\section{Beispiele zur Garbenkohomologie} \subsection{Ein Spektralsequenzargument} \begin{Definition} Ein \defind{Doppelkomplex} $A = (A^{p,q}, \partial,\delta)$ ist eine durch $\Bbb{Z} \times \Bbb{Z}$ parametrisierte Familie $A^{p,q}$ von abelschen Gruppen mitsamt Gruppenhomomorphismen $\partial = \partial^{p} : A^{p,q} \ra A^{p+1,q}$ und $\delta = \delta^{q} : A^{p,q} \ra A^{p,q+1}$ derart, da"s gilt $\partial^{2} = 0,$ $\delta^{2} =0$ und $\partial\delta = \delta\partial.$ Gegeben ein Doppelkomplex $A$ bilden wir seinen \defind{Totalkomplex} $TA=T=(T,d)$ durch die Vorschrift $$T^n=\bigoplus_{p+q=n}A^{p,q}$$ mit Differential $da=\partial a+ (-1)^p\delta a$ f"ur $a\in A^{p,q}.$ \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDOKO}\\[4mm] \noindent Ein Doppelkomplex \end{figure} \begin{Bemerkung} Wir denken uns $p$ nach rechts und $q$ nach oben aufgetragen und betrachten in unserem Doppelkomplex die \defnoind{Spaltenkomplexe}\index{Spaltenkomplex} $A^{p,\ast}$ sowie die \defnoind{Zeilenkomplexe}\index{Zeilenkomplex} $A^{\ast, q}.$ Verschwinden alle $A^{p,q}$ mit $p<0$ oder $q<0,$ so sprechen wir von einem \defind{Doppelkomplex im ersten Quadranten}. Zu einem Doppelkomplex im ersten Quadranten erkl"aren wir den \defnoind{senkrechten Kernkomplex}\index{senkrechter Kernkomplex} $K_{\uparrow}$ als den Komplex der Kerne \glqq l"angs der $y$-Achse\grqq, in Formeln $$K_{\uparrow}^\ast= \ker (\partial : A^{0,\ast} \ra A^{1,\ast})$$ mit von $\delta$ induziertem Differential. Gegeben ein Doppelkomplex im ersten Quadranten haben wir eine offensichtliche injektive Kettenabbildung $K_{\uparrow}\hra T$ vom senkrechten Kernkomplex in den Totalkomplex und analog auch vom waagerechten Kernkomplex in den Totalkomplex. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\textbf{Eine entartete Spektralsequenz}] Sei $A= (A^{p,q},\partial, \delta)$ ein Doppelkomplex im ersten\label{EAS} Quadranten. Sind alle seine Zeilen exakt an allen Stellen $A^{p,q}$ mit $p\neq 0,$ so induziert die Einbettung des senkrechten Kernkomplexes in den Totalkomplex $K_{\uparrow}\hra T$ auf der Kohomologie Isomorphismen $$\cal{H}^{n}K_{\uparrow}\sira \cal{H}^{n}T$$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} Eine Verallgemeinerung des anschlie"senden Spezialfalls \ref{TKoo}, die f"ur beliebige Doppelkomplexe richtig bleibt, wird in \ref{TK} formuliert und bewiesen. Daraus ergeben sich dann auch Verallgemeinerungen von \ref{EAS}. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit einem Spezialfall. \begin{Lemma}\label{TKoo} Sei gegeben ein Doppelkomplex im ersten Quadranten. Sind alle seine Zeilen exakt, so ist auch sein Totalkomplex exakt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sind nur endlich viele Zeilen unseres Doppelkomplexes von Null verschieden, so k"onnen wir vollst"andige Induktion anwenden. Dazu betten wir die oberste von Null verschiedene Zeile ein in den Totalkomplex. Der Kokern dieser Einbettung ist der Totalkomplex eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen und einer Zeile weniger. Zu der so konstruierten kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen bilden wir dann die lange exakte Homologiesequenz und unsere Induktion l"auft. Haben wir einen beliebigen Doppelkomplex im ersten Quadranten vor uns, so stimmt sein Totalkomplex bis zum Grad $n$ "uberein mit dem Totalkomplex zum Doppelkomplex der untersten $n$ Zeilen, also k"onnen wir uns auf den bereits behandelten Fall zur"uckziehen. \end{proof}\noindent Jetzt folgern wir Satz \ref{EAS}. Der Kokern der Einbettung $K_{\uparrow}\hra T$ ist n"amlich der Totalkomplex eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen. Nach Lemma \ref{TKoo} ist er damit azyklisch und die Behauptung folgt aus der langen exakten Homologiesequenz. \end{proof} \subsection{Kohomologie durch azyklische Aufl"osungen} \begin{Definition} Unter einer \defind{Aufl"osung} einer abelschen Garbe $\cal{F}$ verstehen wir einen exakten Komplex $\cal F\hra \cal{A}^0\ra \cal{A}^1\ra\cal{A}^2\ra\ldots$ von abelschen Garben. Eine Aufl"osung hei"st {\bf azyklisch}\index{azyklische Aufl"osung} genau dann, wenn alle $\cal{A}^i$ azyklisch sind. \end{Definition} \begin{Definition}\label{DKM} Gegeben eine Aufl"osung $\cal F\hra \cal{A}^\ast$ einer abelschen Garbe betrachten wir den Doppelkomplex im ersten Quadranten $A^{p,q}=\Gamma \cal{G}^q\cal{A}^p$ der globalen Schnitte der Godementaufl"osungen der Garben unseres Komplexes. Sein senkrechter Kernkomplex ist kanonisch isomorph zu $\Gamma \cal{G}^q\cal{F}$ und sein waagerechter Kernkomplex zu $\Gamma \cal{A}^p.$ Weiter hat unser Doppelkomplex nach \ref{EPr} exakte Zeilen an allen Stellen au"ser bei $p=0.$ Folglich liefern die Morphismen $K_{\rightarrow}\ra TA\leftarrow K_{\uparrow}$ auf der Kohomologie Morphismen, die sogenannten \defind{kanonischen Morphismen} $$\op{can}:\cal{H}^n\Gamma \cal{A}^\ast\ra \op{H}^n\cal{F}$$ als die Verkn"upfungen $\cal{H}^n\Gamma \cal{A}^\ast\sira \cal{H}^nK_{\rightarrow} \ra \cal{H}^nTA\overset{\sim}{\leftarrow} \cal{H}^nK_{\uparrow}\overset{\sim}{\leftarrow}\cal{H}^n \Gamma \cal{G}^\ast\cal{F},$ wo der Isomorphismus im vorletzten Schritt aus \ref{EAS} kommt. \end{Definition} \begin{Ubung}\label{NAZ} Ist ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} \cal{F}&\hookrightarrow &\cal{A}^{0}& \ra & \cal{A}^{1}& \ra &\cal{A}^{2} &\ra & \ldots\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow & & \downarrow & & \\ \cal{G}&\hookrightarrow &\cal{B}^{0}&\ra & \cal{B}^{1}& \ra &\cal{B}^{2} &\ra &\ldots \end{array}$$ gegeben mit Aufl"osungen von abelschen Garben $\cal{F}$ bzw.\ $\cal{G}$ als Zeilen, so kommutiert mit den offensichtlichen Vertikalen und den eben konstruierten kanonischen Abbildungen als Horizontalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^{q}\Gamma \cal{A}^{\ast} & \ra & \op{H}^{q}\cal{F}\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{H}^{q}\Gamma \cal{B}^{\ast} & \ra &\op{H}^{q} \cal{G} \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Satz}[\textbf{Kohomologie durch azyklische Aufl"osungen}]\label{AZA} Die Kohomologie einer abelschen Garbe l"a"st sich berechnen als die Kohomologie des Komplexes der globalen Schnitte einer beliebigen azyklischen Aufl"osung. Ist genauer $\cal F\hra \cal{A}^\ast$ eine azyklische Aufl"osung, so sind unsere kanonischen Morphismen aus \ref{DKM} Isomorphismen $$\cal{H}^q\Gamma \cal{A}^\ast\sira \op{H}^q\cal{F}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sind alle $\cal{A}^i$ azyklisch, so sind im Doppelkomplex $\Gamma \cal{G}^q\cal{A}^p$, der unsere kanonischen Abbildungen definiert, auch alle Spalten exakt au"ser bei $q=0.$ Mithin induziert auch die Einbettung des waagerechten Kernkomplexes in den Totalkomplex Isomorphismen auf der Kohomologie. \end{proof} \subsection{R"uckzug in der Garbenkohomologie} \begin{Bemerkungl} Von ihrer Definition her liefert die Garbenkohomologie insbesondere f"ur jeden topologischen Raum einen Funktor von den abelschen Garben in die abelschen Gruppen, und wenn wir den Funktor davorschalten, der jeder Gruppe die entsprechende konstante Garbe zuordnet, auch von den abelschen Gruppen in die abelschen Gruppen. Wir wollen in diesem Abschnitt erkl"aren, inwiefern die Garbenkohomologie bei einer festen Koeffizientengruppe auch einen kontravarianten Funktor von den topologischen R"aumen in die abelschen Gruppen liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{IBGa} Gegeben eine stetige Abbildung $f: Y \ra X$ definieren wir das {\bf inverse Bild}\index{inverses Bild} von Garben, einen Funktor $$ f^{\circ}: \op{Ens}_{/X} \ra \op{Ens}_{/Y} $$ als die Zuordnung, die jeder Garbe auf $X$ die Garbe der stetigen Schnitte des Faserprodukts des \'etalen Raums von $\cal{G}$ mit $Y$ zuordnet, in Formeln $ f^{\circ} \cal{G}=\cal{S}(Y\times_{X} \bar{\cal{G}}).$ In derselben Weise definieren wir auch das inverse Bild von abelschen Garben $ f^{\circ}: \op{Ab}_{/X} \ra \op{Ab}_{/Y}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jeder pull-back eines \'etalen Morphismus ist \'etale, folglich liefert die Adjunktion \ref{ADJS} einen Hom"oomorphismus von \'etalen R"aumen $$\overline{f^{\circ}\cal{G}} \overset{\sim}{\ra} Y \times_{X} \bar{\cal{G}} $$ "uber $ Y.$ Das gibt zumindest eine gewisse Anschauung f"ur das inverse Bild. F"ur jeden Raum $X$ ist $\op{id_X}^{\circ}:\op{Ab}_{/X}\sira \op{Ab}_{/X}$ eine "Aquivalenz von Kategorien. Wir haben sogar eine offensichtliche Isotransformation $\op{id_X}^{\circ}\stackrel{\sim}{\RA} \op{id}_{\op{Ab}/X}$ zwischen dem Zur"uckholen mit der Identit"at auf $X$ und der Identit"at auf der Kategorie der abelschen Garben auf $X,$ den wir aber hier gar nicht explizit angeben wollen, um nicht pr"ufen zu m"ussen, da"s die in \ref{canFF} gegebene Charakterisierung denselben Isomorphismus liefert. In der Literatur werden inverse Bilder statt $f^{\circ}$ wie hier meist $f^{-1}$ notiert. Ich will jedoch sp"ater das direkte Bild $f_{\circ}$ notieren statt wie "ublich $f_\ast$ und diese adjungierten Funktoren in symmetrischer Weise notieren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{KaFa} Wir erkl"aren f"ur verkn"upfbare Abbildungen kanonische Isotransformationen $$c=c(g,f):g^\circ \circ f^\circ\stackrel{\sim}{\RA} (f\circ g)^\circ$$ dadurch, da"s auf beiden Seiten der fraglichen Isotransformationen die \'etalen R"aume nach \ref{EK} pull-backs in demselben Diagramm sind. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{canFF} Die in \ref{KaFa} erkl"arten Isotransformationen haben ihrerseits die Eigenschaft, da"s sie f"ur je drei in der entsprechenden Weise verkn"upfbare stetige Abbildungen ein kommutatives Diagramm von Transformationen $$\begin{array}{ccc} h^{\circ} \circ g^{\circ} \circ f^{\circ} & \RA & (g\circ h)^{\circ}\circ f^{\circ} \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ h^{\circ} \circ (f\circ g)^{\circ} & \RA & (f \circ g \circ h)^{\circ} \end{array}$$ liefern. Diese Eigenschaften werden wir in \ref{GefK} im Rahmen des Formalismus einer \glqq Faserung von Kategorien\grqq\ systematisieren. Die in diesem konkreten Fall offensichtlichen kanonischen Isomorphismen $\op{can}_{\cal{F}}:\op{id}^\circ\cal{F}\sira \cal{F}$ k"onnen wir auch aus den kanonischen "Aquivalenzen $c(\op{id},\op{id})$ formal erhalten durch die Bedingung, da"s sie unter Anwenden von $\op{id}^\circ$ eben gerade $c(\op{id},\op{id})$ liefern sollen. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{CICD} Gegeben eine Garbe $\cal{F}$ auf einem Raum zeige man die Identit"at $\op{id}^\circ (\op{can}_{\cal{F}})=\op{can}_{\op{id}^\circ\cal{F}}: \op{id}^\circ(\op{id}^\circ\cal{F})\sira \op{id}^\circ\cal{F}$ sowie f"ur jede stetige Abbildung $f:Y\ra X$ die Identit"at $c(\op{id},f)=\op{can}_{f^\circ\cal{F}}: \op{id}^\circ(f^\circ\cal{F})\sira f^\circ\cal{F}$ \end{Ubung} \begin{Definition}\label{Gpkt} Gegeben eine Menge $G$ notieren wir $G_{/\!\op{pt}}\in\op{Ens}_{/\!\op{pt}}$ die Garbe "uber der einpunktigen Menge $\op{pt}$ mit Faser $G.$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{BZP} Bezeichnet $c=c_X:X\ra\op{pt}$ die konstante Abbildung von einem beliebigen Raum in den einpunktigen Raum $\op{pt},$ so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $ c_X^\circ G_{/\!\op{pt}}\sira G_X$ zwischen dem inversen Bild der konstanten Garbe auf dem Punkt und der konstanten Garbe auf unserem Raum $X.$ Im Sinne eines systematischen Aufbaus der Theorie aus m"oglichst wenigen Grundkonstruktionen, wir versuchen es zun"achst einmal mit den in den drei vorhergehenden Definitionen \ref{IBGa}, \ref{KaFa} und \ref{Gpkt} erkl"arten Grundkonstruktionen $$f^\circ,\; c(g,f)\text{ und } G_{/\!\op{pt}}$$ werden wir das von nun an als die Definition der konstanten Garbe ansehen und also setzen $$ G_X=c_X^\circ G_{/\!\op{pt}} $$ Damit definiert f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ unser $c(f,c_Y)$ nach \ref{KaFa} einen kanonischen Isomorphismus $ f^\circ G_Y\sira G_X$ und die kanonische Abbildung $\op{can}_{\cal{F}}$ im Fall $\cal{F}=G_{/\!\op{pt}}$ liefert einen Isomorphismus $G_{\op{pt}}\sira G_{/\!\op{pt}}.$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Den Funktor $\Gamma: \op{Ens}_{/X}\ra\op{Ens}$ des Bildens der globalen Schnitte k"onnen wir aus unseren drei Grundkonstruktionen erhalten als $$\Gamma\cal{F}=\op{Ens}_{/X}(\op{pt}_X,\cal{F})$$ f"ur $\op{pt}_X=c_X^\circ \op{pt}_{\op{pt}}$ die konstante Garbe mit Faser $\op{pt},$ als da hei"st mit zu $\op{id}:X\ra X$ isomorphem \'etalem Raum. Arbeiten wir mit abelschen Garben, so k"onnen wir den Funktor des Bildens der globalen Schnitte $\Gamma: \op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab}$ aus unseren drei Grundkonstruktionen auch erhalten als $$\Gamma\cal{F}=\op{Ab}_{/X}(\DZ_X,\cal{F})$$ In beiden F"allen liefern unsere Grundkonstruktionen dann f"ur jede stetige Abbildung $f:Y\ra X$ eine kanonische Abbildung $$f^\ast:\Gamma \cal{F}\ra \Gamma f^\circ\cal{F}$$ auf den globalen Schnitten, das sogenannte {\bf Zur"uckholen von Schnitten},\index{Zur"uckholen!von Schnitten in Garben} im abelschen Fall erkl"art als die Verkn"upfung der in hoffentlich offensichtlicher Weise gegebenen Abbildungen $$\op{Ab}_{/X}(\DZ_X,\cal{F})\ra \op{Ab}_{/Y}(f^\circ\DZ_X,f^\circ\cal{F})\sira \op{Ab}_{/Y}(\DZ_Y,f^\circ\cal{F})$$ Mit \glqq kanonisch\grqq\ ist gemeint, da"s $f^\ast$ eine Transformation von Funktoren $\op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab}$ ist. Das Zur"uckholen von Schnitten kann auch in unserer Konstruktion der zur"uckgeholten Garbe mithilfe der universellen Eigenschaft des Faserprodukts explizit beschrieben werden. Aus unseren Konstruktionen folgt, da"s $\op{id}^\ast$ stets Bijektionen $\op{id}^\ast:\Gamma \cal{F}\sira \Gamma \op{id}^\circ\cal{F}$ liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Garbe $\cal{F}\in\op{Ens}_{/X}$ und f"ur $x\in X$ die Einbettung mit Bild $x$ der einpunktigen Menge $i_x:\op{pt}\hra X$ haben wir eine kanonische Bijektion $\Gamma i_x^\circ\cal{F}\sira \cal{F}_x,$ unter der das Zur"uckholen eines Schnittes aus $\Gamma \cal{F}$ dem "Ubergang zu seinem Halm an der Stelle $x\in X$ entspricht. Wir nehmen von nun an die linke Seite als unsere Definition des Halms und setzen also $$\cal{F}_x=\Gamma i_x^\circ\cal{F}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{EZH} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ ist das Zur"uckholen abelscher Garben ein exakter Funktor $f^\circ :\op{Ab}_{/Y}\ra\op{Ab}_{/X}.$ \end{Lemma} \begin{proof} Der Halm der zur"uckgeholten Garbe an einem Punkt $y\in Y$ ist per definitionem kanonisch isomorph zum Halm der urspr"unglichen Garbe am Punkt $f(y)\in X.$ Das Lemma folgt, da die Exaktheit einer Sequenz von Garben nach \ref{ESG} "aquivalent ist zur Exaktheit der auf den Halmen induzierten Sequenzen. \end{proof} \begin{Definition}\label{ZHKo} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und eine abelsche Garbe $\cal{F}$ auf $Y$ definieren wir das \defnoind{Zur"uckholen auf der Kohomologie}\index{Zur"uckholen!auf der Kohomologie} als die Homomorphismen von abelschen Gruppen $$f^\ast:\op{H}^q(Y;\cal{F})\ra \op{H}^q(X;f^\circ \cal{F})$$ gegeben durch die Verkn"upfungen $\cal{H}^q\Gamma\cal{G}^\ast\cal{F}\ra \cal{H}^q\Gamma f^\circ\cal{G}^\ast\cal{F}\ra \op{H}^q(X;f^\circ \cal{F}),$ wobei die erste Abbildung vom Zur"uckholen globaler Schnitte der Godement-Aufl"osung $\Gamma\cal{G}^\ast\cal{F}\ra \Gamma f^\circ\cal{G}^\ast\cal{F}$ induziert wird und die zweite von der in \ref{DKM} erkl"arten kanonischen Abbildung zur Aufl"osung $f^\circ \cal{F}\hra f^\circ\cal{G}^\ast\cal{F}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{idIs} Aus unseren Konstruktionen folgt, da"s $\op{id}^\ast$ stets Isomorphismen $\op{id}^\ast:\op{H}^q(X;\cal{F}) \sira \op{H}^q(X;\op{id}^\circ \cal{F})$ liefert. Weiter folgt, da"s $f^\ast$ f"ur jedes $q$ eine Transformation von Funktoren $\op{Ab}_{/Y}\ra\op{Ab}$ liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{ZuGK} Ist speziell $G$ eine abelsche Gruppe und benutzen wir zus"atzlich den kanonischen Isomorphismus $f^\circ G_Y\sira G_X,$ so erhalten wir auch in der Garbenkohomologie f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ eine kanonische Abbildung $$f^\ast: \op{H}^q(Y;G_Y)\ra \op{H}^q(X;G_X)$$ als die Verkn"upfung $\op{H}^q(Y;G_Y)\ra \op{H}^q(X;f^\circ G_Y)\sira \op{H}^q(X;G_X).$ Wir nennen auch diese Abbildung das \defnoind{Zur"uckholen auf der Kohomologie}.\index{Zur"uckholen!auf der Kohomologie} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir wollen nun zeigen, da"s f"ur jede abelsche Gruppe $G$ und jedes $q$ die Zuordnungen $X\mapsto \op{H}^q(X;G_X)$ und $f\mapsto f^\ast$ in der Tat einen Funktor $\op{Top}\ra\op{Ab}$ liefern. Dazu m"ussen wir etwas weiter ausholen, bevor wir diese Behauptung dann als Lemma \ref{GKFU} zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{Fazy} Ist $f:X \rightarrow Y$ stetig und $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/Y}$ eine abelsche Garbe auf $Y$ und $\mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{A}^\ast$ eine Aufl"osung, so kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{H}^q \Gamma \mathcal{A}^\ast \ar[r]\ar[d] &\op{H}^q (Y;\mathcal{F})\ar[d]\\ \mathcal{H}^q\Gamma f^\circ \mathcal{A}^\ast \ar[r] & \op{H}^q (X; f^\circ \mathcal{F}) } \end{displaymath} f"ur die in \ref{DKM} erkl"arten Horizontalen. \end{Lemma} BOGNER TIPPT NEUEN BEWEIS \begin{proof} Um das zu sehen, w"ahlen wir injektive Aufl"osungen $\mathcal{F}\hookrightarrow \mathcal{I}^\ast$ und $f^{\circ} \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{J}^\ast$ und Lifts $\mathcal{G}^\ast \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{I}^\ast \leftarrow \mathcal{A}^\ast$ der Identit"at auf $\mathcal{F}$ sowie Lifts $\mathcal{G}^\ast f^\circ \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{J}^\ast \leftarrow f^\circ \mathcal{I}^\ast$ der Identit"at auf $f^\circ\mathcal{F}$ und erhalten damit ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \Gamma \mathcal{G}^\ast \mathcal{F} \ar[r]\ar[d] &\Gamma \mathcal{I}^\ast \ar[d] & \Gamma \mathcal{A}^\ast\ar[d]\ar[l]\\ \Gamma f^\circ \mathcal{G}^\ast \mathcal{F} \ar[r]\ar[dr] &\Gamma f^\circ \mathcal{I}^\ast \ar[d] & \Gamma f^\circ \mathcal{A}^\ast \ar[dl] \ar[l]\\ \Gamma \mathcal{G}^\ast f^\circ \mathcal{F}\ar[r] & \Gamma \mathcal{J}^\ast & } \end{displaymath} Wenden wir darauf $\mathcal{H}^q$ an und erinnern alle Definitionen, so folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Funktorialit"at der Garbenkohomologie}] Gegeben stetige Abbildungen \label{FGKoh} $f:X \rightarrow Y $ und $g:Y \rightarrow Z$ und eine abelsche Garbe $\mathcal{F} $ auf $Z$ kommutiert das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{H}^q (Z;\mathcal{F})\ar@{=}[d] \ar[r]^{g^{\ast}} & \op{H}^q (Y;g^\circ \mathcal{F}) \ar[r]^{f^{\ast}} &\op{H}^q (X;f^\circ (g^\circ \mathcal{F}))\ar[d]^{\wr}\\ \op{H}^q (Z;\mathcal{F}) \ar[rr]^{(g\circ f)^{\ast}}& &\op{H}^q(X;(g \circ f)^\circ \mathcal{F}) } \end{displaymath} wobei die rechte Vertikale von $c(f,g):f^\circ (g^\circ \mathcal{F}) \overset{\sim}{\rightarrow} (g \circ f)^\circ \mathcal{F}$ aus \ref{KaFa} induziert wird. \end{Proposition} BOGNER TIPPT NEUEN BEWEIS \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen eine injektive Aufl"osung $g^\circ \mathcal{F} \hookrightarrow \mathcal{J}^*$ und einen Lift $g^\circ \mathcal{G}^* \mathcal{F} \rightarrow \mathcal{J}^*$ der Identit"at auf $g^\circ \mathcal{F}$. Das Lemma folgt dann aus dem Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{H}^q(Z;\mathcal{F})\ar@{=}[r]\ar[dd]_{(g\circ f)^{\ast}} &\mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{G}^* \mathcal{F}\ar[dd] \ar@{=}[r]& \mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{G}^*\mathcal{F}\ar[d]\ar@{=}[rr] & & \op{H}^q (Z;\mathcal{F})\ar[d]^{g^{\ast}}\\ & & \mathcal{H}^q\Gamma g^\circ \mathcal{G}^{*} \mathcal{F}\ar[d] \ar[r]& \mathcal{H}^q\Gamma \mathcal{J}^* \ar[r]^{\sim}\ar[d] & \op{H}^q(Y;g^\circ \mathcal{F})\ar[d]^{f^{\ast}}\\ \op{H}^q (X;(g f)^{\circ} \mathcal{F}) &\mathcal{H}^q\Gamma (g f)^\circ \mathcal{G}^* \mathcal{F} \ar[r]^{\sim}\ar[l] & \mathcal{H}^q\Gamma f^\circ g^\circ \mathcal{G}^* \mathcal{F} \ar[r]& \mathcal{H}^q\Gamma f^\circ \mathcal{J}^* \ar[r]& \op{H}^q(X;f^\circ g^\circ \mathcal{F}) } \end{displaymath} das in jeder Zelle und deshalb auch als Ganzes kommutiert. \end{proof} \begin{Lemma}\label{GKFU} Mit den in \ref{ZuGK} f"ur jede stetige Abbildung $f:X \rightarrow Y$ erkl"arten Homomorphismen $f^\ast : \op{H}^q (Y;G_Y) \rightarrow \op{H}^q (X; G_X)$ wird die Garbenkohomologie mit Koeffizienten in einer beliebig vorgegebenen abelschen Gruppe $G$ ein kontravarianter Funktor $\op{Top}\rightarrow \op{Ab}$. \end{Lemma} \begin{proof} Es gilt zu zeigen $\op{id}^\ast = \op{id}$ und $(g \circ f)^\ast = f^\ast \circ g^\ast$. Nehmen wir in \ref{FGKoh} speziell $f = g =\op{id}$ und beachten, da"s $\op{id}^{\ast}$ nach \ref{idIs} ein Isomorphismus sein mu"s, so folgt, da"s die Verkn"upfung \begin{equation*} \op{H}^q (X;\op{id}^\circ \mathcal{F}) \overset{\op{id}^{\ast}}{\rightarrow} \op{H}^q (X;\op{id}^\circ (\op{id}^\circ \mathcal{F})) \overset{c}{\rightarrow} \op{H}^q (X;\op{id}^\circ \mathcal{F}) \end{equation*} die Identit"at ist f"ur $c$ die von $c (\op{id},\op{id}) = \op{id}^\circ (\op{can}_{\mathcal{F}})$ induzierte Abbildung. Nach \ref{CICD} ist das jedoch auch die von $\op{can}_{\op{id}^{\circ}\mathcal{F}}$ induzierte Abbildung. Dann ist jedoch auch die Verkn"upfung \begin{equation*} \op{H}^q (X;\mathcal{F}) \overset{\op{id}^{\ast}}{\rightarrow} \op{H}^q (X; \op{id}^\circ \mathcal{F}) \overset{c}{\longrightarrow} \op{H}^q (X;\mathcal{F}) \end{equation*} mit $c$ der von $\op{can}_{\mathcal{F}} : \op{id}^\circ \mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal{F}$ induzierten Abbildung die Identit"at f"ur jede Garbe $\mathcal{F} \in \op{Ab}_{/X}$, da unsere Verkn"upfung eine Transformation von Funktoren $\op{Ab}_{/X}\rightarrow \op{Ab}$ ist. Wenden wir diese Erkenntnis auf $\mathcal{F} = G_X$ an und beachten \ref{CICD}, so folgt $\op{id}^\ast = \op{id}$. Die Ableitung von $(g \circ f)^\ast = f^\ast \circ g^\ast$ aus \ref{FGKoh} und den Definitionen sei dem Leser "uberlassen. \end{proof} \subsection{Direktes Bild von Garben} \begin{Definition} Gegeben eine stetige Abbildung $f: Y \ra X$ definieren wir das {\bf direkte Bild}\index{direktes Bild} von Garben $$ f_{\circ}: \op{Ens}_{/Y} \ra \op{Ens}_{/X},$$ durch die Vorschrift $(f_{\circ} \cal{F})(U) = \cal{F}(f^{-1}(U))$ f"ur $U \co X.$ Es ist leicht einzusehen, da"s die so auf $X$ erkl"arte Pr"agarbe in der Tat eine Garbe ist. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Adjunktion von direktem und inversem Bild}] Gegeben $f: Y \ra X$ stetig\label{AdIn} erhalten wir eine Adjunktion $(f^{\circ},f_{\circ})$ durch die Abbildungen $$\begin{array}{ccc} \op{Ens}_{/Y} (f^{\circ}\cal{G}, \cal{F}) &\ra & \op{Ens}_{/X} (\cal{G},f_{\circ}\cal{F})\\ \varphi & \mapsto & \tilde{\varphi} \end{array}$$ wobei $\tilde{\varphi} : \cal{G} (U) \ra (f_{\circ}\cal{F}) (U) = \cal{F}(f^{-1}(U))$ f"ur $U\co X$ einen Schnitt $s \in \cal{G} (U)$ als Abbildung $s : U \ra \bar{\cal{G}}$ versteht, sie zu $(\op{id}\times s): Y \times_{X} U \ra Y \times_{X} \overline{\cal{G}}$ alias $f^{-1}(U) \ra \overline{f^{\circ}\cal{G}}$ zur"uckzieht und durch Verkn"upfung mit $\varphi : \overline{f^{\circ}\cal{G}} \ra \bar{\cal{F}}$ zu einem Schnitt von $\cal{F}$ "uber $f^{-1}(U)$ macht. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s die so konstruierte Abbildung $\varphi \mapsto \tilde{\varphi}$ bijektiv ist. Sie ist injektiv, da ganz $\overline{f^{\circ}\cal{G}}$ durch die Bilder solcher $(\op{id} \times s)$ "uberdeckt wird. Zus"atzlich sind die $(\op{id} \times s)$ aber sogar Hom"oomorphismen auf offene Teilmengen von $\overline{f^{\circ}\cal{G}},$ und eine Sammlung von stetigen kompatiblen Abbildungen von diesen offenen Teilmengen nach $\bar{\cal{F}}$ verklebt zu einer stetigen Abbildung $\overline{f^{\circ}\cal{G}}\ra \bar{\cal{F}}$ "uber $Y.$ \end{proof} \begin{Bemerkungl} Auf genau dieselbe Weise erkl"aren wir auch f"ur abelsche Garben die direkten Bilder $ f_{\circ} : \op{Ab}_{/Y} \ra \op{Ab}_{/X}$ und die Adjunktion $(f^{\circ},f_{\circ}).$ In diesem Kontext benutzen wir manchmal auch die Notation $(f^{(\ast)},f_{(\ast)}).$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im Sinne einer gr"o"stm"oglichen Reduktion der Grundkonstruktionen w"are es wohl noch besser, unsere direkten Bilder schlicht als \glqq die\grqq\ linksadjungierten Funktoren der inversen Bilder zu erkl"aren. Diese Vorgehensweise birgt jedoch die Schwierigkeit, da"s die fraglichen Linksadjungierten nur bis auf eindeutige Isotransformation eindeutig bestimmt sind, vergleiche \ref{AdFu}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Raum $X$ und f"ur $x\in X$ die Einbettung mit Bild $x$ der einpunktigen Menge $i=i_x:\op{pt}\hra X$ und eine Menge $G$ haben wir einen kanonischen Isomorphismus $ i_\circ G_{\op{pt}}\sira G_{(x)}.$ Das direkte Bild unter $i$ macht also aus einer Menge $G,$ aufgefa"st als Garbe auf der einpunktigen Menge $\op{pt}$ den Wolkenkratzer $G_{(x)}$ mit Faser $G$ bei $x.$ Im Sinne der Reduktion der Grundkonstruktionen vereinbaren wir von nun an die linke Seite als die Definition der Wolkenkratzergarbe und setzen also $$G_{(x)}=i_{\circ}G_{/\op{pt}}$$ F"ur den \'etalen Raum direkter Bilder habe ich nur im Fall einer abgeschlossenen Immersion eine gewisse Anschauung, die sich auf die Beschreibung \ref{ETW} des \'etalen Raums eines Wolkenkratzers st"utzt. Statt $f_\circ$ oder $f_{(\ast)}$ wird in der Literatur meist die Notation $f_\ast$ verwendet. Ich will mir jedoch die Notation $f_\ast$ f"ur das derivierte direkte Bild vorbehalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{GDBi} Offensichtlich ist $\op{id}_\circ:\op{Ens}_X\ra \op{Ens}_X$ die Identit"at und f"ur verkn"upfbare stetige Abbildungen $f,g$ gilt $(f\circ g)_\circ=f_\circ g_\circ.$ Die kanonischen Isotransformationen $(f\circ g)^\circ\overset{\sim}{\Rightarrow} g^\circ f^\circ$ sind vertr"aglich mit den Adjunktionen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ erhalten wir eine kanonische Bijektion $$\Gamma \cal{F}\sira \Gamma f_\circ \cal{F}$$ als Verkn"upfung $\op{Ens}_{/X}(\op{pt}_X, \cal{F}) \sira \op{Ens}_{/X}(f^\circ \op{pt}_X, \cal{F}) \sira \op{Ens}_{/X}( \op{pt}_Y, f_\circ\cal{F})$ des Vorschaltens von $f^\circ \op{pt}_Y\sira \op{pt}_X$ mit der Adjunktionsabbildung. Diese Bijektion ist auch in unserer Definition des direkten Bildes sofort sichtbar. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ erhalten wir in derselben Weise f"ur abelsche Garben einen kanonischen Isomorphismus $$\Gamma \cal{F}\sira \Gamma f_{\circ} \cal{F}$$ als Verkn"upfung $\op{Ab}_{/X}(\DZ_X, \cal{F}) \sira \op{Ab}_{/X}(f^{\circ} \DZ_Y, \cal{F}) \sira \op{Ab}_{/X}( \DZ_Y, f_{\circ}\cal{F})$ des Vorschaltens von $f^{\circ} \DZ_Y\sira \DZ_X$ mit der Adjunktionsabbildung. Diese Bijektion ist auch in unserer Definition des direkten Bildes sofort sichtbar. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung}\label{AIA} Gegeben $f:Y\hra X$ eine abgeschlossene Immersion induziert das adjungierte Paar $(f^{\circ},f_{\circ})$ eine "Aquivalenz zwischen der Kategorie aller abelschen Garben auf $Y$ und der Kategorie aller derjenigen abelschen Garben auf $X,$ die nur an Punkten aus $f(Y)$ von Null verschiedene Halme haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AdIc} Ist $f : Y \hookrightarrow X$ eine topologische Einbettung, so ist f"ur jede Garbe $\cal{F} \in \op{Ens}_{/Y}$ die kanonische Abbildung ein Isomorphismus $f^{\circ}f_{\circ} \cal{F} \overset{\sim}{\ra} \cal{F}.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AdI} Hat $f:Y\sra X$ zusammenh"angende Fasern, so ist f"ur jede Garbe $\cal{G} \in \op{Ens}_{/X}$ die kanonische Abbildung ein Isomorphismus $ \cal{G}\overset{\sim}{\ra} f_{\circ}f^{\circ} \cal{G}.$ Hier erinnere ich daran, da"s die leere Menge in den Konventionen dieses Textes nicht zusammenh"angend genannt wird. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur einen topologischen Raum $X$ bezeichne $X^{\op{dis}}$ die Menge $X$ versehen mit der diskreten Topologie und $d:X^{\op{dis}}\ra X$ die Identit"at. Man zeige, da"s f"ur eine abelsche Garbe $\cal{F}\in\op{Ab}_{/X}$ die kanonische Abbildung $\cal{F}\ra d_{\circ}d^{\circ}\cal{F}$ mit der Einbettung in die Garbe der unstetigen Schnitte aus \ref{DGKo} identifiziert werden kann. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SB} Sei $f: X \ra Y$ stetig, $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $s \in \Gamma \cal{F}$ ein globaler Schnitt. F"ur den induzierten globalen Schnitt $f_{\circ}s$ von $f_{\circ} \cal{F}$ gilt $$\op{supp} (f_{\circ} s) = \overline{f(\op{supp} s)}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{SBbb} Das Zur"uckholen abelscher Garben vertauscht mit direkten Summen und allgemeiner filtrierenden Kolimites, nicht jedoch mit filtrierenden Limites, ja noch nicht einmal mit beliebigen Produkten. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{DBBI} Gegeben $X,Y$ topologische R"aume mit $Y$ kompakt und $x \in X$ ein Punkt betrachte man das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \{x\} \times Y \ar[d]_{q}\ar[r]^{\tilde{\imath}} & X \times Y\ar[d]^p\\ \{x\} \ar[r]^i &X } \end{displaymath} und zeige, da"s f"ur jede Garbe von Mengen $\mathcal{F}$ auf $X \times Y$ die kanonische Abbildung \emph{(Welche?})einen Isomorphismus $i^\circ p_\circ \mathcal{F} \overset{\sim}{\rightarrow} q_\circ \tilde{\imath}^\circ \mathcal{F}$ induziert. \end{Ubung} \subsection{Parakompakte R"aume} \begin{Definition}\label{pako} \begin{enumerate} \item Ein System von Teilmengen $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ eines topologischen Raums $X$ hei"st \defnoind{lokal endlich}\index{lokal endlich!Mengensystem in topologischem Raum} genau dann, wenn jedes $x \in X$ eine Umgebung besitzt, die h"ochstens endlich viele $U \in \cal{U}$ trifft. \item Sei $X$ eine Menge und $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ eine "Uberdeckung von $X.$ Eine "Uberdeckung $\cal{V}$ von $X$ hei"st eine \defnoind{Verfeinerung von $\cal{U}$}\index{Verfeinerung} genau dann, wenn jedes $V \in \cal{V}$ in mindestens einem $U \in \cal{U}$ enthalten ist. \item Ein topologischer Raum hei"st \defind{parakompakt} genau dann, wenn er Hausdorff'sch ist und sich jede offene "Uberdeckung unseres Raums zu einer lokal endlichen offenen "Uberdeckung verfeinern l"a"st. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Ubung}\label{LAS}%\label{LAS2} Die Vereinigung "uber ein beliebiges lokal endliches System abgeschlossener Mengen ist abgeschlossen. Ist eine Abbildung stetig auf jeder der Teilmengen einer lokal endlichen "Uberdeckung eines Raums durch abgeschlossene Teilmengen, so ist sie schon selbst stetig. \end{Ubung} \begin{Proposition}[\textbf{Kriterium f"ur Parakompaktheit}] Besitzt ein Haus\-dorff\-raum eine abz"ahlbare "Uberdeckung durch offene Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s, so ist er parakompakt. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Indem wir zu geeigneten Vereinigungen "ubergehen d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar annehmen, unser Raum sei "uberdeckt durch eine aufsteigende Folge $X_{0} \subset X_{1}\subset \ldots $ von offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s. Indem wir zu einer geeigneten Teilfolge "ubergehen, d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s f"ur alle $n$ gilt $\bar{X}_{n} \subset X_{n+1}.$ Um Sonderbetrachtungen zu vermeiden setzen wir $X_{n} = \emptyset$ f"ur $n < 0.$ Gegeben eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ unseres Raums werden die Kompakta $\bar{X}_{n+1} - X_{n}$ jeweils schon "uberdeckt von den $U$ aus einem endlichen Teilsystem $\cal{U}_{n} \subset \cal{U}.$ Die Schnitte $U \cap (X_{n+2} - \bar{X}_{n-1})$ f"ur $U \in \cal{U}_{n}$ und $n \in \Bbb{Z}$ bilden dann die gesuchte lokal endliche Verfeinerung der "Uberdeckung $\cal{U}.$ \end{proof} \begin{Proposition}\label{PKN} {Jeder parakompakte Raum ist normal.} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Das folgt mit zweimaligem Anwenden des anschlie"senden technischen Lemmas, erst im Fall einer einpunktigen Menge $B,$ dann im Allgemeinen. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $A,B$ disjunkte abgeschlossene Mengen in einem parakompakten Raum $X.$ Zu jedem $x \in A$ gebe es disjunkte offene Teilmengen $U_{x}, V_{x} \co X$ mit $x \in U_{x}$ und $B\subset V_{x}.$ So gibt es auch disjunkte offene $U,V \co X$ mit $A \subset U$ und $B \subset V.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die $U_{x}$ mitsamt $X \backslash A$ bilden eine offene "Uberdeckung von $X.$ Sei $\cal{W}$ eine offene lokal endliche Verfeinerung dieser offenen "Uberdeckung. Setzen wir $\cal{W}_{A} = \{ W \in \cal{W} \mid W \cap A \neq \emptyset\},$ so ist jedes $W \in \cal{W}_{A}$ in einem $U_{x}$ enthalten, die Vereinigung $U = \bigcup_{W \in \cal{W}_{A}} W$ ist offen, und wir haben $ A\subset U.$ Andererseits besitzt jedes $y\in B$ eine offene Umgebung $C_{y},$ die nur endlich viele Mengen $W_{1}, \ldots , W_{n}$ aus $\cal{W}_{A}$ trifft. W"ahlen wir nun $x(i) \in A$ mit $W_{i}\subset U_{x(i)},$ so ist $D_{y} = C_{y} \cap V_{x(1)} \cap \ldots \cap V_{x(n)}$ offen und trifft "uberhaupt keine Menge aus $\cal{W}_{A}.$ Damit ist $V = \bigcup_{y\in B}D_{y}$ offen mit $V \cap U = \emptyset$ und $B \subset V.$ \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Schrumpfen offener "Uberdeckungen}] Ist $X$ ein parakompakter Raum\label{SOUu} und $(U_{i})_{i \in I}$ eine offene "Uberdeckung von $X,$ so finden wir eine offene "Uberdeckung $(V_{i})_{i \in I}$ von $X$ mit $\bar{V}_{i} \subset U_{i} \quad \forall i \in I.$ \end{Proposition} \begin{proof} Aufgrund der Normalit"at von $X$ besitzt jedes $x \in X$ eine offene Umgebung $W_{x},$ deren Abschlu"s in einem $U_{i}$ enthalten ist, sagen wir $\bar{W}_{x} \subset U_{i(x)}.$ Sei $\cal{W}$ eine lokal endliche offene Verfeinerung der offenen "Uberdeckung von $X$ durch die $W_{x}.$ So finden wir auch f"ur jedes $W \in \cal{W}$ ein $i = i (W)$ mit $\bar{W} \subset U_{i (W)}.$ Dann setzen wir $V_{j} = \bigcup_{i(W) =j} W$ und erhalten $\bar{V}_{j} \subset U_{j},$ da die Vereinigung einer lokal endlichen Familie abgeschlossener Mengen wieder abgeschlossen ist. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Teilung der Eins}] Ist $X$ eine glatte parakompakte Mannigfaltigkeit und $\cal{U}\subset \cal{P}(X)$ eine offene "Uberdeckung von $X,$ so gibt es eine durch $U\in \cal{U}$ indizierte Familie von glatten Funktionen $\al_{U} : X \ra [0,1]$ derart, da"s $\al_{U}$ jeweils Tr"ager in $U$ hat, da"s\index{Teilung der Eins}\label{TELn} jede Stelle $x\in X$ eine Umgebung besitzt, auf der nur endlich viele unserer Funktionen nicht verschwinden, und da"s an jeder Stelle $x\in X$ gilt $$\sum_{U\in \cal{U}} \al_{U} (x) =1$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkung}\label{Tieg} Sind etwa $A,B\As X$ disjunkt und abgeschlossen, so gibt es eine glatte Funktion $f:X\ra [0,1]$ mit $f|_A=1$ und $f|_B=0.$ In der Tat folgt das sofort, wenn man das Lemma auf die "Uberdeckung von $X$ durch die Komplemente unserer beiden abgeschlossenen Mengen anwendet. \end{Bemerkung} \begin{proof} K"onnen wir unseren Satz f"ur eine lokal endliche Verfeinerung unserer "Uberdeckung $\cal{U}$ zeigen, so folgt er m"uhelos f"ur $\cal{U}$ selber. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere "Uberdeckung lokal endlich ist und da"s die "uberdeckenden Mengen $U_i$ jeweils kompakten Abschlu"s haben, der dar"uber hinaus noch ganz im Bild einer Karte liegt. W"ahlen wir dann eine Schrumpfung $(V_i)$ unserer "Uberdeckung, so finden wir etwa nach \ref{TEL} angewandt auf den Fall der "Uberdeckung von $\bar{V}_i$ durch $U_i$ glatte Funktionen $\beta_i:U_i\ra [0,1]$ mit kompaktem Tr"ager, die auf $\bar{V}_i$ konstant Eins sind. Dehnen wir diese durch Null auf ganz $X$ aus und bilden ihre Summe $\beta,$ so erhalten wir eine glatte "uberall positive Funktion, und die $\alpha_i=\beta_i/\beta$ bilden die gesuchte Teilung der Eins. \end{proof} \begin{comment} \begin{Kommentar} Bredon behauptet in I.6 Sheaf Theory, da"s diese Proposition auch f"ur lokal endliche offene "Uberdeckungen normaler R"aume gilt. Da mag ein besserer Beweis herausspringen! \end{Kommentar} \end{comment} \subsection{Garben auf parakompakten R"aumen} \begin{Proposition}\label{AuW} Gegeben eine Garbe von Mengen auf einem parakompakten Raum l"a"st sich jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge auf eine offene Umgebung unserer abgeschlossenener Teilmenge fortsetzen. \end{Proposition} \begin{Bemerkung} In \ref{FSK} zeigen wir dieselbe Aussage f"ur kompakte relativ Hausdorff'sche Teilmengen beliebiger topologischer R"aume. Ein Gegenbeispiel f"ur eine nicht abgeschlossene Teilmenge liefert etwa die konstante Garbe $\DZ_X$ auf $X=\DR$ mit demjenigen Schnitt auf der Teilmenge $A=\{1/n\mid n=1,2,\ldots\},$ der am Punkt $1/n$ den Wert $(-1)^n$ annimmt. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser Raum, $A \As X$ unsere abgeschlossene Teilmenge und $\cal{F}$ unsere Garbe. Gegeben $s \in \cal{F}(A)$ finden wir wegen $A\As X$ eine offene "Uberdeckung $(U_{i})_{i\in I}$ von $X$ und Schnitte $s_{i} \in \cal{F} (U_{i})$ mit $s|{U_{i}\cap A} = s_{i}|{U_{i}\cap A} \; \forall i.$ Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir unsere "Uberdeckung lokal endlich annehmen. Nach \ref{SOUu} finden wir auch $V_{i} \co X$ mit $\bar{V}_{i}\subset U_{i} \quad \forall i$ und $X= \bigcup_{i\in I} V_{i}.$ Jetzt setzen wir $$W = \{x \in X \mid \text{Alle $s_i$ zu Indizes $i$ mit $x\in \bar{V}_{i}$ haben denselben Halm bei $x$}\}$$ Per definitionem gilt $A\subset W$ und $W$ ist offen. Da gilt $s_{i} | W \cap V_{i} \cap V_{j} = s_{j} | W \cap V_{i} \cap V_{j} \quad \forall i , j$ verkleben die Schnitte $s_{i} | W\cap V_{i}$ zu einem Schnitt $\tilde{s}$ auf $W,$ der $s$ fortsetzt. \end{proof} \begin{Definition} Eine Garbe hei"st \defnoind{weich}\index{weich!Garbe} (englisch \defind{soft}, franz"osisch \defind{mou}) genau dann, wenn sich jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{DFw} Jede welke Garbe auf einem parakompakten Raum ist weich nach \ref{AuW}. Die Garbe der $p$-Formen auf einer parakompakten Mannigfaltigkeit ist weich: Um das zu sehen, dehnt man einen Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge zun"achst mithilfe von \ref{AuW} auf eine offene Menge aus und biegt ihn dann in dieser offenen Menge mithilfe einer glatten Partition der Eins \ref{Tieg} herunter nach Null, so da"s man ihn weiter durch Null ausdehnen kann zu einem globalen Schnitt. Man beachte hierbei, da"s ein Schnitt der Garbe der glatten Funktionen auf einer abgeschlossenen Teilmenge einer glatten Mannigfaltigkeit keineswegs eine Funktion auf dieser abgeschlossenen Teilmenge ist: An den Randpunkten zeichnet ein Schnitt dieser Garbe vielmehr einen ganzen Funktionskeim auf einer offenen Umgebung des besagten Punktes in der urspr"unglichen Mannigfaltigkeit aus und keineswegs nur einen Funktionswert. \end{Beispiele} \begin{Ubung}\label{cw} Die Garbe der stetigen Funktionen auf einem parakompakten Raum mit Werten in einem endlichdimensionalen reellen Vektorraum ist weich. Hinweis: Tietzes Erweiterungslemma \ref{TELe} und Normalit"at \ref{PKN}. \end{Ubung} \begin{Satz}\label{waz} Auf parakompakten R"aumen sind alle weichen abelschen Garben azyklisch. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt genau wie bei den welken Garben \ref{WeAZ} aus dem anschlie"senden Lemma. \end{proof} \begin{Lemma}\label{wei} Sei $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime} $ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem parakompakten topologischen Raum $X.$ \begin{enumerate} \item Ist $\cal{F}^{\prime}$ weich, so induziert der Epimorphismus $\cal{F}\sra\cal{F}\grqq\ $ eine Surjektion $\Gamma \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ auf den globalen Schnitten. \item Sind $\cal{F}^{\prime}$ und $\cal{F}$ weich, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ weich. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Sei $s^{\prime\prime}\in \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ gegeben. Es gibt eine lokal endliche offene "Uberdeckung $(U_{i})_{i \in I}$ unseres Raums und $s_{i} \in \cal{F} (U_{i})$ mit $s_{i} \mapsto s^{\prime\prime}|{U_{i}} \; \forall i.$ Nach \ref{SOUu} finden wir eine weitere offene "Uberdeckung $(V_{i})_{i\in I}$ mit $\bar{V}_{i} \subset U_{i} \; \forall i.$ F"ur $J \subset I$ setzen wir $\bar{V}_{J} = \bigcup_{i \in J} \bar{V}_{i}.$ Nun betrachten wir die Menge aller Paare $(s_{J},J)$ mit $J\subset I$ und $s_{J}$ einem Schnitt von $\cal{F}$ "uber $\bar{V}_{J},$ der auf $s^{\prime\prime} |{\bar{V}_{J}}$ geht. Auf dieser Menge erkl"aren wir ein partielle Ordnung durch die Vorschrift $(s_{K},K) \leq (s_{J},J) \Leftrightarrow( K \subset J$ und $s_{K}=s_{J}|\bar{V}_{K}).$ Nach \ref{LAS} ist unsere Menge induktiv geordnet und besitzt folglich ein maximales Element. Sei $(s_{J},J)$ solch ein maximales Element. W"are $J\neq I,$ so g"abe es $i \in I - J.$ Hier unterscheiden sich $s_{i}$ und $s_{J}$ auf $\bar{V}_{i}\cap \bar{V}_{J}$ nur um einen Schnitt $s^{\prime}_{i}$ in $\cal{F}^{\prime},$ der sich nach Annahme auf ganz $\bar{V}_{i}$ ausdehnen l"a"st. Also verkleben $s_{i}-s_{i}^{\prime}$ und $s_{J}$ auf $\bar{V}_{i} \cup \bar{V}_{J}$ zu einem Urbild von $s^{\prime\prime}$ im Widerspruch zur Maximalit"at von $(s_{J},J).$ Damit ist in der Tat $\Gamma \cal{F} \ra \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion. \\[2mm]\noindent 2. Das folgt sofort aus Teil 1, da jede abgeschlossene Teilmenge eines parakompakten Raums parakompakt ist und da die Einschr"ankung einer weichen Garbe auf eine abgeschlossene Teilmenge stets eine weiche Garbe bleibt. \end{proof} \begin{Bemerkung} Denjenigen Lesern, die bereits mit der Definition der de-Rham-Kohomologie vertraut sind, k"onnen wir nun zeigen, wie sie mit der allgemeinen Garbenkohomologie zusammenh"angt. \end{Bemerkung} \begin{Korollar}[\textbf{de-Rham-Kohomologie als Garbenkohomologie}] Auf jeder parakompakten glatten Mannigfaltigkeit\label{dRGK} $X$ stimmt die de-Rham-Koho\-mologie "uberein mit der Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DR_X.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren im folgenden sogar einen ausgezeichneten Isomorphismus zwischen den fraglichen Kohomologiegruppen. Der de-Rham-Kom\-plex ist ja der Komplex $(\Omega^\ast(X),d)$ der Differentialformen auf $X$ mit der "au"seren Ableitung als Differential, und die de-Rham-Kohomologie ist per definitionem seine Kohomologie ${\op{H}}^q(X)_{\op{dR}}=\cal{H}^q\Omega^\ast(X).$ Nun k"onnen wir $p$-Formen auch auffassen als globale Schnitte der Garbe der $p$-Formen, $\Omega^p(X)=\Gamma\Omega^p_X,$ und diese Garben bilden mit der "au"seren Ableitung als Differential nach dem Poincar\'e-Lemma \ref{??} eine Aufl"osung der konstanten Garbe $$\DR_X\hra \Omega_X^\ast$$ Die Garben der Differentialformen sind nun aber weich nach \ref{DFw} und damit azyklisch nach \ref{waz}. Also berechnet unser Komplex nach \ref{AZA} die Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DR_X,$ als da hei"st, die kanonischen Abbildungen aus \ref{DKM} sind Isomorphismen \begin{equation*} {\op{H}}^q(X)_{\op{dR}}=\cal{H}^q\Gamma\Omega^\ast_X\sira {\op{H}}^q(X;\DR_X)_{\op{garb}} \qedhere\end{equation*} \end{proof} \begin{Ubung} F"ur jede glatte Abbildung von glatten Mannigfaltigkeiten induziert das Zur"uckholen von Differentialformen Homomorphismen zwischen den de-Rham-Koho\-mologien. Man zeige, da"s sie unter unserer Identifikation mit der Garbenkohomologie dem Zur"uckholen aus \ref{ZuGK} entsprechen. Hinweis: \ref{Fazy}. \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Die Exponentialsequenz aus \ref{ExpS} liefert eine weiche und mithin azyklische Aufl"osung der konstanten Garbe $\DZ$ auf jedem reellen Intervall. Es folgt, da"s ein reelles Intervall keine h"ohere Garbenkohomologie mit Koeffizienten in $\DZ$ besitzt. Allgemeinere Resultate in dieser Richtung werden wir mit elementareren Methoden in \ref{KGIn} herleiten. \end{Bemerkung} \subsection{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie} \begin{Bemerkungl}\label{KKaa} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und $q\geq 0$ betrachten wir die \defind{Pr"agarbe der singul"aren $q$-Koketten}, die jeder offenen Menge $U\co X$ die Gruppe $\op{S}\!^q (U)$ der singul"aren $q$-Koketten auf $U$ zuordnet. Die Garbifizierung dieser Pr"agarbe bezeichnen wir mit $\cal{S}^q_X$ und nennen sie die \defind{Garbe der lokalen singul"aren $q$-Koketten}. F"ur offene Teilmengen $U\co X$ haben wir sicher $\cal{S}^q_X|_U=\cal{S}^q_U,$ aber f"ur allgemeinere Teilmengen ist das im allgemeinen nicht mehr richtig. Die "ublichen Korandabbildungen auf den Koketten induzieren Korandabbildungen $\cal{S}^q_X\ra \cal{S}^{q+1}_X.$ Auf diese Weise wird $\cal{S}^\ast_X$ ein Komplex von Garben und die Kettenabbildung $\op{S}\!^\ast X\ra \Gamma \cal{S}^{\ast}_X$ liefert eine Abbildung $$\op{can}:\op{H}^q_{\op{sing}} X\ra \cal{H}^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KKAB} Ist $X$ lokal zusammenziehbar, so wird der Komplex der lokalen singul"aren Koketten nach der Augmentierung zu $\DZ_X\hra \cal{S}^\ast_X$ exakt: Das mu"s ja nur auf dem Halm an jeder Stelle $x\in X$ gezeigt werden, und dort hat unser Komplex die Gestalt $\DZ\hra \varinjlim_{U}\op{S}\!^\ast(U),$ wobei es nach \ref{KFin} nicht darauf ankommt, ob wir den direkten Limes "uber alle offenen Umgebungen von $x,$ "uber alle Umgebungen von $x,$ oder "uber alle zusammenziehbaren Umgebungen von $x$ bilden. Dann folgt aber die behauptet Exaktheit aus der Exaktheit von direkten Limites \ref{EDL}. Wir erhalten so mithilfe von \ref{KaMo}.\ref{GKIA2} f"ur jeden lokal zusammenziehbaren Raum Abbildungen $$\op{can}:\cal{H}^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X\ra \op{H}^q(X;\DZ_X)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}] F"ur jeden parakompakten\label{SiKo} lokal zusammenziehbaren Raum $X$ stimmt die singul"are Kohomologie "uberein mit der Garbenkohomologie der konstanten Garbe $\DZ_X$. Genauer liefern die in \ref{KKaa} und \ref{KKAB} konstruierten Abbildungen Isomorphismen $$\op{H}^q_{\op{sing}} X\sira \cal{H}^q\Gamma \cal{S}^{\ast}_X\sira \op{H}^q(X;\DZ_X)=\op{H}^q_{\op{garb}}X$$ und unter diesen Isomorphismen entspricht das Zur"uckholen auf der singul"aren Kohomologie im Sinne von \ref{RzS} dem Zur"uckholen auf der Garbenkohomologie im Sinne von \ref{ZuGK}. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur $X$ parakompakt sind die Garben $\cal{S}^q_X$ weich nach dem anschlie"senden Lemma \ref{www} und damit azyklisch nach \ref{waz}. Nach \ref{AZA} ist folglich die zweite Abbildung in obiger Sequenz ein Isomorphismus. Immer unter der Voraussetzung $X$ parakompakt zeigen wir dann in Lemma \ref{hs}, da"s auch die erste Abbildung ein Isomorphismus ist. Damit folgt der im ersten Teil des Satzes behauptete Isomorphismus zwischen der singul"aren Kohomologie und der Garbenkohomologie. Um die im zweiten Teil des Satzes behauptete Funktorialit"at dieses Isomorphismus zu zeigen, betrachten wir eine stetige Abbildung von topologischen R"aumen $f:X\ra Y.$ Die Verkn"upfungen ${\op{S}}^q (V)\ra {\op{S}}^q (f^{-1}(V))\ra \cal{S}^q_X(f^{-1}(V))$ induzieren vermittels der universellen Eigenschaft der Garbifizierung Garbenhomomorphismen $\cal{S}^q_Y\ra f_\circ\cal{S}^q_X$ und mithilfe unserer Adjunktion \ref{AdIn} Garbenhomomorphismen $f^\circ\cal{S}^q_Y\ra \cal{S}^q_X.$ Diese definieren einen Morphismus von Komplexen von Garben $\tau: f^\circ\cal{S}^\ast_Y\ra \cal{S}^\ast_X,$ und dieser bzw. dessen Effekt auf globalen Schnitten kann hinwiederum eingef"ugt werden in kommutative Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{S}}^\ast X \ar[r] &\Gamma \mathcal S^\ast_X &\mathbb Z_X \ar[r] &\mathcal S^\ast_X\\ & \Gamma f^\circ \mathcal S^\ast_Y \ar[u]_{\Gamma \tau} &f^\circ \mathbb Z_Y \ar[r] \ar[u]^\wr&f^\circ \mathcal S^\ast_Y\ar[u]_{\tau}\\ {\op{S}}^\ast Y\ar[uu]^{f^{\ast}} \ar[r] &\Gamma \mathcal S^\ast_Y \ar[u] & &\\ } \end{displaymath} Wenden wir hier auf das linke Diagramm $\mathcal{H}^q$ an, so erhalten wir die linke H"alfte eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^q_{\op{sing}} X \ar[r] &\mathcal{H}^q \Gamma \mathcal S_X^\ast \ar[r] &{\op{H}}^q_{\op{garb}} X\\ & \mathcal{H}^q \Gamma f^\circ \mathcal S_Y^\ast \ar[r]\ar[u] & {\op{H}}^q_{\op{garb}} X\ar@{=}[u]\\ {\op{H}}^q_{\op{sing}} Y \ar[uu]^{f^\ast} \ar[r] & \mathcal H^q \Gamma \mathcal S^\ast_Y \ar[u] \ar[r]& {\op{H}}^q_{\op{garb}}Y\ar[u]^{f^{\ast}} } \end{displaymath} In der rechten H"alfte sind die Horizontalen im Sinne von \ref{DKM} zu verstehen und die Kommutativit"at des unteren Quadrats folgt aus \ref{Fazy}, die des oberen mithilfe unseres rechten Quadrats von weiter oben aus \ref{NAZ}. \end{proof} \begin{Bemerkung} Dieselbe Aussage gilt mit demselben Beweis auch allgemeiner f"ur Kohomologie mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. Eine Version f"ur Kohomologie mit kompaktem Tr"ager zeigen wir als \ref{KTrr}. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{www} Auf jedem parakompakten Raum sind die Garben der lokalen singul"aren Koketten weich. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Sind alle offenen Teilmengen unseres Raums parakompakt, so sind die Garben der lokalen singul"aren Koketten nach \ref{PKs} sogar welk. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser Raum. Einen Schnitt der Garbe der lokalen singul"aren Koketten "uber einer abgeschlossenen Menge $A\As X$ k"onnen wir zun"achst nach \ref{AuW} ausdehnen zu einem Schnitt $s$ auf einer offenen Umgebung $U\co X$ von $A.$ Da $X$ nach \ref{PKN} normal ist, finden wir $V\co X$ mit $A\subset V\subset\bar{V}\subset U.$ Jetzt konstruieren wir einen Endomorphismus der Pr"agarbe der singul"aren Koketten auf $U,$ indem wir einem Schnitt, d.h.\ einer Funktion auf den Simplizes diejenige neue Funktion zuordnen, die dasselbe macht mit allen Simplizes aus $V$ und Null aus allen Simplizes, die nicht ganz in $V$ liegen. Lassen wir den auf der Garbifizierung induzierten Endomorphismus auf unsere Ausdehnung $s$ los, so erhalten wir eine Ausdehnung $\tilde{s},$ die auf $U\setminus \bar{V}$ verschwindet. Damit k"onnen wir unsere abge"anderte Ausdehnung $\tilde{s}$ dann aber durch Null fortsetzen auf ganz $X.$ \end{proof} \begin{Definition} Wir sagen, eine Pr"agarbe $\cal{F}$ auf einem Raum $X$ \defind{erlaubt das Verkleben von Schnitten} genau dann, wenn gegeben ein System $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ von offenen Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $V = \bigcup_{U\in \cal{U}}U$ und gegeben f"ur alle $U \in \cal{U}$ Schnitte $s_{U} \in \cal{F}(U)$ mit $$s_{U}|_{ U \cap W} = s_{W}|_{U \cap W} \quad \forall\; U,W \in \cal{U}$$ es stets einen Schnitt auf der Vereinigung $s \in \cal{F}(V)$ gibt mit $s|_U = s_{U} $ f"ur alle $U \in \cal{U}.$ \end{Definition} \begin{Proposition} Erlaubt eine Pr"agarbe $\cal{F}$ auf einem parakompakten Raum das Verkleben von Schnitten\label{KlS} und gilt $|\cal{F} (\emptyset)|=1$, so gehen die globalen Schnitte unserer Pr"agarbe surjektiv auf die globalen Schnitte ihrer Garbifizierung, in Formeln $$\Gamma \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma \cal{F}^{+}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $s \in \Gamma \cal{F}^{+}$ ein globaler Schnitt der Garbifizierung. Sicher finden wir eine lokal endliche "Uberdeckung $X = \bigcup_{i \in I} U_{i}$ und $\tilde{s}_{i} \in \cal{F}(U_{i})$ mit $\tilde{s}_{i} \mapsto s|U_{i}$ f"ur alle $i \in I$. Sei $V_{i}$ eine Schrumpfung dieser "Uberdeckung nach \ref{SOUu}. F"ur jedes $x \in X$ finden wir nun eine offene Umgebung $W(x)$ mit $x \in U_{i} \Rightarrow W(x) \subset U_{i}$ und $x \not\in \bar{V}_{i} \Rightarrow W(x) \cap V_{i} = \emptyset$ und so, da"s f"ur alle $i$ mit $x \in U_{i}$ die $\tilde{s}_{i}$ zu demselben Schnitt $\tilde{s}_{(x)} \in \cal{F} (W (x))$ einschr"anken. Dann folgt aus $W(x) \cap W(y) \neq\emptyset$ bereits, da"s es einen Index $i$ gibt mit $W(x), W(y) \subset U_{i}$, zum Beispiel tut es jeder Index $i$ mit $W(x) \cap W(y)\cap V_{i}\neq\emptyset,$ denn f"ur solch einen Index gilt notwendig $x,y \in \bar{V}_{i} \subset U_{i}$. Also verkleben die $\tilde{s}_{(x)}$ zum gesuchten globalen Schnitt $\tilde{s} \in \Gamma \cal{F}$ mit $\tilde{s} \mapsto s$. \end{proof} \begin{Korollar}\label{PKs} F"ur jeden parakompakten Raum $X$ liefern die kanonischen Abbildungen Surjektionen ${\op{S}}^{q} X \twoheadrightarrow \Gamma \cal{S}_{X}^{q}.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Offensichtlich erlaubt f"ur jedes $q\geq 0$ die Pr"agarbe $U\mapsto {\op{S}}^q(U)$ das Verkleben von Schnitten. Das Korollar folgt damit aus \ref{KlS}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{hs} F"ur jeden parakompakten Raum $X$ liefern die kanonischen Abbildungen Isomorphismen $$\op{H}^{q}_{\op{sing}}X \overset{\sim}{\ra} \cal{H}^{q} \Gamma \cal{S}_{X}^{\ast}$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Wir vervollst"andigen unsere Surjektionen aus \ref{KlS} zu einer kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen $$K^{\ast} \hookrightarrow \op{S}\!^{\ast} X \twoheadrightarrow \Gamma \cal{S}^{\ast}_{X}$$ Mit der langen exakten Homologiesequenz reicht es zu zeigen, da"s $K^{\ast}$ azyklisch ist. Aber liegt ein Kozykel $s \in \op{S}\!^{\ast} X$ im Kern der Surjektion, so gibt es eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ derart, da"s $s$ verschwindet auf den $\cal{U}$-feinen Ketten, so da"s $s$ schon im Kern $K^{\ast}_{\cal{U}}$ der Surjektion $\op{S}\!^{\ast}X \twoheadrightarrow S^{\ast}_{\cal{U}} X$ liegt. Diese Surjektion induziert aber Isomorphismen auf der Kohomologie nach \ref{FKHh}, folglich ist ihr Kern azyklisch, folglich gibt es sogar $r \in K^{\ast}_{\cal{U}}$ mit $\partial r = s,$ folglich ist unser Kozykel $s$ ein Korand. \end{proof} \subsection{Der Satz von de Rham, noch sortieren} \begin{Proposition}[\textbf{Homologie mit glatten Ketten}] F"ur jede glatte Mannigfaltigkeit $X$ ist die Einbettung der glatten Ketten\label{HDKen} in die singul"aren Ketten $\cal{C}^{\infty} \op{S}\!X \hookrightarrow \op{S}\!X$ eine Homotopie"aquivalenz. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{HKH} reicht es zu zeigen, da"s unsere Einbettungen Isomorphismen auf der Homologie der besagten Komplexe induzieren. Weiter d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X$ parakompakt annehmen, indem wir sonst beide Seiten als direkten Limes "uber offene parakompakte Teilmengen schreiben und die Exaktheit des direkten Limes verwenden. Jetzt w"ahlen wir irgendeine abelsche Gruppe $G,$ wenden $\op{Hom} (\;,G)$ an auf die Einbettung in der Proposition und erhalten Komplexe von Koketten $\cal{C}^{\infty}\op{S}\!^{\ast} (X;G) \twoheadleftarrow \op{S}\!^{\ast}(X;G).$ Diese Komplexe induzieren ihrerseits Komplexe von Pr"agarben auf $X,$ die wir vergarben zu einer Surjektion von Komplexen von Garben $$\cal{C}^{\infty}\cal{S}^{\ast}_{X,G}\twoheadleftarrow \cal{S}^{\ast}_{X,G}$$ Wir behaupten nun, da"s im kommutativen Diagramm von Kettenabbildungen $$\begin{array}{ccc} \cal{C}^{\infty}\op{S}\!^{\ast} (X;G)& \twoheadleftarrow & \op{S}\!^{\ast} (X;G)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \Gamma \cal{C}^{\infty} \cal{S}^{\ast}_{X,G} & \leftarrow & \Gamma \cal{S}^{\ast}_{X,G} \end{array}$$ alle Abbildungen Isomorphismen auf der Kohomologie induzieren. F"ur die rechte Vertikale folgt das aus \ref{SiKo}, f"ur die linke, indem man die dort gegebenen Argumente wiederholt. F"ur die untere Horizontale folgt es, da $\cal{C}^{\infty}\cal{S}^{\ast}_{X,G}$ und $\cal{S}^{\ast}_{X,G}$ beide azyklische Aufl"osungen der konstanten Garbe $G_{X}$ sind. \emph{(Ersteres mu"s noch erl"autert werden!)} Die Aussage f"ur die obere Horizontale ergibt sich als Konsequenz. Betrachten wir nun den Kokern $K_{\ast} = \op{cok}(\cal{C}^{\infty}\op{S}\!X \hookrightarrow \op{S}\!X),$ so folgt, da"s $\op{Hom} (K_{\ast}, G)$ azyklisch ist f"ur alle $G.$ Dann mu"s aber nach dem universellen Koeffiziententheorem der Komplex $K_{\ast}$ von freien abelschen Gruppen schon selbst azyklisch gewesen sein. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{von de Rham}]\label{sDRn} Gegeben eine parakompakte glatte Mannigfaltigkeit ohne Rand $X$ induziert das Integrieren von glatten $q$-Formen "uber glatte $q$-Ketten $\op{int}:\Omega^{\ast}X \ra \op{Hom}(\cal{C}^{\infty} \op{S}\!X , \Bbb{R})$ Isomorphismen auf der Kohomologie. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] H"angen wir noch die Abbildung $\cal{C}^{\infty} \op{S}\!^\ast (X ; \Bbb{R})\ra \Gamma \cal{C}^{\infty} \cal{S}^\ast (X ; \Bbb{R})$ dahinter, so ist die Verkn"upfung der Effekt auf den globalen Schnitten von einem Morphismus zwischen zwei azyklischen Aufl"osungen $\DR_X\hra \Omega_X^\ast$ und $\DR_X\hra \cal{C}^{\infty} \cal{S}^\ast (X ; \Bbb{R})$ der konstanten Garbe $\DR_X$ und induziert folglich Isomorphismen auf der Kohomologie. Andererseits induziert auch die zus"atzlich angeh"angte Abbildung Isomorphismen auf der Kohomologie, wie wir bereits im vorhergehenden Beweis erw"ahnt haben. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Der $q$-te Standardsimplex $\Delta_q$ ist offensichtlich eine halboffene Teilmenge der durch die Gleichung $\sum x_i=1$ definierten affinen Hyperebene von $\DR^{q+1}.$ Gegeben eine glatte Untermannigfaltigkeit eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums oder allgemeiner auch glatte abstrakte Mannigfaltigkeit $X$ nennen wir die glatten Abbildungen $\Delta_{q} \ra X$ auch \defind{glatte $q$-Simplizes}, bilden die Gruppe der \defind{glatten $q$-Ketten} $\cal{C}^{\infty}{\op{S}}_{q}X$ als die freie abelsche Gruppe "uber den glatten $q$-Simplizes und erhalten auf diese Weise einen Unterkomplex $\cal{C}^{\infty}{\op{S}} X \subset {\op{S}}X$ im Komplex der singul"aren Ketten von $X.$ \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Homologie mit glatten Ketten}] F"ur jede glatte Mannigfaltigkeit\label{HDKe} $X$ ist die Einbettung ihrer glatten Ketten in ihre singul"aren Ketten eine Homotopie"aquivalenz $\cal{C}^{\infty} {\op{S}}X \hri {\op{S}}X$. \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Wir werden das als \ref{HDKen} beweisen. Man k"onnte auch "ahnlich wie beim Beweis von \ref{APD} einen elementaren Beweis zusammenst"uckeln, aber das w"are kontraproduktiv, denn ich will ja gerade zeigen, wie die Garbentheorie derartige Konstruktionen in angenehmer Verpackung gebrauchsfertig bereitstellt. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkungl} Der $q$-te Standardsimplex $\Delta_q$ ist in der affinen Hyperebene von $\DR^{q+1},$ die durch die Gleichung $\sum x_i=1$ definiert wird, eine kompakte Untermannigfaltigkeit mit Ecken \ref{MFE}. Wir versehen unsere Hyperebene mit der Orientierung, die sie als Rand der berandeten Untermannigfaltigkeit, die durch die Gleichung $\sum x_i\leq 1$ definiert wird, von der Standardorientierung des $\DR^{q+1}$ erbt, und bezeichnen die induzierte Orientierung auf dem regul"aren Teil von $\Delta_q$ als die {\bf Standardorientierung des Standardsimplex}.\index{Standardorientierung!des Standardsimplex} Ist dann $X$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums oder allgemeiner eine glatte abstrakte Mannigfaltigkeit und $\omega$ eine stetige $q$-Form auf $X$ und $\sigma :\Delta_q \rightarrow X$ ein glatter $q$-Simplex, so setzen wir \begin{eqnarray*} \int_\sigma \omega &=& \int_{\vec{\Delta}_{q}} \sigma^\ast \omega \end{eqnarray*} und ignorieren in unserer Notation, da"s wir eigentlich das Integral "uber den regul"aren Teil des Simplex $\Delta_q$ meinen, da nur dieser eine berandete Untermannigfaltigkeit ist und damit in den Rahmen f"allt, in dem wir das Integral erkl"art hatten. Diese Abbildung setzt sich linear fort und liefert einen Homomorphismus von abelschen Gruppen \begin{equation*} \op{int} : \Omega^q X \rightarrow \op{Hom} (\mathcal{C}^\infty {\op{S}}_q X, \Bbb{R}) \end{equation*} und der Satz von Stokes mit Ecken \ref{ASIE} zeigt, da"s die Familie dieser Homomorphismen f"ur $q\in\DZ$ eine Kettenabbildung ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{von de Rham}]\label{sDR} Sei $X$ eine offene Teilmenge eines endlichdimensionalen reellen Raums oder allgemeiner eine parakompakte glatte Mannigfaltigkeit. Sei $\Omega^{q}X$ der $\Bbb{R}$-Vektorraum der glatten $q$-Formen auf $X$ und $\Omega^{\ast}X$ der Komplex dieser Vektorr"aume mit der "au"seren Ableitung als Differential. So induziert das Integrieren von $q$-Formen "uber $q$-Ketten $\op{int}:\Omega^{\ast}X \ra \op{Hom}(\cal{C}^{\infty} {\op{S}}X , \Bbb{R})$ Isomorphismen auf der Kohomologie. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir zeigen diesen Satz als \ref{sDRn}. Der Komplex $\Omega^{\ast}X$ hei"st der \defind{de-Rham-Komplex} der Mannigfaltigkeit $X.$ Seine Kohomologie hei"st die \defind{de-Rham-Kohomologie} von $X$ und wird notiert als $$\op{H}^i_{\op{dR}}(X)=\cal{H}^i (\Omega^{\ast}X)$$ Zusammen mit \ref{HDKe} liefert unser Satz einen Isomorphismus zwischen der de-Rham-Kohomologie und der singul"aren Kohomologie mit reellen Koeffizienten einer glatten parakompakten Mannigfaltigkeit $$\op{H}^i(X)_{\op{dR}}\sira \op{H}^i(X;\DR)_{\op{sing}}$$ In der Tat liefert \ref{sDR} einen Isomorphismus der linken Seite und \ref{HDKe} einen Isomorphismus der rechten Seite mit der Kohomologie des Komplexes der glatten singul"aren Koketten $\cal{H}^i\op{Hom}(\cal{C}^{\infty} {\op{S}}X , \Bbb{R}).$ \end{Bemerkung} \subsection{Angeordnete \v{C}ech-Kohomologie} \begin{Bemerkungl} Will man Garbenkohomologie explizit berechnen, ist der \defnoind{angeordnete \v{C}ech-Komplex}\index{angeordneter \v{C}ech-Komplex} ein sehr n"utzliches Hilfsmittel. Man w"ahlt dazu auf einer offenen "Uberdeckung $\cal{U}$ eine totale Ordnung $\leq$ und arbeitet mit den \defnoind{angeordneten \v{C}ech-Koketten}\index{angeordneter \v{C}ech-Koketten} $$\check{\op{C}}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F})= \prod_{U_{0}<\ldots 0$ $$\op{H}^q(U_{0}\cap \ldots \cap U_{\nu};\cal{F} )=0$$ so sagen wir, die Garbe $\cal F$ sei \defnoind{azyklisch f"ur die "Uberdeckung $\cal U$}\index{azyklisch f"ur die "Uberdeckung} oder auch, die "Uberdeckung sei azyklisch f"ur die Garbe. \end{Definition} \begin{Theorem}[\defind{Berechnung der Kohomologie nach \v{C}ech}]\label{BKCe} Sei $X$ ein topologischer Raum, $\cal F$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $(\cal U,\leq)$ eine angeordnete offene "Uberdeckung von $X.$ Ist die Garbe $\cal F$ azyklisch f"ur die "Uberdeckung $\cal U,$ so berechnet der Komplex der angeordneten \v{C}ech-Koketten schon ihre Kohomologie, in Formeln $$\check{{\op{H}}}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F}) \cong {{\op{H}}}^{q}(X;\cal{F})$$ \end{Theorem} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAgCK}\\ \noindent Eine f"ur die konstante Garbe auf der Acht azyklische offene "Uberdeckung durch drei offene Teilmengen mit ihrem angeordneten \v{C}ech-Komplex \end{figure} \begin{Bemerkung} Der Satz gilt mit einem entsprechend vereinfachten Beweis ganz genauso f"ur unseren Komplex von \v{C}ech-Koketten \glqq ohne Anordnung\grqq\ aus \ref{CKo}. Wir f"uhren hier den etwas komplizierteren Beweis der angeordneten Version durch, da diese Version expliziten Rechnungen besser zug"anglich ist. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit dem Spezialfall einer Wolkenkratzergarbe. \begin{Lemma}\label{HCW} Die h"oheren angeordneten \v{C}ech-Kohomologiegruppen eines Wolkenkratzers verschwinden, in Formeln $$\check{{\op{H}}}^{q}_{\leq} (\cal{U};M_{(x)})=0 \text{ f"ur } q >0$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal bemerken wir, da"s die fragliche Kohomologie nicht von der gew"ahlten Anordnung abh"angt. In der Tat, ist eine zweite Anordnung $\preceq$ gegeben, so erhalten wir einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $a: \check{\op{C}}^{\ast}_{\leq} (\cal{U};\cal{F}) \overset{\sim}{\ra} \check{\op{C}}^{\ast}_{\preceq} (\cal{U};\cal{F})$ durch die Vorschrift $$(a\psi) (U_{0}, \ldots , U_{q})= \op{sgn}(\sigma) \psi (U_{\sigma(0)}, \ldots , U_{\sigma (q)})$$ wo $\sigma \in \cal{S}_{q}$ die Permutation ist mit $U_{\sigma (0)} < \ldots < U_{\sigma (q)}.$ Nun w"ahlen wir $U \in \cal{U}$ mit $x \in U$ und d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s $U$ das kleinste Element von $\cal{U}$ ist. Dann definieren wir $$\delta : \check{\op{C}}_{\leq}^{q+1} (\cal{U}; M_{(x)}) \ra \check{\op{C}}^{q}_{\leq} (\cal{U}; M_{(x)})$$ durch die Vorschrift $$(\delta \psi)(U_{0}, \ldots, U_{q}) =\left\{ \begin{array}{cc} \psi (U,U_{0}, \ldots , U_{q})& U \neq U_{0};\\ 0 & U=U_{0}. \end{array} \right.$$ Wieder zeigt eine explizite Rechnung $d \delta + \delta d = \op{id}$ auf $\check{\op{C}}^{q}_{\leq}$ f"ur $q > 0,$ mithin ist der Komplex azyklisch f"ur $q > 0.$ \end{proof}\noindent Wir konstruieren nun Homomorphismen $\check{{\op{H}}}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F})\ra {{\op{H}}}^{q}(X;\cal{F})$ wie folgt: Wir betrachten die \glqq waagerecht gedachte\grqq\ Godement-Aufl"osung von $\cal F$ und bilden einen Doppelkomplex von abelschen Gruppen, indem wir an jeder Stelle \glqq in senkrechter Richtung\grqq\ den angeordneten \v{C}ech-Komplex nehmen. In Kurzschreibweise betrachten wir also den Doppelkomplex $$\check{\op{C}}_{\leq}^{q} (\cal{U}; \cal{G}^p\cal{F})$$ Da die Garben der Godement-Aufl"osung Produkte von Wolkenkratzern sind, hat nach \ref{HCW} unser Doppelkomplex exakte Spalten oberhalb der Zeile $q=0$ und der waagerechte Kernkomplex ist offensichtlich $\Gamma \cal{G}^p\cal{F}.$ Also ist die Kohomologie des Totalkomplexes dieselbe wie die des waagerechten Kernkomplexes und berechnet mithin die Garbenkohomologie von $\cal{F}.$ Andererseits ist aber der senkrechte Kernkomplex genau der angeordnete \v{C}ech-Komplex von $\cal F$ und so erhalten wir die gesuchten kanonischen Homomorphismen $$\check{{\op{H}}}^{q}_{\leq} (\cal{U};\cal{F})\ra {{\op{H}}}^{q}(X;\cal{F})$$ Ist schlie"slich $\cal F$ azyklisch f"ur $\cal U,$ so hat unser Doppelkomplex exakte Zeilen au"serhalb der Vertikalen $p=0$ und der senkrechte Kernkomplex berechnet auch die Kohomologie des Totalkomplexes. \end{proof} \subsection{Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} \begin{Definition} Gegeben ein Schnitt $s \in \cal{F} (A)$ einer abelschen Garbe $\cal F$ "uber einer Teilmenge $A\subset X$ eines topologischen Raums $X$ definieren wir den \defind{Tr"ager von $s$} (englisch und franz"osisch \defind{support}) als die Menge $$\op{supp} s = \{x \in A \mid s_{x} \neq 0\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s f"ur eine abelsche Garbe ein globaler Schnitt mit Tr"ager in einer Teilmenge $A$ etwas v"ollig anderes ist als ein Schnitt "uber $A$ alias ein globaler Schnitt der Einschr"ankung unserer Garbe auf die Teilmenge $A.$ Wir haben zwar eine Einbettung von ersterer Gruppe in letztere Gruppe, diese ist jedoch im Allgemeinen kein Isomorphismus. Die konstante Garbe $\cal{F}=\DZ_X$ auf $X=\DR$ etwa besitzt keinen von Null verschiedenen Schnitt mit Tr"ager im Ursprung. Zur "Ubung mag der Leser zeigen, da"s der Tr"ager eines globalen Schnitts stets abgeschlossen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{BKT} Gegeben eine abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem topologischen Raum $X$ definieren wir die Gruppe der \defnoind{Schnitte von $\cal{F}$ mit kompaktem Tr"ager}\index{Schnitt!mit kompaktem Tr"ager} durch die Vorschrift $$\Gamma_{!} \cal{F} = \Gamma_{!} (X;\cal{F}) = \{s \in \Gamma \cal{F} \mid (\op{supp} s) \text{ ist kompakt} \}$$ In der Literatur ist die Notation $\Gamma_{c} \cal{F} = \Gamma_{c} (X;\cal{F})$ "ublich. Ist $A \subset X$ eine Teilmenge, so verwenden wir die Abk"urzung $\Gamma_{!} (A;\cal{F}|_A)= \Gamma_{!} (A;\cal{F}).$ \end{Definition} \begin{Definition} Die \defnoind{$q$-te Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} \index{Kohomologie!mit kompaktem Tr"ager} eines Raums $X$ mit Koeffizienten in einer abelschen Garbe $\cal{F}$ ist die $q$-te Kohomologiegruppe des Komplexes der Schnitte mit kompaktem Tr"ager der Godement-Aufl"osung, in Formeln $${\op{H}}^{q}_{!}\cal{F} = {\op{H}}^{q}_{!} (X;\cal{F}) = \cal{H}^{q}\Gamma_{!}\cal{G}^{\ast}\cal{F}$$ In der Literatur ist die Notation ${\op{H}}^{q}_{c}\cal{F} = {\op{H}}^{q}_{c} (X;\cal{F})$ "ublich. Ist $A \subset X$ eine Teilmenge, so k"urzen wir ${\op{H}}^{q}_{!} (A;\cal{F}|_A)= {\op{H}}^{q}_{!} (A;\cal{F})$ ab. Die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager der konstanten Garbe $G_X$ hei"st die {\bf garbentheoretische Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} unseres Raums $X$ mit Koeffizienten in der abelschen Gruppe $G$, wir notieren sie $${\op{H}}^{q}_{!} (X;G_X) ={\op{H}}^{q}_{!} (X;G)_{\op{garb}} ={\op{H}}^{q}_{!} (X;G)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}\label{kHo} Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf einem Raum $X$ liefern die Einbettungen $\Gamma_! \mathcal G^\ast \mathcal F \hookrightarrow \Gamma \mathcal G^\ast \mathcal F$ kanonische Abbildungen $ {\op{H}}^q_! (X;\mathcal F) \rightarrow {\op{H}}^q (X;\mathcal F). $ die f"ur kompaktes $X$ Isomorphismen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung} F"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ liefert das \glqq Ausdehnen eines Schnittes durch Null\grqq\ eine nat"urliche Einbettung $\Gamma_{!} (U;j^\circ\cal{F})\hra \Gamma_{!} (X;\cal{F}).$ F"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ und jede abelsche Garbe $\cal{F}$ auf $X$ liefert das nat"urliche Abbildungen $${\op{H}}^q_{!} (U;j^\circ\cal{F})\ra {\op{H}}^q_{!} (X;\cal{F})$$ und insbesondere auch ${\op{H}}^{q}_{!} (U;G)\ra {\op{H}}^{q}_{!} (X;G).$ Man nennt sie das {\bf Ausdehnen durch Null}\index{Ausdehnen durch Null!f"ur ${\op{H}}^q_{!}$} auf der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. Offensichtlich ist das ein Funktor von der Kategorie der topologischen R"aume mit offenen Einbettungen als Morphismen in die Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{GcW} Sei $\cal{F}^{\prime}\hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X.$ Ist $\cal{F}^{\prime}$ welk, so induziert die Surjektion $\cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion $\Gamma_{!}\cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{!}\cal{F}^{\prime\prime}.$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $s^{\prime\prime}$ ein Schnitt von $\cal{F}^{\prime\prime}$ mit kompaktem Tr"ager. Nach \ref{WeGa} gibt es einen Schnitt $s\in\Gamma \cal{F}$ mit $s\mapsto s\grqq.$ Ist $U$ das Komplement des Tr"agers von $s\grqq,$ so kommt $s|U$ per definitionem von einem Schnitt $s'\in\cal{F}'(U)$ her. Dieser l"a"st sich jedoch, wenn $\cal{F}'$ welk ist, zu einem globalen Schnitt $s'\in \Gamma \cal{F}'$ ausdehnen, und $s-s'$ ist dann der gesuchte Schnitt mit kompaktem Tr"ager von $\cal{F},$ der auf $s\grqq\ $ abgebildet wird. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{lekk} Jede kurze exakte Sequenz $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ von abelschen Garben liefert mit \ref{EPr} und \ref{GcW} eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $\Gamma_{!}\cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \Gamma_{!}\cal{G}^{\ast} \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{!}\cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime\prime}$ und mit \ref{KeSK} dann die {\bf lange exakte Sequenz in der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} $$\ldots \ra {\op{H}}_{!}^{q}\cal{F}^{\prime} \ra {\op{H}}^{q}_{!}\cal{F} \ra {\op{H}}^{q}_{!} \cal{F}^{\prime\prime} \ra {\op{H}}^{q+1}_{!}\cal{F}^{\prime}\ra \ldots$$ Ist $\cal{F} \hookrightarrow \cal{A}^{0} \ra \cal{A}^{1}\ra \ldots$ eine Aufl"osung, so erhalten wir f"ur alle $q$ analog wie in \ref{DKM} nat"urliche Homomorphismen $\cal{H}^{q}\Gamma_{!} \cal{A}^{\ast} \ra {\op{H}}^{q}_{!}\cal{F}.$ Ist ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} \cal{F}&\hookrightarrow &\cal{A}^{0}& \ra & \cal{A}^{1}& \ra &\cal{A}^{2} &\ra & \ldots\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow & & \downarrow & & \\ \cal{G}&\hookrightarrow &\cal{B}^{0}&\ra & \cal{B}^{1}& \ra &\cal{B}^{2} &\ra &\ldots \end{array}$$ gegeben mit Aufl"osungen von abelschen Garben $\cal{F}$ bzw.\ $\cal{G}$ als Zeilen, so kommutiert mit den offensichtlichen Vertikalen und den eben beschriebenen kanonischen Abbildungen als Horizontalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^{q}\Gamma_! \cal{A}^{\ast} & \ra & \op{H}_!^{q}\cal{F}\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{H}^{q}\Gamma_! \cal{B}^{\ast} & \ra &\op{H}_!^{q} \cal{G} \end{array}$$ Ist $U\co X$ eine offene Teilmenge, so kommutiert weiter mit der Ausdehnung durch Null in den Vertikalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^{q}\Gamma_! (\cal{A}^{\ast}|_U) & \ra & \op{H}_!^{q}(U;\cal{F})\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{H}^{q}\Gamma_! \cal{A}^{\ast} & \ra &\op{H}_!^{q} (X;\cal{F}) \end{array}$$ Man folgert das leicht aus der Tatsache, da"s die Godementaufl"osung der Einschr"ankung einer Garbe auf eine offene Teilmenge kanonisch isomorph ist zur Einschr"ankung der Godementaufl"osung. Gilt schlie"slich ${\op{H}}^{i}_{!}\cal{A}^{j}=0$ f"ur $i>0$ und $j\geq 0,$ so sind mit denselben Argumenten wie in \ref{AZA} unsere kanonischen Homomorphismen alle Isomorphismen $$\cal{H}^{q}\Gamma_{!} \cal{A}^{\ast} \sira {\op{H}}^{q}_{!}\cal{F}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung}\label{aTH} F"ur jede abgeschlossene Einbettung $A \hra X$ so induziert das Zur"uckholen von Schnitten Abbildungen $ \Gamma_! (X;\mathcal F) \longrightarrow \Gamma_! (A; \mathcal F |_A). $ Damit erhalten wir auch Abbildungen $ {\op{H}}^q_! (X; \mathcal F) \rightarrow {\op{H}}^q_! (A; \mathcal F |_A) $ als die Komposition \begin{equation*} \mathcal{H}^q \Gamma_! \mathcal G^\ast \mathcal F = {\op{H}}^q_!(X;\mathcal F) \rightarrow \mathcal H^q \Gamma_! ((\mathcal G^\ast \mathcal F)|_A) \rightarrow {\op{H}}^q_! (A;\mathcal F|_A) \end{equation*} mit der kanonischen Abbildung zur Aufl"osung $\mathcal F|_A \hookrightarrow (\mathcal G^\ast \mathcal F)|_A$ ganz rechts, die wir im "ubrigen in \ref{WKW} auch als Isomorphismus entlarven werden. So ergibt sich ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^q_! (X;\mathcal F)\ar[d] \ar[r] &{\op{H}}^q_! (A;\mathcal F |_A )\ar[d]\\ {\op{H}}^q (X;\mathcal F) \ar[r] & {\op{H}}^q (A; \mathcal F |_A ) } \end{displaymath} mit den kanonischen Abbildungen \ref{kHo} in den Vertikalen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkungl}\label{KsiK} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und ein Kompaktum $K\subset X$ induzieren die offensichtlichen Abbildungen ${\op{S}}^qX\ra \Gamma\cal{S}_X^q$ von den singul"aren Koketten auf $X$ in die globalen Schnitte der Garbe der lokalen singul"aren Koketten sicher Kettenabbildungen ${\op{S}}^\ast(X,X\backslash K)\ra \Gamma_{!}\cal{S}_X^\ast.$ Aufgrund der Exaktheit des direkten Limes liefern sie Homomorphismen $${\op{H}}_{!}^q(X;\DZ)_{\op{sing}}\ra \cal{H}^q\Gamma_{!}\cal{S}_X^\ast$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur $U\co X$ eine offene Teilmenge kommutiert weiter das Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_{!}^q(U;\DZ)_{\op{sing}}&\ra& \cal{H}^q\Gamma_{!}\cal{S}_U^\ast \\ \da&&\da\\ {\op{H}}_{!}^q(X;\DZ)_{\op{sing}}&\ra& \cal{H}^q\Gamma_{!}\cal{S}_X^\ast \end{array}$$ mit der Ausdehnung durch Null im Sinne von \ref{KKTk} in der linken Vertikalen und der vermittels der Ausdehnung durch Null von Schnitten mit kompaktem Tr"ager von $\cal{S}_U^\ast=\cal{S}_X^\ast|_U$ induzierten Abbildung in der rechten Vertikalen. In der Tat liefert der R"uckzug ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}^\ast (U,U\setminus K)&\ra& \Gamma_{K}\cal{S}_U^\ast \\ \ua&&\ua\\ {\op{S}}^\ast (X,X\setminus K)&\ra& \Gamma_{K}\cal{S}_X^\ast \end{array}$$ wobei rechts Schnitte mit Tr"ager in $K$ gemeint sind. In der rechten Vertikalen stehen hier Isomorphismen, und in der linken Vertikale entstehen Isomorphismen, eben die Ausschneidungsisomorphismen, beim "Ubergang zur Kohomologie. Diesen Isomorphismen m"ussen wir dann nur noch durch ihre Inversen ersetzen und in geeigneter Weise zum direkten Limes "ubergehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KsiKk} Gegeben ein lokal zusammenziehbarer topologischer Raum $X$ ist nach \ref{KKAB} der Komplex der lokalen singul"aren Koketten eine Aufl"osung $\DZ_X\hra \cal{S}^\ast_X$ der konstanten Garbe. Wir erhalten so mithilfe von \ref{lekk} f"ur jeden lokal zusammenziehbaren Raum kanonische Abbildungen $$\cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X\ra {\op{H}}^q_{!}(X;\DZ_X)$$ und f"ur $U\co X$ folgern wir aus \ref{lekk} mit diesen Abbildungen in den Horizontalen ein kommutatives Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_U&\ra &{\op{H}}^q_{!}(U;\DZ_U)\\ \da&&\da\\ \cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X&\ra& {\op{H}}^q_{!}(X;\DZ_X) \end{array} $$ mit Ausdehnung durch Null in den Vertikalen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie}]%\label{KTr} Ist der topologische Raum $X$ lokal kompakt, Hausdorff und lokal zusammenziehbar,\label{KTrr} so liefern die in \ref{KsiK} und \ref{KsiKk} erkl"arten Konstruktionen Isomorphismen $${\op{H}}^{q}_{!}(X;\DZ)_{\op{sing}} \overset{\sim}{\ra}\cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X \sira {\op{H}}^{q}_{!}(X;\Bbb{Z}_{X})$$ zwischen der singul"aren Kohomologie mit kompaktem Tr"ager von $X$ und der Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager der konstanten Garbe $\Bbb{Z}_{X}$ auf $X,$ die wie bereits gezeigt vertr"aglich sind mit der Fortsetzung durch Null von offenen Teilmengen. \end{Satz} \begin{Bemerkung}\label{KTrK} Dieselbe Aussage gilt mit demselben Beweis auch allgemeiner mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. Der Beweis des Satzes braucht einige technische Hilfsmittel, die wir nun entwickeln. Der eigentliche Beweis wird gegeben im Anschlu"s an den Beweis von \ref{LIKT}. Eine Version f"ur die gew"ohnliche Kohomologie hatten wir bereits als \ref{SiKo} gezeigt. \end{Bemerkung} %OK \begin{Definition}\label{RHa} Eine Teilmenge eines topologischen Raums hei"st \defind{relativ Hausdorff}\index{Hausdorff, relativ} genau dann, wenn je zwei verschiedene Punkte unserer Teilmenge disjunkte Umgebungen im urspr"unglichen Raum besitzen. \end{Definition} \begin{Proposition}[\textbf{Fortsetzen von Schnitten "uber Kompakta}] Gegeben eine Garbe $\cal{F} \in \op{Ens}_{/X}$ auf einem\label{FSK} toplogischen Raum $X$ l"a"st sich jeder Schnitt von $\cal{F}$ "uber einem relativ Hausdorff'schen Kompaktum $K\subset X$ stetig auf eine offene Umgebung von $K$ fortsetzen. \end{Proposition} \begin{Bemerkung} F"ur den dreielementigen Raum $X$ mit zwei abgeschlossenen Punkten, die eine kompakte Teilmenge $K$ bilden und beide im Abschlu"s des dritten Punktes liegen, l"a"st sich nicht jeder Schnitt "uber $K$ der konstanten Garbe $\DZ_X$ auf eine offene Umgebung von $K$ fortsetzen. In parakompakten R"aumen wissen wir nach \ref{AuW}, da"s sich sogar jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge auf eine offene Umgebung derselben fortsetzen l"a"st. \end{Bemerkung} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=0.4\textheight]{SkriptenBilder/BildKUW}\\[4mm] \noindent Illustration zum Beweis des Fortsetzens von Schnitten "uber Kompakta \ref{FSK} \end{figure} \begin{proof}[Beweis] Sei $s \in \cal{F} (K)$ unser Schnitt. Da $K$ als kompakter Hausdorffraum lokal kompakt ist, finden wir eine "Uberdeckung von $K$ durch Kompakta $K_{1}, \ldots , K_{n}$ und f"ur diese Kompakta offene Umgebungen $U_{1}, \ldots, U_{n}\co X$ und Schnitte $s_{i} \in \cal{F} (U_{i})$ mit $s_{i}| K_{i} = s| K_{i}.$ Sicher gibt es eine offene Umgebung $W$ von $K_1 \cap K_2$ in $U_1 \cap U_2$ mit $s_1 | W = s_2| W.$ Weiter finden wir "ahnlich wie in \ref{FS} f"ur $i=1,2$ disjunkte offene Umgebungen $U_i^{\prime} \subset U_i$ von $K_i \backslash W.$ Dann verkleben die beiden $s_i|U^{\prime}_i$ und $s_1|W = s_2|W$ zu einem Schnitt auf $U^{\prime}_1 \cup U^{\prime}_2 \cup W,$ der unseren Schnitt auf $K_1\cup K_2$ fortsetzt. Eine offensicht\-liche Induktion beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Definition} Eine Garbe hei"st \defind{kompaktweich} (englisch \defind{c-soft}, fran\-z"osisch \defind{c-mou}) genau dann, wenn sich jeder Schnitt "uber einer kompakten Teilmenge zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{KWA} Gegeben eine kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum $X$ und $Z\As X$ abgeschlossen induziert das Einschr"anken von Schnitten eine Surjektion $$\Gamma_{!}(X;\cal{F})\sra \Gamma_{!}(Z;\cal{F})$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $s \in \Gamma (Z;\mathcal{F})$ gegeben mit kompaktem Tr"ager $K$. Sei $U$ eine offene Umgebung von $K$ in $X$ mit kompaktem Abschlu"s. Man kann einen Schnitt \begin{displaymath} \tilde{s} \in \Gamma (\partial U \cup (Z \cap \bar{U}); \mathcal{F}) \end{displaymath} erkl"aren durch $s | Z \cap \bar{U} = \tilde{s}| Z \cap \bar{U}$ und $\tilde{s} | \partial U =0.$ Da $\mathcal{F}$ kompaktweich ist, kann $\tilde{s}$ zu einem globalen Schnitt $t \in \Gamma (X; \mathcal{F})$ fortgesetzt werden. Dieser Schnitt verschwindet jedoch auf $\partial U$ und wir k"onnen folglich einen neuen Schnitt $\hat{s} \in \Gamma (X;\mathcal{F})$ bilden, der auf $\bar{U}$ mit $\tilde{s}$ "ubereinstimmt und der auf $X \backslash U$ verschwindet. Dieser Schnitt $\hat{s}$ ist dann der gesuchte Schnitt $\hat{s} \in \Gamma_{!} (X;\mathcal{F})$ mit $\hat{s} \mapsto s.$ \end{proof} \begin{Beispiele}\label{WKW} Jede weiche Garbe auf einem Hausdorffraum ist kompaktweich. Jede welke Garbe auf einem Hausdorffraum ist kompaktweich nach \ref{FSK}. Die Einschr"ankung einer kompaktweichen Garbe auf einen Teilraum ist stets auch kompaktweich. \end{Beispiele} \begin{Proposition}\label{KwA} F"ur eine kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem lokal kompakten Hausdorff-Raum $X$ verschwinden die h"oheren Kohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager, in Formeln $${\op{H}}^{q}_{!}(X;\cal{F}) =0\quad\forall q>0$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Analog wie in \ref{WeAZ} folgt das aus dem anschlie"senden Lemma. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorff-Raum und $\cal{F}^{\prime}\hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf $X.$\label{LIKT} \begin{enumerate} \item Ist $\cal{F}^{\prime}$ kompaktweich, so induziert die Surjektion $\cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion $\Gamma_{!}\cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{!}\cal{F}^{\prime\prime}$ auf den globalen Schnitten mit kompaktem Tr"ager. \item Sind $\cal{F}^{\prime}$ und $\cal{F}$ kompaktweich, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ kompaktweich. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Sei $s^{\prime\prime}$ ein Schnitt von $\cal{F}^{\prime\prime}$ mit Tr"ager im Kompaktum $K.$ Wir w"ahlen eine offene Umgebung $U\co X$ von $K$ mit kompaktem Abschlu"s $\bar{U}.$ Offensichtlich ist $\cal{F}^{\prime}|_{\bar{U}}$ weich, nach \ref{wei} finden wir also ein Urbild $s \in \cal{F}(\bar{U})$ von $s^{\prime\prime}|_{\bar{U}}.$ W"ahlen wir noch eine Ausdehnung $s^{\prime} \in \cal{F}^{\prime} (\bar{U})$ von der Einschr"ankung $s|_{\partial U}$ von $s$ auf den Rand von $U$ (im Sinne der mengentheoretischen Topologie) und ersetzen $s$ durch $s-s^{\prime},$ so d"urfen wir $s|_{\partial U }= 0$ annehmen und k"onnen $s$ durch Null zu einem globalen Schnitt ausdehnen. \\[2mm]\noindent 2. F"ur $K \subset X$ kompakt betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{F}(X) & \ra& \cal{F}^{\prime\prime}(X)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{F}(K) & \twoheadrightarrow & \cal{F}^{\prime\prime}(K) \end{array}$$ Die linke Vertikale ist surjektiv, da $\cal{F}$ kompaktweich ist. Die untere Horizontale ist surjektiv nach 1, da mit $\cal{F'}$ auch $\cal{F'}|_K$ kompaktweich ist. Also ist die rechte Vertikale surjektiv. \end{proof} \begin{Lemma}\label{wwwc} Auf einem lokal kompakten Hausdorffraum sind die Garben der lokalen singul"aren Koketten kompaktweich. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dieser Beweis ist eine Variante des Beweises von \ref{www}. Sei $X$ unser Raum. Einen Schnitt "uber einer kompakten Teilmenge $K\As X$ k"onnen wir zun"achst nach \ref{FSK} ausdehnen zu einem Schnitt $s$ auf einer offenen Umgebung $V\co X$ von $K.$ Ohne Schwierigkeit finden wir weiter $W\co X$ mit $K\subset W\subset\bar{W}\subset V.$ Jetzt konstruieren wir einen Endomorphismus der Pr"agarbe der singul"aren Koketten auf $V,$ indem wir einem Schnitt, d.h.\ einer Funktion auf den Simplizes diejenige neue Funktion zuordnen, die dasselbe macht mit allen Simplizes aus $W$ und Null aus allen Simplizes, die nicht ganz in $W$ liegen. Lassen wir den auf der Garbifizierung induzierten Endomorphismus auf unsere Ausdehnung $s$ los, so erhalten wir eine Ausdehnung $\tilde{s},$ die auf $V\backslash \bar{W}$ verschwindet. Damit k"onnen wir unsere abge"anderte Ausdehnung $\tilde{s}$ dann aber durch Null fortsetzen auf ganz $X.$ \end{proof} \begin{proof}[Beweis von \ref{KTrr}] Der zweite im Satz behauptete Isomorphismus $\cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X \sira {\op{H}}^{q}_{!}(X;\Bbb{Z}_{X})$ folgt nun ohne M"uhe aus \ref{lekk}, da die Garben $\cal{S}^{\ast}_{X}$ nach \ref{wwwc} und \ref{KKAB} eine kompaktweiche Aufl"osung der konstanten Garbe bilden und damit nach \ref{KwA} ihre h"oheren Kohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager verschwinden. Der Beweis des ersten im Satz behaupteten Isomorphismus ${\op{H}}^{q}_{!}X\sira \cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X$ wird uns noch etwas Arbeit machen. Ist $X$ parakompakt, so erhalten wir f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ ein kommutatives Diagramm von Komplexen abelscher Gruppen $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash U)&\hookrightarrow &{\op{S}}^{\ast}X&\twoheadrightarrow &{\op{S}}^{\ast}(X\backslash U)\\ \da&&\da&&\da\\ \op{ker}^\ast_{U}&\hookrightarrow & \cal{S}^{\ast}_{X}(X)&\ra & \cal{S}^{\ast}_{X\backslash U}(X\backslash U) \end{array}$$ wobei die beiden rechten Vertikalen Surjektionen sind nach \ref{PKs}, die rechte untere Horizontale durch das Kommutieren des Diagramms definiert werden kann, da der Kern der mittleren Vertikale unter dem Weg nach rechts unten offensichtlich auf Null abgebildet wird, und $\op{ker}^\ast_{U}$ eben als der Kern der rechten unteren Horizontale erkl"art sei. Wir haben dann kurze exakte Sequenzen als Zeilen, und da die beiden rechten Vertikalen nach \ref{hs} Isomorphismen auf der Kohomologie induzieren, trifft das auch f"ur die linke Vertikale zu. Da in einem lokal kompakten Raum sowohl die kompakten Mengen als auch die offenen Mengen $U$ mit kompaktem Abschlu"s kofinal sind im System aller Mengen mit kompaktem Abschlu"s, erhalten wir nun $$\begin{array}[b]{ccll} {\op{H}}^{q}_{!} X& =&\varinjlim_U {\op{H}}^{q}(X,X\backslash U)&\text{ nach der Definition in \ref{KKTk},} \\ & \cong & \varinjlim_U \cal{H}^{q}\op{ker}^\ast_{U}&\text{ nach unserer Vor"uberlegung,}\\ & \cong & \cal{H}^{q} \varinjlim_U \op{ker}^\ast_{U}&\text{ wegen der Exaktheit von $\varinjlim,$} \\ &\cong & \cal{H}^{q}\Gamma_{!}\cal{S}^{\ast}_{X}& \text{ wie wir im Anschlu"s zeigen.} \end{array}$$ Ist zun"achst $Z$ ein beliebiger topologischer Raum und $U\co Z$ eine offene Teilmenge, so induziert das Zur"uckholen von Koketten sicher einen Isomorphismus $\mathcal{S}^q_Z|_{U} \sira \mathcal{S}^q_U$ und damit auch einen Isomorphismus $\mathcal{S}^q_Z(U) \sira \mathcal{S}^q_U(U).$ Ist weiter $X$ ein parakompakter topologischer Raum und $A\subset X$ eine abgeschlossene Teilmenge, so k"onnen wir feiner als zu Beginn unseres Beweises sogar einen Homomorphismus von Komplexen $\cal{S}^{\ast}_{X}(A)\ra \cal{S}^{\ast}_{A}(A)$ definieren durch die Kommutativit"at des Diagramms $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}^{\ast}X&\twoheadrightarrow &{\op{S}}^{\ast}A\\ \da&&\da\\ \cal{S}^{\ast}_{X}(A)&\ra & \cal{S}^{\ast}_{A}(A) \end{array}$$ worin wieder die beiden Vertikalen Surjektionen sind nach \ref{PKs}. Jetzt finden wir ja f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ mit kompaktem Abschlu"s eine weitere offene Teilmenge $V \co X$ mit kompaktem Abschlu"s und $V \supset \overline{U}$ und folglich $V \backslash \overline{U} \co X \backslash \overline{U} \co X$ sowie $X \backslash \overline{U} \co X \backslash U$. Es folgt, da"s die von ${\op{S}}^\ast (X \backslash U) \twoheadrightarrow {\op{S}}^\ast (X\backslash V)$ induzierte Abbildung $\mathcal{S}^\ast_{X\backslash U} (X\backslash U) \twoheadrightarrow \mathcal{S}^\ast_{X\backslash V} (X \backslash V)$ faktorisiert "uber \begin{equation*} \mathcal{S}^\ast_{X\backslash U} (X\backslash U) \rightarrow \mathcal{S}^\ast_{X\backslash U} (X\backslash \overline{U}) = \mathcal{S}^\ast_{X\backslash \overline{U}} (X\backslash \overline{U})= \mathcal{S}^\ast_{X} (X\backslash \overline{U}) \rightarrow \mathcal{S}^\ast_{X} (X\backslash V) \end{equation*} und damit folgt dann ohne weiter Schwierigkeiten, da"s die kanonische Abbildung einen Isomorphismus $\varinjlim_U \op{ker}^\ast_{U}\overset{\sim}{\rightarrow} \Gamma_{!} \mathcal{S}_X^\ast$ liefert. Damit haben wir den ersten in \ref{KTrr} behaupteten Isomorphismus f"ur jeden lokal kompakten parakompakten Raum hergeleitet. Fordern wir statt der Parakompaktheit nur Hausdorff, so m"ussen wir noch etwas mehr arbeiten, und ich f"urchte fast, diese Arbeit lohnt recht eigentlich nicht, da wir unseren Satz eh nur auf parakompakte R"aume anwenden werden. Aber sei's drum! Ist zun"achst $K\As X$ kompakt und $U\co X$ offen mit $\bar{U}\subset K^\circ,$ so konstruieren wir ein kommutatives Diagramm von Komplexen abelscher Gruppen $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^{\ast} (K,K\backslash U)&\hookrightarrow &{\op{S}}^{\ast}K&\twoheadrightarrow &{\op{S}}^{\ast}(K\backslash U)\\ \da&&\da&&\da\\ \op{ker}^\ast_{K,U}&\hookrightarrow & \cal{S}^{\ast}_{K}(K)&\sra & \cal{S}^{\ast}_{K\backslash U}(K\backslash U) \end{array}$$ in derselben Weise wie zuvor, $K$ und $K\backslash U$ sind ja kompakt und damit insbesondere auch parakompakt, und $\op{ker}^\ast_{K,U}$ erkl"aren wir eben als den Kern der rechten unteren Horizontale. Wir haben dann kurze exakte Sequenzen als Zeilen, und da die beiden rechten Vertikalen nach \ref{hs} Isomorphismen auf der Kohomologie induzieren, trifft das auch f"ur die linke Vertikale zu. Nach dem Ausschneidungssatz induziert nun jedoch die Restriktion ${\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash U)\ra {\op{S}}^{\ast}(K,K\backslash U)$ Isomorphismen auf der Kohomologie. Weiter h"angt $\op{ker}^\ast_{K,U}$ gar nicht von $K$ ab, sondern nur von der offenen Menge mit kompaktem Abschlu"s $U$: Gegeben ein Kompaktum $L$ mit $K\subset L\subset X$ k"onnen wir ja die offene "Uberdeckung von $L$ durch $L\backslash \bar{U}$ und $K^\circ $ betrachten und finden so ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{S}^\ast_L (K^\circ \backslash \bar{U}) \ar@{^{(}->}[r]\ar@{=}[d]& \mathcal{S}_L^\ast (L\backslash \bar{U}) \oplus \mathcal{S}_L^\ast (K^\circ )\ar@{->>}[r]\ar[d] &\mathcal{S}^\ast_L (L)\ar@{->>}[d]\\ \mathcal{S}^\ast_{L\backslash U}(K^\circ \backslash \bar{U}) \ar@{^{(}->}[r] & {\op{S}}^\ast_{L\backslash U} (L\backslash \bar{U}) \oplus \mathcal{S}^\ast_{L\backslash U} (K^\circ \backslash U) \ar@{->>}[r] & \mathcal{S}^\ast_{L\backslash U} (L\backslash U) } \end{displaymath} Nun zeigt Diagrammjagd die Surjektivit"at der mittleren Vertikale, und da die erste Komponente unserer Abbildung zwischen den direkten Summen die Identit"at ist, mu"s der Kern $\op{ker}^\ast_{L,U}$ der rechten Vertikale kanonisch isomorph sein zu $\op{ker}(\mathcal{S}^\ast_L (K^\circ ) \twoheadrightarrow \mathcal{S}^\ast_{L\backslash U} (K^\circ \backslash U)),$ was offensichtlich nicht mehr von $L$ abh"angt, da wir darin ohne die Gruppen zu "andern $L$ durch $K^\circ$ oder auch durch $X$ ersetzen d"urfen. Wir k"onnen also unsere Notation abk"urzen zu $\op{ker}^\ast_{U}$ und erhalten $\op{ker}^\ast_{U} = \op{ker} (\mathcal{S}^\ast_X (X) \rightarrow \mathcal{S}^\ast_{X\backslash U} (X\backslash U)).$ Da in einem lokal kompakten Raum sowohl die kompakten Mengen als auch die offenen Mengen $U$ mit kompaktem Abschlu"s kofinal sind im System aller Mengen mit kompaktem Abschlu"s, erhalten wir wieder $$\begin{array}[b]{ccll} {\op{H}}^{q}_{!} X& =&\varinjlim_U {\op{H}}^{q}(X,X\backslash U)&\text{ nach der Definition in \ref{KKTk},} \\ & \cong & \varinjlim_U \cal{H}^{q}\op{ker}^\ast_{U}&\text{ nach unserer Vor"uberlegung,}\\ & \cong & \cal{H}^{q} \varinjlim_U \op{ker}^\ast_{U}&\text{ wegen der Exaktheit von $\varinjlim,$} \\ &\cong & \cal{H}^{q}\Gamma_{!}\cal{S}^{\ast}_{X}& \text{ nach der Definition von $\Gamma_{!}$ } \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Gysin-Sequenz}]\label{KT} Ist $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $A \As X$ eine abgeschlossene Teilmenge, so liefert jede abelsche Garbe $\cal{F}$ auf $X$ eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}^{q-1}_{!} (A;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash A;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!}(X;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (A; \cal{F})\ra \ldots$$ mit der Ausdehnung durch Null als mittlerem Pfeil und der Restriktion auf eine abgeschlossene Teilmenge als rechtem Pfeil. Ist $B\As A$ eine kleinere abgeschlossene Teilmenge, so erhalten wir kommutative Diagramme $$ \begin{array}{ccc} {\op{H}}^{q-1}_{!} (A;\cal{F}) &\ra & {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash A;\cal{F})\\ \da&&\da\\ {\op{H}}^{q-1}_{!} (B;\cal{F}) &\ra & {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash B;\cal{F}) \end{array}$$ mit den Randoperatoren unserer Sequenz in den Horizontalen und der Einschr"ankung auf eine abgeschlossene Teilmenge bzw. der Ausdehnung durch Null in den Vertikalen. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] F"ur jede kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{G}$ auf $X$ haben wir nach \ref{KWA} ein kommutatives Diagramm mit kurzen exakten Zeilen $$ \begin{array}{ccccc} \Gamma_{!}(X\backslash A;\cal{G}) &\hookrightarrow& \Gamma_{!} (X;\cal{G})& \twoheadrightarrow& \Gamma_{!}(A;\cal{G})\\ \da&&\da&&\da\\ \Gamma_{!}(X\backslash B;\cal{G}) &\hookrightarrow& \Gamma_{!} (X;\cal{G})& \twoheadrightarrow& \Gamma_{!}(B;\cal{G}) \end{array} $$ Wenden wir diese Erkenntnis an auf die nach \ref{WKW} kompaktweiche Gode\-ment-Aufl"osung $\cal{G}^{\ast}\cal{F}$ und beachten, da"s auch $\cal{G}^{\ast}\cal{F}|_{A}$ eine kompaktweiche Aufl"osung von $\cal{F}|_A$ ist, so folgt der Satz aus der langen exakten Homologiesequenz. \end{proof} %OK \begin{Korollar}[\defind{Alexander-Dualit"at}]\label{ADu} Ist $A \As \Bbb{R}^{n}$ eine abgeschlossene Teilmenge und $G$ eine abelsche Gruppe, so liefern der Randoperator aus \ref{KT} zusammen mit der Poincar\'{e}-Dualit"at \ref{APD} Isomorphismen $${\op{H}}^{q}_{!} (A;G_{A})\overset{\sim}{\ra} \tilde{{\op{H}}}_{n-q-1} (\Bbb{R}^{n}\backslash A;G)$$ und gegeben eine weitere abgeschlossene Teilmenge $B\As A$ kommutieren die Diagramme $$ \begin{array}{ccc} {\op{H}}^{q}_{!} (A;G_{A}) &\sira & \tilde{{\op{H}}}_{n-q-1} (\Bbb{R}^{n}\backslash A;G)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}^{q}_{!} (B;G_{B}) &\sira & \tilde{{\op{H}}}_{n-q-1} (\Bbb{R}^{n}\backslash B;G) \end{array} $$ mit den Isomorphismen der Alexanderdualit"at in den Horizontalen und der Einschr"ankung kompakter Kohomologie und dem direkten Bild der Homologie in den Vertikalen. \end{Korollar} \begin{Bemerkung} Schneiden wir etwa aus der Ebene $\DR^2$ zwei disjunkte kompakte abgeschlossene zusammenh"angende Teilmengen heraus, so ist die erste Homologie des Komplements frei vom Rang zwei. Anschaulich wird eine Basis eben gegeben durch die Klassen zweier Zykel, die jeweils um eines der beiden beim Herausschneiden entstandenen L"ocher laufen. Schneiden wir dahingegen eine nichtkompakte zusammenh"angende abgeschlossene Teilmenge heraus, so verschwindet die erste Homologie des Komplements, da anschaulich gesprochen \glqq unsere nichtkompakte Teilmenge in irgendeiner Richtung nach Unendlich l"auft und nicht von einem Zykel umrundet werden kann\grqq. Im Fall $q=0$ f"allt der Isomorphismus der Alexanderdualit"at im "Ubrigen zusammen mit dem Isomorphismus \ref{Adu}. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden die Gysin-Sequenz \ref{KT} an mit $X=\DR^n,$ verwandeln darin zwei Garbenkohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager mithilfe von \ref{KTrr} in singul"are Kohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager und diese mit Poincar\'e-Dualit"at \ref{APD} in gew"ohnliche Homologiegruppen. Schlie"slich gehen wir noch zur reduzierten Homologie "uber, wobei wir bemerken, da"s die obere und die untere Horizontale im Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_{q} (X\backslash A) & \ra & {\op{H}}_{q}X\\ \uparrow & & \uparrow \\ \tilde{{\op{H}}}_{q}(X\backslash A) & \ra & \tilde{{\op{H}}}_{q}X \end{array}$$ f"ur alle $q$ denselben Kern und Kokern haben. \end{proof} \begin{Bemerkung} Das vorstehende Korollar ist eine weitere Illustration f"ur die N"utzlichkeit der Garbenkohomologie: Ersetzen wir auf der linken Seite die Garbenkohomologie durch die singul"are Kohomologie, so gilt es im allgemeinen nicht mehr, zum Beispiel im Fall $n=2,$ $q=1,$ $G=\DZ$ f"ur $A$ den Schnitt der Sinuskurve des Topologen mit der Einheitskreisscheibe. \end{Bemerkung} \begin{Korollar}\label{JBG} Seien $r,n \geq -1$ und sei $s^{r}\subset S^{n}$ eine Teilmenge der $n$-Sph"are, die hom"oomorph ist zur $r$-Sph"are $S^{r}.$ So gilt $$\begin{array}{ccc} \tilde{{\op{H}}}_{q} (S^{n}\backslash s^{r})& \cong &\left\{ \begin{array}{cl} \Bbb{Z}& q=n-r-1;\\ 0& \text{sonst}. \end{array} \right. \end{array}$$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir erhalten wie eben mit Poincar\'e-Dualtit"at und "Ubergang zur reduzierten Homologie eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra \tilde{{\op{H}}}_{n-q}(S^{n}\backslash s^{r}) \ra \tilde{{\op{H}}}_{n-q} (S^{n}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (s^{r};\Bbb{Z}) \ra \tilde{{\op{H}}}_{n-q-1} (S^{n}\backslash s^{r})\ra \ldots$$ F"ur das weitere "uberlassen wir die F"alle $r=-1$ und $r=0$ dem Leser. Bei $r\geq 1$ ist ${\op{H}}^{q}_{!}(s^{r};\Bbb{Z})$ nur f"ur $q=0$ und $q=r$ von Null verschieden und dann isomorph zu $\Bbb{Z}.$ Im Fall $q=0$ haben wir $$\tilde{{\op{H}}}_{n}(S^{n})\cong {\op{H}}_{!}^{0} (S^{n};\Bbb{Z}) \overset{\sim}{\ra} {\op{H}}^{0}_{!}(s^{r};\Bbb{Z}),$$ f"ur alle anderen $q$ gilt $\tilde{{\op{H}}}_{n-q}(S^{n}) =0.$ Das Korollar folgt. \end{proof} \begin{Korollar}\label{VG} Ist $A \As \Bbb{R}^{n}$ eine abgeschlossene Untermannigfaltigkeit der Dimension $(n-1)$ mit $k$ Zusammenhangskomponenten, so besteht ihr Komplement $\Bbb{R}^{n}\backslash A$ aus $(k+1)$ Zusammenhangskomponenten. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir finden ${\op{H}}_{0}(A;\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}) \cong {\op{H}}_!^{n-1}(A;\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}) \cong \tilde{{\op{H}}}_{0} (\Bbb{R}^{n}\backslash A; \Bbb{Z}/2\Bbb{Z})$ mit Poincar\'e-Dualit"at \ref{APD} und Alexander-Dualit"at. Man beachte hierbei, da"s nach \ref{SPD} Poincar\'e-Dualit"at mit Koeffizienten in $\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}$ auch f"ur beliebige, als da hei"st auch f"ur nicht orientierbare Mannigfaltigkeiten gilt. \end{proof} \begin{Korollar}\label{ENOr} Eine kompakte aber nicht orientierbare $(n-1)$-Mannig\-faltigkeit $A$ kann nicht in den $\Bbb{R}^{n}$ eingebettet werden. \end{Korollar} \begin{Bemerkung} Kann man allgemeiner auch zeigen, da"s eine nicht orientierbare $(n-1)$-Mannig\-faltigkeit $A$ nicht als abgeschlossene Teilmenge in den $\Bbb{R}^{n}$ eingebettet werden kann? Kann also das offene M"obiusband nicht als abgeschlossene Teilmenge des $\DR^3$ realisiert werden? Ich denke wohl schon: Man braucht eben $ {\op{H}}^{n-1}_!(A;\Bbb{Z})=0,$ und das ist nach einer Poincare-Dualit"at mit Koeffizienten die \glqq nullte Homologie mit Koeffizienten im Orientierungsb"undel\grqq\ von $A,$ und die ist Null(?). \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sei $A$ zusammenh"angend. Ist $A$ nicht orientierbar, so liefert Alexander-Dualit"at $$ {\op{H}}^{n-1}(A;\Bbb{Z})=0 = \tilde{{\op{H}}}_{0} (\Bbb{R}^{n}\backslash A;\Bbb{Z}) $$ und $\Bbb{R}^{n}\backslash A$ w"are zusammenh"angend im Widerspruch zum vorhergehenden Korollar \ref{VG}. \end{proof} %OK \begin{Korollar} Eine Homotopieklasse $(a,b)$ in $\pi_{1} (S^{1}\times S^{1}) \cong \Bbb{Z} \times \Bbb{Z}$ kann genau dann durch einen auf $\left[ 0,1\right)$ injektiven Weg dargestellt werden, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind oder wenn gilt $a=b=0.$ \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Wir wenden die Gysin-Sequenz \ref{KT} an auf den Fall $X = S^{1} \times S^{1}$ und das Bild eines injektiven Weges $A \cong S^{1} \As X$ und folgern eine exakte Sequenz $${\op{H}}^{1}_{!} X \ra {\op{H}}^{1}_{!} A \ra {\op{H}}^{2}_{!} (X\backslash A)$$ Da ${\op{H}}^{2}_{!} (X\backslash A) \cong {\op{H}}_{0} (X\backslash A)$ frei ist "uber $\Bbb{Z},$ mu"s ${\op{H}}^{1}_{!} X \ra {\op{H}}^{1}_{!} A$ surjektiv oder Null sein. Diese Abbildung wird jedoch nach \ref{aTH} unter geeigneten Identifikationen ${\op{H}}^{1}_{!} X \cong \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z},$ ${\op{H}}^{1}_{!} A \cong \Bbb{Z}$ gegeben durch die Zeilenmatrix $(a,b).$ \end{proof} \begin{comment} \begin{Bemerkung} Frage: Sei $M$ eine orientierbare Fl"ache, nicht notwendig kompakt. Ist ${\op{H}}_{1} M$ stets eine freie abelsche Gruppe? \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorff-Raum $X$ und ein K"orper $k$ kann man die \defind{Borel-Moore-Homologie} {\bf von $X$ mit Koeffizienten in $k$} schlicht definieren als den Dualraum der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. Wir notieren die $i$-te Borel-Moore-Homologie als ${\op{H}}^{!}_{i}$ und haben also in Formeln $${\op{H}}^{!}_{i} (X;k)= {\op{H}}^{i}_{!} (X;k)^{\ast}$$ Diese Notation ist allerdings un"ublich, "ofter verwendet man ${\op{H}}^{\op{BM}}_{i}.$ Ist $X$ der Polyeder $X = \Delta (\cal{K})$ eines lokal endlichen Simplizialkomplexes $\cal{K}$, so kann man folglich die Borel-Moore-Homologie mit Koeffizienten in unserem K"orper $k$ berechnen mit dem Komplex, den man durch Dualisieren erh"alt aus dem Komplex $S^{\ast}_{\op{os},c} (\Delta (\cal{K};k)$ der simplizialen Koketten mit kompaktem Tr"ager, der in \ref{KocSi} eingef"uhrt wird und von dem dort gezeigt wird, da"s er die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager des Polyeders $\Delta (\cal{K})$ berechnet. Der duale Komplex zu $S^{\ast}_{\op{os},c} (\Delta (\cal{K});k)$ ist aber offensichtlich gerade der Komplex $\op{Ens} (\cal{K}_{\ast},k)$ aller nicht notwendig endlichen formalen Linearkombinationen von Simplizes mit dem durch die "ubliche Formel wie in \ref{SiKe} gegebenen Randoperator, der weiter sinnvoll definiert ist, da wir unseren Simplizialkomplex lokal endlich angenommen hatten. Erlaubt man also in dieser Situation auch unendliche formale Linearkombinationen von Simplizes als Ketten, so gelangt man von der "ublichen Homologie zur Borel-Moore-Homologie. Das geht nat"urlich auch mit beliebigen Koeffizienten, jedoch ist es dann schwieriger, die Unabh"angigkeit der so erkl"arten Gruppe von der Triangulierung nachzuweisen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Unsere allgemeine Poincar\'e-Dualit"at \ref{APD} liefert zumindest mit Koeffizienten in einem K"orper eine Paarung $${\op{H}}^{BM}_{q} (M;k) \times {\op{H}}_{n-q} (M;k) \ra k$$ die wir anschaulich als Schnittpaarung verstehen k"onnen. Eigentlich sollte wohl auch der Isomorphismus \ref{APD} zu verstehen sein als partielles Auswerten auf dem Fundamentalzykel $\omega \in {\op{H}}^{BM}_{n} (M)$ von $M$ in der Borel-Moore-Homologie, der eben auch f"ur nicht notwendig kompaktes aber orientiertes $M$ existiert. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Der sogenannte Kreisraum aus \ref{KrRa} zeigt, da"s der Dualraum der singul"aren Kohomologie mit kompaktem Tr"ager im Allgemeinen nicht durch den Komplex der lokal endlichen singul"aren Koketten berechnet werden kann. Ich w"u"ste gerne, unter welchen Bedingungen das doch geht. Ich wei"s es noch nicht einmal f"ur die Polyeder lokal endlicher Simplizialkomplexe. \end{Bemerkung} \end{comment} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: