\section{Vermischtes} \subsection{Die Leray'sche Spektralsequenz, sp"ater} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Deriviertes direktes Bild}] Sei~$f \colon X \to Y$ eine stetige Abbildung von topologischen R"aumen. Das direkte Bild ist nach~\ref{DiLE} ein linksexakter Funktor \[ f_{(*)} \colon {\op{Ab}}_{/X} \to {\op{Ab}}_{/Y} \] Da die Kategorie~${\op{Ab}}_{/X}$ der abelschen Garben auf~$X$ genug Injektive besitzt, existiert nach \ref{DAAF1} der rechtsderivierte Funktor auf der gegen die Pfeile beschr"ankten derivierten Kategorie. Wir notieren ihn \[ f_* \pdef{\op{R}}f_{(*)} \colon {\op{Der}}^+({\op{Ab}}_{/X}) \to {\op{Der}}^+({\op{Ab}}_{/Y}) \] "Ublicher ist die Notation~$f_*$ statt unserem~$f_{(*)}$ f"ur das direkte Bild von Garben und~${\op{R}}f_*$ statt unserem~$f_*$, aber~${\op{R}}f_*$ durch~$f_*$ abzuk"urzen ist insbesondere in der neueren Literatur nicht un"ublich. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Leray'sche Spektralsequenz}] Nach~\ref{RHF} sind\label{SpEH} welke abelsche Garben azyklisch f"ur das Bilden direkter Bilder unter\index{Leray'sche Spektralsequenz} stetigen Abbildungen. Weiter sieht man leicht ein, da"s das direkte Bild einer welken Garbe wieder welk ist. Damit liefert Grothendieck's Spektralsequenz \ref{GsPP} f"ur jede weitere stetige Abbildung~$g \colon Y \to Z$ eine vertr"agliche Isotransformation \[ (g \circ f)_* \stackrel{\sim}{\RA} g_* \circ f_* \] von triangulierten Funktoren $ {\op{Der}}^+({\op{Ab}}_{/X}) \to {\op{Der}}^+({\op{Ab}}_{/Z}). $ \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} Betrachten wir als konkretes Beispiel etwa die Abbildungen \[ S^3 \stackrel{f}{\rightarrow} S^2 \stackrel{c}{\rightarrow} \op{pt} \] mit~$f$ der~$S^1$-Faserung, die man durch die Abbildung~$S^3 \to \op{SO}(3)$ aus~\ref{SOUn} gefolgt von der Wirkung der Drehgruppe~$\op{SO}(3)$ auf einen fest gew"ahlten Punkt der Kugelschale~$S^2$ erh"alt. Zur Vermeidung von Subindizes notieren wir die konstante Garbe~${\mathbb Z}$ auf einem topologischen Raum $X$ nun $\DZ_X=\underline{X}$. Nach~\ref{DiBiS} finden wir \[ {\mathcal H}^pf_*\underline{S}^3 \cong \left\{ \begin{array}{cl} \underline{S}^2 & p = 0,1; \\ 0 & \mbox{sonst.} \end{array}\right. \] Also liefert~\ref{Absch} ein ausgezeichnetes Dreieck $ \underline{S}^2 \rightarrow f_*\underline{S}^3 \rightarrow \underline{S}^2[-1] \stackrel{[1]}{\rightarrow}$, dessen Pfeil vom Grad Eins nach~\ref{ErAM} und~\ref{GTH} als Element von~$ {\op{H}}^2(S^2;{\mathbb Z})$ aufgefasst werden kann. Wendet man auf dieses ausgezeichnete Dreieck den triangulierten Funktor~$c_*$ an, so ergibt sich ein ausgezeichnetes Dreieck \[ c_*\underline{S}^2 \to (c \circ f)_* \underline{S}^3 \to c_*\underline{S}^2[-1] \stackrel{[1]}{\longrightarrow} \] Betrachten wir dazu die lange exakte Kohomologiesequenz und erinnern unsere Resultate "uber die Kohomologie von Sph"aren, so folgt, da"s der Pfeil vom Grad Eins unseres urspr"unglichen ausgezeichneten Dreiecks einem Erzeuger von~${\op{H}}^2(S^2;{\mathbb Z})$ entsprochen haben mu"s. In anderen Worten ist $f_*\underline{S}^3$ also isomorph zum Abbildungskegel eines durch einen Erzeuger von ${\op{H}}^2(S^2;{\mathbb Z})$ definierten Morphismus $\underline{S}^2[-2]\ra \underline{S}^2$ in der derivierten Kategorie der abelschen Garben auf der Sph"are $S^2$. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Leray-Spektralsequenz}]\index{Leray-Spektralsequenz} Sei~$f \colon Y \to X$ stetig und~$\mathcal F \in \op{Ab}_{/Y}$ eine abelsche\index{Spektralsequenz!Leray'sche} Garbe. Ist $c \colon X \to \op{top}$ die konstante Abbildung zum einpunktigen Raum, so finden wir Isomorphismen \begin{eqnarray*} {\op{H}}^n(Y;\mathcal F) & \stackrel{\sim}{\rightarrow} & \Gamma{\mathcal H}^n((c \circ f)_* \mathcal F) \mbox{ nach \ref{dBKK} } \\ & \stackrel{\sim}{\rightarrow} & \Gamma {\mathcal H}^n(c_*(f_* \mathcal F)) \mbox{ nach \ref{SpEH}. } \end{eqnarray*} Mit \ref{KSSE} ergibt sich dann eine konvergierende~$E_2$-Spektralsequenz \[ {\op{H}}^q(X; {\mathcal H}^p(f_*\mathcal F)) \Rightarrow {\op{H}}^n(Y;\mathcal F) \] Ist speziell~$\mathcal F = \underline Y$ die konstante Garbe~$\underline{Y} = \mathbb Z_Y$ und~$f$ eine Faserung mit Faser~$F$ und ist die Basis~$X$ offenlokal azyklisch, so sind die~${\mathcal H}^pf_*\underline{Y}$ nach \ref{lAZ} lokal konstant mit Halm~${\op{H}}^p(f^{-1}(x);\mathbb Z)$ bei~$x \in X$. Ist~$X$ dar"uber hinaus einfach zusammenh"angend, so ist f"ur jeden Punkt~$x \in X$ die Garbe~${\mathcal H}^p f_*\underline{Y}$ kanonisch isomorph zur konstanten Garbe mit Faser~${\op{H}}^p(f^{-1}(x);\mathbb Z)$ und wir finden eine konvergierende~$E_2$-Spektralsequenz \[ {\op{H}}^q(X;{\op{H}}^p(f^{-1}(x);\mathbb Z)) \Rightarrow {\op{H}}^n(Y;\mathbb Z) \] Das ist die urspr"ungliche Leray-Spektralsequenz. \end{Bemerkungl} \subsection{Topologische Faserungen} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $p : E \rightarrow B$ hei"st eine \defind{Faserung} oder genauer \defind{Hurewicz-Faserung}, wenn f"ur jeden weiteren Raum $Y$ und jedes\label{HuF} kommutative Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ Y \times \{0\}\ar[d]_-{\op{id}\times i} \ar[r]^-{{\tilde h}_0} & E \ar[d]^-p\\ Y \times [0,1]\ar@{-->}[ur]^-{\exists \tilde h}\ar[r]^-h & B } \end{displaymath} eine stetige Abbildung $\tilde h$ existiert, die es zum Kommutieren bringt. Man sagt auch, Faserung seien definiert durch die {\bf Liftbarkeit von Homotopien}. Fordern wir die Liftungseigenschaft nur f"ur alle Quader $Y = [0,1]^n$, so sprechen wir von einer \defind{Serre-Faserung}. \end{Definition} \begin{figure}[p]\centering \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildHEF} \noindent\\[1mm] Ausdehnen der Hochebung einer Abbildung in ein Faserb"undel von der Unterkante auf das ganze Quadrat. Auf jedem der kleinen Teilquadrate m"oge unser Faser"undel trivial sein. Wir heben dann zuerst auf den senkrechten Trennungslinien hoch und dann von unten beginnend der Reihe nach auf alle kleinen Teilquadrate. Das geht, da nach dem unten dargestellten Hom"oomorphismus bei einer trivialen Faserung sich auch jede auf drei Kanten gegebene Hochhebung auf das ganze Teilquadrat ausdehnen l"a"st. \\[4mm] \includegraphics[width=\textwidth]{SkriptenBilder/BildBHE} \end{figure} \begin{Beispiel} Jede "Uberlagerungsabbildung ist eine Hurewicz-Faserung nach \ref{LvHH}. In diesem Fall ist der Lift $\tilde h $ einer Homotopie sogar eindeutig bestimmt durch $h$ und $\tilde h_0$. Die Projektion eines Produkts auf einen seiner Faktoren ist stets eine Hurewicz-Faserung. \end{Beispiel} \begin{Satz} Jedes Faserb"undel im Sinne von \ref{FaBue} ist eine Serre-Faserung. %%%%%%%%%%%%%%%%% % hierher kopieren %%%%%%%%%%%%%% \end{Satz} \begin{proof} Durch R"uckzug d"urfen wir von einem Faserb"undel $p : E \rightarrow [0,1]^n \times [0,1]$ ausgehen. Es gilt zu zeigen, da"s sich jeder Schnitt desselben auf $[0,1]^n \times\{0\}$ zu einem globalen Schnitt fortsetzen l"a"st. Ist unser Faserb"undel trivial, so ist das unproblematisch. Sonst argumentieren wir durch vollst"andige Induktion "uber $n$ und zerlegen $[0,1]^{n+1}$ in so kleine W"urfelchen, da"s unser Faserb"undel auf jedem von ihnen trivial ist. Im Fall $n = 0$ des Wegliftens m"ussen wir nur induktiv ein Wegst"uck nach dem anderen liften. Im Fall $n =1$ argumentieren wir durch ein Bild. Der allgemeine Fall geht analog. \end{proof} \begin{Definition} Eine stetige Abbildung $f : A \rightarrow X$ hei"st eine \defind{Kofaserung} oder genauer eine \defind{Hurewicz-Kofaserung}, wenn f"ur jeden weiteren Raum $Y$ und jedes kommutative Quadrat\label{HuKF} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{displaymath} \xymatrix{ A \ar[d]_-f \ar[r]^-h & \mathcal C ([0,1],Y) \ar[d]^-{\op{ev_0}}\\ X \ar@{-->}[ur]^-{\exists \bar h}\ar[r]^-{\bar h_0} & Y } \end{displaymath} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% eine stetige Abbildung $\bar h$ existiert, die es zum Kommutieren bringt. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Ich erinnere daran, wie das Exponentialgesetz \eref{TKL}{TM} stetige Abbildungen $A \rightarrow \mathcal C ([0,1],Y)$ und stetige Abbildungen $A \times [0,1] \rightarrow Y$ identifiziert. Im Spe\-zialfall der Einbettung eines Teilraums $f : A \hookrightarrow X$ sagt unsere Eigenschaft also, da"s sich jede stetige Abbildung $ (A \times [0,1])\cup(X \times \{0\})\rightarrow Y$ zu einer stetigen Abbildung $ X \times [0,1] \rightarrow Y$ ausdehnen l"a"st. Man sagt deshalb auch, Kofaserungen seien definiert durch die {\bf Ausdehnbarkeit von Homotopien}. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} F"ur jeden topologischen Raum $X$ ist die Deckel-Boden-Ab\-bil\-dung $(i_0,i_1): X\sqcup X\hra X\times[0,1]$ eine Hurewicz-Kofaserung. In der Tat bildet die Vereinigung von drei abgeschlossenen Kanten eines Quadrats $[0,1]^2$ einen Retrakt des ganzen Quadrats, ihre Einbettung besitzt in anderen Worten ein Linksinverses, und dasselbe gilt nach Darankreuzen unseres Raums $X$. \end{Beispiel} \begin{Beispiel} Die Einbettung $(0,1) \hookrightarrow [0,1]$ ist keine Kofaserung. In der Tat gibt es stetige unbeschr"ankte Abbildungen $((0,1) \times [0,1]) \sqcup \{(0,0), (1,0)\} \rightarrow \mathbb R$, die sich dann nat"urlich nicht stetig auf $[0,1] \times [0,1]$ fortsetzen lassen. Es tut mir leid, da"s hier $(0,1) \subset \mathbb R$ das offene Intervall meint und $(0,0), (1,0) \in \mathbb R^2$ die Punkte mit den entsprechenden Koordinaten. \end{Beispiel} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{kfAE} Jede Kofaserung ist injektiv. Hinweis: Zu $A \rightarrow X$ konstruiere man $Y$ als den Pushout mit $i_0 : A \rightarrow A \times [0,1]$. \end{Ubung} \begin{Ubung}Jede Kofaserung mit abgeschlossenem Bild ist eine Einbettung. Hinweis: Man nehme als $Y$ den Teilraum $Y \pdef (X\times \{0\}) \cup (A\times (0,1])$ von $ X\times [0,1]$ und beachte, da"s das Urbild unter $\bar h$ von $Y\cap (\bar A \times [0,1])$ in $ X\times [0,1]$ abgeschlossen sein mu"s, da"s also $(\bar A\times \{0\}) \cup (A\times (0,1])$ in $ X\times [0,1]$ abgeschlossen sein mu"s. \end{Ubung} \subsection{Modellkategorien} \begin{Bemerkungl} Ich habe mich bei dieser Darstellung an Dwyer-Spalinski und Hovey orientiert. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Ein Morphismus $r$ in einer Kategorie hei"st eine \defind{Retraktion}, wenn er ein Rechtsinverses $i$ besitzt, $r i = \op{id}$. Ein Objekt $A$ einer Kategorie hei"st ein \defind{Retrakt} eines weiteren Objekts $X$, wenn es eine Retraktion $X \rightarrow A$ gibt. Ein Morphismus $f$ in einer Kategorie $\mathcal C$ hei"st ein \defind{Retrakt}\label{Trez} eines Morphismus $g$, wenn er als Objekt der Kategorie $\mathcal C^{\downarrow} = \op{Cat} (\downarrow, \mathcal C)$ ein Retrakt ist. Ausgeschrieben bedeutet das, da"s es ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar[d]^-f \ar[r]^-i &\ar[d]^-g\ar[r]^-r &\ar[d]^-f\\ \ar[r]^-{i^\prime}& \ar[r]^-{r^\prime}&\\ } \end{displaymath} in $\mathcal C$ gibt, bei dem die Kompositionen in den Horizontalen Identit"aten sind. \end{Definition} \begin{Definition} Seien $i$ und $p$ Morphismen einer Kategorie. So hei"st $i$ {\bf linksliftend f"ur $p$}\index{linksliftend} und $p$ {\bf rechtsliftend f"ur $i$},\index{rechtsliftend}\label{reli} wenn sich jedes kommutative Quadrat \begin{displaymath} \xymatrix{ \ar[d]_-i \ar[r] & \ar[d]^-p\\ \ar[r]\ar@{-->}^{\exists}[ur] & } \end{displaymath} in $\mathcal C$ durch einen hier gestrichelt eingezeichneten Morphismus vom Ziel von $i$ zur Quelle von $p$ kommutativ erg"anzen l"a"st. \end{Definition} \begin{Definition} Eine {\bf Modellstruktur}\index{Modellstruktur} auf einer Kategorie $\mathcal C$ ist eine Vorgabe von drei Unterkategorien, deren Morphismen {\bf Faserungen},\index{Faserung} {\bf Kofaserungen}\index{Kofaserung} sowie {\bf "Aquivalenzen}\index{"Aquivalenz!in Modellkategorie} hei"sen, derart da"s gilt: \begin{enumerate} \item F"ur "Aquivalenzen gilt die \hyperref[ZaD]{Zwei-aus-Drei-Eigenschaft}; \item Jeder \hyperref[Trez]{Retrakt} einer Faserung ist eine Faserung. Jeder Retrakt einer Kofaserung ist eine Kofaserung. Jeder Retrakt einer "Aquivalenz ist eine "Aquivalenz; \item Eine Faserung, die auch eine "Aquivalenz ist, hei"se eine \defind{"Aquivalenzfaserung}. Man fordert, da"s "Aquivalenzfaserungen \hyperref[reli]{rechtsliftend} sind f"ur Kofaserungen; Eine Kofaserung, die auch eine "Aquivalenz ist, hei"se eine \defind{"Aquivalenzkofaserung}. Man fordert, da"s "Aquivalenzkofaserungen \hyperref[reli]{linksliftend} sind f"ur Faserungen. \item Jeder Morphismus l"a"st sich darstellen als eine Kofaserung gefolgt von einer "Aquivalenzfaserung sowie als eine "Aquivalenzkofaserung gefolgt von einer Faserung. \end{enumerate} \end{Definition} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Diskussion der Terminologie}] Unsere "Aquivalenzen hei"sen in der Literatur meist {\bf schwache "Aquivalenzen}.\index{"Aquivalenz!schwache} Unsere "Aquivalenzfaserungen hei"sen {\bf azyklische Faserungen} oder auch {\bf triviale Faserungen} und\index{Faserung!azyklische}\index{Faserung!triviale} unsere "Aquivalenzkofaserungen hei"sen {\bf azyklische Kofaserungen} oder auch {\bf triviale Kofaserungen}.\index{Kofaserung!azyklische}\index{Kofaserung!triviale} % Das alles schien mir aber % eine unn"otige Verkomplizierung der Terminologie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Wir verwenden die Notationen $\sra$\index{)4@$\sra$ Faserung} f"ur Faserungen, $\hra$\index{)4@$\hra$ Kofaserung} f"ur Kofaserungen und $\aeq$\index{)4@$\aeq$ "Aquivalenz in Modellkategorie} f"ur "Aquivalenzen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Eine \defind{Modellkategorie} ist eine Kategorie mit einer Modellstruktur, in der Limites und Kolimites f"ur alle endlichen Diagramme existieren. \end{Definition} \begin{Beispiel} Auf der Kategorie $\op{Top}$ der topologischen R"aume erh"alt man eine Modellstruktur, indem man die Homotopie"aquivalenzen als "Aquivalenzen nimmt, die Hure\-wicz-Faserungen \ref{HuF} als Faserungen und die abgeschlossenen Hure\-wicz-Kofaserungen \ref{HuKF} als Kofaserungen. Ich nenne sie die {\bf Str\o m-Modell\-struktur},\index{Str\o m-Modellstruktur} weil sie in einer Arbeit von Arne Str\o m eingef"uhrt wurde. Hier sind die beiden ersten Eigenschaften einer Modellstruktur leicht zu pr"ufen. Die schwierigen Teile sollen an dieser Stelle nicht gezeigt werden. \end{Beispiel} \begin{Bemerkungl} Jede Modellkategorie besitzt finale und initiale Objekte als Kolimites und Limites "uber das leere Diagramm. Ein Objekt hei"st \defind{fasernd}, wenn der Morphismus von ihm zum finalen Objekt eine Faserung ist, und \defind{kofasernd}, wenn der Morphismus vom initialen Objekt dorthin eine Kofaserung ist. Ein Objekt, das sowohl fasernd als auch kofasernd ist, nennen wir \defind{bifasernd}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Die opponierte Kategorie einer Modellkategorie ist wieder eine Modellkategorie, wenn wir ihre Faserungen als die opponierten Kofaserungen erkl"aren, ihre Kofaserungen als die opponierten Faserungen, und ihre "Aquivalenzen als die opponierten "Aquivalenzen. \end{Bemerkungl} \begin{Definition} Seien $X,Y$ Objekte einer Modellkategorie $\mathcal M$. Zwei Morphismen $f,g:X\ra Y$ hei"sen {\bf linkshomotop}\index{linkshomotop} und wir schreiben $f\sim^l g$, wenn es in $\mathcal M$ ein kommutatives Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{X\sqcup X \ar[dr]_-{(\op{id},\op{id})} \ar[r]^-{k} &B\ar[d]^-{s}_-{|\!}\ar[r]^-H &Y\\ & X&\\ } \end{displaymath} gibt mit %$k$ einer Kofaserung und $s$ einer "Aquivalenz und $f=H\circ k \circ\op{in}_1$ sowie $g=H\circ k \circ\op{in}_2$. \end{Definition} \begin{Bemerkungl} Indem wir in diesem Diagramm $k$ faktorisieren in eine Kofaserung gefolgt von einer "Aquivalenz k"onnen wir stets erreichen, da"s $k$ sogar selbst eine Kofaserung ist. Wir nennen solch eine Faktorisierung $X\sqcup X \hra B \aeq X$ der Antidiagonale $(\op{id},\op{id})$ von $X$ in eine Kofaserung und eine "Aquivalenz einen {\bf Zylinder zu $X$}.\index{Zylinder!in Modellkategorie} \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine Modellkategorie. Die Relation der Linkshomotopie ist stets symmetrisch und reflexiv, aber im allgemeinen nicht transitiv. In \ref{rlaqe} zeigen wir, da"s sie auf R"aumen von Morphismen $\mathcal M(K,Y)$ mit $K$ kofasernd doch transitiv und damit eine "Aquivalenzrelation ist. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel}[\textbf{Zylinder in der Str\o m-Mo\-dell\-struk\-tur}] Im Fall der Modellkategorie $\op{Top}$ mit ihrer Str\o m-Mo\-dell\-struk\-tur k"onnten wir als Zylinder $C=X\times [0,1]$ nehmen mit der De\-ckel-Bo\-den-Ab\-bil\-dung als Kofaserung und der Projektion als "Aquivalenz. In dieser Modellstruktur sind insbesondere topologisch homotope Abbildungen stets linkshomotop. \end{Beispiel} \begin{Satz}[\textbf{Vorform des Hauptsatzes "uber Modellkategorien}] Seien $\mathcal M$ eine Modellkategorie, $\mathcal M_{\op{b}}\subset \mathcal M$ die volle Unterkategorie ihrer bifasernden Objekte, $S$ das System ihrer "Aquivalenzen und $\mathcal M_S$ die Lokalisierung unserer Modellkategorie nach allen "Aquivalenzen. So ist der offensichtliche Funktor $$\mathcal M_{\op{b}}\ra \mathcal M_S$$ essentiell surjektiv und surjektiv auf allen Morphismenr"aumen. Des weiteren haben zwei Morphismen $f,g:X\ra Y$ in $\mathcal M_{\op{b}}$ genau dann dasselbe Bild in der Lokalisierung $\mathcal M_S$, wenn sie linkshomotop sind. \end{Satz} \begin{Bemerkungl} Zus"atzlich werden wir zeigen, da"s zwei Morphismen $f,g:X\ra Y$ in $\mathcal M_{\op{b}}$ auch genau dann dasselbe Bild in der Lokalisierung $\mathcal M_S$ haben, wenn sie \glqq rechtshomotop\grqq\ sind, wenn also die zugeh"origen opponierten Morphismen linkshomotop sind in der opponierten Modellkategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Faktorisieren wir den Morphismus von einem beliebigen Objekt zum finalen Objekt in eine "Aquivalenzkofaserung gefolgt von einer Faserung, so sehen wir, da"s es in $\mathcal M_S$ isomorph ist zu einem fasernden Objekt. Faktorisieren wir den Morphismus des initialen Objekts in ein faserndes Objekt in eine Kofaserung gefolgt von einer "Aquivalenzfaserung, so sehen wir, da"s es in $\mathcal M_S$ isomorph ist zu einem bifasernden Objekt. Es damit klar, da"s unser Funktor essentiell surjektiv ist. Um den Rest des Satzes zu zeigen, m"ussen wir weiter ausholen. Wir erreichen unser Ziel dann in \ref{GrDia}. \end{Bemerkungl} \subsubsection*{"Ubungen} \begin{Ubung}\label{Retr} Es gelte $f=pi$ f"ur Morphismen einer Kategorie $\mathcal C$. Ist $f$ linksliftend f"ur $p$, so ist $f$ ein Retrakt von $i$. Ist $f$ rechtsliftend f"ur $i$, so ist $f$ ein Retrakt von $p$. Insbesondere sind bei einer Modellstruktur die Faserungen genau die Morphismen, die rechtsliftend sind f"ur alle "Aquivalenzkofaserungen, und die Kofaserungen genau alle Morphismen, die linksliftend sind f"ur alle "Aquivalenzfaserungen. Ebenso sind bei einer Modellstruktur die "Aquivalenzfaserungen genau die Morphismen, die rechtsliftend sind f"ur alle Kofaserungen, und die "Aquivalenzkofaserungen genau alle Morphismen, die linksliftend sind f"ur alle Faserungen. \end{Ubung} \begin{Ubung} Seien $f,h$ ein Morphismen in einer Kategorie $\mathcal C$. Ist $f$ linksliftend f"ur $h$ und $g$ ein Pushout von $f$, gibt es also ein kokartesisches Diagramm $af=gb$, so ist auch $g$ linksliftend f"ur $h$. Insbesondere ist nach \ref{Retr} bei einer Modellstruktur jeder Pushout\label{POK} einer Kofaserung eine Kofaserung und jeder Pushout einer "Aquivalenzkofaserung eine "Aquivalenzkofaserung. Dual ist bei einer Modellstruktur jeder Pullback einer Faserung eine Faserung und jeder Pullback einer "Aquivalenzfaserung eine "Aquivalenzfaserung. \end{Ubung} \subsection{Lokalisierung in Modellkategorien} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine Modellkategorie. Ist $K\in \mathcal M$ kofasernd, so ist f"ur jedes weitere Objekt $Y\in \mathcal M$ der Morphismus $\op{in}_Y:Y\ra K\sqcup Y$ eine\label{EBKk} Kofaserung als Pushout einer Kofaserung nach \ref{POK}. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Sind $K,Y$ Objekte einer Modellkategorie $\mathcal M$ und ist $K$ kofasernd, so ist Linkshomotopie eine "Aquivalenzrelation auf $\mathcal M(K,Y)$.\label{rlaqe} \end{Lemma} \begin{proof} Die Symmetrie und Reflexivit"at unserer Relation ist leicht zu sehen und gilt ohne alle Voraussetzungen an $K$. Es gilt, die Transitivit"at zu zeigen. Wir argumentieren im aus zwei Zylindern von $K$ konstruierten Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{K\sqcup K \ar@{^{(}->}[r] &C\ar@{-->}[dr]\ar[rrd]& &\\ K\ar@{^{(}->}[u]\ar@{_{(}->}[d]\ar@{_{(}->}[dr]\ar@{_{(}->}[ur] & &C''\ar@{-->}[r]&K\\ K\sqcup K \ar@{^{(}->}[r]& C'\ar[rru]\ar@{-->}[ru]&&\\ } \end{displaymath} Die Morphismen in der linken Vertikalen sind $\op{in}_2$ und $\op{in}_1$ und sind Kofaserungen nach \ref{EBKk}. Das mittlere Quadrat ist ein Pushhout, der nach \ref{POK} aus "Aquivalenzkofaserungen bestehen mu"s. Folglich ist auch $C''\ra K$ eine "Aquivalenz. Sind nun $f,g,h:K\ra Y$ Morphismen und $H:C\ra Y$ eine Homotopie von $f$ und $g$ sowie $H':C'\ra Y$ eine Homotopie von $g$ und $h$, so liefert die universelle Eigenschaft des Pushout eine Homotopie $H'': C''\ra Y$ von $f$ und $h$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Das Duale eines Zylinders hei"st ein \defind{Pfadobjekt} und das Duale der Linkshomotopie hei"st \defind{Rechtshomotopie} und wird $\sim^r$ notiert. \end{Bemerkungl} \begin{Beispiel} In der Kategorie $\op{Top}$ der topologischen R"aume mit der Str\o m-Modellstruktur ist ein Pfadobjekt f"ur einen beliebigen Raum $X$ die Sequenz $X\ra \mathcal C([0,1],X)\ra X\times X$ mit der Konstante-Weg-Abbildung und der Anfangspunkt-Endpunkt-Abbildung. Der Nachweis, da"s die Anfangspunkt-Endpunkt-Abbildung eine Hurewicz-Faserung ist, l"auft wieder auf die Aussage hinaus, da"s die Vereinigung von drei abgeschlossenen Kanten eines Quadrats $[0,1]^2$ einen Retrakt des ganzen Quadrats bildet, ihre Einbettung besitzt in anderen Worten ein Linksinverses, und dasselbe gilt nach Darankreuzen eines weiteren Raums $Y$. \end{Beispiel} \begin{Lemma}\label{rlsim} Seien $f,g:X\ra Y$ Morphismen in einer Modellkategorie. \begin{enumerate} \item Ist $X$ kofasernd und gilt $f\sim^l g$, so haben wir $f\sim^r g$ vermittels jedes Pfadobjekts zu $Y$; \item Ist $Y$ fasernd und gilt $f\sim^r g$, so haben wir $f\sim^l g$ vermittels jedes Zylinderobjekts zu $X$. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Wegen der Dualit"at unserer Situation reicht es, die erste Aussage zu zeigen. Wir setzen $X=K$ und finden ein Zylinderobjekt $K\sqcup K\stackrel{z}{\hra} C\stackrel{a}{\ra} K$ und $H:C\ra Y$ mit $Hz\op{in}_1=f$ und $Hz\op{in}_2=g$. Weiter finden wir zu $Y$ ein Pfadobjekt $Y\stackrel{b}{\ra} P \stackrel{p}{\sra} Y\times Y$. Nun ist $\op{in}_1$ eine Kofaserung $\op{in}_1:K\hra K\sqcup K$ nach \ref{EBKk} und $z\op{in}_1:K\haeq C$ folglich eine "Aquivalenzkofaserung. Wir argumentieren nun im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{K\ar[rr]^-{bf}\ar@{^{(}->}[d]^{|\!}_{z\op{in}_1}&&P\ar@{->>}[d]^{p}\\ C\ar@{-->}[rru]^{L}\ar[rr]^{(fa,H)}&&Y\times Y\\ } \end{displaymath} und finden darin die gestrichelt eingezeichnete Liftung $L$ und behaupten, da"s $Lz\op{in}_2:K\ra P$ die gesuchte Rechtshomotopie zwischen $f$ und $g$ ist. In der Tat gilt $\op{pr}_2pLz\op{in}_2=Hz\op{in}_2=g$ und $\op{pr}_1pLz\op{in}_2=faz\op{in}_2= f$. \end{proof} \begin{Lemma} Sei $\mathcal M$ eine Modellkategorie.\label{KFl} \begin{enumerate} \item Ist $K\in\mathcal M$ kofasernd und $F\in\mathcal M$ fasernd, so stimmen die Relationen $\sim^r $ und $\sim^l $ auf $\mathcal M(K,F)$ "uberein und sind "Aquivalenzrelationen; \item Wir erhalten eine Kategorie $\mathcal M_{\op{b}}^\sim$, indem wir als Objekte die bifasernden Objekte von $\mathcal M$ nehmen und als Morphismen die Menge der "Aquivalenzklassen $$\mathcal M_{\op{b}}^\sim(A,B)\pdef \mathcal M(A,B)/_\sim$$ unter $\sim^r=\sim^l$ und als Verkn"upfung die von der Verkn"upfung von Morphismen in $\mathcal M$ Induzierte. \end{enumerate} \end{Lemma} \begin{proof} Die erste Aussage folgt unmittelbar aus \ref{rlsim} und \ref{rlaqe}. Die zweite Aussage folgt daraus, da"s das Nachschalten eines Morphismus Linkshomotopie erh"alt und das Vorschalten eines Morphismus Rechtshomotopie. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Sei $\mathcal M$ eine Modellkategorie und $S$ das System ihrer "Aquivalenzen. Es ist klar, da"s unter der Lokalisierung $\mathcal M\ra \mathcal M_S$ rechtshomotope und desgleichen linkshomotope Morphismen dasselbe Bild haben. Der Hauptsatz "uber Modellkategorien besagt in unserer neuen Notation, da"s die Lokalisierung eine "Aquivalenz von Kategorien $$\mathcal M_{\op{b}}^\sim\sirra \mathcal M_S$$ induziert. Zu zeigen bleibt die Bijektivit"at auf den Morphismenr"aumen. Wir nennen $\mathcal M_{\op{b}}^\sim$ die {\bf Homotopiekategorie}\index{Homotopiekategorie!von Modellkategorie} unserer Modellkategorie. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl} Gegeben Objekte $X,Y$ einer Modellkategorie $\mathcal M$ bezeichne $\mathcal M^l(X,Y)$ die Menge der "Aquivalenzklassen f"ur die von Linkshomotopie erzeugte "Aquivalenzrelation. Man beachte, da"s Linkshomotopie im allgemeinen keine "Aquivalenzrelation sein mu"s. F"ur $X$ kofasernd gilt das aber doch nach \ref{rlaqe}. Die Menge der "Aquivalenzklassen unter der von Rechtshomotopie erzeugten "Aquivalenzrelation auf $\mathcal M(X,Y)$ notieren wir $\mathcal M^r(X,Y)$. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Ist $p:Y\saeq Z$ eine "Aquivalenzfaserung in einer Modellkategorie $\mathcal M$ und $K\in \mathcal M$ kofasernd, so induziert das Nachschalten von $p$ auf den "Aquivalenzklassen eine Bijektion\label{jugg} $$\mathcal M^l(K,Y)\sira\; \mathcal M^l(K,Z)$$ \end{Lemma} \begin{proof} Es ist ohne alle Voraussetzungen klar, da"s das Nachschalten eines Morphismus Linkshomotopie erh"alt und mithin eine Abbildung auf den "Aquivalenzklassen induziert. Es gilt zu zeigen, da"s diese Abbildung injektiv und surjektiv ist. F"ur die Injektivit"at argumentieren wir im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{K\sqcup K \ar@{^{(}->}[d]\ar[r]^-{(f,g)} &Y\ar@{->>}_-{|\!}^{p}[d]\\ C\ar[r]^{H}\ar@{-->}[ur]^{H'}&Z\\ } \end{displaymath} mit dem Teil eines Zylinders links unter Verwendung einer Liftungseigenschaft. Hierf"ur brauchen wir die Bedingung $K$ kofasernd noch nicht. F"ur die Surjektivit"at argumentieren wir im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\op{ini} \ar@{^{(}->}[d]\ar[r] &Y\ar@{->>}_-{|\!}^{p}[d]\\ K\ar[r]^{f}\ar@{-->}[ur]^{g}&Z\\ } \end{displaymath} und finden unter Verwendung einer Liftungseigenschaft sogar $g$ mit $pg=f$. \end{proof} \begin{Satz} Ein Morphismus $f:A\ra B$ zwischen bifasernden Objekten einer Modellkategorie ist genau dann eine "Aquivalenz, wenn er einen Isomorphismus in der Homotopiekategorie $\mathcal M_{\op{b}}^\sim$ liefert.\label{dfgt} \end{Satz} \begin{proof} Sei zun"achst $f:A\aeq B$ eine "Aquivalenz. Nach den Axiomen exitiert eine Faktorisierung in eine "Aquivalenzkofaserung gefolgt von einer Faserung, die dann auch eine "Aquivalenzfaserung sein mu"s. Das Objekt, "uber das wir faktorisieren, ist dann nat"urlich auch bifasernd. Mit Dualit"at d"urfen wir also annehmen, da"s $f$ bereits selbst eine "Aquivalenzkofaserung $f:A\haeq B$ ist. Da $A$ fasernd ist, gibt es nach den Liftungsaxiomen schon mal $q:B\ra A$ mit $qf=\op{id}_A$. Nat"urlich gilt $fq \circ f=\op{id}_B\circ f$. Da $f$ eine "Aquivalenzkofaserung ist und $B$ fasernd, folgt aus \ref{jugg} bereits $fq \sim^r\op{id}_B$ und $f$ liefert in der Tat einen Isomorphismus in der Homotopiekategorie. Jetzt nehmen wir umgekehrt an, da"s $f$ einen Isomorphismus in der Homotopiekategorie $\mathcal M_{\op{b}}^\sim$ liefert. Nach den Axiomen exitiert eine Faktorisierung $f=pq$ in eine "Aquivalenzkofaserung gefolgt von einer Faserung, und es reicht zu zeigen, da"s darin die Faserung $p$ eine "Aquivalenz ist. Das Objekt $D$, "uber das wir faktorisieren, ist nat"urlich auch bifasernd. Sei nun $g:B\ra A$ ein Homotopieinverses zu $f$ und $B\sqcup B\stackrel{z}{\hra} C\aeq B$ ein Zylinderobjekt zu $B$ und $H:C\ra B$ eine Homotopie $fg\sim^l \op{id}_B$. Jetzt finden wir im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{B\ar[rr]^-{qg}\ar@{^{(}->}[d]_{z\op{in}_1}^{\!|}&&D\ar@{->>}[d]^{p}\\ C\ar@{-->}[rru]^{L}\ar[rr]^{H}&&B\\ } \end{displaymath} den angedeuteten Lift $L$ nach den Liftungsaxiomen. F"ur $s\pdef Lz\op{in}_2$ gilt $ps=\op{id}_B$. Nun ist $q$ eine "Aquivalenz und besitzt folglich nach dem bereits Gezeigten ein Homotopieinverses $r$. Nun folgt aus $pq=f$ notwendig $p\sim fr$. Andererseits gilt offensichtlich $s\sim^l qg$ vermittels $L$. Insgesamt folgt $$sp\sim qgp\sim qgfr\sim qr\sim \op{id}$$ und $p$ und $s$ sind homotopieinvers zueinander und sind insbesondere "Aquivalenzen. Das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{D \ar[d]^-p \ar[r]^{\op{id}} &D\ar[d]^-{sp}\ar[r]^{\op{id}} &D\ar[d]^-p\\ B\ar[r]^-{s}&D \ar[r]^-{p}&B\\ } \end{displaymath} entlarvt $p$ als einen Retrakt der "Aquivalenz $sp$ und zeigt so, da"s $p$ auch eine "Aquivalenz ist. \end{proof} \begin{Lemma} Seien $f,g:X\ra F$ linkshomotope Morphismen in einer Modellkategorie $\mathcal M$. Ist $F$ fasernd, so kann unsere Homotopie sogar durch einen Zylinder realisiert werden, der eine "Aquivalenzfaserung "uber $X$ ist.\label{ZVG} \end{Lemma} \begin{proof} Wir argumentieren im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{X\sqcup X \ar[ddrr]_-{(\op{id},\op{id})} \ar@{^{(}->}[rr] &&C\ar@{^{(}->}[dr]_-{\smallsetminus\!\!\!\!\!}\ar[dd]_-{|\!}\ar[rr]& &F\ar@{->>}[dd]\\ & &&C'\ar@{->>}[dl]\ar[dr]\ar@{-->}[ur]&\\ && X\ar[rr]&&\op{fin}\\ } \end{displaymath} Zun"achst faktorisieren wir $C\ra X$ "uber $C'$ wie angedeutet. Dann finden wir den gestrichelten Morphismus mit einer der Liftungseigenschaften aus den Axiomen und $C'\sra X$ ist eine "Aquivalenzfaserung wegen der Zwei-aus-Drei-Eigenschaft von "Aquivalenzen. \end{proof} \begin{Proposition} Seien $\mathcal M$ eine Modellkategorie und $(\mathcal M_{\op{b}})_S$ die Lokalisierung der vollen Unterkategorie aller bifasernden Objekte nach "Aquivalenzen. So gibt es im Diagramm\label{bflok} \begin{displaymath} \xymatrix{ &\mathcal M_{\op{b}} \ar[dr]^{\op{lok}}\ar[dl]_{\op{quot}}&\\ \mathcal M_{\op{b}}^\sim \ar@<0.5ex>@{-->}[rr]& &(\mathcal M_{\op{b}})_S\ar@<0.5ex>@{-->}[ll]\\ } \end{displaymath} genau einen Funktor l"angs beider gestrichelter Pfeile, der das jeweilige Dreieck zum Kommutieren bringt, und diese beiden Funktoren sind zueinander inverse Isomorphismen von Kategorien. \end{Proposition} \begin{proof} Jede "Aquivalenz in $\mathcal M_{\op{b}}$ wird zu einem Isomorphismus in $\mathcal M_{\op{b}}^\sim$ nach \ref{dfgt}. Die universelle Eigenschaft der Lokalisierung zeigt damit die Existenz und Eindeutigkeit des Funktor nach links. Sind $f,g:A\ra B$ homotope Morphismen in $\mathcal M_{\op{b}}$, so kann nach \ref{ZVG} die Homotopie durch ein Zylinderobjekt $$A\sqcup A\stackrel{z}{\hra} C\saeq A$$ zu $A$ realisiert werden, dessen Morphismus wie angedeutet eine "Aquivalenzfaserung $a:C\saeq A$ ist, so da"s $C$ selbst auch bifasernd sein mu"s. Wegen $a z \op{in}_1=a z \op{in}_2$ gilt f"ur den Lokalisierungsfunktor $\op{lok}(z \op{in}_1)=\op{lok}( z \op{in}_2)$ und folglich $\op{lok}(f)=\op{lok}(g)$. Das zeigt die Existenz und Eindeutigkeit des Funktors nach rechts. Da"s die Verkn"upfungen jeweils die Identit"at sind, ist eh klar. \end{proof} \begin{Lemma} Ist $\mathcal M$ eine Modellkategorie und $F\in \mathcal M$ fasernd und $h:T\ra X$ ein Morphismus, so induziert das Vorschalten von $h$ auf den "Aquivalenzklassen eine Abbildung\label{VShLO} $$\mathcal M^l(X,F)\ra \mathcal M^l(T,F)$$ \end{Lemma} \begin{Bemerkungl} Da"s das Nachschalten Linkshomotopie erh"alt, ist offensichtlich. Gegeben Objekte $T,X,F$ einer Modellkategorie mit $F$ fasernd induziert also die Verkn"upfung von Morphismen eine Abbildung $$\mathcal M^l(T,X)\times\mathcal M^l(X,F) \ra \mathcal M^l(T,F)$$ Wenn wir uns auf die fasernden Objekte beschr"anken, erhalten wir so eine Kategorie $\mathcal M_{\op{f}}^l$. Wir nennen sie die {\bf Homotopiekategorie der fasernden Objekte}.\label{HFO} \end{Bemerkungl} \begin{proof} Wir argumentieren im Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{T\sqcup T\ar[r]\ar@{^{(}->}[d]&X\sqcup X\ar@{^{(}->}[r]&C\ar@{->>}[d]_-{|\!}\ar[r]^{H}&F\\ C\ar[r]^-{-}\ar@{-->}[rru]^{a}&T\ar[r]&X&\\ } \end{displaymath} Die rechte obere H"alfte unseres Diagramms ist ein Zylinder f"ur $X$, der eine Linkshomotopie $f\sim^l g$ vermittelt und mit einer "Aquivalenzfaserung nach $X$ geht, wie wir ihn nach \ref{ZVG} finden k"onnen, wenn die linkshomotopen Abbildungen in ein faserndes Objekt gehen. Die linke untere H"alfte ist ein beliebiger Zylinder f"ur $T$. Eine Liftungseigenschaft liefert nun den gestrichelten Pfeil $a$, und dann liefert $Ha$ die gesuchte Linkshomotopie $fh\sim^lgh$. \end{proof} \begin{Proposition}\label{partL} Seien $\mathcal M$ eine Modellkategorie und $\mathcal M_{\op{f}}^l$ die \hyperref[HFO]{Homotopiekategorie ihrer fasernden Objekte}. So gibt es genau einen Funktor entlang des gestrichelten Pfeils, der das Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal M_{\op{f}}\ar[r]\ar[d]&\mathcal M\ar[d]\\ \mathcal M_{\op{f}}^l\ar@{-->}[r]&\mathcal M_S } \end{displaymath} zum Kommutieren bringt, und dieser Funktor induziert eine "Aquivalenz von Kategorien $$(\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S}\sirra\mathcal M_S$$ f"ur $\bar S$ das System aller Homotopieklassen aus "Aquivalenzen. \end{Proposition} \begin{proof} Es ist klar, da"s linkshomotope Morphismen dieselben Morphismen in der lokalisierten Kategorie $\mathcal M_S$ liefern. Das zeigt bereits die erste Aussage. Um die zweite Aussage zu zeigen, konstruieren wir einen Funktor in die Gegenrichtung. Zu jedem $X\in\mathcal M$ w"ahlen wir dazu eine Sequenz $X\haeq \tilde X\sra\op{fin}$ und nennen deren ersten Morphismus $q_X$. Zu $f\in \mathcal M(X,Y)$ finden wir $\tilde f:\tilde X\ra\tilde Y$ mit $q_Yf=\tilde fq_X$ nach unseren Liftungsaxiomen, da ja $\tilde Y$ fasernd ist. Nach der dualen Aussage zu \ref{jugg} wird die Klasse von $\tilde f$ in $\mathcal M^r(\tilde X,\tilde Y)$ durch $f$ bereits eindeutig festgelegt. Mit \ref{rlsim} folgt, da"s die Klasse von $\tilde f$ in $\mathcal M^l(\tilde X,\tilde Y)$ durch $f$ erst recht eindeutig festgelegt wird. Unsere Wahlen liefern mithin einen Funktor $\mathcal M \ra \mathcal M_{\op{f}}^l$ zusammen mit einer Isotransformation in Gestalt eines Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{&\mathcal M_{\op{f}}^l\ar[dr]&\\ \mathcal M\ar[rr]\ar[ur]&\ar@{=>}[u]_\wr^q&\mathcal M_{S} } \end{displaymath} Die Isotransformation wird dabei durch die Gesamtheit der $q_X$ gegeben. Nun bildet unser Funktor offensichtlich $S$ nach $\bar S$ ab. Unser Diagramm induziert so ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{(\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S}\ar[rr]\ar[dr]&\ar@{=>}[d]_\wr^q&(\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S}\ar[dr]&\\ & \mathcal M_S\ar[rr]\ar[ur]&\ar@{=>}[u]_\wr^q&\mathcal M_{S} } \end{displaymath} mit dem Identit"atsfunktor in der unteren und der oberen Horizontale, und das zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben eine Modellkategorie $\mathcal M$ induziert der Einbettungsfunktor $\mathcal M_{\op{b}}^\sim\vra \mathcal M_{\op{f}}^l$ eine "Aquivalenz von Kategorien\label{pARTL} $$\mathcal M_{\op{b}}^\sim\sirra (\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S}$$ \end{Proposition} \begin{proof} Wir konstruieren wieder einen quasiinversen Funktor und beginnen damit, f"ur jedes $F\in\mathcal M_{\op{f}}$ eine Sequenz $\op{ini}\hra \bar F\saeq F$ zu w"ahlen. Dann ist $\bar F$ sogar bifasernd. Den rechten Morphismus dieser Sequenz notieren wir $r_F:\bar F\saeq F$. Wie zuvor folgern wir aus den Liftungsaxiomen, da"s es zu jedem Morphismus $f:F\ra G$ von fasernden Objekten einen Morphismus $\bar f:\bar F\ra \bar G$ gibt mit $f r_F=r_G \bar f$. Nun liefert das Vorschalten von $r_F$ und das Nachschalten von $r_G$ nach \ref{VShLO} und \ref{jugg} eine Abbildung und eine Bijektion $$\mathcal M^l(F, G)\ra \mathcal M^l(\bar F, G) \stackrel{\sim}{\leftarrow}\mathcal M^l(\bar F, \bar G)$$ Mithin ist $\bar f$ durch die Klasse von $f$ eindeutig bestimmt und unsere Wahlen liefern einen Funktor $\mathcal M_{\op{f}}^l\ra \mathcal M_{\op{b}}^\sim$ zusammen mit einer Isotransformation in Gestalt eines Diagramms \begin{displaymath} \xymatrix{&\mathcal M_{\op{b}}^\sim\ar[dr]\ar@{=>}[d]^\wr_r&\\ \mathcal M_{\op{f}}^l\ar[rr]\ar[ur]&&(\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S} } \end{displaymath} Die Isotransformation wird dabei durch die Gesamtheit der $r_X$ gegeben. Nun bildet unser Funktor offensichtlich Homotopieklassen aus schwachen "Aquivalenzen in $\mathcal M_{\op{f}}^l$ auf Homotopieklassen aus schwachen "Aquivalenzen in $\mathcal M_{\op{b}}^\sim$ ab, nach \ref{bflok} also auf Isomorphismen. Unser Diagramm induziert so ein Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{\mathcal M_{\op{b}}^\sim\ar[rr]\ar[dr]&&\mathcal M_{\op{b}}^\sim\ar[dr]\ar@{=>}[d]^\wr_r&\\ & (\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S}\ar[rr]\ar[ur]\ar@{=>}[u]^\wr_r&&(\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S} } \end{displaymath} mit dem Identit"atsfunktor in der unteren und der oberen Horizontale, und das zeigt die Behauptung. \end{proof} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Lokalisierung von Modellkategorien}] Indem wir von \ref{bflok} ausgehen und zu \ref{partL} und \ref{pARTL} noch entsprechende duale Propositionen erg"anzen, erhalten wir f"ur jede Modellkategorie $\mathcal M$ ein kommutatives Diagramm von Kategorien und Funktoren\label{GrDia} \begin{displaymath} \xymatrix{ &&(\mathcal M_{\op{f}}^l)_{\bar S}\ar[dr]^\approx&&\\ \mathcal M_{\op{b}}\ar[r]\ar@/^5pc/[rrrr]& \mathcal M_{\op{b}}^\sim\ar[ur]^\approx\ar[dr]_\approx\ar@<0.7ex>[r]_\sim & (\mathcal M_{\op{b}})_S \ar@<0.7ex>[l] \ar@{-->}[r]\ar@{-->}[u]\ar@{-->}[d] & \mathcal M_S & \mathcal M\ar[l]\\ && (\mathcal M_{\op{k}}^r)_{\bar S}\ar[ur]_\approx&& } \end{displaymath} Von den als durchgehende Pfeile eingezeichneten Funktoren der inneren Raute wissen wir bereits, da"s sie "Aquivalenzen oder sogar Isomorphismen von Kategorien sind, wie im Diagramm angedeutet. Wir folgern, da"s alle als gestrichelte Pfeile eingezeichneten Funktoren auch "Aquivalenzen von Kategorien sind. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Isomorphismen der Lokalisierung}] Gegeben eine Modellkategorie $\mathcal M$ werden unter der Lokalisierung $\mathcal M\ra \mathcal M_S$ nach den "Aquivalenzen nur genau diejenigen Morphismen zu Isomorphismen, die bereits selbst "Aquivalenzen sind. In der Tat reicht es, wenn wir das f"ur Morphismen zwischen bifasernden Objekten pr"ufen, und in dem Fall folgt es aus unserem Diagramm und \ref{dfgt}. \end{Bemerkungl} \begin{Bemerkungl}[\textbf{Morphismen der Lokalisierung}] Gegeben eine Kategorie $\mathcal M$ mit einem System $S$ von Morphismen und Objekte $X,Y\in \mathcal M$ und Morphismen $\tilde X\ra X$ und $Y\ra \tilde Y$ aus $S$ ist die offensichtliche Abbildung ganz allgemein eine Bijektion $$\mathcal M_S(X,Y)\sira \mathcal M_S(\tilde X,\tilde Y)$$ auf Morphismen in der Lokalisierung. Unser Diagramm \ref{GrDia} liefert f"ur bifasernde Objekte $A,B$ einer Modellkategorie $ \mathcal M$ eine Bijektion $$\mathcal M_{\op{b}}^\sim(A,B)\sira \mathcal M_S(A,B)$$ Wir zeigen, da"s sogar f"ur $K$ kofasernd und $F$ fasernd die offensichtliche Abbildung eine Bijektion $$\mathcal M^l(K,F)= \mathcal M^r(K,F)\sira \mathcal M_S(K,F)$$ liefert. Hier kommt die Gleichheit von \ref{KFl} her und die Bijektion folgt nach Wahl von $\op{ini}\hra \bar F\saeq F$ und $K\haeq \tilde K \sra \op{fin}$ aus jeder der beiden Zeilen des von \ref{KFl} und \ref{jugg} herr"uhrenden kommutativen Diagramms von Bijektionen $$\begin{array}{ccccccc} \mathcal M^\sim_{\op{b}}(\tilde K,\bar F)&\sira&\mathcal M^r( K,\bar F)&=& \mathcal M^l( K,\bar F)&\sira& \mathcal M^l( K, F)\\ \parallel&&&&&&\parallel\\ \mathcal M^\sim_{\op{b}}(\tilde K,\bar F)&\sira&\mathcal M^l(\tilde K,F)&=&\mathcal M^r(\tilde K,F)&\sira&\mathcal M^r(K,F) \end{array} $$ \end{Bemerkungl} \subsection{Mehr "uber Vereigentlichung}%Maximilian Gerhards danken! \begin{Korollar} Ist $f : X \rightarrow Y$ lokal eigentlich und separiert, so ist f"ur jeden Raum $Z$ unsere offensichtliche stetige Abbildung aus dem Beweis von \ref{VerEE} ein Hom"oomorphismus \begin{equation*} (X \times Z) {\vec\sqcup} (Y \times Z) \overset{\sim}{\rightarrow} (X {\vec\sqcup} Y) \times Z \end{equation*} \end{Korollar} \begin{proof} Es reicht zu zeigen, da"s unsere Abbildung abgeschlossen ist. Es reicht daf"ur zu zeigen, da"s sie eigentlich ist. Wir wissen aber, da"s $\bar f \times \op{id}_Z : (X {\vec\sqcup} Y) \times Z \rightarrow Y \times Z$ separiert ist und ebenso, da"s $\overline{f \times \op{id}_Z} : ( X \times Z) {\vec\sqcup} (Y \times Z) \rightarrow Y \times Z$ eigentlich ist. Damit folgt die Behauptung aus \ref{SaA}. \end{proof} \begin{Proposition} Gegeben $f : X \rightarrow Y$ stetig und $p : T \rightarrow X$ eigentlich ist die Abbildung $(p, \op{id}_Y) : T {\vec\sqcup}_{fp} Y \rightarrow X {\vec\sqcup}_{f} Y$ stetig. \end{Proposition} \begin{proof} Gegeben $U \sqcup V \co X {\vec\sqcup} Y$ haben wir $f : f ^{-1} (V) \backslash U \rightarrow V$ eigentlich und $p : p^{-1} (f^{-1} (V) \backslash U) \rightarrow f^{-1} (V) \backslash U$ eigentlich und $$p^{-1} (f^{-1} (V) \backslash U) = (f \circ p)^{-1} (V) \backslash p^{-1} (U)$$ und folgern $p^{-1} (U) \sqcup V \co T {\vec\sqcup} Y$. \end{proof} \begin{Bemerkungl} Es ist keineswegs so, da"s wir f"ur eine stetige Abbildung $f : X \rightarrow Y$ und eine beliebige stetige Abbildung $p : T \rightarrow X$ wieder eine stetige Abbildung $T {\vec\sqcup}_{fp} Y \rightarrow X {\vec\sqcup}_f Y$ erhalten. Bereits im Fall eines Punktes $Y$ und der offenen Einbettung $T \hookrightarrow X$ eines offenen Balls in einen echt gr"o"seren offenen Ball ${\op{B}} (0;1) \hookrightarrow {\op{B}} (0;2)$ etwa in $\mathbb R^2$ ist das offensichtlich falsch. \end{Bemerkungl} \begin{Lemma} Seien $f : X \rightarrow Y$ und $h : Y \rightarrow Z$ stetig. Ist $h$ separiert, so ist auch die induzierte Abbildung $ (\op{id}_X, h) : X {\vec\sqcup}_f Y \rightarrow X {\vec\sqcup}_{hf} Z $ stetig. Ist $h$ eine offene Einbettung, so auch $(\op{id}_X, h)$. \end{Lemma} \begin{proof} Gegeben $U \sqcup W \co X {\vec\sqcup}_{hf} Z$ gilt es zu zeigen $U \sqcup h^{-1} (W) \co X {\vec\sqcup}_f Y$. Nach Annahme ist die Verkn"upfung \begin{equation*} f^{-1} (h^{-1} (W)) \backslash U \rightarrow h^{-1} (W) \rightarrow W \end{equation*} eigentlich. Da die Zweite dieser Abbildungen separiert ist, ist dann die Erste auch eigentlich. Der letzte Teil des Lemmas ist offensichtlich. \end{proof} \begin{Satz} Seien $f : X \rightarrow Y$ stetig und $X \overset{j}{\rightarrow} W \overset{s}{\rightarrow} Y$ eine Zerlegung von $f$ in eine offene Einbettung $j$ gefolgt von einer separierten stetigen Abbildung $s$. So erhalten wir eine stetige Abbildung \begin{equation*} h : W \rightarrow X {\vec\sqcup}_f Y \end{equation*} durch die Vorschrift $j (x) \mapsto x$ f"ur $x \in X$ und $w \mapsto s (w)$ f"ur $w \in W \backslash j (X)$.\label{faks} \end{Satz} \begin{proof} Sei $U \sqcup V \co X {\vec\sqcup} Y$ offen, also $f : f^{-1} (V) \backslash U \rightarrow V$ eigentlich. Es folgt $s : j (f^{-1} (v) \backslash U) \rightarrow s^{-1} (V)$ eigentlich, also mit abgeschlossenem Bild, und dann mu"s das Komplement $j (f^{-1} (V) \backslash U) \sqcup s^{-1} (V) \backslash j (X)$ offen sein in $s^{-1} (V)$ und dann auch in $W$. Dasselbe folgt f"ur $h^{-1} (U \sqcup V)$, das schlicht die Vereinigung dieser offenen Menge mit $j(U)$ ist. \end{proof} \subsection{Eigentliches Bild, neuer Versuch} \begin{Bemerkungl}\label{NVEB} Gegeben eine stetige Abbildung $f:X\ra Y$ betrachten wir das kommutative Diagramm \begin{displaymath} \xymatrix{ X \ar[r]^-{ j} \ar[d]_-{ f} & X {\vec{\sqcup}}_fY\ar[dl]_-{ \bar f}\\ Y & Y \ar[u]_-i\ar[l]_-{ \op{id}} } \end{displaymath} Gegeben $\mathcal F\in\op{Ab}_{/X}$ erkl"aren wir $f_!\mathcal F\in \op{Ab}_{/Y}$ als den Kern der Komposition $$f_!\mathcal F\pdef\op{ker}(f_*\mathcal F\sira \bar f_*j_*\mathcal F\ra\bar f_*i_*i^*j_*\mathcal F \sira i^*j_*\mathcal F)$$ \end{Bemerkungl} %%% Local Variables: %%% mode: latex %%% TeX-master: "XXTOP" %%% End: