\section{Viel Sp"ater?!} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kohomologie der derivierten Homorphismengarben}] Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir wenden die vorhergehenden "Uberlegungen an auf den Homorphismenfunktor der Homotopiekategorie abelscher Garben $$ \begin{array}{cccc} \op{Hom}:&\op{Hot}(\op{Ab}_{/X})^{\op{opp}} \times \op{Hot}(\op{Ab}_{/X}) &\rightarrow & \op{Hot}(\op{Ab}_{/X}) \\&(\mathcal F\;\;,\;\;\mathcal G) &\mapsto& \op{Hom} (\mathcal F,\mathcal G) \end{array} $$ gefolgt vom Funktor der globalen Schnitte $\mathcal H^0\Gamma: \op{Hot}(\op{Ab}_{/X}) \ra \op{Ab}$ in Bezug auf Lokalisierungen nach Quasiisomorphismen. Ausgeschrieben meint $\op{Hom} (\mathcal F,\mathcal G)$ den Komplex mit der Garbe $$\op{Hom} (\mathcal F,\mathcal G)^n\pdef \prod_{i\in\DZ}\op{Hom} (\mathcal F^i,\mathcal G^{i+n})$$ im Grad $n$ und einem Differential wie in \eref{HHKK}{TS}. Nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU} gilt $\op{Hot}_{{\op{Ab}}/X} (\mathcal F, \mathcal I) =0$ falls $\mathcal F \in \op{Hot}({\op{Ab}}/X)$ ein exakter Komplex ist und $\mathcal I \in \op{Hot}^+ (i {\op{Ab}}/X)$ ein gegen die Pfeile beschr"ankter Komplex injektiver Garben. Nach \eref{HHKK}{TS} ist unter diesen Voraussetzungen also der Komplex $\op{Hom}_{{\op{Ab}}/X} (\mathcal F, \mathcal I)=\Gamma (X; \op{Hom} (\mathcal F, \mathcal I))$ von abelschen Gruppen exakt. Ebenso ist unter diesen Voraussetzungen f"ur alle $U \co X$ der Komplex $\Gamma (U; \op{Hom} (\mathcal F, \mathcal I)) = \op{Hom}_{{\op{Ab}}/U} (\mathcal F|_U, \mathcal I |_U)$ exakt. Das aber zeigt, da"s unter unter diesen Voraussetzungen der Komplex von Garben $\op{Hom} (\mathcal F, \mathcal I)$ bereits selbst exakt ist. Unser $ \op{Hot} ({\op{Ab}}_{/X}) \times \op{Hot}^+ (i {\op{Ab}}_{/X})$ ist mithin eine Entfaltungskategorie f"ur die Funktoren $$ \begin{array}{rccl} Q\op{Hom} :& \op{Hot} ({\op{Ab}}_{/X})^{\op{opp}} \times \op{Hot} ({\op{Ab}}_{/X}) &\rightarrow& \op{Der} ({\op{Ab}}_{/X})\\[2mm] \mathcal H^0\Gamma\op{Hom} :& \op{Hot} ({\op{Ab}}_{/X})^{\op{opp}} \times \op{Hot} ({\op{Ab}}_{/X}) &\rightarrow &\op{Ab} \end{array}$$ Zusammen mit $\op{Hot}({\op{Ab}}_{/X})^{\op{opp}} \times \op{Hot}^+ ({\op{Ab}}_{/X})$ bildet unsere Entfaltungskategorie sogar ein Entfaltungspaar f"ur diese beiden Funktoren. Insbesondere ist also der Rechtsderivierte $\op{RHom}$ schon einmal definiert auf $\op{Der} ({\op{Ab}}_{/X})^{\op{opp}} \times \op{Der}^+ ({\op{Ab}}_{/X})$. Weiter zeigt die Adjunktion $(j_{(!)}, j^{(!)} = j^{(\ast)})$ aus \ref{??}, da"s $\op{Hom} (\mathcal F, \mathcal I)$ stets ein Komplex von welken Garben ist. Nun ist mit denselben Argumenten wie zuvor $\op{Hot}^-({\op{Ab}}_{/X})^{\op{opp}} \times \op{Hot}^+ (i{\op{Ab}}_{/X})\subset \op{Hot}^-({\op{Ab}}_{/X})^{\op{opp}} \times \op{Hot}^+ ({\op{Ab}}_{/X})$ auch ein Entfaltungspaar f"ur unsere Funktoren, das nach unserer letzten "Uberlegung sogar die Bedingung f"ur die Grothendieck-Spektralsequenz \ref{kzrf} erf"ullt. So erhalten wir schlie"slich f"ur $\mathcal F \in \op{Der}^- ({\op{Ab}}_{/X})$, $\mathcal G \in \op{Der}^+ ({\op{Ab}}_{/X})$ kanonische Isomorphismen \emph{Ab hier noch nicht zu Ende gedacht!} \begin{equation*} \mathbb H^0 (X; \op{RHom} (\mathcal F, \mathcal G)) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}_{{\op{Ab}}/X} (\mathcal F, \mathcal G) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \subsection{Zu Cech-Komplexen} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Zerlegung eines topologischen Raums $X = U \sqcup Y$ in eine offene Teilmenge $U\co X$ und ihr abgeschlossenes Komplement $Y \As X$ erhalten wir f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F \in \op{Ab}/X$ eine kurze exakte Sequenz \begin{equation*} \mathcal F_U \hookrightarrow \mathcal F \twoheadrightarrow \mathcal F_Y \end{equation*} von abelschen Garben auf $X$ wie folgt: Wir setzen $\mathcal F_Y := i_{(\ast)} i^{(\ast)} \mathcal F$ f"ur $i: Y \hookrightarrow X$ die Einbettung, betrachten die kanonische Abbildung $\mathcal F \rightarrow i_{(\ast)} i^{(\ast)} \mathcal F$ aus der Adjunktion, und erkl"aren $\mathcal F_U$ als deren Kern. Die Halme von $\mathcal F_Y$ verschwinden f"ur $x \not\in Y$ und f"ur $x \in Y$ liefert unsere Abbildung $\mathcal F \rightarrow \mathcal F_Y$ Isomorphismen auf den Halmen. Das zeigt, da"s $\mathcal F \rightarrow \mathcal F_Y$ wie behauptet eine Surjektion ist. Es zeigt weiter, da"s die Halme von $\mathcal F_U$ verschwinden f"ur $x \not\in U$ und da"s unsere Abbildung $\mathcal F_U \hookrightarrow \mathcal F$ f"ur alle $x \in U$ Isomorphismen auf den Halmen liefert. \end{Bemerkungl} \begin{Ubung} Man zeige, da"s das Bild der auf den \'etalen R"aumen induzierten Abbildungen $\bar{\mathcal F}_U \hookrightarrow \bar{\mathcal F}$ gerade die Vereinigung des Nullschnitts mit dem Urbild von $U$ unter der Projektion $\bar{\mathcal F}\ra X$ ist. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GAN} Man gebe einen Isomorphismus an zwischen $\mathcal F_U$ und der Garbifizierung der Pr"agarbe $\hat{\mathcal F}_U$ gegeben durch $V \mapsto \mathcal F (V)$ f"ur $V \co U \co X $ und $V \mapsto 0 $ f"ur $V \co X, V\not\subset U$. \end{Ubung} \begin{Definition}\label{CKOO} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F \in \op{Ab}/X$ konstruiert man einen Komplex von abelschen Garben \begin{equation*} \mathcal C_p (\mathcal U; \mathcal F) \pdef \bigoplus_{(U_0, \ldots, U_p)\in \mathcal U^{p+1}} \mathcal F_{U_0 \cap \ldots \cap U_p} \end{equation*} mit Randoperatoren gegeben auf $\mathcal F_{U_0 \cap \ldots \cap U_p} $ als $\sum (-1)^i a_i$ f"ur $a_i$ die Einbettungen $U_0 \cap \ldots \cap U_p \hookrightarrow U_0 \cap \ldots \widehat{U_i} \ldots \cap U_p$ und die von ihnen auf den Garben induzierten Morphismen. \end{Definition} \begin{Proposition} Der offensichtliche Morphismus $\mathcal C_0 (\mathcal U; \mathcal F) \twoheadrightarrow \mathcal F$ erg"anzt unseren Komplex aus \ref{CKOO} zu einem exakten Komplex von abelschen Garben. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Man zeigt in derselben Weise Varianten dieser Aussage, bei der man mit einer "uberdeckenden Familie offener Teilmengen $(U_i)_{i\in I}$ arbeitet, oder auch zus"atzlich noch eine Anordnung auf $I$ annimmt und nur "uber streng monoton wachsende $p$-Tupel von Indizes summiert, oder stattdessen nur gewisse \glqq alternierende\grqq\ Untergarben betrachtet. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung. Gegeben eine Familie abelscher Pr"agarben stimmt das Garbenkoprodukt ihrer Garbifizierungen "uberein mit der Garbifizierung ihres Pr"agarbenkoprodukts, denn beide so konstruierten Garben teilen eine universelle Eigenschaft. Wegen der Exaktheit der Garbifizierung reicht es also, die Exaktheit des Pr"agarbenkomplexes \begin{equation*} \ldots \rightarrow \hat{\mathcal C}_2 (\mathcal U; \mathcal F) \rightarrow \hat{\mathcal C}_1 (\mathcal U; \mathcal F) \rightarrow \hat{\mathcal C}_0 (\mathcal U; \mathcal F) \twoheadrightarrow \mathcal F \end{equation*} zu zeigen f"ur \begin{equation*} \hat{\mathcal C}_p (\mathcal U; \mathcal F) \pdef \bigoplus_{(U_0, \ldots, U_p) \in \mathcal U^{p+1}} \hat{\mathcal F}_{U_0\cap \ldots \cap U_p} \end{equation*} mit der \glqq Pr"agarbenausdehnung\grqq\ $\hat{\mathcal F}_U$ wie in \ref{GAN} und dem Pr"agarbenkoprodukt statt dem Garbenkoprodukt. Diese Exaktheit folgt jedoch unmittelbar aus der Azyklizit"at von Simplizes \ref{HKHKn}, angewandt auf die \glqq Eckenmenge\grqq\ $E \pdef \{ U \in \mathcal U \mid U \supset V\}$. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Meromorphe Funktionen auf Riemann'schen Fl"achen}] Sei $X$ eine Riemann'sche Fl"ache. Wir betrachten die Aufl"osung der konstanten Garbe $\DC_X$ durch den holomorphen de-Rham-Komplex\label{mfRF} $\DC_X\hra \mathcal O_X^{\op{an}}\sra \Omega_X^{\op{an}}$. Die Spektralsequenz zeigt, da"s $\mathrm H^1(X;\mathcal O_X^{\op{an}})$ isomorph ist zu einem Subquotient von $\mathrm H^1(X;\DC_X)$. (Ist doch wohl Quatsch: Das ist hier nur die lange exakte Sequenz!) Ist $X$ kompakt, so ist $\mathrm H^1(X;\DC_X)$ endlichdimensional nach dem Satz von Wilder \ref{Wilder}, und damit ist dann auch $\mathrm H^1(X;\mathcal O_X^{\op{an}})$ endlichdimensional. Betrachten wir andererseits die kurze exakte Sequenz $$\mathcal O_X^{\op{an}}\hra \mathcal M_X^{\op{an}}\sra \bigoplus_{p\in X}H_p$$ f"ur $H_p$ die Wolkenkratzergarbe bei $p$ mit den m"oglichen Hauptteilen bei $p$ als Schnitten. Die lange exakte Kohomologiesequenz zeigt dann, da"s f"ur kompaktes $X$ der Quotient $\mathrm H^0(X;\mathcal M_X^{\op{an}})/\mathrm H^0(X;\mathcal O_X^{\op{an}})$ als $\DC$-Vektorraum nicht endlich erzeugt sein kann. Insbesondere gibt es auf jeder kompakten Riemann'schen Fl"ache mindestens eine nichtkonstante meromorphe Funktion. \end{Beispiel} \subsection{Bidualit"at f"ur Kettenkomplexe} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Komplex von abelschen Gruppen $M$ erkl"aren wir den {\bf dualen Komplex}\index{dualer Komplex} als \begin{equation*} \mathbb D M = R \op{Hom} (M, \mathbb Z [0]) \end{equation*} Ausgeschrieben k"onnen wir etwa zu $\mathbb Z$ die injektive Aufl"osung $\mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Q \twoheadrightarrow \mathbb Q / \mathbb Z$ betrachten, sie abk"urzen zu $\mathbb Z \hra \widetilde{\mathbb Z}$ und $\mathbb D M$ als den Hom-Komplex $\mathbb D M = \op{Hom} (M, \widetilde{\mathbb Z})$ beschreiben. Das Einsetzen liefert eine kanonische Kettenabbildung $M \rightarrow \mathbb D \mathbb D M$ und ich behaupte, da"s diese Kettenabbildung f"ur Komplexe $M$, f"ur die alle Kohomologiegruppen $\mathcal H^q M$ endlich erzeugt sind, ein Quasiisomorphismus \begin{equation*} M \qri \mathbb D \mathbb D M \end{equation*} ist. In der Tat h"angen wegen der Endlichkeit des Komplexes $\widetilde{\mathbb Z}$ die Eintr"age von $\mathbb D \mathbb D M$ nur von den h"ochstens um Zwei im Grad entfernten Eintr"agen von $M$ ab, so da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $M$ beschr"ankt annehmen d"urfen. Mit d\'evissage ziehen wir uns dann auf den Fall $M = \mathbb Z$ zur"uck, und der ist klar. \end{Bemerkungl} \subsection{Gefaserte Produkte von Kategorien, woanders}\label{GefPP} \begin{Bemerkungl} Das umschreiben zur Definition eines gefaserten 2-Produkts in einer 2-Kategorie. Ist das 2-Produkt von Gruppoid-Stacks dasselbe wie das 2-Produkt in der gr"o"seren Kategorie aller Faserfunktoren, wie es gleich konstruiert werden wird? Vermutlich ja wohl eher nicht... \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung} Sollte wohl eine 2-Kategorie am besten auffassen als eine Kategorie \glqq mit Morphismenr"aumen in der monoidalen Kategorie der Kategorien\grqq, so wie eine $k$-lineare Kategorie eben eine Kategorie ist \glqq mit Morphismenr"aumen in der monoidalen Kategorie der $k$-Vektorr"aume\grqq. Die Forderung der Existenz einer Identit"at auf jedem Objekt verwandelt sich dann in die Forderung der Existenz eines ausgezeichneten Morphismus vom Einheitsobjekt der monoidalen Kategorie in etc. etc. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkungl} In der $2$-Kategorie $\op{Cat}_{\mathcal{B}}$ der Kategorien "uber einer gegebenen Kategorie $\mathcal{B}$ besitzt jeder Winkel \begin{displaymath} \xymatrix{ &\mathcal{C}'\ar[d]^{G'}\\ \mathcal{C}'' \ar[r]_{G''} & \mathcal{C} } \end{displaymath} einen $2$-pullback, als da hei"st, er l"a"st sich erg"anzen zu einem $2$-Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{P} \ar[d]\ar[r] &\mathcal{C}'\ar[d]\\ \mathcal{C}'' \ar@{=>}[ur]^\sim \ar[r] & \mathcal{C} } \end{displaymath} mit einer Isotransformation in der Diagonale derart, da"s es f"ur jede weitere Erg"anzung zu einem $2$-Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{D}\ar[d] \ar[r] &\mathcal{C}' \ar[d]\\ \mathcal{C}'' \ar@{=>}[ur]^\sim \ar[r] & \mathcal{C} } \end{displaymath} mit einer Isotransformation in der Diagonale genau ein Tripel existiert bestehend aus \begin{enumerate} \item einem Morphismus $\mathcal{D} \rightarrow \mathcal{P},$ \item einer Isotransformation $(\cal{D}\ra \cal{C}')\stackrel{\sim}{\RA} (\cal{D}\ra \cal{P}\ra \cal{C}')$ und \item einer Isotransformation $(\cal{D}\ra \cal{C}'')\stackrel{\sim}{\RA} (\cal{D}\ra \cal{P}\ra \cal{C}'')$ \end{enumerate} derart, da"s das entstehende $2$-Diagramm kommutiert, da"s also die beiden Transformationen $(\cal{D}\ra \cal{C}'\ra \cal{C})\RA (\cal{D}\ra \cal{P}\ra \cal{C}''\ra\cal{C} )$ "ubereinstimmen, die durch das nebenstehende Bild \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0024} \\ \noindent Zum gefaserten Produkt von Kategorien \end{figure} erkl"art werden. Explizit kann ein m"oglicher solcher pullback konstruiert werden als die Kategorie $\mathcal{C}' \times^2_\mathcal{C} \mathcal{C}''$, deren Objekte Tripel $(C', C'', \alpha)$ sind mit $C' \in \mathcal{C}'$, $C'' \in \mathcal{C}''$ und $\alpha: G'' (C'') \overset{\sim}{\rightarrow} G' (C')$ einem Isomorphismus "uber einer Identit"at in $\mathcal{B}$ und deren Morphismen $(C',C'',\alpha) \rightarrow (C'_1, C''_1, \alpha_1)$ Paare $(f', f'')$ von Morphismen $f' : C' \rightarrow C'_1$ und $f'' : C'' \rightarrow C''$ sind, die "uber demselben Morphismus in $\mathcal{B}$ liegen und so, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ G''(C'') \ar[r]^{\alpha} \ar[d]_{G''(f'')} & G'(C') \ar[d]^{G'(f')}\\ G'' (C''_1) \ar[r]^{\alpha_1} &G' (C'_1) } \end{displaymath} kommutiert. Die Pfeile von $\mathcal{C}' \times_\mathcal{C} \mathcal{C}''$ nach $\mathcal{C}'$ und $\mathcal{C}''$ sind dann hoffentlich selbsterkl"arend und der $2$-Pfeil aus der Definition des Produkts wird mithilfe von $\alpha$ definiert. Die behauptete universelle Eigenschaft ist hoffentlich offensichtlich. \end{Bemerkungl} \subsection{Nachdenken "uber Schober, woanders} \emph{Stacks nach Mordijk?} \begin{Definition}\label{GruFF} Ein Funktor $F : \cal{C} \ra \cal{B}$ hei"st ein \defind{Gruppoidfunktor}, wenn er surjektiv ist auf Morphismen und wenn zus"atzlich f"ur alle Morphismen $f:A\ra B$ in $\mathcal C$ und alle $A'\in \cal{C}$ mit $F(A')=F(A)$ das Nachschalten von $f$ eine Bijektion $\{\alpha\in \cal{C}(A',A)\mid F(\alpha)=\op{id}\}\sira \{\beta\in \cal{C}(A',B)\mid F(\beta)=F(f)\}$ induziert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In anderen Worten ist ein Funktor $F : \cal{C} \ra \cal{B}$ genau dann ein Gruppoidfunktor, wenn er ein Faserfunktor ist im Sinne von \ref{FasF} und wenn zus"atzlich alle Morphismen in $\cal{C}$ kartesisch sind in Bezug auf $F$. Wir nennen dann $\cal{C}$ oder genauer das Paar $(\cal{C},F)$ ein \defnoind{$\cal{B}$-Gruppoid}\index{Gruppoid!"uber Kategorie} oder ein \defnoind{relatives Gruppoid "uber $\cal{B}$}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Ein Funktor $F:\mathcal C\ra\op{cat}$ in die terminale Kategorie $\op{cat}$ mit einem Objekt und einem Morphismus ist genau dann ein Gruppoidfunktor, wenn die Kategorie $\mathcal C$ ein \hyperref[Gruppo]{Gruppoid} ist, als da hei"st, eine Kategorie, in der jeder Morphismus ein Isomorphismus ist. Jeder Faserfunktor liefert einen Gruppoidfunktor, indem wir von der Ausgangskategorie zu derjenigen Unterkategorie "ubergehen, die dieselben Objekte hat, aber nur die kartesischen Morphismen der urspr"unglichen Kategorie als Morphismen. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Gruppoidfunktor ist die Faser "uber jedem Objekt nach \ref{carI} ein Gruppoid. Gegeben eine Kategorienfaserung $\cal{C}$ "uber einer Kategorie $\cal{B}$ im Sinne von \ref{GefKa} ist umgekehrt der zugeh"orige Faserfunktor ein Gruppoidfunktor genau dann, wenn alle Fasern unserer Kategorienfaserung Gruppoide sind. Wir sprechen dann auch von einer {\bf Gruppoidfaserung}.\index{Gruppoidfaserung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Die Zweikategorie der relativen Gruppoide}] Die relativen Gruppoide "uber einer gegebenen Kategorie $\cal{B}$ bilden selbst eine Zweikategorie im Sinne von \ref{ZwKa}. Morphismen von $(\cal{C},F)$ nach $(\cal{C}',F')$ sind Funktoren $G:\cal{C}\ra \cal{C}'$ mit $F'\circ G=F$. Zweimorphismen $\tau:G\RA H$ zwischen zwei Morphismen sind Transformationen mit der Eigenschaft, da"s $F'\tau:F'\circ G\RA F'\circ H$ die Identit"at $\op{Id}:F\RA F$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ein {\bf Schober},\index{Schober} englisch {\bf stack},\index{stack} franz"osisch {\bf champ},\index{champ} "uber einem Schema $Z$ ist ein relatives Gruppoid "uber der Kategorie $\op{Sch}_Z$ aller Schemata "uber $Z,$ das gewisse Zusatzeigenschaften hat. Ein typisches Beispiel w"are das relative Gruppoid "uber $\op{Sch}_Z,$ dessen Objekte Paare $(E,X)$ sind mit $X$ einem Schema "uber $Z$ und $E$ einer elliptischen Kurve "uber $X$. Als Morphismen lassen wir alle Paare von Morphismen zu, die kartesische Quadrate entstehen lassen, und der Funktor in die Kategorie $\op{Sch}_Z$ der Schemata "uber $Z$ vergi"st schlicht das $E$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Zu jedem Funktor $L$ von einer Kategorie $\cal{B}$ in die Kategorie der Mengen konstruiert man ein relatives Gruppoid $(\cal{B},L)$ "uber $\cal{B}$ wie folgt: Objekte sind Paare $(B,a)$ mit $B\in \cal{B}$ und $a\in L(B),$ Morphismen $(B,a)\ra (B',a')$ sind alle Morphismen $g:B\ra B'$ mit $(Lg)(a)=a'$. Insbesondere ist die Faser "uber $B\in \cal{B}$ dann schlicht die Menge $L(B)$, aufgefa"st als diskrete Kategorie. Wir erhalten so in Erweiterung des Yoneda-Lemas \ref{YLl} volltreue Einbettungen $$\cal{B}\hra \cal{B}^\wedge \hra \{\text{relative Gruppoide "uber } \cal{B}\}$$ Die zweite dieser Einbettungen ist sogar eine volltreue Einbettung von Zweikategorien, also auch volltreu auf Zweimorphismen, wenn man die Mitte als Zweikategorie auffa"st, in der es au"ser den Identit"aten keine Zweimorphismen gibt. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $\mathcal B$ eine Kategorie mit einer Grothendieck-Topologie und Produkten und Faserprodukten. Ein {\bf Gruppoid-Schober} oder kurz {\bf Schober}\index{Schober} englisch {\bf stack},\index{stack} franz"osisch {\bf champ},\index{champ} auf $\mathcal B$ ist ein relatives Gruppoid $F : \mathcal C \rightarrow \mathcal B$ mit folgenden Eigenschaften: \begin{description} \item[\textbf{Verkleben von Morphismen:}] F"ur alle $B \in \mathcal B$ und alle $C,D \in \mathcal C_B$ ist der kontravariante Funktor $ \mathcal B_B \rightarrow \op{Ens}^{\op{opp}}$, der gegeben wird durch die Abbildungsvorschrift $(f: B^\prime \rightarrow B) \mapsto \mathcal C_{B^\prime} (f^\ast C, f^\ast D) $ eine Garbe. \item[\textbf{Verkleben von Objekten:}] Gegeben eine "Uberdeckung $\{\varphi_i: U_i \rightarrow U \mid i \in I\}$ in $\mathcal B$ und Objekte $C_i \in \mathcal C_{U_{i}}$ und Isomorphismen $v_{ij} : C_j | U_i \times_U U_j \overset{\sim}{\rightarrow} C_i | U_i \times_U U_j$ f"ur alle $i,j \in I$ mit der Eigenschaft, da"s gilt \begin{equation*} v_{ij} \circ v_{jk} = v_{ik} : C_k | U_i \times_U U_j \times_U U_k \rightarrow C_i | U_i \times_U U_j \times_U U_k \end{equation*} f"ur alle $i,j,k$ gibt es ein Objekt $C \in \mathcal C_U$ und Isomorphismen $w_i : C| U_i \overset{\sim}{\rightarrow} C_i$ mit $v_{ij} = (w_i | U_i \times_U U_j) \circ (w^{-1}_j | U_i \times_U U_j)$ f"ur alle $i,j \in I$. \end{description} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Implizit ist hier die Forderung mit gemeint, da"s die Morphismen $v_{ij}$ Morphismen "uber $U_i \times_U U_j$ sein sollen und die Morphismen $w_i$ Morphismen "uber $U_i$. Implizit haben wir weiter unseren Gruppoidfunktor als "uber $\mathcal B$ gefaserte Kategorie aufgefa"st, um Objekte und Morphismen \glqq einschr"anken\grqq\ oder \glqq zur"uckziehen\grqq\ zu d"urfen. Dazu m"ussen wir gewisse Wahlen treffen, wie in \ref{inBic} erkl"art wird, aber unsere Bedingungen sind offensichtlich unabh"angig von den getroffenen Wahlen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $k$ ein Kring. Ein \defind{Stack} $\mathcal S$ "uber $k$ ist ein Datum bestehend aus einer Kategorie $\mathcal S$ und einem Funktor \begin{equation*} F: \mathcal S \rightarrow \op{Sch}_k \end{equation*} in die Kategorie der Schemata "uber $k$ mit gewissen Eigenschaften, die im folgenden ausf"uhrlich diskutiert werden sollen. \end{Definition} \begin{Beispiel} F"ur $g \geq 0,$ $ n \geq 3$ erkl"aren wir den Moduli-Stack $\mathcal M = \overline{\mathcal M_{g,n}}$ "uber $\DZ$ aller \glqq stabilen Kurven vom Geschlecht $g$ mit $n$ ausgezeichneten Punkten\grqq\ wie folgt: Objekte sind \glqq relative\grqq\ derartige Kurven $C$ "uber einem Basisschema $X$, also Morphismen von Schemata $C \rightarrow X$ mit gewissen Eigenschaften; Morphismen sind Paare von Morphismen von Schemata, die als horizontale Pfeile aufgefa"st kartesische Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ C^\prime \ar[d]\ar[r] &C\ar[d]\\ X^\prime \ar[r]& X } \end{displaymath} von Schemata entstehen lassen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur jedes Schema $Y$ "uber einem Kring $k$ erkl"aren wir den zugeh"origen Stack $\tilde{Y}$ wie folgt: Objekte von $\tilde{Y}$ "uber $X$ sind beliebige Morphismen $(f:X \rightarrow Y)$; Morphismen von $(f^\prime : X^\prime \rightarrow Y)$ nach $(f: X \rightarrow Y)$ sind Morphismen $g : X^\prime \rightarrow X$ mit $f^\prime = f \circ g$; und der Funktor nach $\op{Sch}_k$ ist schlicht das \glqq Vergessen von $Y$\grqq. \end{Beispiel} \begin{Definition} Gegeben eine Kategorie $\mathcal B$ betrachten wir die Gesamtheit $\op{Cat}_{\mathcal B}$ aller \defind{Kategorien "uber $\mathcal B$}, als da hei"st aller Paare $(\mathcal C, F)$ bestehend aus einer Kategorie $\mathcal C$ und einem Funktor $F : \mathcal C \rightarrow \mathcal B$. \begin{enumerate} \item Ein Morphismus $\varphi : (\mathcal C, f) \rightarrow (\mathcal C^\prime, F^\prime)$ von Kategorien "uber $\mathcal B$ ist eine Funktor $\varphi : \mathcal C \rightarrow \mathcal C^\prime$ mit $F^\prime \circ \varphi = F$; \item Gegeben derartige Morphismen $\varphi, \Psi : (\mathcal C, F) \rightarrow (\mathcal C^\prime, F^\prime)$ ist ein 2-Morphismus $\alpha : \varphi \Rightarrow \Psi$ eine Transformation von Funktoren $\varphi, \Psi : \mathcal C \rightarrow \mathcal C^\prime$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle $X \in \mathcal C$ der Morphismus $\alpha_X : \varphi (X) \rightarrow \Psi (X)$ unter $F^\prime$ die Identit"at auf $F^\prime (\varphi (X)) = F(X) = F^\prime (\Psi (X))$ wird. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Mit diesen Definitionen wird $\op{Cat}_{\mathcal B}$ eine 2-Kategorie. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}[\textbf{Variante des Yoneda-Lemmas}] Gegeben $\mathcal S \in \op{Fas}_{\mathcal B}$ eine gefasste Kategorie "uber $\mathcal B$ und $X \in \mathcal B$ ein Objekt und $\tilde{X} \in \op{Cat}_{\mathcal B}$ die ihm zugeordnete Kategorie "uber $\mathcal B$ erhalten wir eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{eqnarray*} \op{Cat}_{\mathcal B} (\tilde{X}, \mathcal S) & \overset{\sim}{\longrightarrow }& \mathcal S_X\\ \alpha & \mapsto & \alpha (\op{id}_{X})\\ \tau \downarrow & \mapsto & \tau_{\op{id}_{X}} \downarrow\\ \beta &\mapsto & \beta (\op{id}_{X}) \end{eqnarray*} \end{Lemma} \begin{proof} Die Faser "uber $Y \in \mathcal B$ von $\tilde{X}$ ist per definitionem die diskrete Kategorie $\mathcal B (Y,X)$. Folglich ist $\op{id}_X$ ein Objekt der Faser von $\tilde{X}$ "uber $X$. Unsere Funktoren $\alpha, \beta$ schicken dies Objekt in jeweils ein Objekt der Faser von $\mathcal S$ "uber $X$, und die Transformation $\tau$ liefert einen Morphismus zwischen diesen Objekten, der nach der Definition der 2-Morphismen von $\op{Cat}_{\mathcal B}$ ein Morphismus in $\mathcal S_X$ sein mu"s, also in $\mathcal B$ zur Identit"at auf $X$ wird. Damit ist klar, da"s unsere "Aquivalenz von Kategorien in spe schon mal ein Funktor der behaupteten Art ist. Als n"achstes konstruieren wir einen Funktor in die Gegenrichtung. Gegeben ein Objekt $A \in \mathcal S_X$ m"ussen wir einen Funktor $\tilde{A} : \tilde{X} \rightarrow \mathcal S$ bilden. Nun ist ein Objekt in $\tilde{X} (Y)$ ja ein Morphismus $Y \rightarrow X$ und dem wollen wir ein Objekt von $\mathcal S_Y$ zuordnen. Das mu"s ja wohl der pullback sein, aber den gibt's nicht eindeutig. Aber egal! \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Ist $F : \cal{C} \ra \cal{B}$ ein Gruppoidfunktor und $\cal{B}$ ein Gruppoid, so ist auch $\cal{C}$ ein Gruppoid. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige: Genau dann ist ein Funktor $F : \cal{C} \ra \cal{B}$ ein Gruppoidfunktor, wenn er die folgenden beiden Eigenschaften hat: (1) Gegeben ein Morphismus $g:B'\ra B$ in $\cal{B}$ und ein Objekt $C\in\cal{C}$ mit $F(C)=B$ gibt es einen Morphismus $\tilde{g}:C'\ra C,$ der unter $F$ auf $g$ geht, und (2) gegeben ein kommutatives Dreieck $f\circ g=h$ in $\cal{B}$ und Morphismen $\tilde{f}, \tilde{h} $ in $\cal{C}$ mit $F(\tilde{f})=f$ und $F(\tilde{h})=h$ gibt es genau einen Morphismus $\tilde{g}$ in $\cal{C}$ mit $F(\tilde{g})=g$ und $\tilde{f}\circ\tilde{g}= \tilde{h}$. In dieser Form steht die Definition bei \cite{NAS}, denen ich hier folge. \end{Ubung} \subsection{Strikte Schober auf topologischen R"aumen} \begin{Bemerkungl} Ich will mich dem Begriff eines \glqq Schobers\grqq, englisch \glqq stack\grqq, franz"osisch \glqq champ\grqq, im folgenden in wachsender Allgemeinheit n"ahern. Ich beginne mit strikten Schobern auf topologischen R"aumen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf strikte Kategorienfaserung}\index{Kategorienfaserung!strikte} $\mathscr C$ "uber einer Kategorie $\mathscr B$ ist ein Funktor $$\mathscr C:\mathscr B^{\op{opp}}\ra \op{Cat}$$ von $\mathscr B^{\op{opp}}$ in die Kategorie $\op{Cat}$ der Kategorien mit Funktoren als Morphismen. Gegeben $V\in\mathscr B$ schreiben wir statt $\mathscr C(V)$ dann meist $\mathscr C_V$ und nennen diese Kategorie die {\bf Faser "uber $V$}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{"Uberlagerungen als strikte Kategorienfaserung}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ erhalten wir eine strikte Kategorienfaserung $\mathscr C$ auf der Kategorie $\mathscr B\pdef \op{Off}(X)$\label{ubstr} seiner offenen Teilmengen mit den Inklusionen als Morphismen, indem wir jeder offenen Teilmenge $U\co X$ die Kategorie $$\mathscr C_U\pdef \op{"Ub}_U$$ der "Uberlagerungen von $U$ zuordnen und jedem Morphismus $V\co U$ den Restriktionsfunktor $\op{"Ub}_U\ra \op{"Ub}_V$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein {\bf strikter Schober auf $X$}\index{Schober!strikter!auf topologischem Raum} ist eine strikte Kategorienfaserung $\mathscr C$ "uber der Kategorie $\op{Off}(X)$ der offenen Teilmengen von $X$, die mit der Notation $\mathcal F\mapsto \mathcal F|U$ f"ur alle Restriktionsfunktoren nach $U$ die beiden folgenden Eigenschaften hat: \begin{description} \item[\textbf{Verkleben von Morphismen:}] F"ur alle $U \co X$ und alle $\mathcal F,\mathcal G \in \mathscr C_{U}$ ist derjenige kontravariante Funktor $ \op{Off}(U) \rightarrow \op{Ens}^{\op{opp}}$ eine Garbe auf $U$, der gegeben wird durch die Vorschrift $V \mapsto \mathscr C_{V} (\mathcal F|V, \mathcal G|V) $; \item[\textbf{Verkleben von Objekten:}] Gegeben seien eine offene "Uberdeckung $ U=\bigcup_{i\in I}U_i$ einer offenen Teilmenge $U\co X$ und f"ur alle $i\in I$ Objekte $\mathcal F_i \in \mathscr C_{U_i}$ der jeweiligen Fasern und Isomorphismen $v_{ij} : \mathcal F_j | U_{ij}\sira \mathcal F_i| U_{ij}$ in der Notation $U_{ij}\pdef U_i\cap U_j$ f"ur alle $i,j $ mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s f"ur alle $i,j,k$ in der Notation $U_{ijk}\pdef U_i\cap U_j\cap U_k$ gilt \begin{equation*} v_{ij} \circ v_{jk} = v_{ik} : \mathcal F_k | U_{ijk} \sira \mathcal F_i | U_{ijk} \end{equation*} So gibt es ein Objekt $\mathcal F \in \mathscr C_{U}$ und Isomorphismen $v_i : \mathcal F| U_i \sira \mathcal F_i$ mit der Eigenschaft $v_{ij} = (v_i | U_{ij}) \circ (v^{-1}_j | U_{ij})$ f"ur alle $i,j$. \end{description} \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{"Uberlagerungen als strikter Schober}] Sei $X$ ein topologischer Raum. Die strikte Kategorienfaserung $\op{"Ub}$ "uber $\op{Off}(X)$ aus \ref{ubstr} ist ein strikter Schober auf $X$, denn sowohl "Uberlagerungen selbst als auch Morphismen von "Uberlagerungen lassen sich verkleben. Beschr"anken wir uns dahingegen auf endliche "Uberlagerungen, so gelingt das Verkleben von Objekten im allgemeinen nicht mehr, etwa wenn unser Raum unendlich und diskret ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Vektorb"undel als strikter Schober}] Sei $X$ ein topologischer Raum. Die Kategorienfaserung, die jeder offenen Teilmenge $U\co X$ die Kategorie der $n$-dimensionalen reellen topologischen Vektorb"undel auf $U$ zuordnet, ist ein strikter Schober auf $X$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ein strikter Schober auf einem topologischen Raum, der nur Gruppoide als Werte annimmt, hei"st ein {\bf strikter Gruppoidschober} auf unserem Raum. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Hauptfaserb"undel als strikter Gruppoidschober}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine topologische Gruppe. Die Gruppoidfaserung, die jeder offenen Teilmenge $U\co X$ die Kategorie der $G$-Hauptfaserb"undel auf $U$ zuordnet, ist ein strikter Gruppoidschober auf $X$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Mengengarbe als strikter Schober}] Wir erhalten einen Funktor $\op{Ens}\ra\op{Cat}$, indem wir jeder Menge die diskrete Kategorie mit unserer Menge als Objektmenge und nur den Identit"aten als Morphismen zuordnen. Jede Pr"agarbe von Mengen auf einem topologischen Raum kann so als eine strikte Kategorienfaserung aufgefa"st werden. Man pr"uft unschwer, da"s diese strikte Kategorienfaserung genau dann ein strikter Schober ist, wenn unsere Pr"agarbe eine Garbe ist. Genauer liefert das Verkleben von Morphismen aus der Schoberdefinition, da"s lokal gleiche Schnitte unserer Pr"agarbe gleich sein m"ussen, und das Verkleben von Objekten aus der Schoberdefinition liefert die Verklebbarkeit von Schnitten unserer Pr"agarbe. \end{Beispiel} \subsection{Schober, neuer Versuch} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerung zu Kategorienfaserungen}] Ich erinnere an den Begriff einer Kategorienfaserung aus \ref{GefKa}. Sei $\cal{U}$ eine Kategorie. Unter einer Kategorienfaserung $\cal{C}_{/}=(\cal{C}_{/},{ }^\circ, c)$ "uber $\cal{U}$ verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Objekt $U \in \cal{U}$ eine Kategorie $\cal{C}_{/U}$ zuordnet, jedem Morphismus $f:V \ra U$ in $\cal{U}$ einen Funktor $f^{\circ}: \cal{C}_{/U} \ra \cal{C}_{/V}$ in die Gegenrichtung, und jedem Paar $f\circ g$ von verkn"upfbaren Morphismen in $\mathcal U$ eine Isotransformation $c=c(g,f): g^{\circ} \circ f^{\circ}\stackrel{\sim}{\RA} (f \circ g)^{\circ} $ derart, da"s $\op{id}_U^{\circ}$ f"ur alle $U$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist und da"s alle Diagramme $$\begin{array}{ccc} h^{\circ} \circ g^{\circ} \circ f^{\circ} & \RA & (g\circ h)^{\circ}\circ f^{\circ} \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ h^{\circ} \circ (f\circ g)^{\circ} & \RA & (f \circ g \circ h)^{\circ} \end{array}$$ mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise aus den Transformationen $c$ gebildeten Transformationen kommutieren. Wir nennen die Kategorie $\mathcal C_{/U}$ die {\bf Faser "uber $U$} unserer Kategorienfaserung, die Funktoren $f^\circ$ ihre {\bf R"uckholfunktoren}, die Transformationen $c(f,g)$ ihre {\bf Identifikationen} und die Kategorie $\cal{U}$ ihre {\bf Basis}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind st"arker alle Identifikationen Identit"aten $g^{\circ} \circ f^{\circ}= (f \circ g)^{\circ} $, % und gilt dar"uber hinaus $\op{id}^{\circ}=\op{id},$ so sprechen wir von einer {\bf strikten Kategorienfaserung}. In diesem Fall haben wir automatisch auch $\op{id}^{\circ}=\op{id}$ f"ur alle Identit"aten von $\mathcal U$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Gruppoidfaserung}\index{Gruppoidfaserung} ist eine Kategorienfaserung, bei alle Fasern Gruppoide sind. \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{"Uberlagerungen als Gruppoidfaserung}] Die Zuordnung, die jedem topologischen Raum $U$ die Kategorie aller "Uberlagerungen von $U$ zuordnet, und bei der wir als Morphismen nur die Isomorphismen nehmen, ist zusammen mit den offensichtlichen R"uckholfunktoren und Identifikationen eine Gruppoidfaserung "uber der Kategorie $\op{Top}$ der topologischen R"aume. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{"Uberlagerungen als Gruppoidfaserung, Variante}] Ordnen wir jeder offenen Teilmenge $U\co X$ eines festen topologischen Raums $X$ die Kategorie der\label{UbX} "Uberlagerungen von $U$ zu, bei der wir als Morphismen nur die Isomorphismen nehmen, so erhalten wir mit den "ublichen R"uckholfunktoren und Identifikationen eine Gruppoidfaserung auf $X$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Vektorb"undel als Gruppoidfaserung}] Die Zuordnung, die jedem topologischen Raum $U$ das Gruppoid $\op{Bun}^n_{/U}$ der $n$-dimensionalen reellen Vektorb"undel auf $U$ zuordnet, mit Isomorphismen als Morphismen, ist zusammen mit den offensichtlichen R"uckholfunktoren und Identifikationen eine Gruppoidfaserung "uber der Kategorie $\op{Top}$ der topologischen R"aume. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Vektorb"undel als Gruppoidfaserung, Variante}] Sei $X$ ein topologischer Raum.\label{BunX} Die Zuordnung, die jeder offenen Teilmenge $U\co X$ das Gruppoid $\op{Bun}^n_{/U}$ der $n$-dimensionalen reellen Vektorb"undel auf $U$ zuordnet, mit Isomorphismen als Morphismen, ist zusammen mit den offensichtlichen R"uckholfunktoren eine strikte Gruppoidfaserung "uber der Kategorie $\mathcal U$ der offenen Teilmengen von $X$ mit Inklusionen als Morphismen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir wollen einen \glqq Schober\grqq\ (franz"osisch \glqq champ\grqq, englisch \glqq stack\grqq) auf einem Situs erkl"aren als eine Gruppoidfaserung mit zus"atzlichen garbenartigen Verklebungseigenschaften. Wir n"ahern uns diesem Konzept im folgenden sukzessive in wachsender Allgemeinheit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Uberlagerungen und Vektorraumb"undel als strikte Schober}] Sei $X$ ein topologischer Raum. Unsere Gruppoidfaserung der "Uberlagerungen aus \ref{UbX} ist ein strikter Schober auf $X$. Unsere Gruppoidfaserung der $n$-di\-men\-sio\-na\-len Vektorb"undel aus \ref{BunX} ist ein strikter Schober auf $X$. Betrachten wir dahingegen jeweils nur die Unterkategorien der global trivialisierbaren Objekte, so erhalten wir eine Gruppoidfaserung, die im allgemeinen die Verklebebedingung f"ur Objekte nicht erf"ullt und mithin kein Schober ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Das analoge Konzept f"ur eine nicht notwendig strikte Gruppoidfaserung $\cal{C}_{/}$ hei"st ein \glqq Schober\grqq. Um die im folgenden gegebene pr"azise Definition zu erhalten, mu"s man in der Definition eines strikten Schobers nur noch an den entsprechenden Stellen die offensichtlichen Identifikationen aus den Daten der Gruppoidfaserung einf"ugen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein {\bf Schober\index{Schober} auf $X$} ist eine Gruppoidfaserung $\cal{C}_{/}$ "uber der Kategorie $\op{Off}(X)$ der offenen Teilmengen von $X$, die mit der Notation $\mathcal F\mapsto \mathcal F|U$ f"ur alle R"uckholfunktoren nach $U$ die beiden folgenden Eigenschaften hat: \begin{description} \item[\textbf{Verkleben von Morphismen:}] F"ur alle $U \co X$ und alle $\mathcal F,\mathcal G \in \mathcal C_{/U}$ ist derjenige kontravariante Funktor $ \op{Off}(U) \rightarrow \op{Ens}^{\op{opp}}$ eine Garbe auf $U$, der gegeben wird durch die Vorschrift $V \mapsto \mathcal C_{/V} (\mathcal F|V, \mathcal G|V) $ mit den Kompositionen $\mathcal C_{/V} (\mathcal F|V, \mathcal G|V)\ra \mathcal C_{/W} (\mathcal F|V|W, \mathcal G|V|W)\sira \mathcal C_{/W} (\mathcal F|W, \mathcal G|W)$ als Restriktionsabbildungen, wobei der zweite Pfeil durch die entsprechenden Identifikationen induziert wird; \item[\textbf{Verkleben von Objekten:}] Gegeben sei eine offene "Uberdeckung $U=\bigcup_i U_i$ einer offenen Teilmenge $U\co X$ und Objekte $\mathcal F_i \in \mathcal C_{/U_{i}}$ der jeweiligen Fasern und Isomorphismen $v_{ij} : \mathcal F_j | U_{ij}\overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal F_i| U_{ij}$ in der Notation $U_{ij}\pdef U_i\cap U_j$ f"ur alle $i,j $ mit der zus"atzlichen Eigenschaft, da"s f"ur alle $i,j,k$ mit der Notation $U_{ijk}\pdef U_i\cap U_j\cap U_k$ und der Notation $\hat v_{ij}$ f"ur die Verkn"upfung $\mathcal F_j | U_{ijk}\sira \mathcal F_j | U_{ij}|U_{ijk}\ra \mathcal F_i | U_{ij}|U_{ijk}\sira \mathcal F_i | U_{ijk}$ des auf $U_{ijk}$ zur"uckgeholten $v_{ij}$ in der Mitte mit zwei offensichtlichen Identifikationen gilt \begin{equation*} \hat v_{ij} \circ \hat v_{jk} = \hat v_{ik} : \mathcal F_k | U_{ijk} \sira \mathcal F_i | U_{ijk} \end{equation*} So gibt es ein Objekt $\mathcal F \in \mathcal C_{/U}$ und Isomorphismen $v_i : \mathcal F| U_i \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal F_i$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur alle $i,j$ mit der Notation $\hat v_{i}$ f"ur die Verkn"upfung $\mathcal F | U_{ij}\sira \mathcal F | U_{i}| U_{ij} \ra \mathcal F_i | U_{ij}$ der offensichtlichen Identifikation mit dem auf $U_{ij}$ zur"uckgeholten $v_{i}$ gilt $v_{ij} = \hat v_i \circ \hat v^{-1}_j $. \end{description} \end{Definition} % \begin{Definition} % Ein {\bf Schober\index{Schober} % auf einem topologischen Raum} $X$ % ist eine Gruppoidfaserung % $\cal{C}_{/}$ "uber % der Kategorie der offenen Teilmengen von $X$, % die mit der Notation $\mathcal F\mapsto \mathcal F|U$ % f"ur alle R"uckholfunktoren nach $U$ % die analogen % Eigenschaften hat, wenn man an den entsprechenden % Stellen die Identifikationen aus den den Schober definierenden Daten % verwendet. % Genauer m"ussen wir f"ur $W\co V$ die Einschr"ankungen % beim Verkleben von Morphismen erkl"aren als die Kompositionen % $$ % \mathcal C_{/V} (\mathcal F|V, \mathcal G|V) % \ra \mathcal C_{/W} (\mathcal F|V|W, \mathcal G|V|W) % \sira\mathcal C_{/W} (\mathcal F|W, \mathcal G|W) $$ % mit einer durch unsere Identifikationen % $\mathcal F|V|W \sira \mathcal F|W$ und % $\mathcal G|V|W \sira \mathcal G|W$ % gegebene zweiten Abbildung. % Des weiteren m"ussen wir beim Verkleben von Objekten % die Identifikationen $c_{ijk}:\cal F_i|U_{ij}|U_{ijk}\sira \cal F_i|U_{ijk}$ und % ihre Analoga unter zyklischer Vertauschung der Indizes verwenden, % um der Identit"at $v_{ij} \circ v_{jk} = v_{ik}$ Sinn zu geben. % Und schlie"slich m"ussen wir beim letzten Punkt die Identifikationen % $\cal F|U_{i}|U_{ij}\sira \cal F|U_{ij}$ und ihr Analogon % unter Indexvertauschung verwenden, um der Identit"at $v_{ij} = (v_i | % U_{ij}) \circ (v^{-1}_j | U_{ij})$ Sinn zu geben. % \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Uberlagerungen als nicht strikter Schober}] Betrachten wir nocheinmal unser Beispiel \ref{UbX} und ordnen jeder offenen Teilmenge $U\co X$ eines festen topologischen Raums $X$ die Kategorie der "Uberlagerungen von $U$ zu, bei der wir als Morphismen nur die Isomorphismen nehmen. Erkl"aren wir hier die R"uckholfunktoren etwas ungeschickt als $$Y|V\pdef Y\times_UV=\{(y,v)\in Y\times V\mid \pi(y)=v\}$$ f"ur $\pi:Y\ra U$ eine "Uberlagerung von $U$, so erhalten wir keine strikte Gruppoidfaserung mehr, denn $(Y|V|W)$ besteht aus Tripeln in $Y\times V\times W$, wohingegen $(Y|W)$ aus Paaren in $Y\times W$ besteht, f"ur $W\co V\co U\co X$. Mit den offensichtlichen Identifikationen wird das aber schon eine Gruppoidfaserung, die sich dann sogar als ein Schober erweist. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein {\bf Schober auf einem Situs} ist $\ldots$ \end{Definition} \begin{Definition} Sei nun $\mathcal B$ ein Situs im Sinne von \ref{Situs}, also eine Kategorie mit einer Grothendieck-Topologie. Ein {\bf strikter Gruppoid-Stack}\index{Gruppoid-Stack, strikter} oder kurz {\bf strikter Stack\index{Stack} auf} $\mathcal B$ ist eine strikte Gruppoidfaserung $(\cal{C}_{/},{ }^\circ)$ "uber $ \mathcal B$ mit folgenden Eigenschaften: \begin{description} \item[\textbf{Verkleben von Morphismen:}] F"ur alle $B \in \mathcal B$ und alle $C,D \in \mathcal C_B$ ist der kontravariante Funktor $ \mathcal B_B \rightarrow \op{Ens}^{\op{opp}}$ gegeben durch die Vorschrift $(f: B^\prime \rightarrow B) \mapsto \mathcal C_{B^\prime} (f^\circ C, f^\circ D) $ eine Garbe. \item[\textbf{Verkleben von Objekten:}] Gegeben eine "Uberdeckung $\{\varphi_i U_i \rightarrow U \mid i \in I\}$ in $\mathcal B$ und Objekte $C_i \in \mathcal C_{U_{i}}$ und Isomorphismen $v_{i,j} : C_j \mid U_i \times_U U_j \overset{\sim}{\rightarrow} C_i \mid U_i \times_U U_j$ f"ur alle $i,j \in I$ mit der Eigenschaft, da"s gilt \begin{equation*} \vartheta_{ij} \circ \vartheta_{jk} = \vartheta_{ik} : C_k \mid U_i \times_U U_j \times_U U_k \rightarrow C_i | U_i \times_U U_j \times_U U_k \end{equation*} f"ur alle $i,j,k$ gilt es ein Objekt $C \in \mathcal C_U$ und Isomorphismen $w_i : C| U_i \overset{\sim}{\rightarrow} C_i$ mit $\vartheta_{ij} = (w_i \mid U_i \times_U U_j) \circ (w^{-1}_j \mid U_i \times_U U_j)$ f"ur alle $i,j \in I$. \end{description} \end{Definition} JETZT WICHTIG: SCHOBERIFIZIERUNG! \subsection{Kartesische Funktoren, Wohin?} \begin{Definition} Sei $F: \cal{C}\ra \cal{B}$ ein Funktor. Ein Funktor $\tilde{G} : \cal{K} \ra \cal{C}$ hei"st {\bf kartesisch}\index{kartesisch!Funktor} genau dann, wenn er alle Morphismen in $\cal{K}$ zu kartesischen Morphismen in $\cal{C}$ macht. \end{Definition} \begin{Definition} Ist $F : \cal{C} \ra \cal{B}$ ein Funktor und $G : \cal{K} \ra \cal{B}$ ein Funktor, so definiert man die {\bf Faser von $\cal{C}$ "uber $G$}\index{Faser!eines Funktors} als die Kategorie $\cal{C}_{G}$, deren Objekte kartesische Funktoren $\tilde{G} : \cal{K} \ra \cal{C}$ sind mit $F \circ \tilde{G} = G$ und deren Morphismen Transformationen $\alpha : \tilde{G} \ra \hat{G}$ sind mit $F \alpha = \op{id} : G \ra G$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Hat $\cal{K}$ nur ein Objekt $K$ und einen Morphismus, so ist $\cal{C}_{G} = \cal{C}_{G(K)}$ die Faser "uber dem Bild dieses Morphismus im Sinne von \ref{FMC}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Hat $\cal{K}$ nur ein Objekt $K$ und sind alle seine Morphismen invertierbar und werden von $G: \cal{K} \ra \cal{C}$ alle auf die Identit"at abgebildet, so ist die Faser $\cal{C}_{G}$ "uber $G$ die Kategorie der \glqq Objekte von $\cal{C}_{G(K)}$ mit einer Operation der Gruppe $\cal{K}(K)$\grqq. \end{Beispiel} \begin{Bemerkung} Gegeben eine Kategorie $\cal{B}$ mag man die Kategorie $\op{Cat}_{\cal{B}}$ aller Kategorien "uber $\cal{B}$ betrachten. Objekte sind Paare $(\cal{C},F)$ mit $\cal{C}$ einer Kategorie und $F:\cal{C}\ra \cal{B}$ einem Funktor. Morphismen von $(\cal{C}',F')$ nach $(\cal{C},F)$ sind Funktoren $G:\cal{C}'\ra \cal{C}$ mit $F\circ G=F'$. Schlie"slich definieren wir f"ur einen weiteren Morphismus $G_1:(\cal{C}',F')\ra (\cal{C},F)$ eine \defnoind{vertr"agliche Transformation}\index{Transformation!vertr"agliche, von Funktoren} \index{vertr"aglich!Transformation von Funktoren} als eine Transformation $\tau:G\ra G_1,$ f"ur die $F\tau =\op{id}$ die Identit"at auf dem Funktor $F'$ ist. Auf diese Weise wird $\op{Cat}_{\cal{B}}$ sogar eine \glqq 2-Kategorie\grqq, aber ich erkl"are diesen Begriff nicht. \end{Bemerkung} \newpage \subsection{Frage zur Homologie von Fl"achen} \begin{Bemerkung} Frage: Sei $M$ eine orientierbare Fl"ache, nicht notwendig kompakt, aber separabel. Ist ${\op{H}}_{1} M$ stets eine freie abelsche Gruppe? Ich denke schon: 1) Kompakte orientierbare mit Rand ok, kann L"ocher f"ullen; 2) Falls lasse Rand weg, auch ok; 3) Schreibe als aufsteigende Vereinigung von sowas; und pr"ufe mit Gysinsequenz, da"s die induzierten Abbildungen spalten. \end{Bemerkung} \section{Topologie Steinbruch} \subsection{Satz von Helly*} \begin{Satz}[\textbf{Helly}] Seien $K_1, \ldots, K_r$ konvexe Teilmengen von $\mathbb{R}^n$. Ist der Schnitt von je $(n+1)$ unserer $K_i$ nicht leer, so haben alle $K_i$ einen Punkt gemeinsam.\index{Helley, Satz von} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Im Fall von kompakten konvexen Teilmengen folgt das sogar f"ur beliebige Familien mit \ref{Skoa}. Im allgemeinen ist es f"ur unendliche Familien falsch, wie etwa die Familie aller Intervalle $[a, \infty)$ in $\mathbb{R}$ zeigt. Man findet einen sehr elementaren Beweis dieser Aussage etwa in Wikipedia. Ich gebe im folgenden einen homologischen Beweis, der zwar einerseits unn"otig kompliziert ist, andererseits aber auch die Bedeutung unserer homologischen S"atze illustriert. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Homologischer Beweis] Wir "uberlegen uns zun"achst, da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit alle $K_i$ offen annehmen d"urfen. In jedem nichtleeren Schnitt einer Auswahl der $K_i$ w"ahlen wir dazu einen Punkt. Ersetzen wir nun $K_i$ durch die konvexe H"ulle aller derjenigen eben gew"ahlten Punkte, die in $K_i$ liegen, so erkennen wir, da"s wir ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit alle $K_i$ kompakt annehmen d"urfen. W"are der Schnitt aller $K_i$ leer, so auch der Schnitt aller $K_i + \overline{{\op{B}} (0;\epsilon)}$ "uber alle $i$ und alle $\epsilon > 0$. Dann w"are dieser Schnitt aber nach \ref{Skoa} bereits f"ur ein festes $\epsilon >0$ leer und dasselbe g"alte f"ur den Schnitt der offenen Mengen $K_i + B(0;\epsilon)$. Damit erkennen wir, da"s wir auch ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit alle $K_i$ offen annehmen d"urfen. Nach dem Satz "uber hohe Homologie von Mannigfaltigkeiten wissen wir ${\op{H}}_q (U) =0$ f"ur $q \geq n$ und $U\co \mathbb{R}^n$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir annehmen, da"s jede echte Teilfamilie der $K_i$ nichtleeren Schnitt hat. Setzen wir nun $U = \bigcup K_i$ und bezeichnen mit $\mathcal{V}$ diese offenen "Uberdeckung von $U$, so haben wir eine exakte Sequenz von Kettenkomplexen \begin{equation*} \tilde{\op{S}} \left(\bigcap K_i\right) \hookrightarrow \ldots \ra\bigoplus_{i 0$ geht $\DP^{n}$ aus $\DP^{n-1}$ hervor durch Ankleben einer $n$-Zelle und die verklebende Abbildung ist schlicht die offensichtliche zweifache "Uberlagerung $S^{n-1} \ra \DP^{n-1}$. Wir haben also $\tilde{H}_{q} \DP^{n} = \tilde{H}_{q}\DP^{n-1}$ f"ur $q\neq n, n-1$ und $\tilde{H}_{q} \DP^{n} =0 $ f"ur $q>n$ sowie eine exakte Sequenz $$ 0 \ra \tilde{H}_{n} \DP^{n} \ra \tilde{H}_{n-1} S^{n-1} \ra \tilde{H}_{n-1}\DP^{n-1}\ra \tilde{H}_{n-1}\DP^{n} \ra 0$$ Um mit Hilfe dieser Sequenz induktiv die Homologie von $\DP^{n}$ zu berechnen, m"ussen wir die Abbildung $\tilde{H}_{n-1} S^{n-1}\ra \tilde{H}_{n-1} \DP^{n-1}$ besser verstehen. Das ist a priori schwierig, da wir $\tilde{H}_{n-1} \DP^{n-1}$ ja erst im Rahmen dieses Beweises induktiv kennenlernen. Wir kennen jedoch die relative Homologie $H_{n-1} (\DP^{n-1},\DP^{n-1}- p)$ f"ur jeden Punkt $p\in \DP^{n-1} $, genauer wissen wir nach dem Ausschneidungssatz, da"s sie isomorph ist zu $G$ selbst. Wir zeigen nun f"ur alle $r \geq 0$ das folgende\begin{Lemma} Die Verkn"upfung $\tilde{H}_{r} S^{r} \ra \tilde{H}_{r}\DP^{r}\ra H_{r} (\DP^{r},\DP^{r}-p)$ ist die Null-Abbildung f"ur gerades $r$ und das Doppelte eines Isomorphismus f"ur ungerades $r$. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Auch wenn es nicht explizit dasteht, ist hier gemeint, da"s der erste Morphismus im Lemma von der "Uberlagerungsabbildung $\pi : S^{r}\ra \DP^{r}$ induziert sein soll. Wir betrachten nun um $p \in \DP^{r}$ eine trivial "uberlagerte offene Umgebung $U$, die hom"oomorph ist zu einem offenen Ball. Wir haben dann $\pi^{-1}(p) = \{p_{1},p_{2}\}$ und $\pi^{-1}(U) = U_{1}\amalg U_{2}$ f"ur geeignete offene Umgebungen $U_{i}$ von $p_{i}$ in $S^{r}$. Wir erhalten also f"ur $i=1,2$ jeweils ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccc} \tilde{H}_{r}S^{r}&\sira& H_{r}(S^{r},S^{r}-p_{i})& \overset{\sim}{\leftarrow}& H_{r} (U_{i},U_{i}-p_{i})\\ \| & & \uparrow & & \downarrow \\ \tilde{H}_{r}S^{r}& \ra & H_{r}(S^{r},S^{r}- \pi^{-1}(p)) & \overset{\sim} {\leftarrow} & H_{r}(\pi^{-1} (U), \pi^{-1}(U) - \pi^{-1}(p))\\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \tilde{H}_{r} \DP^{r} & \ra & H_{r} (\DP^{r},\DP^{r} -p)& \overset{\sim} {\leftarrow} & H_{r}(U,U-p) \end{array}$$ und erkennen daraus, da"s wir die Verkn"upfung aus unserem Lemma faktorisieren k"onnen als \glqq gehe im Diagramm auf der mittleren Horizontale bis ganz nach rechts, dann runter, dann zur"uck in die Mitte\grqq\ oder auch als die Summe der beiden Abbildungen \glqq gehe im Diagramm auf der mittleren Horizontale bis in die Mitte, dann nach oben, weiter ganz nach rechts, ganz runter und unten zur"uck in die Mitte\grqq\ f"ur $i=1,2$. Mit $a: S^{r}\ra S^{r}$ der Antipoden-Abbildung kommutiert nun das Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} \tilde{H}_{r}S^{r} & \sira & H_{r}(S^{r},S^{r}-p_{1}) &\overset{\sim}{\leftarrow}& H_{r} (U_{1},U_{1}-p_{1}) & \sira & H_{r}(U,U-p)\\ \downarrow a & & \downarrow a & &\downarrow a& &\ || \\ \tilde{H}_{r}S^{r} & \sira & H_{r}(S^{r},S^{r}-p_{2}) &\overset{\sim}{\leftarrow} & H_{r}(U_{2}, U_{2}-p_{2}) & \sira & H_{r}(U,U-p) \end{array}$$ Da aber die Antipodenabbildung auf der $r$-ten reduzierten Homologie der Sph"are $S^r$ die Multiplikation mit $(-1)^{r+1}$ induziert, ist unsere Verkn"upfung in der Tat das $(1+ (-1)^{r+1})$-fache eines Isomorphismus. \end{proof} %\begin{proof}[Beweis] \noindent Nun wissen wir ja aus der Herleitung der Anklebesequenz um ein kommutatives Quadrat $$\begin{array}{ccc} \tilde{H}_{r}\DP^{r} & \ra & \tilde{H}_{r-1}S^{r-1} \\ || & &\wr || \\ \tilde{H}_{r} \DP^{r} & \ra & H_{r}(\DP^{r},\DP^{r}-p) \end{array}$$ in dem die obere Horizontale der erste Morphismus unserer Anklebesequenz ist. Der ist aber stets injektiv, mithin ist auch $\tilde{H}_{r}\DP^{r} \ra H_{r} (\DP^{r},\DP^{r}-p)$ injektiv f"ur alle $r$ und aus unserem Lemma folgt, da"s $\tilde{H}_{r}S^{r}\ra \tilde{H}_{r}\DP^{r}$ f"ur gerades $r$ die Nullabbildung ist. Verf"uttern wir diese Information an die n"achste Anklebesequenz, so ergibt sich, da"s f"ur ungerades $r$ alle Abbildungen in unserem kommutativen Quadrat Isomorphismen sind, folglich ist dann $\tilde{H}_{r} \DP^{r}$ isomorph zu $M$ und unsere Behauptung impliziert, da"s f"ur geeignetes Identifikationen von $\tilde{H}_{r}S^{r}$ und $\tilde{H}_{r} \DP^{r}$ mit $M$ unsere Abbildungen $H_{r}\pi$ gerade die Multiplikation mit 2 wird. Jetzt folgt der Satz m"uhelos mit Induktion. \end{proof} \subsection{Kohomologie und azyklische Aufl"osungen, ALT} \begin{Definition} Unter einer {\bf Aufl"osung} einer abelschen Garbe $\cal{F}$ verstehen wir einen exakten Komplex $\cal F\hra \cal{A}^0\ra \cal{A}^1\ra\cal{A}^2\ra\ldots$ von abelschen Garben. Eine Aufl"osung hei"st {\bf azyklisch}\index{azyklische Aufl"osung} genau dann, wenn alle $\cal{A}^i$ azyklisch sind. \end{Definition} \begin{Definition}\label{DKMA} Gegeben eine Aufl"osung $\cal F\hra \cal{A}^\ast$ einer abelschen Garbe erkl"aren wir die sogenannten {\bf kanonischen} Morphismen $$\op{can}:\cal{H}^q\Gamma \cal{A}^\ast\ra \op{H}^q\cal{F}$$ wie folgt: Wir setzen $\cal{K}^i=\op{ker}(\cal{A}^{i}\ra\cal{A}^{i+1} )$ und spalten unsere Aufl"osung auf in die kurzen exakten Sequenzen $$\begin{array}{cccccccccccccccc} \cal{F} &\hookrightarrow &\cal{A}^{0}&\twoheadrightarrow &\cal{K}^{1}& & & &&&\\ && & & \cal{K}^{1}&\hookrightarrow &\cal{A}^{1}& \twoheadrightarrow &\cal{K}^{2} & &&& &&\\ &&&& & & & & \cal{K}^{2}&\hookrightarrow &\cal{A}^{2}&\twoheadrightarrow &\cal{K}^{3}&&&\\ & & & & & & & & & && &\ldots&\ldots&\ldots&\ldots \end{array}$$ Die zugeh"origen langen exakten Sequenzen der Garbenkohomologie liefern nun eine Kette von Morphismen $$\op{H}^q\cal{F}\leftarrow \op{H}^{q-1}\cal{K}^1\leftarrow \op{H}^{q-2}\cal{K}^2 \leftarrow \ldots\leftarrow \op{H}^1\cal{K}^{q-1} \leftarrow \cal{H}^q\Gamma \cal{A}^{\ast}$$ wo wir den Homomorphismus ganz links aus den beiden exakten Sequenzen $$\begin{array}{ccccccc} 0 &\ra& \Gamma \cal{K}^{q}&\ra& \Gamma \cal{A}^{q}&\ra &\Gamma \cal{A}^{q+1}\\ \Gamma \cal{A}^{q-1}&\ra& \Gamma \cal{K}^{q}&\ra& \op{H}^1\cal{K}^{q-1} &\ra & \op{H}^1\cal{A}^{q-1} \end{array}$$ gewinnen. Hier identifiziert die erste Sequenz $\Gamma \cal{K}^{q}$ mit den $q$-Kozykeln des Komplexes $\Gamma \cal{A}^{\ast}$ und die zweite identifiziert dann $\op{H}^1\cal{K}^{q-1}$ mit seiner Kohomologie. Wir definieren unseren kanonischen Morphismus als die Verkn"upfung unserer Kette von Morphismen. \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{NAZA} Ist ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} \cal{F}&\hookrightarrow &\cal{A}^{0}& \ra & \cal{A}^{1}& \ra &\cal{A}^{2} &\ra & \ldots\\ \downarrow & & \downarrow & &\downarrow & & \downarrow & & \\ \cal{G}&\hookrightarrow &\cal{B}^{0}&\ra & \cal{B}^{1}& \ra &\cal{B}^{2} &\ra &\ldots \end{array}$$ gegeben mit Aufl"osungen von abelschen Garben $\cal{F}$ beziehungsweise $\cal{G}$ als Zeilen, so kommutiert mit den offensichtlichen Vertikalen und den eben konstruierten kanonischen Abbildungen als Horizontalen das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^{q}\Gamma \cal{A}^{\ast} & \ra & \op{H}^{q}\cal{F}\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{H}^{q}\Gamma \cal{B}^{\ast} & \ra &\op{H}^{q} \cal{G} \end{array}$$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Kohomologie und azyklische Aufl"osungen]\label{AZAA} Die Kohomologie einer abelschen Garbe l"a"st sich berechnen als die Kohomologie des Komplexes der globalen Schnitte einer beliebigen azyklischen Aufl"osung. Ist genauer $\cal F\hra \cal{A}^\ast$ eine azyklische Aufl"osung, so liefern unsere kanonischen Abbildungen aus \ref{DKMA} Isomorphismen $$\cal{H}^q\Gamma \cal{A}^\ast\sira \op{H}^q\cal{F}$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sind alle $\cal{A}^i$ azyklisch, so stehen aufgrund der langen exakten Kohomologiesequenzen in unserer Kette von Morphismen aus \ref{DKMA} nur Isomorphismen. \end{proof} \subsection{Frage zu Erweiterungen} \begin{Bemerkungl} Eine exakte Sequenz $A\hra B\ra C\sra D$ stellt die Null in $\op{Ext}^2(D,A)$ dar genau dann, wenn es ein filtriertes Objekt $X\supset Y\supset Z$ gibt derart, da"s unsere Sequenz isomorph ist zur Sequenz $Z\hra Y\ra X/Z \sra X/Y$ mit den offensichtlichen Morphismen, siehe \cite{GM}, III, \S5, Ex.\ 2. \end{Bemerkungl} \begin{Kommentar} Es scheint, da"s die projektive Dimension des $\DC[X,Y,Z]$-Moduls $\DC(X,Y,Z)$ drei ist genau dann, wenn man die Kontinuumshypothese akzeptiert, und sonst Zwei. Ich habe mir das nicht so genau "uberlegt. \end{Kommentar} \subsection{Die Konstruktion von $\DR$ durch Cauchy-Folgen} Die reellen Zahlen spielen in der Topologie eine zentrale Rolle. Man lernt jedoch im Grundstudium meist nicht, wie denn dieser vollst\"{a}ndige archimedisch angeordnete K\"{o}rper $(\DR, +, \cdot, \geq)$ aus dem angeordneten K\"{o}rper $(\DQ, +, \cdot, \geq)$ der rationalen Zahlen konstruiert wird. Das wollen wir hier nachholen. Bezeichne ${\cal C}$ die Menge aller Cauchy-Folgen in $\DQ$, also $${{\cal C} = \{ a : \DN \ra \DQ \mid \forall \epsilon \in \DQ_{>0} \exists N \in \DN \text{ so da"s } n,m > N \Rightarrow |a (n) - a(m)| < \epsilon\}.}$$ Auf der Menge ${\cal C}$ definieren wir in offensichtlicher Weise eine Addition und eine Multiplikation durch die Vorschrift $(a +b) (n) = a(n) +b(n)$, $(a \cdot b)(n) = a(n)\cdot b(n)$. Damit wird ${\cal C}$ ein kommutativer Ring mit Eins-Element. Jedoch gibt es viele Elemente in ${\cal C}$ ohne multiplikatives Inverses. Betrachten wir nun auf ${\cal C}$ die \"{A}quivalenzrelation $\sim$ gegeben durch $$a \sim b \Leftrightarrow \lim_{n \ra \infty} (a(n)-b(n)) = 0$$ und definieren $\DR$ als die Menge der \"{A}quivalenzklassen $\DR = {\cal C}/_{\textstyle{\sim}}$. Offensichtlich definieren die Addition und Multiplikation auf ${\cal C}$ eine Addition und Multiplikation auf ${\cal C}/_{\textstyle{\sim}} = \DR$. Um die K\"{o}rperaxiome zu zeigen mu"s man nur noch nachweisen, da"s jedes von Null verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt. Nun repr\"{a}sentiert die Folge $a \in {\cal C}$ ein von Null verschiedenes Element von $\DR$ genau dann, wenn sie nicht gegen Null konvergiert. Da $a$ eine Cauchy-Folge ist bedeutet das, da"s es $\epsilon \in \DQ_{>0}$ gibt mit $|a (n)| > \epsilon$ f\"{u}r $n\gg 0$. Und dann ist jede Folge $b$ mit $b(n) = a (n)^{-1}$ f\"{u}r $n \gg 0$ eine Cauchy-Folge und repr\"{a}sentiert ein multiplikatives Inverses der Klasse von $a$ in $\DR$. Definieren wir $\DR_{\geq 0}$ als die Menge aller Klassen, die durch Cauchy-Folgen $a:\DN \ra \DQ_{\geq 0}$ repr\"{a}sentiert werden k\"{o}nnen, so macht diese Wahl offensichtlich $\DR$ zu einem archimedisch angeordneten K\"{o}rper. Wir m\"{u}ssen nur noch zeigen, da"s jede Cauchy-Folge in $\DR$ konvergiert. Sei dazu $\bar{a}_{0}$, $\bar{a}_{1}$, $\ldots$ eine Cauchy-Folge in $\DR$ und seien die $a_i\in{\cal C}$ Repr\"{a}sentanten der $\bar{a}_{i}\in\DR$. Man zeigt nun m\"{u}helos, da"s die Folge $l : \DN \ra \DQ$, $i\mapsto a_{i}(i)$ selbst eine Cauchy-Folge ist und da"s die Klasse $\bar{l}\in\DR$ von $l$ der Limes der Folge der $\bar{a}_{i}$ ist. \subsection{Siten und \'{e}tale Kohomologie} \begin{Definition} Ein {\bf Sieb}\index{Sieb} in einer Kategorie $\mathcal C$ ist eine Teilmenge $\mathcal R \subset \mathcal C$ der Menge der Objekte von $\mathcal C$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur $V \in \mathcal C$ und $U \in \mathcal R$ aus $\mathcal C (V,U) \neq \emptyset$ bereits folgt $V \in \mathcal R$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In Worten fordern wir, da"s jedes Objekt unserer Kategorie, von dem es einen Morphismus zu einem Objekt aus unserem Sieb gibt, bereits selber zu unserem Sieb geh"oren soll. Auf franz"osisch sagt man dazu {\bf crible}.\index{crible} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Sieb zu System offener Teilmengen}] Ist $X$ ein topologischer Raum und $\op{Off}(X)$ die Kategorie seiner offenen Mengen nach \ref{SitO}, so ist ein Sieb in $\op{Off}(X)$ ein System offener Mengen, zu dem mit einer offenen Menge auch jede darin enthaltene offene Menge geh"ort. Gegeben ein System offener Mengen $\mathcal U\subset \mathcal P(X)$ ist zum Beispiel das System $\{V\co X\mid \exists U\in\mathcal U$ mit $ V\subset U\}$ ein Sieb in $\op{Off}(X)$. Es ist das kleinste Sieb, das $\mathcal U$ umfa"st. Wir nennen es das {\bf von $\mathcal U$ erzeugte Sieb}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ und eine Teilmenge $\mathcal U\subset \mathcal C$ ihrer Objektmenge bilden alle Objekte mit einem Morphismus in ein Objekt von $\mathcal U$ ein Sieb. Es ist das kleinste Sieb, das $\mathcal U$ umfa"st. Wir nennen es das {\bf von $\mathcal U$ erzeugte Sieb}. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Funktor $f: \mathcal D \rightarrow \mathcal C$ und ein Sieb $\mathcal R \subset \mathcal C$ erkl"aren wir das {\bf zur"uckgeholte Sieb} $f^{-1}\mathcal R \subset \mathcal D$ als die Menge von Objekten $f^{-1}\mathcal R \pdef\{W \in\mathcal D \mid f(W) \in \mathcal R\}$. Offensichtlich ist $f^{-1}\mathcal R$ ein Sieb in $\mathcal D$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine offene Teilmenge $D \co X$ und ein Sieb $\mathcal R$ in $\op{Off} (X)$ kann das mit der Inklusion $i : D \hookrightarrow X$ zur"uckgeholte Sieb beschrieben werden als $i^{-1} \mathcal R = \{U \in \mathcal R \mid U \subset D\}$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere, da"s wir f"ur jede Kategorie $\mathcal C$ und jedes Objekt $U\in \mathcal C$ die Kategorie $$\mathcal C_U$$ aller Objekte von $\mathcal C$ "uber $U$ erkl"art hatten. Die Objekte von $\mathcal C_U$ sind alle Paare $(V,f)$ mit $V$ einem Objekt von $\mathcal C$ und $f:V\ra U$ einem Morphismus zu unserem Objekt $U$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Topologie auf einer Kategorie $\mathcal C$}\index{Topologie!auf Kategorie} ist eine Vorschrift $J$, die jedem Objekt $U \in\mathcal C$ ein System $J (U)$ von Sieben in $\mathcal C_{U}$ zuordnet, dessen Elemente wir {\bf die $U$ "uberdeckenden Siebe} unserer Topologie nennen und von denen wir fordern:\label{Situs} \begin{enumerate} \item Ganz $\mathcal C_U$ ist stets ein $U$ "uberdeckendes Sieb, in Formeln haben wir also $$\mathcal C_U \in J (U)\quad\forall U\in\mathcal C$$ \item Gegeben ein ein Morphismus $f : V \rightarrow U$ in $\mathcal C$ und $\mathcal R \in J (U)$ ein $U$ "uberdeckendes Sieb ist sein R"uckzug $(f\circ)^{-1} (\mathcal R)$ in Bezug auf den Funktor $(f\circ) : \mathcal C_V \rightarrow \mathcal C_U$ ein $V$ "uberdeckendes Sieb, in Formeln $$\mathcal R \in J (U) \RA (f\circ)^{-1} (\mathcal R)\in J(V)\quad\forall f\in \mathcal C(V,U)$$ \item Seien $U \in \mathcal C$ ein Objekt und $\cal R \in J (U)$ ein $U$ "uberdeckendes Sieb. Ist $\mathcal S \subset \mathcal C_U$ ein weiteres Sieb und ist f"ur alle $f: V \rightarrow U$ aus $\mathcal R$ der R"uckzug $(f \circ)^{-1} (\mathcal S) \subset \mathcal C_V$ "uberdeckend, so ist auch $\mathcal S$ selbst bereits "uberdeckend, in Formeln $$\big(\cal R \in J (U)\text{ und }(f \circ)^{-1} (\mathcal S)\in J(V)\;\forall f\in J(U)\big)\quad\RA\quad \cal S \in J (U)$$ \end{enumerate} Eine mit einer Topologie versehene Kategorie $\mathcal T=(\mathcal T,J)$ hei"st ein {\bf Situs}.\index{Situs} \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Situs eines topologischen Raums}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ erhalten wir eine Topologie auf $\op{Off}(X)$, indem wir f"ur $U\co X$ das System der $U$ "uberdeckenden Siebe $J(U)$ erkl"aren als das System aller derjenigen Siebe in $\op{Off}(X)_U$, die eine "Uberdeckung von $U$ bilden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{\'Etaler Situs eines topologischen Raums}] Gegeben ein topologischer Raum $X$ erhalten wir eine Topologie auf der Kategorie $\op{\acute{e}tTop}_{X}$ aller \'etalen R"aume "uber $X$, indem wir f"ur $U\ra X$ \'etale das System der $U$ "uberdeckenden Siebe $J(U)$ erkl"aren als das System aller derjenigen Siebe in $(\op{\acute{e}tTop}_{X})_U$, bei denen die Bilder eine "Uberdeckung von $U$ bilden. Man beachte, da"s das Vergessen des Morphismus nach $X$ aufgrund von Lemma \eref{VE}{TF} einen Isomorphismus von Kategorien $(\op{\acute{e}tTop}_{X})_U\sira \op{\acute{e}tTop}_{U}$ liefert. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Situs einer Gruppe}] Gegeben eine Gruppe $G$ bilden\label{SitG} die transitiven $G$-Mengen einen Situs $G\op{-Enst}$ mit denjenigen Sieben als "uberdeckenden Sieben, die nicht leer sind. "Ahnlich bilden auch die transitiven endlichen $G$-Mengen einen Situs $G\op{-Ensft}$. Ist allgemeiner $G$ eine topologische Gruppe, so bilden in derselben Weise auch die stetigen diskreten endlichen transitiven $G$-Mengen einen Situs $G\op{-Topdft}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Wir betrachten einen K"orper $K$ und die Kategorie aller endlichen separablen K"orpererweiterungen von $K$ oder vielmehr deren opponierte Kategorie $\mathcal T$. Wir legen fest, da"s gegeben $U\in\mathcal T$ jedes nichtleere Sieb von Morphismen nach $U$ "uberdeckend sein soll. So erhalten wir einen Situs,\label{esE} den {\bf Situs der endlichen separablen Erweiterungen von $K$}. Ist $\Gamma=\op{Gal}(\bar{K}/K)$ die Galoisgruppe mit ihrer Krull-Topologie, so liefert nach dem Hauptsatz der Galoistheorie der Funktor $\op{Kring}^K(\;,\bar{K})$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\cal{T} \sirra \Gamma\op{-Topdft}$$ unserer Kategorie $\mathcal T$ mit der Kategorie der endlichen diskreten stetigen transitiven $\Gamma$-Mengen. Unter dieser "Aquivalenz entsprechen die "Uberdeckungen hier unseren "Uberdeckungen aus \ref{SitG}, so da"s sie sogar einen \glqq Isomorphismus von Siten\grqq\ liefert im in \ref{MoSit} genauer erkl"arten Sinne. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\nichtfinal{Ist es n"otig, hier endliche Produkte zu erg"anzen? Ich denke NEIN! Ist also besser in \ref{esE}! kommt zum Schrott!} Wir betrachten einen K"orper $K$ und in der zur Kategorie $\op{Kring}^{K}$ aller kommutativen Ringe unter $K$ opponierten Kategorie $\op{Sch}^{\op{aff}}_K$ aller \glqq affinen Schemata "uber $K$\grqq\ die\label{SitK} volle Unterkategorie aller endlichen Produkte von endlichen separablen K"orpererweiterungen von $K$. W"ahlen wir alle fraglichen K"orpererweiterungen in einem festen algebraischen Abschlu"s $\bar{K}$ von $K$, so m"ussen wir noch nicht einmal ein Universum w"ahlen und erhalten eine Kategorie $\cal{T}$. %, die nach \ref{PSKe} endliche Produkte hat. Legen wir fest, da"s gegeben $U\in\mathcal T$ ein Sieb $\Phi\subset \mathcal T_U\subset \op{Sch}^{\op{aff}}_U$ aus gewissen $\varphi: V_\varphi\ra U$ "uberdeckend sein soll genau dann, wenn der zugeh"orige Kringhomomorphismus $U \ra \prod_{\varphi\in\Phi} V_\varphi$ injektiv ist, so erhalten wir einen Situs. Wir nennen ihn den {\bf Situs der endlichen separablen Erweiterungen von $K$}. Besonders anschaulich scheint mir dieser Situs im Fall $K = \Bbb{C} (\!(t)\!)$. Ist $\Gamma=\op{Gal}(\bar{K}/K)$ die Galoisgruppe mit ihrer Krull-Topologie, so liefert nach dem Hauptsatz der Galoistheorie der Funktor $\op{Kring}^K(\;,\bar{K})$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\cal{T} \sirra \Gamma\op{-Topdf}$$ unserer Kategorie $\mathcal T$ mit der Kategorie der endlichen diskreten stetigen $\Gamma$-Mengen. Unter dieser "Aquivalenz entsprechen die "Uberdeckungen hier unseren "Uberdeckungen aus \ref{SitG}, so da"s sie sogar einen \glqq Isomorphismus von Siten\grqq\ liefert im in \ref{MoSit} genauer erkl"arten Sinne. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Seien $\mathcal C$ ein Situs und $U\in\mathcal C$ ein Objekt. So ist jedes Sieb in $\mathcal C_U$, das ein $U$ "uberdeckendes Sieb umfa"st, bereits selbst "uberdeckend. \end{Ubung} \subsection{Garben auf einem Situs} \begin{Definition} Seien $\cal{C}$ und $\cal{T}$ Kategorien. Eine {\bf $\cal{C}$-wertige Pr"agarbe}\index{Pr"agarbe!auf Kategorie!mit Werten $\cal{C}$} auf $\cal{T}$ ist ein Funktor $\mathcal F: \cal{T}^{\op{opp}} \ra \cal{C}$. Ein {\bf Morphismus von Pr"agarben}\index{Morphismus!von Pr"agarben} ist eine Transformationen von Funktoren. Eine Pr"agarbe mit Werten in der Kategorie der abelschen Gruppen hei"st eine {\bf abelsche Pr"agarbe}.\index{abelsch!Pr"agarbe} Unter einer nicht weiter spezifizierten {\bf Pr"agarbe}\index{Pr"agarbe} verstehen wir a priori eine Pr"agarbe mit Werten in der Kategorie der Mengen. \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Kategorie der mengenwertigen Pr"agarben auf einer Kategorie $\mathcal T$ hatten wir bereits in \eref{DFTo}{LA2} betrachtet und $\mathcal T^\wedge$ notiert. Gegeben eine Kategorie $\cal{T}$ liefert jedes Objekt $T\in\cal{T}$ eine mengenwertige Pr"agarbe $\hat T$ auf $\cal{T}$, n"amlich den Funktor $\hat{T}:U\mapsto \cal{T}(U,T)$. Wie in \eref{DFTo}{LA2} besprochen ist $T\mapsto \hat{T}$ stets ein volltreuer Funktor $\mathcal T\vra \mathcal T^\wedge$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $\cal{T}$ ein Situs. Eine {\bf $\cal{C}$-wertige Garbe}\index{Garbe!auf Situs} auf $\mathcal T$ ist eine Pr"agarbe $\mathcal F$ auf der Kategorie $\mathcal T$ derart, da"s f"ur jedes $U\in\mathcal T$ und jedes "uberdeckende Sieb $\mathcal R\in J(U)$ der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $$\mathcal F(U)\sira(\op{lim}\mathcal F|_{\mathcal R})$$ zum Limes ist. Wir vereinbaren, da"s Morphismen von Garben schlicht Morphismen von Pr"agarben sein sollen, und erhalten so die Kategorie $\cal{C}_{/\cal{T}}$ der {\bf $\cal{C}$-wertigen Garben auf dem Situs}\index{Garbe!auf Situs} $\cal{T}$. Eine Garbe mit Werten in der Kategorie der abelschen Gruppen nennen wir eine \defnoind{abelsche Garbe}.\index{abelsch!Garbe auf Situs} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Seien $\cal{C}$ eine Kategorie und $\cal{T}$ ein Situs und $U\in \mathcal T$ ein Objekt. Hat eine Pr"agarbe die Garbeneigenschaft in Bezug auf ein Sieb $\mathcal R\in J(U)$, so offensichtlich auch in Bezug auf jedes gr"o"sere Sieb\label{grSS} $\mathcal S\in J(U)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Garben auf transitiven $G$-Mengen}] Gegeben eine Gruppe $G$ ist eine Pr"agarbe auf dem Situs der transitiven $G$-Mengen $G\op{-Enst}$ aus \ref{SitG} ein Funktor $\mathcal F:G\op{-Enst}^{\op{opp}}\ra \op{Ens}$. F"ur $G$ selbst als $G$-Menge haben wir $G^{\op{opp}}\sira\op{Ens}_G(G)$ vermittels $h^\circ\mapsto (\cdot h)$ und damit erhalten wir eine $G$-Operation auf $\mathcal F(G)$ durch $(h\cdot)\pdef \mathcal F(\cdot h)$. Ist unsere Pr"agarbe zus"atzlich eine Garbe, so mu"s f"ur jede transitive $G$-Menge $X$ gelten $\mathcal F(X)\sira \op{lim}_{x\in X}\mathcal F(G)$ und das bedeutet konkret, da"s $(\mathcal F(\cdot x)): \mathcal F(X)\ra \prod_{x\in X}\mathcal F(G)$ eine Bijektion auf die Menge aller Tupel $(f_x)_{x\in X}$ induziert mit $gf_x=f_{gx}$ f"ur alle $g\in G$, also eine Bijektion $\mathcal F(X)\sira \op{Ens}_G(X,\mathcal F(G))$. Aus \ref{grSS} folgt, da"s die Pr"agarben mit der Garbeneigenschaft f"ur die "Uberdeckung jeder transitiven $G$-Menge durch $G$ auch die Garbeneigenschaft f"ur alle anderen "Uberdeckungen haben, also in der Tat Garben sind, und da"s wir durch $\mathcal F\mapsto \mathcal F(G)$ eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Ens}_{/G\op{-Enst}}\sirra G\op{-Ens}$$ erhalten zwischen der Kategorie der Mengengarben auf der Kategorie der transitiven $G$-Mengen und der Kategorie aller $G$-Mengen. F"ur die Schnitte von $\mathcal F$ "uber der einpunktigen $G$-Menge erhalten wir speziell Bijektionen $$\mathcal F(*)\sira \op{Ens}_G(*,\mathcal F(G))\sira \mathcal F(G)^G$$ mit dem Auswerten als zweiter Bijektion. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Garben auf endlichen transitiven $G$-Mengen}] Gegeben eine Gruppe $G$ erhalten wir "ahnlich eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Ens}_{/G\op{-Ensft}}\sirra \{ X\in G\op{-Ens}\mid |Gx|<\infty\;\forall x\in X\}$$ durch die Vorschrift $\mathcal F\mapsto \op{colf}\mathcal F(G/N)$ mit dem Kolimes "uber das System aller Normalteiler von endlichem Index. Quasiinvers zu unserer "Aquivalenz ist der Funktor $X\mapsto \op{colf}_N\op{Ens}_G(X,\mathcal F(G/N))$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Garben auf endlichen diskreten transitiven $G$-Mengen}] Gegeben eine topologische Gruppe $G$ erhalten wir "ahnlich eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Ens}_{/G\op{-Ensfdt}}\sirra \{ X\in G\op{-Ens}\mid |Gx|<\infty\;\text{ und }G_x\As G \;\forall x\in X\}$$ durch die Vorschrift $\mathcal F\mapsto \op{colf}\mathcal F(G/N)$ mit dem Kolimes "uber das System aller abgeschlossenen Normalteiler von endlichem Index. Quasiinvers zu unserer "Aquivalenz ist wieder der Funktor $X\mapsto \op{colf}_N\op{Ens}_G(X,\mathcal F(G/N))$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Seien $\mathcal T$ ein Situs und $U\in \mathcal T$ ein Objekt und $\{U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ erzeuge ein Sieb $\mathcal R$ aus $J(U)$. Existieren alle Faserprodukte $U_i\times_UU_j$, so hat eine Pr"agarbe $\mathcal F$ auf $\mathcal T$ die Garbeneigenschaft in Bezug auf $\mathcal R$ genau dann, wenn im Diagramm $$\mathcal F(U) \ra \prod \mathcal F (U_{i})\rightrightarrows \prod \mathcal F (U_{i}\times_{U} U_{j})$$ der linke Pfeil der Egalisator des rechten Doppelpfeils ist. Das folgt aus der Definition des Limes. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kondensierte Mengen}] Wir betrachten die Kategorie $\op{Topkh}$ der kompakten Hausdorffr"aume und versehen sie mit der Topologie, deren "uberdeckende Siebe von $K$ genau die Siebe sind, bei denen die Bilder einer endlichen Teilmenge der Objekte unseres Siebes bereits $K$ als Menge "uberdecken. In diesem Fall kann man die Garbeneigenschaft umformulieren zu den beiden Bedingungen, da"s $\mathcal F:\op{Topkh}^{\op{opp}}\ra \op{Ens}$ mit endlichen Produkten vertauscht und da"s f"ur jede surjektive stetige Abbildung kompakter Hausdorffr"aume $K\sra L$ im Diagramm $$\mathcal F(L) \ra \mathcal F (K)\rightrightarrows \mathcal F (K\times_{L} K)$$ der linke Pfeil der Egalisator des rechten Doppelpfeils ist. Das folgt aus der Definition des Limes. Die Kategorie der Garben auf unserem Situs hei"st die Kategorie der {\bf kondensierten Mengen} $$\op{Kond}\pdef \op{Ens}_{/{\op{Topkh}}}$$ Das ist allerdings etwas gelogen, man mu"s noch Einschr"ankungen machen, was die mengentheoretische Gr"o"se angeht, so da"s insbesondere $\op{Kond}$ doch kein Topos ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $Y\in \op{Top}$ ist $\hat Y: K\mapsto \op{Topkh}(K,Y)$ eine kondensierte Menge. Das folgt daraus, da"s jede stetige Surjektion von kompakten Hausdorffr"aumen final ist. Wir erhalten so nach dem Yonedalemma einen volltreuen Funktor $$\op{Topkh}\vra \op{Kond}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\nichtfinal{Alt, unn"utz!} Gegeben eine Gruppe $G$ ist f"ur jede $G$-Menge $T$ die Pr"agarbe $\hat{T}$ auf dem Situs $G\op{-Ens}$ sogar eine Garbe. Das folgt direkt aus den Definitionen. Ebenso ist f"ur jede Darstellung $T\in G\op{-Ab}$ die Pr"agarbe $\hat{T}$ auf dem Situs $G\op{-Ens}$ in nat"urlicher Weise eine abelsche Garbe. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\nichtfinal{Alt, unsortiert!} Im Beispiel \ref{SitK} sei $\bar{K}$ der gew"ahlte algebraische Abschlu"s und $\Gamma=\op{Gal}(\bar{K}/K)$ die Galoisgruppe von $K$ mit ihrer Krull-Topologie. Wir erhalten eine "Aquivalenz von Kategorien $$\left\{ \begin{array}{c} \text{Abelsche Gruppen mit}\\ \text{stetiger $\Gamma$-Operation} \end{array}\right\}\sira \left\{ \begin{array}{c} \text{Abelsche Garben auf dem}\\ \text{Situs der endlichen separablen}\\ \text{Erweiterungen des K"orpers $K$} \end{array}\right\}$$ indem wir zu $M\in \Gamma\op{-Ab}$ die Zuordnung $\cal{M}$ betrachten, die jeder endlichen separablen Erweiterung $L\subset \bar{K}$ von $K$ die Gruppe $$\cal{M}(L)=M^{\op{Gal}(\bar{K}/L)}$$ der Invarianten von $\op{Gal}(\bar{K}/L)$ in $M$ zuordnet. Endlichen Produkten solcher Erweiterungen ordnen wir dann schlicht die Produkte der jeweiligen Invariantengruppen zu. Jeder Morphismus zwischen Erweiterungen $L\ra L'$ ist die Einschr"ankung auf $L$ eines Elements $\gamma\in \Gamma$, und solch ein Element liefert einen wohlbestimmten Gruppenhomomorphismus $\cal{M}(L)\ra \cal{M}(L')$. Auf diese Weise erhalten wir offensichtlich eine Pr"agarbe. Es braucht etwas mehr Arbeit, sie als Garbe zu entlarven und nachzuweisen, da"s wir damit die behauptete "Aquivalenz erhalten. \end{Beispiel} \begin{Theorem}[\textbf{Es gibt genug injektive abelsche Garben}] Die Kategorie der abelschen Garben auf einem Situs $\cal{T}$ ist eine abelsche Kategorie mit gen"ugend Injektiven und f"ur alle $U \in \cal{T}$ ist der Funktor $\mathcal F\mapsto \mathcal F(U)$ ein linksexakter Funktor $ \Gamma_U=\Gamma(U;\;) : \op{Ab}_{/\cal{T}} \ra \op{Ab}$. \end{Theorem} \begin{proof} M"uhsam ist hier insbesondere der Nachweis der Existenz von Kokernen. Wieder kann er als Garbifizierung des Pr"agarbenkokerns konstruiert werden, die in \ref{GGTT} beschrieben wird. Was die Existenz von Injektiven angeht, habe ich das nie genau angeguckt. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Situs $\cal{T}$, ein Objekt $U \in \cal{T}$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $\cal{T}$ sind die {\bf Kohomologiegruppen von $U$ mit Koeffizienten in $\mathcal F$}\index{Kohomologiegruppen!von abelscher Garbe auf Situs} definiert als die abelschen Gruppen $$\op{H}^{q}(U;\mathcal F)\pdef (\op{R}^{q} \Gamma_{U}) (\mathcal F) $$ \end{Definition} \begin{Definition} Sei $f: \cal{T} \ra \cal{T}^{\prime}$ ein Funktor. Gegeben eine Pr"agarbe $\mathcal F$ auf $\cal{T}^{\prime}$ definieren wir ihre \defnoind{Bildpr"agarbe}\index{Bildpr"agarbe!auf Situs} $f_{\ast} \mathcal F$, eine Pr"agarbe auf $\cal{T}$, durch die Vorschrift $f_{\ast} \mathcal F = \mathcal F \circ f$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Eine stetige Abbildung $f:X^{\prime} \ra X$ liefert auf den Kategorien der offenen Teilmengen das Bilden des Urbilds einen Funktor $f: \op{Off} (X) \ra \op{Off} (X^{\prime}) $ in die Gegenrichtung. In diesem Sinne verallgemeinert unsere Konstruktion also in der Tat das direkte Bild von Garben auf topologischen R"aumen. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{MoSit} Ein {\bf Morphismus $f: \cal{T} \ra \cal{T}^{\prime}$ von Siten} ist\index{Morphismus!von Siten} ein Funktor, der (korrekte Definition bei Giraud, Analysis Situs, Bourbaki). \end{Definition} \begin{Definition}\label{MoSit} \nichtfinal{Noch zu Sieben umarbeiten!} Ein {\bf Morphismus $f: \cal{T} \ra \cal{T}^{\prime}$ von Siten} ist\index{Morphismus!von Siten} ein Funktor, der "Uberdeckungen zu "Uberdeckungen macht und der Isomorphismen von Faserprodukten $f(W \times_{U} V) \overset{\sim}{\ra} f(W) \times_{f(U)} f(V)$ induziert, wann immer sich ein Morphismus $W\ra U$ zu einer "Uberdeckung von $U$ erg"anzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiel} F"ur jede stetige Abbildung $f:X^{\prime} \ra X$ ist der Urbildfunktor $f: \op{Off} (X) \ra \op{Off} (X^{\prime}) $ in die Gegenrichtung ein Morphismus von Siten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Diese Pfeilumkehr finde ich furchtbar verwirrend. Ich schlage vor, eine \glqq stetige Abbildung von Siten\grqq\ zu erkl"aren als einen Morphismus von Siten in die Gegenrichtung. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein metrischer Raum $X$ und $\varepsilon >0$ ist der Einbettungsfunktor $\op{Off}_\varepsilon(X)\hra \op{Off}(X)$ unseres Situs $\op{Off}_\varepsilon(X)$ aus \ref{offe} ein Morphismus von Siten. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Die Bildpr"agarbe einer Mengengarbe unter einem Morphismus von Siten ist wieder eine Mengengarbe, wir nennen sie auch die \emph{\bf Bildgarbe}. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $\{U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ eine "Uberdeckung in $\cal{T}$. Es gilt zu zeigen, da"s im Diagramm $$(f_{\ast}\mathcal F)(U) \ra \prod (f_{\ast} \mathcal F) (U_{i})\rightrightarrows \prod (f_{\ast}\mathcal F) (U_{i}\times_{U} U_{j})$$ der linke Pfeil der Egalisator des rechten Doppelpfeils ist. Das folgt jedoch sofort aus der Definition eines Morphismus von Siten und der Definition der Bildpr"agarbe $f_{\ast} \mathcal F$. \end{proof} \begin{Beispiel} Die Kategorie aller proendlichen topologischen R"aume bildet einen Situs, wenn wir unter "uberdeckenden Sieben diejenigen Siebe verstehen, bei denen bereits eine Vereinigung von Bildern endlich vieler Abbildungen aus unserem Sieb den zu "uberdeckenden Raum als Menge "uberdeckt. Mengengarben \nichtfinal{(Werden erst sp"ater definiert!)} auf diesem Situs hei"sen {\bf kondensierte Mengen}.\index{kondensiert!Menge} \end{Beispiel} \subsection{Siten und \'{e}tale Kohomologie, ALT} \begin{Definition}\label{Situs} Eine \defind{Pr"atopologie} auf einer Kategorie $\cal{T}$ ist eine Vorschrift, die uns f"ur jedes Objekt $U \in \cal{T}$ sagt, wann eine Menge $\{\varphi_i:U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ von Morphismen nach $U$ eine {\bf "Uberdeckung von} $U$ ist,\index{"Uberdeckung!bei Pr"atopologie} und zwar derart, da"s f"ur unsere Vorschrift gilt: \begin{enumerate} \item Ist $\varphi : U^{\prime} \ra U$ ein Isomorphismus in $\cal{T}$, so ist die einelementige Menge $\{\varphi: U^{\prime} \ra U\}$ eine "Uberdeckung von $U$. \item Ist $\{U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ eine "Uberdeckung von $U$ und $\{V_{ij} \ra U_{i}\mid j \in J (i)\}$ jeweils eine "Uberdeckung von $U_{i}$, so bilden auch die Kompositionen $\{V_{ij} \ra U\mid j \in J (i), i \in I\}$ eine "Uberdeckung von $U$. \item Ist $\{U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ eine "Uberdeckung von $U$ und $V \ra U$ ein Morphismus, so existieren alle Faserprodukte $V \times_{U} U_{i}$ und die Menge von Morphismen $\{V \times_{U} U_{i} \ra V \mid i \in I\}$ ist eine "Uberdeckung von $V$. Wegen der ersten beiden Punkte ist es hier unerheblich, da"s Faserprodukte nur bis auf Isomorphismus wohldefiniert sind. \end{enumerate} Eine mit einer Pr"atopologie versehene Kategorie $\cal{T}$ hei"st ein {\bf Situs}.\index{Situs} \end{Definition} \begin{Definition}[\textbf{Neuer Versuch}]\label{Situss} Eine \defind{Pr"atopologie} auf einer Kategorie $\cal{T}$ ist eine Vorschrift, die uns f"ur jedes Objekt $U \in \cal{T}$ sagt, wann eine Teilmenge von $\mathcal T_U$, also eine Menge $\{\varphi_i:U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ von Morphismen nach $U$, eine {\bf "Uberdeckung von} $U$ ist,\index{"Uberdeckung!bei Pr"atopologie} und zwar derart, da"s f"ur unsere Vorschrift gilt: \begin{enumerate} \item Die Vereinigung "uber ein nichtleeres System von "Uberdeckungen von einem beliebigen Objekt $U$ ist auch selbst wieder eine "Uberdeckung von $U$; \item Die Identit"at auf einem beliebigen Objekt $U$, genauer die einelementige Menge $\{\op{id}_U\}\subset \mathcal T_U$ ist eine "Uberdeckung von $U$; \item Repr"asentieren zwei Teilmengen von $\mathcal T_U$ dieselben Isomorphieklassen von $\mathcal T_U$ und ist die Eine eine "Uberdeckung, so auch die Andere; \item Ist $\{U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ eine "Uberdeckung von $U$ und $\{V_{ij} \ra U_{i}\mid j \in J (i)\}$ jeweils eine "Uberdeckung von $U_{i}$, so bilden auch die Kompositionen $\{V_{ij} \ra U\mid j \in J (i), i \in I\}$ eine "Uberdeckung von $U$. \item Ist $\{U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ eine "Uberdeckung von $U$ und $V \ra U$ ein Morphismus, so existieren alle Faserprodukte $V \times_{U} U_{i}$ und die Menge von Morphismen $\{V \times_{U} U_{i} \ra V \mid i \in I\}$ ist eine "Uberdeckung von $V$. \end{enumerate} Eine mit einer Pr"atopologie versehene Kategorie $\cal{T}$ hei"st ein {\bf Situs}.\index{Situs} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Diese Terminologie folgt \cite[II.1.3]{SGA4}. In \cite{MAG} wird dasselbe Konzept als \defind{Grothendieck-Topologie} bezeichnet. Es schiene mir nat"urlich und w"are unsch"adlich, die Bedingung hinzuzunehmen, da"s wir f"ur jede "Ubderdeckung eines Objekts $U$ eine weitere "Uberdeckung erhalten, wenn wir aus jeder darin auftretenden Isomorphieklasse von Objekten "uber $U$ einen Repr"asentanten ausw"ahlen. Jede zus"atzliche Bedingung bedeutet aber zus"atzliche Arbeit, lassen wir es also lieber. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel}\label{SitO} Die offenen Teilmengen eines topologischen Raums $X$ bilden einen Situs \index{Off@$\op{Off}(X)$ offene Teilmengen von $X$}$\op{Off}(X)$, mit den Inklusionsabbildungen als Morphismen und einem hoffentlich offensichtlichen Begriff von "Uberdeckungen. Die Faserprodukte in dieser Kategorie sind schlicht Schnitte, in Formeln $U\times_W V=U\cap V$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{offe} Gegeben $\varepsilon >0$ bilden diejenigen offenen Teilmengen eines metrischen Raums $X$, in denen je zwei Punkte h"ochstens den Abstand $\varepsilon$ haben, auch einen Situs \index{Off@$\op{Off}_\varepsilon(X)$ kleine offene Teilmengen von $X$}$\op{Off}_\varepsilon(X)$, mit den Inklusionsabbildungen als Morphismen und einem hoffentlich offensichtlichen Begriff von "Uberdeckungen. Die Faserprodukte in dieser Kategorie sind wieder schlicht Schnitte. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Die beiden vorhergehenden Beispiele zeigen, in welcher Weise der Begriff eines Situs unbefriedigend ist: Er verallgemeinert den Begriff eines \glqq topologischen Raums mit einer ausgezeichneten Basis der Topologie, die mit je zwei Mengen auch ihren Schnitt enth"alt\grqq. F"ur unsere Zwecke, die Verallgemeinerung der Garbenkohomologie, w"are es nat"urlicher, von einer Verallgemeinerung des Begriffs eines topologischen Raums ausgehen. Diese Verallgemeinerung gibt es in der Tat, sie h"ort auf den Namen {\bf Topos}.\index{Topos}\nichtfinal{In XXALLES \ref{Topos}.} Allerdings wird hierbei die Nat"urlichkeit mit so viel Arbeit und Abstraktion erkauft, da"s ich eine Diskussion dieses Konzepts vorerst vermeiden will. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel} Die \'etalen Morphismen zu einem topologischen Raum $X$ innerhalb eines gegebenen Universums $\frak{U}$ bilden ebenfalls einen Situs, wenn wir sie als volle Unterkategorie der Kategorie ${\frak{U}}\!\op{Top}_X$ aller topologischen R"aume "uber $X$ in unserem Universum auffassen und eine Familie $ \{U_i\ra U\mid i\in I\}$ eine "Uberdeckung von $U$ nennen genau dann, wenn $U$ die Vereinigung ihrer Bilder ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Bei der Konstruktionen von affinen Gra"smann'schen und dergleichen scheint die sogenannte fppf-Topologie auf der opponierten Kategorie zur Kategorie der $k$-Kringe aus einem geeigneten fest gew"ahlten Universum n"utzlich zu sein. Das K"urzel fppf steht hier f"ur franz"osisch \glqq fid\`element plat pr\'esent\'e fini\grqq, auf deutsch treuflach und endlich pr"asentiert. Ganz allgemein hei"st ein Modul "uber einem Ring {\bf flach}\index{flach!Modul} genau dann, wenn das Tensorieren mit besagtem Modul "uber besagtem Ring ein exakter Funktor ist, und {\bf treuflach}\index{treuflach!Modul} genau dann, wenn dar"uberhinaus das Darantensorieren von besagtem Modul keinen von Null verschiedenen Modul zu Null macht. Ein Kringhomomorphismus $A\ra B$ hei"st flach beziehungsweise treuflach, wenn er $B$ zu einem flachen beziehungsweise treuflachen $A$-Modul macht. Ein Kringhomomorphismus hei"st {\bf endlich pr"asentiert}\index{endlich pr"asentiert!Kringerweiterung} genau dann, wenn man $B$ schreiben kann als Quotient eines Polynomrings in endlich vielen Variablen $B=A[X_1,\ldots X_n]$ nach einem endlich erzeugten Ideal (oder soll es "uber $A$ endlich erzeugt sein?? Knutson gucken!). Die "Uberdeckungen eines Krings in der fppf-Topologie schlie"slich sind alle Familien $\{A\ra B_i\}$ mit der Eigenschaft, da"s die zusammengefa"ste Abbildung $A\ra \prod B_i$ treuflach und endlich pr"asentiert ist. \end{Beispiel} \begin{Definition} Seien $\cal{C}$ und $\cal{T}$ Kategorien. Eine {\bf $\cal{C}$-wertige Pr"agarbe}\index{Pr"agarbe!auf Kategorie!mit Werten $\cal{C}$} auf $\cal{T}$ ist ein Funktor $\mathcal F: \cal{T}^{\op{opp}} \ra \cal{C}$. Ein {\bf Morphismus von Pr"agarben}\index{Morphismus!von Pr"agarben} ist eine Transformationen von Funktoren. Eine Pr"agarbe mit Werten in der Kategorie der abelschen Gruppen hei"st eine {\bf abelsche Pr"agarbe}.\index{abelsch!Pr"agarbe} \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Kategorie der mengenwertigen Pr"agarben auf einer Kategorie $\mathcal T$ hatten wir bereits in \eref{DFTo}{LA2} betrachtet und $\mathcal T^\wedge$ notiert. Gegeben eine Kategorie $\cal{T}$ liefert jedes Objekt $T\in\cal{T}$ eine mengenwertige Pr"agarbe $\underline{T}$ auf $\cal{T}$, n"amlich den Funktor $\underline{T}:U\mapsto \cal{T}(U,T)$. Wie in \eref{DFTo}{LA2} besprochen, ist $T\mapsto \underline{T}$ stets ein volltreuer Funktor von $\mathcal T$ in die Kategorie der mengenwertigen Pr"agarben auf $\mathcal T$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Sei $\cal{C}$ eine Kategorie. Eine {\bf $\cal{C}$-wertige Garbe}\index{Garbe!mit Werten in $\cal{C}$} auf einem Situs ist eine Pr"agarbe $\mathcal F$ derart, da"s f"ur jedes Objekt $A\in\cal{C}$ und jede "Uberdeckung $\{U_{i}\ra U\}$ im Diagramm von Mengen $$\cal{C}(A,\mathcal F(U)) \ra \prod_{i} \cal{C}(A,\mathcal F (U_{i}))\rightrightarrows \prod_{i,j} \cal{C}(A,\mathcal F(U_{i}\times_{U}U_{j}))$$ der linke Pfeil der Egalisator der beiden rechten Pfeile ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Besitzt die Kategorie $\cal{C}$ beliebige Produkte, so k"onnen wir eine $\cal{C}$-wertige Garbe auch charakterisieren als eine Pr"agarbe $\mathcal F$ mit der Eigenschaft, da"s f"ur jede "Uberdeckung $\{U_{i}\ra U\}$ in der Sequenz $$\mathcal F(U) \ra \prod_{i} \mathcal F (U_{i})\rightrightarrows \prod_{i,j} \mathcal F (U_{i}\times_{U}U_{j})$$ der linke Pfeil der Egalisator der beiden rechten Pfeile ist. Wir vereinbaren, da"s Morphismen von Garben schlicht Morphismen von Pr"agarben sein sollen, und erhalten so die Kategorie $\cal{C}_{/\cal{T}}$ der {\bf $\cal{C}$-wertigen Garben auf dem Situs}\index{Garbe!auf Situs} $\cal{T}$. Eine Garbe mit Werten in der Kategorie der abelschen Gruppen nennen wir eine \defnoind{abelsche Garbe}.\index{abelsch!Garbe auf Situs} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine Gruppe $G$ ist f"ur jede $G$-Menge $T$ die Pr"agarbe $\underline{T}$ auf dem Situs $G\op{-Ens}$ sogar eine Garbe. Das folgt direkt aus den Definitionen. Ebenso ist f"ur jede Darstellung $T\in G\op{-Ab}$ die Pr"agarbe $\underline{T}$ auf dem Situs $G\op{-Ens}$ in nat"urlicher Weise eine abelsche Garbe. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Im Beispiel \ref{SitK} sei $\bar{K}$ der gew"ahlte algebraische Abschlu"s und $\Gamma=\op{Gal}(\bar{K}/K)$ die Galoisgruppe von $K$ mit ihrer Krull-Topologie. Wir erhalten eine "Aquivalenz von Kategorien $$\left\{ \begin{array}{c} \text{Abelsche Gruppen mit}\\ \text{stetiger $\Gamma$-Operation} \end{array}\right\}\sira \left\{ \begin{array}{c} \text{Abelsche Garben auf dem}\\ \text{Situs der endlichen separablen}\\ \text{Erweiterungen des K"orpers $K$} \end{array}\right\}$$ indem wir zu $M\in \Gamma\op{-Ab}$ die Zuordnung $\cal{M}$ betrachten, die jeder endlichen separablen Erweiterung $L\subset \bar{K}$ von $K$ die Gruppe $$\cal{M}(L)=M^{\op{Gal}(\bar{K}/L)}$$ der Invarianten von $\op{Gal}(\bar{K}/L)$ in $M$ zuordnet. Endlichen Produkten solcher Erweiterungen ordnen wir dann schlicht die Produkte der jeweiligen Invariantengruppen zu. Jeder Morphismus zwischen Erweiterungen $L\ra L'$ ist die Einschr"ankung auf $L$ eines Elements $\gamma\in \Gamma$, und solch ein Element liefert einen wohlbestimmten Gruppenhomomorphismus $\cal{M}(L)\ra \cal{M}(L')$. Auf diese Weise erhalten wir offensichtlich eine Pr"agarbe. Es braucht etwas mehr Arbeit, sie als Garbe zu entlarven und nachzuweisen, da"s wir damit die behauptete "Aquivalenz erhalten. \end{Beispiel} \begin{Theorem}[\textbf{Es gibt genug injektive abelsche Garben}] Die Kategorie der abelschen Garben auf einem Situs $\cal{T}$ ist eine abelsche Kategorie mit gen"ugend Injektiven, und f"ur alle $U \in \cal{T}$ ist der Funktor $\mathcal F\mapsto \mathcal F(U)$ ein linksexakter Funktor $ \Gamma_U=\Gamma(U;\;) : \op{Ab}_{/\cal{T}} \ra \op{Ab}$. \end{Theorem} \begin{proof} M"uhsam ist hier insbesondere der Nachweis der Existenz von Kokernen. Wieder kann er als Garbifizierung des Pr"agarbenkokerns konstruiert werden, die in \ref{GGTT} beschrieben wird. Was die Existenz von Injektiven angeht, habe ich das nie genau angeguckt. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben ein Situs $\cal{T}$, ein Objekt $U \in \cal{T}$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $\cal{T}$ sind die {\bf Kohomologiegruppen von $U$ mit Koeffizienten in $\mathcal F$}\index{Kohomologiegruppen!von abelscher Garbe auf Situs} definiert als die abelschen Gruppen $$\op{H}^{q}(U;\mathcal F)\pdef (\op{R}^{q} \Gamma_{U}) (\mathcal F) $$ \end{Definition} \begin{Definition} Sei $f: \cal{T} \ra \cal{T}^{\prime}$ ein Funktor. Gegeben eine Pr"agarbe $\mathcal F$ auf $\cal{T}^{\prime}$ definieren wir ihre \defnoind{Bildpr"agarbe}\index{Bildpr"agarbe!auf Situs} $f_{\ast} \mathcal F$, eine Pr"agarbe auf $\cal{T}$, durch die Vorschrift $f_{\ast} \mathcal F = \mathcal F \circ f$. \end{Definition} \begin{Beispiel} Eine stetige Abbildung $f:X^{\prime} \ra X$ liefert auf den Kategorien der offenen Teilmengen das Bilden des Urbilds einen Funktor $f: \op{Off} (X) \ra \op{Off} (X^{\prime}) $ in die Gegenrichtung. In diesem Sinne verallgemeinert unsere Konstruktion also in der Tat das direkte Bild von Garben auf topologischen R"aumen. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{MoSit} Ein {\bf Morphismus $f: \cal{T} \ra \cal{T}^{\prime}$ von Siten} ist\index{Morphismus!von Siten} ein Funktor, der "Uberdeckungen zu "Uberdeckungen macht und der Isomorphismen von Faserprodukten $f(W \times_{U} V) \overset{\sim}{\ra} f(W) \times_{f(U)} f(V)$ induziert, wann immer sich ein Morphismus $W\ra U$ zu einer "Uberdeckung von $U$ erg"anzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiel} F"ur jede stetige Abbildung $f:X^{\prime} \ra X$ ist der Urbildfunktor $f: \op{Off} (X) \ra \op{Off} (X^{\prime}) $ in die Gegenrichtung ein Morphismus von Siten. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Diese Pfeilumkehr finde ich furchtbar verwirrend. Ich schlage vor, eine \glqq stetige Abbildung von Siten\grqq\ zu erkl"aren als einen Morphismus von Siten in die Gegenrichtung. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein metrischer Raum $X$ und $\varepsilon >0$ ist der Einbettungsfunktor $\op{Off}_\varepsilon(X)\hra \op{Off}(X)$ unseres Situs $\op{Off}_\varepsilon(X)$ aus \ref{offe} ein Morphismus von Siten. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Die Bildpr"agarbe einer Mengengarbe unter einem Morphismus von Siten ist wieder eine Mengengarbe, wir nennen sie auch die \emph{\bf Bildgarbe}. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $\{U_{i} \ra U \mid i \in I\}$ eine "Uberdeckung in $\cal{T}$. Es gilt zu zeigen, da"s im Diagramm $$(f_{\ast}\mathcal F)(U) \ra \prod (f_{\ast} \mathcal F) (U_{i})\rightrightarrows \prod (f_{\ast}\mathcal F) (U_{i}\times_{U} U_{j})$$ der linke Pfeil der Egalisator des rechten Doppelpfeils ist. Das folgt jedoch sofort aus der Definition eines Morphismus von Siten und der Definition der Bildpr"agarbe $f_{\ast} \mathcal F$. \end{proof} \subsection{Verr"uckter Versuch} Man erkl"are den \defind{homogenen Situs "uber $\mathbb C$} wie folgt: Objekte sind Paare $(G, X)$ bestehend aud einer komplexen algebraischen Gruppe $G$ und einem $G$-Torsor $X$, wobei wir die $G$-Wirkung von rechts annehmen. Morphismen $(G,X)\rightarrow (H,Y)$ sind Paare $(\varphi, \Psi)$ mit einem \defind{surjektiven} Gruppenhomomorphismus $\varphi : G \rightarrow H$ und einem Morphismus $\Psi : X \rightarrow Y$ so da"s gilt $\Psi (xg) = \Psi (x) \varphi (g)\quad \forall x \in x, g\in G$. "Uberdeckend sind alle nichtleeren endlichen Familien. Gefaserte Produkte sind unproblematisch. Eine "aquivalente Kategorie erh"alt man, wenn man als Objekt abelsche Gruppen nimmt und als Morphismen \begin{equation*} G \rightarrow H \end{equation*} Paare $(\varphi, h)$ mit $(\varphi : G \rightarrow H$ einem surjektiven Gruppenhomomorphismus und $h \in H$ einem Element. Damit ist dann das Paar \begin{equation*} (G, G) \overset{(\varphi, \Psi)}{\longrightarrow} (H, H) \end{equation*} gemeint mit $\Psi (g) = h \varphi (g)$. Die Verkn"upfung mit $(\varphi_1, h_1) : H \rightarrow H_1$ mu"s dann die Verkn"upfung \begin{displaymath} \begin{array}{ccccc} (G, G) & \rightarrow &(H,H) & \rightarrow &(H_1, H_1)\\ g & \mapsto & h \varphi (g) & \mapsto & h_1 \varphi_1 (h \varphi (g)) \end{array} \end{displaymath} entsprechen und damit dem Paar $(\varphi_1 \varphi, h_1 \varphi_1 (h)) = (\varphi_1 h_1) \circ (\varphi, h)$. Vielleicht k"onnten wir besser unsere Paare andersherum schreiben, so da"s unsere Formel die Gestalt \begin{equation} (h_1 \varphi_1 (h), \varphi_1 \varphi ) = (h_1, \varphi_1) \circ (h, \varphi) \end{equation} annimmt. In der Tat sieht das viel besser aus. Auf $G$ gilt $(g_1, \op{id})\circ (g, \op{id}) = (g_1, g, \op{id})$. Gegeben eine Pr"agarbe $\mathcal F$ auf unserem Situs wird $\mathcal F (G)$ eine $G$-Rechtsmenge vermittels der Operation \begin{equation} (g, \op{id})^\sharp : \mathcal F (G) \rightarrow \mathcal F (G) \end{equation} Ist weiter $\varphi : G \twoheadrightarrow H$ ein Gruppenhomomorphismus und $g \in \op{ker} \varphi$, so gilt $(1, \varphi) \circ ( g, \op{id}) = (1, \varphi)$ und folglich liefert $(1, \varphi)^\sharp$ eine Abbildung \begin{equation*} (1, \varphi)^\sharp : \mathcal F (H) \rightarrow \mathcal F (G)^{\op{ker}\varphi} \end{equation*} in die Invarianten unter der Rechtsoperation von $(\op{ker} \varphi)$. Wegen $(1, \varphi) \circ (g, \op{id}) = (\varphi (g), \op{id}) = (\varphi (g), \op{id})\circ (1, \varphi)$ ist obige Abbildung sogar $H$-"aquivariant f"ur die offensichtliche Rechtsoperation von $H$ auf $\mathcal F (G)^{\op{ker} \varphi}$. \subsection{Garbifizierung auf Grothendieck-Topologien} \begin{Satz} Gegeben ein Situs besitzt die Einbettung der Kategorie der Garben von Mengen in die Kategorie der Pr"agarben von Mengen auf unserem Situs einen Linksadjungierten, die\label{GGTT} \emph{\bf Garbifizierung}.\index{Garbifizierung!auf Grothendieck-Topologie} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis wird diesen ganzen Abschnitt in Anspruch nehmen. Wir werden schlie"slich besagten Linksadjungierten als $\mathcal F\mapsto \mathcal F^{++}$ erhalten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben eine Pr"agarbe $\mathcal F$ von Mengen auf einem Situs $\mathcal T$, in Formeln $\mathcal F \in \op{Cat}(\mathcal T^{\op{opp}},\op{Ens})$, und eine "Uberdeckung $ \mathcal U = \{U_i \rightarrow U\mid {i \in I}\} $ von $U \in \mathcal T$ erkl"aren wir $\check{\op{H}}^0 (\mathcal U;\mathcal F)$ in Verallgemeinerung des in \ref{H0PM} diskutierten Falls von Pr"agarben auf topologischen R"aumen als den Egalisator der beiden Abbildungen \begin{equation*} \prod_{i \in I} \mathcal F (U_i) \begin{array}{c} \rightarrow\\[-2ex] \rightarrow \end{array} \prod_{i,j \in I} \mathcal F (U_i \times_U U_j) \end{equation*} gegeben durch die Einschr"ankung auf den ersten beziehungsweise den zweiten Faktor von $U_i \times_U U_j$. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben zwei "Uberdeckungen $\mathcal U = \{U_i \rightarrow U\mid {i \in I}\}$ und $\mathcal V = \{V_j \rightarrow U\mid {j \in J}\}$ verstehen wir unter einem {\bf Morphismus von "Uberdeckungen}\index{Morphismus!von "Uberdeckungen} $\tau: \mathcal V \rightarrow \mathcal U$ ein Datum bestehend aus einer Abbildung $\tau : J \rightarrow I$ nebst einem System von Morphismen $\tau_j : V_j \rightarrow U_{\tau (j)}$ "uber $U$. Einen solchen Morphismus nennen wir auch eine {\bf Verfeinerung der "Uberdeckung $\mathcal U$}.\index{Verfeinerung!von "Uberdeckung} \end{Definition} \begin{Lemma}\label{UVaA} Je zwei Morphismen von "Uberdeckungen $\tau, \kappa :\mathcal V \rightarrow U$ induzieren dieselbe Abbildung $ \check{\op{H}}^0 (\mathcal U; \mathcal F) \rightarrow \check{\op{H}}^0 (\mathcal V; \mathcal F) $. \end{Lemma} \begin{proof} Nehmen wir etwa an, es w"are $\tau_j : V_j \rightarrow U_{\tau (j)}$ und $\kappa_j : V_j \rightarrow U_{\kappa (j)}$. Sicher k"onnen wir das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ & & U_{\tau (j)}\\ V_j \ar@/^/[urr]\ar@/_/[drr]\ar@{..>}[r] &U_{\tau (j)} \times_U U_{\kappa (j)}\ar[ur]\ar[dr]&\\ & & U_{\kappa (j)} } \end{displaymath} durch den gepunktelt eingezeichneten Pfeil f"ullen, und da in einem Tupel von Schnitten in $\check{\op{H}}^0 (\mathcal U; \mathcal F)$ ja nach Annahme die Eintr"age paarweise dieselben Einschr"ankungen nach $U_t \times_U U_k$ haben, folgt das Lemma. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben eine Pr"agarbe von Mengen $\mathcal F$ auf einem Situs $\mathcal T$ und $U \in \mathcal T$ setzen wir \begin{equation*} \check{\op{H}}^0 (U; \mathcal F) \pdef \op{colim} \check{\op{H}}^0 (\mathcal U; \mathcal F) \end{equation*} wo der Kolimes "uber die zur Kategorie aller "Uberdeckungen $\mathcal U$ von $U$ opponierte Kategorie zu verstehen ist. \end{Definition} \begin{Bemerkunge} Da die Morphismen dieses Systems nach \ref{UVaA} nicht von den gew"ahlten Morphismen von "Uberdeckungen abh"angen, k"onnen wir diesen Kolimes ebenso "uber die einfachere Kategorie bilden, bei der die Objekte immer noch dieselben "Uberdeckungen sind, je zwei Morphismen mit demselben Ausgangspunkt und Zielpunkt jedoch identifiziert werden. Das hat den Vorteil, da"s diese einfachere Kategorie im Sinne von \ref{FiDe} filtrierend ist und deshalb der Kolimes expliziter beschrieben werden kann. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Pr"agarbe $\mathcal F$ von Mengen auf einem Situs $\mathcal T$ betrachten wir die Pr"agarbe $\mathcal F^+ : U \mapsto \check{\op{H}}^0 (U;\mathcal F)$ zusammen mit dem offensichtlichen Morphismus $$\op{can}:\mathcal F\ra\mathcal F^+$$ \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{LPG} Gegeben eine Pr"agarbe $\mathcal F$ von Mengen auf einem Situs $\mathcal T$ ist die Pr"agarbe $\mathcal F^+ $ \emph{\bf lokal}\index{lokal!Pr"agarbe auf Situs} in dem Sinne, da"s f"ur jede "Uberdeckung $\{U_i \rightarrow U\mid {i \in I}\}$ die offensichtliche Abbildung eine Injektion $\mathcal{F}^+ (U) \hookrightarrow \prod_{i \in I} \mathcal F^+ (U_i)$ induziert. \end{Lemma} \begin{proof} Seien $t^+, s^+ \in \mathcal F^+ (U)$ gegeben mit demselben Bild in $\check{\op{H}}^0 (U;\mathcal F)$. Es gibt also eine "Uberdeckung $\{V_j \rightarrow U\mid {j \in J}\}$ mit $t^+|V_j= s^+ |V_j$ f"ur alle $j\in J$. Wir notieren diese Restriktionen $t^+_j= s^+ _j$. Wir d"urfen sicher annehmen, da"s $t^+$ und $s^+$ repr"asentiert werden durch Familien $t_i, s_i \in \mathcal F (U_i)$ f"ur dieselbe "Uberdeckung $\{U_i \rightarrow U\mid {i \in I}\}$ von $U$. Dann werden $t^+_j, s^+_j$ repr"asentiert durch die Restriktionen $t_{ij}, s_{ij} \in \mathcal F (U_i \times_U V_j)$ der $t_i, s_i$ in der "Uberdeckung $\{U_i \times_U V_j \rightarrow V_j\mid i \in I\}$ von $V_j$. Die Gleichheit $t^+_j = s_j^+$ bedeutet, da"s es f"ur jedes $j$ eine "Uberdeckung $\{W_{\nu j} \rightarrow V_j\mid \nu \in N(j)\}$ von $V_j$ gibt, die unsere "Uberdeckung $\{U_i \times_U V_j \rightarrow V_j\mid i \in I\}$ verfeinert, so da"s gilt $t_{ij} | W_{\nu j} = s_{ij}|W_{\nu j}$ falls es einen Morphismus $W_{\nu j} \rightarrow U_i \times_U V_j$ "uber $V_j$ gibt. Nun bilden die $\{U_i \times_U W_{\nu j} \rightarrow U_i \times_U V_j\mid \nu\in N(j)\}$ als R"uckzug einer "Uberdeckung von $V_j$ und der Projektion $U_i \times_U V_j\ra V_j$ eine "Uberdeckung von $U_i \times_U V_j$ und diese bilden f"ur variables $j$ hinwiederum eine "Uberdeckung $\{U_i \times_U V_j \rightarrow U_i\mid j\in J\}$ von $U_i$ und man erkennt, da"s $s_i$ und $t_i$ beim R"uckzug auf die $U_i \times_U W_{\nu j}$ zusammenfallen. Folglich gilt $s^+ = t^+$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{LPPG} Gegeben eine \emph{lokale} Pr"agarbe $\mathcal G$ von Mengen auf einem Situs $\mathcal T$ ist die Pr"agarbe $\mathcal G^+$ aus \ref{LPG} eine Garbe. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $\{U_i \rightarrow U\mid i \in I\}$ eine "Uberdeckung und seien $s_i \in \mathcal G^+ (U_i)$ gegeben mit $s_i | U_i \times_U U_j = s_j | U_i \times_U U_j \quad \forall i,j$. Unsere $s_i$ werden repr"asentiert durch gewisse $s_{\nu i} \in \mathcal G (U_{\nu i})$ f"ur $\{U_{\nu i} \rightarrow U_i\mid \nu \in N(i)\}$ "Uberdeckungen. Nun wird $s_i | U_i \times_U U_j$ repr"asentiert durch die Familie der $s_{\nu i}| U_{\nu i} \times_U U_j$ oder auch der $s_{\nu i} | U_{\nu i} \times_U U_{\mu j}$ und $s_j | U_i \times_U U_j$ durch die Familie der $s_{\mu j} | U_i \times_U U_{\mu j}$ oder auch der $s_{\mu j} | U_{\nu i} \times_U U_{\mu j}$. Aus der Lokalit"at von $\mathcal G$ folgt $s_{\nu i}| U_{\nu i} \times_U U_{\mu i} = s_{\mu j} | U_{\nu i} \times_U U_{\mu j}$ f"ur alle $\nu, i, \mu, j$, und diese definieren folglich den gesuchten verklebten Schnitt aus $\mathcal G^+ (U)$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{ZGTR} Gegeben auf einem Situs $\mathcal T$ eine Pr"agarbe $\mathcal F$ und eine Garbe $\mathcal G$ faktorisiert jeder Morphismus von Pr"agarben $\mathcal F\ra\mathcal G$ auf genau eine Weise "uber die kanonische Abbildung als $\mathcal F\ra\mathcal F^+\ra\mathcal G$. \end{Lemma} \begin{proof} Das ist klar. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{GGTT}] Gegeben auf einem Situs $\mathcal T$ eine Pr"agarbe $\mathcal F$ und eine Garbe $\mathcal G$ faktorisiert jeder Morphismus von Pr"agarben $\mathcal F\ra\mathcal G$ nach Lemma \ref{ZGTR} auf genau eine Weise "uber die Komposition von kanonischen Abbildungen als $$\mathcal F\ra\mathcal F^{++}\ra\mathcal G$$ Nach \ref{LPG} ist $\mathcal F^+$ eine lokale Pr"agarbe und nach \ref{LPPG} ist dann $\mathcal F^{++}$ sogar eine Garbe. Das zeigt unseren Satz. \end{proof} \subsection{Die Galoisoperation auf der \'etalen Kohomologie} \begin{Bemerkungl} Wir bringen uns in Stimmung mit einer Vor"uberlegung. Sei $X_\circ \ra B_\circ $ eine stetige Abbildung. Sei $B \ra B_\circ $ stetig und "aquivariant f"ur die Operation einer diskreten Gruppe $G$ auf $B$ und die triviale Operation von $G$ auf $B_\circ $. Sei $\cal{F}_\circ $ eine abelsche Garbe auf $X_\circ $ und bezeichne $p : X_\circ \times_{B_\circ } B \ra X_\circ $ die Projektion. So operiert $G$ in nat"urlicher Weise auf $\op{H}^{\ast} (X_\circ \times_{B_\circ } B; p^{\ast} \cal{F}_\circ )$. \end{Bemerkungl} % \begin{Definition}\label{DefO} % Sei nun $\Bbb{F}/\Bbb{F}_{q}$ ein algebraischer Abschlu"s % des endlichen K"orpers mit $q$ Elementen. % Gegeben ein Schema $X_\circ $ "uber $\Bbb{F}_{q}$ operiert nat"urlich % die Galoisgruppe % $\op{Gal} (\Bbb{F}/\Bbb{F}_{q})$ auf $X=X_\circ \times_{\Bbb{F}_{q}} \Bbb{F}$ % und damit auch auf der \'etalen Kohomologie dieses Schemas. % Ist $\cal{F}_\circ $ eine \'etale Garbe auf $X_\circ$, % so ist allgemeiner ihr Urbild % unter der Projektion $p:X \ra X_\circ $ % \glqq "aquivariant\grqq\ f"ur % die Operation von $\op{Gal} (\Bbb{F}/\Bbb{F}_{q})$ % auf $X $ % wegen $p \circ (\op{id} \times \gamma)=p $ f"ur alle % $ \gamma$ aus der Galoisgruppe. % Das definiert eine {\bf Opera\-tion der Galoisgruppe auf der % Kohomologie} der nach $X $ % zur"uckgeholten Garbe $p^\ast\cal{F}_\circ =\cal{F}$ sowie auf den % Halmen an Fixpunkten $x \in X(\Bbb{F}_{q})$ der % Galois-Operation auf $X $. % \end{Definition} \begin{Definition} Sei $K/k$ eine K"orpererweiterung. Gegeben ein Schema $X_\circ $ "uber $k$ operiert die Galoisgruppe\label{DefO} $\op{Gal} (K/k)$ auf dem Schema $X\pdef X_\circ \times_{k} K$ und damit auch auf der \'etalen Kohomologie dieses Schemas. Ist zus"atzlich $\cal{F}_\circ $ eine \'etale Garbe auf $X_\circ$, so ist allgemeiner ihr Urbild unter der Projektion $p:X \ra X_\circ $ \glqq "aquivariant\grqq\ f"ur die Operation von $\op{Gal} (K/k)$ auf $X $. Genauer haben wir $p \circ (\op{id} \times \gamma)=p $ und damit $\mathcal F=(\op{id} \times \gamma)^\ast \mathcal F$, so da"s das Zur"uckholen auf der Kohomologie ${\op{H}}(X;\mathcal F)\ra{\op{H}}(X;(\op{id} \times \gamma)^\ast\mathcal F) $ f"ur alle $ \gamma$ aus der Galoisgruppe ein Automorphismus von ${\op{H}}(X;\mathcal F)$ ist. Auf diese Weise erhalten wir eine {\bf Opera\-tion der Galoisgruppe auf der Kohomologie} ${\op{H}}(X;\mathcal F)$ der nach $X $ zur"uckgeholten Garbe $\cal{F}\pdef p^\ast\cal{F}_\circ $. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist ganz allgemein $\pi: Y \ra Z$ ein \'etaler Morphismus von Schemata "uber $\Bbb{F}_p$, so liefert der absolute Frobenius $\op{Fr}$ nicht nur ein kommutatives, sondern sogar ein kartesisches Diagramm $$\xymatrix{\ar @{} [dr] |{\begin{picture}(7,7) \put(0,0){\usebox{\kD}} \end{picture}} Y \ar[r]^-{\op{Fr}} \ar[d]_{\pi} & Y \ar[d]^\pi\\ Z \ar[r]^-{\op{Fr}} &Z}$$ Diese Diagramme zeigen, da"s die vom absoluten Frobenius auf dem \glqq \'etalen Situs\grqq\ eines Schemas "uber $\Bbb{F}_p$ induzierte Abbildung ein Hom"oomorphismus ist, und liefern f"ur den vom absoluten Frobenius $\op{Fr}$ induzierten Funktor auf der Kategorie der \'etalen Garben eine Isotransformation $\op{can}:\op{Fr}^\ast\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}$. F"ur dieses Ph"anomen kenne ich kein Analogon au"serhalb von positiver Charakteristik. Damit ist dann $$ \op{H}^{\ast}(Z;\cal{G}) \overset{\op{Fr}}{\ra} \op{H}^{\ast} (Z; \op{Fr}^{\ast}\cal{G}) \overset{\op{can}}{\ra} \op{H}^{\ast} (Z;\cal{G})$$ schlicht die Identit"at, wo wir rechts $\op{H}^{\ast} (Z; \op{can})$ mit $\op{can}$ abgek"urzt haben. In der Tat, auf den globalen Schnitten ist die fragliche Komposition offensichtlich die Identit"at, und dann folgt die Behauptung durch die Betrachtung injektiver Aufl"osungen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine \'etale Garbe ${\cal F}_\circ$ auf $X_\circ$ werden wir im folgenden f"ur die zur"uckgeholte Garbe ${\cal F}$ auf $X$ einen Isomorphismus $\op{can}_g:\op{F}_g^\ast {\cal F}\sira {\cal F}$ konstruieren derart, da"s sich die Operation des Frobenius auf der Kohomologie aus \ref{DefO} auch beschreiben l"a"st als die Verkn"upfung $$\op{H}^{i}(X ; \cal{F}) \overset{ \op{F}_g}{\lra} \op{H}^{i}(X ; \op{F}_g^{\ast} \cal{F}) \overset{ \op{can}_g}{\lra} \op{H}^{i} (X; \cal{F})$$ Ist nun wieder $\cal{F}_\circ $ eine \'etale Garbe auf $X_\circ $ und $\cal{F}$ ihr Urbild auf $X$, so erhalten wir kanonische Isomorphismen von Garben auf $X $ der Gestalt $$\op{F}_g^{\ast} \cal{F}\sira\op{F}_g^{\ast} p^\ast\cal{F}_\circ \sira\op{F}_g^{\ast} \op{F}_a^{\ast}p^\ast\cal{F}_\circ \sira (\op{Fr}^r)^{\ast} \cal{F} \sira \cal{F}$$ mit einer Variante von $\op{can}$ als letztem Pfeil, und diese Verkn"upfung liefert den gesuchten Isomorphismus $\op{can}_g:\op{F}_g^{\ast} \cal{F}\sira \cal{F}$. \end{Bemerkungl} \subsection{Lang-Weil} \begin{Satz}[Lang-Weil] F"ur jede irreduzible Variet"at $V$ "uber $\Bbb{F}_q$ der Dimension $d$ gilt die Absch"atzung $$||V(\Bbb{F}_{q^r})|-q^{rd}|\leq \op{Konstante} (q^{r})^{d-1/2}$$ mit einer von $r\geq 1$ unabh"angigen Konstante. \end{Satz} \subsection{Schnitt-Paarung} \begin{enumerate} \item $\op{H}^{n} (\DR^{n}\times \DR^{n}, \DR^{n}\times \DR^{n}-\Delta)$ ist frei vom Rang 1. Unter $g \in \op{GL} (n,\DR)$ transformiert sich diese Gruppe mit dem Vorzeichen der Determinante. Orientierung $\leadsto \omega \op{H}^{n}(X \times X, X \times X -\Delta)$. \item Schnittpaarung $(a \times b)\cap \omega$. Kronecker-Auswertung. Wann ist das der anschauliche Schnitt? \end{enumerate} \subsection{Gegenbeispiel zum Basiswechsel} \begin{Beispiel} Wir betrachten das kartesische Diagramm $$\begin{array}{ccc} \Bbb{Q} \times \Bbb{Q} & \overset{p}{\longrightarrow} &\Bbb{Q} \\ \downarrow q & & \downarrow c \\ \Bbb{Q} & \overset{c}{\longrightarrow} & \op{pt} \end{array}$$ und behaupten, da"s die Garben $q_{\ast}p^{\ast} \Bbb{Z}_{\Bbb{Q}}$ und $c^{\ast}c_{\ast} \Bbb{Z}_{\Bbb{Q}}$ nicht isomorph sind. Sie haben nicht einmal dieselben globalen Schnitte: Globale Schnitte von $c^{\ast}(c_{\ast}\Bbb{Z}_{\Bbb{Q}})$ sind lokal konstante Abbildungen $\Bbb{Q} \ra c_{\ast}\Bbb{Z}_{\Bbb{Q}}$. Globale Schnitte von $q_{\ast}p^{\ast} \Bbb{Z}_{\Bbb{Q}}$ sind dahingegen lokal konstante Abbildungen $\Bbb{Q} \times \Bbb{Q} \ra \Bbb{Z}$. Drehen wir eine horizontale Gerade in $\Bbb{R}^{2}$ ohne Punkte aus $\Bbb{Q}^{2}$ mit einer rationalen $(2\times 2)$-Matrix zu einer schiefen Gerade in $\Bbb{R}^{2}$ ohne Punkte aus $\Bbb{Q}^{2}$, so ist die Funktion mit Wert 1 auf der einen Halbebene und Wert 0 auf der anderen ein Schnitt von $q_{\ast}p^{\ast}\Bbb{Z}_{\Bbb{Q}}$, aber nicht von $c^{\ast}c_{\ast} \Bbb{Z}_{\Bbb{Q}}$. \end{Beispiel} \subsection{Injektive Garben} Es gilt noch, jede Garbe in eine injektive Garbe einzubetten. Dazu beachte man zun"achst, da"s f"ur eine Familie $(F_{i})_{i\in I}$ von Garben die Zuordnung $\cal{F} : U \mapsto \Pi_{i\in I} \cal{F}_{i} (U)$ offensichtlich auch eine Garbe ist, und wir so ein Produkt in der Kategorie der Garben erhalten. Dann bilde man f"ur eine abelsche Gruppe $A$ und einen Punkt $x\in X$ die \glqq Wolkenkratzergarbe\grqq\ $$\begin{array}{ccl} \cal{W} & =& \cal{W} (A,x) \text{ mit}\\ \cal{W} & : & U \mapsto \left\{ \begin{array}{ccl} A & & x\in U;\\ 0& & \text{ sonst.} \end{array}\right. \end{array}$$ Nat"urlich ist $\cal{W}_{x}=A$ und $\cal{W}_{y} =0 $ f"ur $y\neq x$. Es ist nicht schwer zu sehen, da"s $\op{Hom}_{Sh} (\cal{F}, \cal{W}) \sira \op{Hom}_{\Bbb{Z}} (\cal{F}_{x}, \cal{W}_{x})$. Insbesondere ist $\cal{W} (A,x)$ injektiv genau dann, wenn $A =\cal{W}_{x}$ es ist. Um nun eine Garbe $\cal{G}$ in eine injektive Garbe $\cal{I}$ einzubetten, w"ahlen wir f"ur jedes $x \in X$ eine Einbettung $\cal{G}_{x} \hookrightarrow I_{x}$ des Halms von $\cal{G}$ in einen injektiven $\Bbb{Z}$-Modul und bilden dann $\cal{I} = \Pi_{x\in X} \cal{W} (I_{x},x)$. %\end{proof} \begin{Beispiel} Die Orientierungsgarbe einer $n$-Mannigfaltigkeit ist die Garbifizierung der Pr"agarbe $U\mapsto H_{n}(X,X-U)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur eine abelsche Gruppe $A$ bezeichnet $A_{X}$ die Garbe mit $A_{X}(U) =\{f:U\ra A \mid f \text{ ist lokal konstant}\}$. Sie ist die Garbifizierung der Pr"agarbe $U\mapsto A$ f"ur alle $U\co X$. \end{Beispiel} \begin{Satz} Jede kompaktweiche Garbe $\cal{F}$ auf einem parakompakten lokal kompakten Raum $X$ ist weich. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sei $A \As X$ abgeschlossen und $s \in \Gamma (A;\cal{F})$ ein Schnitt von $\cal{F}$ "uber $A$. Wir finden eine offene "Uberdeckung $(U_{i})_{i \in I}$ von $X$ mit $\bar{U}_{i}$ kompakt und Schnitte $s_{i}\in \Gamma (U_{i};\cal{F})$ mit $s_{i}|U_{i} \cap A = s \mid_{U_{i}\cap A}$. Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir unsere "Uberdeckung lokal endlich annehmen und nach \ref{??} finden wir auch eine offene "Uberdeckung $(V_{i})_{i\in I}$ mit $F_{i} = \bar{V}_{i} \subset U_{i} \quad \forall i \in I$. F"ur $J \subset I$ setzen wir $F_{J} = \bigcup_{i\in J} F_{i}$ und betrachten die Menge aller Paare $(t,J)$ mit $J \subset I$ und $t \in \Gamma (F_{J}; \cal{F})$ so da"s gilt $t \mid F_{J \cap A} = s\mid F_{J} \cap A$. Da wir $\cal{F}$ als kompaktweich angenommen hatten, ist die Menge dieser Paare nicht leer. Sie ist auch induktiv teilgeordnet unter der offensichtlichen Teilordnung. Es gibt also ein maximales Paar $(t_{\max}, J_{\max})$ und wir m"ussen nur zeigen $J_{\max} =I$. Aber sonst g"abe es ja $i \not\in J_{\max}$ und das ganze Problem besteht darin, einen auf $(F_{J_{\max}}\cup A)\cap F_{i}$ definierten Schnitt auf ganz $F_{i}$ fortzusetzen. Aber wir k"onnten unseren Schnitt ja aufgrund der Annahme kompaktweich sogar von $(F_{J_{\max}}\cup A) \cap F_{i}$ auf ganz $X$ fortsetzen, also erst recht auf $F_{i}$. \end{proof} \begin{Definition} Sei $(X,A)$ ein Raumpaar. \begin{enumerate} \item $A$ hei"st ein \defind{Retrakt} von $X$ genau dann, wenn es eine stetige Abbildung $r : X \ra A$ gibt mit $r (a) =a \quad \forall a \in A$. So ein Linksinverses der Einbettung hei"st auch eine \defind{Retraktion}. \item $A$ hei"st ein \defind{Deformationsretrakt} von $X$ genau dann, wenn es eine Retraktion von $X$ auf $A$ gibt, die homotopie"aquivalent ist zur Identit"at auf $X$. \item $A$ hei"st ein \defind{strenger Deformationsretrakt} von $X$ genau dann, wenn es $h: X \times [0,1] \ra X$ stetig gibt mit $h(x,0) = x$, $h (x,1) \in A$ und $h(a,t) = a$ f"ur alle $x \in X$, $a \in A$ und $t \in [0,1]$. \end{enumerate} \end{Definition} \subsection{Tensoridentit"at bei Garben} \begin{Proposition} Gegeben $\cal{F}$ flach und $f: X \ra Y$ stetige Abbildung von lokal kompakten Hausdorff-R"aumen induziert die kanonische Abbildung $$f_{\ast} \cal{G} \otimes \cal{F} \ra f_{\ast} (\cal{G}\otimes f^{\ast} \cal{F})$$ einen Isomorphismus $$f_{!} \cal{G} \otimes \cal{F} \overset{\sim}{\ra} f_{!}(\cal{G}\otimes f^{\ast}\cal{F})$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkung}\label{ETPo} Gegeben eine stetige Abbildung $\pi : X \rightarrow Y$ und eine abelsche Garbe $\mathcal G_X$ auf $Y$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ erhalten wir einen nat"urlichen Homomorphismus \begin{equation*} \pi_{(!)} \mathcal F \otimes \mathcal G \rightarrow \pi_{(!)} (\mathcal F \otimes \pi^{(\ast)} \mathcal G) \end{equation*} wie folgt: Gegeben $U \co Y$ und $s \in (\pi_{(!)} \mathcal F)(U) \subset \mathcal F (\pi^{-1} (U))$ und $t \in \mathcal F (U)$ betrachten wir den zur"uckgeholten Schnitt $\pi^0 t \in (\pi^{(\ast)} \mathcal G) (\pi^{-1} (U))$ und dann hat $s \otimes \pi^0 t \in (\mathcal F \otimes \pi^{(\ast)} \mathcal F) (\pi^{-1} (U))$ den entsprechenden eigentlichen Tr"ager und liefert folglich einen Schnitt in $(\pi_{(!)} (\mathcal F \otimes \pi^{(\ast)} \mathcal G))(U)$. Dieselbe Konstruktion funktioniert, wenn wir einen Ring $k$ festhalten, als $\mathcal F$ eine Garbe von $k$-Rechtsmoduln und als $\mathcal G$ eine Garbe von $k$-Linksmoduln nehmen, und $\otimes$ durch $\otimes_k$ ersetzen. Ist $\pi$ separiert und lokal eigentlich und arbeiten wir mit Garben von Vektorr"aumen "uber einem K"orper $k$, so ist unser Homomorphismus stets ein Isomorphismus \begin{equation*} \pi_{(!)} \mathcal F \otimes_k \mathcal G \overset{\sim}{\rightarrow} \pi_{(!)} (\mathcal F \otimes_k \pi^{(\ast)} \mathcal G) \end{equation*} In der Tat d"urfen wir uns mit Basiswechsel \ref{??} auf den Fall zur"uckziehen, dass $Y$ ein Punkt ist, und dann folgt die Aussage aus der Vertauschbarkeit \ref{??} von $\Gamma_!$ mit beliebigen direkten Summen. Im Fall von abelschen Garben stimmt die analoge Aussage jedoch nicht. Ist etwa $\pi : S^1 \rightarrow \op{pt}$ die Projektion und $\mathcal F$ das nichtkonstante lokale System auf $S^1$ von Rang Eins, so ist $\mathcal F \otimes_\mathbb Z \mathbb Z / 2 \mathbb Z$ konstant mit $\Gamma_! (\mathcal F \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Z/ 2 \mathbb Z) \cong \mathbb Z/ 2 \mathbb Z$ aber wir haben $\Gamma_! \mathcal F = 0$. \end{Bemerkung} \newpage %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Gruppenkohomologie als Garbenkohomologie, Variante} \begin{Bemerkungl}\label{dkdg} Unser Diagramm aus dem Beweis von \ref{GrGAKO} induziert ein Diagramm von triangulierten Kategorien $$\xymatrix{ \op{Hot}^+(\op{Ab}_{/X}) &\op{Hot}^+(\op{Ab}^{\op{lk}}_{/X}) \ar[r]^-{{\approx}}\ar[l] &\op{Hot}^+(\op{Ab})\\ \op{Hot}^+(\op{Ab}_{/(X/G)})\ar[u] & \op{Hot}^+(\op{Ab}^{\op{lk}}_{/ (X/G)})\ar[l] \ar[r]^-{\approx}\ar[u] & \op{Hot}^+(G\op{-Ab}) \ar[u]\\ \op{Hot}^+(\op{Ab})\ar[u]\ar@{=}[r] &\op{Hot}^+(\op{Ab})\ar[u]\ar@{=}[r] &\op{Hot}^+(\op{Ab})\ar[u] }$$ Die linke obere Horizontale ist ein volltreuer Funktor nach \ref{AZF}, aber das ist vielleicht irrelevant. Ein Komplex injektiver Objekte in der Mitte des Diagramms wird nach unseren vorherigen Erkenntnissen ein Komplex $\Gamma$-azyklischer Garben auf $X/G$. Nach \ref{DAZOt} haben wir also auch f"ur jeden gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex von $\Bbb{Z} G $-Moduln $A^\ast$ kanonische Isomorphismen $$\mathbb{H}^{q}(G;A^\ast) \sira \mathbb{H}^{q}(X/G;\tilde{A}^\ast)$$ Wenden wir diese Erkenntnis auf den Raum aller Homomorphismen mit seiner $G$-Struktur an und betrachten genauer $B\in \op{Der}^{-}(G\op{-Ab})$ und $C\in \op{Der}^{+}(G\op{-Ab})$ und $A=\op{RHom}(B,C)\in \op{Der}^{+}(G\op{-Ab})$, so ergibt sich $\tilde A\cong {\op{RHom}}(\tilde B,\tilde C) \in \op{Der}^{+}(\op{Ab}_{/(X/G)})$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkung} Ich mu"s noch angucken, welche Formalit"at nun sagt, da"s das direkte Bild der konstanten Garbe unter einer Quotientenabbildung unter einer topologisch freien Operation einer diskreten Gruppe so in etwa die kontragrediente der regul"aren Darstellung ist. \end{Bemerkung} \subsection{Dritte Gruppenkohomologie und Assoziatoren} \begin{Beispiel} Sei $G$ eine Gruppe und $k$ ein K"orper. Auf der Kategorie $\mathcal{C}$ aller Garben von $k$-Vektorr"aumen auf $G$ mit h"ochstens endlich vielen von Null verschiedenen Halmen alias aller $G$-graduierten $k$-Vektorr"aume mit h"ochstens endlich vielen von Null verschiedenen Komponenten liefert die Konvolution alias das Tensorprodukt eine Verkn"upfung \begin{equation*} (\mathcal{F} \otimes \mathcal{G})_x \pdef \bigoplus_{x =yz} \mathcal{F}_y \otimes \mathcal{G}_z \end{equation*} Jedem Assoziator $a$ f"ur diese Verkn"upfung k"onnen wir eine Abbildung \begin{equation*} \hat{a} : G \times G \times G \rightarrow k^\times \end{equation*} zuordnen durch die Vorschrift \begin{equation*} a = \hat{a} (x,y,z) \op{can} : k_{(x)} \otimes (k_{(y)}\otimes k_{(z)}) \rightarrow (k_{(x)}\otimes k_{(y)}) \otimes k_{(z)} \end{equation*} Hier meint $k_{(t)}$ die Wolkenkratzergarbe bei $t$ mit Faser $k$ und $\op{can}$ meint den offensichtlichen Assoziator. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Die eben erkl"arte Vorschrift $a \mapsto \hat{a}$ definiert eine Bijektion zwischen der Menge aller Assoziatoren $a$ zu unserer Verkn"upfung $\otimes$ und der Menge ${\op{Z}}^3 (G; k^\times)$ aller Dreizyklen $\hat{a}$ auf $G$ mit Koeffizienten in der multiplikativen Gruppe $k^\times$ unseres K"orpers. \end{Lemma} \begin{proof} Da der Assoziator eine Transformation ist, mu"s auf beliebigen Garben $\mathcal{F}, \mathcal{G}, \mathcal{H}$ der Isomorphismus \begin{equation*} \mathcal{F} \otimes (\mathcal{G} \otimes \mathcal{H}) \rightarrow (\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}) \otimes \mathcal{H} \end{equation*} auf dem entsprechenden Teil das $\hat{a} (x,y,z))$-fache der kanonischen Identifikation \begin{equation*} \mathcal{F}_x \otimes (\mathcal{G}_y \otimes \mathcal{H}_z) \rightarrow (\mathcal{F}_x \otimes \mathcal{G}_y) \otimes \mathcal{H}_z \end{equation*} sein. Der besseren "Ubersichtlichkeit halber k"urzen wir nun $k_{(t)}$ als $\underline{t}$ ab. Das Pentagonaxiom fordert die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ \underline{x} \otimes (\underline{y} \otimes (\underline{z} \otimes \underline{t})) \ar[d]_{\hat{a}(x,y,zt)} \ar[rr]^{(y,z,t)} & &\underline{x} \otimes ((\underline{y}\otimes \underline{z})\otimes \underline{t}) \ar[d]^{\hat{a} (x,yz,t)}\\ (\underline{x} \otimes \underline{y}) \otimes (\underline{z} \otimes \underline{t}) \ar[dr]_{\hat{a}(xy,z,t)} & &(\underline{x} \otimes (\underline{y}\otimes \underline{z})) \otimes \underline{t} \ar[dl]^{\hat{a}(x,y,z)}\\ &((\underline{x} \otimes \underline{y}) \otimes \underline{z}) \otimes \underline{t} & } \end{displaymath} und ist damit "aquivalent zur Forderung, die wir in \ref{kzgz} an Dreizykel stellen. \end{proof} Gegeben eine Kategorie mit Verkn"upfung und Assoziator $a$ liefert jeder Automorphismus der Verkn"upfung $u: \mathcal{C} \times \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{C}$ gegeben durch vertr"agliche \begin{equation*} u_{\mathcal{F},\mathcal{G}} : \mathcal{F} \otimes \mathcal{G} \overset{\sim}{\rightarrow} \mathcal{F} \otimes \mathcal{G} \end{equation*} einen neuen Assoziator $b$ durch die Kommutativit"at der Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathcal{F} \otimes (\mathcal{G} \otimes \mathcal{H}) \ar[r]^{a} \ar[d]^u & (\mathcal{F}\otimes \mathcal{G})\otimes \mathcal{H} \ar[d]^{u}\\ \mathcal{F} \otimes (\mathcal{G} \otimes \mathcal{H}) \ar[r]^{b} & (\mathcal{F} \otimes \mathcal{G}) \otimes \mathcal{H} } \end{displaymath} bei dem die Vertikalen in offensichtlicher Weise durch $u$ geliefert werden. \begin{Ubung} In unserer Situation entsprechen sich zwei Assoziatoren $a,b$ auf unserer Kategorie mit Verkn"upfung nur um einen Automorphismus der Verkn"upfung genau dann, wenn die beiden Dreizykel $\hat{a},\hat{b}$ kohomolog sind. \end{Ubung} \subsection{Tate-Kohomologie} Gegeben eine Gruppe $G$ erinnern wir an die Standardaufl"osung $$\Bbb{Z} \overset{\partial}{\leftarrow} \Bbb{Z} G \overset{\partial}{\leftarrow} \Bbb{Z} G^{2} \overset{\partial}{\leftarrow} \ldots$$ aus \ref{kzgk}, die wir als freie Aufl"osung des $\DZ G $-Moduls $\DZ$ auffassen. Die offensichtliche diagonale Rechtsoperation von $G$ auf $G^n$ erlaubt uns jedoch, in derselben Weise unseren Komplex aufzufassen als freie Aufl"osung des $\DZ G $-Rechtsmoduls $\DZ$. Ist $G$ eine endliche Gruppe, so kann man erstaunlicher Weise Homologie und Kohomologie zu einer gemeinsamen Theorie verschmelzen. Man w"ahlt dazu ein Paar $(X,\epsilon)$ bestehend aus einem exakten Komplex von endlich erzeugten freien $\Bbb{Z} G $-Moduln $$\ldots \leftarrow X_{-1} \overset{\partial}{\leftarrow} X_{0} \overset{\partial}{\leftarrow} X_{1} \overset{\partial}{\leftarrow} \ldots $$ mitsamt einer Surjetkion $\epsilon : X_{0} \twoheadrightarrow \Bbb{Z}$, deren Kern genau $\op{im} (\partial : X_{1} \ra X_{0})$ ist. So ein Paar hei"st eine {\bf vollst"andige freie Aufl"osung} f"ur $G$. Man findet ein m"ogliches $(X,\epsilon)$ indem man die Standardaufl"osung von $\Bbb{Z}$ aus dem vorhergehenden Abschnitt als $\Bbb{Z} \overset{\epsilon}{\twoheadleftarrow} X_{0} \leftarrow X_{1} \leftarrow \ldots$ nimmt, durch $\op{Hom}_{\Bbb{Z}} (\;, \Bbb{Z})$ zum dualen Komplex $\Bbb{Z} \hookrightarrow X_{0}^{\ast} \ra X_{1}^{\ast} \ra \ldots$ "ubergeht, $X_{i}^{\ast} = X_{-i-1}$ setzt und die beiden St"ucke zusammenf"ugt. Hier ist zu beachten, da"s aufgrund von $\op{Ext}^{i}_{\Bbb{Z}} (\Bbb{Z},\Bbb{Z})=0$ f"ur $i >0$ der duale Komplex auch exakt ist. Weiter versehen wir f"ur $X \in \Bbb{Z} G \op{-Mod}$ den Raum $X^{\ast} = \op{Hom}_{\Bbb{Z}} (X, \Bbb{Z})$ mit der kontragredienten $G$-Operation $(gf)(x) = f(g^{-1}x) \quad \forall g \in G$, $ x \in X$, $f \in X^{\ast}$ und erkennen $(\Bbb{Z} G ^{\ast}) \cong \Bbb{Z} G $, zum Beispiel ist n"amlich das Auswerten am neutralen Element eine Basis von $(\Bbb{Z} G) ^{\ast}$ als $\Bbb{Z} G $-Modul. Wir nennen die so erhaltene vollst"andige Aufl"osung die \defind{Standardaufl"osung f"ur $G$}. Ist $(Y,\eta)$ eine zweite vollst"andige freie Aufl"osung f"ur $G$, so finden wir eine Kettenabbildung $X\ra Y$, die mit den Augmentationen $\epsilon$ und $\eta$ vertr"aglich ist, und je zwei solche Kettenabbildungen sind kettenhomotop. Das folgt auf der positiven H"alfte aus dem Hauptlemma der homologischen Algebra und auf der negativen H"alfte nach Dualisieren ebenso. \begin{Definition} Sei $G$ eine endliche Gruppe und $(X,\epsilon)$ die Standard-Aufl"o\-sung f"ur $G$. Gegeben ein $G$-Modul $A$ definieren wir die {\bf $i$-te} \defind{Tate-Kohomologie} {\bf von $G$ mit Koeffizienten in $A$} als die $i$-te Kohomologiegruppe des Komplexes $\op{Hom}_{\Bbb{Z} G } (X_{\ast}, A)$, in Formeln $$\widehat{\op{H}}^{i} (G;A) \pdef \cal{H}^{i} \op{Hom}_{\Bbb{Z} G } (X_{\ast}, A)$$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Die vorhergehenden "Uberlegungen zeigen, da"s es auf die Wahl der vollst"andigen freien Aufl"osung im wesentlichen gar nicht ankommt. Fritz H"ormann erkl"art mir, da"s Tate-Kohomologie in geeignetem Kontext schlicht der Kegel "uber $\pi_!\ra\pi_\ast$ ist. \end{Bemerkung} \begin{Proposition} Seien $G$ eine endliche Gruppe und $A$ ein $G$-Modul. Wir haben \nichtfinal{(sorgf"altiger formulieren!)} kanonische Isomorphismen $$\begin{array}{llll} \widehat{\op{H}}^{i} (G;A) &=& \op{H}^{i}(G;A) & i>0\\ \widehat{\op{H}}^{i}(G;A) & =& {\op{H}}_{-i-1}(G;A) & i< -1 \end{array}$$ sowie eine kanonische exakte Sequenz $$\widehat{\op{H}}^{-1} (G;A)\hookrightarrow A_{G} \overset{N_{G}}{\lra} A^{G} \twoheadrightarrow \widehat{\op{H}}^{0}(G;A)$$ wo die Abbildung in der Mitte induziert wird von der Multiplikation mit dem Element $N_{G} = \sum_{g\in G} g \text{ aus } \Bbb{Z} G $. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Die Behauptung f"ur $i>0$ folgt direkt aus den Definitionen. Im Fall $i<-1$ beachten wir, da"s f"ur einen freien $\Bbb{Z} G $-Modul $X$ von endlichem Rang die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $$X^{\ast} \otimes_{\Bbb{Z} G } A \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Hom}_{\Bbb{Z} G } (X,A)$$ liefert, wo wir $X^{\ast}$ mit seiner nat"urlichen Struktur als $\Bbb{Z} G $-Rechtsmodul versehen. Die letzte Behauptung schlie"slich folgt daraus, da"s in der Standardaufl"osung f"ur $G$ der Pfeil $X_{0} \ra X_{-1}$ unter den nat"urlichen Identifikationen die Multiplikation $N_{G} : \Bbb{Z} G \ra \Bbb{Z} G $ wird. \end{proof} \newpage \section{Vermischte Reste} \subsection{Reste} \begin{Bemerkung}\emph{Wird wohl obsolet durch \ref{AAVF}}. Sei $G$ eine Liegruppe und $\mathfrak g$ ihre Liealgebra und $\grave X$ die Fortsetzung von $X \in \mathfrak g$ zu einem linksinvarianten Vektorfeld auf $G$. So erhalten wir f"ur je zwei Elemente $X,Y \in \mathfrak g$ die Identit"at \begin{equation*} { \mathcal L}_{\grave Y} {\grave X}= [\grave X, \grave Y] = [X, Y]\;\!\grave{\vphantom(} \end{equation*} nach \ref{LAK} und der Definition der Lieklammer auf $\mathfrak g = {\op{T}}_e G$. Gegeben $\omega \in \mathfrak g^\ast$ und $\grave \omega$ seine Fortsetzung zu einem linksinvarianten Kovektorfeld auf $G$ haben wir \begin{equation*} \mathcal L_{\grave X} \grave\omega = i_{\grave X} (d \grave\omega) \end{equation*} nach \ref{LabD}, denn $\langle \grave \omega, \grave X\rangle$ ist als linksinvariante Funktion auf $G$ konstant. Andererseits gilt nach \ref{VjLi} auch $ 0 = \mathcal L_{\grave X} \langle \grave \omega, \grave Y\rangle = \langle \mathcal L_{\grave X} \grave \omega, \grave Y \rangle + \langle \grave \omega, \mathcal L_{\grave X} \grave Y \rangle $ alias $ \langle \mathcal L_{\grave X} \grave \omega , \grave Y \rangle = - \langle \omega, [X,Y] \rangle $, wo wir die rechte Seite als konstante Funktion verstehen. Zusammen zeigt das die Formel \begin{equation*} (d \grave \omega)(\grave X, \grave Y) = - \langle \omega, [X,Y] \rangle \end{equation*} die "au"sere Ableitung einer linksinvarianten Einsform. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Sei $V= V_{+} \oplus V_{-}$ ein Vektorraum mit einer Zerlegung. Jedes $A \in \op{End} V$ kann man dann schreiben als Blockmatrix mit den vier Bl"ocken $A_{\epsilon \eta} : V_{\eta} \ra V_{\epsilon} $ f"ur $ \epsilon, \eta \in \{+, - \}$, und die Matrizen mit Nebendiagonalbl"ocken von endlichem Rang bilden ein Ideal $I$ in der assoziativen Algebra $\op{End} V$. Man zeige, da"s auf diesem Ideal $I$, aufgef"a"st als Lie-Algebra, einen Kozykel erhalten durch die Vorschrift $$(X,Y) \mapsto \op{tr} (X_{+-}\;Y_{-+})$$ {\em Ich habe diese "Ubung noch nicht gemacht}. \end{Ubung} \subsection{Gutachten Hochschild-Koszul}\label{GHoch} \begin{enumerate} \item Gegeben ein K"orper $F$ und eine $F$-Ringalgebra $A$ wird $A$ in nat"urlicher Weise vermittels der Rechts- und Linksmultiplikation von $A$ auf sich selber ein $A \otimes_F A^{\op{opp}}$-Modul. Der Ring der Selbsterweiterungen des $A\otimes_F A^{\op{opp}}$-Moduls $A$ hei"st die \defind{Hochschild-Kohomologie} von $A$, ihren homogenen Teil im Grad $i$ notiert man $\op{HH}^i (A)$. Ist $A$ mit einer $\Gamma$-Graduierung versehen f"ur eine abelsche Gruppe $\Gamma$, so erbt $\op{HH}^i (A)$ eine $\Gamma$-Gradierung in nat"urlicher Weise. Eine explizite Formel f"ur diese Hochschild-Homologie liefert der sogenannte Bar-Komplex, eine projektive Aufl"osung des $A\otimes_F A^{\op{opp}}$-Moduls $A$ der Gestalt \begin{equation*} \ldots \rightarrow A\otimes_F A \otimes_F A \rightarrow A\otimes_F A \twoheadrightarrow A \end{equation*} mit den Randoperatoren \begin{equation*} a_0 \otimes a_1 \otimes \ldots a_n \mapsto \sum^{n-1}_{i=0} (-1)^i a_0 \otimes \ldots \otimes a_i a_{i+1} \otimes \ldots \otimes a_n \end{equation*} Dieser Komplex ist jedoch im allgemeinen zu gro"s, um in Beispielrechnungen n"utzlich zu sein. \item Koszul-Algebren sind eine Familie von homologisch besonders einfachen Ringalgebren. Wir verstehen darunter im folgenden eine $\mathbb{Z}$-graduierte $F$-Algebra $A = \bigoplus_{i\geq 0} A^i$ derart, da"s gilt $A^0 = F \times \ldots \times F$ und da"s die nat"urliche Bigraduierung auf $\op{Ext}^\ast_A (A^0, A^0)$ durch den Grad $\ast$ der Erweiterung und den von der $\mathbb{Z}$-Graduierung auf $A$ herr"uhrenden Grad diagonal ist, da"s also deren homogene Komponenten au"serhalb der Diagonale verschwinden. Ein typischer Fall ist $A= F[X_1, \ldots, X_n]$, die fragliche $\op{Ext}$-Algebra ist dann eine "au"sere Algebra, was auch mit dem Koszul-Komplex leicht einzusehen ist. Auch im Allgemeinen kann man zeigen, da"s Koszul-Algebren von ihren Komponenten in den Graden Null und Eins erzeugt werden \glqq mit Relationen im Grad 2\grqq\ in dem Sinne, da"s $A$ der Quotient der freien Tensoralgebra des $A_0$-Bimoduls $A_1$ ist nach einem im Grad zwei erzeugten zweiseitigen Ideal. Schreiben wir $(1_x)_{x \in W}$ die orthogonalen Idempotenten $A^0 = F \times \ldots\times F$, so ist $A$ also die K"ocheralgebra eines K"ochers mit $|W|$ Ecken, $\op{dim}_F 1_x A^1 1_y$ Pfeilen $y \rightarrow x$ und Relationen, die gewissen Linearkombinationen von Wegen der L"ange zwei mit demselben Anfangs- und Endpunkt als Null deklarieren. Formal haben wir \begin{equation*} T\left( {}_{A^{0}}A^1_{A^{0}} \right) / \langle R \rangle \overset{\sim}{\longrightarrow} A \end{equation*} f"ur $R \subset A^1 \otimes_{A^{0}} A^1$ einen geeigneten $A^0$-Unterbimodul. \item Jetzt k"urzen wir $A^0 =k$ ab und $A^1 = V \in k\op{-Mod-}k$. Versehen wir nun $V^\ast = \op{Hom}_F (V,F)$ mit der $k$-Bimodulstruktur, f"ur die die Rechtsoperation auf $V^\ast$ von der Linksoperation auf $V$ herkommt und umgekehrt. Nehmen wir weiter $\op{dim}_F V < \infty$ an. Die die Tensorfaktoren vertauschende Identifikation \begin{equation*} (V \otimes_F V)^\ast \overset{\sim}{\longrightarrow} V^\ast \otimes_F V^\ast \end{equation*} induziert einen Isomorphismus \begin{equation*} (V \otimes_k V)^\ast \overset{\sim}{\longrightarrow} V^\ast \otimes_k V^\ast \end{equation*} und das orthogonale Komplement $R^\perp \subset (V \otimes_k V)^\ast$ von $R\subset V \otimes_k V$ entspricht einem $k$-Unterbimodul $R^! \subset V^\ast \otimes_k V^\ast$. Die \glqq Koszulduale Algebra\grqq\ zu $A$ ist definiert als \begin{equation*} A^! = T_k (V^\ast) / \langle R^!\rangle \end{equation*} mit einem geeigneten Differential bilden die \begin{equation*} A \otimes_k (A^!_i)^\ast \end{equation*} eine projektive, ja sogar eine minimale projektive Aufl"osung des $A$-Moduls $A_0 = k$. Im Spezialfall $A = F [ X_1, \ldots , X_n]$ haben wir $k = F, A^!$ ist eine "au"sere Algebra in \glqq dualen\grqq\ Variablen $\xi_1, \ldots, \xi_n$ und die fragliche Aufl"osung ist der Koszul-Komplex. Die Linksoperation von $A^!$ auf sich selber liefert eine Rechtsoperation auf $(A^!)^\otimes = \bigoplus_{i \geq o} (A^!_i)^\ast$ und diese vermittelt einen Homomorphismus \begin{equation*} (A^!)^{\op{opp}} \rightarrow \op{End}_{A} (A \otimes_k (A^!)^\otimes) \end{equation*} der schlie"slich einen Isomorphismus \begin{equation*} (A^!)^{\op{opp}} \overset{\sim}{\longrightarrow} \op{Ext}^\ast_A (k, k) \end{equation*} \item Zur Berechnung der Hochschild-Kohomologie einer Koszul-Algebra $A$ kann man "ahnlich den Komplex der \begin{equation*} A\otimes_k (A^!_i)^\ast \otimes_k A \end{equation*} mit geeignetem Differential benutzen, wie in der Arbeit in 2.3.11 und 4.1.9 erkl"art wird. Er kann aufgefa"st werden als ein Unterkomplex des Bar-Komplexes und ist expliziten Rechnungen viel besser zug"anglich. Unter den nat"urlichen Identifikationen \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{Hom}_{A-A} (A\otimes_k (A^!_i)^\ast \otimes_k A, A) \ar[d]^\wr\\ \op{Hom}_{k-k} ((A^!_i)^\ast, A))\\ \bigoplus_{x,y\in W} 1_x A^!_i 1_y \otimes_F 1_y A 1_x \ar[u]^\wr } \end{displaymath} erh"alt das Differential die in 4.2.11 angegebene Gestalt. Im Spezialfall $A = F [´x_1, \ldots , x_n] = {\op{S}}V$, $A^! = F [\xi_1, \ldots, \xi_n] = \bigwedge V^\ast$ h"atten wir etwa \begin{equation*} \bigwedge V^\ast \otimes_F {\op{S}}V \end{equation*} mit dem Differential \begin{equation*} 0= d : f \otimes a \mapsto \sum f \xi_i \otimes x_i a - (-1)^{|f|} \xi_i f \otimes a x_i \end{equation*} und liefert die Hochschild-Homologie $\bigwedge V^\ast \otimes_F {\op{S}}V$ f"ur ${\op{S}}V$. Im Spezialfall der dualen Zahlen $A=F[\xi]$ mit Koszuldualem dem Polynomring $F[x]$ erhalten wir dahingegen $F[x]\otimes_F F[\xi]$ mit dem Differential $$(1-(-1)^\nu)(x\otimes \xi):Fx^\nu\otimes F[\xi]\ra Fx^{\nu+1}\otimes F[\xi]$$ Dies Differential verschwindet nur in geraden Graden, es sei denn, die Charakteristik ist Zwei. Vergleiche auch \ref{KHOO}. \end{enumerate} \subsection{Kohomologie algebraischer Variet"aten} \begin{Theorem} Die totale Kohomologie mit kompaktem Tr"ager einer komplexen algebraischen Variet"at mit Koeffizienten in einem linksnoetherschen Ring ist stets endlich erzeugt als Linksmodul. \end{Theorem} \begin{Bemerkung} Hier betrachten wir unsere Variet"at nicht mit der Zariski-Topologie, sondern mit ihrer \glqq analytischen Topologie\grqq, die unsere Variet"at zu einem lokal kompakten Hausdorffraum macht. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Zerlegen wir unsere Variet"at als disjunkte Vereinigung einer offenen und einer abgeschlossenen Untervariet"at und gilt das Theorem f"ur beide Teile, so gilt es auch f"ur die ganze Variet"at mithilfe von \ref{KT}. Wir d"urfen uns folglich auf den Fall glatter affiner Variet"aten zur"uckziehen und beim Beweis den Fall beliebiger Variet"aten echt kleinerer Dimension als bekannt voraussetzen. Nach \ref{APD} k"onnen wir nun statt der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager ebensogut die Homologie untersuchen. Jetzt betrachten wir eine glatte affine Variet"at $X\As \Bbb{C}^{n}$ und beachten, da"s f"ur jede Norm $N: \Bbb{C}^{n} \ra \Bbb{R}_{\leq 0} $ au"serhalb die Abbildung $N:X\ra \DR$ eines hinreichend gro"sen Balls keine kritischen Stellen mehr hat. Der Flu"s zum Gradientenfeld dieser Abbildung kontrahiert deshalb $X$ auf die kompakte Mannigfaltigkeit mit Rand $X \cap N^{-1} [0,R]$, auf die wir dann den Satz von Wilder \ref{KoWi} anwenden k"onnen. \end{proof} \subsection{Beispiel zur Gewichtsfiltrierung} \emph{Das f"ugt sich noch garnicht ein.} \label{GeFi} \begin{figure}[p] \centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bild0025} \\ \noindent Die Homologie einer elliptischen Kurve $E$ ist rein. Nehmen wir einen Punkt heraus, so stirbt die zweite Homologie, aber der Rest bleibt unver"andert. Nehmen wir noch weitere Punkte heraus, so vergr"o"sert sich die erste Homologie entsprechend. Die Gewichtsfiltrierung auf ${\op{H}}_1 (E\backslash P)$ f"ur $P \subset E$ endlich ist dann die Filtrierung in zwei Schritten, die durch den Untermodul geliefert wird, der von den \glqq kleinen Zykeln um die Fehlstellen\grqq\ erzeugt wird. F"ur algebraische Morphismen algebraischer Variet"aten besagt die Vertr"aglichkeit der auf der Homologie induzierten Abbildungen mit der Gewichtsfiltrierung dann insbesondere, da"s solche \glqq kleinen Zykel\grqq\ auch \glqq kleine Zykel\grqq\ bleiben m"ussen, wenn sie nicht zu Null werden. Das ist f"ur analytische Morphismen nicht mehr richtig: Lassen wir auf $\Bbb{C}^\times$ die Gruppe $\Bbb{Z}$ operieren durch die Vorschrift $n\ast z = 2^nz$, so ist $\Bbb{C}^\times/\Bbb{Z}$ eine elliptische Kurve und unter der kanonischen Projektion $\Bbb{C}^\times \twoheadrightarrow \Bbb{C}^\times /\Bbb{Z}$ werden \glqq kleine Zykel\grqq\ in $\DC^\times$ durchaus auf \glqq gro"se Zykel\grqq\ in unserer elliptischen Kurve abgebildet. \end{figure} \newpage \subsection{Korrespondenz von Funktionen und Garben}\index{Funktionen-Garben-\-Korrespondenz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorifizierung von $\DN$}] Statt Funktionen betrachten wir zun"achst Zahlen. Die durch die Dimension gegebene Abbildung $$\op{dim}_k:\op{Modf}_k\ra \DN$$ von endlich erzeugten Vektorr"aumen "uber einem gegebenen K"orper $k$ zu nat"urlichen Zahlen mag man als \glqq Dekategorifizierung\grqq\ ansehen und entsprechend die Kategorie der endlich erzeugten Vektorr"aume als eine Kategorifizierung der algebraischen Struktur der nat"urlichen Zahlen. Die Multiplikation wird dabei kategorifiziert durch das Tensorprodukt, in Formeln gilt ja $$\op{dim}_k(V\otimes W)=(\op{dim}_kV) (\op{dim}_k W)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorifizierung von $\op{Ens} (X, \mathbb N)$}] Jetzt machen wir dasselbe etwas allgemeiner f"ur Funktionen.\label{FuFF} Gegeben eine Menge $X$ betrachten wir nun die Kategorien $\op{Mod}_k/X\supset \op{Mod}_k/X$ aller Garben auf $X$ von Vektorr"aumen beziehungsweise endlich erzeugten Vektorr"aumen "uber einem gegebenen K"orper $k$. In diesm Fall ist so eine Garbe $\mathcal F$ noch schlicht eine Familie $(\mathcal F_x)_{x\in X}$ von $k$-Vektorr"aumen. Die durch die Dimension gegebene Abbildung $$\op{dim}_k:\op{Modf}_k/X\ra \op{Ens} (X, \mathbb N)$$ mag man als \glqq Dekategorifizierung\grqq\ ansehen und entsprechend die Kategorie der endlich erzeugten Vektorr"aume als eine Kategorifizierung der algebraischen Struktur $\op{Ens} (X, \mathbb N)$. Die Multiplikation wird dabei kategorifiziert durch das Tensorprodukt, in Formeln gilt ja f"ur beliebige $\mathcal F,\mathcal G\in \op{Modf}_k/X$ in $\op{Ens} (X, \mathbb N)$ die Identit"at $$\op{dim}_k(\mathcal F\otimes \mathcal G)= \op{dim}_k(\mathcal F)\op{dim}_k(\mathcal G)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kategorifizierung von Abbildungen}] Jede Abbildung $f: X \rightarrow Y$ von endlichen Mengen liefert auf Funktionen Abbildungen \begin{displaymath} \op{Ens} (X, \mathbb N) \begin{array}{c}f_{!} \\[-1ex]\longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow \\[-1ex] f^\ast \end{array} \op{Ens} (Y,\mathbb N) \end{displaymath} gegeben durch das {\bf Zur"uckholen}\index{Zur"uckholen} $f^\ast (\varphi) \pdef \varphi \circ f$ und die {\bf Integration "uber die Fasern}\index{Integration "uber die Fasern} $(f_! (\psi))(y) \pdef \sum_{x \in f^{-1} (y)} \psi (x)$. Hier ist $f^\ast$ sogar f"ur eine Abbildung $f$ von beliebigen Mengen sinnvoll definiert und $f_!$ zumindest noch f"ur jede Abbildung $f$ mit endlichen Fasern. Es gilt $(f\circ g)_! = f_! \circ g_!$ und $(f \circ g)^\ast = g^\ast \circ f^\ast$. Weiter vertauscht $f^\ast$ mit dem Produkt von Funktionen und in kartesischen Diagrammen mit endlichen Fasern in den Vertikalen \begin{displaymath} \xymatrix{\kart Z \ar[r]^-{p} \ar[d]_-{g}& X \ar[d]^-{f}\\ W \ar[r]_-{q} & Y } \end{displaymath} gilt die {\bf Basiswechselformel}\index{Basiswechselformel} $q^\ast \circ f_! = g_!\circ p^\ast$. Gegeben eine endliche Menge $X$ und die konstante Abbildung $c:X\ra \op{pt}$ auf einen Punkt erhalten wir schlie"slich f"ur die Kardinalit"at $|X|$ von $X$ mit der Notation $1\in \op{Ens} (\op{pt}, \DN)$ f"ur die konstante Funktion Eins die Beschreibung $$|X|1= c_!c^\ast 1$$ Gegeben eine Abbildung $f:X\ra Y$ konstruieren wir nun entsprechende Funktoren \begin{displaymath} \op{Mod}_k/X \begin{array}{c}f_{!} \\[-1ex]\longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow \\[-1ex] f^\ast \end{array} \op{Mod}_k/Y \end{displaymath} Sie hei"sen das {\bf Zur"uckholen}\index{Zur"uckholen} $(f^\ast\mathcal G)_x \pdef \mathcal G_{f(x)}$ und die {\bf Integration "uber die Fasern}\index{Integration "uber die Fasern} $(f_! \mathcal F)_y \pdef \bigoplus_{x \in f^{-1} (y)} \mathcal F_x$. Wir erhalten so ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{Modf}_k/Y & \stackrel{f^\ast}{\longrightarrow} & \op{Modf}_k/X\\ {\scriptstyle \op{dim}_k} \downarrow & & \downarrow {\scriptstyle \op{dim}_k} \\ \op{Ens}(Y, \mathbb N)& \stackrel{f^\ast}{\longrightarrow} & \op{Ens} (X, \mathbb N) \end{array} \end{displaymath} und f"ur Abbildungen $f$ mit endlichen Fasern auch ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{Modf}_k/X & \stackrel{f_!}{\longrightarrow} & \op{Modf}_k/Y\\ {\scriptstyle \op{dim}_k} \downarrow & & \downarrow {\scriptstyle \op{dim}_k} \\ \op{Ens}(X, \mathbb N)& \stackrel{f_!}{\longrightarrow} & \op{Ens} (Y, \mathbb N) \end{array} \end{displaymath} Die Vertr"aglichkeit von $f^\ast$ mit der Multiplikation schlie"slich "ubersetzt sich in einen kanonischen Isomorphismus $f^\ast(\mathcal F\otimes\mathcal G)\sira (f^\ast\mathcal F)\otimes(f^\ast\mathcal G)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grothendieck-Lefschetz-Fixpunktformel}] Ist $q=p^r$ eine Primzahlpotenz und $X_\circ $ eine Variet"at "uber $\mathbb F_q$, also ein separiertes Schema von endlichem Typ, so bilden wir das Schema $X \pdef X_\circ \times_{\mathbb F_{q}} \mathbb F$ "uber $\mathbb F \pdef \bar{\mathbb F}_q$. Dies Schema hat die beiden Morphismen $\op{F}_g = \op{Fr} \times \op{id}$ und $\op{F}_a = \op{id} \times \op{Fr}$ zu sich selber, den \glqq geometrischen\grqq\ und den \glqq arithmetischen\grqq\ Frobenius. Der geometrische Frobenius $\op{F}_g$ ist ein Morphismus von $\mathbb F_q$-Variet"aten, der arithmetische Frobenius ein Isomorphismus von Schemata. Die Verkn"upfung der beiden induziert die Identit"at auf der \'etalen Kohomologie: Das ist eines der fundamentalen Wunder der \'etalen Kohomologie und hat seinen Ursprung in der Tatsache, da"s wir f"ur jeden \'etalen Morphismus $Y \rightarrow Z$ von Schemata "uber $\mathbb F_q$ ein kartesisches Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\kart Y\ar[d] \ar[r] &Y \ar[d]\\ Z \ar[r] &Z } \end{displaymath} mit dem absoluten Frobenius in den Horizontalen erhalten. Man kann nun auch in diesem Fall f"ur jede von $p$ verschiedene Primzahl $l$ ein \'etales Analogon der Kohomologie mit kompaktem Tr"ager erkl"aren. Daf"ur gilt dann Grothendieck's Variante der Lefschetz'schen Fixpuntkformel \begin{equation*} |X_\circ (\mathbb F_q) | = \sum_i (-1)^i \op{tr} (\op{F}_g | {\op{H}}^i_! (X; \mathbb Q_l)) =\sum_i (-1)^i \op{tr} (\op{F}^{-1}_a | {\op{H}}^i_! (X; \mathbb Q_l)) \end{equation*} Mehr dazu findet man in diesem Text in \ref{EWKO}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Die Fixpunktformel im Fall $X_\circ=\mathbb A^n_{\mathbb F_q}$}] F"ur die Variet"at $X_\circ=\op{Spec}\mathbb F_q[T_1,\ldots,T_n]$ haben wir etwa \begin{displaymath} {\op{H}}^i_! (X;\mathbb Q_l) = \left\{ \begin{array}{cl} \mathbb Q_l & i=2n;\\ 0 & \text{sonst,} \end{array}\right. \end{displaymath} und der geometrische Frobenius $\op{F}_g$ wirkt auf ${\op{H}}^{2n}_! (X; \mathbb Q_l)$ durch Multiplikation mit $q^n$. Unsere Fixpunktformel liefert also \begin{equation*} |X_\circ (\mathbb F_{q})| = |\mathbb F_{q}^n| = (-1)^{2n} \op{tr} \left(((q^n\cdot) )\mid {\op{H}}^{2n}_! (X;\mathbb Q_l)\right) \end{equation*} und in der Tat sind hier alle Zahlen genau $q^{n}$. Dies Beispiel zeigt auch, da"s es wesentlich ist, Kohomologie mit kompaktem Tr"ager zu betrachten: F"ur die gew"ohnliche Kohomologie h"atten wir ${\op{H}}^0 (X; \mathbb Q_l) = \mathbb Q_l$ mit trivialer Frobeniusoperation und ${\op{H}}^i (X;\mathbb Q_l)=0$ falls $i > 0$ und unsere Fixpunktformel w"are falsch. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Als Analogon mag man $X_\circ = \op{Spec} \mathbb R [T_1, \ldots, T_n]$ betrachten und auf $X_\circ \times_{\mathbb R} \mathbb C = \mathbb C^n$ das Analogon zum arithmetischen Frobenius $\op{id} \times \gamma$ betrachten, mit $\gamma : \mathbb C \rightarrow \mathbb C$ der komplexen Konjugation. Das Analogon der \'etalen Kohomologie w"are in diesem Fall die Kohomologie des zugrundeliegenden topologischen Raums mit seiner metrischen Topologie. Dann operiert $(\op{id}\times \gamma)$ durch Multiplikation mit $(-1)^n$ auf ${\op{H}}^{2n}_! (\mathbb C^n; \mathbb Q)$, da $(\op{id} \times \gamma)$ die Orientierung in dieser Weise "andert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktionen-Garben-Korrespondenz}] Jeder Variet"at $X_\circ$ "uber $\mathbb F_q$ ordnet Grothendieck nun f"ur jede Primzahl $\ell\neq q$ eine triangulierte $\DQ_\ell$-Kategorie $\op{Der}^c (X_\circ ; \mathbb Q_l)$ von \glqq kohomologisch konstruierbaren Komplexen \'etaler Garben auf $X_\circ$\grqq\ zu und jedem Morphismus $ f : X_\circ \rightarrow Y_\circ$ von $\mathbb F_q$-Variet"aten triangulierte $\DQ_\ell$-lineare Funktoren, das \glqq eigentliche direkte Bild\grqq\ $$f_!: \op{Der}^c (X_\circ ; \mathbb Q_l)\ra \op{Der}^c (Y_\circ ; \mathbb Q_l)$$ und das \glqq inverse Bild\grqq\ $$f^\ast: \op{Der}^c (Y_\circ ; \mathbb Q_l)\ra \op{Der}^c (X_\circ ; \mathbb Q_l)$$ Dann betrachtet er die \glqq Spurabbildungen\grqq\ $\op{Tr}: \op{Der}^c (X_\circ ; \mathbb Q_l)\ra \op{Ens}(X_\circ (\mathbb F_{q}), \mathbb Q_l)$ gegeben durch die Vorschrift $ \op{Tr} (\mathcal F_\circ ) : x \mapsto \sum_i (-1)^i \op{Tr}(\op{F}_g^\ast \mid \mathcal H^i \mathcal F_x) $ mit $\mathcal F \pdef \mathcal F_\circ \times_{\mathbb F_q} \mathbb F$ und zeigt, da"s man kommutative Diagramme \begin{displaymath} \begin{array}{ccc} \op{Der}^c (X_\circ ; \mathbb Q_l) & \begin{array} {c}f_{!}\\[-1ex]\longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow \\[-1ex] f^\ast \end{array} & \op{Der}^c (Y_\circ ; \mathbb Q_l)\\ \op{Tr} \downarrow & & \downarrow \op{Tr}\\ \op{Ens}(X_\circ (\mathbb F_{q}), \mathbb Q_l)& \begin{array} {c}f_{!}\\[-1ex]\longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow \\[-1ex] f^\ast \end{array} & \op{Ens} (Y_\circ (\mathbb F_{q}), \mathbb Q_l) \end{array} \end{displaymath} erh"alt. Des weiteren entspricht das Tensorieren von Garben hierbei dem Produkt von Funktionen, in Formeln gilt also $$\op{Tr} (\mathcal F_\circ \otimes \mathcal G_\circ)= \op{Tr} (\mathcal F_\circ) \cdot \op{Tr}_r (\mathcal G_\circ)$$ Zusammengenommen ist das die \glqq Garben-Funktionen-Korrespondenz von Grothendieck\grqq. Ist speziell $Y_\circ=\op{pt}_\circ$ ein Punkt und $1$ die konstante Funktion darauf und $f=c:X_\circ\ra \op{pt}_\circ$ die konstante Abbildung, so erhalten wir die Spurformel aus der offensichtlichen Identit"at $|X_\circ(\mathbb F_q)|1= c_!c^\ast 1$ in $\op{Ens} (\op{pt}_\circ (\mathbb F_{q}), \mathbb Q_l)$ vermittels unserer kommutativen Diagramme aus $1=\op{Tr}(\DQ_\ell)$ mit $\DQ_\ell\in \op{Der}^c (\op{pt}_\circ ; \mathbb Q_l)$ der konstanten Garbe $\mathbb Q_l$ auf dem Punkt als $$|X_\circ(\mathbb F_q)|1= c_!c^\ast 1=c_!c^\ast \op{Tr}(\DQ_\ell)=\op{Tr}(c_!c^\ast \DQ_\ell)$$ und das erweist sich als die Beschreibung der Kardinalit"at durch die Spurformel, die so ein Spezialfall der allgemeinen Funktionen-Garben-Korrespondenz wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge} Eine \'etale Garbe von $k$-Vektorr"aumen hei"st {\bf konstant}\index{konstant!\'etale Garbe}\index{etale Garbe@\'etale Garbe!konstante} genau dann, wenn sie isomorph ist zu ${\op{fin}}^\ast V$ f"ur $V$ ein $k$-Vektorraum und ${\op{fin}}: X_\circ \ra \op{Spec} \mathbb F$ der konstante Morphismus und $V$ die \'etale Garbe auf $\op{Spec} \mathbb F$, die durch Garbifizierung aus der konstanten Pr"agarbe $V$ entsteht, die jedem \'etalen Morphismus eben $V$ zuordnet. Eine \'etale Garbe hei"st {\bf lokal konstant}\index{lokal konstant!\'etale Garbe}\index{etale Garbe@\'etale Garbe!lokal konstante} genau dann, wenn es eine "Uberdeckung gibt derart, da"s ihre Einschr"ankung auf jeden der "uberdeckenden R"aume konstant ist. Eine \'etale Garbe auf $X_\circ$ hei"st {\bf konstruktibel}\index{konstruktibel!\'etale Garbe}\index{etale Garbe@\'etale Garbe!konstruktible} genau dann, wenn jedes irreduzible abgeschlossene Unterschema $Z_\circ \As X_\circ$ seinerseits ein nichtleeres offenes Unterschema besitzt, auf dem unsere Garbe lokal konstant ist von endlichem Rang. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskret-eigentliche Schmelzkofaserung}] Wir w"ahlen einen K"orper $k$ und erkl"aren einen Schmelzfunktor $$k\op{-Mod}_{/{\op{kEns}}}\ra \op{kEns}$$ F"ur die Ausgangsschmelzkategorie nehmen wir als Objekte Paare $(X,\mathcal F)$ aus einer Menge $X$ mit der diskreten Topologie und einer Garbe $\mathcal F\in k\op{-Mod}_{/X}$. Eine Verschmelzung von Garben $\phi: \mathcal F_1\curlyvee\ldots \curlyvee\mathcal F_r \ra \mathcal G$ "uber einer Verschmelzung der Basis alias einer Abbildung $f: X_1\times\ldots\times X_r\ra Y$ erkl"aren wir als eine Familie multilinearer Abbildungen $$\phi:\mathcal F_1(x_1)\times\ldots \times\mathcal F_r(x_r) \ra \mathcal G(f(x_1,\ldots,x_r))$$ f"ur alle $x_i\in X_i$ auf den Halmen in einer etwas ungew"ohnlichen Notation f"ur die Halme unserer Garben. Wir erhalten so eine Schmelzkofaserung, f"ur die die offensichtlichen Verschmelzungen $\mathcal F_1\curlyvee\ldots \curlyvee\mathcal F_r \ra f_!(\mathcal F_1\boxtimes\ldots \boxtimes\mathcal F_r)$ kokartesisch sind.\label{deS} In etwas gr"o"serer Allgemeinheit diskutieren wir das in \ref{ferg}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren eine {\bf total endlichdimensionale Garbe von $k$-Moduln auf $X$} als eine Garbe auf der diskreten Menge $X$ mit endlichdimensionalen Halmen und endlichem Tr"ager und notieren die Kategorie dieser Garben $k\op{-Mod}_{/X}^{\op{ted}}$. Das Bilden der Dimension der Halme liefert eine Abbildung $$\op{dim}_{/X}: k\op{-Mod}_{/X}^{\op{ted}} \ra \op{Ma"s}_!(X)$$ mit $\op{dim}_{/{\op{kEns}}} \circ f_!= f_!\circ \op{dim}_{/{\op{kEns}}} $. Hier notiere ich $f_!$ die Summation "uber die Fasern, die ich in \ref{skfhs} noch $f_*$ notiert hatte.\label{adf} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Schmelzkategorie $k\op{-Mod}_{/{\op{kEns}}}$ hat stabil universelle Verschmelzungen $\mathcal F_1\curlyvee\ldots \curlyvee\mathcal F_r \ra \mathcal F_1\boxtimes\ldots \boxtimes\mathcal F_r$. Ihre universelle Leerverschmelzung landet im leeren Boxprodukt $\boxtimes=(k,\op{ens})$, der Garbe $k$ "uber dem einelementigen Raum, mit dem Element $1\in k$ als Ziel der universellen multilinearen Abbildung aus der leeren Familie von $k$-Vektorr"aumen. Diese Schmelzkategorie ist also eine Trennschmelzkategorie in eindeutiger Weise. \end{Bemerkungl} \subsection{"Alteres} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Motivation f"ur die Spezialisierung zu $q=1$}] F"ur besonders einfache Variet"aten $X_\circ$ "uber $\mathbb F_p$, und in der Darstellungstheorie sind wir oft in diesem Fall, sind alle Eigenwerte des Frobenius auf der Kohomologie Potenzen von $p$. Dann gibt es sogar ein Polynom $P_X\in\DZ['q]$ mit $P_X(p^r)=|X_\circ(\mathbb F_{p^r})|$ f"ur alle $r\geq 1$ und $P_X(1)=\chi_!(X)$ ist das \'etale Analogon \begin{equation*} \chi_! (X) = \sum_i (-1)^i \dim_{\mathbb Q} {\op{H}}^i_! (X;\mathbb Q_l) \end{equation*} unserer Eulercharakteristik mit kompaktem Tr"ager \ref{EUCK} von eben. Wenn es den K"orper $\mathbb F_{1}$ mit einem Element g"abe, den es nun leider in unserer Begriffswelt nicht geben kann, so h"atten wir wegen $1=p^0$ sogar $\chi_!(X)=P_X(1)=|X_\circ(\mathbb F_{1})|$. Diese "Uberlegungen m"ogen erkl"aren, warum wir auch im weiteren oft daran interessiert sein werden, $q$ zu $1$ zu spezialisieren. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl} Wir betrachten nun die einpunktige Menge $\op{ens}$ alias das finale Objekt in der Kategorie $\op{Ens}$ der Mengen und das Auswerten $$\op{Wert} : \op{Ens} (\op{ens}, \mathbb Z) \rightarrow \mathbb Z$$ Gegeben eine endliche Menge $X$ betrachten wir die konstante Abbildung ${\op{fin}} = {\op{fin}}_X : X \rightarrow \op{ens}$. Weiter betrachten wir auf der einpunktigen Menge $\op{ens}$ konstante Funktion $\underline{\op{ens}}$ mit dem Wert Eins, und bezeichnen mit $\underline{X}\pdef{\op{fin}}^\ast \underline{\op{ens}}$ die konstante Funktion Eins auf der Menge $X$. Dann k"onnen die Kardinalit"at von $X$ schreiben als $$ \op{Wert} ({\op{fin}}_!{\op{fin}}^\ast \underline{\op{ens}}) = \op{Wert} ({\op{fin}}_! \underline{X})=\int_X 1= |X| $$ mit der alternativen Notation $\int_X\pdef \op{Wert} {\op{fin}}_!$ und der Abk"urzung $1$ f"ur die konstante Funktion Eins auf $X$. F"ur $i_y : \op{ens} \hookrightarrow Y$ die Einbettung mit Bild $y\in Y$ und $X_y = f^{-1} (y)$ die Faser "uber $y$ und $j:X_y\hra X$ ihre Einbettung nach $X$ haben wir feiner $$\op{Wert } (i_y^\ast f_! \underline{X})= \op{Wert } ({\op{fin}}_!j^\ast \underline{X}) =\int_{X_y}1= |X_y|$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Statt Funktionen betrachten wir zun"achst einmal Zahlen. Jeder endlichen Menge $X$ kann man die Zahl $|X|$ ihrer Elemente zuordnen. In diesem Kontext gelten die Formeln $|X \times Y| = |X|\cdot |Y|$ f"ur endliche Mengen $X$$,Y$ und $|U \cup V| = |U| + |V| - |U\cap V|$ f"ur beliebige Teilmengen $U,V\subset X$ einer endlichen Menge. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine m"ogliche Verallgemeinerung dieses Konzepts zu allgemeineren topologischen R"aumen $X$ ist unter geeigneten Endlichkeitsannahmen die Euler-Charakteristik \begin{equation*} \chi (X) \pdef \sum_i (-1)^i \dim_{\mathbb Q} {\op{H}}_i(X; \mathbb Q) \end{equation*} Sie ist wohldefiniert, wenn die totale Homologie endlichdimensional ist. Sie ist deshalb eine gute Verallgemeinerung f"ur die Kardinalit"at endlicher Mengen, weil einerseits gilt $\chi (X) = |X|$ f"ur $X$ eine endliche Menge mit ihrer diskreten Topologie, und andererseits $\chi (X \times Y) = \chi (X) \chi (Y)$ sowie $\chi (U \cup V) = \chi (U) + \chi (V) - \chi (U\cap V)$ f"ur $U, V \co X$, wann immer alle diese Euler-Charakteristiken wohldefiniert sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine noch bessere Verallgemeinerung f"ur lokal kompakte Hausdorff\-r"aume $X$ ist die \glqq Euler-Charakteristik mit kompaktem Tr"ager\grqq\ \label{EUCK} \begin{equation*} \chi_! (X) \pdef \chi_! (X;\DQ) \pdef \sum_i (-1)^i \dim_{\mathbb Q} {\op{H}}^i_! (X;\mathbb Q) \end{equation*} mit\index{chi@$\chi_{~!} (X)$ Euler-Charakteristik mit kompaktem Tr"ager} der Notation ${\op{H}}^i_!$ f"ur die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager, die meist ${\op{H}}^i_c$ notiert wird. Dann gilt zus"atzlich sogar $ \chi_! (X) = \chi_! (U) + \chi_! (Y) $ wann immer $X = U \cup Y$ eine Zerlegung ist in eine offene Teilmenge $U \co X$ und ihr abgeschlossenes Komplement $Y = X \backslash U \As X$, immer unter der Voraussetzung, da"s alle diese Euler-Charakteristiken wohldefiniert sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine m"ogliche Verallgemeinerung zu lokal kompakten Hausdorffr"aumen besteht darin, jeder stetigen Abbildung $f : X \rightarrow Y$ die triangulierten Funktoren \begin{displaymath} \op{Der}^+ (\mathbb Q\op{-Mod}/X) \begin{array}{c} f_{!}\\[-1ex]\longrightarrow \\[-1ex] \longleftarrow \\[-1ex] f^{\ast} \end{array} \op{Der}^+ (\mathbb Q\op{-Mod}/Y) \end{displaymath} zwischen den gegen die Pfeile beschr"ankten derivierten Kategorien von Garben von $\DQ$-Vektorr"aumen auf unseren Hausdorffr"aumen zuzuordnen, die man als deriviertes eigentliches direktes Bild und als das Zur"uckholen $f^\ast=f^{-1}$ kennt. Wir notieren die konstante Garbe mit Wert $\mathbb Q$ auf dem einpunktigen Raum ${\op{top}}$ mit $$\underline{\op{top}}\in (\mathbb Q\op{-Mod}/\op{top})\;\;\subset\;\; \op{Der}^+(\mathbb Q\op{-Mod}/\op{top})$$ Erkl"aren wir schlie"slich auf der \glqq konstruktiblen derivierten Kategorie\grqq\ $$\op{Der}^c (\mathbb Q\op{-Mod}/\op{top}) \subset \op{Der}^+(\mathbb Q\op{-Mod}/\op{top})$$ mit einem $c$ f"ur franz"osisch \glqq constructible\grqq\ aller Komplexe mit endlichdimensionaler totaler Kohomologie die Abbildung \begin{displaymath} \begin{array}{cccl} \op{Dim} : &\op{Der}^c (\mathbb Q\op{-Mod}/\op{top}) &\rightarrow& \mathbb Z \\ & \mathcal F &\mapsto & \sum (-1)^i \dim_{\mathbb Q} (\mathcal {\cal{H}}^i \mathcal F) \end{array} \end{displaymath} so ergibt sich f"ur lokal kompakte Hausdorffr"aume $X$ mit wohldefinierter Eulercharakteristik mit kompaktem Tr"ager und mit der Notation ${\op{fin}}^\ast \underline{\op{top}}=\underline{X}$ f"ur die konstante Garbe $\DQ$ auf $X$ die Formel $$ \begin{array}{lll} \op{Dim} ({\op{fin}}_! {\op{fin}}^\ast \underline{\op{top}}) &=& \op{Dim} ({\op{fin}}_!\underline{X}) \\ & =& \sum (-1)^i \dim \mathcal {\cal{H}}^i ({\op{fin}}_! \underline{X}) \\ &=& \sum (-1)^i \dim {\op{H}}^i_! (X; \mathbb Q)\\ &=&\chi_! (X) \end{array} $$ Allgemeiner ergibt sich mit dem sogenanntem \glqq eigentlichen Basiswechsel\grqq, einer "Aquivalenz von Funktoren $q^\ast f_! = g_! \;p^\ast$ in kartesischen Diagrammen, f"ur die Eulercharakteristik mit kompaktem Tr"ager von Fasern, wenn sie denn wohldefiniert ist, die Identit"at \begin{equation*} \op{Dim} (i_y^\ast f_! \underline{X})= \op{Dim} ({\op{fin}}_!j^\ast \underline{X}) = \chi_! (X_y) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \subsection{Die Kategorifizierung der Hecke-Algebra}\label{KatHH} \begin{Bemerkungl} Ist $G_\circ \looparrowright X_\circ $ eine Variet"at "uber $\mathbb F_p$ mit einer Operation einer algebraischen Gruppe $G_\circ $ "uber $\mathbb F_p$, so kann man allgemeiner die "aquivariante konstruktible derivierte Kategorie \begin{equation*} \op{Der}^c_{G_{\circ}} (X_\circ ; \mathbb Q_l) \end{equation*} einf"uhren. Jeder Morphismus $(\varphi, f) : (G_\circ \looparrowright X_\circ ) \rightarrow (H_\circ \looparrowright Y_\circ )$ von Variet"aten mit Gruppenwirkung liefert dann triangulierte $\mathbb Q_l$-lineare Funktoren \begin{equation*} \op{Der}^c_{G_{0}} (X_\circ ; \mathbb Q_l) \begin{array}{c}f_!\\%[-1ex] \rightleftarrows \\%[-1ex] f^\ast \end{array} \op{Der}^c_{H_{0}} (Y_\circ ; \mathbb Q_l) \end{equation*} Im Fall der trivialen Gruppe erhalten wir unsere derivierten Kategorien von vorhin zur"uck, und ist $\varphi : G_\circ \rightarrow H_\circ $ ein Quotient nach einem Normalteiler $N_\circ \As G_\circ $ und $X_\circ \rightarrow Y_\circ $ ein \'etale lokal triviales $N_\circ $-Hauptfaserb"undel, so ist das Zur"uckholen eine "Aquivalenz \begin{equation*} \op{Der}^c_{H_{0}} (Y_\circ ; \mathbb Q_l) \overset{\sim}{\rightarrow} \op{Der}^c_{G_{0}} (X_\circ ; \mathbb Q_l) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Kategorifizierung der Hecke-Algebra erkl"aren wir nun als die f"ur die Operation von $B_\circ $ auf beiden Seiten "aquivariante derivierte Kategorie \begin{equation*} \op{Der}^c_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \end{equation*} f"ur $G_\circ $ eine reduktive Gruppe "uber $\mathbb F_p$ und $B_\circ \subset G_\circ $ eine Borel'sche. Die Konvolution wird gegeben durch die Vorschrift \begin{equation*} \mathcal F_\circ \ast \mathcal G_\circ = \overline{m}_{!} \left((\op{quot}^\ast)^{-1} \op{diag}^\ast (\op{pr}_1^\ast \mathcal F_\circ \otimes \op{pr}^\ast_2 \mathcal G_\circ )\right) \end{equation*} mit $\op{pr}_1, \op{pr}_2 : G_\circ \times G_\circ \rightarrow G_\circ $ den Projektionen, implizit zu verstehen als Morphismen von R"aumen mit Gruppenoperation f"ur die $B^4_\circ $-Operation vorne und die $B^2_\circ $-Operation hinten. Weiter meint $\op{diag}$ die Einschr"ankung der $B^4_\circ $-Operation zu einer $B^3_\circ $-Operation durch Zusammenzwicken der beiden mittleren Operationen, und $\op{quot}$ steht f"ur den Morphismus \begin{equation*} \op{quot} : (B^3_\circ \looparrowright G_\circ \times G_\circ ) \rightarrow (B^2_\circ \looparrowright G_\circ \times _{B_{\circ}} G_\circ ) \end{equation*} von R"aumen mit Gruppenwirkung. Schlie"slich steht $\overline{m}$ f"ur den von der Multiplikation auf $G_\circ$ induzierten Morphismus \begin{equation*} \overline{m} : (B^2_\circ \looparrowright G_\circ \times _{B_{{\circ}}} G_\circ ) \rightarrow (B^2_\circ \looparrowright G_\circ ) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Komposition \begin{equation*} \op{Der}^c_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \;\rightarrow \;\op{Der}^c (G_\circ ; \mathbb Q_l) \;\overset{\op{Tr}_r}{\rightarrow}\; \op{Ens}(G_\circ (\mathbb F_q),\mathbb Q_l ) \end{equation*} landet dann im Teilraum $\mathcal H_q \otimes_{\mathbb Z} \mathbb Q_l \subset \op{Ens}(G_\circ (\mathbb F_q),\mathbb Q_l )$ der $B_\circ (\mathbb F_q)$-biinvarianten Funktionen, und wir erkennen m"uhelos \begin{equation*} \op{Tr}_r (\mathcal F_\circ \ast \mathcal G_\circ ) = \op{Tr}_r (\mathcal F_\circ ) \cdot \op{Tr}_r (\mathcal G_\circ ) \end{equation*} f"ur alle $r$. Man "uberlegt sich unschwer, da"s es sogar eine Abbildung \begin{equation*} \op{Tr} : \op{Der}^c_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \rightarrow \mathcal H \otimes_{\DZ} \mathbb Q_l \end{equation*} in die entsprechend erweiterte universelle Hecke-Algebra geben mu"s, die f"ur Spezialisierung des Parameters zu einer $p$-Potenz alle die obigen $\op{Tr}_r$ liefert und die multiplikativ ist in dem Sinne, da"s gilt \begin{equation*} \op{Tr} (\mathcal F_\circ \ast \mathcal G_\circ ) = \op{Tr} (\mathcal F_\circ ) \cdot \op{Tr} (\mathcal G_\circ ) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nun k"onnen wir in unserer kategorifizierten Hecke-Algebra die Unterkategorien \begin{equation*} \op{Der}^c_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \;\supset\; \op{Der}^{c,\text{ pure }}_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \;\supset\; \op{Der}^{c,\text{ pure Tate }}_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \end{equation*} betrachten. Hier meint \glqq pure\grqq\ die im Sinne von \cite{BBD} reinen Objekte und bei \glqq pure Tate\grqq\ wird zus"atzlich gefordert, da"s alle Halme Erweiterungen von Tate-Strukturen sein sollen. Da $\overline{m} : G_\circ \times_{B_{\circ}} G_\circ \rightarrow G_\circ $ eigentlich ist, ist die Mittlere dieser Kategorien nach \cite{BBD} stabil unter Konvolution. Da die Geometrie so "uberaus einfach ist, gelingt es, dasselbe auch f"ur die Rechte dieser Kategorien zu zeigen. Sie landet unter $\op{Tr}$ in unserer universellen Hecke-Algebra selber, in Formeln \begin{equation*} \op{Tr}: \op{Der}^{c, \text{ pure Tate }}_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \rightarrow \mathcal H \end{equation*} Da wir in dieser Situation zus"atzlich wissen, da"s alle Halme rein sind, oder auch aus der allgemeinen Erkenntnis heraus, da"s in unserem Fall bei Schnittkohomologiekomplexen jede zweite Kohomologiegarbe verschwindet, liefert der Basiswechsel von $\mathbb F_p$ zu $\overline{\mathbb F}_p$ einen triangulierten Funktor \begin{equation*} \op{Der}^{c, \text{ pure Tate }}_{B_\circ \times B_\circ } (G_\circ ; \mathbb Q_l) \;\overset{\sim}{\rightarrow}\; \op{Der}^{c,\; \op{ss},\; \op{ev}}_{B\times B} (G; \mathbb Q_l) \end{equation*} wobei \glqq ss\grqq\ f"ur \glqq pervers halbeinfach\grqq\ steht und \glqq ev\grqq\ f"ur die Forderung, da"s alle ungeraden Kohomologiegruppen verschwinden sollen. Die Reinheit der Halme zeigt, da"s die Abbildung $\op{Tr}$ in die universelle Hecke-Algebra "uber diesen Funktor faktorisiert vermittels der Abbildung \begin{equation*} \mathcal F \mapsto \sum_{x,n} (\dim \mathcal {\op{H}}^{2n} \mathcal F_x) q^n T_x \end{equation*} auf $\mathcal F\in \op{Der}^{c,\; \op{ss},\; \op{ev}}_{B\times B} (G; \mathbb Q_l)$. Lassen wir schlie"slich die Bedingung \glqq ev\grqq\ fallen, so kann man diese Abbildung erweitern zu einer immer noch mit der Konvolution vertr"aglichen Abbildung von $\op{Der}^{c,\; \op{ss}}_{B\times B} (G; \mathbb Q_l)$ in die durch eine formale Wurzel $\sqrt{q}$ des Parameters erweiterte Hecke-Algebra vermittels der Vorschrift \begin{equation*} \mathcal F \mapsto \sum_{x,n} (\dim \mathcal {\op{H}}^n \mathcal F_x) \sqrt{q}^n T_x \end{equation*} In dieser Gestalt trifft man unsere Kategorifizierung oder vielmehr die zugeh"orige \glqq Dekategorifizierung\grqq\ "ublicherweise an. \end{Bemerkungl} \newpage \subsection{Frage von Annette} Wir betrachten die Spektalsequenz der Kohomologie f"ur die Faserung \begin{equation*} U(k-1) \hookrightarrow U(k) \twoheadrightarrow S^{2k-1} \end{equation*} In diesem Fall ist der $E_2$-Term ${\op{H}}^p (S^{2k-1}; {\op{H}}^q (U(k-1))) = E^{p,q}$ bereits der $E_{\infty}$-Term. Es gibt nun eine Filtrierung ${\op{H}}^n (U(k)) = F^n_0 \subset F^n_1 \subset \ldots \subset F^n_n \subset 0$ die vertr"aglich ist mit dem Cup-Produkt, $F_s^n x F_t^m$ landet also in $F_{s+t}^{n+m}$, und Isomorphismen $F_p^n /F^n_{p+1} \overset{\sim}{\longrightarrow} E_\infty^{p,n-p}$ derart, da"s das auf unseren Subquotienten induzierte Produkt unter diesen Identifikationen bis auf ein auch bekanntes Vorzeichen mit dem offensichtlichen Produkt der $E_2$-Terme "ubereinstimmt. Das alles steht in [Hatcher, Spectral Sequences]. Trage ich $p$ nach rechts auf und $q$ nach oben, so haben die nichtverschwindenden Terme die Struktur %Bild einf"ugen Jetzt haben wir etwa \begin{equation*} E^{2k-1,0} \overset{\sim}{\longrightarrow} F^{2k-1}_{2k-1}/0 \supset {\op{H}}^{2k-1} (U(k)) \end{equation*} und ein Erzeuger links geht wohl auf dies \glqq Chern-Klassen-Element\grqq. Multiplizieren wir das mit irgendeinem Repr"asentanten eines Erzeugers von von $F_0^{(k-1)^2}/F_1^{(k-1)^2}$ in ${\op{H}}^{(k-1)^2} (U(K))$, so erhalten wir also einen Erzeuger von ${\op{H}}^{k^{2}} (U(k))$. Es ist ja wohl weiter so, da"s kommutiert \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^{(k-1)^2} U(k) \ar[rr]^-{\op{res}}\ar@{->>}[dr]& &{\op{H}}^{(k-1)^2}U(k-1) \ar[dl]_{\sim}\\ &F_0^{(k-1)^2}/F_1^{(k-1)^2} & } \end{displaymath} Weiter sollten diese \glqq Chern-Klassen-Elemente\grqq\ restringieren zu Chern-Klassen-Elementen. Das w"urde dann die Behauptung zeigen. \subsection{Filtrierte derivierte Kategorie} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ bezeichne \begin{equation*} \op{Fil} \mathcal A \supset \op{Fil}^{\op{b}} \mathcal A \end{equation*} die Kategorie aller Objekte $A$ mit einer Filtrierung $\ldots \supset A^{\geq i} \supset A^{\geq i +1} \supset \ldots$ beziehungsweise einer beschr"ankten Filtrierung, also $A^{\geq i} = A$ f"ur $i \ll 0$ und $A^{\geq i} =0$ f"ur $i \gg 0$. Morphismen in $\op{Fil} \mathcal A$ sind per definitionem filtrierungsvertr"agliche Morphismen in $ \mathcal A$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Dann betrachten wir die Kategorie \begin{equation*} \op{Fil}^{\op{b}} (\op{Ket} \mathcal A) \end{equation*} aller Komplexe in $\mathcal A$ mit einer beschr"ankten Filtrierung durch Unterkomplexe. Wir k"onnen sie als volle Unterkategorie \begin{equation*} \op{Fil}^{\op{b}} (\op{Ket} \mathcal A) \subset \op{Ket} (\op{Fil} \mathcal A) \end{equation*} aller derjenigen Komplexe von filtrierten Objekten auffassen, bei denen die Filtrierung \glqq uniform beschr"ankt\grqq\ ist. Die Objekte dieser Unterkategorie bilden dann auch ein Verdiersystem $\op{Fil}^{\op{b}} (\op{Ket} \mathcal A)_h$ der triangulierten Kategorie $\op{Hot} (\op{Fil} \mathcal A)$, und in diesem Verdiersystem k"onnen wir hinwiederum das Verdiersystem aller der Objekte erkl"aren, die azyklisch sind in dem Sinne, da"s jede Filtrierungsstufe einen exakten Komplex liefert. Der Quotient \begin{equation*} \op{Fil}^{\op{b}} (\op{Ket} \mathcal A)_h / \text{(azyklische)} \end{equation*} hei"st dann die {\bf filtrierte derivierte Kategorie} \index{filtrierte derivierte Kategorie} \index{derivierte Kategorie!filtrierte} von $\mathcal A$ und wir notieren ihn \begin{equation*} \op{filDer} (\mathcal A) \end{equation*}\index{filDer@$\op{filDer}$ filtrierte derivierte Kategorie} \end{Bemerkungl} \subsection{"Uberbleibsel Kategorientheorie} \begin{Definition}\label{KoKan}%\label{KoKa} \emph{Wohin?} Sei $\mathcal C$ eine Kategorie und $\mathcal D \subset \mathcal C$ eine Unterkategorie mit denselben Objekten, aber h"ochstens einem Morphismus zwischen je zwei Objekten, der dar"uber hinaus, wenn es ihn denn gibt, in $\mathcal D$ invertierbar ist. So definieren wir die {\bf l"angs $\mathcal D$ kontrahierte Kategorie $\mathcal C_{\mathcal D}$}\index{kontrahierte Kategorie} wie folgt: Objekte sind "Aquivalenzklassen von Objekten von $\mathcal C$, wobei zwei Objekte als "aquivalent zu betrachten sind genau dann, wenn es zwischen ihnen einen Morphismus aus $\mathcal D$ gibt. Gegeben zwei Objekte $A,B \in \mathcal C_{\mathcal D}$ erkl"aren wir Morphismen $\mathcal C_{\mathcal D} (A,B)$ als die "Aquivalenzklassen in der Vereinigung \begin{equation*} \bigcup_{A^\prime \in A, \; B^\prime \in B} \mathcal C (A^\prime, B^\prime) \end{equation*} unter der "Aquivalenzrelation $f \sim g f h$ f"ur $f \in \mathcal C (A^\prime, B^\prime)$ und $h: A^{\prime\prime} \rightarrow A^\prime$ sowie $g: B^\prime \rightarrow B^{\prime\prime}$ Morphismen in $\mathcal D$. Die Komposition von Morphismen in der kontrahierten Kategorie $\mathcal C_{\mathcal D}$ ist die offensichtliche. Man erkennt unschwer, da"s mit diesen Definitionen der offensichtliche Funktor $\mathcal C \rightarrow \mathcal C_{\mathcal D}$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist. \end{Definition} \section*{Arbeiten von Grothendieck} \begin{enumerate} \item Wir kennen $\mathbb P^n \mathbb C = (\mathbb C^{n+1} \backslash 0) / \mathbb C^x$ als komplex-analytische Variet"at. Manche von uns kennen auch $\mathbb P^n k = (k^{n+1} \backslash 0) / k^x$ f"ur $k = \overline k$ K"orper als algebraische Variet"at. Was sollte $\mathbb P^n$ sein? Ein Schema. \item Sei $U \co \mathbb R^n$. Verallgemeinerte Funktionen auf $U$ sind definiert als gewisse Abbildungen $\mathcal C^\infty_c (U) \rightarrow \mathbb C$. \item{``Verallgemeinerte Ringe''} Schemata sind von Grothendieck definiert als gewisse Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ S: \{\op{Kringe}\} \ar[r] &\{\text{Mengen}\}\\ R \ar@{|->}[r]\ar[dd]_-{\varphi} & S(R)\ar[dd]^-{S (\varphi)}\\ \ar@{|->}[r]&\\ R^\prime \ar@{|->}[r] & S(R^\prime) } \end{displaymath} \item Beispiel: \begin{eqnarray*} \mathbb P^n : R & \mapsto &\{L \subset R^{n+1}\\ \mathbb A^n & \underset{i_0}{\hookrightarrow} & \mathbb P^n\\ R^n \owns \vec{v} &\mapsto & R (1, \vec{v}) = L \end{eqnarray*} $L$ besitzt Komplement und ist lokal frei vom Rang Eins also gibt es $f_1, \ldots , f_s \in R$ mit $\langle f_1, \ldots , f_s\rangle = R$ und $L_{f_{i}} \in R_{f_{i}}\op{-Mod}$ frei zyklislch. Also: $\mathbb P^n (\mathbb C) = \mathbb P^n \mathbb C$ \item Beispiel: $TS$ definiert durch \begin{eqnarray*} (TS)(R) &= &S (R[\epsilon])\\ (T \mathbb A^n)(\mathbb C) &=& (\mathbb C [\epsilon])^n \end{eqnarray*} $P : \mathbb A^n \rightarrow \mathbb A^m, =$ \end{enumerate} \newpage \section{Schnittkohomologie}\index{Schnittkohomologie} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine kompakte orientierte $n$-Mannigfaltigkeit $M$ definiert die Schnittpaarung \begin{equation*} {\op{H}}_p (M;\mathbb Q) \times {\op{H}}_{n-p} (M;\mathbb Q) \rightarrow \mathbb Q \end{equation*} nach \ref{SPP} Isomorphismen ${\op{H}}_p (M;\mathbb Q) \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}_{n-p} (M; \mathbb Q)^\ast$. Gegeben eine zusammenh"angende kompakte orientierbare $n$-Mannigfaltigkeit $M$ liefert anders gesagt das partielle Auswerten einem Erzeuger $\omega$ der h"ochsten Homologiegruppe die Isomorphismen \begin{equation*} \cap \omega : {\op{H}}^{n-p} M \overset{\sim}{\rightarrow} {\op{H}}_p M \end{equation*} der Poincar\'e-Dualit"at \ref{PD}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Schw"achen wir unsere Bedingungen an $M$ ab, so gilt das im allgemeinen nicht mehr. Schn"uren wir zum Beispiel einen $2$-Torus so ein, so da"s eine Singularit"at entsteht, und ist $\pi : T \twoheadrightarrow S$ die Projektion des Torus auf den eingeschn"urten Torus, so ist $\pi_\ast$ ein Isomorphismus $\pi_\ast : {\op{H}}_2 T \overset{\sim} {\rightarrow} {\op{H}}_2 S$, aber $\pi_\ast : {\op{H}}_1 T \twoheadrightarrow {\op{H}}_1 S$ hat Kern $\mathbb Z \alpha$ f"ur eine geeignete $\mathbb Z$-Basis $(\alpha, \beta)$ von ${\op{H}}_1 T$. Ist $\omega \in {\op{H}}_2 T$ ein Erzeuger und sind $a,b \in {\op{H}}^1 T$ die Kohomologieklassen mit $a \cap \omega = \alpha$ und $b \cap \omega = \beta$, so gilt $\alpha \cdot \beta =1 = \langle a, \beta \rangle$ und $\langle a, \alpha \rangle = \alpha \cdot \alpha =0$. F"ur $\gamma = \pi_\ast \beta \in {\op{H}}_1 S$ der Erzeuger und $c \in {\op{H}}^1 S$ sein Duales gilt also $\langle \pi^\ast c, \alpha \rangle =0$ und $\langle \pi^\ast c, \beta \rangle =1$ und folglich $\pi^\ast c = a$. Damit erhalten wir aber \begin{equation*} c \cap \pi_\ast \omega = \pi_\ast (\pi^\ast c \cap \omega) = \pi_\ast (a \cap \omega) = \pi_\ast \alpha =0 \end{equation*} in "Ubereinstimmung mit unserer Anschauung, da"s es mit der Poincar\'e-Dualit"at auf unserem eingeschn"urten Torus $S$ nicht weit her sein kann. \end{Beispiel} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildpT}\\[4mm] \noindent Die Projektion des Torus auf den eingeschn"urten Torus \end{figure} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[height=18cm]{SkriptenBilder/Bild13Nov}\\[4mm] \noindent \end{figure} \begin{Beispiel} Sei $T = S^1 \times S^1$ ein $2$-Torus und $X = \Sigma T$ seine Suspension, also \begin{equation*} X = T \times [0,1] / \sim \end{equation*} wobei unsere "Aquivalenzrelation $\sim$ den Boden $T \times \{0\}$ und den Deckel $T \times \{1\}$ jeweils zu einem Punkt identifiziert. Nach \ref{HSus} haben wir $\tilde{{\op{H}}}_i (\Sigma T) \cong \tilde{\op{H}}_{i-1} T$ und folgern ${\op{H}}_0 (\Sigma T) \cong \mathbb Z \cong {\op{H}}_3 (\Sigma T)$, ${\op{H}}_2 (\Sigma T) \cong \mathbb Z^2$ und ${\op{H}}_1 (\Sigma T) = 0$. Auch in diesem Fall ist es mit der Poincar\'e-Dualit"at nicht weit her, der im Bild als horizontale Linie dargestellte $1$-Zykel sollte eigentlich dual zu dem schraffiert eingezeichneten $2$-Zykel sein. Er ist aber leider nullhomolog, genauer ist er zum Beispiel der Rand einer $2$-Kette, die den oberen singul"aren Punkt umfa"st. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Die Grundidee der Schnitthomologie ist nun schlicht, in geeigneter Weise alle Ketten zu verbieten, die \glqq die Singularit"aten nicht transversal genug treffen\grqq, und die Homologie des verbleibenden Kettenkomplexes zu bilden. Diese Idee wird im folgenden ausgef"uhrt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine Abbildung $f: \Delta (\mathcal K) \rightarrow \Delta (\mathcal K^\prime)$ zwischen den Polyedern von zwei Simplizialkomplexen $\mathcal K$ und $\mathcal K^\prime$ hei"st \defind{st"uckweise affin} oder auch etwas ungl"ucklich \defind{st"uckweise linear} und auf Englisch \defind{piecewise linear} oder eine \defind{pl-Abbildung} genau dann, wenn sie jeden vollen Simplex affin in einen vollen Simplex abbildet. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben zwei Triangulierungen $\Delta (\mathcal K) \overset{\sim}{\rightarrow} X$ und $\Delta (\mathcal K^\prime)\overset{\sim}{\rightarrow} X$ eines topologischen Raums hei"st die zweite eine \defind{Verfeinerung} der ersten genau dann, wenn die induzierte Abbildung $\Delta (\mathcal K^\prime) \overset{\sim}{\rightarrow} \Delta (\mathcal K)$ eine pl-Abbildung ist. \end{Definition} \begin{Definition} Ein \defind{st"uckweise linearer Raum} oder auch \defind{pl-Raum} ist ein topologischer Raum $X$ mit einer Menge $\mathcal F$ von lokal endlichen Triangulierungen derart, da"s (1) je zwei Triangulierungen $T, T^\prime \in \mathcal F$ eine gemeinsame Verfeinerung $T^{\prime\prime} \in \mathcal F$ besitzen und (2) jede Verfeinerung einer Triangulierung aus $\mathcal F$ wieder zu $\mathcal F$ geh"ort. Um nicht in Konflikt mit der Mengenlehre zu geraten, betrachten wir hierbei nur Tringulierungen durch Simplizialkomplexe, deren Eckenmenge eine Teilmenge von $X$ ist. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Abbildung $f: X \rightarrow Y$ zwischen st"uckweise linearen R"aumen $(X,\mathcal F)$ und $(Y,\mathcal G)$ hei"st \defind{st"uckweise linear} genau dann, wenn es Triangulierungen $T \in \mathcal F$ und $S \in \mathcal G$ gibt derart, da"s die induzierte Abbildung $\Delta (T) \rightarrow \Delta (S)$ st"uckweise linear ist. \end{Definition} \begin{Ubung} Jede offene Teilmenge $U$ eines st"uckweise linearen Raums $X$ hat genau eine pl-Struktur derart, da"s die Einbettung $U \hookrightarrow X$ eine pl-Abbildung wird. \end{Ubung} \begin{Definition} Eine Teilmenge $A$ eines pl-Raums $(X,\mathcal F)$ hei"st {\bf pl-ab\-ge\-schlossen}\index{pl-abgeschlossen} genau dann, wenn es eine Triangulierung $T \in \mathcal F$ gibt derart, da"s $A$ einer Vereingigung voller Simplizes von $\Delta (T)$ entspricht. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Sicher ist jede pl-abgeschlossene Teilmenge auch abgeschlossen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf pl-Pseudomannigfaltigkeit}\index{pl-Pseudomannigfaltigkeit} $X$ der Dimension $n$ ist ein pl-Raum, der die Vereinigung seiner $n$-Simplizes ist und die Eigenschaft hat, da"s jeder $(n-1)$-Simplex zu genau zwei $n$-Simplizes geh"ort, und zwar f"ur jede pl-Triangulierung. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gleichbedeutend ist die Forderung, da"s es eine pl-abgeschlossene Teilmenge $\Sigma \subset X$ gibt derart, da"s $X \backslash \Sigma$ eine dichte topologische $n$-Mannigfaltigkeit ist und in $\Sigma$ nur Simplizes einer Dimension $\leq (n-2)$ auftreten. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Perversit"at} ist eine Abbildung \begin{equation*} p : \mathbb N_{\geq 2} \rightarrow \mathbb N_{\geq 0} \end{equation*} mit $p (2) =0$ und $p (k) \leq p (k+1) \leq p (k) +1$ f"ur alle $k \geq 2$. \end{Definition} \begin{Definition} Eine \defind{Stratifizierung} einer pl-Pseudomannigfaltigkeit ist induktiv definiert \emph{(Fall $n=0$?)} als eine Folge pl-abgeschlossener Teilr"aume \begin{equation*} X = X_n \supset X_{n-1} = X_{n-2} \supset X_{n-3} \supset \ldots\supset X_0 \supset X_{-1} = \emptyset \end{equation*} so da"s gilt: \begin{enumerate} \item $X_i \backslash X_{i-1}$ ist jeweils ein glatte $i$-Mannigfaltigkeit, eventuell mit mehreren Zusammenhangskomponenten, den \defind{Strata}; \item F"ur jeden Punkt $x \in X_i \backslash X_{i-1}$ mit $i>0$ gibt es eine offene Umgebung $U\co X$ und eine stratifizierte $(n-i)$-pl-Pseudomannigfaltigkeit \begin{equation*} L_{n-i}\supset L_{n-i-1} = L_{n-i-2} \supset \ldots \supset L_0 \supset L_{-1} = \emptyset \end{equation*} und einen pl-Isomorphismus von filtrierten pl-R"aumen \begin{equation*} U \cong (U \cap X_i)\times L_{n-i} \end{equation*} \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben ein pl-Raum $(X, \mathcal F)$ erkl"art man den Komplex ${\op{C}} X = {\op{C}}(X,\mathcal F)$ seiner \defind{geometrischen Ketten} als den direkten Limes der Komplexe der Simplizialketten der Triangulierungen $T \in \mathcal F$, in Formeln \begin{equation*} {\op{C}}X = \underset{T \in \mathcal F}{\varinjlim}\; {\op{S}} \mathcal K_T \end{equation*} mit den hoffentlich offensichtlichen Verfeinerungsabbildungen $ {\op{S}} \mathcal K_T \rightarrow {\op{S}} \mathcal K_{T^\prime}$ f"ur $T^\prime$ eine Verfeinerung von $T$. F"ur eine geometrische Kette $\xi \in {\op{C}}X$ bezeichne $|\xi| \As X$ ihren Tr"ager. \end{Definition} \begin{Definition} Gegeben eine stratifizierte pl-Pseudomannigfaltigkeit $X = X_n \supset X_{n-1} = X_{n-2} \supset X_{n-3} \supset \ldots \supset X_0 \supset X_{-1} = \emptyset$ und eine Perversit"at $p$ definieren wir den Komplex der zugeh"origen \defind{Schnitt-Ketten} oder englisch \defind{intersection chains} durch die Vorschrift \begin{equation*} {\op{I}}_p {\op{C}}_i (X) = \left\{\xi \in {\op{C}}_i (X) \left| \begin{array}{rcl} \dim (|\xi |\cap X_{n-k})& \leq& i-k+p(k) \\ \dim (|\partial \xi| \cap X_{n-k}) &\leq& i - k + p (k) -1 \end{array} \forall k \right\}\right. \end{equation*} Die Schnitthomologie von $X$ zur Perversit"at $p$ ist dann definiert als die Homologie des Komplexes der Schnittketten, in Formeln \begin{equation*} {\op{I}}_p {\op{H}}_i (X) = \mathcal H_i ({\op{I}}_p {\op{C}} (X), \partial) \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Bei transversalem Schnitt w"urde man f"ur eine $i$-Kette $\xi$ erwarten, da"s der Schnitt $|\xi| \cap X_{n-k}$ die Kodimension $ (n-i)+k $ und die Dimension $i-k$ haben sollte. Je gr"o"ser die Perversit"at $p(k)$ ist, desto schw"acher werden also unsere Transversalit"atsbedingungen an die Ketten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ eine kompakte $n$-pl-Pseudomannigfaltigkeit mit einer Orientierung ihres glatten Teils, und sind $p,q$ komplement"are Perversit"aten, gilt also $p(k) + q(k) = k-2$, so erkl"aren Gorseky und MacPherson eine nichtentartete Schnittpaarung \begin{equation*} {\op{I}}_p {\op{H}}_i (X, \mathbb Q) \times {\op{I}}_q {\op{H}}_{n-i} (X,\mathbb Q) \rightarrow \mathbb Q \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Hat unsere Stratifizierung nur Strata gerader Dimension, zum Beispiel im Fall einer komplexen algebraischen Variet"at, so h"angt ${\op{I}}_p {\op{H}}_i$ nur ab von den $p(k)$ f"ur $k$ gerade. Insbesondere haben wir dann f"ur $p = (0,1,1,2,2, \ldots)$ und $q = (0,0,1,1,2,2, \ldots)$ die Gleichheit $ {\op{I}}_p {\op{H}}_i = {\op{I}}_q {\op{H}}_i $. Man spricht dann von der Schnitt-Homologie zur {\bf mittleren Perversit"at}, notiert sie $ {\op{I}} {\op{H}}_i$ und erh"alt darauf eine nichtausgeartete Schnitt-Paarung \begin{equation*} {\op{I}} {\op{H}}_i (X) \times{\op{I}}{\op{H}}_{n-i} (X) \rightarrow \mathbb Q \end{equation*} \end{Bemerkungl} \subsection{Verkleben triangulierter Kategorien} \begin{Definition} Ein {\bf Verklebedatum}\index{Verklebedatum} ist eine Sequenz $$\mathcal A\stackrel{i_\ast}{\ra} \mathcal B\stackrel{j^\ast}{\ra} \mathcal C$$ von triangulierten Kategorien und triangulierten Funktoren mit folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Die Verkn"upfung $j^\ast\circ i_\ast$ ist der Nullfunktor, der Funktor $i_\ast$ ist volltreu und induziert eine "Aquivalenz $i_\ast:\mathcal A\sirra \{M\in \mathcal B\mid j^\ast M=0\}$, und $j^\ast$ induziert eine "Aquivalenz $\mathcal B/i_\ast\mathcal A\sirra \mathcal C$; \item Beide Funktoren haben triangulierte Links- und Rechtsadjungierte. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Die Notation f"ur unsere Adjungierten aus Teil 2 der Definition fassen wir in den Formeln $(i^\ast, i_\ast=i_!, i^!)$ und $(j_!, j^!=j^\ast, j_\ast)$ zusammen. Alle diese Notationen erinnern an das fundamentale Beispiel: Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge $Y\As X$ und ihrem offenen Komplement $U\co X$ bezeichne $i:Y\hra X$ und $j:U\hra X$ die Einbettungen. So ist $$\op{Der}^+(\op{Ab}_{/Y})\stackrel{i_\ast}{\ra} \op{Der}^+(\op{Ab}_{/X}) \stackrel{j^\ast}{\ra} \op{Der}^+(\op{Ab}_{/U})$$ ein Verklebedatum. Dasselbe gilt f"ur unbeschr"ankte derivierte Kategorien, aber dann ist es etwas m"uhsamer, die Existenz der fraglichen derivierten Funktoren nachzuweisen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Sei $A$ ein Ring und $e\in A$ idempotent. Ist das Zur"uckziehen $\op{Der}((A/AeA)\op{-Mod})\ra \op{Der}(A\op{-Mod})$ volltreu, so bildet es mit dem Funktor $M\mapsto eM$ ein Verklebedatum $$\op{Der}((A/AeA)\op{-Mod})\ra \op{Der}(A\op{-Mod})\ra \op{Der}((eAe)\op{-Mod})$$ \emph{(Habe ich noch nicht selbst gepr"uft!)} \end{Beispiel} \subsection{Abschneidestrukturen} \begin{Definition} Sei ${\mathcal D}$ eine triangulierte Kategorie. Eine {\bf Abschneidestruktur}\index{Abschneidestruktur}\label{Abschn} oder {\bf t-Struktur auf ${\mathcal D}$}\index{t-Struktur} ist ein Paar $({\mathcal D}^{\leq}, {\mathcal D}^{\geq})$ von Teilmengen der Objektmenge von ${\mathcal D}$ derart, da"s mit einem Objekt auch jedes dazu isomorphe Objekt zu der entsprechenden Teilmenge geh"ort und da"s gilt: \begin{enumerate} \item $(X \in {\mathcal D}^{\leq }\text{ und } Y \in {\mathcal D}^{\geq}) \;\;\Rightarrow\;\; {\mathcal D} (X,[-1]Y) =0$; \item ${\mathcal D}^{\leq }$ ist stabil unter $[1]$ und $ {\mathcal D}^{\geq }$ ist stabil unter $ [-1]$; \item F"ur alle $X \in {\mathcal D}$ gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck $(A,X,B)$ mit $A \in {\mathcal D}^{\leq }$ und $B \in [-1]{\mathcal D}^{\geq}$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir setzen ${\mathcal D}^{\leq n} \pdef [-n]{\mathcal D}^{\leq }$ und ${\mathcal D}^{\geq n} \pdef [-n]{\mathcal D}^{\geq } $ und k"onnen mit diesen Notationen unsere Forderungen umschreiben zu den Forderungen \begin{enumerate} \item $(X \in {\mathcal D}^{\leq 0}\text{ und } Y \in {\mathcal D}^{\geq 1}) \;\;\Rightarrow\;\; {\mathcal D} (X,Y) =0;$ \item ${\mathcal D}^{\leq 0} \subset {\mathcal D}^{\leq 1}$ und $ {\mathcal D}^{\geq 0} \supset {\mathcal D}^{\geq 1};$ \item F"ur alle $X \in {\mathcal D}$ gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck $(A,X,B)$ mit $A \in {\mathcal D}^{\leq 0}$ und $B \in {\mathcal D}^{\geq 1}$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herkunft der Terminologie}] Die Terminologie \glqq t-Struktur\grqq\ ist vermutlich als Abk"urzung f"ur \glqq truncation structure\grqq\ in Bezug auf die \glqq Abschneidefunktoren\grqq\ aus \ref{Absch} entstanden, die sich nach Beispiel \ref{Bts} und Lemma \ref{RLAD} in diese neue Situation verallgemeinern lassen. \end{Bemerkungl} \begin{Satz} Ist $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq})$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$, so ist die volle Unterkategorie mit Objekten $\mathcal C = {\mathcal D}^{\leq } \cap {\mathcal D}^{\geq }$ eine abelsche Kategorie, das \emph{\bf Herz der Abschneidestruktur}.\index{Herz!von Abschneidestruktur} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis dieses Satzes wird uns bis zum Ende dieses Abschnitts besch"aftigen. Wir zeigen die Aussage als Teil von Satz \ref{HefT}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}\label{Bts} Gegeben eine kleine abelsche Kategorie $\mathcal{A}$ erhalten wir durch $$\begin{array}{ccl} \op{Der}^{\leq n} _{\mathcal A} &= & \{ X \in \op{Der} _{\mathcal A} \mid \cal{H}^i X =0 \text{ f"ur } i > n\}\\ \op{Der}^{\geq n} _{\mathcal A} & = & \{ X \in \op{Der} _{\mathcal A} \mid \cal{H}^i X =0 \text{ f"ur } i < n\} \end{array}$$ eine Abschneidestruktur auf $\op{Der} _{\mathcal A}$ und die kanonische Einbettung identifiziert $ \mathcal A$ mit dem Herz dieser Abschneidestruktur, vergleiche \ref{AgDe} folgende. \end{Beispiel} \begin{Lemma} Sei $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq })$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$. Die Einbettung ${\mathcal D}^{\geq n} \hookrightarrow {\mathcal D}$ besitzt einen Linksadjungierten $\tau^{\geq n} : {\mathcal D} \rightarrow {\mathcal D}^{\geq n}$. Die Einbettung ${\mathcal D}^{\leq n} \hookrightarrow {\mathcal D}$ besitzt einen Rechtsadjungierten $\tau^{\leq n} : {\mathcal D} \rightarrow {\mathcal D}^{\leq n}$.\label{RLAD} \end{Lemma} \begin{proof} Wir zeigen nur die erste Aussage und auch die nur im Fall $n=0$. Zu $X \in {\mathcal D}$ gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck $(A,X,B)$ mit $A \in {\mathcal D}^{\leq 0}, B \in {\mathcal D}^{\geq 1}$. Sei $Y \in {\mathcal D}^{\geq 1}$. In der exakten Sequenz \begin{equation*} {\mathcal D} ([1]A,Y)\rightarrow {\mathcal D}(B,Y) \rightarrow {\mathcal D}(X,Y) \rightarrow {\mathcal D} (A,Y) \end{equation*} verschwindet der erste und der letzte Term. Also hat $X \rightarrow B$ die universelle Eigenschaft, da"s jeder Morphismus von $X$ in ein Objekt $Y \in {\mathcal D}^{\geq 1}$ auf genau eine Weise "uber $X \rightarrow B$ faktorisiert. Also k"onnen wir unseren adjungierten Funktor erkl"aren durch $\tau^{\geq 1} X = B$. Analog finden wir $\tau^{\leq 0} X = A$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Abschneidedreieck\index{Abschneidedreieck}}] Sei $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq})$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$. So gilt: \begin{enumerate} \item F"ur jedes Objekt $X \in {\mathcal D}$ gibt es genau einen Morphismus $d : \tau^{\geq 1} X \rightarrow [1](\tau^{\leq 0} X) $ derart, da"s \begin{equation*} \tau^{\leq 0} X \rightarrow X \rightarrow \tau^{\geq 1} X \overset{d}{\rightarrow} \end{equation*} mit den Adjunktionsmorphismen als anderen Morphismen ein ausgezeichnetes Dreieck ist; \item F"ur jedes weitere ausgezeichnete Dreieck $(A,X,B)$ mit $A \in {\mathcal D}^{\leq 0}$ und $ B \in {\mathcal D}^{\geq 1}$ gibt es genau einen Morphismus von ausgezeichneten Dreiecken in das obige Dreieck, der auf $X$ die Identit"at ist, und dieser Morphismus ist ein Isomorphismus. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{proof} Kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur das Weitere vereinbaren wir die Notationen ${\mathcal D}^{>n}\pdef {\mathcal D}^{\geq n+1}$ und $\tau^{>n}\pdef\tau^{\geq n+1}$ und analog ${\mathcal D}^{ 0} X =0 \;\;\Leftrightarrow\;\; {\mathcal D} (X,Y) = 0 \quad \forall Y \in {\mathcal D}^{>0}$. \end{enumerate} \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Insbesondere sind bei einer Abschneidestruktur $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq })$ sowohl ${\mathcal D}^{\leq }$ als auch ${\mathcal D}^{\geq }$ stabil unter dem Bilden direkter Summanden. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Man betrachte das ausgezeichnete Dreieck $(\tau^{< 0} X, X, \tau^{\geq 0} X) = (0,X,X)$ und beachte ${\mathcal D} (Y,X) = {\mathcal D} (Y,\tau^{<0} X)$. Der Beweis von Teil 2 geht analog. \end{proof} \begin{Lemma}Gegeben $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq })$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$ und $(X,Y,Z)$ ein ausgezeichnetes Dreieck haben wir $X,Z \in {\mathcal D}^{\geq a} \Rightarrow Y \in {\mathcal D}^{\geq a}$ sowie $X,Z \in {\mathcal D}^{\leq a} \Rightarrow Y \in {\mathcal D}^{\leq a}$.\label{Traa} \end{Lemma} \begin{proof} Das folgt sofort aus dem vorhergehenden Korollar \ref{Traad}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq })$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$ folgen unter der Vorausetzung $ a \leq b$ aus der Adjunktion der Verkn"upfung ${\mathcal D}^{\leq a} \rightarrow {\mathcal D}^{\leq b} \rightarrow {\mathcal D}$ sofort Isotransformationen $\tau^{\leq a} \stackrel{\sim}{\RA} \tau^{\leq a} \tau^{\leq b} \stackrel{\sim}{\RA} \tau^{\leq b} \tau^{\leq a}$ und analog $\tau^{\geq b} \stackrel{\sim}{\RA} \tau^{\geq b} \tau^{\geq a}\stackrel{\sim}{\RA} \tau^{\geq a} \tau^{\geq b}$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Gegeben $({\mathcal D}^{\leq 0}, {\mathcal D}^{\geq 0})$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$ haben wir stets $\tau^{\geq a} {\mathcal D}^{\leq b} \subset {\mathcal D}^{\leq b}$ und $\tau^{\leq a} {\mathcal D}^{\geq b} \subset {\mathcal D}^{\geq b}$. \end{Lemma} \begin{proof} Sei $X \in {\mathcal D}^{\leq b}$. Wir betrachten das ausgezeichnete Dreieck \begin{displaymath} \tau^{< a} X \rightarrow X \rightarrow \tau^{\geq a} X \rightarrow [1](\tau^{< a} X) \end{displaymath} Im Fall $a\leq b$ folgt aus $[1](\tau^{< a} X) \in {\mathcal D}^{\leq a-2}$ und \ref{Traa} unmittelbar das Gew"unschte. Im Fall $a> b$ folgern wir $\tau^{< a} X \overset{\sim}{\rightarrow} X$ und $\tau^{\geq a} X =0$. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq })$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$ und $ X \in {\mathcal D}$ sowie $a,b \in \mathbb Z$ gibt es genau einen Morphismus $\dashrightarrow$ derart, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \tau^{\leq b} X \ar[d]\ar[r] &X \ar[r] & \tau^{\geq a} X\\ \tau^{\geq a} \tau^{\leq b} X\ar@{.>}[urr]\ar@{-->}[rr]& &\tau^{\leq b} \tau^{\geq a} X\ar[u] } \end{displaymath} mit den durchgezogenen Pfeilen kommutiert. Des weiteren ist dieser Morphismus ein Isomorphismus. \end{Proposition} \begin{proof} Nach der universellen Eigenschaft von $\tau^{\geq a}$ gibt es genau einen Morphismus wie gepunktet eingezeichnet, der das Dreieck oben zum Kommutieren bringt. Nach der universellen Eigenschaft von $\tau^{\leq b}$ gibt es dann auch genau einen Morphismus wie gestrichelt eingezeichnet, der das Dreieck unten zum Kommutieren bringt. Es bleibt zu zeigen, da"s er ein Isomorphismus ist. Sei dazu ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit $a\leq b$. Die Betrachtung des Oktoaders % \begin{displaymath} \xymatrix{ & & \tau^{\geq a} \tau^{\leq b} X\ar[dr] & & \\ & \tau^{\leq b} X \ar[dr]\ar[ur]& & \tau^{\geq a} X\ar[ddr]&\\ & & X \ar[ur]\ar[drr]&& \\ \tau^{< a} X\ar[uur] \ar[urr] & &&&\tau^{> b} X}\\ \end{displaymath} beendet dann den Beweis. \end{proof} \begin{Satz}\label{HefT} Gegeben $({\mathcal D}^{\leq }, {\mathcal D}^{\geq })$ eine Abschneidestruktur auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$ gilt: \begin{enumerate} \item $\mathcal C \pdef {\mathcal D}^{\leq } \cap {\mathcal D}^{\geq }$ ist eine abelsche Kategorie; \item ${\mathcal{H}}^0 : = \tau^{\leq 0} \tau^{\geq 0} : {\mathcal D} \rightarrow \mathcal C$ ist ein kohomologischer Funktor; \item $X,Y \in \mathcal C \Rightarrow {\mathcal D} (X,[i]Y ) = 0 \quad \forall i < 0$. \item $X \rightarrow Y \rightarrow Z$ ist eine kurze exakte Sequenz in $\mathcal C$ genau dann, wenn ein Morphismus $Z \rightarrow [1]X $ existiert derart, da"s $(X,Y,Z)$ ein ausgezeichnetes Dreieck wird; \item F"ur $(X,Y, Z) $ ein ausgezeichnetes Dreieck gilt $ X,Z \in \mathcal C \Rightarrow Y \in \mathcal C$. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal C \hookrightarrow {\mathcal D}$ eine volle abelsche Unterkategorie einer triangulierten Kategorie. $\mathcal C$ hei"st {\bf zul"assig},\index{zul"assig!abelsche Unterkategorie} wenn 3 und 4 gelten, und {\bf stabil unter Erweiterungen}, wenn 5 gilt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} (PARTIELL IM CHAOS) Sei $f:X \rightarrow Y $ ein Morphismus mit $ X,Y \in \mathcal C$. Es gibt ein ausgezeichnetes Dreieck $(X, Y, Z)$ und Drehen liefert ein ausgezeichnetes Dreieck $(Y,Z,[1]X )$ und nach \ref{Traa} haben wir $ Z \in {\mathcal D}^{\leq 0} \cap {\mathcal D}^{\geq -1}$. Wir zeigen nun, da"s in dieser Situation $Y \rightarrow \tau^{\geq 0} Z$ ein Kokern von $f$ in $\mathcal C$ ist und $\tau^{\leq 0} ([-1]Z) \rightarrow X$ ein Kern. In der Tat haben wir f"ur alle $A\in\mathcal C$ eine exakte horizontale Sequenz \begin{displaymath} \xymatrix{ {\mathcal D} (X,A) &\ar[l]{\mathcal D} (Y,A) &\ar[l]{\mathcal D} (Z,A) \ar@{=}[d] &\ar[l]{\mathcal D} ([1]X,A)\\ & &{\mathcal D} (\tau^{\geq 0} Z,A) & } \end{displaymath} Sie beginnt rechts mit Null und die senkrechte Identifikation kommt aus \ref{RLAD}. Die Argumentation f"ur den Kern l"auft analog. Jetzt gilt es nur noch zu zeigen, da"s die kanonische Abbildung $\op{im}(f)\ra \op{coim}(f)$ nach \ref{InM} f"ur jedes $f$ ein Isomorphismus ist. \end{proof} \begin{displaymath} \begin{array}{cc} \xymatrix{ \tau^{\geq 0} Z\ar[ddd]_-{[1]} & &\ar[ll] Y\ar[dl]\\ &\ar[ul] Z\ar[dr]^-{[1]}&\\ & &X\ar[uu]\\ \tau^{<0} Z\ar[uur] \ar[urr]^-{[1]}&& } &\\ \downarrow &\\ \xymatrix{ \tau^{\geq 0} Z\ar[dd]_-{[1]}\ar[dr]_-{[1]} & &\ar[ll] Y\\ & \ar[dl]S\ar[ur]&\\ \tau^{<0} Z \ar[rr]^-{[1]}&&X\ar[uu]\ar[ul] } & \quad \quad\boxed{S \in d^{\leq 0} \cap {\mathcal D}^{\geq 0}} \end{array} \end{displaymath} $\op{coin} f = \op{coker} (\op{ker} f) = S = \op{ker} (\op{coker} f) = in f$. also i.).\\ iii.) Klar.\\ iv.) Klar.\\ v.) Klar.\\ ii.) $X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow \quad \quad\op{ad}$.\\ {\bf Fall 1:} $X,Y, Z \in {\mathcal D}^{\leq 0} \Rightarrow {\op{H}}^0 X \rightarrow {\op{H}}^0Y \rightarrow {\op{H}}^0 Z \rightarrow 0$ exakt. \begin{proof} Allgemein: $U \in {\mathcal D}^{\leq 0}, V \in {\mathcal D}^{\geq 0} $ \begin{eqnarray*} \Rightarrow {\mathcal D} (U,V) &=& {\mathcal D} (\tau^{\geq 0} U, V)\\ &=&{\mathcal D} (\tau^{\geq 0} U, \tau^{\leq 0} V)\\ &=&{\mathcal D} ({\op{H}}^0 U, {\op{H}}^0V). \end{eqnarray*} Jetzt: $T \in \mathcal C \rightsquigarrow$ \begin{displaymath} \xymatrix{ {\mathcal D}(X[1],T) \ar[r]\ar@{=}[d] & {\mathcal D}(Z,T) \ar[r] & {\mathcal D} (Y,T) \ar[r] & {\mathcal D} (X,T) \ar[r] & \ldots\\ 0&&&&\\ 0 \ar[r] & {\mathcal D} ({\op{H}}^0Z,T) \ar[r] & {\mathcal D}({\op{H}}^0Y,T) \ar[r] & {\mathcal D} ({\op{H}}^0X,T) & } \end{displaymath} $\forall T$. \end{proof} {\bf Fall 2:} $X \in {\mathcal D}^{\leq 0} \Rightarrow {\op{H}}^0 X \rightarrow {\op{H}}^0 Y \rightarrow {\op{H}}^0Z \rightarrow 0$ exakt. \begin{proof} \begin{eqnarray*} T \in d^{\geq 1} & \Rightarrow & {\mathcal D} (Y,T) \overset{\sim} {\leftarrow} {\mathcal D} (Z,T)\\ &\Rightarrow & \tau^{\geq 1} Y \overset{\sim}{\rightarrow} \tau^{\geq 1} Z. \end{eqnarray*} Jetzt: \begin{displaymath} \xymatrix{ & & \tau^{\leq 0} Z\ar[dr] & & \\ & \tau^{\geq 0} Y \ar[dr]\ar[ur]& & Z\ar[dddr]&\\ & & Y \ar[ur]\ar[ddrr]&& \\ X\ar[uur]\ar[urr] &&&&\\ & &&&\tau^{\geq 1} Y}\\ \end{displaymath} {\bf Fall 2*} $Z \in {\mathcal D}^{\geq 0} \Rightarrow 0 \rightarrow {\op{H}}^0 X \rightarrow {\op{H}}^0 Y \rightarrow {\op{H}}^0 Z$ exakt.\\ {\bf Allgemein:} \begin{displaymath} \xymatrix{ & &\tau^{\geq 1} X\ar[dr] & \\ & X \ar[dr]\ar[ur]& &U\ar[dd] \\ & & Y \ar[ur]\ar[dr]& \\ \tau^{\leq 0} X\ar[uur]\ar[urr] &&&Z } \end{displaymath} {\bf Aber:} ${\op{H}}^0 X \rightarrow {\op{H}}^0 Y \twoheadrightarrow {\op{H}}^0 U \rightarrow 0$ (Fall 2)\\ $0 \rightarrow {\op{H}}^0 U \rightarrow H60 Z \rightarrow H$. \end{proof} \begin{Definition} Seien ${\mathcal D}_1, {\mathcal D}_2$ triangulierte Kategorien mit Abschneidestruktur. \begin{enumerate} \item Ein triangulierter Funktor $T : {\mathcal D}_1 \rightarrow {\mathcal D}_2$ hei"st {\bf t-rechtsexakt}\index{t-rechtsexakt}\index{rechtsexakt!t-rechtsexakt}, wenn gilt $T({\mathcal D}_1^{\leq }) \subset {\mathcal D}_2^{\leq }$.\item Ein triangulierter Funktor $T : {\mathcal D}_1 \rightarrow {\mathcal D}_2$ hei"st {\bf t-linksexakt}\index{t-linksexakt}\index{linksexakt!t-linksexakt}, wenn gilt $T({\mathcal D}_1^{\geq }) \subset {\mathcal D}_2^{\geq }$.\item Ein triangulierter Funktor $T$ hei"st {\bf t-exakt}\index{t-exakt}\index{exakt!t-exakt}, wenn er t-rechtsexakt und t-linksexakt ist. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften halbexakter Funktoren}] Seien ${\mathcal D}_1, {\mathcal D}_2$ triangulierte Kategorien mit Abschneidestrukturen und Herzen $\mathcal C_1, \mathcal C_2$. Sei $T : {\mathcal D}_1 \rightarrow {\mathcal D}_2$ ein triangulierter Funktor. \begin{enumerate} \item Ist $T$ ein t-rechtsexakter Funktor, so ist ${}^pT \pdef \mathcal H^0 \circ T : \mathcal C_1 \rightarrow \mathcal C_2$ rechtsexakt. \item Ist $T$ ein t-linksexakter Funktor, so ist ${}^pT \pdef \mathcal H^0 \circ T : \mathcal C_1 \rightarrow \mathcal C_2$ linksexakt. \item Gegeben ein Paar $(L ,R)$ von zueinander adjungierten triangulierten Funktoren $R: D_1 \rightarrow D_2$ und $ L : D_2 \rightarrow D_1$ ist $L$ ein t-rechtsexakter Funktor genau dann, wenn $R$ ein t-linksexakter Funktor ist, und in diesem Fall ist auch $({}^pL, {}^pR)$ ein Paar von adjungierten Funktoren zwischen den zugeh"origen Herzen. \item Sind $F: \mathcal D_1 \rightarrow \mathcal D_2$ und $G: \mathcal D_2 \rightarrow \mathcal D_3$ trianguliert und t-linksexakt beziehungsweise t-rechtsexakt, so gilt dasselbe f"ur $G \circ F$ und wir haben \begin{equation*} {}^p (G\cdot F) = {}^pG \circ {}^pF. \end{equation*} \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist $F: \mathcal D_1 \rightarrow \mathcal D_2$ ein t-rechtsexakter Funktor, so erhalten wir f"ur jedes Objekt $X \in \mathcal D_1$ einen nat"urlichen Morphismus $F \tau^{\geq 0} X \rightarrow \tau^{\geq 0} F X$ als die nach \ref{Ehn} eindeutig bestimmte Vervollst"andigung zu einem Morphismus von Dreiecken des linken Quadrats im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ F \tau^{<0} X \ar[d] \ar[r] & F X \ar[r] \ar@{=}[d] & F \tau^{\geq 0} X \ar@{.>}[d] \ar[r]^-{[1]}&\\ \tau^{<0} F X \ar[r] & FX \ar[r] & \tau^{\geq 0}FX \ar[r]^-{[1]}& } \end{displaymath} Die linke Vertikale kommt hier von der universellen Eigenschaft des Abschneidens $\tau^{<0}$ her. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkunge} WO? UNFERTIG! Mit den Abschneidefunktoren ist es etwas komplizierter, aber ist unser dg-Ringoid $(A,d)$ konzentriert in nichtpositiven Graden und ist $M$ ein $(A,d)$-Modul, so sind $\tau^{\leq n} M$ und $\tau^{>n} M$ (nee, Quatsch!) aus \ref{Absc} offensichtlich $(A,d)$-Untermoduln und wir k"onnen mit unseren Abschneidefunktoren in der gewohnten Weise arbeiten. \end{Bemerkunge}} \subsection{Stabilit"atsbedingungen} \begin{Definition} Eine {\bf Stabilit"atsbedingung}\index{Stabilit"atsbedingung} auf einer triangulierten Kategorie $\mathcal T$ ist ein Datum bestehend aus \begin{enumerate}\renewcommand{\theenumi}{\alph{enumi}} \item [(a)] einer Abbildung $z : \mathcal T \rightarrow \mathbb C$ mit $z (X) + z (Y) + z (Z) =0$ f"ur jedes ausgezeichnete Dreieck $X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow $ in $\mathcal T$; % alias einem Gruppenhomomorphismus % $z : K (\mathcal T) \rightarrow \mathbb C$; \item[(b)] vollen additiven Unterkategorien $\mathcal P (\phi) \subset \mathcal T$ f"ur alle $\phi \in \mathbb R$, \renewcommand{\theenumi}{\arabic{enumi}} \end{enumerate} derart, da"s die folgenden Eigenschaften erf"ullt sind: \begin{enumerate} \item Gegeben $\phi \in \mathbb R$ und $E \in \mathcal P (\phi)$ mit $E \neq 0$ gilt $z (E) \in \mathbb R_{>0} \op{exp} (2 \pi {\op{i}} \phi)$; \item F"ur alle $\phi \in \mathbb R$ gilt $\mathcal P (\phi +1) = \mathcal P (\phi) [1];$ \item Gegeben $\phi > \psi$ und $A \in \mathcal P (\phi)$, $B \in \mathcal P (\psi)$ gilt $\mathcal T (A,B) = 0;$ \item Gegeben $E \in \mathcal T$ existiert eine endliche Folge $\phi_1 > \phi_2 > \ldots > \phi_n$ von reellen Zahlen und eine Folge von Objekten $A_i \in \mathcal P (\phi_i)$ und eine Folge von ausgezeichneten Dreiecken \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 = E_0 \ar[rr] & &E_{1} \ar[r]\ar[dl] &\ldots\ar[r]& E_{n-1} \ar[rr] && E_{n} = E \ar[dl]\\ &A_{1} \ar[ul]^-{[1]} & & & & A_n\ar[ul]^-{[1]} &\\ } \end{displaymath} \end{enumerate} Die Abbildung $z$ hei"st in diesem Zusammenhang die {\bf zentrale Ladung}\index{zentrale Ladung!einer Stabilit"atsbedingung} unserer Stabilit"atsbedingung. \end{Definition} \begin{Ubung} Gegeben ein weiteres Objekt $F \in \mathcal T$ und zur selben Folge $\phi_1 > \phi_2 > \ldots > \phi_n$ eine Folge von Objekten $ B_i \in \mathcal P (\phi_i)$ und eine Folge von ausgezeichneten Dreiecken \begin{displaymath} \xymatrix{ 0 = F_0 \ar[rr] & &F_{1} \ar[r]\ar[dl] &\ldots\ar[r]& F_{n-1} \ar[rr] && F_{n} = F \ar[dl]\\ &B_{1} \ar[ul]^-{[1]} & & & & B_n\ar[ul]^-{[1]} &\\ } \end{displaymath} gibt es zu jedem Morphismus $g : E \rightarrow F$ eindeutig bestimmte Morphismen $g_i : E_i \rightarrow F_i$ und $\bar g_i : A_i \rightarrow B_i$ mit $g_n=g$, die eine Folge von Morphismen von Dreiecken bilden. \end{Ubung} \begin{Beispiel} Gegeben eine artinsche Kategorie $\mathcal A$ liefert jede Abbildung \begin{equation*} \op{irr} \mathcal A \rightarrow \{z \in \mathbb C \mid \op {Im} z > 0 \} \sqcup \mathbb R_{< 0} \end{equation*} eine Stabiltit"atsbedingung auf $\op{Der}^b (\mathcal A)$. Die Harder-Narasimhan-Filtrierung auf $M \in \mathcal A$ erh"alt man wie folgt: Man nimmt unter allen Unterobjekten diejenigen mit maximaler Phase. Unter diesen gibt es genau ein maximales, denn sin $U, V \in M$ zwei Unterobjekte maximaler Phase, so zeigt die kurze exakte Sequenz \begin{equation*} U \cap V \hookrightarrow U \oplus V \twoheadrightarrow U + V \end{equation*} unmittelbar, dass auch $U + V$ diese Phase hat. Ist nun $M_{\op{max}} \subset M$ das maximale der Unterobjekte mit Phase, so ist die Phase von jedem Unterobjekt von $M/M_{\op{max}}$ echt kleiner. Eine offensichtliche Induktion liefert uns damit eine Filtrierung \begin{equation*} 0 = M_0 \subset M_1 \subset \ldots \subset M_n = M \end{equation*} mit $\phi (M_i \mid M_{i-1}) > \phi (M_j \mid M_{j-1})$ falls $i < j$. \end{Beispiel} \subsection{Perverse Garben auf $\mathbb C$} \begin{Bemerkungl} Die irreduziben perversen Garben auf $\mathbb C$ sind schnell beschrieben: Einerseits haben wir die Wolkenkratzergarben mit eindimensionalem Halm, andererseits die mittleren Ausdehnungen von irreduziblen lokal konstanten Systemen auf Komplementen endlicher Teilmengen $E \subset \mathbb C$. Nach \eref{fkp}{TF} liefert eine geeignete Wahl von Wegen von einem festen Basispunkt $p \in \mathbb C \backslash E$ zu jedem Punkt unserer endlichen Teilmenge $E$ eine "Aquivalenz von Kategorien \begin{eqnarray*} \left\{ \begin{array}{c} \text{lokal konstante}\\ \text{Systeme auf } \DC \backslash E \end{array} \right\} & \sira & \left\{ \begin{array}{c} \text{endlichdimensionale Vektorr"aume $V$}\\ \text{mit Automorphismen } (\varphi_x)_{x \in E} \end{array} \right\}\\ \mathcal L \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;& \mapsto & \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\mathcal L_p \end{eqnarray*} mit $\mathcal L_p$ dem Halm von $\mathcal L_p$ bei $p$ und $\varphi_x : \mathcal L_p \rightarrow \mathcal L_p$ gegeben durch die Operation des Weges \glqq gehe erst von $p$ mit unserem festen Weg ganz nah an $x$ heran, dann im Gegenuhrzeigersinn einmal um $x$ herum, und dann wieder mit unserem festen Weg nach $p$ zur"uck\grqq. Die mittlere Aussehnung von $\mathcal L [1]$ stimmt in diesem Fall "uberein mit dem verschobenen nichtderivierten direkten Bild \begin{equation*} j_{!\ast} \mathcal L [1] = (j_{(\ast)} \mathcal L) [1] \end{equation*} f"ur $j: \mathbb C \backslash E \hookrightarrow \mathbb C$ die Einbettung. Insbesondere kann der Halm der mittleren Ausdehnung bei $x \in E$ identifiziert werden mit den Fixpunkten der Monodromie, also mit $\op{Eig} (\varphi_x ; 1)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir besprechen perverse Garben auf $\mathbb C$, deren Einschr"ankung auf $\mathbb C^\times$ konstant ist. Wir betrachten dazu \begin{equation*} \mathbb C^\times \overset{j}{\hookrightarrow} \mathbb C \overset{i}{\hookleftarrow} \{0\} \end{equation*} Zu jedem Objekt $\mathcal F \in \op{Der}_{/\mathbb C}$ bilden wir nach \ref{KuEG} das ausgezeichnete Dreieck \begin{equation*} j_! j^! \mathcal F \rightarrow \mathcal F \rightarrow i_\ast i^\ast \mathcal F \overset{[1]}{\rightarrow} \end{equation*} mit den Einheiten und Koeinheiten der Adjunktionen als ersten beiden Morphismen. Bilden wir dazu die lange exakte Sequenz der Kohomologiegarben und beachten, da"s in unserem Fall wegen $j^! =j^\ast$ alle vier Funktoren auf Garben exakt sind und da"s f"ur $\mathcal F \in \op{Der} _{/\mathbb C}$ pervers und lokal konstant auf $\mathbb C^\times$ nur $\mathcal H^{-1} j^! \mathcal F$ von Null verschieden sein kann, so erhalten wir eine exakte Sequenz von Garben $$ i_\ast \mathcal H^{-2} i^\ast \mathcal F \hookrightarrow j_! \mathcal H^{-1} j^! \mathcal F \rightarrow \mathcal H^{-1} \mathcal F \twoheadrightarrow i_\ast \mathcal H^{-1} i^\ast \mathcal F \quad\text{ und }\quad \mathcal H^0 \mathcal F \sira i_\ast \mathcal H^0 i^\ast \mathcal F. $$ \end{Bemerkungl} \subsection{Gewichtsstrukturen} \begin{Definition} Sei ${\mathcal D}$ eine triangulierte Kategorie. Eine {\bf Gewichtsstruktur}\index{Gewichtsstruktur} oder {\bf co-t-Struktur}\index{co-t-Struktur} oder englisch {\bf weight structure}\index{weight structure} auf ${\mathcal D}$ ist ein Paar $({\mathcal D}^{w\leq }, {\mathcal D}^{w\geq })$ von Teilmengen der Objektmenge von ${\mathcal D}$ derart, da"s mit einem Objekt auch jedes dazu isomorphe Objekt und jeder direkte Summand zu der entsprechenden Teilmenge geh"ort und da"s gilt: \begin{enumerate} \item $(X \in {\mathcal D}^{w\geq }\text{ und } Y \in {\mathcal D}^{w\leq }) \;\;\Rightarrow\;\; {\mathcal D} (X,[1]Y) =0;$ \item $ {\mathcal D}^{w\leq }$ ist stabil unter $ [1]$ und ${\mathcal D}^{w\geq }$ ist stabil unter $[-1]$; \item F"ur alle $X \in {\mathcal D}$ gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck $(A,X,[1]B)$ mit $A \in {\mathcal D}^{w\geq }$ und $B \in {\mathcal D}^{w\leq }$. \end{enumerate} \nichtfinal{Mir ist nicht klar, ob man sogar fordern sollte, da"s beide Teile einer Gewichtsstruktur karoubisch sind.} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Zum Kontrast erinnere ich daran, da"s wir eine Abschneidestruktur\index{Abschneidestruktur} auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$ in \ref{Abschn} erkl"art hatten als ein Paar $({\mathcal D}^{\leq}, {\mathcal D}^{\geq})$ von Teilmengen der Objektmenge von ${\mathcal D}$ derart, da"s mit einem Objekt auch jedes dazu isomorphe Objekt zu der entsprechenden Teilmenge geh"ort und da"s gilt: \begin{enumerate} \item $(X \in {\mathcal D}^{\leq }\text{ und } Y \in {\mathcal D}^{\geq}) \;\;\Rightarrow\;\; {\mathcal D} (X,[-1]Y) =0$; \item $ {\mathcal D}^{\geq }$ ist stabil unter $ [-1]$ und ${\mathcal D}^{\leq }$ ist stabil unter $[1]$; \item F"ur alle $X \in {\mathcal D}$ gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck $(A,X,[-1]B)$ mit $A \in {\mathcal D}^{\leq }$ und $B \in {\mathcal D}^{\geq}$. \end{enumerate} Gegeben eine Gewichtsstruktur $({\mathcal D}^{w\leq }, {\mathcal D}^{w\geq })$ hat das vertauschte Paar $({\mathcal D}^{w\geq }, {\mathcal D}^{w\leq })$ mithin formal genau die Eigenschaften einer \glqq Abschneidestruktur mit invertierter Verschiebung $[-1]$ statt $[1]$\grqq. Wenn wir aber bei einer triangulierten Kategorie die Verschiebung invertieren, entsteht keinesfalls wieder eine triangulierte Kategorie, und diese kleine formale "Anderung hat weitreichende Auswirkungen. So ist insbesondere bei einer Gewichtsstruktur das ausgezeichnete Dreieck aus dem letzten Teil in keinster Weise eindeutig, im Gegensatz zum Fall einer Abschneidestruktur. Das ist auch der Grund, aus dem wir die Stabilit"at unter direkten Summanden bei einer Gewichtsstruktur zus"atzlich fordern m"ussen, wohingegen wir sie im Fall einer Abscneidestruktur folgern konnten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Gewichtsstruktur $({\mathcal D}^{w\leq }, {\mathcal D}^{w\geq })$ auf einer triangulierten Kategorie ${\mathcal D}$ vereinbaren wir die Notationen ${\mathcal D}^{w\geq n} \pdef [-n]{\mathcal D}^{w\geq 0}$ und ${\mathcal D}^{w\leq n} \pdef [-n]{\mathcal D}^{w\leq 0} $ und k"onnen damit unsere Forderungen umschreiben zu den Forderungen \begin{enumerate} \item $(X \in {\mathcal D}^{w\geq 0}\text{ und } Y \in {\mathcal D}^{w\leq -1}) \;\;\Rightarrow\;\; {\mathcal D} (X,Y) =0;$ \item ${\mathcal D}^{w\geq 1} \subset {\mathcal D}^{w\geq 0}$ und $ {\mathcal D}^{w\leq 1} \supset {\mathcal D}^{w\leq 0};$ \item F"ur alle $X \in {\mathcal D}$ gibt es ein ausgezeichnetes Dreieck $(A,X,B)$ mit $A \in {\mathcal D}^{w\geq 0}$ und $B \in {\mathcal D}^{w\leq -1}$. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Eine typische Gewichtsstruktur erh"alt man f"ur jede additive Kategorie $\mathcal I$ auf $\mathcal D\pdef \op{Hot}(\mathcal I)$ durch die Vorschriften $\mathcal D^{w\leq 0}\pdef \{X\mid \exists A\in \op{Hot}^{\leq 0}(\mathcal I)\text{ mit }A\cong X\}$ und $\mathcal D^{w\geq 0}\pdef \{X\mid \exists B\in \op{Hot}^{\geq 0}(\mathcal I)\text{ mit }B\cong X\}$. Das {\bf Herz}\index{Herz!von Gewichtsstruktur} einer Gewichtsstruktur wird definiert als $\mathcal D^{w\leq 0}\cap \mathcal D^{w\geq 0}$. In unserem Fall kann man leicht zeigen, da"s im Fall einer additiven Kategorie $\mathcal I$ mit spaltenden Idempotenten die offensichtliche Einbettung eine "Aquivalenz zwischen $\mathcal I$ und dem Herz der Gewichtsstruktur $$\mathcal I\sirra \op{Hot}^{\leq 0}(\mathcal I)\cap \op{Hot}^{\geq 0}(\mathcal I)$$ induziert. In der Tat erhalten wir zueinander inverse Homotopie"aquivalenzen $f:A\ra B$ und $g:B\ra A$, die festgelegt werden durch von uns der Einfachkeit halber mit denselben Buchstaben bezeichnete Morphismen $f:A^0\ra B^0$ und $g:B^0\ra A^0$ mit $fd=0=df$ und $dg=0=gd$. Weiter mu"s es $\delta:A^0\ra A^{-1}$ geben mit $\op{id}=gf+d\delta$ sowie $\gamma:B^1\ra B^{0}$ mit $\op{id}=fg+\gamma d$. Es folgt $(gf)^2=g(\op{id} -\gamma d)f=gf$ und damit ist $gf$ der Projektor auf einen Summanden von $A^0$. Die Behauptung folgt. \end{Beispiel} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTOP" %%% End: