\section{Faserungen und Basiswechsel} \subsection{Fasern eines Funktors} \begin{Definition} Seien $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ Garben von Mengen. Ein {\bf Garbenmorphismus "uber $f$}\index{Garbenmorphismus!"uber stetiger Abbildung} ist eine stetige Abbildung $\varphi:\bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal G}$ derart, da"s das Diagramm\label{MGuM} $$\begin{array}{ccc} \bar{\mathcal F}&\ra &\bar{\mathcal G}\\ \da&&\da\\ X&\ra&Y \end{array}$$ kommutiert. Die Menge der Garbenmorphismen "uber einer vorgegebenen stetigen Abbildung $f$ notieren wir $\op{Ens}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)$. \end{Definition} \begin{Definition}[\textbf{Mengengarbenfaserung}] Wir erkl"aren die Kategorie $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}$ aller Paare $(X,\mathcal F)$ bestehend aus einem topologischen Raum $X$ und einer Garbe von Mengen $\mathcal F\in \op{Ens}_{/X}$ auf $X$. Gegeben Objekte\label{GarbF} $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ sowie $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ erkl"aren wir einen Morphismus als ein Paar $(f,\varphi)$ bestehend aus einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ und einem Garbenmorphismus $\varphi:\bar{\mathcal F}\ra \bar{\mathcal G}$ "uber $f$. Die Verkn"upfung von Morphismen ist die offensichtliche. Das Vergessen der Garbe ist ein Funktor $$\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra \op{Top}$$ Es wird sich erweisen, da"s ein Faserfunktor im Sinne von \ref{FasF} ist. Wir nennen ihn im Vorgriff darauf bereits hier die {\bf Mengengarbenfaserung}.\index{Mengengarbenfaserung} \end{Definition} \begin{Definition} Sei $p : \mathscr{C} \ra \mathscr{B}$ ein Funktor.\label{FMC} Gegeben ein Objekt $X \in \mathscr{B}$ erkl"art man die \defnoind{Faser von $p$ "uber $X$} \index{Faser!eines Funktors} als die Unterkategorie $\mathscr{C}_{X}\subset \mathscr C$\label{GefK} mit Objekten $\mathscr{C}_{X}\pdef \{ {\mathcal E} \in \mathscr{C} \mid p {\mathcal E} = X\}$ und Morphismen denjenigen Morphismen von $\mathscr C$, die "uber der Identit"at von $X$ liegen, in Formeln $$\mathscr{C}_{X}({\mathcal E},{\mathcal F})\pdef %\mathscr{C}_{\op{id}_X}({\mathcal E},{\mathcal F})= \{ \alpha \in \mathscr{C} ({\mathcal E},{\mathcal F}) \mid p(\alpha) = \op{id}_{X}\}$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Die Faser vom h"oheren Standpunkt}] Gegeben die terminale Kategorie $\op{cat}$ mit einem Objekt und einem Morphismus ist die Faser ein Faserprodukt $\op{cat}\times_{\mathscr B}\;{\mathscr C}$ in der Kategorie $\op{Cat}$ der Kategorien, zu verstehen in Bezug auf den durch das Objekt $X$ gegebenen Funktor $\op{cat}\ra \mathscr{B}$. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} F"ur jeden Monoidhomomorphismus $\varphi:G\ra H$ ist die Faser des Funktors $[\varphi]:[G]\ra[H]$ der zugeh"origen Ein-Objekt-Kategorien die Ein-Objekt-Kategorie $[\op{ker}\varphi]$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}\label{BSKM} Sei $\mathscr{B}$ irgendeine Kategorie und $\mathscr{C}\pdef\mathscr{B}^\da=\op{Car}(\da,\mathscr B)$ die Kategorie aller Darstellungen im Sinne von \eref{DaKoe}{LA2} des K"ochers $\da$ mit zwei Punkten und einem Pfeil vom einen zum anderen in $\mathscr{B}$ und $p:\mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ der Funktor, der jedem Morphismus sein Ziel zuordnet. So ist die Faser $\mathscr{C}_{X}$ "uber $X\in \mathscr{B}$ gerade unsere Kategorie $\mathscr{B}_X$ aller Objekte von $\mathscr{B}$ "uber $X$ aus \eref{ObUe}{TF}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $\mathscr{B} = \op{Top}$ die Kategorie der topologischen R"aume und $\mathscr{C} = \op{\acute{E}t}$ die Kategorie mit \'etale Abbildungen $(p: \tilde{X} \ra X)$ als Objekten und Morphismen Paaren $\alpha = (\tilde{f}, f)$ stetiger Abbildungen derart, da"s das Diagramm\label{ETFm} \begin{displaymath} \xymatrix{ \tilde{X} \ar[d]_p\ar[r]^{\tilde{f}} & \tilde{Y}\ar[d]^q\\ X \ar[r]^{f} & Y } \end{displaymath} kommutiert. In anderen Worten ist $\op{\acute{E}t}\subset \op{Top}^\da$ die volle Unterkategorie aller \'etalen Morphismen. Betrachten wir in dieser Situation den Funktor $P : \op{\acute{E}t} \ra \op{Top}$ gegeben durch $(p: \tilde{X} \ra X ) \mapsto X$, so besteht die Faser "uber $X$ aus allen \'etalen Morphismen nach $X$, mit Decktransformationen im Sinne von \eref{Deck}{TF} als Morphismen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Faser $(\op{Ens}_{/\op{Top}})_{X}$ unserer Garbenfaserung $\op{Ens}_{/\op{Top}}\ra\op{Top}$ aus \ref{GarbF} "uber einem topologischen Raum $X$ ist isomorph zur Kategorie $\op{Ens}_{/X}$ der Garben "uber $X$ vermittels des Funktors, der jedem Garbenhomomorphismus die davon induzierte Decktransformation zwischen den \'etalen R"aumen unserer Garben zuordnet. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} In derselben Weise definieren wir Morphismen von abelschen Garben "uber einer vorgegebenen stetigen Abbildung und die zugeh"orige Kategorie $\op{Ab}_{/{\op{Top}}}$ von abelschen Garben auf topologischen R"aumen mit dem nat"urlichen Funktor\label{AbTop} $$\op{Ab}_{/{\op{Top}}}\ra \op{Top}$$ \end{Bemerkungl} \subsection{Kartesische Morphismen und Faserfunktoren} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Funktor $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ und Objekte $\mathcal F,\mathcal G\in\mathscr C$ und ein Morphismus $f\in \mathscr{B}(p\mathcal F,p\mathcal G)$ setzen wir $$\mathscr{C}_f(\mathcal F,\mathcal G)\pdef \{ \xi\in \mathscr{C}(\mathcal F,\mathcal G)\mid p(\xi)=f\}$$ und nennen die Elemente dieser Menge {\bf Morphismen "uber $f$}.\index{Morphismen "uber $f$} Die Morphismen "uber der Identit"at $f=\op{id}_X$ eines Objekts $X\in\mathscr B$ sind also genau die Morphismen in der \hyperref[FMC]{Faser \"uber $X$} unseres Funktors $p$, in Formeln $\mathscr{C}_X(\mathcal F,\mathcal G)= \mathscr{C}_{\op{id}_X}(\mathcal F,\mathcal G)$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Funktor $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ hei"st ein Morphismus $\kappa : \mathcal F \ra \mathcal G$ in $\mathscr C$ {\bf kartesisch} oder genauer {\bf $p$-kartesisch},\index{kartesisch!Morphismus} wenn mit der Notation $f:X\ra Y$ f"ur sein Bild unter $p$ f"ur jedes\label{kaMo} Objekt $\mathcal E \in\mathscr C_X$ das Nachschalten von $\kappa$ eine Bijektion $(\kappa\circ): \mathscr C_X(\mathcal E,\mathcal F)\sira \mathscr C_{f}(\mathcal E,\mathcal G)$ induziert. \end{Definition} \begin{Beispiel} Ein Morphismus $(f,\varphi)$ in $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}$ ist kartesisch f"ur unseren Funktor des Vergessens der Garbe $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ genau dann, wenn das Diagramm\label{DbPn} $$\begin{array}{ccc} \bar{\mathcal E}&\ra &\bar{\mathcal G}\\ \da&&\da\\ X&\ra&Y \end{array}$$ kartesisch ist in der Kategorie der topologischen R"aume. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Herkunft der Terminologie}]%\label{BSKM} Sei $\mathscr{B}$ irgendeine Kategorie und $\mathscr{C}\pdef\mathscr B^\da$ die\label{BSKMn} Kategorie aller Darstellungen des K"ochers $\da$ mit zwei Punkten und einem Pfeil vom einen zum anderen in $\mathscr{B}$ im Sinne von \eref{DaKoe}{LA2}. Denken wir uns den einzigen Pfeil unseres K"ochers wie angedeutet \glqq vertikal\grqq, so sind Objekte von $\mathscr{C}$ \glqq vertikale\grqq\ Morphismen in $\mathscr{B}$ und Morphismen in $\mathscr{C}$ Paare von \glqq horizontalen\grqq\ Morphismen in $\mathscr{B}$ derart, da"s mit den gegebenen vertikalen Morphismen kommutative Quadrate entstehen. Ist schlie"slich $p:\mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ der Funktor, der jedem Morphismus sein Ziel zuordnet, so sind die $p$-kartesischen Morphismen in $\mathscr{C}$ genau diejenigen Morphismen, die kartesischen Quadraten entsprechen. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein Funktor $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ hei"st ein {\bf Faserfunktor}\index{Faserfunktor} oder gleichbedeutend eine {\bf Faserung},\index{Faserung!Funktor} wenn gilt:\label{FasF} \begin{enumerate} \item Zu jedem Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr{B}$ und jedem $\mathcal G\in \mathscr C_Y$ existiert ein kartesischer Lift $\kappa:\mathcal F\ra \mathcal G$ von $f$, der wie angedeutet in $\mathcal G$ landet; \item Die Verkn"upfung von je zwei verkn"upfbaren kartesischen Morphismen in $\mathscr C$ ist kartesisch. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel} Sei $\mathscr B$ eine Kategorie. Unser Funktor $p:\mathscr B^\da\ra \mathscr B$ aus \ref{BSKMn} ist genau dann ein Faserfunktor, wenn sich in $\mathscr{B}$ jeder Winkel zu einem kartesischen Diagramm erg"anzen l"a"st. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Unsere Mengengarbenfaserung $\op{Ens}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GarbF} ist ein Faserfunktor. Dasselbe gilt f"ur den Funktor $\op{Ab}_{/\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{AbTop}. Analoges gilt weiter f"ur Garben\label{GaFa} von Moduln "uber einem festen Ring und f"ur Garben von Ringen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Eine Trennkategorie hat genau dann stabil universelle Trennungen, wenn ihr Trennfunktor zur terminalen Trennkategorie eine Faserung auf den Familienkategorien induziert.\label{MuKof} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ bezeichne ${\op{p}}\mathcal C_{/{\op{Top}}^{\op{opp}}}$ die Kategorie aller Paare $(X,\mathcal F)$ aus einem topologischen Raum $X$ und einer $\mathcal C$-Pr"agarbe $\mathcal F\in {\op{p}}\mathcal C_{/X}$ darauf, mit Komorphismen als Morphismen. Das Vergessen der Pr"agarbe ist dann eine Faserung $${\op{p}}\mathcal C_{/{\op{Top}}^{\op{opp}}}\ra {\op{Top}}^{\op{opp}}$$ Gegeben $f:X\ra Y$ ist der Opponierte $\kappa^\circ:f_\ast \mathcal F\ra \mathcal F$ zum Transport des Vorschubs $\kappa:\mathcal F\ra f_\ast\mathcal F$ aus \ref{DbP} kartesisch "uber $f^\circ:Y\ra X$.\label{koff} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Funktor $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ hei"st ein Morphismus $\kappa$ in $\mathscr{C}$ {\bf kokartesisch},\index{kokartesisch!Morphismus} wenn $\kappa^\circ$ \hyperref[kaMo]{kartesisch} ist f"ur den Funktor $p^{\op{opp}} : \mathscr{C}^{\op{opp}}\ra \mathscr{B}^{\op{opp}}$. Ausgeschrieben ist also $\kappa:\mathcal F\ra \mathcal G$ kokartesisch, wenn mit der Notation $f:X\ra Y$ f"ur sein Bild unter $p$ gilt, da"s f"ur jedes Objekt $\mathcal H\in\mathscr C_Y$ das Vorschalten von $\kappa$ eine Bijektion $$(\circ\kappa): \mathscr C_Y(\mathcal G,\mathcal H)\sira \mathscr C_f(\mathcal F,\mathcal H)$$ induziert. Ein Funktor $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$\label{kokaf} hei"st ein {\bf Kofaserfunktor}\index{Kofaserfunktor} oder gleichbedeutend eine {\bf Kofaserung}\index{Kofaserung}, wenn der induzierte Funktor $p^{\op{opp}} : \mathscr{C}^{\op{opp}}\ra \mathscr{B}^{\op{opp}}$ ein Faserfunktor ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Einen Komorphismus $\phi:\mathcal G\ra \mathcal F$ von Pr"agarben nennen wir auch einen {\bf Opkomorphismus von $\mathcal F$ nach $\mathcal G$}\index{Opkomorphismus} und notieren diesen Opkomorphismus $\phi^\circ:\mathcal F\ra \mathcal G$. Wir erhalten so Kategorien $${\op{p}}\mathcal C_{\sslash\op{Top}}\supset\mathcal C_{\sslash\op{Top}}$$ mit Objekten Paaren $(X,\mathcal F)$ aus einem topologischen Raum $X$ und einer $\mathcal C$-wer\-ti\-gen Pr"agarbe beziehungsweise Garbe $\mathcal F$ auf unserem Raum $X$ und Morphismen Paaren $(f, \eta):(X,\mathcal F) \ra(Y,\mathcal G)$ aus einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ und einem Opkomorphismus $\eta:\mathcal F\ra \mathcal G$ dar"uber. Das Vergessen der Pr"agarbe ist dann ein Funktor $${\op{p}}\mathcal C_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$$ Die Menge aller Opkomorphismen "uber $f$ von einer Pr"agarbe $\mathcal F$ in eine Pr"agarbe $\mathcal G$ notieren wir\label{pfpg} ${\op{p}}\mathcal C_{\sslash f}(\mathcal F,\mathcal G)$ und im Fall von Garben $\mathcal C_{\sslash f}(\mathcal F,\mathcal G)$. Wir notieren $\mathcal C_{\sslash X}\pdef \mathcal C_{/ X}^{\op{opp}}$ die zur Kategorie der Garben auf $X$ opponierte Kategorie und haben damit insbesondere $\mathcal C_{\sslash X}(\mathcal F,\mathcal G)= \mathcal C_{\sslash \op{id}_X}(\mathcal F,\mathcal G)$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ sind unsere Funktoren ${\op{p}}\mathcal C_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ und $\mathcal C_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{pfpg} Kofaserfunktoren. Sie entstehen durch Opponieren aus den Faserfunktoren \ref{koff} nach $\op{Top}^{\op{opp}}$. Ein Morphismus\label{GaKoFa} alias Opkomorphismus $\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber einer stetigen Abbildung $f:X\ra Y$ ist dabei genau dann kokartesisch, wenn er Isomorphismen $\mathcal G(V)\sira \mathcal F(f^{-1}(V))$ alias einen Isomorphismus von Pr"agarben $\mathcal G\sira f_\ast \mathcal F$ induziert. Ich nenne diesen Funktor die {\bf Kofaserung der $\mathcal C$-Oppr"agarben} beziehungsweise die {\bf Kofaserung der $\mathcal C$-Opgarben}.\index{Kofaserung!der $\mathcal C$-Opgarben} Die Fasern dieser Funktoren sind opponierte Kategorien von $\mathcal C$-Pr"agarben beziehungsweise $\mathcal C$-Garben. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der Fall diskreter R"aume}] Jede Menge $X$ ist auch ein diskreter topologischer Raum und eine diskrete Kategorie. In diesem Fall haben wir einen nat"urlichen Isomorphismus $\op{Ens}_{/X}\sira \op{Cat}(X,\op{Ens})$ und gegeben $f:X\ra Y$ mit $Y$ ebenfalls diskret haben wir\label{MGdr} $$\op{Ens}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Cat}(X,\op{Ens})(\mathcal F,\mathcal G\circ f)$$ Ein Morphismus "uber von Mengengarben "uber $f$ entspricht also einer Transformation der zugeh"origen Funktoren $ \mathcal F\RA \mathcal G\circ f$. Ebenso haben wir eine nat"urlichen Isomorphismus $\op{Ens}_{{\sslash}X}\sira \op{Cat}(X,\op{Ens}^{\op{opp}})$ und eine Bijektion $$\op{Ens}_{{\sslash}f}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Cat}(X,\op{Ens}^{\op{opp}})(\mathcal F,\mathcal G\circ f)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Eine Schmelzkategorie hat genau dann stabil universelle Verschmelzungen im Sinne von \eref{smkk}{TSK}, wenn ihr Schmelzfunktor zur terminalen Schmelzkategorie eine Kofaserung auf den Familienkategorien induziert.\label{MuKofs} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ein Funktor hei"st ein {\bf Bifaserfunktor}\index{Bifaserfunktor} oder eine {\bf Bifaserung}\index{Bifaserung}, wenn er sowohl ein Faserfunktor als auch ein Kofaserfunktor ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Modulbifaserung}] Bezeichne $\op{Mod}_{{\op{Ring}}}$\index{Mod@$\op{Mod}_{{\op{Ring}}}$ Kategorie} die Kategorie, deren Objekte Paare $(A,M)$ aus einem Ring $A$ und einem $A$-Modul $M$ sind. Morphismen $(A,M)\ra (B,N)$ erkl"aren wir als Paare $(\varphi,\psi)$ bestehend aus einem Ringhomomorphismus $\varphi:A\ra B$ und einem Homomorphismus $\psi:M\ra N$ der unseren Moduln zugrundeliegenden additiven Gruppen derart, da"s gilt\label{mobi} $\psi(am)=\varphi(a)\psi(m)\;\forall a\in A, m\in M$. Der Funktor $$\op{Mod}_{{\op{Ring}}}\ra \op{Ring}$$ des Vergessens des Moduls ist dann eine Bifaserung. Kokartesisch "uber einem Ringhomomorphismus $A\ra B$ ist f"ur alle $M$ die Abbildung $M\ra B\otimes_A M$ mit $m\mapsto 1\otimes m$, kartesisch f"ur alle $N$ die Abbildung $\op{res}_B^A(N)\ra N$ mit $n\mapsto n$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Opmodulbifaserung}] Im weiteren Verlauf schreiben wir dieses Beispiel\index{Opmodulbifaserung} meist so um, da"s es zu einem Spezialfall des allgemeinen Formalismus der Modulgarben auf geringten R"aumen wird. Dazu gehen wir zu den opponierten Kategorien "uber und betrachten die Bifaserung $$\op{Ab}_{\sslash{\op{Ringo}}}\ra \op{Ringo}$$ mit der opponierten Kategorie zur Kategorie der $A$-Moduln in der Faser "uber einem Ring $A$ und der zur Kategorie der Ringe opponierten Kategorie\label{mobiV} $\op{Ringo}\pdef \op{Ring}^{\op{opp}}$ in der Basis. Dann ist der R"uckzug die Erweiterung der Skalare und der Vorschub die Restriktion des operierenden Rings. \end{Bemerkungw} \nichtfinal{Achtung, habe das op verschoben vor Modul oder Garbe.} \begin{Beispiel} In \ref{GaKoFa} hatten wir f"ur eine beliebige Kategorie $\mathcal C$ die Kofaserung $\mathcal C_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ der $\mathcal C$-Opgarben eingef"uhrt. F"ur Garben von Mengen oder abelschen Gruppen sind unsere Kofaserungen $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ und $\op{Ab}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GaKoFa} sogar Bifaserungen und ein Opkomorphismus $\mathcal F\ra \mathcal G$ "uber $f$ ist genau dann kartesisch,\label{GMab} wenn er einen Isomorphismus $f^\ast\mathcal G\sira \mathcal F$ induziert. Ich nenne diese Funktoren dann meist die {\bf Opgarbenfaserung}\index{Opgarbenfaserung} von Mengengarben beziehungsweise von abelschen Garben, weil das k"urzer ist und sie eben auch Faserungen sind und wir diese Eigenschaft im folgenden besonders herausstellen werden. Die Fasern dieser Opgarbenfaserungen sind opponiert zu unseren "ublichen Kategorien von Garben. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In meinen Augen ist die \hyperref[GaFa]{Garbenfaserung} $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ besonders anschaulich und die Op\-gar\-ben\-fa\-se\-rung\label{GafKO} $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ algebraisch besonders "ubersichtlich. Diese beiden Faserfunktoren bestimmen sich gegenseitig, genauer gehen sie durch \glqq Oppinvertieren\grqq\ auseinander hervor, wie in \ref{opii} und \ref{oppi} ausgef"uhrt wird. Allerdings ist nur die Op\-gar\-ben\-fa\-se\-rung eine Bifaserung. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Funktor. Ein Morphismus $\kappa : \mathcal F \ra \mathcal G$ in $\mathscr{C}$ hei"st {\bf stark kartesisch},\index{kartesisch!stark, Morphismus} wenn f"ur alle Objekte $\mathcal E \in\mathscr C$ und alle Morphismen $g:p\mathcal E\ra p\mathcal F$ in $\mathscr B$ das Nachschalten\label{stkk} von $\kappa$ eine Bijektion $$(\kappa\circ): \mathscr C_g(\mathcal E,\mathcal F)\sira \mathscr C_{p(\kappa)\circ g}(\mathcal E,\mathcal G)$$ induziert. Man zeige, da"s jede Verkn"upfung stark kartesischer Morphismen wieder stark kartesisch ist. Man zeige weiter, da"s ein Funktor genau dann ein Faserfunktor ist, wenn jeder Morphismus in der Bildkategorie einen stark kartesischen Lift besitzt, und da"s dann alle kartesischen Morphismen sogar stark kartesisch sind. Man zeige auch: Ist $\beta\alpha$ kartesisch und $\beta$ stark kartesisch, so ist $\alpha$ kartesisch. Morphismen $\mathcal E\ra \mathcal F$, die in diesem Kontext aus Morphismen $\mathcal E\ra \mathcal G$ entstehen, nennen wir {\bf Faktorisierungen}\index{Faktorisierung!Faserfaktorisierung} oder genauer {\bf Faserfaktorisierungen}.\index{Faserfaktorisierung} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Verkn"upfung von Faserfunktoren}] Gegeben seien Funktoren $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ und $q:\mathscr B\ra \mathscr A$. Gegeben ein Morphismus $\kappa$ in $\mathscr C$ mit $p(\kappa)$ stark $q$-kartesisch ist $\kappa$ genau dann stark $qp$-kartesisch, wenn es stark $p$-kartesisch ist. Die Verkn"upfung\label{VvFf} von Faserfunktoren ist auch selbst ein Faserfunktor. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Funktor und $\kappa$ ein Morphismus in $\mathscr C$. Ist $p(\kappa)$ ein Isomorphismus, so ist $\kappa$ genau dann kartesisch, wenn es selbst ein Isomorphismus ist.\label{jlk} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein Faserfunktor $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ zeige man, da"s auch der auf den Morphismenkategorien induzierte Funktor $p^\da:\mathscr{C}^\da\ra \mathscr{B}^\da$ ein Faserfunktor ist und da"s ein Morphismus genau dann kartesisch ist, wenn er objektweise kartesisch ist. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Gegeben ein Funktor $p: \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ und eine Unterkategorie $\mathscr U\subset \mathscr{B}$ erkl"aren wir das\label{resKK} {\bf Urbild von $\mathscr U$}\index{Urbild!von Kategorie} als die Kategorie $p^{-1}(\mathscr U)=\mathscr{C}_{\mathscr U}=\mathscr{C}|\mathscr U$\index{)8ba@$\mathscr{C}_{\mathscr U}$ R"uckzug von Kategorie} aller\index{I@$\mathscr{C}\hspace{-1mm}\mid\hspace{-1mm}{\mathscr U}$ R"uckzug von Kategorie} Objekte von $ \mathscr{C}$, die unter $p$ zu Objekten aus $\mathscr U$ werden, mit den Morphismen, die unter $p$ zu Morphismen aus $\mathscr U$ werden. Man zeige, da"s mit $p$ auch der induzierte Funktor $p_{\mathscr U}:\mathscr{C}_{\mathscr U}\ra {\mathscr U}$ ein Faserfunktor beziehungsweise Kofaserfunktor ist. Diesen Funktor nennen wir die {\bf R"uckzug von $p$ auf $\mathscr U$}.\index{R"uckzug!von Funktor} \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Familienfaserung}] Jede Menge $X$ k"onnen wir als eine diskrete Kategorie auffassen. Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ bezeichnen wir dann mit\label{FaFa} $$\mathcal C_{/X}\pdef \op{Cat}(X,\mathcal C)$$ die Funktorkategorie. Ihre Objekte sind durch $x\in X$ indizierte Familien $(\mathcal F_x)_{x\in X}$ von Objekten von $\mathcal C$. Gegeben eine Abbildung in eine weitere Menge $f:X\ra Y$ und $\mathcal F\in \mathcal C_{/X}$ sowie $\mathcal G\in \mathcal C_{/Y}$ erkl"aren wir einen {\bf Morphismus "uber $f$ von $\mathcal F$ nach $\mathcal G$} als eine Transformation $\mathcal F\RA \mathcal G\circ f$ alias eine Familie von Morphismen $(\mathcal F_x\ra \mathcal G_{f(x)})_{x\in X}$ und setzen also in Formeln $$\mathcal C_{/f}(\mathcal F,\mathcal G)\pdef \op{Cat}(X,\mathcal C)(\mathcal F, \mathcal G\circ f)$$ Man zeige, da"s wir so einen Faserfunktor $\mathcal C_{/{\op{Ens}}}\ra\op{Ens}$ erhalten. Wir nennen ihn die {\bf Familienfaserung zu $\mathcal C$}.\label{fzKa}\index{Familienfaserung} \end{Ubung} \subsection{R"uckzug, Vorschub, Basiswechsel, $f_\dagger,f^\dagger$} \begin{Definition}[\textbf{R"uckzug von Objekten und Morphismen}] Seien $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ ein Funktor, $f:X\ra Y$ ein Morphismus in der Basis $\mathscr{B}$ und $\mathcal G\in \mathscr{C}_Y$ ein Objekt "uber $Y$.\label{idi} \begin{enumerate} \item Sind $\kappa : \mathcal E \ra \mathcal G$ und $\kappa' : \mathcal E' \ra \mathcal G$ \hyperref[kaMo]{kartesische} Morphismen "uber $f$ mit demselben Ziel, so gibt es genau einen Morphismus $\iota\in\mathscr C_X(\mathcal E,\mathcal E')$ mit $\kappa'\circ \iota=\kappa$, und dieser Morphismus ist ein Isomorphismus. Das Paar $(\mathcal E,\kappa)$ ist also durch $\mathcal G$ eindeutig bestimmt bis auf eindeutigen Isomorphismus. Es verdient deshalb den bestimmten Artikel und eine Notation. Wir bezeichnen unser Paar $(\mathcal E,\kappa)$, wenn es denn existiert, mit $(f^\dagger\mathcal G,\kappa_{\mathcal G})$, und nennen $f^\dagger\mathcal G$ das {\bf mit $f$ zur"uckgezogene Objekt} und $\kappa=\kappa_{\mathcal G}$ seinen {\bf Transportmorphismus}\index{Transportmorphismus} oder kurz {\bf Transport}.\index{Transport} \item Ist $\mathcal G'\in \mathscr{C}_Y$ ein weiteres Objekt "uber $Y$, das sich vermittels $f$ zur"uckziehen l"a"st, % und so gibt es f"ur jeden Morphismus $\alpha\in\mathscr C_{Y}(\mathcal G,\mathcal G')$ genau einen Morphismus $\beta\in\mathscr C_{X}(f^\dagger\mathcal G,f^\dagger\mathcal G')$ mit $\kappa_{\mathcal G'}\beta=\alpha \kappa_{\mathcal G}$. Wir notieren ihn $\beta\pdef f^\dagger (\alpha)$ und nennen ihn den {\bf mit $f$ zur"uckgezogenen Morphismus}. Er ist eine Faserfaktorisierung im Sinne von \ref{stkk}. \item Nehmen wir zus"atzlich an, da"s sich jedes Objekt "uber $Y$ zur"uckziehen l"a"st, so erhalten wir einen Funktor $f^\dagger:\mathscr C_{Y}\ra \mathscr C_{X}$, der zusammen mit unseren Transportmorphismen eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutige Isotransformation. Er hei"st der {\bf R"uckzug}.\index{R"uckzug}\label{ZOM} Sollte sich nicht jedes Objekt zur"uckziehen lassen, so ist er zumindest ein wohldefinierter Funktor auf der vollen Unterkategorie der zur"uckziehbbaren Objekte von $\mathscr C_{Y}$ und damit ein partiell definierter Funktor $f^\dagger:\mathscr C_{Y}\dashrightarrow \mathscr C_{X}$. \item Gegeben $X\in \mathscr B$ ist der Identit"atsfunktor $\op{Id}_{\mathscr C_{X}}$ auf der Faser $\mathscr C_{X}$ mit den Identit"aten als Transportmorphismen ein R"uckzug zu $\op{id}_X$. Zwischen dem R"uckzug $\op{id}_X^\dagger$ und $\op{Id}_{\mathscr C_{X}}$ erhalten wir damit eine Isotransformation\label{IdRF} $$c_X: \op{id}_X^\dagger\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}_{\mathscr C_{X}}$$ \item Sind alle Objekte unter allen Morphismen zur"uckziehbar, so erhalten wir eine Transforma\-tion $c(f,g):f^\dagger\circ g^\dagger\RA (g\circ f)^\dagger$ durch die Bedingung, da"s ihr Vorschalten vor den Transportmorphismus des simultanen Zur"uckziehens die Verkn"upfung der Transportmorphismen des separaten Zur"uckziehens liefert. Im allgemeinen erhalten wir so eine Transformation der entsprechenden partiell definierten Funktoren. \item Wir nennen ein Objekt {\bf stark zur"uckziehbar},\index{zur"uckziehbar!stark} wenn es zur"uckziehbar ist mit einem \hyperref[stkk]{stark kartesischen} Transportmorphismus, und reden dann von {\bf starkem R"uckzug}.\index{R"uckzug!starker} Unsere Transformation von eben liefert eine Isotransforma\-tion $c(f,g):f^\dagger\circ g^\dagger\stackrel{\sim}{\RA} (g\circ f)^\dagger$ zwischen den Restriktionen unserer partiellen R"uckz"uge auf die unter $g$ und $(g\circ f)$ stark zur"uckziehbaren Objekte. \item Ist insbesondere unser Funktor ein \hyperref[FasF]{Faserfunktor}, so sind unsere Transformationen stets Isotransformationen $$c(f,g):f^\dagger\circ g^\dagger\stackrel{\sim}{\RA} (g\circ f)^\dagger$$ Wir nennen diese Isotransformationen $c(f,g)$ sowie die Isotransformationen $c_X: \op{id_X}^\dagger\stackrel{\sim}{\RA}\op{Id}_{\mathscr C_{X}}$ von oben die {\bf Identifikationen}\index{Identifikation} unseres Faserfunktors und notieren sie manchmal ausf"uhrlicher $\op{idf}$ oder $\op{idf}(f,g)$ und $\op{idf}_X$.\index{idf@$\op{idf}$ Identifikation} \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Beispiel}[\textbf{Notwendigkeit nichttrivialer Identifikationen}] F"ur jeden Gruppenhomomorphismus $\varphi:G\ra H$ betrachten wir den\label{RHGH} Funktor $[G]\ra [H]$ der zugeh"origen Ein-Objekt-Kategorien. Alle Morphismen dieser Kategorien sind Isomorphismen und f"ur einen Morphismus $f\in H$ ist nach \ref{jlk} folglich jeder Lift kartesisch. Unser Funktor ist demnach ein Faserfunktor genau dann, wenn besagter Gruppenhomomorphismus surjektiv ist. Der durch die Wahl eines Urbilds $g$ von $f$ festgelegte R"uckzug ist dann die Konjugation $f^\dagger =\op{int}(g^{-1}):[\op{ker}\varphi]\ra [\op{ker}\varphi]$. Gegeben ein Faserfunktor ist es insbesondere im allgemeinen nicht m"oglich, R"uckz"uge so zu w"ahlen, da"s alle Identifikationen Gleichheiten werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eindeutigkeit versus Gleichheit}] Wir haben vereinbart, da"s wir \glqq bis auf eindeutigen Isomorphismus eindeutig bestimmte Objekte\grqq\ mit einem bestimmten Artikel ansprechen und ihnen eine eigene Notation g"onnen wie $\DZ$ oder $\DR$ oder auch ${\op{H}}^q(X;\mathcal F)$ oder auch den R"uckzug $f^\dagger$ f"ur einen Morphismus $f:X\ra Y$ der Basis einer Faserung, den wir ja verstehen als ein Datum $f^\dagger=(f^\dagger,\tau_f)$ bestehend aus einer Abbildung $f^\dagger:\mathscr C_{Y}\ra \mathscr C_{X}$ auf den Objektmengen der Fasern zusammen mit kartesischen Morphismen $\tau_{f,\mathcal G}: f^\dagger \mathcal G\ra \mathcal G$ "uber $f$. Diese Notationen stehen aber immer f"ur einen in der Mengenlehre ein f"ur allemal gew"ahlten Repr"asentanten. Wir erlauben uns ebensowenig, $f^\dagger\circ g^\dagger=(g\circ f)^\dagger$ zu schreiben f"ur die R"uckz"uge einer Faserung unter verkn"upfbaren Morphismen der Basis, wie wir uns erlauben, $\DR=\DR'$ zu schreiben f"ur zwei angeordnete K"orper $\DR,\DR'$ mit der Supremumseigenschaft. Im Fall des iterierten R"uckzugs m"u"sten wir dabei zus"atzlich $f^\dagger\circ g^\dagger$ erkl"aren als das Datum $(f^\dagger\circ g^\dagger, \tau_{gf,\mathcal H})$ mit $\tau_{gf,\mathcal H}\pdef \tau_{g,\mathcal H}\circ \tau_{f,g^\dagger\mathcal H} $, aber auch damit h"atte $f^\dagger\circ g^\dagger$ ja nur die bis auf eindeutigen Isomorphismus charakterisierende Eigenschaft von $(g\circ f)^\dagger$ und m"u"ste keineswegs der mengentheoretische Vertreter sein, den wir einmal willk"urlich als R"uckzug des Morphismus $g\circ f$ der Basis gew"ahlt haben. Das vorherige Beispiel \ref{RHGH} zeigt, da"s es im allgemeinen auch bei gr"o"ster Sorgfalt nicht m"oglich ist, f"ur alle Morphismen der Basis gleichzeitig mengentheoretische Vertreter der R"uckz"uge so zu w"ahlen, da"s f"ur diese Vertreter stets gilt $f^\dagger\circ g^\dagger=(g\circ f)^\dagger$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein Funktor $p : \mathscr{C}\ra \mathscr{B}$ und ein Morphismus $f:X\ra Y$ in $\mathscr{B}$ konstruiert man analog partiell definierte Funktoren $f_\dagger:\mathscr C_X\dashrightarrow \mathscr C_Y$, den {\bf Vorschub}\index{Vorschub} und\label{stVV} den {\bf starken Vorschub},\index{Vorschub!starker} und zeigt daf"ur analoge Eigenschaften. Formal lassen sie sich auch erhalten, indem man auf den Funktor $p^{\op{opp}}: \mathscr{C}^{\op{opp}}\ra \mathscr{B}^{\op{opp}}$ die obigen Konstruktionen anwendet und zu dem so erhaltenen partiell definierten Funktor $(f^\circ)^\dagger:\mathscr C_X^{\op{opp}}\dashrightarrow \mathscr C_Y^{\op{opp}}$ den partiell definierten Funktor $f_\dagger\pdef ((f^\circ)^\dagger)^{\op{opp}}$ bildet.\label{Vorsch} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjunktion von Vorschub und R"uckzug}] Gegeben ein Funktor $\mathscr C\ra\mathscr B$ sind Vorschub und R"uckzug stets partiell adjungierte partiell definierte Funktoren vermittels der durch die Definitionen gegebenen\label{adVR} Bijektionen $$\mathscr C_X(\mathcal F,f^\dagger\mathcal G)\sira \mathscr C_f(\mathcal F,\mathcal G)\sira \mathscr C_Y(f_\dagger\mathcal F,\mathcal G)$$ Im Fall einer Bifaserung sind dar"uber hinaus beide Funktoren f"ur jeden Morphismus der Basis global definiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug in der Garbenfaserung}] Sei $f:X\ra Y$ stetig. Die R"uckzugfunktoren unserer \hyperref[GaFa]{Garbenfaserung} machen aus einer Garbe $\mathcal G$ auf $Y$ mit \'etalem Raum $\bar{\mathcal G}$ die Garbe auf $X$ mit \'etalem Raum $X\times_Y\bar{\mathcal G}$ und dem offensichtlichen Transportmorphismus.\label{rzGf} Wir notieren sie $f^\ast\mathcal G$ mit dem Transportmorphismus $\tau\in \op{Ens}_{/f}(f^\ast\mathcal G,\mathcal G)$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Einschr"ankung als R"uckzug}] Gegeben $Z\subset X$ eine Teilmenge eines topologischen Raums und eine Garbe $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ auf $X$ liefert unsere Definition \ref{EinGa} der auf $Z$ eingeschr"ankten Garbe $\mathcal F|_Z$ einen kartesischen Morphismus $ \mathcal F|_Z\ra \mathcal F$ "uber der Einbettung $i:Z\hra X$ alias einen Isomorphismus $$\mathcal F|_Z\sira i^*\mathcal F$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Konstante Garbe als R"uckzug}] Gegeben $a:X\ra {\op{top}}$ die konstante Abbildung eines topologischen Raums auf den einpunktigen Raum $\op{top}$ sowie eine Menge $M$ liefert unsere Definition \ref{konGa} der konstanten Garbe $M_X$ einen kartesischen Morphismus $ M_X\ra M_{\op{top}}$ "uber $a$ alias einen Isomorphismus\label{KGR} $$M_X\sira a^*M_{\op{top}}$$ Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ und $b:Y\ra\op{top}$ finden wir $a=bf$ und damit erweist sich unsere Faktorisierung $M_X\ra M_Y$ "uber $f$ aus \ref{koMO} in der Tat als eine Faktorisierung der Garbenfaserung im Sinne von \ref{stkk}. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{R"uckzug und Vorschub in der Opmengengarbenfaserung}] Gegeben $f:X\ra Y$ stetig sind die R"uckzugfunktoren unserer Opgar\-ben\-fa\-ser\-ung $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ aus \ref{GMab} die opponierten inversen Bilder $$f^\dagger\pdef (f^*)^{\op{opp}}:\op{Ens}_{\sslash Y}\ra \op{Ens}_{\sslash X}$$ mit den hoffentlich offensichtlichen Opkomorphismen $f^\dagger \mathcal G\ra\mathcal G$ "uber $f$ als Transportmorphismen. Die Vorsch"ube der Opgarbenfaserung sind entsprechend die opponierten Vorsch"ube\label{RHGA} $$f_{\dagger}\pdef(f_*)^{\op{opp}}:\op{Ens}_{\sslash X}\ra \op{Ens}_{\sslash Y}$$ mit den hoffentlich offensichtlichen Opkomorphismen $ \mathcal F\ra f_{\dagger}\mathcal F$ "uber $f$ als Transportmorphismen. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In \ref{AbiB} haben wir einen Isomorphismus zwischen dem R"uckzug einer Mengengarbe in Bezug auf die Opgarbenfaserung und ihrem R"uckzug in Bezug auf die Garbenfaserung \ref{rzGf} angegeben. In \ref{oppi} werden wir erkl"aren, inwiefern sich diese Beobachtung zu der Aussage pr"azisieren l"a"st, da"s unsere beiden Faserungen durch \glqq Oppinvertieren\grqq\ auseinander hervorgehen. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsvarianten}] Gegeben ein \hyperref[Bif]{Bi\-faserfunktor} $\mathscr C\ra\mathscr B$ und ein Objekt $X\in \mathscr B$ der Basis notieren wir die Opponierten der Faserkategorien gerne $\mathscr C_{/X}\pdef \mathscr C_{X}^{\op{opp}}$. Gegeben ein Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis schreiben wir weiter $f^*\pdef (f^\dagger)^{\op{opp}}: \mathscr C_{/Y}\ra \mathscr C_{/X}$ und $f_*\pdef (f_\dagger)^{\op{opp}}: \mathscr C_{/X}\ra \mathscr C_{/Y}$. Dann bilden diese Funktoren ein adjungiertes Paar $(f^*, f_*)$ wie man es gewohnt ist.\label{NotaV} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Allgemeiner Basiswechsel}] Sei $\mathscr C\ra \mathscr B$ ein Funktor und sei in der Basis $\mathscr{B}$ ein kommutatives Quadrat\label{BaWW} \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]^f\\ Z \ar[r]^p &Y } \end{displaymath} gegeben. Wir nehmen an, da"s sich f"ur ein Objekt $\mathcal{F} \in \mathscr{C}_X$ unser Diagramm hochheben l"a"st zu einem Diagramm in $\mathscr{C}$ ohne den durchgezogenen Pfeil der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ q^\dagger \mathcal{F}\ar@{_{(}->}[rr]\ar@{->>}[d] && \mathcal{F}\ar@{->>}[dd]\\ g_\dagger q^\dagger\mathcal{F}\ar[dr] &&\\ &p^\dagger f_\dagger\mathcal{F} \ar@{_{(}->}[r] &f_\dagger\mathcal{F} } \end{displaymath} Sind hier die Pfeile nach rechts sogar stark kartesische Lifts, wir deuten das als Injektionspfeil an, und die Pfeile nach unten stark kokartesische Lifts, wir deuten das als Surjektionspfeil an, so gibt es f"ur den durchgezogenen Pfeil offensichtlich genau einen Morphismus \begin{equation*}\op{bw}:g_\dagger q^\dagger \mathcal{F} \rightarrow p^\dagger f_\dagger \mathcal{F} \end{equation*} in $\mathscr{C}_Z$, der das obige Diagramm kommutativ macht. Er hei"st der {\bf Basiswechselmorphismus}\index{Basiswechselmorphismus} und wir notieren ihn oft $\op{bw}$.\index{bw@$\op{bw}$ Basiswechselmorphismus} Ist unser Funktor etwa eine Bifaserung, so ist der Basiswechselmorphismus nach \ref{stkk} f"ur alle Objekte $\mathcal F\in \mathscr{C}_X$ definiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Gegeben ein Morphismus $X\ra Y$ sagt man auch, $X$ sei ein \glqq Objekt "uber $Y$\grqq\ und nennt $Y$ die \glqq Basis\grqq. Gegeben ein Morphismus $Z\ra Y$ sagt man dann, das Objekt $X\times_YZ$ "uber $Z$ entstehe durch \glqq Wechsel von der Basis $Y$ zur Basis $Z$\grqq. Sehr oft betrachtet man dann diese oben eingef"uhrten Basiswechsel im Fall kartesischer Diagramme der Basis, also salopp gesprochen f"ur $W=X\times_YZ$. Im Fall beliebiger kommutativer Quadrate wird die Terminologie beibehalten, obwohl sie offen gestanden ihre Sinnhaftigkeit dabei vollst"andig verliert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Im Fall zweier Morphismen $\pi, i$ in der Basis mit $\pi\circ i=\op{id}=\op{id}\circ \op{id}$ spezialisiert der Basiswechsel zu einem nat"urlichen Morphismus $$i^\dagger\mathcal F\ra \pi_\dagger\mathcal F$$ unter der Annahme, da"s $i^\dagger\mathcal F\ra\mathcal F$ stark kartesisch ist und $\mathcal F\ra\pi_\dagger\mathcal F$ stark kokartesisch. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Basiswechsel in der Opmodulbifaserung}] Wir erinnern aus \ref{mobiV} die Opmodulbifaserung $\op{Ab}_{{\sslash}\op{Ringo}}\ra\op{Ringo}$ mit opponierten Modulkategorien in den Fasern und der opponierten Kategorie zur Kategorie der Ringe in der Basis. Gegeben ein kommutatives Quadrat %\label{VfM} \begin{displaymath} \xymatrix{ D\ar[d]_g\ar[r]^q & A\ar[d]^f\\ C\ar[r]^p & B } \end{displaymath} der Basis $\op{Ringo}$ derart, da"s die Multiplikation einen Isomorphismus von abelschen Gruppen\label{BWri} $C\otimes_B A\sira D$ induziert, ist f"ur jeden $A$-Modul $M$ der durch Basiswechsel gegebene Homomorphismus ein Isomorphismus $$C\otimes_B\op{res}_A^BM \sira \op{res}_D^C(D\otimes_AM)$$ Das ist leicht zu sehen, wir d"urfen salopp gesprochen $D=C\otimes_B A$ annehmen und haben dann salopp gerechnet $C\otimes_B M\cong C\otimes_B A\otimes_A M$. Beschr"anken wir uns in der Basis auf kommutative Ringe, genauer die opponierte Kategorie der Kategorie der kommutativen Ringe, so sind im "ubrigen die fraglichen Basisquadrate genau die kartesischen Quadrate in $\op{Kringo}$. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Vorschub durch Adjunktion}] Gegeben sei ein Faserfunktor $\mathscr C\ra\mathscr B$ mit R"uckzugfunktoren $f^\dagger:\mathscr C_Y\ra \mathscr C_X$ f"ur $f:X\ra Y$. Man zeige: Existiert der partielle Linksadjungierte $f_\dagger$ bei $\mathcal F\in\mathscr C_X$ und ist $\mathcal F\ra f^\dagger f_\dagger\mathcal F$ die Einheit der Adjunktion, so ist der zugeh"orige Morphismus $ \mathcal F\ra f_\dagger\mathcal F$ "uber $f$ stark kokartesich f"ur $\mathscr C\ra\mathscr B$.\label{stKK} Haben also bei einem Faserfunktor alle R"uckholfunktoren einen Linksadjungierten, so ist er ein Bifaserfunktor. Umgekehrt erhalten wir auch f"ur jeden Bifaserfunktor Adjunktionen $(f_\dagger, f^\dagger)$ als die Verkn"upfungen $$\mathscr C_Y(f_\dagger\mathcal F,\mathcal G)\sira \mathscr C_f(\mathcal F,\mathcal G) \sila \mathscr C_X(\mathcal F,f^\dagger\mathcal G)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Basiswechsel durch Adjunktionen}] Man zeige, da"s sich der Basiswechsel unter einem Bi\-fa\-serfunktor f"ur ein kommutatives Quadrat $fq=pg$ in der Basis beschreiben l"a"st vermittels der Adjunktionen zwischen Vorschub und R"uckzug $(f_\dagger,f^\dagger)$ und $(g_\dagger,g^\dagger)$ als \begin{equation*}g_\dagger q^\dagger \mathcal{F}\ra g_\dagger q^\dagger f^\dagger f_\dagger\mathcal{F}\ra g_\dagger g^\dagger p^\dagger f_\dagger\mathcal{F}\ra p^\dagger f_\dagger\mathcal{F} \end{equation*} Alternativ mag man ihn auch vermittels\label{BWAd} der Adjunktionen $(p_\dagger,p^\dagger)$ und $(q_\dagger,q^\dagger)$ konstruieren in "ahnlicher Weise. Sind insbesondere $f^\dagger$ und $g^\dagger$ volltreu, so liefert das Basiswechsel einen Isomorphismus f"ur alle Objekte $\mathcal F$ der Gestalt $\mathcal F=f^\dagger\mathcal G$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Einheit und Koeinheit einer Adjunktion als Basiswechsel}] Man zeige, da"s der Basiswechselmorphismus unter einem Bi\-fa\-serfunktor f"ur ein kommutatives Quadrat $fq=pg$ in der Basis\label{trBW} mit $p=f$ und $q=g$ zusammenf"allt mit der Komposition $\op{g}_\dagger\op{g}^\dagger\mathcal F\sira \mathcal F \ra f^\dagger f_\dagger \mathcal F$ der Koeinheit und Einheit der jeweiligen Adjunktionen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Transitivit"at von Basiswechseln}] Sei $\mathscr C\ra \mathscr B$ ein Bifaserfunktor und sei in der Basis $\mathscr{B}$ ein kommutatives Diagramm\label{TrBaa} \begin{displaymath} \xymatrix{ V \ar[d]_h\ar[r]^s &W \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]_f\\ T\ar[r]^r &Z \ar[r]^p &Y } \end{displaymath} gegeben. So stimmt der Basiswechsel im einh"ullenden Rechteck "uberein mit der in der hoffentlich offensichtlichen Weise aus den Basiswechseln in den einzelnen Quadraten und Identifikationen gebildeten Transforma\-tion $h_\dagger (qs)^\dagger\RA h_\dagger s^\dagger q^\dagger\RA r^\dagger g_\dagger q^\dagger\RA r^\dagger p^\dagger f_\dagger\RA (pr)^\dagger f_\dagger$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{R"uckzug von Basiswechseln}] Sei $\mathscr C\ra \mathscr B$ ein Bifaserfunktor und sei in der Basis $\mathscr{B}$ ein kommutatives Diagramm\label{RzBW} \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]^f\\ Z \ar[r]_p &Y } \end{displaymath} gegeben. Sei weiter $s:V\ra W$ gegeben. So ist die Verkn"upfung $$(gs)_\dagger (qs)^\dagger \siRa g_\dagger s_\dagger s^\dagger q^\dagger \RA g_\dagger q^\dagger\RA p^\dagger f_\dagger$$ von durch Identifikationen, der Koeinheit der Adjunktion und dem Basiswechsel gegebenen Transformationen der Basiswechsel im Diagramm $f (qs)= p (gs)$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Adjunktion und Basiswechsel}] Man zeige, da"s gegeben ein Bi\-fa\-serfunktor und ein kommutatives Quadrat $fq=pg$ in der Basis\label{trPP} das Diagramm von Transformationen \begin{displaymath} \xymatrix{ p^\dagger f_\dagger f^\dagger \ar@{=>}[rr]^{p^\dagger\eta}&&p^\dagger\\ g_\dagger q^\dagger f^\dagger \ar@{=>}[rr]^{g_\dagger \op{idt}}\ar@{=>}[u]^{\op{bw} f^\dagger}&&g_\dagger g^\dagger p^\dagger \ar@{=>}[u]_{\eta p^\dagger} } \end{displaymath} kommutiert. Hinweis: Man mag von der Transitivit"at der Basiswechsel \ref{TrBaa} in den Diagrammen \begin{displaymath} \xymatrix{ W \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]_g\ar[r]^f &Y \ar[d]_{\op{id}}\\ Z\ar[r]^p &Y \ar[r]^{\op{id}} &Y }\qquad \xymatrix{ W \ar[d]_g\ar[r]^g &W \ar[d]_{\op{id}}\ar[r]^p &Y \ar[d]_{\op{id}}\\ Z\ar[r]^{\op{id}} &Z \ar[r]^{p} &Y } \end{displaymath} ausgehen, deren einh"ullende Rechtecke "ubereinstimmen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Vertr"aglichkeit von Adjunktionen und Identifikationen}] Gegeben eine Bifaserung und eine Verkn"upfung $f g$ von Morphismen der Basis zeige man, da"s die durch Koeinheiten von Adjunktionen induzierte Transformation $g_\dagger f_\dagger f^\dagger g^\dagger \RA g_\dagger g^\dagger \RA \op{Id}$ zusammenf"allt mit der durch Identifikationen und eine Koeinheit der Adjunktion induzierten\label{KompAD} Transforma\-tion $g_\dagger f_\dagger f^\dagger g^\dagger \siRa (f g)_\dagger (f g)^\dagger \RA \op{Id}$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine Bifaserung und eine Verkn"upfung $f\circ g$ von Morphismen in der Basis zeige man, da"s die durch Einheit und Koeinheit der Adjunktion induzierte Transformation\label{KompADs} $g^\dagger \RA (f g)^\dagger(f g)_\dagger g^\dagger \siRa g^\dagger f^\dagger f_\dagger g_\dagger g^\dagger\RA g^\dagger f^\dagger f_\dagger$ zusammenf"allt mit der durch die Einheit der Adjunktion induzierte Transforma\-tion $g^\dagger \RA g^\dagger f^\dagger f_\dagger$. Hinweis: Vertr"aglichkeit von Adjunktionen und Identifikationen \ref{KompAD} sowie Dreiecksidentit"at \eref{FADJj}{TF}. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Unterobjektfaserung}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ betrachten wir in der Kategorie $\mathcal C^\downarrow$ aller Morphismen die volle Unterkategorie $\mathcal C^\subset\subset \mathcal C^\downarrow$ aller Monomorphismen und den Funktor\label{UOF} $p:\mathcal C^\subset\ra \mathcal C$, der jedem Monomorphismus sein Zielobjekt zuordnet. Besitzt in $\mathcal C$ jeder Winkel einen Pullback, so ist dieser Funktor eine Faserung mit dem Urbild eines Unterobjekts als R"uckzug. Ist unsere Kategorie $\mathcal C$ abelsch, so ist er sogar eine Bifaserung mit dem Bild eines Unterobjekts als Vorschub. \end{Ubunge} \begin{Ubunge}[\textbf{Basiswechsel in der Unterobjektbifaserung}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ und die Unterobjektbifaserung\label{BuFj} $p:\mathcal A^\subset\ra \mathcal A$ nach \ref{UOF} ist der Basiswechsel "uber einem kommutativen Quadrat $fq=pg$ der Basis ein Isomorphismus, wenn $(f,p)\circ (q,-g)^\top$ eine exakte Sequenz ist, insbesondere also f"ur jedes kartesische und jedes kokartesische Quadrat. Hinweis: Man zieht sich unschwer auf den Fall eines kartesischen Quadrats zur"uck. Indem man beide Kanten des Ausgangswinkels in einen Epimorphismus gefolgt von einem Monomorphismus faktorisiert und \eref{KKM}{TD} anwendet, zieht man sich weiter zur"uck auf den Fall kartesischer Quadrate mit nur Epimorphismen, mit nur Monomorphismen, oder mit parallelen Monomorphismen und parallelen Epimorphismen. Nur im letzten dieser F"alle ist die Behauptung nicht offensichtlich. Hier kann man aber die modulare Identit"at \ref{moI} anwenden. \end{Ubunge} \subsection{Basiswechselisomorphismen f"ur Garben} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Linksadjungierter von \'etalem Mengengarbenr"uckzug}] Gegeben eine \'etale Abbildung $f:X\ra Y$ hat der R"uckzug $f^*:\op{Ens}_{/Y}\ra \op{Ens}_{/X}$ stets einen Linksadjungierten\index{)7shriek@$f_{~!~!}$ Linksadjungierter des \'etalen R"uckzugs von Mengengarben}\label{AdInb} $$f_{!!}:\op{Ens}_{/X}\ra \op{Ens}_{/Y}$$ Um das zu einzusehen, bemerkt man zun"achst, da"s $(f\circ):\op{Top}_{X}\ra \op{Top}_{Y}$ linksadjungiert ist zu $X\times_Y:\op{Top}_{Y}\ra \op{Top}_{X}$. Daraus folgt dann, da"s f"ur $f$ \'etale $(f\circ)$ linksadjungiert ist zu $X\times_Y:\op{\acute{e}tTop}_{Y}\ra \op{\acute{e}tTop}_{X}$. Unser Linksadjungierter $f_{!!}$ vertauscht im allgemeinen keineswegs mit endlichen Produkten und macht keineswegs abelsche Garben zu abelschen Garben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Unser Linksadjungierter $f_{!!}$ hat eine enge Beziehung zum Schreivorschub $f_!$ f"ur abelsche Garben, den wir im folgenden Abschnitt diskutieren. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte als Morphismen}] Gegeben $j:U\hra X$ die Einbettung einer offenen Teilmenge und $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ eine Garbe erhalten wir f"ur $\op{ens}_{/U}$ die finale Mengengarbe auf $U$ insbeondere Bijektionen\label{SchMo} $$\op{Ens}_{/X}(j_{!!}\op{ens}_{/U},\mathcal F)\sira \op{Ens}_{/U}(\op{ens}_{/U},j^*\mathcal F)\sira \mathcal F(U)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{\'Etaler Basiswechsel in der Mengengarbenfaserung}] Sind in einem kartesischen Diagramm $fq=pg$ von topologischen R"aumen die Vertikalen $f,g$ \'etale, so ist der Basiswechsel f"ur Mengengarben in $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}$ eine Isotransformation\index{Basiswechsel!\'etaler!f"ur Mengengarben}\label{etBW} $$g_{!!}q^*\siRa p^*f_{!!}$$ Das ist in der Sprache der \'etalen R"aume eine recht banale Aussage und gilt sogar allgemeiner f"ur die Faserung $\op{Top}^{\da}\ra \op{Top}$ aus \ref{BSKM}, ja f"ur die Faserung $\mathscr B^{\da}\ra \mathscr B$ der relativen Objekte einer beliebigen Kategorie $\mathscr B$ mit Faserprodukt. Da"s $f,g$ \'etale sind, wird nur daf"ur ben"otigt, da"s ihr Nachschalten dann \'etale Morphismen zu \'etalen Morphismen macht. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{\'Etaler Basiswechsel in der Opmengengarbenfaserung}] Sind in einem kartesischen Diagramm $fq=pg$ von topologischen R"aumen die Horizontalen $p,q$ \'etale, so ist der Basiswechsel f"ur Opmengengarben in $\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}$ eine Isotransformation\label{OBW} $$ g_{\dagger} q^{\dagger} \siRa p^{\dagger} f_{\dagger} $$ Um das zu sehen, man man von der Isotransformation $q_{!!}g^*\siRa f^*p_{!!}$ nach \ref{etBW} ausgehen. Durch "Ubergang zu den Rechtsadjungierten erh"alt man daraus mit \eref{ADGe}{TF} und \eref{Kompa}{TF} eine Isotransformation $p^*f_*\siRa g_*q^*$. Geht man zu den opponierten Kategorien "uber, so ergibt sich die behauptete Isotransformation. Da"s sie dann auch tats"achlich der Basiswechsel der Opgarbenfaserung ist, mag man sich entweder direkt "uberlegen oder daraus ableiten, da"s unsere beiden Faserungen durch Oppinvertieren auseinander hervorgehen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eigentlicher Basiswechsel in der Opmengengarbenfaserung}] Sind in einem kartesischen Diagramm $fq=pg$ von topologischen R"aumen die Vertikalen $f,g$ eigentlich und separiert, so ist der Basiswechsel f"ur Opmengengarben in $\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}$ eine Isotransformation\label{EBWA}\index{Basiswechsel!eigentlicher!f"ur Mengengarben} $$ g_{\dagger} q^{\dagger} \siRa p^{\dagger} f_{\dagger} $$ Hat $g$ einpunktigen Wertebereich, so ist das im wesentlichen die Folgerung \ref{dlki} aus unserer Proposition \ref{FSK} zur Fortsetzbarkeit von Schnitten "uber relativ Hausdorff'schen Kompakta. Der allgemeine Fall folgt ohne weitere Schwierigkeiten. Einen Spezialfall haben wir bereits in \ref{eeB} kennengelernt. Spezialisiert auf den Fall abelscher Opgarben ist das ein erstes Beispiel f"ur \glqq les-Basiswechsel\grqq\ \ref{BaWeax}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Linksadjungierter zu abelschem \'etalen R"uckzug}] Gegeben eine \'etale Abbildung $f:X\ra Y$ ist f"ur alle $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ der partielle Linksadjungierte des R"uckzugs $f^*:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$ auf der freien abelschen Garbe $\DZ\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ definiert und nimmt dort den Wert $$\DZ f_{!!}\mathcal F$$ an f"ur den Linksadjungierten $f_{!!}:\op{Ens}_{/X}\ra \op{Ens}_{/Y}$ zu $f^*: \op{Ens}_{/Y}\ra \op{Ens}_{/X}$ aus \ref{AdInb} und $\DZ\mathcal G\in\op{Ab}_{/Y}$ die freie abelsche Garbe "uber $\mathcal G\in\op{Ens}_{/Y}$ aus \ref{frAG}. Jede abelsche Garbe $\mathcal A \in \op{Ab}_{/X}$ ist nun der Kokern $\DZ\mathcal G\ra \DZ\mathcal F\sra \mathcal A$ eines Morphismus von freien abelschen Garben. Man folgert so f"ur den R"uckzug $f^*:\op{Ab}_{/Y}\ra \op{Ab}_{/X}$ unter \'etalem $f$ die Existenz eines Linksadjungierten\label{AdInbh} $$f_{[!]}: \op{Ab}_{/X} \ra \op{Ab}_{/Y}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} F"ur $f:X\ra Y$ \'etale ist $f_{[!]}$ als Linksadjungierter von $f^*$ rechtsexakt und aus allgemeinen Gr"unden mu"s sein Linksderivierter, wo immer er definiert ist, linksadjungiert sein zum Rechtsderivierten des exakten Funktors $f^*$. F"ur $j:U\hra X$ eine offene Einbettung mit $f\circ j$ separiert ist sicher $j_{[!]}\mathcal F$ eine $f_{[!]}$-azyklische Garbe f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $U$. Wir k"onnen nun $X$ mit offenen Teilmengen "uberdecken, die unter $f$ hom"oomorph auf offene Teilmengen von $Y$ abgebildet werden. Das sollte eine $f_{[!]}$-azyklische Aufl"osung der L"ange Zwei liefern. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw} Im weiteren werden wir zeigen, da"s unser Linksadjungierter $f_{[!]}$ f"ur $f$ \'etale und separiert mit dem sogenannten \glqq Schreivorschub\grqq\ $f_!$ "ubereinstimmt. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Faserkonstante Garben}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $I$ ein zusammenh"angendes hausdorffsches Kompaktum und $\pi:X\times I\ra X$ die Projektion und $\mathcal F\in \op{Ens}_{/X\times I}$ eine Garbe. Ist die Restriktion von $\mathcal F$ auf jede Faser von $\pi$ konstant, so ist die Koeinheit der Adjunktion ein Isomorphismus\label{FKGa} $\pi^\ast\pi_\ast\mathcal F\sira \mathcal F$. Hinweis: Eigentlicher Basiswechsel \ref{EBWA}. Allgemeiner zeige man dasselbe f"ur $\pi:X\times I\ra X$ im Fall eines beliebigen nichtleeren reellen Intervalls $I$. Hinweis: Man schreibe $I$ als aufsteigende Vereinigung kompakter Intervalle und folgere, da"s f"ur jeden Punkt $t\in I$ und jede offene Teilmenge $U\co X$ die Restriktion von Schnitten eine Bijektion $\Gamma(U\times I;\mathcal F)\sira \Gamma(U\times \{t\};\mathcal F)$ induziert. Ich erinnere daran, da"s die Einheit der Adjunktion f"ur finale Abbildungen mit zusammenh"angenden Fasern stets ein Isomorphismus ist nach \ref{AdI}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Basiswechsel sind nicht immer Isomorphismen}] Gegeben eine Familie $(\mathcal F_i)_{i\in I}$ von Garben auf einem Raum $X$ kann man ihr Produkt konstruieren, indem man sie zu einer Garbe auf $X\times I^{\delta}$ zusammenf"ugt und deren Vorschub unter der Projektion auf $X$ nimmt. So liefert \ref{PrGa} auch ein Beispiel f"ur ein kartesisches Diagramm topologischer R"aume und eine Garbe, f"ur die der Basiswechselmorphismus \ref{BaWW} der Opgarbenbifaserung kein Isomorphismus ist. \end{Ubung} % \begin{Ubung}[\textbf{Direktes Bild unter horizontaler Einbettung}]Seien $X,Y$ topologische R"aume, $c \in Y$ ein Punkt, $h\pdef (\op{id},\op{em}_c\op{fin}_X): X \ra % X \times Y$ die \glqq horizontale\grqq\ Einbettung $x \mapsto (x,c)$ % und $\cal{F}$ eine Garbe von Mengen auf $X$. Man zeige: F"ur % $y\in \bar c$ im Abschlu"s von $c$ % haben wir in dieser Situation Isomorphismen\label{FDB} % $$ \cal{F}_{x}\sira % (h_{\ast} \cal{F})_{(x,y)} \sira (h_{\ast} \cal{F})_{(x,c)} $$ % gegeben durch die Adjunktion $(h^\ast,h_\ast)$ und das % Generisieren \ref{HABs}. F"ur % $ y \not \in \bar c$ ist der Halm $(h_{\ast} \cal{F})_{(x,y)}$ einelementig. % Insbesondere ist $h_{\ast}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/X \times Y}$ exakt. % \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wolkenkratzer zu dichtem Punkt}] Gegeben $Z$ ein topologischer Raum und $e:\op{top}\hra Z$ eine Einbettung des Einpunktraums mit dichtem Bild und $c:Z\ra \op{top}$ die konstante Abbildung ist die von der Identifikation $e^*c^*\siRa \op{id}$ vermittels\label{VSP} der Adjunktion induzierte Transformation von Funktoren $\op{Ens}_{/\op{top}}\ra \op{Ens}_{/Z}$ eine Isotransformation $$c^*\siRa e_{*}$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wolkenkratzergarben im Allgemeinen}] Gegeben ein bepunkteter Raum $(X,x)$ und $i_x:\op{top}\hra X$ die zugeh"orige Einbettung des Einpunktraums und $Z\pdef \op{Cl}_X(\{x\})$ und $c: Z \ra \op{top}$ die konstante Abbildung und $i:Z\hra X$ die Einbettung induziert die Isotransformation aus der vorhergehenden "Ubung \ref{VSP} unter $i_*$ eine Isotransformation $$i_*c^*\siRa i_{x*}$$ Insbesondere ist das Bilden der Wolkenkratzergarbe in abelschen Garben stets ein exakter Funktor\label{Vspp} $i_{x*}:\op{Ab}_{/\op{top}}\ra \op{Ab}_{/X}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wolkenkratzer zu dichtem Punkt, Variante}] Gegeben $(Z,z)$ ein topologischer Raum mit einem dichten Punkt $z$ und ein weiterer Raum $S$ mit Garbe $\mathcal M\in \op{Ens}_{/S}$ und $e:S\hra S\times Z$ gegeben durch $s\mapsto (s,z)$ und $\pi:S\times Z\ra S$ die Projektion liefert die Identifikation $e^*\pi^*\siRa \op{id}$\label{VSPv} unter der Adjunktion eine Isotransformation $$\pi^*\siRa e_{*}$$ von Funktoren $\op{Ens}_{/S}\ra \op{Ens}_{/S\times Z}$. Hinweis: Eigentlicher Basiswechsel. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Wolkenkratzer im Allgemeinen, Variante}] Gegeben ein bepunkteter Raum $(X,x)$ und $S$ ein weiterer Raum mit Garbe $\mathcal M\in \op{Ens}_{/S}$ und $\op{em}_x:S\hra S\times X$ die \glqq horizontale\grqq\ Einbettung $s\mapsto (s,x)$ und $Z\pdef \op{Cl}_X(\{x\})$ und $\pi: S\times Z \ra S$ die Projektion und $i:Z\hra X$ die Einbettung von $Z$ liefert das Anwenden von $(\op{id}\times i)_*$ auf die Isotransformation aus der vorhergehenden "Ubung \ref{VSPv} eine Isotransformation $$(\op{id}\times i)_*\pi^*\siRa {\op{em}}_{x*}$$ Insbesondere\label{FDB} ist der Vorschub von abelschen Garben unter \glqq horizontalen Einbettungen\grqq\ stets ein exakter Funktor $ {\op{em}}_{x*}:\op{Ab}_{/S}\ra \op{Ab}_{/S\times X}$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Globale Schnitte als Halme}] Sei $(U,u)$ ein bepunkteter Raum. Sei $U$ die einzige Umgebung von $u$ und $e:\op{top}\ra U$ die zugeh"orige Einbettung und $c:U\ra \op{top}$ die konstante Abbildung. So ist die Komposition der von der Einheit der Adjunktion und der Identifikation $c_*e_*\siRa \op{id}$ induzierten Transformationen $c_*\RA c_*e_*e^*\siRa e^*$ eine Isotransformation\label{GlSG} $$c_*\siRa e^*$$ \end{Ubung} %\end{Ubung}\begin{Ubung}[\textbf{Vorschub unter horizontaler Einbettung}] % Seien $X,Z$ topologische R"aume und $z_0 \in Z$ ein Punkt. % Man zeige, da"s f"ur $f:x\mapsto (x,z_0)$ % der Vorschub $f_{\ast}:\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/X \times Z}$ ein exakter % Funktor % ist. Hinweis: Mit eigentlichem Basiswechsel im Diagramm %\begin{displaymath} %\xymatrix{ %\op{top} \ar[d]_g\ar[r]^q &X \ar[d]^f\\ %Z \ar[r]^p &X\times Z %} %\end{displaymath} % f"ur $q$ die Einbettung eines Punktes $x_0\in X$ % und $p:z\mapsto (x_0,z)$ das Davorschreiben dieses Punktes % zieht man sich darauf zur"uck zu zeigen, da"s das Bilden von % Wolkenkratzergarben ein exakter Funktor ist. Daf"ur vergleiche \ref{HaWK}. %\end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Partielle Aufl"osung durch offene "Uberdeckung}] Gegeben eine offene "Uberdeckung $(U_i)_{i\in I}$ eines topologischen Raums $X$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ ist die Sequenz\label{lESS} $$ \mathcal F \hra \prod_{i\in I} f_{i*}f_i^*\cal{F} \ra \prod_{(i,j)\in I^2} f_{ij*}f_{ij}^*\cal{F} $$ eine linksexakte Sequenz von Garben, ja sogar von Pr"agarben auf $X$. Hier bezeichnen $f_i:U_i\hra X$ und $f_{ij}:U_i\cap U_j\hra X$ die Einbettungen. Die Morphismen kommen her von den Adjunktionen und Identifikationen in der hoffentlich offensichtlichen Weise. Etwas allgemeiner ist sogar f"ur $(U_{ij,k})_{k\in K(i,j)}$ jeweils eine offene "Uberdeckung von $U_i\cap U_j$ die Sequenz $$ \mathcal F \hra \prod_{i\in I} f_{i*}f_i^*\cal{F} \ra \prod_{(i,j)\in I^2,\; k\in K(i,j)} f_{ij,k*}f_{ij,k}^*\cal{F} $$ f"ur jede abelsche Garbe $\mathcal F$ eine linksexakte Sequenz von Pr"agarben. \end{Ubung} \subsection{H"ohere Derivierte der Vorsch"ube} \begin{Beispiel}\label{DiLE} Gegeben eine stetige Abbildung $f: X \rightarrow Y$ ist der Vorschub offensichtlich und formal nach \ref{LaE} als Rechtsadjungierter ein linksexakter Funktor $f_{\ast}: \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}_{/Y}$. Die zugeh"origen rechtsderivierten Funktoren ${\op{R}}^q f_{\ast}$ beschreibt der folgende Satz. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Derivierte Vorsch"ube als Garbifizierung}] Gegeben eine stetige Abbildung $f: X \ra Y$\label{RHF} und eine abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/X}$ ist ihr $q$-ter derivierter Vorschub ${\op{R}}^{q}f_{\ast}\cal{F}$ isomorph zu der zur Pr"agarbe $V \mapsto \op{H}^{q} (f^{-1}(V);\cal{F})$ assoziierten Garbe vermittels der im anschlie"senden Beweis konstruierten nat"urlichen Isomorphismen. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} In sp"ater eingef"uhrter Terminologie wird der Isomorphismus in unserem Satz induziert von den Morphismen $\op{H}^{q} (f^{-1}(V);\cal{F})\ra ({\op{R}}^{q}f_{\ast}\cal{F})(V)$ am unteren Rand der Leray'schen Spektralsequenz \ref{LeSp}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $a: X\ra \op{top}$ die konstante Abbildung, so liefern die\label{DiBiS} Definitionen einen Isomorphismus ${\op{R}}^q a_{\ast} \mathcal{F} \sira \op{H}^q(X;\mathcal{F})_{\op{top}}$ von abelschen Garben auf $\op{top}$, der in diesem Fall mit dem im anschlie"senden Beweis konstruierten nat"urlichen Isomorphismus zusammenf"allt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Den Fall, da"s $f$ die Identit"at auf $X$ ist, haben Sie m"oglicherweise bereits als "Ubung \ref{LimH} behandelt. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} F"ur $j:(0,1)\hra [0,1]$ und eine abelsche Gruppe $M$ haben wir ${\op{R}}^qj_* M_{(0,1)}\cong M_{[0,1]}$ f"ur $q=0$ und Null sonst. Der Vorschub der konstanten Garbe ist also in diesem Fall wieder eine konstante Garbe und die h"oheren Derivierten\label{JKUI} dieses Vorschubs verschwinden auf konstanten Garben. \end{Beispiel} \begin{proof}[Beweis] Gegeben ein Komplex $\cal{A}^*$ von abelschen Garben auf einem topologischen Raum $Y$ bezeichne $\underline{\mathcal H}^q\cal{A}^*$ seine $q$-te Kohomologie als Komplex von abelschen Pr"agarben, also die Pr"agarbe $$\underline{\mathcal H}^q\cal{A}^*: V\mapsto \op{cok}\big(\cal{A}^{q-1}(V)\ra\op{ker}(\cal{A}^q(V)\ra \cal{A}^{q+1}(V))\big)$$ Das Zusammenfallen von Pr"agarbenkern und Garbenkern sowie unsere Beschreibung des Garbenkokerns als Garbifizierung des Pr"agarbenkokerns liefern einen Isomorphismus $$(\underline{\cal{H}}^q\cal{A}^*)^+\sira \cal{H}^q\cal{A}^*$$ der Garbifizierung der Pr"agarbenkohomologie mit der Garbenkohomologie. Ist nun $\cal{F}\hra \cal{I}^\lhd$ eine injektive Aufl"osung, so erhalten wir insbesondere Isomorphismen zwischen den Kohomologiegarben des Komplexes $f_{\ast} \cal{I}^\lhd$ und den Garbifizierungen der Pr"agarben $$V\mapsto \cal{H}^q((f_{\ast} \cal{I}^\lhd)(V))= \cal{H}^q( \cal{I}^\lhd(f^{-1}(V)))\sira {\op{H}}^q(f^{-1}(V); \mathcal{F})$$ Der letzte Isomorphismus ganz rechts r"uhrt dabei daher, da"s die Restriktionen auf die offenen Teilmengen $f^{-1}(V)$ der welken Garben des Komplexes $\cal{I}^\lhd$ wieder welk sind. Da"s diese letzten Isomorphismen mit Restriktionen auf kleinere $V$ vertr"aglich sind, folgt aus der Definition des Zur"uckholens in der Garbenkohomologie. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Aus dem Satz folgt unmittelbar, da"s welke abelsche Garben azyklisch sind f"ur den Vorschub unter jeder stetigen Abbildung.\label{dBiw} Verallgemeinerungen auf Komplexe diskutieren wir in \eref{RHFu}{TSF}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine stetige Abbildung $p: Z \ra Y$\label{RHFb} und eine abelsche Garbe $\cal{F} \in \op{Ab}_{/Z}$ und ein Punkt $y\in Y$ erhalten wir Abbildungen $$({\op{R}}^{i}p_{\ast}\cal{F})_y\ra \op{H}^{i} (p^{-1}(y);\cal{F})$$ von den Halmen der h"oheren Vorsch"ube in die Kohomologie der Fasern durch "Ubergang zum Kolimes der Restriktionen $ \op{H}^{i} (p^{-1}(V);\cal{F})\ra \op{H}^{i} (p^{-1}(y);\cal{F})$ "uber alle $V\co Y$ mit $y\in V$. Wir nennen auch diese Abbildungen Basiswechsel, da sie ein Spezialfall der folgenden allgemeineren Konstruktion sind, die offensichtlich die Bezeichnung als Basiswechsel verdient. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $p g=f q$ ein kommutatives Diagramm von topologischen R"aumen und $\mathcal F$ eine abelsche Garbe auf dem Definitionsbereich von $f$, so erkl"aren wir die {\bf Basiswechselhomomorphismen} $$p^\ast ({\op{R}}^i f_\ast)\mathcal F\ra ({\op{R}}^i g_\ast) q^\ast\mathcal F$$ wie folgt: Wir gehen aus von einer injektiven Aufl"osung $\mathcal F\hra \mathcal I^\lhd$ und betrachten die Basiswechsel $ p^\ast f_\ast \mathcal I^\lhd\ra g_\ast q^\ast\mathcal I^\lhd$. Da der R"uckzug von Garben exakt ist, mu"s $q^\ast\mathcal I^\lhd$ eine Aufl"osung von $q^\ast\mathcal F$ sein und wir erhalten unsere Basiswechselmorphismen als die Komposition\label{dbwk} $$p^\ast({\op{R}}^{i}f_{\ast})\mathcal F= p^\ast\mathcal H^i( f_\ast \mathcal I^\lhd)\sira\mathcal H^i(p^\ast f_\ast \mathcal I^\lhd)\ra \mathcal H^i( g_\ast q^\ast\mathcal I^\lhd) \ra ({\op{R}}^{i}g_{\ast})q^\ast\mathcal F$$ Deren Unabh"angigkeit von der gew"ahlten injektiven Aufl"osung ist offensichtlich. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Derivierter offener und eigentlicher Basiswechsel}] Sei ein kartesisches Diagramm von topologischen R"aumen $p g=f q$ gegeben. Sind $p,q$ offene Einbettungen oder $f,g$ eigentlich und separiert, so ist unser Basiswechsel f"ur alle $i$ ein Isomorphismus\label{OEBA} $$p^\ast ({\op{R}}^i f_\ast)\siRa ({\op{R}}^i g_\ast) q^\ast$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungw} \nichtfinal{"Uberarbeiten!} Das erweist sich im weiteren als Spezialfall des Basiswechsels $p^!f_*\siRa g_*q^!$ beziehungsweise des adjungierten Basiswechsels $p^*f_!\siRa g_!q^*$ nach \eref{Erii}{TSF} in einer verflochtenen Trennaustauschsituation mit Adjungierten, angewandt auf die Trennaustauschsituation der derivierten Modulgarben \eref{tzGG}{TSF}, gefolgt vom Anwenden von $\mathcal H^i$ unter Beachtung der Exaktheit der R"uckz"uge. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}\label{kohod} Speziell ist f"ur $f:X\ra Y$ eigentlich und separiert sowie $\cal{F}\in\op{Ab}_{/X}$ und einen beliebigen Punkt $y\in Y$ der Basiswechsel ein Isomorphismus $$({\op{R}}^i f_\ast\mathcal F)_y\sira \op{H}^{i} (f^{-1}(y);\cal{F})$$ Das folgt durch Anwenden des Satzes auf die Einbettung $p:\{y\}\hra Y$ des Punktes $y\in Y$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir betrachten die Sequenz von Morphismen, durch die wir unseren derivierten Basiswechsel in \ref{dbwk} definiert haben. Sind $p,q$ offene Einbettungen, so ist der gew"ohnliche Basiswechsel ein Isomorphismus nach offenen Basiswechsel \ref{OBW}, also ist der vorletzte Pfeil unserer Sequenz ein Isomorphismus, und die Restriktion einer injektiven Garbe unter einer offenen Einbettung bleibt injektiv, also ist der letzte Pfeil ein Isomorphismus. Sind $f,g$ separiert und eigentlich, so reicht es, wenn wir unsere Aussage f"ur $p$ die Einbettung eines Punktes zeigen, da ein Garbenhomomorphismus, der Isomorphismen auf allen Halmen induziert, bereits ein Isomorphismus sein mu"s. In diesem Fall ist die vorletzte Abbildung obiger Sequenz ein Isomorphismus nach eigentlichen Basiswechsel \ref{EBWA} und die letzte Abbildung ist ein Isomorphismus, da die Restriktion einer welken Garbe auf ein relativ Hausdorff'sches Kompaktum nach \ref{FSK} kompaktweich ist. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Wir nennen einen topologischen Raum $Z$ {\bf schwach basisfest garben\-azyk\-lisch} oder kurz {\bf schwach bagazyklisch},\index{bagazyklisch!schwach} wenn f"ur jeden topologischen Raum $Y$ und jede abelsche Gruppe $M$ und alle $q$ der R"uckzug unter der Projektion auf der Garbenkohomologie Isomorphismen\label{sGaz} ${\op{H}}^q(Y;M)\sira {\op{H}}^q(Y\times Z;M)$ liefert. Insbesondere ist nach der Homotopieinvarianz der Garbenkohomologie \ref{HIGK} jeder zusammenziehbare Raum schwach bagazyklisch. Gilt die fragliche Eigenschaft nur f"ur $q\leq n$, so nenne ich den Raum $Z$ {\bf schwach bag-$n$-azyklisch}. Ein vern"uftiges Kriterium zum Nachweis dieser Eigenschaft zeigen wir in \ref{kbagn}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Starke Varianten dieser Begriffe werden in \eref{azy}{TSS} eingef"uhrt. Der wesentliche Punkt ist, da"s wir daf"ur vergleichbare Eigenschaften f"ur beliebige Komplexe abelscher Garben fordern, die wir im schwachen Fall nur f"ur beliebige konstante Garben fordern. Wir werden dort zeigen, da"s zusammenziehbare R"aume auch diese st"arkere Eigenschaft haben. \end{Bemerkungw} \begin{Satz}[\textbf{Verschwinden h"oherer Vorsch"ube bei Faserb"undeln}] Gegeben ein \hyperref[FaBue]{Faserb\"{u}ndel} $f: X \ra Y$\label{RHFcc} mit schwach bagazyklischer Faser und eine abelsche Gruppe $M$ verschwinden die h"oheren derivierten Vorsch"ube der konstanten Garbe $M_X$, in Formeln ${\op{R}}^{q}f_{\ast}M_X=0$ f"ur $q>0$ und die Einheit der Adjunktion ist ein Isomorphismus $M_Y\sira f_{\ast}f^* M_Y$ und liefert zusammen mit dem nat"urlichen Isomorphismus $f^* M_Y\sira M_X$ einen Isomorphismus $$M_Y\sira f_{\ast} M_X$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Ist die Faser nur schwach bag-$n$-azyklisch, so folgt in derselben Weise $M_Y\sira f_{\ast} M_X$ und ${\op{R}}^{q}f_{\ast}M_X=0$ f"ur $00$ alle Halme der Pr"agarbe $U\mapsto {\op{H}}^q(U;M)$ auf $X$. So folgt ${\op{R}}^{q}f_{\ast}M_X$ f"ur $q>0$ aus unserer Beschreibung \ref{RHF} der h"oheren Vorsch"ube. Im Fall $q=0$ folgt die Aussage direkt aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Zur"uckholen auf B"undel mit azyklischer Faser}] Gegeben ein Faserb"undel $f:X\ra Y$ mit schwach bagazyklischer Faser liefert das Zur"uckholen auf der Garbenkohomologie\label{RZGKj} f"ur jede abelsche Gruppe $M$ Isomorphismen $${\op{H}}^p(Y;M)\sira{\op{H}}^p(X;M)$$ Ist die Faser nur schwach bag-$n$-azyklisch, so erhalten wir mit demselben Beweis dieselben Isomorphismen f"ur $p< n$.\label{RZGKjj} \end{Korollar} \begin{Bemerkunge} Ich habe nur deshalb eine schw"achere Aussage als Motto gesetzt, weil sie mir griffiger schien. Der Satz von Leray-Hirsch "uber die Kohomologie von Faserb"undeln, vergleiche etwa \cite{Hatcher}, Theorem 4D.1, liefert eine vergleichbare Aussage f"ur die singul"are Kohomologie. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ein Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser ohne Schnitt}] Ein Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser mu"s im allgemeinen keine Homotopie"aquivalenz sein, ja es mu"s noch nicht einmal einen globalen Schnitt besitzen. Ein Beispiel erh"alt man, indem man als Basis die Zahlengerade mit verdoppeltem Ursprung aus \eref{RVN}{TM} betrachtet und sie "uberdeckt durch zwei Kopien $U,V$ der Zahlengerade mit Schnitt $U\cap V\cong \DR^\times$. Darauf betrachtet man das Faserb"undel mit Faser $\DR$, das auf den beiden offenen Teilmengen $U,V$ trivial ist, und zusammengeklebt mit der Verklebungsfunktion $(x,t)\mapsto (x,f(x)+t)$ f"ur eine stetige Abbildung $f:(U\cap V)\ra\DR$, die sich nicht stetig von $U\cap V\cong \DR^\times$ auf ganz $\DR$ fortsetzen l"a"st. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Aus \ref{RHFcc} folgt ${\op{R}}^qf_*M_X=0$ f"ur $q>0$ und die Adjunktion liefert den Ersten von zwei Isomorphismen $M_Y\sira f_*f^*M_Y\sira f_*M_X$. Ist also $M_X\hra \mathcal I^\lhd$ eine welke Aufl"osung, so ist auch $f_*M_X\hra f_*\mathcal I^\lhd$ eine welke Aufl"osung. So erhalten wir Isomorphismen $${\op{H}}^p(Y;M_Y)\sira{\op{H}}^p(Y;f_*M_X)\sira \mathcal H^p \Gamma f_*\mathcal I^\lhd\sira \mathcal H^p \Gamma \mathcal I^\lhd \sira {\op{H}}^p(X;M_X)$$ Da"s diese Komposition genau das Zur"uckholen auf der Kohomologie ist, folgt aus den Definitionen. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ein Spezialfall der Leray'schen Spektralsequenz}] Gegeben stetige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ sowie $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ mit ${\op{R}}^q\!f_*\mathcal F=0$ f"ur $0}[dl]_\sim \ar[d]\\ G\op{-Ab} \ar[r] &\op{Ab}_{/G\backslash X} } \end{displaymath} mit den Funktoren aus \ref{lkGMm} in den Horizontalen und den R"uckz"ugen in den Vertikalen. \end{Ubung} \begin{Ubungw}[\textbf{Gruppengarben als Gruppenobjekte}] Sei ein topologischer Raum mit einer stetigen Operation eines topologischen Monoids $G{\acts}X$ gegeben. Wir erinnern aus \eref{VkOO}{AAG} das Konzept abelscher Grup\-pen\-ob\-jek\-te in Kategorien mit endlichen Produkten. Man konstruiere einen Isomorphismus von Kategorien\label{ggGOa} $$ \op{Ab}(\op{Ens}_{/G{\sacts}X})\sira \op{Ab}_{/G{\sacts}X}$$ zwischen der Kategorie der abelschen Gruppenobjekte der Kategorie der "aquivarianten Mengengarben und der Kategorie der "aquivarianten abelschen Garben. \end{Ubungw} \subsection{"Aquivariante Kohomologie} \label{AeK} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Motivation}] Gegeben ein topologischer Raum $X$, auf dem eine Gruppe $G$ operiert, mag man die Kohomologie des Bahnenraums ${\op{H}}^q(X/G;M)$ mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe $M$ betrachten. Eine "aquivariante Abbildung $X\ra Y$, die Isomorphismen auf der gew"ohnlichen Kohomologie induziert, mu"s jedoch im allgemeinen keineswegs Isomorphismen auf der Kohomologie der Bahnenr"aume liefern. Zum Beispiel ist die konstante Abbildung $p:\DR\ra \op{top}$ "aquivariant f"ur die Operation von $\DZ$ durch Translation auf $\DR$ beziehungsweise durch Nichtstun auf $\op{top}$, aber der R"uckzug $${\op{H}}^1({\op{top}}/\DZ;M) \ra {\op{H}}^1(\DR/\DZ;M)$$ ist f"ur $M\neq 0$ kein Isomorphismus. Die "aquivariante Kohomologie repariert das zumindest im Fall stetiger Operationen von Liegruppen oder allgemeiner \glqq offenlokal bagazyklischen\grqq\ topologischen Gruppen. Das zeigen wir jedoch erst in \eref{Isoae}{TSS}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen}] Das entscheidende Resultat, das die Entwicklung der "aquivarianten Kohomologie erm"oglicht, ist Korollar \ref{RZGKj} in Verbindung mit \ref{sGaz}, wonach f"ur jedes Faserb"undel $f:X\ra Y$ mit zusammenziehbarer Faser das Zur"uckholen auf der Garbenkohomologie mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe $M$ Isomorphismen $${\op{H}}^p(Y;M)\sira{\op{H}}^p(X;M)$$ liefert.\label{rzzb} % Ich wei"s nicht, ob das % in dieser Allgemeinheit auch f"ur die singul"are Kohomologie gilt. % Hier k"onnte ein Student einmal nach einem Beweis oder Gegenbeispiel suchen. % NEE, stimmt: Leray-Hirsch! Die zweite wesentliche Zutat ist die Erkenntnis, da"s es f"ur jede topologische Gruppe $G$ einen topologisch freien zusammenziehbaren $G$-Raum gibt. Den Beweis dieser Aussage holen wir in \ref{MiKok} nach. Es ist unerheblich, wie dieser $G$-Raum aussieht und welchen unter den vielen M"oglichkeiten wir aussuchen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $G$ eine Gruppe. Gegeben zwei $G$-R"aume $X$ und $Y$ bezeichnen wir mit $X\times_{/G}Y$ den Bahnenraum von $X\times Y$ unter der $G$-Operation gegeben durch $g(x,y)\pdef(gx,gy)$ mit seiner Quotiententopologie. Man nennt diesen Raum das {\bf balancierte Produkt}\index{balanciertes Produkt!topologisches} von $X$ und $Y$. Die "Aquivalenzklasse von $(x,y)$ notieren wir $[x,y]$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationsfragen bei balancierten Produkten}] Jeder $G$-Rechtsraum $X$ kann als $G$-Raum aufgefa"st werden vermittels der Linksoperation $gx\pdef xg^{-1}$. Wenn wir $X\times_{/G}Y$ mit einem $G$-Rechtsraum bilden, so meinen wir meist implizit, da"s wir $X$ auf diese Weise als $G$-Linksraum auffassen. Ist jedoch $X$ sowohl ein $G$-Rechtsraum als auch ein $G$-Linksraum, so verstehen wir $X\times_{/G}Y$ a priori in Bezug auf die Rechtsoperation auf $X$. Ist speziell $G\supset H$ eine Gruppe mit einer Untergruppe, so verstehen wir $G\times_{/H}Y$ f"ur einen $H$-Raum $Y$ a priori in Bezug auf die offensichtliche Rechtsoperation von $H$ auf $G$, also als Bahnenraum von $H$ in Bezug auf die Operation $h(g,y)\pdef (gh^{-1},hy)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und ein $G$-Raum\label{VDAE} $X$ und ein $G$-Raum $A$ setzen wir $${\op{H}}^q_G(X)_{A}\pdef {\op{H}}^q(A\times_{/G}X)$$ Ist weiter $\varphi{\acts} f:G{\acts} X\ra H{\acts} Y$ ein Morphismus von R"aumen mit Gruppenoperation \ref{MTopo} und ist zus"atzlich $A$ ein \hyperref[topf]{topologisch freier} $G$-Raum sowie $B$ ein zusammenziehbarer $H$-Raum, so erkl"aren wir das {\bf Zur"uckholen} $$r_{A,B,f,\varphi}=r_{AB}:{\op{H}}^q_H(Y)_{B}\ra {\op{H}}^q_G(X)_{A}$$ durch die Kommutativit"at des Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{ & {\op{H}}^q ((B\times A)\times_{/G} X )&\\ {\op{H}}^q(B\times_{/H} Y) \ar[ru]\ar[rr]&&{\op{H}}^q(A\times_{/G} X)\ar[lu]_\sim } \end{displaymath} Die Pfeile nach oben bedeuten hier das gew"ohnlichem Zur"uckholen und oben ist die diagonale $G$-Operation von auf $B\times A$ gemeint. Der Isomorphismus rechts r"uhrt daher, da"s das Zur"uckholen l"angs eines Faserb"undels mit der zusammenziehbaren Faser $B$ geschieht und wir somit \ref{rzzb} anwenden d"urfen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nat"urlich gilt stets $r_{AA}=\op{id}$ f"ur die Identit"at auf einem Raum mit Gruppenoperation $G{\acts} X$ und jeden topologisch freien zusammenziehbaren $G$-Raum $A$. Sind weiter $G{\acts} X\ra H{\acts} Y\ra K{\acts} Z$ Morphismen von R"aumen mit Gruppenoperation und sind $A,B,C$ zusammenziehbar mit jeweils einer topologisch freien Operation von $G,H,K$, so behaupten wir die Gleichheit $$r_{AC}=r_{AB}\circ r_{BC}$$ von Abbildungen ${\op{H}}^q_K(Z)_{C}\ra {\op{H}}^q_G(X)_{A}$. Um das einzusehen betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix@C=-0.5pc{&& (C\times A)\times_{/G} X \ar@/_4pc/[llddd]\ar@/^4pc/[rrddd]&&\\ && (C\times B\times A)\times_{/G} X\ar[u]\ar[rd]\ar[ld] &&\\ &(C\times B)\times_{/H} X\ar[rd]\ar[ld]&& (B\times A)\times_{/G} X \ar[rd]\ar[ld]&\\ C\times_{/K} Z &&B\times_{/H} Y &&A\times_{/G} X } \end{displaymath} Alle Pfeile, die nach rechts oder nach oben gehen, sind Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser und induzieren folglich in der Gegenrichtung Isomorphismen auf der Kohomologie. Alles zusammen zeigt dann die behauptete Identit"at $$r_{AC}=r_{AB}\circ r_{BC}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Gegeben ein Raum mit Gruppenwirkung $G{\acts} X$ erkl"aren wir seine\index{"aquivariant!Kohomologie} {\bf $q$-te "aquivariante Kohomologie}\index{Kohomologie!"aquivariante} als die Gruppe\label{zAEQ} $${\op{H}}_G^q(X)\pdef {\op{H}}_G^q(X)_{{\op{E}}G}={\op{H}}^q({\op{E}}G\times_{/G}X)$$ f"ur den topologisch freien zusammenziehbaren $G$-Raum $ {\op{E}}G$ aus \ref{MiKok}, die sogenannte \glqq Milnor-Konstruktion f"ur $G$\grqq. Gegeben ein Morphismus $\phi{\acts} f:G{\acts} X\ra H{\acts} Y$ von R"aumen mit Gruppenwirkung erkl"aren wir das {\bf Zur"uckholen auf der "aquivarianten Kohomologie} als die Abbildung $$(\phi{\acts}f)^*\pdef r_{{\op{E}}G,{\op{E}}H}:{\op{H}}_H^q(Y)\ra {\op{H}}_G^q(X)$$ So erhalten wir f"ur jedes $q\geq 0$ einen kontravarianten Funktor von der Kategorie der R"aume mit Gruppenoperation in die Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Definition} \begin{Satz}[\textbf{Eigenschaften der "aquivarianten Kohomologie}] \begin{enumerate} \item F"ur die triviale Gruppe $1$ erhalten wir durch das Zur"uckholen einen Isomorphismus ${\op{H}}^q(X)\sira {\op{H}}^q({\op{E}}1\times_{/1} X)={\op{H}}^q_1(X)$. Er ist so nat"urlich, da"s wir ihn in der Notation f"ur gew"ohnlich als Gleichheit behandeln; \item Ist $G{\acts} X$ ein Raum mit topologisch freier Gruppenoperation, so liefert das Zur"uckholen unter der Quotientenabbildung nach $ X/G$ einen Isomorphismus, den \emph{\bf Quotientenisomorphismus}\index{Quotientenisomorphismus} $${\op{H}}^q(X/G)\sira {\op{H}}^q_G(X)$$ % Wir verwenden wie "ublich die Notation $X/G$ f"ur den Quotienten, obwohl wir % von einer Linksoperation ausgehen; \item Ist $G{\acts} X$ ein Raum mit Gruppenwirkung und $K\subset G$ eine Untergruppe, die topologisch frei auf $G$ operiert mit zusammenziehbarem Quotienten $G/K$, so ist das Zur"uckholen ein Isomorphismus $${\op{H}}^q_G(X)\sira {\op{H}}^q_K(X)$$ \item Gegeben $G$ eine topologische Gruppe und $f:X\ra Y$ eine stetige $G$-"aquivariante Abbildung, die bei Vergessen der $G$-Operation ein Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser ist, induziert das Zur"uckholen auf der "aquivarianten Kohomologie Isomorphismen $${\op{H}}^q_G(Y)\sira {\op{H}}^q_G(X)$$ \end{enumerate}\label{EaeK} \end{Satz} \begin{proof} Das folgt alles unmittelbar aus den Definitionen und unserer Erkenntnis \ref{RZGKj}, da"s das Zur"uckholen auf Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser Isomorphismen auf der Garbenkohomologie induziert. \end{proof} \begin{Bemerkungw} Allgemeinere Aussagen als in Teil 4 zeigen wir in \eref{Isoae}{TSS} im Rahmen unserer Diskussion "aquivarianter derivierter Kategorien. Wenn etwa $G$ eine Liegruppe ist und der R"uckzug Isomorphismen auf der gew"ohnlichen Kohomologie induziert, so induziert er auch Isomorphismen auf der "aquivarianten Kohomologie. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel} Die Gruppe $G\pdef \DZ$ operiert topologisch frei auf $E\pdef \DR$ und $\DR$ ist zusammenziehbar. Wir haben folglich ${\op{H}}^q_\DZ(\op{top})\sira{\op{H}}^q_\DZ(\DR)\sila {\op{H}}^q(\DR/\DZ)$ mit Teil 4 und dem Quotientenisomorphismus, beide aus Satz \ref{EaeK}, und das ist isomorph zu $\DZ$ f"ur $q=0,1$ und Null sonst. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Homotopieinvarianz der "aquivarianten Kohomologie}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $f,g:X\ra Y$ stetige "aquivariante Abbildungen von $G$-R"aumen und $H:X\times[0,1]\ra Y$ eine "aquivariante Homotopie zwischen ihnen. So induziert der "aquivariante R"uckzug dieselben Abbildungen auf der "aquivarianten Kohomologie, in Formeln $$f^*=g^*: {\op{H}}^q_G(Y)\ra {\op{H}}^q_G(X)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s der R"uckzug unter allen $i_t:X\hra X\times[0,1]$ mit $x\mapsto (x,t)$ dieselben Abbildungen auf der "aquivarianten Kohomologie induziert. Dazu reicht es zu zeigen, da"s der R"uckzug unter der Projektion $X\times[0,1]\sra X$ einen Isomorphismus auf der "aquivarianten Kohomologie induziert. Das hinwiederum folgt aus der letzten Aussage von \ref{EaeK}, denn unsere Projektion hat zusammenziehbare Fasern. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Seien $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein topologischer Raum. Ein \hyperref[HFB]{$G$-Torsor} auf $X$ ist ein topologisch freier $G$-Raum $E$ mitsamt einer stetigen Abbildung $\pi:E\ra X$, die einen Hom"oomorphismus $E/G\sira X$ induziert. Gegeben solch ein $G$-Torsor betrachten wir die Komposition $${\op{H}}^q_{G}(\op{top})\sira {\op{H}}^q_{G}(\op{top})\ra {\op{H}}^q_{G}(E)\sila {\op{H}}^q(X)$$ des "aquivarianten Zur"uckholens l"angs der konstanten Abbildung mit dem Inversen des Quotientenisomorphismus. Wir nennen diese Komposition\label{mcK} $$C_E:{\op{H}}^*_G(\op{top})\ra {\op{H}}^*(X)$$ den\index{Klasse!charakteristische} {\bf charakteristischen Homomorphismus des $G$-Torsors $E$ auf $X$}.\index{Homomorphismus!charakteristischer}\index{charakteristisch!Homomorphismus} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Sobald wir einmal den garbentheoretischen Kohomologiering eingef"uhrt haben, wird sich $C_E$ als ein Ringhomomorphismus erweisen. Weiter kann man f"ur manche $G$ den Ring ${\op{H}}^*_G(\op{top})$ explizit berechnen oder zumindest Kohomologieklassen $c\in {\op{H}}^q_G(\op{top})$ explizit angeben, vergleiche \eref{KKKl}{TSF} folgende. Die Bilder $C_E(c)\in {\op{H}}^*(X)$ derartiger Kohomologieklassen unter dem charakteristischen Homomorphismus hei"sen dann \glqq charakteristische Klassen des $G$-Torsors $E$\grqq. Insbesondere behandeln wir in \eref{KkuG}{TSF} die unit"aren Gruppen ${\op{U}}(n)$. In \eref{ckp}{TSF} diskutieren wir den Zusammenhang zwischen charakteristischen Klassen von Produkten von Torsoren und den charakteristischen Klassen der Faktoren und davon ausgehend die sogenannten \glqq Chern'schen Klassen\grqq. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristische Klassen und Wechsel der Gruppe}] Ist $X$ ein topologischer Raum und\label{ckg} $\phi:G\ra H$ ein stetiger Homomorphismus von topologischen Gruppen und $E$ ein $G$-Torsor auf $X$ und $ \phi_*E\pdef H\times _{/G} E$ der daraus durch Gruppenwechsel entstehende $H$-Torsor, so kommutiert mit den R"uckz"ugen auf der "aquivarianten Kohomologie das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^q_G(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{G}(E)&\sila& {\op{H}}^q(X)\\ \ua &&\ua&&\|\\ {\op{H}}^q_H(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{H}(\phi_*E)&\sila& {\op{H}}^q(X) \end{array} $$ In Formeln gilt also $C_{\phi_*E}=C_E\circ \phi^*$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristische Klassen und Wechsel von Torsor und Gruppe}] Ist $X$ ein topologischer Raum und\label{ckg} $\phi:G\ra H$ ein stetiger Homomorphismus von topologischen Gruppen und $E$ ein $G$-Torsor auf $X$ und $F$ ein $H$-Torsor auf $X$ und $\phi\acts h:G\acts E\ra H\acts F$ ein Morphismus von Torsoren "uber $X$ kommutiert mit den R"uckz"ugen auf der "aquivarianten Kohomologie das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^q_G(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{G}(E)&\sila& {\op{H}}^q(X)\\ \ua &&\ua&&\|\\ {\op{H}}^q_H(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{H}(F)&\sila& {\op{H}}^q(X) \end{array} $$ In Formeln gilt also $C_{F}=C_E\circ \phi^*$. Wir sehen so unter anderem, da"s der charakteristische Homomorphismus $C_E$ nur von der Isomorphieklasse des Rechtstorsors $E$ abh"angt, in Formeln $C_E=C_F$ f"ur isomorphe $G$-Torsoren $E,F$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristische Klassen und Wechsel des Raums}] Sind $G$ eine topologische Gruppe und $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $F$ ein $G$-Torsor auf $Y$ und $f^*F\pdef X\times_YF$ der zur"uckgeholte Torsor auf $X$, so kommutiert mit den R"uckz"ugen auf der "aquivarianten Kohomologie das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^q_G(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{G}(f^*F)&\sila& {\op{H}}^q(X)\\ \| &&\ua&&\ua\\ {\op{H}}^q_G(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{G}(F)&\sila& {\op{H}}^q(Y) \end{array} $$ In Formeln gilt also $f^*\circ C_{F}=C_{f^*F}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Charakteristische Klassen und Wechsel von allem}] Ist $\phi:G\ra H$ ein Morphismus topologischer Gruppen und $f:X\ra Y$ eine stetige Abbildung und $\phi\acts h:G\acts E\ra H\acts F$ ein Morphismus "uber $f$ von einem $G$-Torsor $E$ auf $X$ zu einem $H$-Torsor $F$ auf $Y$ kommutiert mit den R"uckz"ugen auf der "aquivarianten Kohomologie das Diagramm $$\begin{array}{ccccc} {\op{H}}^q_G(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{G}(E)&\sila& {\op{H}}^q(X)\\ \ua &&\ua&&\ua\\ {\op{H}}^q_H(\op{top})&\ra &{\op{H}}^q_{H}(F)&\sila& {\op{H}}^q(Y) \end{array} $$ In Formeln gilt also $f^*\circ C_{F}=C_{E}\circ \phi^*$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Kohomologie mit Koeffizienten}] Alles zuvor Gesagte gilt analog f"ur Kohomologie mit Koeffizienten in einer beliebigen abelschen Gruppe $M$. Wir notieren die "aquivariante Kohomologie von\index{"aquivariant!Kohomologie!mit Koeffizienten} $G{\acts} X$ mit Koeffizienten in $M$ dann ${\op{H}}_G^q(X;M)$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{"Aquivariante Kohomologie f"ur Operationen endlicher Gruppen}] Gegeben ein Raum $X$ mit einer Operation einer Gruppe $G$ und eine abelsche Gruppe $M$ ist das Zur"uckholen ein Isomorphismus ${\op{H}}^q(X;M)\sira {\op{H}}^q({\op{E}}G\times X;M)$. Er ist $G$-"aquivariant und induziert folglich einen Isomorphismus ${\op{H}}^q(X;M)^G\sira {\op{H}}^q({\op{E}}G\times X;M)^G$. Ist zus"atzlich unsere Gruppe $G$ endlich und diskret und liefert die Multiplikation mit $|G|$ einen Isomorphismus $(|G|\cdot):M\sira M$, so k"onnen wir obigen Isomorphismus mit unseren Erkenntnissen zur Kohomologie von Quotienten \ref{KohQ} verl"angern zu einer Kette von Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;M)^G\sira {\op{H}}^q({\op{E}}G\times X;M)^G\sila {\op{H}}^q({\op{E}}G\times_{/G} X;M)= {\op{H}}^q_G( X;M)$$ In der Tat ist $ {\op{E}}G\times X\sra{\op{E}}G\times_{/G} X$ stets separiert. Ist dar"uber hinaus die Quotientenabbildung $X\ra X/G$ separiert, so liefern unsere Erkenntnisse aus \ref{KohQ} sogar einen Isomorphismus ${\op{H}}^q(X/G;M)\sira {\op{H}}^q(X;M)^G$ dieser Gruppen mit der Kohomologie des Quotienten. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw}[\textbf{"Aquivariante Kohomologie "aquivarianter Garben}] Gegeben $G{\acts}X$ ein Raum mit Gruppenoperation und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/G{\sacts}X}$ eine $G$-"aqui\-va\-ri\-an\-te abelsche Garbe k"onnen wir analog wie zuvor auch die "aquivarianten Kohomologiegruppen mit Koeffizienten einf"uhren durch die Vorschrift $${\op{H}}_G^q(X;\mathcal F)\pdef {\op{H}}^q({\op{E}}G\times_{/G}X;{\op{E}}G\times_{/G}\mathcal F)$$ Hier meinen wir mit ${\op{E}}G\times_{/G}\mathcal F $ die abelsche Garbe mit \'etalem Raum ${\op{E}}G\times_{/G}\bar{\mathcal F} $ und es ist einiges an Arbeit zu tun, um unserer Definition Sinn zu geben und daraus ein n"utzliches Werkzeug zu machen. Wir diskutieren das im Zusammenhang mit "aquivarianten derivierten Kategorien in \eref{adK}{TSS}. Ist speziell $X=\op{top}$ ein Punkt und $G$ diskret, so erhalten wir unsere Gruppenkohomologie \ref{GurKo}, in Formeln $${\op{H}}^q_G(\op{top};\mathcal F)={\op{H}}^q(G;\mathcal F)$$ Hier ist rechts die Gruppenkohomologie von $G$ im Sinne von \ref{GurKo} gemeint und darf nicht als die Kohomologie des diskreten Raums $G$ mit was f"ur Koeffizienten auch immer mi"sverstanden werden. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Charakteristische Klassen von Darstellungen}] Jeder Homomorphismus von topologischen Gruppen $\phi: G\ra H$ induziert einen Ringhomomorphismus ${\op{H}}_H^*(\op{top})\ra {\op{H}}_G^*(\op{top})$. Im Fall $H=\op{GL}(n;\DR)$ oder $H=\op{GL}(n;\DC)$ kennen wir ${\op{H}}_H^*(\op{top};\mathbb F_2)$ beziehungsweise ${\op{H}}_H^*(\op{top};\mathbb Z)$ recht gut nach \eref{SWKl}{TSF} beziehungsweise \eref{ChKl}{TSF} als Polynomringe in Stiefel-Whitney-Klassen beziehungsweise Chern'schen Klassen. Deren Bilder in ${\op{H}}_G^*(\op{top})$ hei"sen dann die {\bf Stiefel-Whitney-Klassen} der\index{Stiefel-Whitney-Klasse!von reeller Darstellung} reellen beziehungsweise die {\bf Chern'schen Klassen} der\index{Chern'schen Klasse!von komplexer Darstellung} komplexen Darstellung $\phi$. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungw}[\textbf{"Aquivariante de-Rham-Kohomologie}] Die "aquivariante Kohomologie parakompakter glatter Mannigfaltigkeiten mit der glatten Operation einer kompakten Liegruppe und reelle Koeffizienten l"a"st sich mit einer Variante des de-Rham-Komplexes berechnen. Wir diskutieren das in \ref{deAQ} folgende als Anwendung des Formalismus der Spektralsequenzen. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Induktionsisomorphismen}] Seien $H$ eine topologische Gruppe,\label{iI} $G\subset H$ eine topologisch frei operierende Untergruppe und $X$ ein $G$-Raum. So liefert der R"uckzug auf der "aquivarianten Kohomologie Isomorphismen $${\op{H}}^q_H(H\times_{/G}X)\sira {\op{H}}^q_G(X)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Berechnung der "aquivarianten Kohomologie}] Seien $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum. Ist $A$ ein topologisch\label{BaeK} freier \hyperref[sGaz]{schwach bag-$n$-azyklischer} $G$-Raum, so liefern unsere R"uckz"uge $r_{{\op{E}}G,A}$ f"ur jede abelsche Gruppe $M$ und $0\leq q< n$ Isomorphismen $${\op{H}}^q(A\times_{/G}X;M)\sira {\op{H}}^q_G(X;M)$$ Hinweis: Man verwende \ref{RZGKjj}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Operation innerer Automorphismen}] Gegeben eine topologische Gruppe $G$ und ein Element $g\in G$\label{OiA} operiert $\op{int}(g)$ als die Identit"at auf der "aquivarianten Kohomologie ${\op{H}}_G^*(\op{top})$ des einpunktigen Raums. Dasselbe gilt f"ur "aquivariante Kohomologie mit Koeffizienten in einer abelschen Gruppe. \end{Ubung} \subsection{Milnorkonstruktion}\index{Milnorkonstruktion} \begin{Definition} Gegeben eine Familie von Mengen $(Y_{i})_{i\in I} $ erkl"art man ihren \defind{Join} $$J = \ast_{i \in I} Y_{i}$$ als die \hyperref[PolS]{Realisierung} des \hyperref[SKk]{Simplizialkomplexes} mit Eckenmenge der disjunkten Vereinigung $\coprod_{i\in I} Y_{i} $ und Simplizes allen endlichen Teilmengen mit je h"ochstens einer Ecke aus jedem der $Y_{i}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Milnortopologie auf dem Join}] Ich erinnere aus \eref{PolS}{TF}, da"s unsere Realisierung $J$ aus allen Abbildungen $p:\coprod_{i\in I} Y_{i} \ra \DR_{\geq 0}$ besteht, die endlichen und in einem Simplex enthaltenen Tr"ager haben und bei denen sich die Funktionswerte zu Eins aufaddieren. Ich notiere Punkte eines solchen Joins $$p=\sum t_iy_i = (t_iy_i)$$ Dabei meint $y_i$ die charakteristische Funktion $[y_i]$ des Punktes $y_i$. Damit solch eine Funktion zu unserem Join geh"ort, mu"s gelten $t_i =0$ f"ur fast alle $i$ und $\sum t_i=1$. Zu jedem Index $k\in I$ erkl"aren wir nun eine Abbildung $c_k:J\ra [0,1]$ als \glqq die Summe der Koeffizienten an Ecken aus $Y_k$\grqq, von denen nach Annahme jeweils h"ochstens einer von Null verschieden ist. Weiter erkl"aren wir $\op{pr}_k:c_k^{-1}(0,1]\ra Y_k$ dadurch, da"s jedem Punkt aus dem Join, der als Funktion aufgefa"st an einer Ecke aus $Y_k$ nicht verschwindet, eben diese Ecke zugeordnet wird. Sind nun alle unsere Faktoren $Y_i$ topologische R"aume, so erkl"art man die {\bf Milnor-Topologie\index{Milnortopologie} auf dem Join} als diejenige Topologie, die von allen Urbildern offener Mengen unter den $c_{k}$ und den $\op{pr}_{k}$ erzeugt wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bild} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildJoin}\\[4mm] \noindent Der Join eines zweielementigen diskreten Raums mit einem dreielementigen diskreten Raum besteht aus der Vereinigung aller sechs \glqq disjunkt gedachten\grqq\ Verbindungsstrecken. \end{Bild} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Umgebungsbasen in der Milnortopologie}] Wir betrachten einen Join $$J = \ast_{i \in I} Y_i$$ Eine Umgebungsbasis eines Punktes $p=\sum t_{i} y_{i} \in J$ kann man erhalten wie folgt: Sei $N=N_p\subset I$ die Menge der Indizes $n$ mit $t_n\neq 0$. Sei $\varepsilon>0$ kleiner als das Minimum dieser positiven $t_n$.\label{LZJ} Seien $U_n\subset Y_n$ Umgebungen der $y_n$ f"ur $n\in N$. Sei $K\subset I$ endlich und disjunkt zu $N$. Nun betrachte man die Mengen $V=V((U_n), \varepsilon, K)$ aller Punkte $\sum s_ix_i$ aus dem Join $J$ mit $|s_n-t_n|<\varepsilon$ f"ur $n\in N\sqcup K$ und $x_n\in U_n$ f"ur $n\in N$. Das System all dieser Mengen f"ur alle erlaubten $\varepsilon$, $U_n$ und $K$ ist dann eine Umgebungsbasis des Punktes $p$ im Join $ J$. Salopp gesprochen: \glqq An den endlich vielen Indizes $n$ mit Parameter ungleich Null sei das Wackeln an der Stelle $y_n$ und am Parameter $t_n$ klein, an endlich vielen vorgegebenen weiteren Indizes sei das Wackeln am Parameter klein, und an den restlichen Indizes darf passieren, was will\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Milnortopologie als geschachtelt-initiale Topologie}] Man mag die Mil\-nor\-to\-po\-lo\-gie als \glqq geschachtelt-initiale Topologie\grqq\ auffassen. Gegeben eine Menge $X$, Abbildungen $c_i:X\ra Z_i$ in topologische R"aume, offene Teilmengen $U_i\co Z_i$ und Abbildungen $d_i:c_i^{-1}(U_i)\ra Y_i$ in weitere topologische R"aume verstehe ich darunter die von allen Urbildern von offenen Mengen in einem der $Z_i$ oder einem der $Y_i$ auf $X$ erzeugte Topologie. Sie hat die universelle Eigenschaft, da"s gegeben ein topologischer Raum $T$ eine Abbildung $f:T\ra X$ stetig ist genau dann,\label{MgiT} wenn alle $c_i\circ f:T\ra Z_i$ stetig sind und au"serdem alle $d_i\circ f: f^{-1}(c_i^{-1}(U_i))\ra Y_i$ stetig sind f"ur die auf $f^{-1}(c_i^{-1}(U_i))$ induzierte Topologie. Insbesondere sind f"ur die geschachtelt-initiale Topologie auf $X$ alle $c_i$ und alle $d_i$ stetig. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Milnortopologie versus Realisierungstopologie}] F"ur die Realisierung eines Simplizialkomplexes hatten wir in \eref{SH}{TS} gesehen, da"s die Finaltopologie aus \eref{PolS}{TF} zur Einbettung der Realisierungen aller endlichen Unterkomplexe f"ur die Bed"urfnisse der singul"aren Homologietheorie gut geeignet ist. Der Join einer durch eine Menge $E$ indizierten Familie von einpunktigen Mengen ist nun als Menge in offensichtlicher Bijektion zum vollen Simplex mit der Eckenmenge $E$ im Sinne von \eref{PolS}{TF}, aber die Finaltopologie darauf ist feiner als die Milnortopologie auf dem Join. Zum Beispiel konvergiert im Fall $E=\DN$ die Folge der Tupel $$(1-1/n,1/n^2,\ldots,1/n^2,0,0,\ldots)$$ mit $n$ Eintr"agen $1/n^2$ in der Milnortopologie gegen $(1,0,\ldots)$. In der Finaltopologie w"urde jedoch f"ur jede Folge von positiven reellen Zahlen $f_1,f_2,\ldots$ die Menge aller Tupel $(t_0,t_1,\ldots)$ mit endlich vielen von Null verschiedenen Eintr"agen, Summe Eins, $t_0$ beliebig und $t_i0$ kleiner als das Minimum dieser positiven $t_n$. Seien $U_n\co Y_n$ offene zusammenziehbare Umgebungen der $y_n$ f"ur $n\in N$. Sei $K\subset I$ endlich und disjunkt zu $N$. Nach der Beschreibung \ref{LZJ} von Umgebungsbasen in der Milnortopologie bilden die Mengen $$V=V((U_n), \varepsilon, K)$$ aller Punkte $\sum s_ix_i$ aus dem Join $J$ mit $|s_n-t_n|<\varepsilon$ f"ur $n\in N\sqcup K$ und $x_n\in U_n$ f"ur $n\in N$ f"ur alle erlaubten $\varepsilon$, $U_n$ und $K$ eine Umgebungsbasis des Punktes $p$ im Join $ J$ aus offenen Umgebungen. Es reicht zu zeigen, da"s diese Teilr"aume $V$ zusammenziehbar sind. Zun"achst zeigen wir, da"s die Abbildung $a: V\ra V$ des Angleichens der Koeffizienten $a: (s_ix_i) \mapsto (t_ix_i)$ an die Koeffizienten von $p$ homotop ist zu Identit"at auf $V$. Eine Homotopie ist etwa $H: [0,1]\times V\ra V$ gegeben durch $(r,(s_ix_i))\mapsto \big((rt_i+(1-r)s_i)x_i\big)$. Die Einbettung der Teilmenge $P\subset V$ aller Punkte von $V$, deren Koeffizienten dieselben sind wie die Koeffizienten von $p$, ist also eine Homotopie"aquivalenz $P\ra V$. Andererseits ist die offensichtliche Abbildung ein Hom"oomorphismus $\prod_{n\in N}U_n\sira P$, mithin ist $P$ zusammenziehbar. %Dann zeigen wir, da"s %$a$ homotop ist zur konstanten Abbildung $b: V\ra V$ mit Wert $p$. %Dazu betrachten wir %Homotopien $H_n:[0,1]\times U_n\ra U_n$ zwischen der Identit"at und der %konstanten Abbildung mit Wert $y_n$ und erkl"aren %$L: [0,1]\times V\ra V$ durch %$$L:(r, (s_ix_i))\mapsto (t_iH_i(r,x_i))$$ mit dem impliziten Einvernehmen, %da"s es die $H_i$ f"ur $i\not\in \DN$ gar nicht %braucht, da davor eh $t_i=0$ steht. Um zu zeigen, da"s sie stetig ist, %bemerkt man zun"achst, da"s auf der rechten Seite alle $c_k$ konstant den Wert %$t_k$ annehmen. F"ur die $k\in N$, f"ur die dieser Wert nicht Null ist, %finden wir $(\op{pr}_k\circ L)(r,j)= H_k(r,\op{pr}_k(j))$ %und das ist auch stetig. Mithin ist $L$ stetig nach der universellen Eigenschaft %\ref{MgiT} der geschachtelt-initialen Topologie. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Singul"are "aquivariante Kohomologie und cup-Produkt}] Operiert eine offenlokal zusammenziehbare topologische Gruppe $G$ auf einem lokal zusammenziehbaren topologischen Raum $X$, so ist nach \ref{MiKok} auch ${\op{E}}G/G$ lokal zusammenziehbar und damit auch ${\op{E}}G\times_{/G}X$. Folglich ist der Vergleichshomomorphismus in diesem Fall nach \ref{SIKOGA} ein Isomorphismus\label{RisC} $${\op{H}}^q({\op{E}}G\times_{/G}X)_{\op{sing}}\sira {\op{H}}^q({\op{E}}G\times_{/G}X)_{\op{garb}}$$ F"ur derartige Gruppen und R"aume k"onnen wir mithin unsere Konstruktion der "aquivarianten Kohomologie genausogut in der singul"aren Theorie durchf"uhren. Das hat den Vorteil, da"s wir f"ur die singul"are Theorie bereits die Ringstruktur durch das cup-Produkt eingef"uhrt haben, was f"ur die Garbenkohomologie noch aussteht. \end{Bemerkungl} \subsection{Weitere klassifizierende R"aume} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kolimites topologischer R"aume}] Gegeben ein K"ocher $\mathcal I$ und eine Darstellung $D:\mathcal I\ra \op{Top}$ unseres K"ochers in der Kategorie der topologischen R"aume kann man den Kolimes \eref{Kolim}{TS} konstruieren, indem man vom Kolimes in der Kategorie der Mengen \eref{KolM}{TS} ausgeht und ihn mit der Finaltopologie zu allen Abbildungen $D_i\ra \op{col}D_i$ versieht. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir betrachten das gerichtete System der komplexen Vektorr"aume $\DC^n$ mit den durch das Nullenanh"angen gegebenen Morphismen und bilden den Kolimes $$\DC^\infty\pdef \op{col}\DC^n$$ Also Menge ist das in Bijektion zur Menge aller Abbildungen $\DN\ra \DC$, die nur an endlich vielen Stellen einen Wert ungleich Null annehmen. Die Topologie wird dadurch gegeben, da"s eine Teilmenge offen ist genau dann, wenn sie jeden $\DC^n$ in einer offenen Menge trifft. Gleichbedeutend ist die Bedingung, da"s sie jeden endlichdimensionalen Teilraum in einer offenen Menge trifft. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Produkte lokal kompakter R"aume mit Kolimites}] Das Produkt mit einem lokal kompakten Raum $X$ ist nach dem Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} ein Linksadjungierter und vertauscht nach \eref{KaAA}{TS} folglich mit Kolimites,\label{vth} in Formeln $$\op{col}(X\times D_i)\sira X\times (\op{col} D_i)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Wir zeigen, da"s die Multiplikation mit Skalaren\label{SMS} $$\DC\times \DC^\infty\ra \DC^\infty$$ stetig ist. Da die Multiplikationen $\DC\times \DC^n\ra \DC^n$ stetig sind und da $\DC$ lokal kompakt ist, folgt das durch "Ubergang zum Kolimes aus der vorhergehenden Bemerkung \ref{vth}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen, da"s die auf der offenen Teilmenge $\DC^\infty\backslash 0$ induzierte Topologie mit der Kolimestopologie der Ursprungskomplemente $\DC^n\backslash 0$ zusammenf"allt, in Formeln $$\op{col}(\DC^n\backslash 0)\sira \DC^\infty\backslash 0$$ Das folgt aus der Finalit"at von Restriktionen auf offene Teilmengen f"ur gesamthaft finale Familien \eref{FvR}{TM}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir zeigen, da"s $\DC^\infty\backslash 0$ ein $\DC^\times$-Torsor ist. In der Tat ist die Multiplikation stetig f"ur die induzierte Topologie als Einschr"ankung der nach \ref{SMS} stetigen Multiplikation auf eine unter der operierenden Gruppe stabile Teilmenge, hier verwendet man die Vertr"aglichkeiten von Produkttopologie und induzierter Topologie. Nun ist f"ur jedes $n$ die Teilmenge der\label{CstT} Punkte mit nichtverschwindener $n$-ter Koordinate eine offene Teilmenge $U_n\co \DC^\infty$. Betrachten wir weiter die Teilmenge $W_n\subset \DC^\infty$ aller Punkte mit $n$-ter Koordinate Eins, so induziert die Multiplikation einen Hom"oomorphismus $\DC^\times\times W_n\sira U_n$. Das zeigt die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir wissen bereits, da"s die offensichtliche Abbildung in Bezug auf die induzierten Topologien ein Hom"oomorphismus $\op{col}(\DC^n\backslash 0)\sira (\DC^\infty\backslash 0)$ ist. Die Transitivit"at gesamthaft finaler Familien \eref{TFG}{TM} zeigt dann, da"s auch auf den Quotienten nach $\DC^\times$ die offensichtliche Abbildung ein Hom"oomorphismus $\op{col}\mathbb P^n\DC\sira (\DC^\infty\backslash 0)/\DC^\times$ ist. Wir notieren diesen Raum $$\mathbb P^\infty\DC\pdef \op{col}\mathbb P^n\DC$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Klassifizierender Raum f"ur $\DC^\times$}] Nach dem im Anschlu"s bewiesenen Lemma \ref{ZZRI} ist unser $\DC^\times$-Torsor $\DC^\infty\backslash 0$ aus \ref{CstT} zusammenziehbar. Folglich ist $\mathbb P^\infty\DC$ ein klassifizierender Raum f"ur $\DC^\times$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}\label{ZZRI} Das Komplement des Ursprungs im Raum $\DR^\infty\pdef \op{col}\DR^n$ ist zusammenziehbar. \end{Lemma} \begin{proof} Wir schieben zun"achst alle Koordinaten eine Stelle weiter, lassen dann die erste Koordinate auf Eins anwachsen ohne die anderen zu "andern, und schieben zum Schlu"s alle Koordinaten au"ser der ersten nach Null. Genauer folgt aus der Vertr"aglichkeit des Produkts mit einem lokal kompakten Raum und Kolimites \eref{PKLi}{TS}, da"s die Abbildung $$ \begin{array}{lll} [0,1]\times \Bbb{R}^{\infty} &\ra& \Bbb{R}^{\infty}\\ (t,(x_0, x_1, \ldots))& \mapsto& ((1-t)x_0,(1-t)x_1 +tx_0,(1-t)x_2+ tx_1,\ldots) \end{array} $$ stetig ist. Der Rest des Arguments geht "ahnlich, nur einfacher. \end{proof} \begin{Bemerkungl} In $\mathbb P^\infty \DC$ ist jede Teilmenge $A$ abgeschlossen, die jedes $\mathbb P^n \DC$ in einer abgeschlossenen Menge trifft. F"ur solch eine Teilmenge $A\As \mathbb P^\infty \DC$ folgt aus der Finalit"at von Restriktionen auf abgeschlossene Teilmengen f"ur gesamthaft finale Familien \eref{FvR}{TM}, da"s die offensichtliche Abbildung ein Hom"oomorphismus $$\op{col}(A\cap \mathbb P^n \DC)\sira A$$ ist. Speziell ist jede Teilmenge $E\subset \mathbb P^\infty \DC$ abgeschlossen, die die jedes $\mathbb P^n \DC$ in einer endlichen Menge trifft. Da der Kolimes "uber diskrete R"aume offensichtlich diskret ist, ist die induzierte Topologie auf $E$ in diesem Fall die diskrete Topologie. Da ein diskreter Raum nur kompakt sein kann, wenn er endlich ist, mu"s jede kompakte Teilmenge $K\subset \mathbb P^\infty \DC$ bereits in einem $\mathbb P^n \DC$ liegen. Wir folgern auf den singul"aren Ketten Isomorphismen $\op{col}{\op{S}}_q(\mathbb P^n \DC) \sira {\op{S}}_q(\mathbb P^\infty \DC)$ und mit der Exaktheit von filtrierenden Kolimites finden wir auch f"ur die singul"are Homologie Isomorphismen $$\op{col}{\op{H}}_q(\mathbb P^n \DC) \sira {\op{H}}_q(\mathbb P^\infty \DC)$$ Nun wissen wir weiter, da"s die Abbildungen ${\op{S}}_q(\mathbb P^n \DC) \ra {\op{S}}_q(\mathbb P^{n+1} \DC)$ spaltende Injektionen sind und nach \eref{HKPR}{TS} induzieren sie Isomorphismen auf der Homologie f"ur $n\geq q$. Damit sind die R"uckz"uge ${\op{S}}^q(\mathbb P^{n+1} \DC) \ra {\op{S}}^q(\mathbb P^{n} \DC)$ Surjektionen. Andererseits liefert die Definition des Kolimes Isomorphismen ${\op{S}}^q(\mathbb P^n \DC) \sira \op{lim}\op{Ab}({\op{S}}_q(\mathbb P^\infty \DC),\DZ)$ und mit "Ubung \eref{QILcc}{TS} zur Vertauschbarkeit von Homologie mit speziellen Limites folgern wir, da"s auch sie Isomorphismen $${\op{H}}^q(\mathbb P^n \DC) \sira \op{lim}{\op{H}}^q(\mathbb P^\infty \DC)$$ induzieren. Aus der Beschreibung \eref{KkPR}{TS} der Kohomologie der komplex projektiven R"aume folgt dann, da"s gilt ${\op{H}}^2(\mathbb P^\infty \DC)\cong \DZ$ und da"s f"ur jeden Erzeuger $t\in {\op{H}}^2(\mathbb P^\infty \DC)$ der offensichtlich Ringhomomorphismus ein Isomorphismus $$\Bbb{Z} [t] \sira {\op{H}}^{\ast} (\DP^{\infty} \DC)$$ zwischen dem Polynomring und dem singul"aren Kohomologiering des klassifizierenden Raums ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} "Ahnlich wie in \ref{ZZRI} aber einfacher zeigt man, da"s $\DP^{\infty} \DC$ lokal zusammenziehbar und sogar offenlokal zusammenziehbar ist. Der Vergleichsisomorphismus \ref{SKG} zwischen singul"arer Kohomologie und Garbenkohomologie ist in diesem Fall folglich ein Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Erg"anzungen zu Faserungen und Basiswechsel*} \subsection{Gefaserter Basiswechsel} \begin{Satz}[\defind{Gefaserter Basiswechsel}]%\cite{BeLu} Sind in einem kartesischen Diagramm von topologischen R"aumen $f q=p g$ die Horizontalen $p,q$ Faserb"undel mit offenlokal zusammenh"angender Faser, so ist der Basiswechsel von Mengengarben eine Isotransformation\label{GFBW} $$p^{*} f_{*} \overset{\sim}{\RA} g_{*} q^{*} $$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Insbesondere vertauscht das Zur"uckziehen auf ein Faser\-b"un\-del mit offenlokal zusammenh"angender Faser mit beliebigen Produkten von Garben: In der Tat kann man ein Produkt $\prod_{i\in I}\mathcal F_i$ von Garben auf $Y$ als Vorschub unter der Projektion einer geeigneten Garbe auf $Y\times I^{\op{dis}}$ verstehen. Ich erinnere daran, da"s das Bilden von Produkten von Garben im allgemeinen keineswegs mit R"uckzug vertauscht,\label{gbsfw} ja nach \ref{PrGa} noch nicht einmal mit dem Bilden von Halmen. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Wir d"urfen ohne Beschr"ankung der Allgemeinheit annehmen, da"s unser Diagramm die Gestalt $$\begin{array}{ccc} X\times Z & \rightarrow & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y \times Z& \rightarrow &Y \end{array}$$ hat f"ur offenlokal zusammenh"angendes $Z$. Es reicht zu zeigen, da"s f"ur jede Garbe von Mengen $\cal{F} \in \op{Ens}_{/X}$ und jeden Punkt $(y,z) \in Y \times Z$ unsere nat"urliche Transformation auf dem Halm eine Bijektion $$(p^{*} f_{*} \cal{F})_{(y,z)} \sira (g_{*} q^{*} \cal{F})_{(y,z)}$$ induziert. Dazu hinwiederum reicht es, f"ur ein Fundamentalsystem von Umgebungen von $(y,z)$ zu zeigen, da"s Bijektionen auf den Schnitten "uber diesen Umgebungen induziert werden. Jetzt verwenden wir offenen Basiswechsel \ref{OBW} und sehen so, da"s es reicht, f"ur $Z$ zusammenh"angend nachzuweisen, da"s sich auf den globalen Schnitten eine Bijektion $$\Gamma p^{*}f_{*} \cal{F} \sira \Gamma g_{*}q^{*}\cal{F}$$ ergibt. Nun haben wir f"ur jede stetige Abbildung $f$ per definitionem $\Gamma f_{*}=\Gamma$ und nach "Ubung \ref{AdI} "uber finales Zur"uckholen bei zusammenh"angenden Fasern liefern in unserem speziellen Fall die kanonischen Abbildungen auch Bijektionen $\Gamma\sira \Gamma q^{*}$ und $\Gamma\sira \Gamma p^{*}$. Damit identifizieren wir beide Seiten des behaupteten Isomorphismus mit $\Gamma\cal{F}$ und der Satz ist bewiesen. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Basiswechsel braucht Faserb"undelbedingung}] In \ref{gbsfw} hatten wir bereits gesehen, da"s Basiswechsel ohne Faserb"undelbedingung nicht gilt. Hier kommt noch ein Beispiel, das zeigt, da"s auch in \glqq ganz gew"ohnlichen Situationen\grqq\ die Faserb"undelbedingung gebraucht wird. Im kartesischen Diagramm\label{bwsd} \begin{displaymath} \xymatrix{ \mathbb{R}\backslash 0 \ar[d]_{g}\ar[r]^q & \mathbb{R}^2\backslash 0\ar[d]^f \\ \op{pt} \ar[r]^p & \mathbb{R} } \end{displaymath} mit $q:y\mapsto (0,y)$ und $f:(x,y)\mapsto x$ ist f"ur die konstante Garbe $\mathcal{F}$ auf $\mathbb{R}^2 \backslash 0$ mit Faser $\mathbb{Z}$ der von der Basiswechseltransformation induzierte Morphismus $p^{*} f_{*} \mathcal{F} \rightarrow g_{*} q^{*} \mathcal{F}$ kein Isomorphismus. Das zeigt, da"s bei kartesischen Diagrammen ohne Faserb"undel in den Horizontalen im allgemeinen der Basiswechsel kein Isomorphismus ist. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Gefaserter Basiswechsel braucht spezielle Fasern}] Sei $\DQ$ versehen mit der von $\DR$ induzierten Topologie und $D=\DR\backslash \DQ$ die Menge der irrationalen Zahlen, versehen mit der diskreten Topologie. Man zeige, da"s f"ur $f: D\ra \op{pt}$ und Basiswechsel mit $p:\DQ\ra \op{pt}$ der von der kanonischen Transformation induzierte Morphismus $p^{*} f_{*}\DZ_D \ra g_{*} q^{*}\DZ_D$ kein Isomorphismus ist. Genauer "uberlege man sich, da"s der globale Schnitt der konstanten Garbe $\DZ_{D\times\DQ}$ auf $D\times\DQ\subset \DR^2$, der konstant Eins ist oberhalb der Diagonalen und konstant Null unterhalb, einem globalen Schnitt von $g_{*} q^{*}\DZ_D$ entspricht, der nicht von einem globalen Schnitt von $p^{*} f_{*}\DZ_D$ herkommen kann. Dieses Beispiel zeigt, da"s in \ref{GFBW} auf die Voraussetzung offenlokal zusammenh"angender Fasern im allgemeinen nicht verzichtet werden kann. \end{Beispiel} \subsection{Derivierter gefaserter Basiswechsel} \begin{Bemerkungl} Ein topologischer Raum $X$ hei"se {\bf schwach garbenazyklisch},\index{garbenazyklisch!schwach} wenn f"ur jede abelsche Gruppe $M$ von Koeffizienten seine h"ohere Garbenkohomologie verschwindet und die nat"urliche Abbildung einen Isomorphismus $M\sira \Gamma(M_X)$ induziert.\label{gazy} Offensichtlich ist jeder zusammenziehbare Raum schwach garbenazyklisch. Jeder zusammenziehbare Raum ist nach \ref{sGaz} sogar schwach basisfest garbenazyklisch. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\defind{Derivierter gefaserter Basiswechsel}] Sind in einem kartesischen Diagramm von topologischen R"aumen $f q=p g$\label{DGF} die Horizontalen $p,q$ \hyperref[FaBue]{Faserb\"undel} mit offenlokal \hyperref[gazy]{schwach garbenazyklischer} Faser, so sind die Basiswechsel f"ur abelsche Garben Isotransformationen $$p^{\ast} ({\op{R}}^if_{\ast}) \siRa ({\op{R}}^ig_{\ast}) q^{\ast} $$ \end{Satz} % \begin{Bemerkunge} % Dieser Satz ist Lemma C1 auf Seite 56 aus % \cite{BeLu}, wo mir allerdings die Bedingungen, wie sie % in loc.cit.\, Abschnitt 6.8 formuliert werden, zu schwach % scheinen: Man mu"s meines Erachtens nicht nur fordern, da"s % jeder Punkt der Faser eine garbenazyklische Umgebung besitzt, % sondern da"s sich jede Umgebung jedes Punktes der Faser % zu einer offenen garbenazyklischen Umgebung % des gegebenen Punktes verkleinern l"a"st. % \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw} In \eref{DGFBW}{TSF} zeigen wir eine Variante in derivierten Kategorien. \end{Bemerkungw} \begin{proof} F"ur $i=0$ folgt das aus unserem underivierten gefaserten Basiswechsel \ref{GFBW}, denn jeder schwach garbenazyklische Raum ist zusammenh"angend und damit jeder offenlokal schwach garbenazyklische Raum auch offenlokal zusammenh"angend. Im allgemeinen k"onnen wir uns mit offenem Basiswechsel auf den Fall eines kartesischen Diagramms der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Z \ar[d]_-{g}\ar[r]^-{q} & X \ar[d]^-f\\ Y\times Z \ar[r]^-{p} & Y } \end{displaymath} f"ur offenlokal schwach garbenazyklisches $Z$ zur"uckziehen. Tr"agt zus"atzlich $X$ die diskrete Topologie, so verschwinden die h"oheren derivierten Vorsch"ube ${\op{R}}^if_{\ast}$ f"ur $i>0$ und die Behauptung folgt, wenn wir f"ur $i>0$ und $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ auch $({\op{R}}^ig_{\ast})q^*\mathcal F=0$ zeigen. Gegeben $B\co Y$ und $U\co Z$ mit $U$ schwach garbenazyklisch finden wir mit \ref{pgKO} aber $${\op{H}}^i(g^{-1}(B\times U);q^\ast \mathcal F)= \prod_{x\in f^{-1}(B)} {\op{H}}^i( U; \mathcal F_x)=0$$ f"ur $i>0$ und durch "Ubergang zum Kolimes erkennt man, da"s f"ur $i>0$ alle Halme von $({\op{R}}^ig_{\ast})q^*\mathcal F$ verschwinden. Damit haben wir unseren Satz f"ur diskretes $X$ bewiesen. Um unseren Satz f"ur allgemeines $X$ zu zeigen, m"ussen wir nur f"ur jede abelsche Garbe $\cal{F}\in \op{Ab}_{/X}$ eine Einbettung in eine $f_{\ast}$-azyklische abelsche Garbe finden, die unter $q^{\ast}$ zu einer $g_{\ast}$-azyklischen Garbe wird: Dann k"onnen wir f"ur jede abelsche Garbe induktiv eine Aufl"osung durch Garben dieser Art konstruieren und der Satz folgt wieder aus seiner underivierten Variante \ref{GFBW}. Um unsere Einbettung zu konstruieren, bilden wir die {\bf Diskretisierung}\index{Diskretisierung!von topologischen Raum} $X^{\delta}$,\index{d@$\delta$ in $X^{\delta}$ Menge $X$ mit der diskreten Topologie}\index{)6@$X^{\delta}$ Menge $X$ mit der diskreten Topologie} von $X$, indem wir die Menge $X$ mit der diskreten Topologie versehen, geben der Identit"at den Namen $h:X^{\delta}\ra X$ und erhalten ein Diagramm der Gestalt \begin{displaymath} \xymatrix{ X^{\delta}\times Z \ar[d]_-{k}\ar[r]^-{r} &\;X^{\delta}\ar[d]^-h\\ X\times Z \ar[d]_-{g}\ar[r]^-{q} & X \ar[d]^-f\\ Y\times Z \ar[r]^-{p} & Y } \end{displaymath} Die kanonische Abbildung $\cal{F } \ra h_{\ast} h^{\ast}\cal{F }$ alias Godementaufl"osung ist dann eine Einbettung in eine $f_{\ast}$-azyklische Garbe, und es reicht zu zeigen, da"s auch $q^{\ast}h_{\ast} h^{\ast}\cal{F }$ azyklisch ist f"ur $g_{\ast}$. Nach dem bereits behandelten Fall verschwinden aber die h"oheren derivierten Vorsch"ube von $r^\ast h^{\ast}\cal{F }$ sowohl unter $k$ als auch unter $gk $. Gegeben eine injektive Aufl"osung $r^\ast h^{\ast}\cal{F }\hra \mathcal I^\lhd$ ist also $k_*r^\ast h^{\ast}\cal{F }\hra k_*\mathcal I^\lhd$ eine welke Aufl"osung von $k_*r^\ast h^{\ast}\cal{F }$ und $g_*k_*r^\ast h^{\ast}\cal{F }\hra g_*k_*\mathcal I^\lhd$ ist immer noch exakt. So folgt, da"s $ k_* r^*h^*\cal{F }\cong q^*h_*h^*\cal{F }$ azyklisch ist f"ur $g_*$. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{H"ohere Vorsch"ube l"angs Faserb"undeln mit spezieller Basis}] Gegeben ein \hyperref[FaBue]{Faserb\"{u}ndel} $g: E \ra Z$\label{RHFc} "uber einem offenlokal schwach gar\-ben\-a\-zyk\-li\-schen Raum $Z$ und eine abelsche Gruppe $M$ sind die h"oheren Vorsch"ube ${\op{R}}^{i}g_{\ast}M_E$ der konstanten Garben lokal konstant und Basiswechsel liefert Isomorphismen zwischen ihren Halmen und den Kohomologiegruppen der Faser $$({\op{R}}^{i}g_{\ast}M_E)_z\sira {\op{H}}^{i}(g^{-1}(z);M)$$ \end{Korollar} \begin{proof} Mit offenem Basiswechsel d"urfen wir annehmen, da"s unsere Abbildung eine Projektion $g:X\times Z\ra Z$ ist f"ur einen weiteren topologischen Raum $X$. Jetzt wenden wir derivierten gefaserten Basiswechsel \ref{DGF} an auf die konstante Garbe $M_X\in \op{Ab}_{/X}$ im kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Z \ar[d]\ar[r] & X\ar[d]\\ Z \ar[r] & \op{top} } \end{displaymath} und finden, da"s in diesem Fall die ${\op{R}}^ig_*M_E$ sogar konstante Garben sind. \end{proof} \begin{Korollar}[\textbf{Kriterium f"ur schwache basisfeste Azyklizit"at}] Gegeben $Z$ zusammenh"angend und offenlokal schwach garbenazyklisch sowie eine Schranke $n\geq 1$ mit ${\op{H}}^1(Z;M)=\ldots ={\op{H}}^{n+2}(Z;M)=0$ f"ur jede beliebige abelsche Gruppe $M$ und $X$ ein beliebiger topologischer Raum induziert der R"uckzug\label{KBA} f"ur alle $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ und $0\leq q\leq n$ Isomorphismen $${\op{H}}^q(X;\mathcal F)\sira {\op{H}}^q(X\times Z;\op{pr}^*\mathcal F)$$ \end{Korollar} \begin{Bemerkungl} Insbesondere ist ein Raum $Z$ mit den im Korollar geforderten Eigenschaften schwach bag-$n$-azyklisch im Sinne von \ref{sGaz}\label{kbagn}. Noch spezieller hat jede zusammenh"angende Mannigfaltigkeit, deren Kohomologie mit beliebigen abelschen Gruppen als Koeffizienten in den Graden $1, \ldots, n+2$ verschwindet, diese Eigenschaft. In der Tat ist jede Mannigfaltigkeit offenlokal zusammenziehbar und damit offenlokal schwach garbenazyklisch. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir arbeiten mit dem kartesischen Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X\times Z \ar[d]^-g\ar[r]^-q & X\ar[d]^-f\\ Z \ar[r]^-p & \op{top} }\end{displaymath} Derivierter gefaserter Basiswechsel \ref{DGF} liefert uns zun"achst einmal Isomorphismen $p^{\ast} ({\op{R}}^if_{\ast})\mathcal F \sira ({\op{R}}^ig_{\ast}) q^{\ast}\mathcal F $ und zeigt insbesondere, da"s auch die linke Seite eine konstante Garbe ist. Nach Annahme verschwinden darauf die ${\op{R}}^jp_*$ f"ur $1\leq j\leq n+2$ und wir erhalten Isomorphismen $$({\op{R}}^if_{\ast})\mathcal F\sira p_* p^{\ast} ({\op{R}}^if_{\ast})\mathcal F \sira ({\op{R}}^ 0 p_*) ({\op{R}}^ig_{\ast}) q^{\ast}\mathcal F\sira ({\op{R}}^i(p\circ g)_{\ast}) q^{\ast}\mathcal F $$ f"ur $1\leq i\leq n+1$ mit ganz rechts der Leray'schen Spektralsequenz \ref{LeSp} oder elementarer \ref{SPKs} angewandt auf den Komplex $g_*\mathcal I^\lhd$ f"ur $ q^{\ast}\mathcal F \ra \mathcal I^\lhd$ eine injektive Aufl"osung, der dann konstante Kohomologiegarben haben mu"s, und den Funktor $p_*$. Ist $\mathcal F$ injektiv, so ist $q^{\ast}\mathcal F $ mithin $(n+1)$-$\Gamma$-azyklisch. Jede injektive Aufl"osung von $\mathcal F$ wird also unter $q^*$ zu einer Aufl"osung von $q^{\ast}\mathcal F $ durch $(n+1)$-$\Gamma$-azyklische Garben. Da so eine Aufl"osung nach \ref{DAZOp} aber bereits die Kohomologie in jedem Grad $\leq n$ berechnet, folgt die Behauptung. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{qpow} Ist $j:\DC^\times\hra \DC$ die Einbettung und $\mathcal F$ eine lokal konstante abelsche Garbe mit Monodromie $T:\mathcal F_1\sira \mathcal F_1$ wie in \ref{GGRE}, so gilt f"ur den Halm bei Null ihrer derivierten Vorsch"ube $$({\op{R}}^qj_\ast\mathcal F)_0\cong\left\{\begin{array}{ll} \{a\in \mathcal F_1\mid T(a)=a\}& q=0;\\ \mathcal F_1/\op{im}(T- \op{id})& q=1;\\ 0&\text{sonst.} \end{array}\right.$$ Hinweis: Es reicht, einen Isomorphismus $({\op{R}}^qj_\ast\mathcal F)_0\sira {\op{H}}^q(\DC^\times;\mathcal F)$ zu konstruieren. Den Rest erledigt dann \ref{KoHHo}. \end{Ubung} \begin{Bemerkungw} Ist $j:\DC^\times\hra \DC$ die Einbettung und $\mathcal F$ eine lokal konstante abelsche Garbe auf $\DC^\times$, so gilt ${\op{H}}^q(\DC;j_!\mathcal F)=0$ f"ur alle $q$. Eine m"ogliche Argumentation, die hier aber f"ur uns noch nicht zug"anglich ist, besteht darin, vom ausgezeichneten Dreieck $$j_!\mathcal F\ra j_\ast\mathcal F\ra i_\ast i^\ast j_\ast\mathcal F\ra$$ auszugehen, mit $i$ der Einbettung des Ursprungs, in dem alle Funktoren als derivierte Funktoren zu verstehen sind. Dann folgt die Behauptung aus dem letzten Isomorphismus von "Ubung \ref{qpow}. Betrachten wir dann das ausgezeichnete Dreieck $$i_!i^!(j_!\mathcal F)\ra j_!\mathcal F\ra j_\ast j^\ast j_!\mathcal F\ra$$ und bilden die Kohomologie, so finden wir ${\op{H}}^q(\DC^\times;\mathcal F) \sira {\mathcal{H}}^{q+1}i^!j_!\mathcal F$. Nach \ref{KoHHo} sagt das also $${\mathcal{H}}^{q}i^!j_!\mathcal F\cong\left\{\begin{array}{ll} \{a\in \mathcal F_1\mid T(a)=a\}& q=1;\\ \mathcal F_1/\op{im}(T- \op{id})& q=2;\\ 0&\text{sonst.} \end{array}\right.$$ Das ist bereits in neuer Notation zu verstehen, in alter Notation h"atten wir ${\op{R}}^{q}i^!$ statt ${\mathcal{H}}^{q}i^!$ zu schreiben und $i^!$ h"atte eine andere Bedeutung. Eigentlich sollte man hier zeigen, da"s $i^!j_!\mathcal F$ in der derivierten Kategorie $\op{Der}(\op{Ab})$ isomorph ist zum Komplex mit dem Differential $(T-\op{id}):\mathcal F_1\ra \mathcal F_1$ vom Grad $1$ zum Grad $2$ und nur Nullen au"serhalb dieser beiden Grade. \end{Bemerkungw} \subsection{Gruppenkohomologie als Garbenkohomologie}\label{GrGa} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \ref{GurKo} die Definition der Kohomologie einer diskreten Gruppe mit Koeffizienten in einer Darstellung. \nichtfinal{Besser anbinden an \ref{GruGar}.} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ist $G\looparrowright A$ eine abelsche Gruppe $A$ mit einer Operation\label{assGG} einer diskreten Gruppe $G$ und $X\looparrowleft G$ ein topologischer Raum mit einer topologisch freien Rechtsoperation von $G$, so bilden wir wie in \eref{AF}{TF} erkl"art die "Uberlagerung $$X \times_{/ G}A \ra X/G$$ und bezeichnen mit $\tilde{A}$ die Garbe ihrer Schnitte. Auf diese Weise erhalten wir einen exakten Funktor $A \mapsto \tilde{A}$ von der Kategorie $G\op{-Ab}$ der $G$-Moduln in die Kategorie $\op{Ab}_{/ (X/G)}$ der abelschen Garben auf dem Bahnenraum $X /G$. Wir nennen $\tilde A$ die {\bf zu $A$ assoziierte Garbe}\index{assoziiert!Garbe} und erhalten nat"urliche Homomorphismen $A^G\ra \Gamma\tilde A$ durch die Vorschrift $a\mapsto (xG\mapsto [x,a])$. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} %Wir nennen einen topologischen Raum $X$ %{\bf garbenazyklisch},\index{garbenazyklisch} %%%wenn er keine h"ohere Garbenkohomologie mit Koeffizienten in %irgendeiner abelschen Gruppe % hat und wenn f"ur jede abelsche Gruppe $A$ die %offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus %$A\sira {\op{H}}^0(X;A)_{\op{garb}}$ ist. %\end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenkohomologie als Garbenkohomologie}] Sei $X$ ein global und \hyperref[olokal]{offenlokal} \hyperref[gazy]{schwach gar\-ben\-azy\-klischer} topologischer Raum, auf dem eine diskrete Gruppe $G$ topologisch frei\label{GrGAKO}\index{Gruppenkohomologie!als Garbenkohomologie} operiert. So induzieren unsere nat"urlichen Homomorphismen $A^G\ra \Gamma\tilde A$ aus \ref{assGG} nat"urliche Isomorphismen $$\op{H}^{q}(G;A) \sira \op{H}^{q}(X/G;\tilde{A})$$ zwischen der Gruppenkohomologie von $G$ mit Koeffizienten in einem $G$-Modul $A$ und der Garbenkohomologie des Quotienten $X/G$ mit Koeffizienten in der zu $A$ assoziierten Garbe $\tilde A$. \end{Satz} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppenkohomologie von diskreter Gruppe}] Da die Milnorkonstruktion einen zusammenziehbaren und offenlokal zusammenziehbaren topologisch freien $G$-Rechtsraum liefert, erhalten wir insbesondere f"ur jede diskrete topologische Gruppe $G$ und jede abelsche Gruppe $M$ einen Isomorphismus $$\op{H}^{q}(G;M) \sira \op{H}^{q}_G(\op{top};M)$$ zwischen der Kohomologie von $M$ als $G$-Modul mit der trivialen Operation und der $G$-"aquivarianten Kohomologie des einpunktigen Raums mit Koeffizienten in der abelschen Gruppe $M$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Ist $X$ zusammenh"angend und verschwindet seine erste Kohomologie mit konstanten Koeffizienten f"ur jede abelsche Koeffizientengruppe, so ist jede lokal konstante abelsche Garbe auf $X$ konstant nach \ref{ECK} und \ref{CGa}. Operiert nun eine diskrete Gruppe $G$ topologisch frei von rechts auf $X$ und bezeichnen wir Kategorien lokal konstanter Garben mit einem oberen Index $ \op{lk}$, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm von Kategorien der Gestalt $$\xymatrix{ \op{Ab}_{/X} \ar@{<-^{)}}[r] &\op{Ab}^{\op{lk}}_{/X}\ar@{=>}[rd]^{\sim} \ar[r]^-{{\approx}} &\op{Ab}\\ \op{Ab}_{/(X/G)}\ar@{<-^{)}}[r] \ar[u] & \op{Ab}^{\op{lk}}_{/ (X/G)}\ar@{=>}[rd]^{\sim} \ar[r]^-{\approx}\ar[u] & G \op{-Ab} \ar[u]\\ \op{Ab}_{/{\op{top}}}\ar[u]\ar@{=}[r] &\op{Ab}_{/{\op{top}}}\ar[u]\ar@{=}[r] &\op{Ab}\ar[u] }$$ Die Vertikalen meinen das Zur"uckholen von Garben beziehungsweise das Zur"uckholen der $G$-Operation vermittels $1 \ra G \ra 1$. Die obere rechte Horizontale ist der Funktor der globalen Schnitte und die mittlere rechte Horizontale der Faserfunktor $\op{Top}_{X/G}(X,\;)$ aus \eref{KUE}{TF}, der ja quasiinvers ist zu $A \mapsto \tilde{A}$. Gehen wir im Quadrat unten rechts zu den Rechtsadjungierten der Vertikalen "uber, so ergeben sich kanonische Isomorphismen $$\Gamma \tilde{A} \overset{\sim}{\ra} A^{G}$$ Um zu zeigen, da"s sie sogar Isomorphismen $\op{H}^{q}(X/G; \tilde{A})\overset{\sim}{\ra} \op{H}^{q}(G;A)$ induzieren, m"ussen wir nur wissen, da"s injektive Objekte $A$ von $G \op{-Ab}$ unter der Zuordnung $A\mapsto \tilde A$ zu $\Gamma$-azyklischen Garben $\tilde{A}$ auf $X/G$ werden. Nun ist aber jedes injektive Objekt $A\in G \op{-Ab}$ Summand eines $\op{ind}^{G}_{1} I$ f"ur eine injektive abelsche Gruppe $I$ und $\op{ind}^{G}_{1} I$ entspricht nach "Ubergang zu den Rechtsadjungierten der Vertikalen im oberen rechten Quadrat der lokal konstanten Garbe $\pi_{\ast} I_{X}$ auf $X /G$ f"ur $\pi:X\ra X/G$ die Projektion. Da $X$ und damit auch $X/G$ offenlokal schwach garbenazyklisch ist \nichtfinal{\emph{(Nicht besser \ref{Prdjz}?)}}, mu"s hier $\pi_\ast$ nach \ref{RHFc} auch wirklich lokal konstante Garben zu lokal konstanten Garben machen. Zus"atzlich zeigt diese Bedingung, da"s die h"oheren Derivierten ${\op{R}}^q\pi_\ast$ auf lokal konstanten abelschen Garben verschwinden. Unsere Garbe $\pi_{\ast} I_{X}$ ist damit offensichtlich $\Gamma$-azyklisch, wenn $X$ wie angenommen schwach garbenazyklisch ist. \end{proof} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw} "Aquivariante derivierte Kategorie! Hat unser Satz ein Analogon in der Gruppenhomologie? \end{Bemerkungw}} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Man berechne nocheinmal die Kohomologiegruppen der Kreislinie mit lokal konstanten Koeffizienten \ref{KoHHo} und verwende statt offener "Uberdeckungen unsere Gruppenkohomologie aus \ref{GKOI}. \end{Ubung} \subsection{Fakofaserungen} \begin{Bemerkungl} Wir hatten bereits bemerkt, da"s die Opgarbenfaserung $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra \op{Top}$ und die Garbenfaserung $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra \op{Top}$ zueinander opponierte Fasern haben, in Formeln $\op{Ens}_{\sslash X} =(\op{Ens}_{/X})^{\op{opp}}$, und haben in \ref{AbiB} einen Isomorphismus $f^\ast\siRa (f^\ast)^{\op{opp}}$ zwischen dem R"uckzug in $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}$ und dem vom R"uckzug in $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}$ auf den opponierten Kategorien induzierten Funktor angegeben. Hier will ich besprechen, welche Vertr"aglichkeiten diese Isomorphismen ihrerseits erf"ullen, ja inwiefern die Opgarbenfaserung und die Garbenfaserung sich gegenseitig vollst"andig beschreiben. Ich skizziere erst einen Zugang "uber \glqq Pseudofunktoren\grqq\ und f"uhre dann einen Zugang "uber \glqq Fakofaserungen\grqq\ aus, der dem in diesem Text verfolgten Ziel der Vermeidung h"oherer Strukturen n"aher kommt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Skizze zu Pseudofunktoren}] Ein Ansatz, die Beziehung zwischen Garbenfaserung und Opgarbenfaserung zu verstehen, ist die Sprache der Pseudofunktoren, vergleiche \ref{Dopf}. Ich will ihn hier nur kurz skizzieren. Einen Kofaserfunktor $\mathscr C\ra \mathscr B$ anzugeben \glqq l"auft auf dasselbe hinaus\grqq\ wie einen K"ochermorphismus $\mathscr B\ra \op{Cat}$ anzugeben, der jedem Objekt $X\in \mathscr B$ eine Kategorie $\mathscr C_X$ zuordnet und jedem $f:X\ra Y$ einen Funktor $f_\dagger:\mathscr C_X\ra \mathscr C_Y$, und zus"atzlich Isotransformationen $c(f,g):g_\dagger f_\dagger\siRa(gf)_\dagger$ sowie $c_X: \op{Id}_{\mathscr C_X}\siRa \op{id}_{X\dagger}$ anzugeben, die wir \glqq Identifikationen\grqq\ genannt hatten und die ihrerseits weitere Vertr"aglichkeiten erf"ullen, die ich hier nicht ausschreibe. Halten wir hinter unseren K"ochermorphismus den K"ochermorphismus des Opponierens $\op{opp}:\op{Cat}\ra \op{Cat}$ dahinter und nehmen die Inversen der von den Identifikationen induzierten Isotransformationen, so erhalten wir ein Datum derselben Art. Gehen wir dann unser \glqq l"auft auf dasselbe hinaus\grqq\ wieder zur"uck, so erhalten wir einen weiteren Kofaserfunktor mit opponierten Fasern aber denselben Vorsch"uben. Die Beziehung zwischen Garbenfaserung und Opgarbenfaserung kann als die analoge Konstruktion im Fall von Faserungen statt Kofaserungen verstanden werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ erkl"aren wir ihre {\bf Diskretisierung}\index{Diskretisierung!von Kategorie} $\mathcal C^\delta$\index{d@$\mathcal C^\delta$ Diskretisierung von $\mathcal C$} als die Unterkategorie mit denselben Objekten aber nur Identit"aten als Morphismen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine {\bf Fakofaserung}\index{Fakofaserung} "uber einer Kategorie $\mathscr B$ ist ein Datum aus einem Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ und einem Kofaserfunktor $\bar p:\bar{\mathscr C}\ra \mathscr B^{\op{opp}}$, die nach Zur"uckholen auf die diskretisierte Basis $\mathscr B^\delta$ "ubereinstimmen, sowie Bijektionen\label{voFa} $$i:\mathscr C_{f}^{\times}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \bar{\mathscr C}_{f^\circ}^{{\times}}(\mathcal G,\mathcal F)$$ zwischen den Mengen der jeweiligen kartesischen beziehungsweise kokartesischen Morphismen, die vertr"aglich sind mit Verkn"upfung und die im Fall $f=\op{id}_X$ zum Invertieren von Isomorphismen der Faser spezialisieren. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Fakofaserung und Identifikationen}] Anders und etwas vage gesagt besteht eine Fakofaserung aus zwei Faserfunktoren $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ und $q\pdef \bar p^{\op{opp}}:\bar{\mathscr C}^{\op{opp}}\ra \mathscr B$ mit zueinander opponierten Fasern und Isomorphismen zwischen den R"uckz"ugen der ersten und den opponierten R"uckz"ugen der zweiten Faserung $f^\dagger\siRa (f^\ddagger)^{\op{opp}}$ derart, da"s die Identifikationen\label{DuI} $f^\dagger g^\dagger\siRa (gf)^\dagger, \op{id}^\dagger\siRa \op{Id}$ der ersten Faserung darunter den Inversen der Opponierten der Identifikationen $f^\ddagger g^\ddagger\siRa (gf)^\ddagger, \op{id}^\ddagger\siRa \op{Id}$ entsprechen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Familienkategorien einer Trennschmelzkategorie bilden eine Fakofaserung "uber der Familienkategorie der terminalen Trennkategorie. In \eref{voFaT}{TSF} f"uhren wir den Begriff einer \glqq Trennschmelzfakofaserung\grqq\ ein, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von Trennschmelzkategorien und Fakofaserungen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Fakofaserung der Mengengarben}] Die Mengengarbenfaserung $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra\op{Top}$ aus \ref{GaFa} und die zur Opmengengarbenfaserung aus \ref{GMab} opponierte Kofaserung $(\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}})^{\op{opp}}\ra \op{Top}^{\op{opp}}$ bilden zusammen mit unseren Bijektionen aus \ref{AbiB} eine Fakofaserung. In der Tat haben wir in \ref{Anopko} f"ur Morphismen "uber $f$ der\label{opii} Opmengengarbenfaserung eine Bijektion $$\op{Ens}_{\sslash f}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Top}_X(X\times_Y\bar{\mathcal G},\bar{\mathcal F})$$ konstruiert. F"ur Morphismen "uber $f$ der Garbenfaserung erhalten wir dahingegen unmittelbar eine Bijektion $$\op{Ens}_{/ f}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \op{Top}_X(\bar{\mathcal F},X\times_Y\bar{\mathcal G})$$ Kartesische Morphismen sind jeweils die Morphismen links, die rechts Isomorphismen in $\op{Top}_X$ entsprechen, und das Invertieren dieser Isomorphismen liefert in diesem Fall die Bijektionen unserer Fakofaserung. Wie in \ref{DuI} ausgef"uhrt bedeutet das, da"s die Isomorphismen, die wir so zwischen den R"uckz"ugen von $\op{Ens}_{/{\op{Top}}}\ra\op{Top}$ und den opponierten R"uckz"ugen von $\op{Ens}_{\sslash{\op{Top}}}\ra\op{Top}$ erhalten, mit den jeweiligen Identifikationen vertr"aglich sind. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Fakofaserung zu \'etale eingeschr"ankter Schreikofaserung}] Ein Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ derart, da"s alle R"uckz"uge einen Linksadjungierten haben, ist eine Bifaserung. Ein Beispiel ist unsere auf \'etale separierte Abbildungen eingeschr"ankte Garbenfaserung\label{doKp} $$\op{Ab}_{/{\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}}}\ra\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}$$ Wir haben in \ref{lfad} f"ur alle Morphismen $f$ der Basis Isomorphismen zwischen den Funktoren $f_!$ und den Linksadjungierten der R"uckz"uge $f^*$ angegeben. Andererseits sind die Funktoren $f_\shriek=f_!^{\op{opp}}$ die Vorsch"ube der Opgarbenschreikofaserung, die wir einschr"anken k"onnen zu einer Kofaserung $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}}}\ra\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}$ und die durch Opponieren zu einer Faserung $$(\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}}})^{\op{opp}}\ra(\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}})^{\op{opp}}$$ wird. Diese opponierte Opgarbenschreikofaserung hat dieselben Fasern wie unsere Kofaserung $\op{Ab}_{/{\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}}}\ra\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}$ und man pr"uft, da"s sie zusammen eine Fakofaserung "uber $(\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}})^{\op{opp}}$ bilden mit den Bijektionen $i:\mathscr C_{f}^{\times}(\mathcal F,\mathcal G)\sira \bar{\mathscr C}_{f^\circ}^{{\times}}(\mathcal G,\mathcal F)$ gegeben durch die Bijektionen $$i:(\op{Ab}^!_{\sslash f})^{\times}(\mathcal G,\mathcal F)\sira \op{Ab}_{/f}^{{\times}}(\mathcal G,\mathcal F)$$ f"ur $f:X\ra Y$ \'etale separiert, die mit den offensichtlichen Bijektionen vom Invertieren $(\op{Ab}^!_{\sslash Y})^{\times}(f_\shriek \mathcal G,\mathcal F)\sira \op{Ab}_{/Y}^{{\times}}(f_!\mathcal G,\mathcal F)$ herkommen. Wie in \ref{DuI} ausgef"uhrt kann man das auch so formulieren, da"s die zwischen den Vorsch"uben von $\op{Ab}_{/{\op{Top}}^{\op{\acute{e}ts}}}\ra\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}$ und den opponierten Vorsch"uben von $\op{Ab}^!_{\sslash{\op{Top}}^{\op{\acute{e}ts}}}\ra\op{Top}^{\op{\acute{e}ts}}$ in \ref{lfad} angegebenen Isomorphismen mit den jeweiligen Identifikationen vertr"aglich sind. In \eref{eikop}{TSS} beschreiben wir noch in weiteren F"allen die im Sinne von \ref{oppi} oppinverse Kofaserung zur Opgarbenschreikofaserung. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erg"anzen zu Fakofaserung}] Jeder Faserfunktor $p:\mathscr C\ra \mathscr B$ l"a"st sich eindeutig bis auf eindeutigen objektfesten Isomorphismus zu einer \hyperref[voFa]{Fakofaserung} erg"anzen, indem wir $$\bar{\mathscr C}_{f^\circ}(\mathcal G,\mathcal F)\pdef \mathscr C_{X}(f^\dagger \mathcal G,\mathcal F)$$ setzen f"ur $f:X\ra Y$ und die "ubrigen Daten in der offensichtlichen Weise konstruieren. Unter einem {\bf objektfesten Funktor}\index{objektfest!Funktor} verstehen wir dabei einen Funktor, der auf Objekten die Identit"at ist. Ebenso l"a"st sich jeder Kofaserfunktor $\bar{p}:\bar{\mathscr C}\ra \mathscr B^{\op{opp}}$ eindeutig bis auf eindeutigen objektfesten Isomorphismus zu einer Fakofaserung erg"anzen, indem wir $$\mathscr C_{f}(\mathcal F,\mathcal G)\pdef \bar{\mathscr C}_{X}( \mathcal F,f_\dagger^\circ\mathcal G)$$ setzen f"ur $f:X\ra Y$ alias $f^\circ :Y\ra X$ und die "ubrigen Daten in der offensichtlichen Weise konstruieren. Diese Erg"anzungen verdienen also einen bestimmten Artikel und eine eigene Notation. Gegeben eine Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ notieren wir den Kofaseranteil der zugeh"origen Fakofaserung statt $\bar{\mathscr C}$ auch $\mathscr C^{\op{k}}$ und erhalten so eine Kofaserung $$\mathscr C^{\op{k}}\ra \mathscr B^{\op{opp}}$$ Gegeben eine Kofaserung $\mathscr D\ra \mathscr A$ notieren wir den Faseranteil der zugeh"origen Fakofaserung auch $\mathscr D^{\op{f}}$ und erhalten so eine Faserung $$\mathscr D^{\op{f}}\ra \mathscr A^{\op{opp}}$$ Diesen "Ubergang nennen wir das {\bf Invertieren}\index{Invertieren!von Faserung oder Kofaserung} einer Faserung zu einer Kofaserung "uber der opponierten Basis und umgekehrt.\label{infas} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zu jeder \hyperref[voFa]{Fakofaserung} bilden wir die {\bf opponierte Fakofaserung} "uber derselben Basis $\mathscr B$, indem wir die Kofaserung $p^{\op{opp}}:\mathscr C^{\op{opp}}\ra \mathscr B^{\op{opp}}$ und die Faserung $\bar p^{\op{opp}}:\bar{\mathscr C}^{\op{opp}}\ra \mathscr B$ betrachten und die Bijektionen $i$ durch ihre Inversen $i^{-1}$ ersetzen. Zusammen k"onnen wir so f"ur jeden Faserfunktor $\mathscr C\ra \mathscr B$ den {\bf opponiert-invertierten} oder kurz {\bf oppinvertierten\index{oppinvertiert!Faserfunktor oder Kofaserfunktor} Faserfunktor}\label{opif} $$\mathscr C^{\op{of}}\pdef ({\mathscr C}^{\op{opp}})^{\op{f}}\ra \mathscr B$$ "uber derselben Basis mit opponierten Fasern aber, bis auf das Opponieren, denselben R"uckz"ugen bilden. Gegeben ein Morphismus $a\in \mathscr B(X,Y)$ in der Basis und $\mathcal F\in \mathscr C_X$ sowie $\mathcal G\in \mathscr C_Y$ Objekte der Fasern notieren wir $\mathscr C_a(\mathcal F,\mathcal G)$ die Morphismen "uber $a$ und $$\mathscr C_{/a}(\mathcal F,\mathcal G)\pdef (\mathscr C^{\op{of}})_{a}(\mathcal F,\mathcal G)$$ die Morphismen "uber $a$ in der oppinvertierten Faserung. Im Fall $a=\op{id}_X$ schreiben wir $\mathscr C_{/X}\pdef \mathscr C_{/\op{id}_X}$ und das ist dann auch die Faser der oppinvertierten Faserung $\mathscr C_{/X}=\mathscr C_{X}^{\op{opp}}$. Wir erhalten Bijektionen $$\xymatrix{\mathscr C_{a}^\times(\mathcal F,\mathcal G)\ar[r]_-\sim& \mathscr C_{X}^\times(\mathcal F,a^\dagger\mathcal G)\ar[rr]_-\sim^{\op{inv}}&& \mathscr C_{/X}^\times(\mathcal F,a^\dagger\mathcal G)\ar[r]_-\sim& \mathscr C_{/a}^\times(\mathcal F,\mathcal G)}$$ zwischen den Mengen kartesischer Morphismen unserer beiden Faserungen, die im Fall $a=\op{id}_X$ jedem Isomorphismus den inversen Isomorphismus als Morphismus der opponierten Kategorie zuordnen und die auch im allgemeinen mit Verkn"upfungen vertr"aglich sind. Wir notieren sie $\alpha\mapsto \alpha^{\op{of}}$\index{of@$\alpha^{\op{of}}$ oppinverser Morphismus} und nennen $\alpha^{\op{of}}$ den {\bf oppinversen Morphismus}\index{oppinvers!Morphismus} des kartesischen Morphismus $\alpha$\index{oppinvers!Morphismus} und haben in Formeln $(\alpha\circ \beta)^{\op{of}}=\alpha^{\op{of}}\circ \beta^{\op{of}}$ und $\op{id}^{\op{of}}=\op{id}$ und $(\alpha^{\op{of}})^{\op{of}}=\alpha$ und im Fall eines kartesischen Morphismus "uber einer Identit"at alias einen Isomorphismus in einer Faser $\alpha^{\op{of}}=(\alpha^\circ)^{-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Eine explizite Konstruktion der oppinvertierten Faserung}] Seien $\mathscr C\ra\mathscr B$ eine Faserung und $a:X\ra Y$ ein Morphismus der Basis und $\mathcal F\in \mathscr C_X$ sowie $\mathcal G\in \mathscr C_Y$ Objekte der Fasern. Wir erkl"aren einen Morphismus $\phi\in \mathscr C_{/a}(\mathcal F,\mathcal G)$ der oppinvertierten Faserung als eine "Aquivalenzklasse von Tripeln\label{exKO} $$\xymatrix{\dot{\mathcal G}\ar@{^{(}->}[r]^-{\alpha}\ar[d]^\phi&\mathcal G\\ \mathcal F&}$$ mit $\alpha$ kartesisch "uber $a$ wie durch den Hakenpfeil angedeutet und $\phi$ einem Morphismus "uber $X$. Dabei erkl"aren wir zwei Tripel $(\phi,\dot{\mathcal G},\alpha)$ und $(\phi',\dot{\mathcal G}',\alpha')$ als "aquivalent, wenn f"ur den eindeutigen Morphismus $\iota: \dot{\mathcal G}\ra \dot{\mathcal G}'$ "uber $X$ mit $\alpha'\circ \iota=\alpha$ auch gilt $\phi'\circ \iota=\phi$. Die Verkn"upfung von Morphismen geschieht auf Repr"asentanten durch Konstruktion eines Diagramms $$\xymatrix{\ddot{\mathcal H}\ar@{^{(}->}[r]^-{\dot{\alpha}}\ar[d]^{\dot{\psi}}&\dot{\mathcal H}\ar@{^{(}->}[r]^-{\beta}\ar[d]^\psi&\mathcal H\\ \dot{\mathcal G}\ar@{^{(}->}[r]^-{\alpha}\ar[d]^\phi& \mathcal G&\\ \mathcal F&&}$$ Dabei nehmen wir $(\psi,\dot{\mathcal H},\beta)$ als unser zweites Tripel mit $\beta\in{\mathscr C}_b(\dot{\mathcal H},\mathcal H)$ f"ur einen Morphismus $b:Y\ra Z$ der Basis und $\mathcal H\in \mathscr C_Z$. Um diese Morphismen zu ver\-kn"up\-fen w"ahlen wir im Diagramm oben links einen kartesischen Lift $\dot \alpha$ von $a$, der in $\dot{\mathcal H}$ endet, und erg"anzen $\dot{\psi}$ "uber $X$ durch die Kommutativit"at des Diagramms. Das Tripel $(\phi\circ \dot{\psi},\ddot{\mathcal H}, \beta\circ \dot\alpha)$ repr"asentiert dann die Verkn"upfung in $\mathscr C_{/ba}(\mathcal F,\mathcal H)$ der durch die Tripel $(\phi,\dot{\mathcal G},\alpha)$ und $(\psi,\dot{\mathcal H},\beta)$ gegebenen Morphismen. Das Pr"ufen der Wohldefiniertheit, Assoziativit"at und sonstigen Eigenschaften sei dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Ebenso k"onnen wir so f"ur jeden Kofaserfunktor $\mathscr D\ra \mathscr A$ den\label{oppi} {\bf oppinvertierten\index{oppinvertiert!Faserfunktor oder Kofaserfunktor} Kofaserfunktor} $$\mathscr D^{\op{ok}}\pdef ({\mathscr D}^{\op{opp}})^{\op{k}}\ra \mathscr A$$ "uber derselben Basis mit opponierten Fasern aber, bis auf das Opponieren, denselben Vorsch"uben bilden. In so einer Situation sagen wir, die beiden Faserfunktoren beziehungsweise Kofaserfunktoren seien zueinander {\bf oppinvers}\index{oppinvers} oder genauer {\bf oppinvers vermittels gewisser Bijektionen $i$}, die wir zus"atzlich anzugeben haben. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Oppinvertieren der Opmodulfaserung}] Aus \ref{mobiV} erinnern wir die Opmodulfaserung $\op{Ab}_{{\sslash}\op{Ringo}}\ra\op{Ringo}$ mit opponierten Modulkategorien in den Fasern und der opponierten Kategorie zur Kategorie der Ringe in der Basis. Ein Morphismus $f:A\ra B$ in $\op{Ringo}$ ist also ein Ringhomomorphismus $f^\circ:B\ra A$. Gegeben ein $A$-Modul $M$ und ein $B$-Modul $N$ haben wir $$\begin{array}{lll} \op{Ab}_{\sslash f}(M,N)&=&\{\varphi\in \op{Ab}(N,M)\mid \varphi(bn) =f^\circ(b)\varphi(n)\}\;\forall b\in B, n\in N\}\\ &=& \op{Hom}_B(N,\op{res}_A^B M)\\ &=& \op{Hom}_A(A\otimes _BN,M) \end{array}$$ Wir betrachten sie als Faserung, der zugeh"orige R"uckzug ist die Erweiterung der Skalare. Die Morphismen der oppinvertierten Faserung "uber $f$ notieren wir $\op{Ab}_{/f}$ und haben per definitionem $$\begin{array}{lll}\op{Ab}_{/f}(M,N)&=&\op{Ab}_{\sslash A}(A\otimes_BN,M)\\ &=&\op{Hom}_A(M,A\otimes_BN) \end{array} $$ Ebenso schreiben wir $\op{Ab}_{/A}\pdef \op{Ab}_{/{\op{id}}_A}$ und haben\label{opiOM} $\op{Ab}_{/A}(M,N)=\op{Hom}_A(M,N)$ f"ur $M,N$ zwei $A$-Moduln. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Man kann weiter zeigen, da"s Invertieren und Opponieren \glqq vertauscht\grqq\ und da"s zweimaliges Invertieren ebenso wie zweimaliges Opponieren mit der Identit"at \glqq "ubereinstimmt\grqq. Ich verzichte darauf, das ganz pr"azise auszuschreiben, weil es f"ur uns im folgenden in gr"o"serer Pr"azision nicht relevant ist. In konkreten Kontexten notieren wir Morphismen in Faserungen auch oft $\mathscr C_{{\sslash}a}(\mathcal F,\mathcal G)$ statt $\mathscr C_a(\mathcal F,\mathcal G)$ und notieren dann aber trotzdem die Morphismen der oppinvertierten Faserung $\mathscr C_{/a}(\mathcal F,\mathcal G)$, denn ein dreifacher Strich sieht schlimm aus und zweimal Oppinvertieren bringt uns eh zur urspr"unglichen Faserung zur"uck. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Oppinvertieren der Opmengengarbenfaserung}] Das haben wir im wesentlichen bereits in \ref{opii} diskutiert und einen Isomorphismus zwischen der Opmengengarbenfaserung und der oppinvertierten Mengengarbenfaserung angegeben und umgekehrt, das kommt ja nicht drauf an. Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ haben wir insbesondere\label{opOPM} $$\begin{array}{lll} \op{Ens}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G) &=&\op{Ens}_{/X}(\mathcal F, f^*\mathcal G)\\ &=&\op{Top}_{/X}(\bar{\mathcal F}, X\times_Y\bar{\mathcal G})\\ &=&\op{Top}_{/f}(\bar{\mathcal F},\bar{\mathcal G}) \\[4mm] \op{Ens}_{\sslash f}(\mathcal F,\mathcal G) &=&\op{Ens}_{\sslash X}(\mathcal F, f^*\mathcal G)\\ &=&\op{Ens}_{/X}(f^*\mathcal G,\mathcal F)\\ &=&\op{Top}_{/X}( X\times_Y\bar{\mathcal G},\bar{\mathcal F})\\[4mm] \op{Ens}_{/f}(\mathcal F,\mathcal G) &=&\op{Ens}_{/X}(\mathcal F, f^*\mathcal G)\\ &=&\op{Ens}_{{\sslash}X}( f^*\mathcal G,\mathcal F) \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Oppinverse Familienfaserungen}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal C$ erinnern wir ihre Familienfaserung \ref{FaFa} "uber $\op{Ens}$. Die Familienfaserungen zu $\mathcal C$ und $\mathcal C^{\op{opp}}$ sind zueinander oppinvers vermittels gewisser Bijektionen $i$, die der Leser selbst erraten mag. \end{Beispiel} \subsection{Das sucht noch seinen Platz} \nichtfinal{\begin{Ubung}[\textbf{Abstieg in einfachen F"allen}] Seien $X$ ein topologischer Raum und $\mathcal F$ eine Garbe auf $X$. Seien $w_0,w_1:X\times X\ra X$ die Projektionen indiziert nach der Nummer des weggelassenen Eintrags, wobei die Z"ahlung mit Null beginnt. Gibt es einen Isomorphismus $s:w_0^*\mathcal F\sira w_1^*\mathcal F$, so ist $\mathcal F$ konstant; Seien weiter $w_0,w_1,w_2:X\times X\times X\ra X\times X$ indiziert in derselben Weise. Wir haben $w_0w_0=w_0w_1$ und $w_1w_1=w_1w_2$ und $w_0w_2=w_1w_0$. \end{Ubung}} \nichtfinal{faserdual umbenennen! faserdualopponiert umbenennen! fdo umbenennen! fdual umbenennen! \ref{dkof} umbebenennen!} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Eigentlich dasselbe wie Trennschmelzkategorie aus Trennkategorie machen!} \nichtfinal{Sp"ater.} \nichtfinal{KANN NUN WOHL WEG!} Zu jeder Faserung $\mathscr C\ra\mathscr B$ erkl"aren wir die {\bf faserduale Kofaserung}\index{faserdual!Kofaserung}\label{dkof} $$\mathscr C^{\op{fdual}}\ra\mathscr B^{\op{opp}}$$ durch die Vorschrift, da"s wir als Objekte die Objekte von $\mathscr C$ nehmen und als Abbildung auf den Objekten dieselbe Abbildung wie zuvor und die Morphismen erkl"aren durch $$\mathscr C^{\op{fdual}}_{f^\circ}(\mathcal G,\mathcal F)\pdef \mathscr C_X(f^\dagger\mathcal G,\mathcal F)$$ f"ur einen und jeden kartesischen Lift $f^\dagger\mathcal G\ra \mathcal G$ von $f:X\ra Y$. Gegeben so ein Morphismus $\varphi$ und ein weiterer Morphismus $g:Y\ra Z$ in der Basis und $\psi \in \mathscr C^{\op{fdual}}_{g^\circ}(\mathcal E,\mathcal G)= \mathscr C_Y(g^\dagger\mathcal E,\mathcal G)$ erkl"aren wir die Verkn"upfung $\varphi\mathbin{\hat\circ}\psi$ in unserer faserdualen Kategorie als $\varphi\mathbin{\hat\circ} \psi\pdef \varphi\circ f^\dagger\psi $ f"ur die in $\mathscr C_X$ zu verstehende Verkn"upfung rechts. Wir "uberlassen dem Leser den Nachweis, da"s diese Verkn"upfung auf unseren bis auf eindeutigen Isomorphismus wohlbestimmten Morphismenmengen wohldefiniert ist und da"s der so entstehende K"ocher mit Verkn"upfung auch wirklich eine Kategorie ist, und wir in der Tat eine Kofaserung erhalten. Die Konstruktion liefert ausgezeichnete Isomorphismen zwischen den Fasern und der Vorschub unter der faserdualen Kofaserung entspricht darunter dem R"uckzug in unserer urpr"unglichen Faserung. Analog erkl"art man zu jeder Kofaserung die faserduale Faserung und erh"alt einen ausgezeichneten Isomorphismus zwischen dem Faserdualen des Faserdualen und der urspr"unglichen Faserung beziehungsweise Kofaserung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} \nichtfinal{Sp"ater.} Das Dualisieren vertauscht mit dem "Ubergang zu den opponierten Kategorien. Aus jeder Faserung $\mathscr C\ra\mathscr B$ erhalten wir so die {\bf faserdualopponierte Faserung} $$\mathscr C^{\op{fdo}}\pdef (\mathscr C^{\op{fdual}})^{\op{opp}}\ra\mathscr B$$ Analoges gilt f"ur Kofaserungen und wir verwenden daf"ur dieselbe Notation. Bezeichnen wir zu jeder Faserung $\mathscr C\ra \mathscr B$ mit Faserung $\mathscr C^{\op{kart}}\ra\mathscr B$ die Faserung mit nur den kartesischen Morphismen in der Ausgangskategorie, so liefern die Konstruktionen einen Isomorphismus von Faserungen $\mathscr C^{\op{kart}}\sira (\mathscr C^{\op{fdo}})^{\op{kart}}$, der in den Fasern das Invertieren von Morphismen ist.\label{fopn} \end{Bemerkungl} \subsection{Kategorienfaserungen und -kofaserungen*} %Nocheinmal "uberarbeiten mit der neuen Notation $\dagger$. \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Zerf"allung}\index{Zerf"allung} {\bf eines Kofaserfunktors} $F : \mathscr{C} \rightarrow \mathscr{B}$, franz"osisch {\bf clivage},\index{clivage} versteht man eine Vorschrift $(f,\mathcal F)\mapsto (f_\dagger \mathcal F, \kappa_{f,\mathcal F})$, die zu jedem Morphismus in der Basis $f: X \rightarrow Y$ und jedem Objekt $\mathcal F\in \mathscr{C}_X$ einen kokartesischen Lift\label{Clii} $\kappa_{f,\mathcal F}: \mathcal F \rightarrow f_\dagger \mathcal F$ auszeichnet. Wie bereits besprochen sind diese Wahlen eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Spaltung\index{Spaltung!eines Kofaserfunktors} eines Kofaserfunktors}, franz"osisch {\bf scindage},\index{scindage} versteht man eine Zerf"allung, bei der die Verkn"upfung von je zwei ausgezeichneten Transportmorphismen wieder ein Transportmorphismus ist, in Formeln $g_\dagger(f_\dagger\mathcal F)=(gf)_\dagger\mathcal F$ und $\kappa_{g,f_\dagger\mathcal F}\circ \kappa_{f,\mathcal F}=\kappa_{gf,\mathcal F}$ f"ur alle verkn"upfbaren $f,g$. Es ist im allgemeinen nicht m"oglich, solch eine Spaltung zu finden: Zum Beispiel ist f"ur jeden surjektiven Gruppenhomomorphismus $G\sra H$ der Funktor $[G]\ra[H]$ der zugeh"origen Ein-Objekt-Kategorien ein Kofaserfunktor, eine Zerf"allung dieses Kofaserfunktors bedeutet die Auswahl eines Repr"asentantensystems f"ur die Fasern, und eine Spaltung eine Zerf"allung durch einen Gruppenhomomorphismus, die es im allgemeinen eben nicht gibt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{caID} Gegeben ein zerf"allter Kofaserfunktor kommutieren alle Diagramme $$\begin{array}{ccc} h_{\dagger } \circ g_{\dagger } \circ f_{\dagger } & \RA & (h\circ g)_{\dagger }\circ f_{\dagger } \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ h_{\dagger } \circ (g\circ f)_{\dagger } & \RA & (h \circ g \circ f)_{\dagger } \end{array}$$ mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise aus unseren Identifikationen gebildeten Transformationen. Weiter stimmt $c(\op{id}_X,\op{id}_X):\op{id}_{X\dagger } \circ \op{id}_{X\dagger } \siRa \op{id}_{X\dagger }$ "uberein mit der aus $c_X:\op{id}_{X\dagger } \siRa \op{Id}$ durch Vorschalten und ebenso mit der daraus durch Nachschalten von $\op{id}_{X\dagger }$ entstehenden Isotransformation, in Formeln $c(\op{id}_X,\op{id}_X)=\op{id}_{X\dagger } c_X=c_X\op{id}_{X\dagger }$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathscr{B}$ eine Kategorie. Unter einer {\bf Kategorienkofaserung}\index{Kategorienkofaserung} $\mathrm{C}=(\mathrm{C},{ }_\dagger , c)$ "uber $\mathscr{B}$ verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Objekt $X \in \mathscr{B}$ eine Kategorie $\mathrm{C}_{/X}$ zuordnet, jedem Morphismus $f:X \ra Y$ in $\mathscr{B}$ einen Funktor $f_{\dagger }: \mathrm{C}_{/X} \ra \mathrm{C}_{/Y}$, und jedem Paar $g\circ f$ von verkn"upfbaren Morphismen in $\mathscr B$ eine Isotransformation $c=c(g,f): g_{\dagger } \circ f_{\dagger }\siRa (g \circ f)_{\dagger } $ derart, da"s $\op{id}_{X\dagger }$ f"ur alle $X$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist und da"s alle Diagramme\label{GefKa} $$\begin{array}{ccc} h_{\dagger } \circ g_{\dagger } \circ f_{\dagger } & \RA & (h\circ g)_{\dagger }\circ f_{\dagger } \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ h_{\dagger } \circ (g\circ f)_{\dagger } & \RA & (h \circ g \circ f)_{\dagger } \end{array}$$ mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise aus den Transformationen $c$ gebildeten Transformationen kommutieren. Wir nennen die Kategorie $\mathrm C_{/X}$ die {\bf Faser "uber $X$} unserer Kategorienkofaserung, die Funktoren $f_\dagger $ ihre {\bf Vorsch"ube}, die Transformationen $c(g,f)$ ihre {\bf Identifikationen} und die Kategorie $\mathscr{B}$ ihre {\bf Basis}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In einer Terminologie, die wir hier nicht einf"uhren, ist eine Kategorienkofaserung "uber einer Kategorie $\mathscr B$ dasselbe wie ein {\bf laxer $2$-Funktor}\index{Funktor!laxer $2$-Funktor} alias {\bf Pseudofunktor}\index{Pseudofunktor} von der Kategorie $\mathscr B$ in die Zweikategorie der Kategorien. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Kofaserfunktoren und Kategorienkofaserungen}] Nach \ref{caID} bilden f"ur jeden zerf"allten Kofaserfunktor $p:\mathscr{C}\ra\mathscr{B}$ seine Fasern zusammen mit den f"ur jeden Morphismus der Basis gew"ahlten Vorsch"uben und deren Identifikationen eine Kategorienkofaserung. Umgekehrt k"onnen wir zu jeder Kategorienkofaserung $\mathrm{C}=(\mathrm{C},{ }_\dagger , c)$ "uber einer Basiskategorie $\mathscr{B}$ einen zerf"allten Kofaserfunktor $p:\mathscr C\ra\mathscr B$ konstruieren, indem wir als Objektmenge $\mathscr C\pdef\bigsqcup_{X\in\mathscr B}\mathrm{C}_{/X}$ nehmen und f"ur jeden Morphismus $f:X\ra Y$ in der Basis $\mathscr C_f(\mathcal F,\mathcal G)\pdef \mathrm C_{/Y}(f_\dagger \mathcal F, \mathcal G)$ setzen und f"ur $g:Y\ra Z$ die Verkn"upfung von $f$ mit einem Element von $\mathscr C_g(\mathcal G,\mathcal H)=\mathrm C_{/Z}(g_\dagger \mathcal G, \mathcal H)$ erkl"aren durch das Vorschalten in $\mathrm C_{/Z}$ des Bildes unseres urspr"unglichen Elements unter der Komposition\label{Kjh} $$\mathrm C_{/Y}(f_\dagger \mathcal F, \mathcal G)\ra \mathrm C_{/Z}( g_\dagger f_\dagger \mathcal F,g_\dagger \mathcal G)\sira \mathrm C_{/Z}((g\circ f)_\dagger \mathcal F, g_\dagger \mathcal G)$$ von Vorschub und dem Vorschalten einer Identifikation. Wir notieren die Ausgangskategorie dieses Kofaserfunktors $\mathscr C=\op{Kof}(\mathrm C)$.\index{Kof@$\op{Kof}$} Unsere beiden Konstruktionen sind salopp gesprochen zueinander invers, aber das soll hier nicht genauer ausformuliert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Analog ist ein zerf"allter Faserfunktor "uber einer Kategorie $\mathscr B$ \glqq dasselbe\grqq\ wie ein Pseudofunktor $\mathscr B^{\op{opp}}\ra \op{Cat}$ und damit auch \glqq dasselbe\grqq\ wie ein zerf"allter Kofaserfunktor "uber $\mathscr B^{\op{opp}}$. Diese zwei Seiten derselben Medaille sind, was das Konzept einer Fakofaserung aus \ref{voFa} in anderer Weise einf"angt. Zus"atzlich k"onnen wir auch noch den durch das Opponieren gegebenen $\op{opp}$-Zweifunktor\label{Dopf} $$\op{opp}:\op{Cat}\ra \op{Cat}$$ nachschalten, der jeder Kategorie $\mathcal C$ die opponierte Kategorie $\mathcal C^{\op{opp}}$ zuordnet, jedem Funktor $F$ den auf der opponierten Kategorien induzierten Funktor $F^{\op{opp}}$ und jeder Transformation $\tau:F\RA G$ die opponierte Transformation $\tau^\circ:G^{\op{opp}}\RA F^{\op{opp}}$. Diese Vorschrift ist nicht eigentlich ein Zweifunktor, weil sie kontravariante Funktoren auf den Morphismenkategorien induziert, sondern vielmehr ein angereicherter Funktor l"angs des Schmelzfunktors $\op{opp}: \curlywedge{\op{Cat}}\ra \curlywedge{\op{Cat}}$ im Sinne von \eref{agerK}{TSK}. Da aber alle Identifikationen Isotransformationen sind, k"onnen wir sie invertieren und erhalten so eine weitere Kategorienfaserung "uber $\mathscr B$ und eine weitere Kategorienkofaserung "uber $\mathscr B^{\op{opp}}$, deren Fasern opponiert sind zu den urspr"unglichen Fasern. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Zu jeder Kategorienkofaserung $\mathrm{C}=(\mathrm{C},{ }_\dagger , c)$ "uber einer Basiskategorie $\mathscr B$ k"onnen wir die {\bf opponierte Kategorienkofaserung}\label{fKkf} $\mathrm{C}^{\op{opp}}$ "uber derselben Basiskategorie $\mathscr B$ bilden, indem wir in jeder Faser zur opponierten Kategorie "ubergehen und aus den urspr"unglichen Vorsch"uben und Identifikationen in offensichtlicher Weise Vorsch"ube und Identifikationen f"ur diese opponierten Fasern machen. Jeder Kategorienkofaserung k"onnen wir mithin zwei Kofaserfunktoren in nat"urlicher Weise zuordnen: Den Ersten durch die in \ref{Kjh} beschriebene Konstruktion, und den Zweiten, indem wir dieser Konstruktion noch den "Ubergang zur opponierten Kategorienkofaserung vorschalten. Diese Kofaserungen sind dann zueinander dualopponiert im Sinne von \ref{fopn}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In noch unerkl"arter Terminologie ist eine Kategorienkofaserung "uber $\mathscr B$ ein \glqq laxer 2-Funktor $\mathscr B\ra \op{Cat}$\grqq\ und das Bilden der opponierten Kategorie ein \glqq laxer 2-Funktor $\op{Cat}\ra \op{Cat}$\grqq\ und der "Ubergang zur opponierten Kategorienkofaserung besteht im \glqq Nachschalten dieses $2$-Funktors\grqq. Gegeben eine Kategorie $\mathscr B$ verstehen wir weiter unter einer \glqq Kategorienfaserung\grqq\ "uber $\mathscr B$ einen \glqq laxen 2-Funktor $\mathscr B\ra \op{Cat}^{\op{opp}}$\grqq. Im folgenden schreiben wir eine Definition dieses Begriffs in der bereits vorhandenen Terminologie aus. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl} Unter einer {\bf Kategorienfaserung}\index{Kategorienfaserung} $\mathrm{C}=(\mathrm{C},{ }^\dagger , c)$ "uber einer Kategorie $\mathscr{B}$ verstehen wir eine Vorschrift, die jedem Objekt $X \in \mathscr{B}$ eine Kategorie $\mathrm{C}_{X}$ zuordnet, jedem Morphismus $f:X \ra Y$ in $\mathscr{B}$ einen Funktor $f^{\dagger }: \mathrm{C}_{Y} \ra \mathrm{C}_{X}$ in die Gegenrichtung und jedem Paar $f\circ g$ von verkn"upfbaren Morphismen in $\mathscr B$ eine Isotransformation $c=c(g,f): g^{\dagger } \circ f^{\dagger }\stackrel{\sim}{\RA} (f \circ g)^{\dagger } $ derart, da"s $\op{id}_X^{\dagger }$ f"ur alle $X$ eine "Aquivalenz von Kategorien ist und da"s alle Diagramme\label{GefKa} $$\begin{array}{ccc} h^{\dagger } \circ g^{\dagger } \circ f^{\dagger } & \RA & (g\circ h)^{\dagger }\circ f^{\dagger } \\ \Downarrow & & \Downarrow \\ h^{\dagger } \circ (f\circ g)^{\dagger } & \RA & (f \circ g \circ h)^{\dagger } \end{array}$$ mit den in hoffentlich offensichtlicher Weise aus den Transformationen $c$ gebildeten Transformationen kommutieren. Wir nennen die Kategorie $\mathrm C_{X}$ die {\bf Faser "uber $X$} unserer Kategorienfaserung, die Funktoren $f^\dagger $ ihre {\bf R"uckholfunktoren}, die Transformationen $c(g,f)$ ihre {\bf Identifikationen} und die Kategorie $\mathscr{B}$ ihre {\bf Basis}. Auch bei Kategorienfaserungen k"onnen wir analog wie in \ref{fKkf} zur {\bf opponierten Kategorienfaserung} "ubergehen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Kategorienfaserungen zur Garbenfaserung $\op{Ens}_{/\op{Top}}\ra\op{Top}$ und zur Opgarbenfaserung $\op{Ens}_{\sslash\op{Top}}\ra\op{Top}$ sind zueinander opponiert\label{ADSR}, wie wir das bereits in \ref{fopn} sozusagen \glqq zu Fu"s\grqq\ ausgef"uhrt haben. Entspricht in anderen Worten die Garbenfaserung dem laxen $2$-Funktor $\Phi:\op{Top}^{\op{opp}}\ra \op{Cat}$, so entspricht die Opgarbenfaserung dem laxen $2$-Funktor $\op{opp}\circ\Phi:\op{Top}^{\op{opp}}\ra \op{Cat}$, der durch Nachschalten des $2$-Funktors des Opponierens $\op{opp}: \op{Cat}\sira \op{Cat}$ daraus entsteht. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Besitzt bei einer Kategorienfaserung $\mathrm{C}=(\mathrm{C},{ }^\dagger , c)$ "uber einer Basiskategorie $\mathscr B$ jeder R"uckholfunktor $f^\dagger $ einen Linksadjungierten $f_\dagger $, so bilden diese Linksadjungierten zusammen mit den induzierten Identifikationen eine Kategorienkofaserung "uber $\mathscr B$ und der zu unserer Kategorienfaserung geh"orige Faserfunktor ist eine Bifaserung.\label{LADF} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Besitzt bei einer Kategorienkofaserung $\mathrm{C}=(\mathrm{C},{ }_\dagger , c)$ "uber einer Basiskategorie $\mathscr B$ jeder Vorschub $f_\dagger $ einen Rechtsadjungierten $f^\dagger $, so bilden diese Rechtsadjungierten zusammen mit den induzierten Identifikationen eine Kategorienfaserung "uber $\mathscr B$ und der zu unserer Kategorienkofaserung geh"orige Kofaserfunktor ist eine Bifaserung. \end{Bemerkungl} \newpage \section{Spektralsequenzen} \subsection{Allgemeiner Formalismus der Spektralsequenzen}\label{SpeSS}\index{Spektralsequenz} % \begin{Bemerkungl} % In meinen Augen Referenz ist Godement: Th\'{e}orie des faisceaux. % \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} % Was wir in \ref{kzrf} \glqq Grothendieck's Spektralsequenz\grqq\ genannt hatten, %ist in der urspr"unglichen Bedeutung des Wortes eigentlich gar keine %Spektralsequenz. Im folgenden soll erkl"art werden, was man %"ublicherweise unter einer Spektralsequenz versteht, und wie sich %Grothendieck's Spektralsequenz in diesen Rahmen einf"ugt. %\end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Eine {\bf differentielle abelsche Gruppe}\index{differentielle abelsche Gruppe} ist wie in \eref{dgad}{TS} ein Paar $(T,\partial)$ bestehend aus einer abelschen Gruppe $T$ und einem Gruppenhomomorphismus $\partial:T\ra T$ mit $\partial^2=0$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erinnerungen zu Filtrierungen}] Wie in \eref{FuG}{KAG} verstehen wir unter einer {\bf filtrierten abelschen Gruppe} eine abelsche Gruppe $V$ mit einer Folge von Untergruppen $(V^{\geq q})_{q\in\DZ}$ derart, da"s gilt $V^{\geq q}\supset V^{\geq q+1}$. Wir setzen dann $$\op{gr}^q(V)\pdef V^{\geq q}/ V^{\geq q+1}$$ und bezeichnen $\op{gr}(V)\pdef \bigoplus \op{gr}^q(V)$ als die {\bf assoziierte graduierte Gruppe}. Jede Untergruppe $U\subset V$ und jeder Quotient $V/U$ einer filtrierten abelschen Gruppe $V$ erben durch $U^{\geq r}\pdef V^{\geq r}\cap U$ sowie $(V/U)^{\geq r}\pdef \op{im}(V^{\geq r}\ra V/U)$ eine Filtrierung von $V$, die wir die {\bf Untergruppenfiltrierung}\index{Untergruppenfiltrierung} und die {\bf Quotientenfiltrierung}\index{Quotientenfiltrierung} nennen. Gegeben Untergruppen $ U\subset V\subset W $ einer filtrierten abelschen Gruppe $W$ stimmen dann, wie bereits in \eref{VerFi}{KAG} erw"ahnt, auf dem Subquotienten $V/U$ die beiden Filtrierungen "uberein, die wir von der vorgegebenen Filtrierung auf $W$ auf den beiden Wegen $W\leadsto W/U\leadsto V/U$ und $W\leadsto V\leadsto V/U$ als Untergruppenfiltrierung zur Quotientenfiltrierung auf $W/U$ beziehungsweise als Quotientenfiltrierung zur Untergruppenfiltrierung auf $V$ erhalten.\label{VerFiX} Wir nennen die so erhaltene Filtrierung die {\bf Subquotientenfiltrierung}.\index{Subquotientenfiltrierung} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Was Spektralsequenzen leisten}] Man betrachte eine filtrierte differentielle abelsche Gruppe,\label{VSPe} also eine differentielle abelsche Gruppe $(T,\partial)$ mit einer Filtrierung $ \ldots \supset T^{\geq q} \supset T^{\geq q+1} \supset \ldots $ durch unter $\partial$ stabile Untergruppen. Die sogenannten \glqq Spektralsequenzen\grqq\ sind ein Begriffsapparat, der es erlaubt, die assoziierte graduierte Gruppe ${\op{gr}} {\mathcal H}T$ zur Subquotientenfiltrierung auf der Homologie mit der Homologie ${\mathcal H} {\op{gr}} T$ %des Komplexes der assoziierten graduierten differentiellen abelschen Gruppe zu vergleichen. Die auf der Homologie ${\mathcal H}T\pdef \op{ker}\partial/\op{im}\partial$ induzierte Filtrierung ist hierbei im Sinne von \ref{VerFiX} zu verstehen. Die Grundfrage, zu deren Aufkl"arung Spektralsequenzen beitragen, lautet damit: $$\text{Was ist die Beziehung zwischen }{\op{gr}} {\mathcal H}T \text{ und }{\mathcal H} {\op{gr}} T\;?$$ Die allgemeine Theorie der Spektralsequenzen liefert eine ziemlich komplizierte Beschreibung f"ur diese Beziehung "uber eine Vielzahl von Zwischenschritten \ref{rgi}. Sie erweist sich erst in konkreten Anwendungen als n"utzlich, in der sie oft zu einer sehr viel einfacheren Beschreibung spezialisiert. Weiteres zu Spektralsequenzen findet man etwa in \cite{CaEi,Toho}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Man beachte, da"s die assoziierte graduierte differentielle abelsche Gruppe ${\op{gr}}T$ einer filtrierten differentiellen abelschen Gruppe $T$ keineswegs eine dg-Gruppe im Sinne unserer Definition \eref{dgad}{TS} ist. Vielmehr hat im vorliegenden Fall das Differential Grad Null, so da"s wir in anderen Worten vielmehr eine durch $q\in\DZ$ indizierte direkte Summe von differentiellen abelschen Gruppen vor uns haben. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spektralsequenzen im graduierten Fall}] In den meisten Anwendungen tr"agt unsere differentielle abelsche Gruppe zus"atzlich noch eine Graduierung, bez"uglich derer das Differential Grad Eins hat und bez"uglich derer die Untergruppen unserer Filtrierung homogen sind. In anderen Worten geht man dann also aus von einem Komplex $$ \ldots \rightarrow T^n \stackrel{\partial}{\rightarrow} T^{n+1} \rightarrow \ldots $$ von filtrierten abelschen Gruppen $ \ldots \supset T^{n,\geq q} \supset T^{n,\geq q+1} \supset \ldots $ Ich denke mir den Komplex gerne \glqq horizontal mit Differentialen von links nach rechts\grqq\ und die Filtrierung \glqq vertikal und nach oben absteigend\grqq, aber das mag jeder halten, wie er will. Da ich nun obere Indizes schreibe und das Differential Grad Eins hat, sollte und werde ich in "Ubereinstimmung mit unseren allgemeinen Konventionen statt \glqq Homologie\grqq\ im weiteren \glqq Kohomologie\grqq\ sagen. Ich gebe gleich ein Beispiel in diesem graduierten Fall. Dann bespreche ich die Theorie zun"achst einmal im ungraduierten Fall, um Sie zu "uberzeugen, da"s \glqq an Spektralsequenzen nichts schwierig ist au"ser den Indizes\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Lange exakte Homologiesequenz als Spektralsequenz}] %\emph{Nochmal anpassen an Rest!} Im Spezialfall einer zwei-Schritt-Filtrierung, wenn wir also etwa haben $$T^n = T^{n,\geq -1} \supset T^{n,\geq 0} \supset T^{n,\geq 1} =0 $$ f"ur alle~$n$ oder nach unseren Konventionen eigentlich das Ganze noch vertikal geschrieben mit der Null ganz oben, wird der gew"unschte Vergleich geleistet von der langen exakten Kohomologiesequenz zur eigentlich auch senkrecht nach oben zu schreibenden kurzen exakten Sequenz $ {\op{gr}}^0 T^* \hookrightarrow T^* \sra {\op{gr}}^{-1} T^* $ von horizontal gedachten Komplexen. Diese Kohomologiesequenz kann man in der Tat auch lesen als eine Sammlung von exakten Sequenzen \[ {\op{gr}}^{-1} {\mathcal H}^{n-1}T^* \hookrightarrow {\mathcal H}^{n-1} {\op{gr}}^{-1} T^* \rightarrow {\mathcal H}^n {\op{gr}}^0 T^* \sra {\op{gr}}^0 {\mathcal H}^n T^* \] und damit als eine Beschreibung der Beziehung zwischen ${\op{gr}} {\mathcal H}T $ und ${\mathcal H} {\op{gr}} T$. \end{Beispiel} \begin{Definition} Unter einer {\bf ungraduierten Spektralsequenz}\index{Spektralsequenz!ungraduierte} oder auch k"urzer {\bf Spektralsequenz} versteht man ein Datum $(E^q_r,\partial, \op{can})$ bestehend aus (1) abelschen Gruppen $E^q_r$ f"ur alle $r\in\DN$ und $q\in\DZ$ sowie (2) Homomorphismen $\partial=\partial^q_r: E^q_r\ra E^{q+r}_r $ mit $\partial^2=0$ und (3) Identifikationen alias Isomorphismen $\op{can}=\op{can}^q_r:E_{r+1}^q \sira \ker \partial_r^q/\op{im} \partial_r^{q-r}$ oder salopp geschrieben $$\op{can}:E_{r+1}\sira \cal{H}E_r$$ Gegeben $(F^q_r,\partial, \op{can})$ eine weitere Spektralsequenz verstehen wir unter einem {\bf Homomorphismus von Spektralsequenzen}\index{Homomorphismus!von Spektralsequenzen} eine Familie von Homomorphismen $f^q_r:E^q_r\ra F^q_r$ derart, da"s die offensichtlichen Vertr"aglichkeiten gelten, die ich hier nur durch die Formeln $f\partial=\partial f$ sowie $f\op{can}=\op{can}f$ andeute und die der Leser selbst durch die entsprechenden Indizes noch weiter pr"azisieren mag. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spektralsequenz filtrierter differentieller abelscher Gruppen}] Gegeben eine filtrierte differentielle abelsche Gruppe $(T,\partial)$ setzen wir f"ur $r\in\DZ$ ganz allgemein\label{SpeS} $ T^{\geq q}_r \pdef \{a \in T^{\geq q} \mid \partial a \in T^{\geq q+r}\} $. In Worten ist das der Raum aller Elemente der Filtrierungsstufe ${\geq} q$, die unter dem Differential in der um $r$ h"oheren Filtrierungsstufe landen. F"ur $r\leq 0$ haben wir insbesondere schlicht $ T^{\geq q}_r= T^{\geq q}$. Dann betrachten wir die Quotienten \[ E_r^q \pdef T_r^{\geq q}/(\partial T_{r-1}^{\geq q - (r-1)} + T_{r-1}^{\geq q+1}) \] Diagrammatisch sind das die Quotienten der unteren Mitte der Diagramme \begin{displaymath} \xymatrix{ &&T^{\geq q+r}\\ &T^{\geq q+1}_{r-1}\ar[ru]^\partial\ar@{^{(}->}[d]&\\ &T^{\geq q}_{r}\ar[ruu]^\partial&\\ T^{\geq q-(r-1)}_{r-1}\ar[ru]^\partial&& } \end{displaymath} nach den Bildern der beiden dort einlaufenden Pfeile. Der Eine kommt in unserer Darstellung von oben, der andere von links unten. Die graphische Anordnung in unserem Diagramm ist so zu lesen, da"s kleinere Teile der Filtrierung weiter oben stehen und steilere Pfeile nach rechts oben eine st"arkere Erh"ohung des Filtrierungsgrades bedeuten. Weiter betrachten wir die von~$\partial$ induzierten Gruppenhomomorphismen \[ \partial_r = \partial_r^q \colon E_r^q \to E_r^{q+r} \] Man erkennt, da"s die Surjektionen $T_r^{\geq q} \sra E_r^q$ in diesem Zusammenhang Surjektionen $s \colon T_{r+1}^{\geq q} \sra \ker \partial^q_r$ induzieren, denn aus $\partial_r^q \bar a=0$ f"ur $a\in T_r^{\geq q}$ folgt $\partial a=\partial b+c$ mit $b\in T_{r-1}^{\geq q+1}$ und $c\in T^{\geq q+r+1}_{r-1}\subset T^{\geq q+r+1}$ und dann ist $a-b$ ein Repr"asentant von $\bar a$ aus $T_{r+1}^{\geq q}$. Wir zeigen im Anschlu"s in \ref{AnBe}, da"s diese Surjektionen $s$ Isomorphismen $$\op{can}_r^q \colon E_{r+1}^q \sira \ker \partial_r^q/\op{im} \partial_r^{q-r}$$ oder grob gesagt Isomorphismen $\op{can}\colon E_{r+1} \sira \cal{H}E_r$ liefern. Damit steht die Spektralsequenz einer filtrierten differentiellen abelschen Gruppe auch schon da. F"ur $r\leq 0$ haben wir $E^q_r=T^{\geq q}/T^{\geq q+1}$ und f"ur $r<0$ gilt $\partial_r=0$, wohingegen wir f"ur $r=0$ als $\partial_r$ das induzierte Differential auf der assoziierten graduierten Gruppe erhalten und f"ur $r=1$ als Differential den Randoperator $\mathcal H (T^{\geq q-1}/T^{\geq q})\ra \mathcal H (T^{\geq q}/T^{\geq q+1})$ der kurzen exakten Sequenz differentieller abelscher Gruppen $$T^{\geq q}/T^{\geq q+1}\hra T^{\geq q-1}/T^{\geq q+1}\sra T^{\geq q-1}/T^{\geq q}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Herleitung der eben behaupteten Isomorphismen}] Es reicht in \ref{SpeS}, wenn wir zeigen\label{AnBe} $ s^{-1}(\op{im} \partial_r^{q-r}) = \partial T_r^{\geq q-r} + T_r^{\geq q+1} $. Links steht die Menge aller $a \in T_{r+1}^{\geq q}$ mit $ a \in \partial T_r^{\geq q-r}+\partial T_{r-1}^{\geq q-(r-1)} + T_{r-1}^{\geq q+1} $. Der mittlere Summand ist hier eh im ersten Summanden enthalten, so da"s es reicht, die Identit"at $$ T_{r+1}^{\geq q} \cap ( \partial T_r^{\geq q-r}+T_{r-1}^{\geq q+1}) = \partial T_r^{\geq q-r} + T_r^{\geq q+1} $$ zu zeigen. Die Inklusion~$\supset$ ist dabei offensichtlich. Um die andere Inklusion einzusehen bemerken wir, da"s aus~$a = b+c$ mit~$a \in T_{r+1}^{\geq q}$, $b \in \partial T_r^{\geq q-r}$ und~$c \in T_{r-1}^{\geq q+1}$ bereits folgt~$\partial a = \partial c \in T^{\geq q+(r-1)}$ und somit~$c \in T_r^{\geq q+1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$E_\infty$-Term einer Spektralsequenz}] Jede Spektralsequenz beinhaltet Isomorphismen zwischen $E^q_{r+1}$ und einem Subquotienten von $E^q_{r}$ und damit induktiv Folgen von Untergruppen $$E^q_{r}=\mathcal Z^0 E^q_{r}\supset \mathcal Z^1 E^q_{r}\supset \mathcal Z^2 E^q_{r}\supset \ldots \supset\mathcal B^2 E^q_{r}\supset\mathcal B^1 E^q_{r}\supset\mathcal B^0 E^q_{r}=0$$ von $E^q_{r}$ mit ausgezeichneten Isomorphismen $\mathcal Z^i E^q_{r}/\mathcal B^i E^q_{r} \sira E^q_{r+i}$. Wir bezeichnen mit $\mathcal Z^\infty E^q_{r}$ den Schnitt der $\mathcal Z^i E^q_{r}$ und mit $\mathcal B^\infty E^q_{r}$ die Vereinigung der $\mathcal B^i E^q_{r}$ und vereinbaren die Notation $$E^q_\infty \pdef \mathcal Z^\infty E^q_{r}/\mathcal B^\infty E^q_{r}$$ Das ist sinnvoll, da diese Gruppe nach Konstruktion bis auf eindeutigen Isomorphismus gar nicht von $r$ abh"angt.\index{E@$E_\infty$ bei Spektralsequenz} Falls es ein $k\in\DN$ gibt derart, da"s f"ur alle $r \ge k$ das nach $E_r^{q}$ einlaufende Differential und das von $E_r^{q}$ auslaufende Differential verschwinden, so erhalten wir ausgezeichnete Isomorphismen $$ E_k^{q} \sira E_{k+1}^{q} \ldots \sira E_\infty^{q}$$ \nichtfinal{Folgt Z und B bleiben gleich!} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{$E_\infty$-Term f"ur filtrierte differentielle abelsche Gruppen}] Im Fall einer filtrierten differentiellen abelschen Gruppe $(T,\partial)$ finden wir $E^q_{0}=T^{\geq q}/T^{\geq q+1}$, $\mathcal Z^r E^q_{0}= \op{im}(T_r^{\geq q}\ra T^{\geq q}/T^{\geq q+1})$ und $\mathcal B^{r+1} E^q_{0}= \op{im}(\partial: T_{r}^{\geq q - r} \ra T^{\geq q}/T^{\geq q+1})$. Wir erhalten Injektionen $$\mathcal Z(T^{\geq q})/\mathcal Z(T^{\geq q+1})\sira \op{im}((\op{ker}\partial \cap T^{\geq q})\ra T^{\geq q}/T^{\geq q+1}) \hra \mathcal Z^\infty E^q_{0}$$ und diese sind Isomorphismen unter anderem dann, wenn unsere Filtrierung bei Null endet, in Formeln $T^{\geq j}=0$ f"ur hinreichend gro"ses $j$. Andererseits erhalten wir Injektionen $$\mathcal B^\infty E^q_{0}\hra \op{im}((\op{im}\partial \cap T^{\geq q})\ra T^{\geq q}/T^{\geq q+1})\sira \mathcal B(T^{\geq q})/\mathcal B(T^{\geq q+1})$$ und ist unsere Filtrierung aussch"opfend alias $\bigcup_r T^{\geq r}=T$, so sind sie Isomorphismen. Zusammen liefern sie im Fall einer aussch"opfenden Filtrierung Injektionen $\op{gr}^q\mathcal H T\hra E^q_{\infty}$ und im Fall einer aussch"opfenden und von Null kommenden Filtrierung sind diese sogar Isomorphismen\label{rgi} $$\op{gr}^q\mathcal H T\sira E^q_{\infty}$$ Andererseits haben wir nach unserer Definition \ref{SpeS} f"ur jede filtrierte differentielle abelsche Gruppe $(T,\partial)$ stets ${\op{gr}}^q T=E_0^q$ und das Differential $\partial_0$ f"allt zusammen mit $\op{gr}\partial$, so da"s wir kanonische Isomorphismen $$\cal{H}{\op{gr}}^q T \sira E_1^q$$ erhalten. In dieser Weise macht also die Spektralsequenz Aussagen "uber die Beziehung zwischen ${\op{gr}} {\mathcal H}T$ und ${\mathcal H} {\op{gr}} T$. Sie ist im allgemeinen recht un"ubersichtlich. In vielen konkreten Anwendungsf"allen ist die hier gegebene Beschreibung aber dennoch n"utzlich, und zwar insbesondere dann, wenn es ein $i$ gibt derart, da"s alle Differentiale $\partial_r$ f"ur $r\geq i$ verschwinden, so da"s gilt $ E_i^{q}= E_\infty^{q}$. Dann spricht man von einer {\bf bei $E_i$ ausgearteten Spektralsequenz}. \index{Spektralsequenz!ausgeartete} Besonders h"aufig trifft man in der Praxis die F"alle $i=1$ und $i=2$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Funktorialit"at der Spektralsequenz}] Die eben vorgestellte Konstruktion der Spektralsequenz ist in offensichtlicher Weise funktoriell. Jeder Morphismus $(T,\partial)\ra (S,\partial)$ von filtrierten differentiellen abelschen Gruppen induziert genauer Gruppenhomomorphismen $E^q_r(T)\ra E^q_r(S)$, die vertr"aglich sind mit den Differentialen $\partial_r$ und den Identifikationen $\op{can}:E_{r+1}\sira \cal{H}E_r$ und, im Fall aussch"opfender Filtrierungen, mit den Einbettungen $\op{gr}^q\mathcal HT\hra E^q_\infty(T)$ aus \ref{rgi}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein ungraduierte Spektralsequenz $(E_r^q,\partial_r)$ verstehen wir unter einem {\bf Konvergenzdatum gegen eine abelsche Gruppe $H$}\index{Konvergenzdatum!f"ur Spektralsequenz!ungraduierte} ein Datum bestehend aus einer Filtrierung $(H^{\geq q})_{q\in\DZ}$ auf $H$ und Injektionen $$\op{gr}^q(H)\hra E_\infty^q$$ Sind sie sogar Isomorphismen, so sagen wir, das {\bf Konvergenzdatum konvergiert}. Im vorhergehenden haben wir insbesondere jeder filtrierten differentiellen abelschen Gruppe mit aussch"opfender Filtrierung in funktorieller Weise eine Spektralsequenz zusammen mit einem Konvergenzdatum dieser Spektralsequenz gegen die Kohomologie mit ihrer induzierten Filtrierung zugeordnet, das im Fall einer von Null kommenden Filtrierung unserer differentiellen abelschen Gruppe konvergiert. Wenn es solch ein gegen $H$ konvergierendes Konvergenzdatum gibt, so sagt man auch, die {\bf Spektralsequenz $(E_r^q,\partial_r)$ konvergiere gegen $H$}.\index{Konvergenz!Spektralsequenz!ungraduierte} Besonders oft gibt man nur den $E_2$-Term an und schreibt $$F^q\RA H$$ als Abk"urzung f"ur die Aussage, da"s eine Spektralsequenz mit dem $E_2$-Term $E_2^q=F^q$ gegen $H$ konvergiert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine ungraduierte Spektralsequenz $(E_r^q,\partial_r)$ mit einem Konvergenzdatum gegen eine abelsche Gruppe $H$ und $u\in \DZ$ und $r\geq 1$ mit $E_r^q=0$ f"ur $qk$.}$$ In der Tat schickt $\partial h$ dann $T^{\geq q}$ nach $\partial S^{\geq q-k}$ und $ h\partial$ schickt $T^{\geq q}_r$ nach $S^{\geq q+r-k}$. Also schickt $(f-g)$ unser $T^{\geq q}_r$ nach $S^{\geq q}_r\cap (\partial S^{\geq q-(r-1)} + S^{\geq q+1})$. F"ur jedes Element $a=\partial b+c$ dieses Schnitts gilt jedoch $b\in S^{\geq q-(r-1)}_{r-1}$, selbst wenn wir nur $a\in S^{\geq q}$ haben, und dann $\partial a=\partial c \in S^{\geq q+r}$ alias $c \in S^{\geq q+1}_{r-1}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spektralsequenz im graduierten Fall}] Jetzt betrachten wir den graduierten Fall, bei dem man wie bereits erw"ahnt von einem Komplex $$ \ldots \rightarrow T^n \stackrel{\partial}{\rightarrow} T^{n+1} \rightarrow \ldots $$ von filtrierten abelschen Gruppen $ \ldots \supset T^{n,\geq q} \supset T^{n,\geq q+1} \supset \ldots $ ausgeht und wir letztere Sequenz von Inklusionen vertikal denken mit immer kleineren St"ucken immer weiter oben. Offensichtlich ist unsere Konstruktion der Spektralsequenz einer filtrierten differentiellen Gruppe nach \ref{SpeS} mit dieser zus"atzlichen Graduierung vertr"aglich in dem Sinne, da"s gilt\label{SpeSn} $ T^{\geq q}_r =\bigoplus T^{n,\geq q}_r $ und $ E^{q}_r =\bigoplus E_r^{(n,q)}$ und da"s $\partial$ Gruppenhomomorphismen \[ \partial_r \colon E_r^{(n,q)} \to E_r^{(n+1,q+r)} \] induziert und da"s unsere Isomorphismen $\op{can} \colon E_{r+1} \sira \cal{H}E_r$ Isomorphismen $ E_{r+1}^{(n,q)} \sira (\cal{H}E_r)^{(n,q)}$ induzieren. Im Fall einer aussch"opfenden Filtrierung erhalten wir dann nat"urliche Einbettungen $\op{gr}^q(\mathcal H^nT)\hra E^{(n,q)}_\infty$ und ein kurzer Blick auf deren Herleitung zeigt, da"s sie sogar unter der schw"acheren Zusatzbedingung Isomorphismen $$\op{gr}^q(\mathcal H^nT)\sira E^{(n,q)}_\infty$$ liefern, da"s gilt $T^{n+1,\geq q+r}=0$ f"ur hinreichend gro"ses $r$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein graduierte Spektralsequenz $(E_r^{(n,q)},\partial_r)$ und eine graduierte abelsche Gruppe mit homogenen Komponenten $H^n$ verstehen wir unter einem {\bf Konvergenzdatum}\index{Konvergenzdatum!f"ur Spektralsequenz!ungraduierte} ein Datum bestehend aus Filtrierungen $(H^{(n,\geq q)})_{q\in\DZ}$ auf den $H^n$ und Injektionen $$\op{gr}^q(H^n)\hra E_\infty^{(n,q)}$$ Sind sie Isomorphismen, so sprechen wir von einem {\bf konvergierenden Konvergenzdatum}. Im vorhergehenden haben wir insbesondere jeder filtrierten differentiellen graduierten abelschen Gruppe mit aussch"opfender Filtrierung in funktorieller Weise eine Spektralsequenz zusammen mit einem Konvergenzdatum dieser Spektralsequenz gegen die Kohomologie mit ihrer induzierten Filtrierung zugeordnet. Weiter haben wir gezeigt, da"s es konvergiert, wenn die Filtrierung in jedem Grad bei Null beginnt. Wenn es ein konvergierendes Konvergenzdatum gibt, so sagt man auch, die {\bf Spektralsequenz $(E_r^{(n,q)},\partial_r)$ konvergiere gegen $H$}.\index{Konvergenz!Spektralsequenz!ungraduierte} Besonders oft gibt man nur den $E_2$-Term an und schreibt $$F^{(n,q)}\RA H^n$$ f"ur die Aussage, da"s eine Spektralsequenz mit dem $E_2$-Term $E_2^{(n,q)}=F^{(n,q)}$ gegen $H$ konvergiert. Gibt es $(n,u)$ mit $H^{(n,\geq u)}=H^n$ und $E_2^{(n-1,q)}=0$ f"ur $q0$ eine Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osung in $\mathcal L$ mit $L^{p,q}=0$ f"ur $p>0$ finden k"onnen. Eine kleine Variation des Beweises zeigt auch, da"s wir unter der Zusatzannahme $A^p=0$ f"ur $p<0$ eine Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osung in $\mathcal L$ mit $L^{p,q}=0$ f"ur $p<0$ finden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Sei $(A^p)$ unser Komplex. Es reicht, wenn wir ihn als Unterkomplex eines maximal spaltenden Komplexes $(L^p)$ von Objekten von $\mathcal L$ realisieren derart, da"s $A\hra L\sra A/L$ im Sinne von \ref{spKLO} zykelexakt ist. Um unseren Komplex $(A^p)$ so als Unterkomplex zu schreiben, w"ahlen wir Monomorphismen $i^p:A^p\hra M^p$ und $\mathcal C^pA\hra N^p$ mit $M^p,N^p\in \mathcal L$ und betrachten die offensichtlichen Monomorphismen $$A^p\hra L^p\pdef M^{p}\oplus N^{p}\oplus M^{p+1}$$ und nehmen als Randoperatoren $L^p \ra L^{p+1}$ die Projektion auf $M^{p+1}$ gefolgt von der Einbettung von $M^{p+1}$. F"ur die Zykelexaktheit reicht es nach \ref{spKLO} zu zeigen, da"s $\mathcal C^pA\ra \mathcal C^pL$ f"ur alle $p$ ein Monomorphismus ist. Das aber ist klar nach Konstruktion. %$\mathcal B^pA\hra \mathcal B^pL\sra \mathcal B^p(L/A)$ f"ur alle $p$ %eine kurze exakte Sequenz ist. Die einzige Schwierigkeit hier ist %der Nachweis, da"s in Elementen gesprochen %jedes Element von %$\op{ker}(\mathcal B^pL\ra \mathcal B^p(L/A))$ %auch in $\op{im}(\mathcal B^pA\ra \mathcal B^pL)$ liegt. %Per definitionem haben wir $\mathcal B^pL =M^p\oplus 0\oplus 0$ und %der Kern besteht aus allen derartigen Tupeln im Bild von $A^p$, also %allen $(i^p(a),j^p(\bar a), i^{p+1}d^p(a))$ mit $a\in A^p$ und %$\bar a=0=d^p(a)$ f"ur $\bar a$ das Bild von $a$ in $\op{cok}(A^{p-1}\ra A^p)$. %Aus $\bar a=0$ folgt aber bereits $a\in \mathcal B^pA$ und a forteriori %$d^p(a)=0$ und das zeigt zumindest in Elementen, was wir brauchen. %Ich "uberlasse es dem Leser, diese Argumentation auf allgemeine abelsche %Kategorien zu "ubertragen. \end{proof} %\begin{proof} % Sei $(A^p)$ unser Komplex. Es reicht, wenn wir % ihn als Unterkomplex eines maximal % spaltenden Komplexes $(L^p)$ von Objekten von $\mathcal L$ realisieren % derart, da"s f"ur alle $p$ der induzierte Morphismus ein % Monomorphismus % $$\op{cok}(\mathcal Z^{p}A\hra \mathcal Z^{p}L)\hra\op{cok}(A^p\hra L^p) $$ % ist. % Dann \nichtfinal{(NEIN, QUATSCH! Brauche $\mathcal Z^{p}L$ surjektiv auf % Zykel des Kokernkomplexes!)} % k"onnen wir den Kokernkomplex nehmen und immer so weitermachen, % wobei letztere Eigenschaft sicherstellt, da"s auch die Kerne jeweils % Aufl"osungen der Kerne liefern. % Um unseren Komplex $(A^p)$ so als Unterkomplex zu schreiben, w"ahlen wir % Monomorphismen $A^p\hra M^p$ und $\op{cok}(A^{p-1}\ra A^p)\hra N^p$ % mit $M^p,N^p\in \mathcal L$ und betrachten die offensichtlichen % Monomorphismen % $$A^p\hra L^p\pdef M^{p}\oplus N^{p}\oplus M^{p+1}$$ % und nehmen als Randoperatoren $L^p \ra L^{p+1}$ % die Projektion auf $M^{p+1}$ gefolgt von der Einbettung von $M^{p+1}$. % Um die zus"atzliche Eigenschaft zu pr"ufen, wenden wir das Neunerlemma an % auf das Diagramm % $$\begin{array}{ccccc} %\mathcal Z^p L&\hookrightarrow & L^p &\twoheadrightarrow &\mathcal B^{p+1} L \\ %\uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ %\mathcal Z^p A& \hookrightarrow & A^p &\twoheadrightarrow %&\mathcal B^{p+1} A \end{array}$$ % und folgern aus der Injektivit"at der drei Vertikalen, da"s % die Kokerne auch eine kurze % exakte Sequenz bilden. %\end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Spezielle Cartan-Eilenberg-Aufl"osungen durch Injektive}] Besitzt eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ gen"ugend Injektive, so k"onnen wir f"ur jeden Komplex $(A^p)$ in $\mathcal A$ sogar eine Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osung durch Injektive finden, die f"ur verschwindende Objekte, Zykel, Bilder oder Homologien des aufzul"osenden Komplexes jeweils die Nullaufl"osung induziert. Dazu w"ahlen wir injektive Aufl"osungen $\cal{B}^{p} A \hookrightarrow J^{p,0} \ra J^{p,1} \ra \ldots $ der Bilder und $\cal{H}^p A \hookrightarrow K^{p,0} \ra K^{p,1} \ra \ldots$ der Kohomologie. Dann betrachten wir die kurze exakte Sequenz $\cal{B}^p A \hookrightarrow \cal{Z}^p A \sra \cal{H}^p A$ und finden eine Einbettung $\cal{Z}^p A \hookrightarrow J^{p,0} \oplus K^{p,0}$ und induktiv eine Kettenabbildung $u: [-1] K \ra J$ derart, da"s der Abbildungskegel $\op{K}(u)$ eine Aufl"osung der Zykel $\cal{Z}^pA$ wird. Diese Aufl"osung von $\cal{Z}^p A$ hat also die Gestalt $J^{p,*} \oplus K^{p,*}$ mit Randoperator\label{CEOA} $$\begin{pmatrix} \partial & u \\ 0 & \partial \end{pmatrix}$$ Anschlie"send betrachten wir die kurze exakte Sequenz $\cal{Z}^p A \hookrightarrow A^p \twoheadrightarrow \cal{B}^{p+1} A$ und finden ebenso eine Aufl"osung von $A^p$ der Gestalt $J^{p,*} \oplus K^{p,*} \oplus J^{p+1,*}$ mit Randoperator der Gestalt \begin{displaymath} \begin{pmatrix} \partial & u& v\\ 0 & \partial &w\\ 0 & 0 & \partial \end{pmatrix} \end{displaymath} Wir setzen nun $I^{p,q} = J^{p,q} \oplus K^{p,q} \oplus J^{p+1,q}$ und machen dieses bigraduierte Objekt zu einem Doppelkomplex, indem wir als Differential in Richtung wachsender $q$ das Differential von eben nehmen, als Differential in Richtung wachsender $p$ dahingegen die Verkn"upfung der offensichtlichen Morphismen $I^{p,q} \twoheadrightarrow J^{p+1,q} \hookrightarrow I^{p+1,q}$. Der so konstruierte Doppelkomplex ist dann eine Car\-tan-Ei\-len\-berg-Auf\-l"o\-sung durch Injektive. Wenn man bei der Konstruktion als injektive Aufl"osung von Null stets den Nullkomplex w"ahlt, so hat diese auch die zus"atzlich versprochene Verschwindungseigenschaft. Schlie"slich pr"uft man unschwer, da"s jede Car\-tan-Ei\-len\-berg-Auf\-l"o\-sung durch Injektive von dieser Gestalt sein mu"s. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zeilenbeschr"ankte Cartan-Eilenberg-Aufl"osung durch Injektive}] Besitzt eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ endlicher homologischer Dimension gen"ugend\label{APK} Injektive, so k"onnen wir f"ur jeden Komplex $(A^p)$ in $\mathcal A$ sogar eine Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osung durch Injektive finden, bei der nur h"ochstens endlich viele Zeilen von Null verschieden sind. Das folgt direkt aus der eben in \ref{CEOA} gegebenen Konstruktion. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} F"ur jeden gegen die Differentiale beschr"ankten Komplex $A$ erhalten wir aus einer Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osung durch Injektive beim "Ubergang zum Totalkomplex mit \ref{DKBA} einen Quasiisomorphismus zu einem Komplex von injektiven Objekten.\label{AEPK} Nehmen wir zus"atzlich an, die \hyperref[gldim]{homologische Dimension} unserer abelschen Kategorie $\mathcal A$ sei beschr"ankt durch $m$, so liefert die vorhergehende Konstruktion mit \eref{glDD}{TD} sogar eine Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osung durch Injektive $(I^{p,q})$ mit $I^{p,q}=0$ f"ur alle $q>m$. Der "Ubergang zum Totalkomplex zeigt dann wieder mit \ref{DKBA}, da"s unter dieser Zusatzannahme sogar "uberhaupt jeder Komplex in $\mathcal A$ quasiisomorph ist zu einem Komplex von injektiven Objekten. %, ohne da"s wir die Exaktheit abz"ahlbarer Produkte %in $\mathcal A$ annehmen m"u"sten. \nichtfinal{Vielleicht noch mehr! Quisrechtsentfaltung? Ja schon, wird in \eref{DkhD}{TD} besprochen.} \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Lift zu Cartan-Eilenberg-Aufl"osung}] Sei $f:A\ra B$ eine Kettenabbildung von Komplexen in einer abelschen Kategorie und seien $A\ra I$ sowie $B\ra J$ Cartan-Eilenberg-Obenaufl"osungen. Besteht $J$ aus injektiven Objekten, so besitzt $f$ einen Lift zu einem Doppelkomplexmorphismus $I\ra J$ und dieser Lift ist eindeutig bis auf \hyperref[htpDK]{vertikale Homotopie}. Dar"uber hinaus sind Lifts homotoper Kettenabbildungen $f,g:A\ra B$ \hyperref[htpDK]{homotop im Sinne von Doppelkomplexen}.\label{CAEE} \end{Proposition} \begin{proof} Alles bis auf die letzte Aussage folgt mit einer Argumentation, die wir bereits beim Beweis des Hauptlemmas der homologischen Algebra \eref{HLHA}{TS} verwendet hatten. Wir m"ussen dazu nur pr"ufen, da"s gegeben eine zykelexakte kurze exakte Sequenz von Komplexen $M\hra N\sra L$ und ein maximal spaltender Komplex aus Injektiven $I$ die R"aume von Kettenabbildungen eine kurze exakte Sequenz $$\op{Ket}(L,I)\hra \op{Ket}(N,I)\sra \op{Ket}(M,I)$$ induzieren. Nun ist jedoch $I$ ein Produkt von Komplexen der Gestalt \glqq ein injektives Objekt an einer Stelle, Null sonst\grqq\ und \glqq dasselbe injektive Objekt an zwei benachbarten Stellen mit der Identit"at als Differential, Null sonst\grqq. F"ur diese beiden Typen von Komplexen $I$ ist die Exaktheit unserer Sequenz klar und sie folgt sofort im allgemeinen. Um nun noch zu zeigen, da"s Lifts homotoper Kettenabbildungen doppelkomplexhomotop sind, reicht es zu zeigen, da"s jeder Lift $\tilde f: (I^{p,q})\ra (J^{p,q})$ einer nullhomotopen Kettenabbildung $f:(A^p)\ra (B^p)$ auch selbst nullhomotop ist. Seien also $s^p:A^{p}\ra B^{p-1}$ gegeben mit $\partial s^p + s^{p+1} \partial =f^p$. Nach dem Hauptlemma der homologischen Algebra liften sie zu Kettenabbildungen von Spaltenkomplexen $\tilde s^{p}: I^{p,*}\ra J^{p-1,*}$. A forteriori sind dann $\partial \tilde s^{p} + \tilde s^{p+1} \partial: I^{p,*}\ra J^{p,*}$ Kettenabbildungen von Spaltenkomplexen, die $f^p:A^p\ra B^p$ liften. Andererseits kommutieren die $\partial \tilde s + \tilde s \partial$ aber auch mit den horizontalen Differentialen $\partial$ und bilden folglich einen Morphismus von Doppelkomplexen. Damit ist $\partial \tilde s + \tilde s \partial-\tilde f$ ein Lift der Nullabbildung $A\ra B$ zu einem Homomorphismus von Doppelkomplexen und ist nach der Eindeutigkeit von Lifts bis auf vertikale Homotopie folglich homotop zu Null vermittels einer vertikalen Homotopie. \end{proof} \begin{Bemerkunge} Noch feiner zeigen wir im Beweis der letzten Aussage sogar, da"s jede Homotopie von Kettenabbildungen $A\ra B$ zu einer Homotopie zwischen beliebig vorgegebenen Lifts unserer Abbildungen liftet. Diese Aussagen sollten eigentlich zusammen mit dem Hauptlemma der homologischen Algebra zu einer ganzen Theorie f"ur\label{SPmk} \glqq Cartan-Eilenberg-Aufl"osungen von Multikomplexen\grqq\ geh"oren. Deren Entwicklung mag einmal ein Student angehen. Ich hoffe, da"s dadurch die hier gegebene Darstellung transparenter gemacht werden kann. \nichtfinal{Vergleiche \eref{SpMK}{TD}.} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivierte Funktoren und Spektralsequenzen}] Gegeben ein linksexakter Funktor $G \colon {\mathcal B} \to {\mathcal C}$ von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere abelsche Kategorie konstruieren wir f"ur jeden gegen die Pfeile beschr"ankten Komplex $B^* \in {\op{Ket}}^+{\mathcal B}$ aus $G$-azyklischen Objekten eine konvergierende~$E_2$-Spektralsequenz\label{KSSEx} \[ ({\op{R}}^qG)({\mathcal H}^pB^*) \Rightarrow {\mathcal H}^n(GB^*) \] Zun"achst finden wir nach \ref{ECaR} eine \hyperref[CEA]{Cartan-Eilenberg-Obenaufl\"osung} $(I^{p,q})$ von $B^*$ im ersten Quadranten durch Injektive. Dann ist $(GI^{p,q})$ ein Doppelkomplex im ersten Quadranten mit exakten Spalten an allen Stellen mit $q\neq 0$, da wir die $B^p$ als $G$-azyklisch angenommen hatten, %f"ur positive Indizes und die Einbettung des waagerechten Kernkomplexes liefert nach \ref{EAS} Isomorphismen $\mathcal H^n (GB^*)\sira \mathcal H^n\op{tot}( GI^{p,q})$. Berechnen wir die Homologie des Totalkomplexes dieses letzten Doppelkomplexes mithilfe der Spektralsequenz \ref{SpD} oder vielmehr ihrem offensichtlichen Analogon f"ur allgemeine abelsche Kategorien, so ergibt sich als $E_1$-Term $ E_1^{p,q} = G{\mathcal H}^p(I^{*,q},\partial)$, da wir die Zeilen maximal spaltend angenommen hatten. Da die ${\mathcal H}^p(I^{*,q},\partial)$ nach Annahme injektive Aufl"osungen der Kohomologieobjekte ${\mathcal H}^pB^*$ sind, erhalten wir als $E_2$-Terme $E_2^{p,q} = ({\op{R}}^qG)({\mathcal H}^pB^*)$. Nach \ref{CAEE} und \ref{htpDK} ist unsere Spektralsequenz ab dem $E_2$-Term im "ubrigen bis auf eindeutigen Isomorphismus unabh"angig von der gew"ahlten Aufl"osung $(I^{p,q})$ und sogar funktoriell auf der Homotopiekategorie von gegen die Differentiale beschr"ankten Komplexen $B^*$ aus $G$-azyklischen Objekten von $\mathcal B$. Da wir von einem Doppelkomplex in der oberen Halbebene ausgehen, erhalten wir wie in \ref{SpD} die Morphismen am unteren Rand $${\mathcal H}^n(GB^*)\ra G({\mathcal H}^nB^*)$$ Explizit induzieren die Morphismen von Komplexen $B^*\leftarrow \tau^{\leq n}B^*\ra {\mathcal H}^nB^*[-n]$ Morphismen $GB^*\leftarrow G\tau^{\leq n}B^*\ra G({\mathcal H}^nB^*)[-n]$. Da $G$ linksexakt ist, k"onnen wir die Mitte umschreiben zu $\tau^{\leq n}GB^*$. Unter $\mathcal H^n$ wird demnach der Pfeil nach links ein Isomorphismus und so entsteht unser Morphismus am unteren Rand. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In der Sprache der \glqq derivierten Kategorien und derivierten Funktoren\grqq\ bedeutet das nach \eref{dss}{TD} f"ur jede abelsche Kategorie $\mathcal B$ mit genug Injektiven und alle $X\in {\op{Der}}^+{\mathcal B}$ und jeden linksexakten Funktor $G:\mathcal B\ra \mathcal C$ %derart, da"s sich jedes Objekt in ein $G$-azyklisches Objekt einbetten l"a"st, eine in $X$ funktorielle konvergierende $E_2$-Spektralsequenz\label{KSSEd} \[ ({\op{R}}^qG)({\mathcal H}^pX) \Rightarrow {\mathcal H}^n(({\op{R}}G)( X)) \] Wir k"onnen in dieser Sprache auch die zum Konvergenzdatum geh"orige Filtrierung explizit angeben als $${\mathcal H}^{n,\geq q}(({\op{R}}G)( X))= \op{im}\big ({\mathcal H}^{n}(({\op{R}}G)( \tau^{\leq n-q}X))\ra {\mathcal H}^{n}(({\op{R}}G)( X))\big)$$ Um das zu einzusehen, mag man pr"ufen, da"s wir in den Notationen des vorhergehenden Beweises einen Quasiisomorphismus $\tau^{\leq p} B^*\qri \tau^{\leq p}(I^{*,q})$ erhalten, der sogar eine injektive Aufl"osung ist, und mag die alternative Beschreibung der Filtrierung im Fall von Doppelkomplexen aus \ref{SpD} verwenden. \nichtfinal{F"ur unbeschr"ankte derivierte Kategorien schreiben?} \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Grothendieck's Spektralsequenz}] Seien ${\mathcal A}, {\mathcal B}$ abelsche Kategorien mit genug Injektiven und ${\mathcal C}$ eine weitere abelsche Kategorie. Seien $F \colon {\mathcal A} \to {\mathcal B}$ ein additiver Funktor und $G\colon {\mathcal B} \to {\mathcal C}$ ein linksexakter Funktor. Macht $F$ injektive Objekte zu $G$-azyklischen Objekten, so erhalten wir f"ur jedes Objekt $A\in \mathcal A$, indem wir eine injektive Aufl"osung $A\ra J^\lhd$ w"ahlen und \ref{KSSEx} auf $B^*\pdef FJ^\lhd$ anwenden, eine konvergierende~$E_2$-Spek\-tral\-sequenz\label{KSSEigv} \[ ({\op{R}}^qG\circ {\op{R}}^pF)A \;\Rightarrow\; {\op{R}}^n(G\circ F)A \] Auch diese Spektralsequenz h"angt bis auf eindeutigen Isomorphismus nicht von den getroffenen Wahlen ab und ist funktoriell in $A$. Da wir von einem Doppelkomplex in der oberen Halbebene ausgehen, erhalten wir wie in \ref{SpD} oder \ref{KSSEx} die Morphismen am unteren Rand ${\op{R}}^n(G\circ F) A\ra (G\circ {\op{R}}^nF)A$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Leray'sche Spektralsequenz}] Gegeben stetige Abbildungen $f:X\ra Y$ und $g:Y\ra Z$ und eine abelsche Garbe $\mathcal F$ auf $X$ erhalten wir eine konvergierende~$E_2$-Spek\-tral\-se\-quenz\label{LeSp} \[ ({\op{R}}^qg_\ast\circ {\op{R}}^pf_\ast)\mathcal F \;\Rightarrow\; {\op{R}}^n(g\circ f)_\ast \mathcal F \] Das folgt aus Grothendieck's Spektralsequenz \ref{KSSEigv} mit der Erkenntnis, da"s der Vorschub jeder welken und damit jeder injektiven abelschen Garbe welk ist und damit nach \ref{dBiw} azyklisch f"ur Vorsch"ube. Die Morphismen am unteren Rand sind in diesem Fall Morphismen $ {\op{R}}^n(g\circ f)_\ast \mathcal F \ra (g_\ast\circ {\op{R}}^nf_\ast)\mathcal F$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie von Faserb"undeln}] Ist $f:X\ra Y$ ein Faserb"undel mit Faser $F$ "uber einem "uberlagerungstrivialen offenlokal zusammenziehbaren Raum und $M$ eine abelsche Gruppe, so erhalten wir f"ur die Kohomologie des Totalraums eine konvergierende~$E_2$-Spek\-tral\-sequenz \[ {\op{H}}^q(Y; {\op{H}}^p(F;M_F)_Y) \;\Rightarrow\; {\op{H}}^n(X;M_X) \] Der $E_2$-Term ist dabei die Kohomologie der Basis mit Koeffizienten in der Kohomologie der Faser. In der Tat sind die h"oheren Vorsch"ube ${\op{R}}^pf_\ast M_X$ in diesem Fall lokal konstant nach \ref{RHFc} mit der Kohomologie der Faser als Halm und damit konstant nach \eref{EfZ}{TF}, da wir die Basis "uberlagerungstrivial angenommen hatten. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Kohomologie von Faserb"undeln, Variante}] Ist $f:X\ra Y$ ein Faserb"undel mit zusammenh"angender offenlokal zusammenziehbarer Faser $F$ und gilt ${\op{H}}^q(F)=0$ f"ur $00$ und der strukturelle Ringalgebrenhomomorphismus $\DR \ra \Omega^*(K{\acts}K)$ induziert einen Isomorphismus\label{aqdrp} $$\DR \sira {\op{H}}_K^0(K)_{\op{dR}}$$ \end{Lemma} \begin{proof} Dieses Lemma gilt analog f"ur beliebige Liegruppen und wir zeigen es in dieser Allgemeinheit. Nachdem wir $\bigwedge^p\mathfrak k^*$ mit linksinvarianten Differentialformen auf $K$ identifizieren, liefert die Multiplikation Isomorphismen $\mathcal C^\infty(K)\otimes \bigwedge^p\mathfrak k^*\sira \Omega^p(K)$ und daraus ergeben sich Isomorpismen $$\textstyle \mathcal C^\infty(K, \bigwedge^p\mathfrak k^*\otimes \mathcal O(\mathfrak k)^q)\sira \mathcal C^\infty(K)\otimes \bigwedge^p\mathfrak k^*\otimes \mathcal O(\mathfrak k)^q\sira \Omega^p(K)\otimes \mathcal O(\mathfrak k)^q$$ Bilden wir die $K$-Invarianten, so liefert das Auswerten am neutralen Element den ersten Isomorphismus eines Diagramms $$ \textstyle \bigwedge^p\mathfrak k^*\otimes \mathcal O(\mathfrak k)^q\sila \mathcal C^\infty(K, \bigwedge^p\mathfrak k^*\otimes \mathcal O(\mathfrak k)^q)^K\sira \big(\Omega^p(K)\otimes \mathcal O(\mathfrak k)^q\big)^K$$ Den so entstehenden Isomorphismus von links nach rechts notieren wir $\op{"a}$ wie {\bf "Aquivariantisierung}. Nun betrachten wir die Filtrierung unseres "aquivarianten de-Rham-Komplexes Komplexes $T_K^n$ durch die Unterkomplexe $T_K^{n,p+q\geq t}$. Die $E_0$-Terme der zugeh"origen Spektralsequenz im Sinne von \eref{SpeSn}{TG} sind die $$E_0^{(n,t)}=\big(\Omega^{2t-n}(K)\otimes_\DR \mathcal O(\mathfrak k)^{ n-t}\big)^K$$ und wir zeigen, da"s das Differential $\partial_0:E_0^{(n,t)}\ra E_0^{(n+1,t)}$ unter unseren Isomorphismen von eben auf der linken Seite dem Differential des Koszulkomplexes \ref{KKKF} entspricht. Es folgt $E_1^{(n,t)}=0$ f"ur $n>0$ und damit die Behauptung. Es gilt also, $\partial_0$ mit dem Koszuldifferential $\diff_{\op{Kos}}$ zu vergleichen. Unsere obigen Isomorphismen sind aber Isomorphismen von bigraduierten $\DR$-Ringalgebren, das Koszuldifferential "andert sich nicht beim "Ubergang zum assoziierten Graduierten unter unserer Filtrierung und $\diff_K$ wird zu $$\partial_0={\bar{\op{d}}}_K:\omega\otimes f \mapsto \sum_{\rho} -i_{\xi\rho}\omega \otimes \xi_\rho^\top f$$ Auch ${\bar{\op{d}}}_K$ erf"ullt jedoch die graduierte Leibnizregel, so da"s wir die Vertr"aglichkeit der beiden Differentiale nur auf Erzeugern der Ringalgebra zu pr"ufen brauchen. Wegen $\diff_{\op{Kos}}(\lambda\otimes 1)=-1\otimes \lambda$ k"onnen wir uns sogar darauf zur"uckziehen, $$\op{"a}(\diff_{\op{Kos}}(\lambda\otimes 1))={\bar{\op{d}}}_K(\op{"a}(\lambda\otimes 1))$$ zu zeigen, und wir k"onnen uns dabei auf $\lambda=\xi_\rho^\top$ beschr"anken. Um die linke Seite alias $\op{"a}(-1\otimes \xi_\rho^\top)$ zu beschreiben, beachten wir zun"achst, da"s das ja in der Mitte auf die Abbildung $k\mapsto (\op{Ad}^*(k))(\xi_\rho^\top)$ gehen mu"s und erkl"aren wir Funktionen $f^\sigma_\rho\in\mathcal C^\infty(K)$ durch $(\op{Ad}^*(k))(\xi_\rho^\top)= \sum_\sigma f^\sigma_\rho(k)\xi_\sigma^\top$, so finden wir schlie"slich $$\op{"a}(\diff_{\op{Kos}}( \xi_\rho^\top\otimes 1) =\op{"a}(-1\otimes \xi_\rho^\top)=\sum_\sigma- f^\sigma_\rho\otimes \xi_\sigma^\top$$ Umgekehrt haben wir $\op{"a}(\xi_\rho^\top\otimes 1)=\grave \xi_\rho^\top\otimes 1$ mit $\grave \lambda$ der Fortsetzung von $\lambda$ zu einem linksinvarianten Kovektorfeld auf $K$ und weil in der Definition von $\diff_K$ das $i_\xi$ das partielle Einsetzen des durch die infinitesimale Operation von $\xi$ gegebenen Vektorfelds meint, in unserem Fall also das partielle Einsetzen der rechtsinvarianten Fortsetzung $\acute \xi$ von $\xi$, schreiben wir das erst zu einer Linearkombination linksinvarianter Felder um. Haben wir aber $(\op{Ad}(k^{-1}))(\xi_\rho)=\sum h^\sigma_\rho(k)\xi_\sigma$, so zeigt eine kurzen Rechnung die Beziehung $$\acute \xi_\rho=\sum h^\sigma_\rho(k)\grave \xi_\sigma$$ zwischen rechtsinvarianten und linksinvarianten Fortsetzungen und eine ebensokurze Rechnung liefert $h^\sigma_\rho=f^\rho_\sigma$ und wir finden wie gew"unscht \begin{displaymath}{\bar{\op{d}}}_K(\op{"a}(\xi_\rho^\top\otimes 1)) =\bar{\op{d}}_K(\grave \xi_\rho^\top\otimes 1)= \sum_\sigma - \grave \xi_\rho^\top(\acute \xi_\sigma)\otimes \xi_\sigma^\top =\sum_\sigma - f^\sigma_\rho\otimes \xi_\sigma^\top \qedhere \end{displaymath} \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{"Aquivariante de-Rham-Kohomologie trivialer Torsoren}] Gegeben eine Liegruppe $G$ und eine Mannigfaltigkeit $B$ ist\label{aeqdt} der offensichtliche Homomorphismus von dg-Ringalgebren ein Quasiisomorphismus $$\Omega^*B \qri \Omega^*(G{\acts}(G\times B))$$ \end{Lemma} \begin{proof} Wir modifizieren den Beweis im Fall eines einpunktigen Raums $B$ aus \ref{aqdrp}. Zun"achst ist klar, wie wir Differentialformen auf einem Produkt zerlegen k"onnen in der Form $\Omega^n(G\times B)=\bigoplus_{p+c=n}\Omega^{p,c}(G\times B)$. Nachdem wir $\bigwedge^p\mathfrak g^*$ mit linksinvarianten Differentialformen auf $G$ identifizieren und auf $G\times B$ zur"uckziehen, liefert die Multiplikation $\Omega^{0,c}(G\times B)\otimes \bigwedge^p\mathfrak g^*\sira \Omega^{p,c}(G\times B)$ und $$\textstyle \Omega^{0,c}(G\times B)\otimes \bigwedge^p\mathfrak g^*\otimes \mathcal O(\mathfrak g)^q\sira \Omega^{p,c}(G\times B)\otimes \mathcal O(\mathfrak g)^q$$ Bilden wir die $G$-Invarianten, so liefert der R"uckzug unter $B\ra G\times B$ mit $b\mapsto (1,b)$ einen Isomorphismus und die Umkehrabbildung nennen wir die {\bf "Aquivariantisierung} $$ \op{"a}: \textstyle \Omega^{c}(B)\otimes \bigwedge^p\mathfrak g^*\otimes \mathcal O(\mathfrak g)^q\sira \big(\Omega^{p,c}(G\times B)\otimes \mathcal O(\mathfrak g)^q\big)^G$$ Nun betrachten wir die Filtrierung unseres "aquivarianten de-Rham-Komplexes Komplexes $T^n=T_{G\times B}^n$ durch die Unterkomplexe $T^{n,p+q\geq t}$. Die $E_0$-Terme der zugeh"origen Spektralsequenz im Sinne von \eref{SpeSn}{TG} sind die $$E_0^{(n,t)}=\bigoplus_{c}\big(\Omega^{2t-n+c,c}(G\times B)\otimes_\DR \mathcal O(\mathfrak g)^{ n-c-t}\big)^G$$ und wir zeigen, da"s das Differential $\partial_0:E_0^{(n,t)}\ra E_0^{(n+1,t)}$ unter unseren Isomorphismen von eben auf der linken Seite $\bigoplus_{c}\Omega^{c}(B)\otimes \bigwedge^{2t-n+c}\mathfrak g^*\otimes \mathcal O(\mathfrak g)^{n-c-t}$ dem Differential des Tensorprodukts vom de-Rham-Komplex von $B$ mit dem Koszulkomplex \ref{KKKF} entspricht. Das ist dieselbe Rechnung wie im Fall \ref{aqdrp}, da"s $B$ nur aus einem Punkt besteht. So sehen wir, da"s unser Quasiisomorphismus in spe einen Quasiisomorphismus auf den $E_0$-Termen der Spektralsequenz induziert und aus der Theorie der Spektralsequenzen folgt dann, da"s er bereits selber ein Quasiisomorphismus gewesen sein mu"s. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{"Aquivariante de-Rham-Kohomologie von Torsoren}] Gegeben eine kompakte Liegruppe $K$ und ein glatter $K$-Linkstorsor $\pi:E\ra B$ auf einer glatten Mannigfaltigkeit $B$ induziert der R"uckzug von Differentialformen gefolgt vom Tensorieren mit der konstanten Funktion $1\in\mathcal O(\mathfrak k)$ einen Isomorphismus von $\DR$-Ringalgebren,\label{drT} den \emph{\bf Quotientenisomorphismus} $${\op{H}}^*(B)_{\op{dR}}\sira {\op{H}}^*_K(E)_{\op{dR}}$$ \end{Proposition} \begin{proof} Das gilt analog f"ur eine beliebige Liegruppe $K$. Wir betrachten auf $B$ den Garbenkomplex $^E\Omega_B^*: U\mapsto \Omega^*(K{\acts}\pi^{-1}(U))$ und erhalten einen Homomorphismus $\Omega_B^* \ra {^E\Omega}_B^*$ durch R"uckzug auf $E$ und Tensorieren mit der konstanten Funktion $1\in\mathcal O(\mathfrak k)$. Dieser Hommorphismus ist vertr"aglich mit dem Differential, weil das partielle Einsetzen $i_\xi$ jede Differentialform auf $E$ annulliert, die durch R"uckzug von einer Differentialform auf $B$ herkommt. Ich behaupte nun, da"s wir so einen Quasiisomorphismus von Garbenkomplexen $$\Omega_B^* \qri {^E\Omega}_B^*$$ erhalten. Um das zu zeigen, d"urfen wir annehmen, da"s unser Torsor trivial ist, also $E=K\times B$, und m"ussen nur zeigen, da"s wir in dieser Situation stets einen Quasiisomorphismus auf den globalen Schnitten erhalten. Das aber war gerade die Aussage von Lemma \ref{aeqdt}. Nun erkennt man wie in \ref{DFw}, da"s ${^E\Omega}_B^*$ eine weiche Garbe ist, also nach \ref{waz} azyklisch f"ur den Funktor der globalen Schnitte. Die Proposition folgt. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{"Aquivariante Vergleichsisomorphismen}] Seien $K{\acts}X$ eine parakompakte glatte Mannigfaltigkeit mit der Operation einer kompakten Liegruppe und $q\in \DN$. So gibt es genau einen Isomorphismus\label{Aeqv} $${\op{H}}_K^q(X)_{\op{dR}}\sira {\op{H}}_K^q(X;\DR)_{\op{garb}}$$ derart, da"s er f"ur jeden glatten $K$-Rechtstorsor $A$, der zusammenh"angend ist mit ${\op{H}}^1(A;\DR)=\ldots={\op{H}}^{q+2}(A;\DR)=0$, "ubereinstimmt mit der Verkn"upfung $$\begin{array}{llll} {\op{H}}_K^q(X)_{\op{dR}}&\sira &{\op{H}}_K^q(A\times X)_{\op{dR}}&\text{nach \ref{rzdr},}\\[1mm]&\sira& {\op{H}}^q(A\times_{/K} X)_{\op{dR}}&\text{nach \ref{drT},}\\[1mm] &\sira&{\op{H}}^q(A\times_{/K} X;\DR)_{\op{garb}}&\text{nach \ref{dRGK},}\\[1mm]&\sira&{\op{H}}^q_K(X;\DR)_{\op{garb}}&\text{nach \ref{BaeK}.} \end{array}$$ In ihrer Gesamtheit bilden diese Isomorphismen einen Homomorphismus von $\DR$-Ringalgebren. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Sie m"ogen als "Ubung zeigen, da"s die fraglichen Isomorphismen vertr"aglich sind mit dem R"uckzug unter Morphismen $(\phi\acts f)$. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Das anschlie"sende Lemma \ref{exio} zeigt, da"s es f"ur jedes $q$ solch einen glatten $K$-Torsor $A$ gibt. Das zeigt schon mal, da"s es h"ochstens einen Isomorphismus mit den im Satz behaupteten Eigenschaften geben kann. Je zwei derartige Torsoren liefern jedoch denselben Morphismus, wir man etwa durch R"uckzug auf ihr Produkt erkennt. Das zeigt die Existenz. Da"s unsere Abbildung ein Homoorphismus von $\DR$-Ringalgebren ist, folgt aus der Konstruktion. \end{proof} \begin{Lemma} Gegeben eine kompakte Liegruppe $K$ und $r\in \DN_{\geq 1}$ gibt es einen glatten zusammenh"angenden $K$-Torsor $A$ mit ${\op{H}}^1(A;\DR)=\ldots={\op{H}}^{r}(A;\DR)=0$.\label{exio} \end{Lemma} \begin{proof} Sei $K_\DC$ die Komplexifizierung von $K$ nach \eref{?}{AAG}, eine komplexe affine algebraische Gruppe. Sie besitzt eine treue Darstellung $V$. F"ur $d\pdef \op{dim}_\DC V$ ist die Menge der linear unabh"angigen $d$-Tupel eine nichtleere offene Teilmenge $U\co V^{\times d}$ derart, da"s die Isotropiegruppe von jedem Punkt $x\in U$ trivial ist. Wir setzen $W\pdef V^{\times d}$. Das Komplement $Z\As W$ von $U$ ist eine algebraische Teilmenge echt kleinerer Dimension $\op{kdim}(Z)<\op{kdim}U$. Die Lokalisierungssequenz der kompakten Kohomologie $$\ldots\ra{\op{H}}_!^{q-1}(Z)\ra {\op{H}}_!^q(W\backslash Z) \ra {\op{H}}_!^q(W)\ra {\op{H}}_!^q(Z) \ra \ldots $$ aus \ref{LokSe} zeigt zusammen mit dem Verschwinden von ${\op{H}}_!^q(Z)$ f"ur $2\op{kdim}Z