C}}^{!}_q \Delta (\check{\mathcal K})$ unseres Teilkomplexes aus allen \glqq unendlichen formalen Linearkombinationen\grqq\ "uber $t\in\cal{K}_{n-q}$ gewisser Ausdr"ucke $c(t)$ besteht, die ihrerseits gegeben werden als $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ summiert "uber alle $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzy}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzz}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzo}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \subsection{Versuch} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ definieren wir den {\bf Komplex der grenzfeinen Ketten}\index{grenzfein!Kette} als den direkten Limes $$\op{GS}(X)=\varinjlim(\op{S}(X)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} $U$. Alle kanonischen Abbildungen $\op{S}(X)\ra\op{GS}(X)$ in diesen direkten Limes induzieren nach \ref{UT} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie kommt, wie auch alle anderen, sogar von einer Transformation $\op{S}\RA\op{GS}$ von Funktoren $\op{Top}\ra \op{Ket}$ her. Wir definieren weiter auch f"ur $X\supset A$ einen Raum mit einer Teilmenge den {\bf Komplex der relativen grenzfeinen Ketten} als den direkten Limes $$\op{GS}(X,A)=\varinjlim(\op{S}(X,A)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X,A) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung f"ur grenzfeine Ketten}]\label{Aschg} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s im Inneren von $A$ liegt. So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, A{\backslash} L) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den Komplexen von relativen grenzfeinen Ketten $${\op{GS}}(X{\backslash} L,A{\backslash} L) \sira {\op{GS}} (X,A)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wie beim Beweis der Ausschneidung \ref{Asch} betrachten die "Uberdeckung $X = A \cup (X{\backslash} L)$, geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}(A{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}A \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow & {\op{S}}^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}X \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &{\op{S}}X\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}} (X {\backslash} L, A{\backslash} L) & \ra & {\op{S}}(X,A) & \ra & {\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt. Jetzt gehen wir zum direkten Limes unter den Unterteilungsoperatoren "uber und m"ussen nur zeigen, da"s dieser Limes bei ${\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X$ verschwindet. In der Tat wird aber nach \ref{KlKl} jedes Element dieses Quotienten von einer hinreichend hohen Potenz des Unterteilungsoperators annulliert. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{BMLLn} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ erkl"aren wir in Anlehnung an \ref{BMLL} den Komplex der {\bf lokal endlichen grenzfeinen Ketten} als den inversen Limes \begin{equation*} {\op{GS}}^! X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{GS}} (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Borel-Moore-Homologie}] Die Borel-Moore-Ho\-mologie ist keineswegs homotopieinvariant, ja noch nicht einmal in dem von der Homologie gewohnten Sinne funktoriell. Vielmehr erh"alt man nur f"ur eigentliche Abbildungen von lokal kompakten Hausdorffr"aumen, nach \eref{SLOK}{ML} also den Abbildungen $f: X \rightarrow Y$, bei denen das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist, auch Abbildungen $f_\ast: {\op{S}}^! X\rightarrow {\op{S}}^! Y$ auf den lokal endlichen Ketten und Abbildungen $f_\ast : {\op{H}}^!_q X \rightarrow {\op{H}}^!_q Y$ auf der Borel-Moore-Homologie. Die wesentliche Bedeutung der Borel-Moore-Homologie liegt darin, da"s in ihr auch f"ur nicht kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten \glqq Fundamentalzykel\grqq\ erkl"art werden k"onnen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Noch st"arker gelingt das sogar f"ur \glqq Pseudomannigfaltigkeiten, bei denen die Singularit"aten erst in Kodimension Zwei beginnen\grqq, und damit insbesondere f"ur mit ihrer analytischen Topologie versehene komplexe algebraische Variet"aten. Das besprechen wir aber hier nicht weiter. \end{Bemerkungl} % \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalzykel in der Borel-Moore-Homo\-lo\-gie}] % Gegeben eine \emph{separable} zusammen\-h"ang\-en\-de orientierbare % $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ ist\label{FZbm} % ihre $n$-te Borel-Moore-Homo\-lo\-gie ${\op{H}}^!_{n}M$ % frei vom Rang Eins % und die kanonische Abbildung nach \ref{BMHH} % liefert f"ur alle $x\in M$ einen Isomorphismus % $${\op{H}}^!_{n}M\sira {\op{H}}_{n}(M,M\backslash x)$$ % \end{Satz} % \begin{proof} % Dieser Satz folgt unmittelbar aus der % anschlie"senden genaueren Proposition \ref{GBM}. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Borel-Moore-Homologie und Fundamentalzykel}] Gegeben eine separable $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ liefern\label{GBM} die Abbildungen aus \ref{BMHH} einen Isomorphismus $${\op{H}}^!_{n}M\sira \Gamma M$$ zwischen ihrer $n$-ten Borel-Moore-Homo\-lo\-gie und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe nach \ref{SOG}. \end{Proposition} \begin{Definition} Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit,\label{FuBM} so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse in ihrer Borel-Moore-Homologie. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist allgemeiner $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der induzierten Topologie eine separable orientierbare $q$-Mannigfaltigkeit wird, und w"ahlen wir eine Orientierung auf $Y$, so liefert der push-forward des Fundamentalzykels unter der abgeschlossenen Einbettung $i:Y\hra X$, einer eigentlichen Abbildung, eine Klasse $i_\ast\omega_Y\in {\op{H}}^!_{q}X$ in der Borel-Moore-Homologie, die auch als der {\bf Fundamentalzykel von $Y$} angesprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Separabilit"at ist hier wesentlich. Um das zu sehen, betrachte man die Alexandroff'sche Halbgerade $A$ mit ihrer Anordnung nach \eref{AlHg}{AL} und nehme als $M$ das Komplement ihres kleinsten Elements. Ich will kurz skizzieren, wie die Annahme der Existenz eines lokal endlichen Fundamentalzykels in diesem Fall einer nicht separablen Mannigfaltigkeit zum Widerspruch f"uhrt. In der Tat ist $A$ nach \eref{FKNU}{AL} folgenkompakt, als da hei"st, jede unendliche Teilmenge hat einen H"aufungspunkt. Die Endpunkte aller $1$-Simplizes, die mit von Null verschiedenem Koeffizienten in einem lokal endlichen Fundamentalzykel vorkommen, bilden nun sicher eine Teilmenge von $M$ ohne obere Schranke in $M$. Es gibt also zu einem festen Punkt $x\in M$ unendliche viele solcher Endpunkte, die gr"o"ser sind. Diese m"ussen dann einen H"aufungspunkt in $M$ haben, im Widerspruch zur lokalen Endlichkeit unseres Zykels. \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen aus \ref{BMHH} nach \ref{BMLL} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. Nehmen wir zus"atzlich $X$ separabel an, so existiert sogar eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, haben wir ebenso \begin{equation*} {\op{S}}_q^! X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Dieses inverse System besteht offensichtlich aus Surjektionen, und dasselbe gilt a forteriori f"ur das System von R"andern ${\op{B}}_{q-1} (X, X\backslash \bar{U}_i)$. Ist nun zus"atzlich $X =M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so liefert Satz \ref{HHM} "uber die hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten ${\op{H}}_{n+1} (M, M\backslash \bar{U}_i) =0$, folglich haben wir ${\op{B}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) = {\op{Z}}_{n+1} (M,M \backslash \bar{U}_i)$ und die $(n+1)$-Zykel bilden auch ein inverses System aus Surjektionen. Mit dem Mittag-Leffler-Kriterium \ref{MiLe} f"ur die Exaktheit inverser Limites folgt sowohl die Surjektivit"at der offensichtlichen Abbildung \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{S}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) \twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{B}}_n (M, M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} als auch die Exaktheit von \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{B}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \hookrightarrow \varprojlim_i {\op{Z}}_n (M, M /\bar{U}_i )\twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Unsere erste Surjektivit"at erlaubt uns die Identifikation der ersten Gruppe dieser kurzen exakten Sequenz mit $\cal{B}_n{\op{S}}^! M$ und die Linksexaktheit inverser Limites erlaubt die Identifikation der Mitte unserer Sequenz mit $\cal{Z}_n{\op{S}}^! M$, so da"s wir schlie"slich f"ur jede separable $n$-Mannigfaltigkeit einen Isomorphismus \begin{equation*} {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} erhalten. Bis hierher war das im wesentlichen die L"osung von "Ubung \ref{QILcc} in unserem Spezialfall. Beachten wir nun die Isomorphismen $ {\op{H}}_n (M,M \backslash A) \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma A $ f"ur $A \subset M$ kompakt aus dem Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir den gew"unschten Isomorphismus $ {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma M $ wegen $\Gamma M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i \Gamma \bar{U}_i$. Diese letzte Identit"at sieht man zum Beispiel ein, indem man sich "uberlegt, da"s sowohl die $\bar{U}_i$ als auch die ${U}_i$ final sind im System aller Teilmengen von $X$ mit kompaktem Abschlu"s. \end{proof} % \begin{Definition}\label{FuBMn}%\label{FuBM} % Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit, % so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ % mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. % Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} % der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} % orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen % eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse % in der Borel-Moore-Homologie. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation des Fundamentalzykels}] Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Der Fundamentalzykel von $\Delta ({\mathcal K})$ im Sinne von \ref{FuBM} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in der Gruppe der Borel-Moore-$n$-Simplizialketten. F"ur $n\geq 1$ kann dieser Repr"asentant beschrieben werden als die formale Summe "uber alle $n$-Simplizes, jeweils mit\label{FuZY} einer Anordnung versehen, die mit der gew"ahlten Orientierung in der Weise vertr"aglich ist, da"s eben $\omega|_x \in {\op{H}}_n (\Delta (\mathcal K), \Delta (\mathcal K)\backslash x)$ an jeder Stelle $x$ die vorgegebene Orientierung liefert. Im Fall $n= 0$ einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit ist dieser Repr"asentant dahingegen die formale Summe aller ihrer Punkte mit den durch die Orientierung gegebenen Vorzeichen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Raum $X$ hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} f"ur\index{kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} eine nat"urliche Zahl $q\geq 0$ genau dann, wenn f"ur jedes Paar $K\subset W\co X$ von Teilmengen mit $K$ kompakt und $W$ offen das Bild von\label{vern} $$ \mathrm H_q (X, X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X, X\backslash K) $$ endlich erzeugt ist. Er hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch endlich} genau dann, wenn er homologisch kompaktrelativ $q$-endlich ist f"ur alle $q$. Es gibt auch offensichtliche Varianten dieses Begriffs f"ur beliebige Koeffizientenringe, die wir jedoch in diesem Zusammenhang stets als kommutativ und noethersch voraussetzen wollen. \end{Definition} \begin{Beispiele} F"ur alle $n$ ist der $\DR^n$ nach \ref{EEHH} kompaktrelativ homologisch endlich. Allgemeiner ist nach \ref{EEHHb} der Polyeder eines lokal endlichen Simplizialkomplexes stets kompaktrelativ homologisch endlich. Jede offene Teilmenge eines kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Raums ist auch selbst wieder kompaktrelativ homologisch $q$-endlich. \end{Beispiele} \begin{Satz}\label{krLO} Jeder lokal kompakte Hausdorffraum, der eine "Uberdeckung durch offene kompaktrelativ homologisch endliche Teilmengen besitzt, ist bereits selbst kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Satz} \begin{proof} Jedes Kompaktum kann durch endlich viele offene Teilmengen "uberdeckt werden. Der Satz folgt so leicht aus dem anschlie"senden Lemma \ref{verK}. \end{proof} % \begin{Lemma} % Sei $q\geq 0$ gegeben. % Ist ein lokal kompakter % Hausdorffraum kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich und besitzt darin % jeder Punkt eine offene kompaktrelativ homologisch $q$-endliche % Umgebung, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch % $q$-endlich.\label{verK} % \end{Lemma} \begin{Lemma} Sei $q\geq 0$ gegeben. Ist ein lokal kompakter Hausdorffraum "uberdeckt von zwei offenen kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Teilmengen mit kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlichem Schnitt, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch $q$-endlich.\label{verK} \end{Lemma} \begin{proof} % Es reicht zu zeigen, da"s unter den gegebenen Voraussetzungen % die Vereinigung je zweier offener kompaktrelativ homologisch $q$-endlicher Teilmengen wieder kompaktrelativ % homologisch $q$-endlich ist. Sei $X$ unser Raum und seien $V_1, V_2 \co X$ zwei kompaktrelativ homologisch $q$-endliche offene Teilmengen mit Vereinigung $V_1 \cup V_2 =X$. Seien $K \subset W \co X$ gegeben mit $K$ kompakt. Es gilt zu zeigen, da"s das Bild von \begin{equation*} \mathrm H_q (X,X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X,X\backslash K) \end{equation*} endlich erzeugt ist. Jeder Punkt von $K$ besitzt eine kompakte Umgebung, die entweder ganz in $V_1 \cap W$ oder ganz in $V_2 \cap W$ liegt. Wir finden also Kompakta $K_i \subset V_i \cap W$ mit $K = K_1 \cup K_2$. Offensichtlich finden wir weiter $U_i \co X$ mit \begin{equation*} K_i \subset U_i \subset \bar{U}_i \subset V_i \cap W \end{equation*} und $\bar{U}_i$ kompakt. Mit der Abk"urzung $\mathrm H_q(\backslash Y)\pdef \mathrm H_q(X,X\backslash Y)$ f"ur Teilmengen $Y\subset X$ erhalten wir nun ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &{\mathrm H_q(\backslash K_1 \cup K_2) }&\ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash K_1 \cap K_2)}\\ {\mathrm H_q ( \backslash \bar{U}_1) \oplus \mathrm H_q(\backslash \bar{U}_2)}&\ar[l] \ar[u] {\mathrm H_q (\backslash\bar U_1 \cup \bar U_2)} & \ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash \bar U_1 \cap \bar U_2)}\ar[u]\\ \ar[u]{ \mathrm H_q ( \backslash W \cap V_1) \oplus \mathrm H_q ( \backslash W\cap V_2)} &\ar[u]\ar[l] {\mathrm H_q ( \backslash W)} } \end{displaymath} Da $V_1$ und $V_2$ als kompaktrelativ homologisch $q$-endlich angenommen waren, ist das Bild der linken Vertikale endlich erzeugt. Da $V_1\cap V_2$ kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich angenommen war, ist auch das Bild der rechten Vertikale endlich erzeugt. Als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz ist die mittlere Horizontale exakt. Mit \ref{GEZZ} folgt dann, da"s auch die Verkn"upfung in der mittleren Vertikale endlich erzeugtes Bild hat. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{ Variante zum Satz von Wilder}\index{Wilder, Satz von!lokale Variante}] Jede Mannigfaltigkeit ist kompaktrelativ homologisch endlich.\label{WilderV} Allgemeiner ist ein Hausdorffraum, in denen jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines lokal endlichen Simplizialkomplexes, stets kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Korollar} \begin{Bemerkunge}\label{vkrt} Nach \cite{HiPo} sind damit insbesondere separierte komplexe Variet"aten kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Das folgt mit \ref{EEHH} beziehungsweise \ref{EEHHb} leicht aus % Satz \ref{krLO} % \end{proof} % \begin{Bemerkunge}\label{KoWiV} % Dasselbe gilt mit demselben Beweis auch f"ur Mannigfaltigkeiten % mit Rand oder mit Ecken, ja mit \ref{EEHHb} % f"ur beliebige Hausdorffr"aume, in denen jeder Punkt eine % offene Umgebung besitzt, die % hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines % lokal endlichen % Simplizialkomplexes. % \end{Bemerkunge} % \begin{proof}[Beweis] % Per Induktion "uber $q$ von oben % mithilfe des anschlie"senden Lemmas. Die Induktionsbasis liefert der % Satz "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten \ref{HHM}. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Paarung f"ur lokal endliche Ketten}] Das Auswerten von Koketten auf Ketten induziert f"ur jeden topologischen Raum $X$ eine Kettenabbildung \begin{equation*} \mathrm S_!^\ast X \otimes \mathrm S^! X \rightarrow \mathbb Z [0] \end{equation*} In der Tat, gegeben eine Kokette mit kompaktem Tr"ager gibt es ein Kompaktum $K \subset X$ derart, dass unsere Kokette nur auf solchen Simplizes von Null verschieden ist, die $K$ treffen. Gegeben eine lokal endliche Kette besitzt aber jeder Punkt von $K$ eine Umgebung derart, dass nur endlich viele Simplizes, die diese Umgebung treffen, in unserer Kette mit Null verschiedenem Koeffizienten auftauchen. Endlich viele dieser Umgebungen "uberdecken $K$, weshalb unser Auswerten oben nur zu endlichen Summen f"uhrt. % Unsere Paarung liefert nat"urlich einen % Homomorphismus $\mathrm S^\ast_! X \rightarrow (\mathrm S^! X)^\ast$ % und folglich Homomorphismen % \begin{equation*} % \mathrm H^q_! (X) \rightarrow \mathrm H^!_q (X)^\ast % \end{equation*} % von der Kohomologie mit % kompaktem Tr"ager in den Dualraum der Borel-Moore-Homologie. Unsere Paarung f"uhrt wie in \ref{KPI} zu Paarungen \begin{equation*} \mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ \end{equation*} von der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit der Borel-Moore-Homologie.\label{kpV} Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Borel-Moore-Homologie als Dualraum}] Ist $k$ ein K"orper und $X$ eine separable Mannigfaltigkeit, so liefern die eben konstruierten Abbildungen Isomorphismen\label{BMHD} \begin{equation*} \mathrm H^!_q (X;k) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm H_!^q (X;k)^\ast \end{equation*} zwischen der Borel-Moore-Homologie und dem Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt mit demselben Beweis f"ur jeden separablen lokal kompakten Hausdorffraum, der kompaktrelativ homologisch endlich ist im Sinne von \ref{vern}. Insbesondere gilt er nach \ref{vkrt} also f"ur separierte komplexe Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In diesem Beweis meinen wir stets K"orperkoeffizienten, ohne das in den Notationen nochmals besonders hervorzuheben. F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sind nach \ref{BMLL} unsere nat"urlichen Abbildungen Isomorphismen $ \mathrm S^! X \sira\varprojlim\mathrm S (X, X \backslash K) $, wobei der inverse Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$ zu bilden ist. Wie beim Beweis von \ref{GBM} finden wir eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} {\op{S}}^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i {\op{S}} (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} von Komplexen. Nun hat das inverse System von Komplexen rechts surjektive Sys\-tem\-morphismen. Unsere Variante zum Satz von Wilder \ref{WilderV} zeigt, da"s die von ${\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \sra {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ auf der Homologie induzierten Abbildungen endlich erzeugte Bilder haben. Da wir hier mit Koeffizienten in einem K"orper arbeiten, zeigt dann \ref{QILcc}, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*} \mathrm H_q^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} induzieren. Nun sind die Bilder von ${\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \ra {\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ wie bereits erw"ahnt endlichdimensional. Wir nennen sie $I_{q,i}$. Es ist klar, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*}\varprojlim_i I_{q,i} \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Nun identifiziert man die Bilder von ${\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i}) \ra {\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})$ leicht mit den Dualr"aumen $I_{q,i}^\ast$ und erkennt unschwer, da"s die offensichtlichen Abbildungen auch Isomorphismen \begin{equation*}\varinjlim_i I_{q,i}^\ast \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varinjlim_i \mathrm H^q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Die rechte Seite kann hier in nat"urlicher Weise mit der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager $\mathrm H^q_! X$ identifiziert werden. So erhalten wir schlie"slich nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*}(\mathrm H^q_! X)^\ast \;\sira \;(\varinjlim_i I_{q,i}^\ast)^\ast\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}^{\ast\ast}\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}\;\sira \;\mathrm H_q^! X \end{equation*} Das etwas unangenehme Pr"ufen der Tatsache, da"s diese Verkn"upfung von Isomorphismen genau die Abbildung aus dem Satz ist, bleibe dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager und Orientierung}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert die im Beweis konstruierte Abbildung einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum ihrer $n$-ten Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit rationalen Koeffizienten und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe\label{KKTM} $$ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})^*\sira \Gamma(X;\op{or}_X(\DQ))$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sp"ater werden wir allgemeinere Aussagen in dieser Richtung als Verdier-Dualit"at kennenlernen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem gilt $ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})= \varinjlim_K{\op{H}}^{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})$ mit dem Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$. Wir folgern Isomorphismen $$ \begin{array}[b]{lll} {\op{H}}^{n-1}_!(X;\Bbb{Q})^*&\sira&\varprojlim_K {\op{H}}^{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})^\ast\\ &\sira&\varprojlim_K {\op{H}}_{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})\text{ nach \ref{UBDS} und \ref{WilderV}}\\ &\sira&\varprojlim_K \Gamma(K;\op{or}_X(\DQ))\text{ nach \ref{NNN}}\\ &\sira& \Gamma (X;\op{or}_X(\DQ))\end{array} \qedhere$$ \end{proof} \subsection{Poincar\'{e}-Dualit"at}\label{PDD} \begin{Bemerkungl}\label{COr} Ist $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine Orientierung auf $M$, so definiert $\omega$ nach \ref{HHM} f"ur alle kompakten Teilmengen $K \subset M$ ein Element $\omega_{K} \in {\op{H}}_{n}(M,M\backslash K)$, das cap-Produkt mit $\omega_{K}$ liefert nach \ref{capr} Abbildungen $\cap\omega_{K} :{\op{H}}^{q} (M,M\backslash K) \ra {\op{H}}_{n-q} M$, und durch "Ubergang zum direkten Limes mithilfe von \ref{cpq} erhalten wir Abbildungen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!} M \ra {\op{H}}_{n-q} M$$ Wir nennen sie das {\bf partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel}. Sie sind vertr"aglich sind mit dem "Ubergang zu offenen Teilmengen von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at mit lokal endlichen Ketten}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ liefert unsere Formel \ref{Excap} f"ur das cap-Produkt auch eine Kettenabbildung $${\op{S}}_!^{\ast} X \otimes {\op{S}}^!X \ra {\op{S}}X$$ Wir notieren auch diese Verkn"upfung $b \otimes z \mapsto b \cap z$ und nennen sie ein {\bf cap-Produkt}.\index{cap-Produkt!mit lokal endlicher Kette} Ist\label{SiPoi} $(M,\omega)$ eine separable orientierte $n$-Mannigfaltigkeit, so k"onnen wir das Auswerten auf dem Fundamentalzykel im Sinne von \ref{COr}, das nach \ref{APD} den Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at liefert, als den Effekt auf der Kohomologie einer und jeder Kettenabbildung $$\cap\omega:{\op{S}}_!^{\ast} M [n]\ra {\op{S}}M$$ interpretieren, die mit diesen Begriffsbildungen nun in der Tat durch das Darancappen eines und jedes Repr"asentanten $\omega\in {\op{S}}^!M$ des Fundamentalzykels gegeben wird. Die Wahl eines anderen Repr"asentanten f"uhrt offensichtlich zu einer homotopen Kettenabbildung und liefert folglich dieselbe Abbildung auf der Kohomologie. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Allgemeine Poincar\'{e}-Dualit"at}] Gegeben\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!allgemeine} eine orientierte $n$-Man\-nig\-faltig\-keit $M$ mit Orientierung $\omega$\label{APD} induziert das partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\cap\omega $ aus \ref{COr} f"ur alle $q$ Isomorphismen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!}M \sira {\op{H}}_{n-q}M$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{SPD} Dieser Satz gilt mit demselben Beweis f"ur Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0$, so ben"otigt man noch nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. Betrachten wir den Fall rationaler Koeffizienten und nehmen $q=n$ und gehen auf beiden Seiten zum Dualraum "uber, so erhalten wir einen Spezialfall unseres Isomorphismus \ref{KKTM}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Schnittpaarung und Poincar\'e-Dualit"at, Variante}] Der Isomorphismus der allgemeinen Poincar\'e-Dualit"at ist meiner Anschauung kaum zug"anglich. Er liefert jedoch im Verbund mit unserer Variante der Kronecker-Paarung $\mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ$ aus \ref{kpV} eine wohlbestimmte Paarung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathrm H_{n-q}(M) \times \mathrm H^!_q(M)& \rightarrow &\mathbb Z\\ (\zeta\;,\; \xi) \;\;\;& \mapsto & \zeta \cdot \xi \end{array} \end{displaymath} Diese Paarung oder vielmehr ihr Analogon mit K"orperkoeffizienten liefert im Fall einer separablen Mannigfaltigkeit nach \ref{BMHD} einen Isomorphismus der Borel-Moore-Homologie mit dem Dualraum der Homologie im komplement"aren Grad und kann anschaulich in Verallgemeinerung von \ref{SPoD} wieder als Schnittpaarung interpretiert werden. Genauer kann man folgendes zeigen: Gegeben eine orientierte abgeschlossene $q$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $X\As M$, also eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der Spurtopologie eine $q$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist und die als solche mit einer Orientierung versehen ist, erhalten wir ja nach \ref{FuBM} einen Fundamentalzykel $\omega_X \in \mathrm H^!_qX$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir kurzerhand $\omega_X \in \mathrm H^!_q M$ notieren. Gegeben eine orientierte kompakte $(n-q)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ erhalten wir bereits nach \ref{FZ} einen Fundamentalzykel $\omega_Y \in \mathrm H_{n-q}Y$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir $\omega_Y\in \mathrm H_{n-q} M$ notieren. Es m"ogen nun $X \As M$ und $Y \subset M$ endlichen Schnitt $|X \cap Y| < \infty$ haben. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s es um jeden Punkt $s \in X \cap Y$ eine offene Umgebung $U \co M$ und einen Hom"oomorphismus $U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^n$ gibt, unter dem die von $M$ auf $U$ induzierte Orientierung der Standardorientierung des $\DR^n$ entspricht, und Hom"oomorphismen $X \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^q \times 0$ und $Y \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} 0\times \mathbb R^{n-q}$ induziert. Erkl"aren wir schlie"slich die Vorzeichen $\epsilon (s), \eta (s)$ dadurch, da"s sie angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die vorgegebenen Orientierungen auf $X, Y$ mit den Standardorientierungen auf $\mathbb R^q, \mathbb R^{n-q}$ identifizieren oder nicht, so gilt f"ur die Paarung der zu $X$ und $Y$ geh"origen Fundamentalzykel $\omega_X$ und $\omega_Y$ die Formel \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPoA}\\[4mm] \noindent Ein Zykel und ein Borel-Moore-Zykel in einer offenen Teilmenge der Ebene. Je nach Wahl der Orientierung der Ebene ist in diesem Fall die Schnittzahl $\pm 1$. \end{Bild} \begin{equation*} \omega_X \cdot \omega_Y = \sum_{s \in X \cap Y} \epsilon (s) \eta (s) \end{equation*} Die durch diese Eigenschaft ausgezeichnete Paarung hei"st wieder eine {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}. Der Nachweis der hier aufgestellten Behauptungen wird uns allerdings noch lange besch"aftigen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma. \begin{Lemma} Sind $U, V \subset M$ offen und gilt der Satz f"ur die $n$-Mannig\-fal\-tig\-keiten\label{hilL} $U, V$ und $U\cap V$, so gilt er auch f"ur $U \cup V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort mit dem F"unferlemma aus dem Diagramm $$\begin{array}{cccccccc} \scriptstyle{\ldots \ra} &\scriptstyle{ {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V)}& \scriptstyle{\ra} &\scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!} U\oplus {\op{H}}^{q}_{!}V} &\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!}(U\cup V) }&\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q+1}_{!} (U\cap V)\ra}\\ & \scriptstyle{\downarrow} & &\scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} \\ \scriptstyle{\ldots \ra} & \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cap V)}& \scriptstyle{\ra }&\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q}U\oplus {\op{H}}_{n-q}V} & \scriptstyle{\ra }& \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cup V)} & \ra &\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q-1}(U\cap V)} \scriptstyle{\ra } \end{array}$$ sobald wir zeigen k"onnen, da"s dies Diagramm kommutativ ist. Es reicht, f"ur beliebige kompakte $K \subset U$ und $L\subset V$ die Kommutativit"at des Diagramms zu zeigen, das man erh"alt, wenn man die obere Zeile durch die entsprechende relative Mayer-Vietoris-Sequenz ersetzt. Wir k"urzen $U \cup V=X$ ab und bezeichnen die offene "Uberdeckung $X \backslash (K\cap L)= (X \backslash K) \cup (X\backslash L)$ mit $\cal{V}$. Die kurze exakte Sequenz auf den singul"aren Ketten $${\op{S}}(X\backslash K \cup L) \hookrightarrow {\op{S}} (X \backslash K) \oplus {\op{S}} (X\backslash L) \twoheadrightarrow {\op{S}}^{\cal{V}} (X \backslash K \cap L)$$ liefert durch Dualisieren die oberste Horizontale im folgenden gro"sen kommutativen Diagramm: $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{{\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X \backslash K\cap L)}&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X\backslash K)\oplus {\op{S}}^{\ast}(X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X \oplus {\op{S}}^{\ast} X }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X, X \backslash K \cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X , X \backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash K\cup L)} \end{array}$$ Darin sind alle Vertikalen kurze exakte Sequenzen, die untere linke Ecke ist durch die Exaktheit der vertikalen Sequenz definiert, und die untere Zeile exakt ist nach dem Neunerlemma. Die lange exakte Kohomologiesequenz dieser untersten Zeile ist bis auf einige Identifikationen gerade unsere relative Mayer-Vietoris-Sequenz der Kohomologie. W"ahlen wir nun f"ur $\omega_{K\cup L}$ einen Repr"asentanten in ${\op{S}}_{n} X$, der fein ist bez"uglich der offenen "Uberdeckung $X = (V\backslash K) \cup (U\backslash L) \cup (U\cap V)$, und fassen die Kettenkomplexe der singul"aren Ketten auf als Kokettenkomplexe, die nur in Indizes $\leq0$ leben, so definiert das cap-Produkt mit so einem Repr"asentanten die vertikalen Morphismen eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X,X\backslash K\cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash L) }&\scriptstyle{\twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow } \\ \scriptstyle{ S(U\cap V) }&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ S U \oplus SV}&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{{\op{S}}^{\cal{W}} (U \cup V)} \end{array}$$ f"ur $\cal{W}$ die "Uberdeckung $X = U \cup V$ von $X$. Das liefert dann das gesuchte kommutative Diagramm von langen exakten Sequenzen. \end{proof}\noindent Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur allgemeinen Situation. \\[2mm]\noindent 1. Der Satz gilt f"ur $M = \Bbb{R}^{n} $. Dann bilden ja die abgeschlossenen B"alle $D_{r}$ schon ein finales System unter allen kompakten Teilmengen von $\Bbb{R}^{n}$ und $\cap \omega : {\op{H}}^{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n} \backslash D_{r}) \ra {\op{H}}_{0}(\Bbb{R}^{n}) = \Bbb{Z}$ ist schlicht das Auswerten einer Kohomologieklasse auf der Homologieklasse $\omega \in {\op{H}}_{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n}\backslash D_{r})$, also ein Isomorphismus f"ur $0 n$ ist eh nichts zu zeigen. Im Fall $p+q = m < n$ verwendet man den nach \ref{HKPR} und \ref{KW} surjektiven Ringhomomorphismus ${\op{H}}^{\ast} \DP^{n} \DC \twoheadrightarrow {\op{H}}^{\ast} \DP^{m} \DC$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man definiere f"ur jeden Hausdorffraum ein cup-Produkt auf seiner Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. F"ur eine Mannigfaltigkeit entspricht es nebenbei bemerkt unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at dem anschaulichen Schnittprodukt auf der Homologie. \end{Ubung} \subsection{Schnittzahlen} \begin{Bemerkungl}\label{DSZa} Sei $M$ eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit. F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in {\op{H}}_{q} M$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ ist hoffentlich anschaulich in etwa klar, was ihre \glqq Schnittzahl\grqq\ sein sollte, die die Schnittpunkte von repr"asentierenden Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\ mit geeigneten, von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen z"ahlt. Mit dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD} k"onnen wir unseren Homologieklassen sicher formal korrekt eine Zahl $\al\cdot \beta\in\Bbb{Z}$ zuordnen wie folgt: Wir suchen einfach $a \in {\op{H}}^{n-q}M$ und $b \in {\op{H}}^{q}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M}$ und $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen $$\al\cdot \beta =\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$ Dies sei unsere Definition der {\bf Schnittzahl}\index{Schnittzahl} der beiden Homologieklassen. Der bald folgende Satz \ref{GiS} soll plausibel machen, da"s die so definierte Zahl die oben beschriebene geometrische Bedeutung hat. Dazu braucht es jedoch einige Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildbary}\\[4mm] \noindent Ein Simplizialkomplex und gestrichelt eingezeichnet seine baryzentrische Unterteilung. Die Ecken der baryzentrischen Unterteilung mag man sich denken als die Schwerpunkte der nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Simplizialkomplexes, die Simplizes der baryzentrischen Unterteilung entsprechen den endlichen Ketten in der partiell geordneten Menge der urspr"unglichen Simplizes. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{bU} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K = (E, \mathcal K)$ im Sinne von \eref{SKk}{TF} erkl"aren wir wie folgt einen neuen Simplizialkomplex, seine {\bf baryzentrische Unterteilung}\index{baryzentrische Unterteilung} $\check{\mathcal K} = (\check{E}, \check{\mathcal K})$: Als Ecken nehmen wir alle nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Komplexes, in Formeln $\check{E} = \{ s \in \mathcal K \mid s \neq \emptyset\}$. Als Simplizes nehmen wir alle endlichen Ketten in der Menge $\check{E}$, die ja durch die Inklusionsrelation partiell geordnet ist, also alle bez"uglich dieser partiellen Ordnung total geordneten endlichen Teilmengen. Man erh"alt einen Hom"oomorphismus zwischen den zugeh"origen Polyedern \begin{equation*} \Delta (\check{\mathcal K}) \overset{\sim}{\rightarrow} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} durch die Vorschrift, da"s jede Ecke $s \in \check E\subset \mathcal K$ auf den Schwerpunkt des vollen Simplex $\Delta (s) \subset \Delta (\mathcal K) $ abgebildet wird und jeder volle Simplex von $\Delta (\check K)$ affin in denjenigen vollen Simplex von $\Delta (\mathcal K)$, der seiner gr"o"sten Ecke entspricht. Jeder Simplex von $\check{\mathcal K}$ hat bereits eine offensichtliche Anordnung, in Bezug auf die wir von nun an den Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ verstehen wollen, und die hoffentlich offensichtlichen Kettenabbildungen liefern Homotopie"aquivalenzen \begin{equation*} {\op{S}} \check{\mathcal K} \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\hri {\op{S}} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} Im Beweis von \ref{SH} hatten wir zwar ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten nur in Bezug auf eine totale Ordnung auf der Menge aller Ecken eingef"uhrt, aber mit einer partiellen Ordnung, die auf allen Simplizes eine totale Ordnung induziert, geht es genauso. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ffuzy} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ hat genau einen Repr"asentanten in den $n$-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen $n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat unser Fundamentalzykel die Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$, wobei $\langle s \rangle$ wie im Beweis von \ref{SH} den zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddz}\\[4mm] \noindent Ein Ausschnitt einer triangulierten $2$-Mannigfaltigkeit. Die Nummerierung der Ecken legt ihre Anordnung fest. Der Kreispfeil daneben deutet die Orientierung an, der Fundamentalzykel hat also die Gestalt $$\omega=\ldots +\langle\{ 1,2,3\}\rangle -\langle\{ 1,2,7\}\rangle +\ldots$$ Die duale Zelle zum $1$-Simplex $t=\{1,2\}$ besteht aus den beiden Summanden $\check{u}=\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ und $\check{v}=\{\{1,2\},\{1,2,7\}\}$ und deren Vorzeichen sind $\eta(\check{u})=-1$ und $\eta(\check{v})=1$, so da"s sich die duale Zelle zu $c(t)=\check{v}-\check{u}$ ergibt. Im Bild habe ich die den ordnungsvertr"aglichen $1$-Ketten $\langle t \rangle $ und $c(t)$ entsprechenden Simplizialketten fett eingezeichnet. \\[2mm] Weiter besteht die duale Zelle zum $0$-Simplex $\{6\}$ aus $10$ Summanden, und ich habe im Bild auch die der dualen Zelle zu dieser Ecke alias der ordnungsvertr"aglichen $2$-Kette $c(\{6\})$ entsprechende Simplizialkette durch Kreispfeile eingezeichnet. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{duze} Gegeben ein $(n-q)$-Simplex $t\in \cal{K}_{n-q}$ definieren wir die zugeh"orige {\bf duale Zelle}\index{duale Zelle} $c(t)\in \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ als die Summe $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ "uber alle $q$-Simplizes $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. Einen $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ schreiben wir dazu als echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von nichtleeren Simplizes von $\mathcal K$, und wir summieren "uber alle Ketten, die mit dem $(n-q)$-Simplex $t$ beginnen. Die $\eta(\check{u})=\pm 1$ sind gewisse Vorzeichen, die wie folgt gegeben seien: Man betrachte die Ecken $u_1,\dots,u_q \in E$ des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $(s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $\check{u}_q$ und $(t_0,\ldots,t_{n-q})$ die angeordnete Darstellung des $(n-q)$-Simplex $t=\check{u}_0$ und $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ die Permutation mit $$ \begin{array}{lcl} s_{\tau(0)}&=&t_0\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n-q)}&=&t_{n-q}\\ s_{\tau(n-q+1)} &=& u_1\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n)} &=& u_q \end{array}$$ So sei das fragliche Vorzeichen gegeben als $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diese dualen Zellen m"ogen mit ihren ganzen Vorzeichen unanschaulich wirken. Der erste Teil des folgenden Satzes sollte hier jedoch der Anschauung helfen, zeigt er doch, da"s die Vorzeichen jedenfalls stets so zusammenpassen, da"s der Rand einer dualen Zelle eine Linearkombination dualer Zellen ist. Das hat im Bild der Simplizialketten unter anderem die anschauliche Bedeutung, da"s \glqq die einzelnen Simplizes einer dualen Zelle gerade so orientiert sind, da"s sich die internen R"ander gegenseitig wegheben\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Interpretation der Schnittzahlen}] Sei der Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltig\-keit $M$.\label{GiS} Sei auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$ eine Anordnung gew"ahlt. So gilt: \begin{enumerate} \item Die von den dualen Zellen im Sinne von \ref{duze} erzeugten Untergruppen ${\op{C}}_q\subset \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ bilden einen Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ im Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten der baryzentrischen Unterteilung $\check{{\mathcal K}}$ von $\mathcal K$, und die Einbettung dieses Unterkomplexes induziert auf allen Homologiegruppen Isomorphismen $\cal{H}_q{\op{C}}\sira {\op{H}}_qM$. \item Wird %eine Homologieklasse $\alpha\in {\op{H}}_q M$ repr"asentiert durch einen \glqq simplizialen\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-p}}\alpha_t \langle t\rangle \in %% {\op{S}}^{\op{os}}\Delta %% ({\mathcal K})$ $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\alpha_t \langle t\rangle \in {\op{S}}^{\op{os}}\Delta ({\mathcal K})$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ durch einen \glqq zellul"aren\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_q$, $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_{n-q}$, so gilt f"ur ihre Schnittzahl $$\alpha\cdot\beta=\sum_t \alpha_t \beta_t$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal erinnern wir die Definition der Schnittzahl: Wir hatten dazu ja das $a\in {\op{H}}^{n-q} M$ bzw. $b\in {\op{H}}^{q} M$ genommen mit $a\cap\omega_M=\alpha$ bzw. $b\cap\omega_M=\beta$ und dann unsere Schnittzahl als Kronecker-Paarung des cup-Produkts dieser Kohomologieklassen mit dem Fundamentalzykel definiert, in Formeln $\alpha\cdot\beta=\langle a\cup b, \omega_M\rangle$. Mit der Adjunktionsformel \ref{Excap} erhalten wir daraus auch die alternative Darstellung $\alpha\cdot\beta=\langle a, \beta\rangle$. Es reicht also, das Urbild $a$ von $\alpha$ unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at hinreichend explizit zu beschreiben. Dazu m"ussen wir etwas weiter ausholen. Gegeben ein Simplizialkomplex ${\mathcal K}$ liefert das baryzentrische Unterteilen ganz allgemein eine Homotopie"aquivalenz $ {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K} $ zwischen den entsprechenden Komplexen von Simplizialketten. Genauer erh"alt man eine Injektion von der Menge ${\cal K}_{q}^\leq$ aller angeordneten $q$-Simplizes von $\mathcal K$ in die Menge $\check{\mathcal K}_q^\leq$ aller %ordnungsvertr"aglichen angeordneten $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, indem man $\sigma : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow E$ abbildet auf $\sigma^\vee : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow \check{E}$ gegeben durch $ \sigma^\vee(i)= \{ \sigma (0), \ldots, \sigma (i)\}. $ Anschaulich gesprochen erhalten wir so \glqq alle $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, die in $q$-Simplizes von $\mathcal K$ liegen\grqq, und die Abbildung ${\cal K}^\leq_{q}\ra {\op{S}}_{q} \check{\mathcal K}$ gegeben durch \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildbAr}\\[4mm] \noindent Ein angeordneter $3$-Simplex $\sigma$ und die sechs angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ mit Vorzeichen, deren Summe seine baryzentrische Unterteilung $b(\sigma)$ im Sinne des Beweises von \ref{GiS} repr"asentiert. Die Kreispfeile sind eigentlich "uberfl"ussig und betonen nur die Reihenfolge der Ecken in den angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ und die Beziehung zum Signum der zugeh"origen Permutationen $\pi$. \end{figure} \begin{equation*} \sigma \mapsto \sum_{\pi \in \mathcal {\cal{S}}_{q+1}} \op{sgn} (\pi) (\sigma \circ \pi)^\vee \end{equation*} induziert eine Homotopie"aquivalenz $ b : {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K}, $ die wir wieder die {\bf baryzentrische Unterteilung} nennen. Wenden wir auf unseren Fundamentalzykel aus \ref{ffuzy} die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen von einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast [n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{ \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Der Komplex ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ der ordnungsvertr"agliche simplizialen Koketten mitsamt einem Isomorphismus von Komplexen ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\sira {\op{S}}^\ast \check{\mathcal K}$ ist in derselben Weise erkl"art wie der Komplex der ordnungsvertr"agliche simplizialen Ketten in \ref{bU}. Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at aus \ref{APD}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \!\!\!\!\sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \!\!\!\!\varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um auch das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast$ von ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast [n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ unter Verwendung unserer Konvention \ref{KEE}. Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD}, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast $ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Gehen wir nun in dieser linken Vertikale zu den dualen Komplexen "uber, so erhalten wir offensichtlich genau den Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ aus dem ersten Teil unseres Satzes \ref{GiS}, und damit ist auch dieser erste Teil bereits bewiesen. Des weiteren sehen wir, da"s f"ur $t\in \cal{K}_{n-q}$ und $\langle t\rangle$ der zugeh"orige angeordnete Simplex seine baryzentrische Unterteilung $b(\langle t\rangle)$ genau ein Urbild hat unter $\cap\check{\omega}$, und da"s dieses Urbild auf der dualen Zelle $c(t)$ den Wert Eins annimmt und auf allen anderen dualen Zellen den Wert Null. Daraus folgt dann auch der zweite Teil des Satzes. \end{proof} \subsection{Anschauung im nichtkompakten Fall}\label{AbHp} \begin{Bemerkungl}\emph{Sp"ater!} In derselben Weise erkl"aren wir die Komplexe ${\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ mitsamt Isomorphismen von Komplexen nach ${\op{S}}^{!} \check{\mathcal K}$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!} \check{\mathcal K}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ im Sinne von \ref{FZbm} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in den Borel-Moore-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{!\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der in hoffentlich offensichtlicher Weise definierten Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Borel-Moore-$n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat er Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $\langle s \rangle$ dem zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex wie im Beweis von \ref{SH}. Wenden wir darauf die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen vom Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at auf singul"aren Ketten aus \ref{SiPoi}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneqq \check{u}_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{!\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ von ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Um nun endlich zur anschaulichen Bedeutung vorzudringen, betrachten wir in der linken Vertikalen die dualen Komplexe und erhalten so eine Homotopie"aquivalenz $${\op{C}}^{!} \Delta (\check{\mathcal K}) \hra {\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$$ wo der $q$-te Teil ${\op{C}}^{!}_q \Delta (\check{\mathcal K})$ unseres Teilkomplexes aus allen \glqq unendlichen formalen Linearkombinationen\grqq\ "uber $t\in\cal{K}_{n-q}$ gewisser Ausdr"ucke $c(t)$ besteht, die ihrerseits gegeben werden als $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ summiert "uber alle $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzy}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzz}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzo}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \subsection{Versuch} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ definieren wir den {\bf Komplex der grenzfeinen Ketten}\index{grenzfein!Kette} als den direkten Limes $$\op{GS}(X)=\varinjlim(\op{S}(X)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} $U$. Alle kanonischen Abbildungen $\op{S}(X)\ra\op{GS}(X)$ in diesen direkten Limes induzieren nach \ref{UT} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie kommt, wie auch alle anderen, sogar von einer Transformation $\op{S}\RA\op{GS}$ von Funktoren $\op{Top}\ra \op{Ket}$ her. Wir definieren weiter auch f"ur $X\supset A$ einen Raum mit einer Teilmenge den {\bf Komplex der relativen grenzfeinen Ketten} als den direkten Limes $$\op{GS}(X,A)=\varinjlim(\op{S}(X,A)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X,A) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung f"ur grenzfeine Ketten}]\label{Aschg} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s im Inneren von $A$ liegt. So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, A{\backslash} L) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den Komplexen von relativen grenzfeinen Ketten $${\op{GS}}(X{\backslash} L,A{\backslash} L) \sira {\op{GS}} (X,A)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wie beim Beweis der Ausschneidung \ref{Asch} betrachten die "Uberdeckung $X = A \cup (X{\backslash} L)$, geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}(A{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}A \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow & {\op{S}}^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}X \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &{\op{S}}X\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}} (X {\backslash} L, A{\backslash} L) & \ra & {\op{S}}(X,A) & \ra & {\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt. Jetzt gehen wir zum direkten Limes unter den Unterteilungsoperatoren "uber und m"ussen nur zeigen, da"s dieser Limes bei ${\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X$ verschwindet. In der Tat wird aber nach \ref{KlKl} jedes Element dieses Quotienten von einer hinreichend hohen Potenz des Unterteilungsoperators annulliert. \end{proof} \begin{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BMLL} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen ${\op{S}}^! X \rightarrow {\op{S}} (X,X \backslash K)$ aus \ref{BMHH} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. In der Tat k"onnen in diesem Fall die lokal endlichen Ketten auch beschrieben werden als Abbildungen $\op{Top} (\Delta_q, X) \rightarrow \mathbb Z$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ nur endlich vielen der $\sigma : \Delta_q \rightarrow X$ mit $\sigma (\Delta_q) \cap K\neq \emptyset$ eine von Null verschiedene Zahl zugeordnet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Borel-Moore-Homologie}] Die Borel-Moore-Ho\-mologie ist keineswegs homotopieinvariant, ja noch nicht einmal in dem von der Homologie gewohnten Sinne funktoriell. Vielmehr erh"alt man nur f"ur eigentliche Abbildungen von lokal kompakten Hausdorffr"aumen, nach \eref{SLOK}{ML} also den Abbildungen $f: X \rightarrow Y$, bei denen das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist, auch Abbildungen $f_\ast: {\op{S}}^! X\rightarrow {\op{S}}^! Y$ auf den lokal endlichen Ketten und Abbildungen $f_\ast : {\op{H}}^!_q X \rightarrow {\op{H}}^!_q Y$ auf der Borel-Moore-Homologie. Die wesentliche Bedeutung der Borel-Moore-Homologie liegt darin, da"s in ihr auch f"ur nicht kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten \glqq Fundamentalzykel\grqq\ erkl"art werden k"onnen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Noch st"arker gelingt das sogar f"ur \glqq Pseudomannigfaltigkeiten, bei denen die Singularit"aten erst in Kodimension Zwei beginnen\grqq, und damit insbesondere f"ur mit ihrer analytischen Topologie versehene komplexe algebraische Variet"aten. Das besprechen wir aber hier nicht weiter. \end{Bemerkungl} % \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalzykel in der Borel-Moore-Homo\-lo\-gie}] % Gegeben eine \emph{separable} zusammen\-h"ang\-en\-de orientierbare % $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ ist\label{FZbm} % ihre $n$-te Borel-Moore-Homo\-lo\-gie ${\op{H}}^!_{n}M$ % frei vom Rang Eins % und die kanonische Abbildung nach \ref{BMHH} % liefert f"ur alle $x\in M$ einen Isomorphismus % $${\op{H}}^!_{n}M\sira {\op{H}}_{n}(M,M\backslash x)$$ % \end{Satz} % \begin{proof} % Dieser Satz folgt unmittelbar aus der % anschlie"senden genaueren Proposition \ref{GBM}. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Borel-Moore-Homologie und Fundamentalzykel}] Gegeben eine separable $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ liefern\label{GBM} die Abbildungen aus \ref{BMHH} einen Isomorphismus $${\op{H}}^!_{n}M\sira \Gamma M$$ zwischen ihrer $n$-ten Borel-Moore-Homo\-lo\-gie und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe nach \ref{SOG}. \end{Proposition} \begin{Definition} Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit,\label{FuBM} so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse in ihrer Borel-Moore-Homologie. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist allgemeiner $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der induzierten Topologie eine separable orientierbare $q$-Mannigfaltigkeit wird, und w"ahlen wir eine Orientierung auf $Y$, so liefert der push-forward des Fundamentalzykels unter der abgeschlossenen Einbettung $i:Y\hra X$, einer eigentlichen Abbildung, eine Klasse $i_\ast\omega_Y\in {\op{H}}^!_{q}X$ in der Borel-Moore-Homologie, die auch als der {\bf Fundamentalzykel von $Y$} angesprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Separabilit"at ist hier wesentlich. Um das zu sehen, betrachte man die Alexandroff'sche Halbgerade $A$ mit ihrer Anordnung nach \eref{AlHg}{AL} und nehme als $M$ das Komplement ihres kleinsten Elements. Ich will kurz skizzieren, wie die Annahme der Existenz eines lokal endlichen Fundamentalzykels in diesem Fall einer nicht separablen Mannigfaltigkeit zum Widerspruch f"uhrt. In der Tat ist $A$ nach \eref{FKNU}{AL} folgenkompakt, als da hei"st, jede unendliche Teilmenge hat einen H"aufungspunkt. Die Endpunkte aller $1$-Simplizes, die mit von Null verschiedenem Koeffizienten in einem lokal endlichen Fundamentalzykel vorkommen, bilden nun sicher eine Teilmenge von $M$ ohne obere Schranke in $M$. Es gibt also zu einem festen Punkt $x\in M$ unendliche viele solcher Endpunkte, die gr"o"ser sind. Diese m"ussen dann einen H"aufungspunkt in $M$ haben, im Widerspruch zur lokalen Endlichkeit unseres Zykels. \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen aus \ref{BMHH} nach \ref{BMLL} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. Nehmen wir zus"atzlich $X$ separabel an, so existiert sogar eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, haben wir ebenso \begin{equation*} {\op{S}}_q^! X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Dieses inverse System besteht offensichtlich aus Surjektionen, und dasselbe gilt a forteriori f"ur das System von R"andern ${\op{B}}_{q-1} (X, X\backslash \bar{U}_i)$. Ist nun zus"atzlich $X =M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so liefert Satz \ref{HHM} "uber die hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten ${\op{H}}_{n+1} (M, M\backslash \bar{U}_i) =0$, folglich haben wir ${\op{B}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) = {\op{Z}}_{n+1} (M,M \backslash \bar{U}_i)$ und die $(n+1)$-Zykel bilden auch ein inverses System aus Surjektionen. Mit dem Mittag-Leffler-Kriterium \ref{MiLe} f"ur die Exaktheit inverser Limites folgt sowohl die Surjektivit"at der offensichtlichen Abbildung \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{S}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) \twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{B}}_n (M, M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} als auch die Exaktheit von \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{B}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \hookrightarrow \varprojlim_i {\op{Z}}_n (M, M /\bar{U}_i )\twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Unsere erste Surjektivit"at erlaubt uns die Identifikation der ersten Gruppe dieser kurzen exakten Sequenz mit $\cal{B}_n{\op{S}}^! M$ und die Linksexaktheit inverser Limites erlaubt die Identifikation der Mitte unserer Sequenz mit $\cal{Z}_n{\op{S}}^! M$, so da"s wir schlie"slich f"ur jede separable $n$-Mannigfaltigkeit einen Isomorphismus \begin{equation*} {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} erhalten. Bis hierher war das im wesentlichen die L"osung von "Ubung \ref{QILcc} in unserem Spezialfall. Beachten wir nun die Isomorphismen $ {\op{H}}_n (M,M \backslash A) \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma A $ f"ur $A \subset M$ kompakt aus dem Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir den gew"unschten Isomorphismus $ {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma M $ wegen $\Gamma M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i \Gamma \bar{U}_i$. Diese letzte Identit"at sieht man zum Beispiel ein, indem man sich "uberlegt, da"s sowohl die $\bar{U}_i$ als auch die ${U}_i$ final sind im System aller Teilmengen von $X$ mit kompaktem Abschlu"s. \end{proof} % \begin{Definition}\label{FuBMn}%\label{FuBM} % Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit, % so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ % mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. % Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} % der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} % orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen % eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse % in der Borel-Moore-Homologie. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation des Fundamentalzykels}] Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Der Fundamentalzykel von $\Delta ({\mathcal K})$ im Sinne von \ref{FuBM} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in der Gruppe der Borel-Moore-$n$-Simplizialketten. F"ur $n\geq 1$ kann dieser Repr"asentant beschrieben werden als die formale Summe "uber alle $n$-Simplizes, jeweils mit\label{FuZY} einer Anordnung versehen, die mit der gew"ahlten Orientierung in der Weise vertr"aglich ist, da"s eben $\omega|_x \in {\op{H}}_n (\Delta (\mathcal K), \Delta (\mathcal K)\backslash x)$ an jeder Stelle $x$ die vorgegebene Orientierung liefert. Im Fall $n= 0$ einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit ist dieser Repr"asentant dahingegen die formale Summe aller ihrer Punkte mit den durch die Orientierung gegebenen Vorzeichen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Raum $X$ hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} f"ur\index{kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} eine nat"urliche Zahl $q\geq 0$ genau dann, wenn f"ur jedes Paar $K\subset W\co X$ von Teilmengen mit $K$ kompakt und $W$ offen das Bild von\label{vern} $$ \mathrm H_q (X, X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X, X\backslash K) $$ endlich erzeugt ist. Er hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch endlich} genau dann, wenn er homologisch kompaktrelativ $q$-endlich ist f"ur alle $q$. Es gibt auch offensichtliche Varianten dieses Begriffs f"ur beliebige Koeffizientenringe, die wir jedoch in diesem Zusammenhang stets als kommutativ und noethersch voraussetzen wollen. \end{Definition} \begin{Beispiele} F"ur alle $n$ ist der $\DR^n$ nach \ref{EEHH} kompaktrelativ homologisch endlich. Allgemeiner ist nach \ref{EEHHb} der Polyeder eines lokal endlichen Simplizialkomplexes stets kompaktrelativ homologisch endlich. Jede offene Teilmenge eines kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Raums ist auch selbst wieder kompaktrelativ homologisch $q$-endlich. \end{Beispiele} \begin{Satz}\label{krLO} Jeder lokal kompakte Hausdorffraum, der eine "Uberdeckung durch offene kompaktrelativ homologisch endliche Teilmengen besitzt, ist bereits selbst kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Satz} \begin{proof} Jedes Kompaktum kann durch endlich viele offene Teilmengen "uberdeckt werden. Der Satz folgt so leicht aus dem anschlie"senden Lemma \ref{verK}. \end{proof} % \begin{Lemma} % Sei $q\geq 0$ gegeben. % Ist ein lokal kompakter % Hausdorffraum kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich und besitzt darin % jeder Punkt eine offene kompaktrelativ homologisch $q$-endliche % Umgebung, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch % $q$-endlich.\label{verK} % \end{Lemma} \begin{Lemma} Sei $q\geq 0$ gegeben. Ist ein lokal kompakter Hausdorffraum "uberdeckt von zwei offenen kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Teilmengen mit kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlichem Schnitt, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch $q$-endlich.\label{verK} \end{Lemma} \begin{proof} % Es reicht zu zeigen, da"s unter den gegebenen Voraussetzungen % die Vereinigung je zweier offener kompaktrelativ homologisch $q$-endlicher Teilmengen wieder kompaktrelativ % homologisch $q$-endlich ist. Sei $X$ unser Raum und seien $V_1, V_2 \co X$ zwei kompaktrelativ homologisch $q$-endliche offene Teilmengen mit Vereinigung $V_1 \cup V_2 =X$. Seien $K \subset W \co X$ gegeben mit $K$ kompakt. Es gilt zu zeigen, da"s das Bild von \begin{equation*} \mathrm H_q (X,X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X,X\backslash K) \end{equation*} endlich erzeugt ist. Jeder Punkt von $K$ besitzt eine kompakte Umgebung, die entweder ganz in $V_1 \cap W$ oder ganz in $V_2 \cap W$ liegt. Wir finden also Kompakta $K_i \subset V_i \cap W$ mit $K = K_1 \cup K_2$. Offensichtlich finden wir weiter $U_i \co X$ mit \begin{equation*} K_i \subset U_i \subset \bar{U}_i \subset V_i \cap W \end{equation*} und $\bar{U}_i$ kompakt. Mit der Abk"urzung $\mathrm H_q(\backslash Y)\pdef \mathrm H_q(X,X\backslash Y)$ f"ur Teilmengen $Y\subset X$ erhalten wir nun ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &{\mathrm H_q(\backslash K_1 \cup K_2) }&\ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash K_1 \cap K_2)}\\ {\mathrm H_q ( \backslash \bar{U}_1) \oplus \mathrm H_q(\backslash \bar{U}_2)}&\ar[l] \ar[u] {\mathrm H_q (\backslash\bar U_1 \cup \bar U_2)} & \ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash \bar U_1 \cap \bar U_2)}\ar[u]\\ \ar[u]{ \mathrm H_q ( \backslash W \cap V_1) \oplus \mathrm H_q ( \backslash W\cap V_2)} &\ar[u]\ar[l] {\mathrm H_q ( \backslash W)} } \end{displaymath} Da $V_1$ und $V_2$ als kompaktrelativ homologisch $q$-endlich angenommen waren, ist das Bild der linken Vertikale endlich erzeugt. Da $V_1\cap V_2$ kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich angenommen war, ist auch das Bild der rechten Vertikale endlich erzeugt. Als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz ist die mittlere Horizontale exakt. Mit \ref{GEZZ} folgt dann, da"s auch die Verkn"upfung in der mittleren Vertikale endlich erzeugtes Bild hat. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{ Variante zum Satz von Wilder}\index{Wilder, Satz von!lokale Variante}] Jede Mannigfaltigkeit ist kompaktrelativ homologisch endlich.\label{WilderV} Allgemeiner ist ein Hausdorffraum, in denen jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines lokal endlichen Simplizialkomplexes, stets kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Korollar} \begin{Bemerkunge}\label{vkrt} Nach \cite{HiPo} sind damit insbesondere separierte komplexe Variet"aten kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Das folgt mit \ref{EEHH} beziehungsweise \ref{EEHHb} leicht aus % Satz \ref{krLO} % \end{proof} % \begin{Bemerkunge}\label{KoWiV} % Dasselbe gilt mit demselben Beweis auch f"ur Mannigfaltigkeiten % mit Rand oder mit Ecken, ja mit \ref{EEHHb} % f"ur beliebige Hausdorffr"aume, in denen jeder Punkt eine % offene Umgebung besitzt, die % hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines % lokal endlichen % Simplizialkomplexes. % \end{Bemerkunge} % \begin{proof}[Beweis] % Per Induktion "uber $q$ von oben % mithilfe des anschlie"senden Lemmas. Die Induktionsbasis liefert der % Satz "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten \ref{HHM}. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Paarung f"ur lokal endliche Ketten}] Das Auswerten von Koketten auf Ketten induziert f"ur jeden topologischen Raum $X$ eine Kettenabbildung \begin{equation*} \mathrm S_!^\ast X \otimes \mathrm S^! X \rightarrow \mathbb Z [0] \end{equation*} In der Tat, gegeben eine Kokette mit kompaktem Tr"ager gibt es ein Kompaktum $K \subset X$ derart, dass unsere Kokette nur auf solchen Simplizes von Null verschieden ist, die $K$ treffen. Gegeben eine lokal endliche Kette besitzt aber jeder Punkt von $K$ eine Umgebung derart, dass nur endlich viele Simplizes, die diese Umgebung treffen, in unserer Kette mit Null verschiedenem Koeffizienten auftauchen. Endlich viele dieser Umgebungen "uberdecken $K$, weshalb unser Auswerten oben nur zu endlichen Summen f"uhrt. % Unsere Paarung liefert nat"urlich einen % Homomorphismus $\mathrm S^\ast_! X \rightarrow (\mathrm S^! X)^\ast$ % und folglich Homomorphismen % \begin{equation*} % \mathrm H^q_! (X) \rightarrow \mathrm H^!_q (X)^\ast % \end{equation*} % von der Kohomologie mit % kompaktem Tr"ager in den Dualraum der Borel-Moore-Homologie. Unsere Paarung f"uhrt wie in \ref{KPI} zu Paarungen \begin{equation*} \mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ \end{equation*} von der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit der Borel-Moore-Homologie.\label{kpV} Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Borel-Moore-Homologie als Dualraum}] Ist $k$ ein K"orper und $X$ eine separable Mannigfaltigkeit, so liefern die eben konstruierten Abbildungen Isomorphismen\label{BMHD} \begin{equation*} \mathrm H^!_q (X;k) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm H_!^q (X;k)^\ast \end{equation*} zwischen der Borel-Moore-Homologie und dem Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt mit demselben Beweis f"ur jeden separablen lokal kompakten Hausdorffraum, der kompaktrelativ homologisch endlich ist im Sinne von \ref{vern}. Insbesondere gilt er nach \ref{vkrt} also f"ur separierte komplexe Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In diesem Beweis meinen wir stets K"orperkoeffizienten, ohne das in den Notationen nochmals besonders hervorzuheben. F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sind nach \ref{BMLL} unsere nat"urlichen Abbildungen Isomorphismen $ \mathrm S^! X \sira\varprojlim\mathrm S (X, X \backslash K) $, wobei der inverse Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$ zu bilden ist. Wie beim Beweis von \ref{GBM} finden wir eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} {\op{S}}^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i {\op{S}} (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} von Komplexen. Nun hat das inverse System von Komplexen rechts surjektive Sys\-tem\-morphismen. Unsere Variante zum Satz von Wilder \ref{WilderV} zeigt, da"s die von ${\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \sra {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ auf der Homologie induzierten Abbildungen endlich erzeugte Bilder haben. Da wir hier mit Koeffizienten in einem K"orper arbeiten, zeigt dann \ref{QILcc}, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*} \mathrm H_q^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} induzieren. Nun sind die Bilder von ${\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \ra {\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ wie bereits erw"ahnt endlichdimensional. Wir nennen sie $I_{q,i}$. Es ist klar, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*}\varprojlim_i I_{q,i} \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Nun identifiziert man die Bilder von ${\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i}) \ra {\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})$ leicht mit den Dualr"aumen $I_{q,i}^\ast$ und erkennt unschwer, da"s die offensichtlichen Abbildungen auch Isomorphismen \begin{equation*}\varinjlim_i I_{q,i}^\ast \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varinjlim_i \mathrm H^q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Die rechte Seite kann hier in nat"urlicher Weise mit der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager $\mathrm H^q_! X$ identifiziert werden. So erhalten wir schlie"slich nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*}(\mathrm H^q_! X)^\ast \;\sira \;(\varinjlim_i I_{q,i}^\ast)^\ast\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}^{\ast\ast}\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}\;\sira \;\mathrm H_q^! X \end{equation*} Das etwas unangenehme Pr"ufen der Tatsache, da"s diese Verkn"upfung von Isomorphismen genau die Abbildung aus dem Satz ist, bleibe dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager und Orientierung}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert die im Beweis konstruierte Abbildung einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum ihrer $n$-ten Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit rationalen Koeffizienten und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe\label{KKTM} $$ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})^*\sira \Gamma(X;\op{or}_X(\DQ))$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sp"ater werden wir allgemeinere Aussagen in dieser Richtung als Verdier-Dualit"at kennenlernen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem gilt $ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})= \varinjlim_K{\op{H}}^{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})$ mit dem Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$. Wir folgern Isomorphismen $$ \begin{array}[b]{lll} {\op{H}}^{n-1}_!(X;\Bbb{Q})^*&\sira&\varprojlim_K {\op{H}}^{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})^\ast\\ &\sira&\varprojlim_K {\op{H}}_{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})\text{ nach \ref{UBDS} und \ref{WilderV}}\\ &\sira&\varprojlim_K \Gamma(K;\op{or}_X(\DQ))\text{ nach \ref{NNN}}\\ &\sira& \Gamma (X;\op{or}_X(\DQ))\end{array} \qedhere$$ \end{proof} \subsection{Poincar\'{e}-Dualit"at}\label{PDD} \begin{Bemerkungl}\label{COr} Ist $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine Orientierung auf $M$, so definiert $\omega$ nach \ref{HHM} f"ur alle kompakten Teilmengen $K \subset M$ ein Element $\omega_{K} \in {\op{H}}_{n}(M,M\backslash K)$, das cap-Produkt mit $\omega_{K}$ liefert nach \ref{capr} Abbildungen $\cap\omega_{K} :{\op{H}}^{q} (M,M\backslash K) \ra {\op{H}}_{n-q} M$, und durch "Ubergang zum direkten Limes mithilfe von \ref{cpq} erhalten wir Abbildungen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!} M \ra {\op{H}}_{n-q} M$$ Wir nennen sie das {\bf partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel}. Sie sind vertr"aglich sind mit dem "Ubergang zu offenen Teilmengen von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at mit lokal endlichen Ketten}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ liefert unsere Formel \ref{Excap} f"ur das cap-Produkt auch eine Kettenabbildung $${\op{S}}_!^{\ast} X \otimes {\op{S}}^!X \ra {\op{S}}X$$ Wir notieren auch diese Verkn"upfung $b \otimes z \mapsto b \cap z$ und nennen sie ein {\bf cap-Produkt}.\index{cap-Produkt!mit lokal endlicher Kette} Ist\label{SiPoi} $(M,\omega)$ eine separable orientierte $n$-Mannigfaltigkeit, so k"onnen wir das Auswerten auf dem Fundamentalzykel im Sinne von \ref{COr}, das nach \ref{APD} den Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at liefert, als den Effekt auf der Kohomologie einer und jeder Kettenabbildung $$\cap\omega:{\op{S}}_!^{\ast} M [n]\ra {\op{S}}M$$ interpretieren, die mit diesen Begriffsbildungen nun in der Tat durch das Darancappen eines und jedes Repr"asentanten $\omega\in {\op{S}}^!M$ des Fundamentalzykels gegeben wird. Die Wahl eines anderen Repr"asentanten f"uhrt offensichtlich zu einer homotopen Kettenabbildung und liefert folglich dieselbe Abbildung auf der Kohomologie. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Allgemeine Poincar\'{e}-Dualit"at}] Gegeben\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!allgemeine} eine orientierte $n$-Man\-nig\-faltig\-keit $M$ mit Orientierung $\omega$\label{APD} induziert das partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\cap\omega $ aus \ref{COr} f"ur alle $q$ Isomorphismen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!}M \sira {\op{H}}_{n-q}M$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{SPD} Dieser Satz gilt mit demselben Beweis f"ur Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0$, so ben"otigt man noch nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. Betrachten wir den Fall rationaler Koeffizienten und nehmen $q=n$ und gehen auf beiden Seiten zum Dualraum "uber, so erhalten wir einen Spezialfall unseres Isomorphismus \ref{KKTM}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Schnittpaarung und Poincar\'e-Dualit"at, Variante}] Der Isomorphismus der allgemeinen Poincar\'e-Dualit"at ist meiner Anschauung kaum zug"anglich. Er liefert jedoch im Verbund mit unserer Variante der Kronecker-Paarung $\mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ$ aus \ref{kpV} eine wohlbestimmte Paarung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathrm H_{n-q}(M) \times \mathrm H^!_q(M)& \rightarrow &\mathbb Z\\ (\zeta\;,\; \xi) \;\;\;& \mapsto & \zeta \cdot \xi \end{array} \end{displaymath} Diese Paarung oder vielmehr ihr Analogon mit K"orperkoeffizienten liefert im Fall einer separablen Mannigfaltigkeit nach \ref{BMHD} einen Isomorphismus der Borel-Moore-Homologie mit dem Dualraum der Homologie im komplement"aren Grad und kann anschaulich in Verallgemeinerung von \ref{SPoD} wieder als Schnittpaarung interpretiert werden. Genauer kann man folgendes zeigen: Gegeben eine orientierte abgeschlossene $q$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $X\As M$, also eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der Spurtopologie eine $q$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist und die als solche mit einer Orientierung versehen ist, erhalten wir ja nach \ref{FuBM} einen Fundamentalzykel $\omega_X \in \mathrm H^!_qX$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir kurzerhand $\omega_X \in \mathrm H^!_q M$ notieren. Gegeben eine orientierte kompakte $(n-q)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ erhalten wir bereits nach \ref{FZ} einen Fundamentalzykel $\omega_Y \in \mathrm H_{n-q}Y$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir $\omega_Y\in \mathrm H_{n-q} M$ notieren. Es m"ogen nun $X \As M$ und $Y \subset M$ endlichen Schnitt $|X \cap Y| < \infty$ haben. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s es um jeden Punkt $s \in X \cap Y$ eine offene Umgebung $U \co M$ und einen Hom"oomorphismus $U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^n$ gibt, unter dem die von $M$ auf $U$ induzierte Orientierung der Standardorientierung des $\DR^n$ entspricht, und Hom"oomorphismen $X \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^q \times 0$ und $Y \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} 0\times \mathbb R^{n-q}$ induziert. Erkl"aren wir schlie"slich die Vorzeichen $\epsilon (s), \eta (s)$ dadurch, da"s sie angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die vorgegebenen Orientierungen auf $X, Y$ mit den Standardorientierungen auf $\mathbb R^q, \mathbb R^{n-q}$ identifizieren oder nicht, so gilt f"ur die Paarung der zu $X$ und $Y$ geh"origen Fundamentalzykel $\omega_X$ und $\omega_Y$ die Formel \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPoA}\\[4mm] \noindent Ein Zykel und ein Borel-Moore-Zykel in einer offenen Teilmenge der Ebene. Je nach Wahl der Orientierung der Ebene ist in diesem Fall die Schnittzahl $\pm 1$. \end{Bild} \begin{equation*} \omega_X \cdot \omega_Y = \sum_{s \in X \cap Y} \epsilon (s) \eta (s) \end{equation*} Die durch diese Eigenschaft ausgezeichnete Paarung hei"st wieder eine {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}. Der Nachweis der hier aufgestellten Behauptungen wird uns allerdings noch lange besch"aftigen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma. \begin{Lemma} Sind $U, V \subset M$ offen und gilt der Satz f"ur die $n$-Mannig\-fal\-tig\-keiten\label{hilL} $U, V$ und $U\cap V$, so gilt er auch f"ur $U \cup V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort mit dem F"unferlemma aus dem Diagramm $$\begin{array}{cccccccc} \scriptstyle{\ldots \ra} &\scriptstyle{ {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V)}& \scriptstyle{\ra} &\scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!} U\oplus {\op{H}}^{q}_{!}V} &\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!}(U\cup V) }&\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q+1}_{!} (U\cap V)\ra}\\ & \scriptstyle{\downarrow} & &\scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} \\ \scriptstyle{\ldots \ra} & \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cap V)}& \scriptstyle{\ra }&\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q}U\oplus {\op{H}}_{n-q}V} & \scriptstyle{\ra }& \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cup V)} & \ra &\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q-1}(U\cap V)} \scriptstyle{\ra } \end{array}$$ sobald wir zeigen k"onnen, da"s dies Diagramm kommutativ ist. Es reicht, f"ur beliebige kompakte $K \subset U$ und $L\subset V$ die Kommutativit"at des Diagramms zu zeigen, das man erh"alt, wenn man die obere Zeile durch die entsprechende relative Mayer-Vietoris-Sequenz ersetzt. Wir k"urzen $U \cup V=X$ ab und bezeichnen die offene "Uberdeckung $X \backslash (K\cap L)= (X \backslash K) \cup (X\backslash L)$ mit $\cal{V}$. Die kurze exakte Sequenz auf den singul"aren Ketten $${\op{S}}(X\backslash K \cup L) \hookrightarrow {\op{S}} (X \backslash K) \oplus {\op{S}} (X\backslash L) \twoheadrightarrow {\op{S}}^{\cal{V}} (X \backslash K \cap L)$$ liefert durch Dualisieren die oberste Horizontale im folgenden gro"sen kommutativen Diagramm: $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{{\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X \backslash K\cap L)}&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X\backslash K)\oplus {\op{S}}^{\ast}(X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X \oplus {\op{S}}^{\ast} X }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X, X \backslash K \cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X , X \backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash K\cup L)} \end{array}$$ Darin sind alle Vertikalen kurze exakte Sequenzen, die untere linke Ecke ist durch die Exaktheit der vertikalen Sequenz definiert, und die untere Zeile exakt ist nach dem Neunerlemma. Die lange exakte Kohomologiesequenz dieser untersten Zeile ist bis auf einige Identifikationen gerade unsere relative Mayer-Vietoris-Sequenz der Kohomologie. W"ahlen wir nun f"ur $\omega_{K\cup L}$ einen Repr"asentanten in ${\op{S}}_{n} X$, der fein ist bez"uglich der offenen "Uberdeckung $X = (V\backslash K) \cup (U\backslash L) \cup (U\cap V)$, und fassen die Kettenkomplexe der singul"aren Ketten auf als Kokettenkomplexe, die nur in Indizes $\leq0$ leben, so definiert das cap-Produkt mit so einem Repr"asentanten die vertikalen Morphismen eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X,X\backslash K\cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash L) }&\scriptstyle{\twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow } \\ \scriptstyle{ S(U\cap V) }&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ S U \oplus SV}&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{{\op{S}}^{\cal{W}} (U \cup V)} \end{array}$$ f"ur $\cal{W}$ die "Uberdeckung $X = U \cup V$ von $X$. Das liefert dann das gesuchte kommutative Diagramm von langen exakten Sequenzen. \end{proof}\noindent Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur allgemeinen Situation. \\[2mm]\noindent 1. Der Satz gilt f"ur $M = \Bbb{R}^{n} $. Dann bilden ja die abgeschlossenen B"alle $D_{r}$ schon ein finales System unter allen kompakten Teilmengen von $\Bbb{R}^{n}$ und $\cap \omega : {\op{H}}^{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n} \backslash D_{r}) \ra {\op{H}}_{0}(\Bbb{R}^{n}) = \Bbb{Z}$ ist schlicht das Auswerten einer Kohomologieklasse auf der Homologieklasse $\omega \in {\op{H}}_{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n}\backslash D_{r})$, also ein Isomorphismus f"ur $0 n$ ist eh nichts zu zeigen. Im Fall $p+q = m < n$ verwendet man den nach \ref{HKPR} und \ref{KW} surjektiven Ringhomomorphismus ${\op{H}}^{\ast} \DP^{n} \DC \twoheadrightarrow {\op{H}}^{\ast} \DP^{m} \DC$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man definiere f"ur jeden Hausdorffraum ein cup-Produkt auf seiner Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. F"ur eine Mannigfaltigkeit entspricht es nebenbei bemerkt unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at dem anschaulichen Schnittprodukt auf der Homologie. \end{Ubung} \subsection{Schnittzahlen} \begin{Bemerkungl}\label{DSZa} Sei $M$ eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit. F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in {\op{H}}_{q} M$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ ist hoffentlich anschaulich in etwa klar, was ihre \glqq Schnittzahl\grqq\ sein sollte, die die Schnittpunkte von repr"asentierenden Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\ mit geeigneten, von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen z"ahlt. Mit dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD} k"onnen wir unseren Homologieklassen sicher formal korrekt eine Zahl $\al\cdot \beta\in\Bbb{Z}$ zuordnen wie folgt: Wir suchen einfach $a \in {\op{H}}^{n-q}M$ und $b \in {\op{H}}^{q}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M}$ und $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen $$\al\cdot \beta =\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$ Dies sei unsere Definition der {\bf Schnittzahl}\index{Schnittzahl} der beiden Homologieklassen. Der bald folgende Satz \ref{GiS} soll plausibel machen, da"s die so definierte Zahl die oben beschriebene geometrische Bedeutung hat. Dazu braucht es jedoch einige Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildbary}\\[4mm] \noindent Ein Simplizialkomplex und gestrichelt eingezeichnet seine baryzentrische Unterteilung. Die Ecken der baryzentrischen Unterteilung mag man sich denken als die Schwerpunkte der nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Simplizialkomplexes, die Simplizes der baryzentrischen Unterteilung entsprechen den endlichen Ketten in der partiell geordneten Menge der urspr"unglichen Simplizes. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{bU} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K = (E, \mathcal K)$ im Sinne von \eref{SKk}{TF} erkl"aren wir wie folgt einen neuen Simplizialkomplex, seine {\bf baryzentrische Unterteilung}\index{baryzentrische Unterteilung} $\check{\mathcal K} = (\check{E}, \check{\mathcal K})$: Als Ecken nehmen wir alle nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Komplexes, in Formeln $\check{E} = \{ s \in \mathcal K \mid s \neq \emptyset\}$. Als Simplizes nehmen wir alle endlichen Ketten in der Menge $\check{E}$, die ja durch die Inklusionsrelation partiell geordnet ist, also alle bez"uglich dieser partiellen Ordnung total geordneten endlichen Teilmengen. Man erh"alt einen Hom"oomorphismus zwischen den zugeh"origen Polyedern \begin{equation*} \Delta (\check{\mathcal K}) \overset{\sim}{\rightarrow} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} durch die Vorschrift, da"s jede Ecke $s \in \check E\subset \mathcal K$ auf den Schwerpunkt des vollen Simplex $\Delta (s) \subset \Delta (\mathcal K) $ abgebildet wird und jeder volle Simplex von $\Delta (\check K)$ affin in denjenigen vollen Simplex von $\Delta (\mathcal K)$, der seiner gr"o"sten Ecke entspricht. Jeder Simplex von $\check{\mathcal K}$ hat bereits eine offensichtliche Anordnung, in Bezug auf die wir von nun an den Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ verstehen wollen, und die hoffentlich offensichtlichen Kettenabbildungen liefern Homotopie"aquivalenzen \begin{equation*} {\op{S}} \check{\mathcal K} \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\hri {\op{S}} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} Im Beweis von \ref{SH} hatten wir zwar ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten nur in Bezug auf eine totale Ordnung auf der Menge aller Ecken eingef"uhrt, aber mit einer partiellen Ordnung, die auf allen Simplizes eine totale Ordnung induziert, geht es genauso. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ffuzy} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ hat genau einen Repr"asentanten in den $n$-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen $n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat unser Fundamentalzykel die Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$, wobei $\langle s \rangle$ wie im Beweis von \ref{SH} den zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddz}\\[4mm] \noindent Ein Ausschnitt einer triangulierten $2$-Mannigfaltigkeit. Die Nummerierung der Ecken legt ihre Anordnung fest. Der Kreispfeil daneben deutet die Orientierung an, der Fundamentalzykel hat also die Gestalt $$\omega=\ldots +\langle\{ 1,2,3\}\rangle -\langle\{ 1,2,7\}\rangle +\ldots$$ Die duale Zelle zum $1$-Simplex $t=\{1,2\}$ besteht aus den beiden Summanden $\check{u}=\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ und $\check{v}=\{\{1,2\},\{1,2,7\}\}$ und deren Vorzeichen sind $\eta(\check{u})=-1$ und $\eta(\check{v})=1$, so da"s sich die duale Zelle zu $c(t)=\check{v}-\check{u}$ ergibt. Im Bild habe ich die den ordnungsvertr"aglichen $1$-Ketten $\langle t \rangle $ und $c(t)$ entsprechenden Simplizialketten fett eingezeichnet. \\[2mm] Weiter besteht die duale Zelle zum $0$-Simplex $\{6\}$ aus $10$ Summanden, und ich habe im Bild auch die der dualen Zelle zu dieser Ecke alias der ordnungsvertr"aglichen $2$-Kette $c(\{6\})$ entsprechende Simplizialkette durch Kreispfeile eingezeichnet. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{duze} Gegeben ein $(n-q)$-Simplex $t\in \cal{K}_{n-q}$ definieren wir die zugeh"orige {\bf duale Zelle}\index{duale Zelle} $c(t)\in \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ als die Summe $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ "uber alle $q$-Simplizes $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. Einen $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ schreiben wir dazu als echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von nichtleeren Simplizes von $\mathcal K$, und wir summieren "uber alle Ketten, die mit dem $(n-q)$-Simplex $t$ beginnen. Die $\eta(\check{u})=\pm 1$ sind gewisse Vorzeichen, die wie folgt gegeben seien: Man betrachte die Ecken $u_1,\dots,u_q \in E$ des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $(s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $\check{u}_q$ und $(t_0,\ldots,t_{n-q})$ die angeordnete Darstellung des $(n-q)$-Simplex $t=\check{u}_0$ und $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ die Permutation mit $$ \begin{array}{lcl} s_{\tau(0)}&=&t_0\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n-q)}&=&t_{n-q}\\ s_{\tau(n-q+1)} &=& u_1\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n)} &=& u_q \end{array}$$ So sei das fragliche Vorzeichen gegeben als $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diese dualen Zellen m"ogen mit ihren ganzen Vorzeichen unanschaulich wirken. Der erste Teil des folgenden Satzes sollte hier jedoch der Anschauung helfen, zeigt er doch, da"s die Vorzeichen jedenfalls stets so zusammenpassen, da"s der Rand einer dualen Zelle eine Linearkombination dualer Zellen ist. Das hat im Bild der Simplizialketten unter anderem die anschauliche Bedeutung, da"s \glqq die einzelnen Simplizes einer dualen Zelle gerade so orientiert sind, da"s sich die internen R"ander gegenseitig wegheben\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Interpretation der Schnittzahlen}] Sei der Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltig\-keit $M$.\label{GiS} Sei auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$ eine Anordnung gew"ahlt. So gilt: \begin{enumerate} \item Die von den dualen Zellen im Sinne von \ref{duze} erzeugten Untergruppen ${\op{C}}_q\subset \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ bilden einen Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ im Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten der baryzentrischen Unterteilung $\check{{\mathcal K}}$ von $\mathcal K$, und die Einbettung dieses Unterkomplexes induziert auf allen Homologiegruppen Isomorphismen $\cal{H}_q{\op{C}}\sira {\op{H}}_qM$. \item Wird %eine Homologieklasse $\alpha\in {\op{H}}_q M$ repr"asentiert durch einen \glqq simplizialen\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-p}}\alpha_t \langle t\rangle \in %% {\op{S}}^{\op{os}}\Delta %% ({\mathcal K})$ $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\alpha_t \langle t\rangle \in {\op{S}}^{\op{os}}\Delta ({\mathcal K})$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ durch einen \glqq zellul"aren\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_q$, $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_{n-q}$, so gilt f"ur ihre Schnittzahl $$\alpha\cdot\beta=\sum_t \alpha_t \beta_t$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal erinnern wir die Definition der Schnittzahl: Wir hatten dazu ja das $a\in {\op{H}}^{n-q} M$ bzw. $b\in {\op{H}}^{q} M$ genommen mit $a\cap\omega_M=\alpha$ bzw. $b\cap\omega_M=\beta$ und dann unsere Schnittzahl als Kronecker-Paarung des cup-Produkts dieser Kohomologieklassen mit dem Fundamentalzykel definiert, in Formeln $\alpha\cdot\beta=\langle a\cup b, \omega_M\rangle$. Mit der Adjunktionsformel \ref{Excap} erhalten wir daraus auch die alternative Darstellung $\alpha\cdot\beta=\langle a, \beta\rangle$. Es reicht also, das Urbild $a$ von $\alpha$ unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at hinreichend explizit zu beschreiben. Dazu m"ussen wir etwas weiter ausholen. Gegeben ein Simplizialkomplex ${\mathcal K}$ liefert das baryzentrische Unterteilen ganz allgemein eine Homotopie"aquivalenz $ {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K} $ zwischen den entsprechenden Komplexen von Simplizialketten. Genauer erh"alt man eine Injektion von der Menge ${\cal K}_{q}^\leq$ aller angeordneten $q$-Simplizes von $\mathcal K$ in die Menge $\check{\mathcal K}_q^\leq$ aller %ordnungsvertr"aglichen angeordneten $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, indem man $\sigma : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow E$ abbildet auf $\sigma^\vee : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow \check{E}$ gegeben durch $ \sigma^\vee(i)= \{ \sigma (0), \ldots, \sigma (i)\}. $ Anschaulich gesprochen erhalten wir so \glqq alle $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, die in $q$-Simplizes von $\mathcal K$ liegen\grqq, und die Abbildung ${\cal K}^\leq_{q}\ra {\op{S}}_{q} \check{\mathcal K}$ gegeben durch \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildbAr}\\[4mm] \noindent Ein angeordneter $3$-Simplex $\sigma$ und die sechs angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ mit Vorzeichen, deren Summe seine baryzentrische Unterteilung $b(\sigma)$ im Sinne des Beweises von \ref{GiS} repr"asentiert. Die Kreispfeile sind eigentlich "uberfl"ussig und betonen nur die Reihenfolge der Ecken in den angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ und die Beziehung zum Signum der zugeh"origen Permutationen $\pi$. \end{figure} \begin{equation*} \sigma \mapsto \sum_{\pi \in \mathcal {\cal{S}}_{q+1}} \op{sgn} (\pi) (\sigma \circ \pi)^\vee \end{equation*} induziert eine Homotopie"aquivalenz $ b : {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K}, $ die wir wieder die {\bf baryzentrische Unterteilung} nennen. Wenden wir auf unseren Fundamentalzykel aus \ref{ffuzy} die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen von einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast [n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{ \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Der Komplex ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ der ordnungsvertr"agliche simplizialen Koketten mitsamt einem Isomorphismus von Komplexen ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\sira {\op{S}}^\ast \check{\mathcal K}$ ist in derselben Weise erkl"art wie der Komplex der ordnungsvertr"agliche simplizialen Ketten in \ref{bU}. Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at aus \ref{APD}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \!\!\!\!\sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \!\!\!\!\varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um auch das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast$ von ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast [n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ unter Verwendung unserer Konvention \ref{KEE}. Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD}, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast $ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Gehen wir nun in dieser linken Vertikale zu den dualen Komplexen "uber, so erhalten wir offensichtlich genau den Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ aus dem ersten Teil unseres Satzes \ref{GiS}, und damit ist auch dieser erste Teil bereits bewiesen. Des weiteren sehen wir, da"s f"ur $t\in \cal{K}_{n-q}$ und $\langle t\rangle$ der zugeh"orige angeordnete Simplex seine baryzentrische Unterteilung $b(\langle t\rangle)$ genau ein Urbild hat unter $\cap\check{\omega}$, und da"s dieses Urbild auf der dualen Zelle $c(t)$ den Wert Eins annimmt und auf allen anderen dualen Zellen den Wert Null. Daraus folgt dann auch der zweite Teil des Satzes. \end{proof} \subsection{Anschauung im nichtkompakten Fall}\label{AbHp} \begin{Bemerkungl}\emph{Sp"ater!} In derselben Weise erkl"aren wir die Komplexe ${\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ mitsamt Isomorphismen von Komplexen nach ${\op{S}}^{!} \check{\mathcal K}$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!} \check{\mathcal K}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ im Sinne von \ref{FZbm} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in den Borel-Moore-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{!\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der in hoffentlich offensichtlicher Weise definierten Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Borel-Moore-$n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat er Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $\langle s \rangle$ dem zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex wie im Beweis von \ref{SH}. Wenden wir darauf die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen vom Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at auf singul"aren Ketten aus \ref{SiPoi}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneqq \check{u}_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{!\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ von ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Um nun endlich zur anschaulichen Bedeutung vorzudringen, betrachten wir in der linken Vertikalen die dualen Komplexe und erhalten so eine Homotopie"aquivalenz $${\op{C}}^{!} \Delta (\check{\mathcal K}) \hra {\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$$ wo der $q$-te Teil ${\op{C}}^{!}_q \Delta (\check{\mathcal K})$ unseres Teilkomplexes aus allen \glqq unendlichen formalen Linearkombinationen\grqq\ "uber $t\in\cal{K}_{n-q}$ gewisser Ausdr"ucke $c(t)$ besteht, die ihrerseits gegeben werden als $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ summiert "uber alle $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzy}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzz}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzo}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \subsection{Versuch} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ definieren wir den {\bf Komplex der grenzfeinen Ketten}\index{grenzfein!Kette} als den direkten Limes $$\op{GS}(X)=\varinjlim(\op{S}(X)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} $U$. Alle kanonischen Abbildungen $\op{S}(X)\ra\op{GS}(X)$ in diesen direkten Limes induzieren nach \ref{UT} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie kommt, wie auch alle anderen, sogar von einer Transformation $\op{S}\RA\op{GS}$ von Funktoren $\op{Top}\ra \op{Ket}$ her. Wir definieren weiter auch f"ur $X\supset A$ einen Raum mit einer Teilmenge den {\bf Komplex der relativen grenzfeinen Ketten} als den direkten Limes $$\op{GS}(X,A)=\varinjlim(\op{S}(X,A)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X,A) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung f"ur grenzfeine Ketten}]\label{Aschg} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s im Inneren von $A$ liegt. So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, A{\backslash} L) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den Komplexen von relativen grenzfeinen Ketten $${\op{GS}}(X{\backslash} L,A{\backslash} L) \sira {\op{GS}} (X,A)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wie beim Beweis der Ausschneidung \ref{Asch} betrachten die "Uberdeckung $X = A \cup (X{\backslash} L)$, geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}(A{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}A \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow & {\op{S}}^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}X \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &{\op{S}}X\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}} (X {\backslash} L, A{\backslash} L) & \ra & {\op{S}}(X,A) & \ra & {\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt. Jetzt gehen wir zum direkten Limes unter den Unterteilungsoperatoren "uber und m"ussen nur zeigen, da"s dieser Limes bei ${\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X$ verschwindet. In der Tat wird aber nach \ref{KlKl} jedes Element dieses Quotienten von einer hinreichend hohen Potenz des Unterteilungsoperators annulliert. \end{proof} \begin{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{BMLL} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen ${\op{S}}^! X \rightarrow {\op{S}} (X,X \backslash K)$ aus \ref{BMHH} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. In der Tat k"onnen in diesem Fall die lokal endlichen Ketten auch beschrieben werden als Abbildungen $\op{Top} (\Delta_q, X) \rightarrow \mathbb Z$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ nur endlich vielen der $\sigma : \Delta_q \rightarrow X$ mit $\sigma (\Delta_q) \cap K\neq \emptyset$ eine von Null verschiedene Zahl zugeordnet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der Borel-Moore-Homologie}] Die Borel-Moore-Ho\-mologie ist keineswegs homotopieinvariant, ja noch nicht einmal in dem von der Homologie gewohnten Sinne funktoriell. Vielmehr erh"alt man nur f"ur eigentliche Abbildungen von lokal kompakten Hausdorffr"aumen, nach \eref{SLOK}{ML} also den Abbildungen $f: X \rightarrow Y$, bei denen das Urbild jedes Kompaktums kompakt ist, auch Abbildungen $f_\ast: {\op{S}}^! X\rightarrow {\op{S}}^! Y$ auf den lokal endlichen Ketten und Abbildungen $f_\ast : {\op{H}}^!_q X \rightarrow {\op{H}}^!_q Y$ auf der Borel-Moore-Homologie. Die wesentliche Bedeutung der Borel-Moore-Homologie liegt darin, da"s in ihr auch f"ur nicht kompakte orientierte Mannigfaltigkeiten \glqq Fundamentalzykel\grqq\ erkl"art werden k"onnen, wie im folgenden ausgef"uhrt werden soll. Noch st"arker gelingt das sogar f"ur \glqq Pseudomannigfaltigkeiten, bei denen die Singularit"aten erst in Kodimension Zwei beginnen\grqq, und damit insbesondere f"ur mit ihrer analytischen Topologie versehene komplexe algebraische Variet"aten. Das besprechen wir aber hier nicht weiter. \end{Bemerkungl} % \begin{Satz}[\textbf{Fundamentalzykel in der Borel-Moore-Homo\-lo\-gie}] % Gegeben eine \emph{separable} zusammen\-h"ang\-en\-de orientierbare % $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ ist\label{FZbm} % ihre $n$-te Borel-Moore-Homo\-lo\-gie ${\op{H}}^!_{n}M$ % frei vom Rang Eins % und die kanonische Abbildung nach \ref{BMHH} % liefert f"ur alle $x\in M$ einen Isomorphismus % $${\op{H}}^!_{n}M\sira {\op{H}}_{n}(M,M\backslash x)$$ % \end{Satz} % \begin{proof} % Dieser Satz folgt unmittelbar aus der % anschlie"senden genaueren Proposition \ref{GBM}. % \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Borel-Moore-Homologie und Fundamentalzykel}] Gegeben eine separable $n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$ liefern\label{GBM} die Abbildungen aus \ref{BMHH} einen Isomorphismus $${\op{H}}^!_{n}M\sira \Gamma M$$ zwischen ihrer $n$-ten Borel-Moore-Homo\-lo\-gie und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe nach \ref{SOG}. \end{Proposition} \begin{Definition} Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit,\label{FuBM} so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse in ihrer Borel-Moore-Homologie. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist allgemeiner $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der induzierten Topologie eine separable orientierbare $q$-Mannigfaltigkeit wird, und w"ahlen wir eine Orientierung auf $Y$, so liefert der push-forward des Fundamentalzykels unter der abgeschlossenen Einbettung $i:Y\hra X$, einer eigentlichen Abbildung, eine Klasse $i_\ast\omega_Y\in {\op{H}}^!_{q}X$ in der Borel-Moore-Homologie, die auch als der {\bf Fundamentalzykel von $Y$} angesprochen wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Die Separabilit"at ist hier wesentlich. Um das zu sehen, betrachte man die Alexandroff'sche Halbgerade $A$ mit ihrer Anordnung nach \eref{AlHg}{AL} und nehme als $M$ das Komplement ihres kleinsten Elements. Ich will kurz skizzieren, wie die Annahme der Existenz eines lokal endlichen Fundamentalzykels in diesem Fall einer nicht separablen Mannigfaltigkeit zum Widerspruch f"uhrt. In der Tat ist $A$ nach \eref{FKNU}{AL} folgenkompakt, als da hei"st, jede unendliche Teilmenge hat einen H"aufungspunkt. Die Endpunkte aller $1$-Simplizes, die mit von Null verschiedenem Koeffizienten in einem lokal endlichen Fundamentalzykel vorkommen, bilden nun sicher eine Teilmenge von $M$ ohne obere Schranke in $M$. Es gibt also zu einem festen Punkt $x\in M$ unendliche viele solcher Endpunkte, die gr"o"ser sind. Diese m"ussen dann einen H"aufungspunkt in $M$ haben, im Widerspruch zur lokalen Endlichkeit unseres Zykels. \end{Bemerkunge} \begin{proof} F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen aus \ref{BMHH} nach \ref{BMLL} Isomorphismen \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_K {\op{S}}_q (X,X \backslash K) \end{equation*} Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen. Nehmen wir zus"atzlich $X$ separabel an, so existiert sogar eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, haben wir ebenso \begin{equation*} {\op{S}}_q^! X \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Dieses inverse System besteht offensichtlich aus Surjektionen, und dasselbe gilt a forteriori f"ur das System von R"andern ${\op{B}}_{q-1} (X, X\backslash \bar{U}_i)$. Ist nun zus"atzlich $X =M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit, so liefert Satz \ref{HHM} "uber die hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten ${\op{H}}_{n+1} (M, M\backslash \bar{U}_i) =0$, folglich haben wir ${\op{B}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) = {\op{Z}}_{n+1} (M,M \backslash \bar{U}_i)$ und die $(n+1)$-Zykel bilden auch ein inverses System aus Surjektionen. Mit dem Mittag-Leffler-Kriterium \ref{MiLe} f"ur die Exaktheit inverser Limites folgt sowohl die Surjektivit"at der offensichtlichen Abbildung \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{S}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) \twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{B}}_n (M, M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} als auch die Exaktheit von \begin{equation*} \varprojlim_i {\op{B}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \hookrightarrow \varprojlim_i {\op{Z}}_n (M, M /\bar{U}_i )\twoheadrightarrow \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} Unsere erste Surjektivit"at erlaubt uns die Identifikation der ersten Gruppe dieser kurzen exakten Sequenz mit $\cal{B}_n{\op{S}}^! M$ und die Linksexaktheit inverser Limites erlaubt die Identifikation der Mitte unserer Sequenz mit $\cal{Z}_n{\op{S}}^! M$, so da"s wir schlie"slich f"ur jede separable $n$-Mannigfaltigkeit einen Isomorphismus \begin{equation*} {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} erhalten. Bis hierher war das im wesentlichen die L"osung von "Ubung \ref{QILcc} in unserem Spezialfall. Beachten wir nun die Isomorphismen $ {\op{H}}_n (M,M \backslash A) \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma A $ f"ur $A \subset M$ kompakt aus dem Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir den gew"unschten Isomorphismus $ {\op{H}}^!_n M \overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma M $ wegen $\Gamma M \overset{\sim}{\rightarrow} \varprojlim_i \Gamma \bar{U}_i$. Diese letzte Identit"at sieht man zum Beispiel ein, indem man sich "uberlegt, da"s sowohl die $\bar{U}_i$ als auch die ${U}_i$ final sind im System aller Teilmengen von $X$ mit kompaktem Abschlu"s. \end{proof} % \begin{Definition}\label{FuBMn}%\label{FuBM} % Ist $(M,\omega)$ eine separable orientierte Mannigfaltigkeit, % so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$ % mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$. % Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel} % der\index{Fundamentalzykel!in der Borel-Moore-Homologie} % orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen % eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse % in der Borel-Moore-Homologie. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation des Fundamentalzykels}] Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Der Fundamentalzykel von $\Delta ({\mathcal K})$ im Sinne von \ref{FuBM} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in der Gruppe der Borel-Moore-$n$-Simplizialketten. F"ur $n\geq 1$ kann dieser Repr"asentant beschrieben werden als die formale Summe "uber alle $n$-Simplizes, jeweils mit\label{FuZY} einer Anordnung versehen, die mit der gew"ahlten Orientierung in der Weise vertr"aglich ist, da"s eben $\omega|_x \in {\op{H}}_n (\Delta (\mathcal K), \Delta (\mathcal K)\backslash x)$ an jeder Stelle $x$ die vorgegebene Orientierung liefert. Im Fall $n= 0$ einer nulldimensionalen Mannigfaltigkeit ist dieser Repr"asentant dahingegen die formale Summe aller ihrer Punkte mit den durch die Orientierung gegebenen Vorzeichen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Raum $X$ hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} f"ur\index{kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} eine nat"urliche Zahl $q\geq 0$ genau dann, wenn f"ur jedes Paar $K\subset W\co X$ von Teilmengen mit $K$ kompakt und $W$ offen das Bild von\label{vern} $$ \mathrm H_q (X, X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X, X\backslash K) $$ endlich erzeugt ist. Er hei"se {\bf kompaktrelativ homologisch endlich} genau dann, wenn er homologisch kompaktrelativ $q$-endlich ist f"ur alle $q$. Es gibt auch offensichtliche Varianten dieses Begriffs f"ur beliebige Koeffizientenringe, die wir jedoch in diesem Zusammenhang stets als kommutativ und noethersch voraussetzen wollen. \end{Definition} \begin{Beispiele} F"ur alle $n$ ist der $\DR^n$ nach \ref{EEHH} kompaktrelativ homologisch endlich. Allgemeiner ist nach \ref{EEHHb} der Polyeder eines lokal endlichen Simplizialkomplexes stets kompaktrelativ homologisch endlich. Jede offene Teilmenge eines kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Raums ist auch selbst wieder kompaktrelativ homologisch $q$-endlich. \end{Beispiele} \begin{Satz}\label{krLO} Jeder lokal kompakte Hausdorffraum, der eine "Uberdeckung durch offene kompaktrelativ homologisch endliche Teilmengen besitzt, ist bereits selbst kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Satz} \begin{proof} Jedes Kompaktum kann durch endlich viele offene Teilmengen "uberdeckt werden. Der Satz folgt so leicht aus dem anschlie"senden Lemma \ref{verK}. \end{proof} % \begin{Lemma} % Sei $q\geq 0$ gegeben. % Ist ein lokal kompakter % Hausdorffraum kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich und besitzt darin % jeder Punkt eine offene kompaktrelativ homologisch $q$-endliche % Umgebung, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch % $q$-endlich.\label{verK} % \end{Lemma} \begin{Lemma} Sei $q\geq 0$ gegeben. Ist ein lokal kompakter Hausdorffraum "uberdeckt von zwei offenen kompaktrelativ homologisch $q$-endlichen Teilmengen mit kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlichem Schnitt, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch $q$-endlich.\label{verK} \end{Lemma} \begin{proof} % Es reicht zu zeigen, da"s unter den gegebenen Voraussetzungen % die Vereinigung je zweier offener kompaktrelativ homologisch $q$-endlicher Teilmengen wieder kompaktrelativ % homologisch $q$-endlich ist. Sei $X$ unser Raum und seien $V_1, V_2 \co X$ zwei kompaktrelativ homologisch $q$-endliche offene Teilmengen mit Vereinigung $V_1 \cup V_2 =X$. Seien $K \subset W \co X$ gegeben mit $K$ kompakt. Es gilt zu zeigen, da"s das Bild von \begin{equation*} \mathrm H_q (X,X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X,X\backslash K) \end{equation*} endlich erzeugt ist. Jeder Punkt von $K$ besitzt eine kompakte Umgebung, die entweder ganz in $V_1 \cap W$ oder ganz in $V_2 \cap W$ liegt. Wir finden also Kompakta $K_i \subset V_i \cap W$ mit $K = K_1 \cup K_2$. Offensichtlich finden wir weiter $U_i \co X$ mit \begin{equation*} K_i \subset U_i \subset \bar{U}_i \subset V_i \cap W \end{equation*} und $\bar{U}_i$ kompakt. Mit der Abk"urzung $\mathrm H_q(\backslash Y)\pdef \mathrm H_q(X,X\backslash Y)$ f"ur Teilmengen $Y\subset X$ erhalten wir nun ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &{\mathrm H_q(\backslash K_1 \cup K_2) }&\ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash K_1 \cap K_2)}\\ {\mathrm H_q ( \backslash \bar{U}_1) \oplus \mathrm H_q(\backslash \bar{U}_2)}&\ar[l] \ar[u] {\mathrm H_q (\backslash\bar U_1 \cup \bar U_2)} & \ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash \bar U_1 \cap \bar U_2)}\ar[u]\\ \ar[u]{ \mathrm H_q ( \backslash W \cap V_1) \oplus \mathrm H_q ( \backslash W\cap V_2)} &\ar[u]\ar[l] {\mathrm H_q ( \backslash W)} } \end{displaymath} Da $V_1$ und $V_2$ als kompaktrelativ homologisch $q$-endlich angenommen waren, ist das Bild der linken Vertikale endlich erzeugt. Da $V_1\cap V_2$ kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich angenommen war, ist auch das Bild der rechten Vertikale endlich erzeugt. Als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz ist die mittlere Horizontale exakt. Mit \ref{GEZZ} folgt dann, da"s auch die Verkn"upfung in der mittleren Vertikale endlich erzeugtes Bild hat. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{ Variante zum Satz von Wilder}\index{Wilder, Satz von!lokale Variante}] Jede Mannigfaltigkeit ist kompaktrelativ homologisch endlich.\label{WilderV} Allgemeiner ist ein Hausdorffraum, in denen jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines lokal endlichen Simplizialkomplexes, stets kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Korollar} \begin{Bemerkunge}\label{vkrt} Nach \cite{HiPo} sind damit insbesondere separierte komplexe Variet"aten kompaktrelativ homologisch endlich. \end{Bemerkunge} % \begin{proof} % Das folgt mit \ref{EEHH} beziehungsweise \ref{EEHHb} leicht aus % Satz \ref{krLO} % \end{proof} % \begin{Bemerkunge}\label{KoWiV} % Dasselbe gilt mit demselben Beweis auch f"ur Mannigfaltigkeiten % mit Rand oder mit Ecken, ja mit \ref{EEHHb} % f"ur beliebige Hausdorffr"aume, in denen jeder Punkt eine % offene Umgebung besitzt, die % hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge des Polyeders eines % lokal endlichen % Simplizialkomplexes. % \end{Bemerkunge} % \begin{proof}[Beweis] % Per Induktion "uber $q$ von oben % mithilfe des anschlie"senden Lemmas. Die Induktionsbasis liefert der % Satz "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten \ref{HHM}. % \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Paarung f"ur lokal endliche Ketten}] Das Auswerten von Koketten auf Ketten induziert f"ur jeden topologischen Raum $X$ eine Kettenabbildung \begin{equation*} \mathrm S_!^\ast X \otimes \mathrm S^! X \rightarrow \mathbb Z [0] \end{equation*} In der Tat, gegeben eine Kokette mit kompaktem Tr"ager gibt es ein Kompaktum $K \subset X$ derart, dass unsere Kokette nur auf solchen Simplizes von Null verschieden ist, die $K$ treffen. Gegeben eine lokal endliche Kette besitzt aber jeder Punkt von $K$ eine Umgebung derart, dass nur endlich viele Simplizes, die diese Umgebung treffen, in unserer Kette mit Null verschiedenem Koeffizienten auftauchen. Endlich viele dieser Umgebungen "uberdecken $K$, weshalb unser Auswerten oben nur zu endlichen Summen f"uhrt. % Unsere Paarung liefert nat"urlich einen % Homomorphismus $\mathrm S^\ast_! X \rightarrow (\mathrm S^! X)^\ast$ % und folglich Homomorphismen % \begin{equation*} % \mathrm H^q_! (X) \rightarrow \mathrm H^!_q (X)^\ast % \end{equation*} % von der Kohomologie mit % kompaktem Tr"ager in den Dualraum der Borel-Moore-Homologie. Unsere Paarung f"uhrt wie in \ref{KPI} zu Paarungen \begin{equation*} \mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ \end{equation*} von der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit der Borel-Moore-Homologie.\label{kpV} Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen Ring. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Borel-Moore-Homologie als Dualraum}] Ist $k$ ein K"orper und $X$ eine separable Mannigfaltigkeit, so liefern die eben konstruierten Abbildungen Isomorphismen\label{BMHD} \begin{equation*} \mathrm H^!_q (X;k) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathrm H_!^q (X;k)^\ast \end{equation*} zwischen der Borel-Moore-Homologie und dem Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Satz gilt mit demselben Beweis f"ur jeden separablen lokal kompakten Hausdorffraum, der kompaktrelativ homologisch endlich ist im Sinne von \ref{vern}. Insbesondere gilt er nach \ref{vkrt} also f"ur separierte komplexe Variet"aten. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In diesem Beweis meinen wir stets K"orperkoeffizienten, ohne das in den Notationen nochmals besonders hervorzuheben. F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sind nach \ref{BMLL} unsere nat"urlichen Abbildungen Isomorphismen $ \mathrm S^! X \sira\varprojlim\mathrm S (X, X \backslash K) $, wobei der inverse Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$ zu bilden ist. Wie beim Beweis von \ref{GBM} finden wir eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus \begin{equation*} {\op{S}}^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i {\op{S}} (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} von Komplexen. Nun hat das inverse System von Komplexen rechts surjektive Sys\-tem\-morphismen. Unsere Variante zum Satz von Wilder \ref{WilderV} zeigt, da"s die von ${\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \sra {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ auf der Homologie induzierten Abbildungen endlich erzeugte Bilder haben. Da wir hier mit Koeffizienten in einem K"orper arbeiten, zeigt dann \ref{QILcc}, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*} \mathrm H_q^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} induzieren. Nun sind die Bilder von ${\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1}) \ra {\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ wie bereits erw"ahnt endlichdimensional. Wir nennen sie $I_{q,i}$. Es ist klar, da"s die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen \begin{equation*}\varprojlim_i I_{q,i} \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varprojlim_i \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Nun identifiziert man die Bilder von ${\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i}) \ra {\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})$ leicht mit den Dualr"aumen $I_{q,i}^\ast$ und erkennt unschwer, da"s die offensichtlichen Abbildungen auch Isomorphismen \begin{equation*}\varinjlim_i I_{q,i}^\ast \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\varinjlim_i \mathrm H^q (X, X \backslash \bar{U}_i) \end{equation*} liefern. Die rechte Seite kann hier in nat"urlicher Weise mit der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager $\mathrm H^q_! X$ identifiziert werden. So erhalten wir schlie"slich nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*}(\mathrm H^q_! X)^\ast \;\sira \;(\varinjlim_i I_{q,i}^\ast)^\ast\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}^{\ast\ast}\;\sira\; \varprojlim_i I_{q,i}\;\sira \;\mathrm H_q^! X \end{equation*} Das etwas unangenehme Pr"ufen der Tatsache, da"s diese Verkn"upfung von Isomorphismen genau die Abbildung aus dem Satz ist, bleibe dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager und Orientierung}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $X$ liefert die im Beweis konstruierte Abbildung einen Isomorphismus zwischen dem Dualraum ihrer $n$-ten Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit rationalen Koeffizienten und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe\label{KKTM} $$ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})^*\sira \Gamma(X;\op{or}_X(\DQ))$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sp"ater werden wir allgemeinere Aussagen in dieser Richtung als Verdier-Dualit"at kennenlernen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Per definitionem gilt $ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})= \varinjlim_K{\op{H}}^{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})$ mit dem Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$. Wir folgern Isomorphismen $$ \begin{array}[b]{lll} {\op{H}}^{n-1}_!(X;\Bbb{Q})^*&\sira&\varprojlim_K {\op{H}}^{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})^\ast\\ &\sira&\varprojlim_K {\op{H}}_{n-1}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})\text{ nach \ref{UBDS} und \ref{WilderV}}\\ &\sira&\varprojlim_K \Gamma(K;\op{or}_X(\DQ))\text{ nach \ref{NNN}}\\ &\sira& \Gamma (X;\op{or}_X(\DQ))\end{array} \qedhere$$ \end{proof} \subsection{Poincar\'{e}-Dualit"at}\label{PDD} \begin{Bemerkungl}\label{COr} Ist $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine Orientierung auf $M$, so definiert $\omega$ nach \ref{HHM} f"ur alle kompakten Teilmengen $K \subset M$ ein Element $\omega_{K} \in {\op{H}}_{n}(M,M\backslash K)$, das cap-Produkt mit $\omega_{K}$ liefert nach \ref{capr} Abbildungen $\cap\omega_{K} :{\op{H}}^{q} (M,M\backslash K) \ra {\op{H}}_{n-q} M$, und durch "Ubergang zum direkten Limes mithilfe von \ref{cpq} erhalten wir Abbildungen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!} M \ra {\op{H}}_{n-q} M$$ Wir nennen sie das {\bf partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel}. Sie sind vertr"aglich sind mit dem "Ubergang zu offenen Teilmengen von $M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Poincar\'{e}-Dualit"at mit lokal endlichen Ketten}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ liefert unsere Formel \ref{Excap} f"ur das cap-Produkt auch eine Kettenabbildung $${\op{S}}_!^{\ast} X \otimes {\op{S}}^!X \ra {\op{S}}X$$ Wir notieren auch diese Verkn"upfung $b \otimes z \mapsto b \cap z$ und nennen sie ein {\bf cap-Produkt}.\index{cap-Produkt!mit lokal endlicher Kette} Ist\label{SiPoi} $(M,\omega)$ eine separable orientierte $n$-Mannigfaltigkeit, so k"onnen wir das Auswerten auf dem Fundamentalzykel im Sinne von \ref{COr}, das nach \ref{APD} den Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at liefert, als den Effekt auf der Kohomologie einer und jeder Kettenabbildung $$\cap\omega:{\op{S}}_!^{\ast} M [n]\ra {\op{S}}M$$ interpretieren, die mit diesen Begriffsbildungen nun in der Tat durch das Darancappen eines und jedes Repr"asentanten $\omega\in {\op{S}}^!M$ des Fundamentalzykels gegeben wird. Die Wahl eines anderen Repr"asentanten f"uhrt offensichtlich zu einer homotopen Kettenabbildung und liefert folglich dieselbe Abbildung auf der Kohomologie. \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Allgemeine Poincar\'{e}-Dualit"at}] Gegeben\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!allgemeine} eine orientierte $n$-Man\-nig\-faltig\-keit $M$ mit Orientierung $\omega$\label{APD} induziert das partielle Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\cap\omega $ aus \ref{COr} f"ur alle $q$ Isomorphismen $$\cap\omega : {\op{H}}^{q}_{!}M \sira {\op{H}}_{n-q}M$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{SPD} Dieser Satz gilt mit demselben Beweis f"ur Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0$, so ben"otigt man noch nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. Betrachten wir den Fall rationaler Koeffizienten und nehmen $q=n$ und gehen auf beiden Seiten zum Dualraum "uber, so erhalten wir einen Spezialfall unseres Isomorphismus \ref{KKTM}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Schnittpaarung und Poincar\'e-Dualit"at, Variante}] Der Isomorphismus der allgemeinen Poincar\'e-Dualit"at ist meiner Anschauung kaum zug"anglich. Er liefert jedoch im Verbund mit unserer Variante der Kronecker-Paarung $\mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ$ aus \ref{kpV} eine wohlbestimmte Paarung \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \mathrm H_{n-q}(M) \times \mathrm H^!_q(M)& \rightarrow &\mathbb Z\\ (\zeta\;,\; \xi) \;\;\;& \mapsto & \zeta \cdot \xi \end{array} \end{displaymath} Diese Paarung oder vielmehr ihr Analogon mit K"orperkoeffizienten liefert im Fall einer separablen Mannigfaltigkeit nach \ref{BMHD} einen Isomorphismus der Borel-Moore-Homologie mit dem Dualraum der Homologie im komplement"aren Grad und kann anschaulich in Verallgemeinerung von \ref{SPoD} wieder als Schnittpaarung interpretiert werden. Genauer kann man folgendes zeigen: Gegeben eine orientierte abgeschlossene $q$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $X\As M$, also eine abgeschlossene Teilmenge, die mit der Spurtopologie eine $q$-dimensionale Mannigfaltigkeit ist und die als solche mit einer Orientierung versehen ist, erhalten wir ja nach \ref{FuBM} einen Fundamentalzykel $\omega_X \in \mathrm H^!_qX$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir kurzerhand $\omega_X \in \mathrm H^!_q M$ notieren. Gegeben eine orientierte kompakte $(n-q)$-dimensionale Untermannigfaltigkeit $Y\subset M$ erhalten wir bereits nach \ref{FZ} einen Fundamentalzykel $\omega_Y \in \mathrm H_{n-q}Y$, dessen Bild in der Homologie von $M$ wir $\omega_Y\in \mathrm H_{n-q} M$ notieren. Es m"ogen nun $X \As M$ und $Y \subset M$ endlichen Schnitt $|X \cap Y| < \infty$ haben. Wir nehmen zus"atzlich an, da"s es um jeden Punkt $s \in X \cap Y$ eine offene Umgebung $U \co M$ und einen Hom"oomorphismus $U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^n$ gibt, unter dem die von $M$ auf $U$ induzierte Orientierung der Standardorientierung des $\DR^n$ entspricht, und Hom"oomorphismen $X \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} \mathbb R^q \times 0$ und $Y \cap U \overset{\sim}{\rightarrow} 0\times \mathbb R^{n-q}$ induziert. Erkl"aren wir schlie"slich die Vorzeichen $\epsilon (s), \eta (s)$ dadurch, da"s sie angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die vorgegebenen Orientierungen auf $X, Y$ mit den Standardorientierungen auf $\mathbb R^q, \mathbb R^{n-q}$ identifizieren oder nicht, so gilt f"ur die Paarung der zu $X$ und $Y$ geh"origen Fundamentalzykel $\omega_X$ und $\omega_Y$ die Formel \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPoA}\\[4mm] \noindent Ein Zykel und ein Borel-Moore-Zykel in einer offenen Teilmenge der Ebene. Je nach Wahl der Orientierung der Ebene ist in diesem Fall die Schnittzahl $\pm 1$. \end{Bild} \begin{equation*} \omega_X \cdot \omega_Y = \sum_{s \in X \cap Y} \epsilon (s) \eta (s) \end{equation*} Die durch diese Eigenschaft ausgezeichnete Paarung hei"st wieder eine {\bf Schnittpaarung}\index{Schnittpaarung}. Der Nachweis der hier aufgestellten Behauptungen wird uns allerdings noch lange besch"aftigen. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma. \begin{Lemma} Sind $U, V \subset M$ offen und gilt der Satz f"ur die $n$-Mannig\-fal\-tig\-keiten\label{hilL} $U, V$ und $U\cap V$, so gilt er auch f"ur $U \cup V$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das folgt sofort mit dem F"unferlemma aus dem Diagramm $$\begin{array}{cccccccc} \scriptstyle{\ldots \ra} &\scriptstyle{ {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V)}& \scriptstyle{\ra} &\scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!} U\oplus {\op{H}}^{q}_{!}V} &\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q}_{!}(U\cup V) }&\scriptstyle{\ra} & \scriptstyle{{\op{H}}^{q+1}_{!} (U\cap V)\ra}\\ & \scriptstyle{\downarrow} & &\scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} & & \scriptstyle{\downarrow} \\ \scriptstyle{\ldots \ra} & \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cap V)}& \scriptstyle{\ra }&\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q}U\oplus {\op{H}}_{n-q}V} & \scriptstyle{\ra }& \scriptstyle{{\op{H}}_{n-q}(U\cup V)} & \ra &\scriptstyle{ {\op{H}}_{n-q-1}(U\cap V)} \scriptstyle{\ra } \end{array}$$ sobald wir zeigen k"onnen, da"s dies Diagramm kommutativ ist. Es reicht, f"ur beliebige kompakte $K \subset U$ und $L\subset V$ die Kommutativit"at des Diagramms zu zeigen, das man erh"alt, wenn man die obere Zeile durch die entsprechende relative Mayer-Vietoris-Sequenz ersetzt. Wir k"urzen $U \cup V=X$ ab und bezeichnen die offene "Uberdeckung $X \backslash (K\cap L)= (X \backslash K) \cup (X\backslash L)$ mit $\cal{V}$. Die kurze exakte Sequenz auf den singul"aren Ketten $${\op{S}}(X\backslash K \cup L) \hookrightarrow {\op{S}} (X \backslash K) \oplus {\op{S}} (X\backslash L) \twoheadrightarrow {\op{S}}^{\cal{V}} (X \backslash K \cap L)$$ liefert durch Dualisieren die oberste Horizontale im folgenden gro"sen kommutativen Diagramm: $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{{\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X \backslash K\cap L)}&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X\backslash K)\oplus {\op{S}}^{\ast}(X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X \oplus {\op{S}}^{\ast} X }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}X} \\ \scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \uparrow } \\ \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X, X \backslash K \cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X , X \backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash L) }&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash K\cup L)} \end{array}$$ Darin sind alle Vertikalen kurze exakte Sequenzen, die untere linke Ecke ist durch die Exaktheit der vertikalen Sequenz definiert, und die untere Zeile exakt ist nach dem Neunerlemma. Die lange exakte Kohomologiesequenz dieser untersten Zeile ist bis auf einige Identifikationen gerade unsere relative Mayer-Vietoris-Sequenz der Kohomologie. W"ahlen wir nun f"ur $\omega_{K\cup L}$ einen Repr"asentanten in ${\op{S}}_{n} X$, der fein ist bez"uglich der offenen "Uberdeckung $X = (V\backslash K) \cup (U\backslash L) \cup (U\cap V)$, und fassen die Kettenkomplexe der singul"aren Ketten auf als Kokettenkomplexe, die nur in Indizes $\leq0$ leben, so definiert das cap-Produkt mit so einem Repr"asentanten die vertikalen Morphismen eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} \scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X,X\backslash K\cap L) }&\scriptstyle{ \hookrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash L) }&\scriptstyle{\twoheadrightarrow }&\scriptstyle{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K \cup L)} \\ \scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow }&\scriptstyle{ }&\scriptstyle{ \downarrow } \\ \scriptstyle{ S(U\cap V) }&\scriptstyle{\hookrightarrow }&\scriptstyle{ S U \oplus SV}&\scriptstyle{ \twoheadrightarrow }&\scriptstyle{{\op{S}}^{\cal{W}} (U \cup V)} \end{array}$$ f"ur $\cal{W}$ die "Uberdeckung $X = U \cup V$ von $X$. Das liefert dann das gesuchte kommutative Diagramm von langen exakten Sequenzen. \end{proof}\noindent Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur allgemeinen Situation. \\[2mm]\noindent 1. Der Satz gilt f"ur $M = \Bbb{R}^{n} $. Dann bilden ja die abgeschlossenen B"alle $D_{r}$ schon ein finales System unter allen kompakten Teilmengen von $\Bbb{R}^{n}$ und $\cap \omega : {\op{H}}^{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n} \backslash D_{r}) \ra {\op{H}}_{0}(\Bbb{R}^{n}) = \Bbb{Z}$ ist schlicht das Auswerten einer Kohomologieklasse auf der Homologieklasse $\omega \in {\op{H}}_{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n}\backslash D_{r})$, also ein Isomorphismus f"ur $0 n$ ist eh nichts zu zeigen. Im Fall $p+q = m < n$ verwendet man den nach \ref{HKPR} und \ref{KW} surjektiven Ringhomomorphismus ${\op{H}}^{\ast} \DP^{n} \DC \twoheadrightarrow {\op{H}}^{\ast} \DP^{m} \DC$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man definiere f"ur jeden Hausdorffraum ein cup-Produkt auf seiner Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. F"ur eine Mannigfaltigkeit entspricht es nebenbei bemerkt unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at dem anschaulichen Schnittprodukt auf der Homologie. \end{Ubung} \subsection{Schnittzahlen} \begin{Bemerkungl}\label{DSZa} Sei $M$ eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit. F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in {\op{H}}_{q} M$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ ist hoffentlich anschaulich in etwa klar, was ihre \glqq Schnittzahl\grqq\ sein sollte, die die Schnittpunkte von repr"asentierenden Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\ mit geeigneten, von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen z"ahlt. Mit dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD} k"onnen wir unseren Homologieklassen sicher formal korrekt eine Zahl $\al\cdot \beta\in\Bbb{Z}$ zuordnen wie folgt: Wir suchen einfach $a \in {\op{H}}^{n-q}M$ und $b \in {\op{H}}^{q}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M}$ und $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen $$\al\cdot \beta =\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$ Dies sei unsere Definition der {\bf Schnittzahl}\index{Schnittzahl} der beiden Homologieklassen. Der bald folgende Satz \ref{GiS} soll plausibel machen, da"s die so definierte Zahl die oben beschriebene geometrische Bedeutung hat. Dazu braucht es jedoch einige Vorbereitungen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildbary}\\[4mm] \noindent Ein Simplizialkomplex und gestrichelt eingezeichnet seine baryzentrische Unterteilung. Die Ecken der baryzentrischen Unterteilung mag man sich denken als die Schwerpunkte der nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Simplizialkomplexes, die Simplizes der baryzentrischen Unterteilung entsprechen den endlichen Ketten in der partiell geordneten Menge der urspr"unglichen Simplizes. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{bU} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K = (E, \mathcal K)$ im Sinne von \eref{SKk}{TF} erkl"aren wir wie folgt einen neuen Simplizialkomplex, seine {\bf baryzentrische Unterteilung}\index{baryzentrische Unterteilung} $\check{\mathcal K} = (\check{E}, \check{\mathcal K})$: Als Ecken nehmen wir alle nichtleeren Simplizes des urspr"unglichen Komplexes, in Formeln $\check{E} = \{ s \in \mathcal K \mid s \neq \emptyset\}$. Als Simplizes nehmen wir alle endlichen Ketten in der Menge $\check{E}$, die ja durch die Inklusionsrelation partiell geordnet ist, also alle bez"uglich dieser partiellen Ordnung total geordneten endlichen Teilmengen. Man erh"alt einen Hom"oomorphismus zwischen den zugeh"origen Polyedern \begin{equation*} \Delta (\check{\mathcal K}) \overset{\sim}{\rightarrow} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} durch die Vorschrift, da"s jede Ecke $s \in \check E\subset \mathcal K$ auf den Schwerpunkt des vollen Simplex $\Delta (s) \subset \Delta (\mathcal K) $ abgebildet wird und jeder volle Simplex von $\Delta (\check K)$ affin in denjenigen vollen Simplex von $\Delta (\mathcal K)$, der seiner gr"o"sten Ecke entspricht. Jeder Simplex von $\check{\mathcal K}$ hat bereits eine offensichtliche Anordnung, in Bezug auf die wir von nun an den Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten ${\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ verstehen wollen, und die hoffentlich offensichtlichen Kettenabbildungen liefern Homotopie"aquivalenzen \begin{equation*} {\op{S}} \check{\mathcal K} \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\hri {\op{S}} \Delta (\mathcal K) \end{equation*} Im Beweis von \ref{SH} hatten wir zwar ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten nur in Bezug auf eine totale Ordnung auf der Menge aller Ecken eingef"uhrt, aber mit einer partiellen Ordnung, die auf allen Simplizes eine totale Ordnung induziert, geht es genauso. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{ffuzy} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ hat genau einen Repr"asentanten in den $n$-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen $n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat unser Fundamentalzykel die Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$, wobei $\langle s \rangle$ wie im Beweis von \ref{SH} den zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex bezeichnet. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddz}\\[4mm] \noindent Ein Ausschnitt einer triangulierten $2$-Mannigfaltigkeit. Die Nummerierung der Ecken legt ihre Anordnung fest. Der Kreispfeil daneben deutet die Orientierung an, der Fundamentalzykel hat also die Gestalt $$\omega=\ldots +\langle\{ 1,2,3\}\rangle -\langle\{ 1,2,7\}\rangle +\ldots$$ Die duale Zelle zum $1$-Simplex $t=\{1,2\}$ besteht aus den beiden Summanden $\check{u}=\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ und $\check{v}=\{\{1,2\},\{1,2,7\}\}$ und deren Vorzeichen sind $\eta(\check{u})=-1$ und $\eta(\check{v})=1$, so da"s sich die duale Zelle zu $c(t)=\check{v}-\check{u}$ ergibt. Im Bild habe ich die den ordnungsvertr"aglichen $1$-Ketten $\langle t \rangle $ und $c(t)$ entsprechenden Simplizialketten fett eingezeichnet. \\[2mm] Weiter besteht die duale Zelle zum $0$-Simplex $\{6\}$ aus $10$ Summanden, und ich habe im Bild auch die der dualen Zelle zu dieser Ecke alias der ordnungsvertr"aglichen $2$-Kette $c(\{6\})$ entsprechende Simplizialkette durch Kreispfeile eingezeichnet. \end{figure} \begin{Bemerkungl}\label{duze} Gegeben ein $(n-q)$-Simplex $t\in \cal{K}_{n-q}$ definieren wir die zugeh"orige {\bf duale Zelle}\index{duale Zelle} $c(t)\in \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ als die Summe $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ "uber alle $q$-Simplizes $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. Einen $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ schreiben wir dazu als echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von nichtleeren Simplizes von $\mathcal K$, und wir summieren "uber alle Ketten, die mit dem $(n-q)$-Simplex $t$ beginnen. Die $\eta(\check{u})=\pm 1$ sind gewisse Vorzeichen, die wie folgt gegeben seien: Man betrachte die Ecken $u_1,\dots,u_q \in E$ des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $(s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $\check{u}_q$ und $(t_0,\ldots,t_{n-q})$ die angeordnete Darstellung des $(n-q)$-Simplex $t=\check{u}_0$ und $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ die Permutation mit $$ \begin{array}{lcl} s_{\tau(0)}&=&t_0\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n-q)}&=&t_{n-q}\\ s_{\tau(n-q+1)} &=& u_1\\ \;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n)} &=& u_q \end{array}$$ So sei das fragliche Vorzeichen gegeben als $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Diese dualen Zellen m"ogen mit ihren ganzen Vorzeichen unanschaulich wirken. Der erste Teil des folgenden Satzes sollte hier jedoch der Anschauung helfen, zeigt er doch, da"s die Vorzeichen jedenfalls stets so zusammenpassen, da"s der Rand einer dualen Zelle eine Linearkombination dualer Zellen ist. Das hat im Bild der Simplizialketten unter anderem die anschauliche Bedeutung, da"s \glqq die einzelnen Simplizes einer dualen Zelle gerade so orientiert sind, da"s sich die internen R"ander gegenseitig wegheben\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrische Interpretation der Schnittzahlen}] Sei der Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer kompakten orientierten $n$-Mannigfaltig\-keit $M$.\label{GiS} Sei auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$ eine Anordnung gew"ahlt. So gilt: \begin{enumerate} \item Die von den dualen Zellen im Sinne von \ref{duze} erzeugten Untergruppen ${\op{C}}_q\subset \op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ bilden einen Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ im Komplex der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten der baryzentrischen Unterteilung $\check{{\mathcal K}}$ von $\mathcal K$, und die Einbettung dieses Unterkomplexes induziert auf allen Homologiegruppen Isomorphismen $\cal{H}_q{\op{C}}\sira {\op{H}}_qM$. \item Wird %eine Homologieklasse $\alpha\in {\op{H}}_q M$ repr"asentiert durch einen \glqq simplizialen\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-p}}\alpha_t \langle t\rangle \in %% {\op{S}}^{\op{os}}\Delta %% ({\mathcal K})$ $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\alpha_t \langle t\rangle \in {\op{S}}^{\op{os}}\Delta ({\mathcal K})$ und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ durch einen \glqq zellul"aren\grqq\ Zykel der Gestalt %% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_q$, $\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_{n-q}$, so gilt f"ur ihre Schnittzahl $$\alpha\cdot\beta=\sum_t \alpha_t \beta_t$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Zun"achst einmal erinnern wir die Definition der Schnittzahl: Wir hatten dazu ja das $a\in {\op{H}}^{n-q} M$ bzw. $b\in {\op{H}}^{q} M$ genommen mit $a\cap\omega_M=\alpha$ bzw. $b\cap\omega_M=\beta$ und dann unsere Schnittzahl als Kronecker-Paarung des cup-Produkts dieser Kohomologieklassen mit dem Fundamentalzykel definiert, in Formeln $\alpha\cdot\beta=\langle a\cup b, \omega_M\rangle$. Mit der Adjunktionsformel \ref{Excap} erhalten wir daraus auch die alternative Darstellung $\alpha\cdot\beta=\langle a, \beta\rangle$. Es reicht also, das Urbild $a$ von $\alpha$ unter dem Isomorphismus der Poincar\'{e}-Dualit"at hinreichend explizit zu beschreiben. Dazu m"ussen wir etwas weiter ausholen. Gegeben ein Simplizialkomplex ${\mathcal K}$ liefert das baryzentrische Unterteilen ganz allgemein eine Homotopie"aquivalenz $ {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K} $ zwischen den entsprechenden Komplexen von Simplizialketten. Genauer erh"alt man eine Injektion von der Menge ${\cal K}_{q}^\leq$ aller angeordneten $q$-Simplizes von $\mathcal K$ in die Menge $\check{\mathcal K}_q^\leq$ aller %ordnungsvertr"aglichen angeordneten $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, indem man $\sigma : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow E$ abbildet auf $\sigma^\vee : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow \check{E}$ gegeben durch $ \sigma^\vee(i)= \{ \sigma (0), \ldots, \sigma (i)\}. $ Anschaulich gesprochen erhalten wir so \glqq alle $q$-Simplizes von $\check{\mathcal K}$, die in $q$-Simplizes von $\mathcal K$ liegen\grqq, und die Abbildung ${\cal K}^\leq_{q}\ra {\op{S}}_{q} \check{\mathcal K}$ gegeben durch \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildbAr}\\[4mm] \noindent Ein angeordneter $3$-Simplex $\sigma$ und die sechs angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ mit Vorzeichen, deren Summe seine baryzentrische Unterteilung $b(\sigma)$ im Sinne des Beweises von \ref{GiS} repr"asentiert. Die Kreispfeile sind eigentlich "uberfl"ussig und betonen nur die Reihenfolge der Ecken in den angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ und die Beziehung zum Signum der zugeh"origen Permutationen $\pi$. \end{figure} \begin{equation*} \sigma \mapsto \sum_{\pi \in \mathcal {\cal{S}}_{q+1}} \op{sgn} (\pi) (\sigma \circ \pi)^\vee \end{equation*} induziert eine Homotopie"aquivalenz $ b : {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K}, $ die wir wieder die {\bf baryzentrische Unterteilung} nennen. Wenden wir auf unseren Fundamentalzykel aus \ref{ffuzy} die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen von einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast [n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{ \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Der Komplex ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ der ordnungsvertr"agliche simplizialen Koketten mitsamt einem Isomorphismus von Komplexen ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\sira {\op{S}}^\ast \check{\mathcal K}$ ist in derselben Weise erkl"art wie der Komplex der ordnungsvertr"agliche simplizialen Ketten in \ref{bU}. Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at aus \ref{APD}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \!\!\!\!\sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \!\!\!\!\varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneq \ldots \subsetneq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um auch das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast$ von ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast [n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ unter Verwendung unserer Konvention \ref{KEE}. Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD}, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast $ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Gehen wir nun in dieser linken Vertikale zu den dualen Komplexen "uber, so erhalten wir offensichtlich genau den Unterkomplex ${\op{C}}\subset\op{S}^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ aus dem ersten Teil unseres Satzes \ref{GiS}, und damit ist auch dieser erste Teil bereits bewiesen. Des weiteren sehen wir, da"s f"ur $t\in \cal{K}_{n-q}$ und $\langle t\rangle$ der zugeh"orige angeordnete Simplex seine baryzentrische Unterteilung $b(\langle t\rangle)$ genau ein Urbild hat unter $\cap\check{\omega}$, und da"s dieses Urbild auf der dualen Zelle $c(t)$ den Wert Eins annimmt und auf allen anderen dualen Zellen den Wert Null. Daraus folgt dann auch der zweite Teil des Satzes. \end{proof} \subsection{Anschauung im nichtkompakten Fall}\label{AbHp} \begin{Bemerkungl}\emph{Sp"ater!} In derselben Weise erkl"aren wir die Komplexe ${\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ mitsamt Isomorphismen von Komplexen nach ${\op{S}}^{!} \check{\mathcal K}$ bzw. ${\op{S}}^\ast_{!} \check{\mathcal K}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht notwendig kompakten separablen orientierten $n$-Mannigfaltigkeit. Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal K$. Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$ im Sinne von \ref{FZbm} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten in den Borel-Moore-Simplizialketten und damit auch genau einen Repr"asentanten $\omega \in {\op{S}}^{!\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der in hoffentlich offensichtlicher Weise definierten Gruppe der ordnungsvertr"aglichen simplizialen Borel-Moore-$n$-Ketten. Nach \ref{FuZY} hat er Gestalt \begin{equation*} \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle \end{equation*} f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$ mit $\langle s \rangle$ dem zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten $n$-Simplex wie im Beweis von \ref{SH}. Wenden wir darauf die baryzentrische Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten \begin{equation*} \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}} \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee \end{equation*} des Fundamentalzykels in ${\op{S}}_n^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. Die weitere Argumentation wird ausgehen vom Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar@{-->}[r] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\ &\\ {\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \ar[r]^{\cap \check{\omega}} \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] & {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) } \end{displaymath} Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt, die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische Unterteilen, die untere Horizontale die Restriktion auf ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten unserer Poincar\'{e}-Dualit"at auf singul"aren Ketten aus \ref{SiPoi}. Unser Ziel ist die Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile angedeutet zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen obere Horizontale dann die geometrische Bedeutung des Dualit"ats-Isomorphismus klar macht. Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die durch $\cap \check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch den schr"agen gestrichelten Pfeil angedeutet "uber unsere baryzentrische Unterteilung $b$ faktorisiert. Ein $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem eine echt aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneqq \check{u}_1 \subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$. Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta (\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis $\langle \check{u} \rangle^*$ von $\op{S}_{!\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$. F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ mit dem Fundamentalzykel erhalten wir nach \ref{Excap} die Darstellung \[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} = (-1)^{q(n-q)} \sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \varepsilon(s)\op{sgn}(\pi) \langle \langle \check{u} \rangle^*, (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \rho^q \rangle \; (\langle s\rangle \circ \pi)^\vee \lambda^{n-q} \] Insbesondere ist die rechte Seite nur dann nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneqq \ldots \subsetneqq \check{u}_q$ hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ f"ur alle $i$. Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$. Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des $n$-Simplex $s$. Auf der rechten Seite liefert nur $s = \check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur $\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit $s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag bis auf ein Vorzeichen gerade \[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} \op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 \rangle \circ {\kappa} )^\vee \] Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert den Pfeil schr"ag nach oben. Um das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung $\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots, s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$, finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung $ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$ und erhalten %f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel $$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl} \eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls } \check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; \\[2mm] 0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$ Bilden wir den Quotienten ${\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ von ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den $\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - \eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit $\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht, einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})[n] \stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$ Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert. Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus der Poincar\'{e}-Dualit"at, da"s die linke Vertikale unseres Diagramms ${\op{S}}^\ast_{! \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K}) \sra {\op{C}}^\ast_{!} \Delta (\check{\mathcal K})$ Isomorphismen auf der Kohomologie induziert. Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen. Um nun endlich zur anschaulichen Bedeutung vorzudringen, betrachten wir in der linken Vertikalen die dualen Komplexe und erhalten so eine Homotopie"aquivalenz $${\op{C}}^{!} \Delta (\check{\mathcal K}) \hra {\op{S}}^{!\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$$ wo der $q$-te Teil ${\op{C}}^{!}_q \Delta (\check{\mathcal K})$ unseres Teilkomplexes aus allen \glqq unendlichen formalen Linearkombinationen\grqq\ "uber $t\in\cal{K}_{n-q}$ gewisser Ausdr"ucke $c(t)$ besteht, die ihrerseits gegeben werden als $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$ summiert "uber alle $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzy}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzz}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildFzo}\\[4mm] \noindent BlahBlah \end{figure} \subsection{Versuch} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ definieren wir den {\bf Komplex der grenzfeinen Ketten}\index{grenzfein!Kette} als den direkten Limes $$\op{GS}(X)=\varinjlim(\op{S}(X)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} $U$. Alle kanonischen Abbildungen $\op{S}(X)\ra\op{GS}(X)$ in diesen direkten Limes induzieren nach \ref{UT} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie kommt, wie auch alle anderen, sogar von einer Transformation $\op{S}\RA\op{GS}$ von Funktoren $\op{Top}\ra \op{Ket}$ her. Wir definieren weiter auch f"ur $X\supset A$ einen Raum mit einer Teilmenge den {\bf Komplex der relativen grenzfeinen Ketten} als den direkten Limes $$\op{GS}(X,A)=\varinjlim(\op{S}(X,A)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X,A) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung f"ur grenzfeine Ketten}]\label{Aschg} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar und $L\subset A$ eine Teilmenge, deren Abschlu"s im Inneren von $A$ liegt. So liefert die Einbettung $(X{\backslash} L, A{\backslash} L) \hookrightarrow (X,A)$ Isomorphismen auf den Komplexen von relativen grenzfeinen Ketten $${\op{GS}}(X{\backslash} L,A{\backslash} L) \sira {\op{GS}} (X,A)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wie beim Beweis der Ausschneidung \ref{Asch} betrachten die "Uberdeckung $X = A \cup (X{\backslash} L)$, geben ihr den Namen $\cal{V}$ und bilden ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}(A{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}A \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow & {\op{S}}^{\cal{V}}X\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}}(X{\backslash} L) & \hookrightarrow & {\op{S}}X \oplus {\op{S}}(X{\backslash} L) & \twoheadrightarrow &{\op{S}}X\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{S}} (X {\backslash} L, A{\backslash} L) & \ra & {\op{S}}(X,A) & \ra & {\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X \end{array}$$ Hier ist zu verstehen, da"s die beiden oberen horizontalen Inklusionen die \glqq diagonalen\grqq\ Einbettungen $z \mapsto (z,z)$ sein sollen und die folgenden Surjektionen die Differenzen $(x,y) \mapsto x-y$. Nach dem Neunerlemma ist die untere Horizontale dann auch exakt. Jetzt gehen wir zum direkten Limes unter den Unterteilungsoperatoren "uber und m"ussen nur zeigen, da"s dieser Limes bei ${\op{S}}X / {\op{S}}^{\cal{V}}X$ verschwindet. In der Tat wird aber nach \ref{KlKl} jedes Element dieses Quotienten von einer hinreichend hohen Potenz des Unterteilungsoperators annulliert. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ definieren wir den Komplex der lokal als den direkten Limes $$\op{FS}(X)=\varinjlim(\op{S}(X)\stackrel{U}{\ra}\op{S}(X) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ in Bezug auf die \hyperref[UKA]{Unterteilungsoperatoren} $U$. Alle kanonischen Abbildungen $\op{S}(X)\ra\op{FS}(X)$ in diesen direkten Limes induzieren nach \ref{UT} dieselbe Abbildung auf der Homologie. Wir arbeiten im folgenden mit der ersten dieser kanonischen Abbildungen. Sie kommt, wie auch alle anderen, sogar von einer Transformation $\op{S}\RA\op{FS}$ von Funktoren $\op{Top}\ra \op{Ket}$ her. \end{Bemerkungl} \subsection{Woanders, N"otig?} \begin{proof}[Beweis]\label{DAp} Wir betrachten das Diagramm $$\xymatrix{ {\op{S}}X \ar[dr]^{\Delta_{\ast}}\ar[rr]^-{\Delta}& &{\op{S}}X \otimes {\op{S}}X\\ &S(X\times X)\ar[ur]^{c} }$$ mit unserer Komultiplikation $\Delta$ aus \ref{CoM}, einer Alexander-Whitney-Abbildung $c$ wie in \ref{EZ} und dem Bild $\Delta_{\ast}$ unter der Diagonalen $X \ra X \times X$. Alle drei Funktoren in den Kettenkomplexe sind in jedem Grad frei mit Basis $\{(\Delta_{n}, \tau_{n})\}$ bzw.\ $\{(\Delta_{q} \amalg \Delta_{p}, i_1 \otimes i_2)\}_{p +q =n}$ wo $i_{1},i_{2}$ die Inklusionen von $\Delta_{q}$ bzw.\ $\Delta_{p}$ in $\Delta_{q}\amalg \Delta_{p}$ bezeichnen, bzw.\ $\{(\Delta_{n} \amalg \Delta_{n}, \tau)\}$ mit dem Simplex $\tau =(i_{1},i_{2}): \Delta_{n} \ra (\Delta_{n}\amalg \Delta_{n})\times (\Delta_{n}\amalg \Delta_{n})$. Nach dem Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} kommutiert also unser Diagramm bis auf Homotopie, wenn es kommutiert nach ${\op{H}}_{0}$, und das ist klar. Dualisieren wir nun das Diagramm, so folgt $a \cup b = \Delta^{\ast} (a\times b)$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorff-Raum $X$ und ein K"orper $k$ kann man die \defind{Borel-Moore-Homologie} {\bf von $X$ mit Koeffizienten in $k$} definieren als den Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. Wir notieren die $i$-te Borel-Moore-Homologie als ${\op{H}}^{!}_{i}$ und haben also in Formeln $${\op{H}}^{!}_{i} (X;k)\pdef {\op{H}}^{i}_{!} (X;k)^{\ast}$$ Diese Notation ist allerdings un"ublich, "ofter verwendet man statt ${\op{H}}^{!}_{i}$ die Notation ${\op{H}}^{\op{BM}}_{i}$ oder zur besseren Verwirrung gleich ${\op{H}}_{i}$. Ist $X$ der Polyeder $X = \Delta (\cal{K})$ eines lokal endlichen Simplizialkomplexes $\cal{K}$, so kann man folglich die Borel-Moore-Homologie mit Koeffizienten in unserem K"orper $k$ berechnen mit dem Komplex, den man durch Dualisieren erh"alt aus dem Komplex $S^{\ast}_{\op{os}!} (\Delta (\cal{K});k)$ der simplizialen Koketten mit kompaktem Tr"ager, der in \eref{KocSi}{TS} eingef"uhrt wird und von dem dort gezeigt wird, da"s er die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager des Polyeders $\Delta (\cal{K})$ berechnet. Der duale Komplex zu $S^{\ast}_{\op{os}!} (\Delta (\cal{K});k)$ ist aber offensichtlich gerade der Komplex $\op{Ens} (\cal{K}_{\ast},k)$ aller nicht notwendig endlichen formalen Linearkombinationen von Simplizes mit dem durch die "ubliche Formel wie in \eref{SiKe}{TS} gegebenen Randoperator, der weiter sinnvoll definiert ist, da wir unseren Simplizialkomplex lokal endlich angenommen hatten. Erlaubt man also in dieser Situation auch unendliche formale Linearkombinationen von Simplizes als Ketten, so gelangt man von der "ublichen Homologie zur Borel-Moore-Homologie. Das geht auch mit beliebigen Koeffizienten, jedoch ist es dann schwieriger, die Unabh"angigkeit der so erkl"arten Gruppe von der Triangulierung nachzuweisen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Unsere allgemeine Poincar\'e-Dualit"at \eref{APD}{TS} liefert zumindest mit Koeffizienten in einem K"orper eine Paarung $${\op{H}}^{!}_{q} (M;k) \times {\op{H}}_{n-q} (M;k) \ra k$$ Anschaulich d"urfen wir sie als Schnittpaarung verstehen. Eigentlich sollte wohl auch der Isomorphismus \eref{APD}{TS} zu verstehen sein als partielles Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\omega \in {\op{H}}^{!}_{n} (M)$ von $M$ in der Borel-Moore-Homologie, der eben auch f"ur nicht notwendig kompaktes aber orientiertes $M$ existiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der sogenannte Kreisraum aus \eref{KrRa}{TF} zeigt, da"s der Dualraum der singul"aren Kohomologie mit kompaktem Tr"ager im Allgemeinen nicht durch den Komplex der lokal endlichen singul"aren Koketten berechnet werden kann. Ich w"u"ste gerne, unter welchen Bedingungen das doch geht. Ich wei"s es noch nicht einmal f"ur die Polyeder lokal endlicher Simplizialkomplexe. No jo, mittlerweile wohl schon, da hab ich flei"sig gearbeitet. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATS" %%% End: