\section{Berechnung der Garbenkohomologie} \subsection{Welke Garben} \begin{Definition} Eine Garbe hei"st \defnoind{welk},\index{welk, Garbe} englisch \defind{flabby} und franz"osisch \defind{flasque}, wenn sich jeder Schnitt auf einer\label{welk} offenen Teilmenge zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. \end{Definition} % $\check{\mathrm{Z}}^1(\cal{U};\cal C_G)$ \begin{Lemma}\label{WeGa} Sei $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime} $ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X$. \begin{enumerate} \item Ist $\cal{F}^{\prime}$ welk, so induziert der Epimorphismus $\cal{F}\sra\cal{F}''$ eine Surjektion $\Gamma \cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ auf den globalen Schnitten; \item Sind $\cal{F}^{\prime}$ und $\cal{F}$ welk, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ welk. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Sei $s^{\prime\prime} \in \Gamma \cal{F}^{\prime\prime}$ ein globaler Schnitt. Wir betrachten die Menge aller Paare $(U,s_{U})$ mit $U\co X$ und $s_{U} \in \cal{F}(U)$ einem Urbild von $s^{\prime\prime}|_{U}$. Diese Menge ist in nat"urlicher Weise induktiv teilgeordnet und besitzt nach Zorn ein maximales Element. Ist nun $(U, s_U)$ so ein maximales Element und w"are $U \neq X$, so f"anden wir $x \in X \backslash U$ und aufgrund der Surjektivit"at $\cal{F}_{x} \twoheadrightarrow \cal{F}_{x}^{\prime\prime}$ eine offene Umgebung $V$ von $x$ sowie $s_{V} \in \cal{F} (V)$ mit $s_{V} \mapsto s^{\prime\prime} |_V$. Es folgt $$s_{V}|_{U \cap V} - s_U|_{U\cap V} \in \cal{F}^{\prime} (U \cap V)$$ Setzen wir diese Differenz fort zu einem Schnitt $t_{V} \in \cal{F}^{\prime} (V)$ "uber $V$ der welken Garbe $\cal{F}'$, so stimmen $(s_{V} - t_{V})$ und $s_{U}$ "uberein auf $U\cap V$ und verkleben folglich zu einem Urbild von $s^{\prime\prime}$ auf $U \cup V$, das $s_{U}$ fortsetzt. Das steht jedoch im Widerspruch zur Maximalit"at von $(U, s_{U})$ und wir hatten doch $U=X$. Teil 2 folgt aus Teil 1, da die Restriktionen welker Garben auf offene Teilmengen wieder welk sind. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Azyklizit"at welker Garben f"ur globale Schnitte}] Welke abelsche Garben auf einem topologischen Raum sind azyklisch f"ur den\label{WeAZ} Funktor der globalen Schnitte. \end{Satz} \begin{proof} Wir werden in \ref{IGw} zeigen, da"s jede injektive abelsche Garbe welk ist. Auch hier aber zeigt unser Beweis \ref{GDF} f"ur die Existenz von genug injektiven Objekten in der Kategorie der abelschen Garben schon, da"s jede abelsche Garbe in eine welke injektive abelsche Garbe eingebettet werden kann. Jede abelsche Garbe $\cal{F}$ besitzt also eine Aufl"osung $\cal{F}\hra \mathcal I^{0}\ra \mathcal I^{1}\ra\ldots$ durch welke injektive Garben. Wir zerlegen sie in kurze exakte Sequenzen $$\begin{array}{cccccccccccccccc} \cal{F} &\hookrightarrow &\mathcal I^{0}&\twoheadrightarrow &\cal{K}^{1}& & & &&\\ && & & \cal{K}^{1}&\hookrightarrow &\mathcal I^{1}& \twoheadrightarrow &\cal{K}^{2} & &&& &\\ &&&& & & & & \cal{K}^{2}&\hookrightarrow &\mathcal I^{2}&\twoheadrightarrow &\cal{K}^{3}&&\\ & & & & & & & & & && &\ldots&\ldots&\ldots \end{array}$$ Mit dem vorhergehenden Lemma \ref{WeGa} erkennen wir, da"s f"ur welkes $\cal{F}$ alle Garben in diesen kurzen exakten Sequenzen welk sind. Mit demselben Lemma erkennen wir weiter, da"s alle unsere Sequenzen kurz exakt bleiben unter $\Gamma$. Das zeigt aber, da"s der Komplex $0 \ra \Gamma \cal{F} \ra \Gamma\cal{I}^{0} \ra \Gamma\cal{I}^{1} \ra \ldots$ exakt ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $X=U\cup V$ eine "Uberdeckung eines topologischen Raums durch zwei offene Teilmengen und $\mathcal F$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $\cal F\hra \cal{W}^\lhd$ eine welke Aufl"osung. So erhalten wir mit $s\mapsto (s|_U,s|_V)$ und $(s,t)\mapsto s|_{U\cap V}-t|_{U\cap V}$ eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen\label{MVG} $$\Gamma (X; \cal{W}^\lhd)\hra \Gamma (U; \cal{W}^\lhd) \oplus \Gamma (V; \cal{W}^\lhd)\sra \Gamma (U\cap V;\cal{W}^\lhd)$$ Offensichtlich sind Restriktionen welker Garben auf offene Teilmengen wieder welk. Die zugeh"orige lange exakte Sequenz, die {\bf Mayer-Vietoris-Sequenz der Garbenkohomologie}, \index{Mayer-Vietoris-Sequenz!der Garbenkohomologie} hat demnach die Gestalt $$\ldots {\op{H}}^{q}(X;\mathcal F) \ra{\op{H}}^{q}(U;\mathcal F)\oplus {\op{H}}^{q}(V;\mathcal F) \ra {\op{H}}^{q}(U\cap V;\mathcal F) \ra {\op{H}}^{q+1} (X;\mathcal F) \ldots$$ Die Existenz welker injektiver Aufl"osungen zeigt, da"s auch die Randabbildungen dieser Sequenz nicht von der gew"ahlten welken Aufl"osung abh"angen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Injektive Garben sind welk}] Gegeben $U\co X$ eine offene Teilmenge eines topologischen Raums erkl"aren wir eine Untergarbe\index{Z@$\mathbb Z_{U\subset X}$} $\DZ_{U\subset X}\subset\DZ_{X}$ dadurch, da"s wir ihren \'etalen Raum festlegen als die offene Teilmenge $$\op{\acute{e}t}(\DZ_{U\subset X})\pdef \{(x,n)\in X\times \DZ\mid n\neq 0\RA x \in U\}$$ des \'etalen Raums $X\times \DZ$ von $\DZ_X$. Gegeben eine weitere abelsche Garbe $\mathcal G\in\op{Ab}_{/X}$ erhalten wir mit den nat"urlichen\label{IGw} Identifikationen in den Vertikalen ein kommutatives Diagramm $$\xymatrix{ \mathcal G(X) \ar[r]\ar[d]_\wr & \mathcal G(U) \ar[d]_\wr\\ \op{Ab}_{/X}(\DZ_X,{\mathcal G}) \ar[r] &\op{Ab}_{/X}(\DZ_{U\subset X},{\mathcal G}) }$$ Insbesondere ist jede injektive Garbe welk. In \ref{AdInbb} werden wir unsere Konstruktion der Garbe $\DZ_{U\subset X}$ als eine spezielle \glqq Ausdehnung durch Null\grqq\ verstehen lernen und in \ref{InWe} unser Argument nocheinmal in einer neuen Notation wiederholen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kriterium f"ur Azyklizit"at}] Sei $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie mit genug Injektiven und sei $\Gamma:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein linksexakter Funktor. Sei $\mathcal W\subset \mathcal A$ eine Menge von Objekten, die die folgenden drei Bedingungen\label{KfAz} erf"ullt: \begin{enumerate} \item Jede kurze exakte Sequenz $F^{\prime} \hookrightarrow F \twoheadrightarrow F^{\prime\prime} $ in $\mathcal A$ mit $F'\in\mathcal W$ bleibt unter $\Gamma$ eine kurze exakte Sequenz; \item Gegeben kurze exakte Sequenz $F^{\prime} \hookrightarrow F \twoheadrightarrow F^{\prime\prime} $ in $\mathcal A$ mit $F',F\in\mathcal W$ folgt $F''\in\mathcal W$; \item Jedes Objekt $A\in \mathcal A$ l"a"st sich einbetten in ein injektives Objekt von $\mathcal A$, das zus"atzlich in $\mathcal W$ liegt. \end{enumerate} So besteht $\mathcal W$ aus $\Gamma$-azyklischen Objekten. Hinweis: Man wiederhole die Argumentation aus dem vorhergehenden Abschnitt. \end{Ubung} \subsection{Garbenkohomologie der Zahlengeraden}\label{KGIn} \begin{Definition} Wir nennen eine Garbe \defind{punktweich}, wenn ihre globalen Schnitte surjektiv\label{pktw} auf alle Halme gehen. \end{Definition} \begin{Lemma} Seien $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben\label{pwf} auf einer Teilmenge $D\subset\DR$ und $\cal{F}^{\prime}$ \hyperref[pktw]{punktweich}. So gilt: \begin{enumerate} \item Der Epimorphismus $\cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ induziert eine Surjektion auf den globalen Schnitten; \item Ist zus"atzlich $\cal{F}$ welk, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ welk. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben ein Schnitt $s^{\prime\prime} \in \cal{F}^{\prime\prime} (D)$ finden wir eine "Uberdeckung von $D$ durch ein System $\mathcal V$ offener Teilmengen $V\co \DR$ und Schnitte $s_{V} \in \cal{F} (V\cap D)$ mit $s_{V} \mapsto s^{\prime\prime} |_{V\cap D}$ f"ur alle $V\in \mathcal V$. Die Vereinigung aller $V\in\mathcal V$ ist sicher eine disjunkte Vereinigung nichtleerer offener reeller Intervalle. Wir d"urfen beim Beweis von Teil 1 ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s sie bereits selbst solch ein Intervall und dann, da"s sie sogar bereits selbst ganz $\DR$ ist. Jede offene "Uberdeckung $\mathcal V$ von $\DR$ besitzt nun eine \hyperref[pako]{Verfeinerung} zu einer "Uberdeckung durch ein System von offenen Intervallen $$U_i\pdef(a_i,b_i)_{i\in\DZ}$$ mit $a_i1$ und bei punktweichem\label{KGI} $\cal{F}$ sogar f"ur $q>0$. \end{Satz} \begin{Beispiele} Ist $I\subset \Bbb{R}$ ein nichtleeres\label{GKKn} reelles Intervall und $M$ eine abelsche Gruppe und $M_{I}$ die zugeh"orige konstante Garbe auf $I$, so liefert das Bilden der konstanten Schnitte einen Isomorphismus $M\sira \Gamma(I;M_I)$ und die h"ohere Garbenkohomologie von $M_{I}$ verschwindet, in Formeln $\op{H}^{q} (I;M_{I}) =0 $ f"ur $q>0$, denn jede konstante Garbe ist punktweich. Ebenso folgt $\op{H}^{q} (\DQ;\mathcal F) =0 $ f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf dem topologischen Raum $\DQ$ mit der von $\DR$ induzierten Topologie und alle $q>0$, denn offensichtlich ist jede abelsche Garbe auf $\DQ$ punktweich. \end{Beispiele} \begin{proof} Ist $\cal{F}$ punktweich, so finden wir nach \ref{pwf} eine kurze exakte Sequenz $\cal{F} \hookrightarrow \cal{G}^{0} \twoheadrightarrow \cal{G}^{1}$ mit $\cal{G}^{0}$ und $\cal{G}^{1}$ welk. Da welke Garben globale-Schnitte-azyklisch sind und da nach \ref{DAZO} zur Berechnung der Kohomologie jede azyklische Aufl"osung herangezogen werden kann, folgt $\op{H}^{q} (D;\cal{F}) =0$ f"ur $q>1$ und $\op{H}^{1}(D;\cal{F}) = \op{coker} (\Gamma \cal{G}^{0} \ra \Gamma \cal{G}^{1})=0$, die letzte Gleichheit wieder nach \ref{pwf}. F"ur allgemeines $\cal{F}$ finden wir eine kurze exakte Sequenz $\cal{F} \hookrightarrow \cal{G}^{0} \twoheadrightarrow \cal{G}^{1}$ mit $\cal{G}^{0}$ welk. Als Quotient einer punktweichen Garbe ist dann $\cal{G}^{1}$ punktweich und damit azyklisch nach dem bereits behandelten Fall. Der Satz folgt dann wieder mit unserer Erkenntnis \ref{DAZO}, da"s zur Berechnung der Kohomologie jede Aufl"osung durch $\Gamma$-azyklische abelsche Garben herangezogen werden kann. \end{proof} \subsection{Zur"uckholen in der Garbenkohomologie} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und eine abelsche Gruppe $G$ konstruieren wir in diesem Abschnitt Gruppenhomomorphismen\label{ZuGKn} $$f^*:{\op{H}}^q(Y;G_Y)_{\op{garb}}\ra {\op{H}}^q(X;G_X)_{\op{garb}}$$ mit der Eigenschaft $\op{id}_X^*=\op{id}$ und $(g\circ f)^*=g^*\circ f^*$ f"ur jede weitere stetige Abbildung $g:Y\ra Z$. Gegeben ein K"orper $k$ konstruieren wir sogar f"ur ein beliebiges Tupel $(f_1,\ldots,f_r)$ stetiger Abbildungen $f_\rho:X\ra Y_\rho$ auf der Garbenkohomologie mit $k$-Koeffizienten ${\op{H}}^qX\pdef {\op{H}}^q(X;k_X)_{\op{garb}}$ multilineare Abbildungen $$(f_1,\ldots,f_r)^*:{\op{H}}^{q_1}Y_1\times \ldots\times {\op{H}}^{q_r}Y_r\ra {\op{H}}^{q_1+\ldots+q_r}X$$ und nennen sie {\bf Multir"uckz"uge}\index{Multir"uckzug} und zeigen daf"ur analoge Vertr"aglichkeiten. Sp"ater weiten wir diese Konstruktionen nach auf beliebige Koeffizienten aus, aber das ben"otigt mehr Theorie, als uns hier zur Verf"ugung steht. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\mathcal F\in{\op{Ens}}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in{\op{Ens}}_{/Y}$ Mengengarben. Ein {\bf Komorphismus $\phi:\mathcal G\ra\mathcal F$ "uber $f$}\index{Komorphismus!von Pr"agarben} ist eine Vorschrift $\phi$, die beliebigen\label{Komoox} $U\co X$ und $V\co Y$ mit $f(U)\subset V$ eine Abbildung $$\phi_{UV}: \mathcal G(V)\ra \mathcal F(U)$$ in der Gegenrichtung so zuordnet, da"s diese Abbildungen in der offensichtlichen Weise mit Restriktionen auf offene Teilmengen $U_1\co U$ und $V_1\co V$ mit $f(U_1)\subset V_1$ vertr"aglich sind. Wir notieren ${\op{Ens}}_{/f^\circ}(\mathcal G,\mathcal F)$ die Menge dieser Komorphismen. Komorphismen "uber der Identit"at sind gew"ohnliche Homomorphismen von Mengengarben. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\mathcal F\in{\op{Ens}}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in{\op{Ens}}_{/Y}$ Mengengarben. Einen {\bf Opkomorphismus $\varphi:\mathcal F\ra\mathcal G$ "uber $f$} erkl"aren wir als einen Komorphismus $\phi:\mathcal G\ra \mathcal F$ "uber $f$ in die Gegenrichtung und verwenden die Notation $\varphi=\phi^\circ$ f"ur den Komorphismus $\phi$ aufgefa"st als Opkomorphismus. Die Menge der Opkomorphismen "uber $f$ notieren wir $${\op{Ens}}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal G)$$ Opkomorphismen "uber der Identit"at $f=\op{id}_X$ auf $X$ notieren wir ${\op{Ens}}_{{\sslash}X}(\mathcal F_1,\mathcal F_2)$. Man beachte ${\op{Ens}}_{{\sslash}X}(\mathcal F_1,\mathcal F_2) ={\op{Ens}}_{/X}(\mathcal F_2,\mathcal F_1) $. Wir erkl"aren ${\op{Ens}}_{{\sslash}X} \pdef {\op{Ens}}_{/X}^{\op{opp}}$ als die opponierte Kategorie zur Kategorie der Mengengarben auf $X$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Konstante Komorphismen f"ur konstante Garben}] Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und eine Menge $M$ erhalten wir einen Komorphismus $ M_Y\ra M_X$ von Mengengarben "uber $f$ zwischen den jeweiligen konstanten Garben durch das \glqq Vorschalten von $f$\grqq. Genauer ist ja $M_Y(V)=\op{Top}(V,M)$ f"ur $V\co Y$ die Menge der stetigen Abbildungen f"ur die diskrete Topologie auf $M$ und gegeben $U\co X$ mit $f(U)\subset V$ ist das Vorschalten ein Abbildung $(\circ f):M_Y(V)\ra M_X(U)$.\label{koMO} Den zugeh"origen Opkomorphismus notieren wir \index{t@$\phi_f=\phi_{f,M}: M_X\ra M_Y$} $$\phi=\phi_f=\phi_{f,M}: M_X\ra M_Y$$ und nennen ihn {\bf Faktorisierung}\index{Faktorisierung!f"ur konstante Garben} aus Gr"unden, die in \ref{KGR} ausgef"uhrt werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Opkomorphismen abelscher Garben}] Allgemeiner erkl"aren wir in der offensichtlichen Weise Komorphismen und Opkomorphismen von Garben und sogar Pr"agarben mit Werten in einer beliebigen Kategorie. Insbesondere erkl"aren wir die Menge $${\op{Ab}}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal G)$$ der Opkomorphismen von abelschen Garben "uber einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ mit $\mathcal F,\mathcal G$ abelschen Garben auf $X$ beziehungsweise $Y$. Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und eine abelsche Gruppe $G$ haben wir wie zuvor f"ur die jeweiligen konstanten Garben "uber $f$ die Faktorisierung $$\phi:G_X\ra G_Y$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Komposition von Opkomorphismen}] Gegeben stetige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ sowie Mengengarben $\mathcal F,\mathcal G, \mathcal H$ "uber $X,Y,Z$ sowie ein Opkomorphismus $\phi:\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber $f$ und ein Opkomorphismus $\psi:\mathcal G\ra \mathcal H$ "uber $g$ bildet man in offensichtlicher Weise einen Opkomorphismus $\psi\circ \phi:\mathcal F\ra \mathcal H$ "uber $g\circ f$. F"ur unsere Faktorisierungen aus \ref{koMO} finden wir $\phi_{g\circ f}= \phi_f\circ \phi _g$ und $\phi_{\op{id}}=\op{id}$.\label{KoKop} Analoges gilt f"ur Pr"agarben mit Werten in beliebigen Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vorschub von Garben}] Gegeben $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\mathcal F\in{\op{Ens}}_{/X}$ eine Mengenpr"agarbe erkl"aren wir ihren {\bf Vorschub}\index{Vorschub} oder auch ihr {\bf direktes Bild}\index{direktes Bild} $f_\ast \mathcal F$ als die Mengenpr"agarbe auf $Y$ gegeben durch\label{DbP} $$(f_\ast \mathcal F)(U)\pdef\mathcal F(f^{-1}(U))$$ Offensichtlich ist der Vorschub einer Garbe wieder eine Garbe. Wir erhalten so einen Funktor $f_\ast: {\op{Ens}}_{/X}\ra {\op{Ens}}_{/Y}$.\index{)7ast@$f_*$ Vorschub!von Garben und Pr"agarben} Gegeben ein globaler Schnitt $s\in\Gamma(\mathcal F)$ notiere ich $f_*(s)\in\Gamma(f_* \mathcal F)$ sein Bild.\index{)7ast@$f_*$ Vorschub!von globalem Schnitt} Das Vorschalten des offensichtlichen Opkomorphismus $ \kappa: \mathcal F\ra f_\ast\mathcal F$ liefert f"ur jede Mengengarbe $\mathcal G\in {\op{Ens}}_{/Y}$ eine Bijektion $$ (\circ\kappa):{\op{Ens}}_{{\sslash}Y}(f_\ast \mathcal F, \mathcal G) \sira {\op{Ens}}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal G)$$ Im Vorgriff aus \ref{RHGA} nennen wir $\kappa$ bereits hier den {\bf Transportopkomorphismus} oder kurz {\bf Transport des Vorschubs}.\index{Transportopkomorphismus!des Vorschubs} Analoges gilt f"ur Pr"agarben mit Werten in beliebigen Kategorien. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der Vorschub von Mengengarben und Mengenpr"agarben ist vertr"aglich mit endlichen, ja mit beliebigen Produkten. Dasselbe gilt f"ur abelsche Garben. Insbesondere ist der Vorschub von abelschen Garben ist ein additiver Funktor im Sinne von \ref{addiF}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur den Vorschub}] F"ur den \'etalen Raum des Vorschubs einer Mengengarbe habe ich nur im Fall einer abgeschlossenen Einbettung eine gewisse Anschauung, die sich auf das anschlie"sende Beispiel und die Beschreibung \ref{ETW} des \'etalen Raums eines Wolkenkratzers st"utzt. Salopp gesprochen ist der Vorschub zwar algebraisch sehr einfach, ist aber ein verheerend unanschauliches Konzept. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben stetige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ gelten f"ur den Vorschub offensichtlich die Identit"aten $g_*\circ f_*=(g\circ f)_*$ und $(\op{id}_X)_*=\op{id}$. Wir werden das im Rahmen\label{dirB} der sogenannten Faserfunktoren noch sehr viel ausf"uhrlicher diskutieren. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Wolkenkratzer als Vorschub}] Sei $(X,x)$ ein bepunkteter topologischer Raum. Bezeichne $\op{em}_x:\op{top}\hra X$\index{em@$\op{em}_x$!Einbettung des Punktes $x$} die zugeh"orige Einbettung oder englisch \glqq embedding\grqq\ des Einpunktraums. So erhalten wir f"ur jede Menge $G$ einen Isomorphismus $$G_{(x)}\sira \op{em}_{x\ast} G_{\op{top}}$$ durch die Abbildungen $G_{(x)}(U)\sira G_{\op{top}}(\op{em}_{x}^{-1}(U))$, die im Fall $x\in U$ jedem $g\in G=G_{(x)}(U)$ die entsprechende einwertige Abbildung $g\in G_{\op{top}}(\op{top})$ zuordnen und im Fall $x\not\in U$ dem einzigen Element von $G_{(x)}(U)$ das einzige Element von $G_{\op{top}}(\emptyset)$. Der Vorschub unter unserer Einbettung macht also aus einer Menge $G$, aufgefa"st vermittels \ref{defGx} als Mengengarbe auf dem einpunktigen topologischen Raum $\op{top}$, den \hyperref[Wolk]{Wolkenkratzer} $G_{(x)}$ mit Faser $G$ bei $x$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Inkompatibilit"at von Vorschub und Garbifizierung}] Der Vorschub von Pr"agarben macht zwar Garben zu Garben, vertauscht jedoch nicht mit Garbifizierung. Bezeichnet genauer und in Formeln $f^{\op{p}}_{\ast}$ den Vorschub von Pr"agarben, so ist die von der universellen Eigenschaft der Garbifizierung herkommende Abbildung $(f_{\ast}^{\op{p}}\mathcal F)^+\ra f_{\ast}(\mathcal F^+)$ im allgemeinen kein Isomorphismus. Man sieht das schon im Beispiel der Projektion $f$ auf einen Punkt. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Zur"uckholen in der Garbenkohomologie}] Gegeben $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ ein Opkomorphismus von abelschen Garben "uber $f$ gibt es f"ur jedes $q$ genau eine Abbildung $$(f,\varphi)^*:{\op{H}}^q(Y;\mathcal G)\ra {\op{H}}^q(X;\mathcal F)$$ derart, da"s f"ur je zwei Aufl"osungen $\mathcal F\hra \mathcal A^\lhd$ und $\mathcal G\hra \mathcal B^\lhd$ und jeden Lift von $\varphi$ zu einem Opkomorphismus $\varphi^\lhd:\mathcal A^\lhd\ra \mathcal B^\lhd$ von Aufl"osungen "uber $f$ das Diagramm\label{ZHKoX} $$\begin{array}{ccc} \mathcal H^q\Gamma \mathcal B^\lhd&\stackrel{(\varphi^\lhd)^\circ}{\lra} &\mathcal H^q\Gamma \mathcal A^\lhd\\ \tau\da&&\da\tau\\ {\op{H}}^q(Y;\mathcal G)&\stackrel{(f,\varphi)^*}{\lra}& {\op{H}}^q(X;\mathcal F) \end{array}$$ kommutiert mit den nat"urlichen Abbildungen $\tau$ aus \ref{DefDe} in den Vertikalen und der von unserem Lift $\varphi^\lhd$ induzierten oberen Horizontalen. Unsere Abbildungen $(f,\varphi)^*$ sind Gruppenhomomorphismen und es gilt $(f,\varphi)^*\circ(g, \psi)^*=(g\circ f, \psi\circ\varphi)^*$ sowie $(\op{id},\op{id})^*=\op{id}$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis mu"s auf die Entwicklung einiger Hilfsmittel warten und kommt sp"ater in diesem Abschnitt. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiele} Ist $\varphi:\mathcal F_1\ra \mathcal F_2$ ein Opkomorphismus "uber der Identit"at auf einem topologischen Raum $X$, so ist $(\op{id}_X,\varphi)^*$ die vom Garbenhomomorphismus $\varphi^\circ:\mathcal F_2\ra \mathcal F_1$ auf der Kohomologie induzierte Abbildung ${\op{H}}^q(X;\mathcal F_2)\ra {\op{H}}^q(X;\mathcal F_1)$. \end{Beispiele} \nichtfinal{Sollte hier bereits Multizeugs mit K"orperkoeffizienten machen.} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zur"uckholen im Fall von konstanten Koeffizienten}] Insbesondere erhalten wir f"ur jede stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und jede abelsche Gruppe $G$ einen Gruppenhomomorphismus\label{ZuGKn} $$f^*=(f,\tau_f)^*:{\op{H}}^q(Y;G_Y)_{\op{garb}}\ra {\op{H}}^q(X;G_X)_{\op{garb}}$$ aus dem Opkomorphismus $\tau_f:G_X\ra G_Y$ "uber $f$ nach \ref{koMO}, das {\bf Zur"uckholen}. In der "ublichen Verk"urzung liest er sich $$f^*:{\op{H}}^q(Y;G)\ra {\op{H}}^q(X;G)$$ Mithilfe unserer Identit"aten $\tau_{g\circ f}= \tau_g\circ \tau _f$ und $\tau_{\op{id}}=\op{id}$ aus \ref{KoKop} liefert die Garbenkohomologie dann eine Folge von Funktoren $\op{H}^q_{\op{garb}}:\op{Top}^{\op{opp}}\ra\op{Ab}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Da"s das Zur"uckholen auf der Garbenkohomologie mit konstanten Koeffizienten ein Ringhomomorphismus ist, zeigen wir in \eref{GHT}{TD} im Rahmen der derivierten Kategorien. In \ref{FuDr} zeigen wir, da"s sich das Zur"uckholen unter glatten Abbildungen in der de-Rham-Kohomologie durch das Zur"uckholen glatter Differentialformen berechnen l"a"st, und in \ref{RuV}, da"s es in der singul"aren Kohomologie dem gew"ohnlichen Zur"uckholen \eref{oui}{TS} entspricht. In \eref{ZHKoD}{TSF} erkl"aren wir, wie das Zur"uckholen im Formalismus der sechs Funktoren verstanden werden kann. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{R"uckzug von Garben}] Gegeben $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung besitzt der Vorschub\label{AdIn} $f_\ast: \op{Ens}_{/X}\ra \op{Ens}_{/Y}$ von Mengengarben einen Linksadjungierten, den \emph{\bf R"uckzug}\index{R"uckzug!von Mengengarben} $f^\ast: \op{Ens}_{/Y}\ra \op{Ens}_{/X}$.\index{)6ast@$f^*$ R"uckzug!von Mengengarbe} \end{Satz} \begin{proof} Man erkl"art zu~${\mathcal G} \in \op{Ens}_{/Y}$ zun"achst eine Pr"agarbe~$f^{\ast}_{\op{p}}{\mathcal G}\in \op{pEns}_{/X}$ durch die Vorschrift \[ (f^{\ast}_{\op{p}}{\mathcal G})(U) \pdef \op{colf}_{V \supset f(U)} {\mathcal G}(V) \] f"ur~$U \co X$, wo der Kolimes "uber alle~$V \co Y$ mit~$ f(U)\subset V$ zu bilden ist und wir als Restriktionsabbildungen die nat"urlichen Abbildungen \glqq vom kleineren zum gr"o"seren Kolimes\grqq\ nehmen. Dann erkl"art man~$f^{\ast}{\mathcal G} \pdef (f^{\ast}_{\op{p}}{\mathcal G})^+$ als die Garbifizierung dieser Pr"agarbe. Die Adjunktionsisomorphismen schlie"slich werden in der Sprache der Komorphismen konstruiert als die Kompositionen $$ \op{Ens}_{/ X}(f^{\ast}{\mathcal G},{\mathcal F}) \sila \op{p Ens}_{/ X}(f^{\ast}_{\op{p}}{\mathcal G},{\mathcal F}) \sira \op{p Ens}_{/ f^\circ}({\mathcal G},{\mathcal F}) \sila\op{Ens}_{/ Y}({\mathcal G},f_\ast{\mathcal F}) $$ Hierbei wird die erste horizontale Bijektion durch die universelle Eigenschaft der Garbifizierung erkl"art, die mittlere Bijektion folgt aus der universellen Eigenschaft von Kolimites und die letzte ist das Nachschalten von $\kappa^\circ: f_{\ast}\mathcal F\ra\cal{F}$, dem Opponierten des Transportopkomorphismus $\kappa: \mathcal F\ra f_{\ast}\cal{F}$ des Vorschubs aus \ref{DbP}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Identit"at auf $f^*\mathcal G$ entspricht unter den Isomorphismen dieses Beweises einem Komorphismus $\mathcal G\ra f^*\mathcal G$ "uber $f^\circ$ alias Opkomorphismus $\kappa:f^*\mathcal G\ra \mathcal G$ "uber $f$. Im Vorgriff aus \ref{RHGA} nennen wir $\kappa$ bereits hier den\label{TrRu} {\bf Trans\-port\-op\-ko\-mor\-phis\-mus} oder kurz {\bf Transport des R"uckzugs}.\index{Transport!des R"uckzugs} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Halm als R"uckzug}] Sei $(X,x)$ ein bepunkteter topologischer Raum. Bezeichne $\op{em}_x:\op{top}\hra X$\index{em@$\op{em}_x$!Einbettung des Punktes $x$} die zugeh"orige Einbettung oder englisch \glqq embedding\grqq\ des Einpunktraums. So erhalten wir f"ur jede Mengengarbe $\mathcal G$ auf $X$ eine Bijektion $$\Gamma(\op{em}_x^*\mathcal G)\sira \mathcal G_x$$ aus der Erkenntnis, da"s in diesem Fall $(\op{em}_{x})_{{\op{p}}}^*\mathcal G$ bereits eine Garbe ist, deren globale Schnitte durch denselben Kolimes beschrieben werden wie der Halm $\mathcal G_x$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{R"uckzug abelscher Garben}] Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ besitzt auch f"ur abelsche Garben\label{DirB} der Vorschub $ f_{\ast} : \op{Ab}_{/X} \ra \op{Ab}_{/Y}$ einen Linksadjungierten $ f^{\ast} : \op{Ab}_{/Y} \ra \op{Ab}_{/X}$, der wie im Fall \ref{AdIn} von Garben von Mengen konstruiert werden kann. Alternativ mag man bemerken, da"s der R"uckzug von Mengengarben vertr"aglich ist mit endlichen Produkten und somit abelsche Garben zu abelschen Garben macht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exaktheit des R"uckzugs von Garben}] Gegeben stetige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ liefern die Identit"aten $g_*\circ f_*=(g\circ f)_*$ und $(\op{id}_X)_*=\op{id}$ f"ur den Vorschub nach \ref{dirB} Isotransformationen $f^*\circ g^*\siRa (g\circ f)^*$ und $(\op{id}_X)^*\siRa \op{id}$ der Adjungierten. Wir werden das im Rahmen unserer Diskussion von\label{HzGa} Faserfunktoren noch ausf"uhrlicher diskutieren. Hier folgern wir nur, da"s die R"uckz"uge $f^*$ auf abelschen Garben exakt sind. Ist in der Tat $\mathcal F\ra \mathcal G\ra \mathcal H$ eine exakte Sequenz abelscher Garben auf $Y$, so ist wegen $f\circ \op{em}_x=\op{em}_{f(x)}:\op{top}\ra Y$ die Sequenz der Halme $(f^*\mathcal F)_x\ra (f^*\mathcal G)_x\ra (f^*\mathcal H)_x$ isomorph zur Sequenz der Halme $\mathcal F_{f(x)}\ra \mathcal G_{f(x)}\ra \mathcal H_{f(x)}$ und damit auch exakt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Additivit"at von R"uckzug und Vorschub abelscher Garben}] Wir erinnern aus \ref{adAD}, da"s jeder links- oder rechtsexakte Funktor zwischen abelschen Kategorien additiv ist. Insbesondere ist also der R"uckzug abelscher Garben ein additiver Funktor. Weiter erinnern wir aus \ref{adAD}, da"s jeder Funktor zwischen additiven Kategorien, der einen Rechts- oder Linksadjungierten besitzt, additiv ist. Insbesondere ist also auch der Vorschub abelscher Garben ein additiver Funktor. Beide Aussagen lassen sich aber auch ohne alle Theorie leicht direkt pr"ufen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ induziert der Komorphismus $\tau_f^\circ:\DZ_Y\ra \DZ_X$ "uber $f$ aus \ref{koMO}, der opponiert ist zur Faktorisierung dort, einen Isomorphismus $f^*\DZ_Y\sira \DZ_X$.\label{ZYZX} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Der R"uckzug abelscher Garben vertauscht als linksadjungierter Funktor nach \eref{KaAA}{TS} mit direkten Summen und allgemeiner mit Kolimites. Es vertauscht jedoch nicht\label{SBbb} mit Limites, ja noch nicht einmal mit beliebigen Produkten, und das noch nicht einmal bei der Restriktion auf einzelne Punkte, vergleiche \ref{PrGa}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Besitzt ein Funktor von pr"aabelschen Kategorien einen Linksadjungierten, so ist er nach \ref{LaE} linksexakt. Insbesondere ist der Vorschub von abelschen Garben ein linksexakter Funktor. Besitzt ein Funktor zwischen abelschen Kategorien sogar einen exakten Linksadjungierten, so macht er offensichtlich injektive Objekte zu injektiven Objekten. Insbesondere ist der Vorschub einer injektiven abelschen Garbe stets wieder eine injektive abelsche Garbe.\label{diG} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis zum Zur"uckholen von Garbenkohomologie \ref{ZHKoX}] Ein Opkomorphismus abel\-scher Garben $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber $f$ entspricht nach \ref{DbP} einem Morphismus $\hat\phi:\mathcal G\ra f_\ast\mathcal F$ von abelschen Garben auf $Y$. Gegeben eine injektive Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal I^{\lhd}$ erhalten wir aus der Linksexaktheit von $f_\ast$ einen Isomorphismus $f_\ast\mathcal F\sira \mathcal H^0f_\ast\mathcal I^{\lhd}$. Nach \ref{diG} ist $f_\ast\mathcal I^{\lhd}$ ein Komplex von injektiven Garben. Gegeben eine Aufl"osung $\mathcal G\hra \mathcal B^{\lhd}$ zeigt dann das Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU}, da"s $\hat\phi$ genau einen Homotopielift $\mathcal B^{\lhd}\ra f_\ast\mathcal I^{\lhd}$ besitzt. In anderen Worten besitzt unser Komorphismus $\phi$ genau einen Homotopielift zu einem Komorphismus $\mathcal B^{\lhd}\ra \mathcal I^{\lhd}$ "uber $f$. Ist $\mathcal B^{\lhd}$ auch eine injektive Aufl"osung, so hat die von diesem Komorphismus auf der Kohomologie der globalen Schnitte induzierte Abbildung $\mathcal H^q\Gamma \mathcal B^{\lhd}\ra \mathcal H^q\Gamma \mathcal I^{\lhd}$ offensichtlich alle im Satz von einem Zur"uckholen auf der Kohomologie geforderten Eigenschaften. Da"s es keine andere Abbildung mit den geforderten Eigenschaften geben kann, ist eh klar. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{\'Etaler Raum der zur"uckgezogenen Garbe}] Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ Garben. Sei eine stetige\label{AbiB} Abbildung $\varphi: \bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal G}$ von \'etalen R"aumen gegeben derart, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \bar{\mathcal F}&\ra &\bar{\mathcal G}\\ \da&&\da\\ X&\ra&Y \end{array}$$ von topologischen R"aumen kartesisch ist. So gibt es aufgrund der universellen Eigenschaft kartesischer Diagramme genau einen Komorphismus $\gamma: \mathcal G\ra\mathcal F$ "uber $f$ mit $\varphi\circ (\overline{\gamma(s)})=\bar{s}\circ f$ f"ur alle Schnitte $s$ von $\mathcal G$. Hierbei gehen wir von $U\co X$ und $V\co Y$ mit $f(U)\subset V$ aus und fassen Schnitte $s\in\mathcal G(V)$ und $\gamma(s)\in \mathcal F(U)$ als stetige Abbildungen $\bar s:V\ra \bar{\mathcal G}$ und $\overline{\gamma(s)}:U\ra \bar{\mathcal F}$ auf. Wir zeigen nun, da"s dieser Komorphismus einen Isomorphismus $f^{\ast}\mathcal G\sira \mathcal F$ induziert. In der Tat reicht es ja, das auf den Halmen zu zeigen, und da ist die Behauptung klar. Insbesondere liefern diese "Uberlegungen f"ur den \'etalen Raum der zur"uckgezogenen Garbe einen Isomorphismus $$\alpha_{\mathcal G}:\overline{f^{\ast}\cal{G}}\sira X\times_Y\bar{\mathcal G}$$ Salopp gesprochen ist der R"uckzug von Garben im Gegensatz zum Vorschub geometrisch einfach und algebraisch kompliziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauliche Bedeutung von Komorphismen}] Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ Garben. Jeder Komorphismus $\phi:\mathcal G\ra \mathcal F$ "uber $f$ induziert in offensichtlicher Weise Abbildungen $\phi_x: \mathcal G_{f(x)}\ra \mathcal F_{x}$ auf den Halmen und so eine Abbildung $X\times_Y\bar{\mathcal G}\ra \bar{\mathcal F}$. Diese Konstruktion liefert nach den im vorhergehenden gezeigten Aussagen eine Bijektion\label{Anopko} $$\op{Ens}_{/ f^\circ}(\mathcal G,\mathcal F)\sira \op{Top}_X(X\times_Y\bar{\mathcal G},\bar{\mathcal F})$$ Wir diskutieren in \ref{opii}, inwiefern diese Bijektionen einen Isomorphismus zwischen der \glqq Mengengarbenkofaserung\grqq\ und der \glqq invertierten Mengengarbenfaserung\grqq\ liefern. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine abgeschlossene Einbettung $i:X\hra Y$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ ist der R"uckzug in Bezug auf den Transport $\kappa$ f"ur alle $q$ ein Isomorphismus\label{VoSS} $$(i,\kappa)^*: {\op{H}}^q(Y;i_*\mathcal F)\sira {\op{H}}^q(X;\mathcal F)$$ Hinweis: $i_*$ ist exakt und macht welke Garben zu welken Garben. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ betrachte man den exakten Funktor $f^*:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$. Die davon nach \ref{FExt} induzierte Abbildung $$\op{Ext}_{\op{Ab}_{/Y}}^q(\DZ_Y,\mathcal F)\ra \op{Ext}_{\op{Ab}_{/X}}^q(f^*\DZ_Y,f^*\mathcal F)$$ entspricht dem Zur"uckholen ${\op{H}}^q(Y;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q(X;f^*\mathcal F)$ auf der Garbenkohomologie unter dem Vorschalten des Isomorphismus $\DZ_X\sira f^*\DZ_Y$ aus \ref{ZYZX} und der Isomorphismen \ref{GaExt} . \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Halme der Garbenkohomologiepr"agarben}] Gegeben ein bepunkteter topologischer Raum $(X,x)$ haben wir f"ur $q>0$ stets $$\op{colf}_{ U\ni x}{\op{H}}^q(U;\DZ)_{\op{garb}}=0$$ mit dem Kolimes "uber alle offenen Umgebungen $U\co X$ von $x$. Allgemeiner haben wir f"ur $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ und $q>0$ stets $\op{colf}_{U\ni x}{\op{H}}^q(U;\mathcal F)=0$.\label{LimH} Diese Aussage wird sich sp"ater als Spezialfall der Beschreibung der h"oheren Vorsch"ube \ref{RHF} erweisen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vorschub unter topologischer Einbettung}] Ist $f : X \hookrightarrow Y$ eine topologische Einbettung, so ist f"ur jede Garbe $\cal{F} \in \op{Ens}_{/X}$ die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus\label{AdIc} $f^{\ast}f_{\ast} \cal{F} \sira \cal{F}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AIA} Ist $f : X \hookrightarrow Y$ eine abgeschlossene topologische Einbettung, so induziert das adjungierte Paar $(f^{\ast},f_{\ast})$ eine "Aquivalenz zwischen der Kategorie aller Garben auf $X$ und der Kategorie aller derjenigen Garben auf $Y$, die an allen Punkten au"serhalb von $f(X)$ einen einelementigen Halm haben. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vorschub unter abgeschlossenen Einbettungen}] Seien $A\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raums und $i:A\ra X$ ihre Einbettung und $\mathcal F\in \op{Ens}_{/A}$ eine Garbe auf $A$. So erhalten wir mithilfe der vorhergehenden "Ubung \ref{AIA} eine Bijektion $$\overline{i_{\ast}\mathcal F}\sira \bar{\mathcal F}\sqcup(X\backslash A)$$ Man zeige, da"s sie ein Hom"oomorphismus wird, wenn wir rechts genau diejenigen Mengen $U\sqcup V$ offen nennen, f"ur die mit $\pi:\bar{\mathcal F}\ra A$ der Projektion des \'etalen Raums von $\mathcal F$ gilt $U\co\bar{\mathcal F}$ und $(\pi(U)\cup V)\co X$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{R"uckzug bei zusammenh"angenden Fasern}] Gegeben eine finale stetige Abbildung $f:X\ra Y$ mit zusammenh"angenden Fasern ist f"ur jede Garbe von Mengen $\cal{G} \in \op{Ens}_{/Y}$ die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus\label{AdI} $ \cal{G}\sira f_{\ast}f^{\ast} \cal{G}$. Ich erinnere daran, da"s bei uns zusammenh"angende R"aume nicht leer sein d"urfen. Hinweis: Man ziehe sich darauf zur"uck, eine Bijektion auf globalen Schnitten zu zeigen. Dann interpretiere man Schnitte der zur"uckgeholten Garbe als Lifts von $f$ zu Abbildungen in den \'etalen Raum von $\mathcal G$. % ALTER HINWEIS; WAS SOLLTE DER? Nach "Ubung \eref{soSF}{ML} % ist jede stetige offene surjektive Abbildung final. % und ist final fehlte fr"uher! Hat mir Olaf Schn"urer gesagt! \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Unter dem {\bf essentiellen Bild}\index{essentiell!Bild}\index{Bild!essentielles} eines Funktors $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ versteht man die volle Unterkategorie aller Objekte von $\mathcal B$, die isomorph sind zu Objekten der Gestalt $F(A)$ f"ur $A\in\mathcal A$. In \ref{FKGa} werden wir zeigen, da"s sowohl im Fall eines zusammenh"angenden Hausdorff'schen Kompaktums $I$ als auch im Fall eines nichtleeren reellen Intervalls $I$ das essentielle Bild des nach dieser "Ubung volltreuen Funktors $\op{pr}^\ast :\op{Ens}_{/Y}\ra \op{Ens}_{/I\times Y}$ genau aus den auf allen Fasern konstanten Garben besteht. \end{Bemerkungw} \begin{Ubung} \nichtfinal{Sp"ater!} Ist $f:X\ra Y$ eine offene Surjektion, und $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ eine Garbe, so ist nach \eref{karTGo}{TF} auch $\overline{f^*\mathcal G} \ra \bar{\mathcal G}$ eine offene Surjektion. Hat $f$ zus"atzlich zusammenh"angende Fasern, so ist die Einheit der Adjunktion nach \ref{AdI} ein Isomorphismus $\mathcal G\sira f_*f^*\mathcal G$. Ist au"serdem\label{arqrd} $f:X\ra Y$ "aquivariant f"ur die Operation eines topologischen Monoids $G$ und ist $G\times \overline{f^*\mathcal G}\ra \overline{f^*\mathcal G}$ eine Struktur als $G$-"aquivariante Garbe auf $f^*\mathcal G$, so ist insbesondere die von $f_*$ induzierte Operation $G\times \bar{\mathcal G}\ra \bar{\mathcal G}$ auch stetig. F"ur unsere offene "aquivariante Surjektion mit zusammenh"angenden Fasern liefert also der "aquivariante R"uckzug einen volltreuen Funktor $$\op{Ens}_{/G\ssearrow Y}\vra \op{Ens}_{/G\ssearrow X}$$ und in dessen essentiellem Bild liegen genau diejenigen "aquivarianten Garben, die nach Vergessen der Operation im essentiellen Bild des normalen R"uckzugs liegen. Im Fall eines einpunktigen Raums $Y$ hatten wir das bereits in \ref{GOLK} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Ubung}\nichtfinal{Zu "aquivarianten Garben!} Wir betrachten die Operation der Galoisgruppe alias der komplexen Konjugation auf $\DC^\times$ und betrachten die konstante abelsche Garbe $\DZ$ auf $\DC^\times$ als "aquivariante Garbe. Dann betrachten wir deren direktes Bild unter dem Quadrieren $\DC^\times\ra \DC^\times$. So operiert die Galoisgruppe trivial auf den Halmen in Punkten aus $\DR_{>0}$ und nichttrivial auf den Halmen in Punkten aus $\DR_{<0}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur einen topologischen Raum $X$ bezeichne $X^{\delta}$ die Menge $X$ versehen mit der diskreten Topologie und $d:X^{\delta}\ra X$ die Identit"at. Man zeige, da"s f"ur eine abelsche Garbe $\cal{F}\in\op{Ab}_{/X}$ die Einheit der Adjunktion $\cal{F}\ra d_{\ast}d^{\ast}\cal{F}$ mit der Einbettung in die Garbe der unstetigen Schnitte in den \'etalen Raum unserer Garbe identifiziert werden kann. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Reduzierte Garbenkohomologie}] Gegeben $X$\index{Garbenkohomologie!reduzierte}\index{reduziert!Garbenkohomologie} ein topologischer Raum erkl"are man die reduzierte Kohomologie $\tilde{\mathrm{H}}^q(X;\DZ)$ als den Wert des koaugmentierten $q$-ten Rechtsderivierten im Sinne von \ref{redD} auf der konstanten Garbe $\DZ_X\in\op{Ab}_{/X}$ mit der offensichtlichen $\Gamma$-Koaugmentierung $\eta:\DZ\ra \Gamma(\DZ_X)$, in Formeln $$\tilde{\mathrm{H}}^q(X;\DZ)\pdef {\op{R}}^q\Gamma(\DZ_X,\eta,\DZ)$$ Man erkl"are das Zur"uckholen f"ur die reduzierte Garbenkohomologie und leite eine nat"urliche exakte Sequenz $\tilde{\mathrm{H}}^{-1}(X;\DZ)\hra\DZ\ra {\mathrm{H}}^0(X;\DZ)\sra \tilde{\mathrm{H}}^0(X;\DZ)$ sowie Isomorphismen $ {\mathrm{H}}^q(X;\DZ)\sira \tilde{\mathrm{H}}^q(X;\DZ)$ f"ur $q>0$ her und zeige, da"s unsere exakte Sequenz mit $\tilde{\mathrm{H}}^{-1}(\emptyset;\DZ)\sira\DZ$ beginnt f"ur $X=\emptyset$ und mit $\tilde{\mathrm{H}}^{-1}(X;\DZ)=0$ f"ur $X\neq\emptyset$ und folglich f"ur $X\neq \emptyset$ schrumpft zu einer kurzen exakten Sequenz $$\DZ\hra {\mathrm{H}}^0(X;\DZ)\sra \tilde{\mathrm{H}}^0(X;\DZ)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei ein Raum $X$ die Vereinigung von zwei offenen Teilmengen $U,V$. Man konstruiere\label{MVrG} die {\bf Mayer-Vietoris-Sequenz der reduzierten Garbenkohomologie} $$\ldots \tilde{\mathrm{H}}^{q}(X) \ra\tilde{\mathrm{H}}^{q}(U)\oplus \tilde{\mathrm{H}}^{q}(V) \ra \tilde{\mathrm{H}}^{q}(U\cap V) \ra \tilde{\mathrm{H}}^{q+1} (X) \ldots$$ und zeige ihre Nat"urlichkeit in dem Sinne, da"s wir f"ur eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und eine offene "Uberdeckung $Y=A\cup B$ mit $f(U)\subset A$ und $f(V)\subset B)$ ein kommutatives Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} \ldots& \tilde{\mathrm{H}}^{q}(Y)& \ra&\tilde{\mathrm{H}}^{q}(A)\oplus \tilde{\mathrm{H}}^{q}(B) &\ra& \tilde{\mathrm{H}}^{q}(A\cap B) &\ra & \tilde{\mathrm{H}}^{q+1} (Y)& \ldots\\ &\da&&\da&&\da&&\da&\\ \ldots& \tilde{\mathrm{H}}^{q}(X)& \ra&\tilde{\mathrm{H}}^{q}(U)\oplus \tilde{\mathrm{H}}^{q}(V) &\ra& \tilde{\mathrm{H}}^{q}(U\cap V) &\ra & \tilde{\mathrm{H}}^{q+1} (X)& \ldots\\ \end{array} $$ erhalten mit R"uckz"ugen in den Vertikalen. Weiter diskutiere man, warum der Randoperator sein Vorzeichen "andert, wenn man die beiden offenen Mengen vertauscht. Das wird ben"otigt werden bei der Diskussion des Begriffs einer Orientierung. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Garbenkohomologie von Koprodukten}] Ist ein Raum $X$ eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen $X=\bigsqcup_{i\in I} X_i$ und ist $\mathcal F$ eine abelsche Garbe auf $X$, so induzieren die R"uckz"uge l"angs der Einbettungen $\op{in}_i$ einen Isomorphismus\label{pgKO} $${\op{H}}^q(X;\mathcal F)\sira \prod_{i\in I}{\op{H}}^q(X_i;\mathcal F)$$ Eine Verallgemeinerung auf den Fall der \glqq Hyperkohomologie\grqq\ wird in \eref{pgkld}{TSF} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Garben auf Koprodukten}] Ist ein Raum $X$ eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen $X=\bigsqcup_{i\in I} X_i$ und ist $\mathcal F$ eine Garbe auf $X$, so induzieren die Einheiten der Adjunktion einen Isomorphismus\label{pgkl} $$\mathcal F\sira \prod_{i\in I}\op{in}_{i*}\op{in}_{i}^*\mathcal F$$ In \ref{pgklj} werden wir sehen, da"s Koprodukte und Produkte von abelschen Garben in dieser speziellen Situation zusammenfallen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produktgarben als Bildgarben}] Ist $X$ ein topologischer Raum und $I$ eine diskrete Indexmenge und $(\mathcal G_i)_{i\in I}$ eine Familie von Garben auf $X$ und sind $ \op{em}_i: X \ra X\times I$ die Einbettungen und ist eine Garbe $\mathcal G$ auf $X\times I$ gegeben zusammen mit Isomorphismen $\op{em}_i^*\mathcal G\sira \mathcal G_i$, so liefern diese Isomorphismen zusammen nach \ref{pgkl} einen Isomorphismus $\mathcal G\sira \prod_{i\in I} \op{em}_{i*}\mathcal G_i$ und Vorschub unter der Projektion auf $X$ liefert einen Isomorphismus\label{pgBI} $$\op{pr}_{X*}\mathcal G\sira \prod_{i\in I}\mathcal G_i$$ \end{Ubung} \subsection{Lokale Kohomologie und Ausschneidung} \begin{Definition}\label{Traeger} Gegeben ein globaler Schnitt $s \in \cal{F} (X)$ einer abelschen Garbe $\cal F$ auf einem topologischen Raum $X$ erkl"art man den {\bf Tr"ager von $s$},\index{Tr"ager!von Schnitt!einer abelschen Garbe} englisch und franz"osisch {\bf support},\index{support, siehe Tr"ager} als die Menge\index{supp@$\op{supp}$ Tr"ager!von Schnitt!einer abelschen Garbe} $$\op{supp} s \pdef \{x \in X \mid s_{x} \neq 0\}$$ Zur "Ubung mag der Leser zeigen, da"s der Tr"ager eines globalen Schnitts stets abgeschlossen ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ein Schnitt $s \in \cal{F} (A)$ einer abelschen Garbe $\cal F\in\op{Ab}_{/X}$ "uber einer Teilmenge $A\subset X$ ist dasselbe wie ein globaler Schnitt der Restriktion $\cal{F}|_A$ unserer Garbe auf $A$. In diesem Fall definieren wir den {\bf Tr"ager von $s$}\index{Tr"ager!von Schnitt!einer abelschen Garbe} als den Tr"ager dieses globalen Schnitts von $\cal{F}|_A$, in Formeln $$\op{supp} s \pdef \{x \in A \mid s_{x} \neq 0\}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte mit Tr"ager versus Schnitte auf Teilmengen}] Man beachte, da"s f"ur eine abelsche Garbe ein globaler Schnitt mit Tr"ager in einer Teilmenge $A$ etwas v"ollig anderes ist als ein Schnitt "uber $A$ alias ein globaler Schnitt der Einschr"ankung unserer Garbe auf die Teilmenge $A$. Sicher liefert die Restriktion eine Einbettung $$ \{s\in\mathcal F(X)\mid \op{supp}s\subset A\}\hra \mathcal F(A)$$ Diese Einbettung ist aber im Allgemeinen keine Bijektion. Die konstante Garbe $\cal{F}=\DZ_X$ auf $X=\DR$ etwa besitzt keinen von Null verschiedenen Schnitt mit Tr"ager im Ursprung, aber ihre Einschr"ankung auf den Ursprung besitzt durchaus von Null verschiedene Schnitte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $C\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge. Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ setzen wir\index{G@$\Gamma_{\hspace{-1mm}C}\mathcal F$ globale Schnitte mit Tr"ager in $C$} $$\Gamma_{\!C}\mathcal F\pdef\{s\in \Gamma\mathcal F\mid \op{supp}s\subset C\}$$ Die Werte des\label{glSk} Rechtsderivierten des linksexakten Funktors $\Gamma_{\!C}$ auf einer abelschen Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ hei"sen die {\bf lokalen Kohomologiegruppen von $\mathcal F$ mit Tr"ager in $C$}\index{Kohomologie!lokale}\index{H@${\op{H}}^q_C(X;\mathcal F)$ lokale Kohomologie} und werden notiert als $${\op{H}}^q_C(X;\mathcal F)\pdef ({\op{R}}^q \Gamma_{\!C})(\cal{F})$$ Ich weiche hier von der Notation in \cite{KS} ab. Dort bezeichnet $\Gamma_{\!C}\mathcal F$ f"ur $C\subset X$ lokal abgeschlossen und $\mathcal F$ eine abelsche Garbe auf $X$ eine weitere Garbe auf $X$, die dazu noch irref"uhrend als die \glqq Garbe der Schnitte mit Tr"ager in $C$\grqq\ bezeichnet wird, vergleiche \ref{KaFuu}. Wir gehen darauf sp"ater genauer ein. F"ur $C\As X$ abgeschlossen stehen die beiden Notationen in der Beziehung $$\Gamma_C^{\op{Soergel}}\mathcal F=\Gamma(X;\Gamma^{[\op{KS}]}_C\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Kohomologie als Erweiterungsgruppe}] F"ur $C=X$ haben wir $\Gamma_{\!X}\mathcal F=\Gamma\mathcal F$ und ${\op{H}}^q_X(X;\mathcal F)={\op{H}}^q(X;\mathcal F)$. Unsere lokale Kohomologie ist also eine Verallgemeinerung der normalen Garbenkohomologie. Es ist auch leicht zu sehen, da"s wir f"ur $i:C\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge und $\DZ_{C\subset X}\pdef i_*\DZ_C$ einen Isomorphismus $\op{Ab}_{/X}(\DZ_{C\subset X},\mathcal F)\sira \Gamma_{\!C}\mathcal F$ erhalten durch die Zuordnung $\varphi\mapsto \varphi(i_*1_C)$. Diese Isomorphismen liefern dann auch Isomorphismen der derivierten Funktoren\label{LKE} $$\op{Ext}^q_{\op{Ab}_{/X}}(\DZ_{C\subset X},\mathcal F)\sira {\op{H}}^q_C(X;\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Gegeben ein \glqq lokal singul"ar-azyklischer\grqq\ Raum $X$ und $C\As X$ konstruieren wir in \ref{lklsk} einen Isomorphismus $$ {\op{H}}^q (X,X\backslash C;\DZ)_{\op{sing}} \sira {\op{H}}^q_C (X;\DZ_X)_{\op{garb}}$$ der relativen singul"aren Kohomologie mit der lokalen Kohomologie der konstanten Garbe und zeigen, wie die lange exakte Kohomologiesequenz der singul"aren Kohomologie darunter unserer langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \ref{LEslk} entspricht. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Zur"uckholen auf der lokalen Kohomologie}] Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $C\As X$ und $D\As Y$ mit $C\supset f^{-1}(D)$ und $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ ein Opkomorphismus von abelschen Garben "uber $f$. So gibt es f"ur jedes $q$ genau eine Abbildung $$(f,\varphi)^*:{\op{H}}^q_D(Y;\mathcal G)\ra {\op{H}}^q_C(X;\mathcal F)$$ derart, da"s f"ur je zwei Aufl"osungen $\mathcal F\hra \mathcal A^\lhd$ und $\mathcal G\hra \mathcal B^\lhd$ und jeden Lift von $\varphi$ zu einem Opkomorphismus $\varphi^\lhd:\mathcal A^\lhd\ra \mathcal B^\lhd$ von Aufl"osungen "uber $f$ das Diagramm\label{ZHKoXn} $$\begin{array}{ccc} \mathcal H^q\Gamma_{\!D} \mathcal B^\lhd&\stackrel{(\phi^\lhd)^\circ}{\lra} &\mathcal H^q\Gamma_{\!C} \mathcal A^\lhd\\ \tau\da&&\da\tau\\ {\op{H}}^q_D(Y;\mathcal G)&\stackrel{(f,\varphi)^*}{\lra}& {\op{H}}^q_C(X;\mathcal F) \end{array}$$ kommutiert mit den nat"urlichen Abbildungen $\tau$ aus \ref{DefDe} in den Vertikalen und der von unserem Lift $\phi^\lhd$ induzierten oberen Horizontalen. Unsere Abbildungen $(f,\varphi)^*$ sind Gruppenhomomorphismen und es gilt $(f,\varphi)^*\circ(g, \psi)^*=(g\circ f, \psi\circ\varphi)^*$ sowie $(\op{id},\op{id})^*=\op{id}$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Wir werden sp"ater \nichtfinal{(Zitat!)} sehen, da"s unser R"uckzug im Fall konstanter Koeffizienten f"ur \glqq vern"unftige R"aume\grqq\ dem R"uckzug auf der relativen singul"aren Kohomologie ${\op{H}}^q(Y, Y\backslash D)\ra {\op{H}}^q(X, X\backslash C)$ entspricht. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Genau wie im Fall des Zur"uckholens der Kohomologie \ref{ZHKoX}. \end{proof} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Vergarbung der Schnitte mit Tr"ager}] Eine Vergarbung der Schnitte mit Tr"ager lernen wir in \ref{AdIna} folgende kennen. Genauer konstruieren wir dort f"ur jede abgeschlossene Einbettung $i:C\hra X$ einen linksexakten Funktor $i^!:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/C}$ als Rechtsadjungierten zu $i_*:\op{Ab}_{/C}\ra \op{Ab}_{/X}$ und Isomorphismen $\Gamma i^!\mathcal F\sira \Gamma_{\!C}\mathcal F$. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer abgeschlossenen Teilmenge $C\As X$ und ihrem offenen Komplement $U\co X$ haben wir f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ eine linksexakte Sequenz $\Gamma_{\!C} \cal{F}\hookrightarrow \Gamma \cal{F} \rightarrow \Gamma(U; \cal{F})$. F"ur welkes und insbesondere f"ur injektives $\cal{F}$ ist sie sogar exakt. Indem wir diese Erkenntnis auf eine injektive Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal I^\lhd$ einer beliebigen abelschen Garbe $\mathcal F$ anwenden, erhalten wir eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $$\Gamma_{\!C} \cal{I}^\lhd\hookrightarrow \Gamma \cal{I}^\lhd \sra \Gamma(U; \cal{I}^\lhd)$$ Deren lange exakte Kohomologiesequenz hei"st die\label{LEslk} {\bf lange exakte Sequenz der lokalen Kohomologie} $$\ldots\ra {\op{H}}^q_C(X;\cal{F})\ra {\op{H}}^q(X;\cal{F})\ra {\op{H}}^q(X\backslash C;\cal{F})\ra {\op{H}}^{q+1}_C(X;\cal{F}) \ra\ldots$$ Ihre nicht den Grad ver"andernden Morphismen sind die jeweiligen R"uckz"uge. Gegeben $D$ mit $C\As D\As X$ erhalten wir weiter einen Morphismus von der langen exakten Sequenz von $C\As X$ zur langen exakten Sequenz von $D\As X$ durch die jeweiligen R"uckz"uge. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{Weglassen? Wohin? Im Fall der konstanten Garbe erhalten wir in derselben Weise auch eine lange exakte Sequenz von reduzierten Kohomologiegruppen der Gestalt $$\ldots\ra {\mathrm{H}}^q_C(X)\ra \tilde{\mathrm{H}}^q(X)\ra \tilde{\mathrm{H}}^q(X\backslash C)\ra {\mathrm{H}}^{q+1}_C(X) \ra\ldots$$} \begin{Bemerkungw} Die Bedeutung der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie im Rahmen der \glqq sechs Funktoren\grqq\ diskutieren wir in \eref{IuEG}{TSF}. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausschneidung f"ur die Garbenkohomologie}] Seien $X$ ein topologischer Raum mit einer abgeschlossenen Teilmenge $C\As X$ und einer offenen Teilmenge $V\co X$, die $C$ umfa"st. Bezeichne $v:V\hra X$ die Einbettung. F"ur jede abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ liefert dann die Restriktion von Schnitten einen Isomorphismus $$\Gamma_{\!C}\mathcal F\sira \Gamma_{\!C}(v^\ast \mathcal F)$$ mit dem Ausdehnen durch Null als Umkehrabbildung. Da der offene R"uckzug $v^\ast$ exakt ist und injektive Garben zu injektiven Garben macht, induzieren diese Isomorphismen ihrerseits Isomorphismen\label{AuGG} $${\op{H}}^q_C (X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q_C (V;v^\ast\mathcal F)$$ und insbesondere Isomorphismen ${\op{H}}^q_C (X)\sira {\op{H}}^q_C (V)$. Sie sind das Analogon in der Garbenkohomologie unserer Ausschneidungsisomorphismen aus der singul"aren Kohomologie und fallen auch mit den offensichtlichen R"uckz"ugen zusammen. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben $C\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge eines topologischen Raums ist jede welke Garbe auf $X$ azyklisch f"ur $\Gamma_{\!C}$. Hinweis: Lange exakte Sequenz \ref{LEslk}.\label{wazz} \end{Ubung} \begin{Ubung} Man pr"ufe, da"s die Abbildungen der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \ref{LEslk} nicht von der Wahl der injektiven Aufl"osung abh"angen und da"s zwei dieser Abbildungen R"uckz"uge auf der Kohomologie beziehungsweise lokalen Kohomologie im Sinne von \ref{ZHKoXn} sind. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tr"ager von Schnitten in Bildgarben}] Seien $f: X \ra Y$ stetig, $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $\cal{G}$ eine abelsche Garbe auf $Y$ und $\varphi \in\op{Ab}_{/f^\circ}(\mathcal G,\mathcal F)$ ein Komorphismus. Man zeige $f(\op{supp} \varphi(t))\subset\op{supp}t$ f"ur jeden globalen Schnitt $t\in\Gamma\mathcal G$ und\label{SB} und im Fall des kanonischen Komorphismus $\kappa: f_*\mathcal F\ra \mathcal F$ haben wir f"ur alle $s\in \Gamma\mathcal F$ \nichtfinal{(Gute Notation $f_*s$?)} sogar $$\op{supp} (f_{\ast} s) = \overline{f(\op{supp} s)}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Zur"uckholen der lokalen Kohomologie und Erweiterungen}] Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ betrachte man den exakten Funktor $f^*:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$. Sei $D\As Y$ eine abgeschlossene Teilmenge und $C\As X$ ihr Urbild. Die davon nach \ref{FExt} induzierte Abbildung\label{rzLOE} $$\op{Ext}_{\op{Ab}_{/Y}}^q(\DZ_{D\subset Y},\mathcal F)\ra \op{Ext}_{\op{Ab}_{/X}}^q(f^*\DZ_{D\subset Y},f^*\mathcal F)$$ entspricht unter dem offensichtlichen Isomorphismus $f^*\DZ_{D\subset Y}\sira \DZ_{C\subset X}$ und verschiedenen kanonischen Identifikationen dem Zur"uckholen auf der lokalen Garbenkohomologie ${\op{H}}^q_D(Y;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_C(X;f^*\mathcal F)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Tr"agerzerlegung der lokalen Kohomologie}] Gegeben $C\As X$ ein topologischer Raum mit einer abgeschlossenen Teilmenge und $C=\bigcup_{\lambda\in\Lambda}C_\lambda$ eine disjunkte Zerlegung mit $C_\lambda\co C$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe liefern die R"uckz"uge in ihrer Gesamtheit Isomorphismen\label{tzLOK} $${\op{H}}^q_C(X;\mathcal F)\sira \prod_{\lambda\in\Lambda}{\op{H}}^q_{C_\lambda}(X;\mathcal F)$$ \end{Ubung} \subsection{Homotopieinvarianz der Garbenkohomologie} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach \eref{RHa}{TM} eine Teilmenge eines topologischen Raums \glqq relativ Hausdorff\grqq\ hei"st, wenn je zwei verschiedene Punkte unserer Teilmenge disjunkte Umgebungen im urspr"unglichen Raum besitzen. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildKUW} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis des Fortsetzens von Schnitten "uber Kompakta \ref{FSK} \end{minipage} \end{figure} \begin{Proposition}[\textbf{Fortsetzen von Schnitten auf Kompakta}] Gegeben eine Garbe $\cal{F} \in \op{Ens}_{/X}$ auf einem\label{FSK} topologischen Raum $X$ l"a"st sich jeder Schnitt von $\cal{F}$ auf einem relativ Hausdorff'schen Kompaktum $K\subset X$ stetig auf eine offene Umgebung von $K$ fortsetzen. \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Zusammen mit \ref{Skom} folgt unter den Annahmen der Proposition, da"s die offensichtliche Abbildung einen Isomorphismus $\op{colf}_{ U\supset K}\cal{F}(U)\sira \cal{F}(K)$ liefert. Der Kolimes ist hierbei "uber alle offenen\label{dlki} Umgebungen $U\co X$ von $K$ zu verstehen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben ein dreielementiger Raum $X$ mit zwei abgeschlossenen Punkten, die eine kompakte Teilmenge $K$ bilden und beide im Abschlu"s des dritten Punktes liegen, l"a"st sich nicht jeder Schnitt "uber $K$ der konstanten Garbe $\DZ_X$ auf eine offene Umgebung von $K$ fortsetzen. Die Bedingung \glqq relativ Hausdorff\grqq\ ist also notwendig f"ur die G"ultigkeit der Proposition. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Sei $s \in \cal{F} (K)$ unser Schnitt. Da $K$ als kompakter Hausdorffraum nach \eref{KLK}{TM} lokal kompakt ist, finden wir eine "Uberdeckung von $K$ durch Kompakta $K_{1}, \ldots , K_{n}$ und f"ur diese Kompakta offene Umgebungen $U_{1}, \ldots, U_{n}\co X$ und Schnitte $s_{i} \in \cal{F} (U_{i})$ mit $s_{i}| K_{i} = s| K_{i}$. Nach \ref{Skom} gibt es eine offene Umgebung $W$ von $K_1 \cap K_2$ in $U_1 \cap U_2$ mit $s_1 | W = s_2| W$. Weiter finden wir "ahnlich wie in \eref{FS}{TM} f"ur $i=1,2$ disjunkte offene Umgebungen $U_i^{\prime} \co U_i$ von $K_i \backslash W$. Dann verkleben die beiden $s_i|U^{\prime}_i$ und $s_1|W = s_2|W$ zu einem Schnitt auf $U^{\prime}_1 \cup U^{\prime}_2 \cup W$, der unseren Schnitt auf $K_1\cup K_2$ fortsetzt. Eine offensicht\-liche Induktion beendet den Beweis. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion allgemeiner Fortsetzungsresultate f"ur Schnitte}] Im Fall parakompakter R"aume lernen wir in \ref{AuW}, da"s sich jeder Schnitt "uber einer abgeschlossenen Teilmenge auf eine offene Umgebung derselben fortsetzen l"a"st. Diese Aussage und die vorhergehende Proposition \ref{FSK} sind die beiden einzigen allgemeinen Fortsetzungsresultate dieser Art, die ich kenne. Man beachte, da"s jede einpunktige Teilmenge eines topologischen Raums ein relativ Hausdorff'sches Kompaktum ist. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition} Seien $X$ ein topologischer Raum und $K$ ein kompakter Hausdorffraum und $\pi:X\times K\ra X$ die Projektion. So liefert f"ur jede Garbe $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X\times K}$ und jeden Punkt $x\in X$ die offensichtliche Abbildung eine Bijektion\label{eeB} $$(\pi_*\mathcal F)_x\sira \Gamma(\pi^{-1}(x);\mathcal F)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Diese Aussage wird sich im weiteren Verlauf als ein Spezialfall des \glqq fasereigentlichen Basiswechsels\grqq\ \ref{EBWA} erweisen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Nach Proposition \ref{dlki} zum Fortsetzen von Schnitten auf Kompakta liefert das Einschr"anken auf $\pi^{-1}(x)$ einen Isomorphismus $$\op{colf}_W\Gamma(W;\mathcal F)\sira \Gamma(\pi^{-1}(x);\mathcal F)$$ f"ur den Kolimes "uber alle offenen Umgebungen $W$ von $\pi^{-1}(x)$. Nach "Ubung \eref{oUKL}{TM} umfa"st jede offene Umgebung von $\pi^{-1}(x)$ eine Menge der Gestalt $\pi^{-1}(U)$ f"ur $U\co X$ eine offene Umgebung von $x$. Das zeigt die Proposition. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben $X$ ein topologischer Raum und $\pi:X\times [0,1]\ra X$ die Projektion auf den ersten Faktor gilt:\label{HGM} \begin{enumerate} \item F"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ ist die Einheit der Adjunktion ein Isomorphismus $\mathcal F\sira \pi_\ast\pi^\ast\mathcal F$; \item Ist eine abelsche Garbe $\mathcal A\in\op{Ab}_{/X}$ azyklisch f"ur den Funktor der globalen Schnitte, so gilt dasselbe f"ur die zur"uckgeholte Garbe $\pi^\ast\mathcal A$; \item F"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ induziert das Zur"uckholen auf der Kohomologie Isomorphismen ${\op{H}}^q(X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q(X\times [0,1];\pi^\ast\mathcal F)$. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Im Rahmen der sechs Funktoren erweist sich das als eine direkte Konsequenz aus fasereigentlichem Basiswechsel und unseren Erkenntnissen zur Garbenkohomologie reeller Intervalle, vergleiche den zweiten Beweis von \eref{Aei}{TSS}. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Teil 1 gilt f"ur jede finale Surjektion mit zusammenh"angenden Fasern und sogar f"ur Garben von Mengen nach "Ubung \ref{AdI}. Um Teil 2 zu zeigen, w"ahlen wir eine welke Aufl"osung $\pi^\ast\mathcal A\hra \mathcal B^\lhd$ und betrachten f"ur alle $x\in X$ das kartesische Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ [0,1] \ar[d]_{\op{fin}}\ar[r]^-{j_x} &X\times [0,1] \ar[d]^\pi\\ \op{top} \ar[r]_{i_x} &X } \end{displaymath} Unter der Restriktion mit der Einbettung $j_x$ wird unsere welke Aufl"osung zu einer punktweichen Aufl"osung $j_x^\ast\pi^\ast\mathcal A\hra j_x^\ast\mathcal B^\lhd$ einer punktweichen Garbe. Da nach \ref{KGI} punktweiche Garben auf Intervallen $\Gamma$-azyklisch sind, liefert unser Komplex einen exakten Komplex $\Gamma(j_x^\ast\pi^\ast\mathcal A)\hra \Gamma(j_x^\ast\mathcal B^\lhd)$. Das ist aber nach \ref{eeB} genau der Komplex der Halme bei $x$ des Garbenkomplexes $\pi_\ast\pi^\ast\mathcal A\hra \pi_\ast\mathcal B^\lhd$, der folglich auch exakt ist und mit unserem Isomorphismus $\mathcal A\sira \pi_\ast\pi^\ast\mathcal A$ als welke Aufl"osung von $\mathcal A$ verstanden werden kann. Ist nun $\mathcal A$ globale-Schnitte-azyklisch, so ist der Komplex $\Gamma(\pi_\ast\mathcal B^\lhd)=\Gamma(\mathcal B^\lhd)$ exakt in h"oheren Graden und damit ist auch $\pi^\ast\mathcal A$ globale-Schnitte-azyklisch. Teil 3 folgt ohne weitere Schwierigkeiten. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Kohomologie abelscher Garben auf W"urfeln}] Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $[0,1]^n$ verschwindet ihre Kohomologie ${\op{H}}^q([0,1]^n;\mathcal F)$ f"ur $q>n$,\label{GHKu} salopp gesprochen oberhalb der Dimension. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} In \eref{gkQUa}{TSF} schreiben wir den Beweis nocheinmal im Rahmen der allgemeinen Theorie aus. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Betrachten wir im vorhergehenden Beweis von \ref{HGM} eine welke Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal B^\lhd$ einer beliebigen abelschen Garbe auf $X\times [0,1]$, so erhalten wir unter der Restriktion mit der Einbettung $j_x$ eine punktweiche Aufl"osung $j_x^\ast\mathcal F\hra j_x^\ast\mathcal B^\lhd$ der nicht notwendig punktweichen Garbe $j_x^\ast\mathcal F$. Da nach \ref{KGI} alle Garbenkohomologie auf $[0,1]$ in Graden $q>1$ verschwindet, ist $\pi_*\mathcal B^\lhd$ exakt in Graden $q>1$. Gegeben $\mathcal B^\lhd$ ein in Graden $q>0$ exakter Komplex welker Garben auf $X\times [0,1]$ ist also $\pi_*\mathcal B^\lhd$ ein in Graden $q>1$ exakter Komplex welker Garben auf $X$. Die Proposition folgt induktiv. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Homotopieinvarianz}] Homotope Abbildungen von topologischen R"aumen induzieren dieselbe Abbildung auf der Garbenkohomologie.\label{HIGK} \end{Korollar} \begin{proof} Seien $X,Y$ topologische R"aume und $f,g:X\ra Y$ homotope Abbildungen und $h: X \times [0,1] \ra Y$ eine Homotopie von $f$ nach $g$. Bezeichnen wir die Inklusionen $X \ra X \times [0,1]$, $ x \mapsto (x,t)$ mit $i_{t}$, so gilt $f = h\circ i_{0}$ und $g = h \circ i_{1}$. Es reicht nun, ${\op{H}}^{q}(i_{0}) = {\op{H}}^{q}(i_{1})$ zu zeigen, denn daraus folgt mit der Funktorialit"at der Homologie bereits $${\op{H}}^{q} (f) = {\op{H}}^{q}(i_{0})\circ{\op{H}}^{q} (h) ={\op{H}}^{q}(i_{1})\circ{\op{H}}^{q} (h) = {\op{H}}^{q}(g)$$ Andererseits gilt f"ur $\pi:X\times [0,1]\ra X$ die Projektion aber $\op{id}_X=\pi\circ i_t$ und damit $\op{id}={\op{H}}^{q}(i_{t})\circ {\op{H}}^{q}(\pi)$ f"ur alle $t$. Nun ist ${\op{H}}^{q}(\pi)$ nach \ref{HGM} f"ur jede abelsche Gruppe $M$ von Koeffizienten ein Isomorphismus $${\op{H}}^{q}(\pi): {\op{H}}^{q}(X;M) \sira {\op{H}}^{q}(X\times [0,1];M)$$ Folglich m"ussen alle ${\op{H}}^{q}(i_{t})$ dieselbe Abbildung in die Gegenrichtung induzieren, n"amlich die Umkehrabbildung zu unserem Isomorphismus. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Garbenkohomologie zusammenziehbarer R"aume}] Die Garbenkohomologie jedes zusammenziehbaren Raums $X$ besteht aus den konstanten Schnitten der konstanten Garbe $\DZ_X$ im Grad Null und verschwindet in allen anderen Graden. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Garbenkohomologie von Sph"aren}] Um die Kohomologie von Sph"aren im Rahmen der Garbenkohomologie zu berechnen, mag man besagte Sph"aren in zwei etwas "uber den "Aquator hinaus\label{GKS} verdickte offene Hemisph"aren zerlegen und die Mayer-Vietoris-Sequenz der Garbenkohomologie \ref{MVG} oder noch besser der reduzierten Garbenkohomologie \ref{MVrG} anwenden. Unsere beiden Hemisph"aren sind zusammenziehbar und ihr Schnitt ist homotopie"aquivalent zu einer Sph"are einer um Eins kleineren Dimension. So finden wir $\tilde{\mathrm{H}}^q(S^n)\cong\DZ$ f"ur $q=n\geq -1$ und Null sonst und finden zus"atzlich, da"s die Spiegelung an einer Koordinatenebene auf unserer Kohomologie als die Multiplikation mit $(-1)$ wirkt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Lokale Kohomologie des $\DR^n$}] F"ur einen Punkt $x\in\DR^n$ liefert die reduzierte Version der langen exakten Sequenz der lokalen Kohomologie \ref{LEslk} insbesondere Isomorphismen $\tilde{\mathrm{H}}^{q-1}(\DR^n\backslash x)\sira {\op{H}}^q_{\{x\}} (\DR^n)$ und mit \ref{GKS} dann\label{lokKRn} $${\op{H}}^q_{\{x\}} (\DR^n)\cong \left\{\begin{array}{ll} \Bbb{Z} & q=n;\\ 0 & \text{sonst.} \end{array}\right. $$ Weiter sehen wir so, da"s die Spiegelung an einer Koordinatenebene auf unserer lokalen Kohomologie als die Multiplikation mit $(-1)$ wirkt. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{HHg} Sei $Z\As X$ ein Raum mit einer abgeschlossenen Teilmenge. Man zeige: Das Zur"uckholen mit der Projektion induziert auf der lokalen Kohomologie Isomorphismen $${\op{H}}^{q}_Z(X)\sira {\op{H}}^{q}_{Z\times [0,1]}(X\times [0,1])$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Homotopieinvarianz der lokalen Kohomologie}] Seien $f,g : (X,Z) \ra (Y,T)$ zwei Morphismen zwischen Raumpaaren bestehend aus einem Raum mit einer abgeschlossenen Teilmenge. Man zeige:\label{HIRHg} Sind zwei Morphismen $f,g : (X,Z) \ra (Y,T)$ homotop im Sinne von \eref{HIRH}{TS}, so induzieren sie dieselben Abbildungen ${\op{H}}^{q}f= {\op{H}}^{q}g : {\op{H}}_T^{q} (Y) \ra {\op{H}}^{q}_Z (X)$ auf den lokalen Homologiegruppen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Determinante und Orientierung}] Gegeben $A,B\co\DR^n$ offene Umgebungen des Ursprungs und $g:A\sira B$ ein Diffeomorphismus mit $g(0)=0$ kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} {\op{H}}^n_{\{0\}}(A)&\ra &{\op{H}}_{\{0\}}^n(B)\\ \wr\ua&&\ua\wr\\ {\op{H}}^n_{\{0\}}(\DR^n)&\ra &{\op{H}}^n_{\{0\}}(\DR^n) \end{array}$$ mit den Ausschneidungsisomorphismen \ref{AuGG} in den Vertikalen und dem Vorzeichen der Funktionaldeterminante $\det(\diff_0 g)$ als unterer Horizontale. Hinweis: F"ur vom Ursprung verschiedene Punkte $p$ nahe am Ursprung\label{BLGg} gilt die Absch"atzung $\|g(p)- (\diff_0 g)(p)\|<\|(\diff_0 g)(p)\|$, und man beachte \ref{HIRHg}. \end{Ubung} \subsection{Ein Spektralsequenzargument} \begin{Definition}\label{DoKon}%\label{DoKo} Ein \defind{Doppelkomplex} $A = (A^{p,q}, \partial,\delta)$ ist eine durch $\Bbb{Z} \times \Bbb{Z}$ parametrisierte Familie $A^{p,q}$ von abelschen Gruppen mitsamt Gruppenhomomorphismen $\partial = \partial^{p} : A^{p,q} \ra A^{p+1,q}$ und $\delta = \delta^{q} : A^{p,q} \ra A^{p,q+1}$ derart, da"s gilt $\partial^{2} = 0$, $\delta^{2} =0$ und $\partial\delta = \delta\partial$. \end{Definition} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildDOKOS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Ein Doppelkomplex \end{minipage} \end{figure} \begin{Definition} Gegeben ein Doppelkomplex $A$ bilden wir seinen \defind{Totalkomplex} $\op{tot}(A)=T=(T,d)$\index{tot@$\op{tot}$ Totalkomplex} durch die Vorschrift $$T^n\pdef\bigoplus_{p+q=n}A^{p,q}$$ mit dem Differential $da\pdef\partial a+ (-1)^p\delta a$ f"ur $a\in A^{p,q}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} In der Literatur wird auch eine andere Konvention verwendet, bei der man $\partial\delta + \delta\partial=0$ statt $\partial\delta = \delta\partial$ fordert. Wir sprechen dann von einem {\bf Doppelkomplex mit antikommutierenden Differentialen}.\index{Doppelkomplex!mit antikommutierenden Differentialen} Zwischen beiden Konzepten kann man hin- und hergehen, indem man $\delta:A^{p,q}\ra A^{p,q+1}$ ersetzt durch $(-1)^p\delta:A^{p,q}\ra A^{p,q+1}$. Ich finde es nat"urlicher, mit kommutierenden Differentialen zu arbeiten. So ergibt sich etwa der Tensorkomplex als Totalkomplex eines Doppelkomplexes in Bezug auf eine Anordnung der Tensorfaktoren. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildSpS} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine explizite Beschreibung der Komposition $\mathcal H K_{\rightarrow}\ra \mathcal H T\stackrel{\sim}{\leftarrow} \mathcal HK_{\uparrow}$ im Fall eines Doppelkomplexes im ersten Quadranten mit exakten Zeilen bei $A^{pq}$ mit $p\neq 0$. Der Zykel 1 im waagerechten Kernkomplex ist als Element 2 der tiefsten Zeile der $\partial$-Rand von 3. Der $\delta$-Rand von 3 ist dann ein $\partial$-Zykel 4, der sich wegen der Exaktheit der Zeile als $\partial$-Rand eines Elements 5 schreiben l"a"st. Und so klettert man die Treppe hoch um schlie"slich bei einem Zykel 9 des senkrechten Kernkomplexes zu landen. \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungl} Wir denken uns $p$ nach rechts und $q$ nach oben aufgetragen und betrachten in unserem Doppelkomplex die \defnoind{Spaltenkomplexe}\index{Spaltenkomplex} $A^{p,\ast}$ sowie die \defnoind{Zeilenkomplexe}\index{Zeilenkomplex} $A^{\ast, q}$. Verschwinden alle $A^{p,q}$ mit $p<0$, so sprechen wir von einem \defind{Doppelkomplex in der rechten Halbebene}. Verschwinden alle $A^{p,q}$ mit $q<0$, so sprechen wir von einem \defind{Doppelkomplex in der oberen Halbebene}. Verschwinden alle $A^{p,q}$ mit $p<0$ oder $q<0$, so sprechen wir von einem \defind{Doppelkomplex im ersten Quadranten}. Zu einem Doppelkomplex in der rechten Halbebene erkl"aren wir den \defnoind{senkrechten Kernkomplex}\index{senkrechter Kernkomplex} $K_{\uparrow}$ als den Komplex der Kerne \glqq l"angs der $q$-Achse\grqq, in Formeln $$K_{\uparrow}^\ast= \ker (\partial : A^{0,\ast} \ra A^{1,\ast})$$ mit dem von $\delta$ induzierten Differential. Gegeben ein Doppelkomplex in der rechten Halbebene haben wir eine offensichtliche injektive Kettenabbildung $K_{\uparrow}\hra T$ vom senkrechten Kernkomplex in den Totalkomplex. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Eine ausgeartete Spektralsequenz}] Sei $A= (A^{p,q},\partial, \delta)$ ein Doppelkomplex im ersten\label{EAS} Quadranten.\index{Spektralsequenz!ausgeartete} Sind alle seine Zeilen exakt an allen Stellen $A^{p,q}$ mit $p\neq 0$, so induziert die Einbettung des senkrechten Kernkomplexes in den Totalkomplex $K_{\uparrow}\hra T$ auf der Kohomologie Isomorphismen $$\cal{H}^{n}K_{\uparrow}\sira \cal{H}^{n}T$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl}\label{DKBAn} Der Satz gilt allgemeiner f"ur jeden Doppelkomplex in der rechten Halbebene, bei dem es f"ur jedes feste $n$ h"ochstens endlich viele von Null verschiedene Eintr"age zu Indizes $(p,q)$ mit $p+q=n$ gibt. Die Eintr"age k"onnen dabei sogar Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie sein. Der Beweis bleibt derselbe. Wir beginnen mit einem Spezialfall. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{TKoo} Sind bei einem Doppelkomplex im ersten Quadranten alle Zeilen exakt, so ist auch sein Totalkomplex exakt. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw}\label{DKBA} Das Lemma gilt mit demselben Beweis f"ur jeden Doppelkomplex, bei dem es f"ur jedes feste $n$ h"ochstens endlich viele von Null verschiedene Eintr"age zu Indizes $(p,q)$ mit $p+q=n$ gibt. Die Eintr"age k"onnen dabei sogar Objekte einer beliebigen abelschen Kategorie sein. Eine Verallgemeinerung dieser Aussage, die f"ur beliebige Doppelkomplexe von abelschen Gruppen richtig bleibt, wird in \eref{TK}{TD} formuliert und bewiesen. Daraus ergeben sich dann auch Verallgemeinerungen von \ref{EAS}. Allgemeine Spektralsequenzen besprechen wir in \ref{SpeSS}. \end{Bemerkungw} \begin{proof}[Beweis] Sind nur endlich viele Zeilen eines Doppelkomplexes von Null verschieden, der noch nicht einmal im ersten Quadranten liegen mu"s, so k"onnen wir das mit vollst"andiger Induktion zeigen: Dazu betten wir die oberste von Null verschiedene Zeile ein in den Totalkomplex. Der Kokern dieser Einbettung ist der Totalkomplex eines Doppelkomplexes mit exakten Zeilen und einer Zeile weniger. Zu der so konstruierten kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen bilden wir dann die lange exakte Homologiesequenz und unsere Induktion l"auft. Haben wir einen beliebigen Doppelkomplex im ersten Quadranten vor uns, so stimmt sein Totalkomplex bis zum Grad $n$ "uberein mit dem Totalkomplex zum Doppelkomplex der untersten $n$ Zeilen, also k"onnen wir uns auf den bereits behandelten Fall zur"uckziehen. \end{proof} \begin{proof}[Beweis von Satz \ref{EAS}] Der Kokern der Einbettung $K_{\uparrow}\hra T$ ist der Totalkomplex eines Doppelkomplexes im ersten Quadranten mit exakten Zeilen. Nach Lemma \ref{TKoo} ist er damit exakt und die Behauptung folgt aus der langen exakten Homologiesequenz. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s unser Satz "uber ausgeartete Spektralsequenzen \ref{EAS} "ahnlich f"ur Spektralsequenzen im dritten Quadranten und den senkrechten Kokernkomplex gilt. Betrachtet man die analogen Aussagen in allgemeinen\label{SqDr} abelschen Kategorien, so gelten sie weiter mit demselben Beweis und fallen zusammen, wenn man zur opponierten abelschen Kategorie "ubergeht. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{rlTor} Gegeben ein Ring $R$ und ein $R$-Rechtsmodul $M$ und ein $R$-Links\-modul $N$ und $\ldots\ra P_1\ra P_0\sra M$ eine projektive Aufl"osung von $M$ und $\ldots\ra Q_1\ra Q_0\sra N$ eine projektive Aufl"osung von $N$ liefern die offensichtlichen Kettenabbildungen Quasiisomorphismen $$P\otimes_RN\qli P\otimes_RQ\qri M\otimes_R Q$$ Insbesondere erhalten wir so die bei der Definition der Torsionsgruppen in \ref{Tor} versprochenen kanonischen Isomorphismen $$(\op{L}_q(M\otimes_R))(N)\sira (\op{L}_q(\otimes_RN))(M)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind bei einem Doppelkomplex im ersten Quadranten die Zeilenkomplexe exakt an allen Stellen $(p,q)$ mit $p+q\leq n$, so ist der Totalkomplex exakt an allen Stellen $\leq n$.\label{kSs} Sind bei einem Doppelkomplex im ersten Quadranten die Zeilenkomplexe exakt an allen Stellen $(p,q)$ mit $p+q\leq n$ und $p>0$, so induziert die Einbettung des senkrechten Kernkomplexes in den Totalkomplex Isomorphismen auf allen $\mathcal H^q$ mit $q\leq n$. Das ist auch eine einfache Konsequenz der allgemeinen Theorie der Spektralsequenzen in \ref{SpeSS}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind bei einem Doppelkomplex nur endlich viele Zeilenkomplexe verschieden von Null und sind alle Spalten exakt, so ist der Totalkomplex exakt.\label{kSDR} Hinweis: Im Fall von nur zwei von Null verschiedenen Zeilen ist das leicht einzusehen. Im allgemeinen argumentiere man mit vollst"andiger Induktion und geschickten kurzen exakten Sequenzen von Doppelkomplexen und der langen exakten Kohomologiesequenz. \end{Ubung} \subsection{Garbenkohomologie durch offene "Uberdeckungen} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s ein unendliches Produkt exakter Sequenzen von abelschen Garben nicht exakt zu sein braucht, da"s aber ein beliebiges Produkt exakter Sequenzen von abelschen Gruppen stets wieder exakt ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vergarbter \v{C}ech-Komplex}] Gegeben eine "Uberdeckung $\mathcal U$ eines topologischen Raums $X$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ erkl"aren wir einen Komplex von Garben $\check{\mathcal{C}}^{q}=\check{\mathcal{C}}^{q} (\cal{U};\cal{F})$, indem wir f"ur jede offene Teilmenge $V\co X$ setzen $$\check{\mathcal{C}}^{q}(V)\pdef \prod_{(U_{0},\ldots ,U_{q})\in \cal{U}^{q+1}} \cal{F} (V\cap U_{0}\cap \ldots \cap U_{q})$$ Anders geschrieben ist $\check{\mathcal{C}}^{q} (\cal{U};\cal{F})$ das Produkt der Garben $j_*j^*\mathcal F$ f"ur die jeweiligen Einbettungen $j:U_{0}\cap \ldots \cap U_{q}\hra X$. Das Differential $\check{\mathcal{C}}^{q}\ra \check{\mathcal{C}}^{q+1}$ besteht aus Abbildungen $\check{\mathcal{C}}^{q}(V)\ra \check{\mathcal{C}}^{q+1}(V)$, die durch dieselben Formeln erkl"art werden wie beim \v{C}ech-Komplex aus \ref{CKo}. Nimmt man noch den Morphismus $\mathcal F\ra \check{\mathcal{C}}^{0}$ hinzu, der durch die Einschr"ankungen $\mathcal F(V)\ra \prod_{U_{0}\in \cal{U}} \cal{F} (V\cap U_{0})$ gegeben wird, und nimmt von unserer "Uberdeckung an, da"s auch die offenen Kerne der Mengen aus $\mathcal U$ bereits $X$ "uberdecken, so entsteht eine exakte Sequenz von Garben $$ \mathcal F\hra \check{\mathcal{C}}^{0}\ra \check{\mathcal{C}}^{1}\ra\ldots$$ In der Tat erhalten wir f"ur jede offene Teilmenge $V\co X$, die ganz in einer Teilmenge $U$ aus unserem "uberdeckenden Mengensystem enthalten ist, sogar bereits ein %linksexakte exakte Sequenz $\mathcal F(V)\hra \check{\mathcal{C}}^{0}(V)\ra \check{\mathcal{C}}^{1}(V)\ra\ldots$ nach Satz \ref{AMBM} "uber die Exaktheit von Standardkomplexen, die station"ar sind in einem Index, angewandt auf den in \ref{AlKo} besprochenen Fall von Koeffizienten in $\op{Ab}^{\op{opp}}$. Wir nennen unsere exakte Sequenz von Garben\label{AGCKg} den {\bf vergarbten \v{C}ech-Komplex}.\index{Cechkomplex@\v{C}ech-Komplex!vergarbter} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Mich verbl"ufft an diesem Argument, wie m"uhelos darin die Schwierigkeiten, da"s der Halm eines Produkts nicht das Produkt der Halme ist und Produkte exakter Sequenzen von abelschen Garben nicht exakt sein m"ussen, umgangen werden. Man kann alternativ auch den Komplex $\check{\mathcal{C}}_!^{-q} (\cal{U};\cal{F})$ der Koprodukte der Garben $j_!j^!\mathcal F$ betrachten, der zusammen mit dem offensichtlichen Morphismus $\check{\mathcal{C}}_!^{0} (\cal{U};\cal{F})\ra \mathcal F$ eine Linksaufl"osung von $\mathcal F$ ist. Bei diesem Komplex folgt die Exaktheit aus der Betrachtung der Halme. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{\v{C}ech-Kohomologie zu "Uberdeckung und Garbenkohomologie}] Per definitionem gilt $\check{{\mathrm{H}}}^{q} (\cal{U};\cal{F})=\mathcal H^{q}\Gamma \check{\mathcal{C}}^\lhd(\mathcal U;\mathcal F)$. Aus der Definition derivierter Funktoren \ref{DefDe} erhalten wir so Abbildungen\label{CuBD} $$\check{{\mathrm{H}}}^{q} (\cal{U};\cal{F})\ra {\op{H}}^{q}(X;\mathcal F)$$ von der \v{C}ech-Kohomologie zu einer gegebenen offenen "Uberdeckung in die Garbenkohomologie. Wir erhalten sogar derartige Abbildungen f"ur jede beliebige "Uberdeckung derart, da"s die offenen Kerne der "uberdeckenden Mengen bereits $X$ "uberdecken, mit der entsprechenden offensichtlichen Erweiterung der linken Seite auf diesen Fall. Wir hatten diesen Fall bisher nur deshalb vermieden, da wir mit Pr"agarben gearbeitet hatten und da f"ur Pr"agarben Schnitte "uber beliebigen Teilmengen nicht definiert sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{\v{C}ech-Kohomologie und Garbenkohomologie}] Es ist klar, da"s unsere Abbildungen \ref{CuBD} von eben im Kolimes Abbildungen\label{natCG} $$\check{{\mathrm{H}}}^{q} (X;\cal{F})\ra {\op{H}}^{q}(X;\mathcal F)$$ von der \v{C}ech-Kohomologie in die Garbenkohomologie induzieren. In \ref{CGa} zeigen wir, da"s diese f"ur $q=1$ stets Isomorphismen sind. In \ref{PKRh} zeigen wir, da"s sie auf \glqq parakompakten\grqq\ R"aumen sogar f"ur alle $q$ Isomorphismen sind. \end{Bemerkungw} \begin{Definition} Seien $X$ ein topologischer Raum, $\cal F\in\op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $\cal U$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Gilt $$\op{H}^q(U_{0}\cap \ldots \cap U_{\nu};\cal{F} )=0$$ f"ur alle endlichen Schnitte von einer oder mehr Mengen aus $\cal U$ und f"ur alle $q>0$, so sagen wir, die Garbe $\cal F$ sei \defnoind{azyklisch f"ur die "Uberdeckung $\cal U$},\index{azyklisch!Garbe f"ur "Uberdeckung} oder die "Uberdeckung sei {\bf azyklisch f"ur die Garbe}.\index{azyklisch!"Uberdeckung f"ur Garbe} \end{Definition} \begin{Theorem}[\textbf{Kohomologie durch azyklische "Uberdeckungen}] Seien $X$ ein topologischer Raum, $\cal F$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $\cal U$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Ist die "Uberdeckung $\cal U$ azyklisch f"ur die Garbe $\cal F$, so berechnet der Komplex der \v{C}ech-Koketten\label{BKCe} ihre Kohomologie, als da hei"st, die in \ref{AGCKg} konstruierten Abbildungen sind Isomorphismen $$\check{{\mathrm{H}}}^{q} (\cal{U};\cal{F}) \sira {{\op{H}}}^{q}(X;\cal{F})$$ \end{Theorem} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildAgCK} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine f"ur die konstante Garbe auf der Acht azyklische offene "Uberdeckung durch drei offene Teilmengen mit ihrem angeordneten \v{C}ech-Komplex \end{minipage} \end{figure} \begin{Bemerkungw} Insbesondere ist jede welke abelsche Garbe \v{C}ech-azyklisch in dem in \ref{cac} eingef"uhrten Sinne. Allgemeiner folgt dasselbe f"ur jede abelsche Garbe, deren Restriktion auf jede offene Teilmenge global-Schnitte-azyklisch ist. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Wir w"ahlen eine \glqq waagerecht gedachte\grqq\ welke Aufl"osung $\cal F\hra \cal W^\lhd$ von $\cal F$ und bilden den Doppelkomplex $$\check{\cal{C}}^{q} (\cal{U}; {\cal W}^p)$$ von abelschen Garben, indem wir von dieser Aufl"osung an jeder Stelle \glqq in senkrechter Richtung\grqq\ den vergarbten \v{C}ech-Komplex nehmen.\label{KKA} Offensichtlich besteht dieser Doppelkomplex aus welken Garben, die Spaltenkomplexe sind exakt in h"oheren Graden, und der waagerechte Kernkomplex ist unsere urspr"ungliche welke Aufl"osung $\cal W^\lhd$. Der Totalkomplex ist also nach \ref{EAS}, angewandt auf die Halme, auch eine welke Aufl"osung von $\mathcal F$ und unsere Konstruktion liefert, auch ohne da"s wir "uber die Exaktheit des senkrechten Kernkomplexes etwas wissen, einen Homomorphismus von Aufl"osungen $$\check{\cal{C}}^{n} (\cal{U}; {\cal F})\ra \op{tot}\check{\cal{C}}^{q} (\cal{U}; {\cal W}^p)$$ Aus der Azyklizit"at von $\mathcal F$ in Bezug auf $\mathcal U$ folgt nun, da $\mathcal F|_U\hra \mathcal W^\lhd|_U$ f"ur alle $U\co X$ eine welke Aufl"osung ist, die Exaktheit der Sequenzen $$ {\cal F}(U_0\cap\ldots\cap U_q)\hra {\cal W}^0(U_0\cap\ldots\cap U_q)\ra {\cal W}^1(U_0\cap\ldots\cap U_q)\ra\ldots$$ Die von unserem Homomorphismus von Aufl"osungen auf den globalen Schnitten induzierte Abbildung $$\prod_{\mathcal U^{n+1}} {\cal F}(U_0\cap\ldots\cap U_n)\ra \bigoplus_{p+q=n}\;\;\prod_{\mathcal U^{q+1}} {\cal W}^p(U_0\cap\ldots\cap U_q)$$ kann mithin als die Einbettung des senkrechten Kernkomplexes in einen Doppelkomplex mit exakten Zeilen aufgefa"st werden. Also ist sie ein Quasiisomorphismus, und da die rechte Seite von einer welken Aufl"osung herkam, folgt der Satz. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbenkohomologie von Simplizialkomplexen}] Gegeben ein Simplizialkomplex $(E,\mathcal K)$ mit Ecken $E$ und Simplizes $\mathcal K$ wie in \eref{SKk}{TF} und seine Realisierung $\Delta(\mathcal K)\subset \op{Ens}(E,\DR_{\geq 0})$ wie in \eref{PolS}{TF} erinnern wir aus \eref{bUS}{TS} den {\bf offenen Stern um eine Ecke $e$} $$\op{St}(e)\pdef\{f\in \Delta(\mathcal K)\mid e\in \op{supp}f\}$$ Diese Sterne sind offen und zusammenziehbar und "uberdecken unsere Realisierung. Auch die Schnitte endlich vieler Sterne sind jeweils zusammenziehbar oder leer. Nach der Homotopieinvarianz der Garbenkohomologie \ref{HIGK} bilden folglich die Sterne f"ur jede konstante oder mit \ref{lkGG} auch f"ur jede lokal konstante Garbe auf unserer Realisierung eine azyklische "Uberdeckung und nach \ref{BKCe} berechnet der \v{C}ech-Komplex f"ur derartige Garben die Garbenkohomologie. Nach \ref{AGCK} k"onnen wir die Garbenkohomologie f"ur derartige Garben dann auch mit dem angeordneten \v{C}ech-Komplex berechnen. Von hier ausgehend konstruiert man im Fall konstanter Koeffizienten leicht einen Isomorphismus der Garbenkohomologie mit der simplizialen Kohomologie unseres Simplizialkomplexes. \end{Bemerkungl} \subsubsection{"Ubungen} \begin{Ubung} Man zeige, da"s die Kohomologie der Kreislinie mit Koeffizienten in der nichttrivialen lokal konstanten abelschen Garbe $\mathcal F$ mit Fasern frei vom Rang Eins gegeben wird durch ${\op{H}}^1(S^1;\mathcal F)\cong \DZ/2\DZ$ und durch Null in allen anderen Graden. Man zeige dasselbe auch f"ur $\DC^\times$ statt $S^1$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $\mathcal F$ eine lokal konstante abelsche Garbe auf $\DC^\times$ und $(\mathcal F_1,T)$ ihr Halm bei $1$ mit seinem Monodromieautomorphismus \ref{GGRE}.\label{KoHHo} Man zeige $${\op{H}}^q(\DC^\times;\mathcal F)\cong\left\{\begin{array}{ll} \{a\in \mathcal F_1\mid T(a)=a\}& q=0;\\ \mathcal F_1/\op{im}( T -\op{id})& q=1;\\ 0&\text{sonst.} \end{array}\right.$$ Man zeige dasselbe f"ur $S^1$ statt $\DC^\times$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $X$ ein topologischer Raum, $\cal F\in\op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $\cal U$ eine offene "Uberdeckung von $X$. Gilt $$\op{H}^q(U_{0}\cap \ldots \cap U_{\nu};\cal{F} )=0$$ f"ur alle endlichen Schnitte von einer oder mehr Mengen aus $\cal U$ und f"ur alle $q$ mit $00$ und $q+\nu\leq n$. \end{Ubung} \newpage \section{Kompakte Kohomologie} \subsection{Definition und erste Eigenschaften} \begin{Definition} Gegeben eine abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem topologischen Raum $X$\label{BKT} erkl"aren wir die Gruppe der {\bf Schnitte von $\cal{F}$ mit kompaktem Tr"ager}\index{Schnitt!mit kompaktem Tr"ager} oder kurz der {\bf kompakten Schnitte von $\cal{F}$}\index{kompakt!Schnitt von abelscher Garbe} durch die Vorschrift\index{G@$\Gamma_{~!}$ Schnitte mit kompaktem Tr"ager} $$\Gamma_{!} \cal{F} \pdef \Gamma_{!} (X;\cal{F}) \pdef \{s \in \Gamma \cal{F} \mid (\op{supp} s) \text{ ist kompakt} \}$$ \end{Definition} \begin{Definition} Die \defnoind{$q$-te Kohomologie mit kompaktem Tr"ager} oder kurz {\bf kompakte Kohomologie}\index{Kohomologie!kompakte} eines\index{Kohomologie!mit kompaktem Tr"ager}\index{kompakt!Kohomologie} topologischen Raums $X$ mit Koeffizienten in einer abelschen Garbe $\cal{F}$ ist der Wert bei $\cal{F}$ des $q$-ten rechtsderivierten Funktors ${\op{R}}^{q}\Gamma_{!}$ des Funktors der kompakten Schnitte,\index{H@$\op{H}_{~!}^q$ kompakte Kohomologie} in Formeln $${\op{H}}^{q}_{!}\cal{F} = {\op{H}}^{q}_{!} (X;\cal{F}) \pdef {\op{R}}^{q}\Gamma_{!}\cal{F}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Annahmen an die zugrundeliegenden R"aume}] Kompakte Kohomologie hat nur f"ur lokal kompakte Hausdorffr"aume so gute Eigenschaften, da"s sie zu etwas n"utze ist. Ich werde dennoch versuchen, die jeweils ben"otigten Bedingungen stets explizit dazuzuschreiben. "Ahnlich werde ich es sp"ater mit dem \glqq Schreivorschub\grqq\ halten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion von Notation und Terminologie}] In der Literatur sind die alternativen Notationen\index{G@$\Gamma_{c}$ {\it Schnitte mit kompaktem Tr"ager}} $\Gamma_{c}$ und ${\op{H}}^{q}_{c}$\index{H@${\op{H}}^{q}_{c}$ {\it Kohomologie mit kompaktem Tr"ager}} statt unserem $\Gamma_{!}$ und ${\op{H}}^{q}_{!}$ "ublich. Ist $A \subset X$ eine Teilmenge, so verwenden wir die Abk"urzungen $\Gamma_{!} (A;\cal{F})\pdef\Gamma_{!} (A;\cal{F}|_A)$.\index{G@$\Gamma_{~!}(A;\cal{F})\pdef\Gamma_{~!} (A;\cal{F}\mid_A)$} und ${\op{H}}^{q}_{!} (A;\cal{F})\pdef {\op{H}}^{q}_{!} (A;\cal{F}|_A)$. Die abk"urzenden Bezeichnungen \glqq kompakte Schnitte\grqq\ und \glqq kompakte Kohomologie\grqq\ sind un"ublich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kompakte Kohomologie der konstanten Garbe}] Ist $M$ eine abelsche Gruppe, so hei"st die kompakte Kohomologie der konstanten Garbe $M_X$ die {\bf garbentheoretische kompakte Kohomologie} unseres Raums $X$ mit Koeffizienten in $M$ und wir notieren sie \index{H@${\op{H}}^{q}_{~!} (X;M)_{\op{garb}}$ kompakte Kohomologie} $${\op{H}}^{q}_{!} (X;M)={\op{H}}^{q}_{!} (X;M)_{\op{garb}}\pdef {\op{H}}^{q}_{!} (X;M_X)$$ Wenn wir betonen wollen, da"s die kompakte singul"are Kohomologie \eref{KKTk}{TS} gemeint ist, schreiben wir ${\op{H}}^{q}_{!} (X;M)_{\op{sing}}$. Im Spezialfall $M=\DZ$ k"urzen wir das weiter ab zu ${\op{H}}^{q}_{!} (X)\pdef {\op{H}}^{q}_{!} (X;\DZ)$.\index{H@${\op{H}}^{q}_{~!} (X)$ kompakte Kohomologie} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine kurze exakte Sequenz von Garben $\mathcal F'\hra \mathcal F\sra \mathcal F''$ spezialisiert die lange exakte Sequenz der derivierten Funktoren zur {\bf langen exakten Sequenz der kompakten Kohomologie} $$\op{H}^{0}_!(X;\cal{F}^{\prime})\hra \op{H}^{0}_!(X;\cal{F})\ra \op{H}^{0}_!(X;\cal{F}^{\prime\prime}) \ra \op{H}^{1}_!(X;\cal{F}^{\prime}) \ra \op{H}^{1}_!(X;\cal{F}) \ra \ldots$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{kHo} Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf einem Raum $X$ liefert die Transformation $\Gamma_! \RA \Gamma $ Transformationen ${\op{R}}^q\Gamma_! \RA {\op{R}}^q\Gamma $ und so Gruppenhomomorphismen $$ {\op{H}}^q_! (X;\mathcal F) \rightarrow {\op{H}}^q (X;\mathcal F) $$ F"ur kompaktes $X$ sind sie offensichtlich Isomorphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{GcW} Sei $\cal{F}^{\prime}\hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem topologischen Raum %Hausdorffraum $X$. Ist $\cal{F}^{\prime}$ welk, so induziert die Surjektion $\cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion $\Gamma_{!}\cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{!}\cal{F}^{\prime\prime}$. St"arker ist sogar jeder Schnitt von $\cal F''$ das Bild eines Schnitts von $\cal F$ mit demselben Tr"ager. \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Sei $s^{\prime\prime}$ ein kompakter Schnitt von $\cal{F}^{\prime\prime}$. Nach \ref{WeGa} gibt es einen Schnitt $s\in\Gamma \cal{F}$ mit $s\mapsto s''$. Ist $U$ das Komplement des Tr"agers von $s''$, so kommt $s|U$ per definitionem von einem Schnitt $s'\in\cal{F}'(U)$ her. Dieser l"a"st sich jedoch, wenn $\cal{F}'$ welk ist, zu einem globalen Schnitt $s'\in \Gamma \cal{F}'$ ausdehnen, und $s-s'$ ist dann der gesuchte kompakte Schnitt von $\cal{F}$, der auf $s''$ abgebildet wird. \end{proof} \begin{Satz}\label{WKK} Alle welken abelschen Garben auf einem topologischen Raum sind azyklisch f"ur den Funktor der kompakten Schnitte. \end{Satz} \begin{proof} Jede abelsche Garbe $\cal{F}$ besitzt wie im Beweis von \ref{WeAZ} eine Aufl"osung $\cal{F}\hra \mathcal I^{0}\ra \mathcal I^{1}\ra\ldots$ durch welke injektive Garben. Wir zerlegen sie in kurze exakte Sequenzen $$\begin{array}{cccccccccccccccc} \cal{F} &\hookrightarrow &\mathcal I^{0}&\twoheadrightarrow &\cal{K}^{1}& & & &&\\ && & & \cal{K}^{1}&\hookrightarrow &\mathcal I^{1}& \twoheadrightarrow &\cal{K}^{2} & &&& &\\ &&&& & & & & \cal{K}^{2}&\hookrightarrow &\mathcal I^{2}&\twoheadrightarrow &\cal{K}^{3}&&\\ & & & & & & & & & && &\ldots&\ldots&\ldots \end{array}$$ Wie im Beweis von \ref{WeAZ} zeigt \ref{WeGa}, da"s f"ur welkes $\cal{F}$ alle Garben in diesen kurzen exakten Sequenzen welk sind. Mit Lemma \ref{GcW} erkennen wir weiter, da"s alle unsere Sequenzen kurz exakt bleiben unter $\Gamma_!$. Das zeigt aber, da"s der Komplex $0 \ra \Gamma_! \cal{F} \ra \Gamma_!\cal{I}^{0} \ra \Gamma_!\cal{I}^{1} \ra \ldots$ exakt ist. \end{proof} \begin{Definition} Eine Garbe hei"st \defind{kompaktweich}, englisch \defind{c-soft}, fran\-z"o\-sisch \defind{c-mou}, wenn sich jeder Schnitt "uber einem\label{komW} relativ Hausdorff'schen %Definition durch diesen Zusatz ge"andert am 3.7.17 Kompaktum zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Beispiele}\label{WKW} Jede welke Garbe ist kompaktweich, da wir nach \ref{FSK} einen Schnitt "uber einem relativ Hausdorff'schen Kompaktum stets auf eine offene Umgebung unseres Kompaktums fortsetzen k"onnen. Jede injektive abelsche Garbe ist nach \ref{IGw} welk und mithin kompaktweich. Die Einschr"ankung einer kompaktweichen Garbe auf einen relativ Hausdorff'schen %hinzugef"ugt Teilraum ist stets auch wieder kompaktweich. \end{Beispiele} \begin{Proposition}[\textbf{Kompaktweiche Garben sind $\Gamma_!$-azyklisch}] F"ur jede kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem lokal kompakten Hausdorff\-raum $X$ verschwindet die h"ohere kompakte Kohomologie, in Formeln\label{KwA} $${\op{H}}^{q}_{!}(X;\cal{F}) =0\quad\forall q>0$$ \end{Proposition} \begin{proof}[Beweis] Analog wie in \ref{WeAZ} oder mit "Ubung \ref{KfAz} folgt das aus dem anschlie"senden Lemma \ref{LIKT}. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben $\cal{F}^{\prime}\hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben auf einem lokal kompakten Hausdorffraum $X$ gilt:\label{LIKT} \begin{enumerate} \item Ist $\cal{F}^{\prime}$ kompaktweich, so induziert die Surjektion $\cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ eine Surjektion $\Gamma_{!}\cal{F} \twoheadrightarrow \Gamma_{!}\cal{F}^{\prime\prime}$ auf den globalen Schnitten mit kompaktem Tr"ager; \item Sind $\cal{F}^{\prime}$ und $\cal{F}$ kompaktweich, so ist auch $\cal{F}^{\prime\prime}$ kompaktweich. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 0. Wir zeigen Teil 1 zun"achst unter der zus"atzlichen Annahme $X$ kompakt. Das kann sp"ater auch aus \ref{wei} gefolgert werden, aber das direkte Argument ist einfacher. Gegeben ein Schnitt $s''\in\mathcal F''(X)$ finden wir eine endliche "Uberdeckung $X=K_1\cup\ldots\cup K_r$ durch Kompakta und Schnitte $s_i\in \mathcal F(K_i)$ mit $s_i\mapsto s''|K_i$. Wir d"urfen $r$ kleinstm"oglich annehmen. W"are dann $r>1$, so g"alte $(s_1-s_2)|(K_1\cap K_2)\in \mathcal F'(K_1\cap K_2)$, und wenn wir diesen Schnitt zu einem Schnitt $t\in \mathcal F'(K_1)$ fortsetzen, verkleben $s_1-t$ und $s_2$ zu einem Schnitt in $\mathcal F(K_1\cup K_2)$ im Widerspruch zur Minimalit"at von $r$. \\[2mm]\noindent 1. Sei $s^{\prime\prime}$ ein Schnitt von $\cal{F}^{\prime\prime}$ mit Tr"ager im Kompaktum $K$. Wir w"ahlen eine offene Umgebung $U\co X$ von $K$ mit kompaktem Abschlu"s $\bar{U}$. Nach Teil 0 des Beweises finden wir also ein Urbild $s \in \cal{F}(\bar{U})$ von $s^{\prime\prime}|_{\bar{U}}$. W"ahlen wir noch eine Ausdehnung $s^{\prime} \in \cal{F}^{\prime} (\bar{U})$ von der Einschr"ankung $s|_{\partial U}$ von $s$ auf den Rand von $U$ im Sinne der mengentheoretischen Topologie und ersetzen $s$ durch $s-s^{\prime}$, so d"urfen wir $s|_{\partial U }= 0$ annehmen und k"onnen $s$ durch Null zu einem globalen Schnitt ausdehnen. \\[2mm]\noindent 2. F"ur $K \subset X$ kompakt betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{F}(X) & \ra& \cal{F}^{\prime\prime}(X)\\ \downarrow & & \downarrow \\ \cal{F}(K) & \twoheadrightarrow & \cal{F}^{\prime\prime}(K) \end{array}$$ Die linke Vertikale ist surjektiv, da $\cal{F}$ kompaktweich ist. Die untere Horizontale ist surjektiv nach Teil 1, da mit $\cal{F'}$ auch $\cal{F'}|_K$ kompaktweich ist. Also ist die rechte Vertikale surjektiv. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben eine kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{F}$ auf einem lokal kompakten\label{KWA} Hausdorffraum $X$ und $A\As X$ abgeschlossen induziert das Einschr"anken von Schnitten eine Surjektion $$\Gamma_{!}(X;\cal{F})\sra \Gamma_{!}(A;\cal{F})$$ \end{Lemma} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZKX} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Illustration zum Beweis von \ref{KWA} \end{minipage} \end{figure} %\begin{figure}[p]\centering %\includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildZKX}\\[4mm] %\noindent Illustration zum Beweis von \ref{KWA} %\end{figure} \begin{proof}[Beweis] Sei $s \in \Gamma (A;\mathcal{F})$ ein Schnitt mit kompaktem Tr"ager $K$. Sei $U$ eine offene Umgebung von $K$ in $X$ mit kompaktem Abschlu"s. Man kann einen Schnitt \begin{displaymath} \tilde{s} \in \Gamma (\partial U \cup (A \cap \bar{U}); \mathcal{F}) \end{displaymath} erkl"aren durch $\tilde{s} | A \cap \bar{U} = s| A \cap \bar{U}$ und $\tilde{s} | \partial U =0$. Da $\mathcal{F}$ kompaktweich ist, kann $\tilde{s}$ zu einem globalen Schnitt $t \in \Gamma (X; \mathcal{F})$ fortgesetzt werden. Dieser Schnitt verschwindet jedoch auf $\partial U$ und wir k"onnen folglich einen neuen Schnitt $\hat{s} \in \Gamma (X;\mathcal{F})$ bilden, der auf $\bar{U}$ mit $\tilde{s}$ "ubereinstimmt und der auf $X \backslash U$ verschwindet. Dieser Schnitt $\hat{s}$ ist dann der gesuchte Schnitt $\hat{s} \in \Gamma_{!} (X;\mathcal{F})$ mit $\hat{s} \mapsto s$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Die Ein\-schr"an\-kung einer kompaktweichen Garbe auf einen relativ Hausdorff'schen Teilraum ist, wie bereits in \ref{WKW} erw"ahnt, wieder kompaktweich. Seien nun $X$ ein lokal kompakter Haus\-dorff\-raum und $j:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge und $i:A\hra X$ die Einbettung ihres Komplements. Gegeben eine abelsche Garbe\index{Lokalisierungssequenz} $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ und eine kompaktweiche Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal I^\lhd$ erhalten wir nach Lemma \ref{KWA} eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen\label{LokSS} $$\Gamma_!(U; \mathcal I^\lhd)\hra \Gamma_!(X; \mathcal I^\lhd)\sra \Gamma_!(A; \mathcal I^\lhd)$$ Die zugeh"orige lange exakte Homologiesequenz liefert zusammen mit unseren nat"urlichen Isomorphismen eine lange exakte Sequenz, die {\bf Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie} $$\ldots\ra {\op{H}}_!^q(U;\mathcal F) \ra {\op{H}}_!^q(X;\mathcal F)\ra {\op{H}}_!^q(A; \mathcal F) \ra {\op{H}}_!^{q+1}(U;\mathcal F)\ra\ldots $$ Durch Betrachtung injektiver Aufl"osungen von $\mathcal F$ erkennt man, da"s diese lange exakte Sequenz nicht von der Wahl der kompaktweichen Aufl"osung abh"angt.\label{LokSe} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokale Kohomologie und kompakte Kohomologie}] Gegeben eine abgeschlossene kompakte Teilmenge $K$ eines topologischen Raums $X$ haben wir f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ offensichtliche Einbettungen $\Gamma_K\mathcal F\hra \Gamma_!\mathcal F$ und im filtrierenden Kolimes "uber alle abgeschlossenen Kompakta $$\op{colf}_K\Gamma_K\mathcal F\sira \Gamma_!\mathcal F$$ Sie induzieren nat"urliche Homomorphismen ${\op{H}}^q_{K} (X;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_{!} (X;\mathcal F)$ und in ihrer Gesamtheit aufgrund der Exaktheit filtrierender Kolimites Isomorphismen\label{lkkk} $$\op{colf}_K{\op{H}}^q_{K}(X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q_{!}(X;\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Kompakte Kohomologie des $\DR^n$}] F"ur jeden Punkt $x\in\DR^n$ und jede abelsche Gruppe $M$ und jeden abgeschlossenen Ball $K\As \DR^n$ mit $x\in K$ liefert das Zur"uckholen auf der lokalen Kohomologie einen Isomorphismus ${\op{H}}^q_{\{x\}} (\DR^n;M)\sira {\op{H}}^q_K (\DR^n;M)$, da die Einbettungen $\DR^n\backslash K\ra \DR^n\backslash x$ Homotopie"aquivalenzen sind und die lange exakte Sequenz des lokalen Kohomologie funktoriell ist und wir in dieser Situation das F"unferlemma anwenden k"onnen. Da immer gr"o"sere abgeschlossene B"alle um $x$ ein konfinales Teilsystem in der Menge aller Kompakta des $\DR^n$ bilden, sind die in \ref{lkkk} konstruierten Abbildungen damit Isomorphismen $${\op{H}}^q_{\{x\}} (\DR^n;M)\sira {\op{H}}^q_{!} (\DR^n;M)$$ Nun betrachten wir f"ur $n>0$ die durch das Davorschreiben einer Null gegebene abgeschlossene Einbettung $\DR^{n-1}\hra \DR^n$ und die Zerlegung $U^+\sqcup U^-$ des Komplements ihres Bildes in die zwei Halbr"aume gegeben durch $U^\pm\pdef \{x\in\DR^n\mid \pm x_1>0\}$. Die eben besprochenen Isomorphismen zeigen, da"s die Ausdehnungen durch Null f"ur jede abelsche Gruppe von Koeffizienten Isomorphismen ${\op{H}}_!^{q}(U^\pm)\sira {\op{H}}_!^q(\DR^n)$ liefern, so da"s die Lokalisierungssequenz in kurze exakte Squenzen $${\op{H}}_!^{q-1}(\DR^{n-1})\hra {\op{H}}_!^{q}(U^+)\oplus {\op{H}}_!^q(U^-) \sra {\op{H}}_!^q(\DR^n)$$ zerf"allt und Isomorphismen ${\op{H}}_!^{q-1}(\DR^{n-1}) \sira {\op{H}}_!^{q}(U^+)\sira {\op{H}}_!^q(\DR^n)$ induzieren mu"s. Wir wissen ${\op{H}}_!^q(\DR^0;M)=0$ f"ur $q\neq 0$ und haben einen offensichtlichen Isomorphismus $M\sira {\op{H}}_!^0(\DR^0;M)$ f"ur jede abelsche Gruppe $M$. Induktiv erhalten wir ${\op{H}}_!^q(\DR^n;M)=0$ f"ur $q\neq n$ und Isomorphismen\label{kkRn} $$M\sira {\op{H}}_!^n(\DR^n;M)$$ Das Bild von $1\in\DZ$ unter diesem Isomorphismus notieren wir $\tau^n\in {\op{H}}_!^n(\DR^n;\DZ)$ und nennen es den {\bf kanonischen Erzeuger}.\label{ausGe} Insbesondere ist die Kohomologie mit kompaktem Tr"ager nicht homotopie\-invariant, denn sonst m"u"ste sie f"ur jeden zusammenziehbaren Raum dasselbe sein wie f"ur einen Punkt. Wir haben bei dieser Herleitung nur allgemeine Theorie verwendet und erhalten dadurch auch einen alternativen Zugang zur Berechnung von ${\op{H}}^q_{\{x\}} (\DR^n;M)$ und ${\op{H}}^q (\DR^n\backslash x;M)$ und damit ${\op{H}}^q (S^n;M)$. Wir sehen an der Konstruktion weiter, da"s die Spiegelung an der ersten Koordinatenhyperebene auf ${\op{H}}_!^n(\DR^n;M)$ als die Multiplikation mit $(-1)$ wirkt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie der Sph"aren, Variante}] Hier kommt noch ein zweiter Weg zur Berechnung der Kohomologie der Sph"aren. Vermittels stereographischer Projektion erhalten wir ja einen Hom"oomorphismus $S^n\backslash x\sira \DR^n$ des Komplements eines Punktes $x$ der $n$-Sph"are mit dem $\DR^n$. Die zugeh"orige Lokalisierungssequenz \ref{LokSS} hat die Gestalt $$\ldots\ra {\op{H}}_!^q(\DR^n) \ra {\op{H}}_!^q(S^n)\ra {\op{H}}_!^q(x) \ra {\op{H}}_!^{q+1}(\DR^n)\ra\ldots $$ Die kompakte Kohomologie von Punkt und Sph"are ist nun aber dieselbe wie deren normale Kohomologie und wir folgern m"uhelos die bekannte Beschreibung der Kohomologie der Sph"aren. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Ausgezeichnete Erzeuger als Kreuzprodukte}] F"ur die \glqq richtige\grqq\ Definition der kanonischen Erzeuger sollten wir von dem in \eref{KueFx}{TSF} f"ur beliebige lokal kompakte Hausdorffr"aume $X,Y$ erkl"arten Kreuzprodukt der kompakten Kohomologie ${\op{H}}_!^p X\otimes {\op{H}}_!^q Y \ra {\op{H}}_!^{p+q}(X\times Y)$ und dessen \glqq Assoziativit"at\grqq\ ausgehen und $\tau^n\pdef \tau^{\times n}$ erkl"aren f"ur $\tau\in {\op{H}}_!^1(\DR)$ das in \ref{ausGe} als $\tau^1$ beschriebene Element. Der Nachweis der Vertr"aglichkeit beider Definitionen ist dann eine "Ubung. \nichtfinal{Ich mu"s sie noch machen!} \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Kompakte Kohomologie der Zahlengerade nach de Rham}] Wir kennen diese Kohomologie bereits aus \ref{kkRn} und pr"ufen nun, da"s im Fall von reellen Koeffizienten die Berechnung als de-Rham-Kohomologie zu demselben Resultat f"uhrt. Es ist leicht zu sehen, da"s die Garbe $\mathcal C^\infty_{Z,\DR}$ der reellen $\mathcal C^\infty$-Funktionen auf der Zahlengerade $Z\pdef \DR$ kompaktweich ist. Man kann folglich die kompakte Kohomologie der Zahlengeraden mit reellen Koeffizienten ${\op{H}}_!^{q}(Z;\DR)$ berechnen vermittels der kompaktweichen Aufl"osung $\DR_Z\hra \mathcal C^\infty_{Z,\DR} \ra \mathcal C^\infty_{Z,\DR}$ der konstanten Garbe mit dem Ableiten als zweiter Abbildung. Den zugeh"origen Komplex der Schnitte mit kompaktem Tr"ager k"onnen wir nach rechts mit dem Integral erg"anzen zu einer exakten Sequenz $$0\ra \Gamma_!\mathcal C^\infty_{Z,\DR} \ra \Gamma_!\mathcal C^\infty_{Z,\DR}\sra \DR$$ So erhalten wir einen Isomorphismus ${\op{H}}_!^q(Z;\DR)\sira \DR$ f"ur $q=1$ und das Verschwinden dieser Kohomologiegruppen f"ur $q\neq 1$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie der komplex projektiven R"aume}] Aus dem Beweis von \eref{ToPr}{TM} wissen wir um eine Zerlegung $$\DP^{n+1}\DC=\DP^{n}\DC\sqcup \DC^{n+1}$$ in eine abgeschlossene Teilmenge und ihr offenes Komplement.\label{KGrP} Die Lokalisierungssequenz \ref{LokSS} liefert dann mit unserer Berechnung \ref{kkRn} der kompakten Kohomologie von $\DC^{n+1}$ induktiv ${\op{H}}^q(\DP^{n}\DC;\DZ)\cong \DZ$ f"ur $q=0,2,4,\ldots,2n$ und Null sonst. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum. Ist $X=A_1\sqcup\ldots\sqcup A_n$ eine Zerlegung in endlich viele paarweise disjunkte Teilmengen derart, da"s f"ur jeden Index $i$ gilt $A_i \co A_i\sqcup\ldots\sqcup A_n$ und da"s \label{jhte} jedes $A_i$ hom"oomorph ist zu $\DR^{d(i)}$ f"ur ein $d(i)\geq 0$, so gilt $$\sum_i (-1)^{d(i)}=\sum (-1)^d\op{dim}{\op{H}}^d_!(X;\DQ)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ ist der Funktor $$\mathcal S_!^{\op{o}}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Cat}(\op{Off}_X,\op{Ab})$$ gegeben durch $\mathcal S_!^{\op{o}}:\mathcal F\mapsto (U\mapsto \Gamma_!(U;\mathcal F))$ volltreu f"ur von kompaktweichen abelschen Garben ausgehende Morphismen.\label{Snc} Hinweis: Man betrachte zus"atzlich die Kategorie $\op{Abg}_X$ der abgeschlossenen Teilmengen von $X$ und den Funktor $$\mathcal S_!^{\op{a}}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Cat}(\op{Abg}_X^{\op{opp}},\op{Ab})$$ gegeben durch $\mathcal S_!^{\op{a}}:\mathcal F\mapsto (A\mapsto \Gamma_!(A;\mathcal F))$. Jede Transformation $\mathcal S_!^{\op{o}}\mathcal F\RA \mathcal S_!^{\op{o}}\mathcal G$ induziert mit \ref{KWA} eine Transformation $\mathcal S^{\op{a}}_!\mathcal F\RA \mathcal S^{\op{a}}_!\mathcal G$ und durch Einschr"anken auf Kompakta eine Transformation $\mathcal S^{\op{c}}\mathcal F\RA \mathcal S^{\op{c}}\mathcal G$ in $\op{Cat}(\op{Komp}_X^{\op{opp}},\op{Ab})$. Diese geh"ort jedoch nach \ref{scnh} zu einem eindeutig bestimmten Garbenmorphismus. \end{Ubung} \subsection{Funktorialit"aten der kompakten Kohomologie} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, da"s nach \eref{SLOK}{TM} eine stetige Abbildung zwischen lokal kompakten Hausdorffr"aumen genau dann eigentlich ist, wenn das Urbild jedes Kompaktums wieder kompakt ist. Das ist alles, was wir an dieser Stelle "uber eigentliche Abbildungen wissen m"ussen. Wo ich die Bedingung \glqq lokal kompakt Hausdorff\grqq\ oder Teile derselben nicht gefordert habe, d"urfen Sie sie ohne Schaden hinzuf"ugen, denn au"serhalb dieses Rahmens ist kompakte Kohomologie nutzlos. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die kompakte Kohomologie lokal kompakter Hausdorffr"aume hat andere Funktorialit"atseigenschaften als die gew"ohnliche Kohomologie. Es ist nicht m"oglich, f"ur beliebige stetige Abbildungen einen R"uckzug auf der kompakten Kohomologie zu erkl"aren, das gelingt nur f"ur eigentliche Abbildungen. Stattdessen kann man jedoch f"ur die kompakte Kohomologie einen \glqq Vorschub\grqq\ unter \'etalen Abbildungen und sogar unter sogenannten \glqq orientierten mannigfaltigen Abbildungen\grqq\ erkl"aren. Ich erkl"are ihn vorerst nur f"ur offene Einbettungen in \ref{AdNg}. In diesem Fall hei"st der Vorschub das \glqq Ausdehnen durch Null\grqq. Im Allgemeinen hei"st er die \glqq Integration "uber die Fasern\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine eigentliche Abbildung $f:X\ra Y$ von lokal kompakten Hausdorffr"aumen und ein Opkomorphismus $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ von abelschen Garben "uber $f$ induziert der R"uckzug auf den globalen Schnitten $\varphi^\circ:\Gamma\mathcal G\ra \Gamma\mathcal F$ offensichtlich eine Abbildung $\varphi^\circ:\Gamma_!\mathcal G\ra \Gamma_!\mathcal F$. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Eigentliches Zur"uckholen}] Seien $f:X\ra Y$ eigentlich von lokal kompakten Hausdorffr"aumen und $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ ein Opkomorphismus von abelschen Garben "uber $f$. So gibt es f"ur jedes $q$ genau eine Abbildung $$(f,\varphi)^*:{\op{H}}^q_!(Y;\mathcal G)\ra {\op{H}}^q_!(X;\mathcal F)$$ derart, da"s f"ur je zwei Aufl"osungen $\mathcal F\hra \mathcal A^\lhd$ und $\mathcal G\hra \mathcal B^\lhd$ und jeden Lift von $\varphi$ zu einem Opkomorphismus $\varphi^\lhd:\mathcal A^\lhd\ra \mathcal B^\lhd$ von Aufl"osungen "uber $f$ das Diagramm\label{EigR} $$\begin{array}{ccc} \mathcal H^q\Gamma_! \mathcal B^\lhd&\stackrel{(\varphi^\lhd)^\circ}{\lra}&\mathcal H^q\Gamma_! \mathcal A^\lhd\\ \tau\da&&\da\tau\\ {\op{H}}^q_!(Y;\mathcal G)&\stackrel{(f,\varphi)^*}{\lra}& {\op{H}}^q_!(X;\mathcal F) \end{array}$$ kommutiert mit den nat"urlichen Abbildungen $\tau$ aus \ref{DefDe} in den Vertikalen und der von $\varphi^\lhd$ induzierten oberen Horizontalen. Unsere Abbildungen $(f,\varphi)^*$ sind Gruppenhomomorphismen und es gilt $(f,\varphi)^*\circ(g, \psi)^*=(g\circ f, \psi\circ\varphi)^*$ sowie $(\op{id},\op{id})^*=\op{id}$. \end{Satz} \begin{Beispiel} Insbesondere liefert f"ur jede eigentliche Abbildung $f:X\ra Y$ der Opkomorphismus der Faktorisierung $\varphi:\DZ_X\ra \DZ_Y$ "uber $f$ Gruppenhomomorphismen $$f^*=(f,\varphi)^*:{\op{H}}^q_!(Y)\ra {\op{H}}^q_!(X)$$ Sie hei"sen {\bf eigentliches Zur"uckholen auf der kompakten Garbenkohomologie}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} Sie werden zu gegebener Zeit \nichtfinal{(Zitat!)} als "Ubung zeigen, da"s sich das eigentliche Zur"uckholen in der de-Rham-Kohomologie durch das Zur"uckholen kompakt getragener Differentialformen berechnen l"a"st und da"s es \nichtfinal{(Zitat!)} in der singul"aren Kohomologie dem eigentlichen Zur"uckholen \eref{AdNsR}{TS} entspricht. In \eref{EigRD}{TSF} erkl"aren wir, wie das eigentliche Zur"uckholen im Formalismus der sechs Funktoren verstanden werden kann. \end{Bemerkungw} %Brauche doch Teile von \ref{EDBiAx}! \begin{proof} Ein Opkomorphismus $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber $f$ entspricht nach \ref{DbP} einem Morphismus $\hat\phi:\mathcal G\ra f_\ast\mathcal F$ von abelschen Garben auf $Y$. Gegeben eine injektive Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal I^{\lhd}$ erhalten wir aus der Linksexaktheit von $f_\ast$ einen Isomorphismus $f_\ast\mathcal F\sira \mathcal H^0f_\ast\mathcal I^{\lhd}$. Weiter wissen wir aus \ref{diG}, da"s $f_\ast\mathcal I^{\lhd}$ ein Komplex von injektiven Garben ist. Gegeben eine Aufl"osung $\mathcal G\hra \mathcal B^{\lhd}$ zeigt dann das Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU}, da"s $\hat\phi$ bis auf Homotopie genau einen Lift $\mathcal B^{\lhd}\ra f_\ast\mathcal I^{\lhd}$ besitzt. In anderen Worten besitzt unser Komorphismus $\phi$ bis auf Homotopie genau einen Lift zu einem Komorphismus $\mathcal B^{\lhd}\ra \mathcal I^{\lhd}$ "uber $f$. Ist $\mathcal B^{\lhd}$ auch eine injektive Aufl"osung, so hat die von diesem Komorphismus auf der Kohomologie der kompakten globalen Schnitte induzierte Abbildung $\mathcal H^q\Gamma_! \mathcal B^{\lhd}\ra \mathcal H^q\Gamma_! \mathcal I^{\lhd}$ offensichtlich alle im Satz von einem eigentlichen Zur"uckholen auf der kompakten Kohomologie geforderten Eigenschaften. Da"s es keine andere Abbildung mit den geforderten Eigenschaften geben kann, ist eh klar. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $i:A\hra X$ die Einbettung einer abgeschlossenen Teilmenge in einen lokal kompakten Hausdorffraum und $\mathcal F\in {\op{Ab}}_{/X}$ eine abelsche Garbe und $\kappa:i^*\mathcal F\ra \mathcal F$ der Transport des R"uckzugs \ref{TrRu} ist der eigentliche R"uckzug $$(i,\kappa)^\ast: {\op{H}}^q_!(X;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_!(A;i^*\mathcal F)\pdef {\op{H}}^q_!(A;\mathcal F)$$ der entsprechende Morphismus aus der Lokalisierungssequenz \ref{LokSS} der kompakten Kohomologie. Haben wir speziell $\mathcal L\in \op{Ab}_{/A}$ und $\mathcal F\pdef i_*\mathcal L$, so finden wir $j^* i_*\mathcal L=0$ und nach der Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie liefert der eigentliche R"uckzug, diesmal f"ur $\kappa:\mathcal L\ra i_*\mathcal L$ den Transport des Vorschubs aus \ref{DbP}, Isomorphismen $$(i,\kappa)^\ast: {\op{H}}^q_!(X;i_*\mathcal L)\sira {\op{H}}^q_!(A;\mathcal L)$$ Dasselbe folgt a forteriori f"ur jede abgeschlossene Einbettung $i:A\hra X$ von lokal kompakten Hausdorffr"aumen.\label{adNa} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ Garben. Eine stetige\label{AbiBu} Abbildung $\varphi: \bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal G}$ von \'etalen R"aumen derart, da"s das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \bar{\mathcal F}&\ra &\bar{\mathcal G}\\ \da&&\da\\ X&\ra&Y \end{array}$$ kommutiert, nennen wir einen {\bf Morphismus von Garben "uber $f$}. Die Menge der Morphismen "uber $f$ notieren wir $\op{Ens}_{/f}(\mathcal F, \mathcal G)$ und erhalten offensichtliche Bijektionen $$\op{Ens}_{/f}(\mathcal F, \mathcal G)\sira \op{Ens}_{/X}( \bar{\mathcal F}, X\times_Y\bar{\mathcal G})$$ Im Gegensatz dazu erinnern wir f"ur Opkomorphismen "uber $f$ die Bijektionen $$\op{Ens}_{{\sslash}f}(\mathcal F, \mathcal G)\sira \op{Ens}_{/X}( X\times_Y\bar{\mathcal G}, \bar{\mathcal F})$$ Die dazugeh"orige Struktur besprechen wir in \ref{opii}. Gegeben abelsche Garben $\mathcal F, \mathcal G$ notieren wir $\op{Ab}_{/f}(\mathcal F, \mathcal G)$ die Menge aller Garbenmorphismen "uber $f$, die halmweise Gruppenhomomorphismen sind. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Ausdehnung durch Null kompakter Schnitte}] Gegeben $j:X\hra Y$ eine offene Einbettung von Hausdorffr"aumen und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$ abelsche Garben und $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ ein Morphismus "uber $j$ wie in \ref{AbiBu} erkl"aren wir einen Gruppenhomomorphismus $$(j,\varphi)_! :\Gamma_!\mathcal F\ra \Gamma_!\mathcal G$$ dadurch, da"s wir einen Schnitt von $\mathcal F$ als stetige Abbildung $s:X\ra \bar{\mathcal F}$ auffassen und dazu die eindeutig bestimmte Abbildung $t: j(X)\ra \bar{\mathcal G}$ betrachten mit $\bar\varphi\circ s=t\circ j$ und diesen Schnitt $t:j(X)\ra \bar{\mathcal G}$ durch Null auf ganz $Y$ ausdehnen. Diese Ausdehnung $\tilde t$ ist wieder stetig als Verklebung der stetigen auf $j(X)$ definierten Abbildung $t$ und der konstanten Abbildung Null auf $Y\backslash j(\op{supp}s)$, denn wir haben $j(\op{supp}s)\As Y$, da $\op{supp}s$ kompakt ist und folglich $j(\op{supp}s)$ kompakt und als Kompaktum des Hausdorffraums dann auch abgeschlossen. Schlie"slich folgt aus der Konstruktion $\op{supp}\tilde t\subset j(\op{supp}s)$ und damit hat auch $\tilde t$ kompakten Tr"ager. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Ausdehnen durch Null in der kompakten Garbenkohomologie}] Seien $j:X\hra Y$ eine offene Einbettung von Hausdorffr"aumen und $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ ein Morphismus von abelschen Garben "uber $j$. So gibt es f"ur jedes $q$ genau eine Abbildung\index{)7@$(j,\varphi)_{~!}$!Ausdehnen durch Null von Schnitten} $(j,\varphi)_! :{\op{H}}^q_!(X;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_!(Y;\mathcal G)$ derart, da"s f"ur je zwei Aufl"osungen $\mathcal F\hra \mathcal A^\lhd$ und $\mathcal G\hra \mathcal B^\lhd$ und jeden Lift von $\varphi$ zu einem Morphismus $\varphi^\lhd:\mathcal A^\lhd\ra \mathcal B^\lhd$ von Aufl"osungen "uber $j$ das Diagramm\label{AdNg} $$\begin{array}{ccc} \mathcal H^q\Gamma_! \mathcal A^\lhd&\stackrel{\;\;(j,\varphi)_!^\lhd}{\lra} &\mathcal H^q\Gamma_! \mathcal B^\lhd\\ \tau\da&&\da\tau\\ {\op{H}}_!^q(X;\mathcal F)&\stackrel{(j,\varphi)_! }{\lra}& {\op{H}}_!^q(Y;\mathcal G) \end{array}$$ kommutiert mit den nat"urlichen Abbildungen $\tau$ aus \ref{DefDe} in den Vertikalen und der von $\varphi^\lhd$ induzierten oberen Horizontalen. Des weiteren gilt $(u,\psi)_!\circ (j,\varphi)_!= (u\circ j,\psi\circ \varphi)_!$ und $(\op{id},\op{id})_!=\op{id}$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der Beweis dieses Satzes wird im Anschlu"s an \ref{RIGO} gef"uhrt. Er beruht auf der Erkenntnis, da"s f"ur eine offene Einbettung $j$ die Restriktion $j^\ast$ ein linksexakter Funktor ist und injektive abelsche Garben zu injektiven abelschen Garben macht. Wir wissen bereits, da"s $j^\ast$ sogar f"ur jede stetige Abbildung $j$ exakt ist. Um auch die zweite Aussage zu zeigen, "uberlegen wir uns nun erst einmal, da"s $j^\ast$ im Fall einer offenen Einbettung $j$ einen exakten Linksadjungierten besitzt, die \glqq Ausdehnung durch Null\grqq\ abelscher Garben. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Ausdehnung durch Null von abelschen Garben}] Gegeben eine offene Einbettung $j:X\hra Y$\label{AdInbb} von topologischen R"aumen besitzt der R"uckzug $j^\ast: \op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$ einen Linksadjungierten\index{)7shriek@$j_{[~!]}$ Ausdehnung durch Null!bei offener Einbettung} $j_{[!]}: \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$ und dieser ist ein volltreuer exakter Funktor. \end{Satz} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Fragen der Notation}] In \ref{AdInbh} zeigen wir f"ur beliebige \'etale Abbildungen $f:X\ra Y$, da"s der R"uckzug $f^\ast: \op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$ abelscher Garben einen Linksadjungierten\index{)7shriek@$f_{[~!]}$ eigentlicher Vorschub!Ausdehnung durch Null} $f_{[!]}: \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$ hat. Im weiteren Verlauf erkl"aren wir f"ur beliebige stetige Abbildungen $f$ den \glqq Schreivorschub\grqq\ $f_!$ von abelschen Garben und konstruieren im Fall separierter \'etaler Abbildungen\label{VoER} und insbesondere im Fall offener Einbettungen $f$ eine Isotransformation $f_!\siRa f_{[!]}$. In \ref{AdInb} zeigen wir f"ur beliebige \'etale Abbildungen $f:X\ra Y$, da"s auch der R"uckzug von Mengengarben $f^\ast: \op{Ens}_{/Y}\ra \op{Ens}_{/X}$ einen Linksadjungierten hat, und vereinbaren f"ur ihn die Notation $f_{!!}: \op{Ens}_{/X}\ra \op{Ens}_{/Y}$. \end{Bemerkungw} \nichtfinal{ Ich will sp"ater haben: Erst mal ein $f_!$, das nur f"ur eigentliches $f$ gleich $f_*$ ist. Dann als Extradatum Identifikation von $f^!$ mit $f^*$ f"ur \'etale (separierte?) Abbildungen. Daraus dann $j_{[!]}$ \glqq wie hier\grqq\ dasselbe wie $j_!$ \glqq als Spezialfall von allgemeinem $f_!$\grqq.} \begin{Beispiel} Der Beweis wird zeigen, da"s im Fall der Einbettung $j:X\hra Y$ einer offenen Teilmenge $X\co Y$ unsere Garbe $j_{[!]}\DZ_X$ hier isomorph ist zu unserer Garbe $\DZ_{X\subset Y}$ aus \ref{IGw}. Wir vereinbaren nun neu f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal G\in \op{Ab}_{/Y}$ und $X\co Y$ die Notation $$\mathcal G_{X\subset Y}\pdef j_{[!]}j^*\mathcal G$$ und fassen diese Garbe meist vermittels der Koeinheit\label{IUGG} der Adjunktion als Untergarbe von $\mathcal G$ auf, schreiben im Fall einer abelschen Gruppe $M$ aber abk"urzend $M_{X\subset Y}$ statt $(M_Y)_{X\subset Y}$. Die Konstruktionen beider Beweise von Satz \ref{AdInbb} zeigen in der Tat, da"s f"ur jede offene Einbettung $j:Y\hra X$ die Adjunktionsabbildung f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$ ein Monomorphismus $j_{[!]}j^\ast\mathcal G\hra \mathcal G$ ist. \end{Beispiel} \begin{proof}[Algebraischer Beweis] Es reicht, den Fall zu betrachten, da"s $j$ die Einbettung einer offenen Teilmenge ist. In dem Fall konstruieren wir $j_{[!]}\mathcal F$ als die Garbifizierung der abelschen Pr"agarbe mit $U\mapsto \mathcal F(U)$ f"ur $U\co X$ und $U\mapsto 0$ sonst. Die universelle Eigenschaft der Garbifizierung liefert dann unmittelbar die universelle Eigenschaft der Adjunktion. Die Exaktheit ist offensichtlich. Die Volltreuheit ist gleichbedeutend dazu, da"s die Einheit der Adjunktion Isomorphismen $\mathcal F\sira j^*j_{[!]}\mathcal F$ induziert, und das folgt aus der Betrachtung der Halme. \end{proof} \begin{proof}[Geometrischer Beweis] Wir konstruieren den \'etalen Raum von $j_{[!]}\mathcal F$ als Verklebung im kokartesischen Diagramm topologischer R"aume $$\xymatrix{\kokart X \ar[r]\ar[d] & Y \ar[d]\\ \bar{\mathcal F} \ar[r] &\overline{j_{[!]}\mathcal F} }$$ mit dem Nullschnitt als linker Vertikale. Der Rest des Arguments kann dem Leser "uberlassen bleiben. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ausdehnen durch Null und Vorschub}] Gegeben eine offene Einbettung $j:U\hra X$ ist nach \ref{AdIc} f"ur jede Mengengarbe $\mathcal F\in \op{Ens}_{/X}$ die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus $j^*j_*\mathcal F\sira \mathcal F$. Der inverse Isomorphismus induziert vermittels der Adjunktion einen Morphismus\label{iufd} $$j_{[!]}\mathcal F\ra j_*\mathcal F$$ Man sieht leicht ein, da"s er im Fall der Einbettung einer Teilmenge, die sowohl offen als auch abgeschlossen ist, ein Isomorphismus $j_{[!]}\mathcal F\sira j_*\mathcal F$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \ref{eiPL} \nichtfinal{(Achtung, nicht ganz richtig!)} erkl"aren wir Funktoren $f_!$ f"ur beliebige stetige Abbildungen $f$ sowie nat"urliche Morphismen $f_!\mathcal F\ra f_*\mathcal F$, die f"ur $f$ eigentlich Isomorphismen sind. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Injektive Garben sind welk}] Wir wiederholen das Argument f"ur die Erkenntnis \ref{IGw}, da"s\label{InWe} jede injektive Garbe welk ist. Ist $\cal{I}$ eine injektive Garbe auf einem topologischen Raum $X$ und $j:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge, so liefert die Einbettung $j_{{[!]}}\DZ_U\hra\DZ_X$ eine Surjektion $\op{Ab}_{/X}(\DZ_X, \cal{I})\sra \op{Ab}_{/X}(j_{{[!]}}\DZ_U, \cal{I})$, die wir wegen unserer Adjunktion $(j_{[!]}, j^{\ast})$ umschreiben k"onnen zu einer Surjektion $\Gamma(X;\cal{I})\sra \Gamma(U;\cal{I})$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Offene Restriktionen injektiver Garben sind injektiv}] Da das Ausdehnen durch Null $j_{[!]}$\label{RIGO} unter einer offenen Einbettung $j$ ein exakter Funktor ist, mu"s die Restriktion einer injektiven abelschen Garbe auf eine offene Teilmenge stets wieder injektiv sein. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis zum Ausdehnen von kompakter Kohomologie] Ein Morphismus $\varphi:\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber $j$ entspricht nach \ref{AbiBu} einem Morphismus $\hat\varphi:\mathcal F\ra j^\ast\mathcal G$ von abelschen Garben auf $X$. Gegeben eine injektive Aufl"osung $\mathcal G\hra \mathcal J^{\lhd}$ erhalten wir aus der Exaktheit von $j^\ast$ und \ref{RIGO} eine injektive Aufl"osung $j^\ast\mathcal G\hra j^\ast\mathcal J^{\lhd}$. Gegeben eine Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal A^{\lhd}$ zeigt dann das Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU}, da"s $\hat\varphi$ bis auf Homotopie genau einen Lift $\mathcal A^{\lhd}\ra j^\ast\mathcal J^{\lhd}$ besitzt. In anderen Worten besitzt unser Morphismus $\varphi$ bis auf Homotopie genau einen Lift zu einem Morphismus $\mathcal A^{\lhd}\ra \mathcal J^{\lhd}$ "uber $j$. Ist $\mathcal A^{\lhd}$ auch eine injektive Aufl"osung, so hat die von diesem Morphismus auf der Kohomologie der globalen kompakten Schnitte induzierte Abbildung $\mathcal H^q\Gamma_! \mathcal A^{\lhd}\ra \mathcal H^q\Gamma_! \mathcal J^{\lhd}$ offensichtlich alle im Satz von einer Ausdehnung durch Null auf der kompakten Kohomologie geforderten Eigenschaften. Da"s es keine andere Abbildung mit den geforderten Eigenschaften geben kann, ist eh klar. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben $j:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge in einen lokal kompakten Hausdorffraum und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ eine abelsche Garbe entspricht nach \ref{AbiBu} die Identit"at auf $j^*\mathcal F$ einem Morphismus $\tau:j^*\mathcal F\ra\mathcal F$ "uber $j$ und die zugeh"orige Ausdehnung durch Null ${\op{H}}_!^q(U;\mathcal F)\pdef {\op{H}}_!^q(U;j^*\mathcal F)\ra {\op{H}}_!^q(U;\mathcal F)$ ist genau der entsprechende Morphismus der Lokalisierungssequenz von $\mathcal F$. Setzen wir speziell $\mathcal F\pdef j_{[!]}\mathcal K$ f"ur $\mathcal K\in\op{Ab}_{/U}$, so finden wir $i^*j_{[!]}\mathcal K=0$ f"ur $i$ die Einbettung des Komplements von $U$ und die Lokalisierungssequenz \ref{LokSS} zeigt, da"s die Ausdehnung durch Null Isomorphismen $$(j,\tau)_! :{\op{H}}_!^q(U;\mathcal K)\sira {\op{H}}_!^q(X;j_{[!]}\mathcal K)$$ induziert. Dasselbe gilt a forteriori f"ur jede offene Einbettung $j:U\hra X$ in einen lokal kompakten Hausdorffraum.\label{adKK} Sp"ater wird sich als Spezialfall einer Aussage erweisen, nach der der derivierte Schreivorschub einer Verkn"upfung die Verkn"upfung der derivierten Schreivorsch"ube ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{exSEQ} Gegeben ein Raum $X$ und $j:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge und $i:A\hra X$ die Einbettung ihres abgeschlossenen Komplements und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ erhalten wir mit der Koeinheit der Adjunktion $(j_{[!]},j^*)$ und der Einheit der Adjunktion $(i^*,i_*)$ eine kurze exakte Sequenz $$j_{[!]}j^*\mathcal F\hra \mathcal F \sra i_*i^*\mathcal F$$ Die Lokalisierungssequenz \ref{LokSS} f"ur einen lokal kompakten Hausdorffraum $X$ entspricht der zugeh"origen langen exakten Sequenz der Rechtsderivierten von $\Gamma_!$ unter den Isomorphismen ${\op{H}}_!^q(U;j^*\mathcal F)\sira {\op{H}}_!^q(X;j_{[!]}j^*\mathcal F)$ und ${\op{H}}_!^q(X;i_*i^*\mathcal F)\sira {\op{H}}_!^q(A;i^*\mathcal F)$ aus \ref{adKK} und \ref{adNa}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at der Lokalisierungssequenz}] Wir erinnern aus \ref{LokSS} f"ur $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum und $A\As X$ eine abgeschlossene Teilmenge und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ die Lokalisierungssequenz $$\ldots\ra {\op{H}}_!^q(X\backslash A;\mathcal F) \ra {\op{H}}_!^q(X;\mathcal F)\ra {\op{H}}_!^q(A; \mathcal F) \ra {\op{H}}_!^{q+1}(X\backslash A;\mathcal F)\ra\ldots $$ Aus den Definitionen folgt, da"s ihre graderhaltenden Abbildungen die Ausdehnung durch Null \ref{AdNg} und das eigentliche Zur"uckholen \ref{EigR} sind. Aus den Definitionen folgt auch, da"s f"ur abgeschlossene Teilmengen $B\As A \As X$ und $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf $X$ das Diagramm $$ \begin{array}{c} \ldots\ra {\op{H}}^{q-1}_{!} (A;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash A;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!}(X;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (A; \cal{F})\ra \ldots\\ \da\hspace{2cm}\da\hspace{2.5cm}\|\hspace{2cm}\da\\ \ldots\ra {\op{H}}^{q-1}_{!} (B;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (X\backslash B;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!}(X;\cal{F}) \ra {\op{H}}^{q}_{!} (B; \cal{F})\ra \ldots \end{array} $$ mit dem Ausdehnen durch Null beziehungsweise dem abgeschlossenen Zur"uckholen in den Vertikalen kommutiert. In der Tat haben wir ja f"ur jede kompaktweiche abelsche Garbe $\cal{G}$ auf $X$ ein kommutatives Diagramm mit kurzen exakten Zeilen\label{KT} $$ \begin{array}{ccccc} \Gamma_{!}(X\backslash A;\cal{G}) &\hookrightarrow& \Gamma_{!} (X;\cal{G})& \twoheadrightarrow& \Gamma_{!}(A;\cal{G})\\ \da&&\da&&\da\\ \Gamma_{!}(X\backslash B;\cal{G}) &\hookrightarrow& \Gamma_{!} (X;\cal{G})& \twoheadrightarrow& \Gamma_{!}(B;\cal{G}) \end{array} $$ Wenden wir das auf eine kompaktweiche Aufl"osung von $\mathcal F$ an und beachten die Funktorialit"at der langen exakten Homologiesequenz, so ergibt sich die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Alternativ mag man die Behauptung auch vermittels der Konstruktion eines kommutativen Diagramms $$\begin{array}{ccccc} j_{[!]}j^*\mathcal F&\hra &\mathcal F &\sra& i_*i^*\mathcal F\\ \da &&\da&&\da\\ \hat\jmath_{[!]}\hat\jmath^*\mathcal F&\hra &\mathcal F &\sra& \hat\imath_*\hat\imath^*\mathcal F \end{array} $$ herleiten, \nichtfinal{(Ausarbeiten!)} f"ur $\hat\imath:B\hra X$ und $\hat\jmath:X\backslash B\hra X$ die Einbettungen. Das wird sich als besonders einfach erweisen, sobald wir Isotransformationen $(f\circ g)^*\siRa g^*\circ f^*$ und $(f\circ g)_*\siRa f_*\circ g_*$ und zumindest im Fall offener Einbettungen $f,g$ auch $(f\circ g)_{[!]}\siRa f_{[!]}\circ g_{[!]}$ zur Verf"ugung haben. Dann betrachten wir einfach $a:B\hra A$ und $u:X\backslash A\hra X\backslash B$ und erhalten unsere nat"urlichen Morphismen als die Komposition $j_{[!]}j^*\mathcal F\sira \hat\jmath_{[!]}u_{[!]}u^*\hat\jmath^*\mathcal F \ra \hat\jmath_{[!]}\hat\jmath^*\mathcal F$ unter Verwendung von $u_{[!]}u^*\RA\op{id}$ und $i_*i^*\mathcal F\ra i_*a_*a^*i^*\mathcal F \sira \hat\imath_*\hat\imath^*\mathcal F$ unter Verwendung von $\op{id}\RA a_*a^*$. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Betten wir einen offenen Ball im $\DR^n$ in einen gr"o"seren offenen Ball ein,\label{AusDD} so ist die Ausdehnung durch Null ein Isomorphismus auf der kompakten Kohomologie mit konstanten Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe. Hinweis: Bezug zur lokalen Kohomologie \ref{lkkk} und Ausschneidung \ref{AuGG}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $A\As\DR^n$ eine abgeschlossene echte Teilmenge $A\neq\DR^n$, so gilt ${\op{H}}_!^nA=0$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Abelsche Garben auf Koprodukten}] \nichtfinal{Hier unsch"on. Verlegen!} Ist ein Raum $X$ eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen $X=\bigsqcup_{i\in I} X_i$ und ist $\mathcal F$ eine abelsche Garbe auf $X$, so induzieren zus"atzlich zu \ref{pgkl} die Koeinheiten der Adjunktion einen Isomorphismus\label{pgklj} $$ \bigoplus_{i\in I}\op{in}_{i{[!]}}\op{in}_{i}^*\mathcal F\sira \mathcal F$$ Nebenbei bemerkt haben wir in der Situation dieser "Ubung $\op{in}_{i{[!]}}=\op{in}_{i*}$, folglich ist f"ur beliebige abelsche Garben $\mathcal F_i\in\op{Ab}_{/X_i}$ der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $$ \bigoplus_{i\in I}\op{in}_{i*}\mathcal F_i\sira \prod_{i\in I}\op{in}_{i*}\mathcal F_i$$ Analoge Aussagen f"ur derivierte Kategorien zeigen wir in \eref{pgklt}{TSF}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Garbenkohomologie des Zweitorus}] Man berechne ein weiteres Mal die Garbenkohomologie der Figur 8. Man berechne die Garbenkohomologie des Zweitorus und zeige unter anderem, da"s das Zur"uckholen unter den beiden Projektionen einen Isomorphismus $${\op{H}}^1S^1\oplus {\op{H}}^1S^1\sira {\op{H}}^1(S^1\times S^1)$$ liefert. Hinweis: Der Zweitorus\label{GKZw} enth"alt eine offene zu $\DR^2$ hom"oomorphe Teilmenge, deren Komplement hom"oomorph ist zur Figur 8. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein lokal kompakter Haus\-dorff\-raum $X$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ sind gleichbedeutend: \begin{enumerate} \item $\mathcal F$ ist kompaktweich; \item ${\op{H}}_!^1(U;\mathcal F)=0$ f"ur alle $U\co X$; \item ${\op{H}}_!^q(U;\mathcal F)=0$ f"ur alle $U\co X$ und $q>0$; \item $\mathcal F_{U\subset X}$ ist f"ur alle $U\co X$ eine $\Gamma_!$-azyklische Garbe. \end{enumerate} Hinweis:\label{kwil} Lokalisierungssequenz \ref{LokSS}. Man kann in \eref{ZKwN}{TSF} spickeln. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Mayer-Vietoris-Sequenz der kompakten Kohomologie}] Gegeben offene Teilmengen $U,V$ eines lokal kompakten\label{MVkK} Hausdorffraums $X$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ konstruiere man eine lange exakte Sequenz $$\ldots\ra {\op{H}}^q_!(U\cap V;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_!(U;\mathcal F)\oplus{\op{H}}^q_!(V;\mathcal F)\ra {\op{H}}^q_!(U\cup V;\mathcal F)\ra {\op{H}}^{q+1}_!\; \ldots$$ Hinweis: Sie geh"ort zu einer kurzen exakten Garbensequenz. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeiten des eigentlichen Zur"uckholens}] F"ur $X \ra Y$ eine eigentliche Abbildung lokal kompakter Hausdorffr"aume und Kompakta $K\subset X$ sowie $L\subset Y$ mit $K\supset f^{-1}(L)$ und $\mathcal F\in\op{Ab}_{/Y}$ zeige man, da"s unser eigentliches Zur"uckholen\label{aTH} \ref{EigR} vertr"aglich ist mit dem Zur"uckholen aus \ref{ZHKoX} und \ref{ZHKoXn} in dem Sinne, da"s das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ {\op{H}}^q_L (Y;\mathcal F)\ar[d] \ar[r] &{\op{H}}^q_! (Y;\mathcal F)\ar[d] \ar[r] &{\op{H}}^q (Y;\mathcal F)\ar[d]\\ {\op{H}}^q_K (X;\mathcal F ) \ar[r] &{\op{H}}^q_! (X;\mathcal F ) \ar[r] & {\op{H}}^q (X; \mathcal F ) } \end{displaymath} mit dem Zur"uckholen in den Vertikalen und den kanonischen Abbildungen \ref{kHo} in den Horizontalen kommutiert. Insbesondere entspricht unter unserem Isomorphismus $\op{colf}_K{\op{H}}^q_{K}(X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q_{!}(X;\mathcal F)$ aus \ref{lkkk} das eigentliche Zur"uckholen auf der kompakten Kohomologie dem Kolimes des Zur"uckholens auf der Kohomologie mit Tr"agern. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir betrachten die Abbildung $S^1\ra S^1$ gegeben durch $z\mapsto z^n$. Man zeige, da"s das Zur"uckholen mit dieser Abbildung die Multiplikation $$(n\cdot):{\op{H}}^1S^1\ra{\op{H}}^1S^1$$ ist. Hinweis: Man mag damit beginnen zu zeigen, da"s die nat"urliche Abbildung einen Isomorphismus ${\op{H}}^1_{\{x\}}(S^1)\sira {\op{H}}^1S^1$ induziert, und verwende \ref{aTH}. Diese "Ubung wird sich als ein Spezialfall von \ref{ABGr} erweisen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein endlichdimensionaler reller Vektorraum $V$ der Dimension $n$ und ein Automorphismus $g\in\op{GL}(V)$ ist die von $g$ induzierte Selbstabbildung von ${\op{H}}_!^n(V;\DZ)$ die Identit"at im Fall $\op{det}(g)>0$ und die Multiplikation mit $(-1)$ andernfalls. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $U\co X$ eine offene Teilmenge eines topologischen Raums und $j$ die Einbettungsabbildung induzieren die durch die Adjunktion $(j_{[!]},j^*)$ gegebenen Isomorphismen\label{extUJ} ${\op{Ab}_{/X}}(\DZ_{U\subset X},\mathcal F)\sira \Gamma(U;\mathcal F)$ f"ur alle $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ und alle $q$ Isomorphismen $$\op{Ext}^q_{\op{Ab}_{/X}}(\DZ_{U\subset X},\mathcal F)\sira \op{H}^q(U;\mathcal F)$$ Im weiteren werden wir diese Aussage als eine unmittelbare Konsequenz einer Adjunktion $(j_!,j^!)$ derivierter Varianten der bisher betrachteten Funktoren verstehen k"onnen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kompakte Kohomologie und offene "Uberdeckungen}] Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und eine filtrierende offene "Uberdeckung $\mathcal U$ von $X$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ zeige man, da"s die Ausdehnungen durch Null Isomorphismen\label{jKOR} $$\op{colf}_{U\in\mathcal U}{\op{H}}^q_!(U;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q_!(X;\mathcal F)$$ liefern. St"arkere Aussagen in dieser Richtung zeigen wir als Satz \ref{glfg}. Es ist auch eine gute "Ubung, aus diesem Satz die hier gegebene Aussage zu folgern. \end{Ubung} \subsection{Kompakte Kohomologie und Kolimites} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kolimites von Garben und Pr"agarben}] In der Kategorie der Mengenpr"agarben auf einem topologischen Raum $X$ erhalten wir Kolimites $\op{col}\mathcal F_i$, indem wir $(\op{col}\mathcal F_i)(U)\pdef\op{col}(\mathcal F_i(U)) $ setzen f"ur alle $U\co X$. Einen Kolimes in der Kategorie der Garben erhalten wir dann als Garbifizierung des Pr"agarbenkolimes. Analoges gilt f"ur abelsche Garben.\label{KGP} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Vertr"aglichkeiten von Garbenkolimites}] Kolimites vertauschen stets mit Linksadjungierten. Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ kennen wir aus\label{VGKo} \ref{AdIn} beziehungsweise \ref{DirB} im Fall abelscher Garben das adjungierte Paar $(f^*, f_*)$ und folgern, da"s Kolimites von Garben mit R"uckzug $f^*$ vertauschen. Ebenso kennen wir aus \ref{AdInbb} f"ur abelsche Garben und jede offene Einbettung $j:X\ra Y$ das adjungierte Paar $(j_{[!]}, j*)$ und folgern, da"s da"s Kolimites von abelschen Garben auch mit der Ausdehnung durch Null $j_{[!]}$ unter offenen Einbettungen vertauschen. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Filtrierende Garbenkolimites und kompakte Schnitte}] Das Bilden der Schnitte mit kompaktem Tr"ager f"ur abelsche Garben auf einem lokal kompakten Hausdorffraum vertauscht mit\label{VTDLa} filtrierenden Kolimites, in Formeln \begin{displaymath} \op{colf} \left(\Gamma_{!} \mathcal{F}_i \right) \;\sira\; \Gamma_{!} \left(\op{colf} \mathcal{F}_i\right) \end{displaymath} Auf einem beliebigen topologischen Raum ist diese Abbildung zumindest eine\label{glg} Injektion $\op{colf}(\Gamma_!\mathcal F_i)\hra \Gamma_!(\op{colf}\mathcal F_i)$. \end{Proposition} \begin{Bemerkungw} Das ist ein erster Schritt zum Beweis von Satz \ref{glfg} zur Vertauschbarkeit von kompakter Kohomologie mit filtrierenden Kolimites auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen. \end{Bemerkungw} %\begin{Bemerkunge} %Eine verwandte Aussage wird in \eref{VTDLb}{TG} diskutiert. %\end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Schnitte mit festem kompakten Tr"ager vertauschen nicht}] Gegeben $K\subset X$ kompakt notieren wir $\Gamma_K(X;\mathcal{F})$ die Menge der globalen Schnitte $s\in \Gamma(X;\mathcal F)$ mit Tr"ager $\op{supp}(s)\subset K$. Der Funktor $ \Gamma_{K} $ vertauscht auch auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen keineswegs mit filtrierenden Kolimites. Als Gegenbeispiel mag man den direkten Limes der $a_{i*}\DZ_{[0,1/i]}$ betrachten f"ur $a_{i}:[0,1/i]\hra \DR$ die Einbettungen und die offensichtlichen Epimorphismen von abelschen Garben als Systemmorphismen dieses mit $i\in \DN_{> 0}$ indizierten Systems und Schnitte mit Tr"ager im Ursprung $K\pdef \{0\}$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Beliebige globale Schnitte vertauschen nicht}] Ist $X$ ein unendlicher diskreter Raum, so ist der Raum der globalen Schnitte des Koprodukts aller Wolkenkratzergarben $\DZ_{(x)}$ f"ur $x\in X$ gr"o"ser als das Koprodukt der R"aume der globalen Schnitte der Summanden und ist vielmehr ihr Produkt. Der Funktor der globalen Schnitte vertauscht mithin auch auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen keineswegs mit filtrierenden Kolimites. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Um die Injektivit"at zu zeigen, nehmen wir einen Schnitt $s\in \Gamma_{!}(X; \mathcal{F}_i )$ f"ur ein vorgegebenes $i\in I$. Geht er rechts nach Null, so gibt es f"ur jeden Punkt $x\in X$ nach der Transitivit"at von Kolimites \eref{coco}{TS} eine offene Umgebung $U(x)$ und einen Index $i(x)$ mit $s\mapsto 0 \in \mathcal{F}_{i(x)} (U(x))$. Endlich viele $U(x)$ "uberdecken $\op{supp}(s)$, ein $i$ wird erreicht von allen beteiligten $i(x)$ und dann gilt offensichtlich $s\mapsto 0 \in \mathcal{F}_{i} (X)$. Das zeigt die Injektivit"at. Um die Surjektivit"at zu zeigen, ziehen wir uns zun"achst auf den Fall $X$ kompakt zur"uck. Sei dazu ein Schnitt $s\in \Gamma_{!}(X; \op{colf} \mathcal{F}_i)$ gegeben. Wir finden $U\subset X$ offen mit kompaktem Abschlu"s und $\op{supp}(s)\subset U$. Finden wir ein $j$ und ein $\tilde s\in \Gamma(\bar U; \mathcal{F}_j)$ mit $\tilde s\mapsto s|\bar U$, so folgt unmittelbar $\tilde s|\partial\bar U \mapsto 0\in \Gamma(\partial \bar U; \op{colf} \mathcal{F}_i)$ und nach dem bereits bewiesenen $\tilde s|\partial \bar U \mapsto 0\in \Gamma(\partial \bar U; \mathcal{F}_l)$ f"ur geeignetes $l\geq j$. Also l"a"st sich das Bild $\hat s\in \Gamma( \bar U; \mathcal{F}_l)$ von $\tilde s$ durch Null fortsetzen zu einem Schnitt $\hat s\in \Gamma_{!}( X; \mathcal{F}_l)$ mit $\hat s\mapsto s$, und das war gerade zu zeigen. Wir d"urfen also $X$ kompakt annehmen. Gegeben ein Schnitt $s\in \Gamma(X; \op{colf} \mathcal{F}_i)$ gibt es f"ur jeden Punkt $x\in X$ eine Umgebung $U(x)$ und einen Index $i(x)$ und einen Schnitt $\tilde s(x)\in \mathcal{F}_{i(x)}(U(x))$ mit $s(x)\mapsto s|U(x)$. Wir d"urfen unsere $U(x)$ kompakt annehmen. Weiter gibt es $E\subset X$ endlich derart, da"s die $U(x)$ mit $x\in E$ bereits $X$ "uberdecken. W"ahlen wir $j$ hinreichend gro"s, so k"onnen wir nach der bereits bewiesenen Injektivit"at annehmen, da"s f"ur alle $x,y\in E$ die Bilder von $\tilde s(x)$ und $\tilde s(y)$ in $ \mathcal{F}_{j}(U(x)\cap U(y))$ "ubereinstimmen. Dann aber verkleben sie zu einem globalen Schnitt und der repr"asentiert das gesuchte Urbild unseres Schnittes $s$. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Exaktheit filtrierender Kolimites abelscher Garben}] Gegeben ein filtrierendes System exakter Sequenzen von abelschen Garben ist auch der Kolimes eine exakte Sequenz von abelschen Garben. Das folgt daraus, da"s nach \ref{VGKo} die Halme von Kolimites die Kolimites der Halme sind, da"s filtrierende Kolimites exakter Sequenzen abelscher Gruppen wieder exakt sind und da"s die Exaktheit\label{exFK} von Garbenkomplexen gleichbedeutend ist zur Exaktheit auf den Halmen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf einem Raum $X$. Die \defnoind{Garbe der unstetigen Schnitte von $\cal{F}$}\index{Garbe der unstetigen Schnitte} ist die Garbe ${\op{G}} \cal{F}$, die jeder offenen\label{DGKoS} Teilmenge $ U\co X$ das Produkt der Halme von $\cal{F}$ an allen Punkten $x\in U$ zuordnet, in Formeln $$({\op{G}}\cal{F})(U) \pdef \prod_{x\in U} \cal{F}_{x}$$ Die Restriktionsabbildungen sind die offensichtlichen. Offensichtlich ist die Garbe der untetigen Schnitte ${\op{G}} \cal{F}$ stets welk. Den durch $s \mapsto (s_{x})_{x \in U}$ f"ur $s \in \cal{F}(U)$ gegeben Monomorphismus $\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}\cal{F}$ nennen wir den {\bf Go\-de\-ment-Mo\-no\-mor\-phis\-mus}.\index{Godementmonomorphismus} Gleichbedeutend k"onnen wir die Identit"at als stetige Abbildung $\delta:X^{\delta}\ra X$ von der mit der diskreten Topologie versehenen Menge $X$ in den topologischen Raum $X$ betrachten. Der Godementmonomorphismus faktorisiert dann in die Einheit der Adjunktion und einen Isomorphismus als $\mathcal F\ra \delta_{*}\delta^{*}\mathcal F\sira {\op{G}}\mathcal F$. %Analoges gilt f"ur Garben von Moduln "uber Garben von Ringen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Terminologisch w"are es richtiger, statt von der \glqq Garbe der unstetigen Schnitte\grqq\ von der \glqq Garbe der nicht notwendig stetigen Schnitte\grqq\ zu reden, aber das kam mir allzu pedantisch vor. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die Schnitte unserer Garbe der unstetigen Schnitte ${\op{G}}\cal{F}$ sind nur "uber offenen Teilmengen unstetige Schnitte in den \'etalen Raum der urspr"unglichen Garbe. Die Halme der Garbe der unstetigen Schnitte einer Garbe sind im allgemeinen sehr viel gr"o"ser als die Halme der urspr"unglichen Garbe. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\cal{F}$ eine abelsche Garbe auf einem topologischen Raum $X$ oder allgemeiner eine Modularbe auf einem geringten Raum. Die {\bf Go\-de\-ment-Auf\-l"o\-sung von}\index{Godement-Aufl"osung} $\cal{F}$ ist der exakte Komplex von abelschen Garben $\cal{F} \hookrightarrow {\op{G}}^{0}\cal{F} \ra {\op{G}}^{1}\cal{F} \ra \ldots$, den wir erhalten durch die Vorschrift\label{Gode} $$\begin{array}{lll} {\op{G}}^{0}\cal{F} &\pdef &{\op{G}}\cal{F}\\[2mm] {\op{G}}^{1}\cal{F} &\pdef & {\op{G}} (\op{cok} (\cal{F} \ra {\op{G}} \cal{F})) \text{ und dann induktiv}\\[2mm] {\op{G}}^{i}\cal{F}& \pdef &{\op{G}} (\op{cok} ( {\op{G}}^{i-2}\cal{F} \ra {\op{G}}^{i-1}\cal{F})) \text{ f"ur } i\geq 2;\end{array}$$ Jeder Morphismus von abelschen Garben $\cal{F} \ra \cal{F}^{\prime}$ liefert in offensichtlicher Weise einen Morphismus ${\op{G}} \cal{F} \ra {\op{G}}\cal{F}^{\prime}$ zwischen den zugeh"origen Garben unstetiger Schnitte und dann induktiv einen Morphismus von Komplexen von Garben ${\op{G}}^{\lhd}\cal{F} \ra {\op{G}}^{\lhd} \cal{F}^{\prime}$. Auf diese Weise wird das Bilden der Godementaufl"osung $\op{G}^\lhd$ ein Funktor. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Filtierende Kolimites kompaktweicher Garben}] Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und darauf ein filtrierendes System kompaktweicher abelscher Garben $(\mathcal F_i)_{i\in I}$ ist auch sein Kolimes $\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i$ kompaktweich.\label{LKWG} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $K\subset X$ kompakt und $f:K\hra X$ die Einbettung. Weil R"uckzug mit Kolimites vertauscht nach \ref{VGKo} und globale Schnitte auf $K$ desgleichen nach \ref{VTDLa}, ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $$\op{colf}_{i\in I}\Gamma(K;\mathcal F_i)\sira \Gamma(K;\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i)$$ Jeder Schnitt rechts kommt also f"ur mindestens ein $i\in I$ von einem Schnitt in $\Gamma(K;\mathcal F_i)$ her. Da wir $\mathcal F_i$ kompaktweich annehmen, kommt er dann auch von einem globalen Schnitt von $\mathcal F_i$ her und a forteriori von einem globalen Schnitt von $\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i$. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Kompakte Kohomologie filtierender Kolimites}] Gegeben ein lokal kompakter Hausdorffraum $X$ und darauf ein filtrierendes System abelscher Garben $(\mathcal F_i)_{i\in I}$ ist die offensichtliche Abbildung f"ur alle $q$ ein Isomorphismus\label{glfg} $$\op{colf}_{i\in I}{\op{H}}^q_!(X;\mathcal F_i)\sira {\op{H}}^q_!(X;\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i)$$ \end{Satz} \begin{proof} Die Godementaufl"osungen $\mathcal F_i\ra {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i$ aus \ref{Gode} geschehen durch welke Garben und die kanonischen Morphismen aus \ref{DefDe} sind nach Proposition \ref{DAZO} zum Derivieren mit azyklischen Objekten folglich Isomorphismen $$ {\op{H}}^q_!(X;\mathcal F_i)\sira \mathcal H^q\Gamma_!(X; {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i)$$ Filtrierende Kolimites abelscher Gruppen sind exakt und filtrierende Kolimites abelscher Garben vertauschen mit $\Gamma_!$ nach \ref{VTDLa}. Da schlie"slich die Godementaufl"osung funktoriell ist, induzieren unsere Isomorphismen ihrerseits Isomorphismen $$\op{colf}_{i\in I} {\op{H}}^q_!(X;\mathcal F_i)\sira \mathcal H^q\Gamma_!(X;\op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i)$$ Da nun nach \ref{exFK} filtrierende Kolomites in abelschen Garben exakt sind, ist auch $\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i\ra \op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i$ ein exakter Garbenkomplex. Jede welke abelsche Garbe ist kompaktweich nach \ref{WKW}, folglich sind alle ${\op{G}}^q\mathcal F_i$ kompaktweich und nach Lemma \ref{LKWG} auch ihr filtrierender Kolimes $\op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^q\mathcal F_i$. Nach \ref{KwA} sind jedoch kompaktweiche Garben auf lokal kompakten Hausdorffr"aumen $\Gamma_!$-azyklisch und die kanonischen Morphismen aus \ref{DefDe} sind nach Proposition \ref{DAZO} zum Derivieren mit azyklischen Objekten folglich Isomorphismen $$ {\op{H}}^q_!(X;\op{colf}_{i\in I}\mathcal F_i)\sira \mathcal H^q\Gamma_!(X;\op{colf}_{i\in I} {\op{G}}^\lhd\mathcal F_i)$$ Der Satz folgt unmittelbar. \end{proof} \subsection{Kompakte Kohomologie von Mannigfaltigkeiten} \begin{Bemerkungl} Im folgenden sind Mannigfaltigkeiten, wenn nichts anderes explizit gesagt wird, stets als \hyperref[Mgf]{topologische Mannigfaltigkeiten} zu verstehen. Wir fordern von unseren Mannigfaltigkeiten weder da"s sie parakompakt noch da"s sie abz"ahlbar basiert sein sollen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Verschwinden hoher kompakter Kohomologie auf Karten}] Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $[0,1]^n$ haben wir ${\op{H}}^q([0,1]^n;\mathcal F)=0$ f"ur $q>n$ in \ref{GHKu} gezeigt. Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal K$ auf $U\co [0,1]^n$ folgt $${\op{H}}^q_!(U;\mathcal K) =0\text{ f"ur }q>n$$ aus ${\op{H}}^q_!(U;\mathcal K)\cong {\op{H}}^q_!([0,1]^n;j_{[!]}\mathcal K) ={\op{H}}^q([0,1]^n;j_{[!]}\mathcal K)=0$ nach \ref{adKK} mit $j$ der Einbettung.\label{GHKg} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Kompakte Kohomologie oberhalb der Dimension}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F\in\op{Ab}_{/M}$ gilt\label{phq} $$q>n\;\;\RA \;\;{\op{H}}_!^q(M;\mathcal F)=0$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} F"ur jede $n$-Mannigfaltigkeit $M$ hat also $\Gamma_!:\op{Ab}_{/M}\ra \op{Ab}$ eine homologische Dimension $\leq n$. Aus dem anschlie"senden Satz folgt, da"s diese homologische Dimension f"ur $M\neq \emptyset$ sogar genau $n$ ist. F"ur die gew"ohnliche nichtkompakte Garbenkohomologie zeigen wir die entsprechende Aussage erst in \eref{phqnk}{TSS} unter der zus"atzlichen Annahme, da"s $M$ abz"ahlbar basiert ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wird $M$ durch das Bild einer einzigen Karte "uberdeckt, so haben wir die Behauptung bereits in \ref{GHKg} gezeigt. Wird $M$ durch die Bilder endlich vieler Karten "uberdeckt, so folgt die Behauptung induktiv aus der Mayer-Vietoris-Sequenz der kompakten Kohomologie \ref{MVkK}. Im allgemeinen folgt sie dann aus der Vertr"aglichkeit der kompakten Kohomologie mit Kolimites "uber filtrierende offene "Uberdeckungen \ref{jKOR}. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Eine Garbe mit Werten in $\op{Ab}^{\op{opp}}$ hei"st eine {\bf abelsche Kogarbe}.\index{Kogarbe!abelsche} Genauer ist eine abelsche Kopr"agarbe auf einem Raum $X$ ein Funktor $K:\op{Off}(X)^{\op{opp}}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$ und eine Kogarbe eine Kopr"agarbe mit gewissen Verklebungseigenschaften. Wir erkl"aren die {\bf Kategorie der abelschen Kopr"agarben auf $X$}\index{Kogarbe!Morphismen} als die Funktorkategorie $$\op{Cat}(\op{Off}(X),\op{Ab})$$ Damit sind Kokerne von Homomorphismen von Kogarben unproblematisch, aber die Konstruktion von Kernen braucht eine \glqq Kogarbifizierung\grqq. Wir werden die Arbeit mit abelschen Kogarben meiden. Sie sind m"uhsam zu handhaben, da sie keine abelsche Kategorie bilden. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Maximale kompakte Kohomologie als Kogarbe}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ erhalten wir eine abelsche Kogarbe auf $M$\label{OrkGa} vermittels der Vorschrift $$U\mapsto {\op{H}}_!^n(U)$$ \end{Satz} \begin{proof} Gegeben eine Familie $(U_\nu)$ von offenen Teilmengen von $M$ mit Vereinigung $V$ haben wir, wie man unschwer auf den Halmen pr"uft, eine rechtsexakte Garbensequenz $$\DZ_{V\subset M}\twoheadleftarrow \bigoplus \DZ_{U_\nu\subset M} \leftarrow \bigoplus \DZ_{(U_\nu\cap U_\mu)\subset M}$$ Unter dem nach \ref{phq} rechtsexakten und nach \ref{glfg} mit filtrierenden Kolimites von abelschen Garben vertr"aglichen Funktor ${\op{H}}^n_!$ wird sie zu einer rechtsexakten Sequenz \begin{displaymath} {\op{H}}^n_!(V)\twoheadleftarrow \bigoplus {\op{H}}^n_!(U_\nu) \leftarrow \bigoplus {\op{H}}^n_!(U_\nu\cap U_\mu)\qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Bemerkungl}\label{diSU} Ist insbesondere eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ eine disjunkte Vereinigung offener Teilmengen $(M_i)_{i\in I}$, so induzieren die Ausdehnungen durch Null einen Isomorphismus $$\bigoplus_{i\in I}{\op{H}}_!^nM_i\sira {\op{H}}_!^nM$$ Das folgt sowohl aus der Kogarbeneigenschaft als auch direkt aus der Vertr"aglichkeit der kompakten Kohomologie mit filtrierenden Kolimites \ref{glfg}. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Orientierungsgarbe}] Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ und eine abelsche Gruppe $G$ erhalten wir eine abelsche Garbe $\op{or}_{M,G}$ auf $M$,\label{OrGa} die \emph{\bf Orientierungsgarbe von $M$ mit Koeffizienten in $G$},\index{Orientierungsgarbe!mit Koeffizienten} vermittels der Vorschrift $$\op{or}_{M,G}:U\mapsto \op{Hom}_\DZ({\op{H}}_!^n(U),G)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Wenden wir auf unsere Kogarbe \ref{OrkGa} den kontravarianten durch $G$ gegebenen Funktor $\op{Hom}_\DZ(\;,G)$ an, so erhalten wir eine linksexakte Sequenz $$\op{Hom}_\DZ({\op{H}}^n_!(V),G)\hra \prod \op{Hom}_\DZ({\op{H}}^n_!(U_\nu),G) \ra \prod \op{Hom}_\DZ({\op{H}}^n_!(U_\nu\cap U_\mu),G)$$ Sie beinhaltet die Garbeneigenschaft. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine $n$-Mannigfaltigkeit $M$ vereinbaren wir f"ur die Spezialisierung unserer Garbe $\op{or}_{M,G}$ aus \ref{OrGa} zu $G=\DZ$ die Notation $$\op{or}_M\pdef \op{or}_{M,\DZ}$$ und nennen diese Garbe die\label{orGG} {\bf Orientierungsgarbe\index{Orientierungsgarbe} von $M$}. Die Orientierungsgarbe ist stets lokal isomorph zur konstanten Garbe $\DZ_M$ nach \ref{AusDD} und ihre Halme sind wieder nach \ref{lkkk} kanonisch isomorph zu den Dualen der lokalen Kohomologiegruppen ${\op{H}}^n_{\{x\}}(M)$. Ist die Orientierungsgarbe global isomorph zur konstanten Garbe $\DZ_M$, so hei"st $M$ {\bf orientierbar}.\index{orientierbar} Unter einer {\bf Orientierung}\index{Orientierung!topologische} oder ausf"uhrlicher {\bf topologischen Orientierung} unserer Mannigfaltigkeit verstehen wir die Wahl eines ausgezeichneten Isomorphismus $\DZ_M\sira \op{or}_M$. Die Definitionen liefern einen nat"urlichen Isomorphismus zwischen der Restriktion der Orientierungsgarbe auf eine offene Teilmenge einer Mannigfaltigkeit und der Orientierungsgarbe der fraglichen offenen Teilmenge als Mannigfaltigkeit ${\op{or}}_M|_U\sira \op{or}_U$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Bezug zur singul"aren Homologie}] Unsere Vergleichss"atze liefern auch einen Isomorphismus unserer Orientierungs\-garbe hier mit der Orientierungsgarbe der singul"aren Homologie aus \eref{orGA}{TS}. In der Tat sind deren Halme ${\op{H}}_n(M,M\backslash x)_{\op{sing}}$ die Dualr"aume von ${\op{H}}^n(M,M\backslash x)_{\op{sing}}$ und letztere R"aume sind nach unserem Vergleichssatz \ref{lklsk} kanonisch isomorph zu ${\op{H}}^n_{\{x\}}(M)$. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Hohe kompakte Kohomologie von Mannigfaltigkeiten}] Gegeben eine zusammenh"angende $n$-Mannigfaltigkeit\label{KKMa} $M$ haben wir: \begin{enumerate} \item ${\op{H}}_!^qM=0$ f"ur $q>n$; \item F"ur jeden Punkt $x\in M$ ist die offensichtliche Abbildung eine Surjektion ${\op{H}}^n_{\{x\}}(M)\sra {\op{H}}_!^n(M)$; \item Ist $M$ nicht orientierbar, so ist ${\op{H}}_!^nM\cong \DZ/2\DZ$ eine zweielementige Gruppe; \item Ist $M$ orientierbar, so gilt ${\op{H}}_!^nM\cong \DZ$ und f"ur jede Orientierung $\DZ_M\sira\op{or}_M$ gibt genau einen Isomorphismus $\DZ\sira {\op{H}}_!^nM$, der unter dem Dualisieren $\op{Hom}_\DZ(\;,\DZ)$ die Komposition nat"urlicher Abbildungen $\DZ\sira \DZ_M(M)\sira \op{or}_M(M)$ liefert. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Das Verschwinden f"ur $q>n$ ist ein Spezialfall unserer allgemeineren Proposition \ref{phq}. Aus ${\op{H}}_!^n(\DR^n)\cong \DZ$ nach \ref{kkRn} und \ref{AusDD} folgt, da"s $\op{or}_{M,G}$ f"ur jede abelsche Gruppe $G$ lokal isomorph ist zur konstanten Garbe $G_M$. Gegeben eine abelsche Garbe $\mathcal F$ und eine abelsche Gruppe $G$ bezeichne $\mathcal F\otimes G$ die Garbifizierung der Pr"agarbe $U\mapsto \mathcal F(U)\otimes G$. Man erkennt unschwer, da"s der mithilfe der universellen Eigenschaften konstruierte Homomorphismus stets ein Isomorphismus $$\op{or}_{M}\otimes G\sira \op{or}_{M,G}$$ ist. Ist $M$ zusammenh"angend und gibt es keinen Isomorphismus $\DZ_M\sira \op{or}_M$ der konstanten Garbe mit der Orientierungsgarbe, so haben wir nach Lemma \ref{lg2} Isomorphismen $G_2\sira \Gamma(M;\op{or}_M\otimes G)\sira \op{Hom}_\DZ({\op{H}}_!^nM,G)$, die funktoriell sind in $G$ und die nach dem Yoneda-Lemma folglich von einem Isomorphismus $\DZ/2\DZ\sira {\op{H}}_!^nM$ herkommen m"ussen, mit der Notation $$G_2\pdef\{g\in G\mid g^2=1\}$$ Das zeigt den dritten Teil. Ist $M$ zusammenh"angend und gibt es einen Isomorphismus $\DZ_M\sira \op{or}_M$ der konstanten Garbe mit der Orientierungsgarbe, so liefert jeder derartige Isomorphismus Isomorphismen $G\sira \op{Hom}_\DZ({\op{H}}_!^nM,G)$, die funktoriell sind in $G$ und folglich von einem Isomorphismus $\DZ\sira {\op{H}}_!^nM$ herkommen m"ussen, wieder nach dem Yoneda-Lemma. Das zeigt den vierten Teil. Der Beweis des zweiten Teils bleibe dem Leser zur "Ubung "uberlassen. \end{proof} \begin{Lemma}\label{lg2} Gegeben ein zusammenh"angender Raum $X$ und darauf eine lokal aber nicht global zur konstanten Garbe $\DZ_X$ isomorphe abelsche Garbe $\mathcal F$ erhalten wir einen in $G\in\op{Ab}$ funktoriellen Isomorphismus $$G_2\sira \Gamma(\mathcal F\otimes G)$$ durch die Vorschrift, die $g\in G_2$ den durch $x\mapsto s_x\otimes g$ mit $s_x\in \mathcal F_x$ einem Erzeuger des Halms gegebenen globalen Schnitt zuordnet. \end{Lemma} \begin{proof} Wir betrachten den Teilraum $$\tilde X\pdef\{s\in \bar{\mathcal F}\mid s\text{ erzeugt seinen Halm}\}$$ Dann ist die offensichtliche Abbildung $\pi:\tilde X\ra X$ eine zweibl"attrige "Uberlagerung. W"are $\tilde X$ nicht zusammenh"angend, so k"onnte man es als disjunkte Vereinigung zweier nichtleerer offener Teilmengen schreiben, die nach \eref{etuL}{TF} auch bereits $X$ "uberlagern, die mithin einbl"attrige "Uberlagerungen w"aren und folglich Hom"oomorphismen, so da"s $\pi:\tilde X\ra X$ einen stetigen Schnitt h"atte im Widerspruch zu unserer Annahme $\mathcal F\not\cong \DZ_X$. Also ist $\tilde X$ zusammenh"angend. Nun kann die Projektion $\pi:\tilde X\ra X$ auch als die Quotientenabbildung nach einer Operation der zweielementigen Gruppe $\mathbb F_2$ verstanden werden. Die zur"uckgezogene Garbe $\pi^*\mathcal F$ hat den \'etalen Raum $\op{\acute{e}t}(\pi^*\mathcal F)=\tilde X\times_X\bar{\mathcal F}$ und den globalen erzeugenden Schnitt $\tilde x\mapsto (\tilde x,\tilde x)$, der einen Isomorphismus $\DZ_{\tilde X}\sira \pi^*\mathcal F$ liefert. Die $\mathbb F_2$-Operation auf $\pi^*\mathcal F$ nach \ref{dAQg} entspricht unter unserem Isomorphismus $\pi^*\mathcal F\cong \DZ_{\tilde X}$ der Operation $(\tilde x,n)\mapsto (-\tilde x,-n)$. Dann haben wir nat"urliche Isomorphismen $$\pi^*(\mathcal F\otimes G)\sira (\pi^*\mathcal F)\otimes G \sira G_{\tilde X}$$ Die $\mathbb F_2$-Operation links entspricht darunter der $\mathbb F_2$-Operation $(\tilde x,g)\mapsto (-\tilde x,-g)$. Das liefert Isomorphismen $G_2\sira \Gamma(\pi^*(\mathcal F\otimes G))^{\mathbb F_2}\sira \Gamma(\mathcal F\otimes G)$ mit \ref{dAQg} f"ur den zweiten Pfeil und mehr war nicht zu zeigen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Jede Einsmannigfaltigkeit ist orientierbar}] F"ur abz"ahlbar basierte Einsmannigfaltigkeiten folgt das bereits aus der Klassifikation \eref{KlEDab}{TM}, aber hier wollen wir ohne diese Bedingung auskommen. Gegeben eine zusammenh"angende $n$-Mannigfaltigkeit $M$ haben\label{EMOr} wir $${\op{H}}^n_!(M;\DZ/4\DZ)\cong \left\{\begin{array}{ll} \DZ/4\DZ&M\text{ orientierbar;}\\ \DZ/2\DZ&\text{sonst.} \end{array}\right.$$ Man kann das genauso zeigen wie wir es f"ur die kompakte Kohomologie mit $\DZ$-Koeffizienten in \ref{KKMa} ausgef"uhrt haben. Man kann es auch als Konsequenz der sogenannten Projektionsformel \eref{ProjFF}{TSF} zeigen, die unter anderem f"ur beliebige $n$-Mannigfaltigkeiten $M$ und beliebige abelsche Gruppen $G$ Isomorphismen ${\op{H}}^n_!(M;G)\sira {\op{H}}^n_!(M)\otimes_\DZ G$ liefert. Gegeben eine zusammenh"angende Einsmannigfaltigkeit $M$ liefert die Surjektion $\DZ/4\DZ\sra \DZ/2\DZ$ nun sicher eine Surjektion ${\op{H}}^0_!(M;\DZ/4\DZ)\sra {\op{H}}^0_!(M;\DZ/2\DZ)$ und wir folgern mit dem Verschwinden der h"oheren kompakten Kohomologie \ref{phq} eine kurze exakte Sequenz $${\op{H}}^1_!(M;\DZ/2\DZ)\hra {\op{H}}^1_!(M;\DZ/4\DZ)\sra {\op{H}}^1_!(M;\DZ/2\DZ)$$ Zusammen zeigt das, da"s jede zusammenh"angende Einsmannigfaltigkeit und dann auch "uberhaupt jede Einsmannigfaltigkeit orientierbar ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Mannigfaltigkeit $M$ und ihre Orientierungsgarbe $\op{or}_M$ nennen wir die im vorhergehenden Beweis konstruierte zweibl"attrige "Uberlagerung $\pi:\tilde M\ra M$ ihre\label{orUe} {\bf Orientierungs"uberlagerung}\index{Orientierungs"uberlagerung} $$\tilde M\pdef\{s\in \op{\acute{e}t}(\op{or}_M)\mid s\text{ erzeugt seinen Halm}\}$$ Wir haben dann einen nat"urlichen Isomorphismus $\pi^\ast \op{or}_M\sira \op{or}_{\tilde M}$ und die kanonische Trivialisierung dieser Garbe nennen wir die {\bf tautologische Orientierung}\index{Orientierung!tautologische} der Orientierungs"uberlagerung $\tilde M$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Endlichkeit der kompakten Kohomologie}] Sei $n\in\DN$ gegeben. Besitzt ein topologischer Raum $X$ eine "Uberdeckung durch offene Teilmengen $U\co X$ mit ${\op{H}}^q_!(U;\mathcal F)=0$ f"ur $q>n$ und alle $\mathcal F\in \op{Ab}_{/U}$, so folgt ${\op{H}}^q_!(X;\mathcal F)=0$ f"ur $q>n$ und alle $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$. Das zeigt der Beweis von \ref{phq}. Weiter zeigt der Beweis von \ref{OrGa}, da"s dann f"ur alle $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ und $G\in\op{Ab}$ der Funktor\label{leKK} $U\mapsto \op{Hom}_\DZ({\op{H}}_!^n(U;\mathcal F),G)$ eine abelsche Garbe auf $X$ ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Hohe kompakte Kohomologie von Randfaltigkeiten}] Man mag unsere Erkenntnisse \ref{leKK} zur Endlichkeit der kompakten Kohomologie insbesondere auf Randfaltigkeiten anwenden und aus der in \ref{orGG} gegebenen Argumentation folgern, da"s f"ur eine $n$-dimensionale Randfaltigkeit $X$ die zuvor besprochenen Garben $U\mapsto \op{Hom}_\DZ({\op{H}}_!^n(U;A_X),G)$ im Fall einer konstanten Garbe $\mathcal F=A_X$ lokal konstant sind auf dem Komplement des Randes und aus dieser lokal konstanten Garbe entstehen vermittels der Ausdehnung durch Null. Eine Argumentation wie beim Beweis von \ref{KKMa} zeigt dann ${\op{H}}_!^n(X;k)=0$ f"ur jede zusammenh"angende Randfaltigkeit, die keine Mannigfaltigkeit ist, und jede abelsche Gruppe $k$ von Koeffizienten. \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\defnoind{Jordan-Brouwer}\index{Jordan-Brouwer!Satz von}] Seien $n,r\geq -1$ und sei $s^{r} \subset S^{n}$ eine Teilmenge der $n$-Sph"are, die\label{JoBn} hom"oomorph ist zur $r$-Sph"are $S^{r}$. So haben wir: $$\begin{array}{ll} r > n&\text{Unm"oglich;}\\ r = n&\text{Impliziert $S^{n}=s^{r}$;}\\ r = n-1&\text{Dann hat $S^{n} \backslash s^{r}$ genau zwei Zusammenhangskomponenten, }\\ & \text{und der Rand jeder dieser beiden Komponenten ist $s^{r}$;}\\ r \leq n-2 &\text{Dann ist $S^{n}\backslash s^{r}$ zusammenh"angend.} \end{array}$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Hier ist die $(-1)$-Sph"are wie in \eref{Grundt}{TF} als die leere Menge zu verstehen. Obiger Satz wurde bereits in \eref{JoB}{TS} bewiesen. Mir scheint jedoch der hier entwickelte Zugang nat"urlicher. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit d"urfen wir $n\geq 2$ und $r\geq 0$ annehmen. Im Fall $r>n$ w"are $0\ra {\op{H}}^{r}_!(s^r)\ra 0$ ein Ausschnitt der langen exakten Lokalisierungssequenz im Widerspruch zu ${\op{H}}^{r}_!(s^r)\cong \DZ$. Im Fall $r\leq n$ betrachten wir den Ausschnitt $$ 0\ra {\op{H}}^{n-1}_!s^r\ra {\op{H}}^{n}_!(S^n\backslash s^r) \ra {\op{H}}^{n}_!S^n \ra {\op{H}}^{n}_!s^r\ra 0$$ der Lokalisierungssequenz. % Wegen der Transitivit"at des eigentlichen R"uckzugs % unter $s^r\ra S^n\ra\op{pt}$ % k"onnen wir in dieser Sequenz ${\op{H}}^{q}_!S$ ersetzen durch % $\tilde{\op{H}}^{q}_!S\pdef \op{cok}({\op{H}}^{q}_!\op{pt}\hra % {\op{H}}^{q}_!S)$ bei $S=s^r$ und $S=S^n$. Das hat den Vorteil, da"s nun gilt % $\tilde{\op{H}}^{q}_!S^n\cong\DZ$ f"ur $q=n$ und Null sonst. %Jetzt ist $r>n$ unm"oglich, da sonst der Term ${\op{H}}^{r}_!s^r\cong \DZ$ in % dieser Sequenz von Null kommt und nach \ref{phq} nach Null geht. Im Fall $r=n$ mu"s in unserer Sequenz eine Surjektion und damit ein Isomorphismus ${\op{H}}^{n}_!S^n \sira {\op{H}}^{n}_!s^n$ stehen und es folgt erst ${\op{H}}^{n}_!(S^n\backslash s^{n})=0$ und mit unseren Erkenntnissen \ref{KKMa} und \ref{diSU} zur hohen kompakten Kohomologie von Mannigfaltigkeiten dann $S^n\backslash s^n=\emptyset$. Im Fall $r=n-1$ erhalten wir "ahnlich ${\op{H}}^{n}_!(S^n\backslash s^{n-1})\cong \DZ^2$ und nach denselben Argumenten hat $S^n\backslash s^{n-1}$ zwei Zusammenhangskomponenten. Da"s $s^{n-1}$ im Abschlu"s beider Komponenten liegt, folgert man wie in \eref{JoB}{TS}. Ist schlie"slich $r\leq n-2$, so erhalten wir ${\op{H}}^{n}_!(S^n\backslash s^{r}) \cong \DZ$ und nach denselben Argumenten besteht $S^n\backslash s^{r}$ aus genau einer Zusammenhangskomponente. \end{proof} \begin{Bemerkungl} F"ur jede zusammenh"angende topologische $n$-Mannigfaltigkeit $M$ gilt mit denselben Argumenten wie zuvor ${\op{H}}_!^n(M;\DZ/2\DZ)\cong \DZ/2\DZ$.\label{OrGa2} \end{Bemerkungl} \begin{Korollar}[\textbf{Komplemente von Untermannigfaltigkeiten in $\DR^n$}] Gegeben eine abgeschlossene $(n-1)$-Untermannigfaltigkeit $M \As \Bbb{R}^{n}$ mit $k$ Zusammenhangskomponenten besteht ihr Komplement\label{VG} $\Bbb{R}^{n}\backslash M$ aus $(k+1)$ Zusammenhangskomponenten. Hat $M$ unendlich viele Zusammenhangskomponenten, so auch $\Bbb{R}^{n}\backslash M$. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Die Lokalisierungssequenz liefert mit dem Verschwinden \ref{phq} unmittelbar ${\op{H}}^{n-1}_!(M;\Bbb{Z}/2\Bbb{Z}) \hra {\op{H}}^n_! (\Bbb{R}^{n}\backslash M; \Bbb{Z}/2\Bbb{Z})\sra {\op{H}}^n_! (\Bbb{R}^{n}; \Bbb{Z}/2\Bbb{Z})$. Die Behauptung folgt damit aus \ref{OrGa2}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Nichteinbettbarkeit von Mannigfaltigkeiten}] F"ur $n\geq 1$ kann eine zusammenh"angende nicht orientierbare $(n-1)$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit\label{ENOr} nicht als abgeschlossene Teilmenge in den $\Bbb{R}^{n}$ eingebettet werden. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] F"ur $M$ unsere Mannigfaltigkeit erhielten wir ${\op{H}}^{n-1}_!(M;\DZ)=\DZ/2\DZ$ und mit der Lokalisierungssequenz $ {\op{H}}^{n}_! (\Bbb{R}^{n}\backslash M;\DZ)\sira {\op{H}}^{n}_! (\Bbb{R}^{n};\DZ)\cong\DZ $, diesmal mit $\DZ$-Koeffizienten, und $\Bbb{R}^{n}\backslash M$ w"are zusammenh"angend im Widerspruch zum vorhergehenden Korollar \ref{VG}. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Injektive geschlossene Wege in einem Zweitorus}] Gegeben eine Einbettung $i:S^1\hra S^{1}\times S^{1}$ sind die Umlaufzahlen von $\op{pr}_1\circ i$ und $\op{pr}_2\circ i$\label{igW} entweder teilerfremd oder beide Null. \end{Korollar} \begin{proof}[Beweis] Nach \ref{GKZw} ist die Kohomologie des Zweitorus isomorph zu $\DZ$ in den Graden Null und Zwei und isomorph zu $\DZ^2$ im Grad Eins. Insbesondere ist der Zweitorus orientierbar. Wir wenden nun die Lokalisierungssequenz \ref{LokSS} an auf den Fall $X = S^{1} \times S^{1}$ und das Bild $A\pdef i(S^{1}) \As X$ und folgern eine exakte Sequenz $${\op{H}}^{1}_{!} X \ra {\op{H}}^{1}_{!} A \ra {\op{H}}^{2}_{!} (X\backslash A)$$ Da ${\op{H}}^{2}_{!} (X\backslash A) $ frei ist "uber $\Bbb{Z}$, mu"s ${\op{H}}^{1}_{!} X \ra {\op{H}}^{1}_{!} A$ surjektiv oder Null sein. Diese Abbildung wird jedoch nach \ref{GKZw} unter geeigneten Identifikationen ${\op{H}}^{1}_{!} X \cong \Bbb{Z} \oplus \Bbb{Z}$, ${\op{H}}^{1}_{!} A \cong \Bbb{Z}$ gegeben durch die Zeilenmatrix $(a,b)$. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine eigentliche Abbildung $f:M\sra N$ von zusammenh"angenden orientierten $n$-Mannigfaltigkeiten\label{ABGr} erkl"aren wir ihren {\bf Abbildungsgrad}\index{Abbildungsgrad} als das Bild der Eins unter der Komposition $\DZ\sira {\op{H}}^n_!N\ra {\op{H}}^n_!M\sira \DZ$ mit den durch die jeweiligen Orientierungen gegebenen "au"seren Isomorphismen und dem eigentlichen Zur"uckholen unter $f$ in der Mitte. Sei $V\co N$ offen zusammenh"angend und sei $f^{-1}(V)=U_1\sqcup \ldots\sqcup U_r$ die Zerlegung des Urbilds von $V$ in seine Zusammenhangskomponenten. So ist der Abbildungsgrad von $f$ die Summe der Abbildungsgrade der eingeschr"ankten Abbildungen $f:U_i\ra V$. Hat insbesondere $f$ einen von Null verschiedenen Abbildungsgrad, so mu"s $f$ surjektiv sein. Hinweis: \ref{aTH} und \ref{KKMa}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Wir denken uns eine Einbettung der Figur 8 in einen Zweitorus. Welche Werte k"onnen die insgesamt vier Umlaufzahlen, je zwei f"ur jeden Kreis der 8, annehmen? Ich hab mir das selber gar nicht so genau "uberlegt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $N\hra M$ die Einbettung einer offenen nichtleeren Teilmenge in eine zusammenh"angende $n$-Mannigfaltigkeit, so ist die Ausdehnung durch Null eine Surjektion ${\op{H}}_!^nN\sra {\op{H}}_!^nM$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Kompakte Kohomologie komplexer Variet"aten}] Wir erkl"aren eine {\bf Filtrierfaltigkeit}\index{Filtrierfaltigkeit} oder genauer {\bf $n$-Filtrierfaltigkeit} als einen lokal kompakten Hausdorffraum $X$, der eine Filtrierung $$X=X^{{\leq n}}\supset X^{{\leq n-1}}\supset\ldots\supset X^{{\leq 0}} \supset \emptyset =X^{{\leq -1}}=X^{{\leq -2}}=\ldots$$ durch abgeschlossene Teilmengen besitzt derart, da"s $X^{{\leq q}}\backslash X^{{\leq q-1}}$ jeweils eine $q$-Man\-nig\-fal\-tig\-keit ist.\label{kkkV} Jede $n$-Filtrierfaltigkeit ist insbesondere auch eine $(n+1)$-Filtrierfaltigkeit. Gegeben eine $n$-Filtrierfaltigkeit zeige man ${\op{H}}_!^q(X;\mathcal F)=0$ f"ur $q>n$ und jede abelsche Garbe $\mathcal F$ und zeige unter der zus"atzlichen Annahme $X^{{\leq n-1}}=X^{{\leq n-2}}$, da"s die Ausdehnung durch Null einen Isomorphismus $${\op{H}}_!^n(X\backslash X^{{\leq n-2}})\sira {\op{H}}_!^n(X)$$ induziert. Ein typisches Beispiel f"ur eine derartige Situation erhalten wir im Fall einer komplexen algebraischen Variet"at $V$ einer Dimension $\op{kdim}_\DC V\leq d$, wenn wir den zugeh"origen topologischen Raum $X=V(\DC)$ mit seiner analytischen Topologie versehen und die Filtrierung durch die Untervariet"aten der jeweils singul"aren Punkte betrachten, vergleiche \eref{UVUM}{KAG} und \eref{gSod}{KAG}. Hier hat man dann $n=2d$. Sobald wir wissen, da"s f"ur jede irreduzible glatte komplexe Variet"at $V$ unser Raum $V(\DC)$ zusammenh"angend und orientierbar ist, folgt sogar, da"s ${\op{H}}_!^{2d}(V(\DC))$ eine freie abelsche Gruppe ist mit je einem Erzeuger pro irreduzibler Komponente der Krulldimension $d$ von $V$, und durch die Wahl einer Orientierung des $\DR$-Vektorraums $\DC$ werden diese Erzeuger sogar eindeutig festgelegt. Hinweis: Lokalisierungssequenz \ref{LokSe}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige, da"s gegeben $s^{n-1} \subset S^{n} $ zwei ineinander enthaltene Sph"aren benachbarter Dimensionen und eine beliebige zweipunktige\label{KGDb} Teilmenge $Z\subset S^{n}$ bestehend aus je einem Punkt in jeder Komponente des Komplements $S^{n}\backslash s^{n-1}$ die Einbettung $s^{n-1} \hra S^{n} \backslash Z$ einen Isomorphismus auf der Kohomologie induziert. Hinweis: Man vergr"o"sere $Z$ zu einer offenen Menge $\tilde Z$ bestehend aus je einem offenen Ball um jeden der beiden Punkte, der seinerseits $s^{n-1}$ nicht trifft. Mithilfe der Nat"urlichkeit der Sequenz zu einer offenen Teilmenge zeige man dann, da"s das abgeschlossene Zur"uckholen Isomorphismen ${\op{H}}^{q}_{!} (S^{n} \backslash \tilde Z)\sira{\op{H}}^{q}_{!} (s^{n-1})$ induziert. Das liefert auch einen alternativen Zugang zu unseren Erkenntnissen "uber Umlaufzahlen kreuzungsfreier Wege \eref{InWW}{TF}. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine abgeschlossene Teilmenge $A\As \DR^n$, die hom"oomorph ist zu $\DR^{n-1}$, sind beide Komponenten des Komplements von $A$ unbeschr"ankt und $A$ ist der Rand einer jeden von ihnen.\label{jkV} Hinweis: Man lasse sich vom Beweis des Jordan'schen Kurvensatzes \eref{JoB}{TS} inspirieren. % Sonst w"are $A$ beschr"ankt, also kompakt... \end{Ubung} \begin{Ubung} Sind $A,B\As \DR^2$ zwei nichtkompakte zusammenh"angende Einsmannigfaltigkeiten und besteht ihr Schnitt aus einem einzigen Punkt, so hat das Komplement $\DR^2\backslash (A\cup B)$ genau vier Komponenten. Hinweis: Man berechne mit \eref{KPEM}{TS} zun"achst\label{jkAK} einmal die kompakte Kohomologie von $A\cup B$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $A\As \DR^2$ kompakt und "uberlagerungstrivial, so ist $\DR^2\backslash A$ zusammenh"angend. Ist $A\As \DR^2$ kompakt und einfach wegzu\-sam\-men\-h"ang\-end, so ist $\DR^2\backslash A$ nicht notwendig zusammenh"angend. Hinweis: Verschwinden der ersten Garbenkohomologie "uberlagerungstrivialer R"aume \ref{EKEZ} und Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie.\label{kez} \end{Ubung} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTG" %%% End: