\section{Stetige Darstellungen} \subsection{Topologische Algebra} \begin{Definition} Eine {\bf topologische Gruppe} ist eine Gruppe $G$ mit einer Topologie derart, da"s die Verkn"upfung $G\times G\ra G$ und die Inversenabbildung $G\ra G$ stetig sind. \end{Definition} \begin{Definition} Ein \defind{topologischer Ring} ist ein Ring $k$ mit einer Topologie derart, da"s die Addition und die Multiplikation stetig sind als Abbildungen $k \times k \ra k.$ \end{Definition} \begin{Definition} Ein \defind{topologischer Modul} "uber einem topologischen Ring $k$ ist ein $k$-Modul $M$ mit einer Topologie derart, da"s die Addition $M\times M\ra M$ und die Multiplikation $k \times M \ra M$ stetig sind. Die Kategorie aller topologischen $k$-Moduln notieren wir $\op{Modto}_k.$ \end{Definition} \begin{Definition} Ein \defind{topologischer K"orper} ist ein K"orper $k$ mit einer Topologie derart, da"s die Addition und die Multiplikation stetig sind als Abbildungen $k \times k \ra k$ sowie, f"ur die auf $k^{\times}$ induzierte Topologie, auch das Bilden des Inversen $k^{\times} \ra k^{\times}.$ Ein topologischer Modul "uber einem topologischen K"orper hei"st ein \defind{topologischer Vektorraum}. Die Kategorie aller komplexen topologischen Vektorr"aume bezeichnen wir abk"urzend mit $\op{Modto}_\DC=\op{Modto}.$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Jeder topologische Modul und jeder topologische Ring sind topologische Gruppen f"ur ihre additive Struktur, da in diesen F"allen ja das Bilden des Inversen gerade die Multiplikation mit $-1$ ist. Gegeben ein topologischer K"orper ist seine multiplikative Gruppe eine topologische Gruppe. \end{Bemerkung} \begin{Beispiele} Die Gruppe $\op{GL}(n,\DR)$ mit ihrer von $M(n\times n;\DR)$ induzierten Topologie ist eine topologische Gruppe. Jede Untergruppe einer topologischen Gruppe ist f"ur die induzierte Topologie eine topologische Gruppe. Jedes Produkt von topologischen Gruppen ist mit der Produkttopologie eine topologische Gruppe. Die reellen und die komplexen Zahlen $\DR$ und $\DC$ werden mit ihrer nat"urlichen Topologie topologische K"orper. Jeder normierte Vektorraum "uber $\DR$ oder $\DC$ wird mit seiner metrischen Topologie ein topologischer Vektorraum. In der Zahlentheorie interessiert man sich insbesondere f"ur sogenannte \glqq lokale K"orper\grqq, als da sind lokal kompakte Hausdorff'sche topologische K"orper. Wir diskutieren ihre Klassifikation in \ref{LoKo}, typische Beispiele sind die $p$-adischen Zahlen $\DQ_p.$ \end{Beispiele} \begin{Bemerkung} Gegeben zwei topologische Gruppen ist es oft interessant, die stetigen Gruppenhomomorphismen zwischen ihnen zu klassifizieren. Die stetigen Gruppenhomomorphismen von $\DR$ in normierte reelle Vektorr"aume haben wir bereits in \ref{AGH} bestimmt, die stetigen Gruppenhomomorphismen von $\DR$ nach $\DR^\times$ in \ref{SRR}. \end{Bemerkung} \begin{Satz} Jeder stetige Gruppenhomomorphismus $\varphi : \Bbb{R} \ra \DC^{\times}$ hat die Gestalt $\varphi (t) = \exp (a t) $ f"ur genau ein $a \in \DC.$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Die Eindeutigkeit folgt aus $\varphi' (0) = a$ und nur die Existenz ist problematisch. Da $\varphi$ stetig ist, gibt es sicher $\epsilon >0$ mit $(|t|< \epsilon)\RA \op{Re}\varphi (t)>0.$ Ersetzen wir $\varphi (t)$ durch $\varphi (\lambda t)$ f"ur hinreichend kleines $\lambda>0,$ so erkennen wir, da"s wir hier ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit sogar $\epsilon >1$ annehmen d"urfen. Wir wissen nun bereits nach \ref{eC}, da"s die Exponentialfunktion eine stetige Bijektion zwischen dem offenen Streifen in der komplexen Zahlenebene aller komplexen Zahlen mit Imagin"arteil zwischen $-\pi$ und $\pi$ und der l"angs der negativen reellen Achse bis einschlie"slich des Ursprungs geschlitzten komplexen Zahlenebene $$\exp :\; \Bbb{R} + i\;{(}-\pi, \pi) \sira \DC - \Bbb{R}_{\leq 0}$$ definiert. Ihre Umkehrung $\log$ ist stetig nach dem Umkehrsatz \ref{UKA} oder auch mit elementaren Argumenten. F"ur alle $x,y\in\DC$ mit positivem Realteil gilt demnach $\op{log}(xy)=\op{log}x+\op{log}y.$ Aus unseren Annahmen folgt so, da"s die Funktion $\psi = \log \circ \varphi : [-1, 1] \ra \DC$ stetig ist und da"s f"ur alle $s,t \in [-1/2, 1/2]$ gilt $$\psi (s +t)=\psi (s) + \psi (t)$$ Wir setzen $\psi (1)=a$ und folgern mit "ahnlichen Argumenten wie in \ref{SRR} die Gleichung $\psi (t)=at$ erst f"ur $t = \pm 1/2^n$ mit $0\neq n \in \DN,$ dann f"ur alle $t \in \DZ[1/2] \cap [-1,1],$ und schlie"slich mit der Stetigkeit f"ur alle $t \in [-1,1].$ Wir erhalten so $\varphi (t) = \exp (at)$ f"ur alle $t \in [-1,1]$ und daraus folgt die Gleichung dann sofort f"ur alle $t.$ \end{proof} \begin{Ubung} Bezeichne $S^1$ die Gruppe aller komplexen Zahlen der Norm Eins. Man zeige, da"s jeder stetige Gruppenhomomorphismus $S^1\ra \DC^\times$ die Gestalt $z\mapsto z^n$ hat f"ur genau ein $n\in\DZ.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Man bestimme alle stetigen Gruppenhomomorphismen $S^1\times\ldots\times S^1\ra S^1.$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Gruppenhomomorphismus von topologischen Gruppen ist stetig genau dann, wenn er stetig ist beim neutralen Element. \end{Ubung} \begin{Definition} Eine (komplexe) \defind{stetige Darstellung} einer topologischen Gruppe $G$ ist ein topologischer $\DC$-Vektorraum $V$ mit einer linearen $G$-Operation derart, da"s die durch die Operation gegebene Abbildung $G \times V \ra V$ stetig ist. Die Kategorie aller stetigen Darstellungen einer topologischen Gruppe $G$ notieren wir $G$-$\op{Modto}$ oder $\op{Modto}^G.$ Eine \defind{unit"are Darstellung} einer topologischen Gruppe $G$ ist eine stetige Darstellung durch unit"are Automorphismen eines Hilbert\-raums. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Offensichtliche Beispiele sind die Operation von $\op{GL}(n;\DC)$ auf $V=\DC^n$ und ihre Restriktionen auf Untergruppen $G\subset\op{GL}(n;\DC).$ Um interessantere Beispiele elegant behandeln zu k"onnen, besprechen wir im kommenden Abschnitt erst einmal ein in diesem Zusammenhang "au"serst n"utzliches Hilfsmittel aus der Topologie. \end{Bemerkung} \subsection{Kompakt-offene Topologie} \begin{Definition}\label{KOT} Gegeben Mengen $X,Y$ bezeichne $\op{Ens} (X,Y)$ (f"ur franz"o\-sisch ensemble) die Menge aller Abbildungen von $X$ nach $Y.$ Gegeben topologische R"aume $X,Y$ bezeichne $\op{Top} (X,Y)$ die Menge aller stetigen Abbildungen von $X$ nach $Y.$ Gegeben Teilmengen $K \subset X$ und $U\subset Y$ bezeichne $$\cal{O} (K,U) \subset \op{Top} (X,Y)$$ die Menge aller stetigen Abbildungen $f:X\ra Y$ mit $f(K) \subset U.$ Die von den Mengen $\cal{O} (K,U)$ f"ur $K\subset X$ kompakt und $U \subset Y$ offen erzeugte Topologie hei"st die \defind{kompakt-offene Topologie auf $\op{Top} (X,Y)$}. Wir denken uns R"aume stetiger Abbildungen im Zweifelsfall stets mit dieser Topologie versehen. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $X$ kompakt, so stimmt die kompakt-offene Topologie auf $\op{Top}(X,\DC)$ "uberein mit der von der Supremumsnorm induzierten Topologie. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{lokal} Sei $(E)$ eine Eigenschaft topologischer R"aume. Sagen wir, ein topologischer Raum $X$ sei \defnoind{lokal $(E)$}\index{lokal}, so meinen wir, da"s sich jede Umgebung eines beliebigen Punkts von $X$ verkleinern l"a"st zu einer Umgebung desselben Punktes, die als topologischer Raum mit der induzierten Topologie die Eigenschaft $(E)$ hat. \end{Definition} \begin{Bemerkung} In der Terminologie von Bourbaki wird von einem lokal kompakten Raum zus"atzlich die Hausdorff-Eigenschaft gefordert. Ich schlie"se mich dieser Terminologie nicht an, da sie im Widerspruch steht zu der eben vereinbarten allgemeinen Bedeutung des Adjektivs \glqq lokal\grqq. Im Deutschen bringt man diesen Unterschied zumindest in der alten Rechtschreibung dadurch zum Ausdruck, da"s man \glqq lokalkompakt\grqq\ zusammenschreibt, wenn die Hausdorff-Bedingung mit gemeint ist. Ein kompakter Hausdorff-Raum ist stets lokal kompakt nach \ref{KHN}. \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{TKL} Seien $X,Y,Z$ topologische R"aume. Ist $Y$ lokal kompakt, so induziert die offensichtliche Bijektion $\op{Ens} (X \times Y, Z) \ra \op{Ens} (X, \op{Ens}(Y,Z))$ eine Bijektion $$\op{Top} (X\times Y,Z) \overset{\sim}{\ra} \op{Top} (X,\op{Top}(Y,Z))$$ \end{Satz} %Beweis gecheckt am 6.8.04, f"ur gut befunden. \begin{Bemerkung} Sind zus"atzlich $X$ und $Y$ Hausdorff, so ist diese Bijektion sogar ein Hom"oomorphismus, vergleiche Bourbaki Topologie X \S 3.4 Cor. 2. Wir werden dies Resultat jedoch nicht ben"otigen. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Sei $f : X \times Y \ra Z$ stetig und $\tilde{f} : X \ra \op{Top} (Y,Z)$ die induzierte Abbildung. Wir zeigen zun"achst noch ohne irgendwelche Bedingungen an $Y,$ da"s $\tilde{f}$ auch stetig ist. Es reicht, diese Stetigkeit an jeder Stelle $x \in X$ zu zeigen. Gegeben $K \subset Y$ kompakt und $U \co Z$ offen mit $\tilde{f}(x) \in \cal{O} (K,U)$ gilt es, eine offene Umgebung $V$ von $x$ zu finden mit $\tilde{f} (V) \subset \cal{O} (K,U).$ Nun besagt unsere Bedingung gerade $f(x \times K)\subset U,$ und wir finden nat"urlich offene Quadrate $V_{i} \times W_{i}\co X\times Y$ mit $x \in V_{i}$ und $x \times K \subset \bigcup_{i} V_{i} \times W_{i}$ und $f (V_{i} \times W_{i}) \subset U$ f"ur alle $i.$ Wegen der Kompaktheit von $K$ finden wir sogar eine endliche Familie offener Quadrate mit dieser Eigenschaft, indiziert sagen wir durch $1\leq i\leq n.$ Jetzt nehmen wir $V = \bigcap^{n}_{i=1} V_{i}$ und haben $f(V\times K) \subset U$ alias $\tilde{f} (V) \subset \cal{O} (K,U)$ wie gew"unscht. Sei nun umgekehrt $\tilde{f}: X \ra \op{Top} (Y,Z)$ stetig und sei $f : X \times Y \ra Z$ die induzierte Abbildung. Es gilt zu zeigen, da"s $f$ stetig ist an jeder Stelle $(x,y) \in X \times Y.$ Sei also $U\co Z$ eine offene Umgebung von $f (x,y) = (\tilde{f}(x))(y).$ Nach Annahme ist $\tilde{f}(x) :Y\ra Z$ stetig und $Y$ lokal kompakt, folglich gibt es eine kompakte Umgebung $K$ von $y$ mit $(\tilde{f}(x))(K) \subset U,$ also $\tilde{f}(x) \in \cal{O} (K,U).$ Da $\tilde{f}$ stetig ist, gibt es dann auch eine Umgebung $V$ von $x$ mit $\tilde{f}(V) \subset \cal{O} (K,U),$ also mit $f (V\times K) \subset U$ und damit ist $V \times K$ die gesuchte Umgebung von $(x,y),$ die unter $f$ nach $U$ abgebildet wird. \end{proof} \begin{Korollar} Ist $Y$ lokal kompakt und $Z$ ein beliebiger topologischer Raum, so ist das Auswerten $\op{Top} (Y,Z) \times Y \ra Z$ stetig. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Das Auswerten entspricht unter der Bijektion im Satz der Identit"at auf $\op{Top} (Y,Z) =X$ rechts. \end{proof} \begin{Lemma}\label{KT} F"ur einen beliebigen topologischen Raum $X$ ist der Funktor $\op{Top}(X,\;) : \op{Top} \ra \op{Top}$ vertr"aglich mit Produkten. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Per definitionem ist die kanonische Abbildung eine Bijektion von Mengen $$\op{Top}\left(X,\prod_i Y_i\right)\sira \prod_i\op{Top}(X,Y_i)$$ und f"ur $K\subset X$ kompakt und $j$ einen beliebigen aber festen Index und $U_j\co Y_j$ offen induziert sie offensichtlich eine Bijektion zwischen den Teilmengen $\cal{O}(K,U_j\times\prod_{i\neq j}Y_i)$ und $\cal{O}(K,U_j)\times\prod_{i\neq j}\op{Top}(X,Y_i).$ Diese Mengen erzeugen aber die jeweiligen Topologien. \end{proof} \begin{Ubung}\label{NGru} Die stetigen Abbildungen von einem topologischen Raum in eine topologische Gruppe bilden unter der punktweisen Verkn"upfung und mit der kompakt-offenen Topologie selbst eine topologische Gruppe. Die stetigen Abbildungen von einem topologischen Raum in einen topologischen Vektorraum bilden unter der punktweisen Verkn"upfung und mit der kompakt-offenen Topologie selbst einen topologischen Vektorraum. \end{Ubung} \begin{Lemma}\label{StDa} Ist $G$ ein lokal kompakte Gruppe, so erhalten wir durch die Formeln $(\lambda(g)f)(x)=f(g^{-1}x)$ bzw.\ $ (\rho(g)f)(x)=f(xg)$ zwei stetige Operationen $\lambda,\rho$ von $G$ auf dem Raum $\op{Top}(G,\DC)$ aller stetigen komplexwertigen Funktionen auf unserer Gruppe. \end{Lemma} \begin{Bemerkung} Diese Darstellungen hei"sen die \defind{stetige linksregul"are} bzw.\ die \defind{stetige rechtsregul"are Darstellung} von $G.$ Eine weitreichende Verallgemeinerung dieses Lemmas werden wir als Satz \ref{DSe} beweisen. \end{Bemerkung} \begin{proof} Mit \ref{NGru} bleibt nur, die Stetigkeit zum Beispiel der Rechtsoperation $ \op{Top}(G,\DC)\times G\ra \op{Top}(G,\DC) ,$ $(f,g)\mapsto \rho(g)f$ zu zeigen. Diese ist jedoch mit \ref{TKL} gleichbedeutend zu Stetigkeit der Abbildung $\op{Top}(G,\DC)\times G\times G\ra \DC ,$ $(f,g,h)\mapsto f(hg),$ und die Stetigkeit dieser Abbildung folgt aus der Stetigkeit der Verkn"upfung in unserer Gruppe und der Stetigkeit der Auswertungsabbildung. \end{proof} \begin{Ubung} Man zeige, da"s f"ur jede lokal kompakte Gruppe $G$ die rechts- und die linksregul"are Darstellung zusammen eine stetige Darstellung von $G\times G$ auf $\op{Top}(G,\DC)$ definieren. \end{Ubung} \subsection{Uniforme Strukturen} \begin{Bemerkung} Der Begriff der gleichm"a"sigen Stetigkeit kann nicht sinnvoll von Abbildungen zwischen metrischen R"aumen auf Abbildungen zwischen beliebigen topologischen R"aumen ausgedehnt werden. Das gelingt jedoch f"ur R"aume mit einer sogenannten \glqq uniformen Struktur\grqq\ und insbesondere f"ur topologische Gruppen und Teilmengen derselben, wie wir im folgenden diskutieren werden. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Gegeben eine Menge $X$ und eine Teilmenge $A \subset X \times X$ setzen wir $$ \begin{array}{ll} A^{-1} &=\{(y,x) \mid (x,y) \in A\}\\A^{2} &=\{(x,z)\mid \exists y \in A \text{ mit } (x,y) \in A \text{ und } (y,z) \in A\} \end{array} $$ \end{Definition} \begin{Definition} Eine \defind{uniforme Struktur} auf einer Menge $X$ ist ein Mengensystem $\cal{A} \subset \cal{P}(X \times X)$ derart, da"s gilt: \begin{enumerate} \item $\cal{A}$ ist stabil unter endlichen Schnitten und enth"alt insbesondere ganz $X \times X$; \item Alle Mengen aus $\cal{A}$ umfassen die Diagonale; \item Mit einer Menge geh"ort auch jede Ihrer Obermengen zu $\cal{A}$; \item Mit $A$ geh"ort auch $A^{-1}$ zu $\cal{A}$; \item F"ur jedes $A \in \cal{A}$ gibt es ein $B \in \cal{A}$ mit $B^{2} \subset A$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiele} F"ur jede Metrik $d$ auf einer Menge $X$ erh"alt man eine uniforme Struktur $\cal{A}$ auf $X$ durch die Vorschrift $$\cal{A} = \{ A \subset X \times X \mid \exists \epsilon >0 \text{ mit } d (x,y) < \epsilon \Rightarrow (x,y) \in A\}$$ Auf jeder topologischen Gruppe $G$ erh"alt man zwei uniforme Strukturen $\cal{A}_{l}$ und $\cal{A}_{r}$ durch die Vorschriften $$\begin{array}{ccc} \cal{A}_{l} &=&\{ A \subset G \times G \mid \exists V \co G \text{ mit }e\in V \text{ und } (x^{-1}y \in V \Rightarrow (x,y) \in A) \}\\ \cal{A}_{r} & =& \{ A \subset G \times G \mid \exists V \co G \text{ mit }e\in V \text{ und } (xy^{-1} \in V \Rightarrow (x,y) \in A) \} \end{array} $$ Jede Teilmenge eines uniformen Raums erbt eine uniforme Struktur in offensichtlicher Weise. \end{Beispiele} \begin{Definition} Jede uniforme Struktur auf einer Menge $X$ definiert eine Topologie auf $X$ wie folgt: Gegeben $x \in X$ und $A \in \cal{A}$ erkl"aren wir den $A$-Ball um $x$ als die Menge $$\op{B} (x, A)=\{ y \in X \mid (y,x) \in A\} $$ und nehmen eine Menge als offene Menge genau dann, wenn sie mit einem Element stets auch einen ganzen Ball um besagtes Element enth"alt. \end{Definition} \begin{Definition} Eine Abbildung $f:X\ra Y$ zwischen uniformen R"aumen $(X,\cal{A})$ und $(Y,\cal{B})$ hei"st \defind{gleichm"a"sig stetig} genau dann, wenn es f"ur jedes $B \in \cal{B}$ ein $A \in \cal{A} $ gibt mit $(f \times f) (A) \subset B$ alias $f(\op{B} (x,A)) \subset \op{B} (f (x),B)\;\forall x\in X$. \end{Definition} \begin{Satz} Jede stetige Abbildung von einem kompakten uniformen Raum in einen weiteren uniformen Raum ist gleichm"a"sig stetig. \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Seien $(X, \cal{A})$ und $(Y, \cal{B})$ unserer uniformen R"aume und $f: X \ra Y$ unsere stetige Abbildung. Gegeben $B \in \cal{B}$ w"ahlen wir zun"achst $C \in \cal{B}$ mit $C = C^{-1}$ und $C^{2}\subset B$. F"ur jedes $x \in X$ finden wir dann $A_{x} \in \cal{A}$ mit $f(\op{B} (x,A_{x})) \subset\op{B} ( f(x),C)$. Weiter finden wir $D_x\in\cal{A}$ mit $D_x^2\subset A_x$ und $D_x=D_x^{-1}.$ Wegen der Kompaktheit von $X$ gibt es nun eine endliche Teilmenge $E \subset X$ derart, da"s die B"alle $\op{B}(x,D_{x})$ f"ur $x \in E$ bereits $X$ "uberdecken. Nehmen wir dann $A = \bigcap_{x \in E} D_{x}$, so liegt jedes $z \in X$ in einem $\op{B} (x,D_{x})$ f"ur ein $x \in E$ und damit gilt $\op{B}(z,A) \subset \op{B}(x,D^{2}_{x}) \subset \op{B} (x,A_{x})$ und das landet unter $f$ in $\op{B} (f(x),C) \subset \op{B}(f(z),C^{2})$ was zu zeigen war. \end{proof} \begin{Ubung} Jede stetige Funktion von einem uniformen Raum in einen weiteren uniformen Raum, die au"serhalb von einem Kompaktum konstant ist, ist gleichm"a"sig stetig. \end{Ubung} \subsection{Stetige Funktionen auf topologischen R"aumen} \begin{Definition} Ein topologischer Raum hei\ss t $\op{T}_{4}$ (f\"{u}r $\op{T}$ wie Trennung) genau dann, wenn sich je zwei disjunkte abgeschlossene Teilmengen unseres Raums zu disjunkten offenen Teilmengen vergr"o"sern lassen. Ein topologischer Raum hei"st \defind{normal} genau dann, wenn er $\op{T}_{4}$ und Hausdorff ist. \end{Definition} \begin{Bemerkung}\label{KHN} Nach \ref{FS} ist jeder kompakte Hausdorff-Raum normal. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Jeder metrische Raum ist normal. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $(X,d)$ unser metrischer Raum und seien $Y, Z \As X$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen. Die Abbildung $$\begin{array}{rccl} f:& X &\ra & \DR^{2}\\ &x &\mapsto & (d(Y,x), d(Z,x)) \end{array}$$ ist stetig mit Werten im ersten Quadranten ohne Ursprung $Q=\DR_{\geq 0}^2 \setminus(0,0).$ Ist nun $g: Q \ra [0,1]$ stetig so, da"s $g$ auf der Achse $\DR_{> 0}\times 0$ konstant $1$ ist und auf der Achse $0\times \DR_{> 0}$ konstant $0, $ so ist die Abbildung $F = g \circ f : X \ra [0,1]$ stetig mit $F|_Y = 1$ und $F|_Z= 0.$ Also sind $F^{-1}\left[ 0,1/2\right)$ und $F^{-1}\left( 1/2, 1\right]$ disjunkte offene Umgebungen von $Y$ und $Z.$ \end{proof} \begin{Satz}[\defind{Tietze's Erweiterungslemma}]\label{TEL} Jede stetige Abbildung von einer abgeschlossenen Teilmenge eines normalen Raums in ein nichtleeres reelles Intervall l"a"st sich fortsetzen zu einer stetigen Abbildung des ganzen Raums in besagtes Intervall. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Wir behandeln zun"achst als speziellsten Spezialfall das sogenannte Lemma von Urysohn und behandeln im Anschlu"s die Intervalle $[0,1]$ und $[0,1).$ Der allgemeine Fall bleibt von da an dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkung} \begin{Lemma}[von Urysohn]\label{Ur}\index{Urysohn's Lemma} Sei $X$ ein normaler Raum und seien $A,$ $B \subset X$ disjunkte abgeschlossene Teilmengen von $X.$ So gibt es eine stetige Funktion $f: X\ra [0,1]$ mit $f|_{A} = 0$ und $f|_{B}= 1.$ \end{Lemma} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{proof}[Beweis] Wir beginnen mit einer Vor"uberlegung: Ist $X$ normal und sind $C\subset U\subset X$ gegeben mit $C\As X$ und $U\co X,$ so gibt es eine offene Menge $W \co X$ mit $$C\subset W\subset\overline{W}\subset U$$ Um das einzusehen nehme man disjunkte offene Umgebungen $W$ von $C$ und $D$ von $X-U,$ dann gilt n\"{a}mlich $C\subset W\subset \overline{W} \subset X-D \subset U.$ Wir finden nach unserer Vor\"{u}berlegung also $U(0)\co X$ mit $$A\subset U(0)\subset \overline{U(0)}\;\;\subset\;\; X-B$$ Wir finden weiter $U({1/2}) \co X$ mit $$\overline{U(0)}\subset U({1/2}) \subset \overline{U({1/2})} \subset X-B$$ und indem wir so weitermachen finden wir induktiv f\"{u}r alle $r \in [0,1)$ der Form $r=k/2^{n}$ mit $k\in \DN$ eine offene Menge $U(r)\subset X-B$ derart, da\ss\ gilt $r < r^{\prime} \Rightarrow \overline{U(r)} \subset U(r^{\prime}).$ Schlie"slich setzen wir noch $U(1) = X$ und definieren $f:X\ra [0,1]$ durch $$ f(x) =\inf \{r \in [0,1]\mid x \in U (r) \} $$ Sicher gilt $f|_{A} = 0,$ $f|_{B}= 1.$ Wir m\"{u}ssen nur noch zeigen, da"s $f$ stetig ist. F\"{u}r $0t} X-U(r) & \\ &=&\bigcup_{r^{\prime}>t} X-\overline{U(r^{\prime})}& \co X \end{array}$$ Da aber die Intervalle $[0,t)$ und $(t,1]$ die metrische Topologie auf $[0,1]$ erzeugen, ist $f$ damit nach \ref{EZT} stetig. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Erweiterungslemmas \ref{TEL}] Jetzt zeigen wir das Erweiterungslemma f"ur das Intervall $[0,1].$ Sei wieder $X$ unser Raum und $Y\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge und $f:Y\ra [0,1]$ eine stetige Abbildung. Wir suchen $F:X\ra [0,1]$ stetig mit $F|_Y=f.$ Nach Urysohn finden wir $F_{0} : X \ra [0,1/3]$ stetig mit $f(x) \leq 1/3 \Rightarrow F_{0} (x) = 0$ und $f(x) \geq 2/3 \Rightarrow F_{0}(x) =1/3$ f\"{u}r alle $x \in Y.$ Es folgt $$F_{0}(x) \leq f(x) \leq 2/3 + F_{0}(x)$$ f\"{u}r alle $x\in Y.$ Nun nehmen wir die Funktion $f_{1} = f - F_{0} : Y \ra [0,2/3]$ und finden $F_{1} : X \ra [0, (1/3)(2/3)]$ mit $F_{1} (x) \leq f_{1} (x) \leq (2/3)^{2}+F_{1} (x) \quad \forall x \in Y$ und mithin $$F_{0}(x) +F_{1}(x) \leq f(x) \leq (2/3)^{2} +F_{0} (x) +F_{1}(x) $$ f\"{u}r alle $ x \in Y.$ Wir machen immer so weiter und konstruieren schlie"slich $F$ als Summe der gleichm\"{a}"sig konvergenten Reihe $F = F_{0} + F_{1} + F_{2} + \ldots,$ die gegen eine stetige Funktion strebt wegen \ref{GKo}. Jetzt zeigen wir das Erweiterungslemma noch f"ur das Intervall $[0,1).$ Wir benutzen dieselben Notationen wie eben und finden nach dem Vorhergehenden jedenfalls eine stetige Erweiterung von $f$ zu einer stetigen Abbildung $F:X\ra [0,1].$ Dann ist nat"urlich $F^{-1}(1)$ abgeschlossen in $X$ und disjunkt zu $Y.$ Wir finden also $G:X\ra [0,1]$ stetig mit $G|_Y=1$ und $G|_{F^{-1}(1)}=0$ und $H=\op{inf}(F,G)$ ist unsere gesuchte stetige Erweiterung von $f.$ Den Rest des Beweises k"onnen wir getrost dem Leser "uberlassen. \end{proof} \begin{Ubung}\label{GKo} Ein gleichm\"{a}"siger Grenzwert einer Folge stetiger Abbildungen von einem topologischen Raum in einen metrischen Raum ist stetig. \end{Ubung} \subsection{Der Satz von Tychonoff} \begin{Satz}[\defind{Tychonoff}]\label{ST} Das Produkt "uber eine beliebige Familie von kompakten R\"{a}umen ist kompakt. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Um das zu zeigen, m\"{u}ssen wir zun\"{a}chst einige Vorbereitungen treffen. Der Beweis wird dann am Ende dieses Abschnitts gegeben. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Sei $X$ eine Menge. Ein System von Teilmengen ${\cal F} \subset {\cal P} (X)$ hei"st ein \defind{Filter} auf $X$ genau dann, wenn es stabil ist unter endlichen Schnitten und dem Bilden von Obermengen, die leere Menge jedoch nicht enth"alt, wenn also in Formeln gilt \begin{enumerate} \item (a) $A, B \in {\cal F} \Rightarrow A \cap B \in {\cal F}$ und (b) $X\in {\cal F};$ \item $A \in {\cal F}$ und $B \supset A \Rightarrow B \in {\cal F};$ \item $\emptyset \not\in {\cal F}.$ \end{enumerate} Ein Filter ${\cal F}$ hei"st ein \defind{Ultrafilter} genau dann, wenn f\"{u}r jede Teilmenge $A \subset X$ entweder $A$ selbst oder sein Komplement $X -A$ zu ${\cal F}$ geh\"{o}rt. \end{Definition} \begin{Beispiele} Ist $X$ eine Menge und $x\in X$ ein Punkt, so ist das System aller Teilmengen von $X,$ die $x$ enthalten, ein Ultrafilter. Ist $x_{0},x_{1}, \ldots$ eine Folge in $X,$ so ist das System derjenigen Teilmengen von $X,$ die fast alle Folgenglieder enthalten, ein Filter. Ist $X$ ein topologischer Raum und $x \in X$ ein Punkt, so bilden alle Umgebungen von $x$ einen Filter, den \defind{Umgebungsfilter} ${\cal U}_{x}$ von $x.$ Auf der leeren Menge $X=\emptyset$ gibt es "uberhaupt keinen Filter. \end{Beispiele} \begin{Lemma} Die Ultrafilter auf einer Menge sind genau die maximalen Filter auf besagter Menge und jeder Filter l\"{a}"st sich vergr\"{o}"sern zu einem Ultrafilter. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Ein Ultrafilter ist offensichtich maximal. Ist umgekehrt ${\cal F}$ kein Ultrafilter, so gibt es $B \subset X$ mit $B \not\in {\cal F}$ und $X -B \not\in {\cal F}.$ Wir behaupten, da"s entweder gilt $B \cap F \neq \emptyset \quad \forall F \in {\cal F}$ oder $(X - B) \cap F \neq \emptyset \quad \forall F \in {\cal F}.$ Sonst g\"{a}be es n\"{a}mlich $F, G \in {\cal F}$ mit $B \cap F = \emptyset$ und $(X-B) \cap G = \emptyset,$ und damit $F \cap G = \emptyset$ im Widerspruch zur Annahme, da"s ${\cal F}$ ein Filter ist. Sei also ohne Beschr\"{a}nkung der Allgemeinheit $B \cap F \neq \emptyset \quad \forall F \in {\cal F}.$ Dann bilden alle Obermengen zu solchen Schnitten selbst einen Filter $\tilde{{\cal F}} \supset {\cal F}$ mit $B \in \tilde{{\cal F}}$ und ${\cal F}$ war kein maximaler Filter. Die zweite Aussage folgt aus der ersten mit dem Zorn'schen Lemma. \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum, ${\cal F} \subset {\cal P} (X)$ ein Filter und $x \in X$ ein Punkt. Wir sagen, der {\bf Filter ${\cal F}$ konvergiert gegen den Punkt $x$} genau dann, wenn jede Umgebung von $x$ zum Filter ${\cal F}$ geh\"{o}rt, in Formeln ${\cal U}_{x} \subset {\cal F}.$ Wir sagen, der {\bf Filter ${\cal F}$ konvergiert}\index{Konvergenz von Filtern} genau dann, wenn es einen Punkt $x\in X$ gibt derart, da"s ${\cal F}$ gegen $x$ konvergiert. \end{Definition} \begin{Ubung} Ist $X$ ein Hausdorffraum und konvergiert ein Filter gegen die Punkte $x$ und $y$ aus $X,$ so gilt $x=y.$ \end{Ubung} \begin{Lemma}\label{KUF} Ein topologischer Raum ist kompakt genau dann, wenn jeder Ultrafilter in besagtem Raum konvergiert. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] $\Rightarrow).$ Sei $X$ unser Raum. Ist ${\cal F} \subset {\cal P} (X)$ ein Filter, so hat die Familie $({F})_{F \in {\cal F}}$ und dann erst recht die Familie $(\bar{F})_{F \in {\cal F}}$ nichtleere endliche Schnitte. Mit \"{U}bung \ref{ESA} folgt $\bigcap_{F\in {\cal F}} \bar{F} \neq \emptyset.$ W\"{a}hlen wir $x$ aus diesem Schnitt und $U$ eine Umgebung von $x,$ so gilt $U \cap F \neq \emptyset$ f\"{u}r alle $F \in {\cal F}.$ Aus $U \cap (X -U)=\emptyset$ folgt dann $(X -U)\not\in {\cal F},$ und wenn ${\cal F}$ sogar ein Ultrafilter ist folgt weiter $U\in {\cal F}.$ Also konvergiert dann ${\cal F}$ gegen $x.$ \\[2mm]\noindent $\Leftarrow).$ Ist $X$ nicht kompakt, so finden wir wieder nach \"{U}bung \ref{ESA} eine Familie $(A_{i})_{i\in I}$ abgeschlossener Teilmengen mit nichtleeren endlichen Schnitten, f\"{u}r die gilt $\bigcap_{i\in I} A_{i}= \emptyset.$ Alle Mengen, die einen Schnitt von endlich vielen unserer $A_i$ umfassen, bilden einen Filter. Folglich gibt es auch einen Ultrafilter, der alle $A_{i}$ enth\"{a}lt. Nun besitzt aber jeder Punkt von $x$ eine Umgebung, die eines der $A_{i}$ nicht trifft und die also nicht in unserem Ultrafilter liegt. Daher kann unser Ultrafilter gegen keinen Punkt $x\in X$ konvergieren. \end{proof} \begin{proof}[Beweis des Satzes von Tychonoff \ref{ST}] Sei $(Y_{i})_{i\in I}$ unsere Familie von kompakten R"aumen und sei ${\cal F}$ ein Ultrafilter im Produktraum. F\"{u}r jedes $i \in I$ betrachten wir in $Y_{i}$ den Ultrafilter $${\cal F}_{i} = \{F \subset Y_{i}\mid F\times \prod_{j\neq i} Y_{j} \in {\cal F}\}$$ Da die $Y_{i}$ kompakt sind, gibt es $y_{i} \in Y_{i}$ so da"s ${\cal F}_{i}$ gegen $y_{i}$ konvergiert. Dann konvergiert aber offensichtlich ${\cal F}$ gegen $y= (y_{i})_{i\in I}.$ \end{proof} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%% *BFS \begin{Ubung} Viele Aussagen verallgemeinern sich von metrischen auf beliebige topologische R\"{a}ume, wenn wir \glqq Folgen durch Filter ersetzen\grqq. Als Beispiel zeige man, da"s f\"{u}r eine Abbildung $f: X \ra Y$ von topologischen R\"{a}umen gleichbedeutend sind: (1) $f$ ist stetig und (2) $f$ ist \defind{filterstetig}, d.h.\ f\"{u}r jeden Filter ${\cal F}$ auf $X$ mit Grenzwert $x \in X$ konvergiert der \defind{Bildfilter} $f_{\ast} {\cal F} =\{A \subset Y \mid f^{-1} (A) \in {\cal F}\}$ gegen $f(x).$ \end{Ubung} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % SS 2001 14.5 bis hier %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Das Haar'sche Ma"s} %Am 5.8.2004 durchgesehen, scheint gut. \begin{Bemerkung} Jede Gruppe $G$ tr"agt eine nat"urliche Operation der Gruppe $G\times G$ vermittels der Vorschrift $(x,y)z=xzy^{-1}.$ Diese Operation spezialisiert zu drei Operationen von $G$ auf sich selbst durch Linksmultiplikation, durch Rechtsmultiplikation mit dem Inversen und durch Konjugation. Gegeben eine Menge $E$ erhalten wir so auch eine Operation von $G\times G$ auf $\op{Ens}(G,E)$ durch die Vorschrift $((x,y)f)(z)=f(x^{-1}zy),$ die spezialisiert zu drei Operationen von $G$ auf diesem Raum. Wir nennen sie die linksregul"are Operation, die rechtsregul"are Operation und die Operation durch Konjugation und benutzen daf"ur die abk"urzenden Notationen $$(\acute{x}f)(z)=f(x^{-1}z),\quad (\grave{x}f)(z)=f(zx) \quad\text{und}\quad (\hat{x}f)(z)=f(x^{-1}zx).$$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Haar'sches Ma"s] Sei $G$ eine lokal kompakte Hausdorff'sche topologische Gruppe und $C_{c} (G; \Bbb{R})$ der Raum aller stetigen reellwertigen Abbildungen $f: G \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager. So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt eine von Null verschiedene lineare Abbildung $\mu : C_{c} (G;\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ mit $f \geq 0 \Rightarrow \mu (f) \geq 0$ und $\mu (\acute{x}f )= \mu (f) \quad \forall x \in G.$ \item Ist $\lambda$ eine zweite derartige Abbildung, so gibt es $a > 0$ mit $\lambda = a \mu.$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkung} Jede derartige Abbildung $\mu$ hei"st ein \defnoind{Haar'sches Ma"s}\index{Haar'sches Ma"s} oder genauer ein \defnoind{linksinvariantes Haar'sches Ma"s} auf $G.$ Fordern wir alternativ $\mu (\grave{x}f )= \mu (f)$ f"ur alle $x\in G,$ so sprechen wir von einem {\bf rechts\-invarianten} Haar'schen Ma"s. \end{Bemerkung} \begin{Beispiele} F"ur diskrete Gruppen ist das Z"ahlma"s rechts- und linksinvariant, d.h.\ wir k"onnen $\mu(f)=\sum_{x\in G}f(x)$ nehmen f"ur jede Funktion $f:G\ra\DR$ mit kompaktem alias endlichem Tr"ager. F"ur $G=\DR^n$ ist das Lebesgue-Ma"s ein Haar'sches Ma"s. Wichtig in der Zahlentheorie sind die Haar'schen Ma"se auf lokalen K"orpern wie zum Beispiel dem K"orper $\DQ_p$ der $p$-adischen Zahlen. \end{Beispiele} \begin{proof}[Beweis] Wir bezeichnen mit $C^{+}_{c} (G)$ die Menge aller $f \in C_{c}(G;\Bbb{R})$ mit $f \geq 0$. Gegeben $f, g \in C^{+}_{c} (G)$ mit $g \neq 0$ gibt es $x_{1}, \ldots , x_{n} \in G$ und $c_{1}, \ldots , c_{n} \geq 0$ mit $$f(z) \leq \sum^{n}_{i=1} c_{i} g (x_{i}z) \quad \forall z \in G$$ Wir definieren $(f: g)\in \Bbb{R}$ als das Infimum der m"oglichen $\sum^{n}_{i=1} c_{i}$ f"ur alle Wahlen wie eben und haben offensichtlich \begin{enumerate} \item $(\acute{x} f: g) = (f: g) \;\;\forall x \in G;$ \item $(f_{1} + f_{2} : g) \leq (f_{1}: g)+(f_{2}: g);$ \item $(cf : g) = c(f: g) \quad\text{ f"ur beliebiges } c\geq 0;$ \item $f_{1} \leq f_{2} \Rightarrow (f_{1}: g) \leq (f_{2} : g);$ \item $(f: g) \leq (f: h)(h: g) \quad\text{ falls auch gilt } h \neq 0;$ \item $f>0\RA (f: g)>0.$ \end{enumerate} Jetzt w"ahlen wir ein f"ur allemal ein festes $w \in C^{+}_{c} (G)$ mit $w(e) =1.$ Es existiert, denn das neutrale Element besitzt eine offene Umgebung mit kompaktem Abschlu"s und wir k"onnen nach Urysohn \ref{Ur} eine stetige Funktion von diesem Abschlu"s nach $[0,1]$ finden, die auf seinem Rand Null ist und beim neutralen Element Eins. Dann dehnen wir diese stetige Funktion durch Null aus auf die ganze Gruppe. Jetzt betrachten wir f"ur jedes von Null verschiedene $g \in C_{c}^+(W)$ die Abbildung $$\begin{array}{cccl} \mu_{g} :& C^{+}_{c} (G) & \ra & \Bbb{R}_{\geq 0}\\[1mm] &f & \mapsto & \mu_{g} (f) = (f:g)/{(w:g)} \end{array}$$ Diese Abbildungen sind zu verstehen als Approximationen unseres Haar'schen Ma"ses, normalisiert durch die Bedingung $\mu_{g} (w) =1.$ Sicher gilt f"ur diese Approximationen: \begin{enumerate} \item $ \mu_{g} (\acute{x}f) = \mu_{g} (f);$ \item$ \mu_{g} (cf) = c \mu_{g} (f) \quad\text{ f"ur beliebiges } c \geq 0;$ \item $\mu_{g} (f_{1}+f_{2}) \leq \mu_{g} (f_{1}) + \mu_{g} (f_{2}),$ \end{enumerate} und f"ur beliebige von Null verschiedene $f,g\in C^{+}_{c} (G)$ gelten die Absch"atzungen $$(f: w) = \frac{(f:w)(w:g)}{(w:g)} \geq \mu_{g} (f) \geq \frac{(f:g)}{(w:f)(f:g)} = \frac{1}{(w:f)}$$ Wir zeigen sogar \begin{Lemma} Seien $f_{1},f_{2} \in C^{+}_{c} (G)$ und $\epsilon > 0$ gegeben. So gibt es eine Umgebung $V \subset W$ von $e \in G$ derart, da"s f"ur alle $g \in C^{+}_{c} (V)$ gilt $$\mu_{g} (f_{1}) + \mu_{g} (f_{2}) \leq \mu_{g} (f_{1}+f_{2}) + \epsilon $$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Zun"achst einmal finden wir eine Funktion $h \in C^{+}_{c} (G)$ mit $h(z)=1$ $ \forall z \in \op{supp}(f_{1}+f_{2}).$ Gegeben ein $\delta >0,$ das am Schlu"s gen"ugend klein gew"ahlt werden mu"s, setzen wir nun $f = f_{1}+f_{2} +\delta h$ und $h_{\nu} = f_{\nu}/f$ und finden wegen der gleichm"a"sigen Stetigkeit der $h_\nu$ eine offene Umgebung $V= V(\delta, f_{1}, f_{2},h)$ des neutralen Elements mit $|h_{\nu}(z) - h_{\nu} (y)| < \delta \text{ falls } y \in z V$ f"ur $\nu=1,2.$ Nehmen wir nun irgendein $g \in C^{+}_{c} (G)$ mit $g \neq 0$ und w"ahlen irgendwelche $c_{i} \geq 0$ und $x_{i} \in G$ mit $$f(z) \leq \sum^{n}_{i=1} c_{i} g (x_{i} z) \quad \forall z,$$ so folgt unter der Zusatzbedingung $\op{supp} (g) \subset V$ bereits $$\begin{array}{ccl} f_{\nu}(z) & \leq & \sum^{n}_{i=1} c_{i} g (x_{i}z) h_{\nu}(z)\\[2mm] & \leq & \sum^{n}_{i=1} c_{i} g (x_{i}z)(h_{\nu}(x^{-1}_{i})+\delta) \end{array}$$ da ja gilt $g(x_{i}z) \neq 0 \Rightarrow x_{i} z \in V \Rightarrow z \in x^{-1}_{i} V$. Immer unter unserer Zusatzbedingung $\op{supp} (g) \subset V$ folgt weiter erst $$ (f_{\nu}:g) \leq \sum c_{i} (h_{\nu}(x^{-1}_{i}) + \delta ) $$ und wegen $h_{1}+h_{2}\leq 1$ dann $$\begin{array}{ccl} (f_{1}:g) +(f_{2}: g) & \leq & \sum c_{i} (1+2\delta)\\[2mm] (f_{1}:g) +(f_{2}: g) &\leq & (f: g )(1+2 \delta)\\ & \leq & ((f_{1} + f_{2} : g)+ \delta (h: g)) (1 + 2 \delta)\\[2mm] \mu_{g} (f_{1}) + \mu_{g} (f_{2}) & \leq & (\mu_{g} (f_{1}+f_{2}) + \delta \mu_{g} (h)) (1 + 2 \delta)\\ & \leq & (\mu_{g} (f_{1}+f_{2}) + \delta (h:w) ) (1 + 2 \delta)\end{array}$$ und das Lemma folgt, wenn wir zu Beginn $\delta$ in Abh"angigkeit von $\epsilon$ klein genug w"ahlen und das zugeh"orige $V$ nehmen. \end{proof}\noindent Setzen wir f"ur $f \neq 0$ nun $I_{f} = \left[ {(w:f)^{-1}},(f:w) \right],$ so gilt nach einer fr"uheren Absch"atzung $\mu_{g} (f) \in I_{f}$ f"ur alle $f \neq 0$. Damit kann man $\mu_{g}$ auffassen als einen Punkt des Produkts $$I=\prod_{0\neq f\in C^{+}_{c} (G)} I_{f}$$ Mit der Produkttopologie wird $I$ ein Kompaktum nach dem Satz von Tychonoff. F"ur $V \subset G$ eine offene Umgebung des neutralen Elements betrachten wir nun $$ K_{V} = \overline{\{\mu_{g} | \op{supp} g \subset V\} } \subset I$$ Sicher gilt $V \subset W \Rightarrow K_{V} \subset K_{W}$ und wir folgern, da"s es ein $\mu \in I$ gibt mit $\mu \in K_{V} $ $ \forall V.$ Wir verstehen nun $\mu$ als eine Abbildung $$ \mu : C^{+}_{c} (G) \ra \Bbb{R}$$ indem wir $\mu(f)$ als die Projektion von $\mu$ auf seine $f$-Komponente definieren f"ur $f\neq 0$ und $\mu(0)=0$ setzen, und behaupten, da"s das so erkl"arte $\mu$ additiv ist und mit der Multiplikation mit nichtnegativen Skalaren vertauscht. Gegeben $f_{1}, f_{2} \in C^{+}_{c} (G)$ und $\epsilon >0$ und $V$ eine Umgebung des neutralen Elements finden wir ja nach der Definition der Produkttopologie ein $g \in C^{+}_{c} (V)$ mit $$|\mu (f_{i})-\mu_{g} (f_{i}) | < \epsilon \text{ f"ur } i = 1,2.$$ Es folgt f"ur $f, f_{1},f_{2} \in C^{+}_{c} (G)$ bereits $\mu (cf) = c\mu (f)$ falls $c \geq 0,$ $\mu (f_{1} + f_{2}) = \mu (f_{1}) + \mu (f_{2})$ sowie $\mu (\acute{x} f) = \mu (f) \quad \forall x \in G$. F"ur beliebiges $f \in C_{c} (G)$ setzen wir $f^{\pm} = \op{sup} (\pm f,0)$ und $\mu (f)=\mu (f^{+}) - \mu (f^{-})$ und haben damit die Existenz eines Haar'schen Ma"ses nachgewiesen. \end{proof} \subsection{Der Riesz'sche Darstellungssatz} \begin{Definition} Ein \defind{Borel-Ma"s} auf einem topologischen Raum ist ein Ma"s auf den Borel-Mengen, das auf allen Kompakta endliche Werte annimmt und auf allen Borel-Mengen, die nicht in einer abz"ahlbaren Vereinigung von Kompakta enthalten sind, den Wert Unendlich. \end{Definition} \begin{Definition} Ein Borel-Ma"s auf einem lokal kompakten Hausdorffraum hei"st \defind{regul"ar} genau dann, wenn das Ma"s jeder $\sigma$-endlichen Borel-Menge das Supremum ist "uber die Ma"se aller darin enthaltenen Kompakta und das Infimum "uber die Ma"se aller sie umfassenden offenen Mengen. \emph{Hier besteht noch das Problem, da"s nach unseren Konventionen offene Mengen keine Borel-Mengen zu sein brauchen. \glqq Offen mit kompaktem Abschlu"s\grqq\ stand deshalb in einer Vorversion, ich bin nicht sicher, was wirklich stimmt. Vielleicht am besten statt Borel-Ma"s topologisches Ma"s sagen und damit arbeiten, f"ur Ma"s auf topologisch me"sbaren Mengen}. \end{Definition} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum und $\cal{C}_{c} (X;\Bbb{R})$ der reelle Vektorraum aller stetigen Abbildungen $f: X \ra \Bbb{R}$ mit kompaktem Tr"ager. Ein \defind{positives Funktional} auf $C_{c} (X,\Bbb{R})$ ist eine $\Bbb{R}$-lineare Abbildung $F: \cal{C}_{c}(X,\Bbb{R}) \ra \Bbb{R},$ die jeder nichtnegativen Funktion eine nichtnegative reelle Zahl zuordnet. \end{Definition} \begin{Bemerkung} Solche positiven Funktionale hei"sen auch \defind{Radon-Ma"se}, obwohl sie im Sinne unserer Definition \ref{??} eigentlich keine Ma"se sind. \end{Bemerkung} \begin{Satz}[Riesz'scher Darstellungssatz] Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum. Ordnen wir jedem regul"aren Borel-Ma"s auf $X$ das zugeh"orige Integral zu, so erhalten wir eine Bijektion $$\left\{ \begin{array}{c} \text{regul"are Borel-Ma"se} \\ \text{auf } X \end{array} \right\} \overset{\sim}{\ra} \left\{ \begin{array}{c} \text{Positive Funktionale}\\ \text{auf } \cal{C}_{c} (X,\Bbb{R})\end{array} \right\} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkung} In anderen Worten k"onnen wir also jedes positive Funktional durch genau ein regul"ares Borel-Ma"s darstellen, deshalb die Bezeichnung als \glqq Darstellungssatz\grqq. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis] Die inverse Abbildung erh"alt man wie folgt: Zun"achst sei daran erinnert, da"s eine Funktion $f:X\ra(-\infty,\infty]$ auf einem topologischen Raum $X$ \defind{unterhalbstetig} hei"st genau dann, wenn f"ur alle $a\in\DR$ das Urbild von $(a,\infty]$ offen ist. Gegeben ein positives Funktional betrachtet man zun"achst seine Ausdehnung auf den Raum aller unterhalbstetigen Funktionen $X\ra [0,\infty],$ indem man jeder unterhalbstetigen Funktion das Supremum "uber die Werte unseres Funktionals an allen stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager zuordnet, die kleiner sind als unsere unterhalbstetige Funktion. Dann dehnt man weiter aus auf alle Funktionen $X\ra [0,\infty],$ indem man einer beliebigen Funktion das Infimum der Werte unseres Funktionals an allen unterhalbstetigen Funktionen zuordnet, die dar"uber liegen. Und schlie"slich ergibt sich das Ma"s einer Borel-Menge als der Wert dieser Ausdehnung auf ihrer charakteristischen Funktion, falls sie in einer abz"ahlbaren Vereinigung von Kompakta enthalten ist, und wird sonst Unendlich gesetzt. F"ur mehr dazu vergleiche auch \cite{Bauer, Mass- und Integrationstheorie}. \end{proof} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Eine Teilmenge $U \subset X$ hei"se \defind{funktionsoffen} genau dann, wenn es eine stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager $f: X \ra [0, \infty )$ gibt mit $U =\{x \in X \mid f(x) > 0\}$. \end{Definition} \begin{Satz}[Abstrakte Version des Satzes von Riesz] Sei $X$ ein topologischer Raum. So liefert das Bilden des Integrals eine Bijektion zwischen \begin{enumerate} \item der Menge aller Ma"se auf der von den funktionsoffenen Mengen erzeugten $\sigma$-Algebra, die endlich sind auf funktionsoffenen Mengen und unendlich auf Mengen, die nicht in einer abz"ahlbaren Vereinigung von funktionsoffenen Mengen enthalten sind. \item der Menge aller Linearformen auf dem Raum $C_{c}(X;\Bbb{R})$ aller stetigen Funktionen mit kompaktem Tr"ager, die auf nichtnegativen Funktionen nichtnegative Werte annehmen. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Bezeichne $\cal{M} \subset \cal{P}(X)$ die von den funktionsoffenen Mengen erzeugte $\sigma$-Algebra und $\cal{B} \subset \cal{P} (\Bbb{R})$ die $\sigma$-Algebra aller Borelmengen. Nat"urlich wird die $\sigma$-Algebra $\cal{M} \otimes \cal{B} \subset \cal{P}(X\times \Bbb{R})$ bereits erzeugt von allen Quadern $U \times I$ mit $U \subset X$ funktionsoffen und $I \subset \Bbb{R}$ ein beschr"anktes offenes Intervall. %\end{proof} \begin{Bemerkung} Jede stetige Funktion mit kompaktem Tr"ager ist me"sbar f"ur die von den funktionsoffenen Teilmengen erzeugte $\sigma$-Algebra. In der Tat reicht es, da"s f"ur nichtnegative Funktionen $f$ zu zeigen, und die die $(a, \infty)$ die $\sigma$-Algebra der Borelmengen von $\Bbb{R}$ erzeugen, reicht es weiter, $f^{-1}(a,\infty)$ funktionsoffen zu zeigen f"ur alle $a >0$. Das ist jedoch $g^{-1}(0, \infty)$ f"ur $g = \op{sup} (f,a)-a$. \end{Bemerkung} Wir behaupten, da"s sie auch erzeugt wird von den \glqq verschobenen Graphenfl"achen\grqq\ $$A(f,b) =\{ (x,t) \mid 00}} f^{-1}(q,\infty) \times (0,q)$$ Andererseits ist jeder Quader $U\times (0,a)$ mit $U$ funktionsoffen, sagen wir $U =\{ x \mid f(x) >0\}$ f"ur $f\in C_{c}(X;\Bbb{R})$ nichtnegativ die abz"ahlbare Vereinigung $$U \times (0,a) = \bigcup_{n\in\Bbb{N}} A (\op{inf}(n f, a)0)$$ von Graphenfl"achen. Bezeichne nun $\cal{G} \subset \cal{P} (X\times \Bbb{R})$ den von allen verschobenen Graphenfl"achen $A(f,b)$ erzeugten Mengenring. Jedes Element von $\cal{G}$ l"a"st sich erhalten wie folgt: Man bilde endliche Schnitte von verschobenen Graphenfl"achen, dann Komplemente f"ur Paare ineinander enthaltener derartiger Schnittmengen, und dann endliche disjunkte Vereinigungen derartiger Komplemente. Auf diese Weise wird klar, da"s f"ur $G \in \cal{G}$ die Abbildung $$\begin{array}{rcl} f_{G}: X & \ra & [0,\infty)\\ x &\mapsto &\lambda (G\cap (\{x\} \times \Bbb{R})) \end{array}$$ stetig ist, f"ur $\lambda$ das Lebesguema"s auf $\Bbb{R}$. Wir behaupten, da"s f"ur $\Lambda : C_{c} (X; \Bbb{R})$ $\ra \Bbb{R}$ ein nichtnegatives Funktional sogar $G \mapsto \Lambda (f_{G})$ ein endliches Pr"ama"s ist auf $\cal{G}$. Das folgt jedoch, da nach einem Satz von Dini auf einem Kompaktum jede monotone Folge stetiger reellwertiger Funktionen, die punktweise gegen eine stetige Funktion konvergiert, bereits gleichm"a"sig konvergieren mu"s. Jedes positive Funktional auf $C_{c}(X;\Bbb{R})$ liefert so ein Pr"ama"s auf $\cal{G}$ und mit dem Erweiterungssatz von Hahn auch ein Ma"s auf $\cal{M} \otimes \cal{B}$ und durch Messen der $U\times (0,1)$ ein Ma"s f"ur alle $U \in \cal{M}$. Wir "uberlassen dem Leser den Nachweis, da"s so in der Tat eine Inverse zu der im Satz beschriebenen Zuordnung entsteht. Wesentlich hierf"ur ist die Eindeutigkeitsaussage aus dem Satz von Hahn. \end{proof} \begin{Bemerkung} Ist $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum, so sind in der Vervollst"andigung eines unserer Ma"se auf $\cal{M}$ alle Kompakta me"sbar mit endlichem Ma"s und es gelten verschiedene Regularit"atseigenschaften. \end{Bemerkung} \begin{Beispiel} Das Z"ahlma"s auf $\DR$ ist kein Borel-Ma"s. Betrachten wir eine "uberabz"ahlbare Menge mit der diskreten Topologie und das Ma"s auf der vollen Potenzmenge, das jeder abz"ahlbaren Menge Null zuordnet und jeder "uberabz"ahlbaren Menge Unendlich, so erhalten wir ein Borel-Ma"s, das kein Radon-Ma"s ist. Betrachten wir das Produkt von $\DR$ mit einer diskreten "uberabz"ahlbaren Menge $A$ und geben jeder Borel-Menge, deren Projektion auf $A$ "uberabz"ahlbar ist, das Ma"s Unendlich und jeder Borel-Menge, deren Projektion auf $A$ abz"ahlbar ist, die Summe der Lebesgue-Ma"se der Fasern, so erhalten wir ein etwas reichaltigeres Beispiel f"ur ein Borel-Ma"s, das kein Radon-Ma"s ist: Die Fasern der Projektion auf $A$ haben n"amlich nicht Ma"s Null, wohl aber alle darin enthaltenen Kompakta. \end{Beispiel} \begin{Bemerkung} Dieses Beispiel zeigt recht gut, \end{Bemerkung} \begin{Definition} Ein \defind{komplexes Radon-Ma"s} auf einem topologischen Raum ist eine Abbildung von der $\sigma$-Algebra aller Borel-Mengen in die komplexen Zahlen, die sich als endliche Linearkombination mit komplexen Koeffizienten von endlichen positiven Radon-Ma"sen darstellen l"a"st. Wir bezeichnen den $\DC$-Vektorraum aller komplexen Radon-Ma"se auf einem topologischen Raum $X$ mit $M(X).$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Manche Autoren wie z.B.\ \cite{Halmos} verwenden die Begriffe \glqq Borel-Menge\grqq\ und \glqq Borel-Ma"s\grqq\ in einer leicht anderen Bedeutung. Ich halte mich an \cite{Bauer, Mass- und Integrationstheorie}. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Gegeben ein Radon-Ma"s auf einem lokal kompakten Hausdorffraum gibt es eine gr"o"ste offene Teilmenge vom Ma"s Null. Ihr Komplement hei"st der {\bf\em Tr"ager}\index{Tr"ager} des Ma"ses. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s die Vereinigung aller offenen Teilmengen vom Ma"s Null auch Ma"s Null hat. Sonst enthielte sie jedoch wegen der inneren Regularit"at ein Kompaktum von echt positivem Ma"s, und dies Kompaktum m"usste eine endliche "Uberdeckung besitzen durch offene Mengen vom Ma"s Null. Widerspruch! \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben ein komplexes Radon-Ma"s auf einem lokal kompakten Hausdorffraum gibt es eine gr"o"ste offene Teilmenge derart, da"s jede darin enthaltene Borel-me"sbare Teilmenge Ma"s Null hat. Ihr Komplement hei"st wieder der {\bf\em Tr"ager} des Ma"ses. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s die Vereinigung aller offenen Teilmengen mit besagter Eigenschaft auch besagte Eigenschaft hat. Sonst enthielte diese Vereinigung jedoch eine Borel-me"sbare Teilmenge mit einem von Null verschiedenen Ma"s, und dann auch ein Kompaktum mit einem von Null verschiedenen Ma"s, und das bes"a"se eine endliche Partition in Teilmengen vom Ma"s Null. Widerspruch! \end{proof} \begin{Lemma}\label{FRM} Jede mit der Addition und der Multiplikation mit nichtnegativen reellen Zahlen vertr"agliche Abbildung vom Raum der endlichen positiven Radon-Ma"se auf einem topologischen Raum in einen komplexen Vektorraum l"a"st sich auf genau eine Weise fortsetzen zu einer komplexlinearen Abbildung vom Raum aller komplexen Radon-Ma"se in besagten komplexen Vektorraum. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das ist klar. \end{proof} \begin{Proposition}[Produkte von Radon-Ma"sen] Seien gegeben lokal kompakte Hausdorff-R"aume $X,Y$ mit Radon-Ma"sen $\mu, \nu$. \begin{enumerate} \item Es gibt genau ein Radon-Ma"s $\mu \otimes \nu$ auf dem Produktraum $X\times Y$ mit $$\int f(x) g(y) (\mu \otimes \nu)(x,y) = (\int f(x)\mu (x))( \int g(y)\nu (y))$$ f"ur alle $f \in C_{c} (X;\Bbb{R}), g \in C_{c} (Y;\Bbb{R}).$ \item F"ur alle $h \in C_{c} (X\times Y; \Bbb{R})$ geh"ort die Abbildung $x \mapsto \int h (x,y) \nu (y)$ zu $C_{c} (X;\Bbb{R})$ und es gilt $\int h(x,y)(\mu \otimes \nu)(x,y) = \int (\int h (x,y) \nu (y)) \mu (x).$ \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkung} Insbesondere darf man auch in dieser Situation die Integrationsreihenfolge vertauschen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und ein Kompaktum $K \subset X$ bezeichne $C_{K} (X;\Bbb{R}) \subset C_{c} (X;\Bbb{R})$ den Raum aller Funktionen mit Tr"ager in $K$, versehen mit seiner $\op{sup}$-Norm. So ist jedes positive Funktional $\varphi : C_{c} (X;\Bbb{R}) \ra \Bbb{R}$ stetig auf $C_{K} (X;\Bbb{R})$, denn es gibt $h \in C_{c} (X;\Bbb{R})$ mit $h \geq 0$ und $h_{K} =1$, und f"ur $f \in C_{K} (X;\Bbb{R})$ folgt aus $\| f\| \leq 1$ sofort $|\varphi (f)| = |\varphi (f^{+})- \varphi (f^{-})| \leq \varphi (h)$. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Ist $X$ ein beliebiger topologischer Raum und $Y$ kompakt, so macht die offensichtliche Abbildung $\op{Ens} (X \times Y, \Bbb{R}) \overset{\sim}{\ra} \op{Ens} (X, \op{Ens} (Y,\Bbb{R}))$ jede stetige Abbildung $h: X \times Y \ra \Bbb{R}$ zu einer stetigen Abbildung $X \ra C (Y;\Bbb{R})$ f"ur die $\op{sup}$-Norm auf $C (Y;\Bbb{R})$; vergleiche \ref{??}. Sind also $X$ und $Y$ lokal kompakte Hausdorffr"aume und $h : X \times Y \ra \Bbb{R}$ stetig mit kompaktem Tr"ager, so ist auch $x \mapsto \int h (x,y) \nu (y)$ stetig mit kompaktem Tr"ager. Das zeigt schon mal, da"s das Doppelintegral in \ref{??} existiert wie behauptet. Insbesondere erhalten wir so ein Radon-Ma"s auf $X \times Y$, das die Bedingung aus Teil 1 erf"ullt. Es bleibt zu zeigen, da"s es das einzige ist. Dazu reicht es zu zeigen, da"s sich f"ur beliebige Kompakta $K \subset X$ und $L \subset Y$ jedes $h \in C_{K\times L} (X \times Y; \Bbb{R})$ beliebig gut gleichm"a"sig appoximieren l"a"st durch endliche Linearkombinationen von Produkten $u(x) v(y) $ mit $u \in C_{K} (X;\Bbb{R})$ und $v \in C_{L}(Y;\Bbb{R}).$ Aber auf dem kompakten Raum $Z$, der aus $X \times Y$ entsteht, wenn man den Abschlu"s des Komplements von $K\times L$ zu einem Punkt $\ast$ identifiziert, bilden diese Linearkombinationen zusammen mit der Eins eine Unteralgebra in $C (Z;\Bbb{R})$, die die Punkte trennt. Jetzt sagt uns Stone-Weierstra"s, da"s wir beliebige $h \in C(Z;\Bbb{R})$ beliebig gut durch Elemente dieser Unteralgebra approximieren k"onnen, und Funktionen mit $h(\ast) =0$ sogar beliebig gut durch Linearkombinationen von Produkten $u(x) v(y)$. \end{Bemerkung} \begin{proof}[Beweis der Eindeutigkeit des Haarma"ses] Gegeben zwei Haarma"se $\mu, \nu$ auf einer lokal kompakten Hausdorff'schen Gruppe $G$ benutzen wir im Folgenden die Konvention, nach der "uber die Variable $x$ nach $\mu$ und "uber die Variable $y$ nach $\nu$ integriert werden m"oge. Damit finden wir f"ur $f,h \in C_{c} (G;\Bbb{R})$ beliebig $$\begin{array}{ccl} \mu (f) \nu(h) - \nu (f) \mu (h) &=& \int f (x) h(y) - f(y) h(x)\\[2mm] &=& \int f(x) h(x^{-1}y) - f(y) h(x)\\[2mm] &=& \int f(yx) h(x^{-1}) - f (y)h(x)\\[2mm] &=& \int f (x^{-1}yx) h(x^{-1}) - f(y) h(x) \end{array}$$ und unter der zus"atzlichen Annahme, da"s $h$ nichtnegativ und symmetrisch sei, in Formeln $h\geq 0$ und $h(x) = h(x^{-1}) \quad \forall x \in G,$ ergibt sich die Absch"atzung $$ |\mu (f) \nu (h) - \nu (f)\mu(h)| \leq \mu (h)\op{sup}|f(x^{-1}yx) - f(y) | $$ wobei das Supremum "uber alle $x \in \op{supp} h$ und $ y \in G$ zu bilden ist. Indem wir die gleichm"a"sige Stetigkeit von $f$ ausn"utzen und $h$ mit sehr kleinem Tr"ager um das neutrale Element herum w"ahlen, finden wir bei festem $f>0$ f"ur alle $\varepsilon >0$ eine Umgebung des neutralen Elements derart, da"s f"ur alle $h>0$ mit Tr"ager in dieser Umgebung $U(f,\varepsilon)$ gilt $$ |\frac{\nu (h)}{\mu(h)} - \frac{\nu (f)}{\mu(f)}| \leq \varepsilon $$ Daraus folgt dann die Eindeutigkeit sehr schnell. \end{proof} \subsection{Radon-Ma"se, ALT} {\em Kommt von woanders, vielleicht hier geeignet einbauen} \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Ein Borel-Ma"s hei"st \defind{lokal endlich} genau dann, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung von endlichem Ma"s besitzt. \item Ein Borel-Ma"s hei"st \defind{von innen regul"ar} genau dann, wenn das Ma"s jeder Borel-Menge das Supremum ist "uber die Ma"se aller in ihr enthaltenen Kompakta. Ein Borel-Ma"s hei"st \defind{von au"sen regul"ar} genau dann, wenn das Ma"s jeder Borel-Menge das Infimum ist "uber die Ma"se aller sie enthaltenden offenen Mengen. Ein Borel-Ma"s hei"st \defind{regul"ar} genau dann, wenn es von innen und au"sen regul"ar ist. \item Ein \defind{Radon-Ma"s} oder genauer ein \defind{positives Radon-Ma"s} auf einem topologischen Raum ist ein lokal endliches von innen regul"ares Borel-Ma"s. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkung} Manche Autoren wie z.B.\ \cite{Halmos} verwenden die Begriffe \glqq Borel-Menge\grqq\ und \glqq Borel-Ma"s\grqq\ in einer leicht anderen Bedeutung. Ich halte mich an \cite{Bauer, Mass- und Integrationstheorie}. \end{Bemerkung} \begin{Lemma} Gegeben ein Radon-Ma"s auf einem topologischen Raum gibt es eine gr"o"ste offene Teilmenge vom Ma"s Null. Ihr Komplement hei"st der {\bf\em Tr"ager}\index{Tr"ager} des Ma"ses. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Es gilt zu zeigen, da"s die Vereinigung aller offenen Teilmengen vom Ma"s Null auch Ma"s Null hat. Sonst enthielte sie jedoch wegen der inneren Regularit"at ein Kompaktum von echt positivem Ma"s, und dies Kompaktum m"usste eine endliche "Uberdeckung besitzen durch offene Mengen vom Ma"s Null. Widerspruch! \end{proof} \subsection{R"aume und Ringe} \begin{Definition} Eine $\DC$-\defind{Algebra} (hier stets unit\"{a}r, assoziativ) ist ein Vektorraum $A$ \"{u}ber $\DC$ mit einer bilinearen Abbildung $$\begin{array}{ccc} A \times A& \ra & A\\ (a,b)&\mapsto&ab \end{array}$$ derart, da\ss\ das Assoziativgesetz $a(bc)=(ab)c$ gilt, und da\ss\ es ein Element $1_{A}=1\in A$ gibt mit $1a=a1=a \; \forall a \in A.$ Ein \defind{Algebrenhomomorphismus} von einer $\DC$-Algebra $A$ in eine andere $\DC$-Algebra $Z$ ist eine $\DC$-lineare Abbildung $\varphi:A\ra Z$ derart, da"s gilt $\varphi(1)=1$ und $\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)$ f\"{u}r alle $a,b\in A.$ Wir bezeichnen die Menge aller dieser Algebrenhomomorphismen mit $\op{Alg}_\DC(A,Z)$ oder kurz $\op{Alg}(A,Z).$ \end{Definition} \begin{Bemerkung} Zu jedem topologischen Raum $X$ k\"{o}nnen wir die $\DC$-Algebra ${\cal{C}}(X)$ der stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X$ bilden, $${\cal{C}}(X) = \{f:X \ra \DC \mid f \mbox{ stetig}\}$$ Wir benutzen im weiteren Verlauf dieses Abschnitts f\"{u}r den Wert einer Funktion $f\in {\cal{C}}(X)$ an der Stelle $x \in X$ die symmetrischere Notation $f(x) =\langle f, x \rangle$ und erhalten eine Abbildung $$\begin{array}{ccc} {\cal{C}}(X) \times X & \ra & \DC \\ (f\;, \; x) &\mapsto & \langle f,x \rangle \end{array}$$ Jeder $\DC$-Algebra $A$ ordnen wir umgekehrt einen topologischen Raum $\op{Spek} A$ zu, das sogenannte \defind{Spektrum} von $A.$ Als Menge nehmen wir schlicht $$\op{Spek} A= \op{Alg} (A,\DC)$$ die Menge der Homomorphismen von $\DC$-Algebren $A\ra\DC.$ Wie dieses Spektrum mit dem Spektrum eines Operators zusammenh"angt, wird in \ref{AGN} erkl"art. F\"{u}r $a \in A$ und $\varphi \in \op{Spek} A$ benutzen wir analog die Notation $\varphi (a) = \langle a, \varphi \rangle$ und erhalten die Abbildung $$\begin{array}{ccc} A \times \op{Spek} A & \ra & \DC\\ (a\;, \; \varphi ) & \mapsto & \langle a, \varphi \rangle \end{array}$$ Wir definieren die Topologie auf $\op{Spek} A$ als Kofinaltopologie zu der Familie von Abbildungen $\langle a, \; \rangle : \op{Spek} A \ra \DC$ f\"{u}r $a \in A.$ \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{SHD} Das Spektrum des Rings der stetigen komplexwertigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorffraum $X$ ist hom"omorph zu $X$ selber. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Analoges gilt mit demselben Beweis auch, wenn man im vorhergehenden $\DC$ durch $\DR$ ersetzt. Allerdings gilt der anschlie"sende Satz \ref{GN} von Gelfand-Naimark nicht mehr analog "uber $\DR,$ und das ist der Grund, warum wir uns hier auf die komplexe Version konzentrieren. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Ein kompakter Hausdorff-Raum $X$ ist also voll\-st\"{a}n\-dig \glqq kodiert\grqq\ in der $\DC$-Algebra ${\cal{C}}(X)$ der stetigen komplexwertigen Funktionen auf $X,$ einem rein algebraischen Objekt. Eine Variante dieser Entsprechung zwischen \glqq R\"{a}umen und Ringen\grqq\ steht im Zentrum der \glqq algebraischen Geometrie\grqq, jedoch stimmt der Begriff des Spektrums einer Algebra in diesem Zusammenhang nicht genau mit dem hier verwendeten Begriff "uberein, die Notation f"ur das Spektrum im Sinne der algebraischen Geometrie ist im "Ubrigen auch $\op{Spec}$ mit einem c statt mit einem k wie unser $\op{Spek}$ hier. Eine andere Variante f\"{u}hrt zur \glqq nichtkommutativen Geometrie\grqq. Die Grund\-idee ist hierbei, da"s ja nur ganz spezielle kommutative Ringe kompakte Hausdorff-R\"{a}ume beschreiben. Allgemeinere Klassen von eventuell nichtkommutativen Ringen kann man aber in analoger Weise auch \glqq geometrisch\grqq\ verstehen und so neue Arten von \glqq nichtkommutativen R\"{a}umen\grqq\ gewinnen. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} Bevor wir das Satz beweisen, wollen wir seine Aussage noch etwas pr\"{a}zisieren. Per definitionem haben wir ja f\"{u}r jede $\DC$-Algebra $A$ einen Homomorphismus von $\DC$-Algebren $A \ra {\cal{C}}(\op{Spek} A),$ $a\mapsto \langle a,\; \rangle.$ Ebenso haben wir f\"{u}r jeden topologischen Raum $X$ eine stetige Abbildung $$\begin{array}{rccc} \Psi :& X &\ra &\op{Spek} {\cal{C}}(X)\\ &x&\mapsto&\langle \; , x \rangle \end{array}$$ Wir werden den obigen Satz in der folgenden pr\"{a}ziseren Form zeigen: \end{Bemerkung} \begin{Satz}\label{KRS} Ist $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum, so ist unser $\Psi$ ein Hom\"{o}omorphismus $$\Psi :X\sira \op{Spek} {\cal{C}}(X)$$ \end{Satz} \begin{proof}[Beweis] Wir zeigen zun\"{a}chst, da"s $\op{Spek} {\cal{C}}(X) $ und sogar allgemeiner $\op{Spek} A$ f\"{u}r eine beliebige $\DC$-Algebra $A$ ein Hausdorffraum ist. In der Tat, sind $\varphi,\psi:A\ra\DC$ zwei verschiedene Elemente von $ \op{Spek} A,$ so gibt es $a\in A$ mit $\langle a, \varphi \rangle \neq \langle a, \psi \rangle,$ und die Urbilder unter $\langle a, \; \rangle$ von disjunkten offenen Umgebungen dieser verschiedenen komplexen Zahlen sind dann disjunkte offene Umgebungen von $\varphi$ und $\psi$ im $\op{Spek} A.$ Wir m\"{u}ssen jetzt nur noch zeigen, da"s f\"{u}r kompaktes und Hausdorff'sches $X$ unsere Abbildung $\Psi : X\ra \op{Spek} {\cal{C}}(X)$ bijektiv ist, denn nach \ref{QHK} ist eine stetige Bijektion von einem kompakten Raum auf einen Hausdorffraum stets ein Hom\"{o}omorphismus. Aus Urysohns Lemma folgt schon mal, da"s $\Psi$ injektiv ist, denn f\"{u}r $x \neq y$ gibt es $f\in {\cal{C}}(X)$ mit $\langle f, x\rangle \neq \langle f,y \rangle,$ und daraus folgt $\langle \;, x \rangle \neq \langle \;, y \rangle.$ Es bleibt zu zeigen, da"s $\Psi$ surjektiv ist. Ist in anderen Worten $\varphi : {\cal{C}}(X) \ra \DC$ ein Algebrenhomomorphismus, so m\"{u}ssen wir $x \in X$ finden mit $\varphi= \langle \; , x \rangle.$ Finden wir $x \in X$ mit $\langle\ker \varphi , x\rangle=0,$ so ist notwendig $\varphi =\langle \;, x \rangle,$ denn beide Seiten sind dann Linearformen, die denselben Kern haben und die konstante Funktion $1\in {\cal{C}}(X)$ auf $1\in\DC$ werfen. Wir nehmen also an, es gebe keinen Punkt $x \in X,$ an dem alle Funktionen aus $\ker \varphi$ verschwinden, und f\"{u}hren diese Annahme zum Widerspruch. In der Tat g\"{a}be es ja dann f\"{u}r jeden Punkt $x \in X$ eine Funktion $f_{x} \in \ker \varphi$ mit $f_x(x)\neq 0.$ Nat\"{u}rlich gibt es dann auch eine offene Umgebung $U_{x}$ von $x,$ auf der $f_{x}$ nicht verschwindet. Endlich viele dieser $U_x$ \"{u}berdecken aber $X,$ es g\"{a}be also eine endliche Teilmenge $E \subset X$ mit $X = \bigcup_{ x \in E } U_{x},$ und $f =\sum_{ x \in E } f_{x} \bar{f}_x$ w\"{a}re ein Element von $\ker \varphi$ ohne Nullstelle. Dann w\"{a}re aber auch $1/f \in {\cal{C}}(X)$ eine wohldefinierte stetige Funktion auf $X,$ es folgte $1=(1/f)f \in \ker \varphi,$ und das ist absurd. \end{proof} \begin{Bemerkung} Ganz allgemein werden die $\DC$-Algebren, die isomorph sind zur Algebra aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum, charakterisiert durch den Satz von Gelfand-Naimark. Wir werden ihn im folgenden formulieren, aber nicht beweisen. \end{Bemerkung} \begin{Definition} Eine \defind{Banach-Algebra} ist ein (reeller oder komplexer) Banach-Raum $(A, \| \; \|)$ mit einer Algebren-Struktur $A \times A \ra A,$ $ (a,b) \mapsto ab$ derart, da"s gilt $\|ab\| \leq \|a\| \cdot \| b \| \quad \forall a,b \in A.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Ist $X$ ein kompakter Hausdorff-Raum, so ist $A =\cal{C} (X)$ mit der Norm $\|f\| = \sup \{| f(x)| \mid x \in X\}$ eine Banach-Algebra. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine \defind{Involution} auf einer $\DC$-Algebra $A$ ist eine $\DC$-schief\-li\-ne\-are Abbildung $a \mapsto a^{\ast}$ derart, da"s gilt $a^{\ast\ast} =a $ und $(ab)^{\ast} = b^{\ast} a^{\ast}$ f\"{u}r alle $a,b \in A.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Die komplexe Konjugation $f \mapsto \bar{f}$ auf der Algebra $\cal{C} (X)$ der stetigen Funktionen auf einem topologischen Raum $X$ ist eine Involution. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine \defind{$C^{\ast}$-Algebra} ist eine Banach-Algebra $A$ mit Involution derart, da"s gilt $\| a a^{\ast}\| = \| a\|^{2} \quad \forall a \in A.$ \end{Definition} \begin{Beispiel} Die Algebra ${\cal{C}}(X)$ aller stetigen Funktionen auf einem kompakten Hausdorff-Raum $X$ ist eine $C^\ast$-Algebra. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\defind{Gelfand-Naimark}]\label{GN} Ist $A$ eine kommutative $C^{\ast}$-Algebra, so ist $\op{Spek} A$ ein kompakter Hausdorff-Raum und die offensichtliche Abbildung liefert einen Isomorphismus von $\DC$-Algebren $$A \sira \cal{C} (\op{Spek} A),$$ der die Norm und Involution auf $A$ mit der offensichtlichen Norm und Involution auf $\cal{C} (\op{Spek} A)$ identifiziert. \end{Satz} \begin{Bemerkung} Dieser Satz sagt insbesondere, da"s die Norm und die Involution auf einer $C^{\ast}$-Algebra schon durch die unterliegende Struktur einer $\Bbb{C}$-Algebra eindeutig festgelegt sind. \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung} In der Terminologie, wie wir sie in \ref{IKa} einf"uhren, liefern die Funktoren $\op{Spek}$ und ${\cal{C}}$ sogar zueinander inverse "Aquivalenzen von Kategorien $$\begin{array}{ccc} \left\{ \begin{array}{c} \text{kompakte}\\ \text{Hausdorff-R"aume,}\\ \text{stetige Abbildungen} \end{array}\right\} & \begin{array}{c}{\cal{C}}\\[-3mm] \ra\\[-3mm] \sim \\[-3mm] \leftarrow \\[-3mm] \op{Spek} \end{array} & \left\{ \begin{array}{c} \text{kommutative}\\ \text{$C^{\ast}$-Algebren,}\\ \text{Homomorphismen von}\\ \text{$\Bbb{C}$-Algebren} \end{array}\right\}^{\circ} \end{array}$$ \end{Bemerkung} \begin{Bemerkung}\label{AGN} Wir geben noch, ebenfalls ohne Beweis, eine konkrete Anwendung. Sei ${\cal H}$ ein Hilbertraum und $N:{\cal H} \ra {\cal H}$ ein beschr\"{a}nkter Operator, als da hei"st eine stetige lineare Abbildung. Man nennt $N$ \defind{normal} genau dann, wenn $N$ mit seinem Adjungierten $N^{\ast}$ kommutiert. Normal sind also insbesondere alle beschr\"{a}nkten selbstadjungierten Operatoren und ebenso alle unit\"{a}ren Operatoren. Das \defind{Spektrum} $\sigma (N) \subset \DC$ eines beschr\"{a}nkten Operators $N$ ist die Menge $$\sigma (N) =\{ \lambda \in \DC \mid N - \lambda \op{id} \text{ ist nicht invertierbar}\}$$ Das Spektrum eines beschr\"{a}nkten Operators ist stets eine kompakte Teilmenge von $\DC.$ Gegeben einen beschr\"{a}nkten normalen Operator $N: {\cal H} \ra {\cal H}$ bilden wir in der Algebra ${\cal B} ({\cal H})$ aller beschr\"{a}nkten Operatoren von ${\cal H}$ in sich selber die von $N$ und $N^{\ast}$ erzeugte Unteralgebra und bezeichnen mit $A$ ihren Abschlu"s bez\"{u}glich der Operatornorm. So ist $A$ eine kommutative $C^\ast$-Algebra, nach Gelfand-Naimark ist also die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$A \sira \cal{C} (\op{Spek} A)$$ Andererseits kann man zeigen, da"s das Auswerten an $N$ einen Hom\"{o}o\-mor\-phis\-mus $\op{Spek} A \sira \sigma (N)$ definiert. Zusammengesetzt ergibt sich so ein Isomorphismus $$\cal{C} (\sigma (N))\sira A,$$ den wir $f \mapsto f(N)$ abk\"{u}rzen. Er ist sehr n\"{u}tzlich, zum Beispiel, wenn man eine Wurzel aus dem Operator $N$ ziehen will. F\"{u}r Beweise dieser ganzen Tatsachen siehe \cite{Rudin}. \end{Bemerkung} \subsection{Stetige Gruppenwirkungen} \begin{Proposition}\label{VPQ} Ist $f: X \ra Y$ eine Submersion und $Z$ lokal kompakt, so ist auch $f\times \op{id} : X \times Z \ra Y \times Z$ eine Submersion. \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Sei $W \subset Y \times Z$ eine Teilmenge mit offenem Urbild $U \co X \times Z.$ Es gilt zu zeigen, da"s $W$ selbst offen ist. Sei dazu $(y,z) \in W$ ein Punkt und $(x,z)$ eines seiner Urbilder. Sicher gibt es eine kompakte Umgebung $K$ von $z$ mit $\{x\} \times K \subset U.$ Man "uberlegt sich leicht, da"s dann $$A = \{a \in X \mid \{a\} \times K \subset U\}$$ offen ist in $X$ und da"s gilt $A= f^{-1}(f(A)).$ Folglich ist $f(A)$ offen in $Y$ und wir haben $(y,z) \in f(A) \times K \subset W.$ Mithin liegt mit jedem Punkt auch eine ganze offene Umgebung des besagten Punktes in $W,$ d.h.\ $W$ ist offen. \end{proof} \begin{Proposition} Sei $H\ra G$ ein stetiger Homomorphismus topologischer Gruppen und $Y$ ein $H$-Raum. So ist $G\times^H Y$ mit der Quotiententopologie der Produkttopologie ein $G$-Raum. \end{Proposition} \begin{proof} Die Abbildung $G\times Y\sra G\times^H Y$ ist als Projektion auf den Bahnenraum unter einer Gruppenwirkung durch Hom"oomorphismen offen und surjektiv. Damit ist auch $G\times G\times Y\sra G\times G\times^H Y$ offen und surjektiv und mithin eine Submersion. Der Rest der Proposition ist evident. \end{proof} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "AATOTAL" %%% End: