\section{Der Kohomologiering} F"ur eine orientierte kompakte $n$-Mannigfaltigkeit ohne Rand $M$ darf man erwarten, da"s der anschauliche Schnitt zweier Zykel sich formalisieren l"a"st zu einer bilinearen Paarung $$H_{n-p} M \times H_{n-q} M \ra H_{n-(p+q)} M$$ Das ist auch in der Tat der Fall, aber die Konstruktion dieses sogenannten Schnittprodukt ist nicht einfach und wird uns lange besch"aftigen. Wir beginnen mit der Konstruktion des Kohomologierings, den man zwar f"ur einen beliebigen topologischen Raum recht m"uhelos konstruiert, f"ur den ich jedoch keine Anschauung anbieten kann. Eine interessante Quelle zur Entwicklung der Theorie ist \cite{HTM}. Im folgenden Abschnitt werden wir die Kohomologie erst einmal als eine Gruppe kennenlernen, und zwar gleich mit beliebigen Koeffizienten. \subsection{Kohomologiegruppen} \begin{Definition} Gegeben eine abelsche Gruppe $G$ definieren wir ganz allgemein einen Funktor $$\begin{array}{ccc} \op{Ab}& \ra & \op{Ab}^{\circ}\\ A&\mapsto &\op{Hom}(A,G) \end{array}$$ Das Bild eines Morphismus $f:A\ra B$ unter diesem Funktor ist die \defind{transponierte Abbildung} $f^t:\op{Hom}(B,G)\ra \op{Hom}(A,G),$ in anderen Worten, das \glqq Verkn"upfen mit $f$\grqq. F"ur einen topologischen Raum $X$ setzen wir $$S^{q}(X;G) = \op{Hom}(S_{q}X,G)$$ f"ur $S_{q}X=S_{q}(X;\DZ)$ und nennen die Elemente dieser Gruppe \defnoind{singul"are Koketten von $X$ mit Koeffizienten in $G$}\index{singul"are Koketten mit Koeffizienten}. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Wir k"onnen $S^{q}(X;G)$ auch interpretieren als die Gruppe aller Abbildungen von der Menge der $q$-Simplizes nach $G.$ Die Gruppe der singul"aren Ketten $S_{q}(X;G)$ mit Koeffizienten in $G$ besteht im Gegensatz dazu nur aus allen {\em fast "uberall verschwindenden} solchen Abbildungen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Eine Kokette $c\in S^{q}(X;G)$ nennen wir auch eine \defind{Kokette vom Grad $q$} und schreiben $|c|=q.$ Den Wert einer Kokette $c\in S^{q}(X;G)$ auf einer Kette $z\in S_qX$ notieren wir $\langle c,z\rangle\in G.$ Sprechen wir ohne n"ahere Spezifizierung von singul"aren Koketten, so meinen wir meist Koeffizienten in $\Bbb{Z}.$ Mit dem \defind{Korandoperator} $$\delta=-(-1)^q\partial^t: S^{q}(X;G)\ra S^{q+1}(X;G)$$ der also charakterisiert wird durch die Formel $\langle \delta c, z\rangle=-(-1)^{|c|}\langle c,\partial z\rangle,$ erhalten wir eine Sequenz von abelschen Gruppen, in der die Verkn"upfung zweier aufeinanderfolgender Morphismen stets verschwindet. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Das Vorzeichen kommt von der allgemeinen Definition des Homomorphismenkomplexes zweier Kettenkomplexe in \ref{HHKK} her: Wir betrachten in unserer speziellen Situation $G$ als einen Komplex, der im Grad Null konzentriert ist, und bilden $S^\ast( X;G)=\op{Hom}(SX,G).$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Eine Sequenz von abelschen Gruppen, bei der die Verkn"upfung aufeinanderfolgender Morphismen jeweils verschwindet, hatten wir ja einen Kettenkomplex genannt. In unserer Situation erh"ohen nun zwar die Morphismen den Grad, aber das beheben wir ganz einfach, indem wir f"ur Kettenkomplexe die Konvention einf"uhren, da"s man als alternative Notation die Indizes oben schreiben darf und dann stets Morphismen in Richtung wachsender Indizes gemeint sind. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Wir haben nun kontravariante Funktoren konstruiert von den topologischen R"aumen in die Komplexe abelscher Gruppen als die Komposition $$\op{Top}\ra\op{Ket}(\op{Ab})\ra\op{Ket}(\op{Ab})^\circ $$ wo der erste Funktor gegeben ist durch $X\mapsto SX$ und der zweite durch $C\mapsto \op{Hom}(C,G).$ Im Fall $G=\DZ$ notieren wir die Komposition $S^\ast,$ also $X\mapsto S^\ast X$ auf den Objekten und $f\mapsto S^\ast f$ auf den Morphismen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Im Kontext von Morphismen in Richtung wachsender Indizes bezeichnet man die R"ander, Zykel und Homologiegruppen meist als \defnoind{Kor"ander}\index{Korand} $B^qC,$ \defind{Kozykel} $Z^qC,$ \defind{Kohomologiegruppen} $H^qC$ und erh"alt so Funktoren $H^q$ von den Komplexen abelscher Gruppen in die abelschen Gruppen. \end{Definition} \begin{Definition} Die Kohomologiegruppen unseres Komplexes $S^{\ast}(X;G)$ der singul"aren Koketten von $X$ mit Koeffizienten in $G$ hei"sen die singul"aren \defind{Kohomologiegruppen von $X$ mit Koeffizienten in $G$} und werden bezeichnet mit $$H^{q}(S^\ast(X;G))=H^{q}_{\op{sing}}(X;G) = H^{q} (X;G)$$ Offensichtlich erhalten wir so kontravariante Funktoren von den topologischen R"aumen in die abelschen Gruppen $ H^q(\;,G):\op{Top} \ra \op{Ab}^{\circ} .$ Das Bild einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ unter diesem Funktor notieren wir $H^qf=f^\ast: H^qY\ra H^qX,$ wir haben also $(f\circ g)^{\ast} = g^{\ast}\circ f^{\ast}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Wir k"onnen auch f"ur festes $X$ die Zuordnung $G\mapsto H^q(X;G)$ auffassen als einen (kovarianten) Funktor von den abelschen Gruppen in sich selber. Ist insbesondere $G$ ein Modul "uber einem Ring $R,$ so erbt $H^q(X;G)$ diese Struktur. \end{Bemerkung} \subsection{Ein Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen} \begin{Bemerkung} Um bequem unsere bisher bewiesenen Resultate von der Homologie auf die Kohomologie "ubertragen zu k"onnen, entwickeln wir in diesem Abschnitt zun"achst noch weitere Methoden der homologischen Algebra. Ist $A'\hra A\sra A\grqq\ $ eine kurze exakte Sequenz von Moduln "uber einem Ring $R$ und ist $M$ ein weiterer $R$-Modul, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}_R(M,A')\hra \op{Hom}_R(M,A)\ra \op{Hom}_R(M,A\grqq)$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s keineswegs wieder eine Surjektion sein. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring. Ein $R$-Modul $P$ hei"st \defind{projektiv} genau dann, wenn jeder surjektive Homomorphismus $A\sra A\grqq\ $ von $R$-Moduln eine Surjektion $\op{Hom}_R(P,A)\sra \op{Hom}_R(P,A\grqq)$ induziert. \end{Definition} \begin{Beispiele} Gegeben ein Ring $R$ ist jeder freie $R$-Modul projektiv. Sind $P',P\grqq\ $ zwei $R$-Moduln und ist ihre Summe $P'\oplus P\grqq\ $ projektiv, so auch die Summanden $P'$ und $P\grqq.$ "Uber einem Ring der Gestalt $R=R'\times R\grqq\ $ f"ur zwei Ringe $R',R\grqq\ $ ist also $R'\times 0$ ein projektiver Modul, der jedoch nicht frei ist falls $R'$ und $R\grqq\ $ verschieden sind von Null. \end{Beispiele} \begin{Lemma} Sei $R$ ein Ring. Ein $R$-Modul ist projektiv genau dann, wenn er direkter Summand eines freien Moduls ist. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Nat"urlich ist jeder direkte Summand eines freien Moduls projektiv. Ist umgekehrt $P$ projektiv, so finden wir einen freien Modul $F$ und eine Surjektion $F\sra P.$ Nach Annahme induziert sie eine Surjektion $\op{Hom}_R(P,F)\sra \op{Hom}_R(P,P)$ und jedes Urbild der Identit"at auf $P$ ist dann eine Spaltung der Surjektion $F\sra P.$ \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Hauptlemma der homologischen Algebra}]\label{HLHA} Seien gegeben $R$ ein Ring, $P$ ein Komplex projektiver $R$-Moduln mit $P_q=0$ f"ur $q<0$ und $C$ ein Komplex von $R$-Moduln mit $H_q(C)=0$ f"ur $q>0.$ So induziert das Bilden der nullten Homologie eine Bijektion zwischen Homotopieklassen von Kettenabbildungen und $R$-linearen Abbildungen $$\op{Hot}_R(P,C)\sira \op{Lin}_R(H_0P, H_0C)$$ \end{Satz} \begin{proof} Als erstes zeigen wir die Surjektivit"at. Sei $\tau: H_0P\ra H_0C$ gegeben. Wir beginnen unsere Konstruktion einer Kettenabbildung $f:P\ra C,$ indem wir notgedrungen setzen $f_q=0$ f"ur $q<0.$ Wegen der Projektivit"at von $P_0$ finden wir $f_0:P_0\ra Z_0C$ derart, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} P_{0} & \overset{f_{0}}{\ra} & Z_{0}C\\ \downarrow & &\downarrow \\ H_{0} P& \overset{\tau}{\ra} & H_{0}C \end{array}$$ kommutiert. Dann landet die Verkn"upfung $f_0\partial:P_1\ra Z_0C$ sogar in $B_0C$ und wegen der Projektivit"at von $P_1$ finden wir $f_1:P_1\ra C_1$ mit $\partial f_1=f_0\partial:P_1\ra C_0.$ Haben wir bis zu einem $q\geq 1$ induktiv $f_q$ bereits gefunden mit $\partial f_q=f_{q-1}\partial,$ so gilt $\partial f_q \partial=0,$ wegen $H_q C=0$ landet also $ f_q \partial$ in $B_qC$ und wegen der Projektivit"at von $P_{q+1}$ finden wir $f_{q+1}:P_{q+1}\ra C_{q+1}$ mit $\partial f_{q+1}=f_{q}\partial$ und die Induktion l"auft. Das zeigt die Surjektivit"at. Um die Injektivit"at zu zeigen m"ussen wir pr"ufen, da"s der Kern unserer Surjektion verschwindet, da"s also eine Kettenabbildung $f:P\ra C,$ die auf der nullten Homologie die Nullabbildung induziert, schon nullhomotop ist. Wir suchen also unter dieser Voraussetzung $s_q:P_q\ra C_{q+1}$ mit $f_q=s_{q-1}\partial+\partial s_q$ f"ur alle $q.$ Wieder beginnen wir notgedrungen mit $s_q=0$ f"ur $q<0.$ Da $f_0$ nach Annahme in $B_0C$ landet finden wir auch sofort $s_0$ mit $f_0=\partial s_0.$ Haben wir bis zu einem $q\geq 0$ induktiv $s_q$ bereits gefunden mit $f_q=\partial s_q+s_{q-1}\partial,$ so folgt $\partial(f_{q+1}- s_q\partial)=(f_q-\partial s_q)\partial=0$ und $f_{q+1}- s_q\partial$ landet in $B_{q+1}C$ als da hei"st, es gibt $s_{q+1}$ mit $f_{q+1}- s_q\partial=\partial s_{q+1}.$ Das zeigt die Injetivit"at. \end{proof} \begin{Definition} Wir nennen einen Komplex \defind{beschr"ankt in Richtung der Pfeile} genau dann, wenn wir in Richtung der Pfeile gehend ab einer Stelle nur noch $C_{q} =0$ treffen. \end{Definition} \begin{Satz}[Kriterium f"ur Homotopie"aquivalenzen] \label{HKH}\hfill Sei $R$ ein Ring\\ und seien $P, Q$ zwei in Richtung der Pfeile beschr"ankte Komplexe von projektiven $R$-Moduln. Induziert eine Kettenabbildung $f: Q \ra P$ Isomorphismen auf allen Homologiegruppen, so ist $f$ bereits eine Homotopie"aquivalenz. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Das folgt durch zweifaches Anwenden der anschlie"senden technischen Proposition. \end{proof} \begin{Proposition} Sei $R$ ein Ring, $P$ ein in Richtung der Pfeile beschr"ankter Komplex von projektiven $R$-Moduln und $C$ ein beliebiger Komplex von $R$-Moduln. Induziert eine Kettenabbildung $f: C \ra P$ Isomorphismen auf allen Homologiegruppen, so besitzt $f$ ein Rechtsinverses in der Homotopiekategorie, d.h.\ es gibt $h:P\ra C$ mit $fh\simeq \op{id}_P.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir konstruieren f"ur eine beliebige Kettenabbildung $f: C \ra P$ einen Komplex $K=K (f),$ den sogenannten \defind{Abbildungskegel} von $f$ wie folgt: Wir setzen $K_{n} = C_{n-1} \oplus P_{n},$ fassen die Elemente dieser Summe als Spaltenvektoren auf und definieren den Randoperator $\partial^{K} :K_{n} \ra K_{n-1}$ durch die Matrix $$ \partial^{K} = \left(\begin{array}{cc}-\partial^{C} & 0\\ f &\partial^{P}\end{array}\right)$$ Man pr"uft m"uhelos $\partial^{K} \circ \partial^{K} =0.$ Bezeichnet $C[1]$ den verschobenen Komplex mit $(C[1])_{n} = C_{n-1}$ und Randoperator $\partial^{C[1]} = -\partial^{C},$ so ergibt sich mit den offensichtlichen Abbildungen eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $$P \hookrightarrow K(f) \twoheadrightarrow C [1],$$ und man "uberzeugt sich, da"s der Randoperator der zugeh"origen langen exakten Homologiesequenz gerade $Hf : H_{n} C \ra H_{n} P$ ist. Ist speziell $Hf$ ein Isomorphismus f"ur alle $n,$ so ist der Abbildungskegel $K(f)$ exakt nach der langen exakten Homologiesequenz, und ist zus"atzlich $P$ ein in Richtung der Pfeile beschr"ankter Komplex von projektiven $R$-Moduln, so ist nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{HLHA} die Kettenabbildung $P \hookrightarrow K(f)$ nullhomotop. Setzen wir so eine Homotopie an als Spaltenmatrix $(h,\delta)^t,$ so ergibt sich die Matrixgleichung $$ \left(\begin{array}{cc}-\partial^{C} & 0\\ f &\partial^{P}\end{array}\right) \left(\begin{array}{c}h\\ \delta\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}h\\ \delta\end{array}\right)\partial^P=\left(\begin{array}{c}0\\ \op{id}_P\end{array}\right)$$ Nach Ausmultiplizieren bedeutet die erste Zeile, da"s $h:P\ra C$ eine Kettenabbildung ist und die Zweite, da"s $fh$ homotop ist zur Identit"at auf $P.$ \end{proof} \begin{Ubung}\label{CWW} Hat ein in Richtung der Pfeile beschr"ankter Komplex $C$ von projektiven $R$-Moduln projektive Homologie, so ist er homotop zu seiner Homologie. Fassen wir genauer die Homologie $HC$ wie immer auf als Komplex mit trivialen Differentialen, so gibt es in der Homotopiekategorie der Kettenkomplexe genau einen Isomorphismus $HC\sira C,$ der auf der Homologie die offensichtliche Identifikation $H(HC)\sira HC$ induziert. \end{Ubung} \begin{comment} \begin{Kommentar} Es scheint, da"s die projektive Dimension des $\DC[X,Y,Z]$-Moduls $\DC(X,Y,Z)$ drei ist genau dann, wenn man die Kontinuumshypothese akzeptiert. Sonst ist sie zwei. \end{Kommentar} \end{comment} \subsection{Erste Eigenschaften der Kohomologie} \begin{Bemerkung} Wenden wir die nat"urliche Abbildung $H\op{Hom}(C,D)\ra \op{Hom}(HC,HD)$ aus \ref{HHKK} an mit $C=S_{\ast}X$ und $D$ dem Komplex, der nur im Grad Null lebt und dort $G$ ist, so erhalten wir eine Abbildung $H^{q}(X;G)\ra \op{Hom}(H_{q}X,G)$ alias eine $\DZ$-bilineare Abbildung, die \defind{Kronecker-Paarung} $$\begin{array}{ccc} H^{q}(X;G)\times H_{q}X &\ra& G\\ (c \; , \; z) & \mapsto & \langle c,z\rangle \end{array}$$ Ist $G$ ein Modul "uber einem Ring $k,$ so erhalten wir analog einen nat"urlichen Homomorphismus $H^{q}(X;G)\ra\op{Hom}_k( H_{q}(X;k), G)$ von Linksmoduln "uber $k,$ wobei die $k$-Operation auf dem $\op{Hom}$-Raum herkommt von der Rechtsoperation von $k$ auf $H_{q}(X;k).$ \end{Bemerkung} \begin{Lemma}\label{KW} Sind alle Homologiegruppen eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einem kommutativen Ring $k$ freie Moduln "uber $k,$ so induziert die Kronecker-Paarung mit Koeffizienten f"ur jeden $k$-Modul $G$ Isomorphismen $$H^{q}(X;G)\sira \op{Hom}_k(H_{q}(X;k),G)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Die Kohomologie eines topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einem K"orper $k$ ist insbesondere schlicht der Dualraum der Homologie, in Formeln $H^{q}(X;k)=H_{q}(X;k)^{\ast}.$ Wenden wir das Lemma an mit $k=\DZ,$ so erhalten wir Formeln f"ur die Kohomologie eines Punktes, die Kohomologie von Sph"aren etc.\ mit beliebigen Koeffizienten. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{CWW} ist unter unseren Voraussetzungen der Komplex $S(X;k)$ homotop zu seiner Homologie $H(X;k).$ Also ist auch der Komplex $S^\ast(X;G)=\op{Hom}_k(S(X;k),G)$ homotop zu $\op{Hom}_k(H(X;k),G).$ \end{proof} \begin{Ubung} (Beliebige Koeffizienten.) Sei $X=\coprod X_{k}$ die Zerlegung in Wegzusammenhangskomponenten. So gilt $H^{q}X = \prod H^{q}X_{k}.$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Wir definieren weiter die \defind{relative Kohomologie} eines Paares als die Kohomologie des Komplexes $S^{q}(X,A;G)=\op{Ab}(S_{q}(X,A),G)$ der \defnoind{relativen Koketten}\index{relative Koketten} und erhalten so einen Funktor $$H^{q}: \{\text{Raumpaare}\} \ra \{\text{Abelsche Gruppen}\}^{\circ}$$ Lemma \ref{KW} gilt mit demselben Beweis auch f"ur die relative Kohomologie. Gegeben ein Raumpaar $(X,A)$ liefern die (spaltenden) kurzen exakten Sequenzn $S_{q}A \hookrightarrow S_{q}X \twoheadrightarrow S_{q} (X,A)$ mittels Dualisierung kurze exakte Sequenzen $S^{q}A \twoheadleftarrow S^{q}X\hookleftarrow S^{q}(X,A).$ Die kurze exakte Sequenz der Komplexe der singul"aren Koketten liefert wiederum die \defind{lange exakte Kohomologiesequenz} $$0\ra H^{0}(X,A) \ra H^{0}X \ra H^{0}A \ra H^{1}(X,A) \ra \ldots $$ mit einem im Raumpaar $(X,A)$ nat"urlichen Randoperator. Dasselbe gilt auch mit beliebigen Koeffizienten. Wir "ubertragen beispielhaft noch einige weitere Aussagen auf die Kohomologie. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[\defind{Homotopie-Invarianz}]\label{HIn} Sind $f,g:X\ra Y$ homotope Abbildungen, so induzieren sie dieselben Abbildungen $H^{q}(f)=H^{q}(g)$ auf der Kohomologie. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Sind $f$ und $g$ homotop, $f\simeq g,$ so sind nach \ref{kH} die induzierten Abbildungen $Sf$ und $Sg$ kettenhomotop, $Sf\simeq Sg.$ Dasselbe gilt dann auch f"ur die transponierten Abbildungen auf den Koketten, $S^\ast f\simeq S^\ast g$ und so erhalten wir dann wie gew"unscht $H^{q}(f)=H^{q}(g).$ \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Ausschneidung}] Sei $(X,A)$ ein Raumpaar und $V\subset A$ eine Teilmenge mit $\overline{V} \subset A^{\circ}.$ So liefert die Einbettung $i:(X-V, A-V) \hookrightarrow (X,A)$ von Raumpaaren Isomorphismen auf den relativen Kohomologiegruppen, in Formeln $$H^{q} (X,A)\sira H^{q}(X-V,A-V)$$\end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Nach dem Ausschneidungssatz induziert $Si: S(X-V, A-V) \rightarrow S(X,A)$ Isomorphismen auf der Homologie und ist mithin nach \ref{HKH} eine Homotopie"aquivalenz. Dann ist auch die transponierte Abbildung $S^\ast i: S^\ast(X,A)\ra S^\ast (X-V, A-V) $ eine Homotopie"aquivalenz und induziert mithin Isomorphismen auf der Homologie. \end{proof} \begin{Ubung} Man leite in der Kohomologie eine Mayer-Vietoris-Sequenz und eine relative Mayer-Vietoris-Sequenz her. \end{Ubung} \begin{Bemerkung}\label{KoSi} Ist $\cal{K}$ ein Simplizialkomplex mit einer Anordnung der Menge seiner Ecken, so ist die Einbettung $S^{\op{os}} \Delta (\cal{K}) \hookrightarrow S \Delta (\cal{K})$ aus \ref{SH} eine Homotopie"aquivalenz nach \ref{HKH}. Folglich erhalten wir durch Anwenden von $\op{Hom}(\;,\Bbb{Z})$ wieder ein Homotopie"aquivalenz, die wir $S^{\ast}_{\op{os}} \Delta (\cal{K}) \leftarrow S^{\ast} \Delta (\cal{K})$ notieren und die mithin Isomorphismen von den singul"aren Kohomologiegruppen von $\Delta (\cal{K}) $ mit den Kohomologiegruppen des Komplexes $S^{\ast}_{\op{os}} \Delta (\cal{K})$ liefert. Die Elemente von $S^{q}_{\op{os}} \Delta (\cal{K})$ kann man auffassen als unendliche formale Linearkombinationen von $q$-Simplizes, formal haben wir eine kanonische Bijektion $S^{q}_{\op{os}} \Delta (\cal{K}) \overset{\sim}{\ra} \op{Ens} (\cal{K}_{q}, \Bbb{Z}).$ Der Korandoperator ordnet einem $q$-Simplex die formale Summe mit geeigneten Vorzeichen aller $(q+1)$-Simplizes zu, die unseren $q$-Simplex enthalten. Im Gegensatz zur Homologie f"allt es mir jedoch schwer, diese \glqq simpliziale Kohomologie\grqq\ mit Anschauung zu f"ullen. \end{Bemerkung} \subsection{Erweiterungen von abelschen Gruppen} \begin{Bemerkung} Um unsere Kohomologiegruppen aus den Homologiegruppen berechnen zu k"onnen, m"ussen wir den Begriff der \glqq Erweiterung zweier abelscher Gruppen\grqq\ einf"uhren. Ist $A'\hra A\sra A\grqq\ $ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen und ist $M$ ein weitere abelsche Gruppe, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}(M,A')\hra \op{Hom}(M,A)\ra \op{Hom}(M,A\grqq)$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s keineswegs wieder eine Surjektion sein, wie wir schon bemerkt hatten. Ist "ahnlich $B'\hra B\sra B\grqq\ $ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Gruppen und ist $N$ ein weitere abelsche Gruppe, so ist die induzierte Sequenz $$\op{Hom}(B\grqq,N)\hra \op{Hom}(B,N)\ra \op{Hom}(B',N)$$ offensichtlich linksexakt, aber der rechte Pfeil mu"s ebensowenig eine Surjektion sein. Unsere Erweiterungsgruppen sind in gewisser Weise Korrekturterme f"ur diese Ph"anomene. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Gegeben zwei abelsche Gruppen $M,N$ erkl"aren wir eine dritte abelsche Gruppe $\op{Ext} (M,N),$ die Gruppe aller \defind{Erweiterungen von $M$ durch $N$}, auf englisch und franz"osisch \defind{Extensions}, durch die Vorschrift $$\op{Ext} (M,N) = \op{cok} (\op{Hom} (\Bbb{Z} M, N) \ra \op{Hom} (K M, N)),$$ f"ur $KM\hra\Bbb{Z} M\sra M$ die Standardaufl"osung von $M$ aus \ref{TDe}. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Offensichtlich ist $\op{Ext}$ ein kovarianter Funktor in der zweiten und ein kontravarianter Funktor in der ersten Variablen. Ist $M$ frei, so spaltet die Sequenz $K M \hookrightarrow \Bbb{Z} M \twoheadrightarrow M$ und wir folgern $\op{Ext} (M,N) =0.$ \end{Bemerkung} \begin{Proposition}\label{EZE} Jede kurze exakte Sequenz $N^{\prime} \hookrightarrow N \twoheadrightarrow N^{\prime\prime}$ von abelschen Gruppen definiert eine lange exakte Sequenz, die sogenannte {\bf\em Ext-Sequenz im zweiten Eintrag} \index{Ext-Sequenz im zweiten Eintrag} $$ \begin{array}{ccccccccc}0&\ra& \op{Hom} (M,N^{\prime})& \hra& \op{Hom} (M,N) &\ra &\op{Hom} (M,N^{\prime\prime})&\ra& \\ &\ra &\op{Ext} (M,N^{\prime})&\ra& \op{Ext} (M,N)& \twoheadrightarrow &\op{Ext} (M, N^{\prime\prime}) &\ra& 0, \end{array} $$ die nat"urlich ist in der kurzen exakten Sequenz $N^{\prime} \hookrightarrow N \twoheadrightarrow N^{\prime\prime}$ und in $M.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{UFF} ist auch $KM$ frei. Wir betrachten nun die kurze exakte Sequenz von (vertikalen) Komplexen $$\begin{array}{ccccc} \op{Hom} (KM, N^{\prime}) & \hookrightarrow &\op{Hom} (KM, N) & \twoheadrightarrow & \op{Hom} (KM , N^{\prime\prime})\\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ \op{Hom} (\Bbb{Z} M, N^{\prime}) & \hookrightarrow & \op{Hom} (\Bbb{Z} M, N) & \twoheadrightarrow & \op{Hom} (\Bbb{Z} M, N^{\prime\prime}) \end{array}$$ und nehmen die zugh"orige lange exakte Homologiesequenz. \end{proof} \begin{Bemerkung} Um "ahnliche Aussagen f"ur den ersten Eintrag zu erhalten, m"ussen wir zun"achst das Konzept injektiver abelscher Gruppen diskutieren. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $R$ ein Ring. Ein $R$-Modul $I$ hei"st \defind{injektiv} genau dann, wenn f"ur jede Injektion $B^{\prime} \hookrightarrow B$ von $R$-Moduln die induzierte Abbildung $\op{Hom}_R (B,I) \ra \op{Hom}_R (B^{\prime}, I)$ surjektiv ist. \end{Definition} \begin{Beispiele} Ist $k$ ein K"orper, so ist im "Ubrigen jeder $k$-Modul alias $k$-Vektorraum injektiv als $k$-Modul (aber nat"urlich nicht notwendig als abelsche Gruppe). Einen injektiven $\Bbb{Z}$-Modul nennen wir auch eine \defind{injektive abelsche Gruppe}. Die abelsche Gruppe $\DQ$ ist injektiv. In der Tat haben wir $\op{Hom}_\Bbb{Z} (M,\DQ) = \op{Hom}_{\DQ} (\DQ \otimes_{\Bbb{Z}} M, \DQ)$ und die rechte Seite ist nach \ref{??} ein exakter Funktor in $M.$ Allgemeiner ist jeder $\DQ$-Vektorraum ein injektive abelsche Gruppe. \end{Beispiele} \begin{Definition} Eine abelsche Gruppe $A$ hei"st \defind{divisibel} genau dann, wenn es f"ur jedes $a\in A$ und jedes von Null verschiedene $n\in\Bbb{Z}$ ein $b\in A$ gibt mit $nb=a.$ \end{Definition} \begin{Proposition}\label{IAG} \begin{enumerate} \item Genau dann ist eine abelsche Gruppe $I$ injektiv, wenn gilt $\op{Ext} (M,I) =0$ f"ur alle $M.$ \item Eine abelsche Gruppe ist injektiv genau dann, wenn sie divisibel ist. \item Jeder Quotient einer injektiven abelschen Gruppe ist injektiv. \item Jede abelsche Gruppe l"a"st sich einbetten in eine injektive abelsche Gruppe. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 1. F"ur $I$ injektiv folgt $\op{Ext} (M,I) =0$ aus der Definition. Sei umgekehrt $I$ eine abelsche Gruppe mit $\op{Ext} (M,I)=0$ f"ur alle $M.$ Gegeben eine Injektion $B^{\prime} \hookrightarrow B$ gilt es, jeden Morphismus $B^{\prime} \ra I$ zu einem Morphismus $B \ra I$ auszudehnen. Dazu bilden wir das pushout-Digramm $$\begin{array}{ccc} B^{\prime} &\hookrightarrow & B\\ \downarrow && \downarrow \\ I & \hookrightarrow &Y \end{array}$$ mit einer Injektion in der unteren Horizontalen nach \ref{??}, vervollst"andigen sie zu einer kurzen exakten Sequenz $I \hookrightarrow Y \twoheadrightarrow K$ und folgern aus unserer $\op{Ext}$-Sequenz \ref{EZE} mit $M =K,$ da"s sie spaltet, in Formeln $Y \cong I \oplus K.$ Die Projektion von $Y$ auf $I$ liefert dann die gew"unschte Ausdehnung. \\[2mm]\noindent 2. Ist $I$ injektiv, so induziert f"ur alle $n\neq 0$ die Injektion $(n\cdot):\Bbb{Z}\hra\Bbb{Z}$ eine Surjektion $\op{Hom}(\Bbb{Z}, I)\sra \op{Hom}(\Bbb{Z}, I).$ W"ahlen wir hier ein Urbild $\varphi$ f"ur $\Bbb{Z}\ra I,$ $k\mapsto ka,$ so l"ost $b=\varphi(1)$ die Gleichung $nb=a.$ Jede injektive abelsche Gruppe ist also divisibel. Die Umkehrung zeigen wir mit dem Zornschen Lemma. Sei $I$ divisibel, $A'\subset A$ eine Untergruppe und $\varphi':A'\ra I$ ein Homomorphismus. Es gilt, $\varphi'$ auf ganz $A$ auszudehnen. Wir betrachten dazu die Menge aller Paare $(A_1, \varphi_1)$ mit $A'\subset A_1\subset A$ einer Untergruppe von $A$ oberhalb von $A'$ und $\varphi_1$ einer Fortsetzung von $\varphi'$ auf $A_1.$ Diese Menge ist in offensichtlicher Weise induktiv geordnet, wir finden also eine maximale Ausdehnung $(A_{\op{max}}, \varphi_{\op{max}}).$ W"are hier nicht $A_{\op{max}}=A,$ so k"onnten wir $a$ im Komplement w"ahlen und den pushout $$\begin{array}{ccc} A_{\op{max}} \cap \langle a\rangle &\hookrightarrow & \langle a\rangle \\ \downarrow && \downarrow \\ A_{\op{max}} & \hookrightarrow &A_{\op{max}} +\langle a\rangle \end{array}$$ bilden. Da $I$ divisibel ist, k"onnen wir die Einschr"ankung von $\varphi_{\op{max}}$ l"angs der linken Vertikale ausdehnen l"angs der oberen Horizontale und so sogar auf den pushout. Das aber widerspricht der Maximalit"at unserer Ausdehnung. \\[2mm]\noindent 3. Das folgt direkt aus 2, oder auch aus 1 mit der $\op{Ext}$-Sequenz \ref{EZE}. \\[2mm]\noindent 4. Eine derartige Einbettung liefert nach 2 die rechte Vertikale des pushout-Diagramms $$\begin{array}[b]{ccc} \Bbb{Z} M & \twoheadrightarrow & M\\ \downarrow & &\downarrow \\ \DQ M & \twoheadrightarrow &I \end{array}\qedhere$$ \end{proof} \begin{Proposition}\label{IAuf} \begin{enumerate} \item Seien $M$ und $N$ abelsche Gruppen. Ist $M$ frei oder $N$ injektiv, so gilt $\op{Ext}(M,N)=0.$ \item F"ur jede abelsche Gruppe $A$ und eine beliebige nat"urliche Zahl $n>0$ haben wir $\op{Ext}(\Bbb{Z}/n\Bbb{Z},A)\cong A/nA.$ \item Gegeben eine kurze exakte Sequenz $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ von abelschen Guppen und eine weitere abelsche Gruppe $N$ haben wir eine exakte {\bf\em Ext-Sequenz im ersten Eintrag} \index{Ext-Sequenz im ersten Eintrag} $$ \begin{array}{ccccccccc}0&\ra& \op{Hom} (M\grqq,N)& \hra& \op{Hom} (M,N) &\ra &\op{Hom} (M',N)&\ra& \\ &\ra &\op{Ext} (M\grqq,N)&\ra& \op{Ext} (M,N)& \twoheadrightarrow &\op{Ext} (M', N) &\ra& 0 \end{array} $$ \item Gegeben eine abelsche Gruppe $M$ und eine Familie von abelschen Gruppen $(N_i)$ ist die kanonische Abbildung ein Isomorphismus $$\op{Ext} \left(M,\prod N_i\right)\sira \prod \op{Ext} (M,N_i)$$ \item Gegeben eine Familie von abelschen Gruppen $(M_i)$ und eine abelsche Gruppe $N$ ist die kanonische Abbildung ein Isomorphismus $$\op{Ext} \left(\bigoplus M_i, N\right)\sira \prod \op{Ext} (M_i,N)$$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] 1. Den Fall $M$ frei haben wir schon besprochen, der Fall $N$ injektiv folgt direkt aus den Definitionen. \\[2mm]\noindent 3. Wir w"ahlen eine Einbettung von $N$ in eine injektive abelsche Gruppe $I$ und vervollst"andigen zu einer kurzen exakten Sequenz $N\hra I\sra I\grqq.$ Nach \ref{IAG} ist auch $I\grqq\ $ eine injektive abelsche Gruppe, und unsere Ext-Sequenz im zweiten Eintrag liefert eine exakte Sequenz $$\op{Hom}(M,N)\hra\op{Hom}(M,I)\ra \op{Hom}(M,I\grqq)\sra \op{Ext}(M,N)$$ In anderen Worte ist also $\op{Hom}(M,N)$ der Kern des mittleren Morphismus und $\op{Ext}(M,N)$ sein Kokern. Gegeben eine kurze exakte Sequenz $M^{\prime} \hookrightarrow M \twoheadrightarrow M^{\prime\prime}$ betrachten wir nun die kurze exakte Sequenz von (vertikalen) Komplexen $$\begin{array}{ccccc} \op{Hom} (M', I\grqq) & \hookrightarrow &\op{Hom} (M, I\grqq) & \twoheadrightarrow & \op{Hom} (M\grqq\ , I\grqq)\\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ \op{Hom} ( M', I) & \hookrightarrow & \op{Hom} ( M, I) & \twoheadrightarrow & \op{Hom} ( M\grqq, I) \end{array}$$ und nehmen die zugh"orige lange exakte Homologiesequenz. \\[2mm]\noindent 2. Hierzu m"ussen wir nur unsere lange exakte Sequenz im ersten Eintrag betrachten f"ur die kurze exakte Sequenz $\Bbb{Z}\stackrel{n}{\hra}\Bbb{Z}\sra \Bbb{Z}/n\Bbb{Z}.$ 4 und 5 bleiben dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Universelles Koeffiziententheorem der Kohomologie}]\label{UKh} Sei $X$ ein topologischer Raum und $G$ eine abelsche Gruppe. So haben wir nat"urliche kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} (H_{q-1}X,G) \hookrightarrow H^{q}(X;G) \twoheadrightarrow \op{Hom} (H_{q}X,G),$$ die in unnat"urlicher Weise spalten. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir w"ahlen eine kurze exakte Sequenz $G \hookrightarrow I \twoheadrightarrow I^{\prime\prime}$ mit $I$ und damit auch $I^{\prime\prime}$ injektiv. Sie f"uhrt zu einer kurzen exakten Sequenz von Komplexen $$\op{Hom} (SX,G) \hookrightarrow \op{Hom} (SX,I) \twoheadrightarrow \op{Hom} (SX,I^{\prime\prime})$$ Da $I$ und $I\grqq\ $ injektiv sind, sind die Funktoren $\op{Hom}(\;,I)$ und $\op{Hom}(\;,I\grqq)$ exakt und \glqq kommutieren\grqq\ folglich mit dem Bilden der Homologie in derselben Weise, wie wir das in \ref{Hex} f"ur das Tensorieren mit torsionsfreien Moduln gesehen hatten. Von der zugeh"origen langen exakten Kohomologiesequenz ist also ein Ausschnitt $$ \begin{array}{ccccccccc} & & & \ra& \op{Hom} (H_{q-1}X,I) &\ra &\op{Hom} (H_{q-1}X,I^{\prime\prime})&\ra& \\ &\ra &H^{q} (X;G)&\ra& \op{Hom} (H_{q}X,I)& \rightarrow &\op{Hom} (H_{q}X, I^{\prime\prime}) &\ra& \end{array} $$ und Proposition \ref{IAuf} liefert uns wie gew"unscht kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} (H_{q-1} X,G)\hookrightarrow H^{q} (X;G) \twoheadrightarrow \op{Hom} (H_{q}X,G)$$ Es bleibt zu zeigen, da"s unsere Sequenzen spalten. So eine Spaltung folgt aber wie zu Ende des Beweises von \ref{UKT} aus der Existenz einer Spaltung der Einbettung $Z_qX\hra S_qX.$ \end{proof} \begin{Bemerkung} Sei allgemeiner $C_{\ast}$ irgendein Komplex von freien abelschen Gruppen und $G$ eine weitere abelsche Gruppe. So liefert dasselbe Argument unkanonisch spaltende kurze exakte Sequenzen $$\op{Ext} (H_{q+1}C_{\ast}, G) \hookrightarrow H^{q} \op{Hom}(C_{\ast},G) \twoheadrightarrow \op{Hom} (H_{q}C_{\ast},G)$$ \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Gilt $\op{Ext} (P,N) =0$ f"ur alle $N,$ so ist $P$ frei. Kann $\op{Ext} (M,N)$ Elemente unendlicher Ordnung enthalten? \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine kurze exakte Sequenz $B \hookrightarrow E \twoheadrightarrow A$ von abelschen Gruppen (oder allgemeiner Moduln "uber einem gegebenen Ring) nennt man auch eine \defind{Erweiterung} von $A$ durch $B.$ Eine zweite solche Erweiterung $B \hookrightarrow E^{\prime} \twoheadrightarrow A$ hei"st isomorph genau dann, wenn es einen Isomorphismus $E \sira E^{\prime}$ gibt, der das folgende Diagramm zum Kommutieren bringt: $$\begin{array}{ccccc} B & \hookrightarrow & E &\twoheadrightarrow &A\\ \| & &\downarrow & & \| \\ B & \hookrightarrow & E^{\prime} & \twoheadrightarrow &A \end{array}$$ Man zeige, da"s wir eine Bijektion $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{Erweiterungen von $A$ durch $B,$}\\ \text{ bis auf Isomorphismus } \end{array}\right\} & \sira & \op{Ext} (A,B) \end{array}$$ erhalten, indem wir jeder kurzen exakten Sequenz $B \hookrightarrow E \twoheadrightarrow A$ das Bild in $\op{Ext} (A,B)$ der Identit"at auf $A$ unter dem Randoperator der zugeh"origen $\op{Ext}$-Sequenz zuordnen. Hinweis: Gegeben ein Element $e \in \op{Ext} (A,B)$ w"ahle man einen Repr"asentanten $\tilde{e} : KA \ra B$ und bilde durch pushout in die Mitte ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} KA & \hookrightarrow &\Bbb{Z} A &\twoheadrightarrow &A\\ \downarrow & &\downarrow && \| \\ B & \hookrightarrow &E& \twoheadrightarrow & A \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Eine Vermutung von Whitehead dahingehend, da"s f"ur eine abelsche Gruppe $A$ gilt $$\op{Ext}(A,\Bbb{Z})=0\;\RA\; A\text{ frei}$$ ist von Shelah \cite{Shelah} \glqq gel"ost\grqq\ worden: Ob die Vermutung stimmt oder nicht, h"angt von den Axiomen der Mengenlehre ab, die man zugrunde legt! \end{Bemerkung} \begin{comment} \subsection{Verbesserung zum Cup-Produkt} \begin{Proposition}[Komultiplikation von Ketten]\label{CoM} F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist die Abbildung $ \Delta : SX \ra SX \otimes_{\Bbb{Z}} SX,$ die auf Simplizes gegeben wird durch die Vorschrift $$\sigma \mapsto \sum_{p+q =|\sigma|} \sigma \lambda^{p} \otimes \sigma \rho^{q} $$ ein Homomorphismus von Kettenkomplexen und erf"ullt die Bedingung der \emph{\bf Koassoziativit"at}\index{Koassoziativit"at} $(\Delta \otimes \op{id}) \circ \Delta = (\op{id} \otimes \Delta)\circ \Delta : SX \ra SX \otimes SX \otimes SX.$ \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Warum f"ur diese Abbildung der Buchstabe $\Delta$ besonders angemessen ist, wird in \ref{DAp} klar werden. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Das Pr"ufen der Koassoziativit"at sei dem Leser "uberlassen. Um zu pr"ufen, da"s unser $\Delta$ ein Morphismus von Kettenkomplexen ist, setzen wir $|\sigma| = n$ und finden $$\partial \Delta \sigma = \sum_{p+q = n} \left(\sum^{p}_{i=0} (-1)^{i} \sigma \lambda^{p} k^{i} \otimes \sigma \rho^{q} + (-1)^{p} \sum^{q}_{j=0} (-1)\sigma \lambda^{p}\otimes \sigma \rho^{q} k^{j}\right)$$ wobei wir die a priori undefinierten Ausdr"ucke $\sigma \lambda^{0} k^{0} $ und $\sigma \rho^{0}k^{0}$ als Null zu interpretieren haben. Ebenso finden wir auch $$\Delta \partial \sigma = \sum^{n}_{\nu =0} (-1)^{\nu} \sum_{a+b= n-1} \sigma k^{\nu} \lambda^{a} \otimes \sigma k^{\nu} \rho^{b}$$ F"ur die entsprechenden Abbildungen mit Werten in $\Delta_{n}$ f"ur $n= a+b+1$ gilt nun $$\begin{array}{l} \begin{array}{lll} k^{\nu} \lambda^{a} &=& \left\{ \begin{array}{ll} \lambda^{a+1}k^{\nu} &\text{falls } 0 \leq \nu \leq a +1;\\ \lambda^{a} & \text{falls } a+1 \leq \nu \leq n; \end{array} \right. \end{array}\\[5mm] \begin{array}{lll} k^{\nu}\rho^{b} &=& \left\{ \begin{array}{ll} \rho^{b} & \text{falls } 0 \leq \nu \leq a;\\ \rho^{b+1} k^{\nu -a} & \text{falls } a \leq \nu \leq n.\end{array} \right. \end{array} \end{array}$$ Damit k"onnen wir $\Delta \partial \sigma$ umschreiben zu $$ \Delta \partial \sigma =\sum_{a+b +1=n} \left((-1)^{\nu} \sum^{a}_{\nu =0} \sigma \lambda^{a+1} k^{\nu} \otimes \sigma \rho^{b} + (-1)^{a+1+\mu}\sum_{\mu =0}^{b} \sigma \lambda^{a} \otimes \sigma \rho^{b+1} k^{\mu+1}\right) $$ und wenn wir in der ersten Summe $p=a+1,$ $ q=b,$ $ i = \nu$ substituieren und in der Zweiten $p=a,$ $q=b+1,$ $ j = \mu +1$ ergibt sich $$ \Delta \partial \sigma = \sum_{p+q =n} \left( \sum^{p-1}_{i=0} (-1)^{i} \sigma \lambda^{p} k^{i}\otimes \sigma \rho^{q}+ (-1)^{p} \sum^{q}_{j=1} (-1)^{j} \sigma \lambda^{p} \sigma \rho^{q} k^{j}\right) $$ wobei wir die erste Summe im Fall $p=0$ und die Zweite im Fall $q=0$ als Null zu verstehen haben. Es folgt $ \partial \Delta\sigma =\Delta\partial \sigma.$ \end{proof} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Die Verkn"upfung $$S^{\ast} X \otimes_{\Bbb{Z}} S^{\ast} X \ra (S X \otimes_{\Bbb{Z}} SX)^{\ast} \ra S^{\ast}X$$ unserer kanonischen Abbildung aus \ref{TeHo1} im Spezialfall $C = D = SX$ und $ C^{\prime} = D^{\prime} = \Bbb{Z} [0]$ mit der Transponierten unserer Komultiplikation $\Delta$ aus \ref{CoM} wird notiert in der Form $a \otimes b \mapsto a \cup b$ und hei"st das \defind{cup-Produkt} auf den singul"aren Koketten. Explizit hat es die Gestalt ..... \end{Definition} \begin{proof}[Beweis]\label{DAp} Wir betrachten das Diagramm $$\xymatrix{ SX \ar[dr]^{\Delta_{\ast}}\ar[rr]^-{\Delta}& &SX \otimes SX\\ &S(X\times X)\ar[ur]^{c} }$$ mit unserer Komultiplikation $\Delta$ aus \ref{CoM}, einer Alexander-Whitney-Abbildung $c$ wie in \ref{EZ} und dem Bild $\Delta_{\ast}$ unter der Diagonalen $X \ra X \times X.$ Alle drei Funktoren in den Kettenkomplexe sind in jedem Grad frei mit Basis $\{(\Delta_{n}, \tau_{n})\}$ bzw.\ $\{(\Delta_{q} \amalg \Delta_{p}, i_1 \otimes i_2)\}_{p +q =n}$ wo $i_{1},i_{2}$ die Inklusionen von $\Delta_{q}$ bzw.\ $\Delta_{p}$ in $\Delta_{q}\amalg \Delta_{p}$ bezeichnen, bzw.\ $\{(\Delta_{n} \amalg \Delta_{n}, \tau)\}$ mit dem Simplex $\tau =(i_{1},i_{2}): \Delta_{n} \ra (\Delta_{n}\amalg \Delta_{n})\times (\Delta_{n}\amalg \Delta_{n}).$ Nach dem Satz "uber azyklische Modelle \ref{AzM} kommutiert also unser Diagramm bis auf Homotopie, wenn es kommutiert nach $H_{0}$, und das ist klar. Dualisieren wir nun das Diagramm, so folgt $a \cup b = \Delta^{\ast} (a\times b)$ wie gew"unscht. \end{proof} \end{comment} \subsection{Der Kohomologiering} \begin{Definition} Wir arbeiten nun mit Koeffizienten in $\DZ$ oder allgemeiner mit Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen (unit"aren) Ring. Sei $X$ ein topologischer Raum. Wir definieren bilineare Abbildungen $$\begin{array}{ccc} S^{p}X \times S^{q}X& \ra & S^{p+q}X\\ (a \; , \; b) & \mapsto & a \cup b \end{array}$$ wie folgt: Zun"achst betrachten wir die Abbildungen $$\lambda^{p}_{p+q} = \lambda^{p} : \Delta_{p} \ra \Delta_{p+q}\text{ und } \rho^{q}_{p+q} = \rho^{q} : \Delta_{q} \ra \Delta_{p+q},$$ die hinten $q$ Nullen anh"angen bzw.\ vorne $p$ Nullen davorschieben. Dann erkl"aren wir den Wert von $a \cup b$ auf einem Simplex $\sigma : \Delta_{p+q} \ra X$ durch die Formel $$\langle a \cup b, \sigma \rangle = (-1)^{|a| |b|}\langle a, \sigma \circ \lambda^{p} \rangle \langle b, \sigma \circ \rho^{q} \rangle$$ Offensichtlich erhalten wir so eine bilineare Multiplikation auf der direkten Summe $S^{\ast} X = \bigoplus_{q\geq 0} S^{q}X$ und die Augmentation $\epsilon \in S^{0} X$ ist ein Einselement. Wir nennen diese Multiplikation auch das \defind{cup-Produkt auf den singul"aren Koketten}. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Der Name erinnert an das tassenf"ormige Symbol $\cup,$ in der Tat ist ja \glqq cup\grqq\ das englische Wort f"ur \glqq Tasse\grqq. Das l"astige Vorzeichen bei der Definition des cup-Produkts haben wir eingef"uhrt, um von Anfang an die Faustregel zu beherzigen, \glqq da"s man ein Vorzeichen $(-1)^{pq}$ einf"uhren soll, wann immer man in einer Formel zwei Ausdr"ucke der Grade $p$ und $q$ vertauscht\grqq. Das soll uns helfen, mit sp"ateren Begriffsbildungen kompatibel zu bleiben. In unserem speziellen Fall wurden \glqq auf der rechten Seite der Formel $b$ und $\sigma \circ \lambda^{p}$ vertauscht\grqq. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die vorstehende Definition des $\cup$-Produkts auf den singul"aren Koketten ist zwar einigerma"sen m"uhelos, zumindest f"ur mich jedoch nicht sehr erhellend. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Das $\cup$-Produkt ist assoziativ. \item F"ur das $\cup$-Produkt gilt die {\bf\em graduierte Leibniz-Regel} \index{graduierte Leibniz-Regel} $$\delta (a \cup b) = \delta a \cup b + (-1)^{|a|} a \cup \delta b$$ \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Seien $a \in S^{p}X,$ $b \in S^{q}X,$ $c \in S^{r}X$ und $\sigma: \Delta_{p+q+r} \ra X.$ Bis auf dasselbe Vorzeichen nehmen $(a\cup b) \cup c$ und $a \cup (b \cup c)$ auf $\sigma$ beide den Wert $\langle a, \sigma \circ \lambda^{p} \rangle \langle b, \sigma \circ \mu^{q} \rangle \langle c, \sigma \circ \rho^{r} \rangle$ an, f"ur $\mu^{q} : \Delta_{q} \ra \Delta_{p+q+r}$ die Abbildung, die hinten $r$ Nullen anh"angt und vorne $p$ Nullen davorschiebt. \\[2mm]\noindent 2. Um den "Uberblick zu behalten, zeigen wir zun"achst eine \glqq vorzeichenfreie\grqq\ Version, setzen dazu $\hat{\delta}(a)= -(-1)^{|a|}{\delta}(a)$ und $ a \;\hat{\cup}\; b=(-1)^{|a| |b|}a\cup b$ und behaupten $$\hat{\delta} (a \;\hat{\cup}\; b) = \hat{\delta} a \;\hat{\cup}\; b + (-1)^{|a|} a \;\hat{\cup}\; \hat{\delta} b$$ Das rechnen wir nach und "uberlassen den "Ubergang zur Version mit Vorzeichen aus dem Lemma dem Leser. Seien also $a \in S^{p}X$ und $b \in S^{q}X$ und $\sigma : \Delta_{p+q+1} \ra X.$ Wir m"ussen zeigen, da"s beide Seiten auf $\sigma$ denselben Wert annehmen. Also rechnen wir $$\begin{array}{rcl} \langle \hat{\delta} (a \;\hat{\cup}\; b), \sigma \rangle &=& \langle a \;\hat{\cup}\; b, \partial \sigma \rangle \\ & =&\langle a \;\hat{\cup}\; b, \sum^{p +q+1}_{i=0} (-1)^{i} \sigma k^{i} \rangle\\ &=& \sum^{p+q+1}_{i=0} (-1)^{i} \langle a, \sigma k^{i} \lambda^{p} \rangle\langle b, \sigma k^{i} \rho^{q} \rangle \\[2mm] \langle \hat{\delta} a \;\hat{\cup}\; b, \sigma \rangle& = &\langle \hat{\delta} a, \sigma \lambda^{p+1}\rangle \langle b, \sigma \rho^{q} \rangle \\ &=& \sum^{p+1}_{i=0} (-1)^{i} \langle a, \sigma \lambda^{p+1} k^{i} \rangle\langle b, \sigma \rho^{q} \rangle\\[2mm] \langle a \;\hat{\cup}\; \hat{\delta} b, \sigma \rangle & = & \langle a, \sigma\lambda^{p} \rangle \langle \hat{\delta} b, \sigma \rho^{q+1} \rangle \\ &=& \sum_{i=0}^{q+1} (-1)^{i} \langle a, \sigma \lambda^{p} \rangle \langle b, \sigma \rho^{q+1} k^{i} \rangle \end{array}$$ Nun beachten wir $k^{i}\lambda^{p} = \lambda^{p+1} k^{i}$ f"ur $0 \leq i \leq p+1,$ $k^{i} \lambda^{p} = \lambda^{p}$ f"ur $i \geq p+1$ und ebenso noch $k^{i} \circ \rho^{q} = \rho^{q}$ f"ur $0 \leq i \leq p$ und $k^{i} \circ \rho^{q} = \rho^{q+1} \circ k^{i-p}$ f"ur $p \leq i \leq p+q +1.$ Die Summanden f"ur $0\leq i \leq p$ der ersten Summe stimmen also "uberein mit den entsprechenden Summanden der zweiten Summe. Ebenso stimmen die Summanden mit $p+1 \leq i \leq p+q+1$ der ersten Summe "uberein mit den Summanden f"ur $1 \leq i \leq q+1$ in der dritten Summe, bis auf das Vorzeichen $(-1)^{p}.$ Es bleibt zu pr"ufen $$(-1)^{p+1} \langle a, \sigma \lambda^{p+1} k^{p+1} \rangle \langle b, \sigma \rho^{q}\rangle + (-1)^{p} \langle a, \sigma \lambda^{p}\rangle\langle b, \sigma \rho^{q+1} k^{0} \rangle =0,$$ und das ist auch klar. \end{proof} \begin{Definition}\label{dgad} Ganz allgemein nennt man eine abelsche Gruppe $M$ mit einer Zerlegung $M = \bigoplus_{i \in \Bbb{Z}} M^{i}$ auch eine \defind{graduierte abelsche Gruppe} und ist zus"atzlich $d:M\ra M$ gegeben mit $d(M^i)\subset M^{i+1}$ und $d^2=0,$ so nennt man das Paar $(M,d)$ wie bisher einen Komplex von abelschen Gruppen oder auch eine \defind{differentielle graduierte abelsche Gruppe} oder kurz eine \defind{dg-Gruppe} mit {\bf Differential} $d.$ \end{Definition} \begin{Definition}[Tensorprodukt von Komplexen] Sind $C,$ $D$ zwei Komplexe von Rechts- bzw.\ Linksmoduln "uber einem Ring $R,$ so bildet man einen Komplex von abelschen Gruppen $C\otimes_{R}D,$ ihr \defnoind{Tensorprodukt}\index{Tensorprodukt!von Komplexen}, durch die Vorschrift $(C\otimes_{R}D)^{n} =\bigoplus_{p+q=n} C^{p}\otimes_{R} D^{q}$ mit dem Differential $\partial (c\otimes d)= \partial c \otimes d + (-1)^{|c|} c \otimes \partial d.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{TKH} Wir haben in dieser Situation offensichtliche Abbildungen $$\begin{array}{ccc} H^{p}C \otimes_{R} H^{q}D & \ra & H^{p+q}(C \otimes_{R} D)\\ \; [c] \otimes [d] \; & \mapsto & [c \otimes d] \end{array}$$ Verschwinden unsere beiden Komplexe in allen Graden, die man von Null aus in Richtung der Pfeile erreicht, so liefert die nat"urliche Abbildung nach \ref{ReTe} einen Isomorphismus $H_{0} C \otimes_{R} H_{0} D \sira H_{0} (C \otimes_{R} D).$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{asss} Man sieht ohne M"uhe, da"s die Abbildung $c\otimes(d\otimes e)\mapsto (c\otimes d)\otimes e$ einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $C\otimes_R(D\otimes_S E)\mapsto (C\otimes_R D)\otimes_S E$ liefert, wenn wir f"ur $D$ einen Komplex in $R\op{-Lin-}S$ und f"ur $E$ einen Komplex in $S\op{-Lin}$ nehmen. Die Problematik des Vertauschens der Tensorfaktoren "uber einem festen kommutativen Ring stellen wir zur"uck bis \ref{vert}. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Eine differentielle graduierte Gruppe mit einer Kettenabbildung $R\otimes_\DZ R\ra R,$ die sie zu einem Ring macht, hei"st ein {\bf differentieller graduierter Ring} \index{differentieller graduierter Ring} oder kurz \defind{dg-Ring}. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Einen Ring $R$ mit einer Graduierung der zugrundeliegenden additiven Gruppe derart, da"s gilt $R^{i}R^{j} \subset R^{i+j} \quad \forall i,j \in \Bbb{Z}$ nennt man einen \defnoind{graduierten Ring}\index{graduierter Ring}. Nach unserer Definition ist das dasselbe wie ein dg-Ring mit Differential Null. Ein dg-Ring ist ausgeschrieben ein graduierter Ring $R$ mit einem Differential $d : R \ra R$ auf der zugrundeliegenden additiven graduierten Gruppe derart, da"s die graduierte Leibniz-Regel $d(ab)=(da)b+(-1)^{|a|}a(db)$ gilt. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} In einem graduierten Ring gilt stets $1 \in R^{0}.$ (Hinweis: Man multipliziere erst die $1$ mit homogenen Elementen und dann die homogenen Komponenten von $1$ mit $1.$) In einem dg-Ring gilt stets $d(1)=0.$ \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{TeHo2} Gegeben Komplexe $C,D,E$ von Moduln "uber einem beliebigen Ring liefert die Verkn"upfung eine Kettenabbildung $$\op{Hom}(D,E)\otimes_\DZ \op{Hom}(C,D)\ra\op{Hom}(C,E)$$ Insbesondere ist f"ur jede dg-Gruppe $(M,d)$ der Endomorphismenkomplex $\op{End} M = \op{Hom} (M,M)$ mit der Verkn"upfung als Multiplikation ein dg-Ring. \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Die Struktur eines dg-Rings tritt in der homologischen Algebra sehr h"aufig auf. Wir haben mit $(S^{\ast} X, \delta)$ ein erstes und sogar vergleichsweise kompliziertes Beispiel konstruiert. Die Kohomologie eines dg-Ring tr"agt nach \ref{TKH} stets in nat"urlicher Weise die Struktur eines graduierten Rings, genauer bilden eben die Kozykel einen graduierten Teilring und die Kor"ander bilden im Ring der Kozykel ein graduiertes beidseitiges Ideal. \end{Bemerkung} \begin{Definition}\label{siK} Insbesondere ist f"ur jeden topologischen Raum $X$ die \defind{totale Kohomologie} $H^{\ast} X=\bigoplus_q H^q(X)$ ein graduierter Ring unter dem von unserem Produkt $\cup$ auf den Koketten induzierten \defind{cup-Produkt} auf der Kohomologie. Er hei"st der \defind{Kohomologiering} oder genauer der {\bf singul"are Kohomologiering von $X.$} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Ist $f: X \ra Y$ stetig, so ist $f^{\ast} :S^{\ast} Y \ra S^{\ast} X$ ein Homomorphismus von dg-Ringen und $f^{\ast} : H^{\ast} Y \ra H^{\ast} X$ ein Homomorphismus von graduierten Ringen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die vorstehende Definition des $\cup$-Produkts auf der Kohomologie ist zwar einigerma"sen m"uhelos, zumindest f"ur mich jedoch nicht sehr erhellend. Zum Beispiel scheint mir die \glqq graduierte Kommutativit"at\grqq\ $a \cup b = (-1)^{|a| |b|} b \cup a$ des Kohomologierings aus unserer jetzigen Definition heraus v"ollig unverst"andlich. Wir werden sie sp"ater mithilfe einer \glqq besseren\grqq\ Definition beweisen. \end{Bemerkung} \begin{Ubung}\label{TeHo1} Gegeben Komplexe $C,C',D,D'$ von Moduln "uber einem kommutativen Ring erhalten wir eine Kettenabbildung $$ \gamma:\op{Hom}(C,C')\otimes \op{Hom}(D,D')\ra\op{Hom}(C\otimes D,C'\otimes D')$$ durch die Vorschrift $(\gamma(f\otimes g))(x\otimes y)=(-1)^{|g||x|}(fx)\otimes (gy),$ wobei das Tensorprodukt "uber besagtem Ring zu verstehen ist. \end{Ubung} \subsection{Die Homologie als Modul \"{u}ber der Kohomologie} \begin{Bemerkung} Wir machen nun die Homologie zu einem Modul "uber dem Kohomologiering. Dazu definiert man eine bilineare Abbildung, das sogenannte \defind{cap-Produkt}, eine Art partielles Auswerten $$\begin{array}{ccc} S^{q}X \times S_{p+q} X & \ra & S_{p} X\\ (b \;, \; z) & \mapsto & b \cap z \end{array}$$ Diese Abbildung kann charakterisiert werden durch die \defind{Adjunktionsformel} $$\langle a , b \cap z\rangle = \langle a \cup b ,z \rangle \quad \forall z \in S_{p+q} X,\; a \in S^{p} X,\; b \in S^{q} X$$ Ihre Existenz wird sichergestellt durch eine kompliziertere aber explizite Formel f"ur das cap-Produkt einer Kokette $b \in S^{q}X$ mit einem Simplex $z = \sigma : \Delta_{p+q} \ra X,$ n"amlich $$b \cap \sigma= (-1)^{pq}\langle b,\sigma \rho^{q} \rangle \sigma \lambda^{p}$$ bzw.\ $b \cap \sigma=0$ falls $p < 0$ oder $q < 0.$ Wieder erinnert die Bezeichnung \glqq cap\grqq\ (M"utze auf Englisch) an die Form des Symbols. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Die Adjunktionsformel zeigt, da"s $SX$ unter unserem cap-Produkt ein Modul "uber $S^{\ast}X$ wird. Mit unserer Adjunktionsformel und einer kurzen Rechnung folgt weiter aus der Leibnizregel f"ur das cup-Produkt die Relation $$\partial (b \cap z) = \delta b\cap z + (-1)^{|b|} b \cap\partial z $$ \end{Bemerkung} \begin{Definition} Gegeben ein dg-Ring $R$ hei"st eine differentielle graduierte Gruppe $M$ mit einer Kettenabbildung $R\otimes_\DZ M\ra M,$ die sie zu einem $R$-Modul macht, ein {\bf differentieller graduierter Modul} \index{differentieller graduierter Modul} oder kurz \defind{dg-Modul} "uber unserem dg-Ring. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Ganz allgemein versteht man unter einem \defnoind{graduierten Modul}\index{graduierter Modul} "uber einem graduierten Ring $R$ einen $R$-Modul $M$ mitsamt einer Graduierung $M=\bigoplus_{i \in \Bbb{Z}} M^i$ derart, da"s gilt $R^i M^j\subset M^{i+j}$ f"ur alle $i,j\in\Bbb{Z}.$ Nach unserer Definition ist das dasselbe wie ein dg-Modul mit Differential Null "uber $R$ aufgefa"st als dg-Ring mit Differential Null. Ein dg-Modul "uber einem beliebigen dg-Ring $(R,d)$ ist ausgeschrieben ein graduierter $R$-Modul $M$ mit Differential $d$ derart, da"s gilt $d(am)=(da)m+(-1)^{|a|}a(dm)$ f"ur alle homogenen $a\in R$ und alle $m\in M.$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{HMM} Nach \ref{TKH} ist die Kohomologie $HM$ eines dg-Moduls $M$ "uber einem dg-Ring $R$ in nat"urlicher Weise ein graduierter Modul "uber der Kohomologie $HR$ von $R.$ Konkret bilden die Zykel $ZM=\ker d$ von $M$ einen Modul "uber dem Ring $ZR$ der Zykel von $R,$ die Bilder $BM=d(M)$ bilden darin einen Untermodul, und auf dem Quotienten $HM=ZM/BM$ operiert das Ideal der Bilder $BR\subset ZR$ durch Null, so da"s die Operation von $ZR$ faktorisiert "uber die behauptete Operation von $HR$ auf $HM.$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Unter unserem cap-Produkt wird $SX,$ aufgefa"st als differentielle graduierte Gruppe vermittels $(S_qX)=(SX)^{-q}$ und Differential $\partial,$ ein dg-Modul "uber $S^\ast X.$ Speziell wird also nach \ref{HMM} f"ur jeden topologischen Raum $X$ die \defind{totale Homologie} $HX =\bigoplus_q H_q X$ ein Modul "uber dem Kohomologiering $H^\ast X.$ Wir notieren diese Operation auch mit $\cap$ und erhalten so das \defind{cap-Produkt} auf der Homologie $$\cap :H^{p} X \times H_{p+q} X \ra H_{q} X$$ \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Ist $f: X \ra Y$ stetig, $b \in H^{p}{X}$ und $ z\in H_{p+q} X,$ so gilt die Formel $f_{\ast} (f^{\ast} b \cap z)= b \cap (f_{\ast} z) .$ \end{Ubung} \begin{Bemerkung} Ist $A \subset X$ eine Teilmenge, so ist $S^{\ast} (X,A)$ als Kern des Ringhomomorphismus $S^{\ast} X \ra S^{\ast} A$ ein unter dem Korandoperator stabiles graduiertes Ideal von $S^{\ast} X $ und somit $H^{\ast} (X,A)$ ein graduierter nicht notwendig unit"arer Ring sowie ein $H^{\ast}X$-Modul von rechts und links. Des weiteren ist $SA \subset SX$ ein dg-Untermodul f"ur die Operation von $S^{\ast} X$ und das cap-Produkt definiert somit eine Operation auf dem Kokern $S(X,A),$ in Formeln $\cap :H^{p}X \times H_{p+q} (X, A) \ra H_{q} (X,A).$ Das Merkw"urdigste ist jedoch die Variante $$\cap : H^{p} (X,A) \times H_{p+q} (X,A)\ra H_{q} X$$ Um sie zu erhalten gilt es zu bemerken, da"s das dg-Ideal $S^{\ast}(X,A) \subset S^{\ast}X$ den dg-Untermodul $SA \subset SX$ annulliert. \end{Bemerkung} \begin{Ubung} Gegeben $ z \in H_{p+q} (X,A)$ kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} H^{p}(X,A) & \ra & H^{p} X\\ \cap z\downarrow & & \downarrow \cap z\\ H_{q} X & \ra & H_{q} (X,A) \end{array}$$ \end{Ubung} \begin{Satz}[\defind{Poincar\'{e}-Dualit"at}]\label{PD} F"ur jede kompakte orientierte Man\-nig\-faltigkeit definiert das cap-Produkt mit dem Fundamentalzykel einen Isomorphismus von ihrer Kohomologie mit ihrer Homologie. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Ist also in Formeln $M$ eine kompakte orientierte $n$-Man\-nig\-faltigkeit und $\omega \in H_{n}M$ ihr Fundamentalzykel, so liefert das cap-Produkt mit $\omega$ f"ur alle $p$ einen Isomorphismus $$ \cap\omega : H^{p} M \sira H_{n-p} M$$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{SP} Dieser Satz und sein Beweis gelten mit Koeffizienten in einem beliebigen kommutativen Ring. Gilt in unserem Ring $1+1=0,$ so ben"otigt man nicht einmal die Voraussetzung der Orientierbarkeit. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{SPP} F"ur zwei Homologieklassen komplement"arer Dimension $\al\in H_{p} M$ und $\beta\in H_{n-p} M$ einer orientierten $n$-Mannigfaltigkeit ist hoffentlich anschaulich klar, was ihre \defind{Schnittzahl} $\al\cdot \beta\in\Bbb{Z}$ sein sollte, die die Schnittpunkte von repr"asentierenden Zykeln \glqq in generischer Lage\grqq\ mit geeigneten, von der Orientierung abh"angigen Vorzeichen z"ahlt. Der Isomorphismus aus dem obigen Satz liefert eine Definition solcher Schnittzahlen im kompakten Fall: Wir suchen $a \in H^{n-p}M,$ $b \in H^{p}M$ mit $\al = a \cap \omega_{M},$ $\beta = b \cap \omega_{M}$ und setzen $$\al\cdot \beta =\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle$$ Wir werden unsere geometrische Interpretation der so definierten Schnittzahlen sp"ater rechtfertigen. Ebenso wird die graduierte Kommutativit"at des cup-Produkts zeigen, da"s f"ur die Schnittzahlen in einer $n$-Mannigfaltigkeit gilt $\al\cdot \beta=(-1)^{(n-|\al|)(n-|\beta|)}\beta\cdot\al.$ Nach der Adjunktionsformel $\langle a\cup b, \omega_{M}\rangle= \langle a,b\cap \omega_{M}\rangle$ und unseren Definitionen entsprechen sich unter den Identifikationen der Poincar\'e-Dualit"at f"ur einen beliebigen kommutativen Koeffizientenring die drei Paarungen $$ \begin{array}{rcrlcc}H_{p} (M;k) &\times & H_{n-p} (M;k)&\ra k,\;\; (\al,\beta)&\mapsto& \al\cdot\beta\\[2mm] H^{n-p} (M;k)& \times& H_{n-p} (M;k)&\ra k,\;\; (a,\beta)&\mapsto& \langle a,\beta\rangle\\[2mm] H^{n-p} (M;k) &\times &H^{p} (M;k)&\ra k, \;\; (a,b)&\mapsto& \langle a\cup b, \omega_{M}\rangle \end{array}$$ Falls die Paarung in der Mitte eine Bijektion des linken Raums auf den Dualraum des rechten Raumes induziert, insbesondere f"ur Koeffizienten in einem K"orper oder falls $H_{n-p-1} (M;\Bbb{Z})$ eine freie abelsche Gruppe ist, so folgt dasselbe f"ur die beiden anderen Paarungen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Der Satz liefert uns auch allgemeiner eine Definition des Schnittprodukts auf der Homologie von $M$: Man "ubertr"agt schlicht das cup-Produkt auf der Kohomologie mithilfe der Isomorphismen aus dem Satz in die Homologie. Allerdings sind wir noch nicht in der Lage, die Br"ucke von dieser Definition bis zur Anschauung zu schlagen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Um einen anschaulichen Beweis der Poincar\'e-Dualit"at zu geben, verallgemeinert man zun"achst unseren Satz \ref{SH} "uber den Zusammenhang von singul"arer und simplizialer Homologie von endlichen Simplizialkomplexen auf R"aume, die statt aus Simplizes in "ahnlicher Art aus komplizierten kompakten konvexen Polyedern zusammengesetzt sind, wie zum Beispiel die Oberfl"achen der platonischen K"orper. So kann die Homologie der Sph"are mithilfe einer Dodekaeder-Zerlegung berechnet werden durch einen Komplex der Gestalt $\Bbb{Z}^{12} \ra \Bbb{Z}^{30} \ra \Bbb{Z}^{20}$ f"ur die 12 Fl"achen, 30 Kanten und 20 Ecken. Gehen wir nun "uber zur \glqq dualen\grqq\ Zerlegung in kompakte konvexe Polyeder, im Beispiel zur ikosaedralen Zerlegung der Sph"are in 20 Fl"achen mit 30 Kanten und 12 Ecken, so kann man den Komplex, der urspr"unglich die Homologie berechnet, in nat"urlicher Weise identifizieren mit dem Komplex, der bez"uglich dieser dualen Zerlegung die Kohomologie berechnet. Da aber Homologie und Kohomologie von der Zerlegung g"anzlich unabh"angig sind, ergibt sich $H_{i} M \cong H^{n-i}M$ f"ur jede orientierte kompakte triangulierbare $n$-dimensionale Mannigfaltigkeit. Es ist nicht allzu schwer, diese Skizze zu einem richtigen Beweis auszubauen, siehe zum Beispiel \cite{StZi}. Wir werden jedoch einen anderen Weg gehen, der Triangulierbarkeitsvoraussetzungen vermeidet und auch abgesehen davon zu allgemeineren Resultaten f"uhrt. Genauer wollen wir unseren Satz durch eine Art Induktion "uber alle offenen Teilmengen beweisen und werden dazu eine Version formulieren, die auch nichtkompakte Mannigfaltigkeiten einbezieht. Das ben"otigt einige algebraische Vorbereitungen. \end{Bemerkung} \subsection{Direkte Limites} \subsection{Poincar\'{e}-Dualit"at}\label{PDD} \subsection{Endlichkeitsaussagen f"ur Mannigfaltigkeiten} \begin{Satz}[\defnoind{Wilder}\index{Satz von Wilder}]\label{Wilder} Die Homologiegruppen von kompakten Mannigfaltigkeiten sind stets endlich erzeugt. Ist allgemeiner $X$ eine Mannigfaltigkeit und $K \subset X$ eine kompakte Teilmenge, so ist das Bild von $H_{n}K \ra H_{n}X$ endlich erzeugt f"ur alle $n \in \Bbb{Z}.$ \end{Satz} \begin{Bemerkung}\label{KoWi} Der Satz gilt mit demselben Beweis auch f"ur Mannigfaltigkeiten mit Rand und f"ur Homologie mit Koeffizienten in einem beliebigen noetherschen Ring. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Der Satz folgt per Induktion aus der anschlie"senden Proposition. \end{proof} \begin{Proposition} Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorff-Raum und $n$ eine nat"urliche Zahl. Wir nehmen an, da"s gilt: \begin{enumerate} \item F"ur jedes Paar $M \subset W$ von Teilmengen von $X$ mit $M$ kompakt und $W$ offen in $X$ ist das Bild von $H_{n-1}M \ra H_{n-1} W$ endlich erzeugt; \item Jeder Punkt $x \in X$ besitzt eine Umgebung mit endlich erzeugter $n$-ter Homologie. \end{enumerate} So ist $\op{im} (H_{n}K \ra H_{n}X)$ endlich erzeugt f"ur jedes Kompaktum $K\subset X.$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Wir betrachten in der Potenzmenge von $X$ die Teilmenge $$ \cal{K}=\left\{ K \subset X \left| \begin{array}{l} \text{ $K$ ist kompakt und besitzt eine offene}\\ \text{ Umgebung $U \co X$ derart, da"s das Bild}\\ \text{ von $H_{n}U \ra H_{n} X$ endlich erzeugt ist} \end{array} \right\}\right. $$ Nach unseren Annahmen besitzt jeder Punkt von $x$ eine Umgebung aus $ \cal{K}.$ Aus $ K \in \cal{K}$ und $L \As K$ folgt weiter ohne Schwierigkeiten $L \in \cal{K}.$ K"onnen wir zeigen, da"s mit zwei Kompakta $L$ und $K$ stets auch ihe Vereinigung zu $\cal{K}$ geh"ort, so geh"ort offensichtlich jede kompakte Teilmenge von $X$ zu $\cal{K}$ und wir sind fertig. Seien also $K, L \in \cal{K}$ und $U, V \co X$ offen mit $K\subset U$ und $L\subset V$ und $\op{im} (H_{n}U \ra H_{n}X)$ und $\op{im} (H_{n}V \ra H_{n}X)$ endlich erzeugt. Da $X$ nach Voraussetzung lokal kompakt ist, finden wir sicher auch $U_{1}\co U,$ $V_{1}\co V$ mit $K \subset U_{1} \subset \bar{U}_{1} \subset U$ und $L \subset V_{1} \subset \bar{V}_{1}\subset V$ und $\bar{U}_{1}, \bar{V}_{1}$ kompakt. Dann betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} & & H_{n}(U_{1}\cup V_{1}) & \ra & H_{n-1}(U_{1}\cap V_{1})\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ H_{n}U \oplus H_{n} V &\ra & H_{n}(U\cup V) & \ra & H_{n-1} (U\cap V)\\ \downarrow & & \downarrow & &\\ H_{n}X \oplus H_{n}X &\ra & H_{n}X & & \end{array}$$ Das Bild der linken Vertikale ist endlich erzeugt nach Wahl von $U$ und $V.$ Das Bild der rechten Vertikalen ist endlich erzeugt nach Annahme 1, angewandt auf $M=\bar{U}_{1}\cap \bar{V}_{1}$ und $W=U \cap V.$ Die mittlere Horizontale ist exakt als Teil einer Mayer-Vietoris-Sequenz. Dann mu"s aber nach dem anschlie"senden Lemma auch das Bild der Komposition in der mittleren Vertikalen endlich erzeugt sein und es folgt $L \cup K \in \cal{K}.$ \end{proof} \begin{Lemma} Sei gegeben ein kommutatives Diagramm von abelschen Gruppen der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} & & A & \ra & B\\ & & \downarrow & & \downarrow \\ C &\ra & D & \ra & E\\ \downarrow & & \downarrow & &\\ F&\ra & G& & \end{array}$$ Ist das Bild der beiden "au"seren Vertikalen $CF$ und $BE$ endlich erzeugt und ist die mittlere Horizontale exakt, so ist auch das Bild der Komposition $AG$ in der mittleren Vertikalen endlich erzeugt. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Dem Leser "uberlassen. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "TOPOLOGIE" %%% End: