\section{Reste} \subsection{Versuch zum Schreir"uckzug, besser in \ref{ExRZ}} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Versuch!} Gegeben Funktoren $L,M:\mathcal A\ra \mathcal B$ mit Rechtsadjungierten $R,S:\mathcal B\ra \mathcal A$ induziert jede Transformation $\tau:L\RA M$ eine Transformation $\sigma:S\RA R$ in die Gegenrichtung durch die Bedingung des Kommutierens der Diagramme $$\begin{array}{ccc} \mathcal B(MA,B)&\sira&\mathcal A(A,SB)\\ \circ \tau_A \da&&\da \sigma_B\circ \\ \mathcal B(LA,B)&\sira&\mathcal A(A,RB) \end{array}$$ mit den jeweiligen Adjunktionen in den Horizontalen. Ist insbesondere f"ur ein festes Objekt $A_0\in \mathcal A$ die Transformation $\tau: LA_0\ra MA_0$ ein Isomorphismus,\label{RATR} so liefert $\sigma:SB\ra RB$ Isomorphismen $\mathcal A(A_0,SB)\sira \mathcal A(A_0,RB)$ f"ur alle $B$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Versuch!} F"ur einen Morphismus von geringten R"aumen $\pi:(X,\mathcal A) \rightarrow (Y,\mathcal B)$ betrachten wir den Homomorphismus von abelschen Garben \begin{equation*} (\pi_{!} \mathcal F) \otimes_{\mathcal B} \mathcal G \rightarrow \pi_{!} (\mathcal F \otimes_{\mathcal A} \pi^{\ast} \mathcal G) \end{equation*} aus \ref{NatT} als Funktor in $\mathcal G\in \op{Ab}_{/(Y,\mathcal B)}$ mit Werten in $\op{Ab}_{/Y}$ f"ur einen festen Rechtsmodul $\mathcal F\in \op{Ab}_{/(Y,-\mathcal A)}$. Er induziert dann eine Transformation in die Gegenrichtung zwischen den jeweiligen Rechtsadjungierten, wenn es derartige Rechtsadjungierte gibt. Nach \ref{SRR} ist das etwa der Fall f"ur $\pi$ eine lokal abgeschlossene Einbettung auf den zugrundeliegenden R"aumen. Aus unserer Transformation $$((\pi_{!} \mathcal F) \otimes_{\mathcal B}) \;\RA \; \pi_! \circ (\mathcal F\otimes_{\mathcal A}) \circ \pi^* $$ erhalten wir so eine Transformation $$\pi_*\circ (\mathcal F\Rrightarrow) \circ \pi^!\;\RA\; ((\pi_{!} \mathcal F) \Rrightarrow)$$ Hier haben wir $(\mathcal F\Rrightarrow): \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}$ und $(\pi_!\mathcal F\Rrightarrow): \op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/(Y,\mathcal B)}$. Ausgeschrieben besteht unsere Transformation aus Morphismen von $\mathcal B$-Moduln $$\sigma: \pi_*(\mathcal F\Rrightarrow \pi^!\mathcal E)\ra (\pi_{!} \mathcal F \Rrightarrow\mathcal E)$$ Nun wissen wir jedoch aus der flachen Projektionsformel \ref{PfV}, da"s sie einen Isomorphismus liefert f"ur $\mathcal G$ flach und leider noch $\mathcal A=\pi^*\mathcal B$. Insbesondere liefert sie einen Isomorphismus f"ur die Garben $\mathcal G=\mathcal B_{V\subset Y}$ und beliebige $V\co Y$, die aus $\mathcal B$ entstehen durch Einschr"ankung auf $V$ und Ausdehnen durch Null. Mit unserer Vorbemerkung \ref{RATR} folgt, da"s das Nachschalten von $\sigma$ Isomorphismen $$(\sigma\circ):\op{Ab}_{(Y,\mathcal B)}(\mathcal B_{V\subset Y}, \pi_*(\mathcal F\Rrightarrow \pi^!\mathcal E))\ra\op{Ab}_{(Y,\mathcal B)}(\mathcal B_{V\subset Y}, (\pi_{!} \mathcal F \Rrightarrow\mathcal E))$$ induziert f"ur alle $V\co U$ und damit Isomorphismen auf den Schnitten "uber beliebigen offenen Teilmengen und damit liefert $\sigma$ in der Tat f"ur alle $\mathcal E$ einen Isomorphismus $$\sigma: \pi_*(\mathcal F\Rrightarrow \pi^!\mathcal E)\sira (\pi_{!} \mathcal F \Rrightarrow\mathcal E)$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Vertr"aglichkeit etale Verdier, ALT} \begin{Bemerkunge} Die Adjunktionen aus dem Beweis des Lemmas erf"ullen ihrerseits weitere Vertr"aglichkeiten. Genauer erinnern wir aus \ref{eiPL} unsere Schreikofaserung\label{vdeiA} $$\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}\ra \op{Top}^{\op{\op{s}}}$$ mit ihren Vorsch"uben $f_{\shriek}$ aus \ref{eiPL} und unsere Garbenfaserung $\op{Ab}_{/{\op{Top}}}\ra \op{Top}$. Nach \ref{AdInbh} besitzen deren R"uckz"uge zu \'etalen Abbildungen $f:X\ra Y$ Linksadjungierte. Schr"anken wir unsere Garbenfaserung auf die Unterkategorie $\op{Top}^{\op{\acute{e}t}}$ der topologischen R"aume mit \'etalen Abbildungen als Morphismen ein, so wird unsere Garbenfaserung mithin eine Bifaserung und wir erhalten auf den opponierten Kategorien eine Faserung $$\big(\op{Ab}_{/{\op{Top}^{\op{\acute{e}t}}}}\big)^{\op{opp}}\ra \big(\op{Top}^{\op{\acute{e}t}}\big)^{\op{opp}}$$ F"ur separierte \'etale Abbildungen haben wir in \ref{lfad} sogar ausgezeichnete Isomorphismen zwischen diesen Linksadjungierten und unseren Funktoren $f_!$ angegeben. Schr"anken wir uns also weiter ein auf die Kategorie $\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}$ mit nur separierten \'etalen Abbildungen in der Basis beziehungsweise deren opponierte Kategorie, so entsprechen in unserer Faserung Morphismen "uber $f^\circ:Y\ra X$ zu einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ Elementen von $\op{Ab}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)$ und kartesisch sind diejenigen Elemente von $\op{Ab}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)$, die Isomorphismen $f_!\mathcal F\sira \mathcal G$ induzieren. Umgekehrt entsprechen Morphismen der Schreikofaserung "uber $f$ eineindeutig Elementen von $\op{Ab}^{\shriek}_{\sslash Y}( f_{\shriek}\mathcal F,\mathcal G)$ alias Garbenhomomorphismen $\mathcal G\ra f_{!}\mathcal F$ und kokartesisch sind genau die Morphismen, die hier Isomorphismen $\mathcal G\sira f_{!}\mathcal F$ von Garben entsprechen. Man pr"uft nun unschwer, da"s die oben herausgestellte Faserung "uber $(\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}})^{\op{opp}}$ zusammen mit der Schreikofaserung und den durch Invertieren eines Isomorphismus $\mathcal G\sira f_{!}\mathcal F$ zu einem Isomorphismus $ f_{!}\mathcal F\sira\mathcal G$ gegebenen Bijektionen zwischen kartesischen und kokartesischen Morphismen der Faserung beziehungsweise Kofaserung die Axiome einer Fakofaserung aus \ref{voFa} erf"ullen. Salopp gesprochen sind also die Identifikationen f"ur die Funktoren $f_!$ \glqq in Bezug auf die Schreikofaserung\grqq\ und \glqq in Bezug auf ihre Bedeutung als Linksadjungierte zur Garbenfaserung\grqq\ dieselben. \end{Bemerkunge} \begin{Ubung}[\textbf{\'Etaler separierter Basiswechsel}] Hier lernen Sie einen Spezialfall des allgemeinen \glqq les-Basiswechsels\grqq\ kennen. Gegeben ein kartesisches Diagramm $fq=pg$ von topologischen R"aumen mit $f$ \'etale und separiert induziert f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf dem Definitionsbereich von $f$ der allgemeine Basiswechsel $p^{\ast} f_{\ast}\mathcal F \ra g_{\ast} q^{\ast}\mathcal F$ einen Isomorphismus\label{leB} $$p^{\ast} f_{!}\mathcal F \sira g_{!} q^{\ast}\mathcal F$$ und $f_!$ ist exakt. Hinweis: Man ziehe sich zun"achst auf den Fall zur"uck, da"s $p$ die Einbettung eines Punktes ist. In \eref{BaWeax}{TSF} zeigen wir diesen Isomorphismus allgemeiner f"ur $f$ \glqq lokal eigentlich separiert\grqq. Die Exaktheit von $f_!$ verallgemeinert sich jedoch nicht auf diesen Fall. \end{Ubung} \subsection{Phantasie f"ur Tensorieren und Schreivorsch"ube*} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten die Kategorie $\op{Top}^{\da}$ aller stetigen Abbildungen. Sie besitzt endliche Produkte und wir k"onnen folglich die zugeh"orige kartesische Schmelzkategorie $\curlywedge{\op{Top}^{\da}}$ bilden. Ordnen wir jeder stetigen Abbildung ihr Ziel zu, so erhalten wir einen mit universellen Verschmelzungen alias endlichen Produkten vertr"aglichen Schmelzfunktor $$\curlywedge{\op{Top}^{\da}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$ Er ist eine Schmelzkofaserung mit dem Nachschalten des Morphismus in der Basis als Vorschub. Das alles gilt das genauso, wenn man statt $\op{Top}$ eine beliebige Kategorie mit endlichen Produkten zugrundelegt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten f"ur jeden Raum $X$ die Kategorie $\op{Ab}(\op{Top}_X)$ aller abelschen Gruppenobjekte in $\op{Top}_X$ und erkl"aren eine Schmelzkofaserung $$\op{Ab}(\op{Top}_{\op{Top}})\ra \op{kTop}$$ dadurch, da"s eine Verschmelzung eine stetige Abbildung $\mathcal F_1\times\ldots\times\mathcal F_r\ra \mathcal G$ "uber der entsprechenden Abbildung in der Basis sein soll, die in jeder Variablen "uber jedem Punkt der Basis $X_i$ additiv ist, wenn man die anderen Variablen festh"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir schr"anken nun unseren Schmelzfunktor $\curlywedge{\op{Top}^{\da}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ in der Weise ein, da"s wir in der Basis nur noch \'etale Abbildungen $f:X_1\times \ldots\times X_r\ra Y$ als Verschmelzungen erlauben und als Fasern ebenfalls nur noch \'etale stetige Abbildungen. Das liefert wieder Schmelzkategorien, da Produkte \'etaler Abbildungen und Verkn"upfungen \'etaler Abbildungen \'etale sind, und wir erhalten so einen Schmelzfunktor $$\op{Ens}_{\op{kTop}^{\op{\acute{e}t}}}\ra \op{kTop}^{\op{\acute{e}t}}$$ Er ist auch eine Schmelzkofaserung. Verschmelzungen "uber einer Verschmelzung in der Basis sind stetige Abbildungen $\bar{\mathcal F}_1\times \ldots \times \bar{\mathcal F}_r\ra \bar{\mathcal G}$ "uber der entsprechenden Abbildung der Basis. Eine kokartesische Verschmelzung "uber einer Verschmelzung $f$ in der Basis ist etwa die Identit"at auf $\bar{\mathcal F}_1\times \ldots \times \bar{\mathcal F}_r$ aufgefa"st als Verschmelzung $$\mathcal F_1\curlyvee \ldots \curlyvee \mathcal F_r \ra f_{[!]}(\bar{\mathcal F}_1\times \ldots \times \bar{\mathcal F}_r)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir konstruieren als Variante den Schmelzfunktor\label{ferg} $$\op{Ab}_{\op{kTop}^{\op{\acute{e}t}}}\ra \op{kTop}^{\op{\acute{e}t}}$$ mit abelschen Garben "uber topologischen R"aumen in den Fasern und nur solchen stetigen Abbildungen $\bar{\mathcal F}_1\times \ldots \times \bar{\mathcal F}_r\ra \bar{\mathcal G}$ "uber einer vorgegebenen Verschmelzung in der Basis als Verschmelzungen, die in jeder Variablen "uber jedem Punkt additiv sind. Eine kokartesische Verschmelzung "uber einer Verschmelzung $f$ in der Basis ist etwa (echt wahr?) die hoffentlich offensichtliche multiadditive Verschmelzung $$\DZ\mathcal F_1\curlyvee \ldots \curlyvee \DZ\mathcal F_r \ra \DZ(\bar{\mathcal F}_1\times \ldots \times \bar{\mathcal F}_r)$$ von freien abelschen Garben "uber Mengengarben. Allgemeine kokartesische Verschmelzungen erhalten wir durch freie Aufl"osungen. Das sollte unsere Konstruktionen \ref{deS} f"ur diskrete Mengen verallgemeinern und mit dem $\boxtimes$-Produkt abelscher Garben zusammenfallen. \end{Bemerkungl} \subsection{R"uckzug-Schreivorschub-Formalismus-ALTE VERSION} Zu viel Forderungen an die Basis! \begin{Bemerkungl} Der hier entwickelte Formalismus mag f"ur die Anwendungen im underivierten Fall "uberblasen wirken. Sobald wir jedoch zum Trennr"uckzug und dann weiter zu derivierten Kategorien und Funktoren "ubergehen, wird sich dieser Eindruck der "Uberformalisierung, so hoffe ich, verfl"uchtigen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Kategorienwinkel} ist eine Menge von {\bf Objekten} $\mathscr B$ mit drei Strukturen als Kategorie, deren Morphismenmengen wir $\mathscr B^\dagger(X,Y)$, $\mathscr B^{\shriek}(X,Y)$ und $\mathscr B^{\op{e}}(X,Y)$ notieren, sowie einer Erweiterung der Identit"at auf den Objekten zu treuen Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{&\mathscr B^{\op{e}}\ar[dl]\ar[dr]&\\ \mathscr B^\dagger&& \mathscr B^{\shriek}} \end{displaymath} Die Elemente dieser Morphismenmengen nennen wir {\bf $\dagger$-Morphismen}\index{Morphismus!$\dagger$-Morphismus} oder kurz {\bf Morphismen}, $\shriek${\bf-Morphismen}\index{Morphismus!$\shriek$-Morphismus} oder {\bf Schreimorphismen}\index{Schreimorphismus} und {\bf $\op{e}$-Morphismen}\index{Morphismus!$\op{e}$-Morphismus}\index{eMorphismus!$\op{e}$-Morphismus} oder {\bf Eigmorphismen}.\index{Eigmorphismus!in Kategorienwinkel} \end{Definition} \begin{Definition} Ein {\bf Quadrat} in einem Kategorienwinkel ist ein Datum aus Objekten und Morphismen $(X,Y,Z,W,f,g,p,q)$ mit Objekten und Morphismen wie im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar@{-->}[d]_g\ar@{..>}[r]^q& X\ar@{-->}[d]^f \\ Z\ar@{..>}[r]^p& Y} \end{displaymath} angegeben, und zwar mit Vertikalen $f,g\in \mathscr B^{\shriek}$ und Horizontalen $p,q\in \mathscr B^\dagger$. Wir notieren auch im weiteren vielfach $\dagger$-Mor\-phis\-men durch gepunktelte Pfeile und $\shriek$-Mor\-phis\-men durch gestrichelte Pfeile. Eig\-mor\-phis\-men notieren wir in diesem Kontext als durchgezogene Pfeile. Wir verwenden die durch das Diagramm erzeugte Anschauung im weiteren in unserer Terminologie, indem wir etwa von der \glqq rechten vertikalen Kante eines Quadrats\grqq\ und dergleichen reden. \end{Definition} \begin{Definition} Eine {\bf Regulierung}\index{Regulierung}\label{VAReGu} eines Kategorienwinkels ist die Vorgabe einer Menge von Quadraten, die stabil ist unter dem Verkleben l"angs gleicher horizontaler oder vertikaler Kanten und die alle kommutativen Quadrate enth"alt, bei denen beide horizontalen oder beide vertikalen Morphismen Identit"aten sind. \nichtfinal{Warum nicht beide Eigmorphismen? Nee, dann sollte nur kartesisch! Aber warum fordere was mit Identit"aten?} \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben $\mathscr B\supset \mathscr B^{\shriek}\supset \mathscr B^{\op{e}}$ eine Kategorie mit Unterkategorien, die jeweils alle Objekte enthalten, erhalten wir mit $\mathscr B^\dagger\pdef \mathscr B$ einen Kategorienwinkel.\label{VABsKW} Wir nennen ihn den {\bf Kategorienwinkel zum Tripel} \nichtfinal{(Vielleicht besser {\bf Tripelwinkel zum Tripel})} $\mathscr B\supset \mathscr B^{\shriek}\supset \mathscr B^{\op{e}}$. Darin bilden alle kartesischen und auch alle kommutativen Quadrate von $\mathscr B$, die Vertikalen aus $\mathscr B^{\shriek}$ haben, jeweils eine Regulierung, die {\bf kartesische} beziehungsweise die {\bf kommutative Regulierung}.\index{Regulierung!kartesische}\index{Regulierung!kommutative} \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein {\bf Winkelfunktor} von Kategorienwinkeln ist eine Abbildung auf den Objekten $F:\mathscr C\ra \mathscr B$ zusammen mit Abbildungen auf den Morphismen $\mathscr C^\dagger(X,Y)\ra \mathscr B^\dagger(FX,FY)$ und $\mathscr C^{\shriek}(X,Y)\ra \mathscr B^{\shriek}(FX,FY)$, die jeweils Funktoren sind und die zu demselben Funktor $\mathscr C^{\op{e}}(X,Y)\ra \mathscr B^{\op{e}}(FX,FY)$ einschr"anken. Wir nennen den ersten Funktor den {\bf $\dagger$-Funktor}, den zweiten den $\shriek${\bf-Funktor} und den dritten den {\bf $\op{e}$-Funktor} unseres Winkelfunktors. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorie der Quadrate "uber einem Basisquadrat}] Gegeben ein Winkelfunktor $\mathscr C\ra \mathscr B$ machen wir die Quadrate von $\mathscr C$ "uber einem vorgegebenen Quadrat der Basis $\mathscr B$ zu einer Kategorie, indem wir solche Viertupel von Eigmorphismen "uber den Identit"aten in den Ecken als Morphismen nehmen, die kommutative Quadrate l"angs jeder Kante liefern. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Winkelfaserung}\index{Winkelfaserung} \nichtfinal{(Besser {\bf Winkelfakofaserung}\index{Winkelfakofaserung}?)} ist ein Winkelfunktor $F$ zum Kategorienwinkel eines Tripels $\mathscr B\supset \mathscr B^{\shriek}\supset \mathscr B^{\op{e}}$ derart, da"s der $\dagger$-Funktor von $F$ eine Faserung ist, der $\shriek$-Funktor von $F$ eine Kofaserung und da"s "uber einem\label{VAWiFa} Eigmorphismus der Basis jeder $\dagger$-Morphismus und jeder $\shriek$-Mor\-phis\-mus wieder ein Eigmorphismus auf den Fasern ist. Den R"uckzug l"angs eines $\dagger$-Mor\-phis\-mus $p$ notieren wir $p^\dagger$. Den Vorschub l"angs eines $\shriek$-Morphismus $f$ notieren wir $f_\shriek$. \nichtfinal{Warum nur zu Tripelwinkel? Notation praktisch, aber konzeptuell vielleicht doof.} Wir notieren eine Winkelfaserung $$\big(\mathscr C\ra \mathscr B\supset\mathscr B^\shriek\leftarrow \mathscr C^\shriek,\mathscr B^{\op{e}}\big)$$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Jede Bifaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ liefert eine Winkelfaserung vom Kategorienwinkel des trivialen Tripels $\mathscr C\supset \mathscr C\supset \mathscr C$ zum Kategorienwinkel des trivialen Tripels\label{VAWFBI} $\mathscr B\supset \mathscr B\supset \mathscr B$ in offensichtlicher Weise. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Winkelfaserung der abelschen Garben}] "Uber dem Kategorienwinkel zum Tripel $\op{Top}\supset \op{Top}^{\op{s}}\supset \op{Top}^{\op{es}}$ ist der Kategorienwinkel zu $\op{Ab}_{{\sslash}{\op{Top}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Top}^{\op{s}}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Top}^{\op{es}}}}$ mit der Notation $\op{Top}^{\op{es}}$ f"ur die eigentlichen separierten Abbildungen von topologischen R"aumen eine Winkelfaserung\label{VAWFag} $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Top}}^{\op{s}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ In der Tat ist $\op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Top}^{\op{s}}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$ eine Kofaserung nach \eref{eiPL}{TG} und "uber eigentlichen separierten Abbildungen sind alle Opkomorphismen eigentlich. In diesem Fall sind die Fasern opponierte Kategorien abelscher Garben und wir haben $p^\dagger=(p^{(*)})^{\op{opp}}$ und $f_\shriek=(f_{(!)})^{\op{opp}}$. \end{Beispiel} \begin{Definition}[\textbf{Pr"averflechtung}] Gegeben $\big(\mathscr C\ra \mathscr B\supset\mathscr B^\shriek \leftarrow \mathscr C^\shriek,\mathscr B^{\op{e}}\big)$ eine Winkelfaserung und eine Regulierung der Basis \nichtfinal{(Warum nicht einfach Regulierung der Basis, Punkt? Warum kommutativ?)} durch gewisse in $\mathscr B$ kommutative Quadrate, die {\bf erlaubten Basisquadrate},\index{erlaubt!Basisquadrat} nennen wir die Quadrate mit kartesischen Horizontalen in der Faser $\mathscr C$, die "uber erlaubten Basisquadraten liegen, {\bf R"uckholquadrate}. Unter einer {\bf Pr"averflechtung} verstehen wir eine Regulierung des Kategorienwinkels $\mathscr C$ durch ausgew"ahlte R"uckholquadrate, die {\bf Verflechtungsquadrate}, so da"s die folgenden Bedingungen erf"ullt sind:\label{VAPeraF} \begin{enumerate} \item "Uber einem erlaubten Basisquadrat mit Eigmorphismen auf zwei ge\-gen\-"uber\-lie\-gen\-den Kanten sind alle in $\mathscr C^\dagger$ beziehungsweise $\mathscr C^\shriek$ kommutativen R"uckholquadrate von $\mathscr C$ Verflechtungsquadrate; \item "Uber einem erlaubten Basisquadrat kann jedes partielle Quadrat von $\mathscr C$ mit $\dagger$-kar\-te\-si\-schen Horizontalen, dem nur die linke Vertikale fehlt, auf genau eine Weise zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzt werden. Wir sagen dann, die so erg"anzte linke Vertikale entstehe durch {\bf Zur"uckholen} der rechten Vertikale "uber dem vorgegebenen erlaubten Basisquadrat. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf pr"averflochtene Winkelfaserung} ist eine Winkelfaserung zu einem durch gewisse kommutative Quadrate \nichtfinal{(durch gewisse kommutative Quadrate .. weglassen?} regulierten Kategorienwinkel eines Tripels \nichtfinal{(eines Tripels .. weglassen?)} mit einer ausgezeichneten Pr"averflechtung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung und sei in der Basis $\mathscr B$ ein %\nichtfinal{(N"otig?) r"uckzugstabiles} multiplikatives System $\mathscr B^\shriek$ ausgezeichnet. Unter einem {\bf faserr"uckzugstabilen multiplikativen System} $\mathscr C^\shriek$ {\bf "uber} $\mathscr B^\shriek$\index{faserr"uckzugstabil!"uber anderem System} verstehen wir ein multiplikatives System $\mathscr C^\shriek$ in $\mathscr C$ mit $p(\mathscr C^\shriek)\subset \mathscr B^\shriek$ und mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr C$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ mit vertikalen $\mathscr B^\shriek$-Pfeilen, im Diagramm links, zu einem kommutativen Quadrat\label{VAKKFuux} in $\mathscr C$, im Diagramm rechts, mit den Pfeilen nach rechts kartesisch und dem rechten vertikalen Pfeil nach unten in $\mathscr C^\shriek$ \begin{displaymath} \xymatrix{\kart W\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&X\ar@{-->}[d] &&\mathcal E\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]_?&\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ Z \ar@{..>}[r] &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r] &\mathcal G} \end{displaymath} auch der induzierte linke vertikale Pfeil (im Diagramm mit $?$ markiert) zu $\mathscr C^\shriek$ geh"ort. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"averflechtung zu faserr"uckzugstabilem System}] Sei eine Faserung $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ gegeben und sei $\mathscr B^\shriek\subset \mathscr B$ ein multiplikatives System. Wir erg"anzen als $\mathscr B^{\op{e}}$ das kleinste multiplikative System, das also nur aus den Identit"aten besteht, und bilden zum Tripel $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^\shriek\subset \mathscr B$ den nach \ref{BsKW} zugeh"origen Kategorienwinkel. Gegeben ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System $\mathscr C^\shriek\subset \mathscr C$ "uber $\mathscr B^\shriek$ nach \ref{KKFuux}, das eine Kofaserung ist, erhalten wir eine pr"averflochtene Winkelfaserung "uber der kartesisch regulierten Basis, indem wir alle kommutativen R"uckholquadrate "uber erlaubten Basisquadraten als Verflechtungsquadrate nehmen.\label{VApfAT} Dasselbe gilt, wenn wir f"ur $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^\shriek$ ein beliebiges multiplikatives System nehmen, "uber dem alle $\mathscr C$-Morphismen bereits zu $\mathscr C^\shriek$ geh"oren. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Pr"averflechtung der Garbenopfaserung}] In unserer Garbenopfaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GMab}{TG} bilden die Schreimorphismen "uber stetigen Abbildungen nach "Ubung \eref{ReOp}{TG} ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System\label{VAReO} "uber der vollen Basis $\mathscr B=\mathscr B^\shriek=\op{Top}$. Beschr"anken wir uns auf separierte Morphismen $\mathscr B^\shriek=\op{Top}^{\op{s}}$, so bilden die Schreimorphismen wie bereits in \ref{WFag} erw"ahnt eine Kofaserung und wir erhalten eine Pr"averflechtung der Winkelfaserung $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top} \supset\op{Top}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Top}}^{\op{s}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ aus \ref{WFag} durch die kommutativen R"uckholquadrate "uber den kartesischen Quadraten der Basis. Ebenso erhalten wir allgemeiner nach "Ubung \ref{ReOpM} eine Pr"averflechtung der Winkelfaserung der Modulgarben $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Ger}}}\ra \op{Ger} \supset\op{Ger}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Ger}}^{\op{s}}},\op{Ger}^{\op{es}}\big)$$ durch die kommutativen R"uckholquadrate "uber den kommutativen Quadraten der Basis, die als Quadrate von topologischen R"aumen kartesisch sind. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine pr"averflochtene Winkelfaserung gibt es f"ur jedes erlaubte Basisquadrat, im Diagramm links, und jedes Objekt $\mathcal F$ in der Faser "uber der oberen rechten Ecke, im Diagramm rechts, \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar@{-->}[dd]_g\ar@{..>}[rrr]^q&&&X \ar@{-->}[dd]^f &&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[rr]&&\mathcal F \ar@{-->}[dd] \\ && &&&g_\shriek q^\dagger \mathcal F\ar[dr]&&\\ Z\ar@{..>}[rrr]^p&&&Y&&&p^\dagger f_\shriek\mathcal F\ar@{..>}[r]&f_\shriek\mathcal F } \end{displaymath} genau einen Morphismus $g_{\shriek} q^\dagger\mathcal F \ra p^\dagger f_{\shriek}\mathcal F $ in der Faser "uber $Z$ derart, da"s das rechte Quadrat mit Transportmorphismen von R"uckzug und Schreivorschub als allen anderen Morphismen ein Verflechtungsquadrat wird. Diese Morphismen bilden aufgrund der Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten \ref{FVQN} sogar in ihrer Gesamtheit eine Transformation\label{VAeaBAN} $$\op{vf}: g_{\shriek} q^\dagger\RA p^\dagger f_{\shriek}$$ Wir nennen sie den {\bf Flechtbasiswechsel}\index{Flechtbasiswechsel} unserer pr"averflochtenen Winkelfaserung und notieren sie $\op{vf}$\index{vf@$\op{vf}$ Verflechtung} wie \glqq Verflechtung\grqq. Sind $f,g$ beide Eig\-mor\-phis\-men, so stimmt der Flechtbasiswechsel nach der Charakterisierung von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at mit dem Basiswechsel \eref{BaWW}{TG} der Faserung $\mathscr C^\dagger\ra \mathscr B^\dagger$ "uberein. Sind $p,q$ beide Eigmorphismen, so stimmt er aus demselben Grund mit dem Basiswechsel der Kofaserung $\mathscr C^\shriek\ra \mathscr B^\shriek$ "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Abstrakter Basiswechsel als Flechtbasiswechsel}] In der Winkelfaserung zu einer Bifaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ aus \ref{WFBI} bilden die kommutativen R"uckholquadrate von $\mathscr C$ eine Pr"averflechtung "uber der durch die kommutativen Quadrate regulierten Basis. Der Flechtbasiswechsel f"allt hier mit dem abstrakten Basiswechsel zusammen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kommutativit"at durch Pr"averflechtung}] Gegeben eine pr"averflochtene Winkelfaserung sind die Verflechtungsquadrate "uber einem erlaubten Basisquadrat mit Eig\-mor\-phis\-men auf gegen"uberliegenden horizontalen beziehungsweise vertikalen Kanten der Basis genau die kommutativen R"uckholquadrate.\label{VAvdLKN} In der Tat sind diese Quadrate nach Annahme Verflechtungsquadrate und die Forderung der eindeutigen Erg"anzbarkeit zeigt dann, da"s es "uber besagten erlaubten Basisquadraten keine weiteren Verflechtungsquadrate geben kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten}] Gegeben eine pr"averflochtene Winkelfaserung l"a"st sich jeder Morphismus zwischen den rechten Vertikalen zweier Verflechtungsquadrate "uber einem vorgegebenen erlaubten Basisquadrat auf genau eine Weise zu einem Morphismus zwischen den beiden Verflechtungsquadraten fortsetzen. Um das einzusehen, betrachten wir das Diagramm\label{VAFVQN} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E'\ar@{-->}[ddd] \ar@{..>}[rrr]&&& \mathcal F'\ar@{-->}[ddd] \\ &\mathcal E\ar@{-->}[d]\ar[ul]\ar@{..>}[r]& \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar[ur]& \\ &\mathcal H\ar@{..>}[r]\ar[dl]&\mathcal G\ar[dr]& \\ \mathcal H'\ar@{..>}[rrr]&&& \mathcal G'} \end{displaymath} Beide Quadrate sind Verflechtungsquadrate nach Annahme. Die durchgezogenen Pfeile stellen Morphismen "uber Identit"aten der Basis dar. Das rechte $\mathcal F\mathcal G$-Trapez ist kommutativ nach Annahme und stellt unseren Morphismus zwischen den rechten Vertikalen dar. Das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal E\ra \mathcal E'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal E'\ra \mathcal F'$ kartesisch ist. Das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal H\ra \mathcal H'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal H'\ra \mathcal G'$ kartesisch ist. Es bleibt zu zeigen, da"s dann auch das rechte $\mathcal E\mathcal H$-Trapez kommutiert. Nach der Charakterisierung von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at \ref{vdLKN} sind aber das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez und das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez beide Verflechtungsquadrate. Aufgrund der Verklebbarkeit von Verflechtungsquadraten sind dann auch das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal H\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal G\mathcal G'))$ sowie das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal E'\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal F'\mathcal G'))$ Verflechtungsquadrate. Aus der Gleichheit der rechten Vertikalen folgt dann mit der Eindeutigkeit der Erg"anzung die Gleichheit der zur"uckgeholten Vertikalen und so die Kommutativit"at im rechten $\mathcal E\mathcal H$-Trapez. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformation vom Vorschub zum Schreivorschub}] Gegeben sei eine pr"averflochtene Winkelfaserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ "uber dem Kategorienwinkel zu einem Tripel $\mathscr B\supset \mathscr B^{\shriek}\supset \mathscr B^{\op{e}}$ wie in \ref{BsKW}. Sei $f:X\ra Y$ ein Schreimorphismus der Basis derart, da"s das Faserprodukt $X\times_YX$ existiert und die Diagonale $\Delta=\Delta_f:X\ra X\times_Y X$ ein Eigmorphismus ist und die Projektionen $X\times_Y X\ra X$ ihrerseits wieder Schreimorphismen sind und da"s\label{VATegVN} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_YX \ar@{-->}[d]_{\op{pr}_2}\ar@{..>}[r]^-{\op{pr}_1}& X\ar@{-->}[d]^f \\ X\ar@{..>}[r]^f& Y} \end{displaymath} ein erlaubtes Basisquadrat ist. Dann erhalten wir mit der Notation $\op{Id}$ f"ur den Identit"atsfunktor eine Transformation $\op{Id}\RA f^\dagger f_{\shriek}$ als die Komposition $$\op{Id}=\op{Id}\circ\op{Id} \siRa\op{id}_\shriek\op{id}^\dagger\siRa\op{pr}_{2{\shriek}}\Delta_{\shriek}\Delta^\dagger \op{pr}_{1}^\dagger\RA \op{pr}_{2{\shriek}}\op{pr}_{1}^\dagger \RA f^\dagger f_{\shriek}$$ mit der Adjunktion $(\Delta_{\shriek},\Delta^\dagger)$ f"ur den Eigmorphismus $\Delta$ im vorletzten Schritt und Flechtbasiswechsel \ref{eaBAN} im letzten Schritt. Besitzt $f^\dagger$ einen Linksadjungierten $f_\dagger$, so erhalten wir auf diese Weise sogar eine Transformation $f_\dagger\RA f_{\shriek}$. Sie entspricht einer Transformation $$f_!\RA f_*$$ von Funktoren der opponierten Fasern, mit denen wir es in den Anwendungen meist zu tun haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflechtung}] Ein R"uckholquadrat nennen wir {\bf voll kokartesisch},\index{kokartesisch!voll}\label{VAvKO} wenn seine beiden Vertikalen kokartesisch sind. Eine Pr"averflechtung einer Winkelfaserung nennen wir eine {\bf Verflechtung},\index{Verflechtung} wenn jedes Verflechtungsquadrat mit kokartesischer rechter Vertikale voll kokartesisch ist, wenn also in anderen Worten das Zur"uckholen kokartesische Vertikalen zu kokartesischen Vertikalen macht. In einer verflochtenen Winkelfaserung sind per definitionem alle Flechtbasiswechsel Isomorphismen $$\op{vf}: g_{\shriek} q^\dagger\siRa p^\dagger f_{\shriek}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist in einer verflochtenen Winkelfaserung sowohl die Faserung als auch die Kofaserung jeweils eine Bifaserung und notieren wir die zugeh"origen adjungierten Paare $(f_\dagger,f^\dagger)$ und $(g^\shriek, g_\shriek)$, so liefert der Basiswechsel $g_\shriek q^\dagger\siRa p^\dagger f_\shriek$ "uber einem erlaubten Basisquadrat $fq=pg$ durch "Ubergang zu den Linksadjungierten, wenn sie denn existieren, eine Isotransformation $$f^\shriek p_\dagger\siRa q_\dagger g^\shriek$$ Im Fall einer Pr"averflechtung sind beides nur Transformationen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist in einer verflochtenen Winkelfaserung die Kofaserung eine Bifaserung, so liefert der Inverse $\op{vf}^{-1}: p^\dagger f_\shriek \siRa g_\shriek q^\dagger$ des Basiswechsels "uber einem erlaubten Basisquadrat durch\label{VAaBW} Vorschalten des Linksadjungierten $f^\shriek$ und Nachschalten des Linksadjungierten $g^\shriek$ zusammen mit der Einheit und Koeinheit der Adjunktionen eine Transformation $$g^\shriek p^\dagger\RA q^\dagger f^\shriek$$ Diese Konstruktion gelingt im\label{VAFleB} Fall einer Pr"averflechtung nicht mehr. %$$q^*f^!\RA g^!p^*$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur diskrete gekringte R"aume}] "Uber dem Kategorienwinkel zu $\op{Gekd}\supset \op{Gekd}\supset \op{Gekd}^{\op{e}}$ der diskreten gekringten R"aume mit Abbildungen mit endlichen Fasern als Eigmorphismen und mit der kartesischen Regulierung\label{VAAtaNr} bilden die kommutativen R"uckholquadrate in der Winkelfaserung zu $\op{Ab}_{{\sslash}{\op{Gekd}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Gekd}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Gekd}}^{\op{e}}}$ eine Verflechtung. Das l"auft im wesentlichen auf die Aussage hinaus, da"s Skalarerweiterungen mit direkten Summen vertauschen. Wir notieren diese verflochtene Winkelfaserung $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Gekd}}}\ra \op{Gekd}\supset\op{Gekd} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Gekd}}},\op{Gekd}^{\op{e}}\big)$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur diskrete geringte R"aume}] Wir betrachten den Kategorienwinkel zu $\op{Gerd}\supset \op{Gerd}\supset \op{Gerd}^{\op{e}}$ der diskreten geringten R"aume mit Abbildungen mit endlichen Fasern als Eigmorphismen. Als \hyperref[ReGu]{Regulierung} w"ahlen wir alle Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,\mathcal D)\ar@{-->}[d]_g\ar@{..>}[r]^q & (X,\mathcal A)\ar@{-->}[d]^f\\ (Z,\mathcal C)\ar@{..>}[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} mit der Eigenschaft, da"s die zugrundeliegenden diskreten Mengen ein kartesisches Quadrat bilden und da"s die Multiplikation f"ur alle $w\in W$ mit der Notation $v\pdef fq=pg$ einen Isomorphismus von abelschen Gruppen $$\mathcal C_{g(w)}\otimes_{\mathcal B_{v(w)}}\mathcal A_{q(w)}\sira \mathcal D_w$$ induziert. Wir nennen unsere Regulierung die {\bf kartesisch-tensorielle Regulierung}.\index{Regulierung!kartesisch-tensorielle} In Bezug auf diese Regulierung bilden die kommutativen R"uckholquadrate in der Winkelfaserung zu $\op{Ab}_{{\sslash}{\op{Gerd}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Gerd}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Gerd}}^{\op{e}}}$ eine Verflechtung. Das l"auft im wesentlichen auf die Aussage hinaus, da"s Ska\-lar\-er\-wei\-te\-run\-gen mit direkten Summen vertauschen. Wir notieren diese verflochtene Winkelfaserung $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Gerd}}}\ra \op{Gerd}\supset\op{Gerd} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Gerd}}},\op{Gerd}^{\op{e}}\big)$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur topologische R"aume}] "Uber dem Kategorienwinkel zu $\op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\supset \op{Top}^{\op{es}}$ mit seiner kartesischen Regulierung\label{VAAtaN} bilden die kommutativen R"uckholquadrate in der Winkelfaserung durch $\op{Ab}_{{\sslash}{\op{Top}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Top}^{\op{les}}}}\supset \op{Ab}^\shriek_{{\sslash}{\op{Top}^{\op{es}}}}$ nach "Ubung \eref{ReOp}{TG} und les-Basiswechsel \ref{BaWeax} eine Verflechtung. Wir notieren diese verflochtene Winkelfaserung $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^\shriek_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreivorschub unter Monomorphismen}] Einen Schreimorphismus der Basis, der au"serdem ein Monomorphismus ist, nennen wir einen {\bf Schreimonomorphismus}.\index{Schreimonomorphismus} Gegeben eine verflochtene Winkelfaserung in Bezug auf die kartesische Regulierung der Basis und ein Schreimonomorphismus $i:A\ra X$ der Basis ist das Diagramm\label{VASUS} \begin{displaymath} \xymatrix{ A\ar[rr]^-{\op{id}} \ar[d]_{\op{id}} &&A \ar[d]^{{i}} \\ A\ar[rr]^-{i}&& X} \end{displaymath} kartesisch und Flechtbasiswechsel liefert f"ur alle $\mathcal F\in \mathscr G_X$ einen Isomorphismus $\mathcal F\sira i^\dagger i_\shriek \mathcal F$ alias $$\op{vf}:i^*i_!\mathcal F\sira \mathcal F$$ Im Fall einer Pr"averflechtung bleibt dieser Morphismus sinnvoll definiert, mu"s aber kein Isomorphismus mehr sein. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben einpunktige gekringte Mengen ist jeder Morphismus ein Monomorphismus, dessen Kringhomomorphismus $B\sra A$ eine Surjektion gefolgt von einer Lokalisierung ist. In diesem Fall finden wir mithin Isomorphismen $A\otimes_B(\op{res}_A^BM) \sira M$. \end{Beispiel} %\begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug schreikokartesischer Schreimorphismen}] % In der Gar\-ben\-op\-fa\-se\-rung % $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GaKoFa}{TG} % bilden die schreikokartesischen Schreimorphismen\label{VARSko} %nach les-Basiswechsel \ref{BaWeax} %ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System %"uber dem multiplikativen System der les-Mor\-phis\-men. %In diesem Fall ist $\mathscr B=\op{Top}$ und %$\mathscr B^\shriek=\op{Top}^{\op{les}}$. %\end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist in \ref{TegVN} der Morphismus $f$ bereits selbst ein Eigmorphismus, so ist unsere Komposition in \ref{TegVN} die Einheit der Adjunktion $(f_\shriek, f^\dagger)$ und der induzierte Morphismus ist die Identit"at $f_\dagger=f_\shriek$ aus den Definitionen. Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht. \end{Ubung} \subsection{Konstruktion von Verflechtungen} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"averflechtung durch Kommutativit"at}] Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr G \rightarrow \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie einer Kategorie $\mathscr T$ ist $$(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T \leftarrow \mathscr G , \mathscr T)$$ stets eine \hyperref[AlKnuT]{Pr\"atrennaustauschsituation} und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin eine Pr"averflechtung.\label{sVsV} Ich nenne sie die {\bf banale Pr"averflechtung}\index{Pr"averflechtung!banale schwache} zu unserer Trennfaserung. Wir konstruieren im folgenden weitere Pr"averflechtungen, indem wir von einer banalen Pr"averflechtung ausgehen und sie geeignet einschr"anken \ref{AdKN} und lokalisieren \ref{MAdLo}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"averflechtung durch Einschr"anken}] Gegeben sei eine Trennfaserung $\mathscr G \rightarrow \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie einer Kategorie mit endlichen Produkten $\mathscr T$. Seien $\mathscr T^{!}$ ein multiplikatives System und $\mathscr G^{!}$ ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives\label{AdKN} System in $\mathscr G$ "uber $\mathscr T^{!}$ im Sinne von \ref{ftrs}. Sei weiter $\mathscr T^{\op{e}}\subset \mathscr T^{!}$ ein multiplikatives Teilsystem derart, da"s $\mathscr T^{\op{e}}$ alle Isomorphismen von $\mathscr T$ enth"alt und da"s "uber Morphismen aus $\mathscr T^{\op{e}}$ alle $\mathscr G$-Morphismen bereits $\mathscr G^{!}$-Morphismen sind. So ist $$(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{!} \leftarrow \mathscr G^{!} , \mathscr T^{\op{e}})$$ eine Pr"atrennaustauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate der Familienkategorie bilden darin eine Pr"averflechtung. Das ist leicht direkt einzusehen und analog zur entsprechenden Aussage f"ur gew"ohnlichen Austausch \ref{AdK}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur $\op{Ab}_{\sslash \op{Ens}}$}] Wir erinnern unsere Diskussion des Austauschs im Fall der Garbenopfaserung auf Mengen mit der diskreten Topologie aus \ref{aGTR} und betrachten nun feiner die Garbenoptrennfaserung $$\op{Ab}_{\sslash{\op{Ens}}}\ra \curlywedge{\op{Ens}}$$ Die zugeh"orige Faserung ist eine Kofaserung, so da"s die zugeh"orige Pr"atrennaustauschsituation mit ihrer banalen Pr"averflechtung sogar eine Trennaustauschsituation ist. Gegeben eine $r$-Trennung $f=(f_\rho:I\ra J_\rho)_{\rho=1}^r$ in der Basis und f"ur jedes $\rho$ eine Familie $L_\rho=(L_{\rho,j})_{j\in J_\rho}$ von abelschen Gruppen indiziert von $J_\rho$ ist eine $r$-Trennung $\psi\in\op{Ab}_{{\sslash} f}(M,L_1\curlywedge\ldots\curlywedge L_r)$ "uber unserer Trennung $f$ der Basis eine Familie von multiadditiven Abbildungen $$\left(\psi^\circ_i: L_{1,f_1(i)}\times \ldots\times L_{r,f_r(i)}\ra M_i\right)_{i\in I}$$ Schlie"slich ist solch eine Trennung $\psi$ kartesisch genau dann, wenn diese multiadditiven Abbildungen f"ur alle $i$ Isomorphismen $ L_{1,f_1(i)}\otimes \ldots\otimes L_{r,f_r(i)}\sira M_i$ induzieren. In dieser Situation ist jedoch der Trennr"uckzug eines Tupels kokartesischer Morphismen im allgemeinen\label{trzu} nicht kokartesisch, unsere Pr"averflechtung ist mithin keine Verflechtung. Salopp gesprochen liegt das daran, da"s Produkte im allgemeinen nicht mit dem Tensorprodukt vertauschen. Konkret erhalten wir "uber dem kartesischen Diagramm links in der Familienkategorie der Basis mit $J$ einer einpunktigen Menge und konstanten Garben mit Faser $M$ rechts zum kokartesischen Tupel aus vertikalen Morphismen rechts \begin{displaymath} \begin{array}{c} \xymatrix{ I\ar[r]^-{(\op{id},f)} \ar[d]_{f} &I\curlywedge J \ar[d]^{{f}\curlywedge {\op{id}}} \\ J\ar[r]^-{(\op{id},\op{id})}& J\curlywedge J} \end{array}\quad\begin{array}{c}\xymatrix{ (M\otimes N)_I\ar[r] \ar[d] &M_I\curlywedge N_J \ar[d] \\ \big((\prod_{i\in I}M)\otimes N\big)_J\ar[r]& (\prod_{i\in I}M)_J\curlywedge N_J} \end{array} \end{displaymath} durch Zur"uckholen im allgemeinen keine kokartesische Kante. Betrachten wir nun feiner das faserr"uckzugstabile multiplikative System $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Ens}}}$ aller eigentlichen Opkomorphismen.\label{agtr2} In der in \ref{aGTR} verwendeten Notation besteht die Menge $\op{Ab}^!_{{\sslash} f}(M,L)$ der eigentlichen Opkomorphismen "uber einer Abbildung $f:I\ra J$ aus allen Opkomorphismen $\psi\in \op{Ab}_{{\sslash} f}(M,L)$ derart, da"s f"ur jedes feste $j$ und jedes feste $l\in L_j$ von den Gruppenhomomorphismen $\psi_i^\circ:L_{f(i)}\ra M_i$ mit $f(i)=j$ alle bis auf h"ochstens endlich viele auf $l$ verschwinden. "Uber Abbildungen mit endlichen Fasern sind alle Opkomorphismen eigentlich. Bezeichnen wir also mit $\op{Ens}^{\op{e}}$ das multiplikative System aller Abbildungen mit endlichen Fasern, so liefert uns \ref{AdK} eine weitere Pr"atrennaustauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Ens}}}\ra \curlywedge{\op{Ens}}\supset \op{Ens}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Ens}}},\op{Ens}^{\op{e}}\big) $$ mit Pr"averflechtung. Ein eigentlicher Opkomorphismus ist offensichtlich eigkokartesisch genau dann, wenn die $\psi_i^\circ$ f"ur alle $j\in J$ Isomorphismen auf die direkte Summe $L_j\sira \bigoplus_{f(i)=j}M_i$ induzieren. Statt der zuvor betrachteten Situation erhalten wir nun ein Verflechtungsquadrat der Gestalt \begin{displaymath} \begin{array}{c} \xymatrix{ I\ar[r]^-{(\op{id},f)} \ar[d]_{f} &I\curlywedge J \ar[d]^{{f}\curlywedge {\op{id}}} \\ J\ar[r]^-{(\op{id},\op{id})}& J\curlywedge J} \end{array}\quad\begin{array}{c}\xymatrix{ (M\otimes N)_I\ar[r] \ar[d] &M_I\curlywedge N_J \ar[d] \\ \big((\bigoplus_{i\in I}M)\otimes N\big)_J\ar[r]& (\bigoplus_{i\in I}M)_J\curlywedge N_J} \end{array} \end{displaymath} Wir sehen so, da"s zumindest in diesem Fall der R"uckzug eines Tupels eigkokartesischer Morphismen wieder eigkokartesisch ist. Da"s das immer so sein mu"s und wir hier eine Trennaustauschsituation mit Verflechtung konstruiert haben, mag sich der Leser zur "Ubung selbst "uberlegen. Im wesentlichen folgt es aus \ref{Rzst}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Verdier-Dualit"at im Fall endlicher Mengen}] Man konstruiert im vorhergehenden Beispiel \ref{agtr2} der abelschen Garben auf endlichen diskreten Mengen f"ur jede Abbildung $f:I\ra J$ auch unschwer eine Adjunktion $(f^\dagger,f_\shriek)$ von Funktoren zwischen $\op{Ab}_{\sslash I}$ und $\op{Ab}_{\sslash J}$. Wir kennen diese Adjunktion bereits aus \eref{lfad}{TG} in etwas gr"o"serer Allgemeinheit. Im Licht der Verdier-Dualit"at, wie wir sie sp"ater diskutieren, bedeutet sie einen Isomorphismus von Funktoren $f^\dagger\siRa f^\shriek$ und in der Notation f"ur nichtopponierte Garbenkategorien einen Isomorphismus von Funktoren $f^!\siRa f^*$. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Verflechtung durch Lokalisieren}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Trennaustauschsituation} mit Pr"averflechtung und darin ein faserweises ges"attigtes Oresystem $S$. Gibt es eine Rechtslinksanpassung und sind alle naiven Verflechtungsquadrate voll kokartesisch, so gibt es genau eine Verflechtung der lokalisierten Trennaustauschsituation, die alle naiven Verflechtungsquadrate enth"alt.\label{MAdLo} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Rechtslinksanpassung} verstehen wir in diesem Kontext ein Paar $(\mathscr R,\mathscr L)$ von Teilmengen der Objektmenge derart, da"s alle Tupel aus derartigen Objekten eine Rechtslinksanpassung $(\curlywedge\mathscr R,\curlywedge\mathscr L)$ der auf der Familienkategorie induzierten Austauschsituation im Sinne von \ref{nbVn} bilden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das alles folgt unmittelbar, indem wir auf die zu unserer Trennaustauschsituation geh"orige Austauschsituation $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{!\;\!\shortparallel}\leftarrow \mathscr G^{!\!\; \shortparallel}, \mathscr T^{ \op{e}\shortparallel})$$ f"ur die Familienkategorien Satz \ref{AdLo} "uber die Lokalisierung von Pr"averflechtungen zu Verflechtungen anwenden. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachte Bedingungen f"ur Verflechtung durch Lokalisieren}] In unserem Satz \ref{MAdLo} zur Verflechtung durch Lokalisieren reicht es aus anzunehmen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate "uber elementaren Trennquadraten der Basis voll kokartesisch sind.\label{eMAdLo} In der Tat ist die Menge derjenigen Basisquadrate der Familienkategorie, "uber denen alle naiven Verflechtungsquadrate voll kokartesisch sind, stets stabil unter dem Vertupeln und unter unseren Annahmen nach \ref{neNV} und \ref{AKnV} auch stabil unter dem Verkleben. Nach \ref{Rzst} besteht diese Menge unter unseren schw"acheren Annahmen also auch bereits aus allen Basisquadraten der Familienkategorie. \end{Bemerkungl} \subsection{Trennr"uckzug-Eigvorschub f"ur Modulgarben} \begin{Bemerkungw} Wir beginnen mit dem Fall abelscher Garben und erweitern anschlie"send die Argumentation auf Modulgarben. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennverflechtung f"ur abelsche Garben}] Die zur Garbenoptrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ gebildete banale Pr"atrennaustauschsituation mit Pr"averflechtung liefert durch Einschr"anken nach \ref{aGTR3} eine Trennaustauschsituation mit Pr"averflechtung $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ Durch "Ubergang zu den Homotopiekategorien erhalten wir f"ur $\sharp\in \{+,-,\op{b},\;\}$ eine jede der vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Pr"averflechtung\label{hotm} $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennverflechtung f"ur halbseitig derivierte abelsche Garben}] Die letzte Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Pr"averflechtung aus \ref{hotm} mit $\sharp=-$ l"a"st sich nach \ref{eMAdLo} nach Quasiisomorphismen lokalisieren zur verflochtenen Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion der halbseitig derivierten abelschen Garben $$\left(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{!-}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ In der Tat finden wir eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$ mit $\mathscr L$ allen Komplexen aus flachen abelschen Garben und $\mathscr R$ allen Komplexen aus schwach kompaktweichen abelschen Garben. Da"s das jeweils f"ur sich genommen Anpassungen sind, wissen wir bereits aus \ref{VRT} und \ref{VRTeb}. Da"s es zu jedem Objekt von $\mathscr L$ einen $S$-Morphismus von einem Objekt von $\mathscr R\cap \mathscr L$ gibt, zeigt die Godementaufl"osung $\mathcal L\qri {\op{G}}^\lhd\mathcal L$, die ja nach \ref{ZFe} aus flachen Garben besteht, wenn $\mathcal L$ ein Komplex flacher Garben ist. Genauer gilt es, die Godementaufl"osung in den opponierten Kategorien als Morphismus in die Gegenrichtung zu betrachten. Die zweite Bedingung an eine Rechtslinksentfaltung \ref{nbVn} schlie"slich zeigt man wie in \ref{VRLm0} ausgef"uhrt wird, nur nimmt man elementarer als $\mathcal L$ einen Komplex flacher abelscher Garben\label{TvABG1} zusammen mit einem Quasiisomorphismus von $\mathcal L$ nach $\mathcal F$. Um \ref{eMAdLo} anwenden zu k"onnen, m"ussen wir nur noch pr"ufen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate "uber elementaren kartesischen Trennquadraten der Basis mit les-Vertikalen voll kokartesisch sind. Im Fall von kartesischen Trennquadraten mit Einstrennungen in den Horizontalen haben wir das bereits in \ref{kolesb} gepr"uft. Im Fall von kartesischen Trennquadraten mit Leertrennungen in den Horizontalen ist es offensichtlich. Im Fall von Projektionsformelquadraten schlie"slich folgt es unmittelbar aus der Projektionsformel \ref{ProFor}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur beidseitig derivierte abelsche Garben}] Die letzte Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Pr"averflechtung aus \ref{hotm} mit $\sharp$ der leeren Beschr"ankungsbedingung l"a"st sich, wenn wir nur lesb-Abbildungen als les-Morphismen erlauben, wieder nach \ref{eMAdLo} nach Quasiisomorphismen lokalisieren zur verflochtenen Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion der beidseitig derivierten abelschen Garben\label{TvABG2} $$\left(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ Die Argumente sind dieselben wie im halbseitig beschr"ankten Fall \ref{TvABG1} mit dem einzigen Unterschied, da"s f"ur lesb-Abbildungen $f$ beliebige Komplexe schwach kompaktweicher abelscher Garben $Qf_{(!)}$-entfaltet sind. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflechtung f"ur derivierte Modulgarben, Vorbereitung}] Die Trennfaserung der Modulgarben auf gekringten R"aumen $\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$ aus \ref{TFmg} liefert nach \ref{sVsV} eine banale Pr"atrennaustauschsituation $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}\leftarrow \op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}, \op{Gek})$$ mit banaler Pr"averflechtung. Nach "Ubung \ref{MReOM} bilden die eigentlichen Opkomorphismen aus "Ubung \ref{ReOpM} darin ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}}$. Per definitionem sind "uber jedem auf den zugrundeliegenden topologischen R"aumen eigentlichen Morphismus der Basis alle Opkomorphismen von Modulgarben eigentlich. Das multiplikative System der topologisch eigentlichen Morphismen der Basis notieren wir $\op{Gek}^{\op{e}}$ und erhalten so durch Einschr"anken \ref{AdKN} eine weitere Pr"atrennaustauschsituation $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}}, \op{Gek}^{\op{e}})$$ mit Pr"averflechtung. Schr"anken wir weiter ein zu topologisch separierten Abbildungen $\op{Gek}^{\op{s}}\subset\op{Gek}$ , so wird $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{s}}}\ra \op{Gek}^{\op{s}}$ sogar eine Kofaserung mit den topologischen $f_{(!)}$ zusammen mit der entsprechenden Restriktion der Modulstruktur oder vielmehr dem auf den opponierten Kategorien induzierten Funktor als Vorschub und erhalten eine Austauschsituation mit Pr"averflechtung $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{s}}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{s}}}, \op{Gek}^{\op{es}})$$ Durch "Ubergang zu den Homotopiekategorien wird daraus eine Trennaustauschsituation mit Pr"averflechtung $$\big(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{s}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{s}}}), \op{Gek}^{\op{es}}\big)$$ Um durch Lokalisieren nach Quasiisomorphismen eine Verflechtung zu erhalten, schr"anken wir weiter ein und erlauben als les-Morphismen nur solche Morphismen von gekringten R"aumen $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$, bei denen $f:X\ra Y$ lesb ist und $\mathcal A_x$ flach "uber $\mathcal B_{f(x)}$ f"ur alle $x\in X$ und notieren $\op{Gek}^{\op{lesbf}}\supset \op{Gek}^{\op{esbf}}$ das multiplikative System dieser Morphismen beziehungsweise seiner Elemente, die au"serdem eigentlich sind. Wir nennen einen Morphismus von gekringten R"aumen einen {\bf lesb-Morphismus}, \index{lesb!Morphismus gekringter R"aume} wenn die zugrundeliegende stetige Abbildung lesb ist. Da"s diese Systeme trennr"uckzugstabil sind, mag man etwa mit Hilfe von \ref{Rzst} folgern. So erhalten wir schlie"slich eine Trennaustauschsituation mit Pr"averflechtung\label{TrHMo} $$\big(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{lesbf}}}), \op{Gek}^{\op{esbf}}\big)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wir verzichten mit unserer Definition eines lesb-Morphismus auf die erwartbare gr"o"sere Allgemeinheit aller les-Abbildungen, bei denen die homologische Dimension des Eigvorschubs nur auf auf Modulgarben statt wie bei uns auf allen abelschen Garben beschr"ankt ist. \nichtfinal{Sollte nicht verzichten!} \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Trennverflechtung f"ur beidseitig derivierte Modulgarben}] Die letzte der in \ref{TrHMo} angegebenen Trennaustauschsituationen mit Pr"averflechtung l"a"st sich nach Quasiisomorphismen lokalisieren im Sinne von \ref{MAdLo} zu einer verflochtenen Trennaustauschsituation\label{tBm} $$\big(\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Der}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{lesbf}}}), \op{Gek}^{\op{esbf}}\big)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Einen h"oheren Zugang zu noch allgemeineren und st"arkeren Aussagen in dieser Richtung kann man in der Dissertation von Recktenwald \cite{??} finden, die ihrerseits auf dem Formalismus von H"ormann \cite{??} aufbaut. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Eine Rechtslinksanpassung ist das Paar $(\mathscr R,\mathscr L)$ mit $\mathscr L$ allen quisflachen Komplexen von Modulgarben und $\mathscr R$ allen Komplexen schwach kompaktweicher Modulgarben, wie aus den in \ref{VRLm0} diskutierten Eigenschaften von Godementaufl"osungen leicht folgt. Nach \ref{eMAdLo} bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate der lokalisierten Trennaustauschsituation "uber elementaren Trennquadraten der Basis voll kokartesich sind. Im Fall eines kartesischen Trennquadrats mit Leertrennungen in den Horizontalen ist das eh klar. Im Fall kartesischer Trennquadrate mit Einstrennungen in den Horizontalen bemerken wir zun"achst, da"s jeder Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen faktorisiert als $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$. Jedes derartige Trennquadrat l"a"st sich mithin erhalten als Verklebung der vier Trennquadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] & (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X,\mathcal A) \ar[d] \\ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Kringgarben. Unter unseren Annahmen ist aber nach \ref{neNV} und \ref{AKnV} die Menge der voll kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate stabil unter Verkleben. Es reicht also, f"ur jedes dieser vier kartesischen Quadrate zu pr"ufen, da"s dar"uber jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Im Quadrat oben links geht es nur um Beziehungen zwischen Restriktion und Erweiterung von Skalaren, da folgt die Behauptung aus der Voraussetzung der Flachheit der $\mathcal A_x$ "uber $\mathcal B_{f(x)}$, die dazu f"uhrt, da"s jeder quisflache Komplex von $\mathcal A$-Modulgarben zu einem quisflachen Komplex von $\mathcal B$-Modulgarben restringiert. Im Quadrat oben rechts ist die Aussage auch leicht zu sehen, dort geht es nur um die Vertr"aglichkeit des gew"ohnlichen R"uckzugs mit einer Restriktion der Skalare. Unten rechts haben wir lokal eigentlichen Basiswechsel wie wir ihn kennen, nur da"s zus"atzlich noch Kringgarben operieren. Es bleibt zu zeigen, da"s auch "uber dem Trennquadrat unten links jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Das stellen wir zur"uck und behandeln zun"achst den auch noch ausstehenden Fall der Projektionsformelquadrate zu einem lesbf-Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$. Wie zuvor k"onnen wir ihn faktorisieren in $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$ und d"urfen die beiden Faktoren getrennt betrachten. Im Fall $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)$ reicht es zu zeigen, da"s f"ur jeden quisflachen Komplex $\mathcal G$ von $f^*\mathcal B$-Moduln und jeden Komplex $\mathcal F$ von $\mathcal A$-Moduln der offensichtliche Morphismus ein Quasiisomorphismus $$ (\op{res}_{\mathcal A}^{f^*\mathcal B}\mathcal F)\otimes_{f^*\mathcal B}\mathcal G\sira\op{res}_{\mathcal A}^{f^*\mathcal B}(\mathcal F\otimes_{\mathcal A}(\mathcal A\otimes_{f^*\mathcal B}\mathcal G))$$ ist. Das ist sogar ohne alle Annahmen an $\mathcal G$ offensichtlich. Im zweiten Fall erinnern wir, da"s wir nach \ref{hflL} zu jedem Komplex von Modulgarben einen Quasiisomorphismus von einem quisflachen Komplex flacher Modulgarben finden k"onnen. Es reicht deshalb zu zeigen, da"s f"ur jeden Komplex $\mathcal F$ von schwach kompaktweichen $f^*\mathcal B$-Moduln und jeden quisflachen Komplex $\mathcal G$ von flachen $\mathcal B$-Moduln der offensichtliche Morphismus ein Quasiisomorphismus $$(f_{(!)}\mathcal F)\otimes_{\mathcal B} \mathcal G\sira f_{(!)}(\mathcal F\otimes_{f^*\mathcal B} f^*\mathcal G)$$ ist und $\mathcal F\otimes_{f^*\mathcal B} f^*\mathcal G$ aus $f$-kompaktweichen Garben besteht. In der Tat ist dann $\tau\curlywedge \op{id}:\mathcal F\curlywedge \mathcal G\ra f_{(!)}\mathcal F\curlywedge \mathcal G$ mit dem Transportmorphismus vorne ein Morphismus von unter den jeweiligen R"uckz"ugen entfalteten Objekten, der kokartesisch wird in der Lokalisierung und ein voll kokartesisches naives Verflechtungsquadrat liefert. Unter diesen Annahmen kommt unser Morphismus aber nach der Projektionsformel \ref{ProFor} sogar von einem Isomorphismus von Doppelkomplexen aus $f$-kompaktweichen Garben her. Schlie"slich k"ummern wir uns noch um das kartesische Trennquadrat mit Einsmorphismen in den Horizontalen in unserem gro"sen Diagramm unten links, dessen Behandlung wir zur"uckgestellt hatten. Mit einigen Vereinfachungen der Notation hat es die Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,g^*\mathcal B)\ar[d]^g\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,\mathcal B) } \end{displaymath} Sei also $\mathcal F$ ein quisflacher Komplex aus kompaktweichen $g^*\mathcal B$-Moduln. Das zugeh"orige naive Verflechtungsquadrat hat dann diesselbe linke Vertikale wie das naive Verflechtungsquadrat zu $\mathcal F\curlywedge \mathcal C$ "uber dem Projektionsformelquadrat \glqq mit Raumwechsel ohne Ringwechsel\grqq, von dem wir bereits wissen, da"s es voll kokartesisch ist. \nichtfinal{Das br"auchte sogar nicht-kommutativ!} Das beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennverflechtung f"ur halbseitig derivierte Modulgarben}] Der vorherige Satz gilt analog f"ur halbseitig derivierte Modulgarben. Wir d"urfen dann beliebige les-Abbildungen zulassen und m"ussen uns nicht auf lesb-Abbildungen beschr"anken, d"urfen aber stattdessen nur gekringte R"aume $(X,\mathcal A)$ endlicher Tor-Dimension zulassen.\label{tHDm} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Will man Eigvorsch"ube mit nicht notwendig flachen Kringgarbenkomorphismen zulassen, so wird man allgemeiner mit differentiellen graduierten Kringgarben arbeiten m"ussen. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Gegeben ein Kringhomomorphismus $k\ra K$ und eine lesb-Abbildung $f:X\ra Y$ betrachten wir das kartesische Diagramm konstant gekringter R"aume \begin{displaymath} \xymatrix{ (X,K)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,k)\ar[d]^f\\ (Y,K)\ar[r]^p & (Y,k) } \end{displaymath} Der zugeh"orige Verflechtungsisomorphismus ist die Vertr"aglichkeit von $f_!$ mit Eweiterung der Skalare $K\otimes_k^{\op{L}}$. Im Fall eines einpunktigen Raums $Y$ mag man sie das {\bf universelle Koeffiziententheorem der kompakten Kohomologie} nennen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Das universelle Koeffiziententheorem in einem Spezialfall}] Im Fall $X=S^1$ und $Y=\op{top}$ und dem Kringhomomorphismus $\DZ\ra \DZ/2\DZ$ und der nichtkonstanten aber lokal zur konstanten Garbe $\DZ$ isomorphen abelschen Garbe $\mathcal M$ auf $S^1$ ist $q^*\mathcal M=(\DZ/2\DZ)\otimes_\DZ\mathcal M$ die konstante Garbe $\DZ/2\DZ$ und wir erhalten $g_!q^*\mathcal M\cong \DZ/2\DZ\oplus [-1]\DZ/2\DZ$. Um andererseits $f_!\mathcal M$ zu bestimmen, erinnern wir die Mayer-Vietoris-Sequenz der lokalen Kohomologie \eref{MVkK}{TG} und finden, da"s nur ${\op{H}}^1_!(S^1;\mathcal M)$ von Null verschieden ist und isomorph ist zum Kokern der Abbildung $\DZ^2\ra \DZ^2$ gegeben durch $(a,b)\mapsto (a+b,a-b)$ alias ${\op{H}}^1_!(S^1;\mathcal M)\cong \DZ/2\DZ$ und $f_!\mathcal M\cong [-1]\DZ/2\DZ$. Damit ergibt sich $p^*f_!\mathcal M\cong \DZ/2\DZ\oplus [-1]\DZ/2\DZ$ und wie behauptet $g_!q^*\mathcal M\cong p^*f_!\mathcal M$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Die K"unnethformel der kompakten Kohomologie}] Gegeben lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$ betrachten wir in der Familienkategorie der banalen Trennkategorie topologischer R"aume das kartesische Diagramm mit les-Vertikalen\index{K"unnethformel!der kompakten Kohomologie} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Y \ar[r] \ar[d]_{c\pdef c_{X\times Y}}&X\curlywedge Y \ar[d]^{c_X\curlywedge c_Y} \\ \op{top}\ar[r]& \op{top}\curlywedge \op{top}} \end{displaymath} Aus \ref{extT} erhalten wir einen Isomorphismus $\underline{X\times Y}\sira \underline{X}\boxtimes \underline{Y}$ oder in anderer Notation $\DZ_{X\times Y}\sira \DZ_{X}\boxtimes \DZ_{Y}$. Derivierter lokal eigentlicher Basiswechsel \ref{VexP} alias die Verflechtung in der verflochtenen Trenaustauschsituation der halbseitig derivierten abelschen Garben \ref{TvABG1} in unserem kartesischen Diagramm mit der Diagonale als unterer Horizontale liefert weiter einen Isomorphismus $ c_{X!}\DZ_{X}\otimes c_{Y!}\DZ_{Y}\sira c_!(\DZ_{X}\boxtimes \DZ_{Y})$. Alles in allem erhalten wir so einen Isomorphismus $$ c_{X!}\DZ_{X}\otimes c_{Y!}\DZ_{Y}\sira c_!\DZ_{X\times Y}$$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{top}}})=\op{Der}(\op{Ab})$. Das Tensorprodukt ist bis hierher stets deriviert als $\otimes=\otimes^{\op{L}}$ zu verstehen. Mit der abstrakten K"unnethformel \eref{HTPKl}{TD} erhalten wir daraus, jetzt aber mit $\otimes$ als underiviertem Tensorprodukt, nat"urliche unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen\label{KueFx} von abelschen Gruppen $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}_!^p X\otimes {\op{H}}_!^q Y \;\hra\; {\op{H}}_!^n(X\times Y)\;\sra\; \bigoplus_{p+q=n+1}{\op{H}}_!^p X\ast {\op{H}}_!^q Y$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{K"unnethformel mit Koeffizienten}] Gegeben ein Kring $k$ endlicher Torsionsdimension und lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$ liefert unsere Trennverflechtung f"ur halbseitig derivierte Modulgarben \ref{tHDm} in derselben Weise in $\op{Der}(\op{Mod}_{k})$ einen ausgezeichneten Isomorphismus $$c_{X!}k_{X}\otimes c_{Y!}k_{Y}\sira c_!k_{X\times Y}$$ Dasselbe folgt f"ur einen beliebigen Kring $k$ und lesb-R"aume $X,Y$ aus unserer Trennverflechtung f"ur beidseitig derivierte Modulgarben \ref{tBm}. \end{Beispiel} \subsection{Trennr"uckzug-Eigvorschub-Formalismus, ALT} Winkeltrennfaserung; Verflochtene, regulierte, kokartesisch verflochtene. \begin{Definition}\label{AlKnuTA} Unter einer {\bf Pr"a-Trennaustauschsituation}\index{Pr"atrennaustauschsituation} verstehen wir eine Vorgabe von Daten $$(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{!} \leftarrow \mathscr G^{!} , \mathscr T^{\op{e}},i)$$ bestehend aus einer Kategorie $\mathscr T$, der {\bf Basiskategorie} oder {\bf Basis};\index{Basis!einer Pr"atrennaustauschsituation} darin zwei ausgezeichneten \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systemen} $\mathscr T^{\op{e}}\subset \mathscr T^{{!}}\subset \mathscr T$, die beide alle Isomorphismen enthalten; einer Trennkategorie $\mathscr G$ und einer Trennfaserung $a:\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie zu $\mathscr T$; einem Funktor $b:\mathscr G^{!}\ra \mathscr T^{!}$; sowie einem Isomorphismus $i:\mathscr G^{!}|\mathscr T^{\op{e}}\sira \mathscr G|\mathscr T^{\op{e}}$ von Kategorien "uber $\mathscr T^{\op{e}}$. Ist $b:\mathscr G^{!}\ra \mathscr T^{!}$ eine Kofaserung, so sprechen wir von einer {\bf Trennaustauschsituation}.\index{Trennaustauschsituation} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sprechweisen und Notationen}]\label{SwnT} \begin{enumerate} \item Wir behandeln unseren Isomorphismus $i$ in der Notation meist als eine Gleichheit und reden dann vereinfachend von einer Pr"atrennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{!} \leftarrow \mathscr G^{!} , \mathscr T^{\op{e}})$. Da alle Identit"aten zu $\mathscr T^{\op{e}}$ geh"oren, bedeutet das insbesondere, da"s $\mathscr G$ und $\mathscr G^!$ dieselben Objekte haben und sogar dieselben Fasern $\mathscr G_X=\mathscr G^!_X$ "uber allen Objekten $X$ der Basis. \item Die Morphismen in $\mathscr T^!$ beziehungsweise $\mathscr T^{\op{e}}$ nennen wir wie bei einer Autauschsituation {\bf Lesmorphismen}\index{Lesmorphismus} beziehungsweise {\bf Geigmorphismen}.\index{Geigmorphismus} \item Den Trennr"uckzug l"angs einer Trennung $p$ der Basis notieren wir $p^\dagger$. Ist unsere Pr"atrennaustauschsituation eine Trennaustauschsituation, ist also $b:\mathscr G^!\ra \mathscr T^!$ eine Kofaserung, so notieren wir den Vorschub in Bezug auf diese Kofaserung l"angs eines Lesmorphismus $f_\shriek$ und nennen ihn weiter den {\bf Eigvorschub}. \item Gegeben ein Objekt $X\in \mathscr T$ der Basis vereinbaren wir f"ur die zur Faser opponierte Schmelzkategorie wie in \ref{schmkL} die Notation $\mathscr G_{/X}\pdef \mathscr G_{X}^{\op{opp}}$. In typischen Anwendungen sind das Kategorien von Garben auf $X$. Die universellen Verschmelzungen in diesen Schmelzkategorien notieren wir $\otimes=\otimes_{X}$\index{o@$\otimes_{X}$ Verschmelzung in Faser} wie in \ref{schmkL}. Den Opponierten des R"uckzugs in unserer Faserung $\mathscr G\ra \mathscr T$ f"ur einen Morphismus $f:X\ra Y$ der Basis $\mathscr T$ notieren wir $f^*\pdef (f^\dagger)^{\op{opp}}: \mathscr G_{/Y}\ra \mathscr G_{/X}$. Den Opponierten des Eigvorschubs l"angs eines Lesmorphismus $f:X\ra Y$ der Basis notieren wir $f_{!}\pdef (f_\shriek)^{\op{opp}}: \mathscr G_{/X}\ra \mathscr G_{/Y}$ und genauer $f_{!}: \mathscr G_{/X}^{!}\ra \mathscr G_{/Y}^{!}$, wenn unser Isomorphismus $i$ keine Gleichheit sein sollte. \item Unsere Daten beinhalten im Fall einer Trennaustauschsituation speziell f"ur jeden Geigmorphismus $f$ eine Adjunktion $(f_\shriek,f^\dagger)$ alias $(f^*,f_{!})$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Ubergang zu den Familienkategorien}] Jede (Pr"a-)Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion induziert eine \hyperref[AlKnu]{(Pr\"a-)Aus\-tausch\-si\-tua\-tion} $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{\shortparallel {!} }\leftarrow \mathscr G^{\shortparallel {!} }, \mathscr T^{\shortparallel \op{e}})$$ auf den Familienkategorien, bei der die Eig- beziehungsweise Lesmorphismen in der Basis genau alle Tupel mit der Identit"at als Indexabbildung von Morphismen unserer Unterkategorien $\mathscr T^{ \op{e}}\subset \mathscr T^{ {!} }$ sind und die $\mathscr G^{\shortparallel{!}}$-Morphismen in der Faser Tupel von $\mathscr G^{!} $-Morphismen. Unter einem {\bf Basisquadrat} verstehen wir im Kontext einer (Pr"a-)Trennaustauschsituation ein Basisquadrat der Familienkategorie im Sinne von \ref{BaQua}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf (Pr"a-)Verflechtung}\index{Pr"averflechtung!f"ur Trennaustauschsituation} einer Pr"atrenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion verstehen wir eine \hyperref[AusDa]{(Pr\"a-)Verflechtung} der auf den Familienkategorien induzierten Austauschsituation mit der Zu\-satz\-ei\-gen\-schaft, da"s das Vertupeln Verflechtungsquadrate zu Verflechtungsquadraten macht. Ein Verflechtungsquadrat der Familienkategorie mit einer $r$-Trennung als zur"uckholendem Morphismus nennen wir ein {\bf $r$-Verflechtungsquadrat}. \index{Verflechtungsquadrat!$r$-Verflechtungsquadrat} \end{Bemerkungl} \subsection{Konstruktion von Verflechtungen, ALT} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"averflechtung durch Kommutativit"at}] Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr G \rightarrow \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie einer Kategorie $\mathscr T$ ist $$(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T \leftarrow \mathscr G , \mathscr T)$$ stets eine \hyperref[AlKnuT]{Pr\"atrennaustauschsituation} und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin eine Pr"averflechtung.\label{sVsV} Ich nenne sie die {\bf banale Pr"averflechtung}\index{Pr"averflechtung!banale schwache} zu unserer Trennfaserung. Wir konstruieren im folgenden weitere Pr"averflechtungen, indem wir von einer banalen Pr"averflechtung ausgehen und sie geeignet einschr"anken \ref{AdKN} und lokalisieren \ref{MAdLo}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"averflechtung durch Einschr"anken}] Gegeben sei eine Trennfaserung $\mathscr G \rightarrow \curlywedge\mathscr T$ "uber der banalen Trennkategorie einer Kategorie mit endlichen Produkten $\mathscr T$. Seien $\mathscr T^{!}$ ein multiplikatives System und $\mathscr G^{!}$ ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives\label{AdKN} System in $\mathscr G$ "uber $\mathscr T^{!}$ im Sinne von \ref{ftrs}. Sei weiter $\mathscr T^{\op{e}}\subset \mathscr T^{!}$ ein multiplikatives Teilsystem derart, da"s $\mathscr T^{\op{e}}$ alle Isomorphismen von $\mathscr T$ enth"alt und da"s "uber Morphismen aus $\mathscr T^{\op{e}}$ alle $\mathscr G$-Morphismen bereits $\mathscr G^{!}$-Morphismen sind. So ist $$(\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{!} \leftarrow \mathscr G^{!} , \mathscr T^{\op{e}})$$ eine Pr"atrennaustauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate der Familienkategorie bilden darin eine Pr"averflechtung. Das ist leicht direkt einzusehen und analog zur entsprechenden Aussage f"ur gew"ohnlichen Austausch \ref{AdK}. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Verflechtung durch Lokalisieren}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Trennaustauschsituation} mit Pr"averflechtung und darin ein faserweises ges"attigtes Oresystem $S$. Gibt es eine Rechtslinksanpassung und sind alle naiven Verflechtungsquadrate voll kokartesisch, so gibt es genau eine Verflechtung der lokalisierten Trennaustauschsituation, die alle naiven Verflechtungsquadrate enth"alt.\label{MAdLo} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Rechtslinksanpassung} verstehen wir in diesem Kontext ein Paar $(\mathscr R,\mathscr L)$ von Teilmengen der Objektmenge derart, da"s alle Tupel aus derartigen Objekten eine Rechtslinksanpassung $(\curlywedge\mathscr R,\curlywedge\mathscr L)$ der auf der Familienkategorie induzierten Austauschsituation im Sinne von \ref{nbVn} bilden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das alles folgt unmittelbar, indem wir auf die zu unserer Trennaustauschsituation geh"orige Austauschsituation $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{!\;\!\shortparallel}\leftarrow \mathscr G^{!\!\; \shortparallel}, \mathscr T^{ \op{e}\shortparallel})$$ f"ur die Familienkategorien Satz \ref{AdLo} "uber die Lokalisierung von Pr"averflechtungen zu Verflechtungen anwenden. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachte Bedingungen f"ur Verflechtung durch Lokalisieren}] In unserem Satz \ref{MAdLo} zur Verflechtung durch Lokalisieren reicht es aus anzunehmen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate "uber elementaren Trennquadraten der Basis voll kokartesisch sind.\label{eMAdLo} In der Tat ist die Menge derjenigen Basisquadrate der Familienkategorie, "uber denen alle naiven Verflechtungsquadrate voll kokartesisch sind, stets stabil unter dem Vertupeln und unter unseren Annahmen nach \ref{neNV} und \ref{AKnV} auch stabil unter dem Verkleben. Nach \ref{Rzst} besteht diese Menge unter unseren schw"acheren Annahmen also auch bereits aus allen Basisquadraten der Familienkategorie. \end{Bemerkungl} \subsection{R"uckzug-Eigvorschub-Formalismus} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierbare beschr"ankte pr"averflochtene Austauschsituation, ALT}] Um von \ref{prAFG} ausgehend durch Lokalisierung nach Quasiisomorphismen in $\op{Hot}^-$ eine Verflechtung zu erhalten, schr"an\-ken wir weiter ein und erlauben als les-Morphismen nur solche Morphismen von geringten R"aumen $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$, bei denen $f:X\ra Y$ les ist und $\mathcal A_x$ flach als Linksmodul "uber $\mathcal B_{f(x)}$ f"ur alle $x\in X$. Wir notieren $\op{Ger}^{\op{lesf}}\supset \op{Ger}^{\op{esf}}$ das multiplikative System dieser Morphismen beziehungsweise besagter Morphismen, die zus"atzlich eigentlich sind. Au"serdem beschr"anken wir uns in einer ersten Version f"ur halbseitig beschr"ankte Komplexe auf die Kategorie $\op{Gerte}$ der geringten R"aume endlicher Torsionsdimension. Dann erhalten wir nach \ref{VRLm2} in der Austauschsituation mit Pr"averflechtung\label{AtprV} $$\big(\op{Hot}^-(\op{Ab}_{\sslash \op{Gerte}})\ra \op{Gerte}\supset\op{Gerte}^{\op{lesf}}\leftarrow \op{Hot}^-(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gerte}^{\op{lesf}}}), \op{Gerte}^{\op{esf}}\big)$$ eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$ in Bezug auf das faserweise ges"attigte Oresystem der Quasiisomorphismen mit $\mathscr R$ quisflachen Komplexen flacher Modulgarben und $\mathscr L$ Komplexen schwach kompaktweicher Modulgarben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Verflechtung halbseitig derivierter Modulgarben}] Die Austauschsituation mit Pr"averflechtung \ref{AtprV} l"a"st sich im Sinne von \ref{AdLo} nach Quasiisomorphismen lokalisieren zu einer verflochtenen Austauschsituation $$\big(\op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash \op{Gerte}})\ra \op{Gerte}\supset\op{Gerte}^{\op{lesf}}\leftarrow \op{Der}^-(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gerte}^{\op{lesf}}}), \op{Gerte}^{\op{esf}}\big)$$ \end{Satz} \begin{proof} Eine Rechtslinksanpassung haben wir bereits in \ref{AtprV} angegeben. Um unseren Satz \ref{AdLo} zum Lokalisieren einer Pr"averflechtung anwenden zu k"onnen, m"ussen nur noch zeigen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate voll kokartesisch sind. Nun faktorisiert jeder Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von geringten R"aumen als $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$ und mit $\mathcal B$ hat auch $f^*\mathcal B$ endliche Torsonsdimension. Jedes Basisquadrat l"a"st sich mithin erhalten als Verklebung der vier Basisquadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] & (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X,\mathcal A) \ar[d] \\ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Ringgarben. Unter unseren Annahmen ist aber nach \ref{neNV} und \ref{AKnV} die Menge der voll kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate stabil unter Verkleben. Es reicht also f"ur jedes unserer vier Basisquadrate zu zeigen, da"s jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Dabei k"onnen wir uns nach \ref{NaiR} zus"atzlich auf den Fall beschr"anken, da"s die Ausgangsecke in $\mathscr R\cap\mathscr L$ liegt, da"s sie also ein Komplex aus flachen schwach kompaktweichen Modulgarben ist. Im Basisquadrat oben rechts sind alle R"uckz"uge und Eigvorsch"ube exakt und die offensichtliche Vertr"aglichkeit von R"uckzug ohne Ringwechsel und Einschr"anken der operierenden Ringgarbe in der Kategorie der Modulgarben impliziert direkt, da"s jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Im Basisquadrat unten rechts ist offensichtlich jedes naive Verflechtungsquadrat mit Ausgangsecke in $\mathscr L$ voll kokartesisch, denn dann ist die Ausgangsecke ein Komplex schwach kompaktweicher Modulgarben und die Behauptung folgt aus dem bereits behandelten Fall abelscher Garben. Im Basisquadrat oben links folgt die Behauptung aus der Flachheit von $q^*\mathcal A$ "uber $v^*\mathcal B$, die dazu f"uhrt, da"s flache Modulgarben zu flachen Modulgarben einschr"anken. Im Basisquadrat unten links schlie"slich schreiben wir $\mathcal D\pdef p^*\mathcal B$ und dann gilt es f"ur jede flache schwach kompaktweiche $g^*\mathcal D$-Modulgarbe $\mathcal F$ zu zeigen, da"s $g^*\mathcal C\otimes_{g^*\mathcal D}\mathcal F$ quisrechtsentfaltet ist f"ur $g_{(!)}$ und $g_{(!)}\mathcal F$ eine flache $\mathcal D$-Modulgarbe und der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $$ \mathcal C\otimes_{\mathcal D}(g_{(!)}\mathcal F)\sira g_{(!)}(g^*\mathcal C\otimes_{g^*\mathcal D}\mathcal F)$$ Das folgt aus der anschlie"senden Variante der Projektionsformel f"ur Modulgarben \ref{prRG}. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Variante der lokalen Projektionsformel}] Sei $k$ ein Kring von endlicher Torsionsdimension. Ist $\mathcal F$ eine flache kompaktweiche $k$-Garbe auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$, so ist $\Gamma_!\mathcal F$ ein flacher $k$-Modul\label{Gdsa} und $\mathcal F\otimes_k G$ ist $\Gamma_!$-quisrechtsentfaltet und die offensichtliche Abbildung ist f"ur jeden $k$-Modul $G$ ein Isomorphismus $$\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zur gew"ohnlichen Projektionsformel \ref{TSkoM} fordern wir hier nicht $G$ flach, sondern $\mathcal F$ flach und kompaktweich und brauchen zus"atzlich, da"s $k$ endliche Torsionsdimension hat. Eine weitere Variante mit anderen Zusatzannahmen zeigen wir in \ref{GdsaV}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach Annahme finden wir eine Aufl"osung endlicher L"ange von $G$ durch flache $k$-Moduln $G_d\hra \ldots \ra G_1\ra G_0\sra G$. Sie f"uhrt zu einer exakten Sequenz $$\mathcal F\otimes_k G_d\hra \ldots \ra\mathcal F\otimes_k G_1\ra \mathcal F\otimes_k G_0\sra \mathcal F\otimes_k G$$ von abelschen Garben auf $X$. Nach der Projektionsformel \ref{TSkoM} wissen wir von allen Garben dieser Sequenz mit Ausnahme der letzten, da"s sie kompaktweich und damit $\Gamma_!$-entfaltet sein m"ussen. Nach "Ubung \eref{EHDN}{TG} ist dann auch die letzte Garbe unseres Komplexes $\Gamma_!$-entfaltet und im kommutativen Diagramm $$\xymatrix{\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_d\ar[r]\ar[d]^\wr&\;\ldots\;\ar[r]& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_1\ar[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_0\ar@{->>}[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\ar[d]\\ \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_d)\ar@{^(->}[r]&\;\ldots\;\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_1)\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_0)\ar@{->>}[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G) }$$ folgt wieder mit \eref{EHDN}{TG} die Exaktheit der unteren Horizontale. Die linken vertikalen Isomorphismen folgen aus \ref{TSkoM} und zusammen folgt, da"s auch die Vertikale ganz rechts ein Isomorphismus $\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G)$ sein mu"s. Als Funktor von $G$ macht hier die rechte Seite Injektionen zu Injektionen, da $\mathcal F$ flach ist und $\Gamma_!$ linksexakt. Dasselbe folgt f"ur die linke Seite. Also ist $\Gamma_!\mathcal F$ flach. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Weitere Variante der lokalen Projektionsformel}] Sei $k$ ein Kring von endlicher Torsionsdimension. Ist $\mathcal F$ ein quisflacher Komplex in $\op{Ket}^+$ von kompaktweichen $k$-Garben auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$, so ist $\Gamma_!\mathcal F$ ebenfalls quisflach\label{GdsaW} und $\mathcal F\otimes_k G$ ist $\Gamma_!$-quisrechtsentfaltet und die offensichtliche Abbildung ist f"ur jeden $k$-Modul $G$ ein Isomorphismus $$\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zur gew"ohnlichen Projektionsformel \ref{TSkoM} fordern wir hier nicht $G$ flach, sondern $\mathcal F$ quisflach und kompaktweich und brauchen zus"atzlich, da"s $k$ endliche Torsionsdimension hat. Eine weitere Variante mit anderen Zusatzannahmen zeigen wir in \ref{GdsaV}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach Annahme finden wir eine Aufl"osung endlicher L"ange von $G$ durch flache $k$-Moduln $G_d\hra \ldots \ra G_1\ra G_0\sra G$. Sie f"uhrt zu einer exakten Sequenz $$\mathcal F\otimes_k G_d\hra \ldots \ra\mathcal F\otimes_k G_1\ra \mathcal F\otimes_k G_0\sra \mathcal F\otimes_k G$$ von abelschen Garben auf $X$. Nach der Projektionsformel \ref{TSkoM} wissen wir von allen Garben dieser Sequenz mit Ausnahme der letzten, da"s sie kompaktweich und damit $\Gamma_!$-entfaltet sein m"ussen. Nach "Ubung \eref{EHDN}{TG} ist dann auch die letzte Garbe unseres Komplexes $\Gamma_!$-entfaltet und im kommutativen Diagramm $$\xymatrix{\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_d\ar[r]\ar[d]^\wr&\;\ldots\;\ar[r]& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_1\ar[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_0\ar@{->>}[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\ar[d]\\ \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_d)\ar@{^(->}[r]&\;\ldots\;\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_1)\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_0)\ar@{->>}[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G) }$$ folgt wieder mit \eref{EHDN}{TG} die Exaktheit der unteren Horizontale. Die linken vertikalen Isomorphismen folgen aus \ref{TSkoM} und zusammen folgt, da"s auch die Vertikale ganz rechts ein Isomorphismus $\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G)$ sein mu"s. Als Funktor von $G$ macht hier die rechte Seite Injektionen zu Injektionen, da $\mathcal F$ flach ist und $\Gamma_!$ linksexakt. Dasselbe folgt f"ur die linke Seite. Also ist $\Gamma_!\mathcal F$ flach. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Variante der Projektionsformel f"ur Modulgarben}] Seien $f:X\ra Y$ eine les-Abbildung und $\mathcal D$ eine Ringgarbe endlicher Torsionsdimension auf $Y$ und $\mathcal F$ eine flache $f$-kompakt\-wei\-che $f^*\mathcal D$-Modulgarbe auf $X$ und $\mathcal G$ eine $\mathcal D$-Rechtsmodulgarbe auf $X$. So ist $f_{(!)}\mathcal F$ eine flache $\mathcal D$-Modulgarbe und $f^*\mathcal G\otimes_{f^*\mathcal D}\mathcal F$ ist $f_{(!)}$-quisrechtsentfaltet und der offensichtliche Morphismus ist ein Isomorphismus\label{prRG} $$\mathcal G\otimes_{\mathcal D}f_{(!)}\mathcal F\sira f_{(!)}(f^*\mathcal G\otimes_{f^*\mathcal D}\mathcal F)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt unmittelbar mit lokal eigentlichen Basiswechsel \ref{BaWeax} aus dem vorhergehenden Lemma \ref{Gdsa}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierbare unbeschr"ankte pr"averflochtene Austauschsituation}] Um von \ref{prAFG} ausgehend durch Lokalisierung nach Quasiisomorphismen in ganz $\op{Hot}$ eine Verflechtung zu erhalten, schr"an\-ken wir weiter ein und erlauben als les-Morphismen nur solche Morphismen von geringten R"aumen $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$, bei denen $\mathcal A_x$ flach als Linksmodul "uber $\mathcal B_{f(x)}$ f"ur alle $x\in X$ und $f:X\ra Y$ les ist und $f_{(!)}: \op{Ab}_{/(X,\mathcal A)}\ra \op{Ab}_{/(Y,\mathcal B)}$ von endlicher homologischer Dimension. Wir notieren $\op{Ger}^{\op{lesbf}}\supset \op{Ger}^{\op{esbf}}$ das multiplikative System dieser Morphismen beziehungsweise besagter Morphismen, die zus"atzlich eigentlich sind. Dann erhalten wir nach \ref{VRLm0} in der Austauschsituation mit Pr"averflechtung\label{AtprU} $$\big(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Ger}})\ra \op{Ger}\supset\op{Ger}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Hot}^-(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Ger}^{\op{lesbf}}}), \op{Ger}^{\op{esbf}}\big)$$ eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$ in Bezug auf das faserweise ges"attigte Oresystem der Quasiisomorphismen mit $\mathscr R$ quisflachen Komplexen von Modulgarben und $\mathscr L$ Komplexen schwach kompaktweicher Modulgarben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Verflechtung derivierter Modulgarben}] Die Austauschsituation mit Pr"averflechtung \ref{AtprU} l"a"st sich im Sinne von \ref{AdLo} nach Quasiisomorphismen lokalisieren zu einer verflochtenen Austauschsituation $$\big(\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash \op{Ger}})\ra \op{Ger}\supset\op{Ger}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Der}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Ger}^{\op{lesbf}}}), \op{Ger}^{\op{esbf}}\big)$$ \end{Satz} \begin{proof} Eine Rechtslinksanpassung haben wir bereits in \ref{AtprU} angegeben. Um unseren Satz \ref{AdLo} zum Lokalisieren einer Pr"averflechtung anwenden zu k"onnen, m"ussen nur noch zeigen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate voll kokartesisch sind. Nun faktorisiert jeder Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von geringten R"aumen als $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$ und mit $\mathcal B$ hat auch $f^*\mathcal B$ endliche Torsonsdimension. Jedes Basisquadrat l"a"st sich mithin erhalten als Verklebung der vier Basisquadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] & (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X,\mathcal A) \ar[d] \\ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Ringgarben. Unter unseren Annahmen ist aber nach \ref{neNV} und \ref{AKnV} die Menge der voll kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate stabil unter Verkleben. Es reicht also f"ur jedes unserer vier Basisquadrate zu zeigen, da"s jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Dabei k"onnen wir uns nach \ref{NaiR} zus"atzlich auf den Fall beschr"anken, da"s die Ausgangsecke in $\mathscr R\cap\mathscr L$ liegt, da"s sie also ein Komplex aus flachen schwach kompaktweichen Modulgarben ist. Im Basisquadrat oben rechts sind alle R"uckz"uge und Eigvorsch"ube exakt und die offensichtliche Vertr"aglichkeit von R"uckzug ohne Ringwechsel und Einschr"anken der operierenden Ringgarbe in der Kategorie der Modulgarben impliziert direkt, da"s jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Im Basisquadrat unten rechts ist offensichtlich jedes naive Verflechtungsquadrat mit Ausgangsecke in $\mathscr L$ voll kokartesisch, denn dann ist die Ausgangsecke ein Komplex schwach kompaktweicher Modulgarben und die Behauptung folgt aus dem bereits behandelten Fall abelscher Garben. Im Basisquadrat oben links folgt die Behauptung aus der Flachheit von $q^*\mathcal A$ "uber $v^*\mathcal B$, die dazu f"uhrt, da"s flache Modulgarben zu flachen Modulgarben einschr"anken. Im Basisquadrat unten links schlie"slich schreiben wir $\mathcal D\pdef p^*\mathcal B$ und dann gilt es f"ur jede flache schwach kompaktweiche $g^*\mathcal D$-Modulgarbe $\mathcal F$ zu zeigen, da"s $g^*\mathcal C\otimes_{g^*\mathcal D}\mathcal F$ quisrechtsentfaltet ist f"ur $g_{(!)}$ und $g_{(!)}\mathcal F$ eine flache $\mathcal D$-Modulgarbe und der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $$ \mathcal C\otimes_{\mathcal D}(g_{(!)}\mathcal F)\sira g_{(!)}(g^*\mathcal C\otimes_{g^*\mathcal D}\mathcal F)$$ Das folgt aus der anschlie"senden Variante der Projektionsformel f"ur Modulgarben \ref{prRG}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt soll die Beziehung von deriviertem Eigvorschub und R"uckzug, im n"achsten Abschnitt die von deriviertem Eigvorschub und Trennr"uckzug ausgearbeitet werden. Wir beginnen damit, daf"ur einen begrifflichen Rahmen zu zimmern. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Unter einer {\bf Pr"a-Austauschsituation}\index{Pr"a-Austauschsituation} verstehen wir eine Vorgabe von Daten $$(\mathscr C\stackrel{a}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\stackrel{b}{\leftarrow} \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}},i)$$ bestehend aus einer Kategorie $\mathscr B$,\label{AlKnu} der {\bf Basiskategorie} oder {\bf Basis};\index{Basis!einer Pr"a-Austauschsituation} darin zwei ausgezeichneten %r"uckzugstabilen (unn"otig!) \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systemen} $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^{{!}}\subset \mathscr B$, die beide alle Isomorphismen von $\mathscr B$ enthalten; einem Faserfunktor $a:\mathscr C\ra \mathscr B$; einem Funktor $b:\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$; und einem Isomorphismus $i:\mathscr C^{!}|\mathscr B^{\op{e}}\sira \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$ von Kategorien "uber $\mathscr B^{\op{e}}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sprechweisen und Notationen}] \begin{enumerate} \item Wir behandeln unseren Isomorphismus $i$ in der Notation meist als eine Gleichheit und notieren unsere Pr"aaustauschsituation dann $$(\mathscr C\stackrel{a}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\stackrel{b}{\leftarrow} \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$$ Das bedeutet insbesondere, da"s $\mathscr C$ und $\mathscr C^!$ dieselben Objekte haben und sogar dieselben Fasern $\mathscr C_X=\mathscr C^!_X$ "uber denselben Objekten der Basis. \item Den R"uckzug der Faserung $a:\mathscr C\ra \mathscr B$ f"ur einen Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B$ notieren wir $f^\dagger: \mathscr C_Y\ra \mathscr C_X$. In typischen Situationen sind die Fasern opponiert zu Kategorien von Garben und wir haben $f^\dagger=(f^*)^{\op{opp}}$. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{!}$ nenne ich {\bf Lesmorphismen},\index{Lesmorphismus} weil wir daf"ur im Fall topologischer R"aume oft die lokal eigentlichen separierten Abbildungen nehmen, unsere les-Abbildungen. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{\op{e}}$ nenne ich {\bf Eigmorphismen},\index{Eigmorphismus} weil wir daf"ur im Fall topologischer R"aume oft die eigentlichen separierten Abbildungen nehmen. \end{enumerate}\label{Swn} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Kategorien $\op{Top}\supset \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{e}}$ der topologischen R"aume mit beliebigen Abbildungen als Lesmorphismen und eigentlichen Abbildungen als Eigmorphismen in der Basis bilden mit unserer Garbenopfaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GMab}{TG} und unseren Gar\-ben\-eig\-op\-ko\-mor\-phis\-men $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{VeigK}{TG} und deren offensichtlicher Gleichheit \eref{Eikoo}{TG} "uber eigentlichen Abbildungen in der Basis eine Pr"aaustauschsituation.\label{ATTo} Sie weist die Besonderheit auf, da"s ihr zweiter Funktor $b$ aus der Faserung $a$ hervorgeht, indem man nur einen Teil der Morphismen zul"a"st, hier unter allen Opkomorphismen nur die eigentlichen Opkomorphismen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{Pr\"aaustauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf Basisquadrat}\index{Basisquadrat}\label{BaQua} ein in $\mathscr B$ kartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]\ar[r]&X \ar[d] \\ Z\ar[r]&Y} \end{displaymath} mit Lesmorphismen in den Vertikalen. % Ich notiere % im Kontext einer Austauschsituation meist $\mathscr B$-Morphismen % als gepunktelte Pfeile, $\mathscr B^{!}$-Morphismen % als gestrichelte Pfeile und $\mathscr B^{\op{e}}$-Morphismen % als durchgezogene Pfeile. Den Morphismus in der Basis l"angs der unteren Horizontale nenne ich den {\bf zur"uckholenden Morphismus} unseres Basisquadrats. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{Pr\"aaustauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf R"uckholquadrat}\index{R"uckholquadrat} ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& \mathcal F\ar@{-->}[d] \\ \mathcal H\ar@{..>}[r]& \mathcal G} \end{displaymath} "uber einem Basisquadrat mit Objekten von $\mathscr C$ oder gleichbedeutend $\mathscr C^!$ in den Ecken und kartesischen $\mathscr C$-Morphismen als horizontalen gepunktelten Pfeilen und $\mathscr C^!$-Mor\-phis\-men als vertikalen gestrichelten Pfeilen. Die gepunktelt gezeichneten horizontalen Kanten nenne ich die {\bf R"uckholkanten}\index{R"uckholkante} unseres R"uckholquadrats und die rechte gestrichelte vertikale Kante seine {\bf Ausgangskante}\index{Ausgangskante} und die obere rechte Ecke die {\bf Ausgangsecke}\index{Ausgangsecke} unseres R"uckholquadrats. Ich notiere im Kontext einer Austauschsituation meist $\mathscr C$-Morphismen als gepunktelte Pfeile, $\mathscr C^{!}$-Morphismen als gestrichelte Pfeile und $\mathscr C^{\op{e}}$-Morphismen als durchgezogene Pfeile. Man beachte, da"s es nicht sinnvoll ist, die Kommutativit"at eines R"uckholquadrats zu fordern, da sich $\mathscr C^{!}$-Morphismen und $\mathscr C$-Morphismen in dieser Axiomatik nicht ver\-kn"up\-fen lassen. Die Gesamtheit aller R"uckholquadrate "uber einem vorgegebenen Basisquadrat bildet selbst eine Kategorie, da nach Annahme $\mathscr C$-Morphismen und $\mathscr C^{!}$-Morphismen "uber Identit"aten, ja sogar "uber beliebigen Eigmorphismen der Basis "ubereinstimmen. Wir nennen ein R"uckholquadrat {\bf voll kokartesisch},\index{R"uckholquadrat!voll kokartesisches} wenn seine beiden vertikalen $\mathscr C^!$-Morphismen kokartesisch sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Pr"aaustauschsituation $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einer {\bf Pr"averflechtung}\index{Pr"averflechtung}\label{AusDa} eine Menge von R"uckholquadraten, genannt {\bf Verflechtungsquadraten},\index{Verflechtungsquadrat} mit den folgenden Eigenschaften: \begin{description} \item[{\bf Verkleben:}] Unter beiden Arten des Verklebens l"angs gleicher Kanten mit der Komposition in den neu entstehenden Kanten wird aus zwei Verflechtungsquadraten wieder ein Verflechtungsquadrat; \item[{\bf Verflechtung durch Kommutativit"at:}] "Uber Basisquadraten mit Eigmorphismen auf gegen"uberliegenden Kanten sind alle kommutativen R"uckholquadrate in $\mathscr C$ im Fall vertikaler eig-Kanten beziehungsweise alle kommutativen R"uckholquadrate in $\mathscr C^{!}$ im Fall horizontaler eig-Kanten Verflechtungsquadrate; \item[\textbf{Eindeutige Erg"anzbarkeit:}] Jedes \glqq partielle R"uckholquadrat\grqq, bei dem nur der $\mathscr C^{!}$-Mor\-phis\-mus in der linken Vertikale fehlt, bei dem aber alle vier Morphismen in der Basis durchaus vorhanden sind, l"a"st sich auf genau eine Weise zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzen. Ich versuche, diese Aussage zu verdeutlichen durch die graphische Darstellung \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar@{..>}[r]& \ar@{-->}[d] \\ \ar@{..>}[r]&} \end{displaymath} und nenne die dadurch eindeutig bestimmte neue Kante die {\bf zur"uckgeholte Kante} zu unserer Ausgangskante; \end{description} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Faserung $\mathscr C \rightarrow \mathscr B$ ist $$(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B\leftarrow \mathscr C, \mathscr B)$$ stets eine Pr"aaustauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin eine Pr"averflechtung.\label{sVsVN} Ich nenne sie die {\bf banale Pr"averflechtung}\index{Pr"averflechtung!banale} zu unserer Faserung. Wir konstruieren im weiteren Verflechtungen, indem wir von einer banalen\label{AdK?} Pr"averflechtung ausgehen und sie geeignet einschr"anken \ref{AdK} und lokalisieren \ref{AdLo}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Pr"averflechtung durch Einschr"anken}] Seien $\mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung "uber einer Kategorie $\mathscr B$ mit einem ausgezeichneten multiplikativen System $\mathscr B^{!}$ und sei $\mathscr C^{!}$ ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives\label{AdK} System in $\mathscr C$ "uber $\mathscr B^{!}$ im Sinne von \ref{KKFuux}. Sei weiter $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^{!}$ ein multiplikatives Teilsystem derart, da"s "uber Morphismen aus $\mathscr B^{\op{e}}$ alle $\mathscr C$-Morphismen bereits $\mathscr C^{!}$-Morphismen sind und da"s $\mathscr B^{\op{e}}$ alle Isomorphismen von $\mathscr B$ enth"alt. So ist $$(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$$ eine Pr"aaustauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin eine Pr"averflechtung. Die eindeutige Erg"anzbarkeit partieller R"uckholquadrate wird dadurch gew"ahrleistet, da"s wir $\mathscr C^{!}$ faserr"uckzugstabil annehmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man mag zur "Ubung zeigen, da"s in diesem Fall, wenn zus"atzlich $\mathscr C\ra\mathscr B$ und $\mathscr C^!\ra\mathscr B^!$ beide Kofaserungen sind und $f_\dagger, f_\shriek$ die zugeh"origen Vorsch"ube bezeichnen, unsere Transformation $ f_\dagger\RA f_\shriek$ aus \ref{TegV} mit der durch die universelle Eigenschaft von $f_\dagger$ gegebenen Transformation "ubereinstimmt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kommutativit"at durch Verflechtung}] Gegeben eine Pr"averflechtung einer Pr"aaustauschsituation sind die Verflechtungsquadrate "uber einem Basisquadrat mit Eigmorphismen auf gegen"uberliegenden horizontalen beziehungsweise vertikalen Kanten genau die kommutativen R"uckholquadrate.\label{vdLK} In der Tat m"ussen nach Annahme die kommutativen R"uckholquadrate Verflechtungsquadrate sein und die Forderung der eindeutigen Erg"anzbarkeit zeigt dann, da"s es "uber derartigen Basisquadraten nicht noch mehr Verflechtungsquadrate geben kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten}] In einer Pr"aaus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Pr"averflechtung l"a"st sich jeder Morphismus zwischen den Ausgangskanten zweier Verflechtungsquadrate "uber einem vorgegebenen Basisquadrat auf genau eine Weise zu einem Morphismus zwischen den beiden Verflechtungsquadraten fortsetzen. Um das einzusehen, betrachten wir das Diagramm\label{FVQ} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E'\ar@{-->}[ddd] \ar@{..>}[rrr]&&& \mathcal F'\ar@{-->}[ddd] \\ &\mathcal E\ar@{-->}[d]\ar[ul]\ar@{..>}[r]& \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar[ur]& \\ &\mathcal H\ar@{..>}[r]\ar[dl]&\mathcal G\ar[dr]& \\ \mathcal H'\ar@{..>}[rrr]&&& \mathcal G'} \end{displaymath} Beide Quadrate sind Verflechtungsquadrate nach Annahme. Die durchgezogenen Pfeile stellen Morphismen "uber Identit"aten der Basis dar. Das rechte $\mathcal F\mathcal G$-Trapez ist kommutativ nach Annahme und stellt unseren Morphismus von Ausgangskanten dar. Das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal E\ra \mathcal E'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal E'\ra \mathcal F'$ kartesisch ist. Das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal H\ra \mathcal H'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal H'\ra \mathcal G'$ kartesisch ist. Es bleibt zu zeigen, da"s dann auch das rechte $\mathcal E\mathcal H$-Trapez kommutiert. Nach der Charakterisierung von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at \ref{vdLK} sind aber das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez und das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez beide Verflechtungsquadrate. Aufgrund der Verklebbarkeit von Verflechtungsquadraten sind dann auch das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal H\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal G\mathcal G'))$ sowie das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal E'\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal F'\mathcal G'))$ Verflechtungsquadrate. Aus der Gleichheit ihrer Ausgangskanten folgt dann mit der Eindeutigkeit der Erg"anzung die Gleichheit ihrer zur"uckgeholten Kanten und so die Kommutativit"at im rechten $\mathcal E\mathcal H$-Trapez. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Austauschsituation}\index{Austauschsituation} verstehen wir eine Pr"aaustauschsituation $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$, in der der Funktor $\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine Kofaserung ist. Gegeben eine Pr"averflechtung unserer Austauschsituation gibt es f"ur jedes Basisquadrat und jedes Objekt in der Faser "uber der Ausgangsecke wie im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]_g\ar[r]^q&X \ar[d]^f &&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[rr]&&\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ Z\ar[r]^p&Y&&g_\shriek q^\dagger \mathcal F\ar[r]&p^\dagger f_\shriek\mathcal F\ar@{..>}[r]&f_\shriek\mathcal F } \end{displaymath} genau einen Morphismus $g_{\shriek} q^\dagger\mathcal F \ra p^\dagger f_{\shriek}\mathcal F $ in der Faser "uber $Z$ derart, da"s das rechte R"uckholquadrat mit Transportmorphismen von R"uckzug und Eigvorschub als allen anderen Morphismen ein Verflechtungsquadrat wird. Diese Morphismen bilden sogar in ihrer Gesamtheit eine Transformation\label{eaBA} $$\op{vf}: g_{\shriek} q^\dagger\RA p^\dagger f_{\shriek}$$ Wir nennen sie den {\bf eigentlichen Basiswechsel}\index{Basiswechsel!eigentlicher abstrakter} unserer Austauschsituation mit Pr"averflechtung und notieren sie $\op{vf}$\index{vf@$\op{vf}$ Verflechtung} wie \glqq Verflechtung\grqq. Sind $f,g$ beide Eigmorphismen, so stimmt der eigentliche Basiswechsel nach der Charakterisierung von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at aus der Axiomatik einer Pr"averflechtung mit dem allgemeinen Basiswechsel \eref{BaWW}{TG} der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ "uberein. Sind $p,q$ beide Eigmorphismen, so stimmt er aus demselben Grund mit dem allgemeinen Basiswechsel der Kofaserung $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Verflechtung}\index{Verflechtung} einer Austauschsituation verstehen wir eine Pr"averflechtung, in der jedes R"uckholquadrat mit kokartesischer Ausgangskante bereits voll kokartesisch ist. In einer verflochtenen Austauschsituation sind alle Basiswechsel Isotransformationen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformation vom Vorschub zum Eigvorschub}] Gegeben sei eine Austauschsitution $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ mit Pr"averflechtung. Sei weiter $f:X\ra Y$ ein Lesmorphismus der Basis derart, da"s das Faserprodukt $X\times_YX$ existiert und die Diagonale $\Delta=\Delta_f:X\ra X\times_Y X$ ein Eigmorphismus und die Projektionen $X\times_Y X\ra X$ Lesmorphismen. Dann d"urfen wir\label{TegV} \begin{displaymath} \xymatrix{ & \ar[dl]X\times_Y X\ar[dr] &\\ X\ar[dr] & &X\ar[dl]\\ &Y& } \end{displaymath} als Basisquadrat nehmen und mit der Notation $\op{Id}$ f"ur den Identit"atsfunktor erhalten wir eine Transformation $\op{Id}\RA f^\dagger f_{\shriek}$ als die Komposition $\op{Id}=\op{Id}\circ\op{Id} \siRa\op{id}_\shriek\op{id}^\dagger\siRa\op{pr}_{2{\shriek}}\Delta_{\shriek}\Delta^\dagger \op{pr}_{1}^\dagger\RA \op{pr}_{2{\shriek}}\op{pr}_{1}^\dagger \RA f^\dagger f_{\shriek}$ mit der Adjunktion $(\Delta_{\shriek},\Delta^\dagger)$ aus \ref{Swn} und eigentlichem Basiswechsel \ref{eaBA}. Besitzt $f^\dagger$ sogar einen Linksadjungierten $f_\dagger$, so erhalten wir auf diese Weise eine nat"urliche Transformation $f_\dagger\RA f_{\shriek}$. Sie entspricht einer Transformation $$f_!\RA f_*$$ von Funktoren der opponierten Fasern, mit denen wir es in den Anwendungen meist zu tun haben. Ist zus"atzlich $f$ selbst ein Eigmorphismus, so ist diese Transformation nach \eref{RzBW}{TG} und \eref{trBW}{TG} die Identit"at auf dem Vorschub. Hier verwenden wir unsere Konvention, den Isomorphismus $i$ aus \ref{AlKnu} als die Identit"at anzunehmen, sonst mu"s das alles sorgf"altiger formuliert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Abelsche Garben auf diskreten R"aumen}] Im Fall der Garbenopfaserung auf Mengen mit der diskreten Topologie\label{aGTR} $\op{Ab}_{\sslash{\op{Ens}}}\ra \op{Ens}$ ist die zugeh"orige Pr"aaustauschsituation mit banaler Pr"averflechtung sogar eine verflochtene Austauschsituation, wie nun ausgef"uhrt werden soll. Objekte der Faser "uber einer Menge $I$ sind Familien $M=(M_i)_{i\in I}\in\op{Ab}_{{\sslash} I}$ von abelschen Gruppen. Gegeben eine weitere Familie $L=(L_j)_{j\in J}$ von abelschen Gruppen "uber einer weiteren Menge $J$ und eine Abbildung $f:I\ra J$ ist ein Opkomorphismus $\psi\in \op{Ab}_{{\sslash} f}(M,L)$ "uber $f$ eine Familie von Gruppenhomomorphismen $$(\psi_i^\circ:L_{f(i)}\ra M_i)_{i\in I}$$ Unser Opkomorphismus $\psi$ ist kartesisch genau dann, wenn alle $\psi_i^\circ$ Isomorphismen sind. Er ist kokartesisch genau dann, wenn die $\psi_i^\circ$ f"ur alle $j\in J$ Isomorphismen $L_j\sira \prod_{f(i)=j}M_i$ induzieren. Man erkennt unmittelbar, da"s bei allen Verflechtungsquadraten mit kokartesischer Ausgangskante auch die zur"uckgeholte Kante kokartesisch ist. In \ref{aGTR3} diskutieren wir, inwiefern das f"ur allgemeine topologische R"aume nicht mehr richtig ist und durch welche Modifikationen man doch zu einer verflochtenen Austauschsituation kommen kann. In \ref{trzu} diskutieren wir, inwiefern der obige Ansatz im Fall von Trennr"uckzug selbst f"ur abelsche Garben auf diskreten unendlichen Mengen bereits scheitert und da"s bereits dort die im Anschlu"s besprochene Variante besser funktioniert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Abelsche Garben auf topologischen R"aumen}] Die zur vollen Garbenopfaserung\label{aGTR3} geh"orige banale Pr"aaustauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top} \leftarrow \op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}},\op{Top}\big)$$ ist sogar eine Austauschsituation, da unsere Faserung auch eine Kofaserung ist. Die zugeh"orige Pr"averflechtung ist in dieser Situation keine Verflechtung, da der Basiswechselmorphismus in dieser Allgemeinheit kein Isomorphismus mehr zu sein braucht, vergleiche etwa \eref{bwsd}{TG} oder \eref{gbsfw}{TG}. Jedoch bilden die eigentlichen Opkomorphismen ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}}$ und mit dem multiplikativen System $\op{Top}^{\op{e}}\subset \op{Top}$ der eigentlichen Abbildungen erhalten wir durch Einschr"anken eine Pr"aaustauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}},\op{Top}^{\op{e}}\big)$$ mit Pr"averflechtung. Nach \eref{eiPL}{TG} wird $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ unter Restriktion auf das multiplikative System der separierten Abbildungen eine Kofaserung $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{s}}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$ und wir erhalten mit der Notation $\op{Top}^{\op{es}}$ f"ur das System der eigentlichen separierten Abbildungen durch weiteres Einschr"anken eine Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{s}}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ mit Pr"averflechtung. Noch feiner bilden auch die lokal eigentlichen separierten Abbildungen ein multiplikatives System $\op{Top}^{\op{les}}$ und die eigentlichen Opkomorphismen dar"uber ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{les}}}}$ und nach lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} erhalten wir, indem wir weiter Ein\-schr"an\-ken, sogar eine verflochtene Austauschsituation\label{AtA} $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ \end{Beispiel} \subsection{Lokalisierung von Pr"averflechtungen} \begin{Bemerkungl} Seien $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} und $S$ ein faserweises Oresystem in $\mathscr C$. Die zugeh"origen R"uckz"uge notieren wir $p^{\dagger}$ und die zugeh"origen Eigvorsch"ube $f_{\shriek}$. Besitzt die Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ eine \hyperref[RAP]{$S$-Rechtsanpassung} und die Kofaserung $\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine \hyperref[RAP]{$S$-Linksanpassung}, so f"uhrt Lokalisieren zu einer weiteren Austauschsituation $$(S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow S^{-1}\mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}},i)$$ mit $i$ der Verkn"upfung $(S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr B^{\op{e}}}\sila S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C_{\mathscr B^{\op{e}}}\sira (S^{-1}\mathscr C^!)_{\mathscr B^{\op{e}}}$ der durch \ref{LRAn1} gegebenen Isomorphismen. Bezeichne $Q$ im folgenden alle Lokalisierungsfunktoren. Gegeben eine Pr"averflechtung \ref{AusDa} in unserer urspr"unglichen Austauschsituation nennen wir ein Verflechtungsquadrat derselben \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[d]_g&X\ar[d]^f &&\mathcal E\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ Z \ar[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r] &\mathcal G} \end{displaymath} {\bf lokalisierbar}, wenn $Q\mathcal F\ra Q\mathcal G$ kokartesisch ist und $\mathcal F$ rechtsentfaltet f"ur $Qq^\dagger$ sowie $\mathcal G$ rechtsentfaltet f"ur $Qp^\dagger$. Die zu Bildern lokalisierbarer Verflechtungsquadrate isomorphen R"uckholquadrate der lokalisierten Austauschsituation nennen wir ihre {\bf naiven Verflechtungsquadrate}.\label{nian} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ und ein faserweises Oresystem $S$ in $\mathscr C$.\label{nbVn} Unter einer {\bf Rechts-Links-Anpassung}\index{Rechtslinksanpassung} verstehen wir ein Paar $(\mathscr R,\mathscr L)$ bestehend aus einer $S$-Rechtsanpassung $\mathscr R$ der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ und einer $S$-Linksanpassung $\mathscr L$ der Kofaserung $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item Zu jedem Objekt in $\mathscr R$ gibt es einen $S$-Morphismus von einem Objekt in $\mathscr R\cap \mathscr L$; \item Zu jedem Morphismus $q:W\ra X$ der Basis und jedem Objekt $\mathcal F\in \mathscr C_X$ gibt es $S$-Morphismen $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_{\shriek}\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$ mit $\mathcal F_\shriek\in \mathscr L_X$ und $q^\dagger\mathcal F\leftarrow q^\dagger\mathcal F_{\shriek}$ in $S$ und $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in\mathscr R_X\cap\mathscr L_X$. %\nichtfinal{ALTE FASSUNG: Zu jedem Morphismus $q:W\ra X$ der Basis % und jedem $Qq^\dagger$-entfalteten % Objekt $\mathcal F\in \mathscr C_X$ gibt es $S$-Morphismen % $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_{\shriek}\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$ % mit $\mathcal F_\shriek\in \mathscr L_X$ \nichtfinal{(war $\mathscr R_X$!)} % ebenfalls % $Qq^\dagger$-entfaltet und $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in\mathscr R_X\cap\mathscr L_X$.} \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele}[\textbf{Rechtslinksanpassung f"ur abelsche Garben}] F"ur die Verflechtung im Kontext von derivierten Kategorien abelscher Garben k"onnen wir als $\mathscr R$ %\nichtfinal{(war $\mathscr L$!)} alle Garbenkomplexe nehmen und als $\mathscr L$ %\nichtfinal{(war $\mathscr R$!)} alle Komplexe von kompaktweichen Garben. M"ogliche $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_\shriek$ kann man dann mithilfe der Godement-Aufl"osung erhalten, genauer mit den dadurch in den opponierten Kategorien erhaltenen Morphismen. \end{Beispiele} \begin{Beispiele}[\textbf{Rechtslinksanpassung f"ur Modulgarben}] F"ur die Verflechtung im Kontext von derivierten Kategorien von Modulgarben k"onnen wir als $\mathscr R$ alle quisflachen Garbenkomplexe nehmen und als $\mathscr L$ alle Komplexe von kompaktweichen Garben. M"ogliche $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_{\shriek}\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$ kann man wieder mithilfe der Godement-Aufl"osung erhalten, genauer mit den dadurch in den opponierten Kategorien erhaltenen Morphismen, wie in \ref{VRLm0} ausgef"uhrt wird. \end{Beispiele} \begin{Satz}[\textbf{Lokalisieren einer Pr"averflechtung}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit Pr"averflechtung und darin ein faserweises ges"attigtes Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung und sind alle naiven Verflechtungsquadrate voll kokartesisch, so gibt es genau eine Verflechtung der lokalisierten Austauschsituation, die alle naiven Verflechtungsquadrate enth"alt.\label{AdLo} \end{Satz} \begin{proof} Der Beweis f"ullt den Rest dieses Abschnitts. Nach \ref{vtdm} reicht es zu zeigen, da"s die naiven Verflechtungsquadrate eine voll kokartesische Teilverflechtung im Sinne von \ref{kotv} bilden. Die von einer kokartesischen Teilverflechtung geforderte Fortsetzbarkeit partieller R"uckholquadrate zeigen wir in \ref{geVV}. Die geforderten Verklebbarkeiten zeigen wir in \ref{neNV} und \ref{AKnV}. Da"s die bei einer kokartesischen Teilverflechtung geforderten kommutativen Quadrate naive Verflechtungsquadrate sind, bemerken wir in \ref{Tkoi}. Die in \ref{kotv} geforderte Funktorialit"atseigenschaft schlie"slich zeigen wir in \ref{EFnV}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Austauschsituation verstehen wir unter einer {\bf voll kokartesischen Teilverflechtung} eine Menge $K$ von voll kokartesischen R"uckholquadraten, in denen sich jedes partielle R"uckholquadrat mit kokartesischer Ausgangskante erg"anzen l"a"st, in denen sich "uber jedem Basisquadrat jeder Morphismus in der Faser "uber der Ausgangsecke zu einem Morphismus von R"uckholquadraten fortsetzen l"a"st, die stabil ist unter der Verklebung l"angs gleicher horizontaler und vertikaler Kanten und die alle voll kokartesischen kommutativen\label{kotv} R"uckholquadrate "uber Basisquadraten mit zwei parallelen Eig-Kanten enth"alt. Die Eindeutigkeit der Erg"anzung mu"s hier nicht gefordert werden, da sie aus den anderen Annahmen folgt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Verflechtung zu voll kokartesischer Teilverflechtung}] Gegeben eine Austauschsituation mit voll kokartesischer Teilverflechtung existiert genau eine Verflechtung, die unsere voll kokartesische Teilverflechtung\label{vtdm} umfa"st. \end{Lemma} \begin{proof} Bezeichne $K$ unsere voll kokartesische Teilverflechtung. Zu jeder Erweiterung von $K$ zu einer Verflechtung m"ussen alle R"uckholquadrate geh"oren, die wir erhalten, indem wir an ein R"uckholquadrat unserer Teilverflechtung ein kommutatives Quadrat mit kartesischen Horizontalen und Identit"aten als Vertikalen in der Basis unten ankleben. In der Menge $V$ von R"uckholquadraten, die wir auf diese Weise erhalten, l"a"st sich aber bereits jedes partielle R"uckholquadrat vervollst"andigen. Also gibt es h"ochstens eine Erweiterung von $K$ zu einer Verflechtung, n"amlich die hier beschriebene Menge $V$ von R"uckholquadraten. Um zu zeigen, da"s $V$ auch tats"achlich eine Verflechtung ist, m"ussen wir unsere Bedingungen pr"ufen. Da"s $V$ die Bedingungen der \glqq eindeutigen Erg"anzbarkeit\grqq\ und der \glqq eigentlichen Kommutativit"at\grqq\ erf"ullt, scheint mir offensichtlich. Da"s $V$ stabil ist unter dem Verkleben l"angs vertikaler Kanten scheint mir ebenso offensichtlich. Da"s $V$ auch stabil ist unter dem Verkleben l"angs horizontaler Kanten folgt schlie"slich aus der Funktorialit"atsannahme in unseren Forderungen an eine voll kokartesische Teilverflechtung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz ausreichend vieler naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit Pr"averflechtung und darin ein faserweises Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung, so besitzt jedes partielle R"uckholquadrat\label{geVV} der lokalisierten Austauschsituation mit kokartesischer Ausgangskante eine Erweiterung zu einem naiven Verflechtungsquadrat. Das folgt, indem wir zu vorgegebener Ausgangsecke ein Objekt $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap\mathscr L_X$ w"ahlen, dessen Bild $Q\mathcal F$ isomorph ist zu unserer Ausgangsecke, und dazu ein lokalisierbares Verflechtungsquadrat der Gestalt $$ \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[dd]_g&X\ar[dd]^f && \mathcal E \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[dd]&\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ &&&&f_\shriek\mathcal F \ar[d]^{\wr Q} \\ Z \ar[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r]&\mathcal G} $$ bilden mit $f_\shriek\mathcal F\ra \mathcal G$ einem beliebigen $S$-Morphismus in ein Objekt $\mathcal G\in \mathscr R_Y$. %\nichtfinal{War $\mathcal G\in \mathscr L_Y$!} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit Pr"averflechtung und darin ein faserweises Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung, so ist jedes \hyperref[nian]{naive Verflechtungsquadrat} der Lokalisierung isomorph zum Bild eines lokalisierbaren Verflechtungsquadrats mit oberer rechter Ecke $\mathcal F\in \mathscr L$.\label{NaiR}%\nichtfinal{War $\mathcal F\in \mathscr R$!} \end{Lemma} \begin{proof} Wir argumentieren im Diagramm $$ \xymatrix{ && q^\dagger\mathcal F_\shriek\ar[rd]\ar@{..>}[rrr]\ar@{-->}[ddd] &&&\mathcal F_\shriek \ar@{-->}[ddd]\ar[ld] \\ W\ar[r]^q \ar[d]_g&X\ar[d]^f && \mathcal E \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ Z \ar[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r] &\mathcal G & \\ && \mathcal H\ar[ru] \ar@{..>}[rrr] &&&\mathcal G\ar[lu] } $$ Hier ist die Mitte ein lokalisierbares Verflechtungsquadrat und $\mathcal F_\shriek\ra \mathcal F$ ein $S$-Morphismus von einem Objekt von $\mathscr L_X$, % \nichtfinal{(war $\mathscr R$)}, der unter $q^\dagger$ ein $S$-Morphismus bleibt. Da"s es so einen Morphismus gibt, war Teil unserer Annahmen. Damit ist auch der durch die Kommutativit"at des oberen Trapezes erkl"arte Morphismus $q^\dagger\mathcal F_\shriek\ra \mathcal E$ ein $S$-Morphismus. Die durch unsere Pr"averflechtung gegebene linke Vertikale stimmt nun "uberein mit der durch die Kommutativit"at des linken Trapezes gegebenen linken Vertikale. Die schr"agen Pfeile liefern dann einen Morphismus von lokalisierbaren Verflechtungsquadraten und in der Lokalisierung den gew"unschten Isomorphismus von naiven Verflechtungsquadraten. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Funktorialit"at naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit Pr"averflechtung und darin ein faserweises ges"attigtes Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung,\label{EFnV} so l"a"st sich jeder Morphismus in der lokalisierten Faserkategorie zwischen den Ausgangsecken naiver Verflechtungsquadrate auf genau eine Weise zu einem Morphismus der ganzen Verflechtungsquadrate fortsetzen. \end{Lemma} \begin{proof} Es ist klar, da"s sich unser Morphismus auf h"ochstens eine Weise fortsetzen l"a"st. Nach \ref{NaiR} d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unsere naiven Verflechtungsquadrate die Bilder lokalisierbarer Verflechtungsquadrate mit oberer rechter Ecke in $\mathscr L$ %\nichtfinal{(war $\mathscr R$!)} sind. Wir argumentieren im Diagramm $$ \xymatrix{ && \mathcal E_\alpha\ar[rd]^1\ar@{..>}[rrr]\ar@{-->}[ddddd] &&&\mathcal F_\alpha \ar@{-->}[ddd]\ar[ld] \\ W\ar[r]^q \ar[dd]_g&X\ar[dd]^f && \mathcal E \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[dd]&\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ &&&&f_\shriek\mathcal F \ar[d]^{\wr Q}_1& \\ Z \ar[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r]\ar[d]^{\wr Q}_3 &\mathcal G\ar[d]^{\wr Q}_2 &f_\shriek\mathcal F_\alpha \ar[dd]^{\wr Q}_1\ar[lu]_1 \\ &&&p^\dagger\mathcal A\ar@{..>}[r] &\mathcal A& \\ && \mathcal H_\alpha \ar[ur]^3\ar@{..>}[rrr] &&&\mathcal G_\alpha\ar[lu]_2 \\ } $$ Gegeben sind als innerstes und "au"sertes Rechteck jeweils ein lokalisierbares Verflechtungsquadrat mit Ausgangsecken $\mathcal F,\mathcal F_\alpha\in\mathscr L_X$ %\nichtfinal{(War $\mathscr R$!)} sowie, damit fangen wir erst einmal an, ein Morphismus $\mathcal F_\alpha\ra \mathcal F$ in $\mathscr C_X$. Nun bauen wir in mehreren Schritten den Rest des Diagramms auf. Im ersten Schritt faktorisieren wir die Ausgangskanten in den Transportmorphismus zum Eigvorschub und einen weiteren Morphismus. Da wir die Ausgangsecken in $\mathscr L_X$ %\nichtfinal{(War $\mathscr R$!)} angenommen hatten, werden diese weiteren Morphismen unter $Q$ Isomorphismen, was wir durch $\wr Q$ andeuten. Da wir $S$ faserweise ges"attigt angenommen hatten, geh"oren diese Morphismen nach \eref{IsoL}{TD} bereits zu $S$. Au"serdem finden wir einen eindeutigen Morphismus $\mathcal E_\alpha\ra \mathcal E$ in $\mathscr C_W$, der das obere Trapez zum Kommutieren bringt. Im zweiten Schritt finden wir $\mathcal A\in \mathscr C_Y$ zusammen mit einem $S$-Morphismus $\mathcal G\ra \mathcal A$ und einem $\mathscr C_Y$-Morphismus $\mathcal G_\alpha\ra \mathcal A$ derart, da"s das Parallelogramm unten rechts kommutiert, und k"onnen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar $\mathcal A\in \mathscr R_Y$ annehmen. %\nichtfinal{(War $\mathscr L_Y$!)} Im dritten Schritt erg"anzen wir zwei Pfeile links unten wie angedeutet so, da"s das untere Rechteck und Trapez kommutieren. Der vertikale $S$-Morphismus kommt von unserer Annahme $\mathcal A\in \mathscr R_Y$ her. %\nichtfinal{(War $\mathscr L_Y$!)} Da das gro"se innere Rechteck als Verklebung auch ein Verflechtungsquadrat ist, mu"s das linke Trapez kommutieren. Damit aber haben wir den gesuchten Morphismus von naiven Verflechtungsquadraten gefunden. Beginnen wir hier mit einem $S$-Morphismus $\mathcal F_\alpha\ra \mathcal F$, so werden alle durch durchgezogene Linien dargestellten Pfeile im obigen Diagramm $S$-Morphismen und wir erhalten einen Isomorphismus von naiven Verflechtungsquadraten in der Lokalisierung. Betrachten wir schlie"slich zu einem $Qq^\dagger$-entfalteten Objekt $\mathcal F\in\mathscr L_X$ %\nichtfinal{(War \mathscr R_X$!)} wie in \ref{nbVn} zwei $S$-Morphismen $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_\shriek\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$, so k"onnen wir aus den bis hier bereits gezeigten Funktorialit"atseigenschaften folgern, da"s jedes naive Verflechtungsquadrat isomorph ist zum Bild in der Lokalisierung eines lokalisierbaren Verflechtungsquadrats mit Ausgangsecke $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap\mathscr L_X$. Ein beliebiger Morphismus $\mathcal F_\alpha\ra \mathcal F$ in $S_X^{-1}\mathscr C_X$ von derartigen Objekten l"a"st sich aber als Bruch $\mathcal F_\alpha\leftarrow \mathcal F_\beta\ra \mathcal F$ schreiben mit $\mathcal F_\beta\in \mathscr R_X$ %\nichtfinal{(War $\mathscr L_X$)} und dann auch als Bruch $\mathcal F_\alpha\leftarrow \mathcal F_{\beta\shriek}\ra \mathcal F$ mit $\mathcal F_{\beta\shriek}\in \mathscr R_X\cap\mathscr L_X$ und so folgt die Behauptung aus den bereits bewiesenen Aussagen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit einer Pr"averflechtung und darin ein faserweises ges"attigtes Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung, so ist "uber einem Basisquadrat mit Eigmorphismen auf zwei gegen"uberliegenden Kanten jedes kommutative R"uckholquadrat mit kokartesischer Ausgangskante isomorph zu einem naiven R"uckholquadrat.\label{Tkoi} In der Tat liefert \ref{geVV} ein kommutierendes naives Verflechtungsquadrat mit isomorpher Ausgangsecke, zu dem es aufgrund der Funktorialit"at \ref{EFnV} isomorph sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Nebeneinanderkleben naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit einer Pr"averflechtung und darin ein faserweises ges"attigtes Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung,\label{neNV} so liefert das Verkleben zweier naiver Verflechtungsquadrate der lokalisierten Austauschsituation l"angs einer gemeinsamen vertikalen Kante stets wieder ein naives Verflechtungsquadrat. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Man bemerke, da"s wir hier nur eine Aussage machen f"ur den Fall, da"s von den beteiligten naiven Verflechtungsquadraten das rechte voll kokartesisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Beweis des vorhergehenden Lemmas \ref{geVV} zeigt, da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen d"urfen, unser erstes naives Verflechtungsquadrat sei Bild eines lokalisierbaren Verflechtungsquadrats, das aus Objekten von $\mathscr R$ %\nichtfinal{(war $\mathscr L$!)} besteht. Damit folgt die Behauptung aus der Funktorialit"at naiver Verflechtungsquadrate \ref{EFnV}. \end{proof} %\nichtfinal{Ab hier noch nicht R-L-Verwirrung beseitigt!} \begin{Lemma}[\textbf{Untereinanderkleben naiver Verflechtungsquadrate}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit Pr"averflechtung und darin ein faserweises ges"attigtes Oresystem $S$. Gibt es dazu eine Rechtslinksanpassung, so liefert das Verkleben zweier voll kokartesischer naiver Verflechtungsquadrate der lokalisierten Austauschsituation l"angs einer gemeinsamen horizontalen Kante stets wieder ein naives Verflechtungsquadrat.\label{AKnV} \end{Lemma} \begin{proof} Um das zu zeigen, leiten wir eine alternative Beschreibung f"ur voll kokartesische naive Verflechtungsquadrate her. Sei dazu "uber der oberen Kante $W\ra X$ eines vorgegebenen Basisquadrats ein Morphismus $\mathcal E\ra \mathcal F$ von Objekten von $\mathscr L$ %\nichtfinal{(war $\mathscr R$)} gegeben und sei $Q\mathcal E\ra Q\mathcal F$ kartesisch. % \nichtfinal{und $\mathcal F$ rechtsentfaltet f"ur $Qq^\dagger$}. Hat das nach der Funktorialit"at naiver Verflechtungsquadrate \ref{EFnV} zugeh"orige naive Verflechtungsquadrat kokartesische Vertikalen, so ist es isomorph zum Bild in der Lokalisierung vom Rand des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal E \ar@{-->}[d]\ar[r]&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}\ar@{-->}[d]\\ g_{{\shriek}} \mathcal E \ar[r]&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r] & f_{{\shriek}}\mathcal F} \end{displaymath} mit dem rechten Quadrat aus unserer Pr"averflechtung und dem linken Quadrat aus der universellen Eigenschaft des Eigvorschubs. % \nichtfinal{und $f_\shriek\mathcal F$ ist rechtsentfaltet f"ur $Qp^\dagger$}. Aus dieser Bescheibung und der Funktorialit"at naiver Verflechtungsquadrate \ref{EFnV} folgt das Lemma sofort. Im Rest des Beweises leiten wir sie her. Gegeben in $\mathscr C$ ein Morphismus $\mathcal E_\alpha\ra \mathcal F_\alpha$ "uber $W\ra X$ mit denselben Eigenschaften, wie wir sie von $\mathcal E,\mathcal F$ und $\mathcal E\ra \mathcal F$ gefordert hatten, sowie ein kommutatives Quadrat in $\mathscr C$ mit $S$-Morphismen in den Vertikalen $$\xymatrix{\mathcal E_\alpha \ar[d]^{S}\ar[r]&\mathcal F_\alpha \ar[d]^{S}\\ \mathcal E \ar[r]&\mathcal F}$$ bilden wir das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal E_\alpha \ar@{-->}@/_2pc/[ddd]\ar[rd]^S\ar[rr]&&q^\dagger \mathcal F_\alpha\ar[d]\ar@{-->}@/_2pc/[ddd]\ar@{..>}[rr] &&{\mathcal F_\alpha }\ar@{-->}@/_2pc/[ddd]\ar[ld]_S\\ &\mathcal E \ar@{-->}[d]\ar[r]&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}\ar@{-->}[d]&\\ & g_{{\shriek}} \mathcal E \ar[r]&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r] & f_{{\shriek}}\mathcal F&\\ g_{{\shriek}} \mathcal E_\alpha \ar[rr]\ar[ur]_S&&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F_\alpha\ar@{..>}[rr]\ar[u] && f_{{\shriek}}\mathcal F_\alpha\ar[ul]^S} \end{displaymath} und erkennen, da"s es einen Isomorphismus der entsprechenden R"uckholquadrate in der Lokalisierung induziert. Jetzt finden wir von der Definition einer Rechts-Links-Entfaltung ausgehend ein Erg"anzung der oberen Horizontale von eben zu einem kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E_\alpha \ar@{=}[d]_3\ar[rr]_3^S &&q^\dagger \mathcal F_{\dagger\shriek}\ar@{..>}[r] &{\mathcal F_{\dagger\shriek}}\\ \mathcal E_\alpha \ar[r]_2^S &\mathcal G \ar[d]_1^S\ar[r]_1&q^\dagger \mathcal F_{\shriek}\ar[d]^S\ar[u]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F_\shriek}\ar[d]^S\ar[u]_S\\ &\mathcal E \ar[r]&q^\dagger \mathcal F\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}} \end{displaymath} mit den angedeuteten $S$-Morphismen, mit $\mathcal F_{\shriek},\mathcal E,\mathcal E_\alpha \in\mathscr L$ und mit $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in\mathscr R\cap \mathscr L$. Hier verwenden wir im ersten Schritt, da"s $S$ ein faserweises Oresystem ist, um $\mathcal G$ und die beiden davon ausgehenden Morphismen zu finden, und ganz wesentlich die Eigenschaft einer Rechtslinksanpassung, da"s $q^\dagger$ aus $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_\shriek$ wieder einen $S$-Morphismus macht, auch wenn diese Bojekte beide gar nicht $Qq^\dagger$-rechtsentfaltet sind. Im zweiten Schritt finden wir einen $S$-Morphismus von einem Objekt $\mathcal E_\alpha\in\mathscr L_W$ nach $\mathcal G$ aufgrund der Definition einer Linksanpassung. Im dritten Schritt erkennen wir, da"s $Q\mathcal E_\alpha\ra Q\mathcal F_{\dagger\shriek}$ kartesisch sein mu"s, also $Q\mathcal E_\alpha\ra Qq^\dagger\mathcal F_{\dagger\shriek}$ ein Isomorphismus wegen $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in \mathscr R$, also $\mathcal E_\alpha\ra q^\dagger\mathcal F_{\dagger\shriek}$ ein $S$-Morphismus wegen $S$ faserweise ges"attigt. So k"onnen wir uns darauf zur"uckziehen, die urspr"ungliche Behauptung f"ur $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap \mathscr L_X$ zu zeigen. Gilt nun aber $\mathcal F\in \mathscr R_X\cap \mathscr L_X$, so mu"s der erste horizontale Pfeil oben links unter $Q$ ein Isomorphismus werden und wir k"onnen unser Diagramm erg"anzen zu einem Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E \ar@{-->}[d]\ar[r]_1^{\stackrel{Q}{\sim}}&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &{\mathcal F}\ar@{-->}[d]\\ g_{{\shriek}} \mathcal E \ar@{=}[d]\ar[r]&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r]\ar[d] & f_{{\shriek}}\mathcal F\ar[d]^{\wr Q}_2\\ g_{{\shriek}} \mathcal E \ar[r]_3^{\stackrel{Q}{\sim}}&p^\dagger \mathcal G\ar@{..>}[r] & \mathcal G} \end{displaymath} mit $\mathcal G\in\mathscr R_Y$. Dann mu"s, wenn das naive Verflechtungsquadrat zur Ausgangsecke $Q\mathcal F$ kokartesische Vertikalen hat, die mittlere Vertikale kokartesisch werden in der Lokalisierung. Das hinwiederum zeigt, da"s auch der horizontale Morphismus unten links in der Lokalisierung ein Isomorphismus werden mu"s. So sehen wir, da"s das obere lange horizontale Rechteck, das einh"ullende Quadrat und das rechte lange vertikale Rechteck alle drei isomorphe R"uckholquadrate in der Lokalisierung liefern. Das rechte lange vertikale Rechteck liefert per definitionem ein naives Verflechtungsquadrat und so folgt dasselbe f"ur das obere lange horizontale Rechteck. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Halbseitig beschr"ankte derivierte Verflechtung}] Unsere topologische verflochtene Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ aus \ref{AtA} mit der durch Kommutativit"at konstruierten Verflechtung liefert in offensichtlicher Weise verflochtene Austauschsituationen $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ f"ur $\sharp$ eine jede unserer vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. Im Fall von $\op{Hot}^-$ k"onnen wir diese Austauschsituation nach Quasiisomorphismen lokalisieren, denn der R"uckzug ist exakt und alle Garbenkomplexe bilden folglich eine Rechtsanpassung $\mathscr R$ f"ur den opponierten R"uckzug, und f"ur den Eigvorschub haben wir die Linksanpassung $\mathscr L\pdef \op{Hot}^-(\op{skwAb}_{\sslash \op{Top}})$ durch entsprechend beschr"ankte Komplexe schwach kompaktweicher Garben nach \ref{RAGB}. Um eine Verflechtung der lokalisierten Austauschsituation zu konstruieren, pr"ufen wir die Bedingungen von Satz \ref{AdLo} zum Lokalisieren einer Pr"averflechtung. Sicher existiert eine Rechtslinksanpassung, n"amlich $(\mathscr R,\mathscr L)$. Wir m"ussen also nur noch zeigen, da"s in unserer Situation alle naiven Verflechtunsquadrate voll kokartesisch sind. Nach \ref{NaiR} reicht es zu zeigen, da"s alle naiven Verflechtunsquadrate mit Ausgangsecke in $\mathscr L$ voll kokartesisch sind. Es reicht also zu zeigen, da"s gegeben \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[d]^g&X\ar[d]^f \\ Z\ar[r]^p &Y } \end{displaymath} ein kartesisches Diagramm topologischer R"aume mit les-Ab\-bil\-dun\-gen $f,g$ in den Vertikalen und ein Komplex $\mathcal F\in \op{Hot}^-(\op{skwAb}_{\sslash X})$ alias $\mathcal F\in \op{Hot}^+(\op{skwAb}_{{/} X})$ der R"uckzug $q^* \mathcal F$ ein $g_{(!)}$-quisrechtsentfalteter Garbenkomplex ist, so da"s das entsprechende voll kokartesische Verflechtungsquadrat in $\op{Hot}^-(\op{Ab}_{\sslash {\op{Top}}})$ aus der oben beschriebenen Verflechtung voll kokartesisch bleibt in der Lokalisierung. Nach \ref{teL} ist aber jede faserweise kompaktweiche abelsche Garbe bereits $g_{(!)}$-quisrechtsentfaltet f"ur jede les-Abbildung $g$ und f"ur eine schwach kompaktweiche abelsche Garbe $\mathcal F$ hat offensichtlich ihr R"uckzug $q^* \mathcal F$ diese Eigenschaft. Mithin erhalten wir durch Lokalisieren mit \ref{AdLo} eine Verflechtung der Austauschsituation\label{hbbA} $$(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Unbeschr"ankte derivierte Verflechtung}] Wir erhalten wie in \ref{hbbA} eine Austauschsituationen mit Verflechtung $$\left(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ und k"onnen sie wie zuvor nach Quasiisomorphismen lokalisieren, indem wir "ahnlich wie zuvor Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$ beachten mit $\mathscr R$ allen Komplexen und $\mathscr L\pdef \op{Hot}(\op{skwAb}_{\sslash \op{Top}})$ der Linksanpassung durch Komplexe schwach kompaktweicher Garben nach \ref{RAGBb}. Lokalisierung liefert dann eine Verflechtung der Austauschsituation\label{kolesb} $$(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$ \end{Beispiel} \subsection{Wie es mit koh"arenten Kringen einfacher geht} \begin{Bemerkungl} Ein Ring hei"st {\bf linkskoh"arent},\index{linkskoh"arent!Ring} wenn jedes endlich erzeugte Linksideal ein endlich pr"asentierter Linksmodul ist. Er hei"st {\bf rechtskoh"arent},\index{rechtskoh"arent!Ring} wenn der opponierte Ring linkskoh"arent ist, und {\bf koh"arent},\index{koh"arent!Ring} wenn er linkskoh"arent und rechtskoh"arent ist. Man sehe sich vor, da"s das Tensorprodukt "uber $\DZ$ zweier koh"arenter Kringe keineswegs koh"arent sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten die Kategorie $\op{Gekkk}\subset\op{Gek}$ aller konstant mit einem koh"arenten Kring $k$ gekringten R"aume $(X,k)$\index{Gekkk@$\op{Gekkk}$ konstant koh"arent gekringte R"aume} und darin die multiplikativen Systeme $$\op{Gekkk}^{\op{esbk}}\subset \op{Gekkk}^{\op{lesbk}}\subset \op{Gekkk}$$ aller Morphismen ohne Ringwechsel, bei denen die zugrundeliegende stetige Abbildung lesb im Sinne von \ref{lesb} beziehungsweise lesb und eigentlich ist. \nichtfinal{Die Notation mu"s noch verbessert werden, wirkt so zu kompliziert.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen funktioniert also, wenn $k$ koh"arent ist, der Formalismus der drei Funktoren im Fall von $k$-Modulgarben genauso wie im Fall von abelschen Gruppen und ist dar"uberhinaus vertr"aglich mit beliebiger Erweiterung des Koeffizientenrings. In \ref{ChAd} diskutieren wir, warum auch der naive gew"ohnliche Basiswechsel und der nat"urliche Isomorphismus der Projektionsformel mit den jeweiligen Trennaustauschbasiswechseln zusammenfallen. Offensichtlich h"atte auch das zusammen mit der Vertr"aglichkeit unter Ringwechsel bereits ausgereicht, um unsere Trennverflechtung zu charakterisieren. \end{Bemerkungl} Ist $k$ koh"arent, so besteht der Komplex $\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y$ aus flachen $k$-Moduln und der Komplex ${\op{G}}^\lhd k_X$ aus flachen $k$-Garben und nach \ref{tKKnV} hat $({\op{G}}^\lhd k_X)\otimes_k(\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y)$ sogar zwei Gr"unde, um aus kompaktweichen Garben zu bestehen, so da"s der Komplex $$\Gamma\big(({\op{G}}^\lhd k_X)\otimes_k(\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y)\big)$$ das Objekt $\op{fin}_{*}\underline{X\times Y}$ repr"asentiert. \begin{proof} Wir bemerken zun"achst einmal, da"s die homotopieflachen Komplexe und, das wird sp"ater n"utzlich werden, auch die homotopieflachen Komplexe aus flachen Modulgarben nach dem Beweis von \ref{gVRT} und insbesondere \ref{hflL} eine Linksanpassung $$\op{Hflfl}_{\sslash \op{Gek}}\subset \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})$$ an unsere Modulgarbentrennfaserung in Bezug auf Quasiisomorphismen bilden. Unser Trennr"uckzug kann so gew"ahlt werden, da"s er $\op{Hflfl}_{\sslash \op{Gek}}$ stabilisiert, und wir erhalten so eine weitere schwache Trennaustauschsituation $$\big(\op{Hflfl}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}\leftarrow \op{Hflfl}^!_{\sslash \op{Gek}}, \op{Gek}^{\op{e}}\big)$$ mit einer schwachen Trennverflechtung, deren Verflechtungsquadrate die kommutativen R"uckholquadrate sind. Sie schr"ankt offensichtlich ein zu einer schwachen Trennaustauschsituation mit einer schwachen Trennverflechtung $$\big(\op{Hflfl}_{\sslash \op{Gekkk}}\ra \curlywedge{\op{Gekkk}}\supset\op{Gekkk}^{\op{lesbk}}\leftarrow \op{Hflfl}^!_{\sslash \op{Gekkk}^{\op{lesbk}}}, \op{Gekkk}^{\op{esbk}}\big)$$ In dieser Trennaustauschsituation macht der Trennr"uckzug immer noch Quasiisomorphismen zu Quasiisomorphismen. Im folgenden f"uhren wir \glqq lesb-kom\-pakt\-wei\-che\grqq\ Modulgarben ein und zeigen in \ref{ExRa}, da"s die volle Unterkategorie $$\op{Hflfllkw}_{{\sslash}\op{Gekkk}}\subset \op{Hflfl}_{{\sslash}\op{Gekkk}}$$ der homotopieflachen Komplexe aus flachen lesb-kompaktweichen Modulgarben darin eine Rechtsanpassung f"ur den Eigvorschub l"angs lesbk-Morphimen alias lesb-Morphimen ohne Ringwechsel bilden, so da"s wir unsere Situation, wie in \ref{MAdLo} erkl"art, nach Quasiisomorphismen lokalisieren k"onnen zu einer regulierten verflochtenen Trennaustauschsituation. Dann zeigen wir in \ref{seFkk}, da"s f"ur die in \ref{MAdLo} beschriebene Regulierung die in unserem Satz angegebenen Basisquadrate erlaubt sind. Schlie"slich pr"ufen wir in \ref{ChAd}, da"s die so konstruierte regulierte Verflechtung auch in der Tat durch die in unserem Satz gegebenen Eigenschaften charakterisiert wird. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf einem topologischen Raum $X$ {\bf lesb-kompaktweich},\index{lesb-kompaktweich} wenn f"ur jede abgeschlossene relativ Hausdorff'sche Teilmenge $Z\As X$, die lesb ist f"ur die induzierte Topologie, die Restriktion $\mathcal F|_Z$ kompaktweich ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Lesb-kompaktweiche abelsche Garben sind entfaltet f"ur den Eigvorschub l"angs lesb-Abbildungen, denn deren Fasern sind Teilmengen $Z$ der beschriebenen Art und lokal eigentlicher Basiswechsel liefert die Behauptung. Da f"ur lesb-Abbildungen $f$ per definitionem $f_{(!)}$ endliche homologische Dimension hat, sind damit nach \eref{UbDe}{TD} alle Komplexe lesb-kom\-pakt\-wei\-cher abelscher Garben entfaltet f"ur $Q{\op{Hot}}(f_{(!)})$.\label{LKW} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wie in \ref{dibisk} zeigt man, da"s der Eigvorschub $f_{(!)}\mathcal F$ einer lesb-kom\-pakt\-wei\-chen Garbe unter einer lesb-Abbildung $f$ wieder lesb-kompaktweich ist.\label{eibh} Wie in \ref{RAGBb}, nur diesmal mit Modulgarben, folgt auch, da"s die Komplexe aus lesb-kom\-pakt\-wei\-chen Modulgarben eine Rechtsanpassung der Kofaserung $$\op{Hot}(\op{Ab}^{!}_{\sslash \op{Gekkk}^{\op{lesbk}}}) \ra \op{Gekkk}^{\op{lesbk}}$$ bilden. Dasselbe gilt f"ur schwach kompaktweiche Modulgarben, aber lesb-kom\-pakt\-wei\-che Modulgarben sind f"ur das folgende geschickter, da sie in der Kombination mit Flachheitsannahmen bessere Stabilit"atseigenschaften haben. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kompaktweichheitskriterium}] Eine abelsche Garbe $\mathcal{F}$ auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $Z$ ist\label{ZKwNV} kompaktweich genau dann, wenn f"ur alle $W \co Z$ gilt ${\op{H}}_!^1(W;\mathcal F)=0$. \end{Lemma} \begin{proof} Das war bereits ein Teil von "Ubung \eref{kwil}{TG}, aber wir f"uhren es hier noch aus. Ist $\mathcal{F}$ kompaktweich, so ist auch $\mathcal{F}|_W$ kompaktweich nach \eref{WKW}{TG} und damit $\Gamma_!$-entfaltet nach \eref{KwA}{TG} und wir haben sogar ${\op{H}}_!^q(W;\mathcal F)=0$ f"ur alle $q>0$. Ist umgekehrt $\mathcal{F}$ eine abelsche Garbe auf $Z$ und $K\subset Z$ ein Kompaktum, so ist $K$ abgeschlossen und die Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie \eref{LokSS}{TG} enth"alt die exakte Sequenz $$\Gamma_! (Z; \mathcal{F}) \rightarrow \Gamma_! (K;\mathcal{F})\ra {\op{H}}_!^1(Z\backslash K;\mathcal F)$$ Nach Annahme verschwindet hier der rechte Term und folglich ist die Restriktion sogar eine Surjektion $\Gamma_! (Z; \mathcal{F}) \sra \Gamma (K;\mathcal{F})$.\end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Tensorieren mit flacher kompaktweicher Modulgarbe}] Seien $Z$ lesb und $k$ ein Kring und $\mathcal K, \mathcal F \in \op{Ab}_{/(Z,k)}$ Modulgarben. Ist $\mathcal K$ kompaktweich und ist zus"atzlich $\mathcal K$ oder $\mathcal F$ flach, so ist auch $\mathcal F \otimes_k \mathcal K$ kompaktweich.\label{tKKnV} %Ich w"u"ste gerne, ob das auch gilt, wenn $\mathcal K$ nicht flach ist oder $f_{(!)}$ nur lokal eigentlich separiert. \end{Lemma} \begin{proof} Nach unserem Kriterium \ref{ZKwNV} reicht es zu zeigen ${\op{H}}_!^1(W;\mathcal F \otimes_k \mathcal K)=0$ f"ur alle $W\co Z$. Weil alle unsere Bedingungen unter Restriktion auf $W$ erhalten bleiben, reicht es zu zeigen ${\op{H}}_!^1(Z;\mathcal F \otimes_k \mathcal K)=0$. Jede Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/(Z,k)}$ besitzt eine Aufl"osung $\ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \rightarrow \mathcal F^0 \twoheadrightarrow \mathcal F$ mit $\mathcal F^\nu$ jeweils einer direkten Summe von Kopien von Garben der Gestalt $k_{U\subset Z}$ f"ur $U \co Z$. Diese liefert eine exakte Sequenz \begin{equation*} \ldots \rightarrow \mathcal F^{-1} \otimes_k \mathcal K \rightarrow \mathcal F^0 \otimes_k \mathcal K \twoheadrightarrow \mathcal F \otimes_k \mathcal K \end{equation*} Nun sind auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen direkte Summen kompaktweicher Garben kompaktweich nach \ref{LKWG} und $\mathcal F^{\nu} \otimes_k \mathcal K$ ist eine direkte Summe von Garben der Gestalt $k_{U\subset Z} \otimes_k \mathcal K \cong \mathcal K_{U\subset Z}$ und ist folglich kompaktweich nach \ref{stbkw} und \ref{LKWG}. Bezeichnet $\mathcal L^i\subset \mathcal F^i\otimes_k\mathcal K$ den Kern des $i$-ten Morphismus unserer langen exakten Sequenz, so liefern die langen exakten Kohomologiesequenzen Isomorphismen $${\op{H}}^1_!(Z;\mathcal F \otimes_k \mathcal K)\sira {\op{H}}^2_!(Z;\mathcal L^0)\sira {\op{H}}^3_!(Z;\mathcal L^1)\sira \ldots$$ Da wir $Z$ lesb alias lokal kompakt Hausdorff homologisch kompaktendlich angenommen hatten, m"ussen alle diese Kohomologien verschwinden. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Lesb-Variante der Projektionsformel}] Gegeben ein Kring $k$ und ein Raum $X$ derart, da"s der Funktor $\Gamma_!: k\op{-Mod}_{/X}\ra k\op{-Mod}$ von endlicher homologischer Dimension ist, und eine flache kompaktweiche $k$-Modulgarbe $\mathcal F$ auf $X$ ist\label{GdsaV} %\ref{TSkoM} $\Gamma_!\mathcal F$ ein flacher $k$-Modul und die offensichtliche Abbildung ist ein Isomorphismus $$\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G)$$ Ist $X$ sogar lesb, so ist auch $\mathcal F\otimes_k G$ kompaktweich. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zur gew"ohnlichen Projektionsformel \ref{TSkoM} fordern wir hier nicht $G$ flach, sondern $\mathcal F$ flach. Eine Variante zeigen wir in \ref{Gdsa}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $ \ldots \ra G_1\ra G_0\sra G$ eine Aufl"osung von $G$ durch flache $k$-Moduln. Da $\mathcal F$ flach ist, f"uhrt sie, sogar ohne da"s wir die $G_i$ als flach anzunehmen br"auchten, zu einer exakten Sequenz $$ \ldots \ra\mathcal F\otimes_k G_1\ra \mathcal F\otimes_k G_0\sra \mathcal F\otimes_k G$$ von abelschen Garben auf $X$. Nach der Projektionsformel \ref{TSkoM} und da die $G_i$ flach sind, wissen wir von allen Garben dieser Sequenz mit Ausnahme der letzten, da"s sie kompaktweich und damit $\Gamma_!$-entfaltet sein m"ussen. Da wir $\Gamma_!$ von endlicher homologischer Dimension angenommen hatten, ist nach "Ubung \eref{ehdn}{TG} dann auch die letzte Garbe unseres Komplexes $\Gamma_!$-entfaltet und im kommutativen Diagramm $$\xymatrix{\ldots\;\ar[r]& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_1\ar[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G_0\ar@{->>}[r]\ar[d]^\wr& \Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\ar[d]\\ \ldots\;\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_1)\ar[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G_0)\ar@{->>}[r]& \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G) }$$ folgt mit \eref{EHD}{TG} die durch den Doppelpfeil unten rechts bereits angedeutete Exaktheit der unteren Horizontale. Die vertikalen Isomorphismen au"ser beim vertikalen Pfeil ganz rechts folgen aus der Projektionsformel \ref{TSkoM} und bei der oberen Horizontale ist zumindest die ausgeschriebene drei-Term-Sequenz rechtsexakt aufgrund der Rechtsexaktheit des Tensorprodukts. Zusammen ergibt sich, da"s auch die Vertikale ganz rechts ein Isomorphismus $$\Gamma_!\mathcal F\otimes_k G\sira \Gamma_!(\mathcal F\otimes_k G)$$ sein mu"s. Als Funktor von $G$ macht hier die rechte Seite Injektionen zu Injektionen, da $\mathcal F$ flach ist und $\Gamma_!$ linksexakt. Dasselbe folgt f"ur die linke Seite und damit ist $\Gamma_!\mathcal F$ flach. Schlie"slich ist jede offene Teilmenge $U\co X$ eines lesb-Raums $X$ wieder lesb und die Restriktion von $\mathcal F|_U\otimes_k G\cong(\mathcal F\otimes_k G)|_U$ auf $U$ ist nach dem bereits Bewiesenen angewandt auf $U$ auch $\Gamma_!$-entfaltet. Nach \ref{ZKwNV} ist also $\mathcal F\otimes_k G$ kompaktweich. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein lesb-Morphismus $f:X\ra Y$ und ein Kring $k$ und ein homotopieflacher Komplex $\mathcal F\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/(X,k)})$ aus flachen lesb-kom\-pakt\-wei\-chen Modulgarben\label{fllek} ist auch $f_{(!)}\mathcal F\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/(Y,k)})$ ein homotopieflacher Komplex aus flachen lesb-kompaktweichen Modulgarben. \end{Lemma} \nichtfinal{9.1.2023: Das sollte doch nun reichen, um zu zeigen, da"s die naiven Basiswechsel verkleben. 10.1.2023: Eben nicht, weil keine so ne Aufl"osungen finden, wnn $k$ nicht koh"arent ist. Ein Versuch w"are, lokal endliche "Uberdeckungen durch Kompakta $K$ zu nehmen und $\mathcal F\hra \prod i_{K*}i^{*}_K\mathcal F$ zu betrachten. In diesem Fall sollten Produkt und Summe "ubereinstimmen. Jetzt w"are die Hoffnung, da"s ein geeigneter Kolimes "uber immer feinere "Uberdeckungen kompaktweich w"urde und diese Konstruktion Flachheit erh"alt, wir also eine Kompatweichifizierung einer flachen zu einer kompaktweichen flachen Garbe erhalten.} \begin{proof} Da"s $f_{(!)}\mathcal F$ aus lesb-kompaktweichen Modulgarben besteht, folgt direkt aus \ref{eibh}. Exaktheit wie Flachheit und Homotopieflachheit kann man auf den Halmen pr"ufen und mit lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} k"onnen wir uns im weiteren auf den Fall zur"uckziehen, da"s zus"atzlich $Y$ der einpunktige Raum ist. Sei also $\mathcal F$ ein homotopieflacher Komplex aus flachen kompaktweichen $k$-Modulgarben auf einem lesb-Raum $X$. Aus der lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV} folgt sofort, da"s der Komplex $\Gamma_{!}\mathcal F$ aus flachen $k$-Moduln besteht. Wir m"ussen damit nur noch zeigen, da"s f"ur jeden exakten Komplex $ N\in \op{Ket}(k\op{-Mod})$ auch der Komplex $\Gamma_{!}\mathcal F\otimes_{k} N$ exakt ist. Daf"ur identifizieren wir mit Hilfe unserer lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV} unseren Komplex mit dem Komplex $\Gamma_!(\mathcal F \otimes_kN)$. Nun ist der Komplex $\mathcal F \otimes_kN$ exakt nach Annahme. Er besteht au"serdem aus kompaktweichen Garben nach der lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV} und da Koprodukte kompaktweicher Garben auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen nach \ref{LKWG} wieder kompaktweich sind. Da $X$ lesb ist, mu"s also nach \ref{EHD} auch der Komplex $\Gamma_!(\mathcal F \otimes_kN)$ exakt sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Um zu zeigen, da"s die homotopieflachen Komplexe aus flachen lesb-kompaktweichen Modulgarben wie behauptet eine Rechtsanpassung $$\op{Hflfllkw}_{{\sslash}\op{Gekkk}}\subset \op{Hflfl}_{{\sslash}\op{Gekkk}}$$ f"ur den Eigvorschub l"angs lesbk-Morphismen auf den opponierten Kategorien bilden, m"ussen wir noch von jedem homotopieflachen Komplex aus flachen Modulgarben einen Quasiisomorphismus zu einem homotopieflachen Komplex aus flachen lesb-kompaktweichen Modulgarben finden. Das ist die erste Stelle im Beweis, an der ich brauche, da"s wir mit Modulgarben "uber einem koh"arenten Kring arbeiten. F"ur uns ist dabei nur von Bedeutung, da"s in diesem Fall beliebige Produkte flacher Moduln wieder flach sind. Ich wiederhole kurz den Beweis, bevor ich zu den Anwendungen komme. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Ein Rechtsmodul $F$ "uber einem Ring $R$ ist genau dann flach, wenn f"ur jedes endlich erzeugte Linksideal $J\subset R$ die Einbettung eine Injektion\label{liko} $F\otimes_R J\hra F\otimes_RR$ induziert. \end{Proposition} \begin{proof} Aus $\op{Tor}_R^1(F,R/J)=0$ f"ur alle endich erzeugten Linksideale $J$ folgt $\op{Tor}_R^1(F,R/I)=0$ f"ur alle Linksideale $I$, da das Torsionsprodukt mit filtrierenden Kolimites kommutiert. Die Proposition folgt so aus dem anschlie"senden Lemma \ref{likko}. \end{proof} \begin{Lemma} Ein Rechtsmodul $F$ "uber einem Ring $R$ ist genau dann flach, wenn f"ur jedes Linksideal $I\subset R$ die Einbettung eine Injektion $F\otimes_RI\hra F\otimes_RR$ induziert.\label{likko} \end{Lemma} \begin{proof} Seien $N\subset M$ ein $R$-Linksmodul mit einem Untermodul. Da das Tensorprodukt mit Kolimites vertauscht und da filtrierende Kolimites exakt sind, gibt es nach dem Zorn'schen Lemma einen maximalen Untermodul $L\subset M$, der $N$ umfa"st und f"ur den die Einbettung $N\subset L$ eine Injektion $F\otimes_RN\hra F\otimes_RL$ induziert. G"alte $L\neq M$, so k"onnten wir ein Element $m\in M\backslash L$ w"ahlen und erhielten eine kurze exakte Sequenz von Linksmoduln $$L\hra (L+Rm)\sra R/I$$ f"ur ein Linksideal $I\subset R$. Aus unseren Annahmen folgt jedoch $\op{Tor}_R^1(F,R/I)=0$ und damit mu"s das Darantensorieren eine Injektion $F\otimes_RL\hra F\otimes_R(L+Rm)$ induzieren im Widerspruch zur Maximalit"at von $L$. \end{proof} \begin{Theorem} "Uber einem linkskoh"arenten Ring ist jedes Produkt flacher Rechtsmoduln ein flacher Rechtsmodul.\label{plkm} \end{Theorem} \begin{proof} Das Tensorprodukt mit endlich pr"asentierbaren Moduln kommutiert offensichtlich mit beliebigen Produkten. Der Satz folgt damit aus der vorhergehenden Proposition \ref{liko}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Godementaufl"osung konstanter Strukturgarben}] Gegeben ein konstant koh"arent gekringter Raum $(X,k)\in \op{Gekkk}$ besteht die Godementaufl"osung der Strukturgarbe\label{fTga} $k_X$ aus flachen $k$-Modulgarben, da die Einbettung einer Garbe in die Garbe ihrer unstetigen Schnitte stets halmweise spaltet und da "uber einem koh"arenten Kring Produkte flacher Moduln wieder flach sind, wie wir in \ref{plkm} wiederholt haben. Die Godementaufl"osung ${\op{G}}^\lhd k_X$ der Strukturgarbe ist des weiteren homotopieflach, da der Komplex $k_X\ra {\op{G}}^\lhd k_X$ halmweise spaltet, also homotopieflach ist, und da $k_X$ selbst homotopieflach ist. Die Godementaufl"osung ist mithin ein ho\-mo\-to\-pie\-fla\-cher Komplex aus flachen und welken, mithin aus flachen schwach kompaktweichen Garben. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Ich brauche wohl nur eine homotopieflache Aufl"osung der Strukturgarbe aus hinreichend kompaktweichen flachen Garben. Reicht es aus, daß die Godement-Aufl"osung homotopieflach ist? Brauchen wir das \glqq aus flachen Garben\grqq\ so dringend?} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homotopieflache flache lesb-kompaktweiche Aufl"osungen}] Gegeben ein konstant koh"arent gekringter Raum $(X,k)\in \op{Gekkk}$ und ein homotopieflacher Komplex aus flachen Modulgarben $\mathcal F\in \op{Hflfl}_{/(X,k)}$ ist $$\mathcal F\qri \mathcal F\otimes_k {\op{G}}^\lhd k_X$$ ein Quasiisomorphismus zu einem homotopieflachen Komplex aus flachen und nach \ref{tKKnV} zus"atzlich lesb-kompaktweichen Modulgarben.\label{flKA} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Die volle Unterkategorie $\op{Hflfllkw}^!_{{\sslash}\op{Gekkk}}\subset \op{Hflfl}^!_{{\sslash}\op{Gekkk}}$ der homotopieflachen Komplexe aus flachen lesb-kompaktweichen Modulgarben ist eine \hyperref[RAP]{Rechtsanpassung}\label{ExRa} f"ur den Funktor $$\op{Hflfl}^!_{{\sslash}\op{Gekkk}^{\op{lesbk}}}\ra \op{Gekkk}^{\op{lesbk}} $$ \end{Lemma} \begin{proof} Zun"achst einmal zeigt \ref{fllek}, da"s der Eigvorschub unter einem lesbk-Morphismus von konstant gekringten R"aumen die Kategorie $\op{Hflfllkw}_{{\sslash}\op{Gekkk}}$ stabilisiert. Wir wissen bereits aus \ref{LKW}, da"s Eigvorschub l"angs einer lesbk-Ab\-bil\-dung Quasiisomorphismen zwischen derartigen Komplexen zu Quasiisomorphismen macht. Schlie"slich zeigt \ref{flKA}, da"s es zu jedem Objekt der gr"o"seren Kategorie einen Quasiisomorphismus aus einem Objekt der kleineren Kategorie gibt, da obige Notation ja opponierte Kategorien von Garben bedeutet. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regulierung derivierter Modulgarben}] Alle Basisquadrate, in denen der Koeffizientenring nicht gewechselt wird, sind in unserer nach \ref{MAdLo} aus unserer Rechtsanpassung \ref{ExRa} entstehenden Regulierung von $$\left(\op{Der}_{\sslash \op{Gekkk}}\ra \curlywedge{\op{Gekkk}}\supset \op{Gekkk}^{\op{lesbk}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Gekkk}^{\op{lesbk}}}, \op{Gekkk}^{\op{esbk}}\right)$$ erlaubt. Um das zu zeigen, reicht es nach \ref{VerPBE} aus, das f"ur alle Basisquadrate ohne Wechsel des Koeffizientenrings zu pr"ufen, die eine Einstrennung oder eine Diagonalzweitrennung als zur"uckholende Kante haben. Im Fall einer Eins\-tren\-nung als zur"uckholender Kante folgt das bereits aus dem in \ref{kolesb} behandelten Fall abelscher Garben. Im Fall einer Dia\-go\-nal\-zwei\-tren\-nung d"urfen wir wieder nach \ref{VerPBE} zus"atzlich\label{seFkk} annehmen, da"s vom Zweitupel der Morphismen in der Ausgangskante einer die Identit"at ist. Da Quasiisomorphismen von Garbenkomplexen bereits auf den Halmen zu sehen sind, k"onnen wir uns mit dem bereits bekannten Fall einer Einstrennung als zur"uckholender Kante darauf zur"uckziehen, im Fall derivierter Kategorien von Modulgarben die Projektionsformel zu pr"ufen. Das gelingt unschwer mit der lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV}. Genauer ist nach \ref{GdsaV} und der Vertr"aglichkeit von $\Gamma_!$ mit Koprodukten f"ur jeden lesb-Raum $X$ und jeden Komplex $\mathcal F\in \op{Hflfllkw}_{(X,k)}$ und jedes $\mathcal G\in \op{Hflfllkw}_{(\op{top},k)}$ der schwache Basiswechsel auf den Homotopiekategorien ein Isomorphismus $\mathcal G\otimes_k\Gamma_!\mathcal F\sira \Gamma_!(\mathcal G\otimes_k\mathcal F)$. Alle Basisquadrate, in denen die zur"uckholende Kante eine Einstrennung ohne Raumwechsel ist, sind in unserer Regulierung ebenfalls erlaubt. Das folgt unmitelbar aus der lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Um zu pr"ufen, da"s unsere beim Beweis von \ref{TvABGm} konstruierte regulierte verflochtene Trennaustauschsituation f"ur derivierte Modulgarben die ebendort behaupteten Eigenschaften hat, bemerken wir, da"s wir f"ur jeden Komplex $\mathcal F$ von Modulgarben auf einem Raum $X$ einen Quasiisomorphismus $\mathcal L\qri \mathcal F$ von einem homotopieflachen Komplex aus flachen Modulgarben dorthin finden k"onnen und da"s sich dieser, wenn $k$ koh"arent ist, durch weitere Quasiisomorphismen zu einem kommutativen Diagramm aus Quasiisomorphismen\label{ChAd} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal F\ar[r] & \mathcal F\otimes_k{\op{G}}^\lhd k_X \\ \mathcal L\ar[u]\ar[r] &\mathcal L \otimes_k{\op{G}}^\lhd k_X\ar[u] } \end{displaymath} erg"anzen l"a"st mit ${\op{G}}^\lhd k_X$ der Godementaufl"osung, die ja nach \ref{fTga} ein homotopieflacher Komplex aus flachen schwachkompaktweichen Modulgarben ist und mit einem Quasiisomorphismus $k_X\qri {\op{G}}^\lhd k_X$ angeliefert wird, der in obigem Diagramm die Horizontalen liefert. Nach \ref{tKKnV} ist $\mathcal F\otimes_k{\op{G}}^\lhd k_X$ ein Komplex aus lesb-kompaktweichen Modulgarben und $\mathcal L \otimes_k{\op{G}}^\lhd k_X$ ein homotopieflacher Komplex aus flachen lesb-kompaktweichen Modulgarben, wie wir sie bei der Konstruktion unserer Trennverflechtung verwendet hatten. Indem wir zu den opponierten Kategorien "ubergehen, finden wir Quadrate zur Anwendung der in \ref{nbV} erkl"arten Methode zu Vergleich von naivem Basiswechsel mit dem Trennfaserungsbasiswechsel einer wie bei uns konstruierten verflochteten regulierten Trennaustauschsituation. Damit folgt wie im Fall abelscher Garben \ref{nbpm}, da"s die beim Beweis von \ref{TvABGm} konstruierte regulierte Trennverflechtung die im Satz behauptete Vertr"aglichkeit mit naivem Basiswechsel hat. Da"s es auch die Einzige ist, folgt unmittelbar aus Lemma \ref{vtdm}, nach dem eine regulierte Verflechtung durch ihre R"uckholquadrate mit kokartesischer Ausgangskante bereits eindeutig bestimmt ist. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Eigvorschub sollte mit beliebiger Restriktion der Skalare kommutieren. Das kommt aber hier nicht mit raus. Vielleicht mit $f_*$?} \subsection{Versuch zum Basiswechsel vom 23.1.2023} \begin{Lemma} Gegeben ein Kring $k$ und ein lesb-Raum $X$ ist der naive Basiswechsel \ref{nB} im kartesischen Diagramm der Familienkategorie\label{bwiso} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[rr]^-{(\op{id},c)} \ar[d]_{c} &&X\curlywedge \op{top} \ar[d]^{{c}\curlywedge {\op{id}}} \\ \op{top}\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&& \op{top}\curlywedge \op{top}} \end{displaymath} ein Isomorphismus wann immer $\mathcal F\curlywedge \mathcal G$ sowohl rechtsentfaltet ist f"ur $(c\curlywedge \op{id})_!$ als auch linksentfaltet ist f"ur $\mathcal F\curlywedge \mathcal G \mapsto \mathcal F\otimes c^* \mathcal G$. \end{Lemma} \begin{proof} Zun"achst einmal erinnere ich daran, da"s der naive Basiswechsel in dieser Situation definiert ist als die mit invertierten Isomorphismen zu verstehende Komposition $$\begin{array}{ccc}\scriptstyle (({\op{R}}c_!)(Q\mathcal F))\otimes^{\op{L}}Q\mathcal G&&\scriptstyle ({\op{R}}c_!) ((Q\mathcal F)\otimes^{\op{L}} c^*(Q\mathcal G))\\ \scriptstyle \ua\wr&&\scriptstyle\da\wr\\ \scriptstyle (Qc_!\mathcal F)\otimes^{\op{L}}Q\mathcal G&\scriptstyle\ra\quad Q ((c_!\mathcal F)\otimes\mathcal G)\quad\ra \quad Q (c_!(\mathcal F\otimes c^*\mathcal G)) \quad\ra &\scriptstyle ({\op{R}}c_!) (Q(\mathcal F\otimes c^*\mathcal G)) \end{array} $$ Nun finden wir stets einen Quasiisomorphismus $\tilde{\mathcal G}\qri\mathcal G$ von einem homotopieflachen Komplex flacher $k$-Moduln nach $\mathcal G$ und dann ist notwendig auch $\mathcal F\curlywedge \tilde{\mathcal G}$ in beiden Weisen entfaltet und wir erhalten einen Homomorphismus der entsprechenden Diagramme. Weiter finden wir stets einen Quasiisomorphismus $\mathcal F\qri\tilde{\mathcal F}$ von $\mathcal F$ zu einem Komplex kompaktweicher $k$-Moduln, etwa die Godementaufl"osung, und offensichtlich ist dann auch $\tilde{\mathcal F}\curlywedge \tilde{\mathcal G}$ in beiden Weisen entfaltet und wir erhalten einen weiteren Homomorphismus des entsprechenden Diagramme. Dieses letzte Diagramm besteht jedoch aus Isomorphismen, da wir nach \ref{??} wissen, da"s die nat"urliche Abbildung ein Isomorphismus $(c_!\tilde{\mathcal F})\otimes\tilde{\mathcal G}\sira c_!(\tilde{\mathcal F}\otimes c^*\tilde{\mathcal G})$ in der Kategorie der Komplexe ist und da"s der Komplex $\mathcal F\otimes c^*\tilde{\mathcal G}$ aus kompaktweichen Garben besteht. Das so entstehende kommutative Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ &\ar[l]_{\sim} \ar[r]&\ar[r]&\ar[r]&&\ar[l]_{\sim} \\ \ar[u]_{\wr}\ar[d]^{\wr} &\ar[u]\ar[d]\ar[l]_{\sim} \ar[r]&\ar[r]\ar[u]\ar[d]&\ar[r]\ar[u]\ar[d]&\ar[u]\ar[d]&\ar[l]_{\sim}\ar[u]_{\wr}\ar[d]^{\wr} \\ &\ar[l]_{\sim} \ar[r]^{\sim}&\ar[r]^{\sim}&\ar[r]^{\sim}&&\ar[l]_{\sim} } \end{displaymath} in der derivierten Kategorie zeigt dann die Behauptung, da"s die Komposition in der oberen Horizontale mit den invertierten Isomorphismen an den Enden insgesamt ein Isomorphismus ist. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein Kring $k$ und ein lesb-Morphismus $f:X\ra Y$ ist der naive Basiswechsel \ref{nB} im kartesischen Diagramm der Familienkategorie \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[rr]^-{(\op{id},f)} \ar[d]_{f} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{{f}\curlywedge {\op{id}}} \\ Y\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&& Y\curlywedge Y} \end{displaymath} ein Isomorphismus wann immer $\mathcal F\curlywedge \mathcal G$ sowohl rechtsentfaltet ist f"ur $(f\curlywedge \op{id})_!$\label{bwisY} als auch linksentfaltet ist f"ur $\mathcal F\curlywedge \mathcal G \mapsto \mathcal F\otimes f^* \mathcal G$. \end{Lemma} \begin{proof} Mutatis mutandis derselbe Beweis wie beim vorhergehenden Lemma \ref{bwiso}. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein Kring $k$ und lesb-Morphismen $f:X\ra Y$ sowie $g:Z\ra Y$ ist der naive Basiswechsel \ref{nB} im kartesischen Diagramm der Familienkategorie \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Y Z \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge Z \ar[d]\\ Y\ar[r]^-{(\op{id},\op{id})} &Y\curlywedge Y \\ } \end{displaymath} ein Isomorphismus wann immer $\mathcal F$ ein homotopieflacher Komplex aus kompaktweichen Modulgarben ist und $ \mathcal G$ ein Komplex aus kompaktweichen Modulgarben. \end{Lemma} \begin{proof} Blah blah \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Y Z \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge (X\times_Y Z) \ar[d]\ar[r]&X\curlywedge Z \ar[d]\\ X \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge X \ar[r]&X\curlywedge Y \ar[d]\\ Y\ar[rr] &&Y\curlywedge Y \\ } \end{displaymath} \end{proof} \subsection{Trennverflechtung f"ur derivierte Modulgarben} \nichtfinal{NOCH EINPFLEGEN! \begin{Bemerkungl} Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ mit einer Pr"averflechtung. Die zugeh"origen R"uckz"uge notieren wir $p^{\dagger}$ und die zugeh"origen Eigvorsch"ube $f_{\shriek}$. Sei $S$ ein faserweises Oresystem in $\mathscr C$\label{nbVna} und seien $\mathscr L\subset \mathscr C$ eine $S$-Linksanpassung f"ur die Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ sowie $\mathscr R\subset \mathscr C$ eine $S$-Rechts\-an\-pass\-ung f"ur die Kofaserung $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$. Nach \ref{LRAn2} sind also die Objekte von $\mathscr R$ linksentfaltet f"ur alle $Qf_\shriek$ und die Objekte von $\mathscr L$ rechtsentfaltet f"ur alle $Qq^\dagger$. Es gebe schlie"slich f"ur jedes Objekt $X$ der Basis einen funktoriellen $S$-Morphismus $$\op{G}:\mathcal F\mapsto (\mathcal F_\shriek \ra \mathcal F)$$ mit $\mathcal F_\shriek \in \mathscr R$ derart, da"s $\mathcal F_\shriek \ra \mathcal F$ unter R"uckzug mit jedem Morphismus $q$ nach $X$ ein $S$-Morphismus $q^{\dagger}\mathcal F_\shriek \ra q^{\dagger}\mathcal F$ bleibt und da"s aus $\mathcal F\in \mathscr L$ folgt $\mathcal F_\shriek\in \mathscr R\cap\mathscr L$. Wir nennen so ein Datum $(\mathscr L,\mathscr R, \op{G})$ eine {\bf linksfunktorielle Doppelanpassung}. F"ur jedes Objekt $X$ der Basis und jedes $\mathcal F\in \mathscr C_X$ gibt es dann ein kommutatives Diagramm aus $S$-Morphismen \begin{displaymath} \xymatrix{&\mathcal F_\shriek\ar[ld]\ar[rd]&\\ \mathcal F\ar[rd]&& \mathcal F_{\shriek\dagger}\ar[ld]\\ &\mathcal F_\dagger & } \end{displaymath} mit $\mathcal F_\shriek\in \mathscr R$ und $\mathcal F_\dagger\in \mathscr L$ und $\mathcal F_{\shriek\dagger}\in \mathscr L\cap \mathscr R$ derart, da"s der R"uckzug von $\mathcal F_\shriek\ra\mathcal F$ unter allen Morphismen $q$ nach $X$ ein $S$-Morphismus $q^{\dagger}\mathcal F_\shriek\ra q^{\dagger}\mathcal F$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Linksfunktorielle Doppelanpassung f"ur Modulgarben}] Wir betrachten die schwach verflochtene Trennaustauschsituation der Homotopiekomplexe von Modulgarben zu einem festen Kring $k$ aus \ref{STfM} mit dem faserweisen Oresystem der Quasiisomorphismen. In der zugeh"origen Familienkategorie bildet die Menge $\mathscr L$ der homotopieflachen Komplexe zusammen mit der Menge $\mathscr R$ der Komplexe aus kompaktweichen Modulgarben und der Godementaufl"osung $\mathcal F\qri {\op{G}}^\lhd \mathcal F$ oder vielmehr dem zugeh"origen Morphismus ${\op{G}}^\lhd \mathcal F\ra \mathcal F$ in der opponierten Kategorie eine linksfunktorielle Doppelanpassung. Der Knackpunkt ist dabei, da"s f"ur jede Modulgarbe $\mathcal F$ der exakte Garbenkomplex $$\mathcal F\hra {\op{G}}^0 \mathcal F\ra {\op{G}}^1 \mathcal F\ra \ldots$$ halmweise spaltet und deshalb exakt bleibt bei Darantensorieren einer weiteren Modulgarbe $\mathcal E$, ohne da"s wir an $\mathcal F$ oder $\mathcal E$ irgendwelche Annahmen zu stellen br"auchten. Diese Beobachtung spielt bei dem im folgenden diskutierten Zugang zu den h"oheren Vertr"aglichkeiten bei Basiswechseln eine wichtige Rolle. \end{Beispiel}} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwache Trennverflechtung f"ur Modulgarben}] Sei $k$ ein Kring. Die Trennfaserung der $k$-Modulgarben auf topologischen R"aumen $k\op{-Mod}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ aus \ref{??} liefert\label{STfM} nach \ref{sVsV} eine banale schwach verflochtene schwache \nichtfinal{(sollte starke)} Trennaustauschsituation $$(k\op{-Mod}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}\leftarrow k\op{-Mod}_{\sslash \op{Top}}, \op{Top})$$ Nach "Ubung \nichtfinal{\ref{MReOM}??} bilden die eigentlichen Opkomorphismen aus "Ubung \nichtfinal{\ref{ReOpM}??} darin ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives System $k\op{-Mod}^!_{\sslash \op{Top}}$. Durch Einschr"anken \ref{AdKN} erhalten wir eine weitere schwach verflochtene schwache \nichtfinal{(sollte starke)} Trennaustauschsituation $$(k\op{-Mod}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow k\op{-Mod}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$ mit den kommutativen R"uckholquadraten der Familienkategorie als schwachem Trennverflechtungsdatum. Durch "Ubergang zu Homotopiekategorien wird daraus eine schwache \nichtfinal{(sollte starke)} Trennaustauschsituation $$\big(\op{Hot}(k\op{-Mod}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(k\op{-Mod}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}}\big)$$ und auch darin bilden die kommutativen R"uckholquadrate der Familienkategorie ein schwaches Trennverflechtungsdatum. Diese Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion l"a"st sich nach Quasiisomorphismen lokalisieren, wie bereits in \ref{??} und \ref{??} besprochen, und wir erhalten so die Trennaustauschsituation $$\big(\op{Der}(k\op{-Mod}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}(k\op{-Mod}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}}\big)$$ der derivierten $k$-Modulgarben. \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Trennverflechtung f"ur derivierte Modulgarben}] Gegeben ein Kring $k$ besitzt die Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion der derivierten $k$-Modulgarben genau eine Trennverflechtung, die alle von unserer schwachen Trennverflechtung der Homotopiekomplexe herr"uhrenden naiven R"uckholquadrate \ref{nB} enth"alt. \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen funktioniert also der Formalismus der drei Funktoren im Fall von $k$-Modulgarben genauso wie im Fall von abelschen Gruppen. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Im Fall von zwei kompakten Hausdorffr"aumen $X,Y$ endlicher garbenkohomologischer Dimension und einem Kring $k$ behauptet der allgemeine Satz einen nat"urlichen Isomorphismus $\op{fin}_{*}\underline{X}\otimes \op{fin}_{*}\underline{Y}\sira \op{fin}_{*}\underline{X\times Y}$. Wir k"onnen ihn explizit angeben, indem wir die Godementaufl"osungen der konstanten Garben ${\op{G}}^\lhd k_X$ und ${\op{G}}^\lhd k_Y$ betrachten. Sie sind homotopieflache Komplexe aus kompaktweichen Modulgarben. Eigentlicher Basiswechsel im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Y\ar[d]\ar[r]&Y \ar[d] \\ X\ar[r]&\op{top}} \end{displaymath} liefert $\op{pr}_{X*}\underline{X\times Y} \sira \op{fin}^*_X\op{fin}_{Y*}\underline{Y}=\op{fin}^*_X\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y$. Nun suchen wir einen Quasiisomorphismus $M\qri\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y$ von einem homotopieflachen Komplex flacher Moduln nach $\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y$ und erhalten einen Quasiisomorphismus $$ ({\op{G}}^\lhd k_X)\otimes_k M\sira ({\op{G}}^\lhd k_X)\otimes_k(\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y)$$ Er geht von einem Komplex kompaktweicher Moduln aus, also liefert er einen Quasiisomorphismen $$(\Gamma{\op{G}}^\lhd k_X)\otimes_k^{\op{L}}(\Gamma {\op{G}}^\lhd k_Y)\sila (\Gamma {\op{G}}^\lhd k_X)\otimes_k M\sira \Gamma \big( ({\op{G}}^\lhd k_X)\otimes_k M\big)\sira \op{fin}_{*}\underline{X\times Y}$$ "Ahnlich erhalten wir so einen Isomorphismus, wenn wir die Rollen von $X$ und $Y$ vertauschen. Warum aber stimmen sie "uberein? \end{Bemerkungl}} \subsection{Neuer Versuch zum Basiswechsel} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{??} finden wir f"ur jeden Komplex $\mathcal F$ von Modulgarben einen Quasiisomorphismus von einem homotopieflachen Komplex von Modulgarben $\mathcal F'\qri \mathcal F$ dorthin. Nach \ref{??} finden wir von jedem homotopieflachen Komplex von Modulgarben einen Quasiisomorphismus zu einem homotopieflachen Komplex von kompaktweichen Modulgarben $\mathcal F'\qri \mathcal F''$. Gegeben ein kartesisches Quadrat der Basis und $\mathcal F_1\curlywedge\ldots \curlywedge \mathcal F_r$ liefern derartige Wahlen $\mathcal F_\rho\qli \mathcal F'_\rho\qri \mathcal F''_\rho$ einen naiven Trennaustauschmorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dieser Trennaustauschmorphismus h"angt nicht von den getroffenen Wahlen ab. Genauer zeigt das Tensorieren mit der Godementaufl"osung der Strukturgarbe $$\begin{array}{ccccc} \mathcal F&\qli& \mathcal F'&\qri &\mathcal F''\\ && \da&&\da\\ & &\op{God}\mathcal F'&\qri &\op{God}\mathcal F'' \end{array}$$ schon mal, da"s wir denselben Austausch erhalten, wenn wir $\mathcal F''=\op{God}\mathcal F'$ nehmen. Ebenso kommt von Oresystemen etc her, da"s je zwei homotopieflache von einer herkommen, und das k"onnen wir dann Godementisieren. \end{Bemerkungl} \subsection{Ab hier Schrott?} \subsection{Erg"anzungen f"ur Modulgarben*} \begin{Bemerkunge} Ist $k$ ein noetherscher Ring endlicher Torsionsdimension und $\mathcal F$ eine flache Garbe von $k$-Moduln auf einem topologischen Raum $X$, die entfaltet ist f"ur den Funktor der globalen Schnitte, so ist auch $\Gamma \mathcal F$ flach. In der Tat ist unter den gegebenen Voraussetzungen die Godementaufl"osung eine exakte Sequenz $$\Gamma \mathcal F\hra\Gamma {\op{G}}\mathcal F \ra \Gamma {\op{G}}^2\mathcal F\ra\ldots$$ und deren Eintr"age sind mit Ausnahme des Ersten alle flach nach \ref{PFMo}. Dann aber mu"s nach \eref{EHD}{TG} auch $\Gamma \mathcal F$ flach sein. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} In \ref{nbtB} und \ref{nbpF} diskutieren wir, warum auch der naive gew"ohnliche Basiswechsel und der nat"urliche Isomorphismus der Projektionsformel mit dem jeweiligen Trennaustauschbasiswechsel zusammenfallen. Offensichtlich h"atte auch das bereits ausgereicht, um unsere Trennverflechtung zu charakterisieren. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \eref{eiPL}{TG} ist der Trennr"uckzug von flachen abelschen Garben wieder flach. Weil Flachheit abelscher Gruppen gleichbedeutend ist zur Torsionsfreiheit aller Gruppen von Schnitten "uber offenen Mengen, ist auch der Eigvorschub \eref{eiPL}{TG} von flachen abelschen Garben wieder flach. Folglich liefert das Einschr"anken\label{KOKI} eine weitere schwach verflochtene Trennaustauschsituation $$(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ f"ur flache abelsche Garben. In diesem Fall ist die Verflechtung sogar stark, da nach \ref{MRekO} der Trennr"uckzug eines Tupels eigkokartesischer Opkomorphismen von flachen abelschen Garben "uber les-Abbildungen stets wieder eigkokartesisch ist. Diese verflochtene Trennaustauschsituation liefert in offensichtlicher Weise eine verflochtene Trennaustauschsituation $$\left(\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^-(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ Die Quasiisomorphismen bilden darin ein faserweises unter Trennr"uckzug stabiles Oresystem, wie bereits beim Beweis von \ref{DeKaM} und \ref{VRT} ausgef"uhrt wurde. Wir erinnern nun die schwach kompaktweichen abelschen Garben aus \ref{skw} und betrachten die Kategorie der schwach kompaktweichen flachen $\op{skwflAb}_{{\sslash} X}$ auf einem Raum $X$. Lemma \ref{lats} zeigt, da"s $$\op{Hot}^-(\op{skwflAb}_{\sslash \op{Top}})\subset \op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})$$ eine Rechtsanpassung in Bezug auf Quasiisomorphismen f"ur den Eigvorschub unter les-Abbildungen ist. Wir k"onnen also nach Satz \ref{MAdLo} unsere schwache Trennverflechtung nach Quasiismorphismen lokalisieren zu einer Trennverflechtung "uber derselben Basis mit einer durch den zweiten Teil dieses Satzes beschriebenen Regulierung. Wir pr"ufen nun noch, da"s in besagter Regulierung alle Basisquadrate erlaubt sind. Wir m"ussen nur unsere vereinfachten Bedingungen (1) und (2) aus \ref{lST} durchgehen. Gegeben $\mathcal F\in \op{Hot}^-(\op{skwflAb}_{\sslash X})$ ist der Komplex $q^\dagger\mathcal F$ ein $Qg_{(\shriek)}$-entfaltetes Objekt, weil alle beteiligten Garben $g$-kompaktweich sind nach \ref{azyeb}. Das zeigt Bedingung (1). F"ur (2) gehen wir "ahnlich vor. Es reicht zu pr"ufen, da"s f"ur $f:X\ra Y$ les und $\mathcal F\in \op{skwflAb}_{/X}$ eine schwach kompaktweiche flache abelsche Garbe auf $X$ und $\mathcal G\in \op{flAb}_{/Y}$ eine flache abelsche Garbe auf $Y$ die Garbe $\mathcal F\otimes f^*\mathcal G$ auf $X$ entfaltet ist f"ur $Qf_{(!)}$. Aufgrund von lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} reicht es zu zeigen, da"s die Einschr"ankungen von $\mathcal F\otimes f^*\mathcal G$ auf alle Fasern unserer Abbildung alias die Garben $(\mathcal F|X_y)\otimes \mathcal G_y$ ihrerseits $\Gamma_!$-entfaltet sind f"ur alle $y\in Y$. Nach Annahme ist aber $X_y$ lokal kompakt Hausdorff und $\mathcal F|X_y$ kompaktweich und damit folgt unsere Behauptung aus \ref{TSko}. Da"s wir so eine Trennverflechtung mit den behaupteten Eigenschaften konstruiert haben, folgt aus \ref{nbpm}. Da"s es auch die Einzige ist, folgt unmittelbar aus Lemma \ref{vtdm}, nach dem eine Verflechtung durch ihre R"uckholquadrate mit kokartesischer Ausgangskante bereits eindeutig bestimmt ist. \end{proof} \begin{Theorem}[\textbf{Trennverflechtung f"ur beidseitig derivierte abelsche Garben}] Die Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion der derivierten abelschen Garben $$\left(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ nach \ref{VRT} und \ref{VRTebu} besitzt genau eine Verflechtung derart, da"s f"ur alle Basisquadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]_g\ar[rr]^-{(q_1,\ldots,q_r)}&&X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge X_r \ar[d]^{f_1\curlywedge \ldots \curlywedge f_r} \\ Z\ar[rr]^-{(p_1,\ldots,p_r)}&&Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge Y_r} \end{displaymath} und alle Komplexe $\mathcal F_i\in \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash X_i})$ aus flachen $f_i$-kompaktweichen abelschen Garben der naive Basiswechsel \ref{nB} zur schwachen Verflechtung auf den Homotopiekomplexen lokalisiert nach Quasiisomorphismen mit dem\label{TvABG} Basiswechsel unserer Verflechtung "ubereinstimmt. \end{Theorem} \begin{Bemerkungl} In \ref{nbtB} und \ref{nbpF} diskutieren wir, warum auch der naive gew"ohnliche Basiswechsel und der nat"urliche Isomorphismus der Projektionsformel mit dem jeweiligen Trennaustauschbasiswechsel zusammenfallen. Offensichtlich h"atte auch das bereits ausgereicht, um unsere Trennverflechtung zu charakterisieren. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Beweis geht analog wie im Fall der halbseitigen derivierten Kategorien. Diesmal zeigt Lemma \ref{lats2}, da"s wir eine Rechtsanpasung erhalten, und wir m"ussen wieder die beiden Bedingungen aus \ref{lST} zu pr"ufen. Das geht genauso wie es im halbseitigen Fall, nur gilt es in unserer Situation zus"atzlich, unbeschr"ankte Komplexe nach dem R"uckzug zu tensorieren. Wir m"ussen also zus"atzlich wissen, da"s auch abz"ahlbare Koprodukte $g_{(!)}$-entfalteter Garben wieder $g_{(!)}$-entfaltet sind. Da wir aber die ${\op{R}}^ig_{(!)}$ durch schwach kompaktweiche Aufl"osungen berechnen k"onnen und Koprodukte schwach kompaktweicher Garben nach \ref{LKWG} schwach kompaktweich sind und Koprodukte exakter Garbensequenzen exakt und da eigentliche Vorsch"ube nach \ref{VTVT} mit Koprodukten vertauschen, ist das klar. \end{proof} \begin{Lemma} Die Komplexe $\op{Hot}^-(\op{skwflAb}_{\sslash \op{Top}})$ schwach kompaktweicher flacher Garben bilden eine \hyperref[RAP]{Rechtsanpassung} f"ur die Kofaserung\label{lats} $$\op{Hot}^-(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})\ra \op{Top}^{\op{les}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Die Bedingung \glqq schwach kompaktweich\grqq\ bleibt nach \ref{dibisk} unter eigentlichen Vorsch"uben $f_{(!)}$ mit les-Abbildungen $f$ erhalten. F"ur die Bedingung \glqq flach\grqq\ gilt dasselbe, sie bedeutet ja in unserem Fall nur die Torsionsfreiheit der Halme, und die Halme sind Schnitte mit kompaktem Tr"ager der Restriktionen auf die Fasern. Folglich liegt schon einmal eine Unterkofaserung vor. Die Quasiisomorphismen bilden weiter ein Oresystem in $\op{Hot}^-(\op{skwflAb}_{\sslash X})$, das gilt allgemein f"ur die Homotopiekategorie jeder unter endlichen Koprodukten stabilen vollen Unterkategorie einer abelschen Kategorie. Die eigentlichen Vorsch"ube erhalten Quasiisomorphismen zwischen Komplexen aus $\op{Hot}^-(\op{skwflAb}_{\sslash X})$, da alle Eintr"age dieser Komplexe entsprechend entfaltet sind. Hier verwenden wir, da"s wir in $\op{Hot}^-$ arbeiten. Um zu zeigen, da"s es zu jedem Objekt von $\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash X})$ einen Quasiisomorphismus von einem Objekt in $\op{Hot}^-(\op{skwflAb}_{\sslash X})$ gibt, k"onnen wir die funktorielle flachwelke Aufl"osung \ref{wefl} verwenden. \end{proof} \begin{Lemma} Die Komplexe $\op{Hot}(\op{skwflAb}_{\sslash \op{Top}})$ schwach kompaktweicher flacher Garben bilden eine \hyperref[RAP]{Rechtsanpassung} f"ur die Kofaserung\label{lats2} $$\op{Hot}(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}})\ra \op{Top}^{\op{lesb}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir beginnen in derselben Weise wie im halbseitig beschr"ankten Fall \ref{lats}, verwenden dann aber die homologische Beschr"anktheit der Funktoren anstelle der Beschr"anktheit der Komplexe, um diesmal mit \ref{UbDe} zu zeigen, da"s die eigentlichen Vorsch"ube Quasiisomorphismen zwischen Komplexen aus $\op{Hot}(\op{skwflAb}_{\sslash \op{Top}})$ erhalten. Um zu zeigen, da"s wir sogar eine Rechtsanpassung an $\op{Hot}(\op{flAb}^!_{\sslash {\op{Top}^{\op{lesb}}}})$ in Bezug auf Quasiisomorphismen vor uns haben, m"ussen wir nur noch von jedem Komplex flacher Garben einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex schwach kompaktweicher flacher Garben angeben. Dazu erg"anzen wir unseren als Zeile mit $q=-1$ gedachten Komplex $(\mathcal F^p)$ zu einem Doppelkomplex in der oberen Halbebene mit den Godementaufl"osungen ${\op{G}}^q\mathcal F^p$ \nichtfinal{(erst in \ref{DGKoS} definiert, reparieren!)} in den Spalten. Unser Doppelkomplex hat exakte Spalten, folglich halmweise exakte Spalten, folglich ist nach \eref{TK}{TD} sein Summentotal halmweise exakt, also exakt. Die Einbettung des horizontalen Kernkomplexes ist also ein Quasiisomorphismus $$\mathcal F\qri \op{tot}^{\oplus}{\op{G}}^q\mathcal F^p$$ Nun besteht das Summentotal aus flachen Garben, da ja die Godementaufl"osung einer flachen abelschen Garbe nach \ref{ZFe} aus flachen abelschen Garben besteht. Weiter besteht das Summentotal auch aus schwach kompaktweichen Garben nach \ref{skw}. Damit bilden die Homotopiekomplexe schwach kompaktweicher flacher abelscher Garben in der Tat eine Rechtsanpassung wie im Lemma behauptet. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Exaktheiten der Godementaufl"osung}] Ist $\cal{F}^{\prime} \rightarrow \cal{F} \rightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem topologischen Raum, so sind die auf den\label{EPrn} %war frueher \label{EPr}y Garben der Godement-Aufl"osungen induzierten Sequenzen sogar exakte Sequenzen in der Kategorie der abelschen Pr"agarben $${\op{G}}^{i}\cal{F}^{\prime} \ra {\op{G}}^{i}\cal{F} \ra {\op{G}}^{i}\cal{F}^{\prime\prime}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir von einer kurzen exakten Sequenz $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \sra \cal{F}^{\prime\prime}$ ausgehen. Erg"anzen wir sie zu einem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \cal{F}^{\prime} &\hra & \cal{F} &\sra &\cal{F}^{\prime\prime}\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{G}} \cal{F}^{\prime} &\ra &{\op{G}}\cal{F} &\ra &{\op{G}}\cal{F}^{\prime\prime}\\ \downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\ \cal{K}^{\prime} & \rightarrow & \cal{K} & \rightarrow &\cal{K}^{\prime\prime} \end{array}$$ mit im Garbensinne exakten Vertikalen, so ist die mittlere Horizontale exakt als Sequenz von Pr"agarben nach Konstruktion. Dann ist sie erst recht exakt als Sequenz von Garben und das Neunerlemma angewandt auf die Halme zeigt, da"s auch die unterste Zeile exakt ist auf den Halmen, also exakt ist als Sequenz von Garben. Die Proposition folgt durch Induktion. \end{proof} \begin{Definition} Unter einer {\bf flachwelken}\index{flachwelk} abelschen Garbe verstehen wir eine abelsche Garbe, die flach und welk ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorielle flachwelke Aufl"osung}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal F$ ein gegen die Differentiale beschr"ankter Komplex flacher abelscher Garben auf $X$.\label{wefl} Bilden wir den Doppelkomplex der Godementaufl"osungen der Garben unseres Komplexes und dazu den Totalkomplex, so erhalten wir einen Quasiisomorphismus $\mathcal F\qri{\op{ G}}^\lhd\mathcal F$ in einen gegen die Differentiale beschr"ankten Komplex flachwelker abelscher Garben. Diese Konstruktion ${\op{ G}}^\lhd$ ist funktoriell in $\mathcal F$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Naiver Basiswechsel als Verflechtungsbasiswechsel}] Gegeben seien eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ mit einer schwachen Verflechtung und ein faserweises Oresystem $S$ in $\mathscr C$.\label{nbV} Die zugeh"origen R"uckz"uge notieren wir $p^{(\dagger)}$ und die zugeh"origen Eigvorsch"ube $f_{(\shriek)}$. Seien $\mathscr L,\mathscr R\subset \mathscr C$ eine $S$-Linksanpassung f"ur die Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ beziehungsweise eine $S$-Rechts\-an\-pass\-ung f"ur die Kofaserung $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ und $A,B$ die Menge der $S$-Morphismen zwischen Objekten von $\mathscr L$ beziehungsweise $\mathscr R$. Sei schlie"slich $\mathscr D\subset \mathscr L\cap \mathscr R$ eine $A$-Rechtsanpassung f"ur den Funktor $\mathscr L^!\ra \mathscr B^!$. Mit \ref{AdLo} liefert $(\mathscr L\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr L^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ eine verflochtene regulierte Austauschsituation $$(A^{-1}\mathscr L\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow A^{-1}\mathscr L^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$$ Deren R"uckz"uge und Eigvorsch"ube notieren wir $p^\dagger$ und $f_\shriek$. Nach \ref{LRAn1} induziert die Einbettung eine "Aquivalenz $A^{-1}\mathscr L\sirra S^{-1}\mathscr C$. Ist nun \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[d]_g&X\ar[d]^f \\ Z\ar[r]^p &Y } \end{displaymath} ein erlaubtes Basisquadrat und $\mathcal F\in \mathscr C_X$ sowohl rechtsentfaltet f"ur $Qq^{(\dagger)}:\mathscr C_X\ra S^{-1}\mathscr C_W$ als auch linksentfaltet f"ur $Qf_{(\shriek)}:\mathscr C_X\ra S^{-1}\mathscr C_Y$ und gibt es in $\mathscr C_X$ ein kommutatives Diagramm aus $S$-Morphismen \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal F \ar[d]& \mathcal K\ar[d]\ar[l] \\ \mathcal L &\mathcal D\ar[l] } \end{displaymath} mit $\mathcal L\in \mathscr L$ und $\mathcal D\in \mathscr D$ und $\mathcal K\in \mathscr R$ auch rechtsentfaltet f"ur $Qq^{(\dagger)}:\mathscr C_X\ra S^{-1}\mathscr C_W$, so stimmt der naive Basiswechsel \ref{nB} auf $\mathcal F$ mit dem Basiswechsel von $(A^{-1}\mathscr L\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow A^{-1}\mathscr L^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ "uberein in dem Sinne, da"s unter einem und dann auch jedem Isomorphismus $Q\mathcal F\sira Q\mathcal L$ in $S^{-1}\mathscr C_X$ zum Bild eines Objekts $\mathcal L\in \mathscr L$ das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{({\op{L}}g_{(\shriek)})({\op{R}}q^{(\dagger)})Q\mathcal F\ar[r]\ar[d]& ({\op{R}}p^{(\dagger)})({\op{L}}f_{(\shriek)})Q\mathcal F\ar[d]\\ g_\shriek q^\dagger Q\mathcal L\ar[r]& p^\dagger f_\shriek Q\mathcal L} \end{displaymath} kommutiert. In der Tat ist unser Diagramm der Rand eines Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{({\op{L}}g_{(\shriek)})({\op{R}}q^{(\dagger)})Q\mathcal F\ar[r]\ar[d]^\wr& ({\op{R}}p^{(\dagger)})({\op{L}}f_{(\shriek)})Q\mathcal F\ar[d]^\wr\\ ({\op{L}}g_{(\shriek)})({\op{R}}q^{(\dagger)})Q\mathcal K\ar[r]\ar[d]^\wr& ({\op{R}}p^{(\dagger)})({\op{L}}f_{(\shriek)})Q\mathcal K\ar[d]^\wr\\ ({\op{L}}g_{(\shriek)})({\op{R}}q^{(\dagger)})Q\mathcal D\ar[r]\ar[d]^\wr& ({\op{R}}p^{(\dagger)})({\op{L}}f_{(\shriek)})Q\mathcal D\ar[d]^\wr\\ g_\shriek q^\dagger Q\mathcal D\ar[r]\ar[d]^\wr& p^\dagger f_\shriek Q\mathcal D\ar[d]^\wr\\ g_\shriek q^\dagger Q\mathcal L\ar[r]& p^\dagger f_\shriek Q\mathcal L } \end{displaymath} aus kommutativen Quadraten. \end{Bemerkungl} %Nun verwenden wir, da"s die Kompaktweichifizierung % von $\op{kw}\mathcal F\qri \mathcal F$ von $ \mathcal F$ gelingt und %$\dagger$-entfaltet bleibt. Au"serdem ist sie funktoriell und jede % entsprechend homotopieflache Aufl"osung aus flachen Garben $\mathcal F\qri \mathcal G$ liefert ein kommutatives Quadrat mit % $\op{kw}\mathcal G\qri \mathcal G$. Wir k"onnen so unseren kanonischen % Morphismus nach $\op{kw}\mathcal G$ transportieren, und da ist er %der definitorische Austausch. \begin{Beispiel}[\textbf{Naiver Basiswechsel als Trennfaserungsbasiswechsel}] Gegeben f"ur eine unserer beiden Trennverflechtungen derivierter abelscher Garben \ref{TvABG1}, \ref{TvABG} ein Basisquadrat\label{nbtB} %\label{nbpF} \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]_g\ar[r]^-{q}&X\ar[d]^{f}\\ Z\ar[r]^-{p}&Y} \end{displaymath} und $\mathcal F$ ein Komplex der entsprechenden Homotopiekategorie aus $f$-kom\-pakt\-wei\-chen abelschen Garben auf $X$ f"allt der naive Basiswechsel \ref{nB} mit dem Basiswechsel unserer Trennverflechtung zusammen. In der Tat finden wir einen Quasiisomorphismus $ \mathcal L\qri \mathcal F$ von einem Komplex flacher Garben nach $\mathcal F$ und mit der Funktorialit"at der Godementaufl"osung und "Ubergang zu den opponierten Kategorien das f"ur \ref{nbV} ben"otigte Quadrat. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Naive Projektionsformel als Trennfaserungsbasiswechsel}] Gegeben f"ur eine unserer beiden Trennverflechtungen derivierter abelscher Garben \ref{TvABG1}, \ref{TvABG} ein Basisquadrat\label{nbpF} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[d]_f\ar[rr]^-{(\op{id},f)}&&X\curlywedge Y\ar[d]^{f\curlywedge \op{id}}\\ Y\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&&Y\curlywedge Y} \end{displaymath} und $\mathcal F$ Komplex der entsprechenden Homotopiekategorie aus $f$-kom\-pakt\-wei\-chen abelschen Garben auf $X$ und $\mathcal G$ ein Komplex der entsprechenden Homotopiekategorie von flachen abelschen Garben auf $Y$ f"allt der naive Basiswechsel \ref{nB} mit dem Basiswechsel unserer Trennverflechtung zusammen. In der Tat finden wir einen Quasiisomorphismus $ \mathcal L\qri \mathcal F$ von einem Komplex flacher Garben nach $\mathcal F$ und betrachten $ \mathcal L\curlywedge \mathcal G\qri \mathcal F\curlywedge \mathcal G$ und mit der Funktorialit"at der Godementaufl"osung und "Ubergang zu den opponierten Kategorien erhalten wir das f"ur \ref{nbV} ben"otigte Quadrat. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Naiver Basiswechsel als Trennfaserungsbasiswechsel}] Gegeben f"ur eine unserer beiden Trennverflechtungen derivierter abelscher Garben \ref{TvABG1}, \ref{TvABG} ein Basisquadrat\label{nbpm} \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]_g\ar[rr]^-{(q_1,\ldots,q_r)}&&X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge X_r \ar[d]^{f_1\curlywedge \ldots \curlywedge f_r} \\ Z\ar[rr]^-{(p_1,\ldots,p_r)}&&Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge Y_r} \end{displaymath} und Komplexe $\mathcal F_i\in \op{Hot}^-(\op{Ab}_{\sslash X_i})$ aus $f_i$-kompaktweichen abelschen Garben, die f"ur $i> 1$ zus"atzlich flach sind, stimmt der naive Basiswechsel \ref{nB} zur schwachen Verflechtung auf den Homotopiekomplexen lokalisiert nach Quasiisomorphismen mit dem Basiswechsel unserer Verflechtung "uberein. Diese Aussage ist eine gemeinsame Verallgemeinerung der beiden zuvor bewiesenen Aussagen. Ihr Beweis geht analog. \end{Beispiel} \subsection{Pr"aschrott} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Restriktion lokalendlicher Grenzketten}] \nichtfinal{N"otig?} \label{rliu} Jede offene Einbettung von abz"ahlbar basierten lokal kompakten Hausdorffr"aumen liefert so auf der lokalendlichen Homologie einen {\bf offenen R"uckzug} $${\op{H}}^{!}_q(X)_{\op{sing}}\ra {\op{H}}^{!}_q(U)_{\op{sing}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeiten von Vorschub und R"uckzug}] \nichtfinal{N"otig?} Gegeben ein kartesisches Diagramm von topologischen R"aumen \begin{displaymath} \xymatrix{ U \ar[d]\ar[r] &X \ar[d]\\ V \ar[r] &Y } \end{displaymath} mit eigentlichen Abbildungen als Vertikalen und offenen Einbettungen als Horizontalen erhalten wir offensichtlich ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{G}}^!U \ar[d] &{\op{G}}^!X \ar[d]\ar[l]\\ {\op{G}}^!V &{\op{G}}^!Y\ar[l] } \end{displaymath} von Komplexen lokalendlicher Grenzketten. Sind unsere R"aume abz"ahlbar basierte lokal kompakte Hausdorffr"aume, so erhalten wir daraus die Kommutativit"at der Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_q^!(U)_{\op{sing}} \ar[d] &{\op{H}}_q^!(X)_{\op{sing}}\ar[l] \ar[d]\\ {\op{H}}_q^!(V)_{\op{sing}} &{\op{H}}_q^!(Y)_{\op{sing}}\ar[l] } \end{displaymath} in der lokalendlichen Homologie. Sie bringen eine gewisse Vertr"aglichkeit von offenem R"uckzug und eigentlichem Vorschub zum Ausdruck. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Sinnvoll?} Wir erkl"aren nun allgemeiner f"ur beliebige abelsche Garben $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ und $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$ die abelsche Pr"agarbe $$D(\mathcal F,\mathcal G)=\left[\mathcal F{\Rrightarrow} f^{(!)}\mathcal G\right]\in \op{pAb}_{/X}$$ durch $U\mapsto \op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}\mathcal F_{U\subset X},\mathcal G)$ und bezeichnen mit $D^+(\mathcal F,\mathcal G)\in \op{Ab}_{/X}$ ihre Garbifizierung. Den Ausdruck in eckigen Klammern ist dabei nur als suggestive alternative Notation zu verstehen, das Symbol $f^{(!)}$ hat f"ur sich genommen bei uns keine Bedeutung. So erhalten wir einen additiven Funktor $D^+:\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}}\times \op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$. % $$\mathcal E\ra D(\mathcal F,\mathcal G)$$ % $$\mathcal E(U)\ra \op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}\mathcal F_{U\subset X},\mathcal G)$$ % Wenn $D(\mathcal F,\mathcal G)$ Garbe, so % $$\op{Ab}_{/X}(\DZ_{U\subset X}, D(\mathcal F,\mathcal G))\sira \op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}(\DZ_{U\subset X}\otimes \mathcal F),\mathcal G)$$ %Wenn $\mathcal F$ ein Komplex % $$f_{(!)}(\mathcal E\otimes \mathcal F)\ra \mathcal G$$ Wir erhalten dar"uber hinaus nat"urliche Isomorphismen $$(f_{(!)}\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira f_* D(\mathcal F, \mathcal G)$$ von abelschen Pr"agarben und a posteriori sogar Garben, indem wir f"ur $V\co Y$ die Inklusionen $j:V\hra Y$ und $u:f^{-1}(V)\hra X$ sowie die Restriktion $\bar f:f^{-1}(V)\ra V$ betrachten, vermittels der Kompositionen $$\begin{array}{llll} (f_{(!)}\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)(V)&\sira&\op{Ab}_{/V}(j^*f_{(!)}\mathcal F,j^*\mathcal G)&\text{per definitionem,}\\ &\sira&\op{Ab}_{/Y}(j_!j^*f_{(!)}\mathcal F,\mathcal G)&\text{mit der Adjunktion $(j_!,j^*)$,}\\ &\sira&\op{Ab}_{/Y}(j_!\bar f_{(!)}u^*\mathcal F,\mathcal G)&\text{mit Basiswechsel $j\circ \bar f=f \circ u$,}\\ &\sira&\op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}u_!u^*\mathcal F,\mathcal G)&\text{mit $j\circ \bar f=f \circ u$,}\\&\sira&\op{Ab}_{/Y}(f_{(!)}\mathcal F_{f^{-1}(V)\subset X},\mathcal G)&\text{per definitionem,}\\&\sira&D(\mathcal F,\mathcal G)(f^{-1}(V))&\text{per definitionem.}\\ \end{array}$$ Sie induzieren nat"urliche Morphismen $(f_{(!)}\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\ra f_{(*)} D^+(\mathcal F, \mathcal G)$ durch Verl"angerung in die Garbifizierung. Weiter zeigt \ref{acyERa}, da"s f"ur jede $f$-kom\-pakt\-wei\-che abelsche Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ und jede abelsche Garbe $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$ unsere Pr"agarbe $D(\mathcal F,\mathcal G)$ bereits eine Garbe ist, in Formeln $D(\mathcal F,\mathcal G)\sira D^+(\mathcal F,\mathcal G)$. Damit ist der zuvor konstruierte nat"urliche Morphismus f"ur $f$-kompaktweiches $\mathcal F$ ein Isomorphismus $$(f_{(!)}\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G) \sira f_{(*)}D^+(\mathcal F,\mathcal G)$$ von abelschen Garben auf $Y$. Unser Funktor $D^+$ induziert auf den Homotopiekategorien einen in beiden Variablen triangulierten Funktor $$D^+:\op{Hot}(\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}})\times \op{Hot}(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$$ durch $D^+(\mathcal F,\mathcal G)^n\pdef \prod_q D^+(\mathcal F^q,\mathcal G^{q+n})$ und unsere nat"urlichen Morphismen induzieren nat"urliche Morphismen $(f_{(!)}\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\ra f_{(*)} D^+(\mathcal F, \mathcal G)$ in der Homotopiekategorie, die f"ur jeden Komplex $\mathcal F$ aus $f$-kompaktweichen Garben Isomorphismen sind. Wir verl"angern nun $D^+$ zu einem Funktor $QD^+$ in die derivierte Kategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und erhalten nat"urliche Morphismen $$Q(f_{(!)}\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\ra Qf_{(*)} D^+(\mathcal F, \mathcal G)\ra f_{*} QD^+(\mathcal F, \mathcal G)$$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$, von denen letztere f"ur homotopieinjektives $D^+(\mathcal F, \mathcal G)$ Isomorphismen sind. Jetzt halten dann zun"achst die erste Variable fest und bilden in Bezug auf die zweite Variable den Rechtsderivierten von $QD^+$. So erhalten wir wegen der Existenz \ref{EhiA} homotopieinjektiver Aufl"osungen einen in beiden Variablen triangulierten Funktor $${\op{R}}_2(QD^+):\op{Hot}(\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}})\times \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$$ zusammen mit nat"urlichen Morphismen $\tau: QD^+(\mathcal F,\mathcal G)\ra {\op{R}}_2(QD^+)(\mathcal F,\mathcal G)$, die f"ur homotopieinjektives $\mathcal G$ Isomorphismen sind, und wir k"onnen unsere Verkn"upfung oben verl"angern zu $$Q(f_{(!)}\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\ra Qf_{(*)} D^+(\mathcal F, \mathcal G)\ra f_{*} QD^+(\mathcal F, \mathcal G)\ra f_{*} {\op{R}}_2(QD^+)(\mathcal F, \mathcal G)$$ Schlie"slich bilden wir nun von ${\op{R}}_2(QD^+)$ den linksderivierten Funktor in der ersten Variable. Wieder sind alle Objekte entfaltbar durch eine opponierte homotopieinjektive Aufl"osung und wir erhalten so einen in beiden Variablen additiven Funktor $$\tilde D\pdef{\op{L}}{\op{R}}_2(QD^+): \op{Der}(\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}})\times \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$$ zusammen mit nat"urlichen Morphismen $\tilde D(\mathcal F,\mathcal G)\ra {\op{R}}_2(QD^+)(\mathcal F,\mathcal G)$, die f"ur homotopieinjektive Komplexe $\mathcal F$ Isomorphismen sind. -- der auf allen entfaltbaren Objekten definiert ist. . Zum Beispiel sind alle Komplexe aus $f$-kompaktweichen Garben entfaltet (ARGUMENTIEREN)JETZT: Vorne kompaktweich, hinten homotopieinjektiv reicht zum Entfalten! $${\op{R}}D^+:\op{Der}(\op{Ab}_{/X}^{\op{opp}})\times \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})\ra \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\nichtfinal{Warum hier?} Gegeben eine kompaktweiche abelsche Garbe $\mathcal F$ auf einem %kompaktendlichen lokal kompakten Hausdorffraum $X$ liefert die Vorschrift $U\mapsto \Gamma_!(U;\mathcal F)$ f"ur $U\co X$ eine \hyperref[cac]{welke \v{C}ech-azyklische Kogarbe} auf $X$.\label{acyER} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Warum hier?} Wir sehen so, da"s in der Situation der Proposition f"ur jede abelsche Gruppe $G$ die Vorschrift $U\mapsto \op{Ab}(\Gamma_!(U;\mathcal F),G)$ eine abelsche Garbe liefert. Die analoge relative Aussage zeigen wir gleich im Anschlu"s als Proposition \ref{acyERa}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben ein System $\mathcal U \subset \mathcal P (X)$ von offenen Teilmengen mit Vereinigung $V \co X$ und mit einer Anordnung $\leq$ erhalten wir mit den hoffentlich offensichtlichen Morphismen eine exakte Sequenz von abelschen Garben \begin{equation*} \ldots \rightarrow \bigoplus_{Ud$, so besitzt nach \ref{ZKwN} jede abelsche Garbe auf $X$ eine kompaktweiche Aufl"osung einer L"ange $\leq d$ und damit ist auch die homologische Dimension von $f_{(!)}$ h"ochstens $d$ und insbesondere endlich. Da $\mathcal G^!_X$ ein Komplex kompaktweicher Garben ist, ist dann nach unseren Erkenntnissen "uber das Derivieren homologisch endlicher Funktoren \eref{UbDe}{TD} der nat"urliche Morphismus ein Isomorphismus $f_{(!)}\mathcal G^!_X \sira_{\op{Der}}f_{!}\mathcal G^!_X$ und wir erhalten einen ausgezeichneten Morphismus $$f_{!}\mathcal G^!_X \ra_{\op{Der}}\mathcal G^!_Y$$ Bezeichnen nun $a:X\ra\op{top}$ und $b:Y\ra\op{top}$ die konstanten Abbildungen und nehmen wir auch $Y$ homologisch kompaktendlich an, so induziert dieser Morphismus seinerseits den zweiten Morphismus einer Verkn"upfung $a_!\mathcal G^!_X\sira b_!f_{!}\mathcal G^!_X \ra b_!\mathcal G^!_Y$ in $\op{Der}(\op{Ab})$. Gehen wir diese ganzen Konstruktionen durch, so erhalten wir mit den Vertr"aglichkeiten aus \ref{KoSE} kommutative Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_q(X)_{\op{sing}} \ar[d]\ar[r]^-{\sim} &\mathcal H^{-q} a_!\mathcal{G}^!_X\ar[r]^-{\sim}\ar[d]& \mathbb H_!^{-q}(X;\mathcal{G}^!_X)\\ {\op{H}}_q(Y)_{\op{sing}} \ar[r]^-{\sim} &\mathcal H^{-q} b_!\mathcal{G}^!_Y\ar[r]^-{\sim}& \mathbb H_!^{-q}(Y;\mathcal{G}^!_Y) } \end{displaymath} mit dem "ublichen Vorschub auf der Homologie in der linken Vertikale und unseren ausgezeichneten Isomorphismen aus \ref{HkH} als Komposition in den Horizontalen.\label{VEAn} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit mit offenen Einbettungen}] Gegeben eine offene Einbettung $j:U\hra X$ von lokal kompakten Hausdorffr"aumen erinnern wir weiter unseren ausgezeichneten Isomorphismus $\mathcal G_U^!\sira_{\op{Ket}} j^{*}\mathcal G_X^!$ aus \ref{UIgG}. Er induziert einen Morphismus $j_{(!)}\mathcal G_U^!\ra_{\op{Ket}} \mathcal G_X^!$ und davon ausgehend erhalten wir wie zuvor f"ur $X$ zus"atzlich lesb und $c:U\ra\op{top}$ die konstante Abbildung mit den Vertr"aglichkeiten aus \ref{KoSE} kommutative Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_q(U)_{\op{sing}} \ar[d]\ar[r]^-{\sim} &\mathcal H^{-q} c_!\mathcal{G}^!_U\ar[r]^-{\sim}\ar[d]& \mathbb H_!^{-q}(U;\mathcal{G}^!_U)\\ {\op{H}}_q(X)_{\op{sing}} \ar[r]^-{\sim} &\mathcal H^{-q} a_!\mathcal{G}^!_X\ar[r]^-{\sim}& \mathbb H_!^{-q}(X;\mathcal{G}^!_X) } \end{displaymath} mit dem "ublichen Vorschub auf der Homologie in der linken Vertikale und unseren ausgezeichneten Isomorphismen aus \ref{HkH} als Komposition in den Horizontalen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an den Funktor $$\mathbb D=\mathbb D_{\op{Ket}}\pdef \big(\;\;{\Rrightarrow}(\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)\big):\op{Ket}(\op{Ab})\ra \op{Ket}(\op{Ab})^{\op{opp}}$$ aus \eref{dD}{TG}. Er induziert Funktoren $\op{Hot}(\op{Ab})\ra \op{Hot}(\op{Ab})^{\op{opp}}$ sowie $\op{Der}(\op{Ab})\ra \op{Der}(\op{Ab})^{\op{opp}}$ und der offensichtliche Quasiisomorphismus $\DZ[0]\qri (\DQ[0]\ra\DQ/\DZ)$ induziert einen Isomorphismus des auf den derivierten Kategorien induzierten Funktors mit dem Dualit"atsfunktor der Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab})$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{WOHL SCHROTT: Sollte $\mathbb D_X\mathcal L=(\mathcal L\Rrightarrow \op{fin}^!\DZ_{\op{top}})$ sein. Dann m"u"ste Isos $$\omega(\mathcal M\otimes \mathcal L)\qri \mathcal M{\Rrightarrow} \omega(\mathcal L)$$ sehen k"onnen.} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Wir haben in \ref{VeDDx} gesehen, da"s das oft Verdierdualit"at ist.} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und ein Komplex $\mathcal L$ von abelschen Garben auf $X$ bilden wir einen weiteren Komplex $$\omega(\mathcal L)$$ von abelschen Garben auf $X$, indem wir vom Komplex abelscher Pr"agarben mit den Schnitten $\omega(\mathcal L): U\mapsto \mathbb D\Gamma_!(U;\mathcal L)$ ausgehen und ihn garbifizieren. Wir erhalten so einen Funktor $$\omega:\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})\ra \op{Ket}(\op{Ab}_{/X})^{\op{opp}}$$ Es ist klar, da"s er auch einen Funktor auf den Homotopiekategorien induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein homologisch kompaktendlicher lokal kompakter Haus\-dorff\-raum $X$ und ein Komplex $\mathcal L$ kompaktweicher Garben auf $X$ k"onnen wir nach \ref{explB} oder expliziter \ref{acyER} den Komplex $$\omega(\mathcal L)$$ von abelschen Garben auf $X$ bilden mit den Schnitten $\omega(\mathcal L): U\mapsto \mathbb D\Gamma_!(U;\mathcal L)$. Dies $\omega$ aus jedem Komplex kompaktweicher Garben einen Komplex von abelschen Garben und aus jedem exakten Komplex von kompaktweichen Garben nach \ref{explB} einen exakten Komplex von abelschen Garben und damit aus jedem Quasiisomorphismus von Komplexen kompaktweicher Garben einen Quasiisomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Berechnung der dualisierenden Garbe}] Gegeben ein homologisch kompaktendlicher lokal kompakter Haus\-dorff\-raum $X$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der dualisierenden Garbe}] Gegeben ein homologisch kompaktendlicher lokal kompakter Haus\-dorff\-raum $X$ erh"alt man nach der im Beweis der Existenz des Eigr"uckzugs \ref{VeDD} und \ref{explB} gegebenen Konstruktion einen Repr"asentanten $\omega(\mathcal K^\lhd)$ der dualisierenden Garbe, indem man eine beschr"ankte\label{BDGn} flache kompaktweiche Aufl"osung $\DZ_X\hra \mathcal K^\lhd$ der konstanten Garbe w"ahlt und den Komplex $\omega(\mathcal K^\lhd)$ von abelschen Garben mit Schnitten $$\omega(\mathcal K^\lhd): U\mapsto \mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal K^\lhd)$$ betrachtet. Auch eine beidseitig unbeschr"ankte Aufl"osung $\DZ_X\qri \mathcal L$ durch einen Komplex kompaktweicher Garben faktorisiert nun nach \eref{Absc}{TD} f"ur $r>0$ in Quasiisomorphismen $\DZ_X\qri \tau^{\leq r}\mathcal L\qri \mathcal L$ und der mittlere Komplex besteht nach \ref{KWAUn} f"ur $r$ oberhalb der homologischen Dimension von $\Gamma_!$ aus kompaktweichen Garben. In derselben Weise erhalten wir den zweiten Quasiisomorphismus der Sequenz $$\DZ_X\qri \tau^{\leq r}\mathcal L\qri \tau^{\geq 0}\tau^{\leq r}\mathcal L\qri (\tau^{\geq 0}\tau^{\leq r}\mathcal L)\otimes \mathcal K^\lhd$$ F"ur den letzten Quasiisomorphismus erinnern wir aus dem Beweis \ref{VeDD}, da"s wir damit in einem Komplex von flachen \nichtfinal{(Nee, nicht flachen!)} kompaktweichen Garben landen. Wenden wir auf alle diese Quasiisomorphismen von kompaktweichen Garben $\omega$ an, so erhalten wir Quasiisomorphismen $$\omega(\mathcal L) \qri\omega(\tau^{\leq r}\mathcal L) \qli \omega((\tau^{\geq 0}\tau^{\leq r}\mathcal L)\otimes \mathcal K^\lhd)$$ und von der rechten Seite kennen wir bereits einen ausgezeichneten Isomorphismus in der derivierten Kategorie zur dualisierenden Garbe. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung des Verdierdualen}] Gegeben ein homologisch kom\-pakt\-end\-li\-cher lokal kompakter Haus\-dorff\-raum $X$ und $c:X\ra\op{top}$ die konstante Abbildung erh"alt man f"ur die globalen Schnitte des Verdierdualen eines Komplexes $\mathcal F\in\op{Der}_{/X}$ einen Isomorphismus $c_*(\mathcal F{\Rrightarrow}c^!\DZ_{\op{top}})\sira (c_!\mathcal F{\Rrightarrow}\DZ_{\op{top}})$ in $\op{Der}_{/{\op{top}}}$. Das wird ja mit unseren Erkenntnissen \ref{UbDe} zum unbeschr"ankten Derivieren bedeuten NEEEEEE, da"s wir f"ur jeden Komplex\label{BDGnF} von kompaktweichen Garben $\mathcal F$ eine Repr"asentanten seines Verdierdualen $\mathbb D\mathcal F$ erhalten als den Komplex $\omega(\mathcal F)$ von abelschen Garben mit Schnitten $$\omega(\mathcal F): U\mapsto \mathbb D\Gamma_!(U;\mathcal F)$$ mit unserem konkreten $\mathbb D=\mathbb D_{\op{Ket}}$. Wenden wir das an auf die konstante Garbe $\DZ_X$, so sollte herauskommen, da"s wir bei unserer Beschreibung der dualisierenden Garbe Flachheit nicht brauchen, was dort noch unklar war. \end{Bemerkungl}} \begin{Lemma}\label{wwwc} Auf jedem lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sind die Garben der lokalen singul"aren Koketten $\mathcal S^q_X$ kompaktweich. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] %Dieser Beweis ist eine Variante des Beweises von \ref{www}. Sei $X$ unser Raum. Einen Schnitt "uber einer kompakten Teilmenge $K\As X$ k"onnen wir zun"achst nach \eref{FSK}{TG} ausdehnen zu einem Schnitt $s$ auf einer offenen Umgebung $V\co X$ von $K$. Ohne Schwierigkeiten finden wir weiter $W\co X$ mit $K\subset W\subset\bar{W}\subset V$. Jetzt konstruieren wir einen Endomorphismus der Pr"agarbe der singul"aren Koketten auf $V$, indem wir einem Schnitt, als da hei"st einer Funktion auf den Simplizes diejenige neue Funktion zuordnen, die dasselbe macht mit allen Simplizes aus $W$ und die alle Simplizes zu Null macht, die nicht ganz in $W$ liegen. Lassen wir den auf der Garbifizierung induzierten Endomorphismus auf unsere Ausdehnung $s$ los, so erhalten wir eine Ausdehnung $\tilde{s}$, die auf $V\backslash \bar{W}$ verschwindet. Damit k"onnen wir unsere abge"anderte Ausdehnung $\tilde{s}$ aber durch Null fortsetzen auf ganz $X$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Dualisierende Garbe durch Grenzkokettengarben}] Man beachte, da"s die Garben $\mathcal S^q_X$ auch stets flach sind. Gegeben ein lokal singul"ar-azyklischer homologisch kompaktendlicher lokal kompakter\label{dGsX} Haus\-dorff\-raum $X$ liefert \ref{VeDDx} insbesondere einen ausgezeichneten Isomorphismus vom Garbenkomplex mit Schnitten $U\mapsto \mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal S_X^*)$ zur dualisierenden Garbe von $X$. Gegeben ein topologischer Raum $X$ erinnere ich nun an den Komplex der Grenzkokettengarben $\mathcal G_X^*$ mit Schnittkomplexen $\mathcal G_X^*(U)=\mathbb D_{\op{Ket}} {\op{G}}U$ f"ur $U\co X$ aus \eref{SKHK}{TG}. Nach \eref{SKHK}{TG} sind alle Grenzkokettengarben welk und damit nach \eref{WKW}{TG} auch kompaktweich. Unsere Quasiisomorphismen ${\op{S}}U\qri {\op{G}}U$ liefern Quasiisomorphismen $\mathcal G_X^*\qri \mathcal S_X^*$ und dann auch Quasiisomorphismen $\Gamma_!(U;\mathcal G_X^*)\qri \Gamma_!(U;\mathcal S_X^*)$ und schlie"slich Quasiisomorphismen $$\mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal S_X^*)\qri \mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal G_X^*)$$ So erhalten wir auch f"ur den Garbenkomplex, dessen Schnittkomplexe durch die rechte Seite als $U\mapsto \mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal G_X^*)$ gegeben werden, einen ausgezeichneten Isomorphismus zur dualisierenden Garbe.\label{DGKKO} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Dualisierende Garbe durch Grenzkettengarben}] Gegeben ein lokal singu\-l"ar-azyklischer, lokal \hyperref[pola]{polyeder\"ahnlicher} und homologisch kompaktendlicher Hausdorffraum $X$ ist der Komplex $\mathcal{G}^!_X$ der Grenzkettengarben eine Realisierung der dualisierenden Garbe\label{GKDGa} und wir konstruieren im anschlie"senden Beweis sogar in der derivierten Kategorie einen ausgezeichneten Isomorphismus $$\mathcal{G}^!_X\sira \op{fin}^!_X \DZ_{\op{top}}$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir meinen im folgenden stets $\mathbb D=\mathbb D_{\op{Ket}}$. Unser Komplex von Grenzkokettengarben hat "uber $U\co X$ die Schnitte $\mathcal{G}_X^*(U)=\mathbb D{\op{G}}U$. Gegeben ein Kompaktum $K\subset U$ liefert die kurze exakte Sequenz der relativen Grenzketten ${{\op{G}}}(U\backslash K)\hra{{\op{G}}}(U) \sra {{\op{G}}}(U,U\backslash K) $ eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $$\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash K)\hra\mathbb D{{\op{G}}}(U) \sra \mathbb D{{\op{G}}}(U\backslash K) $$ Im Kolimes "uber alle Kompakta $K\subset U$ ergeben sich daraus Isomorphismen $\colf_K\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash K)\sira\Gamma_!(U;\mathcal{G}_U^*)$ und dann durch Dualisieren $$ \mathbb D\Gamma_!(U;\mathcal{G}_X^*)\sira\textstyle \limf_K\mathbb D\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash K) $$ In \ref{DGKKO} haben wir unter den Bedingungen des Satzes einen ausgezeichneten Isomorphismus der dualisierenden Garbe mit dem durch die Schnittkomplexe auf der rechten Seite gegebenen Garbenkomplex konstruiert. Andererseits gibt es f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ einen nat"urlichen Morphismus $$\mathcal G^!_X(U)=\textstyle\limf_K{{\op{G}}}(U,U\backslash K) \ra \limf_K\mathbb D\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash K)$$ Um den Beweis zu beenden m"ussen wir nur zeigen, da"s jeder Punkt eine offene Umgebung $U$ besitzt, f"ur die er ein Quasiisomorphismus ist. Wir zeigen das sogar f"ur jede polyeder"ahnliche offene Teilmenge $U\co X$. Dann gibt es ja eine konfinale Folge von Kompakta von $K_n\subset U$ mit ${\op{H}}_q(U,U\backslash K_n)$ endlich erzeugt f"ur alle $q,n$. Damit sind aber die nat"urlichen Abbildungen Quasiisomorphismen ${{\op{G}}}(U,U\backslash K_n)\qri \mathbb D\mathbb D{{\op{G}}}(U,U\backslash K_n)$, und dann liefern sie nach \eref{QIL}{TS} auch im inversen Limes Quasiisomorphismen. \end{proof} \nichtfinal{ \begin{proof}[Neuer Beweisversuch] Wir betrachten erst mal f"ur eine injektive abelsche Gruppe $I$ $$\mathcal{G}^!_{X.I}(U)\pdef \op{Ab}(\Gamma_!$$ Die charakterisierende Eigenschaft ist \end{proof} } \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl} Unter den Bedingungen des Satzes und da wir aus \ref{lGkw} wissen, da"s $\mathcal{G}^!_X$ ein Komplex kompaktweicher Garben ist, k"onnen wir nach \ref{BDGnF} das Verdierduale der dualisierenden Garbe bestimmen, indem wir von den Isomorphismen ${\op{G}}X\sira \Gamma_!(X;\mathcal{G}^!_X)$ aus \ref{KoSE} ausgehen und sie f"ur alle $U\co X$ betrachten und so f"ur alle $U$ Isomorphismen von Komplexen $$\mathcal G^*_X(U)=\mathbb D_{\op{Ket}} {\op{G}}U\sira \mathbb D_{\op{Ket}}\Gamma_!(U;\mathcal{G}^!_X)$$ von abelschen Gruppen konstruieren. Diese bilden zusammen einen Isomorphismus von Komplexen von abelschen Garben. Der Komplex $\mathcal G^*_X$ der Grenzkokettengarben aus \eref{SKHK}{TG} ist nun nach dem Beweis von \eref{SKG}{TG} eine Aufl"osung der konstanten Garbe. Unser Isomorphismus sollte unter unseren Identifikationen dem nat"urlichen Morphismus der konstanten Garbe in ihr Verdier-Bidual entsprechen, der damit unter den gegebenen Annahmen ein Isomorphismus $\DZ_X\sira \mathbb D_X\mathbb D_X \DZ_X$ zu sein h"atte. Damit m"u"ste dann nat"urlich auch die dualisierende Garbe ihr eigenes Verdier-Biduales sein, $\omega_X\sira \mathbb D_X\mathbb D_X \omega_X$. \end{Bemerkungl} } \begin{Bemerkungl}[\textbf{Homologie als kompakte Kohomologie der dualisierenden Garbe}]%[\textbf{Homologie im Sechs-Funktor-Formalismus}] Der Einfachkeit halber setzen wir nun $c\pdef\op{fin}_X$. Unter den Bedingungen des Satzes \ref{GKDG} folgern wir aus der Beschreibung \ref{HkH} der singul"aren Homologie als kompakter Hyperkohomologie des Grenzkettengarbenkomplexes ausgezeichnete Isomorphismen\label{HSF} $${\op{H}}_q(X)_{\op{sing}}\sira \mathcal H^{-q} c_{!}c^! \DZ_{\op{top}}$$ Unter den zus"atzlichen Bedingungen, da"s $X$ abz"ahlbar basiert ist und der Funktor $\Gamma:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ auch von endlicher homologischer Dimension folgern wir mit Hilfe der Bescheibung \ref{HBMk} der lokalendlichen Homologie als Hyperkohomologie des Grenzkettengarbenkomplexes weiter nat"urliche Isomorphismen $${\op{H}}^!_q(X)_{\op{sing}}\sira \mathcal H^{-q} c_{\ast}c^! \DZ_{\op{top}}$$ \end{Bemerkungl} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl} Eine kompaktweiche abelsche Garbe $\mathcal F$ auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$ sollte man aus der Kopr"agarbe $U\mapsto \Gamma_!(\mathcal F|_U)$ rekonstruieren k"onnen. In der Tat bestimmen diese Daten nach \ref{LokSS} die Schnitte "uber allen kompakten Teilmengen, und diese lassen sich in diesem Fall verkleben wie Schnitte "uber offenen Teilmengen. Das sollte sogar funktoriell sein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mit dem Vorhergehenden sollten wir f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ geeigneter R"aume einen Morphismus von Komplexen $f_!\mathcal G^!_X\ra \mathcal G^!_Y$ konstruieren k"onnen, der auf den globalen Schnitten $G(X)\ra G(Y)$ ist. Aber warum ist das die richtige Abbildung zur Adjunktion? Kann vielleicht f"ur kompaktweiches $\mathcal F$ stets $(c_!\mathcal F\ra \DZ_{\op{top}})$ identifizieren mit $\mathcal F\ra \mathcal G^!_X$? $\Gamma_!(U;\mathcal F)\ra \op{G}(U)$? Morphismus von welken Kogarben? Deriviert wie $\DZ_U$? \end{Bemerkungl} } \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der dualisierenden Garbe}] \nichtfinal{ALT} Sei $X$ ein homologisch kompaktendlicher lokal kompakter Haus\-dorff\-raum. Um einen Repr"asentanten unserer dualisierenden Garbe zu erhalten, kann man nach der im Beweis der Existenz des Eigr"uckzugs \ref{VeDD} und \ref{explB} gegebenen Konstruktion wie folgt vorgehen: Man w"ahlt eine beschr"ankte%\label{BDGn} flache kompaktweiche Aufl"osung $\DZ_X\hra \mathcal K^\lhd$ der konstanten Garbe und betrachtet die Komplexe von abelschen Garben $\mathcal I^{-p}: U\mapsto \op{Ab}(\Gamma_!(U;\mathcal K^p),\DQ)$ und $\mathcal J^{-p}:U\mapsto \op{Ab}(\Gamma_!(U;\mathcal K^p),\DQ/\DZ)$ mit hoffentlich offensichtlichen Differentialen. Dann erh"alt man einen Repr"asentanten der dualisierenden Garbe $\op{fin}^!\DZ_{\op{top}}$ als den verschobenen Abbildungskegel $$\omega_{\mathcal K^\lhd}=[-1]\op{Keg}(\mathcal I^\ast \ra \mathcal J^\ast)$$ \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Jetzt stetige Abbildung $f:X\ra Y$. H"atte gerne Beispiele f"ur Realisierungen der nat"urlichen Morphismen $f_!\omega_{\mathcal K}\ra \omega_{\mathcal L}$. Sollte vielleicht ausgehen von der Annahme, da"s $\DZ_X\ra \mathcal K^\lhd$ in der Homotopiekategorie als $$\DZ_X\sira f^*\DZ_Y\ra f^*\mathcal L^\lhd \ra \mathcal K^\lhd$$ faktorisiert.} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der dualisierenden Garbe, Varianten}] \nichtfinal{ALT} Sei $X$ weiter ein homologisch kompaktendlicher lokal kompakter Hausdorffraum. Die in \ref{BDGn} gegebene Konstruktion liefert f"ur jeden Komplex $\mathcal K^\lhd$ abelscher Garben auf $X$ ein Objekt $\omega_{\mathcal K^\lhd}\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. Ist unser Komplex exakt und besteht zus"atzlich aus kompaktweichen Garben, so finden wir $\omega_{\mathcal K^\lhd}=0$. Jeder Quasiisomorphismus von%\label{AlKKx} Komplexen kompaktweicher Garben $\mathcal K^\lhd\qri \mathcal L^\lhd$ f"uhrt mithin zu einem Isomorphismus $\omega_{\mathcal L^\lhd}\sira \omega_{\mathcal K^\lhd}$. Jede unbeschr"ankte Aufl"osung $\DZ_X\hra \mathcal L^\lhd$ durch flache kompaktweiche Garben faktorisiert f"ur $r>0$ nach \eref{Absc}{TD} in Quasiisomorphismen $\DZ_X\hra \tau^{\leq r}\mathcal L^\lhd\ra \mathcal L^\lhd$ und der mittlere Komplex besteht nach \ref{KWAUn} f"ur $r$ oberhalb der homologischen Dimension von $\Gamma_!$ auch aus flachen kompaktweichen Garben. Mithin liefert auch im unbeschr"ankten Fall $\omega_{\mathcal L^\lhd}$ die dualisierende Garbe. Es ist mir aber keineswegs klar und m"oglicherweise auch gar nicht richtig, da"s je zwei beschr"ankte kompaktweiche Aufl"osungen von $\DZ_X$ zu isomorphen Resultaten f"uhren, wenn sie nicht zus"atzlich beide flach sind. \end{Bemerkungl} \begin{proof} \nichtfinal{ALT} Da die Gruppen der singul"aren Ketten stets frei sind, f"uhren sie auf den Koketten zu kurzen exakten Sequenzen ${{\op{S}}}^q(X)\hra {{\op{S}}}^q(X;\DQ)\sra {{\op{S}}}^q(X;\DQ/\DZ)$. Diese kurzen exakten Sequenzen hinwiederum liefern kurze exakte Sequenzen erst von Pr"agarben und dann von Garben ${\mathcal{S}}^q_{X}\hra {\mathcal{S}}^q_{X,\DQ} \sra {\mathcal{S}}^q_{X,\DQ/\DZ}$ und damit einen Quasiisomorphismus mit dem verschobenen Abbildungskegel Die Quasiisomorphismen ${{\op{S}}}X\qri {{\op{G}}}X$ angewandt auf alle offenen Teilmengen von $X$ liefern weiter einen Quasiisomorphismus dieses verschobenen Abbildungskegels mit dem Komplex der Grenzkokettengarben ${\mathcal{G}}_X^*$ aus \eref{SKHK}{TG}. Ist nun $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum, so sind nach \ref{wwwc} die Garben ${\mathcal{S}}^q_X$ der lokalen singul"aren Koketten kompaktweich und dasselbe gilt f"ur ihre Varianten ${\mathcal{S}}^q_{X,M}$ mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe $M$. Ist zus"atzlich $X$ lokal singul"ar-azyklisch, so ist ${\mathcal{S}}_X^*$ eine kompaktweiche Aufl"osung der konstanten Garbe. Da sie au"serdem offensichtlich flache Halme hat, kann sie zur Berechnung der dualisierenden Garbe nach \ref{BDGn} erg"anzt durch \ref{AlKKx} benutzt werden, wenn diese definiert ist, wenn also $X$ homologisch kompaktendlich ist. Nach \ref{AlKKx} kann dann in derselben Weise auch der Komplex der Grenzkokettengarben ${\mathcal{G}}_X^*$ zur Berechnung der dualisierenden Garbe benutzt werden, obwohl er im allgemeinen nur eine kompaktweiche und nicht notwendig flache Aufl"osung der konstanten Garbe ist. Betrachtet man also die Komplexe von abelschen Garben $\mathcal I^{-p}: U\mapsto \op{Ab}(\Gamma_!(U;\mathcal{G}_X^p),\DQ)$ und $\mathcal J^{-p}:U\mapsto \op{Ab}(\Gamma_!(U;\mathcal{G}_X^p),\DQ/\DZ)$ mit den hoffentlich offensichtlichen Differentialen, so erh"alt man die dualisierende Garbe als verschobenen Abbildungskegel $\op{fin}^!\DZ_{\op{top}}=[-1]\op{Keg}(\mathcal I^\ast \ra \mathcal J^\ast)$ im Sinne eines ausgezeichneten Dreiecks $$\op{fin}^!\DZ_{\op{top}}\ra \mathcal I^\ast \ra \mathcal J^\ast\stackrel{[1]}{\ra}$$ Das aber ist genau die Behauptung in unserer Proposition. \end{proof} % \begin{Bemerkungl} % Ist $f : X \ra Y$ separiert lokal eigentlich % mit % $f_{(!)}$ von endlicher homologischer % Dimension, so liefert unsere Konstruktion % f"ur einen beschr"ankten Komplex injektiver %abelscher %Garben $\mathcal G=(\ldots\ra 0\ra \mathcal I^s\ra\ldots\ra\mathcal I^r\ra 0 %\ra\ldots)$ auf $Y$ oder sogar einen beliebigen homotopieinjektiven Komplex %$\mathcal G=(\ldots\ra \mathcal I^{r-1}\ra\mathcal I^r\ra 0 %\ra\ldots)$ %die Absch"atzung\label{duaG} %$$f^!\mathcal G\in \op{Der}^{\leq r}(\op{Ab}_{/X})$$ %Verwende besser \ref{hEX} um zu zeigen, da"s manchmal $f^!$ die beschr"ankte %derivierte Kategorie erh"alt! % \end{Bemerkungl} \subsection{Pr"aschrott?} ES SCHEINT, DASS DER GANZE ABSCHNITT NIE VERWENDET WIRD! \begin{Definition} Sei $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ ein Kofaserfunktor. Unter einem {\bf kofaservertr"aglichen Rechtsoresystem in $\mathscr C$} verstehen\index{kofaservertr"agliches Rechtsoresystem} wir ein Rechtsoresystem $S$ in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten der Basis derart, da"s die Menge $S_X$ der $S$-Morphismen "uber\label{KofRO} $\op{id}_X$ f"ur jedes Objekt $X$ der Basis ein ges"attigtes multiplikatives System ist und da"s die Funktoren $f_\dagger$ unser System $S$ stabilisieren. \end{Definition} ICH BIN HIER VERWIRRT. ES SCHEINT, ALS OB ICH DIESE EIGENSCHAFT SELTEN WERDEN NACHWEISEN KOENNEN: \ref{KriLO} PRODUZIERT NUR LINKSORESYSTEME! \begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung einer Kofaserung nach Rechtsoresystem}]%Geprueft am 25.9.17 Seien $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ ein Kofaserfunktor und $S$ ein kofaservertr"agliches Rechtsoresystem in $\mathscr C$. So ist auch\label{KofL} der auf der Lokalisierung induzierte Funktor ein Kofaserfunktor $$p_S:S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$$ und jeder kokartesische Morphismus in $\mathscr C$ bleibt kokartesisch in $S^{-1}\mathscr C$. \end{Satz} \begin{proof} Um das zu zeigen beachten wir f"ur jeden Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis sowie Objekte $\mathcal F$ "uber $X$ und $\mathcal G$ "uber $Y$ die nat"urlichen Isomorphismen \begin{displaymath} \xymatrix{ (S^{-1}\mathscr C)_f(\mathcal F,\mathcal G)\ar[r]^-\sim &\op{colf}_{\mathcal F'\stackrel{S}{\ra}\mathcal F}\mathscr C_f(\mathcal F',\mathcal G)\ar[r]^-\sim & \op{colf}_{\mathcal F'\stackrel{S}{\ra}\mathcal F}\mathscr C_Y(f_\dagger\mathcal F',\mathcal G)\ar[d]\\ (S^{-1}\mathscr C)_Y(f_\dagger \mathcal F,\mathcal G) \ar[rr]^-\sim& &\op{colf}_{\mathcal E\stackrel{S}{\ra}f_\dagger \mathcal F}\mathscr C_Y(\mathcal E,\mathcal G) } \end{displaymath} Es reicht zu zeigen, da"s die Vertikale rechts eine Bijektion ist. Das folgt, sobald wir zeigen, da"s das Bild der Indexkategorie des oberen Kolimes ganz rechts vermittels $f_\dagger$ auf eine konfinale Unterkategorie der Indexkategorie des unteren Kolimes ganz rechts abgebildet wird. Jeder $S$-Morphismus $\mathcal E\ra f_\dagger \mathcal F$ pa"st aber aufgrund der Rechtsorebedingung in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal F'\ar[r]\ar[d]&\mathcal E\ar[d]\\ \mathcal F \ar[r]&f_\dagger \mathcal F } \end{displaymath} mit $S$-Morphismen in den Vertikalen. Das zeigt die ben"otigte Konfinalit"at. \end{proof} \begin{Lemma}\label{EDKW} ("UBERFL"USSIG) Seien $g : Z \rightarrow Y$ und $f : Y \rightarrow X$ lokal eigentliche separierte Abbildungen. Ist $\mathcal F \in \op{Ab}_{/ Z}$ eine $(f \circ g)$-kompaktweiche Garbe auf $Z$, so ist ihr eigentliches direktes Bild $g_{(!)}\mathcal F$ eine $f$-kompaktweiche Garbe auf $Y$. \end{Lemma} % \begin{Bemerkunge} % Alternative: Erkl"are % \glqq schwach kompaktweich auf $X$\grqq\ als % $f$-kompaktweich f"ur jede les-Abbildung $f:X\ra Y$. % Dann gilt dasselbe wie zuvor. % \end{Bemerkunge} \begin{proof} Gegeben ein Punkt $x \in X$ betrachten wir das Diagramm mit kartesischen Quadraten \begin{displaymath} \xymatrix{ g^{-1} (f^{-1} (x))\ar[d]_-{v} \ar@{^{(}->}[r]^-{k} & Z\ar[d]^-g\\ f^{-1}(x)\ar[d]_-{u} \ar@{^{(}->}[r]^-{j} &Y\ar[d]^f \\ x \ar@{^{(}->}[r]^-{i} & X } \end{displaymath} Basiswechsel \ref{BaWe} zeigt $j^{(\ast)} g_{(!)} \mathcal F \cong v_{(!)} k^{(\ast)} \mathcal F$. Nach Annahme ist aber $k^{(\ast)} \mathcal F$ kompaktweich und $g^{-1} (f^{-1} (x))$ ebenso wie $f^{-1} (x)$ sind lokal kompakte Haus\-dorff\-r"aume. Dann folgt mit \ref{BKWe}, da"s auch $v_{(!)} k^{(\ast)} \mathcal F \cong j^{(\ast)} g_{(!)} \mathcal F$ kompaktweich ist, was zu zeigen war. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Spektralsequenz f"ur die Hyperkohomologie}] Speziell erhalten wir f"ur jeden topologischen Raum $X$ und jeden gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex $\mathcal F^* \in {\op{Der}}^+({\op{Ab}}_{/X})$ von abelschen Garben auf $X$ eine $E_2$-Spektral\-sequenz\label{SPHy} \[ {\op{H}}^q(X;{\mathcal H}^p\mathcal F^*) \Rightarrow {\mathbb H}^n(X;\mathcal F^*) \] Die Hyperkohomologie eines gegen die Pfeile beschr"ankten Komplexes von abelschen Garben ist also der Grenzwert einer Spektralsequenz mit den Kohomologiegruppen der Kohomologiegarben unseres Komplexes als $E_2$-Term. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Funktor und $\kappa : \mathcal F \ra \mathcal G$ ein Morphismus in $\mathscr{C}$ und $f:X\ra Y$ sein Bild unter $p$. So hei"st $\kappa$ {\bf kokartesisch}\index{kokartesisch!Morphismus} oder genauer {\bf $p$-kokartesisch} oder auch ein {\bf kokartesischer Lift\index{kokartesisch!Lift} von $f$} genau dann, wenn f"ur alle $\mathcal E \in\mathscr C_Y$ das Vorschalten von $\kappa$ eine Bijektion $(\circ\kappa): \mathscr C_Y(\mathcal G,\mathcal E)\sira \mathscr C_{f}(\mathcal F,\mathcal E)$ induziert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein Funktor ist im Lichte dieser Definition ein Kofaserfunktor genau dann, wenn jeder Morphismus $f:X\ra Y$ zu jedem Objekt $\mathcal F$ "uber $X$ einen kokartesischen Lift $\mathcal F\ra \mathcal G$ besitzt und wenn die Komposition kokartesischer Morphismen stets wieder kokartesisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Kofunktor und $\kappa : \mathcal G \ra \mathcal F$ ein Morphismus in $\mathscr{C}$ und $f:X\ra Y$ sein Bild unter $p$. So hei"st $\kappa$ {\bf kontrakartesisch}\index{kontrakartesisch!Morphismus} genau dann, wenn f"ur alle Objekte $\mathcal E \in\mathscr C_Y$ das Nachschalten von $\kappa$ eine Bijektion $(\kappa\circ): \mathscr C_Y(\mathcal E,\mathcal F)\sira \mathscr C_{f}(\mathcal E,\mathcal G)$ induziert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein Funktor ist im Lichte dieser Definition ein Faserkontrafunktor genau dann, wenn jeder Morphismus $f:X\ra Y$ zu jedem Objekt $\mathcal F$ "uber $X$ einen kontrakartesischen Lift $\mathcal G\ra \mathcal F$ besitzt und wenn die Komposition kontrakartesischer Morphismen stets wieder kontrakartesisch ist. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Ein Produkt "uber eine beliebige Familie von injektiven Objekten einer abelschen Kategorie ist wieder injektiv, wenn es denn existiert. \end{Ubung} Als Motivation f"ur die Entwicklung der Garbenkohomologie bespreche ich zun"achst den Zusammenhang zwischen der ersten Garbenkohomologie und der Klassifikation verschiedener Arten von B"undeln. Dann definiere ich die h"ohere Garbenkohomologie und zeige mit ihrer Hilfe den Satz von de Rham, der in \ref{sDR} zun"achst einmal vorgestellt wird. Als weitere Anwendungen gebe ich unter anderem eine anschauliche Interpretation der Schnittpaarung in \ref{??} und als vielleicht wichtigste Anwendung in \ref{??} eine Diskussion der Frage, inwiefern bei stetigen Familien topologischer R"aume auch die Kohomologiegruppen unserer R"aume stetige Familien bilden. Gehe auch mal das Skript von Shapira durch, \begin{quote} http://www.institut.math.jussieu.fr/~schapira/polycopies/Shv.pdf \end{quote}\begin{Definition}[\textbf{Kategorie der Garben auf topologischen R"aumen}] Wir definieren die Kategorie $\op{Ens}_{/\op{Top}}$ der Garben auf topologischen R"aumen wie folgt:\label{GarbFb} Objekte sind Paare $(X,\mathcal F)$ bestehend aus einem topologischen Raum $X$ und einer Garbe von Mengen $\mathcal F\in \op{Ens}_{/X}$ auf $X$. Gegeben Objekte $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ ist ein Morphismus ein Paar $(\varphi,f)$ bestehend aus stetigen Abbildungen $\varphi:\bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal G}$ und $f:X\ra Y$ derart, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \bar{\mathcal F}&\ra &\bar{\mathcal G}\\ \da&&\da\\ X&\ra&Y \end{array}$$ kommutiert. Die Verkn"upfung von Morphismen ist die Offensichtliche. \end{Definition} % \begin{Definition} % Sei $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und seien % $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ Garben. % Ein {\bf Morphismus "uber $f$}\index{Morphismus!von Garben} % zwischen unseren Garben % ist eine stetige Abbildung $\varphi:\bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal G}$, % die man als obere Horizontale nehmen kann % f"ur ein kommutatives Diagramm % $$\begin{array}{ccc} % \bar{\mathcal F}&\ra &\bar{\mathcal G}\\ % \da&&\da\\ % X&\ra&Y % \end{array}$$ % \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Garbenfaserung}] Das Vergessen der Garbe\label{GaFF} $$\op{Ens}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$$ ist ein Faserfunktor und ein Morphismus $(\varphi,f)$ in $ \op{Ens}_{/\op{Top}}$ ist genau dann kartesisch, wenn das zugeh"orige Diagramm $$\begin{array}{ccc} \bar{\mathcal F}&\ra &\bar{\mathcal G}\\ \da&&\da\\ X&\ra&Y \end{array}$$ ein kartesisches Diagramm von topologischen R"aumen ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Garbenfaserung, Varianten}] Analog zu \ref{GarbF} definieren wir die Kategorie $\op{Ab}_{/\op{Top}}$ der Garben von abelschen Gruppen auf topologischen R"aumen. Auch in diesem Fall ist das Vergessen der Garbe offensichtlich ein Faserfunktor $\op{Ab}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$.\end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit einer Zerf"allung}] Eine Zerf"allung eines Faserfunktors ist \glqq eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus\grqq, wie wir bereits in \ref{ZOM} gesehen hatten. Jeder Faserfunktor besitzt eine Zerf"allung, aber eben meist viele verschiedene Zerf"allungen. % Unsere R"uckholfunktoren aus \ref{KaFax} bilden eine Zerf"allung % des Faserfunktors $\op{Ens}_{\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{EnsTo}. % In derselben Weise kann man auch % eine Zerf"allung % des Faserfunktors $\op{Ab}_{\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{EnsTo} % angeben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Zerf"allung der Garbenfaserung}] Gegeben eine stetige Abbildung $f: X \ra Y$ k"onnen wir einen R"uckholfunktor\index{)6ast@$f^*$ R"uckzug!von Garbe} $$ f^{\ast}: \op{Ens}_{/Y} \ra \op{Ens}_{/X} $$ der Garbenfaserung konstruieren als die Zuordnung, die jeder Garbe $\cal{F}$ auf $Y$ die Garbe der stetigen Schnitte des Faserprodukts des \'etalen Raums von $\cal{F}$ mit $X$ zuordnet. In Formeln setzen wir also $$ f^{\ast} \cal{F}\pdef \cal{S}_X(X\times_{Y} \bar{\cal{F}})$$ Die Garbe $ f^{\ast} \cal{F}$ hei"st das {\bf inverse Bild}\index{inverses Bild!einer Garbe} der Garbe $\mathcal F$ unter $f$. Der Funktor $f^\ast$ hei"st das {\bf Zur"uckholen} oder gleichbedeutend {\bf Zur"uckziehen von Garben}.\index{Zur"uckholen!von Garben} \index{Zur"uckziehen!von Garben} \label{KaFax} Auf dieselbe Weise kann man eine Zerf"allung des Faserfunktors $\op{Ab}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$ konstruieren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Notation}] In der Literatur ist f"ur den R"uckzug einer Garbe von Mengen die Notation $f^{-1}\mathcal F$ "ublich.\index{)6aa@$f^{-1}$ {\it R"uckzug einer Garbe}} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{IBGax} Jeder R"uckzug eines \'etalen Morphismus ist \'etale nach \eref{REEn}{TF}, folglich liefert die Adjunktion \ref{ADJS} einen Hom"oomorphismus von \'etalen R"aumen $$\overline{f^{\ast}\cal{F}} \overset{\sim}{\ra} X \times_{Y} \bar{\cal{F}} $$ "uber $ X$. Ich hoffe, da"s diese Erkenntnis eine gewisse Anschauung f"ur das inverse Bild einer Garbe gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Das Zur"uckholen von Garben unter der Einbettung einer Teilmenge haben wir bereits in \ref{EsRg} als \glqq Einschr"ankung\grqq\ kennengelernt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie filtrierter R"aume, woanders}] Sei $X$ ein topologischer Raum mit einer Folge\label{SpFTR} \begin{equation*} X = X_{a} \supset X_{a+1} \supset \ldots \supset X_b = \emptyset \end{equation*} von abgeschlossenen Teilr"aumen. Sei $\mathcal F \in \op{Der}^{+} (\op{Ab}_{/X})$ ein gegen die Pfeile beschr"ankter Komplex abelscher Garben auf $X$. Um die Hyperkohomolgie $\mathbb H^n (X;\mathcal F)$ zu berechnen, w"ahlt man eine gegen die Pfeile beschr"ankte injektive Aufl"osung $\mathcal F \qri \mathcal I$ und findet per definitionem $ \mathbb H^n (X; \mathcal F) = \mathcal H^n \Gamma (X;\mathcal I^\ast) $. Der Komplex der globalen Schnitte $\Gamma (X; \mathcal I^n)$ ist nun sicher filtriert durch die \begin{equation*} \Gamma (X; \mathcal I^n)^{\geq q} := \left\{ s \in \Gamma (X;\mathcal I^n) \mid \op{sup} s \subset X_q\right\} \end{equation*} Seine Kohomologie ist also nach \ref{SpeSn} und \ref{KuEG} \emph{(zu erg"anzen!)} der Grenzwert einer Spektralsequenz mit $E_1$-Term \begin{equation*} E_1^{p,q} = \mathbb H^{p+q} i^!_q \mathcal F \end{equation*} f"ur $i_q : X_q \backslash X_{q+1} \hookrightarrow X$ die Einbettung und mit einem Differential $\partial_r$ vom Bigrad $(1-r, r)$. \end{Beispiel} \begin{proof} Wir definieren f"ur ein Raumpaar $(X, A)$ den {\bf Komplex der relativen Grenzketten} als den Kolimes $${\op{G}}(X,A)\pdef\varinjcol({\op{S}}(X,A)\stackrel{U}{\ra}{\op{S}}(X,A) \stackrel{U}{\ra}\ldots)$$ Die Exaktheit filtrierender Kolimites zeigt, da"s die kanonischen Abbildungen Isomorphismen $$\op{H}_q(X,A)=\mathcal H_q{\op{S}}(X,A)\sira\mathcal H_q{\op{G}}(X,A)$$ auf der Homologie liefern. Sie liefert des weiteren f"ur jedes Raumpaar eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen ${{\op{G}}}(A)\hra {{\op{G}}}(X) \sra {{\op{G}}} (X,A)$. Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und ein Kompaktum $K\subset X$ erhalten wir mit unseren Vor"uberlegungen zur derivierten Dualit"at \ref{VHAj} Quasiisomorphismen %\label{SKHKc} $${{\op{S}}}^\ast(X,X\backslash K) \qri \mathbb D({{\op{S}}}(X,X\backslash K)) \qli \mathbb D({{\op{G}}}(X,X\backslash K))\qri \Gamma_K(X;\mathcal G_X)$$ Bilden wir auf beiden Seiten den Kolimes "uber alle Kompakta, so erhalten wir einen Quasiisomorphismus $$\varinjcol_K {{\op{S}}}^\ast(X,X\backslash K) \qri\Gamma_!(X;\mathcal G_X)$$ und damit Isomorphismen ${\op{H}}^q_!(X;\DZ)_{\op{sing}}\sira \mathcal H^q\Gamma_!(X;\mathcal G_X)$. Wie wir beim Beweis von \ref{SKG} bereits gezeigt haben, ist f"ur lokal singul"ar-azyklische R"aume andererseits der Komplex der Grenzkokettengarben eine welke Aufl"osung der konstanten Garbe. Da welke Garben $\Gamma_!$-azyklisch sind nach \ref{WKK}, liefert \ref{DAZO} kanonische Isomorphismen ${\op{H}}^q_!(X;\DZ)_{\op{garb}}\sira \mathcal H^q\Gamma_!(X;\mathcal G_X)$. Der Satz folgt. \end{proof} \begin{Definition} Ein Komplex in einer beliebigen Kategorie mit Nullobjekt hei"st \defind{be\-schr"ankt gegen die Pfeile} genau dann, wenn wir gegen die Richtung der Pfeile gehend irgendwann nur noch das Nullobjekt treffen. Die Homotopiekategorie aller gegen die Pfeile beschr"ankten Komplexe in einer additiven Kategorie $\cal I$ bezeichnen wir mit $\op{Hot^{+}}( \cal{I})$. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{FIA} Sei $\cal A$ eine abelsche Kategorie. Ist $A^{\ast} \qri B^{\ast}$ ein Quasiisomorphismus in $\op{Hot}(\cal{A})$ und $I^{\ast}\in \op{Hot}^{+}(\cal{A})$ ein gegen die Pfeile beschr"ankter Komplex von injektiven Objekten, so induziert die Verkn"upfung mit unserem Quasiisomorphismus eine Bijektion $$\op{Hot}_\cal{A}(B^{\ast},I^{\ast})\sira \op{Hot}_\cal{A}(A^{\ast},I^{\ast})$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Vervollst"andigen wir unseren Quasiisomorphismus durch seinen Abbildungskegel $K^{\ast}$ zu einem ausgezeichneten Dreieck, so mu"s dieser Abbildungskegel $K^{\ast}$ exakt sein und wir folgern aus \ref{IaU} in der Homotopiekategorie das Verschwinden von Morphismenr"aumen $\op{Hot}([-1]K^{\ast},I^{\ast})= \op{Hot} (K^{\ast},I^{\ast})=0$. Mit der langen exakten Sequenz \ref{Hh} folgt das Lemma. \end{proof} \subsection{Definition der Garbenkohomologie} \begin{Bemerkungl} Die gleich folgende Definition der Garbenkohomologie scheint mir verheerend unanschaulich. Leider kenne ich keine anschauliche Definition dieses Konzeptes. Anstelle von Anschaulichkeit hat die Garbenkohomologie jedoch sehr gute formale Eigenschaften zu bieten, die es erm"oglichen, sie in vielen Anwendungen zu identifizieren mit technisch im allgemeinen weniger gutartigen aber daf"ur anschaulichen oder gut berechenbaren Theorien wie der singul"aren Kohomologietheorie, der \v{C}ech-Kohomologie oder der de-Rham-Kohomologie. In typischen Anwendungen kann man die Garbenkohomologie sogar mit mehreren derartigen Theorien identifizieren und so bemerkenswerte Identit"aten erhalten. Das wird auch eine Weile die Hauptmotivation bleiben m"ussen, denn die Grundlagen zu legen ist m"uhsam: Die Funktorialit"at der Garbenkohomologie zeigen wir erst in \ref{GKFU}, und die Homotopieinvarianz mu"s bis \ref{HTGKO} warten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DGKoSalt} Sei $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf einem Raum $X$. \begin{enumerate} \item Die \defnoind{Garbe der unstetigen Schnitte von $\cal{F}$}\index{Garbe der unstetigen Schnitte} ist die Garbe ${\op{G}} \cal{F},$ die jeder offenen Teilmenge $ U \co X $ das Produkt der Halme von $\cal{F}$ an allen Punkten $x\in U$ zuordnet, in Formeln $$({\op{G}}\cal{F})(U) = \prod_{x\in U} \cal{F}_{x}$$ mit den offensichtlichen Restriktionsabbildungen. Wir haben eine kanonische Injektion $\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}\cal{F}$ gegeben durch $s \mapsto (s_{x})_{x \in U}$ f"ur $s \in \cal{F}(U)$; \item Die {\bf Godement-Aufl"osung von}\index{Godement-Aufl"osung} $\cal{F}$ ist der exakte Komplex von abelschen Garben $\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}^{0}\cal{F} \ra {\op{G}}^{1}\cal{F} \ra \ldots$, den wir nach \ref{AEXa} erhalten durch die Vorschrift $$\begin{array}{lll} {\op{G}}^{0}\cal{F} &\pdef &{\op{G}}\cal{F}\\[2mm] {\op{G}}^{1}\cal{F} &\pdef & {\op{G}} (\op{cok} (\cal{F} \ra {\op{G}} \cal{F})) \text{ und dann induktiv}\\[2mm] {\op{G}}^{i}\cal{F}& \pdef &{\op{G}} (\op{cok} ( {\op{G}}^{i-2}\cal{F} \ra {\op{G}}^{i-1}\cal{F})) \text{ f"ur } i\geq 2;\end{array}$$ \item Die \defnoind{$q$-te Kohomologiegruppe} {\bf von $X$ mit Koeffizienten in $\cal{F}$} \index{Kohomologie!mit Koeffizienten in Garbe}\index{Garbenkohomologie} ist die abelsche Gruppe $\op{H}^{q}(X;\cal{F}),$ die wir erhalten als die $q$-te Kohomologiegruppe des Komplexes $\ldots \ra 0 \ra \Gamma {\op{G}}^{0} \cal{F} \ra \Gamma {\op{G}}^{1} \cal{F} \ra \ldots$ der globalen Schnitte der Godement-Aufl"osung von $\cal{F},$ in Formeln $$\op{H}^{q}(X;\cal{F})\pdef \cal{H}^{q}(\Gamma{\op{G}}^{\ast} \cal{F})$$ \item Jeder Morphismus von abelschen Garben $\cal{F} \ra \cal{F}^{\prime}$ liefert in offensichtlicher Weise einen Morphismus ${\op{G}} \cal{F} \ra {\op{G}}\cal{F}^{\prime}$ zwischen den zugeh"origen Garben unstetiger Schnitte, dann induktiv einen Morphismus von Komplexen von Garben ${\op{G}}^{\ast}\cal{F} \ra {\op{G}}^{\ast} \cal{F}^{\prime},$ dann eine Kettenabbildung $\Gamma{\op{G}}^{\ast}\cal{F} \ra \Gamma{\op{G}}^{\ast} \cal{F}^{\prime}$ und so schlie"slich Abbildungen zwischen den Kohomologiegruppen. Auf diese Weise wird die $q$-te Kohomologie ein Funktor von den abelschen Garben auf $X$ in die abelschen Gruppen $$\op{H}^{q}=\op{H}^{q}(X;\;) : \op{Ab}_{/X} \ra \op{Ab}$$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Die Garbenkohomologie ${\op{H}}^{q}(X;\;)$ wird sich in \ref{dBKK} als der \glqq $q$-te rechtsderivierte Funktor ${\op{R}}^{q}\Gamma(X;\;)$ des Funktors der globalen Schnitte\grqq\ erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{HoCalt} Nat"urlich haben wir $\op{H}^{q}(X ;\cal{F})=0$ f"ur $q< 0$ und die exakte Sequenz $0\ra \Gamma \cal{F} \ra \Gamma {\op{G}}^{0}\cal{F} \ra \Gamma {\op{G}}^{1}\cal{F}$ nach \ref{GlLa} liefert einen kanonischen Isomorphismus $$\Gamma \cal{F}\sira \op{H}^{0}(X;\cal{F})$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur h"ohere Garbenkohomologie}] Wie bereits erw"ahnt kann ich f"ur die Bedeutung obiger Definition der Garbenkohomologie im Fall $q>0$ leider keinerlei Anschauung anbieten. In \ref{CGa} zeigen wir jedoch, da"s unsere Garbenkohomologie f"ur $q=1$ mit der \v{C}ech-Kohomologie "ubereinstimmt, deren Bedeutung wir bereits ausf"uhrlich diskutiert haben. Wir werden dar"uber hinaus f"ur einen \glqq parakompakten\grqq\ und lokal zusammenziehbaren Raum in \ref{SiKo} nat"urliche Isomorphismen $$\op{H}^{q}(X;A)_{\op{sing}} \sira \op{H}^{q}(X;A_{X})$$ zwischen der singul"aren Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $A$ und der Garbenkohomologie von $X$ mit Koeffizienten in der konstanten Garbe $A_{X}$ konstruieren. Weiter hoffe ich, Sie davon zu "uberzeugen, da"s die Garbenkohomologie im allgemeinen ein sehr viel st"arkeres und flexibleres Werkzeug ist als die singul"are Kohomologie. Die Garbenkohomologie mit konstanten Koeffizienten notieren wir auch $$\op{H}^{q}(X;A_{X})=\op{H}^{q}(X;A)_{\op{garb}}=\op{H}^{q}(X;A)$$ wobei\index{H@$\op{H}^{q}_{\op{garb}}$ Garbenkohomologie} die Notation $\op{H}^{q}(X;A)$ sowohl singul"are Kohomologie als auch Garbenkohomologie bedeuten kann und die genaue Bedeutung jeweils aus dem Kontext erschlossen werden mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Schnitte unserer \glqq Garbe der unstetigen Schnitte\grqq\ ${\op{G}}\cal{F}$ sind nur "uber offenen Teilmengen unstetige Schnitte in den \'etalen Raum der urspr"unglichen Garbe. Die Halme der Garbe der unstetigen Schnitte einer Garbe sind im allgemeinen sehr viel gr"o"ser als die Halme der urspr"unglichen Garbe. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Exaktheiten der Godementaufl"osung}] Ist $\cal{F}^{\prime} \rightarrow \cal{F} \rightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem topologischen Raum, so sind die auf den\label{EPr} Garben der Godement-Aufl"osungen induzierten Sequenzen sogar exakte Sequenzen in der Kategorie der abelschen Pr"agarben $${\op{G}}^{i}\cal{F}^{\prime} \ra {\op{G}}^{i}\cal{F} \ra {\op{G}}^{i}\cal{F}^{\prime\prime}$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir von einer kurzen exakten Sequenz $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \sra \cal{F}^{\prime\prime}$ ausgehen. Erg"anzen wir sie zu einem kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \cal{F}^{\prime} &\hra & \cal{F} &\sra &\cal{F}^{\prime\prime}\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ {\op{G}} \cal{F}^{\prime} &\ra &{\op{G}}\cal{F} &\ra &{\op{G}}\cal{F}^{\prime\prime}\\ \downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\ \cal{K}^{\prime} & \rightarrow & \cal{K} & \rightarrow &\cal{K}^{\prime\prime} \end{array}$$ mit im Garbensinne exakten Vertikalen, so ist die mittlere Horizontale exakt als Sequenz von Pr"agarben nach Konstruktion. Dann ist sie erst recht exakt als Sequenz von Garben und das Neunerlemma angewandt auf die Halme zeigt, da"s auch die unterste Zeile exakt ist auf den Halmen, also exakt ist als Sequenz von Garben. Die Proposition folgt durch Induktion. \end{proof} \begin{Definition} Sei $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X$. Nach \ref{EPr} f"uhrt sie zu einer kurzen exakten Sequenz von Komplexen von abelschen Gruppen\label{LESGKalt} $$\Gamma {\op{G}}^{\ast} \cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \Gamma {\op{G}}^{\ast} \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma {\op{G}}^{\ast}\cal{F}^{\prime\prime}$$ Die nach \eref{KeSK}{TS} zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz hat die Gestalt $$\op{H}^{0}(X;\cal{F}^{\prime})\hra \op{H}^{0}(X;\cal{F})\ra \op{H}^{0}(X;\cal{F}^{\prime\prime}) \ra \op{H}^{1}(X;\cal{F}^{\prime}) \ra \op{H}^{1}(X;\cal{F}) \ra \ldots$$ und hei"st die zur kurzen exakten Sequenz von Garben $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ geh"orige \defnoind{lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie}.\index{lange exakte Sequenz!der Garbenkohomologie} \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Die lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie wird sich in \ref{EDF} als Spezialfall der \glqq langen exakten Sequenz der derivierten Funktoren\grqq\ erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkunge} F"ur lokal zusammenziehbare \glqq parakompakte\grqq\ R"aume spezialisiert diese lange exakte Sequenz unter der Identifikation \ref{SiKo} von Garbenkohomologie und singul"arer Kohomologie zu unserer Bockstein-Sequenz \eref{BoHK}{TS}. \end{Bemerkunge} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man gebe unter der Annahme $X$ lokal wegzusammenh"angend f"ur jede abelsche Gruppe $A$ Isomorphismen $\op{H}^{0}(X;A)_{\op{sing}} \sira \op{H}^{0}(X;A_{X})$ an. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkte von Garben}] In\index{Produkt!von Garben}\label{PvGa} der Kategorie der Pr"agarben "uber einem gegebenen Raum konstruiert man leicht beliebige Produkte, und dieselbe Konstruktion liefert auch Produkte in der Kategorie der Garben. Diese Produkte vertauschen mit dem Bilden der globalen Schnitte, aber ein Produkt von Epimorphismen von abelschen Garben mu"s nicht notwendig wieder ein Epimorphismus sein, und der Halm eines Produkts an einer vorgegebenen Stelle kann echt gr"o"ser sein als das Produkt der Halme. Deshalb vertauscht das Bilden von Produkten von abelschen Garben im allgemeinen \emph{nicht} mit dem Bilden der h"oheren Kohomologiegruppen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Koprodukte von Garben}] In der Kategorie der abelschen Pr"agarben "uber einem gegebenen Raum konstruiert man leicht beliebige Koprodukte. Das Pr"agarben-Koprodukt einer Familie von Garben mu"s nicht notwendig wieder eine Garbe sein. Man erh"alt jedoch offensichtlich ein Koprodukt in der Kategorie der Garben als Garbifizierung des Pr"agarben-Koprodukts. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{OTP} Ist ein Raum eine disjunkte Vereinigung von offenen Teilmengen, so ist die Kohomologie einer Garbe darauf das Produkt der Kohomologien ihrer Restriktionen auf besagte offene Teilmengen. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl} Es kann durchaus Pr"agarben geben, die in gewisser Weise \glqq noch st"arker lokalisiert\grqq\ sind als unsere Wolkenkratzer. Haben wir zum Beispiel einen zweipunktigen Raum vor uns mit einem offenen und einem abgeschlossenen Punkt, so ordnet der Wolkenkratzer beim offenen Punkt jeder nichtleeren offenen Menge dieselbe Menge zu, und wir k"onnten stattdessen auch die Pr"agarbe betrachten, die dem ganzen Raum die einpunktige Menge zuordnet und dem offenen Punkt eine beliebige Menge mit ausgezeichnetem Element. \end{Bemerkungl} \subsection{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, da"s f"ur lokal zusammenziehbare parakompakte R"aume die Garbenkohomologie mit der singul"aren Kohomologie "ubereinstimmt. Vom rein logischen Standpunkt aus gesehen ist das "uberfl"ussig. Es erlaubt jedoch, Anschauung aus der singul"aren Kohomologie in die Garbenkohomologie zu "ubertragen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] F"ur $X$ parakompakt sind die Garben $\cal{S}^q_X$ weich nach dem anschlie"senden Lemma \ref{www} und damit azyklisch nach \ref{waz}, da wir unseren Raum ja parakompakt angenommen hatten. Nach \ref{AZA} ist folglich die zweite Abbildung in obiger Sequenz ein Isomorphismus. Immer unter der Annahme $X$ parakompakt zeigen wir dann in Lemma \ref{hs}, da"s auch die erste Abbildung ein Isomorphismus ist. Damit folgt der im ersten Teil des Satzes behauptete Isomorphismus zwischen der singul"aren Kohomologie und der Garbenkohomologie. Um die im zweiten Teil des Satzes behauptete Funktorialit"at dieses Isomorphismus zu zeigen, betrachten wir eine stetige Abbildung von topologischen R"aumen $f:X\ra Y$. Die Verkn"upfungen ${\op{S}}^q (V)\ra {\op{S}}^q (f^{-1}(V))\ra \cal{S}^q_X(f^{-1}(V))$ induzieren vermittels der universellen Eigenschaft der Garbifizierung Garbenhomomorphismen $\cal{S}^q_Y\ra f_\ast\cal{S}^q_X$. Mithilfe unserer Adjunktion \ref{AdIn} erhalten wir daraus weiter Garbenhomomorphismen $f^\ast\cal{S}^q_Y\ra \cal{S}^q_X$. Diese definieren einen Morphismus von Komplexen von Garben $\tau: f^\ast\cal{S}^\ast_Y\ra \cal{S}^\ast_X$, und dieser Morphismus beziehungsweise sein Effekt auf globalen Schnitten kann hinwiederum eingef"ugt werden in kommutative Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{S}}^\ast X \ar[r] &\Gamma \mathcal S^\ast_X &\mathbb Z_X \ar[r] &\mathcal S^\ast_X\\ & \Gamma f^\ast \mathcal S^\ast_Y \ar[u]_{\Gamma \tau} &f^\ast \mathbb Z_Y \ar[r] \ar[u]^\wr&f^\ast \mathcal S^\ast_Y\ar[u]_{\tau}\\ {\op{S}}^\ast Y\ar[uu]^{f^{\ast}} \ar[r] &\Gamma \mathcal S^\ast_Y \ar[u] & &\\ } \end{displaymath} Wenden wir hier auf das linke Diagramm $\mathcal{H}^q$ an, so erhalten wir die linke H"alfte eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^q_{\op{sing}} X \ar[r] &\mathcal{H}^q \Gamma \mathcal S_X^\ast \ar[r] &{\op{H}}^q_{\op{garb}} X\\ & \mathcal{H}^q \Gamma f^\ast \mathcal S_Y^\ast \ar[r]\ar[u] & {\op{H}}^q_{\op{garb}} X\ar@{=}[u]\\ {\op{H}}^q_{\op{sing}} Y \ar[uu]^{f^\ast} \ar[r] & \mathcal H^q \Gamma \mathcal S^\ast_Y \ar[u] \ar[r]& {\op{H}}^q_{\op{garb}}Y\ar[u]^{f^{\sharp}} } \end{displaymath} In der rechten H"alfte sind die Horizontalen als nat"urliche Abbildungen im Sinne von \ref{DKM} zu verstehen. Die Kommutativit"at des unteren Quadrats folgt aus \ref{Fazy}, die Kommutativit"at des oberen mithilfe unseres rechten Quadrats von weiter oben aus \ref{NAZ}. \end{proof} \begin{Lemma}\label{www} Auf jedem parakompakten Raum sind die Garben der lokalen singul"aren Koketten weich. \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Sind alle offenen Teilmengen unseres Raums parakompakt, ist in anderen Worten unser Raum erblich parakompakt, so sind die Garben\label{weSK} der lokalen singul"aren Koketten nach \ref{PKs} sogar welk. \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Sei $X$ unser Raum. Einen Schnitt der Garbe der lokalen singul"aren Koketten "uber einer abgeschlossenen Menge $A\As X$ k"onnen wir zun"achst nach \ref{AuW} ausdehnen zu einem Schnitt $s$ auf einer offenen Umgebung $U\co X$ von $A$. Da $X$ nach \ref{PKN} normal ist, finden wir $V\co X$ mit $A\subset V\subset\bar{V}\subset U$. Jetzt konstruieren wir einen Endomorphismus der Pr"agarbe der singul"aren Koketten auf $U$, indem wir einem Schnitt, d.h.\ einer Funktion auf den Simplizes diejenige neue Funktion zuordnen, die dasselbe macht mit allen Simplizes aus $V$ und Null aus allen Simplizes, die nicht ganz in $V$ liegen. Lassen wir den auf der Garbifizierung induzierten Endomorphismus auf unsere Ausdehnung $s$ los, so erhalten wir eine Ausdehnung $\tilde{s}$, die auf $U\backslash \bar{V}$ verschwindet. Damit k"onnen wir unsere abge"anderte Ausdehnung $\tilde{s}$ aber durch Null auf ganz $X$ fortsetzen. \end{proof} \subsection{Reste} Ist andererseits $f:X\ra Y$ ein Sph"arenb"undel, hat also jeder Punkt in $Y$ eine Umgebung $U$ derart, da"s es einen mit der Projektion auf $U$ vertr"aglichen Hom"oomorphismus $f^{-1}(U)\sira U\times S^n$ mit festem $n\geq 1$ gibt, so verschwindet ${\op{R}}^i f_{(\ast)}\DZ_X$ f"ur $i\neq 0,n$ und wir haben ${\op{R}}^0 f_{(\ast)}\DZ_X\cong\DZ_Y$ und ${\op{R}}^n f_{(\ast)}\DZ_X$ ist eine lokal konstante, ja lokal zu $\DZ_Y$ isomorphe Garbe auf $Y$. Man folgert das unmittelbar aus dem Satz f"ur $Y$ lokal zusammenziehbar. Im allgemeinen wird es erst aus dem Basiswechsel \ref{DeBaW} folgen, angewandt auf das kartesische Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ S^n\times U \ar[r]^q \ar[d]_g & S^n\ar[d]^f\\ U \ar[r]^p &\op{top} } \end{displaymath} und die konstante Garbe auf $S^n$. \emph{Sp"ater!} die lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie \ref{LESGK} und die lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager \ref{lekk}. \begin{Beispiele} Ein injektives Objekt ist $F$-azyklisch f"ur jeden linksexakten Funktor $F$. Eine $\Gamma$-azyklische Garbe hatten wir k"urzer eine azyklische Garbe genannt. Kompaktweiche Garben sind $\Gamma_{!}$-azyklisch auf lokal kompakten Hausdorff-R"aumen nach \ref{KwA}. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl}\label{AdN} Ist $X$ ein Hausdorffraum, so liefert f"ur jede beliebige offene Einbettung $j:U\hra X$ und jede abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ das \glqq Ausdehnen eines Schnittes durch Null\grqq\ eine Einbettung $\Gamma_{!} (U;j^\ast\cal{F})\hra \Gamma_{!} (X;\cal{F})$. Nach \ref{RIGO} erh"alt $j^\ast$ die Injektivit"at abelscher Garben. F"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ und jede abelsche Garbe $\cal{F}$ auf $X$ liefert unsere Ausdehnung durch Null folglich nat"urliche Abbildungen $${\op{H}}^q_{!} (U;j^\ast\cal{F})\ra {\op{H}}^q_{!} (X;\cal{F})$$ und insbesondere auch nat"urliche Abbildungen ${\op{H}}^{q}_{!} (U;G)\ra {\op{H}}^{q}_{!} (X;G)$. Man nennt sie das {\bf Ausdehnen durch Null}\index{Ausdehnen durch Null!f"ur ${\op{H}}^q_{~!}$} auf der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. Offensichtlich ist das Ausdehnen durch Null f"ur jedes feste $G$ ein Funktor von der Kategorie der Hausdorffr"aume mit offenen Einbettungen als Morphismen in die Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{lekk} Jede kurze exakte Sequenz $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ von abelschen Garben liefert mit \ref{EPr} eine kurze exakte Sequenz von Garbenkomplexen $\cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{G}^{\ast} \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime\prime}$ und schlie"slich mit \ref{GcW} eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $\Gamma_{!}\cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \Gamma_{!}\cal{G}^{\ast} \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{!}\cal{G}^{\ast}\cal{F}^{\prime\prime}$ und mit \eref{KeSK}{TS} dann die {\bf lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager} $$\ldots \ra {\op{H}}_{!}^{q}\cal{F}^{\prime} \ra {\op{H}}^{q}_{!}\cal{F} \ra {\op{H}}^{q}_{!} \cal{F}^{\prime\prime} \ra {\op{H}}^{q+1}_{!}\cal{F}^{\prime}\ra \ldots$$ Ist $\cal{F} \hookrightarrow \cal{A}^{0} \ra \cal{A}^{1}\ra \ldots$ eine Aufl"osung, so erhalten wir f"ur alle $q$ genau wie in \ref{DKM} nat"urliche Abbildungen $\op{nat}:\cal{H}^{q}\Gamma_{!} \cal{A}^{\ast} \ra {\op{H}}^{q}_{!}\cal{F}$ "uber eine Spektralsequenz. Ist\index{nat@$\op{nat}$} ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} \cal{F}&\hookrightarrow &\cal{A}^{0}& \ra & \cal{A}^{1}& \ra &\cal{A}^{2} &\ra & \ldots\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow & & \downarrow & & \\ \cal{G}&\hookrightarrow &\cal{B}^{0}&\ra & \cal{B}^{1}& \ra &\cal{B}^{2} &\ra &\ldots \end{array}$$ gegeben mit Aufl"osungen von abelschen Garben $\cal{F}$ beziehungsweise $\cal{G}$ als Zeilen, so kommutiert wieder mit den offensichtlichen Vertikalen und den eben beschriebenen nat"urlichen Abbildungen als Horizontalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^{q}\Gamma_! \cal{A}^{\ast} & \ra & \op{H}_!^{q}\cal{F}\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{H}^{q}\Gamma_! \cal{B}^{\ast} & \ra &\op{H}_!^{q} \cal{G} \end{array}$$ Gilt schlie"slich ${\op{H}}^{i}_{!}\cal{A}^{j}=0$ f"ur alle $i>0$ und $j\geq 0$, so sind mit denselben Argumenten wie in \ref{AZA} unsere nat"urlichen Abbildungen s"amtlich Isomorphismen $$\op{nat}:\cal{H}^{q}\Gamma_{!} \cal{A}^{\ast} \sira {\op{H}}^{q}_{!}\cal{F}$$ Ganz allgemein bezeichnen wir eine abelsche Garbe $\cal{A}$ als {\bf $\Gamma_!$-azyklisch}\index{G-azyklisch@$\Gamma_{~!}$-azyklisch} genau dann, wenn gilt ${\op{H}}^{i}_{!}\cal{A}=0$ f"ur alle $i>0$. Die vorhergehende Aussage k"onnen wir dann dahingehend zusammenfassen, da"s die {\bf Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit beliebigen $\Gamma_!$-azyklischen Aufl"osungen berechnet werden kann}. Wie in \ref{ZHGJ} kann man mithilfe injektiver Aufl"osungen auch unschwer einsehen, da"s die nat"urliche Abbildung zur Godement-Aufl"osung schlicht die Identit"at $\op{nat}=\op{id}:\cal{H}^q\Gamma_{!}\cal{G}^\ast\cal{F}\sira {\op{H}}^{q}_{!}\cal{F}$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager wird sich in \ref{EDF} als Spezialfall der \glqq langen exakten Sequenz der derivierten Funktoren\grqq\ erweisen. Auch die Berechnung der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager durch azyklische Aufl"osungen erweist sich dann als ein Spezialfall der allgemeinen Aussage \ref{DAZOt} "uber das \glqq Berechnen h"oherer derivierter Funktoren durch azyklischen Aufl"osungen\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Ist $U\co X$ eine offene Teilmenge eines Hausdorffraums und $\mathcal F\hra \mathcal A^\ast$ eine Aufl"osung einer abelschen Garbe auf $X$, so kommutiert mit den eben beschriebenen nat"urlichen Abbildungen als Horizontalen und der Ausdehnung durch Null in den Vertikalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^{q}\Gamma_! (\cal{A}^{\ast}|_U) & \ra & \op{H}_!^{q}(U;\cal{F})\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{H}^{q}\Gamma_! \cal{A}^{\ast} & \ra &\op{H}_!^{q} (X;\cal{F}) \end{array}$$ Man folgert das leicht aus der Tatsache, da"s die Godement-Aufl"osung der Einschr"ankung einer Garbe auf eine offene Teilmenge kanonisch isomorph ist zur Einschr"ankung der Godement-Aufl"osung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transitivit"at des abgeschlossenen R"uckzugs}] Der R"uckzug mit der Identit"at ist offensichtlich die Identit"at auf der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager. Gegeben abgeschlossene Einbettungen $B\hra A\hra X$ %von lokal kompakten Hausdorffr"aumen und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ stimmt weiter der R"uckzug $ {\op{H}}^q_! (X;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_! (B;\mathcal F)$ "uberein mit der Komposition $ {\op{H}}^q_! (X;\mathcal F) \ra {\op{H}}^q_! (A;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_! (B;\mathcal F)$. Um das zu zeigen, argumentiert man wie beim gew"ohnlichen R"uckzug \ref{FGKoh}. Man mu"s nur $\Gamma$ durch $\Gamma_!$ ersetzen und beachten, da"s der R"uckzug unter abgeschlossenen Einbettungen Schnitte mit kompaktem Tr"ager auf ebensolche abbildet. Die Details k"onnen dem Leser "uberlassen bleiben. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Zweiter Beweis (Warum hier?)] Sei zun"achst $X$ ein beliebiger topologischer Raum und $j:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge und $i:A\hra X$ die Einbettung ihres Komplements. So bilden, wie man leicht auf den Halmen pr"uft,\label{lokialt} f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ die Adjunktionsmorphismen eine kurze exakte Sequenz $$j_!j^\ast \mathcal F\hra \mathcal F \sra i_\ast i^\ast \mathcal F$$ Insbesondere erhalten wir eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}_!^q(X;j_!j^\ast\mathcal F) \ra {\op{H}}_!^q(X;\mathcal F)\ra {\op{H}}_!^q(X;i_\ast i^\ast\mathcal F) \ra {\op{H}}_!^{q+1}(X;j_!j^\ast\mathcal F)\ra\ldots $$ Der Rest des Beweises besteht darin, diese Sequenz geeignet umzuinterpretieren. Die Einschr"ankung einer kompaktweichen Garbe auf eine Teilmenge ist offensichtlich wieder kompaktweich. Ist $i:A\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge in einen Hausdorffraum und ist $\mathcal G\in \op{Ab}_{/A}$ kompaktweich, so ist weiter auch $i_\ast\mathcal G$ kompaktweich. In der Tat haben wir f"ur jedes Kompaktum $K\subset X$ nach \ref{dlki} nat"urliche Isomorphismen\label{kwer} $$(i_\ast\mathcal G)(K)\stackrel{\sim}{\leftarrow} \varinjcol_{U\supset K}(i_\ast\mathcal G)(U)= \varinjcol_{U\supset K}(\mathcal G)(A\cap U)\sira \mathcal G(A\cap K)$$ Es folgt, da"s mit $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ auch $i_\ast i^\ast\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ kompaktweich ist. Gegeben eine kompaktweiche Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal I^\lhd$ einer beliebigen Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ sind also sowohl $i^\ast\mathcal F\hra i^\ast\mathcal I^\lhd$ als auch $i_\ast i^\ast\mathcal F\hra i_\ast i^\ast\mathcal I^\lhd$ kompaktweiche Aufl"osungen und wir erhalten mit $\Gamma_!$ eine Faktorisierung $${\op{H}}_!^q(X;\mathcal F)\ra {\op{H}}_!^q(A;i^\ast\mathcal F) \sira {\op{H}}_!^q(X;i_\ast i^\ast\mathcal F)$$ der von $\mathcal F\ra i_\ast i^\ast\mathcal F$ induzierten Abbildung in unsere Restriktion auf abgeschlossene Teilmengen gefolgt von einem Isomorphismus. Gegeben eine kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{F}$ auf $X$ ist weiter $j_!j^\ast\mathcal F$ eine $\Gamma_!$-azyklische Garbe auf $X$. In der Tat wissen wir bereits, da"s $i_\ast i^\ast\mathcal F$ kompaktweich und damit $\Gamma_!$-azyklisch ist. Die lange exakte Sequenz vom Beginn des Beweises zeigt dann zusammen mit \ref{KWA} die Behauptung. Gegeben eine offene Einbettung von Hausdorffr"aumen $j:U\hra X$ und $\mathcal G\in\op{Ab}_{/U}$ liefert das Ausdehnen von Schnitten mit kompaktem Tr"ager durch Null offensichtlich einen Isomorphismus $$\Gamma_!(U;\mathcal G)\sira \Gamma_!(X;j_!\mathcal G)$$ Gegeben eine kompaktweiche Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal I^\lhd$ einer beliebigen Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ sind also sowohl $j^\ast\mathcal F\hra j^\ast\mathcal I^\lhd$ als auch $j_! j^\ast\mathcal F\hra j_! j^\ast\mathcal I^\lhd$ $\Gamma_!$-azyklische Aufl"osungen und wir erhalten mit $\Gamma_!$ eine Faktorisierung $${\op{H}}_!^q(X;j_! j^\ast\mathcal F) \sira {\op{H}}_!^q(U;j^\ast\mathcal F) \ra {\op{H}}_!^q(X;\mathcal F)$$ der von $j_! j^\ast\mathcal F\ra \mathcal F$ induzierten Abbildung in einen Isomorphismus und unsere Fortsetzung durch Null. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gysin-Sequenz}] Seien $A \As X$ eine abgeschlossene Teilmenge in einem lokal kompakten Hausdorffraum und $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf $X$. Die Godementaufl"osung $\cal{G}^\ast\cal{F}$ besteht aus welken Garben. Sie sind nach \ref{WKW} kompaktweich, und nach \ref{KWA} erhalten wir folglich eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $$\Gamma_{!}(X\backslash A;\cal{G}^\ast\cal{F}) \hookrightarrow \Gamma_{!} (X;\cal{G}^\ast\cal{F}) \twoheadrightarrow \Gamma_{!}(A;\cal{G}^\ast\cal{F})$$ Weiter sind nach \ref{WKW} auch die Einschr"ankungen $(\cal{G}^q\cal{F})|_A$ kompaktweich. Nach \ref{KwA} ist also $\cal{F}|_A\hra (\cal{G}^\ast\cal{F})|_A$ eine $\Gamma_!$-azyklische Aufl"osung. Gehen wir zur langen exakten Kohomologiesequenz "uber und verwenden, da"s nach \ref{WKW} die nat"urliche Abbildung aus \ref{lekk} zu unserer Aufl"osung einen Isomorphismus $\mathcal{H}^q\Gamma_!(\cal{G}^\ast\cal{F})|_A\sira {\op{H}}_!^q(A;\mathcal F)$ liefert, so erhalten wir eine lange exakte Sequenz, die sogenannte {\bf Gysin-Sequenz}\index{Gysin-Sequenz} $$\ldots\ra {\op{H}}^{q-1}_{!} (A;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash A;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!}(X;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (A; \cal{F})\ra \ldots$$ mit der Ausdehnung durch Null als mittlerem Pfeil und der Restriktion auf eine abgeschlossene Teilmenge als rechtem Pfeil. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Variante f"ur "uberdeckende Familien}] Unwesentlich allgemeiner k"onnen wir\label{CIUEn} die erste \v{C}ech-Ko\-homologie analog auch einf"uhren f"ur "uberdeckende Familien $\cal{U}=(U_i)_{i\in I}$ offener Teilmengen. Ein Einskozykel ist dann zum Beispiel eine Vorgabe von stetigen Abbildungen $\varphi_{ij}:U_i\cap U_j\ra G$ f"ur alle $i,j\in I$ derart, da"s gilt $\varphi_{ij}\top\varphi_{jk}=\varphi_{ik}$ auf dem Schnitt $U_i\cap U_j\cap U_k$ f"ur alle $i,j,k\in I$. Alles bis hierher f"ur einzelne nicht-indizierte offene "Uberdeckungen Gesagte gilt entsprechend.\label{KoLi} Allerdings ist der "Ubergang zum direkten Limes m"uhsamer. Man bildet dabei den direkten Limes "uber alle "uberdeckenden Familien \glqq in Richtung immer feinerer "Uberdeckungen\grqq, wobei eine "uberdeckende Familie $\cal{V} =(V_j)_{j\in J}$ {\bf feiner}\index{feiner!"Uberdeckung} hei"st als eine andere "uberdeckende Familie $\cal{U}$ genau dann, wenn jede ihrer offenen Mengen $V_j$ Teilmenge einer offenen Menge $U_i$ der anderen Familie ist; um die Abbildungen, bez"uglich derer der Limes gebildet wird, zu erkl"aren, w"ahlt man zus"atzlich ein $\tau : J\ra I$ mit $V_j\subset U_{\tau(j)}$ f"ur alle $j\in J;$ dies $\tau$ liefert dann Abbildungen $\check{\mathrm{C}}^{1} (\cal{U};G)\ra\check{\mathrm{C}}^{1} (\cal{V};G)$ und $\check{\mathrm{Z}}^{1} (\cal{U};G)\ra\check{\mathrm{Z}}^{1} (\cal{V};G)$ und $\check{\mathrm{H}}^{1} (\cal{U};G)\ra\check{\mathrm{H}}^{1} (\cal{V};G);$ und von letzteren Abbildungen auf der Khomologie zeigt man, da"s sie von der Wahl von $\tau$ gar nicht abh"angen und bildet dann, mit etwas mengentheoretischen Bauchschmerzen, den direkten Limes. Unser direktes System aller ges"attigten offenen "Uberdeckungen ist nun aber kofinal, so da"s unsere Definition dieselbe \v{C}ech-Kohomologie liefert. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} WOHIN? Bezeichne $\dau$ die Kategorie mit zwei Objekten $a,b$ und f"unf Morphismen, n"amlich den beiden Identit"aten, der {\bf Projektion} $p:a\ra b$, dem {\bf Schnitt} $s:b\ra a$ und der Verkn"upfung $sp$, in der alle weiteren Verkn"upfungen durch $ps=\op{id}$ festgelegt sind. Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ ist also $\mathcal C^\dau$\index{)6@$\mathcal C^\dau$ Morphismen mit Schnitt} die Kategorie der \glqq Morphismen in $\mathcal C$ mit ausgezeichnetem Schnitt\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} WOHIN? Sei $\mathcal C$ eine Kategorie. F"ur den Funktor $\mathcal C^\dau\ra \mathcal C$, der jedem Morphismus mit Schnitt sein Ziel zuordnet, sind alle die Morphismen in $\mathcal C^\dau$ stark kokartesisch, bei denen die Quadrate zu den Schnitten kokartesisch sind. \end{Bemerkungl} \subsection{Von Frau Bogner, wohl irrelevant} \begin{Definition} Seien $f : X \rightarrow Y$ stetig und $\mathcal F \in \op{Ens}_{/X}, \mathcal G \in \op{Ens}_{/Y}$ Garben. Ein \defind{kompakter Komorphismus $\varphi$ "uber $f$} ist eine Vorschrift, die je zwei Kompakta $K \subset X$ und $L \subset Y$ mit $f (K) \subset L$ eine Abbildung $\varphi_{KL} : \mathcal G (L) \rightarrow \mathcal F (K)$ so zuordnet, dass diese Abbildungen mit Restriktionen vertr"aglich sind. Die Menge dieser kompakten Komorphismen notieren wir $\op{Ens}^!_{// f} (\mathcal G , \mathcal F)$. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Ist $Y$ Hausdorff, so gilt nach \ref{dkli} f"ur alle Kompakta $L \subset Y$ schon \begin{equation*} \underset{Y \col V \supset L}{\op{colf}} \mathcal G (V) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal G (L) \end{equation*} und wir erhalten so eine nat"urliche Abbildung \begin{equation*} \op{Ens}_{// f} (\mathcal G, \mathcal F) \rightarrow \op{Ens}^!_{// f} (\mathcal G, \mathcal F) \end{equation*} von Komorphismen zu kompakten Komorphismen. Sie ist injektiv, da ein Komorphismus durch seinen Effekt auf den Halmen bereits festgelegt wird. Ist $X$ lokal kompakt, so ist sie sogar bijektiv, da die durch unseren kompakten Komorphismus gegebenen Abbildungen von $\mathcal G (V)$ in dire unstetigen Schnitte von $\mathcal F$ "uber $f^{-1} (V)$ dann sogar in den stetigen Schnitten landen m"ussen. Zusammenfassend ist f"ur lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$ unsere nat"urliche Abbildung also eine Bijektion \begin{equation*} \op{Ens}_{// f} (\mathcal G , \mathcal F) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Ens}^!_{// f} (\mathcal G, \mathcal F) \end{equation*} \end{Bemerkung} Seien $f : X \rightarrow Y$ eigentlich und $\mathcal F \in \op{Ens}_{/X}, \mathcal G \in \op{Ens}_{/Y}$ Garben. Ein \defind{kompakter Morphismus $\varphi$ "uber $f$} ist eine Vorschrift, die jedem Kompaktum $L \subset Y$ eine Abbildung $\varphi_L : \mathcal F f^{-1} (L) \rightarrow \mathcal G (L)$ so zuordnet, dass diese Abbildung mit Restriktionen vertr"aglich sind. Die Menge dieser kompakten Morphismen notieren wir \begin{equation*} \op{Ens}^!_{/f} (\mathcal F, \mathcal G). \end{equation*} %\end{Definition} \begin{Bemerkung} Ist $f : X \rightarrow Y$ eine eigentliche Abbildung lokal kompakter Hausdorffr"aume und sind $\mathcal F \in \op{Ens}_{/X}, \mathcal G \in \op{Ens}_{/Y}$ Garaben, so erhalten wir Isomorphismen $\underset{L \subset V \co Y}{\op{colf}} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal G (L)$ und zus"atzlich Isomorphismen $ \underset{L \subset V \co Y}{\op{colf}} \mathcal F (f^{-1} (V)) \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal F (f^{-1} (L))$. In der Tat k"onnen wir uns bei unserem Kolimes auf die $V$ mit $\overline V$ kompakt beschr"anken, denn diese bilden ein konfinales System. Bereits f"ur diese $V$ haben wir $L = \bigcap \overline V$ und damit $f^{-1} (L) = \bigcap f^{-1} (\overline V)$. Nach \ref{Skoa} umfa"st folglich jede offene Umgebung von $f^{-1} (L)$ eines der $f^{-1} (\overline V)S$ und erst recht eines der $f^{-1} (V)$, die also ein konfinales System im System aller Umgebungen von $f^{-1} (L)$ bilden. Insgesamt liefern diese "Uberlegungen nat"urliche Abbildungen \begin{equation*} \op{Ens}_{/Y} (f_\ast \mathcal F, \mathcal G) \rightarrow \op{Ens}^!_{/f} (\mathcal F, \mathcal G) \end{equation*} Diese Abbildungen sind sogar bijektiv. Injektivit"at folgt durch die Erkenntnis, dass ein Morphismus $f_\ast \mathcal F \rightarrow \mathcal G$ durch seinen Effekt auf allen Halmen eindeutig festgelegt wird, und Surjektivit"at folgt wie zuvor, indem man sich "uberlegt, dass die von $\varphi \in \op{Ens}^!_{/f} (\mathcal F, \mathcal G)$ induzierte Abbildungen $\overline{f_\ast \mathcal F} \rightarrow \overline G$ auf den \'etalen R"aumen stetige Schnitte zu stetigen Schnitten machen mu"s. \end{Bemerkung} \subsection{Austausch und Zwei-Funktor-Formalismus} \nichtfinal{Nochmal umgeschrieben!} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regulierte Austauschsituationen}] \nichtfinal{N"otig?} Eine {\bf Regulierung} einer Austauschsituation ist eine Menge von Basisquadraten, die stabil ist unter der Verklebung l"angs gleicher horizontaler oder vertikaler Kanten und die alle Basisquadrate mit Isomorphismen auf beiden Horizontalen oder beiden Vertikalen enth"alt. Eine Austauschsituation mit einer Regulierung nennen wir eine {\bf regulierte Austauschsituation} und die Basisquadrate der Regulierung ihre {\bf erlaubten Basisquadrate}. Unter einer schwachen beziehungsweise starken {\bf regulierten Verflechtung} oder kurz {\bf Verflechtung} einer regulierten Austauschsituation verstehen wir dann die Vorgabe einer Menge von R"uckholquadraten "uber den erlaubten Basisquadraten derart, da"s die Forderungen aus \ref{AusDa} "uber allen erlaubten Basisquadraten erf"ullt sind. Wollen wir betonen, da"s eine Verflechtung nicht reguliert ist, sprechen wir von einer {\bf unregulierten Verflechtung}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt soll die Beziehung von deriviertem Eigvorschub und R"uckzug, im n"achsten Abschnitt die von deriviertem Eigvorschub und Trennr"uckzug ausgearbeitet werden. Wir beginnen damit, daf"ur einen begrifflichen Rahmen zu zimmern. %Alternativ k"onnte man wie H"ormann %als Basis die Zweikategorie der Korrespondenzen betrachten und %besagte Beziehung als Faserung "uber dieser Zweikategorie formalisieren. %Der Leser mag f"ur sich selbst entscheiden, in welcher Gestalt %der Formalismus f"ur ihn geschickter ist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{AlKnua} Unter einer {\bf Austauschsituation}\index{Austauschsituation} verstehen wir eine Vorgabe von Daten $$(\mathscr C\stackrel{a}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\stackrel{b}{\leftarrow} \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}},i)$$ bestehend aus einer Kategorie $\mathscr B$, der {\bf Basiskategorie} oder {\bf Basis};\index{Basis!einer Austauschsituation} darin zwei ausgezeichneten \hyperref[Rzst]{r\"{u}ckzugstabilen} \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systemen} $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^{{!}}\subset \mathscr B$, die beide alle Isomorphismen enthalten; einem Faserfunktor $a:\mathscr C\ra \mathscr B$; einem Kofaserfunktor $b:\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$; sowie einem Isomorphismus $i:\mathscr C^{!}|\mathscr B^{\op{e}}\sira \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$ von Kategorien "uber $\mathscr B^{\op{e}}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sprechweisen und Notationen}]\label{Swna} \begin{enumerate} \item Wir behandeln unseren Isomorphismus $i$ in der Notation meist als eine Gleichheit und reden dann vereinfachend von einer Austauschsituation $(\mathscr C\stackrel{a}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\stackrel{b}{\leftarrow} \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$. Da alle Identit"aten zu $\mathscr B^{\op{e}}$ geh"oren, bedeutet das insbesondere, da"s $\mathscr C$ und $\mathscr C^!$ dieselben Objekte haben und sogar dieselben Fasern $\mathscr C_X=\mathscr C^!_X$ "uber denselben Objekten der Basis. \item Den R"uckzug der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ f"ur einen Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B$ notieren wir $f^\dagger: \mathscr C_Y\ra \mathscr C_X$. In typischen Situationen sind die Fasern opponiert zu Kategorien von Garben und wir haben $f^\dagger=(f^*)^{\op{opp}}$. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{!}$ nenne ich {\bf Lesmorphismen},\index{Lesmorphismus} weil sie im Fall topologischer R"aume die lokal eigentlichen separierten Morphismen sind, also unsere les-Abbildungen. \item Den Vorschub der Kofaserung $\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ f"ur Lesmorphismen $f:X\ra Y$ in $\mathscr B^{!}$ nenne ich {\bf Eigvorschub}\index{Eigvorschub!in Austauschsituation} und notiere ihn $f_{\shriek}: \mathscr C_X^{!}\ra \mathscr C_Y^{!}$ und, wenn $i$ eine Gleichheit ist, einfacher $f_{\shriek}: \mathscr C_X\ra \mathscr C_Y$. In typischen Situationen sind die Fasern opponiert zu Kategorien von Garben und wir haben $f_\shriek=(f_!)^{\op{opp}}$. \item Ich sage meist $\dagger$-kartesisch oder kurz kartesisch statt $a$-kartesisch und ebenso $\shriek$-kokartesisch oder eigkokartesisch statt $b$-kokartesisch. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{\op{e}}$ nenne ich {\bf Eigmorphismen},\index{Eigmorphismus} weil sie in typischen Beispielen die eigentlichen Morphismen sind. Unsere Daten beinhalten speziell eine Bifaserung "uber $\mathscr B^{\op{e}}$ und damit f"ur jeden Eigmorphismus $f$ eine Adjunktion $(f_{\shriek},f^\dagger)$. Sie entspricht einer Adjunktion $(f^*,f_!)$ von Funktoren zwischen den opponierten Fasern. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Kategorien $\op{Top}\supset \op{Top}^{\op{s}}\supset \op{Top}^{\op{es}}$ der topologischen R"aume mit separierten Abbildungen als Lesmorphismen und eigentlichen separierten Abbildungen als Eigmorphismen in der Basis bilden mit unserer Garbenopfaserung \eref{GMab}{TG} $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ als Faserung und dem Kofaserfunktor unserer Gar\-ben\-eig\-ko\-fa\-se\-rung $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$ aus \eref{eiPL}{TG} und deren offensichtlicher Gleichheit \eref{Eikoo}{TG} "uber eigentlichen Abbildungen in der Basis eine Austauschsituation.\label{ATToa} Die hier besprochene Situation weist die Besonderheit auf, da"s die Kofaserung aus der Faserung hervorgeht, indem man nur noch einen Teil der Morphismen zul"a"st, genauer unter allen Opkomorphismen nur die eigentlichen Opkomorphismen. Das wird uns dabei helfen, in dieser Situation ein sogenanntes \glqq Verflechtungsdatum\grqq\ zu konstruieren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf R"uckholquadrat}\index{R"uckholquadrat} ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& \ar@{-->}[d] \\ \ar@{..>}[r]&} \end{displaymath} %\begin{displaymath} % \xymatrix{ %& \ar@{..>}[dl] \ar@{-->}[dr] &\\ %\ar@{-->}[dr] & &\ar@{..>}[dl]\\ %&& %} % \end{displaymath} "uber einem kartesischen Quadrat in der Basis $\mathscr B$ mit Objekten von $\mathscr C$ oder gleichbedeutend $\mathscr C^!$ an den Ecken und $\dagger$-kartesischen $\mathscr C$-Morphismen als horizontalen gepunktelten Pfeilen und $\mathscr C^!$-Morphismen als vertikalen gestrichelten Pfeilen, so da"s insbesondere die Bilder der gestrichelten vertikalen Pfeile in unserem kartesischen Quadrat in der Basis $\mathscr B$ Lesmorphismen sind. Die gepunktelt gezeichneten horizontalen Kanten nenne ich die {\bf R"uckholkanten}\index{R"uckholkante} unseres R"uckholquadrats und die rechte gestrichelte vertikale Kante seine {\bf Ausgangskante}.\index{Ausgangskante} Den Morphismus in der Basis l"anges der unteren Horizontale nenne ich den {\bf zur"uckholenden Morphismus} unseres R"uckholquadrats. Wir vereinbaren die Konvention, im Kontext einer Austauschsituation $\mathscr C$-Morphismen als gepunktelte Pfeile, $\mathscr C^{!}$-Morphismen als gestrichelte Pfeile und $\mathscr C^{\op{e}}$-Morphismen als durchgezogene Pfeile zu notieren. Man beachte, da"s es nicht sinnvoll ist, die Kommutativit"at eines R"uckholquadrats zu fordern, da sich $\mathscr C^{!}$-Morphismen und $\mathscr C$-Morphismen im allgemeinen nicht verkn"upfen lassen. Die Gesamtheit aller R"uckholquadrate "uber einem vorgegebenen kartesischen Quadrat der Basis bildet selbst eine Kategorie, da ja nach Annahme $\mathscr C$-Morphismen und $\mathscr C^{!}$-Morphismen "uber Identit"aten, ja sogar "uber beliebigen Eigmorphismen der Basis "ubereinstimmen. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Neuer Versuch: Gewisse Quadrate "uber einem kartesischen Quadrat der Basis, sonst beliebig. Linke Vertikale eindeutig erg"anzbar aus Rest. Untere Horizontale eindeutig erg"anzbar aus Rest. Verkleben. Kommutative wie zuvor.} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Austauschsituation $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einer {\bf Verflechtung}\index{Verflechtung!von Faserung und Kofaserung}\label{AusDaA} zu unserer Austauschsituation eine Menge von R"uckholquadraten, genannt {\bf Verflechtungsquadraten},\index{Verflechtungsquadrat} mit den folgenden Eigenschaften: \begin{description} \item[\textbf{Eindeutige Erg"anzbarkeit:}] Jedes \glqq partielle R"uckholquadrat\grqq, bei dem nur der $\mathscr C^{!}$-Mor\-phis\-mus in der linken Vertikale fehlt, bei dem aber alle vier Morphismen in der Basis durchaus vorhanden sind, l"a"st sich auf genau eine Weise zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzen. Ich versuche, diese Aussage zus"atzlich zu verdeutlichen durch die graphische Darstellung \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar@{..>}[r]& \ar@{-->}[d] \\ \ar@{..>}[r]&} \end{displaymath} und nenne die dadurch eindeutig bestimmte neue Kante die {\bf zur"uckgeholte Kante} zu unserer Ausgangskante; \item[{\bf Verkleben:}] Unter beiden Arten des Verklebens l"angs gleicher Kanten mit der Komposition in den neu entstehenden Kanten wird aus zwei Verflechtungsquadraten wieder ein Verflechtungsquadrat; \item[{\bf Eigentliche Kommutativit"at:}] "Uber kartesischen Quadraten in der Basis mit Eigmorphismen auf gegen"uberliegenden Kanten kommutiert jedes Verflechtungsquadrat in $\mathscr C$ im Fall vertikaler eig-Kanten beziehungsweise in $\mathscr C^{!}$ im Fall horizontaler eig-Kanten; \item[{\bf Zur"uckholen kokartesischer Kanten:}] Ist die Ausgangskante in einem Verflechtungsquadrat $\shriek$-kokartesisch, so auch die zur"uckgeholte Kante. \nichtfinal{Sonst: Schwaches Verflechtungsdatum, oder besser Pr"averflechtungsdatum.} \end{description} Eine Austauschsituation mit einer ausgezeichneten Verflechtung nennen wir eine {\bf verflochtene Austauschsituation}.\index{Austauschsituation!verflochtene} Gegeben\index{verflochten!Austauschsituation} eine Austauschsituation mit Verflechtung sagen wir auch, die {\bf Faserung sei verflochten mit der Kofaserung l"angs der Eigmorphismen}.\label{VerFFa} Ein Verflechtungsquadrat mit eigkokartesischer Ausgangskante und damit nach unseren Annahmen auch eigkokartesischer zur"uckgeholter Kante nennen wir ein {\bf kokartesisches Verflechtungsquadrat}.\index{Verflechtungsquadrat!kokartesisches} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflechtungsquadrate durch Kommutativit"at}] Jedes R"uckholquadrat "uber einem kartesischen Quadrat in der Basis, das in $\mathscr C$ beziehungsweise $\mathscr C^{!}$ kommutativ ist im Fall von Eigmorphismen auf gegen"uberliegenden horizontalen beziehungsweise vertikalen Kanten in der Basis, ist ein Verflechtungsquadrat f"ur jede \nichtfinal{Pr"a-}Verflechtung. Das folgt aus der eigentlichen Kommutativit"at von Verflechtungsquadraten und der eindeutigen Erg"anzbarkeit.\label{vdLKa} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten}] Gegeben eine \nichtfinal{schwach oder pr"a-}verflochtene Austauschsituation l"a"st sich jeder Morphismus zwischen den Ausgangskanten zweier Verflechtungsquadrate "uber einem vorgegebenen kartesischen Quadrat der Basis auf genau eine Weise zu einem Morphismus zwischen den beiden Verflechtungsquadraten fortsetzen. Um das einzusehen, betrachten wir das Diagramm\label{FVQa} \begin{displaymath} \xymatrix{ A'\ar@{-->}[ddd] \ar@{..>}[rrr]&&& B'\ar@{-->}[ddd] \\ &A\ar@{-->}[d]\ar[ul]\ar@{..>}[r]& B\ar@{-->}[d]\ar[ur]& \\ &C\ar@{..>}[r]\ar[dl]&D\ar[dr]& \\ C'\ar@{..>}[rrr]&&& D'} \end{displaymath} Beide Quadrate sind Verflechtungsquadrate nach Annahme. Die durchgezogenen Pfeile stellen Morphismen "uber Identit"aten der Basis dar. Das rechte $BD$-Trapez ist kommutativ nach Annahme und stellt unseren Morphismus von Ausgangskanten dar. Das obere $AB$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $A\ra A'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $A'\ra B'$ kartesisch ist. Das untere $CD$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $C\ra C'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $C'\ra D'$ kartesisch ist. Es bleibt zu zeigen, da"s dann auch das rechte $AC$-Trapez kommutiert. Nach der Charakterisierung von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at \ref{vdLK} sind aber das obere $AB$-Trapez und das untere $CD$-Trapez beide Verflechtungsquadrate. Aufgrund der Verklebbarkeit von Verflechtungsquadraten sind dann auch das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((ACC'),(BDD'))$ sowie das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((AA'C'),(BB'D'))$ Verflechtungsquadrate. Aus der Gleichheit ihrer Ausgangskanten folgt dann mit der Eindeutigkeit der Erg"anzung die Gleichheit ihrer zur"uckgeholten Kanten und so die Kommutativit"at im rechten $AC$-Trapez. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigentlicher Basiswechsel einer verflochtenen Austauschsituation}] Gegeben eine \nichtfinal{pr"a-}verflochtene Austauschsituation und in der Basis $\mathscr B$ ein kartesisches Diagramm $fq=pg$ mit Lesmorphismen $f,g$ erhalten wir eine ausgezeichnete Isotransformation\label{eaBAa} $$g_{\shriek} q^\dagger\siRa p^\dagger f_{\shriek}$$ durch \glqq denjenigen Isomorphismen, die die Transportmorphismen von $g_\shriek$ zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzen\grqq. Wir nennen sie den {\bf eigentlichen Basiswechsel}\index{Basiswechsel!eigentlicher abstrakter} zu unserer Verflechtung. Sind $f,g$ beide Eigmorphismen, so stimmt er nach der Charakterisierung \ref{vdLK} von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at mit dem allgemeinen Basiswechsel \eref{BaWW}{TG} der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ "uberein. Sind $p,q$ beide Eigmorphismen, so stimmt er aus demselben Grund mit dem allgemeinen Basiswechsel der Kofaserung $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflechtungsdaten durch Kommutativit"at}] Seien $\mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung "uber einer Kategorie $\mathscr B$ mit r"uckzugstabilem multiplikativen System $\mathscr B^{!}$ und sei $\mathscr C^{!}$ ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives\label{AdKa} System in $\mathscr C$ "uber $\mathscr B^{!}$ im Sinne von \ref{KKFuux}. Sei weiter der restringierte Funktor $\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine Kofaserung, deren kokartesische Morphismen auch ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System "uber $\mathscr B^{!}$ bilden. Sei schlie"slich $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^{!}$ ein r"uckzugstabiles multiplikatives Teilsystem derart, da"s "uber Morphismen aus $\mathscr B^{\op{e}}$ alle $\mathscr C$-Morphismen bereits $\mathscr C^{!}$-Morphismen sind. So ist $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ eine Austauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin eine Verflechtung. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtungen in topologischen Austauschsituationen}] Wir erinnern unsere topologische Austauschsituation aus \ref{ATTo}. Bezeichnen wir mit $\op{Top}^{\op{les}}$ die Kategorie der topologischen R"aume mit nur lokal eigentlichen separierten Abbildungen als Morphismen, so ist auch $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ eine Austauschsituation. Darin bilden nach \ref{AdK} die in $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$ kommutierenden R"uckholquadrate\label{AtAa} eine Verflechtung, da nach \ref{ReO} der R"uckzug eines eigkokartesischen Opkomorphismus "uber einer les-Abbildung stets wieder eigkokartesisch ist. In unserer Terminologie aus \ref{VerFF} ist das eine Verflechtung der \hyperref[GaKoFa]{Garbenopfaserung} $\op{Ab}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ mit der \hyperref[eigKOF]{Garbenschreikofaserung} $\op{Ab}^!_{\sslash\op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$ l"angs der eigentlichen separierten Abbildungen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformation vom Vorschub zum Eigvorschub}] Gegeben sei eine verflochtene Austauschsitution $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$. Nach der Definition eines r"uckzugstabilen multiplikativen Systems existiert f"ur jeden Lesmorphismus $f:X\ra Y$ der Basis das Faserprodukt $X\times_YX$. Die Verflechtung liefert f"ur jeden Lesmorphismus $f:X\ra Y$, f"ur den die Diagonale $\Delta=\Delta_f:X\ra X\times_Y X$ ein Eigmorphismus ist, mit der Notation $\op{Id}$ f"ur den Identit"atsfunktor eine Transformation $\op{Id}\RA f^\dagger f_{\shriek}$ mithilfe des kartesischen Quadrats\label{TegV} \begin{displaymath} \xymatrix{ & \ar[dl]X\times_Y X\ar[dr] &\\ X\ar[dr] & &X\ar[dl]\\ &Y& } \end{displaymath} in der Basis als die Komposition $\op{Id}=\op{Id}\circ\op{Id} \siRa\op{id}_\shriek\op{id}^\dagger\siRa\op{pr}_{2{\shriek}}\Delta_{\shriek}\Delta^\dagger \op{pr}_{1}^\dagger\RA \op{pr}_{2{\shriek}}\op{pr}_{1}^\dagger \RA f^\dagger f_{\shriek}$ unter Ausn"utzen der Adjunktion $(\Delta_{\shriek},\Delta^\dagger)$ aus \ref{Swn} und eigentlichem Basiswechsel \ref{eaBA}. Besitzt $f^\dagger$ einen Linksadjungierten, so erhalten wir auf diese Weise eine nat"urliche Transformation $f_\dagger\RA f_{\shriek}$. Sie entspricht einer Transformation $$f_!\RA f_*$$ von Funktoren der opponierten Fasern, mit denen wir es in den Anwendungen meist zu tun haben. Ist zus"atzlich $f$ selbst ein Eigmorphismus, so ist diese Transformation nach \eref{RzBW}{TG} und \eref{trBW}{TG} die Identit"at auf dem Vorschub. Hier verwenden wir unsere Konvention, den Isomorphismus $i$ aus \ref{AlKnu} als die Identit"at anzunehmen, sonst mu"s das alles sorgf"altiger formuliert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Im Spezialfall der abelschen Garben mag ein Student ausarbeiten, warum das der offensichtliche Morphismus aus \eref{eiPL}{TG} \nichtfinal(Zitat falsch!)} ist. \end{Bemerkunge} \begin{Satz} Sei eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$\label{AdLoa} gegeben. \begin{description} \item[Lokalisieren einer Austauschsituation:] Sei $S$ ein faserweises Oresystem in $\mathscr C$, das stabil ist unter den R"uckz"ugen der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ und f"ur das die Kofaserung $\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine Rechtsanpassung %\hyperref[LRAA]{lokal Rechtsanpassungen}: Das war nicht falsch, aber hier "uberfl"ussig! besitzt. So liefert Lokalisieren eine Austauschsituation $(S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow S^{-1}\mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$; \nichtfinal{Allgemeiner: Gebe Linksanpassung f"ur Faserung und Rechtsanpassung f"ur Kofaserung. Nach \ref{LRAn} oder vielmehr neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2} liefert das Isomorphismen $$(S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr B^{\op{e}}}\sila S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C_{\mathscr B^{\op{e}}}\sira (S^{-1}\mathscr C^!)_{\mathscr B^{\op{e}}}$$ und deren Verkn"upfung liefert das $i$ der lokalisierten Austauschsituation.} \item[Lokalisieren einer Verflechtung:] Sei zus"atzlich in unserer noch nicht lokalisierten Austauschsituation eine \hyperref[adEDB]{Verflechtung} gegeben derart, da"s f"ur jedes kokartesische Verflechtungsquadrat, dessen Ausgangskante in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ kokartesisch bleibt, auch die gegen"uberliegende Kante in der Lokalisierung kokartesisch bleibt. So gibt es genau eine Verflechtung in der lokalisierten Austauschsitution, die alle auf diese Weise entstehenden R"uckholquadrate enth"alt. \nichtfinal{M"ochte, da"s Pr"averflechtung wieder Pr"averflechtung liefert.} \end{description} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir nennen die im vorigen Satz konstruierte Verflechtung die {\bf lokalisierte Verflechtung}.\index{Verflechtung!lokalisiertes} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachtes Pr"ufen der Bedingungen}] Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B^{!}$ bleibt ein kokartesischer Morphismus $\mathcal F\ra f_{\shriek}\mathcal F$ genau dann kokartesisch in der Lokalisierung, wenn $\mathcal F$ ein $S_X$-entfaltetes Objekt ist f"ur den Funktor $Qf_{\shriek}:\mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$, wie aus \ref{LRAn} \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}} folgt. Sei nun $fq=pg$ ein kartesisches Diagramm der Basis mit $g:W\ra Z$. Es reicht zu pr"ufen, da"s der R"uckzug unter $q$ jedes $S_X$-$Qf_{\shriek}$-entfalteten Objekts seinerseits ein $S_W$-$Qg_{\shriek}$-entfaltetes Objekt ist. Daf"ur hinwiederum reicht es zu zeigen,\label{VPOSa} da"s wir f"ur jedes Objekt $\mathcal F\in \mathscr C_X$ einen $S_X$-Morphismus $\mathcal G\ra \mathcal F$ finden k"onnen derart, da"s sowohl $\mathcal G$ ein $S_X$-$Qf_{\shriek}$-entfaltetes Objekt ist als auch $q^\dagger\mathcal G$ ein $S_W$-$Qg_{\shriek}$-entfaltetes Objekt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Unsere topologische Austauschsituation aus \ref{AtA} mit der durch Kommutativit"at konstruierten Verflechtung liefert in offensichtlicher Weise verflochtene Austauschsituationen $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ f"ur $\sharp$ eine jede unserer vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. Im Fall von $\op{Hot}^-$ k"onnen wir diese Verflechtung nach Quasiisomorphismen lokalisieren, da wir nach \ref{RAGB} die Rechtsanpassung durch Komplexe schwach kompaktweicher Garben zur Verf"ugung haben und da nach \ref{azyeb} in einem kartesischen Diagramm $fq=pg$ topologischer R"aume mit les-Abbildungen $f,g$ der R"uckzug jeder $Qf_{(!)}$-entfalteten Garbe unter $q$ eine $Qg_{(!)}$-entfaltete Garbe ist und wir das vereinfachte Kriterium vom Ende von \ref{VPOS} anwenden k"onnen. So erhalten wir eine Verflechtung der Austauschsituation $$(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ Weiter erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Austauschsituationen mit Verflechtung $$\left(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ und k"onnen sie wie zuvor nach Quasiisomorphismen lokalisieren, da wir nach \ref{RAGBb} eine Rechtsanpassung zur Verf"ugung haben und damit genauso argumentieren k"onnen. So erhalten wir eine Verflechtung zur Austauschsituation\label{kolesbA} $$(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$ Nach Konstruktion sind in diesen beiden Situationen die Verflechtungsquadrate zu Ausgangskanten aus $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}$ dieselben. \end{Beispiel} \begin{proof} 1. Wir wissen aus %\ref{LRaV} und im Fall der Existenz einer \glqq %globalen\grqq\ Rechtsanpassung sogar bereits aus \ref{LRAn} \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}}, da"s der Funktor $S^{-1}\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine Kofaserung ist und da"s der offensichtliche Funktor ein Isomorphismus von Kategorien $S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}(\mathscr C^{!}_{\mathscr B^{\op{e}}})\sira (S^{-1}\mathscr C^{!})_{\mathscr B^{\op{e}}}$. Wir wissen aus \ref{LRAn} \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}} und sogar bereits aus \ref{FFL} und \ref{KriLO1}, da"s der Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ eine Faserung ist und der offensichtliche Funktor ein Isomorphismus von Kategorien $S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}(\mathscr C_{\mathscr B^{\op{e}}})\sira (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr B^{\op{e}}}$. Das zeigt die erste Aussage.\\[2mm]\noindent 2. Da"s es h"ochstens eine derartige lokalisierte Verflechtung gibt, ist klar: Ihre Verflechtungsquadrate m"ussen mindestens alle R"uckholquadrate sein, die isomorph sind zu R"uckholquadraten, die man erh"alt, indem man an ein R"uckholquadrat der im zweiten Teil unseres Satzes beschriebenen Art unten noch ein kommutatives R"uckholquadrat "uber einem kartesischen Diagramm in der Basis mit Identit"aten als Lesmorphismen anf"ugt. Explizit besteht unsere Verflechtung in spe mithin aus allen R"uckholquadraten, die isomorph sind zu Randquadraten eines Diagramms der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[d]^g&X\ar[d]^f& Qq^\dagger \mathcal F \ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&Q\mathcal F \ar@{-->}[d] \\ Z\ar[r]^p \ar[d]^{\op{id}}&Y\ar[d]^{\op{id}}&Qp^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r] \ar[d] &Qf_{{\shriek}}\mathcal F\ar[d] \\ Z\ar[r]^p &Y&Qp^\dagger \mathcal G\ar@{..>}[r]&Q\mathcal G } \end{displaymath} Hier habe ich links das zugrundeliegende Diagramm der Basis dargestellt und rechts das Diagramm auf den Fasern mit als oberem Quadrat einem Verflechtungsquadrat des Ausgangsdatums mit $\mathcal F$ entfaltet f"ur $Qf_{\shriek}$ und als unterem Quadrat einem kommutativen R"uckholquadrat in der Lokalisierung mit Morphismen "uber Identit"aten in den Vertikalen. Andererseits kann eine Verflechtung f"ur die lokalisierte Austauschsituation auch nicht gr"o"ser sein, da sonst unsere Bedingung der eindeutigen Erg"anzbarkeit verletzt w"are. Jetzt "uberlegen wir uns, da"s die so gegebene Menge von R"uckholquadraten, die wir vorerst unsere \glqq Verflechtungsquadrate in spe\grqq\ nennen, auch wirklich eine Verflechtung f"ur die lokalisierte Austauschsituation ist. Um zu sehen, da"s jede Ausgangskante zu einem Verflechtungsquadrat in spe erg"anzt werden kann, erinnern wir aus \ref{LRAn} \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}}, da"s es f"ur jeden Lesmorphismus $f:X\ra Y$ in der Basis und jedes $\mathcal E\in \mathscr C_X$ eine $S_X$-Linksentfaltung $\mathcal F\ra \mathcal E$ f"ur $Qf_{\shriek}$ gibt und da"s der Transportmorphismus $\mathcal F\ra f_{\shriek}\mathcal F$ sowohl f"ur $\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ als auch f"ur $S^{-1}\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ kokartesisch ist. Jede Ausgangskante kann mithin zu einem Verflechtungsquadrat in spe erg"anzt werden. Da"s die Erg"anzung partieller R"uckholquadrate eindeutig ist in unseren Verflechtungsquadraten in spe, zeigen wir zun"achst im Fall partieller R"uckholquadrate mit kokartesischer Ausgangskante. Dazu m"ussen wir zeigen, da"s gegeben ein Lesmorphismus $f:X\ra Y$ in der Basis und $\mathcal F,\mathcal F'\in\mathscr C_X$ beide $S_X$-$Qf_\shriek$-entfaltet jedes kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[d]^f& Q\mathcal F \ar[r] \ar@{-->}[d]&Q\mathcal F' \ar@{-->}[d] \\ Y& Qf_{{\shriek}}\mathcal F \ar[r] &Qf_{{\shriek}}\mathcal F' } \end{displaymath} in $S^{-1}\mathscr C^!$ mit Isomorphismen aus $S^{-1}\mathscr C^!$ als waagerechten Pfeilen und den von den Transportmorphismen in der Kofaserung $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ herr"uhrenden Vertikalen bei beliebigen Wahlen der kartesischen horizontalen Kanten einen Isomorphismus der zugeh"origen Verflechtungsquadrate in spe induziert. Nun, der Morphismus $Qf_{{\shriek}}\mathcal F \ra Qf_{{\shriek}}\mathcal F'$ ist bereits eindeutig durch den Isomorphismus $Q\mathcal F \sira \mathcal F'$ bestimmt, da ja $S^{-1}\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ eine Kofaserung ist. Der Morphismus $Q\mathcal F \sira Q\mathcal F'$ in $S^{-1}_X\mathscr C_X$ l"a"st sich schreiben als Linksbruch $hs^{-1}$ und im Diagramm $$\mathcal F \stackrel{s}{\leftarrow} \mathcal F'' \stackrel{h}{\ra} \mathcal F'$$ d"urfen wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s dabei auch $\mathcal F''$ ein $S_X$-$Qf_\shriek$-entfaltetes Objekt der Faser ist. Mit dieser Zerlegung sehen wir, da"s wir bereits zuvor annehmen durften, da"s unser $S^{-1}_X\mathscr C_X$-Isomorphismus $Q\mathcal F \sira Q\mathcal F'$ Bild eines $\mathscr C_X$-Morphismus $a:\mathcal F \ra \mathcal F'$ ist. In diesem Fall wissen wir jedoch nach der Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten \ref{FVQ}, da"s im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &&q^\dagger \mathcal F' \ar@{..>}[rrr]\ar@{-->}[ddd] &&&\mathcal F' \ar@{-->}[ddd] \\ W\ar[r]^q \ar[d]^g&X\ar[d]^f&& q^\dagger \mathcal F \ar@{..>}[r]\ar[lu]^{q^\dagger a} \ar@{-->}[d]&\mathcal F \ar@{-->}[d]\ar[ru]_{ a} \\ Z\ar[r]^p &Y&&p^\dagger f_{{\shriek}}\mathcal F\ar@{..>}[r]\ar[ld]^{p^\dagger f_\shriek a} &f_{{\shriek}}\mathcal F \ar[rd]_{f_\shriek a} \\ &&p^\dagger f_\shriek\mathcal F' \ar@{..>}[rrr] &&&f_\shriek\mathcal F' } \end{displaymath} mit senkrechten Morphismen in $\mathscr C^!$ und waagerechten Morphismen in $\mathscr C$ und schr"agen Morphismen "uber Identit"aten der Basis mit den linken Vertikalen gegeben durch die eindeutige Erg"anzung zu Verflechtungsquadraten in der urspr"unglichen Verflechtung auch das linke Trapez kommutiert. Mithin kommutiert auch das Bild des linken Trapezes in $S^{-1}\mathscr C^!$. Nach unseren Annahmen werden beim "Ubergang zur Lokalisierung alle schr"agen Morphismen Isomorphismen und wir sehen, da"s in der Tat jedes partielle R"uckholquadrat in der lokalisierten Austauschsituation mit kokartesischer Ausgangskante auf genau eine Weise zu einem Verflechtungsquadrat in spe erg"anzt werden kann. Die Eindeutigkeit der Erg"anzung im allgemeinen folgt unmittelbar und wir sehen, da"s unsere Verflechtungsquadrate in spe schon mal die erste Bedingung an eine Verflechtung erf"ullen. Da"s das Verkleben zweier Verflechtungsquadrate in spe l"angs einer vertikalen Kante stets wieder ein Verflechtungsquadrat in spe liefert, ist offensichtlich. Wir zeigen dasselbe nun f"ur das Verkleben l"angs horizontaler Kanten. Dabei k"onnen wir uns offensichtlich auf den Fall beschr"anken, da"s das unten angeklebte Verflechtungsquadrat in spe eine kokartesische Ausgangskante hat. Es reicht, die beiden F"alle zu betrachten, da"s das obere Verflechtungsquadrat in spe auch eine kokartesische Ausgangskante hat oder da"s es eine Ausgangskante "uber einer Identit"at in der Basis hat. Wir beginnen mit dem ersten Fall und argumentieren anhand des folgenden Diagramms aus zwei Verflechtungsquadraten des Ausgangsdatums. \begin{displaymath} \xymatrix{ U\ar[r]^q\ar[d]&X\ar[d]^f&q^\dagger \mathcal F\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d] & \mathcal F \ar@{-->}[d]\\ V\ar[d]\ar[r]^p&Y\ar[d]^g&p^\dagger f_{{\shriek }}\mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] & f_{{\shriek }}\mathcal F \ar@{-->}[d]\\ W\ar[r]^r&Z&r^\dagger g_{{\shriek }}f_{{\shriek }}\mathcal F\ar@{..>}[r] & g_{{\shriek }}f_{{\shriek }}\mathcal F } \end{displaymath} Jedes Verflechtungsquadrat in spe der lokalisierten Situation mit kokartesischer Ausgangskante ist isomorph zum Bild eines Verflechtungsquadrats wie es hier oben steht mit $\mathcal F$ in Bezug auf $S_X$ entfaltet ist f"ur $Qf_\shriek$. Indem wir zu einem Verflechtungsquadrat mit isomorphem Bild in der lokalisierten Situation "ubergehen, d"urfen wir zus"atzlich annehmen, da"s $\mathcal F$ auch entfaltet ist f"ur $Qg_\shriek f_\shriek$ und da"s $f_\shriek\mathcal F$ in Bezug auf $S_Y$ entfaltet ist f"ur $Qg_\shriek$. Dann repr"asentieren insbesondere unsere beiden Quadrate "ubereinandersetzbare Verflechtungsquadrate in spe mit kokartesischen Ausgangskanten, ja sogar alle bis auf Isomorphismus, und das erledigt den ersten Fall. F"ur den zweiten Fall gehen wir aus von einem Diagramm aus zwei Verflechtungsquadraten in spe der lokalisierten Austauschsituation der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q\ar[d]^{\op{id}}&X\ar[d]^{\op{id}}&q^\dagger \mathcal F\ar@{..>}[r] \ar[d] & \mathcal F \ar[d]\\ W\ar[d]\ar[r]^q&X\ar[d]^g&q^\dagger \mathcal G\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] & \mathcal G\ar@{-->}[d]\\ Z\ar[r]^p&Y&p^\dagger f_{{\shriek }}\mathcal G\ar@{..>}[r] & f_{{\shriek }}\mathcal G } \end{displaymath} und nehmen dabei an, da"s $\mathcal G$ entfaltet ist f"ur $S_X$ und $Qf_\shriek$ wohingegen das obere Quadrat irgendein kommutatives Quadrat in $S^{-1}\mathscr C$ ist mit Transportmorphismen in den Horizontalen. Es gilt zu zeigen, da"s das durch Verkleben entstehende R"uckholquadrat in der lokalisierten Austauschsituation wieder ein Verflechtungsquadrat in spe ist, also isomorph zu einem anderes herum verklebten R"uckholquadrat. Indem wir $\mathcal F\ra \mathcal G$ als Bruch schreiben, d"urfen wir annehmen, da"s dieser Morphismus bereits von einem Morphismus in $\mathscr C_X$ herkommt. Indem wir andernfalls $\mathcal F$ entfalten, d"urfen wir annehmen, da"s es bereits $S_X$-$Qf_\shriek$-entfaltet ist. Dann erhalten wir in der Ausgangssituation ein Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ && &q^\dagger \mathcal F\ar[dl]\ar@{-->}[dd]\ar@{..>}[rr]&& \mathcal F\ar[dl]\ar@{-->}[dd]\ar@{-->}[dd]&\\ W\ar[d]^g\ar[r]^q&X\ar[d]^f&q^\dagger \mathcal G\ar@{-->}[dd]\ar@{..>}[rr]&&\mathcal G\ar@{-->}[dd]&&\\ Z\ar[r]^p&Y& &p^\dagger f_{{\shriek }}\mathcal F\ar[dl]\ar@{..>}[rr]&& f_{{\shriek }}\mathcal F\ar[dl]&\\ &&p^\dagger f_{{\shriek }}\mathcal G\ar@{..>}[rr]&&f_{{\shriek }}\mathcal G&& } \end{displaymath} mit Verflechtungsquadraten in der Ausgangssituation als Vorderseite und R"uckseite und kommutierender Oberseite und Unterseite und kommutierender nach rechts weisender Fl"ache. Die Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten \ref{FVQ} zeigt dann, da"s auch die nach links weisende Fl"ache kommutiert. Damit ist gezeigt da"s unsere "Ubereinandersetzung von zwei Verflechtungsquadraten in spe wieder ein Verflechtungsquadrat in spe ist. Bleibt noch, die beiden letzten Eigenschaften zu pr"ufen, die wir von einer Verflechtung fordern. Da"s jedes Verflechtungsquadrat in spe mit Eigorphismen auf gegen"uberliegenden Kanten der Basis kommutiert, folgt sofort aus der entsprechenden Eigenschaft in der nicht lokalisierten Austauschsituation. Da"s schlie"slich auch in der lokalisierten Situation das Zur"uckholen einer kokartesischen Kante wieder kokartesisch ist, folgt unmittelbar aus unseren Definitionen. \end{proof} \subsection{Austausch und Zwei-Funktor-Formalismus} \begin{Bemerkungl} In diesem Abschnitt soll die Beziehung von deriviertem Eigvorschub und R"uckzug, im n"achsten Abschnitt die von deriviertem Eigvorschub und Trennr"uckzug ausgearbeitet werden. Wir beginnen damit, daf"ur einen begrifflichen Rahmen zu zimmern. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{AlKnu} Unter einer {\bf schwachen Austauschsituation}\index{Austauschsituation} verstehen wir eine Vorgabe von Daten $$(\mathscr C\stackrel{a}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\stackrel{b}{\leftarrow} \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}},i)$$ bestehend aus einer Kategorie $\mathscr B$, der {\bf Basiskategorie} oder {\bf Basis};\index{Basis!einer Austauschsituation} darin zwei ausgezeichneten \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systemen} $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^{{!}}\subset \mathscr B$, die beide alle Isomorphismen von $\mathscr B$ enthalten; einem Faserfunktor $a:\mathscr C\ra \mathscr B$; einem Funktor $b:\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$; sowie einem Isomorphismus $i:\mathscr C^{!}|\mathscr B^{\op{e}}\sira \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$ von Kategorien "uber $\mathscr B^{\op{e}}$. Ist $b$ eine Kofaserung, so sprechen wir von einer {\bf starken Austauschsituation} oder kurz {\bf Austauschsituation}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sprechweisen und Notationen}]\label{Swn} \begin{enumerate} \item Wir behandeln unseren Isomorphismus $i$ in der Notation meist als eine Gleichheit und notieren unsere schwache oder starke Austauschsituation dann $$(\mathscr C\stackrel{a}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\stackrel{b}{\leftarrow} \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$$ Das bedeutet insbesondere, da"s $\mathscr C$ und $\mathscr C^!$ dieselben Objekte haben und sogar dieselben Fasern $\mathscr C_X=\mathscr C^!_X$ "uber denselben Objekten der Basis. \item Den R"uckzug der Faserung $a:\mathscr C\ra \mathscr B$ f"ur einen Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B$ notieren wir $f^\dagger: \mathscr C_Y\ra \mathscr C_X$. In typischen Situationen sind die Fasern opponiert zu Kategorien von Garben und wir haben $f^\dagger=(f^*)^{\op{opp}}$. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{!}$ nenne ich {\bf Lesmorphismen},\index{Lesmorphismus} weil wir daf"ur im Fall topologischer R"aume meist die lokal eigentlichen separierten Morphismen nehmen, also unsere les-Abbildungen. \item Den starken Vorschub des Funktors $b:\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ l"angs Lesmorphismen $f:X\ra Y$ nenne ich {\bf Eigvorschub}\index{Eigvorschub!in Austauschsituation} und notiere ihn $f_{\shriek}: \mathscr C_X^{!}\dashrightarrow \mathscr C_Y^{!}$ beziehungsweise, wenn $i$ eine Gleichheit ist, einfacher $f_{\shriek}: \mathscr C_X\dashrightarrow \mathscr C_Y$. In typischen Situationen sind die Fasern opponiert zu Kategorien von Garben und wir haben $f_\shriek=(f_!)^{\op{opp}}$. \item Ich sage meist $\dagger$-kartesisch oder kurz kartesisch statt $a$-kartesisch und ebenso $\shriek$-kokartesisch oder eigkokartesisch statt $b$-kokartesisch. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{\op{e}}$ nenne ich {\bf Eigmorphismen},\index{Eigmorphismus} weil sie in typischen Beispielen die eigentlichen Morphismen sind. Unsere Daten beinhalten f"ur jeden Eigmorphismus $f$ nach \ref{adVR} eine partielle Adjunktion $(f_{\shriek},f^\dagger)$. Sie entspricht einer partiellen Adjunktion $(f^*,f_!)$ von Funktoren zwischen den opponierten Fasern. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Kategorien $\op{Top}\supset \op{Top}^{\op{s}}\supset \op{Top}^{\op{es}}$ der topologischen R"aume mit separierten Abbildungen als Lesmorphismen und eigentlichen separierten Abbildungen als Eigmorphismen in der Basis bilden mit unserer Garbenopfaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GMab}{TG} und unserer Gar\-ben\-schrei\-ko\-fa\-se\-rung $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$ aus \eref{eiPL}{TG} und deren offensichtlicher Gleichheit \eref{Eikoo}{TG} "uber eigentlichen Abbildungen in der Basis eine starke Austauschsituation.\label{ATTo} Sie weist die Besonderheit auf, da"s ihr zweiter Funktor $b$ aus der Faserung $a$ hervorgeht, indem man nur einen Teil der Morphismen zul"a"st, hier unter allen Opkomorphismen nur die eigentlichen Opkomorphismen. Das wird uns dabei helfen, in dieser Situation ein sogenanntes \glqq Verflechtungsdatum\grqq\ zu konstruieren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{schwache Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf Basisquadrat}\index{Basisquadrat}\label{BaQuaa} ein in $\mathscr B$ kartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]\ar[r]&X \ar[d] \\ Z\ar[r]&Y} \end{displaymath} mit Lesmorphismen in den Vertikalen. % Ich notiere % im Kontext einer Austauschsituation meist $\mathscr B$-Morphismen % als gepunktelte Pfeile, $\mathscr B^{!}$-Morphismen % als gestrichelte Pfeile und $\mathscr B^{\op{e}}$-Morphismen % als durchgezogene Pfeile. Den Morphismus in der Basis l"angs der unteren Horizontale nenne ich den {\bf zur"uckholenden Morphismus} unseres Basisquadrats. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} NEU. Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{schwache Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf Mischquadrat}\index{Mischquadrat} ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& \mathcal F\ar@{-->}[d] \\ \mathcal H\ar@{..>}[r]& \mathcal G} \end{displaymath} "uber einem Basisquadrat mit Objekten von $\mathscr C$ oder gleichbedeutend $\mathscr C^!$ in den Ecken und $\mathscr C$-Morphismen als horizontalen gepunktelten Pfeilen und $\mathscr C^!$-Morphismen als vertikalen gestrichelten Pfeilen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} NEU. Eine {\bf schwache Verflechtung} ist eine Menge von Mischquadraten, genannt pseudokommutative Mischquadrate, mit den folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Verklebbarkeit horizontal und vertikal; \item Alle kommutativen Quadrate ("uber Basisquadraten, "uberdenen das Sinn macht) sind Verflechtungsquadrate; \item Eindeutige Erg"anzbarkeit im Fall kartesischer horizontaler Kanten. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{schwache Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf R"uckholquadrat}\index{R"uckholquadrat} ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& \mathcal F\ar@{-->}[d] \\ \mathcal H\ar@{..>}[r]& \mathcal G} \end{displaymath} %\begin{displaymath} % \xymatrix{ %& \ar@{..>}[dl] \ar@{-->}[dr] &\\ %\ar@{-->}[dr] & &\ar@{..>}[dl]\\ %&& %} % \end{displaymath} "uber einem Basisquadrat mit Objekten von $\mathscr C$ oder gleichbedeutend $\mathscr C^!$ in den Ecken und $\dagger$-kartesischen $\mathscr C$-Morphismen als horizontalen gepunktelten Pfeilen und $\mathscr C^!$-Morphismen als vertikalen gestrichelten Pfeilen. Die gepunktelt gezeichneten horizontalen Kanten nenne ich die {\bf R"uckholkanten}\index{R"uckholkante} unseres R"uckholquadrats und die rechte gestrichelte vertikale Kante seine {\bf Ausgangskante}.\index{Ausgangskante} Ich notiere im Kontext einer Austauschsituation meist $\mathscr C$-Morphismen als gepunktelte Pfeile, $\mathscr C^{!}$-Morphismen als gestrichelte Pfeile und $\mathscr C^{\op{e}}$-Morphismen als durchgezogene Pfeile. Man beachte, da"s es nicht sinnvoll ist, die Kommutativit"at eines R"uckholquadrats zu fordern, da sich $\mathscr C^{!}$-Morphismen und $\mathscr C$-Morphismen im allgemeinen nicht verkn"upfen lassen. Die Gesamtheit aller R"uckholquadrate "uber einem vorgegebenen Basisquadrat bildet selbst eine Kategorie, da nach Annahme $\mathscr C$-Morphismen und $\mathscr C^{!}$-Morphismen "uber Identit"aten, ja sogar "uber beliebigen Eigmorphismen der Basis "ubereinstimmen. Wir nennen ein R"uckholquadrat {\bf kokartesisch},\index{R"uckholquadrat!kokartesisches} wenn seine beiden vertikalen $\mathscr C^!$-Morphismen kokartesisch sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine schwache Austauschsituation $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einer {\bf schwachen Verflechtung}\index{Verflechtung!von Faserung und Kofaserung}\label{AusDaa} eine Menge von R"uckholquadraten, genannt {\bf Verflechtungsquadraten},\index{Verflechtungsquadrat} mit den folgenden Eigenschaften: \begin{description} \item[\textbf{Eindeutige Erg"anzbarkeit:}] Jedes \glqq partielle R"uckholquadrat\grqq, bei dem nur der $\mathscr C^{!}$-Mor\-phis\-mus in der linken Vertikale fehlt, bei dem aber alle vier Morphismen in der Basis durchaus vorhanden sind, l"a"st sich auf genau eine Weise zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzen. Ich versuche, diese Aussage zus"atzlich zu verdeutlichen durch die graphische Darstellung \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar@{..>}[r]& \ar@{-->}[d] \\ \ar@{..>}[r]&} \end{displaymath} und nenne die dadurch eindeutig bestimmte neue Kante die {\bf zur"uckgeholte Kante} zu unserer Ausgangskante; \item[{\bf Verkleben:}] Unter beiden Arten des Verklebens l"angs gleicher Kanten mit der Komposition in den neu entstehenden Kanten wird aus zwei Verflechtungsquadraten wieder ein Verflechtungsquadrat; \item[{\bf Eigentliche Kommutativit"at:}] "Uber kartesischen Quadraten in der Basis mit Eigmorphismen auf gegen"uberliegenden Kanten kommutiert jedes Verflechtungsquadrat in $\mathscr C$ im Fall vertikaler eig-Kanten beziehungsweise in $\mathscr C^{!}$ im Fall horizontaler eig-Kanten; \item[{\bf Zur"uckholen kokartesischer Kanten:}] Im Fall einer starken Aus\-tausch\-si\-tua\-tion fordern wir von einer {\bf starken Verflechtung} oder kurz {\bf Verflechtung} zus"atzlich, da"s die zur"uckgeholte Kante jeder $\shriek$-kokartesischen Ausgangskante wieder $\shriek$-kokartesisch ist. \end{description} Eine Austauschsituation mit einer ausgezeichneten Verflechtung nennen wir eine {\bf verflochtene Austauschsituation}\index{Austauschsituation!verflochtene} und sagen,\index{verflochten!Austauschsituation} die {\bf Faserung $a$ sei verflochten mit der Kofaserung $b$ l"angs der Eigmorphismen}.\label{VerFF} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Regulierte Austauschsituationen}] Eine {\bf Regulierung} einer Austauschsituation ist eine Menge von Basisquadraten, die stabil ist unter der Verklebung l"angs gleicher horizontaler oder vertikaler Kanten und die alle Basisquadrate mit Isomorphismen auf beiden Horizontalen oder beiden Vertikalen enth"alt. Eine Austauschsituation mit einer Regulierung nennen wir eine {\bf regulierte Austauschsituation} und die Basisquadrate der Regulierung ihre {\bf erlaubten Basisquadrate}. Unter einer schwachen beziehungsweise starken {\bf regulierten Verflechtung} oder kurz {\bf Verflechtung} einer regulierten Austauschsituation verstehen wir dann die Vorgabe einer Menge von R"uckholquadraten "uber den erlaubten Basisquadraten derart, da"s die Forderungen aus \ref{AusDa} "uber allen erlaubten Basisquadraten erf"ullt sind. Wollen wir betonen, da"s eine Verflechtung nicht reguliert ist, sprechen wir von einer {\bf unregulierten Verflechtung}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflechtungsquadrate durch Kommutativit"at}] Jedes R"uckholquadrat "uber einem erlaubten Basisquadrat, das in $\mathscr C$ beziehungsweise $\mathscr C^{!}$ kommutativ ist im Fall von Eigmorphismen auf gegen"uberliegenden horizontalen beziehungsweise vertikalen Kanten in der Basis, ist ein Verflechtungsquadrat f"ur jede schwache regulierte Verflechtung einer regulierten Austauschsituation. Das folgt aus der eigentlichen Kommutativit"at von Verflechtungsquadraten und der eindeutigen Erg"anzbarkeit.\label{vdLK} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten}] Gegeben eine schwache regulierte Verflechtung l"a"st sich jeder Morphismus zwischen den Ausgangskanten zweier Verflechtungsquadrate "uber einem vorgegebenen erlaubten Basisquadrat auf genau eine Weise zu einem Morphismus zwischen den beiden Verflechtungsquadraten fortsetzen. Um das einzusehen, betrachten wir das Diagramm\label{FVQ} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal E'\ar@{-->}[ddd] \ar@{..>}[rrr]&&& \mathcal F'\ar@{-->}[ddd] \\ &\mathcal E\ar@{-->}[d]\ar[ul]\ar@{..>}[r]& \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar[ur]& \\ &\mathcal H\ar@{..>}[r]\ar[dl]&\mathcal G\ar[dr]& \\ \mathcal H'\ar@{..>}[rrr]&&& \mathcal G'} \end{displaymath} Beide Quadrate sind Verflechtungsquadrate nach Annahme. Die durchgezogenen Pfeile stellen Morphismen "uber Identit"aten der Basis dar. Das rechte $\mathcal F\mathcal G$-Trapez ist kommutativ nach Annahme und stellt unseren Morphismus von Ausgangskanten dar. Das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal E\ra \mathcal E'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal E'\ra \mathcal F'$ kartesisch ist. Das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez wird durch genau einen Morphismus $\mathcal H\ra \mathcal H'$ kommutativ gemacht, da nach Annahme $\mathcal H'\ra \mathcal G'$ kartesisch ist. Es bleibt zu zeigen, da"s dann auch das rechte $\mathcal E\mathcal H$-Trapez kommutiert. Nach der Charakterisierung von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at \ref{vdLK} sind aber das obere $\mathcal E\mathcal F$-Trapez und das untere $\mathcal H\mathcal G$-Trapez beide Verflechtungsquadrate. Aufgrund der Verklebbarkeit von Verflechtungsquadraten sind dann auch das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal H\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal G\mathcal G'))$ sowie das Teildiagramm mit den vertikalen Kanten $((\mathcal E\mathcal E'\mathcal H'),(\mathcal F\mathcal F'\mathcal G'))$ Verflechtungsquadrate. Aus der Gleichheit ihrer Ausgangskanten folgt dann mit der Eindeutigkeit der Erg"anzung die Gleichheit ihrer zur"uckgeholten Kanten und so die Kommutativit"at im rechten $\mathcal E\mathcal H$-Trapez. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigentlicher Basiswechsel einer verflochtenen Austauschsituation}] Gegeben eine verflochtene starke regulierte Austauschsituation und ein erlaubtes Basisquadrat $fq=pg$ mit Lesmorphismen $f,g$ erhalten wir eine ausgezeichnete Isotransformation\label{eaBAa} $$g_{\shriek} q^\dagger\siRa p^\dagger f_{\shriek}$$ durch \glqq diejenigen Isomorphismen, die die Transportmorphismen von $g_\shriek$ zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzen\grqq. Wir nennen sie den {\bf eigentlichen Basiswechsel}\index{Basiswechsel!eigentlicher abstrakter} unserer Verflechtung. Sind $f,g$ beide Eigmorphismen, so stimmt er nach der Charakterisierung \ref{vdLK} von Verflechtungsquadraten durch Kommutativit"at mit dem allgemeinen Basiswechsel \eref{BaWW}{TG} der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ "uberein. Sind $p,q$ beide Eigmorphismen, so stimmt er aus demselben Grund mit dem allgemeinen Basiswechsel der Kofaserung $\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$ "uberein. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformation vom Vorschub zum Eigvorschub}] Gegeben sei eine reguliert verflochtene Austauschsitution $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$. Sei weiter $f:X\ra Y$ ein Lesmorphismus der Basis derart, da"s das Faserprodukt $X\times_YX$ existiert und da"s die Diagonale $\Delta=\Delta_f:X\ra X\times_Y X$ ein Eigmorphismus ist und das Diagramm\label{TegV} \begin{displaymath} \xymatrix{ & \ar[dl]X\times_Y X\ar[dr] &\\ X\ar[dr] & &X\ar[dl]\\ &Y& } \end{displaymath} ein erlaubtes Basisquadrat. So erhalten wir mit der Notation $\op{Id}$ f"ur den Identit"atsfunktor eine Transformation $\op{Id}\RA f^\dagger f_{\shriek}$ als die Komposition $\op{Id}=\op{Id}\circ\op{Id} \siRa\op{id}_\shriek\op{id}^\dagger\siRa\op{pr}_{2{\shriek}}\Delta_{\shriek}\Delta^\dagger \op{pr}_{1}^\dagger\RA \op{pr}_{2{\shriek}}\op{pr}_{1}^\dagger \RA f^\dagger f_{\shriek}$ mit der Adjunktion $(\Delta_{\shriek},\Delta^\dagger)$ aus \ref{Swn} und eigentlichem Basiswechsel \ref{eaBA}. Besitzt $f^\dagger$ sogar einen Linksadjungierten $f_\dagger$, so erhalten wir auf diese Weise eine nat"urliche Transformation $f_\dagger\RA f_{\shriek}$. Sie entspricht einer Transformation $$f_!\RA f_*$$ von Funktoren der opponierten Fasern, mit denen wir es in den Anwendungen meist zu tun haben. Ist zus"atzlich $f$ selbst ein Eigmorphismus, so ist diese Transformation nach \eref{RzBW}{TG} und \eref{trBW}{TG} die Identit"at auf dem Vorschub. Hier verwenden wir unsere Konvention, den Isomorphismus $i$ aus \ref{AlKnu} als die Identit"at anzunehmen, sonst mu"s das alles sorgf"altiger formuliert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwache Verflechtung durch Kommutativit"at}] Gegeben eine Faserung $\mathscr C \rightarrow \mathscr B$ ist $$(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B\leftarrow \mathscr C, \mathscr B)$$ stets eine schwache Austauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin eine schwache Verflechtung.\label{sVsVa} Ich nenne sie die {\bf banale schwache Verflechtung}\index{Verflechtung!banale schwache} zu unserer Faserung. Wir konstruieren weitere Verflechtungen, indem wir von einer banalen schwachen\label{AdKa} Verflechtung ausgehen und sie geeignet einschr"anken \ref{AdK} und lokalisieren \ref{AdLo}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schwache Verflechtung durch Einschr"anken}] Seien $\mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung "uber einer Kategorie $\mathscr B$ mit einem ausgezeichneten multiplikativen System $\mathscr B^{!}$ und sei $\mathscr C^{!}$ ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives\label{AdKa} System in $\mathscr C$ "uber $\mathscr B^{!}$ im Sinne von \ref{KKFuux}. Sei weiter $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^{!}$ ein multiplikatives Teilsystem derart, da"s "uber Morphismen aus $\mathscr B^{\op{e}}$ alle $\mathscr C$-Morphismen bereits $\mathscr C^{!}$-Morphismen sind und da"s $\mathscr B^{\op{e}}$ alle Isomorphismen von $\mathscr B$ enth"alt. So ist $$(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$$ eine schwache Austauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin eine schwache Verflechtung. Die eindeutige Erg"anzbarkeit partieller R"uckholquadrate wird dadurch gew"ahrleistet, da"s wir $\mathscr C^{!}$ faserr"uckzugstabil annehmen. Man mag zur "Ubung zeigen, da"s in diesem Fall, wenn zus"atzlich $\mathscr C\ra\mathscr B$ und $\mathscr C^!\ra\mathscr B^!$ beide Kofaserungen sind und $f_\dagger, f_\shriek$ die zugeh"origen Vorsch"ube bezeichnen, unsere Transformation $ f_\dagger\RA f_\shriek$ aus \ref{TegV} mit der durch die universelle Eigenschaft von $f_\dagger$ gegebenen Transformation "ubereinstimmt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Abelsche Garben auf diskreten R"aumen}] Im Fall der Garbenopfaserung auf Mengen mit der diskreten Topologie\label{aGTRa} $\op{Ab}_{\sslash{\op{Ens}}}\ra \op{Ens}$ ist die zugeh"orige banale schwache Verflechtung sogar eine starke Austauschsituation mit einer starken Verflechtung, wie nun ausgef"uhrt werden soll. Objekte der Faser "uber einer Menge $I$ sind Familien $M=(M_i)_{i\in I}\in\op{Ab}_{{\sslash} I}$ von abelschen Gruppen. Gegeben eine weitere Familie $L=(L_j)_{j\in J}$ von abelschen Gruppen "uber einer weiteren Menge $J$ und eine Abbildung $f:I\ra J$ ist ein Opkomorphismus $\psi\in \op{Ab}_{{\sslash} f}(M,L)$ "uber $f$ eine Familie von Gruppenhomomorphismen $$(\psi_i^\circ:L_{f(i)}\ra M_i)_{i\in I}$$ Unser Opkomorphismus $\psi$ ist kartesisch genau dann, wenn alle $\psi_i^\circ$ Isomorphismen sind. Er ist kokartesisch genau dann, wenn die $\psi_i^\circ$ f"ur alle $j\in J$ Isomorphismen $L_j\sira \prod_{f(i)=j}M_i$ induzieren. Man erkennt unmittelbar, da"s bei allen Verflechtungsquadraten mit kokartesischer Ausgangskante auch die zur"uckgeholte Kante kokartesisch ist. In \ref{aGTR3} diskutieren wir, inwiefern das f"ur allgemeine topologische R"aume nicht mehr richtig ist und durch welche Modifikationen man doch zu einer starken Verflechtung kommen kann. In \ref{trzu} diskutieren wir, inwiefern der obige Ansatz im Fall von Trennr"uckzug selbst f"ur abelsche Garben auf diskreten unendlichen Mengen bereits scheitert und da"s bereits dort die im Anschlu"s besprochene Variante besser funktioniert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Abelsche Garben auf topologischen R"aumen}] Die zur vollen Garbenopfaserung\label{aGTR3a} geh"orige banale schwache Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top} \leftarrow \op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}},\op{Top}\big)$$ ist sogar stark, da unsere Faserung auch eine Kofaserung ist. Die zugeh"orige schwache Verflechtung ist jedoch keine starke Verflechtung, da der Basiswechselmorphismus in dieser Allgemeinheit kein Isomorphismus sein mu"s, vergleiche etwa \eref{bwsd}{TG} oder \eref{gbsfw}{TG}. Jedoch bilden die eigentlichen Opkomorphismen ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}}$ und mit dem multiplikativen System $\op{Top}^{\op{e}}\subset \op{Top}$ der eigentlichen Abbildungen erhalten wir eine weitere schwache Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}},\op{Top}^{\op{e}}\big)$$ mit schwacher Verflechtung. Nach \eref{eiPL}{TG} wird $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ unter Restriktion auf das multiplikative System der separierten Abbildungen eine Kofaserung $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{s}}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$ und wir erhalten mit der Notation $\op{Top}^{\op{es}}$ f"ur das System der eigentlichen separierten Abbildungen eine starke Austauschsituation $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{s}} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{s}}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ mit schwacher Verflechtung. Noch feiner bilden auch die lokal eigentlichen separierten Abbildungen ein %Stimmt, aber unn"otig r"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{Top}^{\op{les}}$ und die eigentlichen Opkomorphismen dar"uber ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{les}}}}$ und nach lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} erhalten wir bei weiterem Einschr"anken zu\label{AtAa} $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ sogar eine starke Austauschsituation mit starker Verflechtung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine regulierte starke Austauschsituation verstehen wir unter einer {\bf kokartesischen Pr"averflechtung} eine Menge $K$ von R"uckholquadraten mit kokartesischen Vertikalen "uber erlaubten Basisquadraten, in denen sich jedes partielle R"uckholquadrat mit kokartesischer Ausgangskante eindeutig erg"anzen l"a"st, die stabil ist unter der Verklebung l"angs gleicher horizontaler und vertikaler Kanten und die alle kommutativen\label{kotva} Quadrate "uber erlaubten Basisquadraten mit zwei parallelen Eig-Kanten in der Basis sowie kartesischen Horizontalen und kokartesischen Vertikalen auf den Fasern enth"alt. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Verflechtung zu kokartesischer Pr"averflechtung}] Sei in einer starken regulierten Austauschsituation eine kokartesische Pr"averflechtung $K$ gegeben. So existiert h"ochstens eine Verflechtung, die unsere kokartesische Pr"averflechtung\label{vtdma} umfa"st. Eine hinreichende Bedingung f"ur die Existenz einer derartigen Verflechtung ist, da"s gegeben ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ && & \mathcal E\ar[dl]\ar@{-->}[dd]\ar@{..>}[rr]&& \mathcal F\ar[dl]\ar@{-->}[dd]\ar@{-->}[dd]&\\ W\ar[d]_g\ar[r]^q&X\ar[d]^f& \mathcal E'\ar@{-->}[dd]\ar@{..>}[rr]&&\mathcal F'\ar@{-->}[dd]&&\\ Z\ar[r]^p&Y& &\mathcal H\ar[dl]\ar@{..>}[rr]&& \mathcal G\ar[dl]&\\ && \mathcal H'\ar@{..>}[rr]&&\mathcal G'&& } \end{displaymath} "uber einem erlaubten Basiquadrat mit R"uckholquadraten unserer kokartesischen Pr"averflechtung als Vorderseite und R"uckseite und kommutierenden Quadraten rechts, links und oben auch der Boden kommutiert. \end{Lemma} \begin{proof} Jede Erweiterung von $K$ zu einem Verflechtungdatum mu"s alle R"uckholquadrate enthalten, die wir erhalten, indem wir an ein R"uckholquadrat unseres Teildatums ein kommutatives Quadrat mit kartesischen Horizontalen und Identit"aten als Vertikalen in der Basis unten ankleben. In der Menge $V$ von R"uckholquadraten, die wir auf diese Weise erhalten, l"a"st sich aber bereits jedes partielle R"uckholquadrat vervollst"andigen. Also gibt es h"ochstens eine Erweiterung von $K$ zu einem Verflechtungdatum, n"amlich die hier beschriebene Menge $V$ von R"uckholquadraten. Um zu zeigen, da"s $V$ auch tats"achlich ein Verflechtungsdatum ist, m"ussen wir unsere Bedingungen pr"ufen. Da"s $V$ die Bedingungen der \glqq eindeutigen Erg"anzbarkeit\grqq\ und der \glqq eigentlichen Kommutativit"at\grqq\ erf"ullt, scheint mir offensichtlich. Da"s $V$ stabil ist unter dem Verkleben l"angs vertikaler Kanten scheint mir ebenso offensichtlich. Da"s $V$ auch stabil ist unter dem Verkleben l"angs horizontaler Kanten folgt schlie"slich aus unserer zus"atzlichen Annahme. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Lokalisieren von schwacher Verflechtung zu Verflechtung}] Seien $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ eine schwache \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit einer schwachen Verflechtung\label{AdLoa} und $S$ ein faserweises Oresystem in $\mathscr C$, das stabil ist unter den R"uckz"ugen der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ und f"ur das der Funktor $\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine \hyperref[RAP]{$S$-Rechtsanpassung} besitzt. So gilt: \begin{enumerate} \item Lokalisieren zu $(S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow S^{-1}\mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}},i)$ f"ur $i$ die Verkn"upfung der durch \ref{FFL}, \ref{KriLO1} und \ref{LRAn1} gegebenen Isomorphismen $(S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr B^{\op{e}}}\sila S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C_{\mathscr B^{\op{e}}}\sira (S^{-1}\mathscr C^!)_{\mathscr B^{\op{e}}}$ liefert eine Austauschsituation; \item Diejenigen Basisquadrate bilden eine Regulierung der lokalisierten Austauschsituation aus 1, "uber denen bei jedem schwachen Verflechtungsquadrat, dessen Ausgangskante in der Lokalisierung $\shriek$-ko\-kar\-te\-sisch wird, auch die zur"uckgeholte Kante in der Lokalisierung $\shriek$-ko\-kar\-te\-sisch wird; \item Die Menge aller Bilder in der Lokalisierung von schwachen Verflechtungsquadraten "uber erlaubten Basisquadraten mit $\shriek$-kokartesischer Ausgangskante in der Lokalisierung l"a"st sich auf genau eine Weise erweitern zu einer Verflechtung der lokalisierten regulierten Austauschsituation aus dem zweiten Teil; \item In unserer Regulierung ist jedes Basisquadrat $fq=pg$ erlaubt, "uber dem f"ur jedes schwache Verflechtungsquadrat mit stark $\shriek$-kokartesischer Ausgangskante zwischen Objekten einer Rechtsanpassung $\mathscr D$ wie oben die zur"uckgeholte Kante $\shriek$-kokartesisch wird in der Lokalisierung. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir nennen die durch den dritten Teil dieses Satzes gegebene Verflechtung die {\bf lokalisierte Verflechtung}.\index{Verflechtung!lokalisiertes} Ich betone, da"s hier die lokalisierte Austauschsituation eine starke regulierte Austauschsituation ist und die lokalisierte Verflechtung eine starke regulierte Verflechtung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz besitzt eine offensichtliche Verallgemeinerung, die es erlaubt, auch schwache Verflechtungen regulierter schwacher Austauschsituationen zu lokalisieren. Ich habe jedoch f"ur diese Allgemeinheit keine Verwendung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisieren einer starken Verflechtung}] Ist in der Situation des Satzes $b:\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine Kofaserung und $g:W\ra Z$ ein Morphismus in $\mathscr B^{!}$, so bleibt nach \ref{LRAn2} ein kokartesischer Morphismus $\mathcal E\ra g_{\shriek}\mathcal E$ genau dann kokartesisch in der Lokalisierung, wenn $\mathcal E$ ein $S_W$-entfaltetes Objekt ist f"ur den Funktor $Qg_{\shriek}:\mathscr C_W\ra S_Z^{-1}\mathscr C_Z$. Beginnen wir im Satz mit einer starken Verflechtung, so ist mithin $fq=pg$ ein erlaubtes Basisquadrat, wenn der R"uckzug unter $q$ jedes Objekts $\mathcal F\in\mathscr D_X$ seinerseits $S_W$-$Qg_{\shriek}$-entfaltet ist.\label{VPOS} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wissen aus \ref{LRAn1}, da"s der Funktor $S^{-1}\mathscr C^{!}\ra \mathscr B^{!}$ eine Kofaserung ist. Da"s die fraglichen kartesischen Quadrate der Basis eine Regulierung bilden, ist offensichtlich. Den Beweis des dritten und vierten Teils f"uhren wir in mehreren Schritten. \\[2mm]\noindent 1. Wir betrachten in der lokalisierten regulierten Austauschsituation die Menge $K_{\mathscr D}$ aller R"uckholquadrate "uber erlaubten Basisquadraten, die Bilder von Verflechtungsquadraten unserer schwachen Austauschsituation sind mit einem stark kokartesischen Morphismus zwischen Objekten von $\mathscr D$ als Ausgangskante. Wir behaupten, da"s sich jeder Morphismus zwischen den Ausgangskanten eines R"uckholquadrats aus $K_{\mathscr D}$ zu einem Morphismus der R"uckholquadrate selber fortsetzen l"a"st. Seien also \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[d]^g&X\ar[d]^f \\ Z\ar[r]^p &Y } \qquad \xymatrix{ \mathcal E\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal F\ar@{-->}[d]^\tau \\ \mathcal H\ar@{..>}[r] &\mathcal G } \qquad \xymatrix{ \mathcal E'\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal F'\ar@{-->}[d]^{\tau'} \\ \mathcal H'\ar@{..>}[r] &\mathcal G' } \end{displaymath} ein erlaubtes Basisquadrat und dar"uber Verflechtungsquadrate unserer schwachen Verflechtung mit $\mathcal F,\mathcal F'\in\mathscr D_X$ und $\mathcal G,\mathcal G'\in\mathscr D_Y$ sowie $\tau:\mathcal F\ra\mathcal G$ und $\tau':\mathcal F'\ra\mathcal G'$ stark kokartesisch "uber $f$. Sei weiter der rechte Teil von \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[d]^f& Q\mathcal F \ar[r] \ar@{-->}[d]^{Q(\tau)}&Q\mathcal F' \ar@{-->}[d]^{Q(\tau')} \\ Y& Q\mathcal G \ar[r] &Q\mathcal G'} \end{displaymath} ein kommutatives Diagramm in $S^{-1}\mathscr C^!$. Nach \ref{ERAp} und \ref{LdfR} sind $Q(\tau)$ und $Q(\tau')$ kokartesisch f"ur $S^{-1}\mathscr C^!\ra \mathscr B^!$, folglich ist der Morphismus $Q\mathcal G \ra Q\mathcal G'$ bereits eindeutig durch den Rest des Diagramms bestimmt. Nun l"a"st sich jeder Morphismus $Q\mathcal F \ra Q\mathcal F'$ in $S^{-1}_X\mathscr C_X$ als Linksbruch $hs^{-1}$ schreiben. Weiter d"urfen wir dabei im Diagramm $$\mathcal F \stackrel{s}{\leftarrow} \mathcal F'' \stackrel{h}{\ra} \mathcal F'$$ ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $\mathcal F''\in\mathscr D_X$ annehmen. Nach unseren Annahmen finden wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal F \ar@{-->}[d]^{\tau}& \mathcal F'' \ar[r]^h\ar[l]_s \ar@{-->}[d]^{\tau''}&\mathcal F' \ar@{-->}[d]^{\tau'} \\ \mathcal G & \mathcal G'' \ar[l]_t\ar[r]^g &\mathcal G'} \end{displaymath} in $\mathscr C^!$ mit stark kokartesischen Vertikalen und Objekten aus $\mathscr D$ und $s,t\in S$, das unter dem Lokalisieren $Q$ bei Invertieren der linken Horizontalen als Rand das urspr"ungliche Diagramm liefert. Wir w"ahlen eine Vervollst"andigung der mitteleren Vertikale zu einem Verflechtungsquadrat unserer schwachen Verflechtung "uber dem immer gleichen erlaubten Basisquadrat und folgern aus der Funktorialit"at von Verflechtungsquadraten \ref{FVQ}, da"s im Diagramm $$\begin{array}{c}\xymatrix{ W\ar[rr]^q \ar[dd]^g&&X\ar[dd]^f \\ &&\\ Z\ar[rr]^p &&Y } \end{array} \qquad \begin{array}{c} \xymatrix{ \mathcal E' \ar@{..>}[rrr]\ar@{-->}[ddd] &&&\mathcal F' \ar@{-->}[ddd]^{\tau'} \\ & \mathcal E'' \ar@{..>}[r]\ar[lu] \ar@{-->}[d]&\mathcal F'' \ar@{-->}[d]^{\tau''}\ar[ru]^{ h} \\ &\mathcal H''\ar@{..>}[r]\ar[ld] &\mathcal G'' \ar[rd]\\ \mathcal H' \ar@{..>}[rrr] &&&\mathcal G' } \end{array}$$ mit senkrechten Morphismen in $\mathscr C^!$ und waagerechten Morphismen kartesisch in $\mathscr C$ und schr"agen Morphismen "uber Identit"aten der Basis gegeben durch die Kommutativit"at der entsprechenden Trapeze rechts, oben und unten sowie den linken Vertikalen gegeben durch die eindeutige Erg"anzung zu Verflechtungsquadraten auch das linke Trapez kommutiert. Lassen wir au"sen die Strichlein weg und ersetzen $h$ durch $s$, so gilt dasselbe und und unsere Annahmen zeigen zus"atzlich, da"s alle schr"agen Morphismen unter $Q$ zu Isomorphismen werden. So sehen wir, da"s sich in der Tat jeder Morphismus zwischen den Ausgangskanten von R"uckholquadraten aus $K_{\mathscr D}$ zu einem Morphismus der R"uckholquadrate erweitern l"a"st. \\[2mm]\noindent 2. Wir zeigen, da"s in der lokalisierten regulierten Austauschsituation die Menge $K$ aller R"uckholquadrate, die isomorph sind zu R"uckholquadraten aus $K_{\mathscr D}$, eine kokartesische Pr"averflechtung im Sinne von \ref{kotv} ist. Da"s alle R"uckholquadrate aus $K_{\mathscr D}$ und damit auch alle R"uckholquadrate aus $K$ kokartesische Vertikalen haben, folgt aus der Definition der zu betrachtenden Regulierung. Da"s jedes partielle R"uckholquadrat mit kokartesischer Ausgangskante "uber einem erlaubten Basisquadrat auf genau eine Weise zu einem R"uckholquadrat in $K$ erg"anzt werden kann, folgt aus der entsprechenden Aussage in $K_{\mathscr D}$, die bereits im ersten Schritt gezeigt wurde. Offensichtlich ist $K_{\mathscr D}$ und damit auch $K$ stabil ist unter dem Verkleben l"angs gleicher horizontaler Kanten. Aus unseren Annahmen folgt auch leicht, da"s "uber erlaubten Basisquadraten mit ge\-gen\-"uber\-lie\-gen\-den Eig-Kanten alle kommutativen R"uckholquadrate der lokalisierten Austauschsituation mit $\shriek$-kokartesischen Vertikalen und $\dagger$-kartesischen Horizontalen zu $K$ geh"oren. Wir pr"ufen nun noch, da"s $K$ auch stabil ist unter dem Verkleben l"angs vertikaler Kanten. Es reicht zu zeigen da"s das Ankleben einer R"uckholquadrats aus $K$ an ein R"uckholquadrat aus $K_{\mathscr D}$ wieder ein R"uckholquadrat aus $K$ liefert. Wir arbeiten im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{U\ar@{-->}[d] \ar@{..>}[r]&W\ar@{-->}[d] \ar@{=}[r]&W\ar@{-->}[d] \ar@{..>}[r]&X\ar@{-->}[d]&\mathcal I\ar@{-->}[d] \ar@{..>}[r]&\mathcal D\ar@{-->}[d] \ar[r]^S&\mathcal E\ar@{-->}[d] \ar@{..>}[r]&\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ V\ar@{..>}[r]&Z \ar@{=}[r]&Z \ar@{..>}[r]&Y&\mathcal J \ar@{..>}[r]&\mathcal D' \ar[r]&\mathcal H \ar@{..>}[r]&\mathcal G} \end{displaymath} Links sind zwei verklebte erlaubte Basisquadrate dargestellt mit einem trivialen Einschub in der Mitte, rechts ein Diagramm dar"uber in der nichtlokalisierten schwachen Austauschsituation, das wir nun aufbauen. Wir gehen von einem stark $\shriek$-kokartesischen Morphismus zwischen Objekten von $\mathscr D$ aus, der hier als die Vertikale ganz rechts dargestellt ist, und erg"anzen ihn zu einem Verflechtungsquadrat, hier dem rechts dargestellten R"uckholquadrat. Nach Annahme wird dann die zweite Vertikale von links $\shriek$-kokartesisch in der Lokalisierung. Nach Annahme finden wir einen $S$-Morphismus von einem Objekt $\mathcal D\in \mathscr D$ nach $\mathcal E$ und einen stark $\shriek$-kokartesischen Morphismus "uber dem entsprechenden Morphismus der Basis in ein weiteres Objekt $\mathcal D'\in \mathscr D$ und einen Morphismus $\mathcal D'\ra \mathcal H$ derart, da"s das mittlere Quadrat kommutiert. Da beide Vertikalen des mittleren Quadrats kokartesisch werden in der Lokalisierung, mu"s die untere Horizontale dort ein Isomorphismus werden. Schlie"slich erg"anzen wir die dritte Vertikale von rechts noch zu einem Verflechtungsquadrat. Dann geh"ort in der Lokalisierung das Bild des Quadrats ganz links zu $K_{\mathscr D}$, das einh"ullende Rechteck der beiden linken Quadrate zu $K$ und das einh"ullende Rechteck aller drei Quadrate zu $K_{\mathscr D}$ und $K$ ist in der Tat eine kokartesische Pr"averflechtung. \\[2mm]\noindent 3. Wir zeigen, da"s unsere kokartesische Pr"averflechtung $K$ die zus"atzliche Bedingung aus Lemma \ref{vtdm} erf"ullt und sich somit auf genau eine Weise zu einer Verflechtung erg"anzen l"a"st. Es reicht, diese zus"atzliche Bedingung f"ur Verflechtungsquadrate aus $K_{\mathscr D}$ zu pr"ufen. Das haben wir jedoch bereits im ersten Schritt mit erledigt. \\[2mm]\noindent 4. Der Beweis des vierten Teils ist im zweiten Schritt vom Beweis des dritten Teils enthalten. Man mu"s darin nur im Diagramm direkt von der zweiten Vertikale von rechts $\mathcal E\dashrightarrow \mathcal H$ ausgehen. \end{proof} \begin{Beispiel} Unsere topologische Austauschsituation aus \ref{AtA} mit der durch Kommutativit"at konstruierten Verflechtung liefert in offensichtlicher Weise verflochtene Austauschsituationen $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ f"ur $\sharp$ eine jede unserer vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. Im Fall von $\op{Hot}^-$ k"onnen wir diese Austauschsituation nach Quasiisomorphismen lokalisieren, da uns nach \ref{RAGB} die Rechtsanpassung $\op{Hot}^-(\op{skwAb}_{\sslash \op{Top}})$ durch entsprechend beschr"ankte Komplexe schwach kompaktweicher Garben zur Verf"ugung steht. In diesem Fall ist die zu lokalisierende Verflechtung stark und die lokalisierte Verflechtung unreguliert, als da hei"st, alle kartesischen Basisquadrate sind erlaubt. Um die Bedingungen des Satzes \ref{AdLo} zu pr"ufen, m"ussen wir nach \ref{VPOS} nur zeigen, da"s gegeben \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[d]^g&X\ar[d]^f \\ Z\ar[r]^p &Y } \end{displaymath} ein kartesisches Diagramm topologischer R"aume mit les-Ab\-bil\-dun\-gen $f,g$ in den Vertikalen und ein Komplex $\mathcal F\in \op{Hot}^-(\op{skwAb}_{\sslash X})$ der R"uckzug $q^\dagger \mathcal F$ ein $Qg_{(!)}$-entfalteter Garbenkomplex ist. Das aber folgt aus \ref{azyeb} und wir erhalten durch Lokalisieren eine Verflechtung der Austauschsituation $$(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ Weiter erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Austauschsituationen mit Verflechtung $$\left(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ und k"onnen sie wie zuvor nach Quasiisomorphismen lokalisieren, da wir nach \ref{RAGBb} eine Rechtsanpassung zur Verf"ugung haben und damit genauso argumentieren k"onnen. So erhalten wir eine Verflechtung zur Austauschsituation\label{kolesb} $$(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$ Nach Konstruktion sind in diesen beiden Situationen die Verflechtungsquadrate zu Ausgangskanten aus $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}$ dieselben. \end{Beispiel} \subsection{Austausch und Zwei-Funktor-Formalismus} \nichtfinal{Ich habe das umgeschrieben und $f^\dagger$ zu $f^*$ vereinfacht und $f_{\kv}$ zu $f_!$. Dann sind nur die Fasern meist opponierte Kategorien von Garben, aber das ist harmlos.} \begin{Bemerkungl} Im folgenden soll die Beziehung von deriviertem eigentlichen Vorschub und gew"ohnlichem R"uckzug, im n"achsten Abschnitt sogar gew"ohnlichem Trennr"uckzug ausgearbeitet werden. Wir beginnen damit, daf"ur einen begrifflichen Rahmen zu zimmern. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{AAAlKnu} Unter einer {\bf Austauschsituation}\index{Austauschsituation} verstehen wir eine Vorgabe von Daten $$(\mathscr C\stackrel{p}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\stackrel{q}{\leftarrow} \mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}},i)$$ bestehend aus einer Kategorie $\mathscr B$, der {\bf Basiskategorie} oder {\bf Basis},\index{Basis!einer Austauschsituation} und darin zwei ausgezeichneten \hyperref[Rzst]{r\"{u}ckzugstabilen} \hyperref[RmSM]{multiplikativen Systemen} $\mathscr B^{{\kv}}\supset \mathscr B^{\op{e}}$, die beide alle Isomorphismen enthalten. Des weiteren geh"oren zu unseren Daten noch ein Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$, ein Kofaserfunktor $q:\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ sowie ein Isomorphismus $i:\mathscr C^{\kv}|\mathscr B^{\op{e}}\sira \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$ von Kategorien "uber $\mathscr B^{\op{e}}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Sprechweisen und Notationen}] \begin{enumerate} \item Wir behandeln unseren Isomorphismus $i$ im folgenden in der Notation meist als eine Gleichheit und reden dann vereinfachend von einer Austauschsituation $(\mathscr C\stackrel{p}{\ra} \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\stackrel{q}{\leftarrow} \mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}})$. \item Den R"uckzug in unserer Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ f"ur einen beliebigen Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B$ notieren wir $f^\dagger: \mathscr C_Y\ra \mathscr C_X$. \item Den Vorschub in unserer Kofaserung $\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ f"ur einen beliebigen Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B^{\kv}$ notieren wir $f_{\kv}: \mathscr C_Y^{\kv}\ra \mathscr C_X^{\kv}$. \item Die Verwendung der Symbole $p,q$ f"ur Funktoren kollidiert ungl"ucklicherweise mit unserer Standardnotation $fq=pg$ f"ur kartesische Quadrate. Ich werde versuchen, die fraglichen Funktoren meist nicht zu notieren und sage deshalb gerne alternativ $\dagger$-kartesisch statt $p$-kartesisch und $\kv$-kokartesisch statt $q$-kokartesisch und dergleichen. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{\op{e}}$ nennen wir die {\bf eig-Morphismen},\index{eig-Morphismus} weil sie in typischen Beispielen die eigentlichen Morphismen sind. Unsere Daten beinhalten speziell eine Bifaserung "uber $\mathscr B^{\op{e}}$ und damit f"ur jeden eig-Morphismus $f$ eine Adjunktion $(f_{\kv},f^\dagger)$. \item Die Morphismen in $\mathscr B^{\kv}$ und $\mathscr C^{\kv}$ nenne ich {\bf kriech-Morphis\-men},\index{kriech-Morphismus} weil ich das Symbol $\kv$ als umgekehrtes Ausrufezeichen lese, und das wird auf Englisch \glqq shriek\grqq\ genannt. Also mag \glqq en verlan\grqq\ das Symbol $\kv$ mit \glqq kriech\grqq\ bezeichnet werden. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Kategorien $\op{Top}\supset \op{Top}^{\op{s}}\supset \op{Top}^{\op{es}}$ in der Basis bilden mit dem Faserfunktor $p:\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ unserer Garbenopfaserung \eref{GaKoFa}{TG} und dem Kofaserfunktor $q:\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}\ra \op{Top}^{\op{s}}$ unserer eigentlichen Garbenopkofaserung aus \eref{eiPL}{TG} und deren offensichtlicher Identifikation "uber eigentlichen separierten Abbildungen in der Basis eine Austauschsituation.\label{AAATTo} Der wesentliche Punkt ist hierbei die Erkenntnis, da"s wir f"ur eigentliches separiertes $f$ wegen $f_!=f_*$ eine Adjunktion $(f^*, f_!)$ haben. Die hier besprochene Situation weist die Besonderheit auf, da"s $q$ aus $p$ durch Restriktion hervorgeht. Das wird uns dabei helfen, in dieser Situation sogenannte \glqq Austauschdaten\grqq\ zu konstruieren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \hyperref[AlKnu]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\leftarrow \mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf R"uckholquadrat}\index{R"uckholquadrat} ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& \ar@{-->}[d] \\ \ar@{..>}[r]&} \end{displaymath} %\begin{displaymath} % \xymatrix{ %& \ar@{..>}[dl] \ar@{-->}[dr] &\\ %\ar@{-->}[dr] & &\ar@{..>}[dl]\\ %&& %} % \end{displaymath} "uber einem kartesischen Quadrat in der Basis $\mathscr B$ mit Objekten von $\mathscr C$ an den Ecken und $\dagger$-kartesischen $\mathscr C$-Morphismen als horizontalen gepunktelten Pfeilen und $\mathscr C^{\kv}$-Morphismen als vertikalen gestrichelten Pfeilen, so da"s insbesondere die Bilder der gestrichelten Pfeile in unserem kartesischen Quadrat in der Basis $\mathscr B$ auch kriech-Morphismen sein m"ussen. Die gepunktelt gezeichneten Kanten nenne ich die {\bf R"uckholkanten}\index{R"uckholkante} unseres R"uckholquadrats und die rechte gestrichelte Kante seine {\bf Ausgangskante}.\index{Ausgangskante} Wir zeichnen auch in Zukunft $\mathscr C$-Morphismen als gepunktelte Pfeile, $\mathscr C^{\kv}$-Morphismen als gestrichelte Pfeile und $\mathscr C^{\op{e}}$-Morphismen als durchgezogene Pfeile. Man beachte, da"s es nicht sinnvoll ist, die Kommutativit"at unseres Diagramms zu fordern, da sich $\mathscr C^{\kv}$-Morphismen und $\mathscr C$-Morphismen im allgemeinen nicht verkn"upfen lassen. Die Gesamtheit aller R"uckholquadrate "uber einem vorgegebenen kartesischen Quadrat in der Basis bildet selbst eine Kategorie, da ja nach Annahme $\mathscr C$-Morphismen und $\mathscr C^{\kv}$-Morphismen "uber Identit"aten, ja sogar "uber beliebigen eig-Morphismen der Basis "ubereinstimmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Austauschsituation $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\leftarrow \mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}})$ verstehen wir unter einem {\bf Austauschdatum}\index{Austauschdatum}\label{AAAusDaA} zu unserer Austauschsituation eine Menge von R"uckholquadraten, genannt {\bf Austauschquadraten},\index{Austauschquadrat} mit den folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Jedes \glqq partielle R"uckholquadrat, bei dem nur der zur"uckgeholte $\mathscr C^{\kv}$-Mor\-phis\-mus fehlt\grqq, bei der aber der zur"uckgeholte kriech-Morphismus in der Basis durchaus vorhanden ist, l"a"st sich auf genau eine Weise zu einem Austauschquadrat erg"anzen. Ich versuche, diese Aussage zus"atzlich zu verdeutlichen durch die graphische Darstellung \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar@{..>}[r]& \ar@{-->}[d] \\ \ar@{..>}[r]&} \end{displaymath} \item Unter beiden Arten des Aneinandersetzens l"angs gleicher Kanten mit der Komposition in den neu entstehenden Kanten wird aus zwei Austauschquadraten wieder ein Austauschquadrat; \item Ein R"uckholquadrat "uber einem kartesischen Quadrat in der Basis mit eig-Morphismen auf gegen"uberliegenden Kanten ist genau dann ein Austauschquadrat, wenn es unter dem vorgegebenen Isomorphismus $\mathscr C^{\kv}|\mathscr B^{\op{e}}\sira \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$ einem kommutativen Quadrat in $\mathscr C$ beziehungsweise $\mathscr C^{\kv}$ entspricht. \item Ist bei einem R"uckholquadrat die Ausgangskante $\kv$-kokartesisch, so auch die gegen"uberliegende Kante. \end{enumerate} Gegeben eine Austauschsituation mit Austauschdatum sagen wir auch, die {\bf Faserung sei verflochten mit der Kofaserung l"angs der eig-Morphismen}\label{AAVerFFA} und nennen unser Austauschdatum eine {\bf Verflechtung}.\index{Verflechtung!von Faserung und Kofaserung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at von Austauschquadraten}] Jeder Morphismus zwischen den Ausgangskanten zweier Austauschquadrate "uber einem vorgegebenen kartesischen Quadrat in der Basis l"a"st sich nach unseren Annahmen auf genau eine Weise zu einem Morphismus zwischen den beiden Austauschquadraten fortsetzen. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Ein Austauschdatum nennen wir %{\bf kokartesisch},\index{Austauschdatum!kokartesisches} %wenn in jedem Austauschquadrat mit einer $\kv$-kokartesischen Ausgangskante %auch die zur"uckgeholte Kante $\kv$-kokartesisch ist. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Austauschdatum und in der Basis ein kartesisches Diagramm $hf=gk$ mit ${\kv}$-Morphismen $h,k$ erhalten wir einen ausgezeichneten Isomorphismus von Funktoren\label{AAeaBAA} $$k_{\kv} f^\dagger\siRa g^\dagger h_{\kv}$$ als \glqq denjenigen Isomorphismus, der zusammen mit den Transportmorphismen ein Austauschquadrat liefert\grqq. Wir nennen ihn den {\bf eigentlichen Basiswechsel}\index{Basiswechsel!eigentlicher abstrakter} zu unserem Austauschdatum. Sind $h,k$ beide eig-Morphismen, so stimmt er nach unserer dritten Annahme mit dem allgemeinen Basiswechsel \eref{BaWW}{TG} der durch unsere Austauschsituation auf $\mathscr B^{\op{e}}$ gegebenen Bifaserung "uberein. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl} % Ein R"uckholquadrat in einer kokartesischen Austauschsituation hei"se {\bf kokartesisch},\index{kokartesisch!R"uckholquadrat} % wenn seine beiden \glqq nicht-R"uckholkanten\grqq\ kokartesisch sind. % Ein kokartesisches Austauschdatum wird durch seine kokartesischen % Austauschquadrate bereits eindeutig festgelegt, und jede Vorgabe % einer Menge kokartesischer R"uckholquadrate, die die % obigen Bedingungen 1-3 entsprechend erf"ullen, kommt von % einem kokartesischen Austauschdatum her. NEIN, BRAUCHT ZUSAETZLICHE % BEDINGUNGEN AN KOKARTESISCHE RUECKHOLQUADRATE! % \end{Bemerkungl} %AB HIER DURCHSEHEN WEGEN KOKARTESISCH! \begin{Bemerkungl}[\textbf{Austauschdaten durch Kommutativit"at}] Seien $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung "uber einer Kategorie $\mathscr B$ mit r"uckzugstabilem multiplikativen System $\mathscr B^{\kv}$ und sei $\mathscr C^{\kv}$ ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives\label{AAAdKA} System in $\mathscr C$ "uber $\mathscr B^{\kv}$ im Sinne von \ref{KKFuux}. Sei weiter der restringierte Funktor $p:\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ eine Kofaserung und es m"ogen deren kokartesische Morphismen auch ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System "uber $\mathscr B^{\kv}$ bilden. Sei schlie"slich $\mathscr B^{\op{e}}\subset \mathscr B^{\kv}$ ein r"uckzugstabiles multiplikatives Teilsystem derart, da"s "uber Morphismen aus $\mathscr B^{\op{e}}$ alle $\mathscr C$-Morphismen bereits $\mathscr C^{\kv}$-Morphismen sind. So ist $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\leftarrow \mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}})$ eine Austauschsituation und die kommutativen R"uckholquadrate bilden darin ein Austauschdatum. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Austauschdaten in topologischen Austauschsituationen}] Wir erinnern unsere Austauschsituation $(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}^{\op{s}}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{s}}}, \op{Top}^{\op{es}})$ aus \ref{ATTo}. % In unserer Austauschsituation % $(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset\op{Top}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}}, % \op{Top}^{\op{e}})$ aus \ref{ATTo} bilden die in $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$ % kommutierenden R"uckholquadrate ein Austauschdatum, da nach \ref{ReO} % der R"uckzug eines eigentlichen Opkomorphismus stets wieder eigentlich ist. Bezeichnen wir mit $\op{Top}^{\op{les}}$ die Kategorie der topologischen R"aume mit nur lokal eigentlichen separierten Abbildungen als Morphismen, so ist auch $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ eine Austauschsituation. Darin bilden nach \ref{AdK} die in $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$ kommutierenden R"uckholquadrate\label{AAAtA} ein Austauschdatum, da nach \ref{ReO} der R"uckzug eines eigkokartesischen Opkomorphismus "uber einer lokal eigentlichen separierten Abbildung stets wieder eigkokartesisch ist. In unserer Terminologie aus \ref{VerFF} ist das also eine Verflechtung der \hyperref[GaKoFa]{Garbenopfaserung} $\op{Ab}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ mit der \hyperref[eigKOF]{eigentlichen Garbenopkofaserung} $\op{Ab}^!_{\sslash\op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$ l"angs der eigentlichen separierten Abbildungen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Transformation vom eigentlichen zum gew"ohnlichen Vorschub}] Gegeben eine Austauschsitution $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\leftarrow \mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}})$ mit Verflechtung erhalten wir f"ur jeden ${\kv}$-Morphismus $f:X\ra Y$, f"ur den $\Delta=\Delta_f:X\ra X\times_Y X$ ein eig-Morphismus ist, eine Transformation $\op{id}\RA f^\dagger f_{\kv}$ mithilfe des kartesischen Quadrats\label{AATegV} \begin{displaymath} \xymatrix{ & \ar[dl]X\times_Y X\ar[dr] &\\ X\ar[dr] & &X\ar[dl]\\ &Y& } \end{displaymath} in der Basis als die Komposition $\op{id}\siRa\op{pr}_{2{\kv}}\Delta_{\kv}\Delta^\dagger \op{pr}_{1}^\dagger\RA \op{pr}_{2{\kv}}\op{pr}_{1}^\dagger \siRa f^\dagger f_{\kv}$ unter Ausn"utzen von eigentlichem abstrakten Basiswechsel \ref{eaBA} und der Adjunktion $(\Delta_{\kv},\Delta^\dagger)$ aus \ref{VerFF}. Besitzt $f^\dagger$ einen Linksadjungierten, so erhalten wir auf diese Weise eine nat"urliche Transformation $f_\dagger\RA f_{\kv}$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Verflechtung durch Lokalisierung}] Sei eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\leftarrow \mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}})$\label{AAAdLoA} gegeben. \begin{enumerate} \item Sei $S$ ein ges"attigtes faserweises Oresystem in $\mathscr C$, das stabil ist unter den R"uckz"ugen der Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ und f"ur das die Kofaserung $\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ \hyperref[LRAA]{lokal Linksanpassungen} besitzt. So ist $(S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{\kv}\leftarrow S^{-1}\mathscr C^{\kv}, \mathscr B^{\op{e}})$ wieder eine Austauschsituation in nat"urlicher Weise; \item Sei zus"atzlich in unserer urspr"unglichen Austauschsituation ein \hyperref[adEDB]{Austauschdatum} gegeben derart, da"s f"ur jedes kokartesische Austauschquadrat, dessen Ausgangskante in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ kokartesisch bleibt, auch die gegen"uberliegende Kante in der Lokalisierung kokartesisch bleibt. So gibt es genau ein Austauschdatum in der lokalisierten Austauschsitution, das alle die auf diese Weise entstehenden R"uckholquadrate enth"alt. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir nennen das im vorigen Satz konstruierte Austauschdatum das zu den Vorgaben geh"orige {\bf lokalisierte Austauschdatum}.\index{Austauschdatum!lokalisiertes} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachtes Pr"ufen der Bedingungen des obigen Satzes}] Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr B^{\kv}$ bleibt ein kokartesischer Morphismus $\mathcal F\ra f_{\kv}\mathcal F$ genau dann kokartesisch in der Lokalisierung,\label{AAVPOSA} wenn $\mathcal F$ ein $S_X$-entfaltetes Objekt ist f"ur den Funktor $Qf_{\kv}:\mathscr C_X\ra S_Y^{-1}\mathscr C_Y$, wie aus \ref{LRaV} folgt. Sei nun $fq=pg$ ein kartesisches Diagramm der Basis. Es reicht zu pr"ufen, da"s der R"uckzug unter $q$ jedes $S_X$-$Qf_{\kv}$-entfalteten Objekts seinerseits ein $S_W$-$Qg_{\kv}$-entfaltetes Objekt ist f"ur $q:W\ra X$. Daf"ur hinwiederum reicht es zu zeigen, da"s wir f"ur jedes Objekt $\mathcal F\in \mathscr C_X$ einen $S_X$-Morphismus $\mathcal G\ra \mathcal F$ finden k"onnen derart, da"s sowohl $\mathcal G$ ein $S_X$-$Qf_{\kv}$-entfaltetes Objekt ist als auch $q^\dagger\mathcal G$ ein $S_W$-$Qg_{\kv}$-entfaltetes Objekt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Unsere Austauschsituation aus \ref{AtA} mit der durch Kommutativit"at konstruierten Verflechtung liefert in offensichtlicher Weise eine Austauschsituationen mit Verflechtung $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ f"ur $\sharp$ eine beliebige unserer vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. Im Fall von $\op{Hot}^-$ k"onnen wir diese Verflechtung nach Quasiisomorphismen lokalisieren, da wir die Linksanpassung durch Komplexe schwach kompaktweicher Garben zur Verf"ugung haben und da nach \ref{azyeb} in einem kartesischen Diagramm $fq=pg$ topologischer R"aume mit lokal eigentlichen separierten Abbildungen $f,g$ der R"uckzug jeder $Qf_{(!)}$-azyklischen Garbe unter $q$ eine $Qg_{(!)}$-azyklische Garbe ist und wir das vereinfachte Kriterium vom Ende von \ref{VPOS} anwenden k"onnen. So erhalten wir eine Verflechtung zur Austauschsituation $$(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ Weiter erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Austauschsituationen mit Verflechtung $$\left(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ und k"onnen es wie zuvor nach Quasiisomorphismen lokalisieren, da wir lokale Linksanpassungen zur Verf"ugung haben und damit genauso argumentieren d"urfen. So erhalten wir eine Verflechtung zur Austauschsituation\label{AAkolesb} $$(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$ Nach Konstruktion sind die Austauschquadrate zu Ausgangskanten aus $\op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}$ in diesen beiden Situationen dieselben. \end{Beispiel} \begin{proof} 1. Wir wissen aus \ref{LRaV} und im Fall der Existenz einer \glqq globalen\grqq\ Linksanpassung sogar bereits aus \ref{LRAn} \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}}, da"s der Funktor $S^{-1}\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ eine Kofaserung ist und da"s der offensichtliche Funktor ein Isomorphismus von Kategorien $S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C^{\kv}_{\mathscr B^{\op{e}}}\sira (S^{-1}\mathscr C^{\kv})_{\mathscr B^{\op{e}}}$ ist. Wir wissen aus \ref{LRAn} \nichtfinal{oder neu \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2}} und sogar bereits aus \ref{FFL} und \ref{KriLO1}, da"s der Funktor $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ eine Faserung ist und da"s der offensichtliche Funktor ein Isomorphismus von Kategorien $S^{-1}_{\mathscr B^{\op{e}}}\mathscr C_{\mathscr B^{\op{e}}}\sira (S^{-1}\mathscr C)_{\mathscr B^{\op{e}}}$ ist. Das zeigt die erste Aussage.\\[2mm]\noindent 2. Da"s es h"ochstens ein derartiges Austauschdatum gibt, ist klar: Seine Austauschquadrate m"ussen genau alle R"uckholquadrate sein, die isomorph sind zu R"uckholquadraten, die man erh"alt, indem man an ein R"uckholquadrat der in Teil 2 unseres Satzes beschriebenen Art unten noch ein kommutatives R"uckholquadrat "uber einem kartesischen Diagramm in der Basis mit Identit"aten als ${\kv}$-Morphismen anf"ugt. Explizit besteht unser Austauschdatum in spe mithin aus allen R"uckholquadraten, die isomorph sind zu Randquadraten von Diagrammen der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ q^\dagger \mathcal F \ar[r] \ar[d]&\mathcal F \ar[d] \\ p^\dagger f_{{\kv}}\mathcal F\ar[r] \ar[d] &f_{{\kv}}\mathcal F\ar[d] \\ p^\dagger \mathcal G\ar[r]&\mathcal G } \end{displaymath} mit als oberen Quadrat einem Austauschquadrat des urspr"unglichen Austauschdatums mit $\mathcal F$ entfaltet f"ur $Qf_{\kv}$ und als unterem Quadrat einem kommutativen R"uckholquadrat in der Lokalisierung mit Morphismen "uber Identit"aten in den Vertikalen. Jetzt "uberlegen wir uns, da"s die so gegebene Menge von R"uckholquadraten, die wir vorerst unsere \glqq hoffnungsvollen R"uckholquadrate\grqq\ nennen, auch wirklich ein Austauschdatum bildet. Um zu sehen, da"s jede Ausgangskante zu einem hoffnungsvollen R"uckholquadrat erg"anzt werden kann, erinnern wir aus \ref{LRaV}, da"s es f"ur jeden ${\kv}$-Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis und jedes $\mathcal E\in \mathscr C_X$ eine $S_X$-Linksentfaltung $\mathcal F\ra \mathcal E$ f"ur $Qf_{\kv}$ gibt und da"s der Transportmorphismus $\mathcal F\ra f_{\kv}\mathcal F$ sowohl f"ur $\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ als auch f"ur $S^{-1}\mathscr C^{\kv}\ra \mathscr B^{\kv}$ kokartesisch ist. Jede Ausgangskante kann mithin zu einem hoffnungsvollen R"uckholquadrat erg"anzt werden. Nach Annahme induziert weiter ein $S$-Morphismus $\mathcal F\ra \mathcal F'$ zwischen Objekten von $\mathscr C_X$, bei denen die Transportmorphismen zu ihren $f_{\kv}$-Vorsch"uben in der Lokalisierung kokartesisch bleiben, stets $S$-Morphismen an allen anderen Ecken unseres Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ q^\dagger \mathcal F \ar[r] \ar[d]&\mathcal F \ar[d] \\ p^\dagger f_{{\kv}}\mathcal F\ar[r]& f_{{\kv}}\mathcal F } \end{displaymath} Das zeigt, da"s die Gesamtheit unserer hoffnungvollen R"uckholquadrate schon einmal die erste Eigenschaft eines Austauschdatums erf"ullt. Da"s das Verkleben hoffnungvoller R"uckholquadrate l"angs vertikaler Kanten stets wieder ein hoffnungvolles R"uckholquadrat liefert, ist offensichtlich. Weiter ist klar, da"s wenn zwei R"uckholkanten eines hoffnungvollen R"uckholquadrats Identit"aten "uber Identit"aten der Basis sind, da"s dann die beiden anderen Kanten "ubereinstimmen. Um die zweite Bedingung an ein Austauschdatum zu pr"ufen, m"ussen wir also nur noch zeigen, da"s auch das Verkleben hoffnungvoller R"uckholquadrate l"angs R"uckholkanten stets wieder ein hoffnungvolle R"uckholquadrate liefert. Wir d"urfen uns dabei auf den Fall beschr"anken, da"s wir ein hoffnungsvolles R"uckholquadrat mit kokartesischen $\kv$-Kanten unten ankleben, das bereits selbst von der in Teil 2 unseres Satzes beschriebenen Gestalt ist. Wir argumentieren anhand des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ &&q^\dagger\mathcal F\ar[rrr] \ar[d] &&& \mathcal F \ar[d]\\ &&p^\dagger f_{{\kv}}\mathcal F\ar[ddd]\ar[rrr] &&& f_{{\kv}}\mathcal F \ar[ddd]\\ &p^\dagger \mathcal E\ar[dl]\ar[ddd]\ar[ur]^-{S}\ar[rrr]&&& \mathcal E\ar[dl]\ar[ddd]\ar[ur]^-{S}\ar[ddd]&\\ p^\dagger \mathcal G\ar[ddd]\ar[rrr]&&&\mathcal G\ar[ddd]&&\\ &&r^\dagger g_{{\kv}}f_{{\kv}}\mathcal F\ar[rrr] &&& g_{{\kv}}f_{{\kv}}\mathcal F\\ &r^\dagger g_{{\kv}}\mathcal E\ar[dl]\ar[ur]^-{S}\ar[rrr]&&& g_{{\kv}}\mathcal E\ar[dl]\ar[ur]^-{S}&\\ r^\dagger g_{{\kv}}\mathcal G\ar[rrr]&&&g_{{\kv}}\mathcal G&& } \end{displaymath} Hier d"urfen wir nach unseren Annahmen $\mathcal E,\mathcal F,\mathcal G$ so w"ahlen, da"s alle vertikalen Pfeile auf der rechten Seite unseres Diagramms kokartesisch bleiben in der Lokalisierung. Nach Annahme folgt dasselbe f"ur alle vertikalen Pfeile auf der linken Seite unseres Diagramms. Die Kommutativit"at unseres Diagramms zeigt dann, da"s auch das "Ubereinandersetzen hoffnungsvoller R"uckholquadrate wieder ein hoffnungsvolles R"uckholquadrat liefert. Unsere hoffnungsvollen R"uckholquadrate erf"ullen mithin auch die zweite Eigenschaft, die wir von einem Austauschdatum fordern. \end{proof} \subsection{Trennaustausch und Drei-Funktor-Formalismus} \begin{Bemerkungl} Seien $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^{!}\leftarrow \mathscr C^{!}, \mathscr B^{\op{e}})$ eine \hyperref[adEDB]{Austauschsituation} mit einer schwachen Verflechtung und $S$ ein faserweises Oresystem in $\mathscr C$. Gegeben ein Basisquadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^q \ar[d]_g&X\ar[d]^f \\ Z\ar[r]^p &Y } \end{displaymath} und $\mathcal F\in \mathscr C_X$ erhalten wir unter der Annahme, da"s alle beteiligten zahmen Derivierten auf den jeweiligen Objekten existieren und da"s $\mathcal F$ sowohl rechtsentfaltet ist f"ur $Qq^\dagger$ als auch linksentfaltet f"ur $Qf_\shriek$, da"s also sowohl $\tau:Qq^\dagger\mathcal F\ra({\op{R}}q^\dagger)(Q\mathcal F)$ als auch $\tau:({\op{L}}f_\shriek)(Q\mathcal F)\ra Qf_\shriek\mathcal F$ Isomorphismen sind, ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ ({\op{L}}g_\shriek)Qq^\dagger\mathcal F \ar[r]^-\sim \ar[d]& ({\op{L}}g_\shriek)({\op{R}}q^\dagger)Q\mathcal F&({\op{R}}p^\dagger)({\op{L}}f_\shriek)Q\mathcal F\ar[d]^\wr\\ Qg_\shriek q^\dagger\mathcal F \ar[r] & Q p^\dagger f_\shriek\mathcal F\ar[r] & ({\op{R}} p^\dagger) Qf_\shriek\mathcal F} \end{displaymath} Wir sagen f"ur unsere Voraussetzungen abk"urzend, $\mathcal F$ sei \glqq hinreichend beidseitig entfaltet\grqq. Gehen wir in diesem Diagramm eimal herum und durchlaufen die Isomorphismen r"uckw"arts, so erhalten wir als Verkn"upfung einen wohlbestimmten Morphismus $$ ({\op{L}}g_\shriek)({\op{R}}q^\dagger)Q\mathcal F\ra ({\op{R}}p^\dagger)({\op{L}}f_\shriek)Q\mathcal F$$ an der Fehlstelle oben rechts. Wir nennen ihn den {\bf naiven Basiswechsel}\label{nBa} und nennen das bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte R"uckholquadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ ({\op{R}}q^\dagger)Q\mathcal F\ar[r] \ar[d]&Q\mathcal F\ar[dd] \\ ({\op{L}}g_\shriek) ({\op{R}}q^\dagger)Q\mathcal F \ar[d]&\\ ({\op{R}}p^\dagger)({\op{L}}f_\shriek)Q\mathcal F\ar[r] &({\op{L}}f_\shriek)Q\mathcal F } \end{displaymath} mit dem naiven Basiswechsel als linker unterer Vertikale das {\bf naive Verflechtungsquadrat zu $\mathcal F$}. Unter einem {\bf naiven Verflechtungsquadrat}\index{Verflechtungs!naives} verstehen wir ein R"uckholquadrat der lokalisierten Austauschstuation, da"s zum naiven Verflechtungsquadrat eines entsprechend beidseitig entfalteten Objekts isomorph ist. F"ur jeden Morphismus $\mathcal F\ra\mathcal G$ in ein Objekt mit denselben Eigenschaften erhalten wir mit den naiven Basiswechseln in den Vertikalen ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{({\op{L}}g_\shriek)({\op{R}}q^\dagger)Q\mathcal F\ar[r]\ar[d]& ({\op{L}}g_\shriek)({\op{R}}q^\dagger)Q\mathcal G\ar[d]\\ ({\op{R}}p^\dagger)({\op{L}}f_\shriek)Q\mathcal F\ar[r]& ({\op{R}}p^\dagger)({\op{L}}f_\shriek)Q\mathcal G} \end{displaymath} Jeder Morphismus $\mathcal F\ra\mathcal G$ in der nicht lokalisierten Kategorie $\mathscr C_X$ von entsprechend entfalteten Objekten l"a"st sich mithin auf genau eine Weise zu einem Morphismus der zugeh"origen naiven R"uckholquadrate ausdehnen.\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bestimmen einer Regulierung}] Jeder Morphismus der Familienkategorie einer banalen Trennkategorie entsteht nach "Ubung \eref{WKBK}{TS} durch Vertupeln und Verkn"upfen aus Leertrennungen, Einstrennungen und Diagonalzweitrennungen. Gegeben eine Regulierung einer schwachen Trennaustauschsituation, in der alle Basisquadrate mit Leertrennungen, Eins\-tren\-nun\-gen oder Diagonalzweitrennungen in den Horizontalen erlaubt sind, m"ussen also alle Basisquadrate der Familienkategorie erlaubt sein. Im Fall von Leertrennungen ist eh nichts zu pr"ufen und im Fall von Diagonalzweitrennungen d"urfen wir uns weiter auf den Fall be\-schr"an\-ken, da"s von den beiden Ausgangskanten eine die Identit"at ist. So m"ussen nur die F"alle gepr"uft werden, da"s wir in der Basis ein gew"ohnliches kartesisches Quadrat in $\mathscr T$ mit Lesmorphismen in den Vertikalen haben, unten links abgebildet, oder ein kartesisches Diagramm der Familienkategorie $\mathscr T^\curlywedge$ der rechts abgebildeten Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[r]^-{q} \ar[d]_{g} &X \ar[d]^{{f}} \\ Z\ar[r]^-{p}& Y}\qquad\qquad \xymatrix{ X\ar[rr]^-{(\op{id},f)} \ar[d]_{f} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{{f}\curlywedge {\op{id}}} \\ Y\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&& Y\curlywedge Y} \end{displaymath} Geh"oren die Basisquadrate dieser beiden Typen zu einer Regulierung, so geh"oren alle Basisquadrate der Familienkategorie bereits zu besagter Regulierung.\label{VerPBE} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisieren einer starken Trennverflechtung}] Gehen wir von einer zu lokalisierenden starken Trennverflechtung aus, so ist in Spezialisierung von \ref{VPOS} die lokalisierte Verflechtung unreguliert, wenn (1) f"ur jedes Objekt $\mathcal F\in \mathscr D_X$ der R"uckzug $q^\dagger\mathcal F$ ein $S_W$-$Qg_{\shriek}$-entfaltetes Objekt ist\label{lST} und wenn (2) f"ur beliebige $\mathcal F\in\mathscr D_X, \mathcal G\in \mathscr D_Y$ der R"uckzug $\mathcal F\otimes_X f^\dagger \mathcal G$ ein $S_X$-$Qf_{\shriek}$-entfaltetes Objekt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir nennen die durch den dritten Teil dieses Satzes gegebene Verflechtung die {\bf lokalisierte Verflechtung}.\index{Verflechtung!lokalisiertes} Ich betone, da"s hier die lokalisierte Trennaustauschsituation eine starke regulierte Trennaustauschsituation ist und die lokalisierte Verflechtung eine starke regulierte Verflechtung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Satz besitzt eine offensichtliche Verallgemeinerung, die es erlaubt, auch schwache Verflechtungen regulierter schwacher Trennaustauschsituationen zu lokalisieren. Ich habe jedoch f"ur diese Allgemeinheit keine Verwendung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisieren einer starken Verflechtung}] Ist in der Situation des Satzes $b:\mathscr G^{!}\ra \mathscr T^{!}$ eine Kofaserung und $g:W\ra Z$ ein Morphismus in $\mathscr T^{!}$, so bleibt nach \ref{LRAn2} ein kokartesischer Morphismus $\mathcal E\ra g_{\shriek}\mathcal E$ genau dann kokartesisch in der Lokalisierung, wenn $\mathcal E$ ein $S_W$-entfaltetes Objekt ist f"ur den Funktor $Qg_{\shriek}:\mathscr C_W\ra S_Z^{-1}\mathscr C_Z$. Beginnen wir im Satz mit einer starken Verflechtung, so ist mithin $fq=pg$ ein erlaubtes Basisquadrat genau dann, da"s der Trennr"uckzug unter $q$ jedes Tupels von Objekten aus $\mathscr D$ seinerseits $S_W$-$Qg_{\shriek}$-entfaltet ist.\label{mVPOS} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lokalisieren einer schwachen Trennverflechtung}] Seien $(\mathscr G\ra \curlyvee\mathscr T\supset \mathscr T^{!}\leftarrow \mathscr G^{!}, \mathscr T^{\op{e}})$ eine schwache Trennaustauschsituation mit einer schwachen Trennverflechtung\label{MAdLoa} und $S$ ein faserweises Oresystem in $\mathscr G$, das stabil ist unter den Trennr"uckz"ugen der Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlyvee\mathscr T$ und f"ur das der Funktor $\mathscr G^{!}\ra \mathscr T^{!}$ eine \hyperref[RAP]{$S$-Rechtsanpassung} besitzt. So gilt: \begin{enumerate} \item Lokalisieren zu $(S^{-1}\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T\supset \mathscr T^{!}\leftarrow S^{-1}\mathscr G^{!}, \mathscr T^{\op{e}},i)$ liefert eine starke Trennaustauschsituation; \item Die Basisquadrate der Familienkategorie mit der Eigenschaft, da"s f"ur jedes schwache Verflechtungsquadrat dar"uber, dessen Ausgangskante in der Lokalisierung $\shriek$-kokartesisch wird, auch die zur"uckgeholte Kante in der Lokalisierung $\shriek$-kokartesisch wird, bilden eine Regulierung der lokalisierten Trennaustauschsituation aus 1; \item Die Menge aller Bilder in der Lokalisierung von schwachen Verflechtungsquadraten "uber erlaubten Basisquadraten der Familienkategorie mit der Eigenschaft, da"s besagte Bilder eine kokartesische Ausgangskante haben, l"a"st sich auf genau eine Weise erweitern zu einer Verflechtung der lokalisierten regulierten Trennaustauschsituation aus 2. \item In unserer Regulierung ist jedes Basisquadrat $fq=pg$ der Familienkategorie erlaubt, "uber dem f"ur jedes schwache Verflechtungsquadrat mit stark $\shriek$-kokartesischer Ausgangskante zwischen Objekten einer Rechtsanpassung $\mathscr D$ wie oben die zur"uckgeholte Kante $\shriek$-kokartesisch wird in der Lokalisierung. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Regulierung}\index{Regulierung!f"ur Trennaustauschsituation} einer schwachen oder auch starken Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion verstehen wir eine Regulierung der auf den Familienkategorien induzierten Austauschsituation mit der Zu\-satz\-ei\-gen\-schaft, da"s das Vertupeln erlaubte Basisquadrate zu erlaubten Basisquadraten macht. Unter einer schwachen beziehungsweise starken {\bf Verflechtung}\index{Verflechtung!f"ur Trennaustauschsituation} f"ur eine schwache beziehungsweise starke regulierte Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion oder kurz {\bf Trennverflechtung}\index{Trennverflechtung} verstehen wir eine schwache beziehungsweise starke \hyperref[AusDa]{Verflechtung} f"ur die auf den Familienkategorien induzierte regulierte Austauschsituation mit der Zu\-satz\-ei\-gen\-schaft, da"s das Vertupeln Verflechtungsquadrate zu Verflechtungsquadraten macht. Eine regulierte Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit einer ausgezeichneten Verflechtung nennen wir eine\label{vfTAa} {\bf verflochtene regulierte Trennaustauschsituation}.\index{Trennaustauschsituation!verflochtene} Ein Verflechtungsquadrat der Familienkategorie mit einer $r$-Trennung als zur"uckholendem Morphismus nennen wir ein {\bf $r$-Verflechtungsquadrat}. \index{Verflechtungsquadrat!$r$-Verflechtungsquadrat} Wenn wir betonen wollen, da"s eine Verflechtung zu einer regulierten Trennaustauschsituation geh"ort, reden wir von einer {\bf regulierten Verflechtung}. Wenn wir betonen wollen, da"s eine Verflechtung zu einer gew"ohnlichen Trennaustauschsituation geh"ort, reden wir von einer {\bf unregulierten Verflechtung}. \end{Bemerkungl}\begin{Bemerkungl} Seien $\mathscr T$ eine Kategorie mit endlichen Produkten und $ \mathscr T^{\kv} \supset \mathscr T^{\op{e}}$ darin zwei r"uckzugstabile multiplikative Systeme von Morphismen, die beide alle Isomorphismen von $\mathscr T$ enthalten. Seien $\mathscr G$ eine Trennkategorie und $\mathscr G\ra \mathscr T$ eine \hyperref[oMulF]{Trennfaserung} "uber der banalen Trennkategorie zu $\mathscr T$. Seien $\mathscr G^{\kv} $ eine weitere Kategorie und $\mathscr G^{\kv} \ra \mathscr T^{\kv} $ eine Kofaserung. Sei schlie"slich ein Isomorphismus $$i:\mathscr G^{\kv} |\mathscr T^{\op{e}}\sira \mathscr G|\mathscr T^{\op{e}}$$ von Kategorien "uber $\mathscr T^{\op{e}}$ gegeben zwischen den entsprechend eingeschr"ankten Kategorien. Rechts meinen wir hier implizit die unserer Trennkategorie $\mathscr G$ zugrundeliegende einfache Kategorie. Wir behandeln unseren Isomorphismus im folgenden in der Notation meist als Gleichheit und notieren ihn nicht nennen unsere Daten $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^{\kv} \leftarrow \mathscr G^{\kv} , \mathscr T^{\op{e}})$ eine {\bf Trennaustauschsituation}.\index{Trennaustauschsituation} Jede Trennaustauschsituation induziert eine Austauschsituation $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{\shortparallel {\kv} }\leftarrow \mathscr G^{\shortparallel {\kv} }, \mathscr T^{\shortparallel \op{e}})$$ auf den Wortkategorien, bei der die ${\kv} $-Morphismen und eig-Morphismen in der Basis genau alle Tupel mit der Identit"at als Indexabbildung von Morphismen unserer Unterkategorien $\mathscr T^{ {\kv} }\supset \mathscr T^{ \op{e}}$ sind und die $\mathscr G^{\shortparallel {\kv} }$-Morphismen in der Faser Tupel von $\mathscr G^{\kv} $-Morphismen. In einer Trennaustauschsituation erkl"aren wir ein {\bf Trennaustauschdatum}\index{Trennaustauschdatum} als ein \hyperref[AusDa]{Austauschdatum} f"ur die auf den Wortkategorien induzierte Austauschsituation mit der Zusatzeigenschaft, da"s ein R"uckholquadrat genau dann ein Austauschquadrat ist, wenn es unter der entsprechenden Zerlegungsbijektion zu einem Tupel von Austauschquadraten wird. Eine Trennaustauschsituation mit einem ausgezeichneten Trennaustauschdatum nennen wir eine {\bf verflochtene Trennaustauschsituation}. Ein Austauschquadrat der Wortkategorie mit einem Einstupel von Morphismen als zur"uckgeholter Kante nennen wir ein {\bf Trennaustauschquadrat}\index{Trennaustauschquadrat} unserer Trennaustauschsituation. % Ist zus"atzlich $\mathscr G^{\kv} \ra \mathscr T^{\kv} $ % eine Kofaserung, so sprechen wir von einer % {\bf kokartesischen Trennaustauschsituation}.\index{Trennaustauschsituation!kokartesische} In einer kokartesischen Trennaustauschsituation % nennen wir ein Trennaustauschdatum % {\bf kokartesisch}\index{Trennaustauschdatum!kokartesisches} % oder eine {\bf Verflechtung},\index{Verflechtung!f"ur Trennaustauschsituation} % wenn in jedem Austauschquadrat mit einem Tupel % ko\-kar\-te\-si\-scher Ausgangskanten auch die % zur"uckgeholte gegen"uberliegende Kante % ein Tupel ko\-kar\-te\-sischer Morphismen ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertauschen von externem Produkt und eigentlichem Vorschub}] Sei $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^{\kv} \leftarrow \mathscr G^{\kv} , \mathscr T^{\op{e}})$ eine verflochtene Trennaustauschsituation. F"ur ${\kv} $-Morphismen $f:A\ra X$ sowie $g:B\ra Y$ in $\mathscr T$ und $\mathcal F\in \mathscr G_A$ sowie $\mathcal G\in \mathscr G_B$ liefert dann Basiswechsel im Diagramm\label{AAVexPA} \begin{displaymath} \xymatrix{ A\times B\ar[r] \ar[d]_{f\times g}&A\curlywedge B \ar[d]^{f\curlywedge g} \\ X\times Y\ar[r]& X\curlywedge Y} \end{displaymath} einen nat"urlichen Isomorphismus $$f_{{\kv} } \mathcal F \boxtimes g_{{\kv} } \mathcal G \sira (f \times g)_{{\kv} } (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Projektionsformel}] Wir gehen aus von einer verflochtenen Trennaustauschsituation $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^{\kv} \leftarrow \mathscr G^{\kv} , \mathscr T^{\op{e}})$. F"ur einen ${\kv} $-Mor\-phis\-mus $f:X\ra Y$ und $\mathcal F\in \mathscr G_X$ sowie $\mathcal G\in \mathscr G_Y$ liefert dann Basiswechsel im Diagramm\label{AAProjFF} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar[rr]^-{(\op{id},f)} \ar[d]_{f} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{{f}\curlywedge {\op{id}}} \\ Y\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&& Y\curlywedge Y} \end{displaymath} einen nat"urlichen Isomorphismus $f_{{\kv} } (\mathcal F \otimes f^\dagger \mathcal G ) \sira (f_{{\kv} } \mathcal F )\otimes \mathcal G$. Er hei"st der Isomorphismus der {\bf Projektionsformel}.\index{Projektionsformel} Wenden wir ihn auf $\mathcal G=f_\dagger \mathcal E$ an und beachten die Einheit der Adjunktion $\mathcal E\ra f^\dagger f_\dagger \mathcal E$, so erhalten wir einen nat"urlichen Morphismus $f_{\kv} (\mathcal F\otimes \mathcal E)\ra f_{\kv} \mathcal F\otimes f_\dagger \mathcal E$. \end{Bemerkungl} %\begin{Beispiel}[\textbf{Trennaustauschdatum f"ur $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}$}] % Die "ublichen Daten % bilden eine Trennaustauschsituation $(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, % \op{Top}^{\op{es}})$ mit der Garbenopkotrennfaserung als erstem Pfeil, da nach \ref{MReO} der Trennr"uckzug % eines Tupels eigentlicher Opkomorphismen stets wieder % eigentlich ist und der Trennr"uckzug % eines Tupels eigentlicher-kokartesischer Opkomorphismen stets wieder % eigkokartesisch. Die kommutativen R"uckholquadrate der Wortkategorie bilden % darin offensichtlich ein Trennaustauschdatum. QUATSCH? %\end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur $\op{Ab}_{\sslash \op{Ens}}$}] Abelsche Garben auf diskreten topologischen R"aumen alias Mengen bilden eine besonders "ubersichtliche Trennaustauschsituation. Objekte "uber einer Menge $I$ sind Familien $M=(M_i)_{i\in I}$ von abelschen Gruppen. Gegeben eine weitere Familie $N=(N_j)_{j\in J}$ und eine Abbildung $f:I\ra J$ ist ein Morphismus alias Opkomorphismus "uber $f$ eine Familie von Gruppenhomomorphismen $N_{f(i)}\ra M_i$ f"ur $i\in I$, und er ist eigentlich, wenn f"ur jedes feste $j$ von den Gruppenhomomorphismen $N_{f(i)}\ra M_i$ f"ur die $i$ mit $f(i)=j$ fast alle verschwinden. Gegeben allgemeiner eine $r$-Trennung $f_\rho:I\ra J_\rho$ f"ur $1\leq \rho\leq r$ und jeweils Familien $N_\rho=(N_{\rho,j})_{j\in J_\rho}$ "uber $J_\rho$ ist ein Multiopkomorphismus dar"uber eine Familie von multilinearen Abbildungen $$N_{1,f_1(i)}\times \ldots\times N_{r,f_r(i)}\ra M_i$$ Der eigentliche Vorschub ist das Bilden der direkten Summe "uber die Fasern, in Formeln $(f_!(M))_j=\bigoplus_{f(i)=j}M_i$. Der gew"ohnliche Vorschub ist dahingegen das Bilden der Produkte "uber die Fasern, in Formeln $(f_*(M))_j=\prod_{f(i)=j}M_i$. Eigentliche Morphismen sind Abbildungen mit endlichen Fasern. Der R"uckzug ist das \glqq Zur"uckkopieren\grqq, in Formeln $(f^*(N))_i=N_{f(i)}$. Das Tensorprodukt in den Fasern wird indexweise gebildet, in Formeln $(M\otimes M')_k=M_k\otimes M'_k$. Die zugeh"orige Verflechtung formalisiert die Vertauschbarkeit von Tensorprodukten und direkten Summen. Man konstruiert auch unschwer eine Adjunktion $(f^*,f_!)$ von Funktoren zwischen $\op{Ab}_{\sslash I}$ und $\op{Ab}_{\sslash J}$ alias eine Adjunktion $(f_!,f^*)$ von Funktoren zwischen $\op{Ab}_{/ I}$ und $\op{Ab}_{/ J}$. Im Licht der Verdier-Dualit"at, wie wir sie sp"ater diskutieren, bedeutet sie einen Isomorphismus von Funktoren $f^!\siRa f^*$. Wir kennen diese Adjunktion bereits aus \eref{lfad}{TG} in etwas gr"o"serer Allgemeinheit. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennaustauschdatum f"ur $\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}$}] Die Daten $(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$\label{AAKOKIA} bilden mit der Garbenoptrennfaserung als erstem Pfeil eine Trennaustauschsituation. In der Tat ist nach \eref{eiPL}{TG} der Funktor $\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}\ra \op{Top}^{\op{les}}$ eine Kofaserung, da der eigentliche Vorschub \eref{eiPL}{TG} einer flachen abelschen Garbe wieder flach alias torsionsfrei ist. Die kommutativen R"uckholquadrate der Wortkategorie bilden in diesem Fall ein Trennaustauschdatum, da nach \ref{MReO} der Trennr"uckzug eigentlicher Opkomorphismen "uber lokal eigentlichen separierten Abbildungen wieder ein eigentlicher Opkomorphismus ist und da nach \ref{MRekO} der Trennr"uckzug eigkokartesischer Opkomorphismen von flachen abelschen Garben "uber lokal eigentlichen separierten Abbildungen stets wieder eigkokartesisch ist. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Trennaustauschdaten durch Lokalisierung}] Sei eine \hyperref[adEDB]{Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-ti\-on} $(\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^{\kv} \leftarrow \mathscr G^{\kv} , \mathscr T^{\op{e}})$ gegeben.\label{AAMAdLoA} \begin{enumerate} \item Sei $S$ ein ges"attigtes faserweises Oresystem in $\mathscr G$, das stabil ist unter den Trennr"uckz"ugen der Trennfaserung $\mathscr G\ra \mathscr T$ und f"ur das die Kofaserung $\mathscr G^{\kv} \ra \mathscr T^{\kv} $ \hyperref[LRAA]{lokal Linksanpassungen} besitzt. So liefert \hyperref[lokKM]{Lokalisieren} eine Trennaustauschsituation $(S^{-1}\mathscr G\ra \mathscr T\supset \mathscr T^{\kv} \leftarrow S^{-1}\mathscr G^{\kv} , \mathscr T^{\op{e}})$ in nat"urlicher Weise; \item Sei zus"atzlich in unserer urspr"unglichen Trennaustauschsituation ein \hyperref[adEDB]{Trennaustauschdatum} gegeben derart, da"s f"ur jedes Trennaustauschquadrat mit kokartesischen Ausgangskanten, die in der Lokalisierung $S^{-1}\mathscr C^{\kv} \ra \mathscr B^{\kv} $ kokartesisch bleiben, auch die zur"uckgezogene Kante in der Lokalisierung kokartesisch bleibt. So gibt es genau ein Trennaustauschdatum in der lokalisierten Trennaustauschsitution, das alle die auf diese Weise entstehenden R"uckholquadrate enth"alt. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Das alles folgt unmittelbar, indem wir auf die zu zu unserer Trennaustauschsituation geh"orige Austauschsituation $$(\mathscr G^\curlywedge\ra \mathscr T^\curlywedge\supset \mathscr T^{\shortparallel {\kv} }\leftarrow \mathscr G^{\shortparallel {\kv} }, \mathscr T^{\shortparallel \op{e}})$$ auf den Wortkategorien unseren Satz \ref{AdLo} "uber die Lokalisierung von Austauschdaten anwenden. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vereinfachtes Pr"ufen der Bedingungen des obigen Satzes}] Wie bereits beim Beweis von Lemma \ref{jhtr} erw"ahnt, entsteht jeder Morphismus der Wortkategorie einer banalen Trennkategorie mit endlichen Produkten durch Komposition und das \glqq Zusammenfassen zu Tupeln\grqq\ aus Leertrennungen, Einstrennungen, Projektions-Zweitrennungen und Permutationen. Es reicht also, die Bedingung in Teil 2 des obigen Satzes f"ur alle Trennaustauschquadrate "uber denjenigen kartesischen Quadraten der Wortkategorie $\mathscr T^\curlywedge$ zu pr"ufen, bei denen die Horizontalen Leertrennungen, Einstrennungen oder Projektions-Zweitrennungen sind. Und schlie"slich k"onnen wir uns im Fall von Projektions-Zweitrennungen sogar auf den Fall beschr"anken, da"s von den beiden Ausgangskanten eine eine Identit"at ist, und zwar in der Basis und in der Faser. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennaustauschdatum f"ur $\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}$}] Unsere verflochtene Trennaustauschsituation\label{AAKMDERA} $$\left(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ aus \ref{KOKI} liefert in offensichtlicher Weise verflochtene Trennaustauschsituationen $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ f"ur $\sharp$ eine der vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen. Wir zeigen in \ref{lats} und \ref{kamu}, da"s sich diese Situation im Fall $\op{Hot}^-$ im Sinne unseres Satzes \ref{MAdLo} nach allen Quasiisomorphismen lokalisieren l"a"st. Wegen der "Aquivalenz $$\op{Hot}^+(\op{flAb}_{/X})_{\op{qis}}\sirra \op{Hot}^+(\op{Ab}_{/X})_{\op{qis}}=\op{Der}^+(\op{Ab}_{/X})$$ oder gleichbedeutend $\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash X})_{\op{qis}}\sirra \op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash X})$ aus \eref{LUK}{TD} erhalten wir so eine Trennaustauschsituation, deren Fasern nat"urlich "aquivalent sind zu den derivierten Kategorien $\op{Der}^-(\op{Ab}_{\sslash X})$. Die durch unsere Lokalisierung entstehende verflochtene Trennaustauschsituation notieren wir $$(\op{Der}^{-}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top} \supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{-!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}})$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Unser Trennaustauschdatum beinhaltet insbesondere ausgezeichnete Isomorphismen $$q^*f_!\mathcal F\sira g_!p^* \mathcal F$$ f"ur jedes kartesische Diagramm $fp=qg$ von topologischen R"aumen mit $f,g$ lokal eigentlich separiert. Sie hei"sen die Isomorphismen des {\bf derivierten lokal eigentlichen Basiswechsels}.\index{Basiswechsel!lokal eigentlicher!derivierter} Unser Trennaustauschdatum beinhaltet des weiteren f"ur beliebige stetige Abbildungen $f,g$ ausgezeichnete Isomorphismen $$f^* \mathcal F \boxtimes g^* \mathcal G \sira (f \times g)^* (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$ und diese liefern ausgezeichnete Isomorphismen $f_!(\mathcal F\otimes f^\ast\mathcal G) \sira f_!\mathcal F\otimes \mathcal G$ f"ur $f$ lokal eigentlich separiert, die Isomorphismen der {\bf Projek\-tionsformel}.\index{Projektionsformel} Weiter beinhaltet unser Datum f"ur lokal eigentliche separierte Abbildungen $f,g$ ausgezeichnete {\bf K"unneth-Isomorphismen}\index{K"unneth-Formel!verallgemeinerte} $$f_{!} \mathcal F \boxtimes g_{!} \mathcal G \sira (f \times g)_{!} (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$$ Unser Trennaustauschdatum beinhaltet zus"atzlich eine Vielzahl von Vertr"aglichkeiten dieser ausgezeichneten Isomorphismen untereinander und mit von den zugrundeliegenden Faserungen und Kofaserungen herr"uhrenden ausgezeichneten Isomorphismen, die in der Literatur selten thematisiert werden.\label{AAkoubMA} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{AADGKoSA} Sei $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf einem Raum $X$. Die \defnoind{Garbe der unstetigen Schnitte von $\cal{F}$}\index{Garbe der unstetigen Schnitte} ist die Garbe ${\op{G}} \cal{F},$ die jeder offenen Teilmenge $ U \co X $ das Produkt der Halme von $\cal{F}$ an allen Punkten $x\in U$ zuordnet, in Formeln $$({\op{G}}\cal{F})(U) = \prod_{x\in U} \cal{F}_{x}$$ mit den offensichtlichen Restriktionsabbildungen. Wir haben eine kanonische Injektion $\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}\cal{F}$ gegeben durch $s \mapsto (s_{x})_{x \in U}$ f"ur $s \in \cal{F}(U)$. Gleichbedeutend k"onnen wir die Identit"at als stetige Abbildung $\delta:X^{\op{disk}}\ra X$ von der mit der diskreten Topologie versehenen Menge $X$ in den topologischen Raum $X$ betrachten. Die kanonische Injektion faktorisiert dann in die Einheit der Adjunktion und einen Isomorphismus als $\mathcal F\ra \delta_{(*)}\delta^{(*)}\mathcal F\sira {\op{G}}\mathcal F$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die {\bf Godement-Aufl"osung von}\index{Godement-Aufl"osung} $\cal{F}$ ist der exakte Komplex von abelschen Garben $\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}^{0}\cal{F} \ra {\op{G}}^{1}\cal{F} \ra \ldots$ , den wir nach \eref{AEXa}{TG} erhalten durch die Vorschrift $$\begin{array}{lll} {\op{G}}^{0}\cal{F} &\pdef &{\op{G}}\cal{F}\\[2mm] {\op{G}}^{1}\cal{F} &\pdef & {\op{G}} (\op{cok} (\cal{F} \ra {\op{G}} \cal{F})) \text{ und dann induktiv}\\[2mm] {\op{G}}^{i}\cal{F}& \pdef &{\op{G}} (\op{cok} ( {\op{G}}^{i-2}\cal{F} \ra {\op{G}}^{i-1}\cal{F})) \text{ f"ur } i\geq 2;\end{array}$$ Jeder Morphismus von abelschen Garben $\cal{F} \ra \cal{F}^{\prime}$ liefert in offensichtlicher Weise einen Morphismus ${\op{G}} \cal{F} \ra {\op{G}}\cal{F}^{\prime}$ zwischen den zugeh"origen Garben unstetiger Schnitte, und dann induktiv einen Morphismus von Komplexen von Garben ${\op{G}}^{\lhd}\cal{F} \ra {\op{G}}^{\lhd} \cal{F}^{\prime}$. Diese Zuordnung ist funktoriell. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Schnitte unserer \glqq Garbe der unstetigen Schnitte\grqq\ ${\op{G}}\cal{F}$ sind nur "uber offenen Teilmengen unstetige Schnitte in den \'etalen Raum der urspr"unglichen Garbe. Die Halme der Garbe der unstetigen Schnitte einer Garbe sind im allgemeinen sehr viel gr"o"ser als die Halme der urspr"unglichen Garbe. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine flache abelsche Garbe $\mathcal{F}$ besteht auch ihre Godementaufl"osung aus flachen abelschen Garben.\label{AAZFeA} \end{Lemma} \begin{proof} Im Fall abelscher Gruppen ist flach "aquivalent zu torsionsfrei, und diese Eigenschaft ist stabil unter Produkten und filtrierenden Kolimites. Daraus folgt, da"s mit $\mathcal{F}$ auch die Garbe seiner nicht notwendig stetigen Schnitte ${\op{G}}\mathcal{F}$ flache Halme hat. Da die von der Einbettung $\mathcal{F} \hookrightarrow {\op{G}} \mathcal{F}$ auf den Halmen induzierten Einbettungen $\mathcal{F}_x \hookrightarrow ( \mathcal{F})_x$ s"amtlich spalten, hat auch der Kokern flache Halme. Das Lemma folgt induktiv. \end{proof} \begin{Definition} Unter einer {\bf flachwelken}\index{flachwelk} abelschen Garbe verstehen wir eine abelsche Garbe, die flach und welk ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorielle flachwelke Aufl"osung}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal F$ ein gegen die Pfeile beschr"ankter Komplex flacher abelscher Garben auf $X$.\label{AAweflA} Bilden wir den Doppelkomplex der Godementaufl"osungen der Garben unserers Komplexes und dazu den Totalkomplex, so erhalten wir einen Quasiisomorphismus $\mathcal F\qri\mathcal G\mathcal F$ in einen gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex flachwelker abelscher Garben, und diese Konstruktion ist funktoriell in $\mathcal F$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Die Komplexe $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash \op{Top}})$ schwach kompaktweicher flacher Garben bilden eine \hyperref[RAP]{Linksanpassung} f"ur die Kofaserung\label{AAlatsA} $$\op{Hot}^-(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}})\ra \op{Top}^{\op{les}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Die Bedingung \glqq schwach kompaktweich\grqq\ bleibt nach \ref{dibisk} unter eigentlichen Vorsch"uben mit lokal eigentlichen separierten Abbildungen erhalten, folglich liegt schon einmal eine Unterkofaserung vor. Die Quasiisomorphismen bilden weiter ein Oresystem in $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash X})$, das gilt allgemein f"ur die Homotopiekategorie jeder unter endlichen Koprodukten stabilen vollen Unterkategorie einer abelschen Kategorie, und die eigentlichen Vorsch"ube erhalten Quasiisomorphismen zwischen Komplexen aus $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash X})$, da alle Eintr"age dieser Komplexe entsprechend azyklisch sind. Um schlie"slich zu zeigen, da"s es zu jedem Objekt von $\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash X})$ einen Quasiisomorphismus von einem Objekt von $\op{Hot}^-(\op{kwflAb}_{\sslash X})$ gibt, k"onnen wir unsere auf der Godement-Konstruktion beruhende flachwelke Aufl"osung \ref{wefl} verwenden. \end{proof} \begin{Lemma} F"ur ein Austauschquadrat mit eigkokartesischen Ausgangskanten im Trennaustauschdatum zu $$(\op{Hot}^-(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^-(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}})$$ derart, da"s die R"uckholkanten in der Basis eine Leertrennung, eine Einstrennung oder eine\label{AAkamuA} Projektions-Zweitrennung sind und da"s die Ausgangskanten in der Lokalisierung kokartesisch bleiben, bleibt auch die zur"uckgeholte Kante in der Lokalisierung kokartesisch. \end{Lemma} \begin{proof} %NOCHMAL ANGUCKEN! Im Fall einer Leertrennung ist das klar. Den Fall einer Einstrennung haben wir bereits in \ref{KMDER} behandelt. Es bleibt, den Fall einer Projektions-Zwei\-tren\-nung zu behandeln, in dem eine der Ausgangskanten eine Identit"at ist. Mit unseren Vereinfachungen aus \ref{VPOS} reicht es zu pr"ufen, da"s f"ur $f:X\ra Y$ eine lokal eigentliche separierte Abbildung und $\mathcal F\in \op{kwflAb}_{/X}$ eine schwach kompaktweiche flache abelsche Garbe auf $X$ und $Z$ ein weiterer topologischer Raum und $\mathcal G\in \op{flAb}_{/Z}$ eine flache abelsche Garbe auf $Z$ die Garbe $\mathcal F\boxtimes \mathcal G$ auf $X\times Z$ azyklisch ist f"ur $Q(f\times {\op{id}})_!$. Aufgrund von lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} reicht es zu zeigen, da"s die Einschr"ankungen von $\mathcal F\boxtimes \mathcal G$ auf alle Fasern unserer Abbildung alias die Garben $(\mathcal F|X_y)\otimes \mathcal G_z$ ihrerseits $\Gamma_!$-azyklisch sind f"ur alle $z\in Z$ und $y\in Y$, mit $X_y\pdef f^{-1}(y)$ der Faser von $\mathcal F$ und $\mathcal G_z$ dem Halm von $\mathcal G$. Nach Annahme ist aber $X_y$ lokal kompakt Hausdorff und $\mathcal F|X_y$ kompaktweich und damit folgt unsere Behauptung aus \ref{TSko}. \end{proof} %\begin{Korollar} % Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $\DR^n$ gilt % ${\op{H}}_!^q(\DR^n;\mathcal F)=0$ f"ur $q>n$. Dasselbe folgt % f"ur jede abelsche Garbe auf einer lokal abgeschlossenen % Teilmenge des $\DR^n$.\label{AAKKOP} % \end{Korollar} % \begin{proof} % Den Fall $n=1$ hatten wir bereits in \ref{GKK} behandelt. % Gegeben ein beliebiger topologischer Raum $X$ und eine % abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X\times \DR$ zeigt % lokal eigentlicher Basiswechsel dann % $\mathcal H^q(\op{pr}_{X!}\mathcal F)=0$ f"ur $q\neq 0,1$. % Das Korollar folgt induktiv mit Spektralsequenzargumenten. % Die zweite Aussage folgt, weil $i_{(!)}$ f"ur $i$ % die Einbettung einer lokal abgeschlossenen % Teilmenge exakt ist. % \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennaustauschsituation f"ur $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}$}] Unsere Trennaustauschsituation aus \ref{KOKI} k"onnen wir einschr"anken zu einer Trennaustauschsituation $$(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$ und die kommutativen R"uckholquadrate der Wortkategorie bilden darin wieder ein Trennaustauschdatum und induzieren ein Trennaustauschdatum in der zugeh"origen Trennaustauschsituation $$(\op{Hot}(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Hot}(\op{flAb}^!_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}), \op{Top}^{\op{esb}})$$ auf den unbeschr"ankten Homotopiekategorien. Wir zeigen nun, da"s sich diese Daten auch nach Quasiisomorphismen lokalisieren lassen. Wie beim Beweis von \ref{VRTebu} erhalten wir lokale Linksanpassungen, indem wir gradweise Godement-Aufl"osungen betrachten und diese hinreichend sp"at durch den immer noch flachen und entsprechend $(!)$-azyklischen Kokern abschneiden und dann zum Totalkomplex "ubergehen, vergleiche \eref{UbDe}{TD}. Da"s der R"uckzug "uber kartesischen Diagrammen von $(!)$-entfalteten flachen Garben wieder $(!)$-entfaltet ist, wissen wir bereits. In unserer Situation gilt es nun zus"atzlich noch unbeschr"ankte Komplexe nach dem R"uckzug zu tensorieren. Wir m"ussen also zus"atzlich wissen, da"s auch abz"ahlbare Koprodukte $(!)$-entfalteter Garben wieder $(!)$-entfaltet sind. Das folgt jedoch leicht daraus, da"s Koprodukte exakter Garbensequenzen wieder exakt sind und da"s eigentliche Vorsch"ube nach \ref{VTVT} mit Koprodukten vertauschen. So erhalten wir ein Trennaustauschdatum f"ur die Trennaustauschsituation\label{AAkobeMA} $$(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top} \supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}})$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Unser Trennaustauschdatum beinhaltet wieder ausgezeichnete Isomorphismen $q^*f_!\mathcal F\sira g_!p^* \mathcal F$ f"ur jedes kartesische Diagramm $fp=qg$ von topologischen R"aumen mit lesb-Morphismen $f,g$, wobei $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ unter diesen Annahmen ein beliebiger Komplex sein darf. Sie hei"sen wieder die Isomorphismen des {\bf derivierten lokal eigentlichen Basiswechsels}.\index{Basiswechsel!lokal eigentlicher!derivierter} Unser Trennaustauschdatum beinhaltet auch ausgezeichnete Isomorphismen $$f_!(\mathcal F\otimes f^\ast\mathcal G) \sira f_!\mathcal F\otimes \mathcal G$$ f"ur jeden lesb-Morphismus $f$ und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ und $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ wieder ohne Beschr"ankungsbedingungen. Sie hei"sen wieder die Isomorphismen der {\bf Projek\-tionsformel}.\index{Projektionsformel} Weiter beinhaltet unser Datum f"ur lesb-Morphismen $f,g$ nat"urliche Isomorphismen $f_{!} \mathcal F \boxtimes g_{!} \mathcal G \sira (f \times g)_{!} (\mathcal F \boxtimes \mathcal G)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Die K"unnethformel der kompakten Kohomologie}] Gegeben lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$ betrachten wir in der Wortkategorie der banalen Trennkategorie topologischer R"aume das kartesische Diagramm mit lokal eigentlichen separierten Vertikalen\index{K"unnethformel!der kompakten Kohomologie} \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Y \ar[r] \ar[d]_c&X\curlywedge Y \ar[d]^{c_X\curlywedge c_Y} \\ \op{top}\ar[r]& \op{top}\curlywedge \op{top}} \end{displaymath} Seine Kommutativit"at liefert unter der derivierten Garbenopkofaserung einen Isomorphismus zwischen den auf beide Weisen vom Objekt $\DZ_{\op{top}}\curlywedge\DZ_{\op{top}}$ auf $\op{top}\curlywedge \op{top}$ zur"uckgeholten Objekt alias einen Isomorphismus $\DZ_{X\times Y}\sira \DZ_{X}\boxtimes \DZ_{Y}$. Derivierter lokal eigentlicher Basiswechsel \ref{VexP} liefert andererseits einen Isomorphismus $c_!(\DZ_{X}\boxtimes \DZ_{Y})\sira c_{X!}\DZ_{X}\otimes c_{Y!}\DZ_{Y}$. Alles in allem erhalten wir so einen Isomorphismus $$c_!\DZ_{X\times Y}\sira c_{X!}\DZ_{X}\otimes c_{Y!}\DZ_{Y}$$ in $\op{Der}(\op{Ab}_{/\op{top}})=\op{Der}(\op{Ab})$. Das Tensorprodukt ist bis hierher stets deriviert zu verstehen. Mit \eref{HTPKl}{TD} erhalten wir daraus, jetzt aber mit $\otimes$ als underiviertem Tensorprodukt, nat"urliche unnat"urlich spaltende kurze exakte Sequenzen\label{AAKueFx} $$\bigoplus_{p+q=n}{\op{H}}_!^p X\otimes {\op{H}}_!^q Y \;\hra\; {\op{H}}_!^n(X\times Y)\;\sra\; \bigoplus_{p+q=n+1}{\op{H}}_!^p X\ast {\op{H}}_!^q Y$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausdehnung durch Null und Tensorieren}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und Einbettungen lokal abgeschlossener Teilmengen $i:A\hra X$ sowie $j:B\hra X$ und Objekte $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/A})$ sowie $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/B})$ liefert Basiswechsel im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A\cap B \ar[r] \ar[d]_k & A\curlywedge B \ar[d]^{i\curlywedge j}\\ X\ar[r]& X\curlywedge X} \end{displaymath} der Trennkategorie mit den Notationen $k:A\cap B\hra X$ und $a:A\cap B\hra A$ und $b:A\cap B\hra B$ f"ur die jeweiligen Einbettungen nat"urliche Isomorphismen $k_!(a^*\mathcal F\otimes b^*\mathcal G)\sira i_!\mathcal F\otimes j_!\mathcal G$. Insbesondere macht das Zusammentensorieren aus Morphismen $\alpha: i_!\DZ_A\ra \DZ_X[p]$ und $\beta: j_!\DZ_B\ra \DZ_X[q]$ einen Morphismus $(\alpha\otimes\beta):k_!\DZ_{A\cap B}\ra \DZ_X[p+q]$. Mit unseren Definitionen und \eref{LKE}{TG} k"onnen wir das f"ur $A,B\As X$ umschreiben zu einer Abbildung $${\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)\ra {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)$$ Wir kennen diese Konstruktion in der singul"aren Kohomologie bereits aus \eref{RKS}{TS}. Wir nennen sie das\label{AAclK} {\bf cup-Produkt der lokalen Kohomologie},\index{cup-Produkt!der lokalen Kohomologie} da sie, wie man leicht einsieht, unter dem nat"urlichen Morphismus von der lokalen Kohomologie zur gew"ohnlichen Kohomologie vertr"aglich ist mit dem normalen cup-Produkt. Sogar f"ur eine beliebige stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und $C,D\As Y$ mit $f^{-1}(C)\subset A$ und $f^{-1}(D)\subset B$ passen sie in ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}_C^p(Y)\times {\op{H}}_D^q(Y)&\ra& {\op{H}}_{C\cap D}^{p+q}(Y)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(X)&\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X) \end{array} $$ Wegen ${\op{H}}_{\emptyset}^\ast(X)=0$ zeigt das mit $Y=X$ und $f=\op{id}$ und $A=B=X$ zum Beispiel, da"s das Cup-Produkt von zwei Klassen in ${\op{H}}^*(X)$ verschwinden mu"s, wenn sich unsere Klassen bereits so in lokalen Kohomologiegruppen ${\op{H}}_C^p(X)$ und $ {\op{H}}_D^q(X)$ realisieren lassen, da"s gilt $C\cap D=\emptyset$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach \eref{lkkk}{TG} haben wir f"ur jeden topologischen Raum $X$ nat"urliche Isomorphismen $\op{colf}_K{\op{H}}^q_{K}(X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q_{!}(X;\mathcal F)$ mi dem Kolimes "uber alle abgeschlossenen Kompakta $K\As X$. Insbesondere macht unser cup-Produkt der lokalen Kohomologie die kompakte Kohomologie von $X$ zu einem Modul "uber dem Kohomologiering. Wir notieren auch diese Operation $\cup$ und bezeichnen die zugeh"orige Abbildung\label{AAcupk} ${\op{H}}^q(X)\times {\op{H}}^q_{!}(X)\ra {\op{H}}^q_{!}(X)$ als {\bf cup-Produkt}.\index{cup-Produkt!Operation auf kompakter Kohomologie} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Schnitt zweier Kurven in der Ebene}] Seien $A,B\As X$ zwei abgeschlossene nichtkompakte zusammenh"angende Einsmannigfaltikeiten in der Ebene $X= \DR^2$, die sich in genau einem Punkt $x\in X$ schneiden. Trifft jede Komponente von $X\backslash A$ jede Komponente von $X\backslash B$, so liefert das cup-Produkt der lokalen Kohomologie einen Isomorphismus $${\op{H}}_A^1(X)\otimes {\op{H}}_B^1(X)\sira {\op{H}}_{\{x\}}^{2}(X)$$ Andernfalls ist diese Abbildung Null.\label{AAszke} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ein konzeptionelleres Argument unter st"arkeren Regularit"atsannahmen und daf"ur in beliebigen Dimensionen wird in "Ubung \ref{cuplo} skizziert. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Bezeichne $a:A\hra X$ die Einbettung und $U\pdef X\backslash A$ das Komplement von $A$. Nach \eref{VG}{TG} hat $U$ genau zwei Komponenten $U_1,U_2$. Unsere allgemeine Erkenntnis \eref{exSEQ}{TG} liefert eine kurze exakte Sequenz $$\DZ_{U\subset X}\hra \DZ_X \sra a_*\DZ_A$$ von abelschen Garben auf $X$ und zeigt, wenn wir dazu die lange exakte Sequenz der Morphismen in die $\DZ_X[q]$ bilden, ${\op{H}}_A^q(X)\cong \DZ$ f"ur $q=1$ und Null sonst. In anderen Worten liefert f"ur $u:U\hra X$ die Einbettung unsere kurze exakte Sequenz einen Quasiisomorphismus $(u_!\DZ_U\ra \DZ_X[0])\qri a_*\DZ_A[0]$, der nach \eref{vbho}{TD} eine Bijektion $$\op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}\big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]),\DZ_X[1]\big)\sira \op{Der}_{\op{Ab}_{/X}}(a_*\DZ_A,\DZ_X[1])$$ induziert. Das Symbol $[0]$ mi"sbrauchen wir hier, um bei einem Komplex den Term im Grad Null anzuzeigen. Wir erhalten offensichtlich einen Erzeuger von $$\op{Hot}_{\op{Ab}_{/X}}\big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]),\DZ_X[1]\big)= \mathcal H^0%\op{Hom}_{\op{Ab}_{/X}} \big((\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X[0]){\Rrightarrow}\DZ_X[1]\big)$$ durch einen Morphismus $\DZ_{U\subset X}\ra \DZ_X$, der unter der offensichtlichen Zerlegung $\DZ_{U_1\subset X}\oplus \DZ_{U_2\subset X}\sira \DZ_{U\subset X}$ zu einem Erzeuger des Raums der Morphismen $\DZ_{U_1\subset X}\ra\DZ_X$ beziehungsweise zum Nullmorphismus $\DZ_{U_2\subset X}\ra\DZ_X$ einschr"ankt. Ebenso hat auch $V\pdef X\backslash B$ genau zwei Komponenten $V_1,V_2$. Nach \eref{jkAK}{TG} hat weiter das Komplement von $A\cup B$ genau vier Komponenten. Sind alle Schnitte $U_i\cap V_j$ nicht leer, so m"ussen diese Schnitte genau unsere vier Komponenten sein. W"ahlt man nun analog einen Repr"asentanten in der Homotopiekategorie f"ur einen Erzeuger der lokalen Kohomologie ${\op{H}}_B^1(X)$ und bildet das Tensorprodukt in der Homotopiekategorie, so kann man wieder in der Homotopiekategorie unschwer pr"ufen, da"s wir einen Repr"asentanten eines Erzeugers von ${\op{H}}_{\{x\}}^2(X)$ erhalten. Andernfalls haben wir nach eventueller Umnummerierung ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $U_1\cap V_1=\emptyset$, und dann ist das cup-Produkt der entsprechenden Erzeuger in der Homotopiekategorie in der Tat der Nullmorphismus. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Unser Schmelzfunktor der topologischen Orientierung $$\op{or}^{\op{top}}:\op{Modf}^\times_\DR\ra \op{Par}$$ aus \eref{TOS}{TS}, der jedem endlichdimensionalen reellen Vektorraum $V$ die Parit"at seiner Dimension erweitert um die Menge der beiden Erzeuger von ${\op{H}}(V,V\backslash 0)$ zuordnet, ist isomorph vermittels der Isomorphismen ${\op{H}}^*(V,V\backslash 0)\sira {\op{H}}_{\{0\}}^*(V)\sira {\op{H}}_!^*(V)$ aus \eref{lklsk}{TG} und \eref{lkkk}{TG} zum vielleicht noch nat"urlicheren Schmelzfunktor, der $V$ die Parit"at seiner Dimension erweitert um die Menge der beiden Erzeuger von ${\op{H}}_!^*(V)$ zuordnet. Von nun an nehmen wir diesen Schmelzfunktor als unsere \glqq Hauptinkarnation\grqq\ der {\bf topologischen Orientierung},\index{Orientierung!topologische} ja "uberhaupt der {\bf Orientierung} eines endlichdimensionalen reellen Vektorraums. Das Bild unseres ausgezeichneten Erzeugers $\tau\in {\op{H}}_1(\DR,\DR\backslash 0)$ aus \eref{TOS}{TS} bezeichnen wir wieder mit $$\tau\in {\op{H}}^1_!(\DR)$$ Explizit ist $\tau$ dann dasjenige Element, das unter der Komposition von nat"urlichen Isomorphismen ${\op{H}}^0(\DR\backslash 0)/{\op{H}}^0(\DR)\sira {\op{H}}^1_{\{0\}}(\DR)\sira {\op{H}}^1_!(\DR)$ herkommt vom Schnitt mit Wert Eins auf $\DR_{>0}$ und Wert Null auf $\DR_{<0}$ der konstanten Garbe $\DZ$ auf $\DR\backslash 0$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben topologische R"aume $X,Y$ zusammen mit der Einbettung $i:A\hra X$ einer abgeschlossenen Teilmenge liefert jeder Morphismus $\alpha:i_!\DZ_A\ra \DZ_X[p]$ durch R"uckzug l"angs der Projektion einen Morphismus $\alpha_Y:i_!\DZ_{A\times Y}\ra \DZ_{X\times Y}[p]$. Ist $j:B\hra Y$ auch eine abgeschlossene Teilmenge, so liefern die Konstruktionen aus \ref{clK} angewandt auf $\alpha_Y$ und $\beta_X$ eine Abbildung\label{AAexpl} $${\op{H}}_A^p(X)\times {\op{H}}_B^q(Y)\ra {\op{H}}_{A\times B}^{p+q}(X\times Y)$$ Wir nennen sie das {\bf externe Produkt der lokalen Kohomologie} und notieren unsere Abbildung\index{)x@$\times$ externes Produkt!der lokalen Kohomologie} $\times$.\index{externes Produkt!der lokalen Kohomologie} Im Fall $A=X$ und $B=Y$ spezialisiert sie zum Kreuzprodukt der Garbenkohomologie \ref{GKSF} und im Fall $X=Y$ erhalten wir durch Nachschalten des R"uckzugs auf die Diagonale unser Cup-Produkt der lokalen Kohomologie \ref{clK}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben topologische R"aume mit abgeschlossenen Teilmengen $A,B\As X$ und $C,D\As Y$ zeige man die Kommutativit"at bis auf das Vorzeichen $(-1)^{qr}$ des Diagramms\label{AAhsrtA} $$ \begin{array}{ccc}{\op{H}}_{A}^p(X)\times {\op{H}}_{B}^q(X)\times {\op{H}}_{C}^r(Y)\times {\op{H}}_{D}^s(Y) &\ra& {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(X)\times {\op{H}}_{C\cap D}^{r+s}(Y)\\ \da&&\da\\ {\op{H}}_{A\times C}^{p+r}(X\times Y)\times{\op{H}}_{B\times D}^{q+s}(X\times Y) &\ra& {\op{H}}_{(A\cap B)\times(C\cap D)}^{p+q+r+s}(X\times Y) \end{array} $$ aus externen und internen Produkten der lokalen Kohomologie. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $E$ und Teilr"aume $A,B\subset E$ der Kodimensionen $p,q$ mit $A+B=E$\label{AAcuploA} liefert das cup-Produkt der lokalen Kohomologie einen Isomorphismus $$ {\op{H}}_A^p(E)\otimes {\op{H}}_B^q(E)\sira {\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(E)$$ Hinweis: Man ziehe sich mit Hilfe von "Ubung \ref{hsrt} auf den Fall $\op{dim}E=1$ zur"uck. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben endlichdimensionale reelle Vektorr"aume $A\subset E$ mit jeweils einer Orientierung erkl"aren wir wie in \eref{QOR}{TS} die Quotientenorientierung auf dem Quotienten $E/A$ und f"ur $p=\op{codim}(A\subset E)$ liefert der zugeh"orige Erzeuger von\label{AAQOUZA} ${\op{H}}^p_{!}(E/A)$ durch "Ubergang unter $${\op{H}}^p_{!}(E/A)\sila {\op{H}}^p_{\{0\}}(E/A)$$ und R"uckzug einen ausgezeichneten Erzeuger von ${\op{H}}^p_{A}(E)$, den {\bf durch die Orien\-tierungen von $A$ und $E$ bestimmten Erzeuger}. F"ur $A=\DR^{n-p}\times 0^{p}\subset E=\DR^n$ mit den Standardorientierungen $\tau^{\times (n-p)}$ beziehungsweise $\tau^{\times n}$ entspricht die Quotientenorientierung unter dem hoffentlich offensichtlichen Isomorphismus $E/A\sira \DR^{p}$ der Standardorientierung auf $\DR^{p}$ gegeben durch $\tau^{\times p}$ und unser ausgezeichneter Erzeuger von ${\op{H}}^p_{A}(E)$ ergibt sich zu $1^{\times(n- p)}\times \tau^{\times p}$ f"ur $1\in{\op{H}}^0_{\DR}(\DR)={\op{H}}^0(\DR)$ der Standarderzeuger. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein endlichdimensionaler reeller Vektorraum $E$ und Teilr"aume $A,B\subset E$ der Kodimensionen $p,q$ mit $A+B=E$ und liefern Orientierungen auf $A,B$ und $E$ nach \ref{QOUZ} ausgezeichnete Erzeuger von ${\op{H}}_A^p(E)$ und ${\op{H}}_B^q(E)$ und somit als deren Cup-Produkt einen ausgezeichneten Erzeuger von ${\op{H}}_{A\cap B}^{p+q}(E)$, der seinerseits zu einer ausgezeichneten Orientierung von $A\cap B$ geh"ort. Wir nennen sie die {\bf Schnittorientierung}.\index{Schnittorientierung} Ist speziell\label{AASnnoA} $E=\DR^n$ und $A= \DR^{n-p}\times 0^p$ sowie $B= 0^q\times\DR^{n-q}$ jeweils mit den Standardorientierungen, so werden unsere Erzeuger $1^{\times (n-p)}\times \tau^{\times p}$ sowie $(-1)^{q(n-q)}\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-q)}$ und wir erhalten nach \ref{hsrt} als Produkt $$(-1)^{q(n-q)}(-1)^{pq}\;\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-p-q)}\times \tau^{\times p}$$ Zur Standardorientierung von $A\cap B=0^{q}\times\DR^{n-p-q}\times 0^{p}$ geh"ort andererseits der Erzeuger $(-1)^{q(n-p-q)}\tau^{\times q}\times 1^{\times (n-p-q)}\times \tau^{\times p}$. Wir sehen so, da"s in diesem Fall die Schnittorientierung zu den Standardorientierungen mit der Standardorientierung des Schnitts "ubereinstimmt.\label{AAcAnEA} \end{Ubung} \subsection{Zeug zu Modulgarben} \begin{Definition} Eine $\op{Ab}$-Schmelzkategorie alias Schmelzkategorie mit additiver Struktur, deren zugrundeliegende einfache Kategorie endliche Produkte besitzt alias eine additive Kategorie ist, nennen wir eine {\bf additive Schmelzkategorie}.\index{Schmelzkategorie!additive} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorien von Komplexen}] Gegeben eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur $\mathscr M$ erkl"aren wir die Struktur einer Schmelzkategorie mit additiver Struktur auf der Kategorie $\op{Ket}(\mathscr M)=\op{Ket}_{\mathscr M}$ der Komplexe der zugrundeliegenden einfachen Kategorie analog wie im Fall von abelschen Gruppen. Eine Leerverschmelzung in einen Komplex\label{SKKo} $C^*$ ist insbesondere ein Nullzykel des Komplexes der Leerverschmelzungen in die Objekte von $C^*$ alias $$\op{Ket}_{\mathscr M}(\curlyvee, C^*)= \mathcal Z^0\mathscr M(\curlyvee, C^*)$$ Besitzt unsere Schmelzkategorie $\mathscr M$ stabil universelle Verschmelzungen und endliche Koprodukte, so auch die Schmelzkategorien $\op{Ket}^+_{\mathscr M}$ und $\op{Ket}^-_{\mathscr M}$. Universelle Zweiverschmelzungen landen in einem Komplex, der analog zum Tensorprodukt zweier Komplexe von abelschen Gruppen konstruiert wird, und der Shift $[1]$ ist ein Signumsautomorphismus. Besitzt unsere Schmelzkategorie $\mathscr M$ internes Hom, so zeigt man analog, da"s da"s auch $\op{Ket}^{\op{b}}_{\mathscr M}$ internes Hom besitzt. Besitzt unsere Schmelzkategorie $\mathscr M$ zus"atzlich abz"ahlbare Koprodukte, so zeigt man in derselben Weise, da"s auch ganz $\op{Ket}_{\mathscr M}$ stabil universelle Verschmelzungen besitzt. Besitzt unsere Schmelzkategorie zus"atzlich abz"ahlbare Produkte, so zeigt man wieder in derselben Weise, da"s auch ganz $\op{Ket}_{\mathscr M}$ internes Hom besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe}] Gegeben eine Schmelzkategorie mit additiver Struktur $\mathscr M$ erkl"aren wir die Struktur einer Schmelzkategorie mit additiver Struktur auf der Kategorie $\op{Hot}(\mathscr M)=\op{Hot}_{\mathscr M}$ ihrer Homotopiekomplexe analog wie im Fall von abelschen Gruppen. Eine Leerverschmelzung in einen Komplex $C^*$ ist in diesem Fall ein Element der nullten Kohomologie des Komplexes der\label{Muik} Leerverschmelzungen in die Objekte von $C^*$ alias ein Element von $$\op{Hot}_{\mathscr M}(\curlyvee, C^*)= \mathcal H^0\mathscr M(\curlyvee, C^*)$$ Gibt es in $\mathscr M$ stabil universelle Verschmelzungen und abz"ahlbare direkte Summen, so gibt es auch in $\op{Hot}_{\mathscr M}$ \hyperref[smkk]{stabil universelle Verschmelzungen} und die "ubliche triangulierte Struktur ist \hyperref[itSS]{intern}. Gibt es zus"atzlich in $\mathscr M$ internes Hom und abz"ahlbare Produkte, so gibt es auch in $\op{Hot}_{\mathscr M}$ internes Hom. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir nennen einen Morphismus $(f,f^\sharp):(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen einen {\bf lesbf-Morphismus},\index{lesbf-Morphismus} wenn $f$ lesb ist und $\mathcal A$ eine flache $f^{*{\op{Ab}}}\mathcal B$-Modulgarbe. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\nichtfinal{Sollte nur mit konstanten Koeffizienten!} Gegeben ein lesbf-Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen und ein homotopieflacher Komplex $\mathcal F\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/(X,\mathcal A)})$ aus flachen $f$-kompaktweichen Modulgarben\label{flle} ist auch $f_{(!)}\mathcal F\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/(Y,\mathcal B)})$ ein homotopieflacher Komplex aus flachen Modulgarben. \end{Lemma} \begin{proof} Wir ziehen uns leicht auf den Fall $\mathcal A=f^{*{\op{Ab}}}\mathcal B$ zur"uck. Exaktheit wie Flachheit kann man auf den Halmen pr"ufen und mit lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} k"onnen wir uns weiter auf den Fall zur"uckziehen, da"s zus"atzlich $Y$ der einpunktige Raum ist, so da"s wir nur mit Modulgarben "uber einem einzigen Kring $k$ arbeiten m"ussen und mit einem homotopieflachen Komplex $\mathcal F$ aus flachen kompaktweichen $k$-Modulgarben auf einem lesb-Raum $X$. Wir m"ussen zeigen, da"s f"ur jeden exakten Komplex $ N\in \op{Ket}(k\op{-Mod})$ auch der Komplex $\Gamma_{!}\mathcal F\otimes_{k} N$ exakt ist und da"s der Komplex $\Gamma_{!}\mathcal F$ aus flachen $k$-Moduln besteht. Letzteres folgt direkt aus der lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV}. F"ur ersteres identifizieren wir mit Hilfe unserer lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV} unseren Komplex mit dem Komplex $\Gamma_!(\mathcal F \otimes_kN)$. Nun ist der Komplex $\mathcal F \otimes_kN$ exakt nach Annahme. Er besteht au"serdem aus kompaktweichen Garben nach der lesb-Variante der Projektionsformel \ref{GdsaV} und da Koprodukte kompaktweicher Garben auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen nach \ref{LKWG} wieder kompaktweich sind. Da $X$ lesb ist, mu"s also nach \ref{EHD} auch der Komplex $\Gamma_!(\mathcal F \otimes_kN)$ in der Tat exakt sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Godementaufl"osung von Strukturgarben}] Gegeben ein gekringter Raum $(X,\mathcal A)$ sind Halme des Komplexes bestehend aus der Strukturgarbe und ihrer Godementaufl"osung $$\mathcal A\hra {\op{G}}^0\mathcal A\ra {\op{G}}^1\mathcal A\ra\ldots$$ an jedem Punkt $x\in X$ maximal spaltende exakte Komplexe von $\mathcal A_x$-Moduln. Folglich ist besagter Komplex von Modulgarben\label{hflS} homotopieflach. Andererseits ist auch der Ein-Objekt-Komplex $\mathcal A[0]$ homotopieflach, folglich ist bereits der Godementkomplex ${\op{G}}^\lhd\mathcal A$ selbst homotopieflach. Andererseits besteht er aus welken Garben. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Gekringter lokal eigentlicher Basiswechsel}] Seien $p g=f q$ ein kartesisches Quadrat von konstant gekringten R"aumen mit\label{Gele} lesb-Vertikalen $f,g$ und $\tilde p \tilde g=\tilde f\tilde q$ dar"uber ein kommutatives Diagramm von Opkomorphismen von Modulgarben mit $\tilde p, \tilde q$ kartesisch und der Modulgarbe oben rechts flach und lesb-kompaktweich. Ist dann $\tilde f$ \hyperref[EDBiAx]{eigkokartesisch}, so auch $\tilde g$. \end{Lemma} \begin{proof} In anderen Worten besagt unser Lemma, da"s die vom Basiswechsel \ref{BaWW} der Trennfaserung der Modulgarben \ref{TFmg} mit ihrem Vorschub \ref{VvMo} f"ur Funktoren zwischen nichtopponierten Kategorien von Garben induzierte Transformation $p^{\ast} f_{\ast} \RA g_{\ast} q^{\ast} $ unter den genannten Voraussetzungen Isomorphismen $p^{\ast} f_{!}\mathcal F \sira g_{!}\; q^{\ast} \mathcal F$ auf den jeweiligen Unterobjekten induziert, also eine Isotransformation $$p^{\ast} f_{!} \siRa g_{!} q^{\ast} $$ Das folgt im Fall von Modulgarben "uber einem festen Kring direkt aus lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} f"ur abelsche Garben. \end{proof} \begin{proof} Nach der nat"urlichen Faktorisierung \ref{Fasd} erhalten wir eine Zerlegung jedes kartesischen Diagramms in vier kartesische Unterdiagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] & (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X,\mathcal A) \ar[d] \\ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Kringgarben. Es reicht, die Behauptung f"ur jedes dieser vier kartesischen Quadrate zu pr"ufen. Im Quadrat oben links geht es nur um Beziehungen zwischen Restriktion und Erweiterung von Skalaren, da ist die Behauptung klar. Im Quadrat oben rechts ist die Aussage auch leicht gezeigt, dort geht es nur um die Vertr"aglichkeit des gew"ohnlichen R"uckzugs mit einer Restriktion der Skalare. Unten rechts haben wir lokal eigentlichen Basiswechsel wie wir ihn kennen, nur da"s zus"atzlich non Kringgarben operieren. Um schie"slich die Vertr"aglichkeit unten links zu zeigen, k"onnen wir uns wieder mit lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} auf den Fall zur"uckziehen, da"s $Z$ ein einpunktiger Raum ist. Dann aber folgt die Behauptung auf \ref{GdsaV}. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Schwache Trennverflechtung f"ur $\op{HflAb}_{\sslash \op{Gek}}$}] Wir betrachten die schwache Trennaustauschsituation\label{KOKIm} $$(\op{HflAb}_{\sslash \op{Gek}}\ra \op{Gek}\supset \op{Gek}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{HflAb}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{lesbf}}}, \op{Gek}^{\op{esbf}})$$ \end{Beispiel} \subsection{Relative Zusatzstrukturen (ALT, aber?)} \begin{Bemerkungl} Sei $p:\mathscr M\ra\mathscr N$ ein Schmelzfunktor. Unter einer {\bf relativen additiven Struktur}\index{additive Struktur!relative} auf $\mathscr M$ verstehen wir die Vorgabe einer Verkn"upfung \glqq Addition\grqq\ auf jeder Menge von Verschmelzungen $\mathscr M_f(\mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee\mathcal F_r,\mathcal G)$ "uber einer festen Verschmelzung $f:p\mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee p\mathcal F_r\ra p\mathcal G$ der Basis derart, da"s unsere Verschmelzungmengen mit diesen Verkn"upfungen abelsche Gruppen werden und unsere Multiverkn"upfungen multilineare Abbildungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In derselben Weise erkl"aren wir analog zu unseren Definitionen in \eref{SStr}{TS} den Begriff einer {\bf relativen $(\mathcal S,v)$-Struktur} auf $\mathscr M$ f"ur eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ mit einem treuen Schmelzfunktor $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$. Eine additive Struktur ist dann dasselbe wie eine $\op{Ab}$-Struktur alias eine $(\op{Ab},v)$-Struktur f"ur $v$ der Leerverschmelzungsfunktor von $\op{Ab}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkofaserung $p:\mathscr M\ra\mathscr N$ mit internem Hom in allen Fasern und $(\mathcal S,v)$ eine Schmelzkategorie mit ausgezeichnetem treuen Schmelzfunktor $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$ und ein auf Leerverschmelzungen volltreuer Schmelzfunktor $\Gamma:\mathscr M\ra \mathcal S$ erhalten wir eine relative $(\mathcal S,v)$-Struktur auf $\mathscr M$ durch die Vorschrift, da"s f"ur jede Verschmelzung $f$ der Basis und entsprechende Objekte $\mathcal G$ beziehungsweise Objektkleinfamilien $\mathcal F$ die Komposition von Bijektionen $$\mathscr M_f(\mathcal F,\mathcal G) \sira \mathscr M_Y(f_\dagger \mathcal F,\mathcal G) \sira \mathscr M(\curlyvee,(f_\dagger \mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)) \sira \mathcal S(\curlyvee,\Gamma(f_\dagger \mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G))$$ die $(\mathcal S,v)$-Struktur auf der Menge $\mathscr M_f(\mathcal F,\mathcal G)$ von Verschmelzungen repr"asentieren m"oge. Die Details mag einmal ein Student ausschreiben. \nichtfinal{Besser f"ur Trennfaserung?} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Unser Schmelzfunktor $\Gamma:\op{Ab}_{/{\op{Top}}}^{\op{invm}} \ra \op{Ab}$ aus \ref{SaG} ist volltreu auf Leerverschmelzungen und liefert folglich eine relative additive Struktur auf der Schmelzkofaserung der abelschen Garben $\op{Ab}_{/{\op{Top}}}^{\op{invm}}\ra\op{Top}^{\op{opp}}$. Sie ist aber auch ohne diese Allgemeinheiten recht offensichtlich. \nichtfinal{Gibt es ja nimmer!} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ und eine Schmelzkategorie $\mathscr N$ erkl"aren wir eine {\bf in $\mathcal S$ angereicherte Schmelzkategorie "uber $\mathscr N$} in Verallgemeinerung von \eref{anS}{TS} als ein Datum bestehend aus einer Menge $\mathscr M$ von Objekten und einer Abbildung $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ und f"ur beliebige Objekte $\mathcal F_1,\ldots,\mathcal F_r,\mathcal G\in\mathscr M$ und eine beliebige Verschmelzung $f:p\mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee p\mathcal F_r\ra p\mathcal G$ der Basis ein {\bf Verschmelzungsobjekt} $$\mathscr M_f( \mathcal F_1\curlyvee\ldots\curlyvee\mathcal F_r,\mathcal G)\in\mathcal S$$ und Multiverkn"upfungen, die in der offensichtlichen Weise Verschmelzungen in $\mathcal S$ sind derart, da"s das offensichtliche Analogon der Assoziativit"atsbedingung aus unserer Definition einer Schmelzkategorie erf"ullt ist und da"s es f"ur jede Einsfamilie $\mathcal F$ eine Leerverschmelzung $\op{id}_{\mathcal F}\in\mathcal S(\curlyvee, \mathscr M_{\op{id}}(\mathcal F,\mathcal F_*))$ in das Verschmelzungsobjekt "uber $\op{id}_{p\mathcal F}$ gibt, die die offensichtlichen Analoga unserer Forderungen an Identit"atsverschmelzungen aus \ref{anS} erf"ullt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ und eine in $\mathcal S$ angereicherte Schmelzkategorie $\mathscr M$ "uber $\mathscr N$ und ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ erhalten wir in offensichtlicher Weise eine $\mathcal T$ angereicherte Schmelzkategorie $\varphi(\mathscr M)$ "uber $\mathscr N$ durch {\bf Umstrukturierung l"angs $\varphi$}. \nichtfinal{Was soll das?} Speziell erhalten wir durch Umstrukturierung mit dem Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal S$ eine gew"ohnliche Schmelzkategorie ${\op{L}}_{\mathcal S}(\mathscr M)\ra\mathscr N$ "uber $\mathscr N$ mit einem ausgezeichneten Schmelzfunktor $${\op{L}}_{(\mathcal S)}=\mathscr M(\curlyvee,\;): {\op{L}}_{\mathcal S}(\mathscr M)\ra\mathcal S$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall der Schmelzkofaserung der abelschen Garben $\op{Ab}_{/{\op{Top}}}^{\op{invm}}\ra\op{Top}^{\op{opp}}$ mit ihrer offensichtlichen Anreicherung in $\op{Ab}$ erhalten wir so bis auf Isotransformation den Schmelzfunktor der globalen Schnitte ${\op{L}}_{(\op{Ab})}\cong\Gamma$. \end{Beispiel} \subsection{Angereicherte Kategorien, ausgeschlachtet*} \nichtfinal{Ausgeschlachtet. Gut, ich habe nicht in monotonen Schmelzkategorien angereicherte Kategorien woanders diskutiert, sondern unr in Schmelzkategorien angereicherte Kategorien in \eref{agerK}{TSK}, aber das allgemeinere Konzept wird auch noch nirgends verwendet.} \begin{Definition} Sei $\cal{S}$ eine monotone Schmelzkategorie im Sinne von \eref{moMU}{TS}. Eine {\bf in $\cal S$ angereicherte Kategorie} \index{angereichert!Kategorie} ${\cal C}$ \index{Kategorie!angereicherte} ist ein Datum bestehend aus\label{Kaatc} \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item einer Menge von \defnoind{Objekten}\index{Objekt} $\op{Ob} {\cal C}$; \item einem {\bf Morphismenobjekt}\index{Morphismenobjekt} ${{\cal C}}(X,Y)\in\mathcal S$ f\"{u}r je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob} {\cal C}$; \item eine Zweiverschmelzung $m: {\cal C} (X,Y) \curlyvee {\cal C} (Y,Z) \ra {\cal C} (X,Z)$ f\"{u}r je drei Objekte $X,Y,Z\in {\cal C}$, genannt die {\bf Verkn\"{u}pfung}, \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s folgende Axiome erf\"{u}llt sind: \begin{enumerate} \item Die Verkn"upfung ist {\bf assoziativ} im Sinne der Gleichheit $m\circ (m\curlyvee \op{id})=m\circ (\op{id}\curlyvee m)$ von Dreiverschmelzungen $${\cal C} (X,Y) \curlyvee {\cal C} (Y,Z) \curlyvee {\cal C} (Z,W) \ra {\cal C} (X,W)$$ \item F\"{u}r jedes Objekt $X$ gibt es eine Leerverschmelzung $\op{id}_X: \curlyvee \ra {\cal C} (X,X)$ in das Endomorphismenobjekt von $X$ derart, da"s f"ur je zwei Objekte $X,Y$ im Morphismenobjekt $\mathcal C(X,Y)$ gilt $$m\circ (\op{id}_X\curlyvee \op{id}_{\mathcal C(X,Y)})=\op{id}_{\mathcal C(X,Y)}=m\circ (\op{id}_{\mathcal C(X,Y)}\curlyvee \op{id}_Y)$$ %\begin{displaymath} %\xymatrix{ %I \otimes \mathcal C (X,Y)\ar[r]^-{l}\ar[d]_{t_X \otimes \op{id}} & %\mathcal C (X,Y) \ar[d]^-{\op{id}}\\ %\mathcal C (X,X) \otimes \mathcal C (X,Y) \ar[r]^-{m} & %\mathcal C (X,Y) %} %\hspace{5mm} %\xymatrix{ %\mathcal C (Y,X) \otimes I \ar[r]^-{r}\ar[d]_-{\op{id} \otimes t_X} & %\mathcal C (Y,X)\ar[d]^-{\op{id}}\\ %\mathcal C (Y,X) \otimes \mathcal C (X,X)\ar[r]^-m &\mathcal C (Y,X) %} %\end{displaymath} \end{enumerate} Die "ublichen Argumente zeigen, da"s es f"ur jedes $X$ h"ochstens eine derartige Leerverschmelzung geben kann. Wir nennen sie die {\bf Identit"at auf $X$}. \end{Definition} \begin{Beispiele} Eine Kategorie angereichert in Mengen ist eine gew"ohnliche Kategorie. Eine Kategorie angereichert in abelschen Gruppen ist dasselbe wie eine Kategorie mit additiver Struktur im Sinne von \ref{adS}. Eine Kategorie mit nur genau einem Objekt angereichert in einer monotonen Schmelzkategorie ist ein Monoidobjekt unserer Schmelzkategorie im Sinne von \eref{MonoMul}{TS}. Eine Kategorie angereichert in der Schmelzkategorie der Moduln "uber einem Kring $k$ hei"st eine {\bf $k$-Kategorie}.\index{Kategorie!$k$-Kategorie} % im Sinne von \ref{kKa}. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine in der Schmelzkategorie der Komplexe $\op{dgAb}$ aus \eref{MKmM}{TS} angereicherte Kategorie hei"st eine {\bf dg-Kategorie}. \end{Definition} \begin{Definition}\label{ZwKaA} Eine Kategorie angereichert in der kartesischen Schmelzkategorie $\op{Cat}$ der Kategorien im Sinne von \eref{kpmk}{TS} hei"st eine {\bf Zweikategorie}\index{Zweikategorie!strikte} oder genauer eine {\bf strikte Zweikategorie}. In einer Zweikategorie gibt es also nicht nur Morphismen zwischen Objekten, sondern auch f"ur je zwei feste Objekte Morphismen zwischen den Elementen der zugeh"origen Morphismenr"aume. Diese hei"sen dann die {\bf Zweimorphismen}\index{Zweimorphismus} unserer Zweikategorie. Ein typisches Beispiel ist die Kategorie $\op{Cat}$ selber, mit Kategorien als Objekten, Funktoren als Morphismen, und Transformationen als Zweimorphismen. \end{Definition} \begin{Definition} Seien $\mathcal C, \mathcal D$ zwei in derselben monotonen Schmelzkategorie $\mathcal S$ angereicherte Kategorien. Ein {\bf angereicherter Funktor}\index{angereichert!Funktor}\index{Funktor!angereicherter} $F: \mathcal C \rightarrow \mathcal D$ ist ein Datum bestehend aus: \begin{enumerate} \item Einer Abbildung $F : \op{Ob} \mathcal C \rightarrow \op{Ob} \mathcal D$ auf Objekten; \item F"ur je zwei Objekte $X,Y \in \op{Ob}\mathcal C$ einem Morphismus $F_{X,Y} : \mathcal C (X,Y) \rightarrow \mathcal D (FX, FY)$ in $\mathcal S$. \end{enumerate} Von diesem Datum wird gefordert, da"s f"ur alle $X$ gilt $F_{X,X}\circ \op{id}_X=\op{id}_{FX}$ und da"s f"ur alle $X,Y, Z$ im Raum der Zweiverschmelzungen $\mathcal C (X,Y) \curlyvee \mathcal C (Y,Z)\ra \mathcal D (FX,FZ)$ gilt $m\circ (F_{X,Y}\curlyvee F_{Y,Z})= F_{X,Z}\circ m$. % kommutiert % \begin{displaymath} % \begin{array}{ccccc} % \mathcal C (X,Y) &\otimes & \mathcal C (Y,Z) &\rightarrow&\mathcal C (X,Z) \\ % & \downarrow & & & \downarrow\\ % \mathcal D (X,Y) &\otimes & \mathcal D (Y,Z) & \rightarrow & % \mathcal D (X,Z) % \end{array} % \end{displaymath} \end{Definition} \begin{Beispiel} Im Fall von Kategorien angereichert in abelschen Gruppen ist solch ein Funktor dasselbe wie ein Funktor, der Gruppenhomomorphismen auf allen Morphismenr"aumen induziert. Im Fall von $k$-Kategorien ist es ein Funktor, der Modulhomomorphismen auf allen Morphismenr"aumen induziert. Man nennt so einen Funktor auch einen {\bf $k$-linearen Funktor}. \index{Funktor!$k$-linear} \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Im Fall der kartesischen Schmelzkategorie der Kategorien hei"sen unsere angereicherten Funktoren auch {\bf Zweifunktoren} oder genauer {\bf strikte Zweifunktoren}.\index{Zweifunktor!strikter} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Fordern wir bei der Definition nur die Vorgabe von Automorphismen $c_{X,Y,Z}$ mit $c_{X,Y,Z}\circ m\circ (F_{X,Y}\curlyvee F_{Y,Z})= F_{X,Z}\circ m$ und zwischen diesen hinwiederum geeignete Vetr"aglichkeiten, so erhalten wir die Definition eines {\bf laxen angereicherten Funktors} und im Fall der kartesischen Schmelzkategorie der Kategorien die Definition eines laxen Zweifunktors alias Pseudofunktors. \end{Bemerkunge} \newpage \begin{Bemerkungl}[\textbf{F"ur Stefan}] % Das ist bereits eine "Ubung, deshalb landet diese Bemerkung im Schrott. Ist $X$ kompakt, gilt $\op{fin}_{X!}=\op{fin}_{X*}$. Dr"uckt man damit das zweite ausgezeichnete Dreieck zu einer abgeschlossenen Teilmenge aus \ref{KuEG} auf einen Punkt herunter, so liefert ein ausgezeichnetes Dreieck $$\op{fin}_{Z!}i^{!}\cal{F}\ra \op{fin}_{X*}\cal{F}\ra \op{fin}_{U*} j^{\ast}\cal{F} \overset{[1]}{\ra}$$ Ist $X$ eine orientierte topologische Mannigfaltigkeit, so haben wir nach Verdierdualit"at $\op{fin}_{X}^!\DZ=\DZ_X[d_x]$ f"ur $d_x\pdef \op{dim}_\DR X$ und ist $Z$ auch eine orientierte topologische reelle Mannigfaltigkeit, so gilt zus"atzlich $\DZ_Z[d_ Z]=\op{fin}_{Z}^!\DZ=i^!\op{fin}_{X}^!\DZ=i^!\DZ_X[d_X]$. Nehmen wir also $\mathcal F=\DZ_X[d_X]$, so erhalten wir eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}^{q+d_Z}(Z;\DZ)\ra {\op{H}}^{q+d_X}(X;\DZ)\ra {\op{H}}^{q+d_X}(U;\DZ)\ra {\op{H}}^{q+d_Z+1}(Z;\DZ)\ra\ldots $$ Ist $Z$ keine Mannigfaltigkeit, so steht da stattdessen mit isomorphen mittleren Termen die lange exakte Sequenz der Borel-Moore-Homologie $$\ldots\ra {\op{H}}_{-q}^!(Z;\DZ)\ra {\op{H}}_{-q}^!(X;\DZ)\ra {\op{H}}_{-q}^!(U;\DZ)\ra {\op{H}}_{-q-1}^!(Z;\DZ)\ra\ldots $$ Hier sind $Z$ und $X$ kompakt, da kommt als Borel-Moore-Homologie, wenn etwa $Z$ hom"oomorph zu einer Variet"at ist, einfach die normale Homologie heraus, also ist sie eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}_{-q}(Z;\DZ)\ra {\op{H}}_{-q}(X;\DZ)\ra {\op{H}}_{-q}^!(U;\DZ)\ra {\op{H}}_{-q-1}(Z;\DZ)\ra\ldots $$ \end{Bemerkungl} \newpage \section{Danksagung} F"ur Korrekturen und Vereinfachungen danke ich vielen Freiburger Studenten, insbesondere Olaf Schn"urer. \subsection{Eindeutigkeit bis auf eindeutigen Isomorphismus*} \begin{Bemerkungl}\label{KKa} An dieser Stelle will ich einen technischen Punkt diskutieren, der bald noch wichtiger werden wird: Wir haben bei der Definition einer pr"aabelschen Kategorie zwar vorausgesetzt, da"s jeder Morphismus einen Kern besitzt, aber keineswegs, da"s dieser Kern eindeutig bestimmt sein soll. Um dennoch mit gutem Gewissen von \emph{dem} Kern und \emph{der} Kohomologie und dergleichen reden zu k"onnen, basteln wir uns ein dieser Problematik angepa"stes Begriffsgeb"aude. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{KoKa} Eine {\bf konstante Kategorie}\index{konstant!Kategorie} ist eine Kategorie, die "aquivalent ist zu einer Kategorie mit einem einzigen Objekt und einem einzigen Morphismus. Ein {\bf bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmtes Objekt einer Kategorie} $\cal{A}$ ist ein Funktor von einer konstanten Kategorie nach $\cal{A}$.\index{Objekt!bis auf eindeutigen Isomorphismus} Diese bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmten Objekte von $\cal{A}$ sind die Objekte einer neuen Kategorie $\bar{\cal{A}}$, deren Morphismen wir wie folgt erkl"aren: Gegeben $X,Y \in \bar{\cal{A}}$, sagen wir $X : \cal{K} \ra \cal{A}$ und $Y : \cal{J} \ra \cal{A}$, setzen wir $$\bar{\cal{A}} (X,Y) \pdef \left( \coprod_{(k,j)\in \cal{K} \times \cal{J}} \cal{A} (X (k), Y(j))\right) /\sim$$ mit einer "Aquivalenzrelation $\sim$ auf der disjunkten Vereinigung, deren Definition wir dem Leser ebenso "uberlassen wie die Definition der Verkn"upfung von Morphismen in $\bar{\cal{A}}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir erhalten eine "Aquivalenz von Kategorien $\cal{A} \sirra \bar{\cal{A}},$ indem wir zu jedem Objekt $A \in \cal{A}$ die konstante Unterkategorie $\cal{K}_A$ von $\cal{A}$ mit dem einzigen Objekt $A$ und einem einzigen Morphismus $\op{id}_A$ bilden und dem Objekt $A$ den Einbettungsfunktor $\bar{A}: \cal{K}_A\ra \cal{A}$ zuordnen. Jeder Funktor $\cal{A} \ra \cal{B}$ l"a"st sich in kanonischer Weise zu einem Funktor $\bar{\cal{A}} \ra \bar{\cal{B}}$ ausdehnen. Dar"uber hinaus k"onnen wir f"ur die "Aquivalenz $\bar{\cal{A}} \sirra \bar{\bar{\cal{A}}}$ einen adjungierten Funktor explizit konstruieren, indem wir ein durch $\cal{K}$ indiziertes System von durch gewisse $\cal{J}_{k}$ f"ur $k \in \cal{K}$ indizierten Systemen von Objekten von $\cal{A}$ in hoffentlich offensichtlicher Weise verwandeln in ein durch $\coprod_{k \in \cal{K}} \cal{J}_{k}$ indiziertes System von Objekten von $\cal{A}$.\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{ Bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmte Objekte: Kern}] Reden wir nun zum Beispiel mit bestimmtem Artikel von \emph{dem} Kern eines Morphismus $f: A \ra B$ in $\cal{A}$, so meinen wir das bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmte Objekt $(\op{ker}f)$ von $\cal{A},$ das durch den offensichtlichen Funktor von der konstanten Kategorie $\cal{K} \subset \cal{A}_{A}$ aller Kerne von $f$ in die Kategorie $\cal{A}$ definiert wird, oder noch genauer den offensichtlichen Morphismus $(\op{ker}f)\ra \bar{A}$ in $\bar{\cal{A}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bis auf eindeutigen Isomorphismus Wohlbestimmtes: Notation}] In Zukunft werden wir derlei Details meist unterschlagen und die Kategorie $\bar{\cal{A}}$ kurzerhand auch mit $\cal{A}$ bezeichnen. Mit den vorhergehenden\label{NoBEI} Bemerkungen hoffe ich, den Leser davon "uberzeugt zu haben, da"s in dieser Richtung keine echten Schwierigkeiten lauern. Daf"ur aber lauern dort Elefanten der Notation, vor denen man sich sehr in acht nehmen mu"s, da sie ganz ohne b"ose Absicht schnell einmal das zarte Pfl"anzchen der Verst"andlichkeit zertrampeln. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTOP" %%% End: