\section{Beispiele zur Garbenkohomologie} \subsection{Ein Spektralsequenzargument} \begin{Definition} Ein \defind{Doppelkomplex} $A = (A^{p,q}, \partial,\delta)$ ist eine durch $\Bbb{Z} \times \Bbb{Z}$ parametrisierte Familie $A^{p,q}$ von abelschen Gruppen mitsamt Gruppenhomomorphismen $\partial = \partial^{p} : A^{p,q} \ra A^{p+1,q}$ und $\delta = \delta^{q} : A^{p,q} \ra A^{p,q+1}$ derart, da"s gilt $\partial^{2} = 0,$ $\delta^{2} =0$ und $\partial\delta = \delta\partial.$ Gegeben ein Doppelkomplex $A$ bilden wir einen Komplex $(A_{\op{tot}},d),$ seinen \defind{Totalkomplex} durch die Vorschrift $$A_{\op{tot}}^n=\bigoplus_{p+q=n}A^{p,q}$$ mit Differential $da=\partial a+ (-1)^p\delta a$ f"ur $a\in A^{p,q}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Wir denken uns $p$ nach rechts und $q$ nach oben aufgetragen und betrachten in unserem Doppelkomplex die \defind{Spaltenkomplexe} $A^{p,\ast}$ sowie die \defind{Zeilenkomplexe} $A^{\ast, q}.$ Verschwinden alle $A^{p,q}$ mit $p<0$ oder $q<0,$ so sprechen wir von einem \defind{Doppelkomplex im ersten Quadranten}. Zu einem Doppelkomplex im ersten Quadranten erkl"aren wir den \defnoind{senkrechten Kernkomplex}\index{senkrechter Kernkomplex} $K_{\uparrow}$ als den Komplex der Kerne \glqq l"angs der $y$-Achse\grqq, in Formeln $$K_{\uparrow}^\ast= \ker (\partial : A^{0,\ast} \ra A^{1,\ast})$$ Wir haben eine offensichtliche injektive Kettenabbildung $K_{\uparrow}\hra A_{\op{tot}}$ vom senkrechten Kernkomplex in den Totalkomplex. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Eine entartete Spektralsequenz] Sei $A= (A^{p,q},\partial, \delta)$ ein Doppelkomplex im ersten Quadranten. Sind alle seine Zeilen exakt an allen Stellen $A^{p,q}$ mit $p\neq 0,$ so induziert die Kettenabbildung $K_{\uparrow}\hra A_{\op{tot}}$ auf der Kohomologie Isomorphismen $$H^{n}K_{\uparrow}\sira H^{n}A_{\op{tot}}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit einem Spezialfall. \begin{Lemma} Sei gegeben ein Doppelkomplex im ersten Quadranten. Sind alle seine Zeilen exakt, so ist auch sein Totalkomplex exakt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sind nur endlich viele Zeilen unseres Doppelkomplexes von Null verschieden, so k"onnen wir vollst"andige Induktion anwenden. Dazu betten wir die oberste von Null verschiedene Zeile ein in den Totalkomplex. Der Kokern dieser Einbettung ist der Totalkomplex eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen aber einer Zeile weniger. Zu der so konstruierten kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen bilden wir dann die lange exakte Homologiesequenz und unsere Induktion l"auft. Haben wir einen beliebigen Doppelkomplex im ersten Quadranten vor uns, so stimmt sein Totalkomplex bis zum Grad $n$ "uberein mit dem Totalkomplex zum Doppelkomplex der untersten $n$ Zeilen, also k"onnen wir uns auf den bereits behandelten Fall zur"uckziehen. \end{proof}\noindent Jetzt folgern wir den Satz. Der Kokern der Einbettung $K_{\uparrow}\hra A_{\op{tot}}$ ist n"amlich der Totalkomplex eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen. Nach der Proposition ist er damit azyklisch und die Behauptung folgt nun aus der langen exakten Homologiesquenz. \end{proof} \subsection{Kohomologie und azyklische Aufl"osungen} \begin{Definition} Unter einer \defind{Aufl"osung} einer abelschen Garbe $\cal{F}$ verstehen wir einen exakten Komplex $\cal F\hra \cal{A}^0\ra \cal{A}^1\ra\cal{A}^2\ra\ldots$ von abelschen Garben. Eine Aufl"osung hei"st {\bf azyklisch}\index{azyklische Aufl"osung} genau dann, wenn alle $\cal{A}^i$ azyklisch sind. \end{Definition} \begin{Definition}\label{DKM} Gegeben eine Aufl"osung $\cal F\hra \cal{A}^\ast$ einer abelschen Garbe betrachten wir den Doppelkomplex im ersten Quadranten $A^{p,q}=\Gamma \cal{G}^q\cal{A}^p$ und beachten, da"s sein senkrechter Kernkomplex kanonisch isomorph ist zu $\Gamma \cal{G}^q\cal{F}$ hat sein waagerechter Kernkomplex zu $\Gamma \cal{A}^p.$ Weiter hat unser Doppelkomplex nach \ref{EPr} exakte Zeilen an allen Stellen au"ser bei $p=0.$ Folglich liefern die Morphismen $K_{\rightarrow}\ra A_{\op{tot}}\leftarrow K_{\uparrow}$ auf der Kohomologie Morphismen, die sogenannten \defind{kanonischen Morphismen} $$\op{can}:H^n\Gamma \cal{A}^\ast\ra H^n\cal{F}$$ als die Verkn"upfungen $H^n\Gamma \cal{A}^\ast\sira H^nK_{\rightarrow} \ra H^nA_{\op{tot}}\overset{\sim}{\leftarrow} H^nK_{\uparrow}\overset{\sim}{\leftarrow}H^n\Gamma \cal{G}^\ast\cal{F}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{NAZ} Ist ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} \cal{F}&\hookrightarrow &\cal{A}^{0}& \ra & \cal{A}^{1}& \ra &\cal{A}^{2} &\ra & \ldots\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow & & \downarrow & & \\ \cal{G}&\hookrightarrow &\cal{B}^{0}&\ra & \cal{B}^{1}& \ra &\cal{B}^{2} &\ra &\ldots \end{array}$$ gegeben mit Aufl"osungen von abelschen Garben $\cal{F}$ bzw.\ $\cal{G}$ als Zeilen, so kommutiert mit den offensichtlichen Vertikalen und den eben konstruierten kanonischen Abbildungen als Horizontalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} H^{q}\Gamma \cal{A}^{\ast} & \ra & H^{q}\cal{F}\\ \downarrow & & \downarrow \\ H^{q}\Gamma \cal{B}^{\ast} & \ra &H^{q} \cal{G} \end{array}$$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Kohomologie und azyklische Aufl"osungen]\label{AZA} Die Kohomologie einer abelschen Garbe l"a"st sich berechnen als die Kohomologie des Komplexes der globalen Schnitte einer beliebigen azyklischen Aufl"osung. Ist genauer $\cal F\hra \cal{A}^\ast$ eine azyklische Aufl"osung, so sind unsere kanonischen Morphismen aus \ref{DKM} Isomorphismen $$H^q\Gamma \cal{A}^\ast\sira H^q\cal{F}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sind alle $\cal{A}^i$ azyklisch, so sind im Doppelkomplex, der unsere kanonischen Abbildungen definiert, auch alle Spalten exakt au"ser bei $q=0.$ Mithin induziert auch die Einbettung des waagerechten Kernkomplexes in den Totalkomplex Isomorphismen auf der Kohomologie. \end{proof} \subsection{Parakompakte R"aume} \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Ein System von Teilmengen $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ eines topologischen Raums $X$ hei"st \defind{lokal endlich} genau dann, wenn jedes $x \in X$ eine Umgebung besitzt, die h"ochstens endlich viele $U \in \cal{U}$ trifft. \item Sei $X$ eine Menge und $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ eine "Uberdeckung von $X.$ Eine "Uberdeckung $\cal{V}$ von $X$ hei"st eine \defnoind{Verfeinerung von $\cal{U}$}\index{Verfeinerung} genau dann, wenn jedes $V \in \cal{V}$ in mindestens einem $U \in \cal{U}$ enthalten ist. \item Ein topologischer Raum hei"st \defind{parakompakt} genau dann, wenn er Hausdorff'sch ist und sich jede offene "Uberdeckung unseres Raums zu einer lokal endlichen offenen "Uberdeckung verfeinern l"a"st. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Ubung}\label{LAS}\label{LAS2} Die Vereinigung "uber eine beliebige lokal endliche Familie abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Ist eine Abbildung stetig auf jeder der Teilmengen einer lokal endlichen "Uberdeckung eines Raums durch abgeschlossene Teilmengen, so ist sie schon selbst stetig. \end{Ubung} \begin{Proposition}[Kriterium f"ur Parakompaktheit] Besitzt ein Hausdorffraum eine abz"ahlbare "Uberdeckung durch offene Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s, so ist er parakompakt. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Indem wir zu geeigneten Vereinigungen "ubergehen d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar annehmen, unser Raum sei "uberdeckt durch eine aufsteigende Folge $X_{0} \subset X_{1}\subset \ldots $ von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s. Indem wir zu einer geeigneten Teilfolge "ubergehen, d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s f"ur alle $n$ gilt $\bar{X}_{n} \subset X_{n+1}.$ Um Sonderbetrachtungen zu vermeiden setzen wir $X_{n} = \emptyset$ f"ur $n < 0.$ Gegeben eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ unseres Raums werden die Kompakta $\bar{X}_{n+1} - X_{n}$ jeweils schon "uberdeckt von den $U$ aus einem endlichen Teilsystem $\cal{U}_{n} \subset \cal{U}.$ Die Schnitte $U \cap (X_{n+2} - \bar{X}_{n-1})$ f"ur $U \in \cal{U}_{n}$ und $n \in \Bbb{Z}$ bilden dann die gesuchte lokal endliche Verfeinerung der "Uberdeckung $\cal{U}.$ \end{proof} \begin{Proposition}\label{PKN} {Jeder parakompakte Raum ist normal.} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit zweimaligem Anwenden des anschlie"senden technischen Lemmas, erst im Fall einer einpunktigen Menge $B,$ dann im Allgemeinen. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $A,B$ disjunkte abgeschlossene Mengen in einem parakompakten Raum $X.$ Zu jedem $x \in A$ gebe es disjunkte offene Teilmengen $U_{x}, V_{x} \co X$ mit $x \in U_{x}$ und $B\subset V_{x}.$ So gibt es auch disjunkte offene $U,V \co X$ mit $A \subset U$ und $B \subset V.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die $U_{x}$ mitsamt $X \backslash A$ bilden eine offene "Uberdeckung von $X.$ Sei $\cal{W}$ eine offene lokal endliche Verfeinerung dieser offenen "Uberdeckung. Setzen wir $\cal{W}_{A} = \{ W \in \cal{W} \mid W \cap A \neq \emptyset\},$ so ist jedes $W \in \cal{W}_{A}$ in einem $U_{x}$ enthalten, die Vereinigung $U = \bigcup_{W \in \cal{W}_{A}} W$ ist offen, und wir haben $ A\subset U.$ Andererseits besitzt jedes $y\in B$ eine offene Umgebung $C_{y},$ die nur endlich viele Mengen $W_{1}, \ldots , W_{n}$ aus $\cal{W}_{A}$ trifft. W"ahlen wir nun $x(i) \in A$ mit $W_{i}\subset U_{x(i)},$ so ist $D_{y} = C_{y} \cap V_{x(1)} \cap \ldots \cap V_{x(n)}$ offen und trifft "uberhaupt keine Menge aus $\cal{W}_{A}.$ Damit ist $V = \bigcup_{y\in B}D_{y}$ offen mit $V \cap U = \emptyset$ und $B \subset V.$ \end{proof} \begin{Proposition}[\defind{Schrumpfen offener "Uberdeckungen}]\label{SOU} Sei $X$ ein parakompakter Raum und $(U_{i})_{i \in I}$ eine offene "Uberdeckung von $X.$ So finden wir eine offene "Uberdeckung $(V_{i})_{i \in I}$ von $X$ mit $\bar{V}_{i} \subset U_{i} \quad \forall i \in I.$ \end{Proposition} \begin{proof} Aufgrund der Normalit"at von $X$ besitzt jedes $x \in X$ eine offene Umgebung $W_{x},$ deren Abschlu"s in einem $U_{i}$ enthalten ist, sagen wir $\bar{W}_{x} \subset U_{i(x)}.$ Sei $\cal{W}$ eine lokal endliche offene Verfeinerung der offenen "Uberdeckung von $X$ durch die $W_{x}.$ So finden wir auch f"ur jedes $W \in \cal{W}$ ein $i = i (W)$ mit $\bar{W} \subset U_{i (W)}.$ Dann setzen wir $V_{j} = \bigcup_{i(W) =j} W$ und erhalten $\bar{V}_{j} \subset U_{j},$ da die Vereinigung einer lokal endlichen Familie abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. \end{proof} \subsection{Garben auf parakompakten R"aumen} \begin{Proposition}\label{AuW} Gegeben eine Garbe von Mengen auf einem parakompakten Raum l"a"st sich jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge auf eine offene Umgebung besagter Teilmenge fortsetzen. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser Raum, $A \As X$ unsere abgeschlossene Teilmenge und $\cal{F}$ unsere Garbe. Gegeben $s \in \cal{F}(A)$ finden wir sicher eine offene "Uberdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ von $X$ und Schnitte $s_{i} \in \cal{F} (U_{i})$ mit $s|{U_{i}\cap A} = s_{i}|{U_{i}\cap A} \; \forall i.$ Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir unsere "Uberdeckung lokal endlich annehmen. Nach \ref{SOU} finden wir auch $V_{i} \co X$ mit $\bar{V}_{i}\subset U_{i} \quad \forall i$ und $X= \bigcup_{i\in I} V_{i}.$ Jetzt setzen wir $$W = \{x \in X \mid \text{Alle $s_i$ zu Indizes $i$ mit $x\in \bar{V}_{i}$ haben denselben Halm bei $x$}\}$$ Per definitionem gilt $A\subset W$ und $W$ ist offen. Da gilt $s_{i} | W \cap V_{i} \cap V_{j} = s_{j} | W \cap V_{i} \cap V_{j} \quad \forall i , j$ verkleben die Schnitte $s_{i} | W\cap V_{i}$ zu einem Schnitt $\tilde{s}$ auf $W,$ der $s$ fortsetzt. \end{proof} \begin{Definition} Eine Garbe hei"st \defind{weich} (englisch \defind{soft}, franz"osisch \defind{mou}) genau dann, wenn sich jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{DFw} Jede welke Garbe auf einem parakompakten Raum ist weich nach \ref{AuW}. Die Garbe der $p$-Formen auf einer parakompakten Mannigfaltigkeit ist weich: Um das zu sehen, dehnt man einen Schnitt zun"achst mithilfe von \ref{AuW} auf eine offene Menge aus und biegt ihn dann in dieser offenen Menge mithilfe einer $\cal{C}^\infty$-Partition der Eins herunter nach Null, so da"s man ihn weiter durch Null ausdehnen kann zu einem globalen Schnitt. \end{Beispiele} \begin{Ubung}\label{cw} Die Garbe $\cal{C}_{X}$ der stetigen $\Bbb{C}$-wertigen Funktionen auf einem parakompakten Raum ist weich. \end{Ubung} \begin{Satz}\label{waz} Auf parakompakten R"aumen sind alle weichen abelschen Garben azyklisch. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt genau wie bei den welken Garben aus dem anschlie"senden Lemma. \end{proof} \begin{Lemma}\label{wei} Sei $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime} $ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem parakompakten topologischen Raum $X.$ \begin{enumerate} \item Ist $\cal{F}^{\prime}$ weich, so induziert der Epimorphismus $\cal{F}\sra\cal{F}\grqq\ $ eine Surjektion $\Gamma \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ auf den globalen Schnitten. \item Sind $\cal{F}^{\prime}$ und $\cal{F}$ weich, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ weich. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Sei $s^{\prime\prime}\in \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ gegeben. Es gibt eine lokal endliche offene "Uberdeckung $(U_{i})_{i \in I}$ unseres Raums und $s_{i} \in \cal{F} (U_{i})$ mit $s_{i} \mapsto s^{\prime\prime}|{U_{i}} \; \forall i.$ Nach \ref{SOU} finden wir eine weitere offene "Uberdeckung $(V_{i})_{i\in I}$ mit $\bar{V}_{i} \subset U_{i} \; \forall i.$ F"ur $J \subset I$ setzen wir $\bar{V}_{J} = \bigcup_{i \in J} \bar{V}_{i}.$ Nun betrachten wir die Menge aller Paare $(s_{J},J)$ mit $J\subset I$ und $s_{J}$ einem Schnitt von $\cal{F}$ "uber $\bar{V}_{J},$ der auf $s^{\prime\prime} |{\bar{V}_{J}}$ geht. Auf dieser Menge erkl"aren wir ein partielle Ordnung durch die Vorschrift $(s_{K},K) \leq (s_{J},J) \Leftrightarrow( K \subset J$ und $s_{K}=s_{J}|\bar{V}_{K}).$ Nach \ref{LAS2} ist unsere Menge induktiv geordnet und besitzt folglich ein maximales Element. Sei $(s_{J},J)$ solch ein maximales Element. W"are $J\neq I,$ so g"abe es $i \in I - J.$ Hier unterscheiden sich $s_{i}$ und $s_{J}$ auf $\bar{V}_{i}\cap \bar{V}_{J}$ nur um einen Schnitt $s^{\prime}_{i}$ in $\cal{F}^{\prime},$ der sich nach Annahme auf ganz $\bar{V}_{i}$ ausdehnen l"a"st. Also verkleben $s_{i}-s_{i}^{\prime}$ und $s_{J}$ auf $\bar{V}_{i} \cup \bar{V}_{J}$ zu einem Urbild von $s^{\prime\prime}$ im Widerspruch zur Maximalit"at von $(s_{J},J).$ Damit ist in der Tat $\Gamma \cal{F} \ra \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion. \\[2mm]\noindent 2. Das folgt sofort aus 1, da jede abgeschlossene Teilmenge eines parakompakten Raums parakompakt ist und da die Einschr"ankung einer weichen Garbe auf eine abgeschlossene Teilmenge stets eine weiche Garbe bleibt. \end{proof} \begin{Bemerkung} Denjenigen Lesern, die bereits mit der Definition der de-Rham-Kohomologie vertraut sind, k"onnen wir nun zeigen, wie sie mit der allgemeinen Garbenkohomologie zusammenh"angt. \end{Bemerkung} \begin{Korollar}[de-Rham-Kohomologie als Garbenkohomologie] Auf einer parakompakten $\cal{C}^\infty$-Mannigfaltigkeit $X$ stimmt die de-Rham-Koho\-mologie "uberein mit der Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DR_X.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Der de-Rham-Komplex ist der Komplex der globalen Schnitte des Komplexes der Garben der Differentialformen. Dieser Garbenkomplex ist eine Aufl"osung der konstanten Garbe $\DR_X$ nach dem Poincar\'e-Lemma, und die Garben der Differentialformen sind azyklisch nach \ref{waz}, da sie nach \ref{DFw} weich sind. Also berechnet unser Komplex nach \ref{AZA} die Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DR_X.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Die Exponentialsequenz aus \ref{ExpS} liefert eine weiche und mithin azyklische Aufl"osung der konstanten Garbe $\DZ$ auf jedem reellen Intervall. Es folgt, da"s ein reelles Intervall keine h"ohere Garbenkohomologie mit $\DZ$-Koeffizienten besitzt. Allgemeinere Resultate in dieser Richtung werden wir mit elementareren Methoden in \ref{KGIn} herleiten. \end{Bemerkung} \subsection{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie} \begin{Bemerkung}\label{KKaa} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $q\geq 0$ betrachten wir die \defind{Pr"agarbe der singul"aren $q$-Koketten}, die jeder offenen Menge $U\co X$ die Gruppe $S^q (U)$ der singul"aren $q$-Koketten auf $U$ zuordnet. Die Garbifizierung dieser Pr"agarbe bezeichnen wir mit $\cal{S}^q_X$ und nennen sie die \defind{Garbe der lokalen singul"aren $q$-Koketten}. Die "ublichen Korandabbildungen auf den Koketten induzieren Randabbildungen $\cal{S}^q_X\ra \cal{S}^{q+1}_X,$ damit wird $\cal{S}^\ast_X$ ein Komplex von Garben und die Kettenabbildung $S^\ast X\ra \Gamma \cal{S}^{\ast}_X$ liefert eine kanonische Abbildung $$H^q_{\op{sing}} X\ra H^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X$$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{KKAB} Ist $X$ lokal zusammenziehbar, so wird der Komplex der lokalen singul"aren Koketten nach der Augmentierung zu $\DZ_X\hra \cal{S}^\ast_X$ exakt: Das mu"s ja nur auf dem Halm an jeder Stelle $x\in X$ gezeigt werden, dort hat unser Komplex die Gestalt $\DZ\hra \varinjlim_{U}S^\ast(U),$ wobei es nach \ref{KFin} nicht darauf ankommt, ob wir den direkten Limes "uber alle offenen Umgebungen von $x,$ "uber alle Umgebungen, oder "uber alle zusammenziehbaren Umgebungen bilden, und jetzt folgt die Behauptung aus der Exaktheit von direkten Limites \ref{EDL}. Wir erhalten so mithilfe von \ref{DKM} f"ur jeden lokal zusammenziehbaren Raum kanonische Abbildungen $$H^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X\ra H^q(X;\DZ_X)$$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie]\label{SiKo}\hfill Auf\\einem parakompakten lokal zusammenziehbaren Raum $X$ stimmt die singul"are Kohomologie "uberein mit der Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DZ_X,$ genauer liefern die in \ref{KKaa} und \ref{KKAB} konstruierten kanonischen Abbildungen Isomorphismen $$H^q_{\op{sing}} X\sira H^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X\sira H^q(X;\DZ_X)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Dieselbe Aussage gilt mit demselben Beweis auch allgemeiner f"ur Kohomologie mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] F"ur $X$ parakompakt sind die Garben $\cal{S}^q_X$ weich nach dem anschlie"senden Lemma \ref{www} und damit azyklisch. Nach \ref{AZA} ist folglich die zweite Abbildung in obiger Sequenz ein Isomorphismus. Immer unter der Voraussetzung $X$ parakompakt zeigen wir dann in Lemma \ref{hs}, da"s auch die erste Abbildung ein Isomorphismus ist. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Lemma}\label{www} Auf einem parakompakten Raum sind die Garben der lokalen singul"aren Koketten weich. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Sind alle offenen Teilmengen unseres Raums parakompakt, so sind die Garben der lokalen singul"aren Koketten nach \ref{PKs} sogar welk. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser Raum. Einen Schnitt "uber einer abgeschlossenen Menge $A\As X$ k"onnen wir zun"achst nach \ref{AuW} ausdehnen zu einem Schnitt $s$ auf einer offenen Umgebung $U\co X$ von $A.$ Da $X$ nach \ref{PKN} normal ist, finden wir $V\co X$ mit $A\subset V\subset\bar{V}\subset U.$ Jetzt konstruieren wir einen Endomorphismus der Pr"agarbe der singul"aren Koketten auf $U,$ indem wir einem Schnitt, d.h.\ einer Funktion auf den Simplizes diejenige neue Funktion zuordnen, die dasselbe macht mit allen Simplizes aus $V$ und Null aus allen Simplizes, die nicht ganz in $V$ liegen. Lassen wir den auf der Garbifizierung induzierten Endomorphismus auf unsere Ausdehnung $s$ los, so erhalten wir eine Ausdehnung $\tilde{s},$ die auf $U-\bar{V}$ verschwindet. Damit k"onnen wir unsere abge"anderte Ausdehnung $\tilde{s}$ dann aber durch Null fortsetzen auf ganz $X.$ \end{proof} \begin{Definition} Wir sagen, eine Pr"agarbe $\cal{F}$ auf einem Raum $X$ \defind{erlaubt das Verkleben von Schnitten} genau dann, wenn gegeben ein System $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ von offenen Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $V = \bigcup_{U\in \cal{U}}U$ und gegeben f"ur alle $U \in \cal{U}$ Schnitte $s_{U} \in \cal{F}(U)$ mit $$s_{U}|_{ U \cap W} = s_{W}|_{U \cap W} \quad \forall\; U,W \in \cal{U}$$ es stets einen Schnitt auf der Vereinigung $s \in \cal{F}(V)$ gibt mit $s|_U = s_{U} $ f"ur alle $U \in \cal{U}.$ \end{Definition} \begin{Proposition}\label{KlS} Erlaubt eine Pr"agarbe $\cal{F}$ auf einem parakompakten Raum das Verkleben von Schnitten und gilt $|\cal{F} (\emptyset)|=1$, so gehen die globalen Schnitte unserer Pr"agarbe surjektiv auf die globalen Schnitte ihrer Garbifizierung, in Formeln $$\Gamma \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma \cal{F}^{+}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $s \in \Gamma \cal{F}^{+}$ ein globaler Schnitt der Garbifizierung. Sicher finden wir eine lokal endliche "Uberdeckung $X = \bigcup_{i \in I} U_{i}$ und $\tilde{s}_{i} \in \cal{F}(U_{i})$ mit $\tilde{s}_{i} \mapsto s|U_{i}$ f"ur alle $i \in I$. Sei $V_{i}$ eine Schrumpfung dieser "Uberdeckung. F"ur jedes $x \in X$ finden wir nun eine offene Umgebung $W(x)$ mit $x \in U_{i} \Rightarrow W(x) \subset U_{i}$ und $x \not\in \bar{V}_{i} \Rightarrow W(x) \cap V_{i} = \emptyset$ und so, da"s f"ur alle $i$ mit $x \in U_{i}$ die $\tilde{s}_{i}$ zu demselben Schnitt $\tilde{s}_{(x)} \in \cal{F} (W (x))$ einschr"anken. Dann folgt aus $W(x) \cap W(y) \neq\emptyset$ bereits, da"s es einen Index $i$ gibt mit $W(x), W(y) \subset U_{i}$, zum Beispiel tut es jeder Index $i$ mit $x \in V_{i},$ und dann gilt notwendig $y \in \bar{V}_{i} \subset U_{i}$. Also verkleben die $\tilde{s}_{(x)}$ zum gesuchten globalen Schnitt $\tilde{s} \in \Gamma \cal{F}$ mit $\tilde{s} \mapsto s$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{PKs} F"ur jeden parakompakten Raum $X$ liefern die kanonischen Abbildungen Surjektionen $S^{q} X \twoheadrightarrow \Gamma \cal{S}_{X}^{q}.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich erlaubt f"ur jedes $q\geq 0$ die Pr"agarbe $U\mapsto S^q(U)$ das Verkleben von Schnitten. Das Korollar folgt damit aus \ref{KlS}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{hs} F"ur jeden parakompakten Raum $X$ liefern die kanonischen Abbildungen Isomorphismen $$H^{q}_{\op{sing}}X \overset{\sim}{\ra} H^{q} \Gamma \cal{S}_{X}^{\ast}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir vervollst"andigen unsere Surjektionen aus dem vorigen Lemma zu einer kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen $$K^{\ast} \hookrightarrow S^{\ast} X \twoheadrightarrow \Gamma \cal{S}^{\ast}_{X}$$ Mit der langen exakten Homologiesequenz reicht es zu zeigen, da"s $K^{\ast}$ azyklisch ist. Aber liegt ein Kozykel $s \in S^{\ast} X$ im Kern der Surjektion, so gibt es eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ derart, da"s $s$ verschwindet auf den $\cal{U}$-feinen Ketten, da"s also $s$ schon im Kern $K^{\ast}_{\cal{U}}$ der Surjektion $S^{\ast}X \twoheadrightarrow S^{\ast}_{\cal{U}} X$ liegt. Diese Surjektion induziert aber Isomorphismen auf der Kohomologie nach \ref{FKH}, folglich ist ihr Kern azyklisch, folglich gibt es sogar $r \in K^{\ast}_{\cal{U}}$ mit $\partial r = s,$ folglich ist unser Kozykel $s$ ein Korand. \end{proof} \subsection{Angeordnete \v{C}ech-Kohomologie} \begin{Bemerkung} Will man Garbenkohomologie explizit berechnen, ist der \defnoind{angeordnete \v{C}ech-Komplex}\index{angeordneter \v{C}ech-Komplex} ein sehr n"utzliches Hilfsmittel. Man w"ahlt dazu auf einer offenen "Uberdeckung $\cal{U}$ eine totale Ordnung $\leq$ und arbeitet mit den \defnoind{angeordneten \v{C}ech-Koketten}\index{angeordneter \v{C}ech-Koketten} $$\check{C}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F})= \prod_{U_{0}<\ldots 0$ $$H^q(U_{0}\cap \ldots \cap U_{\nu};\cal{F} )=0$$ so sagen wir, die Garbe $\cal F$ sei \defnoind{azyklisch f"ur die "Uberdeckung $\cal U$}\index{azyklisch f"ur die "Uberdeckung}. \end{Definition} \begin{Theorem}[\defind{Berechnung der Kohomologie nach \v{C}ech}] Sei $X$ ein topologischer Raum, $\cal F$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $(\cal U,\leq)$ eine angeordnete offene "Uberdeckung von $X.$ Ist die Garbe $\cal F$ azyklisch f"ur die "Uberdeckung $\cal U,$ so berechnet der Komplex der angeordneten \v{C}ech-Koketten schon ihre Kohomologie, in Formeln $$\check{H}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F}) \cong {H}^{q}(X;\cal{F})$$ \end{Theorem} \begin{Bemerkung} Der Satz gilt mit einem entsprechend vereinfachten Beweis ganz genauso f"ur unseren Komplex von \v{C}ech-Koketten \glqq ohne Anordnung\grqq\ aus \ref{CKo}. Wir f"uhren hier den etwas komplizierteren Beweis der angeordneten Version durch, da diese Version expliziten Rechnungen besser zug"anglich ist. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit dem Spezialfall einer Wolkenkratzergarbe. \begin{Lemma}\label{HCW} Die h"oheren angeordneten \v{C}ech-Kohomologiegruppen eines Wolkenkratzers verschwinden, in Formeln $$\check{H}^{q}_{\leq} (\cal{U};M_{x})=0 \text{ f"ur } q >0$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal bemerken wir, da"s die fragliche Kohomologie nicht von der gew"ahlten Anordnung abh"angt. In der Tat, ist eine zweite Anordnung $\preceq$ gegeben, so erhalten wir einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $a: \check{C}^{\ast}_{\leq} (\cal{U};\cal{F}) \overset{\sim}{\ra} \check{C}^{\ast}_{\preceq} (\cal{U};\cal{F})$ durch die Vorschrift $$(a\psi) (U_{0}, \ldots , U_{q})= \op{sgn}(\sigma) \psi (U_{\sigma(0)}, \ldots , U_{\sigma (q)})$$ wo $\sigma \in \cal{S}_{q}$ die Permutation ist mit $U_{\sigma (0)} < \ldots < U_{\sigma (q)}.$ Nun w"ahlen wir $U \in \cal{U}$ mit $x \in U$ und d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $U$ das kleinste Element von $\cal{U}$ ist. Dann definieren wir $$\delta : \check{C}_{\leq}^{q+1} (\cal{U}; M_{x}) \ra \check{C}^{q}_{\leq} (\cal{U}; M_{x})$$ durch die Vorschrift $$(\delta \psi)(U_{0}, \ldots, U_{q}) =\left\{ \begin{array}{cc} \psi (U,U_{0}, \ldots , U_{q})& U \neq U_{0};\\ 0 & U=U_{0}. \end{array} \right.$$ Wieder zeigt eine explizite Rechnung $d \delta + \delta d = \op{id}$ auf $\check{C}^{q}_{\leq}$ f"ur $q > 0,$ mithin ist der Komplex azyklisch f"ur $q > 0.$ \end{proof}\noindent Wir konstruieren nun Homomorphismen $\check{H}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F})\ra {H}^{q}(X;\cal{F})$ wie folgt: Wir betrachten die \glqq waagerecht gedachte\grqq\ Godement-Aufl"osung von $\cal F$ und bilden einen Doppelkomplex von abelschen Gruppen, indem wir an jeder Stelle \glqq in senkrechter Richtung\grqq\ den angeordneten \v{C}ech-Komplex nehmen. In Kurzschreibweise betrachten wir also den Doppelkomplex $$\check{C}_{\leq}^{q} (\cal{U}; \cal{G}^p\cal{F})$$ Da die Garben der Godement-Aufl"osung Produkte von Wolkenkratzern sind, hat nach \ref{HCW} unser Doppelkomplex exakte Spalten oberhalb der Zeile $q=0$ und der waagerechte Kernkomplex ist offensichtlich $\Gamma \cal{G}^p\cal{F}.$ Also ist die Kohomologie des Totalkomplexes dieselbe wie die des waagerechten Kernkomplexes und berechnet mithin die Garbenkohomologie von $\cal{F}.$ Andererseits ist aber der senkrechte Kernkomplex genau der angeordnete \v{C}ech-Komplex von $\cal F$ und so erhalten wir die gesuchten kanonischen Homomorphismen $$\check{H}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F})\ra {H}^{q}(X;\cal{F})$$ Ist schlie"slich $\cal F$ azyklisch f"ur $\cal U,$ so hat unser Doppelkomplex exakte Zeilen au"serhalb der Vertikalen $p=0$ und der senkrechte Kernkomplex berechnet auch die Kohomologie des Totalkomplexes. \end{proof} \subsection{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} \begin{Bemerkung} Nach unserer allgemeinen Konvention \ref{lokal} nennen wir einen Raum \defind{lokal kompakt} genau dann, wenn sich jede Umgebung eines Punktes zu einer kompakten Umgebung desselben Punktes verkleinern l"a"st. Wir fordern hier im Gegensatz zu den Konventionen bei Bourbaki noch nicht einmal lokal die Hausdorff-Eigenschaft. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und sei $s \in \cal{F} (A)$ ein Schnitt von $\cal F$ "uber einer Teilmenge $A\subset X.$ So definieren wir den \defind{Tr"ager von $s$} (englisch und franz"osisch \defind{support}) als die Menge $$\op{supp} s = \{x \in A \mid s_{x} \neq 0\}$$ \end{Definition} \begin{Ubung} Der Tr"ager eines globalen Schnitts ist stets abgeschlossen. \end{Ubung} \begin{Definition} Sei $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum $X.$ So definieren wir die Gruppe der \defnoind{Schnitte von $\cal{F}$ mit kompaktem Tr"ager}\index{Schnitte mit kompaktem Tr"ager} durch die Vorschrift $$\Gamma_{c} \cal{F} = \Gamma_{c} (X;\cal{F}) = \{s \in \Gamma \cal{F} \mid \op{supp} s \text{ ist kompakt} \}$$ \end{Definition} \begin{Definition} Die \defnoind{$q$-te Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} \index{Kohomologie!mit kompaktem Tr"ager} eines Raums $X$ mit Koeffizienten in einer abelschen Garbe $\cal{F}$ ist die $q$-te Kohomologiegruppe des Komplexes der Schnitte mit kompaktem Tr"ager der Godement-Aufl"osung, in Formeln $$H^{q}_{c}\cal{F} = H^{q}_{c} (X;\cal{F}) = H^{q}\Gamma_{c}\cal{G}^{\ast}\cal{F}$$ Ist $A \subset X$ eine Teilmenge, so k"urzen wir $H^{q}_{c} (A;\cal{F}|_A)= H^{q}_{c} (A;\cal{F})$ ab. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Garbe hei"st \defind{kompaktweich} (englisch \defind{c-soft}, fran\-z"osisch \defind{c-mou}) genau dann, wenn sich jeder Schnitt "uber einer kompakten Teilmenge zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{KWA} Gegeben eine kompaktweiche abelsche Garbe auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum $X$ l"a"st sich jeder Schnitt $s$ "uber einem Kompaktum $K$ sogar zu einem globalen Schnitt mit kompaktem Tr"ager fortsetzen. Um das zu sehen, w"ahlt man eine offene Umgebung $U$ von $K$ mit kompaktem Abschlu"s, setzt den Schnitt $s$ durch Null fort auf den Rand $\partial U$ von $U,$ dehnt von $K \cup \partial U$ weiter aus auf ganz $X,$ und "andert dann au"serhalb von $U$ ab zu Null. \end{Bemerkung} \begin{Beispiele}\label{WKW} Jede weiche Garbe auf einem Hausdorffraum ist kompaktweich. Jede welke Garbe auf einem Hausdorffraum ist kompaktweich nach Proposition \ref{FSK}, die wir gleich im Anschlu"s zeigen. \end{Beispiele} \begin{Proposition}\label{KwA} F"ur eine kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum $X$ verschwinden die h"oheren Kohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager, in Formeln $$H^{q}_{c}(X;\cal{F}) =0 \text{ f"ur } q>0$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Analog wie in \ref{WeAZ} folgt das aus dem anschlie"senden Lemma. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorff-Raum und $\cal{F}^{\prime}\hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf $X.$ \begin{enumerate} \item Ist $\cal{F}^{\prime}$ kompaktweich, so induziert die Surjektion $\cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion $\Gamma_{c}\cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{c}\cal{F}^{\prime\prime}$ auf den globalen Schnitten mit kompaktem Tr"ager. \item Sind $\cal{F}^{\prime}$ und $\cal{F}$ kompaktweich, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ kompaktweich. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Sei $s^{\prime\prime}$ ein Schnitt von $\cal{F}^{\prime\prime}$ mit Tr"ager im Kompaktum $K.$ Wir w"ahlen eine offene Umgebung $U\co X$ von $K$ mit kompaktem Abschlu"s $\bar{U}.$ Offensichtlich ist $\cal{F}^{\prime}|_{\bar{U}}$ weich, nach \ref{wei} finden wir also ein Urbild $s \in \cal{F}(\bar{U})$ von $s^{\prime\prime}|_{\bar{U}}.$ W"ahlen wir noch eine Ausdehnung $s^{\prime} \in \cal{F}^{\prime} (\bar{U})$ von der Einschr"ankung $s|_{\partial U}$ von $s$ auf den Rand von $U$ (im Sinne der mengentheoretischen Topologie) und ersetzen $s$ durch $s-s^{\prime},$ so d"urfen wir $s|_{\partial U }= 0$ annehmen und k"onnen $s$ durch Null zu einem globalen Schnitt ausdehnen. \\[2mm]\noindent 2. F"ur $K \subset X$ kompakt betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{F}(X) & \ra& \cal{F}^{\prime\prime}(X)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{F}(K) & \twoheadrightarrow & \cal{F}^{\prime\prime}(K) \end{array}$$ Die linke Vertikale ist surjektiv, da $\cal{F}$ kompaktweich ist. Die untere Horizontale ist surjektiv nach 1, da mit $\cal{F'}$ auch $\cal{F'}|_K$ kompaktweich ist. Also ist die rechte Vertikale surjektiv. \end{proof} \begin{Bemerkung}\label{lekk} Jede kurze exakte Sequenz $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ von abelschen Garben auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum liefert also eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $\Gamma_{c}\cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \Gamma_{c}\cal{G}^{\ast} \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{c}\cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime\prime}$ und weiter eine {\bf lange exakte Sequenz in der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} $$\ldots \ra H_{c}^{q}\cal{F}^{\prime} \ra H^{q}_{c}\cal{F} \ra H^{q}_{c} \cal{F}^{\prime\prime} \ra H^{q+1}_{c}\cal{F}^{\prime}\ra \ldots$$ Ist $\cal{F} \hookrightarrow \cal{A}^{0} \ra \cal{A}^{1}\ra \ldots$ eine Aufl"osung, so erhalten wir f"ur alle $q$ analog wie in \ref{NAZ} nat"urliche Homomorphismen $H^{q}\Gamma_{c} \cal{A}^{\ast} \ra H^{q}_{c}\cal{F}.$ Gilt $H^{i}_{c}\cal{A}^{j}=0$ f"ur $i>0$ und $j\geq 0,$ so sind mit denselben Argumenten wie in \ref{AZA} alle diese Homomorphismen Isomorphismen $$H^{q}\Gamma_{c} \cal{A}^{\ast} \sira H^{q}_{c}\cal{F}$$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{KTr} Sei $X$ lokal kompakt, Hausdorff und lokal zusammenziehbar. So ist die singul"are Kohomologie mit kompaktem Tr"ager von $X$ kanonisch isomorph zur Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager der konstanten Garbe $\Bbb{Z}_{X}$ auf $X,$ in Formeln $$H^{q}_{c}X \overset{\sim}{\ra} H^{q}_{c}(X;\Bbb{Z}_{X})$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung}\label{KTrK} Dieselbe Aussage gilt mit demselben Beweis auch allgemeiner mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. \end{Bemerkung}\noindent \emph{In diesem Zusammenhang sollte vielleicht die Funktorialit"at der Garbenkohomologie diskutiert werden, und warum sie mit der singul"aren zusammenpa"st.} \begin{proof}[Beweis] Ist zun"achst $K\As X$ kompakt und $U\co X$ offen mit $\bar{U}\subset K^\circ,$ so konstruieren wir ein kommutatives Diagramm von Komplexen abelscher Gruppen $$\begin{array}{ccccc} S^{\ast}(K,K-U)&\hookrightarrow &S^{\ast}K&\twoheadrightarrow &S^{\ast}(K-U)\\ \da&&\da&&\da\\ \op{ker}^\ast_{K,U}&\hookrightarrow &\Gamma \cal{S}^{\ast}_{K}&\ra & \Gamma\cal{S}^{\ast}_{K-U} \end{array}$$ wobei die beiden rechten Vertikalen Surjektionen sind nach \ref{PKs}, die rechte untere Horizontale durch das Kommutieren des Diagramms definiert wird, und $\op{ker}^\ast_{K,U}$ eben als ihr Kern erkl"art sei. Wir haben dann kurze exakte Sequenzen als Zeilen, und da die beiden rechten Vertikalen nach \ref{hs} Isomorphismen auf der Kohomologie induzieren, trifft das auch f"ur die linke Vertikale zu. Nach dem Ausschneidungssatz induziert nun jedoch die Restriktion $S^{\ast}(X,X-U)\ra S^{\ast}(K,K-U)$ Isomorphismen auf der Kohomologie. Weiter h"angt $\op{ker}^\ast_{K,U}$ gar nicht von $K$ ab, sondern nur von der offenen Menge mit kompaktem Abschlu"s $U,$ wir k"onnen also unsere Notation abk"urzen zu $\op{ker}^\ast_{U}.$ Da in einem lokal kompakten Raum sowohl die kompakten Mengen als auch die offenen Mengen $U$ mit kompaktem Abschlu"s kofinal sind im System aller Mengen mit kompaktem Abschlu"s, erhalten wir nun $$\begin{array}{ccll} H^{q}_{c} X& =&\varinjlim_U H^{q}(X,X-U)&\text{ nach der Definition in \ref{KKT},} \\ & \cong & \varinjlim_U H^{q}\op{ker}^\ast_{U}&\text{ nach unserer Vor"uberlegung,}\\ & \cong & H^{q} \varinjlim_U \op{ker}^\ast_{U}&\text{ wegen der Exaktheit von $\varinjlim,$} \\ &\cong & H^{q}\Gamma_{c}\cal{S}^{\ast}_{X}& \text{ nach der Definition von $\Gamma_c,$ und}\\ &\cong & H_c^{q}(X;\DZ_{X})&\text{ wie im Anschlu"s erkl"art wird:} \end{array}$$ Der letzte Schritt gilt, da die Garben $\cal{S}^{\ast}_{X}$ eine Aufl"osung der konstanten Garbe durch kompaktweiche, ja nach \ref{www} sogar durch weiche Garben bilden. \end{proof} \begin{Satz}\label{KT} Ist $X$ ein lokal kompakter Hausdorff-Raum und $A \As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, so liefert jede abelsche Garbe $\cal{F}$ auf $X$ eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra H^{q-1}_{c} (A;\cal{F}) \ra H^{q}_{c} (X-A;\cal{F}) \ra H^{q}_{c}(X;\cal{F}) \ra H^{q}_{c} (A; \cal{F})\ra \ldots$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur jede kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{G}$ auf $X$ haben wir nach \ref{KWA} eine kurze exakte Sequenz $$\Gamma_{c}(X-A;\cal{G}) \hookrightarrow \Gamma_{c} (X;\cal{G}) \twoheadrightarrow \Gamma_{c}(A;\cal{G})$$ Wenden wir diese Erkenntnis an auf die nach \ref{WKW} kompaktweiche Godement-Aufl"osung $\cal{G}^{\ast}\cal{F}$ und beachten, da"s auch $\cal{G}^{\ast}\cal{F}|_{A}$ eine kompaktweiche Aufl"osung von $\cal{F}|_A$ ist, so folgt der Satz aus der langen exakten Homologiesequenz. \end{proof} \begin{Ubung} Ist $X$ lokal kompakt Hausdorff und $U\co X$ offen, so haben wir wie im Beweis des vorhergehenden Satzes f"ur jede abelsche Garbe $\cal F$ auf $X$ nat"urliche Abbildungen $H^{q}_{c} (U;\cal{F}) \ra H^{q}_{c}(X;\cal{F}).$ Man zeige, da"s sie f"ur lokal zusammenziehbares $X$ und $ \cal{F}=\DZ_X$ unter unserer Identifikation aus \ref{KTr} der Abbildung $H^{q}_{c} U \ra H^{q}_{c}X$ aus \ref{KKT} entsprechen. \end{Ubung} \begin{Korollar}[\defind{Alexander-Dualit"at}]\label{ADu} Ist $A \As \Bbb{R}^{n}$ eine abgeschlossene Teilmenge und $G$ eine abelsche Gruppe, so haben wir Isomorphismen $$H^{q}_{c} (A;G_{A})\overset{\sim}{\ra} \tilde{H}_{n-q-1} (\Bbb{R}^{n}-A;G)$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden die Sequenz aus \ref{KT} an mit $X=\DR^n,$ verwandeln darin zwei Garbenkohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager mithilfe von \ref{KTr} oder genauer \ref{KTrK} in singul"are Kohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager, und diese mit Poincar\'e-Dualit"at \ref{APD} in gew"ohnliche Homologiegruppen. Schlie"slich gehen wir noch zur reduzierten Homologie "uber, wobei wir bemerken, da"s die obere und die untere Horizontale im Diagramm $$\begin{array}{ccc} H_{q} (X-A) & \ra & H_{q}X\\ \uparrow & & \uparrow \\ \tilde{H}_{q}(X-A) & \ra & \tilde{H}_{q}X \end{array}$$ f"ur alle $q$ denselben Kern und Kokern haben. \end{proof} \begin{Korollar}\label{JBG} Seien $r,n \geq -1$ und sei $s^{r}\subset S^{n}$ eine Teilmenge der $n$-Sph"are, die hom"oomorph ist zur $r$-Sph"are $S^{r}.$ So gilt $$\begin{array}{ccc} \tilde{H}_{q} (S^{n}-s^{r})& \cong &\left\{ \begin{array}{cl} \Bbb{Z}& q=n-r-1;\\ 0& \text{sonst}. \end{array} \right. \end{array}$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir erhalten wie eben mit Poincar\'e-Dualtit"at und "Ubergang zur reduzierten Homologie eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra \tilde{H}_{n-q}(S^{n}-s^{r}) \ra \tilde{H}_{n-q} (S^{n}) \ra H^{q}_{c} (s^{r};\Bbb{Z}) \ra \tilde{H}_{n-q-1} (S^{n}-s^{r})\ra \ldots$$ F"ur das weitere "uberlassen wir die F"alle $r=-1$ und $r=0$ dem Leser. Bei $r\geq 1$ ist $H^{q}_{c}(s^{r};\Bbb{Z})$ nur f"ur $q=0$ und $q=r$ von Null verschieden und dann isomorph zu $\Bbb{Z}.$ Im Fall $q=0$ haben wir $$\tilde{H}_{n}(S^{n})\cong H_{c}^{0} (S^{n};\Bbb{Z}) \overset{\sim}{\ra} H^{0}_{c}(s^{r};\Bbb{Z}),$$ f"ur alle anderen $q$ gilt $\tilde{H}_{n-q}(S^{n}) =0.$ Das Korollar folgt. \end{proof} \begin{Korollar}\label{VG} Ist $A \subset \Bbb{R}^{n}$ eine kompakte Untermannigfaltigkeit der Dimension $(n-1)$ mit $k$ Zusammenhangskomponenten, so besteht ihr Komplement $\Bbb{R}^{n}-A$ aus $(k+1)$ Zusammenhangskomponenten. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir finden $H_{0}(A;\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}) \cong H^{n-1}(A;\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}) \cong \tilde{H}_{0} (\Bbb{R}^{n}-A; \Bbb{Z}/2\Bbb{Z})$ mit Poincar\'e-Dualit"at und Alexander-Dualit"at. Man beachte hierbei, da"s Poincar\'e-Dualit"at mit Koeffizienten in $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ auch f"ur nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten gilt. \end{proof} \begin{Korollar}\label{ENOr} Eine kompakte aber nicht orientierbare $(n-1)$-Mannig\-faltigkeit $A$ kann nicht in den $\Bbb{R}^{n}$ eingebettet werden. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $A$ zusammenh"angend. Ist $A$ nicht orientierbar, so folgt $$ H^{n-1}(A;\Bbb{Z})=0 = \tilde{H}_{0} (\Bbb{R}^{n}-A;\Bbb{Z}) $$ und $\Bbb{R}^{n}-A$ w"are zusammenh"angend im Widerspruch zum vorhergehenden Korollar \ref{VG}. \end{proof} \begin{Korollar} Eine Homotopieklasse $(a,b)$ in $\pi_{1} (S^{1}\times S^{1}) \cong \Bbb{Z} \times \Bbb{Z}$ kann genau dann durch einen auf $\left[ 0,1\right)$ injektivem Weg dargestellt werden, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind oder wenn gilt $a=b=0.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden die lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager an auf den Fall $X = S^{1} \times S^{1}$ und das Bild eines injektiven Weges $A \cong S^{1} \As X$ und folgern eine exakte Sequenz $$H^{1}_{c} X \ra H^{1}_{c} A \ra H^{2}_{c} (X-A)$$ Da $H^{2}_{c} (X-A) \cong H_{0} (X-A)$ frei ist "uber $\Bbb{Z},$ mu"s $H^{1}_{c} X \ra H^{1}_{c} A$ surjektiv oder Null sein. Diese Abbildung wird jedoch unter geeigneten Identifikationen $H^{1}_{c} X \cong \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z},$ $H^{1}_{c} A \cong \Bbb{Z}$ gegeben durch die Zeilenmatrix $(a,b).$ \end{proof} \begin{comment} \begin{Bemerkung} Frage: Sei $M$ eine orientierbare Fl"ache, nicht notwendig kompakt. Ist $H_{1} M$ stets eine freie abelsche Gruppe? \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorff-Raum $X$ und ein Koeffizientenk"orper oder allgemeiner ein halbeinfacher Koeffizientenring $k$ kann man die \defind{Borel-Moore-Homologie} {\bf von $X$ mit Koeffizienten in $k$} schlicht definieren als den Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager, in Formeln $$H^{BM}_{i} (X;k)= H^{i}_{c} (X;k)^{\ast}$$ Ist $X$ der Polyeder $X = \Delta (\cal{K})$ eines lokal endlichen Simplizialkomplexes $\cal{K}$, so kann man folglich die Borel-Moore-Homologie berechenen mit dem Komplex, den man durch Dualisieren erh"alt aus dem Komplex $S^{\ast}_{\op{os},c} (\Delta (\cal{K};k)$ der simplizialen Koketten mit kompaktem Tr"ager, der in \ref{KocSi} eingef"uhrt wird und von dem dort gezeigt wird, da"s er die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager des Polyeders $\Delta (\cal{K})$ berechnet. Der duale Komplex zu $S^{\ast}_{\op{os},c} (\Delta (\cal{K});k)$ ist aber gerade der Komplex $\op{Ens} (\cal{K}_{\ast},k)$ aller nicht notwendig endlichen formalen Linearkombinationen von Simplizes, bei dem der "ubliche Randoperator nur deshalb weiter sinnvoll ist, da wir unseren Simplizialkomplex lokal endlich angenommen hatten. Erlaubt man also in dieser Situation auch unendliche formale Linearkombinationen von Simplizes als Ketten, so gelangt man von der "ublichen Homologie zur Borel-Moore-Homologie. Das geht soweit nat"urlich auch mit beliebigen Koeffizienten, jedoch ist es dann schwieriger, die Unabh"angigkeit der so erkl"arten Gruppe von der Triangulierung nachzuweisen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Unsere allgemeine Poincar\'e-Dualit"at \ref{APD} liefert zumindest mit Koeffizienten in einem K"orper eine Paarung $$H^{BM}_{q} (M;k) \times H_{n-q} (M;k) \ra k$$ die wir anschaulich als Schnittpaarung verstehen k"onnen. Eigentlich sollte wohl auch der Isomorphismus \ref{APD} zu verstehen sein als partielles Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\omega \in H^{BM}_{n} M$ von $M$ in der Borel-Moore-Homologie, der eben auch f"ur nicht notwendig kompaktes aber orientiertes $M$ existiert. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Der sogenannte Kreisraum aus \ref{KrRa} zeigt, da"s der Dualraum der singul"aren Kohomologie mit kompaktem Tr"ager im Allgemeinen nicht durch den Komplex der lokal endlichen singul"aren Koketten berechnet werden kann. Ich w"u"ste gerne, unter welchen Bedingungen das doch geht. Ich wei"s es noch nicht einmal f"ur die Polyeder lokal endlicher Simplizialkomplexe. \end{Bemerkung} \end{comment} \subsection{Der Satz von de Rham} In diesem Abschnitt setzen wir eine gewisse Vertrautheit mit Begriffsbildungen und Resultaten der Differentialgeometrie voraus. Gegeben eine $\cal{C}^{\infty}$-Mannigfaltigkeit $X$ nennen wir die differenzierbaren Abbildungen $\Delta_{q} \ra X$ auch \defind{differenzierbare $q$-Simplizes}, bilden die Gruppe der \defind{differenzierbaren $q$-Ketten} $\cal{C}^{\infty}S_{q}X$ als die freie abelsche Gruppe "uber den differenzierbaren $q$-Simplizes und erhalten einen Unterkomplex $\cal{C}^{\infty}S X \subset SX$ im Komplex der singul"aren Ketten von $X.$ \begin{Proposition} Sei $X$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit. So ist die Einbettung der differenzierbaren Ketten in die singul"aren Ketten $$\cal{C}^{\infty} SX \hookrightarrow SX$$ eine Homotopie"aquivalenz und induziert insbesondere Isomorphismen zwischen der singul"aren Homologie und der $\cal{C}^\infty$-singul"aren Homologie und analog f"ur Kohomologie und beliebige Koeffizienten. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{HKH} reicht es zu zeigen, da"s unsere Einbettungen Isomorphismen auf der Homologie induzieren. Weiter d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X$ parakompakt annehmen, indem wir sonst beide Seiten als direkten Limes "uber alle offenen parakompakten Teilmengen schreiben und die Exaktheit des direkten Limes verwenden. Jetzt w"ahlen wir irgendeine abelsche Gruppe $G,$ wenden $\op{Hom} (\;,G)$ an auf die Einbettung in der Proposition und erhalten Komplexe von Koketten $\cal{C}^{\infty}S^{\ast} (X;G) \twoheadleftarrow S^{\ast}(X;G).$ Diese Komplexe induzieren ihrerseits Komplexe von Pr"agarben auf $X,$ die wir vergarben zu einer Surjektion von Komplexen von Garben $$\cal{C}^{\infty}\cal{S}^{\ast}_{X,G}\twoheadleftarrow \cal{S}^{\ast}_{X,G}$$ Wir behaupten nun, da"s im kommutativen Diagramm von Kettenabbildungen $$\begin{array}{ccc} \cal{C}^{\infty}S^{\ast} (X;G)& \twoheadleftarrow & S^{\ast} (X;G)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \Gamma \cal{C}^{\infty} \cal{S}^{\ast}_{X,G} & \leftarrow & \Gamma \cal{S}^{\ast}_{X,G} \end{array}$$ alle Abbildungen Isomorphismen auf der Kohomologie induzieren. F"ur die rechte Vertikale folgt das aus \ref{SiKo}, f"ur die linke, indem man die dort gegebenen Argumente wiederholt. F"ur die untere Horizontale folgt es, da $\cal{C}^{\infty}\cal{S}^{\ast}_{X,G}$ und $\cal{S}^{\ast}_{X,G}$ beide azyklische Aufl"osungen der konstanten Garbe $G_{X}$ sind. Die Aussage f"ur die obere Horizontale ergibt sich als Konsequenz. Betrachten wir nun den Kokern $K_{\ast} = \op{cok}(\cal{C}^{\infty}SX \hookrightarrow SX),$ so folgt, da"s $\op{Hom} (K_{\ast}, G)$ azyklisch ist f"ur alle $G.$ Dann mu"s aber nach dem universellen Koeffiziententheorem der Komplex $K_{\ast}$ von freien abelschen Gruppen schon selbst azyklisch sein. \end{proof} \begin{Satz}[von de Rham] Sei $X$ eine parakompakte differenzierbare Mannigfaltigkeit und $\Omega^{q}X$ der $\Bbb{R}$-Vektorraum der differenzierbaren $q$-Formen auf $X.$ So induziert die nach Stokes durch das Integrieren von $q$-Formen "uber differenzierbare $q$-Ketten definierte Kettenabbildung $$\op{int}:\Omega^{\ast}X \ra \cal{C}^{\infty} S^\ast (X ; \Bbb{R})$$ einen Isomorphismus zwischen der de-Rham-Komologie von $X$ und der $\cal{C}^{\infty}$-singul"aren Kohomologie von $X$ mit reellen Koeffizienten. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] H"angen wir noch die Abbildung $\cal{C}^{\infty} S^\ast (X ; \Bbb{R})\ra \Gamma \cal{C}^{\infty} \cal{S}^\ast (X ; \Bbb{R})$ dahinter, so ist die Verkn"upfung der Effekt auf den globalen Schnitten von einem Morphismus zwischen zwei azyklischen Aufl"osungen der konstanten Garbe $\DR_X$ und induziert folglich Isomorphismen auf der Kohomologie. Andererseits induziert auch die zus"atzlich angeh"angte Abbildung Isomorphismen auf der Kohomologie, wie wir bereits im vorhergehenden Beweis erw"ahnt haben. Der Satz folgt. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: