\section{Abelsche Kategorien und Garben} \subsection{Wozu Garbenkohomologie?} \begin{Bemerkungl}In diesem Abschnitt f"uhren wir die abstrakte Sprache der abelschen Kategorien ein und besprechen parallel dazu als motivierendes Beispiel die Kategorie der abelschen Garben auf einem topologischen Raum. Ich habe versucht, diese beiden Handlungsstr"ange insoweit zu entflechten, da"s die Abschnitte ohne das Wort \glqq Garbe\grqq\ in der "Uberschrift auch unabh"angig gelesen und verstanden werden k"onnen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sowohl die Garbenkohomologie als auch die damit verbundenen Methoden der homologischen Algebra sind aus der algebraischen und arithmetischen Geometrie und dar"uber hinaus aus weiten Teilen der Mathematik nicht mehr wegzudenken. F"ur manch einen mag das schon Anla"s genug sein, sich damit zu besch"aftigen. Ich will im folgenden ausf"uhren, welchen Gewinn man auch in der \glqq ganz normalen Topologie\grqq\ aus diesen Methoden ziehen kann. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als ersten Punkt f"uhre ich eine Variante der langen exakten Kohomologiesequenz an, die Lokalisierungssequenz \ref{LokSe}, in der nur absolute Kohomologien auftreten. Das erlaubt eine sehr elegante Diskussion von Einbettbarkeitsproblemen, etwa im Zusammenhang mit dem Satz von Jordan-Brouwer \ref{JoBn} oder mit Alexanderdualit"at \ref{VG} folgende. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als zweiten Punkt beachte man das sehr gute Verhalten in Faserungen. Zum Beispiel zeigen wir in \ref{RZGKj} f"ur ein beliebiges Faserb"undel mit zusammenziehbarer Faser, da"s der R"uckzug einen Isomorphismus auf der Kohomologie liefert. Ich w"u"ste nicht, wie ich das f"ur die singul"are Kohomologie zeigen sollte, und ob es da "uberhaupt stimmt. Dieses sehr gute Verhalten in Faserungen hinwiederum erlaubt die Konstruktion von "aquivarianter Kohomologie und charakteristischen Klassen f"ur beliebige Hauptfaserb"undel mit beliebigen topologischen Gruppen als Faser auf beliebigen topologischen R"aumen, vergleiche \ref{EaeK} folgende. Es erlaubt auch f"ur rationale Koeffizienten eine Identifikation der Kohomologie des Quotienten eines topologischen Raums nach einer endlichen Gruppe mit den Invarianten in der Kohomologie \ref{KohQ}, wann immer die Quotientenabbildung separiert ist, also wirklich in sehr befriedigender Allgemeinheit. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als dritten Punkt f"uhre ich ein besseres Verst"andnis der Poincar\'e-Dualit"at an, genauer den Nachweis ihrer Interpretation "uber Schnittpaarung und Schnittprodukte, wie sie in \eref{SPoD}{TS} und \eref{SnPoo}{TS} angek"undigt wird. Das gelingt jedoch erst im Vollausbau der Theorie als Konsequenz der Verdier-Dualit"at und wird in \eref{SnPr}{TSS} folgende erkl"art. Wieder w"u"ste ich nicht, wie das in der singul"aren Theorie in der Allgemeinheit zu machen sein sollte, da man dort zun"achst einmal, soweit ich sehen kann, tubulare Umgebungen bereitstellen mu"s. Das mag aber meiner eigenen Unkenntnis geschuldet sein. \end{Bemerkungl} \subsection{Garben und ihre \'etalen R"aume}\label{DeGa} \begin{Bemerkungl} Alle Pr"agarben, die bisher von Belang waren, besitzen noch eine zus"atzliche Eigenschaft, die es erlaubt, daf"ur eine geometrische Anschauung zu entwickeln. Diese zus"atzliche Eigenschaft, die die \glqq Garben\grqq\ unter den Pr"agarben auszeichnet, ist im Folgenden von entscheidender Bedeutung. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Garbe} $\cal{F}$ auf einem topologischen Raum $X$ ist eine Pr"agarbe von Mengen derart, da"s die folgende \defind{Verklebungsbedingung} erf"ullt ist: Gegeben ein\label{DefGa} System $\cal{U} \subset \cal{P} (X)$ von offenen Teilmengen von $X$ und gegeben f"ur alle $U \in \cal{U}$ Schnitte $s_{U} \in \cal{F}(U)$ mit $$s_{U}|_{ U \cap V} = s_{V}|_{U \cap V} \quad \forall\; U,V \in \cal{U}$$ gibt es genau einen Schnitt auf der Vereinigung $s \in \cal{F}\left( \bigcup_{U\in \cal{U}}U\right)$ mit $$s|_U = s_{U} \quad \forall\; U \in \cal{U}$$ Ein \defnoind{Homomorphismus von Garben}\index{Homomorphismus!von Garben} ist ein Homomorphismus der zugrundeliegenden Pr"agarben. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Analog definiert man Garben von Gruppen und Ringen und dergleichen sowie ihre Morphismen. Wir nennen sie auch {\bf Gruppengarben}\index{Gruppengarbe} beziehungsweise {\bf Ringgarben}\index{Ringgarbe} und reden von {\bf Mengengarben},\index{Mengengarbe} wenn wir betonen wollen, da"s wir Garben von Mengen meinen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Unsere Wolkenkratzer aus \ref{Wolk} sind Garben. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Eine Garbe hei"st auf Englisch \defind{sheaf} und auf Franz"osisch \defind{faisceau}. Der Begriff ist in der franz"osischen Mathematik des zwanzigsten Jahrhunderts entstanden und geht wohl auf eine "altere Verwendung von \glqq faisceau\grqq\ f"ur \glqq vern"unftige Familien geometrischer Objekte\grqq\ zur"uck. Zum Beispiel kann man in einer euklidischen Ebene die \glqq Schar aller Kreise\grqq\ betrachten, die an zwei gegebene Geraden tangential sind, und h"atte diese als einen \glqq faisceau de cercles\grqq\ bezeichnet. Bei der "Ubertragung ins Deutsche und Englische hat man dann sprachlich verwandte aber mathematisch noch nicht belegte Begriffe gew"ahlt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Schnitte einer Garbe "uber der leeren Menge}] Unsere Verklebungsbedingung mit\label{COG} $\cal{U} = \emptyset $ dem leeren Mengensystem impliziert, da"s eine Garbe von Mengen $\cal{F}$ stets genau einen Schnitt "uber der leeren Menge haben mu"s, in Formeln $|\cal{F} (\emptyset)|=1$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Garben mit Werten in einer beliebigen Kategorie}] Wir definieren allgemeiner Garben mit Werten in einer beliebigen Kategorie $\cal{C}$ als $\cal{C}$-wertige Pr"agarben $\cal{F},$ die zus"atzlich die {\bf Verklebungsbedingung}\index{Verklebungsbedingung} erf"ullen, da"s f"ur jedes ges"attigte System $\cal{U}$ von offenen Teilmengen von $X$ mit Vereinigung $V$ der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $\cal F(V)\sira\op{lim}_{U\in\mathcal U}\cal F(U)$ ist. %Ausgeschrieben bedeutet das, da"s f"ur jedes Objekt $C\in \mathcal C$ %und jede Familie von Morphismen %$(c_U: C\ra \cal{F}(U))_{U\in\cal{U}}$ mit der Eigenschaft, %da"s f"ur $U'\subset U$ stets $c_{U'}$ aus $c_{U}$ durch Nachschalten %der Restriktion $\cal{F}(U)\ra\cal{F}(U')$ entsteht, %es genau einen Morphismus %$c:C\ra \cal{F}(V)$ gibt, der alle $c_U$ liefert. F"ur eine Garbe $\cal{F}$ mit Werten in $\cal{C}$ ist insbesondere $\cal{F}(\emptyset)$ stets final in $\cal{C}$. \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Notationen f"ur Kategorien von Garben}] Die Kategorie der Garben auf einem Raum $X$ mit Werten in einer Kategorie $\cal{C}$ notieren\label{DAg} wir $\cal{C}_{/X}$. Die Kategorie der Mengengarben auf einem topologischen Raum $X$ notieren wir insbesondere $\op{Ens}_{/X}$.\index{Ens@$\op{Ens}_{/X}$ Garben von Mengen auf $X$} Eine Garbe mit Werten in der Kategorie der abelschen Gruppen hei"st eine {\bf abelsche Garbe}.\index{abelsch!Garbe} Die Kategorie der abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X$ notieren wir entsprechend $\op{Ab}_{/X}$.\index{Ab@$\op{Ab}_{/X}$ abelsche Garben auf $X$} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{COG2} Gegeben eine Garbe von Mengen $\cal{F}$ auf einem Raum $X$ und eine offene "Uberdeckung $\cal{U}$ von $X$ liefern die f"ur jede Pr"agarbe von Mengen definierten Abbildungen Isomorphismen $\cal{F}(X)\sira\check{\mathrm{H}}^{0}(\cal{U};\cal{F}) \sira \check{\mathrm{H}}^{0} (X;\cal{F})$. Das folgt unmittelbar aus den Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Ist $p : E \ra X$ eine stetige Abbildung, so erhalten wir eine Garbe von Mengen $\cal{S}=\cal{S}E=\cal{S}_XE$ auf $X$ durch die Vorschrift $$\cal{S}(U) \pdef\op{Top}_X(U,E)=\index{S@$\cal{S}$ Garbe von Schnitten} \{ s: U \ra E\mid s \text{ ist stetig und }p(s(x)) = x \;\forall x\in U\}$$ mit den offensichtlichen Restriktionsabbildungen. Wir nennen sie die \defind{Garbe der Schnitte} {\bf von} $p$ und erhalten so einen Funktor von der Kategorie der R"aume "uber unserem Raum in die Kategorie der Garben von Mengen auf unserem Raum $$\cal{S}:\op{Top}_X\ra\op{Ens}_{/X}$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Gegeben eine Menge $M$ und ein topologischer Raum $X$ erkl"aren wir die {\bf konstante Garbe} $M_X$ als die Garbe der Schnitte von $M \times X$, wo $M$ mit der diskreten Topologie zu versehen ist.\label{konGa} \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Pr"agarben $G_X$ f"ur eine diskrete Gruppe $G$ oder allgemeiner $\cal{C}_{G,X}$ f"ur eine topologische Gruppe $G$ aus \ref{defGx} sind Garben von Gruppen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Unsere Pr"agarben von differenzierbaren oder besser glatten Funktionen auf einer Mannigfaltigkeit sind Garben von $\DR$-Vektorr"aumen. Unsere Wolkenkratzer aus \ref{Wolk} sind Garben. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Sei $A$ eine nichttriviale Gruppe und $X$ ein topologischer Raum. Die Pr"agarbe, die jeder offenen Teilmenge von $X$ einfach die feste Gruppe $A$ zuordnet, mit der Identit"at als Restriktion, ist keine Garbe, denn der leeren Menge wird dabei nicht die triviale Gruppe zugeordnet. Wenn wir unser Beispiel dahingehend ab"andern, da"s wir der leeren Menge ausnahmsweise die triviale Gruppe zuordnen, ist unsere Pr"agarbe immer noch keine Garbe, wenn es in unserem Raum nichtleere unzusammenh"angende offene Teilmengen gibt, denn dann zerlegen wir diese in zwei echte disjunkte offene Teilmengen, w"ahlen dort als Schnitte verschiedene Elemente von $A$ und k"onnen diese Vorgabe nicht \glqq zu einem Schnitt auf der ganzen offenen Menge zusammenkleben\grqq. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir erinnern aus \eref{etale}{TF}, da"s eine stetige Abbildung $p:E\ra X$ \defnoind{\'etale}\index{etale@\'etale!stetige Abbildung} hei"st, wenn\label{etaleR} jeder Punkt $e \in E$ eine offene Umgebung $U \co E$ besitzt, die von $p$ hom"oomorph auf eine offene Teilmenge $p (U) \co X$ abgebildet wird. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum. Ein \defnoind{\'etaler Raum $E=(E,p)$ "uber $X$}\index{etale@\'etale!Raum} ist ein topologischer Raum $E$ mitsamt einer \'etalen Abbildung $p : E \ra X$. Ein {\bf Morphismus von \'etalen R"aumen "uber $X$} ist eine stetige Abbildung, die vertr"aglich ist mit den Projektionen auf $X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} \label{VEE} Jede \'etale Abbildung ist offen und nach \eref{VE}{TF} kann eine Verkn"upfung $gf$ stetiger Abbildungen mit $g$ \'etale nur \'etale sein, wenn auch $f$ \'etale ist. Insbesondere ist jeder Morphismus von \'etalen R"aumen offen, speziell also jeder Schnitt einer \'etalen Abbildung auf einer offenen Menge. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Garben und ihre \'etalen R"aume}] F"ur jeden topologischen Raum $X$ liefert der Funktor $\cal{S},$ der jedem Raum\label{GSc} "uber $X$ die Garbe seiner Schnitte zuordnet, eine "Aquivalenz von Kategorien $$\begin{array}{ccccc} \cal{S} & : & \left\{\begin{array}{c} \text{\'etale R"aume} \\ \text{"uber $X$} \end{array} \right\} & \sirra & \left\{ \begin{array}{c} \text{Garben von Mengen}\\ \text{auf $X$} \end{array}\right\} \end{array}$$ Dabei denken wir uns genauer ein Universum $\mathfrak U$ mit $X\in \mathfrak U$ und links \'etale R"aume, deren Grundmenge ein Element von $\mathfrak U$ ist, und rechts Mengengarben, die Werte in $\mathfrak U$ annehmen. \end{Satz} \begin{Beispiele}\label{ETW} Der \'etale Raum der Garbe $M_X$ ist $M\times X$. Der \'etale Raum des Wolkenkratzers $(\DZ/2\DZ)_{(0)}$ mit Faser $\DZ/2\DZ$ am Nullpunkt auf der reellen Gerade $X=\DR$ ist die reelle Gerade mit verdoppeltem Nullpunkt aus \eref{RVN}{TM}. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Die linke Seite unserer "Aquivalenz \ref{GSc} ist, zumindest nach meinem Geschmack, der Anschauung besser zug"anglich und liefert eine sehr transparente Konstruktion f"ur den \glqq R"uckzug\grqq\ von Garben, den wir in \ref{DbPn} kennenlernen werden. Die rechte Seite ist dahingegen technisch besonders gut zug"anglich und leicht zu verallgemeinern. Mir scheint die in diesem Satz formulierte "Aquivalenz von Kategorien eine wichtige Br"ucke in die Anschauung. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Der Beweis des vorhergehenden Satzes strukturiert den Rest dieses Abschnitts. Genauer konstruieren wir in \ref{ett} einen Funktor $\op{\acute{e}t}$ von Pr"agarben auf $X$ zu topologischen R"aumen "uber $X$ und konstruieren in \ref{ADJS} eine Adjunktion $(\op{\acute{e}t},\mathcal S)$ zwischen $\op{\acute{e}t}:\op{pEns}_{/X}\ra \op{Top}_X$ und $\mathcal S:\op{Top}_X\ra \op{pEns}_{/X}$. Im Anschlu"s daran wird der Beweis dann zu Ende gef"uhrt. Da"s man mit den in diesem Zusammenhang durchgef"uhrten Konstruktionen das vorgegebene Universum nicht verl"a"st, wird der Leser leicht einsehen k"onnen. \end{proof} \begin{Definition} Gegeben eine Pr"agarbe $\cal F$ von Mengen auf einem topologischen Raum $X$ definieren wir ihren\index{)8ba@$\cal{F}_x$ Halm!einer Pr"agarbe} {\bf Halm}\index{Halm, zu Pr"agarbe} $\cal{F}_x$ an einer Stelle $x \in X$ als den Kolimes $$\cal{F}_{x} \pdef \op{colf}_{U\ni x}\cal{F} (U)$$ Unser Kolimes soll wie angedeutet "uber alle offenen Umgebungen $U\co X$ von $x$ laufen. Gegeben $x\in U\co X$ und $s\in\cal{F}(U)$ einen Schnitt bezeichnen wir mit $s_x\in \cal{F}_{x}$ sein Bild im Halm. \end{Definition} \begin{Beispiel} Unsere Keime regul"arer Funktionen aus \eref{KReF}{ML} sind genau die Halme der Garbe der regul"aren Funktionen aus \eref{VKBe}{ML}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkunge} Gegeben Punkte $x,y$ eines topologischen Raums, von denen einer im Abschlu"s des anderen liegt, in Formeln\label{HABs} $x\in \bar{y}$, erhalten wir f"ur jede Pr"agarbe von Mengen $\cal{F}$ eine Abbildung $\cal{F}_x\ra \cal{F}_y$ aus der Beobachtung heraus, da"s jede offene Menge um $x$ auch $y$ enthalten mu"s. Wir nennen sie das {\bf Generisieren}.\index{Generisieren} \end{Bemerkunge} \begin{Definition}\label{ett}%\label{et} Gegeben ein Pr"agarbe $\cal F$ von Mengen auf einem topologischen Raum $X$ definieren wir ihren \defnoind{\'etalen Raum}, notiert $\op{\acute{e}t}(\cal{F})$ oder k"urzer $\bar{\cal F},$ als die disjunkte Vereinigung ihrer Halme $$\bar{\cal F}\pdef \coprod_{x\in X} \cal{F}_{x}$$ mitsamt der nat"urlichen Projektion $p: \bar{\cal F} \ra X$. Gegeben $U\co X$ und $s\in\cal{F}(U)$ definieren wir einen Schnitt $\bar{s}:U\ra \bar{\cal F}$ durch $\bar{s}(x)= s_x$. Wir versehen ${\bar{\cal{F}}}$ mit der Finaltopologie in Bezug auf die Familie aller dieser Abbildungen $\bar{s}$. Bezeichnet $\op{pEns}_{/X}$ die Kategorie der Pr"agarben von Mengen auf $X,$ so erhalten wir auf diese Weise einen Funktor $$\op{\acute{e}t}:\op{pEns}_{/X}\ra\op{Top}_X$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Anschauung f"ur \'{e}tale R"aume}] Der \'etale Raum einer Pr"agarbe von Mengen ist meiner Anschauung nur schlecht zug"anglich. Er wird im allgemeinen in keinster Weise Hausdorff sein. Ich denke dabei eher an eine Art Bl"atterteig, der auf das Backblech projiziert wird. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Der \'etale Raum als Linksadjungierter des Schnittefunktors}] Wir erhalten eine Adjunktion $(\op{\acute{e}t},\mathcal S)$ von Funktoren zwischen $\op{pEns}_{/X}$ und $\op{Top}_X$ vermittels der Abbildungen\label{ADJS} $$\op{pEns}_{/X}(\mathcal F,\mathcal SE)\ra \op{Top}_X(\op{\acute{e}t}\mathcal F,E)$$ gegeben durch $\varphi\mapsto (\bar\varphi:(s_x\mapsto \varphi(s)(x)))$ f"ur $x\in X$ und einen und jeden Schnitt $s\in\mathcal F(U)$ f"ur $x\in U\co X$. Die Stetigkeit von $\bar\varphi$ folgt daraus, da"s f"ur alle Schnitte $s\in\mathcal F(V)$ mit $V\co X$ auch $\bar\varphi\circ \bar s=\varphi(s):U\ra E$ stetig ist. Die Injektivit"at unserer Abbildung $\varphi\mapsto\bar\varphi$ ist offensichtlich. Die Surjektivit"at folgt, indem wir eine Abbildung in die Gegenrichtung konstruieren, und zwar durch Anwenden des Funktors $\mathcal S$ und Vorschalten des Morphismus $\mathcal F\ra \mathcal S(\op{\acute{e}t}\mathcal F)$, der durch $s\mapsto \bar s$ gegeben wird. Man erkennt unschwer, da"s diese Abbildung ein Schnitt und wegen der Injektivit"at dann sogar eine Umkehrabbildung ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Satz \ref{GSc} "uber Garben und ihre \'etalen R"aume, Ende des Beweises] Man erinnere aus \eref{AduA}{TF}, da"s gegeben Funktoren $L:\mathcal A\ra\mathcal B$ und $R:\mathcal B\ra\mathcal A$ und eine Adjunktion $\alpha:L \dashv R $ und die vollen Unterkategorien \begin{displaymath} \begin{array}{lll} \mathcal A_0 &\pdef&\{ A \in \mathcal A \mid \text{Die Einheit ist ein Iso } A \sira RLA\}\\ \mathcal B_0 &\pdef& \{ B \in \mathcal B \mid \text{Die Koeinheit ist ein Iso } LRB \sira B \} \end{array} \end{displaymath} unser Funktor $L$ eine "Aquivalenz von Kategorien $\mathcal A_0 \sirra \mathcal B_0$ mit Quasiinversem $R$ induziert. Nun zeigen wir in \ref{EtI}, da"s genau die R"aume $E\in\op{Top}_X$ \'etale sind, f"ur die unsere Adjunktion einen Isomorphismus $\op{\acute{e}t}(\mathcal S E)\sira E$ induziert, und in \ref{AdIs}, da"s genau die Pr"agarben $\mathcal F\in\op{pEns}_{/X}$ Garben sind, f"ur die unsere Adjunktion einen Isomorphismus $\mathcal F\sira \mathcal S(\op{\acute{e}t}\mathcal F)$ induziert. Damit ist dann unser Satz \ref{GSc} "uber Garben und ihre \'etalen R"aume bewiesen. \end{proof} \begin{Lemma}[\textbf{Eigenschaften des \'etalen Raums einer Pr"agarbe}] Sei $\cal F$ eine Pr"agarbe von Mengen auf einem Raum $X$.\label{SG} \begin{enumerate} \item Die $\bar{s}(U)$ mit $U\co X$ und $s\in\cal{F}(U)$ bilden eine Basis f"ur die Topologie des \'etalen Raums von $\cal F$. Insbesondere sind alle derartigen Schnitte $\bar{s}$ offene Einbettungen; \item Die Projektion $p: {\bar{\cal{F}}}\ra X$ ist \'etale; \item Ein Schnitt "uber $V \co X$ in ${\bar{\cal{F}}}$ ist stetig genau dann, wenn jedes $x \in V$ eine offene Umgebung $U\co V$ besitzt derart, da"s unser Schnitt auf dieser Umgebung $U$ "ubereinstimmt mit einem $\bar{s}$ f"ur geeignetes $s \in \cal{F} (U)$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] 1. Wir zeigen zun"achst, da"s alle $\bar{s}(U)$ offen sind in ${\bar{\cal{F}}}$. Dazu gilt es nachzuweisen, da"s $W=\bar{t}^{-1} (\bar{s}(U))$ offen ist in $V,$ f"ur alle $V \co X$ und $t \in \cal{F} (V)$. Aber wir haben ja $$\bar{t}^{-1} (\bar{s}(U)) =\{ x \in U\cap V \mid s_{x} = t_{x} \},$$ und da mit der Beschreibung \eref{fdl}{TS} eines filtrierenden direkten Limes aus $s_{x} = t_{x}$ folgt $s|_{W} = t|_{W}$ f"ur eine hinreichend kleine offene Umgebung $W$ von $x,$ ist $\bar{t}^{-1} (\bar{s}(U))$ in der Tat stets offen in $V$ und damit $\bar{s}(U)$ offen in ${\bar{\cal{F}}}$. Damit gilt insbesondere $\bar{t}(W)=\bar{s}(U)\cap \bar{t}(V)$ f"ur $W=\bar{t}^{-1} (\bar{s}(U))\co X,$ folglich bilden unsere $\bar{s}(U)$ ein System von offenen Mengen, das stabil ist unter endlichen Schnitten. F"ur die von diesem Mengensystem erzeugte Topologie sind aber bereits alle $\bar{s}$ stetig, folglich mu"s es sich dabei um die Finaltopologie handeln. \\[2mm]\noindent 2. Der zweite Teil des Lemmas folgt sofort aus dem ersten. \\[2mm]\noindent 3. F"ur den dritten Teil bemerken wir, da"s offensichtlich jeder Schnitt mit besagter Eigenschaft stetig ist. Ist umgekehrt $t: V \ra {\bar{\cal{F}}}$ ein Schnitt und ist $x \in V$ gegeben, so hat $t(x) \in \cal{F}_{x}$ die Gestalt $t(x) = s_{x}$ f"ur geeignetes $s \in \cal{F} (W)$ und $W \co V$ eine Umgebung von $x$. Ist $t$ stetig, so folgt $U = t^{-1} (\bar{s} (W)) \co V,$ und das ist die gesuchte offene Umgebung von $x$ mit $t|_U = \bar{s}$ f"ur $s = s|_U$. \end{proof} %\begin{Bemerkungl}\label{KAD} %Gegeben $E\in\op{Top}_X$ liefert das Auswerten von Schnitten %eine stetige Abbildung $\op{\acute{e}t}(\cal{S}E)\ra E$ "uber $X,$ %wie man unschwer aus dem ersten Teil von Lemma \ref{SG} folgert. %Gegeben %$\cal{F}\in\op{pEns}_{/X}$ liefert umgekehrt $s\mapsto \bar{s}$ %einen Homomorphismus %von Pr"agarben $\cal{F}\ra \cal{S}(\op{\acute{e}t}\cal{F})$. %\end{Bemerkungl} %\begin{Proposition}[\textbf{Linksadjungierter des Schnittfunktors}] %Gegeben ein topologischer Raum $X$ %liefern die in \ref{KAD} erkl"arten Morphismen %eine Adjunktion\label{ADJS} %$(\op{\acute{e}t},\cal{S})$ zwischen den beiden Funktoren %$\op{\acute{e}t}:\op{pEns}_{/X}\ra \op{Top}_X$ und %$\cal{S}:\op{Top}_X\ra \op{pEns}_{/X}$. %\end{Proposition} %\begin{proof}[Beweis] %Es gilt nach \eref{CanA}{TF}, f"ur jede Pr"agarbe $\cal{F}$ von %Mengen auf $X$ und jeden topologischen Raum %$E$ "uber $X$ zu zeigen, da"s im Viereck %$$\begin{array}{ccc} %\op{Top}_{X} (\op{\acute{e}t} \cal{F}, E) &\ra & % \op{pEns}_{/X} (\cal{S}(\op{\acute{e}t} \cal{F}), \cal{S} E)\\ %\uparrow & & \downarrow \\ %\op{Top}_{X}(\op{\acute{e}t} \cal{F}, \op{\acute{e}t} % (\cal{S}E)) & \leftarrow & \op{pEns}_{/X} (\cal{F}, \cal{S}E) %\end{array}$$ %einmal im Kreis herumgehen die Identit"at %induziert auf der oberen linken und der unteren rechten %Ecke. %Die restlichen Details des Beweises "uberlassen wir dem Leser. %\end{proof} \begin{Lemma} Genau dann ist eine stetige Abbildung $p:E\ra X$ \'etale, wenn die Adjunktion einen Isomorphismus $\op{\acute{e}t}(\cal{S}E)\sira E$ liefert.\label{EtI} \end{Lemma} \begin{proof} Nach \ref{SG} ist die linke Seite auch \'etale "uber $X$. Liefert die Adjunktion einen Isomorphismus, so ist folglich auch $E$ selbst \'etale, und ist umgekehrt $E$ selbst \'etale, so reicht es nach \ref{VEE} zu zeigen, da"s unsere Adjunktionsabbildung bijektiv ist alias da"s sie Bijektionen auf allen Halmen induziert. Da $p$ \'etale ist, gibt es f"ur jedes $e \in E$ eine offene Umgebung $U$ von $x = p (e)$ und einen Schnitt $s:U\ra E$ mit $s (x) =e$. Also ist unsere Abbildung auf den Halmen surjektiv. Ist $V \co X$ eine weitere offene Umgebung von $p(e)$ und $ t \in \cal{F} (V)$ ein weiterer Schnitt mit $t (x) = e,$ so stimmen $s$ und $t$ notwendig "uberein auf der nach \ref{VEE} offenen Umgebung $W = p (s(U) \cap t(V))$ von $x$ in $X$. Also ist unsere Abbildung auf den Halmen auch injektiv. \end{proof} \begin{Lemma} \begin{enumerate} \item Stimmen zwei Schnitte einer Garbe auf allen Halmen "uber\-ein, so sind sie gleich; \item Induziert ein Morphismus von Garben Bijektionen auf allen Halmen, so ist er ein Isomorphismus. \end{enumerate} \label{IHI}\end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Die Herleitung der ersten Aussage bleibt dem Leser "uberlassen. F"ur den Nachweis der zweiten Aussage sei $\cal{F}\ra \cal{G}$ unser Morphismus. Aus 1 folgt, da"s f"ur alle $U\co X$ die induzierte Abbildung $\cal{F}(U)\ra \cal{G}(U)$ injektiv ist. Wir m"ussen zeigen, da"s diese Abbildungen auch surjektiv sind. Gegeben $s \in \cal{G} (U)$ gibt es jedoch f"ur alle $x \in U$ ein $t_{x} \in \cal{F}_{x}$ mit $t_{x}\mapsto s_{x}$. Dies $t_{x}$ ist der Halm eines Schnitts $t_{(x)}\in \cal{F} (U(x))$ f"ur eine geeignete offene Umgebung $U(x) \co U$ von $x,$ und wenn wir $U(x)$ hinreichend klein w"ahlen, d"urfen wir annehmen $t_{(x)}|_{U(x)}\mapsto s|_{U(x)}$. Dann aber erf"ullen die $t_{(x)}$ aber die Verklebungsbedingung und verkleben zu einem Schnitt $t \in \cal{F} (U)$ mit $t \mapsto s$. \end{proof} \begin{Lemma}\label{AdIs} Genau dann ist eine Pr"agarbe $\cal F$ eine Garbe, wenn die Adjunktion einen Isomorphismus $ \cal{F}\sira \cal{S}(\op{\acute{e}t}{\cal{F}})$ liefert. \end{Lemma} \begin{proof} Die rechte Seite ist stets eine Garbe, ja sogar $\mathcal S(E)$ ist eine Garbe f"ur jedes $E\in\op{Top}_X$. Liefert die Adjunktion einen Isomorphismus, so ist demnach auch $\mathcal F$ eine Garbe, und ist umgekehrt $\mathcal F$ eine Garbe, so m"ussen wir nach \ref{IHI} nur zeigen, da"s unser Morphismus auf allen Halmen Bijektionen induziert oder gleichbedeutend, da"s er unter $\op{\acute{e}t }$ eine Bijektion liefert. Nach der Dreiecksidentit"at f"ur adjungierte Funktoren \eref{FADJj}{TF} faktorisiert jedoch die Identit"at auf $\op{\acute{e}t }\cal{F}$ in kanonischer Weise als $\op{\acute{e}t }\cal{F}\ra \op{\acute{e}t }(\cal{S}(\op{\acute{e}t }{\cal{F}})) \ra \op{\acute{e}t }\cal{F},$ und nach \ref{EtI} angewandt auf $E=\op{\acute{e}t }\cal{F}$ ist hier die zweite Abbildung ein Isomorphimus. Dasselbe gilt dann auch f"ur die erste Abbildung und das Lemma folgt. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ist $\cal{F}$ eine Garbe von Funktionen auf $X,$ zum Beispiel die Garbe der differenzierbaren Funktionen auf einer offenen Teilmenge des $\Bbb{R}^{n}$ oder allgemeiner einer differenzierbaren Mannigfaltigkeit, so nennt man die Elemente der Halme $\cal{F}_{x}$ meist \defind{Funktionskeime}, in unserem Beispielfall also \glqq Keime differenzierbarer Funktionen an der Stelle $x$\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der \'etale Raum der Garbe der stetigen reellwertigen Funktionen auf $\DR$ ist nicht Hausdorff: Die Nullfunktion und die Funktion $x\mapsto \op{max}\{x,0\}$ haben verschiedene Keime an der Stelle Null, aber dieselben Keime an allen echt negativen Stellen. Die beiden Keime an der Stelle Null lassen sich also nicht durch offene Umgebungen im \'etalen Raum trennen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Der \'etale Raum $\op{\acute{e}t}( \cal{O}^{\op{an}})$ der Garbe $\cal{O}^{\op{an}}$ der holomorphen Funktionen auf $\Bbb{C}$ ist Hausdorff aufgrund der Eindeutigkeit der lokalen analytischen Fortsetzung. Die Zusammenhangskomponente eines Funk\-tions\-keims $f \in \op{\acute{e}t} (\cal{O}^{\op{an}})$ wird dann eine Riemann'sche Fl"ache im Sinne von \eref{BspM}{ML} vermittels der finalen Struktur im Sinne von \eref{FiSu}{ML} zur Familie der Schnitte auf offenen Teilmengen der komplexen Zahlenebene. Diese Riemann'sche Fl"ache hei"st die {\bf Riemann'sche Fl"ache des Funktionskeims}\index{Riemann'sche Fl"ache!von Funktionskeim} $f$.\label{RFFK} Zum Beispiel erhalten wir als Riemannsche Fl"ache der durch die Eigenschaft $\sqrt[n]{1}=1$ ausgezeichneten stetigen $n$-ten Wurzel in einer Umgebung der Eins eine zusammenh"angende $n$-bl"attrige "Uberlagerung von $\DC^\times$ und die Riemannsche Fl"ache des Hauptzweigs des komplexen Logarithmus ist eine unendliche Wendeltreppe, eben die durch $\op{exp}:\DC\ra \DC^\times$ gegebene "Uberlagerung. Es ist auch klar, da"s zu jedem Funktionskeim an einer vorgegebenen Stelle die Riemannsche Fl"ache jedes Stammfunktionenkeims an besagter Stelle eine "Uberlagerung der Riemannschen Fl"ache unseres Funktionskeims selber ist. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Integration holomorpher Funktionen und "Uberlagerungen}] Gegeben $f:\DC\lco U\ra \DC$ holomorph bildet die Menge aller Keime von Stammfunktionen von $f$ an Punkten von $U$ mit ihrer von $\op{\acute{e}t}( \cal{O}^{\op{an}})$ induzierten Topologie eine "Uberlagerung von $U$. Diese "Uberlagerung ist trivial genau dann, wenn $f$ eine Stammfunktion besitzt. Nach "Uberlagerungstheorie ist "uber einfach zusammenh"angendem $U$ jede "Uberlagerung trivial, folglich besitzt auf einfach zusammenh"angenden offenen Teilmengen $U\co \DC$ jede holomorphe Funktion eine Stammfunktion. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{EsRg} Sei $\cal F$ eine Garbe von Mengen auf einem Raum $X$ und $p: {\bar{\cal{F}}}\ra X$ ihr \'etaler Raum. Gegeben eine beliebige Teilmenge $A\subset X$ setzen wir $$\cal{F}(A)=\Gamma(A;\cal{F}) \pdef \{ s:A\ra {\bar{\cal{F}}}\mid s\text{ ist stetig und } p(s(x))=x \;\forall x\in A\}$$ und nennen die Elemente dieser Menge die \defnoind{Schnitte von $\cal F$ "uber $A$}. \index{Schnitt!"uber einer Menge von Garbe} Per definitionem haben wir zum Beispiel ${\cal F}_x={\cal F}(\{x\})$ f"ur alle $x\in X$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Im Gegensatz zu Pr"agarben k"onnen wir also bei Garben Schnitte "uber beliebigen, nicht notwendig offenen Mengen betrachten. Die Schnitte einer Garbe $\cal{F}$ "uber dem ganzen Raum nennen wir auch die {\bf globalen Schnitte}\index{globaler Schnitt!von Garbe} unserer Garbe und notieren sie\index{G@$\Gamma$ Schnitt!einer Garbe} $$\cal{F}(X)= \Gamma(X;\cal{F})= \Gamma\cal{F}$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Einschr"ankung einer Garbe}] Sei $\cal F$ eine Garbe von Mengen auf einem Raum $X$ und $p: {\bar{\cal{F}}}\ra X$ ihr \'etaler Raum. Gegeben eine Teilmenge $Z\subset X$ definieren wir die Garbe $\cal{F}|_Z$ auf dem Raum $Z$ als die Garbe der Schnitte im nach \eref{REEn}{TF} \'etalen Raum $p^{-1}(Z)\ra Z$ und nennen sie die {\bf Einschr"ankung von $\cal{F}$ auf $Z$}\index{Einschr"ankung!von Garbe}. Die offensichtliche Abbildung liefert dann eine Bijektion\label{EinGa} $$\Gamma(Z;\cal{F}|_Z)\sira \Gamma(Z;\cal{F})$$ zwischen dem Raum der globalen Schnitte der Einschr"ankung und dem Raum der Schnitte "uber $Z$ der urspr"unglichen Garbe. \end{Bemerkungl} \begin{figure}[htb] \begin{minipage}{0.45\textwidth} \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/Bildlk} \end{minipage}\hfill \begin{minipage}{0.45\textwidth}\centering Eine abelsche Garbe auf der Zahlengerade, deren Halme alle freie abelsche Gruppen vom Rang Eins sind, braucht noch lange nicht konstant zu sein. \end{minipage} \end{figure} \begin{Lemma} Gegeben ein topologischer Raum $X$ besitzt der offensichtliche Einbettungsfunktor $ \op{Ens}_{/X} \vra \op{pEns}_{/X} $ von den Garben in die Pr"agarben einen Linksadjungierten,\label{Garbi} die \emph{\bf Garbifizierung}\index{Garbifizierung} $\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^+$. \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Der Formalismus der adjungierten Funktoren \eref{FADJj}{TF} liefert uns dann f"ur jede Pr"agarbe $\mathcal{G}$ einen Morphismus $\mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^+$ derart, da"s jeder Morphismus $\mathcal{G} \rightarrow \mathcal{F}$ in eine Garbe $\mathcal{F}$ in eindeutiger Weise "uber $\mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}^+$ faktorisiert. Des weiteren folgt aus der Volltreuheit des Einbettungsfunktors mit \eref{EQK}{TF}, da"s f"ur jede Garbe $\mathcal{F}$ dieser Morphismus ein Isomorphismus $\mathcal{F} \sira \mathcal{F}^+$ ist. Explizit ist das genau der Isomorphismus \ref{AdIs}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In der folgenden Darstellung finde ich es ziemlich verwirrend, wenn bei Garben der Zusatz \glqq Pr"a\grqq\ begriffserweiternd wirkt und bei topologischen R"aumen "uber einem weiteren Raum der Zusatz \glqq \'etale\grqq\ begriffsverengend. Ich benutze deshalb auch noch die alternative Notation\index{gpEns@$\op{gpEns}_{/X}=\op{Ens}_{/X}$ Garben auf $X$} $$\op{gpEns}_{/X}=\op{Ens}_{/X}$$ f"ur \glqq Garbenpr"agarben\grqq\ auf einem topologischen Raum $X$. \end{Bemerkungl} % \begin{proof} % Sei $\cal{C}$ eine Pr"agarbe von Mengen auf einem topologischen Raum $X$. % Wir schreiben $\cal{S} (\op{\acute{e}t} \cal{C}) = \cal{C}^{+}$ f"ur die % Garbe der Schnitte in den etalen Raum der Pr"agarbe $\cal{C}$ und nennen % $\cal{C}^{+}$ die \defnoind{Garbifizierung von % $\cal{C}$}\index{Garbifizierung}. Die Adjunktion \ref{ADJS} liefert uns % einen kanonischen Morphismus von Pr"agarben % $$\op{can} : \cal{C} \ra \cal{C}^{+}$$ % der Bijektionen auf allen Halmen % induziert und der f"ur jede Garbe $\cal C$ ein Isomorphismus ist. %\end{proof} \begin{proof} Wir notieren $\op{\acute{e}tTop}_{X}\subset \op{Top}_{X}$ die\index{etTop@$\op{\acute{e}tTop}_{X}$ \'etale R"aume "uber $X$} volle Unterkategorie aller \'etalen R"aume "uber $X$ und betrachten das Diagramm von Funktoren \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{pEns}_{/X}\;\;\ar@<1ex>[r]^-{\op{\acute{e}t}}& \;\;\op{\acute{e}tTop}_{X}\;\; \ar@<1ex>[r]^-{\mathcal S}_-{\approx}\ar@<1ex>[l]^-{\mathcal S}& \;\; \op{gpEns}_{/X}\ar@<1ex>[l]^-{\op{\acute{e}t}}} \end{displaymath} Oben steht dabei immer der Linksadjungierte, auf der linken Seite wegen unserer allgemeinen Adjunktion \ref{ADJS}, und auf der rechten Seite, weil die Funktoren zueinander quasiinverse "Aquivalenzen von Kategorien sind. Die Verkn"upfung in der unteren Horizontale ist nun isomorph zum Einbettungsfunktor und die Verkn"upfung in der oberen Horizontale wird so ein Linksadjungierter des Einbettungsfunktors, eben unsere Garbifizierung. \end{proof} %\begin{proof} %Wir notieren %$\op{\acute{e}tTop}_{X}\subset \op{Top}_{X}$ %die\index{etTop@$\op{\acute{e}tTop}_{X}$ \'etale R"aume "uber $X$} %volle %Unterkategorie aller \'etalen R"aume "uber $X$ und betrachten das %Diagramm der bereits in \ref{ADJS} konstruierten Funktoren % $$\begin{array}{ccc} \op{pEns}_{/X} &\ra & % \op{\acute{e}tTop}_{X}\\ % \uparrow & & \downarrow \\ % \op{Ens}_{/X} & % \leftarrow & \op{Top}_{X} %\end{array}$$ %mit den offensichtlichen Einbettungsfunktoren in den %Vertikalen, dem Bilden des \'etalen Raums $\op{\acute{e}t}$ in der %oberen Horizontalen und dem Bilden der Garbe der stetigen Schnitte %$\cal{S}$ in der unteren Horizontalen. %Wir haben in \ref{ADJS} eine Adjunktion $(\op{\acute{e}t},\cal{S})$ %konstruiert zwischen dem %Kompositionsfunktor von links oben nach rechts unten und %dem Kompositionsfunktor zur"uck. In \ref{AdIs} und \ref{EtI} haben wir %gezeigt, da"s das induzierte Paar von adjungierten Funktoren %eine "Aquivalenz von Kategorien zwischen links unten und rechts oben liefert. %Damit ist klar, da"s und wie %die Zuordnung $\cal{C}\mapsto \cal{C}^{+}\pdef \cal{S} (\op{\acute{e}t} %\cal{C}) %$ %linksadjungiert ist zur Einbettung $ %\op{Ens}_{/X} \rightarrow \op{pEns}_{/X}. %$ %\end{proof} \begin{Bemerkunge}[\textbf{\'Etalisierung}] Wir notieren weiter $\op{\acute{e}tTop}_{X}\subset \op{Top}_{X}$ die\index{etTop@$\op{\acute{e}tTop}_{X}$ \'etale R"aume "uber $X$} volle Unterkategorie aller \'etalen R"aume "uber $X$ und $\op{Ens}_{/X}=\op{gpEns}_{/X}\subset\op{pEns}_{/X}$ die volle Unterkategorie aller Garben alias Garbenpr"agarben und betrachten das Diagramm von Funktoren\label{etAk} \begin{displaymath} \xymatrix{ \op{\acute{e}tTop}_{X}\;\; \ar@<1ex>[r]^-{\mathcal S}_-{\approx}& \;\; \op{gpEns}_{/X}\ar@<1ex>[l]^-{\op{\acute{e}t}}\ar@<1ex>[r]^-{\op{\acute{e}t}} \;\;& \;\;\op{Top}_{X}\;\; \ar@<1ex>[l]^-{\mathcal S}} \end{displaymath} Oben steht dabei immer der Linksadjungierte, auf der rechten Seite wegen unserer allgemeinen Adjunktion \ref{ADJS}, und auf der linken Seite, weil die Funktoren zueinander quasiinverse "Aquivalenzen von Kategorien sind. Die Verkn"upfung in der oberen Horizontale ist nun isomorph zum Einbettungsfunktor. Die Verkn"upfung in der unteren Horizontale wird so ein Rechtsadjungierter des Einbettungsfunktors, den wir die {\bf \'Etalisierung}\index{Etalisierung@\'Etalisierung} nennen und $\op{\acute{e}ts}\pdef \op{\acute{e}t}\circ \mathcal S$ notieren.\index{ets@$\op{\acute{e}ts}$ \'Etalisierung} Zu jeder stetigen Abbildung $T\ra X$ alias $T\in \op{Top}_X$ k"onnen wir so die \'etale Abbildung $\op{\acute{e}ts} (T)\in\op{\acute{e}tTop}_{X}$ bilden zusammen mit einer stetigen Abbildung $\op{\acute{e}ts} (T)\ra T$ "uber $X$ und gegeben $E \in\op{\acute{e}tTop}_{X}$ faktorisiert jeder Morphismus in $\op{Top}_X(E,T)$ auf genau eine Weise "uber $\op{\acute{e}ts} (T)$. F"ur $T$ \'etale "uber $X$ schlie"slich ist der nat"urliche Morphismus ein Isomorphismus $ \op{\acute{e}ts} ( T)\sira T$. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiel}[\textbf{Konstante Garben}] Der Funktor $\op{Ens}\ra \op{Ens}_{/X}$ der konstanten Garbe aus \ref{konGa} gegeben durch $M\mapsto M_X$ ist linksadjungiert zum Funktor $\Gamma$ der globalen Schnitte vermittels der durch die offensichtlichen Abbildungen $M\ra \Gamma M_X$ induzierten Bijektionen $$\op{Ens}_{/X}(M_X,\mathcal F)\sira \op{Ens}(M,\Gamma\mathcal F)$$ Das folgt sofort aus unserem Satz \ref{GSc} "uber Garben und ihre \'etalen R"aume. Das Exponentialgesetz induziert sogar f"ur jeden Raum $E$ "uber $X$ und jede diskrete Menge $M$ eine Bijektion $\op{Top}_X(M\times X, E)\sira \op{Ens}(M,\op{Top}_X(X,E))$. F"ur $X\neq\emptyset$ ist unser Funktor $(M\mapsto M_X)$ treu und f"ur $X$ zusammenh"angend sogar volltreu. Eine Garbe von Mengen hei"st {\bf konstant},\index{konstant!Garbe}\label{KOGA} wenn sie zu einer Garbe der Gestalt $M_X$ isomorph ist. Bezeichne $\op{Ens}^{\op{k}}_{/X}\subset \op{Ens}_{/X}$ die volle Unterkategorie der konstanten Garben. Ist $X$ zusammenh"angend, so liefert unser Funktor $M\mapsto M_X$ mithin eine "Aquivalenz von Kategorien \index{Ens@$\op{Ens}_{/ X}^{\op{k}}$ konstante Garben} $$\op{Ens}\sirra \op{Ens}^{\op{k}}_{/X}$$ Die Garbe $M_X$ f"ur die einpunktige Menge $M$ ist das finale Objekt von $\op{Ens}_{/X}$. Wir notieren es auch $\op{ens}_{/X}$.\index{ens@$\op{ens}_{/X}$ finale Mengengarbe} Analoges gilt f"ur Garben von Gruppen und Ringen. Insbesondere\label{GX} ist der Funktor $\op{Ab}\ra \op{Ab}_{/X}$ gegeben durch $(A\mapsto A_X)$ linksadjungiert zum Funktor der globalen Schnitte und treu f"ur $X\neq\emptyset$ und volltreu f"ur $X$ zusammenh"angend. Die Objekte seines wesentlichen Bildes hei"sen {\bf konstante abelsche Garben}.\index{konstant!abelsche Garbe} Notieren wir $\op{Ab}^{\op{k}}_{/X}\subset \op{Ab}_{/X}$ die Kategorie der konstanten abelschen Garben auf $X$, so liefert unser Funktor f"ur zusammenh"angendes $X$ eine "Aquivalenz von Kategorien \index{Ab@$\op{Ab}_{/ X}^{\op{k}}$ konstante belsche Garben} $$\op{Ab}\sirra \op{Ab}^{\op{k}}_{/X}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbifizierung abelscher Pr"agarben}] Gegeben eine abelsche Pr"agarbe $\cal F$ besitzt ihre Garbifizierung $\cal{F}^{+}$ genau eine Struktur als abelsche Garbe derart, da"s der Morphismus $\eta:\cal F\ra \cal F^+$ ein Morphismus von abelschen Pr"agarben ist. In der Tat legt diese Bedingung die Addition auf den Halmen fest und die halmweise Summe zweier stetiger Schnitte in den \'etalen Raum ist offensichtlich wieder stetig. Weiter fakorisiert jeder Morphismus abelscher Pr"agarben $\mathcal F\ra \mathcal G$ in eine abelsche Garbe $\mathcal G$ eindeutig "uber einen Morphismus von Mengengarben $\mathcal F^+\ra \mathcal G$, der dann auch ein Morphismus von abelschen Garben sein mu"s, weil er auf den Halmen mit der Addition vertr"aglich ist.\label{UGarab} Die Garbifizierung liefert so auch auf abelschen Garben einen Linksadjungierten des Einbettungsfunktors $ \op{Ab}_{/X} \hra \op{pAb}_{/X}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbifizierung abelscher Pr"agarben, Variante}] Auf Mengenpr"agarben kommutiert die Garbifizierung mit endlichen Produkten, als da hei"st, die offensichtlichen Morphismen sind Isomorphismen $$(\mathcal F\times\ldots\times \mathcal G)^+\sira \mathcal F^+\times\ldots\times \mathcal G^+$$ Nach \eref{FiKoM}{TS} kommutieren n"amlich filtrierende Kolimites von Mengen mit endlichen Produkten und folglich induzieren unsere offensichtlichen Morphismen Isomorphismen auf den Halmen. Nun ist eine Pr"agarbe von abelschen Gruppen dasselbe wie ein $\op{Ab}$-Objekt in der Kategorie der Mengenpr"agarben und eine Garbe von abelschen Gruppen dasselbe wie ein $\op{Ab}$-Objekt in der Kategorie der Mengengarben. So sehen wir ein weiteres Mal, da"s es auf der Garbifizierung $\mathcal F^+$ einer abelschen Pr"agarbe $\mathcal F$ genau eine Struktur als abelsche Garbe gibt, f"ur die die Einheit der Adjunktion $\mathcal F\ra \mathcal F^+$ ein Morphismus von abelschen Pr"agarben ist, und da"s jeder Morphismus $\mathcal F\ra \mathcal G$ in eine abelsche Garbe eindeutig als $\mathcal F\ra \mathcal F^+\ra \mathcal G$ faktorisiert mit einem Morphismus abelscher Garben an zweiter Stelle. \end{Bemerkungl} \nichtfinal{\begin{Bemerkungl} Wohin? Garbifizierung besitzt einen Rechtsadjungierten, ist also vertr"aglich mit Kolimites. Insbesondere besitzen Mengengarben beliebige Kolimites und der Kolimes der Garbifizierun ist die Garbifizierun der Kolimites. Irgendein Satz besagt, da"s Mengengarben auch Limites "uber endliche Diagramme besitzen. Genauer folgt aus der Transitivit"at von Limites \ref{coco}, da"s Limites von Garben in der Kategorie der Pr"agarben bereits Garben sind. \end{Bemerkungl}} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{KoGa} Sei $X$ ein Raum und $\mathcal F\in\op{Ens}_{/X}$ eine Mengengarbe. Gibt es eine Teilmenge $M\subset \mathcal F(X)$ mit $M\sira \mathcal F_x\;\forall x\in X$, so ist $\mathcal F$ eine \hyperref[KOGA]{konstante Garbe}. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{sof} Gegeben ein Schnitt einer \'etalen Abbildung ist die Menge aller Punkte, an denen er stetig ist, stets offen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkte von Garben}] In der Kategorie der Mengengarben auf einem topologischen Raum $X$ gibt es beliebige Produkte. Diese stimmen "uber\-ein\label{ProzGA} mit den Produkten in der Kategorie der Pr"agarben. Der \'etale Raum eines Produkts ist im Fall unendlicher Produkte nicht notwendig das Faserprodukt der \'etalen R"aume. Jedes endliche Produkt in $\op{Top}_{X}$ \'etaler R"aume ist jedoch wieder \'etale, somit vertauscht das Bilden des \'etalen Raums mit endlichen Produkten von Garben. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Koprodukte von Garben}] In der Kategorie der Mengengarben auf einem topologischen Raum $X$ gibt es beliebige Koprodukte. Koporodukte in $\op{Top}_X$ von \'etalen R"aumen "uber $X$ sind wieder \'etale "uber $X$, folglich vertauscht das Bilden von Koprodukten von Garben mit dem Bilden des \'etalen Raums. Dahingegen mu"s ein Pr"agarben-Koprodukt von Garben keineswegs wieder eine Garbe sein. \end{Ubung} \begin{Ubungw}[\textbf{Gruppengarben als Gruppenobjekte}] Sei ein fester topologischer Raum $X$ gegeben. Wir erinnern aus \eref{VkOO}{AAG} die Konzepte der Monoidobjekte, Abmonoidobjekte, Gruppenobjekte und abelschen Gruppenobjekte in einer Kategorie mit endlichen Produkten. Man konstruiere Isomorphismen von Kategorien\label{ggGO} $$\op{Mon}(\op{Ens}_{/X})\sira \op{Mon}_{/X}\quad \op{Grp}(\op{Ens}_{/X})\sira \op{Grp}_{/X}\quad \op{Ab}(\op{Ens}_{/X})\sira \op{Ab}_{/X}$$ zwischen der Kategorie der Monoidobjekte der Kategorie der Mengengarben und der Kategorie der Garben von Monoiden und dergleichen. \end{Ubungw} \begin{Ubung}[\textbf{Morphismen aus dem leeren Produkt}] Das leere Produkt alias finale Objekt in der Kategorie $\op{Ens}_{/X}$ der Garben auf einem topologischen Raum $X$ ist die konstante Garbe $\op{ens}_{/X}$\label{MalP} mit $\op{id}:X\ra X$ als \'etalem Raum. Das Auswerten auf dem einzigen Schnitt der konstanten Garbe liefert f"ur jede weitere Garbe $\mathcal F$ eine Bijektion $$\op{Ens}_{/X}(\op{ens}_{/X},\mathcal F)\sira \Gamma(X;\mathcal F)$$ \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Multihom der kartesischen Schmelzkategorie der Garben}] In der kartesischen Schmelzkategorie $\op{kart}(\op{Ens}_{/X})$ der Garben auf einem topologischen Raum $X$ erh"alt man ein Multihom durch die Vorschrift\label{muhog} $$(\mathcal G{\Rrightarrow}\mathcal F)(U)\pdef \op{Ens}_{/U}({\mathcal G}_1|_U\curlyvee\ldots \curlyvee {\mathcal G}_r|_U,\mathcal F|_U)$$ f"ur $\mathcal G= {\mathcal G}_1\curlyvee\ldots \curlyvee {\mathcal G}_r$ und $U\co X$. In dieser Terminologie k"onnen wir die Beschreibung der globalen Schnitte aus der vorhergehenden "Ubung auch umschreiben zu einer ausgezeichneten Bijektion $$\op{Ens}_{/X}(\curlyvee,\mathcal F)\sira \Gamma(X;\mathcal F)$$ zwischen den Leerverschmelzungen nach $\mathcal F$ und den globalen Schnitten von $\mathcal F$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ProGA} In der Kategorie der abelschen Garben auf einem topologischen Raum gibt es beliebige Produkte und diese stimmen "uberein mit den Produkten in der Kategorie der Pr"agarben. Die Konstruktion direkter Summen diskutieren wir in \ref{DLIG}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Halme der Wolkenkratzergarben}] Man zeige, da"s die Halme der Wolkenkratzergarbe $A_{(x)}$ gerade die Menge $A$ selbst sind an allen Stellen, die im Abschlu"s des Punktes $x$ liegen, und da"s sie sonst einelementig sind.\label{HaWK} Feinere Aussagen in dieser Richtung werden in \ref{Vspp} diskutiert. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer offenen Teilmenge $U\co X$ ist die Einbettung \'etale und mithin der \'etale Raum einer Garbe von Mengen. Deren Halme sind einelementig\label{Puf} an allen Punkten $x\in U$ und leer an allen Punkten $x\not\in U$. Im Fall eines offenen aber nicht abgeschlossenen Punktes ist diese Garbe damit \glqq st"arker lokalisiert\grqq\ als die Wolkenkratzergarbe an besagtem Punkt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Halm von Produkt und Produkt der Halme}] Der Halm eines Produkts von Garben ist nicht notwendig das Produkt der Halme: Zum Beispiel betrachte man auf $\DR$ das Produkt der Wolkenkratzer mit Halm $K$ an den Stellen $1/n$ mit $n\geq 1$ und zeige, da"s sein Halm im Ursprung der Quo\-tient $\big(\prod_{n\geq 1}K\big)/\big(\bigoplus_{n\geq 1} K\big)$ ist. Oder man\label{PrGa} betrachte auf $\DR$ das Produkt der Garben $\cal{F}_n$ mit \'etalen R"aumen den disjunkten Vereinigungen $\DR\amalg (-1/n,1/n)$ f"ur nat"urliche Zahlen $n\geq 1$ und den offensichtlichen Abbildungen nach $\DR$. Im Fall endlicher Produkte ist aber der \'etale Raum des Produkts in der Tat das Faserprodukt der \'etalen R"aume der Faktoren. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Sei $f:Y\ra X$ stetig und $\mathcal{U}\subset\mathcal{P}(X)$ eine offene "Uberdeckung. Man zeige: Genau dann ist $f$ \'etale, wenn $f:f^{-1}(U)\ra U$ \'etale ist f"ur alle $U\in \mathcal{U}$. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{HWK} Sei $X$ ein topologischer Raum und $x\in X$ ein Punkt. Der Halmfunktor $\op{Ab}_{/X}\ra\op{Ab},$ $\cal{F}\mapsto \cal{F}_x$ hat als Rechtsadjungierten den Wolkenkratzerfunktor $A\mapsto A_{(x)}$. Sehr viel allgemeinere Resultate in dieser Richtung werden wir in \ref{DirB} kennenlernen. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Garben auf teilgeordneten Mengen}] Sei eine teilgeordnete Menge $(A,\leq)$ gegeben.\label{GOTo} Wir versehen sie mit ihrer Ordnungstopologie nach \eref{OrdT}{TM}, in der also genau die Teilmengen offen sind, die mit einem Element auch jedes kleinere enthalten, und damit abgeschlossen genau die Teilmengen, die mit einem Element auch jedes gr"o"sere enthalten. Wir versehen sie auch mit der durch die Teilordnung gegebenen Kategorienstruktur im Sinne von \eref{poKa}{LA2}, Morphismen gehen hier von gr"o"seren zu kleineren Objekten. Man zeige, da"s wir eine "Aquivalenz von Kategorien $$\op{Ens}_{/A}\;\sirra\;\op{Cat}(A,\op{Ens})$$ erhalten zwischen der Kategorie der Garben auf der Menge $A$ mit ihrer Ordnungstopologie und der Kategorie der Funktoren von $A$ in die Kategorie der Mengen, indem wir zu jeder Garbe $\cal{F}$ den Funktor bilden, der jedem Punkt $x\in A$ seinen Halm $\cal{F}_x$ und jedem Morphismus $x\geq y$ die von $x\in \bar{y}$ nach \ref{HABs} induzierte Generisierungsabbildung $\cal{F}_x\ra \cal{F}_y$ zwischen den Halmen zuordnet. \end{Ubunge} \begin{Ubung}\label{lkGG} Auf einem zusammenh"angenden Raum $X$ ist das Bilden des Halms an einem beliebigen aber festen Punkt eine "Aquivalenz zwischen der vollen Unterkategorie in\index{Ensk@$\op{Ens}^{\op{k}}_{/X}$ konstante Garben auf $X$} $\op{Ens}^{\op{k}}_{/X}\subset \op{Ens}_{/X}$ der konstanten Garben auf $X$ und der Kategorie der Mengen. Auf einem einfach zusammenh"angenden Raum ist jede lokal konstante Garbe konstant. Hinweis: Existenz- und Eindeutigkeitss"atze f"ur Hochhebungen aus der "Uberlagerungstheorie \eref{EL}{TF} und \eref{LEZ}{TF}. Ich erg"anze, da"s nach \ref{HTZU} jeder zusammenziehbare Raum einfach zusammenh"angend ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $\cal F$ eine abelsche Pr"agarbe. Genau dann wird ein Schnitt $s\in\mathcal F (V)$ in der Garbifizierung zu Null, wenn es eine offene "Uberdeckung $V=\bigcup_{U\in\mathcal U}U$ von $V$ gibt mit $s|U=0$ f"ur alle $U\in\mathcal U$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{GBF} F"ur jede Mengengarbe $\cal{F}$ induziert der kanonische Morphismus in die Garbifizierung $\cal{F}\ra \cal{F}^+$ Bijektionen auf allen Halmen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{Skom} Sei $\cal{F}$ eine Garbe von Mengen auf einem topologischen Raum $X$ und sei $K\subset X$ eine beliebige Teilmenge. Stimmen die Restriktionen zweier globaler Schnitte $s,t\in \mathcal F(X)$ auf $K$ "uberein, so stimmen bereits ihre Restriktionen auf eine offene Umgebung $U$ von $K$ in $X$ "uberein. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben ein topologischer Raum $X$ hat das Vergessen der Addition $\op{pAb}_{/X}\ra \op{pEns}_{/X}$ als Linksadjungierten den Funktor der {\bf freien abelschen Pr"agarbe},\index{frei!abelsche Pr"agarbe} der einer Pr"agarbe von Mengen $\mathcal F\in \op{pEns}_{/X}$ mit $U\mapsto \mathcal F(U)$ die Pr"agarbe ${\op{p}}\DZ\mathcal F$\index{pZ@$\op{p}\DZ\mathcal F$ freie abelsche Pr"agarbe} von abelschen Gruppen zuordnet, die gegeben wird durch $U\mapsto \DZ(\mathcal F(U))$ mit $\DZ M$ der freien abelschen Gruppe "uber einer Menge $M$. Der Vergi"sfunktor\label{frAG} $\op{Ab}_{/X}\ra \op{pEns}_{/X}$ hat folglich als Linksadjungierten den Funktor der {\bf freien abelschen Garbe}\index{frei!abelsche Garbe} $\mathcal F\mapsto \DZ\mathcal F\pdef ({\op{p}}\DZ\mathcal F)^+$, die wir erhalten als die Garbifizierung der freien abelschen Pr"agarbe. Der Vergi"sfunktor $\op{Ab}_{/X}\ra \op{Ens}_{/X}$ hat denselben Linksadjungierten. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $X$ ein lokal kompakter Hausdorffraum betrachte man die Kategorie $\op{Komp}_X$ der kompakten Teilmengen von $X$ mit den Inklusionen als Morphismen. Wir erhalten dann einen volltreuen Funktor\label{scnh} $$\mathcal S^{\op{c}}:\op{Ens}_{/X}\vra \op{Cat}(\op{Komp}_X^{\op{opp}},\op{Ens})$$ durch die Vorschrift $\mathcal S^{\op{c}}:\mathcal F\mapsto (K\mapsto \Gamma(K;\mathcal F))$. Hinweis: Man konstruiere zu einem Morphismus rechts eine Abbildung auf den \'etalen R"aumen links und zeige deren Stetigkeit. \nichtfinal{Sollte: Es geht auch ohne Hausdorff, wenn man zus"atzlich fordert, da"s unser Raum eine "Uberdeckung durch Kompakta besitzt. Das k"onnte unter anderem bei Schemata hilfreich sein.} \nichtfinal{Sollte: Essentielles Bild unseres Funktors besteht aus allen Kompaktgarben, bei denen sich Schnitte unter beliebigen endlichen "Uberdeckungen von Kompakta durch Kompakta eindeutig verkleben lassen. Das hilft mir aber noch wenig.} \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $X\supset Z$ ein topologischer Raum mit einer dichten Teilmenge l"a"st sich jeder stetige Schnitt von $Z$ in eine konstante Garbe auf $X$ stetig auf eine offene Teilmenge von $X$ fortsetzen. Das habe ich von Olaf Schn"urer gelernt. \end{Ubung} \begin{Ubunge}[\textbf{Nichtfortsetzbarkeit in Hausdorffr"aumen}] Hier kommt ein Beispiel f"ur einen Schnitt einer Garbe auf einer Teilmenge eines Hausdorffraums, der sich nicht stetig auf eine offene Umgebung unserer Teilmenge fortsetzen l"a"st. Man sucht einen Raum $X$ mit einer diskreten abgeschlossenen Teilmenge $A\subset X$ derart, da"s es keine paarweise disjunkten offenen Umgebungen $U_a\co X$ der Punkte von $A$ gibt. Dann ist $\coprod_{a\in A} X\backslash (A\backslash a) \ra X$ eine \'etale Abbildung und $a\mapsto a\in X\backslash (A\backslash a)$ ein stetiger Schnitt auf $A$, der nicht stetig auf eine offene Umgebung von $A$ fortgesetzt werden kann. Man erh"alt ein m"ogliches Paar $A\subset X$, indem man $X\pdef \DR$ setzt und $A\pdef \{1/n\mid n\in\DZ_{> 0}\}\cup\{0\}$ und die kleinste Topologie auf $\DR$ betrachtet, die die nat"urliche Topologie umfa"st und bei der zus"atzlich $\DR\backslash \{1/n\mid n\in\DZ_{> 0}\}$ offen ist. Das alles habe ich von Martin Ziegler gelernt. \end{Ubunge} \subsection{Kerne und Kokerne in Kategorien}\label{EKa} \begin{Bemerkungl} Im folgenden wird es sich als n"utzlich erweisen, in der Kategorie der abelschen Garben auf einem topologischen Raum homologische Algebra zu treiben. In diesem Abschnitt beginnen wir damit, f"ur dieses Vorhaben einen begrifflichen Rahmen zu zimmern. Bei vielen konkreten Beispielen wie etwa der Kategorie aller abelschen Gruppen mu"s man sich, wenn man es ganz genau nimmt, ein Universum hinzudenken und erst die Gesamtheit aller Strukturen der fraglichen Art, deren Grundmengen zu besagtem Universum geh"oren, bilden dann eine Kategorie im Sinne unserer Definitionen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Objekt einer Kategorie hei"st ein \defind{Nullobjekt},\label{NUOB} wenn es final und initial ist. Existiert ein Nullobjekt, so ist es eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphimus. Wir sprechen deshalb meist von {\bf dem} Nullobjekt und notieren es $0$. Gegeben zwei Objekte $A,B$ in einer Kategorie mit Nullobjekt nennen wir den Morphismus $A\ra B,$ der "uber das Nullobjekt faktorisiert, den \defind{Nullmorphismus} und notieren ihn $0: A \ra B$. \end{Definition} \begin{Beispiel} In der Kategorie $\op{Grp}$ der Gruppen ist jede einelementige Gruppe ein Nullobjekt. In der Kategorie $\op{Mon}$ der Monoide ist jedes einelementige Monoid ein Nullobjekt. In der Kategorie $\op{Ens}^\ast$ der bepunkteten Mengen ist jede einpunktige Menge final und initial, als da hei"st, ein Nullobjekt. Dasselbe gilt in der Kategorie $\op{Top}^\ast$ der bepunkteten topologischen R"aume. Noch allgemeiner ist f"ur jede Kategorie $\mathcal C$ mit finalem Objekt $\op{pt}$ in der Kategorie $\mathcal C^{\op{pt}}$ aller Objekte unter $\op{pt}$ die Identit"at $\op{pt} \rightarrow \op{pt}$ ein Nullobjekt. \end{Beispiel} \begin{Definition}\label{KEKO} Sei $f:B\ra C$ ein Morphismus in einer Kategorie mit Nullobjekt. \begin{enumerate} \item Ein \defnoind{Kern}\index{Kern!in Kategorie}\index{ker@$\op{ker}$!Kern in Kategorie} von $f$ ist ein Morphismus $i: (\op{ker} f) \ra B$ mit $fi =0$ derart, da"s jeder Morphismus $g: A \ra B$ mit $fg=0$ eindeutig faktorisiert "uber $i,$ als da hei"st, es gibt genau einen Morphismus $\tilde{g}:A\ra(\op{ker}f)$ mit $g=i\tilde{g}$; \item Ein \defnoind{Kokern}\index{Kokern!in Kategorie}\index{cok@$\op{cok}$ Kokern!in Kategorie} von $f$ ist dual ein Morphismus $p: C \ra (\op{cok} f)$ mit $ pf =0$ derart, da"s jeder Morphismus $g: C \ra D$ mit $gf =0$ eindeutig faktorisiert "uber $p:C \ra (\op{cok} f)$; \item Einen Kokern eines Kerns von $f$ nennen wir auch ein \defnoind{Bild}\index{Bild!in abelscher Kategorie}\index{im@$\op{im}$!Bild in Kategorie} von $f$ und notieren es $B \ra (\op{im} f)$; \item Einen Kern eines Kokerns von $f$ nennen wir dual ein \defnoind{Kobild}\index{Kobild!in abelscher Kategorie}\index{coim@$\op{coim}$!Kobild in Kategorie} von $f$ und notieren es $(\op{coim} f) \ra C$. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Per definitionem sind Kerne und Kokerne und ebenso Bilder und Kobilder eindeutig bis auf eindeutigen Isomorphismus, falls sie existieren. Wir sprechen deshalb meist von {\em dem} Kern, {\em dem} Kokern etc. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Morphismus $g:B\ra C$ in einer Kategorie hei"st ein \defind{Monomorphismus} oder \defind{Mono} und als Adjektiv {\bf mono}, wenn f"ur zwei beliebige Morphismen $f,f':A\ra B$ aus $gf=gf'$ schon folgt $f=f'$. Wir notieren Monomorphismen oft $\hookrightarrow$. \end{Definition} \begin{Definition} Ein Morphismus $g:B\ra C$ in einer Kategorie hei"st ein \defind{Epimorphismus} oder \defind{Epi} und als Adjektiv {\bf epi}, wenn f"ur zwei beliebige Morphismen $h,h':C\ra D$ aus $hg=h'g$ schon folgt $h=h'$. Wir notieren Epimorphismen oft $\twoheadrightarrow$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie mit Nullobjekt und eine Objektfamilie $(X_i)_{i\in I}$, f"ur die Koprodukt und Produkt existieren, k"onnen wir einen Morphismus $$\varphi:\coprod X_i\ra \bigsqcap X_i$$ angeben durch die Bedingung $\op{pr}_i\circ\varphi\circ \op{in}_i=\op{id}\;\forall i$ und $\op{pr}_i\circ\varphi\circ \op{in}_j=0$ f"ur $i\neq j$. Wir nennen ihn den {\bf nat"urlichen Morphismus}.\label{naMO} \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Gegeben eine Kategorie mit Nullobjekt ist die Verkn"upfung von rechts oder links eines Nullmorphismus mit einem anderen Morphismus stets wieder ein Nullmorphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Verkn"upfung von zwei Monos ist mono. Ist eine Verkn"upfung $hg$ mono, so auch $g$. Die Verkn"upfung von zwei Epis ist epi. Ist eine Verkn"upfung $gf$ epi, so auch $g$. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{RKVT} Ein Funktor $L$ mit Rechtsadjungiertem $R$ ist genau dann treu, wenn die Einheiten der Adjunktion $M\ra RLM$ alle Monomorphismen sind. Ein Funktor $R$ mit Linksadjungiertem $L$ ist genau dann treu, wenn die Koeinheiten der Adjunktion $LRM\ra M$ alle Epimorphismen sind. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist in einem kartesischen Diagramm ein Ausgangsmorphismus mono, so auch der induzierte gegen"uberliegende Morphismus aus dem Faserprodukt. Man formuliere auch die duale Aussage.\label{RZMo} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{KKD} In einer Kategorie mit Nullobjekt zeige man die folgenden Aussagen und formuliere ihre Dualen: (1) Der Kern eines Nullmorphismus ist die Identit"at auf dem Ausgangsobjekt. Ein Morphismus mit Kern 0 induziert einen Isomorphismus auf sein Bild. (2) Besitzt $f: A \ra B$ einen Kern und ist $g: B \ra C$ ein Mono, so haben wir $\op{ker} f = \op{ker} g f$. (3) Gegeben ein kartesisches Diagramm ist jeder Kern eines Morphismus im Diagramm auch ein Kern des gegen"uberliegenden Morphismus. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $\mathcal C$ eine Kategorie und $X\in \mathcal C$ ein Objekt. Die volle Unterkategorie von $\mathcal C_X$ aller Monomorphismen nach $X$ notieren wir $\mathcal C_{\subset X}$\index{)8ba@$\mathcal C_{\subset X}$ Monos nach $X$ in $\mathcal C$} und nennen sie die {\bf Kategorie der Monos nach $X$}. Man zeige: In der Kategorie der Monos nach $X$ gibt es zwischen je zwei Objekten h"ochstens einen Morphismus. Gibt es insbesondere Morphismen in beide Richtungen $Y\ra Z$ und $Z\ra Y$, so sind diese zueinander inverse Isomorphismen. Eine Isomorphieklasse in $\mathcal C_{\subset X}$ nennen wir ein {\bf Unterobjekt von $X$}\index{Unterobjekt!kategorisches} oder ausf"uhrlicher ein {\bf kategorisches Unterobjekt von $X$}. Auf der Menge $\op{Unt}(X)$\index{Unt@$\op{Unt}(X)$ Unterobjekte von $X$} der Unterobjekte von $X$ erhalten wir eine Teilordnung durch die Vorschrift, da"s $[Y]\leq[Z]$ gilt genau dann, wenn es einen Morphismus $Y\ra Z$ in $\mathcal C_X$ gibt.\label{UOBj} Vielfach lassen wir die eckigen Klammern in der Notation von Unterobjekten aber auch weg. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Unter-was-auch-immer}] Die Terminologie ist hier nicht vollst"andig koh"arent.\index{Unter-} Untergruppen, Untervektorr"aume und Unterk"orper sind im Wesentlichen dasselbe wie kategorische Unterobjekte in der entsprechenden Kategorie. Untermannigfaltigkeiten oder Untervariet"aten dahingegen sind es nicht. \end{Bemerkungl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \subsection{Pr"aabelsche Kategorien} \begin{Bemerkungl}\label{InM} Sei $\cal{C}$ eine Kategorie mit Nullobjekt. Wir erinnern die Definition \ref{KEKO} von Kern, Bild, Kokern und Kobild. Per definitionem sind Kerne stets Monos und Kokerne stets Epis. F"ur jeden Morphismus $f : A \ra B$ mit Kern, Bild, Kokern und Kobild gibt es genau einen Morphismus $ \op{im}f\ra\op{coim} f,$ mit dem das folgende Diagramm kommutativ wird: $$ \begin{array}{ccccc} \op{ker} f&\hra&A&\sra &\op{im} f\\ &&\da&&\da \\ \op{cok} f&\twoheadleftarrow&B&\hookleftarrow &\op{coim} f \end{array} $$ \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{eXk} Eine Kategorie hei"st \defind{pr"aabelsch} genau dann, wenn sie (1) ein Nullobjekt besitzt, wenn (2) jeder Morphismus einen Kern und einen Kokern hat und wenn zus"atzlich (3) f"ur jeden Morphismus $f$ der induzierte Morphismus nach \ref{InM} ein Isomorphismus $\;\op{im} f \sira \op{coim} f\;$ ist. \end{Definition} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Iversen \cite{Ive} nennt unsere pr"a\-abelschen Kategorien exakt und "ubernimmt damit in etwa die Terminologie von Buchsbaum \cite{Bu}, der allerdings von seinen exakten Kategorien etwas mehr fordert als Iversen. In der Literatur versteht man unter einer exakten Kategorie inzwischen fast immer abweichend davon eine exakte Kategorie im Sinne von Quillen \cite{Qui}. Die Terminologie \glqq pr"aabelsch\grqq\ f"uhre ich ein, um diese Inkonsistenzen aufzul"osen. Wir werden in \ref{AleH} in beliebigen pr"aabelschen Kategorien zu jeder kurzen exakten Sequenz von Kettenkomplexen die lange exakte Homologiesequenz herleiten. \end{Bemerkunge} \begin{Beispiele} Die Kategorie aller abelschen Gruppen ist pr"aabelsch. Die Kategorie aller Gruppen besitzt zwar ein Nullobjekt und zu jedem Morphismus Kern und Kokern, ist jedoch nicht pr"aabelsch. Die Kategorie aller Moduln "uber einem festen Grundring ist pr"aabelsch. \end{Beispiele} \begin{Beispiel} Die opponierte Kategorie einer pr"aabelschen Kategorie ist auch eine pr"aabelsche Kategorie. \end{Beispiel} \begin{Definition} Eine Sequenz $A \overset{f}{\ra} B \overset{g}{\ra} C$ in einer pr"aabelschen Kategorie hei"st {\bf exakt},\index{exakte Sequenz!in pr"aabelscher Kategorie} wenn gilt $gf=0$ und wenn zus"atzlich die induzierte Abbildung $\op{im} f \ra \op{ker} g$ ein Isomorphismus ist. Sie hei"st eine {\bf kurze exakte Sequenz},\index{Sequenz!kurze exakte} \label{exa} wenn zus"atzlich $f$ mono ist und $g$ epi. Eine l"angere Sequenz hei"st exakt, wenn sie exakt ist an jeder Stelle. \end{Definition} \begin{Beispiel} Eine exakte Sequenz ist offensichtlich auch exakt in der opponierten Kategorie. \end{Beispiel} \begin{Definition} Ein Funktor zwischen pr"aabelschen Kategorien hei"st \defind{linksexakt},\label{eFu} wenn er Kerne zu Kernen macht; \defind{rechtsexakt}, wenn er Kokerne zu Kokernen macht; und \defind{exakt}, wenn er linksexakt und rechtsexakt ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} In "Ubung \ref{adAD} sollen Sie zeigen, da rechtsexakte und linksexakte Funktoren zwischen abelschen Kategorien stets additiv sind. Das ist die Situation, in der wir diese Begriffe f"ur gew"ohnlich verwenden werden. \end{Bemerkungw} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} In einer pr"aabelschen Kategorie zeige man die folgenden Aussagen. (1) F"ur einen Morphismus $f: A \ra B$ sind gleichbedeutend: (a) $f$ ist epi, (b) $\op{cok} f =0$ und (c) $\op{coim} f \sira B$. Man formuliere auch die duale Aussage. (2) Genau dann ist ein Morphismus ein Isomorphismus, wenn er mono und epi ist. (3) Ist $A \twoheadrightarrow B \hookrightarrow C$ eine Komposition eines Epi mit einem Mono, so ist $B$ das Bild dieser Verkn"upfung. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ein Funktor $F$ zwischen pr"aabelschen Kategorien ist genau dann rechtsexakt, wenn f"ur jede exakte Sequenz $0\ra A\ra B\ra C\ra 0$ die Sequenz $ FA\ra FB\ra FC\ra 0$ exakt ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sowohl rechtsexakte als auch linksexakte Funktoren bilden das Nullobjekt stets auf das Nullobjekt ab.\label{NaN} \end{Ubung} \begin{Ubung} Besitzt ein Funktor zwischen pr"aabelschen Kategorien einen linksadjungierten Funktor, so ist er linksexakt.\label{LaE} Besitzt ein Funktor zwischen pr"a\-abel\-schen Kategorien einen rechtsadjungierten Funktor, so ist er rechtsexakt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{AEXa} Eine Sequenz $\ldots \ra A^{q-1}\ra A^q\ra A^{q+1}\ra \ldots$ in einer pr"aabelschen Kategorie ist exakt genau dann, wenn f"ur die jeweiligen Faktorisierungen $ A^{n-1}\sra K^q\hra A^q$ in einen Epi gefolgt von einem Mono die offensichtlichen Sequenzen $ K^q\hra A^q\sra K^{q+1}$ kurz exakt sind f"ur alle $q$. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Eine \defind{Filtrierung} $F$ auf einem Vektorraum $V$ ist eine Folge von Teilr"aumen $$\ldots \subset V^{\leq n}\subset V^{\leq n+1} \subset \ldots $$ mit $n \in \Bbb{Z}$. Wir machen die filtrierten Vektorr"aume zu einer Kategorie, indem wir die filtrierungsvertr"aglichen linearen Abbildungen als Morphismen nehmen. Man zeige, da"s es in dieser Kategorie Kerne und Kokerne gibt, da"s aber die kanonische Abbildung $\op{coim} f \ra \op{im} f$ kein Isomorphismus sein mu"s. Ist diese Abbildung doch ein Isomorphismus, so hei"st $f$ {\bf strikt filtierungsvertr"aglich}.\index{strikt!filtrierungsvertr"aglich} "Aquivalent dazu ist die Bedingung $f( V^{\leq n})= W^{\leq n}\cap \op{im}f$ f"ur eine filtrierungsvertr"agliche lineare Abbildung $f:V\ra W$. \end{Ubunge} \subsection{Additive und abelsche Kategorien} \begin{Bemerkungl} Wir erkl"aren eine {\bf $\op{Magu}$-Struktur}\index{Magustruktur@$\op{Magu}$-Struktur} auf einer Kategorie als die Vorgabe einer Struktur als unit"ares Magma alias die Vorgabe einer unit"aren Verkn"upfung auf jeder Morphismenmenge $\mathcal C(X,Y)$ derart, da"s sowohl das Vorschalten als auch das Nachschalten eines Morphismus jeweils einen Homomorphismus von unit"aren Magmas induziert, also einen Homomorphismus von Mengen mit Ver\-kn"up\-fung, der das neutrale Element auf das neutrale Element abbildet. Eine {\bf $\op{Magu}$-Kategorie}\index{Magukategorie} ist eine Kategorie mit $\op{Magu}$struktur. Ein {\bf $\op{Magu}$-Funktor}\index{Magufunktor@$\op{Magu}$-funktor} von $\op{Magu}$-kategorien ist ein Funktor, der auf Morphismenr"aumen Homomorphismen von unit"aren Magmas induziert. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} Die weitaus wichtigsten F"alle werden im folgenden diejenigen sein, bei denen die fraglichen Strukturen als unit"ares Magma sogar Strukturen als abelsche Gruppe sind. Wir nennen sie {\bf $\op{Ab}$-Kategorien}.\index{Ab-Kategorie@$\op{Ab}$-Kategorie} \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie und Notation}] In \eref{agerK}{TSK} f"uhren wir den Begriff einer in einer Schmelzkategorie angereicherten Kategorie ein. Eine in der Schmelzkategorie $\op{Magu}$ der unit"aren Magmas angereicherte Kategorie erweist sich in dieser Terminologie als dasselbe wie eine $\op{Magu}$-Kategorie. Das neutrale Element der jeweiligen Morphismenmenge notieren wir $0$ und ihre Ver\-kn"up\-fung $\top$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} In einer Magu-Kategorie erkl"aren wir wie in einer Kategorie mit Nullobjekt in \ref{naMO} f"ur jede Objektfamilie mit Produkt und Koprodukt den {\bf nat"urlichen Morphismus} vom Koprodukt zum Produkt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Initiale und finale Objekte in $\op{Magu}$-Kategorien}] F"ur ein Objekt $N$ einer $\op{Magu}$-Kategorie sind offensichtlich\label{ifn} gleichbedeutend:\begin{enumerate} \item $\op{id}_N=0$;\item $N$ ist initial; \item $N$ ist final; \item $N$ ist ein \hyperref[NUOB]{Nullobjekt}. \end{enumerate} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Endliche Koprodukte und Produkte In $\op{Magu}$-Kategorien}] In einer $\op{Magu}$-Kategorie seien Objekte $ X,Y,Z$ gegeben.\label{ASDe} \begin{enumerate} \item Finden wir Morphismen $i:X\ra Z, j:Y\ra Z, p:Z\ra X, q:Z\ra Y$ mit $p i=\op{id}_X$ und $q j=\op{id}_Y$ und $qi=0, pj=0$ und $ i p\top jq=\op{id}_Z$, so ist $(Z,p,q)$ ein Produkt $X\sqcap Y$ und $(Z,i,j)$ ein Koprodukt $X\sqcup Y$; \item Ist $(Z,p,q)$ ein Produkt $X\sqcap Y$ und erkl"aren wir $i:X\ra Z, j:Y\ra Z$ durch $p i=\op{id}_X, q i=0$ und $p j=0, qj=\op{id}_Y$, so gilt $ i p\top jq=\op{id}_Z$; \item Ist $(Z,i,j)$ ein Koprodukt $X\sqcup Y$ und erkl"aren wir $p:Z\ra X, q:Z\ra Y$ durch $p i=\op{id}_X, pj=0$ und $q i=0, qj=\op{id}_Y$, so gilt $ i p\top jq=\op{id}_Z$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Salopp gesprochen stimmen in einer $\op{Magu}$-Kategorie also endliche Produkte und endliche Koprodukte "uberein.\label{CNO} Man sieht auch unmittelbar, da"s jeder $\op{Magu}$-Funktor mit endlichen Produkten und endlichen Koprodukten vertr"aglich sein mu"s. Wir verwenden in diesem Kontext die Notation $X\squap Y$ f"ur das Produkt und Koprodukt. \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir zeigen, da"s $(Z,p,q)$ ein Produkt $X\sqcap Y$ ist. Gegeben Morphismen $f,g:T\ra Z$ folgt aus $p f=p g$ und $qf=qg$ bereits $$f= i pf\top jq f = i pg\top jqg=g$$ Gegeben Morphismen $a:T\ra X$ und $b:T\ra Y$ gilt f"ur $f\pdef ia\top jb$ umgekehrt $p f= a$ und $qf=b$. Das zeigt, da"s $Z$ ein Produkt $(Z,p,q)$ ein Produkt $X\sqcap Y$ ist. Die Koprodukteigenschaft zeigt man genauso und damit ist Teil 1 bewiesen. Umgekehrt hat in Teil 2 der Morphismus $f\pdef ip\top jq :Z\ra Z$ die Eigenschaft $p f=p $ und $q f=q $ und damit folgt $f=\op{id}_Z$. Teil 3 zeigt man genauso. \end{proof} \begin{Proposition}[\textbf{Eindeutigkeit von $\op{Magu}$-Strukturen}] \begin{enumerate} \item Eine Kategorie mit endlichen Produkten und $\op{Magu}$-Struktur besitzt auch endliche Koprodukte und die nat"urlichen Morphismen von endlichen Koprodukten zu endlichen Produkten sind Isomorphismen; \item Eine Kategorie mit endlichen Koprodukten und $\op{Magu}$-Struktur besitzt auch endliche Produkte und die nat"urlichen Morphismen von endlichen Koprodukten zu endlichen Produkten sind Isomorphismen; \item Eine Kategorie mit endlichen Produkten und Koprodukten, bei der die nat"urlichen Morphismen von endlichen Koprodukten zu endlichen Produkten Isomorphismen sind, besitzt genau eine $\op{Magu}$-Struktur und diese ist sogar eine $\op{Abmon}$-Struktur, als da hei"st, die Verkn"upfungen auf den Morphismenmengen sind kommutativ und assoziativ; \item Jeder Funktor von einer $\op{Magu}$-Kategorie mit endlichen Produkten in eine weitere $\op{Magu}$-Kategorie, der vertr"aglich ist mit endlichen Produkten, mu"s ein $\op{Magu}$-Funktor sein. Analog f"ur Koprodukte. \end{enumerate}\label{edMAG} \end{Proposition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz von $\op{Magu}$-Strukturen}] Wir sehen insbesondere, da"s jede Kategorie mit endlichen Produkten und Koprodukten, bei der die offensichtlichen Morphismen von endlichen Koprodukten zu endlichen Produkten stets Isomorphismen sind, in hoffentlich offensichtlicher Terminologie auf genau eine Weise mit einer $\op{Abmon}$-Struktur versehen werden kann und da"s diese dann auch bereits die einzige $\op{Magu}$-Struktur ist. \end{Bemerkungl} \begin{proof} In einer Kategorie mit $\op{Magu}$-Struktur ist nach \ref{ifn} jedes finale Objekt auch initial, also jedes leere Produkt auch ein leeres Koprodukt. Weiter ist in einer Kategorie mit $\op{Magu}$-Struktur nach \ref{ASDe} jedes Produkt von zwei Objekten auch ein Koprodukt und der offensichtliche Morphismus von Koprodukt zum Produkt ein Isomorphismus. Induktiv folgt Teil 1 und genauso zeigt man Teil 2. In dieser Situation kann man f"ur $f,g:X\ra Y$ ihre $\top$-Verkn"upfung $f\top g$ beschreiben als die Komposition \begin{displaymath} \xymatrix{X\ar[r]^-\Delta &X\sqcap X\ar[r]^{f\sqcap g} &Y\sqcap Y &Y\sqcup Y\ar[l]_-{\sim}\ar[r]^-\nabla &Y} \end{displaymath} und das zeigt sowohl die Eindeutigkeit wie die Kommutativit"at der $\top$-Verkn"upfung unter den gegebenen Annahmen. Die Assoziativit"at folgt, indem wir pr"ufen, da"s $(f\top g)\top h$ und $f\top (g\top h)$ beide mit der Komposition im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{X\ar[r]^-\Delta &X\sqcap X\sqcap X\ar[rr]^{f\sqcap g\sqcap h} &&Y\sqcap Y\sqcap Y &Y\sqcup Y\sqcup Y\ar[l]_-{\sim}\ar[r]^-\nabla &Y} \end{displaymath} "ubereinstimmen m"ussen. Die letzte Behauptung der Proposition folgt unmittelbar aus der hier gegebenen Beschreibung der $\top$-Verkn"upfungen. \end{proof} \begin{Definition} Eine {\bf $\op{Ab}$-Struktur}\index{Ab-Struktur@$\op{Ab}$-Struktur} oder gleichbedeutend {\bf additive Struktur}\index{additive Struktur} auf einer Kategorie ist eine Struktur von abelscher Gruppe auf jeder Morphismenmenge derart, da"s die Verkn"upfung von Morphismen biadditiv ist.\label{adS} Eine {\bf $\op{Ab}$-Kategorie}\index{Ab-Kategorie@$\op{Ab}$-Kategorie} ist eine Kategorie mit $\op{Ab}$-Struktur. Ein Funktor zwischen $\op{Ab}$-Ka\-te\-go\-ri\-en hei"st ein {\bf $\op{Ab}$-Funktor},\index{Ab-Funktor@$\op{Ab}$-Funktor} wenn er Gruppenhomomorphismen auf den Morphismenr"aumen induziert. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Eine $\op{Ab}$-Kategorie erweist sich als eine in der Schmelzkategorie der abelschen Gruppen angereicherte Kategorie. In wieder anderen Quellen wird eine $\op{Ab}$-Kategorie als eine \glqq pr"a-additive Kategorie\grqq\ bezeichnet.\index{pr"a-additiv@{\it pr"a-additive Kategorie}} Ich bezeichne eine $\op{Ab}$-Kategorie in manchen Kontexten auch als ein {\bf Ringoid}.\index{Ringoid}\label{Ringoid} \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Ein-Objekt-Kategorien mit $\op{Ab}$-Struktur}] Zu jedem Ring $R$ k"onnen wir die Ein-Objekt-Kategorie $[R]$ mit\label{MOKAR} einem einzigen Objekt $\ast$ bilden, deren Morphismen eben genau die Elemente von besagtem Ring sind, mit der Multiplikation als Verkn"upfung von Morphismen. Die Addition von Ringelementen definiert dann auf der Ein-Objekt-Kategorie $[R]$ eine $\op{Ab}$-Struktur. Umgekehrt ist f"ur jedes Objekt $X$ einer $\op{Ab}$-Kategorie $\mathcal C$ die Menge $\mathcal C(X)=\mathcal C(X,X)$ mit der von der Kategorienstruktur herkommenden Verkn"upfung als Multiplikation und der von der additiven Struktur herkommenden Verkn"upfung als Addition ein Ring. In diesem Sinne ist also eine $\op{Ab}$-Kategorie mit einem einzigen Objekt nichts anderes als ein Ring. \end{Beispiel} \begin{Korollar}[\textbf{Eindeutigkeit von $\op{Ab}$-Strukturen}] Auf einer Kategorie mit endlichen Produkten gibt es h"ochstens eine\label{EaS} $\op{Ab}$-Struktur. Dasselbe gilt opponiert f"ur jede Kategorie mit endlichen Koprodukten.\label{EaSK} \end{Korollar} \begin{proof} Nach Proposition \ref{edMAG} gibt es sogar h"ochstens eine $\op{Magu}$-Struktur. \end{proof} \begin{Definition} Eine {\bf additive Kategorie}\index{additiv!Kategorie}\index{Kategorie!additive} ist eine Kategorie mit endlichen Produkten und $\op{Ab}$-Struktur oder gleichbedeutend mit endlichen Koprodukten und $\op{Ab}$-Struktur. \end{Definition} \begin{Proposition} F"ur einen Funktor zwischen additiven Kategorien sind gleichbedeutend:\label{cAf} \begin{enumerate} \item Unser Funktor vertauscht mit endlichen Produkten; \item Unser Funktor vertauscht mit endlichen Koprodukten; \item Unser Funktor ist ein $\op{Ab}$-Funktor. \end{enumerate} \end{Proposition} \begin{proof} Das gilt nach \ref{CNO} und \ref{edMAG} sogar f"ur $\op{Magu}$-Kategorien mit endlichen Produkten oder gleichbedeutend endlichen Koprodukten. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Ein Funktor zwischen additiven Kategorien mit den "aquivalenten Eigenschaften aus Proposition \ref{cAf} hei"st ein {\bf additiver Funktor}.\index{additiv!Funktor}\label{addiF}\index{Funktor!additiver} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Adjungierte sind additiv}] Jeder Funktor zwischen additiven Kategorien, der einen Linksadjungierten besitzt, ist bereits additiv, da er mit Produkten vertauscht.\label{LAad} Jeder Funktor zwischen additiven Kategorien, der einen Rechtsadjungierten besitzt, ist bereits additiv, da er mit Koprodukten vertauscht.\label{RAad} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Matrixnotation f"ur Morphismen zwischen Produkten}] In einer beliebigen Kategorie $\mathcal C$ sind Morphismen von einem Koprodukt zu einem Produkt $f:\coprod_{i\in I}X_i\ra \prod_{j\in J}Y_j$ in Bijektion zu Tupeln $(f_{j,i})\in\prod_{i,j}\mathcal C(X_i,Y_j)$ vermittels $f\mapsto (\op{pr}_j f \op{in}_i)$. In $\op{Ab}$-Kategorien oder allgemeiner $\op{Abmon}$-Kategorien ist es besonders sinnhaft, Morphismen zwischen endlichen Produkten alias Koprodukten mit angeordneter Indexmenge als Matrizen von Morphismen zwischen den einzelnen Objekten zu schreiben, weil in diesem Fall die Verkn"upfung von Morphismen nach \ref{ASDe} durch ein Analogon der Matrixmultiplikation beschrieben werden kann. Wir denken uns dabei unsere Objekttupel als Spalten, ein Morphismus von einem endlichen Koprodukt in ein Objekt wird also durch eine Zeilenmatrix beschrieben und ein Morphismus von einem Objekt in ein endliches Produkt durch eine Spaltenmatrix. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{abK} Eine Kategorie hei"st {\bf abelsch},\index{abelsch!Kategorie} wenn sie additiv und pr"aabelsch ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Andere "aquivalente Definitionen und viele weitere Resultate findet man in \cite{Freyd, Borc, Gabriel, HiS}. Insbesondere findet man in \cite{Freyd} einen Beweis der Tatsache, da"s jede pr"aabelsche Kategorie mit endlichen Produkten und Koprodukten bereits abelsch ist. Ich gebe ihn als "Ubung \ref{ChAB}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Kategorie der abelschen topologischen Gruppen ist additiv, aber nicht abelsch. So ist etwa f"ur die Abbildung $\DR^{\op{disk}}\ra\DR$ von $\DR$ mit der diskreten Topologie nach $\DR$ mit der "ublichen Topologie der nat"urliche Morphismus vom Bild zum Kobild kein Isomorphismus von topologischen Gruppen. \end{Beispiel} \begin{Beispiele} Sei $R$ ein Ring. Die Kategorie aller freien $R$-Moduln von endlichem Rang ist additiv. Die Kategorie aller $R$-Moduln ist sogar abelsch, ebenso wie die Kategorie der abelschen Pr"agarben und die Kategorie der abelschen Garben auf einem gegebenen topologischen Raum. Die opponierte Kategorie einer additiven beziehungsweise abelschen Kategorie ist stets auch additiv beziehungsweise abelsch. \end{Beispiele} \begin{Beispiel} Ganz allgemeinen ist f"ur jede Kategorie $I$ die Kategorie aller Funktoren von $I$ in eine additive beziehungsweise abelsche Kategorie mit den Transformationen als Morphismen wieder eine additive beziehungsweise abelsche Kategorie. Zum Beispiel ist die Kategorie aller gerichteten Systeme von abelschen Gruppen "uber einer vorgegebenen teilgeordneten Indexmenge eine abelsche Kategorie. Aus demselben allgemeinen Grund bilden auch die abelschen Pr"agarben auf einem topologischen Raum eine abelsche Kategorie: Nullobjekt ist Pr"agarbe, die jeder offenen Menge die triviale Gruppe zuordnet, und der Kern beziehungsweise Kokern eines Morphismus $f: \cal{F} \ra \cal{G}$ werden gegeben durch $$\begin{array}{cccccl} (\op{ker} f)(U) & = & \op{ker} (\cal{F}(U)\ra\cal{G}(U)) & &\forall& U \co X\\ (\op{cok}f)(U) &=& \op{cok}(\cal{F}(U) \ra \cal{G}(U)) & & \forall& U \co X \end{array}$$ mit hoffentlich offensichtlichen Restriktionen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Kategorie aller Komplexe in einer additiven beziehungsweise abelschen Kategorie $\cal{A},$ also aller Sequenzen $\ldots\ra A_n\ra A_{n+1}\ra\ldots$ mit der Eigenschaft, da"s die Komposition von je zwei aufeinanderfolgenden Morphismen Null ist, ist mit den \glqq Kettenabbildungen\grqq\ als Morphismen eine additive beziehungsweise abelsche Kategorie $\op{Ket}(\cal{A})=\op{Ket}_{\cal{A}}$. Unsere kurzen exakten Sequenzen von Kettenkomplexen aus \eref{KeSK}{TS} sind genau die kurzen exakten Sequenzen in der abelschen Kategorie $\op{Ket}(\op{Ab})$. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Die opponierte Kategorie einer additiven Kategorie ist additiv. Die opponierte Kategorie einer abelschen Kategorie ist abelsch. \end{Ubung} \begin{Ubung} Eine volle Unterkategorie einer additiven Kategorie ist additiv genau dann, wenn sie mit jeder endlichen Familie von Objekten auch ein Produkt dieser Familie enth"alt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{adAD} Man zeige: \begin{enumerate} \item Gegeben Objekte $X,Y$ einer abelschen Kategorie ist die Sequenz $X\ra X\squap Y\ra Y$ mit Morphismen der Spaltenmatrix $(\op{id}_X,0)^\ttop$ und der Zeilenmatrix $(0, \op{id}_Y)$ exakt; \item Gegeben linksexakte Sequenzen in einer abelschen Kategorie $X\hra D\ra Y$ und $Y\hra D\ra X$ derart, da"s die Verkn"upfung de entsprechenden Pfeile die Identit"at auf $X$ beziehungsweise $Y$ ist, gibt es umgekehrt einen Isomorphismus $D\sira X\squap Y$, unter dem beide Sequenzen sich in die Sequenzen von Teil 1 verwandeln; \item Jeder \hyperref[eFu]{linksexakte} und jeder \hyperref[eFu]{rechtsexakte} Funktor zwischen abelschen Kategorien ist additiv. Hinweis: Nach "Ubung \ref{NaN} bildet er Nullobjekte auf Nullobjekte ab. Nach \ref{LAad} reicht es zu zeigen, da"s unser Funktor mit endlichen Koprodukten vertr"aglich ist. \end{enumerate} \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ADTT} Gegeben $\cal{A}$ eine additive Kategorie und $T\in \cal{A}$ ein Objekt bezeichne $\langle_! T\rangle=\langle_! T\rangle_\oplus\subset \cal{A}$ die\index{)5@$\langle \;\rangle=\langle \;\rangle_\oplus$ additives Erzeugnis} kleinste volle Unterkategorie von $\cal{A},$ die $T$ enth"alt und stabil ist unter endlichen Produkten. Wie immer bezeichne $\cal{A}(T)$ den Endomorphismenring von $T$. Man zeige, da"s der Funktor $\cal{A}(T,\;)$ eine "Aquivalenz zwischen $\langle_! T\rangle_\oplus$ und $\langle_! \cal{A}(T)\rangle_\oplus\subset \op{Mod-}\cal{A}(T)$ induziert. Im "ubrigen sind beide Kategorien auch "aquivalent zur Matrixkategorie $\op{Mat}(\cal{A}(T)),$ wie wir sie in \eref{MKk}{LA2} f"ur einen beliebigen Ring definiert hatten. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Seien $\mathcal A$ eine additive Kategorie und $E \in \mathcal A$ ein Objekt mit der Eigenschaft, da"s jedes Objekt von $\mathcal A$ isomorph ist zu einem Summanden einer direkten Summe von endlich vielen Kopien von $E$. So ist der Funktor der Homomorphismen \begin{equation*} \mathcal A (E, \;) : \mathcal A \rightarrow \op{Mod-} \mathcal A (E) \end{equation*} von $\mathcal A$ in die Rechtsmoduln "uber dem Endomorphismenring von $E$ volltreu und alle $\mathcal A (E,M)$ sind projektive $\mathcal A (E)$-Rechtsmoduln. Hat unsere additive Kategorie $\mathcal A$ dar"uber hinaus {\bf spaltende Idempotente}\index{spaltende Idempotente} oder gleichbedeutend die {\bf Karoubi-Eigenschaft},\index{Karoubi-Eigenschaft} ist also jeder idempotente Endomorphismus eines Objekts der Projektor einer Zerlegung in eine direkte Summe, so induziert $\mathcal A (E, \;)$ eine "Aquivalenz von $\mathcal A$ mit der Kategorie der endlich erzeugten projektiven $\mathcal A (E)$-Rechts\-mo\-duln. \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Additive Funktoren und idempotente Endomorphismen}] Gegeben ein additiver Funktor $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ zwischen abelschen Kategorien und ein Objekt $A\in\mathcal A$ mit idempotenten Endomorphismus $e$ ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus\label{JHAmX} $F(\op{ker}e)\sira \op{ker}(F(e))$ und ebenso ist die offensichtliche Abbildung ein Isomorphismus $F(\op{im}e)\sira \op{im}(F(e))$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Pullback und pushout in abelschen Kategorien}] In einer abelschen Kategorie erh"alt man einen pullback eines Winkels gegeben durch $f:X\ra Y$ und $p:Z\ra Y$ als den Kern von $(f,-p):X\oplus Z\ra Y$. Man beschreibe dual auch den pushout eines Kowinkels. Wichtige Eigenschaften werden in \eref{KKM}{TD} gezeigt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und $X\in \mathcal A$ ein Objekt. Man zeige, da"s in der angeordneten Menge $\op{Unt}(X)$ der \hyperref[UOBj]{Unterobjekte} von $X$ jede zweielementige Teilmenge $\{U,V\}$ ein Supremum und ein Infimum besitzt, das wir beschreiben k"onnen durch $U+V=\op{im}(i,j):U\oplus V\ra X$ f"ur $i:U\hra X$ und $j:V\hra X$ sowie $U\cap V=\op{ker}(X\ra (X/U\oplus X/V))$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Modularit"at von Unterobjektverb"anden}] Seien $\mathcal A$ eine abelsche Kategorie und\label{moI} $X\in\mathcal A$ ein Objekt und $U,V\subset X$ Unterobjekte. \begin{enumerate} \item Man zeige $U\cap V=\op{ker}(V\ra X/U)$; \item Man zeige, da"s $V$ und $V+U$ dasselbe Bild in $X/U$ haben. Hinweis: Man zeige, da"s das Urbild vom Bild von $V$ in jedem Unterobjekt liegt, das $U$ und $V$ umfa"st; \item Man zeige, da"s f"ur je zwei Unterobjekte $U,V\subset X$ die Komposition $V\hra (V+U)\sra(V+U)/U$ einen Isomorphismus $V/(V\cap U)\sira (V+U)/U$ induziert; \item Man zeige, da"s wir f"ur je zwei Unterobjekte $U,V\subset X$ zueinander inverse Ordnungsisomorphismen $$\{A\in\op{Unt}(X)\mid (V\cap U)\subset A\subset V\} \sira \{B\in\op{Unt}(X)\mid U\subset B\subset (V+U)\}$$ erhalten durch $A\mapsto A+U$ und $B\mapsto B\cap V$. \end{enumerate} Nach \eref{modV}{LA1} bilden unsere Unterobjekte also einen modularen Verband und mit den dortigen Argumenten folgt unter der Annahme $U\subset V\subset X$ f"ur beliebige Unterobjekte $A\subset X$ die \glqq modulare Identit"at\grqq\ $(V\cap A)+U=(A+U)\cap V$. Mehr dazu diskutieren wir in \ref{BuFj}. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Man verallgemeinere den Satz von Jordan-H"older aus \eref{JHM}{KAG} auf den Fall einer beliebigen abelschen Kategorie.\label{JHAm} \end{Ubunge} \begin{Ubung}[\textbf{Gruppenobjekte in additiven Kategorien}] In einer additiven Kategorie $\mathcal B$ k"onnen wir jedes Objekt $M$ auf genau eine Weise zu einem Mo\-no\-id\-ob\-jekt \eref{VkOO}{AAG} machen. Die zugeh"orige Verkn"upfung wird durch die Zeilenmatrix $(\op{id},\op{id}):M\oplus M\ra M$ gegeben und ist kommutativ. Bis hierher gilt das in gro"ser Allgemeinheit, genauer in jeder \glqq banalen Schmelzkategorie\grqq, vergleiche \eref{banN}{TSK}. In unserer Situation wird $M$ sogar ein Gruppenobjekt.\label{adAGR} A forteriori k"onnen wir jedes Objekt $M$ auch auf genau eine Weise zu einem Ko\-mo\-no\-id\-ob\-jekt machen. In unserer Situation erhalten wir sogar insgesamt ein Hopfbiabmonoid \eref{hoMON}{TSK} in der banalen Trennschmelzkategorie \eref{baTSK}{TSK} unserer additiven Kategorie. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Mengenfunktoren auf additiven Kategorien}] Hinweis: \ref{adAGR}. F"ur jeden Funktor $F:\mathcal B\ra \op{Ens}$ von einer additiven Kategorie in die Kategorie der Mengen, der mit endlichen Produkten vertr"aglich ist,\label{MFad} macht die durch Komposition der Sequenz $$FM\times FM\sira F(M\oplus M)\ra FM$$ mit $F((\op{id},\op{id}))$ als zweiter Abbildung gegebene Verkn"upfung die Menge $FM$ zu einer abelschen Gruppe und $F$ liefert so einen additiven Funktor $ F_{\!\!\scriptscriptstyle \oplus}: \mathcal B\ra \op{Ab}$ mit $vF_{\!\!\scriptscriptstyle \oplus}=F$ f"ur den Vergi"sfunktor $v:\op{Ab}\ra\op{Ens}$. F"ur je zwei additive Funktoren $I,J: \mathcal B\ra \op{Ab}$ liefert weiter das Nachschalten des Vergi"sfunktors $v$ eine Bijektion $$\op{Ab}^{\mathcal B}(I,J)\sira \op{Ens}^{\mathcal B}(vI,vJ)$$ alias $ \op{Cat}(\mathcal B,\op{Ab})^{\op{opp}}(J,I)\sira \mathcal B^\vee(vJ,vI)$. \end{Ubung} \subsection{Abelsche Garben als abelsche Kategorie} \begin{Satz}\label{ESGn} \begin{enumerate} \item Die Kategorie der abelschen Garben auf einem festen topologischen Raum ist eine \hyperref[abK]{abelsche Kategorie}; \item Eine Sequenz von abelschen Garben ist exakt genau dann, wenn sie auf allen Halmen exakte Sequenzen von abelschen Gruppen induziert. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Der \'etale Raum der Bildgarbe ist mithin genau das mengentheoretische Bild der auf den \'etalen R"aumen induzierten Abbildung. Nach \eref{VE}{TF} ist dar"uberhinaus die Abbildung auf die Bildgarbe \'etale, also offen und surjektiv und insbesondere auch final.\label{OSGQ} \end{Bemerkungl} \begin{proof}[Beweis] Sicher besitzt unsere Kategorie ein Nullobjekt. Offensichtlich ist der Pr"a\-garbenkern eines Morphismus $f: \cal{F} \ra \cal{G}$ von abelschen Garben schon selbst eine Garbe und sogar ein Kern von $f$ in der Kategorie der abelschen Garben. Mit der Exaktheit des filtrierenden Kolimes folgern wir aus dieser Beschreibung, da"s f"ur alle $x \in X$ die Sequenz von Halmen $$0 \ra (\op{ker} f)_{x} \ra \cal{F}_{x} \ra \cal{G}_{x}$$ exakt ist. Der Kokern in der Kategorie der abelschen Pr"agarben eines Morphismus von abelschen Garben $f: \cal{F} \ra \cal{G}$ ist zwar im allgemeinen keine Garbe, aber seine Garbifizierung $$\op{cok} f = (\text{Pr"agarbenkokern von } f)^{+}$$ ist ein Kokern von $f$ in der Kategorie der abelschen Garben aufgrund der universellen Eigenschaft der Garbifizierung \ref{UGarab}. Da die Garbifizierung die Halme nicht "andert, folgt aus der Exaktheit filtrierender Kolimites wieder, da"s f"ur alle $x \in X$ die Sequenz von Halmen $$\cal{F}_{x} \ra \cal{G}_{x} \ra (\op{cok}f)_{x} \ra 0$$ exakt ist. Wir folgern insbesondere, da"s die kanonische Abbildung $\op{im} f \ra \op{coim} f$ auf allen Halmen Isomorphismen induziert. Dann ist sie aber nach \ref{IHI} schon ein Isomorphismus und der erste Teil des Satzes folgt. F"ur einen Garbenhomomorphismus wissen wir bereits, da"s der Halm des Kerns der Kern der auf den Halmen induzierten Abbildung ist, und desgleichen f"ur den Kokern. Damit folgt, da"s eine exakte Sequenz von abelschen Garben auch exakte Sequenzen auf allen Halmen liefert. Ist umgekehrt $\cal{F}^{\prime} \ra \cal{F} \ra \cal{F}^{\prime\prime}$ exakt auf allen Halmen, so ist die Verkn"upfung Null nach \ref{IHI} und die damit definierte kanonische Abbildung vom Bild des ersten Morphismus in den Kern des Zweiten ist ein Isomorphismus wieder nach \ref{IHI}. \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{GlLa} Das Bilden der globalen Schnitte ist ein linksexakter Funktor von der Kategorie der abelschen Garben auf einem gegebenen Raum in die Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Das Bilden des Halms an einem Punkt ist ein exakter Funktor von der Kategorie der abelschen Garben auf einem gegebenen Raum in die Kategorie der abelschen Gruppen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Die Garbifizierung ist ein exakter Funktor von der Kategorie der abelschen Pr"agarben in die Kategorie der abelschen Garben. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Der Halm eines Koprodukts ist das Koprodukt der Halme}] In der Kategorie der abelschen Garben auf einem gegebenen Raum existieren direkte Limites alias filtrierende Kolimites,\label{DLIG} und der Halm eines direkten Limes ist der direkte Limes der Halme. Insbesondere ist jedes Koprodukt, ja jeder filtrierende Kolimes von exakten Sequenzen abelscher Garben wieder eine exakte Sequenz von abelschen Garben. Hinweis: Man garbifiziere das Pr"agarben-Koprodukt. \end{Ubung} \begin{Ubung} Auf einem Raum, in dem alle Punkte abgeschlossen sind, mag man in der Kategorie der abelschen Garben das Koprodukt \ref{DLIG} der Wolkenkratzergarben $\DZ$ zu allen Punkten betrachten. Diese Garbe hat an jeder Stelle den Halm $\DZ$, ist aber dennoch nicht isomorph zur konstanten Garbe $\DZ$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Ist $G$ eine topologische Gruppe und $X$ ein $G$-Raum, so ist die Kategorie $\op{Ab}_{/G{\ssearrow}X}$ abelsch und das Vergessen der $G$-Operation ist ein exakter Funktor $\op{Ab}_{/G{\ssearrow}X} \ra \op{Ab}_{/X}$. Hinweis: \ref{OSGQ} mag helfen, um die Stetigkeit der $G$-Operation auf der Bildgarbe nachzuweisen. \end{Ubung} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nicht-Vertr"aglichkeit des Koprodukts mit globalen Schnitten}] Ist $X$ ein unendlicher diskreter Raum, so ist der Raum der globalen Schnitte der Summe aller Wolkenkratzergarben $\DZ_{(x)}$ f"ur $x\in X$ sehr viel gr"o"ser als das Koprodukt der R"aume der globalen Schnitte der Summanden. Das Bilden der globalen Schnitte vertauscht jedoch mit filtrierenden Kolimites auf kompakten Hausdorffr"aumen und auf noetherschen topologischen R"aumen, vergleiche \ref{VTDLa} und \ref{VTDLb}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Nicht-Exaktheit von Produkten von Garben}] In der Kategorie der abelschen Garben auf einem gegebenen Raum existieren Produkte, aber der Halm eines Produkts ist nicht notwendig das Produkt der Halme, wie wir bereits in \ref{PrGa} gesehen haben. Das f"urt zu der unangenehmen Erkenntnis, da"s ein unendliches Produkt von kurzen exakten Sequenzen von abelschen Garben im allgemeinen keineswegs wieder eine kurze exakte Sequenz von abelschen Garben sein mu"s. \end{Bemerkunge} \newpage \section{Abstrakte homologische Algebra und Garben} In diesem Abschnitt f"uhren wir die abstrakte Sprache der h"oheren derivierten Funktoren ein und besprechen parallel dazu als motivierendes Beispiel Garbenkohomologie. Ich habe versucht, diese beiden Handlungsstr"ange insoweit zu entflechten, da"s die Abschnitte ohne das Wort \glqq Garbe\grqq\ in der "Uberschrift auch unabh"angig gelesen und verstanden werden k"onnen. \subsection{Die lange exakte Kohomologiesequenz}\label{AleH} \begin{Definition} Gegeben ein Komplex $\ldots \ra A^{q-1} \overset{d^{q-1}}{\ra} A^{q} \overset{d^{q}}{\ra} A^{q+1} \ra \ldots$ in einer \hyperref[eXk]{pr\"{a}abelschen Kategorie} erkl"aren wir seine\label{DeKoh} {\bf $q$-te Kohomologie}\index{Kohomologie!eines Komplexes} als $$\cal{H}^{q}A\pdef\op{cok}(A^{q-1} \ra \op{ker} d^{q})$$ \end{Definition} \begin{Satz}[\defnoind{Lange exakte Kohomologiesequenz}\index{lange exakte Sequenz!der Homologie, kategorielle}] Sei $A\overset{f}{\hookrightarrow} B \overset{g}{\twoheadrightarrow} C$ eine \hyperref[exa]{kurze exakte Sequenz} von Komplexen\label{LeK} in einer pr"aabelschen Kategorie. So gilt: \begin{enumerate} \item Es gibt f"ur jedes $q$ genau einen Morphismus $\cal{H}^{q}C\ra \cal{H}^{q+1}A,$ der mit den kanonischen Morphismen von $\op{ker} (d_C\circ g) = \op{ker} (g \circ d_B)$ nach $\cal{H}^{q}C$ beziehungsweise $\cal{H}^{q+1}A$ vertr"aglich ist; \item Mit diesen Morphismen erhalten wir eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra \cal{H}^{q-1} C \ra \cal{H}^{q}A \ra \cal{H}^{q}B\ra \cal{H}^{q}C \ra \cal{H}^{q+1}A \ra \ldots$$ \end{enumerate} \end{Satz} \begin{Bemerkunge} Ich kenne den hier gegebenen Beweis aus \cite{Ive}. Er braucht einige Vorbereitungen und wird erst am Ende dieses Abschnitts gegeben. Alle Anwendungen, die mir in den Sinn kommen, betreffen Kategorien von Moduln "uber Ringen oder von abelschen Garben. In diesen F"allen kann man Teile des Arguments vereinfachen, indem man sich auf den bereits in \eref{KeSK}{TS} behandelten Fall der Kategorie aller abelschen Gruppen st"utzt, im Fall von Garben durch Betrachtung der Halme. \end{Bemerkunge} \begin{Lemma} \label{HEL} Sei in einer pr"aabelschen Kategorie ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccccc} 0&\ra &A &\overset{f}{\ra} & B & \overset{g}{\ra}& C\\ & & \downarrow \scriptstyle{a} & &\downarrow \scriptstyle{b} & &\downarrow \scriptstyle{c}\\ 0 & \ra & A^{\prime} & \overset{f^{\prime}}{\ra} &B^{\prime} & \overset{g^{\prime}}{\ra} & C^{\prime} \end{array}$$ gegeben. So gilt: \begin{enumerate} \item Die induzierte Kernsequenz $0\ra \op{ker}a \ra \op{ker} b \ra \op{ker} c $ ist exakt; \item\label{HEL2} Ist $c$ ein Monomorphismus, so ist auch $0 \ra \op{cok} a \ra \op{cok} b$ exakt. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Teil 1 bleibe dem Leser "uberlassen, wir zeigen nur Teil 2. Ist $c$ ein Monomorphismus, so folgt aus Teil 1 die Exaktheit der oberen Zeile im kommutativen Diagramm mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \ra & \op{ker} a & \ra & \op{ker} b& \ra & 0 &\ra & 0\\ & & \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0 & \ra & A & \ra & B & \ra & \op{cok} f & \ra & 0 \end{array}$$ Die duale Aussage zu Teil 1 liefert dann die Exaktheit in der Mitte der oberen Zeile im kommutativen Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} 0 & \ra &\op{im} a & \ra & \op{im} b & \ra & \op{cok} f& \ra & 0\\ & & \downarrow & &\downarrow & & \downarrow \\ 0 & \ra & A^{\prime} &\ra & B^{\prime} & \ra & C^{\prime} \end{array}$$ Die Exaktheit vorne der oberen Zeile erkennt man aus dem Diagramm. Die rechte Vertikale ist ein Monomorphismus nach unserer Annahme und wir haben uns so auf den Fall zur"uckgezogen, da"s $a,b$ und $c$ alle drei Monomorphismen sind. Unter dieser Voraussetzung sieht man jedoch explizit, da"s $a$ ein Kern ist f"ur $A^{\prime} \ra \op{cok} b$ und daraus folgt, da"s $A^{\prime} \twoheadrightarrow \op{cok} a \hookrightarrow \op{cok} b$ die kanonische Faktorisierung in einen Epimorphismus und einen Monomorphismus sein mu"s. \end{proof} \begin{Lemma}[\defind{Schlangenlemma}]\label{KuS} Sei in einer pr"aabelschen Kategorie ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccccccc} & & A & \overset{f}{\ra} & B & \overset{g}{\ra} &C & \ra & 0\\ & &\downarrow \scriptstyle{a}& & \downarrow \scriptstyle{b}& & \downarrow \scriptstyle{c} & & \\ 0 &\ra & A^{\prime} & \overset{f^{\prime}}{\ra}& B^{\prime} & \overset{g^{\prime}}{\ra} & C^{\prime} \end{array}$$ gegeben. Wir k"urzen $\op{ker} (B \ra C^{\prime})=K$ und $\op{cok} (A \ra B^{\prime}) = K^{\prime}$ ab und behaupten: Es gibt genau einen Morphismus $\op{ker} c \ra \op{cok} a$ derart, da"s $$\begin{array}{ccccc} \op{ker}c & \leftarrow & K & \ra& B\\ \downarrow & & & & \downarrow \\ \op{cok} a& \ra & K' & \leftarrow & B^{\prime} \end{array}$$ kommutiert, und mit diesem Morphismus erhalten wir eine exakte Sequenz $$\op{ker} a \ra \op{ker}b \ra \op{ker} c \ra \op{cok}a \ra \op{cok} b \ra \op{cok} c$$ \end{Lemma} \begin{proof}[Beweis] Das Diagramm $$\begin{array}{ccccccccc} 0& \ra & \op{ker}g& \ra & B & \ra &C & \ra &0\\ & & \downarrow & &\downarrow & & \downarrow & &\\ 0&\ra & 0 &\ra &C^{\prime} &=&C^{\prime} &\ra & 0 \end{array}$$ liefert mit dem vorhergehenden Lemma und seinem Dualen die Exaktheit der obersten Zeile in der nun folgenden Erweiterung unseres Diagramms. Die Exaktheit der untersten Zeile erh"alt man dual, wir haben also ein kommutatives Diagramm mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccccccc} & & A &\ra & K & \ra &\op{ker} c & \ra &0\\ & &\|& & \downarrow& &\downarrow & & \\ & & A&\ra & B & \ra & C & \ra & 0\\ & &\downarrow& & \downarrow & & \downarrow & & \\ 0&\ra &A^{\prime}& \ra & B^{\prime} & \ra & C^{\prime} & &\\ & &\downarrow & &\downarrow & &\| & & \\ 0&\ra &\op{cok} a& \ra & K^{\prime}& \ra & C^{\prime} & & \end{array}$$ Diesem Diagramm sieht man die Existenz und Eindeutigkeit unseres Morphismus $\op{ker} c \ra \op{cok} a$ nun unschwer an. Die Exaktheit unserer Sequenz bei $\op{ker} b$ erh"alt man durch Anwenden von Lemma \ref{HEL} auf die Diagramme mit exakten Zeilen $$\begin{array}{ccccccccccccccc} 0&\ra&\op{ker}f&\hookrightarrow & A & \twoheadrightarrow &\op{im}f&\ra & 0\quad \quad 0&\ra & \op{im}f &\hookrightarrow &B &\ra & C\\ & & \downarrow & &\downarrow & &\downarrow & & &&\downarrow & &\downarrow & &\downarrow \\ 0&\ra&\op{ker} f^{\prime}&\hookrightarrow& A^{\prime}&\twoheadrightarrow &\op{im}f^{\prime}&\ra & 0\quad \quad 0& \ra &\op{im}f^{\prime} &\hookrightarrow &B^{\prime}&\ra &C \end{array}$$ Um die Exaktheit bei $\op{ker} c$ zu zeigen reicht es, die Exaktheit von $$\op{ker} b \ra \op{ker}c \ra K^{\prime}$$ nachzuweisen. Dazu betrachten wir das Diagramm $$\begin{array}{ccccccc} A &\ra & K &\ra &\op{ker} c & \ra & 0\\ \downarrow & &\downarrow & &\downarrow & &\\ A &\ra &B^{\prime}& \ra& K^{\prime} &\ra & 0 \end{array}$$ und wenden ein letztes Mal Lemma \ref{HEL} an. Da gilt $\op{ker} (K\ra B^{\prime})=\op{ker} b$ folgt $\op{ker} b \twoheadrightarrow \op{ker} (\op{ker} c \ra K^{\prime})$ und wir haben die Exaktheit bei $\op{ker} c$ nachgewiesen. Der Rest des Lemmas folgt mit Dualit"at. \end{proof} \begin{proof}[Herleitung der langen exakten Homologiesequenz] Wir verwenden das Ergebnis der anschlie"senden "Ubung \ref{USLl} und wenden das Schlangenlemma an auf das Diagramm mit exakten Zeilen \begin{equation*} \begin{array}[b]{ccccccccc} & & \op{cok}d^{q-1}_{A} &\ra & \op{cok} d^{d-1}_{B} & \ra & \op{cok} d^{q-1}_{C}&\ra 0\\ & &\downarrow & &\downarrow & & \downarrow & &\\ 0&\ra & \op{ker}d^{q+1}_{A}&\ra & \op{ker} d^{q+1}_{B} & \ra & \op{ker} d^{q+1}_{C} \end{array}\qedhere \end{equation*} \end{proof} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}%\label{USL} Gegeben ein Komplex $\ldots \ra A^{q-1} \overset{d^{q-1}}{\ra} A^{q} \overset{d^{q}}{\ra} A^{q+1} \ra \ldots$ in einer pr"aabelschen Kategorie\label{USLl} setzen wir $\bar{\cal{H}}^{q}A=\op{ker} (\op{cok} d^{q-1}\ra A^{q+1})$. Man zeige, da"s sich das Diagramm $$ \begin{array}{ccc} \cal{H}^{q}A& &\bar{\cal{H}}^{q}A\\ \ua&&\da\\ \op{ker}d^{q}&\hra A^{q} \sra&\op{cok}d^{q-1} \end{array} $$ auf genau eine Weise durch einen Morphismus in der oberen Horizontalen kommutativ erg"anzen l"a"st und da"s dieser notwendig ein Isomorphismus ist. \end{Ubung} \begin{Ubung} Man zeige in einer beliebigen pr"aabelschen Kategorie das F"unferlemma. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Charakterisierung abelscher Kategorien}] Man zeige: Existiert in einer pr"aabelschen Kategorie f"ur Objekte $X,Y$ das Koprodukt $X\sqcup Y$, so ist $X\ra X\sqcup Y \ra Y$ mit $(0,\op{id}_Y)$ als zweitem Pfeil eine kurze exakte Sequenz. Existiert das Produkt, so ist analog $X\ra X\sqcap Y \ra Y$ eine\label{ChAB} kurze exakte Sequenz. Existieren Produkt und Koprodukt, so ist der offensichtliche Morphismus ein Isomorphismus $ X\sqcup Y\sira X\sqcap Y$. Existieren alle endlichen Produkte und Koprodukte, so ist unsere Kategorie mithin nach \ref{edMAG} in eindeutiger Weise angereichert in abelschen Monoiden, besitzt also genau eine $\op{Abmon}$-Struktur. Schlie"slich zeige man, da"s Endomorphismen von $X\squap X$ gegeben durch unipotente obere Dreiecksmatrizen invertierbar sind und folgere, da"s diese $\op{Abmon}$-Struktur sogar eine $\op{Ab}$-Struktur sein mu"s. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben eine pr"aabelsche Kategorie ist jeder Limes und jeder Kolimes von Kopien des Nullobjekts Null. Des weiteren k"onnen Limites und Kolimites von Komplexen gradweise berechnet werden. Dasselbe gilt im Fall einer abelschen Kategorie f"ur ihre Homotopiekategorie. \end{Ubung} \subsection{Derivierte Funktoren} \begin{Definition}\label{InO} \begin{enumerate} \item Sei $\cal{A}$ eine \hyperref[abK]{abelsche Kategorie}. Ein Objekt $I\in{\cal A}$ hei"st {\bf injektiv}\index{injektiv!Objekt}, wenn der Funktor ${\cal A}(\;,I):{\cal A}\ra \op{Ab}^{\op{opp}}$ der Homomorphismen in unser Objekt \hyperref[eFu]{exakt} ist; \item Eine abelsche Kategorie $\cal{A}$ \defnoind{hat genug Injektive}, wenn es f"ur jedes Objekt $A\in \cal{A}$ einen Monomorphismus $A\hra I$ in ein injektives Objekt $I\in \cal{A}$ gibt; \item Eine {\bf Aufl"osung}\index{Aufl"osung!in abelscher Kategorie} oder genauer {\bf Rechtsaufl"osung}\index{Rechtsaufl"osung!in abelscher Kategorie} eines Objekts $A$ einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ ist eine exakte Sequenz $A\hookrightarrow C^{0} \ra C^{1}\ra \ldots$ in $\cal{A}$; \item Eine {\bf Aufl"osung durch Injektive} oder \defind{injektive Aufl"osung} eines Objekts $A$ einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ ist eine Aufl"osung durch injektive Objekte, als da hei"st eine Aufl"osung $A\hookrightarrow I^{0} \ra I^{1}\ra \ldots$ mit $I^{0},I^{1},\ldots$ injektiv. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Wir k"urzen eine Aufl"osung mit $A\hookrightarrow C^{\lhd}$ ab. Die additive Kategorie aller injektiven Objekte einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ notieren wir im folgenden $i\cal{A}$.\index{i@$i\mathcal{A}$ Injektive von $\mathcal{A}$} Gibt es in einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ gen"ugend Injektive, so besitzt jedes Objekt von $\cal{A}$ eine injektive Aufl"osung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}\label{SpIn} Ein Objekt einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ ist injektiv genau dann, wenn jeder von besagtem Objekt ausgehende Monomorphismus spaltet. In der Tat, ist $I\hra M$ ein Monomorphismus und $I$ injektiv, so ist das Vorschalten eine Surjektion $\cal{A}(M,I)\sra \cal{A}(I,I)$, unter der die Identit"at auf $I$ eben ein Urbild hat. Der Nachweis der anderen Implikation bleibe dem Leser "uberlassen. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Die Kategorie der abelschen Gruppen besitzt genug Injektive nach \eref{IAG}{TS}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine Kategorie mit additiver Struktur $\cal{A}$ erkl"aren wir die zugeh"orige Kategorie $\op{Ket}(\cal{A})=\op{Ket}_{\cal{A}}$ der Komplexe von Objekten von $\mathcal A$\label{KmaS} analog\index{Ket@$\op{Ket}_{\cal{A}}$ Kettenkomplexe} zur\index{Ket@$\op{Ket}_{\cal{A}}$ Kettenkomplexe} Kategorie der Komplexe von abelschen Gruppen in der hoffentlich offensichtlichen Weise. Weiter erkl"aren wir die zugeh"orige {\bf Homotopiekategorie}\index{Homotopiekategorie!einer } $$\op{Hot}(\cal{A})=\op{Hot}_{\cal{A}}$$ analog zur\index{Hot@$\op{Hot}$!$\op{Hot}_{\cal{A}}$} Homotopiekategorie der abelschen Gruppen aus \eref{dHo}{TS} in der hoffentlich offensichtlichen Weise. \end{Bemerkungl} \begin{Satz}[\textbf{Hauptlemma der homologischen Algebra}] Seien in\index{Hauptlemma!der homologischen Algebra!in abelscher Kategorie} einer abelschen Kategorie $\cal{A}$ ein Komplex $ C$ mit $\cal{H}^q C=0$ f"ur $q>0$ und\label{IaU} ein Komplex $I$ injektiver Objekte mit $I^q=0$ f"ur $q<0$ gegeben. So induziert das Bilden der nullten Kohomologie eine Bijektion $$\op{Hot}_{\cal{A}}(C,I)\sira \cal{A}(\cal{H}^0C,\cal{H}^0I)$$ \end{Satz} \begin{proof} In der opponierten Kategorie zur Kategorie $\op{Mod}_R$ der Moduln "uber einem Ring $R$ hatten wir das bereits in \eref{HLHA}{TS} gezeigt. Der Beweis im Allgemeinen ist mutatis mutandis derselbe. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Existenz und Eindeutigkeit von Homotopielifts}] Gegeben ein Morphismus $f:A\ra B$ in einer abelschen Kategorie sowie Aufl"osungen $A\hra C^\lhd$ und $B\hra D^\lhd$ verstehen wir unter einem \defind{Lift} {\bf von} $f$ einen Morphismus von Komplexen $\tilde{f}: C^\lhd\ra D^\lhd$, der in der offensichtlichen Weise mit $f$ vertr"aglich ist. Mit $\tilde{f}$ ist sicher auch jeder dazu homotope Morphismus ein Lift von $f$. Eine Homotopieklasse von\label{EEHL} Lifts nennen wir einen \defind{Homotopielift}. Das Hauptlemma der homologischen Algebra \ref{IaU} sagt insbesondere, da"s f"ur eine beliebige Aufl"osung $A\hra C^\lhd$ und eine injektive Aufl"osung $B\hra I^\lhd$ jeder Morphismus $f:A\ra B$ genau einen Homotopielift $[\tilde{f}]: C^\lhd\ra I^\lhd$ besitzt. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}\label{DefDe} Gegeben eine abelsche Kategorie $\cal A$ mit genug Injektiven und ein \hyperref[addiF]{additiver Funktor} $F:\cal{A} \ra \cal{B}$ in eine weitere abelsche Kategorie definiert man f"ur jedes $q\in\DZ$ einen {\bf $q$-ten rechtsderivierten Funktor von}\index{rechtsderivierte Funktoren} $F$ als ein Paar $({\op{R}}^q F,\tau)$ bestehend aus einem Funktor $${\op{R}}^q F:\cal{A} \ra \cal{B}$$ und Morphismen $\tau=\tau_{A\hra C^\lhd}=\tau_{F,A\hra C^\lhd}:\cal{H}^q(FC^\lhd)\ra ({\op{R}}^q F)(A)$ f"ur jede Aufl"osung $A\hra C^\lhd$ eines beliebigen Objekts $A\in\mathcal A$ mit den folgenden Eigenschaften: \begin{enumerate} \item Der Morphismus $\tau$ ist f"ur jede injektive Aufl"osung $A\hra I^\lhd$ ein Isomorphismus $\tau_{A\hra I^\lhd}:\cal{H}^q(FI^\lhd)\sira ({\op{R}}^q F)(A)$; \item F"ur jeden Morphismus $f:A\ra B$ und je zwei Aufl"osungen $A\hra C^\lhd$ und $B \hra D^\lhd$ und jeden Lift $\tilde f:C^\lhd\ra D^\lhd$ von $f$ kommutiert das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^q(FC^\lhd)&\ra &({\op{R}}^q F)(A)\\ \da&&\da\\ \cal{H}^q(FD^\lhd)&\ra &({\op{R}}^q F)(B) \end{array}$$ mit $\tau_{A\hra C^\lhd}$ und $\tau_{B\hra D^\lhd}$ in den Horizontalen. \end{enumerate} Aus der Eindeutigkeit der Homotopielifts nach \ref{EEHL} folgt, da"s derartige Paare $({\op{R}}^q F,\tau)$ existieren. Da"s sie eindeutig sind bis auf eindeutigen Isomorphismus, ist dann eh klar. Damit d"urfen und werden wir von nun an mit einem bestimmten Artikel von {\bf dem $q$-ten rechtsderivierten Funktor von $F$} reden. Das Datum $\tau$ unterschlagen wir meist in der Notation und nennen es, wenn wir darauf Bezug nehmen wollen, den {\bf kanonischen Morphismus}. \end{Definition} \begin{Bemerkungw} In \eref{DFO}{TD} werden wir unsere Definition derivierter Funktoren noch wesentlich verallgemeinern. Der Bezug zur hier gegebenen Definition wird dann in \eref{fIa}{TD} hergestellt. \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erste Eigenschaften der Rechtsderivierten}] Offensichtlich sind unsere derivierten Funktoren auch selbst wieder additiv. F"ur $q<0$ haben wir per definitionem ${\op{R}}^qF=0$. Ist $ F:\cal{A} \ra \cal{B}$ ein additiver Funktor von abelschen Kategorien und besitzt $\cal{A}$ genug Injektive, so gibt es genau eine in der offensichtlichen Weise mit $\tau$ vertr"agliche Transformation $F \RA {\op{R}}^0F$. Ist $F$ linksexakt, so ist sie eine Isotransformation $$F \siRa {\op{R}}^0F$$ Wir behandeln sie in Notation und Sprache meist\label{EER} als eine Gleichheit $F= {\op{R}}^0F$. Ist $F$ sogar exakt, so gilt ${\op{R}}^qF=0$ f"ur $q>0$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterungen abelscher Gruppen als Rechtsderivierte}] Die Kategorie der abelschen Gruppen hat gen"ugend Injektive\label{EE} nach \eref{IAG}{TS}. Gegeben eine feste abelsche Gruppe $M$ betrachten wir den linksexakten Funktor $F \pdef \op{Hom} (M, \;) : \op{Ab} \ra \op{Ab}$. Sei $N$ eine weitere abelsche Gruppe. Um ${\op{R}}^{q}F(N)$ zu bestimmen, k"onnen wir nach \eref{IAG}{TS} eine injektive Aufl"osung der Gestalt $N \hookrightarrow I^{0} \twoheadrightarrow I^{1} $ w"ahlen. Dann hat die lange exakte Ext-Sequenz im zweiten Eintrag \eref{EZE}{TS} die Gestalt $$\op{Hom} (M,N) \hookrightarrow \op{Hom} (M,I^{0}) \ra \op{Hom}(M,I^{1}) \twoheadrightarrow \op{Ext} (M,N) $$ und wir folgern kanonische Isomorphismen $$\begin{array}{ccl} {\op{R}}^{q}F (N) & \sira&\left\{\begin{array}{ll} \op{Hom} (M,N) & q=0;\\ \op{Ext} (M,N) & q=1;\\ 0& \text{sonst}. \end{array} \right. \end{array}$$ \end{Beispiel} \begin{Lemma}[\textbf{Injektive Moduln, Existenz}] Die Kategorie aller Moduln "uber einem gegebenen Ring besitzt genug injektive Objekte.\label{EIM}\index{injektiv!Modul, Existenz} \end{Lemma} \begin{Bemerkunge} Der Beweis zeigt mit \eref{krih}{TS} genauer, da"s jeder $A$-Modul $M$ in einen injektiven $A$-Moduln der Kardinalit"at $\leq \op{card}\op{Ens}(A,M\sqcup\DN)$ eingebettet werden kann.\label{kril} \end{Bemerkunge} \begin{proof}[Beweis] Sei $A$ unser Ring. Der Vergi"sfunktor $\op{res}^{\Bbb{Z}}_{A} : A\op{-Mod} \ra \DZ\op{-Mod}$ besitzt zum Beispiel nach \eref{UE0}{KAG} einen Rechtsadjungierten, unseren Induktionsfunktor $\op{ind}^{A}_{\Bbb{Z}}:N\mapsto \op{Hom}_\DZ (A,N)$. Wollen wir nun einen $A$-Modul $M$ in einen injektiven $A$-Modul einbetten, so beginnen wir mit einer Einbettung $\op{res}^{\Bbb{Z}}_{A} M\hookrightarrow I$ von $M$ in eine injektive abelsche Gruppe, die es nach \eref{IAG}{TS} geben mu"s, und bilden dann die Verkn"upfung $$M \ra \op{ind}^{A}_{\Bbb{Z}} \op{res}^{\Bbb{Z}}_{A} M \ra \op{ind}^{A}_{\Bbb{Z}} I$$ Hier ist das rechte Ende offensichtlich ein injektiver $A$-Modul und der rechte Pfeil eine Injektion. Der linke Pfeil ist aber auch eine Injektion, entweder nach \ref{RKVT} oder explizit als die Einbettung $\op{Hom}_A(A,M)\hra \op{Hom}_\DZ(A,M)$. \end{proof} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterungen von Moduln als Rechtsderivierte}] Die Kategorie der Moduln "uber einem vorgegebenen Ring $A$ hat gen"ugend Injektive\label{Ext} nach \ref{EIM}. Gegeben ein fester $A$-Modul $M$ betrachte man den linksexakten Funktor $F \pdef \op{Hom}_A (M, \;) : A\op{-Mod} \ra \op{Ab}$. Ist $N$ ein weiterer $A$-Modul, so erkl"art man die abelschen Gruppen $\op{Ext}^q_A(M,N)$ als die Werte der zugeh"origen derivierten Funktoren, in Formeln $$\op{Ext}^q_A(M,N)\pdef ({\op{R}}^qF)(N)$$ Diese Gruppen hei"sen auch die {\bf h"oheren Erweiterungen}\index{Erweiterung!h"ohere} unserer beiden Moduln.\index{Ext@$\op{Ext}^q$ Erweiterungen} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivieren von Transformationen}] Seien $F,G:\mathcal A\ra \mathcal B$ additive Funktoren von abelschen Kategorien und es besitze $\mathcal A$ genug Injektive. Jede Transformation $\eta:F\RA G$ induziert offensichtlich f"ur jedes $q$ genau eine Transformation ${\op{R}}^q\eta:{\op{R}}^qF\RA{\op{R}}^qG$ derart, da"s f"ur jede Aufl"osung $A\hra C^\lhd$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \cal{H}^q(FC^\lhd)&\ra &({\op{R}}^q F)(A)\\ \da&&\da\\ \cal{H}^q(GC^\lhd)&\ra &({\op{R}}^q G)(A) \end{array}$$ kommutiert mit $\tau_{F, A\hra C^\lhd}$ und $\tau_{G, A\hra C^\lhd}$ in den Horizontalen, und wir haben die Funktorialit"at ${\op{R}}^q(\eta\circ \kappa)=({\op{R}}^q\eta)\circ ({\op{R}}^q\kappa)$ und ${\op{R}}^q(\op{id}_F)=\op{id}_{{\op{R}}^q F}$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterungen als Bifunktor}] Gegeben ein Ring $R$ liefert jeder Homomorphismus von $R$-Moduln $f:L\ra M$ eine Transformation $(\circ f)$ oder ausf"uhrlicher $(\circ f)^\tau:\op{Hom}_R(M,\;)\ra \op{Hom}_R(L,\;)$ und so eine Transformation der derivierten Funktoren\label{FueV} $\op{R}^q(\circ f)^\tau:\op{Ext}^q_R(M,\;)\ra \op{Ext}^q_R(L,\;)$ und so Abbildungen $$\op{R}^q(\circ f)^\tau_N=(\circ f)^\tau:\op{Ext}^q_R(M,N)\ra \op{Ext}^q_R(L,N)$$ Andererseits induziert jeder $R$-Modulhomomorphismus $g:N\ra K$ vermittels der Funktorialit"at einen Homomorphismus $$(g\circ):\op{Ext}^q_R(M,N)\ra \op{Ext}^q_R(M,K)$$ und weil das mit Transformationen immer so ist, vertauschen hier $(\circ f)^\tau$ und $(g\circ)$. So werden unsere Erweiterungen zu Funktoren $$\op{Ext}^q:\op{Mod}_R^{\op{opp}}\times \op{Mod}_R\ra \op{Ab}$$ \end{Beispiel} \begin{Bemerkungw} In \eref{ErAM}{TD} besprechen wir das Yoneda-Produkt von Erweiterungen $$\op{Ext}^p_R(L,M)\times \op{Ext}^q_R(M,N)\ra \op{Ext}^{p+q}_R(L,N)$$ und es wird klar sein, da"s es im Fall $p=0$ beziehungsweise $q=0$ zum Vorschalten beziehungsweise Nachschalten eines Homomorphismus aus \ref{FueV} spezialisiert. \end{Bemerkungw} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterungen und Zentrum}] Gegeben ein Ring $R$ und ein Element $z\in\op{Z}(R)$ des Zentrums von $R$ und $R$-Moduln $M,N$ behaupten wir $$(\circ(z\cdot))=((z\cdot)\circ):\op{Ext}^q_R(M,N)\ra \op{Ext}^q_R(M,N)$$ Man erkennt das leicht an der Beschreibung durch injektive Aufl"osungen. Etwas formaler induziert die Selbsttransformation $(z\cdot):\op{Id}\RA \op{Id}$ des Identit"atsfunktors auf der Modulkategorie f"ur $F\pdef \op{Hom}_R(M,\;)$ wegen $F=F\circ \op{Id}$ eine Transformation $F\RA F$, die quasi per definitionem $((z\cdot)\circ)$ liefert. Andererseits stimmt sie "uberein mit der Transformation $(\circ(z\cdot)):F\RA F$, die per definitionem $(\circ(z\cdot))$ liefert.\label{ExZe} Das zeigt die behauptete Identit"at. Vom h"oheren Standpunkt besprechen wir sie in \eref{DeZe}{TD}. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Wir erhalten weitere Beispiele durch "Ubergang zu den opponierten abelschen Kategorien. In diesem Zusammenhang sind eigenst"andige Sprechweisen "ublich, die wir im folgenden erl"autern. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} \begin{enumerate} \item Sei $\cal{A}$ eine abelsche Kategorie. Ein Objekt $P\in{\cal A}$ hei"st {\bf projektiv}\index{projektiv!Objekt}, wenn der Funktor der Homomorphismen von unserem Objekt ${\cal A}(P,\;):{\cal A}\ra \op{Ab}$ exakt ist; \item Eine abelsche Kategorie \defnoind{hat genug Projektive}, wenn es f"ur jedes Objekt $A$ einen Epimorphismus $P\sra A$ gibt mit $P$ projektiv; \item Eine \defind{Linksaufl"osung} eines Objekts $A \in \cal{A}$ ist ein exakter Komplex $\ldots \ra C^{-1} \ra C^{0} \twoheadrightarrow A$ in $\cal{A}$; \item Eine {\bf Aufl"osung durch Projektive} oder \defind{projektive Aufl"osung} eines Objekts $A \in \cal{A}$ ist eine Linksaufl"osung $P^{\rhd} \twoheadrightarrow A$ mit $P^{0}, P^{-1}, \ldots$ projektiv. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben eine abelsche Kategorie $\cal{A}$ mit genug Projektiven und ein additiver Funktor $G: \cal{A} \ra \cal{B}$ in eine weitere abelsche Kategorie erkl"aren wir analog zu \ref{DefDe} einen \defind{Linksderivierten} $${\op{L}}_{q}G : \cal{A} \ra \cal{B}$$ als ein Paar $({\op{L}}_{q}G,\tau)$ bestehend aus einem Funktor ${\op{L}}_{q}G$ wie oben und kanonischen Morphismen $\tau:({\op{L}}_{q}G) (A) \ra \cal{H}^{-q}(G C^{\rhd})$ f"ur jede Linksaufl"osung $C^{\rhd} \twoheadrightarrow A$, die mit Morphismen von Aufl"osungen vertr"aglich und f"ur jede projektive Linksaufl"osung $P^{\rhd} \twoheadrightarrow A$ Isomorphismen $\tau:({\op{L}}_{q}G) (A) \sira \cal{H}^{-q}(G P^{\rhd})$ sind. Per definitionem gilt ${\op{L}}_{q}G=0$ f"ur $q<0$ und es gibt genau eine mit $\tau$ vertr"agliche Transformation ${\op{L}}_{0}G\RA G$, die im Fall eines rechtsexakten Funktors $G$ eine Isotransformation $${\op{L}}_{0}G\siRa G$$ ist. Diese Isotransformation behandeln wir sprachlich und in der Notation meist als eine Gleichheit ${\op{L}}_{0}G= G$. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterungen abelscher Gruppen als Linksderivierte}] Gegeben eine feste abelsche Gruppe $N$ betrachten wir insbesondere den\label{EDFu} \hyperref[eFu]{rechtsexakten} Funktor $G \pdef \op{Hom} (\;,N):\op{Ab} \ra \op{Ab}^{\op{opp}}$. Um $({\op{L}}_{q} G) (M)$ zu bestimmen, k"onnen wir nach \eref{UFF}{TS} eine projektive Aufl"osung von $M$ der Gestalt $0 \ra P^{-1}\ra P^{0} \twoheadrightarrow M$ w"ahlen. Dann hat die lange exakte $\op{Ext}$-Sequenz im ersten Eintrag die Gestalt $$\op{Hom} (M,N) \hookrightarrow \op{Hom} (P^{0},N)\ra \op{Hom} (P^{-1},N) \twoheadrightarrow \op{Ext} (M,N)$$ und wir erhalten kanonische Isomorphismen $$({\op{L}}_{q}G) (M) \sira \left\{\begin{array}{lc} \op{Hom} (M,N) & q=0;\\ \op{Ext} (M,N) & q=1;\\ 0 &\text{sonst}.\end{array}\right. $$ Ein Vergleich mit \ref{EE} zeigt insbesondere, da"s wir unsere $\op{Ext}$ sogar auf zweierlei Weise als derivierte Funktoren erhalten k"onnen. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterungen von Moduln als Linksderivierte}] Die Kategorie der Moduln "uber einem vorgegebenen Ring $A$ besitzt gen"ugend Projektive. Gegeben ein fester $A$-Modul $N$ betrachte man den rechtsexakten Funktor\label{ExtL} $G \pdef \op{Hom}_A ( \;,N) : A\op{-Mod} \ra \op{Ab}^{\op{opp}}$. Ist $M$ ein weiterer $A$-Modul, so erkl"aren wir die abelschen Gruppen ${\op{lExt}}_q^A(M,N)$ als die Werte der zugeh"origen derivierten Funktoren, in Formeln $${\op{lExt}}_q^A(M,N)\pdef ({\op{L}}_qG)(M)$$ Wir machen sie ebenso wie in \ref{FueV} zu Bifunktoren. In \eref{rlExt}{TD} werden wir Isotransformationen $\op{lExt}_q\siRa \op{Ext}^q$ zwischen den besagten Bifunktoren konstruieren und dann die Notation $\op{lExt}$ wieder aufgeben. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Erweiterungen in abelschen Kategorien}] Dieselbe Definition wie bei Moduln vereinbaren wir f"ur eine beliebige abelsche Kategorie $\mathcal A$ mit genug Injektiven\label{ExtA} und setzen $$\op{Ext}^q_{\mathcal A}(M,N)\pdef ({\op{R}}^qF)(N)$$ f"ur Objekte $M,N\in\mathcal A$ und $F \pdef \mathcal A (M, \;): \mathcal A \ra \op{Ab}$.\index{Ext@$\op{Ext}$!in abelscher Kategorie!mit genug Injektiven} Dieselbe Definition wie bei Moduln vereinbaren wir auch f"ur eine beliebige abelsche Kategorie $\mathcal A$ mit genug Projektiven und setzen $$\op{lExt}_q^{\mathcal A}(M,N)\pdef ({\op{L}}_qG)(M)$$ f"ur Objekte $M,N\in\mathcal A$ und $G \pdef \mathcal A ( \;,N): \mathcal A \ra \op{Ab}^{\op{opp}}$.\index{lExt@$\op{lExt}$!in abelscher Kategorie!mit genug Projektiven} In \eref{ErAM}{TD} erkl"aren wir eine gemeinsame Verallgemeinerung dieser beiden Konstruktionen im Fall beliebiger abelscher Kategorien und geben die Notation $\op{lExt}$ wieder auf. \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Tor von abelschen Gruppen als Linksderivierter}] F"ur eine feste abelsche Gruppe $M$ betrachten wir den rechtsexakten Funktor\label{TDFu} $G \pdef M \otimes_{\Bbb{Z}} : \op{Ab} \ra\op{Ab}$. Aus der Definition des Torsionsprodukts erhalten wir sofort kanonische Isomorphismen $$({\op{L}}_{q} G) (N) \sira \left\{ \begin{array}{cc} M \otimes_{\Bbb{Z}} N & q = 0;\\ M\ast N & q=1;\\ 0& \text{sonst}. \end{array}\right.$$ \end{Beispiel} \begin{Beispiel}[\textbf{Tor von Moduln als Linksderivierter}] Die Kategorie der Moduln "uber einem vorgegebenen Ring $A$ hat gen"ugend Projektive. Gegeben ein fester $A$-Rechtsmodul $M$ betrachten wir den rechtsexakten Funktor\label{Tor} $F \pdef M\otimes_A : A\op{-Mod} \ra \op{Ab}$. Ist $N$ ein weiterer $A$-Modul, so erkl"art man die abelschen Gruppen $\op{Tor}_q^A(M,N)$ als Werte der zugeh"origen linksderivierten Funktoren, in Formeln $$\op{Tor}_q^A(M,N)\pdef ({\op{L}}_qF)(N)$$ Diese Gruppen hei"sen die {\bf h"oheren Torsionsgruppen}\index{Torsionsgruppe} unserer beiden Moduln.\index{Tor@$\op{Tor}_q$} In \ref{rlTor} zeigen wir, da"s es nicht darauf ankommt, welchen Faktor wir hier aufl"osen, konstruieren also in Formeln ausgedr"uckt kanonische Isomorphismen $$(\op{L}_q(M\otimes_A))(N)\sira (\op{L}_q(\otimes_AN))(M)$$ \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung} Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein additiver Funktor von abelschen Kategorien und es besitze $\mathcal A$ genug Injektive. Man zeige, da"s f"ur injektives $I\in \mathcal A$ gilt $({\op{R}}^{q}F)( I) =0$ falls $q>0$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Injektivit"atskriterium "uber Ideale}] Ein Linksmodul $I$ "uber einem Ring $A$ ist genau dann injektiv, wenn sich f"ur jedes Linksideal $\mathfrak a\subset A$ jeder Modulhomomorphismus $\mathfrak a\ra I$ zu einem\label{MoIN} Modulhomomorphismus $A\ra I$ ausdehnen l"a"st. Hinweis: Man kopiere den Beweis von \eref{IAG}{TS}, wo das im Fall $A=\DZ$ gezeigt wird. \end{Ubung} \begin{Ubunge} Ist ein Modul $I$ "uber einem Ring $A$ die Vereinigung "uber eine Menge von injektiven Untermoduln, auf der die Inklusion eine Anordnung ist und deren Kardinalit"at echt gr"o"ser ist als die Kardinalit"at des Rings $A$, so ist auch der ganze Modul $I$ injektiv. \end{Ubunge} \begin{Ubung} Ein beliebiges Produkt injektiver Objekte in einer abelschen Kategorie ist wieder injektiv. Ein beliebiges Koprodukt projektiver Objekte in einer abelschen Kategorie ist wieder projektiv. \end{Ubung} \nichtfinal{\begin{Ubung} Gegeben ein Ring $A$ kann in jedem $A$-Modul $M$ nach dem Zorn'schen Lemma jede linear unabh"angige Teilmenge zu einer eine maximalen linear unabh"angigen Teilmenge vergr"o"sert werden. Deren Erzeugnis ist dann ein freier Untermodul $F\subset M$ und alle Elemente des Quotienten $M/F$ sind Torsionselemente, wenn $A$ nicht der Nullring war. Man folgere, da"s gegeben ein von Null verschiedener Kring $A$ und zwei $A$-Moduln $M,N$ alle h"oheren Erweiterungen $\op{Ext}^q_A(M,N)$ f"ur $q>0$ Torsion? Nee, brauch noch Endlichkeiten! \end{Ubung}} \begin{Ubung} Gegeben ein K"orper $K$ betrachte man den Polynomring $K[T]$ und die kurze exakte Sequenz von $K[T]$-Moduln $$K[T]\hra K[T]\sra K$$ mit der Multiplikation mit $T$ als erster Abbildung und dem Auswerten bei $T=0$ als zweiter Abbildung. Man mag sie als Homotopie"aquivalenz von Komplexen von $K$-Vektorr"aumen des Zwei-Term-Komplexes $K[T]\hra K[T]$ mit dem Ein-Term-Komplex $K[0]$ lesen. Nimmt man nun Variablen $T_1,\ldots, T_n$ und tensoriert die entsprechenden Zweitermkomplexe "uber $K$, so ergibt sich eine freie Aufl"osung des $K[T_1,\ldots, T_n]$-Moduls $K$ mit der durch das Auswerten aller Variablen bei Null gegebenen Modulstruktur. Das ist ein besonders einfacher Fall des sogenannten {\bf Koszul-Komplexes}.\index{Koszul-Komplex}\label{KoPo} Man folgere $$\begin{array}{llcl} \op{dim}_K\op{Ext}^i_{K[T_1,\ldots, T_n]}(K,K)&=&{n\choose i}&\\[2mm] \op{dim}_K\op{Ext}^i_{K[T_1,\ldots, T_n]}(K,K[T_1,\ldots, T_n])&=&1&\text{ falls }i=n\text{ und }0\text{ sonst.} \end{array} $$ Analoges zeigt man analog f"ur einen beliebigen Kring $K$, nur da"s man statt der Dimension $d$ der fraglichen Erweiterungsr"aume die Existenz eines Isomorphismus mit dem freien $K$-Modul $K^d$ erh"alt. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Koszulkomplex koordinatenfrei}] Eine koordinatenfreie Version des Koszulkomplexes erh"alt man, indem man f"ur einen $K$-Vektorraum $V$ den Komplex\label{KKKF} $$\textstyle \ldots \ra {\op{S}}V\otimes \bigwedge^{2}V\ra {\op{S}}V\otimes V\ra {\op{S}}V\sra K$$ betrachtet mit dem Differential $$ u \otimes(v_{1}\wedge \ldots \wedge v_{n}) \;\mapsto\; \sum^{n}_{i=1} (-1)^{i+1} uv_{i} \otimes(v_{1}\wedge \ldots\wedge \hat{v}_{i} \wedge\ldots \wedge v_{n})$$ und an der letzten Stelle die Augmentation ${\op{S}}V\sra K$ mit $v\mapsto 0$ f"ur alle $v\in V$. Das funktioniert sogar f"ur unendlichdimensionale Vektorr"aume. Man mag die Exaktheit zeigen, indem man den Komplex mit dem Kolimes der Komplexe zu endlichdimensionalen Teilr"aumen identifiziert und sich so auf die vorhergehende "Ubung \ref{KoPo} zur"uckzieht. Unser Komplex liefert uns Isomorphismen $$\textstyle \op{Ext}^i_{{\op{S}}V}(K,K)\sira \op{Alt}^iV$$ Da"s unter diesen Isomorphismen das \glqq Yoneda-Produkt\grqq\ von Erweiterungen dem \glqq Shuffle-Dachprodukt\grqq\ von alternierenden Formen entspricht, d"urfen Sie sp"ater einmal als "Ubung \eref{SESV}{TD} nachvollziehen. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Augmentierte derivierte Funktoren}] Sei $G:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein additiver Funktor von abelschen Kategorien und es habe $\mathcal A$ genug Projektive. Unter einer {\bf $G$-Augmentation}\index{Augmentation!$G$-Augmentation} eines Objekts $A\in\mathcal A$ verstehen wir ein Paar $(B,\varepsilon)$ mit $B\in\mathcal B$ und $\varepsilon:GA\ra B$. Die $G$-augmentierten Objekte von $\mathcal A$ bilden in offensichtlicher Weise eine Kategorie $\mathcal A^G$. Wir erkl"aren einen {\bf augmentierten Linksderivierten}\index{Linksderivierter!augmentierter}\index{augmentiert!Linksderivierter}\label{redD} $${\op{L}}_qG:\mathcal A^G\ra \mathcal B$$ als ein Paar $({\op{L}}_qG,\tau)$ bestehend aus einem Funktor ${\op{L}}_{q}G$ wie oben und kanonischen Morphismen $\tau:({\op{L}}_{q}G) (A,\varepsilon,B) \ra \cal{H}^{-q}(G C^{\rhd}\ra B)$ f"ur jede Linksaufl"osung $C^{\rhd} \twoheadrightarrow A$, die mit Morphismen von Aufl"osungen vertr"aglich und f"ur jede projektive Linksaufl"osung $P^{\rhd} \twoheadrightarrow A$ Isomorphismen liefert. Man zeige, da"s es so einen augmentierten Linksderivierten stets gibt und da"s er eindeutig bestimmt ist bis auf eindeutigen Isomorphismus. Die Konstruktion liefert eine kurze exakte Sequenz $B[1]\hra (G C^{\rhd}\ra B)\sra G C^{\rhd}$ von Komplexen und als Ausschnitte von deren langer exakter Homologiesequenz eine exakte Sequenz $$({\op{L}}_{0}G) (A,\varepsilon,B) \hra ({\op{L}}_{0}G) (A) \ra B\sra ({\op{L}}_{-1}G) (A,\varepsilon,B)$$ und Isomorphismen $({\op{L}}_{q}G) (A,\varepsilon,B) \sira ({\op{L}}_{q}G) (A)$ f"ur $q>0$. Dual erkl"aren wir {\bf Koaugmentationen}\index{Koaugmentation} und koaugmentierte Rechtsderivierte.\index{Rechtsderivierter!koaugmentierter}\index{koaugmentiert!Rechtsderivierter} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Injektive Moduln "uber Ringalgebren}] Ist $k$ ein K"orper und $A$ eine $k$-Ringalgebra, so ist $A^*=\op{Hom}_k(A,k)$ mit der von der Rechtsoperation auf $A$ herr"uhrenden Struktur als $A$-Linksmodul ein injektiver\label{InjRA} $A$-Linksmodul und jeder $A$-Modul l"a"st sich einbetten in ein Produkt von Kopien von $A^*$. Hinweis: \eref{F1}{KAG}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Limites und Kolimites von Komplexen}] Seien $\mathcal A$ eine Kategorie mit additiver Struktur und $(C_i)_{i\in I}$ ein System von Komplexen $(C_i^q,d)$ aus $\op{Ket}_{\mathcal A}$. Existiert f"ur jedes $q$ der Limes $\lim_{i\in I} C_i^q$ in $\mathcal A$, so ist der aus diesen Limites gebildete Komplex\label{pinKE} der Limies der $C_i$. Analoges gilt f"ur Kolimites, entweder mit einem analogen Beweis oder formal durch "Ubergang zur opponierten Kategorie. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Produkte und Koprodukte in Homotopiekategorien}] Seien $\mathcal A$ eine Kategorie mit additiver Struktur und $(C_i)_{i\in I}$ eine Familie von Komplexen $(C_i^q,d)$ aus $\op{Ket}_{\mathcal A}$. Existiert f"ur jedes $q$ das Produkt $\prod_{i\in I} C_i^q$ in $\mathcal A$, so ist der aus diesen Produkten gebildete Komplex nicht nur in $\op{Ket}_{\mathcal A}$, sondern auch in\label{pinHO} $\op{Hot}_{\mathcal A}$ das Produkt der $C_i$. Analoges gilt f"ur Koprodukte, entweder mit einem analogen Beweis oder formal durch "Ubergang zur opponierten Kategorie. F"ur Limites und Kolimites sind mir die analogen Aussagen nicht klar. Das Problem liegt darin, da"s zwar das Bilden von Produkten abelscher Gruppen exakt ist, das Bilden von Limites abelscher Gruppen jedoch im allgemeinen nicht mehr. \end{Ubung} \begin{Ubung} Sei $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ ein linksexakter Funktor von abelschen Kategorien. Man konstruiere\label{Fkol} f"ur jeden Komplex $A^*$ in $\mathcal A$ nat"urliche Morphismen $\mathcal H^nFA^* \ra F\mathcal H^nA^*$. Ist $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ ein rechtsexakt, so konstruiere man nat"urliche Morphismen in die Gegenrichtung $F\mathcal H^nA^* \ra \mathcal H^n F A^*$. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben Ringe $A,B,C$ und ein $A$-$B$-Bimodul $M$ sowie ein $A$-$C$-Bimoduln $N$ liefert die Funktorialit"at von Erweiterungen auf $\op{Ext}^i_A(M,N)$ eine nat"urliche Struktur als $B$-$C$-Bimodul. \end{Ubung} \begin{Ubung} Gegeben $A\supset J$ ein Ring mit einem zweiseitigen Ideal liefert f"ur jeden $A$-Modul $M$ das Vorschalten von $M\sra M/\langle JM\rangle$ einen Isomorphismus $\op{Hom}_A(M/\langle JM\rangle,A/J)\sira \op{Hom}_A(M,A/J)$. Weiter liefert die kurze exakte Sequenz $J\hra A\sra A/J$ von $A$-Linksmoduln eine exakte Sequenz\label{AJ} $$\op{Hom}_A(A/J,A/J)\hra \op{Hom}_A(A,A/J)\ra \op{Hom}_A(J,A/J)\sra \op{Ext}^1_A(A/J,A/J)$$ mit einem Isomorphismus an erster Stelle und wir erhalten so einen ausgezeichneten Isomorphismus $$\op{Hom}_A(J/\langle J^2\rangle,A/J)\sira \op{Ext}^1_A(A/J,A/J)$$ \end{Ubung} \subsection{Hochschild-Kohomologie*} \begin{Definition} Gegeben eine Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $k$ erkl"art man ihre {\bf Hochschild-Kohomologie}\index{Hochschild-Kohomologie} als \begin{equation*} \op{H H}^q (A) = \op{H H}_k^q (A) \pdef \op{Ext}^q_{A \otimes_{k} A^{\op{opp}}} (A,A) \end{equation*} Allgemeiner erkl"art man f"ur einen $A$-Bimodul $M$ mit gleicher $k$-Operation von rechts und links die {\bf Hochschildkohomologie von $A$ mit Koeffizienten in $M$} als \begin{equation*} \op{H H}^q (A;M) = \op{H H}_k^q (A;M) \pdef \op{Ext}^q_{A \otimes_{k} A^{\op{opp}}} (A,M) \end{equation*} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Nullte Hochschildkohomologie}] Gegeben eine Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $k$ liefert das Multiplizieren mit Elementen des Zentrums $z \in {\op{Z}} (A)$ offensichtlich einen Isomorphismus \begin{equation*} {\op{Z}} (A) \sira \op{Hom}_{A \otimes_k A^{\op{opp}}} (A,A) = {\op{HH}}^0 (A) \end{equation*} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Berechnung der Hochschildkohomologie mit dem Barkomplex}] Sei $A$ eine Ringalgebra "uber einem K"orper $k$. Die h"ohere Hochschild-Kohomologie von $A$ kann mit der Bar-Aufl"osung \begin{equation*} \ldots \rightarrow A \otimes_k A \otimes_k A \rightarrow A \otimes_k A \twoheadrightarrow A \end{equation*} aus \ref{BarC} berechnet werden, denn diese ist in unserem Fall offensichtlich eine Aufl"osung durch freie $(A \otimes_k A^{\op{opp}})$-Moduln. Wir erhalten Isomorphismen \begin{equation*} \op{Hom}_{A \otimes_k A} (A^{\otimes (q +2)}, M) \sira \op{Hom}_k (A^{\otimes q}, M) \end{equation*} durch Vorschalten von $a_1 \otimes \ldots \otimes a_q \mapsto 1 \otimes a_1 \otimes \ldots \otimes a_q \otimes 1$. Der vom Barkomplex vermittels dieses Isomorphismus induzierte Randoperator bildet $\psi : A^{\otimes q} \rightarrow M$ ab auf $d \psi$ mit \begin{displaymath} \begin{array}{ccl} (d \psi) (a_1 \otimes \ldots \otimes a_{q+1}) &=& a_1 \psi (a_2 \otimes \ldots \otimes a_{q+1})\\ && - \psi (a_1 a_2 \otimes \ldots \otimes a_{q+1})\\ & & + \psi (a_1 \otimes a_2 a_3 \otimes \ldots \otimes a_{q+1})\\ & & \ldots \\ && \pm \psi (a_1 \otimes a_2 \otimes \ldots \otimes a_q) a_{q+1} \end{array} \end{displaymath} So erhalten wir insbesondere eine Identifikation \begin{equation*} {\op{H H}}^0 (A) \overset{\sim}{\rightarrow} \{\psi \in \op{Hom}_k (k,A) \mid a_1 \psi (1) -\psi (1) a_1 =0 \;\forall a_1 \in A\} \end{equation*} und Auswerten eines Homomorphismus bei $1\in k$ liefert ein weiteres Mal unseren Isomorphismus ${\op{H H}}^0 (A)\sira{\op{Z}}(A)$ der nullten Hochschildkohomologie mit dem Zentrum unserer Ringalgebra. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Erste Hochschildkohomologie}] Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine Ring\-al\-ge\-bra "uber $k$. Um ${\op{H H}}^1 (A)$ zu berechnen,\label{eHK} bilden wir zuerst die Einskozykel unseres Komplexes \begin{equation*} \mathcal Z^1= \{\psi \in \op{Hom}_k (A,A) \mid a_1 \psi (a_2) - \psi (a_1 a_2) + \psi (a_1) a_2 = 0 \} \end{equation*} und finden den Raum der Derivationen $\mathcal Z^1=\op{Der}_k (A)$ alias aller $k$-linearen Abbildungen, die die Leibnizregel $\psi(ab)=\psi(a)b + a\psi(b)$ erf"ullen. F"ur jedes $a \in A$ ist unter anderem der Kommutator mit $a$ eine solche Derivation $(\op{ad}a): A \rightarrow A$, $b \mapsto [a,b]$. Derivationen dieses Typs hei"sen {\bf innere Derivationen}\index{innere Derivation} unserer Ringalgebra. Wir sehen leicht, da"s die Einsr"ander unseres Komplexes genau die inneren Derivationen sind. So ergibt sich dann schlie"slich ein Isomorphismus \begin{equation*} \op{Der}_k (A) / {\op{ad}}(A) \sira {\op{H H}}^1 (A) \end{equation*} zwischen dem Quotienten des Raums der Derivationen nach dem Teilraum der inneren Derivationen und der ersten Hochschild-Kohomologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zweite Hochschildkohomologie}] Seien $k$ ein K"orper und $A$ eine Ringalgebra "uber $k$ und $M$ ein $A$-Bimodul mit gleicher $k$-Operation von beiden Seiten, also ein Modul "uber $A \otimes_{k} A^{\op{opp}}$. Wir konstruieren eine Bijektion zwischen $\mathcal{Z}^2(A;M)$ und der Menge aller Strukturen $\mu$ einer assoziativen $k$-Algebra auf dem $k$-Vektorraum $M\oplus A$ derart, da"s die Projektion auf $A$ ein\label{ZHH} Algebrenhomomorphismus ist und ihr Kern aus Elementen mit Quadrat Null besteht und die Struktur auf $M$ als Bimodul unter $(M\oplus A,\mu)$ die vorgegebene Struktur auf $M$ als $A$-Bimodul induziert. So eine Multiplikation $\mu$ mu"s ja gegeben werden durch $(m,a)(n,b)=(an + mb + \psi (a,b),ab)$ f"ur eine $k$-bilineare Abbildung $\psi :A\times A\ra M$ und die Assoziativit"at ist gleichbedeutend zur Identit"at $$a\psi (bc)+\psi (a,bc)=\psi (a,b)c + \psi (ab,c)$$ und in der Tat gleichbedeutend zu $\psi \in \mathcal{Z}^2(A;M) \subset \op{Hom}_k(A\otimes_k A,M)$. Nebenbei bemerkt besitzt $(M\oplus A,\mu)$ dann automatisch eine Eins, n"amlich das Element $(-\psi(1,1),1)$. Wir notieren diese Algebra nun $(M\oplus A,\psi)$ und rechnen m"uhelos nach, da"s gegeben $\varphi:A\ra M$ weiter $(m,a)\mapsto (m+\varphi(a),a)$ ein Al\-ge\-bren\-iso\-mor\-phis\-mus $(M\oplus A,\psi)\sira (M\oplus A,\psi - d\varphi)$ ist. Zusammengefa"st klassifiziert also $\op{HH}^2(A;M)$ kurze exakte Sequenzen von $k$-Moduln $$M\hra E\sra A$$ mit Ringalgebrenstruktur auf $E$, f"ur die die Surjektion ein Ringalgebrenhomomorphismus ist und der Kern $M$ die Eigenschaft $M^2=0$ hat und die dadurch gegebene Struktur auf $M$ als $A$-Bimodul die vorgegebene ist, bis auf Isomorphismen von kurzen exakten Sequenzen, die vorne und hinten die Identit"at sind und in der Mitte Isomorphismen von Ringalgebren. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine endlichdimensionale Ringalgebra $S$ "uber einem K"orper $k$ hei"st {\bf separabel},\index{separabel!Ringalgebra} wenn $S\otimes_kS^{\op{opp}}$ halbeinfach ist. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Jede separable Ringalgebra ist halbeinfach, denn ist das Jacobsonradikal von $S$ nicht Null, so kann $S$ als Bimodul "uber sich selber nicht halbeinfach sein. In Charakteristik Null ist jede endlichdimensionale halbeinfache Ringalgebra separabel, vergleiche \eref{suEK}{NAS}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Derivationen von Matrixalgebren}] Offensichtlich verschwinden f"ur separable endlichdimensionale $k$-Ringalgebren "uber einem K"orper $k$ alle h"oheren Hochschildkohomologien $\op{HH}_k^q(S;M)=0$ f"ur $q>0$ und jeden $S$-Bimodul $M$. Gegeben ein endlichdimensionaler\label{DerEn} $k$-Vektorraum $V$ ist $\op{End}_kV$ offensichtlich stets separabel. Nach der Beschreibung \ref{eHK} der ersten Hochschildkohomologie ist folglich jede Derivation von $\op{End}_kV$ eine innere Derivation und $X\mapsto \op{ad}X$ induziert folglich einen Isomorphismus $$\mathfrak{gl}(V)/k\op{id}_V \sira \op{Der}_k(\op{End}_kV)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Theorem}[\textbf{Spaltungssatz von Wedderburn}] Gegeben eine endlichdimensionale Ringalgebra $A$ "uber einem K"orper $k$ derart,\label{SpWed} da"s ihr Quotient $\bar A\pdef A/{\op{J}}(A)$ nach dem Jacobsonradikal separabel ist, gibt es eine $k$-Unterringalgebra $S\subset A$ derart, da"s die Projektion einen Isomorphismus $S\sira A/{\op{J}}(A)$ induziert. \end{Theorem} \begin{proof} Vollst"andige Induktion "uber das kleinste $n\geq 1$ mit ${\op{J}}(A)^n=0$. Im Fall $n=1$ ist nichts zu zeigen. Im Fall $n=2$ gilt wegen $\bar A$ separabel "uber $k$ offensichtlich ${\op{HH}}^2_k(\bar A, {\op{J}}(A))=0$ und dann zeigt unsere Interpretation \ref{ZHH} der zweiten Hochschildkohomologie die Behauptung. F"ur den Induktionsschritt sei ${\op{J}}(A)^{n+1}=0$. Per Induktionsannahme finden wir $S\subset A/{\op{J}}(A)^{n}$ wie gew"unscht. Das Urbild $\tilde S\subset A$ von $S$ unter der Projektion besitzt nun nach dem bereits behandelten Fall $n=2$ eine Unterringalgebra $S'$, die isomorph auf $S$ geht unter der Projektion. Das liefert den Induktionsschritt und beendet den Beweis. \end{proof} \nichtfinal{Diskutiere Gerstenhaber-Klammer und vielleicht $B_\infty$-Struktur auf der Hochschildkohomologie.} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Barkomplex}] Gegeben ein Ringhomomorphismus $k\ra A$ und ein $A$-Linksmodul $M$ ist der Komplex\label{BarC} \begin{equation*} \ldots \ra A \otimes_k A \otimes_k M \ra A \otimes_k M \sra M \end{equation*} mit dem Randoperator \begin{eqnarray*} a_0\otimes a_1 \otimes a_2 \otimes \ldots \otimes a_q \otimes m &\mapsto & a_0a_1 \otimes a_2 \otimes \ldots \otimes a_q \otimes m\\ & &-a_0 \otimes a_1a_2 \otimes \ldots \otimes a_q \otimes m\\ & &\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ldots\\ & & \;\;\;\;\pm a_0 \otimes a_1 \otimes a_2 \otimes \ldots \otimes a_q m \end{eqnarray*} exakt, ja sogar nullhomotop. Er hei"st der {\bf Bar-Komplex} und pr"aziser der {\bf nicht normalisierte Bar-Komplex}.\index{Bar-Komplex!nicht normalisierter} Hinweis: Das Davorschreiben von $1 \otimes$ ist eine Homotopie der Identit"at mit der Nullabbildung. \end{Ubung} \subsection{Beispiele f"ur injektive Moduln*} \begin{Lemma} Seien $A$ ein noetherscher Kring und $\mathfrak b\subset A$ ein Ideal. Ist $I$ ein injektiver $A$-Modul, so ist auch $\Gamma_{\mathfrak b}I\pdef \bigcup_{n\in \DN}\{x\in I\mid \mathfrak b^nx=0\}$ ein injektiver $A$-Modul.\label{LzuI} \end{Lemma} \begin{proof} Wir pr"ufen das Injektivit"atskriterium "uber Ideale \ref{MoIN}. Gegeben ein Ideal $\mathfrak a\subset A$ landet ein beliebiger fest vorgegebener Homomorphismus $\mathfrak a\ra \Gamma_{\mathfrak b}I$ bereits in sagen wir dem $n$-ten Untermodul in unserer Vereinigung und faktorisiert mithin "uber $\mathfrak a/\mathfrak b^n \mathfrak a$. Nach \eref{VSTF2}{KAG} k"onnen wir ein $l\geq n$ w"ahlen mit $\mathfrak b^n \mathfrak a\supset \mathfrak b^l \cap \mathfrak a$ und dann faktorisiert unser Homomorphismus auch "uber $\mathfrak a/(\mathfrak b^l\cap \mathfrak a)$. Nun ist aber $\{x\in I\mid \mathfrak b^lx=0\}\cong \op{Hom}_A(A/\mathfrak b^l,I)$ injektiv als Modul "uber $A/\mathfrak b^l$ und damit l"a"st sich unser eben betrachteter Homomorphismus $\mathfrak a/(\mathfrak b^l\cap \mathfrak a)\ra \op{Hom}_A(A/\mathfrak b^l,I)$ auf ganz $A/\mathfrak b^l$ fortsetzen. Das schlie"slich liefert unmittelbar die gesuchte Fortsetzung des urspr"unglichen Homomorphismus $\mathfrak a\ra \Gamma_{\mathfrak b}I$ auf ganz $A$. \end{proof} \begin{Beispiel} Gegeben ein K"orper $K$ ist $K[T_1^{-1},\ldots, T_r^{-1}]$ ein injektiver Modul "uber dem Polynomring $K[T_1,\ldots, T_r]$. Um die Modulstruktur zu pr"azisieren, mag man unseren Modul auch beschreiben als den Quotient von $K[T_1^{\pm 1},\ldots, T_r^{\pm 1}]$ nach dem Untermodul, der von allen Monomen aufgespannt wird, in denen mindestens eines der $T_i$ mit positivem Exponenten auftritt. Wir folgern die Injektivit"at,\label{injMP} indem wir Lemma \ref{LzuI} auf den nach \ref{InjRA} injektiven $K$-Dualraum unseres Polynomrings anwenden. \end{Beispiel} \begin{Lemma*} Seien ${\op{U}}(\mathfrak n)$ die Einh"ullende einer endlichdimensionalen Liealgebra %\label{EalC} "uber einem K"orper $k$ und $\chi:{\op{U}}(\mathfrak n)\ra k$ ein Ringalgebrenhomomorphismus. Ist $I$ ein injektiver ${\op{U}}(\mathfrak n)$-Modul, so ist auch $\Gamma_{\chi}I\pdef \bigcup_{n\in \DN}\{x\in I\mid (\op{ker}\chi)^nx=0\}$ ein injektiver ${\op{U}}(\mathfrak n)$-Modul.\label{LzuIn} \nichtfinal{Nochmal pr"ufen, Literatur studieren!} \end{Lemma*} \begin{proof} Wir schreiben $Q\pdef \op{ker}\chi$ und $A\pdef {\op{U}}(\mathfrak n)$ und pr"ufen das Injektivit"atskriterium "uber Ideale \ref{MoIN}. Gegeben ein Linksideal $P\subset {\op{U}}(\mathfrak n)$ landet ein beliebiger fest vorgegebener Homomorphismus $P\ra \Gamma_{\chi}I$ bereits in sagen wir dem $n$-ten Untermodul in unserer Vereinigung und faktorisiert mithin "uber $P/Q^n P$. Nach \eref{EalC}{KAG} k"onnen wir ein $l\geq n$ finden mit $Q^n P\supset Q^l \cap P$. Dann faktorisiert unser Homomorphismus auch "uber $P/(Q^l \cap P)$. Nun ist aber $$\{x\in I\mid Q^lx=0\}\cong \op{Hom}_{A}(A/Q^l,I)=\op{ind}_{A}^{A/Q^l}I$$ injektiv als Modul "uber $A/Q^l$ und damit l"a"st sich unser eben betrachteter Homomorphismus $P/(Q^l\cap P)\ra \op{Hom}_A(A/Q^l,I)$ auf ganz $A/Q^l$ fortsetzen. Das schlie"slich liefert unmittelbar die gesuchte Fortsetzung des urspr"unglichen Homomorphismus $P\ra \Gamma_{\chi}I$ auf ganz $A$. \end{proof} \begin{Lemma*} Seien ${\op{U}}(\mathfrak n)$ die Einh"ullende einer endlichdimensionalen Liealgebra %\label{EalC} "uber einem K"orper $k$ und $\chi:{\op{U}}(\mathfrak n)\ra k$ ein Ringalgebrenhomomorphismus. So ist der kontravariante Funktor von endlich erzeugten $\mathfrak n$-Darstellungen zu Vektorr"aumen gegeben durch $$ M\mapsto \Gamma_{\chi} (M^*)\pdef \bigcup_{n\in \DN}\{x\in M^*\mid (\op{ker}\chi)^nx=0\}$$ ein exakter Funktor.\label{Lwiv} \nichtfinal{Nochmal pr"ufen, Literatur studieren!} \end{Lemma*} \begin{proof} Wir wissen aus \ref{InjRA}, da"s die von $k$ koinduzierte Darstellung ${\op{U}}(\mathfrak n)^*$ ein injektiver ${\op{U}}(\mathfrak n)$-Modul ist. Dasselbe gilt nach Lemma \ref{LzuIn} f"ur $\Gamma_{\chi} ({\op{U}}(\mathfrak n)^*)$. Wenn $M$ endlich erzeugt ist, haben wir Isomorphismen $$\begin{array}{lll} \op{Hom}_{\mathfrak n}\big(M,\Gamma_{\chi} ({\op{U}}(\mathfrak n)^*)\big)&\sira& \op{colf}\op{Hom}_{\mathfrak n}\big(M, ({\op{U}}(\mathfrak n)/\chi^n)^*\big)\\[1mm] &\sira & \op{colf}\op{Hom}_{\mathfrak n}\big({\op{U}}(\mathfrak n)/\chi^n, M^*\big)\\[1mm] &\sira & \Gamma_\chi( M^*) \end{array}$$ Da die linke Seite ein exakter Funkor ist, mu"s auf endlich erzeugten $\mathfrak n$-Moduln $M$ auch die rechte Seite ein exakter kontravarianter Funktor sein. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Im Fall $M={\op{U}}(\mathfrak n)$ finden wir, indem wir die obige Rechnung r"uckw"arts gehen,\label{einWV} da"s gilt $1=\op{dim}\{v\in \Gamma_\chi( ({\op{U}}(\mathfrak n))^*)\mid xv=\chi(x)v\;\forall x\in \mathfrak n\}$. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sind $\mathfrak g\supset \mathfrak n$ endlichdimensionale Liealgebren und ist ${\op{ad}}_{\mathfrak g}x$ nilpotent f"ur alle $x\in \mathfrak n$, so ist f"ur jede $\mathfrak g$-Darstellung $M$ der Raum $\Gamma_\chi( M^*)\subset M^*$ eine $\mathfrak g$-Unterdarstellung der kontragredienten Darstellung $M^*$. Im Fall von Kategorie $\mathcal O(\mathfrak g,\mathfrak b,\mathfrak h)$ und $\mathfrak n\subset \mathfrak g$ stabil unter ${\op{ad}}_{\mathfrak g}\mathfrak h$ mit $\mathfrak n\oplus \mathfrak b=\mathfrak g$ ist $\Gamma_0(M^*)$ das \glqq Kategorie-$\mathcal O$-Dual ohne den Chevalley-Twist\grqq. F"ur regul"ares $\chi$ und ein Vermamodul $M=M(\lambda)$ dahingegen ist $\Gamma_\chi(M^*)$ eine $\mathfrak g$-Darstellung mit demselben strikten zentralen Charakter wie $M(\lambda)$, in der jeder Vektor von einer Potenz von $\op{ker}\chi$ annulliert wird. Es gibt aber nach Kostant oder geometrisch nach [Milicic-Soergel 2] bis auf Isomorphismus nur eine einfache derartige Darstellung und jede derartige Darstellung ist halbeinfach und das zeigt mit \ref{einWV}, da"s wir so diese einfache Darstellung erhalten und zwar f"ur alle $\lambda$. \end{Bemerkungl} \subsection{Definition der Garbenkohomologie} \begin{Lemma} Die Kategorie $\op{Ab}_{/X}$ der abelschen Garben auf einem gegebenen topologischen Raum $X$\label{GDF} besitzt genug Injektive. \end{Lemma} \begin{Bemerkungw} Man kann zeigen, da"s in der Kategorie der Garben von Vektorr"aumen auf einem gegebenen topologischen Raum die injektiven Objekte genau die welken Garben nach \ref{welk} sind, vergleiche \cite{Bo}, V.1.13, wo man sogar noch allgemeiner eine explizite Charakterisierung injektiver Garben von Moduln "uber noetherschen Ringen findet. Wir werden diese Resultate nicht ben"otigen. \end{Bemerkungw} \begin{proof} Alle Wolkenkratzer mit einer injektiven abelschen Gruppe als Halm sind injektive abelsche Garben nach \ref{HWK}. Gegeben eine Garbe $\cal{F}$ und eine Einbettung $\cal{F}_{x}\hookrightarrow I_{x}$ von jedem Halm in eine injektive abelsche Gruppe konstruieren wir eine injektive abelsche Garbe $\cal{I}=\prod (I_{x})_{(x)}$ als Produkt der zu den Gruppen $I_{x}$ geh"origen Wolkenkratzer bei $x$. Explizit haben wir also $$\cal{I}(U) = \prod_{x\in U} I_{x} \quad \forall\; U \co X$$ Der offensichtliche Monomorphismus $\cal{F} \hookrightarrow \cal{I}$ zeigt dann das Lemma. \end{proof} \begin{Definition} Sei $X$ ein topologischer Raum.\label{dBKK} Die Werte der Rechtsderivierten des linksexakten Funktors $\Gamma : \op{Ab}_{/X}\ra \op{Ab}$ der globalen Schnitte auf einer abelschen Garbe $\mathcal F\in \op{Ab}_{/X}$ nennt man die {\bf Kohomologie von $X$ mit Koeffizienten in $\mathcal F$} und notiert sie $$\op{H}^{q}(X;\cal{F})\pdef ({\op{R}}^{q}\Gamma) (\cal{F})$$ \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ist $X$ ein topologischer Raum, $\cal F$ eine abelsche Garbe auf $X$ und $Z \subset X$ eine Teilmenge, so verwenden wir die Abk"urzung $\op{H}^{q}(Z;\cal{F}) \pdef \op{H}^{q} (Z;\cal{F}|_Z)$.\index{H@$\op{H}^{q}(Z;\cal{F})\pdef\op{H}^{q}(Z;\cal{F}\mid_Z)$} Ist $X$ ein topologischer Raum\label{dBKKv} und $M$ eine abelsche Gruppe und $\cal F=M_X$ die konstante Garbe auf $X$, so verwenden wir die Abk"urzungen $\op{H}^{q}_{\op{garb}}(X;M)=\op{H}^{q}(X;M) \pdef \op{H}^{q}(X;M_X)$. \index{H@$\op{H}^{q}_{\op{garb}}$ Garbenkohomologie} Ist noch spezieller $M=\DZ$, so bezeichnen wir diese Gruppe auch mit $$\op{H}^{q}_{\op{garb}}X=\op{H}^{q}X=\op{H}^{q}(X;\DZ_X) =\op{H}^{q}_{\op{garb}}(X;\DZ)=\op{H}^{q}(X;\DZ)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur den einpunktigen Raum\label{GKpue} liefern die ersten Eigenschaften von Rechtsderivierten \ref{EER} ausgezeichnete Isomorphismen $\Gamma \mathcal F\sira {\op{H}}^0(\op{top};\mathcal F)$ sowie das Verschwinden ${\op{H}}^q(\op{top};\mathcal F)=0$ f"ur $q>0$. Im Fall der konstanten Garbe $\DZ_{\op{top}}$ nennen wir das Bild der Eins unter dem ausgezeichneten Isomorphismus $\DZ\sira {\op{H}}^0(\op{top};\DZ)$ den {\bf kanonischen Erzeuger}\index{kanonischer Erzeuger!Garbenkohomologie} und notieren ihn $1\in {\op{H}}^0(\op{top})$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Ich f"urchte, da"s diese Definitionen dem nicht vorgebildeten Leser ziemlich sinnlos erscheinenen m"ussen. Mein Ziel ist im folgenden, parallel die relevante abstrakte homologische Algebra und ihre Anwendung auf den Fall der Garbenkohomologie zu entwickeln in der Hoffnung, da"s sich dadurch beide Theorien gegenseitig motivieren und ihre Sinnhaftigkeit zeigen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Garbenkohomologie als Erweiterungsgruppe}] Wir erinnern unsere Erweiterungen aus \ref{ExtA}. Im Fall der Kategorie $\mathcal A=\op{Ab}_{/X}$ der abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X$ liefern die durch das Auswerten auf dem konstanten Schnitt Eins f"ur alle abelschen Garben $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ gegebenen Isomorphismen\label{GaExt} $\op{Ab}_{/X}(\DZ_X,\mathcal F)\sira \Gamma\mathcal F$ Isomorphismen $$\op{Ext}^q_{\op{Ab}_{/X}}(\DZ_X,\mathcal F)\sira{\op{H}}^q(X;\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungw} In \eref{GTKR}{TD} erkl"aren wir die Ringstruktur auf der Garbenkohomologie mit Hilfe der sogenannten \glqq Yoneda-Produkte\grqq. \nichtfinal{Zitat unscharf! In \ref{??} erkl"aren wir ihre geometrische Bedeutung und zeigen insbesondere die graduierte Kommutativit"at.} \end{Bemerkungw} \nichtfinal{\begin{Bemerkungw} Grauert hat, behaupten Kashiwara-Schapira, bewiesen, da"s auf jeder reellanalytischen abz"ahlbar basierten Mannigfaltigkeit die h"oheren Kohomologiegruppen der Garbe der analytischen Funktionen verschwinden. \end{Bemerkungw}} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{InI} Eine abelsche Garbe $\mathcal I$ auf einem topologischen Raum $X$ ist genau dann injektiv, wenn sich jeder Morphismus $\mathcal A\ra \mathcal I$ von einer Untergarbe $\mathcal A\subset \DZ_X$ nach $\mathcal I$ auf ganz $\DZ_X$ fortsetzen l"a"st. Hinweis: Man kopiere den Beweis vom Fall \eref{IAG}{TS} eines einpunktigen Raums. \end{Ubung} \begin{Ubung} F"ur einen diskreten Raum\label{GKpu} verschwindet alle Garbenkohomologie in Graden $\geq 1$. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Exakte Funktoren}] Seien $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein exakter Funktor von abelschen Kategorien mit genug Injektiven und $G:\mathcal B\ra \mathcal C$ ein additiver Funktor in eine weitere abelsche Kategorie. Man zeige, da"s es eindeutig bestimmte Transformationen ${\op{R}}^q(G\circ F)\RA {\op{R}}^qG\circ F$ gibt derart, da"s f"ur jede Aufl"osung $A\hra M^\lhd$ das Diagramm $$\begin{array}{ccc} \mathcal H^q GFM^\lhd&&\\ \da&\searrow&\\ {\op{R}}^q(G\circ F)A&\ra&{\op{R}}^qG( FA) \end{array}$$ mit den $\tau$-Morphismen aus der Definition der derivierten Funktoren in den Morphismen nach unten kommutiert.\label{exF} \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Erweiterungen und exakte Funktoren}] Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein exakter Funktor von abelschen Kategorien mit genug Injektiven. Man konstruiere nat"urliche Abbildungen\label{FExt} $$\op{Ext}_{\mathcal A}^q(M,N)\ra \op{Ext}_{\mathcal B}^q(FM,FN)$$ Sp"ater werden wir derartige Abbildungen auch ohne die Forderung nach der Existenz von genug Injektiven als unmittelbare Konsequenz der Konstruktion des \glqq von $F$ induzierten Funktors auf den derivierten Kategorien\grqq\ erhalten. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Erste Kohomologie "uberlagerungstrivialer R"aume}] Man zeige f"ur jeden "uberlagerungstrivialen Raum $X$ das Verschwinden der ersten Garbenkohomologie ${\op{H}}^1(X;\DZ)_{\op{garb}}=0$. Hinweis: Bei jeder Erweiterung $\DZ_X\hra \mathcal F\sra \DZ_X$ von abelschen Garben ist $\bar {\mathcal F}\ra X$ eine "Uberlagerung, also eine triviale "Uberlagerung, also spaltet unsere Erweiterung.\label{EKEZ} \end{Ubung} \subsection{Derivieren mit azyklischen Objekten} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lange exakte Sequenz der derivierten Funktoren}] Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein additiver Funktor von einer abelschen Kategorie\label{EDF} mit genug Injektiven in eine weitere\index{lange exakte Sequenz!derivierter Funktoren} abelsche Kategorie. Wir geben eine Konstruktion an, die jeder kurzen exakten Sequenz $A\hookrightarrow B \twoheadrightarrow C$ in $\mathcal A$ f"ur alle $q$ Morphismen ${\op{R}}^{q-1}FC\ra {\op{R}}^{q}FA$ zuordnet derart, da"s unsere Morphismen zusammen mit den von der Funktorialit"at der derivierten Funktoren herr"uhrenden Morphismen eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra{\op{R}}^{q-1}FC\ra {\op{R}}^{q}FA \ra {\op{R}}^{q}FB \ra {\op{R}}^{q}FC \ra {\op{R}}^{q+1}FA\ra\ldots$$ in $\mathcal B$ bilden und da"s jeder Morphismus von kurzen exakten Sequenzen einen Morphismus der so entstehenden langen exakten Sequenzen liefert. Unsere Konstruktion geht aus von der Bemerkung, da"s in der abelschen Kategorie $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ aller in negativen Graden verschwindenden Komplexe f"ur $I, K\in i\mathcal A$ injektive Objekte von $\mathcal A$ sowohl $I[0]$ als auch der bei Null beginnende Zwei-Term-Komplex $K\sira K$ injektive Objekte von $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ sind und da"s sich jeder bei Null beginnende Zweitermkomplex %aus einer Surjektion $B\ra C$ in ein injektives Objekt von $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ der Gestalt $(\op{pr}_2: I\oplus K\sra K)$ einbetten l"a"st. Wir finden induktiv f"ur $B\sra C$ eine injektive Aufl"osung in $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ durch Zweitermkomplexe dieser speziellen Gestalt. Die Beschreibung aller Injektiven von $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ m"ogen Sie als "Ubung \ref{InjKE} ausarbeiten, sie wird hier nicht ben"otigt. Erg"anzen wir die Kerne, so erhalten wir ein kommutatives Diagramm der Gestalt $$\begin{array}{ccccc} \ua&&\ua&&\ua\\ I^{2}&\hra &J^2&\sra&K^2\\ \ua&&\ua&&\ua\\ I^1&\hra &J^1&\sra&K^1\\ \ua&&\ua&&\ua\\ I^0&\hra & J^0&\sra&K^0\\ \ua&&\ua&&\ua\\ A&\hookrightarrow &B &\twoheadrightarrow &C \end{array}$$ Die linke Spalte ist exakt nach der langen exakten Homologiesequenz und die h"oheren Horizontalen sind spaltende kurze exakte Sequenzen nach Konstruktion. Anwenden von $F$ liefert also eine kurze exakte Sequenz von Komplexen $FI^\lhd\hra FJ^\lhd\sra FK^\lhd$ und deren lange exakte Kohomologiesequenz ist eine lange exakte Sequenz $$\ldots \ra{\op{R}}^{q-1}F(C)\ra {\op{R}}^{q}FA \ra {\op{R}}^{q}FB \ra {\op{R}}^{q}FC \ra {\op{R}}^{q+1}F(A)\ra\ldots$$ Die Unabh"angigkeit von der gew"ahlten injektiven Aufl"osung durch unsere spe\-ziel\-len injektiven Zweitermkomplexe und die Vertr"aglichkeit mit Morphismen von kurzen exakten Sequenzen zeigen wir zusammen. Gegeben ein Morphismus von kurzen exakten Sequenzen alias ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{A \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & B \ar[d] \ar@{->>}[r]&C \ar[d]\\ A' \ar@{^{(}->}[r] & B' \ar@{->>}[r]&C' } \end{displaymath} und erhalten wir erst einen Homotopielift des durch das rechte Quadrat gegebenen vertikalen Morphismus in $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ und dann durch das Erg"anzen der jeweiligen Kerne ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{I^\lhd \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & J^\lhd \ar[d] \ar@{->>}[r]&K^\lhd \ar[d]\\ I'^\lhd \ar@{^{(}->}[r] & J'^\lhd \ar@{->>}[r]&K'^\lhd } \end{displaymath} von langen exakten Sequenzen. Wenden wir darauf $F$ an, so erhalten wir die Unabh"angigkeit unserer Konstruktion von den dabei getroffenen Wahlen ebenso wie die Vertr"aglichkeit mit Morphismen von kurzen exakten Sequenzen. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Nach \ref{EER} haben wir ${\op{R}}^qF=0$ f"ur $q<0$. Nach der langen exakten Sequenz\label{lieRO} ist also ${\op{R}}^0F$ stets linksexakt. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Als Spezialf"alle erhalten wir in unseren Beispielen: Die lange exakte $\op{Ext}$-Sequenz im ersten \eref{KIAa}{TS} beziehungsweise zweiten \eref{EZE}{TS} Eintrag und die lange exakte Tor-Sequenz im ersten beziehungsweise zweiten Eintrag \eref{kest}{TS}. %Warum die Randoperatoren unserer Sequenzen hier nicht von %den bei der Konstruktion verwendeten Wahlen abh"angen und warum sie mit %den in unseren Beispielen konstruierten Randoperatoren "ubereinstimmen, wird in \ref{LES} noch diskutiert werden. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Lange exakte Sequenz der Garbenkohomologie}] Gegeben eine kurze exakte Sequenz $\cal{F}^{\prime} \hookrightarrow \cal{F} \twoheadrightarrow \cal{F}^{\prime\prime}$ von abelschen Garben auf einem topologischen Raum $X$\index{lange exakte Sequenz!der Garbenkohomologie} spezialisiert die lange exakte Sequenz der derivierten Funktoren zu langen exakten Sequenzen der zugeh"origen Kohomologiegruppen\label{LESGK} $$\op{H}^{0}(X;\cal{F}^{\prime})\hra \op{H}^{0}(X;\cal{F})\ra \op{H}^{0}(X;\cal{F}^{\prime\prime}) \ra \op{H}^{1}(X;\cal{F}^{\prime}) \ra \op{H}^{1}(X;\cal{F}) \ra \ldots$$ \end{Beispiel} % \begin{Bemerkungl} % Vielleicht als Beispiel Ext in Polynomringen und % Koszul-Komplex und Hilbert's \defind{Syzygiensatz} diskutieren. % \end{Bemerkungl} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{Definition}\label{AZO} Sei $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ ein additiver Funktor von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere abelsche Kategorie. Ein Objekt $J \in \cal{A}$ hei"st {\bf $F$-rechtsazyklisch},\index{rechtsazyklisch!$F$-rechtsazyklisch} wenn gilt $\tau: FJ\sira {\op{R}}^0FJ$ und $({\op{R}}^{q}F)(J) =0$ f"ur alle $q>0$. Gelten die fraglichen Bedingungen zumindest f"ur $q\leq n$, so nennen wir $J$ ein {\bf $F$-$n$-rechtsazyklisches Objekt}.\index{azyklisch!$n$-rechtsazyklisch} \end{Definition} \begin{Beispiele} Injektive Objekte sind $F$-rechtsazyklisch f"ur jeden additiven Funktor $F$. Alle Objekte sind rechtsazyklisch f"ur jeden exakten Funktor. Analoge Definitionen trifft man f"ur additive Funktoren von einer abelschen Kategorie mit genug Projektiven in eine weitere abelsche Kategorie. Projektive Objekte sind dann $F$-linksazyklisch f"ur jeden additiven Funktor $F$. Torsionsfreie abelsche Gruppen sind linksazyklisch f"ur alle Funktoren der Gestalt $\otimes_\DZ M$ mit $M\in\op{Ab}$. \end{Beispiele} \begin{Bemerkungl} Vielfach sagt man einfach nur {\bf $F$-azyklisch}\index{azyklisch!f"ur Funktor} und der Leser mu"s erraten, was genau gemeint ist. Im Fall eines linksexakten Funktors meint \glqq $F$-azyklisch\grqq\ f"ur gew"ohnlich \glqq $F$-rechtsazyklisch\grqq\ und im Fall eines rechtsexakten Funktors f"ur gew"ohnlich \glqq $F$-linksazyklisch\grqq. \end{Bemerkungl} \begin{Proposition}[\textbf{Derivieren mit azyklischen Objekten}] Gegeben ein additiver Funktor $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere\label{DAZO} abelsche Kategorie sind f"ur jede Aufl"osung $A \hookrightarrow J^{\lhd}$ durch $F$-rechtsazyklische Objekte eines Objekts $A\in\cal{A}$ unsere \hyperref[DefDe]{kanonischen Morphismen} Isomorphismen $$\tau:\cal{H}^{q}FJ^{\lhd} \sira ({\op{R}}^{q}F)(A)$$ \end{Proposition} \begin{Bemerkungl} Injektive Aufl"osungen sind f"ur konkrete Rechnungen selten von Nutzen und eher f"ur theoretische "Uberlegungen von Interesse. F"ur praktische Anwendungen ist es von zentraler Bedeutung, da"s man die Derivierten eines gegebenen additiven Funktors bereits "uber Aufl"osungen durch azyklische Objekte berechnen kann. In \eref{DAZOt}{TD} diskutieren wir, wie man den Begriff derivierter Funktoren ebenso wie obige Proposition auf Situationen verallgemeinern kann, in denen es nicht genug Injektive gibt. Von unserem derzeitigen Stand aus ist allerdings noch nicht einmal klar, wie in dieser Allgemeinheit \glqq azyklisch\grqq\ "uberhaupt zu definieren sein sollte. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Partielles Derivieren mit Aufl"osungen durch partiell Azyklische}] Gegeben ein additiver Funktor $F: \cal{A} \ra \cal{B}$ von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere\label{DAZOp} abelsche Kategorie und ein festes $N\in\DN$ sind sogar f"ur jede Aufl"osung $A \hookrightarrow J^{\lhd}$ eines Objekts $A\in\cal{A}$ mit $({\op{R}}^qF)(J^p)=0$ beziehungsweise $FJ^p\sira ({\op{R}}^qF)(J^p)$ f"ur alle $(q,p)$ mit $q+p\leq N$ und $q\neq 0$ beziehungsweise $q=0$ unsere \hyperref[DefDe]{kanonischen Morphismen} Isomorphismen $$\tau:\cal{H}^{q}FJ^{\lhd} \sira ({\op{R}}^{q}F)(A) \quad\text{f"ur } n}[r]&N^0\ar[r] &N^1\ar[r]&\ldots\\ B\ar@{^(->}[r]\ar@{->>}[u]&M^0\ar[r]\ar@{->>}[u] &M^1\ar[r]\ar@{->>}[u]&\ldots\\ A\ar@{^(->}[r]\ar@{^(->}[u] &L^0\ar[r]\ar@{^(->}[u] &L^1\ar[r]\ar@{^(->}[u]&\ldots}$$ mit $F$-$0$-rechtsazyklischen $M^q,N^q$ und $F$-$1$-rechtsazyklischen $L^q$. So erhalten wir eine kurze exakte Sequenz von Kettenkomplexen $FL^\lhd\hra FM^\lhd\sra FN^\lhd$ und die zugeh"orige lange exakte Kohomologiesequenz bildet mit den kanonischen Homomorphismen in den Vertikalen eine kommutatives Diagramm $$\xymatrix{\mathcal H^0 FL^\lhd\ar@{^(->}[r]\ar[d]& \mathcal H^0 FM^\lhd\ar[r]\ar[d]& \mathcal H^0 FN^\lhd\ar[r]\ar[d]& \mathcal H^1FL^\lhd\ar[r]\ar[d]&\mathcal H^1FM^\lhd\ar[r]\ar[d]&\ldots\\ {\op{R}}^0FA\ar@{^(->}[r]& {\op{R}}^0FB\ar[r]& {\op{R}}^0FC\ar[r]& {\op{R}}^1FA\ar[r]&{\op{R}}^1F B\ar[r]&\ldots }$$ In der Tat finden wir nach \ref{EDF} eine injektive Aufl"osung von $B\ra C$ in $\op{Ket}^{0\leq}(\mathcal A)$ durch Zweitermkomplexe bestehend aus einer spaltenden Surjektion von injektiven Objekten. Erg"anzen wir jeweils die Kerne, so ergibt sich ein kommutatives Diagramm $$\xymatrix{L^\lhd\ar@{^(->}[r]\ar[d]& M^\lhd\ar@{->>}[r]\ar[d]&N^\lhd\ar[d]\\ I^\lhd\ar@{^(->}[r]& J^\lhd\ar@{->>}[r]&K^\lhd}$$ von exakten Sequenzen mit kurzen exakten Zeilen, die untere gliedweise spaltend mit injektiven Eintr"agen an jeder Stelle und alles vertr"aglich mit den jeweiligen Einbettungen von $A\hra B\sra C$ in den nullten Grad. Wenden wir $F$ an, entsteht ein kommutatives Diagramm von kurzen exakte Sequenzen von Komplexen in $\mathcal B$. Das liefert ein kommutatives Diagramm der zugeh"origen langen exakten Homologiesequenzen und so die Behauptung. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir sagen, ein additiver Funktor $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere abelsche Kategorie habe {\bf endliche homologische Rechtsdimension}, \index{homologische Rechtsdimension!endliche} wenn es ein $d$ gibt mit ${\op{R}}^qF=0$ f"ur $q> d$. Das kleinstm"ogliche derartige $d$ oder genauer das Infimum aller derartigen $d$ hei"st dann die {\bf homologische Rechtsdimension}\index{Rechtsdimension!homologische!eines Funktors} unseres Funktors.\label{hDim} Insbesondere hat der Nullfunktor die homologische Rechtsdimension $-\infty$.\label{KWAUe} Analoges vereinbaren wir f"ur Links statt Rechts. Eine Verallgemeinerung unserer Definitionen geben wir in \eref{KWAUe}{TD}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}[\textbf{Ein Spektralsequenzargument}] Sei $F:\mathcal A\ra\mathcal B$ ein linksexakter Funktor von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere abelsche Kategorie und $A^*$ ein Komplex von $F$-azyklischen Objekten mit $A^n=0$ f"ur $n<0$. Wir nehmen weiter an, es gelte $({\op{R}}^qF)\mathcal H^pA^*=0$ f"ur alle $(q,p)$ mit $q>0$ und $q+p\leq N$. Man zeige, da"s dann die nat"urlichen Morphismen aus \ref{Fkol} f"ur $n< N$ Isomorphismen\label{SPKs} $$\mathcal H^nFA^* \sira F \mathcal H^nA^*$$ sind. Hinweis: Man verfeinere den Beweis von \ref{DAZO}. Im Rahmen der allgemeinen Theorie der Spektralsequenzen folgt die Aussage unmittelbar aus \ref{KSSEx}. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Injektive Objekte in Kategorien nichtnegativer Komplexe}] Gegeben eine abelsche Kategorie $\mathcal A$ betrachten wir die abelsche Kategorie\label{InjKE} $$\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$$ aller f"ur negative Indizes verschwindenden Komplexe in $\mathcal A$. Die injektiven Objekte dieser Kategorie sind genau alle entsprechenden Komplexe aus injektiven Objekten von $\mathcal A$, bei denen die Kohomologie in von Null verschiedenen Graden verschwindet und bei denen die Zykel $\op{ker}\partial:I^n\ra I^{n+1}$ in jedem Grad oder gleichbedeutend im Grad $n=0$ direkte Summanden von $I^n$ sind. In der Tat sieht man leicht, da"s jeder Komplex dieser Art ein injektives Objekt von $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ ist, da es ein Produkt von Komplexen der Typen $I[0]$ und $(I\sira I)$ ist f"ur $I\in i\mathcal A$. Andererseits ist leicht zu sehen, da"s bei einem injektiven Objekt von $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ die Zykel an jeder Stelle zu $i\mathcal A$ geh"oren m"ussen, man teste mit Homomorphismen nach $A[n]\hra B[n]$, und die Objekte an jeder Stelle zu $i\mathcal A$ geh"oren m"ussen, man teste mit Injektionen von Zwei-Term-Komplexen $(A\sira A)\hra (B\sira B)$. Schlie"slich ist jeder unserer Komplexe $X$ Unterkomplex eines weiteren Komplexes $Y$ mit $\mathcal H^q Y=0$ f"ur $q>0$, und ist $X$ injektiv, so mu"s diese Einbettung spalten und wir folgern $\mathcal H^q X =0$ f"ur $q>0$. Hat $\mathcal A$ gen"ugend Injektive, so auch $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$, wie man leicht einsieht. F"ur die Rechtsderivierten von $\mathcal H^0:\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)\ra \mathcal A$ erhalten wir dann nat"urliche Isomorphismen $$({\op{R}}^q\mathcal H^0)(K^*)\siRa \mathcal H^qK^*$$ vermittels der Interpretation einer injektiven Aufl"osung in $\op{Ket}^{0 \leq}(\mathcal A)$ als Doppelkomplex im ersten Quadranten, dessen Zeilen und Spalten in positiven Graden exakt sind. Die Kohomologie des senkrechten Kernkomplexes berechnet nun die linke Seite Seite und die Kohomologie des waagerechten Kernkomplexes die rechte Seite und der waagerechte Kernkomplex ist schlicht $K^*$ selber und beide Kohomologien gehen nach \ref{EAS} isomorph auf die Kohomologie des Totalkomplexes. \end{Ubung} \begin{Bemerkunge} Ein Student k"onnte einmal ausarbeiten, inwiefern das Vorhergehende g"ultig bleibt, wenn $\mathcal A$ nicht genug Injektive hat und man derivierte Funktoren im in \eref{HdFoI}{TD} erkl"arten verallgemeinerten Sinne versteht. \end{Bemerkunge} % \begin{Ubung} \nichtfinal{N"otig?} % Sei in einer abelschen Kategorie ein kommutatives Diagramm % ohne den gestrichelten Pfeil der Gestalt % \begin{displaymath} % \xymatrix{E \ar[rdd] \ar@{^{(}->}[rr] && F \ar@{-->}[rdd] % % \ar@{->>}[rr]&&G\ar[rdd]&\\ % A \ar[rd] \ar@{^{(}->}[rr]\ar@{^{(}->}[u] && B\ar[rd]\ar@{^{(}->}[u] \ar@{->>}[rr]&&C\ar[rd]\ar@{^{(}->}[u]& \\ % &I \ar@{^{(}->}[rr] && M \ar@{->>}[rr]&&N\\ } % \end{displaymath} % mit kurzen exakten Zeilen gegeben. % Ist $I$ injektiv, so l"a"st es sich % durch einen Morphismus l"angs des gestrichelten Pfeils kommutativ % erg"anzen. Hinweis: Die vordere Sequenz mu"s spalten, % weshalb man sich auf den Fall $N=0$ zur"uckziehen kann. % Ist $AEBF$ kokartesisch alias $F$ ein Pushout, % so ist die Behauptung offensichtlich. Im allgemeinen zeigt die \glqq hintere Wand\grqq\ unseres % Diagramms, da"s der Pushout in $F$ einbettet, und mit der Injektivit"at von $I$ folgt die Behauptung.\label{Natles} % \end{Ubung} % \begin{Ubung}[\textbf{Funktorialit"at von Cartan-Eilenberg-Aufl"osungen}] % Gegeben in einer abelschen Kategorie \nichtfinal{N"otig?} % ein Morphismus von kurzen exakten Sequenzen % \begin{displaymath} % \xymatrix{A \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & B \ar[d] \ar@{->>}[r]&C \ar[d]\\ % A' \ar@{^{(}->}[r] & B' \ar@{->>}[r]&C' } % \end{displaymath} und von beiden jeweils eine \hyperref[KDS]{Cartan-Eilenberg-Aufl\"osung} % sowie Lifts der "au"seren Vertikalen $A\ra A'$ und $C\ra C'$ % gibt es einen im folgenden gestrichelt eingezeichneten Lift der mittleren Vertikalen zu einem kommutativen Diagramm\label{HoCAE} % \begin{displaymath} % \xymatrix{I^\lhd \ar[d] \ar@{^{(}->}[r] & J^\lhd \ar@{-->}[d] \ar@{->>}[r]&K^\lhd \ar[d]\\ % I'^\lhd \ar@{^{(}->}[r] & J'^\lhd \ar@{->>}[r]&K'^\lhd } % \end{displaymath} % Gegeben zwei derartige Lifts unseres Morphismus von % kurzen exakten Sequenzen zu den jeweils vorgegebenen Cartan-Eilenberg-Aufl"osungen und jeweils eine Homotopie zwischen den beiden Lifts % von $A\ra A'$ und den beiden Lifts von $C\ra C'$ gibt es % weiter einen Lift der Homotopie zwischen den beiden Lifts % von $B\ra B'$ derart, da"s diese drei Homotopien zusammen % mit den Morphismen aus unseren beiden kurzen exakten Sequenzen % wieder % ein kommutatives Diagramm von $\DZ$-graduierten abelschen Gruppen % bilden. Hinweis: \ref{Natles} und Induktion. % \end{Ubung} % \begin{Ubung}\nichtfinal{N"otig?} % Eine Spaltung einer kurzen exakten Sequenz liftet % zu einer Spaltung jeder Cartan-Eilenberg-Aufl"osung. Hinweis: % Man zerlege den Morphismus in den mit Null indizierten Term % der Cartan-Eilenberg-Aufl"osung in eine Verkn"upfung von zwei % Morphismen kurzer\label{spCAE} % exakter Sequenzen, von denen der erste einen Isomorphismus auf dem % letzten Term induziert und der zweite einen Isomorphismus auf dem % ersten Term. % \end{Ubung} \begin{Ubung} In der Kategorie aller graduierten Moduln "uber einem graduierten Ring gibt es gen"ugend injektive Objekte. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EHD} Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein linksexakter Funktor von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere abelsche Kategorie. Sei $$\ldots\ra J^{-1}\ra J^{0} \ra J^{1} \ra \ldots$$ eine exakte Sequenz mit $F$-rechtsazyklischen $J^q$. Man zeige: Bleibt unsere Sequenz nicht exakt unter $F$, so kann keiner der derivierten Funktoren ${\op{R}}^qF$ f"ur $q\geq 0$ der Nullfunktor sein. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{EHDN} Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein linksexakter Funktor von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere abelsche Kategorie. Sei weiter $$J^{-d}\hra \ldots\ra J^{-2}\ra J^{-1}\ra J^{0} \sra A$$ eine exakte Sequenz mit $F$-rechtsazyklischen $J^q$, die \glqq in die andere Richtung geht als eine Aufl"osung\grqq. Man zeige: Alle Kokerne $\op{cok}(J^{q-1}\ra J^{q})$ sind $F$-rechtsazyklisch und $A$ ist $F$-rechtsazyklisch und unsere Sequenz bleibt exakt beim Anwenden von $F$. Dasselbe folgt im "Ubrigen auch ohne die Annahme der Existenz von genug Injektiven, wenn wir die Eigenschaft \glqq $F$-rechtsazyklisch\grqq\ wie in \eref{HdFoI}{TD} verstehen und \eref{LeSS}{TD} zu Hilfe nehmen. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{ehdn} Sei $F:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein linksexakter Funktor von einer abelschen Kategorie mit genug Injektiven in eine weitere abelsche Kategorie. Sei $$A\hra J^{0}\ra J^{1}\ra\ldots \ra J^{d-1} \sra C$$ eine exakte Sequenz mit $F$-rechtsazyklischen $J^\nu$. Ist die homologische Rechtsdimension von $F$ h"ochstens $d$, so ist auch $C$ ein $F$-rechtsazyklisches Objekt. \end{Ubung} \begin{Ubung}\label{LASa} Sei $G:\mathcal A\ra \mathcal B$ ein additiver Funktor von abelschen Kategorien und es habe $\mathcal A$ genug Projektive. Man erinnere aus \ref{redD} die augmentierten Linksderivierten ${\op{L}}_qG:\mathcal A^G\ra \mathcal B$ und leite die lange exakte Sequenz der augmentierten derivierten Funktoren zu einer kurzen exakten Sequenz in $\mathcal A^G$ her. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Nullhomotope Komplexe}] Man zeige, da"s ein Komplex $(X^n,\partial)$ von abelschen Gruppen genau dann nullhomotop ist, wenn es Gruppen $A^n$ und Isomorphismen $X^n\sira A^n\oplus A^{n+1}$ gibt, unter denen der Randoperator der Komposition $$A^n\oplus A^{n+1}\sra A^{n+1}\hra A^{n+1}\oplus A^{n+2}$$ von Projektion und Injektion entspricht. Mutige zeigen dasselbe in beliebigen abelschen Kategorien und sogar noch allgemeiner beliebigen additiven Kategorien mit spaltenden Idempotenten. \end{Ubung} \begin{Ubung}[\textbf{Zu Komplexen mit Differential Null homotope Komplexe}] Man zeige, da"s ein Komplex $(Y^n,\partial)$ von abelschen Gruppen genau dann homotopie"aquivalent ist zu einem Komplex mit verschwindenden Differentialen, wenn es Gruppen $A^n, H^n$ und Isomorphismen $X^n\sira A^n\oplus H^n \oplus A^{n+1}$ gibt, unter denen der Randoperator der Komposition $$A^n\oplus H^n\oplus A^{n+1}\sra A^{n+1}\hra A^{n+1}\oplus H^{n+1}\oplus A^{n+2}$$ von Projektion und Injektion entspricht. Wir nennen Komplexe mit dieser Eigenschaft\label{maspa} {\bf maximal spaltend}.\index{spaltend!maximal, Komplex} Mutige zeigen dasselbe in beliebigen abelschen Kategorien und sogar noch allgemeiner in beliebigen additiven Kategorien mit spaltenden Idempotenten. \end{Ubung} \subsection{Gruppenkohomologie*} \nichtfinal{V?} \begin{Bemerkungl} An dieser Stelle geht es nur um die Definition der Gruppenkohomologie als Anwendung unserer Konstruktionen aus der abstrakten homologischen Algebra und um die Beziehung der Gruppenkohomologie mit konstanten Koeffizienten zur singul"aren Kohomologie. In \ref{GrGa} besprechen wir dann feiner die Beziehung der Gruppenkohomologie mit beliebigen Koeffizienten zur Garbenkohomologie. In \ref{AqTo} besprechen wir nichtabelsche Gruppenkohomologie. \nichtfinal{Noch gut einbinden: In \ref{zAEQ} geht es um den Fall einer topologischen Gruppe.} \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Sei $G$ eine Gruppe. Unter einem \defnoind{$G$-Modul}\index{Modul!einer Gruppe} verstehen wir eine abelsche Gruppe $A$ mit einer Operation $G \ra \op{Grp}^\times( A)$ von $G$ auf $A$ durch Gruppenhomomorphismen, als da hei"st ein Objekt $A$ von $G\op{-Ab}$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Gegeben ein $G$-Modul $A$ bilden wir zwei abelsche Gruppen $A^{G}$ und $A_{G}$, genannt die {\bf Invarianten}\index{Invarianten!von Gruppe} und die {\bf Ko-Invarianten}\index{Koinvarianten!von Gruppe} von $A$, vermittels der Vorschrift $$ \begin{array}{lll}A^{G} &\pdef& \{ a \in A \mid ga = a \;\forall g \in G\}\\[2mm] A_{G} &\pdef& A /\langle a - ga \mid a \in A, g \in G\rangle \end{array}$$ Hier besteht $A^{G}$ genau aus allen unter $G$ invarianten Elementen von $A$ und ist damit die gr"o"ste unter $G$ invariante Untergruppe von $A$. Dual ist $A_{G}$ der \glqq gr"o"ste Quotient von $A$, auf dem $G$ trivial operiert\grqq. Etwas formaler k"onnen wir jede abelsche Gruppe mit der trivialen $G$-Operation versehen und so einen Funktor $\op{Ab}\ra G\op{-Ab}$ definieren. Das Bilden der Invarianten beziehungsweise der Koinvarianten ist dann der Rechts- beziehungsweise Linksadjungierte zu diesem Funktor. \end{Bemerkungl} % \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] % Die hier verwendete Terminologie steht in Konflikt mit einer % anderen auch allgemein gebr"auchlichen Begriffsbildung: % Unter der \glqq Koinvariantenalgebra\grqq\ einer endlichdimensionalen % Darstellung versteht man meist den Quotienten des Rings % der regul"aren Funktionen auf unserer Darstellung nach dem % von allen Invarianten positiven Grades erzeuten Ideal. % \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Invarianten und Koinvarianten in Modulsprache}] Bilden wir wie in \eref{GruR}{NAS} den Gruppenring $\Bbb{Z} G $, so ist ein $G$-Modul nichts anderes als ein Modul "uber dem Ring $\Bbb{Z} G $. Der Funktor, der jede abelsche Gruppe mit der trivialen $G$-Operation versieht, entspricht dann dem Zur"uckholen $$\op{res}^{\Bbb{Z} G }_\DZ:\Bbb{Z} \op{-Mod}\ra \Bbb{Z} G \op{-Mod}$$ vermittels des Ringhomomorphismus $\Bbb{Z} G \ra \Bbb{Z}$, der jedes Gruppenelement auf die Eins wirft. Im Rahmen des allgemeinen Formalismus aus \eref{IKG}{NAS} haben wir demnach nat"urliche Isomorphismen $A^G\sira\op{ind}_{\Bbb{Z} G }^\DZ A=\op{Hom}_{\Bbb{Z} G }(\DZ,A) $ und $ A_G\sira\op{prod}_{\Bbb{Z} G }^\DZ A=\DZ\otimes_{\Bbb{Z} G }A$. \end{Bemerkungl} \begin{Definition}[\textbf{Gruppenhomologie und Gruppenkohomologie}] Sicher ist $A \mapsto A^{G}$ ein linksexakter und $A \mapsto A_{G}$ ein rechtsexakter Funktor\label{GurKo} $G\op{-Ab} \ra \op{Ab}$. Die Rechtsderivierten von $A\mapsto A^G$ nennt man die {\bf Kohomologie\index{Gruppenkohomologie} der Gruppe $G$ mit Koeffizienten in $A$} und notiert sie $$\op{H}^{q} (G;A)$$ Die Linksderivierten von $A\mapsto A_G$\index{Kohomologie!einer Gruppe} nennt man die {\bf Homologie der Gruppe $G$ mit Koeffizienten in $A$}\index{Homologie!einer Gruppe}\index{H@$\op{H}_{q} (G;A)$ Gruppenhomologie} und notiert sie $$ {\op{H}}_{q}(G;A)$$ Speziell gilt also $\op{H}^{0} (G;A)=A^{G}$ und ${\op{H}}_{0} (G;A) = A_{G}$.\index{H@$\op{H}^{q} (G;A)$ Gruppenkohomologie} Redet man von Gruppenhomologie oder Gruppenkohomologie ohne Koeffizienten zu spezifizieren, so sind meist Koeffizienten in der Einsdarstellung $\DZ$ gemeint. \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Gruppenhomologie und -kohomologie in Modulsprache}] Seien $G$ eine Gruppe und $A$ ein $G$-Modul. Verstehen wir $\Bbb{Z}$ als $G$-Modul mit der trivialen Operation von links beziehungsweise von rechts, so liefern unsere offensichtlichen kanonischen Isomorphismen $A^{G} \sira \op{Hom}_{\Bbb{Z} G } (\Bbb{Z}, A)$ und $A_{G} \sira \Bbb{Z} \otimes_{\Bbb{Z} G } A$ auch kanonische Isomorphismen $$\begin{array}{lll} {\op{H}}_{q}(G;A) &\sira& \op{Tor}_{q}^{\Bbb{Z} G } (\Bbb{Z},A)\\[2mm] \op{H}^{q}(G;A) &\sira& \op{Ext}^{q}_{\Bbb{Z} G } (\Bbb{Z},A) \end{array}$$ mit $\op{Ext}$ und $\op{Tor}$ wie in \ref{Ext} und \ref{Tor}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Ursprung der Terminologie}] Es mag verwirren, da"s {\em Ko}homologie die Invarianten und Homologie die {\em Ko}invarianten verallgemeinert. Der Grund ist die Entstehung dieser Begriffe aus topologischen "Uberlegungen, genauer aus der Erkenntnis \ref{GSK}, da"s die Kohomologie beziehungsweise Homologie eines Quotienten $G\backslash X$ f"ur einen zusammenziehbaren topologischen Raum $X$ mit topologisch freier Operation einer Gruppe $G$ nur von der Gruppe $G$ selbst und nicht von $X$ abh"angt und folglich die Bezeichnung $\op{H}^q(G\backslash X;\DZ)=\op{H}^q(G;\DZ)$ beziehungsweise ${\op{H}}_q(G\backslash X;\DZ)={\op{H}}_q(G;\DZ)$ verdient. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Homologie und Kohomologie von $\DZ/2\DZ$}] Wir betrachten die zweielementige Gruppe $G =\{e,g\}$. Sie ist kommutativ und dasselbe gilt f"ur ihren Gruppenring. Eine freie Aufl"osung des $\Bbb{Z} G$-Moduls $\Bbb{Z}$ wird gegeben durch den\label{GKHZ} Komplex \begin{displaymath} \ldots\overset{ (1-g)}{\longrightarrow} \Bbb{Z} G \overset{ (1+g)}{\longrightarrow} \Bbb{Z}G \overset{ (1-g)}{\longrightarrow} \Bbb{Z} G \twoheadrightarrow \Bbb{Z} \end{displaymath} Schneiden wir das $\DZ$ am Ende ab und wenden auf den Rest den Funktor der Koinvarianten an, so ergibt sich der Komplex \begin{displaymath} \ldots \overset{0}{\ra} \Bbb{Z} \overset{2}{\ra} \Bbb{Z} \overset{0}{\ra} \Bbb{Z} \end{displaymath} Damit erhalten wir schlie"slich $\op{H}_{0}(G; \Bbb{Z}) \cong \Bbb{Z}$, $\op{H}_q (G; \Bbb{Z}) \cong \Bbb{Z} /2\Bbb{Z}$ f"ur $q \geq 2$ gerade und $\op{H}_q (G; \Bbb{Z})=0$ f"ur $q$ ungerade. Ist allgemeiner $A$ ein $G$-Modul, so k"onnen wir unseren Isomorphismus $\op{H}_q (G; A)\sira \op{Tor}_q^{\DZ G}(\DZ,A)$ anwenden und d"urfen das nach \ref{rlTor} mithilfe des obigen Komplexes als freie Aufl"osung des trivialen $G$-Rechtsmoduls $\DZ$ berechnen. So erhalten wir dann eine Beschreibung der Gruppenhomologie $\op{H}_q (G; A)$ als Homologie des Komplexes \begin{displaymath} \ldots \overset{1-g}{\ra} A \overset{1+g}{\ra} A \overset{1-g}{\ra} A \end{displaymath} Die Gruppenkohomologie berechnen wir "ahnlich, indem wir vom Isomorphismus $\op{H}^q (G; A)\sira \op{Ext}_{\DZ G}^q(\DZ,A)$ ausgehen und das nach \eref{rlExt}{TD} mithilfe des obigen Komplexes als freie Aufl"osung des trivialen $G$-Linksmoduls $\DZ$ berechnen. So ergibt sich die Gruppenkohomologie mit Koeffizienten in $A$ als Kohomologie des Komplexes \begin{displaymath} \ldots \overset{1-g}{\leftarrow} A \overset{1+g}{\leftarrow} A \overset{1-g}{\leftarrow} A \end{displaymath} \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[{\bf Gruppenkohomologie "uber die Standardaufl"osung}] Sei $G$ eine Gruppe. Um die Bedeutung der Gruppenkohomologie f"ur kleine $q$ zu verstehen, erinnern wir uns daran, da"s wir\label{kzgk} nach \eref{HKHKn}{TS} f"ur jede Menge $G$ einen exakten Komplex $$\Bbb{Z} \overset{\partial}{\leftarrow} \Bbb{Z} G \overset{\partial}{\leftarrow} \Bbb{Z} G^{2} \overset{\partial}{\leftarrow} \ldots$$ erhalten mit Randoperatoren $\partial (g_{0}, \ldots, g_{q}) = \sum (-1)^{i} (g_{0}, \ldots, \hat{g}_{i}, \ldots, g_{q})$ auf den offensichtlichen Basiselementen. Ist $G$ eine Gruppe und lassen wir $G$ auf $G^{\times (q+1)}$ operieren durch die Vorschrift $g(g_{0}, \ldots, g_{q})= (gg_{0}, \ldots , gg_{q})$, so wird unser Komplex eine freie Aufl"osung des trivialen $\Bbb{Z} G $-Moduls $\Bbb{Z}$. Unter den Isomorphismen von abelschen Gruppen $$\begin{array}{ccc} (\Bbb{Z} G) G^{q} &\overset{\sim}{\ra} & \Bbb{Z}G^{q+1} \\ g_{0} (g_{1}, \ldots , g_{q}) & \mapsto & (g_{0}, g_{0}g_{1},g_{0}g_{1}g_{2}, \; \ldots , g_{0}g_{1} \ldots g_{q}) \end{array}$$ stellt sich zwar die $\Bbb{Z} G $-Operation in einfacherer Form dar, der Randoperator wird jedoch komplizierter und wird die $\Bbb{Z} G$-lineare Abbildung $(\Bbb{Z} G) G^{q}\ra (\Bbb{Z} G) G^{q-1}$ vom freien $\Bbb{Z} G$-Modul "uber $G^{q}$ in den freien $\Bbb{Z} G$-Modul "uber $G^{q-1}$, die auf den freien Erzeugern gegeben wird durch $$\begin{array}{ccl} \partial (g_{1}, \ldots, g_{q}) &= &g_{1} (g_{2}, \ldots, g_{q}) + (-1)^{q}(g_{1}, \ldots , g_{q-1})\\[2mm] &&+ \sum_{i=1}^{q-1} (-1)^{i} (g_{1}, \ldots, g_{i}g_{i+1}, \ldots , g_{q})\end{array}$$ Wir nennen diesen Komplex der $(\Bbb{Z} G) G^{q}$ die\label{StaA} {\bf Standardaufl"osung}.\index{Standardaufl"osung} \end{Bemerkungl} \begin{Lemma}[\textbf{Erste Gruppenkohomologie bei trivialer Operation}] Operiert eine Gruppe $G$ trivial auf einer abelschen Gruppe $A$,\label{H1} so liefert die Konstruktion im folgenden Beweis einen nat"urlichen Isomorphismus zwischen der ersten Kohomologie von $G$ mit Koeffizienten in $A$ und der Menge der Gruppenhomomorphismen von $G$ nach $A$, in Formeln $$\op{H}^{1}(G;A) \sira {\op{Grp}} (G,A)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Die Einskozykel in der Standardaufl"osung \ref{StaA} sind die $\Bbb{Z} G $-Ho\-mo\-mor\-phis\-men $f: (\Bbb{Z} G ) G \ra A$ mit $ f\circ \partial =0$. Schr"anken wir sie ein auf die offensichtliche $\Bbb{Z} G$-Basis $G$ von $(\Bbb{Z} G) G$, so werden Einskozykeln identifiziert mit Abbildungen $f : G \ra A$ derart, da"s gilt $ xf (y) - f (xy) + f (x) =0$ f"ur alle $x,y \in G$, wo wir der "Ubersichtlichkeit halber statt $g_{1},g_{2}$ die Symbole $x,y$ verwenden. Derartige Abbildungen nennt man im allgemeinen \defind{gekreuzte Homomorphismen}. Operiert $G$ trivial auf $A$, so vereinfacht sich das zu $f (y) + f (x) = f (xy)$ und wir haben den Raum der Einskozykeln identifiziert mit dem Raum aller Gruppenhomomorphismen ${\op{Grp}} (G,A)$. Die Kor"ander ihrerseits sind die $\Bbb{Z} G $-Homomorphismen $(\Bbb{Z} G) G \ra A$ der Gestalt $f = h \circ \partial$, also der Gestalt $f (x) = xa- a$ f"ur ein $a\in A$, das das Bild des freien Erzeugers $()$ von $(\Bbb{Z} G)G^0 $ unter $h$ bedeutet. Operiert $G$ trivial auf $A$, so sind mithin alle Einskor"ander null. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Zweite Gruppenkohomologie und Gruppenerweiterungen}] Seien $G$ eine Gruppe und $A$ ein $G$-Modul. Die Zweikozykel in der Standardaufl"osung \ref{StaA} sind per definitionem genau die $\Bbb{Z} G$-Ho\-momorphismen $f: (\Bbb{Z} G )G^2 \ra A$ mit $ f\circ \partial =0$. Unter Restriktion auf die freien Erzeuger entsprechen sie eineindeutig den Abbildungen $h : G \times G \ra A$ derart, da"s f"ur alle $x,y,z \in G$ gilt $xh(y,z) - h (x,y) - h (xy,z) + h(x,yz) =0$. Solche Abbildungen hei"sen auch selbst {\bf Zweikozykel} und gegeben solch ein Zweikozykel k"onnen wir $A \times G$ zu einer Gruppe $E$ machen vermittels der Verkn"upfung $$(a,x) (b,y) = (a+ xb +h(x,y),xy)$$ So erhalten wir eine kurze exakte Sequenz von Gruppen $A \hookrightarrow E \twoheadrightarrow G$. Man zeigt ohne Schwierigkeiten, da"s $\op{H}^2 (G;A)$ die Isomorphieklassen von derartigen Erweiterungen bei vorgegebener Operation von $G$ auf $A$ durch Konjugation klassifiziert. Eine zweite kurze exakte Sequenz $A \hookrightarrow E^{\prime} \twoheadrightarrow G$ hei"st hier isomorph zu $A \hookrightarrow E\twoheadrightarrow G$, wenn es einen Gruppenisomorphismus $E \overset{\sim}{\rightarrow} E^{\prime}$ gibt derart, da"s das Diagramm $$\begin{array}{cclcc} A & \hookrightarrow &E& \twoheadrightarrow &G\\ \| & &\;\downarrow & & \| \\ A& \hookrightarrow &E^{\prime} & \twoheadrightarrow &G \end{array}$$ kommutiert. Die Null in $\op{H}^2 (G;A)$ entspricht hierbei dem Fall, da"s $E$ das semidirekte Produkt ist. Mehr dazu findet man in \cite{MaCH}. \end{Bemerkungl} %\begin{Bemerkungl} % Gegeben ein topologischer Raum $X$ mit einer Rechtsoperation einer % diskreten Gruppe $G$ und eine abelsche Gruppe $A$ erhalten wir in offensichtlicher Weise eine Kettenabbildung % $$ ({\op{S}} X) \otimes_{\Bbb{Z} G }A\ra %{\op{S}} (X/G;A)$$ %Sie induzi \begin{Satz}[\textbf{Gruppen(ko)homologie und singul"are (Ko)homologie}] Seien $X$ ein zusammenziehbarer topologischer\label{GSK} Raum und $G$ eine diskrete Gruppe, die topologisch frei von rechts auf $X$ operiert. Sei weiter $A$ eine abelsche Gruppe mit trivialer $G$-Operation. So konstruieren wir im folgenden Beweis in $A$ und $(X,G)$ nat"urliche Isomorphismen $$\begin{array}{ccc} \op{H}_{q}(G;A) &\sira& \op{H}_{q}(X/G; A)_{\op{sing}}\\[2mm] \op{H}^{q}(G;A)&\sira& \op{H}^{q}(X/G;A)_{\op{sing}} \end{array}$$ \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Die Homologie beziehungsweise Kohomologie der Gruppe $G$ mit Koeffizienten in der abelschen Gruppe $A$ mit der trivialen $G$-Operation ist demnach kanonisch isomorph zur singul"aren Homologie beziehungsweise Kohomologie des Bahnenraums $X/G$ mit Koeffizienten in $A$. Morphismen $(X,G)\ra (Y,H)$ f"ur die Nat"urlichkeit in $(X,G)$ sind zu verstehen als Paare $(f,\varphi)$ aus einer stetigen Abbildung und einem Gruppenhomomorphismus mit $f(xg)=f(x)\varphi(g)$ f"ur alle $x\in X, g\in G$. \nichtfinal{Verkn"upfe mit \eref{InvI}{TSS}!} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Man sieht leicht ein, da"s der Komplex der singul"aren Ketten ${\op{S}}X\sra \Bbb{Z}$ eine Aufl"osung von $\Bbb{Z}$ durch freie $\Bbb{Z} G $-Moduln ist. Genauer operiert $G$ nach dem Satz "uber die Existenz und Eindeutigkeit von Lifts \eref{LEZ}{TF} frei auf der Menge der singul"aren Simplizes und jedes Repr"asentantensystem f"ur die Bahnen ist eine $\Bbb{Z} G $-Basis. Fassen wir unsere R"aume von Ketten als $\Bbb{Z} G $-Rechtsmoduln auf, so liefert die Projektion einen Isomorphismus von Kettenkomplexen $$ ({\op{S}} X) \otimes_{\Bbb{Z} G }A\sira {\op{S}} (X/G;A)$$ In der Tat ist das Bild unserer $\Bbb{Z} G $-Basis von ${\op{S}}X$ ist offensichtlich eine $\Bbb{Z}$-Basis von ${\op{S}}(X/G)$. Gehen wir auf beiden Seiten zur Homologie "uber, so ergibt sich die erste Behauptung. Fassen wir unsere R"aume von Ketten als $\Bbb{Z} G $-Linksmoduln auf, so erkennen wir "ahnlich, da"s die Projektion einen Isomorphismus von Kettenkomplexen der Gestalt $$\op{Hom}_{\Bbb{Z}}({\op{S}} (X/G),A) \sira \op{Hom}_{\Bbb{Z} G } ({\op{S}}X,A)$$ liefert. Gehen wir auf beiden Seiten zur Kohomologie "uber, so ergibt sich die zweite Behauptung. \end{proof} \begin{Satz}[\textbf{Gruppenkohomologie und singul"are Kohomologie, Variante}] Sei $X$ ein wegzusammenh"angender topologischer\label{GSKv} Raum und $G$ eine diskrete Gruppe, die topologisch frei von rechts auf $X$ operiert. Seien weiter $A$ eine abelsche Gruppe mit trivialer $G$-Operation und $q\geq 0$. \begin{enumerate} \item Gilt $\op{H}_{1}(X; A)_{\op{sing}}= \ldots=\op{H}_{q}(X; A)_{\op{sing}}=0$, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $ \op{H}_{q}(G;A) \sira \op{H}_{q}(X/G; A)_{\op{sing}}$. \item Gilt $\op{H}^{1}(X; A)_{\op{sing}}= \ldots=\op{H}^{q}(X; A)_{\op{sing}}=0$, so haben wir einen kanonischen Isomorphismus $\op{H}^{q}(G;A)\sira \op{H}^{q}(X/G;A)_{\op{sing}} $. \end{enumerate} \end{Satz} \begin{proof} Mutatis mutandis identisch zum Beweis von \ref{GSK}. \end{proof} \begin{Beispiel} Betrachten wir auf der Sph"are $S^{n}$ die Operation der zweielementigen Gruppe $G\pdef \DZ/2\DZ$, die jeden Punkt auf den gegen"uberliegenden Punkt wirft, so folgt f"ur $q1$ sind bei uns nur f"ur $A$ abelsch definiert. $\op{H}^{0} (G;A)=A^G$ nenne ich die {\bf $G$-Invarianten von $A$}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkunge}[\textbf{Exakte Sequenzen der nichtabelschen Kohomologie}] Sei $G $ eine Gruppe. Unter einer {\bf punktierten $G $-Menge} verstehen wir eine Menge $A$ mit einem ausgezeichneten Punkt und einer Operation von $G $, die diesen Punkt festh"alt. Wir setzen dann $\op{H}^0(G;A)\pdef A^G$ und betrachten das als eine Menge mit demselben ausgezeichneten Punkt. Die folgenden unter immer st"arkeren Voraussetzungen immer l"angeren exakten Sequenzen von punktierten Mengen sind kein so starkes Hilfsmittel wie exakte Sequenzen von Gruppen, helfen aber manchmal weiter. \begin{enumerate} \item Ist $A \hookrightarrow B \twoheadrightarrow C$ eine kurze exakte Sequenz von punktierten $G $-Mengen im Sinne von \eref{exak}{LA2}, so erhalten wir eine linksexakte Sequenz $A^G \hookrightarrow B^G \rightarrow C^G $ alias $${\op{H}}^0 (G ; A) \hookrightarrow {\op{H}}^0 (G ; B) \rightarrow {\op{H}}^0 (G ; C)$$ von punktierten Mengen. \item Ist $A$ eine Gruppe und $B$ eine punktierte Menge mit freier $G $-"aquivarianter $A$-Operation von links und sind die Fasern von $B \twoheadrightarrow C$ gerade die $A$-Bahnen, so erkl"aren wir $\partial : {\op{H}}^0 (G ; C) \rightarrow {\op{H}}^1 (G ; A)$ wie folgt: Gegeben $c \in C^G $ w"ahlen wir $b \in B$ mit $b \mapsto c$ und definieren $z = z_b : G \rightarrow A$ durch $z (g) b = b^g$. Dann gilt $z (g)^\beta z (\beta) b = z (g)^\beta b^\beta = b^{g \beta}$, folglich ist $z_b$ ein Element von ${\op{Z}}^1 (G ; A)$. Eine andere Wahl $a b$ f"uhrt zu $z_{ab} (g) (ab) = (ab)^g$ und damit gilt $(a^g)^{-1} z_{ab} (g) a = z_b (g)$ und wir erhalten einen homologen $1$-Kozykel. Auf diese Weise liefert jedes $c \in C^G $ eine wohlbestimmte Klasse $\partial c \in {\op{H}}^1 (G ; A)$. Damit erhalten wir eine exakte Sequenz \begin{equation*} {\op{H}}^0 (G ; A) \hookrightarrow {\op{H}}^0 (G ; B) \rightarrow {\op{H}}^0 (G ; C) \overset{\partial}{\rightarrow} {\op{H}}^1 (G ; A) \end{equation*} In der Tat, hat $c \in C^{G }$ ein Urbild $b \in B^G $, so ist $\partial c$ die Klasse des konstanten $1$-Kozykels $z_b$. Ist umgekehrt $b \in B$ ein Urbild von $c \in C^G $ und ist $z_b$ homolog zum konstanten $1$-Kozykel, gibt es also $a \in A$ mit $z_b (g) = a^g a^{-1}$ f"ur alle $g \in G $, gilt also $a^g a^{-1} b = b^g \quad \forall g \in G $, so gilt $a^{-1} b \in B^G $ und das ist ein $G $-invariantes Urbild von $c$. \item Ist $A \hookrightarrow B$ ein injektiver Gruppenhomomorphismus und $C = \{ A b \mid b \in B\} \subset \mathcal P (B)$ der Raum der Linksnebenklassen, so erhalten wir sogar eine exakte Sequenz \begin{equation*} {\op{H}}^0 (G ; A) \hookrightarrow {\op{H}}^0 (G ; B) \rightarrow {\op{H}}^0 (G ; C) \overset{\partial}{\rightarrow} {\op{H}}^1 (G ; A) \rightarrow {\op{H}}^1 (G ; B) \end{equation*} In der Tat, wird ein $1$-Kozykel $z : G \ra A$ nullhomolog in ${\op{H}}^1 (G ; B)$, so gibt es $b \in B$ mit $z (g) = b^g b^{-1}\quad \forall g$ und dann ist $z = z_b = \partial c$ f"ur $c \in C^G $ das Bild von $b$. Umgekehrt ist auch klar, da"s jedes $\partial c$ in ${\op{H}}^1 (G ; B)$ triviales Bild hat. \item Ist $A \hookrightarrow B \twoheadrightarrow C $ eine kurze exakte Sequenz von Gruppen, so haben wir sogar eine exakte Sechs-Term-Sequenz \begin{equation*} A^G \hookrightarrow B^G \twoheadrightarrow C^G\overset{\partial}{\rightarrow} {\op{H}}^1 (G ; A) \twoheadrightarrow {\op{H}}^1 (G ; B) \rightarrow {\op{H}}^1 (G ; C) \end{equation*} und haben ${\op{H}}^0$ umgeschrieben, damit sie in eine Zeile pa"st. In der Tat geht jeder $1$-Kozykel aus $A$ nat"urlich auf den trivialen $1$-Kozykel in $C$. Ist andererseits $z : G \rightarrow B$ ein $1$-Kozykel, der trivial wird in ${\op{H}}^1 (G ; C)$, so gibt es $c \in C$ mit $\overline{z (g)} = c^g c^{-1} \quad \forall g \in G $. F"ur jedes Urbild $b \in B$ von $c$ folgt $w (g) : = (b^g)^{-1} z (g) b \in A$ und so ist $z$ homolog zu $w \in {\op{Z}}^1 (G ; A)$. \item Liegt zus"atzlich das Bild von $A$ im Zentrum von $B$, so k"onnen wir unsere Sequenz um noch einen weiteren Schritt zu einer exakten Sieben-Term-Sequenz \begin{equation*} A^G \hookrightarrow B^G \twoheadrightarrow C^G\overset{\partial}{\rightarrow} {\op{H}}^1 (G ; A) \twoheadrightarrow {\op{H}}^1 (G ; B) \rightarrow {\op{H}}^1 (G ; C) \rightarrow {\op{H}}^2 (G ; A) \end{equation*} verl"angern. Das sei dem Leser zur "Ubung "uberlassen. \end{enumerate} \end{Bemerkunge} \begin{Bemerkungw}[\textbf{Gruppenkohomologie und Garbenkohomologie}] Ich will nun einige der bis hierher besprochenen Kohomologien in einen gemeinsamen Kontext setzen. \begin{enumerate} \item Gegeben eine Gruppe $G$ und eine $G$-Gruppe $A$ klassifiziert die nichtabelsche Gruppenkohomologie ${\op{H}}^1(G;A)$ diejenigen $G$-Mengen mit $G$-"aquivarianter $A$-Operation, die unter Vergessen der $G$-Wirkung isomorph werden zu $A$ selber; \item Gegeben ein topologischer Raum $X$ und eine Gruppengarbe $\mathcal A\in \op{Grp}_{/X}$ klassifiziert die nichtabelsche \v{C}ech-Kohomologie\label{GruGar} $\check{\mathrm{H}}^{1}(X;\mathcal A)$ diejenigen Mengengarben auf $X$ mit $\mathcal A$-Operation, die unter dem R"uckzug auf alle Mengen einer offenen "Uberdeckung von $X$ isomorph werden zu $\mathcal A$ selber; \item Als gemeinsame Verallgemeinerung mag man \glqq $G$-"aquivariante Gruppengarben $\mathcal A$ auf einem topologischen Raum mit Operation einer Gruppe $G\acts X$\grqq\ betrachten, und warum nicht gleich f"ur eine topologische Gruppe $G$, und warum nicht gleich statt Gruppengarben beliebige nicht notwendig \'etale Gruppenobjekte $\mathcal A\in \op{Top}_X$. Die Menge der Isomorphieklassen mag man dann $${\op{H}}^1(G{\acts}X;\mathcal A)$$ notieren und unsere bisherigen Konstruktionen als Spezialf"alle betrachten. \end{enumerate} \nichtfinal{Noch entwickeln! Im Fall der konstanten Garbe $\mathcal A=\DZ_X$ erhalten wir so die \glqq "aquivariante Kohomologie\grqq\ aus \ref{zAEQ}. Ein Student soll mir das ausschreiben. Im Fall Fall eines einpunktigen Raums und einer topologischen Gruppe $A$ erhalten wir die sogenannte \glqq topologische nichtabelsche Gruppenkohomologie\grqq.} \end{Bemerkungw} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Topologische nichtabelsche Gruppenkohomologie}] Die Definition der nichtabelschen ersten Gruppenkohomologie \ref{AqTo} bleibt sinnvoll, wenn wir statt mit Mengen vielmehr mit topologischen R"aumen arbeiten. Dann sind also $G$ und $A$ topologische Gruppen, die Operationen $G\times A\ra A$ und $G\times X\ra X$ sollen\label{ToET} stetig sein, und $X$ soll die Topologie als homogener Raum von $A$ tragen. Wollen wir besonders betonen, da"s unsere Kohomologie in dieser Weise verstanden werden soll, so schreiben wir $\op{H}^{1}_{\op{st}} (G;A)$. Eine Anwendung diskutieren wir in \eref{FGKoK}{AL}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Im topologischen Fall erhalten wir genauso eine kanonische Bijektion $$({\op{Z}}^{1}_{\op{st}} (G;A)/\!\sim)\; \sira\;\op{H}^{1}_{\op{st}} (G;A) $$ zwischen den Klassen stetiger $1$-Zykel $z:G\ra A$ und der entsprechenden Kohomologiemenge. \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTG" %%% End: