\newpage



\section{Funktorialit"at in der Garbenkohomologie, "alteres}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Ore-Lokalisierung durch Pro-Objekte}]
  \nichtfinal{War ok, aber rechts vor links!}
  Seien $\cal{C}$ eine   Kategorie und $S$ ein
 Linksoresystem 
   von $\cal{C}$.
  Nach \ref{MoLL} haben wir eine nat"urliche Bijektion 
$$ \colf _{D\stackrel{S}{\ra}X} \cal{C}(D,Y)
\sira \cal{C}_{S}(X,Y)$$
zwischen dem Morphismenraum $\cal{C}_S(X,Y)$ in der Lokalisierung und dem filtrierenden Kolimes 
%\emph{(Ist doch gar nicht filtrierend? Doch, ist ok!)}
"uber das 
 System aller 
 $S$-Morphismen  $D\ra X$  in das Objekt $X$
 der Morphismenr"aume $\cal{C}(D,Y)$.
  In der Terminologie von \ref{MPOk}
ist diese Menge weiter  in nat"urlicher Bijektion zu\label{OLPOa} 
$ \cal{C}^\vee(X^-,Y)$ f"ur $$X^-\pdef \limcu_{D\stackrel{S}{\ra}X} D$$
mit dem filtrierenden Limes in der Funktorkategorie 
"uber das 
 System $S_X$ aller 
$S$-Morphismen  $D\ra X$  in das Objekt $X$.
Damit aber induziert jeder $S$-Morphismus 
$t:C\ra Y$, da wir die analoge Aussage in $\mathcal C_S$
ja bereits kennen,
eine Bijektion
 $ \cal{C}^\vee(X^-,C)\sira \cal{C}^\vee(X^-,Y)$.
Die Vorschrift $X\mapsto X^-$ induziert mithin,
wieder nach \ref{MPOk},
einen volltreuen Funktor 
$$\mathcal C_S\vra\op{pro}(\cal{C})$$
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkung}
BRAUCHT WOHL KOGARBEN!
Es w"are sch"on, die Funktoren $\pi_{!}$ und $\pi^{!}$ 
in so gro"ser  Allgemeinheit zu
entwickeln,  da"s wir in derselben Weise
wie in \ref{GrGAKO}  mit m"oglichst wenig Voraussetzungen
etwas von der Art
$\op{H}^{q}_{!} (X/G; \tilde{A}) 
\overset{\sim}{\ra} {\op{H}}_{q} (G;A)$ erhielten. 
Hier sollte \ref{lfad} helfen. Man braucht aber wohl schon, da"s $X$ 
eine topologische Mannigfaltigkeit ist, so da"s man in der 
hinreichend homologischen Welt mit der dualisierenden Garbe arbeiten kann.
\end{Bemerkung}


\begin{Ubung}[\textbf{Derivierte Funktoren und Spektralsequenzen, Variante}] \emph{So ja wohl Quatsch!} Seien $
 {\mathcal B}$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven und
${\mathcal C}$ eine weitere abelsche Kategorie.
Gegeben ein additiver Funktor $G \colon {\mathcal B} \to {\mathcal C}$
  und ein gegen  die Pfeile beschr"ankter 
Komplex $B^* \in {\op{Ket}}^+{\mathcal B}$ 
von $G$-azyklischen Objekten mit
einer Filtrierung $B^*=B^{*,\geq 0}\supset B^{*,\geq 1}\supset \ldots$
durch Unterkomplexe derart, da"s f"ur jedes $p$ gilt $B^{p,\geq i}=0$
ab einem gewissen $i=i(p),$  zeige man analog 
zum Beweis von \ref{KSSEx} die Existenz einer
konvergierenden $E_2$-Spektralsequenz 
\[ ({\op{R}}^qG)(\op{gr}^pB^*) \Rightarrow 
{\mathcal H}^n(GB^*) \]
\end{Ubung}


\subsection{N"otig?}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Entfaltung f"ur Orelokalisierungen}]   
\nichtfinal{Umschreiben auf Linksentfaltungen? Nee, unser Standard ist Rechts!}  Gegeben eine Kategorie $\mathcal{C}$  mit einer ausgezeichneten
  Menge $S$ von Morphismen und ein Objekt $I\in\mathcal C$ erinnern wir aus \ref{loki}, da"s  unser Objekt {\bf $S$-rechtsentfaltet} 
  hei"st,\label{urena}  
  wenn f"ur alle $X\in\mathcal C$ die nat"urliche Abbildung eine Bijektion 
  $\mathcal C(X,I)\sira \mathcal C_S(QX,QI)$ ist. Dort hatten wir bereits
  einige allgemeine Eigenschaften dieser Objekte diskutiert. 
  Ist $S$  ein Rechtsoresystem, so ist $I$ nach dem vorhergehenden rechtsentfaltet genau dann, wenn gilt
 $$\mathcal C(X,I)\sira \op{colf}_{I\ra C}\mathcal C(X,C)$$
  f"ur alle $X$ mit dem filtrierenden Kolimes "uber die Kategorie aller $S$-Morphismen $I\ra C$. Ich zeige, da"s das auch dazu gleichbedeutend ist,
  da"s es f"ur jeden $S$-Morphismus $I\ra C$ einen Morphismus $C\ra I$ gibt derart, da"s die Verkn"upfung die Identit"at auf $I$ ist. Wenn es solche Spaltungen gibt, ist sicher die Abbildung in den Kolimes eine Bijektion.
  Ist umgekehrt die Abbildung in den Kolimes eine Bijektion, 
so gibt es f"ur jeden $S$-Morphismus $s:I\ra C$, wenn wir unsere
  Annahme auf $X=C$ und die Identit"at anwenden, einen Morphismus $a:C\ra I$
  und einen Morphismus $b:C\ra D$ mit $ bs\in S$ und $bsa=b$.
  Weiter folgt aus $bsas=bs$, indem wir unsere Annahme auf $X=I$  und die Identit"at anwenden, bereits $as=\op{id}$. 
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubergang zum dualen Faserfunktor}] 
W"ahlen wir nun zu einem Faserfunktor $p:\mathscr{C}\ra\mathscr{B}$
eine Zerf"allung, bilden die zugeh"orige Kategorienfaserung,
gehen zur opponierten Kategorienfaserung "uber und 
bilden dann wieder den zugeh"origen Faserfunktor,
so erhalten wir einen Faserfunktor
 $\tilde p:\tilde{\mathscr{C}}\ra\mathscr{B}$ 
mit den opponierten Kategorien als 
Fasern und "uber jedem Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis
den Morphismenmengen 
$\tilde{\mathscr{C}}_f(\mathcal F,\mathcal G)=
\mathscr C_X(f^\ast \mathcal F,\mathcal G)$\label{UZTR}  
mit einer Verkn"upfungsregel, deren Ausarbeitung dem Leser
"uberlassen bleiben m"oge. 
\end{Bemerkungl}
 


% \begin{Beispiel}\emph{Nochmal durchgehen!} 
% Es ist im allgemeinen noch nicht 
% einmal m"oglich, 
% eine Zerf"allung so zu w"ahlen, da"s f"ur alle R"uckholfunktoren
% die Gleichheit $f^\circ \circ g^\circ = ( g \circ f)^\circ$
% von Funktoren gilt.
% F"ur ein Gegenbeispiel
%  betrachten wir einen surjektiven Gruppenhomomorphismus 
% $G \twoheadrightarrow H$ mit Kern
% $N$ und den zugeh"origen Funktor 
% $[G]\ra[H]$ von ein-Objekt-Kategorien.
% Die Faser ist die ein-Objekt-Kategorie $[N]$.
% Eine Zerf"allung ist eine Wahl  von  ausgezeichneten Urbildern
% $h_1\in G$ f"ur jeden Morphismus $h\in H$.
% Die R"uckholfunktoren 
% sind dann $h^\circ = (\op{int}  h_1)^{-1}$, und unsere Isotransformation
% $c (f,g)$ ist der Automorphismus $(gf)_1^{-1}  g_1 f_1$ 
% des einzigen Objekts der Faser.


% Es ist also in diesem Fall und damit im allgemeinen 
% nicht m"oglich, eine Zerf"allung zu finden, 
% bei der f"ur alle R"uckholfunktoren
% gilt
% $f^\circ \circ g^\circ = ( g \circ f)^\circ$.
% \end{Beispiel}


\begin{Definition}\label{DeKOK} 
Sei $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Funktor. Ein Morphismus
$\kappa : \mathcal F \ra \mathcal G$ in $\mathscr{C}$ hei"st 
{\bf $p$-kokartesisch} oder
abk"urzend {\bf kokartesisch}\index{kokartesisch!Morphismus} 
genau dann, wenn  f"ur alle  
Objekte $\mathcal H \in\mathcal C$ und alle
Morphismen $g:p\mathcal G\ra p\mathcal H$ 
in $\mathcal B$ 
das Vorschalten von $\kappa$ eine Bijektion
$$(\circ\kappa): \mathcal C_g(\mathcal G,\mathcal H)\sira \mathcal C_{g\circ p(\kappa)}(\mathcal F,\mathcal H)$$
induziert.
Ein kokartesischer Morphismus "uber einem vorgegebenen Morphismus
$f:X\ra  Y$ hei"st ein {\bf kokartesischer Lift}\index{kokartesisch!Lift} 
unseres vorgegebenen Morphismus $f$. 
Ein Funktor hei"st {\bf Kofaserfunktor}\index{Kofaserfunktor} 
oder auch eine {\bf Kofaserung}\index{Kofaserung} genau
dann, wenn  zu jedem Morphismus $f:X\ra  Y$ in  $\mathscr{B}$
und jedem $\mathcal F\in \mathcal C$ mit $p\mathcal F=X$ 
ein kokartesischer Lift $\kappa:\mathcal F\ra \mathcal G$ von $f$ existiert,
der in $\mathcal F$ beginnt. Wir notieren den bis auf
eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmten kokartesischen
Lift $\kappa:\mathcal F\ra f_\ast\mathcal F$.  
\end{Definition}

\begin{Beispiel}\label{BSKMx} %\label{BSKMn} %\label{BSKM}
Sei $\mathscr{B}$ irgendeine Kategorie und $\mathscr{C}$ die
Kategorie aller Darstellungen im Sinne von \eref{DaKoe}{LA2}
des K"ochers $\da$ mit zwei Punkten
und einem Pfeil vom einen zum anderen in $\mathscr{B}$,
in Formeln
$$\mathscr{C}\pdef\op{Car}(\da,\mathcal B)$$
 Denken wir uns den einzigen Pfeil dieses K"ochers wie angedeutet 
\glqq vertikal\grqq, so sind 
Objekte von $\mathscr{C}$ \glqq vertikale\grqq\  Morphismen in $\mathscr{B}$  und
Morphismen in $\mathscr{C}$ Paare von \glqq horizontalen\grqq\  Morphismen
in $\mathscr{B}$ derart, da"s mit den gegebenen vertikalen Morphismen
kommutative Quadrate entstehen. Ist nun $q:\mathscr{C}\ra \mathscr{B}$
der Funktor, der jedem Morphismus seinen Ausgangspunkt zuordnet, so 
sind die $q$-kokartesischen Morphismen in $\mathscr{C}$ genau diejenigen Morphismen,
die  kokartesischen Quadraten entsprechen.
\end{Beispiel}

\begin{Beispiel}
Gegeben ein Funktor $p:\mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ und der zugeh"orige Funktor
$p^\circ:\mathscr{C}^{\op{opp}}\ra \mathscr{B}^{\op{opp}}$ ist ein
Morphismus $f$ aus $\mathcal C$ genau dann $p$-kartesisch, wenn
der Morphismus $f^\circ$ aus $\mathcal C^{\op{opp}}$ ein
$p^\circ$-kokartesischer Morphismus ist.
Insbesondere ist $p:\mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Faserfunktor genau dann, wenn
$p^\circ:\mathscr{C}^{\op{opp}}\ra \mathscr{B}^{\op{opp}}$ ein Kofaserfunktor ist. 
\end{Beispiel}

\begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Wohl Schrott!} 
  eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$  ist
  ein Morphismus $\tau \in \op{Ens}_{/f}(\mathcal E, \mathcal G)$ von Garben
  "uber $f$ genau dann 
{\bf kartesisch},\index{kartesisch!Garbenmorphismus} wenn 
f"ur jede Garbe $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ das Nachschalten von $\tau$
eine Bijektion 
$$(\tau\circ):\op{Ens}_{/X}(\mathcal F, \mathcal E)\sira \op{Ens}_{/f}(\mathcal F, \mathcal G)$$
induziert. Offensichtlich ist das genau dann der Fall, wenn das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
  \bar{\mathcal E}&\ra &\bar{\mathcal G}\\
\da&&\da\\
X&\ra&Y
\end{array}$$
kartesisch ist in der Kategorie der topologischen R"aume. Da der R"uckzug jeder
\'etalen Abbildung wieder \'etale ist, finden wir  zu
vorgegebenen  $f$ und $\mathcal G$ stets einen kartesischen Morphismus
"uber $f$ nach $\mathcal G$.
Ist $\tau_1\in \op{Ens}_{/f}(\mathcal E_1, \mathcal G)$
ein weiterer  kartesischer Morphismus "uber $f$ in die Garbe $\mathcal G$, so ist dar"uber hinaus der eindeutig bestimmte Morphismus
$\alpha:\mathcal E_1\ra \mathcal E$ mit $\tau_1=\tau\alpha$ ein Isomorphismus.
Folglich ist $(\mathcal E,\tau)$ durch $(\mathcal G,f)$ eindeutig bestimmt bis
auf eindeutigen Isomorphismus.  Wir nennen $\mathcal E$ oder genauer $(\mathcal E,\tau)$ die
{\bf zur"uckgezogene Garbe}\index{Garbe!zur"uckgezogene} und
bezeichnen sie
mit $$\mathcal E=f^\ast\mathcal G$$
Die universelle Eigenschaft induziert eine Abbildung
$\Gamma(Y;\mathcal G)\ra \Gamma(X;f^{\ast}\mathcal G)$.
In der Literatur wird die zur"uckgezogene Garbe vielfach
$f^{-1}\mathcal G$ notiert\index{)6ast@$f^*$ R"uckzug!von Mengengarbe}
statt wie bei uns $f^{\ast}\mathcal G$. 
\end{Bemerkungl}

\subsection{R"uckzug von globalen Schnitten}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Grundkonstruktionen}] 
Gegeben eine Menge $G$ notieren wir $G_{/\!\op{top}}\in\op{Ens}_{/\!\op{top}}$ 
die Garbe "uber dem %ein f"ur allemal fest gew"ahlten
einpunktigen Raum $\op{top}$ mit Faser $G$ und erhalten\label{AGpkt} 
so einen Isomorphismus von Kategorien $\op{Ens}\sira \op{Ens}_{/\!\op{top}}$.
Zusammen mit unserem zerf"allten Faserfunktor 
$\op{Ens}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$ bildet er das Grunddatum, aus dem wir
den ganzen Formalismus aufbauen wollen. Die Idee dahinter ist, 
da"s viele verwandte Theorien aus "ahnlichen Grunddaten aufgebaut sind,
f"ur deren Verst"andnis  die hier entwickelte Theorie als
Modell dienen kann.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}
  Sei $p:\mathcal C\ra\mathcal B$ ein zerf"allter Faserfunktor.
Besitzt $\mathcal B$ ein finales Objekt $\op{pt}$,
so k"onnen wir zu jedem Objekt der Faser $M\in \mathcal C_{\op{pt}}$
und jedem Objekt $X\in\mathcal B$ das zur"uckgeholte Objekt 
$$M_X\pdef \op{fin}^\ast M\in  \mathcal C_{X}$$ betrachten, f"ur 
$\op{fin}=\op{fin}_X:X\ra \op{pt}$ den eindeutig bestimmten Morphismus. 
Wir nennen $M_X$ das 
{\bf konstante Objekt zu $M$ auf $X$}.\index{konstantes Objekt}
F"ur jeden Morphismus $f:Y\ra X$ in  $\mathcal B$
liefern unsere \hyperref[Clii]{Identifikationen} 
Isomorphismen $f^\ast M_X\sira M_Y$.\label{IDRk}  
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Im Fall der Garbenfaserung erhalten wir so unsere konstanten Garben
aus \ref{GX}. Bezeichnet $\op{top}$ den einpunktigen topologischen Raum
und $\op{ens}=\op{ens}_{/\op{top}}\in \op{Ens}_{/\op{top}}$ 
die einpunktige Garbe dar"uber,
so ist $\op{ens}_X$ die konstante Garbe mit einelementigen Fasern auf $X$,
deren \'etaler Raum  die Identit"at $\op{id}:X\ra X$ ist.
Wir erhalten f"ur jede Garbe $\mathcal F\in \op{Ens}_{/X}$ offensichtliche 
Bijektionen
$$\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_X,\mathcal F)\sira \Gamma(X;\mathcal F)$$
Gegeben eine stetige Abbildung $f:Y\ra X$  
 induziert die durch den R"uckholfunktor gegebene Abbildung 
$\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_X,\mathcal F)\ra
\op{Ens}_{/Y}(f^\ast\op{ens}_X,f^\ast\mathcal F)$ 
zusammen mit unserer Identifikation  $f^\ast M_X\sira M_Y$
also eine Abbildung 
$$f^\circledast:\Gamma(X;\mathcal F)\ra \Gamma(Y;f^\ast \mathcal F)$$
Sie hei"st das {\bf Zur"uckholen von globalen Schnitten}. 
\index{)6index@$f^\circledast$ Zur"uckholen von Schnitten}
\index{Zur"uckholen!von Schnitten in Garben}
Das Zur"uckholen von globalen Schnitten kann 
in unserer Konstruktion der zur"uckgeholten Garbe \ref{KaFax}
alternativ auch mithilfe der universellen Eigenschaft des 
Faserprodukts
explizit beschrieben werden.
\end{Beispiel}


\begin{Bemerkungl}
  Die im vorhergehenden eingef"uhrten Konstruktionen k"onnen analog 
f"ur einen beliebigen zerf"allten Faserfunktor
 durchgef"uhrt werden, dessen Basis 
ein finales Objekt $\op{pt}$ besitzt.
W"ahlen wir dann $E\in \cal{C}_{/\op{pt}}$, so k"onnen wir f"ur jedes
$X\in\cal{B}$ den Funktor
$$\Gamma=\Gamma_E\pdef\cal{C}_{/X}(\op{fin}_X^\ast(E),\;):\cal{C}_{/X}\ra 
\op{Ens}$$ 
betrachten und Transformationen $f^\circledast:\Gamma\RA \Gamma f^\ast$
erkl"aren, die das Zur"uckholen von Schnitten verallgemeinern.
Sogar in dieser Allgemeinheit kommutiert 
f"ur je zwei verkn"upfbare Morphismen $f$ und $g$ aus $\cal{B}$ 
das Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
&\Gamma\ar@{=>}[d]_-{(fg)^\circledast}\ar@{=>}[r]^-{f^\circledast}&\Gamma f^\ast \ar@{=>}[d]^-{g^\circledast f^\ast}&\\
&\Gamma(fg)^\ast& \ar@{=>}[l]_-{c(g,f)}\Gamma g^\ast f^\ast&
}
\end{displaymath}
und liefert
$\op{id}^\circledast$ stets 
Bijektionen 
$\op{id}^\circledast:\Gamma \cal{F}\sira \Gamma \op{id}^\ast\cal{F}$
alias eine Isotransformation $\op{id}^\circledast:\Gamma 
\stackrel{\sim}{\RA} \Gamma \op{id}^\ast$.
\end{Bemerkungl}

\begin{Beispiel}
  Im Fall der Garbenfaserung durch abelsche Garben 
$\op{Ab}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$ ist das Zur"uckholen globaler Schnitte
offensichtlich ein Gruppenhomomorphismus.
Man kann es in diesem Fall auch alternativ konstruieren, indem man von der
Garbe $\DZ=\DZ_{/\op{top}}\in \op{Ab}_{/\op{top}}$ 
"uber dem einpunktigen Raum ausgeht,
dazu die konstanten Garben $\DZ_X\pdef \op{fin}^\ast\DZ\in 
\op{Ab}_{/X}$ konstruiert, und die kanonischen Isomorphismen
$$\op{Ab}_{/X}(\DZ_X,\mathcal F)\sira \Gamma(X;\mathcal F)$$
von abelschen Gruppen betrachtet, die jedem Homomorphismus das Bild
des konstanten Schnittes $1\in \Gamma(X;\DZ_X)$ zuordnen.
In diesem Fall liefert unser R"uckholfunktor eine
Abbildung 
$\op{Ab}_{/X}(\DZ_X,\mathcal F)\ra \op{Ab}_{/Y}(f^\ast\DZ_X,f^\ast\mathcal F)$,
die wieder das Zur"uckholen der globalen Schnitte 
$f^\circledast:\Gamma(X;\mathcal F)\ra \Gamma(Y;f^\ast \mathcal F)$
liefert.
\end{Beispiel}



\begin{Bemerkungl}[\textbf{Halme durch Zur"uckholen}]
Gegeben eine Garbe $\cal{F}\in\op{Ens}_{/X}$ und 
ein Punkt $x\in X$ bezeichnen wir
die Einbettung mit Bild $x$ des einpunktigen Raums mit $i_x:\op{top}\hra X$. 
Wir erhalten dann  
eine kanonische Bijektion  $\Gamma i_x^\ast\cal{F}\sira \cal{F}_x$, 
unter der das Zur"uckholen eines Schnittes aus $\Gamma \cal{F}$
dem "Ubergang zu seinem  Halm an der Stelle $x\in X$ entspricht.  
Im Sinne eines Aufbaus der Theorie aus m"oglichst wenigen 
Grundkonstruktionen
 nehmen wir von nun an die linke Seite als unsere Definition des Halms und
setzen also\index{)8ba@$\cal{F}_x$ Halm!einer Garbe}
$$\cal{F}_x\pdef\Gamma i_x^\ast\cal{F}$$ 
  Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und $x\in X$ folgt aus $f\circ
  i_x=i_{f(x)}$ sofort, da"s unsere Identifikation 
$c(f,i_x)$ auf den Halmen einen 
Isomorphismus  induziert. Wir notieren ihn auch $f^\circledast:\cal{F}_{f(x)}\sira
  (f^\ast \cal{F})_{x}$ und nennen ihn das {\bf Zur"uckholen auf den Halmen}.
 \index{)6index@$f^\circledast$ Zur"uckholen auf den Halmen}
\index{Zur"uckholen!auf den Halmen von Garben}
\end{Bemerkungl}


% \subsection{R"uckzug von globalen Schnitten, ALT}
 



%   \begin{Bemerkungl}[\textbf{\'Etale Morphismen als zerf"allte Faserung}]
%     Wir erinnern unseren Faserfunktor
%  $\op{\acute{E}t} \ra \op{Top}$ aus \ref{ETFm}.
% Eine Zerf"allung dieses Faserfunktors wird etwa gegeben durch unsere 
% Konstruktion des pull-back in der Kategorie der topologischen R"aume nach 
% \eref{IWE}{TF}.  
% \end{Bemerkungl}










% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garben auf topologischen R"aumen als zerf"allte Faserung}]
%  Bezeichne $\op{Ens}_{\op{Top}}$ die Kategorie, deren\label{GruD} 
%     Objekte Garben "uber topologischen R"aumen sind und deren Morphismen
%     $(\cal{E},X)\ra (\cal{F},Y)$ Paare $(\tilde f,f)$ bestehend aus einer
%     stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ nebst nebst einem stetigen Lift
%     $\tilde{f}:\bar{\cal{E}}\ra \bar{ \cal{F}}$. So ist der
%     Funktor $\op{Ens}_{\op{Top}}\ra \op{Top}$, $(\cal{F},Y)\mapsto Y$  ein
%     Faserfunktor und unsere inversen Bilder $f^\circ$ aus 
% \ref{KaFax} bilden eine Zerf"allung. 
% \end{Bemerkungl}


% \begin{Bemerkungl}
% In der Literatur werden inverse Bilder von Garben statt $f^{\circ}$
% wie hier meist $f^{-1}$\index{$f^{-1}$!Zur"uckholen von Garben} 
% notiert.
% Ich will jedoch sp"ater das direkte Bild 
% $f_{\circ}$ notieren
% statt wie "ublich $f_*$,
% und will f"ur diese adjungierten Funktoren  symmetrische Notationen
% verwenden.
% \end{Bemerkungl}  

 



% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abelsche Garben auf topologischen R"aumen als zerf"allte Faserung}] Bezeichnet weiter $\op{Ab}_{\op{Top}}$ die Kategorie, deren
%     Objekte abelsche Garben "uber topologischen R"aumen sind und deren
%     Morphismen $(\cal{E},X)\ra (\cal{F},Y)$ Paare $(\tilde f,f)$ bestehend aus
%     einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ nebst nebst einem Lift
%     $\tilde{f}:\bar{\cal{E}}\ra \bar{ \cal{F}}$, der Gruppenhomomorphismen auf
%     den Halmen induziert, so ist ebenso der offensichtliche Funktor
%     $\op{Ab}_{\op{Top}}\ra \op{Top}$ ein Faserfunktor und 
% die inversen Bilder $f^\circ$ aus 
% \ref{KaFax} bilden wieder eine Zerf"allung, wenn wir sie in der 
% offensichtlichen Weise zu Garben von abelschen Gruppen machen.
%   \end{Bemerkungl}






% % \begin{Bemerkungl}\label{AIBGa}
% %   Wir definieren nun eine Kategorienfaserung 
% % $\op{Ens}_/$  "uber der Kategorie der
% % topologischen R"aume.
% % Jedem topologischen Raum $X$ ordnet sie die Kategorie 
% % $\op{Ens}_{/X}$ aller Garben von Mengen "uber $X$ zu. 
% % Gegeben eine stetige Abbildung $f: Y \ra X$ definieren 
% % wir das {\bf inverse Bild}\index{inverses Bild!einer Garbe} 
% % von Garben,  einen Funktor\index{$f^{\circ}$ Zur"uckholen von Garben} 
% % $$
% % f^{\circ}: \op{Ens}_{/X} \ra  \op{Ens}_{/Y}
% % $$ 
% % als die Zuordnung, die jeder Garbe $\cal{G}$ 
% % auf $X$  die Garbe der stetigen Schnitte des Faserprodukts des
% % \'etalen Raums von $\cal{G}$ mit $Y$ zuordnet, in Formeln
% % $$ f^{\circ} \cal{G}\pdef \cal{S}_Y(Y\times_{X} \bar{\cal{G}})$$
% % Gleichbedeutend sprechen wir auch vom
% % {\bf Zur"uckholen von Garben}.\index{Zur"uckholen!von Garben}
% % \label{AKaFa} 
% % Jeder R"uckzug eines \'etalen Morphismus ist \'etale nach \ref{REE}, 
% % folglich liefert die
% %   Adjunktion \ref{ADJS} einen Hom"oomorphismus von \'etalen R"aumen
% %   $$\overline{f^{\circ}\cal{G}} \overset{\sim}{\ra} Y \times_{X}
% %   \bar{\cal{G}} $$ "uber $ Y$. Ich hoffe, da"s das eine 
% % gewisse Anschauung
% %   f"ur das inverse Bild einer Garbe gibt. Es
% %  f"uhrt auch zum letzten Datum unserer
% % Kategorienfaserung:
% % Wir erkl"aren  f"ur je zwei verkn"upfbare stetige Abbildungen 
% % $g:X\ra Y$ und $f:Y\ra Z$ unsere
% % Isotransformation
% % $$c=c(g,f):g^\circ \circ f^\circ\stackrel{\sim}{\RA} (f\circ g)^\circ$$ 
% % indem wir beachten,
% % da"s f"ur jede Garbe $\cal{F}\in \op{Ens}_{/Z}$  
% % die \'etalen R"aume zu 
% % $g^\circ ( f^\circ\cal{F})$ und $(f\circ g)^\circ\cal{F}$
% % nach \ref{EK}
% % dasselbe Diagramm kartesisch machen.
% % \end{Bemerkungl}


% % \begin{Bemerkungl}
% %   Da"s die in \ref{IBGa} gegebenen Daten die Axiome \ref{GefKa} einer
% % Kategorienfaserung erf"ullen, scheint mir offensichtlich.
% % Analog erkl"aren wir auch die Kategorienfaserung 
% % $\op{Ab}_/$  "uber der Kategorie der
% % topologischen R"aume, die jedem topologischen Raum $X$ die
% % Kategorie der abelschen Garben auf $X$ zuordnet, und noch allgemeiner
% % f"ur jeden Ring $k$ die Kategorienfaserung 
% % $k\op{-Mod}_/$, die jedem topologischen Raum $X$ die
% % Kategorie der  Garben von $k$-Moduln auf $X$ zuordnet.
% % \end{Bemerkungl}





% % \begin{Bemerkungl}\label{AcaID}
% %   Gegeben eine Kategorienfaserung 
% % k"onnen wir  jedem Objekt der Basis $B\in \cal{B}$ eine 
% % Isotransformation $\op{can}:\op{id}^\circ\stackrel{\sim}{\RA} \op{Id}$
% % von Funktoren $\cal{C}_{/B}\ra \cal{C}_{/B}$ zwischen dem
% % Zur"uckholen mit der Identit"at auf $B$ und dem Identit"atsfunktor
% % auf $\cal{C}_{/B}$ zuordnen durch die Vorschrift, da"s sie unter 
% % dem Anwenden der "Aquivalenz von Kategorien 
% % $\op{id}^\circ:\cal{C}_{/B}\ra \cal{C}_{/B}$  der 
% % Isotransformation $c(\op{id},\op{id}):\op{id}^\circ\circ \op{id}^\circ
% % \stackrel{\sim}{\RA} \op{id}^\circ$ entsprechen m"oge,
% % in Formeln $\op{id}^\circ\op{can}=c(\op{id},\op{id})$.
% % Zur "Ubung mag der Leser zeigen, da"s dann auch gilt
% % $\op{can}\op{id}^\circ=c(\op{id},\op{id})$.
% % \end{Bemerkungl}



% %   \begin{Beispiel}\label{AcanFF}
% %     Im Fall unserer Kategorienfaserung $\op{Ens}_/$ liefert unsere
% %     Isotransformation aus \ref{caID} die offensichtlichen Isomorphismen
% %     $\op{id}^\circ\cal{F}\sira \cal{F}$.
% %   \end{Beispiel}











% %% \begin{Ubung}\label{ACICD}
% %% Gegeben eine Garbe $\cal{F}$ auf einem Raum zeige man die Identit"at
% %% $\op{id}^\circ (\op{can}_{\cal{F}})=\op{can}_{\op{id}^\circ\cal{F}}:
% %% \op{id}^\circ(\op{id}^\circ\cal{F})\sira \op{id}^\circ\cal{F}$ sowie
% %% f"ur jede stetige Abbildung $f:Y\ra X$ die Identit"at
% %% $c(\op{id},f)=\op{can}_{f^\circ\cal{F}}:
% %% \op{id}^\circ(f^\circ\cal{F})\sira f^\circ\cal{F}$
% %% \end{Ubung}
% \begin{Definition}\label{AGpkt}
% Gegeben eine Menge $G$ notieren wir $G_{/\!\op{top}}\in\op{Ens}_{/\!\op{top}}$ 
% die Garbe "uber dem ein f"ur allemal fest gew"ahlten
% einpunktigen Raum $\op{top}$ mit Faser $G$ und erhalten
% so einen Isomorphismus von Kategorien $\op{Ens}\sira \op{Ens}_{/\!\op{top}}$.
% \end{Definition}

% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grundkonstruktionen}]
%   Wir wollen im folgenden die Theorie nochmal neu aus 
% m"oglichst wenigen Grundkonstruktionen aufbauen\label{GruK} 
% und versuchen es  erst einmal mit unserem
% zerf"allten Faserfunktor \ref{GruD}
% und der "Aquivalenz $\op{Ens}\sira \op{Ens}_{/\!\op{top}}$, 
% $G\mapsto G_{/\!\op{top}}$
% des Bildens konstanter Garben auf einem Punkt \ref{AGpkt}. 
% Dieses Vorgehen hat  einerseits den Vorteil,
% da"s man  viele Argumente und abgeleitete Konstruktionen 
% leicht auf  "ahnlich gelagerte Situationen "ubertragen
% kann, und andererseits, da"s   weniger Vertr"aglichkeiten 
% zu  pr"ufen bleiben.
% \end{Bemerkungl}

% % \begin{Bemerkunge}
% %   Eine genauere Analyse zeigt, da"s das wesentliche Datum 
% % schlicht eine Kategorienfaserung "uber einer Kategorie mit finalem Objekt ist 
% % derart, da"s die Faser "uber besagtem finalen Objekt ihrerseits ein
% % finales Objekt besitzt. 
% % Diese Struktur reicht aus, um konstante Garben zu bilden, 
% % jeder Garbe die Menge ihrer globalen Schnitte zuzuordnen, und
% % den R"uckzug auf globalen Schnitten zu erkl"aren. 
% % \end{Bemerkunge}

% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstante Garben aus den Grundkonstruktionen}] 
% Bezeichnet $\op{fin}_X:X\ra\op{top}$ wie \glqq final\grqq\  
% die konstante Abbildung von einem beliebigen  topologischen Raum $X$
% auf den einpunktigen Raum $\op{top}$,\label{BZP} 
% so haben
% wir einen kanonischen
% Isomorphismus  $ \op{fin}_X^\circ G_{/\!\op{top}}\sira G_X$ 
% zwischen dem inversen Bild der konstanten Garbe $G$ auf dem Punkt
% und der konstanten Garbe $G_X$ auf unserem Raum $X$. 
% Im Sinne eines
% systematischen Aufbaus 
% der Theorie aus den Grundkonstruktionen \ref{GruK} 
% nehmen wir das von nun an als Definition der konstanten Garbe 
% und setzen also\index{$G_X$}
% $$G_X\pdef \op{fin}_X^\circ G_{/\!\op{top}}$$
% Damit liefert nach \ref{KaFax} 
% f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ 
% unsere Identifikation $c(f,\op{fin}_Y)$   einen 
% Isomorphismus $c(f,\op{fin}_Y): f^\circ G_Y\sira G_X$,  und 
% unsere Identifikation $c$ liefert einen
% Isomorphismus $G_{\op{top}}\sira G_{/\!\op{top}}$.
% \end{Bemerkungl}







% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Globale Schnitte aus den Grundkonstruktionen}]
% (Kopiert nach \ref{ZHSchA}.)  Im folgenden
% bezeichnen wir die einelementige Menge\label{ZHSchB}  
% mit
% $\op{ens}$,\index{ens@$\op{ens}$ einelementige Menge}
% um sie vom einelementigen Raum 
% $\op{top}$ 
% zu unterscheiden.
% Den Funktor 
% des Bildens der globalen Schnitte 
% $\Gamma: \op{Ens}_{/X}\ra\op{Ens}$ 
% k"onnen wir 
% aus den  Grundkonstruktionen  \ref{GruK}  erhalten als 
% $$\Gamma\cal{F}\pdef\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_X,\cal{F})$$
% f"ur $\op{ens}_X=\op{fin}_X^\circ \op{ens}_{/\!\op{top}}$ 
% die konstante Garbe auf $X$ mit der einelementigen Menge $\op{ens}$
% als Faser  und insbesondere mit
% zu $\op{id}:X\ra X$ isomorphem \'etalem Raum. 
% Unsere Grundkonstruktionen  liefern dann weiter f"ur
% jede stetige Abbildung $f:Y\ra X$ eine 
% Abbildung\index{)6index@$f^\circledast$ Zur"uckholen von 
% Schnitten}
%  $$f^\circledast:\Gamma \cal{F}\ra \Gamma f^\circ\cal{F}$$ 
% auf den globalen Schnitten,
% das sogenannte 
% {\bf Zur"uckholen von 
% Schnitten},\index{Zur"uckholen!von Schnitten in Garben}
% als die Verkn"upfung der durch den R"uckholfunktor und 
% die Identifikation aus \ref{BZP} 
% gegebenen
% Abbildungen $$\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_X,\cal{F})\ra 
% \op{Ens}_{/Y}(f^\circ\op{ens}_X,f^\circ\cal{F})\sira 
% \op{Ens}_{/Y}(\op{ens}_Y,f^\circ\cal{F})$$
% %% Mit \glqq kanonisch\grqq\  ist gemeint, da"s $f^\ast:\Gamma \RA \Gamma f^\circ$ 
% %% eine Transformation
% %% von Funktoren $\op{Ens}_{/X}\ra\op{Ens}$ ist.
% \end{Bemerkungl}
 
% \begin{Bemerkunge}
%  Das ist sicher anschaulicher, 
% verl"a"st aber eben  unseren in \ref{GruK} gesteckten Rahmen. 
% \end{Bemerkunge}
 




% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der analoge Fall abelscher Garben}] 
% Im Fall abelscher Garben gehen wir "ahnlich
% vor.\label{Gpkta} 
% Gegeben eine abelsche Gruppe 
% $G$ notieren wir $G_{/\!\op{top}}\in\op{Ab}_{/\!\op{top}}$ 
% die abelsche 
% Garbe "uber dem einpunktigen Raum $\op{top}$ mit Faser $G$ 
% und nehmen diese Konstruktion zusammen mit unserer Faserung
% $\op{Ab}_{/\op{Top}}$ als  Grundkonstruktionen.
% Dann definieren  wir die konstante Garbe mit Faser $G$ auf einem Raum
% $X$ als
% $$G_X\pdef \op{fin}_X^\circ G_{/\!\op{top}}$$
% und konstruieren den Funktor $\Gamma: \op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab}$ 
% des Bildens der globalen Schnitte 
% aus unseren  Grundkonstruktionen   als 
% $$\Gamma\cal{F}\pdef \op{Ab}_{/X}(\DZ_X,\cal{F})$$
% Nun liefern   f"ur
% jede stetige Abbildung $f:Y\ra X$ unsere Grundkonstruktionen einen  
% Gruppenhomomorphismus $$f^\circledast:\Gamma \cal{F}\ra \Gamma f^\circ\cal{F}$$ 
% auf den globalen Schnitten,
% den wir wieder das 
% {\bf Zur"uckholen}\index{Zur"uckholen!von Schnitten in Garben}
% nennen, und schlie"slich konstruieren  wir den Halm einer abelschen Garbe
% $\cal{F}$ auf einem Raum $X$ an einer Stelle $x\in X$ 
% aus unseren Grundkonstruktionen  als
% $$\cal{F}_x\pdef \Gamma i_x^\circ \cal{F}$$
%  Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und $x\in X$ folgt aus $f\circ
%   i_x=i_{f(x)}$ wieder, da"s $c(f,i_x)$ auf den Halmen einen 
% Isomorphismus $f^\circledast: \cal{F}_{f(x)}\sira
%   (f^\circ \cal{F})_{x}$ induziert. \end{Bemerkungl}


% \subsection{R"uckzug von Garben, teilweise obsolet}

% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}]
% Die Notation $f^\circ$ f"ur das Zur"uckholen von Garben ist un"ublich.
% Meist verwendet man daf"ur die Notation 
% $f^{-1}$\index{0@$f^{-1}$ Zur"uckholen von Garben} oder seltener $f^\ast$. 
% Meine Motivation f"ur diese neue Notation ist der Wunsch, zusammen
% das  Paar adjungierter Funktoren, da"s das Zur"uckholen einmal 
% mit dem \glqq direkten Bild\grqq\ bilden wird, $(f^\circ, f_\circ)$
% notieren zu k"onnen. Die "Uberschneidung mit der Notation 
% $f^\circ$ f"ur Elemente von 
% \glqq opponierten Strukturen\grqq\ wie in \eref{oppoGR}{GR}
%  schien mir ertr"aglich. 
% \end{Bemerkungl}


% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstante Garben als inverse Bilder}]
%  Zu jeder Menge $G$ bilden wir auf \glqq dem\grqq\  einpunktigen Raum
% $\op{top}$ die Garbe $G_{/\op{top}}$\index{$G_{/\op{top}}$} 
%  mit Faser $G$ und 
% definieren f"ur einen beliebigen topologischen Raum $X$ 
% die konstante Garbe nocheinmal neu als 
% die zur"uckgeholte Garbe $$G_X\pdef \op{fin}_X^\circ ( G_{/\op{top}})$$
% unter der eindeutig bestimmten Abbildung $\op{fin}_X:X\ra\op{top}$.
% Nat"urlich ist unser neues $G_X$\index{$G_X$}   kanonisch isomorph zu unserer
% konstanten Garbe
% $G_X$ aus \ref{GX}. Es erweist sich jedoch als
% bequemer, die Theorie aus m"oglichst wenigen 
% Grundkonstruktionen aufzubauen. 
% \end{Bemerkungl}


% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Identifikationen zwischen R"uckholfunktoren}] 
%  Gegeben verkn"upfbare stetige Abbildungen\label{IdRF}  
% $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ 
% und eine Garbe $\mathcal G$ auf $Z$ ist  die 
% \glqq in Stufen zur"uckgeholte\grqq\,
%  Garbe
% $f^\circ (g^\circ \mathcal G)$ im allgemeinen 
% durchaus verschieden von der 
% \glqq in einem Rutsch zur"uckgeholten\grqq\, 
%  Garbe $(g\circ f)^\circ\mathcal G$. Wir   k"onnen jedoch eine
% nat"urliche Isotransformation
% $$c=c(f,g):f^\circ \circ g^\circ\stackrel{\sim}{\RA} (g\circ f)^\circ$$ 
% konstruieren, indem wir beachten,
% da"s f"ur jede Garbe $\cal{G}\in \op{Ens}_{/Z}$  
% die \'etalen R"aume zu 
% $f^\circ ( g^\circ\cal{G})$ und $(g\circ f)^\circ\cal{G}$
% nach \eref{EK}{TF} 
% denselben Winkel zu einem kartesischen Diagramm erg"anzen.
% F"ur die so konstruierten
%  Isotransformationen $c$  kommutieren weiter alle Diagramme
%   $$\begin{array}{ccc} f^{\circ} \circ g^{\circ} \circ h^{\circ} & \RA
%     & (g\circ f)^{\circ}\circ h^{\circ} \\
%     \Downarrow & & \Downarrow \\
%     f^{\circ} \circ (h\circ g)^{\circ} & \RA & (h \circ g \circ f)^{\circ}
% \end{array}$$
% mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise 
% aus den Isotransformationen $c$ gebildeten Transformationen. 
% Weiter ist das Zur"uckholen mit der Identit"at 
% eine "Aquivalenz, folglich 
% gibt es f"ur jede Garbe $\mathcal F$ auf einem Raum $X$ genau
% einen Morphismus $c_X:\op{id}_X^\circ\mathcal F\sira \mathcal F$
% mit $\op{id}_X^\circ c_X=c(\op{id}_X,\op{id}_X):
% \op{id}_X^\circ(\op{id}_X^\circ\mathcal F)\sira \op{id}_X^\circ\mathcal F$. 
% Wir nennen diese Isotransformationen 
% $c_X$ und $c(f,g)$ 
% {\bf Identifikationen}.\index{Identifikation}
% % Sicher liefert das Zur"uckholen mit der Identit"at im allgemeinen
% % nicht dieselbe Garbe, aber f"ur jeden\label{IdRF} 
% % topologischen Raum $X$ k"onnen wir unschwer eine nat"urliche
% % Isotransformation  $c_X:\op{id}_X^{\circ}\stackrel{\sim}{\RA} \op{Id}$ 
% % zwischen diesem Zur"uckholen  und dem Identit"atsfunktor auf 
% %  der Kategorie der Garben auf $X$  konstruieren. 
% % Weiter gilt $c(\op{id}_Y,g)=c_Yg^\circ$ und  $c(f,\op{id}_Y)=f^\circ c_Y$. 
% \end{Bemerkungl}

% \begin{Bemerkungl}\label{IDRk} 
%   Unsere Identifikationen liefern insbesondere 
% nat"urliche Isomorphismen $c_{\op{top}}:G_{\op{top}}\sira
% G_{/\op{top}}$ und $c(f,\op{fin}_X):f^\circ G_X \sira G_Y$ f"ur jede 
% stetige Abbildung $f:Y\ra X$. Ist speziell $f=\op{id}_X$ die Identit"at,
% so gilt $c(\op{id}_X,\op{fin}_X)=c_X:\op{id}_X^\circ G_X \sira G_X$. 
% \end{Bemerkungl}



% \begin{Bemerkungl}\label{ZHSch} 
%   Wir erhalten f"ur jede stetige Abbildung $f:Y\ra X$ und jede Garbe 
% $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ eine
%   Abbildung\index{)6index@$f^\circledast$ Zur"uckholen von Schnitten}
%  $$f^\circledast:\Gamma \cal{F}\ra \Gamma f^\circ\cal{F}$$ 
% von den globalen Schnitten unserer Garbe in die globalen Schnitte der
% zur"uckgeholten Garbe, das  {\bf Zur"uckholen von
%    Schnitten},\index{Zur"uckholen!von Schnitten in Garben}
% indem wir einem Schnitt $s\in\Gamma\mathcal F$ erst
% den zugeh"origen  Schnitt $\bar s:X\ra \bar{\mathcal F}$ in den
% \'etalen Raum von $\mathcal F$ zuordnen und dann weiter
% den Schnitt $f^\circledast(s)\pdef (\op{id}_Y,\bar s\circ f)
% :Y\ra Y\times_X\bar{\mathcal F}$. Offensichtlich 
% ist $\op{id}_X^\circledast:\Gamma \cal{F}\sira \Gamma\op{id}_X^\circ\cal{F}$
% dann invers zu $\Gamma c_X:\Gamma \op{id}_X^\circ\cal{F}\sira \Gamma\cal{F}$. 
% Und offensichtlich kommutiert 
% f"ur je zwei verkn"upfbare stetige Abbildungen $f$ und $g$  
% das Diagramm
% \begin{displaymath}
%  \xymatrix{
% &\Gamma\ar@{=>}[d]_-{(fg)^\circledast}\ar@{=>}[r]^-{f^\circledast}&\Gamma f^\circ \ar@{=>}[d]^-{g^\circledast f^\circ}&\\
% &\Gamma(fg)^\circ& \ar@{=>}[l]_-{c(g,f)}\Gamma g^\circ f^\circ&
% }
% \end{displaymath}
% \end{Bemerkungl}
% \begin{Bemerkungl}[\textbf{Globale Schnitte im neuen Formalismus}]
% %("Altere Kopie noch in {ZHSchB}.) 
% Im folgenden\label{ZHSchA} 
% bezeichnen wir die einelementige Menge 
% mit
% $\op{ens}$,\index{ens@$\op{ens}$ einelementige Menge}
% um sie vom einelementigen Raum 
% $\op{top}$ 
% zu unterscheiden.
% Der Funktor 
% des Bildens der globalen Schnitte 
% $\Gamma: \op{Ens}_{/X}\ra\op{Ens}$ 
% ist kanonisch isomorph zum Funktor
% $$\Gamma\cal{F}\pdef\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_X,\cal{F})$$
% f"ur $\op{ens}_X=\op{fin}_X^\circ \op{ens}_{/\!\op{top}}$ 
% die konstante Garbe auf $X$ mit der einelementigen Menge $\op{ens}$
% als Faser  und insbesondere mit
% zu $\op{id}:X\ra X$ kanonisch isomorphem \'etalem Raum. 
% Dem Zur"uckholen von globalen Schnitten unter einer 
% stetigen Abbildung $f:Y\ra X$
% entspricht dabei der Verkn"upfung der durch den R"uckholfunktor und 
% die Identifikation aus \ref{BZP} 
% gegebenen
% Abbildungen $$\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_X,\cal{F})\ra 
% \op{Ens}_{/Y}(f^\circ\op{ens}_X,f^\circ\cal{F})\sira 
% \op{Ens}_{/Y}(\op{ens}_Y,f^\circ\cal{F})$$
% %% Mit \glqq kanonisch\grqq\  ist gemeint, da"s $f^\ast:\Gamma \RA \Gamma f^\circ$ 
% %% eine Transformation
% %% von Funktoren $\op{Ens}_{/X}\ra\op{Ens}$ ist.
% \end{Bemerkungl}

\subsection{R"uckzug in der Garbenkohomologie}
\begin{Bemerkungl}
Von ihrer Definition her  liefert die Garbenkohomologie
f"ur jeden topologischen
Raum  $X$ Funktoren $\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$,
$\mathcal F\mapsto \mathrm{H}^q(X;\mathcal F)$ 
von der Kategorie der  abelschen Garben auf $X$ in die Kategorie der  
abelschen Gruppen.
Wenn wir den Funktor $G\mapsto G_X$ davorschalten, der jeder Gruppe
die entsprechende konstante Garbe zuordnet, erhalten wir 
Funktoren 
$G\mapsto\mathrm{H}^q(X;G_X)$  
von der Kategorie der  abelschen Gruppen in sich selber. 
In diesem Abschnitt will ich erkl"aren, wie die Garbenkohomologie bei
einer festen Koeffizientengruppe $G$ auch zu einem  kontravarianten
Funktor $\op{Top}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$,
 $X\mapsto\mathrm{H}^q(X;G_X)$ 
von der Kategorie der topologischen R"aume 
in die Kategorie der abelschen
Gruppen gemacht werden kann. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}\label{ZHKo}
Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und eine abelsche Garbe 
$\cal{F}$ auf $Y$ definieren wir Homomorphismen von abelschen Gruppen
$$f^\circledast:\op{H}^q(Y;\cal{F})\ra \op{H}^q(X;f^\ast \cal{F})$$ 
durch die Verkn"upfungen
$\cal{H}^q\Gamma{\op{G}}^\ast\cal{F}\ra 
\cal{H}^q\Gamma f^\ast{\op{G}}^\ast\cal{F}\ra \op{H}^q(X;f^\ast \cal{F})$,
wobei die erste Abbildung vom Zur"uckholen globaler Schnitte der
Godement-Aufl"osung
$\Gamma{\op{G}}^\ast\cal{F}\ra 
\Gamma f^\ast{\op{G}}^\ast\cal{F}$ induziert wird und
die Zweite von der in \ref{DKM} erkl"arten 
nat"urlichen  Abbildung zur 
Aufl"osung $f^\ast \cal{F}\hra f^\ast{\op{G}}^\ast\cal{F}$
der zur"uckgeholten Garbe. Wir nennen $f^\circledast$ das \defnoind{Zur"uckholen 
auf der Kohomologie}.\index{Zur"uckholen!auf der Kohomologie} 
\end{Definition}

%MAL PRUEFEN; OB DAS MIT INJEKTIVEN AUFL"OSUNGEN BESSER GEHT.

\begin{Bemerkungl}\label{idIs}
Aus unseren Konstruktionen folgt mit \ref{NAZ}, 
da"s $f^\circledast$ f"ur jeden Grad $q$ eine Transformation
von Funktoren $\op{Ab}_{/Y}\ra\op{Ab}$ liefert.
Weiter folgt, da"s $\op{id}_X^\circledast$ stets Isomorphismen
  $\op{id}_X^\circledast:\op{H}^q(X;\cal{F})
\sira \op{H}^q(X;\op{id}_X^\ast \cal{F})$ liefert.
Und schlie"slich folgt,
da"s
diese Isomorphismen invers sind zu  denen, die von 
unseren Identifikationen $c_X:\op{id}_X^\ast \cal{F}
\sira \cal{F}$ aus \ref{IdRF}  auf der Kohomologie induziert werden.
\end{Bemerkungl}








  \begin{Definition}\label{ZuGK}
    Ist speziell $A$ eine abelsche Gruppe und benutzen wir zus"atzlich den
    kanonischen Isomorphismus $f^\ast A_Y\sira A_X$
aus \ref{IDRk}, so erhalten wir  in
    der Garbenkohomologie mit konstanten Koeffizienten
 f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ 
eine kanonische
    Abbildung
    $$f^{\circledast}: \op{H}^q(Y;A_Y)\ra \op{H}^q(X;A_X)$$
als die Verkn"upfung $\op{H}^q(Y;A_Y)\ra \op{H}^q(X;f^\ast A_Y)\sira
\op{H}^q(X;A_X)$. Wir nennen auch diese Abbildung  das {\bf Zur"uckholen 
auf der Kohomologie}.\index{Zur"uckholen!auf der Kohomologie} 
Sp"ater verwenden wir statt
 $f^{\circledast}$ auch oft die vereinfachte Notation $f^\ast$.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckholen von Torsoren}]
Seien $f:X\ra Y$ stetig und $\cal{V}=(V_i)_{i\in I}$ eine indizierte 
offene "Uberdeckung von $Y$ 
und $f^{-1}\cal{V}=(f^{-1}V_i)_{i\in I}$ die davon induzierte 
 indizierte offene "Uberdeckung von $X$
und $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf $Y$ und 
$f^\circledast: \check{\op{C}}^{\ast} (\cal{V}; \cal{F})
\ra \check{\op{C}}^{\ast} (f^{-1}\cal{V}; f^\ast\cal{F})$
die durch das Zur"uckholen von Schnitten erkl"arte Kettenabbildung
und $f^\circledast: \check{\op{H}}^{q} (\cal{V}; \cal{F})
\ra \check{\op{H}}^{q} (f^{-1}\cal{V}; f^\ast\cal{F})$
die davon induzierte Abbildung auf der Kohomologie. 
So kommutiert das Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\check{{\op{H}}}^{q} (\cal{V};\cal{F})&\ra&
  {{\op{H}}}^{q}(Y;\cal{F})\\
\da&&\da\\
\check{{\op{H}}}^{q} (f^{-1}\cal{V};f^\ast\cal{F})&\ra&
  {{\op{H}}}^{q}(X;f^\ast\cal{F})\\
\end{array}$$
mit der eben gegebenen linken Vertikale, dem Zur"uckholen auf der
Garbenkohomologie in der rechten Vertikalen und den kanonischen
Morphismen aus \ref{KKA} in den Horizontalen, wie der Leser 
zur "Ubung selbst zeigen mag. 
Speziell im Fall $q=1$ ergibt sich f"ur jede abelsche Gruppe $A$
ein kommutatives Diagramm
$$\begin{array}{ccccc}
\{\text{$A$-Torsoren auf $Y$}\}&\leftarrow
&\check{{\op{H}}}^{1} (\cal{V};A_Y)&\ra&
  {{\op{H}}}^{1}(Y;A_Y)\\
\da&&\da&&\da\\
\{\text{$A$-Torsoren auf $X$}\}&\leftarrow
&\check{{\op{H}}}^{1} (f^{-1}\cal{V};A_X)&\ra&
  {{\op{H}}}^{1}(X;A_X)\\
\end{array}$$
mit dem Zur"uckholen von Torsoren in der linken Vertikalen. 
Indem wir zu jedem Torsor eine trivialisierende "Uberdeckung 
w"ahlen, ergibt sich schlie"slich ein kommutatives Diagramm
$$\begin{array}{ccc}
\{\text{$A$-Torsoren auf $Y$}\}&\sira&
  {{\op{H}}}^{1}(Y;A_Y)\\
\da&&\da\\
\{\text{$A$-Torsoren auf $X$}\}&\sira&
  {{\op{H}}}^{1}(X;A_X)\\
\end{array}$$
Dies Diagramm  mag f"ur das Zur"uckholen auf der ersten Garbenkohomologie
eine gewisse Anschauung geben.
\end{Bemerkungl}



\begin{Bemerkungl}
Wir wollen nun zeigen, da"s f"ur
jede abelsche Gruppe $A$ und jedes $q$ 
die Zuordnungen $X\mapsto \op{H}^q(X;A_X)$ und $f\mapsto f^\circledast$
aus \ref{ZuGK}   in der Tat einen  Funktor
$\op{Top}\ra\op{Ab}$ liefern. Dazu
    m"ussen wir  etwas weiter ausholen, bevor wir diese 
Behauptung dann als Lemma \ref{GKFU} zeigen. Es wird hier schon etwas 
m"uhsam, und das mag eine gute Motivation daf"ur sein, den Formalismus der
derivierten Kategorien \ref{??} zu lernen, in dem wir 
das in \ref{??} dann "ubersichtlicher zeigen k"onnen. 
\end{Bemerkungl}


\begin{Lemma}\label{KaMi}
Gegeben eine beliebige 
Aufl"osung $\mathcal F \hookrightarrow \mathcal A^\ast$ einer
abelschen Garbe gibt es stets eine welke Aufl"osung $\mathcal F \hookrightarrow
\mathcal T^\ast$ mitsamt Morphismen von Aufl"osungen
\begin{equation*}
\mathcal A^\ast \rightarrow \mathcal T^\ast \leftarrow 
\mathcal G^\ast \mathcal F
\end{equation*}
\end{Lemma}
\begin{proof}[Erster Beweis]
Wir k"onnen als $\mathcal T^\ast$ den Totalkomplex des 
Doppelkomplexes von Garben
$\mathcal G^\ast \mathcal A^\ast$ nehmen, in den $\mathcal A^\ast$ und 
$\mathcal G^\ast \mathcal F$ als senkrechter beziehungsweise waagrechter Kernkomplex
eingebettet sind. Die Exaktheit von $\mathcal T^\ast$ 
folgt aus unseren Resultaten \ref{EAS} 
"uber Doppelkomplexe, angewandt auf die Halme.
\end{proof}
\begin{proof}[Zweiter Beweis]
Wir k"onnen als $\mathcal T^\ast$ irgendeine injektive
Aufl"osung von $ \mathcal F$ nehmen, und die Morphismen aus dem
Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU} erhalten.
\end{proof}


  \begin{Lemma}\label{Fazy}
    Ist $f:X \rightarrow Y$ stetig und $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/Y}$ eine
    abelsche Garbe auf $Y$ und $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{A}^\ast$
    eine Aufl"osung, so kommutiert das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal{H}^q \Gamma \mathcal{A}^\ast \ar[r]\ar[d] 
&\op{H}^q (Y;\mathcal{F})\ar[d]\\
\mathcal{H}^q\Gamma f^\ast \mathcal{A}^\ast \ar[r] &
 \op{H}^q (X; f^\ast \mathcal{F})
}
\end{displaymath}
f"ur die in \ref{DKM} erkl"arten nat"urlichen Abbildungen in den Horizontalen.
\end{Lemma}

\begin{proof}[Beweis]
Wir finden nach \ref{KaMi} eine welke Aufl"osung
$\mathcal T^\ast$ von $\mathcal F$ nebst Morphismen von Aufl"osungen
$\mathcal A^\ast \rightarrow \mathcal T^\ast \leftarrow 
\mathcal G^\ast \mathcal F$.
Durch R"uckzug erhalten wir  Morphismen von
Aufl"osungen $f^\ast \mathcal A^\ast \rightarrow f^\ast \mathcal T^\ast
\leftarrow f^\ast \mathcal G^\ast \mathcal F$. So ergibt sich ein kommutatives
Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal H^q \Gamma \mathcal A^\ast \ar[r] \ar[d]
&\mathcal H^q \Gamma \mathcal T^\ast \ar[d]& \ar[l]_-\sim \mathcal H^q\Gamma 
\mathcal G^\ast \mathcal F \ar[d]\\
\mathcal H^q\Gamma f^\ast \mathcal A^\ast \ar[dr]^{\op{nat}}\ar[r]
&\mathcal H^q\Gamma f^\ast\mathcal T^\ast \ar[d]_{\op{nat}} 
&\ar[l]  \mathcal H^q \Gamma f^\ast \mathcal G^\ast
\mathcal F \ar[dl]_{\op{nat}}\\
&\op{H}^q (X;f^\ast \mathcal F)& \\
}
\end{displaymath}
Das Kommutieren der unteren Dreiecke folgt aus \ref{NAZ}.
Die Komposition der rechten
Au"senkante ist unser Zur"uckholen auf der Kohomologie.
\end{proof}













\begin{Proposition}[\textbf{Funktorialit"at der Garbenkohomologie}]
Gegeben stetige Abbildungen \label{FGKoh}
$f:X \rightarrow Y $ und $g:Y \rightarrow
Z$ und eine abelsche Garbe $\mathcal{F} $ auf $Z$ kommutiert
das Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\op{H}^q (Z;\mathcal{F})\ar@{=}[d] \ar[r]^{g^{\circledast}} 
& \op{H}^q (Y;g^\ast \mathcal{F}) \ar[r]^{f^{\circledast}}
&\op{H}^q (X;f^\ast (g^\ast \mathcal{F}))\ar[d]_{\wr}^{c(f,g)}\\
\op{H}^q (Z;\mathcal{F}) \ar[rr]^{(g\circ f)^{\circledast}}& 
&\op{H}^q(X;(g \circ f)^\ast \mathcal{F})
}
\end{displaymath}
% Hier soll die Identifikation 
% $c(f,g):f^\ast (g^\ast
% \mathcal{F}) \overset{\sim}{\rightarrow} (g \circ f)^\ast \mathcal{F}$
% aus \ref{KaFax}  die rechte Vertikale liefern.
\end{Proposition}

\begin{proof}
Mit \ref{KaMi} finden wir f"ur $g^\ast \mathcal F$ 
eine welke Aufl"osung $\mathcal T^\ast$ nebst Morphismen von
Aufl"osungen
\begin{equation*}
g^\ast \mathcal G^\ast \mathcal F \rightarrow 
\mathcal T^\ast \leftarrow \mathcal G^\ast
g^\ast \mathcal F
\end{equation*}
und dann weiter durch R"uckzug  f"ur $f^\ast g^\ast \mathcal F$
Morphismen von Aufl"osungen
\begin{equation*}
f^\ast g^\ast \mathcal G^\ast \mathcal F 
\rightarrow f^\ast \mathcal T^\ast \leftarrow
f^\ast \mathcal G^\ast g^\ast \mathcal F
\end{equation*}
Wenden wir auf diese Zeilen $\mathcal H^q\Gamma$ an und 
erg"anzen links das offensichtliche kommutative Dreieck 
und unten die nat"urlichen Abbildungen aus \ref{DKM} zur Kohomologie 
${\op{H}}^q  (X;f^\ast g^\ast \mathcal F)$, so erhalten wir nach \ref{Fazy}
und \ref{NAZ} ein kommutatives Diagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\mathcal H^q \Gamma \mathcal G^\ast \mathcal F \ar[r]\ar[d] &
\mathcal H^q \Gamma g^\ast 
\mathcal G^\ast \mathcal F \ar[r]\ar[d] 
& \mathcal H^q \Gamma \mathcal T^\ast\ar[d]
&\ar[l]_-{\sim} \mathcal H^q \Gamma \mathcal G^\ast g^\ast \mathcal F 
\ar[d]\\
\mathcal H^q \Gamma (g\circ f)^\ast \mathcal G^\ast \mathcal F 
\ar[r]^-{\sim}\ar[dr]
&\mathcal H^q \Gamma f^\ast g^\ast \mathcal G^\ast \mathcal F 
\ar[r]\ar[dr]&
\mathcal H^q \Gamma f^{\circ} \mathcal T^{\ast} \ar[d] 
& \ar[l]\mathcal H^q \Gamma f^\ast
\mathcal G^\ast g^\ast \mathcal F \ar[dl]\\
&{\op{H}}^q (X;(g\circ f)^\ast \mathcal F)\ar[r] &{\op{H}}^q (X;f^\ast g^\ast \mathcal F) &
}
\end{displaymath}
Die Komposition der oberen Horizontale ist 
$g^\circledast : {\op{H}}^q (Z;\mathcal F) \rightarrow
{\op{H}}^q (Y; g^\ast \mathcal F)$.
Die Komposition der rechten Kante ist 
$f^\circledast : {\op{H}}^q (Y; g^\ast \mathcal F) \rightarrow
{\op{H}}^q (X; f^\ast g^\ast \mathcal F)$.
Die Komposition der linken Kante schlie"slich ist
\begin{equation*}
(g \circ f)^\circledast : {\op{H}}^q (Z;\mathcal F) 
\rightarrow {\op{H}}^q (X; (g \circ f)^\ast \mathcal F)
\overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}^q (X; f^\ast g^\ast  \mathcal F)
\qedhere
\end{equation*}
\end{proof}



\begin{Korollar}[\textbf{Funktorialit"at der Garbenkohomologie, Spezialfall}] 
Mit den in \ref{ZuGK} f"ur jede stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ 
erkl"arten Homomorphismen\label{GKFU}  
$f^{\circledast} : \op{H}^q (Y;G_Y) \rightarrow
\op{H}^q (X; G_X)$ wird die Garbenkohomologie mit Koeffizienten 
in einer beliebig vorgegebenen abelschen Gruppe $G$  ein kontravarianter
Funktor $\op{Top}\rightarrow \op{Ab}$.
\end{Korollar}
\begin{proof}
Es gilt zu zeigen $\op{id}^{\circledast} = \op{id}$ und $(g \circ f)^{\circledast} = f^{\circledast}
\circ g^{\circledast}$. 
Zun"achst ist die Verkn"upfung
\begin{equation*}
\op{H}^q (X;\mathcal{F}) \overset{\op{id}^{\circledast}}{\rightarrow} 
\op{H}^q (X; \op{id}^\ast \mathcal{F}) \overset{c}{\rightarrow} 
\op{H}^q (X;\mathcal{F})
\end{equation*}
die Identit"at f"ur 
jede Garbe $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ nach \ref{idIs}.
Wenden wir diese Erkenntnis auf $\mathcal{F} = G_X$ an und beachten 
\ref{IdRF},
so folgt $\op{id}^{\circledast} = \op{id}$.
Die Ableitung von $(g \circ f)^{\circledast} = f^{\circledast} \circ g^{\circledast}$ 
aus \ref{FGKoh} und den
Definitionen sei dem Leser "uberlassen.
\end{proof}





\subsection{Exzeptionelle Funktoren zu Einbettungen*}\label{ELOK} 




\begin{Definition}[\textbf{Tr"agerschnitte}] 
Gegeben ein topologischer Raum $X$,
eine lokal abgeschlossene Teilmenge $L\subset X$ 
und eine abelsche Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$
definieren wir die Gruppe $\Gamma_{\!L}\mathcal F$ ihrer 
{\bf Tr"agerschnitte "uber $L$} als die Menge
aller  Schnitte $s:L\ra \bar{\mathcal F}$ von 
$\mathcal F$ "uber $L$, die sich durch Null ausdehnen lassen
zu stetigen Schnitten "uber einer\label{TrSCH} 
offenen Teilmenge von $X$, die  $L$ umfa"st. 
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Ist $U\co X$ eine offene Teilmenge und $L\As U$ eine darin
  abgeschlossene Teilmenge erkl"aren wir
die Gruppe der {\bf Schnitte auf $U$ mit Tr"ager in $L$} als  
$\mathcal F_L(U)\pdef \{s\in \mathcal F(U)\mid \op{supp}s\subset L\}$. 
Die Ausdehnung durch Null liefert uns dann
Isomorphismen $\Gamma_L\mathcal F\sira \mathcal F_L(U)$.
Gegeben lokal abgeschlossene Teilmengen 
$M\subset L\subset X$ liefert die Restriktion \nichtfinal{QUATSCH!} Gruppenhomomorphismen
$\Gamma_L\mathcal F\ra \Gamma_M\mathcal F$. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}]
In der Literatur wird $\Gamma_{\!L}\mathcal F$  auch als die
Gruppe der \glqq Schnitte von $\mathcal F$ mit Tr"ager in $L$\grqq\
bezeichnet, aber das f"uhrt leicht zu Verwirrung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Wir nennen eine stetige Abbildung  
{\bf lokal abgeschlossen},\index{lokal abgeschlossen!Abbildung} 
wenn das Bild jeder lokal abgeschlossenen Teilmenge lokal abgeschlossen
ist. Eine lokal abgeschlossene Einbettung ist insbesondere dasselbe wie eine
Einbettung mit lokal abgeschlossenem Bild.\label{Einbett} 
\end{Definition}
\begin{Definition}[\textbf{Tr"agermorphismus}] 
Gegeben eine lokal abgeschlossene Einbettung $f:X\hra Y$
sowie abelsche Garben $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ und $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$
erkl"aren wir einen {\bf Tr"agermorphismus}\index{Tr"agermorphismus} 
$\phi:\mathcal F\ra\mathcal G$ {\bf "uber $f$} als eine 
Familie von Gruppenhomomorphismen  
 $\phi_L:\Gamma_L\mathcal F\ra\Gamma_{f(L)}\mathcal G$ zwischen den
entsprechenden Gruppen von Tr"agerschnitten f"ur alle $L\subset X$ 
lokal abgeschlossen derart, da"s f"ur $M\subset L$ eine weitere
lokal abgeschlossene Teilmenge das offensichtliche Diagramm kommutiert.
Ich notiere die Menge dieser 
Tr"agermorphismen\index{Ab@$\op{Ab}_{{~!}f}$ Tr"agermorphismen "uber $f$} 
$ \op{Ab}_{!/f}(\mathcal F,\mathcal G)$.
Wir erhalten so einen Funktor
$$\op{Ab}_{!/{\op{Topla}}}\ra \op{Topla}$$
von der Kategorie mit abelschen Garben auf topologischen R"aumen
als Objekten und Tr"agermorphismen "uber lokal abgeschlossenen Einbettungen
als Morphismen in die Kategorie $\op{Topla}$ der topologischen R"aume
mit lokal abgeschlossenen Einbettungen als Morphismen.
\end{Definition}
\begin{Satz}[\textbf{Tr"agerbifaserung}]  
\begin{enumerate}
\item
Unser Funktor 
$\op{Ab}_{!/{\op{Topla}}}\ra \op{Topla}$ ist sowohl eine Faserung 
als auch eine
Kofaserung;
\item 
Die Faser unseres Funktors "uber einem gegebenen topologischen Raum $X$
ist die Kategorie $\op{Ab}_{/X}$ der abelschen Garben auf $X$;
\item
Ist $f:X\ra Y$ eine offene Einbettung und 
$\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$, so ist der offensichtliche 
Tr"agermorphismus $f^\ast\mathcal G\ra \mathcal G$ "uber $f$ kartesisch;
\item
Ist $f:X\ra Y$ eine abgeschlossene Einbettung und 
$\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$, so ist der offensichtliche 
Tr"agermorphismus $f^!\mathcal G\ra \mathcal G$ "uber $f$ 
f"ur unsere Schnitte mit Tr"ager $f^!$ aus \ref{AdIna} kartesisch;
\item
Ist $f:X\ra Y$ eine offene Einbettung und 
$\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$, so ist der offensichtliche 
Tr"agermorphismus $\mathcal F\ra f_!\mathcal F$ "uber $f$ 
f"ur unsere Ausdehnung durch Null $f_!$ aus \ref{AdInb} kokartesisch;
\item
Ist $f:X\ra Y$ eine abgeschlossene Einbettung und 
$\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$, so ist der offensichtliche 
Tr"agermorphismus $\mathcal F\ra f_\ast\mathcal F$ "uber $f$ kokartesisch.
\end{enumerate}\label{TbiF}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der Satz liefert f"ur jede lokal abgeschlossene Einbettung 
$f:X\ra Y$ ein Paar adjungierter Funktoren $$(f_!,f^!)$$
zwischen $\op{Ab}_{/X}$ und $\op{Ab}_{/Y}$,  das
direkte Bild und das Zur"uckholen in Bezug auf unsere Tr"agerbifaserung.
Wir nennen sie die {\bf exzeptionellen Funktoren}. 
Der Satz liefert  explizite Beschreibungen dieser\label{exzFU} 
Funktoren f"ur offene und abgeschlossene Einbettungen
und zeigt insbesondere, da"s $f_!$ volltreu ist, da"s also die
Einheit der Adjunktion eine Isotransformation
$\op{id}\siRa f^!f_!$ ist. 
%und insbesondere
%Isotransformationen $f_!\siRa f_\ast$ f"ur $f$ eine abgeschlossene 
%$Einbettung und $f^!\siRa f^\ast$ f"ur $f$ eine offene Einbettung.
Die Beschreibung durch eine Bifaserung 
liefert dar"uberhinaus Isotransformationen $(f\circ g)_!\siRa f_!\circ g_! $
und $(f\circ g)^!\siRa g^!\circ f^! $
 sowie Vertr"aglichkeiten zwischen diesen Isotransformationen, 
die
hier nicht weiter ausgef"uhrt werden sollen. 
\end{Bemerkungl}


\begin{proof}
Man pr"uft die letzten vier Aussagen explizit und zeigt st"arker,
da"s die fraglichen Tr"agermorphismen stark kartesisch beziehungsweise
stark kokartesisch sind. Daraus folgt dann die erste Aussage unmittelbar.
Die zweite Aussage ist unabh"angig von den anderen leicht einzusehen.  
\end{proof}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gew"ohnliches und exzeptionelles direktes Bild}]
Gegeben eine lokal abgeschlossene Einbettung\label{gedB}  
$f:X\hra Y$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$
konstruieren wir eine nat"urliche Abbildung
$$\op{Ab}_{/Y}(f_\ast\mathcal F, \mathcal G)\ra 
\op{Ab}_{!/f}(\mathcal F, \mathcal G)$$
Einem Homomorphismus $\varphi$ auf der linken Seite,
gegeben durch eine vertr"agliche Familie von
Gruppenhomomorphismen $\varphi_V:\mathcal F(f^{-1}(V))\ra \mathcal G(V)$
f"ur $V\co Y$  ordnen wir
dabei einen Tr"agermorphismus $\hat\varphi$ zu wie folgt:
Gegeben $L\subset X$ lokal abgeschlossen w"ahlen wir $V\co Y$ und
$B\As Y$ mit $f(L)=V\cap B$ und erkl"aren $\hat\varphi_L$ als
die Komposition
$$\Gamma_L(\mathcal F)\sira \mathcal F_L(f^{-1}(V))\ra
\mathcal G_{f(L)}(V)\sira \Gamma_{f(L)}(\mathcal G)$$
Es sei dem Leser "uberlassen, die Wohldefiniertheit dieser
Vorschrift zu zeigen. Wir erhalten so insbesondere einen
nat"urlichen Morphismus $$f_!\mathcal F\ra f_\ast\mathcal F$$
Man pr"uft unschwer, da"s er stets injektiv und f"ur $f$ abgeschlossen ein 
Isomorphismus ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Gew"ohnliches und exzeptionelles inverses Bild}]
Gegeben eine lokal abgeschlossene Einbettung\label{geiB} 
$f:X\hra Y$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$
konstruieren wir eine nat"urliche Abbildung
$$\op{Ab}_{!/f}(\mathcal F, \mathcal G)\ra 
\op{Ab}_{/X}(\mathcal F, f^\ast\mathcal G)$$
Einem Tr"agermorphismus $\varphi$ auf der linken Seite,
gegeben durch eine vertr"agliche Familie von
Gruppenhomomorphismen $\varphi_L:\Gamma_L(\mathcal F)\ra 
\Gamma_{f(L)}(\mathcal G)$
f"ur $L\subset X$ lokal abgeschlossen ordnen wir
dabei einen Homomorphismus $\hat\varphi$ zu wie folgt:
Wir
erinnern wir \ref{AdIn} die Konstruktion 
des inversen Bildes  $f^{\ast}{\mathcal G}$
als Garbifizierung der  Pr"agarbe 
$f^{\ast}_{\op{p}}{\mathcal G}$ auf~$X$ mit
\[ (f^{\ast}_{\op{p}}{\mathcal G})(U) \pdef \op{colf}_{V \supset f(U)}
 {\mathcal G}(V) \]
f"ur~$U \co X$, wo der direkte Limes  
"uber alle~$V \co Y$ l"auft mit~$   f(U)\subset V$. 
In unserer Situation ist $f(U)$ lokal abgeschlossen und
es reicht, den Kolimes "uber das konfinale System
aller~$V \co Y$ mit $f(U)\As V$ zu bilden. 
Unsere Homomorphismen $\varphi_U:\mathcal F(U)=\Gamma_U(\mathcal F)\ra 
\Gamma_{f(U)}(\mathcal G)$ liefern damit, wenn wir
noch eine Ausdehnung durch Null auf $\mathcal G(V)$
anh"angen,  die ben"otigten Gruppenhomomorphismen.
Danach m"ussen wir nur noch die kanonische Abbildung in die
Garbifizierung anh"angen.
 Wir erhalten so insbesondere einen
nat"urlichen Morphismus $$f^!\mathcal G\ra f^\ast\mathcal G $$ 
Man  pr"uft unschwer, da"s er stets injektiv und f"ur $f$ offen ein 
Isomorphismus ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeiten der vorhergehenden Konstruktionen}]
  Gegeben eine lokal abgeschlossene Einbettung 
$f:X\hra Y$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$
kann die Verkn"upfung der nat"urlichen  Abbildungen
$$\op{Ab}_{/Y}(f_\ast\mathcal F, \mathcal G)\ra
\op{Ab}_{!/f}(\mathcal F, \mathcal G)\ra 
\op{Ab}_{/X}(\mathcal F, f^\ast\mathcal G)$$
aus \ref{gedB} und \ref{geiB} beschrieben werden als das Anwenden
von $f^\ast$ gefolgt vom Vorschalten des Inversen zum durch die
Koeinheit der Adjunktion nach \ref{AdIc} gegebenen Isomorphismus
$f^*f_*\mathcal F\sira \mathcal F$. In anderen Worten k"onnen wir die Identit"at auf $\mathcal F$ schreiben als die Verkn"upfung
\begin{displaymath}
\xymatrix{
& &f^!f_*\mathcal F
 \ar@{^{(}->}[dr] & &\\
\mathcal{F} \ar^-{\sim}[r] &f^!f_!\mathcal F
\ar@{^{(}->}[ur] \ar@{^{(}->}[dr]& &f^*f_*\mathcal F\ar^-{\sim}[r]& \mathcal F\\
&&f^*f_!\mathcal F  \ar@{^{(}->}[ur]&&
}
\end{displaymath}
mit der Einheit und Koeinheit der Adjunktionen vorne und hinten und
unseren injektiven Transformationen im mittleren Quadrat, das mithin
aus Isomorphismen bestehen mu"s. 
\end{Bemerkungl}
\subsection{Neuer Versuch} 
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Exzeptionelle Garbenmorphismen "uber Einbettungen}] 
  Gegeben eine lokal abgeschlossene Einbettung
  $f:X\hra Y$ und abelsche Garben $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ sowie
  $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$ erkl"aren wir  mit der abk"urzenden Notation $0(A)\subset \bar{\mathcal G}$ f"ur
  das Bild des Nullschnitts "uber $A\subset Y$ in $\op{Ab}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)$ die Teilmenge
  $$\op{Ab}_{!/f}(\mathcal F,\mathcal G)
  \pdef \{\varphi\in \op{Ab}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)\mid
  U\co \bar{\mathcal F}\RA \left(0(Y\backslash f(X))\cup \bar\varphi(U)\right)\co \bar{\mathcal G}\}$$
  In Worten betrachten wir also Morphismen "uber $f$
  von \'etalen R"aumen mit der Eigenschaft,
  da"s das Bild jeder offenen Teilmenge vereinigt mit dem
  Nullschnitt  wieder offen ist.
  Offensichtlich erhalten wir so eine additive Untergruppe von
  $\op{Ab}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)$ und sogar eine additive Unterkategorie
  $$\op{Ab}_{!/\op{Topla}} \subset \op{Ab}_{/\op{Topla}}$$
  Nach \eref{VE}{TF} induziert  der Einbettungsfunktor die
  Identit"atsfunktoren auf den Fasern,
  f"ur jeden Raum $X$ und $\mathcal F, \mathcal G\in\op{Ab}_{/X}$ gilt mithin  in Formeln 
  $$\op{Ab}_{!/\op{id}}(\mathcal F,\mathcal G)
  = \op{Ab}_{/X}(\mathcal F,\mathcal G)$$
 \end{Bemerkungl}





\begin{Satz}
Der Funktor
  $\op{Ab}_{!/\op{Topla}}\ra \op{Topla}$
ist eine Bifaserung.
\end{Satz}
\begin{proof}
  
und
  $\mathcal F\ra f_!\mathcal F$  kokartesisch ist 
  und $f^!\mathcal G\ra \mathcal G$ kartesisch.
  Das liefert dann $f^!\mathcal G\ra f^*\mathcal G$, und das legt mit obigem Diagramm hinwiederum $f_!\mathcal F\ra f_*\mathcal F$ eindeutig fest. 
\end{proof}




\subsection{Exzeptioneller Versuch*}
\begin{Definition}[\textbf{Tr"agermorphismen}] 
Gegeben eine stetige Abbildung von topologischen R"aumen
$f:X\ra Y$
und abelsche Garben $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ sowie
$\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$
erkl"aren wir einen 
{\bf Tr"agermorphismus}\index{Tr"agermorphismus} 
$\phi:\mathcal F\ra\mathcal G$ {\bf "uber $f$} als eine 
Familie von Gruppenhomomorphismen  
$\phi_{L}:\Gamma_L\mathcal F\ra\Gamma_{f(L)}\mathcal G$ zwischen den
entsprechenden Gruppen von Tr"agerschnitten im Sinne von
\ref{TrSCH} f"ur alle $L\subset X$ 
lokal abgeschlossen mit  $f(L)\subset Y$ 
lokal abgeschlossen und  $f:L\ra f(L)$ eigentlich,
die in der Weise vertr"aglich sind,
da"s f"ur jedes weitere derartige  $M\subset L$  
das Diagramm  
\begin{displaymath}
\xymatrix{
\Gamma_L\mathcal F \ar[d]\ar[r]^{\phi_{L}} &\Gamma_{f(L)}\mathcal G \ar[d]\\
\Gamma_{M}\mathcal F \ar[r]^{\phi_{M}} &\Gamma_{f(M)}\mathcal G }
\end{displaymath}
kommutiert.
Ich notiere die Menge dieser 
Tr"agermorphismen\index{Ab@$\op{Ab}_{{~!}f}$ 
Tr"agermorphismen "uber $f$} 
$ \op{Ab}_{!/f}(\mathcal F,\mathcal G)$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
Bezeichne $\op{Tops}$\index{Tops@$\op{Tops}$} die Kategorie der
topologischen R"aume mit separierten Abbildungen als Morphismen.
Dank dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{KTMo}  
k"onnen wir f"ur Tr"agermorphismen "uber separierten Abbildungen 
in der offensichtlichen Weise eine Verkn"upfung definieren.  
Wir erhalten so die {\bf Tr"agermorphismenkategorie}\index{Tr"agermorphismenkategorie} $\op{Ab}_{!/\op{Tops}}$
 mit abelschen Garben auf topologischen R"aumen
als Objekten und Tr"agermorphismen "uber separierten Abbildungen
als Morphismen sowie\label{Trbi}  
 einen Funktor
$$\op{Ab}_{!/\op{Tops}}\ra \op{Tops}$$
\end{Bemerkungl}
\begin{Lemma}%[\textbf{Zur Komposition von Tr"agermorphismen}]
Seien $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ stetige Abbildungen
und sei $g$ separiert. Gegeben $L\subset X$  mit\label{KTMo}  
$g(f(L))\subset Z$ lokal abgeschlossen und $g\circ f: L\ra g(f(L))$
eigentlich ist auch $f(L)\subset Y$  lokal abgeschlossen und
sowohl $f:L\ra f(L)$ als auch $g:f(L)\ra g(f(L))$ sind eigentlich.
\end{Lemma}
\begin{proof}
 Wir argumentieren anhand des Diagramms
\begin{displaymath}
\xymatrix{
X\ar[d]^-f&\ar@{_{(}->}[l]^-{\op{off}} f^{-1}(g^{-1}(W))\ar[d] &\ar@{_{(}->}[l]^-{\op{abg}}  L\ar@{-->}[d]^-{\op{eig}}\ar@/^2pc/[dd]^-{\op{eig}}\\
Y\ar[d]^-g &\ar@{_{(}->}[l]^-{\op{off}} g^{-1}(W)\ar[d]&\ar@{_{(}-->}[l]^{\op{abg}}  f(L)\ar@{-->}[d]^-{\op{eig}}\\
Z &\ar@{_{(}->}[l]^-{\op{off}} W&\ar@{_{(}->}[l]^-{\op{abg}} g (f (L))
}
\end{displaymath}
Die mit $\op{abg}$ bezeichneten Pfeile meinen abgeschlossene Einbettungen, die mit
$\op{off}$ bezeichneten Pfeile offene Einbettungen, die mit $\op{eig}$ bezeichneten Pfeile
eigentliche Abbildungen. 
Nach \eref{VSU}{ML} ist $g: f(L)\ra g(f(L))$  eigentlich.
Ist $g$ separiert, so ist nach \eref{SaA}{ML} auch $f:L\ra f(L)$ eigentlich.
Ist schlie"slich $g(f(L))\subset Z$ lokal abgeschlossen, 
so gibt es $W\subset Z$
mit $ g(f(L))\As W\co Z$. Dann ist die Komposition
$(f(L)\hra g^{-1}(W)\ra W)=(f(L)\ra g(f(L))\hra W)$ eigentlich
und $g:g^{-1}(W)\ra W$ separiert,
also ist nach \eref{SaA}{ML} auch die Einbettung $f(L)\hra g^{-1}(W)$
eigentlich und damit $f(L)$ abgeschlossen in $g^{-1}(W)$
und lokal abgeschlossen in $Y$.
\end{proof}




\begin{Definition}
  Wir konstruieren 
f"ur jede stetige Abbildung 
$f:X\ra Y$ das {\bf direkte Bild mit 
eigentlichem Tr"ager}\index{direktes Bild!eigentliches}
oder kurz das {\bf eigentliche direkte Bild}\label{EDBi}  
 \index{)7shriek@$f_{~!}$ eigentlicher Vorschub}  
$$f_{!} : \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$$
 durch $(f_{!}\cal{F}) (U) \pdef \{ s \in \cal{F} 
(f^{-1}(U)) \mid f:(\op{supp}s)\ra U
  \;\text{ ist eigentlich} \}$. 
 Wegen der Lokalit"at der Eigentlichkeit in der Basis
 \eref{Ell}{ML} ist $f_{!}
  \cal{F} \subset f_{\ast} \cal{F}$ eine  Untergarbe von Mengen
und nach  \eref{VUAa}{ML} sogar eine  Untergarbe von abelschen Gruppen.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
F"ur eigentliche Abbildungen $f$ haben wir per definitionem  
$f_{!}= f_{\ast}$. F"ur beliebige separierte Abbildungen $f:X\ra Y$ 
 erhalten wir einen nat"urlichen 
Tr"agermorphismus\label{natTR}
 $$\mathcal F\ra f_!\mathcal F$$ "uber $f$, indem wir
f"ur $L\subset X$ mit $f(L)\As V\co Y$ 
und $f:L\ra f(L)$ eigentlich beachten,  da"s nach \eref{SaA}{ML} 
notwendig gilt 
$L\As f^{-1}(V)$. Dann induziert die Ausdehnung durch Null
eine Einbettung 
$\Gamma_L\mathcal F\hra \mathcal F(f^{-1}(V))$
und diese landet per definitionem in  $(f_!\mathcal F)(V)$
und sogar in der Untergruppe $\Gamma_{f(L)}(f_!\mathcal F)$.
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Tr"agerkofaserung}]
Unser Funktor
$\op{Ab}_{!/\op{Tops}}\ra \op{Tops}$ von der
Tr"agermorphismenkategorie \ref{Trbi} zur Kategorie der topologischen R"aume mit separierten Abbildungen als Morphismen  
ist eine Kofaserung. Gegeben eine separierte Abbildung
$f:X\ra Y$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ ist  der nat"urliche 
Tr"agermorphismus $\mathcal F\ra f_!\mathcal F$ aus \ref{natTR}
kokartesisch.
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Insbeondere erhalten wir so f"ur je zwei
  verkn"upfbare separierte Abbildungen $f,g$ eine
  nat"urliche Isotransformation $g_! f_!\siRa (gf)_!$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
Es reicht zu zeigen, da"s
die nat"urlichen 
Tr"agermorphismen $\mathcal F\ra f_!\mathcal F$ aus \ref{natTR}
stark  kokartesisch sind. Sei also $g:Y\ra Z$ separiert und
$\mathcal G\in \op{Ab}_{/Z}$ und $\phi$ ein Tr"agermorphismus
von $\mathcal F$ nach $\mathcal G$ "uber $g\circ f$.
Er besteht aus vertr"aglichen Gruppenhomomorphismen 
$\phi_L:\Gamma_L\mathcal F\ra \Gamma_{g(f(L))}\mathcal G$ f"ur
alle $L\subset X$ lokal abgeschlossen mit $g(f(L))\subset Z$ lokal abgeschlossen
und $g\circ f:L\ra g(f(L))$ eigentlich. 
Per definitionem finden wir
$W\subset Z$ mit 
$g(f(L))\As W\co Z$ und nach \ref{KTMo} oder besser seinem Beweis
folgt $f(L)\As g^{-1}(W)\pdef V\co Y$ und  $L\As f^{-1}(V)\pdef U\co X$.
Nun gilt per definitionem 
$$(f_!\mathcal F)(V)=\op{colf}_A\Gamma_A\mathcal F$$
mit dem filtrierenden Kolimes "uber alle $A\As U$ mit $f:A\ra V$ eigentlich.
F"ur $B\As V$ haben wir weiter
$$\Gamma_B(f_!\mathcal F)=\op{colf}_{f(A)\subset B}\Gamma_A\mathcal F$$
mit dem filtrierenden Kolimes "uber alle $A\As U$ mit $f:A\ra V$ eigentlich
und $f(A)\subset B$. Die stark kokartesische Eigenschaft unserer
nat"urlichen Tr"agermorphismen  folgt.
\end{proof}

\subsection{Lokalisieren durch Anpassung, ALTE VERSION}
\nichtfinal{Im richtigen Text verallgemeinert derart, da"s nicht nur Kofaserungen lokalisiert werden k"onnen.}
%Durchgesehen am 31.5.2022, alles war bereits im wesentlichen richtig.
\begin{Definition}   Unter einer {\bf vollen Unterkofaserung}\index{Unterkofaserung!volle} einer Kofaserung  $\mathscr C\ra \mathscr B$  verstehen wir eine volle Unterkategorie  $\mathscr D\subset \mathscr C$ derart, da"s wir f"ur jeden Morphismus der Basis\label{voUKalt} 
  einen  Vorschubfunktor  unserer  Kofaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ w"ahlen k"onnen, der $\mathscr D$ stabilisiert.
\end{Definition}


\begin{Definition} Seien   $\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor
  und $S$ ein faserweises \hyperref[RmS]{Linksoresystem} in $\mathscr C$. 
  Eine \hyperref[voUK]{volle Unterkofaserung} $\mathscr D\subset \mathscr C$
  hei"se eine
  {\bf Rechtsanpassung f"ur $S$},\index{Rechtsanpassung}\label{RAPalt}
  wenn (1) die Menge $T$ aller $S$-Morphismen aus $\mathscr D$ ein
  faserweises Oresystem %fr"uher mal: Linksoresystem
  in $\mathscr D$ bildet,
  wenn (2) Vorschubfunktoren $f_\dagger$ so gew"ahlt werden k"onnen,
  da"s sie unsere Menge
   $T$ stabilisieren, und wenn  es (3) f"ur jedes
  $C\in \mathscr C$ einen $S$-Morphismus $D\ra C$ gibt mit $D\in \mathscr D$.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Opponiert erkl"aren wir f"ur  $\mathscr C\ra \mathscr B$  einen Faserfunktor
  und $S$ ein faserweises \hyperref[RmS]{Rechtsoresystem} in $\mathscr C$
  den Begriff einer
  {\bf Linksanpassung}.\index{Linksanpassung}\label{LAP}
\end{Bemerkungl}
\begin{Beispiel}
  Ganz $\mathscr C$ ist eine Rechtsanpassung f"ur eine Kofaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ mit faserweisem Linksoresystem $S$ genau dann, wenn $S$
  ein faserweises Oresystem ist und die Bedingung \ref{KriLO} erf"ullt,
  die sicherstellt, da"s $S$ sogar zus"atzlich
  ein globales Rechtsoresystem ist.
\end{Beispiel}
\begin{Beispiel}\label{TenGGalt} 
  Wir betrachten als Basis $\mathscr B$ die Kategorie aller
  Mengen der Gestalt $\{1,\ldots,n\}$ mit $n\geq 0$ und monoton wachsenden
  Abbildungen als Morphismen.
  Wir halten einen topologischen Raum  fest
  und nehmen als Objekte von $\mathscr C$ "uber $\{1,\ldots,n\}$ Tupel
   $(\mathcal F_1,\ldots,\mathcal F_n)$ von Komplexen abelscher Garben auf
  unserem festen topologischen Raum und als Morphismen "uber
  einer monoton wachsenden Abbildung entsprechende Tupel
  von multiadditiven Morphismen von Komplexen abelscher Garben. F"ur den Vorschub unter der konstanten Abbildung $c:\{1,2\}\ra \{1\}$
  etwa haben wir dann 
  nat"urliche Isomorphismen $$c_\dagger(\mathcal F_1,\mathcal F_2)\sira
  \mathcal F_1\otimes \mathcal F_2$$
  Zu dieser Kofaserung $\mathscr C\ra\mathscr B$
  betrachten wir das faserweise Linksoresystem $S$ aller
  Tupel von Quasiisomorphismen in den Fasern. Es ist  sogar
  ein faserweises Oresystem, ist jedoch nicht stabil unter Vorschub
  und wir k"onnen deshalb \ref{KriLO} und \ref{KofLr} nicht anwenden, um die
  Lokalisierung zu beschreiben. Wir finden jedoch eine Rechtsanpassung in Gestalt aller
  Tupel von Komplexen flacher Garben. Die Bedingung (2) an eine Rechtsanpassung
  l"auft dabei auf die Erkenntnis \eref{TorD}{TD} hinaus, da"s das Tensorieren mit
  einem Komplex flacher Garben Quasiisomorphismen zu
  Quasiisomorphismen macht. 
 \end{Beispiel}

\begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung durch Rechtsanpassung}]
 Seien   $p:\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor und
 $S$ ein faserweises Linksoresystem in $\mathscr C$.\label{LRAn}  
 Gibt es eine  \hyperref[RAP]{Rechtsanpassung}
 $\mathscr D\subset \mathscr C$
  f"ur $S$, so gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    Der von $p$ induzierte Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
    ist
    eine Kofaserung;
  \item
    Die Einbettungen liefern Isomorphismen $\hyperref[FFLn]{S_{\mathscr U}^{-1}\mathscr C_{\mathscr U}}\sira \hyperref[RueFK]{(S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}}$ f"ur jeden Funktor $\mathscr U\ra \mathscr B$ in die Basis;
  \item
    F"ur
    jeden Morphismus $f:X\ra Y$  der Basis
    ist jedes Objekt von $\mathscr D_X$ als
    Objekt von $\mathscr C_X$ linksentfaltet
    in Bezug auf $\hyperref[fORE]{S_X}$ f"ur den Vorschubfunktor gefolgt von der Lokalisierung 
   $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$;
\item
Genau dann ist $E\in \mathscr C_X$ ein $Qf_\dagger$-linksentfaltetes Objekt,
  wenn der Transportmorphismus $E\ra f_\dagger E$
   in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C$  kokartesisch bleibt.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungw}
  Einen etwas st"arkeren Satz "uber Lokalisierung durch
  \glqq lokale Rechtsanpassung\grqq\ erg"anzen wir in \ref{LRaV}.
  Den Spezialfall der Lokalisierung einer Kofaserung nach einem faserweisen
  Rechtsoresystem haben wir bereits in \ref{KriLO1} diskutiert.
\end{Bemerkungw}
\begin{Bemerkunge}
  Ich w"u"ste gerne, ob dieser Satz aus allgemeinen Aussagen
  "uber Modellkategorien gefolgert werden kann.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorsch"ube als derivierte Funktoren}]
  Betrachten wir in der Situation des Satzes
  einen Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis und\label{dBdFalt}  
  eine $Qf_\dagger$-Entfaltung $E\ra C$ von $C\in\mathscr C_X$,
  k"urzen den Linksderivierten mit
  ${^{\op{L}}\!f_\dagger}\pdef {\op{L}}(Qf_\dagger)$ ab,
  bilden das kommutative Diagramm
  $$\xymatrix{
 E \ar[d]^{S}\ar[r] & f_\dagger E\ar[d]&{^{\op{L}}\!f_\dagger}E\ar[l]_\sim\ar[d]^\wr \\
 C \ar[r] & f_\dagger C&{^{\op{L}}\!f_\dagger}C\ar[l]}$$
  und lassen darin $f_\dagger C$ weg, so ist die
  Komposition in $S^{-1}\mathscr C$ der
  restlichen Morphismen nach unserem Satz ein kokartesischer
  Morphismus $$C\ra{^{\op{L}}\!f_\dagger}C$$ in Bezug auf die Kofaserung $S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$. In der Tat ist sie eine Komposition von Isomorphismen "uber Identit"aten mit dem nach Teil 4
  unseres Satzes kokartesischen Morphismus dazwischen.
\end{Bemerkungl}



\begin{Beispiel}
  In der Situation von Beispiel \ref{TenGG} liefert uns dieser Satz
  eine Kofaserung "uber derselben Basis mit
  Tupeln $(\mathcal F_1,\ldots,\mathcal F_n)$ von Objekten der derivierten
  Kategorie der abelschen Garben auf unserem festen Raum als Fasern
  und nat"urlichen Isomorphismen $c_\dagger(\mathcal F_1,\mathcal F_2)\sira
  \mathcal F_1\otimes\mathcal F_2$ im Fall von Komplexen flacher Garben.
\end{Beispiel}




\begin{proof}
  Zun"achst einmal folgt (3) direkt aus der Definition
  einer Rechtsanpasssung.
  Bezeichne nun $T$ die Menge der $S$-Morphismen in $\mathscr D$.
  Wir bemerken, da"s $T$ nach
  \ref{KriLO} ein globales  Rechtsoresystem in $\mathscr D$ ist. Hierf"ur verwenden wir unsere Annahme, da"s
  $T$ ein faserweises Rechtsoresystem  in $\mathscr D$ ist.
Weiter bemerken wir, da"s 
  nach \ref{KriLO1} der induzierte Funktor $T^{-1}\mathscr D\ra \mathscr B$   ein Kofaserfunktor ist
  und  da"s  kokartesische Morphismen
  aus $\mathscr D$ kokartesisch bleiben in der Lokalisierung $T^{-1}\mathscr D$.
  Schlie"slich  induziert nach \ref{FFL}
  die Einbettung f"ur alle $X\in\mathscr B$ einen Isomorphismus
  $T_X^{-1}\mathscr D_{X}\sira (T^{-1}\mathscr D)_X$
  und nach \eref{LUK}{TD}  sind die
  auf den Lokalisierungen der Fasern induzierten  Funktoren "Aquivalenzen  
  $T_X^{-1}\mathscr D_{X}\sirra S_X^{-1}\mathscr C_{X}$. 
 Alle Objekte von $\mathscr D_X$ sind also $S_X$-linksentfaltet f"ur $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$.
  Wir behaupten nun (5), da"s der von der Einbettung induzierte  Funktor 
  eine "Aquivalenz
  $$T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$$
  ist und zeigen zun"achst, wie aus dieser
  Erkenntnis die restlichen Aussagen (1), (2), (4) des Satzes folgen.
  Mit $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$ ist dann auch
  $S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Kofaserung, was Teil (1) unseres Satzes zeigt.
  Um (2) zu zeigen, betrachten wir das kommutative Funktordiagramm
\begin{displaymath}
\xymatrix{
  T^{-1}_{\mathscr U}\mathscr D_{\mathscr U}\ar[r]^-\sim\ar[d]^{\wr\wr}&
  (T^{-1}\mathscr D)_{\mathscr U}\ar[d]^{\wr\wr}\\
   S^{-1}_{\mathscr U}\mathscr C_{\mathscr U}\ar[r]&
  (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}
} 
\end{displaymath}
Der obere Isomorphismus kommt von \ref{FFLn} her,
die rechte "Aquivalenz von der noch zu zeigenden
"Aquivalenz $T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$ und
die linke "Aquivalenz  von derselben noch zu zeigenden "Aquivalenz
im Fall der Rechtsanpassung
$\mathscr D_{\mathscr U}\subset \mathscr C_{\mathscr U}$.
Um (4) abzuleiten, 
 w"ahlen wir 
  einen $S$-Morphismus $D\ra E$ mit $D\in\mathscr D_X$
  und betrachen mit einer $T$ und insbesondere $\mathscr D$ stabilisierenden
  Wahl von $f_\dagger$ das kommutative Diagramm
  $$\xymatrix{
    D \ar[d]^{S}\ar[r] & f_\dagger D\ar[d]%&{^{\op{L}}\!f_\dagger}D\ar[l]_\sim\ar[d]^\wr
    \\
    E \ar[r] & f_\dagger E%&{^{\op{L}}\!f_\dagger}E\ar[l]_\sim
  }$$
  Da nach dem Anfang unseres Beweises der Transportmorphismus
  $D\ra f_\dagger D$ kokartesisch ist f"ur
  $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$, ist unter unserer Annahme (5) die
  untere Horizontale kokartesisch   f"ur
  $S^{-1}\mathscr C\ra\mathscr B$ genau dann, wenn die rechte Vertikale
  einen Isomorphismus in $(S^{-1}\mathscr C)_Y$ und nach (2) gleichbedeutend
  einen Isomorphismus in $S^{-1}_Y\mathscr C_Y$ induziert.
  Da wir  $D$ bereits als $S_X$-$Qf_\dagger$-linksentfaltet erkannt haben f"ur $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$,
  ist das gleichbedeutend dazu, da"s auch $E$ linksentfaltet ist f"ur $S_X$
  und  $Qf_\dagger$.
So folgt (4) und es bleibt nur noch zu zeigen,
  da"s der offensichtliche Funktor
  $$T^{-1}\mathscr D\ra S^{-1}\mathscr C$$
  eine "Aquivalenz ist.
  Dazu konstruieren wir im folgenden 
  einen quasiinversen Funktor. In einem ersten Schritt
  w"ahlen wir f"ur jedes $X\in\mathscr B$ und jedes
  $C\in \mathscr C_X$ ein
  Objekt $D=D(C)\in \mathscr D_X$ zusammen mit einem $S$-Morphismus
  $D\ra C$. Gegeben $f:X\ra X'$ und
  dar"uber ein Morphismus $\varphi:C\ra C'$ in
  $\mathscr C$ erkl"aren wir weiter einen Morphismus $\tilde \varphi:D\ra D'$
  "uber $f$ in $T^{-1}\mathscr D$ durch das Diagramm
 \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&f_\dagger D \ar@{-->}[dr]\ar[ddr]&\\
D \ar[d]^S\ar[rru] &&&D'\ar[d]^S\\
C \ar[rrr]^\varphi &&&C'
}
    \end{displaymath}
 Die durchgezogenen Pfeile bedeuten Morphismen in $\mathscr C$,
 der gestrichelte Pfeil dahingegen einen Morphismus in $T_{X'}^{-1}\mathscr D_{X'}$, der durch das
  Kommutieren des rechten Dreiecks in $S_{X'}^{-1}\mathscr C_{X'}$ festgelegt wird.
  Jetzt pr"ufen wir, da"s die Vorschrift $C\mapsto D(C),\varphi\mapsto\tilde\varphi$ ein Funktor
  $\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$
  ist. Dazu betrachten wir
  einen weiteren Morphismus $g:X'\ra X''$ und dar"uber $\psi:C'\ra C''$ und bilden das Diagramm
    \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&&&g_\dagger f_\dagger D\ar@{-->}[dr]\ar@/_2pc/[dddrr]&&\\
        &&f_\dagger D\ar[rru] \ar@{-->}[dr]\ar[ddr]&&&g_\dagger D' \ar@{-->}[rd]\ar[ddr]&\\
D \ar[d]^S\ar[rru] &&&D'\ar[d]^S\ar[rru]&&&D''\ar[d]^S\\
C \ar[rrr]^\varphi &&&C'\ar[rrr]^\psi&&&C''
}
    \end{displaymath}
    Dessen obere Raute entstehe durch Anwenden des Funktors
    $g_\dagger:T_{X'}^{-1}\mathscr D_{X'}\ra T_{X''}^{-1}\mathscr D_{X''}$
    auf $f_\dagger D\dashrightarrow D'$ und verwendet unsere Erkenntnis vom Beginn des Beweises, da"s $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$ eine Kofaserung ist mit den Lokalisierunen der urspr"unglichen Fasern als neuen Fasern, wobei
    der Funktor in die Lokalisierung kokartesische Morphismen zu
    kokartesischen Morphismen macht. Man mu"s nun zeigen,
    da"s der lange gekr"ummte Pfeil, wenn er durch die universelle Eigenschaft
    von Vorsch"uben erkl"art wird, auch das Dreieck
    rechts von ihm mit $g_\dagger D'$ als dritter Ecke
    in $S_{X''}^{-1}\mathscr C_{X''}$ zum Kommutieren bringt.
    Beide durchgezogenen Pfeile faktorisieren "uber
    $g_\dagger C'\ra C''$ und es reicht a forteriori zu zeigen, da"s das
    entsprechende Dreieck mit der durch $g_\dagger C'$ ersetzten unteren
    Ecke in $S_{X''}^{-1}\mathscr C_{X''}$ kommutiert. 
    Das ist nun zwar fast das Bild unter $g_\dagger$ eines kommutativen Dreiecks
    in der Mitte, aber eben nur fast, da das Bild des
    gestrichelten Pfeils in Bezug auf die Kofaserung
    $T^{-1}\mathscr D\ra\mathscr B$ verstanden werden mu"s und  die Bilder der
    durchgezogenen Pfeile in Bezug auf die Kofaserung
    $\mathscr C\ra\mathscr B$.
    Die behauptete Kommutativit"at folgt aber, wenn wir  $f_\dagger D\dashrightarrow D'$
    so als Bruch schreiben k"onnen, da"s im Diagramm 
    \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        f_\dagger D\ar[ddr] \ar@{-->}[dr]&\tilde D\ar[l]_-{T}\ar[d]\\
&D'\ar[d]^S\\
&C'
}  \end{displaymath}
      die durchgezogenen Pfeile  ein kommutatives Diagramm  in $\mathscr C$
      bilden und $\tilde D$ zu $\mathscr D$ geh"ort.
      Dazu schreiben wir zun"achst den gestrichelten Pfeil irgendwie
      als Linksbruch in $T^{-1}_{X'}\mathscr D_{X'}$, erweitern dann so zu einem Linksbruch in $S^{-1}_{X'}\mathscr C_{X'}$, da"s das Diagramm der
      durchgezogenen Pfeile kommutiert,
   und erweitern schlie"slich noch so,
      da"s wir in der beschriebenen Situation landen.
      Auf dieses Diagramm k"onnen wir nun  $g_\dagger$ anwenden und
       so  die behauptete
       Kommutativit"at des Dreicks mit dem gebogenen Pfeil als Kante
       folgern. 
    Das zeigt hinwiederum, da"s unsere
    Vorschrift in der Tat ein Funktor $\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$ ist.
    Offensichtlich induziert er einen Funktor
    $S^{-1}\mathscr C\ra T^{-1}\mathscr D$
    und man sieht ohne weitere Schwierigkeiten,
     da"s dieser Funktor der gesuchte Quasiinverse
     ist. Besonders bequem geht das unter Verwendung
     unserer Erkenntnis \eref{VoTrz}{TD}, da"s jeder Lokalisierungsfunktor
     volldicht ist. 
\end{proof}

\subsection{Lokalisierung durch lokale Rechtsanpassung}
\nichtfinal{Nunmehr Unn"otig,
  da der Beweis f"ur unbeschr"ankte eigentliche Bilder vereinfacht wurde.}
\begin{Bemerkungl} 
  Wir betrachten im folgenden die Kategorien
  $[n]$ mit der Objektmenge $[n]\pdef \{0,1,\ldots,n\}$
  und je einem Morphismus $i\ra j$ falls $i\leq j$.
  Gegeben ein  Kofaserfunktor $\mathscr C\ra \mathscr B$\label{LRAA} 
  und ein  \hyperref[fORE]{faserweises  Linksoresystem}  $S$ in $\mathscr C$ sagen wir, unser Kofaserfunktor besitze {\bf lokal Rechtsanpassungen f"ur $S$},\index{Rechtsanpassung!lokal} wenn
  f"ur jeden Funktor
  $[3]\ra \mathscr B$ unserer Kategorie $[3]$ in die
  Basis der R"uckzug
  $\mathscr C_{[3]}\ra [3]$
  in Bezug auf das induzierte faserweise Linksoresystem eine
  \hyperref[RAP]{Rechtsanpassung} besitzt. 
\end{Bemerkungl}

\begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung durch lokale Rechtsanpassungen}]
  Seien   $\mathscr C\ra \mathscr B$  ein Kofaserfunktor\label{LRaV} 
  und $S$ ein
  \hyperref[fORE]{faserweises  Linksoresystem} in $\mathscr C$. Besitzt unser Kofaserfunktor
  \hyperref[LRAA]{lokal Rechtsanpassungen f\"ur $S$}, 
  so gilt:
  \begin{enumerate}
  \item
    Der offensichtliche Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$
    ist
    eine Kofaserung;
  \item
    Die Einbettungen liefern Isomorphismen $S_{\mathscr U}^{-1}\mathscr C_{\mathscr U}\sira (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr U}$ f"ur jeden Funktor $\mathscr U\ra \mathscr B$ in die Basis;
  \item
    F"ur
    jeden Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis besitzt
    jedes Objekt von $\mathscr C_X$ eine $S_X$-Linksentfaltung 
    f"ur den Vorschubfunktor gefolgt von der Lokalisierung 
   $Qf_\dagger: \mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$;
\item
Genau dann ist $E\in \mathscr C_X$ ein $Qf_\dagger$-entfaltetes Objekt,
  wenn der Transportmorphismus $E\ra f_\dagger E$
   in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C$  kokartesisch bleibt.
  \end{enumerate}
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
Der letzte Punkt liefert wie in \ref{dBdF} ausgef"uhrt
  eine Identifikation zwischen den Vorsch"uben
  der Kofaserung 
  $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ und den Linksderivierten
  der Vorsch"ube der Kofaserung 
  $\mathscr C\ra \mathscr B$. Eine Rechtsanpassung des R"uckzugs $\mathscr C_{[3]}\ra [3]$ nennen wir in diesem Kontext auch eine
  {\bf lokale Rechtsanpassung}.\index{Rechtsanpassung!lokale}
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}
  Teil (3) folgt  aus der
  Existenz einer Rechtsanpassung f"ur den R"uckzug
  unserer Kofaserung unter dem Funktor $[1]\ra \mathscr B$,
  der den Morphismus  $(0\ra 1)$ auf $f$  abbildet.
  F"ur das Folgende denken wir uns mit der "ublichen abgek"urzten Notation
  Linksfaktorierte $({^{\op{L}}}\!f_\dagger,\tau)$ der
  Funktoren $Qf_\dagger$ fest gew"ahlt.
  Gegeben Morphismen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ in der Basis
  betrachten wir weiter den Funktor $[2]\ra \mathscr B$,
  der den Morphismus  $(0\ra 1)$ auf $f$  abbildet
  und den Morphismus  $(1\ra 2)$ auf $g$.
  Indem wir unseren Satz \ref{LRAn}  \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}} "uber
  Lokalisierung durch Rechtsanpassung
  auf die mit diesem Funktor zur"uckgezogene Situation anwenden, erhalten wir
  ausgezeichnete Isotransformationen
  $c(g,f):{^{\op{L}}}\!g_\dagger\circ {^{\op{L}}}\!f_\dagger
  \siRa {^{\op{L}}}(g\circ f)_\dagger$. Indem wir
  weiter unseren Satz \ref{LRAn}  \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}} "uber
  Lokalisierung durch Rechtsanpassung
  auf die mit geeigneten Funktoren $[3]\ra\mathscr B$ zur"uckgezogene Situation 
  anwenden, folgern wir, da"s die Daten der Kategorien $S^{-1}_X\mathscr C_X$,
  Funktoren ${^{\op{L}}}\!f_\dagger$ und Identifikationen $c(g,f)$ im
  Sinne von \eref{GefKa}{TG} eine Kategorienkofaserung "uber $\mathscr B$
  bilden. Zu dieser
 Kategorienkofaserung
  k"onnen  wir, wie in \eref{Kjh}{TG} ausgef"uhrt wird,
  einen Kofaserfunktor konstruieren, den wir
  $$[S^{-1}]\mathscr C\ra \mathscr B$$
  notieren. In Formeln haben wir $([S^{-1}]\mathscr C)_f(C,C')\pdef
  (S^{-1}_Y\mathscr C_Y)({^{\op{L}}}\!f_\dagger C,C')$.
  Wir erhalten einen Funktor $\mathscr C\ra [S^{-1}]\mathscr C$,
  indem wir einem Morphismus in $\mathscr C_f(C,C')$
  den zugeh"origen Morphismus in $\mathscr C_Y(f_\dagger C,C')$
  zuordnen und  den kanonischen Morphismus
  ${^{\op{L}}}\!f_\dagger C\ra f_\dagger C$ aus $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$ vorschalten.
  Unter unserem Funktor werden Morphismen aus $S$ zu Isomorphismen, folglich induziert er einen Funktor
  $$S^{-1}\mathscr C\ra [S^{-1}]\mathscr C$$
  Alle Aussagen unseres Satzes folgen, sobald wir zeigen k"onnen,
  da"s dieser Funktor eine "Aquivalenz oder, wegen der
  Bijektivit"at auf Objekten gleichbedeutend, ein
  Isomorphismus von Kategorien ist. Die Surjektivit"at auf Morphismenr"aumen
  scheint mir offensichtlich.
  Um  die Injektivit"at auf Morphismenr"aumen
  zu zeigen, konstruieren wir einen Funktor
  $[S^{-1}]\mathscr C\ra S^{-1}\mathscr C$ derart,
  da"s das Nachschalten dieses Funktors den Identit"atsfunktor liefert.
  Nun, einen Morphismus ${^{\op{L}}}\!f_\dagger C\ra C'$ in $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$
  anzugeben bedeutet,  eine $Qf_\dagger$-Entfaltung $D\ra C$
  anzugeben sowie einen $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$-Morphismus $f_\dagger D\ra C'$.
  Zu diesen Daten erhalten wir,  da die fraglichen Entfaltungen  nach \eref{ProOG}{TD}  selbst
  ein Pro-Objekt bilden, einen wohlbestimmten Morphismus in $S^{-1}\mathscr C$
  als die Komposition
  $$C\stackrel{S }{\leftarrow} D\ra f_\dagger D\ra C'$$
  Der nach links weisende Pfeil ist dabei zu invertieren.
  Es bleibt zu zeigen, da"s diese Abbildungsvorschrift
  mit Verkn"upfungen vertr"aglich ist.
  Sei dazu $g:Y\ra Z$ wie zuvor und $[2]\ra \mathscr B$ der
  Funktor mit $(0\ra 1)\mapsto f$ und $(1\ra 2)\mapsto g$.
  Die Existenz einer Rechtsanpassung
  f"ur den R"uckzug $\mathscr C_{[2]}\ra [2]$
  bedeutet, da"s wir f"ur jedes Objekt  $C\in \mathscr C_X$ einen
  $S_X$-Morphismus $D\ra C$ finden k"onnen derart, da"s
  $D$ in Bezug auf $S_X$ sowohl f"ur $Qf_\dagger$ als auch f"ur $Q(gf)_\dagger$-linksentfaltet
  ist und da"s  zus"atzlich
  $f_\dagger D$ seinerseits  $S_Y$-$Qg_\dagger$-linksentfaltet ist.
  Es bedeutet weiter, da"s
  auch jedes Objekt von $\mathscr C_Y$ eine
  $S_Y$-$Qg_\dagger$-Linksentfaltung besitzt.
  Jeden Morphismus ${^{\op{L}}}\!f_\dagger C\ra C'$ in $S_Y^{-1}\mathscr C_Y$
  k"onnen wir mithin darstellen als Bruch
  $f_\dagger D\leftarrow D_1\ra C'$
  mit $D$ wie eben und $D_1$ seinerseits $S_Y$-$Qg_\dagger$-linksentfaltet.
  Jeden Morphismus ${^{\op{L}}}\!g_\dagger C'\ra C''$ in $S_Z^{-1}\mathscr C_Z$
  k"onnen wir weiter darstellen als Bruch
  $g_\dagger D'\leftarrow D_1'\ra C''$
  mit $D'$ auch $S_Y$-$Qg_\dagger$-linksentfaltet. Indem wir
  den ersten Bruch entsprechend erweitern, d"urfen wir
  sogar annehmen, da"s es unser Morphismus $D_1\ra C'$ "uber
  unseren Morphismus $D'\ra C'$ faktorisiert. So erhalten wir
  ein kommutatives Diagramm
   \begin{displaymath}
      \xymatrix{
        &&&&g_\dagger f_\dagger D&&\\
        &&f_\dagger D\ar[rru]&&g_\dagger D_1 \ar[u]^S\ar[r]&g_\dagger D' &\\
D \ar[d]^S\ar[rru] &&D_1\ar[dr]\ar[r]\ar[u]^S\ar[rru]& D'\ar[d]^S\ar[rru]&&D'_1\ar[dr]\ar[u]^S&\\
C  &&&C'&&&C''
}
   \end{displaymath}
   Es beschreibt die Verkn"upfung in $[S^{-1}]\mathscr C$ und
   zeigt, da"s unsere Abbildungsvorschrift auf Morphismen ein Funktor
   nach $S^{-1}\mathscr C$ ist.
\end{proof}



 \begin{proof}[Alter Beweis von Satz \ref{VRTebu}]
Wir erinnern unsere Kofaserung
      $$\op{Hot}\left(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}\right)\ra
      \op{Top}^{\op{lesb}}$$
      mit dem  $f_{!}$ eines
      Komplexes als Vorschub.
      Es gilt, die Ausgangskategorie an allen Quasiisomorphismen "uber
      Identit"aten der Basis zu lokalisieren.
     Wir leiten unseren
      Satz \ref{VRTebu} "uber
      die unbeschr"ankte derivierte Garbenschreikofaserung
       aus dem Satz \ref{LRaV} "uber die Lokalisierung
       durch lokale Rechtsanpassung her, den wir im Anschlu"s beweisen.
       Seien dazu $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ und $h:Z\ra W$ les.
       Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$, die
       entfaltet ist f"ur $f_{!}$ und $(gf)_{!}$, ist
       nach \ref{VRTeb} auch $f_{!}\mathcal F$ entfaltet f"ur $g_{!}$.
       Eine lokale Rechtsanpassung in Bezug auf den durch $f,g,h$ gegebenen
       Funktor $[3]\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$ bilden nun
       die Komplexe von
       abelschen Garben auf $X$, die entfaltet sind f"ur $f_{!}$, $(gf)_{!}$
       und $(hgf)_{!}$ zusammen mit den Komplexen von
       abelschen Garben auf $Y$, die entfaltet sind f"ur $g_{!}$
       und $(hg)_{!}$, und den Komplexen von
       $h_{!}$-entfalteten abelschen Garben auf $Z$ und allen Komplexen von
       abelschen Garben auf $W$. Diese Behauptung hinwiederum
       folgt unmittelbar aus unserem Satz \eref{UbDe}{TD} "uber das
       unbeschr"ankte Derivieren homologisch endlicher Funktoren.
 \end{proof} 

\begin{Lemma}
 Gegeben ein lesbf-Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$
 von gekringten R"aumen und  $\mathcal F\in \op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$  eine flache schwach kompaktweiche Modulgarbe
ist $f_{(!)}\mathcal F\in \op{Ab}_{/(Y,\mathcal B)}$
 wieder eine flache schwach kompaktweiche Modulgarbe.\label{vsskw} 
\end{Lemma}
\begin{proof}
Schwach kompaktweich folgt aus \ref{dibisk} und nur die Flachheit bleibt zu zeigen. Daf"ur k"onnen wir uns auf den Fall $\mathcal A=f^{*{\op{Ab}}}\mathcal B$
 zur"uckziehen, weil die Restriktion unter einem flachen Kringhomomorphismus flache Moduln zu flachen Moduln macht.
 Es reicht, Flachheit aller Halme zu zeigen. Mit lokal eigentlichem
 Basiswechsel \ref{BaWeax} folgt diese Flachheit
 aus der Variante \ref{GdsaV} der
 Projektionsformel.
\end{proof}




\newpage
\section{Vergleich verschiedener Kohomologietheorien} 


\begin{Proposition}[\textbf{Derivierte Funktoren und Spektralsequenzen}]
Gegeben ein linksexakter Funktor $F \colon {\mathcal A} \to {\mathcal B}$
  zwischen abelschen Kategorien, von denen die Erste genug Injektive
habe, 
  erhalten wir f"ur alle~$A^* \in {\op{Der}}^+{\mathcal A}$ eine
  konvergierende~$E_2$-Spektralsequenz\label{KSSE}
  \[ ({\op{R}}^qF)({\mathcal H}^pA^*) \Rightarrow 
{\mathcal H}^n({\op{R}}F(A^*)) \]
\end{Proposition}

\subsection{Direktes Bild von Garben}

\begin{Bemerkungl}
  Um die Diskussion der Beziehung zwischen Garbenkohomologie
und singul"arer Kohomologie vorzubereiten, bespreche ich in
diesem Abschnitt das direkte Bild von Garben. Sie werden im
weiteren Verlauf der Vorlesung sehen, da"s diese Konstruktion
in der Garbentheorie eine zentrale Stellung einnimmt. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Definition}
Gegeben eine stetige Abbildung $f: Y \ra X$ definiert man
das {\bf direkte Bild}\index{direktes Bild!von Garbe}  
von Garben\index{)7ast@$f_*$ Vorschub!von Garbe}
$$
f_{\ast}: \op{Ens}_{/Y}  \ra  \op{Ens}_{/X}$$ 
durch die Vorschrift
$(f_{\ast} \cal{F})(U) \pdef \cal{F}(f^{-1}(U))$ f"ur $U \co X$.
Es ist leicht einzusehen, da"s die so auf $X$ erkl"arte Pr"agarbe 
in der Tat eine Garbe ist.
\end{Definition}
\begin{Bemerkungl}
  Ich kann f"ur diese Konstruktion leider kaum substantielle Anschauung 
anbieten. Im Fall der Projektion auf einen Punkt ist das direkte Bild
im Wesentlichen der Funktor der globalen Schnitte. F"ur das direkte Bild
unter einer abgeschlossenen Einbettung 
ist die Restriktion auf das Komplement des Bildes nach \ref{COG} 
konstant mit
einelementiger Faser und die Restriktion auf das Bild ist
nach \ref{AdIc} die urspr"ungliche Garbe. 
\end{Bemerkungl}



\begin{Satz}[\textbf{Adjunktion von direktem und inversem Bild}]
Gegeben  eine stetige Abbildung $f: Y \ra X$  \label{AdInA}
erhalten wir eine Adjunktion $(f^{\ast}, f_{\ast})$ durch die 
Vorschrift
$$\begin{array}{ccc}
\op{Ens}_{/Y} (f^{\ast}\cal{G}, \cal{F}) 
&\ra & \op{Ens}_{/X} (\cal{G},f_{\ast}\cal{F})\\
\varphi & \mapsto & \tilde{\varphi}
\end{array}$$
Hier wird $\tilde{\varphi} : \cal{G} (U) \ra 
(f_{\ast}\cal{F}) (U) = \cal{F}(f^{-1}(U))$
f"ur $U\co X$ dadurch erkl"art, da"s 
man einen Schnitt $s \in \cal{G} (U)$ 
als Abbildung $s : U \ra 
\bar{\cal{G}}$ auffa"st, sie zu 
$(\op{id}\times s): Y \times_{X} U \ra Y \times_{X} 
\bar{\cal{G}}$
alias $f^{-1}(U) \ra \overline{f^{\ast}\cal{G}}$ zur"uckzieht, 
und sie dann durch Verkn"upfung mit 
$\varphi : \overline{f^{\ast}\cal{G}}
\ra \bar{\cal{F}}$ zu einem Schnitt
von $\cal{F}$ "uber $f^{-1}(U)$ macht.
\end{Satz}
\begin{proof}[Beweis]
Es gilt zu zeigen, da"s die so konstruierte
Abbildung $\varphi \mapsto \tilde{\varphi}$
bijektiv ist.
Sie ist injektiv, da 
ganz $\overline{f^{\ast}\cal{G}}$ durch die Bilder solcher
$(\op{id} \times s)$ "uberdeckt wird.
Zus"atzlich sind die $(\op{id} \times s)$ aber sogar
Hom"oomorphismen auf offene Teilmengen
von $\overline{f^{\ast}\cal{G}}$, und eine Sammlung von stetigen
kompatiblen Abbildungen von diesen offenen Teilmengen 
nach $\bar{\cal{F}}$ verklebt dann zu einer stetigen
Abbildung $\overline{f^{\ast}\cal{G}}\ra 
\bar{\cal{F}}$ "uber $Y$.
\end{proof}

\begin{Bemerkungl}\label{DirBa}%\label{DirB}
Auf genau dieselbe Weise erkl"aren wir auch f"ur abelsche Garben
die direkten Bilder
$
f_{\ast} : \op{Ab}_{/Y} \ra  \op{Ab}_{/X}$ 
und die Adjunktion
$f^{\ast}\dashv f_{\ast}$.
In diesem Kontext  benutzen wir manchmal auch 
die Notation $f^{(\ast)}\dashv f_{(\ast)}$. 
% Statt $f_\ast$ oder $f_{(\ast)}$ wird in der Literatur meist
% die Notation $f_\ast$ verwendet. Ich will mir jedoch
% die Notation $f_\ast$ f"ur das derivierte direkte Bild vorbehalten.
\end{Bemerkungl}


\begin{Bemerkungl}[\textbf{Direkte Bilder aus  Grundkonstruktionen}]
Im Sinne einer gr"o"stm"oglichen Reduktion auf
Grundkonstruktionen w"are es wohl noch besser, 
unsere direkten Bilder schlicht als \glqq die\grqq\  linksadjungierten
Funktoren der inversen Bilder zu erkl"aren. 
Die fraglichen Linksadjungierten w"aren dann zwar  nur bis auf
eindeutige Isotransformation eindeutig bestimmt, vergleiche \eref{AdFu}{TS},
aber damit k"onnten wir leben.
Andererseits h"atte dieses Vorgehen
 den Vorteil, da"s wir nicht extra pr"ufen m"u"sten,
da"s die von unserer Isotransformation
$\op{can}:\op{id}^\ast \stackrel{\sim}{\RA} \op{Id}$
auf den jeweils adjungierten Funktoren induzierte Isotransformation
$\op{id}_\ast \stackrel{\sim}{\RA} \op{Id}$ gerade die Gleichheit
$\op{id}_\ast = \op{Id}$ ist, und da"s weiter 
die von unserer Isotransformation
$c(g,f):g^\ast f^\ast\overset{\sim}{\Rightarrow} (f g)^\ast$ 
auf den jeweils adjungierten Funktoren induzierte Isotransformation
gerade die Gleichheit $(f g)_\ast=f_\ast g_\ast$ ist.
Diese Pr"ufung birgt aber auch keine besonderen Schwierigkeiten und 
bleibe dem  Leser "uberlassen.\label{GDBi}
\end{Bemerkungl}
%% \begin{Bemerkungl}
%% Offensichtlich ist $\op{id}_\ast:\op{Ens}_X\ra \op{Ens}_X$ die
%% Identit"at und f"ur verkn"upfbare stetige Abbildungen $f,g$ 
%% gilt $(f\ast g)_\ast=f_\ast g_\ast$. 
%% Die kanonischen Isotransformationen
%% $(f\ast g)^\ast\overset{\sim}{\Rightarrow} g^\ast f^\ast$ 
%% sind vertr"aglich mit den Adjunktionen.
%% \end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte direkter Bilder aus Grundkonstruktionen}]
Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ erhalten wir 
eine kanonische Bijektion
$$\Gamma \cal{F}\sira \Gamma f_\ast \cal{F}$$
als Verkn"upfung $\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_X, \cal{F})
\sira \op{Ens}_{/X}(f^\ast \op{ens}_X, \cal{F})
\sira \op{Ens}_{/X}( \op{ens}_Y, f_\ast\cal{F})$
des Vorschaltens von $f^\ast \op{ens}_Y\sira \op{ens}_X$ mit der
Adjunktionsabbildung. Diese Bijektion ist  auch in unserer
Definition des direkten Bildes sofort sichtbar.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ erhalten wir 
in derselben Weise f"ur abelsche Garben einen kanonischen Isomorphismus
$$\Gamma \cal{F}\sira \Gamma f_{\ast} \cal{F}$$
als Verkn"upfung $\op{Ab}_{/X}(\DZ_X, \cal{F})
\sira \op{Ab}_{/X}(f^{\ast} \DZ_Y, \cal{F})
\sira \op{Ab}_{/X}( \DZ_Y, f_{\ast}\cal{F})$
des Vorschaltens von $f^{\ast} \DZ_Y\sira \DZ_X$ mit der
Adjunktionsabbildung. Diese Bijektion ist  auch in unserer
Definition des direkten Bildes sofort sichtbar.
\end{Bemerkungl}





\begin{Bemerkungl}
Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $q\geq 0$ betrachten wir
die\label{KKaa} abelsche \defind{Pr"agarbe der
singul"aren $q$-Koketten},
die jeder offenen Menge $U\co X$ die Gruppe 
$\op{S}\!^q U$  der
singul"aren $q$-Koketten auf $U$ zuordnet. Die Garbifizierung
dieser Pr"agarbe
notieren wir  $\cal{S}^q_X$ und nennen sie die
\defind{Garbe der lokalen singul"aren $q$-Koketten}.
Die "ublichen Ko\-rand\-abbildungen auf den Koketten induzieren
Ko\-rand\-abbildungen $\cal{S}^q_X\ra \cal{S}^{q+1}_X$.  Auf diese Weise
wird $\cal{S}^\ast_X$ ein Komplex von abelschen Garben
und die offensichtliche Kettenabbildung $\op{S}\!^\ast X\ra \Gamma \cal{S}^{\ast}_X$
liefert eine Abbildung 
$$\op{H}^q_{\op{sing}} X\ra \cal{H}^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X$$
Weiter liefert f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ der R"uckzug von
Koketten einen Komorphismus "uber $f$
zwischen den Pr"agarben der singul"aren Koketten und
dann mit \ref{DbP} auch einen Komorphismus
$\cal{S}^{\ast}_Y\ra \cal{S}^{\ast}_X$ "uber $f$ zwischen ihren Garbifizierungen.
Mit den davon induzierten Abbildungen $\Gamma \mathcal S_Y^\ast\ra \Gamma \mathcal S_X^\ast$ wird $X\mapsto \Gamma \mathcal S_X^\ast$ ein Funktor
$\Gamma \mathcal S^\ast:\op{Top}\ra \op{Ket}^{\op{opp}}$ und unsere offensichtlichen Kettenabbildungen
bilden eine Transformation von Funktoren ${\op{S}}^\ast \RA \Gamma \mathcal S^\ast$ und induzieren nach Anwenden der Kohomologiefunktoren $\mathcal H^q$
 Transformationen $${\op{H}}^q_{\op{sing}}\RA \mathcal H^q\Gamma \mathcal S^\ast$$
\end{Bemerkungl}

\begin{Bemerkungl} Ich selbst finde Ketten anschaulich, Koketten bereits
  ziemlich unanschaulich und Schnitte der Garbe der lokalen singul"aren
  Koketten verheerend unanschaulich.
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}\label{KKAB}
Ist $X$ lokal singul"ar-azyklisch, so wird der Komplex 
der Garben der lokalen singul"aren Koketten nach 
der Augmentierung
zu $\DZ_X\hra \cal{S}^\ast_X$
exakt, denn das mu"s 
man ja nur auf dem Halm an jeder Stelle $x\in X$ zeigen 
und der Komplex der Halme an einer Stelle $x$ ist isomorph zu
$\DZ\hra \op{colf}_{U\ni x}\op{S}\!^\ast U$ mit dem filtrierenden
Kolimes "uber alle offenen Umgebungen von $x$. 
Nach \eref{KFin}{TS} kommt es nun nicht
darauf an, ob wir den  
Kolimes "uber alle offenen Umgebungen von $x$, "uber alle  Umgebungen von $x$,
oder "uber alle singul"ar-azyklischen Umgebungen von $x$ bilden. Damit
folgt  die behauptete Exaktheit  aus der Exaktheit 
filtrierender  Kolimites
\eref{EDL}{TS}.
Wir erhalten so mithilfe unserer Definition rechtsderivierter
Funktoren \ref{DefDe} f"ur jeden
lokal singul"ar-azyklischen Raum  Abbildungen
$$\cal{H}^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X\ra \op{H}^q(X;\DZ_X)$$
in die Garbenkohomologie der konstanten Garbe. Ist zus"atzlich
$f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung in einen weiteren
lokal singul"ar-azyklischen Raum, so ist unser Komorphismus
$\mathcal S^*_Y\ra \mathcal S^*_X$ "uber $f$ aus \ref{KKaa} eine
Fortsetzung des offensichtlichen Komorphismus $\DZ_Y\ra\DZ_X$
und die charakterisierende
Eigenschaft des Zur"uckholens \ref{ZHKoX} in der Garbenkohomologie liefert,
da"s auch obige Abbildungen nat"urlich sind in $X$.\label{RuV}
\end{Bemerkungl}
\begin{Satz}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}]
F"ur jeden
lokal singul"ar-azyklischen Raum\label{SKG}  $X$
ist die Komposition $\op{H}^q_{\op{sing}} X\ra\cal{H}^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X\ra \op{H}^q(X;\DZ_X)$
der beiden in \ref{KKaa} und \ref{KKAB} erkl"arten nat"urlichen 
Abbildungen ein  Isomorphismus, der 
\emph{\bf Vergleichsisomorphismus}
zwischen der singul"aren Kohomologie und der Garbenkohomologie
$$\op{H}^q_{\op{sing}} X\sira 
 \op{H}^q(X;\DZ_X)$$ 
\end{Satz}
\begin{Bemerkungl}
  Der Beweis wird erst zu Ende dieses Abschnitts gegeben. Einen alternativen
  Beweis f"ur \glqq parakompakte\grqq\ R"aume
  geben wir in \ref{hss}.\label{VrI}  
Der Satz erlaubt uns insbesondere, Anschauung aus der
singul"aren Kohomologie in
die Garbenkohomologie zu "ubertragen.
Da"s unser Vergleichsisomorphismus ein Ringisomorphismus ist
f"ur das in \eref{hDM}{TD} erkl"arte cup-Produkt auf der Garbenkohomologie  
beweisen wir in \eref{AICP}{TD}.
Die Interpretation der singul"aren
Homologie im Rahmen der Garbenkohomologie
wird erst in \eref{vsH}{TSS} besprochen. 
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungl}
  Der Satz gilt mit demselben Beweis weiter, wenn wir schw"acher nur
  fordern, da"s die durch
  die singul"aren Koketten gegebene Sequenz von Pr"agarben zu einer
  Aufl"osung der konstanten Garbe garbifiziert. Dasselbe gilt mit
  fast demselben Beweis auch f"ur beliebige Koeffizienten, wir m"ussen
  dann nur im anschlie"senden Beweis $\DQ\ra\DQ/\DZ$ durch eine endliche injektive Aufl"osung der
  jeweiligen Koeffizientengruppe ersetzen und statt mit $\mathbb D$ mit dem
  Homomorphismenkomplex dorthin arbeiten. 
\end{Bemerkungl}




\begin{Bemerkungl}
  Zum Beweis des obigen Vergleichssatzes mag man versucht sein zu zeigen, da"s die beiden Abbildungen  aus \ref{KKaa} und \ref{KKAB}
bereits jeweils f"ur sich genommen Isomorphismen sind.
Das gelingt mir jedoch nur unter st"arkeren Annahmen, genauer f"ur
\glqq parakompakte\grqq\ R"aume, vergleiche \ref{hs}. 
Stattdessen gebe ich im folgenden
eine alternative Konstruktion derselben Abbildung, der man
auch im allgemeinen ansieht, da"s sie ein Isomorphismus sein mu"s.
\end{Bemerkungl}







  \begin{Bemerkungl}[\textbf{Explizite derivierte Dualit"at}] 
Gegeben ein Komplex von abelschen Gruppen $A$ erkl"aren wir 
den {\bf dualen Komplex} als den Hom-Komplex\label{dD} 
$$\mathbb D_{\op{Ket}} A=\mathbb D A\pdef \big(A {\Rrightarrow}(\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)\big)$$
in den Komplex  $\DQ[0]\ra\DQ/\DZ$ mit nur zwei von Null
verschiedenen Termen, deren Erster, wie  das Symbol $[0]$ andeutet,
im Grad Null sitzen soll.\index{D@$\mathbb D$, genauer $\mathbb D_{\op{Ket}}$}
Die offensichtliche Kettenabbildung 
$\DZ[0]\ra(\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)$ liefert nat"urliche Homomorphismen
$$\nu: \op{Hom}(A,\DZ[0])\ra \mathbb D A$$
Jede exakte Sequenz von Kettenkomplexen $A\ra B\ra C$ 
wird unter unserer Dualit"at zu einer exakten Sequenz
$\mathbb D C\ra \mathbb D B \ra \mathbb D A$ in die Gegenrichtung.
\end{Bemerkungl}
\begin{Bemerkungw}
Anstelle des Komplexes  $\DQ[0]\ra\DQ/\DZ$ k"onnten wir
hier allgemeiner eine beliebige injektive Aufl"osung von $\DZ$ 
verwenden. In \eref{DeKaMAG}{TSS} werden wir 
$\mathbb D A$ als das \glqq Homobjekt von $A$ zum Einsobjekt in
der derivierten Kategorie der Kategorie der abelschen Gruppen\grqq\ verstehen lernen und werden lernen, da"s diese derivierte Kategorie
eine Schmelzkategorie mit universellen Verschmelzungen und Multihom ist. In diesem Rahmen erweist  sich unser dualer Komplex dann als das
duale Objekt in dieser Schmelzkategorie im Sinne von \eref{duo1}{TSK}.
\end{Bemerkungw}




\begin{Definition}
Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie.
Ein Morphismus in der Kategorie der Komplexe $\op{Ket}( \cal{A})$
oder in\label{QuaI} 
der Homotopiekategorie
$\op{Hot}( \cal{A})$ hei"st ein 
{\bf Quasiisomorphismus},\index{Quasiisomorphismus!von Komplexen} 
 wenn
er Isomorphismen auf der Homologie induziert. 
Ich will Quasiisomorphismen  $\qri$\index{)44@$\qri$ Quasiisomorphismus} 
notieren, denn sie sind noch etwas ferner 
von "ublichen Isomorphismen als unsere
Isomorphismen $\hri$ in Homotopiekategorien.
\end{Definition}

\begin{Bemerkungl}
  Wie wir im Fall von Komplexen abelscher Gruppen bereits beim
  Beweis von \eref{AABK}{TS} diskutiert haben, ist eine Kettenabbildung
  genau dann ein Quasiisomorphismus, wenn ihr Abbildungskegel
  exakt ist.
\end{Bemerkungl}

\begin{Proposition}[\textbf{Eigenschaften der derivierten Dualit"at}]
\begin{enumerate}
\item
F"ur jeden %\linebreak 
Komplex $S$ von freien abelschen Gruppen 
ist unser nat"urlicher Homomorphismus ein 
Quasiisomorphismus $\nu: (S{\Rrightarrow}\DZ[0])\qri \mathbb D S$;
\item
  Jeder Quasiisomorphismus $A\qri B$ von Komplexen abelscher Gruppen
  induziert einen 
Quasiisomorphismus $\mathbb D B\qri \mathbb D A$.
\end{enumerate}\label{VHAj}
\end{Proposition}
\begin{proof}
Gegeben ein in Richtung der Pfeile beschr"ankter Komplex  $S$ 
 von
freien abelschen Gruppen $S$ zeigt das Hauptlemma der homologischen Algebra
\eref{HLHA}{TS}, da"s 
der Homomorphismenkomplex $S{\Rrightarrow}X$ in jeden exakten
Komplex $X$ 
exakt ist. Ist $X$ beschr"ankt, so folgt das sogar f"ur einen beliebigen Komplex $S$
von freien abelschen Gruppen, indem man entsprechend weiter und weiter im Negativen
abschneidet. Wenden wir diese Erkenntnis auf
den Abbildungskegel $$X\pdef \op{Keg}\big(\DZ[0]\ra(\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)\big)$$
an und beachten, da"s nach \eref{HKA}{TS} die Konstruktionen Abbildungskegel
und Hom-Komplex vertauschen, 
so folgt Teil 1.
 F"ur Teil 2 reicht es nach "Ubergang zum Abbildungskegel
und dem Vertauschen \eref{HKA}{TS} der Konstruktionen Abbildungskegel
und Hom-Komplex in der anderen Variablen
zu zeigen, da"s f"ur jeden exakten Komplex $C$ auch der 
Komplex $C{\Rrightarrow}(\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)$ exakt ist. Das aber 
ist allgemein klar nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra, 
wenn rechts ein beschr"ankter Komplex von
Injektiven  steht. 
\end{proof}
\begin{Bemerkungw}[{\bf Bidualit"at}] 
Unsere  "Uberlegungen aus \eref{TKoX}{TSK} liefern 
nat"urliche Kettenabbildungen
 $A\ra \mathbb D\mathbb D A$. Aus dem Vorhergehenden folgt leicht, da"s sie
f"ur jeden Komplex von endlich erzeugten freien abelschen Gruppen $S$ einen
Quasiisomorphismus $S\qri \mathbb D\mathbb D S$ liefern. 
Mit etwas mehr homologischer Algebra folgt, da"s sie sogar 
f"ur jeden beliebigen Komplex von endlich erzeugten abelschen Gruppen $E$ einen
Quasiisomorphismus $E\qri \mathbb D\mathbb D E$ liefern. 
\end{Bemerkungw}



\begin{Bemerkungl}
 Gegeben ein topologischer Raum $X$
 erkl"aren wir den {\bf Komplex der Kogrenzkettengarben} 
oder kurz den {\bf Kogrenzkomplex}\index{Kogrenzkomplex} $\mathcal G^*_X$ 
durch die Vorschrift, da"s\label{SKHK}   
der Komplex seiner Schnitte auf $U\co X$
mit unserer derivierten Dualit"at $\mathbb D$ aus \ref{dD}
gegeben wird durch die Vorschrift 
$$\mathcal G^*_X(U)\pdef \mathbb D({\op{G}}U)$$ 
Man beachte, da"s
$\mathcal G^i_X(U)$ keineswegs nur von ${\op{G}}_iU$ abh"angt.
Da nach \ref{GkK} die Grenzketten eine  welke Kogarbe bilden, erhalten wir so einen 
Komplex von welken abelschen Garben.
Das Dualisieren unseres exakten Komplexes von abelschen Gruppen aus \ref{GkK}
liefert genauer wegen der Exaktheit von  $\mathbb D$  einen exakten Komplex
$$\mathcal G^*_X(X) \hra \prod_{U\in\mathcal U}  \mathcal G^*_X(U)\ra \prod_{(U,V)\in\mathcal U^2}  
\mathcal G^*_X (U\cap V)\ra\ldots$$ 
"Ahnlich pr"uft man die Verklebungseigenschaft auch
f"ur Systeme offener Teilmengen mit einer von ganz $X$ verschiedenen
Vereinigung. Da"s $\mathcal G^*_X$ welk ist, folgt  aus
der Injektivit"at von ${\op{G}}A\hra {\op{G}}X$ f"ur $A\subset X$, immer
noch nach
\ref{GkK}, und der Exaktheit von $\mathbb D$.
\end{Bemerkungl}
\begin{proof}[Beweis von Satz \ref{SKG} "uber den Vergleichsisomorphismus] 
Gegeben ein  topologischer Raum $X$ f"uhrt unser Quasiisomorphismus
${\op{S}}X\qri{\op{G}}X$ aus \ref{GrKe} zusammen mit unseren Erkenntnissen
"uber die derivierte Dualit"at bei abelschen Gruppen 
\ref{VHAj} zu Quasiisomorphismen
$${\op{S}}^\ast X
\;\qri\; \mathbb D({{\op{S}}}X)
\;\qli\; \mathbb D({{\op{G}}}X)
$$
Ist  $X$  lokal  singul"ar-azyklisch,
so folgern wir, indem wir diese Sequenz
von Quasiisomorphismen
 f"ur alle singul"ar-azyklischen Umgebungen $V\subset X$ aller Punkte betrachten, da"s der Kogrenzkomplex aus \ref{SKHK} 
eine  Aufl"osung  $\DZ_X\ra \mathcal G^*_X$ 
der konstanten Garbe ist. 
Unsere Sequenz von Quasiisomorphismen
betrachten  wir dann weiter f"ur alle $U\co X$  und  erhalten so eine 
Sequenz von Quasiisomorphismen von Komplexen von 
Pr"agarben, die wir zu einer 
Sequenz $$\mathcal S_X^*
\;\qri\; \tilde{\mathcal S}_X^\lhd
\;\qli\; \mathcal G^*_X
$$
von Morphismen von Aufl"osungen der 
konstanten Garbe $\DZ_X$  garbifizieren. 
W"ahlen wir noch eine injektive Aufl"osung $\mathcal I^\lhd$
der konstanten Garbe und einen Morphismus von Aufl"osungen 
 $\tilde{\mathcal S}_X^\lhd\qri \mathcal I^\lhd$,
so erhalten wir auf den globalen Schnitten
ein kommutatives Diagramm 
$$\begin{array}{ccccc}
{\op{S}}^\ast X
&\qri& \mathbb D({{\op{S}}}X)
&\qli& \mathbb D({{\op{G}}}X)\\
\da&&\da&&\wr\da\\
\Gamma\mathcal S_X^*
&\ra &\Gamma \tilde{\mathcal S}_X^\lhd
&\leftarrow & \Gamma\mathcal G^*_X\\
&\searrow&\da&\swarrow&\\
&&\Gamma {\mathcal I}^\lhd&&
\end{array}$$
Wichtig ist hierbei, da"s $\mathcal G^*_X:U\mapsto \mathbb D({{\op{G}}}U)$
bereits ein Komplex von Garben ist und wir an dieser Stelle nicht zu garbifizieren brauchen, denn das liefert den vertikalen Isomorphismus
ganz rechts.
Nun besteht $\mathcal G^*_X$ nach \ref{SKHK} sogar aus welken Garben.
Nach unseren Erkenntnissen \ref{DAZO} zum
Derivieren mit azyklischen Aufl"osungen und
der $\Gamma$-Azyklizit"at welker Garben aus \ref{WeAZ}
ist mithin in unserem Diagramm 
die Kettenabbildung $\swarrow$ ein Quasiisomorphismus.
Daraus aber folgt, da"s  die Komposition in der mittleren
Vertikale und dann auch die Komposition nach unten auf der 
linken Seite Quasiisomorphismen sind. Der Satz folgt. 
\end{proof}






\subsection{Derivierter gefaserter Basiswechsel, SCHROTT}
%Hier azyklisch ok, brauche nicht universell azyklisch



\begin{Satz}[\defind{Derivierter gefaserter 
Basiswechsel}]\label{DGFBWa}
  Sind in einem kartesischen  Diagramm von topologischen R"aumen
$f p=q g$ 
die Horizontalen $p,q$ 
\hyperref[FaBue]{Faserb\"undel} mit
offenlokal (schwach?) \hyperref[azy]{garbenazyklischer}
 Faser, so ist der Basiswechsel auf den
gegen die Pfeile beschr"ankten derivierten Kategorien von abelschen 
Garben eine  Isotransformation
$$q^{\ast} f_{\ast} \overset{\sim}{\RA} g_{\ast} p^{\ast} $$
\end{Satz}
\begin{Bemerkunge}
  Das ist nun alter Schrott im Vergleich zu \ref{DGFBW}.
\end{Bemerkunge}
\begin{Bemerkunge}
Dieser Satz ist Lemma C1 auf Seite 56 aus   
\cite{BeLu}, wo mir allerdings die Bedingungen, wie sie
in loc.cit.\, Abschnitt 6.8 formuliert werden, zu schwach
scheinen: Man mu"s meines Erachtens nicht nur  fordern, da"s 
jeder Punkt der Faser eine garbenazyklische Umgebung besitzt, 
sondern da"s sich jede Umgebung jedes Punktes der Faser
zu einer offenen garbenazyklischen Umgebung
des gegebenen Punktes verkleinern l"a"st.
\end{Bemerkunge}

\begin{proof}
Wir d"urfen annehmen, da"s unsere
Faserung $q$ und damit auch $p$  global trivial ist, sagen wir mit Faser $Z$.
Im Fall, da"s zus"atzlich $X$ die diskrete Topologie
tr"agt, folgt unser Satz bereits aus \ref{GFBW}, 
denn dann sind die h"oheren
derivierten direkten Bilder auf beiden Seiten Null und
$f_{(\ast)}$ sowie $g_{(\ast)}$ exakt. Auf
der rechten Seite ist das evident,
auf der Linken gilt es nur zu zeigen,
da"s die Halme der h"oheren derivierten Bilder verschwinden.
Mit der Bescheibung
der h"oheren derivierten Bilder
 \ref{RHF} als Garbifizierung geeigneter Pr"agarben 
erhalten wir sie aber als direkten Limes
"uber ein direktes System, das ein identisch verschwindendes
konfinales Teilsystem besitzt: In der Tat hat f"ur $U$ 
garbenazyklisch 
eine konstante abelsche Garbe auf einer disjunkten Vereinigung
von Kopien von $U$ nach \ref{OTP} keine h"ohere Kohomologie.
Um den
allgemeinen Fall zu zeigen, wenn also 
$X$ nicht notwendig die diskrete Topologie tr"agt, m"ussen wir nur
jede abelsche Garbe $\cal{F } $ auf $X$ in eine $f_{(\ast)}$-azyklische
abelsche Garbe einbetten, die unter 
$p^{(\ast)}$ zu einem $\tilde{f}_{(\ast)}$-azyklischen Objekt wird: 
Dann k"onnen wir wie bei der Konstruktion injektiver Aufl"osungen 
in \ref{EIA} zu unserem Komplex einen Quasiisomorphismus in einen
Komplex derartiger Garben konstruieren, mit dessen Hilfe die Behauptung dann 
leicht zu pr"ufen ist. 
Um unsere Einbettung zu konstruieren,
bilden wir einen diskreten Raum $X^{\delta}$, indem wir die Menge $X$ 
mit der diskreten Topologie versehen, geben der Identit"at
den Namen $d:X^{\delta}\ra X$,  
und erhalten das  Diagramm
\begin{displaymath}
 \xymatrix{
X^{\delta}\times Z \ar[d]_-{\tilde d}\ar[r]^-{p^{\delta}} &\;X^{\delta}\ar[d]^-d\\
X\times Z \ar[d]_-{\tilde f}\ar[r]^-{p} & X \ar[d]^-f\\
Y\times Z  \ar[r]^-{q} & Y
}
\end{displaymath}
Die kanonische Abbildung 
$\cal{F } \ra d_{(\ast)} d^{(\ast)}\cal{F }$ ist dann eine
Einbettung in eine
$f_{(\ast)}$-azyklische Garbe, und es gilt nur
noch zu zeigen, da"s auch $p^{(\ast)}d_{(\ast)} d^{(\ast)}\cal{F }$
azyklisch ist f"ur $\tilde{f}_{(\ast)}$.
Nach dem bereits behandelten Fall
verschwinden aber die h"oheren derivierten direkten Bilder von
$p^{\delta(\ast)}d^{(\ast)}\cal{F }$ sowohl unter
$\tilde{d}$ als auch unter  $\tilde{f} \tilde{d} $. 
Aus der Leray'schen Spektralsequenz oder genauer
\ref{SpEH}
folgt damit,
da"s 
$ \tilde{d}_{(\ast)} p^{\delta(\ast)}d^{(\ast)}\cal{F }\cong
 p^{(\ast)}d_{(\ast)} d^{(\ast)}\cal{F }$
azyklisch ist f"ur $\tilde{f}_{(\ast)}$.
\end{proof}



\begin{Bemerkungl}\nichtfinal{ALT VON \eref{HDKe}{TG}.}  
 Man k"onnte 
 "ahnlich wie beim Beweis von \eref{APD}{TS} f"ur diese Proposition 
auch einen elementaren Beweis
 zusammenst"uckeln. Das  w"are aber  kontraproduktiv,
 denn ich will ja gerade zeigen, wie 
 die Garbentheorie 
 derartige
 Konstruktionen 
 in angenehmer Verpackung gebrauchsfertig bereitstellt.
 \end{Bemerkungl}
\begin{proof}\nichtfinal{ALTER BEWEIS VON \eref{HDKe}{TG}.}  
Da wir in Richtung der Pfeile beschr"ankte Komplexe freier abelscher Gruppen
vor uns haben, reicht es zu zeigen, da"s unsere Einbettung 
ein Quasiisomorphismus ist. 
Nun macht der Unterteilungsoperator
glatte Ketten zu glatten Ketten. \nichtfinal{(Ginge es einfacher?)} Wir konstruieren genau wie in  
\ref{GrKe} den Komplex der glatten Grenzketten $\mathcal C^{\infty}{\op{G}} X$
und erhalten ein kommutatives 
Diagramm  mit Quasiisomorphismen in den Vertikalen
$$\begin{array}{ccc}
\mathcal C^{\infty}{\op{S}} X&\hra& {\op{S}} X\\
\da&&\da\\
\cal{C}^{\infty}{\op{G}} X&\hra& {\op{G}} X
\end{array}$$
F"ur jede injektive abelsche Gruppe $I$  
bilden wir nun 
stetige und glatte Varianten mit Koeffizienten in $I$
unserer  Komplexe von Kogrenzkettengarben aus
\ref{SKHK}, 
indem wir jeder offenen Menge $U\co X$ als  Schnitte
 $\mathcal G_{X,I}(U)\pdef  \op{Hom}_\DZ({\op{G}}U,I)$ beziehungsweise
$\cal{C}^{\infty}\mathcal G_{X,I}(U)\pdef  
\op{Hom}_\DZ(\cal{C}^{\infty}{\op{G}}U,I)$
zuordnen. Beide Komplexe bilden welke Aufl"osungen der konstanten Garbe $I_X$
auf $X$, im glatten Fall nach dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{hsg}. 
Folglich ist die  auf den globalen Schnitten induzierte Abbildung
 ein Quasiisomorphismus. Da das f"ur alle $I$ gilt, 
mu"s auch die obere Horizontale
unseres Diagramms ein   Quasiisomorphismus sein, und dann gilt dasselbe f"ur die
untere Horizontale.
\end{proof}







%%% Local Variables: 
%%% mode: latex
%%% TeX-master: "XXTOP"
%%% End: