\section{"Aquivariante derivierte Kategorie} \label{adK} \subsection{Erg"anzungen zu "aquivarianten Garben} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Definitionen und ersten Resultate zu "aquivarianten Garben aus \eref{gAQm}{TG} folgende. Die im Anschlu"s behauptete Quotienten"aquivalenz f"ur Mengengarben hatten wir in \eref{dAQg}{TG} nur im Fall der Operation einer diskreten Gruppe diskutiert. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quotienten"aquivalenz f"ur Mengengarben}] Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und ein topologisch freier $G$-Raum $X$ ist\label{GQR} der "aquivariante R"uckzug f"ur ${\op{quot}}:X\sra X/G$ und $\alpha:G\sra 1$ f"ur jedes Universum $\mathfrak U$ mit $X,G\in \mathfrak U$ eine "Aquivalenz $$(\alpha{\acts}{\op{quot}})^{(*)}:\mathfrak U\!\op{Ens}_{/G\backslash X}\sirra \mathfrak U\!\op{Ens}_{/G{\sacts} X}$$ \end{Satz} \begin{proof} Nach einigen Vorbereitungen zeigen wir eine noch allgemeinere Aussage in \ref{GQRe}. Eine Variante des Beweises skizziert "Ubung \eref{AEGH}{TSF}. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Freie Quotienten "aquivarianter Abbildungen}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $f:E \rightarrow F$ eine stetige $G$-"aqui\-va\-ri\-ante Abbildung von\label{KarQ} $G$-R"aumen. \begin{enumerate} \item Gibt es eine Teilmenge $B\subset F$ derart, da"s die Multiplikation ein Hom"oomorphismus $G\times B\sira F$ ist, so gibt es auch $A\subset E$ mit $f(A)\subset B$ derart, da"s die Multiplikation $G\times A\sira E$ ein Hom"oomorphismus ist; \item Ist $F$ topologisch frei, so ist auch $E$ topologisch frei und f"ur jeden Punkt von $F/G$ gibt es eine offene Umgebung $B\co F/G$ und ein Diagramm aus zwei kartesischen Quadraten \begin{displaymath} \xymatrix{\kart A \ar[r] \ar[d] &E \ar[r] \ar[d] \kart& E/G \ar[d]\\ B \ar[r] &F \ar[r] & F/G } \end{displaymath} mit der Einbettung von $B$ als Verkn"upfung in der unteren Horizontale. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Durch R"uckzug entsteht ein kommutatives Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{E\ar[d]\ar[dr]&\\ G\times E/G \ar[d] \ar[r] &E/G \ar[d]\\ G \times B \ar[r] & B } \end{displaymath} Wir betrachten nun die Abbildung $\mu:E\ra G$, die durch die Verkn"upfung der linken Vertikale mit der Projektion auf $G$ gegeben wird. Sicher gilt $\mu(ge)=g\mu(e)\;\forall g\in G, e\in E$. Folglich ist die Abbildung $E\ra E$ gegeben durch $e\mapsto \mu(e)^{-1}e$ konstant auf $G$-Bahnen und faktorisiert "uber eine stetige Abbildung $\nu:E/G\ra E$. Man pr"uft leicht, da"s die stetige Abbildung $G\times E/G\ra E$, $(g,\bar{e})\mapsto g\nu(\bar{e})$ invers ist zur linken oberen Vertikale $E\ra G\times E/G$, $e\mapsto (\mu(e),\bar{e})$. Genauer findet man f"ur $s: G\times E\ra E, (g,e)\mapsto g\mu(e)^{-1}e$ und $t:E\ra G\times E, e\mapsto (\mu(e),e)$ unmittelbar $s\circ t=\op{id}_E$ und $t(s(g,e))=(g, g\mu(e)^{-1}e)$ und das liefert nach "Ubergang von $G\times E$ zu $G\times E/G$ die erste Behauptung. Um die zweite Behauptung zu zeigen, d"urfen wir weiter $F=G\times B$ annehmen und damit ist sie dann auch schon klar. \end{proof} \begin{Korollar} Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $E\rightarrow F$ eine stetige Abbildung von topologisch freien $G$-R"aumen, die einen Hom"oomorphismus $E/G \sira F/G$ induziert, ist unsere Abbildung bereits selbst ein \label{IHaB} Hom"oomorphismus $E \sira F$. \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt mit Proposition \ref{KarQ} zu freien Quotienten "aquivarianter Abbildungen aus der allgemeinen Erkenntnis \eref{KKI}{TF}, da"s der R"uckzug eines Isomorphismus stets wieder ein Isomorphismus ist. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $G$ eine topologische Gruppe, $E \rightarrow F$ eine stetige $G$-"aqui\-va\-ri\-ante Abbildung von\label{KarQs} topologisch freien $G$-R"aumen und \begin{displaymath} \xymatrix{ E \ar[r] \ar[d] &\ar[r] E/G \ar[d]& X \ar[d]\\ F \ar[r] & F/G\ar[r]&Y } \end{displaymath} ein kommutatives Diagramm. Ist dann das einh"ullende Rechteck kartesisch, so sind auch seine beiden Teilquadrate kartesisch. \end{Korollar} \begin{proof} F"ur das linke Teilquadrat folgt das sofort aus der Proposition \ref{KarQ} zu freien Quotienten "aquivarianter Abbildungen. F"ur das rechte Teilquadrat bemerken wir, da"s wir nur eine "Uberdeckung von $F/G$ durch offene Teilmengen $B\co F/G$ zu finden brauchen derart, da"s mit $A\co E/G$ dem Urbild von $B$ ein kartesisches Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar[r] A \ar[d]& X \ar[d]\\ B\ar[r]&Y } \end{displaymath} entsteht. Das folgt aus der zweiten Aussage von \ref{KarQ}, mit deren Hilfe wir unser Quadrat als Verklebung zweier kartesischer Quadrate schreiben k"onnen. \end{proof} \begin{Korollar} Seien $G$ eine topologische Gruppe, $E \rightarrow F$ eine stetige $G$-"aqui\-va\-ri\-ante Abbildung von\label{KarQss} topologisch freien $G$-R"aumen und \begin{displaymath} \xymatrix{ E \ar[r] \ar[d] &\ar[r] E/G \ar[d]& X_1\curlywedge\ldots\curlywedge X_r \ar[d]\\ F \ar[r] & F/G\ar[r]&Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r } \end{displaymath} ein kommutatives Diagramm der Familienkategorie $\curlywedge{\op{Top}}^\curlywedge$. Ist dann das einh"ullende Rechteck kartesisch, so sind auch seine beiden Teilquadrate kartesisch. \end{Korollar} \begin{proof} Mutatis mutandis wie das vorhergehende Korollar \ref{KarQs}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Freie Quotienten und Lokalit"at in der Basis}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $f:E \rightarrow F$ eine stetige $G$-"aqui\-va\-ri\-ante Abbildung von\label{KarLB} $G$-R"aumen mit $F$ topologisch frei. Ist \emph{(L)} eine Eigenschaft stetiger Abbildungen, die lokal ist in der Basis und stabil unter Basiswechsel, so hat die induzierte Abbildung $\bar f:E/G\ra F/G$ die Eigenschaft \emph{(L)} genau dann, wenn $f$ selbst die Eigenschaft \emph{(L)} hat. \end{Korollar} \begin{proof} Das folgt unmittelbar aus Proposition \ref{KarQ} "uber freie Quotienten "aquivarianter Abbildungen. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Quotienten \'etaler Abbildungen sind \'etale}] Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und\label{QeT} $E \rightarrow F$ eine \'etale Abbildung von $G$-R"aumen mit $F$ topologisch frei ist auch $E/G \ra F/G$ \'etale. Das folgt aus \ref{KarLB}, denn die Eigenschaft \'etale ist lokal in der Basis und stabil unter Basiswechsel. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Abbildung $\Bbb{R}^{2} \ra \Bbb{R}^{2}/\Bbb{Z}^{2}$ ist \'etale, nicht aber ihr Quotient nach der Operation durch Addition einer Gerade $G\subset \DR^2$ mit irrationaler Steigung. Es ist also wesentlich, da"s die Operation von $G$ auf $Y$ nicht nur abstrakt frei, sondern sogar topologisch frei ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Verallgemeinerte Quotienten"aquivalenz}] Operiert eine topologische Gruppe $G$ auf einem Raum $X$ und ist $N\subset G$ ein Normalteiler, der sowohl auf $G$ als auch auf $X$ topologisch frei operiert,\label{GQRe} so induziert das Zur"uckholen mit der Quotientenabbildung $(\phi\acts f): G{\acts} X\ra (N\backslash G){\acts} (N\backslash X)$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$ (\phi\acts f)^{*}: \mathfrak U\!\op{Ens}_{/(N\backslash G){\sacts} (N\backslash X)} \sirra \mathfrak U\!\op{Ens}_{/G{\sacts} X}$$ f"ur jedes Universum $\mathfrak U$, das die Grundmengen von $X$ und $G$ enth"alt. \end{Satz} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl} Bernstein-Lunts erkl"aren das f"ur endliche Gruppen in 8.1.1. \end{Bemerkungl}} \begin{proof} Wir beginnen mit dem in \ref{GQR} beschriebenen Fall $G=N$. Wir konstruieren einen Funktor in die Gegenrichtung, indem wir jeder "aquivarianten Garbe, aufgefa"st als \'etale Abbildung $\bar{\cal F} \ra X$, die nach \ref{QeT} \'etale Abbildung $G\backslash \bar{\cal F} \ra G\backslash X$ zuordnen. Dann zeigen wir, da"s er linksadjungiert ist zum Zur"uckholen. Schlie"slich pr"ufen wir, sowohl die Einheit als auch die Koeinheit der Adjunktion stets Isomorphismen sind. Das brauchen wir nur lokal zu pr"ufen, also im Fall $X = G \times W$ f"ur einen beliebigen topologischen Raum $W$, und in diesem Fall ist es leicht zu sehen. F"ur den allgemeinen Fall $N\subset G$ konstruieren wir allgemeiner einen Funktor in die Gegenrichtung, indem wir jeder indem wir jeder "aquivarianten Garbe, aufgefa"st als \'etale Abbildung $\bar{\cal F} \ra X$, die nach \ref{QeT} \'etale $N\backslash G$-"aquivariante Abbildung $N\backslash \bar{\cal F} \ra N\backslash X$ zuordnen und auch f"ur die weitere Argumentation mutatis mutandis wie im Fall $N=G$ vorgehen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Induktions"aquivalenz}] Seien $G$ eine topologische Gruppe, $F \subset G$ eine Untergruppe, die topologisch frei auf $G$ operiert,\label{ProE}\index{Induktions"aquivalenz} und $Y$ ein $F$-Raum. So liefert das Zur"uckholen l"angs $F{\acts} Y\ra G{\acts} (G \times_{/F} Y)$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathfrak U\!\op{Ens}_{/G{\sacts} (G \times_{/F} Y)} \sirra \mathfrak U\!\op{Ens}_{/F{\sacts} Y}$$ f"ur jedes Universum $\mathfrak U$, das die Grundmengen von $Y$ und $G$ enth"alt. \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Ein quasiinverser Funktor kann in der Sprache der \'etalen R"aume explizit beschrieben werden durch die Vorschrift ${\bar{\cal F}} \mapsto G \times_{/F}{\bar{\cal F}}$. \end{Bemerkunge} \begin{proof} Wir betrachten zus"atzlich $(G \times F){\acts} (G \times Y)$ mit der Operation gegeben durch $(g,f)(h,y)\pdef(ghf^{-1},fy)$ und erhalten ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (G \times F){\acts} (G \times Y)\ar[rd]\ar[d] & F{\acts} Y\ar[l]\ar[d] \ar[ld]\\ F{\acts} Y& G{\acts} (G \times_{/F} Y) } \end{displaymath} mit der oberen Horizontale gegeben durch $f\mapsto (f,f)$ und $y\mapsto (1,y)$ und dem Pfeil von links oben nach rechts unten gegeben durch $(g,f)\mapsto g$ und $(h,y)\mapsto [h,y]$ und der linken Vertikale gegeben durch das Weglassen der $G$-Komponente und dem verbleibenden Pfeil von rechts oben nach links unten der Identit"at. Die beiden R"uckz"uge in die obere linke Ecke sind verallgemeinerte Quotienten"aquivalenzen \ref{GQRe}. Es folgt, da"s erst der R"uckzug l"angs der oberen Horizontale und dann der R"uckzug l"angs der rechten Vertikale ebenfalls "Aquivalenzen sind. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Garben auf homogenen R"aumen}] Im Spe\-zial\-fall des einpunktigen Raums $Y = {\op{top}}$ erhalten wir aus dem Zusammenspiel der Beschreibung \eref{Gpt}{TG} "aquivarianter Garben auf einem Punkt und der Induktions"aquivalenz \ref{ProE} f"ur jede topologisch frei operierende Untergruppe $F\subset G$ einer topologischen Gruppe $G$ derart, da"s jedes Element von $F$ eine zusammenh"angende Umgebung besitzt, und f"ur jedes Universum $\mathfrak U$ mit $G\in\mathfrak U$ eine "Aquivalenz\label{eqHG} $$(F/F^{\circ})\op{-}\mathfrak U\!\op{Ens}\sirra \mathfrak U\!\op{Ens}_{/G{\sacts}(G/F)} $$ zwischen der Kategorie der Mengen mit einer Operation der Komponentengruppe von $F$ und der Kategorie der $G$-"aquivarianten Garben auf dem homogenen Raum $G/F$. Insbesondere sind in diesem Fall alle $G$-"aquivarianten Garben auf $G/F$ lokal konstant. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf der Kreislinie $S^1=\DR/\DZ$ kann nicht mit der Struktur einer $\DR$-"aqui\-varianten Garbe in unserem Sinne versehen werden, da sie nicht lokal konstant ist, da aber nach \ref{eqHG} jede $\DR$-"aqui\-va\-ri\-an\-te Garbe auf $S^1$ lokal konstant ist. \end{Beispiel} \begin{Proposition}[\textbf{Volltreues Einschr"anken}] Ist $\iota:G \ra H$ ein Homomorphimus topologischer Gruppen mit $H/\iota(G)$ zusammenh"angend, so ist f"ur jeden $H$-Raum\label{vtEE} $X$ die Restriktion ein volltreuer Funktor $$ (\iota\acts{\op{id}})^*:\op{Ens}_{/H{\sacts}X} \vra \op{Ens}_{/G{\sacts}X}$$ \end{Proposition} \begin{proof} In der Tat m"ussen wir nur f"ur jeden $G$-"aquivarianten Garbenhomomorphismus von $H$-"aquivarianten Garben $\varphi:{{\cal F}}\ra {{\cal G}}$ und alle $x\in X$ und $h\in H$ zeigen, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} {{\cal F}}_x&\ra& {{\cal G}}_x\\ \da& &\da\\ {{\cal F}}_{hx}&\ra& {{\cal G}}_{hx} \end{array}$$ kommutiert. Es reicht, wenn wir das zeigen f"ur die vermittels $H\ra X$, $h\mapsto hx$ auf $H$ zur"uckgezogenen Garben. Wir d"urfen also ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $X=H$ und $x=e$ annehmen. Dann liefert jedoch die Operation von $H$ f"ur alle $s\in {{\cal F}}_e$ eine Fortsetzung zu einem globalen Schnitt von ${{\cal F}}$, dessen Bild offen ist in $\bar{\cal{F}}$ als Bild einer \'etalen Abbildung. Mithin oder auch direkt nach \ref{ProE} mit $Y=\op{top}$ und $G=1$ ist ${\bar{\cal F}}\ra H$ und ebenso auch ${\bar{\cal G}}\ra H$ eine triviale "Uberlagerung. Die Mengen der $h\in H$, an denen zwei unter $\iota(G)$ "aquivariante Decktransformationen "ubereinstimmen beziehungsweise verschieden sind, sind nach dem Satz "uber die Eindeutigkeit von Lifts bei "Uberlagerungen \eref{EL}{TF} offen in $H$ und sind offensichtlich invariant unter $\iota(G)$. Ist nun $H/\iota(G)$ zusammenh"angend, so ist die einzige M"oglichkeit einer derartigen Zerlegung von $H$ in zwei offene Teilmengen die Zerlegung in ganz $H$ und die leere Menge. Das zeigt, da"s alle unter $\iota(G)$ "aquivarianten Garbenhomomorphismen zwischen $H$-"aquivarianten Garben auf $H$ bereits $H$-"aquivariant sein m"ussen. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $G$ eine topologische Gruppe und $f: X \rightarrow Y$ ein Morphismus von $G$-R"aumen und $\mathcal F \in \op{Ens}_{/G{\sacts}X}$ eine "aquivariante Garbe, so erbt der Vorschub $f_{*} \mathcal F \in \op{Ens}_{/Y}$ in offensichtlicher Weise eine Wirkung von $G$ als abstrakte Gruppe, die auch mit der Wirkung von $G$ auf $Y$ vertr"aglich ist. Um jedoch zu zeigen, da"s $G$ auch mit seiner richtigen Topologie stetig auf dem \'etalen Raum von $f_{*} \mathcal F$ operiert, brauchen wir st"arkere Voraussetzungen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Schwierigkeiten mit "aquivariantem Vorschub}] Da"s es im Allgemeinen nicht ganz einfach sein wird, einen Vorschub f"ur "aquivariante Garben zu erkl"aren, zeigt das folgende Beispiel. Auf der topologischen Gruppe $\DQ$ betrachte man die konstante Garbe $\DZ_\DQ$. Ihr Vorschub unter der Projektion auf einen Punkt ist die abelsche Gruppe der globalen Schnitte $\Gamma(\DZ_\DQ)$. Dieser Gruppe entspricht jedoch unter der offensichtlichen Operation keine $\DQ$-"aquivariante Garbe, da die fragliche Operation nicht stetig ist f"ur die diskrete Topologie auf $\Gamma(\DZ_\DQ)$. Ist zum Beispiel $s\in \Gamma(\DZ_\DQ)$ Null auf allen $q\in\DQ$ mit $q^2<2$ und Eins auf allen $q\in\DQ$ mit $q^2>2$, so gibt es keine Umgebung der Null in $\DQ$, die diesen Schnitt festh"alt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Alternative Beschreibung "aquivarianter Garben}] Seien $G$ eine topologische Gruppe\label{ABAEQ} und $X$ ein $G$-Raum. Bezeichne $m,p : G\times X \ra X$ die Operation von $G$ beziehungsweise die Projektion auf $X$. F"ur jede "aquivariante Garbe ${\cal{F}} \in \op{Ens}_{/G{\sacts}X}$ erkl"aren wir einen Garbenisomorphismus $$s : p^{*} {\cal{F}} \sira m^{*} {\cal{F}}$$ Man bezeichne dazu mit $q:G\times X \ra G$ die Projektion auf $G$ und betrachte die Abbildung $(q,m):(g,x)\mapsto (g,gx)$ und beachte zun"achst $m = p \circ (q,m)$, so da"s es gleichbedeutend gilt, einen Isomorphimus $p^{*}{\cal{F}} \sira (q, m)^{*} (p^{*} {\cal{F}})$ zu konstruieren. Wir haben nun aber einen nat"urlichen Isomorphismus $\operatorname{\acute{e}t} (p^{*}{\cal{F}})\sira G \times \bar{ {\cal{F}}}$. Das pull-back-Diagramm $$\begin{array}{ccc} G \times \bar{ {\cal{F}}} &{\ra} & G \times \bar{ {\cal{F}}}\\ \downarrow & & \downarrow \\ G\times X& \overset{(q,m)}{\ra}& G \times X \end{array}$$ mit $(g,f)\mapsto (g,gf)$ in der oberen Horizontalen liefert dann den gesuchten Isomorphismus. Im Halm an der Stelle $(g,x)$ wird unser Isomorphismus $s$ beschrieben durch ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} (p^{*}{\cal{F}})_{(g,x)} & \overset{s}{\ra} & (m^{*}{\cal{F}})_{(g,x)}\\ \da\wr & & \wr\da \\ {\cal{F}}_{x} & \overset{g}{\ra}& {\cal{F}}_{gx} \end{array}$$ mit den offensichtlichen vertikalen Identifikationen. Ist umgekehrt ein Garbenhomomorphismus $s : p^{*} \cal{F} \ra m^{*} \cal{F}$ gegeben, so erhalten wir eine stetige Abbildung $G \times \bar{\cal{F}} \ra \bar{\cal{F}}$ aus dem Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} G \times \bar{\cal{F}} & \overset{\sim}{\ra} & \op{\acute{e}t} (p^{*}\cal{F})& \overset{s}{\ra} & \op{\acute{e}t} (m^{*}\cal{F}) & \ra & \bar{\cal{F}}\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ G\times X & =& G\times X & =& G \times X & \overset{m}{\ra} & X \\ \end{array}$$ Hierin k"onnen die nicht explizit benannten Abbildungen hoffentlich vom Leser erschlossen werden. Kommt $s$ bereits von einer "aquivarianten Struktur auf $\bar{\cal{F}}$ her, so erhalten wir mit dieser Konstruktion unsere "aquivariante Struktur zur"uck. \end{Beispiel} \nichtfinal{Erinnere aus \eref{ggGOa}{TG}, da"s "aquivariante abelsche Garben Ab-Objekte in der Kategorie der "aquivarianten Mengengarben sind! "Aquivariante Mengengarben Trennfaserung. "Aquivariante Modulgarben auf konstant gekringten R"aumen, Trennfaserung. F"ur diskrete Gruppen Mengengarben als Garben mit $g:\mathcal F(U)\ra \mathcal F(gU)$ f"ur $U\co X$. Damit Vorschub $(D\acts f)_*$ diskutieren. Auch Schreivorschub $(D\acts f)_!$ sollte unproblematisch sein. } \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"aume mit und ohne Operation}] Wir betrachten die Kategorie $$\op{Topo}$$ der topologischen R"aume mit oder ohne Operation. Wir haben in $\op{Topo}$ einerseits Objekte $G\acts X$ bestehend aus einem topologischen Raum mit der Operation einer topologischen Gruppe und Morphismen $\phi\acts f:G\acts X\ra H\acts Y$ Paaren aus einem stetigen Gruppenhomomorphismus $\phi:G\ra H$ und einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ mit $f(gx)=\phi(g)f(x)\;\forall g\in G, x\in X$. Zum besseren Anschlu"s an die bisher entwickelte Theorie nehmen wir andererseits als Objekte von $\op{Topo}$ alle topologischen R"aume ohne Operation hinzu mit der Ma"sgabe, da"s die Morphismen von und nach $X$ dieselben sein sollen wie die Morphismen von und nach $1\acts X$, so da"s $1\acts X\ra X$ und $X\ra 1\acts X$ zueinander inverse Isomorphismen in $\op{Topo}$ sind. Wir notieren manchmal ausf"uhrlicher\index{$(1)\acts X$ in $\op{Topo}$} $$(1)\acts X=X$$ einen topologischen Raum ohne Operation als Objekt von $\op{Topo}$ und entsprechend $(1)\acts f:X\ra H\acts Y$ den durch eine stetige Abbildung $f:X\ra Y^H$ gegebenen Morphismus in $\op{Topo}$ sowie $(\alpha)\acts f:G\acts X \ra Y$ den durch eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ gegebenen Morphismus in $\op{Topo}$. Hier verwenden wir unsere Standardnotationen $1=1_H:1\ra H$ und $\alpha=\alpha_G:G\ra 1$ f"ur die einzigen Gruppenhomomorphismen $1\ra H$ beziehungsweise $G\ra 1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $G\acts X$ betrachten wir die abelsche Kategorie $\op{Ab}_{/G\acts X}$ der $G$-"aquivarianten abelschen Garben auf $X$. Gegeben eine Trennung $$f=(\phi_1\acts f_1,\ldots, \phi_r\acts f_r): G\acts X\ra H_1\acts Y_1\curlywedge \ldots\curlywedge H_r\acts Y_r$$ in der banalen Trennkategorie $\curlywedge{\op{Topo}}$ erkl"aren wir einen Multiopkomorphismus zwischen "aquivarianten abelschen Garben $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G_1\curlywedge \ldots\curlywedge \mathcal G_r$ dar"uber als eine Vorschrift, die f"ur alle $U\co X$ und $V_\rho\co Y_\rho$ mit $f_\rho(U)\subset V_\rho \;\forall\rho$ eine multiadditive Abbildung $\varphi^\circ:\mathcal G_1(V_1)\times \ldots\times \mathcal G_r(V_r)\ra \mathcal F(U)$ angibt, die vertr"aglich ist mit Einschr"ankungen und mit der Operation von $g\in G$ in dem Sinne, da"s die Diagramme $$\xymatrix{ \mathcal G_1(V_1)\times\ldots\times\mathcal G_r(V_r)\ar[r]\ar[d]_{(\phi_1(g),\ldots,\phi_r(g))}& \cal{F}(U)\ar[d]_g\\ \mathcal G_1(\phi_1(g)V_1)\times\ldots\times\mathcal G_r(\phi_r(g)V_r)\ar[r] &\cal{F}(gU)}$$ kommutieren f"ur alle $g\in G$. Wir erhalten mit den offensichtlichen Erg"anzungen f"ur R"aume ohne Operation eine Trennfaserung $$\op{Ab}_{\sslash \curlywedge{\op{Topo}}}\ra \curlywedge{\op{Topo}}$$ Erlauben wir nur diskrete Gruppenoperationen, so ist das ziemlich klar. Im allgemeinen mag es ein Student pr"ufen und ausarbeiten. Beschr"anken wir uns auf einpunktige R"aume in der Basis und lassen nur diskrete Gruppen operieren, so spezialisiert diese Trennfaserung zur Trennfaserung der Darstellungen diskreter Gruppen. Beschr"anken wir uns auf R"aume mit Operation der trivialen Gruppe, so spezialisiert sie zur Opkotrennfaserung der abelschen Garben auf topologischen R"aumen. Eine offensichtliche Variante, in der wir die Basis zur Kategorie\index{Topok@$\op{Topok}$} $$\op{Topok}$$ der R"aume mit oder ohne Operation und festen Koeffizientenkring erweitern, notieren wir $$\op{Ab}_{\sslash \curlywedge{\op{Topok}}}\ra \curlywedge{\op{Topok}}$$ Sie spezialisiert zus"atzlich zur Opmodultrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash \curlywedge{\op{Kringo}}}\ra \curlywedge{\op{Kringo}}$. Erweiterte Varianten w"aren gekringte R"aume mit oder ohne Operation, aber genug der Allgemeinheiten. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivarianter Vorschub}] L"angs Morphismen $\phi\acts f:G\acts X\ra H\acts Y$ in $\op{Topo}$ mit $G,H$ diskret gibt es auch Vorsch"ube f"ur $\op{Ab}_{\sslash {\op{Topok}}}\ra\op{Topok}$. Explizit finden wir\label{AeqVS} $$((\phi\acts f)_\dagger\mathcal F)(V)=\left(\prod_{h\in H}\mathcal F(f^{-1}(hV))\right)^G$$ f"ur die $G$-Operation gegeben durch $g:\mathcal F(f^{-1}(hV))\ra \mathcal F(f^{-1}(\phi(g)hV))$, genauer durch das Produkt dieser Abbildungen vom Eintrag mit Index $h$ zum Eintrag mit Index $\phi(g)h$. Die Operation $h_1: (f_\dagger\mathcal F)(V)\ra (f_\dagger\mathcal F)(h_1V)$ dahingegen ist ein Produkt von Abbildungen, die den Eintrag links mit Index $h$ vermittels der Identit"at auf den Eintrag rechts mit Index $hh_1^{-1}$ schieben. Die Details mag ein Student ausarbeiten. Im Spezialfall von Einpunktr"aumen spezialisiert unser Vorschub zur Induktion $M\mapsto \op{ind}_G^HM=\op{Hom}_G(\DZ[H],M)$. \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Komorphismen}] L"angs Morphismen $\alpha\acts a:G\acts X\ra H\acts Y$ in $\op{Topo}$ mit $G,H$ diskret will ich erkl"aren, was ein Komorphismus $\varphi:\mathcal G\ra \mathcal F$ sein sollte f"ur $\mathcal F$ "uber $X$ und $\mathcal G$ "uber $Y$. %% Unsere "aquivarianten Garben sind ja insbesondere %% "aquivariante Pr"agarben. Betrachten wir die Kategorie %% $$\op{Off}(G\acts X)$$ %% mit Objekten offenen Teilmengen $U\co X$ und Morphismen %% $U\ra U'$ der Menge aller $g\in G$ mit $gU\subset U'$ und %% der offensichtlichen Verkn"upfung, so ist eine abelsche Pr"agarbe darauf %% ein Funktor %% $$\mathcal F: \op{Off}(G\acts X)^{\op{opp}}\ra \op{Ab}$$ Ich schlage als Datum vor, f"ur alle $U\co X$ und $V\co Y$ und $h\in H$ mit $a(U)\subset hV$ einen Homomorphismus $$\varphi_{U,h,V}:\mathcal G(V)\ra \mathcal F(U)$$ anzugeben und zu fordern, da"s diese in der offensichtlichen Weise mit den Einschr"ankungen vertr"aglich sind und da"s die Diagramme $$\xymatrix{\mathcal G(V)\ar[d]_{\alpha(g)}\ar[rrr]^{\varphi_{U,h\alpha(g),V}}&&&\mathcal F(U)\ar[d]_{g}\\ \mathcal G(\alpha(g)V)\ar[rrr]^{\varphi_{gU,\alpha(g)h,\alpha(g)V}}&&&\mathcal F(gU) }$$ f"ur alle $h\in H$ und $g\in G$ kommutieren. Die Verkn"upfung mit einem Komorphismus $\psi:\mathcal H\ra \mathcal G$ "uber $\beta\acts b:H\acts Y\ra I\acts Z$ sei f"ur $W\co Z$ und $i\in I$ mit $ba(U)\subset iW$ gegeben durch etc etc. Jetzt gilt es erst einmal zu pr"ufen, da"s das wirklich die oppinvertierte Faserung zur geometrischen Faserung der "aquivarianten abelschen Garben liefert. Weiter ist zu pr"ufen, da"s das den in \ref{AeqVS} beschriebenen Vorschub liefert. Schlie"slich m"ussen analog Multiopkomorphismen definiert werden derart, da"s "uber Einpunktr"aumen die Trennaustauschsituation der Darstellungen entsteht. Dann mu"s untersucht werden, inwieweit das alles auch "uber Monoiden geht, und ab wann das nicht mehr geht. Sp"atestens f"ur internes Hom wird man Gruppen brauchen. \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl} Im Fall $G=1$ scheint mir die richtige Bedingung f"ur einen "aquivarianten Eigmorphismus, da"s f"ur $V\co Y$ und $t\in \mathcal G(V)$ die disjunkte Vereinigung der $\op{supp}\varphi_{f^{-1}(hV),h,V}(t)$ unter der durch \glqq erst $f$, dann $h^{-1}$\grqq\ gegebenen Abbildung $$\bigsqcup_{h\in H}f^{-1}(hV)\ra V$$ eigentlich nach $V$ geht. Im Fall von Einpunktr"aumen wird dann, wenn es richtig ist, ein Komorphismus ein Homomorphismus von abelschen Gruppen $\op{res}\mathcal G\ra \mathcal F$ sein alias ein Morphismus von $G$-Darstellungen $\mathcal G\ra \op{ind}_1^H\mathcal F$ und die Eigmorphismen sollten genau die sein, die "uber $\op{prod}_1^H\mathcal F\subset \op{ind}_1^H\mathcal F$ faktorisieren. Im allgemeinen sollte das nur f"ur $\bigsqcup_{h\in H/\alpha(G)}$ gefordert werden und \glqq es kommt nicht auf die f"ur die Nebenklassen gew"ahlten Repr"asentanten an\grqq. Ich w"urde das gerne eleganter formulieren k"onnen. Liefert das die richtigen Eigmorphismen im Fall $G\subset H$ und $X=Y$, die wir ja im Prinzip kennen? Liefert es den Linksadjungierten zum gew"ohnlichen R"uckzug im Fall $f:X\ra Y$ separiert \'etale? Lassen sich diese komischen Komorphismen "uberhaupt verkn"upfen? Kriegen wir, erst mal underiviert mit K"orperkoeffizienten, einen sechs-Funktor-Formalismus f"ur Operationen diskreter Gruppen? \end{Bemerkungl}} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivarianter Schreivorschub, "alterer Versuch}] Zumindest l"angs Morphismen $\phi\acts {\op{id}}:G\acts X\ra H\acts X$ in $\op{Topo}$ mit $G,H$ diskret hat der R"uckzug auch einen Rechtsadjungierten $\op{prod}_G^H$. Man konstruiert ihn dual als Raum von Koinvarianten\label{AeSS} $$((\phi\acts f)_\ddagger\mathcal F)(V)= \left(\bigoplus_{h\in H}f_!\mathcal F(f^{-1}(hV))\right)_G$$ mit $f_!\mathcal F$ wie in \eref{eiPL}{TG}. Ich habe mir nicht "uberlegt, inwieweit er, vielleicht deriviert, der Schreivorschub in einem Trennr"uckzug-Schreivorschub-Formalismus sein k"onnte. Das steht eigentlich zu erwarten. Bernstein-Lunts erkl"aren diesen Funktor nur f"ur $G\subset H$ und notieren ihn $\op{Ind}_G^H$. Ich erwarte, da"s das auch allgemeiner f"ur $f:X\ra Y$ separiert \'etale funktioniert. K"onnte man eigentliche Komorphismen f"ur topologische R"aume mit der Operation diskreter Gruppen erkl"aren als eigentliche Komorphismen $\varphi$ der zugrundeliegenden abelschen Garben wie in \eref{eigK}{TG}, die zu"atzlich $\phi$-"aquivariant sind in dem Sinne, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \mathcal G(V) &\ra &\mathcal F(f^{-1}(V))\\ \phi(g)\da&&g\da\\ \mathcal G(\phi(g)V) &\ra &\mathcal F(g(f^{-1}(V))) \end{array}$$ kommutiert f"ur alle $V\co Y$ und $g\in G$? Hierzu bemerke man insbesondere $g(f^{-1}(V))=f^{-1}(\phi(g)V)$, so da"s die untere Horizontale durch den Komorphismus ebenfalls sinnvoll definiert ist. NEIN! Vielmehr scheint mir, da"s man die von $(\phi\acts f)$ induzierten Abbildungen $$\bigsqcup_{g\in G}gf^{-1}(V)\ra \bigsqcup_{h\in H}hV$$ f"ur $V\co Y$ betrachten sollte und als Komorphismen Abbildungen von den Schnitten rechts zu den Schnitten links, f"ur alle $t\in \mathcal G(V)$ eigentlich wird, wenn wir sie auf den Tr"ager der Familie der $(g\varphi(t))_{g\in G}$ einschr"anken. \end{Bemerkungl}} \subsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $G$ eine zusammenh"angende topologische Gruppe\label{ABAEq} und $X$ ein $G$-Raum. Bezeichne $m,p : G\times X \ra X$ die Operation beziehungsweise die Projektion auf $X$ und sei $\cal{F}$ eine Garbe auf $X$. Gibt es einen Garbenhomomorphismus $s : p^{*} \cal{F} \sira m^{*} \cal{F}$, der auf $\{e\}\times X$ zur Identit"at einschr"ankt, so besitzt $\bar{\cal{F}}$ genau eine stetige $G$-Operation, die $\cal{F}$ zu einer $G$-"aquivarianten Garbe macht. Hinweis: Man verwende \ref{ABAEQ} und ziehe sich auf den Fall $X=G$ zur"uck. \end{Ubung} \begin{Ubung} Es operiere eine topologische Gruppe $G$ auf einem Raum $X$ und es sei $N\subset G$ ein Normalteiler, der auf $G$ topologisch frei operiert.\label{ftop} Genau dann ist die Operation von $G$ auf $X$ topologisch frei, wenn die Operationen von $N$ auf $X$ und von $N\backslash G$ auf $N\backslash X$ topologisch frei sind. \end{Ubung} \subsection{"Aquivariante derivierte Kategorie zu Aufl"osungen} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ bezeichne $\op{Der}(X)\pdef\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ die derivierte Kategorie der abelschen Kategorie aller abelschen Garben auf $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen}] Ich erinnere %aus \ref{azy} daran, da"s eine stetige Abbildung topologischer R"aume $f:X\ra Y$ {\bf garbenazyklisch} hei"st,\index{garbenazyklisch!stetige Abbildung} wenn f"ur jeden Komplex $\cal{F} \in \op{Der} (Y)$ die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus\label{Erbag} $$\cal{F} \sira f_{\ast}f^{\ast}\cal{F}$$ liefert. Da"s sie {\bf bagazyklisch} hei"st,\index{bagazyklisch} wenn sie unter jedem Basiswechsel eine gar\-ben\-azyk\-li\-sche Abbildung liefert. Da"s ein topologischer Raum $X$ {\bf bagazyklisch} hei"st, wenn die konstante Abbildung $X\ra\op{top}$ bagazyklisch ist. Nach \ref{zgsaf} ist jeder zusammenziehbare Raum bagazyklisch. Nach \ref{AZFcn} sind die Eigenschaften garbenazyklisch und bagazyklisch beide lokal in der Basis. Besitzt also $Y$ eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen $U\co Y$ mit $f:f^{-1}(U)\ra U$ jeweils garbenazyklisch beziehungsweise bagazyklisch, so ist auch $f$ selbst garbenazyklisch beziehungsweise bagazyklisch. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $f:X\ra Y$ eine stetige bagazyklische $G$-"aquivariante Abbildung induziert das\label{bagga} Zur"uckholen auf der "aquivarianten Kohomologie Isomorphismen $${\op{H}}^q_G(Y)\sira {\op{H}}^q_G(X)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} In \eref{EaeK}{TG} hatten wir das f"ur $f:X\ra Y$ ein Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser bereits gezeigt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Es gilt zu zeigen, da"s das Zur"uckholen Isomorphismen ${\op{H}}^q({\op{E}}G\times_{/G}Y)\sira {\op{H}}^q({\op{E}}G\times_{/G}X)$ induziert. Das folgt, wenn wir zeigen, da"s die Abbildung $\op{id}\times_{/G}f:{\op{E}}G\times_{/G}Y\ra {\op{E}}G\times_{/G}X$ garbenazyklisch ist. Nach \ref{Erbag} ist diese Eigenschaft jedoch lokal in der Basis. Damit folgt die Behauptung sogar f"ur jeden topologisch freien $G$-Raum $E$ und insbesondere f"ur die Milnorkonstruktion ${\op{E}}G$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte mit freien $G$-R"aumen sind frei}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $P,X$ zwei $G$-R"aume. Ist $P$ topologisch frei, so ist auch das Produkt $P\times X$ mit\label{PFFk} der diagonalen $G$-Operation topologisch frei. In der Tat reicht es aus, das unter der zus"atzlichen Annahme $P=G\times W$ zu zeigen, mit der Operation von $G$ nur auf dem ersten Faktor. Dann aber erhalten wir einen Hom"oomorphismus $G\times W\times X\sira G\times W\times X$ durch die Vorschrift $(g,w,x)\mapsto (g,w,gx)$, und unter diesem Hom"oomorphismus entspricht die $G$-Operation nur auf dem ersten Faktor der diagonalen $G$-Operation auf dem ersten und letzten Faktor. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und ein $G$-Raum $X$ verstehen wir unter einer {\bf $G$-Aufl"osung von $X$}\label{AuFL} einen $G$-"aquivari\-an\-ten Morphismus $a:P\ra X$ von einem topologisch freien $G$-Raum nach $X$. Zum Beispiel kann also $P$ leer sein oder $P=G$ und $a:g\mapsto gx$ f"ur ein $x\in X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante derivierte Kategorie zu Aufl"osung}] Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und ein $G$-Raum $X$ und eine bagazyklische $G$-Aufl"osung $b:P\ra X$ erkl"aren wir die {\bf "aquivariante derivierte Kategorie zur bag\-azyk\-li\-schen Aufl"osung} $P\kP X$\index{"aquivariant!derivierte Kategorie} als die volle Unterkategorie\label{eqdik} $$\op{Der} (G\acts P\kP X) \subset \op{Der} ( P/G)$$ aller Komplexe, deren R"uckzug unter $\op{quot}:P\sra P/G$ isomorph ist zum R"uckzug eines Komplexes aus $\op{Der}(X)$ unter $b:P\ra X$. In Formeln setzen wir also $$\op{Der}(G\acts P\kP X) \pdef\{\mathcal F\in \op{Der} ( P/G)\mid \exists \mathcal G\in \op{Der} ( X)\text{ mit }b^\ast\mathcal G\cong \op{quot}^*\mathcal F\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \ref{UWA} werden wir zeigen, da"s $\op{Der} (G\acts P\kP X)$ in einem noch zu pr"azisierenden Sinne von der bagazyklischen $G$-Aufl"osung $P$ gar nicht abh"angt. Jetzt aber besprechen wir erst einmal Beispiele, die mit konkreten bagazyklischen Aufl"osungen einfacher zu haben sind. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Bezug zur "aquivarianten Kohomologie}] Gegeben eine topologische Gruppe $G$, ein $G$-Raum $X$ und eine bagazyklische $G$-Aufl"osung $b:P\ra X$ geh"ort f"ur jede abelsche Gruppe $M$ die konstante Garbe auf $P/G$ mit Faser $M$ zur derivierten Kategorie $\op{Der} (G\acts P\kP X)$. Wir notieren dies Objekt $M_X\in \op{Der} (G\acts P\kP X)$ und erhalten mit \ref{bagga} im letzten Schritt Isomorphismen $$\op{Der} (G\acts P\kP X)(M_X,M_X[q])\sira {\op{H}}^q( P/G;M)\sira{\op{H}}^q_G( P;M) \sila {\op{H}}^q_G(X;M)$$ In Worten erhalten wir so einen Isomorphismus vom Raum der Morphismen von $M_X$ zu $M_X[q]$ in der "aquivarianten derivierten Kategorie zur $q$-ten "aquivarianten Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten in $M$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante derivierte Kategorien zur Gruppe $\DZ$}] Im Fall der Gruppe $G=\DZ$ k"onnen wir als bagazyklischen topologisch freien $G$-Raum nach \ref{dKpa} den Raum $E=\DR$ nehmen und erhalten f"ur jeden $\DZ$-Raum $X$ die bagazyklische $\DZ$-Aufl"osung $P=\DR\times X\ra X$. Der Quotient $ P/\DZ=\DR\times_{/\DZ}X$ ist dann ein Faserb"undel "uber der Kreislinie $\DR/\DZ$ mit Faser $X$, das \glqq verdrillt ist mit dem durch die Operation von $1\in\DZ$ gegebenen Automorphismus von $X$\grqq. Die "aquivariante derivierte Kategorie $$\op{Der}(\DZ\acts (\DR\times X)\kP X)$$ zu besagter Aufl"osung ist in diesem Fall eine volle Unterkategorie der derivierten Kategorie zur Kategorie aller abelschen Garben auf dem Faserb"undel $\DR\times_{/\DZ}X$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante derivierte Kategorien zur Gruppe $\DR$}] Im Fall der Gruppe $G=\DR$ k"onnen wir als bagazyklischen topologisch freien $G$-Raum nach \ref{dKpa} die Gruppe $E=\DR$ selber nehmen und erhalten f"ur einen $\DR$-Raum $X$ die bagazyklische $\DR$-Aufl"osung $P=\DR\times X\ra X$. Die Spaltung $X\ra \DR\times X$, $x\mapsto (0,x)$ induziert dann einen Hom"oomorphismus $h:X\sira \DR\times_{/\DR}X$ und die "aquivariante derivierte Kategorie zu unserer Aufl"osung wird in diesem Fall mit $h^*$ eine volle Unterkategorie $$\op{Der}(\DR\acts(\DR\times X)\kP X)\subset \op{Der}(\DR\acts(\DR\times X)/\DR)\sirra \op{Der}(X)$$ der derivierten Kategorie der Kategorie aller abelschen Garben auf $X$. Analoges gilt f"ur jede zusammenziehbare, ja jede bagazyklische topologische Gruppe $G$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konstruktion bagazyklischer $G$-Aufl"osungen}] Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $E$ ein topologisch freier bagazyklischer $G$-Raum\label{dKpa} ist die Projektion $E\times X\ra X$ f"ur jeden $G$-Raum $X$ eine bagazyklische $G$-Aufl"osung, denn $P\pdef E\times X$ ist nach \ref{PFFk} ein topologisch freier $G$-Raum und die Projektion ist offensichtlich bagazylisch. Wir verwenden f"ur den Quotienten die Notation $$P/G=(E\times X)/G= E\times_{/G}X$$ Hier verstehen wir $E$ anders als in manchen Kontexten "ublich als einen Raum mit einer Linksoperation von $G$ und die Operation als die diagonale Operation $g(e,x)\pdef (ge,gx)$. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{"Aquivariante Mengengarben als gew"ohnliche Garben}] Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum und $b:P\ra X$ eine $G$-Aufl"osung von $X$, die basisfest final ist mit zusammenh"angenden Fasern,\label{AgGg} erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Ens}_{/G{\sacts}X}\sirra \{\mathcal F\in \op{Ens}_{/(P/G)}\mid\exists \mathcal G\in \op{Ens}_{/X}\text{ mit }\op{quot}^* \mathcal F\cong b^* \mathcal G\}$$ f"ur $\op{quot}: P \ra P/G$ der Quotient durch die Vorschrift $\bar{\mathcal E} \mapsto (P\times_X\bar{\mathcal E})/G$ auf den \'etalen R"aumen. Dasselbe gilt mit demselben Beweis f"ur abelsche Garben. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Ich wei"s nicht, ob jede bagazyklische Abbildung $P\ra X$ basisfest final ist mit zusammenh"angenden Fasern. Sicher gilt das jedoch f"ur die Projektion $P\pdef{\op{E}}G\times X\sra X$, diese ist ja sogar offen mit zusammenh"angenden Fasern, und das reicht f"ur die weitere Argumentation in \ref{AeqD}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Zun"achst pr"ufen wir, da"s unser Funktor "uberhaupt sinnvoll definiert ist. Nach \ref{QeT} ist mit $P\times_X\bar{\mathcal E}\ra P$ auch $ (P\times_X\bar{\mathcal E})/G\ra P/G$ \'etale. Also ist unser Funktor sinnvoll definiert. Einen quasiinversen Funktor erh"alt man, indem man bemerkt, da"s nach \eref{AdI}{TG} die Einheit der Adjunktion eine Isotransformation $\op{id}\siRa b_*b^*$ ist und wir folglich $\mathcal G$ aus $\mathcal F$ zur"uckgewinnen k"onnen als $\mathcal G=b_{*} \op{quot}^*\mathcal F$. Das zeigt, da"s $\bar{\mathcal G}$ zumindest genau eine stetige Operation der Diskretisierung $G^{\delta}$ von $G$ tr"agt, die unter R"uckzug die Operation von $G$ auf $\overline{\op{quot}^* \mathcal F}\cong P\times_X \bar{\mathcal G}$ als Garbe auf $P$ wird. Da aber die zur"uckgeholte Operation stetig ist als Operation von $G$, mu"s auch die Operation auf $\bar{\mathcal G}$ selbst stetig sein, denn sie pa"st in ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} G\times (P\times_X \bar{\mathcal G}) &\ra& P\times_X \bar{\mathcal G}\\ \da&&\da\\ G\times \bar{\mathcal G} &\ra& \bar{\mathcal G} \end{array} $$ und die linke Vertikale ist aufgrund unserer Annahmen an $b$ final. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Garben und "aquivariante derivierte Kategorien}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum. Gegeben eine bagazyklische $G$-Aufl"osung $P\ra X$, die au"serdem basisfest final ist mit zusammenh"angenden Fasern wie zum Beispiel $P\pdef {\op{E}}G\times X\sra X$, liefert Proposition \ref{AgGg} eine "Aquivalenz zwischen der Kategorie der "aquivarianten abelschen Garben $\op{Ab}_{/G{\sacts}X}$ im anschaulichen Sinne \eref{gAQmg}{TG} und der vollen Unterkategorie aller Komplexe $\mathcal F\in \op{Der} (G{\acts}P\kP X)$ der "aquivarianten derivierten Kategorie, die exakt sind au"serhalb vom Grad Null. In Formeln erhalten wir so eine "Aquivalenz $$\op{Ab}_{/G{\sacts}X}\sirra\{\mathcal F\in \op{Der}(G{\acts}P\kP X)\mid \mathcal H^i\mathcal F\neq 0\;\RA\; i= 0\}$$ Unsere Konstruktion liefert sogar einen triangulierten Funktor\label{AeqD} $$\op{Geo}:\op{Der}(\op{Ab}_{/G{\sacts}X})\ra \op{Der}(G{\acts}P\kP X)$$ der {\bf Geometrisierung} von der naiven zu der "uber eine bagazyklische Aufl"osung definierten "aquivarianten derivierten Kategorie. Dieser Funktor ist jedoch nur in Ausnahmef"allen eine "Aquivalenz von Kategorien. Wir zeigen es in \ref{GeFR} f"ur topologisch freie R"aume mit Operation, in \ref{GeDis} f"ur diskrete Gruppen und in \ref{??} f"ur bagazyklische Gruppen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Triangulierung}] F"ur jedes Paar $(X,P)$ aus einem $G$-Raum $X$ und einer bagazyklischen $G$-Aufl"osung $b:P\ra X$ ist die derivierte Kategorie $\op{Der} (G\acts P\kP X) \subset\op{Der}(P/G)$ ein Verdiersystem und erbt mithin die Struktur einer triangulierten Kategorie. \end{Lemma} \begin{proof} Sicher enth"alt $\op{Der} (G\acts P\kP X)$ jedes Nullobjekt. Nun induziert f"ur $\mathcal G\in \op{Der}(X)$ die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $\mathcal G\sira b_{*}b^*\mathcal G$. Die Bedingung, da"s es $\mathcal G$ gibt mit $\op{quot}^*\mathcal F\cong b^*\mathcal G$, ist nach der Dreiecksidentit"at also gleichbedeutend zur Bedingung, da"s die Koeinheit der Adjunktion f"ur $\op{quot}^*\mathcal F$ einen Isomorphismus $b^*b_{*}\op{quot}^*\mathcal F\sira \op{quot}^*\mathcal F$ induziert. Das zeigt, da"s $\op{Der} (G\acts P\kP X)$ mit je zwei Objekten eines ausgezeichneten Dreiecks in $\op{Der}(P/G)$ auch das dritte enth"alt und da"s es mit einem Objekt auch seine direkten Summanden enth"alt. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abschneidefunktoren}] F"ur jedes Paar $(X,P)$ aus einem $G$-Raum $X$ und einer bagazyklischen $G$-Aufl"osung sieht man unmittelbar, da"s die Abschneidefunktoren $\tau^{\leq n}$ und $\tau^{\geq n}$ zu $\op{Der} (P/G)$ die derivierte Kategorie $\op{Der} (G\acts P\kP X)\subset \op{Der} (P/G)$ erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennfaserung f"ur "aquivariante derivierte Kategorien}] Wir erkl"aren die Kategorie der\label{TFAD} {\bf konstant gekringten R"aume mit Operation und bagazyklischer Aufl"osung}\index{Topoka@$\op{Topoka}$} $$\op{Topoka}$$ als die Kategorie aller Quadrupel $(G\acts P\kP X;A)$ bestehend aus einem topologischen Raum $X$ mit der Operation einer topologischen Gruppe, einer bagazyklischen $G$-Aufl\"osung $p:P\ra X$ und einem Kring $A$. Morphismen $$(G\acts P\kP X;A)\ra (H\acts Q\kP Y;B)$$ sind Quadrupel $(\phi,r,f,\rho)$ mit $\phi:G\ra H$ einem stetigen Gruppenhomomorphismus und $r:P\ra Q$ und $f:X\ra Y$ stetig und $\rho:A\ra B$ einem Morphismus opponierter Kringe gegeben durch einen Kringhomomorphismus $\rho^\circ :B\ra A$ in die Gegenrichtung derart, da"s $\phi{\acts}r$ sowie $\phi{\acts}f$ Morphismen von R"aumen mit Operation sind mit $pr=fq$ f"ur $q:Q\ra Y$. Wir erinnern die derivierte Gar\-ben\-op\-trenn\-fa\-se\-rung \eref{gVRT}{TSF}. Sie induziert eine Trennfaserung "uber der banalen Trennkategorie $\curlywedge {\op{Topoka}}$ mit $\op{Der}_{{\sslash}(P/G;A)}$ als Faser "uber $(G\acts P\kP X;A)$. Wir betrachten in den Fasern jeweils die vollen triangulierten Unterkategorien $$\op{Der}_{{\sslash}(G\sacts P\skP X;A)}\pdef\{ \mathcal F\in \op{Der}_{{\sslash}(P/G;A)}\mid \exists \mathcal G\in \op{Der}_{{\sslash}(X;A)}\text{ mit } \op{quot}^\dagger \mathcal F\cong b^\dagger \mathcal G\}$$ Es ist offensichtlich, da"s jeder Trennr"uckzug von Objekten dieser Unterkategorien "uber einer beliebigen Trennung in der Basis wieder in der fraglichen Unterkategorie "uber dem Ausgangsobjekt liegt. So erhalten wir eine Trennfaserung $$\op{Der}_{{\sslash}{\op{Topoka}}}\ra \curlywedge{\op{Topoka}}$$ "uber der banalen Trennkategorie zu $\op{Topoka}$, die {\bf aufgel"ost-"aquivariante derivierte Opgarbentrennfaserung}. Wir notieren die\index{Opgarbentrennfaserung!derivierte aufgel"ost-"aquivariante} opponierten Fasern "ahnlich wie bisher $\op{Der}_{/(G\sacts P\skP X;A)}=\op{Der}(G\acts P\kP X;A) $ und finden Isomorphismen $$\op{Der}_{/(G\sacts P\skP X;\DZ)} \sira \op{Der}(G\acts P\kP X)$$ zwischen den opponierten Fasern im Fall des Koeffizientenrings $\DZ$ und unseren bisher betrachteten "aquivarianten derivierten Kategorien abelscher Garben zu einer vorgegebenen bag\-azyk\-li\-schen $G$-Aufl"osung der Basis. Im folgenden verzichten wir meist darauf, den Koeffizientenring explizit mit anzugeben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Unabh"angigkeit von der Wahl der Aufl"osung}] Gegeben ein Morphismus der Gestalt $(\op{id},r,\op{id}):(G\acts P\kP X)\ra (G\acts Q\kP X)$ in $\op{Topoka}$ alias ein Morphismus $r:P\ra Q$ von bagazyklischen $G$-Aufl"osungen ein- und desselben konstant gekringten $G$-Raums ist der R"uckzug eine "Aquivalenz von Kategorien\label{UWA} $$\op{Der}(G\acts Q\kP X)\sirra \op{Der}(G\acts P\kP X)$$ \end{Satz} \begin{proof} Gegeben bagazyklische $G$-Aufl"osungen $P,Q$ von $G\acts X$ ist offensichtlich auch ihr Faserprodukt $P\times_X Q$ mit der diagonalen $G$-Wirkung eine bagazyklische $G$-Aufl"osung von $G\acts X$. Wir beginnen damit, das Korollar in dem Fall zu zeigen, da"s unser Morphismus von bagazyklischen $G$-Aufl"osungen die Projektion $\op{pr}_Q:P\times_X Q\ra Q$ ist. Im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{(P\times_X Q)/G\ar[d] &P\times_X Q\ar[l] \ar[d]\ar[r] & X \ar@{=}[d]\\ Q/G & Q \ar[l]\ar[r] & X } \end{displaymath} sind dann die Vertikalen bagazyklisch nach Proposition \ref{KarQz} und insbesondere garbenazyklisch. Damit ist der R"uckzug l"angs jeder Vertikale schon mal ein volltreuer Funktor. Es gilt zu zeigen, da"s der R"uckzug l"angs der linken Vertikale essentiell surjektiv ist auf den entsprechenden Kategorien derivierter Garben. Ein Objekt von $\op{Der}(G\acts (P\times_X Q)\kP X)$ ist charakterisiert durch die Eigenschaft, da"s sein R"uckzug nach $P\times_X Q$ von $X$ herkommt. A forteriori kommt dieser R"uckzug dann auch von $Q$ her, und dann zeigt Proposition \ref{KarQz} "uber freie Quotienten und R"uckzug, da"s unser Objekt bereits selbst von $\op{Der}(G\acts Q\kP X)$ herkommen mu"s. Damit ist das Korollar f"ur den durch die Projektion gegebenen Morphismus von bagazyklischen Aufl"osungen $\op{pr}_Q:P\times_X Q\ra Q$ gezeigt. Ist $r:P\ra Q$ ein beliebiger Morphismus von bagazyklischen Aufl"osungen, so k"onnen wir den Morphismus von bagazyklischen Aufl"osungen $(\op{id},r):P\ra P\times_X Q$ betrachten. Wegen $\op{pr}_P\circ (\op{id},r)=\op{id}$ mu"s dann auch der R"uckzug mit $(\op{id},r)$ eine "Aquivalenz von Kategorien $\op{Der}(G\acts (P\times_X Q)\kP X) \sirra \op{Der}(G\acts P\kP X)$ sein. Mit $\op{pr}_Q\circ (\op{id},r)=r$ folgt der Satz im allgemeinen. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Freie Quotienten und R"uckzug}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $f:X \rightarrow Y$ eine stetige bagazyklische $G$-"aqui\-va\-ri\-ante Abbildung von\label{KarQz} topologisch freien $G$-R"aumen. So gilt: \begin{enumerate} \item Die induzierte Abbildung $\bar f: X/G\ra Y/G$ ist bagazyklisch; \item Genau dann kommt ein Objekt $\mathcal F\in\op{Der}_{/(X/G)}$ von $Y/G$ her, wenn sein R"uckzug nach $X$ von $Y$ herkommt. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Der erste Teil ist eine Anwendung von Korollar \ref{KarLB} "uber lokale Eigenschaften und freie Quotienten, denn die Eigenschaft bagazyklisch ist lokal in der Basis und stabil unter Basiswechsel. Im zweiten Teil ist klar, da"s wenn $\mathcal F$ von $Y/G$ herkommt, da"s dann auch sein R"uckzug nach $X$ von $Y$ herkommt. F"ur die Gegenrichtung zeigt man durch geeigneten R"uckzug nach \ref{KarQ}, da"s unser $\mathcal F$ lokal von $Y/G$ herkommt. Damit aber kommt es nach \ref{kh} auch global von $Y/G$ her. \end{proof} %\begin{Proposition}[\textbf{"Aquivariante Garben %als gew"ohnliche Garben}] % Seien $G$ eine topologische Gruppe und $E$ ein zusammenh"angender % topologisch freier $G$-Raum. So erhalten wir f"ur jeden $G$-Raum $X$ eine % "Aquivalenz von Kategorien %$$\op{Ens}_{/G{\sacts}X}\sirra \{\mathcal F\in \op{Ens}_{/E\times_{/G} X}\mid\exists \mathcal %G\in \op{Ens}_{/X}\text{ mit }\op{pr}^* \mathcal G\cong \op{quo}^* \mathcal F\}$$ %f"ur $\op{pr}:E\times X\ra X$ und $\op{quo}: E\times X\ra E\times_{/G} X$ die %offensichtlichen Abbildungen durch die Vorschrift %$\bar {\mathcal G} \mapsto E\times_{/G}\bar{\mathcal G}$ auf den %\'etalen R"aumen. Dasselbe gilt f"ur abelsche Garben. %\end{Proposition} %\begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Garben und %"aquivariante derivierte Kategorie}] % Insbesondere erhalten wir so eine %"Aquivalenz zwischen %der Kategorie der "aquivarianten abelschen Garben %auf einem $G$-Raum $X$ im anschaulichen Sinne \ref{gAQmg} und %der vollen Unterkategorie aller Komplexe %$\mathcal F\in \op{Der}_{G{\sacts}} (X)$ der "aquivarianten derivierten %Kategorie, die exakt sind au"serhalb vom Grad Null, alias eine "Aquivalenz %$$\op{Ab}_{/G{\sacts}X}\sirra\{\mathcal F\in \op{Der}_{G{\sacts}} (X)\mid %\mathcal H^i\mathcal F\neq 0\RA i= 0\}$$ %Wir erhalten so sogar einen triangulierten Funktor %$\op{Der}(\op{Ab}_{/G{\sacts}X})\ra \op{Der}_{G{\sacts}} (X)$. %Dieser Funktor ist nur in Ausnahmef"allen eine "Aquivalenz %von Kategorien. Ein solcher Ausnahmefall ist der Fall der trivialen %Gruppe $G=1$. In diesem Fall induziert der R"uckzug %unter $\op{pr}:{\op{E}}1\times X\ra X$ offensichtlich eine "Aquivalenz von %triangulierten Kategorien\label{AUQI} %$$\op{Der} (\op{Ab}_{/X})\sirra \op{Der}_{1{\sacts}} (X)$$ %\end{Bemerkungl} %\begin{proof} % Zun"achst pr"ufen wir, da"s unser Funktor "uberhaupt % sinnvoll definiert ist. %Nach \ref{PFFk} ist ja mit $E$ auch $E\times X$ ein topologisch freier %$G$-Raum, und nach \ref{QeT} ist mit $E\times\bar{\mathcal G}\ra %E\times X$ auch $E\times_{/G}\bar{\mathcal G}\ra %E\times_{/G} X$ \'etale. Also ist unser Funktor sinnvoll definiert. %Einen quasiinversen Funktor erh"alt man, indem man bemerkt, da"s wir %das $\mathcal G$ zu einem vorgegebenen $\mathcal F$ beschreiben k"onnen als %$\mathcal G=\op{pr}_* \op{quo}^*\mathcal F$, da ja gilt %$\mathcal G\sira f_* f^*\mathcal G$ %f"ur jede finale Abbildung $f$ mit %zusammenh"angenden Fasern nach \ref{AdI}. Hierbei arbeiten wir mit Garben %von Mengen und $\op{pr}_*$ meint den zugeh"origen Vorschub. Das zeigt, da"s %$\bar{\mathcal G}$ zumindest genau eine stetige Operation von $G^{\op{dis}}$ %tr"agt, die unter R"uckzug die Operation von $G$ auf %$\overline{p^* \mathcal F}\cong E\times \bar{\mathcal G}$ als %Garbe auf %$E\times X$ wird. Da aber %diese Operation stetig ist, mu"s auch die Operation auf %$\bar{\mathcal G}$ stetig sein, denn sie entsteht als Verkn"upfung %$$G\times \bar{\mathcal G}\ra G\times E\times \bar{\mathcal G} %\ra E\times \bar{\mathcal G}\ra \bar{\mathcal G}$$ %mit dem Einf"ugen eines beliebigen Punktes $e\in E$ als erster Abbildung und %der Projektion als letzter Abbildung. %\end{proof} \subsection{"Aquivariante derivierte Kategorie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bagazyklische Aufl"osung mit Milnorkonstruktion}] Die Milnorkonstruktion \eref{MiKok}{TG} liefert zu einer beliebigen topologischen Gruppe $G$ einen topologisch freien zusammenziehbaren $G$-Raum $\op{E}\!G$, den abz"ahlbaren Join $$\op{E}\!G= \ast_{i \in \Bbb{N}} G$$ mit seiner Milnortopologie.\label{poiu} Insbesondere ist $\op{E}\!G$ nach \ref{Erbag} bagazyklisch. Man nennt $\op{E}\!G$ auch den \glqq Totalraum des klassifizierenden B"undels\grqq\ aus Gr"unden, die hier nicht diskutiert werden sollen. Manchmal ist es praktisch, in $\op{E}\!G$ einen ausgezeichneten Punkt zur Verf"ugung zu haben, dann nehmen wir das neutrale Element mit Koeffizient $1$ im ersten Eintrag unseres Joins. Diese Konstruktion ist sogar funktoriell in dem Sinne, da"s jeder stetige Homomorphismus von topologischen Gruppen $\phi:G\ra H$ einen Morphismus von R"aumen mit Operation $$\phi{\acts}{\op{E}}\phi:\op{E}\!G\ra \op{E}\!H$$ induziert, der den ausgezeichneten Punkt auf den ausgezeichneten Punkt abbildet. Gegeben ein $G$-Raum $X$ ist dann die Projektion $P\pdef \op{E}\!G\times X\ra X$ mit der diagonalen $G$-Operation vorne offensichtlich eine bagazyklische $G$-Aufl"osung und ist dar"uber hinaus basisfest final mit zusammenh"angenden Fasern. Des weiteren erhalten wir so f"ur $\phi\acts f:G\acts X\ra H\acts Y$ einen Morphismus von R"aumen mit Operation und jeden Kringhomomorphismus $\rho^\circ :B\ra A$ einen Morphismus $$(\phi,({\op{E}}\phi\times f), f, \rho): (G\acts (\op{E}\!G\times X)\kP X;A) \ra (H\acts (\op{E}\!H\times Y)\kP Y;B)$$ in $\op{Topoka}$ in funktorieller Weise. Wir erg"anzen diese Vorschrift zu einem Funktor $$\op{Topok}\ra \op{Topoka}$$ auf der Kategorie der konstant gekringten R"aume mit oder ohne Operation, indem wir konstant gekringten R"aumen ohne Operation $(1)\acts X$ die Identit"atsaufl"osung $1\acts X\kP X$ zuordnen und Morphismen $(1)\acts X\ra H\acts Y$ den durch das ausgezeichnete Element von ${\op{E}}H$ gegebenen Morphismus von Aufl"osungen und Morphismen $G\acts X\ra (1)\acts Y$ den durch die Komposition ${\op{E}}G\times_{/G}X\ra {\op{E}}1\times_{/1}Y\ra Y$ mit der Projektion auf $Y$ an zweiter Stelle gegebenen Morphismus von Aufl"osungen. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} % Gegeben eine % topologische Gruppe $G$ und ein $G$-Raum $X$ und eine % bag\-azyk\-li\-sche Aufl"osung $p:P\ra X$ liefern insbesondere die R"uckz"uge % l"angs der Projektionen "Aquivalenzen von Kategorien %$$\op{Der}_{G{\sacts}} (X)=\op{Der}_{G{\sacts}} (X;{\op{E}}G\times X)\sirra\op{Der}_{G{\sacts}} (X;{\op{E}}G\times P)\silla \op{Der}_{G{\sacts}} (X;P)$$ %\end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und ein $G$-Raum $X$ erkl"aren wir die \defnoind{$G$-"aquivariante derivierte Kategorie von $X$}\index{"aquivariant!derivierte Kategorie} mithilfe der Milnorkonstruktion \eref{MiKok}{TG} eines universellen B"undels ${\op{E}}G$ als\label{eqdik} die "aquivariante derivierte Kategorie zur bagazyklischen $G$-Aufl"osung $\op{pr}_X:{\op{E}}G\times X\ra X$ und setzen also in Formeln $$ \op{Der}_{G{\sacts}} (X;A) \pdef \op{Der} (G\acts ({\op{E}}G\times X)\kP X;A) $$ oder ohne explizit notierte Koeffizienten ausgeschrieben $$\op{Der}_{G{\sacts}} (X) \pdef\{\mathcal F\in \op{Der} ({\op{E}}G\times_{/G} X)\mid \exists \mathcal G \in \op{Der} (X) \text{ mit }{\op{pr}}_X^*\mathcal G\cong{\op{quot}}^*\mathcal F\} $$ Wir erhalten so zusammen mit unseren "ublichen derivierten Kategorien auf R"aumen ohne Operation eine Trennfaserung "uber der banalen Trennkategorie $\curlywedge{\op{Topok}}$ der konstant gekringten R"aume mit oder ohne Operation, eben die von $\op{Topoka}$ vermittels unseres Funktors $\op{Topok}\ra \op{Topoka}$ aus \ref{poiu} zur"uckgezogene Trennfaserung. Wir notieren die Fasern $\op{Der}_{\sslash G{\sacts}X}$ und die opponierten Fasern $$\op{Der}_{/ G{\sacts}X}=\op{Der}_{G\sacts}(X)=\op{Der}( G{\acts}X)$$ Wie bei jeder banalen Trennfaserung \eref{TFbT}{TSF} sind die Fasern $\op{Der}(G{\acts}X)$ oder mit Koeffizienten notiert $\op{Der}(G{\acts}X;A)$ Schmelzkategorien mit stabil universellen Verschmelzungen, die wir $\otimes=\otimes_A= \otimes_G=\otimes_{G;A}=\otimes_{G{\sacts}X;A} $ notieren. Wie bei jeder banalen Trennfaserung gibt es darin die leeren Tensorprodukte $\mathbb I$ und R"uckz"uge $f^*$ f"ur Morphismen $f$ in $\op{Topok}$ und sogar Trennr"uckz"uge und die "ublichen Vertr"aglichkeiten gelten. Wir verwenden f"ur diese R"uckz"uge und Trennr"uckz"uge die Notationen \begin{enumerate} \item $A\otimes_B^{\op{L}}=(\op{id}\acts\op{id};\rho)^*$ f"ur $\rho^\circ:B\ra A$ ein Kringhomomorphismus; \item $f^*=(\op{id}\acts f;\op{id})^*$ f"ur $f:X\ra Y$ eine stetige $G$-"aquivariante Abbildung; \item $\op{res}_H^G=(\iota\acts {\op{id}};\op{id})^*$ f"ur $\iota:G\ra H$ die Einbettung einer Untergruppe oder allgemeiner ein stetiger Gruppenhomomorphismus; \item $\op{res}_\phi=(\phi\acts {\op{id}};\op{id})^*$ f"ur $\phi:G\ra H$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus; \item $\op{res}_H$ f"ur den R"uckzug unter $Y\ra H\acts Y$; \item $\otimes=\otimes_G=((\op{id}\acts \op{id};\op{id}),(\op{id}\acts \op{id};\op{id}))^*$ das Tensorprodukt in $\op{Der}(G{\acts}X)$; es macht aus $\mathcal F,\mathcal G\in \op{Der}(G{\acts}X)$ ein Objekt $$\mathcal F\otimes \mathcal G\in \op{Der}(G{\acts}X)$$ \item $\boxtimes=\boxtimes_G=((\op{id}\acts \op{pr}_X;\op{id}), (\op{id}\acts \op{pr}_Y;\op{id}))^*$ das Boxprodukt ohne Gruppenwechsel; es macht aus $\mathcal F\in \op{Der}(G{\acts}X)$ und $\mathcal G\in \op{Der}(G{\acts}Y)$ ein Objekt $$\mathcal F\boxtimes \mathcal G\in \op{Der}(G{\acts}(X\times Y))$$ \item $\boxtimes=((\op{pr}_G\acts \op{pr}_X;\op{id}), (\op{pr}_H\acts \op{pr}_Y;\op{id}))^*$ das Boxprodukt mit Gruppenwechsel; es macht aus $\mathcal F\in \op{Der}(G{\acts}X)$ und $\mathcal G\in \op{Der}(H{\acts}Y)$ ein Objekt $$\mathcal F\boxtimes \mathcal G\in \op{Der}((G\times H){\acts}(X\times Y))$$ \end{enumerate} Speziell ist das Zur"uckholen unter dem Isomorphismus $Y\sira 1\acts Y$ eine "Aquivalenz $\op{res}_1:\op{Der}_{1\sacts}(Y)\sirra \op{Der}(Y)$ und das Zur"uckholen unter dem inversen Isomorphismus desgleichen. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konservativit"at des Einschr"ankens der Gruppenoperation}] Gegeben $G\acts X$ ein Raum mit Operation und $\mathcal F\in {\op{Der}}_{G\sacts}(X)$ folgt aus $\op{res}_G\mathcal F=0$ bereits $\mathcal F=0$. In der Tat reicht es wegen der Unabh"angigkeit von der Aufl"osung \ref{UWA} zu zeigen, da"s der R"uckzug l"angs $(1\acts ({\op{E}}G\times X)\kP X)\ra (G\acts ({\op{E}}G\times X)\kP X)$ diese Eigenschaft hat, und das ist klar.\label{VdG} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeiten der Geometrisierung}] Ein Student soll mir ausschreiben, wie sich die Geometrisierungen $\op{Geo}:\op{Der}(\op{Ab}_{/G\sacts X})\ra \op{Der}_{G\sacts}(X)$ in ihrer Gesamtheit zu einem Trennfunktor erweitern, der kartesische Trennungen zu kartesischen Trennungen macht. Salopp gesprochen soll also gelten $\op{Geo}\circ f^*=f^*\circ \op{Geo}$ und $\op{Geo}(\mathcal F\otimes\mathcal G)= \op{Geo}(\mathcal F)\otimes\op{Geo}(\mathcal G)$. Nur selten soll jedoch $\op{Geo}$ mit $f_!$ vertauschen, das geometrisch ja auch nur selten definiert ist, und noch viel seltener mit den Adjungierten $f_*$ und $\Rrightarrow$.\label{VerDf} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Quotienten"aquivalenz f"ur derivierte Kategorien}] Operiert eine topologische Gruppe $G$ topologisch frei auf einem topologischen Raum $X$, so ist der "aquivariante R"uckzug unter $\op{quot}:G\acts X\ra X/G$ und einen beliebigen Koeffizientenkring eine "Aquivalenz\label{EwTn} $$\op{quot}^*:\op{Der} (X/G) \sirra\op{Der}_{G{\sacts}} (X)$$ \end{Satz} %\begin{Bemerkungw} Eine Verallgemeinerung zeigen wir als \ref{WeTN}. %\end{Bemerkungw} \begin{proof} Aufgrund der Unabh"angigkeit von der Wahl der bagazyklischen Aufl"osung \ref{UWA} reicht es zu zeigen, da"s der R"uckzug eine "Aquivalenz $$\op{Der} (1\acts (X/G)\kP (X/G)) \sirra\op{Der}(G\acts ({\op{E}}G\times X)\kP X)$$ induziert. Dazu betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{{\op{E}}G\times_{/G}X\ar[d] &{\op{E}}G\times X\ar[l] \ar[d]\ar[r] & X \ar@{=}[d]\\ X/G & X \ar[l]\ar@{=}[r] & X } \end{displaymath} Da $G$ topologisch frei auf $X$ operiert, ist die linke Vertikale ein Faserb"undel mit Faser ${\op{E}}G$ und ist insbesondere garbenazyklisch. Wir m"ussen also nur zeigen, da"s jedes Objekt links oben, dessen R"uckzug in die Mitte von unten herkommt, bereits selbst von unten herkommt. Das aber folgt aus Lemma \ref{KarQz} "uber freie Quotienten und R"uckzug. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Verallgemeinerte Quotienten"aquivalenz}] Operiert eine topologische Gruppe $G$ auf einem Raum $X$ und ist $N\subset G$ ein Normalteiler, der sowohl auf $G$ als auch auf $X$ topologisch frei operiert,\label{WeTN} so ist der R"uckzug mit der Quo\-tien\-tenabbildung $(\pi{\acts}q):G{\acts} X\ra ( G/N){\acts} (X/N)$ eine "Aquivalenz \begin{equation*} (\pi{\acts}q)^*: \op{Der}_{(G/N){\sacts}} ( X/N) \sirra \op{Der}_{ G{\sacts}} (X) \end{equation*} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Das wird in \cite{BeLu} im Fall einer diskreten Gruppe $G$ in 8.1 besprochen und im allgemeinen in 2.6.2. Die Quotienten"aquivalenz \ref{EwTn} ergibt sich als der Fall $N=G$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir setzen $ P \pdef\op{E}\!G\times X\rightarrow X$. Nach \ref{KarQ} erhalten wir ein kartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ P \ar[r]\ar[d] &X \ar[d]\\ P/N \ar[r] & X/N } \end{displaymath} Hier ist auch die untere Horizontale bagazyklisch, da sie sich lokal in der Basis als R"uckzug der oberen Horizontale beschreiben l"a"st. Es ist leicht zu sehen, da"s $P/N$ topologisch frei ist als $G/N$-Raum und da"s die offensichtliche Abbildung einen Hom"oomorphismus $c : P/G \sira ( P/N)/(G/N)$ induziert. Wir betrachten nun das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ & & P\ar[dl]_-{\hat q}\ar[dr]^-{\hat p} & &\\ & P/N\ar[dl]_-r\ar[dr]^-{{p}} & & X\ar[dl]_-{{q}} &\\ P/G& & X/N & } \end{displaymath} und behaupten, da"s das Zur"uckholen mit $(\pi{\acts}c)$ eine "Aquivalenz \begin{equation*} (\pi{\acts}c)^*: \op{Der} ((G/N){\acts}P/N\kP X/N) \sirra \op{Der} (G\acts P\kP X) \end{equation*} induziert. In der Tat, gibt es f"ur $\mathcal F \in \op{Der} ( P/G)$ ein $\mathcal G \in \op{Der} ( X/N)$ mit $r^\ast \mathcal F \cong p^\ast \mathcal G$, so folgt $(r \circ {\hat q})^\ast \mathcal F \cong {\hat p}^\ast ( q^\ast \mathcal G)$ und folglich $\mathcal F \in \op{Der} (G\acts P\kP X)$. Gibt es umgekehrt $\mathcal G^\prime\in \op{Der}(X)$ mit $(r \circ {\hat q})^\ast \mathcal F \cong {\hat p}^\ast \mathcal G^\prime$, so gibt es nach Lemma \ref{KarQz} "uber freie Quotienten und R"uckzug ein $\mathcal G \in \op{Der} (X/N)$ mit $r^\ast \mathcal F \cong p^\ast \mathcal G$. Der Satz folgt nun mit dem "Ubergang zur Standardaufl"osung links. Formal mag man in $\op{Topoka}$ das kommutative Diagramm $$\xymatrix{{\op{E}}G \times X\ar[r]\ar[rd]\ar[d]& {\op{E}}(G/N) \times (X/N)\\ P/N&{\op{E}}(G/N) \times (P/N)\ar[l]\ar[u] }$$ betrachten mit einer $G$-Aufl"osung von $X$ oben links und drei $(G/N)$-Aufl"osungen von $X/N$ an den drei anderen Ecken. F"ur die zu diesen Aufl"osungen geh"origen Varianten der "aquivarianten derivierten Kategorien sind die beiden R"uckz"uge in die untere rechte Ecke "Aquivalenzen nach der Unabh"angigkeit von der Aufl"osung \ref{UWA} und da"s der R"uckzug l"angs der linken Vertikale eine "Aquivalenz ist, haben wir uns bereits "uberlegt. Es folgt, da"s erst der R"uckzug l"angs der Diagonale und dann auch der l"angs der oberen Horizontale eine "Aquivalenz ist. Das aber war genau die Behauptung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Induktions"aquivalenz}] Gegeben $ H$ eine topologische Gruppe und $G\subset H$ eine topologisch frei operierende Untergruppe\label{ProEy}\index{Induktions"aquivalenz} und $\iota:G\hra H$ die Einbettung und $X$ ein $G$-Raum liefert das Zur"uckholen l"angs des offensichtlichen Morphismus $(\iota{\acts}(1\times)):G{\acts} X\ra H{\acts} (H \times_{/G} X)$ eine "Aquivalenz $$(\iota{\acts}(1\times))^*:\op{Der}_{H{\sacts}}(H\times_{/G} X) \sirra \op{Der}_{G{\sacts}}(X)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} Ist $H$ offenlokal bagazyklisch, so besitzt $(\iota{\acts}(1\times))^*$ nach\label{VoSi} \ref{eaRA} einen Rechtsadjungierten $(\iota{\acts}(1\times))_*$, der dann quasiinvers ist zu $(\iota{\acts}(1\times))^*$. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir betrachten zus"atzlich $(H \times G){\acts} (H \times X)$ mit der Operation gegeben durch $(h,g)(k,x)\pdef(hkg^{-1},gx)$ und erhalten ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ (H \times G){\acts} (H \times X)\ar[rd]\ar[d] & G{\acts} X\ar[l]\ar[d] \ar[ld]\\ G{\acts} X& H{\acts} (H \times_{/G} X) } \end{displaymath} mit der oberen Horizontale gegeben durch $g\mapsto (g,g)$ und $x\mapsto (1,x)$. Die R"uckz"uge in die obere linke Ecke sind "Aquivalenzen nach Variante \ref{WeTN} der Quotienten"aquivalenz. Es folgt, da"s erst der R"uckzug l"angs der oberen Horizontale und dann der R"uckzug l"angs der rechten Vertikale auch "Aquivalenzen sind. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Geometrisierung und freie Operationen}] Gegeben $G\acts X$ ein Raum mit einer topologisch freien Operation einer topologischen Gruppe $G$ ist die Geometrisierung aus \ref{AeqD} eine "Aquivalenz von Kategorien\label{GeFR} $$\op{Geo}:\op{Der}(\op{Ab}_{/G{\sacts}X})\sirra \op{Der}_{G\sacts}(X)$$ \end{Satz} \begin{proof} Nach der Quotienten"aquivalenz f"ur Mengengarben und analog f"ur abelsche Garben \ref{GQR} ist der "Ubergang zum Quotienten $\bar{\mathcal F}\mapsto \bar{\mathcal F}/G$ auf den \'etalen R"aumen eine "Aquivalenz $\op{Ab}_{/G{\sacts} X}\sirra \op{Ab}_{/G\backslash X}$ und induziert mithin eine "Aquivalenz auf den derivierten Kategorien. Wir erhalten so die linke Vertikale in einem Diagramm von Kategorien und Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{\op{Der}(\op{Ab}_{/G{\sacts}X})\ar[r] \ar[d]_{\approx} & \op{Der}(G\acts ({\op{E}}G\times X)\kP X)\\ \op{Der}(X/G) \ar[r]^-\approx & \op{Der} (1\acts (X/G)\kP (X/G))\ar[u]^{\approx} } \end{displaymath} Als untere Horizontale nehmen wir die Einbettung der nicht"aquivarianten Theorie, als rechte Vertikale die derivierte Quotienten"aquivalenz \ref{EwTn} und als obere Horizontale die Geometrisierung. Sobald wir eine Isotransformation finden, die das Quadrat f"ullt, folgt die Behauptung. Mehr oder weniger per definitionem bildet der untenrum verkn"upfte Funktor im \'etalen Bild einen Komplex von $G$-"aquivarianten Garben $\bar{\mathcal F}^*$ erst ab auf den Komplex der Quotienten $\bar{\mathcal F}^*/G$ und dann auf deren R"uckzug unter ${\op{E}}G\times_{/G}X\sra X/G$. Die obere Horizontale macht daraus dahingegen direkt den Komplex ${\op{E}}G\times_{/G}\bar{\mathcal F}^*$ und das l"auft auf dasselbe hinaus. \end{proof} \subsection{Der Fall diskreter Gruppen} \begin{Bemerkungl} Sei $f:X\ra Y$ separiert und \'etale. So ist $f$ lesb und $f_{(!)}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$ ist exakt und linksadjungiert zu $f^{(*)}$ nach \eref{lfad}{TG}. Mithin ist f"ur jeden quisrechtsentfalteten Komplex $\mathcal I\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/Y})$ sein R"uckzug $f^{(*)}\mathcal I\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$ ebenfalls quisrechtsentfaltet, denn f"ur jeden exakten Komplex $\mathcal N\in \op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$ ist $f_{(!)}\mathcal N$ auch exakt und es folgt\label{etRZ} $$\op{Hot}_{{\op{Ab}}/X}(\mathcal N,f^{(*)}\mathcal I)\cong \op{Hot}_{{\op{Ab}}/Y}(f_{(!)}\mathcal N,\mathcal I)=0$$ Nebenbei bemerkt kann man das verstehen als den Fall einer $0$-mannigfaltigen Abbildung, f"ur die uns ja die allgemeine Theorie \ref{glRZ}, \ref{roG} einen Isomorphismus $f^!\siRa f^*$ liefert und in dem wir mithin auf abelschen Garben den gew"ohnlichen R"uckzug $f^{(*)}$ auch als einen Schreir"uckzug $f^{(!)}$ auffassen k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $D\acts X$ ein Raum mit der Operation einer diskreten Gruppe betrachten wir den Funktor der globalen Schnitte $(D\acts a)_{(*)}:\op{Ab}_{/D\sacts X}\ra \op{Ab}_{/D\sacts \op{top}}$ in die Kategorie der Darstellungen von $D$. Ist unsere Operation zus"atzlich topologisch frei, betrachten wir weiter die Komposition $$(D\acts a)_{(*)}\circ \op{quot}^{(*)}: \op{Ab}_{/(X/D)}\sirra \op{Ab}_{/D\sacts X}\ra \op{Ab}_{/D\sacts \op{top}}$$ Das ist ein linksexakter Funktor. Jeder Komplex $\mathcal F\in \op{Hot}(\op{Ab}_{/(X/D)})$, ja jeder Komplex abelscher Garben auf einem beliebigen topologischen Raum besitzt nach \eref{EhiA}{TSF} eine Quisrechtsentfaltung $\mathcal F\ra \mathcal I$. Damit ist auch $\op{quot}^{(*)}\mathcal F\ra \op{quot}^{(*)}\mathcal I$ eine Quisrechtsentfaltung in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/D\sacts X})$ und bleibt nach \ref{etRZ} bei Vergessen der Gruppenoperation eine Quisrechtsentfaltung in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/ X})$. Wir erhalten so mit den Argumenten aus \eref{DerEVv}{TD} eine Isotransformation \begin{displaymath} \xymatrix{\op{Der}(\op{Ab}_{/D{\sacts}X})\ar[r]^-{\op{res}_D} \ar[d]_{{\op{R}}(D\sacts a)_{(*)}} & \op{Der}(\op{Ab}_{/X})\ar[d]^{a_*={\op{R}} a_{(*)}} \\ \op{Der}(\op{Ab}_{/D{\sacts}{\op{top}}}) \ar[r]^-{\op{res}_D} \ar@{=>}[ru]^\sim& \op{Der} (\op{Ab}_{/{\op{top}}} )} \end{displaymath} wie im Diagramm gezeigt. Salopp gesprochen existiert im Fall der topologisch freien Operation einer diskreten Gruppe der unbeschr"ankte derivierte Vorschub von "aquivarianten Garben auf den Einpunktraum und vertauscht mit dem Vergessen der Gruppenoperation. Wir verwenden von nun an wie im Fall ohne Operation die Abk"urzung $$(D\acts f)_{[*]}\pdef {\op{R}}(D\acts f)_{(*)}$$ f"ur den derivierten "aquivarianten Vorschub im Fall von diskreten Gruppen $D$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $D\acts X$ ein garbenazyklischer Raum mit der topologisch freien Operation einer diskreten Gruppe wie etwa $X={\op{E}}D$ und $a:X\ra {\op{top}}$ die konstante Abbildung, so ist die Koeinheit der Adjunktion eine Isotransformation\label{iaut} $$(D\acts a)_{[*]} (D\acts a)^{[*]}\siRa \op{Id}$$ In der Tat wird sie nach dem vorhergehenden unter dem Vergessen der Gruppenoperation zur gew"ohnlichen Koeinheit der Adjunktion, die nach Annahmen Isotransformation $a_*a^*\siRa \op{Id}$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Geometrisierung der Darstellungen diskreter Gruppen}] Gegeben eine diskrete Gruppe $D$ ist die Geometrisierung aus \ref{AeqD} eine "Aquivalenz von Kategorien\label{EPuR} $$\op{Geo}:\op{Der}(\op{Ab}_{/D{\sacts}{\op{top}}})\sirra \op{Der}_{D\sacts}( {\op{top}})$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir betrachten irgendeinen garbenazyklischen topologisch freien $D$-Raum $E$ und die Isotransformation \begin{displaymath} \xymatrix{\op{Der}(\op{Ab}_{/D{\sacts}E})\ar[r]_-\approx^-{\op{Geo}}\ar@{=>}[rd]^\sim & \op{Der}_{D\sacts}(E) \\ \op{Der}(\op{Ab}_{/D{\sacts}{\op{top}}})\ar[r]^-{\op{Geo}} \ar@{^{(}->}[u]_\wr^{a^{[*]}} & \op{Der}_{D\sacts}(\op{top})\ar@{^{(}->}[u]_\wr^{a^{*}}} \end{displaymath} aus \ref{VerDf}. Wir wissen mit \ref{GeFR} aufgrund der Freiheit der Operation, da"s die obere Horizontale wie durch die Doppelschlange angedeutet eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Wegen $ a_{[*]} a^{[*]}\siRa \op{Id}$ und $ a_{*} a^{*}\siRa \op{Id}$ nach \ref{iaut} in vereinfachter Notation sind beide Vertikalen wie angedeutet volltreu. Damit ist die Geometrisierung in der unteren Horizontale schon mal volltreu. Da aber unser garbenazyklisches $X$ notendig auch zusammenh"angend sein mu"s, folgt aus \ref{AgGg} unmittelbar, da"s die untere Horizontale auch wesentlich surjektiv sein mu"s. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Geometrisierung und diskrete Gruppen}] Gegeben $D\acts X$ ein Raum mit der Operation einer diskreten Gruppe $D$ ist die Geometrisierung aus \ref{AeqD} eine "Aquivalenz von Kategorien\label{GeDis} $$\op{Geo}:\op{Der}(\op{Ab}_{/D{\sacts}X})\sirra \op{Der}_{D\sacts}( X)$$ \end{Satz} \begin{proof} Der Beweis geht mutatis mutandis wie im Fall des Einpunktraums $X={\op{top}}$, den wir in \ref{EPuR} bereits behandelt haben. Wir verwenden dann den "aquivarianten Vorschub von abelschen Garben \ref{AeqVS}. \end{proof} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Kategorie "aquivarianter Garben}] % Der Einfachkeit halber notiere ich hier % den konstanten Koeffizientenkring nicht. % Gegeben $G\acts X$ ein topologisch freier % Raum mit Operation haben wir in \ref{GQR} gezeigt, da"s der % R"uckzug von Mengengarben eine "Aquivalenz % $\op{Ens}_{G\sacts X}\sirra \op{Ens}_{X/G}$ % liefert. In derselben Weise folgt, da"s er eine "Aquivalenz % $\op{Ab}_{G\sacts X}\sirra \op{Ab}_{X/G}$ liefert. % \nichtfinal{Vielleicht folgt es eh aus der Vertr"aglichkeit der % verschiedenen R"uckz"uge mit endlichen Produkten.} % Damit liefert er auch eine "Aquivalenz\label{DeAeq} % $$\op{Der}(\op{Ab}_{G\sacts X})\sirra % \op{Der}(\op{Ab}_{X/G})=\op{Der}(X/G)$$ % \end{Bemerkungl} \subsection{Schreivorschub ohne Gruppenwechsel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreivorschub und Trennaustausch}] Wir nennen einen Morphismus $$(r\acts \phi\kP f;\rho):(G\acts P\kP X;A)\ra (H\acts Q\kP Y;B)$$ in $\op{Topoka}$ einen {\bf $\op{lesbf}$-Morphismus},\index{lesbf@$\op{lesbf}$-Morphismus!in $\op{Topoka}$} wenn $\bar r:(P/G;A)\ra (Q/H;B)$ ein $\op{lesbf}$-Morphismus von konstant gekringten R"aumen ist und wenn zus"atzlich gilt $$\mathcal F\in \op{Der}(G\acts P\kP X;A) \;\RA \; r_!\mathcal F\in \op{Der}(H\acts Q\kP Y;B)$$ Wir nennen einen $\op{lesbf}$-Morphismus in $\op{Topoka}$ einen {\bf $\op{esbf}$-Morphismus},\index{esbf@$\op{esbf}$-Morphismus!in $\op{Topoka}$} wenn die zugeh"orige Abbildung $\bar r:P/G\ra Q/H$ eigentlich ist. Die verflochtene Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion f"ur derivierte Modulgarben aus \eref{tzGG}{TSF} induziert dann offensichtlich eine verflochtene Trennaustauschsituation\label{qadr} $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Topoka}}}\ra \curlywedge{\op{Topoka}}\supset \op{Topoka}^{\op{lesbf}} \leftarrow \op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash{\op{Topoka}}^{\op{lesbf}}}, \op{Topoka}^{\op{esbf}}\big)$$ in Bezug auf die Regulierung der Basis durch solche Quadrate, die unter dem Funktor $(G\acts P\kP X;A)\mapsto (P/G;A)$ kartesische Quadrate in $\curlywedge{\op{Topok}}$ liefern. Als Morphismen in $\op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash (r\sacts \phi\skP f;\rho)}(\mathcal F, \mathcal G)$ nehmen wir dabei schlicht alle Morphismen in $\op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash \bar r}(\mathcal F,\mathcal G)$ zwischen den jeweiligen Objekten. Im folgenden geben wir erste Beispiele f"ur $\op{lesbf}$-Morphismen und erlaubte Basisquadrate in diesem Kontext. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Abh"angigkeit des Schreivorschubs von der Aufl"osung}] Man beachte, da"s der Schreivorschub, im Gegensatz zum R"uckzug, von der Wahl der Aufl"osung und des Morphismus von Aufl"osungen abh"angen wird. Zum Beispiel mag man in $\op{Topoka}$ den Morphismus $$a:(1\acts \DR\kP\op{top};\DZ)\ra (1\acts \op{top}\kP\op{top};\DZ)$$ von Aufl"osungen des Einpunktraums mit Operation der trivialen Gruppe $1\acts {\op{top}}$ betrachten. Bezeichne au"serdem $s$ einen Schnitt, also einen Morphismus in die Gegenrichtung mit $a\circ s=\op{id}$. Jeder Punkt von $\DR$ liefert so einen Schnitt. Dann sind die R"uckz"uge nach \ref{UWA} "Aquivalenzen von Kategorien $$\begin{array}{llll} a^*:&\op{Der}_{/(1\sacts \op{top}\skP\op{top};\DZ)} &\sirra&\op{Der}_{/(1\sacts \DR\skP\op{top};\DZ)}\\ s^*:&\op{Der}_{/(1\sacts \DR\skP\op{top};\DZ)} &\sirra& \op{Der}_{/(1\sacts \op{top}\skP\op{top};\DZ)} \end{array} $$ Explizit haben wir $\op{Der}_{/(\op{top},1,\op{top},\DZ)}=\op{Der}( \op{top})$ und $$\op{Der}_{/(1\sacts \DR\skP\op{top};\DZ)}=\{\mathcal G\in \op{Der}(\DR)\mid \exists \mathcal F\in \op{Der}( \op{top})\text{ mit }a^*\mathcal F\cong \mathcal G\}$$ In diesem Fall existiert $a_!$ und es gibt eine Isotransformation $a_!\siRa a^*[-1]$, aber $s_!$ existiert nicht, da $s_!:\op{Der}( \op{top})\ra \op{Der}( \DR)$ nicht beliebige Komplexe in solche Komplexe "uberf"uhrt, die durch R"uckzug von einem Komplex aus $\op{Der}( \op{top})$ entstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $\rho^\circ:B\ra A$ ein Kringhomomorphismus mit $A$ flach "uber $B$ und $f:E \rightarrow F$ eine stetige $G$-"aqui\-va\-ri\-ante Abbildung\label{Aqles} mit $F$ topologisch frei und ist $(f;\rho):(E;A)\ra (F;B)$ lesbf, so ist nach Korollar \ref{KarLB} "uber freie Quotienten und Lokalit"at in der Basis auch $(\bar f;\rho):(E/G;A)\ra (F/G;B)$ lesbf. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreivorschub ohne Gruppenwechsel}] F"ur jeden unter einer topologischen Gruppe $G$ "aquivarianten lesbf-Morphismus $f:(X;A)\ra (Y;B)$ von $G$-R"aumen ist die induzierte Abbildung nach Lemma \ref{KarLB} und genauer \ref{Aqles} angewandt auf ${\op{id}}\times f$ ein lesbf-Morphismus ${\op{id}}\times_{/G}f:({\op{E}}G\times_{/G}X;A)\ra ({\op{E}}G\times_{/G}Y;B)$ von $G$-R"aumen. Lokal eigentlicher Basiswechsel zeigt, da"s der Schreivorschub l"angs dieses Morphismus zu einem Funktor\label{sOg} $$({\op{id}}\times_{/G}f)_!:\op{Der}_{G{\sacts}} (X;A)\ra \op{Der}_{G{\sacts}} (Y;B)$$ einschr"ankt. In der in \ref{qadr} eingef"uhrten Terminologie ist $(\op{id}\acts ({\op{id}}\times f)\kP f;\rho)$ also ein lesbf-Morphismus in $\op{Topoka}$. Ebenso sehen wir, da"s das ein esbf-Mor\-phis\-mus in $\op{Topoka}$ ist, wenn $f$ zus"atzlich eigentlich ist. Wir erhalten wir so f"ur eine beliebige aber feste topologische Gruppe $G$ ein "aquivariantes Analogon $\op{Der}_{\sslash G{\sacts}{\op{Topk}}}$ unserer in \eref{tzGG}{TSF} betrachteten verflochtenen Trennaustauschsituation mit der Notation $G\acts\op{Topk}$ f"ur die Kategorie der konstant gekringten topologischen R"aume mit Operation einer festen topologischen Gruppe $G$. Das alles ist zus"atzlich vertr"aglich mit Erweiterungen der Koeffizienten, denn diese liefern erlaubte Basisquadrate. Es ist auch vertr"aglich mit beliebiger Einschr"ankung der Gruppenoperation, denn auch diese liefert erlaubte Basisquadrate in $\op{Topoka}$, wie aus dem anschlie"senden Lemma \ref{frQK} folgt. Schlie"slich pr"ufen wir in \ref{UWAsc} noch, da"s die Schreimorphismen in dieser Situation nicht von der Wahl der bagazyklischen topologisch $G$-freien Aufl"osung des Einpunktraums abh"angen, so da"s sie sich insbesondere unter der "Aquivalenz $\op{res}_1:\op{Der}_{1\sacts}(X)\sirra \op{Der}(X)$ nicht "andern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\phi\acts b:G\acts E \ra H\acts F$ eine stetige Abbildung von topologisch freien R"aumen mit Operation und $f:X\ra Y$ eine stetige $H$-"aquivariante Abbildung von $H$-R"aumen erhalten wir mit den offensichtlichen Abbildungen ein kartesisches Diagramm\label{frQK} \begin{displaymath} \xymatrix{E\times_{/G}X\ar[d]\ar[r] &F\times_{/H}X \ar[d] \\ E\times_{/G}Y \ar[r] & F\times_{/H}Y } \end{displaymath} In der Tat ist es offensichtlich kartesisch vor dem Bilden der Quotienten und nach \ref{KarQ} bleibt es kartesisch, wenn wir rechts zu den Quotienten "ubergehen, und nach dem Korollar \ref{KarQs} zu \ref{KarQ} bleibt es auch noch kartesisch, wenn wir danach links zu den Quotienten "ubergehen. \end{Bemerkungl} % \begin{Lemma} Gegeben $\phi\acts b:G\acts E \ra H\acts F$ eine stetige % Abbildung von topologisch freien R"aumen mit Operation und % $f:X\ra Y$ eine stetige $H$-"aquivariante Abbildung von $H$-R"aumen % erhalten wir mit den offensichtlichen Abbildungen ein % kartesisches Diagramm\label{frQK} % \begin{displaymath} % \xymatrix{E\times_{/G}X\ar[d]\ar[r] &F\times_{/H}X % \ar[d] \\ % E\times_{/G}Y \ar[r] & F\times_{/H}Y % } % \end{displaymath} % \end{Lemma} % \begin{proof} % Die Nebenklassen in den Quotienten notieren wir % $[e,x]$ und haben also $[ge,\phi(g)x]=[e,x]$. % Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $E=V\times G$ % und $F=W\times H$ annehmen % f"ur ein topologische R"aume $V,W$. % Dann erkl"aren wir $b_1:V\ra W$ und $b_2:V\ra H$ % durch $b(v,1)= (b_1(v), b_2(v))$ f"ur $b:V\times G\ra W\times H$. % Jetzt betrachten wir das durch die Hom"oomorphismen % $V\times X\sira E\times_{/G}X$ mit $(v,x)\mapsto [v,1,x]$ und % analog an den anderen Stellen % induzierte Diagramm % \begin{displaymath} % \xymatrix{V\times X\ar[d]\ar[r] &W\times X % \ar[d] \\ % V\times Y \ar[r] & W\times Y % } % \end{displaymath} % Wir finden % $[v,1,y]\mapsto [b_1(v),b_2(v),y]= [b_1(v),1,b_2(v)^{-1}y]$ % und folglich $(v,y)\mapsto (b_1(v), b_2(v)^{-1}y)$ in der unteren Horizontale und analog mit $x$ statt $y$ in der oberen Horizontale. % F"ur $c=(c_1,c_2):T\ra W\times X$ und $d=(d_1,d_2): T\ra V\times Y$ % kommutiert das Quadrat genau dann, wenn gilt % $$\begin{array}{rcl} % c_1(t)&=& b_1(d_1(t))\\ % f(c_2(t))&=& (b_2(d_1(t)))^{-1}d_2(t) % \end{array}$$ % Dann k"onnen wir $a=(a_1,a_2):T\ra V\times X$ erkl"aren durch % $a_1(t)\pdef d_1(t)$ und $a_2(t)\pdef (b_2(d_1(t)))c_2(t)$ und alles % kommutiert und das ist offensichtlich auch die einzige M"oglichkeit. % \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Bagazyklischer R"uckzug von Schreimorphismen}] Gegeben ein kartesisches Diagramm von konstant gekringten R"aumen\label{bazSS} \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[d]_g\ar[r]^q& X\ar[d]^f \\ Z\ar[r]^p& Y} \end{displaymath} mit $f,g$ lesbf und $p,q$ bagazyklisch ohne Koeffizientenwechsel induziert f"ur alle $\mathcal F\in \op{Der}^{\emph\shriek}_{\sslash X}$ und $\mathcal G\in \op{Der}^{\emph\shriek}_{\sslash Y}$ die Verflechtung eine Bijektion auf Mengen von Schreimorphismen $$\op{Der}^{\emph\shriek}_{\sslash f}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Der}^{\emph\shriek}_{\sslash g}(q^\dagger\mathcal F,p^\dagger\mathcal G)$$ \end{Lemma} \begin{proof} In der Tat ist diese Abbildung die obere Horizontale eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Der}^\shriek_{\sslash f}(\mathcal F,\mathcal G)\ar[r]\ar[dd]_\wr& \op{Der}^\shriek_{\sslash g}(q^\dagger\mathcal F,p^\dagger\mathcal G)\ar[d]_\wr\\ &\op{Der}_{\sslash Z}(g_\shriek q^\dagger\mathcal F,p^\dagger\mathcal G) \ar[d]_\wr\\ \op{Der}_{\sslash Y}(f_\shriek\mathcal F,\mathcal G)\ar[r]^-\sim &\op{Der}_{\sslash Z}(p^\dagger f_\shriek \mathcal F,p^\dagger\mathcal G) } \end{displaymath} und darin sind alle anderen Abbildungen Bijektionen nach der universellen Eigenschaft des Schreivorschubs, lokal eigentlichem Basiswechsel und der Bagazyklizit"at von $p$ in der unteren Horizontale. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Schreimorphismen f"ur verschiedene Punktaufl"osungen}] Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und und $p: F\ra E$ eine stetige $G$-"aquivariante Abbildung von topologisch freien bagazyklischen $G$-R"aumen induziert f"ur jeden $G$-"aquivarianten $\op{lesbf}$-Morphismus $f:X\ra Y$ und $\mathcal F\in \op{Der}(G\acts (E\times X)\kP X)$ und $\mathcal G\in \op{Der}(G\acts (E\times Y)\kP Y)$ der R"uckzug zu $\op{Der}(G\acts (F\times X)\kP X)$ beziehungsweise $\op{Der}(G\acts (F\times Y)\kP Y)$ eine Bijektion\label{UWAsc} $$\op{Der}^{\emph\shriek}_{\sslash f}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Der}^{\emph\shriek}_{\sslash f}(p^\dagger\mathcal F,p^\dagger\mathcal G)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Ich h"atte richtiger $(p\times_{/G}\op{id}_X)^\dagger$ beziehungsweise $(p\times_{/G}\op{id}_Y)^\dagger$ schreiben m"ussen statt $p^\dagger$ und $(\op{id}_E\times_{/G}f)$ beziehungsweise $(\op{id}_F\times_{/G}f)$ statt $f$, aber dann werden die Formeln auch wieder un"ubersichtlich. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten das kommutative Diagramm \begin{displaymath}\xymatrix{F\times_{/G}X\ar[d]\ar[r]&(E\times F)_{/G}X\ar[d]\ar[r]\ar@/_-1pc/[rr] &F\times_{/G}X\ar[d]&E\times_{/G}X\ar[d]\\ F\times_{/G}Y\ar[r]&(E\times F)_{/G}Y\ar[r]\ar[r]\ar@/_1pc/[rr] &F\times_{/G}Y&E\times_{/G}Y} \end{displaymath} Die Abbildungen von der Mitte nach rechts kommen von den Projektionen von $E\times F$ auf $E,F$ her und die Abbildung in die Mitte von $(p,\op{id}_F): E\ra E\times F$. Nach \ref{frQK} sind alle Quadrate darin kartesisch. Aus der Unabh"angigkeit von der Wahl der Aufl"osung \ref{UWA} k"onnen wir Isomorphismen der R"uckz"uge in die Mitte $\op{pr}_2^\dagger p^\dagger\mathcal F\sira \op{pr}_1^\dagger \mathcal F$ charakterisieren dadurch, da"s sie unter R"uckzug nach links und Identifikationen die Identit"at auf $p^\dagger\mathcal F$ liefern. Analoges gilt f"ur $\mathcal G$. Die Abbildungen von der Mitte nach rechts sind bagazyklisch und der R"uckzug danach induziert nach Lemma \ref{bazSS} zum bagazyklischen R"uckzug von Schreimorphismen folglich Bijektionen zwischen den jeweiligen Mengen von Schreimorphismen l"angs der Vertikalen. F"ur den R"uckzug von der Mitte nach links folgt dasselbe, da er ja zusammen mit einem der R"uckz"uge in die Mitte ein R"uckzug l"angs der Identit"at ist. Also gilt es auch f"ur den R"uckzug von ganz rechts nach ganz links. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen kann man also mit $(f^*,\otimes,f_!)$ "aquivariant so rechnen, als gebe es die Gruppenoperation gar nicht, und der R"uckzug der Gruppenoperation unter stetigen Gruppenhomomorphismen $\op{res}_H^G=(\phi\acts \op{id})^*$ und unter dem Vergessen der Operation $\op{res}_H$ vertauscht mit den restlichen Formeln. \end{Bemerkungl} \subsection{Adjungierte ohne Gruppenwechsel} \begin{Bemerkungl} Um die Existenz der Adjungierten $(f_*,{\Rrightarrow},f^!)$ zu $(f^*,\otimes,f_!)$ im "aquivarianten Kontext zu zeigen, ben"otigen wir zus"atzliche Voraussetzungen an unsere Gruppen. Wir zeigen, da"s es diese Adjungierten im Fall von Liegruppen stets gibt, solange man die Gruppe nicht wechselt, und da"s sie f"ur Liegruppen auch mit dem Zur"uckziehen der Operation mit stetigen Gruppenhomomorphismen $\phi:G\ra H$ vertr"aglich sind in dem Sinne, da"s die in einer Trennaustauschsituation mit den entsprechenden Adjungierten stets erkl"arten Morphismen $f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G) \ra(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $ und $p^*f_*\mathcal F\ra g_* q^* \mathcal{F}$ und $q^*f^!\mathcal G\ra g^!p^*\mathcal G$ spezialisieren zu Isomorphismen $$\phi_X^*(\mathcal E{\Rrightarrow}_H\mathcal G) \sira(\phi_X^*\mathcal E{\Rrightarrow}_G\phi_X^*\mathcal G) \qquad \phi_Y^*f^H_*\mathcal F\sira f^G_* \phi_X^* \mathcal{F} \qquad \phi_X^*f_H^!\mathcal G\sira f_G^!\phi_Y^*\mathcal G$$ f"ur $\phi_X=(\phi{\acts}{\op{id}_X})$ und $f_G=f^G=({\op{id}_G}{\acts}f):G{\acts}X\ra G{\acts}Y$ und ${\Rrightarrow}_G$ das interne Hom in der $G$-"aquivarianten derivierten Kategorie. Im folgenden lassen wir jedoch die Indizes, die die jeweils operierende Gruppe andeuten, meist weg und schreiben $\op{res}$ oder $\op{res}_H^G$ statt $\phi^*_X$ f"ur alle $X$, so da"s dieselben Isomorphismen die Gestalt $${\op{res}}(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G) \sira({\op{res}}\mathcal E){\Rrightarrow}({\op{res}}\mathcal G) \qquad {\op{res}}f_*\mathcal F\sira f_* {\op{res}} \mathcal{F} \qquad {\op{res}}f^!\mathcal G\sira f^!{\op{res}}\mathcal G$$ annehmen. Die meisten Behauptungen zeigen wir allgemeiner f"ur \glqq offenlokal bag\-azyk\-li\-sche topologische Gruppen\grqq, nur f"ur den Schreir"uckzug m"ussen wir uns auf den Fall mannigfaltiger Gruppen beschr"anken. Die Frage der Existenz von Adjungierten zur Restriktion der Gruppenwirkung diskutieren wir im anschlie"senden Abschnitt. % Anschlie"send diskutieren wir die Existenz eines Rechtsadjungierten $\op{ind}_H^G$ und eines Linksadjungierten % $\op{pro}_H^G$ zu $\op{res}_G^H$ % und konstruieren derartige Adjungierte insbesondere im Fall $H\As G$ einer Liegruppe %mit einer abgeschlossenen Untergruppe. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben eine offenlokal bagazyklische topologische Gruppe $G$ sind auch ihre Milnorkonstruktion ${\op{E}}G$ und deren Quotient ${\op{E}}G/G$ offenlokal bagazylisch.\label{olob} \end{Proposition} \begin{proof} Wir haben das in \eref{MiKok}{TG} bereits f"ur offenlokal zusammenziehbare topologische Gruppen gezeigt. Der Beweis dort st"utzt sich auf Lemma \eref{olzz}{TG} "uber zusammenziehbare Umgebungen in der Milnortopologie. Da nach \ref{zgsaf} jeder zu einem bagazyklischen Raum homotopie"aquivalente Raum bagazyklisch ist, funktioniert derselbe Beweis auch in dieser Situation und zeigt, da"s ein Join offenlokal bagazyklischer R"aume wieder offenlokal bagazyklisch ist. Damit k"onnen wir dann den in \eref{MiKok}{TG} f"ur den offenlokal zusammenziehbaren Fall gegebenen Beweis "ubernehmen. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Vertauschen von R"uckzug und internem Hom}] Gegeben ein Faserb"undel $f:X\ra Y$ mit offenlokal bagazyklischer Faser ist f"ur alle $\mathcal E,\mathcal G\in\op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ der nat"urliche Morphismus aus \eref{fuiH}{TSF} ein Isomorphismus\label{OLHo} $$f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hier ist wichtig, da"s der Koeffizientenring sich nicht "andert. Andernfalls braucht man mindestens gewisse Endlichkeitsbedingungen an die beteiligte Kringerweiterung, vergleiche \eref{fuiRi}{TSF}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ich erinnere daran, da"s nach \eref{vRiH}{TSF} offener R"uckzug mit internem Hom vertauscht. Mit dem Verschwindungskriterium \eref{VersKK}{TSF} k"onnen wir uns auf den Nachweis beschr"anken, da"s f"ur $f:X\ra Y$ garbenazyklisch der obige Morphismus einen Isomorphismus $f_*f^*(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira f_*(f^*\mathcal E{\Rrightarrow}f^*\mathcal G) $ induziert. Da jedoch f"ur $f$ garbenazyklisch die Einheit der Adjunktion eine Isotransformation $\op{id}\siRa f_*f^*$ ist, reicht es zu zeigen, da"s das Diagramm $$\xymatrix{f_*f^*(\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\ar[r]& f_*(f^*\mathcal F{\Rrightarrow}f^*\mathcal G)\\ (\mathcal F{\Rrightarrow}\mathcal G)\ar[u]^\wr\ar[r]^-\sim& (\mathcal F{\Rrightarrow}f_*f^*\mathcal G)\ar[u]^\wr}$$ kommutiert mit der rechten Vertikale aus \eref{ngtR}{TSF}. Um das zu sehen, k"onnen wir die Adjunktion anwenden und vor beiden Ausdr"ucken der oberen Horizontale das $f_*$ weglassen und stattdessen vor beiden Ausdr"ucken der unteren Horizontale ein $f^*$ davorschreiben. Dann steht in der linken Vertikale die Identit"at und die Kommutativit"at folgt aus der Definition der beteiligten Morphismen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{"Aquivarianter Vorschub und internes Hom}] Gegeben eine offenlokal bagazyklische Gruppe $G$ gilt:\label{aeqiH} \begin{enumerate} \item F"ur jeden $G$-Raum $X$ ist $\op{Der}_{G{\sacts}}(X)\subset \op{Der} (\op{E}\!G\times_{/G} X)$ stabil unter internem Hom $\Rrightarrow$ und die Schmelzkategorie $\op{Der}_{G{\sacts}}(X)$ hat somit f"ur einen beliebigen Koeffizientenkring $A$ internes Hom; \item F"ur jede stetige $G$-"aquivariante Abbildung $f:X\ra Y$ von $G$-R"aumen bildet der Vorschub $(\op{id}\times_{/G}f)_*$ die Kategorie $\op{Der}_{G{\sacts}}(X)$ nach $\op{Der}_{G{\sacts}}(Y)$ ab und liefert mithin einen Rechtsadjungierten $f_*$ von $f^*$. Dasselbe gilt f"ur jeden Mophismus in $\op{Topok}$ ohne Gruppenwechsel aber m"oglicherweise einem Wechsel des Koeffizientenkrings. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Die erste Aussage folgt mit dem eben bewiesenen Lemma zum Vertauschen von R"uckzug und internem Hom \ref{OLHo} aus der Erkenntnis \ref{olob}, da"s mit $G$ auch $\op{E}\!G$ offenlokal bgazyklisch ist. Die zweite Aussage folgt genauso mit gefasertem Basiswechsel \ref{DGFBW} f"ur den R"uckzug auf Faserb"undel mit offenlokal bagazyklischer Faser. Wenn wir mit Koeffizienten arbeiten und $f$ ein Morphismus von konstant gekringten R"aumen ist, macht das keinen Unterschied, da in unserem Argument nur der Vorschub mit Kringwechsel verwendet wird und dabei ist der Kringwechsel nur eine Restriktion. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Vorschub und Gruppenwechsel}] Gegeben ein stetiger Homomorphismus von topologischen Gruppen $\phi: G\ra H$ und eine stetige $H$-"aquivariante Abbildung $f:X\ra Y$ von $H$-R"aumen haben wir mit den zur"uckgezogenen Operationen von $G$ auf $X$ und $Y$ in $\op{Topok}$ ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} G{\acts}X&\ra&H{\acts}X\\[1mm] \da&&\da\\[1mm] G{\acts}Y&\ra&H{\acts}Y \end{array}$$ Sind $G,H$ offenlokal bagazyklisch, so besitzen die R"uckz"uge l"angs der Vertikalen nach \ref{aeqiH} jeweils einen Rechtsadjungierten. Der allgemeine Basiswechsel \eref{BaWW}{TG} liefert damit eine Transformation $\op{res}_H^Gf_*\RA f_*\op{res}_H^G$. Ich behaupte, da"s sie eine Isotransformation $$\op{res}_H^Gf_*\siRa f_*\op{res}_H^G$$ ist. Da nach \ref{VdG} unter der Restriktion von Gruppenwirkungen nur Isomorphismen zu Isomorphismen werden, m"ussen wir unsere Behauptung nur f"ur die triviale Gruppe $G=1$ pr"ufen. Dazu betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{E}}1\times X&\ra&{\op{E}}H\times X &\ra&{\op{E}}H\times_{/H} X \\ \da&&\da&&\da\\ {\op{E}}1\times Y&\ra&{\op{E}}H\times Y &\ra&{\op{E}}H\times_{/H} Y \end{array}$$ Es gilt zu zeigen, da"s f"ur $\mathcal F\in \op{Der}_{\sacts H}(X)\subset \op{Der}({\op{E}}H\times_{/H} X )$ der Basiswechsel zur derivierten Opgarbenfaserung im einh"ullenden Rechteck einen Isomorphismus liefert. Im rechten Teilrechteck gilt das schon mal nach gefasertem Basiswechsel \ref{DGFBW} f"ur den R"uckzug auf Faserb"undel mit offenlokal bagazyklischer Faser. Im Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{E}}1\times X&\ra&{\op{E}}H\times X &\ra& X \\ \da&&\da&&\da\\ {\op{E}}1\times Y&\ra&{\op{E}}H\times Y &\ra& Y \end{array}$$ liefert der Basiswechsel zur derivierten Opgarbenfaserung sowohl im einh"ullenden Rechteck als auch im rechten Teilrechteck einen Isomorphismus, wieder nach gefasertem Basiswechsel \ref{DGFBW}. Also induziert er im linken Teilrechteck einen Isomorphismus f"ur alle Objekte, die durch R"uckzug von $X$ herkommen. Setzen wir diese Erkenntnis oben ein, so folgt die Behauptung.\label{dBeq} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von internem Hom und Gruppenwechsel}] Gegeben ein stetiger Homomorphismus von offenlokal bagazyklischen Gruppen $G\ra H$ und ein $H$-Raum $X$ und darauf Objekte $\mathcal E,\mathcal G$ der $H$-"aquivarianten derivierten Kategorie spezialisiert der in \eref{fuiH}{TSF} f"ur allgemeine Trennfaserungen "uber einer banalen Trennkategorie konstruierte Morphismus vom R"uckzug von internem Hom zum internen Hom des R"uckzugs zu einem Morphismus $\op{res}_H^G(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\ra (\op{res}_H^G\mathcal E){\Rrightarrow}(\op{res}_H^G\mathcal G)$. Ich behaupte, da"s er stets ein Isomorphismus $$\op{res}_H^G(\mathcal E{\Rrightarrow}\mathcal G)\sira (\op{res}_H^G\mathcal E){\Rrightarrow}(\op{res}_H^G\mathcal G)$$ ist. Da nach \ref{VdG} unter Restriktion nur Isomorphismen zu Isomorphismen werden, m"ussen wir unsere Behauptung nur f"ur die triviale Gruppe $G=1$ pr"ufen. Das geht analog wie in \ref{dBeq}, nur einfacher. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $E$ ein offenlokal bagazyklischer Raum und eine lesb-Abbildung $f:X\ra Y$\label{RZgl} ist die Transformation aus \eref{FleB}{TSF} zum kartesischen Quadrat $f\circ \op{pr}_X=\op{pr}_Y\circ (\op{id}\times f): E\times X\ra Y$ eine Isotransformation $$\op{pr}_X^*f^!\siRa (\op{id}\times f)^!\op{pr}_Y^*$$ Dasselbe gilt allgemeiner f"ur einen $\op{lesbf}$-Morphismus $f:(X,A)\ra (Y,B)$ und $f\circ \op{pr}_X=\op{pr}_Y\circ (\op{id}\times f):( E\times X,A)\ra (Y,B)$. \end{Lemma} \begin{proof} Nach dem Verschwindungskriterium \eref{VersKV}{TSF} reicht es zu zeigen, da"s f"ur $E$ bagazyklisch unsere Transformation unter $\op{pr}_{X*}$ eine Isotransformation wird. Das folgt jedoch unmittelbar aus lokal eigentlichem Basiswechsel. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein kartesisches Diagramm $fq=pg$ mit Faserb"undeln mit offenlokal bagazyklischer Faser $p,q$ in den Horizontalen und lesb-Ab\-bil\-dun\-gen $f,g$ in den Vertikalen\label{RZgld} ist die zugeh"orige Transformation aus \eref{FleB}{TSF} eine Iso\-trans\-for\-ma\-tion $$q^*f^!\siRa g^!p^*$$ Dasselbe gilt mit konstanten Koeffizienten, die sich in den Horizontalen nicht "andern, und einem $\op{lesbf}$-Morphismus $f$. \end{Lemma} \begin{proof} Der Raum $Y$ besitzt eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen, auf denen $p$ und dann auch $q$ ein triviales Faserb"undel ist. So k"onnen wir uns auf das vorhergehende Lemma \ref{RZgl} zur"uckziehen. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{"Aquivarianter Schreir"uckzug}] Gegeben eine mannigfaltige Gruppe $G$ und eine $G$-"aquivariante lesb-Abbildung $f:X\ra Y$ von $G$-R"aumen bildet der Schreir"uckzug $(\op{id}\times_{/G}f)^!$ die Kategorie $\op{Der}_{G{\sacts}}(Y)$ nach\label{AeERS} $\op{Der}_{G{\sacts}}(X)$ ab und liefert mithin einen Rechtsadjungierten $f^!$ von $f_!$. \end{Satz} \begin{proof} Wir betrachten das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{{\op{E}}G\times_{/G}X\ar[d]^{\op{id}\times_{/G} f} &&{\op{E}}G\times X\ar[ll]_-{\op{quot}_X} \ar[d]^{\op{id}\times f}\ar[r]^-{\op{pr}_X} & X \ar[d]^f\\ {\op{E}}G\times_{/G}Y &&{\op{E}}G\times Y\ar[ll]_-{\op{quot}_Y} \ar[r]^-{\op{pr}_Y} & Y } \end{displaymath} Die horizontalen Abbildungen nach links sind $d$-mannigfaltig f"ur $d=\op{dim}G$. Wir k"onnen die linke Seite als Quotient nach einer topologisch freien diagonalen Linksoperation von $G$ auffassen. Jede Wahl einer f"ur die Operation von rechts von $G$ auf sich selber "aquivarianten Orientierung von $G$ liefert dann eine Trivialisierung der relativen Orientierungsgarben der Abbildungen nach links. Damit liefern unsere Erkenntnisse \ref{glRZ} zum mannigfaltigen R"uckzug Isotransformationen $\op{quot}_Y^*\siRa \op{quot}_Y^![-d]$ und $\op{quot}_X^*\siRa \op{quot}_X^![-d]$. So folgt $\op{quot}_X^*(\op{id}\times_{/G} f)^!\mathcal F\cong (\op{id}\times f)^!\op{quot}_Y^*\mathcal F$ f"ur alle $\mathcal F\in\op{Der}({\op{E}}G\times_{/G}Y)$. Aus $\op{quot}_Y^*\mathcal F\cong \op{pr}_Y^*\mathcal G$ folgt jedoch mit Lemma \ref{RZgld} unmittelbar \begin{displaymath} \op{quot}_X^*(\op{id}\times_{/G} f)^!\mathcal F\cong (\op{id}\times f)^!\op{quot}_Y^*\mathcal F \cong (\op{id}\times f)^!\op{pr}_Y^*\mathcal G\cong \op{pr}_X^* f^!\mathcal G \qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Schreir"uckzug und Gruppenwechsel}] Gegeben ein stetiger Homomorphismus $\phi:G\ra H$ von mannigfaltigen Gruppen und eine lesb-Abbildung $f:X\ra Y$ von $H$-R"aumen % liefert die Restriktion der Koeinheit der Adjunktion % $\op{res}_H^Gf_!f^!\RA \op{res}_H^G$ spezialisiert die Transformation aus \eref{FleB}{TSF} im Fall unserer Trennaustauschsituation "uber $\op{Topoka}$ %gegebenen Isotransformation $\op{res}_H^Gf_!\siRa f_!\op{res}_H^G$ %zun"achst $f_!\op{res}_H^Gf^!\RA \op{res}_H^G$ und dann zu einer Transformation $(\phi\acts \op{id}_X)^*f^!\RA f^!(\phi\acts \op{id}_Y)^*$ alias $\op{res}_H^Gf^!\RA f^!\op{res}_H^G$. Ich behaupte, da"s diese Transformation eine Isotransformation $$\op{res}_H^Gf^!\siRa f^!\op{res}_H^G$$ ist. Allgemeiner behaupte ich das f"ur jeden "aquivarianten lesbf-Morphismus $f:(X,A)\ra (Y,B)$. Da nach \ref{VdG} unter der Restriktion von Gruppenwirkungen nur Isomorphismen zu Isomorphismen werden, m"ussen wir unsere Behauptung nur f"ur die triviale Gruppe $G=1$ pr"ufen. Dazu betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{E}}1\times X&\ra&{\op{E}}H\times X &\ra&{\op{E}}H\times_{/H} X \\ \da&&\da&&\da\\ {\op{E}}1\times Y&\ra&{\op{E}}H\times Y &\ra&{\op{E}}H\times_{/H} Y \end{array}$$ Es gilt zu zeigen, da"s f"ur $\mathcal F\in \op{Der}_{\sacts H}(X)\subset \op{Der}({\op{E}}H\times_{/H} X )$ die zum einh"ullenden Rechteck geh"orige Transformation aus \eref{FleB}{TSF} einen Isomorphismus liefert. Im rechten Teilrechteck gilt das schon mal nach \ref{RZgld} f"ur den R"uckzug auf Faserb"undel mit offenlokal bagazyklischer Faser und sogar f"ur beliebige $\mathcal F$. Im Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{E}}1\times X&\ra&{\op{E}}H\times X &\ra& X \\ \da&&\da&&\da\\ {\op{E}}1\times Y&\ra&{\op{E}}H\times Y &\ra& Y \end{array}$$ nun liefert unsere Transformation aus \eref{FleB}{TSF} sowohl im einh"ullenden Rechteck als auch im rechten Teilrechteck einen Isomorphismus, wieder f"ur beliebige Objekte und nach \ref{RZgld}. Also induziert er im linken Teilrechteck einen Isomorphismus f"ur alle Objekte, die durch R"uckzug von $Y$ herkommen. Setzen wir diese Erkenntnis oben ein, so folgt die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Isomorphismen auf der "aquivarianten Kohomologie}] Gegeben eine offenlokal bagazyklische topologische Gruppe $G$ und eine stetige $G$-"aquivariante Abbildung $f:X\ra Y$, die auf der gew"ohnlichen Kohomologie Isomorphismen ${\op{H}}^*Y\sira {\op{H}}^*X$ induziert, induziert $f$ auch Isomorphismen auf der "aquivarianten Kohomologie\label{Isoae} $${\op{H}}_G^*Y\sira {\op{H}}_G^*X$$ \end{Satz} \begin{proof} Die Annahme bedeutet, da"s die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $$\op{fin}_{Y*}f_* f^*\op{fin}_{Y}^*\underline{\op{top}}\sira \op{fin}_{Y*} \op{fin}_{Y}^*\underline{\op{top}}$$ induziert. Dann mu"s nach \ref{VdG} analog in $\op{Der}_{G}(\op{top})$ die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus induzieren und dann auch Isomorphismen zwischen den Leerverschmelzungen in die jeweiligen Objekte homologisch verschoben mit $[q]$ und damit wie gew"unscht Isomorphismen ${\op{H}}_G^qY\sira {\op{H}}_G^qX$. \end{proof} \subsection{Adjungierter zum R"uckzug der Gruppenwirkung} \begin{Satz}[\textbf{Induktion f"ur "aquivariante Garben}] Gegeben ein Morphismus topologischer Gruppen $\phi:G\ra H$ \index{direktes Bild!"aquivariantes} mit $H$ offenlokal bagazyklisch besitzt f"ur jeden $H$-Raum $X$ der R"uckholfunktor $\op{res}_H^G=(\phi{\acts} {\op{id}})^*: \op{Der}_{H\sacts}(X) \ra\op{Der}_{G\sacts}(X)$\label{IndG} einen triangulierten Rechtsadjungierten, die \emph{\bf Induktion}\index{Induktion} $$\op{ind}_G^H=(\phi{\acts} {\op{id}})_*: \op{Der}_{G\sacts}(X) \ra \op{Der}_{H\sacts}(X)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeiner Vorschub}] Da wir f"ur $H$ offenlokal bagazyklisch bereits in \ref{aeqiH} gezeigt haben, da"s f"ur jede stetige $H$-"aquivariante Abbildung der R"uckzug $({\op{id}}_H{\acts} f)^*$ einen Rechtsadjungierten hat, folgt f"ur jeden Morphismus $(\phi{\acts} f)$ in $\op{Topok}$, bei dem $\phi$ in einer offenlokal bagazyklischen Gruppe landet,\label{eaRA} da"s $(\phi{\acts} f)^*$ einen triangulierten Rechtsadjungierten $(\phi{\acts} f)_*$ besitzt. Dasselbe folgt f"ur unsere erg"anzten Morphismen $(1){\acts} f:(1){\acts} X\ra H{\acts} Y$ und $(\alpha)\acts f:G{\acts} X\ra (1)\acts Y$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Induktion von der trivialen Gruppe}] Sei $H$ eine offenlokal bagazyklische topologische Gruppe. Die Induktion von der trivialen Gruppe oder vielmehr von gar keiner Gruppe nach $H$ macht aus einem Komplex $\mathcal F\in \op{Der}(X)$ ein Objekt der $H$-"aquivarianten derivierten Kategorie $$\op{Ind}^H\mathcal F\pdef ((1)\acts\op{id})_*\mathcal F\in \op{Der}_{H\sacts}(X)$$ In diesem Fall spezialisiert die im folgenden gegebene Konstruktion zum R"uckzug auf ${\op{E}}H\times X$ gefolgt vom Vorschub auf ${\op{E}}H\times_{/H} X$ und dem Nachweis, da"s der so erhaltene Komplex zu $\op{Der}_{H\sacts}(X)$ geh"ort. Ist $H$ diskret und $X$ der einpunktige Raum und $\mathcal F$ die konstante Garbe $\DZ$, so erhalten wir eine lokal konstante abelsche Garbe auf ${\op{E}}H/H$, die unter der "Aquivalenz \eref{lkGM}{TG} der Darstellung $\op{Hom}_\DZ(\DZ[H],\DZ)$ entspricht, also wie es sich geh"ort der induzierten Darstellung. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Induktion zur trivialen Gruppe}] Die Induktion von $G$ zur trivialen Gruppe oder vielmehr zu gar keiner Gruppe $\op{Ind}_{G}=((\alpha_G)\acts\op{id})_*$ nennen wir den Funktor der {\bf $G$-Invarianten}. Ist etwa $G$ diskret und $X$ der einpunktige Raum, so bedeutet die im folgenden gegebene Konstruktion, da"s wir eine abelsche Gruppe $M$ mit einer $G$-Operation als die abelsche Garbe ${\op{E}}G\times_{/G}M$ auf ${\op{E}}G/G$ auffassen, wir nennen sie dann $\tilde M\in \op{Der}_{\sacts G}(\op{top})$, und von dieser Garbe die derivierten globalen Schnitte nehmen. Die gew"ohnlichen globalen Schnitte stimmen "uberein mit den globalen Schnitten der konstanten Untergarbe ${\op{E}}G\times_{/G}M^G$ und wir erhalten so einen Isomorphismus\label{InvI} $$\mathcal H^0((\alpha_G)\acts\op{id})_* \tilde M\sira M^G$$ zur Untergruppe der Invarianten $M^G\subset M$. \nichtfinal{Das mu"s mit \eref{GSK}{TG} verbunden werden, nat"urlich mu"s man zeigen, da"s $\mathcal H^i((\alpha_G\acts\op{id})_* \tilde M)$ gerade die Gruppenkohomologie ${\op{H}}^i(G;M)$ ist.} \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis f"ur $G=1$] Wir betrachten das kommutative Diagramm $$ \xymatrix{ &\op{E}\!H \times X\ar[r]\ar[dl] & \op{E}\!H \times_{/H} X\\ X & \ar[l] \op{E}\!H \times X \times H \ar[r]\ar[d]\ar[u] & \op{E}\!H \times X \ar[u]\ar[d]\\ & \ar[lu] X \times H \ar[r] & X } $$ Die Abbildungen nach links sind Projektionen auf einen Teil der Faktoren. Die Abbildungen nach rechts sind die Quotienten nach der jeweiligen diagonalen $H$-Operation, wobei wir in der Mitte und unten den Quotienten identifiziert haben mit den Tupeln mit $H$-Komponente $1$. Die beiden Quadrate sind kartesisch als Quotienten unter freien Operationen nach \ref{KarQ}. Ist unsere Gruppe $H$ offenlokal bagazyklisch, so nach \ref{olob} auch der Milnorraum $\op{E}\!H$ und sein Quotient $\op{E}\!H/H$. Die Vertikalen in unseren kartesischen Quadraten sind also Faserb"undel mit offenlokal bagazyklischer Faser. Wir k"onnen mithin den gefaserten Basiswechsel \ref{DGFBW} anwenden und damit folgt sofort, da"s jeder Komplex $\cal{F} \in \op{Der} (X)$ unter Zur"uckholen nach $\op{E}\!H\times X$ und dann direktes Bild unter der oberen Horizontale nehmen in $\op{Der}_{\sacts H} (X) \subset \op{Der} (\op{E}\!H \times_{/H} X)$ landet. Das ist im wesentlichen das Argument, die restlichen Feinheiten sind einfacher f"ur allgemeines $G$ auszuschreiben. \end{proof} \begin{proof} Der gew"ohnliche Vorschub unter ${\op{E}}G\times_{/G}X\ra {\op{E}}H\times_{/H}X$ wird, anders als bei den bis hierher betrachteten Funktoren zwischen "aquivarianten derivierten Kategorien, im allgemeinen keineswegs Objekte aus $\op{Der}_{G\sacts}(X)$ zu Objekten aus $\op{Der}_{H\sacts}(X)$ machen. Der Adjungierte der Einschr"ankung eines Funktors zu einem Funktor zwischen vollen Unterkategorien ist ja auch im Allgemeinen nicht die Einschr"ankung des Adjungierten. Wir betrachten stattdessen das Diagramm $${\op{E}}G\times_{/G}X\stackrel{r}{\leftarrow} ({\op{E}}G\times {\op{E}}H\times X)/G\stackrel{\pi}{\ra} {\op{E}}H\times_{/H}X$$ und wissen nach der Unabh"angigkeit von der Wahl der Aufl"osung \ref{UWA}, da"s der R"uckzug l"angs des linken Pfeils eine "Aquivalenz $\op{Der}_{G\sacts}(X)\sirra \op{Der}(G\acts P\kP X)$ induziert f"ur $P\pdef {\op{E}}G\times {\op{E}}H\times X$. Im folgenden zeigen wir zus"atzlich, da"s der Vorschub unter $\pi: P/G\ra {\op{E}}H\times_{/H} X$ die Unterkategorie $\op{Der}(G\acts P\kP X)\subset \op{Der}(P/G)$ in die Unterkategorie $\op{Der}_{H\sacts}(X)\subset \op{Der}( {\op{E}}H\times_{/H} X)$ abbildet. Zusammen zeigt das die behauptete Existenz des Adjungierten. Wir zeigen sogar allgemeiner, da"s f"ur $\mathcal F\in \op{Der}({\op{E}}G\times_{/G}X)$ beliebig gilt $\pi_* r^* \mathcal F\in \op{Der}_{H\sacts}(X)\subset \op{Der}( {\op{E}}H\times_{/H} X)$. Dazu betrachten wir das kommutative Diagramm $$ \xymatrix{ & \op{E}\!G \times \op{E}\!H \times X\ar[r]\ar[dl] & \op{E}\!H \times X\\ \op{E}\!G\times X & \ar[l]\op{E}\!G \times \op{E}\!H \times X \times H \ar[r]\ar[d]\ar[u] & \op{E}\!H \times X \times H\ar[u]\ar[d]\\ & \ar[lu] \op{E}\!G \times X \times H \ar[r] & X \times H } $$ Darin sind s"amtliche Abbildungen als Projektionen auf einen Teil der Faktoren zu verstehen. Die beiden Quadrate sind insbesondere kartesisch. Ich k"urze wie bisher $P\pdef \op{E}\!G \times \op{E}\!H \times X$ ab. Dies $P$ ist mit der Operation von $G$ auf allen drei Faktoren und der Projektion auf $X$ eine %universell azyklische bagazyklische Aufl"osung von $X$ als $G$-Raum. Bilden wir f"ur die Operation von $H$ auf allen Faktoren der jeweiligen Produkte in der rechten Spalte den Quotienten nach der Operation von $H$ auf allen drei R"aumen und auf dem Rest des Diagramms den Quotienten nach der Operation von $G$ auf allen Faktoren, so entsteht wieder ein kommutatives Diagramm. Nach demselben Argument wie in \ref{frQK} sind auch darin beide Quadrate kartesisch. % Wir behaupten, da"s auch darin beide Quadrate kartesisch sind. % Um das zu sehen bemerken wir zun"achst, da"s % ein Diagramm von topologischen R"aumen % $$ % \xymatrix{ % W \ar[r]\ar[d] & Z \ar[d]\\ % Y \ar[r] & X % } % $$ % mit $q:W\ra Y$ % kartesisch ist genau dann, wenn f"ur jede offene Teilmenge $U\co Y$ das % Diagramm % $$ % \xymatrix{ % q^{-1} U \ar[r]\ar[d] & Z \ar[d]\\ % U \ar[r] & X % } % $$ % kartesisch ist. % Wir d"urfen also $\op{E}\!G$ und $\op{E}\!H$ "uberall in unseren Quadraten ersetzen % durch $E_{G} \times G$ und $E_{H} \times H$ f"ur geeignete topologische R"aume % $E_{G}$ und $E_{H}$, auf denen nun nichts mehr operiert, ausgeschrieben % $$ % \xymatrix{ % E_{G} \times G \times E_{H} \times H \times X\ar[r] & E_{H} \times H \times X\\ % E_{G} \times G \times E_{H} \times H \times X \times H % \ar[r]\ar[d]\ar[u] & E_{H} \times H \times X \times H\ar[u]\ar[d]\\ % E_{G} \times G \times X \times H \ar[r] & X \times H % } % $$ % Um zu zeigen, da"s das obere Quadrat kartesisch bleibt, wenn wir % links durch $G$ teilen und rechts durch $H$, identifizieren wir % die Bahnenr"aume mit den Teilr"aumen, bei denen % im jeweils ersten Vorkommen von $G$ beziehungsweise von $H$ das % neutrale Element steht, und erhalten ein Diagramm der Gestalt % $$ % \xymatrix{ % E_{G} \times E_{H} \times H \times X\ar[r] & E_{H} \times X\\ % E_{G} \times E_{H} \times H \times X \times H % \ar[r]\ar[u] & E_{H} \times X \times H\ar[u] % } % $$ % mit den offensichtlichen Vertikalen und % $(a,b,h_1,x)\mapsto (h_1^{-1}b,h_1^{-1}x)$ in der oberen Horizontale und % $(a,b,h_1,x,h_2)\mapsto (h_1^{-1}b,h_1^{-1}x,h_1^{-1}h_2)$ % in der unteren Horizontale. Es ist kartesisch, da es durch % Vorschalten der Hom"oomorphismen $(a,b,h_1,x)\mapsto (a,h_1b,h_1, h_1x)$ % beziehungsweise $(a,b,h_1,x,h_2)\mapsto (a,h_1b,h_1x,h_1,h_1,h_2)$ % bei unver"anderter linker Vertikale zu einem % offensichtlich kartesischen Diagramm wird. % Um zu zeigen, da"s das untere Quadrat kartesisch bleibt, wenn wir % links durch $G$ teilen und rechts durch $H$, identifizieren wir % die Bahnenr"aume mit den Teilr"aumen, bei denen % im jeweils ersten Vorkommen von $G$ beziehungsweise zweiten Vorkommen von % $H$ das % neutrale Element steht, und erhalten ein Diagramm der Gestalt % $$ % \xymatrix{ % E_{G} \times E_{H} \times H \times X \times H % \ar[r]\ar[d] & E_{H} \times H \times X\ar[d]\\ % E_{G} \times X \times H \ar[r] & X % } % $$ % mit den offensichtlichen Vertikalen und % $(a,b,h_1,x,h_2)\mapsto % (h_2^{-1}b,h_2^{-1}h_1,h_2^{-1}x)$ in der oberen Horizontale und % $(a,x,h_2)\mapsto (h_2^{-1}x)$ % in der unteren Horizontale. Da"s das kartesisch ist, zeigt man genauso. Wir erhalten so insgesamt ein Diagramm $$ \xymatrix{ &P/G \ar[dl]\ar[r] & \op{E}\!H \times_{/H} X\\ \op{E}\!G \times_{/G} X &B\ar[l]\ar[u]\ar[d] \ar[r] & \op{E}\!H \times X \ar[u]\ar[d]\\ & C \ar[ul]\ar[r] &X }$$ mit kartesischen Quadraten, wobei wir in der Mitte rechts den Hom"oomorphismus $\op{E}\!H \times X \sira (\op{E}\!H \times X \times H)/H$ gegeben durch $(a,x)\mapsto H(a,x,1)$ verwenden und ebenso unten rechts den Hom"oomorphismus $ X \sira ( X \times H)/H$ gegeben durch $x\mapsto H(x,1)$. Ist unsere Gruppe $H$ offenlokal bagazyklisch, so nach \ref{olob} auch der Milnorraum $\op{E}\!H$ und dessen Quotient $\op{E}\!H/H$. Die Vertikalen in unseren kartesischen Quadraten sind also Faserb"undel mit offenlokal zusammenziehbarer Faser. Wir k"onnen mithin den garbenguten Basiswechsel \ref{DGFBW} anwenden und damit folgt sofort, da"s jeder Komplex $\cal{F} \in \op{Der} (\op{E}\!G\times_{/G} X)$ unter Zur"uckholen nach $P/G$ und dann direktes Bild unter der oberen Horizontale nehmen in $\op{Der}_{\sacts H} (X) \subset \op{Der} (\op{E}\!H \times_{/H} X)$ landet. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbenguter R"uckzug und Induktion}] Sei $\op{id}\acts f: H\acts X\ra H\acts Y$ gegeben mit $H$ offenlokal bagazyklisch und sei $f:X\ra Y$ garbengut. Sei weiter $\phi:G\ra H$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus. So ist der Basiswechsel eine Isotransformation $(\phi\acts{\op{id}_X})_*({\op{id}_G}\acts f)^*\siRa ({\op{id}_H}\acts f)^* (\phi\acts{\op{id}_Y})_*$ und salopp geschrieben\label{gaRU} $$\op{ind}_G^H f^*= f^*\op{ind}_G^H$$ In der Tat folgt das aus garbengutem Basiswechsel angewandt auf das kommutative Diagramm $$\xymatrix{{\op{E}}G\times_{/G}X\ar[d]& ({\op{E}}G\times {\op{E}}H\times X)/G \ar[l]_-r\ar[r]^-\pi\ar[d]& {\op{E}}H\times_{/H}X\ar[d]\\ {\op{E}}G\times_{/G}Y& ({\op{E}}G\times {\op{E}}H\times Y)/G \ar[l]_-r\ar[r]^-\pi& {\op{E}}H\times_{/H}Y }$$ zusammen mit der ebenso salopp geschriebenen Beschreibung $\op{ind}_G^H=\pi_*r^*$ aus dem vorhergehenden Beweis. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl} (Ich denke, das folgende ist Quatsch. Ich denke, das Problem k"onnte formal sein, da"s die Quadrate rechts nicht kartesisch sind.) Sei $G\subset H$ eine Untergruppe, die auf $H$ topologisch frei operiert, und sei $H$ offenlokal bagazyklisch. In diesem Fall k"onnen wir einen Rechtsadjungierten des R"uckzugs $\op{res}_H^G$ direkter erhalten. Dazu betrachten wir das kommutative Diagramm $$\xymatrix{{\op{E}}H\times_{/G}X\ar@{=}[r]&{\op{E}}H\times_{/G}X\ar[r]&{\op{E}}H\times_{/H}X\\ {\op{E}}H\times X\ar[u]\ar[d]&({\op{E}}H\times X\times H)/G\ar[r]\ar[l]\ar[u]\ar[d]&{\op{E}}H\times X\ar[u]\ar[d]\\ X&(X\times H)/G\ar[r]\ar[l]&X} $$ Die Abbildungen in der oberen Horizontale sind die offensichtlichen. Die Abbildungen in den anderen Horizontalen nach rechts und links sind dieselben und zwar $(e,x,h)\mapsto (h^{-1}e,h^{-1}x)$ beziehungsweise $(x,h)\mapsto h^{-1}x$ und genauer die so auf den $G$-Bahnen f"ur die jeweilige diagonale $G$-Operation gegebenen Abbildungen. \nichtfinal{Hier ist der Wurm drin. Schon bei $G=1$ kann es nicht funktionieren in der unteren Horizontale.} Die unteren Vertikalen sind induziert von den offensichtlichen Projektionen. Bei den oberen Vertikalen nehmen wir rechts und links die Quotientenabbildungen, in der Mitte jedoch die von $(e,x,h)\mapsto (h^{-1}e,h^{-1}x)$ induzierte Abbildung. Dann sind die rechten Quadrate kartesisch und ihre Vertikalen sind Faserb"undel mit offenlokal bagazyklischer Faser. Gegeben $\mathcal F\in \op{Der}(G\acts( {\op{E}}H\times X)\kP X)$ zeigt gefaserter Basiswechsel \ref{DGFBW} dann $\pi_*\mathcal F\in \op{Der}(H\acts( {\op{E}}H\times X)\kP X)$ f"ur $\pi: {\op{E}}H\times_{/G} X \ra {\op{E}}H\times_{/H} X$. A forteriori mu"s das dann der Rechtsadjungierte zu $\pi^*$ sein und mit der Unabh"angigkeit von der Wahl der Aufl"osung \ref{UWA} folgt die Behauptung. In diesem Fall sehen wir zus"atzlich recht explizit $$\op{res}_H\op{ind}_G^H\mathcal F\cong p_*p^* \op{res}_G\mathcal F$$ f"ur $p:(X\times H)/G\ra X$ gegeben durch $(x,h)\mapsto h^{-1}x$. Andererseits k"onnen wir das auch als garbenguten Basiswechsel im Sinne von \ref{gaRU} verstehen, angewandt im Diagramm $$\xymatrix{(X\times H)/G\ar[d]&G\acts (X\times H)\ar[d]\ar[l]\ar[r]&G\acts X\ar[d]\\ X& H\acts (X\times H)\ar[r]\ar[l]&H\acts X } $$ mit Projektionen nach rechts und $(x,h)\mapsto h^{-1}x$ den Abbildungen zur unteren linken Ecke. Dann liefern die R"uckz"uge von links in die Mitte "Aquivalenzen auf den jeweiligen derivierten Kategorien \end{Bemerkungl}} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Spektralsequenz der Kohomologie auf freien Quotienten}] Operiert eine topologische Gruppe $G$ auf einem topologischen Raum $X$, so k"onnen wir das Diagramm von R"aumen mit oder ohne Wirkung $$ \xymatrix{ G{\acts} X\ar[rr]^-{\op{id}\sacts \pi}\ar[drr]_-{\op{id}\sacts c} && G{\acts} (X/G)\ar[rr]^-{(\alpha)\sacts\op{id}}\ar[d]^-{\op{id}\sacts c}&& X/G\ar[d]^-{ c}\\ && G{\acts} \op{top}\ar[rr]^-{(\alpha)\sacts\op{id}}&& \op{top}} $$ betrachten. Ist die Operation topologisch frei, so induziert das direkte Bild unter der Verkn"upfung in der oberen Horizontale als Adjungierter der Quotienten\-"aquivalenz \ref{EwTn} eine "Aquivalenz von %gegen die Pfeile beschr"ankten, scheint "uberfl"ussig derivierten Kategorien und ist exakt f"ur die offensichtlichen Abschneidestrukturen. Bezeichnen wir den Effekt dieser "Aquivalenz auf einer "aquivarianten abelschen Garbe mit $\mathcal F\mapsto \tilde{\mathcal F}$, so ergibt sich f"ur diskretes $G$ aus dem Isomorphismus $((\alpha)\acts{\op{id}})_*({\op{id}}\acts c)_*\mathcal F\sira c_*\tilde{\mathcal F}$ eine konvergierende Spektralsequenz $${\op{H}}^p(G;{\op{H}}^q(X;\mathcal F))\RA{\op{H}}^n(X/G;\tilde{\mathcal F})$$ Analoges gilt f"ur indiskretes $G$, wenn wir die Gruppenkohomologie entsprechend interpretieren. Das zeigt, wie schlecht die Notation f"ur Gruppenkohomologie ist. Ich mu"s einmal testen, ob ${\op{H}}^p(/G;M)$ eine bessere Notation sein k"onnte. \end{Bemerkunge} \subsection{Vernachl"assigen zusammenziehbarer Anteile} \begin{Satz}[\textbf{Operationen zusammenziehbarer Gruppen}] Operiert eine bag\-azyk\-li\-sche topologische Gruppe $N$ auf einem topologischen Raum $X$, so ist das Vergessen der Gruppenoperation ein volltreuer Funktor und induziert eine "Aquivalenz\label{OzG} $$\op{res}_N: \op{Der}_{N{\sacts}} (X) \sirra\{\mathcal F\in \op{Der} (X)\mid a^{*} {\cal{F}} \cong\op{pr}^{*} {\cal{F}}\}$$ f"ur $a,\op{pr} : N\times X \ra X$ die Operation beziehungsweise Projektion. \end{Satz} \begin{proof} Wir erhalten in $\op{Topoka}$ ein kommutatives Diagramm $$\xymatrix{1\acts X\kP X\ar[r]\ar[d]& N\acts (N\times X)\kP X\ar[d]\\ 1\acts( {\op{E}}1\times X)\kP X\ar[r]& N\acts( {\op{E}}N\times X)\kP X}$$ aus bagazyklischen Aufl"osungen von $1\acts X$ beziehungsweise $N\acts X$, in den Vertikalen mit den ausgezeichneten Punkten von ${\op{E}}1$ und ${\op{E}}N$. Die R"uckz"uge in den Vertikalen sind "Aquivalenzen auf den jeweiligen "aquivarianten derivierten Kategorien nach der Unabh"angigkeit von der bagazyklischen Aufl"osung \ref{UWA}. Der R"uckzug l"angs der oberen Horizontale ist quasi per definitionem volltreu mit dem behaupteten wesentlichen Bild. Dasselbe folgt f"ur den R"uckzug l"angs der Diagonale. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Volltreues Einschr"anken}] Seien $H$ eine topologische Gruppe und $G \subset H$ eine Untergruppe, die auf $H$ topologisch frei operiert.\label{vtEj} Ist $H/G$ bagazyklisch, so ist f"ur jeden $H$-Raum $X$ die Restriktion ein volltreuer Funktor $$ \op{Der}_{H{\sacts}} (X) \vra \op{Der}_{G{\sacts}} (X)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Den Fall $G=1$ haben wir bereits in \ref{OzG} behandelt. Ich wundere mich, da"s die analoge Aussage in \ref{vtEE} so viel schw"achere Voraussetzungen braucht. Ich w"u"ste zum Beispiel gerne, ob das Einschr"anken unter surjektiven Gruppenhomomorphismen volltreu ist, etwa f"ur die Identit"at auf der Kreislinie, einmal mit der diskreten und einmal mit der "ublichen Topologie versehen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Die Projektion $\op{E}\!H\times_{/G} X \ra \op{E}\!H \times_{/H} X$ ist eine Faserung mit Faser $G/H$ und damit nach \ref{AZFcn} garbenazyklisch. Das Zur"uckholen darunter liefert mithin einen volltreuen Funktor $\op{Der}(\op{E}\!H \times_{/H} X)\vra\op{Der}(\op{E}\!H \times_{/G} X) $ und a forteriori auch einen volltreuen Funktor $$\op{Der}_{H{\sacts}}( X)\vra\op{Der}_{G{\sacts}}(G\acts (\op{E}\!H \times X)\kP X) $$ Andererseits ist nach \ref{UWA} der R"uckzug zum Morphismus $\op{E}\!G \times X\ra \op{E}\!H \times X$ in $\op{Topoka}$ eine "Aquivalenz $\op{Der}(G\acts (\op{E}\!H \times X)\kP X)\sirra \op{Der}(G\acts (\op{E}\!G \times X)\kP X)$. Die Behauptung folgt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Irrelevante Operationen}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum und $N\subset G$ ein bagazyklischer Normalteiler, der trivial auf $X$ und topologisch frei auf $G$ operiert. So ist der R"uckzug eine "Aquivalenz\label{QzGk} $$\op{Der}_{( G/N){\sacts}} ( X) \sirra\op{Der}_{G{\sacts}} (X)$$ \end{Satz} \begin{proof} Jede bagazyklische $G$-Aufl"osung $P\ra X$ k"onnen wir faktorisieren als $P\ra P/N \ra X$. Die Verkn"upfung ist bagazyklisch und die erste Abbildung desgleichen, also ist nach \ref{AZFcn} auch die zweite Abbildung bagazyklisch und somit eine bagazyklische $( G/N)$-Aufl"osung von $X$. Wir betrachten nun das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{P/G\ar[d]^\wr &P\ar[l] \ar[d] \ar[r] & X \ar[d]\\ ( P/N)/(G/N) & P/N \ar[l]\ar[r] & X } \end{displaymath} Da die mittlere Vertikale garbenazyklisch ist, m"ussen zwei Objekte unten, deren R"uckz"uge oben isomorph sind, bereits unten isomorph gewesen sein. Der R"uckzug induziert also eine "Aquivalenz $$\op{Der}( (G/N)\acts (P/N)\kP X) \sirra\op{Der}( G\acts P\kP X)$$ Mit unseren Erkenntnissen zur Unabh"angigkeit von der Aufl"osung \ref{UWA} folgt die Behauptung. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Quotienten nach zusammenziehbaren Gruppen}] Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum und $N\subset G$ ein bagazyklischer Normalteiler, der topologisch frei auf $X$ und $G$ operiert, ist der R"uckzug eine "Aquivalenz $$\op{Der}_{G{\sacts}} ( X/N) \sirra\op{Der}_{G{\sacts}} (X)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Die Verkn"upfung von R"uckz"ugen $$\op{Der}_{(G/N){\sacts}} ( X/N) \sirra\op{Der}_{G{\sacts}} ( X/N) \ra\op{Der}_{G{\sacts}} (X)$$ ist eine verallgemeinerte Quotienten"aquivalenz nach \ref{WeTN} und der erste unserer Funktoren ist eine "Aquivalenz nach dem Satz "uber irrelevante Operationen \ref{QzGk}. Das Korollar folgt. \end{proof} \subsection{Schreivorschub mit Gruppenwechsel} \begin{Lemma}[\textbf{Vorarbeiten zum Schreivorschub mit Gruppenwechsel}] Seien $G\subset H$ topologische Gruppen derart, da"s $G$ topologisch frei auf $H$ operiert und da"s $H/G$ ein $\op{lesb}$-Raum ist. So ist ${\op{E}}H\times_{/G}X\ra {\op{E}}H\times_{/H}X$ lesb und der zugeh"orige Schreivorschub schickt $\op{Der}(G\acts ({\op{E}}H\times X)\kP X)$ nach $\op{Der}_{\sacts H}(X)$. \end{Lemma} \begin{proof} Seien zun"achst allgemeiner $G\subset H$ topologische Gruppen derart, da"s $G$ topologisch frei auf $H$ operiert. Wir finden also $W\subset U\co H$ mit $U\neq\emptyset$ derart, da"s die Multiplikation einen Hom"oomorphismus $G\times W\sira U$ induziert. Wir finden dann auch eine "Uberdeckung von $H$ durch derartige Teilmengen $U$. Sicher operiert $G$ dann auch topologisch frei auf ${\op{E}}H$. Sei nun $X$ ein $H$-Raum. Wir betrachten das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ &{\op{E}}H\times X\ar[ldd]\ar[r]&X\\ &W\times {\op{E}}H\times X\ar[ld]\ar[u]_{s_2}\ar[d]^{u_2}\ar[r] &W\times X\ar[u]_{s_3} \ar[d]^{u_3}\\ G\backslash ({\op{E}}H\times X)\ar[d]^{a_1} &G\backslash (H\times {\op{E}}H\times X)\ar[l] \ar[d]^{a_2}\ar[r] & G\backslash (H\times X) \ar[d]^{a_3}\\ H\backslash ({\op{E}}H\times X) &H\backslash (H\times {\op{E}}H\times X)\ar[l] \ar[r] & H\backslash (H\times X)\\ H\backslash ({\op{E}}H\times X)\ar@{=}[u] & {\op{E}}H\times X\ar[l]\ar[u]^\wr \ar[r] & X\ar[u]^\wr } \end{displaymath} Alle Quotienten sind darin in Bezug auf die jeweiligen diagonalen Operationen zu verstehen. Alle Abbildungen darin sind die offensichtlichen mit der einzigen Ausnahme der Vertikalen ganz unten in der Mitte und rechts. An diesen Stellen nehmen wir die Abbildungen, die vorne $1\in H$ erg"anzen und dann die Bahn nehmen, in Formeln $(e,x)\mapsto H(1,e,x)$ und $x\mapsto H(1,x)$. Alle Rechtecke unseres Diagramms sind kartesisch. Nehmen wir nun zus"atzlich an, da"s $H/G$ ein $\op{lesb}$-Raum ist, so sind alle drei Vertikalen $a_i$ in der zweiten Reihe von unten $\op{lesb}$-Abbildungen. Das Lemma behauptet, da"s dann f"ur $\mathcal F\in \op{Der}(G\acts ({\op{E}}H\times X)\kP X)$ gilt $a_{1!}\mathcal F\in \op{Der}(H\acts({\op{E}}H\times X)\kP X)$. Alle Abbildungen nach links notieren wir $\op{quot}$ und alle Abbildungen nach rechts $\op{pr}$ und nummerieren sie durch von oben nach unten. Es gilt zu zeigen, da"s es $\mathcal G_3\in \op{Der}(X)$ gibt mit $\op{quot}_5^*a_{1!}\mathcal F\cong \op{pr}_5^*\mathcal G_3$. Es reicht zu zeigen, da"s es $\mathcal G_2\in \op{Der}(G\backslash(H\times X))$ gibt mit $\op{quot}_3^*\mathcal F\cong \op{pr}_3^*\mathcal G_2$, denn daraus folgt $a_{2!}\op{quot}_3^*\mathcal F\cong a_{2!}\op{pr}_3^*\mathcal G_2$ und mit Basiswechsel $\op{quot}_4^*a_{1!}\mathcal F\cong \op{pr}_4^*a_{3!}\mathcal G_2$. Nun sind alle Horizontalen nach rechts in unserem Diagramm gar\-ben\-azyk\-lisch. Um zu zeigen, da"s $\op{quot}_3^*\mathcal F$ durch R"uckzug von rechts herkommt, reicht es nach \ref{kh} also, das lokal zu zeigen. In Formeln reicht es zu zeigen, da"s es $\mathcal G_1\in \op{Der}(W\times X)$ gibt mit $u_2^*\op{quot}_3^*\mathcal F\cong \op{pr}_2^*\mathcal G_1$ und das f"ur soviele Tripel $W\subset U\co H$ von Daten wie oben, da"s die zugeh"origen $U$ ganz $H$ "uberdecken. Nach Annahme gibt es aber $\mathcal G\in \op{Der}( X)$ mit $\op{quot}_1^*\mathcal F\cong \op{pr}_1^*\mathcal G$ und dann haben wir nat"urlich auch \begin{displaymath} u_2^*\op{quot}_3^*\mathcal F\cong s_2^*\op{quot}_1^*\mathcal F \cong s_2^*\op{pr}_1^*\mathcal G \cong \op{pr}_2^*s_3^*\mathcal G \qedhere \end{displaymath} \end{proof} \nichtfinal{ Das soll dann der Funktor $$(\iota{\acts}{\op{id}})_!: \op{Der}_{G{\sacts}}(X)\ra \op{Der}_{H{\sacts}}(X)$$ werden, der in \cite{BeLu} 3.7.1 als $\op{Ind}_!$ notiert wird und in \cite{BeLu} 8.2.3 im Fall diskreter Gruppen als $\op{Ind}_G^H$. } \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}Das folgende ist kompliziert. Ich sollte besser die "aquivariante derivierte Kategorie dahingehend umdefinieren, da"s die Objekte von $\op{Der}_{\acts G}(X)$ kartesische Schnitte in der Kategorienfaserung "uber der Kategorie der bagazyklischen topologisch freien $G$-Aufl"osungen $E\ra \op{top}$ des Einpunktraums sind mit Fasern $\op{Der}_{\acts G}(X;E)\subset \op{Der}(E\times_{/G}X)$. Hier mag $X$ ein konstant gekringter Raum sein. Dann sind Schreimorphismen "uber Schreimorphismen der Basis gut zu definieren, wie im folgenden ausgef"uhrt wird, und was wir bereits haben, geht nicht kaputt und wir erhalten eine verflochtene Trennaustauschsituation. \end{Bemerkungl}} \begin{Definition} Wir nennen einen Morphismus $\alpha\acts a: G\acts X\ra H\acts Y$ in $\op{Topok}$ einen {\bf $\op{lesbf}$-Morphismus}, wenn\label{ScTk} $\alpha:G\ra H$ eine Einbettung topologischer Gruppen ist derart, da"s $H$ topologisch frei ist als $G$-Raum und wenn zus"atzlich die von den Operationen induzierte Abbildung $a:H\times_{/G} X\ra Y$ ein $\op{lesbf}$-Morphismus ist. Das multiplikative System der lesbf-Morphismen in $\op{Topok}$ notieren wir $$\op{Topok}^{\op{lesbf}}$$ Die lesbf-Morphismen, f"ur die $a:H\times_{/G} X\ra Y$ eigentlich ist, nennen wir die {\bf $\op{esbf}$-Morphismen} von $\op{Topok}$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben topologische Gruppen $G\subset H$ derart, da"s $G$ topologisch frei auf $H$ operiert, ist der offensichtliche Morphismus $$(G\acts X) \ra (H\acts (H\times_{/G} X))$$ stets "aquivariant eigentlich alias esbf. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein lesbf-Morphismus $\alpha\acts a: G\acts X\ra H\acts Y$ in $\op{Topok}$ und ein topologisch freier $H$-Raum $E$ ist $E\times_{/G} X\ra E\times_{/H} Y$ ein lesbf-Morphismus von topologischen R"aumen. Dasselbe gilt f"ur esbf statt lesbf. In der Tat ist unter den gegebenen Annahmen die offensichtliche Abbildung ein Hom"oomorphismus $$E\times_{/H}(H\times_{/G}X)\sira E\times_{/G}X$$ und auf die Abbildung $E\times(H\times_{/G}X)\ra E\times Y$ k"onnen wir Korollar \ref{KarLB} "uber freie Quotienten und Lokalit"at in der Basis anwenden auf unsere Eigenschaften lesbf und esbf. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben $\alpha\acts a: G\acts X\ra H\acts Y$ ein $\op{lesbf}$-Morphismus in $\op{Topok}$ und $\mathcal F\in \op{Der}_{\sacts G}(X)$ sowie $\mathcal G\in \op{Der}_{\sacts H}(Y)$ erkl"aren wir einen {\bf Schreimorphismus $\varphi$ "uber $\alpha\acts a$}\label{aAs} oder kurz {\bf "aquivarianten Schreimorphismus} als eine Isomorphieklasse von Diagrammen $$\xymatrix{{\op{E}}H\times_{/G}X\ar[d]&{\op{E}}G\times_{/G}X\ar[l]& &\tilde{\mathcal F} \ar@{-->}[d]^{\tilde\varphi}&\mathcal F\ar@{..>}[l]_-{\tau}\\ {\op{E}}H\times_{/H}Y&& &\mathcal G&}$$ mit $\tilde {\mathcal F}\in \op{Der}(G\acts ({\op{E}}H\times X)\kP X)\subset \op{Der}({\op{E}}H\times_{/G} X) $ und $\tau$ kartesisch und $\tilde{\varphi}$ ein Schreimorphismus. Wir notieren unseren Morphismus auch $\varphi=[\tilde\varphi,\tau]$. Im "ubrigen gibt es nach der Unabh"angigkeit von der Wahl der Aufl"osung \ref{UWA} zwischen je zwei derartigen Diagrammen h"ochstens einen Isomorphismus, weil ja das Paar $(\tilde F,\tau)$ eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verkn"upfung "aquivarianter Schreimorphismen}] Seien $\alpha\acts a: G\acts X\ra H\acts Y$ und $\beta\acts b: H\acts Y\ra I\acts Z$ Schreimorphismen in $\op{Topok}$ und seien dar"uber in den Fasern Schreimorphismen $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ und $\psi:\mathcal G\ra \mathcal H$ gegeben.\label{KoSF} Um ihre Verkn"upfung zu erkl"aren, betrachten wir Diagramme der Gestalt $$\xymatrix{{\op{E}}I\times_{/G}X\ar[d]&{\op{E}}H\times_{/G}X\ar[d]\ar[l]&{\op{E}}G\times_{/G}X\ar[l]&\hat{\mathcal F}\ar@{-->}[d]^{\hat \varphi}&\ar@{..>}[l]_-{\tilde\tau} \tilde{\mathcal F}\ar@{-->}[d]^{\tilde{\varphi}}&\mathcal F\ar@{..>}[l]_-{\tau}\\ {\op{E}}I\times_{/H}Y\ar[d]& {\op{E}}H\times_{/H}Y\ar[l]&&\tilde{\mathcal G}\ar@{-->}[d]^{\tilde\psi}&\mathcal G\ar@{..>}[l]_-{\tau}&\\ {\op{E}}I\times_{/I}Z &&&\mathcal H}$$ mit $\tilde {\mathcal F}\in \op{Der}(G\acts ({\op{E}}H\times X)\kP X)$ und $\hat {\mathcal F}\in \op{Der}(G\acts ({\op{E}}I\times X)\kP X)$ und $\tilde {\mathcal G}\in \op{Der}(H\acts ({\op{E}}I\times Y)\kP Y)$ und kartesischen Opkomorphismen als gepunktelten Pfeilen so, da"s die entsprechenden Teildiagramme $\varphi$ beziehungsweise $\psi$ repr"asentieren. Mit einer unwesentlichen Variante des Lemmas \ref{UWAsc} der Unabh"angigkeit von Schreimorphismen von der Punktaufl"osung sehen wir, da"s es im oberen linken Quadrat mit kartesischen Horizontalen genau einen Schreimorphismus $\hat\varphi$ gibt, der es zu einem Verflechtungsquadrat erg"anzt. Zwischen je zwei derartigen Diagrammen gibt es wieder genau einen Isomorphismus und die so erhaltene Isomorphieklasse von Diagrammen von $\mathcal F$ nach $\mathcal H$ erkl"aren wir als den verkn"upften Schreimorphismus, in Formeln $$\psi\circ\varphi\pdef [\tilde\psi\circ \hat\varphi, \tilde\tau\circ \tau]$$ Hier und im folgenden verwenden wir implizit die Eigenschaften einer Verflechtung und verwenden insbesondere, da"s das Verkleben l"angs gemeinsamer Kanten aus Verflechtungsquadraten wieder Verflechtungsquadrate macht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreimorphismen ohne Gruppenwechsel als Spezialfall}] Es ist klar, da"s wir als Spezialfall unsere "aquivarianten Schreimorphismen ohne Gruppenwechsel aus \ref{sOg} und deren Verkn"upfung zur"uckerhalten. Etwas formaler liefert in diesem Fall $\varphi\mapsto [\varphi,\op{id}]$ Bijektionen zwischen den jeweiligen Mengen, die vertr"aglich sind mit der Verkn"upfung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivarianter Schreivorschub mit Gruppenwechsel}] Es ist klar, da"s die in \ref{KoSF} erkl"arte Verkn"upfung von "aquivarianten Schreimorphismen assoziativ ist und da"s wir so eine Kofaserung $$\op{Der}^{\shriek}_{\sslash {\op{Topok}}^{\op{lesbf}}}\ra \op{Topok}^{\op{lesbf}}$$ erhalten mit kokartesischen "aquivarianten Schreimorphismen allen Isomorphieklassen $\varphi=[\tilde\varphi,\tau]$ nach \ref{aAs} mit $\tilde\varphi$ schreikokartesisch. Um das auszuschreiben, verwenden wir die Eigenschaften einer Verflechtung und insbesondere, da"s das Verkleben l"angs gemeinsamer Kanten aus Verflechtungsquadraten wieder Verflechtungsquadrate macht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreimorphismen "uber "aquivariant eigentlichen Morphismen}] Gegeben ein esbf-Mor\-phis\-mus $\alpha\acts a: G\acts X\ra H\acts Y$ von $\op{Topok}$ im Sinne von \ref{ScTk} und $\mathcal F\in \op{Der}_{G\sacts}(X)$ sowie $\mathcal G\in \op{Der}_{H\sacts}(Y)$ erhalten wir eine Bijektion $$\op{Der}^\shriek_{\sslash \alpha\sacts a}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Der}_{\sslash \alpha\sacts a}(\mathcal F,\mathcal G)$$ durch die Abbildungsvorschrift $[\tilde\varphi,\tau]\mapsto \tilde\varphi\circ \tau$. In der Tat kann der R"uckzug l"angs der Ver\-kn"up\-fung links geschrieben werden als Komposition zweier R"uckz"uge $$\xymatrix{{\op{E}}H\times_{/G}X\ar[d]&{\op{E}}G\times_{/G}X\ar[l]& &\op{Der}(G\acts ({\op{E}}H\times X)\kP X)\ar[r]^-{\approx} &\op{Der}_{G\sacts}X\\ {\op{E}}H\times_{/H}Y&& &\op{Der}_{H\sacts} Y\ar[u]&}$$ wie im rechten Diagramm, wobei der zweite R"uckzug eine "Aquivalenz von Kategorien ist. Wir erhalten wir so eine Bijektion zwischen Morphismen $\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber $\alpha\acts a$ und Isomorphieklassen von Diagrammen $$\xymatrix{{\op{E}}H\times_{/G}X\ar[d]&{\op{E}}G\times_{/G}X\ar[l]& &\tilde{\mathcal F} \ar@{-->}[d]^{\tilde\varphi}&\mathcal F\ar@{..>}[l]_-{\tau}\\ {\op{E}}H\times_{/H}Y&& &\mathcal G&}$$ mit $\tilde {\mathcal F}\in \op{Der}(G\acts ({\op{E}}H\times X)\kP X)$ und $\tau$ kartesisch und $\tilde{\varphi}$ beliebig. Da aber unter unseren Annahmen "uber der vertikalen stetigen Abbildung Morphismen mit Schreimorphismen zusammenfallen, folgt die Behauptung. Es ist klar, da"s unsere Konstruktion sogar einen Isomorphismus\label{aeSD} $$\op{Der}^\shriek_{\sslash \op{Topok}^{\op{lesbf}}}\left|_{\op{Topok}^{\op{esbf}}} \sira\op{Der}_{\sslash \op{Topok}}\right|_{\op{Topok}^{\op{esbf}}} $$ von Kategorien "uber der Kategorie $\op{Topok}^{\op{esbf}}$ der R"aume mit Operation und nur "aquivariant eigentlichen Morphismen induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariant-kartesische Trennregulierung}] Zusammenfassend ergibt sich mit dem Isomorphismus aus \ref{aeSD} der auf "aquivariant eigentliche Morphismen eingeschr"ankten Faserung und Schreikofaserung eine Trennaustauschsituation\label{tzGae} $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Topok}}}\ra \curlywedge{\op{Topok}} \supset \op{Topok}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash{\op{Topok}}^{\op{lesbf}}}, \op{Topok}^{\op{esbf}}\big)$$ Wir versehen sie im folgenden mit einer Verflechtung in Bezug auf die {\bf "aqui\-va\-ri\-ant-kar\-te\-si\-sche Trennregulierung}\index{Trennregulierung!"aquivariant-kartesische} der Basis und beginnen damit, diese Trennregulierung einzuf"uhren. Zu den erlaubten Trennquadraten dieser Trennregulierung erkl"aren wir alle Trennquadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ G\acts X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&G_1\acts X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge G_r\acts X_r \ar@{-->}[d] \\ H\acts Y\ar@{..>}[r]&H_1\acts Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge H_r\acts Y_r} \end{displaymath} mit lesbf-Vertikalen derart, da"s das induzierte induzierte Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ H\times_{/G} X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&(H_1\times_{/G_1} X_1) \curlywedge \ldots \curlywedge (H_r\times_{/G_r} X_r) \ar@{-->}[d] \\ Y\ar@{..>}[r]& Y_1 \;\;\;\;\curlywedge \;\;\ldots \;\; \curlywedge \;\;\;\; Y_r} \end{displaymath} kartesisch ist in der Familienkategorie ${\op{Top}}^\curlywedge$ der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume. Es gilt nun zu zeigen, da"s diese Menge von Trennquadraten in der Tat die von einer Trennregulierung geforderten Eigenschaften hat, da"s in anderen Worten die Menge aller Tupel aus erlaubten Trennquadraten eine Regulierung der Familienkategorie ist. Es ist klar da"s die Menge aller Tupel aus derartigen Trennquadraten der Familienkategorie stabil ist unter dem Verkleben l"angs gleicher vertikaler Kanten und da"s sie die geforderten kommutativen Quadrate enth"alt. Um zu pr"ufen, da"s sie auch stabil ist unter dem Verkleben l"angs gleicher horizontaler Kanten, betrachten wir zus"atzlich Einbettungen $H\hra I$ und $H_\rho\hra I_\rho$ mit topologisch freier Operation und Homomorphismen $I\ra I_\rho$, die die Homomorphismen $H\ra H_\rho$ fortsetzen. Dann liefert unser kartesisches Quadrat ein weiteres kartesisches Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ I\times (H\times_{/G} X)\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& I_1\times(H_1\times_{/G_1} X_1) \curlywedge \ldots \curlywedge I_r\times (H_r\times_{/G_r} X_r) \ar@{-->}[d] \\ I\times Y\ar@{..>}[r]& I_1\times Y_1 \;\;\;\;\curlywedge \;\;\ldots \;\; \curlywedge \;\;\;\; I_r\times Y_r} \end{displaymath} und durch Anh"angen der kartesischen Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ I_\rho\times(H_\rho \times_{/G_\rho } X_\rho )\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r] &I_\rho\times_{/H_\rho}(H_\rho \times_{/G_\rho } X_\rho )\ar@{-->}[d]\\ I_\rho\times Y_\rho\ar@{..>}[r] &I_\rho\times_{/H_\rho}Y_\rho} \end{displaymath} nach \ref{KarQ} erhalten wir ein weiteres kartesisches Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ I\times (H\times_{/G} X)\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& (I_1\times_{/G_1} X_1) \curlywedge \ldots \curlywedge (I_r\times_{/G_r} X_r) \ar@{-->}[d] \\ I\times Y\ar@{..>}[r]& (I_1\times_{/H_1} Y_1 )\curlywedge \ldots \curlywedge ( I_r\times_{/H_r} Y_r)} \end{displaymath} Darauf wenden wir \ref{KarQss} an und erhalten ein kartesisches Quadrat der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ I\times_{/G} X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& (I_1\times_{/G_1} X_1) \curlywedge \ldots \curlywedge (I_r\times_{/G_r} X_r) \ar@{-->}[d] \\ I\times_{/H} Y\ar@{..>}[r]& (I_1\times_{/H_1} Y_1 )\curlywedge \ldots \curlywedge ( I_r\times_{/H_r} Y_r)} \end{displaymath} Gegeben ein weiteres erlaubtes Trennquadrat der "aquivariant-kartesischen Regulierung \begin{displaymath} \xymatrix{ H\acts Y\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&H_1\acts Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge H_r\acts Y_r \ar@{-->}[d] \\ I\acts Z\ar@{..>}[r]&I_1\acts Z_1 \curlywedge \ldots \curlywedge I_r\acts Z_r} \end{displaymath} ist damit klar, da"s auch die Verklebung l"angs der gemeinsamen horizontalen Kante wieder ein erlaubtes Trennquadrat liefert. Damit bilden unsere erlaubten Trennquadrate in der Tat eine Trennregulierung der Basis. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariant-kartesische Trennverflechtung}] F"ur die Trennaustauschsituation $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Topok}}}\ra \curlywedge{\op{Topok}} \supset \op{Topok}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Der}^{{\shriek}}_{\sslash{\op{Topok}}^{\op{lesbf}}}, \op{Topok}^{\op{esbf}}\big)$$ aus \ref{tzGae} mit ihrer ebendort erkl"arten "aquivariant-kartesischen Trennregulierung der Basis konstruieren wir nun eine Trennverflechtung. Um die Trennaustauschquadrate "uber einem erlaubten Trennquadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ G\acts X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&G_1\acts X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge G_r\acts X_r \ar@{-->}[d] \\ H\acts Y\ar@{..>}[r]&H_1\acts Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge H_r\acts Y_r} \end{displaymath} der Basis anzugeben, bemerken wir zun"achst, da"s daf"ur \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{E}}H\times_{/G} X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&{\op{E}}H_1\times_{/G_1} X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge {\op{E}}H_r\times_{/G_r} X_r \ar@{-->}[d] \\ {\op{E}}H\times_{/H} Y\ar@{..>}[r]&{\op{E}}H_1\times_{/H_1} Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge {\op{E}}H_r\times_{/H_r} Y_r} \end{displaymath} kartesisch ist in $\op{Top}^\curlywedge$. Man zeigt das genau wie die vergleichbare Aussage in \ref{tzGae} mit ${\op{E}}H,{\op{E}}H_\rho$ statt $I,I_\rho$. Allgemein gilt sie mit unver"andertem Beweis f"ur beliebige topologisch freie $H$-R"aume beziehungsweise $H_\rho$-R"aume. Ein Verflechtungsquadrat "uber unserem erlaubten Trennquadrat der Basis erkl"aren wir nun als ein Trennquadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&\mathcal F_1 \curlywedge \ldots \curlywedge \mathcal F_r \ar@{-->}[d] \\ \mathcal G\ar@{..>}[r]&\mathcal G_1 \curlywedge \ldots \curlywedge \mathcal G_r} \end{displaymath} in der Faser, also $\mathcal F\in\op{Der}_{G\sacts}(X)$ und so weiter, mit der Eigenschaft, da"s das zugeh"orige Trennquadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ \tilde{\mathcal F}\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&\tilde{\mathcal F}_1 \curlywedge \ldots \curlywedge \tilde{\mathcal F}_r \ar@{-->}[d] \\ \mathcal G\ar@{..>}[r]&\mathcal G_1 \curlywedge \ldots \curlywedge \mathcal G_r} \end{displaymath} mit $\tilde{\mathcal F}\in\op{Der}(G\acts ({\op{E}}H\times X)\kP X)$ wie bei der Definition der Schreimorphismen und analog an den anderen Stellen ein Verflechtungsquadrat in der derivierten Modulgarbenoptrennfaserung ist. Jetzt gilt es zu zeigen, da"s die so erkl"arte Menge von R"uckholquadraten in der Tat die Axiome einer Trennverflechtung erf"ullt. DAS IST NOCH ZU TUN. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{"Aquivariante Verflechtung}] Die im vorhergehenden beschriebenen Trennquadrate bilden eine Trennverflechtung der Trennaustauschsituation $$\big(\op{Der}_{\sslash{\op{Topok}}}\ra \curlywedge{\op{Topok}} \supset \op{Topok}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Der}^{\emph{\shriek}}_{\sslash{\op{Topok}}^{\op{lesbf}}}, \op{Topok}^{\op{esbf}}\big)_{\op{aeq}}$$ in Bezug auf die "aquivariant-kartesische Regulierung der Basis. \end{Satz} \begin{proof} Noch ausschreiben. Existenz von Adjungierten? \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{"Aquivariante Projektionsformel}] Gegeben ein lesbf-Morphismus $\phi\acts f: G\acts X \ra H\acts Y$ ist das Trennquadrat\label{aePF} \begin{displaymath} \xymatrix{ G\acts X\ar[rr]^-{(\op{id},\phi\sacts f)} \ar[d]_{\phi\sacts f} &&G\acts X\curlywedge H\acts Y \ar[d]^{{\phi\sacts f}\curlywedge {\op{id}}} \\ H\acts Y\ar[rr]^-{(\op{id},\op{id})}&&H\acts Y\curlywedge H\acts Y} \end{displaymath} erlaubt in der "aquivariant-kartesischen Regulierung, da es nach "Ubergang zu topologischen R"aumen zum Trennquadrat der Projektionsformel wird, von dem wir wissen, da"s es kartesisch ist in der Familienkategorie. Unsere Verflechtung liefert dann eine "aquivariante Variante des Isomorphismus der Projektionsformel $$\op{vf}: ((\phi\acts f)_{{!} } \mathcal F )\otimes \mathcal G \sira (\phi\acts f)_{{!} } (\mathcal F \otimes (\phi\acts f)^* \mathcal G )$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Ausdehnung einer Einschr"ankung}] Gegeben $G\subset H$ eine topologisch frei operierende Untergruppe mit $H/G$ lesb ist f"ur jeden $H$-Raum $X$ der Morphismus $G\acts X\ra H\acts X$ lesb und wir erhalten nach \ref{KarQs} f"ur jeden Morphismus $p: X\ra Y$ von $H$-R"aumen ein von der "aquivariant-kartesischen Regulierung erlaubtes Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ G\acts X\ar[r] \ar[d] &G\acts Y \ar[d] \\ H\acts X\ar[r]& H\acts Y} \end{displaymath} Unsere Verflechtung liefert dann f"ur $\iota:G \hra H$ die Einbettung Isomorphismen $$\op{vf}:(\iota\acts{\op{id}}_X)_!\circ p_G^*\siRa p_H^*\circ (\iota\acts{\op{id}}_Y)_!$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Schreivorschub ohne Gruppenwechsel}] Ein Trennquadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ G\acts X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&G_1\acts X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge G_r\acts X_r \ar@{-->}[d] \\ G\acts Y\ar@{..>}[r]&G_1\acts Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge G_r\acts Y_r} \end{displaymath} ohne Gruppenwechsel in den Vertikalen ist ganz allgemein erlaubt in der "aquivariant-kartesischen Regulierung, wenn das zugrundeliegende Trennquadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]& X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge X_r \ar@{-->}[d] \\ Y\ar@{..>}[r]& Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge Y_r} \end{displaymath} kartesisch ist in $\op{Top}^\curlywedge$. Ist etwa $r=1$ und $G_1=H$ und $f:X\ra Y$ ein lesbf-Morphismus von $H$-R"aumen, so liefert die Verflechtung eine Isotransformation $$\op{vf}: f^G_! \op{res}_H^G\siRa \op{res}_H^G f^H_!$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Vertr"agliche Gruppenwechsel}] Seien $\phi:H\ra H'$ ein stetiger Gruppenhomomorphismus und $G\subset H$ sowie $G'\subset H'$ topologisch frei operierende Untergruppen mit $\phi(G)\subset G'$ derart, da"s unser Gruppenhomomorphismus einen Hom"oomorphismus $$H/G\sira H'/G'$$ induziert. So induziert $\phi$ auch f"ur jeden $G'$-Raum $X$ die offensichtliche Bijektion einen Hom"oomorphismus $H\times_{/G}X\sira H'\times_{/G'}X$. In der Tat gibt es nach Annahme $A\subset H$ nichtleer derart, da"s die Operation eine offene Einbettung $A\times G\ra H$ induziert. Das liefert auf dem Bild $\bar A\co G/H$ einen stetigen Schnitt von $H\sra H/G$ und dann auch von $H'\sra H'/G'$. So erhalten wir ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ A\times X\ar[d]\ar@{=}[r]&A\times X \ar[d] \\ H\times_{/G}X\ar[r]& H'\times_{/G'}X} \end{displaymath} mit offenen Einbettungen in den Vertikalen und indem wir dasselbe mit verschobenen Kopien von $A$ wiederholen folgt die Behauptung. Ist nun zus"atzlich $H/G$ ein lesb-Raum, so ist f"ur jeden $H'$-Raum $X$ das Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ G\acts X\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&G'\acts X \ar@{-->}[d] \\ H\acts X\ar@{..>}[r]&H'\acts X} \end{displaymath} erlaubt f"ur die "aquivariant-kartesische Regulierung und die zugeh"orige Verflechtung liefert eine Isotransformation $$\op{vf}: (G\subset H)_! \circ\op{res}_{G'}^G\siRa \op{res}_{H'}^H \circ (G'\subset H')_!$$ \nichtfinal{Ich mu"s noch nachdenken, ob $\op{prod}_G^H$ eine gute Notation sein k"onnte. Zugegeben ist $(G\subset H)^!$ wohl nicht die Restriktion, selbst wenn es diesen Adjungierten geben sollte, aber trotzdem.} \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{"Aquivarianter Schreir"uckzug, Variante}] Gegeben $G, H$ mannigfaltige Gruppen und ein lesbf-Morphismus $\iota\acts f:G\acts X\ra H\acts Y$ bildet der Schrei\-r"uck\-zug unter $\op{id}\times_/ f:{\op{E}}H\times_{/G}X\ra {\op{E}}H\times_{/H}Y$ die Kategorie $\op{Der}_{H{\sacts}}(Y)$ in die Kategorie\label{AeERSv} $\op{Der}(G{\acts}({\op{E}}H\times X)\kP X)$ ab und liefert so einen Rechtsadjungierten $(\iota\acts f)^!$ von $(\iota\acts f)_!$. \end{Satz} \begin{proof} Wir betrachten das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{{\op{E}}H\times_{/G}X\ar[d]^{\op{id}\times_{/} f} &&{\op{E}}H\times X\ar[ll]_-{\op{quot}_X} \ar[d]^{\op{id}\times f}\ar[r]^-{\op{pr}_X} & X \ar[d]^f\\ {\op{E}}H\times_{/H}Y &&{\op{E}}H\times Y\ar[ll]_-{\op{quot}_Y} \ar[r]^-{\op{pr}_Y} & Y } \end{displaymath} Die horizontalen Abbildungen nach links sind mannigfaltig f"ur die Dimensionen $d_G=\op{dim}G$ beziehungsweise $d_H=\op{dim}H$. Wie beim Beweis der entsprechenden Aussage ohne Gruppenwechsel \ref{AeERS} sind die relativen Orientierungsgarben dieser beiden Abbildungen trivialisierbar. Damit liefern unsere Erkenntnisse \ref{glRZ} zum mannigfaltigen Schreir"uckzug Isotransformationen $\op{quot}_Y^*\siRa \op{quot}_Y^![-d_H]$ und $\op{quot}_X^*\siRa \op{quot}_X^![-d_G]$ und so $$\op{quot}_X^*(\op{id}\times_{/} f)^!\mathcal F\cong (\op{id}\times f)^!\op{quot}_Y^*\mathcal F[d_H-d_G]$$ f"ur alle $\mathcal F\in\op{Der}({\op{E}}H\times_{/H}Y)$. Aus $\op{quot}_Y^*\mathcal F\cong \op{pr}_Y^*\mathcal G$ folgt jedoch \begin{displaymath} \begin{array}[b]{llll} \op{quot}_X^*(\op{id}\times_{/} f)^!\mathcal F&\cong& (\op{id}\times f)^!\op{quot}_Y^*\mathcal F[d_H-d_G] \\ &\cong& (\op{id}\times f)^!\op{pr}_Y^*\mathcal G[d_H-d_G]\\ &\cong& \op{pr}_X^* f^!\mathcal G[d_H-d_G] &\text{mit Lemma }\ref{RZgld}. \end{array} \end{displaymath} Damit ist $\op{quot}_X^*(\op{id}\times_{/} f)^!\mathcal F$ in der Tat in der derivierten Kategorie isomorph zum R"uckzug eines Garbenkomplexes auf $X$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die "aquivariante Projektionsformel \ref{aePF} liefert genau wie im Fall \eref{fter}{TSF} einer kartesisch regulierten Trennverflechtung unter der Annahme der\label{rzIS} Existenz eines Schreir"uckzugs unter $\phi\acts f$ Morphismen $$(\phi\acts f)^!\mathcal F\otimes (\phi\acts f)^*\mathcal G\ra (\phi\acts f)^!(\mathcal F\otimes \mathcal G) $$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Orientierungsgarbe}] Gegeben $G\subset H$ mannigfaltige Gruppen derart, da"s $G$ topologisch frei auf $H$ operiert und $H/G$ eine Mannigfaltigkeit ist, ist f"ur jeden $H$-Raum $X$ der Komplex $$\op{or}_{(G\subset H),X}\pdef (G\subset H)^!\underline{H\acts X}[d_G-d_H]$$ eine "aquivariante abelsche Garbe $\op{or}_{(G\subset H),X}\in \op{Ab}_{/G\sacts X}$. Unter diesen Annahmen spezialisieren die Morphismen aus \ref{rzIS} zu Isomorphismen $$\big(\op{or}_{(G\subset H),X}[d_H-d_G]\big)\otimes (G\subset H)^*\mathcal G\sira (G\subset H)^!\mathcal G$$ Das folgt aus dem in \ref{glRZ} diskutierten Fall des Schreir"uckzugs unter mannigfaltigen Abbildungen, angewandt auf ${\op{E}}H\times_{/G}X\ra{\op{E}}H\times_{/H}X$. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl}[\textbf{Zukunftsmusik}] WOHL ABGEARBEITET! Es sollte jetzt sehr einfach Basiswechsel zwischen $\op{Ind}_!$ und $\op{res}$ geben, wenn wir den Raum festhalten und $G\subset H$ sowie $G'\subset H'$ haben wie vorher und $\phi:H\ra H'$ mit $G=\phi^{-1}(G')$ und $\phi:G/H\sira G'/H'$. \end{Bemerkungl}} \begin{Bemerkungl} Dieser "aquivariante Schreivorschub wirft Normalisierungsfragen auf. Unsere Konvention ist ja hier, da"s wir oben dasselbe zusammenziehbare Hauptfaserb"undel verwenden wie unten. Man sollte nun zeigen, da"s das funktoriell ist, una am besten die Schreikofaserung angeben, wohl als Sammlung kommutierender Diagramme f"ur alle Hauptfaserb"undel oder so. Man k"onnte das aber auch anders normalisieren und etwa darauf hinarbeiten, da"s im Fall von mannigfaltigem $G/H$ unser $\op{ind}_!$ linksadjungiert ist zum R"uckzug. Das macht etwa Achard so, aber das kann ja nur gelingen, wenn $G/H$ stets in nat"urlicher Weise orientiert ist, also etwa mit komplexanalytischen Variet"aten und der Wahl einer Orientierung auf $\DC$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wie ist es, wenn $G/N$ auf $X$ operiert f"ur einen Normalteiler $N$? \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Ich w"urde gerne die Homologie diskreter Gruppen in diesen Formalismus einbinden k"onnen und Schreivorsch"ube erkl"aren f"ur $\phi:G\ra H$ mit $G^\circ\co G$ und $H^\circ \co H$ und $\phi: G^\circ \ra H^\circ$ injektiv und topologisch frei operierend mit $H^\circ/G^\circ$ lesb. Nach der verallgemeinerten Quotienten"aquivalenz liefert ja dann der R"uckzug horizontale "Aquivalenzen $$\begin{array}{ccccc}\op{Der}_{1\sacts}({\op{E}}G\times_{/G} X)&\sirra& \op{Der}_{(G/G^\circ)\sacts}({\op{E}}G\times_{/G^\circ}X)&\sirra& \op{Der}_{G\sacts}({\op{E}}G\times X)\\ &&\ua{\scriptscriptstyle\approx}&&\\ &&\op{Der}\big(\op{Ab}_{(G/G^\circ)\sacts}({\op{E}}G\times_{/G^\circ}X)\big)&& \end{array}$$ und in der Mitte liefert Geometrisierung nach \ref{GeDis} die angedeutete "Aquivalenz nach oben. Jetzt sollte man in der Mitte ${\op{E}}G$ durch ${\op{E}}H$ ersetzen k"onnen und aus der Darstellung von $f_!$ als Linksfaktorierter in \eref{VeDD}{TSF} und der Konstruktion f"ur diskrete Gruppen in \ref{AeSS} einen Schreivorschub zusammenbasteln k"onnen. Der erste Test w"are mal, das f"ur einpunktige R"aume mit Operationen diskreter Gruppen durchzuziehen. Das habe ich so etwa abgesch"atzt, die Tensoridentit"at kann als Projektionsformel verstanden werden. Dann mu"s man den Fall allgemeiner R"aume mit der Operation diskreter Gruppen angehen. Das scheint mir eher ein Dissertationsthema. \end{Bemerkungl}} \subsection{Danksagung} \begin{Bemerkungl} Eine wesentliche Quelle und Motivation waren f"ur mich die Lecture Notes von Bernstein und Lunts \cite{BeLu}. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Simpliziales} \subsection{Simpliziale Strukturen} \begin{Definition} Gegeben $n \geq -1$ bezeichne $[n]$ die Menge\label{nnnk} $$[n] \pdef\{ 0,1, \ldots , n\}$$ Mit den ordnungserhaltenden alias monoton wachsenden Abbildungen als Morphismen bildet die Gesamtheit dieser Mengen %eine Kategorie $\tilde \Delta$ und f"ur $n\geq 0$ eine Kategorie $\Delta$. F"ur jede Kategorie $\mathcal C$ erkl"art man die Kategorie ihrer {\bf simplizialen Objekte}\index{simplizial!Objekt}\index{Objekt!simpliziales} als die Funktorkategorie\index{D@$\Delta\mathcal C$ Kategorie der simplizialen Objekte von $\mathcal C$} $$\Delta\mathcal C\pdef \op{Cat}(\Delta^{\op{opp}},\mathcal C)$$ Gegeben $X\in \Delta\mathcal C$ setzen wir $X_n\pdef X([n])$. Dual erkl"art man die Kategorie der {\bf kosimplizialen Objekte von $\mathcal C$}\index{kosimplizial!Objekt}\index{Objekt!kosimpliziales} als die Funktorkategorie $\op{Cat}(\Delta,\mathcal C)$. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} Diese Definition ist einfach, aber meiner Anschauung schlecht zug"anglich. Im folgenden will ich diskutieren, wie man abstrakte Simplizialkomplexe als spezielle simpliziale Mengen alias simpliziale Objekte in der Kategorie der Mengen auffassen kann. Ich hoffe, da"s das dabei hilft, eine Anschauung zu entwickeln. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausf"ullen von Simplizes}] Wir haben einen offensichtlichen Funktor $A:\Delta\ra\op{Top}$ gegeben durch $[n]\mapsto \Delta_n$ auf Objekten und durch die Vorschrift, da"s $\varphi:[n]\ra [m]$ diejenige stetige Abbildung $\Delta_n\ra\Delta_m$ zugeordnet wird, die man als Einschr"ankung der durch ${\op{e}}_i\mapsto{\op{e}}_{\varphi(i)}$ gegebenen affinen Abbildung erh"alt. Ich nenne ihn den {\bf Ausf"ullfunktor}.\index{Ausf"ullfunktor} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Konstante simpliziale Objekte}] Gegeben ein Objekt $C$ einer Kategorie $\mathcal C$ ist der konstante Funktor ${\op{s}}C:\Delta^{\op{opp}}\ra\mathcal C$ ein \index{s@${\op{s}}C$ konstantes simpliziales Objekt} \hyperref[nnnk]{simpliziales Objekt} ${\op{s}}C\in\Delta\mathcal C$. Wir erhalten einen volltreuen Funktor $$\mathcal C\vra \Delta\mathcal C$$ durch die Vorschrift, die jedem Objekt $C$ den konstanten Funktor ${\op{s}}C$ zuordnet. Allgemeiner erh"alt man f"ur beliebige Kategorien $\mathcal D, \mathcal C$ einen volltreuen Funktor $\op{konst}:\mathcal C\vra \op{Cat}(\mathcal D,\mathcal C)$ in die Funktorkategorie, wann immer die Ausgangskategorie $\mathcal D$ {\bf zusammenh"angend}\index{zusammenh"angend!Kategorie} ist in dem Sinne, da"s es f"ur die kleinste "Aquivalenzrelation $\sim$ auf $\op{Ob}(\mathcal D)$ mit $\mathcal D(x,y)\neq\emptyset \RA x\sim y$ genau eine "Aquivalenzklasse gibt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Simpliziale Mengen}] Ich erinnere aus dem Kontext des Yonedalemmas die Notation $\mathcal D^\wedge\pdef \op{Cat}(\mathcal D^{\op{opp}},\op{Ens})$. % aus \eref{DFTo}{LA2}. In Formeln haben wir damit $$\Delta{\op{Ens}}=\op{Cat}(\Delta^{\op{opp}},\op{Ens})=\Delta^\wedge$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Simpliziale Menge eines abstrakten Simplizialkomplexes}] Jedem abstrakten Simplizialkomplex $(E,\cal{K})$ mit einer Anordnung $\leq$ seiner Eckenmenge $E$ ordnen wir eine simpliziale Menge $$X(E,\leq,\cal{K})$$ zu, indem wir als $X_n$ alle monoton wachsenden Abbildungen $[n] \ra E$ nehmen, deren Bild zur Menge der abstrakten Simplizes $\mathcal K\subset \mathcal P(E)$ geh"ort. Jeder monotonen Abbildung $b:[m]\ra [n]$ ordnen wir dabei die durch das Vorschalten von $b$ gegebene Abbildung $X(b^\circ)=(\circ b): X_n\ra X_m$ zu. Es reicht hierbei, eine Teilordnung $\leq$ der Eckenmenge $E$ vorzugeben, in der zwei Ecken genau dann vergleichbar sind, wenn sie in einem gemeinsamen Simplex liegen. Wir nennen so eine Teilordnung eine {\bf simpliziale Teilordnung}\index{simplizial!Teilordnung} und erhalten einen volltreuen Funktor von der Kategorie der simplizial teilgeordneten abstrakten Simplizialkomplexe zur Kategorie der simplizialen Mengen. Damit k"onnen wir zumindest einige simpliziale Mengen bildlich darstellen, indem wir einen Simplizialkomplex zeichnen und seine Kanten so bepfeilen, da"s um Zweisimplizes keine Zykel entstehen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Der finale abstrakte Simplizialkomplex mit einer einzigen Ecke wird auf die konstante simpliziale Menge ${\op{s}}(\op{ens})$ zur Einpunktmenge $\op{ens}$ abgebildet. Der volle abstrakte Simplizialkomplex zu einer nichtleeren endlichen angeordneten Menge $E$ mit $|E|=n+1$ Elementen wird auf die simpliziale Menge $[n]^\wedge$ abgebildet, die wir gleich als den \glqq simplizialen $n$-Simplex\grqq\ wiedersehen werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Simpliziale Mengen als Kolimites}] Ich erinnere aus dem Kontext des Yonedalemmas den volltreuen Funktor $\mathcal D\vra \mathcal D^\wedge$ gegeben durch $D\mapsto D^\wedge$ mit $ D^\wedge(X)\pdef \mathcal D(X,D)$, die sogenannte Koyonedaeinbettung der Kategorie $\mathcal D$. Jedes Objekt $[n]\in \Delta$ liefert vermittels der Koyonedaeinbettung den Funktor $$[n]^\wedge:\Delta^{\op{opp}}\ra \op{Ens}$$ der Morphismen nach $[n]$. Diese simpliziale Menge $[n]^\wedge\in \Delta^\wedge$ hei"st der {\bf simpliziale $n$-Simplex}. Nach dem Yonedalemma liefert das Auswerten auf der Identit"at f"ur jede simpliziale Menge $X$ eine Bijektion $\Delta^\wedge([n]^\wedge, X)\sira X_n\pdef X([n])$. Gegeben eine simpliziale Menge $X$ betrachten wir nun in der Kategorie $\Delta^\wedge_X=(\Delta^\wedge)_X$ aller simplizialen Mengen "uber $X$ die volle Unterkategorie $[\;]_X^\wedge\subset \Delta^\wedge_X$ mit nur den simplizialen Simplizes "uber $X$ als Objekten. Aus tautologischen Gr"unden, vergleiche etwa \eref{tautl}{TD}, ist der offensichtliche Morphismus von simplizialen Mengen ein Isomorphismus $$\op{col}_{[\;]_X^\wedge}[n]^\wedge=\op{col}_{[n]^\wedge\ra X}[n]^\wedge\;\sira\; X$$ Wir h"atten hier $\colh$ schreiben k"onnen, um besonders zu betonen, da"s ein Kolimes in $\Delta^\wedge$ gemeint ist, aber das schien mir auch so schon klar genug. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Topologische Realisierung simplizialer Mengen}] Betrachten wir den Ausf"ullfunktor $A_X:[\;]_X^\wedge\ra\op{Top}$, der jedem $([n]^\wedge\ra X)$ den topologischen Raum $\Delta_n$ zuordnet, so hei"st der Kolimes "uber das durch diesen Funktor gegebene System in der Kategorie der topologischen R"aume die {\bf topologische Realisierung}\index{topologische Realisierung!von simplizialer Menge} unserer simplizialen Menge $X$ und wird notiert als\index{)5@${\mid}\;{\mid}$ topologische Realisierung!von simplizialer Menge}\label{gMi} $$|X|\pdef\op{col}_{[n]^\wedge\ra X}\Delta_n$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die topologische Realisierung einer simplizialen Menge kann der Anschauung n"aher gebracht werden, indem man beim Kolimes zur vollen Unterkategorie aller \glqq unternichtausgearteten Simplizes\grqq\ "ubergeht. Dazu untersuchen wir die Kategorie $\Delta$ nun genauer. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Beispiele f"ur Morphismen in $\Delta$ sind die sogenannten {\bf Kantenabbildungen}\index{Kantenabbildung} $k^n_i:[n-1]\hra[n]$\index{k@$k^n_i$ Kantenabbildung}\label{KaT} f"ur $ n\geq 1$ und $0\leq i\leq n$, in deren Bild nur $i$ fehlt, und die {\bf Ausartungen}\index{Ausartung} $a^n_i:[n+1]\hra[n]$\index{a@$a^n_i$ Ausartungsabbildung} f"ur $ n\geq 0$ und $0\leq i\leq n$, bei denen nur $i$ zweimal als Wert angenommen wird. Man pr"uft leicht die Relationen $$\begin{array}{ccl} k_ik_j &=& \left\{ \begin{array}{cl} k_{j+1}k_i & j\geq i;\\ k_{j}k_{i-1} & j< i, \end{array}\right.\\[4mm] a_ia_j &=& \left\{ \begin{array}{cl} a_{j-1}a_{i} & j> i;\\ a_{j}a_{i+1} & j\leq i, \end{array}\right.\\[4mm] a_ik_j &=& \left\{ \begin{array}{cl} k_{j-1}a_{i} & j> i+1;\\ \op{id}& j\in\{i+1,i\};\\ k_{j}a_{i-1} & j< i. \end{array}\right. \end{array}$$ Die unterste Zeile ist in jedem der drei F"alle redundant in dem Sinne, da"s sie durch Umindizierung aus der obersten Zeile folgt. Ich versuche mich in nebenstehendem Bild an einer graphischen Darstellung. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.20\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildOLE} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.70\textwidth}\centering Erzeuger der Morphismen der Kategorie $\Delta$. Die Pfeile nach oben stehen f"ur die Kantenabbildungen, die Pfeile nach unten f"ur die Ausartungen, die Punkte f"ur die Objekte. Der unterste Punkt meint das Objekt $[0]$, der Punkt dar"uber das Objekt $[1]$ und so weiter. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkunge} Man sieht leicht, da"s die Kantenabbildungen und Ausartungen die Morphismen unserer Kategorie $\Delta$ erzeugen. Man kann zeigen, da"s die oben angegebenen Relationen zus"atzlich alle Relationen zwischen unseren erzeugenden Morphismen erzeugen. Ich stelle das zur"uck. \end{Bemerkunge} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.30\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSiRe} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.30\textwidth}\centering Graphische Darstellung der Relationen zwischen erzeugenden Morphismen der Kategorie $\Delta$ \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.30\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSSiRe} \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine simpliziale Menge $X$ und $b:[n]\ra [m]$ ein Morphismus in $\Delta$ verwende ich die Abk"urzung $b^\circ$\index{)6circ@$f^\circ$ in opponierter Struktur!bei simplizialen Mengen} f"ur $ X(b^\circ):X_m\ra X_n$. Ist $b$ eine Surjektion von Mengen, so gibt es $a:[m]\ra [n]$ mit $ba=\op{id}$ alias $a^\circ b^\circ=\op{id}$. Insbesondere ist dann $b^\circ$ injektiv. Ebenso ist f"ur $a:[m]\hra [n]$ injektiv das zugeh"orige $a^\circ$ surjektiv. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $X$ eine simpliziale Menge. Ein Simplex $x\in X_n$ hei"st {\bf nichtausgeartet},\index{nichtausgeartet!Simplex} wenn er f"ur keine von der Identit"at verschiedene ordnungserhaltende Surjektion $b:[n]\sra [m]$ im Bild von $b^\circ:X_m\hra X_n$ liegt. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Simplizes und nichtausgeartete Simplizes}] Gegeben eine simpliziale Menge $X$ gibt es f"ur jeden Simplex $x\in X_n$ genau ein Paar $(b,y)$ aus einem\label{SnS} surjektiven Morphismus $b:[n]\sra [m]$ in $\Delta$ und einem nichtausgearteten Simplex $y\in X_m$ mit $b^\circ y=x$. \end{Satz} \begin{proof} Das folgt leicht aus der anschlie"senden Proposition \ref{RHSI}. \end{proof} \begin{Proposition} Seien $X$ eine simpliziale Menge und $n\geq 0$ und $x\in X_n$. Seien $a:[n]\sra [r]$ und $b:[n]\sra [s]$ ordnungserhaltende Surjektionen und $y\in X_r$ und $z\in X_s$ mit $a^\circ y = x=b^\circ z$. So gibt es ein kommutatives Diagramm\label{RHSI} \begin{displaymath} \xymatrix{ [n]\ar@{->>}[r]^-a \ar@{->>}[d]_b& [r]\ar@{->>}[d]^c\\ [s] \ar@{->>}[r]^-d &[t] } \end{displaymath} aus Surjektionen in $\Delta$ und $w \in X_t$ mit $y = c^\circ w$ und $z = d^\circ w$. \end{Proposition} \begin{proof} Wir zerlegen $a$ und $b$ jeweils in eine Folge von Ausartungsabbildungen und ziehen uns so auf den Fall zur"uck, in dem $a$ und $b$ Ausartungsabbildungen sind. Unter der zus"atzlichen Annahme $a\neq b$ behandeln wir diesen Fall im anschlie"senden Lemma \ref{Asd}. Der Fall $a=b$ ist eh unproblematisch. \end{proof} \begin{Lemma}\label{Asd} Seien $X$ eine simpliziale Menge und $n\geq 0$. Seien $i< j$ und $y, z \in X_{n+1}$ gegeben mit $a^\circ_i y = a^\circ _j z$. So gilt f"ur $w \pdef k^\circ_j y\in X_n$ sowohl $y = a^\circ_{j-1} w$ als auch $z = a^\circ_i w$. \end{Lemma} \begin{proof} Wir finden erst $ z = k^\circ_{j+1} a^\circ_j z = k^\circ_{j+1} a^\circ_i y = a^\circ_i k^\circ_j y = a^\circ_i w$ und dann $ a^\circ_{j-1} w = a^\circ_{j-1} k^\circ_j y = a^\circ_{j-1} k^\circ_i a^\circ_i k^\circ_j y = a^\circ_{j-1} k^\circ_i z = k^\circ_i a^\circ_j z = k^\circ_i a^\circ_i y = y$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Konfinalit"at unternichtausgearteter Simplizes}] Gegeben eine simpliziale Menge $X$ l"a"st sich nach \ref{SnS} jeder Simplex $[n]^\wedge\ra X$ auf genau eine Weise faktorisieren als $[n]^\wedge\sra [n']^\wedge\ra X$ mit dem zweiten Pfeil einem nichtausgearteten Simplex. Weiter l"a"st sich jeder Morphismus in $[\;]_X^\wedge$ als linke Vertikale einf"ugen in die untere H"alfte eines kommutativen Diagramms\begin{displaymath} \xymatrix{ [l] \ar[d] \ar@{->>}[r]&[l''']\ar@{^{(}->}[d] \ar@{->>}[r]&[l'']\ar@{^{(}->}[d] \ar@{->>}[r]&[l'] \ar[r]&X\ar@{=}[d]\\ [m] \ar[d] \ar@{->>}[r]&[m'']\ar@{^{(}->}[d] \ar@{->>}[r]&[m'] \ar[rr]&&X\ar@{=}[d]\\ [n] \ar@{->>}[r]&[n'] \ar[rrr]&&&X\\ } \end{displaymath} Ich habe die $\wedge$-Symbole der Koyonedaeinbettungen darin der "Ubersichtlichkeit halber nicht mehr notiert. Weiter meint $[m'']\pdef\op{im}([m]\ra [n'])$ das Bild mit der induzierten Anordnung durchnummeriert. Ist nun die linke obere Vertikale ein weiterer Morphismus in $[\;]_X^\wedge$, so k"onnen wir die untere H"alfte mit $[l'']\pdef\op{im}([l]\ra [m'])$ und $[l''']\pdef\op{im}([l]\ra [m''])$ erg"anzen zu dem vollen hier gezeigten kommutativen Diagramm von simplizialen Mengen. Mit Ausnahme der beiden "au"seren Vertikalen kommen darin nur Untersimplizes von nichtausgearteten oder kurz {\bf unternichtausgeartete}\index{unternichtausgeartet} Simplizes von $X$ vor. Das hinwiederum zeigt, da"s der Kolimes "uber welchen Funktor $F:[\;]_X^\wedge\ra \mathcal D$ auch immer sich nicht "andert, wenn wir $F$ auf die volle Unterkategorie $[\op{una}]_X^\wedge$ der unternichtausgearteten Simplizes von $X$ einschr"anken. Diese k"onnen also dieselbe Rolle spielen wie die konfinalen Systeme, die wir im Zusammenhang mit filtrierenden Kolimites eingef"uhrt hatten. Speziell liefert f"ur jede simpliziale Menge $X$ die offensichtliche Abbildung einen Hom"oomorphismus $$\op{col}_{[n]^\wedge\ra X\text{ una}}\Delta_n \sira |X|$$ Wir folgern eine Bijektion $\bigsqcup_{[n]^\wedge\ra X\text{ nichtausgeartet}}\Delta_n^\circ \sira |X|$ f"ur $\Delta_n^\circ\pdef \Delta_n\backslash \partial \Delta_n$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung zur topologischen Realisierung}] Die simpliziale Menge $X$ eines simplizial teilgeordneten abstrakten Simplizialkomplexes hat offensichtlich die Eigenschaft, da"s jeder Teilsimplex eines nichtausgearteten Simplex auch selbst nicht ausgeartet ist, da"s also in Formeln f"ur jede streng monoton wachsende Abbildung $b:[m]\ra [n]$ das zugeh"orige $X(b^\circ):X_n\ra X_m$ nichtausgeartete Simplizes zu nichtausgearteten Simplizes macht. In diesem Fall kann ich mir die topologische Realisierung noch gut vorstellen. Im zweidimensionalen Fall etwa mag man sich einige Dreiecksfl"achen mit durchnummerierten Ecken denken, parametrisiert durch eine Menge $X_2$, einige bepfeilte Geradensegmente, parametrisiert durch eine Menge $X_1$ und einige Punkte, parametrisiert durch eine Menge $X_0$, und dann Regeln, l"angs welcher Kanten die Dreiecksfl"achen zu verkleben sind und welche Kanten wir erst mal frei herumliegen lassen, und dann Regeln, welche Ecken nun noch zu identifizieren sind. Das ist allerdings schon allgemeiner als die topologische Realisierung eines abstrakten Simplizialkomplexes. Im Fall einer allgemeinen simplizialen Menge k"onnte es zus"atzlich passieren, da"s etwa der Rand einer Dreiecksfl"ache zu einem Punkt verklebt wird. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Bis hier ist dieser Abschnitt ungef"ahr sortiert.} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein K"ocher $\mathcal I$ und eine Darstellung $D:\mathcal I\ra \Delta$ k"onnen wir eine simpliziale Menge bilden, indem wir unsere Darstellung durch die Koyonedaeinbettung zu einer Darstellung in simplizialen Mengen $D^\wedge:\mathcal I\ra \Delta^\wedge$ machen und dazu den Kolimes $$X\pdef \op{col}{D^\wedge}$$ bilden. Auf diese Weise k"onnen wir etwa jedem Simpizialkomplex mit einer Anordnung auf seiner Eckenmenge eine simpliziale Menge zuordnen. Der Leser mag pr"ufen, da"s sie beide dieselbe topologische Realisierung haben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir betrachten einen K"ocher mit drei Ecken und vier Pfeilen, die alle von derselben Ecke ausgehen und von denen je zwei in jeder der zwei weiteren Ecken landen. Wir ordnen der Ausgangecke den Simplex $[0]$ zu und den beiden anderen Ecken den Simplex $[1]$ und den beiden Pfeilen zu einer der weiteren Ecken jeweils beide Morphismen $[0]\ra [1]$. Die zugeh"orige simpliziale Menge hat als topologische Realisierung die Figur $8$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir betrachten einen K"ocher mit zwei Ecken und drei Pfeilen, die alle von einer Ecke ausgehen und in der anderen Ecke landen. Wir ordnen der Ausgangecke den Simplex $[1]$ zu und der anderen Ecke den Simplex $[2]$ und den drei Pfeilen die drei Morphismen $[1]\ra [2]$. Die zugeh"orige simpliziale Menge hat als topologische Realisierung eine Sph"are. Wir zeigen hier nur, da"s \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Komposition $$\op{Top}\ra \op{Top}^\wedge= \op{Cat}(\op{Top}^{\op{opp}},\op{Ens}) \ra\op{Cat}(\Delta^{\op{opp}},\op{Ens})=\Delta^\wedge$$ der Yonedaeinbettung mit dem durch das Vorschalten von $A^{\op{opp}}: \Delta^{\op{opp}}\ra\op{Top}^{\op{opp}}$ gegebenen Funktor ordnet jedem topologischen Raum $X\in\op{Top}$ eine simpliziale Menge\index{S@${\op{S}}X$ singul"are Simplizes!als simpliziale Menge} $${\op{S}}X\pdef \hat X\circ A^{\op{opp}}$$ zu, die man die {\bf simpliziale Menge der singul"aren Simplizes von $X$} nennt. Per definitionem haben wir $({\op{S}}X)_n=\op{Top}(\Delta_n,X)$. %{\op{S}}_nX$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Bezug zu singul"aren Ketten}] In \ref{SXKet} haben wir f"ur jeden topologischen Raum\label{SXsimp} $X$ den Komplex der singul"aren Ketten ${\op{S}}_* X$ konstruiert und auch mit dem Symbol ${\op{S}} X$ abgek"urzt. Was im Einzelfall mit dem Symbol ${\op{S}} X$ gemeint ist, mu"s der Leser aus dem Kontext erschlie"sen. Wenn wir besonders betonen wollen, da"s ${\op{S}} X$ den Komplex und nicht die simpliziale Menge meint, verwenden wir die Notation ${\op{S}}_\ast X$. Per definitionem haben haben wir $${\op{S}}_q X =\DZ(({\op{S}} X)_q)$$ Die $q$-Ketten sind also die freie abelsche Gruppe "uber der Menge der $q$-Simplizes. Allgemeiner k"onnen wir einen Funktor $\op{Kom}:\Delta^\wedge\ra\op{Ket}$ erkl"aren, indem wir f"ur jede simpliziale Menge $S$ die abelschen Gruppen $(\op{Kom}(S))_q=\DZ S_q$ bilden und die Randoperatoren $\partial_q=\sum_{i=0}^q (-1)^i S(k_i^q)$ erkl"aren f"ur $k_i^q :[q-1]\ra [q]$ die in \ref{KaT} eingef"uhrte Kantenabbildung und $S(k_i^q):S_q\ra S_{q-1}$ die davon induzierte Abbildung und $S(k_i^q):\DZ S_{q}\ra \DZ S_{q-1}$ den davon induzierten Homomorphismus von abelschen Gruppen. Damit erhalten wir unseren Komplex der singul"aren Ketten als die Komposition ${\op{S}}_*=\op{Kom}\circ \op{S}$ von Funktoren $$\op{Top}\stackrel{\op{S}}{\lra}\Delta^\wedge\stackrel{\op{Kom}}{\lra} \op{Ket}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur jede Menge $I$ ist $[n]\mapsto \op{Ens}([n],I)$ eine simpliziale Menge. Ihre $n$-Simplizes sind $(n+1)$-Tupel von Elementen von $I$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur jede teilgeordnete Menge $I$ ist $[n]\mapsto \op{Ord}([n],I)$ eine simpliziale Menge. Ihre $n$-Simplizes sind monoton wachsende $(n+1)$-Tupel von Elementen von $I$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Im Fall eines simplizialen Simplex $[m]^\wedge$ ist die Identit"at auf $[m]^\wedge$ ein finales Objekt der Kategorie aller simplizialen Simplizes "uber $[m]^\wedge$. Unser Kolimes stimmt also mit dem Wert an dieser Stelle "uberein und wir erhalten einen nat"urlichen Hom"oomorphismus $$\Delta_m\sira |[m]^\wedge|$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben ein Simplizialkomplex $\mathcal K= (E,\mathcal K)$ mit einer Anordnung $\leq$ auf der Menge seiner Ecken konstruieren wir eine simpliziale Menge ${\op{S}}\mathcal K$, indem wir jedem $[n]$ die Menge derjenigen ordnungserhaltenden Abbildungen $[n]\ra E$ zuordnen, deren Bild zu $\mathcal K$ geh"ort. Jetzt mu"s ich mal pr"ufen, warum gilt $$|{\op{S}}\mathcal K|\sira \Delta(\mathcal K)$$ und mu"s dringend die Notation bereinigen. \end{Beispiel} \subsection{Kanten und Ausartungen, wohin?} \begin{Bemerkungl} Jede Kategorie $\mathcal C$ liefert eine simpliziale Menge ${\op{N}}\mathcal C=\op{Nerv}(\mathcal C)$, den {\bf Nerv von $\mathcal C$}\index{Nerv}, die jedem $[n]\in \Delta$ die Menge aller Sequenzen von $n$ hintereinander verkn"upfbaren Morphismen in $\mathcal C$ zuordnet und jeder ordnungserhaltenden Abbildung $[n]\ra[m]$ diejenige Abbildung zwischen den zugeh"origen Mengen von Sequenzen in der Gegenrichtung, die durch das Verkn"upfen und Einf"ugen von Identit"aten in der hoffentlich offensichtlichen Weise entsteht. Die geometrische Realisierung dieses Nerven hei"st der {\bf klassifizierende Raum\index{klassifizierender Raum} unserer Kategorie} und im Fall der Ein-Objekt-Kategorie $[G]$ eines Monoids der {\bf klassifizierende Raum unseres Monoids}. Jeder Funktor $F:\mathcal C\ra \mathcal D$ induziert einen Morphismus von simplizialen Mengen ${\op{N}}F:{\op{N}}\mathcal C\ra {\op{N}}\mathcal D$ und jede Transformation von Funktoren eine Homotopie -- das ist noch zu zeigen -- zwischen diesen stetigen Abbildungen. Insbesondere induziert jede "Aquivalenz von Kategorien eine Homotopie"aquivalenz zwischen den geometrischen Realisierungen ihrer Nerven. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die sogenannte {\bf Translationskategorie}\index{Translationskategorie} einer diskreten Gruppe $G$ habe Objekte $G$ und zwischen je zwei Objekten genau einen Morphismus. Sie ist "aquivalent zur terminalen Kategorie und hat folglich einen zusammenziehbaren Nerv. Die Operation von $G$ auf diesem Nerv (besser: seiner geometrischen Realisierung) ist nun topologisch frei und der Quotient danach ist der Nerv der Ein-Objekt-Kategorie $G$, der sogenannte {\bf klassifizierende Raum ${\op{B}}G$}.\index{B@${\op{B}}G$ klassifizierender Raum} Mit \ref{??} erhalten wir so eine "Aquivalenz zwischen der Kategorie der Darstellungen von $G$ und der Kategorie der lokal konstanten Garben auf ${\op{B}}G$. Nun kann eine lokal konstante Garbe auf ${\op{B}}G$ hinwiederum identifiziert werden mit einem, ja was nun? Jedem Simplex ordne abelsche Gruppe zu, jedem Zur"uckholen einen Isomorphismus, so da"s mehrfaches Zur"uckholen ok ist. \end{Beispiel} \subsection{Simpliziale R"aume} \begin{Bemerkungl} Ein Objekt von $\Delta{\op{Top}}$ nennt man einen {\bf simplizialen Raum}.\index{simplizial!Raum} Man verwechsle simpliziale R"aume nicht mit topologischen Realisierungen simplizialer Mengen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkt simplizialer R"aume}] Produkte und Koprodukte, ja beliebige Limites und Kolimites "uber Darstellungen eines K"ochers in $\Delta{\op{Top}}$ k"onnen \glqq in $\op{Top}$ berechnet werden\grqq, wie wir das in \eref{KLPG}{TD} bereits in viel gr"o"serer Allgemeinheit bemerkt hatten. So erhalten wir etwa ein Produkt $X\times Y$ von simplizialen topologischen R"aumen $X,Y$ durch die Vorschrift $$(X\times Y)_n\pdef X_n\times Y_n$$ und die offensichtlichen weiteren Daten. Insbesondere ist unsere volltreue Einbettung $\op{Top}\hra\Delta{\op{Top}}$ vertr"aglich mit Produkten. Das leere Produkt alias der finale simpliziale Raum ist der konstante Funktor $\op{stop}\pdef \op{s}(\op{top})$ mit dem einpunktigen Raum $\op{top}$ als Wert. \end{Bemerkungl} \subsection{Garben auf simplizialen R"aumen} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere an die Kategorie der Schnitte eines Funktors aus \ref{SchFU}. F"ur das folgende sehr hilfreich waren \cite{Weil3} und \cite{SaS}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garben auf simplizialen R"aumen}] Eine {\bf Garbe}\index{Garbe!auf simplizialem Raum} $\mathcal F$ auf einem simplizialen Raum $X:\Delta^{\op{opp}}\ra\op{Top}$ ist ein Schnitt $\mathcal F:\Delta^{\op{opp}}\ra\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}$ in die Opgarbenfaserung aus \eref{GaKoFa}{TG}. Wir setzen wieder $\mathcal F_n\pdef \mathcal F([n])$. Die $\mathcal F_n$ sind mithin Garben auf $X_n$ und f"ur alle $b:[m]\ra [n]$ monoton wachsend haben wir einen Opkomorphismus $\mathcal F(b^\circ):\mathcal F_n\ra \mathcal F_m$ "uber $X(b^\circ):X_n\ra X_m$ gegeben und das alles mit vielen Vertr"aglichkeiten. Noch genauer ausgeschrieben haben wir f"ur beliebige $U_n\co X_n$ und $V_m\co X_m$ und $b:[m]\ra [n]$ monoton wachsend mit $X(b^\circ)(U_n)\subset V_m$ Abbildungen $\mathcal F(b^\circ)^\circ:\mathcal F_m(V_m)\ra \mathcal F_n(U_n)$ mit den offensichtlichen Vertr"aglichkeiten. Genau wie wir das f"ur Garben auf gew"ohnlichen topologischen R"aumen in \ref{MFoloe} diskutiert haben, erhalten wir auch im simplizialen Kontext in offensichtlicher Weise eine Trennfaserung $$\op{Ens}_{\sslash \curlywedge\Delta{\op{Top}}}\ra \curlywedge\Delta{\op{Top}}$$ in die banale Trennkategorie der simplizialen R"aume.\label{MFolos} Wir nennen sie wieder die {\bf Mengengarbenopkotrennfaserung}.\index{Mengengarbenoptrennfaserung} Gegeben ein Morphismus $u:X\ra Y$ in $\Delta{\op{Top}}$ haben wir $(u^\dagger\mathcal G)_n= u^\dagger_n\mathcal G_n$ und $(u_\dagger\mathcal F)_n= u_{n\dagger}\mathcal F_n$. Der Trennr"uckzug berechnet sich genauso gradweise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Globale Schnitte auf simplizialen R"aumen}] Eine von einer Garbe $\mathcal F$ auf einem simplizialen Raum $X$ ausgehende Leertrennung ist insbesondere ein Tupel $(s_n)_{n\in\DN}$ von globalen Schnitten $s_n\in \mathcal F_n(X_n)$ mit $\mathcal F(b^\circ)^\circ:s_m\mapsto s_n\;\forall m,n,b:[m]\ra[n]$. Wir nennen so eine Leertrennung auch einen {\bf globalen Schnitt von $\mathcal F$}\index{globaler Schnitt!auf simplizialem Raum} und notieren die Menge dieser globalen Schnitte $$\Gamma\mathcal F=\Gamma(X;\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben eine Garbe $\mathcal F$ auf einem simplizialen Raum $X$ sind ihre globalen Schnitte der Egalisator $$\Gamma(X;\mathcal F)\ra \mathcal F_0(X_0)\rightrightarrows\mathcal F_1(X_1)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Hierbei ist zu verstehen, da"s die beiden Morphismen $[0]\rightrightarrows [1]$ zwei stetige Abbildungen $X_1\rightrightarrows X_0$ induzieren und die zugeh"origen Opkomorphismen hinwiederum die oben betrachteten Abbildungen $\mathcal F_0(X_0)\rightrightarrows\mathcal F_1(X_1)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $(s_n)_{n\in\DN}$ ein von globalen Schnitten $s_n\in \mathcal F_n(X_n)$ mit den zuvor geforderten Vertr"aglichkeiten. Offensichtlich wird so ein Tupel durch seinen ersten Eintrag $s_0\in \mathcal F_0(X_0)$ bereits festgelegt und dieser Eintrag mu"s im Egalisator\label{glSu} $\mathcal F_0(X_0)\rightrightarrows\mathcal F_1(X_1)$ liegen. Sei umgekehrt $s_0$ ein Element dieses Egalisators. Nach Annahme stimmen seine Bilder in $\mathcal F_1(X_1)$ unter den beiden Kantenabbildungen "uberein, wir nennen dies Element $s_1\in \mathcal F_1(X_1)$. Wegen der Relation $k_ik_i=k_{i+1}k_i$ der Kantenabbildungen stimmen weiter die Bilder von $s_1$ in $\mathcal F_2(X_2)$ unter allen drei Kantenabbildungen "uberein, wir nennen dies Element $s_2\in \mathcal F_2(X_2)$ und finden, indem wir induktiv immer so weitermachen, Schnitte $s_n\in \mathcal F_n(X_n)$ derart, da"s beliebige Kantenabbildungen jeweils $s_n$ auf $s_{n+1}$ schieben. Wegen der Relationen $a_ik_i=\op{id}$ schieben dann auch alle Ausartungen $s_{n+1}$ auf $s_n$. Da schli"slich alle Morphismen von $\Delta$ Verkn"upfungen von Kanten und Ausartungen sind, folgt das Lemma. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Garben auf konstanten simplizialen R"aumen}] Gegeben ein topologischer Raum $X\in\op{Top}$ ist eine Garbe auf dem zugeh"origen konstanten simplizialen Raum ${\op{s}}X$ dasselbe wie ein Funktor $\mathcal F:\Delta^{\op{opp}}\ra \op{Ens}_{\sslash X}$ alias ein Objekt $\mathcal F\in \Delta\op{Ens}_{\sslash X}$ alias ein Funktor $\mathcal F^{\op{opp}}:\Delta\ra \op{Ens}_{/ X}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennfaserung der abelschen Garben}] Analog konstruieren wir die Opgarbenkotrennfaserung $$\op{Ab}_{\sslash \curlywedge\Delta{\op{Top}}}\ra \curlywedge\Delta{\op{Top}}$$ der abelschen Garben. Man beachte, da"s unsere Fasern $\op{Ab}_{\sslash X}$ "uber einem simplizialen Raum $X$ opponiert sind zu den Kategorien von abelschen Garben, die man "ublicherweise betrachtet und die wir $\op{Ab}_{/X}$ notieren. Gegeben Morphismen $f_1:X\ra Y_1$ und $f_2:X\ra Y_2$ von simplizialen R"aumen und abelsche Garben $\mathcal G_i\in \op{Ab}_{\sslash Y_i}$ haben wir darin etwa f"ur den R"uckzug von $\mathcal G_1\curlywedge \mathcal G_2$ die Beschreibung $$(f_1,f_2)^*(\mathcal G_1\curlywedge \mathcal G_2) =f_1^*\mathcal G_1\otimes f_2^*\mathcal G_2$$ Das Tensorprodukt $\mathcal F\otimes \mathcal G$ zweier simplizialer abelscher Garben auf $X$ auf der linken Seite kann hinwiederum und mit anderer Verwendung des Index konstruiert werden durch die Vorschrift $(\mathcal F\otimes \mathcal G)_n=\mathcal F_n\otimes \mathcal G_n$ mit dem Tensorprodukt abelscher Garben auf $X_n$ rechts und den offensichtlichen weiteren Daten. \end{Bemerkungl} \subsection{Kohomologie simplizialer R"aume} \begin{Bemerkungl} Seien $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ und $\varphi: I\ra \mathscr{B}$ Funktoren. Wir betrachten die Kategorie $\op{Cat}_\varphi( I,\mathscr{C})$ der Schnitte von $p$ "uber $I$ und betrachten f"ur $i\in I$ den Restriktionsfunktor $\op{res}^i:\op{Cat}_\varphi( I,\mathscr{C})\ra \mathscr{C}_{\varphi(i)}$. Er hat den partiellen Linksadjungierten $\op{prod}_i$ gegeben durch $$(\op{prod}_iP)_j= \coprod_{g:i\ra j}\varphi(g)_\dagger P$$ wann immer alle entsprechenden Vorsch"ube und Koprodukte in den jeweiligen $\mathscr{C}_{\varphi(j)}$ existieren. Er hat dual den partiellen Rechtsadjungierten $\op{ind}_i$ gegeben durch $$(\op{ind}_iP)_k= \bigsqcap_{f:k\ra i}\varphi(f)^\dagger P$$ wann immer alle entsprechenden Produkte und R"uckz"uge in den jeweiligen $\mathscr{C}_{\varphi(k)}$ existieren. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben ein simplizialer Raum $X$ besitzt die Kategorie $\op{Ab}_{/X}$ genug Injektive und gleichbedeutend die Kategorie $\op{Ab}_{\sslash X}$ genug Projektive. \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben $n\in\DN$ ist der Funktor $\op{res}^{[n]}:\op{Ab}_{\sslash X}\ra \op{Ab}_{\sslash X_n}$ offensichtlich exakt. Sein Linksadjungierter $\op{prod}_{[n]}:\op{Ab}_{\sslash X_n}\ra \op{Ab}_{\sslash X}$ macht folglich Projektive zu Projektiven. Jedes Objekt ist nun offensichtlich ein Quotient eines geeigneten Koprodukts von Projektiven dieser Bauart. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein simplizialer Raum $X$ und darauf eine abelsche Garbe $\mathcal F$ setzen wir $${\op{H}}^q(X;\mathcal F)\pdef {\op{R}}^q\Gamma \mathcal F$$ f"ur $\Gamma: \op{Ab}_{/ X}\ra \op{Ab}$ der Funktor der globalen Schnitte und nennen diese abelsche Gruppe die {\bf $q$-te Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten in $\mathcal F$}. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf einem simplizialen Raum $X$ verstehen wir unter dem {\bf simplizialen \v{C}ech-Komplex von $\mathcal F$}\index{Cech-Komplex@\v{C}ech-Komplex!auf simplizialem Raum} den Komplex\label{CKF} $$\Gamma(X_0;\mathcal F_0)\ra\Gamma(X_1;\mathcal F_1)\ra \Gamma(X_2;\mathcal F_2)\ra\ldots$$ mit Rand $\partial^q\pdef \sum_{i=0}^q (-1)^ik_i^*$ der alternierenden Summe der R"uckz"uge l"angs der Kanten. Die Beschreibung \ref{glSu} der globalen Schnitte liefert einen nat"urlichen Isomorphismus $$\Gamma(X;\mathcal F)\sira\op{ker}\big(\Gamma(X_0;\mathcal F_0)\ra\Gamma(X_1;\mathcal F_1)\big)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{\v{C}ech-Komplex zu einer offenen "Uberdeckung}] Seien $Z$ ein topologischer Raum und $\mathcal U$ eine offene "Uberdeckung von $Z$ und $V\pdef \bigsqcup_{U\in\mathcal U} U$ die disjunkte Vereinigung der "uberdeckenden Mengen. Wir erhalten einen simplizialen Raum $X$ mit $$X_n=V\times_Z V\times_Z\ldots \times_Z V$$ den $n$-fach iterierten Faserprodukten\label{COoU} und dem \glqq Weglassen von Eintr"agen als Kanten und dem Verdoppeln von Eintr"agen als Ausartungen\grqq. Jede abelsche Garbe $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Z}$ induziert eine abelsche Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ durch $\mathcal F_n\pdef p^*_n\mathcal G$ f"ur $p_n:X_n\ra Z$ die Projektion. In dieser Situation liefert R"uckzug einen Isomorphismus $\Gamma(Z;\mathcal G)\sira \Gamma(X;\mathcal F)$ und der simpliziale \v{C}ech-Komplex von $\mathcal F$ ist isomorph zum \v{C}ech-Komplex $\check{\mathrm{C}}^{*} (\cal{U};\cal{G})$, wie er in \eref{CKo}{TG} eingef"uhrt wurde. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein simplizialer Raum $X$ wird unter $\op{res}^{[n]}$ die finale Garbe auf $X$ zur finalen Garbe auf $X_n$. Gegeben $\mathcal A\in\op{Ens}_{/X_n}$ eine Garbe auf $X_n$ liefert die Adjunktion $(\op{prod}_{[n]},\op{res}^{[n]})$ von Funktoren zwischen opponierten Garbenkategorien folglich eine nat"urliche Bijektion\label{glPRO} $$\Gamma(X_n;\mathcal A)\sira \Gamma(X;\op{prod}_{[n]}\mathcal A)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $X\in \Delta{\op{Top}}$ und $\mathcal A\in \op{Ab}_{\sslash X_n}$ ist der \v{C}ech-Komplex von $\op{prod}_{[n]}\mathcal A$ eine Aufl"osung von $\Gamma(X;\op{prod}_{[n]}\mathcal A)$ oder gleichbedeutend $\Gamma(X_n;\mathcal A)$.\label{exCC} \end{Lemma} \begin{proof} Schreibt man die Definitionen aus, so erkennt man, da"s unser Komplex isomorph ist zum exakten Komplex aus \ref{HKHKn} der nichtfallenden Tupel in der angeordneten Menge $[n]$ tensoriert "uber $\DZ$ mit $\Gamma(X_n;\mathcal A)$. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $X\in\Delta{\op{Top}}$ ein simplizialer Raum und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf $X$ gibt es eine Einbettung $\mathcal F\hra \mathcal I$ in eine injektive Garbe derart, da"s der \v{C}ech-Komplex eine Aufl"osung von $\Gamma(X;\mathcal I)$ ist.\label{speZI} \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Aus der Spektralsequenz \ref{SSsi} wird folgen, da"s der \v{C}ech-Komplex sogar f"ur jede injektive Garbe $\mathcal I$ auf einem simplizialen Raum eine Aufl"osung von $\Gamma(X;\mathcal I)$ ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir w"ahlen jeweils eine Einbettung $\mathcal F_n\hra \mathcal J_n$ in eine injektive Garbe auf $X_n$ und setzen $\mathcal I\pdef \bigsqcap \op{prod}_{[n]}\mathcal J_n$ und beachten \ref{exCC}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spektralsequenz der Kohomologie simplizialer R"aume}] Gegeben ein Komplex $$\ldots\ra \mathcal I^0\ra \mathcal I^1\ra \mathcal I^2\ra\ldots$$ von abelschen Garben auf einem simplizialen Raum $X$ erhalten wir einen Doppelkomplex $$\begin{array}{ccccccccc} && \vdots&&\vdots&&\vdots&\\ &&\ua&&\ua&&\ua&\\ \ldots&\ra& \Gamma (X_2;\mathcal I^0_2)&\rightarrow&\Gamma (X_2;\mathcal I^1_2)&\rightarrow&\Gamma (X_2;\mathcal I^2_2)&\ldots \\ && \ua&&\ua&&\ua&\\\ldots&\ra& \Gamma (X_1;\mathcal I^0_1)&\rightarrow&\Gamma (X_1;\mathcal I^1_1)&\rightarrow&\Gamma (X_1;\mathcal I^2_1)&\ldots \\ && \ua&&\ua&&\ua&\\ \ldots&\ra& \Gamma (X_0;\mathcal I^0_0)&\rightarrow&\Gamma (X_0;\mathcal I^1_0)&\rightarrow&\Gamma (X_0;\mathcal I^2_0)&\ldots \\ \\ \ldots&\ra& \Gamma (X;\mathcal I^0)&\rightarrow&\Gamma (X;\mathcal I^1)&\rightarrow&\Gamma (X;\mathcal I^2)&\ldots \end{array}$$ mit den simplizialen \v{C}ech-Komplexen \ref{CKF} in den Spalten und dem darunter angedeuteten horizontalen Kernkomplex. Ist $\mathcal F\hra \mathcal I^0\ra \mathcal I^1\ra \mathcal I^2\ra\ldots$ eine Aufl"osung durch injektive Garben mit in h"oheren Graden exaktem simplizialen \v{C}ech-Komplex, die es ja nach \ref{speZI} gibt, so liegt unser Doppelkomplex im ersten Quadranten und seine Spaltensequenzen sind exakt an allen Stellen au"ser auf der untersten Horizontale, und dort ist der Kernkomplex der im Diagramm dargestellte. Unsere allgemeinen Erkenntnisse zu ausgearteten Spektralsequenzen \ref{EAS} liefern damit einen Isomorphismus $${\op{H}}^n(X;\mathcal F)\sira \mathcal H^n\op{tot}(\Gamma (X_q;\mathcal I^p_q))$$ Andererseits zeigt das adjungierte Paar $(\op{res}^{[n]},\op{ind}_{[n]})$ zusammen mit der Exaktheit von $\op{ind}_{[n]}:\op{Ab}_{\sslash X_n}\ra\op{Ab}_{\sslash X}$, da"s $\op{res}^{[n]}$ in unseren opponierten Kategorien Projektive zu Projektiven macht und damit in unseren "ublichen Kategorien von abelschen Garben Injektive zu Injektiven. Die Kohomologie des $q$-ten Zeilenkomplexes ist folglich ${\op{H}}^*(X_q;\mathcal F_q)$ und unsere feineren Erkenntnisse zu Spektralsequenzen in \ref{grSS} liefern eine $E_1$-Spektralsequenz $${\op{H}}^p(X_q;\mathcal F_q)\RA {\op{H}}^n(X;\mathcal F)$$ im Sinne von \ref{rgim} mit Differential vom Bigrad $(0,1)$. Es ist leicht zu sehen, da"s diese Spektralsequenz eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus und funktoriell in $\mathcal F$. Im Spezialfall \ref{COoU} des \v{C}ech-Komplexes einer offenen "Uberdeckung erhalten wir so insbesondere unsere Erkenntnisse \ref{BKCe} zur Berechnung der Kohomologie durch azyklische "Uberdeckungen zur"uck. Ist speziell $\mathcal F=\mathcal I$ injektiv, so folgt daraus, da"s der simpliziale \v{C}ech-Komplex stets eine\label{SSsi} Aufl"osung von $\Gamma(X;\mathcal I)$ sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie konstanter simplizialer R"aume}] Seien $X\in\op{Top}$ ein topologischer Raum und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe. Bezeichnet ${\op{s}}X\in\Delta{\op{Top}}$ den zugeh"origen konstanten simplizialen Raum und ${\op{ss}}\mathcal F\in\op{Ab}_{/{\op{s}}X}$ die zugeh"orige konstante abelsche Garbe, zur Unterscheidung mit ${\op{s}}\mathcal F\in\Delta\op{Ab}_{/X}$, so finden wir f"ur das vertikale Differential unserer Spektralsequenz f"ur die Kohomologie simplizialer R"aume \ref{SSsi} abwechselnd Null und die Identit"at. Damit verschwinden die $E_2$-Terme f"ur $q>0$ und wir erhalten Isomorphismen $${\op{H}}^n(X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^n({\op{s}}X;{\op{ss}}\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Beispiel f"ur kohomologischen Abstieg}] Gegeben topologische R"aume $X,Y$ erinnern wir die Notation $\mathcal C(X,Y)$ f"ur die Menge der stetigen Abbildungen mit der kompakt-offenen Topologie. Gegeben ein topologischer Raum $X$ betrachten wir den simplizialen Raum $X^{[*]}$ gegeben durch $$(X^{[*]})_n\pdef X^{[n]}= \mathcal C([n],X)=X^{\times(n+1)}$$ und den durch Vorschalten von monoton wachsenden Abbildungen $[m]\ra[n]$ gegebenen stetigen Abbildungen $X^{[n]}\ra X^{[m]}$. Unter der Annahme $X\neq\emptyset$ zeigen wir $${\op{H}}^0(X^{[*]})=\DZ\quad\text{ und }\quad{\op{H}}^n(X^{[*]})=0\text{ f"ur }n>0.$$ Um das einzusehen betrachten wir f"ur alle $p$ den Komplex $$\ldots\ra 0\ra {\op{H}}^p(\op{top})\ra {\op{H}}^p(X^{[0]})\ra {\op{H}}^p(X^{[1]})\ra {\op{H}}^p(X^{[2]}) \ra\ldots$$ mit Randabbildungen $\partial^q\pdef \sum_{i=0}^q (-1)^ik_i^*$ der alternierenden Summe der R"uckz"uge l"angs der Kanten f"ur $q\geq 0$ und dem R"uckzug unter der konstanten Abbildung als $\partial^{-1}$. Verstehen wir $\op{top}=X^{[-1]}$ als das leere Produkt, so ist das nicht einmal ein Sonderfall. W"ahlen wir nun einen Punkt $c\in X$ und bezeichnen mit $c:X^{[q-1]}\ra X^{[q]}$ das Davorschreiben von $c$, so finden wir $k_0 c=\op{id}$ und $k_{i+1}c=ck_{i}$ f"ur $i\geq 0$ und eine kurze Rechnung zeigt $c^\ast \partial +\partial c^*=\op{id}$ an jeder Stelle unseres Komplexes. Das sagt nun aber, da"s unser Komplex exakt ist. F"ur die $E_2$-Terme der Spektralsequenz \ref{SSsi} f"ur die Kohomologie des simplizialen Raums $X^{[*]}$ ergibt sich damit $E_2^{0,0}=\DZ$ und $E_2^{p,q}=0$ sonst. Das zeigt die Behauptung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Eigentlich scheint es mir richtiger, den leeren Raum zu erlauben und $[-1]=\emptyset$ ebenfalls zu erlauben und die Aussage so zu formulieren, da"s immer Null rauskommt au"ser im Fall des leeren Raums, vergleiche \eref{VCKk}{TG}. \end{Bemerkungl} \subsection{"Aquivariante Garben} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ operiert $G$ von rechts auf dem simplizialen Raum $G^{[*]}$ vermittels der Vorschrift $(g_0,\ldots,g_n)g=(g_0g,\ldots,g_ng)$ f"ur $(g_0,g_1,\ldots,g_n)\in G^{[n]}$ und $g\in G$. Gegeben ein $G$-Raum $G\acts X$ bilden wir nun den simplizialen Raum $$G^{[*]}\times_{/G}X$$ mit $(G^{[*]}\times_{/G}X)_n\pdef G^{[n]}\times_{/G}X$. Unter den Hom"oomorphismen $G^{[n]}\times_{/G}X\sira G^{\times n}\times X$ gegeben durch $$(g_0,g_1,g_2,\ldots,g_n,x)\mapsto (g_0g_1^{-1},g_1g_2^{-1},\ldots,g_{n-1}g_n^{-1},g_nx)$$ entspricht die nullte Kantenabbildung links dem Weglassen des ersten Eintrags rechts und die weiteren Kantenabbildungen links jeweils dem Zusammenmultiplizieren zweier benachbarter Eintr"age rechts. In den tiefsten Graden haben wir insbesondere\label{siGR} $k_0,k_1:G\times X\ra X$ mit $k_0(g,x)=x$ und $k_1(g,x)=gx$ sowie $k_0,k_1,k_2:G\times G\times X\ra G\times X$ mit $k_0(g,h,x)=(h,x)$ und $k_1(g,h,x)=(gh,x)$ und $k_2(g,h,x)=(g,hx)$. Weiter haben wir $a_0:X\ra G\times X$ gegeben durch $a_0(x)=(1,x)$. Insgesamt erhalten wir so einen Isomorphismus von simplizialen R"aumen $$G^{[*]}\times_{/G}X\sira G^{\times *}\times X$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $G$ eine topologische Gruppe und $G\acts X$ ein $G$-Raum. Jede $G$-"aquivariante Garbe $\mathcal F$ auf $X$ liefert einen kartesischen Schnitt $\Delta^{\op{opp}}\ra \op{Ens}_{/{\op{Top}}}$ der Garbenfaserung "uber unserem simplizialen Raum $G^{[*]}\times_{/G}X$ mit den jeweiligen \'etalen R"aumen $G^{[n]}\times_{/G}\bar{\mathcal F}$ "uber $G^{[n]}\times_{/G} X$. Nach \ref{GafKO} und \ref{fop} ist das auch dasselbe wie ein kartesischer Schnitt $\Delta^{\op{opp}}\ra \op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}$ der Opgarbenfaserung "uber $G^{[*]}\times_{/G} X$. A forteriori folgt dasselbe f"ur den dazu isomorphen simplizialen Raum $G^{\times *}\times X$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Garben}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und\label{aeqq} $G\acts X$ ein $G$-Raum. Wir zeigen, da"s jeder kartesische Schnitt von $G^{\times *}\times X$ von einer "aquivarianten Garbe herkommt und da"s wir so eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Ens}_{/G{\sacts}X}\sirra \op{Cat}^{\op{kart}}_{G^{\times *}\times X}(\Delta^{\op{opp}},\op{Ens}_{/{\op{Top}}})$$ erhalten. Gehen wir also von einem kartesischen Schnitt rechts aus. Bezeichne $\bar{\mathcal F}$ den zugeh"origen \'etalen Raum "uber $X$. Unsere Annahmen liefern Hom"oomorphismen der zugeh"origen \'etalen R"aume "uber $G^{\times n}\times X$ mit $G^{\times n}\times \bar{\mathcal F}$ derart, da"s die nullte Kantenabbildung jeweils das Weglassen des ersten Eintrags wird. Nun setzen wir $$g*f\pdef k_1(g,f)$$ Die Beziehung $k_0k_0=k_0k_1: G\times G\times \bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal F}$ zusammen mit der Vertr"aglichkeit mit den Projektionen liefert dann $k_1(g,h,f)=(gh,f)$. Die Beziehung $k_0k_2=k_1k_0: G\times G\times \bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal F}$ zusammen mit der Vertr"aglichkeit mit den Projektionen liefert weiter $k_2(g,h,f)=(g,h*f)$. Die Beziehung $k_1k_1=k_1k_2: G\times G\times \bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal F}$ zusammen mit der Vertr"aglichkeit mit den Projektionen liefert dann $$(gh)*f=g*(h*f)$$ Andererseits sind kartesische Morphismen "uber der Identit"at Isomorphismen und so folgt, da"s $1*$ ein Automorphismus von $\bar{\mathcal F}$ sein mu"s. Damit haben wir schon einmal einen Funktor in die Gegenrichtung konstruiert. Warum das wirklich ein quasiinverser Funktor ist, will ich jetzt nicht weiter argumentieren. %und $k_1a_0=k_0a_0:X\ra X$ liefert $1*f=f$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Garben, Variante}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum. Wir betrachten die Abbildungen\label{aeqV} $k_0,k_1:G\times X\ra X$ mit $k_0(g,x)=x$ und $k_1(g,x)=gx$ sowie $k_0,k_1,k_2:G\times G\times X\ra G\times X$ mit $k_0(g,h,x)=(h,x)$ und $k_1(g,h,x)=(gh,x)$ und $k_2(g,h,x)=(g,hx)$ wie in \ref{siGR}. Jeder "aquivarianten Garbe $\mathcal F$ auf $G{\ssearrow}X$ ordnen wir einen Isomorphismus $$s=s_{\mathcal F}:k_0^*\mathcal F\sira k_1^*\mathcal F$$ von Garben in $\op{Ens}_{G\times X}$ zu derart, da"s das Sechseck \begin{displaymath} \xymatrix{ k_0^*k_1^*\mathcal F \ar@{=}[d] &k_0^*k_0^*\mathcal F \ar@{=}[r]\ar[l]& k_1^*k_0^*\mathcal F\ar[d]\\ k_2^*k_0^*\mathcal F\ar[r] & k_2^*k_1^*\mathcal F&k_1^*k_1^*\mathcal F\ar@{=}[l] } \end{displaymath} mit $k_i^*(s)$ als Pfeilen und den jeweiligen Identifikationen der Faserung als Gleichheiten kommutiert. Explizit haben unsere Garben $k^*_0\mathcal F,k^*_1\mathcal F$ bei $(g,x)$ die Halme $(k^*_0\mathcal F)_{(g,x)}=\mathcal F_x$ und $(k^*_1\mathcal F)_{(g,x)}=\mathcal F_{gx}$ und unser Isomorphismus $s$ wird auf den Halmen gegeben durch die Operation von $G$ auf $\bar{\mathcal F}$. Um die Beziehung zur Beschreibung als kartesischer Schnitt in \ref{aeqq} herzustellen, gehen wir von einer Garbe $\mathcal F_1 \in\op{Ens}_{G\times X}$ mit kartesischen Morphismen $k_0, k_1:\mathcal F_1\ra \mathcal F$ "uber $k_0, k_1:G\times X\ra X$ aus. Das bedeutet, da"s wir ausgezeichnete Isomorphismen $\mathcal F_1\sira k_0^*\mathcal F$ und $\mathcal F_1\sira k_1^*\mathcal F$ zur Verf"ugung haben, und unser $s$ wird dann dadurch erkl"art, da"s es diese zu einem kommutativen Dreieck erg"anzt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathscr C\ra\mathscr B$ ein Faserfunktor "uber einer Basis mit endlichen Produkten. Gegeben ein Gruppenobjekt $G$ der Basis, das auf einem weiteren Objekt $X$ der Basis operiert, erkl"aren wir ein {\bf einfach $G$-"aquivariantes Objekt "uber $X$} als ein Paar $(\mathcal F,s_{\mathcal F})$ bestehend aus einem Objekt $\mathcal F\in\mathscr C_X$ der Faser mit einem Isomorphismus $$s_{\mathcal F}:k_0^*\mathcal F\sira k_1^*\mathcal F$$ in $\mathscr C_{G\times X}$ f"ur $k_0,k_1:G\times X\ra X$ die Projektion und Operation wie in \ref{aeqV} derart, da"s das Sechseck aus \ref{aeqV} kommutiert. Diese Paare bilden die Objekte einer Kategorie $\mathscr C_{G{\ssearrow}X}$ mit Morphismen $$\mathscr C_{G{\ssearrow}X}(\mathcal F,\mathcal G)\pdef\{\varphi\in \mathscr C_{X}(\mathcal F,\mathcal G)\mid k_1^*(\varphi)\circ s_{\mathcal F}=s_{\mathcal G}\circ k_0^*(\varphi)\}$$ Im Vorhergehenden haben wir im Fall der Garbenfaserung $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}$ eine "Aquivalenz unserer Kategorie "aquivarianter Garben aus \ref{gAQm} mit dieser Kategorie einfach "aquivarianter Objekte konstruiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $k$ ein algebraisch abgeschlossener K"orper und $\op{affVar}_k$ die Kategorie der affinen $k$-Variet"aten. In \ref{RaR} oder besser \ref{GAQK} haben wir gesehen, da"s der Funktor der globalen regul"aren Funktionen eine "Aquivalenz $\op{affVar}_k\sirra (\op{affKring}^k)^{\op{opp}}$ zwischen der Kategorie der affinen $k$-Variet"aten und der Opponierten der Kategorie der affinen alias ringendlichen und nilpotentfreien $k$-Kringe induziert. $\op{Mod}_{/{\op{Kring}^k}}\ra $ \ref{RatD} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathscr C\ra\mathscr B$ ein Faserfunktor "uber einer Basis mit endlichen Produkten. Man erkl"art m"uhelos R"uckz"uge einfach "aquivarianter Objekte unter Morphismen $G{\ssearrow}X\ra H{\ssearrow}Y$ und zeigt, da"s man so wieder eine Faserung erh"alt und da"s f"ur die triviale Gruppe das Vergessen des Strukturmorphismus eine "Aquivalenz $\mathscr C_{1{\ssearrow} Z}\sirra \mathscr C_{ Z}$ liefert. Damit das alles aber zu etwas n"utze ist, mu"s man zumindest zeigen, da"s f"ur $Z\in\mathscr B$ und die $G$-Wirkung nur auf dem ersten Faktor von $G\times Z$ der R"uckzug eine "Aquivalenz $\mathscr C_{1{\ssearrow} Z}\sirra \mathscr C_{G{\ssearrow}(G\times Z)}$ induziert. Das gilt im allgemeinen keineswegs und hier mu"s die genaue Untersuchung der speziellen Situation einsetzen. \end{Bemerkungl} \subsection{Kohomologischer Abstieg} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Direktes Bild auf konstanten Raum}] Zun"achst verallgemeinern wir unsere Beschreibung \ref{glSu} der globalen Schnitte auf den relativen Fall. Seien $S$ ein topologischer Raum und $X\in \Delta{\op{Top}}_S\pdef \Delta(\op{Top}_S)$ ein simpliziales Objekt in topologischen R"aumen "uber $S$. Die R"uckz"uge unter $a_n:X_n\ra S$ liefern zusammen einen Funktor $a^*:\op{Ens}_{/ S}\ra \op{Ens}_{/ X}$. Sein Rechtsadjungierter $a_*$ kann beschrieben werden durch die Vorschrift, da"s $$a_*\mathcal F\ra (a_{0*}\mathcal F_0\rightrightarrows a_{1*}\mathcal F_1)$$ der Egalisator ist.\label{glSuN} Um das einzusehen, arbeite ich lieber mit der Opgarbenfaserung, deren Fasern opponierte Garbenkategorien sind, und k"onnte sogar mit einer beliebigen Bifaserung arbeiten. In dieser Formulierung gilt es dann, den Rechtsadjungierten von $a^*:\op{Ens}_{\sslash S}\ra \op{Ens}_{\sslash X}$ zu bestimmen. Zun"achst einmal haben wir nat"urliche Bijektionen $$\op{Ens}_{\sslash X}(\mathcal F,a^*\mathcal G)\sira \Delta\op{Ens}_{\sslash S}(a_{**}\mathcal F_*,{\op{s}}\mathcal G)$$ f"ur $a_{**}\mathcal F_*\in \Delta\op{Ens}_{\sslash S}$ gegeben durch die Garben $a_{n*}\mathcal F_n\in \op{Ens}_{\sslash S}$ mit den offensichtlichen Morphismen dazwischen. Weiter ist aber klar, da"s f"ur eine beliebige Kategorie $\mathcal C$ und $\mathcal E\in \Delta\mathcal C$ und $\mathcal G\in \mathcal C$ im Diagramm $$\Delta\mathcal C(\mathcal E,{\op{s}}\mathcal G) \ra\big(\mathcal C(\mathcal E_0,\mathcal G) \rightrightarrows\mathcal C(\mathcal E_1,\mathcal G)\big)$$ der erste Pfeil ein Egalisator ist. Die Behauptung folgt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $S$ ein topologischer Raum und $X\in\Delta{\op{Top}}_S$ ein simplizialer Raum "uber $S$. Die Adjunktionen $(\op{res}^{[n]},\op{prod}_{[n]})$ und $(a^*,a_*)$ von Funktoren zwischen Garbenkategorien liefern zusammen eine Adjunktion $(a^*_n,a_*\op{prod}_{[n]})$ und damit eine Isotransformation $$a_{n*}\siRa a_*\op{prod}_{[n]}$$ Im Fall eines einpunktigen Raums $S$ erhalten wir unsere Bijektion $\Gamma(X_n;\mathcal A)\sira \Gamma(X;\op{prod}_{[n]}\mathcal A)$ aus \ref{glPRO} zur"uck. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $S$ ein topologischer Raum und $X\in\Delta{\op{Top}}_S$ ein simplizialer Raum "uber $S$. Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ verstehen wir unter dem {\bf relativen \v{C}ech-Komplex von $\mathcal F$}\index{Cech-Komplex@\v{C}ech-Komplex!auf simplizialem Raum!relativer} den Komplex\label{CKFN} $$a_{0*}\mathcal F_0\ra a_{1*}\mathcal F_1\ra a_{2*}\mathcal F_2\ra\ldots$$ mit Rand $\partial^q\pdef \sum_{i=0}^q (-1)^ik_i^*$ der alternierenden Summe der R"uckz"uge l"angs der Kanten, interpretiert als Basiswechselmorphismen. Die Beschreibung \ref{glSuN} von $a_*\mathcal F$ liefert einen nat"urlichen Isomorphismus $$a_*\mathcal F\sira\op{ker}(a_{0*}\mathcal F_0\ra a_{1*}\mathcal F_1)$$ Im Fall des einpunktigen Raums $S$ erhalten wir unseren \v{C}ech-Komplex \ref{CKF} zur"uck. \end{Bemerkungl} %\begin{Definition} Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und % $A\in\mathcal A$ ein Objekt. eine Aufl"osung % $A\hra I^\lhd$ von $A$ hei"st eine % {\bf Homotopieaufl"osung},\index{Homotopieaufl"osung} wenn % der Komplex $A\ra I^\lhd$ nullhomotop ist. %\end{Definition} \begin{Lemma} Seien $S$ ein topologischer Raum und $X\in\Delta{\op{Top}}_S$ ein simplizialer Raum "uber $S$. Gegeben $\mathcal A\in \op{Ab}_{\sslash X_n}$ ist der relative \v{C}ech-Komplex von $\op{prod}_{[n]}\mathcal A$ eine Aufl"osung von $a_*\op{prod}_{[n]}\mathcal A$ oder gleichbedeutend $a_{n*}\mathcal A$.\label{exCCN} \end{Lemma} \begin{proof} Schreibt man die Definitionen aus, so erkennt man, da"s unser Komplex isomorph ist zum exakten Komplex aus \ref{HKHKn} der nichtfallenden Tupel in der angeordneten Menge $[n]$ tensoriert "uber $\DZ$ mit $a_{n*}\mathcal A$. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $S$ ein topologischer Raum und $X\in\Delta{\op{Top}}_S$ ein simplizialer Raum "uber $S$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf $X$. So gibt es eine Einbettung $\mathcal F\hra \mathcal I$ in eine injektive Garbe mit der Eigenschaft, da"s der relative \v{C}ech-Komplex eine Aufl"osung von $a_*\mathcal I$ ist.\label{speZIN} \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Aus der Spektralsequenz \ref{ssIN} wird folgen, da"s der relative \v{C}ech-Komplex f"ur jede injektive Garbe $\mathcal I$ auf einem simplizialen Raum $X$ "uber $S$ eine Aufl"osung von $a_*\mathcal I$ ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir w"ahlen jeweils eine Einbettung $\mathcal F_n\hra \mathcal J_n$ in eine injektive Garbe auf $X_n$ und setzen $\mathcal I\pdef \bigsqcap \op{prod}_{[n]}\mathcal J_n$ und wenden \ref{exCCN} an. Man beachte, da"s ein Produkt exakter Garbensequenzen zwar nicht exakt zu sein braucht, da"s aber jede gegen die Pfeile beschr"ankte exakte Sequenz injektiver Garben nullhomotop ist und ein Produkt nullhomotoper Sequenzen wieder nullhomotop sein mu"s. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spektralsequenz der relativen Kohomologie simplizialer R"aume}] Seien $S$ ein topologischer Raum und $X\in\Delta{\op{Top}}_S$ ein simplizialer Raum "uber $S$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf $X$. Ist $$\mathcal F\hra \mathcal I^0\ra \mathcal I^1\ra \mathcal I^2\ra\ldots$$ eine Aufl"osung durch injektive Garben mit der in \ref{speZIN} beschriebenen zus"atzlichen Eigenschaft, so erhalten wir einen Doppelkomplex $$\begin{array}{cccccccccc} \vdots&& \vdots&&\vdots&&\vdots&&\\ \ua && \ua&&\ua&&\ua&&\\ a_{2*}\mathcal F_2 && a_{2*}\mathcal I^0_2&\rightarrow&a_{2*}\mathcal I^1_2&\rightarrow&a_{2*}\mathcal I^2_2&\ra&\ldots\\ \ua && \ua&&\ua&&\ua&&\\ a_{1*}\mathcal F_1&&a_{1*}\mathcal I^0_1&\rightarrow&a_{1*}\mathcal I^1_1&\rightarrow&a_{1*}\mathcal I^2_1&\ra&\ldots\\ \ua && \ua&&\ua&&\ua&&\\ a_{0*}\mathcal F_0 && a_{0*}\mathcal I^0_0&\rightarrow&a_{0*}\mathcal I^1_0&\rightarrow&a_{0*}\mathcal I^2_0&\ra&\ldots\\ \\ && a_*\mathcal I^0&\rightarrow&a_*\mathcal I^1&\rightarrow&a_*\mathcal I^2&\ra&\ldots \end{array}$$ Die Spaltensequenzen sind exakt an allen Stellen au"ser auf der untersten Horizontale, und dort ist der Kernkomplex der im Diagramm dargestellte. Unsere allgemeinen Erkenntnisse zu ausgearteten Spektralsequenzen \ref{EAS} liefern damit Isomorphismen ${\op{R}}^na_*\mathcal F\sira \mathcal H^n\op{tot}(a_{q*}\mathcal I^p_q)$ und einen Quasiisomorphismus $$({\op{R}}a_*)\mathcal F\qri \op{tot}(a_{q*}\mathcal I^p_q)$$ und eine Kettenabbildung $(a_{q*}\mathcal F_q)\qri \op{tot}(a_{q*}\mathcal I^p_q)$. Andererseits zeigt das adjungierte Paar $(\op{res}^{[n]},\op{ind}_{[n]})$ zusammen mit der Exaktheit von $\op{ind}_{[n]}:\op{Ab}_{\sslash X_n}\ra\op{Ab}_{\sslash X}$, da"s $\op{res}^{[n]}$ in unseren opponierten Kategorien Projektive zu Projektiven macht und damit in unseren "ublichen Kategorien von abelschen Garben Injektive zu Injektiven. Die Kohomologie des $q$-ten Zeilenkomplexes ist also $({\op{R}}^*a_{q*})\mathcal F_q$ und unsere feineren Erkenntnisse zu Spektralsequenzen in \ref{grSS} liefern eine $E_1$-Spektralsequenz\label{ssIN} $$({\op{R}}^p a_{q*})\mathcal F_q\RA ({\op{R}}a_*)\mathcal F$$ im Sinne von \ref{rgim} mit Differential vom Bigrad $(0,1)$. Es ist leicht zu sehen, da"s diese Spektralsequenz eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus und funktoriell in $\mathcal F$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Beispiel f"ur kohomologischen Abstieg}] Gegeben eine stetige Abbildung $X\ra S$ betrachten wir den simplizialen Raum $X^{[*]}_S$ gegeben durch $(X^{[*]}_S)_n\pdef X^{[n]}_S= X\times_S X\times_S\ldots\times_SX$ mit $n+1$ Faktoren und den durch Vorschalten von monoton wachsenden Abbildungen $[m]\ra[n]$ gegebenen stetigen Abbildungen $X^{[n]}_S\ra X^{[m]}_S$. Unter der Annahme, da"s $X\ra S$ lokal Schnitte besitzt, zeigen wir, da"s f"ur alle $\mathcal G\in \op{Der}^+(\op{Ab}_{/S})$ die Einheit der Adjunktion einen Isomorphismus $$\mathcal G\sira ({\op{R}}a_*)(a^*\mathcal G)$$ induziert. Man zieht sich zun"achst unschwer auf den Fall zur"uck, da"s $X\ra S$ sogar einen globalen Schnitt besitzt. Weiter zieht sich unschwer auf den Fall $\mathcal G\in \op{Der}^{\op{b}}(\op{Ab}_{/S})$ zur"uck und dann mit d\'evissage weiter auf den Fall $\mathcal G\in \op{Ab}_{/S}$ einer echten Garbe. Jetzt betrachten wir f"ur alle $p$ den Komplex $$ 0\ra ({\op{R}}^p{\op{id}}_*)(\mathcal G)\ra ({\op{R}}^pa_{0*})(a_0^*\mathcal G)\ra ({\op{R}}^pa_{1*})(a_1^*\mathcal G)\ra ({\op{R}}^pa_{2*})(a_2^*\mathcal G) \ra\ldots$$ mit Randabbildungen $\partial^q\pdef \sum_{i=0}^q (-1)^ik_i^*$ der alternierenden Summe der R"uckz"uge l"angs der Kanten f"ur $q\geq 0$ und dem R"uckzug unter der konstanten Abbildung als $\partial^{-1}$. Verstehen wir $S=X^{[-1]}_S$ als das leere Faserprodukt, so ist das nicht einmal ein Sonderfall. W"ahlen wir nun einen Schnitt $c:S\ra X$ und bezeichnen mit $c:X^{[q-1]}_S\ra X^{[q]}_S$ das Davorschreiben von $c$, so finden wir $k_0 c=\op{id}$ und $k_{i+1}c=ck_{i}$ f"ur $i\geq 0$ und eine kurze Rechnung zeigt $c^\ast \partial +\partial c^*=\op{id}$ an jeder Stelle unseres Komplexes. Das sagt nun aber, da"s unser Komplex exakt ist. F"ur die $E_2$-Terme der Spektralsequenz \ref{ssIN} f"ur die relative Kohomologie des simplizialen Raums $X^{[*]}_S$ mit Koeffizienten in $a^*\mathcal G$ ergibt sich damit $E_2^{0,0}=\mathcal G$ und $E_2^{p,q}=0$ sonst. Das zeigt die Behauptung. Genauer zeigt es, da"s in diesem Fall die senkrechte Kernsequenz auch quasiisomorph in den Totalkomplex geht, und dann mu"s man noch durchdenken, warum die Verkn"upfung $$\mathcal G\qri (a_{q*}a_q^*\mathcal G)\qri \op{tot}(a_{q*}\mathcal I^p_q) \qli ({\op{R}}a_*)(a^*\mathcal G)$$ wirklich die Einheit der Adjunktion ist. Ich gebe zu, da"s ich das noch nicht vollst"andig durchdacht habe. \end{Beispiel} % -------------------------------------------------- % \begin{Bemerkungl} % Sei $S$ ein topologischer Raum. Gegeben ein simplizialer Raum % $X\in\Delta{\op{Top}}_S$ "uber $S$ und $j:U\hra S$ die Einbettung einer % offenen Teilmenge und $\mathcal G$ eine Garbe auf $X$ haben wir % nat"urliche Bijektionen\label{OWNN} % $$\Gamma(U;a_*\mathcal G)\sira % \op{Ens}_{/S}(j_{[!]}\op{ens}_{/U},a_*\mathcal G) % \sira % \op{Ens}_{/S}(a^*j_{[!]}\op{ens}_{/U},\mathcal G)$$ % nach \ref{SchMo} und der Adjunktion $(a^*,a_*)$. Auf $X_n$ finden wir % mit \'etalem Basiswechsel \ref{OBW} eine Bijektion % $a_n^*j_{[!]}\op{ens}_{/U}\sira j_{n[!]}\op{ens}_{/U_n}$ f"ur % $U_n\pdef a_n^{-1}(U)$ und $j_n:U_n\hra X_n$ die Einbettung. % Speziell finden wir f"ur $\mathcal A\in \op{Ens}_{/X_n}$ Bijektionen % $\Gamma(U;a_* \op{prod}_{[n]}\mathcal A)\sira\Gamma(U_n;\mathcal A)$ und insgesamt einen Isomorphismus % $$a_*\op{prod}_{[n]}\mathcal A\sira a_{n*}\mathcal A$$ % % \end{Bemerkungl} \subsection{Augmentierung, sinnvoll?} \begin{Bemerkungl} Unter einem {\bf augmentierten simplizialen Raum}\index{simplizialer Raum!augmentierter} verstehen wir einen Funktor $X:\tilde\Delta^{\op{opp}}\ra\op{Top}$. Wie zuvor erkl"aren wir auch auf so einem augmentierten simplizialen Raum die Kategorie der Mengengarben $\op{Ens}_{/ X}$ und deren finales Objekt $\op{ens}_{/X}$. F"ur die globalen Schnitte erhalten wir im augmentierten Fall jedoch abweichend $$\Gamma(X;\mathcal F)\pdef \op{Ens}_{/ X}(\op{ens}_{/X},\mathcal F) \sira \Gamma(X_{-1};\mathcal F_{-1})$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Wohin? Sollte Abschnitt nach Olsson} \begin{Bemerkungl} NOCH BESSER EINBAUEN. Wir betrachten die Unterkategorie $\Delta^+$ von $\Delta$ mit nur den streng monoton wachsenden Abbildungen als Morphismen. Jeder simpliziale Raum $X:\Delta^{\op{opp}}\ra \op{Top}$ restringiert zu einem Funktor $X^+:(\Delta^+)^{\op{opp}}\ra \op{Top}$. Wir setzen $\Delta^+\op{Top}\pdef \op{Cat}((\Delta^+)^{\op{opp}},\op{Top})$ und erkl"aren abelsche Garben auf Objekten wie zuvor und unsere Restriktionen $\op{res}^{[n]}$ faktorisieren in eine Verkn"upfung von exakten Funktoren $$\op{Ab}_{\sslash X}\ra \op{Ab}_{\sslash X^+}\ra \op{Ab}$$ Den Ersten dieser Funktoren notiere ich $\op{res}$ und den Zweiten $\op{res}^{[n]}_+$. Sowohl $\op{res}^{[n]}$ als auch $\op{res}^{[n]}_+$ sind exakt und haben einen exakten Rechtsadjungierten $\op{ind}_{[n]}$ beziehungsweise $\op{ind}_{[n]}^+$. Insbesondere machen auch $\op{res}^{[n]}$ und $\op{res}^{[n]}_+$ Projektive zu Projektiven. Der Funktor der globalen Schnitte hat im Fall von Garben auf einem Objekt von $\Delta^+\op{Top}$ dieselbe Beschreibung als Egalisator wie im Fall eines simplizialen Raums. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $X\in \Delta^+\op{Top}$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{\sslash X_n}$ ist der Komplex $$\Gamma(X_n;\mathcal F)\ra \Gamma(X_0;\op{prod}^+\mathcal F)\ra \Gamma(X_1;\op{prod}^+\mathcal F)\ra \ldots$$ exakt mit $\Gamma(X_q;\op{prod}^+\mathcal F)\pdef\Gamma(X_q;\op{res}^{[q]}_+\op{prod}_{[n]}^+\mathcal F)$ und Rand $\partial^q\pdef \sum_{i=0}^q (-1)^ik_i^*$ der alternierenden Summe der R"uckz"uge l"angs der Kantenabbildungen und der offensichtlichen ersten Abbildung. \end{Lemma} \begin{proof} Schreibt man die Definitionen aus, so erkennt man, da"s unser Komplex isomorph ist zum exakten Komplex aus \ref{HKHKk} der augmentierten Simplizialketten eines vollen $(n+1)$-Simplex tensoriert "uber $\DZ$ mit $\Gamma(X_n;\mathcal F)$. \end{proof} Vergessen zu nur Kanten induziert Iso auf Kohomologie, da selbe Spektralsequenz. \subsection{Kartesische und kokartesische Schnitte} \begin{Definition} Seien $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Funktor und $\mathcal I$ ein K"ocher und $\varphi: \mathcal I\ra \mathscr{B}$ ein K"ochermorphismus. Ein {\bf K"ocherschnitt\index{K"ocherschnitt} von $\varphi$} ist ein K"ochermorphismus $\tilde\varphi:\mathcal I\ra \mathscr{C}$ mit $p\circ \tilde\varphi=\varphi$. Die Schnitte von $\varphi$ bilden selber eine Kategorie mit denjenigen Transformationen als Morphismen, die unter $p$ die Identit"at auf $\varphi$ werden. Ein {\bf kartesischer K"ocherschnitt\index{K"ocherschnitt!kartesischer}} ist ein Schnitt, unter dem jeder Pfeil unseres K"ochers auf einen kartesischen Morphismus abgebildet wird. Ein {\bf kokartesischer K"ocherschnitt\index{K"ocherschnitt!kokartesischer}} ist ein Schnitt, unter dem jeder Pfeil unseres K"ochers auf einen kokartesischen Morphismus abgebildet wird. \end{Definition} \begin{Beispiel} Wir betrachten die Garbenfaserung $\op{Ens}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$ und ein Diagramm von topologischen R"aumen der Gestalt $ X_0\ra X_1\ra X_2\ra \ldots$ mit stetigen Abbildungen $f_n:X_{n}\ra X_{n+1}$. Ein kartesischer K"ocherschnitt besteht in diesem Fall aus einer Vorgabe von Garben $\mathcal F_n$ auf $X_n$ nebst Isomorphismen $\mathcal F_n\sira f_n^\ast\mathcal F_{n+1}$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Seien $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ und $\varphi: I\ra \mathscr{B}$ Funktoren. Ein {\bf kartesischer Schnitt\index{Schnitt!kartesischer}}\label{ksch} von $\varphi$ ist ein Schnitt, unter dem jeder Morphismus auf einen kartesischen Morphismus abgebildet wird. Die kartesischen Schnitte von $\varphi$ bilden eine volle Unterkategorie $$\op{Cat}_\varphi^{\op{kar}}( I,\mathscr{C})\subset \op{Cat}_\varphi( I,\mathscr{C})$$ Analog definieren wir die Kategorie der {\bf kokartesischen Schnitte\index{Schnitt!kokartesischer}} $\op{Cat}_\varphi^{\op{kokar}}( I,\mathscr{C})$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Seien $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ eine Faserung und $\varphi: I\ra \mathscr{B}$ ein Funktor. Besitzt $ I$ ein finales Objekt $\op{fin}( I)$, so induziert die Restriktion offensichtlich eine "Aquivalenz $$\op{Cat}_\varphi^{\op{kar}}( I,\mathscr{C})\sirra \mathscr{C}_{\op{fin}( I)}$$ unserer Kategorie von kartesischen Schnitten mit der Faser "uber dem finalen Objekt.\label{fiFA} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\nichtfinal{Was sind gute Notationen?} Wir betrachten die Garbenfaserung $\op{Ens}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$ und die Kategorie $\mathcal K[2]$ aller Teilmengen von $\{0,1,2\}$ mit opponierten Inklusionen als Morphismen. Gegeben ein topologischer Raum $X$ betrachten wir den Funktor $\varphi:\mathcal K[2]\ra \op{Top}$ gegeben durch $I\mapsto X^I$. Ist $X$ nicht leer, so haben wir "Aquivalenzen von Kategorien $$ \op{Cat}_\varphi^{\op{kar}}(\mathcal K[2]\backslash \emptyset,\op{Ens}_{/\op{Top}})\silla \op{Cat}_\varphi^{\op{kar}}(\mathcal K[2],\op{Ens}_{/\op{Top}})\sirra \op{Ens}$$ Die rechte "Aquivalenz folgt noch f"ur beliebiges $X$ aus \ref{fiFA}, da $\emptyset$ final ist in $\mathcal K[2]$. Die linke "Aquivalenz ist die eigentliche Aussage. Objekte ganz links sind Tripel $\mathcal F^i$ von Garben auf den Produkten $X^{\times i}$ f"ur $i=1,2,3$ zusammen mit je einem ausgezeichneten kartesischen Lift f"ur jeden Morphismus, der irgendwie Eintr"age aus einem Tupel wegl"a"st, sowie den offensichtlichen Vertr"aglichkeiten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir betrachten die Opgarbenfaserung $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ und eine Ein-Objekt-Kategorie $[G]$. Ein Funktor $[G]\ra \op{Top}$ ist ein topologischer Raum $X$ mit einer Operation von $G$ und ein kokartesischer Schnitt eines derartigen Funktors ist in diesem Fall dasselbe wie eine \glqq $G$-"aquivariante Garbe auf $X$\grqq\ im Sinne unserer Definition \ref{??}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}\emph{(Wohin?)} Sei $X$ ein topologischer Raum mit einer offenen "Uberdeckung $X=\bigcup_{i\in I}U_i$. Wir betrachten die Kategorie $\mathscr I$ aller nichtleeren Teilmengen $A\subset I$ mit h"ochstens drei Elementen, in Formeln $1\leq|A|\leq 3$, und den Opponierten der Inklusionen als Morphismen und den Funktor $N:\mathscr I\ra \op{Off}(X)$ mit $A\mapsto \bigcap_{i\in A}U_i$. Eine Kategorienfaserung "uber $\op{Off}(X)$ mit der Eigenschaft $$\mathscr C_U\sirra \op{Cat}_N^{\op{kar}}(\mathscr I,\mathscr{C})$$ f"ur jede offene "Uberdeckung $U=\bigcup U_i$ einer offenen Teilmenge hei"st ein Schober? \end{Bemerkungl} \subsection{Simpliziale Strukturen Alt} Will man explizite Rechnungen durchf"uhren, so ist es oft hilfreich, mit einem etwas allgemeineren Begriff von Triangulierung zu arbeiten, bei dem man weniger Simplizes ben"otigt. Auch f"ur theoretische "Uberlegungen sind die im folgenden erkl"arten Begriffsbildungen n"utzlich, wir werden uns bei der weiteren Entwicklung der Homologietheorie jedoch nicht darauf st"utzen. \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Gegeben $n \in \Bbb{N}$ bezeichne $[n]$ die Menge\label{nnnk} $$[n] \pdef\{ 0,1, \ldots , n\}$$ \item Bezeichne $\Delta^{<}$ die Kategorie mit Objekten $[n]$ f"ur $n \in \Bbb{N}$ und streng monoton wachsenden Abbildungen als Morphismen. Bezeichne $^{<}\Delta\pdef (\Delta^{<})^{\op{opp}}$ ihre opponierte Kategorie. Eine {\bf semisimpliziale Menge}\index{Menge!semisimpliziale}\index{semisimpliziale Menge} $X$ ist ein kontravarianter Funktor $X$ von der Kategorie $\Delta^{<}$ in die Kategorie der Mengen alias ein Funktor $$X : {^{<}\Delta} \ra \op{Ens}$$ \item Bezeichne $\Delta^{\leq}$ die Kategorie mit Objekten $[n]$ f"ur $n \in \Bbb{N}$ und monoton wachsenden Abbildungen alias Ordnungsmorphismen als Morphismen. Bezeichne $^{\leq}\Delta\pdef (\Delta^{<})^{\op{opp}}$ ihre opponierte Kategorie. Eine {\bf simpliziale Menge}\index{Menge!simpliziale}\index{simpliziale Menge} $X$ ist ein kontravarianter Funktor $X$ von der Kategorie $\Delta^{\leq}$ in die Kategorie der Mengen alias ein Funktor $$X : {^{\leq}\Delta} \ra \op{Ens}$$ \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine simpliziale Menge $X$ bilden wir den zugeh"origen topologischen Raum alias {\bf geometrische Realisierung}\index{geometrische Realisierung} $$|X|=\Delta (X) \pdef \left( \coprod_{n \in \Bbb{N}} X [n] \times \Delta_{n}\right)/ \sim$$ mit der "Aquivalenzrelation $\sim$ erzeugt durch die Bedingungen $$ ((X b^\circ) (x) ,t ) \sim (x, (\Delta b) (t)) \quad \forall n,m\in\DN,\; b: [n] \ra [m],\; x \in X [m],\; t \in \Delta_{n} $$ und den Notationen $(X b^\circ) : X [m] \ra X [n]$ f"ur die zu $b^\circ$ geh"orige Abbildung von Mengen sowie $(\Delta b) : \Delta_{n} \ra \Delta_{m}$ f"ur die durch $b\in \Delta^{<}([n], [m]) $ induzierte Abbildung zwischen den entsprechenden Standardsimplizes. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}\label{KaBB} Jede Transformation $X\ra Y$ von Funktoren im Sinne einer Sammlung von vertr"aglichen Abbildungen $X[n]\ra Y[n]$ liefert eine stetige Abbildung $\Delta (X)\ra \Delta (Y)$. Wir erhalten so aber nur Abbildungen, die auf den Inneren aller Simplizes injektiv sind. Gr"o"sere Flexibilit"at, wenn auch um den Preis geringerer Anschaulichkeit, bieten die sogenannten \defnoind{simplizialen Mengen}.\index{simplizial!Menge} Man versteht darunter Funktoren $$X: {^{\leq}\Delta} \ra \op{Ens}$$ Hier bezeichnet $\Delta^{\leq}$ die Kategorie mit Objekten $[n]$ f"ur $n \in \Bbb{N} $, diesmal mit beliebigen monoton wachsenden Abbildungen als Morphismen, und analog wie zuvor ${^{\leq}\Delta}\pdef (\Delta^{\leq})^{{\op{opp}}}$ deren opponierte Kategorie. Wir diskutieren sie noch etwas im Anschlu"s. Die {\bf geometrische Realisierung}\index{geometrische Realisierung} $|X|=\Delta(X)$ einer simplizialen Menge $X$ erkl"art man durch dieselben Formeln wie im Fall einer semisimplizialen Menge oben. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Was man heute eine simpliziale Menge nennt, hie"s fr"uher eine {\bf vollst"andige semisimpliziale Menge},\index{semisimpliziale Menge!vollst"andige} und manche Autoren, etwa \cite{SCS}, lassen dann das Adjektiv \glqq vollst"andig\grqq\ auch schon mal weg und bezeichnen als \glqq semisimpliziale Menge\grqq\ das, wof"ur heutzutage die Bezeichnung als \glqq simpliziale Menge\grqq\ "ublich ist. Hatcher \cite{Hatcher} nennt eine semisimpliziale Menge einen {\bf {$\Delta$}-Komplex}.\index{Komplex!$\Delta$-Komplex}\index{D@$\Delta$-Komplex} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wir erhalten etwa eine simpliziale dg-Ringalgebra $\mathcal A_{\op{PL}}$ "uber $\mathbb Q$, indem wir jedem Simplex $[n]$ die dg-Ringalgebra der rationalen Differentialformen auf \begin{equation*} \{ (x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb Q^{n+1} \mid x_0 + \ldots + x_n =1\} \end{equation*} zuordnen alias die im Raum der glatten reellen Differentialformen auf \begin{equation*} \{(x_0, \ldots, x_n) \in \mathbb R^{n+1} \mid x_0 + \ldots + x_n =1\} \end{equation*} von den Koordinatenfunktionen $x_i$ erzeugte dg-Unterringalgebra "uber $\mathbb Q$, und jedem Morphismus $[n] \rightarrow [m]$ die durch das Zur"uckholen unter der zugeh"origen Abbildung $\mathbb Q^{n+1} \rightarrow \mathbb Q^{m+1}$ induzierte Abbildung. Gegeben eine simpliziale Menge $X : {^{\leq}\Delta} \rightarrow \op{Ens}%^{\op{opp}} $ erkl"art man dann die Menge ihrer \glqq rationalen Differentialformen vom Grad $q$\grqq\ als die Menge von Transformationen \begin{equation*} \mathcal A_{\op{PL}}^q (X) \pdef \op{Cat}({^{\leq}\Delta},\op{Ens})(X, \mathcal A_{\op{PL}}^q) \end{equation*} und erh"alt auf $\mathcal A_{\op{PL}} (X)\pdef \bigoplus_q \mathcal A_{\op{PL}}^q (X)$ in hoffentlich offensichtlicher Weise eine Struktur als dg-Ringalgebra "uber $\DQ$. Man kann zeigen, da"s diese superkommutative dg-Ringalgebra quasiisomorph ist zur dg-Ringalgebra der Koketten mit rationalen Koeffizienten zu $X$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Jede kosimpliziale abelsche Gruppe $A$ liefert eine differentielle abelsche Gruppe mit homogenen Komponenten $A([n])$ und dem Differential $$\sum_{0\leq i\leq n}(-1)^iA(k_i^n):A([n-1])\ra A([n])$$ \end{Bemerkungl} % I had not yet sent out the following query of Stasheff. The response % from the category list might be of interest to some on toplist...DMD % ___________________________________________________________-- % J. Stasheff wrote: % >Has terminology settled down? % >I can recall seeing various terms for % >\glqq simplicial object without degeneracies\grqq\ % Date: Fri, 28 Jan 2000 07:01:42 -0500 (EST) % From: James Stasheff % Subject: Re: categories: terminology (fwd) % So far I've had response mostly from the category side % not from this list. % Sor far the clear front runner is `face complex' % Grandis, below, points out why the historical semi-simplicial % won't fly for at least another generation. % .oooO Jim Stasheff jds@math.unc.edu % (UNC) Math-UNC (919)-962-9607 % \ ( Chapel Hill NC FAX:(919)-962-2568 % \*) 27599-3250 % http://www.math.unc.edu/Faculty/jds % ---------- Forwarded message ---------- % Date: Fri, 28 Jan 2000 10:57:40 +0100 % From: Marco Grandis % To: categories@mta.ca, James Stasheff % Subject: Re: categories: terminology % I am afraid it has not. % In my opinion, it should be called 'semi-simplicial object', consistently % with the original terminology in Eilenberg-Zilber (see references below). % Such a term has been adopted in Weibel's text on homological algebra % (1994). But there seems to be some opposition. % ___ % I hope the following reconstruction of terminology is correct. % 1. What is now called a simplicial object was introduced by Eilenberg and % Zilber (1950); they use: % (a) [already existing] 'simplicial complex' = set with distinguished parts; % (b) [new term] 'semi-simplicial complex' = graded set with faces; % (c) [new term] 'complete s.s. complex' = graded set with faces and degeneracies; % 2. Later, notion (c) was recognised as more important than (b) and called % 'semi-simplicial complex', leaving (b) without any standard name. % 3. Since May's book (1967) at least, notion (c) gradually settled down as % 'simplicial set', generalised to 'simplicial object' in a category; this is % now standard. % 4. It should now be natural to use a similar term, 'semi-simplicial object % (possibly: set)' for (b), i.e. a 'simplicial object without degeneracies' % (as in Weibel 1994). This is consistent with the original use in % Eilenberg-Zilber and gives a non-ambiguous set of terms for the three % notions recalled: % (a) 'simplicial complex' (also: combinatorial complex) % (b) 'semi-simplicial object (set)' % (c) 'simplicial object (set)' % However, I used myself this terminology in a paper published in '97 and had % strong reactions from people attached to the terminology in use between % 50's and '60s (point 2 above). % ___ % References: % S. Eilenberg - J.A. Zilber, Semi-simplicial complexes and singular % homology, Ann. of Math. 51 (1950), 499-513. % J.P. May, Simplicial objects in algebraic topology, Van Nostrand 1967. % C.A. Weibel, An introduction to homological algebra, Cambridge Univ. Press, % Cambridge, 1994. % ___ % With best regards % Marco Grandis % Dipartimento di Matematica % Universita' di Genova % via Dodecaneso 35 % 16146 GENOVA, Italy % e-mail: grandis@dima.unige.it % tel: +39.010.353 6805 fax: +39.010.353 6752 % http://www.dima.unige.it/STAFF/GRANDIS/ % ftp://pitagora.dima.unige.it/WWW/FTP/GRANDIS/ \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=5cm]{SkriptenBilder/BildFacht}\\[4mm] \noindent Anschaulich mag man bei einer semisimplizialen Menge $X$ die Elemente der Menge $X[0]$ als Punkte denken; die Elemente der Menge $X[1]$ als Pfeile zwischen diesen Punkten, wobei auch Pfeile erlaubt sind, die beim selben Punkt beginnen und enden; die Elemente der Menge $X[2]$ als H"aute, die zwischen \glqq Dreiecken aus Pfeilen eingespannt sind\grqq, wobei es eben auch erlaubt ist, da"s in dasselbe Dreieck mehrere H"aute eingespannt werden, als Dreiecke gewisse geordnete Tripel von Pfeilen zu verstehen sind, und im Fall \glqq entarteter Dreiecke\grqq\ jede Haut zus"atzlich erinnern mu"s, \glqq in welcher Reihenfolge sie ihre Randpfeile denkt\grqq. Besteht $X[0]$ aus einem Element und $X[1]$ aus zweien und alle anderen $X[n]$ sind leer, so ist $\Delta (X)$ eine Acht, dargestellt als zwei $1$-Simplizes, bei denen man alle vier Endpunkte identifiziert hat. \end{figure} \begin{Beispiel} Eine semisimpliziale Menge $X$ mit $X[n]=\emptyset$ f"ur $n\geq 2$ ist \glqq dasselbe\grqq\ wie ein K"ocher im Sinne von \eref{DKo}{LA2}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Betrachten wir die semisimpliziale Menge $X$ eines $2$-Simplex im Sinne des vorhergehenden Beispiels und \glqq verdoppeln darin $X [2]$ zu einer zweielementigen Menge\grqq, so erhalten wir eine semisimpliziale Menge $Y$, deren topologischer Raum $\Delta (Y)$ aus zwei l"angs ihres Randes verklebten Dreiecksfl"achen besteht, in Formeln $\Delta (Y) \cong S^{2}$. \end{Beispiel} \begin{Ubung} Man gebe eine semisimpliziale Menge mit zwei $2$-Simplizes, vier $1$-Sim\-pli\-zes und zwei $0$-Simplizes an, deren zugeh"origer topologischer Raum das M"obiusband ist.\label{MBDK} \end{Ubung} \begin{Lemma} Bezeichnet $\Delta^{\circ}_{n} \pdef \Delta_{n} {\backslash} \partial \Delta_{n}$ das anschauliche Innere des Standardsimplex, so liefert f"ur jede semisimpliziale Menge $X$ die offensichtliche Abbildung eine Bijektion von Mengen $$\coprod X [n] \times \Delta^{\circ}_{n} \;\;\overset{\sim}{\ra}\;\; \Delta (X)$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $X_{k}$ das \defnoind{$k$-Skelett}\index{Skelett!$k$-Skelett von Simplizialkomplex} von $X$, gegeben durch $X_{k} [n] = X [n]$ f"ur $n \leq k$ und $X_{k} [n] = \emptyset \text{ f"ur } n > k$. Man zeigt das Lemma durch Induktion "uber $k$ f"ur alle $X_{k}$ und folgert es dann f"ur $X$ selbst. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Simpliziale gleich singul"are Homologie, Variante}] Sei $X$ eine semisimpliziale Menge. F"ur jedes $x \in X[q]$ betrachten wir die Abbildung $\Delta_{q} \ra \Delta (X)$, $t \mapsto (x,t)/ \sim$. Bezeichne ${\op{S}}^{\op{os}}_{q} \Delta (X) \subset {\op{S}}_{q} \Delta (X)$ die von diesen Simplizes erzeugte Untergruppe. So induziert die Einbettung von Kettenkomplexen ${\op{S}}^{\op{os}}_{q} \Delta (X) \hookrightarrow {\op{S}}_{q} \Delta (X)$ Isomorphismen auf der Homologie. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Mutatis mutandis identisch zum Beweis von \ref{SH} und dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Simpliziale Mengen sind nur schwer explizit anzugeben. Fast gleichbedeutend k"onnen wir auch kontravariante Funktoren von der Kategorie aller nichtleeren endlichen angeordneten Mengen mit monoton wachsenden Abbildungen als Morphismen in die Kategorie der Mengen betrachten. Wir werden diese insbesondere f"ur die kombinatorische Formulierung der Homotopietheorie wichtige Begriffsbildung hier jedoch nicht weiter entwickeln. Eine bemerkenswerte Realisierung solch einer simplizialen Menge $X$ gibt Drinfeld in \cite{DrSi}: Er erweitert $X$ in der kanonischen Weise zu einem Funktor auf der Kategorie aller endlichen angeordneten Mengen, ordnet einem derartigen Funktor die Menge $\varinjlim_F X(\pi_0([0,1]{\backslash} F))$ zu, wo der Limes "uber alle endlichen Teilmengen $F\subset [0,1]$ l"auft, und versieht diese Menge dann mit einer geeigneten Topologie. \end{Bemerkunge} % \begin{Bemerkunge} % F"ur jedes $q\in\DN$ erhalten wir eine simpliziale Menge % $\Delta_q$ durch die Vorschrift $\Delta_q[n]=\Delta^{\leq}([n],[q])$. % Ihre topologische Realisierung ist ein $q$-Simplex. % Gegeben eine semisimpliziale Menge % $X : \Delta^< \rightarrow \op{Ens}^{\op{opp}}$ bilden % wir eine simpliziale Menge % $\tilde X : \Delta^\leq \rightarrow \op{Ens}^{\op{opp}}$ durch die Vorschrift % \begin{equation*} % \tilde X [n]= \left( \coprod_{l \geq 0} % \Delta^{\leq} ([n],[l])\times X [l]\right)/ \sim % \end{equation*} % mit der "Aquivalenzrelation $\sim$ erzeugt von % $(a \circ f, x) \sim (f, (X(a)) (x))$ % f"ur alle $k \geq l$ und $a \in \Delta^< % ([l],[k])$ und $x \in X [k]$. % \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Semisimpliziale Mengen als simpliziale Mengen}] Gegeben eine semisimpliziale Menge\label{SSSn} $X : {}^<\Delta \rightarrow \op{Ens}$ bilden wir eine simpliziale Menge $\tilde X : {}^\leq\Delta \rightarrow \op{Ens}$ durch die Vorschrift \begin{equation*} \tilde X [n]= \coprod_{l \geq 0} \; X [l]\times\{\lambda\in \Delta^\leq ( [n],[l])\mid \lambda \text{ surjektiv}\} \end{equation*} und indem wir f"ur $\kappa:[m]\ra [n]$ monoton die Abbildung $\tilde X(\kappa): \tilde X [n]\ra \tilde X [m]$ dadurch erkl"aren, da"s sie dem Paar $(x,\lambda)$ das Paar $((X(\kappa_i))(x),\kappa_s\circ \lambda)$ zuordnet f"ur $\kappa=\kappa_i\circ \kappa_s$ die eindeutige Zerlegung von $\kappa$ in eine Surjektion gefolgt von einer Injektion als $ [m]\sra [m_\kappa]\hra [n]$ in $\Delta^\leq$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Jede Transformation $X\ra Y$ von simplizialen Mengen im Sinne einer Sammlung von vertr"aglichen Abbildungen $X[n]\ra Y[n]$ liefert eine stetige Abbildung $\Delta (X)\ra \Delta (Y)$. Wir erhalten in dieser Allgemeinheit auch etwa die konstante Abbildung zu einem Punkt. Gegeben zwei Transformationen $Z\ra X$ und $Z\ra Y$ k"onnen wir ihren Pushout $X\amalg_Z Y$ bilden durch die Vorschrift $(X\amalg_Z Y)[n]=X[n]\amalg_{Z[n]} Y[n]$. Man kann (?) zeigen, da"s diesem Pushout auch ein Pushout topologischer R"aume entspricht. F"uhren wir diese Konstruktion etwa mit $Z\hra X$ einem Unterfunktor und $Y$ einem Punkt durch, so erhalten wir eine simpliziale Menge, deren zugeh"origer Raum aus $\Delta (X)$ entsteht durch die Identifikation des Teilraums $\Delta (Z)$ zu einem Punkt. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\label{KOLI} Nach \ref{KLPG} k"onnen wir in analoger Weise zu jedem Funktor in der Kategorie der simplizialen Mengen den Kolimes bilden. Zum Beispiel kann jede semisimpliziale Menge als solch ein Funktor aufgefa"st werden, indem man jeden ihrer Simplizes als simpliziale Menge versteht, und dann ist der Kolimes gerade die unserer semisimplizialen Menge zugeordnete simpliziale Menge aus \ref{SSSn}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wir sagen, eine simpliziale Menge $X$ habe eine {\bf Dimension $\leq k$}\index{Dimension!einer simplizialen Menge} genau dann, wenn jeder Simplex aus einem Simplex von $X[l]$ mit $l\leq k$ hervorgeht unter einer monoton wachsenden Abbildung $[n]\ra [l]$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Eine simpliziale Menge einer Dimension $\leq 0$ ist im Wesentlichen eine endliche Menge, eben die Menge $X[0]$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Eine simpliziale Menge einer Dimension $\leq 1$ ist im wesentlichen dasselbe wie ein \glqq Diagrammschema\grqq\ oder \glqq K"ocher\grqq\ im Sinne von \eref{DKo}{LA2}. Der Unterschied zwischen semisimplizialen Mengen und simplizialen Mengen wird erst in Dimension $2$ sichtbar. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Simpliziale Mengen als Diagrammschemata}] Eine simpliziale Menge $X$ einer Dimension $\leq 2$ kann auch als ein \glqq Diagrammschema f"ur $2$-Kategorien\grqq\ gelesen werden. Gegeben $x\in X[n]$ und $b:[m]\ra [n]$ vereinbaren wir dazu f"ur $X(b):X[n]\ra X[m]$ die Notation $$X(b):x\mapsto x_{b(m),\ldots,b(1),b(0)}$$ Eine Realisierung $A$ eines derartigen Schemas in einer $2$-Kategorie $\mathcal{C}$ w"are in dieser Interpretation zu verstehen als eine Zuordnung, die \begin{enumerate}\item jedem Element $x\in X[0]$ ein Objekt $A(x)$ zuordnet; \item jedem Element $p\in X[1]$ einen Morphismus $A(p):A(p_0)\ra A(p_1)$ mit der Ma"sgabe, da"s jedem ausgearteten Pfeil $p=x_{0,0}$ die Identit"at auf $A(x)$ zugeordnet werden soll; \item jedem Element $c\in X[2]$ einen $2$-Morphismus $A(c): A(c_{2,1})A(c_{1,0})\RA A(c_{2,0})$ derart, da"s jedem ausgearteten $2$-Simplex $c=p_{1,0,0}$ oder $c=p_{1,1,0}$ der Identit"ats-Zweimorphismus auf $A(p)$ zugeordnet wird; \end{enumerate} Fassen wir eine Kategorie als Zweikategorie auf, indem wir nur Identit"aten als Zweimorphismen erlauben, so spezialisiert diese Interpretation zu einem \glqq Diagrammschema mit Identit"ats- und Kommutativit"atsbedingungen\grqq. Die Assoziativit"at der Verkn"upfung in einer Kategorie sorgt daf"ur, da"s sich f"ur den Tetraeder $\Delta_3$ mit $t=\op{id}:[3]\ra [3]$ die Vorgabe von $A(t_{1,0})$ und $A(t_{2,1})$ und $A(t_{3,2})$ stets eindeutig zu einer Realisierung des durch die simpliziale Menge $\Delta_3$ oder genauer ihr $2$-Skelett gegebenen Diagrammschemas mit Kommutativit"atsbedingungen erg"anzen l"a"st. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkunge} Eine simpliziale Menge $X$ einer Dimension $\leq 3$ wird dann wohl analog als ein \glqq Diagrammschema f"ur $3$-Kategorien\grqq\ gelesen werden k"onnen. Jedenfalls kann man sie speziell als \glqq Diagrammschema mit Kommutativit"atsbedingungen f"ur $2$-Kategorien\grqq\ lesen in der Weise, da"s zus"atzlich zu obigen Forderungen \begin{enumerate} \setcounter{enumi}{3} \item f"ur jedes Element $t\in X[3]$ die Gleichheit $$ A(t_{3,2,0}) \circ A(t_{3,2})A(t_{2,1,0})= A(t_{3,1,0})\circ A(t_{3,2,1})A(t_{1,0})$$ von Kompositionen von Zweimorphismen erf"ullt ist. Beide Kompositionen sind dabei Zweimorphismen $A(t_{3,2}) \circ A(t_{2,1})\circ A(t_{1,0})\RA A(t_{3,0})$. \end{enumerate} Da scheint aber noch etwas zu fehlen, denn es gibt ja auch sinnvolle Diagramme in $2$-Kategorien, in denen $2$-Morphismen von einem $1$-Morphismus zu einer Verkn"upfung von zwei $1$-Morphismen auftreten, wie etwa die Dreiecksidentit"aten bei adjungierten Funktoren. \end{Bemerkunge} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDiS}\\[4mm] \noindent Eine simpliziale Menge, entstehend aus der im Bild dargestellten semisimplizialen Menge der Dimension $2$ durch Identifikation der gestrichelten Kante zu einem Punkt. Eine Realisierung in einer Kategorie w"urde bedeuten, da"s man an alle vier Ecken Objekte setzt und an alle vier Kanten Morphismen derart, da"s die Verkn"upfung \glqq links oben beginnend einmal im Kreis herum\grqq\ die Identit"at ist. Formal w"are das als Kolimes im Sinne von \ref{KOLI} zu verstehen. \end{Bild} \begin{Bemerkungl} Bezeichne schlie"slich $\Delta$ die Kategorie mit Objekten $[n]$ f"ur $n\in\DN$ und beliebigen Abbildungen als Morphismen. Jeder topologische Raum $X$ definiert einen Funktor $$\underline{X}:\Delta\ra\op{Ens}^{\op{opp}}$$ vermittels $\underline{X}[n]=\op{Top}(\Delta_n, X)$, indem wir zu $a:[n]\ra[m]$ erst durch affine Fortsetzung der entsprechenden Abbildung auf den Ecken eine stetige Abbildung $a:\Delta_n \ra \Delta_m$ konstruieren und dann durch Vorschalten $\underline{X}[a]:\underline{X}[m]\ra \underline{X}[n]$ bilden. Wir nennen $\underline{X}$ den {\bf Funktor der singul"aren Simplizes in $X$}. Jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ definiert durch Nachschalten eine Transformation $f:\underline{X}\RA\underline{Y}$. Vermittels der Einbettungen $\Delta^<\hra \Delta^{\leq}\hra\Delta$ k"onnen wir den Funktor der singul"aren Simplizes in $X$ zu einem semisimplizialen Komplex $\underline{X}$ einschr"anken, dessen simpliziale Homologie dann genau die singul"are Homologie unseres urspr"unglichen Raums $X$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Eine merkw"urdige weitere Variante ist die \defind{zyklische Kategorie} von Connes. Ihre Objekte sind gewisse angeordnete Mengen mit einem ausgezeichneten Automorphismus, und zwar bezeichnet $[n]$ nun die angeordnete Menge $\DZ$ mit dem Automorphismus $$(n+1)+:\DZ\sira \DZ$$ Morphismen sind Klassen monotoner Abbildungen, die mit den jeweiligen Automorphismen vertr"aglich sind, modulo dem Vor- oder Nachschalten der besagten Automorphismen. So gibt es etwa $(n+1)$ Morphismen $[0]\ra [n]$ in der zyklischen Kategorie ebenso wie in $\Delta^{\leq}$, aber in der zyklischen Kategorie gibt es auch ebensoviele Morphismen in der Gegenrichtung. \end{Bemerkunge} %\begin{Beispiel} % Jedes Monoid $G$ liefert eine kosimpliziale Menge $\Delta G$ % durch die Vorschrift $\Delta G: [n]\mapsto G^{n+1}$ auf Objekten % und die Vorschrift, da"s ein Morphismus % $\varphi:[n]\ra [m]$ zu $(\Delta G)\varphi:G^{n+1}\ra G^{m+1}$ wird % mit $g=(g_0,\ldots,g_n)\mapsto h=(h_0,\ldots,h_m)$ mit % $h_j\pdef g_i g_{i+1}\ldots g_{i+r}$ f"ur % $\varphi^{-1}(j)=\{i ,i+1,i+r\}$ und speziell % $h_j=e$ das neutrale Element f"ur $\varphi^{-1}(j)=\emptyset$. % Gegeben eine Operation $G\times X\ra X$ eines Monoids auf einer % Menge erhalten wir ebenso eine kosimpliziale Menge % $\Delta_GX:[n]\mapsto G^n\times X$. %\end{Beispiel} \newpage \section{Zum Kippen etc} \subsection{Zur "aquivarianten Kohomologie von Punkten} \begin{Bemerkungw}[\textbf{"Aquivariante Kohomologie von homogenen R"aumen}] \nichtfinal{Wohin? Hier nicht gut!} Seien $H$ eine offenlokal bagazyklische topologische Gruppe und $G\subset H$ eine Untergruppe, die topologisch frei auf $H$ operiert. Bezeichne $\iota:G\hra H$ die Einbettung und $\bar 1: \op{top}\hra H/G$ die Abbildung $*\mapsto \bar 1$. Der offensichtliche Isomorphismus $(\iota\acts \bar 1)^*\underline{H\acts(H/G)}\sira \underline{G\acts\op{top}}$ liefert mit der Induktions"aquivalenz und genauer ihrer Folgerung \ref{VoSi} einen Isomorphismus $$(\iota\acts \bar 1)_*\underline{G\acts\op{top}}\sira \underline{H\acts(H/G)}$$ Mit $(\iota\acts \op{id})=(\op{id}\acts a)\circ (\iota\acts \bar 1)$ f"ur $a:H/G\ra \op{top}$ die konstante Abbildung erhalten wir daraus einen Isomorphismus $$(\iota\acts \op{id})_*\underline{G\acts\op{top}}\sira (\op{id}\acts a)_*\underline{H\acts (H/G)}$$ Nun wissen wir aus \ref{??}, da"s unter der "Aquivalenz $\op{Der}^{\op{c}}_{G\sacts}(\op{top})\sira \op{dgDer-}\mathcal A_G$ \nichtfinal{(Das ist so falsch. W"are w"unschenswert, es zu beweisen mit Universumsbedingungen auf beiden Seiten f"ur die unbeschr"ankte derivierte Kategorie. W"are w"unschenswert, auch die Funktoren in dieser Allgemeinheit zu "ubersetzen! Sollte nicht so schwer sein, man mu"s nachgucken, was Keller und seine Nachfolger gemacht haben.)} f"ur zusammenh"angende Liegruppen das Objekt $\underline{G\acts\op{top}}$ dem Objekt $\mathcal A_G$ entspricht. Nach \cite{BeLu} entspricht folglich $(\iota\acts \op{id})_*\underline{G\acts\op{top}}$ dem Objekt $\mathcal A_G$ aufgefa"st als $\mathcal A_H$-Modul f"ur $H$ ebenfalls eine zusammenh"angende Liegruppe und wir erhalten als Beifang die bereits in \eref{iI}{TG} in gr"o"serer Allgemeinheit gezeigten Isomorphismen $${\op{H}}^q_G(\op{top})\sira {\op{H}}^q_H(H/G)$$ Wenn wir nun wieder die Operation von $H$ auf eine weitere Untergruppe $I\subset G$ derselben Art restringieren, erhalten wir weiter, da"s $(\op{id}\acts a)_*\underline{I\acts (H/G)}$ dem $\mathcal A_I$-dg-Modul $\mathcal A_I\otimes^{\op{L}}_{\mathcal A_H}\mathcal A_G$ entspricht. Ist $\mathcal A_I$ oder $\mathcal A_G$ ein freier $\mathcal A_H$-Modul, so erhalten wir einen Isomorphismus $${\op{H}}^*_I(H/G)\sira \mathcal A_I\otimes_{\mathcal A_H}\mathcal A_G$$ \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Man sollte die Regeln von \cite{BeLu} 12.7.2 dahingehend erg"anzen, da"s f"ur Homomorphismen $\phi_i:G\ra H_i$ von zusammenh"angenden Liegruppen f"ur $i=1,\ldots,r$ und $r\geq 0$ der Trennr"uckzug einem Trennr"uckzug entspricht, der den gew"ohnlichen R"uckzug verallgemeinert und der im Fall der Projektionen eines Produkts auf seine Faktoren ein \glqq Boxprodukt\grqq\ von dg-Moduln ist. Dann gehen wir davon aus, wie das cup-Produkt auf der Kohomologie von $X$ aus der kartesischen Trennung $\underline X\ra \underline X\curlywedge \underline X$ "uber $(\op{id},\op{id}):X\ra X\curlywedge X$ hervorgeht, und da"s wir so f"ur $G\acts \op{top}$ unter den entsprechenden Identifikationen einfach die Multiplikation $\mathcal A_G \otimes \mathcal A_G \ra \mathcal A_G $ erhalten, und ziehen das durch, bis wir sehen, da"s $${\op{H}}^*_I(H/G)\sira \mathcal A_I\otimes_{\mathcal A_H}\mathcal A_G$$ wirklich ein Isomorphismus des Kohomologierings mit dem Ring auf der rechten Seite ist. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Nehmen wir speziell $G\supset B\supset T$ komplex reduktiv zusammenh"angend mit einer Borel und einem maximalen Torus. Seien $\mathfrak g\supset \mathfrak b\supset \mathfrak h$ die Liealgebren. Nehmen wir komplexe Koeffizienten f"ur die Kohomologie, so liefert das de-Rham-Bild Isomorphismen $$\mathcal A_G\sira \mathcal O(\mathfrak g)^G\sira \mathcal O(\mathfrak h)^W$$ mit dem Chevalley-Isomorphismus an zweiter Stelle und wir wissen $$\mathcal A_B\sira \mathcal A_T\sira \mathcal O(\mathfrak h)$$ und da"s die Restriktion links der Einbettung rechts entspricht. Wir k"urzen $S\pdef \mathcal O(\mathfrak h)$ ab. So finden wir Isomorphismen $${\op{H}}^*_G(G/B;\DC)\sira S$$ $${\op{H}}^*_B(G/B;\DC)\sira S\otimes_{S^W}S$$ $${\op{H}}^*(G/B;\DC)\sira \DC\otimes_{S^W}S=S/\langle (S^+)^W\rangle$$ \end{Bemerkungw} \newpage \section{Schrotthalde} \subsection{Altes zu $\mathbb P^\infty\DC$} \begin{Definition}[\textbf{Der Raum $\DR^\infty$}] Man bezeichnet den freien $\Bbb{R}$-Vektorraum "uber $\Bbb{N}$ meist mit $\Bbb{R}^{\infty}\pdef \Bbb{R}\langle_!'\Bbb{N}\rangle$ \index{R@$\DR^\infty$} und\label{Rinfty} versieht ihn mit der Finaltopologie zu allen Einbettungen $\Bbb{R}^n \hookrightarrow \Bbb{R}^{\infty}$, die hinten Nullen anh"angen. In der Terminologie \eref{Kolim}{TS} ist das der Kolimes $$\Bbb{R}^{\infty}\pdef \op{col}_{n\in\DN} \Bbb{R}^n$$ des induktiven Systems topologischer R"aume $\DR^n\hra \DR^{n+1}$, dessen Morphismen \glqq hinten Nullen anh"angen\grqq. \end{Definition} \begin{Lemma}\label{BTO} Das \glqq Davorschreiben einer Koordinate\grqq\ liefert einen Hom"oomorphismus $$\DR\times \DR^\infty \sira \DR^\infty$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Erster Beweis] Das folgt unmittelbar daraus, da"s Linksadjungierte mit Kolimites vertauschen und da"s das Bilden des Produkts mit einem lokal kompakten Raum nach dem Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} ein Linksadjungierter ist. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Da"s die Abbildung in die Gegenrichtung stetig ist, folgt unmittelbar aus den Definitionen. Um zu sehen, da"s unsere Abbildung selber stetig ist, beschreiben wir die Topologie von $\DR^\infty$ etwas genauer: Eine Basis dieser Topologie bilden die Schnitte von $\Bbb{R}^{\infty}$ mit allen Produkten $\prod_{\nu \in \Bbb{N}} I_{\nu}$ von offenen Intervallen $I_{\nu} \co \Bbb{R}$. Um das zu sehen, nehmen wir $x = (x_0, x_1, \ldots, x_{N}, 0,0,\ldots )\in \Bbb{R}^{\infty}$ und eine offene Menge $U$ um $x$. Jeder Schnitt $U \cap \Bbb{R}^n = U_n$ ist dann offen in $\Bbb{R}^n$, und wir finden etwa mit \eref{dK}{AN2} induktiv eine Folge von kompakten Quadern $Q_n \subset U_n$ f"ur $n\geq N$ derart, da"s die $Q_n$ nichtleeres Inneres haben, da"s $x$ ihr Zentrum ist, und da"s gilt $Q_{n+1} \cap \Bbb{R}^n = Q_n$. Die Kanten dieser Quader ohne ihre Endpunkte werden dann offene Intervalle $I_{\nu}$, deren Produkt $\Bbb{R}^{\infty}$ in einer in $U$ enthaltenen und $x$ enthaltenden Teilmenge trifft. Folglich ist jede offene Menge eine Vereinigung von derartigen Produkten. Da"s jedes derartige Produkt offen ist, ist eh klar. Aus dieser Beschreibung der Topologie folgt dann das Lemma ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} \begin{proof}[Zweiter Beweis] Mit der Beschreibung der Topologie aus \ref{BTO} gelingt es einzusehen, da"s die Abbildung $$ \begin{array}{lll} [0,1]\times \Bbb{R}^{\infty} &\ra& \Bbb{R}^{\infty}\\ (t,(x_0, x_1, \ldots))& \mapsto& (x_0,x_1 +tx_0,x_2+ tx_1,\ldots) \end{array} $$ stetig ist. Wir erhalten so eine Homotopie der Identit"at auf $\Bbb{R}^{\infty}\backslash 0$ mit der Verkn"upfung $i\circ f$ einer stetigen Abbildung $f:\Bbb{R}^{\infty}\backslash 0\ra\Bbb{R}^{\infty} \backslash (\Bbb{R}\times 0) $ und der Einbettung $i:\Bbb{R}^{\infty} \backslash (\Bbb{R}\times 0)\hra \Bbb{R}^{\infty} \backslash 0$ in der umgekehrten Richtung. Nun betrachten wir weiter die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{lll} [0,1] \times \Bbb{R}^{\infty} & \ra& \Bbb{R}^{\infty}\\ (t,(x_0, x_1, \ldots)) &\mapsto& (t+ (1-t) x_0, (1-t) x_1, \ldots ) \end{array} \end{displaymath} Man pr"uft, da"s sie stetig ist und $[0,1] \times (\Bbb{R}^{\infty}\backslash 0)$ nach $\Bbb{R}^{\infty}\backslash \DR$ abbildet. Aus deren Stetigkeit insbesondere folgt, da"s unsere Einbettung $i$ nullhomotop ist. Da die Identit"at auf $\Bbb{R}^{\infty} \backslash 0$ in der Homotopiekategorie "uber eine nullhomotope Abbildung faktorisiert, mu"s sie bereits selbst nullhomotop sein. Folglich ist unser Raum zusammenziehbar. \end{proof} \subsection{Schnitte von Funktoren} \begin{Definition} Seien $\phi : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ und $\psi: \mathscr D\ra \mathscr{B}$ Funktoren mit demselben Ziel. Ein Funktor $F:\mathscr{C}\ra\mathscr D$ hei"st ein {\bf Funktor "uber $\mathscr B$}, wenn gilt $\psi\circ F=\phi$. Die Menge aller Funktoren "uber $\mathscr B$ notieren wir\label{FuUb} $$\op{Cat}_{\phi,\psi,\mathscr B}(\mathscr{C},\mathscr D)$$ und oft auch nur mit einer Auswahl dieser Indizes. Wir machen diese Menge zu einer Kategorie, indem wir Morphismen $F\ra G$ erkl"aren als Transformationen $\tau:F\RA G$ derart, da"s f"ur alle $C\in \mathscr C$ der Morphismus $\tau_C: FC\ra GC$ "uber der Identit"at von $\phi(C)$ liegt, in Formeln $\psi(\tau_C)=\op{id}_{\phi(C)}\;\forall C\in \mathscr C$. In anderen Worten ist $$\op{Cat}_{\phi,\psi,\mathscr B}(\mathscr{C},\mathscr D)= \op{Cat}(\mathscr{C},\mathscr D)_\phi$$ die Faser "uber $\phi$ des durch Nachschalten von $\psi$ gegebenen Funktors auf den Funktorekategorien $(\psi\circ):\op{Cat}(\mathscr{C},\mathscr D)\ra \op{Cat}(\mathscr{C},\mathscr B)$. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Definition \ref{FuUb} bleibt mutatis mutandis sinnvoll, wenn $\mathscr C$ ein K"ocher ist. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Funktor $\psi: \mathscr D\ra \mathscr{B}$ nennen wir Funktoren $F:\mathscr B\ra \mathscr D$ mit $\psi\circ F=\op{id}$ {\bf Schnitte von $\psi$}. Wir notieren die Kategorie dieser Schnitte\label{SchFU} $$\op{Cat}_{\psi}(\mathscr{B},\mathscr D)\pdef\op{Cat}_{{\op{id}},\psi,\mathscr B}(\mathscr{B},\mathscr D)$$ Wir nennen wir einen Schnitt von $\psi$ {\bf kartesisch},\index{kartesisch!Schnitt} wenn er beliebige Morphismen der Basis $\mathscr B$ zu kartesischen Morphismen in $\mathscr D$ macht. Die volle Unterkategorie der kartesischen Schnitte notieren wir $$\op{Cat}_{\op{cart}}(\mathscr{B},\mathscr D)\subset \op{Cat}_{\psi}(\mathscr{B},\mathscr D)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Kartesische Schnitte in Faserungen}] Ist $\psi: \mathscr{D}\ra \mathscr B$ eine Faserung und besitzt $\mathscr B$ ein finales Objekt $T$, so liefert die Einschr"ankung auf die Faser "uber $T$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Cat}_{\op{cart}}(\mathscr{B},\mathscr D)\sirra \mathscr D_T$$ zwischen der Kategorie der kartesischen Schnitte unserer Faserung und der Faser "uber dem finalen Objekt. \end{Lemma} \begin{Beispiel} Wir diskutieren Gegenbeispiele und betrachten dazu die zu einem surjektiven Gruppenhomomorphismus $\phi:G\sra H$ geh"orige Faserung von Einobjektkategorien $[G]\ra[H]$. Sie besitzt im allgemeinen keine Schnitte, denn ein surjektiver Gruppenhomomorphismus besitzt im allgemeinen keine Spaltung. Jeder Schnitt einer solchen Faserung ist kartesisch, aer selbst wenn es Schnitte gibt, mu"s die Kategorie der kartesischen Schnitte keineswegs "aquivalent sein zur Faser, die in diesem Fall die Einobjektkategorie $[\op{ker}\phi]$ ist. \end{Beispiel} \begin{proof} Zu jedem Objekt der Faser $\mathcal F_T\in \mathscr D_T$ und jedem Objekt der Basis $S\in \mathscr B$ k"onnen wir den eindeutigen Morphismus $\op{fin}_S:S\ra T$ betrachten und dazu einen kartesischen Lift $\tau_S: \mathcal F_S\ra \mathcal F_T$ w"ahlen. Die Eigenschaften einer Faserun implizieren dann, da"s jeder Morphismus $f:R\ra S$ in der Basis genau einen kartesischen Lift $\tilde f: \mathcal F_R\ra \mathcal F_S$ besitzt. Zusammen erhalten wir so einen kartesischen Schnitt. Da"s unser Funktor von kartesischen Schnitten zur Faser "uber dem finalen Objekt volltreu ist, pr"uft man "ahnlich. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Starke Unabh"angigkeit von der Aufl"osung}] Seien $G\acts X$ ein Raum mit Operation und $\mathscr A\subset \op{Topoka}$ eine zusammenh"angende Unterkategorie aus bagazyklischen $G$-Aufl"osungen von $X$. So induziert die Einschr"ankung auf die Faser "uber irgendeinem Objekt $P\in \mathscr A$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Cat}_{\op{car}}(\mathscr A,\op{Der}_{\sslash{\op{Topoka}}})\sirra \op{Der}(G\acts P\kP X)$$ zwischen der Kategorie der kartesischen Schnitte "uber $\mathscr A$ und unserer "aquivarianten derivierten Kategorie berechnet vermittels der Aufl"osung $P$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Diese Variante der Unabh"angigkeit von der Aufl"osung ist besonders geschickt f"ur die Diskussion unbeschr"ankter "aquivarianter derivierter Kategorien in rein topologischen Zusammenh"angen. Eine andere Variante findet man bei \cite{Weil3}. Sie ist insbesondere dann besser, wenn man in der Situation algebraischer Variet"aten feinere Strukturen von der Kohomologie auf die "aquivariante Kohomologie "ubertragen will. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach der Unabh"angigkeit von der Aufl"osung \ref{UWA} ist f"ur jeden Morphismus $Q\ra P$ bagazyklischer $G$-Auf\-l"o\-sungen von $X$ der R"uckzug eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Der}(G\acts P\kP X)\sirra\op{Der}(G\acts Q\kP X)$$ Daraus folgt ohne weitere Schwierigkeiten, da"s unser Funktor volltreu ist, wenn eben $\mathscr A$ zusammenh"angend ist in dem Sinne, da"s es unter der von der \glqq "Aquivalenz durch der Existenz von Morphismen\grqq\ erzeugten "Aquivalenzrelation auf der Menge der Objekte nur genau eine "Aquivalenzklasse gibt. Um die wesentliche Surjektivit"at zu zeigen, beachten wir, da"s wieder nach der Unabh"angigkeit von der Aufl"osung \ref{UWA} die R"uckz"uge nach beiden Projektionen "Aquivalenzen $$\op{Der}(G\acts P\kP X)\sirra \op{Der}(G\acts({\op{E}}G\times P)\kP X) \silla \op{Der}(G\acts({\op{E}}G\times X)\kP X)$$ sind. Gegeben ein Objekt $\mathcal F$ auf der rechten Seite k"onnen wir also kartesische Morphismen $$\mathcal F_P\leftarrow \tilde{\mathcal F}_P\ra \mathcal F$$ "uber den Projektionen finden. F"ur diese Objekte ist es dann aber klar, da"s jeder Morphismus $P\ra Q$ in $\mathscr A$ erst genau einen kartesischen Lift $\tilde{\mathcal F}_P\ra \tilde{\mathcal F}_Q$ und dann auch genau einen kartesischen Lift ${\mathcal F}_P\ra {\mathcal F}_Q$ hat derart, da"s mit diesen Lifts in den Vertikalen das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \mathcal F_P&\leftarrow& \tilde{\mathcal F}_P&\ra& \mathcal F\\ \da&&\da&&\|\\ \mathcal F_Q&\leftarrow& \tilde{\mathcal F}_Q&\ra& \mathcal F \end{array}$$ kommutiert. So erhalten wir dann Fortsetzungen zu kartesischen Schnitten von einem beliebigen Objekt einer beliebigen Faser. \end{proof} \subsection{Wohin?} \begin{Bemerkunge} \nichtfinal{Schon hier?} Seien $G$ eine topologische Gruppe, die auf einem topologischen Raum $X$ operiert, und sei $p:P\ra X$ eine nicht notwendig bagazyklische $G$-Aufl"osung nach \ref{AuFL}, also eine "aquivariante stetige Abbildung von einem topologisch freien $G$-Raum nach $X$. In \cite{BeLu} wird f"ur so ein Datum eine Kategorie $\op{Der}_{G{\sacts}}(X;P)$ erkl"art als Kategorie von Tripeln $(\mathcal F, \mathcal G,\alpha)$ mit $\mathcal F\in\op{Der}(P/G), \mathcal G\in\op{Der}(X)$ und $\alpha:q^*\mathcal F\sira p^*\mathcal G$ ein Isomorphismus in $\op{Der}(P)$. Jedes Objekt von $\op{Der}_{G{\sacts}}(X)$ liefert solche Tripel f"ur alle Aufl"osungen $p:P\ra X$. Um sie zu konstruieren, betrachten wir das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ P/G & P \ar[l]\ar[r] & P\\ {\op{E}}G\times_{/G}P\ar[d]\ar[u] & {\op{E}}G\times P \ar[l]\ar[r]\ar[d]\ar[u] & P\ar[d]\ar[u]\\ {\op{E}}G\times_{/G}X & {\op{E}}G\times X \ar[l]\ar[r] & X } \end{displaymath} Jedes Objekt von $\op{Der}_{G{\sacts}}(X)$ liefert nun durch R"uckzug (gibt es den hier schon?) ein Objekt von $\op{Der}_{G{\sacts}}(P)$ und mit der Quotienten"aquivalenz $\ref{EwTn}$ ein Objekt von $\op{Der}(P/G)$ und daf"ur finden wir dann, noch fertig schreiben, m"uhelos die restlichen Daten. \end{Bemerkunge} %\begin{Korollar} % Seien $G$ eine offenlokal zusamenziehbare topologische Gruppe % und $H\subset G$ eine Untergruppe, die topologisch frei auf $G$ % operiert. So besitzt Adjungierte etc, nachher besser! %\end{Korollar} \newpage \section{Wohin? Hier unn"otig.} \subsection{Sammelsurium, wohl unn"utz!} \begin{Proposition}[\textbf{Verallgemeinerte Poincar\'e-Dualit"at}] Gegeben eine Man\-nigfaltigkeit $X$ der Dimension $n$ und eine abelsche Gruppe $G$ liefert die Konstruktion des folgenden Beweises Isomorphismen\label{PDV} $${\op{H}}_!^q(X;\op{or}_X(G))\sira {\op{H}}_{n-q}(X;G)$$ zwischen der kompakten Kohomologie der Orientierungsgarbe und der singul"aren Homologie im gegen"uberliegenden Grad. \nichtfinal{Funktioniert so nicht mehr mit dem Rest!} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Die Bedeutung dieses Satzes im Rahmen der \glqq sechs Funktoren\grqq\ diskutieren wir in \eref{pdSF}{TSS}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir schreiben das Argument nur f"ur Koeffizienten $G = \mathbb Z$ aus, der allgemeine Fall geht genauso. Sei $\pi : \tilde X \rightarrow X$ die \hyperref[orUe]{Orientierungs\"uberlagerung} mit ihrer \hyperref[orUe]{tautologischen Orientierung} $\tilde \omega$ und sei $\tau : \tilde X \rightarrow X$ das Vertauschen der Bl"atter. Nach dem Beweis von \ref{GSK} haben wir mit den offensichtlichen Abbildungen eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} ({\op{S}}_\ast \tilde X)^{-\tau} \hookrightarrow {\op{S}}_\ast \tilde X \twoheadrightarrow {\op{S}}_\ast X \end{equation*} Gegeben $K \subset X$ kompakt und $\tilde K = \pi^{-1} (K)$ sein Urbild erhalten wir in derselben Weise eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} {\op{S}}_\ast (\tilde X, \tilde X \backslash \tilde K)^{-\tau} \hookrightarrow {\op{S}}_\ast (\tilde X , \tilde X \backslash \tilde K) \twoheadrightarrow {\op{S}}_\ast (X , X \backslash K) \end{equation*} Nach Konstruktion geht der Fundamentalzykel $\tilde \omega_{\tilde K} \in {\op{H}}_n (\tilde X, \tilde X \backslash \tilde K)$ nach Null in ${\op{H}}_n (X, X \backslash K)$, kann also durch eine Kette $\tilde \omega_{\tilde K} \in {\op{S}}_n (\tilde X, \tilde X \backslash \tilde K)^{-\tau}$ repr"asentiert werden. Wir erhalten so die obere H"alfte eines kommutativen Diagramms von Kettenkomplexen \begin{displaymath} \xymatrix{ ({\op{S}}_{n-q} \tilde X)^{-\tau} \ar@{^{(}->}[r] & {\op{S}}_{n-q} \tilde X \ar@{->>}[r] & {\op{S}}_{n-q} X \\ {\op{S}}^q (X,X \backslash K) \ar[u]_-{\cap \tilde \omega_{\tilde K}}\ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & {\op{S}}^q(\tilde X, \tilde X \backslash \tilde K)\ar[d] \ar[u]_-{\cap \tilde \omega_{\tilde K}} \ar@{->>}[r] & \op{cok}^q (X, K) \ar@{-->}[d]\ar@{-->}[u]\\ \Gamma_! (X ; \mathcal S_X^q) \ar@{^{(}->}[r] & \Gamma_! (\tilde X; \mathcal S^q_{\tilde X} ) \ar@{->>}[r] & \Gamma_! (X;\mathcal S^q_X \otimes \op{or}_X) } \end{displaymath} Die untere Zeile kommt dabei von der kurzen exakten Sequenz kompaktweicher Garben $\mathcal S^q_X \hookrightarrow \pi_\ast \mathcal S^q_{\tilde X} \twoheadrightarrow \mathcal S_X^q \otimes \op{or}_X$ her und $\op{cok}^q (X,K)$ ist nur eine Notation f"ur den Kokern in der mittleren Horizontale. Gehen wir nun zur Kohomologie dieser Komplexe "uber und in der mittleren Horizontale zus"atzlich zum direkten Limes "uber alle Kompakta $K \subset X$, so werden die beiden linken vertikalen Morphismen nach unten Isomorphismen nach \ref{SKHx}. Mit dem F"unferlemma folgt dasselbe f"ur den rechten vertikalen Morphismus nach unten. Insbesondere erhalten wir, da auch $\mathcal S^q_X \otimes \op{or}_X$ als Kokern einer Inklusion kompaktweicher Garben kompaktweich ist, nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*} \op{colf}_{ K}\mathcal H^q \op{cok}^\ast (X,K) \sira \mathcal H^q \Gamma_! (X; \mathcal S_X^\ast \otimes \op{or}_X) \sira {\op{H}}^q_! (X;\op{or}_X) \end{equation*} F"ur letzteren Isomorphismus verwenden wir, da"s $\mathcal S_X^\ast \otimes \op{or}_X$ eine kompaktweiche Aufl"osung von $\op{or}_X$ ist. So erhalten wir schon mal kanonische Homomorphismen $\kappa_X : {\op{H}}^q_!(X; \op{or}_X) \rightarrow {\op{H}}_{n-q} X$. Aus der Konstruktion folgt unmittelbar, da"s wir f"ur jede offene Einbettung $U \hookrightarrow X$ kommutative Quadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_!^q (U; \op{or}_U) \ar[r] \ar[d] & {\op{H}}_{n-q} U\ar[d]\\ {\op{H}}_!^q (X; \op{or}_X) \ar[r] & {\op{H}}_{n-q} X } \end{displaymath} erhalten. Mit einer etwas feineren Argumentation zeigt man "ahnlich wie beim Beweis von \eref{hilL}{TS}, da"s wir f"ur je zwei offene Teilmengen $U,V \co X$ sogar ein kommutatives Diagramm von Mayer-Vietoris-Sequenzen erhalten. Mit dieser Erkenntnis k"onnen wir dann den Beweis der Poincar\'e-Dualit"at aus \eref{PD}{TS} wiederholen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?} In der Situation eines Drei-Funktoren-Kalk"uls betrachten wir einen Morphismus $f:X\ra Y$ und Objekte $\mathcal F,\mathcal G$ auf $Y$. Existiert der partielle Linksadjungierte von $f_!$ bei $\mathcal F$ und bei $\mathcal F\otimes\mathcal G$, so erhalten wir einen nat"urlichen Morphismus $$f^!\mathcal F\otimes f^*\mathcal G\ra f^!(\mathcal F\otimes \mathcal G)$$ mit Adjunktion aus dem Morphismus $f_!(f^!\mathcal F\otimes f^*\mathcal G)\ra \mathcal F\otimes \mathcal G$, der seinerseits aus der Koeinheit der Adjunktion $f_!f^!\mathcal F\ra \mathcal F$ entsteht durch Darantensorieren von $\mathcal G$ und Anwenden der Projektionsformel. Nun scheint \ref{OKLJ} zu sagen, da"s das unter geeigneten Endlichkeitsannahmen ein Isomorphismus sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\emph{Wohin?} In der Situation eines Drei-Funktoren-Kalk"uls betrachten wir Morphismen $f:X\ra X'$ und $g:Y\ra Y'$ und Objekte $\mathcal F$ auf $X$ und $\mathcal G$ auf $Y$. Existieren partielle Linksadjungierte des Zur"uckholens, wo wir sie brauchen, so erhalten wir nat"urliche Morphismen $$f_*\mathcal F\boxtimes g_*\mathcal G\ra(f\times g)_* (\mathcal F\boxtimes \mathcal G)$$ durch Adjunktion aus dem Morphismus $(f\times g)^*(f_*\mathcal F\boxtimes g_*\mathcal G)\ra \mathcal F\boxtimes \mathcal G$, der hinwiederum entsteht, wenn wir die linke Seite mit Hilfe von \ref{fgtI} ausschreiben zu $(f\times g)^*(f_*\mathcal F\boxtimes g_*\mathcal G) \sira (f^*f_*\mathcal F)\boxtimes ( g^*g_*\mathcal G)$ und die Koeinheiten des Adjunktionen verwenden. Da"s unsere nat"urlichen Morphismen im allgemeinen keine Isomorphismen sein werden, zeigt bereits der Fall, da"s $X$ ein unendlicher diskreter Raum ist und $Y,X',Y'$ einpunktig. In diesem Fall l"auft das auf die Erkenntnis hinaus, da"s beliebige Produkte von abelschen Gruppen eben im allgemeinen nicht mit Tensorprodukt kommutieren. In \ref{ueKFn} diskutiere ich, warum das unter st"arkeren Annahmen in Spezialsituationen doch ein Isomorphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Insgesamt scheint die Frage nat"urlich, inwieweit unsere sechs Funktoren \glqq mit $\boxtimes \mathcal G$ kommutieren\grqq. F"ur einen recht beliebigen Komplex $\mathcal G$ auf einem recht beliebigen Raum $Z$ scheinen f"ur $f:X\ra Y$ stetig nat"urliche Isomorphismen $$(f\times {\op{id}}_Z)^\ast (\mathcal F\boxtimes \mathcal G) \sira f^\ast \mathcal F\boxtimes \mathcal G$$ $$(f\times {\op{id}}_Z)_! (\mathcal F\boxtimes \mathcal G) \sira f_! \mathcal F\boxtimes \mathcal G$$ unproblematisch und Konsequenzen des allgemeinen Kalk"uls. Im vorherigen Punkt diskutieren wir Annahmen zur Sicherung von $$(f\times {\op{id}}_Z)_* (\mathcal F\boxtimes \mathcal G) \sira f_* \mathcal F\boxtimes \mathcal G$$ Zur Sicherung von $$(f\times {\op{id}}_Z)^! (\mathcal F\boxtimes \mathcal G) \sira f^! \mathcal F\boxtimes \mathcal G$$ mag man versuchen, sich mit geeigneten Endlichkeitsannahmen auf den Fall zur"uckzuziehen, da"s $f$ die Einbettung eines Punktes ist, und den mit der Gysinsequenz aus den bereits diskutierten drei anderen F"allen herzuleiten. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Schreir"uckzug und Boxprodukt}] Seien $S$ garbengut und\label{Srp} $f:X\ra Y$ lesb und $k$ ein Kring. Sind zus"atzlich $\mathcal E\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(S,k)})$ und $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y,k)})$ beide starr, so ist der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus $$\mathcal E\boxtimes f^!\mathcal G\sira (\op{id}\times f)^!(\mathcal E\boxtimes \mathcal G)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schreir"uckzug und relatives Boxprodukt}] Seien allgemeiner $S\ra Z$ garbengut und\label{Srp} $Y\ra Z$ stetig und sonst alles wie zuvor. So ist mit derselben Argumentation der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus $$\mathcal E\boxtimes_Z f^!\mathcal G\sira (\op{id}\times f)^!(\mathcal E\boxtimes_Z \mathcal G)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir notieren $\op{pr}_{A,B}:A\times B\ra B$ und $\op{pr}_{B,A}:A\times B\ra A$ die Projektionen. Die Starrheit von $\mathcal G$ und "Ubung \ref{fMru} gefolgt von garbengutem Basiswechsel f"ur Schreir"uckzug \ref{rzT} liefern Isomorphismen $$ (\op{id}{\times} f)^!\underline{S{\times} Y} \otimes (\op{id}{\times} f)^*\op{pr}_{S,Y}^*\mathcal G\sira (\op{id}\times f)^!\op{pr}_{S,Y}^*\mathcal G \sila \op{pr}_{S,X}^* f^! \mathcal G $$ Da tensorieren wir nun $\op{pr}_{X,S}^*\mathcal E$ davor. Vorne schreiben wir es um mit der Identifikation $\op{pr}_{X,S}^*\mathcal E\sira (\op{id}{\times} f)^*\op{pr}_{Y,S}^*\mathcal E$ und erhalten Isomorphismen $$ (\op{id}{\times} f)^!\underline{S{\times} Y} \otimes (\op{id}{\times} f)^*(\mathcal E\boxtimes\mathcal G)\sira \op{pr}_{X,S}^*\mathcal E\otimes (\op{id}\times f)^!\op{pr}_{S,Y}^*\mathcal G \sila \mathcal E\boxtimes f^! \mathcal G $$ Schlie"slich ist nach Annahme $\mathcal E$ starr, also auch $\mathcal E\boxtimes\mathcal G$, und indem wir die linke Seite mit "Ubung \ref{fMru} zur"uckverwandeln ergibt sich die Behauptung bis auf die Aussage, da"s der im Beweis konstruierte Isomorphismus in der Tat mit dem in \ref{SruB} angegebenen Morphismus zusammenf"allt. Diese Pr"ufung m"ochte ich einem Studenten "uberlassen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Zweifacher Schreir"uckzug und Boxprodukt}] Seien $k$ ein Kring und $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ lesb und $X_1,Y_2$ garbengut und $f_2^!\underline{Y_2}$ starr. So ist f"ur $\mathcal G_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y_i,k)})$ starr der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus\label{zfex} $$f_1^!\mathcal G_1\boxtimes f_2^!\mathcal G_2\sira (f_1\times f_2)^!(\mathcal G_1\boxtimes \mathcal G_2)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zweifacher Schreir"uckzug und relatives Boxprodukt}] Gegeben seien ein Kring $k$ und lesb-Morphismen $f_1:X_1\ra Y_1$ und $f_2:X_2\ra Y_2$ "uber einem festen Raum $Z$ mit $X_1\ra Z$ und $Y_2\ra Z$ garbengut und $f_2^!\underline{Y_2}$ starr. So ist f"ur $\mathcal G_i\in \op{Der}(\op{Ab}_{/(Y_i,k)})$ starr der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus\label{zfex} $$f_1^!\mathcal G_1\boxtimes_Z f_2^!\mathcal G_2\sira (f_1\times f_2)^!(\mathcal G_1\boxtimes_Z \mathcal G_2)$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Man wende das vorhergehende Korollar \ref{Srp} zweimal an. Die Starrheit von $f_2^!\underline{Y_2}$ wird ben"otigt, um die Starrheit von $f_2^!\mathcal G_2$ zu zeigen, das ja nach "Ubung \ref{fMru} isomorph ist zu $f_2^!\underline{Y_2}\otimes f_2^*\mathcal G_2$. So gelingt dann die zweite Anwendung. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Dualisierende Garbe eines Produkts}] Seien $X,Y$ lesb-R"aume und $k$ ein Kring. Wir nehmen an, da"s $Y$ garbengut ist und eine starre dualisierende Garbe hat. So ist der Morphismus aus \ref{SruB} ein Isomorphismus\label{dGp} $$ \omega_X \boxtimes \omega_Y\sira \omega_{X\times Y}$$ \end{Korollar} \nichtfinal{Starre dualisierende Garbe ist selten. Das ist viel st"arker als konstruktibel! Man mu"s mit konstruktiblen Garben arbeiten.} \begin{proof} Wir wenden das vorhergehende Korollar \ref{zfex} an mit $X_1=X$ und $X_2=Y$ und $Y_1=Y_2$ der Einpunktraum. \end{proof} \subsection{Schreiazyklische Morphismen} \nichtfinal{Bis hierher gekommen mit garbengut! Ich wei"s nicht, wie n"otig das folgende ist. Ich stelle es erst einmal zur"uck.} \begin{Lemma}[\textbf{Verschwindung durch Dualit"at auf Mannigfaltigkeiten}] Gegeben eine Mannigfaltigkeit $X$ gilt f"ur jeden Komplex abelscher Garben $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ die Implikation\label{vkMF} $$(\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{X})=0\;\RA\; \mathcal F=0$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, in dem es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere Koeffizienten in Hauptidealringen und K"orpern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Seien $x\in X$ ein Punkt und $i_x:\op{pt}\hra X$ seine Einbettung und $d$ die Dimension von $X$. Wir finden $$\begin{array}{llll} (\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{X})=0&\RA& i_{x}^!(\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{X})=0&\\ &\RA&(i_{x}^*\mathcal F{\Rrightarrow}i_{x}^!\underline{X})=0&\text{mit \ref{rVDe},}\\ &\RA&(i_{x}^*\mathcal F{\Rrightarrow}\underline{\op{pt}})=0&\text{wegen $i_{x}^!\underline{X}\cong \underline{\op{pt}}[-d]$,}\\ &\RA&i_{x}^*\mathcal F=0&\text{mit \ref{dABG}.} \end{array}$$ Da das nun f"ur alle $x\in X$ gilt, mu"s jeder Repr"asentant von $\mathcal F$ ein halmweise exakter Komplex sein, also ein exakter Komplex, was zu zeigen war. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Verschwindung durch Dualit"at auf Filtrierfaltigkeiten}] Gegeben eine \hyperref[dFiV]{Filtrierfaltigkeit} $X$ gilt f"ur jeden Komplex abelscher Garben $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ die Implikation\label{VdDf} $$\mathbb D_X\mathcal F=0\;\RA\; \mathcal F=0$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere Koeffizienten in Hauptidealringen und K"orpern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir argumentieren durch Induktion "uber die Dimension und nehmen an, es sei $n\geq 0$ gegeben und das Lemma sei bereits bewiesen f"ur $(n-1)$-Filtrierfaltigkeiten. Im Fall $n=0$ ist das die leere Menge und in dem Fall ist es klar. Im allgemeinen finden wir eine Zerlegung $X=U\sqcup Z$ mit $U\co X$ einer $n$-Mannigfaltigkeit und $Z\As X$ einer $(n-1)$-Filtrierfaltigkeit. Bezeichne $j:U\hra X$ und $i:Z\hra X$ die Einbettungen. Da $\omega_U$ bis auf Gradverschiebung lokal isomorph ist zu $\underline{U}$ und da nach \ref{gVRT} das interne Hom mit offenem R"uckzug vertauscht, folgt aus dem Verschwindungskriterium f"ur Mannigfaltigkeiten \ref{vkMF} bereits $j^*\mathcal F=0$ alias $j^!\mathcal F=0$ und das Gysin-Dreieck liefert einen Isomorphismus $\mathcal F\sira i_*i^*\mathcal F$. Nun gilt $i_*=i_!$ und mit relativer Verdierdualit"at \ref{rVDe} $$0=(\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_X)= (i_!i^*\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_X)= i_*(i^*\mathcal F{\Rrightarrow}i^!\omega_X)=i_*(i^*\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_Z)$$ Anwenden von $i^*$ impliziert $(i^*\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_Z)=0$ und die Induktionsannahme zeigt $i^*\mathcal F=0$ und zusammen $\mathcal F=0$ wie gew"unscht. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Verschwindungskriterium auf Filtrierfaltigkeiten}] Seien $X$ eine \hyperref[dFiV]{Filtrierfaltigkeit} und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ein Komplex abelscher Garben auf $X$. Besitzt jeder Punkt $x\in X$ ein konfinales System offener Umgebungen $U\co X$ mit $c_!j^*\mathcal F=0$ f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung und $c:U\ra \op{pt}$ die konstante Abbildung, so folgt\label{VeFi} $$\mathcal F=0$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere also mit Koeffizienten in Hauptidealringen und K"orpern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wegen $\mathbb D c_!\cong c_*\mathbb D$ und $\mathbb D j^*\cong j^!\mathbb D\cong j^*\mathbb D$ folgt aus dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} bereits $\mathbb D\mathcal F=0$ sogar f"ur jeden lesb-Raum. Da $X$ eine Filtrierfaltigkeit ist, folgt aus der Verschwindung durch Dualit"at \ref{VdDf} weiter $\mathcal F=0$. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Verschwindung auf Produkt mit Filtrierfaltigkeit}] Seien $X$ eine \hyperref[dFiV]{Filtrierfaltigkeit}, $Y$ ein topologischer Raum und $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X\times Y})$. Besitzt jeder Punkt $x\in X$ ein konfinales System offener Umgebungen $U\co X$ mit $\op{pr}_!(j\times\op{id})^*\mathcal F=0$ f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung und\label{VPF} $\op{pr}:U\times Y\ra Y$ die Projektion, so folgt $$\mathcal F=0$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere also mit Koeffizienten in Hauptidealringen und K"or\-pern, vergleiche \ref{dABGb}. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Gegeben $y\in Y$ und $i_y:\op{pt}\ra Y$ die zugeh"orige Einbettung haben wir ein kartesisches Diagramm $$\begin{array}{ccc} X&\ra &X\times Y\\ \da&&\da\\ \op{pt}&\ra& Y \end{array}$$ mit $i_y$ in der unteren Horizontale, dessen obere Horizontale wir $h_y$ notieren. Mit Basiswechsel und dem in \ref{VeFi} behandelten Fall des Einpunktraums $Y$ zeigen unsere Annahmen $h_y^*\mathcal F=0$. Da das f"ur alle $y\in Y$ gilt, folgt $\mathcal F=0$. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben eine offenlokal basazyklische Filtrierfaltigkeit $X$ und ein beliebiger Raum $Y$ und $\op{pr}_Y:X\times Y\ra Y$ die Projektion ist f"ur alle $\mathcal G\in \op{Der}(\op{Ab}_{/Y})$ der Morphismus aus \ref{fter} ein Isomorphismus $$\op{avf}:\op{pr}_Y^!\underline{Y}\otimes \op{pr}_Y^*\mathcal G\sira \op{pr}_Y^!\mathcal G$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Dasselbe gilt mit Koeffizienten "uber jedem Kring, falls es f"ur den Einpunktraum gilt, insbesondere also mit Koeffizienten in Hauptidealringen und K"or\-pern, vergleiche \ref{dABGb}. \nichtfinal{Sollte f"ur starres $\mathcal G$ eh immer gelten?} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Nach \ref{VPF} und unseren Annahmen reicht es zu zeigen, da"s f"ur $X$ bas\-azyk\-lisch der fragliche Morphismus einen Isomorphismus $$\op{pr}_{Y!}(\op{pr}_Y^!\underline{Y}\otimes \op{pr}_Y^*\mathcal G)\sira \op{pr}_{Y!}\op{pr}_Y^!\mathcal G$$ induziert. Nach Annahme liefert aber die Koeinheit der Adjunktion einen Isomorphismus $\op{pr}_{Y!}\op{pr}_Y^!\mathcal G\sira \mathcal G$ und die linke Seite k"onnen wir mit der Projektionsformel umschreiben zu $(\op{pr}_{Y!}\op{pr}_Y^!\underline{Y})\otimes \mathcal G$ und weiter zu $\underline{Y}\otimes \mathcal G$ und schlie"slich zu $\mathcal G$. Der Leser mag pr"ufen, da"s unter diesen Isomorphismen der urspr"ungliche Morphismus der Identit"at auf $\mathcal G$ entspricht. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein Kring $k$ und ein offenlokal basbagazyklischer lesb-Raum $X$ ist der durch Adjunktion aus der Identi"at auf der dualisierenden Garbe $\omega_X$ entstehende\label{sfom} Morphismus, vergleiche \eref{idMH}{TSK}, ein Isomorphismus $$\underline{X}\sira (\omega_X{\Rrightarrow}\omega_X)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Nach dem Verschwindungskriterium \ref{VersKK} reicht es f"ur jede Einbettung $j:U\hra X$ einer offenen basbagazyklischen Teilmenge zu zeigen, da"s unser Morphismus einen Isomorphismus $$\op{fin}_* j^*\underline{X}\sira \op{fin}_* j^*(\omega_X{\Rrightarrow}\omega_X)$$ induziert. Es reicht also zu zeigen, da"s f"ur $X$ selbst basbagazyklisch und $a:X\ra\op{pt}$ die konstante Abbildung unser Morphismus einen Isomorphismus $$a_*a^*\underline{\op{pt}}\sira a_*(a^!\underline{\op{pt}}{\Rrightarrow}a^!\underline{\op{pt}})$$ induziert. Er pa"st jedoch in ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ a_*a^*\underline{\op{pt}} \ar[rr] &&a_*(a^!\underline{\op{pt}}{\Rrightarrow}a^!\underline{\op{pt}}) \\ \underline{\op{pt}} \ar[r]^-\sim \ar[u]^\wr& \underline{\op{pt}}{\Rrightarrow}\underline{\op{pt}}\ar[r]^-\sim & (a_!a^!\underline{\op{pt}}){\Rrightarrow}\underline{\op{pt}} \ar[u]^\wr } \end{displaymath} mit der rechten Vertikale nach relativer Verdierdualit"at \ref{rVDe}, dessen andere Pfeile aufgrund der Annahmen offensichtlich Isomorphismen sind. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein offenlokal basbagazyklischer lesb-Raum $X$ mit starrer dualisierender Garbe $\omega_X$ ist die dualisierende Garbe eine Einheit der Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ im Sinne von \eref{EIIp}{TSK}. In der Tat sind dann die offensichtlichen Morphismen Isomorphismen $$\omega_X^\vee\otimes \omega_X\sira (\omega_X{\Rrightarrow}\omega_X)\sila \mathbb I$$ wegen Starrheit und Lemma \ref{sfom}. Weiter ist unter diesen Annahmen f"ur jedes starre $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $$\mathcal F^\vee\otimes\omega_X\sira (\mathcal F{\Rrightarrow}\omega_X)=\mathbb D \mathcal F$$ und der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $$\mathcal F\sira \mathbb D \mathbb D \mathcal F$$ wegen der Faktorisierung $\mathbb D \mathbb D \mathcal F\sira (\mathcal F^\vee\otimes\omega_X)^\vee\otimes\omega_X\sira \mathcal F^{\vee\vee}\otimes\omega_X^\vee\otimes\omega_X\sira \mathcal F$ des inversen Morphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Gegeben ein lesb-Raum $X$ und darauf ein Garbenkomplex $\mathcal F$. Besitzt jeder Punkt ein Fundamentalsystem von offenen Umgebungen $U$ mit $\op{fin}_!j^*\mathcal F=0$ f"ur $j:U\hra X$ die Einbettung, so gilt $\mathcal F=0$. \nichtfinal{Klappt nicht!} \end{Proposition} \begin{proof} Nach \ref{KWAUn} besitzt jede abelsche Garbe eine kompaktweiche Aufl"osung der L"ange h"ochstens die homologische Dimension von $\Gamma_!$ plus Eins. Also ist $\mathcal F$ quasiisomorph zu einem Komplex von kompaktweichen Garben. Ist unser Komplex nicht exakt, so gibt es einen Punkt $x\in X$ und $n\in\DZ$ derart, da"s die Sequenz der Halme $\mathcal F_x^{n-1}\ra \mathcal F_x^{n}\ra \mathcal F_x^{n+1}$ nicht exakt ist. Sei $s_x\in\mathcal F_x^{n}$ mit $s_x\mapsto 0$ nicht im Bild. So gibt es $U\co X$ offen um $x$ und einen Repr"asentanten $s\in \mathcal F_x^{n}(U)$ des Halms $s_x$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die Verkn"upfung von zwei mannigfaltigen Abbildungen ist wieder eine mannigfaltige Abbildung. Ist in einem kartesischen Diagramm von topologischen R"aumen eine Ausgangskante $d$-mannigfaltig, so auch die gegen"uberliegende Kante aus dem Faserprodukt. \end{Ubung} \begin{Ubung} (Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht.) Ist $fp=qg$ ein erlaubtes Basisquadrat einer voll trennverflochtetenen Trennaustauschsituation mit finalem Objekt in der Basis und ist $f$ orientierbar, so ist auch $g$ orientierbar und die Transformation aus \ref{FleB} ist eine Isotransformation\label{OrZue} $$p^*f^!\siRa g^!q^*$$ Insbesondere induziert jede $[u]$-Orientierung von $f$ eine $[u]$-Orientierung von $g$. Wir nennen sie die {\bf zur"uckgezogene Orientierung}.\index{Orientierung!zur"uckgezogene} \end{Ubung} \subsection{Relativ angereicherte Schmelz- und Trennkategorien} \nichtfinal{Echt n"otig hier?} \begin{Bemerkungl} "Ahnlich wie im Fall angereicherter Schmelzkategorien in \eref{SetZ}{TSK} folgende besprechen wir zun"achst \glqq relative additive Strukturen\grqq\ und \glqq relative $(\mathcal S,v)$-Strukturen\grqq, bevor wir das allgemeine Konzept einer relativen $\mathcal S$-Trennkategorie einf"uhren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Trennfunktor $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ erkl"aren wir eine {\bf relative additive Struktur}\index{additive Struktur!relative} als die Vorgabe einer Verkn"upfung auf der Menge\label{raSt} $$\mathscr M_f(\mathcal F,\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)$$ der Trennungen "uber einer festen Trennung $f:p\mathcal F \ra p\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge p\mathcal G_r$ der Basis f"ur beliebige Objekte $\mathcal F,\mathcal G_1,\ldots,\mathcal G_r\in\mathscr M$ derart, da"s unsere Mengen mit diesen Verkn"upfungen abelsche Gruppen werden und unsere Multiverkn"upfungen f"ur diese Gruppenstrukturen multiadditiv. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Relative additive Struktur der Opgarbentrennfaserung}] Bei unserer Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ ist f"ur jede feste Trennung der Basis $f=(f_1,\ldots,f_r)$ alias jedes Tupel stetiger Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ und abelsche Garben $\mathcal F, \mathcal G_i$ auf $X,Y_i$ die Menge $\op{Ab}_{\sslash{f}}(\mathcal F,\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)$ von Multiopkomorphismen eine abelsche Gruppe in offensichtlicher Weise und wir erhalten so eine \hyperref[raSt]{relative additive Struktur}.\label{aVa} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Eine Trennfaserung $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ mit additiven Fasern, deren Trennr"uckz"uge additiv sind in jeder Variablen, besitzt genau eine relative additive Struktur, die die eindeutig bestimmten additiven Strukturen auf den Fasern fortsetzt. Wir erhalten unsere relative additive Struktur der Opgarbentrennfaserung als Spezialfall ein weiteres Mal. \end{Beispiel} % \begin{Beispiel} %Formal haben wir ausgezeichnete Bijektionen %$$\begin{array}{lll} % {\op{Ab}}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal G_1\curlyvee\ldots \curlyvee\mathcal G_r)&\sira& % {\op{Ab}}_{/X}(f_1^*\mathcal G_1\otimes_X\ldots\otimes_X f_r^*\mathcal G_r,\mathcal F)\\[2mm] % &\sira& % {\op{Ab}}_{/X}\big(\curlyvee,(f_1^*\mathcal G_1\otimes_X\ldots\otimes_X f_r^*\mathcal G_r){\Rrightarrow}\mathcal F\big)\\[2mm] %&\sira& % {\op{Ab}}_{/{\op{pt}}}\big(\curlyvee,\op{fin}_{X*}((f_1^*\mathcal G_1\otimes_X\ldots\otimes_X f_r^*\mathcal G_r){\Rrightarrow}\mathcal F)\big)\\[2mm] %% &\sira& % \Gamma\op{fin}_{X*}\big((f_1^*\mathcal G_1\otimes_X\ldots\otimes_X f_r^*\mathcal G_r){\Rrightarrow}\mathcal F\big)\\[2mm]\end{array}$$ %mit der Isotransformation $\beta:\op{L}\siRa\Gamma$ aus \ref{AbpSm} ganz unten. %Indem wir die Addition von unten nach oben "ubertragen, erhalten wir %unsere relative additive Struktur auf der Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$. Mit $\mathcal B\pdef \mathcal G_1\curlyvee\ldots \curlyvee\mathcal G_r$ und weniger Umwegen %k"onnen wir unsere Bijektionen auch schreiben als %$$ % {\op{Ab}}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal B)\sira % {\op{Ab}}_{{\sslash}X}(\mathcal F,f^\dagger \mathcal B)\sira % {\op{Ab}}_{{\sslash}{\op{Top}}}(f^*\mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F,\curlywedge)\sira % \Gamma(f^*\mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F) % $$ %\end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Relative additive Struktur durch Leerfaktorisierung}] Gegeben eine Trennfaserung "uber einer banalen Trennkategorie $\mathscr M\ra\curlywedge\mathscr T$ mit Multihom in den opponierten Fasern und eine Faktorisierung ${\op{L}}^{\op{opp}}=v\circ {\op{A}}$ des opponierten Leertrennungsfunktors "uber $v:\op{Ab}\ra \op{kEns}$ erhalten wir eine relative additive Struktur auf unserer Trennfaserung, indem wir Additionen auf den Verschmelzungsmengen dadurch festlegen, da"s die durch unsere Daten gegebenen Bijektionen $\mathscr M_f(\mathcal F,\mathcal B)\sira v{\op{A}}(f^*\mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F)$ Isomorphismen von abelschen Gruppen sein sollen.\label{adTLr} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Trennfunktor $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ und ein treuer Schmelzfunktor $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$ verstehen wir unter einer {\bf relativen $(\mathcal S,v)$-Struktur} die\index{$(\mathcal S,v)$-Struktur!relative} Vorgabe einer $(\mathcal S,v)$-Struktur auf der Menge $$\mathscr M_f(\mathcal F,\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)$$ der Trennungen "uber einer festen Trennung $f:p\mathcal F \ra p\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge p\mathcal G_r$ der Basis f"ur beliebige Objekte $\mathcal F,\mathcal G_1,\ldots,\mathcal G_r\in\mathscr M$ derart, da"s die Multiverkn"upfungen mit den jeweiligen $(\mathcal S,v)$-Strukturen vertr"aglich sind. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die relativen additiven Strukturen in Bezug auf einen vorgegebenen Trennfunktor entsprechen in offensichtlicher Weise eineindeutig den relativen $(\op{Ab},v)$-Strukturen.\label{adABr} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben sei eine Trennfaserung $\mathscr M\ra \curlywedge\mathscr T$ \hyperref[TfAd]{mit Adjungierten} "uber einer banalen Trennkategorie mit finalem Objekt $\op{pt}$. Hat die Schmelzkategorie $\mathscr M_{/{\op{pt}}}$ einen treuen Leerverschmelzungsfunktor, so erhalten wir auf unserer Trennfaserung eine relative $(\mathscr M_{/{\op{pt}}},\op{L})$-Struktur vermittels\label{trLOr} der Bijektionen $$ \mathscr M_{f}(\mathcal F,\mathcal B)\sira \mathscr M_{X}(\mathcal F,f^\dagger \mathcal B)\sira \mathscr M_{/X}(\curlyvee,f^* \mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F)\sira \mathscr M_{/{\op{pt}}}(\curlyvee,\op{fin}_{X*}(f^* \mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F)) $$ Wir nennen sie die {\bf relative Finalstruktur}.\index{Finalstruktur, relative} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Relative Finalstruktur der Opgarbentrennfaserung}] Die als relative Finalstruktur nach \ref{trLOr} gegebene relative $(\op{Ab}_{/{\op{pt}}},\op{L})$-Struktur auf der Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$\label{vira} wird unter der offensichtlichen Schmelz\-"aqui\-va\-lenz $\op{Ab}_{/{\op{pt}}}\sirra \op{Ab}$ zu einer $(\op{Ab},v)$-Struktur, die unter unseren Konstruktionen aus \ref{adABr} hinwiederum der relativen additiven Struktur aus \ref{aVa} entspricht. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Schmelzkategorie $\mathcal S$ und eine Trennkategorie $\mathscr N$ erkl"aren wir eine {\bf $\mathcal S$-Trennkategorie $\mathscr M$ "uber $\mathscr N$} als ein Datum aus einer Menge $\mathscr M$ von Objekten, einer Abbildung $p:\mathscr M\ra \mathscr N$ und f"ur Objekte $\mathcal F,\mathcal G_1,\ldots,\mathcal G_r\in\mathscr M$ und jede Trennung $f:p\mathcal F \ra p\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge p\mathcal G_r$ der Basis ein {\bf Trennobjekt} $$\mathscr M_f(\mathcal F,\mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge \mathcal G_r)\in\mathcal S$$ sowie Multiverkn"upfungen, die Verschmelzungen in $\mathcal S$ sind derart, da"s das offensichtliche Analogon der Assoziativit"atsbedingung aus unserer Definition einer Schmelzkategorie erf"ullt ist und da"s es f"ur jede Einsfamilie $\mathcal F$ eine Leertrennung $\op{id}_{\mathcal F}\in\mathcal S(\curlyvee, \mathscr M_{\op{id}}(\mathcal F_*,\mathcal F))$ in das Trennobjekt "uber $\op{id}_{p\mathcal F}$ gibt, das die Analoga unserer Forderungen an Identit"atsverschmelzungen aus \eref{anS}{TSK} erf"ullt. Als wieder andere Sprechweise sagen wir,\index{angereichert!relativ} {\bf $\mathscr M$ sei angereichert in $\mathcal S$ "uber $\mathscr N$} und schreiben $\mathscr M/\mathcal S\ra \mathscr N$ oder $\mathscr M/(\mathcal S, \mathscr N)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Sei $\mathscr N$ eine Trennkategorie. Ein Trennfunktor $\mathscr M\ra\mathscr N$ ist dasselbe wie eine $\op{kEns}$-Trennkategorie $\mathscr M$ "uber $\mathscr N$. Eine $\op{Ab}$-Trennkategorie $\mathscr M/{\op{Ab}}\ra \mathscr N$ ist dasselbe wie ein Trennfunktor $\mathscr M\ra\mathscr N$ mit einer relativen additiven Struktur. \end{Beispiele} \begin{Beispiel} Sei $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$ ein treuer Schmelzfunktor. Wir erinnern aus \eref{SStr}{TSK} die Schmelzkategorie $\op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$ der Mengen mit $(\mathcal S,v)$-Struktur. Ein Trennfunktor $\mathscr M\ra\mathscr N$ mit relativer $(\mathcal S,v)$-Struktur ist eine $\op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$-Trenn\-ka\-te\-go\-rie $\mathscr M/\op{kEns}_{(\mathcal S,v)}\ra\mathscr N$ "uber $\mathscr N$. Es ist auch im wesentlichen dasselbe wie eine $\mathcal S$-Trenn\-ka\-te\-go\-rie $\mathscr M/\mathcal S\ra\mathscr N$ "uber $\mathscr N$, wie in \ref{stSCHr} ausgef"uhrt wird.\label{ttle} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra\mathcal T$ und eine Trennkategorie $\mathscr N$ und angereicherte Trennfunktoren $\mathscr L/\mathcal S\ra\mathscr N$ sowie $\mathscr M/\mathcal T\ra\mathscr N$ erkl"aren wir einen {\bf angereicherten Trennfunktor $F$ "uber $\varphi$ relativ zu $\mathscr N$} ein Datum aus einer Abbildung auf den Objekten $F:\mathscr L\ra \mathscr M$ "uber $\mathscr N$ zusammen mit $\mathcal T$-Morphismen $$F: \varphi(\mathscr L_f(\mathcal F,\mathcal B))\ra \mathscr M_f(F\mathcal F,F\mathcal B)$$ f"ur jede Trennung $f$ der Basis $\mathscr N$, die mit Multiverkn"upfungen vertr"aglich sind und Identit"aten auf Identit"aten werfen in der offensichtlichen Weise. Wir notieren so einen relativ angereicherten Trennfunktor $F$ auch ausf"uhrlicher $F/\varphi$ oder $F/(\varphi,\mathscr N)$. Einigen Spezialf"allen geben wir eigene Namen.\label{reATF} \begin{enumerate} \item Relativ angereicherte Trennfunktoren, die die Identit"at auf den Objektmengen sind, nennen wir {\bf objektfest};\index{objektfest} \item Relativ angereicherte Trennfunktoren, bei denen die induzierten $\mathcal T$-Morphismen s"amtlich Isomorphismen $F: \varphi(\mathscr L_f(\mathcal F,\mathcal B))\sira \mathscr M_f(F\mathcal F,F\mathcal B)$ sind, nennen wir {\bf $\varphi$-volltreu};\index{volltreu!$\varphi$-volltreu} \item Relativ angereicherte Trennfunktoren von relativen $\mathcal S$-Trennkategorien "uber $\varphi=\op{id}:\mathcal S\ra \mathcal S$ nennen wir {\bf relative $\mathcal S$-Trennfunktoren}.\index{Trennfunktor!$\mathcal S$-Trennfunktor!relativer} \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relatives Umstrukturieren}] Gegeben eine relative $\mathcal S$-Trennkategorie $\mathscr M/(\mathcal S, \mathscr N)$ und ein Schmelzfunktor $\varphi:\mathcal S\ra \mathcal T$ erkl"aren wir eine $\mathcal T$-Trenn\-ka\-te\-go\-rie $\varphi(\mathscr M)/(\mathcal T, \mathscr N)$, indem wir $\varphi$ auf alle Trennobjekte und Multiverkn"upfungen von $\mathscr M$ anwenden. Wir sagen, $\varphi(\mathscr M)$ entstehe durch {\bf relatives Umstrukturieren von $\mathscr M$ mit $\varphi$}.\index{Umstrukturieren} Die Identit"at auf den Objekten zusammen mit den Identit"aten auf den Bildern unter $\varphi$ der Trennungsobjekte ist dann ein objektfester angereicherter Trennfunktor\label{rUs} $${\op{U}}/(\varphi,\mathscr N): \mathscr M/(\mathcal S,\mathscr N)\ra \varphi(\mathscr M)/(\mathcal T,\mathscr N)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein treuer Schmelzfunktor $v:\mathcal S\ra \op{kEns}$ macht das Umstrukturieren mit der Schmelz"aquivalenz $v:\mathcal S\sirra \op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$ jede relative $\mathcal S$-Trenn\-ka\-te\-go\-rie $\mathscr M/(\mathcal S,\mathscr N)$ zu einer Schmelzkategorie $\mathscr M\ra\mathscr N$ mit relativer $(\mathcal S,v)$-Struktur.\label{stSCHr} Ist unsere Schmelz"aquivalenz ein Isomorphismus $v:\mathcal S\sira \op{kEns}_{(\mathcal S,v)}$, so k"onnen wir diese Konstruktion auch r"uckg"angig machen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative Selbstanreicherung}] Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr M\ra \curlywedge\mathscr T$ \hyperref[TfAd]{mit Adjungierten} "uber einer banalen Trennkategorie mit finalem Objekt $\op{pt}$ konstruieren wir eine $\mathscr M_{/{\op{pt}}}$-Trennkategorie $\mathscr M^{\op{sa}}$ "uber $\curlywedge\mathscr T$ mit Trennobjekten $$\mathscr M^{\op{sa}}_f(\mathcal F,\mathcal B) \pdef\op{fin}_{X*}(f^* \mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F)$$ und Multiverkn"upfungen, statt derer ich der Einfachkeit halber nur die einfachen Verkn"upfungen ausschreibe. Gegeben $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ in der Basis und $\mathcal F,\mathcal G,\mathcal H$ Objekte der jeweiligen Fasern gilt es, eine Verschmelzung $$\op{fin}_{Y*}(g^*\mathcal H{\Rrightarrow}\mathcal G)\curlyvee \op{fin}_{X*}(f^*\mathcal G{\Rrightarrow}\mathcal F) \ra \op{fin}_{X*}((gf)^*\mathcal H{\Rrightarrow}\mathcal F)$$ anzugeben. Dazu bilden wir mit der Einheit der Adjunktion $(f^*,f_*)$ und dem He\-rein\-zie\-hen eines R"uckzugs in das interne Hom \ref{fuiH} die Komposition $$\op{fin}_{Y*}(g^*\mathcal H{\Rrightarrow}\mathcal G)\ra \op{fin}_{Y*}f_*f^*(g^*\mathcal H{\Rrightarrow}\mathcal G)\ra \op{fin}_{X*}((gf)^*\mathcal H{\Rrightarrow}f^*\mathcal G)$$ Nach diesem Morphismus im Term ganz links unserer zu erkl"arenden Verschmelzung verwenden wir den ausgezeichneten Morphismus \ref{fuiHS} vom Tensorprodukt von Vorsch"uben zum Vorschub eines Tensorprodukts und die Komposition von internem Hom in der Schmelzkategorie $\mathscr M_{/X}$. Jetzt gilt es, dasselbe f"ur Multiverkn"upfungen auszuschreiben und alles so "ubersichtlich zu strukturieren, da"s klar wird, da"s wir so in der Tat eine relativ angereicherte $\mathscr M_{/{\op{pt}}}$-Trennkategorie $$\mathscr M^{\op{sa}}/(\mathscr M_{/{\op{pt}}},\curlywedge{\mathscr T})$$ "uber $\curlywedge{\mathscr T}$ erhalten. Das m"ochte ich einem Studenten "uberlassen. Ebenso m"ochte ich es einem Studenten "uberlassen zu zeigen, da"s wir einen objektfesten Isomorphismus\label{aSad} $${\op{L}}(\mathscr M^{\op{sa}})\sira \mathscr M$$ der Umstrukturierung der automatischen Selbstanreicherung mit dem Leerverschmelzungsfunktor von $\mathscr M_{/{\op{pt}}}$ zu unserer urspr"unglichen Trennfaserung erhalten, indem wir alle die Bijektionen $$\begin{array}{lll} \op{L}(\mathscr M^{\op{sa}}_f(\mathcal F, \mathcal B)) &=& \mathscr M_{/{\op{pt}}}(\curlyvee,\op{fin}_{X*}(f^*\mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F))\\&\sira& \mathscr M_{/X}(\curlyvee,f^*\mathcal B{\Rrightarrow}\mathcal F)\\ &\sira& \mathscr M_{/X}(f^*\mathcal B,\mathcal F) \\ &\sira& \mathscr M_{X}(\mathcal F,f^\dagger\mathcal B) \\ &\sira&\mathscr M_{f}(\mathcal F,\mathcal B) \end{array} $$ zusammenfassen. Hier kommt der Isomorphismus der zweiten Zeile von \ref{VfTF} her, wo wir allgemein Bijektionen $\mathscr M^{\op{opp}}(\curlyvee, \mathcal H)\sira \mathscr M_{/{\op{pt}}}(\curlyvee, \op{fin}_*\mathcal H)$ konstruieren. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr M\ra \curlywedge\mathscr T$ \hyperref[TfAd]{mit Adjungierten} "uber einer banalen Trennkategorie mit finalem Objekt $\op{pt}$ derart, da"s $\mathscr M_{/{\op{pt}}}$ einen treuen Leerverschmelzungsfunktor hat, liefert der objektfeste Isomorphismus $\op{L}(\mathscr M^{\op{sa}})\sira\mathscr M$ aus \ref{aSad} die relative $(\mathscr M_{/{\op{pt}}},\op{L})$-Struktur auf $\mathscr M$ aus \ref{trLOr}. Im Fall der Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra\curlywedge{\op{Top}}$ erhalten wir mit \ref{vira} unsere urspr"ungliche relative additive Struktur zur"uck. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die hier f"ur Trennkategorien eingef"uhrten Begriffsbildungen verwenden wir analog auch f"ur Schmelzkatgorien und betrachten sie auch als eingef"uhrt f"ur gew"ohnliche Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung relativer additiver Strukturen}] \nichtfinal{Wie n"otig hier?} Sei ein Funktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ mit einer relativen additiven Struktur nach \ref{raSt} gegeben und sei $S$ ein globales Rechtsoresystem in $\mathscr C$ "uber den Identit"aten\label{FFLadd} von $\mathscr B$. So gibt auf $p_S:S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ genau eine relative additive Struktur, f"ur die $Q:\mathscr C\ra S^{-1}\mathscr C$ ein $\op{Ab}$-Funktor "uber $\mathscr B$ ist im Sinne von \ref{reATF}. In der Tat k"onnen wir Rechtsbr"uche addieren, indem wir sie auf einen Hauptnenner bringen, und erhalten so aus der vorgegebenen $(\op{Ab},v)$-Strukturen auf $\mathscr C_f(\mathcal F,\mathcal G)$ "uber einem Morphismus $f:X\ra Y$ der Basis eine wohldefinierte $(\op{Ab},v)$-Struktur auf $( S^{-1}\mathscr C)_f(\mathcal F,\mathcal G)$. Da"s diese $(\op{Ab},v)$-Strukturen eine relative additive Struktur bilden und auch die einzige mit den geforderten Eigenschaften, mag der Leser selber pr"ufen. Dasselbe gilt f"ur Linksoresysteme. \end{Bemerkungl} \subsection{Homotopie f"ur unbequeme Schmelzkategorien*} \begin{Bemerkungl} Die in \ref{bequ} folgende diskutierten Konstruktionen gelingen auch noch in gr"o"serer Allgemeinheit, aber es f"allt mit schwer, dabei die Vorzeichen im Zaum zu halten. Dieser Abschnitt bleibt deshalb eine Skizze.\label{ubeq} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine $\op{Ab}$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M/{\op{Ab}}$ k"onnen wir etwa eine $\op{sgAb}$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie\label{VuF} $${\op{sga}}\mathcal M={\op{sga}}\mathcal M/{\op{sgAb}}$$ dadurch erkl"aren, da"s die Schreibanordnung f"ur die homogenen Komponenten der Verschmelzungsobjekte Isomorphismen von abelschen Gruppen $${\op{sga}}\mathcal M(X_1\curlyvee\ldots\curlyvee X_r,Y)^n\;\sira \prod_{i_1+\ldots+i_r+n=j}\mathcal M(X_1^{i_1}\curlyvee\ldots\curlyvee X_r^{i_r},Y^j)$$ liefert und da"s die Multiverkn"upfung die offensichtliche ist bis auf Vorzeichen. Ich f"uhre die Vorzeichen nur in einem Beispiel aus. Gegeben Objekte $X_{ij}, Y_j, Z\in {\op{sg}}\mathcal M$ gilt es, eine Verkn"upfungsverschmelzung von $$ {\op{sga}}\mathcal M(X_{11}\curlyvee X_{21}, Y_1)\curlyvee {\op{sga}}\mathcal M(X_{12}, Y_2)\curlyvee {\op{sga}}\mathcal M(Y_1\curlyvee Y_2, Z)$$ nach ${\op{sga}}\mathcal M(X_{11}\curlyvee X_{21}\curlyvee X_{12}, Z)$ anzugeben. Unter Beachtung der Schreib\-an\-ord\-nung der drei Faktoren bedeutet das, multiadditive Abbildungen von $$ {\op{sga}}\mathcal M(X_{11}\curlyvee X_{21}, Y_1)^r\times {\op{sga}}\mathcal M(X_{12}, Y_2)^s\times {\op{sga}}\mathcal M(Y_1\curlyvee Y_2, Z)^t$$ nach ${\op{sga}}\mathcal M(X_{11}\curlyvee X_{21}\curlyvee X_{12}, Z)^{r+s+t}$ anzugeben. Wir haben also gewisse Tupel von Verschmelzungen gegeben und wollen ein Tupel von Verschmelzungen erhalten, in dem ein Eintrag $h$ zu $\mathcal M(X_{11}^i\curlyvee X_{21}^j\curlyvee X_{12}^k, Z^{i+j+k+r+s+t})$ geh"ort. Zur Verf"ugung haben wir Verschmelzungen $ f_1\in \mathcal M(X_{11}^i\curlyvee X_{21}^j, Y_1^{i+j+r})$ und $f_2\in \mathcal M(X_{12}^k, Y_2^{k+s})$ und $g\in \mathcal M(Y_1^{i+j+r}\curlyvee Y_2^{k+s}, Z^{i+j+k+r+s+t})$. Wir werden $$h=\pm g\circ (f_1\curlyvee f_2)$$ nehmen wollen und es bleibt nur noch, das richtige Vorzeichen anzugeben. Dazu schreiben wir symbolisch $$h(x_{11},x_{21},x_{12})= g\circ (f_1\curlyvee f_2)(x_{11},x_{21},x_{12})$$ und da wir \glqq zum Einsetzen $x_{11}$ und $x_{21}$ an $f_2$ vorbeiziehen m"u"sten\grqq, nehmen wir das Vorzeichen $(-1)^{is+js}$. Nun haben wir an verschiedenen Stellen Anordnungen gew"ahlt, um Verschmelzungen supergraduierter Objekte mit gew"ohnlichen Verschmelzungen zu identifizieren. Eine andere Wahl dieser Anordnungen "andert diese Identifikationen um Vorzeichen. Um die behauptete $\op{sgAb}$-Anreicherung zu erhalten, gilt es zu pr"ufen, da"s unsere Verkn"upfungsverschmelzungen von diesen Wahlen nicht abh"angen. Das ist klar, wenn wir in der supergraduierten Version Multihom zur Verf"ugung haben. Es folgt im allgemeinen, da es ja ausreicht, die fraglichen Vorzeichenvertr"aglichkeiten im Fall der Schmelzkategorie der abelschen Gruppen zu pr"ufen und da wir in $\op{sgAb}$ Multihom zur Verf"ugung haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative Darstellungen als angereicherte Schmelzkategorie}] Gegeben eine Trennschmelzkategorie $\mathcal S$ und ein kokommutatives Hopfobjekt $\Omega\in \mathcal S$ und eine angereicherte Schmelzkategorie $\mathcal M/\mathcal S$ k"onnen wir die $\Omega$-Moduln in $\mathcal M$, wie sie in \eref{rOm}{TSK} eingef"uhrt wurden, zu einer Schmelzkategorie\label{rDaS} $$(\mathcal M/\mathcal S)_{\Omega{\sacts}}$$ "uber der "aquivarianten Schmelzkategorie $\mathcal S_{\Omega{\sacts}}$ machen, indem wir die Operation von $\Omega$ auf einem Verschmelzungsobjekt $\mathcal M(X_1\curlyvee \ldots\curlyvee X_r,Y)$ erkl"aren wie folgt: Per definitionem haben wir auf diesem Verschmelzungsobjekt paarweise kommutierende Operationen der $\mathcal M(X_\rho)$ von rechts sowie von $\mathcal M(Y)$ von links alias eine Linksoperation von $$\mathcal M(X_1)^{\op{opp}}\otimes \ldots\otimes \mathcal M(X_r)^{\op{opp}}\otimes \mathcal M(Y)$$ Dieser Linksoperation schalten wir die iterierte Komultiplikation $\Omega\ra \Omega^{\otimes r+1}$ vor gefolgt vom Tensorprodukt der Monoidhomomorphismen $\mu_\rho\circ S:\Omega\ra \mathcal M(X_\rho)^{\op{opp}}$ mit $S$ der Antipode von $\Omega$ und $\mu:\Omega\ra \mathcal M(Y)$. Da"s die Verkn"upfungsverschmelzungen dann in der Tat $\Omega$-"aquivariant sind, mag der Leser zur "Ubung selber pr"ufen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komplexe in $\op{Ab}$-Schmelzkategorien}] Gegeben eine $\op{Ab}$-Schmelz\-ka\-te\-go\-rie $\mathcal M$ erkl"aren wir einen {\bf Komplex aus $\mathcal M$} als eine relative Darstellung $X\in {\op{sga}}\mathcal M$ des Hopfbiabmonoids der Differentiale $D\in {\op{sgAb}}$ aus \eref{DAH}{TSK}. Diese Komplexe bilden nach unseren allgemeinen "Uberlegungen zu Darstellungen \ref{rDaS} ihrerseits eine "uber ${\op{dgAb}}$ angereicherte Schmelzkategorie\label{KOMH} $${\op{dg}}\mathcal M ={\op{dg}}\mathcal M/{\op{dgAb}}=({\op{sg}}\mathcal M/{\op{sgAb}})_{D{\sacts}}$$ Indem wir sie mit den Schmelzfunktoren $\mathcal Z^0,\mathcal H^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$ der Nullzykel beziehungsweise der nullten Homologie umstrukturieren, erhalten wir $\op{Ab}$-Schmelzkategorien, die wir $$\op{Ket}(\mathcal M)=\op{Ket}_{\mathcal M}\quad\text{und}\quad \op{Hot}(\mathcal M)=\op{Hot}_{\mathcal M}$$ notieren und die wir als die Schmelzkategorien der {\bf Komplexe in $\mathcal M$} beziehungsweise der {\bf Homotopiekomplexe in $\mathcal M$} ansprechen. Insbesondere haben wir also f"ur jeden Komplex $X$ in ${\op{dg}}\mathcal M$ einen Leerverschmelzungskomplex $${\op{dg}}\mathcal M(\curlyvee,X)\in {\op{dgAb}}$$ von abelschen Gruppen und erhalten f"ur Leerverschmelzungen zu Komplexen beziehungsweise Homotopiekomplexen die Beschreibung $$ \op{Ket}_{\mathcal M}(\curlyvee,X)=\mathcal Z^0{\op{dg}}\mathcal M(\curlyvee,X)\quad\text{und}\quad\op{Hot}_{\mathcal M}(\curlyvee,X)=\mathcal H^0{\op{dg}}\mathcal M(\curlyvee,X).$$ Man kann weiter zeigen, da"s $\op{Ket}_{\mathcal M}$ und $\op{Hot}_{\mathcal M}$ stabil universelle Verschmelzungen besitzen, wenn $\mathcal M$ stabil universelle Verschmelzungen besitzt und die zugrundeliegende einfache Kategorie abz"ahlbare Koprodukte und da"s der Funktor $\op{Ket}_{\mathcal M}\ra \op{Hot}_{\mathcal M}$ dann stabil universelle Verschmelzungen erh"alt. Ebenso kann zeigen, da"s $\op{Ket}_{\mathcal M}$ und $\op{Hot}_{\mathcal M}$ Multihom besitzen, wenn $\mathcal M$ Multihom besitzt und die zugrundeliegende einfache Kategorie abz"ahlbare Produkte hat und da"s der Funktor $\op{Ket}_{\mathcal M}\ra \op{Hot}_{\mathcal M}$ dann Multihom erh"alt. Ich f"uhre das nicht aus. \end{Bemerkungl} \subsection{Versuch} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verallgemeinerte starre Projektionsformel}] Gegeben $f : X \rightarrow Y$ stetig\label{ANNOvv} und $k$ ein Kring erhalten wir aus den Adjunktionen f"ur $\mathcal F \in \op{Der} (\op{Ab}_{/(X,k)})$ und $\mathcal G \in \op{Der} (\op{Ab}_{/(Y,k)}) $ einen Morphismus $ (f_{\ast} \mathcal F) \otimes \mathcal G \ra f_{\ast} (\mathcal F \otimes f^\ast \mathcal G) $. Halten wir $\mathcal F$ fest, so bilden die Objekte $\mathcal G$, f"ur die unsere Morphismen Isomorphismen $$\op{adf}: (f_{\ast} \mathcal F) \otimes \mathcal G \sira f_{\ast} (\mathcal F \otimes f^\ast \mathcal G) $$ sind, eine volle triangulierte Unterkategorie von $\op{Der} (\op{Ab}_{/(Y,k)}) $, die zumindest die konstante Garbe $\underline{Y}$ enth"alt. Aus \ref{fui} wissen wir, da"s im Rahmen einer Trennfaserung mit Adjungierten zu einer banalen Trennkategorie f"ur beliebiges $\mathcal F$ unsere starre Projektionsformel insbesondere f"ur alle \glqq starren\grqq\ Objekte $\mathcal G$ gilt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relatives Supergraduieren}] Gegeben ein Trennfunktor mit relativer additiver Struktur $\mathscr M/{\op{Ab}}\ra \mathscr N$ im Sinne von \ref{raSt} konstruieren wir einen Trennfunktor $${\op{sg}}\mathscr M/{\op{sgAb}}\ra \mathscr N$$ mit relativer ${\op{sgAb}}$-Struktur. Als Objekte von ${\op{sg}}\mathscr M$ nehmen wir mit $\DZ$ indizierte Familien $X=(X^i)_{i\in\DZ}$ von Objekten $X^i\in \mathscr M$. Um die Trennobjekte ${\op{sg}}\mathscr M_f(X,B)$ "uber einer vorgegebenen Trennung $f$ der Basis $\mathscr N$ anzugeben, betrachten wir Vorschriften, die jeder Anordnung $\omega$ der Zielfamilie $B$ ein Tupel von Trennungen "uber $f$ der Komponenten\label{rSg} $$_\omega\varphi_{ i}^{j_1,\ldots, j_r}\in \mathscr M_f(X^i, Y_1^{j_1}\curlyvee\ldots\curlyvee Y_r^{j_r})$$ zuordnen und zwar so, da"s sich bei einer "Anderung der Anordung das Vorzeichen "andert um das Signum der induzierten Permutation der ungeraden $j_\rho$. Die Menge aller Tupel derartiger Vorschriften mit $j_1+\ldots+j_r=j$ notieren wir ${\op{sg}}\mathscr M_f(X,B)^{(i,j)}$ und setzen $${\op{sg}}\mathscr M_f(X,B)^{n}\pdef \prod_{i}{\op{sg}}\mathscr M_f(X,B)^{(i,i+n)}$$ Die $\DZ$-graduierte abelsche Gruppe ${\op{sg}}\mathscr M_f(X,B)$ mit diesen homogenen Komponenten nehmen wir als unser Trennobjekt. Die Multiverkn"upfung von Trennungen ist in Bezug auf vertr"agliche Anordnungen die von $\mathscr M$ induzierte und man pr"uft wie im Fall des Twistens \eref{MEPa}{TSK} oder des Supergraduierens \eref{anpp}{TSK}, da"s das wohldefiniert ist und da"s wir so einen Trennfunktor ${\op{sg}}\mathscr M/{\op{sgAb}}\ra \mathscr N$ mit relativer ${\op{sgAb}}$-Struktur erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Trennfunktor $\mathscr L/{\op{sgAb}}\ra \mathscr N$ mit relativer ${\op{sgAb}}$-Struktur verstehen wir unter einem {\bf relativen Shift}\index{Shift!relativer} eine $\DZ$-Operation auf jeder Faser, notiert $X\mapsto X[n]$, zusammen mit Isomorphismen $$ {\op{sg}}\mathscr L_f(X[n],B)\sira {\op{sg}}\mathscr L_f(X,B)[-n]$$ f"ur jede Trennung $f$ der Basis,\label{Shif} die ihrerseits vertr"aglich sind mit dem Nachschalten weiterer Trennungen in der hoffentlich offensichtlichen Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Trennfunktor mit relativer additiver Struktur $\mathscr M/{\op{Ab}}\ra \mathscr N$ im Sinne von \ref{raSt} ist f"ur seine relative Supergraduierung ${\op{sg}}\mathscr M/{\op{sgAb}}\ra \mathscr N$ die Operation der Gruppe $\DZ$ auf jeder Faser durch Graduierungsverschiebung ein relativer Shift in offensichtlicher Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern das Hopfobjekt der Differentiale $D$ von ${\op{sgAb}}$. Gegeben ein Trennfunktor $\mathscr L/{\op{sgAb}}\ra \mathscr N$ mit relativer ${\op{sgAb}}$-Struktur konstruieren wir einen Trennfunktor $$(\mathscr L/{\op{sgAb}})_{D{\sacts}}\ra \mathscr N$$ mit relativer ${\op{sgAb}}_{D{\sacts}}$-Struktur alias ${\op{dgAb}}$-Struktur, indem wir wie in \ref{rDaS} Objekte von $(\mathscr L/{\op{sgAb}})$ mit $D$-Operation als neue Objekte nehmen und die Mor\-phis\-men\-ob\-jek\-te mit der induzierten $D$-Operation versehen. Ein relativer Shift induziert einen relativen Shift auf den Objekten mit $D$-Operation.\label{Kodg} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relatives differentielles Graduieren}] Gegeben ein Trennfunktor mit relativer additiver Struktur $\mathscr M/{\op{Ab}}\ra \mathscr N$ im Sinne von \ref{raSt} konstruieren wir einen Trennfunktor\label{rdG} $${\op{dg}}\mathscr M/{\op{dgAb}}\ra \mathscr N$$ mit relativer ${\op{dgAb}}$-Struktur, indem wir in Spezialisierung von \ref{Kodg} zu Objekten von ${\op{sg}}\mathscr M/{\op{sgAb}}$ mit $D$-Operation "ubergehen. Objekte von ${\op{dg}}\mathscr M$ sind also Komplexe aus $\mathscr M$, Morphismenobjekte "uber einfachen Morphismen der Basis entsprechende Hom-Komplexe und Trennungsobjekte "uber allgemeineren Trennungen der Basis gewisse Multihom-Komplexe. Der relative Shift "ubertr"agt sich auf differentielle graduierte Objekte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Relative Komplexe und Homotopiekomplexe}] Gegeben ein Trennfunktor mit relativer additiver Struktur $\mathscr M/{\op{Ab}}\ra \mathscr N$ im Sinne von \ref{raSt} konstruieren wir weitere Trennfunktoren mit relativer additiver Struktur, indem wir mit \ref{rdG} den Trennfunktor ${\op{dg}}\mathscr M/{\op{dgAb}}\ra \mathscr N$ mit relativer dg-Struktur und relativem Shift bilden und ihn mit den Schmelzfunktoren $\mathcal Z^0,\mathcal H^0:\op{dgAb}\ra \op{Ab}$ der Nullzykel beziehungsweise der nullten Homologie umstrukturieren. Wir notieren die so konstruierten Trennfunktoren\label{KetH} $$\op{Ket}(\mathscr M)/{\op{Ab}}\ra \mathscr N\quad\text{beziehungsweise}\quad \op{Hot}(\mathscr M)/{\op{Ab}}\ra \mathscr N$$ und sprechen vom {\bf Trennfunktor der Komplexe} beziehungsweise {\bf Homotopiekomplexe}. Ihre Fasern "uber $X\in \mathscr N$ sind die Kategorien der Komplexe beziehungsweise Homotopiekomplexe von Objekten der Faser, in Formeln $$\op{Ket}(\mathscr M)_X=\op{Ket}(\mathscr M_X) \quad\text{beziehungsweise}\quad \op{Hot}(\mathscr M)_X=\op{Hot}(\mathscr M_X).$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \eref{abK}{TG}, da"s wir eine abelsche Kategorie erkl"art hatten als eine Kategorie mit additiver Struktur, die pr"aabelsch ist und endliche Produkte besitzt. Einen Trennfunktor mit relativer additiver Struktur $\mathscr M/{\op{Ab}}\ra \mathscr N$, dessen Fasern $\mathscr M_X$ "uber allen Objekten $X\in\mathscr N$ abelsch (Sollte noch Vertr"aglichkeiten der Trennungen beachten) sind, nennen wir einen {\bf Trennfunktor mit abelschen Fasern}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{Was ist hiervon n"otig? Hier nur Sicherheitskopie!} Wir erinnern aus \eref{GMab}{TG} die Bifaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$, die wir die Opgarbenfaserung genannt hatten und deren Fasern $\op{Ab}_{\sslash X}$ opponiert sind zu den "ublichen Kategorien $\op{Ab}_{/ X}$ von abelschen Garben auf $X$. Wir hatten sogar ihre Erweiterung zu einer Trennfaserung in \ref{aVa} mit einer relativen additiven Struktur versehen. Hier betrachten wir erst einmal nur die zugeh"orige gew"ohnliche Faserung mit ihrer relativen additiven Struktur $$\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}/\op{Ab}\ra \op{Top}$$ und konstruieren nach \ref{rdG} ihre differentiell graduierte Version $$\op{dg}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})/\op{dgAb}\ra \op{Top}$$ Relatives Umstrukturieren \ref{rUs} mit dem Schmelzfunktor $\mathcal H:\op{dgAb}\ra\op{sgAb}$ der totalen Homologie macht daraus einen in $\op{sgAb}$ relativ angereicherten Funktor $$\mathcal H(\op{dgAb}_{\sslash \op{Top}})/\op{sgAb}\ra \op{Top}$$ Dazu bilden wir Funktoren $\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ und $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \op{Top}$ mit Fasern $\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash X})$ beziehungsweise $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash X})$. %Sie erben eine relative additive Struktur. Beide kommen mit einem ausgezeichneten Automorphismus $[1]$ "uber der Identit"at in der Basis, der auf den Fasern zu dem durch Verschiebung der Graduierung und Negativieren der Differentiale gegebenen Funktor aus \eref{Hottr}{TD} einschr"ankt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{WOHL SCHROTT!} Unter einem {\bf Automorphismus eines Kategorienwinkels} verstehen wir ein Tripel von vertr"aglichen Automorphismen der drei beteiligten Kategorien. Unter einem {\bf Automorphismus eines Winkelfunktors} $\mathscr C\ra \mathscr B$ verstehen wir einen Automorphismus des Kategorienwinkels $\mathscr C$ "uber der Identit"at auf $\mathscr B$. Unter einem {\bf Automorphismus einer pr"averflochtenen Winkelfaserung} verstehen wir einen Automorphismus des zugrundeliegenden Winkelfunktors, der bijektiv ist auf Verflechtungsquadraten. Die Automorphismen $[1]$ der Homotopiekategorien aus \eref{VerHo}{TD} bilden in ihrer Gesamtheit einen Automorphismus der oben besprochenen verflochtenen Winkelfaserungen von Homotopiekomplexen. Sie stabilisieren das System der Quasiisomorphismen und induzieren folglich einen\label{apv} Automorphismus der lokalisierten verflochtenen Winkelfaserung nach \ref{AdLoN}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} \nichtfinal{SCHROTT? WOZU HIER? Hoechstens bei Trennaustausch wird etwas einfacher!} Gegeben eine flache abelsche Garbe $\mathcal{F}$ besteht auch ihre Godementaufl"osung aus flachen abelschen Garben.\label{ZFe} \end{Lemma} \begin{proof} Im Fall abelscher Gruppen ist flach "aquivalent zu torsionsfrei und diese Eigenschaft ist stabil unter Produkten und filtrierenden Kolimites. Daraus folgt, da"s mit einer abelschen Garbe $\mathcal{F}$ auch die Garbe ihrer unstetigen Schnitte ${\op{G}}\mathcal{F}$ flache Halme hat. Da die von der Einbettung $\mathcal{F} \hookrightarrow {\op{G}} \mathcal{F}$ auf den Halmen induzierten Einbettungen $\mathcal{F}_x \hookrightarrow ({\op{G}} \mathcal{F})_x$ s"amtlich spalten, hat auch der Kokern flache Halme. Das Lemma folgt induktiv. \end{proof} \newpage \subsection{Abstract in English} \begin{Bemerkungl} Let $\mathscr B\supset \mathscr B^\shriek\supset \mathscr B^{\op{e}}$ be a category with two subcategories containing both all objects. We call it the base.\end{Bemerkungl} \begin{exa} We might think of topological spaces, locally proper separated maps and proper separated maps. Locally proper separated maps are maps which can be written as composition of an open immersion and a proper separated map. \end{exa} \begin{Bemerkungl} Let $\mathscr C$ be a set of objects with two structures of a category, whose morphism sets will be called $\mathscr C(\mathcal F,\mathcal G)$ and $\mathscr C^\shriek(\mathcal F,\mathcal G)$, along with a fibre functor $\mathscr C\ra \mathscr B$ and a cofibre functor $\mathscr C^\shriek \ra \mathscr B^\shriek$ which agree on $\mathscr B^{\op{e}}$ or, more generally, we are given an isomorphism $i: \mathscr C^\shriek|\mathscr B^{\op{e}}\sira \mathscr C|\mathscr B^{\op{e}}$ as categories over $\mathscr B^{\op{e}}$ of their restrictions fixing the objects. We call this the fibre and denote $f^\dagger$ the pullback of the fibration and $f_\shriek$ the pushforward along the cofibration. \end{Bemerkungl} \begin{exa} One might think of $\mathscr C$ as abelian sheaves on topological spaces, $\mathscr C(\mathcal F,\mathcal G)$ as comorphisms $\mathcal G\ra \mathcal F$ over a continous map in the base and $\mathscr C^\shriek(\mathcal F,\mathcal G)$ as \glqq proper comorphisms of abelian sheaves\grqq, which are to be defined as comorphisms with special properties, so that the composition $f_!\mathcal F\ra f_*\mathcal F\ra \mathcal F$ will be a proper-cocartesian comorphism for any locally proper separated map $f$. \end{exa} \begin{Bemerkungl} A regulation of the base is a collection of squares in $\mathscr B$ with $\mathscr B^\shriek$-Morphisms as vertical morphisms, stable under gluing along equal horizontals or equal verticals and containing all commutative squares with the identity as both vertical or both horizontal morphisms. \end{Bemerkungl} \begin{exa} We might think of cartesian squares with locally proper separated vertical morphisms. \end{exa} \begin{Bemerkungl} A weak exchange datum is a collection of diagrams over regulation squares of the base, called exchange squares, with objects of $\mathscr C$ in the corners and cartesian $\mathscr C$-morphisms in the horizontals and $\mathscr C^\shriek$-morphisms in the verticals satisfying the following conditions: \begin{enumerate} \item Our collection is stable under gluing along equal verticals and along equal horizontals. \item Our collection contains all commutative diagrams with cartesian horizontals over regulation squares in the base with morphisms from $\mathscr B^{\op{e}}$ in both horizontals or both verticals. \item The left vertical in the fibre is uniquely determined and determinable by the regulation diagram in the base and its other morphisms the fibres. \end{enumerate} An exchange datum is a weak exchange datum such that this pulled-back left vertical is cocartesian whenever the right vertical was cocartesian. \end{Bemerkungl} \begin{exa} In our example, all commutative diagrams of comorphisms between abelian sheaves with cartesian horizontals and proper comorphisms in the verticals over a regulation square of topological spaces would do. In general, commutativity of diagrams of objects from $\mathscr C$ with different sorts of morphisms cannot be asked, since $\mathscr C$-morphisms and $\mathscr C^\shriek$-morphisms cannot be composed. \end{exa} \begin{exa} For the same base with its regulation, we could work with homotopy categories of complexes of abelien sheaves in the fibres. We can also work with commutatively ringed spaces in the base. \end{exa} \begin{Bemerkungl} Base change in this language is obtained from the fact that for every regulated square of the base as drawn on the left \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar@{-->}[dd]_g\ar@{..>}[r]^q&X \ar@{-->}[dd]^f &&q^\dagger \mathcal F\ar@{-->}[d]\ar@{..>}[r]&\mathcal F \ar@{-->}[dd] \\ &&&g_\shriek q^\dagger \mathcal F\ar[d]&\\ Z\ar@{..>}[r]^p&Y&&p^\dagger f_\shriek\mathcal F\ar@{..>}[r]&f_\shriek\mathcal F } \end{displaymath} and any object $\mathcal F\in\mathscr C_X$ of the fibre and the pullbacks and pushforwards with their transport morphisms there is by assumption a unique morphism $g_{\shriek} q^\dagger\mathcal F \ra p^\dagger f_{\shriek}\mathcal F $ in the fibre over $Z$ such that the right square with the composition as its left vertical is an exchange square. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Now we suppose given a set of morphisms $S$ in $\mathscr C$ over identities of the base. Under suitable conditions, formally inverting the morphisms from $S$ again leads to an exchange datum or even makes a weak exchange datum strong. First let us discuss the localization of cofibrations. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let $\mathscr C\ra \mathscr B$ be a cofibre functor. A full subcofibration is a full subcategory $\mathscr D\subset \mathscr C$ such that the objects of $\mathscr D$ admit pushforwards with respect to the cofibration $\mathscr C\ra \mathscr B$ which again belong to $\mathscr D$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Let $\mathscr C\ra \mathscr B$ be a cofibre functor and $S$ a fibrewise left Ore system in $\mathscr C$. A full subcofibration $\mathscr D\subset \mathscr C$ is called a left adaptation for $S$, if (1) the set $T$ of all $S$-morphisms in $\mathscr D$ is fibrewise an Ore system and (2) pushforward functors $f_\dagger$ for objects of $\mathscr D$ can be chosen that stabilize $T$ and (3) for any $C\in \mathscr C$ there exists an $S$-morphism $D\ra C$ with $D\in \mathscr D$. \end{Bemerkungl} \begin{exa} The base $\mathscr B$ might be finite sets, the objects of the fibres $\mathscr C$ families of modules over a fixed commutative ring $k$ indexed by finite sets, the morphisms in the fibre of our cofibration families of multilinear maps indexed by points of the set the map in the base goes to, the pushforward constructing an apropriate family of tensor products. If we go to homotopy complexes bounded from above and want to localize quasiisomorphisms, complexes of flat modules would be a left adaptation. \end{exa} \begin{Bemerkungl} If a left adaptation exists, $S^{-1}\mathscr C\ra \mathscr B$ is again a cofibre functor. In addition, the obvious functor is an equivalence $T^{-1}\mathscr D\sirra S^{-1}\mathscr C$ and cocartesian morphisms between objects of $\mathscr D$ stay cocartesian in $T^{-1}\mathscr D$. \end{Bemerkungl} \begin{exa} We might take same as above but sheaves of modules over a fixed topological space instead of just modules over a commutative ring. Then complexes of flat module sheaves still are a left adaptation, so we obtain derived tensor products of bounded complexes of module sheaves with all their compatibilities. \end{exa} \begin{Bemerkungl} Now let $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^\shriek\leftarrow \mathscr C^\shriek,\mathscr B^{\op{e}})$ be as before. Let furthermore $S$ be a fibrewise Ore system in $\mathscr C$. By a leftright adaptation we understand a pair $(\mathscr L,\mathscr R)$ consisting of a left adaptation $\mathscr L$ for the cofibration $\mathscr C^\shriek\ra \mathscr B^\shriek$ and in the opposed way a right adaptation $\mathscr R$ for the fibration $\mathscr C\ra \mathscr B$ such that (1) to every object of $\mathscr R$ goes an $S$-morphism from an object of $\mathscr R\cap\mathscr L$ and (2) given $q:W\ra X$ in the base and $\mathcal F\in \mathscr C_X$ there exist $S$-morphisms $\mathcal F\leftarrow \mathcal F_{\shriek}\ra \mathcal F_{\dagger\shriek}$ with $\mathcal F_\shriek\in \mathscr L_X$ and $q^\dagger\mathcal F\leftarrow q^\dagger\mathcal F_{\shriek}$ in $S$ and $\mathcal F_{\dagger\shriek}\in\mathscr R_X\cap\mathscr L_X$. \end{Bemerkungl} \begin{exa} We let $\mathscr B$ be finite families of topological spaces and morphisms families of continous maps over a map of the indexing set in the other direction. To introduce notation, $q=(q_1,q_2):W\ra X_1\curlywedge X_2$ for $q_i:W\ra X_i$ would be such a morphism in the base. We let $\mathscr B^\shriek$ be tupels of locally proper separated morphisms, say $f=(f_1\curlywedge f_2):X_1\curlywedge X_2\ra Y_1\curlywedge Y_2$. We regulate the base by cartesian squares. To introduce an example for fibre categories, we fix a commutative ring $k$ and in the fibres take homotopy complexes of module sheaves, say $\mathcal F_1\curlywedge \mathcal F_2$. Morphisms in the fibres are multilinear comorphisms $\mathcal F_1\curlywedge \mathcal F_2\ra \mathcal H$ consisting of $k$-bilinear maps $\mathcal F_1(U_1)\times \mathcal F_2(U_2)\ra \mathcal H(V)$ whenever $f_i(V)\subset U_i$, compatible with restrictions. Morphisms in $\mathscr C^\shriek$ are tupels of proper opcomorphisms of finite cohomological dimension for $f_!$ of sheaves of $k$-modules. This might be denoted $$\big(\op{Hot}_{k\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{lps}}\leftarrow \op{Hot}^{!}_{k\sslash{\op{Top}}^{\op{lpsf}}}, \op{Top}^{\op{psf}}\big)$$ As a leftright adaptation for $S$ quasiisomorphisms we could take quisflat alias K-flat complexes as right adaptation for the fibration (since now our fibres are opposed to categories of sheaves) and complexes of c-soft sheaves as left adaptation for the cofibration and the needed compatiblities amount to the fact that the mapping cone of a Godement resolution will always be stalkwise split, so the tensor product with any complex of sheaves will be an exact complex. \end{exa} \begin{exa} The projection formula is base change over the square \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[d]_f\ar[rr]^{(\op{id}_X,f)} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y}\\ Y\ar[rr]^{(\op{id}_Y,\op{id}_Y)} &&Y\curlywedge Y } \end{displaymath} in the base. There is some additional part of the formalism for this special type of base asking that regulation squares as well as exchange squares should be also stable under \glqq taking tuples\grqq. I don't spell this out here and give only an example. Let us extend our diagram to \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[d]_f\ar[rr]^{(\op{id}_X,f)} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y}\ar[rrr]^{(\op{id}_X,f)\curlywedge \op{id}_Y}&&&X\curlywedge Y \curlywedge Y \ar[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y\curlywedge \op{id}_Y}\\ Y\ar[rr]^{(\op{id}_Y,\op{id}_Y)} &&Y\curlywedge Y \ar[rrr]^{(\op{id}_Y,\op{id}_Y)\curlywedge \op{id}_Y} &&&Y\curlywedge Y \curlywedge Y } \end{displaymath} so that on the right we have tupled the square on the left with a square of identities on $Y$. Another way to obtain the big rectangle is the gluing \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[d]_f\ar[rr]^{(\op{id}_X,f)} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y}\ar[rrr]^{\op{id}_X\curlywedge (\op{id}_Y,\op{id}_Y)}&&&X\curlywedge Y \curlywedge Y \ar[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y\curlywedge \op{id}_Y}\\ Y\ar[rr]^{(\op{id}_Y,\op{id}_Y)} &&Y\curlywedge Y \ar[rrr]^{\op{id}_Y\curlywedge (\op{id}_Y,\op{id}_Y)} &&&Y\curlywedge Y \curlywedge Y } \end{displaymath} Then the fact that gluing two exchange squares over this is again an exchange square leads to an equality of two morphisms $$f_!(\mathcal F\otimes f^*\mathcal G\otimes f^*\mathcal H)\ra f_!\mathcal F\otimes \mathcal G\otimes \mathcal H$$ coming from applying the projection formula for $\mathcal G\otimes \mathcal H$ or applying the projection formula first for $\mathcal G$ and then for $\mathcal H$, along with using associators and the compatibility of pullback with tensor. \end{exa} \begin{Bemerkungl} Let $(\mathscr C\ra \mathscr B\supset \mathscr B^\shriek\leftarrow \mathscr C^\shriek,\mathscr B^{\op{e}})$ be as before and let $S$ be a fibrewise Ore system in $\mathscr C$ and suppose there exists a leftright adaptation. Suppose furthermore given a weak exchange datum and for every exchange square \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar@{..>}[r]^q \ar@{-->}[d]_g&X\ar@{-->}[d]^f &&\mathcal E\ar@{..>}[r] \ar@{-->}[d]&\mathcal F\ar@{-->}[d]\\ Z \ar@{..>}[r]^p &Y && \mathcal H\ar@{..>}[r] &\mathcal G} \end{displaymath} in $\mathscr C$ over the regulated square in the base drawn on the left such that $Q\mathcal F\ra Q\mathcal G$ is proper-cocartesian in the localized cofibration and the horizontals $Q\mathcal E\ra Q\mathcal F$ and $Q\mathcal H\ra Q\mathcal G$ are cartesian in the localized fibration, that for such a square of the waek exchange the left vertical $Q\mathcal E\ra Q\mathcal H$ is also proper-cocartesian in the localized cofibration. Then there is a unique exchange in the localized situation containing all images under the localization functor $Q$ of such weak exchange squares. \end{Bemerkungl} \begin{exa} We can apply this to the homotopy case before and get an exchange for $$\big(\op{Der}_{k\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{lps}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{k\sslash{\op{Top}}^{\op{lpsf}}}, \op{Top}^{\op{psf}}\big)$$ There is also a variant for commutatively ringed spaces. In this case we allow as $\mathscr B^\shriek$-morphisms only locally proper separated maps which induce flat ring morphisms on the stalks of the ring sheaves. \end{exa} \begin{Bemerkungl} Then you may ask for adjoints, but there are no additional problems with the coherence of the formalism. I propose another new notation though, namely for internal Hom to use $${\Rrightarrow}$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Trennr"uckzug-Schreivorschub f"ur Modulgarben, ALT} \begin{Bemerkungw} Wir beginnen mit dem Fall abelscher Garben und erweitern anschlie"send die Argumentation auf Modulgarben. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennverflechtung f"ur abelsche Garben}] Die zur Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ gebildete banale Pr"atrennaustauschsituation mit Pr"averflechtung liefert durch Einschr"anken nach \ref{aGTR3} eine Trennaustauschsituation mit Pr"averflechtung $$\big(\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset\op{Top}^{\op{les}} \leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}^{\op{les}}},\op{Top}^{\op{es}}\big)$$ Durch "Ubergang zu den Homotopiekategorien erhalten wir f"ur $\sharp\in \{+,-,\op{b},\;\}$ eine jede der vier "ublichen Beschr"ankungsbedingungen eine Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Pr"averflechtung\label{hotm} $$\left(\op{Hot}^\sharp(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Hot}^\sharp(\op{Ab}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}), \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Trennverflechtung f"ur halbseitig derivierte abelsche Garben}] Die letzte Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Pr"averflechtung aus \ref{hotm} mit $\sharp=-$ l"a"st sich nach \ref{eMAdLo} nach Quasiisomorphismen lokalisieren zur verflochtenen Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion der halbseitig derivierten abelschen Garben $$\left(\op{Der}^-_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{les}}\leftarrow \op{Der}^{!-}_{\sslash \op{Top}^{\op{les}}}, \op{Top}^{\op{es}}\right)$$ In der Tat finden wir eine Rechtslinksanpassung $(\mathscr R,\mathscr L)$ mit $\mathscr L$ allen Komplexen aus flachen abelschen Garben und $\mathscr R$ allen Komplexen aus schwach kompaktweichen abelschen Garben. Da"s das jeweils f"ur sich genommen Anpassungen sind, wissen wir bereits aus \ref{VRT} und \ref{VRTeb}. Da"s es zu jedem Objekt von $\mathscr L$ einen $S$-Morphismus von einem Objekt von $\mathscr R\cap \mathscr L$ gibt, zeigt die Godementaufl"osung $\mathcal L\qri {\op{G}}^\lhd\mathcal L$, die ja nach \ref{ZFe} aus flachen Garben besteht, wenn $\mathcal L$ ein Komplex flacher Garben ist. Genauer gilt es, die Godementaufl"osung in den opponierten Kategorien als Morphismus in die Gegenrichtung zu betrachten. Die zweite Bedingung an eine Rechtslinksentfaltung \ref{nbVn} schlie"slich zeigt man wie in \ref{VRLm0} ausgef"uhrt wird, nur nimmt man elementarer als $\mathcal L$ einen Komplex flacher abelscher Garben\label{TvABG1} zusammen mit einem Quasiisomorphismus von $\mathcal L$ nach $\mathcal F$. Um \ref{eMAdLo} anwenden zu k"onnen, m"ussen wir nur noch pr"ufen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate "uber elementaren kartesischen Trennquadraten der Basis mit les-Vertikalen voll kokartesisch sind. Im Fall von kartesischen Trennquadraten mit Einstrennungen in den Horizontalen haben wir das bereits in \ref{kolesb} gepr"uft. Im Fall von kartesischen Trennquadraten mit Leertrennungen in den Horizontalen ist es offensichtlich. Im Fall von Projektionsformelquadraten schlie"slich folgt es unmittelbar aus der Projektionsformel \ref{ProFor}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Verflechtung f"ur beidseitig derivierte abelsche Garben}] Die letzte Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion mit Pr"averflechtung aus \ref{hotm} mit $\sharp$ der leeren Beschr"ankungsbedingung l"a"st sich, wenn wir nur lesb-Abbildungen als les-Morphismen erlauben, wieder nach \ref{eMAdLo} nach Quasiisomorphismen lokalisieren zur verflochtenen Trenn\-aus\-tausch\-si\-tua\-tion der beidseitig derivierten abelschen Garben\label{TvABG2} $$\left(\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}\supset \op{Top}^{\op{lesb}}\leftarrow \op{Der}^{!}_{\sslash \op{Top}^{\op{lesb}}}, \op{Top}^{\op{esb}}\right)$$ Die Argumente sind dieselben wie im halbseitig beschr"ankten Fall \ref{TvABG1} mit dem einzigen Unterschied, da"s f"ur lesb-Abbildungen $f$ beliebige Komplexe schwach kompaktweicher abelscher Garben $Qf_{(!)}$-entfaltet sind. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verflechtung f"ur derivierte Modulgarben, Vorbereitung}] Die Trennfaserung der Modulgarben auf gekringten R"aumen $\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}$ aus \ref{TFmg} liefert nach \ref{sVsV} eine banale Pr"atrennaustauschsituation $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}\leftarrow \op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}, \op{Gek})$$ mit banaler Pr"averflechtung. Nach "Ubung \ref{MReOM} bilden die eigentlichen Opkomorphismen aus "Ubung \ref{ReOpM} darin ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives System $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}}$. Per definitionem sind "uber jedem auf den zugrundeliegenden topologischen R"aumen eigentlichen Morphismus der Basis alle Opkomorphismen von Modulgarben eigentlich. Das multiplikative System der topologisch eigentlichen Morphismen der Basis notieren wir $\op{Gek}^{\op{e}}$ und erhalten so durch Einschr"anken \ref{AdKN} eine weitere Pr"atrennaustauschsituation $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}}, \op{Gek}^{\op{e}})$$ mit Pr"averflechtung. Schr"anken wir weiter ein zu topologisch separierten Abbildungen $\op{Gek}^{\op{s}}\subset\op{Gek}$ , so wird $\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{s}}}\ra \op{Gek}^{\op{s}}$ sogar eine Kofaserung mit den topologischen $f_{(!)}$ zusammen mit der entsprechenden Restriktion der Modulstruktur oder vielmehr dem auf den opponierten Kategorien induzierten Funktor als Vorschub und erhalten eine Austauschsituation mit Pr"averflechtung $$(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{s}}\leftarrow \op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{s}}}, \op{Gek}^{\op{es}})$$ Durch "Ubergang zu den Homotopiekategorien wird daraus eine Trennaustauschsituation mit Pr"averflechtung $$\big(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{s}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{s}}}), \op{Gek}^{\op{es}}\big)$$ Um durch Lokalisieren nach Quasiisomorphismen eine Verflechtung zu erhalten, schr"anken wir weiter ein und erlauben als les-Morphismen nur solche Morphismen von gekringten R"aumen $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$, bei denen $f:X\ra Y$ lesb ist und $\mathcal A_x$ flach "uber $\mathcal B_{f(x)}$ f"ur alle $x\in X$ und notieren $\op{Gek}^{\op{lesbf}}\supset \op{Gek}^{\op{esbf}}$ das multiplikative System dieser Morphismen beziehungsweise seiner Elemente, die au"serdem eigentlich sind. Wir nennen einen Morphismus von gekringten R"aumen einen {\bf lesb-Morphismus}, \index{lesb!Morphismus gekringter R"aume} wenn die zugrundeliegende stetige Abbildung lesb ist. Da"s diese Systeme trennr"uckzugstabil sind, mag man etwa mit Hilfe von \ref{Rzst} folgern. So erhalten wir schlie"slich eine Trennaustauschsituation mit Pr"averflechtung\label{TrHMo} $$\big(\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Hot}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{lesbf}}}), \op{Gek}^{\op{esbf}}\big)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Wir verzichten mit unserer Definition eines lesb-Morphismus auf die erwartbare gr"o"sere Allgemeinheit aller les-Abbildungen, bei denen die homologische Dimension des Schreivorschubs nur auf auf Modulgarben statt wie bei uns auf allen abelschen Garben beschr"ankt ist. \nichtfinal{Sollte nicht verzichten!} \end{Bemerkunge} \begin{Satz}[\textbf{Trennverflechtung f"ur beidseitig derivierte Modulgarben}] Die letzte der in \ref{TrHMo} angegebenen Trennaustauschsituationen mit Pr"averflechtung l"a"st sich nach Quasiisomorphismen lokalisieren im Sinne von \ref{MAdLo} zu einer verflochtenen Trennaustauschsituation\label{tBm} $$\big(\op{Der}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})\ra \curlywedge{\op{Gek}}\supset\op{Gek}^{\op{lesbf}}\leftarrow \op{Der}(\op{Ab}^!_{\sslash \op{Gek}^{\op{lesbf}}}), \op{Gek}^{\op{esbf}}\big)$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Einen h"oheren Zugang zu noch allgemeineren und st"arkeren Aussagen in dieser Richtung kann man in der Dissertation von Recktenwald \cite{??} finden, die ihrerseits auf dem Formalismus von H"ormann \cite{??} aufbaut. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Eine Rechtslinksanpassung ist das Paar $(\mathscr R,\mathscr L)$ mit $\mathscr L$ allen quisflachen Komplexen von Modulgarben und $\mathscr R$ allen Komplexen schwach kompaktweicher Modulgarben, wie aus den in \ref{VRLm0} diskutierten Eigenschaften von Godementaufl"osungen leicht folgt. Nach \ref{eMAdLo} bleibt damit nur noch zu zeigen, da"s alle naiven Verflechtungsquadrate der lokalisierten Trennaustauschsituation "uber elementaren Trennquadraten der Basis voll kokartesich sind. Im Fall eines kartesischen Trennquadrats mit Leertrennungen in den Horizontalen ist das eh klar. Im Fall kartesischer Trennquadrate mit Einstrennungen in den Horizontalen bemerken wir zun"achst, da"s jeder Morphismus $(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$ von gekringten R"aumen faktorisiert als $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$. Jedes derartige Trennquadrat l"a"st sich mithin erhalten als Verklebung der vier Trennquadrate \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C\otimes_{v^*\mathcal B}q^*\mathcal A)\ar[r]\ar[d] & (W,q^*\mathcal A)\ar[d]\ar[r]^q & (X,\mathcal A) \ar[d] \\ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,v^*\mathcal B)\ar[d]^g\ar[r]^q & (X,f^*\mathcal B) \ar[d]_f\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,p^*\mathcal B)\ar[r]^p & (Y,\mathcal B) } \end{displaymath} Hier schreiben wir $v=pg=fq$ und die Sternchen meinen R"uckz"uge von Kringgarben. Unter unseren Annahmen ist aber nach \ref{neNV} und \ref{AKnV} die Menge der voll kokartesischen naiven Verflechtungsquadrate stabil unter Verkleben. Es reicht also, f"ur jedes dieser vier kartesischen Quadrate zu pr"ufen, da"s dar"uber jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Im Quadrat oben links geht es nur um Beziehungen zwischen Restriktion und Erweiterung von Skalaren, da folgt die Behauptung aus der Voraussetzung der Flachheit der $\mathcal A_x$ "uber $\mathcal B_{f(x)}$, die dazu f"uhrt, da"s jeder quisflache Komplex von $\mathcal A$-Modulgarben zu einem quisflachen Komplex von $\mathcal B$-Modulgarben restringiert. Im Quadrat oben rechts ist die Aussage auch leicht zu sehen, dort geht es nur um die Vertr"aglichkeit des gew"ohnlichen R"uckzugs mit einer Restriktion der Skalare. Unten rechts haben wir lokal eigentlichen Basiswechsel wie wir ihn kennen, nur da"s zus"atzlich noch Kringgarben operieren. Es bleibt zu zeigen, da"s auch "uber dem Trennquadrat unten links jedes naive Verflechtungsquadrat voll kokartesisch ist. Das stellen wir zur"uck und behandeln zun"achst den auch noch ausstehenden Fall der Projektionsformelquadrate zu einem lesbf-Morphismus $f:(X,\mathcal A)\ra (Y,\mathcal B)$. Wie zuvor k"onnen wir ihn faktorisieren in $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)\ra (Y,\mathcal B)$ und d"urfen die beiden Faktoren getrennt betrachten. Im Fall $(X,\mathcal A)\ra (X,f^*\mathcal B)$ reicht es zu zeigen, da"s f"ur jeden quisflachen Komplex $\mathcal G$ von $f^*\mathcal B$-Moduln und jeden Komplex $\mathcal F$ von $\mathcal A$-Moduln der offensichtliche Morphismus ein Quasiisomorphismus $$ (\op{res}_{\mathcal A}^{f^*\mathcal B}\mathcal F)\otimes_{f^*\mathcal B}\mathcal G\sira\op{res}_{\mathcal A}^{f^*\mathcal B}(\mathcal F\otimes_{\mathcal A}(\mathcal A\otimes_{f^*\mathcal B}\mathcal G))$$ ist. Das ist sogar ohne alle Annahmen an $\mathcal G$ offensichtlich. Im zweiten Fall erinnern wir, da"s wir nach \ref{hflL} zu jedem Komplex von Modulgarben einen Quasiisomorphismus von einem quisflachen Komplex flacher Modulgarben finden k"onnen. Es reicht deshalb zu zeigen, da"s f"ur jeden Komplex $\mathcal F$ von schwach kompaktweichen $f^*\mathcal B$-Moduln und jeden quisflachen Komplex $\mathcal G$ von flachen $\mathcal B$-Moduln der offensichtliche Morphismus ein Quasiisomorphismus $$(f_{(!)}\mathcal F)\otimes_{\mathcal B} \mathcal G\sira f_{(!)}(\mathcal F\otimes_{f^*\mathcal B} f^*\mathcal G)$$ ist und $\mathcal F\otimes_{f^*\mathcal B} f^*\mathcal G$ aus $f$-kompaktweichen Garben besteht. In der Tat ist dann $\tau\curlywedge \op{id}:\mathcal F\curlywedge \mathcal G\ra f_{(!)}\mathcal F\curlywedge \mathcal G$ mit dem Transportmorphismus vorne ein Morphismus von unter den jeweiligen R"uckz"ugen entfalteten Objekten, der kokartesisch wird in der Lokalisierung und ein voll kokartesisches naives Verflechtungsquadrat liefert. Unter diesen Annahmen kommt unser Morphismus aber nach der Projektionsformel \ref{ProFor} sogar von einem Isomorphismus von Doppelkomplexen aus $f$-kompaktweichen Garben her. Schlie"slich k"ummern wir uns noch um das kartesische Trennquadrat mit Einsmorphismen in den Horizontalen in unserem gro"sen Diagramm unten links, dessen Behandlung wir zur"uckgestellt hatten. Mit einigen Vereinfachungen der Notation hat es die Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ (W,g^*\mathcal C)\ar[d]^g\ar[r] & (W,g^*\mathcal B)\ar[d]^g\\ (Z,\mathcal C)\ar[r] & (Z,\mathcal B) } \end{displaymath} Sei also $\mathcal F$ ein quisflacher Komplex aus kompaktweichen $g^*\mathcal B$-Moduln. Das zugeh"orige naive Verflechtungsquadrat hat dann diesselbe linke Vertikale wie das naive Verflechtungsquadrat zu $\mathcal F\curlywedge \mathcal C$ "uber dem Projektionsformelquadrat \glqq mit Raumwechsel ohne Ringwechsel\grqq, von dem wir bereits wissen, da"s es voll kokartesisch ist. \nichtfinal{Das br"auchte sogar nicht-kommutativ!} Das beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Trennverflechtung f"ur halbseitig derivierte Modulgarben}] Der vorherige Satz gilt analog f"ur halbseitig derivierte Modulgarben. Wir d"urfen dann beliebige les-Abbildungen zulassen und m"ussen uns nicht auf lesb-Abbildungen beschr"anken, d"urfen aber stattdessen nur gekringte R"aume $(X,\mathcal A)$ endlicher Tor-Dimension zulassen.\label{tHDm} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Will man Schreivorsch"ube mit nicht notwendig flachen Kringgarbenkomorphismen zulassen, so wird man allgemeiner mit differentiellen graduierten Kringgarben arbeiten m"ussen. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}\nichtfinal{WOHIN? IMMER NOCH N"OTIG?} Alternativ ist auch die volle Unterkategorie $(\op{Hflfl}_{\sslash \op{Gek}})^\curlywedge\subset \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}})^\curlywedge$ aller Tupel von quisflachen\label{hflfl} Komplexen aus flachen Modulgarben eine Rechtsanpassung. \nichtfinal{Der Beweis geht genauso, und sp"ater wird einmal diese feinere Aussage ben"otigt.} \end{Bemerkungl} \subsection{Trennr"uckzug eigentlicher Opkomorphismen, ALT} \begin{Bemerkungl} Sei $p : \mathscr C \rightarrow \mathscr B$ eine Faserung und sei in der Basis $\mathscr B$ ein %\nichtfinal{(N"otig?) r"uckzugstabiles} multiplikatives System $R$ ausgezeichnet. Unter einem {\bf faserr"uckzugstabilen multiplikativen System $S$ "uber $R$}\index{faserr"uckzugstabil!"uber anderem System} verstehen wir ein multiplikatives System $S$ in $\mathscr C$ "uber $R$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede Hochhebung nach $\mathscr C$ eines kartesischen Quadrats in $\mathscr B$ mit vertikalen $R$-Pfeilen zu einem kommutativen Quadrat\label{AKKFuux} \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar@{-->}[d]\ar[r]& \ar[d] \\ \ar[r]&} \end{displaymath} in $\mathscr C$ mit den Pfeilen nach rechts kartesisch und dem durchgezogenen Pfeil nach unten einem $S$-Morphismus auch der induzierte gestrichelte Pfeil nach unten ein $S$-Morphismus ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug eigentlicher Opkomorphismen}] In unserer Opgarbenfaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GMab}{TG} bilden die eigentlichen Opkomorphismen "uber stetigen Abbildungen nach "Ubung \eref{ReOp}{TG} ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System.\label{AReO} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug eigentlicher Opkomorphismen, Variante}] In unserer Opgarbenfaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Gek}}\ra \op{Gek}$ aus \eref{GMab}{TG} bilden die eigentlichen Opkomorphismen "uber beliebigen Morphismen nach "Ubung \ref{MReOM} ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System.\label{AReOMM} \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug eigkokartesischer Opkomorphismen}] In der Gar\-ben\-op\-fa\-se\-rung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \eref{GaKoFa}{TG} bilden die eigkokartesischen Opkomorphismen nach lokal eigentlichem Basiswechsel \ref{BaWeax} ein faserr"uckzugstabiles multiplikatives System "uber dem multiplikativen System des les-Mor\-phis\-men. \end{Beispiel} %\begin{Beispiel} \nichtfinal{(N"otig?)} % Ist $\mathscr T$ eine Kategorie mit endlichen Faserprodukten, so % ist das multiplikative System aller $\mathscr T$-Morphismen trennr"uckzugstabil. %\end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathscr T$ verstehen wir unter einem {\bf Trennquadrat in $\mathscr T$} ein kommutatives Diagramm der Familienkategorie $ \mathscr T^\curlywedge$ ihrer banalen Trennkategorie $\curlywedge \mathscr T$ der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ W\ar[d]_g\ar[rr]^-{(q_1,\ldots,q_r)}&&X_1 \curlywedge \ldots \curlywedge X_r \ar[d]^{f_1\curlywedge \ldots \curlywedge f_r} \\ Z\ar[rr]^-{(p_1,\ldots,p_r)}&&Y_1 \curlywedge \ldots \curlywedge Y_r} \end{displaymath} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erzeuger f"ur kartesische Trennquadrate}] Sei $\mathscr T$ eine Kategorie mit endlichen Faserprodukten. In der Familienkategorie $ \mathscr T^\curlywedge$ ihrer banalen Trennkategorie $\curlywedge \mathscr T$ sei eine Menge von kartesischen Trennquadraten gegeben. Unsere Menge sei stabil unter dem Vertupeln sowie unter dem Verkleben l"angs gleicher vertikaler oder horizontaler Kanten und enthalte die {\bf elementaren Trennquadrate},\index{Trennquadrat!elementares} eine neue Bezeichnung, unter der wir zusammenfassen:\label{AITRp} \begin{enumerate} \item Alle kartesischen Quadrate mit Einstrennungen oder Leertrennungen in den Horizontalen; \item Alle {\bf Projektionsformel-Quadrate}\index{Projektionsformel-Quadrat} alias Quadrate der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[d]_f\ar[rr]^{(\op{id}_X,f)} &&X\curlywedge Y \ar[d]^{f\curlywedge \op{id}_Y}\\ Y\ar[rr]^{(\op{id}_Y,\op{id}_Y)} &&Y\curlywedge Y } \end{displaymath} \end{enumerate} So enth"alt unsere Menge alle kartesischen Trennquadrate der Familienkategorie. Um das einzusehen, betrachten wir f"ur beliebige Morphismen $f:X\ra Y$ und $g:Z\ra Y$ das aus kartesischen Quadraten mit den offensichtlichen Tupeln einfacher Morphismen in den Vertikalen bestehende Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Y Z \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge (X\times_Y Z) \ar[d]\ar[r]&X\curlywedge Z \ar[d]\\ X \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge X \ar[r]&X\curlywedge Y \ar[d]\\ Y\ar[rr] &&Y\curlywedge Y \\ } \end{displaymath} Es zeigt, da"s jedes kartesische Trenquadrat mit einer diagonalen Zweitrennung in der unteren Horizontalen zu unserer Menge geh"oren mu"s. Jeder Morphismus der Familienkategorie einer banalen Trennkategorie entsteht jedoch nach \eref{WKBK}{TSK} durch Vertupeln und Verkn"upfen aus Leertrennungen, Eins\-tren\-nun\-gen und Diagonalzweitrennungen. So folgt dann die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erzeuger f"ur kartesische Trennquadrate, Variante}] Eine Menge $R$ von Morphismen einer Kategorie $\mathscr T$ hei"se {\bf r"uckzugstabil},\index{r"uckzugstabil}\label{ARzst} wenn das Faserprodukt f"ur alle Winkel mit einem $R$-Morphismus existiert und in jedem kartesischen Quadrat mit einem $R$-Morphismus im Ausgangswinkel der gegen"uberliegende Morphismus aus dem Faserprodukt auch wieder ein $R$-Morphismus ist. Gegeben $\mathscr T\supset \mathscr T^!$ eine Kategorie mit einem r"uckzugstabilen multiplikativen System von Morphismen gilt das Vorhergehende analog f"ur kartesische Trennquadrate der Familienkategorie $\mathscr T^\curlywedge$ mit Tupeln von $\mathscr T^!$-Morphismen in den Vertikalen der Ausgangswinkel: Jedes derartige kartesische Trennquadrat hat $\mathscr T^!$-Morphismen in allen Vertikalen und eine Menge von derartigen Trennquadraten, die stabil ist unter dem Vertupeln und Verkleben und die alle kartesischen Quadrate mit einer Leertrennung oder einer Einstrennung in den Horizontalen enth"alt und dar"uber hinaus alle Projektionsformelquadrate zu Morphismen aus $R$, mu"s bereits alle kartesischen Trennquadrate mit Tupeln von Morphismen aus $R$ in den Vertikalen des Ausgangswinkels enthalten. Wir nennen in dieser Situation unsere Erzeuger, also alle kartesischen Quadrate mit einer Leertrennung oder einer Einstrennung in den Horizontalen und Vertikalen aus $R$ sowie alle Projektionsformelquadrate zu Morphismen aus $R$, die {\bf elementaren kartesischen Trennquadrate zu $R$}.\index{elementar!kartesisches Trennquadrat} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $\mathscr T$ eine Kategorie und $\mathscr T^!$ darin ein multiplikatives System. Gegeben eine Trennfaserung $\mathscr G\ra \curlywedge\mathscr T$ nennen wir ein multiplikatives System $\mathscr G^!$ "uber $\mathscr T^!$ {\bf fasertrennr"uckzugstabil},\index{fasertrennr"uckzugstabil} wenn das System $\mathscr G^{!\shortparallel}$ aller Tupel von $\mathscr G^{!}$-Morphismen faserr"uckzugstabil ist "uber $\mathscr T^{!\shortparallel}$ in der Familienkategorie.\label{Aftrs} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Trennr"uckzug eigentlicher Opkomorphismen}] In der Gar\-ben\-op\-trenn\-fa\-se\-rung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra {\curlywedge}{\op{Top}}$ bilden die\label{AMReO} eigentlichen Opkomorphismen ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives\label{Ajhtr} System "uber dem multiplikativen System aller stetigen Abbildungen. \end{Lemma} %\nichtfinal{DURCHPUTZEN! R"UCKZUGSTABIL IN DER BASIS MEIST "UBERFL"USSIG!} \begin{Bemerkungl} Das fasertrennr"uckzugstabile multiplikative System aller Tupel eigentlicher Opkomorphismen aus dem vorhergehenden Lemma notieren wir $\op{Ab}^{!}_{\sslash \op{Top}}$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} \nichtfinal{Scheint etwas anderes beweisen zu wollen. Verwendet Faserprodukte.} Jeder Morphismus der Familienkategorie einer banalen Trennkategorie entsteht nach \eref{WKBK}{TS} durch Vertupeln und Verkn"upfen aus Leertrennungen, Eins\-tren\-nun\-gen und Diagonalzweitrennungen. Es reicht also zu zeigen, da"s der R"uckzug von Tupeln eigentlicher Opkomorphismen mit jedem Morphismus dieser drei Typen wieder ein eigentlicher Opkomorphismus ist. Im Fall einer Leertrennung ist das die einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$ der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber $\op{id}:X\ra X$ eigentlich ist alias da"s die nat"urliche Einbettung eine Gleichheit $\op{id}_!\DZ_X=\op{id}_*\DZ_X$ ist. Im Fall von Eins\-tren\-nun\-gen ist das unsere "Ubung \eref{ReOp}{TG}. Im Fall einer Dia\-go\-nal\-zwei\-tren\-nung betrachten wir in der Familienkategorie der Basis zu $f:X\ra Y$ und $g:Z\ra Y$ das aus kartesischen Quadraten bestehende Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times_Y Z \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge (X\times_Y Z) \ar[d]\ar[r]&X\curlywedge Z \ar[d]\\ X \ar[d]\ar[r] &X\curlywedge X \ar[r]&X\curlywedge Y \ar[d]\\ Y\ar[rr] &&Y\curlywedge Y \\ } \end{displaymath} Gegeben je ein eigentlicher Opkomorphismus $\phi:\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber $f$ und $\psi:\mathcal E\ra \mathcal H$ "uber $g$ gilt es zu zeigen, auch der induzierte Opkomorphismus $\op{pr}_X^*\mathcal F\otimes \op{pr}_Z^*\mathcal E\ra \mathcal G\otimes \mathcal H$ "uber der linken Vertikale eigentlich ist. Da jeder Opkomorphismus "uber einer Identit"at eigentlich ist, reicht es, in jedem der drei kartesischen Quadrate zu zeigen, da"s der R"uckzug eines eigentlichen Opkomorphismus eigentlich ist. Im Quadrat rechts oben folgt das aus dem bereits behandelten Fall des R"uckzugs unter einem einfachen Morphismus der Basis. In den beiden anderen Quadraten geht es jeweils darum zu zeigen, da"s der R"uckzug unter einer Diagonalzweitrennung eines Zweitupels von eigentlichen Opkomorphismen der Gestalt $\varphi\curlywedge \op{id}$ wieder eigentlich ist. Das hinwiederum l"auft auf den Nachweis hinaus, da"s f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal C$ auf $Y$ der Garbenhomomorphismus $\mathcal G\otimes \mathcal C\ra f_\ast (\mathcal F\otimes f^\ast \mathcal C)$, der f"ur $V\co Y$ und $g\in \mathcal G(V)$ und $c\in \mathcal C(V)$ gegeben wird durch $g\otimes c\mapsto \varphi(g)\otimes c$, "uber $f_! (\mathcal G\otimes f^\ast \mathcal C)$ faktorisiert. Da nun der Vorschub von den $ \varphi(g)\otimes c$ erzeugt wird, reicht es zu zeigen, da"s diese Tensoren zu $f_! (\mathcal F\otimes f^\ast \mathcal C)$ geh"oren. Es ist aber klar, da"s der Tr"ager in $f^{-1}(V)$ unseres Tensors $ \varphi(g)\otimes c$ eine abgeschlossene Teilmenge von $\op{supp}(\varphi(g))$ ist und folglich, wenn $\varphi$ eigentlich ist, auch eigentlich nach $V$ abgebildet wird. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Trennr"uckzug eigkokartesischer Opkomorphismen}] In der auf Tupel flacher Garben eingeschr"ankten Opgarbentrennfaserung\label{AMRekO} $$\op{flAb}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$ bilden die eigkokartesischen Opkomorphismen "uber les-Abbildungen ein fasertrennr"uckzugstabiles multiplikatives\label{AJhtr} System. \end{Lemma} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl} Der Beweis ist unvollst"andig im Modulfall, vermutlich ist die Tatsache falsch. Jedenfalls wird f"ur die hier gegebene Argumentation ben"otigt, da"s der Schreivorschub einer flachen abelschen Garbe auf $Z$ wieder flach ist, und das gilt ja im allgemeinen nach \ref{VsFF} nicht. \end{Bemerkungl}} \begin{proof} Wir argumentieren wie beim Beweis unseres Lemmas zum Trennr"uckzug eigentlicher Opkomorphismen \ref{MReO}. Es reicht nach \eref{WKBK}{TSK} zu zeigen, da"s der R"uckzug von Tupeln eigkokartesischer Opkomorphismen flacher Garben "uber les-Abbildungen mit jeder Leertrennung, Einstrennung und Diagonalzweitrennung wieder ein eigkokartesischer Opkomorphismus ist. Im Fall einer Leertrennung ist das die einigerma"sen banale Erkenntnis, da"s f"ur jeden topologischen Raum $X$ der identische Opkomorphismus $\DZ_X\ra \DZ_X$ "uber der Identit"at $\op{id}:X\ra X$ eigkokartesisch ist. Im Fall einer Einstrennung ist das lokal eigentlicher Basiswechsel \ref{BaWeax}. Im Fall einer Diagonalzweitrennung gehen wir vor wie beim Beweis unseres Lemmas zum Trennr"uckzug eigentlicher Opkomorphismen \ref{MReO}. Mit der Erkenntnis, da"s direkte Bilder und eigentliche Vorsch"ube flacher alias torsionsfreier abelscher Garben wieder flach sind, ziehen wir uns wie bei diesem Beweis darauf zur"uck, zu zeigen, da"s f"ur jede les-Abbildung $f:X\ra Y$ und jeden eigkokartesischen Opkomorphismus $\varphi:\mathcal F\ra\mathcal G$ "uber $f$ und jede flache abelsche Garbe $\mathcal C\in\op{Ab}_{/Y}$ auch der induzierte Opkomorphismus $\mathcal F\otimes f^\ast \mathcal C\ra \mathcal G\otimes \mathcal C$ "uber $f$ eigkokartesisch ist. Das hinwiederum l"auft auf den Nachweis hinaus, da"s der aus der Eigentlichkeit des Trennr"uckzugs nach \ref{MReO} entstehende Garbenhomomorphismus ein Isomorphismus $f_! \mathcal F\otimes \mathcal C \sira f_! (\mathcal F\otimes f^\ast \mathcal C)$ ist, und das schlie"slich ist genau die Aussage der Projektionsformel \ref{ProFor}. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eine flache Modulgarbe mit nicht flachem Schnittemodul}] Gegeben eine flache Modulgarbe auf einem Kompaktum mu"s die Garbe der globalen Schnitte keineswegs flach sein.\label{yVsFF} So gibt es etwa auf $S^1$ bis auf Isomorphismus genau eine lokal, aber nicht global triviale Garbe von $\DZ/4\DZ$-Moduln und deren globale Schnitte sind als Modul isomorph zum Ideal $2\DZ/4\DZ\subset \DZ/4\DZ$. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die eigentlichen Opkomorphismen von Modulgarben "uber gekringten R"aumen aus \ref{ReOpM} bilden ein fasertrennr"uckzustabiles multiplikatives System "uber dem System aller Morphismen gekringter R"aume. Hinweis: Man mag sich auf den Fall abelscher Garben st"utzen, den wir bereits in \ref{MReO} behandelt haben,\label{AMReOM} sowie den Fall des einfachen R"uckzugs aus "Ubung \ref{ReOpM}. \end{Ubung} \subsection{Weiterer underivierter Schrott} \nichtfinal{ \begin{Bemerkungl} Einen Multiopkomorphismus $\varphi:(X,\mathcal F)\ra (Y_1,\mathcal G_1)\curlywedge \ldots \curlywedge (Y_r,\mathcal G_r)$ in der Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ "uber einer Trennung von topologischen R"aumen $f=(f_1,\ldots,f_r):X\ra Y_1\curlywedge \ldots \curlywedge Y_r$ nennen wir {\bf eigentlich},\index{eigentlich!Multiopkomorphismus} wenn f"ur alle $V_i\co Y_i$ und $s_i\in \mathcal G_i(V_i)$ mit Bild $\varphi(s_1,\ldots,s_r)\in \mathcal F(f_1^{-1}(V_1)\cap\ldots\cap f_r^{-1}(V_r))$ unsere Trennung $f$ eine eigentliche Abbildung $$f:\op{supp}(\varphi(s_1,\ldots,s_r))\ra V_1\times\ldots\times V_r$$ induziert. Wie in \eref{vkeK}{TG} zeigt man, da"s jede Multiverkn"upfung eigentlicher Multiopkomorphismen wieder eigentlich ist. Indem wir in der Ausgangstrennkategorie nur eigentliche Multiopkomorphismen erlauben, erhalten wir einen Trennfunktor, den wir $$\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$ notieren. Er hat dieselben Trennungen wie die Opgarbentrennfaserung "uber universellen Trennungen der Basis alias Projektionstrennungen. "Uber einfachen Morphismen der Basis erhalten wir dahingegen unsere eigentlichen Opkomorphismen aus \eref{VeigK}{TG}. ICH HABE ABER DAF"UR KEINE VERWENDUNG BISHER. \end{Bemerkungl} } \subsection{Schrott zu derivierten Schmelzkategorien} \label{RueckT} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{MFoll} die Opgarbentrennfaserung $\op{Ab}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ "uber der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume. Wir erinnern weiter unsere allgemeinen Erkenntnisse zu Trennfunktoren zu banalen Trennkategorien \ref{FTFu} und insbesondere, wie auf den Fasern in diesem Fall selbst die Struktur einer Trennkategorie induziert wird, die im Fall einer Trennfaserung nach \ref{schmkL} ihrerseits stabil universelle Trennungen besitzt. Indem wir erst zu Komplexen und dann zu Homotopiekomplexen "ubergehen, erhalten wir in offensichtlicher Weise weitere Trennfaserungen, f"ur die ich die Notationen $\op{Ket}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}$ und $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}$ verwende. Die Lokalisierung letzterer Trennkategorie nach allen denjenigen Einstrennungen "uber Identit"aten, die Quasiisomorphismen sind, notiere ich\label{DERN} $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\pdef \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})_{\shortparallel\op{qis}}$. Wir erhalten so einen Trennfunktor\index{Der@$\op{Der}_{\sslash \op{Top}}$|main} $$\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{R"uckzug und Tensorprodukt}] \begin{enumerate} \item Der soeben in \ref{DERN} er\-kl"ar\-te Trennfunktor $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ ist eine Trennfaserung; \item Jede f"ur $\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})\ra \curlywedge{\op{Top}}$ kartesische Trennung zwischen Komplexen flacher abelscher Garben liefert eine f"ur $\op{Der}_{\sslash \op{Top}}\ra \curlywedge{\op{Top}}$ kartesische Trennung; \item F"ur jeden topologischen Raum $X$ sind die offensichtlichen Funktoren Isomorphismen von Trennkategorien $$ \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash X})_{\shortparallel \op{qis}} \sira(\op{Der}_{\sslash \op{Top}})_X$$ zwischen der Lokalisierung der Faser "uber $X$ als Trennkategorie und der Faser "uber $X$ der globalen Lokalisierung mit ihrer offensichtlichen Struktur als Trennkategorie. \end{enumerate} \label{VRT} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere werden im vorliegenden Fall die Fasern, f"ur die wir von nun an die abk"urzende Notation $\op{Der}_{\sslash X}$ verwenden, selbst zu Trennkategorien und unser Satz liefert ausgezeichnete Isomorphismen $$(\op{Der}_{/ X})^{\op{opp}}\sira \op{Der}_{\sslash X}$$ der Opponierten unserer Schmelzkategorien der derivierten abelschen Garben auf $X$ aus \ref{DeKaM} mit den Fasern unserer Trennfaserung. Wir verwenden hier unser Notationsschema \ref{schmkL} und notieren $f^\dagger$ die R"uckz"uge unserer Trennfaserung zu einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ und $f^*\pdef (f^\dagger)^{\op{opp}}:\op{Der}_{/ Y}\ra \op{Der}_{/X}$ die auf den opponierten Fasern induzierten Funktoren. Ebenso halten wir es mit den Vorsch"uben $f_\ast=(f_\dagger)^{\op{opp}}$ und haben also Adjunktionen $(f^*,f_*)$.\label{VRTm} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Analoge Aussagen f"ur Modulgarben}] Der Satz und sein Beweis gelten analog f"ur Garben von $k$-Moduln "uber einem beliebigen Kring $k$. Man mu"s nur feiner mit quisflachen Garbenkomplexen nach \ref{hflL} arbeiten und bemerken, da"s deren R"uckz"uge stets wieder quisflach sind. Das ist jedoch klar, da ein Garbenkomplex genau dann quisflach ist, wenn an jedem Punkt des zugrundeliegenden topologischen Raums der Komplex der Halme quisflach ist. Wir besprechn im n"achsten Abschnitt sogar den noch allgemeineren Fall von Modulgarben "uber Kringgarben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbenkohomologie als Trennfunktor}] Unser Schmelzfunktor \ref{VfTF} des Vorschubs auf das finale Objekt spezialisiert in dieser Situation zu einem Schmelzfunktor $$\op{fin}_*:\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}}^{\op{opp}}\ra \op{Der}_{/{\op{pt}}}$$ Zusammen mit den Isomorphismen $\op{Der}_{/{\op{pt}}}\sira \op{Der}(\op{Ab}_{/{\op{pt}}})\sira \op{Der}(\op{Ab})$ von Schmelzkategorien aus dem vorhergehenden Satz und den Definitionen erhalten wir einen Schmelzfunktor $$\op{fin}_*:\op{Der}_{\sslash{\op{Top}}}^{\op{opp}}\ra \op{Der}(\op{Ab})$$ Halten wir noch den Schmelzfunktor $\mathcal H: \op{Der}(\op{Ab})\ra \op{sgAb}$ der Homologie aus \ref{gHsf} dahinter, so erhalten wir den {\bf Schmelzfunktor $(X,\mathcal F)\mapsto \mathbb H^*(X;\mathcal F)$ der totalen Hyperkohomologie}, den wir bisher in \ref{HyK} nur als einfachen Funktor kennengelernt hatten. Halten wir zus"atzlich den Opponierten des eindeutigen kartesischen Trennschnitts davor, erhalten wir einen Schmelzfunktor $\curlyvee{\op{Top}}^{\op{opp}}\ra \op{sgAb}$, der jedem Raum $X$ die supergraduierte abelsche Gruppe ${\op{H}}^*(X;\DZ)_{\op{garb}}$ zuordnet und jedem Tupel von von $X$ ausgehenden stetigen Abbildungen die multiadditive Abbildung \glqq cup-Produkt des R"uckzugs der Kohomologieklassen\grqq. Er ist eine garbenkohomologische Variante des entsprechenden Schmelzfunktors $\curlyvee{\op{Top}}^{\op{opp}}\ra \op{sgAb}$ der singul"aren Kohomologie, den wir in \eref{Koho}{TS} als Trennfunktor $\curlywedge{\op{Top}}\ra \op{sgAb}^{\op{opp}}$ besprochen hatten.\label{GKSFA} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wenden unsere Korollare \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2} zur Lokalisierung von Kofaserfunktoren durch Linksanpassung oder genauer die daraus durch "Ubergang zu den opponierten Kategorien entstehenden Aussagen zur Lokalisierung von Faserfunktoren durch Rechtsanpassung an auf den auf den Familienkategorien induzierten Funktor $$\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash \op{Top}})^\curlywedge\ra \op{Top}^\curlywedge$$ Er ist ein Faserfunktor. Genauer ist f"ur stetige Abbildungen $f_i:X\ra Y_i$ und $\mathcal G_i\in\op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash Y_i})$ die tautologische Trennung $$ f_1^*\mathcal G_1\otimes\ldots\otimes f_n^*\mathcal G_n\ra \mathcal G_1\curlywedge\ldots\curlywedge\mathcal G_n$$ "uber $(f_1, \ldots, f_n)$ kartesisch. Wie beim Beweis des Spezialfalls \ref{DeKaM}, nur jetzt in der opponierten Situation, bilden die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten nach \eref{KTQu}{TD} ein \hyperref[fORE]{faserweises Rechtsoresystem}, ja sogar ein faserweises Oresystem. F"ur dieses faserweise Rechtsoresystem der Quasiisomorphismen ist nun wie beim Beweis des Spezialfalls \ref{DeKaM} die Unterkategorie $\op{Hot}(\op{flAb}_{\sslash \op{Top}})^\curlywedge$ aller Tupel von Homotopiekomplexen flacher abelscher Garben "uber topologischen R"aumen eine \hyperref[LAP]{Rechtsanpassung}, denn Tensorprodukt wie R"uckzug machen aus flachen Garben flache Garben, Tensorprodukt wie R"uckzug von Quasiisomorphismen zwischen Komplexen flacher abelscher Garben sind wieder Quasiisomorphismen, und nach \eref{UGTRn}{TD} finden wir f"ur jeden Komplex abelscher Garben einen Quasiisomorphismus von einem Komplex flacher abelscher Garben dorthin, der dann in der opponierten Kategorie entsprechend von dort ausgeht. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Schmelzkategorie der derivierten Modulgarben}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ und ein Kring $k$ gilt:\label{DeKaMm} \begin{enumerate} \item Der offensichtliche Funktor ist ein Isomorphismus $$({\op{E}}\op{Hot}(k\op{-Mod}_{/X}))_{\op{qis}} \sira {\op{E}}(\op{Hot}(k\op{-Mod}_{/X})_{\shortparallel\op{qis}})$$ Die so erhaltene Schmelzkategorie notieren wir $\op{Der}_{/(X,k)}$. \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}_{/(X,k)}$ der derivierten $k$-Modulgarben besitzt stabil universelle Verschmelzungen, wir notieren sie $\otimes^{\op{L}}_k$, und jede universelle Verschmelzung in der Homotopiekategorie $\op{Hot}(\op{Ab}_{/(X,k)})$ zwischen Komplexen\label{DeKaMfu} von $k$-Modulgarben, von denen h"ochstens einer nicht quisflach ist, bleibt darin universell; \item Die "ubliche Struktur einer triangulierten Kategorie auf unserer Schmelzkategorie $\op{Der}_{/(X,k)}$ ist \hyperref[itSS]{intern}; \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}_{/(X,k)}$ besitzt internes Hom. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Mutatis mutandis derselbe Beweis wie im Fall abelscher Garben. Quisrechtsentfaltungen von $k$-Modulgarben haben wir in \ref{reff} bereitgestellt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wie im Fall abelscher Garben \ref{KoGK} konstruieren wir auch f"ur einen beliebigen Kring $k$ und einen beliebigen topologischen Raum $X$ und einen beliebigen Komplex von $k$-Modulgarben eine ausgezeichnete Bijektion $$\op{Der}_{/(X,k)}(\curlyvee,\mathcal F)\sira \mathbb H^0(X;\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} \nichtfinal{Gleich gekringter Raum?} Sei $k$ ein Ring. Ein Komplex von $k$-Modulgarben hei"st {\bf quisflach},\index{quisflach!Komplex von Modulgarben} wenn das Darantensorieren von unserem Komplex aus jedem exakten Komplex von $k$-Rechtsmodulgarben einen exakten Komplex von abelschen Garben macht.\label{Htfla} Allgemeiner vereinbaren wir dieselbe Terminologie auch f"ur Garben von Moduln "uber einer Garbe $\mathcal A$ von Ringen. Gegeben ein geringter Raum $(X,\mathcal A)$ notieren wir\index{HflAb@$\op{HflAb}_{\sslash(X,\mathcal A)}$ quisflache Komplexe von Modulgarben} $$\op{HflAb}_{\sslash(X,\mathcal A)}\subset \op{Hot}(\op{Ab}_{\sslash (X,\mathcal A)})$$ die volle triangulierte Unterkategorie der quisflachen Komplexe von Modulgarben. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Schmelzkatgorie derivierter abelscher Garben}] Die abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X$ bilden offensichtlich eine bequeme abelsche Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/X}$. Sie ist entfaltbar im Sinn von \ref{entSC}. In der Tat besitzt jeder Komplex abelscher Garben eine Quis\-rechts\-ent\-fal\-tung nach \ref{EhiA} und die Komplexe flacher abelscher Garben bilden eine Quisschmelzanpassung, denn das Tensorprodukt macht aus flachen Garben flache Garben, das Darantensorieren eines Komplexes flacher Garben macht Quasiisomorphismen zu Quasiisomorphismen nach \eref{qflg}{TD} sowie \eref{EApo}{TD} und nach \ref{EFlG} und \eref{UGTR}{TD} finden wir f"ur jeden Komplex abelscher Garben einen Quasiisomorphismus von einem Komplex flacher abelscher Garben dorthin. Die allgemeine Theorie aus \ref{DeAS} liefert uns damit die {\bf Schmelzkategorie der derivierten abelschen Garben auf $X$}, die wir $$\op{Der}_{/X}\pdef \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$$ notieren, und einen Isomorphismus der zugrundeliegenden einfachen Katgorie mit der gew"ohnlichen derivierten Kategorie der abelschen Garben auf $X$. In $\op{Ab}_{/X}$ hatten wir einen Isomorphismus $\op{L}\siRa \Gamma$ des Leerverschmelzungsfunktor mit dem Funktor der globalen Schnitte angegeben. Mit \ref{lDk} liefert er nat"urliche Isomorphismen\label{KoLeA} $$\op{Der}_{/X}(\curlyvee,\mathcal F)\sira \mathbb H^0(X;\mathcal F)$$ zwischen der abelschen Gruppe der Leerverschmelzungen in einen Garbenkomplex und seiner Hyperkohomologie im Grad Null. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Sei wie eben $(F^{p,q})_{q\leq 0}$ eine Cartan-Eilenberg-Untenaufl"osung durch flache Garben eines Komplexes von $k$-Modulgarben. Besteht die Godementaufl"osung jedes $F^{p,q}$ aus flachen Garben, so ist auch das Summentotal des Tripelkoplexes $\op{G}^r(F^{p,q})_{q\leq 0, r\geq 0}$ ein homtopieflacher Komplex aus flachen Garben. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} So kriegen wir, tja, was genau? Irgendwie Quasiisomorphismen mit quisflachem Komplex aus schwach kompaktweichen flachen Garben. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $E$ ein exakter Komplex von Garben von $k$-Rechtsmoduln. Wir wissen aus \ref{hflL}, da"s $\op{tot}^\oplus( E^s\otimes_kF^{p,q})_{q\leq 0}$ exakt ist. Wenn wir zeigen k"onnen, da"s $\op{tot}^\oplus (E^s\otimes_k\op{G}^r(F^{p,q}))_{q\leq 0,r\geq -1}$ exakt ist mit $\op{G}^{-1}(F^{p,q}) \pdef F^{p,q}$, so folgt die Behauptung. Aufgrund der Funktorialit"at der Godement-Aufl"osung haben f"ur festes $r$ die Doppelkomplexe $\op{G}^r(F^{p,q})_{q\leq 0}$ maximal spaltende $p$-Zeilen, folglich ist f"ur festes $r,q$ das Summentotal $\op{tot}^\oplus_{p,s}(E^s\otimes_k\op{G}^r(F^{p,q}))$ exakt und dann wegen $q\leq 0$ auch f"ur alle $r$ das Summentotal $\op{tot}^\oplus_{p,q,s}(E^s\otimes_k\op{G}^r(F^{p,q}))$. Da aber diese Doppelkomplexe exakte $r$-Zeilen haben und verschwinden f"ur $r<-1$, haben sie ihrerseits ein exaktes Summentotal. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Leerverschmelzungen in Homotopiekategorien}] \nichtfinal{Vielleicht hier unn"otig.} Gegeben eine bequeme abelsche Schmelzkategorie $\mathcal M$ erhalten wir eine Transformation ${\op{L}}_{\op{Hot}}\RA {\op{L}}_{\mathcal M}\circ \mathcal H^0$ von Schmelzfunktoren $\op{Hot}_{\mathcal M}\ra \op{Ab}$, indem wir den linksexakten Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal M$ mit $\op{L}\pdef{\op{L}}_{\mathcal M}$ abk"urzen und ${\op{L}}_{\op{Hot}}=\mathcal H^0 \circ \op{Hot}(\op{L})$ aus \ref{dgHd} erinnern und jedem Komplex $(X,d)$ den durch die rechte Vertikale des Diagramms\label{LVh} $$\begin{array}{ccccc} \op{im}(\op{L}d^{-1})&\hra&\op{ker}(\op{L}d^{0})&\sra&\mathcal H^0 \op{Hot}(\op{L})\\ \da&&\da\!\wr&&\da\\ \op{L}\op{im}(d^{-1})&\hra&\op{L}\op{ker}(d^{0})&\ra& \op{L}\mathcal H^0 \end{array}$$ induzierten Morphismus zuordnen. Ist zus"atzlich der Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal M$ exakt, so ist unsere Transformation eine Isotransformation $${\op{L}}_{\op{Hot}}\siRa {\op{L}}_{\mathcal M}\circ \mathcal H^0$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anreicherung derivierter Schmelzkategorien}] \nichtfinal{(Eher nicht hier!)} Gegeben eine entfaltbare bequeme abelsche Schmelzkategorie $\mathcal M$ erhalten wir aus $\tau: Q\circ \op{Hot}(\op{L}_{\mathcal M})\RA \op{R}(\op{L}_{\mathcal M})\circ Q$ nach \eref{DRF}{TD} und $\mathcal H^0 \circ \op{Hot}(\op{L}_{\mathcal M})\RA {\op{L}}_{\mathcal M}\circ \mathcal H^0 $ nach \ref{LVh} Transformationen $$\mathcal H^0 \circ\op{R}(\op{L}_{\mathcal M})\circ Q \;\Leftarrow\; Q\circ \mathcal H^0 \circ \op{Hot}(\op{L}_{\mathcal M})\;\RA\; {\op{L}}_{\mathcal M}\circ \mathcal H^0 \circ Q$$ Ist der Leerverschmelzungsfunktor $\op{L}_{\mathcal M}$ exakt, so sind sie beide Isotransformationen und induzieren eine Isotransformation $\mathcal H^0 \circ\op{R}(\op{L}_{\mathcal M})\siRa {\op{L}}_{\mathcal M}\circ \mathcal H^0 $ von Funktoren auf der derivierten Kategorie, in anderen Worten eine Faktorisierung ihres \nichtfinal{additiv angereicherten} Leerverschmelzungsfunktors als $${\op{L}}_{\op{Der}}\siRa {\op{L}}_{\mathcal M}\circ \mathcal H^0 $$ f"ur $\mathcal H^0: \op{Der}_{\mathcal M}\ra \mathcal M$. Nach \ref{DeAS} ist nun $\op{Der}_{\mathcal M}$ eine Schmelzkategorie mit Multihom und nach \eref{ASs}{TSK} k"onnen wir die Selbstanreicherung $\op{Der}^{\op{sa}}_{\mathcal M}/\op{Der}_{\mathcal M}$ bilden und k"onnen diese mit jedem Schmelzfunktor $\varphi:\op{Der}_{\mathcal M}\ra\mathcal S$ zu einer in $\mathcal S$ angereicherten Schmelzkategorie umstrukturieren im Sinne von \eref{Umstr}{TSK}. Strukturieren wir zum Beispiel um mit $\mathcal H^0: \op{Der}_{\mathcal M}\ra \mathcal M$, so erhalten wir eine in $\mathcal M$ angereicherte Schmelzkategorie $\mathcal H^0(\op{Der}^{\op{sa}}_{\mathcal M})/\mathcal M$, die wir vereinfacht $$\op{Der}_{\mathcal M}/\mathcal M$$ notieren. Strukturieren wir sie weiter um mit dem Leerverschmelzungsfunktor von $\mathcal M$ und nehmen an, dieser Leerverschmelzungsfunktor sei exakt, so erhalten wir nach \eref{ASs}{TSK} einen objektfesten Isomorphismus von \nichtfinal{($\op{Ab}-$?)} Schmelzkategorien $$\op{L}_{\mathcal M}(\op{Der}_{\mathcal M}/\mathcal M)\sira \op{Der}_{\mathcal M}$$ \nichtfinal{NOCHMAL DURCHDENKEN! ADDITIVE STRUKTUR MITNEHMEN! Ist der Leerverschmelzungsfunktor $\op{L}_{\mathcal M}$ von $\mathcal M$ nicht nur exakt, sondern auch treu, so versieht diese Faktorisierung nach \eref{??}{TSK} unsere Schmelzkatgorie $\op{Der}_{\mathcal M}$ mit einer $(\mathcal M,\op{L}_{\mathcal M})$-Struktur. Mu"s Verfeinerung der additivn Struktur zu $k$-linearer Struktur auf $\op{Der}(\op{Ab}_k)$ liefern.}\label{AnRe} \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schmelzkategorie der derivierten abelschen Gruppen}] \nichtfinal{Weglassen, Garben reicht!} F"ur die Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe $\op{Hot}(\op{Ab})=\op{Hot}$ aus \eref{MhmM}{TSK} und ihre Lokalisierung nach Quasiisomorphismen $\op{Der}(\op{Ab})\pdef \op{Hot}(\op{Ab})_{\shortparallel\op{qis}}$ gilt:\label{DeKaMAG}\index{derivierte abelsche Gruppen!als Schmelzkategorie} \begin{enumerate} \item Der offensichtliche Funktor ist ein Isomorphismus $$({\op{E}}\op{Hot}(\op{Ab}))_{\op{qis}} \sira {\op{E}}(\op{Hot}(\op{Ab})_{\shortparallel\op{qis}})$$ \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ besitzt stabil universelle Verschmelzungen und jede universelle Verschmelzung in $\op{Hot}(\op{Ab})$, bei der h"ochstens einer der Ausgangskomplexe nicht aus flachen abelschen Gruppen besteht, bleibt universell in $\op{Der}(\op{Ab})$; \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ besitzt internes Hom und ist $A$ ein Komplex aus freien abelschen Gruppen oder $B$ ein Komplex aus injektiven abelschen Gruppen, so stimmt das in der derivierten Kategorie gebildete Homobjekt $A{\Rrightarrow} B$ mit dem in der Homotopiekategorie gebildeten Homobjekt "uberein; \item Die "ubliche Struktur einer triangulierten Kategorie auf unserer Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ ist intern im Sinne von \eref{itSS}{TD}. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Additive Struktur auf $\op{Der}(\op{Ab})$}] Der Schmelzfunktor $\mathcal H^0:\op{Hot}(\op{Ab})\ra \op{Ab}$ macht Quasiisomorphismen zu Isomorphismen und induziert folglich einen Schmelzfunktor $\mathcal H^0 :\op{Der}(\op{Ab})\ra \op{Ab}$. Unsere "Uberlegungen \ref{LVL} liefern eine Isotransformation $v\circ \mathcal H^0\siRa {\op{L}}$ zum Leerverschmelzungsfunktor von $\op{Der}(\op{Ab})$. Sie versieht unsere Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ nach \eref{adTL}{TSK} mit einer additiven Struktur, die nach \ref{EaLs} auch die einzig m"ogliche additive Struktur auf diesr Schmelzkategorie ist. \nichtfinal{Weglassen!} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Totale Homologie als Schmelzfunktor}] \nichtfinal{Weglassen!} Wir erinnern den Schmelzfunktor der totalen Homologie $\mathcal H:\op{Hot}(\op{Ab})\ra \op{sgAb}$ von der Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe in die Schmelzkategorie der supergraduierten abelschen Gruppen aus \eref{juzt}{TSK}. Er faktorisiert offensichtlich "uber die Lokalisierung nach Quasiisomorphismen und induziert so einen Schmelzfunktor\label{gHsfA} $$\mathcal H:\op{Der}(\op{Ab})\ra \op{sgAb}$$ \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir wenden unsere Korollare \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2} zur Lokalisierung durch Linksanpassung an auf den Indexfunktor $p:\op{Hot}(\op{Ab})^\curlyvee\ra \op{Ensf}$. Er ist ein Kofaserfunktor, da die fraglichen Homotopiekomplexe nach \eref{MhmM}{TSK} stabil universelle Verschmelzungen haben. F"ur diesen Funktor bilden die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten nach \eref{KTQu}{TD} ein \hyperref[fORE]{faserweises Oresystem}. F"ur dieses faserweise Oresystem der Quasiisomorphismen ist nun die Unterkategorie $\op{Hot}(\op{flAb})^\curlyvee$ aller Tupel von Homotopiekomplexen flacher abelscher Gruppen eine \hyperref[RAP]{Linksanpassung}, denn die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten bilden darin, immer noch nach \eref{KTQu}{TD}, weiter ein \hyperref[fORE]{faserweises Oresystem}, das Tensorprodukt macht aus flachen abelschen Gruppen flache abelsche Gruppen, das Tensorprodukt von Quasiisomorphismen zwischen Komplexen flacher abelscher Gruppen ist nach \eref{TGgg}{TD} wieder ein Quasiisomorphismus, und nach \eref{UGTR}{TD} finden wir f"ur jeden Komplex abelscher Gruppen einen Quasiisomorphismus von einem Komplex flacher abelscher Gruppen dorthin. Das Tensorprodukt mit einem Komplex flacher abelscher Gruppen macht nach \eref{TGgg}{TD} sogar einen beliebigen Quasiisomorphismus in $\op{Ket}(\op{Ab})$ zu einem Quasiisomorphismus. Wir sehen so, da"s der Funktor $X\otimes_{\op{Der}(\op{Ab})}$ des Darantensorierens in der Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ isomorph ist zu unserem derivierten Tensorieren $\op{L}(X\otimes):\op{Der}(\op{Ab})\ra \op{Der}(\op{Ab})$ aus \eref{TGgg}{TD}, von dem wir bereits aus \eref{adJTH}{TD} wissen, da"s er einen Rechtsadjungierten besitzt und wie dieser Rechtsadjungierte beschrieben werden kann. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Schmelzkategorie der derivierten Kringmoduln}] Gegeben ein Kring $k$ und die Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe $\op{Hot}({\op{Mod}_k})$ von $k$-Moduln aus \eref{htkr}{TSK}\index{derivierte Moduln!als Schmelzkategorie} und ihre Lokalisierung $\op{Der}({\op{Mod}_k})\pdef \op{Hot}({\op{Mod}_k})_{\shortparallel\op{qis}}$ nach Quasiisomorphismen gilt:\label{bRehd} \begin{enumerate} \item Der offensichtliche Funktor ist ein Isomorphismus $$({\op{E}}\op{Hot}({\op{Mod}}_k))_{\op{qis}} \sira {\op{E}}(\op{Hot}({\op{Mod}}_k)_{\shortparallel\op{qis}})$$ \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}({\op{Mod}}_k)$ besitzt stabil universelle Verschmelzungen. Des weiteren bleibt jede universelle Verschmelzung in $\op{Hot}({\op{Mod}}_k)$, bei der h"ochstens einer der Ausgangskomplexe nicht quisflach ist, universell in $\op{Der}({\op{Mod}}_k)$; \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}({\op{Mod}}_k)$ besitzt internes Hom und ist $X$ ein quislinksentfalteter oder $Y$ ein quisrechtsentfalteter Komplex, so stimmt das in der derivierten Kategorie gebildete Homobjekt $X{\Rrightarrow} Y$ mit dem in der Homotopiekategorie gebildeten Homobjekt "uberein; \item Die "ubliche Struktur einer triangulierten Kategorie auf unserer Schmelzkategorie $\op{Der}({\op{Mod}}_k)$ ist intern im Sinne von \eref{itSS}{TD}. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Wir wenden unsere Korollare \ref{LRAn1} und \ref{LRAn2} zur Lokalisierung durch Linksanpassung an auf den Indexfunktor $p:\op{Hot}({\op{Mod}}_k)^\curlyvee\ra \op{Ensf}$. Er ist ein Kofaserfunktor, da die fraglichen Homotopiekomplexe nach \eref{MhmM}{TSK} stabil universelle Verschmelzungen haben. F"ur diesen Funktor bilden die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten nach \eref{KTQu}{TD} ein \hyperref[fORE]{faserweises Oresystem}. F"ur dieses faserweise Oresystem der Quasiisomorphismen ist nun die Unterkategorie $\op{hflHot}({\op{Mod}}_k)^\curlyvee$ aller Tupel von quisflachen Komplexen eine \hyperref[RAP]{Linksanpassung}, denn die Tupel von Quasiisomorphismen "uber Identit"aten bilden darin, immer noch nach \eref{KTQu}{TD}, weiter ein \hyperref[fORE]{faserweises Oresystem}, das Tensorprodukt macht aus quisflachen Komplexen quisflache Komplexe, das Tensorprodukt von Quasiisomorphismen zwischen quisflachen Komplexen ist nach \eref{TGgg}{TD} wieder ein Quasiisomorphismus, und nach \eref{EApo}{TD} und \eref{hprl}{TD} finden wir f"ur jeden Komplex von Moduln einen Quasiisomorphismus von einem quisflachen Komplex dorthin. Wir sehen so, da"s der Funktor $X\otimes_{\op{Der}(\op{Mod}_k)}$ des Darantensorierens in der Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Mod}_k)$ isomorph ist zur Variante $\op{L}(X\otimes_k):\op{Der}(\op{Mod}_k)\ra \op{Der}(\op{Mod}_k)$ unseres derivierten Tensorierens f"ur beliebige Ringe aus \eref{TGgg}{TD}, von dem wir bereits aus \eref{adJTH}{TD} wissen, da"s er einen Rechtsadjungierten besitzt und wie dieser Rechtsadjungierte beschrieben werden kann. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe abelscher Garben}] Wie bereits in \ref{MoaS} erw"ahnt bilden die abelschen Garben auf einem beliebigen topologischen Raum $X$ eine bequeme abelsche Schmelzkategorie $\op{Ab}_{/X}$. Speziell erhalten wir so f"ur jeden topologischen Raum $X$ die $\op{Ab}$-Schmelzkategorien $\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$ und $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ mit stabil universellen Verschmelzungen und internem Hom und die "ubliche triangulierte Struktur auf $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ ist intern im Sinne von \eref{itSS}{TD}, vergleiche \ref{bqIT}. In $\op{Ab}_{/X}$ hatten wir einen Isomorphismus $\op{L}\siRa \Gamma$ des Leerverschmelzungsfunktor mit dem Funktor der globalen Schnitte erhalten. In $\op{Ket}(\op{Ab}_{/X})$ sind die Leerverschmelzungen in einen Komplex folglich die Nullzykel des Komplexes der globalen Schnitte und in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ die Elemente der nullten Kohomologie des Komplexes der globalen Schnitte. Das Einsobjekt ist jeweils die konstante Garbe $\DZ_X$ im Grad Null, genauer der Komplex $\DZ_X[0]$ mit dem globalen Schnitt $1_X$ beziehungsweise dessen Kohomologieklasse als universeller Leerverschmelzung. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Schmelzkategorie derivierter abelscher Garben}] F"ur die Schmelzkategorie der Homotopiekomplexe $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ auf einem topologischen Raum $X$ und ihre Lokalisierung nach Quasiisomorphismen $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})\pdef \op{Hot}(\op{Ab}_{/X})_{\shortparallel\op{qis}}$ gilt:\label{DeKaM} \begin{enumerate} \item Der offensichtliche Funktor ist ein Isomorphismus\index{DerAb@$\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$!als Schmelzkategorie} $$({\op{E}}\op{Hot}(\op{Ab}_{/X}))_{\op{qis}} \sira {\op{E}}(\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})_{\shortparallel\op{qis}})$$ \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ besitzt stabil universelle Verschmelzungen und jede universelle Verschmelzung in $\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})$ zwischen Komplexen\label{DeKaMfu} abelscher Garben, von denen h"ochstens einer nicht aus flachen Garben besteht, bleibt darin universell; \item Die Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ besitzt internes Hom; \item Die "ubliche Struktur einer triangulierten Kategorie auf unserer Schmelzkategorie $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ ist \hyperref[itSS]{intern}. \nichtfinal{Ausschreiben?} \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden f"ur einen topologischen Raum $X$ auch die abk"urzende Notation \index{Der@$\op{Der}_{/X}$} $\op{Der}_{/X}\pdef\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Leerverschmelzungen als Hyperkohomologie}] Ich konstruiere f"ur jeden topologischen Raum $X$ und jeden Komplex $\mathcal F$ von abelschen Garben auf $X$ einen Isomorphismus von abelschen Gruppen $$\op{Der}_{/X}(\curlyvee, \mathcal F)\sira\mathbb H^0(X;\mathcal F)$$ Die universelle Leerverschmelzung in den Homotopiekomplex $\DZ_X[0]$ bleibt nach Teil 2 universell in $\op{Der}(\op{Ab}_{/X})$. Wir erhalten so f"ur jeden Garbenkomplex $\mathcal F\in \op{Der}(\op{Ab}_{/X})$ eine Bijektion $\op{Der}_{/X}(\curlyvee, \mathcal F)\sira \op{Der}_{/X}(\DZ_X[0], \mathcal F)$. Da jeder Garbenkomplex quisrechtsentfaltbar ist, erhalten wir mithilfe der Beschreibung \eref{DYF}{TD} von Morphismen in Lokalisierungen als faktorierten Funktoren, der Definition der Homotopiekategorie und unseren Erkenntnissen \eref{DerEV}{TD} zur Faktorierung einer Verkn"upfung ausgezeichnete Bijektionen $$\op{Der}_{/X}(\DZ_X[0], \mathcal F)\sira {\op{R}}(\op{Hot}_{/X}(\DZ_X[0],\;))(\mathcal F)\sira {\op{R}}(\mathcal H^0\Gamma)(\mathcal F)\sira \mathcal H^0({\op{R}}\Gamma)(\mathcal F)$$ Mit unserer Definition $\mathbb H^q(X;\mathcal F)\pdef \mathcal H^q({\op{R}}\Gamma)(\mathcal F )$ der Hyperkohomologie aus \eref{hkmt}{TD} liefert das schlie"slich Bijektionen\label{KoGK} $\op{Der}_{/X}(\curlyvee, \mathcal F)\sira\mathbb H^0(X;\mathcal F)$ wie gew"unscht. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTSS" %%% End: