\section{Schrotthalde} \subsection{Pr"aschrott} \begin{Bemerkungl} Im folgenden will ich zeigen, da"s f"ur jeden lokal kompakten lokal zusammenziehbaren Hausdorffraum die singul"are Kohomologie mit kompaktem Tr"ager mit der Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager "ubereinstimmt. Wieder ist das Hauptziel dieser "Ubung, Anschauung zu "ubertragen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KsiK} Gegeben ein Hausdorffraum $X$ und ein Kompaktum $K\subset X$ induzieren die offensichtlichen Abbildungen ${\op{S}}^qX\ra \Gamma\cal{S}_X^q$ von den singul"aren Koketten auf $X$ in die globalen Schnitte der Garbe der lokalen singul"aren Koketten sicher Kettenabbildungen ${\op{S}}^\ast(X,X\backslash K)\ra \Gamma_{!}\cal{S}_X^\ast$. Aufgrund der Exaktheit des direkten Limes liefern sie auch Homomorphismen $${\op{H}}_{!}^q(X;\DZ)_{\op{sing}}\ra \cal{H}^q\Gamma_{!}\cal{S}_X^\ast$$ auf der singul"aren Kohomologie mit kompaktem Tr"ager nach \eref{KKTk}{TS}. F"ur $U\co X$ eine offene Teilmenge kommutiert weiter das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}_{!}^q(U;\DZ)_{\op{sing}}\ar[r]\ar[d]& \cal{H}^q\Gamma_{!}\cal{S}_U^\ast \ar[d]\\ {\op{H}}_{!}^q(X;\DZ)_{\op{sing}}\ar[r]& \cal{H}^q\Gamma_{!}\cal{S}_X^\ast } \end{displaymath} mit der Ausdehnung durch Null im Sinne von \eref{KKTk}{TS} in der linken Vertikalen und der vermittels der Ausdehnung durch Null von Schnitten mit kompaktem Tr"ager von $\cal{S}_U^\ast=\cal{S}_X^\ast|_U$ induzierten Abbildung in der rechten Vertikalen. In der Tat liefert der R"uckzug ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{S}}^\ast (U,U\backslash K)&\ra& \Gamma_{K}\cal{S}_U^\ast \\ \ua&&\ua\\ {\op{S}}^\ast (X,X\backslash K)&\ra& \Gamma_{K}\cal{S}_X^\ast \end{array}$$ wobei rechts Schnitte mit Tr"ager in $K$ gemeint sind. In der rechten Vertikalen stehen hier Isomorphismen, und in der linken Vertikale entstehen Isomorphismen, eben die Ausschneidungsisomorphismen, beim "Ubergang zur Kohomologie. Diese Isomorphismen m"ussen wir dann nur noch durch ihre Inversen ersetzen und in geeigneter Weise zum direkten Limes "ubergehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{KsiKk} Gegeben ein lokal zusammenziehbarer topologischer Raum $X$ ist nach \ref{KKAB} der Komplex der lokalen singul"aren Koketten eine Aufl"osung $\DZ_X\hra \cal{S}^\ast_X$ der konstanten Garbe. Wir erhalten so mithilfe von \ref{lekk} f"ur jeden lokal zusammenziehbaren Hausdorffraum nat"urliche Abbildungen $$\cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X\ra {\op{H}}^q_{!}(X;\DZ_X)$$ F"ur $U\co X$ folgern wir aus \ref{lekk} mit diesen Abbildungen in den Horizontalen ein kommutatives Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_U&\ra &{\op{H}}^q_{!}(U;\DZ_U)\\ \da&&\da\\ \cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X&\ra& {\op{H}}^q_{!}(X;\DZ_X) \end{array} $$ mit Ausdehnung durch Null in den Vertikalen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Singul"are Kohomologie als Garbenkohomologie, Variante}]%\label{KTr} Gegeben ein lokal kompakter lokal zusammenziehbarer Hausdorffraum $X$\label{KTrrx} liefern die in \ref{KsiK} und \ref{KsiKk} erkl"arten Konstruktionen Isomorphismen $${\op{H}}^{q}_{!}(X;\DZ)_{\op{sing}} \overset{\sim}{\ra}\cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X \sira {\op{H}}^{q}_{!}(X;\Bbb{Z}_{X})$$ zwischen der singul"aren Kohomologie mit kompaktem Tr"ager von $X$ und der Garbenkohomologie mit kompaktem Tr"ager der konstanten Garbe $\Bbb{Z}_{X}$ auf $X$, und diese Isomorphismen sind vertr"aglich mit der Fortsetzung durch Null von offenen Teilmengen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{KTrK} Dieselbe Aussage gilt mit demselben Beweis auch allgemeiner mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. Die Vertr"aglichkeit mit offenen Einbettungen hatten wir schon in \ref{KsiK} und \ref{KsiKk} gepr"uft. Der Beweis, da"s unsere Abbildungen Isomorphismen sind, braucht einige technische Hilfsmittel, die wir nun entwickeln. Der eigentliche Beweis wird gegeben im Anschlu"s an den Beweis von \ref{wwwc}. Eine Version f"ur die gew"ohnliche Kohomologie hatten wir bereits als \ref{SiKo} gezeigt. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis von \ref{KTrr}] Der Zweite der in unserem Satz behaupteten Isomorphismen $\cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X \sira {\op{H}}^{q}_{!}(X;\Bbb{Z}_{X})$ folgt aus unseren Erkenntnissen \ref{lekk} zur Berechnung von Kohomologie durch azyklische Aufl"osungen, da der Komplex $\cal{S}^{\ast}_{X}$ nach \ref{KKAB} eine Aufl"osung der konstanten Garbe bildet durch nach \ref{wwwc} kompaktweiche Garben, deren h"ohere Kohomologiegruppen mit kompaktem Tr"ager nach \ref{KwA} verschwinden. Der Beweis des ersten im Satz behaupteten Isomorphismus ${\op{H}}^{q}_{!}X\sira \cal{H}^q\Gamma_{!} \cal{S}^{\ast}_X$ wird uns mehr Arbeit machen. Ist $X$ parakompakt, so erhalten wir f"ur jede offene Teilmenge $U\co X$ ein kommutatives Diagramm von Komplexen abelscher Gruppen $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash U)&\hookrightarrow &{\op{S}}^{\ast}X&\twoheadrightarrow &{\op{S}}^{\ast}(X\backslash U)\\ \da&&\da&&\da\\ \op{ker}^\ast_{U}&\hookrightarrow & \cal{S}^{\ast}_{X}(X)&\ra & \cal{S}^{\ast}_{X\backslash U}(X\backslash U) \end{array}$$ wie folgt: Wir gehen aus von den beiden rechten Vertikalen, die nach \ref{PKs} Surjektionen sind; die rechte untere Horizontale kann durch das Kommutieren des Diagramms definiert werden, da der Kern der mittleren Vertikale unter dem Weg "uber ${\op{S}}^{\ast}(X\backslash U)$ nach rechts unten offensichtlich auf Null abgebildet wird; und $\op{ker}^\ast_{U}$ erkl"aren wir schlicht als den Kern der rechten unteren Horizontale. Wir haben dann kurze exakte Sequenzen als Zeilen, und da die beiden rechten Vertikalen nach \ref{hs} Isomorphismen auf der Kohomologie induzieren, trifft das auch f"ur die linke Vertikale zu. Da in einem lokal kompakten Hausdorffraum sowohl die kompakten Mengen als auch die offenen Mengen $U$ mit kompaktem Abschlu"s kofinal sind im System aller Mengen mit kompaktem Abschlu"s, erhalten wir nun mit Limites jeweils "uber alle offenen Mengen $U$ mit kompaktem Abschlu"s Isomorphismen $$\begin{array}[b]{ccll} {\op{H}}^{q}_{!} X& =&\varinjlim_U {\op{H}}^{q}(X,X\backslash U)&\text{ nach der Definition in \ref{KKTk},} \\ & \sira & \varinjlim_U \cal{H}^{q}\op{ker}^\ast_{U}&\text{ nach unserer Vor"uberlegung,}\\ & \sira & \cal{H}^{q} \varinjlim_U \op{ker}^\ast_{U}&\text{ wegen der Exaktheit von $\varinjlim$,} \\ &\sira & \cal{H}^{q}\Gamma_{!}\cal{S}^{\ast}_{X}& \text{ wie wir im Anschlu"s ausf"uhren.} \end{array}$$ Ist zun"achst $Z$ ein beliebiger topologischer Raum und $U\co Z$ eine offene Teilmenge, so induziert das Zur"uckholen von Koketten sicher einen Isomorphismus $\mathcal{S}^q_Z|_{U} \sira \mathcal{S}^q_U$ und damit auch einen Isomorphismus $\mathcal{S}^q_Z(U) \sira \mathcal{S}^q_U(U)$. Das liefert modulo der elementaren Erkenntnis $\mathcal S^q_{X \backslash U} (X\backslash \bar{U}) =\mathcal S^q_{X \backslash \bar{U}} (X\backslash \bar{U})$ den Isomorphismus in der unteren Horizontale eines kommutativen Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal S^q_X (X)\ar[r]\ar[d] & \mathcal S^q_{X\backslash U}(X \backslash U)\ar[d]\\ \mathcal S^q_X (X \backslash \bar{U}) \ar[r]^-\sim & \mathcal S^q_{X \backslash U } (X\backslash \bar{U}) } \end{displaymath} Die obere Horizontale kennen wir dabei bereits aus dem vorhergehenden Diagramm. Jeder Schnitt von $\mathcal{S}^q_X(X)$ aus $\op{ker}^q_U$ hat folglich Tr"ager in $\bar{U}$. Hat umgekehrt ein Schnitt von $\mathcal{S}^q_X(X)$ kompakten Tr"ager und ist $U\co X$ eine offene Teilmenge mit kompaktem Abschlu"s, die besagten Tr"ager umfa"st, so geht unser Schnitt in $\mathcal{S}^q_X(X\backslash U)$ nach Null. Nun faktorisiert unsere Surjektion $ {\op{S}}^{q}X\twoheadrightarrow \cal{S}^{q}_{X\backslash U}(X\backslash U) $ aus dem ersten Diagramm des Beweises aber sogar als $$ {\op{S}}^{q}X\twoheadrightarrow \cal{S}^{q}_{X}(X) \twoheadrightarrow \cal{S}^{q}_{X}(X\backslash U) \twoheadrightarrow \cal{S}^{q}_{X\backslash U}(X\backslash U) $$ Hier folgt die zweite Surjektion aus der Weichheit von $\cal{S}^{q}_{X}$ nach \ref{www} und die dritte Surjektion ergibt sich, da der Kern der Komposition der ersten beiden Abbildungen im Kern unserer urspr"unglichen Surjektion enthalten ist. Damit geht unser Schnitt mit kompaktem Tr"ager erst recht in $\mathcal{S}^q_{X\backslash U}(X\backslash U)$ nach Null und liegt folglich in $\op{ker}^q_U$, und wir haben den ersten in \ref{KTrr} behaupteten Isomorphismus f"ur jeden lokal kompakten parakompakten Raum hergeleitet. Fordern wir statt der Parakompaktheit nur Hausdorff, so m"ussen wir noch etwas mehr arbeiten, und ich f"urchte fast, diese Arbeit lohnt recht eigentlich nicht, da wir unseren Satz eh nur auf parakompakte R"aume anwenden werden. Aber sei's drum! Ist zun"achst $K\subset X$ kompakt und $U\co X$ offen mit $\bar{U}\subset K^\circ$, so konstruieren wir ein kommutatives Diagramm von Komplexen abelscher Gruppen $$\begin{array}{ccccc} {\op{S}}^{\ast} (K,K\backslash U)&\hookrightarrow &{\op{S}}^{\ast}K&\twoheadrightarrow &{\op{S}}^{\ast}(K\backslash U)\\ \da&&\da&&\da\\ \op{ker}^\ast_{K,U}&\hookrightarrow & \cal{S}^{\ast}_{K}(K)&\sra & \cal{S}^{\ast}_{K\backslash U}(K\backslash U) \end{array}$$ in derselben Weise wie zuvor, $K$ und $K\backslash U$ sind ja kompakt und damit insbesondere auch parakompakt, und $\op{ker}^\ast_{K,U}$ erkl"aren wir eben als den Kern der rechten unteren Horizontale. Wir haben dann kurze exakte Sequenzen als Zeilen, und da die beiden rechten Vertikalen nach \ref{hs} Isomorphismen auf der Kohomologie induzieren, trifft das auch f"ur die linke Vertikale zu. Nach dem Ausschneidungssatz induziert weiter auch die Restriktion ${\op{S}}^{\ast}(X,X\backslash U)\ra {\op{S}}^{\ast}(K,K\backslash U)$ Isomorphismen auf der Kohomologie. Nun beachten wir das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \{ s \in \mathcal{S}^\ast_K (K) \mid \op{supp} s \subset U\} \ar[d]_{\wr} \ar@{^{(}->}[r] & \op{ker}^\ast_{K,U} \ar@{-->}[dd]_-{\wr} \ar@{^{(}->}[r] & \{ s \in \mathcal{S}^\ast_K (K) \mid \op{supp} s \subset \bar{U}\}\ar[d]^{\wr}\\ \{ s \in \mathcal S^\ast_{K^{\circ}} (K^\circ) \mid \op{supp} s \subset U\} & & \{s \in \mathcal S^\ast_{K^\circ} (K^\circ) \mid \op{supp} s \subset \bar{U}\}\\ \{s \in \mathcal S_X^\ast (X) \mid \op{supp} s \subset U\} \ar[u]^\wr \ar@{^{(}->}[r] & \op{ker}^\ast_U \ar@{^{(}->}[r] & \{s \in \mathcal S^\ast_X (X) \mid \op{supp} s \subset \bar{U}\} \ar[u]_\wr } \end{displaymath} Hier sind die kurzen vertikalen Isomorphismen als Restriktionen zu verstehen und $\op{ker}^\ast_U$ wird dadurch erkl"art, da"s es eben unter diesen Isomorphismen unserem $\op{ker}^\ast_{K,U}$ entspricht. Die Notation bringt zum Ausdruck, da"s $\op{ker}^\ast_{U}$ von $K$ gar nicht mehr abh"angt, was man auch unschwer einsieht. Nun erg"anzen wir die rechte Zelle des vorhergehenden Diagramms zu einem weiteren kommutativen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{S}}^\ast (K, K\backslash U) \ar[r] &\op{ker}^\ast_{K,U}\ar@{^{(}->}[r] & \{s \in \mathcal S^\ast_K (K) \mid \op{supp} s \subset \bar{U}\}\\ {\op{S}}^\ast (X,X\backslash U) \ar@{-->}[r]\ar@{->}[u] &\op{ker}^\ast_U\ar@{^{(}->}[r]\ar@{->}_{\wr}[u] & \{s \in \mathcal S^\ast_X (X) \mid \op{supp} s \subset \bar{U}\} \ar@{->}_{\wr}[u] } \end{displaymath} wobei der gestrichelte Pfeil dadurch entsteht, da"s die offensichtliche Abbildung von unten links nach unten rechts zu einem kommutativen Rechteck f"uhrt und folglich in Anbetracht der Definition von $\op{ker}^\ast_U$ wie durch den gestrichelten Pfeil angedeutet "uber $\op{ker}^\ast_U$ faktorisiert. Alle Pfeile des linken Quadrats bis auf den gestrichelten Pfeil induzieren nun Isomorphismen auf der Kohomologie. Folglich gilt das auch f"ur den gestrichelten Pfeil. Aus der Definition von $\op{ker}^\ast_U$ folgt wieder $\varinjlim \op{ker}^\ast_U = \Gamma_{!} \mathcal S_X^\ast$ f"ur den direkten Limes "uber alle offenen Teilmengen mit kompaktem Abschlu"s, und damit finden wir wieder Isomorphismen $$\begin{array}[b]{ccll} {\op{H}}^{q}_{!} (X)_{\op{sing}}& =&\varinjlim_U {\op{H}}^{q}(X,X\backslash U)&\text{ nach der Definition in \eref{KKTk}{TS},} \\ & \sira & \varinjlim_U \cal{H}^{q}\op{ker}^\ast_{U}&\text{ nach unserer Vor"uberlegung,}\\ & \sira & \cal{H}^{q} \varinjlim_U \op{ker}^\ast_{U}&\text{ wegen der Exaktheit von $\varinjlim$,} \\ &\sira & \cal{H}^{q}\Gamma_{!}\cal{S}^{\ast}_{X}& \text{ nach der Definition von $\Gamma_{!}$.} \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \subsection{F"ur Olaf} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal G$ auf einem topologischen Raum $X$ erhalten wir stets einen Epimorphismus $$\bigoplus_{(U,s)}\DZ_U \sra \mathcal G$$ mit der Summe gebildet "uber alle Paare $(U,s)$ mit $U\co X$ und $s\in \mathcal G(U)$, indem wir am Index $(U,s)$ jeweils denjenigen Morphismus $j_{(!)}\underline U=\DZ_U \ra \mathcal G$ nehmen, der unter unserer Adjunktion $(j_{(!)}, j^{(*)})$ dem durch $s$ gegebenen Morphismus $\underline U \ra j^{(*)}\mathcal G$ entspricht, mit der Notation $j:U\hra X$ f"ur die Einbettung von $U$. Etwas feiner erhalten wir sogar stets einen Isomorphismus $$\varinjcol_{(U,s)}\DZ_U^2 \sira \mathcal G$$ mit dem Kolimes "uber die Kategorie aller Paare $(U,s)$ mit $U\co X$ und $s\in \op{Ab}_{/X}(\DZ_U^2,\mathcal G)$ und der Ma"sgabe, da"s es Morphismen $(U,s)\ra (V,t)$ nur gibt im Fall $U\subset V$, und da"s es in dem Fall genau diejenigen Morphismen $\DZ_U^2 \ra \DZ_V^2$ sein sollen, f"ur die die durch $s$ und $t$ gegebenen Morphismen nach $\mathcal G$ ein kommutatives Dreieck entstehen lassen. Man beachte, da"s dieser Kolimes im allgemeinen nicht "uber einer filtrierenden Indexkategorie gebildet wird. Per definitionem erhalten wir einen Morphismus unseres Kolimes nach $\mathcal G$. Um zu zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist, besichtigen wir die Halme. Unser Kolimes vertauscht mit jedem Linksadjungierten, insbesondere auch mit jedem Halm-Funktor. Surjektivit"at auf den Halmen ist offensichtlich, sie ist es ja schon, wenn wir statt dem Kolimes die entsprechende direkte Summe nehmen. Die Injektivit"at folgt aus \ref{VIKM}. \end{Bemerkungl} \subsection{Pr"aschrott zum Multiaustausch}\label{flwe} \begin{Lemma}[\textbf{Projektionsformel f"ur h"ohere Derivierte\index{Projektionsformel}}] Seien $\pi: X \ra Y$ eine separierte lokal eigentliche Abbildung und $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$ sowie $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ abelsche Garben.\label{hKder} Ist $\mathcal G$ flach, so liefern die Konstruktionen des folgenden Beweises nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*} ({\op{R}}^q \pi_{(!)} \mathcal F) \otimes \mathcal G \sira {\op{R}}^q \pi_{(!)} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G) \end{equation*} Ist insbesondere $\mathcal F$ azyklisch f"ur $\pi_{(!)}$, so auch $\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G$. \end{Lemma} \begin{proof} Ist $\mathcal F$ faserweise kompaktweich, so ist nach \ref{ProFor} auch $\mathcal F \otimes \pi^{\ast}\mathcal G$ faserweise kompaktweich und wir erhalten wie dort nat"urliche Isomorphismen \begin{equation*} ( \pi_{(!)} \mathcal F) \otimes \mathcal G \sira \pi_{(!)} (\mathcal F \otimes \pi^{\ast} \mathcal G) \end{equation*} Da wir die h"oheren Derivierten von $\pi_{(!)}$ durch kompaktweiche Aufl"osungen berechnen k"onnen, folgt das Lemma. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Multir"uckzug relativ (!)-azyklischer Garben}] Sei in der Wortkategorie der banalen Trennkategorie der topologischen R"aume ein kartesisches Diagramm\label{VorbAU} $$\xymatrix{ X_1\curlywedge\ldots\curlywedge X_r \ar[d]_{f_1\curlywedge\ldots\curlywedge f_r} & \ar[d]^{g}\ar[l]X\\ Y_1\curlywedge\ldots\curlywedge Y_r & \ar[l]Y }$$ gegeben mit $r$-Trennungen in den Horizontalen und lokal eigentlichen separierten Abbildungen $f_i:X_i\ra Y_i$ in den Vertikalen. Sei weiter auf jedem $X_i$ eine abelsche Garbe $\mathcal F_i$ gegeben. Sind in dieser Situation alle $\mathcal F_i$ flach und $f_{i(!)}$-azyklisch, so ist auch ihr Multir"uckzug $\mathcal G$ flach und $g_{(!)}$-azyklisch. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Mir ist nicht klar, ob in derselben Situation auch der Multir"uckzug faserweise kompaktweicher Garben wieder faserweise kompaktweich ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wie beim Beweis von Lemma \ref{MRekO} k"onnen wir uns auf den Fall $r\leq 2$ beschr"anken und im Fall $r=2$ auf den Fall einer Projektions-Zweitrennung. Um den Fall einer Leertrennung zu behandeln, m"ussen wir nur bemerken, da"s auf jedem Raum $X$ das Einsobjekt $\DZ_X$ der Kategorie $\op{Ab}_{/X}$ eine flache Garbe ist und da"s sie wie jede abelsche Garbe auf $X$ faserweise kompaktweich und damit erst recht $(!)$-azyklisch ist in Bezug auf die Identit"at auf $X$. Im Fall einer Einstrennung folgt das daraus, da"s der R"uckzug flacher Garben unter stetigen Abbildungen flach ist, und aus \ref{azyeb}. % und da"s % wegen der Transitivit"at des R"uckzugs auch der % R"uckzug relativ kompaktweicher Garben unter stetigen Abbildungen % wieder relativ kompaktweich ist. % Indem wir die h"oheren Derivierten der eigentlichen direkten Bilder % mit relativ kompaktweichen Aufl"osungen berechnen, % folgt dann auch, da"s der R"uckzug relativ !-azyklischer Garben unter stetigen Abbildungen relativ !-azyk\-lisch ist. Jetzt m"ussen wir nur noch den Fall einer Projektions-Zweitrennung zu behandeln. Es gilt also im Fall $r=2$ aus unseren Annahmen zu folgern, da"s $\mathcal F_1\boxtimes \mathcal F_2$ eine flache $(f_1\times f_2)_{(!)}$-azyklische Garbe auf $X_1\times X_2$ ist. Nach \ref{azyeb} reicht es zu zeigen, da"s gegeben lokal kompakte Hausdorffr"aume $A,B$ und darauf flache $\Gamma_!$-azyklische abelsche Garben $\mathcal A,\mathcal B$ ihr externes Produkt $\mathcal A\boxtimes\mathcal B$ seinerseits $\Gamma_!$-azyklisch ist auf $A\times B$. Ist nun $\mathcal B$ eine $\Gamma_!$-azyklische Garbe auf $B$, so ist $\op{pr}_B^*\mathcal B$ eine $\op{pr}_{A(!)}$-azyklische Garbe auf $A\times B$ nach \ref{azyeb}. Damit ist dann auch $\op{pr}_A^*\mathcal A\otimes \op{pr}_B^*\mathcal B=\mathcal A\boxtimes \mathcal B$ eine $\op{pr}_{A(!)}$-azyklische Garbe auf $A\times B$ nach \ref{hKder} und wir haben immer noch nach \ref{hKder} einen Isomorphismus $$\op{pr}_{A(!)}(\mathcal A\boxtimes \mathcal B)\cong \mathcal A\otimes \Gamma_!\mathcal B$$ Wieder nach \ref{hKder} ist aber auch $\mathcal A\otimes \Gamma_!\mathcal B$ eine $\Gamma_!$-azyklische Garbe auf $B$. Unsere Erkenntnisse \ref{UDkl} "uber iterierte derivierte eigentliche direkte Bilder liefern nun Isomorphismen $${\op{R}}\Gamma_!(\mathcal A\boxtimes\mathcal B)\cong {\op{R}}\Gamma_!(\op{pr}_{A(!)}(\mathcal A\boxtimes\mathcal B))\cong {\op{R}}\Gamma_!(\mathcal A\otimes\Gamma_!\mathcal B) \cong \Gamma_!(\mathcal A\otimes\Gamma_!\mathcal B)$$ Da hier aber die rechte Seite im homologischen Grad Null konzentriert ist, folgt dasselbe f"ur die linke Seite. \end{proof} \subsection{Lokalisierung von Kofaserungen, SCHROTT} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Funktor $p:\mathscr D\ra\mathscr B$ bezeichne $\op{pro}_p\!\mathscr D$\index{pro@$\op{pro}_p\mathscr D$ Kategorie relativer Pro-Objekte} die Kategorie der Pro-Objekte von $\mathscr D$ aus den Fasern von $p$. Wir nennen sie die {\bf relativen Pro-Objekte} und erhalten eine Fortsetzung von $p$ zu einem Funktor $$p=p_{\op{pro}}:\op{pro}_p\!\mathscr D\ra\mathscr B$$ Ist $p$ eine Faserung oder eine Kofaserung, so gilt offensichtlich dasselbe f"ur $p_{\op{pro}}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathscr D$ mit einem Rechtsoresystem $T$ und $D\in \mathscr D$ erinnere ich an das Pro-Objekt $D^-\pdef \limcu_{B\stackrel{T}{\ra}D} B$. Auch f"ur etwas allgemeinere Mengen $T$ von Morphismen liefert diese Vorschrift stets Pro-Objekte, und ich verwende dieselbe Notation auch in dieser gr"o"seren Allgemeinheit. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Lokalisierung von Kofaserungen durch Pro-Objekte}] Seien $p:\mathscr D\ra \mathscr B$ ein Kofaserfunktor und $T$ ein faserweises Rechtsoresystem in $\mathscr D$. Ist in der Kofaserung $p_{\op{pro}}:\op{pro}_p\!\mathscr D\ra\mathscr B$ die volle Unterkategorie $\mathscr D^-\subset \op{pro}_p\!\mathscr D$ derjenigen Pro-Objekte, die isomorph sind zu Pro-Objekten der Gestalt $D^-$ mit $D\in\mathscr D$, stabil unter direkten Bildern, so liefert die Vorschrift $ D\mapsto D^-$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$T^{-1}\mathscr D\;\sirra\; \mathscr D^-$$ \end{Satz} \begin{proof} Wir beginnen mit der Konstruktion eines Funktors $A:\mathscr D\ra \mathscr D^-$ mit $A$ wie \glqq Aufl"osen\grqq. Auf Objekten soll er durch die Vorschrift $ D\mapsto D^-$ gegeben werden, mit $D^-\pdef \limcu_{B\stackrel{T}{\ra}D} B$. Fassen wir $D$ selbst als konstantes Pro-Objekt auf, so haben wir einen nat"urlichen Morphismus $D^-\ra D$. Ich behaupte nun, da"s sich jeder Morphismus $D\ra E$ in $\mathscr D$ auf genau eine Weise zu einem Morphismus $D^-\ra E^-$ in $\op{pro}(\mathscr D)$ hochheben l"a"st. Daf"ur reicht es zu zeigen, da"s f"ur jeden $T$-Morphismus $E'\ra E$ das Nachschalten eine Bijektion $$ \op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D} \mathscr D( B,E')\sira \op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D} \mathscr D( B,E)$$ liefert. In der Tat, liegt unser Morphismus $D\ra E$ etwa "uber dem Morphismus $f:X\ra Y$ der Basis, so reicht es, die analoge Aussage f"ur das Pro-Objekt $f_\dagger (D^-)$ zu zeigen. Dies Pro-Objekt aber ist nach Annahme isomorph zu einem Pro-Objekt der Gestalt $F^-$, und damit folgt die Behauptung aus unserer Realisierung \ref{OLPO} von Ore-Lokalisierungen durch Pro-Objekte, angewandt auf die Faser $\mathscr D_Y$ "uber $Y$. Damit haben wir unseren Funktor $\mathscr D\ra \mathscr D^-$ konstruiert und zus"atzlich gezeigt, da"s das Nachschalten des nat"urlichen Morphismus $E^-\ra E$ stets eine Bijektion $$(\op{pro}\mathscr D)(D^-,E^-)\sira (\op{pro}\mathscr D)(D^-,E)$$ induziert. Von nun an spielen die Fasern unseres Funktors $p$ keine Rolle mehr und wir k"urzen $\mathscr D_T=T^{-1}\mathscr D$ und $\mathscr D_T^\vee=(\mathscr D_T)^\vee$ ab. Nach \ref{OLPO} werden unter dem Aufl"osen $A:\mathscr D\ra \mathscr D^-$ alle Morphismen aus $T$ invertierbar, folglich induziert unser Funktor schon einmal einen Funktor $\mathscr D_T\ra \mathscr D^-$. Wir konstruieren nun einen Funktor $\mathscr D^-\ra \mathscr D_T$ in die Gegenrichtung. F"ur jedes unserer Pro-Objekte aus $\mathscr D^-$ hat ja, wie wir bereits wissen, der zugeh"orige Funktor $\mathscr D\ra\op{Ens}$ die Eigenschaft, Morphismen aus $T$ zu Bijektionen zu machen, und induziert folglich einen Funktor $\mathscr D_T\ra\op{Ens}$. Da Lokalisierungsfunktoren nach \ref{EGLoN} volldicht sind, erhalten auf diese Weise sogar einen volltreuen Funktor $$L:\mathscr D^-\vra \mathscr D_T^\vee$$ Um zu zeigen, da"s das Aufl"osen $A:\mathscr D\ra \mathscr D^-$ eine "Aquivalenz von Kategorien $A_T:\mathscr D_T\sirra \mathscr D^-$ induziert, m"ussen wir nun nur noch eine Isotransformation $\eta$ f"ur das funktorielle Diagramm $$\xymatrix{\mathscr D \ar[d]_Q \ar[r]^A &\mathscr D^-\ar[d]^L\\ \mathscr D_T \ar[r]_Y\ar@{=>}[ur]^\eta_\sim&\mathscr D_T^\vee}$$ konstruieren, mit $Y$ der Yoneda-Einbettung und $Q$ dem nat"urlichen Funktor in die Lokalisierung. In der Tat erhalten wir aus solch einer Isotransformation eine Isotransformation $YQ\siRa LA= LA_TQ$, weil $Q$ volldicht ist weiter eine Isotransformation $Y\siRa LA_T$, und dann mu"s mit $Y$ und $L$ auch $A_T$ volltreu sein. Essentiell surjektiv ist $A_T$ quasi per definitionem, also ist er dann eine "Aquivalenz. Ein nat"urlicher Kandidat f"ur $\eta$ ist schnell angegeben. Wir brauchen zun"achst f"ur jedes Objekt $D\in\mathscr D$ einen Morphismus $\eta_D: YQ(D)\ra LA(D)$ in $\mathscr D_T^\vee$ alias eine Transformation der entsprechenden Funktoren $\mathscr D_T\ra \op{Ens}$ in die Gegenrichtung alias, da die Lokalisierung $Q$ volldicht ist, eine Transformation der entsprechenden Funktoren $\mathscr D\ra \op{Ens}$ in die Gegenrichtung. Explizit suchen wir also eine Transformation von $LA(D)\circ Q: E\mapsto \op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D}\mathscr D(B,E)$ nach $YQ(D)\circ Q:E\mapsto \op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D}\mathscr D_T(QB,QE)$ und nehmen halt die Offensichtliche. Da"s die Familie dieser $\eta_D$ dann ihrerseits eine Transformation $\eta:YQ\RA LA$ bildet, wird der Leser unschwer selbst pr"ufen k"onnen. Um zu zeigen, da"s $\eta$ eine Isotransformation ist, da"s also f"ur alle $D$ unser $\eta_D$ ein Isomorphismus ist, konstruieren wir dazu eine inverse Abbildung. Wir brauchen also f"ur jedes $D\in \mathscr D$ einen Morphismus $\kappa_D: LA(D)\ra YQ(D)$ in $\mathscr D_T^\vee$. Nach dem Yonedalemma entsprechen diese Morphismen eineindeutig Elementen von $( LA(D))(QD)$ alias Elementen von $\op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D}\mathscr D(B,D)$. In diesem Kolimes liefert die Identit"at auf $D$ ein nat"urliches Element, und das nehmen wir. Damit haben wir unseren Morphismus $\kappa_D$ konstruiert und es gilt nur noch zu zeigen, da"s er invers ist zu $\eta_D$. Um $\kappa_D\circ \eta_D=\op{id}$ zu zeigen, m"ussen wir zeigen, da"s die Verkn"upfung $$YQ(D)\stackrel{\kappa_D}{\RA}LA(D)\stackrel{\eta_D}{\RA}YQ(D)$$ von Transformationen von Mengenfunktoren die Identit"at ist. Nach dem Yoneda-Lemma recht es zu zeigen, da"s die davon induzierte Abbildung $(YQD)(QD)\ra (LAD)(QD)\ra (YQD)(QD)$ alias die Verkn"upfung $$\mathscr D_T(QD,QD)\stackrel{\kappa}{\ra} \op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D}\mathscr D(B,D)\ra\mathscr D_T(QD,QD)$$ die Identit"at auf die Identit"at wirft. Das aber ist klar nach der Konstruktion von $\kappa_D$, das ja gerade durch die Beschreibung des Bildes von $\op{id}_{QD}$ in der Mitte festgelegt wurde. Jetzt m"ussen wir nur noch zeigen, da"s auch umgekehrt die Verkn"upfung $$LA(D)\stackrel{\eta_D}{\RA} YQ(D)\stackrel{\kappa_D}{\RA}LA(D)$$ von Transformationen von Mengenfunktoren $\mathscr D_T\ra\op{Ens}$ die Identit"at ist. Da Lokalisierungen volldicht sind, reicht es aus, wenn wir das f"ur die durch Vorschalten des Lokalisierungsfunktors entstehenden Mengenfunktoren $\mathscr D\ra\op{Ens}$ zeigen. Ausgeschrieben geht es f"ur alle $E\in\mathscr D$ um die Verkn"upfung von Abbildungen $$\op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D}\mathscr D(B,E)\stackrel{\eta}{\ra}\mathscr D_T(QD,QE)\stackrel{\kappa}{\ra} \op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D}\mathscr D(B,E)$$ Die Zweite dieser Abbildungen wird dadurch festgelegt, da"s ja der Funktor $D^-:\mathscr D\ra\op{Ens}$ gegeben durch $E\mapsto \op{colf}_{B\stackrel{T}{\ra}D}\mathscr D(B,E)$ eindeutig "uber einen Funktor $D^-_T:\mathscr D_T\ra\op{Ens}$ faktorisiert und wir $a\in \mathscr D_T(QD,QE)$ dann das Element $(D^-_T a)(\op{id}_{QD})\in D^-_T(E)=D^-(E)$ zuordnen. Unter der Verkn"upfung geht dann das durch $b\in \mathscr D(B,E)$ mit $t:B\ra D$ repr"asentierte Element auf das Element $b\circ t^{-1}\in \mathscr D_T(QD,QE)$, und dann "uberlegt man sich, da"s $(D^-_T (b\circ t^{-1}))(\op{id}_{QD})$ eben wieder durch $b$ repr"asentiert wird. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ und ein Funktor $F:\mathcal C\ra\op{Ens}$ und ein Objekt $X\in\mathcal C$ erinnern wir, wie das Yonedalemma eine Bijektion $\mathcal C^\vee(F, \check X)\sira F(X)$ liefert. Gegeben eine Darstellung $X:\mathcal I\ra\mathcal C$ eines K"ochers $\mathcal I$ in $\mathcal C$ erhalten wir daraus nat"urliche Bijektionen $$\mathcal C^\vee(F, \limc_{i\in\mathcal I} X_i) =\mathcal C^\vee(F, \lim_{i\in\mathcal I} \check X_i) \sira \lim_{i\in\mathcal I}\mathcal C^\vee(F, \check X_i) \sira \lim_{i\in\mathcal I}F(X_i)$$ \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTSF" %%% End: