\section{Poincar\'e-Dualit"at}
\subsection{Limites und Kolimites}
\begin{Bemerkungl}
  Limites und Kolimites sind weitreichende Verallgemeinerungen
  von Produkten  beziehungsweise Koprodukten, zu denen sie im Spezialfall
  eines \glqq K"ochers ohne Pfeile\grqq\ spezialisieren.
  Im Fall eines Winkeldiagramms als K"ocher spezialisiert der Limes zum
  Faserprodukt alias pullback, im Fall eines Kowinkeldiagramms der
  Kolimes zum pushout.
\end{Bemerkungl}



\label{LKiL} 
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildKolim}\\[4mm]
\noindent Illustration zum  Kolimes\end{figure}
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildLimm}\\[4mm]
\noindent Illustration zum  Limes\end{figure}
\begin{Definition}\label{Kolim}
Gegeben ein K"ocher $\cal{I}$ und eine Kategorie 
$\cal{C}$ ist die Vorschrift, die
 jedem Objekt die
entsprechende {\bf konstante Darstellung} unseres K"o\-chers
zuordnet,  ein 
Funktor
$$\op{konst}:\mathcal C\ra \op{Car}(\cal{I},\mathcal C)$$
Wenn der partielle Linksadjungierte dieses Funktors auf einer
 K"ocherdarstellung $D:\cal{I}\ra \mathcal C$ definiert ist, so nennen wir
seinen Wert  den {\bf Kolimes}\index{Kolimes} 
 unserer K"ocherdarstellung.
Ist unsere K"ocherdarstellung $D$ gegeben durch $D:i\mapsto D_i$
und $D:\mathcal I(i,j)\ra \mathcal C(D_i,D_j)$,
so notieren wir den Kolimes
\index{col@$\col$ Kolimes} 
 $$ \col_{i\in\mathcal I} D_{i}$$ 
Er ist in der "ublichen Weise eindeutig bis auf
eindeutigen Isomorphismus 
wenn er existiert, weshalb wir daf"ur
auch den bestimmten Artikel verwenden.
Die Bilder der Pfeile unter einer K"ocherdarstellung 
k"urzen wir gerne mit demselben Symbol $D(p)=p$ ab wie die Pfeile selbst.
Wenn analog
der partielle Rechtsadjungierte unseres Funktors $\op{konst}$ auf einer
 K"ocherdarstellung definiert ist, so nennen wir
seinen Wert  den {\bf Limes}\index{Limes} 
unserer K"ocherdarstellung und
notieren ihn\label{Limes}\index{Limes!in Kategorie}  
$$\lim_{i\in\mathcal I}D_i%=\varprojlim _{i\in\mathcal I}D_i
$$
\end{Definition}
%  Ich habe hier meine Notation September 2014 etwas geaendert!


\begin{Bemerkungl}
Ausgeschrieben besteht 
unser Kolimes aus einem Objekt $K=\col D_i$ mitsamt Morphismen
$\op{in}_i: D_i\ra K$ derart, da"s gilt $ \op{in}_j\circ  D(p)=\op{in}_i$
f"ur alle Pfeile $  p\in \mathcal I(i,j)$ und da"s folgende
{\bf universelle Eigenschaft} erf"ullt ist:
Gegeben ein Objekt $N\in \mathcal C$ mitsamt Morphismen
$\psi_i: D_i\ra N$ derart, da"s gilt $\psi_j\circ D( p) =\psi_i$
f"ur alle Pfeile $  p\in \mathcal I(i,j)$,
existiert genau einen Morphismus $\psi: K\ra N$ mit
$\psi\circ\op{in}_i=\psi_i$ f"ur alle $i$. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Der Kolimes einer Darstellung  $F:\mathcal I\ra \mathcal C$ 
eines K"ochers f"allt zusammen mit dem Limes
  der Darstellung $F^{\op{opp}}:\mathcal I^{\op{opp}}
\ra \mathcal C^{\op{opp}}$ des
  opponierten K"ochers in der opponierten Kategorie.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Ausgeschrieben besteht 
unser Limes aus einem Objekt $L=\lim D_i$ mitsamt Morphismen
$\op{pr}_i: L\ra D_i $ derart, da"s gilt $ D( p)\circ \op{pr}_i =\op{pr}_j$
f"ur alle Pfeile $  p\in \mathcal I(i,j)$, und da"s folgende
{\bf universelle Eigenschaft} erf"ullt ist:
Gegeben ein Objekt $M\in \mathcal C$ mitsamt Morphismen\label{Llimes} 
$\psi_i: M\ra D_i$ derart, da"s gilt $ D( p)\circ \psi_i =\psi_j$
f"ur alle Pfeile $  p\in \mathcal I(i,j)$,
existiert genau ein Morphismus $\psi: M\ra L$ mit
$\op{pr}_i\circ\psi=\psi_i$ f"ur alle $i$. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  In der Literatur geht man meist
  spezieller von einer Kategorie $\mathcal I$
aus und betrachtet nur Kolimites von Funktoren
 $F\in \op{Cat}(\cal{I},\mathcal C)\subset \op{Car}(\cal{I},\mathcal C)$. 
Die Einschr"ankung auf diesen Spezialfall 
schien mir jedoch wenig sinnvoll. 
Oft geht man auch noch
spezieller von einer 
teilgeordneten Indexmenge $\mathcal I$ aus, dann ist im Fall eines Kolimes
die 
Kategorie mit je einem Morphismus 
von kleineren zu gr"o"seren Elementen gemeint und im Fall eines Limes vielfach
die dazu opponierte Kategorie. Man spricht dann von
einem {\bf direkten System}\index{direktes System} 
beziehungsweise einem {\bf inversen System}.\index{inverses System} 
Im allgemeinen nenne ich eine Darstellung eines K"ochers in einer Kategorie
$\mathcal C$ ein {\bf Diagramm in $\mathcal C$}\index{Diagramm!in Kategorie}
und einen Funktor von einer Kategorie in eine Kategorie
$\mathcal C$ ein {\bf System in $\mathcal C$}.\index{System!in Kategorie}
Meist\label{System} findet man f"ur den Kolimes die ausf"uhrlichere Notation 
$\colim$.\index{colim@$\colim$ Kolimes} 
Oft verwendet man auch statt $\col$ und $\lim$ die Notationen 
$\varinjlim $ und $\varprojlim $. Ich
verwende sie nur im Fall von Systemen, die durch eine angeordnete Menge
indiziert werden. 
F"ur unseren Kolimes findet man in der Literatur auch die Bezeichnungen
als {\bf induktiver Limes}\index{Limes!induktiver} 
und {\bf direkter Limes}.\index{Limes!direkter}  
F"ur unseren Limes findet man in der Literatur auch die Bezeichnungen
als {\bf projektiver Limes}\index{Limes!projektiver}  und {\bf inverser Limes}. 
\index{Limes!inverser}  Ich erlaube mir das jedoch nur im
Fall filtrierender beziehungsweise kofiltrierender Systeme, wie sie in \ref{FiDe}
eingef"uhrt werden.  
\end{Bemerkungl}




\begin{Beispiele}[\textbf{Kolimes spezialisiert zu Koprodukt und Pushout}] 
  Im Fall eines  K"ochers ohne Pfeile spezialisiert 
unser Kolimes zum Koprodukt. Im Fall  
eines Kowinkeldiagramms spezialisiert 
unser Kolimes zum Pushout. 
\end{Beispiele}
\begin{Beispiele}[\textbf{Limes spezialisiert zu Produkt, 
Pullback und Egalisator}] 
  Im Fall eines  K"ochers ohne Pfeile spezialisiert 
unser Limes zum Produkt. Im Fall  
eines Winkeldiagramms spezialisiert 
unser Limes zum Pullback. 
Bezeichne schlie"slich 
  $\rightrightarrows$ 
den K"ocher mit zwei Punkten und zwei Pfeilen, von dem ich der 
Einfachkeit halber\label{Egal} 
nur die Pfeile angedeutet habe.
Der Limes einer Darstellung dieses  K"ochers 
hei"st, wenn er existiert, auch der {\bf Egalisator}\index{Egalisator} der
beiden Morphismen, die den Pfeilen unseres K"ochers zugordnet werden.
Sind zum Beispiel $f,g:X\ra Y$ zwei Abbildungen von Mengen,
so ist ihr Egalisator  die Menge $\{x\in X\mid f(x)=g(x)\}$
mit ihrer Einbettung nach $X$.
\end{Beispiele}


\begin{Beispiel}[\textbf{Limites von Mengen}]
In der Kategorie der Mengen existieren
Limites:
Die Teilmenge des Produkts
$\bigsqcap_{i\in \mathcal I}M_{i}$, die besteht aus allen Tupeln $(m_i)_{i\in \mathcal I}$ mit
$p(m_i)=m_j$ f"ur alle Pfeile $p:i\ra j $,
l"ost unser universelles Problem.
 W"ahlen wir etwas vorsichtiger ein Universum $\mathfrak U$ mit
 $\mathcal I\in \mathfrak U$ und 
  $M_i\in\mathfrak U\;\forall i\in\mathcal I$,
 so existiert unser Limes in $\mathfrak U{\op{Ens}}$.
 Existiert umgekehrt  unser Limes in $\mathfrak U{\op{Ens}}$
 f"ur ein Mengensystem $\mathfrak U$, so erkennt man leicht,
 da"s er auch f"ur jedes gr"o"sere Mengensystem existieren und
 derselbe bleiben mu"s.\label{LimM} %\label{KolM}
\end{Beispiel}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Nichtleere Limites von Mengen}] 
Der Limes eines kofiltrierenden Systems
 nichtleerer endlicher Mengen ist nicht leer: 
Das folgt aus dem Satz von Tychonoff
\eref{ST}{TM} mit "Ubung \eref{Skoa}{AN2} zu nichtleeren Schnittmengen
von Familien abgeschlossener Teilmengen in Kompakta. 
Im Fall unendlicher Mengen stimmt das nicht mehr. Die Mengen $\DZ_{\leq n}$ mit den Inklusionen\label{nilL} 
als Morphismen bilden etwa 
ein kofiltrierendes  System nichtleerer 
unendlicher Mengen mit leerem Limes. Sogar bei einem 
kofiltrierenden System nichtleerer Mengen mit surjektiven Morphismen
kann es verbl"uffenderweise vorkommen, da"s
der Limes leer ist. Mehr dazu findet man in der 
\glqq Th\'eorie des Ensembles\grqq\  von Bourbaki. Bilden wir allerdings
den Limes von durch eine angeordnete Menge $A$ indizierten nichtleeren
Mengen $(M_\alpha)_{\alpha\in A}$  mit Surjektionen
$M_\alpha\sra M_\beta$ f"ur $\alpha<\beta$ als Morphismen, so ist auch der
Limes nichtleer. Man kann das zeigen, indem man die Menge aller
Paare $(B,m)$ mit $B\subset A$ einer Teilmenge
und $m=(m_\beta)_{\beta\in B}$ einem  Tupel mit
$m_\beta\in M_\beta\;\forall \beta\in B$ und $m_\beta\mapsto m_\gamma\;\forall
\beta,\gamma\in B$ mit $\beta<\gamma$
mit der durch Einschr"ankung gegebenen
Teilordnung versieht und ein maximales Paar $(C,n)$ w"ahlt und zeigt,
da"s daf"ur bereits $C=A$ gelten mu"s. 
\end{Bemerkunge}


\begin{Beispiel}[\textbf{Formale Potenzreihen als Limes}] 
Wir k"onnen den Ring $k\llbracket X\rrbracket$ der \hyperref[FPR]{formalen
  Potenzreihen} mit Koeffizienten in einem Ring $k$ 
 beschreiben
  als Limes des Systems aller \glqq abgeschnittenen Polynomringe\grqq.
Genauer liefert die universelle Eigenschaft einen Isomorphismus
 $k\llbracket
  X\rrbracket \sira \limf_n k[X]/\langle X^n\rangle$.
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Kolimites von Mengen}]
In der Kategorie der Mengen existieren alle
Kolimites: Unser universelles Problem wird gel"ost von
der Menge der "Aquivalenzklassen in der disjunkten Vereinigung
$\coprod_{i\in \mathcal I}M_{i}$ unter 
der "Aquivalenzrelation $\sim$, die erzeugt wird
wird durch die "Aquivalenzen\label{KolM} 
$$\op{in}_i(a_i)\sim \op{in}_j( p(a_i)) \text{ f"ur alle }i, j\in
\mathcal I \text{ und alle }
 p\in \mathcal I(i,j)\text{ und alle }a_i\in M_i.$$
 W"ahlen wir etwas vorsichtiger ein Universum $\mathfrak U$ mit
 $\mathcal I\in \mathfrak U$ und 
  $M_i\in\mathfrak U\;\forall i\in\mathcal I$,
 so existiert unser Kolimes in $\mathfrak U{\op{Ens}}$.
 Existiert umgekehrt  unser Kolimes in $\mathfrak U{\op{Ens}}$
 f"ur ein Mengensystem $\mathfrak U$, so erkennt man leicht,
 da"s er auch f"ur jedes gr"o"sere Mengensystem existieren und
 derselbe bleiben mu"s. 
\end{Beispiel}


\begin{Beispiel}[\textbf{Kolimes als aufsteigende Vereinigung}]
  Gegeben sei ein Diagramm von Mengen mit Injektionen
$M_0\hra M_1\hra M_2\hra \ldots$ Sind alle diese Mengen 
Teilmengen einer  Menge
$M$ und sind unsere Injektionen Inklusionen  von Teilmengen,
so liefert die offensichtliche Abbildung eine Bijektion
$$ \col _{i\in\DN}M_i\;\sira\;\bigcup_{i\in\DN}M_i$$
\end{Beispiel}





\begin{Beispiel}
In der Kategorie der abelschen Gruppen  existieren
Kolimites: Der
Quotient der direkten Summe 
$\bigoplus_{i\in \mathcal I}M_{i}$ nach der Untergruppe,
die erzeugt
wird von allen $\op{in}_i(m) - \op{in}_j(p (m))$ 
f"ur $i,j \in I$, $p\in\mathcal I(i,j)$
und $m \in M_{i}$,  l"ost 
unser universelles Problem.
\end{Beispiel}



\begin{Definition}\label{FiDe}
Eine Kategorie $\mathcal I$ hei"st 
{\bf filtrierend}\index{filtrierend!Kategorie}, wenn
 (1) ihre Objektmenge nicht leer ist, wenn es (2) 
f"ur je zwei Objekte $i,j \in \mathcal I$  
ein Objekt $k \in \mathcal I$ mit Morphismen 
$i \rightarrow k$, $j \rightarrow k$ gibt und wenn es (3) 
f"ur je zwei Morphismen 
$\varphi , \psi : i \rightarrow j$ einen Morphismus
$\zeta : j \rightarrow k$ gibt mit $ \zeta 
\circ \varphi = \zeta \circ \psi$. Eine Kategorie $\mathcal I$ hei"st 
{\bf kofiltrierend}\index{kofiltrierend!Kategorie}, wenn
die opponierte Kategorie filtrierend ist.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion des Begriffs einer filtrierenden Kategorie}]
  Man kann die ersten beiden Forderungen vielleicht nat"urlicher
  dahingehend zusammenfasen, da"s es f"ur jede endliche Menge von Objekten
  ein Objekt geben soll, zu dem sie alle mindestens einen Morphismus haben.
  Einen
  weiteren Grund, Kategorien mit leerer Objektmenge nicht
  filtrierend zu nennen, lernen wir in \ref{aws} kennen.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Ein Kolimes eines Funktors von einer filtrierenden Kategorie 
in eine weitere Kategorie hei"st auch ein 
{\bf filtrierender 
Kolimes}\index{filtrierend!Kolimes}\index{Kolimes!filtrierender} 
und wir notieren derartige Kolimites\label{KfK} 
$\colf$.\index{colf@$\colf$ filtrierender Kolimes}
Im Prinzip ist diese Notation unn"otig, aber filtrierende
Kolimites haben besonders gute Eigenschaften und unsere
Notation ist eine effiziente Art, daran zu erinnern,
da"s wir in dieser Situation sind.
Ein Limes "uber eine kofiltrierende Kategorie 
hei"st dual ein 
{\bf kofiltrierender 
Limes}\index{kofiltrierend!Limes}\index{Limes!kofiltrierender} 
und wir notieren derartige Limites
$\limf$.\index{limf@$\limf$ kofiltrierender Limes} 
Schreiben wir $\colf_{n\in \DN}X_n$, so gehen wir stets
implizit von einem System der Gestalt $X_0\ra X_1\ra\ldots$ aus, "uber das
der Kolimes zu bilden ist. 
Schreiben wir $\limf_{n\in \DN}X_n$, so gehen wir stets
implizit von einem System der Gestalt $\ldots\ra X_1\ra X_0$ aus, "uber
das der Limes zu bilden ist. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Filtrierende Kolimites von Mengen}] 
Im Fall  eines mengenwertigen Funktors  $M \in\op{Cat}( \mathcal I,
  \op{Ens})$ auf einer filtrierenden 
Kategorie $\mathcal I$ kann\label{fdl} man
die "Aquivalenzrelation $\sim$ 
  auf der disjunkten Vereinigung $\coprod M_i$ aus \ref{KolM}
mit $$\colf M=\left.\left(\coprod_{i \in
    \mathcal I} M_i\right)\right/ \sim$$
 sehr viel expliziter beschreiben:
  Genau dann gilt unter dieser Annahme $a_i \sim a_j$, wenn es Morphismen
  $\varphi : i \rightarrow k$ und $\psi : j \rightarrow k$ gibt mit $
  \varphi(a_i) = \psi(a_j)$ in $M_k$.  In der Tat liefert  f"ur
  filtrierendes $\mathcal I$ diese
  Vorschrift eine "Aquivalenzrelation, von der
  man leicht zeigt, da"s sie mit der in 
\ref{KolM} beschriebenen "Aquivalenzrelation
  "ubereinstimmen mu"s. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein K"ocher $\mathcal I$ und dar"uber ein System
  $M\in\op{Car}(\mathcal I,\op{Ens}^\ast)$ von bepunkteten Mengen
  liefern die universellen Eigenschaften eine nat"urliche Abbildung
  $\op{col}_{\mathcal I\ra\op{Ens}}M\ra\op{col}_{\mathcal I\ra\op{Ens}^\ast}M $
  von dem in der Kategorie der Mengen berechneten Kolimes zu dem in der
  Kategorie der punktierten Mengen berechneten Kolimes.
  Im Fall eines durch eine filtrierende Kategorie $\mathcal I$ indizierten Systems $M\in\op{Cat}(\mathcal I,\op{Ens}^\ast)$ ist diese nat"urliche Abbildung nach der eben gegebenen Beschreibung
  filtrierender Kolimites eine Bijektion
  $$\colf_{\mathcal I\ra\op{Ens}}M\sira\colf_{\mathcal I\ra\op{Ens}^\ast}M $$
  Auch daf"ur ist unsere Bedingung an eine filtrierende Kategorie
  wesentlich, da"s ihre Objektmenge nicht leer sein darf.\label{aws} 
\end{Bemerkungl}

\begin{Definition}
  Sei $\mathcal I$ ein K"ocher.
Eine Sequenz $F\ra G\ra H$  in der Kategorie 
 $\op{Car}(\mathcal I,\op{Ens}^*)$ der Darstellungen 
von $\mathcal I$ durch bepunktete Mengen hei"st 
{\bf exakt}\index{exakt Sequenz!von K"ocherdarstellungen},
wenn f"ur jedes $i\in \mathcal I$ die Sequenz
$F_i\ra G_i\ra H_i$ \hyperref[exak]{exakt} ist.
\end{Definition}



\begin{Lemma}[\textbf{Exaktheit filtrierender Kolimites von Mengen}] 
Gegeben
eine filtrierende Kategorie $\mathcal I$  macht 
das Bilden des Kolimes\label{EDL} von bepunkteten Mengen 
$\colf : \op{Cat} (\mathcal I, \op{Ens}^*) \rightarrow \op{Ens}^*
$
 aus exakten Sequenzen exakte Sequenzen.
\end{Lemma}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Exaktheit filtrierender Kolimites von Gruppen}] 
    F"ur ein filtrierendes System von Gruppen erhalten wir auf dem Mengenkolimes
     aus \ref{fdl} in offensichtlicher Weise eine Struktur als
    Gruppe, und es ist auch klar, da"s wir so den Kolimes in der Kategorie der
    Gruppen konstruieren k"onnen. Unser Lemma gilt also analog\label{EDLG}  
auch f"ur Gruppen. 
 \end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkunge}
% Das gilt auch etwas allgemeiner im Fall einer sogenannten
% {\bf pseudofiltrierenden  Kategorie}\index{pseudofiltrierend!Kategorie}
%  $\mathcal I$, 
% von der man  nur fordert, da"s sich jeder Winkel zu einem
% kommutativen Quadrat erg"anzen l"a"st und da"s es 
% f"ur je zwei Morphismen 
% $\varphi , \psi : i \rightarrow j$ einen Morphismus
% $\zeta : j \rightarrow k$ gibt mit $ \zeta 
% \circ \varphi = \zeta \circ \psi$. Diese Allgemeinheit hat den
% Vorteil, da"s sich auch die
% Exaktheit direkter Summen unmittelbar als Spezialfall ergibt.
% \end{Bemerkunge}
\begin{proof}[Beweis]
Sei $F\ra G\ra H$ unsere Sequenz.
Bezeichne $(\varphi_i),(\psi_i)$ die Morphismen unserer Sequenz und $\varphi,\psi$ ihre Kolimites.
Sicher ist die Verkn"upfung auch im Kolimes konstant. 
Ist andererseits $\op{in}_{i}
(g_{i})\in \colf G$ ein Element im Kolimes 
der Mitte, das auf $*\in \colf H$  geht, so folgt
$\op{in}_{i} \psi_{i}(g_{i})=*$, nach \ref{fdl} also
$\zeta \psi_{i}(g_{i}) =*$ f"ur geeignetes $\zeta:i\ra j$,
also $\psi_{j} \zeta(g_{i})=*$ und folglich gilt $\zeta
(g_{i})=\varphi_{j}(f_{j})$ und 
$\op{in}_{i}(g_{i}) = \varphi \op{in}_{j}
(f_{j})$.
\end{proof}












\begin{Definition}
Eine volle Unterkategorie  $\mathcal K \subset \mathcal I$ 
einer filtrierenden Kategorie
hei"st {\bf konfinal},\index{konfinal!in filtrierender Kategorie} 
 wenn  es f"ur
jedes $i\in \mathcal I$ einen Morphismus zu einem Objekt 
$k \in \mathcal K$ gibt.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungw} Allgemeiner kann man definieren,
  wann ein Funktor von  filtrierenden Kategorien konfinal hei"sen soll,
  aber das brauchen wir noch nicht.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] 
  In der Literatur sagt man statt \glqq konfinal\grqq\ meist
\glqq kofinal\grqq.\index{kofinal@{\it kofinal}!in filtrierender Kategorie} 
Da die Vorsilbe \glqq ko\grqq\  aber in diesem Zusammenhang 
mit der Bedeutung \glqq dasselbe f"ur die opponierte Kategorie\grqq\ 
belastet ist, habe ich
die Terminologie  variiert.
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}[\textbf{"Ubergang zu  konfinalem Teilsystem}]\label{KFin}
Seien $\mathcal I$ eine filtrierende Kategorie,
$\mathcal K \subset \mathcal I$  konfinal und $M:\mathcal I\ra \mathcal C$
ein Funktor.
Genau dann existiert der Kolimes von $M$ "uber $\mathcal I$,
wenn der Kolimes "uber $\mathcal K$ existiert, 
und dann ist der offensichtliche Morphismus ist ein Isomorphismus
$$\colf _{k\in \mathcal K} M_{k}\;\sira\;\colf _{i\in \mathcal I} M_{i}$$
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
Beide Seiten haben dieselbe universelle Eigenschaft. Man "uberzeuge sich
davon zun"achst im Spezialfall, da"s $\mathcal I$ ein finales Objekt besitzt
und da"s $\mathcal K$ nur aus diesem einen finalen Objekt besteht.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}\label{KFinl}
Opponiert
bleiben   auch kofiltrierende Limites unver"andert bei der 
Restriktion zu einer Unterkategorie, deren opponierte
Kategorie konfinal ist in der Opponierten
der Indexkategorie des urspr"unglichen Systems.
\end{Bemerkungl}






















% \begin{Bemerkungl}\label{KaAAc}
%   Allgemeiner zeigt der folgende Beweis,
% da"s jeder Funktor, der einen Rechtsadjungierten besitzt, 
% mit Kolimites vertauscht, vergleiche \ref{KaAA}: 
% Unser Funktor ist in diesem Fall
% $\times Y$, und nach \ref{TKL} ist sein Rechtsadjungierter $\cal{C}( Y,\;)$.
%  Dual zeigt man auch, da"s jeder Funktor, 
% der einen Linksadjungierten besitzt, 
% mit Limites vertauscht.
% \end{Bemerkungl}
% \begin{proof}
%  Es reicht zu zeigen, da"s unsere Abbildung f"ur jeden topologischen
% Raum $Z$ auf den stetigen Abbildungen nach $Z$ 
% eine Bijektion in die Gegenrichtung induziert, wie in der oberen Horizontale
% des folgenden  Diagramms bereits angedeutet.
% $$
% \begin{array}{ccc}
% \op{Top}((\varinjlim X_i)\times Y,Z)&\sira& \op{Top}(\varinjlim(X_i\times
% Y),Z)\\[2mm]
% \wr\da&&\da\wr\\[2mm]
% \op{Top}(\varinjlim X_i,\cal{C}( Y,Z))&&\varprojlim \op{Top}( X_i\times
% Y,Z)\\[2mm]
% \sim\searrow&&\swarrow\sim\\[2mm]
% &\varprojlim \op{Top}( X_i,\cal{C}( Y,Z))&
% \end{array}$$
% \begin{displaymath}
% \xymatrix{
% \op{Top}((\op{col} X_i)\times Y,Z)\ar[d]_-\wr\ar[rr]^-{?\;\sim\;?} & % &\op{Top}(\op{col}(X_i\times
% Y),Z)\ar[d]^-\wr\\
% \op{Top}(\op{col} X_i,\cal{C}( Y,Z))\ar[dr]_-\sim & &\op{lim} \op{Top}( % X_i\times
% Y,Z)\ar[dl]^-\sim\\
% &\op{lim} \op{Top}( X_i,\cal{C}( Y,Z))&
% }
% \end{displaymath}
% Erkl"aren wir in diesem Diagramm
% die  Identifikationen nach unten zum Teil
% vermittels der  Adjunktion \ref{TKL} und zum Teil
% vermittels der  universellen Eigenschaft
%  von Kolimites, so kommutiert es, und das 
% zeigt, da"s auch seine  obere Horizontale 
% wie gew"unscht eine Bijektion ist.
% \end{proof}




\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}[\textbf{Limites und volltreue Funktoren}]
  Seien $D:\mathcal I\ra\mathcal C$ eine Darstellung eines K"ochers in einer
  Kategorie und 
  $V:\mathcal C\vra \mathcal C'$ ein volltreuer Funktor.
  Existiert dann der Limes von $V D$ und liegt im
  essentiellen Bild von $V$, so existiert auch der Limes von $D$ und
  der offensichtliche Morphismus ist ein Isomorphismus\label{LvFu} 
  $V(\op{lim}D)\sira \op{lim}(VD)$.
  Analoges gilt f"ur Kolimites.
\end{Ubung}
  

\begin{Ubunge}
  Gegeben ein CW-Komplex $X$ ist seine Homologie der Kolimes
  der Homologie seiner Skelette, in Formeln
  $$\colf_n{\op{H}}_q(X^{\leq n})\sira {\op{H}}_q(X)$$
  f"ur alle $q$. Hinweis: Man zeige zun"achst\label{HCW} 
  die analoge Aussage f"ur Ketten mit \eref{KoCW}{TM}
  und verwende dann die Exaktheit filtrierender Kolimites.
\end{Ubunge}
\begin{Ubung}
Gegeben ein Diagramm von Gruppen (oder abelschen Gruppen, oder
Ringen, oder Moduln) tr"agt sein Limes als Diagramm von
Mengen in nat"urlicher Weise die Struktur einer 
Gruppe (oder einer abelschen Gruppe,
oder eines Rings, oder eines Moduls) und wird mit dieser Struktur ein
Limes in der jeweiligen Kategorie.\label{liMGR} 
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Linksadjungierte  vertauschen mit Kolimites}]
   Seien  $L:\mathcal B\ra \mathcal C$ ein Funktor und 
$\mathcal I$ ein K"ocher und\label{KaAA} 
$X:\mathcal I\ra \mathcal B$ 
eine Darstellung unseres K"ochers. Existiert der Kolimes $\col X_i$ und
besitzt $L$  einen
Rechtsadjungierten, so machen auch die offensichtlichen Morphismen
$L(X_i)\ra L(\col X_i)$
die rechte Seite zu einem Kolimes der Darstellung $LX:\mathcal I\ra \mathcal C$.
Opponiert zeigt man, da"s Rechtsadjungierte mit Limites vertauschen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Partielle Linksadjungierte vertauschen mit Kolimites}]
  Seien genauer $R:\mathcal C\ra \mathcal B$ ein Funktor und 
$\mathcal I$ ein K"ocher und\label{KaAAp} 
$X:\mathcal I\ra \mathcal B$ 
eine Darstellung unseres K"ochers. Existiert der Kolimes $\col X_i$ und
ist der partielle Linksadjungierte $L:\mathcal B\dashrightarrow \mathcal C$ von $R$ bei
allen $X_i$ sowie bei $\col X_i$
definiert, so machen auch die offensichtlichen Morphismen
$L(X_i)\ra L(\col X_i)$
die rechte Seite zu einem Kolimes der Darstellung $LX:\mathcal I\ra \mathcal C$.
Opponiert zeigt man, da"s partielle Rechtsadjungierte mit Limites vertauschen.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}\label{PKLi}
  Ist $(X_i)$ eine Darstellung eines K"ochers in der Kategorie der
   topologischen R"aume und $Y$  lokal kompakt,
so liefert die offensichtliche Abbildung einen Hom"oomorphismus
von Kolimites
$$\op{col}(X_i\times Y)\;\sira\;  (\op{col} X_i)\times Y$$
Hinweis: \ref{KaAA} und  Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM}.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}\label{initt} 
  Sind bei einem Kolimes "uber ein mit einer angeordneten Menge  
indiziertes System topologischer R"aume alle
Morphismen des Systems initial, so auch die Morphismen der
R"aume unseres Systems in den Kolimes. Hinweis: \eref{nilL}{TS}.
\end{Ubung}



\begin{Ubung}
  Die Realisierung des vollen Simplex "uber einer nichtleeren Menge $E$ 
  ist stets zusammenziehbar. Hinweis: F"ur die Teilmenge
  $\Delta(E)\subset \op{Ens}(E,\DR)$ und ein Element $g\in \Delta(E)$
  betrachte man die Abbildung $[0,1]\times \Delta(E)\ra \Delta(E)$
  mit $(a,f)\mapsto ag+(1-a)f$ und zeige mit \ref{PKLi},
  da"s sie stetig ist.\label{VSZ} Weiter besitzt jeder Punkt sogar eine
  Umgebungsbasis aus offenen konvexen und mithin zusammenziehbaren Umgebungen.
\end{Ubung}
  \begin{Ubung}[\textbf{Transitivit"at von Limites und Kolimites}]
 Seien $\mathcal I$ und $\mathcal J$ K"o\-cher und\label{coco} 
sei $\mathcal B$ eine Kategorie und $X: \mathcal I\times\mathcal
J\ra\mathcal B$ eine Darstellung.
So ist, immer unter der Voraussetzung der Existenz unserer Kolimites,
der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus
$$\col _{\mathcal I\times\mathcal
J}X_{(i,j)}\sira \col_{\mathcal I}\left(\col _{\mathcal J}X_{(i,j)}\right)$$
Analoges gilt f"ur Limites.\end{Ubung}
  \begin{Ubung}[\textbf{Erweiterte Transitivit"at filtrierender Limites und Kolimites}]
    Sei eine  Kategorie $\mathcal I$ die Vereinigung einer in Bezug auf
    Inklusionen filtrierenden Familie von
    Unterkategorien $\mathcal I=\bigcup_{\alpha\in A}\mathcal I_\alpha$.
    So existiert
    f"ur ein von $\mathcal I$ indiziertes System, bei dem
    die Kolimites auf der linken Seite existieren, auch der Kolimes  der rechten Seite und der nat"urliche Morphismus ist ein Isomorphismus\label{tfcl}  
    $$\op{colf}_{\alpha\in A}\left(\op{col}_{i\in \mathcal I_\alpha}D_i\right)\sira\op{col}_{i\in \mathcal I}D_i$$
  \end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Hinreichendes Kriterium f"ur filtrierende Kolimites}]
  Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und
  $X:\mathcal I\ra\mathcal C$ ein filtrierendes System
  und $\psi=(\psi_i:X_i\ra D)$ ein Morphismus in das
  konstante System zu einem Objekt $D\in \mathcal C$.
  Man zeige:\label{KrKo}
   Gibt es
  einen Index $j$ und einen Morphismus $\varphi_j:D\ra C_j$ mit
  $\psi_j\circ \varphi_j=\op{id}_D$, so ist unser
  Morphismus $\psi$ ein Kolimes.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Vertauschen filtrierender Mengenkolimites mit Limites}]
  Filtrierende Kolimites von Mengen vertauschen mit endlichen
  Produkten, die offensichtlichen Abbildungen sind also stets Bijektionen
  $$\op{colf}_{i\in \mathcal I}(X_i\times\ldots\times Y_i)\sira
  \op{colf}_{i\in \mathcal I}(X_i)\times\ldots\times
  \op{colf}_{i\in \mathcal I}(Y_i)$$
  Allgemeiner zeige man, da"s filtrierende Kolimites
  von Mengen  mit Limites "uber
  endliche K"ocher vertauschen.\label{FiKoM} 
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Tensorprodukte vertauschen mit Kolimites}] In Formeln
liefert also die kanonische Abbildung einen Isomorphismus\label{KLT}
$$\col  (M_{i}\otimes_{R} N) \sira (\col M_{i})\otimes_{R} N$$
Hinweis: Man  beachte,
da"s $\otimes_R N$ einen Rechtsadjungierten besitzt, und wende \ref{KaAA} an.
\end{Ubung}


\begin{Ubunge}\label{VIKM} 
  Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ und $n\in \DN$ betrachte man die Kategorie
mit  $\op{Ab}(\DZ^n,G)$ als Objektmenge
 und Morphismen $\zeta:\varphi\ra\psi$ 
allen Gruppenhomomorphismen $\zeta: \DZ^n\ra \DZ^n$
mit $\psi\circ\zeta=\varphi$. Man zeige:
F"ur $n\geq 2$ ist die offensichtliche Abbildung
ein Isomorphismus
$$\op{col}_{\varphi} \DZ^n\sira G$$
mit dem "uber die Kategorie $\op{Ab}(\DZ^n,G)$ zu verstehenden Kolimes.
Man zeige weiter, da"s das f"ur $n\leq 1$ nicht mehr stimmt.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}[\textbf{Kolimes eines Systems aus Surjektionen}]
  Gegeben ein  filtrierendes\label{dLs} 
System $(M_i)$ von Gruppen, dessen s"amtliche Morphismen 
Surjektionen 
 sind, kann man 
den Kolimes auch  beschreiben, indem man ein $i$ festh"alt
und $M_i$ teilt durch die Vereinigung der Kerne aller 
$p:i\ra j$.
\end{Ubunge}

\begin{Ubunge}[\textbf{Tensorprodukt "uber filtrierendem Kolimes}]
 Mithilfe von \ref{dLs} zeige man:  
Gegeben ein filtrierendes System von Ringen\label{dLt} 
$R_i$ mit Kolimes $R$ und einen $R$-Rechtsmodul $M$ sowie einen
$R$-Linksmodul $N$ induziert die kanonische Abbildung einen
Isomorphismus
$$\colf_i (M\otimes_{R_i}N) \sira
M\otimes_{R}N$$
\end{Ubunge}




\begin{Ubung}\label{LH}
Sei der topologische Raum
 $X$
eine aufsteigende oder allgemeiner eine filtrierende Vereinigung
offener Teilmengen. In Formeln gelte also 
$X=\bigcup_{i\in I} U_i$ und f"ur je zwei Indizes  
$i,j\in I$ existiere ein Index $k\in I$ mit 
$U_i\subset U_k$ und $U_j\subset U_k$.
So induzieren die offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen
 $$\colf {\op{H}}_q(U_{i})\sira {\op{H}}_q(X)
\quad\text{ und }\quad\colf \pi_1(U_i,x)\sira \pi_1(X,x).$$ An zweiter
Stelle ist der Kolimes "uber alle $i$ mit
$x\in U_i$  gemeint. 
\end{Ubung}




% \begin{Ubung}[\textbf{Rechtsadjungierte vertauschen mit Limites}]
%   Seien $R:\mathcal B\ra \mathcal C$ ein Funktor und 
% $\mathcal I$ ein K"ocher und\label{KaAAn} 
% $X:\mathcal I\ra \mathcal B$ 
% eine Darstellung. Existiert der Limes $\limf X(i)$ und
% besitzt $R$  einen
% Linksadjungierten, so machen auch die offensichtlichen Morphismen
% $R(\limf X(i))\ra R(X(i))$
% die rechte Seite zu einem Limes der Darstellung $RX:\mathcal I\ra \mathcal C$.
% \end{Ubung}














\begin{Ubunge}\label{BPRR}
Algebraisch Gebildete m"ogen zeigen, da"s in 
der Kategorie $\op{Kring}$ der Kringe beliebige Kolimites
existieren. Hinweis:
Man beginne mit der Existenz filtrierender Kolimites in Anlehnung an
\ref{EDLG}. Man erinnere die Existenz endlicher Koprodukte aus
\eref{TPRR}{KAG}. 
Man folgere die Existenz  beliebiger Koprodukte
als filtrierende Kolimites "uber alle endlichen Teilkoprodukte.
Schlie"slich gehe man noch geeignet zu Restklassenringen "uber.
\end{Ubunge}

\begin{Ubung}[\textbf{Exaktheitseigenschaften von Limites}]
Gegeben
eine linksexakte Sequenz  $M^\prime_i \hookrightarrow M_i \rightarrow M^{\prime\prime}_i$
von  Diagrammen\label{MiLe} 
abelscher Gruppen ist die Sequenz der  Limites auch eine linksexakte Sequenz
\begin{equation*}
\lim  M^\prime_i \hookrightarrow \lim
M_i \rightarrow \lim  M_i^{\prime\prime}
\end{equation*}
Sind unsere Diagramme indiziert durch $n\in \DN$, aufgefa"st als
K"ocher mit Pfeilen $(n\ra (n-1))$,
und besteht die  Sequenz aus
kurzen exakten Sequenzen 
$M^\prime_n \hookrightarrow M_n \sra M^{\prime\prime}_n$ und 
ist das linke System {\bf surjektiv} in dem Sinne,
da"s alle seine Morphismen
Surjektionen $M^\prime_n \sra M^\prime_{n-1}$ sind, so bilden  die
inversen Limites sogar eine kurze exakte Sequenz
\begin{equation*}
\limf_{ n} M^\prime_n \hookrightarrow \limf_{ n}
M_n \twoheadrightarrow \limf_{ n} M_n^{\prime\prime}
\end{equation*}
Man kann das auch noch allgemeiner zeigen unter der noch schw"acheren
sogenannten
{\bf Mittag-Leffler-Bedingung},\index{Mittag-Leffler!Bedingung von}
da"s in jedem $M'_n$ die absteigende Folge der Bilder der
$M'_j$ mit $j>n$ nach endlich vielen Schritten konstant wird,
etwa beim Bild von  $M'_{j(n)}$.
Hinweis: W"ahle $j(n)$ jeweils kleinstm"oglich.  
Gegeben ein Element des inversen Limes 
$(m''_n)$ w"ahle man zun"achst in der Mitte jeweils Urbilder
$m_n$ und davon ausgehend 
\glqq bessere\grqq\  Urbilder als die Bilder $\tilde{m}_n\in M_n$
der $m_{j(n)}$,
und "andere die $m_{j(n)}$
dann induktiv so ab, da"s die $\tilde{m}_n$
ein Element des inversen Limes werden.
\end{Ubung}
\begin{Ubunge}[\textbf{Exaktheitseigenschaften von Limites, Variante}]
Sei ein inverses System von\label{MiLeV}   
kurzen exakten Sequenzen  $M^\prime_\omega \hookrightarrow M_\omega \sra M^{\prime\prime}_\omega$
abelscher Gruppen "uber einer wohlgeordneten Menge $\Omega$ gegeben.
Ist das linke System {\bf transfinit surjektiv}\index{surjektiv!transfinit surjektives System} in dem Sinne, da"s  f"ur alle $\omega\in\Omega$
die offensichtlichen Abbildungen 
Surjektionen $M^\prime_\eta \sra \limf_{\omega<\eta} M^\prime_{\omega}$ liefern,
so bilden  die
inversen Limites eine kurze exakte Sequenz
\begin{equation*}
\limf_\omega M^\prime_\omega \hookrightarrow \limf_\omega
M_\omega \twoheadrightarrow \limf_\omega M_\omega^{\prime\prime}
\end{equation*}
Hinweis: Man orientiere sich am Fall der wohlgeordneten Menge $\DN$.
G"abe es f"ur eine vertr"agliche Familie
$(m_\omega'')$ kein Urbild, so g"abe es einen kleinsten Index $\eta$
derart, da"s 
 wir zu einem vorgegebenen vertr"aglichen System von Urbildern $(m_\omega)_{\omega< \eta}$
 kein m"ogliches $m_\eta$ finden k"onnten. Wieder reicht es auch aus,
 die {\bf transfinite Mittag-Leffler-Bedingung} anzunehmen, 
 da"s es f"ur jedes $\eta$ ein $\alpha\geq \eta$ gibt
 derart, da"s f"ur $\beta\geq \alpha$ die
 Bilder von $M'_\beta$ und $M'_\alpha$ in
 $\limf_{\omega<\eta} M^\prime_{\omega}$
"ubereinstimmen.
\end{Ubunge}

\begin{Beispiel}
Die kurzen exakten Sequenzen $ p^n\DZ\hra \DZ \sra \DZ/ p^n\DZ$
f"ur $p\neq 0$ liefern im inversen Limes keine kurze exakte Sequenz:
Die kanonische Abbildung $\DZ\ra \DZ_p$ von $\DZ$ in die $p$-adischen Zahlen
ist nicht surjektiv.
\end{Beispiel}


\begin{Ubung}[\textbf{"Ubergang zu den Schnitten der Bilder beim Limes}]
Gegeben ein Diagramm  $M_i$ abelscher Gruppen "uber einem K"ocher $\mathcal I$
betrachten wir das Unterdiagramm der
{\bf Schnitte der Bilder} gegeben durch\label{SchBB}  
$$S_i\pdef \bigcap_{j\ra i}\op{im}(M_j\ra M_i)$$
Man zeige, da"s die Einbettung dieses  Unterdiagramms auf den Limites 
einen Isomorphismus
$\lim S_i\sira \lim M_i$ induziert.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{"Ubergang zum bidualen Diagramm beim Limes}]
 Gegeben ein Diagramm $M_i$ von Vektorr"aumen
 "uber einem K"ocher $\mathcal I$ zeige man:\label{UBDS}  
Besteht das Unterdiagramm der Schnitte aller Bilder %nach \ref{SchBB}
aus endlichdimensionalen Untervektorr"aumen, gilt also in Formeln
 $\dim\bigcap_{j\ra i}\op{im}(M_j\ra M_i)<\infty$ f"ur alle $i$, 
so induziert die  Einbettung unseres  Diagramms in das
Diagramm der jeweiligen  Bidualr"aume einen Isomorphismus
$\lim M_i\sira \lim M_i^{\ast\ast}$. Hinweis: \ref{SchBB}.
\end{Ubung}




\begin{Ubung}[\textbf{Exakte Limites exakter Komplexe abelscher Gruppen}] 
Sei ein durch die nat"urlichen Zahlen indiziertes inverses 
System von exakten Komplexen
abelscher Gruppen gegeben. Sind alle  Morphismen unseres Systems
surjektiv, so ist\label{AzAg}  
auch der inverse Limes exakt.
Sind genauer alle Komplexe unseres inversen Systems exakt in
den Graden Null und Eins, so
ist der inverse Limes exakt im Grad Eins. Wir denken hier an obere Indizes,
das Differential erh"oht also den Grad.
Hinweis: Die Bilder fallen einerseits
mit den Zykeln zusammen und
bilden andererseits auch ein inverses System mit surjektiven Morphismen.
Nun wende man das Mittag-Leffler-Kriterium \ref{MiLe} an.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{AzAgV}
Sei ein durch eine wohlgeordnete Menge indiziertes inverses 
System von exakten Komplexen
abelscher Gruppen gegeben. Ist unser System an jeder Stelle \hyperref[MiLeV]{transfinit surjektiv}, so ist 
auch der inverse Limes exakt.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}\label{AzAgVV}
Sei ein durch eine wohlgeordnete Menge $\Omega$ indiziertes inverses 
System $X_\omega$ von Komplexen
abelscher Gruppen gegeben. Ist unser System an jeder Stelle $\omega\in\Omega$ \hyperref[MiLeV]{transfinit surjektiv} und ist an jeder
Stelle $\omega\in\Omega$ der Komplex der Kerne $\op{ker}(X_\eta\sra \limf_{\omega<\eta}X_\omega)$
exakt, so ist auch der  Limes exakt. Hinweis:
Wegen \ref{AzAgV} reicht es zu zeigen,
da"s alle unsere Komplexe $X_\omega$  exakt sind. Andernfalls gibt es
ein kleinstes $\eta$, f"ur das der Komplex $X_\eta$ nicht exakt ist, und mit
\ref{AzAgV} und der langen exakten Homologiesequenz landen wir bei einem
Widerspruch.
\end{Ubung}

% \begin{proof}[Beweis]
% Das ist eine elementare Diagrammjagd. 
% Sei $\ldots\ra S_i^{n-1}\ra S_i^{n}\ra\ldots$ der $i$-te Komplex.
% Gegeben f"ur 
% festes $n$ ein 
% Element $(s^n_i)_{i\in\Bbb{N}}$ des inversen Limes  aus dem Kern des 
% Randoperators konstruieren wir ein Urbild
% $(s^{n-1}_i)_{i\in\Bbb{N}}$, indem wir beginnend mit $i=0$  
% induktiv
% Urbilder $s^{n-1}_i$ der
% $s^n_i$ vertr"aglich w"ahlen.
% \end{proof}
\begin{Ubung}
Gegeben ein Morphismus von Systemen von Komplexen
abelscher Gruppen\label{AKIL} 
ist der  Limes der zugeh"origen Abbildungskegel der Abbildungskegel des
auf den  Limites induzierten Morphismus.
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Inverser Limes erh"alt manchmal Quasiisomorphismen}]
Sei gegeben ein Morphismus $u: X \rightarrow Y$ von 
durch $\mathbb N$ indizierten\label{QIL} 
inversen Systemen von Komplexen abelscher Gruppen. Im Diagramm 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\;&\;\ar@{.}[d] & \; \ar@{..}[d]&\; \\
 \;\ar@{..}[r]& X_1^n \ar[r]^{\partial}\ar[d] 
& X_1^{n+1} \ar[d]\ar@{..}[r] &\;\\
  \;\ar@{..}[r]& X_0^n \ar[r]^{\partial}
 &X^{n+1}_0\ar@{..}[r]&\; 
}
\end{displaymath}
deuten die vertikalen Pfeile 
die Morphismen des inversen Systems $X$ an.
Induziert $u_i :X_i\rightarrow Y_i$ f"ur alle $i\in \mathbb N$ 
Isomorphismen auf
der Kohomologie und sind alle Morphismen unserer 
inversen Systeme Surjektionen $X_i \twoheadrightarrow
X_{i-1}$,
$Y_i \twoheadrightarrow Y_{i-1}$, so induziert 
auch die im inversen Limes erhaltene Kettenabbildung
\begin{equation*}
\limf X_i \rightarrow \limf Y_i
\end{equation*}
Isomorphismen auf der Kohomologie. 
Hinweis: Es reicht, die Exaktheit des 
Abbildungskegels zu zeigen. Das gelingt mit
\ref{AKIL} und \ref{AzAg}. Nehmen wir feiner nur an, da"s
$u_i$ f"ur alle $i$ Isomorphismen auf $\mathcal H^0,\mathcal H^1$ und
$\mathcal H^2$ induziert, so folgt in derselben Weise, da"s die im inversen Limes erhaltene Kettenabbildung einen Isomorphismus auf $\mathcal H^1$ induziert. Dasselbe gilt, wenn wir inverse Limites "uber eine
allgemeinere
wohlgeordnete Menge bilden und unsere inversen Systeme $(X_i)$ und $(Y_i)$
transfinit surjektiv annehmen.
\end{Ubung}

\begin{Ubung}[\textbf{Vertauschen von inversem Limes und Homologie}]
Seien $R$ ein Ring und $X $ ein
durch $\mathbb N$ indiziertes\label{QILcc} 
inverses System $\ldots\sra X_1\sra  X_0$ von Komplexen
von $R$-Moduln mit surjektiven Systemmorphismen. Sei $q\in\DZ$ fest
gew"ahlt. 
Sind die $(q-1)$-ten Homologiegruppen unserer Komplexe alle 
artinsch, zum Beispiel
 endlichdimensionale Vektorr"aume oder endliche abelsche
Gruppen,
so liefert die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus 
$$\mathcal H^q(\limf X_i)\sira \limf \mathcal H^q(X_i)$$
Allgemeiner reicht es hier sogar zu fordern, da"s 
f"ur jedes feste $i$ die
Bilder von $\mathcal H^{q-1}(X_{j+i})\ra \mathcal H^{q-1}(X_i)$ f"ur
gro"se
$j$ stagnieren. Hinweis: Unter unserer Annahme
erf"ullen die inversen %projektiven
Systeme der $(q-1)$-Kozykel  die
Mittag-Leffler-Bedingung \ref{MiLe}. 
\end{Ubung}
\begin{Ubung}[\textbf{Quasiisomorphismus zum Limes der bidualen Komplexe}]
Seien $k$ ein K"orper und $X $ ein
durch $\mathbb N$ indiziertes\label{QILcj} 
inverses System $\ldots\sra X_1\sra  X_0$ von Komplexen
von $k$-Vektorr"aumen mit surjektiven Systemmorphismen. 
Sind bei festem $i$  die
Bilder von $\mathcal H^{q}(X_{j+i})\ra \mathcal H^{q}(X_i)$ 
 endlichdimensional f"ur
gro"se
$j$,
so induziert die offensichtliche Kettenabbildung 
$$\limf X_i\ra \limf X_i^{\ast\ast}$$
Isomorphismen auf der Kohomologie.
 Hinweis: \ref{QILcc} liefert schon einmal Isomorphismen $\mathcal H^{q}(\limf X_i)
\sira \limf(\mathcal H^{q} X_i)$.
Dann liefert \ref{UBDS} uns weiter Isomorphismen $ \limf(\mathcal H^{q} X_i)
\sira \limf((\mathcal H^{q} X_i)^{\ast\ast})$.
Andererseits liefert die Exaktheit des Dualisierens Isomorphismen
$(\mathcal H^{q} X_i)^{\ast\ast}\sira \mathcal H^{q}( X_i^{\ast\ast})$.
\end{Ubung}


% \begin{Ubung}[\textbf{Mengenfunktoren als Kolimites}]
%   Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ und ein Objekt
%   $F\in \mathcal C^\wedge=
%   \op{Cat}(\mathcal C^{\op{opp}},\op{Ens})$ bilde man die Kategorie
%   $\mathcal C/F$ mit Objekten Paaren $(X,\alpha)$ f"ur
%   $X\in\mathcal C$ und $\alpha\in F(X)$ und den hoffentlich
%   offensichtlichen Morphismen. Man zeige, da"s wir dann in
%   $\mathcal C^\wedge$ einen Isomorphismus\label{tautl} 
%   $$\op{col}_{(X,\alpha)\in \mathcal C/F} \hat X\sira F$$
%   erhalten vermittels der durch $\alpha\in F(X)\sira \mathcal C^\wedge(\hat X, F)$ gegebenen Morphismen. 
% \end{Ubung}






\subsection{Kompakte Kohomologie}
\begin{Bemerkungl}\label{KKTk}
Wir wollen 
 den Dualit"atssatz  von  Poincar\'{e} \ref{PD}  durch eine Art
\glqq Induktion
"uber die offenen Teilmengen\grqq\  beweisen und m"ussen dazu eine
Version dieses Satzes f"ur nicht notwendig kompakte
Mannigfaltigkeiten formulieren.
F"ur jeden
topologischen Raum $X$ erkl"aren wir
seine {\bf singul"are Kohomologie 
mit kompaktem Tr"ager}\index{Kohomologie!singul"are!mit 
kompaktem Tr"ager} oder kurz 
{\bf kompakte Kohomologie}\index{Kohomologie!kompakte} 
als den Kolimes
$${\op{H}}^{q}_{!} X \pdef \colf_K {\op{H}}^{q}(X,X\backslash K)$$
seiner 
relativen\index{H@${\op{H}}^{q}_{~!}$ Kohomologie 
mit kompaktem Tr"ager}  
Kohomologiegruppen
in Bezug auf die Komplemente kompakter Teilmengen.
Dieser Kolimes ist also zu verstehen "uber 
alle Kompakta $K\subset X$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Kompakte Kohomologie hat nur f"ur lokal kompakte
Hausdorffr"aume so gute Eigenschaften, da"s sie zu etwas nutze ist.
Ich will dennoch versuchen, im folgenden die jeweils ben"otigten Eigenschaften
der beteiligten R"aume in jedem Fall explizit dazuzuschreiben.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
  "Ublich ist f"ur kompakte\index{H@${\op{H}}^{q}_{c}$ kompakte Kohomologie} Kohomologie die
  Notation ${\op{H}}^{q}_{c} X$. Bei ihrer Verallgemeinerung zum
  \glqq Vorschub mit kompaktem Tr"ager\grqq\  hat sich aber schon lange die
  $!$-Notation durchgesetzt und beim unteren Index $c$ liegt auch immer die
  Fehlinterpretation als $c$-te Homologie nahe, weshalb ich die $!$-Notation
  bevorzuge.  Nat"urlich kann kompakte Kohomologie  auch mit
  Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $G$ definiert werden. Wir schreiben
  dann ${\op{H}}^{q}_{!} (X;G)$. Im weiteren Verlauf werden wir auch noch andere
  Kohomologietheorien wie de-Rham-Kohomologie und Garbenkohomologie einf"uhren. Wenn wir dann besonders betonen wollen, da"s
  singul"are Kohomologie gemeint ist, schreiben wir
   genauer ${\op{H}}^{q}_{!}
  (X;G)_{\op{sing}}$.\index{H@${\op{H}}^{q}_{~!}
    (X;G)_{\op{sing}}$ kompakte Kohomologie}
\end{Bemerkungl}


\begin{Beispiel}
  F"ur die kompakte Kohomologie  des $\DR^n$ gilt
$${\op{H}}^{q}_!(\DR^{n})\cong \left\{\begin{array}{ll}
\Bbb{Z} & q=n;\\
0 & \text{sonst}. \end{array}\right. $$
In der Tat bilden immer gr"o"sere B"alle um den Ursprung ein konfinales
System im System aller kompakten Teilmengen des $\DR^n$, und f"ur dieses
System wird der fragliche Kolimes aus \ref{KKTk} nach \ref{LKed} "uber ein System  aus
Isomorphismen gebildet und ist damit
leicht zu berechnen. Man beachte, da"s die
kompakte Kohomologie  insbesondere keine Homotopieinvariante ist.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
F"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ 
eines Hausdorffraums oder allgemeiner jede offene Einbettung $i:U\hra X$ von  Hausdorffr"aumen erhalten wir eine Abbildung,
die {\bf Ausdehnung durch Null}\index{Ausdehnung durch Null!in der 
singul"aren Theorie}\label{AdNs}\index{)7shriek@$f_{~!}$ Ausdehnung durch Null!in der 
singul"aren Theorie} 
$$i_!:{\op{H}}^{q}_{!}
U \ra {\op{H}}^{q}_{!}X$$ als Kolimes der Abbildungen 
${\op{H}}^{q}(U,U\backslash K) \sira
{\op{H}}^{q}(X,X\backslash K)\ra {\op{H}}^{q}_{!} X$, wo die ersten
Abbildungen die Inversen zu den Ausschneidungsisomorphismen meinen
und der Limes "uber alle Kompakta aus $U$ zu bilden ist. Die
Hausdorff-Eigenschaft
wird ben"otigt, um sicherzustellen, da"s unser Kompaktum $K$
abgeschlossen ist in $X$ und wir somit die Ausschneidungsisomorphismen 
zur Verf"ugung haben.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
F"ur jede eigentliche Abbildung $f:X\ra Y$ erhalten wir 
das {\bf eigentliche Zur"uckholen}\label{AdNsR}\index{)7shriek@$f^{~!}$ eigentliches Zur"uckholen!in der singul"aren Theorie}
$$f^!:{\op{H}}^{q}_{!}
Y \ra {\op{H}}^{q}_{!}X$$ durch
$\colf_L{\op{H}}^{q}(Y,Y\backslash L) \ra
\colf_L{\op{H}}^{q}(X,X\backslash f^{-1}(L))\ra \colf_K{\op{H}}^{q}(X,X\backslash K)$ alias das
Zur"uckholen in der relativen Kohomologie 
gefolgt von der Abbildung in den l"angeren Kolimes.
\end{Bemerkungl}






\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNc}\\[4mm]
\noindent 
Dieses Bild soll anhand der simplizialen Interpretation veranschaulichen,
da"s  
nur die zweite kompakte  Kohomologie  der Ebene nicht
verschwindet und da"s sie frei ist
vom Rang Eins "uber dem Koeffizientenring.
Der Korand eines Punktes ist die formale Summe aller \glqq orientierten aus 
ihm herauslaufenden Kanten\grqq. Es ist damit klar, da"s es au"ser der
Null keinen  Null-Simplizialkozykel gibt. Der Korand eines
orientierten Segments ist die Summe 
aller $2$-Simplizes, in deren Rand es liegt, mit einer durch
die Orientierung unseres Segments bestimmten Orientierung.
Man kann sich etwa mithilfe der dualen Zellenzerlegung 
 klarmachen, da"s alle Eins-Simplizialkozykel R"ander sind.
Schlie"slich sind alle 
$2$-Simplizialkoketten auch $2$-Kozykel und zwei $2$-Koketten sind
kohomolog genau dann, wenn die \glqq Zahl der darin vorkommenden 
orientierten $2$-Simplizes gleich ist, wobei  $2$-Simplizes 
mit entgegengesetztem Drehsinn  negativ zu z"ahlen sind\grqq.
\end{figure}
\begin{Bemerkungl}\label{DEWW}
Seien $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und
$\mathcal U$ eine offene "Uberdeckung von $X$.
Gegeben $K\subset X$ kompakt gibt es dann $U_1,\ldots,U_r\in\mathcal U$
und Kompakta $K_i\subset U_i$  mit $K=K_1\cup \ldots\cup K_r$. 
In der Tat besitzt ja jeder Punkt 
von $K$ eine Umgebung mit kompaktem und ganz in
einem "uberdeckenden 
$U\in\mathcal U$ enthaltenem Abschlu"s. Endlich viele dieser
Umgebungen "uberdecken $K$, und dann wird der Beweis
mit etwas Basteln zu Ende gebracht.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  [\textbf{Mayer-Vietoris-Sequenz f"ur ${\op{H}}^\ast_{!}$}]
    Ist ein Hausdorff\-raum $X$ Vereinigung
    von\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!f"ur ${\op{H}}^\ast_{~!}$} zwei offenen
    Teilmengen $X = U \cup V$ und sind
  $K\subset U$ und $L\subset V$ kompakt, so haben wir in \ref{KRMVS}
eine lange exakte Sequenz  
$${\op{H}}^{q}(X,X\backslash (K\cap L)) \ra {\op{H}}^{q}(X,X\backslash K) \oplus
{\op{H}}^{q}(X,X\backslash L) \ra {\op{H}}^{q}(X,X\backslash (K\cup L))\ra$$
konstruiert. Mit Ausschneidung und "Ubergang zum Kolimes
"uber alle $K$ und $L$ ergibt sich daraus mit \ref{DEWW}
f"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum 
eine lange exakte Sequenz\label{MVSHC}   
$$\ldots \ra {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (U) \oplus {\op{H}}^{q}_{!}(V)\ra
{\op{H}}^{q}_{!}(X) \ra {\op{H}}^{q+1}_{!}(U\cap
V)\ra\ldots$$
Sie hei"st die
{\bf Mayer-Vietoris-Sequenz} der kompakten Kohomologie.\index{Mayer-Vietoris-Sequenz!der kompakten Kohomologie}
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ erkl"aren 
wir den Komplex der {\bf singul"aren
 kompakten   Koketten}\index{singul"ar!kompakte Koketten} als\index{Koketten!singul"are  kompakte} 
den filtrierenden Kolimes\label{HUZT} 
  "uber alle Kompakta
\begin{equation*}
{\op{S}}^\ast_! X \pdef \colf_K {\op{S}}^\ast (X,X\backslash K)
\end{equation*}
der relativen Koketten. Er kann auch beschrieben werden als
der Komplex aller Koketten,
f"ur die es ein Kompaktum gibt derart, da"s sie auf allen
Simplizes verschwinden, die besagtes Kompaktum nicht treffen.
Wegen der Exaktheit filtrierender Kolimites berechnet dieser Komplex
die kompakte Kohomologie im Sinne von \ref{KKTk}. 
Wir erhalten
so in Formeln kanonische Isomorphismen
\begin{equation*}
\mathcal H^q {\op{S}}^\ast_! X \sira {\op{H}}^q_! X
\end{equation*}
% Man beachte, da"s unser Komplex von kompakten singul"aren Koketten 
% verschieden ist
% vom Dualen des Komplexes  $\mathrm S^!X$ der lokal endlichen Ketten. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Ich erinnere daran, da"s ein Simplizialkomplex nach \eref{SLEn}{TF}
{\bf lokal endlich}\index{lokal endlich!Simplizialkomplex} 
hei"st, wenn jede
seiner Ecken nur zu endlich vielen Simplizes geh"ort, und da"s
die geometrische Realisierung jedes lokal endlichen 
 Simplizialkomplexes lokal kompakt ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompakte simpliziale Kohomologie}]
Um  Anschauung f"ur die kompakte Kohomologie
 bereitzustellen,   erkl"are ich auch noch 
die simpliziale Bedeutung dieses Konzepts.
Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\cal{K}$ 
 k"onnen wir im 
Komplex der Simplizialkoketten aus \ref{KoSi}
einen Unterkomplex 
${\op{S}}^{\ast}_{!}
\cal{K}\subset {\op{S}}^{\ast}
\cal{K}$\index{S@${\op{S}}^{\ast}_{~!}
\cal{K}$ kompakte Simplizialkoketten}
bilden, indem wir   nur 
solche Abbildungen $f:\cal{K}_{q}^\leq\ra  \Bbb{Z}$ 
zulassen, die auf fast allen angeordneten
$q$-Simplizes 
verschwinden.
Wir nennen ihn den Komplex der
{\bf kompakten Simplizialkoketten 
}\index{Simplizialkokette!kompakte} 
und behaupten, da"s er bereits
die kompakte Kohomologie ${\op{H}}^{\ast}_{!} \Delta
(\cal{K})$ berechnet.
Nach \ref{KFin} k"onnen wir ja bei der Definition 
der kompakten Kohomologie  den
Kolimes ebenso gut "uber alle Teilmengen $K$ mit 
kompaktem Abschlu"s laufen lassen.
Wieder nach \ref{KFin} haben wir in unserem speziellen Fall auch
$${\op{H}}^{\ast}_{!}\Delta (\cal{K}) \sira
\colf_\cal{L}
 {\op{H}}^{\ast} (\Delta (\cal{K}), \Delta (\cal{L}))$$
mit dem Kolimes "uber alle Unterkomplexe $\cal{L} \subset \cal{K}$, f"ur die gilt 
$|\cal{K} \backslash \cal{L}| < \infty$.
Nach \ref{KoSi} in Verbindung mit dem 
F"unferlemma wird nun aber die relative Kohomologie
${\op{H}}^{\ast} (\Delta (\cal{K}), \Delta (\cal{L}))$ 
berechnet durch den Komplex
${\op{S}}^{\ast}(\cal{K}, \cal{L})$ der relativen
Simpli\-zialkoketten, den wir erkl"aren als den Kern der 
offensichtlichen Kettenabbildung
${\op{S}}^{\ast} \cal{K}
\twoheadrightarrow {\op{S}}^{\ast}\cal{L}$.
Bilden wir den Kolimes dieser Kerne, 
so erhalten wir gerade unseren Komplex
${\op{S}}^{\ast}_{!} \cal{K}$. Wegen der 
Exaktheit filtrierender Kolimites erhalten
wir so  Isomorphismen
$$\begin{array}{ccl}
\cal{H}^{q} \;{\op{S}}^{\ast}_{!} \cal{K} & \sira & 
\cal{H}^{q} \colf_\cal{L} 
{\op{S}}^{\ast} (\cal{K},\cal{L})\\[2mm]
 &\sira & \colf_\cal{L} 
\cal{H}^{q} \;{\op{S}}^{\ast} (\cal{K},\cal{L})\\[2mm]
 &\sira & \colf_\cal{L}  {\op{H}}^{q} (\Delta (\cal{K}),
\Delta (\cal{L}))\\[2mm]
 &\sira & {\op{H}}^{q}_{!} \Delta (\cal{K})
 \end{array}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompakte Kohomologie als Modul}] 
  Nach \ref{ModKk} ist f"ur jedes Raumpaar seine
  relative Kohomologie in nat"urlicher Weise ein Modul "uber
  dem Kohomologiering des gro"sen Raums. Durch "Ubergang zum Kolimes wird damit auch die\label{KoMofr} 
  kompakte Kohomologie jedes Raums  ein
  Modul "uber seinem Kohomologiering.
\end{Bemerkungl}

\subsubsection*{"Ubungen}

\begin{Ubung}\label{LHC}
Ist ein Hausdorffraum $X$
Vereinigung eines  Systems
offener Teilmengen $\cal{U}$ 
derart, da"s es f"ur je zwei Mengen aus $\cal{U}$ eine
weitere Menge aus $\cal{U}$ gibt, die sie beide umfa"st,
so induzieren die eben
erkl"arten Abbildungen einen
Isomorphismus  $\colf_{U\in\cal{U}} {\op{H}}^q_{!}(U)\sira {\op{H}}^q_{!}(X)$.
\end{Ubung}



  

\subsection{Lokalendliche Homologie*}

\begin{Bemerkungl}
Um zus"atzliche Anschauung f"ur die kompakte Kohomologie
bereitzustellen, will ich nun erkl"aren, in welcher Weise
ihr Dualraum in vielen F"allen als  
\glqq lokalendliche Homologie\grqq\
alias \glqq Borel-Moore-Homologie\grqq\ 
interpretiert werden kann. Ich selbst kann  mir 
Homologie besser vorstellen, deshalb hilft mir das.
Man beachte, da"s 
es sich in diesem Fall  andersherum verh"alt als bei
gew"ohnlicher Homologie und Kohomologie: Die lokalendliche Homologie
ist zwar f"ur 
lokal kompakte Simplizialkomplexe und 
K"orperkoeffizienten  der Dualraum der kompakten Kohomologie, 
die kompakte Kohomologie ist jedoch nur dann auch umgekehrt 
der Dualraum der lokalendlichen Homologie,
wenn sie endlichdimensional ist. In diesem Sinne scheint
mir die kompakte Kohomologie "ahnlich  grundlegend zu sein wie 
die Homologie.
\end{Bemerkungl}


\begin{Definition}
  Gegeben ein topologischer Raum $X$ erkl"aren wir die Gruppe
  $ {\op{S}}_q^! X
  $
  der\label{DBMo}
 {\bf lokalendlichen singul"aren $q$-Ketten}
als\index{lokalendlich!singul"are Kette} 
die\index{singul"are Kette!lokalendliche} 
Gruppe aller
  Abbildungen $\op{Top} (\Delta_q, X) \rightarrow \mathbb Z$ mit der
  Eigenschaft, da"s jeder Punkt $x \in X$ eine Umgebung $U$ besitzt derart,
  da"s nur endlich vielen singul"aren Simplizes
 $\sigma : \Delta_q \rightarrow X$ mit $\sigma
  (\Delta_q) \cap U \neq \emptyset$ eine von Null verschiedene Zahl zugeordnet
  wird.  
Der  Zusatz \glqq lokalendlich\grqq\  wirkt in diesem Fall
 also begriffserweiternd. 
Man "uberlegt sich leicht, da"s wir wie bei der Definition der
  Homologie Randoperatoren 
$$\partial : {\op{S}}^!_q X \rightarrow
  {\op{S}}^!_{q-1}X$$ 
erkl"aren k"onnen: Die lokale Endlichkeit unserer
  Ketten sorgt daf"ur, da"s beim Bilden der R"ander keine unendlichen Summen
  von Koeffizienten auftreten.  Die Homologiegruppen des Komplexes
  ${\op{S}}^! X$ der lokalendlichen singul"aren Ketten nennen wir die
  {\bf lokalendliche Homologie} und genauer die
{\bf singul"are lokalendliche Homologie}  oder auch die
{\bf Borel-Moore-Homologie von}
$X$\index{Borel-Moore-Homologie!singul"are}
 und\index{Borel-Moore-Homologie!singul"are}
notieren\index{lokalendliche Homologie!singul"are}
  sie\index{lokalendliche Homologie!singul"are}    
  \begin{Bild} 
 \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBMSt}\\[4mm]
 \noindent Ein lokalendlicher Eins-Zykel im topologischen Raum, der
 aus drei ins Unendliche laufenden von demselben Punkt
  ausgehenden Halbgeraden besteht.
Die erste lokalendliche Homologie ist frei vom Rang Zwei und wird 
erzeugt von dem hier gezeichneten Zykel zusammen mit seinen
beiden gedrehten Varianten. Die einzige Relation ist, da"s die Summe
dieser drei Erzeuger verschwindet.
\end{Bild}
 \begin{equation*}
  {\op{H}}^!_q X={\op{H}}^!_q (X)_{\op{sing}}   \pdef \mathcal H_q {\op{S}}^! X
  \end{equation*}
  Nat"urlich k"onnen wir diese Konstruktionen auch analog mit Koeffizienten in
  einer beliebigen abelschen Gruppe $G$ durchf"uhren. Wir erhalten so
  Kettenkomplexe ${\op{S}}^! (X; G)$, notieren deren Homologie
 $
    {\op{H}}^!_q (X;G)\pdef\mathcal H_q {\op{S}}^! (X;G)
  $
  und nennen sie die {\bf lokalendliche Homologie von $X$ mit Koeffizienten
  in} $G$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie und Notation}]
In der Literatur findet man meist andere Definitionen,
vergleiche etwa \cite{BoMo}, 
die zwar nicht immer, aber doch in allen mir bekannten 
Anwendungsf"allen dieselben 
Gruppen liefern. 
Die Bezeichnung als Borel-Moore-Homologie ist zwar "ublich,
schien mir aber weniger aussagekr"aftig, weshalb ich die Terminologie 
\glqq lokalendliche Homologie\grqq\ vorziehe.
Die Notation ${\op{H}}^!_qX$ ist un"ublich,
sie scheint mir jedoch praktisch und
ich kenne auch keine allgemein "ubliche Notation.
Die obige Definition liefert im allgemeinen eine Theorie mit ziemlich
schlechten formalen Eigenschaften. Sie ist jedoch zumindest meiner 
Anschauung gut zug"anglich und kann in interessanten Anwendungsf"allen
mit anderen Theorien identifiziert werden, die vielleicht weniger
anschaulich sind, daf"ur aber bessere formale Eigenschaften
haben. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation 
der lokalendlichen Homologie}]
  Gegeben ein lokal endlicher\label{Sibo} Simplizialkomplex $\mathcal K$ 
 k"onnen wir
den {\bf Komplex der lokalendlichen Simplizialketten}
  ${\op{S}}^!\mathcal K$ ganz analog bilden wie den Komplex der 
Simplizialketten\index{Simplizialkette!lokalendliche}
  ${\op{S}}\mathcal K$ aus \ref{SiKe}, indem wir eben auch unendliche formale
  Linearkombinationen von\label{KocSi}   
  Simplizes zulassen, in denen aber jeder einzelne durchnummerierte Simplex nur
  endlich oft vorkommen darf. Die Homologie dieses Komplexes
  nennen wir die 
{\bf simpliziale
  lokal endliche Homologie}\index{lokal endliche Homologie!simpliziale }
unseres lokal endlichen Simplizialkomplexes
und notieren sie $${\op{H}}_q^! \mathcal K\pdef \mathcal
  H_q {\op{S}}^! \mathcal K  $$ 
  Analog
  wie in \ref{sika} definieren wir auch den Komplex der lokalendlichen
  simplizialsingul"aren Ketten ${\op{S}}^{!\op{s}} 
\Delta (\mathcal K) \subset {\op{S}}^!\Delta (\mathcal
  K)$ und analog wie in \ref{UAh} die Kettenabbildung
  $
    {\op{S}}^{!\op{s}} \Delta (\mathcal K) \rightarrow {\op{S}}^! \mathcal K
  $ von den lokalendlichen simplizialsingul"aren Ketten in die lokalendlichen 
Simplizialketten.
\end{Bemerkungl}





  \begin{Satz}[\textbf{Simpliziale als singul"are lokalendliche Homologie}]
    F"ur jeden  lokalendlichen\label{SiIB} Simplizialkomplex $\mathcal K$
    induzieren die in \ref{Sibo} eingef"uhrten Kettenabbildungen 
${\op{S}}^! \mathcal K \leftarrow {\op{S}}^{!\op{s}} \Delta
    (\mathcal K) \hookrightarrow {\op{S}}^! \Delta (\mathcal K)$ 
 Isomorphismen auf
    der Homologie
    \begin{equation*}
      {\op{H}}^!_q \mathcal K \overset{\sim}{\leftarrow} 
\mathcal H_q {\op{S}}^{!\op{s}} \Delta (\mathcal K)
      \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^!_q \Delta (\mathcal K)
    \end{equation*}
 \end{Satz}
\begin{proof}
Alle in diesem Satz 
auftauchenden Gruppen, Komplexe et cetera zerfallen in ein Produkt "uber
die Zusammenhangskomponenten unseres Simplizialkomplexes,
den wir deshalb ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit zusammenh"angend und
damit abz"ahlbar annehmen d"urfen.
Wir k"onnen unseren Simplizialkomplex 
dann als Vereinigung einer aufsteigenden Folge
$\mathcal K_0 \subset \mathcal K_1 \subset \ldots $ endlicher Teilkomplexe
schreiben derart, da"s $\mathcal K_{n+1}$ 
jeweils alle Simplizes umfa"st, die Simplizes
aus $\mathcal K_n$ treffen.
Wir betrachten nun die Unterkomplexe 
$\mathcal L_n$ aller Simplizes von $\mathcal K$,
die keinen Simplex von $\mathcal K_n$ treffen, 
und bilden das kommutative Diagramm mit
exakten Spalten
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{S}}\mathcal L_n \ar@{^{(}->}[d] 
&\ar[l]{\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal L_n)\ar@{^{(}->}[d]
\ar@{^{(}->}[r]& {\op{S}}\Delta (\mathcal L_n) \ar@{^{(}->}[d]\\
{\op{S}}\mathcal K \ar@{->>}[d] 
& {\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal K) \ar@{->>}[d] \ar[l] 
\ar@{^{(}->}[r] & {\op{S}}\Delta (\mathcal K) \ar@{->>}[d]\\
{\op{S}} \mathcal K / {\op{S}} \mathcal L_n 
& {\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal K)/{\op{S}}^{\op{s}} \Delta (\mathcal L_n)
\ar[l]\ar[r] & {\op{S}}(\Delta (\mathcal K), \Delta (\mathcal L_n))
}
\end{displaymath}
Nach \ref{SH} induzieren die Horizontalen 
oben und in der Mitte Isomorphismen auf der
Homologie, nach dem F"unferlemma und der 
langen exakten Homologiesequenz gilt das
also auch f"ur die Horizontalen unten.
Gehen wir in der unteren Horizontale zum 
inversen Limes "uber, so erhalten wir gerade
die Morphismen von Komplexen
\begin{equation*}
{\op{S}}^! \mathcal K \leftarrow {\op{S}}^{!\op{s}} 
\Delta (\mathcal K) \rightarrow {\op{S}}^! \Delta (\mathcal K)
\end{equation*}
aus unserem Satz, denn
die Komplemente der $\Delta (\mathcal L_n) $ 
sind final im System aller Teilmengen von
$\Delta (\mathcal K)$ mit kompaktem Abschlu"s.
Da alle System-Morphismen der fraglichen inversen Systeme Surjektionen
sind, folgt die Behauptung  nun aus "Ubung \ref{QIL}, nach der
gewisse inverse Limites von Quasiisomorphismen von Kettenkomplexen
wieder Quasiisomorphismen sind.
\end{proof}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildNcneu}\\[4mm]
\noindent 
Graphische Darstellung derjenigen 
Simplizialkette,
die f"ur die ebenfalls dargestellte Triangulierung der Ebene den 
Fundamentalzykel in Bezug auf eine  geeignete Orientierung 
repr"asentiert. Man mache sich auch anschaulich klar, da"s 
die lokalendliche Homologie der Ebene in allen von Zwei verschiedenen Graden
verschwindet.
\end{figure}

\begin{Proposition}[\textbf{Verschwinden der nullten lokalendlichen Homologie}]
  Sei $X$ ein lokal kompakter lokal wegzusammenh"angender
  abz"ahlbar basierter zusammenh"angender Hausdorffraum. Ist $X$ nicht kompakt,
  so gilt ${\op{H}}^!_0(X;G)=0$ f"ur jede abelsche Gruppe $G$.\label{VnlH} 
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Salopp gesprochen gilt es, jedem Punkt einen Weg aufzuzeigen, auf dem er ins
  Unendliche fliehen kann, ja f"ur jede lokalendliche Familie von Punkten
  einen Fluchtplan aufzustellen, bei dem sie sich nicht gegenseitig zu Tode trampeln. Diese Grundidee wird nun ausgef"uhrt. Ich erinnere daran, da"s
  jede  Zusammenhangskomponente eines lokal
  wegzusammenh"angenden Raums offen und
  wegzusammenh"angend ist. Wir gehen in Schritten vor. 
  \\[2mm]\noindent 1.
  Gegeben ein Kompaktum $K\subset X$ finden wie eine nichtleere offene Menge
  $U\co X$ mit kompaktem Abschlu"s $\bar U$ und mit $K\subset U$. 
  Alle Komponenten von
  $X\backslash K$ treffen $U$, sonst w"are $X$ nicht zusammenh"angend,
  da wir $U\neq \emptyset$ angenommen hatten.
  Alle Komponenten liegen entweder in $U$ oder
  treffen $\partial U$, sonst w"aren sie selbst nicht zusammenh"angend, da auch $X\backslash \bar U$ nicht leer ist, da wir ja $X$ nichtkompakt  angenommen hatten.
  Von den Komponenten, die nicht in  $U$ liegen, "uberdecken 
  endlich viele das Kompaktum  $\partial U$. Das m"ussen dann auch bereits alle Komponenten gewesen sein, die dieses Kompaktum treffen alias die nicht
  in $U$ enthalten sind. Vereinigen wir $\bar U$ mit den Abschl"ussen aller
  nicht in $U$ enthaltenen Komponenten mit kompaktem Abschlu"s, enthalten wir also wieder ein Kompaktum $L$ und finden eine offene Menge
  $V\co X$ mit $\bar V$ kompakt und $V\supset L$.
  Gegeben ein Kompaktum in einer offenen Menge $K\subset U\co X$
  mit $\bar U$ kompakt haben wir so eine offene Menge $V\co X$ gefunden mit $\bar V$ kompakt,  $V\supset U$ und $V\supset \bar Z$
  f"ur
  jede Komponente $Z$ von $X\backslash K$ mit kompaktem Abschlu"s.
\\[2mm]\noindent 2. 
Da $X$ abz"ahlbar basiert ist, finden wir mit dem ersten Schritt des Beweises
induktiv 
eine "Uberdeckung von $X$  durch eine aufsteigende
  Folge $ V_0\subset V_1\subset\ldots$ 
  offener Teilmengen  mit $\bar V_i$ kompakt  und $\bar V_i\subset V_{i+1}$ und 
  derart, da"s f"ur alle Komponenten $Z$  von $X\backslash \bar V_i$
  mit kompaktem Abschlu"s gilt $\bar Z\subset V_{i+1}$. Um Sonderf"alle der
  Notation zu vermeinden, setzen wir $V_{-1}=V_{-2}=\ldots =\emptyset$. 
  \\[2mm]\noindent 3. Jeder Punkt $p\in X\backslash \bar V_i$ liegt
  in einer Komponente $Z$ von  $X\backslash \bar V_{i-1}$ mit $\bar Z$ nichtkompakt. Er kann folglich durch einen Weg in $X\backslash \bar V_{i-1}$
  mit einem Punkt aus  $X\backslash \bar V_{i+1}$ verbunden werden. Damit ist klar, da"s f"ur jede Gruppe von Koeffizienten jede lokalendliche Nullkette der Rand einer lokalendlichen Einskette ist.   
\end{proof}




\begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale lokalendliche Homologie als Dualraum}]
Gegeben ein lokal endlicher Simplizialkomplex $\mathcal K$ 
   erhalten wir unmittelbar einen Isomorphismus von Kettenkomplexen
  \begin{equation*}
    {\op{S}}^! \mathcal K \overset{\sim}{\rightarrow} 
    ({\op{S}}^\ast_! \mathcal K{\Rrightarrow}\DZ[0])
  \end{equation*}
  des Komplexes der lokalendlichen Simplizialketten
aus \ref{Sibo} 
mit dem Dualen des Komplexes der Simplizialkoketten mit kompaktem Tr"ager, 
der also in gewisser Weise das fundamentalere Objekt ist.
Das zeigt insbesondere, da"s im Fall von K"orperkoeffizienten
die lokalendliche Homologie lokal endlicher Simplizialkomplexe 
der Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager ist. In \ref{BMHD} 
zeigen wir eine analoge Aussage f"ur etwas allgemeinere R"aume. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Beziehung zwischen lokalendlicher  und
    gew"ohnlicher Homologie}] 
Wir haben stets kanonische Kettenabbildungen ${\op{S}} X \rightarrow
  {\op{S}}^!X$ und davon induzierte Gruppenhomomorphismen 
${\op{H}}_q X \rightarrow
  {\op{H}}^!_{q}X$. F"ur $X$ kompakt sind 
diese Abbildungen offensichtlich Isomorphismen.\label{BMHH}  
F"ur %jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ und 
jedes Kompaktum $K\subset X$
haben wir weiter eine offensichtliche Kettenabbildung  
${\op{S}}^! X \rightarrow
    {\op{S}} (X,X \backslash K)$ und damit kanonische Abbildungen 
$${\op{H}}^!_q X\ra {\op{H}}_q (X,X \backslash K)$$
auf der Homologie. 
Schalten wir unsere kanonischen Abbildungen ${\op{H}}_q X \rightarrow
  {\op{H}}^!_{q}X$ davor, so ergeben sich die "ublichen Abbildungen
${\op{H}}_q X \rightarrow{\op{H}}_q (X,X \backslash K)$, die demnach
f"ur kompaktes $K$ "uber die lokalendliche Homologie 
faktorisieren.
\end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl}
  Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ liefern die Abbildungen
 ${\op{S}}^! X \rightarrow
    {\op{S}} (X,X \backslash K)$ aus
  \ref{BMHH} Isomorphismen\label{BMLL} 
  \begin{equation*} {\op{S}}^!_q X \sira \limf_K
    {\op{S}}_q (X,X \backslash K)
  \end{equation*}
  Der inverse Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu verstehen.
In der Tat k"onnen  in diesem Fall die lokalendlichen Ketten auch
beschrieben werden als 
  Abbildungen $\op{Top} (\Delta_q, X) \rightarrow \mathbb Z$ mit der
  Eigenschaft, da"s f"ur jedes Kompaktum 
$K\subset X$ 
nur endlich vielen der $\sigma : \Delta_q \rightarrow X$ mit $\sigma
  (\Delta_q) \cap K\neq \emptyset$ eine von Null verschiedene Zahl zugeordnet
  wird. 
\end{Bemerkungl}






\begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"aten der lokalendlichen Homologie}] 
  Die lokalendliche Ho\-mologie ist keineswegs homotopieinvariant, ja  nicht
  einmal in dem von der Homologie gewohnten Sinne funktoriell.  Vielmehr
  erh"alt man nur f"ur eigentliche Abbildungen von 
lokal kompakten Hausdorffr"aumen,
nach \eref{SLOK}{TM} also den
stetigen Abbildungen  $f: X \rightarrow Y$, 
bei denen das Urbild jedes 
Kompaktums kompakt ist, auch 
 Abbildungen $f_!: {\op{S}}^!  X\rightarrow
 {\op{S}}^!  Y$ auf den lokalendlichen Ketten und
 Abbildungen\label{VoLE}\index{)7shriek@$f_{~!}$!eigentlicher Vorschub}
 $$f_! :
 {\op{H}}^!_q X \rightarrow {\op{H}}^!_q Y$$ auf der lokalendlichen Homologie,
 den {\bf eigentlichen Vorschub}.\index{Vorschub!eigentlicher}\index{eigentlich!Vorschub} 
  Mit etwas mehr M"uhe kann man f"ur die lo\-kal\-end\-li\-che Homologie von
  abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffr"aumen auch noch einen
  offenen R"uckzug konstruieren, vergleiche \eref{ofrz}{TSS}.
   Im Rahmen der
  Garbenkohomologie konstruieren wir in \eref{Floe}{TSS} f"ur die lokalendliche Homologie sogar einen
  mannigfaltigen R"uckzug.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
  Die wesentliche Bedeutung der lokalendlichen Homologie liegt darin, da"s 
in ihr auch f"ur orientierte Mannigfaltigkeiten, die  abz"ahlbar basiert aber nicht notwendig kompakt
sind, ein
\glqq Fundamentalzykel\grqq\  erkl"art werden kann, vergleiche \ref{FuBM}.
Noch st"arker gelingt das sogar
f"ur \glqq Pseudomannigfaltigkeiten, bei denen die Singularit"aten erst
in Kodimension Zwei beginnen\grqq, und damit insbesondere f"ur mit ihrer 
analytischen Topologie versehene
komplexe algebraische Variet"aten. Das  besprechen wir
aber hier nicht weiter.
\end{Bemerkungw}




\begin{Proposition}[\textbf{Lokalendliche Homologie und Orientierungsgarbe}]
Gegeben eine abz"ahlbar basierte  
$n$-Mannig\-fal\-tig\-keit $M$  liefern\label{GBM}
die Abbildungen aus \ref{BMHH} einen Isomorphismus 
$${\op{H}}^!_{n}M\sira \Gamma M$$ 
zwischen ihrer $n$-ten lokalendlichen Homo\-lo\-gie 
und dem Raum der globalen Schnitte ihrer Orientierungsgarbe aus \ref{SOG}.
\end{Proposition}
\begin{Definition}
Ist $(M,\omega)$ eine abz"ahlbar basierte orientierte Mannigfaltigkeit,\label{FuBM} 
so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $[M]^!\in {\op{H}}^!_{n}M$
mit $[M]^!\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$.
Dies Element $[M]^!$\index{$[M]^{~!}$ Fundamentalzykel} hei"st der {\bf Fundamentalzykel}
der\index{Fundamentalzykel!in der lokalendliche Homologie}
orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen
eigentlich gar kein Zykel ist sondern vielmehr eine Homologieklasse
in der lokalendlichen Homologie. 
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] 
  Ist $M$ sogar kompakt,
  so haben wir ${\op{H}}_{q}M={\op{H}}^!_{q}M$ und $[M]=[M]^!$.
  Ich will begründen, warum  wir dennoch die neue Notation $[M]^!$ einf"uhren. 
 Gegeben $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $M\As X$ eine
  Teilmenge, die mit der induzierten Topologie eine kompakte 
  $q$-Mannigfaltigkeit ist, und ist eine Orientierung auf $M$ gegeben,
  so wollen wir unterscheiden zwischen $i_![M]^!\in  {\op{H}}^!_{q}X$
  und $i_*[M]\in  {\op{H}}_{q}X$ und wollen f"ur diese Klassen die
  abk"urzenden Notationen  $[M]^!\in  {\op{H}}^!_{q}X$
  und $[M]\in  {\op{H}}_{q}X$ verwenden.
  Wir verwenden die Abk"urzung $$[M]^!=i_![M]^!\in  {\op{H}}^!_{q}X$$
  auch allgemeiner, wenn $M\As X$ eine
   abz"ahlbar basierte nicht notwendig kompakte 
  $q$-Mannigfaltigkeit ist.\label{FuBMv} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkunge}[\textbf{Bedeutung der  Annahme abz"ahlbar basiert}] 
  Die Annahme  der Existenz einer abz"ahlbaren 
Basis der Topologie  in \ref{GBM} ist wesentlich.
Um das zu sehen, betrachte man  die
Alexandroff'sche Halbgerade $A$ mit ihrer Anordnung 
nach \eref{AlHg}{AL} und nehme als $M$ das Komplement ihres kleinsten
Elements.
Ich will kurz skizzieren, wie  die Annahme der Existenz eines 
lokalendlichen Fundamentalzykels in diesem Fall einer nicht abz"ahlbar basierten
Mannigfaltigkeit
zum Widerspruch f"uhrt.
In der Tat ist $A$ nach \eref{FKNU}{AL} folgenkompakt, als da hei"st, jede
unendliche Teilmenge hat einen H"aufungspunkt.
Die Endpunkte aller  $1$-Simplizes, 
die mit von Null 
verschiedenem Koeffizienten in einem lo\-kal\-end\-li\-chen 
Fundamentalzykel vorkommen,
bilden nun sicher eine Teilmenge von $M$ ohne obere Schranke in $M$.
Es gibt also zu einem festen Punkt $x\in M$ unendliche viele
solcher Endpunkte, die gr"o"ser sind. Diese m"ussen dann einen H"aufungspunkt
in $M$ haben und das steht
im Widerspruch zur lokalen Endlichkeit unseres Zykels.
\end{Bemerkunge}
\begin{proof}[Beweis von Proposition \ref{GBM}]  
Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ erinnern wir aus \ref{BMLL} die Isomorphismen
  $ {\op{S}}^!_q X \sira \limf_K
    {\op{S}}_q (X,X \backslash K)$.
  Der  Limes ist dabei "uber alle Kompakta $K \subset X$ zu
  verstehen. 
  Nehmen wir zus"atzlich $X$ abz"ahlbarer basiert
 an, so existiert sogar
  eine "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen
  Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset
  X$, und da die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von
  $X$, haben wir ebenso
  \begin{equation*} {\op{S}}_q^! X \sira \limf_i
    {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)
  \end{equation*}
 Dieses  inverse  System besteht offensichtlich aus Surjektionen
 und  dasselbe gilt a forteriori f"ur das 
 System von R"andern ${\op{B}}_{q-1} (X, X\backslash \bar{U}_i)$.  
Ist nun zus"atzlich $X =M$ eine
  $n$-Mannigfaltigkeit, so liefert Satz \ref{HHM} "uber die hohe Homologie von
  Mannigfaltigkeiten ${\op{H}}_{n+1} (M, M\backslash \bar{U}_i) =0$,  folglich
  haben wir ${\op{B}}_{n+1} (M, M \backslash \bar{U}_i) = {\op{Z}}_{n+1} (M,M
  \backslash \bar{U}_i)$ und die $(n+1)$-Zykel 
bilden auch ein inverses System aus Surjektionen. Mit dem
Mittag-Leffler-Kriterium
  \ref{MiLe} f"ur die
 Exaktheit inverser Limites folgt sowohl die Surjektivit"at der
  offensichtlichen Abbildung
  \begin{equation*}
    \limf_i {\op{S}}_{n+1}
    (M, M \backslash \bar{U}_i) \twoheadrightarrow
    \limf_i
    {\op{B}}_n (M, M \backslash \bar{U}_i)
  \end{equation*}
  als auch die Exaktheit von
  \begin{equation*}
    \limf_i {\op{B}}_n
    (M,M \backslash \bar{U}_i) \hookrightarrow 
    \limf_i
    {\op{Z}}_n (M, M /\bar{U}_i )\twoheadrightarrow 
     \limf_i {\op{H}}_n (M,M \backslash \bar{U}_i)
  \end{equation*}
  Unsere erste Surjektivit"at erlaubt uns die Identifikation der ersten Gruppe
  dieser kurzen exakten Sequenz mit 
$\cal{B}_n{\op{S}}^!  M$ und die Linksexaktheit
  inverser Limites erlaubt die Identifikation der Mitte unserer Sequenz mit
  $\cal{Z}_n{\op{S}}^!  M$, so da"s wir schlie"slich 
f"ur jede abz"ahlbar basierte $n$-Mannigfaltigkeit
  einen Isomorphismus
  \begin{equation*} {\op{H}}^!_n M
    \sira \limf_i {\op{H}}_n (M,M \backslash
    \bar{U}_i)
  \end{equation*}
  erhalten.  
Bis hierher  war das im wesentlichen die L"osung von
 "Ubung \ref{QILcc}  in unserem Spezialfall.
Beachten wir nun die Isomorphismen
  $
    {\op{H}}_n (M,M \backslash A) \sira \Gamma A
  $
  f"ur $A \subset M$ kompakt aus dem Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie von
  Mannigfaltigkeiten, so erhalten wir den gew"unschten Isomorphismus
  $ {\op{H}}^!_n M \sira \Gamma M
  $ wegen $\Gamma M
  \sira
  \limf_i
  \Gamma \bar{U}_i$. Diese letzte Identit"at sieht man zum Beispiel ein,
indem man sich "uberlegt, da"s sowohl die $\bar{U}_i$ als auch die ${U}_i$
final sind im System aller Teilmengen von $X$ mit kompaktem Abschlu"s.
\end{proof}




% \begin{Definition}\label{FuBMn}%\label{FuBM}
% Ist $(M,\omega)$ eine abz"ahlbar basierte orientierte Mannigfaltigkeit,
% so gibt es nach Proposition \ref{GBM} genau ein $\omega_M\in {\op{H}}^!_{n}M$
% mit $\omega_M\mapsto \omega_x$ f"ur alle $ x\in M$.
% Dies $\omega_M$ hei"st der {\bf Fundamentalzykel}
% der\index{Fundamentalzykel!in der lokal endliche Homologie}
% orientierten Mannigfaltigkeit $M$, obwohl es genau genommen
% eigentlich gar kein Zykel ist, sondern vielmehr eine Homologieklasse
% in der lokal endliche Homologie.
% \end{Definition}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Interpretation des Fundamentalzykels}] 
  Sei ein Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer nicht
  notwendig kompakten abz"ahlbar basierten orientierten $n$-Mannigfaltigkeit.
Der Fundamentalzykel von $\Delta ({\mathcal K})$ im Sinne von
\ref{FuBM} hat wegen \ref{SiIB} genau einen Repr"asentanten 
in der Gruppe der lokalendlichen $n$-Simplizialketten. F"ur $n\geq 1$
kann dieser Repr"asentant  beschrieben werden als die
  formale Summe "uber alle $n$-Simplizes, jeweils  mit\label{FuZY} 
einer  Anordnung versehen, die
mit der gew"ahlten  Orientierung 
in der Weise vertr"aglich ist, da"s eben
  $\omega|_x \in {\op{H}}_n (\Delta (\mathcal K), \Delta
  (\mathcal K)\backslash x)$ an jeder Stelle $x$ die vorgegebene
  Orientierung liefert.  Im Fall $n= 0$ einer nulldimensionalen
Mannigfaltigkeit ist dieser Repr"asentant  
dahingegen die formale Summe aller ihrer Punkte
mit den durch die Orientierung gegebenen Vorzeichen.
\end{Bemerkungl}



  \begin{Definition}
   Ein  Raum $X$ hei"se 
{\bf  kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} 
f"ur\index{kompaktrelativ homologisch $q$-endlich} 
eine nat"urliche Zahl  $q\geq 0$, wenn f"ur jedes Paar
    $K\subset W\co X$ von Teilmengen  mit $K$ kompakt und $W$ 
offen in $X$ 
die offensichtliche Abbildung\label{vern} $$ \mathrm H_q (X, X \backslash W) \rightarrow \mathrm
    H_q (X, X\backslash K) $$ endlich erzeugtes Bild hat. Er hei"se 
  {\bf kompaktrelativ homologisch  endlich}, wenn er 
homologisch kompaktrelativ  $q$-endlich ist f"ur alle $q$. 
  \end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Es gibt auch offensichtliche Varianten dieses Begriffs f"ur allgemeinere
Koeffizientenringe, die wir in diesem Zusammenhang stets
kommutativ und noethersch voraussetzen wollen.
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiele}
F"ur alle $n$ ist der $\DR^n$  nach
 \ref{EEHH} kompaktrelativ homologisch endlich.  Allgemeiner ist nach
 \ref{EEHHb}  die geometrische Realisierung  
eines lokal endlichen Simplizialkomplexes
stets kompaktrelativ homologisch endlich.
Jede offene Teilmenge eines 
kompaktrelativ homologisch  $q$-endlichen Raums ist auch 
selbst wieder kompaktrelativ homologisch  $q$-endlich. 
\end{Beispiele}

\begin{Proposition}
  Jeder lokal kompakte Hausdorffraum, der eine "Uberdeckung durch offene 
 kompaktrelativ\label{krLO} 
 homologisch endliche Teilmengen besitzt, ist bereits selbst 
 kompaktrelativ homologisch endlich. 
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Jedes Kompaktum kann durch endlich viele offene Teilmengen "uberdeckt werden.
Die Proposition folgt so  aus dem anschlie"senden Lemma \ref{verK}. 
\end{proof}




% \begin{Lemma} 
% Sei $q\geq 0$ gegeben.
% Ist ein lokal kompakter
% Hausdorffraum  kompaktrelativ homologisch  $(q+1)$-endlich und besitzt darin
% jeder Punkt  eine offene  kompaktrelativ homologisch  $q$-endliche
% Umgebung, so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch 
%  $q$-endlich.\label{verK} 
% \end{Lemma}


\begin{Lemma} 
Sei $q\geq 0$ gegeben.
Ist ein lokal kompakter
Hausdorffraum "uberdeckt von zwei offenen
 kompaktrelativ homologisch  $q$-endlichen Teilmengen mit 
  kompaktrelativ homologisch  $(q+1)$-endlichem Schnitt, 
so ist bereits der ganze Raum kompaktrelativ homologisch 
 $q$-endlich.\label{verK} 
\end{Lemma}

\begin{proof}
%   Es reicht zu zeigen, da"s unter den gegebenen Voraussetzungen 
% die Vereinigung je zweier offener kompaktrelativ homologisch  $q$-endlicher Teilmengen wieder kompaktrelativ 
% homologisch $q$-endlich ist.
Sei  $X$ unser Raum und seien $V_1, V_2 \co X$ zwei 
kompaktrelativ homologisch $q$-endliche offene
Teilmengen mit Vereinigung $V_1 \cup V_2 =X$. 
Seien $K \subset W \co X$ 
gegeben mit $K$ kompakt. Es gilt zu zeigen, da"s das Bild von
\begin{equation*}
 \mathrm H_q (X,X \backslash W) \rightarrow \mathrm H_q (X,X\backslash K)
\end{equation*}
endlich erzeugt ist. Jeder Punkt von $K$ besitzt eine kompakte Umgebung, die
entweder ganz in $V_1 \cap W$ oder ganz in $V_2 \cap W$ liegt.
Wir finden also Kompakta $K_i \subset V_i \cap W$ mit $K = K_1 \cup K_2$.
Offensichtlich finden wir weiter $U_i \co X$ mit
\begin{equation*}
 K_i \subset U_i \subset \bar{U}_i \subset V_i \cap W
\end{equation*}
und $\bar{U}_i$ kompakt.
Mit der Abk"urzung $\mathrm H_q(\backslash Y)\pdef \mathrm H_q(X,X\backslash
Y)$
f"ur Teilmengen $Y\subset X$ 
 erhalten wir nun ein kommutatives Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&{\mathrm H_q(\backslash K_1 \cup K_2) }&\ar[l] {\mathrm H_{q+1} ( \backslash K_1 \cap K_2)}\\
{\mathrm H_q ( \backslash \bar{U}_1) \oplus \mathrm H_q(\backslash \bar{U}_2)}&\ar[l] \ar[u]
{\mathrm H_q (\backslash\bar U_1 \cup \bar U_2)} & \ar[l]
{\mathrm H_{q+1} ( \backslash \bar U_1 \cap \bar U_2)}\ar[u]\\
\ar[u]{ \mathrm H_q ( \backslash W \cap V_1) \oplus \mathrm H_q ( \backslash W\cap V_2)} &\ar[u]\ar[l] 
{\mathrm H_q ( \backslash W)}
}
\end{displaymath}
Da $V_1$ und $V_2$ als kompaktrelativ homologisch  $q$-endlich angenommen waren, ist das Bild der linken Vertikale endlich erzeugt.
Da  $V_1\cap V_2$  kompaktrelativ homologisch $(q+1)$-endlich
angenommen war, ist auch das Bild der rechten Vertikale endlich erzeugt. 
Als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz ist die mittlere Horizontale exakt.
Mit \ref{GEZZ} folgt dann, da"s auch die Verkn"upfung in der mittleren
 Vertikale endlich erzeugtes Bild hat.
\end{proof}






\begin{Korollar}[\textbf{Variante zum Satz von Wilder}\index{Wilder, 
Satz von!lokale Variante}]
Jede Mannigfaltigkeit ist kompaktrelativ homologisch endlich.\label{WilderV} 
Allgemeiner ist ein Hausdorffraum, in dem jeder Punkt eine
offene Umgebung besitzt, die 
hom"oomorph ist zu einer offenen Teilmenge der geometrischen Realisierung eines 
lokal endlichen
Simplizialkomplexes, stets
kompakt\-relativ homologisch endlich.
\end{Korollar}

\begin{Bemerkunge}\label{vkrt}
  Nach \cite{HiPo} sind damit insbesondere separierte komplexe
  algebraische Variet"aten die Mengen der abgeschlossenen Punkte
  mit ihrer analytische Topologie
  kompaktrelativ homologisch endlich.
\end{Bemerkunge}


  


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Kronecker-Paarung f"ur lokalendliche Ketten}]
  Das Auswerten von Koketten auf Ketten induziert f"ur jeden topologischen
  Raum $X$ eine Kettenabbildung
  \begin{equation*}
    \mathrm S_!^\ast X \otimes \mathrm S^! X \rightarrow \mathbb Z [0]
  \end{equation*}
  In der Tat, gegeben eine kompakte Kokette gibt es ein Kompaktum
  $K \subset X$ derart, da"s unsere Kokette nur auf solchen 
singul"aren Simplizes von Null
  verschieden ist, die $K$ treffen.  Gegeben eine lokalendliche Kette besitzt
  aber jeder Punkt von $K$ eine Umgebung derart, da"s nur endlich viele
 singul"are  Simplizes, die diese Umgebung treffen, in unserer Kette mit Null
  verschiedenem Koeffizienten auftauchen.  Endlich viele dieser Umgebungen
  "uberdecken $K$, weshalb unser Auswerten oben nur zu endlichen Summen
  f"uhrt.
Unsere Paarung f"uhrt wie in \ref{KRP} zu  Paarungen 
\begin{equation*}
\mathrm H^q_! (X)\times \mathrm H^!_q (X) \rightarrow \DZ
\end{equation*}
der kompakten Kohomologie mit der  lokalendlichen Homologie.\label{kpV} 
Analoges gilt mit Koeffizienten in einem beliebigen  Ring. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Lokalendliche Homologie als Dualraum}]
Gegeben $k$ ein K"orper und $X$ eine abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeit 
liefern die in \ref{kpV} konstruierten
Abbildungen Isomorphismen\label{BMHD} 
\begin{equation*}
\mathrm H^!_q (X;k) \sira \mathrm H_!^q (X;k)^\ast
\end{equation*}
zwischen der lokalendlichen Homologie und dem Dualraum der 
kompakten Kohomologie.
\end{Satz}






\begin{Bemerkungl}
  Der Satz gilt mit demselben Beweis f"ur jeden abz"ahlbar basierten lokal kompakten 
Hausdorffraum, der kompaktrelativ homologisch 
 endlich ist im Sinne von \ref{vern}. 
Insbesondere gilt er nach \ref{vkrt} f"ur separierte komplexe Variet"aten.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
Der sogenannte Kreisraum aus \eref{KrRa}{TF} zeigt, da"s 
der Dualraum der singul"aren
Kohomologie mit kompaktem Tr"ager im allgemeinen 
nicht durch den Komplex der lokal
endlichen singul"aren Koketten berechnet werden kann.
\end{Bemerkungl}

\begin{proof}
In diesem Beweis meinen wir  stets K"orperkoeffizienten, ohne das
in den Notationen nochmals besonders hervorzuheben. 
 F"ur jeden lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sind nach \ref{BMLL} unsere
nat"urlichen Abbildungen Isomorphismen  
$
\mathrm S^! X \sira\limf\mathrm S (X, X \backslash K)
$, wobei der inverse Limes "uber alle Kompakta $K\subset X$ zu bilden ist. 
  Wie beim Beweis von \ref{GBM} finden wir eine
  "Uberdeckung von $X$ durch eine aufsteigende Folge von offenen Teilmengen
  mit kompaktem Abschlu"s $U_0 \subset U_1 \subset \ldots \subset X$, und da
  die $\bar{U}_i$ final sind im System aller Kompakta von $X$, ist die
  offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus
  \begin{equation*} {\op{S}}^! X \;\overset{\sim}{\rightarrow} \;\limf_i
    {\op{S}} (X, X \backslash \bar{U}_i)
  \end{equation*}
von Komplexen.
Nun hat das inverse System  von Komplexen 
rechts surjektive Sys\-tem\-morphismen.
Unsere Variante zum Satz von Wilder \ref{WilderV} zeigt, da"s die von 
${\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})
\sra {\op{S}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ auf der
Homologie induzierten Abbildungen endlich erzeugte Bilder haben. 
Da wir hier mit Koeffizienten in einem K"orper arbeiten,
zeigt dann "Ubung \ref{QILcc} zum Vertauschen von Homologie und
inversem Limes, da"s die offensichtlichen Abbildungen
Isomorphismen  
\begin{equation*} \mathrm H_q^! X \;\sira \;\limf_i
    \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i)
  \end{equation*}
induzieren. Nun sind die Bilder von ${\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})
\ra {\op{H}}_q (X, X \backslash \bar{U}_i)$ wie bereits erw"ahnt
endlichdimensional. Wir nennen sie $I_{q,i}$ und haben also in Formeln
$\op{dim}I_{q,i}<\infty$ f"ur alle $i,q$. Es ist klar, da"s die 
offensichtlichen Abbildungen Isomorphismen
\begin{equation*}\limf_i
  I_{q,i} \;\sira \;\limf_i
    \mathrm H_q (X, X \backslash \bar{U}_i)
  \end{equation*}
liefern. Man identifiziert
die Bilder von ${\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i})
\ra {\op{H}}^q (X, X \backslash \bar{U}_{i+1})$
leicht mit den Dualr"aumen $I_{q,i}^\ast$ und folgert unschwer, da"s
 die 
offensichtlichen Abbildungen auch Isomorphismen
\begin{equation*}\colf_i
  I_{q,i}^\ast \;\sira \;\colf_i
    \mathrm H^q (X, X \backslash \bar{U}_i)
  \end{equation*}
liefern. Die rechte Seite kann nun in nat"urlicher Weise mit
der kompakten Kohomologie   $\mathrm H^q_! X$
identifiziert werden. So erhalten wir schlie"slich nat"urliche Isomorphismen
\begin{equation*}(\mathrm H^q_! X)^\ast \;\sira \;(\colf_i
  I_{q,i}^\ast)^\ast\;\sira\; \limf_i
  I_{q,i}^{\ast\ast}\;\sira\; \limf_i
  I_{q,i}\;\sira \;\mathrm H_q^! X \end{equation*}
Das etwas unangenehme Pr"ufen der Tatsache, da"s diese Verkn"upfung
von Isomorphismen genau die Abbildung aus dem Satz ist, bleibe dem Leser
"uberlassen. 
\end{proof}

\begin{Proposition}[\textbf{Nullte lokalendliche Homologie als Dualraum}]
  Gegeben ein Kring  $k$ und ein $k$-Modul  $M$ und
   ein lokal kompakter lokal wegzusammenh"angender
  abz"ahlbar basierter  Hausdorffraum  $X$  
liefern die in \ref{kpV} konstruierten
Abbildungen Isomorphismen\label{BMHD} 
\begin{equation*}
\mathrm H^!_0 (X;M^*) \sira \mathrm H_!^0 (X;M)^\ast
\end{equation*}
\end{Proposition}
\begin{proof}
  Nach Annahme sind alle Zusammenhangskomponenten von $X$ offen.
  Es reicht also, die Behauptung f"ur $X$ zusammenh"angend zu zeigen.
  Ist $X$  kompakt, so stimmt die lokalendliche Homologie
  mit der gew"ohnlichen Homologie "uberein und die kompakte Kohomologie mit
  der gew"ohnlichen Kohomologie und beide Seiten
   lassen sich f"ur $X$ zusammenh"angend in vertr"aglicher Weise mit $M^*$ identifizieren. 
   Ist $X$ nichtkompakt und zusammenh"angend, so verschwindet die linke Seite nach \ref{VnlH} und die rechte Seite aus offensichtlichen Gr"unden.
   Die Proposition folgt.
\end{proof}
   
 


\begin{Satz}[\textbf{Kompakte Kohomologie und Orientierung}]
    Gegeben eine $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $X$ 
liefert die gleich im Beweis konstruierte Abbildung einen
    Isomorphismus zwischen dem Dualraum ihrer $n$-ten kompakten Kohomologie 
 mit rationalen Koeffizienten und dem Raum der
    globalen Schnitte ihrer rationalen
Orientierungs\-garbe\label{KKTM}
$$ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})^*\sira \Gamma(X;\op{or}_X(\DQ))$$
\end{Satz}

\begin{Bemerkungl}
  Ist unsere Mannigfaltigkeit
  $X$ sogar abz"ahlbar basiert, so k"onnen wir unseren
  Isomorphismus aus dem Satz mit \ref{BMHD} verl"angern zu einem
  Isomorphismus $ {\op{H}}_{n}^!(X;\Bbb{Q})\sira \Gamma(X;\op{or}_X(\DQ))$. In dieser Gestalt scheint er mir
  besonders anschaulich und wir finden ihn 
  sogar mit $\DZ$-Koeffizienten in \eref{PiOOn}{TSF}
  als einen speziellen
  \glqq dualisierten Poincar\'e-Isomorphismus\grqq\ wieder.
  Wenn wir unsere lokalendliche Homologie
  als \glqq garbentheoretische lokalendliche Homologie\grqq\
  interpretieren, gilt dasselbe auch ohne die Annahme, $X$ sei abz"ahlbar basiert. 
\end{Bemerkungl}




\begin{proof}
Per definitionem gilt $ {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})=
\colf_K{\op{H}}^{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})$ 
mit dem "uber alle Kompakta $K\subset X$ gebildeten Kolimes. 
Wir folgern Isomorphismen
 $$ \begin{array}[b]{lll}
     {\op{H}}^{n}_!(X;\Bbb{Q})^*&\sira&\limf_K {\op{H}}^{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})^\ast\\
&\sira&\limf_K {\op{H}}_{n}(X, X\backslash K;\Bbb{Q})\text{ nach \ref{UBDS} und \ref{WilderV}}\\
&\sira&\limf_K \Gamma(K;\op{or}_X(\DQ))\text{ nach \ref{NNN}}\\
&\sira& \Gamma (X;\op{or}_X(\DQ))\end{array} \qedhere$$
\end{proof}




\subsection{Poincar\'{e}-Dualit"at}\label{PDD}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen an das relative cap-Produkt}] Wir hatten in  \ref{KcaP}
  die relativen cap-Produkte
  ${\op{H}}^p(X,A)\times {\op{H}}_q(X,A)\ra {\op{H}}_{q-p}X$ eingef"uhrt
  und kennen aus dieser "Ubung  im Fall $p=q$ und $X$
  wegzusammenh"angend die Beschreibung $b\cap c=\langle b,c\rangle\delta$ durch die Kroneckerpaarung sowie 
  f"ur jeden Morphismus $(X,A)\ra (Y,B)$ von Raumpaaren
  die Kommutativit"at des Diagramms\label{ucapp} 
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  {\op{H}}^*(X,A)\times {\op{H}}(X,A)\ar[d]& {\op{H}}^*(Y,B)\times {\op{H}}(X,A) \ar[r]\ar[l]
  & {\op{H}}^*(Y,B)\times {\op{H}}(Y,B)\ar[d]\\
 {\op{H}}X\ar[rr]&  
  &  {\op{H}}Y
}
 \end{displaymath}
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben $M$ eine $n$-Mannigfaltigkeit liefert jede Orientierung $\omega$ auf $M$
 nach Satz \ref{HHM} "uber hohe Homologie
von Mannigfaltigkeiten 
f"ur alle kompakten Teilmengen $K \subset M$ ein Element
$\omega_{K}=\omega_{K\subset M} \in
{\op{H}}_{n}(M,M\backslash K)$. Das cap-Produkt mit 
$\omega_{K}$ liefert dann nach \ref{ucapp} Abbildungen
$\cap\omega_{K}  :{\op{H}}^{q} (M,M\backslash K) \ra {\op{H}}_{n-q} M$ und
durch "Ubergang zum Kolimes mithilfe von \ref{ucapp}
erhalten wir Abbildungen\label{COr} 
$$\op{Q}=\op{Q}_{(M,\omega)}^q : {\op{H}}^{q}_{!} M \ra {\op{H}}_{n-q} M$$
Sie sind wieder nach den Vertr"aglichkeiten \ref{ucapp} vertr"aglich  mit dem Ausdehnen von offenen Teilmengen von $M$.
\end{Bemerkungl}


\begin{Satz}[\textbf{Allgemeine Poincar\'{e}-Dualit"at}]
Gegeben\index{Poincar\'{e}-Dualit"at!allgemeine} 
eine orientierte $n$-Man\-nig\-faltig\-keit $M$\label{APD}  
ist die Abbildung $\op{Q}$ aus \ref{COr} 
f"ur alle $q$ ein Isomorphismus
$$ {\op{Q}} : {\op{H}}^{q}_{!}M \sira {\op{H}}_{n-q}M$$
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}\label{SPD}
Dieser Satz gilt mit demselben Beweis f"ur Koeffizienten in einem
beliebigen Kring $k$. Statt einer Orientierung brauchen wir daf"ur in dieser Allgemeinheit nur eine $k$-Orientierung. Betrachten wir den Fall rationaler
Koeffizienten und nehmen $q=n$ und gehen auf beiden Seiten zum 
Dualraum "uber, so erhalten wir einen Spezialfall unseres Isomorphismus
\ref{KKTM} zwischen dem Dualraum der kompakten Kohomologie und dem
Raum der globalen Schnitte der Orientierungsgarbe.  
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl} Die Umkehrabbildung zu $Q$ notiere ich
  $ {\op{P}}=  {\op{P}}_M=  {\op{P}}_{\vec M}:  {\op{H}}_{n-q}M\sira {\op{H}}^{q}_{!}M$ und nenne sie den {\bf Poin\-car\'e-Iso\-mor\-phis\-mus}.\index{Poincar\'e-Isomorphismus}
  Den Pfeil  schreibe ich dazu, wenn ich besonders betonen will, da"s
  wir mit orientierten Manngaltigkeiten arbeiten.\label{PsI} 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Ist $M$ eine kompakte orientierte Mannigfaltigkeit,
  so ist per definitionem ${\op{Q}}=\cap[M]$ das
  cap-Produkt mit dem Fundamentalzykel von $M$.
  Allerdings kann ich in diesem Rahmen keinen vern"unftigen Beweis
  daf"ur geben, da"s er die in \ref{APD} behaupteten Isomorphismen liefert.
  Ist $M$ eine abz"ahlbar basierte orientierte Mannigfaltigkeit, so
  k"onnte ${\op{Q}}$ auch als das
  cap-Produkt mit dem Fundamentalzykel ${\op{Q}}=\cap[M]^!$ eingef"uhrt werden.
  Daf"ur m"u"sten wir jedoch das cap-Produkt in der entsprechenden Allgemeinheit
  entwickeln und das will ich hier vermeiden. 
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis] Wir beginnen den Beweis mit einem Lemma.
\begin{Lemma}
Sind $U, V \co M$ offene Teilmengen und gilt der Satz f"ur die
$n$-Mannig\-fal\-tig\-keiten\label{hilL} $U, V$ und $U\cap V$, 
so gilt er auch f"ur
$U \cup V$.
\end{Lemma}
\begin{proof}[Beweis]
  Das folgt  mit dem F"unferlemma aus dem Diagramm
$$\!\!\begin{array}{cccccccc}
{ {\op{H}}^{q}_{!} (U\cap V)}& {\ra}
&{{\op{H}}^{q}_{!} U\oplus {\op{H}}^{q}_{!}V} &{\ra} &
{{\op{H}}^{q}_{!}(U\cup V) }&{\ra} & {{\op{H}}^{q+1}_{!}
(U\cap
V)}\\
{\downarrow} & &{\downarrow} & &
{\downarrow} & & {\downarrow} \\
 {{\op{H}}_{n-q}(U\cap V)}& {\ra
}&{ {\op{H}}_{n-q}U\oplus
{\op{H}}_{n-q}V} &
 {\ra }&
{{\op{H}}_{n-q}(U\cup V)} & \ra &{ {\op{H}}_{n-q-1}(U\cap V)}
\end{array}$$
  mit ins Unendliche gedachten Zeilen aus Mayer-Vietoris-Sequenzen \ref{MVSHC} und \ref{MVS},  sobald wir zeigen k"onnen, da"s dies Diagramm kommutativ ist. Das stimmt nun zwar nicht,
  aber wir zeigen die Kommutativit"at f"ur das leicht variierte Diagramm,
  bei dem wir beim vertikalen Pfeil aus den direkten Summen jeweils beim
  zweiten Summanden das Negative von $\op{Q}$ nehmen, und das reicht uns auch f"ur den Beweis. 
Es reicht uns weiter, f"ur beliebige kompakte $K \subset U$ und $L\subset V$ die
Kommutativit"at des Diagramms zu zeigen, das man
erh"alt, wenn man die obere Zeile durch die entsprechende relative
Mayer-Vietoris-Sequenz ersetzt. Dazu diskutieren wir zun"achst einmal die
Konstruktion dieser Sequenz, die in \ref{KRMVS} nur angedeutet worden war.
Wir k"urzen $U \cup V=X$ ab und bezeichnen die offene
"Uberdeckung $X \backslash  (K\cap L)= (X \backslash  K) \cup (X\backslash L)$ mit $\cal{V}$. Weiter k"urzen
wir $X \backslash  (K\cap L)=X \backslash  \cap $ ab und
$X \backslash  (K\cup L)= X \backslash  \cup $.
Die kurze exakte Sequenz auf den singul"aren Ketten
$${\op{S}}(X\backslash  \cup ) \hookrightarrow {\op{S}} (X \backslash K) \oplus {\op{S}} (X\backslash L)
\twoheadrightarrow {\op{S}}^{\cal{V}} (X \backslash   \cap )$$
aus der Konstruktion der Mayer-Vietoris-Sequenz \ref{MVS}
mit der Summe der Vorsch"ube vorne und dem ersten Vorschub minus dem zweiten
Vorschub hinten 
liefert durch Dualisieren die obere Horizontale eines kommutativen Diagramms
mit dem ersten R"uckzug minus dem zweiten R"uckzug vorne und der Summe der
R"uckz"uge hinten 
$$\begin{array}{ccccc}
{{\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X \backslash  \cap )}&{\hookrightarrow
}&{ {\op{S}}^{\ast}(X\backslash K)\oplus
{\op{S}}^{\ast}(X\backslash L) }&{ \twoheadrightarrow }&{ {\op{S}}^{\ast} (X\backslash 
\cup )} \\ {
\uparrow }&{ }&{ \uparrow }&{
}&{ \uparrow } \\ {
{\op{S}}^{\ast} (X) }&{ \hookrightarrow }&{ {\op{S}}^{\ast}X \oplus
{\op{S}}^{\ast} X }&{
\twoheadrightarrow }&{ {\op{S}}^{\ast}X} \\ {
\uparrow }&{ }&{ \uparrow }&{
}&{ \uparrow } \\ {
{\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X, X \backslash   \cap ) }&{ \hookrightarrow
}&{ {\op{S}}^{\ast} (X ,
X \backslash K) \oplus {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash L) }&{ \twoheadrightarrow
}&{ {\op{S}}^{\ast}
(X,X\backslash \cup )}
\end{array}$$
Die untere linke Ecke sei darin 
durch die Exaktheit 
der  linken Vertikale definiert. Dann  sind alle Vertikalen kurze exakte Sequenzen
und die untere Zeile  ist exakt nach dem Neunerlemma.
Die lange exakte Kohomologiesequenz dieser untersten Zeile
liefert die
{\bf Mayer-Vietoris-Sequenz der  relativen Kohomologie}, 
wenn wir darin
$\mathcal H({\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X, X \backslash   \cap ) )$
  ersetzen durch $\mathcal H({\op{S}}^{\ast} (X, X \backslash   \cap ) )$
    vermittels des Isomorphismus, den die Einschr"ankung auf feine Ketten
    auf der Kohomologie der jeweiligen Komplexe induziert.
    Jetzt gilt es, ein kommutatives Diagramm von Kettenkomplexen anzugeben,
    das bei "Ubergang zur Homologie unsere Mayer-Vietoris-Sequenzen in den
    Horizontalen und die fraglichen cap-Produkte in den Vertikalen induziert.
  Um die cap-Produkte aus der Definition von $\op{Q}$ 
  zu beschreiben, w"ahlen wir einen beliebigen Repr"asentanten  $\dot\omega_{K\cup L}\in {\op{Z}}_n(X,X\backslash \cup)$ der Homologieklasse
  $\omega_{K\cup L}\in {\op{H}}_n(X,X\backslash \cup)$ zu unserer Orientierung $\omega$.
  Sein Vorschub unter der Diagonale ist ein Zykel
    $\Delta_*\dot\omega_{K\cup L}\in {\op{Z}}_n(X\times X,(X\backslash \cup)\times X)$
    und wird unter dem Vorschub mit einer Alexander-Whitney-Transformation $\eta$ ein $n$-Zykel $\eta\Delta_*\dot\omega_{K\cup L}$ des Tensorkomplexes
${\op{S}}(X,X\backslash \cup)\otimes {\op{S}}X$. 
    Das Darantensorieren dieses Zykels von rechts ist die erste  Kettenabbildung
    einer Sequenz 
    $${\op{S}}^{\ast} (X, X \backslash  \cup )\ra {\op{S}}^{\ast} (X, X \backslash  \cup )\otimes{\op{S}}(X,X\backslash \cup)\otimes {\op{S}}X\ra {\op{S}}X$$
    mit dem Auswerten des ersten Faktor auf dem zweiten Faktor als zweiter
    Abbildung. Die Verkn"upfung ist dann eine Kettenabbildung, die auf der Homologie das cap-Produkt
    mit $\omega_{K\cup L}$ induziert. Wir notieren sie $\cap\dot\omega_{K\cup L}$. 
Nun w"ahlen wir die relative Kette $\dot \omega_{K\cup L}\in {\op{Z}}_n(X,X\backslash \cup)$ so, da"s sie einen Repr"asentanten
$\ddot\omega_{K\cup L}\in {\op{S}}_{n} X$ hat, der bez"uglich der offenen "Uberdeckung $X =
(U\backslash L) \cup(V\backslash K) \cup  (U\cap V)$ fein ist, also
$\ddot\omega_{K\cup L}=\ddot\omega_1+\ddot\omega_2+\ddot\omega_3$
mit den Summanden in den jeweiligen R"aumen von $n$-Ketten.
Dann landet zun"achst einmal  $\cap \dot\omega_{K\cup L}$ in
${\op{S}}^{\cal{W}} X$ f"ur $\cal{W}$
die "Uberdeckung $X = U \cup V$ von $X$,  daf"ur h"atte auch die Feinheit
unseres Repr"asentanten in Bezug auf diese "Uberdeckung bereits ausgereicht.
Weiter wird $\omega_{K\subset U}\in {\op{H}}_n(U,U\backslash K)$ repr"asentiert durch 
$\ddot\omega_1 +\ddot\omega_3$, vergleiche den Beweis des Ausschneidungssatzes \ref{Asch},
und $\omega_{L\subset V}\in {\op{H}}_n(V,V\backslash L)$ "ahnlich durch $\ddot\omega_2+\ddot\omega_3$. Durch Verwendung dieser Repr"asentanten in der mittleren Vertikale erhalten wir ein kommutatives rechtes Quadrat im Diagramm    
$$\begin{array}{ccccc}
{ {\op{S}}^{\ast}_{\cal{V}} (X,X\backslash \cap ) }&{ \hookrightarrow
}&{ {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash K)
\oplus {\op{S}}^{\ast} (X,X\backslash L) }&{\twoheadrightarrow }&{
{\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash  \cup
)} \\ {
\downarrow }&{ }&{ \downarrow }&{
}&{ \downarrow } \\ {
{\op{S}}(U\cap V) }&{\hookrightarrow }&{ {\op{S}} U \oplus
{\op{S}}V}&{ \twoheadrightarrow
}&{{\op{S}}^{\cal{W}} (U \cup V)}
\end{array}$$
Die mitteleren Vertikalen liefern darin auf der Homologie
die Komposition von Ausschneidung $ {\op{H}}^{\ast} (X,X\backslash K) \sira  {\op{H}}^{\ast} (U,U\backslash K)\ra {\op{H}}U$  und $\cap\omega_{K\subset U}$ und ebenso
f"ur $L\subset V$. 
"Ahnlich erkl"aren wir die linke Vertikale durch Verwendung des
Repr"asentanten $\ddot\omega_3$ von
$\omega_{(K\cap L)\subset (U\cap V)}\in{\op{H}}_n(U\cap V,
(U\cap V)\backslash (K\cap L))$. So erhalten wir das gesuchte kommtative Diagramm von Kettenkomplexen mit kurzen exakten Sequenzen in den
Horizontalen, das beim "Ubergang zur Homologie das Diagramm liefert, dessen
Kommutativit"at wir zu zeigen hatten.
\end{proof}




\noindent
Jetzt gehen wir in mehreren Schritten von Spezialf"allen bis zur
allgemeinen Situation.
\\[2mm]\noindent
1.
Der Satz gilt f"ur $M = \Bbb{R}^{n} $.
Dann bilden ja die abgeschlossenen B"alle $D_{r}$  schon ein
konfinales System unter allen kompakten Teilmengen von $\Bbb{R}^{n}$
und die Abbildung $\cap \omega_{D_r} : {\op{H}}^{n} (\Bbb{R}^{n}, \Bbb{R}^{n} \backslash D_{r}) \ra
{\op{H}}_{0}(\Bbb{R}^{n}) = \Bbb{Z}\delta$ ist nach \ref{ucapp} in diesem Fall das Auswerten einer
Kohomologieklasse
auf der Homologieklasse $\omega_{D_r} \in {\op{H}}_{n} (\Bbb{R}^{n},
\Bbb{R}^{n}\backslash
D_{r})$ gefolgt von der Multiplikation mit dem kanonischen Erzeuger $\delta$ der nullten Homologie, also ein Isomorphismus f"ur  $0<r<\infty$.
\\[2mm]\noindent
2.
Der Satz gilt f"ur jede offene konvexe Teilmenge des $\DR^{n}$, denn so
eine Teilmenge ist schon hom"oomorph zu $\Bbb{R}^{n}$.
\\[2mm]\noindent
3.
Der Satz gilt f"ur jede endliche Vereinigung offener
konvexer Mengen in $\DR^{n}$
mit Induktion, Schritt 2 und Lemma \ref{hilL}.
\\[2mm]\noindent
4.
Ist $M$ eine aufsteigende Vereinigung von offenen Teilmengen $U_{i}$ und gilt
der Satz f"ur alle $U_{i}$, so gilt er auch f"ur $M$.
In der Tat gilt ${\op{H}}_{q}(M) = \colf {\op{H}}_{q}(U_{i})$ und
${\op{H}}^{p}_{!} M = \colf {\op{H}}^{p}_{!}(U_{i})$ nach den
"Ubungen \ref{LH} und \ref{LHC}.
\\[2mm]\noindent
5.
Der Satz gilt f"ur jede offene Teilmenge des $\DR^{n}$. In der Tat l"a"st
sie sich als aufsteigende Vereinigung von endlichen Vereinigungen
offener B"alle schreiben.
\\[2mm]\noindent
6.
Der Satz gilt f"ur jede Mannigfaltigkeit.
In der Tat finden wir nach Schritt 4 und dem Zorn'schen Lemma eine maximale
offene Teilmenge, f"ur die der Satz gilt.
W"are sie nicht schon die ganze Mannigfaltigkeit, so k"onnten
wir sie nach Lemma \ref{hilL} und Schritt 5 noch durch eine Karte vergr"o"sern,
im Widerspruch zur Maximalit"at.
\end{proof}
\begin{Korollar}[\textbf{Kohomologieringe der komplex projektiven R"aume}] 
  Gegeben $t$ ein Erzeuger der zweiten Kohomologiegruppe ${\op{H}}^{2}(\DP^{n}
\DC)$ eines komplex
  projektiven Raums liefert der offensichtliche Ringhomomorphismus einen
Isomorphismus\label{KkPR} 
$$\Bbb{Z} [t]/ \langle t^{n+1}\rangle \sira {\op{H}}^{\ast} \DP^{n} \DC$$
\end{Korollar}
\begin{proof} 1. 
Nach \ref{HKPR} gilt ${\op{H}}_{q}\mathbb P^n\DC\cong \DZ$ f"ur
$0\leq q\leq 2n$ und $q$ gerade und f"ur alle anderen $q$ verschwinden
diese Homologiegruppen. 
Immer noch nach \ref{HKPR}  induzieren  die Einbettungen
$i=i_{m,n}:\mathbb P^m\DC\hra\mathbb P^n\DC$   durch das
Anf"ugen von Nullen auf der Homologie
Isomorphismen
${\op{H}}_{q}\mathbb P^m\DC\sira {\op{H}}_{q}\mathbb P^n\DC$
f"ur $q\leq m\leq n$.  Nach dem universellen Koeffiziententheorem \ref{UKh}
und sogar nach seiner vereinfachten Variante \ref{KW} 
gilt dasselbe f"ur die Kohomologiegruppen der komplex projektiven R"aume.
\\[2mm]\noindent 2. 
Es gilt also zu zeigen, da"s das Produkt eines Erzeugers von ${\op{H}}^{2p}$
mit einem Erzeuger von ${\op{H}}^{2q}$ stets ein Erzeuger von ${\op{H}}^{2p+2q}$
ist. 
Im Fall $p+q > n$ ist eh nichts zu zeigen. Im Fall $p+q = m < n$
verwendet man den 
surjektiven Ringhomomorphismus
${\op{H}}^{\ast} \DP^{n} \DC \twoheadrightarrow {\op{H}}^{\ast} \DP^{m} \DC$,
um sich auf den Fall $p+q =n$ zur"uckzuziehen.
Wir konzentrieren uns nun also auf den Fall $p+q=n$.
\\[2mm]\noindent 3. 
 Nach \eref{ToPr}{TM} sind die komplex projektiven
  R"aume $\DP^{n} \DC$ kompakte zusammenh"angende
  Mannigfaltigkeiten der Dimension $2n$.
 Da die
 $2n$-te Homologie nicht verschwindet, m"ussen sie
 nach \ref{HMN} orientierbar sein.
 Die Orientierbarkeit
  folgt  direkter mit den Methoden der Differentialgeometrie,
  die Wahl einer Orientierung der komplexen Zahlenebene induziert genauer
  eine ausgezeichnete Orientierung auf jeder komplexen Mannigfaltigkeit,
  aber das sei nur nebenbei bemerkt.
\\[2mm]\noindent 4. 
  Nun w"ahlen wir f"ur  $\DP^{q} \DC$ eine Orientierung
 und bezeichnen mit $\omega\in {\op{H}}_{2q}(\DP^{q} \DC)$
 den zugeh"origen
 Fundamentalzykel. Da $\DP^{q} \DC$ zusammenh"angend ist, erzeugt er
  die fragliche Homologiegruppe. Bezeichne
  $c\pdef P i_*\omega\in {\op{H}}^{2n-2q}(\DP^{n} \DC)$
  das Poincar\'edual des Bildes  von $\omega$ in der Homologie
  von $\DP^{n} \DC$. 
  Nach "Ubung \ref{Mufo} zum Cup mit dem Dual von
  Fundamentalzykeln und den obigen Vorbemerkungen induziert das cup-Produkt
mit $c$ einen Isomorphismus
$ c\;\cup : {\op{H}}^{2q}\mathbb P^n\DC\sira {\op{H}}^{2n}\mathbb P^n\DC$ und das
beendet den Beweis. 
\end{proof}
\begin{figure}[htb]
\begin{minipage}{0.45\textwidth}
  \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildPoA}
\end{minipage}\hfill
 \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering
Ein Zykel und ein lokalendlicher Zykel in einer offenen Teilmenge der Ebene.
Je nach Wahl der Orientierung der Ebene ist 
in diesem Fall die Schnittzahl $\pm 1$.
\end{minipage}
\end{figure}
\begin{Bemerkungw}[\textbf{Schnittprodukt und Poincar\'e-Dualit"at}] 
Sei im folgenden $k$ ein Hauptidealring oder allgemeiner ein beliebiger
noetherscher Kring endlicher \hyperref[hdRi]{homologischer Dimension} und
sei $M$ eine abz"ahlbar basierte  $n$-Mannigfaltigkeit.
Ich will kurz skizzieren, wie sich der
in \ref{KSP} und \ref{SPP} erkl"arte
Zusammenhang zwischen Poin\-ca\-r\'e-Du\-a\-li\-t"at und Schnittpaarung auf
diesen Fall verallgemeinert.
Sobald uns garbenkohomologische Begriffsbildungen zur Verf"ugung stehen,
gelingt das ohne die Beschr"ankung auf
abz"ahlbar basierte Mannigfaltigkeiten.
In jedem Fall konstruieren wir in
\eref{PiOOn}{TSS} zus"atzlich zu den in \ref{PsI}
eingef"uhrten Poincar\'e-Isomorphismen
$${\op{P}}:{\op{H}}_{n-p}(M;k)\sira {\op{H}}^{p}_!(M;k)$$
 auch noch nat"urliche Isomorphismen
zwischen der Kohomologie und der lo\-kal\-end\-li\-chen Homologie, die
wir die {\bf dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen}\index{Poincar\'e-Isomorphismus!dualisierter} 
$${\op{P}}^!: {\op{H}}_{n-p}^!(M;k)\sira {\op{H}}^{p}(M;k)$$
nennen. Im Fall eines Koeffizientenk"orpers $k$ entstehen sie
unter Beachtung von \ref{BMHD} schlicht durch Dualisieren aus den  Poincar\'e-Isomorphismen, daher habe ich sie so genannt.
Im Fall einer kompakten orientierten Mannigfaltigkeit fallen die
beiden oben diskutierten Isomorphismen zusammen. 
Im allgemeinen ist die Konstruktion der dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen   
komplizierter und soll an dieser Stelle nicht ausgef"uhrt werden.
Unter den dualisierten Poincar\'e-Iso\-mor\-phis\-men
  entspricht das cup-Pro\-dukt $\cup:{\op{H}}^{p}(M;k)\times{\op{H}}^{q}(M;k) \ra {\op{H}}^{p+q}(M;k)$ auf der Kohomologie 
  bilinearen Abbildungen
  $${\op{H}}_{n-p}^!(M;k)\times{\op{H}}_{n-q}^!(M;k) \ra {\op{H}}_{n-p-q}^!(M;k)$$
  Sie hei"sen {\bf Schnittprodukte}\index{Schnittprodukt!cup-Schnittprodukt} und
  wir\label{SnPoo} nennen sie genauer {\bf cup-Schnittprodukte}. Um ihre
  anschauliche Bedeutung pr"azise zu formulieren,  mu"s
ich etwas ausholen. Gegeben eine orientierte abgeschlossene Untermannigfaltigkeit
$X\As M$ der Dimension $a$ erinnern wir aus \ref{FuBMv}  ihren Fundamentalzykel $[X]^!\in {\op{H}}^!_{a}(M;k)$. Das geht, da wir $M$ in diesem Unterabschnitt abz"ahlbar basiert
angenommen hatten und da folglich auch $X$ abz"ahlbar basiert ist. 
Seien nun $X \As M$ und $Y \As M$
abgeschlossene orientierte Untermannigfaltigkeiten, die sich
\glqq transversal schneiden\grqq. Damit ist gemeint, da"s es um jeden
Punkt ihres Schnitts  $ X\cap Y$ eine offene Umgebung
$U\co M$ und einen
Hom"oomorphismus $U\sira \DR^n$ gibt,  der Hom"oomorphismen $X \cap U
    \sira  \mathbb R^a \times 0$ sowie $Y \cap U
    \sira  0\times \mathbb R^{b}$ induziert und unter dem
die  von $M$ auf $U$ induzierte
Orientierung  der Standardorientierung des $\DR^n$ 
entspricht.
   Seien dann $\varepsilon_X, \varepsilon_Y $
  die Vorzeichen, die
    angeben, ob unsere letzten beiden Hom"oomorphismen die 
vorgegebenen Orientierungen auf $X,
    Y$ mit den Standardorientierungen auf $\mathbb R^a, \mathbb R^{b}$
    identifizieren oder nicht. Versehen wir dann  $X\cap Y$ mit der {\bf Schnittorientierung}, die 
    unter dem induzierten Hom"oomorphismus  $X\cap Y\cap U\sira 0\times \DR^c\times 0$
    mit $c\pdef a+b-n$ dem $\varepsilon_X \varepsilon_Y$-fachen der Standardorientierung auf $\DR^c$ entspricht, so
    gilt f"ur unsere cup-Schnittprodukte
    $$[X]^!\cdot [Y]^!=[X\cap Y]^!$$
    Des weiteren entspricht unter den dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen die durch das cap-Produkt gegebene Struktur
    auf der Homologie als Modul "uber dem Kohomologiering $\cap:{\op{H}}^{p}(M;k)\times{\op{H}}_{p+q}(M;k) \ra {\op{H}}_{q}(M;k)$
    bilinearen Abbildungen
    $${\op{H}}_{n-p}^!(M;k)\times{\op{H}}_{p+q}(M;k) \ra {\op{H}}_{q}(M;k)$$
    Auch sie hei"sen {\bf Schnittprodukte}\index{Schnittprodukt!cap-Schnittprodukt}
  und wir nennen sie {\bf cap-Schnitt\-pro\-duk\-te}.
    Sie haben die analoge  Eigenschaft, da"s f"ur
    sich transversal schneidende abgeschlossene orientierte Untermannigfaltigkeiten $X,Y\As M$ mit $Y$ kompakt und
    der Notation $[Y]\in {\op{H}}_{b}(M;k)$ f"ur den Fundamentalzykel
 einer kompakten Untermannigfaltigkeit der Dimension $b$ 
 als Element der Homologie von $M$
    gilt $$[X]^!\cdot [Y]=[X\cap Y]$$
    Im Fall $q=0$ erhalten wir durch Nachschalten der Augmentation
    ${\op{H}}_{0}(M;k)\ra k$ aus dem cap-Schnittprodukt
    die {\bf Schnittpaarung}
    $${\op{H}}_{n-p}^!(M;k)\times{\op{H}}_{p}(M;k) \ra k$$
    Im Fall von kompaktem $M$ hatten wir sie bereits in \ref{SPoD} angek"undigt
    und daf"ur die Notation $\odot$ vereinbart, die wir auch in diesem
    allgemeineren Fall verwenden werden.\index{)8a@$\odot$ Schnittpaarung} 
Da"s diese bilineare Abbildung f"ur $M$ kompakt in der Tat die  in
\ref{SPoD} von einer Schnittpaarung geforderten Eigenschaften hat,
ist eine offensichtliche Konsequenz unserer feineren
Behauptungen f"ur die Schnittprodukte.
Da"s jedoch  unsere Schnittprodukte hinwiederum tats"achlich  die
oben behaupteten Eigenschaften haben, wird
   erst
   in \eref{SchnPaa}{TSS} \nichtfinal{(Zitat noch etwas falsch)} bewiesen  werden.
Unter den 
Poincar\'e-Isomorphismen und
dualisierten Poincar\'e-Isomorphismen entsprechen sich dann
die Schnittpaarung,  die
vom cup-Pro\-dukt induzierte Paarung und 
die beiden Kroneckerpaarungen  wie in folgender "Ubersicht dargestellt,
die die in \ref{SPP} im kompakten Fall gegebenen Formeln
verallgemeinert.\label{nkSPP} 
$$
\begin{array}{rcrlcc}
{\op{H}}_{n-p}^! (M;k)  &\times
&  {\op{H}}_{p} (M;k)&\ra k,\;\; (\al,\beta)&\mapsto&
\al\odot\beta\\[2mm]
               {\op{H}}^{p} (M;k) &\times &{\op{H}}^{n-p}_! (M;k)&\ra k,
\;\; (a,b)&\mapsto& \langle a\cup b, \omega_{M}\rangle
\\[2mm]
{\op{H}}_{n-p}^! (M;k)& \times& {\op{H}}^{n-p}_! (M;k)&\ra k,\;\; (a,\beta)&\mapsto& \langle
a,\beta\rangle\\[2mm]
{\op{H}}^{p} (M;k)& \times& {\op{H}}_p (M;k)&\ra k,\;\; (\alpha,b)&\mapsto& \pm\langle
b,\alpha\rangle
\end{array}$$
Falls eine dieser Paarungen eine 
Bijektion des linken Raums auf den Dualraum des rechten Raumes
oder das Umgekehrte induziert, 
so folgt insbesondere dasselbe f"ur die drei  anderen Paarungen. Im Fall eines Koeffizientenk"orpers wissen wir bereits aus \ref{KKor}, da"s das stets der Fall ist. 
\end{Bemerkungw}

\begin{Beispiel}[\textbf{Erzwungene Schnitte geschlossener Wege in $\DP^2\DR$}]
  F"ur die Homologie der reell projektiven Ebene
  ${\op{H}}_q(\DP^2\DR;\mathbb F_2)$
  mit Koeffizienten im zweielementigen K"orper wissen wir nach \ref{HPR},
  da"s sie eindimensional ist f"ur $q=0,1,2$ und Null sonst.
  F"ur das  nichttriviale Element $z\in {\op{H}}_1(\DP^2\DR;\mathbb F_2)$
  gilt also $z\odot z\neq 0$. Wir k"onnen  so aus der erst in \eref{SchnPaa}{TSF}  
  bewiesenen Interpretation von $z\odot z$ als Schnittzahl folgern, da"s
   zwei geschlossene nicht zusammenziehbare Wege in $\DP^2\DR$, die
  mithin beide\label{WPR2} 
  unter dem Hurewicz-Isomorphismus diese Homologieklasse darstellen, nie disjunkt sein k"onnen. "Aquivalent dazu ist die Aussage, da"s zwei
  ungerade stetige Abbildungen $S^1\ra S^2$ nie disjunktes Bild haben k"onnen.
  Das scheint mir auch anschaulich recht klar, so eine ungerade stetig Abbildung mu"s ja einen Halbkreis auf einen stetigen Weg von einem Punkt zum
  gegen"uberliegenden
  Punkt der Kugelschale abbilden und den gegen"uberliegenden Halbkreis auf den
  gegen"uberliegenden Weg zur"uck zum Ausgangspunkt. 
\end{Beispiel}


\subsubsection*{"Ubungen}
\begin{Ubung}
Man definiere f"ur jeden Hausdorffraum ein cup-Produkt auf seiner
Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. F"ur eine
Mannigfaltigkeit entspricht es nebenbei bemerkt unter dem 
Poincar\'{e}-Isomorphismus dem  anschaulichen Schnittprodukt auf
der Homologie.
\end{Ubung}


\begin{Ubung}[\textbf{Cup mit dem Dual von Fundamentalzykeln}]
  Man erinnere die Poincar\'e-Isomorphismen $P$ aus
  \ref{PsI} und zeige:
  Gegeben $f : X \rightarrow Y$ eine stetige Abbildung von orientierten
  kompakten Mannigfaltigkeiten $X,Y$ der
  Dimensionen $n,m$ kommutiert das Diagramm\label{Mufo} 
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
{\op{H}}^\nu X \ar[d]^-{\cap [X]}
&{\op{H}}^\nu Y \ar[l]_-{f^\ast} \ar[rr]^-{\cup {\op{P}}_Y f_*[X]} 
&& {\op{H}}^{\nu + m-n} Y \ar[d]^-{\cap [Y]}\\
{\op{H}}_{n - \nu} X \ar[rrr]^-{f_\ast} &&& {\op{H}}_{n-\nu} Y
}
\end{displaymath}
Hinweis: Projektionsformel \ref{PLI}. 
\end{Ubung}



\subsection{Schnittzahlen im Simplizialen*}
\begin{Bemerkungl}
  Im folgenden zeigen wir nach einigen Vorbereitungen
  Satz \ref{GiS} zur  simplizialen Interpretation der Schnittzahlen.
  Er hat das Verdienst, eine erste bewiesene
  anschauliche Interpretation bereitzustellen,
  zeigt aber nicht die in \ref{SPoD} behaupteten Eigenschaften.
  Das gelingt erst  im Rahmen der Garbenkohomologie.
  Allerdings ben"otigt das einen
  gro"sen Apparat, so da"s die hier gegebene
  elementarere Argumentation auch
   ihre
  Berechtigung haben mag. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}\label{DSZa}
Sei $M$ eine kompakte orientierte
  $n$-Mannigfaltigkeit.
  F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in {\op{H}}_{q} M$
  und $\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$  ist hoffentlich anschaulich
in etwa  klar, was ihre
  \glqq Schnittzahl\grqq\  sein sollte, die die Schnittpunkte von 
repr"asentierenden
  Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\  mit geeigneten, von der Orientierung
  abh"angigen Vorzeichen z"ahlt.  Mit dem Isomorphismus der
  Poincar\'{e}dualit"at \ref{APD} k"onnen wir unseren Homologieklassen 
 sicher  formal korrekt
eine Zahl $\al\odot \beta\in\Bbb{Z}$ zuordnen wie folgt: Wir suchen 
 $a
  \in {\op{H}}^{n-q}M$ und $b \in {\op{H}}^{q}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M}$
und  $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen
  $$\al\odot \beta \pdef \langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$
  Dies sei   unsere Definition der
{\bf Schnittzahl}\index{Schnittzahl} der beiden Homologieklassen.
Der bald folgende Satz \ref{GiS} soll plausibel machen,
da"s die so definierte Zahl
die oben beschriebene
geometrische Bedeutung hat. Dazu  braucht es jedoch einige Vorbereitungen. Da"s unsere Zahl tats"achlich die in
unserer Vorschau \ref{SPoD} versprochenen Eigenschaften hat, 
zeigen wir erst in \eref{SchnPaa}{TSF}.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Seien $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex und $\check{\mathcal K}$
  seine baryzentrische Unterteilung \ref{bU}
  mit ihrer nat"urlichen simplizialen Teilordnung.
  Die hoffentlich offensichtlichen
  Kettenabbildungen liefern wie im Beweis von \ref{SH} 
  einen Isomorphismus von Kettenkomplexen und eine Homotopie"aquivalenz
  \begin{equation*} {\op{S}} \check{\mathcal K} \sila
    {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})\hri {\op{S}} \Delta
    (\mathcal K)
  \end{equation*}
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}\label{ffuzy}
  Sei nun unser Simplizialkomplex $\mathcal K$ eine Triangulierung einer  
kompakten  orientierten $n$-Mannigfaltigkeit.
Wir w"ahlen eine Anordnung $\leq$ auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal
  K$.
Der Fundamentalzykel von $\Delta (\mathcal K)$  hat  
genau einen Repr"asentanten 
in den $n$-Simplizialketten und damit auch genau 
einen Repr"asentanten $\omega \in
  {\op{S}}^{\op{os}}_{n} \Delta (\mathcal K)$ in der
Gruppe der ordnungsvertr"aglichen 
simplizialsingul"aren $n$-Ketten.
Nach \ref{FuZY} hat unser Fundamentalzykel  die Gestalt
  \begin{equation*}
    \omega = \sum_{s \in \mathcal K_n } \varepsilon (s) \langle s \rangle
  \end{equation*}
  f"ur wohlbestimmtes $\varepsilon : \mathcal K_n \rightarrow \{\pm 1\}$, 
wobei $\langle s \rangle$ wie im
Beweis von \ref{SH}
den zum $n$-Simplex $s$ geh"origen angeordneten \nichtfinal{(Terminologie? Auch sonst reparieren!)}
simplizialsingul"aren $n$-Simplex 
bezeichnet. 
\end{Bemerkungl}

\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bilddz}\\[4mm]
\noindent 
Ein Ausschnitt einer triangulierten $2$-Mannigfaltigkeit.
Die Nummerierung der Ecken legt ihre Anordnung fest. Der Kreispfeil
daneben deutet die Orientierung an, der Fundamentalzykel hat also
die Gestalt 
$$\omega=\ldots +\langle\{ 1,2,3\}\rangle -\langle\{ 1,2,7\}\rangle +\ldots$$
Die duale Zelle zum 
$1$-Simplex $t=\{1,2\}$ besteht aus den beiden
Summanden $\check{u}=\{\{1,2\},\{1,2,3\}\}$ und 
 $\check{v}=\{\{1,2\},\{1,2,7\}\}$ und deren Vorzeichen sind
$\eta(\check{u})=-1$ und $\eta(\check{v})=1$, so da"s sich die duale Zelle zu 
$c(t)=\check{v}-\check{u}$ ergibt.
Im Bild habe ich die den ordnungsvertr"aglichen $1$-Ketten
$\langle t \rangle $ und $c(t)$ entsprechenden Simplizialketten
fett eingezeichnet.
\\[2mm]
Weiter besteht die  duale Zelle zum $0$-Simplex $\{6\}$ aus
$10$ Summanden, und ich habe im Bild  auch die der 
dualen Zelle zu dieser Ecke alias der 
ordnungsvertr"aglichen $2$-Kette
$c(\{6\})$ entsprechende Simplizialkette
durch Kreispfeile eingezeichnet.
\end{figure}

\begin{Bemerkungl}\label{duze}
  Gegeben ein $(n-q)$-Simplex 
$t\in \cal{K}_{n-q}$ erkl"aren wir die zugeh"orige {\bf duale
    Zelle}\index{duale Zelle} $c(t)\in {\op{S}}_q^{\op{os}}\Delta
  (\check{{\mathcal K}})$ als die Summe
  $$c(t)=\sum \eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle$$
  "uber alle $q$-Simplizes
  $\check{u}\in\check{\cal{K}}_{q}$ mit $\check{u}_0=t$. Einen $q$-Simplex
  $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ schreiben wir dazu als  echt
  aufsteigende Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots
  \subsetneq \check{u}_q$ von nichtleeren 
Simplizes von $\mathcal K$, und summieren
  "uber alle Ketten, die mit 
dem $(n-q)$-Simplex $t$ beginnen.  Die $\eta(\check{u})=\pm 1$
seien gegeben wie folgt: Man betrachte die
  Ecken $u_1,\dots,u_q \in E$ des urspr"unglichen Komplexes mit $\check{u}_i =
  \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0
  \cup \{u_1,\dots,u_q\}$.  Sei $(s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete
  Darstellung des $n$-Simplex $\check{u}_q$ und
  $(t_0,\ldots,t_{n-q})$ die angeordnete Darstellung des
  $(n-q)$-Simplex $t=\check{u}_0$ und $\tau\in {\cal S}_{n+1}$ die Permutation
  mit 
 $$ \begin{array}{lcl}
s_{\tau(0)}&=&t_0\\
\;\vdots&\vdots&\;\vdots\\ s_{\tau(n-q)}&=&t_{n-q}\\
 s_{\tau(n-q+1)} &=&
  u_1\\
\;\vdots&\vdots&\;\vdots\\
s_{\tau(n)} &=& u_q
\end{array}$$
So sei das fragliche Vorzeichen gegeben als $
  \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$.
\end{Bemerkungl}
 \begin{Bemerkungl}
   Diese dualen Zellen m"ogen mit ihren ganzen Vorzeichen unanschaulich
   wirken.
Der erste Teil des folgenden Satzes mag  der Anschauung helfen,
zeigt er doch, da"s die Vorzeichen stets so zusammenpassen, da"s
der Rand einer dualen Zelle eine Linearkombination
dualer Zellen ist. Das hat im Bild der Simplizialketten 
unter anderem 
die anschauliche Bedeutung,
da"s \glqq die einzelnen 
Simplizes einer dualen Zelle gerade so orientiert sind, da"s sich
die internen R"ander gegenseitig wegheben\grqq.
 \end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Simpliziale Interpretation der Schnittzahlen}]
   Sei $\mathcal K$ ein Simplizialkomplex, der  eine 
   kompakte  orientierte $n$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit $M$
   trianguliert.\label{GiS}
Sei auf der Menge $E$ der Ecken von $\mathcal
  K$ eine Anordnung  gew"ahlt. So gilt:
  \begin{enumerate}
  \item 
Die von den dualen Zellen  im Sinne von \ref{duze}
erzeugten Untergruppen
${\op{C}}_q\subset {\op{S}}_q^{\op{os}}\Delta
  (\check{{\mathcal K}})$
bilden einen Unterkomplex ${\op{C}}\subset{\op{S}}^{\op{os}}\Delta
  (\check{{\mathcal K}})$ im Komplex der ordnungsvertr"aglichen
simplizialsingul"aren Ketten der baryzentrischen Unterteilung $\check{{\mathcal K}}$ von 
$\mathcal K$ und die 
Einbettung dieses Unterkomplexes induziert auf allen
Homologiegruppen Isomorphismen $\cal{H}_q{\op{C}}\sira {\op{H}}_qM$;
\item
Wird %eine Homologieklasse 
$\alpha\in {\op{H}}_q M$ repr"asentiert 
durch einen simplizialsingul"aren  Zykel der Gestalt
%% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-p}}\alpha_t \langle t\rangle \in 
%% {\op{S}}^{\op{os}}\Delta
%%   ({\mathcal K})$ 
$\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\alpha_t \langle t\rangle \in 
{\op{S}}^{\op{os}}\Delta
  ({\mathcal K})$ 
und 
$\beta\in {\op{H}}_{n-q} M$ durch einen \glqq zellul"aren\grqq\   Zykel
der Gestalt 
%% $\sum_{t\in \cal{K}_{n-q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_q$, 
$\sum_{t\in \cal{K}_{q}}\beta_t c(t) \in {\op{C}}_{n-q}$, 
so gilt f"ur ihre Schnittzahl
$$\alpha\odot\beta=\sum_t \alpha_t \beta_t$$ 
  \end{enumerate}
 \end{Satz}

 \begin{proof}
 Zun"achst einmal erinnern wir die Definition der Schnittzahl:
Wir hatten dazu ja 
das $a\in {\op{H}}^{n-q} M$ beziehungsweise  $b\in {\op{H}}^{q} M$
genommen mit $a\cap\omega_M=\alpha$ beziehungsweise $b\cap\omega_M=\beta$
und dann 
unsere Schnittzahl als Kronecker-Paarung des cup-Produkts dieser
Kohomologieklassen mit dem Fundamentalzykel definiert, in Formeln
$\alpha\odot\beta=\langle a\cup b, \omega_M\rangle$.
Mit der Adjunktionsformel \ref{adjfO} 
erhalten wir daraus auch die alternative Darstellung  
$\alpha\odot\beta=\langle a, \beta\rangle$.
Es reicht also, das Urbild $a$ von $\alpha$ unter dem
 Poincar\'{e}-Isomorphismus  hinreichend explizit zu beschreiben.
Dazu m"ussen wir etwas weiter ausholen.
Gegeben ein Simplizialkomplex ${\mathcal K}$ liefert
  das baryzentrische Unterteilen 
ganz allgemein eine Homotopie"aquivalenz $
  {\op{S}} \mathcal K \hri {\op{S}} \check{\mathcal K} $ zwischen
den entsprechenden Komplexen von Simplizialketten. Genauer
  erh"alt man eine Injektion von der Menge  ${\cal K}_{q}^\leq$
aller angeordneten $q$-Simplizes 
von $\mathcal K$ in die  Menge $\check{\mathcal
    K}_q^\leq$ aller %ordnungsvertr"aglichen 
angeordneten $q$-Simplizes  von $\check{\mathcal
    K}$, indem man $\sigma : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow E$ abbildet auf
$\sigma^\vee : \{0, \ldots, q\} \hookrightarrow \check{E}$ gegeben durch
 $
    \sigma^\vee(i)=  \{ \sigma (0),
      \ldots, \sigma (i)\}.
  $
  Anschaulich gesprochen erhalten wir so \glqq alle $q$-Simplizes von
  $\check{\mathcal K}$, die in $q$-Simplizes von $\mathcal K$ liegen\grqq, und die
  Abbildung ${\cal K}^\leq_{q}\ra {\op{S}}_{q} \check{\mathcal K}$
gegeben durch
\begin{figure}[p]\centering
\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildbAr}\\[4mm]
\noindent 
Ein angeordneter $3$-Simplex $\sigma$ 
und die sechs angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ 
mit Vorzeichen, deren Summe seine baryzentrische Unterteilung 
$b(\sigma)$ im Sinne des Beweises von \ref{GiS} repr"asentiert.
Die Kreispfeile sind eigentlich "uberfl"ussig und betonen nur 
die Reihenfolge der Ecken in den angeordneten $3$-Simplizes $\sigma\circ \pi$ 
und die Beziehung zum Signum der zugeh"origen Permutationen $\pi$.
\end{figure}
  \begin{equation*}
    \sigma \mapsto \sum_{\pi \in \mathcal {\cal{S}}_{q+1}} \op{sgn} 
    (\pi) (\sigma \circ \pi)^\vee
  \end{equation*}
  induziert eine Homotopie"aquivalenz $ b : {\op{S}} \mathcal K \hri
  {\op{S}} \check{\mathcal K}, $ die wir wieder  die
{\bf baryzentrische Unterteilung}
  nennen. Wenden wir auf
unseren Fundamentalzykel aus \ref{ffuzy} die baryzentrische
  Unterteilung an, so erhalten wir den Repr"asentanten
  \begin{equation*}
    \check{\omega} = \sum_{s \in \mathcal K_n ,\; \pi \in \mathcal S_{n+1}}
    \varepsilon (s) \op{sgn}(\pi) (\langle s \rangle \circ \pi)^\vee
  \end{equation*}
  des Fundamentalzykels in 
${\op{S}}_n^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$. 
 Die weitere Argumentation wird ausgehen von einem Diagramm
der Gestalt
\begin{displaymath}
\xymatrix{
{\op{C}}^\ast [n]  \ar@{-->}[r] 
& {\op{S}}^{\op{os}} \Delta ({\mathcal K}) \ar[dd]^b\\
&\\
{\op{S}}^\ast_{ \op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})[n]
\ar[r]^{\cap \check{\omega}}  \ar@{-->}[uu] \ar@{-->}[uur] 
& {\op{S}}^{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})
}
\end{displaymath}
Der Komplex ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta
   (\check{\mathcal K})$ der ordnungsvertr"agliche simplizialen 
Koketten mitsamt
   einem Isomorphismus von Komplexen ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta
   (\check{\mathcal K})\sira {\op{S}}^\ast \check{\mathcal K}$
   ist in derselben Weise erkl"art wie  der Komplex 
der ordnungsvertr"agliche simplizialen 
Ketten in \ref{bU}.
Die durchgezogenen Pfeile sind uns bereits bekannt,
die rechte Vertikale ist modulo unserer Identifikation von Simplizialketten
mit ordnungsvertr"aglichen simplizialen Ketten das baryzentrische 
Unterteilen,
die untere Horizontale die Restriktion auf
ordnungsvertr"agliche simpliziale Ketten
unserer Poincar\'{e}-Dualit"at  aus \ref{APD}.
Unser Ziel ist die
Erg"anzung durch Kettenabbildungen wie durch die gestrichelten Pfeile 
angedeutet
zu einem kommutativen Diagramm von Homotopie"aquivalenzen, dessen
obere Horizontale dann 
die geometrische Bedeutung des Poincar\'{e}-Isomorphismus klar
macht.  Als ersten Schritt in diese Richtung behaupte ich, da"s die
durch $\cap
\check{\omega}$ gegebene Kettenabbildung wie durch 
den schr"agen gestrichelten Pfeil
angedeutet "uber unsere baryzentrische 
Unterteilung $b$ faktorisiert.  
 Ein
  $q$-Simplex $\check{u} \in \check{\mathcal K}_q$ ist ja per definitionem
eine echt aufsteigende
  Kette $\check{u}_0 \subsetneq \check{u}_1 \subsetneq \ldots
  \subsetneq \check{u}_q$ von Simplizes von $\mathcal K$.
Die zugeh"origen $\langle \check{u} \rangle$ bilden 
eine ${\mathbb Z}$-Basis von $\op{S}_q^{\op{os}}\Delta
(\check{{\mathcal K}})$ und die zugeh"origen 
Linearformen bilden eine ${\mathbb Z}$-Basis
$\langle \check{u} \rangle^*$ von
$\op{S}_{\op{os}}^q \Delta (\check{{\mathcal K}})$.
F"ur das cap-Produkt $\langle \check{u}\rangle^* \cap \check{\omega}$ 
mit dem Fundamentalzykel
erhalten wir nach \ref{cAP} die Darstellung
\[ \langle \check{u} \rangle^* \cap \check{\omega} 
= (-1)^{q(n-q)} \!\!\!\!\sum_{s \in {\mathcal K}_n,\; 
 \pi \in {\mathcal S}_{n+1} } \!\!\!\!\varepsilon(s)\op{sgn}(\pi)
\big\langle \langle \check{u} \rangle^*, 
(\langle s\rangle \circ \pi)^\vee  \rho^q \big\rangle \;
(\langle s\rangle \circ \pi)^\vee  \lambda^{n-q} \]
Insbesondere ist die rechte Seite nur dann 
nicht Null, wenn $\check{u}$ die Gestalt $\check{u}_0\subsetneq
 \ldots \subsetneq \check{u}_q$ 
hat mit $\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}$ 
und dann nat"urlich auch $\check{u}_i \in {\mathcal K}_{n-q+i}$ 
f"ur alle $i$. 
Seien nun $u_1,\dots,u_q \in E$ die Ecken des urspr"unglichen Komplexes mit 
$\check{u}_i = \check{u}_{i-1} \cup \{u_i\}$, 
so da"s also gilt $\check{u}_q = \check{u}_0 \cup \{u_1,\dots,u_q\}$.
Sei $s = (s_0,s_1,\dots,s_n)$ die angeordnete Darstellung des
$n$-Simplex $s$.
Auf der rechten Seite liefert nur $s = 
\check{u}_q \in {\mathcal K}_n$ von Null 
verschiedene Beitr"age, und zwar nur f"ur 
$\pi \in {\mathcal S}_{n+1}$ mit 
$s_{\pi(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\pi(n)} = u_q$, 
und f"ur diese ist der Gesamtbeitrag 
bis auf ein Vorzeichen gerade
\[ b(\check{u}_0)=\sum_{{\kappa} \in {\mathcal S}_{n-q+1}} 
\op{sgn}({\kappa}) (\langle \check{u}_0 
\rangle \circ {\kappa} )^\vee   \]
Das zeigt schon einmal, dass $\cap \check{\omega}$ wie 
behauptet "uber $b$ faktorisiert und liefert 
den Pfeil schr"ag nach oben. 
Um auch das Vorzeichen anzugeben, betrachten wir die angeordnete Darstellung
$\check{u}_0=(v_0,\ldots,v_{n-q})$ und die Permutation
$\tau\in {\cal S}_{n+1}$ mit $s_{\tau(0)}=v_0,\ldots,
s_{\tau(n-q)}=v_{n-q}, s_{\tau(n-q+1)} = u_1,\dots,s_{\tau(n)} = u_q$,
finden f"ur das fragliche Vorzeichen die Darstellung
$ \eta(\check{u})=(-1)^{q(n-q)}\varepsilon(s)\op{sgn}(\tau)$
und erhalten 
%f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}^\leq_q$ die Formel
f"ur $\check{u} \in \check{{\mathcal K}}_q$ die Formel
$$ \langle\check{u}\rangle^* \cap \check{\omega} = \left\{ \begin{array}{cl}
\eta(\check{u}) b(\check{u}_0) & \mbox{falls }
\check{u}_0 \in {\mathcal K}_{n-q}; 
\\[2mm]
0 & \mbox{sonst.} \end{array} \right. $$
Bilden wir  den Quotienten ${\op{C}}^\ast$ 
von ${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})$ 
nach den $\langle\check{u}\rangle^*$ 
mit $\check{u}_0 \not\in {\mathcal K}_{n-q}$ sowie den 
$\eta(\check{u}) \langle\check{u}\rangle^* - 
\eta(\check{v})\langle\check{v}\rangle^*$ mit 
$\check{u}_0 = \check{v}_0$, so faktorisiert 
unser $\cap\check{\omega}$ weiter und liefert, wie man leicht sieht,
 einen Isomorphismus von Kettenkomplexen
$$ {\op{C}}^\ast [n]
\stackrel{\sim}{\rightarrow} {\op{S}}^{\op{os}}\Delta({\mathcal K}) $$
%unter Verwendung unserer Konvention \ref{KEE}.
Man kann in dieser Weise sogar einen Beweis der Poincar\'{e}-Dualit"at
im triangulierbaren Fall geben, wof"ur dann allerdings 
noch gezeigt werden mu"s, da"s die linke Vertikale unseres
Diagramms Isomorphismen auf der Homologie induziert.
Da wir aber vielmehr an der anschaulichen Bedeutung der Poincar\'{e}-Dualit"at
interessiert sind, drehen wir den Spie"s um und folgern aus 
der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD}, da"s die linke Vertikale unseres
Diagramms 
${\op{S}}^\ast_{\op{os}} \Delta (\check{\mathcal K})
\sra {\op{C}}^\ast $
Isomorphismen auf der Kohomologie induziert.
Nach \ref{HKH} ist sie also eine Homotopie"aquivalenz und unser
ganzes Diagramm besteht aus Homotopie"aquivalenzen.
Gehen wir nun in dieser linken Vertikale zu den dualen Komplexen 
"uber, so erhalten wir offensichtlich genau den 
Unterkomplex ${\op{C}}\subset{\op{S}}^{\op{os}}\Delta
  (\check{{\mathcal K}})$ aus dem ersten Teil unseres Satzes \ref{GiS},
und damit ist auch dieser erste Teil bereits bewiesen.
Des weiteren sehen wir, da"s f"ur
$t\in \cal{K}_{n-q}$ und $\langle t\rangle$ der zugeh"orige angeordnete
Simplex seine baryzentrische Unterteilung $b(\langle t\rangle)$ genau
ein Urbild hat unter $\cap\check{\omega}$, und da"s dieses 
Urbild auf der dualen Zelle $c(t)$ den Wert Eins annimmt und auf allen 
anderen dualen Zellen den Wert Null.
Daraus folgt dann auch der zweite Teil des Satzes.
\end{proof}


 



%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTS"
%%% End: